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  • 1. Clício Freire da Silva Disney Douglas de Lima OliveiraDomingos Anselmo Moura da SilvaÁlgebra Linear I Manaus 2007
  • 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Ferreira da.S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 111 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, Disney Douglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 512.64 CDD (19.ed.): 512.5
  • 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Matrizes - Definições e classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Matrizes - Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13UNIDADE II – Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 03 – Determinantes - Definição e cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Determinantes - Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24UNIDADE III – Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 05 – Sistemas lineares- Definição e resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 06 – Estudo de sistemas lineares homogêneos e heterogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33UNIDADE IV – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 07 – Vetores - Definição e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 08 – Vetores - Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44TEMA 09 – Vetores - Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 10 – Vetores - Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52TEMA 11 – Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 12 – Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56UNIDADE V – Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Equação da reta e do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 14 – Posições relativas entre retas, planos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 15 – Distância entre dois pontos, ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 16 – Distância entre retas, ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TEMA 17 – Distância entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80TEMA 18 – Ângulo entre retas, entre planos e entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82UNIDADE VI – Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 19 – Cônicas - Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 20 – Cônicas - Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 21 – Cônicas - Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
  • 4. PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM
  • 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico−científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  • 6. UNIDADE I Matrizes
  • 7. Álgebra Linear I – Matrizes como a maioria dos resultados básicos da Teo- ria da Matrizes, foram descobertos quando os TEMA 01 matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. MATRIZES – DEFINIÇÕES E Hoje, consideramos imprescindível estudar es- CLASSIFICAÇÃO sas formas por meio da notacão e da metodo- logia matricial, mas naquela época elas eram1.1 Fique por dentro tratadas escalarmente. Mostremos aqui a re- Surgimento da Teoria das matrizes presentação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar, como com • Curiosidades em torno do nome matriz a mais moderna notação matricial: Foi só há pouco mais de 150 anos que as ma- trizes tiveram sua importância detectada e saí- ram da sombra dos determinantes. O primeiro a dar a elas um nome parece ter sido Cauchy, em 1826: tableau (= tabela ). O primeiro uso implícito da noção de matriz O nome matriz só veio com James Joseph ocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a ca- Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua racterização dos máximos e mínimos, de uma famosa Memoir on the Theory of Matrices, função real de várias variáveis, ao estudo do 1858, divulgou esse nome e começou a de- sinal da forma quadrática associada à matriz monstrar sua utilidade. das segundas derivadas dessa função. Sempre Por que Sylvester deu o nome matriz às trabalhando escalarmente, ele chegou a uma matrizes? conclusão que hoje expressamos em termos Usou o significado coloquial da palavra matriz: de matriz positiva definida. Após Lagrange, já local onde algo se gera ou se cria. Com efeito, no século XIX, a Teoria das Formas Quadrá- via-as como “...um bloco retangular de ter- ticas chegou a ser um dos assuntos mais impor- tantes em termos de pesquisas, principalmente mos... o que não representa um determinante, no que toca ao estudo de seus invariantes. Es- mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da sas investigações tiveram como subproduto a qual podemos formar varios sistemas de deter- descoberta de uma grande quantidade de resul- minantes, ao fixar um número p e escolhar à tados e conceitos básicos de matrizes. vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 ) Assim, podemos dizer que a Teoria das Matri- zes teve como mãe a Teoria das Formas Quadrá- Observe que Sylvester ainda via as matrizes ticas, pois seus métodos e resultados básicos como mero ingrediente dos determinantes. É foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das só com Cayley que elas passam a ter vida formas quadráticas é um mero capítulo da Teo- própria e, gradativamente, começam a suplan- ria das Matrizes. (Fonte de pesquisa: tar os determinantes em importância. http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3) • Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes 1.2 Elementos básicos para matrizes Costuma-se dizer que um primeiro curso de Aqui, tomaremos o conjunto N dos números na- Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais turais, como: N = {1,2,3,4,5,6,7,...}. abstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo, O produto cartesiano N×N indicará o conjunto até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teore- de todos os pares ordenados da forma (a, b), ma e toda uma série de resultados auxiliares já em que a e b são números naturais, isto é: eram conhecidos antes de Cayley começar a estudar as matrizes como uma classe notável N × N={(a, b): a e b são números naturais} de objetos matemáticos. Uma relação importante em N×N é: Como se explica isso? Esses resultados, bem Smn={(i,j): 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} 11
  • 8. UEA – Licenciatura em Matemática1.3 Definição de matriz Exemplo: Matriz 4 x 4 de números comple- Considere um conjunto A de elementos aij, dis- xos. postos em uma tabela com m linhas e n colu- nas, tais que A = (aij)m×n, onde: • Matriz nula – É aquela que possui todos os elementos iguais a zero.1.4 Definições básicas sobre matrizes • Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colu- • Matriz identidade – Tem os elementos da nas, dizemos que a ordem da matriz é m×n. diagonal principal iguais a 1 e zero fora da • Posição de um elemento – Na tabela acima, diagonal principal. a posição de cada elemento aij = a(i,j) é Exemplo: Matriz identidade de ordem 3. indicada pelo par ordenado (i,j). • Notação para a matriz – Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: I3 = A = (aij)m×n ∀ . (i,j) ∈ Smn • Matriz quadrada – É a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colu- 1.5 Matrizes iguais nas, isto é, m = n. Duas matrizes A = (ai,j)m×n e B = (bi,j)m×n, de Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais. mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é ai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn. • Diagonal principal – A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da Determinar os valores de x e y para que sejam forma a(i,j) onde i = j. iguais as matrizes abaixo, isto é: • A diagonal secundária de uma matriz qua- drada de ordem n é indicada pelos n ele- mentos: Solução: • Matriz diagonal – É a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas: x–1=1 x=2 y–1=2 y=3 • Matriz real – É aquela que tem números reais como elementos. • Matriz complexa – É aquela que tem nú- meros complexos como elementos. 12
  • 9. Álgebra Linear I – Matrizes TEMA 02 2.2.1 Propriedades MATRIZES – OPERAÇÕES a) Multiplicação pelo escalar 1 – A multiplica- ção do escalar 1 por qualquer matriz A, for- necerá a própria matriz A, isto é: 1. A = A2.1 Soma de matrizes b) Multiplicação pelo escalar zero – A multipli- A soma (adição) de duas matrizes A = [ai,j] e cação do escalar 0 por qualquer matriz A, B = [bi,j] de mesma ordem m × n é uma outra fornecerá a matriz nula, isto é: matriz C = [ci,j], definida por: 0 . A = 0 (matriz nula de ordem m x n) ci,j = ai,j + bi,j, para todo par ordenado (i,j) em Smn. c) Distributividade das matrizes – Para quais- quer matrizes A e B de mesma ordem e Exemplo: A soma das matrizes A e B é a ter- para qualquer escalar k, tem-se: ceira matriz indicada abaixo. k (A+B) = k A + k B d) Distributividade dos escalares – Para qual- quer matriz A e para quaisquer escalares p 2.1.1 Propriedades e q, tem-se: a) Associativa – Para quaisquer matrizes A, B (p + q) A = p A + q A e C, de mesma ordem m×n, vale a igual- dade: 2.3 Multiplicação de matrizes (A + B) + C = A + (B + C) Dadas as matrizez A=(aij)mxn e B = (bij)pxq, dize- nis que ∃ A.B ⇔ n = p, onde A . B = C(cij)mxn b) Comutativa – Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade: Para obter o elemento da 2.a linha e da 3.a co- A+B=B+A luna da matriz produto C = A.B, isto é, o ele- mento c(2,3), devemos: c) Elemento neutro – Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A, • multiplicar os primeiros elementos da 2.a de mesma ordem, fornecerá a própria ma- linha e 3.a coluna; triz A, isto é: • multiplicar os segundos elementos da 2.ali- 0+A=A nha e 3.a coluna; d) Elemento oposto – Para cada matriz A, • multiplicar os terceiros elementos da 2.a existe uma matriz -A, denominada a oposta linha e 3.a coluna; de A, cuja soma entre ambas fornecerá a • multiplicar os quartos elementos da 2.a linha matriz nula de mesma ordem, isto é: e 3.a coluna; A + (–A) = 0 • somar os quatro produtos obtidos anterior- mente.2.2 Multiplicação de escalar por uma matriz Assim: Seja k∈IR um escalar e A=(ai,j)mxn uma matriz. c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43 Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C = k.A, Observações definida por: ci,j = k. ai,j. Para todo par ordena- • Somente podemos multiplicar duas matrizes do (i,j) em Smn. se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Exemplo: A multiplicação do escalar –4 pela • Note que em geral A. B ≠ BA. Porém existem matriz matrizes tais que A . B = B . A, por exemplo , definida por: I3 . A = A . I3, ∀ A3x3 13
  • 10. UEA – Licenciatura em Matemática 2.3.1 Propriedades igual ao produto das transpostas das matri- a) Distributividade da soma à direita: zes na ordem trocada: A (B+C) = A B + A C ∀ A = (aij)mxp, B(bcj)pxn, (A B)t = Bt At C(cij)pxn e) Uma matriz A é simétrica se é uma matriz b) Distributividade da soma à esquerda: quadrada tal que At = A (A+B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n) f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma ma- c) Associatividade: triz quadrada tal que At = –A A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n) g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é d) Nulidade do produto – Pode acontecer simétrica. que o produto de duas matrizes seja a ma- triz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nem h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, B sejam matrizes nulas, como é o caso do então a matriz B = A + At é simétrica. produto: i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A – At é anti-simétrica. 2.5 Exemplos2.4 Matrizes com propriedades especiais 1. Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 , sendo a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natu- ral se Ak = 0 ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode ser genericamente representada por b) Uma matriz A é periódica de índice k natu- ral se Ak+1= A c) Uma matriz A é idempotente se A2 = A d) As matrizes A e B são anticomutativas se Utilizando a regra de formação de seus ele- A.B = –B.A mentos, encontramos: e) A matriz identidade Id multiplicada por toda a11 = 1 + 1 = 2 matriz A, fornecerá a própria matriz A, quan- a12 = 1 + 2 = 3 do o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A. a13 = 1 + 3 = 4 a21 = 2 + 1 = 3 f) A matriz A será a inversa da matriz B, se a22 = 2 + 2 = 4 A.B = Id e B.A = Id a23 = 2 + 3 = 5 g) Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n, Assim, a matriz pedida é . definimos a transposta da matriz A como a matriz At = (aij)nxm. 2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d para 2.4.1 Propriedades que se tenha: a) A transposta da transposta da matriz é a própria matriz (At)t = A b) A transposta da multiplicação de um esca- Igualando os elementos de mesma posição, lar por uma matriz é igual ao próprio escalar segue que: multiplicado pela transposta da matriz a=4 (kA)t = k (At) b + 1 = –1 b = –2 c) A transposta da soma de duas matrizes é a c–4=6 c = 10 soma das transpostas dessas matrizes. d+3=8 d=5 (A + B)t = At + Bt d) A transposta do produto de duas matrizes é 3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo 14
  • 11. Álgebra Linear I – Matrizes . Vamos ver dois mo- dos de resolução. Modo 1: A matriz procurada é . Temos: Daí: Igualando os elementos correspondentes, vem: Modo 2: p–3=7 p = 10 Vamos operar como se A, B e X fossem núme- q – 1 = 10 q = 11 ros reais: r – 4 = –1 r=3 3X= A + B X = . (A + B), s+2=5 s=3 isto é: Modo 2: Vamos “isolar” a matriz X na equação: 1. Somemos, aos dois membros, a matriz A: (X – A) + A = B + A 5. Sejam as matrizes e 2. Usando as propriedades II e III, temos: , vamos determinar a matriz A . B. 3. Usando a propriedade IV, temos: Vejamos se é possível fazer tal produto: A seqüência acima mostra-nos que essa equação matricial é resolvida do mesmo Façamos . Temos: modo que a equação x – a = b, sendo x, a, e b números reais. • C11: (linha 1 de A e coluna 1 de B) Assim, para adição e subtração de matri- c11 = 5 . 1 + 1 . (–4) + (-1) . 8 = –7 zes, é possível simplesmente fazer: • C12: (linha 1 de A e coluna 2 de B) X – A = B ⇒ X = B + A. c12 = 5 . 5 + 1 . 3 + (–1) . 1 = 274. Vamos determinar X na equação • C21: (linha 2 de A e coluna 1 de B) c21 = 3 . 1 + 2 . (–4) + 7 . 8 = 51 3. X – A = B, sendo . • C22: (linha 2 de A e coluna 2 de B) Modo 1: c22 = 3 . 5 + 2 . 3 + 7 . 1 = 28 A matriz procurada é . Temos: Assim, 15
  • 12. UEA – Licenciatura em Matemática6. Considerando as matrizes e Igualando os elementos correspondentes, se- guem os sistemas: , vamos determinar a matriz C, produto de A por B. Temos: Logo: Note que: Seguindo o mesmo esquema do exemplo an- terior, temos: c11 = 1 . 2 + 2 . 0 = 2 c12 = 1 . 1 + 2 . 3 = 7 c13 = 1 . (–1) + 2 . (-2) = –5 c21 = 5 . 2 + 3 . 0 = 10 c22 = 5 . 1 + 3 . 3 = 14 c23 = 5 . (–1) + 3 . (–2) = -11 c31 = 9 . 2 + (–4) . 0 = 18 1. Construa a matriz A = (ai j)3x3, em que c32 = 9 . 1 + (–4) . 3 = -3 c33 = 9 . (–1) + (–4) . (–2) = –1 , identificando os elemen- c41 = 0 . 2 + 7 . 0 = 0 tos que pertencem às diagonais principal e c42 = 0 . 1 + 7 . 3 = 21 secundária de A. c43 = 0 . (–1) + 7 . (-2) = –14 2. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se Logo: ela for igual à sua matriz transposta. Determine x e y a fim de que a matriz seja simétrica.7. Vamos encontrar, se existir, a inversa da matriz 3. Determine os valores de p e q que satisfazem a igualdade: . Devemos determinar tal que A . A–1 = I2. Temos: 4. Determine x e y reais de modo que . 16
  • 13. Álgebra Linear I – Matrizes5. Resolva o sistema matricial:6. Efetue:7. Sabendo que , determine a matriz 2 . X.8. Resolva o sistema .9. Sejam A = (ai j)4x3 e B = (bi j)3x4 duas matrizes definidas por ai j = i + j e bi j = 2i + j, respecti- vamente. Se A . B = C, então qual é o elemen- to c32 da matriz C?10. Determine x e y a fim de que as matrizes comutem.11. Considere . Determine: Xt + (X–1)t.12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inver- sa da matriz T = . 17
  • 14. UNIDADE IIDeterminantes
  • 15. Álgebra Linear I – Determinantes publicada postumamente em 1748, no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Ga- TEMA 03 briel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cra- DETERMINANTES – DEFINIÇÃO E mer também chegou à regra (independente- CÁLCULO DE DETERMINANTES mente), mas depois, na sua Introdução à aná- lise das curvas planas (1750), em conexão com3.1 Fique por dentro o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0. Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu Na matemática ocidental antiga, são poucas as tempo, sistematizou, em 1764, o processo de es- aparições de sistemas de equações lineares. No tabelecimento dos sinais dos termos de um de- Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção terminante. E coube a outro francês, Alexandre bem maior. Com seu gosto especial por diagra- Vandermonde (1735-1796), em 1771, empre- mas, os chineses representavam os sistemas ender a primeira abordagem da teoria dos de- lineares por meio de seus coeficientes escritos terminantes independente do estudo dos sis- com barras de bambu sobre os quadrados de temas lineares – embora também os usasse na um tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo o resolução destes sistemas. O importante teore- método de resolução por eliminação – que con- ma de Laplace, que permite a expansão de um siste em anular coeficientes por meio de opera- determinante por meio dos menores de r filas ções elementares. Exemplos desse procedimen- escolhidas e seus respectivos complementos to encontram-se nos Nove capítulos sobre a ar- algébricos, foi demonstrado, no ano seguinte, te da matemática, um texto que data provavel- pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: mente do século 111 a.C. Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês do mundo. Seki Kowa, que a idéia de determinante (como O termo determinante, com o sentido atual, polinômio que se associa a um quadrado de nú- surgiu em 1812, num trabalho de Cauchy so- meros) veio à luz. Kowa, considerado o maior bre o assunto. Neste artigo, apresentado à Aca- matemático japonês do século XVII, chegou a demia de Ciências, Cauchy sumariou e simpli- essa noção por meio do estudo de sistemas li- ficou o que era conhecido até então sobre neares, sistematizando o velho procedimento determinantes, melhorou a notação (mas a atu- chinês (para o caso de duas equações apenas). al com duas barras verticais ladeando o qua- O uso de determinantes no Ocidente começou drado de números só surgiria em 1841, com dez anos depois, num trabalho de Leibniz, liga- Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes – do também a sistemas lineares. Em resumo, meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a Leibniz estabeleceu a condição de compatibili- primeira demonstração desse teorema, mas a dade de um sistema de três equações a duas de Cauchy era superior. incógnitas em termos do determinante de or- dem 3 formado pelos coeficientes e pelos ter- Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o mos independentes (este determinante deve alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cogno- ser nulo). Para tanto, criou até uma notação com minado às vezes “o grande algorista”. Deve-se índices para os coeficientes; o que hoje, por a ele a forma simples como essa teoria se exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indi- apresenta hoje. Como algorista, Jacobi era um cava por 12. entusiasta da notação de determinante, com A conhecida regra de Cramer para resolver sis- suas potencialidades. Assim, o importante con- temas de n equações a n incógnitas, por meio ceito jacobiano de uma função, salientando um de determinantes, é na verdade uma desco- dos pontos mais característicos de sua obra, é berta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), uma homenagem das mais justas. (HYGINO H. datando provavelmente de 1729, embora só DOMINGUES) 21
