Estruturas algebricas i

24,713
-1

Published on

Estruturas algebricas i

  1. 1. EstruturasAlgébricas INatanael Oliveira Dantas São Cristóvão/SE 2009
  2. 2. Estruturas Algébricas I Elaboração de Conteúdo Natanael Oliveira Dantas Projeto Gráfico e Capa Hermeson Alves de MenezesCopyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e grava-da por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem aprévia autorização por escrito da UFS. FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Dantas, Natanael Oliveira Estruturas Algébricas I/ Natanael Oliveira Dantas -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
  3. 3. Presidente da República Chefe de Gabinete Luiz Inácio Lula da Silva Ednalva FreireCaetano Ministro da Educação Coordenador Geral da UAB/UFS Fernando Haddad Diretor do CESAD Itamar Freitas Secretário de Educação a Distância Carlos Eduardo Bielschowsky Vice-coordenador da UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Reitor Fábio Alves dos Santos Josué Modesto dos Passos Subrinho Coordenador do Curso de Licenciatura Vice-Reitor em Matemática Angelo Roberto Antoniolli Hassan SherafatDiretoria Pedagógica Núcleo de Tecnologia daClotildes Farias (Diretora) InformaçãoHérica dos Santos Matos Fábio Alves (Coordenador) Arthur Lázaro da Silva MachadoDiretoria Administrativa e Financeira João Eduardo Batista de Deus AnselmoEdélzio Alves Costa Júnior (Diretor) Lucas Barros Oliveira Marcel da Conceição SouzaNúcleo de Serviços Gráficos e Michele Magalhas de MenezesAudiovisuaisGiselda Barros Núcleo de Formação Continuada Andrezza Maynard (Coordenadora)Núcleo de Tutoria Elisabete SantosRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)Carla Darlem Silva dos Reis Assessoria de ComunicaçãoAmanda Maíra Steinbach Guilherme Borba GouyLuís Carlos Silva LimaRafael de Jesus Santana NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICOHermeson Menezes (Coordenador) Jéssica Gonçalves de AndradeJean Fábio B. Cerqueira (Coordenador) Lara Angélica Vieira de AguiarBaruch Blumberg Carvalho de Matos Lucílio do Nascimento FreitasChristianne de Menezes Gally Luzileide Silva SantosEdvar Freire Caetano Neverton Correia da SilvaFabíola Oliveira Criscuolo Melo Nycolas Menezes MeloGerri Sherlock Araújo Péricles Morais de Andrade JúniorIsabela Pinheiro Ewerton Taís Cristina Samora de Figueiredo Tatiane Heinemann Böhmer UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos” Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa Elze CEP 49100-000 - São Cristóvão - SE Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474
  4. 4. SumárioAULA 1A estrutura de domínio ordenado dos números inteiros ..................... 01AULA 2Algorítmo da divisão e Máximo Divisor Comum ................................. 07AULA 3Fatoração única e congruências ....................................................... 14AULA 4O conceito de grupo .......................................................................... 21AULA 5Grupos quocientes ............................................................................ 28AULA 6Homomorfimos de grupos ................................................................. 35AULA 7Mais sobre o grupo simétrico ............................................................ 42AULA 8P-Grupos e o Teorema de Cauchy .....................................................49AULA 9Os teoremas de Sylow ...................................................................... 55AULA 10O conceito de anel..........................................................................61
  5. 5. Aula 01A ESTRUTURA DE DOMÍNIO ORDENADO DOS NÚ-MEROS INTEIROSMETADiscutir as principais propriedades da estrutura de domínio bem ordenado dos nú-meros inteiros.OBJETIVOSAo final desta aula, o aluno deverá:Aplicar as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros na demonstração deoutras proposições decorrente destas.Aplicar o princípio de indução na resolução de problemas referentes a númerosnaturais.PRÉ-REQUISITOSO pré-requisito para esta aula é o curso de Fundamentos de Matemática. Portan-to, disponibilize as aulas impressas desta disciplina e as consulte sempre quevocê necessite. 1
  6. 6. INTRODUÇÃO Seja bem-vindo, prezado aluno! Esta aula é o início da nossa jornada rumo ao universodas estruturas algébricas.Tradicionalmente, a matemática divide-se em três grandes áreas: a Ál-gebra, a Análise e a Geometria/Topologia. Entretanto, tal tricotomia está cada vez mais sedescaracterizando tanto pelo aparecimento de outros segmentos que não se encaixam unica-mente em uma destas quanto pela necessidade de novas técnicas. Outro fator é a interface en-tre áreas dando origem a novas teorias. Por exemplo, topologia algébrica é a interface entre ál-gebra e topologia. É importante que você, futuro professor, tenha uma boa preparação emcada uma destas áreas e, este é o primeiro dos dois cursos de Álgebra dos currículos dos cur-sos de Matemática da UFS. A palavra Álgebra vem de um manuscrito árabe de cerca de 800 a.C., que estabelece leispara a resolução de equações e, até a segunda metade do século XIX, a Álgebra era vista ape-nas como uma teoria de equações. Atualmente, a álgebra é mais do que isto; trata-se da área daMatemática que lida com conjuntos munidos de operações e relações formais chamados estru-turas algébricas. É uma coleção de modelos abstratos provindos até mesmo de outras áreas daMatemática e ciências afins. Os objetos da Álgebra são classificados de acordo com os tipos de operações que nelespodem ser efetuadas e pelas propriedades das quais gozam tais operações. Grupos, anéis, ide-ais, espaços vetoriais, módulos e corpos são exemplos de como um conjunto pode ser estrutu-rado algebricamente. Em regra, um primeiro curso de Álgebra trata das estruturas de grupos e anéis. Destemodo, são estes os conteúdos presentes neste curso. Nas três primeiras aulas apresentaremosinformalmente os números inteiros e discutiremos suas primeiras propriedades. Tal aborda-gem servirá de modelo no estudo de grupos e anéis. A ESTRUTURA DE DOMÍNIO DOS INTEIROS No conjunto dos inteiros estão definidas a adição e a multiplicação. Tais operações sa-tisfazem as seguintes propriedades:i) Associativa da adição. , .ii) Comutativa da adição. , .iii) Existência do elemento neutro para a adição. Existe em , o zero, tal que ,para todoiv) Existência do oposto. Para cada existe tal que . 2
