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Geometria i Geometria i Document Transcript

  • Geometria I Manaus 2006
  • FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Freire da.S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 149 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Título. CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
  • SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Noções e proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22TEMA 06 – Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE II – Polígonos ....................................................................... 29TEMA 07 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 09 – Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 13 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 15 – Circunferência e Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58TEMA 17 – Ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67TEMA 21 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 22 – Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76TEMA 25 – Teorema de pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 29 – Relações métricas na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TEMA 31 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 33 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 38 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
  • PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
  • PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico–científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhesuma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  • UNIDADE INoções primitivas
  • Geometria I – Noções primitivas Postulados ou axiomas – São proposições (afirmações) aceitas como verdadeiras sem TEMA 01 prova ou demonstração, apenas pela experiên- cia ou observação.NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS Postulados Fundamentais – Servem deIntrodução suporte para o estudo da geometria que ora estudamos.Euclides, o grande matemático grego, foi oprincipal responsável pelo avanço da geome- Alguns postulados Importantes:tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da • Uma reta tem infinitos pontos.Escola de Alexandria, escreveu um tratado dematemática sob o título Os elementos (com-posto de treze volumes), que se constituiu, du-rante mais de 20 séculos. • Dois pontos distintos determinam uma úni- ca reta . A B • Por um ponto passam infinitas retas.No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os • Dois pontos distintos determinam uma úni-principais assuntos da geometria. Inicia apre- ca reta.sentando os entes primitivos e algumasdefinições. A seguir, considera alguns postula-dos e, finalmente, demonstra uma série de teo- • Três pontos não-colineares determinam umremas que serviriam de base para a demons- único plano.tração de outras propriedades.O livro é considerado a primeira compilaçãoformal do saber matemático ocidental. A rígidaorganização da obra forneceu o padrão deapresentação para tudo que se fez posterior-mente em matemática, daí o nome GeometriaEuclidiana. • A reta que passa por dois pontos distintos,Conceitos Primitivos – São aqueles apresen- pertencentes a um plano, também está con-tados intuitivamente, ou seja, sem definição. tida nesse plano.Nascem em nossa mente pela observação eexperiência.Exemplos: o ponto, a reta e o plano.Os demais conceitos são apresentados poruma definição que se utiliza de conceitos jáconhecidos. 11
  • UEA – Licenciatura em Matemática Postulado de Euclides • Hipótese: os ângulos são opostos pelo vér- Por um ponto P não pertencente a uma reta , tice (o.p.v). r, passa uma única reta paralela a essa mes- ma reta r. • Tese (ou conclusão): os ângulos são con- gruentes. Demonstração do teorema Teoremas Um teorema é composto de duas partes: • a parte que se supõe conhecida, chamada H: α e β são o.p.v. de hipótese; T: α ≅ β • a parte que se deseja provar, chamada de Afirmativa: α + Y = 180° tese. Justificativa: Ângulos adjacentes suplemen- Exemplos: tares. a) Se duas retas paralelas são cortadas por Afirmativa: Y + β = 180° uma transversal, então os ângulos corre- Justificativa: São ângulos adjacentes suple- spondentes são congruentes. mentares. Hipótese: Duas retas paralelas são cor- Afirmativa: α + Y = Y + β tadas por uma transversal. Justificativa: Propriedade transitiva das igual- Tese: Os ângulos correspondentes são dades. congruentes. Afirmativa: α + Y = Y + β b) Se um triângulo é isósceles, então os ângu- Justificativa: Propriedade do cancelamento. los da base são congruentes. Portanto, α = β Hipótese: Um triângulo é isósceles. Tese: Os ângulos da base são congruentes. Pode–se demonstrar um teorema por três mé- todos: • Direto: partindo da hipótese, chega-se à 1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso. tese. a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos corre- • Indireto: negando a tese, chega-se à ne- gação da hipótese. spondentes são congruentes. b) Se duas retas cortadas por uma transversal • Contradição ou absurdo: negando a tese, são paralelas, então elas determinam ângu- chega-se à negação de uma verdade já los alternos internos congruentes. estabelecida, antes mesmo de se chegar à negação da hipótese. Solução Exemplos: a) Hipótese – Duas retas paralelas são cor- tadas por uma transversal. Se dois ângulos são opostos pelo vértice Tese – Os ângulos correspondentes são (o.p.v.), então os ângulos são congruentes. congruentes. b) Hipótese – Duas retas cortadas por uma transversal são paralelas. Tese – Essas retas determinam ângulos alternos internos congruentes. 12
  • Geometria I – Noções primitivas TEMA 021. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir- SEGMENTO DE RETA mações: Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles. No dia-a-dia, são encontrados diversos exem- plos desses conceitos primitivos. b. ( ) Os vértices de um triângulo são coplanares e estão no mesmo plano. Exemplos: c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em a) A marca deixada em uma folha de papel dois semiplanos. pela ponta de um lápis. d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas- sa sempre um único plano. e. ( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem determinar é de seis retas. O ponto é indicado com letras2. Assinale a alternativa falsa: maiúsculas do nosso alfabeto. a) Por dois pontos distintos passa uma única b) Uma estrada dá-nos idéia de reta. reta. b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre um único plano. c) O conceito de plano é primitivo. d) O plano tem infinitos pontos. A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir- letras minúsculas do nosso alfabeto. mações: c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos. de plano. b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos. c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta. d. ( ) Existem pontos fora de um plano que são colineares. e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão sempre contidos em pelo menos um O plano é indicado por letras plano. minúsculas do alfabeto grego, tais f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni- como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc. co plano. Semi-reta g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre contidos em um único plano.4. Demonstre o teorema: Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em duas partes: Se dois ângulos são adjacentes suplemen- tares, então suas bissetrizes formam um ângu- lo reto. Cada uma dessas partes é chamada semi-reta, e o ponto A é chamado origem das semi-retas. 13
  • UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo de semi-retas: Se os segmentos são colineares e consecu- tivos, nesse caso diz-se adjacentes. Exemplo: → Indicação: AB Segmentos congruentes (lê-se semi-reta AB) Dois segmentos são congruentes quando pos- Retas coplanares suem a mesma medida, tomada numa mesma unidade. Duas ou mais retas são coplanares quando es- tão contidas no mesmo plano. As retas coplanares podem ser: a) concorrentes – quando têm apenas um ⎯ ⎯ Indicamos a congruência entre AB e CD ponto comum; ⎯ escrevendo: AB ≅ CD (lê–se segmento AB é b) paralelas – quando não têm ponto comum; congruente ao segmento CD) c) coincidentes – quando têm todos os pon- tos comuns. Ponto médio de um segmento Chama-se ponto médio de um segmento o Segmento de reta ponto que divide o segmento dado em dois O conjunto formado pelos pontos A e B e por segmentos congruentes. todos os pontos da reta entre A e B é chama- do segmento de reta. Os pontos A e B são chamados extremos do 1. Que ente geométrico lhe sugere: segmento AB. ⎯ a) os buracos existentes no botão? Indicação: AB (lê–se segmento AB) b) o encontro entre duas paredes? Segmentos consecutivos c) o piso da sala de aula? Solução Dois segmentos são consecutivos quando possuem um extremo comum. a) Ponto b) Reta c) Plano 2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine a relação existente entre: ⎯ ⎯ Os segmentos AB e BC possuem um extremo comum: B. ⎯ ⎯ Logo: AB e BC são segmentos consecutivos. a) A ....... r b) A..... s c) A....... t Segmentos colineares d) B..... r e) B...... s f) C...... α Dois segmentos são colineares quando estão g) C ...... r h) C........s i) D....... α contidos na mesma reta. j) D....... r I) r .......α m)s..... α 14
  • Geometria I – Noções primitivas Solução Resposta a) ∈ b) ∈ c) ∉ a) 3,5cm b) 5.5cm d) ∉ e) ∈ f) ∈ c) 6,5cm d) 7,5cm g) ∈ h) ∉ i) ∈ j) ∉ l) ⊂ m) ⊂3. Dê a posição relativa dos pares de retas. 1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geo- métricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta, e Plano. 2. Quantas semi-retas há numa reta, com origem a) r ...........s d) t..................u nos quatro pontos A, B, C e D da reta? b) r...... .... t e) s................ u c) r ......... x 3. Se forem marcados três pontos distintos A, B e C sobre uma reta r, quantos segmentos de reta Solução com extremidades em dois desses pontos ficam a) Paralelas. d) Paralelas. determinados? Quais são eles? Faça o desenho. b) Concorrentes. e) Concorrentes. c) Coincidentes. 4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm.4. Verifique se os segmentos são consecutivos, a) Quanto mede o segmento AC? colineares, ou adjacentes. b) Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de AC, quanto mede MN? 5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item: a) AP = x + 6cm b) AC = 3x a) AB e BC b) BC e CD PB = x BC = x + 2cm c) AB e BD d) CD e DE Solução 6. Determine x e AB, sabendo que M é o ponto a) Consecutivos e colineares (adjacentes). médio de AB. b) Consecutivos. c) Consecutivos. d) Consecutivos e colineares (adjacentes). 7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o ponto nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. Se médio de BC e P o ponto médio de CD. , M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, calcule a medida dos seguintes seg- mentos: ⎯ a) MB b) BN ⎯ ⎯ Responda: c) NC d) MN ⎯ e) AN a) Quanto mede o segmento NP? b) Quanto mede o segmento MC? ⎯ ⎯ 8. Se PA e QB são segmentos congruentes de c) Quanto mede o segmento AN? ⎯ ⎯ uma reta r, Mostre que os segmentos PQ e AB d) Quanto mede o segmento MP? são congruentes. 15
  • UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita- va a região onde hoje se situa o Iraque. Esse ÂNGULOS povo tinha um calendário de 12 meses lunares, com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias No dia-a-dia, observa-se que existem diversos (12 x 30). Eles acreditavam que esse era o objetos que possuem uma certa abertura, dan- tempo que o Sol levava para dar uma volta do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa- completa em torno da Terra, girando em órbita dos, na engenharia, na fabricação de móveis, no circular. Assim, a cada dia o Sol percor- lançamento de foguetes, na utilização de saté- lites, na rota de avião, estacionamentos, em de- ria um arco correspondente a dessa cir- senhos, etc. cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira” em torno da Terra e que o ano tem mais de 360 dias. Mas devemos lembrar que os babilônios fizeram suas observações e seus cálculos há mais de 4 mil anos. As noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a cir- cunferência foi dividida, associamos um ângu- Definição lo cuja medida chamamos de 1 grau. Medida de um ângulo Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um instrumento que tem como unidade o grau. → → As duas semi-retas OA e OB dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. A reunião de duas semi-retas de mesma origem chama-se ângulo. O ângulo convexo da figura acima pode ser indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”) No transferidor da figura, tem-se um ângulo → → raso que foi dividido em 180 ângulos de um Se as duas semi-retas OA e OB forem opostas, grau (indica-se por 1°): o ângulo é chamado raso ou de meia-volta. O grau tem dois submúltiplos: • Minuto – corresponde a do grau. → → Indica–se um minuto por 1’. Se as duas semi-retas OA e OB, que formam o ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo • Segundo – corresponde a do minuto. nulo ou de uma volta. Indica-se um segundo por 1”. Quando um ângulo é medido em graus, minu- tos e segundos, diz–se que ele está expresso no sistema sexagesimal. 16
  • Geometria I – Noções primitivasOutras unidades de medida Propriedades da congruênciaRadiano – É a medida de um ângulo central cor- • Reflexiva: AÔB ≅ AÔB.respondente a um arco cujo comprimento é igual • Simétrica: se AÔB ≅ ‘CÔD, entãoao raio da circunferência a que pertence. CÔD ≅ AÔB. • Transitiva: se AÔB ≅ CDF e CDF ≅ FGH, então AÔB ≅ FGH. Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando pos- suem um vértice e um lado comuns.A circunferência possui 27πrd.Grado – É a medida de um ângulo central, quecorresponde a da circunferência (sistemadecimal de medidas).Correspondência entre as unidades de medida: Grau Grado Radiano São exemplos de ângulos consecutivos: Uma volta 360º 400 gr 2πrd AÔC e CÔB Meia volta 180º 200 gr 2πrd AÔC e AÔB Um quarto CÔB e AÔB 90º 100 gr de volta Ângulos adjacentesÂngulos Congruentes Dois ângulos são adjacentes quando possuemDois ângulos são congruentes quando pos- um vértice comum, um lado comum e não pos- suem pontos internos comuns.suem a mesma medida. AÔC e CÔB são ângulos adjacentes. Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. São exemplos de ângulos adjacentes:Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida AÔC e BÔC(30°). Podemos afirmar que esses ângulos são BÔC e CÔDcongruentes. Assim: CÔD e DÔAAÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD) DÔA e AÔB 17
  • UEA – Licenciatura em Matemática Bissetriz de um ângulo Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e a → semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB . AÔB e BÔC são complementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 90°. Ângulos suplementares Ângulo reto, agudo e obtuso Dois ângulos são suplementares quando a so- ma de suas medidas é 180°. De acordo com suas medidas, os ângulos re- cebem nomes especiais. AÔB e BÔC são suplementares. Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°. m(AÔB) + m(BÔC) = 180°. Exemplo: Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90°. Propriedades dos ângulos a) As propriedades dos ângulos são de grande importância na resolução de alguns exercícios. • Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteri- ores estão em linha reta, são suplementares. ^ + ^ = 180º a b b) Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°. Exemplos: a) • A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto e de um mesmo lado de uma reta é igual a 180°. b) Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°. ^ + ^ + ^ + ^ = 180º a b c d 18
  • Geometria I – Noções primitivas• A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°. 1. Qual o valor de x? a) ^ + ^ + ^ + ^ = 360º a b c d Solução• As bissetrizes de dois ângulos adjacentes, X + 60º = 90º de lados exteriores em linha reta, formam um X = 90º – 60º ângulo reto, ou seja, são perpendiculares. X = 30º m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´ b) Solução X + 53º = 180º X = 180º – 53º X = 127º 2. Calcule o valor de x nas figuras: a) Solução 10º + X+ 25º = 90º X = 90º – 35º X = 55º b) Solução 60º + X + 40º = 180º X = 180º – 100º X = 80º 19
  • UEA – Licenciatura em Matemática c) TEMA 04 ÂNGULOS Solução 70º + 90º +5X = 360º 5X = 360º – 160º 1. Use o transferidor para encontrar a medida do 5X = 200º ângulo destacado nas figuras: X = 40º a) b) c)3. Calcule o valor de x e de y na figura: 2. Classifique os pares de retas em concorrentes e paralelas: a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r Solução 3. Transforme: Y + 58º = 180º a) 60 graus em radianos; Y = 180º – 58º b) 50 grados em graus; Y = 122º c) π/6 radianos em graus. X + Y = 180º X + 122º = 180º 4. Dado um ângulo de medida X, indicar: X = 180º – 122º a) seu complemento; X = 58º b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento;4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi- das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o d) a metade do seu suplemento; valor de x? e) o triplo de seu suplemento. Solução 5. A metade da medida de um ângulo mais a 2x – 100° = x + 30° medida do seu complemento é igual a 58o. 2x – x = 30° + 100º Quanto mede o ângulo? x = 130º 6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi-5. Transforme 100 grados em graus. da de seu complemento é igual a 66º. Quanto Solução mede esse ângulo? Aplicando uma regra de três simples: 7. A medida de um ângulo somada à metade da 400gr 360º 100gr x medida de seu complemento dá 55º. Quanto mede o suplemento desse ângulo? = ⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒ 8. Somando-se a medida do complemento com a 400 x = 36000 ⇒ x = ⇒ x = 90º medida do suplemento de um ângulo obtém- Portanto 100 grados correspondem a 90 graus. se 130°. Quanto mede esse ângulo? 20
  • Geometria I – Noções primitivas9. Qual o valor de X? c) d) ⎯ OP é bissetriz de AÔB AOP = 3x – 5° BOP = 2x + 10°10. Calcule o valor de x, nas figuras: a) b) e) c)11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace a bissetriz do ângulo AOB.12. Determine os valores indicados por letras em cada figura. a) b) 21
  • UEA – Licenciatura em Matemática Se uma transversal intercepta duas retas para- lelas, os ângulos correspondentes são congru- TEMA 05 entes. PARALELISMO Retas paralelas Há inúmeras situações no dia-a-dia que nos dão idéias de paralelismo. Por exemplo, pode- se ressaltar os fios de alta tensão, as ruas de sua cidade, etc. Portanto: ^= ^, 2 6 ^= ^ 4 8, ^= ^ 1 5, ^= ^ 3 7. Exemplo: No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices no Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º, ponto de intersecção, conforme a figura abaixo: verifique como determinar a medida dos outros ângulos: Os ângulos internos são ^ ^ ^ e ^ Os ângu- 3, 4, 5 6. los ^ ^ ^ e 8 chamam-se ângulos externos. 1, 2, 7 ^ = ^ = 50° a e ângulos correspondentes Um externo e outro interno, situados do mesmo ^ + ^ = 180° a c ângulos suplementares lado da transversal e com vértices diferentes, ^ = 180° – 50° c chamam-se ângulos correspondentes. ^ = 130° c ^e ^; ^e ^; ^e ^ ; ^e ^ 3 7 4 8 1 5 2 6. ^ = ^ = 130° g c ângulos correspondentes Ângulos internos, situados em lados opostos ^ + ^ = 180° a b ângulos suplementares da transversal e com vértices diferentes cha- ^ = 180° – 50° b mam-se ângulos alternos internos. ^ e ^ ou ^ e ^ ^ = 130° b 3 6 4 5 ^ = ^ = 130° b f ângulos correspondentes Ângulos externos, situados em lados opostos ^ + ^ = 180° b d ângulos suplementares da transversal, como ^ e ^ ou ^ e ^ com vér- 1 8 2 7, tices diferentes, chamam-se ângulos alternos ^ = 180° – 130° d externos. ^ = 50° d ^ e ^ ou ^ e ^ 1 8 2 7 ^ = ^ = 50° d h ângulos correspondentes 22
  • Geometria I – Noções primitivas 3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transver- sal. Calcule as medidas dos ângulos assinala- dos nas figuras.1. A reta t é uma transversal às retas m e n. a) Solução ^ = 60º correspondente; a ^ = 60º (o.p.v) c ^ + 60º = 180º b ⇒ ^ = 180º– 60º = 120º b Portanto: Determine: ^ = 60º ; ^ = 120º ; ^ = 60º a b c a) quatro pares de ângulos correspondentes b) Solução b e f; d e h; a e e; ceg b) dois pares de ângulos alternos internos Solução e e f; eed c) dois pares de ângulos alternos externos Solução e e h; beg Solução n = 72º ( o.p.v);2. Na figura, a reta t é uma transversal às retas m = 108º n + m = 180 colaterais internos n paralelas m e n. =72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108; p = 72º pois p + m =180 (suplementares) p = 180 – 108 = 72. Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º 1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ân- gulos: a) ^ e ^ colaterais internos. b c a) Se a = 110°, calcule h. Solução h = 110°, pois a e h são alternos externos. b) Se d = 105°, calcule g. Solução g = 75° 23
  • UEA – Licenciatura em Matemática b) ^ e ^ correspondentes. m p c) 5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são parale- las. a)2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos: a) ^ e ^ a p; b) ^ e ^ a q. b)3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, o 6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x? valor de x: a) a) 7x b) 4 70° b) 3x 20°4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângu- los e determine o valor de x: a) 7. Sabendo que r é paralela a s, determine os va- lores de x e de y. a) b) x 30° 5 s x 15° 2 24
  • Geometria I – Noções primitivas b) TEMA 06 PERPENDICULARISMO Introdução Duas retas são perpendiculares se, e somente8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cada se, são concorrentes e formam ângulos adja- ângulo indicado por letra na figura? centes suplementares congruentes. Duas semiretas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares.9. Duas retas paralelas e uma transversal deter- Dois segmentos de retas são perpendiculares minam dois ângulos correspondentes cujas se estão contidas em retas perpendiculares. medidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as me- Retas oblíquas didas dos ângulos obtusos determinados por essas retas. Se duas retas são concorrentes e não são per- pendiculares, diz-se que essas retas são oblí-10. Duas retas, cortadas por uma transversal, for- quas. mam ângulos correspondentes expressos em graus por . Determine x de modo que essas retas sejam paralelas. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular ou ortogonal a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α. • Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retas de α. 25
  • UEA – Licenciatura em Matemática Perpendicularismo entre planos r Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é P’ perpendicular ao outro: p’ pr sr oj Projeção de um segmento de reta Para se obter a projeção de um segmento de ⎯ reta AB sobre um plano α, também temos dois casos a considerar: Projeções ortogonais sobre um plano ⎯ a) Se o segmento de reta AB é perpendicular A projeção ortogonal de um ponto sobre um ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é o pé da perpendicular ao plano con- plano é um ponto, que é o traço da reta duzida pelo ponto. em α. ⎯ P’ é a projeção ortogonal de P sobre α. b) Se o segmento de reta AB não é perpendi- cular ao plano α, basta projetar as suas ex- tremidades sobre α, para se obter a proje- ção do segmento. Projeção de uma figura Distância de ponto a plano A projeção ortogonal de uma figura sobre um A distância de um ponto a um plano é a distân- plano é o conjunto das projeções ortogonais cia do ponto à sua projeção ortogonal no plano. dos pontos da figura sobre o plano. F´= proj0F A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias do ponto aos pontos do plano. Distância entre reta e plano paralelos A distância entre uma reta e um plano parale- Projeção de uma reta los é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. Para se obter a projeção de uma reta r sobre um plano α, há dois casos a considerar: Para se achar a distância entre uma reta e um plano paralelos, basta tomar um ponto P na a) Se a reta r é perpendicular ao plano α, sua reta e achar a distância de P ao plano. projeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano. b) Se a reta r não é perpendicular ao plano α, sua projeção ortogonal sobre α é o traço (intersecção) em α, do plano β perpendicu- lar a α, conduzido por r. 26
