Cap´ıtulo 2Estruturas Alg´bricas B´sicas              e        aConte´do     u      2.1   Estruturas Alg´bricas B´sicas . ...
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Estruturas algebricas basicas

  1. 1. Cap´ıtulo 2Estruturas Alg´bricas B´sicas e aConte´do u 2.1 Estruturas Alg´bricas B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 e a ´ 2.1.1 Algebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ´ 2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Semi-Grupos, Mon´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o 2.1.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1.5 Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 c e o ´ 2.1.6 An´is, M´dulos e Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.1.6.1 An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 e 2.1.6.2 M´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 o ´ 2.1.6.3 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ´ 2.1.7 Exemplos Especiais de Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ´ 2.1.7.1 Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ´ 2.1.7.2 Algebras de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ´ 2.1.7.3 Algebras de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ´ 2.1.7.4 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ´ 2.1.7.5 Algebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.1.8 Mais sobre An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 e 2.1.9 A¸˜es e Representa¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 co co 2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, Endomorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.1.11 Induzindo Estruturas Alg´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 e 2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 co a 2.2.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Rela¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 co 2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.3 Espa¸os Vetoriais. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 c co a 2.3.1 Bases Alg´bricas de um Espa¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 e c 2.3.2 O Dual Alg´brico de um Espa¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e c 2.3.3 Subespa¸os e Espa¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 c c 2.3.4 Somas Diretas de Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 c 2.3.5 Produtos Tensoriais de Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 c 2.3.5.1 Duais Alg´bricos e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 e 2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espa¸o Vetorial. Espa¸os Sim´trico e Anti-Sim´trico 126 c c e e 2.3.5.3 O Produto Tensorial de M´dulos. Deriva¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 o co 2.4 e ´ An´is e Algebras. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 co a ´ 2.4.1 Ideais em An´is e Algebras Associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 e 2.4.1.1 Ideais em An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 e ´ 2.4.1.2 Ideais em Algebras Associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.5 ´ ´ Algebras Tensoriais e Algebras Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ´ 2.5.1 Algebras Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 62
  2. 2. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 63/1702 ´ 2.5.2 Algebras Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6 T´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.6.2 Grup´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.6.3 Quat´rnios . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 o aprofundar seu estudo de Matem´tica o estudante freq¨ entemente depara com conceitos como o de grupo, a u semi-grupo, espa¸o vetorial, ´lgebra, anel, corpo, m´dulo etc. Nosso objetivo neste cap´ c a o ıtulo ´ apresentar e defini¸oes b´sicas de tais conceitos acompanhadas, quando poss´ c˜ a ıvel, de alguns exemplos relevantes. Nossa inten¸ao n˜o ´ de forma alguma a de cobrir esses assuntos e seus resultados mais importantes, mas apenas a de c˜ a eintroduzir ao leitor no¸oes dessas estruturas alg´bricas, de modo que o mesmo possa encontrar aqui referˆncias r´pidas c˜ e e aa`s mesmas quando delas necessitar. V´rios dos t´picos aqui abordados ser˜o desenvolvidos em cap´ a o a ıtulos posteriores, demodo que, como no caso do Cap´ ıtulo 1, o objetivo n˜o ´ um tratamento extensivo dos diversos assuntos. O estudante j´ a e afamiliar com alguns desses conceitos (os conceitos de grupo e ´lgebra s˜o populares entre estudantes de F´ a a ısica) encontrar´ anessa exposi¸ao uma vis˜o unificada dos mesmos. c˜ a Este cap´ ıtulo deve ser compreendido como uma continua¸ao do Cap´ c˜ ıtulo 1. O leitor pode achar ser este cap´ ıtulouma longa seq¨ˆncia de apenas defini¸oes e exemplos, com poucos resultados, o que ´ parcialmente correto. Seu obje- ue c˜ etivo, por´m, ´ apresentar v´rias id´ias comuns a v´rias ´reas de um ponto de vista unificado e introduzir constru¸oes e e a e a a c˜empregadas ulteriormente.2.1 Estruturas Alg´bricas B´sicas e aAinda atentos ao car´ter introdut´rio apresentaremos aqui defini¸oes e exemplos das estruturas alg´bricas mais comuns. a o c˜ e• Opera¸oes e rela¸oes c˜ c˜ Sejam C e I dois conjuntos n˜o-vazios e consideremos o produto Cartesiano C I (o conceito de produto Cartesiano ade conjuntos foi definido ` p´gina 32). Uma fun¸ao f : C I → C ´ por vezes dita ser uma opera¸ao sobre C. Se I ´ um a a c˜ e c˜ econjunto finito, f ´ dita ser uma opera¸ao finit´ria sobre C. e c˜ a Um conjunto R ⊂ C I ´ dito ser uma rela¸ao em C. Se I ´ um conjunto finito, R ´ dito ser uma rela¸ao finit´ria em e c˜ e e c˜ aC.• Fun¸oes finit´rias c˜ a Sejam C e I dois conjuntos e consideremos fun¸oes f : C I → C. Se I ´ um conjunto finito f : C I → C ´ dita ser uma c˜ e efun¸ao finit´ria sobre C ou opera¸ao finit´ria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui fun¸oes finit´rias c˜ a c˜ a c˜ ado tipo f : C n → C para algum n ∈ N. Se f ´ uma fun¸ao finit´ria para um dado n, f ´ dita ser uma fun¸ao n-´ria e c˜ a e c˜ asobre C. Um exemplo de uma fun¸ao n˜o finit´ria seria uma fun¸ao do tipo f : C N → C que a cada seq¨ˆncia em C c˜ a a c˜ ueassocia um elemento de C. Fun¸oes 2-´rias ser˜o chamadas aqui de fun¸oes bin´rias e fun¸oes 1-´rias s˜o chamadas de fun¸oes un´rias. Fun¸oes c˜ a a c˜ a c˜ a a c˜ a c˜un´rias e bin´rias s˜o as de maior relevˆncia. a a a a Por vezes iremos falar tamb´m de fun¸oes 0-´rias sobre C, que consistem em fun¸oes f : {∅} → C. Uma tal fun¸ao e c˜ a c˜ c˜tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de fun¸oes 0-´rias sobre R seriam f (∅) = 1 ou f (∅) = 0 √ c˜ aou f (∅) = 2. Freq¨ entemente denotamos tais fun¸oes pelo elemento de C por ela associado. Nos trˆs exemplos acima, u √ c˜ epoder´ıamos denotar as fun¸oes por 1, 0 ou 2, respectivamente. c˜• Magmas Um conjunto C dotado de uma rela¸ao bin´ria C × C → C ´ dito ser um magma. Essa nomenclatura foi introduzida c˜ a epor Bourbaki1 mas n˜o ´, por´m, universalmente empregada. a e e 1 Nicolas Bourbaki. Nome coletivo adotado por um grupo de importantes matem´ticos franceses, nascido por volta de 1935, que teve agrande, mas declinante, influˆncia na estrutura¸ao e sistematiza¸ao da Matem´tica ao longo do s´culo XX. O grupo Bourbaki sofreu diversas e c˜ c˜ a e
