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Geometria i

  1. 1. Geometria I Manaus 2006
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Freire da.S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 149 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Título. CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Noções e proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22TEMA 06 – Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE II – Polígonos ....................................................................... 29TEMA 07 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 09 – Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 13 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 15 – Circunferência e Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58TEMA 17 – Ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67TEMA 21 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 22 – Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76TEMA 25 – Teorema de pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 29 – Relações métricas na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TEMA 31 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 33 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 38 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico–científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhesuma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE INoções primitivas
  7. 7. Geometria I – Noções primitivas Postulados ou axiomas – São proposições (afirmações) aceitas como verdadeiras sem TEMA 01 prova ou demonstração, apenas pela experiên- cia ou observação.NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS Postulados Fundamentais – Servem deIntrodução suporte para o estudo da geometria que ora estudamos.Euclides, o grande matemático grego, foi oprincipal responsável pelo avanço da geome- Alguns postulados Importantes:tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da • Uma reta tem infinitos pontos.Escola de Alexandria, escreveu um tratado dematemática sob o título Os elementos (com-posto de treze volumes), que se constituiu, du-rante mais de 20 séculos. • Dois pontos distintos determinam uma úni- ca reta . A B • Por um ponto passam infinitas retas.No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os • Dois pontos distintos determinam uma úni-principais assuntos da geometria. Inicia apre- ca reta.sentando os entes primitivos e algumasdefinições. A seguir, considera alguns postula-dos e, finalmente, demonstra uma série de teo- • Três pontos não-colineares determinam umremas que serviriam de base para a demons- único plano.tração de outras propriedades.O livro é considerado a primeira compilaçãoformal do saber matemático ocidental. A rígidaorganização da obra forneceu o padrão deapresentação para tudo que se fez posterior-mente em matemática, daí o nome GeometriaEuclidiana. • A reta que passa por dois pontos distintos,Conceitos Primitivos – São aqueles apresen- pertencentes a um plano, também está con-tados intuitivamente, ou seja, sem definição. tida nesse plano.Nascem em nossa mente pela observação eexperiência.Exemplos: o ponto, a reta e o plano.Os demais conceitos são apresentados poruma definição que se utiliza de conceitos jáconhecidos. 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática Postulado de Euclides • Hipótese: os ângulos são opostos pelo vér- Por um ponto P não pertencente a uma reta , tice (o.p.v). r, passa uma única reta paralela a essa mes- ma reta r. • Tese (ou conclusão): os ângulos são con- gruentes. Demonstração do teorema Teoremas Um teorema é composto de duas partes: • a parte que se supõe conhecida, chamada H: α e β são o.p.v. de hipótese; T: α ≅ β • a parte que se deseja provar, chamada de Afirmativa: α + Y = 180° tese. Justificativa: Ângulos adjacentes suplemen- Exemplos: tares. a) Se duas retas paralelas são cortadas por Afirmativa: Y + β = 180° uma transversal, então os ângulos corre- Justificativa: São ângulos adjacentes suple- spondentes são congruentes. mentares. Hipótese: Duas retas paralelas são cor- Afirmativa: α + Y = Y + β tadas por uma transversal. Justificativa: Propriedade transitiva das igual- Tese: Os ângulos correspondentes são dades. congruentes. Afirmativa: α + Y = Y + β b) Se um triângulo é isósceles, então os ângu- Justificativa: Propriedade do cancelamento. los da base são congruentes. Portanto, α = β Hipótese: Um triângulo é isósceles. Tese: Os ângulos da base são congruentes. Pode–se demonstrar um teorema por três mé- todos: • Direto: partindo da hipótese, chega-se à 1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso. tese. a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos corre- • Indireto: negando a tese, chega-se à ne- gação da hipótese. spondentes são congruentes. b) Se duas retas cortadas por uma transversal • Contradição ou absurdo: negando a tese, são paralelas, então elas determinam ângu- chega-se à negação de uma verdade já los alternos internos congruentes. estabelecida, antes mesmo de se chegar à negação da hipótese. Solução Exemplos: a) Hipótese – Duas retas paralelas são cor- tadas por uma transversal. Se dois ângulos são opostos pelo vértice Tese – Os ângulos correspondentes são (o.p.v.), então os ângulos são congruentes. congruentes. b) Hipótese – Duas retas cortadas por uma transversal são paralelas. Tese – Essas retas determinam ângulos alternos internos congruentes. 12