  7. 7. v) Distributiva da multiplicação em relação à adição. , e .vi) Associativa da multiplicação. .vii)Comutativa da multiplicação. .viii) Existência do elemento neutro para a multiplicação. Existe em , o um, , tal que, , para todo .ix) Integridade. Se e então ou . Futuramente, na aula 10, estudaremos os anéis que são estruturas algébricas das quais oconjunto dos números inteiros munido das operações adição e multiplicação verificando àscinco primeiras propriedades aqui exibidas, é um exemplo. Os inteiros munidos destas opera-ções verificando às oito primeiras propriedades é chamado um anel comutativo com identida-de e como verifica também a nona è chamado um domínio de integridade.Definição 1. Nos inteiros, definimos a diferença entre dois elementos , (nesta ordem),como sendo o inteiro .Decorrem da estrutura de domínio de integridade dos inteiros as propriedades contidas naProposição 1.i) Os elementos neutros 0 e 1 são únicos.ii) Cada inteiro tem um único oposto.iii) .iv) .Demonstração. i) Se existissem tais que para cada então,em particular, teríamos e e da comutatividade da adição, . Portanto, o elemento neutroda adição é único. A demonstração da unicidade do elemento neutro da multiplicação é análoga à, feita aci-ma e deixaremos como atividade.ii) Dado , suponhamos que existam tais que . Podemos es-crever: donde segue aunicidade. 3
  8. 8. iii) Dado notemos que . segue que etêm o mesmo oposto logo, donde temosque .iv) Vamos provar que . Com efeito, notemos que . Segue que é um oposto de . Da uni-cidade do oposto, temos que .O caso é semelhante e deixaremos como atividade. A BOA ORDENAÇÃO DE . Em existem a relação de ordem total e o conceito de valor absoluto , que admiti-remos com suas propriedades básicas visando estabelecer resultados futuros. Neste sentido va-mos assumir inicialmente o principio da boa ordem.Principio da boa ordem: Todo subconjunto não vazio de de elementos não negativos possui elemento mínimo.Exemplo 1. Para , .Proposição 2. Não existe inteiro tal que .Demonstração: Suponhamos que exista um inteiro tal que . Então o conjunto é não vazio e do princípio da boa ordem existe .Como segue que donde temos que , contradizendo aminimalidade de .Proposição 3. (Indução – 1ª forma) Seja uma sentença aberta sobre para a qual valem:i) é verdadeira;ii) Se é verdadeira então é verdadeira.Portanto, é verdadeira para todo pertencente a .Demonstração: Seja o conjunto dos inteiros não negativos para os quais seja falsa, esuponhamos que . Do princípio da boa ordem existe . Segue de i) que , isto implica que donde segue que é verdadeira. Finalmentepor ii) temos que o que é uma contradição. Portanto e a de-monstração está concluída. 4
  9. 9. Proposição 4. (Princípio de indução – 2ª forma). Seja uma sentença aberta para a qual va-lem:i) é verdadeira;ii) Para cada é verdadeira para implica verdadeira.Então é verdadeira para todo .Demonstração: Se esta proposição não fosse verdadeira, então existiriam uma sentença aberta sobre , verificando i) e ii) e um para a qual seria falsa. Supondo o menor na-tural com tal propriedade, então e com , seria verdadeira. Por“ii)”, seria verdadeira, uma contradição.Observação: Não é difícil perceber que nas proposições 6 e 7, o domínio da sentença abertas pode ser um conjunto do tipo onde é um inteiro pré-fixado.Definição 2. Dados a potência de base e expoente , pondoExemplo 2.Exemplo 3. Para cada , vamos usar o princípio de indução para provar que . Notemos que para , temos e, a expressão éverdadeira. Admitamos agora, por hipótese, que para a expressão acima é verdadeira e,vamos provar que isto implica na veracidade da expressão para . Com efeito,. Portanto, a expressão acima é verdadeira . 5
  10. 10. Exemplo 4. Usando indução, vamos provar que .Para tal, caro aluno, vamos escolher um entre e , para usar indução, digamos e fixar a e (embora arbitrários). Com efeito, para , temos e .Logo , ok! Suponhamos agora, por hipótese que e vamosolhar para . Ora, por definição, , logo,Resumindo: para e arbitrários, a propriedade é válida para e ser válidapara implica ser válida para . Logo do princípio de indução é válida . Sendo e arbitrários, podemos concluir que a mesma é verdadeira.Definição 3. O domínio , numido da relação de ordem total para a qual vale o princi-pio da boa ordem dá a uma estrutura algébrica chamada, domínio bem ordenado. RESUMO Nesta primeira aula, aprendemos as primeiras propriedades dos números inteiros ondediscutimos sua estrutura de domínio ordenado onde apresentamos os princípios da boa ordeme de indução que serão pré-requisitos fundamentais das próximas aulas. ATIVIDADES1. Provar que a única solução em da equação, , na variável é .2. Provar que, em , as únicas soluções da equação são .3. Provar que4. Usando o princípio de indução, provar que:a) .b) . COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES 6
  11. 11. Caro aluno, se você aprendeu as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros emespecial a existência e unicidade do oposto de cada inteiro e integridade então você resolveucorretamente as primeira e segunda atividades. Na terceira atividade você deve ter usado o item iv) da proposição 1. Na quarta atividade, para resolvê-la, você deve ter aplicado indiretamente algumas dasnove propriedades da estrutura de domínio e ter aprendido que na aplicação do princípio deindução, testa-se a veracidade da sentença aberta no primeiro elemento do conjunto, assumeque a mesma é verdadeira para um elemento genérico do conjunto e com esta hipótese justifi-ca que a mesma é verdadeira também para o sucessor deste elemento, concluindo finalmenteque a sentença é verdadeira para todos os elementos do conjunto em apreço. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p.(Projeto Euclides) ISBN.HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA,2005. 326 p. (Série: Projeto Euclides). 7
  12. 12. Aula 02ALGORITMO DA DIVISÃO E MÁXIMO DIVISOR CO-MUMMETAApresentar o algoritmo da divisão e estabelecer o conceito de máximo divisor co-mum.OBJETIVOSDefinir a relação de divisibilidade em .Aplicar as propriedades da relação de divisibilidade.Efetuar divisões com resto pequeno em .Resolver problemas que envolvam o conceito de máximo divisor comum de inteiros.Calcular o máximo divisor comum de dois inteiros usando o algoritmo de Euclides.PRÉ-REQUISITOSO curso de Fundamentos de Matemática e a primeira aula. 7
  13. 13. INTRODUÇÃO Olá! Que bom encontramos novamente! Espero que você tenha gostado e entendido a nos-sa primeira aula. Nela estudamos a estrutura de domínio ordenado dos inteiros onde discutimosvárias das suas propriedades. Nesta aula, daremos continuidade ao estudo destes números onde o resultado central é o al-goritmo da divisão. Estabelecemos também o conceito de máximo divisor comum de inteiroscuja existência é uma conseqüência imediata do algoritmo da divisão. A RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE E O ALGORITMO DA DIVISÃODefinição 1. Dados , dizemos que divide se existe um inteiro tal que . Di-zemos também que é um divisor de e ainda, que é um múltiplo de .Escrevemos: .Assim, tal queIndicamos a negação de que divide escrevendo .Exemplo 1. , pois existe tal que .Proposição 1. São verdadeiras:i) .ii) Se e então .iii) Se e então .iv) Se então .v) Se então .vi) Se e então .Demonstração: Os itens i,ii e iii fazer como atividade.iv) Existem tal que , logo, .Como é um inteiro segue que .v) tal que tal que . Assim, . Temos então ou . Noprimeiro caso, e no segundo, . 8
