Estruturas algebricas basicas
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  • 1. Cap´ıtulo 2Estruturas Alg´bricas B´sicas e aConte´do u 2.1 Estruturas Alg´bricas B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 e a ´ 2.1.1 Algebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ´ 2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Semi-Grupos, Mon´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o 2.1.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1.5 Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 c e o ´ 2.1.6 An´is, M´dulos e Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.1.6.1 An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 e 2.1.6.2 M´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 o ´ 2.1.6.3 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ´ 2.1.7 Exemplos Especiais de Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ´ 2.1.7.1 Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ´ 2.1.7.2 Algebras de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ´ 2.1.7.3 Algebras de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ´ 2.1.7.4 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ´ 2.1.7.5 Algebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.1.8 Mais sobre An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 e 2.1.9 A¸˜es e Representa¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 co co 2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, Endomorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.1.11 Induzindo Estruturas Alg´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 e 2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 co a 2.2.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Rela¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 co 2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.3 Espa¸os Vetoriais. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 c co a 2.3.1 Bases Alg´bricas de um Espa¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 e c 2.3.2 O Dual Alg´brico de um Espa¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e c 2.3.3 Subespa¸os e Espa¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 c c 2.3.4 Somas Diretas de Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 c 2.3.5 Produtos Tensoriais de Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 c 2.3.5.1 Duais Alg´bricos e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 e 2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espa¸o Vetorial. Espa¸os Sim´trico e Anti-Sim´trico 126 c c e e 2.3.5.3 O Produto Tensorial de M´dulos. Deriva¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 o co 2.4 e ´ An´is e Algebras. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 co a ´ 2.4.1 Ideais em An´is e Algebras Associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 e 2.4.1.1 Ideais em An´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 e ´ 2.4.1.2 Ideais em Algebras Associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.5 ´ ´ Algebras Tensoriais e Algebras Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ´ 2.5.1 Algebras Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 62
  • 2. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 63/1702 ´ 2.5.2 Algebras Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6 T´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.6.2 Grup´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.6.3 Quat´rnios . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 o aprofundar seu estudo de Matem´tica o estudante freq¨ entemente depara com conceitos como o de grupo, a u semi-grupo, espa¸o vetorial, ´lgebra, anel, corpo, m´dulo etc. Nosso objetivo neste cap´ c a o ıtulo ´ apresentar e defini¸oes b´sicas de tais conceitos acompanhadas, quando poss´ c˜ a ıvel, de alguns exemplos relevantes. Nossa inten¸ao n˜o ´ de forma alguma a de cobrir esses assuntos e seus resultados mais importantes, mas apenas a de c˜ a eintroduzir ao leitor no¸oes dessas estruturas alg´bricas, de modo que o mesmo possa encontrar aqui referˆncias r´pidas c˜ e e aa`s mesmas quando delas necessitar. V´rios dos t´picos aqui abordados ser˜o desenvolvidos em cap´ a o a ıtulos posteriores, demodo que, como no caso do Cap´ ıtulo 1, o objetivo n˜o ´ um tratamento extensivo dos diversos assuntos. O estudante j´ a e afamiliar com alguns desses conceitos (os conceitos de grupo e ´lgebra s˜o populares entre estudantes de F´ a a ısica) encontrar´ anessa exposi¸ao uma vis˜o unificada dos mesmos. c˜ a Este cap´ ıtulo deve ser compreendido como uma continua¸ao do Cap´ c˜ ıtulo 1. O leitor pode achar ser este cap´ ıtulouma longa seq¨ˆncia de apenas defini¸oes e exemplos, com poucos resultados, o que ´ parcialmente correto. Seu obje- ue c˜ etivo, por´m, ´ apresentar v´rias id´ias comuns a v´rias ´reas de um ponto de vista unificado e introduzir constru¸oes e e a e a a c˜empregadas ulteriormente.2.1 Estruturas Alg´bricas B´sicas e aAinda atentos ao car´ter introdut´rio apresentaremos aqui defini¸oes e exemplos das estruturas alg´bricas mais comuns. a o c˜ e• Opera¸oes e rela¸oes c˜ c˜ Sejam C e I dois conjuntos n˜o-vazios e consideremos o produto Cartesiano C I (o conceito de produto Cartesiano ade conjuntos foi definido ` p´gina 32). Uma fun¸ao f : C I → C ´ por vezes dita ser uma opera¸ao sobre C. Se I ´ um a a c˜ e c˜ econjunto finito, f ´ dita ser uma opera¸ao finit´ria sobre C. e c˜ a Um conjunto R ⊂ C I ´ dito ser uma rela¸ao em C. Se I ´ um conjunto finito, R ´ dito ser uma rela¸ao finit´ria em e c˜ e e c˜ aC.• Fun¸oes finit´rias c˜ a Sejam C e I dois conjuntos e consideremos fun¸oes f : C I → C. Se I ´ um conjunto finito f : C I → C ´ dita ser uma c˜ e efun¸ao finit´ria sobre C ou opera¸ao finit´ria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui fun¸oes finit´rias c˜ a c˜ a c˜ ado tipo f : C n → C para algum n ∈ N. Se f ´ uma fun¸ao finit´ria para um dado n, f ´ dita ser uma fun¸ao n-´ria e c˜ a e c˜ asobre C. Um exemplo de uma fun¸ao n˜o finit´ria seria uma fun¸ao do tipo f : C N → C que a cada seq¨ˆncia em C c˜ a a c˜ ueassocia um elemento de C. Fun¸oes 2-´rias ser˜o chamadas aqui de fun¸oes bin´rias e fun¸oes 1-´rias s˜o chamadas de fun¸oes un´rias. Fun¸oes c˜ a a c˜ a c˜ a a c˜ a c˜un´rias e bin´rias s˜o as de maior relevˆncia. a a a a Por vezes iremos falar tamb´m de fun¸oes 0-´rias sobre C, que consistem em fun¸oes f : {∅} → C. Uma tal fun¸ao e c˜ a c˜ c˜tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de fun¸oes 0-´rias sobre R seriam f (∅) = 1 ou f (∅) = 0 √ c˜ aou f (∅) = 2. Freq¨ entemente denotamos tais fun¸oes pelo elemento de C por ela associado. Nos trˆs exemplos acima, u √ c˜ epoder´ıamos denotar as fun¸oes por 1, 0 ou 2, respectivamente. c˜• Magmas Um conjunto C dotado de uma rela¸ao bin´ria C × C → C ´ dito ser um magma. Essa nomenclatura foi introduzida c˜ a epor Bourbaki1 mas n˜o ´, por´m, universalmente empregada. a e e 1 Nicolas Bourbaki. Nome coletivo adotado por um grupo de importantes matem´ticos franceses, nascido por volta de 1935, que teve agrande, mas declinante, influˆncia na estrutura¸ao e sistematiza¸ao da Matem´tica ao longo do s´culo XX. O grupo Bourbaki sofreu diversas e c˜ c˜ a e
  • 3. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 64/1702• Rela¸oes finit´rias c˜ a H´ uma nomenclatura an´loga para o caso de rela¸oes. Sejam C e I dois conjuntos e consideremos rela¸oes R ⊂ C I . a a c˜ c˜Se I ´ um conjunto finito R ´ dita ser uma rela¸ao finit´ria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui e e c˜ arela¸oes finit´rias do tipo R ⊂ C n para algum n ∈ N. Se R ´ uma rela¸ao finit´ria para um dado n, R ´ dita ser uma c˜ a e c˜ a erela¸ao n-´ria sobre C. Para o caso n = 1 as rela¸oes s˜o tamb´m chamadas de un´rias e para o caso n = 2 s˜o ditas c˜ a c˜ a e a abin´rias. Rela¸oes bin´rias foram estudadas ` p´gina 27. a c˜ a a a• Estruturas Seja C um conjunto, F uma cole¸ao de opera¸oes (n˜o necessariamente finit´rias) sobre C e seja R uma cole¸ao de c˜ c˜ a a c˜rela¸oes (n˜o necessariamente finit´rias) em C. A tripla C, F, R ´ dita ser uma estrutura sobre C. Note-se que tanto c˜ a a eF quanto R podem ser vazias. Dado que opera¸oes sobre um conjunto C tamb´m s˜o rela¸oes sobre C, a defini¸ao de estrutura acima poderia ser c˜ e a c˜ c˜ ´simplificada. E por´m conveniente mantˆ-la como est´, pois fun¸oes s˜o de importˆncia especial. e e a c˜ a a Uma estrutura C, F ´ dita ser uma estrutura alg´brica e uma estrutura C, R ´ dita ser uma estrutura relacional. e e e• Tipos de opera¸oes e de rela¸oes c˜ c˜ Ainda um coment´rio sobre a nomenclatura. a Sejam C e I conjuntos e seja α : C I → C uma opera¸ao sobre o conjunto C. A cardinalidade de I ´ dita ser o tipo c˜ eda opera¸ao α. Assim, uma fun¸ao n-´ria ´ tamb´m dita ser de tipo n. Analogamente, se R ⊂ C I ´ uma rela¸ao em C c˜ c˜ a e e e c˜a cardinalidade de I ´ dita ser o tipo da rela¸ao R. e c˜• Coment´rios sobre a nota¸˜o. Nota¸˜o mesofixa a ca ca Antes de prosseguirmos, fa¸amos uma observa¸ao sobre a nota¸ao que ´ costumeiramente adotada, especialmente c c˜ c˜ equando se trata de fun¸oes bin´rias. c˜ a Dado um conjunto C e uma fun¸ao bin´ria denotada por um s´ c˜ a ımbolo φ, a imagem de um par (a, b) ∈ C 2 ´ e ´comummente denotada por φ(a, b). E muito pr´tico, por vezes, usar uma outra nota¸ao e denotar φ(a, b) por a φ b. Essa a c˜nota¸ao ´ denominada nota¸ao mesofixa. Um exemplo claro desse uso est´ na fun¸ao soma de dois n´ meros complexos, c˜ e c˜ a c˜ u ımbolo + : C2 → C. Denotamos +(z, w) por z + w. Outro exemplo est´ na fun¸ao produto de doisdenotada pelo s´ a c˜n´ meros complexos: · : C2 → C. Denotamos ·(z, w) por z · w. u Essa nota¸ao ser´ usada adiante para outras fun¸oes bin´rias al´m das fun¸oes soma e produto de n´ meros ou c˜ a c˜ a e c˜ umatrizes. Fun¸oes un´rias tamb´m tˆm por vezes uma nota¸ao especial, freq¨ entemente do tipo exponencial. Tal ´ o caso da c˜ a e e c˜ u eopera¸ao que associa a cada elemento de um grupo ` sua inversa, g → g −1 , ou o caso da opera¸ao que associa a cada c˜ a c˜conjunto o seu complementar A → Ac . Ou ainda o caso da transposi¸ao de matrizes M → M T , da conjuga¸ao de c˜ c˜n´ meros complexos z → z ∗ para o que usa-se tamb´m sabidamente a nota¸ao z → z. u e c˜• Comutatividade, associatividade e distributividade Uma fun¸ao bin´ria χ : C 2 → C ´ dita ser comutativa se para quaisquer a e b ∈ C valer c˜ a e χ(a, b) = χ(b, a) ,ou seja, na nota¸ao mesofixa, se c˜ aχb = bχa .Fun¸oes bin´rias comutativas s˜o freq¨ entemente chamadas de Abelianas2 . c˜ a a u Uma fun¸ao bin´ria χ : C 2 → C ´ dita ser associativa se para quaisquer a, b e c ∈ C valer c˜ a e χ(a, χ(b, c)) = χ(χ(a, b), c) ,ou seja, na nota¸ao mesofixa, se c˜ aχ(bχc) = (aχb)χc .cr´ ıticas pelo seu abstracionismo, considerado em certos c´ ırculos como excessivo e mesmo est´ril. e 2 Niels Henrik Abel (1802–1829).
  • 4. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 65/1702A associatividade permite-nos eliminar os parˆnteses de express˜es como aχ(bχc), que podem ser escritas sem am- e obig¨ idade na forma aχbχc. u Dadas duas fun¸oes bin´rias χ1 , χ2 : C 2 → C, dizemos que χ1 ´ distributiva em rela¸ao a χ2 se valer c˜ a e c˜ χ1 a, χ2 (b, c) = χ2 χ1 (a, b), χ1 (a, c) ou seja, aχ1 (bχ2 c) = (aχ1 b)χ2 (aχ1 c)para quaisquer a, b, c ∈ C.2.1.1 ´ Algebras UniversaisUma algebra Universal ´ constitu´ por um conjunto C e uma cole¸ao F de fun¸oes finit´rias sobre C. A cole¸ao F n˜o ´ e ıda c˜ c˜ a c˜ aprecisa ser finita. Freq¨ entemente denotaremos uma ´lgebra universal por C, F . u a O estudo sistem´tico das ´lgebras universais foi iniciado por Withehead3 e Birkhoff4 , tendo Boole5 , Hamilton6 , De a aMorgan7 e Sylvester8 como precursores. Para uma referˆncia, vide [64]. Vamos a alguns exemplos. e 1. Seja C = R e F = {s, m}, onde s e m s˜o duas fun¸oes bin´rias dadas por s : R2 → R, s(x, y) = x + y e a c˜ a m : R2 → R, m(x, y) = x · y. 2. Seja C = Mat(n) (o conjunto das matrizes complexas n × n para um certo n ∈ N) e F = {s, m}, onde s e m s˜o a duas fun¸oes bin´rias dadas por s : C 2 → C, s(A, B) = A + B e m : C 2 → C, m(A, B) = A · B. c˜ a 3. Seja C o conjunto de todas as matrizes complexas n × m (para n e m ∈ N) e seja F = {c, s, t} onde c : C → C ´ a fun¸ao un´ria dada por c(A) = A (a matriz complexo-conjugada de A), s : C 2 → C ´ a fun¸ao bin´ria dada e c˜ a e c˜ a por s(A, B) = A + B e t : C 3 → C ´ a fun¸ao 3-´ria dada por t(A, B, C) = AB T C, onde B T ´ a transposta da e c˜ a e matriz B. Algumas ´lgebras universais com propriedades especiais de importˆncia em Matem´tica recebem denomina¸oes a a a c˜pr´prias e s˜o chamadas de grupos, semi-grupos, an´is, corpos etc. Vamos introduz´ o a e ı-las adiante. Em todos elas asfun¸oes de F s˜o 0-´rias, un´rias ou bin´rias. c˜ a a a a Algumas estruturas freq¨ entemente encontradas, como espa¸os vetoriais, ´lgebras e m´dulos, n˜o se enquadram u c a o aexatamente no conceito de ´lgebra universal, mas podem ser encarados como constitu´ a ıdos por pares de ´lgebras universais adotadas de uma a¸ao de uma das ´lgebras universais sobre a outra. A no¸ao abstrata de a¸ao de uma ´lgebra universal c˜ a c˜ c˜ asobre uma outra ´lgebra universal ser´ vista mais adiante. a a A leitura do restante desta subse¸ao sobre ´lgebras universais pode ser omitida pois n˜o afetar´ o que segue. c˜ a a a• Morfismos entre ´lgebras universais a Sejam A, A e B, B duas ´lgebras universais. Uma fun¸ao ∆ : A → B ´ dita preservar o tipo das opera¸oes de A a c˜ e c˜se para todo α ∈ A a opera¸ao ∆(α) ∈ B tiver o mesmo tipo que a opera¸ao α. c˜ c˜ Assim, uma aplica¸ao que preserva o tipo leva aplica¸oes un´rias em un´rias, aplica¸oes bin´rias em bin´rias etc. c˜ c˜ a a c˜ a a Um morfismo da ´lgebra universal A, A na ´lgebra universal B, B ´ um par de aplica¸oes D, ∆ com D : A → B a a e c˜e ∆ : A → B, onde ∆ ´ uma aplica¸ao que preserva o tipo e de tal forma que para todo α ∈ A tenhamos e c˜ D ◦ α = ∆(α) ◦ Dcomo aplica¸oes An → B, onde n ´ o tipo de α. c˜ e Isso significa que para todo α ∈ A temos D(α(a1 , . . . , an )) = ∆(α)(D(a1 ), . . . , D(an )) 3 AlfredNorth Withehead (1861–1947). 4 George David Birkhoff (1884–1944). 5 George Boole (1815–1864). 6 William Rowan Hamilton (1805–1865). 7 Augustus De Morgan (1806–1871). 8 James Joseph Sylvester (1814–1897).
  • 5. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 66/1702para toda (a1 , . . . , an ) ∈ An , n sendo o tipo de α. Exemplo. Sejam as ´lgebras universais R+ , {·, 1} e R, {+, 0} com as defini¸oes usuais e seja o par ln, L , a c˜onde ln : R+ → R ´ o logaritmo Neperiano9 e L : {·, 1} → {+, 0} dado por L(·) = +, L(1) = 0. Ent˜o ln, L ´ um e a emorfismo de R+ , {·, 1} em R, {+, 0} , dado que para todo a, b ∈ R+ vale ln(a · b) = ln(a) + ln(b).• A¸oes de uma ´lgebra universal sobre uma outra ´lgebra universal c˜ a a Por raz˜es de completeza apresentaremos aqui a no¸ao geral de a¸ao de uma ´lgebra universal sobre uma outra. o c˜ c˜ a Vamos come¸ar com algumas defini¸oes. Sejam A e B dois conjuntos e seja uma fun¸ao G : A × B → B. c c˜ c˜ Para todo n, m ∈ N definamos G(n, 1) : An × B → B n tal que (a1 , . . . , an , b) → (G(a1 , b), . . . , G(an , b))com ai ∈ A, b ∈ B. Para todo m, m ∈ N definamos G(1, m) : A × B m → B m tal que (a, b1 , . . . , bm ) → (G(a, b1 ), . . . , G(a, bm ))com a ∈ A, bi ∈ B. Para um conjunto C qualquer idC : C → C denota a identidade em C: idC (c) = c, ∀c ∈ C. Fora isso, se γ : C → C ´ euma aplica¸ao, denotaremos por γ (n) : An → An a aplica¸ao tal que γ (n) (c1 , . . . , cn ) = (γ(c1 ), . . . , γ(cn )). c˜ c˜ Finalmente, para duas aplica¸oes α : An → A e β : B m → B o par (α, β) denota a aplica¸ao An × B m → A × B c˜ c˜dada por (α, β)(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) = (α(a1 , . . . , an ), β(b1 , . . . , bm ))). Com isso podemos formular a defini¸ao desejada de a¸ao de uma ´lgebra universal sobre uma outra. c˜ c˜ a Sejam A, A e B, B duas ´lgebras universais. Uma a¸ao de A, A sobre B, B ´ um par G, Γ onde a c˜ e G: A×B →B e Γ:A→Bs˜o aplica¸oes tais que Γ preserva tipos e as seguintes condi¸oes s˜o v´lidas: Para quaisquer α ∈ A e β ∈ B (cujos tipos a c˜ c˜ a aser˜o n e m, respectivamente) tem-se que a G ◦ (α, β) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦ (idAn , β) = β ◦ G(1, m) ◦ (α, idB m ) (2.1)como aplica¸oes An × B m → B. c˜ De (2.1) segue que G ◦ (α, idB ) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦ (idAn , idB ) (2.2)e G ◦ (idA , β) = β ◦ G(1, m) ◦ (idA , idB m ) . (2.3)E. 2.1 Exerc´cio. Mostre isso. ı De (2.2) e (2.3) segue que (n) G(n, 1) ◦ (idAn , β) = β ◦ G(1, m) ◦j (2.4)e (m) G(1, m) ◦ (α, idB m ) = Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦k , (2.5) n m m nonde j : A × B → (A × B ) ´ dada por e j(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) := (a1 , b1 , . . . , bm , a2 , b1 , . . . , bm , . . . , an , b1 , . . . , bm ) n me k :A ×B → (An × B)m ´ dada por e k(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) := (a1 , . . . , an , b1 , a1 , . . . , an , b2 , . . . , a1 , . . . , an , bm ) . 9 John Napier (Neper ou Nepair) (1550–1617).
  • 6. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 67/1702E. 2.2 Exerc´cio. Mostre isso. ı Das rela¸oes (2.4) e (2.5) segue que a condi¸ao (2.1) pode ser escrita como c˜ c˜ (n) (m) G ◦ (α, β) = Γ(α) ◦ β ◦ G(1, m) ◦ j = β ◦ Γ(α) ◦ G(n, 1) ◦k . (2.6) Observa¸ao. Acima estamos considerando idA , idB , como elementos de A, respectivamente de B, o que sempre pode c˜ser feito sem perda de generalidade.2.1.2 ´ Reticulados e Algebras Booleanas• Reticulados Um reticulado10 ´ uma ´lgebra universal constitu´ por um conjunto n˜o-vazio C e duas fun¸oes bin´rias denotadas e a ıda a c˜ apor ∧ e ∨ (lˆ-se “e” e “ou”, respectivamente), dotadas as seguintes propriedades, v´lidas para todos a, b e c ∈ C (usaremos e aa nota¸ao mesofixa): c˜ 1. Idempotˆncia: e a∧a = a, a∨a = a. 2. Comutatividade: a∧b = b∧a , a∨b = b∨a. 3. Associatividade: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c , a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c . 4. Absorvˆncia11: e a ∧ (a ∨ b) = a , a ∨ (a ∧ b) = a . Um reticulado em um conjunto C ´ dito ser um reticulado sobre C. Vamos a exemplos de reticulados. eExemplo 2.1 Seja C = È(B), para algum conjunto n˜o-vazio B e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a c˜ aa, b ⊂ B, por a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b. ◊Exemplo 2.2 Seja C = R e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ R, por c˜ a 1 a ∧ b := min{a, b} = a+b− a−b , 2 1 a ∨ b := max{a, b} = a+b+ a−b . 2 ◊ XExemplo 2.3 Este exemplo generaliza o Exemplo 2.2. Seja X um conjunto n˜o-vazio e C = R , o conjunto de todas aas fun¸oes reais definidas em X. Para duas fun¸oes f, g : X → R defina-se duas novas fun¸oes f ∧ g e f ∨ g por c˜ c˜ c˜ 1 (f ∧ g)(x) := min{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) − f (x) − g(x) , 2 1 (f ∨ g)(x) := max{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) + f (x) − g(x) . 2 ◊ 10 Denominado “lattice” em inglˆs e “Verband” em alem˜o. e a 11 Tamb´m e denominada “Amalgamento”. O estudante deve observar que essa ´ a unica propriedade das listadas acima que relaciona ambas e ´as opera¸oes ∧ e ∨. c˜
  • 7. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 68/1702Exemplo 2.4 Uma outra generaliza¸ao do Exemplo 2.2. Seja C um conjunto linearmente ordenado (a defini¸ao est´ ` c˜ c˜ aap´gina 40) e sejam as fun¸oes bin´rias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ C, por a c˜ a a, se a b , a, se a b , a∧b = a∨b = b, de outra forma , b, de outra forma . ◊E. 2.3 Exerc´cio. Mostre que cada um dos exemplos acima comp˜e um reticulado. ı o• Reticulados e rela¸oes de ordem c˜ O Exemplo 2.4, acima, mostra-nos que ´ poss´ constituir um reticulado a partir de uma rela¸ao de ordem total. e ıvel c˜Reciprocamente, ´ poss´ construir uma rela¸ao de ordem parcial a partir de um reticulado. Para tratar disso (e para e ıvel c˜futura referˆncia), enunciemos e provemos o seguinte lema: eLema 2.1 Seja C um conjunto n˜o-vazio, o qual constitui um reticulado com duas opera¸oes bin´rias ∧ e ∨. Ent˜o, a c˜ a adois elementos x, y ∈ C satisfazem a igualdade x = x ∧ y se e somente se satisfizerem tamb´m y = x ∨ y. eProva. Se x e y ∈ C satisfazem x = x ∧ y, ent˜o segue que x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y = y, sendo que na ultima igualdade usamos a ´as propriedades de comutatividade e absorvˆncia. Analogamente, se y = x ∨ y, segue que x ∧ y = x ∧ (x ∨ y) = x, onde enovamente usamos as propriedades de comutatividade e absorvˆncia. e Essas observa¸oes do Lema 2.1, adicionadas ` inspira¸˜o do Exemplo 2.4, induzem-nos ` seguinte defini¸ao de uma c˜ a ca a c˜rela¸ao de ordem parcial em C: dizemos que x c˜ y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se e somente sey = x ∨ y. Precisamos agora justificar dizer que se trata de uma rela¸˜o de ordem parcial, provando serem v´lidas as propriedades ca ade reflexividade, transitividade e anti-simetria listadas ` p´gina 39. Notemos que, pela propriedade de idempotˆncia, a a evale x = x ∧ x para todo x ∈ C e, portanto, x x para todo x ∈ C. Essa ´ a propriedade de reflexividade da ordem eparcial. Notemos tamb´m que se x, y e z ∈ C tˆm as propriedades x = x ∧ y e y = y ∧ z, segue que x = x ∧ y = e ex ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ z, onde usamos a propriedade de associatividade. Logo, provamos que se x y e y zvale x z. Essa ´ a propriedade de transitividade da ordem parcial. Por fim, se x = x ∧ y e y = y ∧ x, a propriedade de ecomutatividade diz-nos que x = x ∧ y = y. Assim, provamos que se x y e y x vale x = y. Essa ´ a propriedade de eanti-simetria da ordem parcial. E. 2.4 Exerc´cio. Estude as rela¸oes de ordem que advˆm dos Exemplos 2.1 e 2.3 e constate que s˜o rela¸oes de ordem ı c˜ e a c˜parciais, n˜o totais (exceto no caso em que C tem apenas um elemento). a• Reticulados limitados superiormente. Reticulados limitados inferiormente Um reticulado C ´ dito ser limitado superiormente se tiver um m´ximo, ou seja, se existir ω ∈ C tal que x e a ω paratodo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∧ ω para todo x ∈ C. Um reticulado C ´ dito ser limitado inferiormente se tiver um m´ximo, ou seja, se existir α ∈ C tal que α e a x paratodo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∨ α para todo x ∈ C. Essas defini¸oes coincidem, como veremos, com as defini¸˜es de unidade e elemento nulo de um reticulado que c˜ coapresentaremos adiante.• Unidade e elemento nulo de um reticulado Caso um reticulado C possua um elemento e tal que x ∧e = x para todo x ∈ C o elemento e ´ dito ser uma identidade e u ımbolo 1. Pelo Lema 2.1, a rela¸ao x ∧ 1 = x ´ v´lida se eou unidade do reticulado, e ´ freq¨ entemente denotado pelo s´ e c˜ e asomente se 1 = x ∨ 1. Caso um reticulado C possua um elemento z tal que x ∨ z = x para todo x ∈ C o elemento z ´ dito ser um elemento e u ımbolo 0. Pelo Lema 2.1, a rela¸ao x ∨ 0 = x ´ v´lida se e somentenulo do reticulado, e ´ freq¨ entemente denotado pelo s´ e c˜ e ase 0 = x ∧ 0.
  • 8. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 69/1702 Assim, se existirem unidade e elemento nulo teremos x = x ∧1 , 1 = x∨1, x = x∨0 e 0 = x∧0 (2.7)para todo x ∈ C. A unidade e o elemento nulo, se existirem, s˜o unicos. Se fato, se 1 e 1′ s˜o unidades de um reticulado C ent˜o, por a ´ a adefini¸ao, 1 ∧ 1′ = 1, mas tamb´m 1′ ∧ 1 = 1′ , provando (pela comutatividade) que 1 = 1′ . Analogamente, se 0 e 0′ s˜o c˜ e aelementos nulos de um reticulado C ent˜o, tamb´m por defini¸ao, 0 ∨ 0′ = 0, mas tamb´m 0′ ∨ 0 = 0′ , provando (pela a e c˜ ecomutatividade) que 0 = 0′ . Como dissemos acima, podemos associar naturalmente uma rela¸ao de ordem parcial a um reticulado dizendo que c˜x y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se y = y ∨ x. Se C possui uma unidade 1 teremos x 1 para todox ∈ C, pois x = x ∧ 1. Analogamente, se Se C possui um elemento nulo 0 teremos 0 x para todo x ∈ C, pois x = x ∨ 0. Vemos com isso que 1 ´ o m´ximo e 0 o m´ e a ınimo do reticulado (se existirem).• Reticulados limitados Um reticulado que for limitado superiormente e inferiormente ´ dito ser um reticulado limitado. Assim, um reticulado e´ limitado se possuir uma unidade e um elemento nulo (ou seja, um m´ximo e um m´e a ınimo). Em um reticulado limitado C vale 0 x 1 para todo x ∈ C. Se em um reticulado C tivermos 0 = 1, valer´, aportanto, x = 0 = 1 para todo x ∈ C, ou seja, C possui um unico elemento. Um tal caso ´ totalmente trivial, de forma ´ eque sempre consideraremos 0 = 1.• Reticulados completos Um reticulado ´ dito ser um reticulado completo se todo seu subconjunto n˜o-vazio possuir um supremo e um e a´ınfimo (em rela¸ao ` rela¸ao de ordem parcial ). Para as defini¸oes de supremo e ´ c˜ a c˜ c˜ ınfimo, vide p´gina 43 e seguintes. aNaturalmente, reticulados completos devem ser limitados. A cole¸ao de todas as topologias definidas em um conjunto n˜o-vazio constitui um reticulado completo. Vide Exerc´ c˜ a ıcioE. 23.20, p´gina 1065. a• Elementos complementares Seja C um reticulado limitado (ou seja, que possui uma unidade e um elemento nulo). Dizemos que dois elementosx, y ∈ C s˜o complementares se a x∧y = 0 e x∨y = 1.Em um tal caso dizemos que x ´ complementar a y e vice-versa. Elementos complementares n˜o s˜o necessariamente e a aunicos, ou seja, se y ´ complementar a x pode haver y ′ = y que tamb´m ´ complementar a x. Como veremos, uma´ e e econdi¸ao suficiente para garantir a unicidade (n˜o a existˆncia!) do complementar de um elemento x ´ a propriedade c˜ a e edistributiva. Pela defini¸ao de unidade e de elemento nulo, valem 0 = 0 ∧ 1 e 1 = 1 ∨ 0. Essas rela¸oes est˜o dizendo que 0 e 1 s˜o c˜ c˜ a aelementos complementares.• Reticulados complementados Um reticulado no qual todo elemento possui ao menos um complementar ´ dito ser um reticulados complementado. e• Reticulados distributivos Um reticulado sobre um conjunto C ´ dito ser um reticulado distributivo se as opera¸oes ∧ e ∨ forem distributivas e c˜uma em rela¸ao ` outra, ou seja, se forem satisfeitas as propriedades c˜ a a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)e a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) .para todos a, b e c ∈ C.
  • 9. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 70/1702E. 2.5 Exerc´cio. Nos Exemplos 2.1–2.4, acima, quais reticulados s˜o distributivos? Quais n˜o s˜o? ı a a a• Reticulados limitados e distributivos Em um reticulado distributivo e limitado C, o complementar de um elemento x ∈ C, se existir, ´ unico. De fato, se e´y e y ′ ∈ C s˜o complementares a x, teremos 0 = x ∧ y = x ∧ y ′ e 1 = x ∨ y = x ∨ y ′ . Agora, a distrib. y = y ∧ 1 = y ∧ (x ∨ y ′ ) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ y ′ ) = 0 ∨ (y ∧ y ′ ) = y ∧ y ′e, analogamente, distrib. y ′ = y ′ ∧ 1 = y ′ ∧ (x ∨ y) = (y ′ ∧ x) ∨ (y ′ ∧ y) = 0 ∨ (y ′ ∧ y) = y ′ ∧ y ,provando que y = y ∧ y ′ = y ′ . Em um reticulado distributivo e limitado, o complementar (´nico!) de um elemento x ∈ C, se existir, ´ denotado u e ımbolo ∁x, pelo s´pelo s´ ımbolo xc . ımbolo ¬x ou ainda pelo s´ Se ¬x ´ o complementar de x, ´ evidente que ¬x tem um complementar, a saber, x. Logo, ¬(¬x) = x sempre que ¬x e e ´existir. E importante notar tamb´m que, pelo comentado acima, valem ¬0 = 1 e ¬1 = 0. e• Reticulados limitados, complementados e distributivos Se al´m de distributivo e limitado o reticulado for tamb´m complementado haver´ um complementar unico para cada e e a ´elemento de C e, portanto, haver´ uma fun¸ao un´ria ¬ : C → C que a cada x ∈ C associa o seu complementar ¬x. a c˜ aComo vimos, vale nesse caso ¬(¬x) = x para todo x ∈ C, assim como valem as rela¸oes ¬0 = 1 e ¬1 = 0. c˜ Um reticulado limitado, complementado e distributivo ´ dito ser uma algebra Booleana. e ´ ´• Algebras Booleanas Uma algebra Booleana12 ´ uma ´lgebra universal formada por um conjunto B e por uma fam´ F de cinco fun¸oes ´ e a ılia c˜ a c˜ a ımbolo ∁, e denominadafinit´rias: duas bin´rias, denotadas por ∧ e ∨, uma fun¸ao un´ria, denotada por ¬ ou pelo s´ a“nega¸ao” ou “complemento”, e duas fun¸oes 0-´rias, denotadas genericamente por 0 e 1 (denominadas, obviamente, c˜ c˜ a“zero” e “um”), as quais representam elementos fixos distintos de B. As fun¸oes acima s˜o supostas satisfazer aos c˜ aseguintes requisitos: 1. B, ∧ e ∨ formam um reticulado distributivo. 2. Para todo a ∈ B vale que 1 ∧ a = a e que 0 ∨ a = a. 3. Para todo a ∈ B vale que a ∧ (¬a) = 0 e que a ∨ (¬a) = 1. Por vezes, denota-se ¬a por ∁a ou por ac . Tal uso ´ comum em opera¸oes envolvendo conjuntos. Novamente, tem-se e c˜pelas defini¸oes que ¬0 = 1, ¬1 = 0 e ¬ (¬a) = a para todo a ∈ B. c˜• Regras de De Morgan Em uma ´lgebra Booleana B valem para todos a, b ∈ B as importantes rela¸oes a c˜ ¬(a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) e ¬(a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b) , (2.8)as quais s˜o conhecidas como regras de De Morgan13 . a A segunda rela¸ao em (2.8) ´ decorrˆncia da primeira, como se vˆ trocando a → ¬a e b → ¬b. Por isso, basta provar c˜ e e ea primeira, o que significa provar que (¬a) ∨ (¬b) ∧ (a ∧ b) = 0 e (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) = 1 . (2.9) 12 George Boole (1815–1864). 13 Augustus De Morgan (1806–1871).
  • 10. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 71/1702Ambas decorrem da comutatividade, da associatividade, da distributividade e das rela¸oes (2.7). Para provar a primeira c˜rela¸ao em (2.9), temos c˜ associat. (¬a) ∨ (¬b) ∧ (a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) ∧ a ∧ b distribut. = (¬a) ∧ a ∨ (¬b) ∧ a ∧b = 0 ∨ (¬b) ∧ a ∧b (2.7) comutat. = (¬b) ∧ a ∧ b = b ∧ (¬b) ∧ a associat. (2.7) = b ∧ (¬b) ∧ a = 0 ∧ a = 0.Para provar a segunda rela¸ao em (2.9), temos c˜ associatt. (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b) ∨ (a ∧ b) distribut. = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a ∧ (¬b) ∨ b = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a ∧ 1 (2.7) comutat. = (¬a) ∨ (¬b) ∨ a = (¬a) ∨ a ∨ (¬b) associatt. (2.7) = (¬a) ∨ a ∨ (¬b) = 1 ∨ (¬b) = 1.• Exemplos b´sicos de ´lgebras Booleanas a aExemplo 2.5 Seja A um conjunto n˜o-vazio e tomemos B = È(A). Para a, b ∈ È(A) definamos a∧b = a∩b, a∨b = a∪b, a¬a = ∁a = A a, 0 = ∅, 1 = A. ◊Exemplo 2.6 A menor ´lgebra Booleana, e talvez uma das mais importantes em aplica¸oes, ´ composta por dois a c˜ eelementos distintos, denotados por 0 e 1: B = {0, 1} e as opera¸oes ∧, ∨ e ¬ s˜o dadas por c˜ a 0∧0 = 0, 0∧1 = 0, 1∧0 = 0, 1∧1 = 1, 0∨0 = 0, 0∨1 = 1, 1∨0 = 1, 1∨1 = 1,e por ¬0 = 1 e ¬1 = 0. ◊Exemplo 2.7 B = [0, 1] ⊂ R, as opera¸oes ∧, ∨ s˜o dadas como no Exemplo 2.2, p´gina 67: c˜ a a a ∧ b := min{a, b} e a ∨ b := max{a, b}para todos a, b ∈ [0, 1] e a opera¸ao ¬ ´ dada por ¬a = 1 − a para todo a ∈ [0, 1]. Naturalmente, o elemento nulo ´ o c˜ e en´ mero 0 e a unidade ´ o n´ mero 1. u e u ◊Exemplo 2.8 O mesmo que o anterior, mas tomando B como sendo qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e1. ◊Exemplo 2.9 Seja X um conjunto n˜o-vazio e seja I qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e 1. Seja B = I X , aa cole¸ao de todas as fun¸oes de X em I. Como no Exemplo 2.3, p´gina 67, defina-se para cada x ∈ X c˜ c˜ a (f ∧ g)(x) = min{f (x), g(x)} e (f ∨ g)(x) = max{f (x), g(x)}e defina-se (¬f )(x) = 1 − f (x). Tome-se o elemento nulo como sendo a fun¸ao identicamente nula e a unidade como c˜sendo a fun¸ao identicamente igual a 1. c˜ ◊
  • 11. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 72/1702E. 2.6 Exerc´cio. Mostre que os sistemas definidos nos exemplos acima formam ´lgebras Booleanas. ı a * ** * A relevˆncia das ´lgebras Booleanas est´ em capturarem algebricamente as opera¸oes mais importantes da teoria a a a c˜dos conjuntos (como as de uni˜o, intersec¸ao e complemento, conjunto vazio) e as da l´gica (“e”, “ou”, “nega¸ao”, a c˜ o c˜ c˜ ´“verdadeiro”, “falso”). Os dois primeiros exemplos acima atestam essa concep¸ao. Algebras Booleanas s˜o de f´cil a aimplementa¸ao em Eletrˆnica e de amplo uso em processamento digital. c˜ o2.1.3 Semi-Grupos, Mon´ides e Grupos oNesta se¸ao introduziremos algumas no¸oes alg´bricas de grande importˆncia. c˜ c˜ e a• Quase-grupos e loops Um quase-grupo ´ um conjunto Q, dotado de uma opera¸ao bin´ria Q × Q → Q, denotada por “·”, tal que para todo e c˜ apar a e b ∈ Q existem x e y ∈ Q, unicos, satisfazendo x · a = b e a · y = b. ´ Em palavras, um quase-grupo ´ uma estrutura onde a “divis˜o”, ` esquerda e ` direita, ´ sempre poss´ e a a a e ıvel. Um loop L ´ um quase-grupo com elemento neutro, ou seja, ´ um quase-grupo no qual existe um elemento e, e edenominado identidade, tal que a · e = e · a = a para todo a ∈ L. O elemento neutro de um loop ´ sempre unico, pois se e′ ´ tamb´m um elemento neutro, segue que e′ = e′ · e = e. e ´ e e Em um loop, todo elemento possui uma unica inversa a direita e uma unica inversa a esquerda (n˜o necessariamente ´ ` ´ ` aiguais). Ou seja, para cada a ∈ L existem um unico elemento em L que denotamos por a−1 , denominado inverso a ´ l `esquerda de a, tal que a−1 · a = e e um unico elemento em L que denotamos por a−1 , denominado inverso a direita de a, l ´ r `tal que a · a−1 = e. A existˆncia e unicidade de tais elementos ´ conseq¨ˆncia da propriedade definidora de quase-grupo. r e e ue• Semi-grupos Um semi-grupo ´ um conjunto n˜o-vazio S dotado de uma opera¸ao bin´ria S ×S → S denotada por “·” e denominada e a c˜ aproduto tal que a seguinte propriedade ´ satisfeita. e 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ S vale (a · b) · c = a · (b · c).• Mon´ides o Um mon´ide ´ um conjunto n˜o-vazio M dotado de uma opera¸ao bin´ria M ×M → M denotada por “·” e denominada o e a c˜ aproduto tal que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas. a 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ M vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (´ nico!) elemento e ∈ M , denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para u todo g ∈ M . Observa¸ao: A unicidade do elemento neutro ´ garantida pela observa¸ao que se houvesse e′ ∈ M tal que g · e′ = c˜ e c˜ ′ ıamos e′ = e′ · e = e.e · g = g para todo g ∈ M ter´• Grupos Uma das no¸oes mais fundamentais de toda a Matem´tica ´ a de grupo. Um grupo ´ um conjunto n˜o-vazio G c˜ a e e adotado de uma opera¸ao bin´ria G × G → G, denotada por “·” e denominada produto, e de uma opera¸ao un´ria G → G c˜ a c˜ a(bijetora) denominada inversa, denotada pelo expoente “−1 ”, tais que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas. a 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ G vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (´ nico!) elemento e ∈ G, denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para u todo g ∈ G.
  • 12. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 73/1702 3. Inversa. Para cada g ∈ G existe um (´ nico!) elemento h ∈ G tal que g · h = h · g = e. Esse elemento ´ denominado u e a inversa de g e denotado por g −1 . Observa¸oes elementares: c˜ 1. A unicidade do elemento neutro ´ garantida pela observa¸ao que se houvesse e′ tal que g · e′ = e′ · g = g para todo e c˜ ıamos e′ = e′ · e = e. g ∈ G ter´ 2. Analogamente se estabelece a unicidade da inversa, pois se g, h ∈ G s˜o tais que h · g = g · h = e, teremos, usando a a associatividade, g −1 = g −1 · e = g −1 · (g · h) = (g −1 · g) · h = e · h = h. 3. A fun¸ao G ∋ g → g −1 ∈ G, que associa cada elemento de G ` sua inversa, ´ um exemplo de uma fun¸ao un´ria. c˜ a e c˜ a 4. Como e · e = e, segue que e−1 = e. 5. Para todo g ∈ G vale (g −1 )−1 = g pois, usando a associatividade, (g −1 )−1 = ( g −1 )−1 · e = (g −1 )−1 · (g −1 · g) = ((g −1 )−1 · g −1 ) · g = e · g = g . 6. Todo grupo ´, trivialmente, um quase-grupo, um loop, um semi-grupo e um mon´ide. e o Um grupo ´ dito ser comutativo ou Abeliano14 se a · b = b · a para todos a, b ∈ G. Essa nomenclatura se aplica etamb´m a semi-grupos e mon´ides. e o ´ E evidente que todo grupo ´ um mon´ide e que todo mon´ide ´ um semi-grupo. e o o e Existe uma constru¸ao canˆnica devida a Grothendieck, que discutimos ` p´gina 140, que permite construir um grupo c˜ o a aAbeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. Essa constru¸ao ´ importante em v´rias ´reas da Matem´tica. O c˜ e a a aleitor interessado poder´ passar sem perda ` discuss˜o da p´gina 140. a a a a• Exemplos simples 1. O conjunto S = {1, 2, 3, . . .} ´ um semi-grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual. O conjunto M = e c˜ a c˜ {0, 1, 2, 3, . . .} ´ um mon´ide em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual, sendo o elemento neutro e = 0. O e o c˜ a c˜ conjunto G = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma usual, sendo o elemento e c˜ a c˜ neutro e = 0 e a inversa n−1 = −n. 2. R dotado da opera¸ao de multiplica¸ao usual ´ um mon´ide onde o elemento neutro ´ o n´ mero 1. N˜o ´ um c˜ c˜ e o e u a e grupo, pois 0 n˜o tem inversa multiplicativa. a 3. O conjunto {x ∈ R, x > 0} ´ um semi-grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma, mas n˜o ´ um mon´ide. e c˜ a c˜ a e o 4. O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0} ´ um mon´ide Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma mas n˜o um grupo. e o c˜ a c˜ a 5. O conjunto dos n´ meros inteiros Z ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros inteiros. u e c˜ a c˜ u Esse grupo ´ comummente denotado por (Z, +), para lembrar o conjunto considerado (no caso, Z) e a opera¸ao e c˜ considerada nesse conjunto (no caso, +) . 6. O conjunto dos n´ meros racionais Q ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros u e c˜ a c˜ u racionais. Esse grupo ´ comummente denotado por (Q, +). e 7. O conjunto Q {0} = {r ∈ Q, r = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u racionais. Esse grupo ´ comummente denotado por (Q, ·). e 8. O conjunto dos n´ meros reais R ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros reais. Esse u e c˜ a c˜ u grupo ´ comummente denotado por (R, +). e 9. O conjunto dos n´ meros complexos C ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de soma de n´ meros u e c˜ a c˜ u complexos. Esse grupo ´ comummente denotado por (C, +). e 14 Niels Henrik Abel (1802–1829).