  3. 3. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 64/1702• Rela¸oes finit´rias c˜ a H´ uma nomenclatura an´loga para o caso de rela¸oes. Sejam C e I dois conjuntos e consideremos rela¸oes R ⊂ C I . a a c˜ c˜Se I ´ um conjunto finito R ´ dita ser uma rela¸ao finit´ria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui e e c˜ arela¸oes finit´rias do tipo R ⊂ C n para algum n ∈ N. Se R ´ uma rela¸ao finit´ria para um dado n, R ´ dita ser uma c˜ a e c˜ a erela¸ao n-´ria sobre C. Para o caso n = 1 as rela¸oes s˜o tamb´m chamadas de un´rias e para o caso n = 2 s˜o ditas c˜ a c˜ a e a abin´rias. Rela¸oes bin´rias foram estudadas ` p´gina 27. a c˜ a a a• Estruturas Seja C um conjunto, F uma cole¸ao de opera¸oes (n˜o necessariamente finit´rias) sobre C e seja R uma cole¸ao de c˜ c˜ a a c˜rela¸oes (n˜o necessariamente finit´rias) em C. A tripla C, F, R ´ dita ser uma estrutura sobre C. Note-se que tanto c˜ a a eF quanto R podem ser vazias. Dado que opera¸oes sobre um conjunto C tamb´m s˜o rela¸oes sobre C, a defini¸ao de estrutura acima poderia ser c˜ e a c˜ c˜ ´simplificada. E por´m conveniente mantˆ-la como est´, pois fun¸oes s˜o de importˆncia especial. e e a c˜ a a Uma estrutura C, F ´ dita ser uma estrutura alg´brica e uma estrutura C, R ´ dita ser uma estrutura relacional. e e e• Tipos de opera¸oes e de rela¸oes c˜ c˜ Ainda um coment´rio sobre a nomenclatura. a Sejam C e I conjuntos e seja α : C I → C uma opera¸ao sobre o conjunto C. A cardinalidade de I ´ dita ser o tipo c˜ eda opera¸ao α. Assim, uma fun¸ao n-´ria ´ tamb´m dita ser de tipo n. Analogamente, se R ⊂ C I ´ uma rela¸ao em C c˜ c˜ a e e e c˜a cardinalidade de I ´ dita ser o tipo da rela¸ao R. e c˜• Coment´rios sobre a nota¸˜o. Nota¸˜o mesofixa a ca ca Antes de prosseguirmos, fa¸amos uma observa¸ao sobre a nota¸ao que ´ costumeiramente adotada, especialmente c c˜ c˜ equando se trata de fun¸oes bin´rias. c˜ a Dado um conjunto C e uma fun¸ao bin´ria denotada por um s´ c˜ a ımbolo φ, a imagem de um par (a, b) ∈ C 2 ´ e ´comummente denotada por φ(a, b). E muito pr´tico, por vezes, usar uma outra nota¸ao e denotar φ(a, b) por a φ b. Essa a c˜nota¸ao ´ denominada nota¸ao mesofixa. Um exemplo claro desse uso est´ na fun¸ao soma de dois n´ meros complexos, c˜ e c˜ a c˜ u ımbolo + : C2 → C. Denotamos +(z, w) por z + w. Outro exemplo est´ na fun¸ao produto de doisdenotada pelo s´ a c˜n´ meros complexos: · : C2 → C. Denotamos ·(z, w) por z · w. u Essa nota¸ao ser´ usada adiante para outras fun¸oes bin´rias al´m das fun¸oes soma e produto de n´ meros ou c˜ a c˜ a e c˜ umatrizes. Fun¸oes un´rias tamb´m tˆm por vezes uma nota¸ao especial, freq¨ entemente do tipo exponencial. Tal ´ o caso da c˜ a e e c˜ u eopera¸ao que associa a cada elemento de um grupo ` sua inversa, g → g −1 , ou o caso da opera¸ao que associa a cada c˜ a c˜conjunto o seu complementar A → Ac . Ou ainda o caso da transposi¸ao de matrizes M → M T , da conjuga¸ao de c˜ c˜n´ meros complexos z → z ∗ para o que usa-se tamb´m sabidamente a nota¸ao z → z. u e c˜• Comutatividade, associatividade e distributividade Uma fun¸ao bin´ria χ : C 2 → C ´ dita ser comutativa se para quaisquer a e b ∈ C valer c˜ a e χ(a, b) = χ(b, a) ,ou seja, na nota¸ao mesofixa, se c˜ aχb = bχa .Fun¸oes bin´rias comutativas s˜o freq¨ entemente chamadas de Abelianas2 . c˜ a a u Uma fun¸ao bin´ria χ : C 2 → C ´ dita ser associativa se para quaisquer a, b e c ∈ C valer c˜ a e χ(a, χ(b, c)) = χ(χ(a, b), c) ,ou seja, na nota¸ao mesofixa, se c˜ aχ(bχc) = (aχb)χc .cr´ ıticas pelo seu abstracionismo, considerado em certos c´ ırculos como excessivo e mesmo est´ril. e 2 Niels Henrik Abel (1802–1829).
  4. 4. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 65/1702A associatividade permite-nos eliminar os parˆnteses de express˜es como aχ(bχc), que podem ser escritas sem am- e obig¨ idade na forma aχbχc. u Dadas duas fun¸oes bin´rias χ1 , χ2 : C 2 → C, dizemos que χ1 ´ distributiva em rela¸ao a χ2 se valer c˜ a e c˜ χ1 a, χ2 (b, c) = χ2 χ1 (a, b), χ1 (a, c) ou seja, aχ1 (bχ2 c) = (aχ1 b)χ2 (aχ1 c)para quaisquer a, b, c ∈ C.2.1.1 ´ Algebras UniversaisUma algebra Universal ´ constitu´ por um conjunto C e uma cole¸ao F de fun¸oes finit´rias sobre C. A cole¸ao F n˜o ´ e ıda c˜ c˜ a c˜ aprecisa ser finita. Freq¨ entemente denotaremos uma ´lgebra universal por C, F . u a O estudo sistem´tico das ´lgebras universais foi iniciado por Withehead3 e Birkhoff4 , tendo Boole5 , Hamilton6 , De a aMorgan7 e Sylvester8 como precursores. Para uma referˆncia, vide [64]. Vamos a alguns exemplos. e 1. Seja C = R e F = {s, m}, onde s e m s˜o duas fun¸oes bin´rias dadas por s : R2 → R, s(x, y) = x + y e a c˜ a m : R2 → R, m(x, y) = x · y. 2. Seja C = Mat(n) (o conjunto das matrizes complexas n × n para um certo n ∈ N) e F = {s, m}, onde s e m s˜o a duas fun¸oes bin´rias dadas por s : C 2 → C, s(A, B) = A + B e m : C 2 → C, m(A, B) = A · B. c˜ a 3. Seja C o conjunto de todas as matrizes complexas n × m (para n e m ∈ N) e seja F = {c, s, t} onde c : C → C ´ a fun¸ao un´ria dada por c(A) = A (a matriz complexo-conjugada de A), s : C 2 → C ´ a fun¸ao bin´ria dada e c˜ a e c˜ a por s(A, B) = A + B e t : C 3 → C ´ a fun¸ao 3-´ria dada por t(A, B, C) = AB T C, onde B T ´ a transposta da e c˜ a e matriz B. Algumas ´lgebras universais com propriedades especiais de importˆncia em Matem´tica recebem denomina¸oes a a a c˜pr´prias e s˜o chamadas de grupos, semi-grupos, an´is, corpos etc. Vamos introduz´ o a e ı-las adiante. Em todos elas asfun¸oes de F s˜o 0-´rias, un´rias ou bin´rias. c˜ a a a a Algumas estruturas freq¨ entemente encontradas, como espa¸os vetoriais, ´lgebras e m´dulos, n˜o se enquadram u c a o aexatamente no conceito de ´lgebra universal, mas podem ser encarados como constitu´ a ıdos por pares de ´lgebras universais adotadas de uma a¸ao de uma das ´lgebras universais sobre a outra. A no¸ao abstrata de a¸ao de uma ´lgebra universal c˜ a c˜ c˜ asobre uma outra ´lgebra universal ser´ vista mais adiante. a a A leitura do restante desta subse¸ao sobre ´lgebras universais pode ser omitida pois n˜o afetar´ o que segue. c˜ a a a• Morfismos entre ´lgebras universais a Sejam A, A e B, B duas ´lgebras universais. Uma fun¸ao ∆ : A → B ´ dita preservar o tipo das opera¸oes de A a c˜ e c˜se para todo α ∈ A a opera¸ao ∆(α) ∈ B tiver o mesmo tipo que a opera¸ao α. c˜ c˜ Assim, uma aplica¸ao que preserva o tipo leva aplica¸oes un´rias em un´rias, aplica¸oes bin´rias em bin´rias etc. c˜ c˜ a a c˜ a a Um morfismo da ´lgebra universal A, A na ´lgebra universal B, B ´ um par de aplica¸oes D, ∆ com D : A → B a a e c˜e ∆ : A → B, onde ∆ ´ uma aplica¸ao que preserva o tipo e de tal forma que para todo α ∈ A tenhamos e c˜ D ◦ α = ∆(α) ◦ Dcomo aplica¸oes An → B, onde n ´ o tipo de α. c˜ e Isso significa que para todo α ∈ A temos D(α(a1 , . . . , an )) = ∆(α)(D(a1 ), . . . , D(an )) 3 AlfredNorth Withehead (1861–1947). 4 George David Birkhoff (1884–1944). 5 George Boole (1815–1864). 6 William Rowan Hamilton (1805–1865). 7 Augustus De Morgan (1806–1871). 8 James Joseph Sylvester (1814–1897).