  • Geometria I – Noções primitivas Distância entre planos paralelos c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpen- diculares a uma outra reta em pontos A· distância entre dois planos paralelos é a dis- distintos, são paralelos. tância de um ponto qualquer de um deles ao outro plano. d. ( ) Se dois planos são paralelos, então to- da reta perpendicular a um deles é per- Para se achar a distância de dois planos α e β pendicular ao outro. paralelos basta considerar um ponto P num deles (por exemplo, P ∈ (β) e obter a distância e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares a do ponto P ao outro plano (α). uma mesma reta, são secantes. f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a um mesmo plano, são reversas. g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é per- pendicular à outra. 4. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter- ceiro são paralelos. b. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter- ceiro são perpendiculares entre si.1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): c. ( ) Se dois planos são paralelos, então to- a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são do plano perpendicular a um deles é perpendiculares. perpendicular ao outro. b. ( ) Duas retas que são perpendiculares for- d. ( ) Se dois planos são perpendiculares, mam ângulo reto. então toda reta perpendicular a um de- c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ân- les é paralela ao outro ou está contida gulo reto. nesse outro. a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são e. ( ) Se dois planos são perpendiculares, ortogonais. então toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro.2. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então todo plano perpendicular à reta a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é dada é perpendicular ao plano dado. perpendicular a infinitas retas do plano. g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é então todo plano perpendicular ao perpendicular a qualquer reta do plano. plano dado é perpendicular à reta dada. c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas do plano. 5. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a infinitas retas do plano. a. ( ) A projeção ortogonal de um ponto e. ( ) Uma reta perpendicular a um plano sobre um plano é um ponto. forma ângulo reto com todas as retas b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre do plano. um plano é uma reta. c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulo3. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): sobre um plano é sempre um triângulo. a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, d. ( ) As projeções ortogonais, sobre um então toda reta perpendicular à reta dada mesmo plano, de duas retas são para- é perpendicular ao plano. lelas, então as retas são paralelas. b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendicu- e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas, lares, então toda reta perpendicular à reta não perpendiculares ao plano de pro- dada é paralela ao plano ou nele está jeção, são paralelos, então as pro- contida. jeções dessas retas são paralelas. 27
  • UNIDADE II Polígonos
  • Geometria I – Polígonos Classificação dos triângulos quanto aos lados: TEMA 07 Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em: eqüilátero , isósceles ou escaleno.TRIÂNGULOS Eqüilátero: quando os três lados são congru- entes.IntroduçãoO triângulo é um polígono de três lados.A forma triangular é bastante utilizada em vá-rias situações do nosso dia-a-dia. ⎯ ⎯ ⎯ AB ≅ BC ≅ AC Isósceles: quando apenas dois lados são con-Elementos de um triângulo gruentes.Os principais elementos de um triângulo são: ⎯ ⎯ AB ≅ AC Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.Vértices: pontos A, B e C.Lados: segmentos AB, BC e CA.Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê.Ângulos externos: ângulos â, b e ê. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ med (AB) ≠ med (AC)≠ med (BC)≠ med(AB).O triângulo é o único polígono que não possuidiagonais. Triângulos quanto aos ângulosA soma das medidas dos ângulos internos (Si) Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-de um triângulo é dada por: Si = 180°. se em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.A soma das medidas dos ângulos externos • Acutângulo: quando os três ângulos inter-(Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°. nos são agudos (medida menor que a de um ângulo reto).Usa-se o símbolo Δ para representar a palavratriângulo. Assim, um triângulo ABC pode ser • Retângulo: quando um dos ângulos é reto.nomeado, ΔABC. • Obtusângulo: quando um dos ângulos é obtuso.Pode-se estabelecer uma relação entre os la-dos e os ângulos internos de um triângulo, que Condições de existência de um triânguloserá importante em nossos estudos. ⎯ Dado o ΔABC, sendo a medida do lado BC, b ⎯ ⎯Classificação dos Triângulos medida do lado AC e c medida do lado AB, pode-se escrever as seguintes relações:Os triângulos podem ser classificados quantoaos lados ou quanto aos ângulos. a<b+c 31
  • UEA – Licenciatura em Matemática b<a+c c<a+b 1. Observe a figura: a) Quais são os vértices? Portanto, ao comparar o maior lado com a soma dos outros dois, pode-se saber se existe Solução: X, Y, Z ou não triângulo. b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY? Solução: XY Propriedade da soma dos ângulos dos triân- gulos c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z? A soma das medidas dos ângulos de um triân- Solução: XY gulo é 180º. 2. Verifique se existe ou não um triângulo com la- Demonstração: dos medindo: (justifique suas respostas) Considere o triângulo ABC e observe os ângu- a) 4cm, 4cm e 4cm los ^ ^ e ^ do triângulo. A, B, C Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4. b) 3cm, 3cm e 2cm Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2. c) 1cm, 2cm e 3cm Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa. Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para- 3. Classifique os triângulos abaixo quanto à medi- lela ao lado BC .Observe os ângulos: ^ ^ e^ 1, A 2. da dos seus lados: a) Solução: Escaleno. Do paralelismo de r e BC, considerando a ⎯ b) transversal AB, decorre que: 1≡^ B ⎯ Do paralelismo de r e BC, considerando a transversal AC, decorre que: Solução: Eqüilátero. ^ 2 ^ ≡C c) Portanto ^ + ^ + ^ = 1800 A B C Solução: Isósceles. 32
  • Geometria I – Polígonos4. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 e TEMA 08 AC = x + 4, calcule a medida de BC. Solução: TRIÂNGULOS 3x –10 = x + 4 BC = 2x + 4 3x – x = 4 + 10 BC = 2. 7 + 4 2x = 14 BC = 14 + 4 X= BC =18 1. Observe a figura: X=75. Determine os lados do triângulo da figura, sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro. a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3; R, S T. b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3; Solução: RS, RT ST x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60 c) Quantos são os ângulos? Quais são eles? 3 x + 3 – 7 – 2 = 60 3; R, S T. 3 x – 6 = 60 3 x = 60 + 6 2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com lados medindo: (justifique suas respostas) 3 x = 66 a) 5cm, 7cm e 3cm X= b) 3cm, 2cm e 7cm X = 22 Lado X + 3 Lado X– 2 c) 3cm, 3cm e 2cm 22 + 3 22 – 2 d) 5cm, 5cm e 10cm 25 20 3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa- Lado X– 7 bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter- 22 – 7 mine x. 15 Portanto, os lados são: 15, 20 e 25. 33
  • UEA – Licenciatura em Matemática4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero, sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 e TEMA 09 BC=y + 4 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Introdução Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos são respectivamente con- gruentes. ⎯ ⎯ AB ≅ A’B’ A ≅^ A’ ⎯ ⎯5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC. AC ≅ A’C’ e B ≅^ B’ ⎯ ⎯ Determine o perímetro sabendo que: BC ≅ B’C’ C ≅^ C’ AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm Sob certas condições, a congruência de dois triângulos pode ser garantida com a inspeção6. Dois lados de um triângulo medem, respectiva- de apenas três elementos. Essas condições mente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medida são chamadas de casos de congruência de do terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderá triângulos. medir esse lado? Casos de congruência7. Os lados de um triângulo são medidos por três números inteiros e consecutivos. Sabendo que 1.o caso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado) o perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm, Dois triângulos que possuem dois lados e o 4cm e 5cm. ângulo compreendido entre eles respectiva- mente congruentes são congruentes.8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois, classifique os triângulos quanto aos ângulos: a) ⎯ ⎯ b) AB ≅ A’B’ ^≅ ^ B B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ 2.o caso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo) Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectiva-9. Num triângulo, os três ângulos são congruen- mente congruentes são congruentes. tes. Quanto mede cada ângulo?10. Calcule x e y na figura abaixo: B ≅^ B ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ C ≅ ^ C’ 34
  • Geometria I – Polígonos 3.o caso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado) Solução: Dois triângulos que possuem os três lados Caso L.A.L respectivamente congruentes são congru- X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm entes. 3. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x + 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y. ⎯ ⎯ AB ≅ A’B’ ⎯ ⎯ AC ≅ A’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ ⎯ ⎯ BC ≅ B’C’ 4.o caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto) Solução Dois triângulos que possuem um lado, um ângu- lo adjacente e um ângulo oposto a esse lado Por hipótese, tem-se que: respectivamente congruentes são congruentes. ΔPCD ≅ ΔPBA Logo: AP = PD 2y + 17 = 3y – 2, ⎯ ⎯ 2y – 3y = – 2 – 17 BC ≅ B’C’ –y = –19 (–1) B ≅^ B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ Y = 19 A ≅^ A’ O segmento CD=AB x + 5 = 15 x = 15 – 5 x = 101. Em cada item abaixo, os dois triângulos são Por tanto: x =10 e y = 19 congruentes. Indique o critério de congruência utilizado a) b) 1. Em cada um dos casos abaixo, verifique se os triângulos são congruentes; em caso afir- mativo, escreva o caso que garante a con- Solução: Caso L.A.L Solução: Caso A.L.A gruência.2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixo a) e descubra os valores indicados pelas letras. 35
  • UEA – Licenciatura em Matemática b) 5. Na figura abaixo, os dois triângulos são con- gruentes. Indique o critério de congruência uti- lizado. Em seguida, calcule x. c) 6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congru- entes. Sabendo que B^ = 120°, C^ = 27°, AC AD B^ = 3y e A^ = 2x, determine x e y. CA CD2. Os triângulos dados em cada item são congru- entes. Dê o caso de congruência e descubra os valores indicados pelas letras. a) 7. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22, AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y. b)3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e de y? 8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são con- gruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O, BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d. a) Qual o caso de congruência que permite escrever ΔPQS ≅ ΔPTR? b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru- ⎯ ente a QS? 36
  • Geometria I – Polígonos Traçar a bissetriz do ângulo interno Â. TEMA 10 ⎯ O segmento AO é a bissetriz do triângulo rela- tiva ao ângulo Â.PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO Bissetriz de um triângulo é o segmento contidoIntrodução na bissetriz de um dos ângulos internos do triân- gulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-Além dos lados, vértices, ângulos internos eângulos externos, os triângulos apresentam lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto.outros elementos, entre os quais as cevianas. Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-Denomina-se ceviana a qualquer segmento contram num ponto chamado de incentro (I).que une um vértice ao lado oposto ou ao seuprolongamento.Ca: ceviana relativa ao lado a. AlturaMediana Considerando um triângulo qualquer ABCConsiderando um triângulo qualquer ABCPode –se:Determinar o ponto médio M do lado BC. Pode –se: ⎯O segmento AM é chamado de mediana relati- Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-va ao lado BC. lar ao lado BC.Mediana de um triângulo é o segmento que une ⎯um vértice ao ponto médio do lado oposto. O segmento AH é a altura relativa ao lado BC.Todo triângulo possui três medianas, que se O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB.encontram em um ponto chamado de baricentro. Altura de um triângulo é o segmento que ligaAs três medianas se encontram no ponto G, um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu pro-que é o baricentro do ΔABC. longamento) e que é perpendicular a esse lado.Bissetriz Todo triângulo tem três alturas. O ponto deConsiderando um triângulo qualquer ABC, encontro das retas que contêm as alturas épode-se: chamado de ortocentro (O). Mediatriz Todo triângulo possui três mediatrizes de lados que se encontram em um único ponto. 37
  • UEA – Licenciatura em Matemática Solução AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo o lado BC = 3,8cm P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm P = 9,5cm. Denomina-se circuncentro o ponto de encon- tro das três mediatrizes dos lados de um triân- gulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 1. Com auxílio de régua e compasso, construa um triângulo cujas medidas dos lados sejam 6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bis- setrizes e determine o seu incentro. 2. Desenhe um triângulo cujas medidas dos lados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, deter- mine o ortocentro. 3. Responda: a) Qual é o nome do ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo? A que corresponde esse ponto?1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg- ⎯ b) Qual é o nome do ponto de intersecção das mento AO como mediana, bissetriz ou altura: bissetrizes internas de um triângulo? A que a) b) corresponde esse ponto? 4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde à altura, à mediana ou à bissetriz? c) ⎯ ⎯ ⎯ 5. Classifique os segmentos AR, AS e AT do triân- gulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz. Solução Mediana; Bissetriz e Altura2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo. 6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo. 38
  • Geometria I – Polígonos O quadrilátero possui 2 diagonais (segmento que tem como extremidades dois vértices não TEMA 11 consecutivos), soma dos ângulos internos igual a 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º.QUADRILÁTEROS CASOS NOTÁVEISUm breve histórico TrapezóideTanto entre os sumérios como entre os egíp-cios, os campos primitivos tinham forma retan- Definiçãogular. Também os edifícios possuíam plantas É o quadrilátero que não possui lados paralelos.regulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truírem muitos ângulos retos (de 90o). Emborade bagagem intelectual reduzida, aqueleshomens já resolviam o problema como umdesenhista de hoje. Por meio de duas estacascravadas na terra, assinalavam um segmentode reta. Em seguida, prendiam e esticavamcordas que funcionavam à maneira de com- Trapéziopassos: dois arcos de circunferência se cortame determinam dois pontos que, unidos, Definiçãosecionam perpendicularmente a outra reta, for- Um quadrilátero plano convexo é um trapéziomando os ângulos retos. se, e somente se, possui dois lados paralelos.O problema mais comum para um construtor étraçar, por um ponto dado, a perpendicular auma reta. O processo anterior não resolve esteproblema, em que o vértice do ângulo reto jáestá determinado de antemão. Os antigosgeômetras solucionavam-no por meio de trêscordas, colocadas de modo a formar os lados ⎯ ⎯de um triângulo retângulo. AD // BC Os lados paralelos do trapézio são chamadosDefinição de bases.Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, dis- Podemos classificar os trapézios de acordotintos e não-colineares três a três. Se os segmen- ⎯ ⎯ ⎯ com os lados não-bases como:tos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nasextremidades, denominamos quadrilátero a • Isósceles: os lados não-bases são congru-reunião desses quatro segmentos. entes. ⎯ ⎯ AD ≡ BC • Escaleno: os lados não-bases não são con-Elementos: gruentes.• Vértices: A, B, C e D;• Ângulos: ^ (D^ A AB), ^ (A^ B BC), ^ (B^ e C CD) ^ ^ D(CDA); ⎯ ⎯ ⎯ ⎯• Lados: AB, BC, CD, AD ⎯ ⎯• Diagonais: AC e BD. AD < BC 39
  • UEA – Licenciatura em Matemática Quadrado • Retângulo, possui dois ângulos retos. Definição Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes. Os ângulos ^ e ^ são suplementares. B C Paralelogramo Definição Um quadrilátero plano convexo é um paralelo- gramo se, e somente se, possui os lados opos- ABCD é quadrado ⇔ ^ ≡ ^ ≡ ^ ≡ ^ e A B C D tos paralelos. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA. Propriedades Trapézio qualquer ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Em qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, de ABCD é paralelogramo ⇔ AC//BD e AB//CD. ⎯ ⎯ bases AB e CD temos: Retângulo Definição Um quadrilátero plano convexo é um retângu- lo se, e somente se, possui os quatro ângulos ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ De fato, como AB // CD temos AD e BC retas congruentes. transversais. Então: Os ângulos ^ e ^ assim como ^ e ^ são A D, B D, colaterais internos. Logo, são suplementares. Trapézio isósceles Os ângulos adjacentes às bases são congru- ABCD é retângulo ⇔ ^ ≡ ^ ≡^ ≡^ A B C D. entes. Demonstração Losango ou Rombo Definição • Pelos vértices da base menor traçamos re- tas perpendiculares às bases. Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados con- gruentes. • Temos os triângulos semelhantes AA’D e BB’C, caso de semelhança do triângulo retângulo. Logo ^ ≡ ^ D C. • Sendo ^ e ^ assim como ^ e ^ suple- A D, B C, ⎯ ⎯ ABCD é losango CD ≡ DA mentares. Temos ^ ≡ ^ A B 40
  • Geometria I – Polígonos1. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes 2. Prove que a bissetriz de dois ângulos conse- à mesma base são representados por 2x + 15º cutivos de um paralelogramo cortam-se em um e 3x – 25º. Determinar a medida de cada um ângulo reto. dos ângulos do trapézio. Solução Solução Observe o paralelogramo ABCD, 2x + 15 = 3x – 25 ⇒ x = 40º, logo os ângulos das bases são: 95º e 85º. Trapézio isósceles As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. Como os ângulos opostos são congruentes, Dado o trapézio ABCD. podemos afirmar que: e . Temos ainda α e β suple- mentares, logo ⇒ ^ = 90º V Em todo paralelogramo, os lados opostos são ⎯ ⎯ Temos, por hipótese: AD ≡ BC e pela demon- congruentes. stração anterior D ≡ C e ^ ≡ ^ Tese: queremos A B. ⎯ ⎯ Observe o paralelogramo ABCD. Tracemos a mostrar que BD ≡ AC. ⎯ diagonal AC. Demonstração Tomemos os triângulos ABD e ABC, ⎯ ⎯ Note que, por hipótese, AD ≡ BC e ^ ≡ ^ e A B, ⎯ ainda temos o lado AB comum aos triângulos. Pelo caso LAL de congruência, podemos afir- ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Queremos mostrar que AD ≡ BC e AB ≡ CD. mar que BD ≡ AC. Demonstração Paralelogramo ⎯ A reta suporte da diagonal AC é transversal às Os ângulos opostos são congruentes. ⎯ ⎯ retas suporte de AB e CD. Então os ângulos B^ e A^ são congruentes (alternos internos). AC CD Os triângulos ABC e ACD são congruentes, ⎯ caso LAAo ( AC é comum, B^ ≡ A^ e ^ ≡ ^ AC CD B D). Demonstração ⎯ ⎯ ⎯ Por hipótese, AB // CD, então AC é transver- ⎯ ⎯ ⎯ sal, logo ^ + ^ = 180º e, AC // BD, então CD A C é transversal, daí ^ + ^ = 180º. C D Podemos concluir, pela congruência dos triân- ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ gulos, AD ≡ BC e AB ≡ CD. . De modo análogo, mos- Em todo paralelogramo, as diagonais dividem- tramos ^ ≡ ^ B C. se ao meio. 41
  • UEA – Licenciatura em Matemática Dado o paralelogramo ABCD, suas diagonais e Pretende-se abrir um túnel numa montanha de a respectiva intersecção entre elas. A para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também traba- lhar de B na direcção de A, determinou-se E^ = 82º, A^ = 98º e D^ = 112º. AD DC CB ^ para que o Quantos graus deve medir o C BF Os triângulos ABM e CMD são congruentes, caso prolongamento de BF passe por A. ⎯ ⎯ ALA (M^ ≡ MCB, AB ≡ CD e A^ ≡ M^ AB BM DC). ⎯ ⎯ 4. Determine a medida x indicada no paralelo- Então, DM ≡ MB ⇒ M é ponto médio da dia- ⎯ ⎯ ⎯ gramo abaixo. gonal BD e AM ≡ MC ⇒ M é ponto médio da ⎯ diagonal AC, como queríamos demonstrar.1. Determine o valor de x em cada um dos qua- ⎯ ⎯ ⎯ 5. ABCD é um trapézio de bases AB e CD. Se DP driláteros: ⎯ e CP são bissetrizes; determine x e B^ CD. a) b)2. Observe a figura abaixo e responda aos itens: ⎯ 6. ABCD é um paralelogramo, AP é bissetriz, AP = 7cm e PC = 3cm; determine o perímetro do paralelogramo. a) Se ABCD for um trapézio isósceles, ^ = 80º c e ^ = 20º, quanto mede cada um dos ângu- d los do trapézio? b) Se ABCD for um trapézio escaleno, ê = 60º, 7. Calcule os lados de um paralelogramo, saben- ^ = 110º e CD ⊥ AE, quanto mede cada um b do que o seu perímetro mede 84m e que a dos ângulos do trapézio? soma dos lados menores representa da c) ABCD é um trapézio em que ^ = 60º, D ^ = 85º e ^ = 130º; quanto mede o ê? c B soma dos lados maiores. d) ABCD é um trapézio em que B^ = 160º e CE ^ 8. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ê = 50º; quanto mede o B? ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-3. mine o maior ângulo do trapézio. 9. A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual a 78º e sua diferença 4º. Deter- 42
  • Geometria I – Polígonos mine o maior ângulo do trapézio. TEMA 1210. (VUNESP) A afirmação falsa é: a) Todo quadrado é um losango. QUADRILÁTEROS b) Existem retângulos que não são losangos. c) Todo paralelogramo é um quadrilátero. Retângulo, losango e quadrado – principais propriedades e aplicações. d) Todo quadrado é um retângulo. e) Um losango pode não ser um paralelo- Retângulo gramo. Da primeira propriedade de paralelogramo que demonstramos, os ângulos opostos são con-11. Do trapézio da figura, sabe-se que AD = DC = gruentes, o retângulo é um paralelogramo. En- CB e BD = BA. O ângulo ^ mede: D tão, valem as propriedades do paralelogramo no retângulo. Vejamos outras propriedades do retângulo. No retângulo, as diagonais são congru- entes. Demonstração a) 36º b) 60º c) 72º d) 108º e) 144º12. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um Hipótese: ABCD é retângulo. ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo ⎯ ⎯ Tese: AC ≡ DB. agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter- ABCD é retângulo ⇒ ABCD é paralelogramo mine o maior ângulo do trapézio. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⇒ AD ≡ BC e AB ≡ CD.13. Em um trapézio retângulo, o menor ângulo O triângulo ΔABD é congruente ao triângulo ⎯ mede 32º. O maior ângulo desse polígono ΔACD, pois, AD é comum, ^ ≡ ^ = 90º e A D ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ mede: AB ≡ CD. Caso LAL. Logo AC ≡ DB. a) 138º Todo paralelogramo que tem diagonais con- b) 148º gruentes é um retângulo. c) 158º Demonstração d) 168º e) 178º ⎯ ⎯14. (CESGRANRIO) As base MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112cm respectiva- mente. Se o ângulo M^ é o dobro do ângulo QP ⎯ ⎯ ⎯ Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC ≡ DB. P^ então o lado PQ mede: NM, Tese: ABCD é retângulo. a) 154cm Tomemos os triângulos: b) 133cm c) 91cm d) 77cm e) 70cm 43
  • UEA – Licenciatura em Matemática e O número irracional 1,618... é chamado razão áurea. A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Observe que AD ≡ BC, AC ≡ DB (hipótese) e ⎯ CD é comum. Pelo caso LLL, podemos afirmar que ΔBCD ≡ ΔACD, então, B^ ≡ A^ Como CD DC. A^ ≡ A^ e D^ ≡ B^ ABCD é um parale- BC DC AB CD, logramo. Temos: ^ ≡ ^ ≡ ^ ≡ ^ = 90º, logo ABCD é retângulo. A B C D O retângulo AHCG é áureo. O RETÂNGULO ÁUREO Com o auxílio de um compasso, podemos Vamos ver um retângulo que tem uma pro- traçar uma espiral, como a do Nautilus marinho. priedade interessante. Ele é chamado de retângulo áureo ou retângulo de ouro e é o preferido dos artistas e arquitetos. O retângulo áureo tem uma propriedade inte- ressante. Considere um retângulo áureo ABCD de onde foi retirado um quadrado ABEF, como mostra a figura: O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. ⎯ Seja x a medida do lado AB e y a medida do ⎯ lado AD. Então, vale a proporção: Losango Lembre-se de que o losango é um paralelo- De onde se deduz que x2 = y2 – yx, ou seja, gramo com lados opostos congruentes. x2 + yx – y2 = 0. Todo losango possui as diagonais perpen- Resolvendo a equação em x, tem–se: diculares entre si. Demonstração Se y = 1, então x = 0,618. Se x = 1, então y = 1, 618 44
  • Geometria I – Polígonos ⎯ ⎯ BASES MÉDIASHipótese: ABCD é losango, e AC e BD sãosuas diagonais. Triângulo ⎯ ⎯Tese: AC ⊥ BD. São os segmento que têm como extremidades os pontos médios de dois lados de um triângulo.Pelo caso LLL, temos as seguintes congruên- ⎯ ⎯cias: ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB, logo os • XZ é base média relativa ao lado BC.ângulos do vértice M são congruentes e iguais ⎯ ⎯a 90º. • YZ é base média relativa ao lado AB. ⎯ ⎯Todo paralelogramo que tem diagonais per- • XY é base média relativa ao lado AC.pendiculares é um losango. A base média é paralela ao terceiro lado.Demonstração Demonstração ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Hipótese: AX ≡ XB e AZ // ZC. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC ⊥ BD. Tese: XZ // BC.Tese: ABCD é losango. Por C traçamos uma reta paralela ao segmen- ⎯Basta tomar os mesmos triângulos da demons- to AB, encontramos sua intersecção com a re- ⎯tração anterior usando, agora o caso LAL de ta suporte do segmento XZ.congruência.ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB e, portanto,⎯ ⎯ ⎯ ⎯AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA.Quadrado Temos: ⇒ B^ ≡ A^ alternos inter- AC CD,Todo quadrado é retângulo e losango. nos. Pelo caso ALA, temos ΔAXZ ≡ ΔCDZ ⇒ ⎯ ⎯ ⎯ CD ≡ AX ≡ XB ⇒ BCDX é um paralelogramo e, ⎯ ⎯ portanto, XZ // BC. ⎯ ⎯ Observe também que XZ ≡ ZD, logo Z é ponto ⎯ médio de XD. Então, . O que nos leva a outra propriedade.É retângulo, pois ^ ≡ ^ ≡ A B ^ ≡ ^ = 90º, e é C D A base média é igual à metade do terceiro ⎯ ⎯ ⎯ ⎯losango porque AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA. lado. 45