  14. 14. vi) Como temos que e existe positivo, tal que , logo .Proposição 2. (Algoritmo da divisão). Sejam sendo . Existem únicostais que e .Demonstração: Vamos supor inicialmente que . Para isto, consideremos o conjunto de nú-meros inteiros . Então, é não vazio ( e do princí-pio da boa ordem existem e tais que . Ou melhor, existemtais que e . Além disto, , pois se assim não fosse, teríamos e , contrariando a minimalidade de .Quanto às unicidades de e ; suponhamos que existam tais que e . Então e . Se , temos donde segue que . Analoga-mente, se , e como segue que . Portanto econseqüentemente, . Finalmente, se , temos e da primeira parte existem únicos talque e . Tomando e , temos a demonstração, concluí-da.Exemplo 2. Para e , o único par de inteiros que verifica o algoritmo da divisãoé e . Os inteiros , referidos no algoritmo da divisão são chamados, respectivamente, divi-dendo, divisor, quociente e resto. A operação que associa a cada par o par é chama-da divisão e, quando dizemos que a divisão é exata. O MÁXIMO DIVISOR COMUM Apesar de nem sempre ser possível dividir um inteiro por outro, de modo exato, o algorit-mo da divisão nos garante em , uma divisão. Esta propriedade implica em resultados algébricosnotáveis e, o primeiro deles é a existência do máximo divisor comum que discutiremos agora.Definição 2. Seja um subconjunto não-vazio de . Dizemos que é um ideal se cumpre às se-guintes condições:i)ii) .Notamos que . 9
  15. 15. Se , por ii, e, por i, . Os conjuntos e são evidentemente ideais.Estes ,são chamados os ideais triviais de .Exemplo 3. Seja e seja o conjunto de todos os múltiplos de . Este conjunto é um ideal de , chamado ideal principal gerado por . Com efeito, é fácilver que a diferença entre dois múltiplos de é o produto de um inteiro por um múltiplo de ,são múltiplos de .Observação: É comum usar as notações para indicar o ideal .Exemplo 2.2.4: Sejam . O conjunto é um ideal, chamado ideal gerado por . Sejam , então, existem tais que , logo, e como cada para é inteiro, segue que . Se e então e como cada para é inteiro segueque . A proposição a seguir estabelece que todo ideal de é, na verdade, o conjunto de múltiplosde algum inteiro.Proposição 3. Todo ideal de é principal.Demonstração: Seja um ideal não nulo. Evidentemente e do principio da boaordem existe .Afirmamos: . Com efeito, pois . Seja a um elemento arbitrárioem , do algoritmo da divisão existem tais que e . Sendo , temos . Como segueque e, .Portanto, , como queríamos demonstrar.Definição 3. Dados , não todos nulos, o máximo divisor comum de é, por definição, o maior dos divisores comuns de . 10
  16. 16. Denotamos: .Proposição 4. Sejam não todos nulos. Então o é o gera-dor positivo do ideal .Demonstração: Seja tal que . Como, para cada , , segue que e conseqüentemente é um divisorcomum de . Seja um outro divisor comum de . Como, existem tais que (esta relação é conhecida como for-ma linear do máximo divisor comum). Desta relação segue que e . Logo, .Observação: A proposição acima garante que dados quaisquer não todos nulasexiste sempre o e, na sua demonstração vimos também que a equação dio-fantina (equação algébrica que tem como universo de soluções números inteiros) , tem solução.Definição 4. Se não são todos nulos e , dizemos que são relativamente primos, primos entre si ou ainda, coprimos.Exemplo 5. Se são inteiros para os quais existem tais que então esses inteiros são relativamente primos. Com efeito, notemos pri-meiro que não podem serem todos nulos, portanto, existe tal que . Mas, da definição , logo,, isto é, donde concluímos que .Exemplo 6. Se , desde que existam, . Escrevendo e , vamos provar que e que e, como estamos tratandode números positivos concluiremos que ! Como temos que ou seja .Logo, . Analogamente, . Isto implica que e isto implica, ainda, que .Como temos que .Proposição 2.2.5. (Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc). Sejam com .Sejam sucessivas divi-sões tais que . Então .Demonstração: Segue do exemplo anterior que 11
  17. 17. RESUMO Nesta aula, estabelecemos o algoritmo da divisão, definimos o máximo divisor de dois oumais inteiros e demonstramos a existência do máximo divisor comum como conseqüência do al-goritmo da divisão. ATIVIDADES 1. Sejam tais que é par. Provar que também é par. 2. Ache tais que , e . 3. Se são tais que é um múltiplo de , prove que também o é. 4. Prove que para todo inteiro positivo : a) . b) . 5. Determine tais que e . 6. Dados , , prove que existem únicos tais que e . 7. Sejam . Prove que . 8. Sejam e suponha que existem tais que . Provar que . 9. Se são tais que e , prove que e têm paridades diferentes e que é impar. 10. Sejam . Defina como sendo o menor múltiplo comum positivo de e . Se , prove que . 11. Use o algoritmo de Euclides para calcular . COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES 12
  18. 18. Caro aluno, se você fez a primeira e segunda atividade, então entendeu a relação de divisibi-lidade. Quanto à terceira atividade, conseguiu? Então, além de entender a relação de divisibilidadevocê foi capaz de escrever como sendo o produto e usando ahipótese de que , concluir que . Se você fez a quarta atividade, então você ou usou o principio de indução em ou usoumais uma vez uma fatoração de tipo. Quanto as quinta e sexta atividades, você deve ter usado fortemente, o algoritmo da divisão. Se você resolveu as sétima e oitava atividades então, usou a definição de máximo divisor co-mum e deve ter usado o fato de que se então . Na nona atividade, você deve ter notado que quadrado preserva a paridade e que soma deinteiros de mesma paridade é par. Na décima atividade se você conseguiu fazê-la, deve ter usado preliminarmente que e depois que divide todos os múltiplos comuns de e . Finalmente, a décima primeira atividade é uma aplicação direta do algoritmo da divisão evocê não deve ter tido nenhuma dificuldade nesta atividade. Se você não conseguiu resolver alguma destas atividades, reveja os conteúdos discutidos naaula e lembre-se que os tutores estão disponíveis para ajudar a tirar suas dúvidas. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (ProjetoEuclides) ISBN.HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.326 p. (Série: Projeto Euclides). 13
  19. 19. Aula 03FATORAÇÃO ÚNICA E CONGRUÊNCIASMETAApresentar a estrutura de domínio fatorial e estabelecer o conceito de congruênciaem .OBJETIVOSDefinir número inteiro primo bem como reconhecer suas propriedades básicas.Aplicar o teorema fundamental da Aritmética na demonstração de propriedades rela-tivas à fatoração em .Definir congruência e aplicar, mas propriedades na resolução de problemas de Arit-mética.PRÉ-REQUISITOSO curso de Fundamento de Matemática e os conteúdos discutidos nas duas primei-ras aulas. 14