  • 16. UEA – Licenciatura em Matemática3.2 Introdução detM = = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –2 Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). 3.5 Menor complementar A toda matriz quadrada está associado um nú- Chamamos de menor complementar relativo mero ao qual damos o nome de determinante. a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e Dentre as várias aplicações dos determinantes de ordem n > 1, o determinante MCij, de na Matemática, temos: ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que pas- • resolução de alguns tipos de sistemas de sam por aij. equações lineares; Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a • cálculo da área de um triângulo situado no seguir: plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. a) Dada a matriz , de ordem 2,3.3 Determinante de 1.a ordem para determinar o menor complementar re- lativo ao elemento a11(MC11), retiramos a Dada uma matriz quadrada de 1.a ordem linha 1 e a coluna 1: M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 ⇒ MC11 = |a22| = a22 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o sig- nificado de módulo. Da mesma forma, o menor complementar Por exemplo: relativo ao elemento a12 é: M= [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5 ⇒ MC12 = |a21| = a21 M = [–3] ⇒ det M = –3 ou |–3| = –33.4. Determinante de 2.a ordem Dada a matriz , de ordem 2, por b) Sendo , de ordem 3, definição o determinante associado a M, deter- minante de 2.a ordem, é dado por: temos: detM = = a11a22 – a12a22 Portanto o determinante de uma matriz de or- dem 2 é dado pela diferença entre o produto 3.6 Cofator dos elementos da diagonal principal e o produ- Chamamos de cofator ou complemento algé- to dos elementos da diagonal secundária. Veja brico relativo a um elemento aij de uma matriz o exemplo a seguir. quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (–1)i+j . MCij . Sendo , temos: Veja: 22
  • 17. Álgebra Linear I – Determinantes 2.o passo – Encontramos a soma do produto a) Dada , os cofatores relativos dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): b) Sendo , vamos calcular 3.o passo – Encontramos a soma do produto os cofatores A22, A23 e A31: dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo): Assim:3.7 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn, m = 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qual- quer (linha ou coluna) da matriz M pelos res- pectivos cofatores. = –(a13a22a31+a11a23a22+a12a21a33)+(a11a22a33+a11a23a31+a13a21a32) Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos: Observação: em que é o somatório de Se desenvolvermos esse determinante de 3.a todos os termos de índice i, variando de 1 até ordem aplicando o Teorema de Laplace, m, m ∈ N. encontraremos o mesmo número real.3.8 Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3.a ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para . 1.o passo – Repetimos as duas primeiras colu- nas ao lado da terceira: 23
  • 18. UEA – Licenciatura em Matemática 4.2 Teorema de Jacobi TEMA 04 Teorema de Jacobi – O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos ele- mentos de uma fila uma combinação linear dos DETERMINANTES – PROPRIEDADES DOS elementos correspondentes de filas paralelas. DETERMINANTES Exemplo:4.1 Nulidade a) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Substituindo a 1.a coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2.a, temos: Exemplo: a) 4.3 Matriz transposta O determinante de uma matriz e o de sua trans- b) posta são iguais. Exemplo: b) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 4.4 Alteração de um determinante a) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado c) Se duas filas paralelas de uma matriz são por esse número. proporcionais, então seu determinante é Exemplos: nulo. Exemplo: a) multiplicando d) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então b) seu determinante é nulo. Exemplos: a) b) multiplicando = 1/5 . (–145) = –29 24
  • 19. Álgebra Linear I – Determinantes b) Quando trocamos as posições de duas filas 4.6 Teorema de Binet paralelas, o determinante de uma matriz mu- Para A e B matrizes quadradas de mesma or- da de sinal. dem n, det (AB) = det A . det B Exemplo: A sendo inversível: Trocando- se as posições de L1 e L2: Exemplo: Se , e , então: c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA Exemplo: 1. Vamos calcular o valor do determinante da4.5 Matriz triangular a) Quando, em uma matriz, os elementos aci- matriz . ma ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao pro- duto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: –42 0 –8 –4 –35 0 Assim: det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89. a) b) 2. Vamos determinar o valor de x em b) Quando, em uma matriz, os elementos . acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal mul- Aplicando a regra de Sarrus no primeiro mem- bro, vem: tiplicado por . Exemplos: 0 +6 –x2 0 –12x 4x Daí: a) b) –x2 – 8x + 6 = –3 x2 + 8x – 9 = 0 x = –9 ou x = 1 25
  • 20. UEA – Licenciatura em Matemática optar pela fila com maior número de zeros, a3. Sendo , então, eliminando-se fim de simplificar os cálculos. Escolhemos, dessa forma, desenvolver pelos elementos da 2.a coluna. Temos: a 1.a linha e a 3.a coluna, obtemos: é o cofator do Assim, basta calcular A22. elemento a13 . Como , se-4. Sendo e eliminando-se gue que D = (–2) . (–183) = 366. a 3.a linha e a 2.a coluna, obtemos: 7. Seja a matriz quadrada , onde é o cofa- observamos que todos os elementos da 1.a e da 2.a coluna são iguais. Vamos calcular o determinante da matriz: tor do elemento b32 . Det A =5. Vamos calcular . Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema de Laplace vem: D = 7 . A31 + 4 . A32 + (–5) . A33 + 0 . A34(*) Temos: 8. Considere as matrizes e sua transposta . Os seus determinantes valem: ∴ det A = det At Observe que não é necessário calcular A34. Daí, em (*), temos: D = 7 . 9 + 4 . 20 + (–5) . 7 = 108 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At.6. Qual é o valor de . 9. Resolver a equação . Embora a escolha seja arbitrária, devemos 26
  • 21. Álgebra Linear I – Determinantes Resolução: At = A, calcule o determinante da matriz , sendo I3 a matriz identidade de ordem 3. a) –34 b) –67 c) –56 d) –76 Resposta: S = {2, 3} 2. Se , qual é o valor10. Calcular o determinante: de 2x? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Observe que o determinante não possui ele- mento igual a 1, mas podemos obtê-lo colo- cando 2 em evidência na 3.a linha 3. Calcule: . Vamos fixar o elemento a31 e aplicar o teorema a) 50 b) –45 de Jacobi. Daí, temos: c) 45 d) –50 • Multiplicando-se, respectivamente, por 2, 3 e –4 os elementos da 3.a linha e adicionan- 4. Dadas as matrizes e ,o do-os, respectivamente, aos elementos da 1.a, 2.a e 4.a linhas, vem: determinante da matriz A . B é: a) –1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 5. Calcule x e y de sorte que: Aplicando o teorema de Laplace aos ele- mentos da 1.a coluna, temos: . a) x = 1, y = 3 b) x = 3, y = 2 c) x = 4, y = 4 d) x = 4, y = 3 Utilizando a regra de Sarrus, obtemos: 6. Considere as matrizes: D = –184 Resposta: –184 e Sabe-se que B = C, o determinante da matriz A será: a) 42 b) 211. Seja a matriz . Sabendo se que c) 24 d) 12 e) 15 27
  • 22. UEA – Licenciatura em Matemática7. O valor do determinante abaixo é: 13. Calcule: . a) 1 b) 2 a) 3abcd b) 2abcd c) 3 c) 3abc d) –3abc d) 4 e) –2abd e) 58. Dadas as matrizes, calcule o determinante da 14. Calcule o determinante: matriz A2 + B2. e . a) 13 b) 14 c) 16 d) 18 a) 19 e) 19 b) 12 c) 159. Seja S = (Si j) a matriz quadrada de ordem 3, d) 13 e) 16 onde . Calcule o valor do 15. Ache o valor do determinante: determinante de S. . a) 36 b) 48 c) 56 d) 24 e) 34 a) 25611. Se 0 ≤ x ≤ 2, determine o menor valor de x, tal b) 345 c) –365 d) –65 que . e) –353 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 410. Calcule o determinante da matriz M = (AB) . C, sendo : e . a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0 28
  • 23. UNIDADE IIISistemas Lineares
  • 24. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares onde: TEMA 05 x1, x2,...,xn são as incógnitas; a11, a12,...,amn são os coeficientes; SISTEMAS LINEARES – DEFINIÇÃO E b1, b2,...,bm são os termos indepentes. RESOLUÇÃO Resolver o sistema significa encontrar os va- lores das incógnitas que resolvem, simultanea-5.1 Equação linear mente, todas as suas equações. Entenderemos por equação linear nas variá- Por exemplo: dado o sistema de equações: veis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, em que a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou com- plexos. Podemos afirmar que a sua solução será a tri- a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes, pla x = 1, y = 2 e z = 0, pois: e b, termo independente. 2.1 + 2 – 0 = 4 Exemplos de equações lineares: 1 – 2 + 3.0 = –1 4x1 + 2x2 = 9 3.1 – 5.2 + 7.0 = –7 3x + 4y = 5 –2x + 3y +5z = 12 5.4 Resolução de sistemas lineares. –x – 3y – 7z + 3w = 17 Para resolver um sistema linear pelo método de Cramer, é necessário que o mesmo seja5.2 A solução de uma equação linear possível determinado, com det(mp) = 0, como veremos a seguir. Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao serem substituídos nas Vamos resolver o sistema proposto inicialmente: incógnitas, cheguem à uma igualdade ver- dadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5 apresenta como solução os valores x = 1, y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os valores x = 3, y = 7 e z = –5 também são Para resolver um sistema, devemos, inicialmente, soluções da equação, uma vez que 3 + 7 – 5 = 5. encontrar a sua Matriz Principal, que é dada Podemos, então, afirmar que existem infinitas pelos coeficientes das incógnitas. Dessa forma, soluções (um número infinito de ternos orde- a matriz principal do sistema acima será: nados) que satisfazem à equação dada.5.3 Sistema linear De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou sistema linear é um con- Calculamos, então, o seu determinante. Para junto composto por duas ou mais equações line- indicar o determinante de uma matriz X, escre- ares. veremos det(X), então det (Mp) = 20. Um sistema linear pode ser representado da A seguir, calculamos os determinantes das in- seguinte forma: cógnitas, que são conseguidas quando substi- tuímos, na matriz principal, a coluna de uma das incógnitas, pela coluna dos termos inde- pendentes. Temos, deste modo, as matrizes chamadas de Mx, My e Mz, das quais também devemos calcular os determinantes. 31
  • 25. UEA – Licenciatura em Matemática mento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n) det (Mx) = 20 Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo: det (My) = 40 1.o passo – Anulamos todos os coeficientes da 1.a incógnita a partir da 2.a equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1.a equação com a 2.a det (Mz) = 0 equação, de modo que o 1.o coeficiente de x Após calculados os determinantes da matriz seja igual a 1: principal e das matrizes das incógnitas, chega- mos aos valores de x, y, z, efetuando as se- guintes divisões: Trocamos a 2.a equação pela soma da 1.a equa- ção, multiplicada por –2, com a 2.a equação: Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2; Trocamos a 3.a equação pela soma da 1.a equa- z = 0. ção, multiplicada por –3, com a 3.a equação: Observação: Quando dois ou mais sistemas apresentam a mesma solução, são chamados de Sistemas Equivalentes.5.5 Sistemas escalonados 2.o passo – Anulamos os coeficientes da 2.a Dizemos que um sistema, em que existe pelo incógnita a partir da 3.a equação: menos um coeficiente não-nulo em cada equa- Trocamos a 3.a equação pela soma da 2.a equa- ção, está escalonado, se o número de coefi- ção, multiplicada por –1, com a 3.a equação: cientes nulos antes do primeiro coeficiente não- nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema, adotamos o se- guinte procedimento: a) Fixamos como 1.a equação uma das que Agora, o sistema está escalonado, e podemos possuem o coeficiente da 1.a incógnita dife- resolvê–lo. rente de zero. –2z = –6 ⇒ z = 3 b) Utilizando as propriedades de sistemas equi- Substituindo z=3 em (II): valentes, anulamos todos os coeficientes da –7y – 3(3) = –2 ⇒ –7y – 9 = –2 y = –1 1.a incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incóg- Substituindo z = 3 e y = –1 em (I): nitas, até que o sistema se torne escalonado. x + 2(–1) + 3= 3 ⇒ x = 2 Vamos, então, aplicar a técnica do escalona- Então, x = 2, y = –1 e z = 3 32
  • 26. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares TEMA 06 ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS6.1 Discussão de Sistemas Lineares Um sistema linear pode apresentar três possi- bilidades diferentes de solução: 6.1.1 Sistema com uma única solução. • O sistema pode ter uma única solução (nes- As equações lineares abaixo representam duas se caso, será chamado de sistema possível retas no plano cartesiano que têm o ponto e determinado – SPD) (3,–2) como interseção. • O sistema pode ter infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema possível e indeterminado – SPI) • O sistema pode não apresentar solução 6.1.2 Sistema com infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema im- As equações lineares representam retas parale- possível – SI) las sobrepostas no plano cartesiano, logo exis- tem infinitos pontos que satisfazem a ambas as Observações: equações (pertencem a ambas as retas).1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = 0 esta deverá ser suprimida do sistema. Exemplo: Escalonar o sistema 6.1.3 Sistema que não tem solução As equações lineares representam retas para- lelas no plano cartesiano, logo, não existem pon- tos que pertençam às duas retas. No caso de sistemas com três ou mais incóg- nitas, vale a mesma classificação. Por exemplo: Observe que o sistema é possível indeterminado.2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma O sistema é um sistema possível e determina- equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = do (SPD), pois apresenta apenas a solução b(com b0) o sistema será, evidentemente, x = 1; y = 2; z = 3. impossível. Exemplo: Escalonar o sistema . 33
  • 27. UEA – Licenciatura em Matemática O sistema é um sistema possível e indetermi- 2. Calcular m e n, de modo que sejam equiva- nado (SPI), pois apresenta infinitas soluções. lentes os sistemas: Entre as soluções, estão x = 0; y = –3; z = 1 e x = 1; y = –2; z = 3. e Resolução: Cálculo de x e y. x – y = 1 x (–2) e somamos abaixo O sistema é um sistema impossível (SI), pois 2x + y = 5 não apresenta solução. 3y = 3, então y = 1 Podemos afirmar que um sistema linear S de n x – y = 1, então x = 2 equações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, será Substituindo–se x e y no segundo sistema, vem: SPD, SPI ou SI 2m – n = –1 x (2) e somamos abaixo6.2 Sistemas Lineares Homogêneos m + 2n = 2 Um sistema linear é chamado de homogêneo 5m = 0, então m = 0 quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear ho- 2m – n = –1, então n = 1 mogêneo admite pelo menos a solução conhe- Resposta: m = 0 e n = 1 cida como trivial, que é a solução identica- mente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0). 3. Seja , cuja solução é (5, 3). Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Exemplos: Substituindo a 2.a equação pela soma dela com a 1.a: ← (2ª eq.) + (1ª eq.) O sistema é determinado, pois possui apenas a solução x = 0; y = 0; z = 0. O par (5, 3) é também solução de S’, pois a segunda equação também é verificada: x – 2y = 5 – 2 . 3 = 5 – 6 = – 1 O sistema é indeterminado, pois admite infini- 4. Vamos escalonar e depois resolver o sistema: tas soluções, entre elas x = 0; y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1.6.3 Exemplos Em primeiro lugar, precisamos anular os coefi-1. Considere , cuja solução é (3, –1). cientes de x na 2.a e na 3.a equação. Substituímos a 2.a equação pela soma dela Multiplicando–se a 1.a equação de S por 5, por com a 1.a, multiplicada por 2 exemplo, obtemos: cuja solução também é (3, –1). 34
  • 28. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares Vejamos algumas de suas soluções: • α = 0 → (0, 0, 0): solução nula ou trivial. • α = 1 → (4, –3, 1) • α = –2 → (–8, 6, – 2): soluções próprias ou Substituímos a 3.a equação pela soma dela diferentes da trivial. com a 1.a, multiplicada por (–2) 6. Resolver o Sistema Deixando de lado a 1.a equação, vamos repetir o processo para a 2.a e a 3.a equação. Convém, entretanto, dividir os coeficientes da 2.a equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: Logo: que é equivalente a: O sistema é possível e determinado, Substituímos a 3.a equação pela soma dela com a 2.a, multiplicada por 4: 7. Resolver o sistema 4y – 4z =–16 –4y + 5z = 19 Resolução – Dividindo–se a 2.a equação por 2 e trocando-a de posição com a 1.a equação z=3 para fazer o coeficiente de x igual a 1, vem: O sistema obtido está escalonado e é do 1.o tipo (SPD). Resolvendo-o, obtemos como solução: Para eliminar a incógnita x, multiplica-se a 1.a (2, –1, 3). equação por (–4) e soma-se com a 2.a equação:5. Escalonando o sistema vem: Da 2.a equação, vem: –11y = –22 y = 2 Substituindo y = 2 na 2.a equação, temos: Dividimos os coeficientes da 3.a equação por 2, x+4=5 x=1 notamos que ela ficará igual à 2.a equação e, Observação: portanto, poderá ser retirada do sistema. Podemos resolver este sistema utilizando so- Assim, o sistema se reduz à forma escalonada mente os coeficientes, isto é, a matriz comple- e é do 2.o tipo (SPI). ta associada ao sistema da seguinte forma: Resolvendo-o, vem y = –3z e x = 4z. Se z = α, α ∈ IR, segue a solução geral (4α, –3α, α). 35