  • UEA – Licenciatura em Matemática ⎯ Do ΔADE temos: M ponto médio do lado AD e N ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ponto médio do lado DE, daí MN // AB e MN // CD. Observe, também que , como1. No triângulo ABC de lados AB = 13cm, BC = 9cm e AC = 8cm, e M, N e P pontos médios , ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ BE ≡ CD (ΔBEN ≡ ΔCDN), concluímos que dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Calcule o perímetro do triângulo MNP. . Podemos, então, enunciar: Solução A base média de um trapézio é a média arit- mética de suas bases. O lado MP é base média do lado AB, portanto 2. Prove que os pontos médios de um quadri- MP = 6,5cm. De modo análogo, encontramos látero qualquer é um paralelogramo. NP = 4cm e MN = 4,5cm. Temos, então, 2pΔMNP = 15cm. Solução Dado o quadrilátero ABCD, por seus pontos Trapézio médios determinamos o quadrilátero MNPQ. A base média de um trapézio é o segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não-paralelos. A base média de um trapézio é paralela às bases deste. Demonstração Pela diagonal AC, temos: PQ é base média do triângulo ACD e MN é base média do triângulo ABC, então e ainda PQ//MN. De modo aná- Hipótese: ABCD é um trapézio, M é ponto ⎯ ⎯ logo mostramos que e PN//QN. médio do lado AD e N é ponto médio BC. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Tese: MN // AB e MN // CD. Chamamos de E a intersecção das retas e . 1. Usando um barbante de comprimento 144cm, construímos um triângulo eqüilátero e com o mesmo barbante construímos depois um qua- Observando os triângulos BEN e CDN, temos: ⎯ ⎯ drado. Determine a razão entre a altura do BN ≡ NC, B^ ≡ C^ (o.p.v.) e B^ ≡ N^ NE ND EN DC triângulo e a diagonal do quadrado. (alternos internos). ⎯ ⎯ Pelo caso LAAo, ΔBEN ≡ ΔCDN ⇒ BE ≡ CD e 2. Gabriel deseja construir uma canoa com for- ⎯ ⎯ NE ≡ ND. mas geométricas, conforme a figura seguinte. 46
  • Geometria I – Polígonos 7. Calcule x, y e z no trapézio abaixo: Usando uma fita métrica, Gabriel verificou que sua canoa tem o perímetro, na superfície considerada no desenho, igual a 845cm. Ajude o Gabriel a encontrar a medida do lado do triângulo na proa. 8. Sabendo que MN = x – 2y + 5, calcule a mediana de Euler no trapézio:3. Considere um quadrilátero ABCD cujas diago- nais AC e BD medem, respectivamente, 13cm e 6cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios do quadrilátero dado, o perímetro do quadri- látero MNPQ é igual a: a) 35cm b) 25cm c) 19cm d) 17,5cm e) 9,5cm ⎯ 9. Em um trapézio, a base maior mede 12cm e a4. Considere o trapézio ABCD de base média MN, diferença entre a base menor e a mediana de sabendo que CD = x e AB = y, mostre que Euler mede 3cm. A base média desse trapézio (mediana de Euler). mede: a) 7cm b) 8cm c) 9cm d) 10cm e) n.r.a. 10. Calcule a base menor de um trapézio sabendo que a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 12cm e que a razão entre as5. Calcule x no trapézio abaixo: bases é 2. a) 5cm b) 6cm c) 8cm d) 9cm e) n.r.a. 11. Em um trapézio, as diagonais dividem a base média em segmentos proporcionais a 2, 1, 2. A6. Calcule x e y no trapézio abaixo: razão entre as bases do trapézio é: a) b) c) d) e) 47
  • UEA – Licenciatura em Matemática12. Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo 30º é igual à TEMA 13 metade do lado não perpendicular às bases.13. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor POLÍGONOS ⎯ AB é congruente aos lados não-paralelos. Linhas poligonais e polígonos Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos ^ e ^ C D. Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. ⎯ Classificam-se em:14. Pelo ponto médio M da base BC de um triân- gulo isósceles ABC traçamos os segmentos ⎯ ⎯ MN e MQ respectivamente paralelos aos lados ⎯ ⎯ AB e AC do triângulo. Prove que APMC é um losango. Linha poligonal Linha poligonal fechada simples fechada não-simples Linha poligonal Linha poligonal aberta simples aberta não-simples Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Elementos de um polígono Um polígono possui os seguintes elementos: Lados: Cada um dos segmentos de reta que ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ une vértices cosecutivos: AB, BC, CD, DE, EA. Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E. Diagonais: Segmentos que unem dois vértices ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ não-consecutivos: AC, AD, BD, BE, CE. Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: E^ A^ B^ C^ e AB, BC, CD, DE D^EA. 48
  • Geometria I – PolígonosÂngulos externos: Ângulos formados por um Classificação dos polígonoslado e pelo prolongamento do lado a ele con- • Um polígono é denominado simples se elesecutivo: ^1,^1,^ ,^1 e ^1. a b c1 d e for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em umaClassificação dos polígonos quanto ao região interna e externa); caso contrário, énúmero de lados. denominado complexo. POLÍGONOS • Um polígono simples é denominado con- vexo se não tiver nenhum ângulo interno NOME LADOS NOME LADOS cuja medida seja maior que 180°, caso con- TRIÂNGULO 3 QUADRILÁTERO 4 trário, é denominado côncavo. PENTÁGONO 5 HEXÁGONO 6 • Um polígono convexo é denominado cir- HEPTÁGONO 7 OCTÓGONO 8 cunscrito a uma circunferência ou polígono ENEÁGONO 9 DECÁGONO 10 circunscrito se todos os vértices per- HENDECÁGONO 11 DODECÁGONO 12 tencerem a uma mesma circunferência. TRIDECÁGONO 13 TETRADECÁGONO 14 • Um polígono inscritível é assim denomina- PENTADECÁGONO 15 HEXADECÁGONO 16 do se todos os seus lados e todos os seus HEPTADECÁCOGO 17 OCTODECÁGONO 18 ângulos forem congruentes. ENEADECÁGONO 19 ICOSÁGONO 20 Alguns polígonos regulares TRIACONTÁGONO 30 TETRACONTÁGONO 40PENTACONTÁGONO 50 HEXACONTÁGONO 60 • Triângulo equiláteroHEPTACONTÁGONO 70 OCTOCONTÁGONO 80 • Quadrado ENEACONTÁGONO 90 HECTÁGONO 100 • Pentágono regular QUILÓGONO 1000 GOOGÓLGONO 10100 • Hexágono regular Propriedades dos polígonosNomeando polígonosPara se construir o nome de um polígono com • O número de diagonais (d) de um polígonomais de 20 lados e menos de 100 lados, basta é dado por , onde n é o númerocombinar os prefixos e os sufixos a seguir: de lados do polígono. Dedução De cada vértice de um polígono de n lados, saem n – 3 diagonais (não contamos o próprio vértice nem os dois vértices adjacentes). Como temos n vértices, o número de diagonais é dado por n.(n – 3). Cada diagonal é contada duas vezes, pois tem mesma extremidade. Por exemplo, a diagonal ⎯ AF, partindo do vértice A, é a mesma diagonal ⎯ FA com origem em F. Logo, o número de diagonais é: 49
  • UEA – Licenciatura em Matemática ângulo interno (ai) correspondente:1. Determine o número de diagonais de um polí- gono convexo de 17 lados (heptadecácogo). Solução: Daí: d = 119 diagonais. Se = n . 180º – Si ⇒ Se = n . 180º – n . 180º + 2.180º ⇒ Se = 360º2. Dê o nome do polígono convexo que possui 54 • A medida do ângulo interno de um polígo- diagonais. no regular de n lados (ai) é dada por Solução . • A medida do ângulo externo de um polígo- n = 12 ou n = –9 no regular de n lados (ae) é dada Portanto o polígono é o dodecágono. por . • A soma das medidas dos ângulos internos Então, A¡ = 180° – Ae = 180° – 60° = 120°. de um polígono de n lados (Si) é dada por Si = (n – 2).180º. Dedução Vamos tomar um polígono convexo com n vér- tices: 3 Qual é o polígono regular cujo ângulo interno vale 1,5 do ângulo externo? Solução Logo o polígono procurado é um pentágono regular. Sabemos que para cada vértice temos (n – 3) diagonais. Fixando um desses vértices, dividi- mos o polígono dado em (n – 2) triângulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º, temos para o polígono de n lados a soma (Si) dos ângulos internos igual a: Si = (n – 2).180º • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados é Se = 360º. Dedução Cada ângulo externo (ei) é suplementar do 50
  • Geometria I – Polígonos b) TEMA 14 POLÍGONOS 7. Determine o maior ângulo de um pentágono cu-1. Usando as tabelas de classificação dos polí- jos ângulos internos estão na razão 3:3:3:4:5. gonos convexos, quanto ao número de lados, dê o nome dos polígonos com número de lados igual a: 8. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24o. a) 33 b) 19 Determine o número de diagonais desse polí- c) 46 d) 68 gono. e) 97 9. Na figura abaixo, determine a soma das medi-2. Um polígono tem o número de diagonais igual das dos ângulos. ^ ^ ^ ^ ^ ^ a, b, c, d, e, f. a do número de lados, encontre o número de lados e classifique-o.3. Calcule a medida do ângulo interno e do ângu- lo externo de um pentadecágono regular.4 Em um polígono regular, com um número par 10. Um polígono convexo tem 5 lados mais do que de lados, tem diagonais que não pas- o outro. Sabendo que o número total de dia- sam pelo seu centro. Sabendo que a soma das gonais vale 68, determine o número de diago- medidas dos ângulos internos de um polígono nais de cada polígono. regular é 2 160º. Encontre o número de diago- nais que não passam pelo seu centro. 11. Na figura abaixo, determine a soma das medi- das dos ângulos. ^ ^ ^ ^ ^ ^ a, b, c, d, e, f.5. Um polígono regular apresenta 35 diagonais. O ângulo interno desse polígono mede, em graus: a) 108 b) 120 c) 144 d) 150 e) 180 ⎯ ⎯6. Sabendo que AP e PC são bissetrizes, calcule 12. Na figura abaixo, encontre a medida de ^. α x nas figuras abaixo: a) 51
  • UEA – Licenciatura em Matemática13. Qual o polígono regular que tem 6 diagonais passando pelo seu centro?14. (CESGRANRIO) Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1215. (U.MACK) A medida em graus do ângulo inter- no de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos não-seme- lhantes que possuem essa propriedade é: a) 24 b) 22 c) 20 d) 18 e) n.d.a.16. Considere um polígono regular de n lados, com n > 4. Prolongando os lados desse polí- gono, formaremos uma estrela com n vértices. Mostre que a medida, em graus, de cada vér- tice da estrela construída é dada por . 52
  • UNIDADE IIIElementos na circunferência
  • Geometria I – Elementos na circunferência Circunferência TEMA 15 Definição É o conjunto de todos os pontos de um plano que eqüidistam de um ponto dado.CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO “Construindo” a definição FERNÃO DE MAGALHAES Tome um ponto no plano (O), determine um A tentativa de circunavegar a Terra outro ponto (P) distinto do primeiro, chame de r a distância entre eles; determinar a circunfe- rência é “encontrar”, no plano, todos os pontos que distam r unidades de O.Fidalgo e navegador português, nasceu emTrás-os-Montes por volta de 1480. Distinguiu-se em várias expedições às Indias Orientais.De volta a Portugal, indisposto com o rei D. Temos aí uma circunferência de raio r e centro O.Manuel I, resolveu emigrar para a Espanhaonde ofereceu seus serviços ao Imperador Elementos da circunferênciaCarlos V. Em 1519, partiu da Espanha coman-dando cinco embarcações em busca de uma Cordapassagem para as lndias pelo Ocidente. Atra- É qualquer segmento com extremidades navessou o Atlântico e visitou o litoral brasileiro, circunferência.tendo reabastecido seus navios na Baía deGuanabara. Continuando rumo ao sul, costeoua Argentina e, no extremo sul, descobriu oestreito que levaria seu nome e que era, defato, a passagem para as Índias. Uma vez nooceano, batizado por ele de Pacífico, rumoupara o nordeste, descobrindo as ilhas Maria-nas e as Filipinas, onde veio a falecer em com- ⎯ ⎯ ⎯bate contra os nativos da região. Seu piloto- Na figura, TU, PQ e VX são cordas.mor, Sebastião Elcano, completou a viagem de Quando o centro da circunferência pertence àcircunavegação pioneira que levaria a única corda, ela é denominada diâmetro, e sua me-embarcação restante, “Vitória”, de volta à dida é igual ao dobro do raio da circunferência.Espanha, em setembro de 1522. Arco de circunferênciaCIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO É o conjunto dos pontos que estão entre doisAntes de definir cada um, é interessante res- pontos distintos da circunferência dada.saltar uma grande confusão existente entre osalunos, professores e até alguns autores. Aconfusão aparece de forma mais evidentequando tratamos de áreas de figuras planas oumesmo na simples referência a determinadosobjetos. 55
  • UEA – Licenciatura em Matemática Observe que obtemos dois arcos com os pon- Assim como no caso dos arcos, o setor circular tos A e B. É necessário fornecer um outro determina uma situação dúbia. Salvo outra infor- ponto do arco que se quer tomar ou ângulo ao mação, para evitar dubiedade, consideraremos qual está associado. sempre o menor arco ou o menor setor circular. Se os pontos tomados na circunferência são Segmento circular as extremidades do diâmetro, o arco formado Dado um círculo de centro O e raio r, tracemos por eles é denominado de semicircunferência. a reta suporte de uma corda; essa reta divide o plano em dois semiplanos. A intersecção de Círculo ou disco cada semiplano com o círculo é chamado de segmento circular. Observe a circunferência Consideraremos, quando não for evidenciado Os pontos Q e T não pertencem à circunferên- o segmento circular, aquele que não contém o ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ cia, pois, OQ ≠ r e OT ≠ r, e mais OT < OQ < r. centro do círculo (o menor). Os pontos com as características de Q e T são No caso em que tratamos o segmento circular pontos interiores à circunferência. pelo diâmetro do círculo, falaremos em semi- Definição círculo. Chamamos de círculo o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado des- se plano é menor ou igual a uma distância (não- nula dada), ou ainda, a união da circunferência com o conjunto de seus pontos interiores. Posições relativas de reta e circunferência Secante É a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Os elementos que definimos para circunferên- cia são os mesmos para o círculo, e não reci- procamente. A circunferência é um subconjunto do disco. Setor circular ⎯ Se M é ponto médio de AB, a reta suporte de Considere os pontos distintos A e B de um cír- ⎯ OM é perpendicular à reta s. culo de centro O; chamamos de setor circular Demonstração o conjunto formado pela união dos pontos dos ⎯ ⎯ segmentos AO e OB e dos pontos do circulo que são interiores ao ângulo AÔB. Os triângulos OMB e OMA são congruentes (caso LLL), então O^ ≡ O^ Observe que MB MA. 56
  • Geometria I – Elementos na circunferênciaesses ângulos são suplementares, logo são Internasretos; então s ⊥ t.TangenteÉ a reta que intercepta a circunferência numúnico ponto.Toda reta perpendicular a um raio na sua d < r1 – r2extremidade da circunferência é tangente àcircunferência. ExternasPara demonstrar essa propriedade, basta to- d > r1 + r2mar um ponto (Q) na reta, distinto de P e ve- , Secantes ⎯rificar que OQ é hipotenusa do triângulo OPQ, ⎯ ⎯então OQ > OP = r. Finalmente, podemosafirmar que Q é exterior à circunferência e P é aúnica intersecção da reta com a circunferência.ExteriorA reta não intercepta a circunferência. r1 – r2 < d < r1 + r2Posições relativas de duas circunferências 1. Duas circunferências são tangentes interna-Considere duas circunferências δ1 e δ2 de cen- mente, e a soma dos raios 30cm. Se a distân-tros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente. cia entre os centros é 6cm, determine os raios.Chamemos de d a distância entre seus centros;classificamos suas posições relativas em: SoluçãoTangente interna d=R–r ⇒R–r=6d = r1 – r2 .Tangente externa Segmentos Tangentes Os segmentos das tangentes traçadas de um ponto exterior a um círculo são congruentes. Demonstraçãod = r1 + r2 Dados o círculo δ e um ponto P exterior ao 57
  • UEA – Licenciatura em Matemática ⎯ ⎯ círculo, tracemos os segmentos AP e AB tan- gentes a δ. TEMA 16 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Os triângulo ΔAOP e ΔBOP são congruentes (ca- 1. Determine o raio dos círculos abaixo: ⎯ ⎯ teto e hipotenusa congruentes), então AP ≡ BP. a) ⎯ ⎯2. Na figura abaixo, temos PA = 2x + 20 e PB = 5x – 7, calcule x. b) 2. Na figura dada, as circunferências são tan- Solução ⎯ ⎯ gentes duas a duas: AB = 4,5cm, BC = 7cm e ⎯ 5x – 7 = 2x + 20 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 9 AC = 5,5cm. O comprimento da menor circun- ferência é igual a: Teorema de Pitot Um quadrilátero é circunscritível (os quatro la- dos são tangentes ao círculo) se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais. Demonstração Considere o quadrilátero ABCD circunscrito a a) πr b) 2πr um círculo δ, e sejam M, N, P e Q os pontos de c) 3πr d) 4πr tangência de ABCD com δ. e) 5πr 3. Na figura abaixo, PT é tangente à circunferên- ⎯ cia. O valor de OP é: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Pelo teorema anterior AQ ≡ AM, MB ≡ BP PC ≡ , ⎯ ⎯ ⎯ CN e ND ≡ DQ. Daí, temos: a) b) ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ c) d) logo, AB + CD = AD + CB. e) 58
  • Geometria I – Elementos na circunferência4. A distância entre os centros de duas circunfe- a) 26cm rências tangentes internamente é 5cm. Se a b) 20cm soma dos raios e 11cm, determine os raios. c) 30cm5. Duas circunferências são secantes, sendo 20cm d) 6cm a distância entre seus centros. Sabendo que o raio da circunferência menor mede 11cm, deter- 10. Na circunferência da figura seguinte, a medida mine o raio da maior, que é múltiplo de 6. do diâmetro é 40cm. Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD.6 As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência medem 12m e 9m. A altura, em metros, desse trapézio é: a) b) c) d) e)7 (UF–CE) Duas tangentes são traçadas a um cír- culo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tan- gente intercepta o segmento AB em P e AC em R ⎯ e toca o círculo em Q. Se AB = 20cm, então o perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a: a) 39,5 b) 40 c) 40,5 d) 41 e) 41,58. Dado o triângulo ABC da figura abaixo, mostre que .9. Considere duas circunferências, uma de centro O1 e raio 16cm e outra de centro O2 e raio 10cm. Dê a posição ocupada pelas duas circunferên- cias quando a distância entre seus centros é igual a: 59
  • UEA – Licenciatura em Matemática Ângulo de vértice externo ou ângulo excêntrico interior TEMA 17 A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semidiferença dos arcos de terminados ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA pelos seus lados. Ângulo central É todo ângulo cujo vértice coincide com o cen- tro da circunferência. Sua medida é igual à me- dida do arco correspondente. Ângulos de segmento É todo ângulo cujo vértice pertence à circunfer- ência, sendo um de seus lados secante e o outro tangente à circunferência. A medida de Ângulo inscrito um ângulo de segmento é igual à metade do É todo ângulo cujo vértice está na circunferên- arco por ele determinado. cia e cujos lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente. Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 1. Na figura, calcule a medida do arco AB. Ângulo de vértice interno ou ângulo excêntrico interior Solução A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos de- terminados pelos seus lados. 2. Dada a figura: 60
  • Geometria I – Elementos na circunferência Encontre α. Solução TEMA 18 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA3. Na figura, o ângulo ^ medido em graus, exce- P, de de 12º, o arco CD e é igual a 3/8 do arco AB; encontre a medida do arco CD. 1. Determine o valor do ângulo x nos casos abaixo: a) Solução b) Chamando arcoCD = x e arcoAB = y, temos: c) X = 24º d) 2. Na figura, , calcule o valor de α. 61
  • UEA – Licenciatura em Matemática3. Sabendo que ^ = 90º, ^ = 40º e ^ = 15º, o a b c ⎯ ⎯ 8. Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é o ângulo α da figura mede: ⎯ lado do triângulo eqüilátero inscrito, e BN, o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo α, ⎯ ⎯ formado pelas tangentes PM e PN. a) 20º b) 22º c) 25º d) 50º e) n.r.a. 9. Determine a razão entre os ângulos α e β da figu-4. Na figura, B^ = 46º e B^ = 28º; calcule AC CA ra abaixo, sabendo que a reta r tangencia a cir- A^ BC. cunferência no ponto A e que os arcos AB, BC, e AC são proporcionais aos números 2, 9 e 7. a) 96º b) 106º c) 112º d) 115º e) 118º 10. Determine o menor ângulo formado por duas retas secantes a uma circunferência, conduzi-5. Em um círculo de centro O, prolonga-se uma das por um ponto P externo, sabendo que es- corda AB de um segmento BC igual ao raio de um comprimento BC igual ao raio. A reta CO sas secantes determinam na circunferência dois corta o círculo em D e E (D entre O e C). Se arcos cujas medidas valem 30º e 90º. A^ = 20º, A^ mede: CE OE 11. (PUC–SP) Na figura, AB é diâmetro da circun- a) 60º b) 80º ferência. O menor dos arcos (AC) mede: c) 40º d) 45º e) n.r.a.6. Na figura, o arco CMD é igual a 100º, e o arco ANB mede 30º. Calcule o valor de x. a) 100º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º7. Determine as medidas dos ângulos de um 12. (CESGRANRIO) As semi-retas PM e PN são triângulo, obtido pelos pontos de tangência do tangentes ao círculo da figura, e o comprimen- circulo inscrito com os lados de um triângulo to do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. O ABC, sendo ^ = 60º, ^ = 40º e ^ = 80º. A B C ângulo M^ vale: PN 62
  • Geometria I – Elementos na circunferência a) 76º b) 80º c) 90º d) 108º TEMA 19 e) 120º POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS13. Sejam os pontos A, B, C e D de um círculo tais ⎯ ⎯ Polígono circunscrito que AB e CD sejam, respectivamente, os lados do pentágono e pentadecágono regulares ins- É o polígono que possui seus lados tangentes à ⎯ ⎯ critos. As retas AD e BC formam um ângulo de: circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que a) 20º b) 24º esta circunferência está inscrita no polígono. c) 36º d) 44º e) 46º Um caso especial da circunscrição é o teorema de Pitot, já demonstrado no tema anterior. Um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais. 1. Calcule o valor do raio do círculo inscrito no trapézio retângulo. Solução 12 + 19 = 14 + 2r ⇒ 2r = 17 ⇒ 2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10cm e o raio do círculo inscrito mede 1cm. Calcule o perímetro do triângulo. Solução 2P = 2.(x + y + 1) e x + y = 10 2P = 22cm 63
  • UEA – Licenciatura em Matemática Teorema Fundamental Quadrado Se uma circunferência é dividida em N (n > 3) arcos congruentes entre si, então: a) As cordas que unem os pontos de divisão consecutivos formam um polígono regular inscrito de n lados. • l= • (apótema) Hexágono regular b) As tangentes traçadas pelos pontos de divi- são formam um polígono regular circunscri- to com n lados. • R = l • (apótema) Recíproca: todo polígono regular é inscritível e circunscritível. 3. Na figura, o raio da circunferência mede 5cm, os segmentos AB e BC representam, respecti- vamente, os lados de um hexágono regular e de um quadrado inscritos. Nessas condições, Polígonos regulares inscritos calcule o produto dos perímetros do quadrado e do hexágono. Triângulo eqüilátero Solução • (apótema) Do quadrado, temos lQ = cm 2PQ = cm. • l= Do hexágono, temos lH = 5cm 2PH = 30cm. • 2PQ . 2PH = . 30 = 600 cm2 64
  • Geometria I – Elementos na circunferência4. Dado um quadrado de lado 8cm, determine o raio da circunferência inscrita (r) e o raio da cir- cunferência circunscrita (R) a esse quadrado. 5. Determine a razão entre o apótema do quadra- do e o apótema de um hexágono regular, cir- cunscritos a um círculo de raio r. Solução Solução Tanto no quadrado como no hexágono, o apó- tema é igual ao raio da circunferência que os cm inscreve. Polígonos regulares circunscritos Triângulo eqüilátero Portanto a razão é igual a 1. 6. Dado um triângulo eqüilátero de 6cm de altura, calcule o raio do círculo inscrito (r) e o raio do círculo circunscrito (R) a esse triângulo. • l= Solução • a=r • h = 3r r= ⇒ r = 2cm Quadrado R= ⇒ R = 4cm • l = 2r • a=r Hexágono regular • a=r • 65
  • UEA – Licenciatura em Matemática 6. O apótema de um hexágono regular de lado 4m mede: TEMA 20 a) m b) 4m c) m d) 2m POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS e) 7. Calcular o lado do quadrado circunscrito à cir- cunferência de raio 5 cm: a) cm b) cm1. O perímetro de um quadrado inscrito numa cir- c) 12cm d) 10cm cunferência mede cm. Encontre o diâ- e) 14cm metro do circulo ao qual esse quadrado está circunscrito. 8. No hexágono regular ABCDEF da figura abaixo mede 5cm. Calcule:2. Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular de 12m de lado nos casos: a) Quadrado b) Hexágono c) Triângulo3. Na figura, as retas que passam pelos pontos A, a) o apótema; B e C são tangentes à circunferência de raio 5 b) o raio do círculo inscrito; ⎯ cm e as retas r, s e m são paralelas. De acordo c) a diagonal AC. com os dados na figura, o valor de x, em cm, é: 9. Qual é a razão entre o perímetro de um triângu- lo eqüilátero com altura igual ao raio de um cír- culo para o perímetro do triângulo eqüilátero inscrito nesse círculo? 10. Na figura temos um pentágono regular de lado l. Mostre que o pentágono sombreado é regular. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 144. Dado um triângulo eqüilátero de 9cm de altura, calcule: 11. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regu- a) o raio do círculo inscrito; lar de lado a. A diagonal AB mede: b) o lado; c) o apótema; d) o raio do círculo circunscrito.5. Um triângulo ABC está inscrito em um círculo de raio 6cm e tem seu ângulo interno ^ = 30º. A Se o perímetro do triângulo é igual a 16cm, a a) 2a b) soma AB + AC é igual a: d) c) a) 6cm b) 9cm c) 10cm d) 11cm e) e) 13cm 66
  • UNIDADE IVRelações métricas no triângulo
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o TEMA 21 comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual áTEOREMA DE TALES sua altura”.Um breve histórico Teorema de TalesViajando muito pelos centros antigos de co-nhecimento, Tales de Mileto deve ter obtido Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois seg-informações sobre Astronomia e Matemática, mentos quaisquer de uma delas é igual à ra-aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, zão entre os respectivos segmentos corres-sob o governo de Nabucodonosor, entrou em pondentes da outra.contato com as primeiras tabelas e instrumen-tos astronômicos, e diz-se que, em 585 a.C.,conseguiu predizer o eclipse solar que ocorre-ria neste ano, assombrando seus contemporâ-neos; é nesta data que se apoiam para indicaraproximadamente o ano em que nasceu, poisna época deveria contar com quarenta anosmais ou menos. Calcula-se que tenha morridocom 78 anos de idade. Poderíamos também tomar a pro- porção entre outras. 1. Encontre o valor de x na figura, sabendo que os segmentos dados estão nas transversais do feixe de paralelas dado.Tales é considerado o primeiro filósofo e oprimeiro dos sete sábios, discípulo dos egíp-cios e caldeus, e recebe o título comumente de“primeiro matemático’’ verdadeiro, tentando or-ganizar a Geometria de forma dedutiva. Acre-dita-se que, durante sua viagem à Babilônia,estudou o resultado que chega até nós como Solução“Teorema de Tales”, segundo o qual um ânguloinscrito num semicírculo é um ângulo reto. A eletambém se devem outros quatro teoremas fun-damentais: “um circulo é bissectado por um 2. Calcule o valor de x + y na figura, sendo r // s // t.diâmetro’’, “os ângulos da base de um triângu-lo isósceles são iguais”, “os pares de ângulosopostos formados por duas retas que se cor-tam são iguais”, e “se dois triângulos são taisque dois ângulos e um lado são iguais respec-tivamente a dois ângulos e um lado do outro,então, eles são congruentes”. 69