  20. 20. INTRODUÇÃO Olá, caro aluno! Estamos aqui, mais uma vez. Espero que você tenha compreendido todosos conteúdos discutidos nas aulas anteriores, pois a compreensão desta aula e de diversos tópicosdas aulas futuras depende do conhecimento desses conteúdos. Dividimos esta aula em duas partes onde, na primeira discutiremos a estrutura de domíniofatorial dos inteiros, definindo número primo e estabelecendo suas primeiras propriedades. Nasegunda parte, estabeleceremos a relação da congruência em , apresentando as propriedades dadivisibilidade de um modo bastante simples. Finalizaremos a aula, aproveitando o fato da relaçãode congruência ser uma relação de equivalência em e apresentando a estrutura de anel comuta-tivo das classes residuais. FATORAÇÃO ÚNICADefinição 1. Dizemos que um inteiro é primo se e toda vez que divide umproduto ele divide um dos fatores.Exemplo 1. O inteiro não é primo. Notemos que embora , divide ,não divide 3 e nem divide . O número é primo, pois e sempre que come inteiros, ou é múltiplo de .Proposição 1. Seja -1,0,1}. Uma condição necessária e suficiente para que seja primo éque seu conjunto de divisores seja .Demonstração: (Suficiência). Sejam com primo e . Segue que , logo, . Se , existe tal que e neste caso temos que implica e conseqüentemente e . Se, , analogamente existe tal que e donde temos e . Portanto, o conjunto dos divisores de é .(Necessidade). Suponhamos que o conjunto dos divisores de seja e queonde . Vamos provar que . Com efeito, se , do fato de que os únicosdivisores de são e p e que , temos que . Logo existem tais que e por conseguinte, .como e segueque .Observação: Notemos que todo admite como divisores. Estes são os chama-dos divisores triviais de . Se e não é primo além dos divisores triviais, tem outrosdivisores, chamados divisores próprios.Exemplo 2. Os divisores de são e . Os números e são osdivisores próprios de . Um inteiro não nulo que tem divisores próprios é comumente chamado composto.Proposição 2. (Teorema fundamental da Aritmética). Todo inteiro Pode ser escrito naformaonde e são inteiros primos positivos não necessariamente distintos. Alémdisto, a expressão , a menos da ordem dos fatores é única.Demonstração: Vamos inicialmente provar a existência da expressão , usando indução em . Para ; temos e ou seja ok! Seja e suponhamos que , , passar ser escrito como umproduto de primos e, usando este fato, vamos provar que o mesmo acontece com . Se é pri-mo ok! ( e, se não é primo, existem , com e 15
  21. 21. . Como por hipótese de indução podem ser escrito na forma , segue que também pode. Portanto, todo inteiro maior do que pode ser escrito na forma . Quanto à unicidade, dado , suponhamos queOnde e são inteiros primos positivos, não necessariamente distintos.Vamos provar que e que após uma reordenação (se necessário), . Comefeito, como é primo e segue que tal que (como ativida-de, usando a definição de primo e indução, prove isto). Após uma reordenação (se necessária),podemos supor que e da expressão temos que Sendo primo e como , segue que para algum .Como antes, podemos assumir e a expressão nos leva a Prosseguindo de modo análogo e supondo, que ,chegaremos à expressãoque é, um absurdo, pois nenhum primo divide . Portanto, .Também, se fosse , de , chegaríamos a uma expressão do tipoo que seria absurdo. Portanto, e, menos da ordem dos fatores, , como queríamosdemonstrar.Observação: É fácil ver que no teorema fundamental da Aritmética, poderíamos ter tomado e escritoonde são primos positivos ou negativos, não necessariamente distintos. Para , a expressãoOnde são primos positivos tais que e são intei-ros positivos, é chamada fatoração canônica em primos positivos do inteiro . Vimos aqui que do ponto de vista da divisibilidade, os números primos são bastante simples,têm apenas quatro divisores e o teorema fundamental da Aritmética afirma que a menos de multi-plicação por e ordem dos fatores, todo inteiro pode ser escrito como um produto denúmeros primos. Uma pergunta que você, caro aluno, pode fazer é a seguinte; para gerar todos osinteiros , através de produtos precisamos de quantos números primos? Esta respostaé dada pela seguinteProposição 3. O conjunto dos números primos é infinito.Demonstração: Vamos, por absurdo, supor que o conjunto dos números primos positivos seja fi-nito. Digamos e construamos o inteiro . Do teorema fun-damental da Aritmética existe um tal que e como segue que (pois ). Temos então um absurdo. Portanto existem infinitos primos positivos econseqüentemente, infinitos inteiros primos.Observação. Os números primos é até hoje um conteúdo bastante estudado pelos matemáticos,por exemplo, a distribuição dos primos é tão irregular que você pode encontrar dois primos ím-pares consecutivos e dado um natural , qualquer, a seqüência de inteiros consecutivos é fornada apenas por inteiros compostos. Dado um inteiro cujo numeral indo-arábico tem muitos algarismos, decidir se o inteiro é pri-mo ou não é até hoje uma tarefa bastante difícil. 16
  22. 22. CONGRUÊNCIASDefinição 1. Seja . Dizemos que os inteiros e são congruentes módulo se éum múltiplo de e escrevemosExemplo 1. , , .Notemos que .Negamos escrevendo (neste caso, ).Proposição 1. Dados e , são equivalentes:i)ii) Os inteiros e quando divididos por deixam o mesmo resto.Demonstração: i⟹ii. Existem tais que e . Segue que . Como temos que . Do fato de que , segue que e como conseqüência temos ou .ii⟹i. Existem com tais que e . Então , ou seja, .Exemplo 2. Como seguem que e quando divididos por deixamo mesmo resto: e .Proposição 2. Sejam sendo . Valem:i) .ii)iii)iv)v)vi)Demonstração:i)ii)iii) .iv) Como temos que ou seja, .v) Novamente, , logo existe tais que tal que , ou seja . 17
  23. 23. vi) Notemos que como segue que , ou seja, .Exemplo 3. Vamos determinar o resto da divisão de por . Notemos que . Isto implica que ou seja, que . Como segue que . Assim,quando divididos por deixam o mesmo resto que evidentemente, é . Este exemplo mostraque a relação de congruência torna as propriedades da divisibilidade facilmente manipuláveis tor-nando menos trabalhoso este tipo de cálculo. Notemos que os itens i), ii) e iii) da proposição anterior mostraram que a relação de con-gruência módulo um inteiro positivo é uma relação de equivalência no conjunto dos númerosinteiros. Dados e , a classe de módulo esta relação de congruência, é cha-mada classe residual de módulo e indicamos por . Indicamos o conjunto quociente (des-tas classes) por .Proposição 3. Para cada , onde a cardinalidade de é .Demonstração: Dado , do algoritmo da divisão existem tais que e . Segue daqui que , ou seja, que . Isto mostra que . Agora, sejam . Se então de modo que e lembrando que , segue que . Portanto tem exata-mente classes residuais. Vamos definir em , duas operações uma adição e uma multiplicação pondo: .Proposição 4. As operações de em de adição e multiplicação estabelecidas acima es-tão bem definidas. Ou seja, não dependem dos representantes das classes.Demonstração: sejam e . Então e b . Então donde temos que .Proposição 5. As operações de adição e de multiplicação acima definidas no conjunto verifi-cam às seguintes propriedades:i)ii)iii) tal queiv) tal quev)vi)vii)viii) tal queDemonstração: (será deixada como atividade) Comentário munido das oito propriedades acima é um dos primeiros exemplosdos anéis comutativos finitos que estudaremos futuramente. 18