  9. 9. Geometria I – Noções primitivas TEMA 021. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir- SEGMENTO DE RETA mações: Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles. No dia-a-dia, são encontrados diversos exem- plos desses conceitos primitivos. b. ( ) Os vértices de um triângulo são coplanares e estão no mesmo plano. Exemplos: c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em a) A marca deixada em uma folha de papel dois semiplanos. pela ponta de um lápis. d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas- sa sempre um único plano. e. ( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem determinar é de seis retas. O ponto é indicado com letras2. Assinale a alternativa falsa: maiúsculas do nosso alfabeto. a) Por dois pontos distintos passa uma única b) Uma estrada dá-nos idéia de reta. reta. b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre um único plano. c) O conceito de plano é primitivo. d) O plano tem infinitos pontos. A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir- letras minúsculas do nosso alfabeto. mações: c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos. de plano. b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos. c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta. d. ( ) Existem pontos fora de um plano que são colineares. e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão sempre contidos em pelo menos um O plano é indicado por letras plano. minúsculas do alfabeto grego, tais f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni- como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc. co plano. Semi-reta g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre contidos em um único plano.4. Demonstre o teorema: Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em duas partes: Se dois ângulos são adjacentes suplemen- tares, então suas bissetrizes formam um ângu- lo reto. Cada uma dessas partes é chamada semi-reta, e o ponto A é chamado origem das semi-retas. 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo de semi-retas: Se os segmentos são colineares e consecu- tivos, nesse caso diz-se adjacentes. Exemplo: → Indicação: AB Segmentos congruentes (lê-se semi-reta AB) Dois segmentos são congruentes quando pos- Retas coplanares suem a mesma medida, tomada numa mesma unidade. Duas ou mais retas são coplanares quando es- tão contidas no mesmo plano. As retas coplanares podem ser: a) concorrentes – quando têm apenas um ⎯ ⎯ Indicamos a congruência entre AB e CD ponto comum; ⎯ escrevendo: AB ≅ CD (lê–se segmento AB é b) paralelas – quando não têm ponto comum; congruente ao segmento CD) c) coincidentes – quando têm todos os pon- tos comuns. Ponto médio de um segmento Chama-se ponto médio de um segmento o Segmento de reta ponto que divide o segmento dado em dois O conjunto formado pelos pontos A e B e por segmentos congruentes. todos os pontos da reta entre A e B é chama- do segmento de reta. Os pontos A e B são chamados extremos do 1. Que ente geométrico lhe sugere: segmento AB. ⎯ a) os buracos existentes no botão? Indicação: AB (lê–se segmento AB) b) o encontro entre duas paredes? Segmentos consecutivos c) o piso da sala de aula? Solução Dois segmentos são consecutivos quando possuem um extremo comum. a) Ponto b) Reta c) Plano 2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine a relação existente entre: ⎯ ⎯ Os segmentos AB e BC possuem um extremo comum: B. ⎯ ⎯ Logo: AB e BC são segmentos consecutivos. a) A ....... r b) A..... s c) A....... t Segmentos colineares d) B..... r e) B...... s f) C...... α Dois segmentos são colineares quando estão g) C ...... r h) C........s i) D....... α contidos na mesma reta. j) D....... r I) r .......α m)s..... α 14
  11. 11. Geometria I – Noções primitivas Solução Resposta a) ∈ b) ∈ c) ∉ a) 3,5cm b) 5.5cm d) ∉ e) ∈ f) ∈ c) 6,5cm d) 7,5cm g) ∈ h) ∉ i) ∈ j) ∉ l) ⊂ m) ⊂3. Dê a posição relativa dos pares de retas. 1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geo- métricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta, e Plano. 2. Quantas semi-retas há numa reta, com origem a) r ...........s d) t..................u nos quatro pontos A, B, C e D da reta? b) r...... .... t e) s................ u c) r ......... x 3. Se forem marcados três pontos distintos A, B e C sobre uma reta r, quantos segmentos de reta Solução com extremidades em dois desses pontos ficam a) Paralelas. d) Paralelas. determinados? Quais são eles? Faça o desenho. b) Concorrentes. e) Concorrentes. c) Coincidentes. 4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm.4. Verifique se os segmentos são consecutivos, a) Quanto mede o segmento AC? colineares, ou adjacentes. b) Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de AC, quanto mede MN? 5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item: a) AP = x + 6cm b) AC = 3x a) AB e BC b) BC e CD PB = x BC = x + 2cm c) AB e BD d) CD e DE Solução 6. Determine x e AB, sabendo que M é o ponto a) Consecutivos e colineares (adjacentes). médio de AB. b) Consecutivos. c) Consecutivos. d) Consecutivos e colineares (adjacentes). 