  • UEA – Licenciatura em Matemática Solução ⎯ 4. Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x. Teorema da bissetriz interna Solução Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) propor- cionais aos lados adjacentes. 1, Sendo r // s // t, calcule x e y: a) Teorema da bissetriz externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta suporte do lado oposto, então ela divide este lado oposto exter- namente em segmentos (subtrativos) propor- cionais aos lados adjacentes. b) c) ⎯3. Calcule x e y no triângulo, sabendo que AD é bissetriz do ângulo  e x + y = 22. 2. Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Com- plete o mapa com as distâncias que faltam. Solução ⇒ x = 10 e y = 12 70
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo ⎯3. (Unicamp) A figura mostra um segmento AD ⎯ ⎯ dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm ⎯ ⎯ e CD = 5cm. O segmento AD’ mede 13cm e as retas e são paralelas à . Deter- ⎯ ⎯ mine as medidas dos segmentos AB’, B’C’ e ⎯ C’D’. 8. Na figura, calcule os valores de x e y, respectiva- ⎯ mente, sendo BS a bissetriz interna do ângulo ^ B. ⎯ ⎯4. No triângulo, DE // BC, então o valor de x é: 9. Na figura, calcule o valor de x, sendo a bissetriz do ângulo externo em Â, e o perímetro do triân- gulo é igual a 23m. a) 4 b) 6 c) 8 d) 14 e) 16 ⎯ ⎯ ⎯5. Calcule a medida, em cm, da altura CH do 10. Sendo AS e AP bissetrizes dos ângulos inter- ⎯ ⎯ ⎯ ΔABC, sabendo que MN // AB. nos e externos em A, determine o valor de CP, dados BS = 8m e SC = 6m. 11. Os lados de um triângulo medem 8cm, 10cm e 12cm. Em quanto precisamos prolongar o me- ⎯ nor lado para que ele encontre a bissetriz do6. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. ângulo externo oposto a esse lado? Calcule o valor de x. 12. Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triân- gulo, determine x. ⎯7. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x. 71
  • UEA – Licenciatura em Matemática a) TEMA 22 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição Dois triângulos são semelhantes se, e somente b) se, possuem os três ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcio- nais. Solução ΔABC ~ΔDEF ⇔ ^ ≡ ^ ^ ≡ ^ A D, B E é a razão de Casos de semelhança de triângulos 1.º – Ângulo ângulo (A.A.) semelhança. Se dois triângulos têm dois ângulos congru- entes, então eles são semelhantes. Teorema fundamental Dados os triângulos ABC e DEF, tais que ^ ≡ A Se uma reta é paralela a um dos lados de um ^ ^ ≡ ^ Queremos provar que eles são D, B E. triângulo e intercepta os outros dois lados em semelhantes. pontos distintos, então o triângulo determinado pela reta é semelhante ao primeiro. Demonstração Dado o triângulo ABC e a reta r paralela ao Demonstração lado BC e que intercepta os outros lados nos ⎯ ⎯ ⎯ Tome o ponto P ∈ AC, onde PC ≡ DF, por ele pontos D e E. ↔ trace a reta rr// DE. Dos triângulos ABC e ADE, temos: Os triângulos PQC e DEF são congruentes ^ ≡ ^ ^ ≡ ^ e pelo teorema de tales: B D, C E (L.A.Ao), pelo teorema fundamental ΔPQC ~ ΔABC. Logo, ΔDEF ~ΔABC. , portanto ΔABC ~ΔADE. 2.º – Ângulo ângulo (L.A.L.) Se dois triângulos têm dois lados correspon- dentes proporcionais e os ângulos compreen- didos entre eles congruentes, então eles são semelhantes. A demonstração desse caso é análoga a ante-1. Nas figuras, calcule o valor de x e y: rior, fica como exercício para o leitor. 72
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo 3.º – Lado lado lado (L.L.L.) c) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. A demonstração desse caso é análoga a ante- rior; fica como exercício para o leitor. Importante: Solução Se a razão de semelhança de dois triângulos é Caso L.L.L. k, então a razão entre dois elementos lineares homólogos é k; e os ângulos homólogos são congruentes. • a razão entre os lados homólogos é k; • a razão entre os perímetros é k; • a razão entre as alturas homólogas é k; 1. Os lados de um triângulo medem 12cm, 27cm • a razão entre as medianas homólogas é k; e 24cm. Um triângulo semelhante a esse tem • ... 21cm de perímetro. Determine as medidas dos lados do segundo triângulo. 2. Sendo r // s, determine x: a)2. Identifique o caso de semelhança entre os tri- ângulos e calcule x: a) b) Solução Caso A.A. 3. (U. Rio Grande–RS) Dado o triângulo abaixo, ⎯ ABC, calcule a medida dos segmentos BD e ⎯ ⎯ DF, sabendo que o segmento DE é paralelo ao ⎯ ⎯ ⎯ segmento BC, sendo AB = 18cm, BE = 4cm b) ⎯ e EC = 8cm. Solução 4. (Cesgranrio) Certa noite, uma moça, de 1,50m Caso L.A.L. de altura, estava a 2m de distância de um poste de luz de 4m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: 73
  • UEA – Licenciatura em Matemática a) 0,75m b) 1,20m c) 1,80m d) 2,40m e) 3,20m5. Na figura abaixo, a medida do segmento PA, em cm, é: 10. Dois círculos de raios R e r são tangentes exte- riormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta t externa, com os dois círculos, determine a altura do triângulo ⎯ ACD relativa ao lado CD. a) 6,8 b) 7,6 c) 7,8 d) 8,6 e) 8,86. Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos: a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 87. Num triângulo isósceles de 20cm de altura e cm de base, está inscrito um retângulo de 8cm de altura com base na base do triângulo. Calcule a medida da base do retângulo. ⎯ ⎯ ⎯8. Na figura, temos: AB = 8, BC = 15, AC = 17 ⎯ e EC. Determine x e y.9. Considere a circunferência circunscrita a um ⎯ triangulo ABC. Seja AE um diâmetro dessa cir- ⎯ cunferência e AD a altura do triângulo. Sendo ⎯ ⎯ ⎯ AB = 6cm, AC = 10cm e AE = 30cm, calcule ⎯ a altura AD. 74
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo TEMA 23 , como m + n = a, temos:RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO a2 = b2 + c2RETÂNGULO O quadrado da hipotenusa é igual a soma dosConsidere o triângulo retângulo ABC, retângu- quadrados dos catetos.lo em A. Vamos classificar seus elementos: 1. (CEFET–AM) No triângulo retângulo abaixo, h (altura relativa à hipotenusa), m e n (projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa) valem: ⎯• BC = a, hipotenusa; ⎯• AB = c, cateto; ⎯• AC = b, cateto; ⎯• AD = h, altura relativa à hipotenusa; ⎯• BD = m, projeção do cateto c sobre a hipo- tenusa; Solução ⎯• DC = n, projeção do cateto b sobre a hipo- c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 625 – 225 ⇒ c = 20 tenusa. c2 = a.n ⇒ 400 = 25.n ⇒ n = 16Observe que ΔABC ~ΔABD, caso A.A. e da m + n = a ⇒ m = 25 – 16 ⇒ m = 9mesma forma, ΔABC ~ΔACD. Usando a pro-priedade transitiva, podemos afirmar que 2. O perímetro de um triângulo ABC isósceles, deΔABD ~ΔACD. Dos casos de semelhança reti- base BC, é 32 cm. Se a altura AH é igual a 8ramos algumas relações: cm, então a medida AB, em cm, é:De ΔABC ~ΔABD temos: Solução••De ΔABC ~ΔACD temos:•De ΔABD ~ΔACD temos:•• substituindo y = 25 – 2x na segunda equação, temos:Uma outra conseqüência dessas semelhançasé o Teorema de Pitágoras: 75
  • UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 24 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO3. Na figura abaixo, encontre o valor de a, m, e n. RETÂNGULO 1. No triângulo retângulo abaixo, calcule as medi- das a, b, h e m indicadas: Solução 2. No triângulo retângulo abaixo, determine as medidas m e n indicadas. 3 Observe o triângulo desenhado na malha quadriculada abaixo. Considerando u como a unidade de medida de comprimento, encontre a medida dos lados desse triângulo. 4. (CEFET–AM) Na figura abaixo, os seguimentos ⎯ são medidos em metro. O seguimento AC é: a) 11 b) 19 c) 15 d) 7 e) 22 76
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo5. A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles mede 4cm. O perímetro TEMA 25 desse triângulo, em cm, mede: a) b) TEOREMA DE PITÁGORAS c) d) Definição e) Em todo triângulo retângulo, temos que o qua- drado da hipotenusa é igual à soma dos quadra-6. Determine o raio do círculo nos casos: dos dos catetos. Observe a figura abaixo: a) a: hipotenusa; b, c: catetos. b) a2 = b2 + c2 → Teorema de Pitágoras Triângulo retângulo Do vértice do ângulo reto de um triângulo re- tângulo, se abaixarmos uma perpendicular à hipotenusa:7. Determine o perímetro de um triângulo eqüi- Primeiro, cada cateto é meio proporcional entre látero de altura 6m. a hipotenusa inteira e o segmento adjacente.8. A altura de um retângulo mede 8m, a diagonal Segundo, a perpendicular é meia proporcional excede a base em 2m. Calcule a diagonal. entre os dois segmentos da hipotenusa. Sejam (fig. 3) o triângulo retângulo ABC e a9. As bases de um trapézio isósceles medem 12 m perpendicular h baixada do vértice do ângulo e 20 m, respectivamente. A soma dos lados não reto A sobre a hipotenusa a. paralelos é igual a 10m. Quanto mede a altura?10. Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16cm. Sendo 10cm e 17cm as medidas dos raios dos círculos, determine a distância entre seus centros.11. Consideremos dois círculos tangentes como na figura abaixo. Sendo E o centro do círculo menor, F o ponto de tangência entre os dois Primeiro, devemos ter: círculos e a o lado do quadrado, determine o Com efeito, os triângulo retângulo ABC e CD raio do círculo menor em função de a. são semelhantes, por serem ambos retângulos e terem o ângulo agudo C comum. (Dois triân- gulos retângulos são semelhantes quando têm um angulo igual; porque, nesse caso, os três ângulos são respectivamente iguais). Portanto esses triângulos têm lados proporcionais (a hipotenusa de ABC, sobre b, hipotenusa de 77
  • UEA – Licenciatura em Matemática ADC, igual a b, oposto a B em ABC m, oposto 2. É dado um triângulo ABC, retângulo em A, a b’ em ADC), e podemos escrever: cujos catetos medem: AB = c e AC = b. Deter- ou b2 = am (1) mine o raio do círculo com centro na hipote- nusa e tangente aos catetos. Os triângulos ABC e ABD são também seme- Solução lhantes, porque ambos são retângulos e têm o ângulo agudo B comum. Assim, temos: ou c2 = a.n (2) Segundo, devemos ter: ou h2 = m.n Com efeito, os triângulo ACD e ABD, sendo ambos semelhantes ao triângulo total ABC, Observe que são semelhantes entre si. Por conseguinte, têm os lados homólogos proporcionais e temos: r2 = bc – cr – br + r2 → r(b + c) = bc → ou h2 = m.n Pela definição do teorema: em todo triângulo Portanto o raio da circunferência dada é igual a retângulo, o quadrado da hipotenusa iguala a soma dos quadrados dos catetos. Com efeito, fazendo a soma das igualdades (1) e (2) do teorema precedente, vem: 3. Calcular o comprimento da tangente exterior, b2 + c2 = a.m + a.n comum a duas circunferências tangentes exter- b2 + c2 = a(m + n) nas de raios r e R, dadas na figura abaixo: b2 + c2 = a.a b2 + c2 = a2 a2 = b2 + c2 Solução1. Determine o valor de x na figura abaixo: (r + R)2 = x2 + (R – r)2 Solução r2 +2Rr + R2 = x2 + R2 –2Rr + r2 y = 1 + 7 → y = 50 → y = 2 2 2 2 x2 = 4Rr y2 = x2 + x2 → 50 = 2 x2 → x = 5 x= Portanto o valor de x é igual a 5 Logo, o valor de x é igual a 78
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo4. Entre duas torres de 13m e 37m de altura, existe na base uma distância de 70m. Qual a TEMA 26 distância entre os extremos, sabendo- se que o terreno é plano? Solução TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Determine a altura do trapézio da figura. x2 = 132 + (37 –13)2 → x2 = 169 + 196 x ≈ 19,1m Portanto a distância entre os extremos das tor- res é de aproximadamente 19,1m. a) b) c) d)5. Calcular a altura de um triângulo equilátero de lado igual a x cm. e) Solução 2. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m. a) m b) m c) m d) m e) m 3. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m. Observando a figura acima temos que: x2 = h2 + (x/2)2 a) 2 2 2 x = h + x /4 b) 4x2 = 4h2 + x2 3x2 = 4h2 c) h= d) e) 4. A altura de um retângulo mede 8 m, a diagonal excede a base em 2 m. Calcule a diagonal. a) 23m b) 35m c) 12m d) 17m e) 20m 5. Sabendo que a soma dos quadrados dos ca- 79
  • UEA – Licenciatura em Matemática tetos com o quadrado da hipotenusa de um 11. Um ponto P interno de um ângulo reto, dista, , triângulo retângulo é igual a 200, determine a respectivamente, m e 2m de um lado e da medida da hipotenusa desse triângulo. bissetriz do ângulo. Determine a distância en- a) 24 b) 12 tre P e o vértice desse ângulo. c) 17 d) 18 a) m b) m e) 10 c) m d) m6. Calcule o perímetro do triângulo isósceles de e) m 16cm de base e 6cm de altura. a) 36cm b) 19cm 12. Um ponto P externo de um ângulo de 60 º, , dista m e m dos lados do ângulo, c) 34cm d) 46cm sendo que nenhuma dessas distâncias é até o e) 16cm vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo?7. Num triângulo isósceles de altura 8, inscreve- se uma circunferência de raio 3. Calcule a me- a) 15m b) 11m dida da base do triângulo. c) 12m d) 16m a) 14 b) 12 e) 10m c) 11 d) 15 e) 13 13. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos.8. Do mesmo lado de uma reta, são traçados três Calcule um dos ângulos agudos do triângulo. círculos tangentes à reta e tangentes entre si a) 90º b) 180º dois a dois. Sabendo que dois deles têm raio c) 60º d) 45º igual a 16, calcule o raio do terceiro. e) 30º a) 7 b) 3 c) 9 d) 4 14. Determine o raio de um círculo inscrito num e) 5 setor circular de 60º e 6dm de raio. a) 4dm b) 3dm9. Determine a altura relativa à base de um triân- c) 5dm d) 6dm gulo isósceles em função da base a e do raio e) 2dm do círculo inscrito r. a) b) 15. Determine o ângulo que a diagonal de um tra- pézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua c) d) base média multiplicada por . a) 45º b) 60º e) c) 90º d) 30º e) 120º10. Um ponto de um lado de um ângulo de 60º dista 16m do vértice do ângulo. Quanto ele dista do outro lado do ângulo? a) m b) m c) m d) m e) m 80
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo Quem foi Pitágoras de Samos? Sem dúvida, “O Teorema de Pitágoras” é a Seria impossível resumir a vida e as idéiasresposta mais freqüente que as pessoas dão de Pitágoras apenas em alguns parágrafos,quando perguntamos do que elas se lem- tal é a multiplicidade de aspectos que apre-bram das aulas de Matemática. E quando senta. Sem falar no mistério que envolvequestionamos se elas sabem o que o teore- sua figura. Acredita-se que tenha nascidoma diz, muitas respondem: “Não lembro ao em Samos (Grécia antiga) por volta de 558certo, mas falava da hipotenusa e dos cate- a.C., e tenha vivido até os 99 anos, emboratos... o quadrado da hipotenusa...” esses dados não sejam exatos. Desse véu Essas palavras a gente não esquece: Teo- de mistério, o que emerge é o Pitágoras filó-rema de Pitágoras, hipotenusa, catetos. sofo, matemático e músico. Buscou sabedo-Alguns, no entanto, já não se lembram mais ria em toda parte, até mesmo quando es-do enunciado do Teorema de Pitágoras. Mas teve preso na Babilônia. Um de seus mes-nós acreditamos que, depois da aula de hoje, tres foi Tales de Mileto, que o teria aconse-mesmo que você também não se lembre, lhado a visitar o Egito, onde não só estudouainda assim saberá como deduzi-lo nova- geometria, com seu mestre, mas tambémmente. Vamos mostrar uma figura muito sim- aprendeu a ler hieróglifos (a escrita egípcia)ples e reveladora que os chineses conheciam com os próprios sacerdotes egípcios. E maishá muito tempo, antes mesmo de Pitágoras, e ainda: parece ter sido iniciado nos mistériosque nos permite deduzir o teorema. Essa figu- da religião egípcia.ra você não esquecerá, principalmente se Outros aspectos interessantes da vida devocê a fizer com recortes de papel ou mesmo Pitágoras dizem respeito a algumas idéiasblocos de madeira. A beleza do teorema com- bastante avançadas para sua época. Porpensa o esforço desse trabalho extra. exemplo: dizem que era vegetariano e um Antes de começarmos nossa aula, aqui está forte defensor da vida em geral, tendo-seuma aplicação prática e interessante deste declarado contrário ao sacrifício de animais,famoso teorema para que você possa refletir a muito comum em sua época. Como seu con-respeito. Alguns povos antigos usavam um temporâneo distante Buda, acreditava queinstrumento muito simples e prático para obter todos os seres humanos eram iguais e mere-ângulos retos: uma corda. Nela faziam nós a ciam a liberdade; seria este o motivo pelodistâncias iguais e, então, marcavam três nós qual teria libertado seu escravo Zalmoxis.a distâncias de três, quatro e cinco nós entre Pitágoras e os pitagóricos, alunos da escolasi, conforme mostra a ilustração, juntando que fundou, eram conhecidos amantes dadepois o primeiro ao último nó. Quando esti- liberdade. Se você está atento ao que disse-cavam esta corda, fixando-a nos três nós mar- mos, deve ter ficado intrigado: “Por quecados, obtinham um triângulo... retângulo! chamamos Teorema de Pitágoras, se os chi-Será mesmo reto o ângulo maior do triângulo neses já conheciam o teorema muito antes3, 4 e 5? dele?” Você não deixa de ter razão. Na verdade, é muito comum que um teorema receba o nome de alguém que não tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. Mas o mérito de Pitágoras não é menor, pois foi o responsável por ter apren- dido a pensar a geometria de maneira abstra- ta, e não em relação a objetos concretos, como se fazia até então para um espírito cien- tífico. Pitágoras afirmava: “A fórmula da 81
  • UEA – Licenciatura em Matemática hipotenusa em relação aos catetos é ver- quadrado M. Assim temos: quadrado M = ao dadeira não apenas em triângulos retângulos retângulo R ou 2x o triângulo ABE ou 2x o de lajotas ou aqueles desenhados na lousa, triângulo FBC. mas também para todos os triângulos retân- Traçando as retas (fig.2) AD e BJ, elas for- gulos que ainda não vimos, e mais ainda, mam dois triângulos ACD e BCJ, iguais por para qualquer triângulo retângulo que pense- terem um ângulo igual compreendido entre mos”. lados respectivamente iguais, a saber: o ân- O quadrado construído sobre a hipotenusa gulo ACD iguala-se ao ângulo BCJ, porque de um triângulo retângulo é igual à soma ambos são formados de um ângulo reto e do dos quadrados construídos sobre os dois ângulo b; AC = CJ, como lados de um mesmo outros lados. quadrado, e BC = CD pela mesma razão. Seja (fig. 1) o triângulo ABC e sejam BCDE o quadrado construído sobre a hipotenusa, M e M’ os quadrados construídos sobre os lados; devemos ter: BCDE = M + M’. Do ponto A, abaixemos a perpendicular AG que divide o quadrado BCDE em dois retângulos R e R’. Se demonstrarmos que R = M e R’= M’, teremos mostrado que R + R’ ou BCDE = M + M’. Por outra parte, a superfície do triângulo ACD vale a metade da do retângulo R’, porque essas duas figuras têm a mesma base (CD) e mesma altura (AK) ou (CH). Do mesmo modo, a superfície do triângulo BCJ vale a metade da do quadrado M’, porque ambas têm a mesma base (CJ) e a mesma altura (BL) ou (AC). Por conseguinte, o retângulo R’ é equivalente ao quadrado M’. Assim, temos: Traçando as retas AE e FC; formam dois triân- quadrado M’= ao retângulo R’ ou 2x o triân- gulos ABE e FBC, iguais por terem um ângu- gulo ACD ou 2x o triângulo BCJ. lo igual compreendido entre lados respectiva- mente iguais, a saber: o ângulo ABE iguala-se Por conseguinte, temos R + R’ ou ao ângulo FBC, porque ambos são formados BCDE = M + M’. de um ângulo reto e do ângulo a ; AB = BF, A superfície de um quadrado sendo igual ao como lados de um mesmo quadrado, e quadrado de seu lado, se representarmos por BC = BE pela mesma razão. a, b, c os três lados de um triângulo retângu- Por outra parte, a superfície do triângulo ABE lo, teremos: vale a metade da do retângulo R, porque a2 = b2 + c2. essas duas figuras têm a mesma base (BE) e mesma altura (AI) ou (BH). Do mesmo modo, a superfície do triângulo FBC vale a metade da do quadrado M, porque ambas têm a mesma base (BF) e mesma altura (CL) ou (AB); por conseguinte, o retângulo R é equivalente ao 82
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido muitos conhe- PITÁGORAS cimentos matemáticos com os egípcios e os babilônios. Entre outros, dois filósofos com quem Pitágoras estudou e que influenciaram as suas idéias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander. No domínio da matemática, os estudos mais importantes atribuídos a Pitágoras são: • descoberta dos irracionais ; • o teorema do triângulo retângulo (Teo- rema de Pitágoras). Apesar de atualmente sabermos que, cerca de mil anos antes, já eram conhecidos casos particulares desse teorema na Babilônia, noPitágoras, matemático, filósofo, astrônomo, Egito e na Índia, Pitágoras foi o primeiro amúsico e místico grego, nasceu na ilha de enunciar e a demonstrar o teorema para todosSamos (na atual Grécia). os triângulos retângulos.Pitágoras é uma figura extremamente impor- São também atribuídos a Pitágoras (e aostante no desenvolvimento da matemática, pitagóricos) outros trabalhos matemáticos, quesendo freqüentemente considerado como o incluem:primeiro matemático puro. No entanto poucose sabe sobre as suas realizações matemáti- • a descoberta da tabuada ;cas, pois não deixou obra escrita e, além • o estudo de propriedades dos númerosdisso, a sociedade que ele fundou e dirigiu (dos números ímpares regulares, dostinha um caráter comunitário e secreto. números triangulares, etc.); • a construção dos primeiros três sólidos platônicos (é possível que tenha construí- do os outros dois); • a descoberta da relação existente entre a altura de um som e o comprimento da corda vibrante que o produz. Não se sabe ao certo quando nasceu e mor- reu Pitágoras, mas calcula-se que viveu uma longa vida (entre 80 e 100 anos), entre a primeira metade do século VI a.C. e o inícioEssa sociedade, a Escola Pitagórica, de natu- do século V a.C.reza científica e religiosa (e até mesmo políti-ca), desenvolvia estudos no domínio da ma-temática, da filosofia e da astronomia. O sím-bolo desta irmandade era a estrela de cincopontas (ou estrela pentagonal). A Escola Pitagórica defendia o princípio deque a origem de todas as coisas estava nosnúmeros, o atomismo numérico. 83
  • UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 27 RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULO QUALQUER Retângulo Obtusângulo Acutângulo Introdução Um triângulo pode ser classificado de acordo Definição com as medidas relativas de seus lados: Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um Um triângulo eqüilátero possui todos os lados triângulo acutângulo com ângulo agudo corres- congruentes. Um triângulo eqüilátero é tam- pondente ao vértice A, como mostra a figura. bém eqüiângulo: todos os seus ângulos inter- nos são congruentes (medem 60°), sendo, por- tanto, classificado como um polígono regular. Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângu- Seja o segmento de reta HC perpendicular ao los denominam-se ângulos da base e são con- lado AB (altura do triângulo relativa ao lado gruentes. AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teo- rema de Pitágoras no triângulo CHB, temos: Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos a² = h²+(c - x)² de um triângulo escaleno também possuem = h²+(c² - 2cx + x²) medidas diferentes. = (h² + x²) + c² - 2cx (Equação1) Denomina-se base o lado sobre o qual apóia- No triângulo AHC, temos que b² = h² + x². se o triângulo. No triângulo isósceles, consi- Substituindo esses resultados na equação dera-se base o lado de medida diferente. (Equação 1), obtemos: a² = b² + c² - 2cx Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo ob- tusângulo ABC com o ângulo obtuso corre- spondente ao vértice A, como mostra a figura. Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos: • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os Seja o segmento de reta HC perpendicular ao catetos de um triângulo retângulo são com- lado AB (altura do triângulo relativa ao lado plementares. AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teo- rema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que: • Um triângulo obtusângulo possui um ân- gulo obtuso e dois ângulos agudos. a² = h²+(c + x)² = h² + (c² + 2cx + x²) • Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos. =(h² +x²)+c²+2cx(Equação 1) 84
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo No triângulo AHC, temos que b² = h² + x². Substituindo esses resultados na equação (Equação 1), obtemos: a² = b² + c² + 2cx Solução h2 + x2 = 52 ⇒ h2 = 25 – x2 h2 + (x + 3)2 = 62 ⇒ h2 = 36 – (x + 3)2 25 – x2 = 36 – (x + 3)21. Determine o valor de x na figura abaixo: 25 – x2 = 36 – (x2 + 6x + 9) 6x = 2 x = 1/3 Logo o valor de x é igual a 1/3. Solução (1) 62 = x2 + h2 → h2 = 36 – x2 (2) 102 = (13 – x)2 + h2 → 100 = 169 – 26x + x2 + h2 100 = 169 – 26x + x2 + 36 - x2 26x = 205 – 100 x = 105/26 Portanto x vale 105/26.2. Determine a medida da projeção do maior lado do triângulo ABC de lados 5cm, 6cm e 8cm, sobre o segundo maior lado. Solução 82 = 52 + 62 + 2.6.x → 64 = 25 + 36 + 12x 3 = 12x x = 1/4 Portanto a medida da projeção é igual a x = ¼3. Na figura seguinte, calcular o valor de x. 85