  24. 24. RESUMO Caro aluno, nesta terceira aula discutimos inicialmente o conceito de número primo ondedemonstramos o teorema fundamental da Aritmética e como primeira conseqüência deste teore-ma concluímos que existem infinitos números primos. Por fim, estabelecemos o conceito de con-gruência que é uma forma simples de apresentar propriedades da divisibilidade. Usando a relaçãode congruência em exibimos os anéis conhecidos também como os anéis das classes de res-tos, construindo com isto um dos primeiros exemplos de anéis finitos, terminando com esta aulao estudo dos números inteiros necessário na composição dos pré-requisitos para as aulas futuras. ATIVIDADES1. Sejam eb onde são primos posi-tivos distintos e . Se eprove que e2. Seja , um número ímpar. Prove que ou .3. Sejam onde Prove que se então .4. Sejam tais que ou é não nulo. Prove que a equação diofantinatem solução se, e somente se, . Se é uma solução, prove que todas as outraspodem ser postas na forma , onde .5. Encontre todos os tais que.a) .b) .6. Seja um primo e um inteiro. Prove que é um múltiplo de .7. Prove que, se é primo então , .8. Prove que o conjunto ; é primo e é infinito. Sugestão: negueesta afirmação exibindo e o número . Observe que, pro-duto de números do tipo também é deste tipo. COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES Na primeira atividade, você, caro aluno, deve ter notado que se um primo divide , então, por transitividade o mesmo deve dividir também e . Além disto, sen-do se é outro divisor comum de e então . Segue que a ordem (expo-ente) de em deve ser a mínima entre as ordens de em e em . Quanto ao mínimo múlti-plo comum, cada primo divisor deste, deve ser um divisor de ou de . Além disto, você deveter lembrado que qualquer outro múltiplo comum de e é também múltiplo doogo todo primo divisor do deve ter ordem igual à maior das ordens de em e em 19
  25. 25. Na segunda atividade, você deve ter notado que o resto da divisão de por deve ser ou e que . Na terceira atividade, você deve ter observado que e como o, o resultado é imediato. Na quarta atividade, se é uma solução então você deve ter percebido facilmente quemdc .. Reciprocamente, se divide c,então existe tal que donde temos que e é uma solução da equação Por outro lado, supondo que é uma solução, substituindo diretamente na equação por e por para cada você deve ter visto claramente que se trata deuma solução. Finalmente, usando o fato de que e são duas soluções da equaçãofoi fácil obter um tal que Na quinta atividade item , você não deve ter tido dificuldades se notou que esta congruên-cia é equivalente à equação no anel onde temos queou seja . No item , temos ou equivalentemente, . Na sexta atividade, você, caro aluno, deve ter notado que para , os fatores de ede são menores do que . Na sétima atividade, você deve ter usado o desenvolvimento do binômio de Newton e apli-cado a sétima atividade. Na oitava atividade nós já sugerimos uma opção para a solução e esperamos que você tenhadesenvolvido com êxito. Lembramos sempre que os tutores estão disponíveis. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (ProjetoEuclides) ISBN.HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.HEFEZ, A. “Curso de Álgebra, Vol. I”, Coleção Matemática Universitária.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.326 p. (Série: Projeto Euclides). 20
  26. 26. Aula 04O CONCEITO DE GRUPOMETAApresentar o conceito de grupo, as primeiras definições e diversos exemplos.OBJETIVOSDefinir e exemplificar grupos e subgrupos.Aplicar as propriedades dos grupos na resolução de problemas.Reconhecer grupo cíclico.Reconhecer o grupo de permutações e seus subgrupos.PRÉ-REQUISITOO curso de Fundamentos de Matemática e as propriedades dos números inteiros es-tudados nas aulas anteriores. INTRODUÇÃO 21
  27. 27. Estamos de volta para mais uma aula. Esperamos que você tenha gostado do conteúdo estu-dado nas três aulas anteriores. Nesta aula, vamos começar de fato o que é conhecido como Álge-bra abstrata. A teoria dos grupos embora tenha sido inicialmente estudada por matemáticos, no inicio doséculo XX os físicos usando argumentos desta teoria fizeram descobertas importantes sobre a es-trutura dos átomos e das moléculas em Mecânica Quântica. Hoje a teoria dos grupos é aplicável em outras áreas tanto das ciências afins quanto em ou-tras da Matemática. Dentro das estruturas algébricas, os grupos têm uma das estruturas mais simples e, portanto,mais geral. Vamos em frente! CONCEITO DE GRUPODefinição 1. Definimos grupo como sendo todo par onde é um conjunto não vazio e éuma operação binária em verificando às seguintes propriedades.i)Associativa, .ii) Existência do elemento identidade. Existe tal que .iii) existência do inverso. Para cada , existe tal que . Em geral, com o intuito de simplificar notação escrevemos apenas em vez de . Se e são elementos identidades de um grupo, então donde podemosconcluir que o elemento identidade é único. Para cada elemento a, num grupo , se existem e no grupo inversos de , então . Donde temos também que o inverso de cada elemento é único. Denotamos o inversode por . 22
  28. 28. Quando num grupo além das três propriedades exibidas na definição se unifica a proprie-dade:iv) , dizemos que é abcliano (ou comutativo). Quando a operação for uma adição (simbolizada por +) dizemos que é um grupoaditivo. Neste caso indicamos a identidade por e o inverso de cada por . Os gruposaditivos são sempre abelianos. Quando o conjunto é finito, dizemos que é um grupo finito, no caso contrário dize-mos que é um grupo infinito.Definição 4.2.2. Definimos a ordem de um grupo como sendo a cardinalidade do conjunto . Indicamos: . Obviamente, temos grupos finitos (nestes a ordem é um inteiro positivo) e grupos infinitos.Exemplo 1. é um grupo aditivo infinitoExemplo 2. , é um grupo abeliano infinitoExemplo 3. Seja onde e . En-tão é um grupo abcliano finito com apenas dois elementos, .Exemplo 4. O subconjuntos dos números complexos onde é a unidade ima-ginária, cuja operação é a restrição da multiplicação de a este conjunto é um grupo finito comquatro elementos, ou seja,Exemplo 5. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas em . Então é um grupo abeliano. 23