7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o ponto nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. Se médio de BC e P o ponto médio de CD. , M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, calcule a medida dos seguintes seg- mentos: ⎯ a) MB b) BN ⎯ ⎯ Responda: c) NC d) MN ⎯ e) AN a) Quanto mede o segmento NP? b) Quanto mede o segmento MC? ⎯ ⎯ 8. Se PA e QB são segmentos congruentes de c) Quanto mede o segmento AN? ⎯ ⎯ uma reta r, Mostre que os segmentos PQ e AB d) Quanto mede o segmento MP? são congruentes. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita- va a região onde hoje se situa o Iraque. Esse ÂNGULOS povo tinha um calendário de 12 meses lunares, com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias No dia-a-dia, observa-se que existem diversos (12 x 30). Eles acreditavam que esse era o objetos que possuem uma certa abertura, dan- tempo que o Sol levava para dar uma volta do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa- completa em torno da Terra, girando em órbita dos, na engenharia, na fabricação de móveis, no circular. Assim, a cada dia o Sol percor- lançamento de foguetes, na utilização de saté- lites, na rota de avião, estacionamentos, em de- ria um arco correspondente a dessa cir- senhos, etc. cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira” em torno da Terra e que o ano tem mais de 360 dias. Mas devemos lembrar que os babilônios fizeram suas observações e seus cálculos há mais de 4 mil anos. As noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a cir- cunferência foi dividida, associamos um ângu- Definição lo cuja medida chamamos de 1 grau. Medida de um ângulo Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um instrumento que tem como unidade o grau. → → As duas semi-retas OA e OB dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. A reunião de duas semi-retas de mesma origem chama-se ângulo. O ângulo convexo da figura acima pode ser indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”) No transferidor da figura, tem-se um ângulo → → raso que foi dividido em 180 ângulos de um Se as duas semi-retas OA e OB forem opostas, grau (indica-se por 1°): o ângulo é chamado raso ou de meia-volta. O grau tem dois submúltiplos: • Minuto – corresponde a do grau. → → Indica–se um minuto por 1’. Se as duas semi-retas OA e OB, que formam o ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo • Segundo – corresponde a do minuto. nulo ou de uma volta. Indica-se um segundo por 1”. Quando um ângulo é medido em graus, minu- tos e segundos, diz–se que ele está expresso no sistema sexagesimal. 16
  13. 13. Geometria I – Noções primitivasOutras unidades de medida Propriedades da congruênciaRadiano – É a medida de um ângulo central cor- • Reflexiva: AÔB ≅ AÔB.respondente a um arco cujo comprimento é igual • Simétrica: se AÔB ≅ ‘CÔD, entãoao raio da circunferência a que pertence. CÔD ≅ AÔB. • Transitiva: se AÔB ≅ CDF e CDF ≅ FGH, então AÔB ≅ FGH. Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando pos- suem um vértice e um lado comuns.A circunferência possui 27πrd.Grado – É a medida de um ângulo central, quecorresponde a da circunferência (sistemadecimal de medidas).Correspondência entre as unidades de medida: Grau Grado Radiano São exemplos de ângulos consecutivos: Uma volta 360º 400 gr 2πrd AÔC e CÔB Meia volta 180º 200 gr 2πrd AÔC e AÔB Um quarto CÔB e AÔB 90º 100 gr de volta Ângulos adjacentesÂngulos Congruentes Dois ângulos são adjacentes quando possuemDois ângulos são congruentes quando pos- um vértice comum, um lado comum e não pos- suem pontos internos comuns.suem a mesma medida. AÔC e CÔB são ângulos adjacentes. Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. São exemplos de ângulos adjacentes:Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida AÔC e BÔC(30°). Podemos afirmar que esses ângulos são BÔC e CÔDcongruentes. Assim: CÔD e DÔAAÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD) DÔA e AÔB 17
  14. 14. UEA – Licenciatura em Matemática Bissetriz de um ângulo Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e a → semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB . AÔB e BÔC são complementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 90°. Ângulos suplementares Ângulo reto, agudo e obtuso Dois ângulos são suplementares quando a so- ma de suas medidas é 180°. De acordo com suas medidas, os ângulos re- cebem nomes especiais. AÔB e BÔC são suplementares. Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°. m(AÔB) + m(BÔC) = 180°. Exemplo: Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90°. Propriedades dos ângulos a) As propriedades dos ângulos são de grande importância na resolução de alguns exercícios. • Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteri- ores estão em linha reta, são suplementares. ^ + ^ = 180º a b b) Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°. Exemplos: a) • A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto e de um mesmo lado de uma reta é igual a 180°. b) Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°. ^ + ^ + ^ + ^ = 180º a b c d 18
  15. 15. Geometria I – Noções primitivas• A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°. 1. Qual o valor de x? a) ^ + ^ + ^ + ^ = 360º a b c d Solução• As bissetrizes de dois ângulos adjacentes, X + 60º = 90º de lados exteriores em linha reta, formam um X = 90º – 60º ângulo reto, ou seja, são perpendiculares. X = 30º m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´ b) Solução X + 53º = 180º X = 180º – 53º X = 127º 2. Calcule o valor de x nas figuras: a) Solução 10º + X+ 25º = 90º X = 90º – 35º X = 55º b) Solução 60º + X + 40º = 180º X = 180º – 100º X = 80º 19