  • 29. UEA – Licenciatura em Matemática Da 2.a equação, vem: Então: –11y = – 22 y = 2 Substituindo na 1.a equação, temos: x + 2y = 5 x + 4 = 5 x = 1 S = {(1, 2)} Resposta: {m∈ IR|m ≠ 1}8. Resolver o sistema Resolução – Utilizando a matriz completa, temos: 1. O sistema , é: a) indeterminado com uma variável livre; b) indeterminado com duas variáveis livres; c) homogêneo; d) impossível; e) determinado. Da 3.a equação, temos: 2. O sistema é: a 0 + 0b + 0c = –5 (impossível) S=∅ a) impossível;9. Determinar K, de modo que o sistema b) indeterminado; c) determinado; d) par (10, 5) é solução do sistema; admita solução única. e) par (15, 0) é solução do sistema. Quando o número de equações é igual ao nú- mero de incógnitas, também podemos consi- 3. Considere o sistema . Pode- derar o determinante da matriz incompleta. Para que o sistema dado admita solução única, mos afirmar corretamente que: devemos ter: a) sistema é incompatível; b) sistema é compatível determinado; c) S = {(4, 1, 2)} é solução do sistema; d) sistema possui exatamente três soluções; e) sistema é compatível indeterminado. Resposta: 4. (UEL – PR ) Se os sistemas e10. Calcular o valor de m para que o sistema são equivalentes, então a2 + b2 é tenha somente a solução trivial. igual a: a) 1 b) 4 Resolução – Para que o sistema tenha somen- c) 5 te a solução trivial, isto é, seja determinado, é d) 9 necessário que det A ≠ 0. e) 10 36
  • 30. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares5. (FGV – SP) Resolvendo o sistema de equações a) 1 e 2 b) –1 e 3 c) 2 e –1 d) –1 e –2 , temos que: e) 3 e –1 10. (FGV–SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sis- a) x = 1 e y = 0; b) é impossível; c) é indeterminado; tema linear então o produto d) x = 3 e y = –1; e) é indeterminado. a . b . c vale:6. (PUC – SP) Estudando-se o seguinte sistema a) 0 b) 12 obtém-se: c) –12 d) 24 e) –24 a) sistema é possível, determinado e admite 11. (ALFENAS – MG) O sistema de equações uma única solução x = 1, y = 0 e z = 0; b) sistema é impossível; terá uma única solução se: c) sistema é possível, porém indeterminado com uma incógnita arbitrária; a) a = 5b; b) 5 . a . b = 0; d) sistema é possível, porém indeterminado c) a + 5b = 0; com duas incógnita arbitrária d) a – 5b = 0; e) sistema é indeterminado com uma incógni- e) 5 . a . b = 0. ta arbitrária, sendo (0, 1, 3) uma solução 12. O sistema de equações terá infini-7. (CESGRANRIO) O número de soluções do sis- tas soluções se: tema é: a) a = 5 e b = –1; b) a + b = 6; c) a . b = 6; a) maior do que 3; b) 3; d) 5 . a . b = 10; c) 2; d) 1. e) b = 5a. e) 0; 13. (FMU–SP) O sistema linear tem8. (UFScar–SP) O sistema linear solução única para: admite uma infinidade de soluções. Seja a) todo a ≠ 0 e b ≠ 0 z = α(α ≠ 0) um valor arbitrário. Então, a b) b ≠ 2a solução (x,y,z) do sistema acima é: c) b≠a a) (2, 2 – α, α) b) (1, α – 3, α) d) toda a ∈ IR e b ∈ IR c) (1, 3 – α, α) d) (2, α – 2, α) e) todo a > 0 e b > 0 e) (3, α, α) 14. (FGV–SP) Determinando os valores de a e b,9. (UEL–PR) O sistema equivalente a fim de que o sistema seja inde- ao sistema definido pela equação matricial terminado, o produto a . b é: se os valores de k e t são a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 respectivamente: e) 36 37
  • 31. UEA – Licenciatura em Matemática15. (PUC–RS) Para que o sistema 21. (FATEC–SP) Para que o sistema seja impossível, o valor de k deve ser: a) 1/5 b) 1/4 seja compatível, a deve ser igual a: c) 1/3 d) 4/5 a) –5 b) 5 e) 5/4 c) –6 d) 6 e) –716. (PUC–SP) O valor de k tal que o sistema 22. (FGV – SP) Para que o sistema admite solução única é: onde k é um número real, uma das afirmações seguintes é correta: a) k ≠1 e k ≠ –4 b) k ≠ 1 e k≠ 3 c) k ≠ –1 e k≠ 4 d) k ≠ 1 e k≠ –2 a) se k = 0, o sistema é indeterminado; e) k ≠ 1 e k ≠ –3 b) se k = 1 ou k = 15, o sistema é impossível; c) se k ≠ 0, o sistema é indeterminado; d) se k ≠ 0, sistema é impossível;17. (FUVEST– SP) O sistema linear e) se k = 1 ou k = 15, o sistema é determinado. não admite solução se a for igual a: 23. (UNESP–SP) Para que os valores reais de p e q o sistema não admite solução? a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –218. (UEL–PR) O sistema é possível a) p = –2 e q = 5 e b) p > –2 e q ≠ 4 determinado se, e somente se, k for igual a: c) p = q=1 a) 3 b) 2 d) p = –2 e q ≠ 5 c) 1 d) –1 e) p = 2eq=5 e) –2 24. (UNIUBE) O sistema linear de equações incóg-19. (UEL–PR) O sistema nitas x e y não admite solução se: a) admite infinitas soluções, se m ≠ 1; a) a ≠ 6 e k ≠ 5 b) a ≠ 6 e k ≠ –5 b) é indeterminado, para todo m ≠ IR; c) a ≠ 6 e k ≠ –5 d) a = 6 e k = 5 c) não admite soluções; e) a 6 e k ≠ 5 d) é possível e determinado, se m ≠ 7; e) tem solução única, se m = –7. 25. (CEFET – PR) O sistema de incóg-20. (PUC–SP) Os valores reais de a e b, para que nitas x e y é: a) impossível, para todo k real diferente de –21; o sistema seja compatível e b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de –63; indeterminado, são: c) possível e determinado, para todo k difer- a) a = –2 e b ≠ 5 ente e –21; b) a ≠ –2 e b = 5 d) possível e indeterminado, para todo k real c) a ≠ –2 e b ∈ IR diferente de –3; d) a ∈ IR e b ≠ 5 e) possível e determinado, para todo k real e) a = –2 e b = 5 diferente de –1 e –63. 38
  • 32. UNIDADE IV Vetores
  • 33. Álgebra Linear I – Vetores 7.2.1 Segmento nulo TEMA 07 Segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 7.2.2 Segmentos opostos VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.7.1 Introdução 7.2.3 Medida de um segmento Em nosso quotidiano, estamos acostumados a usar grandezas chamadas escalares, que são Fixada uma unidade de comprimento, a cada caracterizadas por um número (e sua respectiva segmento orientado pode-se associar um nú- unidade de medida): 5kg de massa, 1m2 de mero real, não negativo, que é a medida do seg- área, 10cm de comprimento, 4l de volume, etc. mento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento No entanto existem outras grandezas que pre- ou seu módulo. O comprimento do segmento cisam de mais informações. Um exemplo disso AB é indicado por |AB| são grandezas como força e velocidade, para Assim, o comprimento do segmento AB repre- as quais precisam ser fornecidos uma direção, sentado na figura abaixo é de 3 unidades de uma intensidade e um sentido. Essas grande- comprimento: zas são denominadas vetoriais. Retas suportes paralelas |AB| = 3 u.c. Observações: a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. Na Figura acima, as flechas dão idéia da di- b) |AB| = |BA| reção do comprimento e do sentido das gran- dezas mensionadas. No entanto cada fecha é 7.2.4 Direção e sentido apenas um representante de um vetor. A se- Segmentos orientados não nulos AB e CD têm guir, definiremos de forma mais precisa do que a mesma direção se as retas suportes desses vem a ser um vetor. segmentos são paralelas ou coincidentes:7.2 Segmento orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado ex- tremidade. O segmento orientado de origem A e extremi- dade B erá representado por AB e, geome- tricamente, indicado por uma seta que carac- teriza visualmente o sentido do segmento (con- forme figura abaixo) . 41
  • 34. UEA – Licenciatura em Matemática Observações: frações. Duas frações representam o mesmo a) Só se pode comparar os sentidos de dois número racional se o numerador e o denomi- segmentos orientados se eles têm mesma nador de cada uma delas estiverem na mesma direção. proporção. Por exemplo, as frações b) Dois segmentos orientados opostos têm sen- representam o mesmo número racional. De tidos contrários. forma análoga, dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se pos- 7.2.5 Segmentos equipolentes suem o mesmo comprimento, a mesma dire- Dois segmentos orientados AB e CD são equi- ção e o mesmo sentido. A definição de igual- polentes quando têm a mesma direção, o mes- dade de vetores também é análoga à igual- mo sentido e o mesmo comprimento (ver figu- dade de números racionais. Dois números ra a seguir). racionais sao iguais, quando ad = cb. Analogamente, dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimen- to, a mesma direção e o mesmo sentido. → O comprimento de um vetor v , também cha- → mado de módulo ou norma de v , será indicado → por | |. |v | Se os segmentos orientados AB e CD não per- tencem à mesma reta, como na figura anterior, 7.3.1 Vetores iguais para que AB seja equipolente a CD é neces- Na figura abaixo, temos 6 segmentos orienta- sário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve dos, com origens em pontos diferentes, que ser um paralelogramo. representam o mesmo vetor, ou seja, são con- Observações: siderados como vetores iguais, pois possuem a) Dois segmentos nulos são sempre equipo- a mesma direcão, mesmo sentido e o mesmo lentes. comprimento. Portanto tanto os segmento ori- entado AB quanto o segmento orientado CD b) Representaremos a equipolência entre os → representam o mesmo vetor v . segmentos AB e CD por AB ~ CD 7.2.6 Propriedades da equipolência i) AB ~ AB (reflexiva). ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica). iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva). Observação – Uma relação que goza das pro- priedades i) ii) e iii) chama-se relação de equi- valência. Se o ponto inicial de um representante de um7.3 Vetor → vetor v e A e o ponto final é B, então escreve- → Dado um segmento de reta orientado, defini- mos v = . Portanto dois vetores e mos como sendo um vetor ao conjunto de to- são iguais se, e somente se, AB ~ CD. dos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado dado. 7.3.2 Vetor nulo Um vetor poder ser representado por vários Os segmentos nulos, por serem equipolentes segmentos orientados. Esse fato é análogo ao entre si, determinam um único vetor, chamando → que ocorre com os números racionais e as vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0. 42
  • 35. Álgebra Linear I – Vetores 7.3.3 Vetores opostos → Dado um vetor v = , o vetor é o opos- → to de e indicamos por – ou por –v . 7.3.4 Vetor unitário → Um vetor é unitário se | | 1. |v |= Comutatividade da soma 7.3.5 Versor → Versor de um vetor v é o vetor unitário de mesma → direção e mesmo sentido de v . → → Associativa da soma Na figura acima, u1 e u2 são vetores unitários, visto que ambos têm norma igual a 1. Por outro → lado apenas o vetor u1 tem a mesma direção e 7.4.3 Diferença de vetores → → → sentido do vetor v . Portanto u1 é um versor de v . → → Definimos a diferença v menos w, por v +(–w). → →7.4 Operações com vetores 7.4.1 Soma de vetores → → → → A soma (u + v ) de dois vetores u e v é deter- minada da seguinte forma: Tome um segmento orientado que representa u ; → tome um segmento orientado que representa 7.4.4 Multiplicação por um número Real → → v , com origem na extremidade de u ; o vetor → → → A multiplicação de um vetor v por um escalar u + v é representado pelo segmento orientado → α, α v , é determinada pelo vetor que possui as que vai da origem de u até a extremidade de v . → → seguintes características: → → i) é o vetor nulo, se α = 0 ou v = 0 . ii) caso contrário: a) tem comprimento |α| vezes o comprimen- → to de v ; → b) a direção é a mesma de v (neste caso, 7.4.2 Propriedades da soma dizemos que eles são paralelos); → → → → i) u + v = v + u (Comutativa). → c) tem o mesmo sentido de v , se α > 0 e tem → → → → → → → ii) (u + v ) + w = u + (v + w) (Associativa). o sentido contrário ao de v , se α < 0. → iii) Existe um único vetor nulo 0 tal que para Observações: → → → → → → → → → todo vetor v se tem v + 0 = 0 + v = v Se w = α v , dizemos que w é um múltiplo → (Elemento neutro). escalar de v . → iv) Qualquer que seja o vetor v , existe um Dois vetores não-nulos são paralelos (ou coli- → → único vetor –v (vetor oposto de v ) tal que neares) se, e somente se, um é um múltiplo → → → → → v + (–v ) = –v + v = 0 escalar do outro. 43
  • 36. UEA – Licenciatura em Matemática → O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário TEMA 08 . Note que , VETORES – DEPENDÊNCIA E → INDEPENDÊNCIA LINEAR logo , ou seja, v é produto de sua nor- ma pelo vetor unitário de mesma direção e 8.1 Definições → → → sentido de v . Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. 7.4.4 Propriedades do produto por escalar → → Sejam u e v vetores quaisquer, e a e b núme- ros reais. Então temos: → → i) a(bv ) = (ab)v (associativa). → → → ii) (a + b)v = av + bv (distributiva na adição por escalares). → → → → Isso acontece se, e somente se, existe um nú- iii) a(u + v ) = au + av (distributiva na adição → → → → mero real k tal que u = kv ou v = ku . Diremos, por vetores). então, que um vetor é escrito como combina- → → → iv) 1v = v (identidade). ção linear do outro, e nesse caso, os vetores u → e v são ditos linearmente dependentes (veja a figura acima). Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são li- nearmente independentes. Nesse caso, os dois vetores não são colineares, mas são coplana- res, isto é, possuem representantes pertencen- tes a um mesmo plano α. → → Se u e v são linearmente independentes, en- → → tão, todos os vetores da forma ku + tv podem ser representados sobre um mesmo plano α. → Reciprocamente, todo vetor w que possua re- presentante no plano α pode ser escrito como → → uma combinação linear dos vetores u e v ; além disso, toda combinação linear dos → → vetores u e v pode ser representada sobre o → → plano α. Por essa razão, se os vetores u e v são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano. 44
  • 37. Álgebra Linear I – Vetores → → → →Agora, se um vetor w se escreve como uma com- Se os vetores u , v e w são colineares, com re- → → →binação linear ku + tv , diremos que os vetores ku presentantes em uma reta r, então os vetores → →e tv são componentes do vetor w na direção dos geram a reta r, ou seja, qualquer vetor com re- → →vetores u e v , respectivamente. Os escalares k e t presentante nesta reta pode ser escrito como → → → →são as coordenadas de w em termos aos vetores combinação linear de u , v e w. Da mesma forma,→ → → → → → →u e v . Observe que, se u e v são linearmente in- se u , v e w não são colineares que possuem re- →dependentes, então cada vetor w que possua rep- presentantes em um mesmo plano α, então elesresentante em α se escreve de maneira única geram o plano α, isto é, qualquer vetor que pos- → →como uma combinação linear dos vetores u e v . sua um representante no plano α pode ser → → → → → →Se os vetores u , v e w possuem representan- escrito como combinação linear de u , v e w.tes pertencentes em um mesmo plano α, dize- Também pode ser mostrado que, se u , v e w → → →mos que eles são coplanares. são linearmente independentes, então eles ge- → ram o espaço, isto é, se x é um vetor qualquer, então existe um (único) terno ordenado (a,b,c) → → → → de escalares tais que x = au + bv + cw. → → → Chamaremos os vetores au , bv e cw de compo- → → → nentes do vetor x na direção dos vetores u , v e → w (os números a, b e c são as coordenadas de → → → →Observações: x em termos dos vetores u , v e w). Um conjun- → → to três vetores linearmente independentesDois vetores quaisquer u e v são sempre chama-se uma base para o espaço dos vetores.coplanares, pois sempre podemos tomar um → → → A base que consiste dos vetores u , v e w, porponto do espaço e, com origem nele, imaginar → → → → exemplo, nessa ordem, será indicada por {u , v ,os dois representantes de u e v pertencendo → → → → w}. Se escolhermos uma base {u , v , w}, então aa um plano α que passa por esse ponto. → cada vetor x corresponde um único terno ordena-Três vetores podem ser ou não complanares do (a,b,c) de escalares, a saber, as coordenadas(ver figuras a seguir). → de x em em termos dessa base. Reciprocamente, a cada terno ordenado (a,b,c) de números reais → → → → corresponde o vetor x = au + bv + cw. 8.2 Exemplos 1. Sejam ABC um triângulo, e sejam M e N os ⎯ ⎯ pontos médios de AC e BC respectivamente.→ → →u , v e w não são coplanares ⎯ ⎯ Prove que MN é paralelo a AB e que MN é a metade de AB. Solução: Devemos mostrar que =→ → →u , v e w e são coplanares → → →Se três vetores u , v e w são colineares ou co-planares, ou seja, possuem representante emuma mesma reta ou em um mesmo plano res-pectivamente, os vetores são linearmentedependentes. 45
  • 38. UEA – Licenciatura em Matemática Observando a figura acima, verificamos que inicial na origem de um sistema de coordena- = + das retangulares. As coordenadas (v1, v2) do → ponto final de v são chamadas componentes → → = + = ( + )= de v , e escrevemos v = (v1, v2). ⎯ Como M é ponto médio de AC e N é ponto ⎯ médio de BC, temos: = e = Portanto, temos que: = + = ( + )= → → como queríamos mostrar. Se vetores equivalentes v e w são colocados com seus pontos iniciais na origem, então é2. Mostre que as diagonais de um paralelogramo óbvio que seus pontos finais coincidem (pois se cortam ao meio. os vetores têm o mesmo comprimento, a mes- Solução: ma direção e mesmo sentido); logo, os vetores possuem os mesmos componentes. Recipro- Considere o paralelogramo ABCD da figura camente, vetores com os mesmos componen- abaixo: tes são equivalentes, pois têm iguais o compri- mento, adireção e o sentido. Em resumo, dois → → vetores v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são equiva- lentes se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2. As operações vetoriais de adição e multipli- cação por escalar são facilmente executáveis em termos de componentes. Como é ilustrado na figura abaixo, se → → v = (v1, v2) e w = (w1, w2) então Suponha = = . Queremos mostrar → → v + w= (v1 + w1, v2 + w2). que = = . Temos que . Como =– e = temos = + = + = , ou seja, = . Agora = + = + =2 . Portanto = como queríamos mostrar.8.3 Vetores em sistema de coordenadas A introdução de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes simplifica problemas envolvendo vetores. Por enquanto, vamos res- tringir nossa discussão a vetores no espaço → Se v = (v1, v2) e k é um escalar qualquer, então → bidimensional (o plano). Seja v qualquer vetor pode ser mostrado, usando um argumento geo- no plano e suponha, como na figura a seguir, métrico envolvendo triângulos semelhantes, → → que v tenha sido posicionado com seu ponto que kv = (kv1, kv2) (conforme figura a seguir). 46