  29. 29. Exemplo 6. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem não-singulares deentradas reais. Este conjunto munido da restrição do produto usual de matrizes é um exemplo degrupo não abeliano infinito.Exemplo 7. Sejam e . Então munido da restrição de pro-duto de números complexos é um grupo abeliano finito contido elementos.Exemplo 8. Sejam um conjunto não vazio e o conjunto de todas as funções bijetivas . Então munido da composição de funções é um grupo, chamado grupo das permu-tações de . Em particular, quando , é chamado o grupo das permutações denível tem ordem e o indicamos por . Este grupo desempenha um papel importante na te-oria dos grupos finitos, como veremos futuramente.Proposição 1. (Propriedades imediatas de um grupo)i) A identidade é única.ii) O inverso de cada elemento é único.iii) Se e então .iv) Se entãov) A equação tem como solução única .Demonstração: i) Seja um grupo e suponhamos que existam tais quee . Em particular .ii) Seja a um elemento de e suponhamos que existam tais que . Então, .iii) Como , da unicidade do inverso, temos que . 24
  30. 30. iv) .v) . (Aunicidade do inverso garante a unicidade da solução).Definição 3. Dados um grupo e , definimos o produto destes elementos nes-ta ordem, indutivamente, como segue: .Se , pode-se provar que .Definição 4. Dados grupo, e , definimos a potência de base e expoente comosendoUsando indução, podemos provar que e , valemi)ii) .Definição 5. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um sub-grupo de se munido da restrição si da operação de é também um grupo. Da unicidade do elemento identidade e da necessidade da existência deste elemento numgrupo segue que a identidade de pertence a . Uma condição necessária e suficiente para que um subconjunto de seja um grupo é quei) e ii) se tenha . 25
  31. 31. Notemos que as duas condições acima são verificadas por todo grupo e, se e veri-fica i e ii, então, dado , e, dados , . A associatividade da restrição daoperação de a em é óbvia.Quando é subgrupo de indicamos por .Exemplo 10. Seja . então é um subgrupo de . .Exemplo 11. e . Então .Exemplo 12. Seja um grupo e . Então, . Notamos que , pois em , comuta com todos os elementos de . Segue que e . Sejam . Então. Para cada , o subconjunto formado pelos elementos que comutam com todos os elemen-tos de é chamado o centro de e o indicamos por .Observemos que quando é abeliano .Exemplo 13. Sejam um grupo e . Seja . Então , ou seja, e . Se então . Portanto, e . Este sub-grupo de é chamado o centralizador de em e o indicamos por . Notamos que . 26
  32. 32. Exemplo 14. e então .Definição 6. Seja um grupo. Dizemos que é cíclico se existe um elemento tal que . Dizemos também que é gerado por e indicamos .Exemplo 15. Seja . Então é cíclico finito de ordem 3. Notemos que dado , do algoritmo da divisão, existem tais que e . Logo .Exemplo 16. Dados grupo e , o conjunto é um grupo cíclicode . Notemos que . Se então .Observação. Quando um grupo é aditivo, a potência de base e expoente é denotada por .Exemplo 17. O grupo é cíclico infinito gerado por 1. . O conjunto é o subgrupo cíclico de gerado pelo elemento 2.Então podem escrever: e .Observação. Notemos que se é cíclico gerado pelo elemento e então , portanto é abeliano.Proposição 2. Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.Demonstração: Sejam cíclico e . Se ok! Pois . Se ,então, o conjunto é não vazio. Sejam e . 27
  33. 33. Afirmamos: . De fato, pois se então, do algoritmo da divisão existem tais que e . Segue que . Mas, da minimalidadede segue que . Como e . RESUMO Caro aluno, nesta aula, nós estabelecemos o conceito de grupo, onde definimos grupos esubgrupos apresentamos diversos exemplos, apresentamos os subgrupos especiais centro e cen-tralizador de um elemento num grupo e grupos cíclicos. ATIVIDADES1. Seja um grupo abeliano. Prove que se e , então .2. Seja um grupo e suponha que . Prove que é abeliano.3. Seja um grupo e . Prove que .4. Seja um primo, prove que é um grupo abeliano com elementos.5. Se é um grupo finito de ordem par. Prove que existe tal que6. Sejam e o subconjunto de formado pelas matrizes anti-simétricas. Prove que .7. Sejam grupos e seja . Defina uma operação em do seguinte modo: . Prove que é um grupo. Estegrupo é chamado produto direto de e . Se , prove que . 28
  34. 34. 8. Prove que todo grupo tem um subgrupo cíclico .9. Seja . Indicando cada elemento do seguinte modo, Escreva explicitamente o grupo . Calcule e conclua que não é abeliano.10. Prove que o subconjunto de dos elementos tais que é um subgrupo de .11. Se e são subgrupo de um grupo , prove que é um subgrupo de e que , em geral não é subgrupo de . COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Caro aluno, se você fez as cinco primeiras atividades então entendeu as propriedades dosgrupos. Na segunda atividade você deve ter notado que e usado o fato de que . Na terceira, você deve ter multiplicado por pela esquerda e pela direita e usadoo fato de que o inverso de um elemento num grupo é único. Na quinta atividade, você deve ter notado que todo elemento tem um único inverso e que aidentidade tem como inverso ela própria. Nas sete ultimas atividades exploramos a definição de subgrupo. Se você compreendeu estadefinição não deve ter tido dificuldades, hesitou possivelmente na última questão onde você deveter notado que é subgrupo se, e somente se, ou . Lembre-se de que o objeti-vo das atividades é fixar os conteúdos desenvolvidos na aula. Portanto você deve ler estes con-teúdos com carinho quantas vezes sejam necessárias. Lembre-se também que a ajuda dos tutoresé importante. 29
  35. 35. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (ProjetoEuclides) ISBN.HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.326 p. (Série: Projeto Euclides). 30
  36. 36. Aula 05GRUPOS QUOCIENTESMETASEstabelecer o conceito de grupo quociente.OBJETIVOSDefinir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange.Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.Reconhecer subgrupos normais e aplicar suas propriedades.Reconhecer e exemplificar grupo quociente.PRÉ-REQUISITOSO curso de Fundamentos de Matemática e os conteúdos estudados nas aulas anteri-ores. 28