  5. 5. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 66/1702para toda (a1 , . . . , an ) ∈ An , n sendo o tipo de α. Exemplo. Sejam as ´lgebras universais R+ , {·, 1} e R, {+, 0} com as defini¸oes usuais e seja o par ln, L , a c˜onde ln : R+ → R ´ o logaritmo Neperiano9 e L : {·, 1} → {+, 0} dado por L(·) = +, L(1) = 0. Ent˜o ln, L ´ um e a emorfismo de R+ , {·, 1} em R, {+, 0} , dado que para todo a, b ∈ R+ vale ln(a · b) = ln(a) + ln(b).• A¸oes de uma ´lgebra universal sobre uma outra ´lgebra universal c˜ a a Por raz˜es de completeza apresentaremos aqui a no¸ao geral de a¸ao de uma ´lgebra universal sobre uma outra. o c˜ c˜ a Vamos come¸ar com algumas defini¸oes. Sejam A e B dois conjuntos e seja uma fun¸ao G : A × B → B. c c˜ c˜ Para todo n, m ∈ N definamos G(n, 1) : An × B → B n tal que (a1 , . . . , an , b) → (G(a1 , b), . . . , G(an , b))com ai ∈ A, b ∈ B. Para todo m, m ∈ N definamos G(1, m) : A × B m → B m tal que (a, b1 , . . . , bm ) → (G(a, b1 ), . . . , G(a, bm ))com a ∈ A, bi ∈ B. Para um conjunto C qualquer idC : C → C denota a identidade em C: idC (c) = c, ∀c ∈ C. Fora isso, se γ : C → C ´ euma aplica¸ao, denotaremos por γ (n) : An → An a aplica¸ao tal que γ (n) (c1 , . . . , cn ) = (γ(c1 ), . . . , γ(cn )). c˜ c˜ Finalmente, para duas aplica¸oes α : An → A e β : B m → B o par (α, β) denota a aplica¸ao An × B m → A × B c˜ c˜dada por (α, β)(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) = (α(a1 , . . . , an ), β(b1 , . . . , bm ))). Com isso podemos formular a defini¸ao desejada de a¸ao de uma ´lgebra universal sobre uma outra. c˜ c˜ a Sejam A, A e B, B duas ´lgebras universais. Uma a¸ao de A, A sobre B, B ´ um par G, Γ onde a c˜ e G: A×B →B e Γ:A→Bs˜o aplica¸oes tais que Γ preserva tipos e as seguintes condi¸oes s˜o v´lidas: Para quaisquer α ∈ A e β ∈ B (cujos tipos a c˜ c˜ a aser˜o n e m, respectivamente) tem-se que a G ◦ (α, β) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦ (idAn , β) = β ◦ G(1, m) ◦ (α, idB m ) (2.1)como aplica¸oes An × B m → B. c˜ De (2.1) segue que G ◦ (α, idB ) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦ (idAn , idB ) (2.2)e G ◦ (idA , β) = β ◦ G(1, m) ◦ (idA , idB m ) . (2.3)E. 2.1 Exerc´cio. Mostre isso. ı De (2.2) e (2.3) segue que (n) G(n, 1) ◦ (idAn , β) = β ◦ G(1, m) ◦j (2.4)e (m) G(1, m) ◦ (α, idB m ) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦k , (2.5) n m m nonde j : A × B → (A × B ) ´ dada por e j(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) := (a1 , b1 , . . . , bm , a2 , b1 , . . . , bm , . . . , an , b1 , . . . , bm ) n me k :A ×B → (An × B)m ´ dada por e k(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) := (a1 , . . . , an , b1 , a1 , . . . , an , b2 , . . . , a1 , . . . , an , bm ) . 9 John Napier (Neper ou Nepair) (1550–1617).
  6. 6. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 67/1702E. 2.2 Exerc´cio. Mostre isso. ı Das rela¸oes (2.4) e (2.5) segue que a condi¸ao (2.1) pode ser escrita como c˜ c˜ (n) (m) G ◦ (α, β) = Γ(α) ◦ β ◦ G(1, m) ◦ j = β ◦ Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦k . (2.6) Observa¸ao. Acima estamos considerando idA , idB , como elementos de A, respectivamente de B, o que sempre pode c˜ser feito sem perda de generalidade.2.1.2 ´ Reticulados e Algebras Booleanas• Reticulados Um reticulado10 ´ uma ´lgebra universal constitu´ por um conjunto n˜o-vazio C e duas fun¸oes bin´rias denotadas e a ıda a c˜ apor ∧ e ∨ (lˆ-se “e” e “ou”, respectivamente), dotadas as seguintes propriedades, v´lidas para todos a, b e c ∈ C (usaremos e aa nota¸ao mesofixa): c˜ 1. Idempotˆncia: e a∧a = a, a∨a = a. 2. Comutatividade: a∧b = b∧a , a∨b = b∨a. 3. Associatividade: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c , a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c . 4. Absorvˆncia11: e a ∧ (a ∨ b) = a , a ∨ (a ∧ b) = a . Um reticulado em um conjunto C ´ dito ser um reticulado sobre C. Vamos a exemplos de reticulados. eExemplo 2.1 Seja C = È(B), para algum conjunto n˜o-vazio B e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a c˜ aa, b ⊂ B, por a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b. ◊Exemplo 2.2 Seja C = R e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ R, por c˜ a 1 a ∧ b := min{a, b} = a+b− a−b , 2 1 a ∨ b := max{a, b} = a+b+ a−b . 2 ◊ XExemplo 2.3 Este exemplo generaliza o Exemplo 2.2. Seja X um conjunto n˜o-vazio e C = R , o conjunto de todas aas fun¸oes reais definidas em X. Para duas fun¸oes f, g : X → R defina-se duas novas fun¸oes f ∧ g e f ∨ g por c˜ c˜ c˜ 1 (f ∧ g)(x) := min{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) − f (x) − g(x) , 2 1 (f ∨ g)(x) := max{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) + f (x) − g(x) . 2 ◊ 10 Denominado “lattice” em inglˆs e “Verband” em alem˜o. e a 11 Tamb´m e denominada “Amalgamento”. O estudante deve observar que essa ´ a unica propriedade das listadas acima que relaciona ambas e ´as opera¸oes ∧ e ∨. c˜
  7. 7. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 68/1702Exemplo 2.4 Uma outra generaliza¸ao do Exemplo 2.2. Seja C um conjunto linearmente ordenado (a defini¸ao est´ ` c˜ c˜ aap´gina 40) e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ C, por a c˜ a a, se a b , a, se a b , a∧b = a∨b = b, de outra forma , b, de outra forma . ◊E. 2.3 Exerc´cio. Mostre que cada um dos exemplos acima comp˜e um reticulado. ı o• Reticulados e rela¸oes de ordem c˜ O Exemplo 2.4, acima, mostra-nos que ´ poss´ constituir um reticulado a partir de uma rela¸ao de ordem total. e ıvel c˜Reciprocamente, ´ poss´ construir uma rela¸ao de ordem parcial a partir de um reticulado. Para tratar disso (e para e ıvel c˜futura referˆncia), enunciemos e provemos o seguinte lema: eLema 2.1 Seja C um conjunto n˜o-vazio, o qual constitui um reticulado com duas opera¸oes bin´rias ∧ e ∨. Ent˜o, a c˜ a adois elementos x, y ∈ C satisfazem a igualdade x = x ∧ y se e somente se satisfizerem tamb´m y = x ∨ y. eProva. Se x e y ∈ C satisfazem x = x ∧ y, ent˜o segue que x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y = y, sendo que na ultima igualdade usamos a ´as propriedades de comutatividade e absorvˆncia. Analogamente, se y = x ∨ y, segue que x ∧ y = x ∧ (x ∨ y) = x, onde enovamente usamos as propriedades de comutatividade e absorvˆncia. e Essas observa¸oes do Lema 2.1, adicionadas ` inspira¸˜o do Exemplo 2.4, induzem-nos ` seguinte defini¸ao de uma c˜ a ca a c˜rela¸ao de ordem parcial em C: dizemos que x c˜ y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se e somente sey = x ∨ y. Precisamos agora justificar dizer que se trata de uma rela¸˜o de ordem parcial, provando serem v´lidas as propriedades ca ade reflexividade, transitividade e anti-simetria listadas ` p´gina 39. Notemos que, pela propriedade de idempotˆncia, a a evale x = x ∧ x para todo x ∈ C e, portanto, x x para todo x ∈ C. Essa ´ a propriedade de reflexividade da ordem eparcial. Notemos tamb´m que se x, y e z ∈ C tˆm as propriedades x = x ∧ y e y = y ∧ z, segue que x = x ∧ y = e ex ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ z, onde usamos a propriedade de associatividade. Logo, provamos que se x y e y zvale x z. Essa ´ a propriedade de transitividade da ordem parcial. Por fim, se x = x ∧ y e y = y ∧ x, a propriedade de ecomutatividade diz-nos que x = x ∧ y = y. Assim, provamos que se x y e y x vale x = y. Essa ´ a propriedade de eanti-simetria da ordem parcial. E. 2.4 Exerc´cio. Estude as rela¸oes de ordem que advˆm dos Exemplos 2.1 e 2.3 e constate que s˜o rela¸oes de ordem ı c˜ e a c˜parciais, n˜o totais (exceto no caso em que C tem apenas um elemento). a• Reticulados limitados superiormente. Reticulados limitados inferiormente Um reticulado C ´ dito ser limitado superiormente se tiver um m´ximo, ou seja, se existir ω ∈ C tal que x e a ω paratodo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∧ ω para todo x ∈ C. Um reticulado C ´ dito ser limitado inferiormente se tiver um m´ximo, ou seja, se existir α ∈ C tal que α e a x paratodo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∨ α para todo x ∈ C. Essas defini¸oes coincidem, como veremos, com as defini¸˜es de unidade e elemento nulo de um reticulado que c˜ coapresentaremos adiante.• Unidade e elemento nulo de um reticulado Caso um reticulado C possua um elemento e tal que x ∧e = x para todo x ∈ C o elemento e ´ dito ser uma identidade e u ımbolo 1. Pelo Lema 2.1, a rela¸ao x ∧ 1 = x ´ v´lida se eou unidade do reticulado, e ´ freq¨ entemente denotado pelo s´ e c˜ e asomente se 1 = x ∨ 1. Caso um reticulado C possua um elemento z tal que x ∨ z = x para todo x ∈ C o elemento z ´ dito ser um elemento e u ımbolo 0. Pelo Lema 2.1, a rela¸ao x ∨ 0 = x ´ v´lida se e somentenulo do reticulado, e ´ freq¨ entemente denotado pelo s´ e c˜ e ase 0 = x ∧ 0.
  8. 8. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 69/1702 Assim, se existirem unidade e elemento nulo teremos x = x ∧1 , 1 = x∨1, x = x∨0 e 0 = x∧0 (2.7)para todo x ∈ C. A unidade e o elemento nulo, se existirem, s˜o unicos. Se fato, se 1 e 1′ s˜o unidades de um reticulado C ent˜o, por a ´ a adefini¸ao, 1 ∧ 1′ = 1, mas tamb´m 1′ ∧ 1 = 1′ , provando (pela comutatividade) que 1 = 1′ . Analogamente, se 0 e 0′ s˜o c˜ e aelementos nulos de um reticulado C ent˜o, tamb´m por defini¸ao, 0 ∨ 0′ = 0, mas tamb´m 0′ ∨ 0 = 0′ , provando (pela a e c˜ ecomutatividade) que 0 = 0′ . Como dissemos acima, podemos associar naturalmente uma rela¸ao de ordem parcial a um reticulado dizendo que c˜x y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se y = y ∨ x. Se C possui uma unidade 1 teremos x 1 para todox ∈ C, pois x = x ∧ 1. Analogamente, se Se C possui um elemento nulo 0 teremos 0 x para todo x ∈ C, pois x = x ∨ 0. Vemos com isso que 1 ´ o m´ximo e 0 o m´ e a ınimo do reticulado (se existirem).• Reticulados limitados Um reticulado que for limitado superiormente e inferiormente ´ dito ser um reticulado limitado. Assim, um reticulado e´ limitado se possuir uma unidade e um elemento nulo (ou seja, um m´ximo e um m´e a ınimo). Em um reticulado limitado C vale 0 x 1 para todo x ∈ C. Se em um reticulado C tivermos 0 = 1, valer´, aportanto, x = 0 = 1 para todo x ∈ C, ou seja, C possui um unico elemento. Um tal caso ´ totalmente trivial, de forma ´ eque sempre consideraremos 0 = 1.• Reticulados completos Um reticulado ´ dito ser um reticulado completo se todo seu subconjunto n˜o-vazio possuir um supremo e um e a´ınfimo (em rela¸ao ` rela¸ao de ordem parcial ). Para as defini¸oes de supremo e ´ c˜ a c˜ c˜ ınfimo, vide p´gina 43 e seguintes. aNaturalmente, reticulados completos devem ser limitados. A cole¸ao de todas as topologias definidas em um conjunto n˜o-vazio constitui um reticulado completo. Vide Exerc´ c˜ a ıcioE. 23.20, p´gina 1065. a• Elementos complementares Seja C um reticulado limitado (ou seja, que possui uma unidade e um elemento nulo). Dizemos que dois elementosx, y ∈ C s˜o complementares se a x∧y = 0 e x∨y = 1.Em um tal caso dizemos que x ´ complementar a y e vice-versa. Elementos complementares n˜o s˜o necessariamente e a aunicos, ou seja, se y ´ complementar a x pode haver y ′ = y que tamb´m ´ complementar a x. Como veremos, uma´ e e econdi¸ao suficiente para garantir a unicidade (n˜o a existˆncia!) do complementar de um elemento x ´ a propriedade c˜ a e edistributiva. Pela defini¸ao de unidade e de elemento nulo, valem 0 = 0 ∧ 1 e 1 = 1 ∨ 0. Essas rela¸oes est˜o dizendo que 0 e 1 s˜o c˜ c˜ a aelementos complementares.• Reticulados complementados Um reticulado no qual todo elemento possui ao menos um complementar ´ dito ser um reticulados complementado. e• Reticulados distributivos Um reticulado sobre um conjunto C ´ dito ser um reticulado distributivo se as opera¸oes ∧ e ∨ forem distributivas e c˜uma em rela¸ao ` outra, ou seja, se forem satisfeitas as propriedades c˜ a a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)e a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) .para todos a, b e c ∈ C.