  • 13. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 74/1702 10. O conjunto R {0} = {x ∈ R, x = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u reais. Esse grupo ´ comummente denotado por (R, ·). e 11. O conjunto C {0} = {z ∈ C, z = 0} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao usual de produto de n´ meros e c˜ a c˜ u complexos. Esse grupo ´ comummente denotado por (C, ·). e 12. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n com o produto usual de matrizes ´ apenas um mon´ide. e o 13. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de soma de matrizes. e c˜ a c˜ 14. O conjunto GL(R, n) de todas as matrizes reais n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um e grupo em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. GL(R, n) ´ n˜o-Abeliano se n > 1. c˜ a c˜ e a 15. O conjunto GL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um grupo em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. GL(C, n) ´ n˜o-Abeliano se n > 1. e c˜ a c˜ e a 16. O conjunto GL(Q, n) de todas as matrizes racionais n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ e um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. O conjunto GL(Z, n) de a c˜ a c˜ todas as matrizes inteiras n × n com determinante n˜o-nulo (e, portanto, invers´ a ıveis) ´ um mon´ide n˜o-Abeliano e o a (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. N˜o ´ um grupo pois a inversa de uma matriz c˜ a c˜ a e invers´ com entradas inteiras n˜o ´ sempre uma matriz com entradas inteiras. ıvel a e 17. O conjunto SL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante igual a 1 (e, portanto, invers´ ıveis) ´ um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. O mesmo ´ verdadeiro e a c˜ a c˜ e para SL(R, n), SL(Q, n) e SL(Z, n), as matrizes reais, racionais ou inteiras, respectivamente, com determinante igual a 1. 18. O conjunto de todas as matrizes complexas n×n cujo determinante tˆm m´dulo igual a 1: {A ∈ Mat (C, n)| | det(A)| = e o 1}. ´ um grupo n˜o-Abeliano (se n > 1) em rela¸ao ` opera¸ao de produto usual de matrizes. e a c˜ a c˜ 19. Seja X um conjunto n˜o-vazio. Ent˜o È(X) ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de diferen¸a sim´trica a a e c˜ a c˜ c e A△B, A, B ∈ X, definida em (1.2), p´gina 27. De fato, o Exerc´ E. 1.2, p´gina 27, garante associatividade e a ıcio a comutatividade, o elemento neutro ´ o conjunto vazio ∅ e para todo A ∈ È(X) tem-se A−1 = A. Verifique! e 20. Outro exemplo importante ´ o seguinte. Seja C um conjunto n˜o-vazio e tomemos S = C C , o conjunto de todas e a as fun¸oes de C em C. Ent˜o, S ´ um mon´ide com o produto formado pela composi¸ao de fun¸oes: f ◦ g, e onde c˜ a e o c˜ c˜ o elemento neutro ´ a fun¸ao identidade id(s) = s, ∀s ∈ C. O subconjunto de C C formado pelas fun¸oes bijetoras e c˜ c˜ de C em C ´ um grupo n˜o-Abeliano, onde o produto ´ a composi¸ao de fun¸oes, o elemento neutro ´ a fun¸ao e a e c˜ c˜ e c˜ identidade e o elemento inverso de uma fun¸ao f : C → C ´ a fun¸ao inversa f −1 . Esse grupo ´ denominado grupo c˜ e c˜ e de permuta¸oes do conjunto C e denotado por P erm(C). c˜E. 2.7 Exerc´cio. Em caso de d´vida, prove todas as afirma¸oes acima. ı u c˜• Subgrupos Seja G um grupo em rela¸ao a uma opera¸ao “·” e cujo elemento neutro seja e. Um subconjunto H de G ´ dito ser c˜ c˜ eum subgrupo de G se for tamb´m por si s´ um grupo em rela¸ao ` mesma opera¸ao, ou seja, se e o c˜ a c˜ 1. e ∈ H, 2. h1 · h2 ∈ H para todos h1 ∈ H e h2 ∈ H, 3. h−1 ∈ H para todo h ∈ H. Todo grupo G sempre possui pelo menos dois subgrupos: o pr´prio G e o conjunto {e} formado apenas pelo elemento oneutro de G. ´ a ´ a E f´cil verificar que (Z, +) e (Q, +) s˜o subgrupos de (R, +). E f´cil ver que SL(R, n), o conjunto de todas aas matrizes reais n × n com determinante igual a 1, ´ um subgrupo de GL(R, n). Idem para SL(C, n) em rela¸ao a e c˜GL(C, n).
  • 14. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 75/1702• Os grupos Zn O bem conhecido algoritmo de Euclides afirma que, dado n ∈ N, ent˜o todo n´ mero inteiro z pode ser escrito de a umaneira unica na forma z = qn + r, onde q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. O n´ mero r ´ denominado resto da divis˜o de ´ u e az por n e ´ tamb´m denotado por r = z mod n. e e Seja n um inteiro positivo maior ou igual a 2 e seja o conjunto {0, 1, . . . , n − 1}. Vamos definir uma opera¸ao bin´ria c˜ aem {0, 1, . . . , n − 1}, denominada soma e denotada pelo s´ ımbolo “+”, da seguinte forma: α + β = [α + β] mod npara todos α, β ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Acima [α + β] representa a soma usual de n´ meros inteiros em Z. u E. 2.8 Exerc´cio. Prove que a opera¸˜o de soma definida acima ´ uma opera¸˜o bin´ria de {0, 1, . . . , n − 1} e mostre ı ca e ca aque a mesma ´ associativa, comutativa e tem 0 como elemento neutro. e E. 2.9 Exerc´cio. Para cada a ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, defina a−1 = (n − a) mod n. Mostre que a−1 ∈ {0, 1, . . . , n − 1} e ıque a + a−1 = 0. ıcios acima provam que {0, 1, . . . , n − 1} ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma definida Os dois exerc´ e c˜ a c˜acima. Esse grupo ´ denominado grupo Zn , ou Z(n). e• R+ estendido O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0} ´ um mon´ide Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma e em rela¸ao ` opera¸ao de e o c˜ a c˜ c˜ a c˜produto e vale ainda a propriedade distributiva a(b + c) = ab + ac. Sabidamente, R+ ´ tamb´m um conjunto linearmente e eordenado pela rela¸ao de ordem usual. c˜ Vamos abaixo descrever um outro conjunto linearmente ordenado que cont´m R+ e ´ tamb´m um mon´ide Abeliano e e e oem rela¸ao ` opera¸ao de soma e em rela¸ao ` opera¸˜o de produto e vale ainda a propriedade distributiva. c˜ a c˜ c˜ a ca Definimos um conjunto, que denotaremos por R+ , juntando a R+ um conjunto formado por um elemento, elementoesse que denotaremos provisoriamente por ω, com ω ∈ R+ , para o qual certas rela¸oes alg´bricas ser˜o definidas. Seja c˜ e aR+ = R+ ∪ {ω} e definimos as opera¸oes de soma e produto em R+ da seguinte forma: se a e b s˜o elementos de R+ c˜ asuas soma a + b e seu produto ab s˜o definidos como usualmente. Fora isso, valem a 1. a + ω = ω + a = ω, para todo a ∈ R+ . 2. ω + ω = ω. 3. aω = ωa = ω, para todo a ∈ R+ , a = 0. 4. 0ω = ω0 = 0. 5. ωω = ω. E. 2.10 Exerc´cio. Verifique que R+ ´ um mon´ide Abeliano em rela¸˜o ` opera¸˜o de soma e em rela¸˜o ` opera¸˜o de ı e o ca a ca ca a caproduto definidas acima e que vale ainda a propriedade distributiva. R+ ´ linearmente ordenado tomando-se em R+ a rela¸ao de ordem usual e fixando-se a < ω para todo a ∈ R+ . e c˜ ´ E bastante claro que na defini¸ao abstrata acima o objeto representado pelo s´ c˜ ımbolo ω desempenha o papel formal-mente desempenhado por um n´ mero infinito positivo. A constru¸ao das rela¸oes alg´bricas acima prescinde, por´m, u c˜ c˜ e edessa no¸ao, pois ω pode ser qualquer objeto (fora de R+ ). c˜ Com um certo abuso de linguagem, ´ costume, substituir o s´ e ımbolo ∞, dando a entender que ω ımbolo ω pelo s´ u ´representa algo como um n´ mero infinito positivo. E comum tamb´m denotar-se R+ = [0, ∞]. e E. 2.11 Exerc´cio. Que problemas surgem quando se tenta estender a constru¸˜o acima para o conjunto R de todos os ı careais?
  • 15. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 76/17022.1.4 CorposUm corpo15 ´ um conjunto n˜o-vazio K dotado de duas opera¸oes bin´rias, denotadas por “+” e “·”, denominadas soma e a c˜ ae produto, respectivamente, satisfazendo o seguinte : 1. A opera¸ao de soma tem as seguintes propriedades: c˜ (a) Comutatividade: para todos α, β ∈ K vale α + β = β + α. (b) Associatividade: para todos α, β, γ ∈ K vale α + (β + γ) = (α + β) + γ. (c) Elemento neutro: existe um elemento 0 ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero, tal que α + 0 = α para todo α ∈ K. (d) Inversa: para cada α ∈ K existe um elemento denotado por β, unico, com a propriedade α + β = 0. Esse ´ elemento ´ mais comummente denotado por −α. e 2. A opera¸ao de produto tem as seguintes propriedades: c˜ (a) Comutatividade: para todos α, β ∈ K vale α · β = β · α. (b) Associatividade: para todos α, β, γ ∈ K vale α · (β · γ) = (α · β) · γ. (c) Elemento neutro: existe um elemento 1 ∈ K, chamado de unidade, tal que α · 1 = α para todo α ∈ K. (d) Inversa: para cada α ∈ K, α = 0, existe um unico elemento denotado por β com a propriedade α · β = 1. Esse ´ elemento ´ mais comummente denotado por α−1 . e 3. Distributividade: o produto ´ distributivo em rela¸ao ` adi¸ao: para todos α, β, γ ∈ K vale α·(β +γ) = α·β +α·γ. e c˜ a c˜Alguns autores consideram conveniente incluir tamb´m a hip´tese de que o elemento neutro e o elemento nulo s˜o e o a ıamos K = {0} (justifique!), uma situa¸ao um tanto trivial.distintos, 1 = 0, pois doutra forma ter´ c˜ Note-se que corpos s˜o grupos comutativos em rela¸ao ` opera¸ao de soma e mon´ides comutativos em rela¸ao ` a c˜ a c˜ o c˜ aopera¸ao de produto. Pelo que comentamos anteriormente, isso garante a unicidade do elemento nulo e da unidade de c˜um corpo. A distributividade ´ a unica propriedade listada acima que relaciona as opera¸oes de soma e produto. e ´ c˜ Os elementos de um corpo s˜o por vezes denominados escalares. Por motivos estruturais ´ importante frisar que a eum corpo depende em sua defini¸ao do conjunto K e das opera¸oes bin´rias “+” e “·” nele definidas e muitas vezes nos c˜ c˜ a ´referiremos a um corpo como sendo uma tripla (K, +, ·). E freq¨ ente omitir-se o s´ u ımbolo “·” de produto por escalaresquando nenhuma confus˜o ´ poss´ a e ıvel. Em um corpo K sempre vale que α · 0 = 0 para todo α ∈ K. De fato, como 0 = 0 + 0, segue que α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0 .Somando-se a ambos os lados o elemento inverso −α · 0 teremos α · 0 + (−α · 0) = α · 0 + α · 0 + (−α · 0) ,ou seja, 0 = α·0+0 = α·0 ,como quer´ ıamos provar. Pela comutatividade do produto vale tamb´m 0 · α = 0 para todo α ∈ K. e ´ a E f´cil verificar que Q, R e C s˜o corpos em rela¸ao `s opera¸oes usuais de soma e produto. Esses s˜o os exemplos a c˜ a c˜ aque inspiraram a defini¸ao. Outros exemplos ser˜o discutidos logo abaixo. O conjunto das matrizes n × n para qualquer c˜ an ≥ 2 com o produto usual de matrizes n˜o ´ um corpo pois, entre outras raz˜es, o produto n˜o ´ comutativo. a e o a e √• Os corpos Q( p), com p primo √ E. 2.12 Exerc´cio. Mostre que o conjunto de todos os n´meros reais da forma a + b 2, com a e b racionais, ´ um corpo. ı √ u eEsse corpo ´ denotado por Q( 2). e 15 Em inglˆs a palavra empregada ´ field. A express˜o em portuguˆs provavelmente provem do francˆs corp ou do alem˜o K¨rper. e e a e e a o
  • 16. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 77/1702 E. 2.13 Exerc´cio. ı Generalizando o exerc´ anterior, seja p um n´mero primo. Mostre que o conjunto de todos os ıcio u √ √n´meros reais da forma a + b p, com a e b racionais, ´ um corpo. Esse corpo ´ denotado por Q( p). u e e √E. 2.14 Exerc´cio. Mostre que o conjunto de todos os n´meros reais da forma a + b 2 com a e b inteiros n˜o ´ um corpo. ı u a e• Os corpos Zp , com p primo Como observamos ` p´gina 75, os conjuntos Zn = {0, 1, . . . , n − 1}, com n ∈ N, n ≥ 2, s˜o grupos Abelianos com a a aa soma definida por α + β = [α + β] mod n ,para α, β ∈ Zn , onde [α + β] denota a soma usual em Z. Podemos tamb´m considerar em Zn uma opera¸ao de produto, e c˜definida por, α · β = [αβ] mod n ,onde [αβ] denota o produto usual em Z. Temos o seguinte teorema:Teorema 2.1 O conjunto Zn ´ um corpo com as opera¸oes acima definidas se e somente se n for um n´mero primo. e c˜ uProva. As opera¸oes de soma e produto definidas acima s˜o comutativas, associativas e distributivas (justifique!). Fora c˜ aisso sempre vale que −α = n − α para todo α ∈ Zn . Resta-nos estudar a existˆncia de elementos inversos α−1 . Vamos esupor que Zn seja um corpo. Ent˜o, a ∈ {2, . . . , n − 1} tem uma inversa em Zn , ou seja, um n´ mero b ∈ {1, . . . , n − 1} a utal que a · b = 1. Lembrando a defini¸ao de produto em Zn , isso significa que existe um inteiro r tal que ab = rn + 1. c˜Mas isso implica 1 n b− = r . a aComo o lado esquerdo n˜o ´ um n´ mero inteiro, o lado direito tamb´m n˜o pode ser. Isso diz ent˜o que n/a n˜o pode a e u e a a aser inteiro para nenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n n˜o tem divisores e ´, portanto, um primo. Resta-nos mostrar a eque Zp ´ efetivamente um corpo quando p ´ primo, o que agora se reduz a mostrar que para todo a ∈ Zp existe um e eelemento inverso. Para apresentar a demonstra¸ao, recordemos trˆs conceitos da teoria de n´ meros. 1. Sejam dois n´ meros inteiros f c˜ e u ue g, dizemos que f divide g se g/f ∈ Z. Se f divide g, denotamos esse fato por f |g. 2. Sejam dois n´ meros inteiros f ue g. O m´ximo divisor comum de f e g, denotado mdc(f, g) ´ o maior inteiro m tal que m|f e m|g. 3. Dois n´ meros a e uinteiros f e g s˜o ditos ser primos entre si se mdc(f, g) = 1. a A demonstra¸ao da existˆncia de inverso em Zp ser´ apresentada em partes. Vamos primeiro demonstrar a seguinte c˜ e aafirmativa.Lema 2.2 Se f e g s˜o dois n´meros inteiros quaisquer ent˜o existem inteiros k ′ e l′ tais que a u a mdc(f, g) = k ′ f + l′ g .Prova. Seja m = mdc(f, g). Seja M o conjunto de todos os n´ meros positivos que sejam da forma kf + lg com k e l uinteiros. Seja m′ o menor elemento de M . Note que como os elementos de M s˜o positivos, esse menor elemento existe. aClaramente m′ = k ′ f + l ′ g (2.10)para algum k ′ e l′ . Como, por defini¸ao, m|f e m|g, segue que m|m′ , o que s´ ´ poss´ se c˜ oe ıvel m′ ≥ m. (2.11)Vamos agora demonstrar por contradi¸ao que m′ |f . Se isso n˜o fosse verdade, existiriam (pelo algoritmo de Euclides) c˜ ainteiros α e β com 0 < β < m′ (2.12)
  • 17. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 78/1702tal que f = αm′ + β .Usando (2.10) isso diz que β = f − α(k ′ f + l′ g) = (1 − αk ′ )f + (−αl′ )g .Mas, como β > 0 isso diz que β ∈ M . Logo, β ≥ m′ , contradizendo (2.12). Logo m′ |f . De maneira totalmente an´loga aprova-se que m′ |g. Portanto m′ ≤ mdc(f, g) = m. Lembrando que hav´ ıamos provado (2.11), segue que m = m′ e,portanto m = k ′ f + l′ g, demonstrando o Lema.Corol´rio 2.1 Se f e g s˜o dois n´meros inteiros primos entre si ent˜o existem inteiros k ′ e l′ tais que a a u a 1 = k′ f + l′ g .Prova. Pela defini¸ao, como f e g s˜o dois n´ meros inteiros primos entre si segue que mdc(f, g) = 1. c˜ a u ´ o Para finalmente demonstrarmos a existˆncia de inverso em Zp , com p primo, seja a ∈ {1, . . . , p − 1}. E ´bvio que a ee p s˜o primos entre si (por que?). Assim, pelo corol´rio, existem inteiros r e s com a a 1 = sa − rp .Isso diz que sa = rp + 1. Logo, definindo b ∈ Zp como sendo b = s mod p teremos ba = (s mod p)a = (rp + 1) mod p = 1 ,ou seja, b = a−1 , completando a demonstra¸ao. c˜ E. 2.15 Exerc´cio. Considere o conjunto Z4 . Constate que nele produto do elemento 2 consigo mesmo resulta no elemento ınulo. Conclua disso que 2 n˜o pode possuir inversa multiplicativa e constate que tal ´ realmente o caso. a e• Isomorfismos entre corpos Dois corpos K1 e K2 s˜o ditos isomorfos se existir uma aplica¸ao bijetora φ : K1 → K2 que preserve as opera¸oes a c˜ c˜alg´bricas de K1 e K2 , ou seja, tal que e φ(a + b) = φ(a) + φ(b) , φ(ab) = φ(a)φ(b) , φ(1K1 ) = 1K2 e φ(0K1 ) = 0K2 . ´Acima, 1Kj e 0Kj s˜o a unidade e o elemento nulo, respectivamente, de Kj , j = 1, 2. E elementar constatar que a −1 −1φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a ) = φ(a) para todo a ∈ K1 , a = 0K1 . E. 2.16 Exerc´cio. Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma a −b , com a, b ∈ R. Mostre que esse ı b aconjunto ´ um corpo em rela¸˜o `s opera¸oes usuais de soma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo ´ isomorfo ao e ca a c˜ ecorpo C pelo isomorfismo φ(a + bi) := a −b para todos a, b ∈ R. b a O leitor que apreciou o Exerc´ E. 2.16 ´ estimulado a posteriormente estudar a no¸ao de quat´rnios, apresentada ıcio e c˜ eneste texto na Se¸ao 2.6.3, p´gina 143, pois aquela no¸ao generaliza de diversas formas o conte´ do do exerc´ c˜ a c˜ u ıcio.• Caracter´ ıstica de um corpo Seja K um corpo e 1 sua unidade. Para um n´ mero natural n definimos n · 1 := 1 + · · · + 1. u n vezes Define-se a caracter´stica de K como sendo o menor n´ mero natural n˜o-nulo n tal que n · 1 = 0. Se um tal n´ mero ı u a un˜o existir, diz-se que o corpo tem caracter´ a ıstica zero. √Exemplos. Q, R, C, Q( 2) tˆm caracter´ e ıstica zero. Zp , p primo, tem caracter´ ıstica p. Mostre isso.
  • 18. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 79/1702 E. 2.17 Exerc´cio. Mostre que a caracter´ ı ıstica de um corpo ´ ou igual a zero ou ´ um n´mero primo. Sugest˜o: Mostre e e u aprimeiro que (nm) · 1 = (n · 1)(m · 1) para quaisquer n´meros naturais n e m. Use ent˜o o fato que todo natural pode ser u adecomposto em um produto de fatores primos e use o fato que, em um corpo, se ab = 0 ent˜o ou a ou b ou ambos s˜o zero a a(ou seja, todo corpo ´ um anel de integridade: n˜o tem divisores de zero). e a2.1.5 Espa¸os Vetoriais cUm espa¸o vetorial V sobre um corpo K ´ um conjunto de elementos chamados vetores dotado de uma opera¸ao “+”: c e c˜V × V → V denominada soma vetorial e tamb´m de um produto por escalares “·”: K × V → V com as seguintes epropriedades: 1. A cada par u, v ∈ V de vetores ´ associado um elemento u + v ∈ V , denominado soma de u e v, com as seguintes e propriedades: (a) A soma ´ comutativa: u + v = v + u para todos u, v ∈ V . e (b) A soma ´ associativa: u + (v + w) = (u + v) + w para todos u, v, w ∈ V . e (c) Existe um unico vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u para todo u ∈ V . ´ (d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por −u tal que u + (−u) = 0. ´ 2. A cada par α ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado por α · u ∈ V , denominado produto de u por α, de forma que (a) O produto por escalares ´ associativo: α · (β · u) = (αβ) · u, para todos α, β ∈ K e u ∈ V , onde αβ ´ o produto e e de α por β em K. (b) 1 · u = u para todo u ∈ V , onde 1 ´ a unidade de K. e (c) O produto por escalares ´ distributivo em rela¸ao ` soma de vetores: α · (u + v) = α · u + α · v, para todo e c˜ a α ∈ K e todos u, v ∈ V . (d) O produto por escalares ´ distributivo em rela¸ao ` soma de escalares: (α + β) · u = α · u + β · u, para todos e c˜ a α, β ∈ K e todo u ∈ V . Note-se que espa¸os vetoriais s˜o grupos comutativos em rela¸ao ` opera¸ao de soma, fato que, como comentamos c a c˜ a c˜anteriormente, garante a unicidade do vetor nulo. Os elementos de um corpo sobre os quais um espa¸o vetorial se constitui s˜o freq¨ entemente denominados escalares. c a u´E freq¨ ente omitir-se o s´ u ımbolo “·” de produto por escalares quando nenhuma confus˜o ´ poss´ a e ´ ıvel. E de se notar tamb´m eque emprega-se o s´ ımbolo “+” tanto para a opera¸ao de adi¸ao do corpo K quanto para a opera¸ao de adi¸ao do espa¸o c˜ c˜ c˜ c˜ cvetorial V , ainda que se trate de opera¸oes distintas. Igualmente usamos o mesmo s´ c˜ ımbolo “0” para designar o vetornulo de V e o elemento nulo de K. Raramente esses usos s˜o fonte de confus˜o. a a E. 2.18 Exerc´cio. Mostre, usando os postulados acima, que 0 · u = 0 para todo u ∈ V , onde, permitindo-nos um certo ıabuso de linguagem, o 0 do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do lado direito o vetor nulo de V . Em seguida,prove que para todo α ∈ K e todo u ∈ V vale (−α) · u = −(α · u), sendo que −α denota a inversa aditiva de α em K e−(α · u) denota a inversa aditiva de α · u em V .• Alguns exemplos elementares de espa¸os vetoriais c Ao estudante iniciante sugerimos provar com detalhe as afirma¸oes feitas sobre os exemplos que seguem. c˜ 1. Se K ´ um corpo, ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre K com as mesmas opera¸oes de soma e produto definidas em e a e c c˜ K. 2. Se K ´ um corpo e Ä ´ um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K que ´ por si s´ um corpo com as opera¸oes e e e o c˜ definidas em K), ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre Ä. Por exemplo, R ´ um espa¸o vetorial sobre Q (esse espa¸o a e c e c c ´ curioso, por ser um espa¸o de dimens˜o infinita. Vide Se¸ao 2.3.1, p´gina 109 e seguintes). e c a c˜ a
  • 19. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 80/1702 3. Se K ´ um corpo, o produto Cartesiano Kn = {(k1 , . . . , kn ), kj ∈ K, j = 1, . . . , n} ´ um espa¸o vetorial sobre e e c K com a opera¸ao de soma definida por (k1 , . . . , kn ) + (l1 , . . . , ln ) = (k1 + l1 , . . . , kn + ln ) e o produto por c˜ escalares por α · (k1 , . . . , kn ) = (αk1 , . . . , αkn ) para todo α ∈ K. O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e Os trˆs exemplos a seguir s˜o casos particulares do de acima. e a 4. O produto Cartesiano Rn = {(x1 , . . . , xn ), xj ∈ R, j = 1, . . . , n} ´ um espa¸o vetorial sobre R com a opera¸ao e c c˜ de soma definida por (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) e o produto por escalares por α · (x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ) para todo α ∈ R. O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e 5. O produto Cartesiano Cn = {(z1 , . . . , zn ), zj ∈ C, j = 1, . . . , n} ´ um espa¸o vetorial sobre C (sobre R) com a e c opera¸ao de soma definida por (z1 , . . . , zn ) + (w1 , . . . , wn ) = (z1 + w1 , . . . , zn + wn ) e o produto por escalares c˜ por α · (z1 , . . . , zn ) = (αz1 , . . . , αzn ) para todo α ∈ C (para todo α ∈ R). O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e 6. Para p primo, o produto Cartesiano (Zp )n = {(z1 , . . . , zn ), zj ∈ Zp , j = 1, . . . , n} ´ um espa¸o vetorial sobre e c Zp com a opera¸ao de soma definida por (z1 , . . . , zn ) + (w1 , . . . , wn ) = (z1 + w1 , . . . , zn + wn ) e o produto por c˜ escalares por α · (z1 , . . . , zn ) = (αz1 , . . . , αzn ) para todo α ∈ Zp . O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e Note que (Zp )n tem um n´ mero finito de elementos, a saber pn . u 7. Se K ´ um corpo, o conjunto Mat (K, m, n), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matriz pertencem a e K, ´ um espa¸o vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o e c produto usual de matrizes por n´ meros escalares. O vetor nulo ´ a matriz nula. u e 8. O conjunto Mat (R, m, n), de todas as matrizes reais m × n, ´ um espa¸o vetorial sobre R, com a soma sendo a e c soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´ meros reais. O vetor u nulo ´ a matriz nula. e 9. O conjunto Mat (C, m, n), de todas as matrizes complexas m × n, ´ um espa¸o vetorial sobre C (sobre R), com e c a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´ meros u complexos (reais). O vetor nulo ´ a matriz nula. e 10. Este exemplo generaliza v´rios dos anteriores. Sejam V um espa¸o vetorial sobre um corpo K e seja C um conjunto a c n˜o-vazio. O conjunto V C de todas as fun¸oes de C em V ´ um espa¸o vetorial sobre K com a soma e o produto a c˜ e c por escalares definidos da seguinte forma: se f e g s˜o fun¸oes de C em V define-se a soma f + g como sendo a c˜ a fun¸ao definida por (f + g)(c) = f (c) + g(c) para todo c ∈ C e se α ∈ K, ent˜o α · f ´ a fun¸ao definida por c˜ a e c˜ (α · f )(c) = αf (c) para todo c ∈ C. O vetor nulo ´ a fun¸ao identicamente nula. e c˜ 11. Este ´ um exemplo um tanto ex´tico, mas que serve para ilustrar que a no¸ao de espa¸o vetorial ´ menos trivial do e o c˜ c e ◦ ab que parece. O conjunto V = (0, 1) ´ um espa¸o vetorial real com as opera¸oes de soma a + b = 1−a−b+2ab , para e c c˜ aα todos a, b ∈ (0, 1), e com o produto por escalares α ∈ R dado por α · a = aα +(1−a)α , para todo a ∈ V . O vetor ◦ nulo ´ 1/2, a inversa aditiva de a ∈ V ´ − a = 1 − a. e e E. 2.19 Exerc´cio. Verifique que o intervalo (0, 1) ´, de fato, um espa¸o vetorial real com as opera¸oes definidas ı e c c˜ acima. Este exemplo ser´ estudado com mais profundidade e generalizado na Se¸ao 2.1.11, p´gina 94. a c˜ a Anti-exemplo. Tomemos o conjunto dos reais com a opera¸ao de soma usual, um corpo Zp com p primo e o produto c˜Zp × R → R, α · x, α ∈ Zp e x ∈ R dada pelo produto usual em R. Essa estrutura n˜o forma um espa¸o vetorial. A a cregra distributiva (α + β) · x = α · x + β · xn˜o ´ satisfeita para todo α, β ∈ Zp . Acima, α · x ´ o produto usual em R. a e e Outros exemplos ser˜o de espa¸os vetoriais ser˜o encontrados nas Se¸oes que seguem, notadamente quando tratarmos a c a c˜das no¸oes de soma direta e produto tensorial de espa¸os vetoriais. c˜ c * ´ E quase desnecess´rio mencionar o qu˜o importantes espa¸os vetoriais s˜o no contexto da F´ a a c a ısica, onde, por´m, quase esomente espa¸os vetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos ocorrem. c
  • 20. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 81/17022.1.6 ´ An´is, M´dulos e Algebras e o2.1.6.1 An´is e• An´is n˜o-associativos e a Um anel n˜o-associativo ´ um conjunto A dotado de duas opera¸oes bin´rias denotadas por “+” e “·” e denominadas a e c˜ asoma e produto, respectivamente, tais que A ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma e a opera¸ao de produto e c˜ a c˜ c˜´ distributiva em rela¸ao ` soma: para quaisquer a, b e c ∈ A valem a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.e c˜ a Como usual, denotamos por −a a inversa aditiva do elemento a de um anel n˜o-associativo. a Se 0 ´ o elemento neutro de um anel n˜o-associativo A em rela¸ao ` opera¸ao de soma, ent˜o a · 0 = 0 pois, como e a c˜ a c˜ a0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 − (a · 0) = a · 0 + a · 0 − (a · 0) = a · 0.Exemplo 2.10 Seja Mat (Z, n) o conjunto das matrizes n × n cujos elementos de matriz s˜o n´ meros inteiros. Para a uA, b ∈ Mat (Z, n) defina o produto [A, B] = AB − BA, denominado comutador de A e B onde AB ´ o produto usual edas matrizes A e B. Ent˜o Mat (Z, n) com o produto do comutador ´ um anel n˜o-associativo. a e a ◊ Em um anel n˜o-associativo, a propriedade de associatividade do produto “·” n˜o ´ requerida. Se ela, por´m, for a a e ev´lida, temos a estrutura de um anel. a• An´is e Um anel ´ um conjunto A dotado de duas opera¸oes bin´rias denotadas por “+” e “·” e denominadas soma e produto, e c˜ arespectivamente, tais que A ´ um grupo Abeliano em rela¸ao ` opera¸ao de soma e um semi-grupo em rela¸ao ` opera¸ao e c˜ a c˜ c˜ a c˜de produto (ou seja, o produto ´ associativo). Por fim, a opera¸ao de produto ´ distributiva em rela¸ao ` soma: para e c˜ e c˜ aquaisquer a, b e c ∈ A valem a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c. Como usual, denotamos por −a a inversa aditiva do elemento a de um anel. Se 0 ´ o elemento neutro de um anel A em rela¸ao ` opera¸ao de soma, ent˜o a · 0 = 0 para todo a ∈ A, pois, como e c˜ a c˜ a0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 − (a · 0) = a · 0 + a · 0 − (a · 0) = a · 0. Observamos que alguns autores, como Bourbaki, incluem a existˆncia de uma unidade (n˜o-nula) na defini¸ao de e a c˜anel. Aqui denominaremos an´is com unidade tais an´is. Vide p´gina 88. e e a2.1.6.2 M´dulos oSeja A um anel. Um A-m´dulo a esquerda ´ um grupo Abeliano M (cujo produto, seguindo a conven¸ao, denotaremos o ` e c˜por “+”) dotado de uma fun¸ao A × M → M que a cada par a ∈ A, m ∈ M associa um elemento de M denotado por c˜a · m com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A e todos m, n ∈ M 1. a · (m + n) = a · m + a · n, 2. (a + b) · m = a · m + b · m, 3. a · (b · m) = (ab) · m, 4. Se A possuir uma identidade e (i.e., um elemento neutro para o produto), ent˜o e · m = m. a Seja A um anel. Um A-m´dulo a direita ´ um grupo Abeliano M dotado de uma fun¸ao M × A → M que a cada o ` e c˜par a ∈ A, m ∈ M associa um elemento de M denotado por m · a com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A etodos m, n ∈ M 1. (m + n) · a = m · a + n · a, 2. m · (a + b) = m · a + m · b, 3. (m · b) · a = m · (ba),
  • 21. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 82/1702 4. Se A possuir uma identidade e, ent˜o m · e = m. a Sejam A e B dois an´is. Um bim´dulo em rela¸ao a A e B ´ um grupo Abeliano M dotado de duas fun¸oes A×M → M e o c˜ e c˜e M × B → M que a cada a ∈ A, b ∈ B e m ∈ M associam elementos de M denotados por a · m e m · b, respectivamente,de modo que M seja um A-m´dulo ` esquerda e um B-m´dulo ` direita e de modo que valha o a o a 1. a · (m · b) = (a · m) · b para todos a ∈ A, b ∈ B, m ∈ M .2.1.6.3 ´ AlgebrasUma algebra ´ um espa¸o vetorial V sobre um corpo K dotado de uma opera¸ao de produto bin´ria “·” dita produto da ´ e c c˜ aa´lgebra, de modo que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas: a a. O produto da ´lgebra ´ distributivo em rela¸ao a soma vetorial: para todos a, b e c ∈ V valem a e c˜ a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c . b. O produto por escalares comuta com o produto da ´lgebra e ´ distributivo em rela¸ao a ele: para todos a, b ∈ V e a e c˜ α ∈ K vale α(a · b) = (αa) · b = a · (αb) . Uma ´lgebra V ´ dita ser uma algebra comutativa ou uma algebra Abeliana16 se para todos a, b ∈ V tivermos a e ´ ´ a · b = b · a. Uma ´lgebra V ´ dita ser uma algebra associativa se para todos a, b e c ∈ V tivermos a e ´ a · (b · c) = (a · b) · c .Nota¸ao. Se A ´ uma ´lgebra associativa, podemos sem ambig¨ idade denotar produtos triplos como a(bc) e (ab)c c˜ e a usimplesmente como abc. Devemos dizer que h´ muitas ´lgebras importantes encontradas na F´ a a ısica que n˜o s˜o nem comutativas nem associ- a aativas. Por exemplo, a ´lgebra do produto vetorial em R3 n˜o ´ nem comutativa nem associativa. a a e Os seguintes coment´rios s˜o uteis: a a ´ ´ e ´ 1. Algebras associativas s˜o an´is. Algebras n˜o-associativas s˜o an´is n˜o-associativos. a a a e a 2. Uma ´lgebra associativa pode n˜o ser comutativa, um exemplo sendo as ´lgebras de matrizes complexas n × n com a a a n > 1 (vide adiante). 3. Uma ´lgebra comutativa pode n˜o ser associativa, um exemplo sendo as ´lgebras de Jordan n˜o-associativas (vide a a a a p´gina 86, adiante). a Alguns exemplos elementares de an´is e ´lgebras: e a 1. O conjunto Mat (C, n) das matrizes complexas n × n ´ uma ´lgebra complexa, associativa e n˜o-comutativa (se e a a n > 1) em rela¸ao ` soma e ao produto usuais de matrizes. O conjunto Mat (Z, n) das matrizes inteiras n × n ´ c˜ a e um anel (n˜o-comutativo, se n > 1) em rela¸ao ` soma e ao produto usuais de matrizes. a c˜ a 2. O conjunto Mat (Q, n) das matrizes racionais n × n ´ um anel (n˜o-comutativo, se n > 1) em rela¸ao ` soma e ao e a c˜ a ´ produto usuais de matrizes. E tamb´m uma ´lgebra em rela¸ao ao corpo dos racionais Q. e a c˜ 3. O conjunto Pol(C) de todos os polinˆmios em uma vari´vel complexa com coeficientes complexos ´ uma ´lgebra o a e a complexa, associativa e Abeliana em rela¸ao ` soma e ao produto usuais de polinˆmios. O conjunto Pol(Z) de c˜ a o todos os polinˆmios em uma vari´vel complexa com coeficientes inteiros ´ um anel Abeliano em rela¸ao ` soma e o a e c˜ a ao produto usuais de polinˆmios. o 16 Niels Henrik Abel (1802–1829).
  • 22. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 83/1702 4. O conjunto Pol(Q) de todos os polinˆmios em uma vari´vel complexa com coeficientes racionais ´ um anel Abeliano o a e o ´ em rela¸ao ` soma e ao produto usuais de polinˆmios. E tamb´m uma ´lgebra associativa e Abeliana em rela¸ao c˜ a e a c˜ ao corpo dos racionais Q.E. 2.20 Exerc´cio. Em caso de d´vida, justifique as afirma¸oes de acima. ı u c˜ ´• Sub-´lgebras. Algebras geradas a Se A ´ uma ´lgebra sobre um corpo K e dotada de um produto “·” dizemos que um subespa¸o vetorial A0 de A ´ e a c euma sub-´lgebra de A se A0 for tamb´m uma ´lgebra com o mesmo produto “·”. a e a Se C ´ um subconjunto de uma ´lgebra A, denominamos a menor sub-´lgebra de A que cont´m C como sendo a e a a esub-´lgebra gerada por C. A sub-´lgebra gerada por C ser´ composta por todos os elementos de A que possam ser escritos a a acomo combina¸oes lineares finitas de produtos finitos de elementos de C. c˜ Se G ´ um subconjunto de uma ´lgebra A e a sub-´lgebra gerada por G for a pr´pria A, ent˜o dizemos que G ´ um e a a o a econjunto gerador de A. Se uma ´lgebra A ´ gerada por um conjunto G ⊂ A, ent˜o todo elemento de A pode ser escrito a e acomo uma combina¸ao linear finita de produtos finitos de elementos de G. c˜ No caso de ´lgebras topol´gicas as defini¸oes acima podem ser modificadas para levar em conta o fato de ´lgebras e a o c˜ asub-´lgebras serem fechadas (topologicamente) ou n˜o. Assim, dizemos que G ´ um conjunto gerador de uma ´lgebra a a e aA se a menor ´lgebra que cont´m G for densa em A (na topologia de A). Nesse esp´ a e ırito, dizemos que se uma ´lgebra aA ´ gerada por um conjunto G ⊂ A, ent˜o todo elemento de A pode ser escrito como limite (na topologia de A) de e acombina¸oes lineares finitas de produtos finitos de elementos de G. c˜• Constantes de estrutura Seja A uma ´lgebra de dimens˜o finita (enquanto espa¸o vetorial) e seja B = {b1 , . . . , bn } uma base em A. Ent˜o, a a c apara cada i, j = 1, . . . , n o produto bi · bj poder´ ser escrito como uma combina¸ao linear de elementos de B: a c˜ n bi · bj = ck b k . ij k=1As n3 constantes cij s˜o denominadas constantes de estrutura da ´lgebra A na base B e elas fixam o produto de todos k a a n nos elementos de A. De fato, se p, q ∈ A s˜o da forma p = i=1 αi bi e q = i=j βj bj , ent˜o p · q = k=1 γk bk , com a a n n kγk = i=1 i=j αi βj cij . Por essa raz˜o, o conhecimento das constantes de estrutura fornece, em princ´ a ıpio, informa¸oes c˜completas sobre ´lgebras de dimens˜o finita. E a a ´ importante enfatizar tamb´m que as constantes de estrutura dependem eda base escolhida e s˜o transformadas por mudan¸as de base. a cE. 2.21 Exerc´cio. Obtenha a regra de transforma¸˜o de constantes de estrutura por mudan¸as de base. ı ca c2.1.7 ´ Exemplos Especiais de AlgebrasExistem in´ meras ´lgebras de especial interesse em ´reas como a F´ u a a ısica, a Teoria de Grupos e a Geometria Diferencial.Listaremos alguns poucos exemplos aqui com os quais lidaremos futuramente.2.1.7.1 ´ Algebras de LieUma classe especialmente importante de ´lgebras ´ formada pelas chamadas algebras de Lie. Por raz˜es hist´ricas o a e ´ o o a e ımbolo [a, b] em lugar de a · b, nota¸ao que seguiremosproduto de dois elementos de uma ´lgebra de Lie ´ denotado pelo s´ c˜aqui. Uma ´lgebra L (sobre um corpo K) ´ dita ser uma algebra de Lie17 se seu produto, al´m das propriedades 1 e 2 da a e ´ ep´gina 82, satisfizer a 17 Marius Sophus Lie (1842–1899).
  • 23. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 84/1702 a. Para todo a ∈ L vale [a, a] = 0. b. Identidade de Jacobi18 . Para todos a, b e c ∈ L vale [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0 . (2.13) A primeira propriedade tem uma implica¸ao importante. Como [a, a] = 0 para todo a ∈ L, vale tamb´m que c˜ e[a + b, a + b] = 0 para todos a, b ∈ L. Expandindo o lado esquerdo teremos que 0 = [a + b, a + b] = [a, a] + [b, b] +[a, b] + [b, a] = [a, b] + [b, a], ou seja, valer´ a importante propriedade de anti-comutatividade: [a, b] = −[b, a] para atodos a, b ∈ L. Reciprocamente, se assumirmos v´lida a propriedade de anti-comutatividade ent˜o, tomando b = a, a a amesma afirmar´ que [a, a] = −[a, a] o que implica [a, a] = 0 exceto se o corpo K tiver caracter´stica igual a 2. a ı Assim, para corpos com caracter´ıstica diferente de 2 (como ´ o caso do corpo dos racionais, dos reais ou dos complexos, eque tˆm caracter´ e ıstica 0) nossa defini¸ao de ´lgebra de Lie, acima, equivale ` seguinte: L ´ dita ser uma ´lgebra de Lie c˜ a a e ase seu produto satisfizer: a. Anti-comutatividade. Para todos a, b ∈ L vale [a, b] = −[b, a]. b. Identidade de Jacobi. Para todos a, b e c ∈ L vale [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0 . (2.14) ´ E evidente pelas considera¸oes acima que uma ´lgebra de Lie L s´ pode ser comutativa se seu produto for trivial c˜ a o[a, b] = 0 para todos a, b ∈ L, um caso que raramente merece considera¸ao especial. Uma ´lgebra de Lie L tamb´m c˜ a en˜o pode ter uma unidade, pois se e ∈ L fosse uma identidade, ter´ a ıamos e = [e, e] = 0. Logo, para todo a ∈ L valeriatamb´m a = [a, e] = [a, 0] = 0, implicando que L possui apenas o vetor nulo, novamente um caso trivial que n˜o merece e aconsidera¸ao. Por fim, se uma ´lgebra de Lie L for associativa, ent˜o a identidade de Jacobi e a anti-comutatividade c˜ a aimplicam [a, [b, c]] = 0 para todos a, b, c ∈ L (Prove isso!). Um exemplo de uma ´lgebra de Lie com tal propriedade a´ a ´lgebra de Heisenberg (vide Se¸ao 18.2.2, p´gina 850). Note que em tal caso a identidade de Jacobi ´ trivialmentee a c˜ a esatisfeita. E. 2.22 Exerc´cio. Para ´lgebras de Lie de dimens˜o finita escreva a condi¸˜o de anticomutatividade e a identidade de ı a a caJacobi (2.14) em termos das constantes de estrutura. ´• Algebras associativas e ´lgebras de Lie a Seja A uma ´lgebra associativa. Podemos associar a A uma ´lgebra de Lie definindo o produto [a, b] = ab − ba, a adenominado comutador de a e b ∈ A. Com essa defini¸ao, ´ claro que [a, a] = 0 para todo a ∈ A e a identidade de Jacobi c˜ esegue do fato que [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = a(bc − cb) − (bc − cb)a + c(ab − ba) − (ab − ba)c + b(ca − ac) − (ca − ac)b = abc − acb − bca + cba + cab − cba − abc + bac + bca − bac − cab + acb = 0,como facilmente se constata.• Exemplos b´sicos de ´lgebras de Lie a a Todos os exemplos aqui exibidos s˜o relevantes na teoria dos grupos de Lie. aE. 2.23 Exerc´cio. Mostre que R3 dotado do produto vetorial usual ´ uma ´lgebra de Lie. ı e a 18 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).