  37. 37. INTRODUÇÃO Ola! Estamos em mais uma das nossas aulas. Na aula passada tivemos o nosso primeiro con-tato com a teoria dos grupos estudando as primeiras definições e contemplando vários exemplos.Nesta aula continuaremos a estudar os grupos onde estabeleceremos os conceitos de classes late-rais, subgrupos normais e o conceito de grupo quociente que é uma das noções básicas mais im-portantes da álgebra abstrata. CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE Sejam um grupo, um subgrupo e . Os subconjuntos de , e são chamados classe lateral à esquerda e classe lateral à direita de , respecti-vamente.Exemplo 1. Vamos considerar ondeque tem a seguinte tabela de operação, na qual o produto tem como 1º fator o elemento da colu-na. Para ,e .Observação. Neste nosso exemplo, ocorreu que . Em geral Vamos agora estabelecer uma relação de equivalência num grupo , na presença de um sub-grupo , onde o conjunto quociente módulo esta relação é exatamente o conjunto das classes la-terais à direita, de . 29
  38. 38. Definição 1. Seja grupo . Para cada par de elementos de , dizemos que é con-gruente a módulo , e escrevemos se .Ou melhor: .Proposição 1. A relação binária definida no grupo acima é de equivalência.Demonstração: Como , seque que esta relação é reflexiva. Se estão e como é um grupo, donde temos e, a relação é simétrica. Finalmente, se são tais que e , então . Novamente, do fato de que é grupo temos , isto é, , ou seja, e, portanto, a relação é transitiva.Como sabemos a classe de equivalência do elemento é por definição. . Notemos que tal que . Logo, . Se então tal que eneste caso implicando que , ou melhor, que . Portanto . Denotamos o conjunto quociente módulo esta relação por e, escrevemosObservação. Quando é um grupo finito obviamente o conjunto é finito e tem cardinalidademenor ou igual à ordem de . Quando é infinito, podemos ter finito ou infinito.Exemplo 2. Se nunido da adição os subgrupos de são os conjunto do tipo . Notemos que dados , então e que . Segue que para . Se , temos e . Logo, para é finito e tem elementos, enquanto que, para tem infinitos elementos. 30
  39. 39. Definição 2. Dados e , definimos o índice de como sendo a cardinalidade doconjunto quociente e indicamos por .Proposição 2. (Teorema de Lagrange). Se é um grupo finito e é um subgrupo de então, aordem de divide a ordem de .Demonstração: Para cada , a aplicação definida por é bijetiva.De fato, se e temos . Se entãoexiste tal que e Escrevendo onde , como e , temos que . Portanto | ,como queríamos demonstrar.Exemplo 3. Como conseqüência imediata do teorema de Lagrange, todos os grupos finitos cujaordem é um número primo são cíclicos (⟹ abelianos). Com efeito, se e ,então | e . SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTESDefinição 1. Sejam um grupo e subgrupo de . Dizemos que é um subgrupo normal dese, para todo H e todo temos . Indicamos .Exemplo 1. Quando é abeliano, todo subgrupo de é normal. Com efeito, para e , temos . Para todo , é normal. Se e , .Proposição 1. Sejam grupo e . As seguintes afirmações são equivalentes:i) .ii) .iii) .iv) . 31
  40. 40. v)Se então .Demonstração. i⇒ii). Da definição de subgrupo normal, e . Como é arbitrário no grupo , trocando por ,vale . Observemos também que . Portanto, vale a igualdade , para cada .ii⇒iii). Como , é imediato que , donde temos .iii⇒iv). .iv⇒v). Como temos que . Logo, e daqui, . Ou seja, tal que . Portanto, .v⇒i). Sendo e , vamos provar que . Para isto, seja , donde . Como , temos , conseqüentemente, . 32
  41. 41. Considerando o conteúdo da proposição acima, podemos, bem definir, a seguinte operaçãoem : onde .Proposição 2. munido da operação, acima definida, tem estrutura de grupo.Dados.Ou seja, esta operação é associativa.Para cada classe lateral , existe tal que e . ( é o elemento identidade). Finalmente, para cada , existe tal que ou seja . (existência do oposto).Definição 2. O grupo é chamado o grupo quociente módulo . Lembremos que, para a operação em que associa ao par a classe ser bemdefinida é necessário que . Portanto só podemos falar no grupo quociente de G por H seH for um subgrupo normal.Proposição 3. Sejam um grupo e .i) Se é abeliano então é abeliano.ii) Se é cíclico então é cíclico.Demonstração. i) , então .ii) Seja .Exemplo 2. Sejam e . Note que . Pois, a tabela ∙ 33
  42. 42. Deixa claro que e se então .Como e segue que .Notemos que onde .Exemplo 3. Sejam e onde , Fazendo as contas, podemos verificar que , portanto e éogrupo quociente com tabela de operações. ∙ RESUMO Nesta aula, estudamos o conceito de classe lateral onde estabelecemos o teorema de Lagran-ge. Estudamos os conceitos de subgrupos normais e grupos quocientes e, suas propriedades. ATIVIDADES1. Se é um grupo finito com 12 elementos, um subgrupo de pode ter 9 elementos? Justifi-que sua resposta.2. Sejam um grupo e . Definimos a ordem do elemento , e indicamos por , a or-dem do subgrupo cíclico de gerado por . Prove que:i) Se então .ii) Se então .3. Dizemos que um grupo é simples se os únicos subgrupos normais de são e .Dê exemplo de grupo simples. 34
  43. 43. 4. Sejam um grupo e . Para cada , defina . Pro-ve que:a) b) Se é finito, c) . (o subgrupo échamado um conjugado de em ).5. Seja e . Determine . COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Caro aluno, você deve ter notado que a resposta da pergunta da atividade 1 é justificada fa-cilmente pelo teorema de Lagrange. Na segunda, escrevendo a potência de base e expoente igual à ordem de explicita-mente, você deve ter notado a conclusão da atividade. Na terceira atividade, você num primeiro momento, deve ter pensado em grupos cuja ordemé um número primo. No item a) da quarta atividade, você deve ter notado que e que dados . No item b), você deve ter notado que á correspondência é uma bijeção deem . No item c), olhe para a correspondência do item anterior e lembre que ela vale . Para a quinta atividade, você deve ter imitado algum dos exemplos do texto. Mais uma vez, lembre-se de ler o conteúdo da aula com cuidado e sempre que precisar pro-cure os tutores. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (ProjetoEuclides) ISBN.HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.326 p. (Série: Projeto Euclides). 35
  44. 44. Aula 06HOMOMORFISMOS DE GRUPOSMETAApresentar o conceito de homomorfismo de gruposOBJETIVOSReconhecer e classificar os homomorfismos.Aplicar as propriedades imediatas dos homomorfismos de grupos.Calcular os núcleo e imagem de um homomorfismo.Aplicar os teoremas dos homomorfismos na relação de problemas.PRÉ-REQUISITOSTodas as aulas anteriores principalmente as aulas 4 e 5. 35