  • 39. Álgebra Linear I – Vetores → → Se tomarmos por exemplo v = (3, –2) e w = → Se um vetor v no espaço tridimensional for → → (–1, 7), temos que v + w = (3 +(–1), –2 + 7) = posicionado com seu ponto inicial na origem → de um sistema de coordenadas retangulares, (2, 5) e 3 v = (3.3, 3.(–2)) = (9, –6). → → → → como na figura abaixo, então as coordenadas Note que, como v – w = v +(–w) do ponto final são chamadas os componentes → → → → Concluímos que v – w = (v1 – w1, v2 – w2). de v e escrevemos v = (v1, v2, v3).8.4 Vetores no espaço tridimensional Assim como os vetores no plano podem ser descritos por pares de números reais, os veto- res no espaço podem ser descritos por ternos de números reais, utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, denominado a origem, e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passan- do pela origem, denominadas eixos coordena- → → dos. Designando estes eixos x, y e z e selecio- Se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) são dois nando um sentido positivo para cada eixo co- vetores no espaço tridimensional, então os se- ordenado, podemos estabelescer uma unida- guintes resultados podem ser estabelecidos, de de comprimento para medir tamanhos (veja usando argumentos similares aos utilizados pa- figuras abaixo ). ra vetores no plano. → → i) v e w são equivalentes se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3. → ii) kv = (kv1, kv2, kv3) onde k é um escalar qual- quer. → → iii) v + w = (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3). → Se tomamos por exemplo v = (2, 5, 3) e → → → w = (–5, 0, –1) então v + w = (–3, 5, 2), → → → → 4w =(–20, 0, –4), v – w = (7,5,4) e –w = (5,0,1). Geralmente um vetor não está posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0, z0) e ponto final P1(x1, y1, z1), então = (x1 – x0, y1 – y0 , z1 – z0), ou seja, os componentes do vetor são obti- 47
  • 40. UEA – Licenciatura em Matemática → dos subtraindo as coordenadas do ponto final 4. Encontre um vetor não-nulo u com ponto ini- das coordenadas do ponto inicial. A figura cial P (–1, 3, –5) tal que: abaixo ilustra o vetor obtido apartir de → a) u tem a mesma direção e sentido que P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1). → v = (6, 7, –3) → b) u tem a mesma direção mas sentido opos- → to ao de v = (6, 7, –3) . → → → 5. Sejam u = (–3, 1, 2), v = (4, 0, –8) e w = (6,–1, –4). Encontre os componentes de: → → a) v – w → → b) 6u + 2v → → c) –v + u → → d) 5(v – 4u ) 6. Seja ABC um triângulo qualquer com medi- Se tomarmos, por exemplo, P1(3, –2, 1) e ⎯ ⎯ ⎯ anas AD, BE e CF. Mostre que o vetor P0(1,–1, 3), então o vetor . = (3 – 1, –2 – (–1), 1 – 3 ) = (2, – 1, 2). O mesmo ocorre no espaço bidimensional, isto é, se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0) e ponto final P1(x1, y1), então = (x1 – x0, y1 – y0).1. Mostre, usando vetores, que o ponto médio de um segmento que une os pontos P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) é o ponto M= .2. Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua médida é a média aritmética das medidas das bases. (Sugestão: mostre que = ( + ). E conclua que é um múltiplo escalar de ).3. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: → → a) v 1= (3, 6) f) v 6 = (0, –7) → → b) v 2 = (–4, –8) g) v 7 = (3,4,5) → → c) v 3 = (–4, –3) h) v 8 = (3, 3, 0) → → d) v 4 = (5, –4) i) v 9 = (0, 0, –3) → → e) v 5 = (3, 0) j) v 10 = (–3, 5, 2) 48
  • 41. Álgebra Linear I – Vetores O produto interno satisfaz às seguintes pro- priedades: TEMA 09 → → → → i) a . b = b . a (simetria) → → → → VETORES – PRODUTO INTERNO ii) k(a . b ) = (ka ).b (homogeneidade) → → → → → → → iii) c .(a + b ) = c . a + c . b (distributividade) Motivados pela expressão do trabalho em me- cânica, vamos definir o produto interno de dois Note que essas propriedades são verificadas vetores. Essa operação associa a cada par a , → trivialmente se um dos vetores for o vetor nulo. → → → → → → b de vetores um número real, que será indica- Na verdade, a . 0 = 0 . a = 0 é a única definição → → do por a . b . com elas, pois, pela segunda propriedade acima, temos → → → → → →9.1 Ângulo entre Vetores 0 = 0(a .b ) = (0a ).b = a .(0b ) → → → → A fim de definirmos o produto interno, necessi- Portanto, 0 . b = a . 0 = 0, visto que → → tamos do conceito de ângulo entre dois vetores. 0a = 0b = 0. → → O ângulo entre os vetores não nulos a e b, que Passemos, agora, à demonstração das pro- → → indicaremos por (a , b), é definido como sendo o priedades do produto interno. ângulo entre seus representantes. Mais precisa- → → i) Se a e b são vetores não-nulos, temos: → → mente, se a = e b= , então o ângulo → → → → → → → → a . b =| | |b| |a || |cos(a , b ) entre a e b é, por definição, o ângulo entre os → → → → segmentos orientados AB e AC. Para que essa =| | |a | |b || |cos(b ,a ) definição faça sentido, devemos mostrar que → → → → = b. a (a , b ) não depende da escolha dos represen- → → tantes AB e AC. Mais precisamente, se A’B’ e ii) Se a e b são vetores não-nulos e k ≠ 0 A’C’ são também representantes dos vetores a → temos : → → → → → e b , respectivamente, então (veja a figura → k(a . b ) = k| | |b| → |a || |cos(a , b ) abaixo) o ângulo entre os segmentos orienta- → → → → = | | |b| |ka || |cos(ka , b ) dos AB e AC é igual ao ângulo entre os seg- → → mentos orientados A’B’ e A’C’. = (ka ) . b Observemos que o ângulo (AB, AC) é o menor ângulo segundo o qual AB deve girar para se tornar colinear com AC. Esse ângulo é positivo se a rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, e negativo em caso contrário. Isso nos permite associar a cada ân- → → → → gulo (a , b) seu ângulo negativo ou oposto (b, a ). iii) Consideraremos primeiro o caso em que → → → → Sejam a e b vetores não-nulos. O produto inter- c = u é unitário. Escolhamos um represen- → → → → → no do vetor a pelo vetor b , indicado por a . b , tante PQ para o vetor u , e seja a reta r a reta → → → → → → é definido por a . b =| | |b| |a || |cos(a , b ). que contém o segmento. → → Se um dos vetores a ou b for o vetor nulo, Escolhamos representantes AB e BC para os → → → → definimos: a . b = 0. vetores a e b , respectivamente. Consideremos as projeções ortogonais A’ ,B e C’ dos pontos 9.1.1 Propriedades do Produto Interno A, B e C, respectivamente, sobre a reta r. → → → Sejam a , b e c vetores quaisquer e k um escalar. Sejam x, y e z os escalares tais que 49
  • 42. UEA – Licenciatura em Matemática 9.2 Bases Ortonormais → → → Observemos agora que Uma base {a ,b ,c } chama-se ortogonal se os → → → → → seus vetores são mútuamente ortogonais, isto u . a =| | |a |cos(u . a ) = y – x e analogamente → → → → → → é, se a . b = a . c = b . c = 0. Se, além disso, → → → → → → → → u . b = z – y, u .(a + b ) = z – x. Portanto, os vetores são unitários, a base {a ,b ,c } cha- → → → → → → → u .(a + b ) = u .a + u . b . ma-se ortonormal. → O caso geral reduz-se ao anterior. Se c é um O uso de bases ortonormais é bastante conve- vetor qualquer, não-nulo, usando a homoge- niente, pois simplificam basatante os cálculos, neidade do produto interno e a distributividade como veremos nos exemplos a seguir. para vetores unitário, obtemos: Exemplos → →→ → 1. Se {a ,b,c } é uma base ortonormal e u é um vetor → → → → → → → → → → qualquer, então u = (a .u )a + (b.u )b + (c .u )c . → De fato, sabemos é que u pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear → → → → u = αa + βb + γc . → → → → → Calculando, então, o produto interno a . u , → = c . a + c . b. obtemos: → → → → → → →→ → → → → → Note que a . a =| | 2 , pois, cos(a ,a ) = 1 e que, |a | a . u = α(a .a ) + β(a .b ) + γ(a .c ) = α, pois → → → 2 → → → → → → se a e b são vetores não nulos, então a . a =| | = 1 e a .b = a .c = 0. Analogamente |a | → → → → → → demonstramos que β = b . u e γ = c . u . a . b = 0 se, e somente se, , onde → → → Observemos que, se {a ,b ,c } fosse uma base k é um número inteiro qualquer. Por essa razão, qualquer, não necessariamente ortonormal, en- → → tão as coordenadas α, β e γ do vetor u seriam diremos que o vetor a é perpendicular (ou → → → a solução do sistema ortogonal) ao vetor b quando a . b = 0. Portanto, → de acordo com essa definição, o vetor 0 é per- pendicular a todos os vetores do espaço. Na → verdade, 0 é o único vetor que possui essa pro- → → → priedade, isto é, se a é um vetor tal que a . b = → → → 0 qualquer que seja o vetor b, então a = 0. Para → → → → → 2. Se {a ,b ,c } é uma base ortonormal e provar isso, basta tomar, em particular, a = b, → → → → → → → → → → → → → u = α1a + β1b + γ1c , v = α2a + β2b + γ2c são donde a . a =| | 2 = 0 que implica a = 0. |a | vetores quaisquer, então → → u . v = α1α2 + β1β2 + γ1γ2 9.1.2 Exemplo De fato, Mostre que as diagonais de um losango são → → → → → → → → perpendiculares. u . v = (α1a + β1b + γ1c ). (α2a + β2b + γ2c ) → → → → → → = (α1α2)a . a + (α1β1)a . b + (α1γ2) a . c → → → → → → + (β1α2)b . a + (β1β2)b . b + (β1γ2)b . c → → → → → → + (γ1α2)c . a + (γ1β2)c . b + (γ1γ2)c . c → → → Como {a ,b ,c } é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações → → → → → → → → → → → → a . b = a . c = b.c = 0; a . a = b . b = c . c = 1 Queremos mostrar que . = 0 Note que o que reduz a expressão acima a . =( + ).( + ) → → u . v = α1α2 + β1β2 + γ1γ2 = . + . + . + . =0 9.3 Orientação do Espaço visto que e =– . Veremos agora que, após escolhida uma orien- 50
  • 43. Álgebra Linear I – Vetorestação para o espaço, será possível distinguir Fixemos um triedro positivo (OA, OE, OC) deduas classes de bases ortonormais: as positi- segmentos orientados unitários e mutuamentevas e as negativas. Para a adição de vetores, ortogonais (veja a figura abaixo).a multiplicação de vetores por escalares e oproduto interno, a orientação do espaço nãotem importância alguma, podendo ser dispen-sada. A escolha de uma orientação para o es-paço é, entretanto, indispensável para a intro-dução do produto vetorial, que faremos napróxima seção.Escolhamos um ponto O do espaço que cha-maremos origem. Um triedro é um terno orde-nado (OA, OE, OC) de segmentos orientadosOA, OE e OC não coplanares. Esses três seg-mentos dão origem, permutando a ordem dossegmentos, a seis ternos ordenados distintos.Consideremos um qualquer desses ternos e oobservemos de uma posição tal que o terceiro → → → Sejam i = , j= e k= . Assim, asegmento orientado esteja dirigido para os → → → base {i , j , k } é ortonormal e positiva. Portantonossos olhos. A seguir, consideremos a rota- → → → os vetores i , j , k , satisfazem às seguintesção (de menor ângulo) do primeiro segmento relações:até que ele fique colinear com o segundo seg- → → → → → →mento (veja a figura abaixo). i.j =i.k=j .k =0 → → → i = j 2 = k2 = 1 2 → → → onde i 2 = i . i etc. Além disso, o exemplo 1 da → seção anterior nos dizque, se a é um vetor qualquer, → então a pode ser decomposto de maneira única → → → → como combinação linear a = a1i + a2 j + a3k , onde as coordenadas a1, a2 e a3 são dadas por → → → →→ a1 = a . i | | |a |cos(a ,i ) → → → → → a2 = a . j | | |a |cos(a , j ) → → → → → a3 = a . k | | |a |cos(a , k ) Além disso, o exemplo 2 da seção anterior nos diz que, se → → → → b = b1i + b2 j + b3kDiremos que o triedro é positivo se a rotação entãofor no sentido contrário ao dos ponteiros de → →um relógio, e negativo, caso contrário. a . b = b1b1 + a2b2 + a3b3Por exemplo, o triedro (OA, OE, OC) da figura eanterior é positivo, enquanto (OE, OA, OC), énegativo. → →Consideremos três vetores a = ,b= e→ → → →c= . Diremos que o terno ordenado (a ,b ,c )é positivo (ou negativo) se o triedro (OA, OE,OC) for positivo (ou negativo). → → →Uma base {a ,b ,c } diz-se positiva (ou negativa) → → →se o terno (a ,b ,c ) é positiva (ou negativa). 51
  • 44. UEA – Licenciatura em Matemática 10.1 Exemplos → → → → → Dados u =(1,2,–2) e v = 6 i – 2 j + 3 k , deter- TEMA 10 mine: → a) | | |u | VETORES – PROJEÇÃO ORTOGONAL → b) | | |v | → → → → → → → → c) u . v Sejam os vetores u e v , com u ≠ 0 e v , ≠ 0 . → → → d) O ângulo formado por u e v . Pretendemos calcular o vetor w1 que represen- → → e) ta a projeção de u sobre v . Solução: a) b) → → c) u . v =(1, 2,–2).(6, - 2, 3) = 6 – 4 – 6 = –4 d) logo e) A Figura anterior ilustra as duas situações pos- → síveis. O vetor u foi decomposto em duas com- → → → → ponentes normais w1 e w2. Como w1 e v têm a mesma direção, temos que: → → w1 = kv , k∈R. Temos que: → → → → → 1. Calcule as seguintes somas e diferenças: u = w1 + w2 = kv + w2 → → → → → → → a) (i + 2 j – 3 k ) + (2i – j + 5 k ) Tomando o produto escalar de v em ambos os → → → → → → → → → membros da equação acima, temos: b) (–i + 5 j – 6 k ) + (2i + j – k ) + (i – 2 j + 6 k ) → → → → → → → → → → → u . v = (kv + w2) . v = k| | 2 + w2 . v |v | → → → c) (2i + j – 3 k ) – (6i + 2j + k ) → → → → → → → → → → → → Mas w2 . v = 0, pois w2 é ortogonal a v ; portan- → d) (i +2 j – 4 k ) – (2i + 5j +6k ) + (3i – 5 j +7 k ) to a equação acima nos fornece: 2. Calcule a norma de cada um dos seguintes ve- tores: → → → → a) a = (i – 2j +3k ) → → → Logo, b) b = cosθi + senθj → → → → c) c = 2i – j +3k → → 3. Calcule os seguintes produtos internos: Portanto a projeção de u sobre v , que deno- → → → → → → a) (i – 2j + 3k ) . (2i + 2j – 5k ) taremos por , é: → → → → → → b) (3i + 3j – 4k ) . (–i – 2j + 6k ) → → → → → → c) (–2i + 3j – k ) . (3i – 2j + 7k ) ← → → 4. Mostre que os vetores a , b e c são linearmente ou independentes se, e somente se, a equação → → → → . αa + βb + γc = 0 só possui a sulução nula α = β = γ = 0. 52
  • 45. Álgebra Linear I – Vetores5. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2). TEMA 116. Verifique se os seguintes pontos são coplanares VETORES – PRODUTO VETORIAL a) A(2, 2, 1), B(3, 1, 2) e C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2) b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) e C(0, 2, 1) e D(1, 2, 0) No tema 09, vimos que o produto escalar de dois vetores produz um escalar. Iremos definir7. Encontre um vetor unitário ortogonal simulta- agora um tipo de multiplicação vetorial que neamente a → produz um vetor como produto, mas que é apli- u = (1, 0, 1) e → = (0, 1, 1). v cável somente ao espaço tridimensional. →8. Sejam u = (1, 1, 2) e → = (a, 1, 2). Para quais v → → valores de a, u e v são ortogonais? 11.1 Definição → → → → Se u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3) são vetores no9. Sejam u = (1/ , 0, 1/ ) e v = (a, 1/ , –b). espaço tridimensional, então o produto vetorial → → Para quais valores de a e b, o conjunto {u ,v } → → u x v é o vetor definido por forma uma base ortonormal do plano gerado → → por eles? u x v = (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) → ou, em notação de determinante,10. Determine a projeção de u = (1, 2, –3) na → direção de e v = (2, 1, –2). →11. Qual aprojeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? Observação: → → → Em vez de memorizar as fórmulas acima, você12. Sejam u , v e w vetores do R3. Prove que se → → pode obter os componentes de u x v como → → → → → → → u . v = u .w, então v – w é ortogonal a u . segue: → →13. Sejam u e v vetores quaisquer. Mostre que Forme a matriz 2 x 3 dada por → → → → → → (u ± v )2 = u 2 ± 2u . v + v 2 cuja primeira linha contém os componentes de e → → → → → → → u e cuja segunda linha contém os compo- (u + v )(u − v ) = u 2 − v 2 → nentes de v . → →14. Use o resultado da questão 4 para mostrar a lei Para obter o primeiro componente de u × v , dos co-senos num triângulo ABC: descarte a primeira coluna e tome o determi- a2 = b2 + c2 – 2bc cos nante; para obter o segundo componente, des- onde carte a segunda coluna e tome o negativo do determinante; e para obter o terceiro compo- a =| | | b =| |, | | c =| |, | | |, nente, descarte a terceira coluna e tome o de- e terminante.  = (AB, AC) → → 11.1.1 Exemplo15. Sejam a e b vetores quaisquer. Mostre que → → → → → → → Se u = (2,–1,1) e v = i + j – k , calcule u × v a) → → e v × u. b) →→ → → c) |a .b|≤ | | +| | (Desigualdade de Schwarz) |a | |b | → → → → d) | +b| ≤| | +| | |a | |a | |b |(Desigualdade Triangular) e) → → → → Note que, nesse caso, temos que u × v = –(v × u), 53
  • 46. UEA – Licenciatura em Matemática → → fato que ocorre para quaisquer vetores u e v lados direitos de (2) e (3) e verificando sua como mostraremos a seguir. igualdade. As provas de iv) e v) ficam como exercício. 11.1.2 Propriedades do produto vetorial → → Observações: Sejam u e v vetores do espaço tridimensional e → → k um escalar qualquer; então: i) e ii) mostram que o vetor u × v é ortogonal → → → → → → simultaneamente au e av . i) u × v = –(v × u ) → → → → → → → De iii) obtemos ii) u × (v + w) = u × v + u × w → → → → → → →→ → → → → → → | × v | 2 =| | 2 | | 2 – | | 2 | | 2 cos(u ,v ) |u | |u | |v | |u | |v | iii) k(u × v ) = (ku ) × v = u × (kv ) → → →→ → → → → → =| | 2 | | 2 (1 – cos2(u ,v )) |u | |v | iv) u × 0 = 0 × u = 0 → → →→ → → → =| | 2 | | 2 sen2(u ,v ) |u | |v | v) u × u = 0 → → → → Como 0 ≤ (u ,v ) ≤ π, segue que sen(u ,v ) ≥ 0, e, Para provar i), basta notar que quando se troca → → portanto, isso pode ser reescrito como a ordem entre u e v , trocam-se as linhas dos → → → → →→ três determinantes da equação (1) e, portanto, | × v | |u | |v | sen(u ,v ). |u |=| || | troca-se o sinal de cada componente do pro- É fácil ver que : → → duto vetorial. Portanto concluímos que u × v = → → → → → → → → → → → i × i =0 j ×j =0 k ×k = 0 –(v × u ). → → → → → → → → → i × j =k j × k =i k×i = j As provas das demais partes são deixadas como → → → → → → → → → exercício. j × i = –k k × j = –i i × k = –j → → O produto vetorial de u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3)11.2 Relações entre produtos escalar e vetorial pode ser representado, simbolicamente, como → → Sejam u e v vetores do espaço tridimensional; um determinante 3x3: então: → → → i) u . (u × v ) = 0 → → → ii) v . (u × v ) = 0 → → → → → → iii) | × v | 2 =| | 2 | | 2 –(u .v )2 (Identidade de |u | |u | |v | Lagrange) → → → → → → → → → iv) u × (v × w) = (u .w)v – (u × v ) w → → → → → → → → → Note que o determinante é um número, e o v) (u × v ) × w = (u .w)v – (v .w)u → → produto vetorial é um vetor. Usa-se esse abuso Para provar i), sejam u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3). de notação apenas como um mecanismo faci- Então, litador para o cálculo do produto vetorial. → → → u . (u × v ) = Não é verdade, em geral que (u1,u2,u3) . (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) = → → → → → → u × (v × w) = (u × v ) × w. Por exemplo, u1(u2v3 – u3v2)+u2(u3v1 – u1v3)+u3(u1v2 – u2v1) = 0 → → → → → → i × (j ×j ) = i ×0 =0 A prova de ii) é análoga a de i) e Prova iii). Como → → → → → → → → (i × j ) × j = k × j = – i | × v| 2 = |u | o que mostra que = (u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2 (2) → → → → → → i × ( j × j ) ≠ (i × j ) × j . e → → → → → → Se u e v são vetores não-nulos, pode ser mos- | | 2 | | 2 –(u .v )2 =(u12+u22+u32)(v12+v22+v32)– |u | |v | → → trado que o sentido de u × v pode ser determi- – (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 (3) nado usando a “regra da mão direita” (ver figu- a prova pode ser obtida desenvolvendo-se os ra a seguir): 54