  • 24. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 85/1702 E. 2.24 Exerc´cio. Mostre que Mat (R, n) (ou Mat (C, n)), o conjunto de todas as matrizes n × n reais (complexas) ´ ı euma ´lgebra de Lie com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. a ca E. 2.25 Exerc´cio. Mostre que o subconjunto de Mat (R, n) (ou de Mat (C, n)) formado pelas matrizes com tra¸o nulo ´ ı c euma ´lgebra de Lie com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. a ca E. 2.26 Exerc´cio. Mostre que o subconjunto de Mat (R, n) (ou de Mat (C, n)) formado pelas matrizes anti-sim´tricas, ı eou seja, tais que AT = −A, ´ uma ´lgebra de Lie com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. e a ca E. 2.27 Exerc´cio. Mostre que o subconjunto de Mat (C, n) formado pelas matrizes anti-autoadjuntas, ou seja, tais que ıA∗ = −A, ´ uma ´lgebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. e a ca E. 2.28 Exerc´cio. Conclua igualmente que o subconjunto de Mat (C, n) formado pelas matrizes anti-autoadjuntas, ou ıseja, tais que A∗ = −A, e de tra¸o nulo (Tr(A) = 0) ´ uma ´lgebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com rela¸˜o ao produto c e a ca[A, B] = AB − BA.E. 2.29 Exerc´cio. Fixada uma matriz M ∈ Mat (R, n), mostre que o subconjunto de Mat (R, n) formado pelas matrizes ıA com a propriedade AM = −M AT ´ uma ´lgebra de Lie real com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. e a caE. 2.30 Exerc´cio. Fixada uma matriz M ∈ Mat (C, n), mostre que o subconjunto de Mat (C, n) formado pelas matrizes ıA com a propriedade AM = −M A∗ ´ uma ´lgebra de Lie real com rela¸˜o ao produto [A, B] = AB − BA. e a ca Tratemos agora de exibir um exemplo b´sico de uma ´lgebra de Lie de dimens˜o infinita. a a a• Colchetes de Poisson Sejam f (p, q) e g(p, q), com f : R2 → R e g : R2 → R, duas fun¸oes reais, infinitamente diferenci´veis, de duas c˜ avari´veis reais p e q. Definimos os colchetes de Poisson19 de f e g, denotados por {f, g}, por a ∂f ∂g ∂f ∂g {f, g} := − . ∂p ∂q ∂q ∂p´E claro que {f, g} ´ igualmente uma fun¸ao infinitamente diferenci´vel de p e q. e c˜ a Os colchetes de Poisson satisfazem as seguintes propriedades: para quaisquer fun¸oes f, g e h como acima, valem c˜ a. Linearidade: {f, αg + βh} = α{f, g} + β{f, h} para quaisquer α, β ∈ R. Analogamente {αf + βg, h} = α{f, h} + β{g, h}. b. Anti-simetria: {f, g} = −{g, f }. c. Identidade de Jacobi20 : {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f }} = 0. d. Identidade de Leibniz21 : {f, gh} = {f, g}h + g{f, h}.E. 2.31 Exerc´cio importante. Verifique a validade das quatro propriedades acima. ı As propriedades 1 e 2 e 3 indicam que o conjunto das fun¸oes R2 → R infinitamente diferenci´veis ´ uma ´lgebra de c˜ a e aLie com o produto definido pelos colchetes de Poisson. Trata-se de uma ´lgebra de Lie de dimens˜o infinita. a a 19 Sim´on e Denis Poisson (1781–1840). 20 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). 21 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).
  • 25. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 86/1702 A defini¸ao acima dos colchetes de Poisson pode ser facilmente generalizada para variedades diferenci´veis de dimens˜o c˜ a apar, mas n˜o trataremos disso aqui por ora. Os colchetes de Poisson desempenham um papel importante na Mecˆnica a aCl´ssica. a E. 2.32 Exerc´cio. Mostre que matrizes A, B, C de Mat (R, n) (ou de Mat (C, n)) tamb´m satisfazem uma identidade ı ede Leibniz: [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]. Em verdade, essa identidade ´ v´lida em qualquer ´lgebra associativa. Mostre e a aisso tamb´m (a prova ´ idˆntica ao caso de matrizes). e e e2.1.7.2 ´ Algebras de PoissonO exemplo dos colchetes de Poisson e do Exerc´ E. 2.32 conduzem ` defini¸ao da no¸ao de algebra de Poisson. ıcio a c˜ c˜ ´ Uma algebra de Poisson ´ um espa¸o vetorial P (em rela¸ao a um corpo K) dotado de dois produtos, denotados por ´ e c c˜∗ e por {· , ·}, satisfazendo as seguintes propriedades: • P ´ uma ´lgebra associativa em rela¸ao ao produto ∗. e a c˜ • P ´ uma ´lgebra de Lie em rela¸ao ao produto {· , ·}. e a c˜ • Para todos a, b, c ∈ P vale a identidade de Leibniz {a, b ∗ c} = {a, b} ∗ c + b ∗ {a, c}. Isso significa que o produto {· , ·} age como uma deriva¸ao para o produto ∗. c˜ Naturalmente, se A ´ uma ´lgebra associativa com produto ∗ obtemos em A uma ´lgebra de Poisson definindo e a a{a, b} = a ∗ b − b ∗ a, como observamos no Exerc´ E. 2.32. De maior interesse s˜o ´lgebras de Poisson onde o produto ıcio a a{a, b} n˜o seja do tipo a ∗ b − b ∗ a. a2.1.7.3 ´ Algebras de JordanOutra classe de ´lgebras n˜o-associativas de interesse ´ formada pelas ´lgebras de Jordan. a a e a Uma ´lgebra n˜o-associativa J sobre um corpo K ´ dita ser uma algebra de Jordan22 se seu produto satisfizer a a e ´ a. Comutatividade. Para todos a, b ∈ J vale a · b = b · a. b. Identidade de Jordan. Para todos a, b ∈ J vale (a · a) · (a · b) = a · ((a · a) · b) . (2.15) Como a identidade de Jordan ´ trivialmente satisfeita por uma ´lgebra associativa, alguns autores aceitam a inclus˜o e a adas ´lgebras associativas dentre as de Jordan (desde que sejam tamb´m comutativas, naturalmente). De qualquer forma, a edada uma ´lgebra associativa (n˜o-necessariamente comutativa) ´ sempre poss´ definir um produto que faz dela uma a a e ıvela´lgebra de Jordan. De fato, se A ´ uma ´lgebra associativa (n˜o-necessariamente comutativa) sobre R ou C23 , cujo produto denotamos e a apor ab, o produto 1 a · b = (ab + ba) (2.16) 2faz de A uma ´lgebra de Jordan. Em textos de F´ a ısica a express˜o ab+ba ´ denominada anticomutador e ´ freq¨ entemente a e e udenotada pelo s´ımbolo {a, b}. E. 2.33 Exerc´cio. Verifique que esse produto ´ comutativo (trivial) e satisfaz a identidade de Jordan. Verifique tamb´m ı e eque esse produto n˜o ´, em geral, associativo se A n˜o for Abeliana. Esse produto ´ denominado produto de Jordan. a e a e As ´lgebras de Jordan surgiram da tentativa de definir produtos de observ´veis na Mecˆnica Quˆntica (representados a a a apor operadores auto-adjuntos) que definissem novamente observ´veis. O seguinte exerc´ deve tornar isso claro. a ıcio 22 Ernst Pascual Jordan (1902–1980) foi um dos fundadores da Mecˆnica Quˆntica. a a 23 Ou, mais genericamente, sobre qualquer corpo que n˜o tenha caracter´ a ıstica 2.
  • 26. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 87/1702 E. 2.34 Exerc´cio. Verifique que a cole¸˜o das matrizes auto-adjuntas de Mat (C, n) forma uma ´lgebra de Jordan para o ı ca aproduto de Jordan acima.2.1.7.4 ´ Algebras de Grassmann´ ´Algebras de Grassmann, especialmente em uma de suas formas especiais, as chamadas Algebras Exteriores (vide Se¸ao c˜2.5, p´gina 136), s˜o importantes na Topologia Diferencial e na Geometria Diferencial, por exemplo no estudo das a achamadas formas diferenciais. Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Uma algebra de Grassmann24 sobre V ´ uma ´lgebra associativa e unital c ´ e a e o o ımbolo ∧ (denominado “cunha”),sobre K, denotada por Γ(V ), e cujo produto ´ denotado (por raz˜es hist´ricas) pelo s´com as seguintes propriedades a. V ´ um subespa¸o vetorial de Γ(V ). e c b. Para todo v ∈ V tem-se v ∧ v = 0. A condi¸ao de V ser um subespa¸o de Γ(V ) ´ por vezes substitu´ pela condi¸ao de V ser isomorfo a um subespa¸o c˜ c e ıda c˜ cde Γ(V ). Como essa distin¸ao dificilmente possui relevˆncia, vamos ignor´-la aqui. c˜ a a Como observamos na discuss˜o sobre ´lgebras de Lie, a condi¸ao v ∧ v = 0 para todo v ∈ V implica a condi¸ao de a a c˜ c˜anti-comutatividade u ∧ v = −v ∧ u para todos u, v ∈ V , mas s´ equivale a essa se a caracter´ o ıstica de K n˜o for 2. aFazemos notar tamb´m que a condi¸ao v ∧ v = 0 ´ assumida apenas para os elementos de V , n˜o para todos os elementos e c˜ e ade Γ(V ). Analogamente, fazemos notar que V ´ suposta ser um subespa¸o vetorial de Γ(V ), n˜o necessariamente uma e c asub-´lgebra de Γ(V ). a ıamos e = e ∧ e = 0, o que implicaria A unidade e de Γ(V ) n˜o pode ser um elemento de V , pois se tal fosse o caso ter´ apara todo a ∈ Γ(V ) que a = a ∧ e = a ∧ 0 = 0, o que s´ faz sentido se Γ(V ) (e, portanto, V ) consistir apenas do vetor onulo, um caso desprovido de interesse especial. Assim, nos casos de interesse, Γ(V ) possui ao menos dois subespa¸os cdistintos: o subespa¸o gerado pela unidade e e o subespa¸o V . c cProposi¸˜o 2.1 Em uma algebra de Grassmann Γ(V ) vale a seguinte afirma¸ao: se v1 , . . . , vm s˜o vetores de V , ent˜o ca ´ c˜ a ao produto v1 ∧ · · · ∧ vm ser´ nulo se v1 , . . . , vm forem linearmente dependentes. aProva. Vamos supor, sem perda de generalidade, que possamos escrever v1 como combina¸ao linear dos demais: v1 = c˜m m αk vk . Ent˜o, v1 ∧ · · · ∧ vm = a αk vk ∧ v2 ∧ · · · ∧ vm . Agora, usando a anticomutatividade podemos passar o vetork=2 k=2vk que ocorre no produto v2 ∧ · · · ∧ vm para a primeira posi¸ao no mesmo, ganhando um fator (−1)k−2 . Assim, devido c˜` associatividade, obtemos vk ∧ v2 ∧ · · · ∧ vm = (−1)k−2 vk ∧ vk ∧ · · · ∧ vm = 0, pois vk ∧ vk = 0.a Na Se¸ao 2.5.2, p´gina 138, discutiremos um procedimento geral de constru¸ao de uma ´lgebras de Grassmann a partir c˜ a c˜ ade um espa¸o vetorial V dado. Para aquelas ´lgebras, as chamadas algebras exteriores, vale a rec´ c a ´ ıproca da Proposi¸ao c˜2.1: um produto v1 ∧ · · · ∧ vm de vetores v1 , . . . , vm ∈ V ser´ nulo se e somente se v1 , . . . , vm forem linearmente adependentes. Vamos a alguns exemplos elementares (qui¸a triviais) de ´lgebras de Grassmann. Na Se¸ao 2.5.2, p´gina 138, dis- c´ a c˜ acutiremos um procedimento geral de constru¸ao de uma ´lgebras de Grassmann a partir de um espa¸o vetorial V dado c˜ a cdentro do qual mais exemplos poder˜o ser constru´ a ıdos.Exemplo 2.11 Seja V o espa¸o vetorial (sobre C) das matrizes 2 × 2 da forma ( 0 0 ), com b ∈ C. Ent˜o, uma ´lgebra de c 0 b a aGrassmann sobre V seria o conjunto das matrizes 2 × 2 da forma ( a a ), com a, b ∈ C, com o produto usual de matrizes. 0 b◊ 0 b cExemplo 2.12 Seja V o espa¸o vetorial (sobre C) das matrizes 3 × 3 da forma c 000 , com b, c ∈ C. Ent˜o, uma a 000 a b c´lgebra de Grassmann sobre V seria o conjunto das matrizes 3 × 3 da formaa 0 a 0 , com a, b, c ∈ C, com o produto 0 0 a 24 Hermann G¨nther Grassmann (1809–1877). u
  • 27. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 88/1702 0 b 0usual de matrizes. Note que nesse caso h´ uma rela¸ao adicional, pois o produto de matrizes da forma a c˜ 000 com 000 00 cmatrizes da forma 000 ´ nulo. e ◊ 0002.1.7.5 ´ Algebras de Clifford´Algebras de Clifford tˆm particular relevˆncia na Teoria de Grupos, surgindo tamb´m na Geometria Diferencial, na e a eMecˆnica Quˆntica Relativ´ a a ıstica e na Teoria da Relatividade Geral. Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K (que suporemos n˜o ter caracter´ c a ıstica 2) e seja ω uma forma bilinearsim´trica em V (para a defini¸ao, vide p´gina 148). Uma ´lgebra de Clifford25 sobre V e ω, denotada por Cl(V, ω), ´ e c˜ a a euma algebra associativa dotada de uma unidade e e com as seguintes propriedades ´ a. V ´ um subespa¸o vetorial de Cl(V, ω). e c b. Para todo v ∈ V tem-se v 2 = ω(v, v)e. A condi¸ao de V ser um subespa¸o de Cl(V, ω) ´ por vezes substitu´ pela condi¸ao de V ser isomorfo a um c˜ c e ıda c˜subespa¸o de Cl(V, ω). Como essa distin¸ao dificilmente possui relevˆncia, vamos ignor´-la aqui. c c˜ a a Notemos que se u e v s˜o elementos de V ent˜o, pela propriedade b, acima, vale (u + v)(u + v) = ω(u + v, u + v)e. a aExpandindo ambos os lados e usando que u2 = ω(u, u)e e v 2 = ω(v, v)e, obtemos uv + vu = 2ω(u, v)e. Reciprocamente,se supormos que uv + vu = 2ω(u, v)e para todos u e v ∈ V , segue evidentemente que v 2 = ω(v, v)e. Assim, a condi¸ao c˜b equivale a b’. Para todos u e v ∈ V tem-se uv + vu = 2ω(u, v)e. A defini¸ao de ´lgebra de Clifford para o caso em que K tem caracter´ c˜ a ıstica 2 ´ semelhante (ao inv´s de uma forma e ebilinear sim´trica emprega-se uma forma quadr´tica sobre V ), mas como certos resultados gerais n˜o s˜o v´lidos nesse e a a a acaso (por exemplo, a condi¸ao b n˜o equivale ` b’), n˜o faremos men¸ao a ele aqui e remetemos o estudante ` literatura c˜ a a a c˜ aespecializada (e.g. [122]).2.1.8 Mais sobre An´is eApresentaremos em seq¨ˆncia uma s´rie de defini¸oes ap´s as quais discutiremos exemplos relevantes. ue e c˜ o• An´is com unidade e Um anel com unidade ´ um anel R com a propriedade de existir em R um elemento 1, chamado de unidade, com e1 = 0, tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ R. A condi¸ao 1 = 0 ´ necess´ria para evitar uma situa¸ao trivial. Se 1 = 0 ent˜o para qualquer a ∈ R vale a = a · 1 = c˜ e a c˜ aa · 0 = 0, ou seja, R cont´m apenas o elemento 0. Como observamos, alguns autores, como Bourbaki, incluem a existˆncia e ede uma unidade (n˜o-nula) na defini¸ao de anel. a c˜• An´is sem divisores de zero e Dado um anel R um elemento n˜o-nulo a ∈ R ´ dito ser um divisor de zero se existir pelo menos um b ∈ R com b = 0 a etal que a · b = 0 ou b · a = 0. Se em um dado anel a rela¸ao a · b = 0 s´ for poss´ se a = 0 ou b = 0 ou ambos, ent˜o esse anel ´ dito ser um anel c˜ o ıvel a esem divisores de zero.Exemplos. C e R s˜o an´is sem divisores de zero (com os produtos e somas usuais), mas os an´is Mat(n, C), n > 1, tˆm a e e edivisores de zero (com o produto e soma usuais), pois tem-se, por exemplo, ( 1 0 ) ( 0 0 ) = ( 0 0 ). 00 01 00E. 2.35 Exerc´cio. Mostre que em Z4 tem-se 2 · 2 = 0, ou seja, 2 ´ um divisor de zero. H´ outros divisores de zero? ı e a 25 William Kingdon Clifford (1845–1879).
  • 28. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 89/1702E. 2.36 Exerc´cio. Mostre que em Zn existem divisores de zero caso n n˜o seja um n´mero primo. ı a u• An´is de integridade e Um anel comutativo (ou seja, cujo produto ´ comutativo), com unidade e sem divisores de zero ´ dito ser um anel de e eintegridade ou tamb´m um dom´nio de integridade. e ı Para a rela¸ao entre an´is de integridade e corpos, vide adiante. c˜ e• An´is de divis˜o e a Um anel R ´ dito ser um anel de divis˜o se possuir uma unidade multiplicativa 1, i.e., um elemento tal que para todo e aa ∈ R vale a · 1 = 1 · a = a e se para todo a ∈ R, a = 0, existir uma inversa multiplicativa em R, ou seja, um elementodenotado por a−1 tal que a · a−1 = a−1 · a = 1. E. 2.37 Exerc´cio importante. Mostre que um anel de divis˜o n˜o pode possuir divisores de zero. Portanto, todo anel de ı a adivis˜o comutativo ´ tamb´m um anel de integridade. a e eExemplos. Com as defini¸oes usuais R, C e Q s˜o an´is de divis˜o mas Z n˜o o ´ (falha a existˆncia da inversa c˜ a e a a e emultiplicativa). Mat(n, C), com n > 1, tamb´m n˜o ´ um anel de divis˜o com as defini¸oes usuais pois nem toda a e a e a c˜matriz n˜o-nula ´ invers´ a e ıvel. Outro exemplo de anel de divis˜o (n˜o comutativo!) s˜o os quat´rnios, que ser˜o discutidos ` p´gina 143. a a a e a a a ´• Algebras de divis˜o a Uma ´lgebra A ´ dita ser uma algebra de divis˜o se possuir uma unidade multiplicativa 1, i.e., um elemento tal que a e ´ apara todo a ∈ A vale a · 1 = 1 · a = a e se para todo a ∈ A, a = 0, existir uma inversa multiplicativa em A, ou seja, umelemento denotado por a−1 tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.• Corpos Todo anel de divis˜o cujo produto “·” ´ comutativo ´ um corpo (verifique!). a e e• Corpos n˜o-comutativos a Como a unica distin¸ao entre as defini¸oes de corpos e de an´is de divis˜o ´ que para os primeiros a comutatividade ´ c˜ c˜ e a edo produto ´ requerida, diz-se tamb´m por vezes que an´is de divis˜o n˜o-comutativos s˜o corpos n˜o-comutativos. e e e a a a a• Corpos e an´is de integridade e ´ E bem claro pelas defini¸oes que todo corpo ´ tamb´m um anel de integridade. A rec´ c˜ e e ıproca ´ parcialmente v´lida: e aTeorema 2.2 Todo anel de integridade finito ´ um corpo. eProva. Se A ´ um anel de integridade, tudo que precisamos ´ mostrar que todo elemento n˜o-nulo de A ´ invers´ e e a e ıvel. Sejaa um elemento de A {0}. Definamos a aplica¸ao α : A {0} → A dada por c˜ α(y) = ay .Note que, como A ´ um anel de integridade o lado direito ´ n˜o-nulo pois nem a nem y o s˜o. Assim, α ´, em verdade, e e a a euma aplica¸ao de A {0} em A {0} e, como tal, ´ injetora, pois se ay = az, segue que a(y − z) = 0, o que s´ ´ poss´ c˜ e oe ıvelse y = z, pois A ´ um anel de integridade e a = 0. Agora, uma aplica¸ao injetora de um conjunto finito em si mesmo tem e c˜necessariamente que ser sobrejetora (por que?). Assim, α ´ uma bije¸ao de A {0} sobre si mesmo. Como 1 ∈ A {0}, e c˜segue que existe y ∈ A {0} tal que ay = 1, ou seja, a tem uma inversa. Como a ´ um elemento arbitr´rio de A {0}, e asegue que todo elemento de A {0} tem inversa e, portanto, A ´ um corpo. e An´is de integridade infinitos n˜o s˜o necessariamente corpos: e a a
  • 29. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 90/1702 Anti-exemplo. Um exemplo de um anel de integridade que n˜o ´ um corpo ´ o conjunto de todos os polinˆmios de C a e e oem C com o produto e soma usuais. Em verdade, os unicos polinˆmios que tˆm inverso multiplicativo s˜o os polinˆmios ´ o e a oconstantes n˜o-nulos. a• An´is de divis˜o finitos e a O seguinte teorema, originalmente devido a Wedderburn26 , ´ bastante surpreendente por mostrar uma insuspeita erela¸ao entre a cardinalidade de um anel de divis˜o e a natureza de seu produto c˜ aTeorema 2.3 Todo anel de divis˜o finito ´ comutativo. a e Assim, pelas observa¸oes feitas acima conclu´ c˜ ı-se:Corol´rio 2.2 Todo anel de divis˜o finito ´ um corpo. a a e A prova do Teorema 2.3 n˜o ser´ apresentada aqui. Uma demonstra¸ao elegante, devida a Witt27 , pode ser encontrada a a c˜na magn´ıfica referˆncia [3]. e2.1.9 A¸˜es e Representa¸˜es co co• A¸oes c˜ Seja M um conjunto n˜o-vazio e G um grupo. Uma fun¸ao α : G × M → M ´ dita ser uma a¸ao a esquerda de G a c˜ e c˜ `sobre M se as seguintes condi¸oes forem satisfeitas: c˜ 1. Para todo g ∈ G a fun¸ao α(g, ·) : M → M ´ bijetora28 . c˜ e 2. Se e ´ a identidade de G ent˜o α(e, ·) : M → M ´ a fun¸ao identidade: α(e, x) = x para todo x ∈ M . e a e c˜ 3. Para todos g, h ∈ G e todo x ∈ M vale α(g, α(h, x)) = α(gh, x) . (2.17)Uma fun¸ao β : G × M → M ´ dita ser uma a¸ao a direita de G sobre M se as seguintes condi¸oes forem satisfeitas c˜ e c˜ ` c˜ 1. Para todo g ∈ G a fun¸ao β(g, ·) : M → M ´ bijetora. c˜ e 2. Se e ´ a identidade de G ent˜o β(e, ·) : M → M ´ a fun¸ao identidade: β(e, x) = x para todo x ∈ M . e a e c˜ 3. Para todos g, h ∈ G e todo x ∈ M vale β(g, β(h, x)) = β(hg, x) . (2.18)Note-se que a distin¸ao b´sica entre (2.17) e (2.18) ´ a ordem do produto no grupo. Se G ´ Abeliano n˜o h´ distin¸ao c˜ a e e a a c˜entre uma a¸ao ` direita ou ` esquerda. c˜ a a E. 2.38 Exerc´cio. Seja α : G × M → M uma a¸˜o ` esquerda de um grupo G em um conjunto M . Mostre que ı ca aβ : G × M → M definida por β(g, x) = α(g −1 , x) ´ uma a¸˜o ` direita de G em M . e ca a 26 Joseph Henry Maclagen Wedderburn (1882–1948). O trabalho original de Wedderburn ´: J. H. M. Wedderburn, “A theorem on finite ealgebras”, Trans. Amer. Math. Soc. 6, 349-352 (1905). Esse trabalho cont´m trˆs demonstra¸˜es do Teorema 2.3. e e co e ¨ 27 Ernst Witt (1911–1991). O trabalho original de Witt ´ “Uber die Kommutativit¨t endlicher Schiefk¨erper”. Abh. Math. Sem. Univ. a oHamburg, 8, 413 (1931). 28 Para g ∈ G fixo, α(g, ·) : M → M denota a fun¸ao M ∋ m → α(g, m) ∈ M , ou seja, a fun¸ao que a cada m ∈ M associa α(g, m) ∈ M . c˜ c˜
  • 30. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 91/1702 ´ E freq¨ ente encontrar-se outras nota¸oes para designar a¸oes de grupos em conjuntos. Uma a¸ao ` esquerda α(g, x) u c˜ c˜ c˜ a´ freq¨ entemente denotada por αg (x), de modo que a rela¸ao (2.17) fica αg (αh (x)) = αgh (x). Para uma a¸ao ` direita,e u c˜ c˜ a(2.18) fica βg (βh (x)) = βhg (x). Talvez a nota¸ao mais conveniente seja denotar uma a¸ao ` esquerda α(g, x) simplesmente por g · x ou apenas gx. c˜ c˜ aA rela¸ao (2.17) fica g(hx) = (gh)x. Para uma a¸ao ` direita β(g, x) a nota¸ao fica x · g, ou apenas xg, de modo que c˜ c˜ a c˜(2.18) fica (xh)g = x(hg). Essa nota¸ao justifica o uso da nomenclatura a direita ou a esquerda para classificar as a¸oes. c˜ ` ` c˜ Seja F uma cole¸ao de fun¸oes bijetoras de um conjunto M em si mesmo. Uma a¸ao α : G × M → M ´ dita ser uma c˜ c˜ c˜ ea¸ao de G em M pela fam´lia F se para todo g ∈ G as fun¸oes α(g, ·) : M → M forem elementos do conjunto F. c˜ ı c˜E. 2.39 Exerc´cio. Seja G = SO(n) o grupo de todas as matrizes reais n × n ortogonais (ou seja, tais que RT = R−1 , onde ıRT denota a transposta de R). Seja M o conjunto de todas as matrizes reais n × n sim´tricas (ou seja, tais que AT = A). eMostre que αR (A) := RART , com R ∈ SO(n) e A ∈ M, ´ uma a¸˜o ` esquerda de G em M . Com as mesmas defini¸oes, e ca a c˜mostre que βR (A) := RT AR ´ uma a¸˜o ` direita de G em M. e ca a Sugest˜o. O ´nico ponto que poderia ser dif´ para alguns seria mostrar que, para cada R fixo, αR ´ bijetora, ou seja, ´ a u ıcil e esobrejetora e injetora. Para mostrar que αR ´ sobrejetora, note que se A ´ uma matriz sim´trica qualquer, podemos trivialmente e e eescrever A = R(RT AR)RT , mostrando que A = αR (B), onde B = RT AR ´ sim´trica. Para provar que αR ´ injetora note e e eque, se RA1 RT = RA2 RT , segue facilmente, multiplicando-se por RT ` esquerda e por R ` direita, que A1 = A2 . a a E. 2.40 Exerc´cio. Seja G = SU(n) o grupo de todas as matrizes complexas n × n unit´rias (ou seja, tais que U ∗ = U −1 , ı aonde U ∗ denota a adjunta de U : U ∗ = U T ). Seja M o conjunto de todas as matrizes complexas n × n Hermitianas (ou seja,tais que A∗ = A). Mostre que αU (A) := U AU ∗ , com U ∈ SU(n) e A ∈ M, ´ uma a¸˜o ` esquerda de G em M. Com as e ca amesmas defini¸oes, mostre que βU (A) := U ∗ AU ´ uma a¸˜o ` direita de G em M. c˜ e ca a ´• Orbita de uma a¸˜o ca Seja G um grupo e α : G × M → M uma a¸ao (` esquerda ou ` direita) de G sobre um conjunto n˜o-vazio M . Para c˜ a a am ∈ M , definimos a orbita de m pela a¸ao α como sendo o conjunto Orbα (m) := {αg (m), g ∈ G} ⊂ M . ´ c˜ Claro est´ que para todo m ∈ M vale m ∈ Orbα (m). a E. 2.41 Exerc´cio. Mostre que para todo m ∈ M vale a afirma¸˜o que para todo m′ ∈ Orbα (m) tem-se Orbα (m′ ) = ı caOrbα (m).E. 2.42 Exerc´cio. Conclua que se existe m ∈ M tal que Orbα (m) = M , ent˜o Orbα (m′ ) = M para todo m′ ∈ M . ı a• Transitividade e espa¸os homogˆneos c e O fato descrito no Exerc´ E. 2.42 conduz naturalmente `s seguintes defini¸oes: ıcio a c˜ Seja G um grupo e α : G×M → M uma a¸ao (` esquerda ou ` direita) de G sobre um conjunto n˜o-vazio M . Dizemos c˜ a a aque α age transitivamente em M se existir m ∈ M tal que {αg (m), g ∈ G} = M . Em palavras, α age transitivamenteem M se existir pelo menos um elemento de M cuja ´rbita ´ todo M . Pelo Exerc´ E. 2.41, se um elemento de M o e ıciopossui essa propriedade, ent˜o todos a possuem. a Se uma a¸ao α age transitivamente em M dizemos que M ´ um espa¸o homogˆneo do grupo G pela a a¸ao α, ou c˜ e c e c˜simplesmente um espa¸o homogˆneo do grupo G. c e• Representa¸oes de grupos c˜ Uma representa¸ao de um grupo ´ uma a¸ao a esquerda do mesmo em um espa¸o vetorial pela fam´ das aplica¸oes c˜ e c˜ c ılia c˜lineares invers´ ıveis agindo nesse espa¸o vetorial. c Sejam G um grupo e V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Uma representa¸ao de G em V ´ uma fun¸ao c c˜ e c˜π : G × V → V tal que para todo g ∈ G as fun¸oes π(g, ·) : V → V sejam lineares e bijetivas e satisfazem π(e, v) = v e c˜π(g, π(h, v)) = π(gh, v) para todos g, h ∈ G e todo v ∈ V .
  • 31. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 92/1702 Devido ` linearidade ´ conveniente denotar π(g, v) por π(g)v. Uma representa¸ao satisfaz assim: a e c˜ 1. Para todo g ∈ G, π(g) ´ uma aplica¸ao linear bijetora de V em V : e c˜ π(g)(αu + βv) = απ(g)u + βπ(g)v para todos α, β ∈ K e todos u, v ∈ V . 2. π(e) = ½, o operador identidade em V . 3. Para todos g, h ∈ G vale π(g)π(h) = π(gh).• Representa¸oes de ´lgebras c˜ a Seja A uma ´lgebra sobre um corpo K e V um espa¸o vetorial sobre o mesmo corpo. Uma representa¸ao de A em V a c c˜´ uma fam´ de fun¸oes lineares de V em V , {π(a), a ∈ A}, satisfazendoe ılia c˜ 1. Para todo a ∈ A, π(a) : V → V ´ uma aplica¸ao linear, ou seja e c˜ π(a)(αu + βv) = απ(a)u + βπ(a)v para todos α, β ∈ K e todos u, v ∈ V . 2. Para todos α, β ∈ K e todos a, b ∈ A vale π(αa + βb) = απ(a) + βπ(b) . 3. Para todos a, b ∈ A π(ab) = π(a)π(b) . Uma representa¸ao π de uma ´lgebra A em um espa¸o vetorial V ´ dita ser uma representa¸ao fiel se π(a) = 0 s´ c˜ a c e c˜ oocorrer para a = 0. Uma representa¸ao π de uma ´lgebra A em um espa¸o vetorial V ´ dita ser uma representa¸ao n˜o-degenerada se c˜ a c e c˜ aπ(a)v = 0 para todo a ∈ A s´ ocorrer para v = 0. o2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Mono- morfismos, Endomorfismos e AutomorfismosDos radicais gregos h´mos: semelhante, igual; m´nos: um, sozinho; epi: sobre; ´ o o ısos: semelhante, igual; endon: para dentro, dentro; aut´s: pr´prio, o omesmo e morph´: forma. e Nos limitaremos primeiramente a listar algumas defini¸oes b´sicas que ser˜o usadas e desenvolvidas no restante do c˜ a atexto, onde mais exemplos ser˜o apresentados. A pretens˜o n˜o ´ a de desenvolver os assuntos, mas de apresentar as a a a edefini¸oes para referˆncia futura. c˜ e Em termos informais um morfismo entre duas estruturas de um mesmo tipo (dois grupos, dois espa¸os vetoriais, duas ca´lgebras, dois an´is etc.) ´ uma fun¸ao entre as mesmas que respeita as opera¸oes de produto l´ definidas. e e c˜ c˜ a• Morfismos em grupos Dados dois grupos G e H, com unidades eG e eH , respectivamente, uma fun¸ao φ : G → H ´ dita ser um homomorfismo c˜ eou morfismo de grupos se φ(eG ) = eH e se φ(a · b) = φ(a) · φ(b) para todos a, b ∈ G. Dados dois grupos G e H, com unidades eG e eH , respectivamente, uma fun¸ao φ : G → H ´ dita ser um anti- c˜ ehomomorfismo se φ(eG ) = eH e se φ(a · b) = φ(b) · φ(a) para todos a, b ∈ G. Por exemplo, a aplica¸ao φ : G → G tal que c˜φ(g) = g −1 ´ um anti-homomorfismo (verifique). e Um homomorfismo φ : G → H entre dois grupos ´ dito ser um monomorfismo se for injetivo. e
  • 32. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 93/1702 Um homomorfismo φ : G → H entre dois grupos ´ dito ser um epimorfismo se for sobrejetor. e Um homomorfismo φ : G → H entre dois grupos ´ dito ser um isomorfismo se for bijetor, em cujo caso a aplica¸ao e c˜inversa φ−1 : H → G ´ tamb´m um homomorfismo. e e Se dois grupos G e H forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos que G e H s˜o isomorfos (por φ) ae denotamos esse fato por G ≃φ H, ou simplesmente por G ≃ H.E. 2.43 Exerc´cio importante. Mostre que a rela¸˜o de isomorfia entre grupos ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. ı ca e ca e Um homomorfismo ρ de um grupo G em si mesmo ρ : G → G ´ dito ser um endomorfismo de G. e Um isomorfismo α de um grupo G em si mesmo α : G → G ´ dito ser um automorfismo de G. e Um exemplo b´sico de automorfismo ´ o seguinte: seja g ∈ G fixo. Definimos αg : G → G por αg (a) = g −1 ag para a etodo a ∈ G.E. 2.44 Exerc´cio. Mostre que para cada g ∈ G fixo, αg ´ um homomorfismo e que sua inversa ´ αg−1 . ı e e Um automorfismo de um grupo G ´ dito ser um automorfismo interno se for da forma αg para algum g ∈ G. e Muitas das defini¸oes apresentadas acima tˆm seus an´logos em outras estruturas, como espa¸os vetoriais, ´lgebras, c˜ e a c aan´is, m´dulos etc. Trataremos de alguns casos. e o• Morfismos em espa¸os vetoriais c Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma fun¸ao φ : U → V ´ dita ser um homomorfismo ou c c˜ emorfismo de espa¸os vetoriais se φ(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 φ(u1 ) + α2 φ(u2 ) para todos α1 , α2 ∈ K e todos u1 , u2 ∈ U . c Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma fun¸ao φ : U → V ´ dita ser um isomorfismo de c c˜ eespa¸os vetoriais se for um morfismo de espa¸os vetoriais, e se for bijetora. c c Se dois espa¸os vetoriais U e V sobre o mesmo corpo forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos cque U e V s˜o isomorfos (por φ) e denotamos esse fato por U ≃φ V , ou simplesmente por U ≃ V . aE. 2.45 Exerc´cio importante. Mostre que a rela¸˜o de isomorfia entre espa¸os vetoriais ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. ı ca c e ca e Em espa¸os vetoriais os conceitos de mono-, endo- e e automorfismo n˜o s˜o muito empregados. Em verdade, c a amorfismos de espa¸os vetoriais s˜o mais freq¨ entemente denominados operadores lineares ou aplica¸oes lineares, como c a u c˜matrizes, por exemplo. No caso de espa¸os vetoriais sobre o corpo dos complexos existem tamb´m os conceitos de anti-homomorfismo, anti- c eisomorfismo etc. Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre C. Uma fun¸ao φ : U → V ´ dita ser um anti-homomorfismo c c˜ eou anti-morfismo de espa¸os vetoriais se φ(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 φ(u1 ) + α2 φ(u2 ) para todos α1 , α2 ∈ C e todos u1 , u2 ∈ U . cO conceito de anti-isomorfismo ´ an´logo. e a• Morfismos em ´lgebras a Sejam A e B duas ´lgebras (sobre o mesmo corpo K, como espa¸os vetoriais). Uma fun¸ao φ : A → B ´ dita a c c˜ eser um homomorfismo ou morfismo de algebras se for um morfismo de espa¸os vetoriais (ou seja φ(α1 a1 + α2 a2 ) = ´ cα1 φ(a1 ) + α2 φ(a2 ) para todos α1 , α2 ∈ K e todos a1 , a2 ∈ A) e se φ(a1 · a2 ) = φ(a1 ) · φ(a2 ) para todos a1 , a2 ∈ A. Sejam A e B duas ´lgebras sobre o mesmo corpo K. Uma fun¸ao φ : A → B ´ dita ser um isomorfismo de algebras a c˜ e ´se for um morfismo de ´lgebras e se for bijetora. a Se duas ´lgebras A e B sobre o mesmo corpo forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos que A e aB s˜o isomorfas (por φ) e denotamos esse fato por A ≃φ B, ou simplesmente por A ≃ B. aE. 2.46 Exerc´cio importante. Mostre que a rela¸˜o de isomorfia entre ´lgebras ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. ı ca a e ca e Um morfismo de ´lgebra ρ de uma ´lgebra A em si mesma ρ : A → A ´ dito ser um endomorfismo de A. a a e
  • 33. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 94/1702• Uns poucos exemplos Apresentemos alguns poucos exemplos ilustrativos.Exemplo 2.13 Sejam G1 = (R, +), o grupo dos reais com a opera¸ao de soma, e G2 = (R+ , ·), o grupo dos reais c˜positivos com a opera¸ao de multiplica¸ao. A fun¸ao exponencial exp : R → R+ definida, como usual, por R ∋ x → c˜ c˜ c˜ex ∈ R+ , ´ um isomorfismo de G1 em G2 , tendo como inversa a fun¸ao logaritmo ln : R+ → R definida, como usual, por e c˜R+ ∋ x → ln(x) ∈ R. Justifique! ◊Exemplo 2.14 Seja GL(C, n) o grupo das matrizes complexas n × n invers´ ıveis. O determinante de matrizes ´ um ehomomorfismo de GL(C, n) no grupo (C {0}, ·) dos complexos n˜o-nulos com o produto definido pela multiplica¸ao. a c˜Justifique! ◊2.1.11 Induzindo Estruturas Alg´bricas eUma constru¸ao muito interessante permite induzir a outros conjuntos estruturas de grupo, de espa¸o vetorial etc., c˜ cdefinidas em certos conjuntos. Com ela ´ poss´ construir exemplos n˜o-triviais de grupos e espa¸os vetoriais. e ıvel a c• Induzindo estruturas de semi-grupos e de grupos Seja C um conjunto n˜o-vazio e seja S um semigrupo, cujo produto denotamos por “·”. Suponhamos que exista uma afun¸ao bijetora f : C → S. Ent˜o podemos definir em C um produto C × C → C, denotado por “∗”, em rela¸ao ao qual c˜ a c˜C ´ um tamb´m um semi-grupo: para todos a, b ∈ C definimos e e a ∗ b := f −1 f (a) · f (b) . (2.19)De fato, ´ f´cil ver que para todos a, b e c ∈ C vale e aa∗ b∗c = f −1 f (a)·f (b∗c) = f −1 f (a)· f (b)·f (c) = f −1 f (a)·f (b) ·f (c) = f −1 f a∗b ·f (c) = a∗b ∗c ,provando que o produto ∗ ´ associativo. e Como acima, seja C um conjunto n˜o-vazio e seja G um grupo cujo produto denotamos por “·” e cujo elemento aneutro ´ n. Ent˜o, se existir uma fun¸ao bijetora f : C → G o conjunto C ´ um grupo com o produto ∗ definido acima, e a c˜ eseu elemento neutro, denotado por e, sendo dado por e = f −1 (n) (2.20)sendo que para cada a ∈ C sua inversa ´ dada por e a−1 = f −1 f (a)−1 . (2.21) De fato, vale para todo a ∈ C que a ∗ e = f −1 f (a) · f (e) = f −1 f (a) · f f −1 (n) = f −1 f (a) · n = f −1 f (a) = a,provando que f −1 (n) ´ o elemento neutro em C. Finalmente, vale para todo a ∈ C que e a ∗ f −1 f (a)−1 = f −1 f (a) · f f −1 f (a)−1 = f −1 f (a) · f (a)−1 = f −1 (n) = e ,provando que a inversa de a em C ´ f −1 f (a)−1 . e Comentamos que, por constru¸ao, o grupo formado por C com o produto “∗” ´ isomorfo ao grupo formado por G c˜ ecom o produto “·”, o isomorfismo sendo dado por f .E. 2.47 Exerc´cio. Mostre que se G ´ um grupo Abeliano, ent˜o C, com a estrutura acima, tamb´m o ser´. ı e a e a
  • 34. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 95/1702 1 xExemplo 2.15 Seja C = (0, 1) e G = R, o grupo aditivo dos reais. Seja f : (0, 1) → R definida por f (x) := 2 ln 1−x . 2y −1 −1 eA fun¸ao f ´ bijetora (prove isso!) e sua inversa f : R → (0, 1) ´ dada por f (y) = c˜ e e 1+e2y . Ent˜o (0, 1) ´ um grupo a ecom o produto a b exp ln 1−a + ln 1−b ab a∗b = = , a 1 + exp ln 1−a + ln 1−bb 1 − a − b + 2ab e0 1para todos a, b ∈ (0, 1). O elemento neutro ´ f −1 (0) = e 1+e0 = 2 e para cada a ∈ (0, 1) a inversa ´ e e− ln( 1−a ) a a−1 = = 1−a. 1 + e− ln( 1−a ) a´ aE f´cil constatar que esse grupo ´ Abeliano, como dever´ e ıamos esperar. ◊ E. 2.48 Exerc´cio. Encontre outras fun¸oes bijetoras entre C = (0, 1) e R. Descreva, como acima, as estruturas de grupo ı c˜induzidas em C. E. 2.49 Exerc´cio. Considere C = (−1, 1), o grupo aditivo dos reais R e a fun¸˜o bijetora f : C → R dada por ı caf (x) = tan(πx/2). Descreva, como acima, a estrutura de grupo induzida em C. E. 2.50 Exerc´cio. Considere C = (−1, 1), o grupo aditivo dos reais R e a fun¸˜o bijetora f : C → R dada por ı caf (x) = argtanh(x) ≡ tanh−1 (x). Descreva, como acima, a estrutura de grupo induzida em C.• Induzindo estruturas de espa¸os vetoriais c Seja agora V um espa¸o vetorial sobre um corpo K, sendo 0 seu vetor nulo. c Como acima, seja C um conjunto n˜o-vazio e f : C → V uma fun¸ao bijetora. Como V ´ um grupo Abeliano em a c˜ erela¸ao ` opera¸ao de soma “+”, C tamb´m o ser´ com rela¸ao ` opera¸ao de “soma” definida por (vide (2.19)) c˜ a c˜ e a c˜ a c˜ ◦ a + b := f −1 f (a) + f (b) . ◦ ◦para todo a, b ∈ C. O elemento neutro ser´ o “vetor nulo”, denotado por 0 e dado por 0:= f −1 (0) (vide (2.20)). A a ◦ ◦inversa de a ∈ C, denotada por − a ´ dada por − a := f −1 (−f (a)) (vide (2.21)). e Contudo, C pode ser transformado em um espa¸o vetorial sobre o corpo K definindo, para cada α ∈ K e a ∈ C, o cproduto por escalares, denotado por α ◦ a, por α ◦ a := f −1 (αf (a)) .Para mostrar que C ´, de fato, um espa¸o vetorial sob estas estruturas precisamos ainda constatar que valem as seguintes e cpropriedades (vide Se¸ao 2.1.5, p´gina 79): c˜ a 1. Para todos α, β ∈ K e todo a ∈ C vale α ◦ (β ◦ a) = (αβ) ◦ a. De fato, tem-se α ◦ (β ◦ a) = f −1 αf (β ◦ a) = f −1 α (βf (a)) = f −1 (αβ)f (a) = (αβ) ◦ a . ◦ ◦ 2. Para todo α ∈ K e todos a, b ∈ C vale α ◦ a + b = (α ◦ a) + (α ◦ b). De fato, tem-se ◦ α◦ a + b = α ◦ f −1 f (a) + f (b) = f −1 αf f −1 f (a) + f (b) = f −1 α f (a) + f (b) ◦ = f −1 (αf (a) + αf (b)) = f −1 (f (α ◦ a) + f (α ◦ b)) = (α ◦ a) + (α ◦ b) .
