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áLgebra linear i

  1. 1. Clício Freire da Silva Disney Douglas de Lima OliveiraDomingos Anselmo Moura da SilvaÁlgebra Linear I Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Ferreira da.S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 111 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, Disney Douglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 512.64 CDD (19.ed.): 512.5
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Matrizes - Definições e classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Matrizes - Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13UNIDADE II – Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 03 – Determinantes - Definição e cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Determinantes - Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24UNIDADE III – Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 05 – Sistemas lineares- Definição e resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 06 – Estudo de sistemas lineares homogêneos e heterogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33UNIDADE IV – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 07 – Vetores - Definição e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 08 – Vetores - Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44TEMA 09 – Vetores - Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 10 – Vetores - Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52TEMA 11 – Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 12 – Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56UNIDADE V – Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Equação da reta e do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 14 – Posições relativas entre retas, planos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 15 – Distância entre dois pontos, ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 16 – Distância entre retas, ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TEMA 17 – Distância entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80TEMA 18 – Ângulo entre retas, entre planos e entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82UNIDADE VI – Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 19 – Cônicas - Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 20 – Cônicas - Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 21 – Cônicas - Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico−científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE I Matrizes
  7. 7. Álgebra Linear I – Matrizes como a maioria dos resultados básicos da Teo- ria da Matrizes, foram descobertos quando os TEMA 01 matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. MATRIZES – DEFINIÇÕES E Hoje, consideramos imprescindível estudar es- CLASSIFICAÇÃO sas formas por meio da notacão e da metodo- logia matricial, mas naquela época elas eram1.1 Fique por dentro tratadas escalarmente. Mostremos aqui a re- Surgimento da Teoria das matrizes presentação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar, como com • Curiosidades em torno do nome matriz a mais moderna notação matricial: Foi só há pouco mais de 150 anos que as ma- trizes tiveram sua importância detectada e saí- ram da sombra dos determinantes. O primeiro a dar a elas um nome parece ter sido Cauchy, em 1826: tableau (= tabela ). O primeiro uso implícito da noção de matriz O nome matriz só veio com James Joseph ocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a ca- Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua racterização dos máximos e mínimos, de uma famosa Memoir on the Theory of Matrices, função real de várias variáveis, ao estudo do 1858, divulgou esse nome e começou a de- sinal da forma quadrática associada à matriz monstrar sua utilidade. das segundas derivadas dessa função. Sempre Por que Sylvester deu o nome matriz às trabalhando escalarmente, ele chegou a uma matrizes? conclusão que hoje expressamos em termos Usou o significado coloquial da palavra matriz: de matriz positiva definida. Após Lagrange, já local onde algo se gera ou se cria. Com efeito, no século XIX, a Teoria das Formas Quadrá- via-as como “...um bloco retangular de ter- ticas chegou a ser um dos assuntos mais impor- tantes em termos de pesquisas, principalmente mos... o que não representa um determinante, no que toca ao estudo de seus invariantes. Es- mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da sas investigações tiveram como subproduto a qual podemos formar varios sistemas de deter- descoberta de uma grande quantidade de resul- minantes, ao fixar um número p e escolhar à tados e conceitos básicos de matrizes. vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 ) Assim, podemos dizer que a Teoria das Matri- zes teve como mãe a Teoria das Formas Quadrá- Observe que Sylvester ainda via as matrizes ticas, pois seus métodos e resultados básicos como mero ingrediente dos determinantes. É foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das só com Cayley que elas passam a ter vida formas quadráticas é um mero capítulo da Teo- própria e, gradativamente, começam a suplan- ria das Matrizes. (Fonte de pesquisa: tar os determinantes em importância. http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3) • Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes 1.2 Elementos básicos para matrizes Costuma-se dizer que um primeiro curso de Aqui, tomaremos o conjunto N dos números na- Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais turais, como: N = {1,2,3,4,5,6,7,...}. abstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo, O produto cartesiano N×N indicará o conjunto até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teore- de todos os pares ordenados da forma (a, b), ma e toda uma série de resultados auxiliares já em que a e b são números naturais, isto é: eram conhecidos antes de Cayley começar a estudar as matrizes como uma classe notável N × N={(a, b): a e b são números naturais} de objetos matemáticos. Uma relação importante em N×N é: Como se explica isso? Esses resultados, bem Smn={(i,j): 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática1.3 Definição de matriz Exemplo: Matriz 4 x 4 de números comple- Considere um conjunto A de elementos aij, dis- xos. postos em uma tabela com m linhas e n colu- nas, tais que A = (aij)m×n, onde: • Matriz nula – É aquela que possui todos os elementos iguais a zero.1.4 Definições básicas sobre matrizes • Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colu- • Matriz identidade – Tem os elementos da nas, dizemos que a ordem da matriz é m×n. diagonal principal iguais a 1 e zero fora da • Posição de um elemento – Na tabela acima, diagonal principal. a posição de cada elemento aij = a(i,j) é Exemplo: Matriz identidade de ordem 3. indicada pelo par ordenado (i,j). • Notação para a matriz – Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: I3 = A = (aij)m×n ∀ . (i,j) ∈ Smn • Matriz quadrada – É a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colu- 1.5 Matrizes iguais nas, isto é, m = n. Duas matrizes A = (ai,j)m×n e B = (bi,j)m×n, de Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais. mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é ai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn. • Diagonal principal – A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da Determinar os valores de x e y para que sejam forma a(i,j) onde i = j. iguais as matrizes abaixo, isto é: • A diagonal secundária de uma matriz qua- drada de ordem n é indicada pelos n ele- mentos: Solução: • Matriz diagonal – É a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas: x–1=1 x=2 y–1=2 y=3 • Matriz real – É aquela que tem números reais como elementos. • Matriz complexa – É aquela que tem nú- meros complexos como elementos. 12
  9. 9. Álgebra Linear I – Matrizes TEMA 02 2.2.1 Propriedades MATRIZES – OPERAÇÕES a) Multiplicação pelo escalar 1 – A multiplica- ção do escalar 1 por qualquer matriz A, for- necerá a própria matriz A, isto é: 1. A = A2.1 Soma de matrizes b) Multiplicação pelo escalar zero – A multipli- A soma (adição) de duas matrizes A = [ai,j] e cação do escalar 0 por qualquer matriz A, B = [bi,j] de mesma ordem m × n é uma outra fornecerá a matriz nula, isto é: matriz C = [ci,j], definida por: 0 . A = 0 (matriz nula de ordem m x n) ci,j = ai,j + bi,j, para todo par ordenado (i,j) em Smn. c) Distributividade das matrizes – Para quais- quer matrizes A e B de mesma ordem e Exemplo: A soma das matrizes A e B é a ter- para qualquer escalar k, tem-se: ceira matriz indicada abaixo. k (A+B) = k A + k B d) Distributividade dos escalares – Para qual- quer matriz A e para quaisquer escalares p 2.1.1 Propriedades e q, tem-se: a) Associativa – Para quaisquer matrizes A, B (p + q) A = p A + q A e C, de mesma ordem m×n, vale a igual- dade: 2.3 Multiplicação de matrizes (A + B) + C = A + (B + C) Dadas as matrizez A=(aij)mxn e B = (bij)pxq, dize- nis que ∃ A.B ⇔ n = p, onde A . B = C(cij)mxn b) Comutativa – Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade: Para obter o elemento da 2.a linha e da 3.a co- A+B=B+A luna da matriz produto C = A.B, isto é, o ele- mento c(2,3), devemos: c) Elemento neutro – Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A, • multiplicar os primeiros elementos da 2.a de mesma ordem, fornecerá a própria ma- linha e 3.a coluna; triz A, isto é: • multiplicar os segundos elementos da 2.ali- 0+A=A nha e 3.a coluna; d) Elemento oposto – Para cada matriz A, • multiplicar os terceiros elementos da 2.a existe uma matriz -A, denominada a oposta linha e 3.a coluna; de A, cuja soma entre ambas fornecerá a • multiplicar os quartos elementos da 2.a linha matriz nula de mesma ordem, isto é: e 3.a coluna; A + (–A) = 0 • somar os quatro produtos obtidos anterior- mente.2.2 Multiplicação de escalar por uma matriz Assim: Seja k∈IR um escalar e A=(ai,j)mxn uma matriz. c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43 Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C = k.A, Observações definida por: ci,j = k. ai,j. Para todo par ordena- • Somente podemos multiplicar duas matrizes do (i,j) em Smn. se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Exemplo: A multiplicação do escalar –4 pela • Note que em geral A. B ≠ BA. Porém existem matriz matrizes tais que A . B = B . A, por exemplo , definida por: I3 . A = A . I3, ∀ A3x3 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática 2.3.1 Propriedades igual ao produto das transpostas das matri- a) Distributividade da soma à direita: zes na ordem trocada: A (B+C) = A B + A C ∀ A = (aij)mxp, B(bcj)pxn, (A B)t = Bt At C(cij)pxn e) Uma matriz A é simétrica se é uma matriz b) Distributividade da soma à esquerda: quadrada tal que At = A (A+B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n) f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma ma- c) Associatividade: triz quadrada tal que At = –A A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n) g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é d) Nulidade do produto – Pode acontecer simétrica. que o produto de duas matrizes seja a ma- triz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nem h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, B sejam matrizes nulas, como é o caso do então a matriz B = A + At é simétrica. produto: i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A – At é anti-simétrica. 2.5 Exemplos2.4 Matrizes com propriedades especiais 1. Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 , sendo a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natu- ral se Ak = 0 ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode ser genericamente representada por b) Uma matriz A é periódica de índice k natu- ral se Ak+1= A c) Uma matriz A é idempotente se A2 = A d) As matrizes A e B são anticomutativas se Utilizando a regra de formação de seus ele- A.B = –B.A mentos, encontramos: e) A matriz identidade Id multiplicada por toda a11 = 1 + 1 = 2 matriz A, fornecerá a própria matriz A, quan- a12 = 1 + 2 = 3 do o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A. a13 = 1 + 3 = 4 a21 = 2 + 1 = 3 f) A matriz A será a inversa da matriz B, se a22 = 2 + 2 = 4 A.B = Id e B.A = Id a23 = 2 + 3 = 5 g) Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n, Assim, a matriz pedida é . definimos a transposta da matriz A como a matriz At = (aij)nxm. 2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d para 2.4.1 Propriedades que se tenha: a) A transposta da transposta da matriz é a própria matriz (At)t = A b) A transposta da multiplicação de um esca- Igualando os elementos de mesma posição, lar por uma matriz é igual ao próprio escalar segue que: multiplicado pela transposta da matriz a=4 (kA)t = k (At) b + 1 = –1 b = –2 c) A transposta da soma de duas matrizes é a c–4=6 c = 10 soma das transpostas dessas matrizes. d+3=8 d=5 (A + B)t = At + Bt d) A transposta do produto de duas matrizes é 3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo 14
  11. 11. Álgebra Linear I – Matrizes . Vamos ver dois mo- dos de resolução. Modo 1: A matriz procurada é . Temos: Daí: Igualando os elementos correspondentes, vem: Modo 2: p–3=7 p = 10 Vamos operar como se A, B e X fossem núme- q – 1 = 10 q = 11 ros reais: r – 4 = –1 r=3 3X= A + B X = . (A + B), s+2=5 s=3 isto é: Modo 2: Vamos “isolar” a matriz X na equação: 1. Somemos, aos dois membros, a matriz A: (X – A) + A = B + A 5. Sejam as matrizes e 2. Usando as propriedades II e III, temos: , vamos determinar a matriz A . B. 3. Usando a propriedade IV, temos: Vejamos se é possível fazer tal produto: A seqüência acima mostra-nos que essa equação matricial é resolvida do mesmo Façamos . Temos: modo que a equação x – a = b, sendo x, a, e b números reais. • C11: (linha 1 de A e coluna 1 de B) Assim, para adição e subtração de matri- c11 = 5 . 1 + 1 . (–4) + (-1) . 8 = –7 zes, é possível simplesmente fazer: • C12: (linha 1 de A e coluna 2 de B) X – A = B ⇒ X = B + A. c12 = 5 . 5 + 1 . 3 + (–1) . 1 = 274. Vamos determinar X na equação • C21: (linha 2 de A e coluna 1 de B) c21 = 3 . 1 + 2 . (–4) + 7 . 8 = 51 3. X – A = B, sendo . • C22: (linha 2 de A e coluna 2 de B) Modo 1: c22 = 3 . 5 + 2 . 3 + 7 . 1 = 28 A matriz procurada é . Temos: Assim, 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática6. Considerando as matrizes e Igualando os elementos correspondentes, se- guem os sistemas: , vamos determinar a matriz C, produto de A por B. Temos: Logo: Note que: Seguindo o mesmo esquema do exemplo an- terior, temos: c11 = 1 . 2 + 2 . 0 = 2 c12 = 1 . 1 + 2 . 3 = 7 c13 = 1 . (–1) + 2 . (-2) = –5 c21 = 5 . 2 + 3 . 0 = 10 c22 = 5 . 1 + 3 . 3 = 14 c23 = 5 . (–1) + 3 . (–2) = -11 c31 = 9 . 2 + (–4) . 0 = 18 1. Construa a matriz A = (ai j)3x3, em que c32 = 9 . 1 + (–4) . 3 = -3 c33 = 9 . (–1) + (–4) . (–2) = –1 , identificando os elemen- c41 = 0 . 2 + 7 . 0 = 0 tos que pertencem às diagonais principal e c42 = 0 . 1 + 7 . 3 = 21 secundária de A. c43 = 0 . (–1) + 7 . (-2) = –14 2. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se Logo: ela for igual à sua matriz transposta. Determine x e y a fim de que a matriz seja simétrica.7. Vamos encontrar, se existir, a inversa da matriz 3. Determine os valores de p e q que satisfazem a igualdade: . Devemos determinar tal que A . A–1 = I2. Temos: 4. Determine x e y reais de modo que . 16
  13. 13. Álgebra Linear I – Matrizes5. Resolva o sistema matricial:6. Efetue:7. Sabendo que , determine a matriz 2 . X.8. Resolva o sistema .9. Sejam A = (ai j)4x3 e B = (bi j)3x4 duas matrizes definidas por ai j = i + j e bi j = 2i + j, respecti- vamente. Se A . B = C, então qual é o elemen- to c32 da matriz C?10. Determine x e y a fim de que as matrizes comutem.11. Considere . Determine: Xt + (X–1)t.12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inver- sa da matriz T = . 17
  14. 14. UNIDADE IIDeterminantes
  15. 15. Álgebra Linear I – Determinantes publicada postumamente em 1748, no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Ga- TEMA 03 briel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cra- DETERMINANTES – DEFINIÇÃO E mer também chegou à regra (independente- CÁLCULO DE DETERMINANTES mente), mas depois, na sua Introdução à aná- lise das curvas planas (1750), em conexão com3.1 Fique por dentro o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0. Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu Na matemática ocidental antiga, são poucas as tempo, sistematizou, em 1764, o processo de es- aparições de sistemas de equações lineares. No tabelecimento dos sinais dos termos de um de- Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção terminante. E coube a outro francês, Alexandre bem maior. Com seu gosto especial por diagra- Vandermonde (1735-1796), em 1771, empre- mas, os chineses representavam os sistemas ender a primeira abordagem da teoria dos de- lineares por meio de seus coeficientes escritos terminantes independente do estudo dos sis- com barras de bambu sobre os quadrados de temas lineares – embora também os usasse na um tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo o resolução destes sistemas. O importante teore- método de resolução por eliminação – que con- ma de Laplace, que permite a expansão de um siste em anular coeficientes por meio de opera- determinante por meio dos menores de r filas ções elementares. Exemplos desse procedimen- escolhidas e seus respectivos complementos to encontram-se nos Nove capítulos sobre a ar- algébricos, foi demonstrado, no ano seguinte, te da matemática, um texto que data provavel- pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: mente do século 111 a.C. Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês do mundo. Seki Kowa, que a idéia de determinante (como O termo determinante, com o sentido atual, polinômio que se associa a um quadrado de nú- surgiu em 1812, num trabalho de Cauchy so- meros) veio à luz. Kowa, considerado o maior bre o assunto. Neste artigo, apresentado à Aca- matemático japonês do século XVII, chegou a demia de Ciências, Cauchy sumariou e simpli- essa noção por meio do estudo de sistemas li- ficou o que era conhecido até então sobre neares, sistematizando o velho procedimento determinantes, melhorou a notação (mas a atu- chinês (para o caso de duas equações apenas). al com duas barras verticais ladeando o qua- O uso de determinantes no Ocidente começou drado de números só surgiria em 1841, com dez anos depois, num trabalho de Leibniz, liga- Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes – do também a sistemas lineares. Em resumo, meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a Leibniz estabeleceu a condição de compatibili- primeira demonstração desse teorema, mas a dade de um sistema de três equações a duas de Cauchy era superior. incógnitas em termos do determinante de or- dem 3 formado pelos coeficientes e pelos ter- Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o mos independentes (este determinante deve alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cogno- ser nulo). Para tanto, criou até uma notação com minado às vezes “o grande algorista”. Deve-se índices para os coeficientes; o que hoje, por a ele a forma simples como essa teoria se exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indi- apresenta hoje. Como algorista, Jacobi era um cava por 12. entusiasta da notação de determinante, com A conhecida regra de Cramer para resolver sis- suas potencialidades. Assim, o importante con- temas de n equações a n incógnitas, por meio ceito jacobiano de uma função, salientando um de determinantes, é na verdade uma desco- dos pontos mais característicos de sua obra, é berta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), uma homenagem das mais justas. (HYGINO H. datando provavelmente de 1729, embora só DOMINGUES) 21
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática3.2 Introdução detM = = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –2 Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). 3.5 Menor complementar A toda matriz quadrada está associado um nú- Chamamos de menor complementar relativo mero ao qual damos o nome de determinante. a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e Dentre as várias aplicações dos determinantes de ordem n > 1, o determinante MCij, de na Matemática, temos: ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que pas- • resolução de alguns tipos de sistemas de sam por aij. equações lineares; Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a • cálculo da área de um triângulo situado no seguir: plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. a) Dada a matriz , de ordem 2,3.3 Determinante de 1.a ordem para determinar o menor complementar re- lativo ao elemento a11(MC11), retiramos a Dada uma matriz quadrada de 1.a ordem linha 1 e a coluna 1: M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 ⇒ MC11 = |a22| = a22 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o sig- nificado de módulo. Da mesma forma, o menor complementar Por exemplo: relativo ao elemento a12 é: M= [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5 ⇒ MC12 = |a21| = a21 M = [–3] ⇒ det M = –3 ou |–3| = –33.4. Determinante de 2.a ordem Dada a matriz , de ordem 2, por b) Sendo , de ordem 3, definição o determinante associado a M, deter- minante de 2.a ordem, é dado por: temos: detM = = a11a22 – a12a22 Portanto o determinante de uma matriz de or- dem 2 é dado pela diferença entre o produto 3.6 Cofator dos elementos da diagonal principal e o produ- Chamamos de cofator ou complemento algé- to dos elementos da diagonal secundária. Veja brico relativo a um elemento aij de uma matriz o exemplo a seguir. quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (–1)i+j . MCij . Sendo , temos: Veja: 22
  17. 17. Álgebra Linear I – Determinantes 2.o passo – Encontramos a soma do produto a) Dada , os cofatores relativos dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): b) Sendo , vamos calcular 3.o passo – Encontramos a soma do produto os cofatores A22, A23 e A31: dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo): Assim:3.7 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn, m = 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qual- quer (linha ou coluna) da matriz M pelos res- pectivos cofatores. = –(a13a22a31+a11a23a22+a12a21a33)+(a11a22a33+a11a23a31+a13a21a32) Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos: Observação: em que é o somatório de Se desenvolvermos esse determinante de 3.a todos os termos de índice i, variando de 1 até ordem aplicando o Teorema de Laplace, m, m ∈ N. encontraremos o mesmo número real.3.8 Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3.a ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para . 1.o passo – Repetimos as duas primeiras colu- nas ao lado da terceira: 23
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática 4.2 Teorema de Jacobi TEMA 04 Teorema de Jacobi – O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos ele- mentos de uma fila uma combinação linear dos DETERMINANTES – PROPRIEDADES DOS elementos correspondentes de filas paralelas. DETERMINANTES Exemplo:4.1 Nulidade a) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Substituindo a 1.a coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2.a, temos: Exemplo: a) 4.3 Matriz transposta O determinante de uma matriz e o de sua trans- b) posta são iguais. Exemplo: b) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 4.4 Alteração de um determinante a) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado c) Se duas filas paralelas de uma matriz são por esse número. proporcionais, então seu determinante é Exemplos: nulo. Exemplo: a) multiplicando d) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então b) seu determinante é nulo. Exemplos: a) b) multiplicando = 1/5 . (–145) = –29 24