  • 47. Álgebra Linear I – Vetores A(–1, 0, 2), B(–4, 1, 1) e C(0, 1, 3). Solução: A área do triângulo ABC é dada por = (–3,1,–1) e = (–1,1,1). → → → → Seja (u ,v ) o ângulo entre u e v e suponha que Portanto, → → → u é girado pelo ângulo (u ,v ) até coincidir com → v . Se os dedos da mão direita fecharem-se apontando no sentido desta rotação, então o polegar indica (aproximadamente) o sentido de → → u × v.11.3 Interpretação geométrica do produto vetorial → → Se u e v são vetores no espaço tridimension- → → al, então a norma de u e v tem uma interpre- tação geométrica útil. Como já vimos, → → → → →→ → →→ | × v | |u | |v | sen(u ,v ). Mas | | |u |=| || | |v |sen(u ,v ) é → a altura do paralelogramo determinado por u e → v como mostra a figura abaixo. Denotando por a área do paralelogramo → → determinado por u e v , temos: . → → Portanto, se u e v são vetores no espaço tridi- mensional, então é igual à área do para- → → lelogramo determinado por u e v . Note que esse resultado também é válido quan- → → do u e v são colineares, pois nesse caso, temos um paralelogramo degenerado que tem área zero, e = 0.11.4 Exemplo Calcule a área do triângulo de vértices 55
  • 48. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 12 VETORES – PRODUTO MISTO → → → Se u , v e w são vetores no espaço tridimen- → → → sional, então u .(v × w) é chamado produto → → → misto de u , v e w. Denotaremos o produto → → → → → → misto de u , v e w por [u , v ,w ]. → → O produto misto de u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) → e w = (w1, w2, w3) pode ser calculado a partir da fórmula . De fato, temos que: → → → u .(v × w) Prova de i) = Sabemos que a área do paralelogramo determina- → → do por u e v é dada por . Contudo o produ- → → → → → → → → → Segue de (4) que [u ,v ,w]=[w,u ,v ]=[v ,w,u ], to vetorial está definido para vetores tridimension- pois os determinantes que representam estes → → ais, enquanto u = (u1,u2) e v = (v1,v2) são vetores produtos podem ser obtidos um do outro por bidimensionais. Para superar este “problema de duas trocas de linhas. → → dimensão”, veremos u e v como vetores do plano xy de um sistema de coordenadas xyz, no qual12.1 Interpretação geométrica de → estes vetores são escritos como u = (u1,u2,0) e determinantes → v = (v1,v2,0) conforme ilustra a figura abaixo. i) O valor absoluto do determinante é igual à área do paralelogramo no espaço bidimensional determinado pelos vetores → → u = (u1,u2) e v = (v1,v2) (veja Figura 4.15.1a. abaixo) ii) O valor absoluto do determinante é igual à volume do parale- lepípedo no espaço tridimensional determi- → → nado pelos vetores u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) → e w = (w1, w2, w3) (veja Figura 4.15.1b. a seguir). 56
  • 49. Álgebra Linear I – Vetores 2. Dados os pontos A(2,–1, 2), B(1, 2,–1) e C(3, 2,1), determinar o vetor ×( –2 ). 3. Determinar um vetor simultaneamente ortogo- → → → → Como | k | → | |=1 temos que a área do paralelo- nal aos vetores 2a + b e b – a , sendo → → → → a = (3, –1,–2) e b =(1,0,–3). gramo determinado por u e v é → → = 4. Dados os vetores a = (1,–1,2), b = (3,4,–2) e → → → → → → → c =(–5,1,–4), mostrar que a .(b × c ) = (a × b) . c . Prova ii) Conforme mostra a Figura abaixo, to- → → mamos o paralelogramo determinado por v e w 5. Determinar o valor de m para que o vetor como base do paralelepípedo determinado por → a = (1,2,m) seja simultaneamente ortogonal → → → → → u , v e w. Temos que a área da base é , aos vetores b =(2,–1,0) e c = (1,–3,–1). e, como mostra a figura abaixo, a altura do → paralelepípedo é a projeção ortogonal de u → 6. Dados os vetores e w = (–3a, x, y), → → → → → sobre v × w. Portanto . determinar x e y para que v × w = 0 . 7. Verificar se são coplanares os seguintes veto- res: → → → a) u = (3,–1,2), v = (1,2,1) e w = (–2,3,4) → → → b) u = (2, –1, 0), v = (3, 1, 2) e w = (7, -1, 2) 8. Verificar se são coplanares os pontos: a) A(1,1,1), B(–2,–1,–3), C(0,2,–2) e D(–1,O, –2) b) A(1,0,2), B(–1,0,3), C(2,4,1) e D(–1,–2,2) c) A(2, 1,3), B(3, 2, 4), C(–1,–1,–1) e D(0,1,–1) Assim, o volume V do paralelepípedo é 9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), V = (área da base) . (altura) = B(2,–2,–3), C(5,–1,1) e D(3,–2,–2) são coplanares? que é o módulo do pro- 10. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: → → → → → → duto misto entre u , v e w. Portanto, que a) a = (2,-1,k), b = (1, 0, 2) e c = (k,3,k) → → → b) a = (2,1, 0), b = (1, 1, –3) e c = (k, 1, -k) → → → completa a prova. c) a = (2,k, 1), b = (1,2,k) e c = (3,0,-3) → → 11. Sejam os vetores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), → → → → → → → → → → w1 = 3u – 2v , w2 = u + 3v e w3 = i + j – 2 k . Determinar o volume do paralelepípedo → → → definido por w1, w2 e w3. → →1. Dados os vetores a = (1, 2,1) e b = (2,1, 0), calcular: → → → a) 2a x (a + b ) → → → → b) (a + 2 b ) x (a – 2 b ) 57
  • 50. UNIDADE VRetas e planos
  • 51. Álgebra Linear I – Retas e Planos Observe que para se obter a equação vetorial da reta r, é de fundamental importância um TEMA 13 ponto e um vetor diretor da reta na direção des- sa reta. RETAS E PLANOS – EQUAÇÃO DA RETA E Dessa forma, podemos escrever a equação ve- DO PLANO torial da reta r que passa pelo ponto P(x0,y0,z0) → e tem como o vetor diretor o vetor v = (a,b,c)13.1 Equação vetorial da reta → por = + λv , λ∈IR. Um dos postulados da geometria euclidiana → Sendo P(x0,y0,z0) e v = (a,b,c) conhecidos, po- diz que dois pontos diferentes A e B determi- demos escrever tal equação na forma nam uma única reta. Seja r esta reta. (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c) onde λ∈IR. 13.1.1 Exemplos Exemplo 1 Diremos que um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores e são coli- Determine a equação vetorial da reta r que pas- neares. Sendo A e B diferentes, temos que o sa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7). vetor é diferente do vetor nulo; dessa forma, Solução: existirá um número real λ tal que =λ . Sabemos que a equação vetorial da reta que Dessa forma, temos que o ponto P pertence à passa por dois pontos A e B é dada por reta r se, e somente se, = + . Como = + λ , sendo o vetor o vetor =λ , temos que = + λ . diretor da reta r. De modo geral, podemos concluir que todo pon- Dessa forma, podemos escrever tal equação to X pertencente a reta r satisfaz a equação na forma dada por = + λ onde λ ∈ IR. (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) Pondo x1 = 2, y1 = 3, z1 = 4 e x2 = –1, y2 = 5, z2 = 7 temos que (x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–1 – 2, 5 – 3, 7 – 4) (x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–3, 2, 3) E, portanto, essa é a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7). Exemplo 2 Verifique se o ponto Q(2,–1,3) pertence à equa- ção da vetorial da reta t, cuja equação é dada por (x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) onde λ∈IR Tal equação é denominada equação vetorial Solução: da reta r. Caso o ponto Q(2,–1,3) venha a pentencer à O vetor é chamado vetor diretor da reta r, e λ é denominado parâmetro. reta t, o ponto terá que satisfazer a equação da reta definida no exercício por Se fixarmos um sistema de coordenadas do espaço e sendo A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) conhe- (x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) cidos, temos que a equação vetorial da reta Sendo assim, ponha x = 2, y = –1 e z = 3 na pode ser dada sob a forma: equação dada (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) (2,–1,3) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) 61
  • 52. UEA – Licenciatura em Matemática (2,–1,3) = (–4 – 3λ, 3 – 4λ, 3λ) 2 = –4 – 3λ ⇒ λ = –2 –1 = 3 – 4λ ⇒ λ = 1 3 = 3λ ⇒ λ = 1 Tais equações são denominadas equações pa- Então, concluímos 1 = –2 o que é absurdo, ramétricas da retas r. logo o ponto Q(2,–1,3) não pertence à reta t. Se abc ≠ 0 nas equações acima, eliminando λ Exemplo 3 em cada uma das equações, obtemos Determine a equação vetorial da reta r que pas- sa pelo ponto P(2,–4,0) e possui como o vetor → diretor o vetor v = (–5,6,2). Tais equações são denominadas equações si- Solução: métricas da reta r. Sabemos que a equação vetorial da reta r que Obsservações: passa pelo ponto P(x0,y0,z0) e tem como o vetor → diretor o vetor v = (a,b,c) é dada por 1. Se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, ficamos com as (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ.(a,b,c) onde λ ∈ IR. equações e fica → Sendo dado P(2,–4,0) e v = (–5,6,2), temos que a equação vetorial será claro que reta r está contida num plano pa- (x,y,z) = (2,–4,0) + λ . (–5,6,2) onde λ ∈ IR. ralelo ao plano yz dado pór x = x0.1. Determine a equação vetorial da reta que pas- sa pelos pontos A(1,2,5) e B(–5,5,7).2. Determine a equação vetorial da reta que pas- sa pelos pontos A(1,0,5) e B(0,–5,7). 2. Se a = 0, b = 0 e c ≠ 0, ficamos com as3. Determine a equação vetorial da reta que pas- equações r: x = x0, y = y0 sa pelo ponto P(1,2,–2) e tem a direção do → vetor v = (2,–4,–3).4. Verifique se o ponto Q(4,–2,3) pertence à reta de equação vetorial dada por (x,y,z) = (3,–4,2) + λ . (–5,6,3) onde λ∈IR.13.2 Equações paramétricas e simétricas da reta Fixado um sistema de coordenadas, sejam → P(x0,y0,z0) um ponto da reta e v = (a,b,c) um vetor diretor desta reta. Sabemos que a equação vetorial da reta r, determinada por P e → v é dada por: 3. Faça as análises dos demais casos como (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c) onde λ∈IR, que exercícios, os quais são: é equivalaente ao sistema dado por i) Somente b = 0 62
  • 53. Álgebra Linear I – Retas e Planosii) Somente c = 0 Exemplo 2iii) Somente a ≠ 0 Verifique se o ponto A(–1, 0, 2) pertence àsiv) Somente b ≠ 0 retas: a) r: (x,y,z) = (–7,–3,–7) + λ .(2,1,3); λ∈IR13.2.1 ExemplosExemplo 1 b)Determine a equação da reta r nas formas pa-ramétricas e simétricas, nos casos abaixo:a) Que passa pelos pontos A(3,–1,1) e c) B(2,1,2). Solução:b) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem a → direção do vetor v = (2,–4,–3). a) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que (–1,0,2) = (–7,–1,–7) + λ0 .(2,1,3)Solução: (–1,0,2) – (–7,–3,–7) = λ0 .(2,1,3)a) Sendo os pontos A(3,–1,1) e B(2,1,2) dife- rentes, temos que a equação vetorial da (6,3,9) = λ0 .(2,1,3) ⇒ λ0 = 3 reta que passa por eles é dada por torna a igualdade verdadeira, e portanto, (x,y,z) = (3,–1,1) + λ .(1,–2,–1) concluímos que o ponto A(–1,0,2) pertence onde λ∈IR. à reta r. Dessa forma, teremos que as paramétricas b) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que da reta são Na equação (i) 1 = 3 + 2λ0temos que λ0= De onde concluímos que as equações si- –1 e na equação (ii) 0 = –1 – 4λ0 temos que métricas da reta r, são dadas por , o que é impossível. Portanto A(–1,0,2) ∉r. c) Aplicando o ponto A(–1,0,2) na equaçãob) A equação vetorial da reta que passa pelo teremos ponto A(3, –1, 2) tem a direção do vetor → v = (2, –4, –3), é dada por: , o que é impos- (x,y,z) = (3,–1,2) + λ .(2,–4,–3), onde λ∈IR. Dessa forma, teremos que as paramétricas sível. Portanto A(–1,0,2)∉r. da reta são 1. Determine a equação da reta r, nas formas pa- De onde concluímos que as equações si- ramétricas e simétricas, nos seguintes casos: métricas da reta r, são dadas por a) Que passa pelos pontos A(4,5,1) e B(2,–1,2). b) Que passa pelo ponto A(–3,1,–2) tem a → direção do vetor v = (2,4,–3). 63
  • 54. UEA – Licenciatura em Matemática2. Determine a equação da reta r, nas formas paramétricas e simétricas, nos seguintes casos: a) Que passa pelo ponto A(6,–1,3) e tem a di- → reção do vetor v = (2,4,3). b) Que passa pelo ponto A(0,–1,2) e tem a di- → reção do vetor v = (0,–4,–3). c) Que passa pelo ponto A(3,0,0) e tem a di- → reção do vetor v = (2,0,–3). d) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem a di- → reção do vetor v = (2,–4,0).3. Escreva a equação da reta na forma vetorial, Observe que = + e sendo sabendo-se que . =λ +β , temos que: = +λ +β , onde λ, β∈IR4. Escreva a equação da reta na forma vetorial, A equação = +λ +β , onde λ, β∈IR recebe o nome de equação vetorial do plano. sabendo-se que Uma vez fixado um sistema de coordenadas do espaço e sendo A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3), temos que a equação vetorial do plano pode ser escrita ne forma13.3 Equações vetoriais e paramétricas do (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) + plano + β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1), λ, β∈IR Um dos postulados da geometria euclidiana diz que três pontos diferentes A, B e C e não-coli- A equação vetorial do plano escrita na forma neares determinam um único plano, digamos α. acima equivale ao sistema dado por: As equações definidas pelo sistema denomi- Queremos encontrar as relações que as coor- nam-se equações paramétricas do plano α. denadas (x, y, z) de um ponto P devem satisfa- zer para que P pertença ao plano α. Exemplo: Sendo A, B e C não-colineares, temos que os Determine as equações vetoriais e paramétri- vetore e são linearmente independente. cas do plano α determinado pelos pontos A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4). Solução: Sabemos que a equação vetorial e paramétri- cas do plano α que passa pelos pontos A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3) são respecti- Dessa forma, temos que um ponto X∈α se, e vamente: somente se, os vetores , e são linear- (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) + mente dependentes, ou seja, existem escalares λ e β reais tais que =λ +β . + β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) e 64
  • 55. Álgebra Linear I – Retas e Planos Solução: → → Sendo u (2,–1,3), v = (0,–3,3) vetores paralelos ao plano α, o qual passa pelo ponto P(1,–1,2), pelas equações acima definidas, temos queSendo assim, temos que α : (x,y,z) = (1, –1, 2) + λ(2,–1,3) + β(0,–3,3)A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4), logo eα : (x,y,z) = (2, 1 – 1) + λ(1,4, – 5) + β(–2,1, – 3)e onde λ, β∈IR. Exemplo 2Dessa forma, observamos que o plano α fica Dê uma equação vetorial do plano β, dado aperfeitamente determinedo por dois vetores seguir por:L.I, que, no caso anterior, são os vetores e e um ponto deste plano.Dessa forma, a equação vetorial de um plano αque passa pelo ponto P0 e é paralelo aos → → → →vetores L.I u e v , é dado por X = P0 + λ u + βv Solução:onde λ,β∈IR. Onde para cada X pertencenteao plano, tem-se que o par (λ,β) é único. Sendo dadas as equações paramétricas acima do plano α, temos que os vetores paralelos ao → → plano são u (2,–1,3), v = (3,3,1) e que passa pelo ponto P(3,–1,6). Sendo assim, a equação vetorial é dada por α: (x,y,z) = (3,–1,6) + λ(2,–1,3) + β(3,3,1) onde λ, β∈IR.Se, no sistema de coordenadas fixado, os ve- → → 1. Determine a equação vetorial e as paramétri-tores u (a,b,c) e v = (d,e,f) são L.I e paralelos cas do plano α determinado pelos pontosao plano α e o ponto P(x0,y0,z0)∈α, então A(–2,0,–1), B(3,–1,–2) e C(0,2,–4).podemos escrever a equação vetorial e as equa-ções paramétricas plano na forma 2. Dê uma equação vetorial do plano β, sendo ele(x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ(a,b,c)+ β(d,e,f), λ, β∈IR dado parametricamente pela equaçõese .Exemplo 1 3. Determine a equação vetorial e as paramétri-Determine as equações paramétricas e vetorial cas do plano β, que passa pelo ponto → →do plano α paralelo aos vetores u (2,–1,3), P(0,1,–1) e é paralelo aos vetores u (2,–4,5) e→ →v = (0,–3,3) e que passa pelo ponto P(1,–1,2). v = (–2,3,0). 65
  • 56. UEA – Licenciatura em Matemática13.4 Equação geral do plano Solução: → → Seja α um plano determinado pelo ponto Sejam u = (2,–4,5) e v = (–2,3,0) e dois veto- → → P(x0,y0,z0) e pelos vetores L.I u e v . Diremos que res L.I paralelos ao plano β. Para fazermos uso → → um ponto X(x,y,z) qualquer pertence ao plano da equação (u × v ) . = 0, faz-se necessário → → α se, e somente se a equação [ , u ,v ] = 0 ou → → determinar u × v . Logo → → seja (u × v ) . = 0. → → Sendo u . v = (a,b,c), podemos escrever a → → equação [ , u ,v ] = 0 na forma (a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0 a(x – x0) + b(y – y0)+c(z – z0) = 0 → → e, portanto, u × v = (–15,–10,1). a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0 Sendo = (x,y – 1, z + 1) onde P(0,1,–1) e a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0 X(x,y,z)∈β qualquer, temos: a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0)= 0 (I) → → (u × v ) . = (–15,–10,1).(x, y – 1, z + 1) = 0 Tomando d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0) = 0 na –15 x – 10y + 10 + z + 1 = 0 equação (I) teremos –15x – 10y + z + 11 = 0 a . x + b . y + c . z + d = 0 (II) A equação (II) é denominada de equação ge- Portanto a equação do plano é ral do plano. 15x + 10y – z – 11 = 0 → → Exemplo 1 A equação (u × v ) . = 0 diz-nos que o vetor → → Determine a equação geral do plano β, que u × v é ortogonal a qualquer vetor do plano ou passa pelos pontos A(2,1,–1), B(3,5,–6) e paralelo ao plano. C(0,2,–4). Solução: Em primeiro lugar, vamos determinar em β dois → → vetores L.I u e v , paralelos ao plano β. → → → Sejam u = ev , ou seja, u = (1,4,–5) e → v = (–2,1,–3). Para fazermos uso da equação → → (u × v ) . = 0, faz-se necessário determinar → → u × v . Logo Dessa forma, se α é um plano que passa pelo → pontro P(x0,y0,z0) e n = (a,b,c) um vetor não- → nulo. Diremos que o vetor n é normal ao plano → → → e portanto u × v = (–7,13,9). α se, e somente se, . n = 0 para todo X(x,y,z) percente ao plano α. Sendo = (x – 2, y – 1, z +1) onde P = A e X(x,y,z)∈β qualquer temos: → → (u × v ) . = (–7,13,9).(x – 2, y – 1, z + 1) = 0 –7x + 12 + 13y – 19 + 19z + 9 = 0 –7x + 13y + 9z + 2 = 0 Portanto a equação do plano é –7x + 13y + 9z + 2 = 0 Exemplo 2 Determine a equação geral do plano β, que → passa pelo ponto P(0,1,–1) e é paralelo aos Nesse caso, vamos descrever o vetor normal n → → → vetores u = (2,–4,5) e v = (–2,3,0). ao plano α por nα. 66