  45. 45. INTRODUÇÃO Caminhando dentro da teoria dos grupos, vamos a mais uma aula. Mais uma vez, necessita-mos que você, caro aluno, tenha aprendido os conteúdos das aulas anteriores, principalmente, osdas aulas 4 e 5 que tratam dos grupos. Em estruturas algébricas os homomorfismos são aplicações que têm como domínio e con-tradomínio estruturas algébricas de mesma natureza (mesma definição abstrata) e servem em ge-ral para comparar tais estruturas. No nosso caso, é claro, trataremos dos homomorfismos de gru-pos. O CONCEITO DE HOMOMORFISMODefinição 1. Sejam e grupos e uma aplicação de em . Dizemos que é um homo-morfismo se .Exemplo 1. Se é um grupo e , para , a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos, pois . Este homomorfismo é comumente cha-mado projeção canônica.Exemplo 2. Dado um grupo , a função identidade de é evidentemente um homomorfismo de em . Notemos que . A um homomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos endomorfismo de . A um homomorfismo injetivo, chamamos um monomorfismo de em . A um homomorfismo sobrejetivo,chamamos um epimorfismo de em . A um homomorfismo bijetivo, chamamos um isomorfismo de em . Nestecaso dizemos também que e são grupos isomorfos. A um isomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos um automorfismo de .Proposição 1. Seja um homomorfismo. Então, , onde e são, respecti-vamente, as identidades de e .Demonstração:.Proposição 2. Seja um homomorfismo. Então, , . 36
  46. 46. Demonstração .Proposição 3. Se é um homomorfismo e então é um subgrupo de ?Demonstração: e . Sejam . Existemtais que e . Logo,e, como segue que . Portanto, . Neste caso .Proposição 4. Se e são homomorfismos então tam-bém é homomorfismo.Demonstração:Dados ,.Definição 2. Seja um homomorfismos chamamos núcleo de e denotamos por o subconjunto de : .Exemplo 3. Dados um grupo e , notemos que é o núcleo da projeção canônica , pois, , ou seja, .Proposição 5. Para todo homomorfismo , .Demonstração: Como . Se então . Logo . Agora, seja e . Temos. Portanto .Proposição 6. Seja . é monomorfismo se, e somente se, .Demonstração: Trivial, pois e é injetiva . 37
  47. 47. Se e então , ou seja, é injetiva. OS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DOS HOMOMORFISMOSProposição 1. Se é um homomorfismo de grupos com núcleo então existe umhomomorfismo injetivo tal que .Demonstração: Inicialmente, notemos que se são tais que então e donde temos que . Isto significa que para , ou seja que está, bem definida, ou seja a imagem denão depende do seu representante. Dados , temos logo, é um homomorfis-mo de grupos. Agora, ou seja é in-jetiva.Corolário (1º teorema do isomorfismo). Se é um epimorfismo e então e são isomorfos. Ou melhor, existe um isomorfismo tal que .Demonstração: é o monomorfismo de em definida na proposição e como , segue que é um isomorfismo . Se é a projeção canônica, este teorema pode ser expresso pela comutativi-dade do seguinte diagrama; G’ 38
  48. 48. Exemplo 1. Sejam (grupo aditivo) e o grupo multiplicativo formadopelos números complexos e e a aplicação dada por . É fácil verque (faça isto como atividade). Agora, . Como é sobrejetiva, do 1º teorema dos homomorfismos, temos que . Quando é um grupo, e então e . Com efeito, e se então . Sendo , .Logo, donde temos que . Sendo , segue que pois, , em particular, . Também, . Aqui, dados . Como segue que .Logo, . Analogamente . Portanto .Proposição 2. (2º teorema dos homomorfismos). Se e então .Demonstração: Seja definida por . Então, , é homomorfismo de grupos (notemos que aqui pois ). Para qualquer classe , temos donde com e . Isto implica que logo, ψ é so- 39
  49. 49. brejetivo. Além disto, . Ou seja, . Como con-seqüência do primeiro teorema segue que , como queríamos demonstrar.Observação. Se , segue deste teorema que .No estudo de grupos quocientes formados a partir de grupos quocientes, é útil a seguinteProposição 3. (3º Teorema dos homomorfismos). Se e então e vale:Demonstração: É claro que . Agora, notemos que se temos e como segue que e . Portanto, podemos definir a aplicação , pondo . Notemos ainda que ,. Além disto, para cada , existe tal que , ou seja, é um ho-momorfismo sobrejetivo de em .Finalmente, .Segue do 1º teorema dos homomorfismos que .Observação. Este teorema deixa claro que quocientes de quocientes de são na realidade iso-morfos a quocientes de . Vamos terminar esta aula estabelecendo o teorema da correspondên-cia no qual veremos que um epimorfismo de grupos preserva propriedades como ser subgruposou ser subgrupo normal tanto diretamente quanto inversamente. Mais precisamente, vale aProposição 4. (Teorema da correspondência). Sejam e grupos e um epimorfis-mo onde . Então:a)Para cada . Se então .b)Para cada , o único subgrupo de contendo tal que é .Se então . 40
  50. 50. Demonstração: a) Já sabemos que ; sejam e portanto, .b) Como , claramente . Se então . Isto implica que . Logo, .Para cada temos: . Portanto, . Donde segue que .Finalmente, seja tal que e . Assim, . Se então .Logo, e conseqüentemente . RESUMO Nesta aula estabelecemos o conceito de homomorfismo de grupo onde inicialmente defini-mos, exemplificamos e apresentamos as propriedades imediatas. Terminamos a aula enunciandoe demonstrando os 1º, 2º e 3º teoremas dos isomorfismos e o teorema da correspondência quesão teoremas importantes na construção dos pré-requisitos de conteúdos futuros. ATIVIDADES1. Verifique em cada caso, se é um homomorfismo de grupos.a) dada por onde aqui é o grupo aditivo.b) dada por onde é o grupo multiplicativo dos reais não nulos.c) dada por , onde é aditivo e , multiplicativo.d) dada por onde é um elemento de pré-fixado.2. Seja um grupo abeliano finito de ordem e seja tal que . Prove quea aplicação dada por é um automorfismo de . 41
  51. 51. 3. Se é um isomorfismo, provar que também o é.4. Se é um homomorfismo onde é finito, prove que divide .5. Se é cíclico de ordem provar que .6. Sejam um grupo e tais que . Prove que e.7. Se , e , prove que . COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Na primeira atividade, se você entendeu a definição de homomorfismo, não deve ter tidoproblemas. Na segunda, você deve ter notado que . Comosegue que ou seja e . Portanto, é injetiva. Na terceira atividade, você deve ter usado a definição de isomorfismo e concluído com faci-lidade. Na quarta atividade, você deve ter usado o primeiro teorema do isomorfismo. Na quinta atividade, para , a aplicação dada por deve ser um isomorfismo de grupos! A sexta atividade, caro aluno, é um exercício que auxilia no desenvolvimento da sétima ativi-dade. Para e , você deve ter notado que pois e são subgrupos normais. Na sétima atividade, se você conseguiu resolvê-la, deve ter percebido que a aplicação onde é um isomorfismo de grupos. REFERÊNCIASGONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (ProjetoEuclides) ISBN. 42
  52. 52. HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: ThomsonLearning, ©1997.GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.326 p. (Série: Projeto Euclides). 43
  53. 53. Aula 07MAIS SOBRE O GRUPO SIMÉTRICOMETAConhecer um pouco mais de perto as propriedades do grupo das permutações denível .OBJETIVOSReconhecer elementos deReconhecer os subgrupos e deAplicar propriedades decorrentes do teorema da representação no estado de gruposfinitos.PRÉ-REQUISITOSAs aulas 4,5 e 6. 42

×