Alberto Luiz Fernandes Queiroga      Claudio Barros VitorDesenho Geométrico           Manaus 2007
FICHA TÉCNICA                               Governador                             Eduardo Braga                          ...
SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
PERFIL DOS AUTORES          Alberto Luiz Fernandes Queiroga              Bacharel em Desenho Industrial – UFPB      Especi...
PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigad...
UNIDADE IIntrodução ao desenho geométrico
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico                                                       Foram os grego...
UEA – Licenciatura em Matemática    Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer.    A borracha não deve ser lavada.    ...
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UEA – Licenciatura em Matemática    Ângulos                                                Os braços deveriam permanecer b...
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométricoÂngulos                                                   O ângulo AÔ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                      3. Dados os segmentos de medidas a, ...
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma   dos ângulos intern...
UNIDADE IIConstrução de ângulos e retas
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas                                                       Bissetriz de um â...
UEA – Licenciatura em Matemática    Construindo ângulos    Ângulo de 600    Passo a passo    1. Determinamos uma semi-reta...
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas                                                    Compasso e régua    ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                         4. Temos       ⊥      .    2. Ago...
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas   4. A reta que passa por P e R é a reta s para-      lela a reta dada....
UNIDADE IIIDivisão de segmentos e segmentos proporcionais
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais                                                       ...
UEA – Licenciatura em Matemática    Teorema de Tales                                         4. Traçamos por 2 e 1 paralel...
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais                                                       ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                        7. Encontre os pontos M e N que di...
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais                                                       ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                         Terceira proporcional            ...
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais                                                       ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                          7. Construa a quarta proporciona...
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UEA – Licenciatura em Matemática    A razão entre cada segmento áureo e o seg-    mento a que ele se refere é um número de...
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionaisPasso a passo                                          ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                        9. São dados o segmento EF, a reta...
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionaisPictografia – Desenhos de figuras rudimenta-res – do la...
UEA – Licenciatura em Matemática  são construídos pelo homem. O surpreen-  dente é que podemos observá-los também  na natu...
UNIDADE IVFiguras da geometria plana
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana        TEMA 09    DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS    PARTES IGUAIS (PELO...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                            5. A aranha está encontrando d...
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana8. A partir dessa divisão de circunferência, usan-         11. Dada a circu...
UEA – Licenciatura em Matemática        TEMA 10    TRIÂNGULOS    BREVE HISTÓRICO    Os triângulos são formas geométricas q...
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana                                                         5. Construir um tr...
UEA – Licenciatura em Matemática    c) 3.o passo:                                              b) 2.o passo:    Pelo centr...
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana      B, cruzando a reta do ângulo de 450 no                               ...
UEA – Licenciatura em Matemática8. Complete o triângulo abaixo dado o seu lado           12. Quantos triângulos eqüilátero...
Desenho geométrico
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  1. 1. Alberto Luiz Fernandes Queiroga Claudio Barros VitorDesenho Geométrico Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Queiroga, Alberto Luiz Fernandes.Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga, Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 113 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia e anexo. 1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III. Título. CDU (1997): 514.11 CDD (19.ed.): 604.2
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22UNIDADE II – Construções de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 05 – Divisão de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 – Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 – Média proporcional ou geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 – Divisão harmônica e segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44UNIDADE IV – Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 09 – Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 – Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60UNIDADE V – Polígonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 14 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 15 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Alberto Luiz Fernandes Queiroga Bacharel em Desenho Industrial – UFPB Especialista em Design, Propaganda e Marketing – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico−científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE IIntrodução ao desenho geométrico