  • 57. Álgebra Linear I – Retas e PlanosA equação geral do plano pode ser determina- 2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0. Determine o valor →da pela equação . nα = 0, onde P(x0,y0,z0) é de k real, para que o ponto (k + 1, k, k – 2) per- →um ponto do plano α, nα é um vetor normal ao tença ao plano β .plano e X(x,y,z) é um ponto qualquer do plano. Solução:Sendo assim, temos: Para determinar o valor de k, basta substituir o(a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0 ponto (k + 1, k, k – 2) na eqauação do plano dada. Sendo assim, temos:a(x – x0) + b(y – y0)+c(z – z0) = 0 2(k + 1) + 5. k + 3 (k – 2) – 10 = 0a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0 2k + 2 + 5k + 3k – 6 – 10 = 0a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0 10 . k – 14 =0a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0) = 0 ⇒a.x+b.y+c.z+d=0onde d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0 ) Logo, .Observe que, dada a equação geral do plano α Exemplo 3:a . x + b . y + c . z + d = 0, tem-se que o vetor →normal nα do plano pode ser facilmente encon- Determine o ponto do plano β cuja equação étrado, pois as coordenadas do vetor normal nα → 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, que tem abscissa 2 e ordenada –1.são os coeficientes de x,y e z. Solução:Exemplo 1: Substituindo x = 2 e y = –1 na equaçãoDetermine a equação geral do plano α que → 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, vamos determinarpassa pelo ponto P(3,–1,3), sendo n =(2,5,3) o valor de z.um vetor normal ao plano α. 2 . 2 – 4 . (–1) + 8 . z – 5 = 0Solução: 4+4+8.z–5=0 →Seja n = (2,5,3)um vetor normal ao plano α e 3+8.z=0P(3,–1,3) um ponto fixo desse plano. Dessa forma, . Exemplo 4: → Sabe-se que o vetor n =(2,0,–5) é normal ao plano π, que passa pelos pontos A(k,2,–1) e B(0,–2,2k). Determine o valor de k. Solução: → Sendo o vetor n =(2,0,–5) normal ao plano π, temos que a equação do plano é dada por:Dessa forma, temos que a equação do plano é 2.x+0.y–5.z+d=0do tipo 2 . x + 5 . y + 3 . z + d = 0 2.x–5.z+d=0Para determinar o valor de d, basta substituir o Como os pontos A(k,2,–1) e B(0,–2,2k) per-P(3,–1,3) na equação do plano. Logo,teremos: tencem ao ao plano π, tem-se2 . 3 + 5 (–1) + 3 . 3 + d = 0 ⇒ d = –10 2 . k – 5 . (–1)+ d = 0 ⇒ d = –2 . k – 5 (I)Logo a equação do plano α é: 2 . 0 – 5 . 2k + d = 0 ⇒ d = 10 . k (II)2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0 Fazendo (I) = (II), temos:Exemplo 2: – 2 . K – 5 = 10 . k ⇒Seja β um plano definido pela equação 67
  • 58. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 14 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS,1. Determine a equação vetorial e as paramétri- PLANOS, RETAS E PLANOS cas do plano α determinado pelos pontos A(2,3,–2), B(3,–5,6) e C(2,2,4). Fazendo uso da geometria euclidiana, vamos investigar as posições relativa entre retas, pla-2. Dê uma equação vetorial do plano β, dado na nos, retas e planos. E em seguida, vamos de- forma paramétrica a seguir: terminar condições vetorias para tratar tais po- sições. 14.1 Posições relativas entre duas retas Diremos que duas retas r e s são concorren-3. Determine a equação geral do plano β, que pas- tes se, e somente se, elas têm um único ponto sa pelos pontos A(2,–1,–1), B(–3,–5,6) e C(0,2,–4). em comum.4. Determine a equação geral do plano β, que pas- sa pelo ponto P(–2,1,1) e é paralelo aos veto- → → res u = (–2,4,–5) e v = (–2,3,3).5. Determine a equação geral do plano α que → Diremos que duas retas r e s são paralelas, se passa pelo ponto P(3,2,3), sendo n (2,–5,2) um e somente se, elas são coincidentes ou elas vetor normal ao plano α. são coplanares e não têm pontos em comum. 1.° caso6. Seja β um plano definido pela equação 2 . x – 2 . y – 3 . z – 10 = 0. Determine o valor de k real, para que o ponto (k–1,k,k–2) perten- Notação: r = s ⇒ r // s ça ao plano β. 2.° caso7. Determine o ponto do plano β cuja equação é 2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa 2 e ordenada 3.8. Determine o ponto do plano β cuja equação é 2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //s 2 e cota igual a 4. Diremos que duas retas r e s são reversas se, e9. Determine a equação geral do plano α que somente se, não existe plano que as contenha. passa pelos pontos P(3,2,3) e Q(–1,2,0)é pa- → ralelo ao vetor u = (2,–4,5). Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e r∩s=∅ 68
  • 59. Álgebra Linear I – Retas e Planos14.2 Posições relativas entre dois planos 2. Sendo α: x+(k + 2) . y – (k – 2)z – 10 = 0 e As posições relativas de dois planos, digamos β : x – y + z – 2 = 0 planos paralelos, determine α e β, podem ser de três formas. o valor de k. 1. Planos coincidentes: 3. Determine a equação do plano α que passa pelo ponto A(–1,2,0) e é paralelo ao plano β, cuja equação é dada por 2 . x – y + z – 3 = 0. α∩β=α=β 4. Determine a equação geral do plano α que 2. Planos paralelos distintos: passa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano β determinado pelos pontos A(–2,3,0), B(0,3,–1) e C(–2,0,–1). 5. Determine a equação do plano α, que passa α∩β=∅ pelo ponto A(3,–1,1) e é paralelo ao plano β de Dois planos são paralelos se, e somente se, equação x + y – 2 . z + 1 = 0. eles não têm ponto comum ou são iguais (coin- cidentes). 14.3 Posições relativas entre uma reta e 3. Planos secantes um plano Neste caso, diremos que os plano possuem São três as posições relativas entre uma reta e uma reta em comum. um plano: 1. A reta está contida no plano. Ou seja, dois pontos distintos da reta, digamos A e B, também são pontos do plano. r⊂α ⇔ r∩α=r α∩β=i 2. A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes.1. Verifique se os pares de planos abaixo são pa- ralelos coincidentes ou distintos. a) b) c) r ∩ α = {P} 69
  • 60. UEA – Licenciatura em Matemática 3. A reta e um plano são paralelos. Observe que, pelo fato de os vetores normais → → nα e nβ serem paralelos, isso emplica que o con- → → junto formado por nα e nβ são L.D. Logo, existe → → λ∈IR tal que nα = λ . nβ . Como já foi visto na geometria espacial, dois planos podem ser paralelos distintos ou coinci- dentes. O procedimento para se verificar se dois planos são paralelos ou coincidentes é bas- r // α ⇔ r ∩ α = ∅ tante simplis. Vamos, a partir de agora, dar um tratamento ve- Tome um ponto P(x0,y0,z0) qualquer em um dos torial para as posições relativas entre retas, pla- dois planos, digamos em α. Se tal ponto satis- nos, reta e plano. fizer a equação do outro plano, então os dois planos são paralelos coincidentes. Caso con-14.4 Condições de paralelismo e trário, os planos serão paralelos distintos. de perpendicularismo de dois plano Se α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0 e Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y+c1 .z + d1 = 0 β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 são dois planos e β : a2.x + b2 . y+c2 .z + d2 = 0, cujos vetores paralelos como a1.b1.c1 ≠ 0 e a2.b2.c2 ≠ 0. normais aos planos α e β são respectivamente Diremos que o plano α é paralelo ao plano β → → nα = (a1,b1,c1) e nβ = (a2,b2,c2). se, e semonte se, . Diremos que os planos α e β são paralelos se, → → e somente se, os vetores normais nα e nβ são paralelos. Se diremos que os planos Temos dois casos a considerar: 1.° caso são coincidentes; caso contrário, são distintos. Exemplo 1: Verifique se os pares de planos abaixo são paralelos coincidentes ou distintos. a) b) Solução: a) Temos que os vetores normais dos planos → → são nα = (2,3,–5) e nβ = (–4,–6,10), dessa forma, temos que . Paralelos distintos 2.° caso Por isso, concluímos que os planos são pa- ralelos. Temos que o ponto (0,0,0)∈α, mas não per- tence a β. Logo, os planos são paralelos distintos. b) Temos que os vetores normais dos planos → → são nα = (5,3,–2) e nβ = (–4,2,10); dessa forma, temos que . Paralelos coincidentes 70
  • 61. Álgebra Linear I – Retas e Planos Por isso, concluímos que os planos não são Para determinar o valor de d, basta substituir o paralelos. ponto A(,2,–1) na equação 2.x – 4.y + z + d = 0.Exemplo 2: Dessa forma, temos:Sendo α: 4.x + (k + 2) . y – 10 . z – 10 = 0 e 2.1 – 4.2 – 1 + d = 0 ⇒ d = 7β: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 planos paralelos, Logo, a equação do plano α édetermine o valor de k. 2.x–4.y+z+7=0Solução:Temos que os vetores normais dos planos são Exemplo 2:→ →nα = (4,k + 2,–10) e nβ = (2,–4,–5), e que os Determine a equação geral do plano α queplanos são paralelos. Logo, passa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano β determinado pelos pontos A(2,3,2), B(3,3,6) e C(2,2,4). Solução:⇒ k = –10 O vetor normal do plano β será dado porSendo α: a . x + b . y + c . z + d = 0 e β dois →planos paralelos, cujos vetores normais aos nβ = × . Logo →planos α e β são respectivamentes nα = (a,b,c) →e nβ. Sendo assim, temos que existe λ∈IR tal → →que nβ = λ . nα.Vamos mostrar que a equação do plano β é dotipo a . x + b . y + c . z + D = 0. Para isso,vamos supor que a equação do plano β é do Sendo o plano α paralelo ao plano β, temostipo β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0. → → que nα = nβ. Logo, teremos a equação do → →Logo nβ = λ . nα ⇒ a2 = λ . a, b2 = λ . b e plano α como sendo 4. x – 2 . y – z + d = 0.c2 = λ.c. Para determinar o valor de d, basta substituir oDessa forma, substituindo as equações ponto P(–2,1,3) na equação 4.x–2.y–z+d = 0. Dessa forma, temos:a2 = λ . a, b2 = λ . b e c2 = λ.c em 4.(–2) – 2 . 1 – 3 + d = 0 ⇒ d = 13.β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 teremos Logo, a equação do plano α é 4.x–2.y–z+13 = 0λ . a . x + λ . b . y + λ . c . z + d2 = 0 ⇒ Exemplo 3: , tomando Determine a equação do plano α, que passatemos a equação procurada: pelo ponto A(3,1,0) e é paralelo ao plano β dea.x+b.y+c.z+D = 0 equação 2 . x + 3 . y – 8.z + 1 = 0. Solução:Exemplo 1: Sendo os planos α e β paralelos, podemos to-Determine a equação do plano α que passa mar o vetor normal ao plano α como sendo opelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo ao plano β, vetor normal do plano β. Dessa forma, temoscuja equação é dada por 2.x – 4 . y + z – 5 = 0. que o plano α é dado por:Solução: 2 . x + 3 . y – 8.z + d = 0.Queremos determinar a equação do plano α Como o ponto A(3,1,0) ∈α, temos como deter-que passa pelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo ao minar o valor de d. Logo, substituindo o pontoplano β dada pela equação 2.x – 4.y + z – 5 = 0. na equação, temos 2 . 3 + 3 . 1 – 8.0 + d = 0 →Sendo nβ = (2,–4,1) o vetor normal a β, pode- ⇒ d = –9 → →mos tomar nα = nβ. Logo, teremos a equação Portanto a equação do plano α é dada por:do plano α como sendo 2.x – 4.y + z + d = 0. 2.x+3.y–8.z–9=0 71
  • 62. UEA – Licenciatura em Matemática Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0 e β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0, cujos vetores normais aos planos α e β são respectivamente → → nα = (a1,b1,c1) e nβ = (a2,b2,c2). Diremos que os planos α e β são perpendicu- → Assim, concluímos que os planos são para- lares se, e somente se, os vetores normais nα e → → → lelos. Para verificar se os planos são dife- nβ são perpendiculares, ou seja nα . nβ = 0. rentes ou coincidendes, basta usar o pro- Notação: cedimento usado na resolução anterior do → → α ⊥ β ⇔ nα . nβ = 0 item (a). Exemplo: b) Vamos usar a observação acima para ver- Estude a posição relativa dos planos: ificar a posição entre os planos. a) β: 2 . x + 2 . y + z – 5 = 0 e Sendo → e nβ= (2,–2,4) os α: 4 . x + 4 . y + 2 . z – 50 = 0 vetores normais de α e β, vamos calcular o b) β: 2 . x – 2 . y + 4.z – 5 = 0 produto vetorial entre os vetores normais. e Dessa forma, temos: Solução: → → a) Sendo nα = (4,4,2) e nβ= (2,2,1) e os veto- res normais ao plano α e β, temos: → → nα × nβ= (21,– 7,– 15) ≠ (0,0,0,) . Por isso, concluímos que os Logo, os planos não são paralelos.Vamos planos são paralelos. verificar se os planos são perpendiculares. Vamos verificar se são paralelos distintos ou Para isso, vamos verificar o resultado do pro- coincidentes. Para isso, basta tomar um pon- duto interno entre os vetores normais: to em um dos planos e verificar se tal ponto satisfaz ou não a equação do outro plano. Sendo (0,0,5) um ponto do plano β, temos Assim, concluímos que os vetores são per- que tal ponto não satisfaz a equação do pla- pendiculares. no α. Logo, os planos são paralelos distin- tos. 14.5 Posições relativas entre reta e plano Observação: As posições de uma reta r e um plano π, sendo → → Uma outra forma de verificar se dois planos v o vetor diretor da reta r e nπ o vetor normal do r são paralelos é calcular o produto vetorial entre plano π. os vetores normais . a) r é paralela a π(r//π ) Diremos que os planos α e β são paralelos se, → → → e somente se, nα × nβ = 0 . Vamos resolver o exemplo anterior, fazendo uso dessa observação. Solução: → → a) Sendo nα = (4,4,2) e nβ= (2,2,1) os vetores normais de α e β, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores normais. 72
  • 63. Álgebra Linear I – Retas e Planos → →r//π ⇔ vr . nπ = 0 gamos A(2,4,1), e substitua na equação dob) r contida em π (r ⊂ π) plano π : 3x + 2y – 5z + 9 = 0. Logo, 3 . 2 + 2 . 4 – 5 . 1 + 9 ≠ 0, de onde concluímos que a reta e o plano são parale- los disjuntos. → b) Seja nπ = (3,2,–5) o vetor normal ao plano π → e vr = (3,–5,5) o vetor direto da reta r. → → → → r//π ⇔ vr . nπ = 0 com A ∈ π, onde A∈r Calculando vr . nα, temos que: → →c) r e π concorrentes (secantes) v . nα = 3 . 3 + 2.(–5) + (–5).5 ≠ 0, de onde r concluímos que a reta e o plano são secantes. Para determinar o ponto P tal que r ∩ π = {P}, basta proceder do seguinte modo: Para um certo λ0∈IR tem-se P(x0,y0,z0), onde ao substituir na equação do → → r ∩ π = {P} ⇔ vr . nπ ≠ 0 plano π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0 vamos determi-Exemplo: nar o valor de λ0 . Dessa forma, teremos:Estudar a posição relativa entre os pares de re- 3.(–1 + 3λ0) + 2.(2 – 5λ0) – 5.(4 + 5λ0) + 4 = 0tas e planos abaixo: –3 + 9λ0 + 4 – 10λ0 – 20 – 25λ0 + 4 = 0a) π: 3x + 2y – 5z + 9 = 0 Sendo o ponto . eb) π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0 e 1. Estudar a posição relativa entre os pares de reta e plano abaixo: a) π : x + y – z + 2 = 0 Solução: →a) Seja nπ = (3,2,–5) o vetor normal ao plano π e e o vetor direto da reta r. b) π : x + y – z + 4 = 0 → → Calculando v . n , temos que: r α e Assim, concluímos que a reta e o plano são paralelos. Para verificar se a reta r ⊂ π ou se 2. Estudar a posição relativa entre a reta e plano, r//π com r ∩ π = ∅, basta proceder do definidos por seguinte modo: Tome um ponto qualquer dq da reta r, di- 73
  • 64. UEA – Licenciatura em Matemática14.6 Posições relativas entre retas Caso [ → → ,vr,vs] ≠ 0, diremos que as retas são A posição relativa entre duas retas quaisquer r não-coplanares, ou seja, as reta são reversas. e s são: Sendo elas coplanares, diremos que são: a) Concorrentes se, e somente se, elas têm → → a) concorrentes se, e somente se, vr × vs ≠ 0 um único ponto em comum. → → b) paralelas, se e somente se, vr × vs = 0. Daí, b) Paralelas, se e somente se, elas são coinci- dois casos a considerar: dentes ou elas são coplanares e não têm 1.° caso: pontos em comum. Paralelas coincidentes se, e somente se, 1.° caso: para todo ponto P ∈ r tem-se P ∈ s. Notação: r = s ⇒ r//s r = s ⇒ r//s 2.° caso: 2.° caso: Paralelas diferentes se, e somente se, dado um ponto P ∈ r tem-se P ∉ r. Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s b) Reversas se, e somente se, não existe Exemplo: plano que as contenha. Verifique a posição relativa entre as retas dadas: e Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e r∩s=∅ Solução: Observe que, nas letras (a) e (b), temos que as → → Sendo vr = (–2,3,–6), vs = (6,–9,18) os vetores retas são coplanares. diretores das retas r e s respectivamente, vamos → → Vamos estabelecer, a seguir, condições para calcular vr × vs . identificar se duas retas são coplanares ou não. Calculando Sejam r e s duas retas, cujos vetores diretores → → são, respctivamente, vr e vs. Se o ponto A ∈ r e B ∈ s, diremos que tais retas são coplanares → → se, e somente se, [ ,vr,vs] = 0. 74
  • 65. Álgebra Linear I – Retas e PlanosDaí, concluímos que as retas são paralelas.Resta saber se são paralelas coincidentes ou TEMA 15paralelas distintas. Para isso, tome um pontoA(2,3,4) ∈ r. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTOSe tal ponto for um ponto da reta s, diremos que E RETAas retas são paralelas coincidentes; caso con-trário, serão paralelas distintas. 15.1 Distância entre dois pontosSubstitua o ponto A(2,3,4) na equação da reta Vamos definir a distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), a qual vamos nomen- claturar por d pelo norma do vetor , isto é:s dada por . e, portanto,Fazendo as contas, teremos:Assim, concluímos que são paralelas diferentes.Observação:Diremos que duas retas r e s cujos vetores di- → →retores são vr e vs são ortogonais se, e somente → →se, vr . vs = 0, ou seja, basta verificar se os Exemplo:vetores diretores são ortogonais. Calcular a distância entre os pontos A(3,0,–2) e B(2,–4,2). Solução: Para determinar a distância entre os pontos A(3,0,–2) e B(2,–4,2), basta encontrar o vetorVerifique a posição relativas entre as retas dadas: e calcular a sua norma, isto é: Determinando o vetor , temos:a) e = (–1,–4,4). Dessa forma, temos que o valor da distânciab) ec) e 1. Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistante dos postos A(1,4,–2) e B(3,7,5).d) e 2. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4), B(–3,1,2) e C(2,1,6). Determine o perímetro deste triângulo. 75
  • 66. UEA – Licenciatura em Matemática15.2 Distância entre ponto e reta Sendo assim, podemos determinar a distância Seja r uma reta definida por um ponto A(x1,y1,z1) → e pelo vetor diretor vr = (a,b,c). Seja P(x0,y0,z0) d, por um ponto qualquer IR3. Dessa forma, queremos determinar a distância d do ponto à reta. Temos dois casos a considerar: De modo geral, a distância d entre o ponto P e 1.° caso: Se o ponto pertence à reta uma reta r é dada por onde A é → um ponto da reta r cujo vetor diretor é vr . Exemplo: Calcule a distância entre o ponto P(2,1,–1) e a reta s de equação dada por: Solução: Nesse caso, teríamos que a distância d do Sabemos que a distância entre o ponto P e uma ponto à reta seria d = 0 reta r é dada por 2.° caso: Se o ponto não pertence a reta Onde A(2,0,1) é um ponto da reta cujo vetor → diretor é vr = (–1,3,–1). → Vamos calcular a distância d entre o ponto e a Calculando , vr × , temos: reta; para isso, vamos observar que os vetores = (0,1,–2) → vr e determinam um paralelogramo cuja → altura corresponde à distância d de P a r, que v × r = (–5,–2,–1) vamos calcular fazendo uso da figura abaixo: Portanto Sabe-se que a área S do paralelogramo dado pelos pontos PABC é dada pelo produto da Logo, . base pela altura, isto é: . Vamos resolver o mesmo exercício sem usar a formula Da mesma forma, podemos calcular a área S do paralelogramo dado pelos pontos PABC co- → mo sendo a norma do vetor vr × , isto é: → Seja Q ∈ r tal que . vr = 0. 76