  9. 9. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 70/1702E. 2.5 Exerc´cio. Nos Exemplos 2.1–2.4, acima, quais reticulados s˜o distributivos? Quais n˜o s˜o? ı a a a• Reticulados limitados e distributivos Em um reticulado distributivo e limitado C, o complementar de um elemento x ∈ C, se existir, ´ unico. De fato, se e´y e y ′ ∈ C s˜o complementares a x, teremos 0 = x ∧ y = x ∧ y ′ e 1 = x ∨ y = x ∨ y ′ . Agora, a distrib. y = y ∧ 1 = y ∧ (x ∨ y ′ ) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ y ′ ) = 0 ∨ (y ∧ y ′ ) = y ∧ y ′e, analogamente, distrib. y ′ = y ′ ∧ 1 = y ′ ∧ (x ∨ y) = (y ′ ∧ x) ∨ (y ′ ∧ y) = 0 ∨ (y ′ ∧ y) = y ′ ∧ y ,provando que y = y ∧ y ′ = y ′ . Em um reticulado distributivo e limitado, o complementar (´nico!) de um elemento x ∈ C, se existir, ´ denotado u e ımbolo ∁x, pelo s´pelo s´ ımbolo xc . ımbolo ¬x ou ainda pelo s´ Se ¬x ´ o complementar de x, ´ evidente que ¬x tem um complementar, a saber, x. Logo, ¬(¬x) = x sempre que ¬x e e ´existir. E importante notar tamb´m que, pelo comentado acima, valem ¬0 = 1 e ¬1 = 0. e• Reticulados limitados, complementados e distributivos Se al´m de distributivo e limitado o reticulado for tamb´m complementado haver´ um complementar unico para cada e e a ´elemento de C e, portanto, haver´ uma fun¸ao un´ria ¬ : C → C que a cada x ∈ C associa o seu complementar ¬x. a c˜ aComo vimos, vale nesse caso ¬(¬x) = x para todo x ∈ C, assim como valem as rela¸oes ¬0 = 1 e ¬1 = 0. c˜ Um reticulado limitado, complementado e distributivo ´ dito ser uma algebra Booleana. e ´ ´• Algebras Booleanas Uma algebra Booleana12 ´ uma ´lgebra universal formada por um conjunto B e por uma fam´ F de cinco fun¸oes ´ e a ılia c˜ a c˜ a ımbolo ∁, e denominadafinit´rias: duas bin´rias, denotadas por ∧ e ∨, uma fun¸ao un´ria, denotada por ¬ ou pelo s´ a“nega¸ao” ou “complemento”, e duas fun¸oes 0-´rias, denotadas genericamente por 0 e 1 (denominadas, obviamente, c˜ c˜ a“zero” e “um”), as quais representam elementos fixos distintos de B. As fun¸oes acima s˜o supostas satisfazer aos c˜ aseguintes requisitos: 1. B, ∧ e ∨ formam um reticulado distributivo. 2. Para todo a ∈ B vale que 1 ∧ a = a e que 0 ∨ a = a. 3. Para todo a ∈ B vale que a ∧ (¬a) = 0 e que a ∨ (¬a) = 1. Por vezes, denota-se ¬a por ∁a ou por ac . Tal uso ´ comum em opera¸oes envolvendo conjuntos. Novamente, tem-se e c˜pelas defini¸oes que ¬0 = 1, ¬1 = 0 e ¬ (¬a) = a para todo a ∈ B. c˜• Regras de De Morgan Em uma ´lgebra Booleana B valem para todos a, b ∈ B as importantes rela¸oes a c˜ ¬(a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) e ¬(a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b) , (2.8)as quais s˜o conhecidas como regras de De Morgan13 . a A segunda rela¸ao em (2.8) ´ decorrˆncia da primeira, como se vˆ trocando a → ¬a e b → ¬b. Por isso, basta provar c˜ e e ea primeira, o que significa provar que (¬a) ∨ (¬b) ∧ (a ∧ b) = 0 e (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) = 1 . (2.9) 12 George Boole (1815–1864). 13 Augustus De Morgan (1806–1871).
  10. 10. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 71/1702Ambas decorrem da comutatividade, da associatividade, da distributividade e das rela¸oes (2.7). Para provar a primeira c˜rela¸ao em (2.9), temos c˜ associat. (¬a) ∨ (¬b) ∧ (a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) ∧ a ∧ b distribut. = (¬a) ∧ a ∨ (¬b) ∧ a ∧b = 0 ∨ (¬b) ∧ a ∧b (2.7) comutat. = (¬b) ∧ a ∧ b = b ∧ (¬b) ∧ a associat. (2.7) = b ∧ (¬b) ∧ a = 0 ∧ a = 0.Para provar a segunda rela¸ao em (2.9), temos c˜ associatt. (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) distribut. = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a ∧ (¬b) ∨ b = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a ∧ 1 (2.7) comutat. = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a = (¬a) ∨ a ∨ (¬b) associatt. (2.7) = (¬a) ∨ a ∨ (¬b) = 1 ∨ (¬b) = 1.• Exemplos b´sicos de ´lgebras Booleanas a aExemplo 2.5 Seja A um conjunto n˜o-vazio e tomemos B = È(A). Para a, b ∈ È(A) definamos a∧b = a∩b, a∨b = a∪b, a¬a = ∁a = A a, 0 = ∅, 1 = A. ◊Exemplo 2.6 A menor ´lgebra Booleana, e talvez uma das mais importantes em aplica¸oes, ´ composta por dois a c˜ eelementos distintos, denotados por 0 e 1: B = {0, 1} e as opera¸oes ∧, ∨ e ¬ s˜o dadas por c˜ a 0∧0 = 0, 0∧1 = 0, 1∧0 = 0, 1∧1 = 1, 0∨0 = 0, 0∨1 = 1, 1∨0 = 1, 1∨1 = 1,e por ¬0 = 1 e ¬1 = 0. ◊Exemplo 2.7 B = [0, 1] ⊂ R, as opera¸oes ∧, ∨ s˜o dadas como no Exemplo 2.2, p´gina 67: c˜ a a a ∧ b := min{a, b} e a ∨ b := max{a, b}para todos a, b ∈ [0, 1] e a opera¸ao ¬ ´ dada por ¬a = 1 − a para todo a ∈ [0, 1]. Naturalmente, o elemento nulo ´ o c˜ e en´ mero 0 e a unidade ´ o n´ mero 1. u e u ◊Exemplo 2.8 O mesmo que o anterior, mas tomando B como sendo qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e1. ◊Exemplo 2.9 Seja X um conjunto n˜o-vazio e seja I qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e 1. Seja B = I X , aa cole¸ao de todas as fun¸oes de X em I. Como no Exemplo 2.3, p´gina 67, defina-se para cada x ∈ X c˜ c˜ a (f ∧ g)(x) = min{f (x), g(x)} e (f ∨ g)(x) = max{f (x), g(x)}e defina-se (¬f )(x) = 1 − f (x). Tome-se o elemento nulo como sendo a fun¸ao identicamente nula e a unidade como c˜sendo a fun¸ao identicamente igual a 1. c˜ ◊