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática c) TEMA 04 ÂNGULOS Solução 70º + 90º +5X = 360º 5X = 360º – 160º 1. Use o transferidor para encontrar a medida do 5X = 200º ângulo destacado nas figuras: X = 40º a) b) c)3. Calcule o valor de x e de y na figura: 2. Classifique os pares de retas em concorrentes e paralelas: a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r Solução 3. Transforme: Y + 58º = 180º a) 60 graus em radianos; Y = 180º – 58º b) 50 grados em graus; Y = 122º c) π/6 radianos em graus. X + Y = 180º X + 122º = 180º 4. Dado um ângulo de medida X, indicar: X = 180º – 122º a) seu complemento; X = 58º b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento;4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi- das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o d) a metade do seu suplemento; valor de x? e) o triplo de seu suplemento. Solução 5. A metade da medida de um ângulo mais a 2x – 100° = x + 30° medida do seu complemento é igual a 58o. 2x – x = 30° + 100º Quanto mede o ângulo? x = 130º 6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi-5. Transforme 100 grados em graus. da de seu complemento é igual a 66º. Quanto Solução mede esse ângulo? Aplicando uma regra de três simples: 7. A medida de um ângulo somada à metade da 400gr 360º 100gr x medida de seu complemento dá 55º. Quanto mede o suplemento desse ângulo? = ⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒ 8. Somando-se a medida do complemento com a 400 x = 36000 ⇒ x = ⇒ x = 90º medida do suplemento de um ângulo obtém- Portanto 100 grados correspondem a 90 graus. se 130°. Quanto mede esse ângulo? 20
  17. 17. Geometria I – Noções primitivas9. Qual o valor de X? c) d) ⎯ OP é bissetriz de AÔB AOP = 3x – 5° BOP = 2x + 10°10. Calcule o valor de x, nas figuras: a) b) e) c)11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace a bissetriz do ângulo AOB.12. Determine os valores indicados por letras em cada figura. a) b) 21
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática Se uma transversal intercepta duas retas para- lelas, os ângulos correspondentes são congru- TEMA 05 entes. PARALELISMO Retas paralelas Há inúmeras situações no dia-a-dia que nos dão idéias de paralelismo. Por exemplo, pode- se ressaltar os fios de alta tensão, as ruas de sua cidade, etc. Portanto: ^= ^, 2 6 ^= ^ 4 8, ^= ^ 1 5, ^= ^ 3 7. Exemplo: No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices no Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º, ponto de intersecção, conforme a figura abaixo: verifique como determinar a medida dos outros ângulos: Os ângulos internos são ^ ^ ^ e ^ Os ângu- 3, 4, 5 6. los ^ ^ ^ e 8 chamam-se ângulos externos. 1, 2, 7 ^ = ^ = 50° a e ângulos correspondentes Um externo e outro interno, situados do mesmo ^ + ^ = 180° a c ângulos suplementares lado da transversal e com vértices diferentes, ^ = 180° – 50° c chamam-se ângulos correspondentes. ^ = 130° c ^e ^; ^e ^; ^e ^ ; ^e ^ 3 7 4 8 1 5 2 6. ^ = ^ = 130° g c ângulos correspondentes Ângulos internos, situados em lados opostos ^ + ^ = 180° a b ângulos suplementares da transversal e com vértices diferentes cha- ^ = 180° – 50° b mam-se ângulos alternos internos. ^ e ^ ou ^ e ^ ^ = 130° b 3 6 4 5 ^ = ^ = 130° b f ângulos correspondentes Ângulos externos, situados em lados opostos ^ + ^ = 180° b d ângulos suplementares da transversal, como ^ e ^ ou ^ e ^ com vér- 1 8 2 7, tices diferentes, chamam-se ângulos alternos ^ = 180° – 130° d externos. ^ = 50° d ^ e ^ ou ^ e ^ 1 8 2 7 ^ = ^ = 50° d h ângulos correspondentes 22
  19. 19. Geometria I – Noções primitivas 3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transver- sal. Calcule as medidas dos ângulos assinala- dos nas figuras.1. A reta t é uma transversal às retas m e n. a) Solução ^ = 60º correspondente; a ^ = 60º (o.p.v) c ^ + 60º = 180º b ⇒ ^ = 180º– 60º = 120º b Portanto: Determine: ^ = 60º ; ^ = 120º ; ^ = 60º a b c a) quatro pares de ângulos correspondentes b) Solução b e f; d e h; a e e; ceg b) dois pares de ângulos alternos internos Solução e e f; eed c) dois pares de ângulos alternos externos Solução e e h; beg Solução n = 72º ( o.p.v);2. Na figura, a reta t é uma transversal às retas m = 108º n + m = 180 colaterais internos n paralelas m e n. =72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108; p = 72º pois p + m =180 (suplementares) p = 180 – 108 = 72. Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º 1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ân- gulos: a) ^ e ^ colaterais internos. b c a) Se a = 110°, calcule h. Solução h = 110°, pois a e h são alternos externos. b) Se d = 105°, calcule g. Solução g = 75° 23
  20. 20. UEA – Licenciatura em Matemática b) ^ e ^ correspondentes. m p c) 5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são parale- las. a)2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos: a) ^ e ^ a p; b) ^ e ^ a q. b)3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, o 6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x? valor de x: a) a) 7x b) 4 70° b) 3x 20°4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângu- los e determine o valor de x: a) 7. Sabendo que r é paralela a s, determine os va- lores de x e de y. a) b) x 30° 5 s x 15° 2 24