  19. 19. Álgebra Linear I – Determinantes b) Quando trocamos as posições de duas filas 4.6 Teorema de Binet paralelas, o determinante de uma matriz mu- Para A e B matrizes quadradas de mesma or- da de sinal. dem n, det (AB) = det A . det B Exemplo: A sendo inversível: Trocando- se as posições de L1 e L2: Exemplo: Se , e , então: c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA Exemplo: 1. Vamos calcular o valor do determinante da4.5 Matriz triangular a) Quando, em uma matriz, os elementos aci- matriz . ma ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao pro- duto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: –42 0 –8 –4 –35 0 Assim: det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89. a) b) 2. Vamos determinar o valor de x em b) Quando, em uma matriz, os elementos . acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal mul- Aplicando a regra de Sarrus no primeiro mem- bro, vem: tiplicado por . Exemplos: 0 +6 –x2 0 –12x 4x Daí: a) b) –x2 – 8x + 6 = –3 x2 + 8x – 9 = 0 x = –9 ou x = 1 25
  20. 20. UEA – Licenciatura em Matemática optar pela fila com maior número de zeros, a3. Sendo , então, eliminando-se fim de simplificar os cálculos. Escolhemos, dessa forma, desenvolver pelos elementos da 2.a coluna. Temos: a 1.a linha e a 3.a coluna, obtemos: é o cofator do Assim, basta calcular A22. elemento a13 . Como , se-4. Sendo e eliminando-se gue que D = (–2) . (–183) = 366. a 3.a linha e a 2.a coluna, obtemos: 7. Seja a matriz quadrada , onde é o cofa- observamos que todos os elementos da 1.a e da 2.a coluna são iguais. Vamos calcular o determinante da matriz: tor do elemento b32 . Det A =5. Vamos calcular . Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema de Laplace vem: D = 7 . A31 + 4 . A32 + (–5) . A33 + 0 . A34(*) Temos: 8. Considere as matrizes e sua transposta . Os seus determinantes valem: ∴ det A = det At Observe que não é necessário calcular A34. Daí, em (*), temos: D = 7 . 9 + 4 . 20 + (–5) . 7 = 108 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At.6. Qual é o valor de . 9. Resolver a equação . Embora a escolha seja arbitrária, devemos 26
  21. 21. Álgebra Linear I – Determinantes Resolução: At = A, calcule o determinante da matriz , sendo I3 a matriz identidade de ordem 3. a) –34 b) –67 c) –56 d) –76 Resposta: S = {2, 3} 2. Se , qual é o valor10. Calcular o determinante: de 2x? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Observe que o determinante não possui ele- mento igual a 1, mas podemos obtê-lo colo- cando 2 em evidência na 3.a linha 3. Calcule: . Vamos fixar o elemento a31 e aplicar o teorema a) 50 b) –45 de Jacobi. Daí, temos: c) 45 d) –50 • Multiplicando-se, respectivamente, por 2, 3 e –4 os elementos da 3.a linha e adicionan- 4. Dadas as matrizes e ,o do-os, respectivamente, aos elementos da 1.a, 2.a e 4.a linhas, vem: determinante da matriz A . B é: a) –1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 5. Calcule x e y de sorte que: Aplicando o teorema de Laplace aos ele- mentos da 1.a coluna, temos: . a) x = 1, y = 3 b) x = 3, y = 2 c) x = 4, y = 4 d) x = 4, y = 3 Utilizando a regra de Sarrus, obtemos: 6. Considere as matrizes: D = –184 Resposta: –184 e Sabe-se que B = C, o determinante da matriz A será: a) 42 b) 211. Seja a matriz . Sabendo se que c) 24 d) 12 e) 15 27
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática7. O valor do determinante abaixo é: 13. Calcule: . a) 1 b) 2 a) 3abcd b) 2abcd c) 3 c) 3abc d) –3abc d) 4 e) –2abd e) 58. Dadas as matrizes, calcule o determinante da 14. Calcule o determinante: matriz A2 + B2. e . a) 13 b) 14 c) 16 d) 18 a) 19 e) 19 b) 12 c) 159. Seja S = (Si j) a matriz quadrada de ordem 3, d) 13 e) 16 onde . Calcule o valor do 15. Ache o valor do determinante: determinante de S. . a) 36 b) 48 c) 56 d) 24 e) 34 a) 25611. Se 0 ≤ x ≤ 2, determine o menor valor de x, tal b) 345 c) –365 d) –65 que . e) –353 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 410. Calcule o determinante da matriz M = (AB) . C, sendo : e . a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0 28
  23. 23. UNIDADE IIISistemas Lineares
  24. 24. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares onde: TEMA 05 x1, x2,...,xn são as incógnitas; a11, a12,...,amn são os coeficientes; SISTEMAS LINEARES – DEFINIÇÃO E b1, b2,...,bm são os termos indepentes. RESOLUÇÃO Resolver o sistema significa encontrar os va- lores das incógnitas que resolvem, simultanea-5.1 Equação linear mente, todas as suas equações. Entenderemos por equação linear nas variá- Por exemplo: dado o sistema de equações: veis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, em que a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou com- plexos. Podemos afirmar que a sua solução será a tri- a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes, pla x = 1, y = 2 e z = 0, pois: e b, termo independente. 2.1 + 2 – 0 = 4 Exemplos de equações lineares: 1 – 2 + 3.0 = –1 4x1 + 2x2 = 9 3.1 – 5.2 + 7.0 = –7 3x + 4y = 5 –2x + 3y +5z = 12 5.4 Resolução de sistemas lineares. –x – 3y – 7z + 3w = 17 Para resolver um sistema linear pelo método de Cramer, é necessário que o mesmo seja5.2 A solução de uma equação linear possível determinado, com det(mp) = 0, como veremos a seguir. Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao serem substituídos nas Vamos resolver o sistema proposto inicialmente: incógnitas, cheguem à uma igualdade ver- dadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5 apresenta como solução os valores x = 1, y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os valores x = 3, y = 7 e z = –5 também são Para resolver um sistema, devemos, inicialmente, soluções da equação, uma vez que 3 + 7 – 5 = 5. encontrar a sua Matriz Principal, que é dada Podemos, então, afirmar que existem infinitas pelos coeficientes das incógnitas. Dessa forma, soluções (um número infinito de ternos orde- a matriz principal do sistema acima será: nados) que satisfazem à equação dada.5.3 Sistema linear De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou sistema linear é um con- Calculamos, então, o seu determinante. Para junto composto por duas ou mais equações line- indicar o determinante de uma matriz X, escre- ares. veremos det(X), então det (Mp) = 20. Um sistema linear pode ser representado da A seguir, calculamos os determinantes das in- seguinte forma: cógnitas, que são conseguidas quando substi- tuímos, na matriz principal, a coluna de uma das incógnitas, pela coluna dos termos inde- pendentes. Temos, deste modo, as matrizes chamadas de Mx, My e Mz, das quais também devemos calcular os determinantes. 31
