Indução Matemática- Noções básicas;- Exemplos;- Exercícios.       Indução Matemática é um processo de prova ou demonstraçã...
Observe que a resolução do problema está dividida em duas etapas:1ª. Descobrir uma regra, através da análise de casos part...
Exemplo 2Determine uma fórmula para a soma dos n primeiros números ímpares e prove a sua validadeusando a indução matemáti...
Exemplo 4                                                                       n        nMostre que para qualquer número ...
Exercícios:   1. Mostre que a soma de três números consecutivos é sempre um múltiplo de 3.   2. Mostre que para qualquer n...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Inducao matematica

10,654

Published on

Published in: Technology, Business
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
10,654
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
225
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Inducao matematica

  1. 1. Indução Matemática- Noções básicas;- Exemplos;- Exercícios. Indução Matemática é um processo de prova ou demonstração de propriedades definidassobre o conjunto dos números inteiros que, baseada numa quantidade finita de observações, estendee generaliza a propriedade para todo o conjunto de números inteiros. O processo de prova baseia-se nos seguintes argumentos: Prove que a propriedade vale para n=1, supondo que a propriedade vale para n, prove queela também vale para n+1. Veremos, a seguir, exemplos de propriedades numéricas que podem ser provadas comindução matemática. Exemplo 1 Soma dos n primeiros números naturais: 1=1 1+2 = 3 1+2+3 = 6 1+2+3+4 = 10 1+2+3+4+5 = 15 ... 1+2+3+4+5+ ... + n = f(n) = n(n+1) 2 pois, 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = S n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 = S somando: (n+1) + (n+1) + (n+1) + .... + (n+1) + (n+1) + (n+1)= 2S ou seja, n.(n+1) = 2S S = n(n+1) 2Por inspeção observa-se que a fórmula S = n(n+1) , funciona para os primeiros números naturais.Será que valerá para todos? 2
  2. 2. Observe que a resolução do problema está dividida em duas etapas:1ª. Descobrir uma regra, através da análise de casos particulares ou observando-se padrõesou regularidades;2ª. Provar que a fórmula está correta e que vale para todos os números naturais.O processo de prova será por indução matemática. Para tanto, devemos provar que a “basede indução” e depois, com o “passo de indução”, mostrar que se a propriedade é válida para“n” então ela será válida para “n+1” também.a) BASE DE INDUÇÃO: verificar se a propriedade vale para n=1 Se n=1, então a soma de um termo é: 1 = 1.(1+1) 2b) PASSO DE INDUÇÃO: supõe que a propriedade é válida para os n primeiros termos: P(n) = 1+2+3+4+5+....+ n = n(n+1) 2 Agora devemos mostrar que p(n+1) também é válida P(n+1) = 1+2+3+4+...+n+(n+1) = n(n+1) + (n+1) 2 = n(n+1) + (n+1) 2 = n(n+1) + 2(n+1) 2 = (n+1) (n+2) 2 = (n+1) [(n+1)+1] ok 2 APLICAÇÃO: Transformar o algoritmo: Início Início Leia (N) Leia (N) S:=0 S:= N*(N+1) Para i=1 até N faça 2 S:=S+i Escreve (S) Fim para Fim Escreve (S) Fim
  3. 3. Exemplo 2Determine uma fórmula para a soma dos n primeiros números ímpares e prove a sua validadeusando a indução matemática.Solução:1=11+3 = 41+3+5 = 91+3+5+7 = 16...P(n) = 1+3+5+7+ ... + (2n-1) = n²Base Indução:P(1) = 2.1 – 1 = 1² okSupõe que vale para n:P(n) = 1+3+5+7+ ... + (2n-1) = n²Mostrar que valerá para n+1P(n+1) = 1+3+5+7+ ... + (2n-1) + (2n+1) = (n + 1)² n² + (2n+1) n² + 2n + 1 (n + 1)² okExemplo 3Encontre uma fórmula para a soma dos n primeiros números pares e prove sua validade por induçãomatemática.Solução:2=22+4=62+4+6=122+4+6+8=202+4+6+8+10=30...2+4+6+8+10+...+2n=n2+nP(n) = 2+4+6+8+10+ ... + 2n = n²+nBase Indução:P(1) = 2.1 = 1²+1 okSupõe que vale para n:P(n) = 2+4+6+8+10+ ... + 2n = n²+nMostrar que valerá para n+1P(n+1) = 2+4+6+8+10+ ... + 2n + (2n+2) = (n+1)²+(n+1) n²+n + (2n+2) n² + 2n + n + 2 n² + 2n + 1 + n + 1 (n+1)² + (n+1) ok
  4. 4. Exemplo 4 n nMostre que para qualquer número n N o termo f(n) =2 – (–1) é sempre um número múltiplo de3.Solução:A equação an = 2n – (-1) é solução da equação de recorrência 3 a0 = 0 a1 = 1 an+2 = an+1 + 2anp(n) = 2n – (–1)n é múltiplo de 3, significa que existe k N tal que 2n – (–1)n = 3kBase de Indução:21 – (–1)1 = 2 – (-1) = 3Supõe que p(n) é verdadeiro, ou seja, que existe k N, tal que:2n – (–1)n = 3kMostrar que 2n+1 – (–1)n+1 é também múltiplo de 3Temos: 2n – (–1)n = 3k ou 2n – 3k = (–1)nEntão:2n+1 – (–1)n+12.2n – (–1).(–1)n2.2n + (–1)n2.2n + 2n – 3k2n (2 +1) – 3k3.2n – 3k3. (2n –k)com L = 2n –ktemos: 3.LLogo: 2n+1 – (–1)n+1 também é múltiplo de 3
  5. 5. Exercícios: 1. Mostre que a soma de três números consecutivos é sempre um múltiplo de 3. 2. Mostre que para qualquer n N e x > 0 tem-se que (1 + x)n 1 + nx n n +1 3. Mostre que 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 = 2 -1

×