  • 67. Álgebra Linear I – Retas e Planos 3. Calcule a distância entre o ponto P(2,0,–1) e a reta s de equação dada por: Dessa forma, d(P = d(P = | ,r) ,q) | | | 4. Calcule a distância entre os pontos P(2,1,–1) e → R(5,–1,0) Sendo Q(a,b,c), P(2,1,–1) e v = (–1,3,–1), r temos que = (a – 2, b – 1, c + 1) e → 5. Calcule a distância entre os pontos P(3,1,–1) . vr = –(a – 2) + 3(b – 1) – (c + 1) = 0 e Q, onde {Q} = r∩s. Sendo –a + 3b – c – 2 = 0. Aplicando Q em s, temos: e a = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ para um certo λ. Vamos determinar exatamente esse λ. Substituindo = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ em 6. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4), –a + 3b – c – 2 = 0. B(–3,1,2) e C(2,1,6). Calcular a medida da Teremos ; portanto o ponto Q terá as altura relativa ao lado BC seguintes coordenadas . Dessa forma, podemos dizer que o vetor . E, finalmente, a distância d(P = d(P = | ,r) ,q) | | = | .1. Calcule a distância entre o ponto P(0,–1,–1) e a reta s de equação dada por:2. Calcule a distância entre o ponto Q(0,0,1) e a reta s de equação dada por: 77
  • 68. UEA – Licenciatura em Matemática → Substituindo Q(x,y,z), P(x0,y0,z0) e nπ = (a,b,c) TEMA 16 em , chegaremos à formula equi- DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO16.1 Distância de um ponto a um plano valente dada por Seja um ponto P(x0,y0,z0) do espaço e Exemplo 1: π : a . x + b . y + c . z + d = 0 um plano qual- Calcule a distância do ponto P(3,2,–1) e o quer. plano β de equação 2 . x + 4 . y – z + 2 = 0. Para determinar a distância d do ponto ao Solução 1: plano, temos dois casos a considerar: Fazendo uso da fórmula equivalente dada por 1.° caso: Se o ponto pertence ao plano , onde x0 = 3, y0 = 3, y0 =2, z0 = –1, a = 2, b = 4 e c = –1 temos . Nesse caso, temos que d(P π) = 0 , Exemplo 2 : 2.° caso: Calcule a distância do ponto P(0,1,1) e o plano Se o ponto não pertence ao plano β de equação x + y – z + 3 = 0. Observação – Sem fazer o uso da fórmula Solução: Vamos mostrar que, nesse caso, a distância po- de ser obtida fazendo uso da fórmula Onde Q é um ponto qualquer do plano dado, e → nπ é o vetor normal a esse plano. Para isso, basta determinar um ponto Q ∈ β tal → que = µ . nβ . Sendo Q(a,b,c) tal ponto, teremos = (a, b – 1, c – 1). → Desse modo, = µ . nβ dá-nos a = µ, → b = 1 + µ, c = 1 – µ, onde nβ é o vetor normal ao plano β. Observe a distância d; ela pode ser calculada Substituindo Q em β, temos a + b – c + 3 = 0 por d = d(P = d(P ,π) ,A)= | | | | e sendo α = µ, b = 1 + µ, c = 1 – µ, teremos: µ + µ + 1 – (1 – µ) + 1 = 0 Onde ; logo, teremos µ+µ+1–1+µ+1=0 µ = –1 Assim, concluímos que Q(–1,0,2). E, portanto, d = d(P β) = d(P , ,Q) = | | | = | , ou seja d= . 78
  • 69. Álgebra Linear I – Retas e Planos No caso de as retas serem concorrentes ou pa- ralelas coincidentes, temos que d(r, s) = 0. No caso de paralelas distintas, a distância entre as duas retas d(r, s) é calculada pela distância1. Calcule a distância do ponto P e o plano β, de ebtre um ponto P qualquer de um delas à outra duas formas diferentes, nos casos abaixo: reta, isto é: d = d(r,s) = d(P onde P∈r. ,s), a) P(0,1,1) e β: x + y – z = 0. b) P(1,0,1) e β: x + y + z – 1 = 0. c) P(–1,1,0) e β: –x + 2y – z + 3 = 0.2. Calcule a distância entre o ponto P(1,0,1) e o 1. Calcular a distancia entre as retas plano β, determinado pelos pontos A(0,0,1), B(1,0,0) e C(0,0,1) de duas formas diferentes. a) e16.2 Distância entre duas retas A posição relativa entre duas retas quaisquer r e s são: b) e a) concorrentes Observações: Considere o caso em que as retas r e s são re- versas. Sejam r e s duas retas reversas. Sendo P ∈ r e → → b) paralelas v o vetor diretor da reta r e Q ∈ s e vs o vetor r 1.° caso: paralelas coincidentes diretor da reta s. Temos r = s ⇒ r //s 2.° caso: paralelas distintas r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //s Sabe-se que o volume de um paralelepípedo c) reversas é dado pelo produto da área da base pela al- tura. Sendo assim, teremos, na figura anterior, → → que V = | r × vs | . d . |v | Sabesmos ainda da interpretação geométrica do módulo do produto misto, que → → V = |(vr,vr, )|. De onde concluímos que r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ 79
  • 70. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: Calcular a distância entre as retas TEMA 17 e DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO 17.1 Posições relativas Solução: São três as posições relativas entre uma reta e A reta r passa pelo ponto P(–2,1,4) cujo vetor → um plano diretor é vr = (1,0,–2) e a reta s passa pelo → ponto Q(3,–1,3) cujo vetor diretor é vs = (1,0,–2). 1. A reta está contida no plano. Sendo assim, temos que = (5,–2,–1) e r⊂α ⇔ r∩α=r 2. A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes. E, portanto, r ∩ α= {P} 3. A reta e um plano são paralelos.1. Calcular a distância entre as retas e2. Calcular a distância entre as retas e s = α ∩ β,onde r // α ⇔ r ∩ α = ∅ α: x + y – z + 1 = 0 e β: x – 2y + z + 2 = 0 No primeiro e no segundo casos, temos que a distância entre a reta e o plano é igual a zero.3. Calcular a distância entre as retas r = e s No teceiro caso, basta calcular a distância de = α ∩ β, onde A(0,0,1) e B(3,–1,2), α: x + y + um ponto qualquer da reta ao plano, isto é: 2 = 0 e β: x + z + 2 = 0 d = d(r,α) = d(Pα,) onde P∈r 80
  • 71. Álgebra Linear I – Retas e Planos Solução: → → Seja vr o vetor diretor da reta, e nπ o vetor nor- → mal ao plano, dados por vr = (3,2,1) e → nπ = (–1,2,1). → → Vamos calcular vr . nπ , para estudar a posição relativa entre a reta e o plano. Dessa forma, → → concluímos que vr . nπ = –3 + 4 – 1 = 0.Exemplo 1: Sendo assim, temos que a reta e o plano sãoDetermine a distância entre a reta r dada por paralelos; mais que isso: são paralelos distin- tos, pois o ponto A(2,1,–2)∈r e A(2,1,–2)∉r. e o plano π definido por Sendo assim, para calcular a distância entre a reta e o plano, basta calcular a distância de um ponto da reta ao plano.π : 2x – y + z – 3 = 0. Sendo A(2,1,–2) tal ponto da reta eSolução: π : –x + 2y + z – 1 = 0, temos que: → →Sendo vr e nπ o vetor diretor da reta e o vetornormal ao plano respectivamente, dados por 6→ → d=vr = (1,2,0) e nπ = (2,–1,1). , portanto 2 → →Vamos calcular v . n , para estudar a posição r πrelativa entre a reta e o plano. Dessa forma, → →concluímos que vr e nπ = 2 – 2 + 0 = 0.Sendo assim, temos que a reta e o plano sãoparalelos; mais que isso: são paralelos coinci- 1. Determine a distância entre a reta r dada pordentes, pois o ponto A(1,0,1)∈r∩π. Por isso,concluímos que d = d(r,π) = 0. e o plano π definido porExemplo 2:Determine a distância entre a reta r definida por π : x – y + z – 3 = 0. 2. Determine a distância entre a reta r dada pore o plano π definido por π : 3x + y – 2z + 4 = 0. e o plano π definido porSolução: → → π: 2x + y + z = 0.Seja vr o vetor diretor da reta e nπ o vetor nor- →mal ao plano, dados por vr =(1,1,–1) e 3. Determine a distância entre a reta r dada por→nπ = (3,1,–2). → → e o plano π definido porVamos calcular vr . nπ , para estudar a posiçãorelativa entre a reta e o plano. Dessa forma, π: –x + 2y + z = 0. → →concluímos que vr . nπ = 3 + 1 + 2 = 6 ≠ 0.Sendo assim, temos que a reta e o plano são 4. Determine a distância entre a reta r dada porparalelos secantes. De onde concluímos que e o plano π definido pord = d(r,π) = 0. π : –3x + 2y + 2z – 1 = 0.Exemplo 3:Determine a distância entre a reta r dada por 5. Determine a distância entre a reta r dada por e o plano π definido pelose o plano π definido por π : –x + 2y + z – 1 = 0. pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1). 81
  • 72. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 2: TEMA 18 Calcular o ângulo entre as retas ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO e18.1 Ângulo entre retas Sejam r e s duas retas que passam pelos pon- → → tos A e B, cujos vetores diretores são vr e vs. Solução: Os vetores diretores das retas r e s são respec- tivamente →r = (–1,1,–1) e v . E fazendo uso da fórmula: temos: Definimos o ângulo entre duas retas r e s, como sendo o menor ângulo formado entre os → → vetores diretores vr e vs, isto é: , com . Exemplo 1: θ ≈ 86,490 Calcular o ângulo entre as retas Exemplo 3: Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo r= onde A(1,0,1) e B(2,1,–1), e s perpen- e dicular ao plano π: x + y – 2z + 4 = 0 passan- do pelo ponto P(0,1,3). Solução: Solução: Os vetores diretores das retas r e s são respecti- Os vetores diretores das retas r e s são, res- → → → vamente vr (–1, –1, –1) e vs (1, 1, –1). E fazendo pectivamente, vr = = (1, 1, –2) e → → vs = nπ = (1, 1, –2). E fazendo uso da fórmula uso da fórmula temos: , temos: θ =00 82
  • 73. Álgebra Linear I – Retas e Planos1. Calcular o ângulo entre as retas: e2. Calcular o ângulo entre as retas: Sendo assim, temos que o ângulo θ é dado por: e3. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo Exemplo 1: Determine o ângulo entre os planos: e s perpendicular ao α: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 e β: 2 . x – y + z – 3 = 0 plano π : 2x – y + z + 4 = 0 passando pelo Solução: ponto P(0,1,3). Os vetores normais aos planos dados são res- → → pectivamente nα (2, –4, 8) e nβ (2, –1, 1), e4. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo r= onde A(–1,0,2) e B(1,–1,–1), e s perpen- fazendo uso da fórmula dicular ao plano π: x + 2y – z + 3 = 0 passan- do pelo ponto P(–2,1,–3). temos:18.2 Ângulo entre dois planos Sejam α: a1 . x + b1 . y + c1 . z + d1 = 0 e β: a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 dois planos, cujos vetores normais são respectivamente → → nα (a1,b1,c1) e nβ (a2,b2,c2) Exemplo 2: Determine o ângulo entre os planos α e β, sendo α: x – y + z – 5 = 0 e β um plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,2). Solução: Chama-se ângulo de dois planos α e β o Os vetores normais aos planos dados são, → → menor ângulo formado entre os vetores nor- respectivamente, nα (1,–1,1) e nβ (2,2,1), sendo → mais aos planos. o vetor nβ = × . Fazendo uso da fór- 83
  • 74. UEA – Licenciatura em Matemática 3. Se α e β são dois planos. Sendo α é determi- , temos: nado pela equação α: 2x + y – z + 3 = 0 e β mula é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação . 4. Se α e β são dois planos.Tais que α é determi- nado pelos pontos A(1,–1,1), B(1,1,1) e Exemplo 3: C(0,1,2) e β é um plano que passa pelo ponto P(2,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação Se α e β são dois planos.Tais que α é determi- nado pelos pontos A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,2) . e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação: 18.3 Ângulo entre reta e plano → Seja uma reta r que passa pelo ponto P e tem vr como vetor diretor e um plano π, que passa pelo → ponto Q e tem como vetor normal o vetor nπ. Solução: Os vetores normais aos planos dados são, → → respectivamente, nα (2,1,–1) e nβ (–1,1,1), sendo → → → o vetor nβ = × e nβ = vr . Fazendo uso da fórmula , temos: O ângulo ϕ da reta r com o plano π é o com- plemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano, isto é: onde teríamos cosθ = senϕ. Dessa forma, vamos definir o ângulo entre uma reta e um plano, coforme a figura acima, como sendo:1. Determine o ângulo entre os pares de planos abaixo: Exemplo 1: a) α: x+y+z+2 = 0 e β: 2.x – y + 2z – 1 = 0 Determine o angula entre a reta b) α: x–y+z – 1 = 0 e β: x – y + z – 3 = 0 c) α: x–2y–z = 0 e β: –2x – 3y + z – 3 = 0 e o plano π: x + z – 2 = 0.2. Determine o ângulo entre os planos α e β, sendo α: x + y + z – 2 = 0 e β um plano que Solução: passa pelos pontos A(1,–1,0), B(0,1,2) e → C(0,0,2). A reta r tem vr (1,–1,1) como vetor diretor e 84
  • 75. Álgebra Linear I – Retas e Planos → nπ (–1,1,1) é o vetor normal ao plano π. Sendo assim, temos que o ângulo entre a reta e o c) e β: –2x + y + z – 3 = 0 plano pode ser calculado pela fórmula , isto é: 2. Determine o ângulo entre reta r que passa pelos pontos B(0,1,2) e C(0,0,2) e o plano β, sendo β: x + y + z – 2 = 0. 3. Determine o ângulo entre a reta e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à Exemplo 2: Seja r uma reta determinada pelos pontos B(1,–1,1) e B(1,1,1) e seja β um plano que reta s de equação . passa pelo ponto P(2,1,–2) e é perpendicular à reta s de equação . Determine o ângulo entre a reta e o plano. Solução: → A reta r tem vr = (0,2,0) como vetor diretor → → e nπ = vs (2,3,1) é o vetor normal ao plano π. Sendo assim, temos que o ângulo entre a reta e o plano pode ser calculado pela fórmula , isto é:1. Determine o ângulo entre os pares de retas e os planos abaixo: a) e β: x – y + z – 1 = 0 b) e β: x + y + 2z – 3 = 0 85
  • 76. UNIDADE VI Cônicas
  • 77. Álgebra Linear I – Cônicas sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto o foco, desse modo amplificando TEMA 19 consideravelmente sua intensidade. CÔNICAS – PARÁBOLA19.1. Introdução Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada pa- rabolóide de revolução, também conhecida co- mo superfície parabólica. Essa superficie pos- sui inúmeras aplicações interessantes, todas elas decorrentes de uma propriedade geomé- trica da parábola. Consideremos em um plano uma reta d e um A fama das superfícies parabólicas remonta à ponto F não pertencente a d. Antiguidade. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do Há uma lenda segundo a qual o extraordinário plano que são equidistantes de F e d. matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa, em torno do ano 250 a.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espe- lhos parabólicos. Embora isso seja teorica- mente possível, há sérias dúvidas históricas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar tais espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a idéia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de ou- De acordo com a defínição acima, P pertence tra qualquer natureza), quando refletidas numa à parábola se, e somente se: d(P = d(P ,F) ,P’), superfície parabólica, concentram-se sobre o ou seja, . foco, assim ampliando grandemente a intensi- Observação: dade do sinal recebido. Consideramos o fato de Fd, pois, caso con- Da lenda de Arquimedes restam hoje um inter- trário, a parábola se degeneraria numa reta. essante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo con- 19.2 Elementos vergir os raios de sol para o foco de uma su- perfície parabólica polida. Considerando a figura acima, temos: Outros instrumentos atuam inversamente, con- Foco: é o ponto F. centrando, na direção paralela ao eixo, os raios Diretriz: é a reta d. de luz que emanam do foco. Como exemplos, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpen- citamos os holofotes, os faróis de automóveis dicular à diretriz. e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabóli- Vértice: é o ponto V de interseção da parábola ca refletora. com o seu eixo. Um importante uso recente dessas superfícies Obviamente, tem-se: d(V, F) = d(V, A). é dado pelas antenas parabólicas, emprega- Com a finalidade de obtermos uma equação das na radioastronomia, bem como no dia-a- da parábola, teremos de referi-la ao sistema de dia dos aparelhos de televisão, refletindo os eixos cartesianos. Iniciemos pelo caso mais débeis sinais provenientes de um satélite sobre simples. 89
  • 78. UEA – Licenciatura em Matemática19.3 Equação da parábola de vértice na origem do sistema 1.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos y Seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola (conforme figura abaixo) de foco . Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola. 2.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos x. Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola (conforme figura abaixo) de foco , obteremos, de forma análoga ao 1.o caso, a Da definição de parábola, tem-se: equação reduzida: x2 = 2py Como , vem: Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: ou simplesmente: x2 = 2py (1) Essa equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem, tendo para eixo o eixo dos y. Da análise dessa equação conclui-se que, tendo Conforme o sinal de p, teremos: se p > 0, a em vista ser 2py sempre positivo ou nulo (pois é parábola tem concavidade voltada para a di- igual a x2 ≥ 0), os sinais de p e de y são sempre reita e, se p < 0, a parábola tem concavidade iguais. Conseqüentemente, se p > 0, a parábola voltada para a esquerda. tem concavidade voltada para cima e, se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, conforme esclarecem as figuras a seguir . 90
  • 79. Álgebra Linear I – Cônicas 19.6 Equação da parábola de cértice fora da origem do sistema 1.o caso – O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. Seja uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coorde- nadas de V em relação ao sistema xOy. Seja P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola. Consideremos um novo sistema xOy com a origem O em V nas condições do que foi ante- riormente (conforme Figura abaixo).19.5 Translação de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O(h, k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema xOy tal que os eixos Ox e Oy tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nessas condições, um sistema pode ser obtido do outro, por meio de uma translação de eixos. Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema xOy é x’2 = 2py’ mas: x = x – h e y = y – k, e daí: (x – h)2 = 2p(y – k) que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 2.o caso – O eixo da parábola é paralelo ao Seja um ponto P qualquer do plano tal que eixo dos x. suas coordenadas são: x e y em relação ao sistema xOy, x e y em De modo análogo ao caso anterior, teremos: relação ao sistema xOy, (y – k)2 = 2p(x – h) Pela figura anterior, obtém-se: x = x + h e y = y + k ou: x = x - h e y = y - k que são as fórmulas de translação e que per- mitem transformar coordenadas de um siste- ma para outro. A principal finalidade da transformação de co- ordenadas é modificar a forma de equações. 91
  • 80. UEA – Licenciatura em Matemática19.7 Exemplos Resposta: a) F(–5,0); b) x = 5; c) Vide re-1. Determinar a equação da parábola cujo vértice solução. é a origem dos eixos de coordenadas, o eixo de simetria é o eixo y e passa pelo ponto P (–3,7). 3. Determinar as coordenadas dos vértices, as Resolução: coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola da equação y2 – 4y – 8x + 28 = 0. Se o eixo de simetria é o eixo y, a forma padrão da equação da parábola é x2 = 4py. Se Resolução: P (–3,7) pertence à parábola, temos: Isolando os termos em y no 1.o membro e com- pletando o quadrado perfeito, temos: Y2 – 4y – 8x + 28 = 0 Transportando o valor de p para a forma y2 – 4y = 8x – 28 padrão, temos: Y2 – 4y + 4 = 8x – 28 + 4 (y – 2)2 = 8x – 24 (y – 2)2 = 8 (x – 3) Resposta: A equação procurada é Comparando com a forma padrão da parábo- la, temos:2. Dada uma parábola de equação y2 = –20x, pede-se: a) as coordenadas do foco; Logo, V (h, k) V (3, 2) b) a equação da diretriz; F (h + p, k) F(5, 2) c) o esboço do gráfico. A equação da diretriz é: Resolução: X=h–p x=3–2 2 Se y = –20, a forma padrão da equação da X=1 parábola é y2 = 4px, e o eixo de simetria é o Respostas: V (3, 2) F(5, 2) e x = 1 eixo x. a) Coordenadas do foco 5. Determinar as coordenadas do vértice, as coor- sendo x o eixo de simetria, então F (p, 0) denadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0. Resolução: b) Equação da diretriz Isolando os termos em x no primeiro membro e completando o quadrado perfeito, temos: x = -p x = -(-5) x = 5 c) Esboço do gráfico X2 + 2x + 4y – 15 = 0 Como o eixo de simetria é o eixo x, temos: x2 + 2x = – 4y + 15 X2 + 2x + 1 = – 4y + 15 + 1 (x + 1)2 = – 4y + 16 (x + 1)2 = –4 (y – 4) Comparando com a forma padrão, temos: 92