  25. 25. UEA – Licenciatura em Matemática mento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n) det (Mx) = 20 Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo: det (My) = 40 1.o passo – Anulamos todos os coeficientes da 1.a incógnita a partir da 2.a equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1.a equação com a 2.a det (Mz) = 0 equação, de modo que o 1.o coeficiente de x Após calculados os determinantes da matriz seja igual a 1: principal e das matrizes das incógnitas, chega- mos aos valores de x, y, z, efetuando as se- guintes divisões: Trocamos a 2.a equação pela soma da 1.a equa- ção, multiplicada por –2, com a 2.a equação: Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2; Trocamos a 3.a equação pela soma da 1.a equa- z = 0. ção, multiplicada por –3, com a 3.a equação: Observação: Quando dois ou mais sistemas apresentam a mesma solução, são chamados de Sistemas Equivalentes.5.5 Sistemas escalonados 2.o passo – Anulamos os coeficientes da 2.a Dizemos que um sistema, em que existe pelo incógnita a partir da 3.a equação: menos um coeficiente não-nulo em cada equa- Trocamos a 3.a equação pela soma da 2.a equa- ção, está escalonado, se o número de coefi- ção, multiplicada por –1, com a 3.a equação: cientes nulos antes do primeiro coeficiente não- nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema, adotamos o se- guinte procedimento: a) Fixamos como 1.a equação uma das que Agora, o sistema está escalonado, e podemos possuem o coeficiente da 1.a incógnita dife- resolvê–lo. rente de zero. –2z = –6 ⇒ z = 3 b) Utilizando as propriedades de sistemas equi- Substituindo z=3 em (II): valentes, anulamos todos os coeficientes da –7y – 3(3) = –2 ⇒ –7y – 9 = –2 y = –1 1.a incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incóg- Substituindo z = 3 e y = –1 em (I): nitas, até que o sistema se torne escalonado. x + 2(–1) + 3= 3 ⇒ x = 2 Vamos, então, aplicar a técnica do escalona- Então, x = 2, y = –1 e z = 3 32
  26. 26. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares TEMA 06 ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS6.1 Discussão de Sistemas Lineares Um sistema linear pode apresentar três possi- bilidades diferentes de solução: 6.1.1 Sistema com uma única solução. • O sistema pode ter uma única solução (nes- As equações lineares abaixo representam duas se caso, será chamado de sistema possível retas no plano cartesiano que têm o ponto e determinado – SPD) (3,–2) como interseção. • O sistema pode ter infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema possível e indeterminado – SPI) • O sistema pode não apresentar solução 6.1.2 Sistema com infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema im- As equações lineares representam retas parale- possível – SI) las sobrepostas no plano cartesiano, logo exis- tem infinitos pontos que satisfazem a ambas as Observações: equações (pertencem a ambas as retas).1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = 0 esta deverá ser suprimida do sistema. Exemplo: Escalonar o sistema 6.1.3 Sistema que não tem solução As equações lineares representam retas para- lelas no plano cartesiano, logo, não existem pon- tos que pertençam às duas retas. No caso de sistemas com três ou mais incóg- nitas, vale a mesma classificação. Por exemplo: Observe que o sistema é possível indeterminado.2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma O sistema é um sistema possível e determina- equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = do (SPD), pois apresenta apenas a solução b(com b0) o sistema será, evidentemente, x = 1; y = 2; z = 3. impossível. Exemplo: Escalonar o sistema . 33
  27. 27. UEA – Licenciatura em Matemática O sistema é um sistema possível e indetermi- 2. Calcular m e n, de modo que sejam equiva- nado (SPI), pois apresenta infinitas soluções. lentes os sistemas: Entre as soluções, estão x = 0; y = –3; z = 1 e x = 1; y = –2; z = 3. e Resolução: Cálculo de x e y. x – y = 1 x (–2) e somamos abaixo O sistema é um sistema impossível (SI), pois 2x + y = 5 não apresenta solução. 3y = 3, então y = 1 Podemos afirmar que um sistema linear S de n x – y = 1, então x = 2 equações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, será Substituindo–se x e y no segundo sistema, vem: SPD, SPI ou SI 2m – n = –1 x (2) e somamos abaixo6.2 Sistemas Lineares Homogêneos m + 2n = 2 Um sistema linear é chamado de homogêneo 5m = 0, então m = 0 quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear ho- 2m – n = –1, então n = 1 mogêneo admite pelo menos a solução conhe- Resposta: m = 0 e n = 1 cida como trivial, que é a solução identica- mente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0). 3. Seja , cuja solução é (5, 3). Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Exemplos: Substituindo a 2.a equação pela soma dela com a 1.a: ← (2ª eq.) + (1ª eq.) O sistema é determinado, pois possui apenas a solução x = 0; y = 0; z = 0. O par (5, 3) é também solução de S’, pois a segunda equação também é verificada: x – 2y = 5 – 2 . 3 = 5 – 6 = – 1 O sistema é indeterminado, pois admite infini- 4. Vamos escalonar e depois resolver o sistema: tas soluções, entre elas x = 0; y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1.6.3 Exemplos Em primeiro lugar, precisamos anular os coefi-1. Considere , cuja solução é (3, –1). cientes de x na 2.a e na 3.a equação. Substituímos a 2.a equação pela soma dela Multiplicando–se a 1.a equação de S por 5, por com a 1.a, multiplicada por 2 exemplo, obtemos: cuja solução também é (3, –1). 34