  • UEA – Licenciatura em Matemática 8. Os lados de um triângulo medem , e TEMA 28 5. Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior? RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULO 9. Os lados de um triângulo medem 5cm, 7cm e QUALQUER 9cm. Calcule a medida da projeção do lado menor sobre o lado maior. 10. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b = 8cm e c = 9cm, calcule a projeção do lado a1. Determine o valor de x na figura abaixo: sobre o lado b. 11. Reconheça a natureza de um triângulo cujos lados são diretamente proporcionais aos nú- meros 3, 5 e 7. 12. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b = 10cm e c = 12cm, calcule a projeção do lado b sobre2. Determine os valores de x e y na figura abaixo: o lado c. 13. Em um triângulo acutângulo ABC, onde b = 7cm e c = 5cm, a projeção do lado b sobre o lado c mede 1cm. Calcule o lado a . 14. Em um triângulo ABC, obtusângulo em A, onde3. Os lados de um triângulo medem 15m, 20m e a = 8cm, b = 5cm, a projeção do lado c 25m. Determine a altura relativa ao maior lado. sobre b é igual a cm. Calcule o lado c.4. Os lados de um triângulo medem 12m, 20m e 15. Dado o triângulo ABC de lados 6cm, 8cm e 28m. Determine a projeção do menor sobre a 12cm. Determine a medida da projeção do reta do lado de 20m. maior lado sobre o lado que mede 8cm.5. Determine a medida do lado BC de um triângu- lo ABC, em que AC = 10cm, AB = 6cm e a pro- jeção do lado BC sobre AC vale 10,4cm.6. Determine o valor de x na figura abaixo:7. a, b e c são medidas dos lados de um triângu- lo. Seja k um número real tal que a = 3k, b = 5k e c = 7k. Nessas condições, qual é a na- tureza do triângulo? 86
  • Geometria I – Relações métricas no triângulo Da sua vasta obra cientifica, uma grande parte foi dedicada à Matemática e à Lógica, GIUSEPPE PEANO sendo a restante consagrada à Filosofia e à construção da interlíngua. As suas obras “Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale” (1884) e “Lezioni di anal- isi infinitesimale” (1893) foram dois dos mais importantes trabalhos no desenvolvimento da teoria geral das funções depois dos trabalhos do matemático francês Augustin Cauchy. Em “Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale”(1887), Peano introduziu os ele- mentos básicos do cálculo geométrico e deu novas definições para o cálculo do compri-Giuseppe Peano (Spinetta, Piemonte, 27 deAgosto de 1858 – Turim, 20 de Abril de 1932), mento de um arco e para a área de uma su-considerado o maior matemático italiano de perfície curva.sua época, produziu trabalhos de grande É no livro “Calcolo geometrico” (1888) quealcance filosófico. Fez importantes con- encontramos o seu primeiro trabalho emtribuições teóricas nas áreas de análise Lógica Matemática. Peano é sobretudo co-matemática, lógica, teoria dos conjuntos,equações diferenciais e análise vetorial. nhecido pela criação de um sistema de sím- bolos que permite a descrição e o enunciadoAutor de inúmeros livros e artigos, Peano foi o das proposições lógicas e matemáticas semfundador da moderna lógica matemática e dateoria dos conjuntos, para cujos conceitos e recorrer à linguagem comum. Nesse sentido,notações contribuiu de forma decisiva. Na Peano é considerado o fundador da Lógicaobra “Arithmetices Principia Nova Methodo Matemática, por ter sido realmente ele a intro-Exposita” (1889), Peano desenvolveu os fa- duzir a nova notação. Na verdade, a atual no-mosos axiomas de Peano, considerados até tação está mais próxima da proposta dehoje como a axiomatização padrão dos Peano do que da de Frege a quem, no entan-números naturais. to, é em geral atribuída a paternidade da Ló-Passou a maior parte de sua carreira ensinan- gica Matemática. Parte da notação lógica dedo matemática na Universidade de Turim (de Peano foi adotada por Bertrand Russell e1890 até à sua morte) e na Real Academia de Alfred North Whitehead no Principia Mathe-Artillería (de 1886 até 1901). Criou uma línguainternacional chamada latino sine flexione ou matica.interlíngua. Fundou a “Rivista di Matematica” O seu trabalho mudou profundamente a visãoem 1891, publicada posteriormente em fran- dos matemáticos e teve uma grande influên-cês e na sua interlíngua. Em 1903, propôs a cia nos esforços que mais tarde se desen-interlíngua como língua auxiliar internacional volveram na reestruturação da matemática,e em 1908 foi eleito presidente da “Academiapro interlíngua” que transformou numa asso- especialmente no trabalho dos matemáticosciação científica, tendo como órgão de franceses revelado sob o pseudônimo deexpressão oficial a revista “Schola et Vita”. Nicolas Bourbaki. 87
  • UNIDADE VÁreas de superfícies
  • Geometria I – Áreas de superfícies Considere os triângulos PAD e PCB: TEMA 29RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIAIntrodução Potência de ponto (1) – A partir de um pontoApresentaremos alguns resultados que fazem fixo P dentro de uma circunferência, tem-sea conexão entre segmentos e cordas, que não que (PA).(PB) é constante qualquer que seja asão evidentes à primeira vista. Se a reta AB é corda AB passando por este ponto P Este pro- .tangente à circunferência no ponto B, então o duto (PA).(PB) é denominado a potência dosegmento AB é o segmento tangente de A até ponto P em relação a essa circunferência.a circunferência. Se a reta RT é uma reta se-cante que intercepta a circunferência em S e T, Secantes interceptando fora da circunferên-e R é um ponto exterior à circunferência, então cia – Consideremos duas retas secantes aRT é um segmento secante, e RS é a parte uma mesma circunferência que se interceptamexterna do segmento secante. em um ponto P localizado fora da circunferê- cia. Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.Cordas interceptando dentro da circunfer-ência – Se duas cordas de uma mesma circun-ferência interceptam-se em um ponto P dentroda circunferência, então o produto das medi-das das duas partes de uma corda é igual aoproduto das medidas das duas partes da outracorda. (PA).(PB)=(PC).(PD) Demonstração Se por P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferência em A, B, C e D, respectivamente, temos:(AP).(PB) = (CP).(PD)DemonstraçãoSe por P passam duas retas concorrentes queinterceptam a circunferência em A, B, C e D,respectivamente, temos: Considere os triângulos PAD e PCB: Potência de ponto (2) – Se P é um ponto fixo 91
  • UEA – Licenciatura em Matemática fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é Solução constante qualquer que seja a reta secante à Iremos obter a medida do segmento PD. Toma- circunferência passando por P Este produto . remos (PD)=x, para podermos escrever que (PA).(PB) é também denominado a potência do (CP) = 14 – x e somente utilizaremos a unida- ponto P em relação à circunferência. de de medida no final. Desse modo, (PD).(PC) Secante e tangente interceptando fora da = (PA).(PB) e podemos escrever que x(14 – x) circunferência – Se uma reta secante e uma = 5×8, de onde segue que x² – 14x + 40 = 0. reta tangente a uma mesma circunferência Resolvendo essa equação do segundo grau, interceptam-se em um ponto P fora da circun- obtemos: x = 4 ou x =10, o que significa que ferência, a reta secante passando pelos pontos se uma das partes do segmento medir 4cm, a A e B e a reta tangente passando pelo ponto T outra medirá 10cm. Pela figura anexada, obser- de tangência à circunferência, então o quadra- vamos que o segmento PD é maior que o seg- do da medida do segmento tangente PT é mento PC e concluímos que (PD) = 10cm e igual ao produto da medida do segmento (PC) = 4cm. secante PA pela medida da sua parte exterior PB. 2. Na figura, sendo ED:EC = 2:3, AE = 6 e EB = ⎯ 16, calcule o comprimento de CD. (PT)2 = (PA).(PB) Demonstração ⎯ Solução Considere o segmento secante PA, sua parte ⎯ ⎯ exterior PB e um segmento PT tangente a λ. Por hipótese temos que Por outro lado temos que EA . EB = EC . ED. Então: EA . EB = EC . ⇒ 3.6.16 = 2EC2 ⇒ EC = 12 e ED = 8 Logo CD = 20 Considere os triângulos PAT e PTB: 3. Determine o valor de x na figura abaixo:1. Consideremos a figura abaixo com as cordas Solução AB e CD tendo interseção no ponto P com , (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. 92
  • Geometria I – Áreas de superfícies Observando a figura acima temos que: x2 = (2x + 2).2 TEMA 30 2 x = 4x + 4 x2 – 4x – 4 = 0 RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA Δ = (–4)2 – 4.1.(–4) = 32 Portanto x = 2 + 2 1. Duas cordas cortam-se, e os segmentos deter- minados sobre uma delas medem 12cm e4. Determine o valor de x na figura abaixo: 5cm. Sabendo que um dos segmentos deter- minados sobre a outra mede 3cm, quanto medirá o outro segmento? 2. Uma secante por um ponto P determina sobre uma circunferência dois pontos A e B tais que ⎯ ⎯ PA = 6cm e PB = 18cm. Traça-se por P outra secante, a qual encontra a circunferência pri- Solução ⎯ meiro no ponto C e depois em D. Medindo PC Observando-se a figura abaixo, temos que: 9cm, quanto medirá a corda CD? 3. Por um ponto P traçam-se uma tangente e uma secante a uma circunferência. Medindo o seg- mento da tangente 8cm e o da secante 16cm, quanto medirá a parte exterior da secante? 4. De um ponto P exterior a uma circunferência x. x = 3.27 ⇒ x = 81 ⇒ x = 9 2 de centro O e raio 6cm traça-se uma tangente ⎯ à circunferência no ponto A . Sendo PA = 8cm, Portanto x é igual a 9. calcule a distância do ponto P à circunferência. 5. O ponto P está no interior de uma circunferên- cia de 13cm de raio e dista 5cm do centro dela. Pelo ponto P passa a corda AB de 25cm. Os , comprimentos que P determina sobre a corda AB são: a) 11cm e 14cm b) 7cm e 18cm c) 16cm e 9cm d) 5cm e 20cm e) 8cm e 17cm 6. Os segmentos Ab e CD interceptam-se num ponto P e são cordas perpendiculares de um ⎯ ⎯ ⎯ mesmo círculo. Se AP = CP = 2 e PB = 6, ache o raio do círculo. 93
  • UEA – Licenciatura em Matemática7. Considere uma circunferência de centro O e uma reta r. Por uma das extremidades A do diâmetro perpendicular à reta r, traça-se uma secante de direção arbitrária que encontra a HISTÓRIA DA GEOMETRIA circunferência em um segundo ponto M, e a Uma estranha construção feita pelos antigos ⎯ ⎯ reta r em N. Demonstre que o produto AM . AN persas para estudar o movimento dos astros. é constante. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teore- ma de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimen- to da Geometria. Mas, muito antes da compi- lação dos conhecimentos existentes, os ho- mens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que, depois, seriam concretizadas nas8. Por um ponto P distante 18cm de uma circun- figuras geométricas. ferência, traça-se uma secante que determina Uma medida para a vida. As origens da Geo- ⎯ na circunferência uma corda AB de medida metria (do grego, medir a terra) parecem 10cm. Calcule o comprimento da tangente a coincidir com as necessidades do dia-a-dia. essa circunferência traçada do ponto P saben- , Partilhar terras férteis às margens dos rios, ⎯ do que AB passa pelo centro da circunferên- construir casas, observar e prever os movi- cia. mentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre depende-9. Determine o raio do círculo menor inscrito num ram de operações geométricas. quadrante do círculo maior, da figura abaixo, sendo 2R o diâmetro do círculo maior. Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os “Elementos”, de Euclides, representam a introdução de um método consistente que con- ⎯ ⎯ tribui, há mais de vinte séculos, para o progres-10. Duas Cordas AB e CD interceptam-se um pon- so das ciências. Trata-se do sistema axiomáti- to P interno a uma circunferência. Determine a ⎯ co, que parte dos conceitos e das proposições medida do segmento BP sabendo que os seg- , ⎯ ⎯ ⎯ admitidos sem demonstração (postulados e mentos CP DP e a corda AB medem, respec- , axiomas) para construir, de maneira lógica, tivamente, 1cm, 6cm e 5cm. tudo o mais. Assim, três conceitos fundamen- tais – o ponto, a reta e o círculo – e cinco pos-11. Num círculo, duas cordas cortam-se. O produ- tulados a eles referentes servem de base para to dos dois segmentos da primeira corda é 25 toda a Geometria chamada euclidiana, útil até cm2. Sabe-se que na Segunda corda o menor hoje, apesar da existência de geometrias não- segmento vale do maior. Determine a medi- euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. da do maior segmento dessa segunda corda. O problema mais comum para um construtor é ⎯ ⎯12. AB e AC são duas cordas de medidas iguais, traçar, por um ponto dado, a perpendicular a ⎯ pertencentes a um círculo. Uma corda AD uma reta. O processo anterior não resolve esse ⎯ intercepta a corda BC num ponto P Prove que . problema, em que o vértice do ângulo reto já os triângulos ABD e APB são semelhantes. está determinado de antemão. Os antigos 94
  • Geometria I – Áreas de superfíciesgeômetras solucionavam isso por meio de três cunferência entende-se a linha da periferia docordas, colocadas de modo a formar os lados círculo, sendo este uma superfície. Já os anti-de um triângulo retângulo. Essas cordas tinham gos geômetras observavam que, para demar-comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades car círculos, grandes ou pequenos, era ne-respectivamente. O teorema de Pitágoras expli- cessário usar uma corda, longa ou curta, eca por que em todo triângulo retângulo a soma girá-la em torno de um ponto fixo, que era ados quadrados dos catetos é igual ao quadrado estaca cravada no solo como centro da figu-da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E ra. O comprimento dessa corda – conhecido32 + 42 = 52, isto é, 9 + 16 = 25. hoje como raio – tinha algo a ver com o com- primento da circunferência. Retirando a cordaPara medir superfícies Os sacerdotes encar- da estaca e colocando-a sobre a circunferên-regados de arrecadar os impostos sobre a cia para ver quantas vezes cabia nela, pude-terra provavelmente começaram a calcular a ram comprovar que cabia um pouco mais deextensão dos campos por meio de um sim- seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse oples golpe de vista. Certo dia, ao observar tra- tamanho da corda, o resultado era o mesmo.balhadores pavimentando com mosaicos Assim, tiraram algumas conclusões: a) o com-quadrados uma superfície retangular, algum primento de uma circunferência é sempresacerdote deve ter notado que, para conhe- cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio;cer o total de mosaicos, bastava contar os de b) para conhecer o comprimento de uma cir-uma fileira e repetir esse número tantas vezes cunferência, basta averiguar o comprimentoquantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a do raio e multiplicá-lo por 6,28.fórmula da área do retângulo: multiplicar a Nos tempos da antiga Grécia, a Geometriabase pela altura. sempre foi uma ciência aplicada, ou seja,Quando se deparavam com uma superfície empregada para resolver problemas práticos.irregular da terra (nem quadrada, nem trian- Dos problemas que os gregos conseguiramgular), os primeiros cartógrafos e agrimen- solucionar, dois merecem referência: o cálcu-sores apelavam para o artifício conhecido lo da distância de um objeto a um observadorcomo triangulação: começando num ângulo e o cálculo da altura de uma construção.qualquer, traçavam linhas a todos os demais No primeiro caso, para calcular, por exemplo,ângulos visíveis do campo, e assim este fica- a distância de um barco até a costa, recorria-va completamente dividido em porções trian- se a um curioso artifício. Dois observadores segulares, cujas áreas somadas davam a área postavam de maneira que um deles pudessetotal. Esse método – em uso até hoje – pro- ver o barco sob um ângulo de 90o com relaçãoduzia pequenos erros, quando o terreno não à linha da costa e o outro sob um ângulo deera plano ou possuía bordos curvos. 45o. Feito isso , a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triân- gulo isósceles, porque os dois ângulos agu- dos mediam 45o cada um e, portanto, os cate- tos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa. O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente umaDe fato, muitos terrenos seguem o contorno estaca na terra e espera-se o instante em quede um morro ou o curso de um rio. E con- a extensão de sua sombra seja igual à suastruções há que requerem uma parede curva. altura. O triângulo formado pela estaca, suaAssim, um novo problema se apresenta: sombra e a linha que une os extremos decomo determinar o comprimento de uma cir- ambos é isósceles. Basta medir a sombracunferência e a área de um círculo. Por cir- para conhecer a altura. 95
  • UEA – Licenciatura em Matemática Procedimentos: TEMA 31 1. Com a ponta-seca do compasso em A e a abertura do compasso maior que a metade da medida do segmento AB, traçam-se dois → ATIVIDADE LABORATÓRIO arcos: um abaixo e outro acima de AB. Atividade 1 2. Com a ponta-seca do compasso em B e a mesma abertura do compasso, traçam-se Bissetriz de um Ângulo dois arcos que cortam os primeiros em C e Material necessário: régua e compasso em D. Objetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔB dado. Procedimentos: 1. Com a ponta-seca do compasso em O, traça-se um arco determinando M e N. 2. Com a ponta-seca do compasso em M e → → 3. Trace a reta CD, que cruza AB, no ponto M. depois em N, traça-se com a mesma aber- tura do compasso os arcos que se cortam em D. → → 3. Traça-se a semi-reta OD. A semi-reta OD é a bissetriz do ângulo AÔB. → M é o ponto médio de AB → → CD é a mediatriz de AB. Atividade 3 Exercitando: Soma dos ângulos internos de um triângulo Com a ajuda de um transferidor, trace um ân- gulo de 70o. Usando esse procedimento, cal- cule a bissetriz desse ângulo. Atividade 2 Mediatriz de um segmento Chama-se mediatriz de um segmento a reta traçada perpendicularmente pelo ponto médio desse segmento. Material necessário: régua e compasso Objetivo: obter o ponto médio de um segmen- → to AB dado. 96
  • Geometria I – Áreas de superfícies TEMA 32ÁREA DE FIGURAS PLANAS – TRIÂNGULOS DemonstraçõesDefinição Área do triânguloNo desenho abaixo, o triângulo ABC é a reu- A área de um triângulo é a metade do produtonião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A da medida da base pela medida da altura, istoreunião de todos os pontos localizados no tri- é, A=b.h/2.ângulo e também dentro do triângulo é chama-da uma região triangular. A região triangularABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontosdos lados do triângulo ABC bem como ospontos do interior do triângulo ABC são pontosda região triangular. Hipótese Tese ABC é um triângulo Triângulo ABC Região triangular ABC Área do triângulo ABC m(AB)=b, CX ⊥ AB = b.h/2 e m(CX)=hDuas ou mais regiões triangulares não sãosobrepostas se a interseção é vazia, é umponto ou é um segmento de reta. Cada uma Demonstração – Construímos o triângulo ABCdas regiões planas abaixo é a reunião de três com base AB e altura XC. Traçamos uma retaregiões triangulares não sobrepostas. paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C e uma reta paralela ao segmento AC que passa pelo ponto B e, dessa forma, con- struímos o paralelogramo ABYC, cuja área é o dobro da área do triângulo ABC. Exemplo – Mostraremos que a área do triângu- lo eqüilátero cujo lado mede s é dada porPrincipais Casos A= . Realmente, com o Teorema de Pitá- goras, escrevemos h² = s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que . Como a área de um triângulo é dada por A = b.h/2, então segue que: A = s.h/2 = 97
  • UEA – Licenciatura em Matemática Observação – Triângulos com bases congru- 2. Na figura, ABCD é retângulo. Determine a razão entes e alturas congruentes possuem a mesma entre as áreas do triângulo CEF e do retângulo. área. Comparação de áreas entre triângulos semelhantes Conhecendo-se a razão entre medidas corre- spondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as Solução áreas desses triângulos. Considere a altura do retângulo sendo h e a Figura 01 base igual a 4x. Logo: S1 : Área do triângulo CEF = x.h/2 S2 : Área do retângulo ABCD = 4x.h S1 / S2 = (xh/2)/4xh = 1/8 3. Calcular a área do triângulo abaixo, sabendo Figura 02 que a = 4, b = e ^ = 45o. C Solução Propriedade – A razão entre as áreas de dois A= triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. 1. As medianas relativas aos catetos de um triân- gulo retângulo medem me m. De-1. Determine a área de um triângulo de lados termine a área desse triângulo. 5cm, 6cm e 7cm. Solução 2. Considere um triângulo retângulo e a circunfer- ência inscrita nele. Se o ponto de contato en- Façamos a = 5cm, b = 6cm e c = 7cm. tre a hipotenusa e a circunferência determina A área de um triângulo, dados seus lados é na hipotenusa segmentos de 4cm e 6cm, de- dada por: termine a área do triângulo. A= 3. A razão entre a base e a altura de um triângulo p = (5 + 6+ 7)/2 = 18/2 = 9cm é . Sendo 52cm a soma da base com a A= altura, determine a área do triângulo. 98
  • Geometria I – Áreas de superfícies4. Determine a área de um triângulo isósceles de perímetro igual a 32cm, sabendo que sua base excede em 2cm cada um dos lados congru- entes.5. Determine a área de um triângulo eqüilátero em função de sua altura h.6. O apótema de um triângulo eqüilátero é igual ao lado de um quadrado de 16cm2 de área. Determine a área do triângulo.7. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é os do cateto menor, e o cateto maior os do menor. Sendo 60cm o perímetro do triângulo, ARQUIMEDES determine a sua área. Arquimedes é um dos maiores matemáticos8. Calcule a área de um triângulo ABC do qual se do século III a.C., natural da cidade de ⎯ ⎯ conhecem os dados seguintes: AC = b, AB = Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu c e o ângulo compreendido 150º. aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica, em Sira-9. Calcule a área do triângulo ABC, sendo AB = cusa, em 212 a.C. Era filho de um astrônomo; 4 cm, Â = 30º e ^ = 45º. C por isso, também adquiriu uma reputação em astronomia.10. Determine a área de um triângulo eqüilátero em função do raio r do círculo inscrito nesse triângulo. Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Eu-11. Determine a medida do raio de um círculo clides, mantendo comunicação com os ma- inscrito em um triângulo isósceles de lados temáticos de lá, como Cônon, Dosite e 10cm, 10cm e 12cm. Eratóstenes. Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de12. Calcule o raio da circunferência circunscrita a Roma por quase três anos, devido às engen- um triângulo isósceles de base 6cm, tendo hosas máquinas de guerra inventadas por outro lado medindo 5cm. Arquimedes para deixar seus inimigos à dis- tância. Entre elas: catapultas para lançar pe-13. Seja ABC um triângulo isósceles cujos lados dras; cordas, polias e ganchos para levantar congruentes medem 5cm, sendo 6cm a medi- e espatifar os navios romanos; invenções ⎯ da do lado BC (base do triângulo). Calcule a para queimar os navios. razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito nesse triângulo. Por meio dos árabes, sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos14. Determine o perímetro de um triângulo retân- de seus lados, conhecida como fórmula de gulo, sabendo que sua área é igual a 36cm2 e Heron que a hipotenusa é igual ao dobro da altura rel- ativa a ela. -15. As medianas de um triângulo medem 9m, 12m, em que p é o semiperímetro – era conhecida e 15m. Determine a área do triângulo. por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Heron menciona em seus trabal- hos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas, 99
  • UEA – Licenciatura em Matemática e Teon cita em seus trabalhos um teorema de são números da ordem de milhões; com Arquimedes encontrado no Tratado sobre a essas condições, uma das incógnitas deve Teoria dos Espelhos. ser um número com mais que 206 500 dígi- tos! Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro, escrito em dois Há dois trabalhos de Arquimedes sobre mate- volumes e constituído de cinqüenta e três mática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras proposições; trata, entre outras coisas, do Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O teorema que fornece as áreas de uma esfera primeiro deles consta de dois livros e contém e de uma calota esférica. Mostra que a área vinte e cinco proposições em que, mediante de uma superfície esférica é exatamente dois um tratamento postulacional, obtêm-se as terços da área da superfície total do cilindro propriedades elementares dos centróides e circular reto circunscrito a ela e que o volume determinam-se centróides de várias áreas da esfera é exatamente dois terços do volume planas, terminando com a do segmento para- do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema bólico e a de uma área limitada por uma de seccionar uma esfera com um plano de parábola e duas cordas paralelas. Corpos maneira a obter dois segmentos esféricos Flutuantes é obra composta por dois livros cujos volumes estejam numa razão dada. com noventa proposições, e representa a Esse problema leva a uma equação cúbica, primeira aplicação da matemática à hidros- em em função da qual é feita uma discussão tática. O tratado baseia-se em dois postula- relativa às condições sob as quais a cúbica dos, desenvolvendo primeiro as leis familiares pode ter uma raiz real positiva. da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com Arquimedes escreveu pequenas obras sobre um estudo notável sobre a posição de repou- aritmética, uma delas é O Contador de Areia, so e estabilidade de um segmento (reto) de que trata de uma curiosa questão: como parabolóide de revolução mergulhado num determinar a quantidade de grãos de areia fluido. capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol, ou seja, do O tratado O Método encontra-se na forma de tamanho do universo. Nessa obra, encontra- uma carta endereçada; é importante devido mos observações relacionadas à astronomia, às informações que fornece sobre o método em que Arquimedes utilizou o modelo de uni- que Arquimedes usava para descobrir muitos verso de Aristarco de Samos, que antecipou a de seus teoremas. Arquimedes usava-o de teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquime- maneira experimental para descobrir resulta- des vai calculando a quantidade de areia dos que ele então tratava de colocar em ter- necessária para encher um dedal, um está- mos rigorosos. dio, o volume da Terra e assim por diante, até Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a encher todo o universo. Ao mesmo tempo e Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a paralelamente, vai desenvolvendo um sis- Construção de Esferas. Neste último, havia a tema de numeração (que levou a invenção descrição de um planetário construído por ele dos logaritmos) capaz de exprimir os valores para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e encontrados nesse calculo. Há também o dos cinco planetas conhecidos em seu Problema do Gado que envolve oito incógni- tempo. Provavelmente o mecanismo era tas inteiras relacionadas por sete equações acionado pela água. lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par A invenção mecânica de Arquimedes mais de incógnitas é um quadrado perfeito e que a conhecida é a bomba de água em parafuso, soma de outro par determinado de incógnitas construída por ele para irrigar campos, drenar é um número triangular. Sem as condições charcos e retirar água de porões da navios. O adicionais, os menores valores das incógnitas engenho ainda hoje é utilizado no Egito. 100