  • 35. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 96/1702 ◦ 3. Para todos α, β ∈ K e todo a ∈ C vale (α + β) ◦ a = (α ◦ a) + (β ◦ a). De fato, tem-se ◦ (α + β) ◦ a = f −1 (α + β)f (a) = f −1 αf (a) + βf (a) = f −1 f (α ◦ a) + f (β ◦ a) = (α ◦ a) + (β ◦ a) . Novamente, comentamos que, por constru¸ao, o espa¸o vetorial formado por C, como descrito acima, ´ isomorfo ao c˜ c eespa¸o vetorial V , o isomorfismo sendo dado por f . c O seguinte exemplo ilustra um espa¸o vetorial n˜o-trivial sobre os reais que pode ser obtido pela constru¸ao de acima. c a c˜Exemplo 2.16 Como no Exemplo 2.15, p´gina 95, seja C = (0, 1) e V = R, o espa¸o vetorial dos reais sobre o corpo a c 1 xR. Seja f : (0, 1) → R, definida por f (x) := 2 ln 1−x . A fun¸ao f ´ bijetora e sua inversa f −1 : R → (0, 1) ´ dada c˜ e e e2ypor f −1 (y) = 1+e2y . Ent˜o C = (0, 1) ´ um espa¸o vetorial com a opera¸ao de soma a e c c˜ ◦ ab a + b = , 1 − a − b + 2abpara todos a, b ∈ (0, 1), o vetor nulo ´ 1/2, a inversa de a ∈ C ´ e e ◦ − a = 1−ae o produto por escalares α ∈ R ´ dado por e aα α◦a = , aα + (1 − a)αpara todo a ∈ C. ◊E. 2.51 Exerc´cio. Prove todas as afirma¸oes feitas acima. Prove explicitamente que para todos α, β ∈ R e todos ı c˜ ◦ ◦ ◦a, b ∈ (0, 1) valem α ◦ (β ◦ a) = (αβ) ◦ a, α ◦ a + b = (α ◦ a) + (α ◦ b) e (α + β) ◦ a = (α ◦ a) + (β ◦ a). O exerc´ a seguir mostra que R tamb´m pode adquirir outras estruturas de espa¸o vetorial real, al´m da usual. ıcio e c e E. 2.52 Exerc´cio. Seja C = R e V = R o espa¸o vetorial dos reais sobre o corpo R. Seja f : R → R, definida por ı cf (x) := x3 . A fun¸˜o f ´ bijetora e sua inversa ´ f −1 (y) = y 1/3 . Descreva as opera¸oes de soma e multiplica¸˜o por escalares ca e e c˜ cadefinidas em C pela constru¸˜o acima descrita. ca• Mais exemplos. S´ ımplices como espa¸os vetoriais reais c Para d inteiro, d ≥ 1, seja Σd ⊂ Rd+1 o simplex padr˜o d-dimensional definido por a    d+1  Σd := (a1 , . . . , ad+1 ) ∈ Rd+1 com 0 ≤ aj ≤ 1 para todo j e aj = 1 .   j=1Seu interior, denotado por Σ0 ⊂ Rd+1 , ´ o simplex padr˜o aberto d-dimensional: d e a    d+1  Σ0 := (a1 , . . . , ad+1 ) ∈ Rd+1 com 0 < aj < 1 para todo j e d aj = 1 .   j=1Vide Figura 2.1, p´gina 97. a Os dois exemplos a seguir29 desempenham um papel na an´lise estat´ a ıstica de dados composicionais, uma ´rea desen- avolvida, entre outros, por Aitchison30 . 29 Agradecemos a Ricardo Zorzetto Nicoliello Vˆncio por chamar-nos a aten¸ao para estes exemplos. e c˜ 30 John Aitchison (1926–). Vide J. Aitchison “The Statistical Analysis of Compositional Data”. Chapman and Hall, London, (1986).
  • 36. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 97/1702 1 1 0 1Figura 2.1: O simplex padr˜o Σ2 no espa¸o tridimensional (´rea triangular acinzentada, incluindo sua borda). O simplex a c apadr˜o aberto Σ0 corresponde apenas ` ´rea acinzentada, excluindo sua borda. a 2 aa E. 2.53 Exerc´cio-exemplo. A aplica¸˜o f : Σd → Rd definida por ı ca 0 1 a1 1 ad f (a1 , . . . , ad+1 ) := ln , ..., ln (2.22) 2 ad+1 2 ad+1´ bijetiva (prove isso!) e sua inversa ´ (verifique!)e e e2y1 e2yd 1 f −1 (y1 , . . . , yd ) = , ..., , , 1+ e2y1 + ···+ e 2yd 1+e 2y1 + · · · + e2yd 1 + e2y1 + · · · + e2yda qual ´ definida para todo (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd . e Como Rd ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo dos reais, podemos com a fun¸˜o f induzir uma estrutura de espa¸o vetorial e c ca csobre o corpo dos reais em Σ0 , de acordo com as prescri¸oes de acima. Mostre que para a soma teremos d c˜ ◦ a1 b 1 ad+1 bd+1 a + b = , ..., , (2.23) a1 b1 + · · · + ad+1 bd+1 a1 b1 + · · · + ad+1 bd+1 0com a, b ∈ Σd na forma a = (a1 , . . . , ad+1 ) e b = (b1 , . . . , bd+1 ). Mostre que para o produto por escalares teremos (a1 )α (ad+1 )α α◦a = ,..., , (2.24) (a1 )α + · · · + (ad+1 )α (a1 )α + · · · + (ad+1 )α ◦para todo α ∈ R e a ∈ Σ0 . O vetor nulo 0 ´ o elemento de Σ0 dado por d e d ◦ 1 1 0= , ..., . (2.25) d+1 d+1 0 E. 2.54 Exerc´cio-exemplo. Seja a = (a1 , . . . , ad+1 ) ∈ Σd e denotemos por g(a) a m´dia geom´trica de a1 , . . . , ad+1 : ı e e 1 g(a) := a1 · · · ad+1 d+1 .
  • 37. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 98/1702Est´ claro que g(a) > 0 para todo a ∈ Σ0 . A aplica¸˜o f : Σ0 → Rd definida por a d ca d a1 ad f (a1 , . . . , ad+1 ) := ln , . . . , ln , (2.26) g(a) g(a)´ bijetiva (prove isso!) e sua inversa ´ (verifique!)e e f −1 (y1 , . . . , yd ) ey1 eyd e−(y1 +···+yd ) = , ..., y , y , ey1 + ···+ eyd+e −(y1 +···+yd ) e 1 + ···+ e yd + e−(y1 +···+yd ) e 1 + · · · + eyd + e−(y1 +···+yd )a qual ´ definida para todo (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd . e Como Rd ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo dos reais, podemos com a fun¸˜o f induzir uma estrutura de espa¸o vetorial e c ca c ◦sobre o corpo dos reais em Σ0 , de acordo com as prescri¸oes de acima. Mostre que para a, b ∈ Σ0 a soma a + b ´ a mesma d c˜ d eque a dada em (2.23), que para α ∈ R o produto por escalares α ◦ a ´ o mesmo que o dado em (2.24) e que o vetor nulo ´ o e emesmo dado em (2.25). e c˜ e ´ Em alguns textos a fun¸ao f dada em (2.22) ´ denotada por alr e a fun¸ao f dada em (2.26) ´ denotada por clr. E c˜elementar constatar que (2.22) e (2.26) coincidem no caso d = 1.2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas co aNesta se¸ao apresentaremos algumas estruturas e constru¸oes b´sicas da teoria de grupos. c˜ c˜ a2.2.1 Cosets• Cosets ` esquerda, ou “left cosets” a Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Podemos definir em G uma rela¸ao de equivalˆncia, que denotaremos c˜ epor ∼H (o sub-´ l ındice “l” denotando “left”) dizendo que dois elementos x e y de G s˜o equivalentes se x−1 y ∈ H. aRepresentaremos por x ∼H y o fato de x e y serem equivalentes no sentido acima. l E. 2.55 Exerc´cio importante. Verifique que a defini¸˜o acima corresponde de fato a uma rela¸˜o de equivalˆncia. ı ca ca e H Denotemos por (G/H)l a cole¸ao das classes de equivalˆncia de G pela rela¸ao ∼l . O conjunto (G/H)l ´ denominado c˜ e c˜ ecoset a esquerda de G por H, ou left coset de G por H. ` Seja [·]l a aplica¸ao G → (G/H)l que associa a cada elemento de G a classe de equivalˆncia a qual o elemento pertence. c˜ eA aplica¸ao [·]l ´ denominada aplica¸ao quociente a esquerda associada a H. Note-se que [·]l ´ sobrejetora mas, em geral, c˜ e c˜ ` en˜o ´ injetora, pois se g ′ ∼H g ent˜o [g ′ ]l = [g]l . Com isso, os elementos de (G/H)l poder˜o ser denotados por [g]l com a e l a ag ∈ G, o que freq¨ entemente faremos. u Podemos identificar [g]l com o conjunto gH = {gh, h ∈ H} ⊂ G. De fato, g ′ ∈ gH se e somente se existe h ∈ H talque g ′ = gh e, portanto, se e somente se g −1 g ′ ∈ H, ou seja, se e somente se g ∼H g ′ . l• Cosets ` direita, ou “right cosets” a Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Podemos definir em G uma rela¸ao de equivalˆncia, que denotaremos c˜ epor ∼H (o sub-´ r ındice “r” denotando “right”) dizendo que dois elementos x e y de G s˜o equivalentes se xy −1 ∈ H. aRepresentaremos por x ∼H y o fato de x e y serem equivalentes no sentido acima. r E. 2.56 Exerc´cio importante. Verifique que a defini¸˜o acima corresponde de fato a uma rela¸˜o de equivalˆncia. ı ca ca e
  • 38. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 99/1702 Denotemos por (G/H)r a cole¸ao das classes de equivalˆncia de G pela rela¸ao ∼H . O conjunto (G/H)r ´ denominado c˜ e c˜ r ecoset a direita de G por H, ou right coset de G por H. ` Seja [·]r a aplica¸ao G → (G/H)r que associa a cada elemento de G a classe de equivalˆncia a qual o elemento c˜ epertence. A aplica¸ao [·]r ´ denominada aplica¸ao quociente a direita associada a H. Note-se que [·]r ´ sobrejetora mas, c˜ e c˜ ` eem geral, n˜o ´ injetora, pois se g ′ ∼H g ent˜o [g ′ ]r = [g]r . Com isso, os elementos de (G/H)r poder˜o ser denotados a e r a apor [g]r com g ∈ G, o que freq¨ entemente faremos. u Podemos identificar [g]r com o conjunto Hg = {hg, h ∈ H} ⊂ G. De fato, g ′ ∈ Hg se e somente se existe h ∈ H talque g ′ = hg e, portanto, se e somente se g ′ g −1 ∈ H, ou seja, se e somente se g ′ ∼H g. r Doravante, denotaremos ∼l simplesmente por ∼l e ∼H por ∼r , ficando o subgrupo H subentendido. H r• A¸˜o ` esquerda de G sobre (G/H)l ca a ´ E sempre poss´ definir uma a¸ao ` esquerda de G sobre o coset ` esquerda (G/H)l , a qual age transitivamente em ıvel c˜ a a(G/H)l (vide defini¸ao ` p´gina 91). Isso faz de (G/H)l um espa¸o homogˆneo de G (vide defini¸ao ` p´gina 91). c˜ a a c e c˜ a a Seja G um grupo, H um subgrupo de G e seja o coset ` esquerda (G/H)l , definido acima. Defina a α : G × (G/H)l → (G/H)l tal que G × (G/H)l ∋ (g, [f ]l ) → αg ([f ]l ) := [gf ]l ∈ (G/H)l .Ent˜o, α define uma a¸ao a esquerda de G sobre (G/H)l . De fato, tem-se que a c˜ ` 1. Para cada g ∈ G, αg : (G/H)l → (G/H)l ´ bijetora, pois se existem f1 , f2 ∈ G tais que [gf1 ]l = [gf2 ]l , ent˜o e a gf1 ∼l gf2 , ou seja, (gf1 )−1 (gf2 ) ∈ H, ou seja, (f1 )−1 f2 ∈ H. Isso estabelece que f1 ∼l f2 , ou seja, que [f1 ]l = [f2 ]l , provando que αg : (G/H)l → (G/H)l ´ injetora. Note-se que αg : (G/H)l → (G/H)l ´ sobrejetora, e e pois αg ([g −1 f ]l ) = [f ]l e variando f em G, [f ]l varre todo (G/H)l . 2. Para a identidade e ∈ G, αe ([f ]l ) = [ef ]l = [f ]l para todo f ∈ G, provando que αe : (G/H)l → (G/H)l ´ a e aplica¸ao identidade. c˜ 3. Para todos g, h ∈ G vale αg (αh ([f ]l )) = αg ([hf ]l ) = [ghf ]l = αgh ([f ]l ) para qualquer f ∈ G.Isso provou que α : G × (G/H)l → (G/H)l ´ uma a¸ao ` esquerda de G em (G/H)l . e c˜ a N˜o ´ dif´ ver que a a¸ao α age transitivamente em (G/H)l . De fato, se e ´ a unidade de G, ent˜o αg ([e]l ) = [g]l e a e ıcil c˜ e avariando g por todo G a imagem [g]l varre todo (G/H)l .• A¸˜o ` direita de G sobre (G/H)r ca a ´ E sempre poss´ ıvel definir uma a¸ao ` direita de G sobre o coset ` direita (G/H)r , a qual age transitivamente em c˜ a a(G/H)r (vide defini¸ao ` p´gina 91). Isso faz de (G/H)r um espa¸o homogˆneo de G (vide defini¸ao ` p´gina 91). c˜ a a c e c˜ a a Seja G um grupo, H um subgrupo de G e seja o coset ` direita (G/H)r , definido acima. Defina a β : G × (G/H)r → (G/H)r tal que G × (G/H)r ∋ (g, [f ]r ) → βg ([f ]r ) := [f g]r ∈ (G/H)r .Ent˜o, β define uma a¸ao a direita de G sobre (G/H)r . De fato, tem-se que a c˜ ` 1. Para cada g ∈ G, βg : (G/H)r → (G/H)r ´ bijetora, pois se existem f1 , f2 ∈ G tais que [f1 g]r = [f2 g]r , e ent˜o f1 g ∼r f2 g, ou seja, (f1 g)(f2 g)−1 ∈ H, ou seja, f1 (f2 )−1 ∈ H. Isso estabelece que f1 ∼r f2 , ou seja, que a [f1 ]r = [f2 ]r , provando que βg : (G/H)r → (G/H)r ´ injetora. Note-se que βg : (G/H)r → (G/H)r ´ sobrejetora, e e pois βg (f [g −1 ]r ) = [f ]r e variando f em G, [f ]r varre todo (G/H)r . 2. Para a identidade e ∈ G, βe ([f ]r ) = [f e]r = [f ]r para todo f ∈ G, provando que βe : (G/H)r → (G/H)r ´ a e aplica¸ao identidade. c˜ 3. Para todos g, h ∈ G vale βg (βh ([f ]r )) = βg ([f h]r ) = [f hg]r = βhg ([f ]r ) para qualquer f ∈ G.Isso provou que β : G × (G/H)r → (G/H)r ´ uma a¸ao ` direita de G em (G/H)r . e c˜ a N˜o ´ dif´ ver que a a¸ao β age transitivamente em (G/H)r . De fato, se e ´ a unidade de G, ent˜o αg ([e]r ) = [g]r a e ıcil c˜ e ae variando g por todo G a imagem [g]r varre todo (G/H)r .
  • 39. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 100/1702 * Os cosets (G/H)l e (G/H)r podem ser identificados e transformados em grupos se uma certa hip´tese for feita sobre oo subgrupo H e sua rela¸ao com G. Esse ´ nosso assunto na Se¸ao 2.2.2. c˜ e c˜2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente• Subgrupos normais Seja G um grupo. Um subgrupo N de G ´ dito ser um subgrupo normal se gng −1 ∈ N para todo g ∈ G e todo n ∈ N . eSe N ´ um subgrupo normal de G denotamos esse fato escrevendo N G. Observe que todo subgrupo de um grupo eAbeliano G ´ normal. e E. 2.57 Exerc´cio. Sejam G e H dois grupos e ϕ : G → H um homomorfismo. Mostre que Ran (ϕ) := ϕ(g)| g ∈ G ´ ı eum subgrupo de H.E. 2.58 Exerc´cio importante. Sejam G e H dois grupos e ϕ : G → H um homomorfismo. Seja eH a unidade de H. ıMostre que Ker (ϕ) := g ∈ G| ϕ(g) = eH ´ um subgrupo normal de G. eNota sobre a nomenclatura dos dois exerc´ ıcios acima. O s´ ımbolo Ran prov´m da palavra inglesa “range” (“alcance”, em portuguˆs) e ´ freq¨ en- e e e utemente empregado como sinˆnimo da imagem de uma fun¸ao ou aplica¸ao. O s´ o c˜ c˜ ımbolo Ker provem do inglˆs “kernel” (“n´ cleo” ou “caro¸o”, em e u cportuguˆs). e E. 2.59 Exerc´cio-exemplo. Seja GL(C, n) o grupo das matrizes complexas n × n invers´ ı ıveis e seja SL(C, n) o grupo dasmatrizes complexas n × n invers´ ıveis e de determinante 1. Mostre que SL(C, n) GL(C, n). Sugest˜o: ´ elementar constatar a ediretamente que ABA−1 ∈ SL(C, n) sempre que A ∈ GL(C, n) e B ∈ SL(C, n) mas, equivalentemente, o resultadopode ser tamb´m justificado evocando-se o Exerc´ E. 2.58, recordando para tal que o determinante ´ um homomorfismo de e ıcio eGL(C, n) no grupo (C {0}, ·) dos complexos n˜o-nulos com o produto definido pela multiplica¸˜o. a ca• Cosets por subgrupos normais Nesse contexto, a seguinte proposi¸ao ´ fundamental. c˜ eProposi¸˜o 2.2 Seja G um grupo e seja N um subgrupo de G. Ent˜o, uma condi¸ao necess´ria e suficiente para que ca a c˜ apossamos identificar (G/N )l com (G/N )r , ou seja, para que tenhamos [g]l = [g]r para todo g ∈ G, ´ que N G, ou seja, eque N seja um subgrupo normal de G.Prova. Por defini¸ao, g ′ ∈ [g]l se e somente existe n ∈ N tal que g −1 g ′ = n, o que ´ verdade se e somente se g ′ g −1 = gng −1 . c˜ eMas g ′ ∈ [g]r se e somente se g ′ g −1 ∈ N . Assim [g]l = [g]r para todo g ∈ G se e somente se gng −1 ∈ N para todo g ∈ Ge n ∈ N , o que ´ verdade se somente se N ´ um subgrupo normal de G. e e Com isso, caso N G, definimos [g] := [g]l = [g]r para todo g ∈ G e definimos o coset de G por N por G/N :=(G/N )l = (G/N )r , ou seja, G/N = {[g], g ∈ G}.Advertˆncia. O leitor deve ser advertido aqui que, infelizmente, ´ comum na literatura denotar o coset ` esquerda e e a(G/H)l por G/H, mesmo quando H n˜o ´ normal (vide, por exemplo, [166] ou [75], entre outros). Evitaremos fazer isso, a epois isso pode levar a uma confus˜o de conceitos. a• A¸oes ` direita e ` esquerda sobre o coset por um subgrupo normal c˜ a a Se H ´ um subgrupo qualquer de G, definimos p´ginas acima uma a¸ao transitiva ` esquerda α : G × (G/H)l → e a c˜ a(G/H)l e uma a¸ao transitiva ` direita β : G × (G/H)r → (G/H)r . Fica claro pela Proposi¸ao 2.2 que se N G, c˜ a c˜
  • 40. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 101/1702podemos definir tanto α : G × (G/N ) → G/N tal que G × (G/N ) ∋ (g, [f ]) → αg ([f ]) := [gf ] ∈ G/Ncomo uma a¸ao ` esquerda de G sobre G/N quanto c˜ a β : G × (G/N ) → G/N tal que G × (G/N ) ∋ (g, [f ]) → βg ([f ]) := [f g] ∈ G/Ncomo uma a¸ao ` direita de G sobre G/N . Ambas as a¸oes agem transitivamente. c˜ a c˜• O grupo quociente de G por N Subgrupos normais s˜o importantes, pois com eles podemos fazer da cole¸ao de classes de equivalˆncia G/N um a c˜ egrupo, denominado grupo quociente de G por N . A constru¸ao ´ a seguinte. c˜ e ´ Seja N G. Podemos fazer de G/N um grupo definindo o produto como [g]N [h]N = [gh]N . E muito f´cil ver que, ase esta express˜o est´ bem definida, ela de fato representa um produto associativo na cole¸ao de classes de equivalˆncia a a c˜ eG/N . O elemento neutro seria a classe [e]N , onde e ´ a identidade de g. Por fim, [g]−1 = [g −1 ]N . O ponto n˜o-trivial ´ e N a emostrar que a defini¸ao de produto como [g]N [h]N = [gh]N faz sentido, ou seja, ´ independente dos elementos tomados c˜ enas classes de g e h. Para isso precisaremos que N seja normal. O que temos de fazer ´ mostrar que se g ′ ∼N g e h′ ∼N h ent˜o g ′ h′ ∼N gh, ou seja, precisamos mostrar que se e ag ′ g −1 ∈ N e h′ h−1 ∈ N ent˜o g ′ h′ (gh)−1 ∈ N . Mas, de fato, tem-se que a g ′ h′ (gh)−1 = g ′ h′ h−1 g −1 = g ′ g −1 g(h′ h−1 )g −1 .Agora, por hip´tese, h′ h−1 ∈ N . Da´ como N ´ normal (´ aqui que essa hip´tese entra pela primeira vez), g(h′ h−1 )g −1 ∈ o ı, e e oN . Como, tamb´m pela hip´tese, g ′ g −1 ∈ N e N ´ um subgrupo, conclu´ e o e ımos que g ′ h′ (gh)−1 ∈ N , ou seja, g ′ h′ ∼N gh.Assim [g]N [h]N = [gh]N est´ bem definido e faz das classes G/N um grupo. Esse grupo ´ denominado de grupo quociente a ede G por N . A no¸ao de grupo quociente ´ muito importante na teoria de grupos e iremos explorar algumas das aplica¸oes nessas c˜ e c˜notas. Adiante usaremo-la para construir a no¸ao de produto tensorial e soma direta de v´rios objetos, tais como c˜ agrupos, ´lgebras etc. A no¸ao de grupo quociente ´ importante por permitir estudar a rela¸ao de certos grupos entre a c˜ e c˜si. Mais adiante, por exemplo, mostraremos que o grupo SO(3) ´ isomorfo ao grupo SU(2)/{½, −½}, um resultado de edireto interesse f´ ısico na Mecˆnica Quˆntica. A no¸ao de grupo quociente ´ tamb´m muito importante em problemas a a c˜ e ecombinat´rios envolvendo grupos, mas n˜o falaremos disso aqui. Para uma discuss˜o mais ampla, vide [165], [166] ou o a a[136].2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores• O centro de um grupo Seja G um grupo. O conjunto dos elementos de G que tˆm a propriedade de comutarem com todos os elementos de eG ´ denominado o centro do grupo G e ´ freq¨ entemente denotado por31 Z(G). Em s´ e e u ımbolos: Z(G) := h ∈ G| hg = gh para todo g ∈ G . Note que Z(G) nunca ´ um conjunto vazio, pois o elemento neutro de G sempre pertence e Z(G). Em alguns grupos, epor´m, esse pode ser o unico elemento de Z(G). Esse ´ o caso, por exemplo, do grupo de permuta¸oes de n elementos e ´ e c˜(por que?).E. 2.60 Exerc´cio. Mostre que Z(G) ´ sempre um subgrupo Abeliano de G. ı e ´ ´ E elementar constatar que para qualquer grupo G, seu centro Z(G) ´ um subgrupo normal de G. E igualmente eelementar constatar que se G ´ Abeliano ent˜o Z(G) = G. e a 31 O emprego da letra Z provavelmente provem da palavra alem˜ “Zentrum”. a
  • 41. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 102/1702• Centralizadores e normalizadores Seja G um grupo e F um subconjunto n˜o vazio de G. a Dado um elemento h ∈ G, denotamos por hF h−1 o conjunto de todos os elementos de G que sejam da forma hf h−1para algum f ∈ F , ou seja, hF h−1 := {hf h−1 , f ∈ F }. O chamado normalizador de F (em G), denotado por N (F, G) (ou simplesmente por N (F ), quando G ´ subentendido), e´ o conjunto de todos os elementos g ∈ G tais que gF g −1 = F .e O chamado centralizador de F (em G), denotado por C(F, G) (ou simplesmente por C(F ), quando G ´ subentendido), e´ o conjunto de todos os elementos de G que comutam com todos os elementos de F :e C(F, G) := g ∈ G| gf = f g para todo f ∈ F .E. 2.61 Exerc´cio. Mostre que o centralizador de F ⊂ G ´ um subgrupo de G. ı e E. 2.62 Exerc´cio. Se F ⊂ G, mostre que o normalizador N (F ) ≡ N (F, G) de F em G ´ um subgrupo de G. Mostre que ı ese F ´ um subgrupo de G ent˜o F ´ normal em rela¸˜o a N (F ) (ou seja, F N (F )) e que se H ´ um subgrupo de G tal e a e ca eque F ´ normal em rela¸˜o a H (ou seja, F H), ent˜o H ⊂ N (F ) e, portanto, N (F ) ´ o maior subgrupo de G em rela¸˜o e ca a e caao qual F ´ normal. e• O centro de GL(C, n) Como exerc´ ıcio vamos determinar o centro de GL(C, n). Se A ∈ Z GL(C, n) ent˜o AB = BA para toda B ∈ aGL(C, n). Tomemos, em particular, uma matriz B da forma B = ½ + E a, b , onde E a, b , com a, b ∈ {1, . . . , n}, ´ a ematriz cujo elemento ij ´ nulo a menos que i = a e que j = b, em cujo caso (E a, b )ij = 1. Em s´ e ımbolos, (E a, b )ij = δia δjb .(Antes de prosseguir, conven¸a-se que ½ + E a, b ∈ GL(C, n), notando que det(½ + E a, b ) = 0). Agora, como AB = BA, csegue que AE a, b = E a, b A. Pela regra de produto de matrizes, isso significa n n a, b a, b (AE )ij = Aik (E )kj = Aik δka δjb = Aia δjb k=1 k=1 n n a, b a, b (E A)ij = (E )ik Akj = δia δkb Akj = Abj δia . k=1 k=1Assim, Aia δjb = Abj δia . Tomando-se j = b, conclu´ ımos Aia = Abb δia . Para i = a isso diz que Aaa = Abb e, como a e bs˜o arbitr´rios, conclu´ a a ımos dessa igualdade que Abb = λ, constante independente de b. Da´ Aia = λδia , o que significa ı,que A = λ½. Como det(A) = 0, devemos ter λ = 0. Para futura referˆncia expressamos nossas conclus˜es na forma de uma proposi¸ao: e o c˜Proposi¸˜o 2.3 O centro do grupo GL(C, n), ou seja, Z GL(C, n) , coincide com o conjunto de todas as matrizes da caforma λ½, com λ = 0, ou seja, ´ o conjunto das matrizes n˜o-nulas que s˜o m´ltiplos da unidade. Em s´mbolos, e a a u ı Z GL(C, n) = {λ½, λ ∈ C, λ = 0} .Como conseq¨ˆncia podemos afirmar que se uma matriz A ∈ Mat (C, n) comuta com todas as demais matrizes de ueMat (C, n) ent˜o A = λ½ para algum λ ∈ C. a E. 2.63 Exerc´cio. Mostre que o centro de SL(C, n) ´ o conjunto de todas as matrizes da forma λ½, com λ ∈ C satisfazendo ı eλn = 1. Mostre que esse grupo ´ isomorfo ao grupo Zn . e
  • 42. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 103/1702 E. 2.64 Exerc´cio. Mostre que o centro de SL(R, n) ´ o conjunto de todas as matrizes da forma λ½, com λ ∈ R satisfazendo ı eλn = 1. Esse grupo ´ {½} quando n ´ ´ e e ımpar e {½, −½} quando n ´ par. (Lembre-se que SL(R, n) ´ formado apenas por e ematrizes reais).2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Rela¸˜es co• Suporte de uma fun¸˜o ca Seja f : X → G uma fun¸ao de um conjunto n˜o-vazio X em um grupo G. O suporte de f , denotado por supp (f ), ´ c˜ a eo conjunto de todos os pontos x ∈ X tais que f (x) = e, onde e ´ a unidade de G: supp (f ) := {x ∈ X| f (x) = e}. Uma efun¸ao f : X → G ´ dita ser de suporte finito se seu suporte for um conjunto finito. c˜ e• Grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto Uma no¸ao importante que usaremos adiante ´ a de grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto X. Seja X um c˜ e c˜ c˜ ´ aconjunto. Seja F (X) a cole¸ao de todas as fun¸oes de suporte finito de X em Z. E f´cil ver que F (X) tem naturalmenteuma estrutura de grupo Abeliano, definindo, para f , f ∈ F (X) o produto de f e f ′ como sendo o elemento f f ′ = (f +f ′ ) ′de F (X) dado por (f + f ′ )(x) = f (x) + f ′ (x) . (2.27) ´para todo x ∈ X. E claro que esse (f + f ′ ) tem suporte finito. O elemento neutro e de F (X) ´ claramente a fun¸ao e c˜identicamente nula. Pelo fato de F (X) ter essa estrutura natural de grupo F (X) ´ denominado grupo Abeliano livremente egerado pelo conjunto X. Para x ∈ X vamos denotar por δx a fun¸ao caracter´ c˜ ıstica de x: 1, se y = x δx (y) := . (2.28) 0, se y = xClaramente δx ∈ F (X). Dado que cada f ∈ F (X) tem suporte finito, pode-se escrevˆ-lo da forma e N f = an δ x n , (2.29) n=1para valores de N e dos an ’s dependentes de f , com {x1 , . . . , xN } = supp f e com ai ∈ Z para i = 1, . . . , N . Com um flagrante abuso de linguagem ´ costume escrever (2.29) da forma e N f = an xn , (2.30) n=1onde fica, por assim dizer, subentendido que aqui os xn ’s representam n˜o os elementos de X mas sim suas fun¸oes a c˜caracter´ ısticas (X pode ser um conjunto qualquer, de modo que opera¸oes como soma de elementos de X ou multiplica¸ao c˜ c˜de elementos de X por um inteiro podem n˜o serem sequer definidas). a ´ a E f´cil verificar que F (X) ´ um grupo Abeliano livre (da´ seu nome), o que quer dizer que n˜o h´ em F (X) nenhuma e ı a a −1rela¸ao n˜o-trivial entre seus elementos, a n˜o ser aquela que lhe confere Abelianidade: f f ′ f −1 f ′ c˜ a a = e.• Rela¸oes e grupos gerados m´dulo rela¸oes c˜ o c˜ Vamos passar agora a uma constru¸ao muito importante, a de grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto c˜m´dulo rela¸oes. Vamos apresentar essa constru¸ao de forma bem geral. o c˜ c˜ Seja J um conjunto (em princ´ ındices e sejam ent˜o, para cada j ∈ J, elementos de F (X) dados ıpio arbitr´rio) de ´ a apor n(j) rj := αj, i xj, i , (2.31) i=1
  • 43. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 104/1702onde, para cada j ∈ J, n(j) ∈ N e, para todo j ∈ J e i ∈ {1, . . . , n(j)}, tem-se αj, i ∈ Z e xj, i ∈ X com xj, i = xj, i′ sei = i′ . Denotamos R := {rj , j ∈ J}. Os elementos de R ser˜o chamados “rela¸oes”. a c˜ Seja ent˜o R o subgrupo de F (X) formado por todos os elementos de F (X) que s˜o combina¸oes lineares finitas de a a c˜rj ’s com coeficientes em Z: s ∈ R ⇐⇒ s = s1 rj1 + · · · + sm rjm , (2.32)para certos si ∈ Z e m ∈ N, que dependem de s. R ´ dito ser o subgrupo de F (X) gerado pelos rj ’s. e Por ser um subgrupo de um grupo Abeliano, R ´ normal. Assim, podemos definir o grupo Abeliano livremente gerado epor X, m´dulo as rela¸oes R como sendo o grupo F (X)/R. Note-se que [R]R = e, o que equivale a dizer que os elementos o c˜de R s˜o identificados como zero (da´ serem chamados de “rela¸oes”, pois refletem identidades que n˜o existiam em F (X) a ı c˜ ae que est˜o sendo agora impostas em F (X)/R). a * Mais adiante vamos usar as defini¸oes e constru¸oes acima nas defini¸oes de produto tensorial de grupos Abelianos e c˜ c˜ c˜de espa¸os vetoriais. c2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos AbelianosVamos aqui descrever alguns procedimentos importantes que permitem construir um grupo a partir de outros gruposdados: o produto direto e o produto semi-direto de grupos. Para o caso de grupos Abelianos descreveremos tamb´m o echamado produto tensorial, de importˆncia na defini¸ao de produtos tensoriais de espa¸os vetoriais. a c˜ c2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos• O produto direto de dois grupos Se G e H s˜o dois grupos, cujas identidades s˜o eG e eH , respectivamente ´ por vezes muito importante fazer do a a eproduto Cartesiano G × H um grupo. A maneira mais f´cil ´ definir o produto de dois pares ordenados (g1 , h1 ), (g2 , h2 ), a ecom g1 , g2 ∈ G e h1 , h2 ∈ H, por (g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) := (g1 g2 , h1 h2 ) .O leitor pode facilmente se convencer que esse produto ´ associativo, que (eG , eH ) ´ o elemento neutro e que (g, h)−1 = e e(g −1 , h−1 ). Isso faz de G × H um grupo, denominado produto direto de G e H e denotado tamb´m por G × H (vide coment´rio e asobre a nota¸ao adiante). Alternativamente, esse grupo pode ser chamado tamb´m de soma direta de G e H e denotado c˜ epor G ⊕ H. No caso de haver uma fam´ finita de grupos envolvida n˜o h´ distin¸ao entre a no¸ao de produto direto e ılia a a c˜ c˜de soma direta. Vide adiante.E. 2.65 Exerc´cio. Mostre que os produtos diretos G ⊕ H e H ⊕ G s˜o grupos isomorfos. ı a• Produto direto e soma direta de cole¸oes arbitr´rias de grupos c˜ a As id´ias de acima podem ser generalizadas com as defini¸oes de produtos diretos e somas diretas de cole¸oes arbitr´rias e c˜ c˜ ade grupos (n˜o necessariamente Abelianos). a a ındices e G := {Gj , j ∈ J} uma cole¸ao de grupos. Seja o produto Cartesiano32 Seja J um conjunto arbitr´rio de ´ c˜G := ×j∈J Gj . Podemos fazer de G um grupo definindo o produto de dois elementos G ∋ g = × gj , G ∋ h = j∈J hj × j∈J 32 Para a nota¸ao, vide p´gina 32. c˜ a
  • 44. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 105/1702como g · h = × j∈J gj hj . Com essa estrutura G ´ dito ser o produto direto dos grupos Gj , j ∈ J, e ser´ denotado por e aGp = ×G j∈J j ou por Gp = j∈J Gj . Vide coment´rio sobre nota¸ao, adiante. a c˜ O produto direto Gp possui um subgrupo importante, aquele formado por elementos ×g j∈J j ∈ Gp onde apenas umn´ mero finito de gj ’s ´ distinto da identidade ej do respectivo grupo Gj . Esse subgrupo ´ dito ser a soma direta dos u e egrupos Gj , j ∈ J, e ´ denotado por Gs = e Gj . j∈JComent´rio sobre a nota¸ao. O uso dos s´ a c˜ ımbolos ×G j∈J j ou j∈J Gj para denotar o produto direto da fam´ de grupos ılia{Gj , j ∈ J} n˜o ´ universal. Muitos autores, especialmente em textos mais antigos, usam o s´ a e ımbolo Gj . Evitamos j∈J e ımbolo ⊗ ´ mais freq¨ entemente empregado para denotar produtos tensoriais de grupos Abelianos, umafazˆ-lo, pois o s´ e u c˜ a ´no¸ao que introduziremos na Se¸ao 2.2.5.3, p´gina 107. E importante observar tamb´m que no caso de J ser um conjunto c˜ efinito n˜o h´ distin¸ao entre o produto direto e a soma direta: a a c˜ Gj = Gj (se J for finito). j∈J j∈J Neste ponto devemos gastar algumas palavras sobre a quest˜o da associatividade das constru¸oes de acima. Dados a c˜trˆs grupos G1 , G2 e G3 , podemos, repetindo o procedimento de constru¸ao da soma direta de dois grupos, construir os e c˜grupos G1 ⊕ (G2 ⊕ G3 ) e (G1 ⊕ G2 ) ⊕ G3 , assim como podemos construir diretamente o grupo G1 ⊕ G2 ⊕ G3 . A distin¸aoc˜entre esses trˆs objetos, enquanto conjuntos, muito se assemelha ` distin¸ao entre produtos Cartesianos de trˆs conjuntos e a c˜ e e a c˜ ´que fizemos ` p´gina 33 e ´ conveniente ignor´-la na grande maioria das situa¸oes. E de se notar tamb´m que se trata a a ede trˆs grupos isomorfos, pois e ϕ1 : G1 ⊕ (G2 ⊕ G3 ) → G1 ⊕ G2 ⊕ G3 , ϕ1 a1 ⊕ (a2 ⊕ a3 ) := a1 ⊕ a2 ⊕ a3 ϕ2 : (G1 ⊕ G2 ) ⊕ G3 → G1 ⊕ G2 ⊕ G3 , ϕ2 ((a1 ⊕ a2 ) ⊕ a3 ) := a1 ⊕ a2 ⊕ a3s˜o dois isomorfismos de grupo, como facilmente se constata, os quais s˜o denominados isomorfismos canˆnicos. a a o2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos• O produto semi-direto de dois grupos Dados dois grupos G e H h´ uma outra maneira de fazer de G × H um grupo al´m do produto direto. Para tal ´ a e enecess´rio que exista uma a¸ao de G em H por automorfismos de H. Expliquemos melhor isso. a c˜ Lembremos que um automorfismo α de um grupo H ´ um isomorfismo de H em si mesmo α : H → H. Uma a¸ao (` e c˜ aesquerda) de G sobre H por automorfismos ´ um fun¸ao α : G × H → H tal que a cada par (g, h) ∈ G × H associa um e c˜elemento denotado por αg (h) de H de tal forma que as seguintes condi¸oes sejam satisfeitas: c˜ 1. Para todo g ∈ G, a fun¸ao αg (·) : H → H ´ um automorfismo de H, ou seja, αg (h)αg (h′ ) = αg (hh′ ), sendo que c˜ e αg (·) : H → H ´ bijetora com (αg )−1 = αg−1 . e 2. Para todo h ∈ H vale αeG (h) = h. 3. Para todo h ∈ H vale αg (αg′ (h)) = αgg′ (h) para quaisquer g, g ′ ∈ G.Acima eG e eH s˜o as unidades de G e H, respectivamente. a E. 2.66 Exerc´cio-exemplo. Um exemplo importante ´ o seguinte. Seja N ı e G. Ent˜o, com n ∈ N , αg (n) := gng −1 define auma a¸˜o (` esquerda) de G sobre N por automorfismos. Verifique! ca a Pela defini¸ao geral, tem-se pelas propriedades 1, 2 e 3 acima que para quaisquer g ∈ G e h ∈ H c˜ αg (eH )h = αg (eH )αg (αg−1 (h)) = αg (eH αg−1 (h)) = αg (αg−1 (h)) = h ,
  • 45. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 106/1702o que implica αg (eH ) = eH para todo g ∈ G. Se G e H s˜o grupos e α : G × H → H ´ uma a¸ao ` esquerda de G sobre H por automorfismos, ent˜o podemos a e c˜ a adefinir em G × H um produto de dois pares ordenados (g1 , h1 ), (g2 , h2 ), com g1 , g2 ∈ G e h1 , h2 ∈ H, por (g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) := (g1 g2 , h1 αg1 (h2 )) . E. 2.67 Exerc´cio importante. Mostre que esse produto ´ associativo, que (eG , eH ) ´ a unidade e que para quaisquer ı e eg ∈ G, h ∈ H tem-se (g, h)−1 = (g −1 , αg−1 (h−1 )). Com isso G × H adquire a estrutura de um grupo, denominado produto semi-direto de G por H pelo automorfismoα : G × H → H, ou simplesmente produto semi-direto de G por H quando um automorfismo α : G × H → H espec´ ıfico ´ esubentendido. Na literatura, o produto semi-direto de G por H ´ denotado de v´rias formas: por G ×α H, por G ⊗α H, e apor G α H, ou por por G H quando um automorfismo α : G × H → H espec´ ıfico ´ subentendido. Nestas notas eadotaremos as duas ultimas formas. ´• ExemplosI. Seja G um grupo e N G. Ent˜o, para g1 , g2 ∈ G e n1 , n2 ∈ N o produto a −1 (g1 , n1 ) · (g2 , n2 ) := (g1 g2 , n1 g1 n2 g1 )define o grupo G N , produto semi-direto de um grupo G por um subgrupo normal N atrav´s do automorfismo natural. eII. Considere o grupo G, formado por todos os n´ meros reais n˜o-nulos com o produto dado pela multiplica¸ao usual e u a c˜o grupo H, formado por todos os reais com o produto dado pela soma: G = (R {0}, ·) e H = (R, +). Para todo a ∈ R {0} e x ∈ R definimos α : G × H → H por αa (x) := ax. Para cada a ∈ G, tem-se que αa ´ bijetora, ecom inversa dada por α1/a . Fora isso, αa (x) + αa (y) = ax + ay = a(x + y) = αa (x + y). Assim, αa ´ um automorfismo e(condi¸ao 1. da defini¸ao acima). Fora isso, para todo x ∈ H, α1 (x) = x (condi¸ao 2.). Por fim, para todo x ∈ H, c˜ c˜ c˜αa (αb (x)) = abx = αab (x), para quaisquer a, b ∈ G (condi¸ao 3.). Conclu´ c˜ ımos que α ´ uma a¸ao ` esquerda de G sobre e c˜ aH por automorfismos. Assim, fazemos de G × H um grupo G αH com o produto (a, x) · (b, y) := (ab, x + ay) .O elemento neutro ´ o par (1, 0) e (a, x)−1 = (1/a, −x/a). e Para interpretar o que esse grupo G α H significa, vamos definir uma a¸ao33 Γ de G c˜ αH sobre o conjunto R daseguinte forma. Para (a, x) ∈ G α H e z ∈ R, definimos Γ((a, x), z) := az + x .Para verificar que isso ´ uma a¸ao notemos as seguintes propriedades: i. para cada (a, x) fixo Γ((a, x), z) ´ uma fun¸ao e c˜ e c˜bijetora de R em R (lembre-se que a = 0). ii. Para todo z ∈ R, Γ((1, 0), z) = z. iii. Γ((a, x), Γ((b, y), z)) = Γ((a, x), bz + y) = a(bz + y) + x = abz + (x + ay) = Γ((ab, x + ay), z) = Γ((a, x) · (b, y), z) .Isso mostrou que Γ ´ uma a¸ao de G α H sobre o conjunto R. Como vemos, a a¸ao de um elemento (a, x) consiste e c˜ c˜em uma combina¸ao de uma multiplica¸ao por a = 0 seguida por uma transla¸ao por x ∈ R. Isso exibe o significado c˜ c˜ c˜geom´trico do grupo G α H. Vamos a um outro exemplo semelhante. eIII. Considere o conjunto de todas as opera¸oes do espa¸o tridimensional que envolvem rota¸oes e transla¸oes. Por c˜ c c˜ c˜exemplo, considere-se a opera¸ao na qual cada vetor x ´ primeiramente rodado por uma matriz de rota¸ao R ∈ SO(3) e c˜ e c˜em seguida ´ transladado por um vetor x0 : e x → Rx + x0 . (2.33) 33 O conceito de a¸ao de um grupo em um conjunto foi definido a p´gina 90. c˜ ` a
  • 46. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 107/1702A composi¸ao de duas de tais opera¸oes conduz ` transforma¸ao x → R′ (Rx + x0 ) + x0 , ou seja, c˜ c˜ a c˜ ′ x → (R′ R)x + x′ + R′ x0 . 0 (2.34) O espa¸o vetorial R3 ´ naturalmente um grupo Abeliano em rela¸ao ` adi¸ao de vetores. Se R ∈ SO(3), αR (x0 ) := Rx0 c e c˜ a c˜define uma a¸ao por automorfismos de SO(3) sobre R3 . A express˜o (2.34) inspira a defini¸ao do produto semi-direto c˜ a c˜SO(3) α R3 por (R′ , x0 ) · (R, x0 ) = (R′ R, x′ + R′ x0 ) . ′ 0 3E. 2.68 Exerc´cio. Verifique que a transforma¸˜o (2.33) define uma a¸˜o ` esquerda do grupo SO(3) ı ca ca a αR sobre o conjuntoR3 . nDefini¸˜o. Os grupos En := SO(n) ca αR s˜o denominados grupos Euclidianos34 . aIV. Seja V um espa¸o vetorial (e, como tal, um grupo Abeliano em rela¸ao ` soma de vetores) e seja Aut(V ) a cole¸ao c c˜ a c˜de todas as aplica¸oes lineares bijetoras de V em V . c˜ Por exemplo V = Rn e Aut(Rn ) ´ o conjunto de todas as matrizes reais n × n invers´ e ıveis. Ent˜o, fazemos de Aut(V ) × V um grupo, definindo a (A, v) · (B, u) := (AB, v + Au) .Esse grupo ´ por vezes denominado grupo afim do espa¸o vetorial V . e c Observa¸ao. O caso V = R corresponde exatamente ao exemplo II, acima. c˜ Mencionamos, por fim, que o grupo de Poincar´, introduzido a p´gina 895, ´ tamb´m um exemplo de um grupo e ` a e edefinido como um produto semi-direto de dois grupos, a saber, o produto semi-direto do grupo das transforma¸oes de c˜Lorentz com grupo das transla¸oes no espa¸o-tempo. c˜ c2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos• A no¸˜o “intuitiva” de produto tensorial de dois grupos ca Recordemos primeiramente na situa¸ao mais simples a no¸ao de soma direta de dois grupos Abelianos, introduzida c˜ c˜na Se¸ao 2.2.5.1, p´gina 104. Sejam A e B dois grupos Abelianos, com identidades eA e eB (e cujas opera¸oes de produto c˜ a c˜denotaremos ambas pelo mesmo s´ ımbolo “+”). Desejamos encontrar uma maneira de fazer do produto Cartesiano A × Bum grupo tamb´m. Uma maneira de fazer isso ´ definir a “soma” de dois pares ordenados (a, b), (a′ , b′ ) ∈ A × B por e e (a, b) + (a′ , b′ ) := (a + a′ , b + b′ ) . (2.35)O leitor pode facilmente constatar que essa opera¸ao ´ uma opera¸ao bin´ria de A× B em si mesmo, que ela ´ associativa, c˜ e c˜ a eque tem por elemento neutro o par (eA , eB ) e que para cada (a, b) ∈ A × B a inversa ´ (a, b)−1 = (−a, −b), onde −a e´ o elemento inverso de a em A, e analogamente para −b. Portanto, com esse produto, A × B ´ um grupo Abeliano,e edenominado soma direta de A e B ou produto direto de A e B 35 e denotado pelo s´ ımbolo A ⊕ B. Com essa estrutura degrupo em mente, os pares ordenados (a, b) s˜o freq¨ entemente denotados pelo s´ a u ımbolo a ⊕ b. A defini¸ao de produto tensorial de dois grupos Abelianos A e B, que denotaremos por A ⊗ B, ´ distinta da de soma c˜ edireta. A id´ia b´sica, por´m, ´ a mesma, ou seja, tentar fazer do produto Cartesiano A × B um grupo, mas a regra de e a e eproduto ´ muito diferente daquela dada em (2.35). Em primeiro lugar, os elementos de A ⊗ B s˜o somas formais finitas e ade pares ordenados de A × B como (a, b) + (a′ , b′ ), mas n˜o impomos a rela¸ao (2.35). O que realmente entendemos por a c˜“soma formal” ser´ precisado adiante, fazendo uso do conceito de grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto, auma no¸ao introduzida na Se¸ao 2.2.4, p´gina 103. Por ora fiquemos apenas com a no¸ao intuitiva. Para dar a A ⊗ B c˜ c˜ a c˜uma estrutura de grupo, desejamos impor algumas condi¸oes `s somas formais acima. Primeiramente impomos que c˜ a (a, b) + (a′ , b′ ) = (a′ , b′ ) + (a, b) , 34 Para alguns autores, os grupos Euclidianos s˜o os grupos O(n) α Rn . a 35 A distin¸ao entre produto direto e soma direta s´ se faz quando uma cole¸ao n˜o-finita de grupos ´ envolvida. Vide Se¸ao 2.2.5.1, p´gina c˜ o c˜ a e c˜ a104.
