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Exercicios resolvidos -_aulas_03_e_04
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  • 1. UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UABUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE – UFSCENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR À DISTÂNCIA – CESADDISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICAPROFESSORA: MARTA ÉLIDTUTORES: JOSÉ ROBSON SILVA SANTANA JOSEFA RAFAELA DE ANDRADE LUCIENE CUNHA MARIANO NUNES DOS SANTOS PAULA CARVALHO PAULA REGINA DOS SANTOS MATOS SIMONE CARLA S. SOUZA SILVA THAMIRES DOS SANTOSCONTEÚDOS: PRODUTO VETORIAL EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – AULAS 03 e 0401. Seja . Determine as coordenadas de um vetor , de módulo 2, e que fazcom um ângulo de 30°.Solução:Sejam os dados do problema , e . Da definição de módulo,temos que . Sabendo que e substituindo na fórmula, temos que . ( Equação 1)Como o ângulo entre os vetores é 30° e , substituindo temos: ⇒ ⇒ . ( Equação 2) 4 = x 2 + y 2Fazendo um sistema de equações:   . 3 x + y = 30 Da equação 2, temos que . Substituindo “3” em “1”, temos: (Equação 1) (Dividindo por 2 para simplificar a equação)
  • 2. Resolvendo a equação temos que: Substituindo esses valores na equação 3 temos que: Portanto, encontramos os vetores:02. Seja um vetor perpendicular a e . Sabendo-se que e formam umângulo de 30° e que , calcule .Solução:Sabendo que , e daí . (Equação 1)Como pelo enunciado os vetores são perpendiculares, então o ângulo entre e é0° ou 180°.Podemos assim substituir os valores na equação 1 e chegar ao pretendido. Substituindo o valor de ,e e , daí temos: (Equação 2) Pelo livro texto (V9), (página 71) temos que: Substituindo os valores temos que: Substituindo o valor acima na equação 2 encontramos o solicitado:
  • 3. 03. Dados os vetores e não colineares. Mostre que .Solução: (Análogo ao caso anterior. É só desenvolver e chegar aoresultado)Assim:OBS: Verifique as definições de produto escalar (produto interno) de vetores e usar osconceitos de produtos notáveis.04. Dados os pontos e . Calcule a área do triângulo ABC.Solução: Dados dois vetores e , seu produto vetorial é numericamente igual àárea do paralelogramo definido por eles.Dessa forma a área do triangulo definido pelos dois vetores será numericamente igualà metade do seu produto vetorial
  • 4. Calculando o determinante encontramos a área do referido triângulo05. Dados os vetores u = (2, – 3, – 1) e v = (1, – 1, 4). Determine: a) <2 u , – v > = <2(2, –3, –1), –1(1, –1, 4)> = <(4, –6, –2), (–1, 1, –4)> = = 4.(–1) + (–6)(1) + (–2)(-4) = – 4 – 6 + 8 = – 2. b) < u + 3 v , v – 2 u > = <(2, –3, –1) + 3.(1, –1, 4), (1, –1, 4) – 2(2, –3, –1)> = = <(5, –6, 11), (–3, 5, 6)> = 5.(–3) + (–6).5 + 11.6 = –15 –30 + 66 = 21. c) < u + v , u – v > = <(2 + 1, –3 – 1, –1 + 4) , (2 – 1, – 3 + 1, – 1– 4)> = = <(3, – 4, 3), (1, –2, – 5)> = 3.1 + (–4)(–2) + 3.(–5) = 3 + 8 – 15 = – 4. d) < u + v , v – u > = <(2 + 1, –3 – 1, – 1 + 4), (1 – 2, – 1 + 3, 4 + 1)> = = <(3, – 4, 3), (–1, 2, 5)> = 3.(– 1) + (– 4).2 + 3.5 = – 3 – 8 + 15 = 4.06. Verificar para os vetores u = (4, – 1, 2) e v = (– 3, 2, – 2) as seguintesdesigualdades: a) u, v ≤ | u | | v | u, v = |<(4, – 1, 2), (–3, 2, – 2)>| = |<(4.(–3) + (–1)(2) + 2.(–2))>| = = |–12 – 2 – 4| = |– 18| = 18 (Como 18 = 324 , podemos escrever 18 = 324 ) |u | = (u, u ) = (4,−1,2 , (4,−1,2) = 4.4 + (−1).(−1) + 2.2 = 16 + 1 + 4 = 21 . |v| = (v , v ) = (−3,2,−2 , (−3,2,−2) = (−3).(−3) + 2.2 + (−2).(−2) = 9 + 4 + 4 = 17 . Como 324 < 17 . 21 , então a desigualdade está verificada. b) | u + v | ≤ | u | + | v | | u + v | = |(4, –1, 2) + (–3, 2, –2)| = |(4 – 3, –1 + 2, 2 – 2)| = |(1, 1, 0)| = 12 + 12 + 0 2 = 1+1+ 0 = 2 | u | = 21 . | v | = 17 . Como 2 < 21 + 17 , então a desigualdade está verificada.