  • Geometria I – Áreas de superfícies Atividade 1: TEMA 33 Usando as 7 peças, podem-se montar os números de 0 a 9.ATIVIDADE DE LABORATÓRIOExercício 01QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: TangramO Tangram é originário da China. Supõe-se que Números formados com o Tangrama parte inicial do nome (Tan) esteja relacionadaà dinastia Tang, que governou a China por um Exercício 02longo período; a parte final do nome (gram)vem do latim e significa ordenar, dispor. Ela Usando as 7 peças do tangram, pode-se mon-tem sete peças em forma de figuras geométri- tar um hexágono.cas planas. Compondo essas sete peças,pode-se formar muitas figuras diferentes. Exercitando:Objetivo: obter figuras geométricas usando 1. Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) dotodas as peças do tangram. tangram, forme um quadrado.Material Necessário: papel-cartão, tesoura, 2. Usando as sete peças do tangram, formerégua, lápis. um triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio, quadrado.Confecção :1. Desenha-se, em uma folha de papel, um quadrado de 12cm de lado, dividindo-o de 4 em 4 centímetros.2. Seguindo os modelos, obtém-se um que- bra-cabeça com sete peças.3. Pintam-se as sete peças recortando-as em seguida.Seqüência de modelo para confecção do Tangram (BIGODE, 1994,p. 135-136). 101
  • UEA – Licenciatura em Matemática No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função TEMA 34 de alguma certa unidade, como metro, cen- tímetro, quilômetro, etc. ÁREA DE FIGURAS PLANAS Exemplo – Para calcular a área de um retângu- Quadriláteros lo com 2m de altura e 120cm de base, pode- mos expressar a área em metros quadrados ou Área do retângulo qualquer outra unidade de área. A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 uni- 1. Transformando as medidas em metros dades de altura. O segmento horizontal que Como h = 2m e b = 120cm = 1,20m, a área passa no meio do retângulo e os segmentos será obtida por meio de: verticais dividem-no em seis quadrados, tendo cada um 1 unidade de área. A = b×h A = (1,20m)×(2m) = 2,40m² 2. Transformando as medidas em centímetros: Como h = 2m = 200cm e b = 120cm, a área do retângulo será dada por: A = b×h A área do retângulo ABCD é a soma das áreas A = (120cm) × (200cm) = 24000cm² destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido Área do paralelogramo pelo produto do número de unidades do com- Combinando os processos para obtenção de primento da base AB pelo número de unidades áreas de triângulos congruentes com aqueles da altura BC. de áreas de retângulos, podemos obter a área O lado do retângulo pode ser visto como a do paralelogramo. base, e o lado adjacente como a altura; assim, Qualquer lado do paralelogramo pode ser to- a área A do retângulo é o produto da medida mado como sua base, e a altura correspon- da base b pela medida da altura h. dente é o segmento perpendicular à reta que A=b×h contém a base até o ponto onde esta reta inter- cepta o lado oposto do paralelogramo. Área do quadrado No paralelogramo ABCD abaixo, à esquerda, Um quadrado é um caso particular de retângu- os segmentos verticais tracejados são congru- lo cuja medida da base é igual à medida da entes, e qualquer um deles pode representar a altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma. altura do paralelogramo em relação à base AB. Esta é a razão pela qual a segunda potência do Figura 01 número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x, e a área A do quadrado é obti- da pelo quadrado da medida do lado x. A = x² Exemplo – Obter a área do retângulo cujo Figura 02 comprimento da base é 8 unidades e o compri- mento da altura é 5 unidades. A = b×h A = (8u)x(5u) = 40u² 102
  • Geometria I – Áreas de superfíciesNo paralelogramo RSTV acima, à direita, os A área do losango é o semiproduto das medi-dois segmentos tracejados são congruentes, e das das diagonais, isto é, A = (d1 × d2)/2.qualquer um deles pode representar a altura HIPÓTESE TESEdo paralelogramo em relação à base RV. ABCD é um losangoA área A do paralelogramo é obtida pelo pro- Área do losango = m(AC) = d1, m(BD) (d1×d2)/2duto da medida da base b pela medida da = d2 e AC⊥BD.altura h, isto é, A = b × h. Demonstração – Seja o losango ABCD cujas HIPÓTESE TESE diagonais AC e BD são tais que m(AC)=d1 eABCD é um parale- m(BD)=d2. Área do paralelogramologramo AB = b e ABCD = b . hBX ⊥ CD com BX = hDemonstração – Construímos o paralelo-gramo ABCD com base AB e altura BX. Pelospontos A e B, traçamos duas retas perpendic-ulares a AB até encontrarem CD, formando o Se traçarmos paralelas às diagonais pelos vér-retângulo ABXY de área A=bh. tices, formamos o retângulo MNOP cuja área é ,Figura 01 o dobro da área do losango. Como a área do retângulo é d1 × d2, então a área do losango é dada por A=1/2(d1 × d2). Área do trapézioFigura 02 Em um trapézio, existe uma base menor de me- dida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.Os triângulos ADY e BCX são congruentes,pois são triângulos retângulos; possuem hipo-tenusas congruentes, pois são lados opostos A área A do trapézio é o produto da média arit-de um paralelogramo (AD e BC) e um dos cate- mética entre as medidas das bases pela medi-tos congruentes pois (AY=BX) por serem para- da da altura, isto é, A = (b1 + b2).h/2.lelas compreendidas entre paralelas. Portantoa área do retângulo ABXY é b.h e é igual a áreado paralelogramo ABCD. 1. Calcular a área de um quadrado de diagonal medindo 4cm.Área do losango SoluçãoO losango é um paralelogramo, e a sua área étambém igual ao produto do comprimento damedida da base pela medida da altura. 103
  • UEA – Licenciatura em Matemática 4. Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de d = 4cm ⇒ perímetro. Determine suas dimensões. A = L2 5. A base de um retângulo é o dobro de sua al- A= = 4.2 = 8cm2 tura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2 sua área.2. As diagonais de um retângulo medem 20cm cada uma, e formam um ângulo de 60º. Deter- 6. As bases de um trapézio isósceles medem, mine a área desse retângulo. respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área Solução desse trapézio, sabendo que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm. 7. Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura. h2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 60º 8. As diagonais de um losango estão entre si h2 = 100 + 100 – 200.1/2 = 100 ⇒ h = 10cm como . Determine a área desse losango Por outro lado temos que: sabendo que a soma de suas diagonais é igual b2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 120º ao perímetro de um quadrado de 81 cm2 de b2 = 100 + 100 – 200.(–cos60º) área. b2 = 200 + 100 9. O perímetro de um losango é de 60cm. Calcule b= cm a medida de sua área, sabendo que a sua Portanto A = b.h = 10. = cm2 diagonal maior vale o triplo da menor.3. Determine a área de um trapézio isósceles de 10. Determine o lado de um quadrado, sabendo bases medindo 8cm e 10cm, sabendo- se que que, se aumentarmos seu lado em 2cm, sua um de seus ângulos internos mede 60o. área aumenta em 36cm2. Solução 11. Determine a área de um quadrado cujo perí- metro é igual ao perímetro de um retângulo cuja base excede em 3cm a altura, sendo 66cm a soma do dobro da base com o triplo da altura. 12. Um quadrado e um losango têm o mesmo tg60º = 1/h ⇒ = 1/h ⇒ cm perímetro. Determine a razão entre a área do quadrado e do losango, sabendo que as dia- A= gonais do losango estão entre si como e que a diferença entre elas é igual a 40cm. 13. As bases de um trapézio retângulo medem 3m e 18m e o perímetro 46m. Determine a área.3. A área de um retângulo é 40cm2, e sua base 14. A altura de um trapézio isósceles mede m, excede em 6cm sua altura. Determine a altura a base maior 14m e o perímetro 34m. do retângulo. Determine a área desse trapézio. 104
  • Geometria I – Áreas de superfícies15. De um losango, sabemos que uma diagonal proposições distribuídas em treze livros ou excede a outra em 4m e que esta, por sua vez, capítulos, dos quais os seis primeiros são excede o lado em 2m. Determine a área desse sobre geometria plana elementar, os três losango. seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três últimos tra-16. A diagonal maior de um trapézio retângulo é tam de geometria no espaço. bissetriz do ângulo agudo. Se a altura e a base maior medem 5m e 25m, determine a área O livro I começa com definições, axiomas e desse trapézio. postulados. As quarenta e oito proposições dis- tribuem-se em três grupos: as primeiras vinte e17. Uma diagonal de um losango mede 40m e sua seis tratam de propriedades do triângulo e altura 24m. Determine a área desse losango. incluem os três teoremas de congruência; as proposições de vinte e sete a trinta e dois esta- belecem a teoria das paralelas e provam que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; as proposições de trinta e três a quarenta e seis lidam com paralelo- gramos, triângulos e quadrados, com atenção especial a relações entre áreas; a proposição quarenta e sete é o Teorema de Pitágoras, com a demonstração atribuída ao próprio Euclides; e a proposição quarenta e oito é o recíproco do Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maio- ria do material desse livro foi desenvolvido pelos antigos pitagóricos. O livro II apresenta quatorze proposições que lidam com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas. Euclides e os “Elementos” O livro III, consiste em trinta e nove proposi- Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade ções contendo muitos dos teoremas famil- de Euclides e desconhece-se a data de seu iares sobre círculos, cordas, secantes, tan- nascimento. É provável que sua formação gen-tes e medidas de ângulos. No livro IV, matemática tenha-se dado na escola platôni- encontramos dezesseis proposições que dis- ca de Atenas. Ele foi professor do Museu em cutem a construção, com régua e compasso, Alexandria. de polígonos regulares de três, quatro, cinco, Euclides escreveu cerca de uma dúzia de seis e quinze lados, bem como inscrição tratados, cobrindo tópicos desde óptica, as- desses polígonos num círculo dado. tronomia, música e mecânica, até um livro O livro V é uma exposição da teoria das pro- sobre secções cônicas; porém mais da me- porções. Foi por meio dessa teoria, aplicável tade do que ele escreveu perdeu-se. Entre as tanto a grandezas comensuráveis como a obras que sobreviveram até hoje temos: Os grandezas incomensuráveis, que se resolveu elementos, Os dados, Divisão de Figuras, Os o problema dos números irracionais desco- Fenômenos e Óptica. bertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria Os Elementos de Euclides não tratam apenas de plana. Encontramos nele os teoremas funda- geometria, mas também de teoria dos números mentais da semelhança de triângulos; cons- e de álgebra elementar (geométrica). O livro truções de terceira, quartas e médias propor- compõe-se de quatrocentos e sessenta e cinco 105
  • UEA – Licenciatura em Matemática cionais; a resolução geométrica de equações quadráticas; a demonstração que a bissetriz TEMA 35 de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos ou- ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS tros dois lados; uma generalização do teore- ma de Pitágoras na qual, em vez de quadra- Definição dos, traçam-se sobre os lados de um triângu- O conceito de região poligonal lo retângulo três figuras semelhantes descri- tas de maneira análoga. Uma região poligonal é a reunião de um núme- ro finito de regiões triangulares não-sobre- O livro VII começa com o processo, hoje con- postas e coplanares (estão no mesmo plano). hecido como algoritmo euclidiano, para achar Na gravura abaixo, apresentamos quatro re- o máximo divisor comum de dois ou mais giões poligonais. Observe que uma região tri- números inteiros, que ele usa para verificar se angular é por si mesma uma região poligonal dois inteiros são primos entre si; encon- e, além disso, uma região poligonal pode con- tramos também uma exposição da teoria das ter “buracos”. proporções numérica ou pitagórica. O livro VIII ocupa-se largamente das pro- porções contínuas e progressões geométri- cas relacionadas. O livro IX contém muitos teoremas significativos: teorema fundamental Uma região poligonal pode ser decomposta da aritmética (todo número inteiro maior que em várias regiões triangulares, e isso pode ser 1 pode-se expressar como produtos de pri- feito de várias maneiras mos); fórmula da soma dos primeiros n ter- mos de uma progressão geométrica; fórmula para números perfeitos. O livro X focaliza os irracionais, isto é, comprimentos de segmen- tos de reta incomensuráveis com um seg- mento de reta dado. Duas ou mais regiões poligonais são não-sobre- Os três últimos livros (XI, XII, XIII) tratam de postas quando a interseção de duas regiões geometria sólida. As definições, os teoremas quaisquer é vazia, é um conjunto finito de pon- sobre retas e planos no espaço e os teore- tos, é um segmento de reta ou é um conjunto mas sobre paralelepípedos encontram-se no finito de pontos e um segmento de reta. livro XI. O método de exaustão desempenha O estudo de área de regiões poligonais depen- um papel importante na abordagem de vo- de de alguns conceitos primitivos: lumes do livro XII. No livro XIII, desenvolvem- 1. A cada região poligonal corresponde um se construções visando à inscrição dos cinco único número real positivo chamado área. poliedros regulares numa esfera. 2. Se dois triângulos são congruentes, então Para finalizar, uma palavra sobre o significado as regiões limitadas por eles possuem a do termo “elementos”. Segundo Proclo, os mesma área. gregos antigos definiam os “elementos” de um estudo dedutivo como os teoremas- mestres, 3. Se uma região poligonal é a reunião de n de uso geral e amplo no assunto. Euclides, no regiões poligonais não-sobrepostas, então livro Os Elementos, tomou como base cinco sua área é a soma das áreas das n-regiões. axiomas e cinco postulados geométricos e ten- Observação – Para facilitar o estudo de tou deduzir todas as suas quatrocentos e regiões poligonais, adotaremos as seguintes sessenta e cinco proposições dessas dez afir- práticas: mações. Certamente um dos grandes feitos a. Os desenhos de regiões poligonais serão dos matemáticos gregos antigos foi a criação sombreadas apenas quando houver possi- da forma postulacional de raciocínio. bilidade de confusão entre o polígono e a região. 106
  • Geometria I – Áreas de superfíciesb. Usaremos expressões como “a área do Circunferência inscrita – Em um polígono triângulo ABC” e “a área do retângulo regular com n lados, podemos colocar uma cir- RSTU” no lugar de expressões como “a cunferência inscrita (por dentro), isto é, uma área da região triangular ABC” e “a área da circunferência que passa tangenciando todos região limitada pelo retângulo RSTU”. os lados do polígono e que está contida noExemplo – A área da figura poligonal ABCDE- polígono.FX pode ser obtida pela decomposição da Elementos de um polígono regularregião poligonal em regiões triangulares. 1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. 2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.Após isso, realizamos as somas dessas áreas 3. Raio da circunferência inscrita é o apó-triangulares. tema do polígono, isto é, a distância do cen- tro do polígono ao ponto médio de um dosÁrea(ABCDEFX) = área(XAB) + área(XBC)+...+ área(XEF) lados.Unidade de área 4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contêmPara a unidade de medida de área, traçamos vértices consecutivos do polígono.um quadrado cujo lado tem uma unidade decomprimento. Apótema: OM, Apótema: OX, Raios: OA,OF Raios: OR, OT Ângulo central: AOF Ângulo central: ROT 1 unidade quadradaEsta unidade pode ser o metro, o centímetro, oquilômetro, etc. 5. Medida do ângulo central de um polígonoPolígonos regulares com n lados é dada por 360/n graus. PorUm polígono regular é aquele que possui to- exemplo, o ângulo central de um hexágonodos os lados congruentes e todos os ângulos regular mede 60 graus, e o ângulo centralcongruentes. Existem duas circunferências as- de um pentágono regular mede 360/5=72sociadas a um polígono regular. graus.Circunferência circunscrita – Em um polí-gono regular com n lados, podemos construir Áreas de polígonos regularesuma circunferência circunscrita (por fora), que Traçando segmentos de reta ligando o centroé uma circunferência que passa em todos os do polígono regular a cada um dos vérticesvértices do polígono e que contém o polígono desse polígono de n-lados, iremos decomporem seu interior. esse polígono em n triângulos congruentes. 107
  • UEA – Licenciatura em Matemática Assim, a fórmula para o cálculo da área da é semelhante ao triângulo que ocupa a região poligonal regular será dada pela metade posição correspondente no outro polígono. do produto da medida do apótema a pelo Este fato e o teorema sobre razão entre áreas perímetro P isto é: , de triângulos semelhantes são usados para A = aHIPÓTESE × Perímetro / 2 TESE demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de Polígono regular de polígonos semelhantes. vértices R, T, U, V,..., Teorema – A razão entre áreas de dois polí- apótema a, lado de Área = a×P/2 gonos semelhantes é igual ao quadrado da ra- comprimento s, pe- rímetro P e área A. zão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. Demonstração – Seja o polígono regular RTUV,..., a o apótema e s o comprimento de cada lado do polí- gono. Traçando raios OR, OT, OU..., o polígono fica decomposto em n triângulos congruentes. O círculo como o limite de regiões poligonais regulares A área de cada triângulo é At = s×a/2. Assim, a área A do polígono será: Nas figuras abaixo, temos três regiões poligo- nais regulares inscritas em círculos congruentes. A = n At = n(s×a)/2 = n×s×a/2 mas, ns=P assim a área do polígono com n lados é: , A=a×P/2 Comparando áreas entre polígonos semelhantes Quando aumenta o número de lados do polí- Apresentamos, abaixo, dois pentágonos irreg- gono inscrito observamos que também aumenta: ulares semelhantes. Dos vértices correspon- dentes A e L, traçamos diagonais decompon- 1. O apótema, aproximando-se do raio do cír- do cada pentágono em três triângulos. culo como um limite. Os pares de triângulos correspondentes ABC e 2. O perímetro, aproximando-se da circunfer- LMN, parecem semelhantes, o que pode ser ência do círculo como um limite. verificado diretamente por meio da medição de 3. A área, aproximando-se da área do círculo seus ângulos com um transferidor. Assumire- como um limite. mos que tal propriedade seja válida para polí- gonos semelhantes com n lados. Neste trabalho, não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não po- demos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo. A idéia de limite permite-nos aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do Observação: Se dois polígonos são semel- polígono regular inscrito nessa circunferência, hantes, eles podem ser decompostos no à medida que o número de lados do polígono mesmo número de triângulos e cada triângulo aumenta. 108
  • Geometria I – Áreas de superfícies O mesmo ocorre com o cálculo da área do círcu- 3. Dado um hexágono regular (ABCDEF) de lado lo, pois à medida que o número de lados da L, calcule a área do quadrilátero ACDE em região poligonal inscrita aumenta, as áreas des- função de L. sas regiões se aproximam da área do círculo. Esse também é um processo através de limites. 4. Sendo A a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, qual a área de um quadra- do circunscrito na mesma circunferência? 5. O lado, a altura e a área de um triângulo equi- látero formam, nessa ordem, uma progressão1. Determine a área de um triângulo equilátero de geométrica. Qual é o perímetro do triângulo? altura igual a 3cm. 6. Qual a área da figura que se obtém eliminan- Solução do-se do hexágono de lado 2 a sua inter- secção como os 6 círculos de raios unitários e centros nos vértices do hexágono? 7. O triângulo ABC é eqüilátero, D e E são pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas: S1 do trapézio DHCM com s2 do retângulo DEGH. h = 3cm 8. Sendo a área de um círculo igual à de um qua- drado, qual é a relação entre o raio daquele e o lado deste? 9. De um pedaço quadrado de metal corta-se2. Calcular a área de um hexágono regular de apó- uma peça circular de diâmetro máximo e desta tema igual a 2cm. corta-se outro quadrado de lado máximo. O Solução processo é repetido por mais uma vez. Qual a quantidade de material desperdiçado? 10. Calcular a área do triângulo equilátero circun- scrito a um círculo de área 4πcm2. 11. Considere um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pon- tos médios desse novo quadrado, obtém-se outro quadrado. Repetindo-se esse processo indefinidamente, qual a soma das áreas de todos esses quadrados? 12. Um octógono regular é formado cortando-se1. Qual a área do triângulo equilátero inscrito cada canto de um quadrado de lado 6. Quanto num círculo de raio 2cm? mede o lado do octógono?2. De um pedaço quadrado de metal, corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta corta-se outro quadrado de lado máximo. Qual a quantidade de material desperdiçado? 109
  • UEA – Licenciatura em Matemática icando "tamanho"). Fez a distinção entre gru- pos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês GEORG FERDINAND chamam-se countable – que se podem con- LUDWIG PHILIPP CANTOR tar) e grupos contínuos (em inglês uncoun- table – que não se podem contar). Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo (logo, maior que o anterior). Na demonstração, foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida, tentou provar, sem o conseguir, a “hipótese do contínuo”, ou seja, que não existem con- juntos de potência intermédia entre os nume- ráveis e os contínuos – em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade dessa hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjun- tos. Foi ele que utilizou, pela primeira vez, o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 de Março, 1845, São Petersburgo – 6 de Durante a última metade da sua vida, sofreu Janeiro, 1918, Halle, Alemanha) foi um ma- repetidamente de ataques de depressão, o temático alemão de origem russa conhecido que comprometeu a sua capacidade de tra- por ter criado a moderna Teoria dos Conjun- balho e forçou-o a ficar hospitalizado várias tos. Foi a partir dessa teoria que se chegou ao vezes. Provavelmente, ser-lhe-ia diagnostica- conceito de número transfinito, incluindo as do, hoje em dia, um transtorno bipolar – vulgo classes numéricas dos cardinais e ordinais, maníaco-depressivo. A descoberta do Para- estabelecendo a diferença entre esses dois doxo de Russell conduziu-o a um esgotamen- conceitos que colocam novos problemas to nervoso do qual não chegou a se recuper- quando se referem a conjuntos infinitos. ar. Começou, então, a se interessar por liter- atura e religião. Desenvolveu o seu conceito Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho de de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. um comerciante dinamarquês, Geor Waldemar Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico Böhm. Em 1856, a sua família mudou-se para em Halle. a Alemanha, onde ele continuou os seus estu- dos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique. Os conceitos matemáticos inovadores pro- Doutorou-se na Universidade de Berlim em postos por Cantor enfrentaram uma resistên- 1867. Teve como professores Ernst Kummer, cia significativa por parte da comunidade ma- Karl Weierstrass e Leopold Kronecker. temática da época. Os matemáticos moder- nos, por seu lado, aceitam plenamente o tra- Em 1872, foi docente na Universidade alemã balho desenvolvido por Cantor na sua Teoria de Halle, onde obteve o título de professor em dos conjuntos, reconhecendo-a como uma 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar mudança de paradigma da maior importância. Halle, tendo acabado por pensar que era víti- ma de uma conspiração. Nas palavras de David Hilbert: Cantor provou que os grupos infinitos não “Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso têm todos a mesma potência (potência signif- que Cantor criou.” 110
