Exemplos de diferente dificuldade do método de indução
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Exemplos de diferente dificuldade do método de indução Exemplos de diferente dificuldade do método de indução Document Transcript

  • Exemplos de diferente dificuldade do método de indução matemática<br />Maio 4, 2009 in Exercícios Matemáticos, Indução matemática, Matemática, Matemáticas Gerais | Tags: Exercícios, Matemática <br />Neste blogue  já descrevi e utilizei o método de indução  matemática em certas demonstrações. Nesta entrada apresento dois novos exemplos, ilustrativos de que nem todas as provas por indução têm o mesmo grau de dificuldade. Enquanto a do 1º.  é  extremamente simples e natural, a do 2º.  obtive-a após tentativas, recorrendo a uma identidade algébrica auxiliar — a ser usada no passo de indução — cuja demonstração  me pareceu mais simples do que a identidade inicialmente apresentada, que pode ser deduzida a partir da regra de Ruffini de divisão de um polinómio em , de grau , por .<br />Exemplo 1: prove por indução  matemática<br />Para a igualdade verifica-se:<br />Admite-se que se verifica para <br />e prova-se que nesse caso também se verifica para , ou seja, devemos chegar a<br />Vejamos: se<br />então, somando a ambos os membros da igualdade e simplificando o segundo membro, deduzimos sucessivamente<br />Ora, como<br />provámos deste modo que a igualdade se verifica para qualquer inteiro .<br />Exemplo 2: se for um inteiro positivo, prove<br />Para , temos .<br />Antes de aplicar a hipótese de indução, a ideia fundamental consiste em mostrar a validade da identidade auxiliar<br />em que<br />.<br />De facto<br />e<br />Mas<br />e<br />Subtraindo membro a membro, vem<br />pelo que fica provada a identidade da qual se tira<br />Assim, admitindo que<br />resulta que<br />como se queria mostrar.<br />Veja aqui um exercício sobre este método.<br />here is a very instructive lesson on induction that one may learn from the first example you gave. Instead of asking a student to prove the statement in Example 1, if she is asked to prove the statement using induction then she quickly runs into trouble. (You may try it yourself!) This is because the statement is not strong enough to prove the statement when we do the inductive step. Here, stands for . Therefore, one must look to prove a stronger statement instead of a weaker one. And, a stronger statement would precisely be the one you gave in Example 1!<br />Responder <br />Maio 5, 2009 às 10:18 pm<br />Américo Tavares<br />You are right. In my words, assuming<br />I can only show that<br />But, since<br />indeed I am in trouble to prove the inequality<br />However <br />proves right away that<br />.<br />In this regard example 1 is important! Thanks for your lesson!<br />In this post I was concentrated on the difficulty of the inductive step rather than the result itself. As I wrote in the 1st paragraph, proving by induction example 2 was not easy for me, although I knew the result long time ago, as an application of the Ruffini’s rule.<br />Maio 26, 2009 às 8:31 am<br />yodato<br />Valeu pelo tutorial. Adorei bastante.Se for possivel,gostaria que postasses tambem um tutorial em como demonstrar o Teorema Polinomial em Combinatorica…Eh um pouco complicado pra mim,fazer demonstraçao do Teorema polinomial.<br />Abraçoes e mais uma vez,agradeço por este tutorial.<br />Yodato Maiato<br />Responder <br />Maio 29, 2009 às 3:15 pm<br />Américo Tavares<br />Caro yodato<br />Obrigado.<br />O teorema trinomial traduz-se no desenvolvimento<br />em que os índices do somatório verificam e ainda e o coeficiente trinomial é dado por <br />.<br />Pode ver o caso multinomial na Wikipédia ou na Wikipedia<br />Outro abraço para si.<br />