  • 81. Álgebra Linear I – Cônicas Logo, V (h, k) V (-1, 4) c) 2 d) 5 F (h, k + p) F (-1, 3) e) 4 A equação da diretriz é: 02. A parábola cujo eixo de simetria é 0y e que Y = k – p y = 4 – (-1) passa pelos pontos de intersecção da reta y=5 x + y = 0 com a circunferência x2 + y2 + 8y = 0 Resposta: V (-1, 4), F (-1, 3) e y = 5 tem por equação:5. Uma parábola tem foco (-1, 8) e diretriz dada pela equação y = 5. Determine as coorde- nadas do vértice e a equação dessa parábola. Resolução: 3. Qual é a distância da origem do sistema carte- siano ao vértice V da parábola de equação x2 – 6x – y + 10 = 0? Se P (x, y) é um ponto da parábola, temos: d(P F) = d (P D1) , , 4. A reta passa pelo vértice da parábola de equação y = 4x – x2 e intercepta o eixo x no ponto de abscissa 5. A equação da reta é:0 Logo, 5. A distância do vértice da parábola Resposta: y = (x – 2) . (x – 6) à reta é:1. A parábola de equação y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (1, 0), (2, 5) e (-4, 5); então, o valor de a + b + c é: a) 6 b) 0 6. Das equações abaixo, a que representa uma 93
  • 82. UEA – Licenciatura em Matemática parábola de eixo coincidente com a reta y = 0 é: a) y – x2 + 1 TEMA 20 2 b) x = y + 1 c) y – x2 = 0 CÔNICAS – ELIPSE d) x2 – y2 = 1 Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um e) x = 1/y + 3 plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.7. Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 não Consideremos no plano dois pontos distintos, intercepte a reta y = 3, devemos ter: F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c. a) – 4 < m < 4 Seja um número real a tal que 2a > 2c. b) m < –3 ou m > 4 Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais c) m > 5 ou m < -5 que: d) m = –5 ou m = 5 d(P F1) + d(P F2) = 2a , , e) m 0 ou: dá-se o nome de elipse.8. As parábolas dadas pelas equações y = x2 e x = y2: a) nunca se encontram; b) se encontram apenas na origem; c) se encontram em exatamente dois pontos; d) se encontram em três pontos; e) se encontram em quatro pontos. A figura baixo sugere como se pode construir9. Qual é a equação da diretriz da parábola uma elipse no papel. Y2 = 8x? a) x = –4 b) x = –2 c) x = –3 d) x = –5 e) x = –1 Nos pontos F1 e F2, fixemos dois pregos e10. Ache a distância do ponto P(3, 6) à reta deter- neles amarremos um fio não esticado. Tome- minada pelos pontos de interseção das curvas mos um lápis e distendamos com sua ponta o x2 + y2 = 2 e y = x2. fio, marcando o ponto P1. Então, a soma das a) 3 b) 4 distâncias d(P1, F1) e d(P1, F2) é o comprimen- to do fio. Se o lápis deslizar sobre o papel, c) 5 d) 6 mantendo o fio sempre esticado, ficará traçada e) 7 uma elipse de focos F1 e F2 . A figura mostra outra posição P2 da ponta do lápis e, também para este ponto, a soma das distâncias d(P2,F1) e d(P2, F2) é o comprimento do fio. Assim, para as infinitas posições da ponta do lápis, a soma das distâncias a F1 a F2 é constante. 94
  • 83. Álgebra Linear I – Cônicas A constante 2a anteriormente referida é o com- Na verdade, essa igualdade é a relação de primento do fio. Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2. Se mantivermos constante o comprimento do fio 20.2 Equação da elipse de centro na origem e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da do sistema elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos estão entre si, tanto mais a forma da elipse 1.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos x. se assemelha à da circunferência, e quando F1 = F2, obtém-se uma circunferência. Por outro lado, quanto mais afastados os focos estiverem entre si, mais “achatada” será a elipse.20.1 Elementos Focos: são os pontos F1 e F2 . Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimen- Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse to 2a (o segmento A1A2 contém os focos e os de focos F1 (–c, 0) e F2 (c, 0). seus extremos pertencem à elipse). Por definíção, tem-se: Eixo menor: é o segmento B1B2 de compri- d(P 1) + d(P 2) = 2a ,F ,F mento 2b. ou: (B1B2 ∞ A1A2 no seu ponto médio). Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2. ou em coordenadas: Excentricidade: é o número e dado por . Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1. Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2 a2 = b2 + c2 a2x2 + a2y2 – a22cx + a2c2 = a4 – 2a2cx + c2x2 a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2 a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2 a2x2 – c2x2 +a2y2 = a4 – a2c2 (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2 – (a2 – c2) mas: a2 – c2 = b2 logo: b2x2 + a2y2 = a2b2 95
  • 84. UEA – Licenciatura em Matemática Dividindo ambos os membros da equação por Já a elipse abaixo tem equação reduzida: a2b2, obtemos , que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x. 2.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos y. Com procedimento análogo ao 1º caso, obter- emos a equação reduzida 20.3 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema 1.o caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos x. Consideremos uma elipse de centro C(h, k), e seja P(x, y) um ponto qualquer da mesma. Observação: Tendo em vista que a2 = b2 + c2, segue-se que: a2 > b2, e, portanto, a > b. Então, sempre o maior dos denominadores na equação reduzida representa o número a2, onde a é medida do semi-eixo maior. Ainda mais: se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos x. Faremos um processo análogo ao caso da Exemplos: equação da parábola com vértice em (h, k) A equação reduzida da elipse abaixo é: quando ocorre uma translação de eixos, pois o caso presente da elipse é perfeitamente análo- go àquele. Assim: é a equação de uma elipse de cen- tro C(0, 0) e eixo maior sobre o eixo dos x; quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C(h, k), a equação passa a ser Esse mesmo detalhe irá repetir-se também no 96
  • 85. Álgebra Linear I – Cônicas estudo da hipérbole a ser feito logo a seguir. Vamos escrever a equação na forma padrão, 2. caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos y. o dividindo todos os termos por 100: De forma análoga, temos: Como 25 > 4, o eixo maior está contido no eixo x, logo: a2 = 25 ⇒ a = 5 b2 = 4 ⇒ b = 2 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 c= Sabendo que os focos e os vértices estão situ- ados no eixo x, temos: Resposta: 3. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0,20.4 Exemplos 6) e V2 (0, –6) e que passa pelo ponto P (3, 2). Resolução:1. numa elipse, o eixo maior está contido no eixo Como os vértices estão no eixo y, a forma x, e seu comprimento é 16. Sabendo-se que a padrão da equação é: distância entre os focos é 10, determinar a equação da elipse. Resolução: Pelos dados do problema, temos: como o eixo maior está contido no eixo x, a A=6 forma padrão da equação é: Como a elipse passa pelo ponto P (3, 2), deve- mos ter: Pelos dados do problema, temos: 2a = 16 a = 8 2c = 10 c = 5 a2 = b2 + c2 64 = b2 + 25 b2 = 39 Substituindo a2 e b2 na equação padrão, temos: Então, a equação procurada é: Resposta : A equação é . Resposta: A equação procurada é2. Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices da elipse de equação 4. Determinar a excentricidade da elipse de 4x2 + 25y2 = 100. equação x2 + 5y2 = 20. Resolução: Resolução: x2 + 5y2 = 20 97
  • 86. UEA – Licenciatura em Matemática b) uma parábola de vértice na origem; c) uma circunferência de raio 2; Da equação obtida, temos: d) uma elipse cujo eixo maior é o dobro do eixo menor; b2 = 4 ⇒ b = 2 e) uma elipse cujo eixo maior é o quádruplo do eixo menor. a2 = b2 + c2 20 = 4 + c2 c2 = 16 2. Um ponto P da elipse dista 2 de um c =4 Daí, temos: dos foco. Qual é a distância de P ao outro foco da elipse? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 Resposta: 3. O eixo menor da elipse de equação 5x2 + 2y2 = 20 tem comprimento igual a:5. Determinar as coordenadas do centro, as coor- a) 2 b) 4 denadas dos focos e as medidas dos semi-eixos c) 10 d) da elipse de equação . e) 2 Resolução: Comparando com a forma padrão, temos: 4. A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e (0, 1) é: a) x2 + 4y2 = 4 b) x2 + c) 2x2 – 4y2 = 1 Como a2 = b2 + c2, vem: d) x2 – 4y2 = 4 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 5. A equação da circunferência com centro na c2 = 9 origem e cujo raio é igual ao semi-eixo menor c =3 da elipse x2 + 4y2 = 4 é: Portanto, O (h, k)⇒ O (4, –3) a) x2 + y2 = F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7,–3) b) x2 + y2 = 16 F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1,–3) c) x2 + y2 = 4 Resposta: O (4, –3), F1 (7, -3), F2 (1,–3), a = 5 d) x2 + y2 = 1 eb=4 6. A reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola y = x2 com a elipse é:1. Num sistema de coordenadas cartesianas or- a) y = –x b) y = 2x + 1 togonais, a equação x2 + 4y2 = 4 representa: c) y = 2x d) y = 3x a) uma circunferência de centro na origem; e) Não sei. 98
  • 87. Álgebra Linear I – Cônicas7. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 8y – 23 = 0 repre- senta uma: TEMA 21 a) circunferência; b) hipérbole; CÔNICAS – HIPÉRBOLE c) parábola; 21.1 Definição d) elipse; Considerando, num plano, dois pontos distin- e) reta. tos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de8. A reta y = ax + 1 intercepta a elipse x2 + 4y2 = 1 hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais somente num ponto. Calcule 8 a2. que o módulo da diferença das distâncias a) 6 b) 5 desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. c) 4 d) 7 Por exemplo, sendo P Q, R, S, F1 e F2 pontos , de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: e) 19. Os pontos A (10, 0) e B (–5, y) estão sobre uma elipse cujos focos são F1(–8, 0) e F2 (8, 0). Calcule o perímetro do triângulo BF1F2. a) 24 b) 32 c) 36 d) 44 e) 4610. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 é de uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem: a) 4 e 3 b) 4 e 2 c) 4 e 1 d) 3 e 2 e) 3 e 1 A figura obtida é uma hipérbole. Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice. 99
  • 88. UEA – Licenciatura em Matemática21.2 Elementos F2 (c, 0) Observe a hipérbole representada a seguir. Ne- Aplicando a definição de hipérbole: la, temos os seguintes elementos: Obtemos a equação da hipérbole: b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy. Nessas condições, a equação da hipérbole é: • semi-eixo real: a • semi-eixo imaginário: b • semidistância focal: c • distância focal: |F1F2| = 2c • eixo real: |A1A2| = 2a, contém os focos • eixo imaginário: |B1B2| = 2b (b > 0 e tal que a2 + b2 = c2 - relação fundamental) 21.4 Hipérbole eqüilátera Excentricidade Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando Chamamos de excentricidade o número real e as medidas dos semi-eixos real e imaginário tal que: são iguais: Como c > a, temos e > 1.21.3 Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox a=b 21.5 Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente F1 (–c, 0) angular dessas retas é m = ±b/a; quando é 100
  • 89. Álgebra Linear I – Cônicas vertical, o coeficiente é m = ± a/b. Resposta: a equação pedida é 2. Determinar a equação da hipérbole de focos F1(0, 4) e F2(0,–4), sabendo-se que o compri- mento do eixo real é 6 unidades. Resolução: Como os focos pertencem ao eixo das orde- nadas, a forma padrão da equação é: Pelos dados do problema, temos: Equação C=4 Vamos considerar os seguintes casos: 2a = 6 ⇒ a = 3 a) eixo real horizontal e C(0, 0) c2 = a2 + b2 ⇒ 42 = 32 + b2 ⇒ b2 = 16 – 9 ⇒ b2 = 7 As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular m = ± b/a; logo, suas Substituindo na forma padrão, temos: equações são da forma: Resposta: A equação pedida é b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular m = ± a/b; logo, suas 3. Determinar a medida do eixo real, do eixo equações são da forma: imaginário e da distância focal da hipérbole de equação 9x2 – 16y2 = 144. Resolução: Vamos escrever a equação na forma padrão,21.6 Exemplos dividindo todos os termos por 144:1. Determinar a equação da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(–5, 0) e de vértices V1(3, 0) e V2(–3, 0). Resolução: Nesse caso, os vértices e os focos estão no eixo das abscissas e: Como os focos pertencem ao eixo das abscis- sas, a forma padrão da equação é: a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3 Logo, c2 = a2 + b2 ⇒ c2 =16 + 9 Pelos dados do problema, temos: c = a=3 c =5 c=5 c2 = a2 + b2 ⇒ 52 = 32 + b2 ⇒ b2 = 25 – 9 ⇒ portanto, b2 = 16 ⇒ b = 4 Substituindo na forma padrão, temos: Resposta: 4. Determinar a excentricidade e a equação das 101
  • 90. UEA – Licenciatura em Matemática assíntotas da hipérbole de equação 4x2 – y2 = 16. Resolução: Escrevendo a equação dada na forma reduzi- 1. A cônica representada pela equação: da, temos: 3x2 – 4y2 + 8y – 16 = 0 é: 4x2 – y2 = 16 a) parábola; b) hipérbole; Pela equação obtida, temos: c) elipse; a2 = 4 ⇒ a = 2 d) circunferência; b2 = 16 ⇒ b = 4 e) duas retas. c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 4 + 16 ⇒ c2= 20 ⇒ 2. O valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta a hipérbole x2 – y2 = 1 é: a) 2 • Cálculo da equação das assíntotas b) d) 1 f) 0 g) –1 Resposta: 3. A equação de uma das assíntotas à hipérbole é:5. Determinar o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos a) y = 2x – 1 da hipérbole x2 – y2 = 16. b) y = 4x x2 – y2 = 16 (dividindo a expressão por 16) c) y = x d) y = 2x + 1 e) y = 2x Como a hipérbole é do tipo , o cen- 4. Considerando-se a equação da hipérbole tro tem coordenadas C(0, 0). 4x2 – 16y2 = 49, determine a medida do eixo • O eixo real mede A1 A2 = 2a = 2 . 4 = 8 real: • O eixo imaginário mede B1B2 = 2b = 2 . 4 = 8 a) 6 É importante observar que, nesse caso, b) 9 a = b = 4, portanto, trata-se de uma hipér- c) 4 bole eqüilátera. d) 7 • A excentricidade é dada por e) 0 c2 = a2 + b2 5. Obtenha a distância focal da hipérbole cuja c2 = 42 + 42 equação é . Os focos têm coordenadas F1(x0 -c, y0) e F2 (x0 + c, y0). a) 2c =12 b) 2c = 9 102
  • 91. Álgebra Linear I – Cônicas c) 2c = 11 d) 2c = 10 e) 2c = 136. Determine as coordenadas dos focos da hipér- bole cuja equação é 144y2 – 25x2 = 3600. a) F1(0, -12) e F2(0, 12) b) F1(0, -10) e F2(0, 10) c) F1(0, -13) e F2(0, 13) d) F1(0, -11) e F2(0, 11)7. O gráfico da equação x2 – y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a) b) (2,0) e (–2,0) c) (2 ,0) e (–2 ,0) d) (0, ) e (0,– ) e)8. Assinalar a falsa: a) As retas 2y = 3x + 5 e 3x – 2y = 0 são para- lelas. b) As retas 5x – 2y = 1 e 2x + 5y = 0 são per- pendiculares. c) A distância do ponto (5; 3) à reta y = 5 é 2. d) 2x2 + 5y2 = 1 é a equação de uma hipér- bole. e) X = 4y2 é a equação de uma parábola.9. A equação de uma das assíntotas da hipérbole x2 – y2 = 16 é: a) y = 2x – 1 b) y = 4x c) y=x d) y = 2x + 1 e) y = 2x10. A cônica de excentricidade 2 e vértice (-1;0) e (1; 0) tem equação: a) 3x2 + y2 = 3 b) 3x2 – y2 = 3 c) 3x2 – y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 3 e) x2 – 3y2 = 1 103
  • 92. Respostas dos Exercícios
  • 93. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos UNIDADE I UNIDADE II Matrizes Determinantes TEMA 02 TEMA 04 MATRIZES OPERAÇÕES PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Pág. 27 Pág. 16 1. d 2. a 3. d1. ; diagonal principal: 0, 0 e 0; 4. e 5. b2. 2. x = –2 e y = 2 6. a3. p = 1 e q = -1 7. a4. x = 1 e y = -1 8. d 9. b 10. a5. 11. e 12. a 13. d6. 14. e7. (6 -8 14) UNIDADE III8. Sistemas Lineares9. 94 TEMA 0610. ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊ-11. NEOS E HETEROGÊNEOS12. Pág. 36 1. a 2. b 3. b 4. c 5. a 6. d 7. d 8. e 107
  • 94. UEA – Licenciatura em Matemática9. e10. a11. b Pág. 5212. b13. b 1. a) (3, 2, 2) b) (2, 4, -1) c) (-4, -1, -4) d) (2, -8, -3)14. c15. a 2. a) b) 1 c)16. c 3. a) -17 b) -33 c) -1917. c 4. Demonstração18. d19. a 5.20. b21. a 6. a) Não b) Não22. a23. b 7.24. c25. c 8. a = -526. d 9. a = b= ou a = b= 10. UNIDADE IV 11. 3 Vetores 12. Demonstração 13. Demonstração 14. Demonstração TEMA 08 15. Demonstração VETORES - DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR TEMA 12 Pág. 48 VETORES - PRODUTO MISTO1. Demonstração2. Demonstração3. Demonstração4. a) uma resposta possível é Q(5, 10, -8) Pág. 57 b) uma resposta possível é Q(-7, -4, -2)5. a) (-2, 1, -4) b) (-10, 6, 4) c) (-7, 1, 10) d) (80, -20, -80) 1. 1. a) (-2, 4, -6) b) (1, -4, -6) 2. (12, -8, -12)6. Demonstração 3. k(3, 7, 1), k escalar 4. 5. - 5 TEMA 10 6. VETORES - PROJEÇÃO ORTOGONAL 108
  • 95. Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios7. a) Não b) Sim8. a) Sim b) Não c) Sim9. m = 4 Pág. 7510. a) 6 b) c) 2 ou -3 DEMONSTRAÇÃO Pág. 7711. 44 u.v. DEMONSTRAÇÃO UNIDADE V TEMA 16 Retas e Planos DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO TEMA 13 RETAS E PLANOS - EQUAÇÃO Pág. 79 DA RETA E DO PLANO DEMONSTRAÇÃO Pág. 80 DEMONSTRAÇÃO Pág. 62 DEMONSTRAÇÃO Pág. 63 TEMA 17 DEMONSTRAÇÃO Pág. 65 DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO DEMONSTRAÇÃO Pág. 68 Pág. 81 DEMONSTRAÇÃO TEMA 14 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS, TEMA 18 PLANOS, RETAS E PLANOS ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO Pág. 69 DEMONSTRAÇÃO Pág. 73 Pág. 83 DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO Pág. 75 Pág. 84 DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO Pág. 85 DEMONSTRAÇÃO TEMA 15 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO E RETA 109
  • 96. UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE VI 5. d CÔNICAS 6. c 7. c 8. d 9. c TEMA 19 10. b CÔNICAS - PARÁBOLA Pág. 931. b 2. c3. a 4. c5. e 6. b7. a 8. c9. b 10. c TEMA 20 CÔNICAS: ELIPSE Pág. 981. d2. c3. d4. a5. d7. d8. a9. c10. d TEMA 21 CÔNICAS - HIPÉRBOLE Pág. 1021. b2. d3. e4. d 110
  • 97. REFERÊNCIASAyres Jr, F. – Geometria analítica plana e sólida – S. Paulo – Mc Graw Hill do Brasil – 1983.Iezzi,G – Geometria analítica – S. Paulo – Atual – 1996.Oliva, W.M. – Vetores e geometria – S. Paulo – Edgard Blucher – 1990.Carvalho, J.P – Introdução à álgebra linear – Rio de Janeiro- livros técnicos e científicos – 2002. .Lang,S. – Álgebra linear - S. Paulo - Edgard Blucher – 1983.Machado, Antônio dos Santos – Álgebra linear e geometria analítica - S. Paulo- Atual editora – 1991. 111

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