  • Geometria I – Áreas de superfícies Construção: TEMA 36 1. Num papel-cartão ou cartolina, recorte qua- tro triângulos retângulos congruentes,com medidas a = 4cm e b = 3cm, por exemplo.ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 2. Em seguida, recorte um quadrado cujo ladoTeorema de Pitágoras tem comprimento igual a c = 5cm, compri-Usando o material concreto, demonstre o mento da hipotenusa dos triângulos retân-Teorema de Pitágoras gulos.O Teorema de Pitágoras diz que, em um triân- Com as cinco peças construídas e em mãos, égulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é possível encaixá-las e montar o conjunto, re-igual à soma dos quadrados dos catetos. Se presentado na figura a baixo.construirmos quadrados sobre os lados a, b ec do triângulo retângulo, esses quadrados te-rão áreas a2, b2 e c2. Assim, podemos enunciaro Teorema de Pitágoras da seguinte forma: aárea do quadrado construído sobre ahipotenusa é igual à soma das áreas dosdois quadrados construídos sobre os cate-tos. Podemos tornar o entendimento do Teo- A montagem realizada representa um quadra-rema mais lúdico por meio de recorte que nosajudem a visualizar sua demonstração. A partir do de lado c, inscrito num quadrado maior, cujode critérios de recorte aplicados aos quadra- lado tem comprimento a+b. Essa montagemdos menores (construídos sobre os catetos), permite a prova do Teorema de Pitágoras.podemos montar o quadrado maior (construí- Como o quadrado maior tem lado de compri-do sobre a hipotenusa) por meio de quebra- mento a + b, então a área A tem por medida:cabeças que ilustram, e até mesmo demon- A = (a + b)2.stram, o Teorema de Pitágoras! Em contrapartida, como esse quadrado maior é composto das cinco peças do quebra-cabe- ças (quatro triângulos retângulos e um quadra- do), somando as áreas, encontramos: Igualando os dois valores para a área, segue:Material necessário: papel-cartão ou cartoli-na, tesoura, régua, compasso, lápis e bor- (a + b)2 =racha.Objetivo: provar o Teorema de Pitágoras, com a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2uso de quebra-cabeças. a2 + b2 = c2, comprovando o Teorema deProcedimentos: Pitágoras. Observação – Ao provar este teorema por meio do uso do material concreto do quebra- cabeças, para estudantes do ensino médio, o momento é ideal para convencê-los da necessi- dade de provar que é verdadeiramente um quadrado a figura formada com o encaixe das cinco peças do quebra-cabeças. A argumentação 111
  • UEA – Licenciatura em Matemática que permite sustentar essa conclusão é o fato quadrado maior (de 1 e 2). Como os de que a soma dos ângulos agudos de um triân- quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo gulo retângulo é 90o. Portanto, quando os triân- reto, eles encaixam-se no quadrado maior. O gulos retângulos são encaixados para formar quadrado vermelho restante tem lado AC, pois uma só figura, os lados de dois triângulos con- CD-AD=AC e CD=BF. secutivos ficam alinhados. Critério de recorte 02 Os critérios de recorte apresentados abaixo se- OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR O rão nossas hipóteses na demonstração. Consi- TEOREMA DE PITAGORAS.’ dere o triângulo retângulo ABC. Construa, so- Critério de recorte 01 bre os lados AB e AC, os quadrados ABDE e ACFG. “Dobre” (reflita) o quadrado de lado AB Os critérios de recorte da figura serão nossas em torno deste lado. hipóteses na demonstração. As diagonais pon- Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma reta tilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a vi- perpendicular ao segmento BC passando por sualização durante a demonstração. Considere B e outra passando por C. Chame de H o ponto o quadrado médio (de lado AB) e encontre o de interseção da segunda reta perpendicular centro M desse quadrado. Trace retas parale- com o segmento FG. Construa o retângulo de las aos lados do quadrado maior (de lado BC) lados BC e CH e chame-o de BCHI. Trace uma passando por M. O quadrado médio está, reta perpendicular ao segmento BG passando agora, divido em quatro partes. por I e chame de J a interseção. Demonstração Demonstração Observe que basta transladar os triângulos co- loridos para que as peças se encaixem. Porém, para a demonstração, precisamos enxergar a congruência dos triângulos destacados. Os triângulos ABC e FHC são congruentes (ALA). Use a soma de ângulos para ver essa con- gruência. O quadrilátero BCHI é um quadrado, pois os lados BC e CH são congruentes (de 1). Os triângulos amarelos são congruentes, pois ambos são congruente ao triângulo ABC (pro- cure fazer demonstração análoga ao item 1). IJ = AB (de 3) e AB = BD’ (lados do quadrado). Observe que, para montar o quadrado grande, Os triângulos verdes são congruentes (LAAo). basta transladar as peças do quadrado médio Os ângulos dos triângulos verdes são congru- e completar o centro com o quadrado menor. entes aos ângulos dos triângulos vermelhos: Os vetores de translação têm origem no ponto ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostos M e extremidades nos vértices do quadrado pelo vértice e o terceiro vem do “teorema maior. A “figura-chave” desta demonstração é 180o”. Os segmentos NC e LH são congru- o paralelogramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e entes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos ver- 4, que compõem o quadrado médio, são con- melhos são congruentes (ALA). Assim, vemos gruentes, pois os lados DF e EG resultam da que as peças destacadas nos quadrados rotação das diagonais, mantendo, assim, a área menores encaixam-se no quadrado maior. das figuras constante. Tente observar na figura com o auxílio das diagonais pontilhadas. Os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os segmentos CD e BF, pois são lados opostos de um paralelogramo. Procure obser- var na figura. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e portanto, com com- primento igual à metade da medida do lado do 112
  • Geometria I – Áreas de superfíciesCritério de recorte 03Os critérios de recorte abaixo serão nossas TEMA 37hipóteses na demonstração. Considere o triân-gulo retângulo ABC. Construa quadrados so-bre os lados deste triângulo. Considere agora ÁREA DE FIGURAS PLANAS – CÍRCULO Eo quadrado maior (de lado BC). Reflita o triân- SUAS PARTESgulo ABC em torno do Lado BC, de modo que Definiçãoo triângulo refletido fique dentro do quadradomaior. Construa mais três triângulos retângulos Perímetro do círculo e da circunferênciacongruentes ao inicial sobre os lados do qua- Perímetro da circunferência de um círculo é odrado maior, como sugere a figura. Divida dois valor limite da seqüência dos perímetros dosdestes triângulos em outros dois triângulos, de polígonos regulares inscritos de n lados na cir-modo que um desses triângulos seja retângulo cunferência à medida que o número n de ladosisósceles. O recorte do quadrado maior está aumenta indefinidamente.pronto. Área do círculo é o valor limite da seqüênciaDemonstração das áreas das regiões poligonais regulares ins- critas no círculo quando o número n de ladosOs triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos de das poligonais aumenta arbitrariamente.medida AC por construção. Logo, encaixam-seno quadrado menor (de lado AC). Os triângu- Relações associadas ao perímetrolos 1 e 6 possuem um dos catetos com medi-da AB e outro com medida AC e sua hipote- 1. Com base nessas duas definições, temosnusa mede BC, pois são congruentes ao triân- um importante resultado sobre a relaçãogulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congruentes. existente entre o perímetro e o diâmetro daSeus lados maiores medem BC. Os lados me- circunferência:nores medem AB-AC (procure ver na figura). A A razão entre o perímetro e o diâmetro defigura 7 é um quadrado, pois todos os seus ân- uma circunferência é uma constantegulos são retos e os seus lados medem AB-AC 2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e(veja na figura). Considerando as afirmações 2, D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente.3 e 4, concluímos que as figuras 1, 2, 3, 4, 5, 6 A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual àe 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, como razão entre os diâmetros D1 e D2. Como omostra a figura. Assim, está provado que a diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmoárea do quadrado maior pode ser decomposta ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.na área dos dois quadrados menores.ExercitandoMuitas demonstrações antigas do teorema de 3. Para todo círculo (e também circunferên-Pitágoras eram apresentadas apenas mediante cia), a razão entre o perímetro e o diâmetrofiguras geométricas, e cabia ao leitor observar é uma constante, denominada Pi, denotadaa figura e tentar demonstrá-lo oralmente. pela letra grega π que é um número irra-Forme grupos de três pessoas em sala de aula cional (não pode ser escrito como a divisãoe discuta de que forma estas duas figuras ilus- de dois números inteiros). Uma aproxima-tram o teorema de Pitágoras. ção para Pi com 10 dígitos decimais é:Apresente o resultado aos demais colegas. π = 3,1415926536.... Área do círculo Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas nele. Nesse caso, o diâmetro D = 2r. As fórmulas para a área do círculo são: Área = πr² = 1/4 πD² 113
  • UEA – Licenciatura em Matemática Proporção com áreas – Sejam dois círculos Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas obtemos: A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as 360 graus ……… 2 π r áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os m graus ……… Comprimento de AB quadrados de seus diâmetros. logo: comprimento do arco AB = mrπ/ 180 Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radi- Arcos anos, obtemos: O comprimento de um arco genérico AB pode 2 π rad ……… 2 π r ser descrito em termos de um limite. Imagine- m rad ……… comprimento de AB mos o arco AB contendo vários pontos A = Po, P1, P2, P3, ..., Pn – 1, Pn = B, formando n assim: pequenos arcos e também n pequenos seg- Comprimento do arco AB = r m radianos. mentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn – 1B. Setor circular Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo. m A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximada- Usando a figura acima, podemos extrair algu- mente iguais às medidas dos segmentos. mas informações: O comprimento de um arco AB de uma circun- 1. OACB é um setor circular. ferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce 2. OADB é um setor circular. indefinidamente. 3. r é o raio de cada um dos setores. Um arco completo de circunferência corre- 4. ACB é o arco do setor OACB. sponde a um ângulo que mede 360 graus = 5. ADB é o arco do setor OADB. 2πradianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o 6. Tomando m como a medida do arco ACB comprimento do arco da mesma e é dado por: (em graus ou radianos), a área do setor cir- cular OACB será dada por: Perímetro da circunferência = 2πr Área do setor circular OACB = πr² m/360 = Comprimento do arco – Seja um arco AB em 1/2mr² uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em Basta usar regras de três simples e diretas. Se graus ou em radianos. o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos: O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por: 360 graus ……… Área do círculo Comprimento do arco AB = πrm/180 = r.m. m graus ……… Área do setor OACB Tais fórmulas podem ser justificadas pelas logo: seguintes regras de três simples e diretas. Área(setor OACB) = πr² m / 360 114
  • Geometria I – Áreas de superfícies Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radi- Solução anos, obtemos: 2 π rad ……… Área do círculo m rad ……… Área setor OACB C = 20πcm 2πr = 20π ⇒ r = 10cm A = πr2 assim: A = π.102 = 100πcm2 Área(setor OACB) = ½ mr² radianos 2. Determine a área da região hachurada na figu- Segmento circular ra abaixo: Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmen- to ACB e o segmento ADB. Solução S1 = Área do círculo. S2 = Área do triângulo equilátero. A área do segmento ACB pode ser obtida sub- S = Área hachurada. traindo-se a área do triângulo AOB da área do S1 = πr2 ⇒ S1 = π.122 = 144π setor OACB. Área(segmento) = Área(setor OACB) – S2 = Área(triângulo AOB) A área do segmento ADB pode ser obtida sub- S= traindo-se a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB. 1. Determine a área de um círculo, sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8πcm. 2. Determine a área de coroa determinada por duas circunferências concêntricas de raios 15cm e 12cm.1. Calcular a área de um círculo limitado por uma 3. Determine a razão entre as áreas dos círculos circunferência de perímetro igual a 20πcm. circunscrito e inscrito em um quadrado ABCD de lado a . 115
  • UEA – Licenciatura em Matemática4. Determine a razão entre as áreas dos círculos 15. Determine a área de um círculo inscrito em um inscrito e circunscrito a um hexágono regular. setor circular de 60º, sendo 12π cm o compri- mento do arco do setor.5. Determine a área de um segmento circular de 60o de um círculo que contém um setor circular de 6πcm2 de área, sendo 2π cm o comprimen- to do arco desse setor.6. Determine a razão entre as áreas dos segmen- tos circulares em que fica dividido um círculo no qual se traça uma corda igual ao raio do círculo.7. Calcule a área da superfície limitada por seis círculos de raio unitário com centros nos vér- tices de um hexágono regular de lado 2. CURIOSIDADES SOBRE O NÚMERO π8. Qual a razão entre o raio de um círculo circun- 1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de scrito e o raio de um círculo inscrito em um Reis 7:23, existe a passagem: triângulo ABC de lados a, b, c e perímetro 2p? “Fez também o mar de fundição; era re- dondo e media dez côvados duma borda9. Dado um triângulo eqüilátero e sabendo que à outra, cinco côvados de altura e trinta existe outro triângulo inscrito com os lados de circunferência.” respectivamente perpendiculares aos do pri- A passagem sugere que os construtores meiro, calcule a relação entre as áreas dos da casa de Salomão usavam o valor 3 dois triângulos. para a razão entre o diâmetro e o compri- mento da circunferência.10. Calcule a área de um ret6angulo, sabendo que cada diagonal mede 10cm e forma um ângulo 2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o de 60º. valor da razão entre o diâmetro e o com- primento da circunferência estava entre11. Um losango e um quadrado têm o mesmo perí- 3+1/7 e 3+10/71. metro. Determine a razão da área do losango 3. O símbolo usado para a razão entre o para a área do quadrado, sabendo que o ân- diâmetro e o comprimento da circunferên- gulo agudo formado por dois lados do losango cia somente foi introduzido no século XVIII. mede 60º. 4. O valor de π correto com 10 dígitos deci-12. Determine a área de um quadrado inscrito num mais foi usado no cálculo do comprimen- círculo em função da diagonal menor d de um to da linha do Equador terrestre. dodecágono regular inscrito no mesmo círculo. 5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um13. As projeções que os catetos de um triângulo segmento de comprimento π por meio de retângulo determinam na hipotenusa medem régua e compasso. 16cm e 9cm. Determine a razão entre a área 6. O número π exerce um papel muito im- do círculo inscrito e a área do círculo circun- portante na Matemática e nas ciências, scrito a esse triângulo. predominantemente quando determina- mos perímetros, áreas, centros de gravi-14. Determine o lado de um losango em função do dade, informações sobre segmentos e raio r do círculo inscrito, de modo que a área setores circulares e elípticos, inclusive em do losango seja igual ao dobro da área desse cálculos de navegação, etc. círculo. 116
  • Geometria I – Áreas de superfícies7. Com o uso de computadores, já foi real- TEMA 38 izado o cálculo do valor exato de π com mais de cem mil dígitos decimais. ATIVIDADE DE LABORATÓRIODetalhes sobre o cálculo de Pi – De modoanálogo ao resultado obtido por meio do limite Construções de triângulos envolvendode polígonos regulares inscritos também lados, ângulos e cevianaspodemos aproximar o perímetro e a área do Exercício 01círculo de raio r, pelo valor limite de polígonosregulares circunscritos no círculo quando o Dados dois lados e a altura relativa a um deles,número de lados desse cresce arbitrariamente. construir o triângulo ABC, sabendo que:Tais relações estão na tabela com dados med(AB) = 4cmsobre o polígono regular dado: med(AC) = 3,5cm Perímetro Perímetro do med(CH) = 2cm Número do polígono polígono de lados inscrito dividido circunscrito CH é altura relativa ao lado AB do polígono por 2r dividido por 2r 1.o Passo: Faz-se um esboço. 6 3,00000 3,46411 12 3,10582 3,21540 24 3,13262 3,15967 48 3,13935 3,14609 96 3,14103 3,14272 192 3,14145 3,14188 256 3,14151 3,14175 2.o Passo: Traça-se AB sobre uma reta- suporte 512 3,14157 3,14163 r. 1024 3,14159 3,14160 3.o Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cmObserve, na tabela, que quanto maior o nú-mero de lados de cada polígono mais dígitosdecimais coincidem para obter o valor do nú-mero Pi, tanto para os polígonos inscritos comopara os circunscritos. Com um polígono de1024 lados, praticamente temos 4 algarismosexatos. 4.o Passo: Com centro em A e raio com a medida de AC, traça-se um arco, determinan-Outra forma (lenta) para obter o número π é: do- se os pontos C e C’. O problema apresen- ta duas soluções.A forma mais rápida que conhecemos paraobter π, é: 5.o Passo: Traçam-se AC e BC(ou AC’ e BC’), determinando- se os triângulos ABC e ABC’. 117
  • UEA – Licenciatura em Matemática 5.o Passo: Com centro em B e raio com a medida de BC, traça- se um arco, determinan- do-se o ponto C. Exercício 02 Dados dois lados e a mediana relativa a um deles, construir o triângulo ABC, considerando 6.o Passo: Traçam-se AC e BC, determinando- que: se o ΔABC med(AB) = 5cm med(BC) = 3cm med(CM) = 2cm CM é a mediana relativa ao lado AB 1.o Passo: Faz-se um esboço 2.o Passo: Traça- se AB 3.o Passo: Determina-se M, ponto médio de AB. 4.o Passo: Com centro em M e raio com a medida de CM, traça-se um arco. 118
  • Geometria I – Áreas de superfícies TRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EM RETÂNGULO TEMA 39 No triângulo, temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e o seg-ATIVIDADE DE LABORATÓRIO mento AG perpendicular a essa reta. Conforme indicam as cores, usando o trapézio BCEH ePOLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS os triângulos AHG e EAG, construímos retân-Existem teoremas simples e interessantes em gulo com a mesma área do triângulo. Intuiti-Matemática, por meio dos quais podemos de- vamente, podemo-nos convencer de que assenvolver boa parte de conteúdos que fazem peças que compõem o triângulo encaixam-separte dos programas de nossas escolas. Se perfeitamente na composição do retângulo. Se nossa abordagem é dentro do espírito da geo-temos um objetivo bem definido a ser atingido, metria dedutiva, devemos mostrar que as re-no caso a demonstração de um resultado inter- giões triangulares que completam o retânguloessante, certamente o desenvolvimento de obtido a partir do trapézio são de fato congru-conceitos e propriedades torna-se muito mais entes aos triângulos menores que fazem partesignificativo, e com isso os alunos aprendem do triângulo dado.com entusiasmo.Um exemplo disso é o seguinte teorema:“Se dois polígonos têm a mesma área,então sempre é possível decompor umdeles em polígonos menores de modo a DEMONSTRAÇÃOcompor o outro.” Sobre o triângulo dado ABC, construímos umEm outras palavras, podemos decompor os retângulo com base igual à de um dos ladosdois polígonos em polígonos menores, dois a do triângulo e o lado paralelo à base, passan-dois congruentes. Isso significa que os dois do pelos pontos médios de AB e AC. Traçamospolígonos podem ser decompostos igualmen- o segmento AG perpendicular à HE. Devemoste, e por isso são ditos “polígonos eqüidecom- mostrar que os dois triângulos no triângulo dadoponíveis”. são congruentes aos triângulos pontilhados do retângulo. De fato, isso acontece. Os triângu-Em algumas situações, dependendo da forma los AGH e BDH são congruentes, pois:e do dimensionamento dos polígonos, pode-mos descobrir facilmente uma eqüidecompo- • os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB;sição. Por exemplo, nos pares de polígonosabaixo • os ângulos AGH e BDH são retos; • os ângulos AHG e BHD são congruentes já Quadrado e retân- que opostos pelo vértice. gulo tais que um dos lados do retân- Com raciocínio análogo, mostra-se que tam- gulo é o dobro do bém são congruentes os triângulos AGE e lado do quadrado CFE. Paralelogramo e re- tângulo com mes- mas bases e alturas. Quadrado e retân- gulo com mesma área. Assim podemos concluir que as peças queDaniela Stevanin Hoffmann e Maria Alice Gravina compõe o triângulo ABC se encaixam perfeita- mente no retângulo construído. 119
  • UEA – Licenciatura em Matemática TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EM UM QUADRADO TEMA 40 As transformações feitas até agora resolvem facilmente o problema de transformar um polí- gono em quadrado de mesma área. Inicial- ATIVIDADE DE LABORATÓRIO mente, decompomos o polígono em triângulos DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OS e transformamos cada um destes em retângulo: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Material necessário: papel oficio, tesoura, lápis, régua. Objetivos: • Obter a Mediana, Bissetriz e Altura referen- tes a um dos lados de um triângulo. • Obter o baricentro, o incentro, e o ortocen- tro referentes a um triângulo. A seguir, transformamos cada um dos retângu- los em quadrado: Procedimentos: Usando um triângulo, obtenha a bissetriz, a al- tura e a mediana relativas ao ângulo A, por meio da técnica da dobradura. Finalmente, transformamos cada dois quadra- dos num quadrado, até chegar a um único quadrado com área igual à soma das áreas dos quadrados de partida: 1. Bissetriz A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin- → → cidir dois lados adjacentes AB e AC do triângu- lo de modo que um lado fique sobre o outro, isto é, de forma que o ângulo seja dividido ao meio. O quadrado obtido no fim tem área igual à do polígono inicial, já que todas as transforma- ções foram feitas preservando-se as áreas. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o incentro. 2. Altura A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti- 120
  • Geometria I – Áreas de superfícies → da, quando se dobra a base BC do triângulo de modo que esta fique sobre ela mesma. O seg- → mento BC é a altura relativa ao ângulo A → O segmento AH é a altura do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o ortocentro. Pergunta-se: o que aconteceria se o triângulo fosse isosceles? Ponto médio Para encontrar o ponto médio de um triângulo relativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângu- lo, fazendo os pontos extremos da base B e C coincidirem.3. Mediana A mediana de um triângulo é obtida unindo-se o ponto médio ao ângulo oposto. → O segmento AM é a Mediana do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o baricentro. 121
  • UNIDADE VIAtividades de laboratório 123
  • Geometria I – Atividades de laboratório Material necessário: régua e compasso ATIVIDADE 1 Objetivo: obter o ponto médio de um segmen- → to AB dado.BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Procedimentos:Material necessário: régua e compasso 1. Com a ponta-seca do compasso em A e aObjetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔBdado. abertura do compasso maior que a metade da medida do segmento AB, traça-se doisProcedimentos: → arcos: um abaixo e outro acima de AB.1. Com a ponta-seca do compasso em O, 2. Com a ponta-seca do compasso em B e a traça-se um arco determinando M e N. mesma abertura do compasso, traçamos dois2. Com a ponta-seca do compasso em M e arcos que cortam os primeiros em C e em D. depois em N, traçam-se, com a mesma abertura do compasso, os arcos que se cor- tam em D. → → 3. Trace a reta CD, que cruza AB, no ponto M. → →3. Traça-se a semi-reta OD . A semi-reta OD é a bissetriz do ângulo AÔB. → M é o ponto médio de AB → → CD é a mediatriz de AB.Exercitando:Com a ajuda de um transferidor, trace um ân-gulo de 70º. Usando esse procedimento, cal- ATIVIDADE 3cule a bissetriz desse ângulo. ATIVIDADES COM GEOPLANO ATIVIDADE 2MEDIATRIZ DE UM SEGMENTOChama-se mediatriz de um segmento a retatraçada perpendicularmente pelo ponto médiodesse segmento. 125
  • UEA – Licenciatura em Matemática Objetivo: • Obter figuras geométricas planas usando o ATIVIDADE 5 geoplano. Material Necessário: um tabuleiro de madeira; ATIVIDADES COM AS FORMAS GEOMÉTRICAS pregos; martelo; ligas ou elásticos coloridos. Confecção: 1. Usando um tabuleiro de madeira (20cm x 20cm), colocar os pregos conforme o modelo. Atividade 1. Usando o geoplano, confeccionar figuras planas. • Material necessário: papel-cartão ou emborrachado ou papel dupla face (em 5 cores diferentes ) lápis, régua, tesoura e compasso. Objetivo: confeccionar os polígonos de difer- entes formas e cores. • Criar malhas e mosaicos; contagem; classi- ficação: semelhanças e diferenças; con- gruência, semelhança e equivalência. Procedimentos: Atividades que se pode desenvolver com as ATIVIDADE 4 formas geométricas: 1. Classificação os polígonos considerando 1. Formar triângulos. as: Semelhanças e diferenças. 2. Formar quadriláteros; 2. Criar Malhas ou mosaicos usando os polí- gonos. Observação – A partir dos triângulos forma- dos, classificar cada um deles em: Isósceles, 3. Cálculo do perímetro e da área. escaleno; identificar os eqüiláteros e os retân- gulos. Exercitando: ATIVIDADE 61. Usando o geoplano, forme um quadrilátero e classifique-o. ATIVIDADES COM GEOPLANO2. Forme um retângulo qualquer no geoplano e determine o perímetro e a área desse retângulo. • Contagem. • Operações fundamentais e propriedades. • Linhas, regiões, fronteiras, linhas retas. 126
  • Geometria I – Atividades de laboratório• Figuras geométricas bidimensionais.• Cálculo do perímetro e da área.• Coletas e organizações de dados.• Gráficos e tabelas. ATIVIDADE 7ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR• Número, seqüências e contagens,• Polígonos e polígonos regulares,• Ângulos e arcos,• Circunferência e círculos, A construção do rotor de Sylvester feita assim:• Cálculo de perímetro e áreas. Observe a figura.Materiais necessários• Madeira ou acrílico.• Pregos e pinos.• Martelo. ATIVIDADE 8 • Construiu-se duas hastes SA e AF de tamanhos quaisquer. • Duas outras hastes AB = SA e FC = SA.CONSTRUINDO FIGURAS CONGRUENTES • Duas outras LC = AF e BC = AF.Rotação • Ângulos SAB = BCL.Pode ser entendida pela transformação, por Novamente, o ponto L faz o papel do lápis dagiro em torno de J, de um ponto S no plano em figura a ser rotada a partir de movimento doum ponto L’ de tal forma que os segmentos JS ponto S.e JL’ sejam congruentes. Para mostrarmos que esse instrumento fun-Uma rotação fica determinada por um sentido ciona como rotor de figuras basta que(horário ou anti-horário) e por um ângulo de giro. mostremos que os ângulos SAB e SFL sãoVeja esta seqüência de rotações: iguais e que os segmentos FS e FL sejam também iguais. 127
