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Determinantes
 

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    Determinantes Determinantes Document Transcript

    • DeterminantesHistórico: Embora tenha-se registro de publicação chinesa referente a resolução de sistemas de equaçõesatravés de matrizes em 250 AC, no ocidente o assunto começou a ser estudado no século XVII através detrabalhos de Leibniz, Cramer, Maclaurin, Lagrange e outros. Só no século XIX o assunto determinantemereceu um estudo mais sistemático através de trabalhos de Cauchy e Jacobi.Determinante: Número associado a uma matriz quadrada.Representação: Sendo a matriz A = [aij], seu determinante pode ser dado por det A ou A ou det[aij].Ordem: A ordem de um determinante é definida em função da ordem da matriz a qual está associado.  3 2Ex.: A =   detA tem ordem 2, pois A = [aij]2x2. − 1 π Cálculo do Determinante: a• 1 Ordem: det [a] = a Ex.: det [-3] = -3 a  a11 a12   2 3• a a 22  − 1 4 = 2.4 – (-1).3 = 11 2 Ordem: det = a11 . a22 – a21 . a12 Ex.: det  21    a• 3 Ordem (Regra de Sarrus):  a11 a12 a13   det a 21 a 22 a 23  = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12   a 31  a 32 a33  Dois métodos de visualização podem ajudar no cálculo do determinante de ordem 3: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a31 a32 a33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 2 3 −1 Ex.: det 5 2 0 = -12 + 0 – (-2) – (0) – (-45) = 15 1 4 −3Método para rebaixamento de ordem de determinantesPrecisaremos, a princípio, ver dois conceitos:Usando como referencial uma matriz de ordem 3: 3 5 4A= − 1 − 2 0   6  7 1- Menor Complementar (Dij) Menor complementar da matriz A, pelo elemento aij, é o determinante associado à matriz quadrada que se obtém de A, suprimindo a linha e a coluna que contêm o elemento aij considerado. Assim, por exemplo: −2 0 3 4 D11 = det = -2 – 0 = -2 D32 = det = 0 – (-4) = 4 7 1 −1 0
    • - Cofator (Cij) Denomina-se cofator do elemento aij de A o número real: Cij = (-1)i + j.DijAssim: 1+3 −1 − 2 3+2 3 4C13 = (-1) . det = 1.(-7 + 12) = 5 C32 = (-1) .det = -1. (0 + 4) = -4 6 7 −1 0Definição de LaplaceO determinante de uma matriz de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma linha oucoluna pelos seus respectivos cofatores.Ex.: Dada a matriz −3 1 2 0 4 0 −1 5A= −2 6 3 0 7 0 −5 8Propriedades dos determinantesSeja M uma matriz quadrada de ordem ≥ 2 t t1. Seja M a matriz transposta de M, então: det M = det M2. Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz M forem nulos, então: det M = 03. Seja M’ a matriz gerada pela troca de posição de duas linhas ou duas colunas, então: det M’ = - det M4. Se a matriz M tem uma linha gerada pela combinação linear de outras linhas, então: det M = 0 (o mesmo valendo para colunas)5. Se a matriz M tem duas filas proporcionais, então: det M = 0 (o mesmo valendo para colunas)6. Teorema de Binet: Se A e B são duas matrizes de ordem “n”, então: det (A . B) = det A . det B7. Se M é uma matriz triangular (aij = 0 se i < j ou aij = 0 se i > j), então: det M = Π(aij) (produto dos elementos da diagonal principal)EXERCÍCIOS DE DETERMINANTES  1 log b a1) Calcule o determinante da matriz   . Resp.: (zero)  log b 1   a  2 4 a) det A Resp.: (2) Resp.: (2) 2 1 b) det A Resp.: (4) Resp.: (4) 32) Dada a matriz A = , calcule:   -1 c) det A Resp.: (1/2) Resp.: (1/2)  2 − 1   −1 2 33) Considere as matrizes A =  − 2 2  eB=   2  . Calcule o valor de N, sabendo que  0  1 1   1 N= 50 + det(A . B). Resp.: (50)
    • 2 0 1 1 4 04) Dadas as matrizes A = 3 2 − 3 eB= 2 −1 1 , calcule o determinante do produto     t A .B Resp.: (zero)5) Resolva as equações: x − 2 x + 3 x −1 x 3 2 a) det 2 1 3 = 60 Resp.: {10} b) det 5 x 1 = 12 Resp.: {3, 2} 3 2 1 1 3 1  2 −1 1   6) Ache o valor do determinante da matriz P , sabendo que P =  2 − 1 2 1 Resp.: (64)   0   2 2 7) Usando as propriedades, calcule (justifique sua resposta): 1 3 1 4 0 3 5 1 5 1 2 a) det 0 4 −1 Resp.: (0) b) det Resp.: (0) 1 2 1 −1 0 6 −2 1 0 1 3 5 − 10 9 1 2 −5 c) det 0 3 11 Resp.: (120) d) det 2 4 1 Resp.: (0) 0 0 8 3 6 78) Calcule:  1 0 x   0 −1 1 − x a) o determinante da matriz A = 1 − x 2 −1  − x.− x x + 1 0 1 ,    1 + x 2  2+ x 4   x  1 0  onde x ∈ R. Resp.: (3x2 – 3x- 6)b) os valores de x que anulam o determinante de A . Resp.: (-1 ou 2)9) Calcule o valor do determinante de: 1 2 3 −4 2 4 −2 3 1   0 1 0 0 0 −1 3 0 2a) Resp.: (4) b)  0 4 0 2 1  Resp.: (-25) 0 2 1 5   0 −5 5 1 4 −3 1 −2 3 0  1 0 −1 2  − 1  10) Calcule o determinante da matriz M = (AB).C, sendo A =  2 , B = (− 2 3 5) e    − 3  −1 0 2   C = − 2 1 0 Resp.: (zero)  3 −1 4  