  • 47. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 108/1702para todos a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B. Em segundo lugar, impomos que (a + a′ , b) = (a, b) + (a′ , b) e que (a, b + b′ ) = (a, b) + (a, b′ )para todos a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B. O estudante deve notar que essas imposi¸oes s˜o mais limitadas que aquelas de (2.35). c˜ aAs imposi¸oes acima s˜o inspiradas na bem-conhecida propriedade de transitividade de produtos e somas de n´ meros c˜ a ureais ou complexos: (x + x′ )y = xy + x′ y e x(y + y ′ ) = xy + xy ′ . E. 2.69 Exerc´cio. Mostre que com as regras de soma dadas acima todos os pares (eA , b) e (a, eB ) s˜o identificados ı aentre si e com o elemento neutro da opera¸˜o de soma de pares ordenados. Fora isso, o elemento inverso de um par (a, b) ´ ca e(−a, b) = (a, −b). Mostre que, com isso, A ⊗ B ´ um grupo Abeliano, denominado Produto Tensorial dos Grupos Abelianos eA e B. a u ımbolo a ⊗ b. Com essa estrutura de grupo em mente, os pares ordenados (a, b) s˜o freq¨ entemente denotados pelo s´• O produto tensorial de uma cole¸˜o finita de grupos Abelianos ca A defini¸ao geral abstrata de produtos tensoriais de uma cole¸ao finita de grupos Abelianos faz uso do conceito c˜ c˜de grupo livremente gerado por um conjunto, no¸ao discutida na Se¸ao 2.2.4, p´gina 103. Usaremos a nota¸ao l´ c˜ c˜ a c˜ aempregada. Comecemos com o caso de dois grupos Abelianos para passarmos depois ao caso de uma cole¸ao finita de c˜grupos Abelianos. Sejam A1 e A2 dois grupos Abelianos cujo produto de grupo denotaremos aditivamente: com o s´ ımbolo +. SejaX = A1 × A2 . Seja em F (X) = F (A1 × A2 ) o conjunto R de rela¸oes dado por c˜ R := r ∈ F (X) r = (a1 + a1 , a2 ) − (a1 , a2 ) − (a′ , a2 ) ′ 1 ou r = (a1 , a2 + a2 ) − (a1 , a2 ) − (a1 , a′ ) , com a1 , a′ ∈ A1 e a2 , a′ ∈ A2 . ′ 2 1 2 (2.36)Seja R = R(A1 × A2 ) o subgrupo de F (A1 × A2 ) gerado por R. Chegamos assim ` defini¸ao do grupo Abeliano A1 ⊗ A2 , a c˜o produto tensorial de A1 e A2 , que ´ definido como A1 ⊗ A2 := F (A1 × A2 )/R(A1 × A2 ). eNota¸ao. Para a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 denotaremos por a1 ⊗ a2 o elemento de A1 ⊗ A2 que corresponde (na nota¸ao discutida c˜ c˜acima) ` fun¸ao δ(a1 , a2 ) . a c˜ Essas id´ias podem agora ser facilmente generalizadas para o caso de uma cole¸ao finita A1 , . . . , An de grupos e c˜Abelianos. Como acima, consideramos X = A1 × · · · × An . Seja em F (X) = F (A1 × · · · × An ) o conjunto R de rela¸oes c˜ ndado por R = k=1 Rk , onde Rk := r ∈ F (X)| r = (a1 , . . . , ak−1 , ak + a′ , ak+1 , . . . an ) k − (a1 , . . . , ak−1 , ak , ak+1 , . . . an ) − (a1 , . . . , ak−1 , a′ , ak+1 , . . . an ) , k com aj ∈ Aj para todo j = 1, . . . , n e a′ ∈ Ak k .Seja R = R(A1 × · · · × An ) o subgrupo de F (A1 × · · · × An ) gerado por R. Chegamos assim ` defini¸ao do grupo Abeliano a c˜A1 ⊗· · ·⊗An , o produto tensorial de A1 , . . . , An , que ´ definido como A1 ⊗· · ·⊗An := F (A1 ×· · ·×An )/R(A1 ×· · ·×An ). e Os elementos de A1 ⊗ · · · ⊗ An s˜o denotados por a1 ⊗ · · · ⊗ an , com ak ∈ Ak para cada k. O elemento neutro de aA1 ⊗ · · · ⊗ An ´ da forma e e1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = · · · = a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 ⊗ en , (2.37)onde, para cada k, ek ´ o elemento neutro de Ak . Isso se vˆ do fato que vale e e a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an + e 1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = (a1 + e1 ) ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an , . . . . . . . . . a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an + a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ e n = a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ (an + en ) = a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an .
  • 48. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 109/1702As igualdades em (2.37) seguem da unicidade do elemento neutro de um grupo. Como facilmente se constata, a inversade um elemento da forma a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an ´ e − a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = (−a1 ) ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = · · · = a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 ⊗ (−an ) ,onde −ak ´ a inversa de ak em Ak . Novamente, as igualdades acima seguem da unicidade da inversa em um grupo. e Como discutimos no caso de somas diretas, os grupos A1 ⊗ (A2 ⊗ A3 ), (A1 ⊗ A2 ) ⊗ A3 e A1 ⊗ A2 ⊗ A3 s˜o isomorfos, acom os isomorfismos canˆnicos definidos por o ϕ1 : A1 ⊗ (A2 ⊗ A3 ) → A1 ⊗ A2 ⊗ A3 , ϕ1 αk a1 ⊗ ak ⊗ a3 k 2 k := αk ak ⊗ ak ⊗ ak , 1 2 3 k k ϕ2 : (A1 ⊗ A2 ) ⊗ A3 → A1 ⊗ A2 ⊗ A3 , ϕ2 αk ak ⊗ ak ⊗ ak 1 2 3 := αk ak ⊗ ak ⊗ ak , 1 2 3 k ke analogamente para o caso em que se tem uma cole¸ao maior de fatores. Acima, αk ∈ Z e ak ∈ Ai para todo i e k, as c˜ isomas em k sendo, naturalmente, finitas. E. 2.70 Exerc´cio. Mostre que ϕ1 e ϕ2 , definidos acima, s˜o, de fato, isomorfismos de grupo. ı a2.3 Espa¸os Vetoriais. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas c co aNesta se¸ao apresentaremos algumas estruturas e constru¸oes b´sicas da teoria dos espa¸os vetoriais. Discutiremos a no¸ao c˜ c˜ a c c˜de espa¸o quociente e apresentaremos duas maneiras distintas de construir espa¸os vetoriais a partir de uma cole¸ao dada c c c˜de espa¸os vetoriais (sobre um mesmo corpo), a chamada soma direta espa¸os vetoriais e o chamado produto tensorial c cde espa¸os vetoriais. Um coment´rio pertinente (destinado aos estudantes mais avan¸ados) ´ que as constru¸oes que c a c e c˜apresentaremos adiante correspondem `s no¸oes de soma direta e produto tensorial alg´bricos. Isso significa que outras a c˜ eestruturas, como uma topologia, ou propriedades, como completeza, n˜o s˜o necessariamente herdadas pela constru¸ao. a a c˜Assim, por exemplo, o produto tensorial alg´brico de dois espa¸os de Banach n˜o ´ necessariamente um espa¸o de Banach. e c a e cPara tal ´ necess´rio introduzir um completamento extra, que pode n˜o ser unico. e a a ´2.3.1 Bases Alg´bricas de um Espa¸o Vetorial e c• Dependˆncia linear e Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito u1 , . . . , un ∈ V de vetores ´ dito ser linearmente c edependente se existir um conjunto de escalares α1 , . . . , αn ∈ K, nem todos nulos, tais que α1 u1 + · · · + αn un = 0 . Um conjunto arbitr´rio de vetores ´ dito ser linearmente independente se n˜o possuir nenhum subconjunto finito que a e aseja linearmente dependente.• Combina¸oes lineares c˜ Para um conjunto finito de vetores {u1 , . . . , un } ⊂ V e de escalares {α1 , . . . , αn } ⊂ K, uma express˜o como a α1 u1 + · · · + αn un´ dita ser uma combina¸ao linear dos vetores u1 , . . . , un .e c˜• Varredura linear Seja C ⊂ V um conjunto de vetores. A varredura linear (“linear span”) de C, denotado por span (C) ´ o conjunto ede todos os vetores de V que podem ser escritos como uma combina¸ao linear finita de elementos de C. c˜
  • 49. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 110/1702• Bases alg´bricas em espa¸os vetoriais e c Aqui I designa um conjunto arbitr´rio n˜o-vazio de ´ a a ındices. Uma base alg´brica36 em um espa¸o vetorial V ´ um conjunto B = {bi , i ∈ I} de vetores linearmente independentes e c etais que span (B) = V e tais que qualquer vetor u de V pode ser escrito de modo unico como uma combina¸ao linear ´ c˜finita de elementos de B. Se B ´ uma base alg´brica, ent˜o para cada u ∈ V existem univocamente definidos α1 , . . . , αn ∈ K e i1 , . . . , in ∈ I e e atais que: u = α1 bi1 + · · · + αn bin . Os seguintes teoremas podem ser demonstrados com uso do Lema de Zorn (omitiremos as demonstra¸oes aqui. Vide, c˜por exemplo, [79]).Teorema 2.4 Todo espa¸o vetorial V possui uma base alg´brica, exceto o espa¸o vetorial trivial V = {0}. c e cTeorema 2.5 Dado um espa¸o vetorial V (n˜o-trivial), todas as bases alg´bricas em V tˆm a mesma cardinalidade. c a e e• Dimens˜o alg´brica a e Um espa¸o vetorial ´ dito ser de dimens˜o alg´brica finita se possuir uma base alg´brica finita. Se um espa¸o vetorial c e a e e cV tem dimens˜o alg´brica finita, sua dimens˜o alg´brica, ou simplesmente dimens˜o ´ definida como sendo o n´ mero de a e a e a e uelementos de sua base. Nem todo espa¸o vetorial tem uma base alg´brica finita (vide exemplos abaixo). De modo geral, se um espa¸o vetorial c e cpossui uma base alg´brica, sua dimens˜o alg´brica ´ definida como sendo a cardinalidade de suas bases alg´bricas (pelo e a e e eTeorema 2.5 acima s˜o todas iguais). a Exemplo 1. V = Cn sobre o corpo dos complexos ou V = Rn sobre o corpo dos reais. Tais s˜o bem conhecidos aexemplos-prot´tipo de espa¸os vetoriais de dimens˜o finita (= n). o c a Seja P = conjunto de todos os polinˆmios de uma vari´vel real com coeficientes complexos: Pn (t) ∈ P, o a Pn (t) = an tn + · · · + a1 t + a0com t ∈ R, ai ∈ C, ´ dito ser um polinˆmio de grau n se an = 0. e o Exemplo 2. V = P sobre o corpo dos complexos. Este ´ claramente um espa¸o vetorial de dimens˜o infinita. V possui e c auma base alg´brica, a saber, o conjunto de todos os polinˆmios da forma bn = tn , n = 0, 1, 2, . . .. e o Exemplo 3. V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpo dos reais ´ tamb´m um espa¸o vetorial e e cde dimens˜o 1, a saber, uma poss´ base ´ formada pelo elemento 1: B = {1}, j´ que, obviamente, qualquer elemento a ıvel e ax ∈ R pode ser escrito como x = x · 1, com x no corpo dos reais. Esse exemplo pode parecer banal, e de fato o ´, mas leva a um anti-exemplo curioso que mostra que a dimens˜o e aalg´brica de um espa¸o vetorial ´ tamb´m fortemente dependente do corpo de escalares utilizado. e c e e Exemplo 4. V = R sobre o corpo dos racionais. A surpresa aqui ´ que este n˜o ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o alg´brica finita: n˜o existe um conjunto finito e a e c a e a{x1 , . . . , xm } de n´ meros reais tais que todo x ∈ R possa ser escrito como u x = r1 x1 + · · · + rm xm ,onde os n´ meros ri s˜o racionais. A raz˜o ´ que, como Q ´ um conjunto cont´vel, a cole¸ao de n´ meros que se deixam u a a e e a c˜ uescrever como o lado direito ´ uma cole¸ao cont´vel (tem a mesma cardinalidade de Qm ). O conjunto R, por´m, n˜o ´ e c˜ a e a econt´vel. a Um resultado um tanto surpreendente diz, por´m, que esse espa¸o vetorial possui uma base alg´brica, ou seja, existe e c eum conjunto H ⊂ R tal que para cada x ∈ R existe um conjunto finito h1 , . . . , hn de elementos de H e um conjunto 36 Tamb´m e denominada “base de Hamel”. Georg Hamel (1877-1954).
  • 50. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 111/1702finito de racionais r1 , . . . , rn tais que x = r1 h1 + · · · + rn hn . A demonstra¸ao da existˆncia de uma tal base faz uso do c˜ eLema de Zorn e pode ser encontrada em [28] ou [30]. Essa base ´ denominada base de Hamel de R. e Uma conseq¨ˆncia curiosa da existˆncia de bases de Hamel em R ser´ discutida no t´pico que se inicia ` p´gina 111. ue e a o a a Outros exemplos menos dram´ticos que mostram a dependˆncia da dimens˜o com o corpo utilizado s˜o os seguintes: a e a asejam V1 = C sobre o corpo dos complexos e V2 = C sobre o corpo dos reais. V1 tem dimens˜o 1, mas V2 tem dimens˜o a a2. Mais adiante faremos uso do seguinte resultado:Teorema 2.6 Se em um espa¸o vetorial V existir um conjunto {v1 , . . . , vn } de n vetores linearmente independentes, cent˜o a dimens˜o alg´brica de V ´ maior ou igual a n. a a e eProva. A demonstra¸ao ´ feita por absurdo. Suponhamos que haja uma base B = {b1 , . . . , bk } em V com k < n. Ent˜o c˜ e apodemos escrever v1 = α1 b1 + · · · + αk bk .pois B ´ uma base. Nem todos os αi podem ser nulos. Supondo que αk seja um elemento n˜o-nulo, podemos escrever e a bk = (αk )−1 (v1 − α1 b1 − · · · − αk−1 bk−1 ) (2.38)Analogamente, temos que v2 = β1 b1 + · · · + βk bke, usando (2.38), podemos escrever v2 = γ1 b1 + · · · + γk−1 bk−1 + λ1 v1 . Os γi n˜o podem ser todos nulos, pois de outra forma ter´ a ıamos v2 = λ1 v1 , contrariando a hip´tese de os vi ’s oserem linearmente independentes. Suponhamos que γk−1 seja o elemento n˜o-nulo, podemos escrever bk−1 como uma acombina¸ao linear envolvendo {b1 , . . . , bk−2 } e os vetores v1 e v2 . Prosseguindo, concluiremos ap´s k passos que c˜ o vk+1 = λ′ v1 + · · · + λ′ vk , 1 kcontrariando a hip´tese de que os vi ’s s˜o linearmente independentes. o a• Automorfismos descont´ ınuos do grupo (R, +) Nota para os estudantes mais avan¸ados. c Neste t´pico usaremos as bases de Hamel da reta real para ilustrar uma patologia cuja existˆncia ´ por vezes menci- o e eonada na teoria de grupos, a saber, a existˆncia de automorfismos descont´ e ınuos do grupo (R, +). Considere-se a equa¸ao f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R. Podemos nos perguntar: que fun¸oes f : R → R c˜ c˜ e ´podem satisfazˆ-la? E bastante claro que fun¸oes do tipo f (x) = cx, com c constante real, satisfazem f (x+y) = f (x)+f (y) c˜para todo x, y ∈ R. Fora isso, f (x) = cx s˜o cont´ a ınuas e s˜o bije¸oes de R em R (a menos que c = 0). a c˜ Ser˜o essas as unicas fun¸oes com a propriedade f (x+y) = f (x)+f (y) para todo x, y ∈ R? Ser´ que h´ outras fun¸oes a ´ c˜ a a c˜com essa propriedade e que n˜o sejam cont´ a ınuas? Ser´ que h´ outras fun¸oes com essa propriedade, n˜o-cont´ a a c˜ a ınuas, e quetamb´m sejam bije¸oes de R em R? A resposta a essa ultima pergunta ´ muito curiosa e conduz a uma classe de fun¸oes e c˜ ´ e c˜cuja existˆncia ilustra algumas dificuldades encontradas na teoria de grupos. e Provemos em primeiro lugar a seguinte afirma¸ao: c˜Proposi¸˜o 2.4 Se f : R → R satisfizer f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R e f for cont´nua em toda reta real ca ıR, ent˜o f ´ da forma f (x) = cx para algum c, constante real. a e Historicamente esse pequeno resultado ´ devido a Cauchy37 . eProva. Seja f cont´ ´ ınua satisfazendo f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R e f : R → R. E claro que, tomandox = y = 0 tem-se f (0) = f (0 + 0) = 2f (0) e, portanto f (0) = 0. Segue facilmente da´ que 0 = f (0) = f (x + (−x)) = ıf (x) + f (−x) e, portanto f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R. 37 Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
  • 51. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 112/1702 Seja agora p inteiro positivo e x real, ambos arbitr´rios. Teremos que f (px) = f ((p − 1)x + x) = f ((p − 1)x) + f (x) = af ((p − 2)x) + 2f (x) etc. Repetindo p vezes esse proceder, conclu´ ımos que f (px) = pf (x). Como f (−x) = −f (x), essarela¸ao vale para p negativo tamb´m. Seja agora q inteiro, n˜o-nulo. Ent˜o, pelo que acabamos de provar, f (1) = c˜ e a af (q/q) = qf (1/q) e conclu´ ımos que f (1/q) = f (1)/q. Se ent˜o tivermos um n´ mero racional r da forma r = p/q, a ucom p inteiro e q inteiro n˜o-nulo, teremos que f (r) = f (p/q) = pf (1/q) = (p/q)f (1) = rf (1). Finalizamos a prova aevocando a continuidade de f e o fato que todo x real pode ser aproximado por um n´ mero racional: seja x ∈ R e rn , un ∈ N, uma seq¨ˆncia de n´ meros racionais que converge a x, i.e., x = limn→∞ rn . Ent˜o f (x) = f (limn→∞ rn ) = ue u alimn→∞ f (rn ) = (limn→∞ rn ) f (1) = xf (1). Na segunda igualdade usamos a hip´tese (crucial!) que f ´ cont´ o e ınua emtoda parte. Denotando f (1) = c a afirma¸ao est´ provada. c˜ a Com esse resultado em m˜os podemos nos perguntar: haver´ fun¸oes n˜o-cont´ a a c˜ a ınuas que satisfazem f (x + y) =f (x) + f (y)? Talvez surpreendentemente, a resposta ´ positiva. N˜o s´ h´ fun¸oes n˜o cont´ e a o a c˜ a ınuas com essa propriedade,mas h´ dentre elas fun¸oes bijetoras de R em R. Fun¸oes com tais caracter´ a c˜ c˜ ısticas um tanto patol´gicas podem ser oconstru´ ıdas com o uso das assim chamadas bases de Hamel da reta real. Detalhemos. Seja o espa¸o vetorial V dos n´ meros reais sob o corpo dos racionais. Como consideramos p´ginas acima, esse espa¸o c u a cvetorial tem dimens˜o alg´brica infinita, mas existe uma base H ⊂ R de V , n˜o-cont´vel, denominada base de Hamel, a e a atal que todo elemento x de R pode ser escrito como combina¸ao linear finita (´ nica!) por racionais de elementos de c˜ uH, ou seja, para todo x ∈ R existe um n (que depende de x), racionais r1 , . . . , rn (que dependem de x) e elementosh1 , . . . , hn de H (que tamb´m dependem de x) tais que x pode ser escrita (de forma unica!) como x = r1 h1 + · · · + rn hn . e ´Denominaremos essa express˜o a decomposi¸ao de x em H. a c˜ Notemos que se x e y s˜o n´ meros reais e x = r1 h1 + · · · + rn hn e y = r1 h′ + · · · + rm h′ s˜o suas decomposi¸oes em a u ′ 1 ′ m a c˜ ′ ′ ′ ′H, ent˜o a decomposi¸ao de x + y ´ r1 h1 + · · · + rn hn + r1 h1 + · · · + rm hm . a c˜ e Vamos definir uma fun¸ao f : R → R, da seguinte forma. Primeiramente fixamos seus valores nos elementos de H c˜tomando, para cada h ∈ H, f (h) := fh ∈ R, onde os n´ meros fh s˜o escolhidos arbitrariamente. Em segundo lugar, u apara qualquer x ∈ R, e cuja decomposi¸ao em H seja x = r1 h1 + · · · + rn hn , definimos f (x) := r1 f (h1 ) + · · · + rn f (hn ) = c˜r1 fh1 + · · · + rn fhn . Assim, se x e y s˜o n´ meros reais e x = r1 h1 + · · · + rn hn e y = r1 h′ + · · · + rm h′ s˜o suas a u ′ 1 ′ m a ′ ′decomposi¸oes em H, teremos f (x + y) = r1 fh1 + · · · + rn fhn + r1 fh′ + · · · + rm fh′ = f (x) + f (y). c˜ 1 m O leitor pode convencer-se que h´, para cada base de Hamel H, infinitas fun¸oes desse tipo (devido ` arbitrariedade a c˜ a ınuas, exceto se escolhermos fh = ch para todo h ∈ H, com uma constanteda escolha dos fh ’s) e que todas s˜o descont´ ac fixa. Espertamente, podemos tomar f como uma bije¸ao de H em H, ou seja, podemos escolher38 fh ∈ H para todo h ∈ H c˜e de modo que para todo h ∈ H exista um g ∈ H unico tal que fg = h. Uma situa¸ao trivial dessas ´ aquela na qual f ´ c˜ e´ a identidade quando restrita a H: fh = h para todo h ∈ H, mas outras escolhas s˜o tamb´m poss´e a e ıveis. Se f for umabije¸ao de H em H, ´ f´cil de se ver que imagem de f no dom´ c˜ e a ınio R ´ toda a reta real R (mostre isso)! e Al´m disso, uma tal f , bijetora enquanto fun¸ao de H em H, ´ igualmente bijetora como fun¸ao de R em R. e c˜ e c˜Mostremos isso. Sejam x e y ∈ R com decomposi¸oes x = r1 h1 + · · · + rn hn e y = s1 g1 + · · · + sm gm com rj , sk ∈ Q e c˜hj , gk ∈ H e suponhamos que f (x) = f (y). Isso significa que r1 fh1 + · · · + rn fhn = s1 fg1 + · · · + sm fgm . Como cada fhje cada fgk ´ elemento de H, essa igualdade s´ ´ poss´ se m = n, se fhj = fgπ(j) e se rj = sπ(j) para todo j = 1, . . . , n, e oe ıvelonde π ´ um elemento do grupo de permuta¸oes de n elementos (ou seja, ´ uma bije¸ao de {1, . . . , n} em si mesmo). e c˜ e c˜Como f ´ uma bije¸ao de H em si mesmo, segue que hj = gπ(j) para todo j = 1, . . . , n. Assim, e c˜ n n n x = rj hj = sπ(j) gπ(j) = sj g j = y j=1 j=1 j=1e, portanto, f : R → R ´ bijetora. e Uma fun¸ao que satisfa¸a f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R e f : R → R representa um endomorfismo c˜ cdo grupo (R, +). O que aprendemos no ultimo par´grafo pode ser expresso na linguagem da teoria de grupos como a ´ aafirma¸ao que existem automorfismos de (R, +) que n˜o s˜o cont´ c˜ a a ınuos. Esse fato ilustra algumas situa¸oes patol´gicas c˜ oque s˜o por vezes encontradas ou mencionadas no estudo de grupos cont´ a ınuos. Com o uso de fun¸oes f desse tipo ´ c˜ eposs´ ıvel, por exemplo, construir subgrupos uniparam´tricos n˜o-cont´ e a ınuos de um grupo de Lie dado ou representa¸oesc˜n˜o-cont´ a ınuas de tais subgrupos. 38 Que tal ´ poss´ e ıvel ´ garantido pelo axioma da escolha −→ Exerc´ e ıcio.
  • 52. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 113/1702 Assim, por exemplo, se A ´ uma matriz real n × n anti-sim´trica, ent˜o O(t) = exp(tA), t ∈ R ´ um subgrupo e e a euniparam´trico cont´ e ınuo de SO(n), pois O(0) = ½ e O(t)O(t′ ) = O(t + t′ ) para todos t, t′ ∈ R, sendo os elementos dematriz de O(t) fun¸oes cont´ c˜ ınuas de t. Se agora definirmos P (t) = exp(f (t)A), t ∈ R, para uma fun¸ao f : R → R, c˜patol´gica como acima (ou seja, satisfazendo f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R, bijetora mas descont´ o ınua),ainda teremos P (0) = ½ e P (t)P (t′ ) = P (t + t′ ) para todos t, t′ ∈ R, mas os elementos de matriz de P (t) n˜o s˜o fun¸oes a a c˜cont´ ınuas de t.• Bases topol´gicas em espa¸os vetoriais Nota para os estudantes mais avan¸ados. o c c O conceito de base alg´brica n˜o deve ser confundido com o de base topol´gica, conceito esse pertencente ao contexto e a odos espa¸os vetoriais topol´gicos: c o Uma base topol´gica em um espa¸o vetorial topol´gico V ´ um conjunto B = {bi , i ∈ I} de vetores linearmente o c o eindependentes tais que span (B) ´ um conjunto denso em V , ou seja, o fecho de span (B) ´ V . e e Uma base topol´gica ´ dita ser base topol´gica completa se n˜o possuir nenhum subconjunto pr´prio que tamb´m seja o e o a o euma base topol´gica. o A dimens˜o topol´gica de um espa¸o vetorial ´ ent˜o definida como sendo a cardinalidade das bases topol´gicas a o c e a ocompletas de V . Para ilustrar como os conceitos de base alg´brica e base topol´gica s˜o diferentes, consideremos novamente o seguinte e o aExemplo 4 acima: Exemplo 5. V = R sobre o corpo dos racionais, com a topologia usual sobre R, tem uma base topol´gica completa ode dimens˜o finita: B = {1}. De fato, o conjunto {r · 1, r ∈ Q} ´ denso em R. Esse espa¸o vetorial possui ent˜o uma a e c adimens˜o topol´gica igual a um. a oDefini¸˜o. Um espa¸o vetorial topol´gico sobre o corpo dos reais ou dos complexos ´ dito ser separ´vel se possuir uma ca c o e abase topol´gica cont´vel. o a2.3.2 O Dual Alg´brico de um Espa¸o Vetorial e cSeja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K (por exemplo, o corpo C). Uma aplica¸ao l : V → K, definida sobre todo c c˜V , ´ dita ser um funcional linear se e l(αx + βy) = αl(x) + βl(y)para todo x, y ∈ V e todo α, β ∈ K.E. 2.71 Exerc´cio. Mostre que, de acordo com a defini¸˜o acima, vale para qualquer funcional linear l que l(0) = 0. ı ca O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K ´ denominado espa¸o dual alg´brico de V e denotado V ′ . O e c econjunto V ′ ´ feito um espa¸o vetorial (sobre K), atrav´s da seguinte rela¸ao: e c e c˜ (αl + βm)(x) := l(αx) + m(βx),para todo l e m ∈ V ′ ; α, β ∈ K e todo x ∈ V . O vetor nulo de V ′ ´ o funcional linear que associa trivialmente todo evetor de V a zero: l(x) = 0, ∀x ∈ V . O seguinte teorema ´ verdadeiro e ser´ implicitamente usado v´rias vezes no que segue. Sua demonstra¸ao ´, como e a a c˜ everemos, elementar mas instrutiva.Teorema 2.7 Seja um espa¸o vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v tem a propriedade que l(v) = 0 para todo cl ∈ V ′ ent˜o v = 0. aProva. Seja B uma base alg´brica em V . Para cada elemento b ∈ B podemos associar um funcional linear lb , definido eda seguinte forma. Como todo w ∈ V pode ser escrito como uma combina¸ao linear finita de elementos de B, podemos c˜sempre escrever w = wb b + w′ ,
  • 53. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 114/1702 c˜ ´onde w′ ´ uma combina¸ao linear finita de elementos de B {b} e wb ∈ K. (E claro que wb = 0 caso b n˜o compare¸a na e a cdecomposi¸ao de w em uma soma finita de elementos de B). c˜ Definimos, ent˜o a lb (w) := wb , ´para todo vetor w ∈ V . E um exerc´ simples mostrar que, para cada b ∈ B, a aplica¸ao lb : V → K dada acima ´ um ıcio c˜ efuncional linear.E. 2.72 Exerc´cio. Mostre isso. ı Seja ent˜o v um vetor como no enunciado do teorema. Se l(v) = 0 para todo l ∈ V ′ , vale obviamente que lb (v) = 0 apara todo b ∈ B. Isso, por´m, trivialmente implica que v = 0, completando a demonstra¸ao. e c˜ Se A e B s˜o espa¸os vetoriais e A ⊂ B ent˜o B ′ ⊂ A′ . a c aE. 2.73 Exerc´cio. Justifique essa ´ltima afirmativa. ı u• Nota¸˜o ca Para x ∈ V e l ∈ V ′ ´ freq¨ ente usar-se a nota¸ao l, x em lugar de l(x). A express˜o l, x ´ muitas vezes dita e u c˜ a e ´ser o “pairing”, ou “emparelhamento”, entre l ∈ V ′ e x ∈ V . E essa nota¸ao e graficamente conveniente por expressar c˜a igualdade de status entre V e V ′ . Uma inconveniˆncia se d´ em casos em que pode haver confus˜o com a nota¸ao de e a a c˜produto escalar. Com essa nota¸ao, as propriedades de linearidade expressam-se como c˜ α1 l1 + α2 l1 , x = α1 l1 , x + α2 l2 , x e l, α1 x1 + α2 x2 = α1 l, x1 + α2 l, x2 ,v´lidas para todos l, l1 , l2 ∈ V ′ , x, x1 , x2 ∈ V e α1 , α2 ∈ K. a• Base dual canˆnica o Seja U um espa¸o vetorial sobre um corpo K e suponhamos que U tenha dimens˜o finita, ou seja, que U possua c a numa base finita {e1 , . . . , en }, n ∈ N. Todo elemento de u ∈ U pode ser escrito na forma ui ei com ui ∈ K. Para i=1j = 1, . . . , n definamos ℓj : U → K por ℓj (u) = uj .´E elementar provar que cada ℓj ´ um funcional linear em U e, portanto, um elemento de U ′ . Pela defini¸ao, vale e c˜ ℓ j ei = δij ,para todos i, j = 1, . . . , n, ou seja, na nota¸ao de emparelhamento, c˜ ℓj , ei = δij . Em verdade o conjunto {ℓ1 , . . . , ℓn } forma uma base em U ′ , denominada base dual canˆnica da base {e1 , . . . , en }. oDe fato, se ℓ ∈ U ′ teremos n n n ℓ(u) = ℓ u i ei = u i ℓ ei = ℓ ei ℓi (u) , i=1 i=1 i=1para todo u ∈ U provando que n ℓ = ℓ ei ℓ i , i=1o que estabelece que todo elemento de U ′ ´ uma combina¸ao linear de {ℓ1 , . . . , ℓn }. Os elementos de {ℓ1 , . . . , ℓn } e c˜ ns˜o linearmente independentes, pois se a i=1 αi ℓi = 0 isso significa que para todo ej , j = 1, . . . , n, valer´ 0 = a n i=1 αi ℓi (ej ) = αj .
  • 54. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 115/1702 ´ E relevante comentar que a base dual de {e1 , . . . , en } ´ unica. De fato, se {ℓ1 , . . . , ℓn } e {ℓ′ , . . . , ℓ′ } satisfazem e´ 1 n ℓj , ei = δij e ℓj , ei = δij para todos i, j, ent˜o ℓ′ − ℓj , ei = 0 para todos i, j, o que implica que para cada j e ′ a jpara todo u ∈ U vale ℓ′ − ℓj , u = 0, de onde conclui-se que ℓ′ = ℓj para todo j. j j• O dual topol´gico de um espa¸o vetorial o c Seja V um espa¸o vetorial topol´gico. O conjunto de todos os funcionais lineares cont´ c o ınuos sobre V ´ dito ser o dual etopol´gico de V . O dual topol´gico ser´ denotado neste texto por V † . Note-se que V † ⊂ V ′ . o o a• Exemplos de funcionais lineares Exemplo 1. Seja V = Cn , sobre o corpo dos complexos. Seja a1 , . . . , an um conjunto fixo de n´ meros complexos. uPara qualquer vetor z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn defina-se l(z) = a1 z1 + · · · + an zn . Ent˜o l ´ um funcional linear em Cn . a eE. 2.74 Exerc´cio. Verifique. ı Em verdade, ´ poss´ demonstrar a rec´ e ıvel ıproca: em Cn todo funcional linear ´ da forma acima para algum conjunto e{a1 , . . . , an }. Essa afirmativa ´ um caso particular de um teorema importante conhecido como “Lema de Riesz”, que eser´ demonstrado no contexto mais geral dos chamados espa¸os de Hilbert, dos quais Cn ´ um exemplo. a c e Seja P o conjunto de todos os polinˆmios de uma vari´vel real com coeficientes complexos: Pn (t) ∈ P, o a Pn (t) = an tn + · · · + a1 t + a0com t ∈ R, ai ∈ C, ´ dito ser um polinˆmio de grau n se an = 0. O conjunto P ´ claramente um espa¸o vetorial sobre os e o e ccomplexos. Exemplo 2. Para cada t0 ∈ R e p ∈ P, l(p) = p(t0 ) ´ um funcional linear em P. eE. 2.75 Exerc´cio. Verifique. ı Esse exemplo pode ser generalizado: Exemplo 3. Sejam t1 , . . . , tn ∈ R, distintos, e a1 , . . . , an n´ meros complexos. Para todo p ∈ P, definamos u l(p) = a1 p(t1 ) + · · · + an p(tn ) .Ent˜o l ´ um funcional linear em P. a eE. 2.76 Exerc´cio. Verifique. ı O ultimo exemplo pode ser fortemente generalizado nos dois exemplos que seguem. ´ Exemplo 3. Seja (a, b) um intervalo finito de R e h uma fun¸ao complexa integr´vel nesse intervalo (ou seja, c˜ a b a |h(t)|dt ≤ ∞). Ent˜o, a b l(p) = h(t) p(t) dt aest´ definida para todo p ∈ P e define um funcional linear em P. aE. 2.77 Exerc´cio. Justifique as duas ´ltimas afirmativas. ı u 2 Exemplo 4. Seja a fun¸ao g(x) = e−x . Ent˜o c˜ a ∞ l(p) = g(t) p(t) dt . −∞est´ definida para todo p ∈ P e define um funcional linear em P. aE. 2.78 Exerc´cio. Justifique as duas ´ltimas afirmativas. ı u
  • 55. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 116/1702• A rela¸˜o entre V e V ′ ca Vamos aqui discutir o fato que sempre existe uma maneira (n˜o-canˆnica, vide abaixo) de associar vetores de um a oespa¸o vetorial V com elementos de seu dual alg´brico V ′ . c e Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K e B ⊂ V uma base alg´brica em V . Seja FB a cole¸ao de todas as fun¸oes c e c˜ c˜de B em K. Afirmamos que existe uma bije¸ao de FB sobre V ′ , ou seja, esses dois conjuntos podem ser identificados c˜nesse sentido. Para tal, seja f ∈ FB . Definimos uma aplica¸ao I : FB → V ′ da seguinte forma. Como todo x ∈ V pode ser escrito c˜como uma combina¸ao linear finita de elementos de B, digamos, x = α1 bi1 + · · · + αn bin , escrevemos c˜ I(f )(x) = α1 f (bi1 ) + · · · + αn f (bin ) .I(f ) ´ um funcional linear pois, se escrevemos y = αn+1 bin+1 + · · · + αn+m bin+m , teremos e I(f )(x + y) = α1 f (bi1 ) + · · · + αn+m f (bin+m ) = α1 f (bi1 ) + · · · + αn f (bin ) + αn+1 f (bin+1 ) + · · · + αn+m f (bin+m ) = I(f )(x) + I(f )(y) . (2.39)Isso ent˜o mostrou que I(f ) ´ de fato um elemento de V ′ para cada f ∈ FB . Vamos mostrar o reverso: que a cada a eelemento l de V ′ h´ um elemento gl de FB associado e que I(gl ) = l. Seja novamente x = α1 bi1 + · · · + αn bin ∈ V e seja al um elemento de V ′ . Tem-se l(x) = α1 l(bi1 ) + · · · + αn l(bin ) .Definimos gl : B → K por gl (b) := l(b)para todo b ∈ K. Pela defini¸ao c˜ I(gl )(x) = α1 gl (bi1 ) + · · · + αn gl (bin ) = α1 l(bi1 ) + · · · + αn l(bin ) = l(x) (2.40)para todo x ∈ V . Logo I(gl ) = l como quer´ ıamos. A aplica¸ao I : FB → V ′ ´, portanto, uma bije¸ao entre esses dois conjuntos. Notemos, por´m, que essa bije¸ao n˜o c˜ e c˜ e c˜ a´ canˆnica no sentido que a mesma depende da base adotada. Se trocarmos B por outra base a bije¸ao altera-se.e o c˜ De posse desses fatos podemos entender a rela¸ao entre V e V ′ da seguinte forma. Seja o subconjunto GB de FB c˜formado por todas as fun¸oes que assumem valores n˜o-nulos (no corpo K) apenas para um conjunto finito de B, ou c˜ aseja, para g ∈ GB existe um conjunto finito Bg = {b1 , . . . , bn } ⊂ B tal que g ´ n˜o-nula nos elementos de Bg , mas ´ e a enula em B Bg . Os conjuntos GB e V podem ser identificados no seguinte sentido. Afirmamos que existe uma bije¸ao J : GB → V . Tal c˜´ f´cil de ver se lembrarmos que os elementos de V podem ser escritos como uma combina¸ao linear finita de elementose a c˜de B. De fato, para g ∈ GB definimos J(g) = g(b1 )b1 + · · · + g(bn )bn ∈ Vonde {b1 , . . . , bn } = Bg . Reciprocamente, se x ∈ V e x = α1 bi1 + · · · + αn bin , definimos gx ∈ GB por gx (bia ) = αa , a = 1, . . . , n e gx (b) = 0 se b ∈ {bi1 , . . . , bin } .´ aE f´cil ver ent˜o que a J(gx ) = g(bi1 )bi1 + · · · + g(bin )bin = α1 bi1 + · · · + αn bin = x , (2.41)o que mostra que J ´ bijetora. Notemos novamente que essa bije¸ao tamb´m n˜o ´ canˆnica, no sentido que a mesma e c˜ e a e odepende da base adotada. Se trocarmos B por outra base a bije¸ao altera-se. c˜ E. 2.79 Exerc´cio importante. Mostre agora que J −1 : V → Gb ´ linear, ou seja, J −1 (αx + βy) = αJ −1 (x) + βJ −1 (y) ı epara todos x, y ∈ V e todos α, β ∈ K.