  21. 21. Geometria I – Noções primitivas b) TEMA 06 PERPENDICULARISMO Introdução Duas retas são perpendiculares se, e somente8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cada se, são concorrentes e formam ângulos adja- ângulo indicado por letra na figura? centes suplementares congruentes. Duas semiretas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares.9. Duas retas paralelas e uma transversal deter- Dois segmentos de retas são perpendiculares minam dois ângulos correspondentes cujas se estão contidas em retas perpendiculares. medidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as me- Retas oblíquas didas dos ângulos obtusos determinados por essas retas. Se duas retas são concorrentes e não são per- pendiculares, diz-se que essas retas são oblí-10. Duas retas, cortadas por uma transversal, for- quas. mam ângulos correspondentes expressos em graus por . Determine x de modo que essas retas sejam paralelas. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular ou ortogonal a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α. • Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retas de α. 25
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática Perpendicularismo entre planos r Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é P’ perpendicular ao outro: p’ pr sr oj Projeção de um segmento de reta Para se obter a projeção de um segmento de ⎯ reta AB sobre um plano α, também temos dois casos a considerar: Projeções ortogonais sobre um plano ⎯ a) Se o segmento de reta AB é perpendicular A projeção ortogonal de um ponto sobre um ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é o pé da perpendicular ao plano con- plano é um ponto, que é o traço da reta duzida pelo ponto. em α. ⎯ P’ é a projeção ortogonal de P sobre α. b) Se o segmento de reta AB não é perpendi- cular ao plano α, basta projetar as suas ex- tremidades sobre α, para se obter a proje- ção do segmento. Projeção de uma figura Distância de ponto a plano A projeção ortogonal de uma figura sobre um A distância de um ponto a um plano é a distân- plano é o conjunto das projeções ortogonais cia do ponto à sua projeção ortogonal no plano. dos pontos da figura sobre o plano. F´= proj0F A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias do ponto aos pontos do plano. Distância entre reta e plano paralelos A distância entre uma reta e um plano parale- Projeção de uma reta los é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. Para se obter a projeção de uma reta r sobre um plano α, há dois casos a considerar: Para se achar a distância entre uma reta e um plano paralelos, basta tomar um ponto P na a) Se a reta r é perpendicular ao plano α, sua reta e achar a distância de P ao plano. projeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano. b) Se a reta r não é perpendicular ao plano α, sua projeção ortogonal sobre α é o traço (intersecção) em α, do plano β perpendicu- lar a α, conduzido por r. 26
  23. 23. Geometria I – Noções primitivas Distância entre planos paralelos c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpen- diculares a uma outra reta em pontos A· distância entre dois planos paralelos é a dis- distintos, são paralelos. tância de um ponto qualquer de um deles ao outro plano. d. ( ) Se dois planos são paralelos, então to- da reta perpendicular a um deles é per- Para se achar a distância de dois planos α e β pendicular ao outro. paralelos basta considerar um ponto P num deles (por exemplo, P ∈ (β) e obter a distância e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares a do ponto P ao outro plano (α). uma mesma reta, são secantes. f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a um mesmo plano, são reversas. g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é per- pendicular à outra. 4. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter- ceiro são paralelos. b. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter- ceiro são perpendiculares entre si.1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): c. ( ) Se dois planos são paralelos, então to- a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são do plano perpendicular a um deles é perpendiculares. perpendicular ao outro. b. ( ) Duas retas que são perpendiculares for- d. ( ) Se dois planos são perpendiculares, mam ângulo reto. então toda reta perpendicular a um de- c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ân- les é paralela ao outro ou está contida gulo reto. nesse outro. a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são e. ( ) Se dois planos são perpendiculares, ortogonais. então toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro.2. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então todo plano perpendicular à reta a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é dada é perpendicular ao plano dado. perpendicular a infinitas retas do plano. g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é então todo plano perpendicular ao perpendicular a qualquer reta do plano. plano dado é perpendicular à reta dada. c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas do plano. 5. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a infinitas retas do plano. a. ( ) A projeção ortogonal de um ponto e. ( ) Uma reta perpendicular a um plano sobre um plano é um ponto. forma ângulo reto com todas as retas b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre do plano. um plano é uma reta. c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulo3. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): sobre um plano é sempre um triângulo. a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, d. ( ) As projeções ortogonais, sobre um então toda reta perpendicular à reta dada mesmo plano, de duas retas são para- é perpendicular ao plano. lelas, então as retas são paralelas. b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendicu- e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas, lares, então toda reta perpendicular à reta não perpendiculares ao plano de pro- dada é paralela ao plano ou nele está jeção, são paralelos, então as pro- contida. jeções dessas retas são paralelas. 27
  24. 24. UNIDADE II Polígonos
  25. 25. Geometria I – Polígonos Classificação dos triângulos quanto aos lados: TEMA 07 Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em: eqüilátero , isósceles ou escaleno.TRIÂNGULOS Eqüilátero: quando os três lados são congru- entes.IntroduçãoO triângulo é um polígono de três lados.A forma triangular é bastante utilizada em vá-rias situações do nosso dia-a-dia. ⎯ ⎯ ⎯ AB ≅ BC ≅ AC Isósceles: quando apenas dois lados são con-Elementos de um triângulo gruentes.Os principais elementos de um triângulo são: ⎯ ⎯ AB ≅ AC Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.Vértices: pontos A, B e C.Lados: segmentos AB, BC e CA.Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê.Ângulos externos: ângulos â, b e ê. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ med (AB) ≠ med (AC)≠ med (BC)≠ med(AB).O triângulo é o único polígono que não possuidiagonais. Triângulos quanto aos ângulosA soma das medidas dos ângulos internos (Si) Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-de um triângulo é dada por: Si = 180°. se em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.A soma das medidas dos ângulos externos • Acutângulo: quando os três ângulos inter-(Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°. nos são agudos (medida menor que a de um ângulo reto).Usa-se o símbolo Δ para representar a palavratriângulo. Assim, um triângulo ABC pode ser • Retângulo: quando um dos ângulos é reto.nomeado, ΔABC. • Obtusângulo: quando um dos ângulos é obtuso.Pode-se estabelecer uma relação entre os la-dos e os ângulos internos de um triângulo, que Condições de existência de um triânguloserá importante em nossos estudos. ⎯ Dado o ΔABC, sendo a medida do lado BC, b ⎯ ⎯Classificação dos Triângulos medida do lado AC e c medida do lado AB, pode-se escrever as seguintes relações:Os triângulos podem ser classificados quantoaos lados ou quanto aos ângulos. a<b+c 31
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática b<a+c c<a+b 1. Observe a figura: a) Quais são os vértices? Portanto, ao comparar o maior lado com a soma dos outros dois, pode-se saber se existe Solução: X, Y, Z ou não triângulo. b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY? Solução: XY Propriedade da soma dos ângulos dos triân- gulos c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z? A soma das medidas dos ângulos de um triân- Solução: XY gulo é 180º. 2. Verifique se existe ou não um triângulo com la- Demonstração: dos medindo: (justifique suas respostas) Considere o triângulo ABC e observe os ângu- a) 4cm, 4cm e 4cm los ^ ^ e ^ do triângulo. A, B, C Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4. b) 3cm, 3cm e 2cm Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2. c) 1cm, 2cm e 3cm Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa. Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para- 3. Classifique os triângulos abaixo quanto à medi- lela ao lado BC .Observe os ângulos: ^ ^ e^ 1, A 2. da dos seus lados: a) Solução: Escaleno. Do paralelismo de r e BC, considerando a ⎯ b) transversal AB, decorre que: 1≡^ B ⎯ Do paralelismo de r e BC, considerando a transversal AC, decorre que: Solução: Eqüilátero. ^ 2 ^ ≡C c) Portanto ^ + ^ + ^ = 1800 A B C Solução: Isósceles. 32
  27. 27. Geometria I – Polígonos4. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 e TEMA 08 AC = x + 4, calcule a medida de BC. Solução: TRIÂNGULOS 3x –10 = x + 4 BC = 2x + 4 3x – x = 4 + 10 BC = 2. 7 + 4 2x = 14 BC = 14 + 4 X= BC =18 1. Observe a figura: X=75. Determine os lados do triângulo da figura, sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro. a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3; R, S T. b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3; Solução: RS, RT ST x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60 c) Quantos são os ângulos? Quais são eles? 3 x + 3 – 7 – 2 = 60 3; R, S T. 3 x – 6 = 60 3 x = 60 + 6 2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com lados medindo: (justifique suas respostas) 3 x = 66 a) 5cm, 7cm e 3cm X= b) 3cm, 2cm e 7cm X = 22 Lado X + 3 Lado X– 2 c) 3cm, 3cm e 2cm 22 + 3 22 – 2 d) 5cm, 5cm e 10cm 25 20 3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa- Lado X– 7 bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter- 22 – 7 mine x. 15 Portanto, os lados são: 15, 20 e 25. 33