  28. 28. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares Vejamos algumas de suas soluções: • α = 0 → (0, 0, 0): solução nula ou trivial. • α = 1 → (4, –3, 1) • α = –2 → (–8, 6, – 2): soluções próprias ou Substituímos a 3.a equação pela soma dela diferentes da trivial. com a 1.a, multiplicada por (–2) 6. Resolver o Sistema Deixando de lado a 1.a equação, vamos repetir o processo para a 2.a e a 3.a equação. Convém, entretanto, dividir os coeficientes da 2.a equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: Logo: que é equivalente a: O sistema é possível e determinado, Substituímos a 3.a equação pela soma dela com a 2.a, multiplicada por 4: 7. Resolver o sistema 4y – 4z =–16 –4y + 5z = 19 Resolução – Dividindo–se a 2.a equação por 2 e trocando-a de posição com a 1.a equação z=3 para fazer o coeficiente de x igual a 1, vem: O sistema obtido está escalonado e é do 1.o tipo (SPD). Resolvendo-o, obtemos como solução: Para eliminar a incógnita x, multiplica-se a 1.a (2, –1, 3). equação por (–4) e soma-se com a 2.a equação:5. Escalonando o sistema vem: Da 2.a equação, vem: –11y = –22 y = 2 Substituindo y = 2 na 2.a equação, temos: Dividimos os coeficientes da 3.a equação por 2, x+4=5 x=1 notamos que ela ficará igual à 2.a equação e, Observação: portanto, poderá ser retirada do sistema. Podemos resolver este sistema utilizando so- Assim, o sistema se reduz à forma escalonada mente os coeficientes, isto é, a matriz comple- e é do 2.o tipo (SPI). ta associada ao sistema da seguinte forma: Resolvendo-o, vem y = –3z e x = 4z. Se z = α, α ∈ IR, segue a solução geral (4α, –3α, α). 35
  29. 29. UEA – Licenciatura em Matemática Da 2.a equação, vem: Então: –11y = – 22 y = 2 Substituindo na 1.a equação, temos: x + 2y = 5 x + 4 = 5 x = 1 S = {(1, 2)} Resposta: {m∈ IR|m ≠ 1}8. Resolver o sistema Resolução – Utilizando a matriz completa, temos: 1. O sistema , é: a) indeterminado com uma variável livre; b) indeterminado com duas variáveis livres; c) homogêneo; d) impossível; e) determinado. Da 3.a equação, temos: 2. O sistema é: a 0 + 0b + 0c = –5 (impossível) S=∅ a) impossível;9. Determinar K, de modo que o sistema b) indeterminado; c) determinado; d) par (10, 5) é solução do sistema; admita solução única. e) par (15, 0) é solução do sistema. Quando o número de equações é igual ao nú- mero de incógnitas, também podemos consi- 3. Considere o sistema . Pode- derar o determinante da matriz incompleta. Para que o sistema dado admita solução única, mos afirmar corretamente que: devemos ter: a) sistema é incompatível; b) sistema é compatível determinado; c) S = {(4, 1, 2)} é solução do sistema; d) sistema possui exatamente três soluções; e) sistema é compatível indeterminado. Resposta: 4. (UEL – PR ) Se os sistemas e10. Calcular o valor de m para que o sistema são equivalentes, então a2 + b2 é tenha somente a solução trivial. igual a: a) 1 b) 4 Resolução – Para que o sistema tenha somen- c) 5 te a solução trivial, isto é, seja determinado, é d) 9 necessário que det A ≠ 0. e) 10 36
  30. 30. Álgebra Linear I – Sistemas Lineares5. (FGV – SP) Resolvendo o sistema de equações a) 1 e 2 b) –1 e 3 c) 2 e –1 d) –1 e –2 , temos que: e) 3 e –1 10. (FGV–SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sis- a) x = 1 e y = 0; b) é impossível; c) é indeterminado; tema linear então o produto d) x = 3 e y = –1; e) é indeterminado. a . b . c vale:6. (PUC – SP) Estudando-se o seguinte sistema a) 0 b) 12 obtém-se: c) –12 d) 24 e) –24 a) sistema é possível, determinado e admite 11. (ALFENAS – MG) O sistema de equações uma única solução x = 1, y = 0 e z = 0; b) sistema é impossível; terá uma única solução se: c) sistema é possível, porém indeterminado com uma incógnita arbitrária; a) a = 5b; b) 5 . a . b = 0; d) sistema é possível, porém indeterminado c) a + 5b = 0; com duas incógnita arbitrária d) a – 5b = 0; e) sistema é indeterminado com uma incógni- e) 5 . a . b = 0. ta arbitrária, sendo (0, 1, 3) uma solução 12. O sistema de equações terá infini-7. (CESGRANRIO) O número de soluções do sis- tas soluções se: tema é: a) a = 5 e b = –1; b) a + b = 6; c) a . b = 6; a) maior do que 3; b) 3; d) 5 . a . b = 10; c) 2; d) 1. e) b = 5a. e) 0; 13. (FMU–SP) O sistema linear tem8. (UFScar–SP) O sistema linear solução única para: admite uma infinidade de soluções. Seja a) todo a ≠ 0 e b ≠ 0 z = α(α ≠ 0) um valor arbitrário. Então, a b) b ≠ 2a solução (x,y,z) do sistema acima é: c) b≠a a) (2, 2 – α, α) b) (1, α – 3, α) d) toda a ∈ IR e b ∈ IR c) (1, 3 – α, α) d) (2, α – 2, α) e) todo a > 0 e b > 0 e) (3, α, α) 14. (FGV–SP) Determinando os valores de a e b,9. (UEL–PR) O sistema equivalente a fim de que o sistema seja inde- ao sistema definido pela equação matricial terminado, o produto a . b é: se os valores de k e t são a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 respectivamente: e) 36 37