  • 56. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 117/1702 Juntando o discutido acima, conclu´ımos que φ1 = I ◦ J −1 ´ uma aplica¸ao linear injetora de V em V ′ . A mesma, e c˜por´m, n˜o ´ “natural”, pois depende da base alg´brica B escolhida. e a e e Assim, fixada uma base B em V h´ uma maneira de associar todos os elementos de V com elementos do seu dual aalg´brico. Notemos por´m que pode haver elementos de V ′ aos quais n˜o correspondem tais identifica¸oes, ou seja, a e e a c˜imagem de φ1 = I ◦ J −1 ´ tipicamente (especialmente em dimens˜o infinita) um subconjunto pr´prio de V ′ . e a o Exemplo. Seja P o espa¸o vetorial dos polinˆmios em R definido acima. Seja T = {ti ∈ R, i ∈ N}, um conjunto c ocont´vel de pontos distintos da reta real e seja q(t) = q0 + q1 t + · · · + qn tn , polinˆmio. Definamos lq ∈ V ′ por a o lq (p) = q0 p(t0 ) + q1 p(t1 ) + · · · + qn p(tn ) .E. 2.80 Exerc´cio. Mostre que a aplica¸˜o P ∋ q → lq ∈ V ′ ´ linear e injetora. ı ca e E. 2.81 Exerc´cio. Ser´ que com o conjunto T fixado todo elemento de V ′ seria da forma lq para algum q?. Pense. ı aInspire-se nos exemplos 3 e 4 da p´gina 115. O que acontece para conjuntos T diferentes? aComent´rio. Mais interessante que a rela¸ao entre V e V ′ , ´ a rela¸ao de V com o dual alg´brico de V ′ , o chamado bidual a c˜ e c˜ ealg´brico de V e denotado por (V ′ )′ , assunto que discutiremos agora. A raz˜o ´ que, ao contr´rio do que tipicamente e a e aocorre entre V e V ′ , h´ sempre uma aplica¸ao linear injetora entre V e (V ′ )′ que ´ natural, ou seja, independente de a c˜ eescolhas de bases. Outro interesse na rela¸ao entre V e (V ′ )′ reside no fato que a mesma revela-nos, como veremos, uma profunda c˜distin¸ao entre espa¸os vetoriais de dimens˜o finita e infinita. c˜ c a• O bidual alg´brico de um espa¸o vetorial e c Se V ´ um espa¸o vetorial sobre um corpo K j´ observamos que V ′ ´ tamb´m um espa¸o vetorial sobre o mesmo e c a e e ccorpo. Assim, V ′ tem tamb´m seu dual alg´brico que ´ denominado bidual alg´brico de V . e e e e O bidual alg´brico de um espa¸o vetorial V ´ o espa¸o (V ′ )′ . Como vimos nas p´ginas anteriores, existe pelo menos e c e c auma aplica¸ao linear injetiva de V em V ′ . Chamemos esta aplica¸ao de φ1 . Analogamente, existe pelo menos uma c˜ c˜aplica¸ao linear injetiva φ2 de V ′ em (V ′ )′ . A composi¸ao φ2 ◦ φ1 fornece uma aplica¸ao linear injetiva de V em (V ′ )′ . c˜ c˜ c˜Como φ1 e φ2 dependem de escolhas de base, a composi¸ao φ2 ◦ φ1 tamb´m depende, n˜o sendo, assim, natural. c˜ e a Ao contr´rio do que ocorre na rela¸ao entre V e V ′ , podemos sempre encontrar uma aplica¸ao linear injetiva de V a c˜ c˜em (V ′ )′ que ´ natural: independente de base. Vamos denot´-la por λ. Definimos λ : V → (V ′ )′ da seguinte forma: para e ax ∈ V , λ(x) ´ o elemento de (V ′ )′ que associa a cada l ∈ V ′ o valor l(x): e λ(x)(l) = l(x) .E. 2.82 Exerc´cio. Mostre que λ : V → (V ′ )′ ´ linear. ı e E. 2.83 Exerc´cio. Mostre que λ : V → (V ′ )′ ´ injetora. Sugest˜o: use o Teorema 2.7, enunciado e demonstrado na p´gina ı e a a113. ´ E transparente pela defini¸ao de λ que a mesma ´ independente de bases e, portanto, “natural”. A rela¸ao entre c˜ e c˜x ∈ V e um elemento de (V ′ )′ mostrada acima ´ t˜o direta que quase poder´ e a ıamos dizer que V ´ um subconjunto de (V ′ )′ : eV ⊂ (V ′ )′ . Alguns autores, abusando um pouco da linguagem, chegam mesmo a escrever uma tal rela¸ao de inclus˜o. c˜ aMais correta, no entanto ´ a rela¸ao λ(V ) ⊂ (V ′ )′ . e c˜ Poder´ ıamos nesse momento nos perguntar: quando podemos eventualmente ter λ(V ) = (V ′ )′ ? Para o caso de espa¸os cvetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos resposta ´ simples e um tanto surpreendente e se expressa no seguinte eteorema.Teorema 2.8 Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo dos reais ou dos complexos. Ent˜o λ(V ) = (V ′ )′ se e somente c ase V ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o finita. e c a
  • 57. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 118/1702 Este teorema revela uma importante distin¸ao entre espa¸os de dimens˜o finita e infinita. Em dimens˜o finita todos c˜ c a aos funcionais lineares do dual alg´brico de V ′ s˜o da forma λ(x) para algum vetor x. Em dimens˜o infinita, por´m, h´ e a a e acertamente elementos em (V ′ )′ que n˜o s˜o dessa forma. Assim, ao tomarmos duais duplos em dimens˜o infinita sempre a a aobtemos espa¸os vetoriais “maiores”, o que n˜o ocorre em dimens˜o finita. c a aProva. Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K = C ou R. c Caso de dimens˜o finita. Vamos em primeiro lugar supor que V ´ de dimens˜o finita e denotemos por dim V sua a e a e ´dimens˜o. Seja tamb´m B = {b1 , . . . , bn } uma base de V . E claro que o n´ mero de elementos de B ´ n = dim V . a u e ´ a ′ ′ E f´cil mostrar que o conjunto {λ(b1 ), . . . , λ(bn )} ´ linearmente independente em (V ) . De fato, se existirem escalares eαi tais que α1 λ(b1 ) + · · · + αn λ(bn ) = 0 , ou seja, λ(α1 b1 + · · · + αn bn ) = 0 ıamos para todo l ∈ V ′ter´ λ(w)(l) = l(w) = 0 ,onde w = α1 b1 + · · · + α1 bn . Isso, por´m, implica w = 0 (pelo Teorema 2.7, p´gina 113), o que implica α1 = · · · = αn = 0. e a Isso claramente diz que dim (V ′ )′ ≥ dim V . Afirmamos que a igualdade s´ se d´ se λ(V ) = (V ′ )′ . De fato, se o aλ(V ) = (V ′ )′ ent˜o todo elemento de (V ′ )′ ´ da forma a e λ(α1 b1 + · · · + αn bn ) = α1 λ(b1 ) + · · · + αn λ(bn )e, portanto {λ(b1 ), . . . , λ(bn )} ´ uma base em (V ′ )′ e dim (V ′ )′ = dim V . Se, por outro lado, λ(V ) ´ um subconjunto e epr´prio de (V ′ )′ , existem elementos v ′′ ∈ (V ′ )′ tais que v ′′ − α1 λ(b1 ) − · · · − αn λ(bn ) = 0 para todos αi ∈ K. Portanto, o{v ′′ , λ(b1 ), . . . , λ(bn )} ´ um conjunto de n + 1 vetores linearmente independentes. Logo dim (V ′ )′ > n = dim V , pelo eTeorema 2.6, p´gina 111.a Vamos ent˜o mostrar que obrigatoriamente tem-se que dim (V ′ )′ = dim V , provando o teorema. a Como vimos quando discutimos a rela¸ao entre V e V ′ ` p´gina 116, V ′ ´ equivalente ao conjunto FB de todas as c˜ a a efun¸oes de B em K, enquanto que V ´ equivalente ao conjunto GB formado por todas as fun¸oes que assumem valores c˜ e c˜n˜o-nulos (no corpo K) apenas para um conjunto finito de B. Como B tem um n´ mero finito de elementos, sucede a uGB = FB (por que?). Logo V e V ′ s˜o equivalentes: existe uma bije¸ao linear ϕ1 entre ambos. a c˜ A aplica¸ao ϕ1 leva a base B em uma base ϕ1 (B) em V ′ . Para ver isso, notemos que todo elemento l ∈ V ′ ´ da forma c˜ el = ϕ1 (v), para algum v ∈ V . Como todo v ∈ V ´ da forma v = α1 b1 + · · · + αn bn , segue que todo elemento l ∈ V ′ e´ da forma α1 ϕ1 (b1 ) + · · · + αn ϕ1 (bn ). Como ϕ1 ´ bijetora, {ϕ1 (b1 ), . . . , ϕ1 (bn )} ´ um conjunto de vetores linearmentee e eindependentes pois se existirem escalares β1 , . . . , βn tais que β1 ϕ1 (b1 ) + · · · + βn ϕ1 (bn ) = 0 ıamos ϕ1 (β1 b1 + · · · + βn bn ) = 0 o que implica β1 b1 + · · · + βn bn = 0, pois ϕ1 ´ bijetora. Isso por´m implicater´ e eβ1 = · · · = βn = 0, pois {b1 , . . . , bn } ´ uma base. Assim, ϕ1 (B) = {ϕ1 (b1 ), . . . , ϕ1 (bn )} ´ uma base em V ′ e, portanto, e edim V ′ = n = dim V . Analogamente, tem-se que V ′ e (V ′ )′ s˜o equivalentes e, portanto, existe uma bije¸ao linear ϕ2 entre ambos que leva a c˜a base ϕ1 (B) em uma base ϕ2 ◦ ϕ1 (B) em (V ′ )′ . Portanto, dim V ′ = dim (V ′ )′ . Logo dim V = dim V ′ = dim (V ′ )′ , como quer´ ıamos provar. Caso de dimens˜o infinita. No caso de dimens˜o infinita desejamos mostrar que sempre h´ elementos em (V ′ )′ que a a an˜o s˜o da forma λ(x) para algum x ∈ V . a a Abaixo K ´ o corpo dos reais ou dos complexos. e Vamos primeiro delinear a estrat´gia a ser seguida. Seja B uma base em V (fixa daqui por diante). Como sabemos, eexiste uma aplica¸ao linear bijetora φ : FB → V ′ . Uma fun¸ao s : B → K, s ∈ FB ´ dita ser limitada se existir um c˜ c˜ eM > 0 tal que |s(b)| < M para todo b ∈ B. Seja LB o conjunto de todas as fun¸oes limitadas de B em K. E claro c˜ ´que LB ⊂ FB . Vamos mostrar o seguinte: n˜o existe nenhum vetor n˜o-nulo v ∈ V com a propriedade que λ(v)(β) = 0 a apara todo β ∈ φ(LB ). Seja v = α1 b1 + · · · + αm bm um tal vetor para o qual λ(v)(β) = 0. Isso significa que para todoβ ∈ φ(LB ) 0 = λ(v)(β) = β(v) = α1 β(b1 ) + · · · + αm β(bm ) .
  • 58. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 119/1702Tomemos funcionais βi ’s da forma 1, se b = bi βi (b) = 0, de outra formapara i = 1, . . . , m. Como todo βi ´ um elemento de φ(LB ) (por que?), ter´ e ıamos 0 = βi (v) = αi para todo i, o que implicav = 0. A conclus˜o ´ que nenhum elemento de (V ′ )′ que seja da forma λ(v) para algum v ∈ V n˜o-nulo pode anular todos a e aos elementos de φ(LB ) ⊂ V ′ . A estrat´gia que seguiremos ser´ a de exibir um elemento de (V ′ )′ que tem precisamente e aa propriedade de anular todos os elementos de φ(LB ). Um tal elemento n˜o pode pertencer, portanto, a λ(V ), o que amostra que λ(V ) ´ um subconjunto pr´prio de (V ′ )′ no caso de dimens˜o infinita. e o a Seja u ∈ V ′ φ(LB ) e U o subespa¸o de V ′ gerado por u. Todo elemento l ∈ V ′ pode ser escrito de modo unico c ´ ´na forma l = au + y, onde a ∈ K e y pertence ao subespa¸o complementar de U . Definamos α(l) = a. E claro que cα ∈ (V ′ )′ e que α aniquila todo elemento de φ(LB ), pois estes pertencem ao subespa¸o complementar de U (por que?). cAssim, α ∈ (V ′ )′ mas α ∈ λ(V ).2.3.3 Subespa¸os e Espa¸os Quocientes c c• Subespa¸os c Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W de V ´ dito ser um subespa¸o de V (sobre o mesmo c e c ´corpo K) se para todo α, β ∈ K e todo u, v ∈ W valer que αu + βv ∈ W . E evidente que um subespa¸o de um espa¸o c cvetorial ´ por si s´ um espa¸o vetorial. e o c• Quocientes Se W ´ um subespa¸o de um espa¸o vetorial V sobre um corpo K, ent˜o ´ poss´ e c c a e ıvel definir em V uma rela¸ao de c˜equivalˆncia EW ⊂ V × V da seguinte forma: dizemos que (u, v) ∈ V × V pertence a EW se u − v ∈ W . eE. 2.84 Exerc´cio. Mostre que isso de fato define uma rela¸˜o de equivalˆncia em V . ı ca e e c˜ e ımbolo ∼W : u ∼W v se u − v ∈ W . Seguindo a nota¸ao usual denotaremos tamb´m essa rela¸ao de equivalˆncia pelo s´ c˜ Denotemos por V /W o conjunto das classes de equivalˆncia de V pela rela¸ao EW . Denotaremos por [u] ∈ V /W a e c˜classe de equivalˆncia que cont´m o vetor u ∈ V . e e Com esses ingredientes podemos transformar V /W em um espa¸o vetorial sobre K. Isso se d´ definindo em V /W uma c asoma e um produto por escalares. O vetor nulo ser´ a classe de equivalˆncia [0] que cont´m o vetor 0. Como subconjunto a e ede V , a classe [0], ali´s, vem a ser o conjunto W (por que?). a Se [u] e [v] s˜o as classes de equivalˆncia que contˆm os elementos u e v, respectivamente, de V , ent˜o definimos a e e a [u] + [v] = [u + v] . E. 2.85 Exerc´cio. Mostre que essa defini¸˜o ´ coerente, no sentido que independe dos representantes (u e v) escolhidos ı ca enas classes.E. 2.86 Exerc´cio. Mostre que essa opera¸˜o de soma ´ comutativa e associativa. ı ca eE. 2.87 Exerc´cio. Mostre que [u] + [0] = [u] para todo u ∈ V . ı Analogamente, a opera¸ao de multiplica¸ao por escalares ´ definida por c˜ c˜ e α[u] = [αu] ,para todo u ∈ V .
  • 59. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 120/1702E. 2.88 Exerc´cio. Mostre que essa defini¸˜o ´ coerente, no sentido que independe do representante u escolhido na classe. ı ca e E. 2.89 Exerc´cio. Mostre que o conjunto V /W ´, portanto, um espa¸o vetorial sobre o corpo K com as opera¸oes definidas ı e c c˜acima. O espa¸o vetorial V /W assim obtido ´ denominado espa¸o quociente de V por W . c e c2.3.4 Somas Diretas de Espa¸os Vetoriais c• A soma direta de uma cole¸˜o finita de espa¸os vetoriais ca c Sejam V1 e V2 dois espa¸os vetoriais (sobre um mesmo corpo K, sendo doravante K = R ou K = C). Como V1 e cV2 s˜o dois grupos Abelianos, o grupo Abeliano obtido pela soma direta V1 ⊕ V2 est´ definido pelo procedimento geral a adescrito na Se¸ao 2.2.5, p´gina 104. Isso, entretanto, ainda n˜o faz de V1 ⊕ V2 um espa¸o vetorial. c˜ a a c Para isso, ´ preciso definir o produto um elemento de V1 ⊕ V1 por um escalar (um elemento de K). Definimos o eproduto de v1 ⊕ v2 ∈ V1 ⊕ V2 por α ∈ K como sendo o elemento (αv1 ) ⊕ (αv2 ), ou seja, α(v1 ⊕ v2 ) := (αv1 ) ⊕ (αv2 ) . (2.42)´ aE f´cil constatar que, com essa defini¸ao, V1 ⊕ V2 torna-se um espa¸o vetorial (vide a defini¸ao formal de espa¸o vetorial c˜ c c˜ c` p´gina 79), que denotaremos por V1 ⊕K V2 . O assim definido espa¸o vetorial V1 ⊕K V1 ´ dito ser a soma direta dosa a c eespa¸os vetoriais V1 e V2 sobre o corpo K. c Se tivermos uma cole¸ao finita de espa¸os vetoriais V1 , . . . , Vn (sobre um mesmo corpo K) procedemos analogamente, c˜ cprimeiro definindo o grupo Abeliano V1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplica¸ao por escalares por c˜ α(v1 ⊕ · · · ⊕ vn ) := (αv1 ) ⊕ · · · ⊕ (αvn ) ,com α ∈ K e v1 ⊕ · · · ⊕ vn ∈ V1 ⊕ · · · ⊕ Vn . O espa¸o vetorial (sobre K) assim definido ´ denotado por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn . c e• Soma direta de cole¸oes arbitr´rias de espa¸os vetoriais c˜ a c Se {Vi , i ∈ J} ´ uma cole¸ao de espa¸os vetoriais que, em particular, s˜o grupos Abelianos, cai definida, pelo e c˜ c aapresentado na sub-se¸ao anterior, a soma direta Îs := i∈J Vi , definida primeiramente como grupo Abeliano. Îs pode c˜ser feito um espa¸o vetorial definindo-se, para um escalar gen´rico α ∈ K, c e α· ×a∈J va := × a∈J αva , (2.43)para todo × a∈J va ∈ Îs (para a nota¸ao de produtos Cartesianos gerais, vide p´gina 32). E um exerc´ elementar c˜ a ´ ıcio(fa¸a-o!) mostrar que, com essas estruturas, Îs ´ de fato um espa¸o vetorial, satisfazendo a defini¸ao apresentada na c e c c˜Se¸ao 2.1.5, p´gina 79. c˜ a2.3.5 Produtos Tensoriais de Espa¸os Vetoriais c• A no¸˜o “intuitiva” de produto tensorial de dois espa¸os vetoriais ca c Sejam U e V dois espa¸os vetoriais em rela¸ao a um mesmo corpo, digamos, C. U e V s˜o dois grupos Abelianos em c c˜ arela¸ao `s respectivas opera¸oes de soma de vetores. Assim, podemos, como acima, definir o grupo Abeliano U ⊗ V , o c˜ a c˜produto tensorial dos grupos Abelianos U e V . Esse objeto ainda n˜o tem uma estrutura de espa¸o vetorial (sobre os a ccomplexos), pois n˜o dissemos como definir o produto de um elemento de U ⊗ V por um escalar α ∈ C. Isso ´ feito da a eseguinte forma, para u ∈ U , v ∈ V , define-se α(u ⊗ v) impondo α(u ⊗ v) := (αu) ⊗ (v) = (u) ⊗ (αv) . (2.44)
  • 60. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 121/1702O estudante deve comparar essa regra de produto por escalares com a regra 2.42. Para elementos de U ⊗ V que sejamsomas finitas, como por exemplo u ⊗ v + u′ ⊗ v ′ , impomos α (u ⊗ v + u′ ⊗ v ′ ) := α (u ⊗ v) + α (u′ ⊗ v ′ ) = (αu) ⊗ v + (αu′ ) ⊗ v ′ = u ⊗ (αv) + u′ ⊗ (αv ′ ) . E. 2.90 Exerc´cio. Constate que, com essa defini¸˜o, U ⊗ V torna-se um espa¸o vetorial, ou seja, verifique que s˜o v´lidos ı ca c a aos postulados da defini¸˜o formal de espa¸o vetorial dados ` p´gina 79. ca c a a Esse espa¸o vetorial que denotaremos por U ⊗C V , ´ denominado produto tensorial dos espa¸os U e V . O sub-´ c e c ındiceC aposto ao s´ımbolo ⊗ ´ por vezes dispensado, e serve apenas para recordar que um escalar (ou seja, um elemento de C, enesse caso) pode ser passado de um lado para outro do s´ ımbolo ⊗, tal como na ultima igualdade em (2.44). Passemos ´agora ` formaliza¸ao dessas id´ias. a c˜ e• O produto tensorial de dois espa¸os vetoriais c Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre um mesmo corpo K (que assumiremos, por simplicidade, tendo caracter´ c ısticazero, como C ou R). Como U e V s˜o dois grupos Abelianos, o grupo Abeliano U ⊗ V est´ definido pelo procedimento a ade acima. Isso, entretanto, ainda n˜o faz de U ⊗ V um espa¸o vetorial. Para isso tomemos X = U ⊗ V e consideremos o a csubconjunto de F (X) definido por R := {r ∈ F (U ⊗ V )| r = (αu) ⊗ v − u ⊗ (αv), com α ∈ K, u ∈ U, v ∈ V } . (2.45)Como antes, seja R = R(U ⊗ V ) o subgrupo gerado por R. Definimos agora um novo grupo Abeliano U ⊗K V comoU ⊗K V := F (U ⊗ V )/R(U ⊗ V ). U ⊗K V ´ por ora apenas mais um grupo Abeliano, mas podemos adicionar-lhe uma estrutura de espa¸o vetorial da e cseguinte forma. Primeiramente ´ preciso definir o produto de um escalar por um elemento de U ⊗K V . Para elementos eda forma u ⊗K v com u ∈ U e v ∈ V , definimos ent˜o o produto α(u ⊗K v), para α ∈ K por a α(u ⊗K v) := (αu) ⊗K v = u ⊗K (αv) . (2.46)A ultima igualdade segue da defini¸ao de U ⊗K V . Os demais elementos de U ⊗K V s˜o da forma de combina¸oes lineares ´ c˜ a c˜finitas com coeficientes inteiros de elementos como u ⊗K v, ou seja, s˜o da forma a n ck (uk ⊗K vk ) k=1para algum n > 0 e ck ∈ Z. Para os mesmos, definimos n n n n α ck (uk ⊗K vk ) := ck α (uk ⊗K vk ) = ck (αuk ) ⊗K vk = ck uk ⊗K (αvk ) . k=1 k=1 k=1 k=1 ´ a E f´cil constatar (fa¸a-o!) que, com essa defini¸ao, U ⊗K V torna-se um espa¸o vetorial (vide a defini¸ao formal de c c˜ c c˜espa¸o vetorial na Se¸ao 2.1.5, p´gina 79), que tamb´m denotaremos por U ⊗K V . O assim definido espa¸o vetorial c c˜ a e cU ⊗K V ´ denominado produto tensorial dos espa¸os vetoriais U e V sobre o corpo K. O sub-´ e c ındice K aposto ao s´ ımbolo⊗ ´ por vezes dispensado, e serve apenas para recordar que um escalar (ou seja, um elemento de K) pode ser passado de eum lado para outro do s´ ımbolo ⊗, tal como na ultima igualdade em (2.46). ´• O produto tensorial de uma cole¸˜o finita de espa¸os vetoriais ca c As id´ias de acima podem ser generalizadas para o caso de uma cole¸ao finita de espa¸os vetoriais. Sejam U 1 , . . . , U n e c˜ cuma cole¸ao finita de espa¸os vetoriais sobre um mesmo corpo K (que assumiremos, por simplicidade, tendo caracter´ c˜ c ısticazero, como C ou R). Como cada U a ´ um grupo Abeliano, o grupo Abeliano U 1 ⊗· · ·⊗U n est´ definido pelo procedimento e adescrito anteriormente. Isso, entretanto, ainda n˜o faz de U 1 ⊗ · · · ⊗ U n um espa¸o vetorial. Para isso, tomemos a c
  • 61. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 122/1702 nX = U 1 ⊗ · · · ⊗ U n e consideremos o subconjunto R de F (X) definido por R := Rij , com i, j=1 i=j Rij := r ∈ F (X) r = u1 ⊗ · · · ⊗ ui−1 ⊗ αui ⊗ ui+1 ⊗ · · · ⊗ un − u1 ⊗ · · · ⊗ uj−1 ⊗ αuj ⊗ uj+1 ⊗ · · · ⊗ un com α ∈ K, uk ∈ U k para todo k = 1, . . . , n .Como antes, seja R = R(U 1 ⊗· · ·⊗U n ) o subgrupo gerado por R. Definimos agora um novo grupo Abeliano U 1 ⊗K · · ·⊗K U ncomo U 1 ⊗K · · · ⊗K U n := F (U 1 ⊗ · · · ⊗ U n )/R(U 1 ⊗ · · · ⊗ U n ). U 1 ⊗K · · · ⊗K U n ´ por ora apenas mais um grupo Abeliano, mas podemos adicionar-lhe uma estrutura de espa¸o e cvetorial da seguinte forma. Primeiramente ´ preciso definir o produto de um escalar por um elemento de U 1 ⊗K · · ·⊗K U n . ePara elementos da forma u1 ⊗K · · · ⊗K un com uk ∈ U k para todo k = 1, . . . , n, definimos o produto α(u1 ⊗K · · · ⊗K un ),para α ∈ K por α(u1 ⊗K · · · ⊗K un ) := u1 ⊗K · · · ⊗K uj−1 ⊗K αuj ⊗K uj+1 ⊗K · · · ⊗K unpara qualquer j = 1, . . . , n. Que o lado direito independe do particular j adotado segue da defini¸ao de U 1 ⊗K · · ·⊗K U n . c˜Os demais elementos de U 1 ⊗K · · ·⊗K U n s˜o da forma de combina¸oes lineares finitas com coeficientes inteiros de elementos a c˜como u1 ⊗K · · · ⊗K un , ou seja, s˜o da forma a m ck u 1 ⊗ K · · · ⊗ K u n k k k=1para algum m > 0 e ck ∈ Z. Para os mesmos, definimos m m mα 1 n ck u k ⊗ K · · · ⊗ K u k := ck α u k ⊗ K · · · ⊗ K u n 1 k = ck u1 ⊗K · · ·⊗K uj−1 ⊗K αuj ⊗K uj+1 ⊗K · · ·⊗K un , k k k k k k=1 k=1 k=1onde, como anteriormente mencionado, a ultima igualdade ´ v´lida para qualquer j adotado. ´ e a ´ f´cil constatar (fa¸a-o!) que, com essa defini¸ao, U 1 ⊗K · · · ⊗K U n torna-se um espa¸o vetorial (vide a defini¸ao E a c c˜ c c˜formal de espa¸o vetorial na Se¸ao 2.1.5, p´gina 79), que tamb´m denotaremos por U 1 ⊗K · · · ⊗K U n . O assim definido c c˜ a eespa¸o vetorial U 1 ⊗K · · · ⊗K U n ´ denominado produto tensorial dos espa¸os vetoriais U k , k = 1, . . . , n, sobre o corpo c e cK. Observe-se que, com a constru¸ao acima, vale c˜ α1 u1 ⊗K · · · ⊗K αk un k = α1 · · · αk u 1 ⊗K · · · ⊗K u n . kEsse fato limita a constru¸ao que efetivamos a cole¸oes finitas de espa¸os U k , pois para cole¸oes n˜o-finitas o produto c˜ c˜ c c˜ ainfinito de escalares αk geralmente n˜o estar definido. a Quando n˜o houver motivo de confus˜o denotaremos U 1 ⊗K · · ·⊗K U n simplesmente por U 1 ⊗· · ·⊗U n . Freq¨ entemente a a u c˜ ´usaremos a nota¸ao U ⊗K n , ou simplesmente U ⊗n , para denotar U ⊗K · · · ⊗K U . E tamb´m conveniente definir U ⊗K n e n vezespara n = 0 como sendo o corpo K. Seja U um espa¸o vetorial sobre K. Como todo corpo K ´ tamb´m, naturalmente, um espa¸o vetorial sobre K, o c e e c a ´produto tensorial K ⊗K U est´ igualmente definido. E, por´m, natural nesse contexto identificar-se K ⊗K U com U eatrav´s do isomorfismo α ⊗K u → αu, para todos α ∈ K e u ∈ U . Doravante essa identifica¸ao ser´ feita silentemente, e c˜ asalvo men¸ao em contr´rio. O dito acima repete-se para o produto U ⊗K K. c˜ a• O isomorfismo canˆnico o Dadas duas cole¸oes finitas V 1 , . . . , V m e U 1 , . . . , U n de espa¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K podemos, pela c˜ cconstru¸ao descrita acima, definir os espa¸os vetoriais produto c˜ c A = V 1 ⊗K · · · ⊗K V m ⊗K U 1 ⊗K · · · ⊗K U n e B = V 1 ⊗K · · · ⊗K V m ⊗K U 1 ⊗K · · · ⊗K U n .
  • 62. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 123/1702Esses dois espa¸os s˜o isomorfos, com o isomorfismo C : A → B dado por c a C v 1 ⊗K · · · ⊗K v m ⊗K u 1 ⊗K · · · ⊗K u n := v 1 ⊗K · · · ⊗K v m ⊗K u1 ⊗K · · · ⊗K un , (2.47)sendo estendido linearmente para os demais elementos. Esse isomorfismo ´ denominado isomorfismo canˆnico entre A e oe B. O isomorfismo canˆnico ´ relevante na defini¸ao da chamada ´lgebra tensorial, tal como descrito na Se¸ao 2.5.1, o e c˜ a c˜p´gina 137. aE. 2.91 Exerc´cio. Mostre que C : A → B, definido acima, ´, de fato, um isomorfismo entre espa¸os vetoriais. ı e c Se U ´ um espa¸o vetorial sobre um corpo K, vimos acima que U ⊗K m ⊗K U ⊗K n e U ⊗K (m+n) s˜o canonicamente e c aisomorfos. Observe que isso faz sentido mesmo quando m = 0 (ou n = 0, ou ambos), pois nesse caso U ⊗K m = K, porconven¸ao. c˜• Distributividade entre produtos tensoriais e somas diretas Se U , V e W s˜o espa¸os vetoriais sob um mesmo corpo K, ent˜o os espa¸os vetoriais C = U ⊗K V ⊕K W a c a c eD = U ⊗K V ⊕K U ⊗K W s˜o isomorfos. Esse fato ser´ importante na defini¸ao da ´lgebra tensorial, Se¸ao 2.5.1, a a c˜ a c˜p´gina 137. O isomorfismo M : C → D ´ definido por a e n n n M ua ⊗K va ⊕K wa := ub ⊗K vb ⊕K uc ⊗K wc , a=1 b=1 c=1para todo n ∈ N e para todos ua ∈ U , va ∈ V e wa ∈ W , a = 1, . . . , n. E. 2.92 Exerc´cio. Mostre que M : C → D, definida acima, ´, de fato, um isomosfismo de espa¸os vetoriais. Para tal ı e c´ necess´rio e suficiente provar que M ´ linear, sobrejetor e que M(κ) = 0  e somente se = 0. Para provar que M ´e a e  ′  se κ e ′′ n nsobrejetor, observe que todo elemento de D ´ da forma  e u′ ⊗K vb  ⊕K  b ′ ′′ ′′ uc ⊗K wc . Definindo n ≡ n′ + n′′ e b=1 c=1 ′ uk , k = 1, . . . , n′ , ′ vk , k = 1, . . . , n′ , 0, k = 1, . . . , n′ , uk ≡ ′′ vk ≡ wk ≡ uk−n′ , k = n′ + 1, . . . , n , 0, k = n′ + 1, . . . , n , ′′ wk−n′ , k = n′ + 1, . . . , n ,para cada k = 1, . . . , n, teremos  ′    n n′′ n n  u′ ⊗K vb  ⊕K  b ′ u′′ ⊗K wc  c ′′ := ub ⊗K vb ⊕K uc ⊗K wc b=1 c=1 b=1 c=1(verifique!) que ´, evidentemente, um elemento da imagem de M. Determine M−1 . e Devido ao fato de U ⊗K V ⊕K W e U ⊗K V ⊕K U ⊗K W serem isomorfos, iremos por vezes identific´-los como asendo o mesmo espa¸o. Evidentemente, h´ nisso um abuso de linguagem. Essa identifica¸ao permite-nos pictoriamente c a c˜dizer que o produto tensorial ´ distributivo em rela¸ao a soma direta. e c˜ ` Observemos, por fim, que o exposto acima estende-se para somas diretas finitas, como formulado no seguinte exerc´ ıcio:E. 2.93 Exerc´cio. Sejam U e V j , j = 1, . . . , m, com m ∈ N, espa¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K. Mostre que ı c   m m U ⊗K  V j ≃ U ⊗K V j , j=1 j=1 ımbolo ≃ denota a rela¸˜o de isomorfismo entre espa¸os vetoriais. O isomorfismo ´ dado porsendo que o s´ ca c e    n m m n j j M ua ⊗K  va  := ua ⊗K va , a=1 j=1 j=1 a=1
  • 63. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 124/1702para todo n ∈ N e para todos ua ∈ U , va ∈ V j , a = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. j Analogamente, mostre que   m m  V j  ⊗K U ≃ V j ⊗K U , j=1 j=1com o isomorfismo dado por     n m m n j j M  va  ⊗K ua  := va ⊗K ua , a=1 j=1 j=1 a=1para todo n ∈ N e para todos ua ∈ U , va ∈ V j , a = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. j• Bases em produtos tensoriais Sejam U e V dois espa¸os vetoriais de dimens˜o finita sobre um mesmo corpo K (que omitiremos doravante), dotados c ade bases {eU , . . . , eU } e {eV , . . . , eV }, respectivamente. Afirmamos que a cole¸ao de vetores {eU ⊗ eV , i = 1 m 1 n c˜ i j m U1, . . . , m, j = 1, . . . , n} forma uma base em U ⊗ V . De fato, se u ∈ U e v ∈ V s˜o da forma u = a i=1 ui ei n V m n U Ve v = j=1 vj ej , ent˜o u ⊗ v = a i=1 j=1 ui vj ei ⊗ ej . Como todos os elementos de U ⊗ V s˜o obtidos como acombina¸ao linear finita de elementos da forma u ⊗ v com u ∈ U e v ∈ V , conclu´ c˜ ımos imediatamente que os mesmospodem ser escritos como combina¸ao linear dos elementos eU ⊗ eV , como quer´ c˜ i j ıamos. Isso estabeleceu tamb´m que a edimens˜o de U ⊗ V ´ o produto da dimens˜o de U pela de V : dim(U ⊗ V ) = dim U dim V . a e a As considera¸oes acima estendem-se sem maiores surpresas para produtos tensoriais de mais de dois espa¸os vetoriais c˜ csobre um mesmo corpo.• Representa¸oes tensoriais de grupos c˜ Sejam U e V dois espa¸os vetoriais de dimens˜o finita sobre um mesmo corpo K (que omitiremos doravante), dotados c ade bases {eU , . . . , eU } e {eV , . . . , eV }, respectivamente. Seja G um grupo e sejam π U e π V representa¸oes de G em 1 m 1 n c˜U e V , respectivamente. As representa¸oes π U e π V permitem definir uma representa¸ao de G em U ⊗ V denominada c˜ c˜representa¸ao produto tensorial e denotada por π U⊗V , a qual ´ definida como segue. Se g ∈ G, u ∈ U e v ∈ V , ent˜o c˜ e adefine-se π U⊗V (g) u ⊗ v por π U (g)u ⊗ π V (g)v , sendo π U⊗V (g) estendido linearmente para os demais elementos deU ⊗V. m n Um elemento t de U ⊗ V pode ser escrito da forma t = tij eU ⊗ eV , com tij sendo as componentes de t. Para i j i=1 j=1g ∈ G, a a¸ao de π U⊗V (g) sobre t ∈ U ⊗ V ´ dada por c˜ e m n π U⊗V (g)t := tij π U (g)eU ⊗ π V (g)eV i j . i=1 j=1Escrevendo, em nota¸ao matricial para π U (g) e π V (g), c˜ m n π U (g)eU = i π U (g)ai eU a e π V (g)eV = j π V (g)bj eU , b a=1 b=1obtem-se m n π U⊗V (g)t := t′ π U (g)eU ⊗ π V (g)eV ab a b , i=1 j=1onde, para todos 1 ≤ a ≤ m e 1 ≤ b ≤ n, m n t′ ab := π U (g)ai π V (g)bj tij . (2.48) a=1 b=1 ´As grandezas t′ s˜o as novas componentes de t ap´s a transforma¸ao produzida por π U⊗V (g). E freq¨ ente em livros de ab a o c˜ uF´ ısica definir-se a no¸ao de tensor (de rank 2) como sendo uma quantidade que se transforma segundo (2.48) por uma c˜
  • 64. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 125/1702transforma¸ao induzida por um grupo (por exemplo, pelo grupo de rota¸oes ou pelo grupo de Lorentz). Estritamente c˜ c˜falando, um tensor n˜o pode ser definido dessa forma, pois (2.48) ´ uma propriedade derivada, requerendo de uma a edefini¸ao pr´via da no¸ao de produto tensorial, tal como apresentamos acima. Ainda assim, no que concerne ao interesse c˜ e c˜da F´ısica, (2.48) captura em muitos casos o aspecto mais importante da no¸ao de tensor. c˜2.3.5.1 Duais Alg´bricos e Produtos Tensoriais e• Isomorfismo entre (U ⊗ V )′ e (U ′ ) ⊗ (V ′ ) no caso de dimens˜o finita a Sejam U e V dois espa¸os vetoriais de dimens˜o finita sobre um mesmo corpo K e sejam U ′ , respectivamente, V ′ seus c aespa¸os duais. Se ℓ ∈ U ′ e µ ∈ V ′ , podemos definir um funcional linear em U ⊗ V ≡ U ⊗K V , que denotaremos como cℓ × µ, por N N (ℓ × µ) ua ⊗ va := ℓ(ua )µ(va ) (2.49) a=1 a=1para todos N ua ⊗ va ∈ U ⊗ V . Que ℓ × µ ´ um funcional linear em U ⊗ V ´ um fato de demonstra¸ao elementar, a=1 e e c˜deixado como exerc´ ıcio. N Se considerarmos agora elementos gerais de U ′ ⊗ V ′ da forma a=1 ℓa ⊗ µa a aplica¸ao Φ : U ′ ⊗ V ′ → (U ⊗ V )′ c˜ N N Φ ℓa ⊗ µa := ℓa × µa a=1 a=1define uma aplica¸ao linear de U ′ ⊗V ′ em (U ⊗V )′ . Essa aplica¸ao ´ injetora e sobrejetora. Para provar que ´ sobrejetora, c˜ c˜ e eseja {eU , . . . , eU } uma base em U e {ℓU , . . . , ℓU } sua base dual canˆnica e, respectivamente, seja {eV , . . . , eV } uma 1 m 1 m o 1 nbase em V e {ℓV , . . . , ℓV } sua base dual canˆnica. Seja ω ∈ (U ⊗ V )′ . Todo elemento de U ⊗ V ´ da forma 1 n o em n αij eU ⊗ eV e, portanto, i ji=1 j=1   m n m n ω αij eU ⊗ eV  = i j αij ω eU ⊗ eV i j . i=1 j=1 i=1 j=1Ao mesmo tempo, vale   m n m n m n ℓU × ℓV  a b αij eU ⊗ eV  = i j αij ℓU eU ℓV eV a i b j = αij δia δjb = αab , i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1e, portanto,     m n m n m n ω αij eU ⊗ ej  = i V ω eU ⊗ eV i j ℓU × ℓV  i j αij eU ⊗ eV  , i j i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1implicando   m n m n ω = ω eU ⊗ ej i V ℓi × ℓV U j = Φ ω eU ⊗ eV ℓ U ⊗ ℓ V  . i j i j i=1 j=1 i=1 j=1Para toda ω ∈ (U ⊗ V )′ , provando a sobrejetividade de Φ. Observe-se agora que se     m n m n Φ µij ℓi ⊗ ℓV  = Φ  U j νij ℓU ⊗ ℓV  , i j i=1 j=1 i=1 j=1teremos m n m n U µij ℓi × ℓV j = νij ℓU × ℓV i j i=1 j=1 i=1 j=1
  • 65. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 126/1702e calculando ambos os lados em eU ⊗ eV obtem-se µab = νab para todos a = 1, . . . , m e b = 1, . . . , n, estabelecendo a a binjetividade de Φ. Estabelecemos com isso que os espa¸os vetoriais (U ⊗ V )′ e (U ′ ) ⊗ (V ′ ) s˜o isomorfos caso U e V sejam de dimens˜o c a afinita. Naturalmente, as considera¸oes de acima se deixam generalizar para produtos tensoriais finitos de espa¸os de c˜ cdimens˜o finita sobre um mesmo corpo. Assim, se Ui , i = 1, . . . , N , s˜o espa¸os vetoriais sobre um mesmo corpo K, a a c ′cada qual com dimens˜o mi , teremos que (U1 ⊗ · · · ⊗ UN ) e (U1 )′ ⊗ · · · ⊗ (UN )′ s˜o espa¸os vetoriais isomorfos. a a c2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espa¸o Vetorial. Espa¸os Sim´trico e Anti- c c e Sim´trico eSeja U um espa¸o vetorial sobre um corpo K (que suporemos, por simplicidade, tendo caracter´ c ıstica 0). Os procedimentosacima permitem, para cada n ∈ N, definir o produto tensorial U ⊗K n , que passaremos a denotar por U ⊗n omitindo osub-´ ımbolos ⊗ e ⊕. Lembremos que adotamos por conven¸ao que U ⊗0 = K e U ⊗1 = U . ındice K dos s´ c˜ Para n ≥ 2 podemos definir uma representa¸ao Pn do grupo de permuta¸oes de n elementos, Sn , em U ⊗n , da seguinte c˜ c˜forma: se π ´ um elemento de Sn definimos Pn (π) como sendo o operador linear que a cada vetor da forma u1 ⊗ · · · ⊗ un eassocia o vetor uπ(1) ⊗ · · · ⊗ uπ(n) . Isso significa que Pn (π) age em vetores gerais de U ⊗n na forma l l l Pn (π) αk uk 1 ⊗ ··· ⊗ k un = αk Pn (π) uk 1 ⊗ ···⊗ uk n = π(1) k αk uk ⊗ · · · ⊗ uπ(n) , k=1 k=1 k=1 ´onde os αk ’s s˜o elementos de K. E elementar constatar que Pn (π)Pn (π ′ ) = Pn (ππ ′ ) para todos π, π ′ ∈ Sn e que aPn (id) = ½, id sendo a identidade (elemento neutro) de Sn . Isso confirma que Pn ´ uma representa¸ao de Sn em U ⊗n . e c˜ Para n = 0 e n = 1 convencionamos que Sn ´ o grupo trivial (contendo apenas a identidade) e que em ambos os casos ePn (id) = ½, o operador identidade. Definimos o operador de simetriza¸ao e o operador de anti-simetriza¸ao agindo em U ⊗n , n ≥ 2, por c˜ c˜ 1 1 Sn := Pn (π) e An := sinal(π) Pn (π) , (2.50) n! n! π∈Sn π∈Snrespectivamente, onde sinal(π) ´ o sinal, ou paridade, de π ∈ Sn . Para n = 0 e n = 1 definimos S0 = A0 = ½ e eS1 = A1 = ½, o operador identidade. A seguinte proposi¸ao cont´m as propriedades alg´bricas mais relevantes dos operadores Sn e An . c˜ e eProposi¸˜o 2.5 Com as defini¸oes e conven¸oes acima, valem as seguintes afirma¸oes: ca c˜ c˜ c˜ 1. Sn Pn (π) = Pn (π)Sn = Sn para todo n ≥ 0 e todo π ∈ Sn . 2. An Pn (π) = Pn (π)An = sinal(π)An para todo n ≥ 0 e todo π ∈ Sn . 3. S2 = Sn para todo n ≥ 0. n 4. A2 = An para todo n ≥ 0. n 5. Sn An = An Sn = 0 para todo n ≥ 2. Para n = 0 e n = 1 valem Sn An = An Sn = ½.Os fatos que S2 = Sn e An = An dizem-nos que Sn e An s˜o proje¸oes. n 2 a c˜Prova. Que Sn Pn (π) = Pn (π)Sn = Sn vale para n = 0 e n = 1 ´ evidente. Seja n ≥ 2. Teremos, e 1 1 π ′′ =ππ ′ 1 Sn Pn (π ′ ) = Pn (π) Pn (π ′ ) = Pn (ππ ′ ) = Pn (π ′′ ) = Sn . n! n! n! π∈Sn π∈Sn π ′′ ∈SnNa terceira igualdade acima usamos o fato que, para cada π ′ a aplica¸ao π → ππ ′ ≡ π ′′ ´ bijetora em Sn e, portanto, c˜ esomar sobre todo π ∈ Sn equivale a somar sobre todo π ′′ ∈ Sn . A prova de que Pn (π ′ )Sn = Sn ´ an´loga. e a
  • 66. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 127/1702 Que An Pn (π) = Pn (π)An = An vale para n = 0 e n = 1 ´ evidente. Seja n ≥ 2. Teremos, e 1 1 An Pn (π ′ ) = sinal(π)Pn (π) Pn (π ′ ) = sinal(π ′ ) sinal(ππ ′ )Pn (ππ ′ ) n! n! π∈Sn π∈Sn π ′′ =ππ ′ sinal(π ′ ) = sinal(π ′′ )Pn (π ′′ ) = sinal(π ′ )An . n! π ′′ ∈SnNa segunda igualdade acima usamos o fato que, sinal(ππ ′ ) = sinal(π)sinal(π ′ ). A prova de que Pn (π ′ )An = sinal(π ′ )An´ an´loga.e a 2 Que Sn = Sn para n = 0 e n = 1 ´ evidente pela defini¸ao. Para n ≥ 2, segue as defini¸oes e do obtido acima que e c˜ c˜ 1 1 1 S2 = n Sn Pn (π) = Sn = 1 Sn = S n , n! n! n! π∈Sn π∈Sn π∈Snpois Sn possui n! elementos. 2 Que An = An para n = 0 e n = 1 ´ evidente pela defini¸ao. Para n ≥ 2, segue as defini¸oes e do obtido acima que e c˜ c˜ 1 1 1 A2 = n sinal(π)An Pn (π) = An = 1 An = An . n! n! n! π∈Sn π∈Sn π∈Sn Que para n = 0 e n = 1 valem Sn An = An Sn = ½ ´ evidente pela defini¸ao. e c˜ Para n ≥ 2 provemos que π∈Snsinal(π) = 0. De fato, π=π ′ π ′′ sinal(π) = sinal(π ′ π ′′ ) = sinal(π ′ ) sinal(π ′′ ) = sinal(π ′ ) sinal(π) . π∈Sn π ′′ ∈S n π ′′ ∈S n π∈SnNa primeira igualdade escolhemos π ′ ∈ Sn e definimos π ′′ := (π ′ )−1 π. A aplica¸ao π → (π ′ )−1 π ≡ π ′′ ´ bijetora e, c˜ eportanto, somar sobre todo π ∈ Sn equivale a somar sobre todo π ′′ ∈ Sn . Escolhendo π ′ de forma que sinal(π ′ ) = −1(isso sempre ´ poss´ se n ≥ 2) obtemos na ultima igualdade que π∈Sn sinal(π) = 0. e ıvel ´ Assim, para n ≥ 2, segue das defini¸oes e do obtido acima que c˜ 1 1 1 Sn An = sinal(π)Sn Pn (π) = sinal(π)Sn = sinal(π) Sn = 0 . n! n! n! π∈Sn π∈Sn π∈SnA prova que An Sn = 0 para n ≥ 2 ´ an´loga. e a As imagens das proje¸oes Sn e An s˜o dois subespa¸os de U ⊗n denotados por (U ⊗n )S e (U ⊗n )A , respectivamente, e c˜ a cdenominados subespa¸o sim´trico e subespa¸o anti-sim´trico, respectivamente. Para n = 0 e para n = 1 os subespa¸os c e c e csim´trico e anti-sim´trico coincidem com K e U , respectivamente. Como Sn e An s˜o proje¸oes, os elementos de (U ⊗n )S e e a c˜s˜o invariantes pela a¸ao de Sn e os elementos de (U ⊗n )A s˜o invariantes pela a¸ao de An . Os elementos de (U ⊗n )S s˜o a c˜ a c˜ adenominados vetores sim´tricos e os de (U ⊗n )A s˜o denominados vetores anti-sim´tricos. e a eNota¸ao. A imagem por n!An de elementos da forma u1 ⊗ · · · ⊗ un , com uk ∈ U para todo k, ser´ denotada por c˜ au1 ∧K · · · ∧K un , ou simplesmente por u1 ∧ · · · ∧ un : u1 ∧ · · · ∧ un := n! An u1 ⊗ · · · ⊗ un = sinal(π) uπ(1) ⊗ · · · ⊗ uπ(n) . (2.51) π∈SnOs elementos de (U ⊗n )A s˜o, portanto, combina¸oes lineares finitas de elementos da forma u1 ∧ · · · ∧ un . a c˜ 1 Exemplificamos. Para n = 2, S2 u1 ⊗ u2 = 2 u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1 ´ um elemento do subespa¸o sim´trico U ⊗2 e c e S eu1 ∧ u2 := 2! A2 u1 ⊗ u2 = u1 ⊗ u2 − u2 ⊗ u1 ´ um elemento do subespa¸o anti-sim´trico U ⊗2 A . Para n = 3, e c e 1 S3 u 1 ⊗ u 2 ⊗ u 3 = u1 ⊗ u2 ⊗ u3 + u3 ⊗ u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u3 ⊗ u1 + u1 ⊗ u3 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1 ⊗ u3 + u3 ⊗ u2 ⊗ u1 3!