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero, sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 e TEMA 09 BC=y + 4 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Introdução Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos são respectivamente con- gruentes. ⎯ ⎯ AB ≅ A’B’ A ≅^ A’ ⎯ ⎯5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC. AC ≅ A’C’ e B ≅^ B’ ⎯ ⎯ Determine o perímetro sabendo que: BC ≅ B’C’ C ≅^ C’ AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm Sob certas condições, a congruência de dois triângulos pode ser garantida com a inspeção6. Dois lados de um triângulo medem, respectiva- de apenas três elementos. Essas condições mente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medida são chamadas de casos de congruência de do terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderá triângulos. medir esse lado? Casos de congruência7. Os lados de um triângulo são medidos por três números inteiros e consecutivos. Sabendo que 1.o caso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado) o perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm, Dois triângulos que possuem dois lados e o 4cm e 5cm. ângulo compreendido entre eles respectiva- mente congruentes são congruentes.8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois, classifique os triângulos quanto aos ângulos: a) ⎯ ⎯ b) AB ≅ A’B’ ^≅ ^ B B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ 2.o caso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo) Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectiva-9. Num triângulo, os três ângulos são congruen- mente congruentes são congruentes. tes. Quanto mede cada ângulo?10. Calcule x e y na figura abaixo: B ≅^ B ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ C ≅ ^ C’ 34
  29. 29. Geometria I – Polígonos 3.o caso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado) Solução: Dois triângulos que possuem os três lados Caso L.A.L respectivamente congruentes são congru- X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm entes. 3. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x + 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y. ⎯ ⎯ AB ≅ A’B’ ⎯ ⎯ AC ≅ A’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ 4.o caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto) Solução Dois triângulos que possuem um lado, um ângu- lo adjacente e um ângulo oposto a esse lado Por hipótese, tem-se que: respectivamente congruentes são congruentes. ΔPCD ≅ ΔPBA Logo: AP = PD 2y + 17 = 3y – 2, ⎯ ⎯ 2y – 3y = – 2 – 17 BC ≅ B’C’ –y = –19 (–1) B ≅^ B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ Y = 19 A ≅^ A’ O segmento CD=AB x + 5 = 15 x = 15 – 5 x = 101. Em cada item abaixo, os dois triângulos são Por tanto: x =10 e y = 19 congruentes. Indique o critério de congruência utilizado a) b) 1. Em cada um dos casos abaixo, verifique se os triângulos são congruentes; em caso afir- mativo, escreva o caso que garante a con- Solução: Caso L.A.L Solução: Caso A.L.A gruência.2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixo a) e descubra os valores indicados pelas letras. 35
  30. 30. UEA – Licenciatura em Matemática b) 5. Na figura abaixo, os dois triângulos são con- gruentes. Indique o critério de congruência uti- lizado. Em seguida, calcule x. c) 6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congru- entes. Sabendo que B^ = 120°, C^ = 27°, AC AD B^ = 3y e A^ = 2x, determine x e y. CA CD2. Os triângulos dados em cada item são congru- entes. Dê o caso de congruência e descubra os valores indicados pelas letras. a) 7. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22, AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y. b)3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e de y? 8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são con- gruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O, BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d. a) Qual o caso de congruência que permite escrever ΔPQS ≅ ΔPTR? b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru- ⎯ ente a QS? 36
  31. 31. Geometria I – Polígonos Traçar a bissetriz do ângulo interno Â. TEMA 10 ⎯ O segmento AO é a bissetriz do triângulo rela- tiva ao ângulo Â.PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO Bissetriz de um triângulo é o segmento contidoIntrodução na bissetriz de um dos ângulos internos do triân- gulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-Além dos lados, vértices, ângulos internos eângulos externos, os triângulos apresentam lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto.outros elementos, entre os quais as cevianas. Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-Denomina-se ceviana a qualquer segmento contram num ponto chamado de incentro (I).que une um vértice ao lado oposto ou ao seuprolongamento.Ca: ceviana relativa ao lado a. AlturaMediana Considerando um triângulo qualquer ABCConsiderando um triângulo qualquer ABCPode –se:Determinar o ponto médio M do lado BC. Pode –se: ⎯O segmento AM é chamado de mediana relati- Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-va ao lado BC. lar ao lado BC.Mediana de um triângulo é o segmento que une ⎯um vértice ao ponto médio do lado oposto. O segmento AH é a altura relativa ao lado BC.Todo triângulo possui três medianas, que se O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB.encontram em um ponto chamado de baricentro. Altura de um triângulo é o segmento que ligaAs três medianas se encontram no ponto G, um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu pro-que é o baricentro do ΔABC. longamento) e que é perpendicular a esse lado.Bissetriz Todo triângulo tem três alturas. O ponto deConsiderando um triângulo qualquer ABC, encontro das retas que contêm as alturas épode-se: chamado de ortocentro (O). Mediatriz Todo triângulo possui três mediatrizes de lados que se encontram em um único ponto. 37