  11. 11. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 72/1702E. 2.6 Exerc´cio. Mostre que os sistemas definidos nos exemplos acima formam ´lgebras Booleanas. ı a * ** * A relevˆncia das ´lgebras Booleanas est´ em capturarem algebricamente as opera¸oes mais importantes da teoria a a a c˜dos conjuntos (como as de uni˜o, intersec¸ao e complemento, conjunto vazio) e as da l´gica (“e”, “ou”, “nega¸ao”, a c˜ o c˜ c˜ ´“verdadeiro”, “falso”). Os dois primeiros exemplos acima atestam essa concep¸ao. Algebras Booleanas s˜o de f´cil a aimplementa¸ao em Eletrˆnica e de amplo uso em processamento digital. c˜ o2.1.3 Semi-Grupos, Mon´ides e Grupos oNesta se¸ao introduziremos algumas no¸oes alg´bricas de grande importˆncia. c˜ c˜ e a• Quase-grupos e loops Um quase-grupo ´ um conjunto Q, dotado de uma opera¸ao bin´ria Q × Q → Q, denotada por “·”, tal que para todo e c˜ apar a e b ∈ Q existem x e y ∈ Q, unicos, satisfazendo x · a = b e a · y = b. ´ Em palavras, um quase-grupo ´ uma estrutura onde a “divis˜o”, ` esquerda e ` direita, ´ sempre poss´ e a a a e ıvel. Um loop L ´ um quase-grupo com elemento neutro, ou seja, ´ um quase-grupo no qual existe um elemento e, e edenominado identidade, tal que a · e = e · a = a para todo a ∈ L. O elemento neutro de um loop ´ sempre unico, pois se e′ ´ tamb´m um elemento neutro, segue que e′ = e′ · e = e. e ´ e e Em um loop, todo elemento possui uma unica inversa a direita e uma unica inversa a esquerda (n˜o necessariamente ´ ` ´ ` aiguais). Ou seja, para cada a ∈ L existem um unico elemento em L que denotamos por a−1 , denominado inverso a ´ l `esquerda de a, tal que a−1 · a = e e um unico elemento em L que denotamos por a−1 , denominado inverso a direita de a, l ´ r `tal que a · a−1 = e. A existˆncia e unicidade de tais elementos ´ conseq¨ˆncia da propriedade definidora de quase-grupo. r e e ue• Semi-grupos Um semi-grupo ´ um conjunto n˜o-vazio S dotado de uma opera¸ao bin´ria S ×S → S denotada por “·” e denominada e a c˜ aproduto tal que a seguinte propriedade ´ satisfeita. e 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ S vale (a · b) · c = a · (b · c).• Mon´ides o Um mon´ide ´ um conjunto n˜o-vazio M dotado de uma opera¸ao bin´ria M ×M → M denotada por “·” e denominada o e a c˜ aproduto tal que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas. a 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ M vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (´ nico!) elemento e ∈ M , denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para u todo g ∈ M . Observa¸ao: A unicidade do elemento neutro ´ garantida pela observa¸ao que se houvesse e′ ∈ M tal que g · e′ = c˜ e c˜ ′ ıamos e′ = e′ · e = e.e · g = g para todo g ∈ M ter´• Grupos Uma das no¸oes mais fundamentais de toda a Matem´tica ´ a de grupo. Um grupo ´ um conjunto n˜o-vazio G c˜ a e e adotado de uma opera¸ao bin´ria G × G → G, denotada por “·” e denominada produto, e de uma opera¸ao un´ria G → G c˜ a c˜ a(bijetora) denominada inversa, denotada pelo expoente “−1 ”, tais que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas. a 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ G vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (´ nico!) elemento e ∈ G, denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para u todo g ∈ G.
  12. 12. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 73/1702 3. Inversa. Para cada g ∈ G existe um (´ nico!) elemento h ∈ G tal que g · h = h · g = e. Esse elemento ´ denominado u e a inversa de g e denotado por g −1 . Observa¸oes elementares: c˜ 1. A unicidade do elemento neutro ´ garantida pela observa¸ao que se houvesse e′ tal que g · e′ = e′ · g = g para todo e c˜ ıamos e′ = e′ · e = e. g ∈ G ter´ 2. Analogamente se estabelece a unicidade da inversa, pois se g, h ∈ G s˜o tais que h · g = g · h = e, teremos, usando a a associatividade, g −1 = g −1 · e = g −1 · (g · h) = (g −1 · g) · h = e · h = h. 3. A fun¸ao G ∋ g → g −1 ∈ G, que associa cada elemento de G ` sua inversa, ´ um exemplo de uma fun¸ao un´ria. c˜ a e c˜ a 4. Como e · e = e, segue que e−1 = e. 5. Para todo g ∈ G vale (g −1 )−1 = g pois, usando a associatividade, (g −1 )−1 = ( g −1 )−1 · e = (g −1 )−1 · (g −1 · g) = ((g −1 )−1 · g −1 ) · g = e · g = g . 6. Todo grupo ´, trivialmente, um quase-grupo, um loop, um semi-grupo e um mon´ide. e o Um grupo ´ dito ser comutativo ou Abeliano14 se a · b = b · a para todos a, b ∈ G. Essa nomenclatura se aplica etamb´m a semi-grupos e mon´ides. e o ´ E evidente que todo grupo ´ um mon´ide e que todo mon´ide ´ um semi-grupo. e o o e Existe uma constru¸ao canˆnica devida a Grothendieck, que discutimos ` p´gina 140, que permite construir um grupo c˜ o a aAbeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. Essa constru¸ao ´ importante em v´rias ´reas da Matem´tica. O c˜ e a a aleitor interessado poder´ passar sem perda ` discuss˜o da p´gina 140. a a a a• Exemplos simples 1. O conjunto S = {1, 2, 3, . . .} ´ um semi-grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual. O conjunto M = e c˜ a c˜ {0, 1, 2, 3, . . .} ´ um mon´ide em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual, sendo o elemento neutro e = 0. O e o c˜ a c˜ conjunto G = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual, sendo o elemento e c˜ a c˜ neutro e = 0 e a inversa n−1 = −n. 2. R dotado da opera¸ao de multiplica¸ao usual ´ um mon´ide onde o elemento neutro ´ o n´ mero 1. N˜o ´ um c˜ c˜ e o e u a e grupo, pois 0 n˜o tem inversa multiplicativa. a 3. O conjunto {x ∈ R, x > 0} ´ um semi-grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma, mas n˜o ´ um mon´ide. e c˜ a c˜ a e o 4. O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0} ´ um mon´ide Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma mas n˜o um grupo. e o c˜ a c˜ a 5. O conjunto dos n´ meros inteiros Z ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros inteiros. u e c˜ a c˜ u Esse grupo ´ comummente denotado por (Z, +), para lembrar o conjunto considerado (no caso, Z) e a opera¸ao e c˜ considerada nesse conjunto (no caso, +) . 6. O conjunto dos n´ meros racionais Q ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros u e c˜ a c˜ u racionais. Esse grupo ´ comummente denotado por (Q, +). e 7. O conjunto Q {0} = {r ∈ Q, r = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u racionais. Esse grupo ´ comummente denotado por (Q, ·). e 8. O conjunto dos n´ meros reais R ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros reais. Esse u e c˜ a c˜ u grupo ´ comummente denotado por (R, +). e 9. O conjunto dos n´ meros complexos C ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros u e c˜ a c˜ u complexos. Esse grupo ´ comummente denotado por (C, +). e 14 Niels Henrik Abel (1802–1829).