  • 5. 07. Dados os vetores u = (4, α ,−1) e v = (α ,2,3) , e os pontos A(4, –1, 2) e B(3, 2, –1),determinar o valor de α tal que u.(v + BA) = 5 .Solução:BA = A – B = (4 – 3, – 1 – 2, 2 – (–1)) = (1, –3, 3)(4, α, – 1) . ( (α, 2, 3) + (1, – 3, 3) ) = 5(4, α, – 1) . (α + 1, – 1, 6) = 54.(α + 1) + α.(– 1) – 1.6 = 53α = 5 – 4 + 63α = 7 7α= 308. Sabendo que a distância entre os pontos A(– 1, 2, 3) e B(1, – 1, m) é 7, calcular m.Solução:AB = B – A = (1 – (–1), – 1 – 2, m – 3) = (2, – 3, m – 3), mas d = | AB | = 7. Logo,(2, – 3, m – 3)| = 7 (2) 2 + (−3) 2 + (m − 3) 2 = 7 . Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando aequação vem que:4 + 9 + m2 – 6m + 9 = 49m2 – 6m – 27 = 0. Resolvendo a equação do 2º grau, temos m = 9 e m = – 3. 2 2 209. Provar que u + v = u + 2u.v + v .Solução:
  • 6. 2u + v = (u + v).(u + v) = u.(u + v) + v.(u + v) . 2u + v = u.u + u.v + v.u + v.v . 2 2 2u + v = u + 2u.v + v . 2 2 2De forma análoga, demonstra-se que: u − v = u − 2u.v + v .10. Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (−1,2,2) .Solução: u.v (1,1,4).(−1,2,2) −1+ 2 + 8cosθ = = = u. v 1 + 1 + 4 x (−1) + 2 + 2 2 2 2 2 2 2 18 x 9 9 1 1 2 2  2cosθ = = = = . Logo, θ = arccos  = 45° .  2  3 2 x3 2 2. 2 2  11. Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, – 1) e C(2, 2, – 2) é umtriângulo retângulo.Solução:A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que oproduto escalar de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo.Consideraremos os vetores:AB = (0,−2,−2)AC = (0,−1,−3)BC = (0,1,−1) (Poderíamos também considerar os vetores opostos deles.)Calculemos:AB. AC = (0,−2,−2).(0,−1,−3) − 0 + 2 + 6 = 8 ≠ 0
  • 7. AB.BC = (0,−2,−2).(0,1,−1) = 0 − 2 + 2 = 0Tendo em vista que AB.BC = 0 , o ângulo formado pelos vetores AB e BC , de vértice B,é reto. Logo, ∆ABC é retângulo.12. Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 = (1,−1,0) e v 2 = (1,0,1) .Solução:Seja u = ( x, y, z ) o vetor procurado. Para que u seja ortogonal aos vetores v1 e v 2 ,devemos ter:u.v1 = ( x, y, z ).(1,−1,0) = x − y = 0u.v 2 = ( x, y, z ).(1,0,1) = x + z = 0 x − y = 0O sistema:  é indeterminado e sua solução é y = x e z = – x. x + y = 0Isto significa que os vetores ortogonais a v1 e v 2 são da forma (x, x, – x).Um deles é o vetor u 1 = (1,1,−1) .13. Considerando os vetores u = (– 4, – 2, 4), v = (2, 7, –1) e w = (6, – 3, 0),determine:Solução: a) u . ( v + w ) = (– 4, – 2, 4) . (8, 4, – 1) = – 32 – 8 – 4 = – 44. b) o cosseno da medida do ângulo entre u e v u.v cos θ = u v Calcula-se: u . v = – 8 –14 – 4 = – 26
  • 8. u = ( −4) 2 + ( −2)2 + 4 2 = 36 = 6 v = 2 2 + 7 2 + ( −1) 2 = 54 = 3 6 − 26 − 13 6 Substituindo, temos: cos θ = ⇒ cos θ = . 6.3 6 5414. Demonstre que para quaisquer que sejam os vetores u , v e w temos que:u x (v x w) ≠ (u x v) x w.Solução: Sejam os vetores u = (a,b,c), v = (d,e,f) e w =(g, h, s), então: i j k(v x w) = d e f = esi + fgj + dhk – egk – hfi – sdj = (es - hf)i +(fg -sd)j + (dh - eg)k g h s i j ku x (v x w) = a b c = (bdh-egb)i + (esc-hfc)j + (fga- sda)k + (hfb - es - hf fg - sd dh - egesb)k + (sdc-fgc)i + (ega-dha)jDaí: u x ( v x w ) = (bdh-egb + sdc -fgc)i + (esc-hfc + ega-dha)j + (fga- sda +hfb - esb)kAgora: i j ku xv = a b c = bfi + cdj + aek – bdk – eci – afj = (bf - ec)i +(cd -af)j + (ae - bd)k d e f i j k( u x v ) x w = bf - ec cd - af ae - bd = (cds - afs)i + (aeg-bdg)j + (bfh- ech)k + (afg - g h scdg)k + (bdh-aeh)i + (ecs-bfs)jDaí:( u x v ) x w = (cds- afs + bdh -aeh)i + (aeg-bdg + esc - bfs)j + (fga- cdg +hfb - ech)k. Logo: u x ( v x w ) ≠ ( u x v ) x w .

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