  32. 32. UEA – Licenciatura em Matemática Solução AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo o lado BC = 3,8cm P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm P = 9,5cm. Denomina-se circuncentro o ponto de encon- tro das três mediatrizes dos lados de um triân- gulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 1. Com auxílio de régua e compasso, construa um triângulo cujas medidas dos lados sejam 6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bis- setrizes e determine o seu incentro. 2. Desenhe um triângulo cujas medidas dos lados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, deter- mine o ortocentro. 3. Responda: a) Qual é o nome do ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo? A que corresponde esse ponto?1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg- ⎯ b) Qual é o nome do ponto de intersecção das mento AO como mediana, bissetriz ou altura: bissetrizes internas de um triângulo? A que a) b) corresponde esse ponto? 4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde à altura, à mediana ou à bissetriz? c) ⎯ ⎯ ⎯ 5. Classifique os segmentos AR, AS e AT do triân- gulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz. Solução Mediana; Bissetriz e Altura2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo. 6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo. 38
  33. 33. Geometria I – Polígonos O quadrilátero possui 2 diagonais (segmento que tem como extremidades dois vértices não TEMA 11 consecutivos), soma dos ângulos internos igual a 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º.QUADRILÁTEROS CASOS NOTÁVEISUm breve histórico TrapezóideTanto entre os sumérios como entre os egíp-cios, os campos primitivos tinham forma retan- Definiçãogular. Também os edifícios possuíam plantas É o quadrilátero que não possui lados paralelos.regulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truírem muitos ângulos retos (de 90o). Emborade bagagem intelectual reduzida, aqueleshomens já resolviam o problema como umdesenhista de hoje. Por meio de duas estacascravadas na terra, assinalavam um segmentode reta. Em seguida, prendiam e esticavamcordas que funcionavam à maneira de com- Trapéziopassos: dois arcos de circunferência se cortame determinam dois pontos que, unidos, Definiçãosecionam perpendicularmente a outra reta, for- Um quadrilátero plano convexo é um trapéziomando os ângulos retos. se, e somente se, possui dois lados paralelos.O problema mais comum para um construtor étraçar, por um ponto dado, a perpendicular auma reta. O processo anterior não resolve esteproblema, em que o vértice do ângulo reto jáestá determinado de antemão. Os antigosgeômetras solucionavam-no por meio de trêscordas, colocadas de modo a formar os lados ⎯ ⎯de um triângulo retângulo. AD // BC Os lados paralelos do trapézio são chamadosDefinição de bases.Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, dis- Podemos classificar os trapézios de acordotintos e não-colineares três a três. Se os segmen- ⎯ ⎯ ⎯ com os lados não-bases como:tos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nasextremidades, denominamos quadrilátero a • Isósceles: os lados não-bases são congru-reunião desses quatro segmentos. entes. ⎯ ⎯ AD ≡ BC • Escaleno: os lados não-bases não são con-Elementos: gruentes.• Vértices: A, B, C e D;• Ângulos: ^ (D^ A AB), ^ (A^ B BC), ^ (B^ e C CD) ^ ^ D(CDA); ⎯ ⎯ ⎯ ⎯• Lados: AB, BC, CD, AD ⎯ ⎯• Diagonais: AC e BD. AD < BC 39
  34. 34. UEA – Licenciatura em Matemática Quadrado • Retângulo, possui dois ângulos retos. Definição Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes. Os ângulos ^ e ^ são suplementares. B C Paralelogramo Definição Um quadrilátero plano convexo é um paralelo- gramo se, e somente se, possui os lados opos- ABCD é quadrado ⇔ ^ ≡ ^ ≡ ^ ≡ ^ e A B C D tos paralelos. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA. Propriedades Trapézio qualquer ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Em qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, de ABCD é paralelogramo ⇔ AC//BD e AB//CD. ⎯ ⎯ bases AB e CD temos: Retângulo Definição Um quadrilátero plano convexo é um retângu- lo se, e somente se, possui os quatro ângulos ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ De fato, como AB // CD temos AD e BC retas congruentes. transversais. Então: Os ângulos ^ e ^ assim como ^ e ^ são A D, B D, colaterais internos. Logo, são suplementares. Trapézio isósceles Os ângulos adjacentes às bases são congru- ABCD é retângulo ⇔ ^ ≡ ^ ≡^ ≡^ A B C D. entes. Demonstração Losango ou Rombo Definição • Pelos vértices da base menor traçamos re- tas perpendiculares às bases. Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados con- gruentes. • Temos os triângulos semelhantes AA’D e BB’C, caso de semelhança do triângulo retângulo. Logo ^ ≡ ^ D C. • Sendo ^ e ^ assim como ^ e ^ suple- A D, B C, ⎯ ⎯ ABCD é losango CD ≡ DA mentares. Temos ^ ≡ ^ A B 40

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