  • 67. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 128/1702´ um elemento do espa¸o sim´trico U ⊗3e c e S , enquanto queu1 ∧ u2 ∧ u3 := 3! A3 u1 ⊗ u2 ⊗ u3 = u1 ⊗ u2 ⊗ u3 + u3 ⊗ u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u3 ⊗ u1 − u1 ⊗ u3 ⊗ u2 − u2 ⊗ u1 ⊗ u3 − u3 ⊗ u2 ⊗ u1´ um elemento do espa¸o anti-sim´trico U ⊗3e c e A . Acima, os uk ’s s˜o elementos de U . aE. 2.94 Exerc´cio. Mostre que ı u1 ∧ · · · ∧ un = sinal(π)uπ(1) ∧ · · · ∧ uπ(n) (2.52)Sugest˜o: use que An Pn (π) = sinal(π)An . a Conclua que se dois dos vetores de u1 , . . . , un forem iguais, ent˜o u1 ∧ · · · ∧ un = 0. Conclua disso que se os vetores au1 , . . . , un n˜o forem linearmente independentes, ent˜o u1 ∧ · · · ∧ un = 0. a a O exerc´ que seque indica algumas das conseq¨ˆncias dos resultados do Exerc´ E. 2.94 no caso em que U tem ıcio ue ıciodimens˜o finita. a E. 2.95 Exerc´cio. Justifique as afirma¸oes que seguem. Se U ´ um espa¸o de dimens˜o finita m ent˜o, segue do exposto ı c˜ e c a ano Exerc´ E. 2.94 que u1 ∧ · · · ∧ un = 0 sempre que n > m e que, portanto, (U ⊗n )A = {0}, o espa¸o vetorial trivial, sempre ıcio cque n > m. m Se m ´ a dimens˜o de U e {e1 , . . . , em } uma base em U , ent˜o todo elemento a ∈ U se escreve na forma a = k=1 αk ek . e a aComo todos os elementos de U ⊗l A , l = 0, . . . , m, s˜o combina¸oes lineares finitas de elementos da forma a1 ∧ · · · ∧ al , a c˜com aj ∈ U , ∀j ∈ {1, . . . , l}, conclu´ımos que os elementos da forma ek1 ∧ · · · ∧ ekl com k1 < . . . < kl comp˜e uma base oem U ⊗l A . Um simples argumento combinat´rio demonstra que h´ m l-uplas (k1 , . . . , kl ) com kj ∈ {1, . . . , m} para todo j e o a lcom k1 < · · · < kl e, portanto, U ⊗l A tem dimens˜o m = l!(m−l)! . Assim, todo elemento α de U ⊗l A pode ser escrito a l m!na forma m m αk1 ···kl α = αk1 ···kl ek1 ∧ · · · ∧ ekl = ··· ek1 ∧ · · · ∧ ekl , l! 1≤k1 <...<kl ≤m k1 =1 kl =1com αk1 ···kl ∈ K, sendo que na ´ltima igualdade assumimos que as quantidades αk1 ···kl s˜o anti-sim´tricas por permuta¸oes u a e c˜ ındices, ou seja, satisfazem αkπ(1) ···kπ(l) = sinal(π)αk1 ···kl para todo π ∈ Sl e todos k1 , . . . , kl ∈ {1, . . . , m}.de seus ´2.3.5.3 O Produto Tensorial de M´dulos. Deriva¸˜es o co• O produto tensorial de dois m´dulos sobre uma ´lgebra associativa o a Vamos aqui a uma defini¸ao que nos ser´ importante. Sejam M e N dois bim´dulos sobre uma ´lgebra associativa c˜ a o aA, ambos supostos serem espa¸os vetoriais sobre o corpo dos complexos. Conforme a sub-se¸ao anterior podemos definir c c˜o espa¸o vetorial M ⊗C N . Entretanto, em muitos casos ´ necess´rio definir um outro tipo de produto tensorial entre M c e ae N. Para tal seja X = M ⊗C N e definamos em F (X) o conjunto de rela¸oes c˜ R := {r ∈ F (X)| r = (ma) ⊗C n − m ⊗C (an), com a ∈ A, m ∈ M, n ∈ N } . (2.53)Definamos ent˜o R = R(M ⊗C N ) como o subgrupo gerado por R e o produto tensorial a M ⊗A N := F (M ⊗C N )/R(M ⊗C N ) . (2.54) Podemos fazer de M ⊗A N um m´dulo, digamos ` direita, sobre A tomando o produto o a a · (m ⊗A n) := (ma) ⊗A n = m ⊗A (an) . (2.55) O sub-´ ımbolo ⊗ serve para recordar que um elemento da ´lgebra associativa A pode ser passado ındice A aposto ao s´ a ımbolo ⊗, tal como na ultima igualdade em (2.55).de um lado para outro do s´ ´
  • 68. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 129/1702 Faremos uso do assim definido produto tensorial M ⊗A N adiante. O mais importante para n´s ser´ a identidade o a(ma) ⊗A n = m ⊗A (an) v´lida em todo M ⊗A N para todo a ∈ A. Uma outra constru¸ao que tamb´m ir´ interessar-nos a c˜ e a´ a seguinte. Seja M um bim´dulo sobre uma ´lgebra associativa A e tomemos Vn = M ⊗A n ≡ M ⊗A · · · ⊗A M . Com ose o a n vezesconceitos apresentados anteriormente temos definida a soma direta M ⊗A n . n∈N• Deriva¸oes c˜ Seja A uma ´lgebra sobre C com identidade e e seja M um bim´dulo sobre A. Uma aplica¸ao linear δ : A → M ´ a o c˜ edita ser uma deriva¸ao de A em M se satisfaz a regra de Leibniz39 : c˜ δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b , (2.56)para todos a, b ∈ A. Vamos a alguns exemplos.Exemplo 1. Seja A uma ´lgebra sobre C com unidade e e M = A ⊗C A com os seguintes produtos de bim´dulo: a o a · (b ⊗ c) := (ab) ⊗ c, (2.57) (b ⊗ c) · a := b ⊗ (ca) . (2.58)Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bim´dulo nesse caso. Defina-se o δ(a) := a ⊗ e − e ⊗ a . (2.59)Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tamb´m que, por essa defini¸ao, e c˜δ(e) = 0.Exemplo 2. Seja A uma ´lgebra sobre C com unidade e e M = A ⊗C A com os seguintes produtos de bim´dulo: a o a · (b ⊗ c) := (ab) ⊗ c , (2.60) (b ⊗ c) · a := b ⊗ (ca) − (bc) ⊗ a . (2.61)Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bim´dulo nesse caso. Defina-se o δ(a) := e ⊗ a . (2.62)Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tamb´m que, por essa defini¸ao, e c˜δ(e) = e ⊗ e = 0.Exemplo 3. Exemplo importante de deriva¸oes pode ser visto em ´lgebras de Lie. Seja A uma ´lgebra de Lie vista como c˜ a aum bim´dulo sobre si mesma. Seja z um elemento fixo da ´lgebra e seja a aplica¸ao dz : A → A dada por dz (a) = [z, a]. o a c˜´ aE f´cil verificar (fa¸a!) usando a identidade de Jacobi (2.13) que c dz ([a, b]) = [dz (a), b] + [a, dz (b)]para todo a, b ∈ A. Assim, tem-se que a cada z ∈ A ´ associada uma deriva¸ao dz . e c˜2.4 e ´ An´is e Algebras. Estruturas e Constru¸˜es B´sicas co a2.4.1 ´ Ideais em An´is e Algebras Associativas eA no¸ao de ideal, introduzida por Dedekind40 e depois aprofundada e generalizada por Hilbert41 e Noether42 , desempenha c˜um papel central no estudo de ´lgebras e an´is. Apesar de algumas defini¸oes gerais que seguem aplicarem-se tanto para a e c˜an´is quanto para an´is n˜o-associativos vamos nos restringir, por simplicidade, aos primeiros. e e a 39 GottfriedWilhelm von Leibniz (1646–1716). 40 JuliusWilhelm Richard Dedekind (1831–1916). 41 David Hilbert (1862–1943). 42 Amalie (ou Emmy) Noether (1882–1935).
  • 69. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 130/17022.4.1.1 Ideais em An´is e• Subgrupo gerado por subconjunto de um anel e alguma nota¸˜o ca Seja A um anel e, como tal, dotado de uma opera¸ao de produto “·” (s´ c˜ ımbolo esse que, por simplicidade, omitiremosno que segue) e de uma opera¸ao de soma “+” em rela¸ao ` qual ´ um grupo Abeliano, segundo as defini¸oes da Se¸ao c˜ c˜ a e c˜ c˜2.1.6.1, p´gina 81. a Se B ⊂ A ´ um subconjunto n˜o-vazio de A, o conjunto G [B] ⊂ A definido por e a G [B] := m1 b 1 + · · · + mn b n , n ∈ N , mk ∈ Z e bk ∈ B para todo k = 1, . . . , n ,e formado por todas as somas finitas de m´ ltiplos inteiros de elementos de B, ´ o menor subgrupo de A que cont´m B, u e eo chamado subgrupo gerado pelo subconjunto B de A. ´ E de se observar que se B e C s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A, ent˜o G [B ∪C] cont´m G [B] e G [C] como subgrupos. a a a e Se B e C s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A denotamos por BC o conjunto de todos os elementos de A que s˜o da a a aforma bc com b ∈ B e c ∈ C: BC := bc , com b ∈ B e c ∈ C .Com isso, ´ f´cil ver que G [B]G [C] ⊂ G [BC]. e a Se B, C e D s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A denotamos por BCD os conjuntos (BC)D = B(CD) (essa igualdade a adando-se em fun¸ao da assumida associatividade de A): c˜ BCD := bcd , com b ∈ B , c ∈ C e d ∈ D .• Ideais ` esquerda, ` direita e bilaterais em an´is a a e Seja A um anel. Um subconjunto L de A que seja um subgrupo de A em rela¸ao ` opera¸ao “+” ´ dito ser um ideal c˜ a c˜ ea esquerda de A se al ∈ L para todo a ∈ A e todo l ∈ L. Um subconjunto R de A que seja um subgrupo de A em rela¸ao` c˜` opera¸ao “+” ´ dito ser um ideal a direita de A se ra ∈ L para todo a ∈ A e todo r ∈ R. Um subconjunto B de A ´a c˜ e ` edito ser um bi-ideal ou um ideal bilateral de A for simultaneamente um ideal ` direita e um ideal ` esquerda de A. a a Naturalmente, se A ´ um anel, A ´ um ideal bilateral de si mesmo, assim como {0} ´ um ideal bilateral (trivial) de e e eA. ´ E claro tamb´m que se L ´ um ideal ` esquerda de um anel A, ent˜o L ´ um m´dulo ` esquerda sobre A e analogamente e e a a e o apara ideais ` direita e ideais bilaterais. a• Homomorfismos e ideais bilaterais Sejam A e B dois an´is e seja φ : A → B um homomorfismo. Ent˜o, Ker(φ) = {a ∈ A| φ(a) = 0} ´ um ideal bilateral e a ede A. De fato, 0 ∈ Ker(φ), se a, a′ ∈ Ker(φ) ent˜o φ(a + a′ ) = φ(a) + φ(a′ ) = 0 e se a ∈ Ker(φ), ent˜o −a ∈ Ker(φ) pois a aφ(−a) = −φ(a) = 0, provando que Ker(φ) ´ um subgrupo de A. Fora isso, se b ∈ Ker(φ), ent˜o para todo a ∈ A vale e aφ(ab) = φ(a)φ(b) = φ(a)0 = 0 e, analogamente, para todo c ∈ A vale φ(bc) = φ(b)φ(c) = 0φ(c) = 0. A afirma¸ao feita acima, que Ker(φ) ´ um ideal bilateral, apesar de elementar, tem aplica¸oes e conseq¨ˆncias em c˜ e c˜ uediversas ´reas. a• Intersec¸oes de ideais c˜ Seja A um anel e sejam Lλ com λ ∈ Λ (Λ sendo um conjunto arbitr´rio de ´ a ındices) uma fam´ de an´is ` esquerda ılia e a ´de A. E muito f´cil verificar pelas defini¸oes (fa¸a-o!) que λ∈Λ Lλ ´ tamb´m um ideal ` esquerda de A. Afirma¸ao a c˜ c e e a c˜an´loga vale para ideais ` direita e ideais bilaterais. a a• Ideais gerados por subconjuntos de um anel Seja C ⊂ A um subconjunto n˜o-vazio de um anel A. Ent˜o, a intersec¸ao de todos os ideais ` esquerda de A que a a c˜ acont´m C ´ tamb´m um ideal ` esquerda, que ´ dito ser o ideal a esquerda gerado pelo conjunto C. Defini¸oes an´logas e e e a e ` c˜ avalem para ideais ` direita e ideais bilaterais. a
  • 70. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 131/1702 Denotaremos por IE [A, C] (ou simplesmente por IE [C], quando o anel A for sub-entendido) o ideal ` esquerda agerado por C ⊂ A. Analogamente, denotamos por ID [A, C] (ou simplesmente por ID [C]) e por IB [A, C] (ousimplesmente por IB [C]) os ideais ` direita e bilaterais, respectivamente, gerados por C ⊂ A. a No caso de an´is associativos ´ poss´ explicitar mais os elementos de ideais gerados por conjuntos. e e ıvelProposi¸˜o 2.6 Seja C ⊂ A um subconjunto n˜o-vazio de um anel associativo A. Tem-se que: ca a 1. IE A, C = G (AC) ∪ C , ou seja, o ideal a esquerda gerado por C, IE A, C , consiste de todos os elementos ` de A formados por somas finitas de produtos de elementos de A com elementos de C (nessa ordem) mais somas finitas de elementos de C com coeficientes inteiros. Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE A, C = G AC . e a 2. ID A, C = G (CA) ∪ C , ou seja, o ideal a direita gerado por C, ID A, C , consiste de todos os elementos ` de A formados por somas finitas de produtos de elementos de C com elementos de A (nessa ordem) mais somas finitas de elementos de C com coeficientes inteiros. Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE A, C = G CA . e a 3. IB A, C = G (ACA) ∪ (AC) ∪ (CA) ∪ C . Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE [A, C] = G [ACA]. e a ´Prova. E evidente que G (AC) ∪ C ´ um ideal ` esquerda de A e que cont´m C e, portanto, IE A, C ⊂ G (AC) ∪ C . e a ePor outro lado, IE A, C , por ser um ideal ` esquerda de A que cont´m C, necessariamente cont´m todos os elementos a e ede AC e de C e o subgrupo gerado por tais elementos (um ideal de A ´ um subgrupo de A), ou seja, IE [A, C] deve econter todos os elementos de G (AC) ∪ C . Isso estabelece que IE A, C e G (AC) ∪ C s˜o iguais. Os dois outros acasos s˜o an´logos. a aE. 2.96 Exerc´cio. Complete os detalhes faltantes da demonstra¸˜o acima. ı ca• Ideais principais Se A ´ um anel e a ∈ A, os ideais gerados pelo conjunto de um elemento C = {a} s˜o denominados por alguns autores e aos ideais principais gerados por a. ´ Denotamos por aA o conjunto aA := {aa′ | a′ ∈ A} e por Aa o conjunto Aa := {a′ a| a′ ∈ A}. E muito f´cil constatar aque IE [{a}], o ideal principal ` esquerda gerado por a, coincide com Aa e que ID [{a}], o ideal principal ` direita gerado a apor a, coincide com aA. Observe-se que o conjunto AaA := {a′ aa′′ | a′ , a′′ ∈ A} n˜o um ideal de A, por n˜o ser um subgrupo de A. a a• Somas de ideais Se L1 e L2 s˜o dois ideais ` esquerda de um anel A ent˜o sua soma, definida por L1 +L2 := {l1 +l2 , l1 ∈ L1 e l2 ∈ L2 } a a a´ tamb´m, como facilmente se verifica, um ideal ` esquerda de A. Esse ideal ´ dito ser a soma dos ideais L1 e L2 . Afirma¸aoe e a e c˜an´loga vale tanto para somas de dois ideais ` direita quanto para somas de ideais bilaterais. a a• Estrutura de reticulado em an´is e Seja A um anel. Para dois ideais ` esquerda L1 e L2 de A defina-se as opera¸oes L1 ∧L2 := L1 ∩L2 e L1 ∨L2 := L1 +L2 . a c˜A cole¸ao de todos os ideais ` esquerda de A ´ um reticulado (para a defini¸ao, vide p´gina 67 e seguintes) em rela¸ao c˜ a e c˜ a c˜a essas duas opera¸oes. Afirma¸ao an´loga vale tanto para a cole¸ao de todos os ideais ` direita de A quanto para a c˜ c˜ a c˜ acole¸ao de todos os ideais bilaterais de A. c˜E. 2.97 Exerc´cio. Prove as afirma¸oes de acima. ı c˜• Produtos de ideais Se L ´ um ideal ` esquerda de A o conjunto G LC ´ igualmente um ideal ` esquerda de A, denominado o ideal e a e aproduto de L por C. Analogamente, se R ´ um ideal ` direita de A o conjunto G BR ´ igualmente um ideal ` direita e a e ade A, denominado o ideal produto de B por R. Por fim, se L ´ um ideal ` esquerda de A e R ´ um ideal ` direita de A, e a e aent˜o G LR ´ um ideal bilateral de A, denominado o bi-ideal produto de L por R. a e
  • 71. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 132/1702• Quocientes de an´is por ideais bilaterais e Vamos agora a uma das mais importantes constru¸oes ligadas ` no¸ao de anel, a de anel quociente de um anel por um c˜ a c˜seu ideal bilateral. Essa constru¸ao guarda forte semelhan¸a ` de grupo quociente, introduzida na Se¸ao 2.2.2, p´gina c˜ c a c˜ a100. Seja A um anel e B um ideal bilateral em A. Podemos definir em A uma rela¸ao de equivalˆncia declarando a ∼ a′ c˜ ese a − a′ ∈ B para a, a′ ∈ A. c˜ e ´ Por essa defini¸ao ´ evidente que a ∼ a para todo a ∈ A. E tamb´m evidente que se a ∼ a′ ent˜o a′ ∼ a para todos e aa, a′ ∈ A. Por fim, se a ∼ a′ e a′ ∼ a′′ , ent˜o a − a′′ = (a − a′ ) + (a′ − a′′ ) ∈ B, pois a − a′ ∈ B, a′ − a′′ ∈ B e aB ´ um subgrupo de A, provando que a ∼ a′′ . Isso estabeleceu que “∼”, definida acima, ´, de fato, uma rela¸ao de e e c˜equivalˆncia em A. Assim, A particiona-se em classes de equivalˆncia por essa rela¸˜o de equivalˆncia. Seja [a] a classe e e ca ede equivalˆncia de um elemento a ∈ A. Podemos fazer da cole¸ao das classes de equivalˆncia, que denotaremos por A/B, e c˜ eum anel definindo [a1 ] + [a2 ] := [a1 + a2 ] , e [a1 ] [a2 ] := [a1 a2 ] .a1 , a2 ∈ A. Antes de mostrar que essas opera¸oes fazem de A/B um anel, ´ preciso provar que elas est˜o bem definidas c˜ e aenquanto opera¸oes entre classes. Mas, de fato, se a1 , a2 ∈ A e b1 , b2 ∈ B, tem-se (a1 +b1 )+(a2 +b2 ) = a1 +a2 +(b1 +b2 ), c˜e como b1 + b2 ∈ B, segue que a soma [a1 ] + [a2 ] n˜o depende do particular representante tomado das classes [a1 ] e [a2 ], o aresultado sendo sempre um elemento da classe [a1 + a2 ]. Analogamente, (a1 + b1 )(a2 + b2 ) = a1 a2 + (a1 b2 + b1 a2 + b1 b1 ).Como a1 b2 + b1 a2 + b1 b1 ∈ B (note que a propriedade de bi-lateralidade do ideal B ´ usada aqui), segue que o produto e[a1 ][a2 ] n˜o depende do particular representante tomado das classes [a1 ] e [a2 ], o resultado sendo sempre um elemento ada classe [a1 a2 ]. ´ ´ E evidente pelas defini¸oes que [a1 ] + [a2 ] = [a2 ] + [a1 ] para todos [a1 ], [a2 ] ∈ A/B. E tamb´m f´cil ver que [0] = B. c˜ e aLogo, [0] ´ o elemento neutro de A/B pela opera¸ao de soma. Cada [a] ∈ A/B, tem no elemento [−a] seu inverso aditivo, e c˜pois a + [−a] = [a − a] = [0]. Logo A/B ´ um grupo comutativo para a opera¸ao “+”. Agora, para todos [a1 ], [a2 ] e e c˜[a3 ] ∈ A/B vale [a1 ][a2 ] [a3 ] = [a1 a2 ][a3 ] = [a1 a2 a3 ] = [a1 ] [a2 ][a3 ] , provando que o produto ´ associativo. Por fim, e [a1 ] [a2 ] + [a3 ] = [a1 ][a2 + a3 ] = [a1 (a2 + a3 )] = [a1 a2 + a1 a3 ] = [a1 a2 ] + [a1 a3 ] = [a1 ][a2 ] + [a1 ][a3 ]e [a2 ] + [a3 ] [a1 ] = [a2 + a3 ][a1 ] = [(a2 + a3 )a1 ] = [a2 a1 + a3 a1 ] = [a2 a1 ] + [a3 a1 ] = [a2 ][a1 ] + [a3 ][a1 ] ,estabelecendo a distributividade do produto na soma. Isso demonstrou que A/B ´ um anel. e O anel A/B ´ denominado anel quociente de A pelo ideal bilateral B, ou anel fator de A por B. Diversas estruturas ealg´bricas importantes s˜o constru´ e a ıdas na forma de quocientes de an´is por ideais bilaterais e teremos a oportunidade ede apresentar algumas. Notemos, por fim, que se A possui uma identidade 1, ent˜o [1] ´ a identidade de A/B, pois, para todo [a] ∈ A/B vale a e[a][1] = [a1] = [a]. Fora isso, se A ´ comutativo, A/B tamb´m o ´, pois [a][b] = [ab] = [ba] = [b][a] para todos a, b ∈ A. e e eA rec´ ıproca n˜o ´ necessariamente verdadeira: A/B pode ser comutativo sem que A o seja. a e• An´is gerados por rela¸oes e c˜ ´ Seja A um anel. E por vezes muito importante construir um novo anel a partir de A identificando alguns elementosselecionados de A. Se, por exemplo, a e b s˜o elementos distintos de A pode ser de nosso interesse impor que valha uma arela¸ao como a = b, ou como a2 = b, ou ainda como aba = b3 , ou v´rias delas simultaneamente. Isso equivale a impor c˜ aque alguns elementos de A (como os elementos a − b, ou a2 − b ou ainda aba − b3 , nos exemplos acima) sejam nulos.Combinando alguns ingredientes apresentados acima uma tal constru¸ao ´ poss´ c˜ e ıvel. Seja A um anel e seja C um subconjunto n˜o-vazio de A. Seja IB [A, C] ≡ IB [C] o ideal bilateral gerado por C ae seja o anel A/IB [C]. Pela constru¸ao, se x ∈ A/IB [C] ent˜o [x] = [0]. Como C ⊂ IB [C], segue que se c ∈ C, vale c˜ a[c] = [0]. Como se vˆ, essa constru¸ao permite o efeito desejado se impor serem nulos certos elementos de A, a saber os e c˜de C (e todos os demais de IB [C], os quais s˜o da forma de somas finitas de elementos como c ou aca′ , com a, a′ ∈ A e ac ∈ C). O anel A/IB [C] ´ dito ser o anel gerado pelo subconjunto C ⊂ A, ou o anel gerado pelo conjunto de rela¸oes C ⊂ A. e c˜O anel A/IB [C] ser´ por vezes denotado por R[A, C] ou simplesmente por R[C], quando A for sub-entendido. a Um exemplo relevante de uma tal constru¸ao ´ o seguinte. Seja A um anel n˜o-comutativo. Podemos construir um anel c˜ e acomutativo a partir de A considerando o conjunto C = {ab−ba, com a, b ∈ A} e construindo o anel R[A, C] = A/IB [C].
  • 72. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 133/1702Os elementos de R[A, C] s˜o classes [a] com a ∈ A. Para todos a, b ∈ A teremos que [a][b] − [b][a] = [ab − ba] = [0], apois ab − ba ∈ C ⊂ IB [C], que ´ a classe do elemento 0. Com isso, vˆ-se que R[A, C] ´ um anel comutativo, por vezes e e edenominado a Abelianiza¸ao do anel A. c˜ E. 2.98 Exerc´cio. Seja o anel Z, formado pelos inteiros, com as opera¸oes usuais de soma e produto. Seja C = {n}, com ı c˜n um inteiro positivo. Mostre que R[Z, {n}] coincide com Zn . Constru¸oes como a do anel gerado por um subconjunto C s˜o particularmente potentes quando combinadas ` c˜ a aconstru¸ao da ´lgebra tensorial de espa¸os vetoriais, que introduziremos na Se¸ao 2.5, p´gina 136. c˜ a c c˜ a• Ideais pr´prios, primos e maximais e algumas de suas propriedades o Vamos agora a algumas defini¸oes uteis. Seja A um anel. c˜ ´ o o ´ a Um ideal I de A ´ dito ser um ideal pr´prio se I for um subconjunto pr´prio de A. E f´cil constatar que se A ´ um e eanel com identidade 1, ent˜o um ideal I ´ pr´prio se e somente se 1 ∈ I. Essa observa¸ao elementar tem conseq¨ˆncias a e o c˜ uediversas sobre propriedades estruturais de ideais, como veremos adiante. Um ideal pr´prio de I de A ´ dito ser um ideal primo se para todos a e b ∈ A para os quais valha ab ∈ I tem-se ou o eque a ∈ I ou que b ∈ I (ou ambos). Um ideal pr´prio M de A ´ dito ser um ideal maximal se n˜o houver em A nenhum outro ideal pr´prio que cont´m o e a o eM.Proposi¸˜o 2.7 Se A ´ um anel comutativo com uma unidade 1, ent˜o todo ideal maximal de A ´ um ideal primo. ca e a eProva. Como A ´ comutativo, todo ideal de A ´ bilateral. Sejam a, b ∈ A tais que ab ∈ M . Se a ∈ M a prova est´ e e acompleta. Vamos ent˜o supor que a ∈ M . O conjunto Aa ´ um ideal, pois para todo a′ ∈ A vale a′ ab ∈ a′ M ⊂ M . Fora a eisso, Aa n˜o ´ um subconjunto de M pois, como A ´ unital, Aa cont´m o elemento 1a = a ∈ M . Assim, a soma Aa + M a e e e´ um ideal bilateral de A que cont´m M como subconjunto pr´prio e que deve conter a unidade, pois se assim n˜o fossee e o aseria um ideal pr´prio de A que cont´m M propriamente, contrariando a maximalidade de M . Logo, existem a′ ∈ A e o em ∈ M tais que a′ a + m = 1. Logo, a′ ab + mb = b. Agora, a′ ab ∈ M e mb = bm ∈ M . Logo, b ∈ M . As proposi¸oes que seguem cont´m informa¸oes importantes sobre a rela¸ao entre ideais primos, ideais maximais e c˜ e c˜ c˜quocientes.Proposi¸˜o 2.8 Seja A um anel comutativo com unidade e P um ideal primo em A. Ent˜o A/P ´ um anel de integri- ca a edade.Prova. Vimos acima que a comutatividade de A implica a comutatividade de A/P e que A/P ´ unital, pois A o ´, a e eunidade sendo [1]. Tudo o que precisamos ´ provar que A/P n˜o tem divisores de zero. Suponhamos que A/P tenha e adivisores de zero, ou seja, que existam [a] = [0] e [b] = [0] tais que [a][b] = [0]. Isso significa que [ab] = [0], ou seja, queab ∈ I. Pela hip´tese, isso significa ou que a ∈ I (o que implica [a] = [0]) ou que b ∈ I (o que implica [b] = [0]) ou ambos. oIsso ´ uma contradi¸ao e com ela completa-se a demonstra¸ao. e c˜ c˜ A seguinte proposi¸ao ´ empregada na teoria dos an´is e ´lgebras comutativas e na topologia alg´brica. c˜ e e a eProposi¸˜o 2.9 Seja A um anel comutativo com unidade e M um ideal maximal em A. Ent˜o A/M ´ um corpo. ca a eProva. Vimos acima que a comutatividade de A implica a comutatividade de A/M e que A/M ´ unital, pois A o ´, a e eunidade sendo [1]. Vimos tamb´m (Proposi¸ao 2.7) que M ´ um anel primo e, portanto, A/M ´ um anel de integridade e c˜ e e(Proposi¸ao 2.8). Tudo o que precisamos ´ provar que todo elemento n˜o-nulo [a] de A/M tem uma inversa. c˜ e a Primeiramente, notemos que se a ∈ A tem uma inversa a−1 , ent˜o [a−1 ] ´ a inversa de [a], pois [a][a−1 ] = [aa−1 ] = [1]. a eVamos ent˜o considerar elementos a ∈ A que n˜o tenham inversa em A. A condi¸ao que [a] seja um elemento n˜o-nulo a a c˜ ade A/M significa que a ∈ M .
  • 73. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 134/1702 Fixado um tal a, consideremos o conjunto aA. O fato de a n˜o ter inversa em A equivale a dizer que 1 ∈ aA. O aconjunto aA ´ um ideal ` direita, mas tamb´m um ideal ` esquerda, pois, devido ` comutatividade de A, vale aA = Aa. e a e a aAssim, aA ´ um ideal bilateral que n˜o cont´m 1. Notemos tamb´m que aA n˜o ´ um subconjunto de M pois, como A e a e e a e´ unital, aA cont´m o elemento a1 = a ∈ M .e e A soma M + aA ´ igualmente um ideal bilateral de A, mas M + aA cont´m o elemento 1 pois, se assim n˜o fosse, e e aM + aA seria um ideal bilateral pr´prio de A que cont´m M propriamente (j´ que aA n˜o ´ um subconjunto de M ), o e a a econtrariando a hip´tese que M ´ maximal. Assim 1 ∈ M + aA, o que significa que existem m ∈ M e a′ ∈ A tais que o em + aa′ = 1, ou seja, aa′ = 1 − m, o que implica [aa′ ] = [1] e, portanto, [a][a′ ] = [1]. Isso prova que [a] tem uma inversamultiplicativa, a saber, [a]−1 = [a′ ].2.4.1.2 ´ Ideais em Algebras AssociativasAs defini¸oes e constru¸oes de acima, sobre ideais em an´is, podem ser estendidas para o contexto de ´lgebras associativas. c˜ c˜ e aLembrando que toda ´lgebra associativa ´ um anel, um ponto relevante a considerar ´ a estrutura linear introduzida a e epelo corpo de escalares K com os quais podemos multiplicar os vetores da ´lgebra em quest˜o. Aqui n˜o repetiremos a a atodas as constru¸oes de acima no mesmo n´ de detalhe, por tal ser claramente dispens´vel, e nos ateremos apenas aos c˜ ıvel afatos mais importantes para os desenvolvimentos ulteriores. Vamos primeiramente `s defini¸oes adequadas de ideais em a c˜a´lgebras.• Subespa¸o gerado por subconjunto de uma ´lgebra associativa e alguma nota¸˜o c a ca Seja A uma ´lgebra associativa sobre um corpo K. Como tal, A ´ dotada de uma opera¸ao associativa de produto a e c˜“·” (s´ ımbolo esse que, por simplicidade, omitiremos no que segue) e de uma opera¸ao de soma “+” em rela¸ao ` qual ´ c˜ c˜ a eum grupo Abeliano, sendo tamb´m um espa¸o vetorial sobre K. e c Se B ⊂ A ´ um subconjunto n˜o-vazio de A, o conjunto E [B] ⊂ A definido por e a E [B] := α1 b1 + · · · + αn bn , n ∈ N , αk ∈ K e bk ∈ B para todo k = 1, . . . , n ,e formado por todas as combina¸oes lineares finitas de elementos de B com coeficientes em K, ´ o menor subespa¸o de c˜ e cA que cont´m B, o chamado subespa¸o gerado pelo subconjunto B de A. e c ´ E de se observar que se B e C s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A, ent˜o E [B ∪C] cont´m E [B] e E [C] como subespa¸os. a a a e c Analogamente ao caso de an´is, se B e C s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A denotamos por BC o conjunto de todos e a aos elementos de A que s˜o da forma bc com b ∈ B e c ∈ C: BC := bc, com b ∈ B e c ∈ C . Com isso, ´ f´cil ver a e aque E [B]E [C] ⊂ E [BC]. Se B, C e D s˜o subconjuntos n˜o-vazios de A tamb´m denotamos por BCD os conjuntos a a e(BC)D = B(CD) (essa igualdade dando-se em fun¸ao da assumida associatividade de A): BCD := bcd, com b ∈ c˜B, c ∈ C e d ∈ D .• Ideais ` esquerda, ` direita e bilaterais em ´lgebras associativas a a a Seja A uma ´lgebra associativa sobre um corpo K. Um subconjunto L de A que seja um subespa¸o vetorial sobre K a cde A ´ dito ser um ideal alg´brico a esquerda de A se al ∈ L para todo a ∈ A e todo l ∈ L. Um subconjunto R de A e e `que seja um subespa¸o vetorial sobre K de A ´ dito ser um ideal alg´brico a direita de A (ou simplesmente um ideal a c e e ` `direita de A) se ra ∈ L para todo a ∈ A e todo r ∈ R. Um subconjunto B de A ´ dito ser um bi-ideal alg´brico ou um e eideal bilateral alg´brico de A for simultaneamente um ideal ` direita e um ideal ` esquerda de A. Por vezes omitiremos e a ao qualificativo “alg´brico” e falaremos apenas de ideais ` esquerda ou ` direita ou bilaterais, tal como no caso de an´is. e a a e• Homomorfismos e ideais alg´bricos bilaterais e Sejam A e B duas ´lgebras associativas e seja φ : A → B um homomorfismo alg´brico. Ent˜o, Ker(φ) = {a ∈ a e aA| φ(a) = 0} ´ um ideal bilateral alg´brico de A. A prova dessa importante afirma¸ao ´ an´loga ` do caso de an´is e os e e c˜ e a a edetalhes s˜o deixados como exerc´ a ıcio.