  13. 13. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 74/1702 10. O conjunto R {0} = {x ∈ R, x = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u reais. Esse grupo ´ comummente denotado por (R, ·). e 11. O conjunto C {0} = {z ∈ C, z = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u complexos. Esse grupo ´ comummente denotado por (C, ·). e 12. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n com o produto usual de matrizes ´ apenas um mon´ide. e o 13. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma de matrizes. e c˜ a c˜ 14. O conjunto GL(R, n) de todas as matrizes reais n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um e grupo em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. GL(R, n) ´ n˜o-Abeliano se n > 1. c˜ a c˜ e a 15. O conjunto GL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. GL(C, n) ´ n˜o-Abeliano se n > 1. e c˜ a c˜ e a 16. O conjunto GL(Q, n) de todas as matrizes racionais n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ e um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. O conjunto GL(Z, n) de a c˜ a c˜ todas as matrizes inteiras n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um mon´ide n˜o-Abeliano e o a (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. N˜o ´ um grupo pois a inversa de uma matriz c˜ a c˜ a e invers´ com entradas inteiras n˜o ´ sempre uma matriz com entradas inteiras. ıvel a e 17. O conjunto SL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante igual a 1 (e, portanto, invers´ ıveis) ´ um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. O mesmo ´ verdadeiro e a c˜ a c˜ e para SL(R, n), SL(Q, n) e SL(Z, n), as matrizes reais, racionais ou inteiras, respectivamente, com determinante igual a 1. 18. O conjunto de todas as matrizes complexas n×n cujo determinante tˆm m´dulo igual a 1: {A ∈ Mat (C, n)| | det(A)| = e o 1}. ´ um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. e a c˜ a c˜ 19. Seja X um conjunto n˜o-vazio. Ent˜o È(X) ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de diferen¸a sim´trica a a e c˜ a c˜ c e A△B, A, B ∈ X, definida em (1.2), p´gina 27. De fato, o Exerc´ E. 1.2, p´gina 27, garante associatividade e a ıcio a comutatividade, o elemento neutro ´ o conjunto vazio ∅ e para todo A ∈ È(X) tem-se A−1 = A. Verifique! e 20. Outro exemplo importante ´ o seguinte. Seja C um conjunto n˜o-vazio e tomemos S = C C , o conjunto de todas e a as fun¸oes de C em C. Ent˜o, S ´ um mon´ide com o produto formado pela composi¸ao de fun¸oes: f ◦ g, e onde c˜ a e o c˜ c˜ o elemento neutro ´ a fun¸ao identidade id(s) = s, ∀s ∈ C. O subconjunto de C C formado pelas fun¸oes bijetoras e c˜ c˜ de C em C ´ um grupo n˜o-Abeliano, onde o produto ´ a composi¸ao de fun¸oes, o elemento neutro ´ a fun¸ao e a e c˜ c˜ e c˜ identidade e o elemento inverso de uma fun¸ao f : C → C ´ a fun¸ao inversa f −1 . Esse grupo ´ denominado grupo c˜ e c˜ e de permuta¸oes do conjunto C e denotado por P erm(C). c˜E. 2.7 Exerc´cio. Em caso de d´vida, prove todas as afirma¸oes acima. ı u c˜• Subgrupos Seja G um grupo em rela¸ao a uma opera¸ao “·” e cujo elemento neutro seja e. Um subconjunto H de G ´ dito ser c˜ c˜ eum subgrupo de G se for tamb´m por si s´ um grupo em rela¸ao ` mesma opera¸ao, ou seja, se e o c˜ a c˜ 1. e ∈ H, 2. h1 · h2 ∈ H para todos h1 ∈ H e h2 ∈ H, 3. h−1 ∈ H para todo h ∈ H. Todo grupo G sempre possui pelo menos dois subgrupos: o pr´prio G e o conjunto {e} formado apenas pelo elemento oneutro de G. ´ a ´ a E f´cil verificar que (Z, +) e (Q, +) s˜o subgrupos de (R, +). E f´cil ver que SL(R, n), o conjunto de todas aas matrizes reais n × n com determinante igual a 1, ´ um subgrupo de GL(R, n). Idem para SL(C, n) em rela¸ao a e c˜GL(C, n).
  14. 14. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 75/1702• Os grupos Zn O bem conhecido algoritmo de Euclides afirma que, dado n ∈ N, ent˜o todo n´ mero inteiro z pode ser escrito de a umaneira unica na forma z = qn + r, onde q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. O n´ mero r ´ denominado resto da divis˜o de ´ u e az por n e ´ tamb´m denotado por r = z mod n. e e Seja n um inteiro positivo maior ou igual a 2 e seja o conjunto {0, 1, . . . , n − 1}. Vamos definir uma opera¸ao bin´ria c˜ aem {0, 1, . . . , n − 1}, denominada soma e denotada pelo s´ ımbolo “+”, da seguinte forma: α + β = [α + β] mod npara todos α, β ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Acima [α + β] representa a soma usual de n´ meros inteiros em Z. u E. 2.8 Exerc´cio. Prove que a opera¸˜o de soma definida acima ´ uma opera¸˜o bin´ria de {0, 1, . . . , n − 1} e mostre ı ca e ca aque a mesma ´ associativa, comutativa e tem 0 como elemento neutro. e E. 2.9 Exerc´cio. Para cada a ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, defina a−1 = (n − a) mod n. Mostre que a−1 ∈ {0, 1, . . . , n − 1} e ıque a + a−1 = 0. ıcios acima provam que {0, 1, . . . , n − 1} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma definida Os dois exerc´ e c˜ a c˜acima. Esse grupo ´ denominado grupo Zn , ou Z(n). e• R+ estendido O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0} ´ um mon´ide Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma e em rela¸ao ` opera¸ao de e o c˜ a c˜ c˜ a c˜produto e vale ainda a propriedade distributiva a(b + c) = ab + ac. Sabidamente, R+ ´ tamb´m um conjunto linearmente e eordenado pela rela¸ao de ordem usual. c˜ Vamos abaixo descrever um outro conjunto linearmente ordenado que cont´m R+ e ´ tamb´m um mon´ide Abeliano e e e oem rela¸ao ` opera¸ao de soma e em rela¸ao ` opera¸˜o de produto e vale ainda a propriedade distributiva. c˜ a c˜ c˜ a ca Definimos um conjunto, que denotaremos por R+ , juntando a R+ um conjunto formado por um elemento, elementoesse que denotaremos provisoriamente por ω, com ω ∈ R+ , para o qual certas rela¸oes alg´bricas ser˜o definidas. Seja c˜ e aR+ = R+ ∪ {ω} e definimos as opera¸oes de soma e produto em R+ da seguinte forma: se a e b s˜o elementos de R+ c˜ asuas soma a + b e seu produto ab s˜o definidos como usualmente. Fora isso, valem a 1. a + ω = ω + a = ω, para todo a ∈ R+ . 2. ω + ω = ω. 3. aω = ωa = ω, para todo a ∈ R+ , a = 0. 4. 0ω = ω0 = 0. 5. ωω = ω. E. 2.10 Exerc´cio. Verifique que R+ ´ um mon´ide Abeliano em rela¸˜o ` opera¸˜o de soma e em rela¸˜o ` opera¸˜o de ı e o ca a ca ca a caproduto definidas acima e que vale ainda a propriedade distributiva. R+ ´ linearmente ordenado tomando-se em R+ a rela¸ao de ordem usual e fixando-se a < ω para todo a ∈ R+ . e c˜ ´ E bastante claro que na defini¸ao abstrata acima o objeto representado pelo s´ c˜ ımbolo ω desempenha o papel formal-mente desempenhado por um n´ mero infinito positivo. A constru¸ao das rela¸oes alg´bricas acima prescinde, por´m, u c˜ c˜ e edessa no¸ao, pois ω pode ser qualquer objeto (fora de R+ ). c˜ Com um certo abuso de linguagem, ´ costume, substituir o s´ e ımbolo ∞, dando a entender que ω ımbolo ω pelo s´ u ´representa algo como um n´ mero infinito positivo. E comum tamb´m denotar-se R+ = [0, ∞]. e E. 2.11 Exerc´cio. Que problemas surgem quando se tenta estender a constru¸˜o acima para o conjunto R de todos os ı careais?