  31. 31. UEA – Licenciatura em Matemática15. (PUC–RS) Para que o sistema 21. (FATEC–SP) Para que o sistema seja impossível, o valor de k deve ser: a) 1/5 b) 1/4 seja compatível, a deve ser igual a: c) 1/3 d) 4/5 a) –5 b) 5 e) 5/4 c) –6 d) 6 e) –716. (PUC–SP) O valor de k tal que o sistema 22. (FGV – SP) Para que o sistema admite solução única é: onde k é um número real, uma das afirmações seguintes é correta: a) k ≠1 e k ≠ –4 b) k ≠ 1 e k≠ 3 c) k ≠ –1 e k≠ 4 d) k ≠ 1 e k≠ –2 a) se k = 0, o sistema é indeterminado; e) k ≠ 1 e k ≠ –3 b) se k = 1 ou k = 15, o sistema é impossível; c) se k ≠ 0, o sistema é indeterminado; d) se k ≠ 0, sistema é impossível;17. (FUVEST– SP) O sistema linear e) se k = 1 ou k = 15, o sistema é determinado. não admite solução se a for igual a: 23. (UNESP–SP) Para que os valores reais de p e q o sistema não admite solução? a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –218. (UEL–PR) O sistema é possível a) p = –2 e q = 5 e b) p > –2 e q ≠ 4 determinado se, e somente se, k for igual a: c) p = q=1 a) 3 b) 2 d) p = –2 e q ≠ 5 c) 1 d) –1 e) p = 2eq=5 e) –2 24. (UNIUBE) O sistema linear de equações incóg-19. (UEL–PR) O sistema nitas x e y não admite solução se: a) admite infinitas soluções, se m ≠ 1; a) a ≠ 6 e k ≠ 5 b) a ≠ 6 e k ≠ –5 b) é indeterminado, para todo m ≠ IR; c) a ≠ 6 e k ≠ –5 d) a = 6 e k = 5 c) não admite soluções; e) a 6 e k ≠ 5 d) é possível e determinado, se m ≠ 7; e) tem solução única, se m = –7. 25. (CEFET – PR) O sistema de incóg-20. (PUC–SP) Os valores reais de a e b, para que nitas x e y é: a) impossível, para todo k real diferente de –21; o sistema seja compatível e b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de –63; indeterminado, são: c) possível e determinado, para todo k difer- a) a = –2 e b ≠ 5 ente e –21; b) a ≠ –2 e b = 5 d) possível e indeterminado, para todo k real c) a ≠ –2 e b ∈ IR diferente de –3; d) a ∈ IR e b ≠ 5 e) possível e determinado, para todo k real e) a = –2 e b = 5 diferente de –1 e –63. 38
  32. 32. UNIDADE IV Vetores
  33. 33. Álgebra Linear I – Vetores 7.2.1 Segmento nulo TEMA 07 Segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 7.2.2 Segmentos opostos VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.7.1 Introdução 7.2.3 Medida de um segmento Em nosso quotidiano, estamos acostumados a usar grandezas chamadas escalares, que são Fixada uma unidade de comprimento, a cada caracterizadas por um número (e sua respectiva segmento orientado pode-se associar um nú- unidade de medida): 5kg de massa, 1m2 de mero real, não negativo, que é a medida do seg- área, 10cm de comprimento, 4l de volume, etc. mento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento No entanto existem outras grandezas que pre- ou seu módulo. O comprimento do segmento cisam de mais informações. Um exemplo disso AB é indicado por |AB| são grandezas como força e velocidade, para Assim, o comprimento do segmento AB repre- as quais precisam ser fornecidos uma direção, sentado na figura abaixo é de 3 unidades de uma intensidade e um sentido. Essas grande- comprimento: zas são denominadas vetoriais. Retas suportes paralelas |AB| = 3 u.c. Observações: a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. Na Figura acima, as flechas dão idéia da di- b) |AB| = |BA| reção do comprimento e do sentido das gran- dezas mensionadas. No entanto cada fecha é 7.2.4 Direção e sentido apenas um representante de um vetor. A se- Segmentos orientados não nulos AB e CD têm guir, definiremos de forma mais precisa do que a mesma direção se as retas suportes desses vem a ser um vetor. segmentos são paralelas ou coincidentes:7.2 Segmento orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado ex- tremidade. O segmento orientado de origem A e extremi- dade B erá representado por AB e, geome- tricamente, indicado por uma seta que carac- teriza visualmente o sentido do segmento (con- forme figura abaixo) . 41
  34. 34. UEA – Licenciatura em Matemática Observações: frações. Duas frações representam o mesmo a) Só se pode comparar os sentidos de dois número racional se o numerador e o denomi- segmentos orientados se eles têm mesma nador de cada uma delas estiverem na mesma direção. proporção. Por exemplo, as frações b) Dois segmentos orientados opostos têm sen- representam o mesmo número racional. De tidos contrários. forma análoga, dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se pos- 7.2.5 Segmentos equipolentes suem o mesmo comprimento, a mesma dire- Dois segmentos orientados AB e CD são equi- ção e o mesmo sentido. A definição de igual- polentes quando têm a mesma direção, o mes- dade de vetores também é análoga à igual- mo sentido e o mesmo comprimento (ver figu- dade de números racionais. Dois números ra a seguir). racionais sao iguais, quando ad = cb. Analogamente, dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimen- to, a mesma direção e o mesmo sentido. → O comprimento de um vetor v , também cha- → mado de módulo ou norma de v , será indicado → por | |. |v | Se os segmentos orientados AB e CD não per- tencem à mesma reta, como na figura anterior, 7.3.1 Vetores iguais para que AB seja equipolente a CD é neces- Na figura abaixo, temos 6 segmentos orienta- sário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve dos, com origens em pontos diferentes, que ser um paralelogramo. representam o mesmo vetor, ou seja, são con- Observações: siderados como vetores iguais, pois possuem a) Dois segmentos nulos são sempre equipo- a mesma direcão, mesmo sentido e o mesmo lentes. comprimento. Portanto tanto os segmento ori- entado AB quanto o segmento orientado CD b) Representaremos a equipolência entre os → representam o mesmo vetor v . segmentos AB e CD por AB ~ CD 7.2.6 Propriedades da equipolência i) AB ~ AB (reflexiva). ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica). iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva). Observação – Uma relação que goza das pro- priedades i) ii) e iii) chama-se relação de equi- valência. Se o ponto inicial de um representante de um7.3 Vetor → vetor v e A e o ponto final é B, então escreve- → Dado um segmento de reta orientado, defini- mos v = . Portanto dois vetores e mos como sendo um vetor ao conjunto de to- são iguais se, e somente se, AB ~ CD. dos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado dado. 7.3.2 Vetor nulo Um vetor poder ser representado por vários Os segmentos nulos, por serem equipolentes segmentos orientados. Esse fato é análogo ao entre si, determinam um único vetor, chamando → que ocorre com os números racionais e as vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0. 42

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