  • UEA – Licenciatura em Matemática ponta-seca e é reduzida se escolhermos L como ponta-seca. ATIVIDADE 9 Para que esse instrumento realmente funcione como um ‘ampliador’ de figuras, é preciso que CONSTRUINDO FIGURAS SEMELHANTES AL / AB seja igual a FL / FS, isto é, S deve per- tencer à reta FL. PANTÓGRAFO Definimos uma transformação geométrica como sendo uma correspondência, um a um, ATIVIDADE 10 entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes. POLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS Nosso propósito aqui é estudar uma transfor- Existem teoremas simples e interessantes em mação especial, que quando aplicada a figuras Matemática, através dos quais podemos do plano, pode alterar suas medidas, amplian- desenvolver boa parte de conteúdos que do ou reduzindo a figura original, ou seja, é fazem parte dos programas de nossas escolas. uma transformação que relaciona figuras se- Se temos um objetivo bem definido a ser melhantes. atingido, no caso a demonstração de um resul- O instrumento que apresentamos anterior- tado interessante, certamente o desenvolvi- mente, o pantógrafo (pantos = tudo + graphein mento de conceitos e propriedades torna-se = escrever) corresponde a esta transformação: muito mais significativo, e com isto os alunos amplia ou reduz a figura original. aprendem com entusiasmo. Vamos entender agora por que o pantógrafo Um exemplo disto é o seguinte teorema: de fato realiza tal transformação. “Se dois polígonos tem a mesma área então Para isso, precisamos deixar claro os princí- sempre é possível decompor um deles em pios de construção do instrumento: polígonos menores de modo a compor o outro.” Observe a figura. Em outras palavras, podemos decompor os dois polígonos em polígonos menores, dois à dois congruentes. Isto significa que os dois polígonos podem ser decompostos igual- mente, e por isto são ditos “polígonos equide- componíveis”. Em algumas situações, dependendo da forma e do dimensionamento dos polígonos, podemos descobrir facilmente uma equide- composição.Por exemplo, nos pares de polí- • Constroem-se duas hastes AL e CS, obser- gonos abaixo vando que o fator de ampliação é dado por AL / AB. Quadrado e retân- • Uma terceira haste FA = AL. gulo tais que um dos lados do retân- • Outra haste BS = AL - CS. gulo é o dobro do lado do quadrado. • Marca-se em FA um ponto C, e em AL um ponto B, tais que: AC = BS e AB = CS. Paralelogramo e re- tângulo com mes- Observe que os pontos L e S percorrem a figu- mas bases e alturas ra a ser reproduzida, assumindo os papéis de lápis ou ponta-seca de um compasso. A figura Em outras situações, uma tal equidecom- é ampliada se escolhermos o ponto S como posição não é obvia. Por exemplo, nas situ- 128
  • Geometria I – Atividades de laboratórioações abaixo: Quadrado e retân- gulo com mesma áreaTRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EMRETÂNGULO Assim podemos concluir que as peças queNo triângulo temos a reta HE passando pelos compõe o triângulo ABC se encaixam perfeita-pontos médios dos lados AB e AC, e o segmen- mente no retângulo construído.to AG perpendicular a esta reta. Conformeindicam as cores, usando o trapézio BCEH e os TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EMtriângulos AHG e EAG construímos retângulo UM QUADRADOcom a mesma área do triângulo. Intuitivamentepodemos nos convencer que as peças que com- As transformações feitas até agora resolvempõem o triângulo se encaixam perfeitamente na facilmente o problema de transformar um polí-composição do retângulo. Se nossa abordagem gono em quadrado de mesma área. Inicialmenteé dentro do espírito da geometria dedutiva deve- decompomos o polígono em triângulos e trans-mos mostrar que as regiões triangulares que formamos cada um destes em retângulo:completam o retângulo obtido a partir dotrapézio são de fato congruentes aos triângulosmenores que fazem parte do triângulo dado.DEMONSTRAÇÃO A seguir transformamos cada um dos retângu- los em quadrado:Sobre o triângulo dado ABC, construímos umretângulo com base igual à um dos lados dotriângulo e o lado paralelo à base passandopelos pontos médios de AB e AC. Traçamos osegmento AG perpendicular à HE. Devemosmostrar que os dois triângulos no triângulodado são congruentes aos triângulos pontilha-dos do retângulo. De fato isto acontece: 1.Os Finalmente transformamos cada dois quadra-triângulos AGH e BDH congruentes pois: dos num quadrado, até chegar a um único os lados AH e BH são congruentes já que H quadrado com área igual a soma das áreas é ponto médio de AB. dos quadrados de partida: os ângulos AGH e BDH são retos. os ângulos AHG e BHD são congruentes já que opostos pelo vértice.2.Com raciocínio análogo mostra-se que tam-bém são congruentes os triângulos AGE e O quadrado obtido ao final tem área igual à doCFE. polígono inicial, já que todas as transfor- mações foram feitas preservando-se as áreas. 129
  • UEA – Licenciatura em Matemática de modo que esta base fique sobre ela mesma. → O segmento BC é a altura relativa ao ângulo A ATIVIDADE 11 DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Material necessário: papel oficio, tesoura, → O segmento AH é a altura do triângulo. lápis, régua. Faça o mesmo procedimento em relação aos Objetivo: outros ângulos, e encontre o ortocentro. • Obter a Mediana, Bissetriz e Altura refer- ente a um dos lados de um triângulo. • Obter o baricentro, o incentro, e o ortocen- tro referente a um triângulo. Procedimentos: Pergunta-se: O que aconteceria se o triângulo • Usando um triângulo obtenha a bissetriz, altura e a mediana relativas ao ângulo A, fosse isosceles? através da técnica da dobradura. Ponto Médio Para encontrar o ponto médio de um triângulo relativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângu- lo, fazendo os pontos extremos da base B e C coincidirem.1) Bissetriz A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin- → → cidir dois lados adjacentes AB e AC do triângu- lo de modo que um lado fique sobre o outro, isto 3) Mediana é, de forma que o ângulo seja dividido ao meio. A mediana de um triângulo é obtida, unindo-se o ponto médio ao ângulo oposto. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos,e encontre o incentro. → O segmento AM é a Mediana do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o baricentro.2) Altura A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti- → da, quando dobra-se a base BC do triângulo 130
  • Geometria I – Atividades de laboratório ATIVIDADE 12 Construções de triângulos envolvendo lados, ângulos e cevianas Exercício 01 Dados dois lados e a altura relativa a um deles. Exercício 02 Construir o triângulo ABC, sabendo que: Dados dois lados e a mediana relativa a um deles. med(AB) = 4cm Construir o triângulo ABC, considerando que: med(AC) = 3,5cm med(AB) = 5cm med(CH) = 2cm med(BC) = 3cm CH é altura relativa ao lado AB med(CM) = 2cm 1º Passo: Faz- se um esboço. CM é a mediana relativa ao lado AB 1º Passo: Faz- se um esboço 2º Passo: Traça- se AB sobre uma reta- suporte r. 3º Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cm 2º passo: Traça- se AB 3º Passo: Determina- se M, ponto médio de AB. 4º Passo: Com centro em A e raio com a medi- da de AC, traça- se um arco, determinando- se os pontos C e C’. O problema apresenta duas soluções. 4º Passo: Com centro em M e raio com a medi- da de CM, traça- se um arco.5º Passo: Traçam- se AC e BC(ou AC’ e BC’), determinando- se os triângulos ABC e ABC’. 5º Passo: Com centro em B e raio com a medi- da de BC, traça- se um arco, determinando- se o ponto C. 131
  • UEA – Licenciatura em Matemática 4º Passo: Com centro em A e depois em B, e ⎯ raio com a medida de AD, traçam-se dois 6º Passo: Traçam- se AC e BC, determinando- arcos, determinando-se os pontos D (ou D’) e se o ΔABC C (ou C’). (O problema apresenta duas soluções.) ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 5º Passo: Traçam-se AD e BC,(ou AD’, BC’). ATIVIDADE 13 CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS Exercício 01 Construir um paralelogramo ABCD, sabendo que: ⎯ med ( AB) = 4,0 cm ⎯ med ( AD) = 3,0 cm h = 2,5 cm ⎯ Exercício 02 h é a altura relativa à base AB 1º Passo: Faz-se um esboço. Construir um quadrado ABCD, sabendo que ⎯ sua diagonal AC mede 3,5 cm. 1º Passo Faz-se um esboço. ⎯ 2º Passo: Traça-se AB sobre a reta r. ⎯ 2º Passo: traça-se a diagonal AC. 3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,5 cm. ⎯ 3º Passo: traça-se a mediatriz de AC, determi- 132
  • Geometria I – Atividades de laboratório ⎯ ⎯nando-se M, ponto médio de AC. 2º Passo: Traça-se AB sobre uma reta r. 3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,0cm.4º Passo: Com centro em M e raio com a medi- 4º Passo: Com centro em A e raio com a medi- ⎯ ⎯da de AM, traça-se um arco, determinando-se da de AD, traça-se um arco, determinando-seos pontos B e D. os pontos D e D’. (O problema apresenta duas soluções.) 5º Passo: Com centro em D (ou D’) e raio com ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ medida de DC, traça-se um arco, determinan-5º Passo: Traçam-se AB, BC, CD, DA, determi- do-se o ponto C (ou C’).nando-se o ΔABCD.Exercício 03Construir um trapézio ABCD escaleno, saben- ⎯ ⎯ ⎯ ⎯do que: 6º Passo: Traça-se AD e BC (ou AD’ e BC’) ⎯ determinando-se o trapézio ABCD (ou ABC’D).med ( AB) = 5,0cm → base maior ⎯med ( CD) = 2,0cm → base menor ⎯med ( AD) = 3,0cm → lado transversal ⎯med (DH) = 2,0cm → altura1º Passo: Faz-se um esboço. 133
  • UEA – Licenciatura em Matemática Atividade 1. ATIVIDADE 14 Usando as 7 peças do pode-se montar os números de 0 a 9. Exercício 01 QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: Tangram O Tangram é originário da China. Supõe-se que a parte inicial do nome, Tan, esteja relacionada à dinastia Tang, que governou a China por um longo período e a parte final do nome, gram, Números formados com o Tangram vem do latim e significa ordenar, dispor. Ela tem sete peças em forma de figuras geométri- Exercício 02 cas planas. Compondo essas sete peças, Usando as 7 peças do tangram pode-se mon- pode-se formar muitas figuras diferentes. tar um hexágono. Objetivo: • Obter figuras geométricas usando todas as Exercitando: peças do tangram. 1) Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) do tan- Material Necessário: Papel cartão, tesoura, gram, forme um quadrado. régua, lápis. 2) Usando as sete peças do tangram, forme um Confecção: triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio, 2. desenha-se, em uma folha de papel, um Quadrado. quadrado de 12cm de lado e divide-se de 4 em 4 centímetros; 3. seguindo os modelos, obtém-se um que- bra-cabeça com sete peças; ATIVIDADE 15 4. pintando as sete peças, e em seguida, LABORATÓRIO: TEOREMA DE PITÁGORAS recorta-se. Usando o material concreto, demonstre o Teorema de Pitágoras Um pouco da historia: O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão áreas a2, b2 e c2. Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da Seqüência de modelo para confecção do Tangram seguinte forma: a área do quadrado construí- (BIGODE, 1994, p. 135-136). do sobre a hipotenusa é igual à soma das 134
  • Geometria I – Atividades de laboratórioáreas dos dois quadrados construídos mãos, é possível encaixá-las e montar osobre os catetos. Podemos tornar o entendi- conjunto, representado na figura a baixo.mento do Teorema mais lúdico por meio derecorte que nos ajudem a visualizar suademonstração. A partir de critérios de recorteaplicados aos quadrados menores (construí-dos sobre os catetos), podemos montar oquadrado maior (construído sobre ahipotenusa) através de quebras- cabeça queilustram, e até mesmo demonstram, oTeorema de Pitágoras! A montagem realizada representa um quadrado de lado c, inscrito num quadrado maior, cujo lado tem comprimento a+b. Esta montagem permite a prova do Teorema de Pitágoras. Como o quadrado maior tem lado de compri- mento a + b, então a área A tem por medida:Material necessário: papel-cartão ou cartolina, A = (a + b)2 .tesoura, régua, compasso, lápis e borracha. Em contrapartida, como este quadrado maiorObjetivo: Provar o Teorema de Pitágoras, é composto das cinco peças do quebra-com uso de quebra-cabeças. cabeças (quatro triângulos retângulos e um quadrado), somando as áreas, encontramos: Igualando os dois valores para a área, segue: (a + b)2 =Procedimentos: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 a2 + b2 = c2 , comprovando o Teorema de Pitágoras. OBS.: Ao provar este teorema por meio do uso do material concreto do quebra - cabeças, para estudantes do ensino médio, o momento é ideal para convence -Construção: los da necessidade de provar que é ver-1) Num papel-cartão ou cartolina, recorte qua- dadeiramente um quadrado a figura forma- tro triângulos retângulos congruentes com, da com o encaixe das cinco peças do que- medidas a = 4cm e b = 3 cm, por exemplo. bra-cabeças. A argumentação que permite sustentar esta conclusão é o fato que a2) Em seguida, recorte um quadrado cujo soma dos ângulos agudos de um triângulo lado tem comprimento igual a c = 5cm, retângulo é 90º. Portanto, quando os triân- comprimento da hipotenusa dos triângu- gulos retângulos são encaixados para for- los retângulos. mar uma só figura, os lados de dois triân- Com as cinco peças construídas e em gulos consecutivos ficam alinhados. 135
  • UEA – Licenciatura em Matemática OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR O Critério de Recorte 02 TEOREMA DE PITAGORAS.’ Os critérios de recorte apresentados abaixo Critério de Recorte 01 serão nossas hipóteses na demonstração. Considere o triângulo retângulo ABC. Os critérios de recorte da figura serão nossas Construa, sobre os lados AB e AC, os quadra- hipóteses na demonstração. As diagonais pon- dos ABDE e ACFG. “Dobre” (reflita) o quadra- tilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a do de lado AB em torno deste lado. visualização durante a demonstração. Considere o quadrado médio (de lado AB). Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma reta Encontrar o centro M deste quadrado. Trace perpendicular ao segmento BC passando por retas paralelas aos lados do quadrado maior B e outra passando por C. Chame de H o (de lado BC) passando por M. O quadrado ponto de interseção da segunda reta perpendi- médio está, agora, divido em quatro partes. cular com o segmento FG. Construa o retângu- lo de lados BC e CH e chame-o de BCHI. Trace Demonstração uma reta perpendicular ao segmento BG pas- Observe que para montar o quadrado grande sando por I e chame de J a interseção. basta transladar as peças do quadrado médio e Demonstração completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de translação têm origem no ponto M e Observe que basta transladar os triângulos col- extremidades nos vértices do quadrado maior. A oridos para que as peças se encaixem. Porém, “figura chave” desta demonstração é o paralelo- para a demonstração, precisamos enxergar a gramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 que congruência dos triângulos destacados. Os compõem o quadrado médio são congruentes, triângulos ABC e FHC são congruentes (ALA). pois os lados DF e EG resultam da rotação das Use soma de ângulos para ver esta congruên- diagonais, mantendo, assim, a área das figuras cia. O quadrilátero BCHI é um quadrado, pois constante. Tente observar na figura com o auxílio os lados BC e CH são congruentes (de 1). Os das diagonais pontilhadas. Os segmentos DF e triângulos amarelos são congruentes, pois CB são congruentes, assim como os segmentos ambos são congruente ao triângulo ABC (pro- CD e BF, pois são lados opostos de um paralel- cure fazer demonstração análoga ao item 1). ogramo. Procure observar na figura. Os segmen- IJ=AB (de 3) e AB=BD’ (lados do quadrado). tos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e Os triângulos verdes são congruentes (LAAo). portanto, com comprimento igual à metade da Os ângulos dos triângulos verdes são congru- medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2). entes aos ângulos dos triângulos vermelhos: Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostos ângulo reto, eles encaixam-se no quadrado pelo vértice e o terceiro vem do “teorema maior. O quadrado vermelho restante tem lado 180o”. Os segmentos NC e LH são congru- AC, pois CD-AD=AC e CD=BF. entes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos ver- melhos são congruentes (ALA). Assim, vemos que as peças destacadas nos quadrados menores se encaixam no quadrado maior. 136
  • Geometria I – Atividades de laboratórioCritério de Recorte 03Os critérios de recorte abaixo serão nossashipóteses na demonstração. Considere o triân-gulo retângulo ABC. Construa quadradossobre os lados deste triângulo. Considereagora o quadrado maior (de lado BC). Reflita otriângulo ABC em torno do Lado BC, de modoque o triângulo refletido fique dentro doquadrado maior. Construa mais três triângulosretângulos congruentes ao inicial sobre oslados do quadrado maior, como sugere a figu-ra. Divida dois destes triângulos em outros doistriângulos, de modo que um destes triângulosseja retângulo isósceles. O recorte do quadra-do maior está pronto.DemonstraçãoOs triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos demedida AC por construção. Logo, encaixam-seno quadrado menor (de lado AC). Os triângu-los 1 e 6 possuem um dos catetos com medi-da AB e outro com medida AC e suahipotenusa mede BC, pois são congruentes aotriângulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congru-entes. Seus lados maiores medem BC. Oslados menores medem AB-AC (procure ver nafigura). A figura 7 é um quadrado, pois todosos seus ângulos são retos e seus ladosmedem AB-AC (veja na figura). Considerandoas afirmações 2, 3 e 4, concluímos que as fig-uras 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 encaixam-se no quadra-do de lado AB, como mostra a figura. Assim,está provado que a área do quadrado maiorpode ser decomposta na área dos doisquadrados menores.ExercitandoMuitas demonstrações antigas do teorema dePitágoras eram apresentadas apenas mediantefiguras geométricas, e cabia ao leitor observara figura e tentar demonstrá-lo oralmente.Forme grupos de três pessoas em sala de aulae discuta de que forma estas duas figuras ilus-tram o teorema de Pitágoras.Apresente o resultado aos demais colegas. 137
  • Respostas de Exercícios
  • Geometria I – Respostas de exercíciosUNIDADE I – Noções primitivas c) concorrentes d) paralelas 3. a) b) 45° c) 30° 4. a) 90° – x TEMA 01 b) 180° – x c) 2 (90° – x) NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS d)1. FVVFV e) 3(180° – x)2. B 5. 70°3. VVVVVVF 6. 54°4. Demonstração 7. 160° 8. x = 15° 9. x = 15° 10. a) x = 40° TEMA 02 b) x = 20° SEGMENTOS DE RETA c) x = 25° 11. Demonstração1. Resposta, a critério do aluno. 12 a) x = 22°2. 8 b) X = 150° Y = 30° Z = 150° ⎯ ⎯ ⎯3. Três AB, BC, AC c) X = 90° Y = 30° Z = 30°4. a) 16cm b) MN = 8cm d) a = 60° e) x = ‘82 y = 405. a) x = 7cm TEMA 05 b) PARALELISMO x = 11cm6. X = 5 e AB = 22 ⎯ ⎯ 1. a) b e c colaterais internos7. a) MB = 3cm b) BN = 2cm ⎯ ⎯ b) m e p correspondentes c) NC = 2cm d) MN = 5cm ⎯ 2. a) a e p alternos internos e) AN = 8cm b) a e q correspondentes 3. a) X = 25° b) X = 40° TEMA 04 4. a) Alternos internos X = 15° ÂNGULOS b) Alternos externos X = 50°1. Use o transferidor c) colaterais internos a) y = 60º b) w = 135º c) z = 90º X = 50°2. a) concorrentes b) paralelas 5. a) X = 70° 141
  • UEA – Licenciatura em Matemática b) Y = 100° b) 3; RS, RT ST c) Z = 30° c) 3; R, S T .6. a) X = 12° 2. a) Sim, pois 7 < 5 + 3. b) Y = 144° b) Não, pois 7 não é menor que 2 + 3. c) Z = 36° c) Sim, pois 3 < 3 - 2.7. a) X = 80° e Y = 85° d) Não, pois 10 não é menor que 5 .•. 5. b) X = 110° e Y = 60° 3. X = 12cm8. X = 50° ; Y = 130° ; Z = 50° 4. x = 4, y = 3 e o lado mede 79. 130° 5. P= 39 cm10. x = 5° 6. 18cm ou 24cm 7. 3cm, 4cm e 5cm 8. A = 90° B = 60° C = 30°’ retângulo D = 45°, E = 75°; acutângulo TEMA 06 9. 60° PERPENDICULARISMO 10. x = 30° e y = 40°1. a) F b) V c) V d) F2. a) V b) F TEMA 09 c) F d) V CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS e) V3. a) F b) V 1. a) ALA b) LAL c) LAA c) V d) V 2. a) Caso de congruência: LLL e) F f) F X = 40cm ; Y = 60cm ; Z = 80cm g) V b) Caso de congruência: A.L.A4. a) F b) F X = 40cm ; Y = 95º c) V d) V 3. Caso de congruência A.L.A e) F f) V x = 5: y = 10 g) F 4. a) ALA b) TR5. a) V b) F 5. 5cm c) F d) F 6. x = 66º e y = 11º e) F 7. x = 10cm e y = 12cm 8. x = 7cm e y = 12cmUNIDADE II – Polígonos TEMA 10 TEMA 08 PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO TRIÂNGULOS 1. Construção1. a) 3; R, S T . 2. Construção 142
  • Geometria I – Respostas de exercícios3. a) Circuncentro; corresponde ao centro da cir- 2. x = 55 cm cunferência circunscrita ao triângulo. 3. c b) Incentro; corresponde ao centro da circun- 5. 4 ferência inscrita no triângulo. 6. x = 3 e y = 44. A altura, mediana e bissetriz. ⎯ 7. x = 10, y = 13 e z = 195. AR bissetriz; ⎯ 8. 7 AS mediana ⎯ 9. c AT altura 10. b6. P = 8,8cm. 11. c 12. Demonstração 13. Demonstração 14. Demonstração TEMA 11 QUADRILÁTEROS TEMA 141. a) 2330 b) 850 POLÍGONOS2. a) ^ ≡ ^ = 600 e ^ ≡ ^ = 1200 A D B C b) ^ = 700, ^ = 1000 e ^ = 800 A C D 1. a) triacontakaitrigono c) 250 b) eneadecágono d) 1100 c) tetracontakaihexagono3. 680 d) hexacontakaioctagono4. 470 e) enneacontakaiheptagono5. 1400 e 400 2. 8 lados, octógono.6. 34cm 3. ai = 156º e ei = 24º7. 30cm e 12cm 4. 708. 1300 5. c9. 1430 6. a) 50o10. e b) 52o30’11. d 7. 150o12. 1300 8. 9013. 148014. e 9. 330o 10. 14 e 54 11. 360o 12. 10o TEMA 12 13. Dodecagono 14. e QUADRILÁTEROS 15. b1. 143
  • UEA – Licenciatura em MatemáticaUNIDADE III – Elementos na circunferência 10. 30o 11. A 12. D 13. B TEMA 16 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Exercícios Propostos TEMA 201. a) 11 POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS b) 52. C 1. 183. A 2. a) 64. 8cm e 3cm b) 125. 12cm ou 18cm ou 24cm ou 30cm. c) 46. D 3. D7. B 4. a) r = 3 cm9. a) Tangente externamente b) l = 6 cm b) Secantes c) r = 3 cm c) Externas d) R = 6 cm d) Tangentes internamente 5. C10. 76cm 6. E 7. D 8. a) cm TEMA 18 b) cm ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA c) cm 9.1. a) 65o b) 30o 11. D c) 80o d) 12o2. 80o UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo3. C4. B5. 60o TEMA 21 o6. 35 TEOREMA DE TALES7. 70o, 50o e 60o8. 30o 1. a) x = 28 e y = 369. b) x = 12 e y = 4 144
  • Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos c) x = 18 e y = 36 2. m = 4 e n = 122. x = 10 km 3. AB = 15 u, AC = u e CB = u y = 30 km 4. D z = 22,5 km 5. C ⎯ ⎯ ⎯3. AB’= 2,6 cm, B’C’ = 3,9 cm e C’D’= 6,5 cm. 6.4. B a)5. 10cm b) 76. 30 7) 12 m7. 9 8) 17m8. 5 e 4 9) 3m9. 9m 10) 21cm10. 42m11. 40cm 11)12. 15 TEMA 26 TEMA 22 TEOREMA DE PITÁGORAS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. B 2. A1. 4 cm, 9 cm e 8 cm. 3. C 4. D2. a) 6 5. E 6. A b) 7. B 8. D ⎯ ⎯ 9. A 10. A3. BD = 6cm e DF = 8 cm 11. B 12. C4. B 13. D 14. E5. C 15. D6. B7. 10cm8. TEMA 289. 2cm10. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO QUALQUER 1. 17/4 TEMA 24 2. 1 e 2 3. 12m RELAÇÕES MÉTRICAS NO 4. 6m TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. 19/8cm 6.1. a = 9, m = 5 , h = eb= . 145
  • UEA – Licenciatura em Matemática7. Obtusângulo 6. 48 cm28. 1 7. 150cm29. 57/1810. 19/16 8.11. Obtusângulo12. 26/3 9. 2( + 1)cm213. 8 10. 3 r214. 6 11. 3 cm15. 43/4cm 12. cm 13.UNIDADE V – Áreas de superfícies 14. 12( + 1)cm 15. 10m2 TEMA 30RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA1. 20cm TEMA 342. 3cm3. 4cm ÁREA DE FIGURAS PLANAS -4. 4 QUADRILÁTEROS5. C6. 1. 4cm7. Demonstração 2. 4cm; 6cm8. cm 3. 12cm; 6cm9. ( – 1)R10. 2cm ou 3cm 4. 24cm211. 10cm 5. 10cm; 6cm12. Â é comum aos triângulos e A^ ≡ A^ DB BP 6. 112cm2 7. 135cm2 8. 8cm TEMA 32 9. cm2 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - TRIÂNGULOS 10.1. 96m2 11. 84 m22. 24m 2 12. 33 m23. 320cm2 13. 96 m24. 48 cm2 14. 95 m25. 15. 600 m2 146
  • Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos TEMA 35 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - POLÍGONOS1. 3 cm22. 1/2 da área do quadrado original3. L24. 2A5. 36. 6 – 2π7.8.9. 3/4 da área do quadrado original10. 12 cm211. 812. 6 –6 TEMA 37 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - CÍRCULO E SUAS PARTES1. 16πcm22. 81πcm23. 24. 3/45. 3(2π – 3 )cm26.7. 2(3 – π)8.9. 310. 25 cm211.12. 2d213.14. πr15. 144πcm2 147
  • REFERÊNCIASÁvila, G. Cálculo 1; funções de uma variável. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científico, 1982Boyer, Carl B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher/Edusp,1974Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, 1993Dante,L.R.Didática da resolução de problemas da Matemática, 12. ed. São Paulo, Ática,1997Davis,P & Hersh, R. A experiencia da Matemática. Rio de Janeiro,Francisco Alves,1989 .JLima, E. L. Logaritmo. Rio de Janeiro , Ao livro Técnico,1975Iezzi,Gelson. Dolce,Osvaldo. Degenszajn,David. Perigo,Roberto. Almeida,Nilze. Matemática Ciências eAplicações;2. ed. São Paulo, Atual Editora, São Paulo.MORGADO, A. C., WAGNER, E., JORGE, M. Geometria I. 3a Ed. Rio de Janeiro, RJ: Francisco Alves, 1986.DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9: Geometria plana. 7aEd. São Paulo, SP: Atual, 1993.DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo, ática, 1989.GIONANNI, José Ruy., CASTRUCI, Benedito., GIOVANNI JR, José R. A conquista da matemática. SãoPaulo, FTD, 1998GONÇALVES JUNIOR, Oscar. Coleção Matemática por assunto. São Paulo: Scipione, Vol. 6. 1988.IEZZI, Gelson e outros. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, Vol. 1. 1985.MOISES, E; e DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971.www.portalmatematico.com/historia2.shtmlwww.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=Bwww.pt.wikipedia.org/w$iki/Pol%C3%ADgonowww.obm.org.br 149