  • 74. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 135/1702• Intersec¸oes de ideais c˜ Seja A uma ´lgebra associativa e sejam Lλ com λ ∈ Λ (Λ sendo um conjunto arbitr´rio de ´ a a ındices) uma fam´ de ılia e e a ´an´is alg´bricos ` esquerda de A. E muito f´cil verificar pelas defini¸oes (fa¸a-o!) que λ∈Λ Lλ ´ tamb´m um ideal a c˜ c e ealg´brico ` esquerda de A. Afirma¸ao an´loga vale para ideais alg´bricos ` direita e ideais alg´bricos bilaterais. e a c˜ a e a e• Ideais alg´bricos gerados por subconjuntos de uma ´lgebra associativa e a Assim como no caso de an´is, a no¸ao de ideais alg´bricos gerados por subconjuntos de uma ´lgebra associativa e c˜ e apermite constru¸oes de grande relevˆncia. c˜ a Seja C ⊂ A um subconjunto n˜o-vazio de uma ´lgebra associativa A. Ent˜o, a intersec¸ao de todos os ideais alg´bricos a a a c˜ ea` esquerda de A que cont´m C ´ tamb´m um ideal alg´brico ` esquerda, que ´ dito ser o ideal alg´bricos a esquerda e e e e a e e `gerado pelo conjunto C. Defini¸oes an´logas valem para ideais alg´bricos ` direita e ideais alg´bricos bilaterais. c˜ a e a e Denotaremos por IE [A, C] (ou simplesmente por IE [C], quando a ´lgebra A for sub-entendida) o ideal alg´brico ` a e aesquerda gerado por C ⊂ A. Analogamente, denotamos por ID [A, C] (ou simplesmente por ID [C]) e por IB [A, C](ou simplesmente por IB [C]) os ideais alg´bricos a direita e bilaterais, respectivamente, gerados por C ⊂ A. e ` No caso de ´lgebras associativas ´ poss´ explicitar mais os elementos de ideais alg´bricos gerados por conjuntos. a e ıvel eProposi¸˜o 2.10 Seja C ⊂ A um subconjunto n˜o-vazio de uma algebra associativa A. Tem-se que: ca a ´ 1. IE A, C = E (AC) ∪ C , ou seja, o ideal alg´brico a esquerda gerado por C, IE A, C , consiste de todos os e ` elementos de A formados por combina¸oes lineares finitas com coeficientes em K de produtos de elementos de A c˜ com elementos de C (nessa ordem) mais combina¸oes lineares finitas com coeficientes em K de elementos de C. c˜ Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE A, C = E AC . e a 2. ID A, C = E (CA) ∪ C , ou seja, o ideal alg´brico a direita gerado por C, ID A, C , consiste de todos os e ` elementos de A formados por combina¸oes lineares finitas com coeficientes em K de produtos de elementos de C c˜ com elementos de A (nessa ordem) mais combina¸oes lineares finitas com coeficientes em K de elementos de C. c˜ Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE A, C = E CA . e a 3. IB A, C = E (ACA) ∪ (AC) ∪ (CA) ∪ C . Naturalmente, se A ´ unital, ent˜o IE [A, C] = E [ACA]. e a A prova ´ an´loga ao caso de an´is e deixada como exerc´ e a e ıcio.• Somas de ideais alg´bricos e Se L1 e L2 s˜o dois ideais alg´bricos ` esquerda de uma ´lgebra associativa A ent˜o sua soma, definida por L1 + L2 := a e a a a{l1 + l2 , l1 ∈ L1 e l2 ∈ L2 } ´ tamb´m, como facilmente se verifica, um ideal alg´brico ` esquerda de A. Esse ideal ´ e e e a edito ser a soma dos ideais alg´bricos L1 e L2 . Afirma¸ao an´loga vale tanto para somas de dois ideais alg´bricos ` direita e c˜ a e aquanto para somas de ideais alg´bricos bilaterais. e• Estrutura de reticulado Seja A uma ´lgebra associativa. Para dois ideais alg´bricos ` esquerda L1 e L2 de A defina-se as opera¸oes L1 ∧ L2 := a e a c˜L1 ∩ L2 e L1 ∨ L2 := L1 + L2 . A cole¸ao de todos os ideais alg´bricos ` esquerda de A ´ um reticulado (para a defini¸ao, c˜ e a e c˜vide p´gina 67 e seguintes) em rela¸ao a essas duas opera¸oes. Afirma¸ao an´loga vale tanto para a cole¸ao de todos os a c˜ c˜ c˜ a c˜ideais alg´bricos ` direita de A quanto para a cole¸ao de todos os ideais alg´bricos bilaterais de A. e a c˜ eE. 2.99 Exerc´cio. Prove as afirma¸oes de acima. ı c˜• Produtos de ideais alg´bricos e Se L ´ um ideal alg´brico ` esquerda de A o conjunto E LC ´ igualmente um ideal alg´brico ` esquerda de A, e e a e e adenominado o ideal alg´brico produto de L por C. Analogamente, se R ´ um ideal alg´brico ` direita de A o conjunto e e e aE BR ´ igualmente um ideal alg´brico ` direita de A, denominado o ideal alg´brico produto de B por R. Por fim, se L e e a e´ um ideal alg´brico ` esquerda de A e R ´ um ideal alg´brico ` direita de A, ent˜o E LR ´ um ideal alg´brico bilaterale e a e e a a e ede A, denominado o bi-ideal alg´brico produto de L por R. e
  • 75. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 136/1702• Quocientes de ´lgebras associativas por ideais bilaterais a ´ E bastante claro ao leitor que com as defini¸oes acima podemos reproduzir as constru¸oes que realizamos no caso c˜ c˜de an´is, pois ´lgebras associativas s˜o an´is e subespa¸os de ´lgebras s˜o tamb´m subgrupos das mesmas em rela¸ao e a a e c a a e c˜a` opera¸ao de adi¸ao. De particular importˆncia ´ a constru¸ao de quocientes. Se A ´ uma ´lgebra associativa e B ´ c˜ c˜ a e c˜ e a eum ideal bilateral alg´brico de A, ent˜o nossas constru¸oes pr´vias permitem definir o anel A/B composto das classes e a c˜ ecaracter´ısticas [a], com a ∈ A, sendo a rela¸ao de equivalˆncia em A dada por a ∼ a′ se a − a′ ∈ B. Podemos fazer de c˜ eA/B uma ´lgebra atrav´s da estrutura linear a e α1 [a1 ] + α2 [a2 ] := [α1 a1 + α2 a2 ] ,definida para todos α1 , α2 ∈ K e todos a1 , a2 ∈ A. Primeiramente precisamos provar que a express˜o acima est´ a abem definida enquanto opera¸ao entre classes. Por´m, se a1 , a2 ∈ A e b1 , b2 ∈ B, ent˜o α1 (a1 + b1 ) + α2 (a2 + b2 ) = c˜ e aα1 a1 + α2 a2 + (α1 b1 + α2 b2 ). Como α1 b1 + α2 b2 ∈ B (pois B ´ um subespa¸o de A), segue que α1 [a1 ] + α2 [a2 ] n˜o e c adepende do particular representante adotado das classes [a1 ] e [a2 ], fornecendo sempre a classe [α1 a1 + α2 a2 ]. Isso estabelece que o anel A/B ´ uma ´lgebra associativa em rela¸ao sobre o corpo K, denominada algebra quociente e a c˜ ´da ´lgebra associativa A com o ideal bilateral alg´brico B, ou algebra fator de A por B. a e ´ ´• Algebras geradas por rela¸oes c˜ a ´ Seja A uma ´lgebra associativa. E por vezes muito importante construir um nova ´lgebra associativa a partir de aA identificando alguns elementos selecionados de A. Se, por exemplo, a e b s˜o elementos distintos de A pode ser de anosso interesse impor que valha uma rela¸ao como a = b, ou como a2 = b, ou ainda como aba = b3 , ou v´rias delas c˜ asimultaneamente. Isso equivale a impor que alguns elementos de A (como os elementos a − b, ou a2 − b ou ainda aba − b3,nos exemplos acima) sejam nulos. Combinando alguns ingredientes apresentados acima uma tal constru¸ao ´ poss´ c˜ e ıvel. Seja A uma ´lgebra associativa e seja C um subconjunto n˜o-vazio de A. Seja IB [A, C] ≡ IB [C] o ideal alg´brico a a ebilateral gerado por C e seja a ´lgebra associativa A/IB [C]. Pela constru¸ao, se x ∈ A/IB [C] ent˜o [x] = [0]. Como a c˜ aC ⊂ IB [C], segue que se c ∈ C, vale [c] = [0]. Como se vˆ, essa constru¸ao permite o efeito desejado se impor serem e c˜nulos certos elementos de A, a saber os de C (e todos os demais de IB [C], os quais s˜o da forma de somas finitas de aelementos como c ou aca′ , com a, a′ ∈ A e c ∈ C). A algebra associativa A/IB [C] ´ dito ser a algebra gerada pelo subconjunto C ⊂ A, ou a algebra gerada pelo conjunto ´ e ´ ´de rela¸oes C ⊂ A. A ´lgebra associativa A/IB [C] ser´ por vezes denotado por A [A, C] ou simplesmente por A [C], c˜ a aquando A for sub-entendido. Um exemplo relevante de uma tal constru¸ao ´ o seguinte. Seja A uma ´lgebra associativa n˜o-comutativa. Podemos c˜ e a aconstruir uma ´lgebra associativa comutativa a partir de A considerando o conjunto C = {ab − ba, com a, b ∈ A} e aconstruindo a ´lgebra A [A, C] = A/IB [C]. Os elementos de A [A, C] s˜o classes [a] com a ∈ A. Para todos a, b ∈ A a ateremos que [a][b] − [b][a] = [ab − ba] = [0], pois ab − ba ∈ C ⊂ IB [C], que ´ a classe do elemento 0. Com isso, vˆ-se que e eA [A, C] ´ uma ´lgebra associativa e comutativa, por vezes denominado a Abelianiza¸ao da ´lgebra associativa A. e a c˜ a Constru¸oes como a da ´lgebra gerada por um subconjunto C s˜o particularmente potentes quando combinadas ` c˜ a a aconstru¸ao da ´lgebra tensorial de espa¸os vetoriais, que introduziremos na Se¸ao 2.5, p´gina 136. c˜ a c c˜ a2.5 ´ ´ Algebras Tensoriais e Algebras ExterioresSeja U um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Na Se¸ao 2.3.5, p´gina 120, definimos o produto tensorial U ⊗K n que aqui c c˜ airemos denotar simplificadamente por U ⊗n (doravante omitiremos o sub-´ ımbolos ⊗ e ⊕). Pela conven¸ao ındice K dos s´ c˜adotada naquela se¸ao, temos U ⊗n = K quando n = 0. Agregando a isso a defini¸ao de somas diretas de cole¸˜es c˜ c˜ coarbitr´rias de espa¸os vetoriais, apresentada na Se¸ao 2.3.4, p´gina 120, podemos definir o espa¸o vetorial a c c˜ a c ∞ T (U ) := U ⊗n . n=0 Na Se¸ao 2.3.5.2, p´gina 126, definimos tamb´m os espa¸os sim´trico e anti-sim´trico (U ⊗n )S e (U ⊗n )A , respectiva- c˜ a e c e e
  • 76. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 137/1702mente. Com eles, podemos analogamente definir os espa¸os c ∞ ∞ TS (U ) := U ⊗n S e TA (U ) := U ⊗n A n=0 n=0que s˜o os subespa¸os sim´trico e anti-sim´trico de T (U ), respectivamente. Acima, para n = 0 convencionamos que a c e e U ⊗0 S = U ⊗0 A = K e para n = 1 convencionamos que U ⊗1 S = U ⊗1 A = U .2.5.1 ´ Algebras TensoriaisLembremos que, de acordo com a defini¸ao de soma direta, cada vetor v de T (U ) ´ da forma v0 ⊕ v1 ⊕ v2 ⊕ · · · , c˜ e e a ´com vk ∈ U ⊗n para todo k, mas somente um n´ mero finito de vk ’s ´ n˜o-nulo. E fun¸ao disso, ´ poss´ u c˜ e ıvel definir ∞ ∞ ⊗nem T (U ) um produto que o transforma em uma ´lgebra associativa: para a ∈ a U e b ∈ U ⊗n da forma n=0 n=0a= αk ak 0 ⊕ ak 1 ⊕ ak 2 ⊕ ··· e b = βl b l 0 ⊕ bl 1 ⊕ bl 2 ⊕ · · · , as duas somas sendo finitas, com αk ∈ K e βl ∈ K e com k lak ∈ U ⊗i , bl ∈ U ⊗j para todos k, l, i e j, definimos o produto a b por i j αk ak ⊕ a1 ⊕ ak ⊕ · · · 0 k 2 βl b l ⊕ b l ⊕ b l ⊕ · · · 0 1 2 := αk βl ak ⊕ ak ⊕ ak ⊕ · · · ⊗ bl ⊕ bl ⊕ bl ⊕ · · · 0 1 2 0 1 2 k l k, l ∞ p = αk βl aq ⊗ b l k p−q k, l p=0 q=0 ∞ p = αk ak q ⊗ βl b l p−q , p=0 q=0 k lAcima, usamos diversas vezes as propriedades de distributividade estabelecidas no Exerc´ ıcio E. 2.93, p´gina 123. Os aelementos ak ⊗ bl q p−q s˜o definidos pelo isomorfismo canˆnico: se a o x = χr xr ⊗ · · · ⊗ xr ∈ U ⊗m 1 m e y = s s ξs y1 ⊗ · · · ⊗ yn ∈ U ⊗n r scom as somas sendo finitas e χr , ξs ∈ K para todos r, s, ent˜o a x⊗y ≡ χr ξs xr ⊗ · · · ⊗ xr ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yn ∈ U ⊗(m+n) . 1 m s s r sAqui, usamos o isomorfismo canˆnico U ⊗m ⊗U ⊗n → U ⊗(m+n) (vide (2.47)) para identificar xr ⊗· · ·⊗xr ⊗ y1 ⊗· · ·⊗yn o 1 m s s r r s se x1 ⊗ · · · ⊗ xm ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yn . Observe-se que, devido ao fato de que apenas uma cole¸ao finita de componentes ak e bj ser n˜o-nula, ent˜o apenas c˜ i l a a puma cole¸ao finita de elementos da forma c˜ ak ⊗ bl , com p = 0, . . . , ∞, ser´ n˜o-nula tamb´m (Exerc´ E. 2.100), q p−q a a e ıcio q=0provando que o produto acima realmente resulta em elementos de T (U ) e, portanto, define um produto em T (U ).E. 2.100 Exerc´cio. Sejam ai ∈ U ⊗i e bj ∈ U ⊗j para todos i, j = 0, 1, . . . , ∞. Mostre que se ai = 0 para todo i > M ı pe bj = 0 para todo j > N , ent˜o a aq ⊗ bp−q = 0 para todo com p > M + N . q=0 O espa¸o vetorial T (U ) torna-se, assim, uma ´lgebra, denominada algebra tensorial de U . Essa ´lgebra ´ associativa c a ´ a ee unital, como se vˆ nos pr´ximos exerc´ e o ıcios.
  • 77. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 138/1702 E. 2.101 Exerc´cio. Mostre que o produto definido acima ´ associativo. Para tal, observe que, para x = x1 ⊗ · · · ⊗ xm , ı ey = y1 ⊗ · · · ⊗ yn e z = z1 ⊗ · · · ⊗ zo o isomorfismo canˆnico mapeia x ⊗ y ⊗ z e x ⊗ y ⊗ z em x ⊗ y ⊗ z. o E. 2.102 Exerc´cio. Seja e ∈ T (U ) da forma e := 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · , onde 1 ´ a unidade do corpo K. Mostre, usando a ı edefini¸˜o de produto dada acima, que 1 b = b para todo b ∈ T (U ). ca ´ Algebras tensoriais s˜o objetos de enorme importˆncia e diversos outros tipos de ´lgebra podem ser constru´ a a a ıdas apartir da mesma ou de modo semelhante ` mesma. a2.5.2 ´ Algebras Exteriores´Algebras exteriores s˜o um tipo especial de ´lgebras de Grassmann e ocorrem de forma importante na Topologia Di- a a ´ferencial e na Geometria Diferencial, especialmente no estudo das chamadas formas diferenciais, introduzidas por Elie 43Cartan . O tratamento que faremos aqui ´ geral e n˜o se especializa a estruturas diferenci´veis. e a a Na Se¸ao 2.3.5.2, p´gina 126, definimos o espa¸o (U ⊗n )A como o subespa¸o de U ⊗n constitu´ pela imagem do c˜ a c c ıdooperador de anti-simetriza¸ao An . Sejam p, q ∈ N0 . Se x ∈ (U ⊗p )A e y ∈ (U ⊗q )A , ent˜o x e y s˜o (evidentemente) c˜ a aelementos de U ⊗p e U ⊗q , respectivamente, e, portanto, o produto tensorial x ⊗ y (como introduzido acima) define umelemento de U ⊗(p+q) . Se x ∈ (U ⊗p )A e y ∈ (U ⊗q )A , defina-se o produto ∧p, q : (U ⊗p )A × (U ⊗q )A → U ⊗(p+q) A por (p + q)! x ∧p, q y := Ap+q x ⊗ y . (2.63) p!q!Note-se que, por essa defini¸ao valer´ no caso p = 0 que x ∈ K e, portanto, x∧0, q y := Aq x⊗y = Aq xy = xAq y = xy. c˜ aAnalogamente, no caso q = 0 teremos y ∈ K e, portanto, x ∧p, 0 y := Ap x ⊗ y = Ap yx = yAp x = yx. Se x e y s˜o da forma x = x1 ∧ · · · ∧ xp e y = y1 ∧ · · · ∧ yq , ent˜o, usando (2.51) e (2.52), segue que a a (p + q)! x1 ∧ · · · ∧ xp ∧p, q y1 ∧ · · · ∧ yq = sinal(π)sinal(σ) Ap+q xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(p) ⊗ yσ(1) ⊗ · · · ⊗ yσ(q) p!q! π∈Sp σ∈Sq (p + q)! = Ap+q x1 ⊗ · · · ⊗ xp ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yq p!q! π∈Sp σ∈Sq = (p + q)! Ap+q x1 ⊗ · · · ⊗ xp ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yq = x1 ∧ · · · ∧ xp ∧ y1 ∧ · · · ∧ yq . (2.64)Essa igualdade torna evidente que para x, y e z da forma x = x1 ∧ · · · ∧ xp ∈ (U ⊗p )A , y = y1 ∧ · · · ∧ yq ∈ (U ⊗q )A ez = z1 ∧ · · · ∧ zr ∈ (U ⊗r )A , vale x ∧p, q y ∧p+q, r z = x ∧p, q+r y ∧q, r z . (2.65)Devido ` linearidade dos produtos ∧p, q (vide (2.63)), a rela¸ao (2.65) estende-se para todos x ∈ (U ⊗p )A , y ∈ (U ⊗q )A e a c˜z ∈ (U ⊗r )A . Para x ∈ (U ⊗p )A , y ∈ (U ⊗q )A ´ importante compararmos x ∧p, q y e y ∧q, p x, ambos elementos de (U ⊗(p+q) )A . Por e(2.64), temos que x1 ∧ · · · ∧ xp ∧p, q y1 ∧ · · · ∧ yq = x1 ∧ · · · ∧ xp ∧ y1 ∧ · · · ∧ yq = (−1)pq y1 ∧ · · · ∧ yq ∧ x1 ∧ · · · ∧ xp = (−1)pq y1 ∧ · · · ∧ yq ∧q, p x1 ∧ · · · ∧ xp . ´ 43 Elie Joseph Cartan (1869–1951).
  • 78. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 139/1702Conseq¨ entemente, vale u x ∧p, q y = (−1)pq y ∧q, p x (2.66) ´para todos x ∈ (U ⊗p )A e y ∈ (U ⊗q )A . E evidente por essa rela¸ao que se p for ´ c˜ ımpar, teremos x ∧p, p x = 0 para todo ⊗px ∈ (U )A . Isso n˜o ´ necessariamente verdade para p par. Por´m, segue de (2.64) e do comentado no Exerc´ E. a e e ıcio2.94, p´gina 128, que x1 ∧ · · · ∧ xp ∧p, p x1 ∧ · · · ∧ xp = x1 ∧ · · · ∧ xp ∧ x1 ∧ · · · ∧ xp = 0 para todo p ∈ N. a• A ´lgebra exterior de U a Podemos agora proceder de forma an´loga ao que fizemos ao transformar T (U ) em uma ´lgebra associativa e unital, a a ∞ ∞usando os produtos ∧p, q para fazer tamb´m de TA (U ) uma ´lgebra associativa. Para a ∈ e a (U ⊗n )A e b ∈ (U ⊗n )A n=0 n=0da forma a = αk ak ⊕ a1 ⊕ ak ⊕ · · · e b = 0 k 2 βl bl ⊕ bl ⊕ bl ⊕ · · · , as duas somas sendo finitas, com αk ∈ K e βl ∈ K 0 1 2 k le com ak ∈ (U ⊗i )A , bl ∈ (U ⊗j )A para todos k, l, i e j, definimos o produto a ∧ b por i j αk ak ⊕ ak ⊕ ak ⊕ · · · 0 1 2 ∧ βl b l ⊕ b l ⊕ b l ⊕ · · · 0 1 2 := αk βl ak ⊕ ak ⊕ ak ⊕ · · · ∧ bl ⊕ bl ⊕ bl ⊕ · · · 0 1 2 0 1 2 k l k, l ∞ p = αk βl ak ∧q, p−q bl q p−q k, l p=0 q=0 ∞ p = αk ak q ∧q, p−q βl b l p−q . p=0 q=0 k lA associatividade do produto assim definido decorre diretamente de (2.65) e sua demonstra¸ao ´ deixada como exerc´ c˜ e ıcio.O espa¸o vetorial TA (U ) torna-se, assim, uma ´lgebra associativa denominada algebra exterior de U . Essa ´lgebra ´ c a ´ a eunital, como se depreende do pr´ximo exerc´ o ıcio. E. 2.103 Exerc´cio. Seja e ∈ TA (U ) da forma e := 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · , onde 1 ´ a unidade do corpo K. Mostre, usando a ı edefini¸˜o de produto dada acima, que 1 ∧ b = b para todo b ∈ TA (U ). ca ´ E importante tamb´m reconhecer que U ´ isomorfo ao subespa¸o de TA (U ) definido por 0 ⊕ U ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · e que para e e cesse subespa¸o temos 0 ⊕ u ⊕ 0 ⊕ · · · ∧ 0 ⊕ u ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · = 0 ⊕ 0 ⊕ (u ∧1, 1 u) ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · = 0, pois u ∧1, 1 u = u ∧ u = 0 cpara todo u ∈ U . Decorre disso que TA (U ) ´ uma algebra de Grassmann (vide defini¸ao na Se¸ao 2.1.7.4, p´gina 87). e ´ c˜ c˜ a• O caso de espa¸os de dimens˜o finita c a De particular importˆncia para a Topologia Diferencial e para a Geometria Diferencial ´ o caso em que U ´ um espa¸o a e e cde dimens˜o finita m. Seja {e1 , . . . , em } uma base em U . Pelo comentado no Exerc´ E. 2.95, p´gina 128, vale aqui a ıcio a TA (U ) = K ⊕ U ⊕ U ⊗2 A ⊕ · · · ⊕ U ⊗m A ,pois (U ⊗n )A = {0}, o espa¸o vetorial trivial, sempre que n > m. Pelo mesmo Exerc´ E. 2.95, cada espa¸o U ⊗l A c ıcio ctem uma base composta por vetores da forma ek1 ∧ · · · ∧ ekl com kj ∈ {1, . . . , m} para todo j e com k1 < . . . < kl e, mconseq¨ entemente, U ⊗l A tem dimens˜o m = l!(m−l)! . Portanto, TA (U ) tem dimens˜o l=0 l!(m−l)! = 2m . u a l m! a m!2.6 T´picos Especiais oEsta se¸ao ´ formada por alguns assuntos independentes que, embora relevantes, n˜o se enquadram na exposi¸ao que c˜ e a c˜pretend´ ıamos ter nas se¸oes anteriores. c˜
  • 79. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 140/17022.6.1 O Grupo de GrothendieckVamos aqui descrever uma constru¸ao que permite obter um grupo Abeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. c˜Um grupo constru´ por esse procedimento ´ chamado de grupo de Grothendieck44 associado ao semi-grupo Abeliano ıdo eem quest˜o. Grupos de Grothendieck desempenham um papel importante em v´rias ´reas da Matem´tica, como por a a a aexemplo na chamada K-teoria. Seja um semi-grupo Abeliano S (n˜o necessariamente dotado de um elemento neutro) cujo produto denotamos pelo as´ ımbolo +. Consideremos em primeiro lugar o produto Cartesiano S × S e vamos introduzir l´ uma rela¸ao de equivalˆncia da a c˜ eseguinte forma: dois pares (a, b) e (a′ , b′ ) ∈ S × S s˜o equivalentes, (a, b) ∼ (a′ , b′ ), se existir pelo menos um elemento ap ∈ S tal que a + b ′ + p = a′ + b + p . (2.67)Vamos mostrar que isso define de fato uma rela¸ao de equivalˆncia. Em primeiro lugar ´ claro que (a, b) ∼ (a, b) para c˜ e equalquer par (a, b) ∈ S 2 = S × S, dado que aqui, para verificar (2.67), basta tomar qualquer elemento p ∈ S. Emsegundo lugar ´ evidente que se (a, b) ∼ (a′ , b′ ) ent˜o (a′ , b′ ) ∼ (a, b). Finalmente, vamos mostrar que se (a, b) ∼ (c, d) e ae (c, d) ∼ (e, f ) ent˜o (a, b) ∼ (e, f ). Por hip´tese existem p e p′ ∈ S tais que a o a+d+p = b+c+p e c + f + p′ = d + e + p′ .Daqui extra´ ımos que (a + d + p) + (c + f + p′ ) = (b + c + p) + (d + e + p′ ) ,ou seja, que a + f + p′′ = b + e + p′′ ,onde p′′ = d + c + p + p′ . Essa rela¸ao diz precisamente que (a, b) ∼ (e, f ), completando a prova de que temos assim c˜uma rela¸ao de equivalˆncia em S 2 . c˜ e Vamos considerar agora o conjunto K(S) := S 2 / ∼ de todas as classes de equivalˆncia definidas acima. Como ´ usual, e edenotaremos por [(a, b)] a classe ` qual pertence o par (a, b) ∈ S 2 . Vamos construir em K(S) uma estrutura de grupo aAbeliano, cujo produto tamb´m denotaremos por +. Dadas duas classes [(a, b)] e [(c, d)] definimos e [(a, b)] + [(c, d)] := [(a + c, b + d)] .Note-se que por essa defini¸ao tem-se (verifique!) c˜ [(a, b)] + [(c, d)] = [(c, d)] + [(a, b)]para todo a, b, c, d ∈ S, pelo fato de a opera¸ao de soma ser Abeliana em S. c˜ A primeira coisa a fazer ´ mostrar que essa defini¸ao independe dos elementos tomados nas classes. Para isto basta e c˜provar que se (a′ , b′ ) ∼ (a, b) ent˜o (a + c, b + d) ∼ (a′ + c, b′ + d). Se (a′ , b′ ) ∼ (a, b) ent˜o existe p ∈ S tal que a a a + b ′ + p = a′ + b + p .Somando-se c + d a ambos os lados tiramos (a + c) + (b′ + d) + p = (a′ + c) + (b + d) + pque ´ precisamente a afirmativa que (a + c, b + d) ∼ (a′ + c, b′ + d). e ´ E igualmente f´cil verificar que para quaisquer x, y ∈ S tem-se que (x, x) ∼ (y, y) e que, portanto, [(x, x)] = [(y, y)]. aVamos provar que h´ em K(S) um elemento neutro. Este ´ precisamente a classe e := [(x, x)] com x ∈ S arbitr´rio. a e aNote-se que, para qualquer par (a, b) ∈ S 2 teremos [(a, b)] + [(x, x)] = [(a + x, b + x)] = [(a, b)] , 44 Alexander Grothendieck (1928-).
  • 80. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 141/1702pois (a + x + b) + p = (b + x + a) + p para qualquer p ∈ S. Falta-nos provar a associatividade do produto e a existˆncia de uma inversa para cada elemento de K(S). Para a eassociatividade, notemos que [(a, b)] + [(c, d)] + [(e, f )] := [(a, b)] + [(c + e, d + f )] = [(a + c + e, b + d + f )] , [(a, b)] + [(c, d)] + [(e, f )] := [(a + c, b + d)] + [(e, f )] = [(a + c + e, b + d + f )] .Para provar a existˆncia de inversa notemos que para cada par (a, b) ∈ S 2 podemos tomar [(a, b)]−1 := [(b, a)] pois e [(a, b)] + [(a, b)]−1 = [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = e . Isso mostrou que K(S) tem uma estrutura de grupo Abeliano. Este ´ o chamado grupo de Grothendieck associado ao esemi-grupo Abeliano S. Como de costume, denotaremos [(a, b)]−1 por −[(a, b)]. Assim, −[(a, b)] = [(b, a)].E. 2.104 Exerc´cio. Seja o mon´ide Abeliano N0 dos n´meros naturais contendo o 0 com a soma usual. Mostre que ı o uK(N0 ) ≃ Z. O exerc´ acima indica a possibilidade de se definir os n´ meros inteiros a partir dos naturais. Os inteiros seriam, ıcio upor defini¸ao, o grupo de Grothendieck do mon´ide Abeliano dos naturais com a opera¸ao de soma usual. c˜ o c˜E. 2.105 Exerc´cio. Seja o mon´ide Abeliano N, dos n´meros naturais, com o produto dado pela multiplica¸˜o usual. ı o u caMostre que K(N) ≃ Q+ , o grupo dos racionais positivos (sem o zero) com o produto dado pela multiplica¸˜o usual. ca O exerc´ acima indica a possibilidade de se definir os n´ meros racionais positivos a partir dos naturais. Os racionais ıcio useriam, por defini¸ao, o grupo de Grothendieck do mon´ide Abeliano dos naturais com a opera¸ao de produto usual. c˜ o c˜ Para cada elemento a de um mon´ide Abeliano M podemos associar um elemento de K(M ) por M ∋ a → [a] := o ´ a[(a, 0)] ∈ K(M ). E f´cil ver que todo elemento [(a, b)] de K(M ) pode ser escrito da forma [(a, b)] = [a] − [b] e que[a] − [b] = [a′ ] − [b′ ] se e somente se existir p ∈ M com a + b′ + p = a′ + b + p. E. 2.106 Exerc´cio. Aplique a constru¸˜o de Grothendieck para o semi-grupo R+ , definido ` p´gina 75. Mostre que o ı ca a agrupo assim obtido possui apenas um elemento.2.6.2 Grup´ides o o e ´Um grup´ide ´ definido da seguinte forma. E dado um conjunto C e um subconjunto C0 ⊂ C, o qual ´ a imagem de duas efun¸oes un´rias p e c (chamadas de “partida” e “chegada”), ou seja, p : C → C0 , c : C → C0 . Os elementos de C0 s˜o c˜ a apontos fixos de p e de c, ou seja, c(α) = α e p(α) = αpara todo α ∈ C0 (aqui denotaremos os elementos de C por letras gregas). Define-se em C × C um subconjunto (ou seja, uma rela¸ao em C), que denotaremos por RC , da seguinte forma: c˜ RC := {(α, β) ∈ C 2 | p(α) = c(β)} . ´ E tamb´m dada uma fun¸ao bin´ria RC → C, que denotaremos por “·” e que denominaremos “produto”, a qual e c˜ asatisfaz as seguintes hip´teses: o 1. Associatividade: α · (β · γ) = (α · β) · γ sempre que os produtos estejam definidos, ou seja, se (β, γ), (α, β · γ), (α, β) e (α · β, γ) forem todos elementos de RC 2. Para todo (α, β) ∈ RC temos p(α · β) = p(β).
  • 81. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 142/1702 3. Para todo (α, β) ∈ RC temos c(α · β) = c(α). 4. Para todo α ∈ C temos α · p(α) = α. 5. Para todo α ∈ C temos c(α) · α = α. Fora isso, existe para cada α ∈ C uma assim chamada inversa bilateral α−1 ∈ C, a qual satisfaz α · α−1 = c(α) eα · α = p(α). Note que, por essa defini¸ao, tem-se que, para todo α0 ∈ C0 , α0 · α−1 = α−1 · α0 = α0 . −1 c˜ 0 0 Estes ingredientes definem um grup´ide. Note-se que um grup´ide n˜o necessariamente cont´m um “elemento neutro” o o a e(vide exemplos).• Exemplo de grup´ide: Caminhos o Este exemplo ´ um prot´tipo da defini¸ao de grup´ide acima, ou seja, aquela possivelmente foi criada tendo o mesmo e o c˜ ocomo exemplo-guia. Seja I o intervalo fechado [0, 1] e vamos considerar o conjunto C de todas as fun¸oes cont´ c˜ ınuas de I em um espa¸o ctopol´gico Hausdorff qualquer (por exemplo R2 ). Um elemento γ de C ´ uma curva orientada cont´ o e ınua em R2 que temum ponto de partida γ(0) e um ponto de chegada γ(1). Podemos introduzir uma rela¸ao de equivalˆncia em C da seguinte forma: duas curvas α e β ∈ C s˜o equivalentes c˜ e a(α ∼ β) se existir uma bije¸ao cont´ c˜ ınua b : I → I com b(0) = 0, b(1) = 1, tal que α = β ◦ b. Vamos denominar por C asclasses de equivalˆncia de C pela rela¸ao de equivalˆncia acima: C := C/ ∼. e c˜ e O conjunto C0 ´ o subconjunto de C formado pelas classes de equivalˆncia de curvas constantes: [α] ∈ C0 ⇐⇒ e eα(t) = α(t′ ), ∀t, t′ ∈ I. Definimos as fun¸oes un´rias p e c da seguinte forma: p([γ]) ´ a classe de equivalˆncia da curva constante que a todo c˜ a e et ∈ I associa o ponto γ(0) de R2 , o ponto de partida de γ; c([γ]) ´ a classe de equivalˆncia da curva constante que a todo e et ∈ I associa o ponto γ(1) de R2 , o ponto de chegada de γ. Dados dois elementos em C queremos agora definir o seu produto. A id´ia a ser seguida ´ que o produto de duas e ecurvas ´ definido apenas quando o ponto de chegada da primeira coincide com o ponto de partida da segunda e resulta eem uma curva unica unindo o ponto de partida da primeira com o ponto de chegada da ultima. Matematicamente isso ´ ´´ feito definindo-se o produto [β] · [α] como sendo a classe de equivalˆncia da curva β ∗ α definida pela composi¸aoe e c˜ α(2t), para 0 ≤ t ≤ 1/2 β ∗ α(t) := . β(2t − 1), para 1/2 < t ≤ 1 Claramente β ∗ α s´ ´ um elemento de C (ou seja, uma curva cont´ oe ınua) se α(1) = β(0). Por fim a inversa bilateral de [α] ´ definida como sendo a classe [α−1 ], onde α−1 (t) = α(1 − t). e Deixamos para o leitor como exerc´ mostrar que a estrutura definida acima ´ a de um grup´ide. ıcio e o Notemos que para a composi¸ao ∗ acima n˜o vale a associatividade: (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ), se ambos os lados c˜ aestiverem definidos (por que?). No entanto, as curvas (α∗ β)∗ γ e α∗ (β ∗ γ) s˜o equivalentes no sentido da defini¸ao acima a c˜e de tal forma que para o produto “·” definido nas classes C vale a associatividade [α] · ([β] · [γ]) = ([α] · [β]) · [γ], se ambosos lados estiverem definidos (por que?). Essa ´ a raz˜o de termos feito a constru¸ao nas classes C e n˜o diretamente e a c˜ aem C. Esse fato j´ deve ser familiar ao leitor que conhe¸a o conceito de grupo de homotopia de espa¸os topol´gicos. O a c c ogrup´ide apresentado acima e o grupo de homotopia s˜o, ali´s, fortemente aparentados e ao leitor sugere-se pensar sobre o a aqual a conex˜o entre ambos. a• Exemplo de grup´ide: Rela¸oes de equivalˆncia o c˜ e Seja K um conjunto no qual haja uma rela¸ao de equivalˆncia R ⊂ K × K. Tomamos C = R e C0 = {(x, x), x ∈ c˜ eK} ⊂ R. Definimos 1. p((x, y)) := (x, x), ∀x, y ∈ K com x ∼ y. 2. c((x, y)) := (y, y), ∀x, y ∈ K com x ∼ y. 3. Produto: (x, y) · (y, z) := (x, z), ∀x, y, z ∈ K com x ∼ y ∼ z.
  • 82. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 143/1702 4. Inversa bilateral: (x, y)−1 := (y, x). ´ a E f´cil de se verificar (fa¸a-o!) que a estrutura assim definida ´ a de um grup´ide. c e o2.6.3 Quat´rnios eVamos nesta se¸ao tratar brevemente de um tipo de ´lgebra que possui algumas aplica¸oes interessantes na teoria de c˜ a c˜grupos e outros lugares, a chamada ´lgebra dos quat´rnios. a e Para a motiva¸ao, comecemos com alguns coment´rios. Dado um espa¸o vetorial como R2 h´ v´rias maneiras de c˜ a c a adefinir no mesmo um produto de modo a fazer do mesmo uma ´lgebra. Por exemplo, podemos definir em R2 o produto a (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 ) , (2.68)que ´ associativo e comutativo, como tamb´m o produto e e (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y2 ) , (2.69)que ´ igualmente associativo e comutativo (Exerc´cio. Verifique). e ı O produto (2.68) faz de R2 uma ´lgebra isomorfa a R ⊗ R, ou seja, a duas c´pias da ´lgebra usual dos n´ meros a o a ureais. O produto (2.69) faz de R2 uma ´lgebra isomorfa ` dos n´ meros complexos C (em verdade, a ´lgebra dos n´ meros a a u a ucomplexos ´ definida como sendo a ´lgebra R2 com o produto (2.69)!). e a Em R3 podemos definir igualmente v´rios tipos de produtos, tais como o produto a (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = (x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ) , (2.70)que ´ igualmente associativo e comutativo; o produto e (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = (x1 y1 , x2 y2 − x3 y3 , x2 y3 + x3 y2 ) , (2.71)tamb´m associativo e comutativo ou ainda um produto como e (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) , (2.72)que n˜o ´ nem associativo nem comutativo. O produto (2.70) faz de R3 uma ´lgebra isomorfa a R ⊗ R ⊗ R (trˆs c´pias a e a e oda ´lgebra dos reais). O produto (2.71) faz de R3 uma ´lgebra isomorfa a R ⊗ C e o produto (2.72) ´ o bem conhecido a a eproduto vetorial. O que se pode ent˜o fazer em R4 ? Naturalmente poder-se-ia definir em R4 v´rias ´lgebras imitando o que fizemos a a aacima. Por exemplo, com o produto (x1 , x2 , x3 , x4 ) · (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 , x4 y4 ) , (2.73)R4 torna-se uma ´lgebra associativa e comutativa isomorfa a R ⊗ R ⊗ R ⊗ R. Com o produto a (x1 , x2 , x3 , x4 ) · (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 , x3 y3 − x4 y4 , x3 y4 + x4 y3 ) , (2.74)R4 torna-se uma ´lgebra associativa e comutativa isomorfa a C ⊗ C. Com o produto a (x1 , x2 , x3 , x4 ) · (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 , x4 y4 ) (2.75)R4 torna-se uma ´lgebra n˜o-associativa e n˜o-comutativa isomorfa a R3 ⊗ R, com o produto vetorial na componente a a aR3 . H´ tamb´m outros produtos que s˜o meras variantes das listadas acima (ache algumas). Existe, por´m, um outro a e a eproduto n˜o-trivial, denominado produto quaterniˆnico, que faz de R4 uma ´lgebra associativa mas n˜o-comutativa e a o a acom unidade. Esse produto foi descoberto por W. R. Hamilton45 . A hist´ria da descoberta desse produto em R4 , feita o 45 William Rowan Hamilton (1805–1865). W. R. Hamilton foi tamb´m o inventor do chamado formalismo Hamiltoniano da Mecˆnica e aCl´ssica. a
  • 83. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 144/1702em 16 de outubro 1843, numa tentativa de generalizar a ´lgebra dos n´ meros complexos para mais que duas dimens˜es, ´ a u o e o ´bastante pitoresca e representou um marco na hist´ria da Algebra por ser o primeiro exemplo de uma ´lgebra associativa amas n˜o-comutativa (a descoberta de Hamilton antecede a introdu¸ao da ´lgebra das matrizes e a introdu¸ao do produto a c˜ a c˜vetorial). Esse produto ´ o seguinte: e (x0 , x1 , x2 , x3 ) · (y0 , y1 , y2 , y3 ) = (x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 , x0 y1 + y0 x1 + x2 y3 − x3 y2 , x0 y2 + y0 x2 + x3 y1 − x1 y3 , x0 y3 + y0 x3 + x1 y2 − x2 y1 ) . (2.76)E. 2.107 Exerc´cio. Mostre que o produto acima ´ associativo. Sugest˜o: paciˆncia. ı e a e O espa¸o vetorial R4 dotado do produto acima ´ denominado algebra dos quat´rnios ou algebra quaterniˆnica e ´ c e ´ e ´ o edenotada freq¨ entemente por À (em honra a Hamilton). A ´lgebra À ´ associativa mas n˜o ´ comutativa. À tem uma u a e a eunidade, a saber, o vetor (1, 0, 0, 0) ∈ R4 .E. 2.108 Exerc´cio. Mostre que À n˜o ´ uma ´lgebra comutativa. ı a e aE. 2.109 Exerc´cio. Mostre que (1, 0, 0, 0) ´ a unidade de À. ı e H´ uma maneira melhor de representar o produto quaterniˆnico que a express˜o (2.76). Vamos escrever os vetores a o ada base canˆnica de R4 como o e0 = (1, 0, 0, 0) , e1 = (0, 1, 0, 0) , e2 = (0, 0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 0, 1) ,de modo que todo x ∈ R4 pode ser escrito na forma x = x0 e0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . O produto quaterniˆnico pode ent˜o o aser definido pelo produto dos elementos da base canˆnica, que segue as seguintes regras: o 1. e0 ´ a unidade da ´lgebra: x · e0 = e0 · x = x para todo x ∈ R4 . e a 2. (e1 )2 = (e2 )2 = (e3 )2 = −e0 . 3. ei ej = −ej ei para todo i = j com i, j = 1, 2, 3. 4. e1 e2 = e3 , e2 e3 = e1 e e3 e1 = e2 .E. 2.110 Exerc´cio. Verifique que essas regras reproduzem perfeitamente (2.76). ı Al´m de ser de manipula¸ao mais simples, essas regras permitem representar a ´lgebra quaterniˆnica de um modo e c˜ a otalvez mais familiar, a saber, em termos de certas matrizes complexas 2 × 2.• Quat´rnios e ´lgebras de matrizes 2 × 2 e a Sejam a e b dois n´ meros complexos e seja M (a, b) a matriz u a b M (a, b) = , −b a e ´ aonde z ´ o complexo conjugado de z ∈ C. E f´cil de se ver que o conjunto de todas as matrizes dessa forma ´ uma ea´lgebra: M (a, b)M (c, d) = M (ac − bd, ad + bc) .E. 2.111 Exerc´cio. Verifique! ı
  • 84. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 145/1702 Existe um isomorfismo entre a ´lgebra dos quat´rnios e essa ´lgebra de matrizes 2 × 2. Basta associar (bijetivamente!) a e aa cada qu´drupla (x0 , x1 , x2 , x3 ) a matriz M (x0 − ix3 , x2 + ix1 ): a   x0 − ix3 x2 + ix1 x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) ←→   =: M (x) . (2.77) −x2 + ix1 x0 + ix3 ´ a E f´cil verificar ent˜o (fa¸a!) que o produto quaterniˆnico ´ respeitado por essa associa¸ao: a c o e c˜ M (x)M (y) = M (x · y) ,onde, acima, x · y ´ o produto quaterniˆnico de x e y ∈ R4 . e o Note-se que por essa associa¸ao tem-se c˜ M (x) = M (x0 e0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = x0 M (e0 ) + x1 M (e1 ) + x2 M (e2 ) + x3 M (e3 ),com M (e0 ) = ½, M (e1 ) = iσ1 , M (e2 ) = iσ2 , M (e3 ) = −iσ3 ,onde 1 0 0 1 0 −i 1 0 ½ = , σ1 = , σ2 = e σ3 = , 0 1 1 0 i 0 0 −1as trˆs ultimas sendo as chamadas matrizes de Pauli46 , que satisfazem e ´ 1. (σ1 )2 = (σ2 )2 = (σ3 )2 = ½, 2. σi σj = −σj σi para todo i = j e 3. σ1 σ2 = iσ3 , σ2 σ3 = iσ1 , σ3 σ1 = iσ2 .E. 2.112 Exerc´cio. Verifique essas propriedades. ı• Sub-´lgebras Abelianas a À possui algumas sub-´lgebras Abelianas. a E. 2.113 Exerc´cio. Mostre que À1 := {x ∈ R4 , x = x0 e0 + x1 e1 = (x0 , x1 , 0, 0)} ´ uma sub-´lgebra Abeliana de À que ı e a´ isomorfa ` ´lgebra C dos complexos.e aa E. 2.114 Exerc´cio. Mostre o mesmo para À2 := {x ∈ R4 , x = x0 e0 + x2 e2 = (x0 , 0, x2 , 0)} e À3 := {x ∈ R4 , x = ıx0 e0 + x3 e3 = (x0 , 0, 0, x3 )}. E. 2.115 Exerc´cio. Ser´ poss´ fazer de R4 um espa¸o vetorial complexo? Seja α ∈ C e considere para x ∈ R4 o produto ı a ıvel cdo escalar α pelo vetor x definido por α · x = (Re(α)e0 + Im(α)e1 ) · x ,onde o produto do lado direito ´ o o produto quaterniˆnico. Mostre que isso faz de R4 um espa¸o vetorial sobre o corpo dos e o ccomplexos. Para isto verifique as propriedades definidoras de um espa¸o vetorial listadas ` p´gina 79. c a aE. 2.116 Exerc´cio. No exerc´ anterior h´ outros produtos do escalar α pelo vetor x que podem ser considerados: ı ıcio a α · x = (Re(α)e0 + Im(α)e2 ) · x ,ou α · x = (Re(α)e0 + Im(α)e3 ) · x , 46 Wolfgang Ernst Pauli (1900–1958).
  • 85. JCABarata. Curso de F´ ısica-Matem´tica a Vers˜o de 2 de novembro de 2009. a Cap´ ıtulo 2 146/1702ou mesmo α · x = x · (Re(α)e0 + Im(α)e1 )etc. Mostre que todos esses seis produtos de escalares α ∈ C por vetores x ∈ R4 fazem de R4 um espa¸o vetorial sobre o ccorpo dos complexos.• À ´ um anel de divis˜o e a ´ a E f´cil ver que a ´lgebra dos quat´rnios ´ um anel de divis˜o (vide p´gina 89), ou seja, todo x ∈ R4 , x = 0, tem uma a e e a ainversa em rela¸ao ao produto quaterniˆnico. Do isomorfismo M definido em (2.77) acima vˆ-se que c˜ o e det(M (x)) = det (M (x0 + ix1 , x2 + ix3 )) = (x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2e, portanto, M (x) tem uma matriz inversa sempre que x = 0. De fato, definindo-se para x = x0 e0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ∈ R4 o conjugado quaterniˆnico o x = x0 e0 − x1 e1 − x2 e2 − x3 e3e do fato facilmente constat´vel que47 a x · x = (x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 ∈ R´ f´cil ver que para x = 0 tem-see a 1 x−1 = x ∈ R4 , x·xou seja x−1 · x = x · x−1 = e0 .E. 2.117 Exerc´cio. Verifique. ı Note que por À ser um anel de divis˜o, À n˜o tem divisores de zero: x · y = 0 se e somente se x = 0 ou y = 0. a a• Norma quaterniˆnica o Em uma ´lgebra A uma fun¸ao N : A → R+ que satisfa¸a a c˜ c N (a · b) = N (a)N (b)para todo a, b ∈ A e N (a) = 0 ⇐⇒ a = 0 ´ dita ser uma norma alg´brica. e e Em R e C tem-se a norma alg´brica N (z) = |z|, o m´dulo ou valor absoluto de z. À tamb´m possui uma norma e o ealg´brica. Para x ∈ R4 a express˜o e a N (x) = x · xdefine48 uma norma alg´brica em À. eE. 2.118 Exerc´cio. Verifique que a mesma satisfaz N (x · y) = N (x)N (y). ı H´ um teorema devido a Hurwitz49 que afirma que h´ apenas quatro ´lgebras que s˜o ´lgebras de divis˜o50 e possuem a a a a a auma norma alg´brica: R, C, À e a chamada ´lgebra dos octˆnions, da qual n˜o falaremos aqui. Esta ultima, por sinal, e a o a ´n˜o ´ associativa. a e A algebra À possui v´rias outras propriedades interessantes, mas vamos encerrar aqui nossa exposi¸ao introdut´ria. ´ a c˜ oO leitor interessado poder´ encontrar mais sobre À nos bons livros de ´lgebra, especialmente nos mais antigos. a a 47 Com um abuso de linguagem identificamos aqui ((x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 )e0 ∈ R4 com (x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 ∈ R. 48 Vide nota de rodap´ 47, p´gina 146. e a 49 Adolf Hurwitz (1859–1919). 50 Vide defini¸ao a p´gina 89 c˜ ` a