  15. 15. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 76/17022.1.4 CorposUm corpo15 ´ um conjunto n˜o-vazio K dotado de duas opera¸oes bin´rias, denotadas por “+” e “·”, denominadas soma e a c˜ ae produto, respectivamente, satisfazendo o seguinte : 1. A opera¸ao de soma tem as seguintes propriedades: c˜ (a) Comutatividade: para todos α, β ∈ K vale α + β = β + α. (b) Associatividade: para todos α, β, γ ∈ K vale α + (β + γ) = (α + β) + γ. (c) Elemento neutro: existe um elemento 0 ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero, tal que α + 0 = α para todo α ∈ K. (d) Inversa: para cada α ∈ K existe um elemento denotado por β, unico, com a propriedade α + β = 0. Esse ´ elemento ´ mais comummente denotado por −α. e 2. A opera¸ao de produto tem as seguintes propriedades: c˜ (a) Comutatividade: para todos α, β ∈ K vale α · β = β · α. (b) Associatividade: para todos α, β, γ ∈ K vale α · (β · γ) = (α · β) · γ. (c) Elemento neutro: existe um elemento 1 ∈ K, chamado de unidade, tal que α · 1 = α para todo α ∈ K. (d) Inversa: para cada α ∈ K, α = 0, existe um unico elemento denotado por β com a propriedade α · β = 1. Esse ´ elemento ´ mais comummente denotado por α−1 . e 3. Distributividade: o produto ´ distributivo em rela¸ao ` adi¸ao: para todos α, β, γ ∈ K vale α·(β +γ) = α·β +α·γ. e c˜ a c˜Alguns autores consideram conveniente incluir tamb´m a hip´tese de que o elemento neutro e o elemento nulo s˜o e o a ıamos K = {0} (justifique!), uma situa¸ao um tanto trivial.distintos, 1 = 0, pois doutra forma ter´ c˜ Note-se que corpos s˜o grupos comutativos em rela¸ao ` opera¸ao de soma e mon´ides comutativos em rela¸ao ` a c˜ a c˜ o c˜ aopera¸ao de produto. Pelo que comentamos anteriormente, isso garante a unicidade do elemento nulo e da unidade de c˜um corpo. A distributividade ´ a unica propriedade listada acima que relaciona as opera¸oes de soma e produto. e ´ c˜ Os elementos de um corpo s˜o por vezes denominados escalares. Por motivos estruturais ´ importante frisar que a eum corpo depende em sua defini¸ao do conjunto K e das opera¸oes bin´rias “+” e “·” nele definidas e muitas vezes nos c˜ c˜ a ´referiremos a um corpo como sendo uma tripla (K, +, ·). E freq¨ ente omitir-se o s´ u ımbolo “·” de produto por escalaresquando nenhuma confus˜o ´ poss´ a e ıvel. Em um corpo K sempre vale que α · 0 = 0 para todo α ∈ K. De fato, como 0 = 0 + 0, segue que α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0 .Somando-se a ambos os lados o elemento inverso −α · 0 teremos α · 0 + (−α · 0) = α · 0 + α · 0 + (−α · 0) ,ou seja, 0 = α·0+0 = α·0 ,como quer´ ıamos provar. Pela comutatividade do produto vale tamb´m 0 · α = 0 para todo α ∈ K. e ´ a E f´cil verificar que Q, R e C s˜o corpos em rela¸ao `s opera¸oes usuais de soma e produto. Esses s˜o os exemplos a c˜ a c˜ aque inspiraram a defini¸ao. Outros exemplos ser˜o discutidos logo abaixo. O conjunto das matrizes n × n para qualquer c˜ an ≥ 2 com o produto usual de matrizes n˜o ´ um corpo pois, entre outras raz˜es, o produto n˜o ´ comutativo. a e o a e √• Os corpos Q( p), com p primo √ E. 2.12 Exerc´cio. Mostre que o conjunto de todos os n´meros reais da forma a + b 2, com a e b racionais, ´ um corpo. ı √ u eEsse corpo ´ denotado por Q( 2). e 15 Em inglˆs a palavra empregada ´ field. A express˜o em portuguˆs provavelmente provem do francˆs corp ou do alem˜o K¨rper. e e a e e a o
  16. 16. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 77/1702 E. 2.13 Exerc´cio. ı Generalizando o exerc´ anterior, seja p um n´mero primo. Mostre que o conjunto de todos os ıcio u √ √n´meros reais da forma a + b p, com a e b racionais, ´ um corpo. Esse corpo ´ denotado por Q( p). u e e √E. 2.14 Exerc´cio. Mostre que o conjunto de todos os n´meros reais da forma a + b 2 com a e b inteiros n˜o ´ um corpo. ı u a e• Os corpos Zp , com p primo Como observamos ` p´gina 75, os conjuntos Zn = {0, 1, . . . , n − 1}, com n ∈ N, n ≥ 2, s˜o grupos Abelianos com a a aa soma definida por α + β = [α + β] mod n ,para α, β ∈ Zn , onde [α + β] denota a soma usual em Z. Podemos tamb´m considerar em Zn uma opera¸ao de produto, e c˜definida por, α · β = [αβ] mod n ,onde [αβ] denota o produto usual em Z. Temos o seguinte teorema:Teorema 2.1 O conjunto Zn ´ um corpo com as opera¸oes acima definidas se e somente se n for um n´mero primo. e c˜ uProva. As opera¸oes de soma e produto definidas acima s˜o comutativas, associativas e distributivas (justifique!). Fora c˜ aisso sempre vale que −α = n − α para todo α ∈ Zn . Resta-nos estudar a existˆncia de elementos inversos α−1 . Vamos esupor que Zn seja um corpo. Ent˜o, a ∈ {2, . . . , n − 1} tem uma inversa em Zn , ou seja, um n´ mero b ∈ {1, . . . , n − 1} a utal que a · b = 1. Lembrando a defini¸ao de produto em Zn , isso significa que existe um inteiro r tal que ab = rn + 1. c˜Mas isso implica 1 n b− = r . a aComo o lado esquerdo n˜o ´ um n´ mero inteiro, o lado direito tamb´m n˜o pode ser. Isso diz ent˜o que n/a n˜o pode a e u e a a aser inteiro para nenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n n˜o tem divisores e ´, portanto, um primo. Resta-nos mostrar a eque Zp ´ efetivamente um corpo quando p ´ primo, o que agora se reduz a mostrar que para todo a ∈ Zp existe um e eelemento inverso. Para apresentar a demonstra¸ao, recordemos trˆs conceitos da teoria de n´ meros. 1. Sejam dois n´ meros inteiros f c˜ e u ue g, dizemos que f divide g se g/f ∈ Z. Se f divide g, denotamos esse fato por f |g. 2. Sejam dois n´ meros inteiros f ue g. O m´ximo divisor comum de f e g, denotado mdc(f, g) ´ o maior inteiro m tal que m|f e m|g. 3. Dois n´ meros a e uinteiros f e g s˜o ditos ser primos entre si se mdc(f, g) = 1. a A demonstra¸ao da existˆncia de inverso em Zp ser´ apresentada em partes. Vamos primeiro demonstrar a seguinte c˜ e aafirmativa.Lema 2.2 Se f e g s˜o dois n´meros inteiros quaisquer ent˜o existem inteiros k ′ e l′ tais que a u a mdc(f, g) = k ′ f + l′ g .Prova. Seja m = mdc(f, g). Seja M o conjunto de todos os n´ meros positivos que sejam da forma kf + lg com k e l uinteiros. Seja m′ o menor elemento de M . Note que como os elementos de M s˜o positivos, esse menor elemento existe. aClaramente m′ = k ′ f + l ′ g (2.10)para algum k ′ e l′ . Como, por defini¸ao, m|f e m|g, segue que m|m′ , o que s´ ´ poss´ se c˜ oe ıvel m′ ≥ m. (2.11)Vamos agora demonstrar por contradi¸ao que m′ |f . Se isso n˜o fosse verdade, existiriam (pelo algoritmo de Euclides) c˜ ainteiros α e β com 0 < β < m′ (2.12)

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