  7. 7. Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico Foram os gregos que deram um molde deduti- vo à Matemática. A obra Elementos, de Eucli- TEMA 01 des (?300 a.C.), é um marco de valor inesti- mável, na qual a Geometria é desenvolvida deMATERIAL UTILIZADO NO DESENHO modo bastante elaborado. É na Geometria gre-GEOMÉTRICO ga que nasce o Desenho Geométrico que aqui vamos estudar.Um breve histórico Na realidade, não havia entre os gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geo- métricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta eucli- diana é seguida até hoje em países como a França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmen- te, os problemas de construção foram há muitoComo linguagem de comunicação e expres- banidos dos nossos livros de Geometria.são, a arte do desenho antecede em muito a Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomé-da escrita. O que é a escrita senão a combi- trico é um capítulo da Geometria que, com onação de pequenos símbolos desenhados? auxílio de dois instrumentos, a régua e o com-Por meio de gravuras traçadas nas paredesdas cavernas, o homem pré-histórico registrou passo, se propõe a resolver graficamente pro-fatos relacionados ao seu cotidiano, deixando blemas de natureza teórica e prática.indicadores importantes para os pesquisado-res modernos estudarem os ancestrais de nos- Material de desenho e seu usosa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo O lápisinerente ao homem.Não se sabe quando, ou onde, alguém formu-lou pela primeira vez, em forma de desenho, Em desenho geométrico, utilizaremos o lápisum problema que pretendia resolver – talvez com grafite HB para os traçados de letras, con-tivesse sido um “projeto” de moradia ou tem- tornos e esboços.plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re-presentou um avanço fundamental na capaci- Para seu desenho ter as linhas bem definidas,dade de raciocínio abstrato, pois esse desenho mantenha a grafite sempre bem-apontada, emrepresentava algo que ainda não existia, que forma cônica, usando para isso um pedaço deainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, lixa.gradativamente aprimorada, foi muito impor- A lapiseiratante para o desenvolvimento de civilizações,como a dos babilônios e a dos egípcios, asquais, como sabemos, realizaram verdadeirasfaçanhas arquitetônicas. Você pode também utilizar as práticas lapisei- ras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossuraPorém uma outra civilização, que não hesitava ideal para o desenho geométrico.em absorver elementos de outras culturas,aprendeu depressa como passar à frente de A borrachaseus predecessores; em tudo que tocavam,davam mais vida. Eram os gregos. Em todasas áreas do pensamento humano em que sepropuseram a trabalhar, realizaram feitos quemarcaram definitivamente a história da huma- Use borracha macia para não deixar marcas nonidade. papel. 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer. A borracha não deve ser lavada. TEMA 02 A régua ENTES FUNDAMENTAIS Na construção de uma teoria geométrica, Há réguas de vários comprimentos. Use uma tomam-se, inicialmente, certos conceitos aos de material acrílico transparente, graduada em quais se acrescentam postulados e definições centímetros e milímetros, que tenha um corte a fim de, então, deduzir teoremas e proprieda- transversal chanfrado para facilitar a leitura. des. Os esquadros Tais conceitos podem ser primitivos ou con- vencionados. Os conceitos primitivos consti- tuem-se num apelo à nossa intuição. Assim, são entes fundamentais da geometria: ponto, reta e plano. O ponto A idéia de ponto é primitiva. Não se define. O 0 0 ponto não tem dimensão e fica determinado Esquadro de 45 e de 60 pelo encontro de duas linhas retas ou curvas. Devem ser de material acrílico e transparente. Indicamos o ponto utilizando letras maiúsculas São utilizados para traçados de paralelas e de do alfabeto latino. perpendiculares e para construção de ângulos. O transferidor A reta Da mesma forma que o ponto, não tem defi- nição. A idéia de linha reta é a de um ponto que se move numa mesma direção. Indicamos De material acrílico transparente, em forma de a reta utilizando letras minúsculas do alfabeto um semicírculo, graduado de 00 a 1800, é usa- latino. do para medir e construir ângulos. O compasso A semi-reta Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes distintas chamadas semi-retas. Es- se ponto recebe o nome de origem. É o instrumento usado para traçados de arcos de circunferência, transporte de medidas e construções de ângulos. O segmento de reta Segmento de reta é o conjunto formado por dois pontos tomados sobre uma reta e todos os pontos da reta compreendidos entre os dois. A reta à qual pertence o segmento chama-se reta suporte do segmento. 12
  9. 9. Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico TEMA 03⎯AB: é o segmento de reta; OPERAÇÕES COM SEGMENTOS EA e B: são os extremos; ÂNGULOSr: é a reta suporte do segmento AB.Segmentos que pertencem à mesma reta cha- Transporte de segmentosmam-se colineares. O transporte gráfico de segmento consiste emSegmentos que possuem uma extremidade em construir um segmento congruente ao segmen-comum chamam-se consecutivos. to dado. ⎯ Assim, dado o segmento AB, para transportá-O plano lo de modo a que tenha por extremidade M eA noção intuitiva de plano apóia-se na idéia de esteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas- ⎯superfícies como a de um quadro ou a de uma so em M e abertura AB, descrevendo-se umparede. arco de circunferência, obtendo-se N. Assim, ⎯O plano é uma figura ideal. A partir da idéia obtém-se MN ≡ AB.que dele fazemos, deve-se entendê-lo comoformado por infinitos pontos. Ele é aberto einfinito.A identificação do plano é dada por letrasminúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ, ⎯ ⎯etc. MN ≡ AB. Adição de segmentos A soma gráfica de segmentos é obtida pelo transporte sucessivo dos segmentos dados. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ MN ≡ AB e NP ≡ CD ⎯ MP é o segmento-soma. Subtração de segmentos Transportam-se os segmentos dados para uma reta suporte r, com centro em P. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ PQ ≡ AB e PR ≡ CD ⎯ QR é o segmento-diferença. 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática Ângulos Os braços deveriam permanecer bem estica- Um breve histórico dos para que a resposta fosse a mais fiel pos- sível. A medida era diferente de uma medida comum, e esse modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico. Algumas definições históricas Grécia antiga O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações en- volvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde “Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma o tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenha linha reta”. usado razões e medidas de ângulos na deter- minação das dimensões do planeta Terra e no Euclides cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.–194 a.C.) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cor- das. Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida na Terra e entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri- duas retas que num plano têm um extremo meira ciência a incorporar o estudo de ângulos comum e não estão em prolongamento”. como uma aplicação da Matemática. H. Schotten Na determinação de um calendário ou de uma Em 1893, resumiu as definições de ângulo em hora do dia, havia a necessidade de realizar três tipos: contagens e medidas de distâncias. 1. A diferença de direção entre duas retas. Freqüentemente, o Sol servia como referência, e a determinação da hora dependia da incli- 2. A medida de rotação necessária para trazer nação do Sol e da relativa sombra projetada um lado de sua posição original para a sobre um certo indicador (relógio de sol). posição do outro, permanecendo entre- mentes no outro lado do ângulo. Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distân- 3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo. cia que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver esse problema, P Henrigone . esticava-se o braço e calculavam-se quantos Em 1634, definiu ângulo como um conjunto de dedos comportava o espaço entre a Lua e o pontos, definição essa que tem sido usada com horizonte, ou então, segurava-se um fio entre mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela as mãos afastadas do corpo e media-se a dis- primeira vez o símbolo “<” para representar tância. ângulo. 14
  11. 11. Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométricoÂngulos O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura ante- rior, podemos ler diretamente as medidas dosDefinição seguintes ângulos:Ângulo é a figura plana formada por duassemi-retas de mesma origem. m(AÔB) = 27º m(AÔC)=70º m(AÔD)=120º m(AÔE)=180º m(EÔB)=153º m(EÔC)=110º m(EÔD)=60º m(EÔA)=180ºA origem comum chama-se vértice, e as semi-retas chamam-se lados.A medida usual ao ângulo é o grau, e o instru- Transporte gráfico de ângulosmento usado para medi-lo é o transferidor. Passo a passoÂngulos de mesma medida dizem-se congru- 1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual-entes. quer, com centro no vértice do ângulo dadoIndica-se o ângulo ou utilizando-se letras do al- para a origem de uma semi-reta.fabeto grego ^, ^, ^ ou por três letras minús- α β γ,culas do alfabeto, ou por três letras maiúsculasdo alfabeto latino, indicando a letra do meio ovértice do ângulo e as outras duas os lados. 2. Ponta-seca do compasso em R e abertura ⎯ do arco igual a PQ, determinamos S e o ângulo ^ ≡ ^. α βÂngulo ^ ou ângulo R^ β OQ.Para obter a medida aproximada de um ângu-lo traçado em um papel, utilizamos um instru- Adição gráfica de ângulosmento denominado transferidor, que contémum segmento de reta em sua base e um semi- Transportam-se os ângulos ^ e ^ de modo que α βcírculo na parte superior marcado com uni- fiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se osdades de 0 a 180. Alguns transferidores pos- arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas ^ αsuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos e ^. βos sentidos do arco para a medida do ângulosem muito esforço.Para medir um ângulo, coloque o centro dotransferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, ali-nhe o segmento de reta OA (ou OE) com umdos lados do ângulo, e o outro lado do ângulodeterminará a medida do ângulo, como mostraa figura. Subtração gráfica de ângulos Dados os ângulos ^ e ^, transportamos para α β uma semi-reta de origem P determinando o , ângulo-diferença. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática 3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte- nha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b). 4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida 2AB – 10(EF – CD). 5. A partir de , dado graficamente abaixo, ^ e A^ em cada caso: transporte A OB OC, a)1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob- tenha o segmento de medida 2a + b + c. b)2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cuja medida corresponde ao perímetro das figuras dadas. a) b) 6. Tome um ângulo qualquer e transporte para uma outra semi-reta, usando o compasso, um ângulo congruente ao ângulo determinado. 7. Verifique, por transporte de ângulos, as rela- ções de ângulos congruentes na figura dada. c) 16
  13. 13. Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso.9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ângulo externo é a soma dos ângulos internos não- adjacentes”.10. Dado α e β, encontre o que se pede: a) α + β b) β – α c) 3α – β 17
  14. 14. UNIDADE IIConstrução de ângulos e retas
  15. 15. Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas Bissetriz de um ângulo inacessível TEMA 04 Determinar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s.USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUAPARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS ERETAS.Bissetriz de um ânguloÉ a semi-reta que, partindo do vértice do ângu-lo, divide-o em dois ângulos congruentes.Determinar a bissetriz do ângulo dado Passo a passo 1. Traçamos um reta t qualquer determinando os pontos A e B.Passo a passo1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, des- crevemos o arco AB. 2. Determinamos as bissetrizes dos ângulos formados, encontrando os pontos C e D.2. Ponta-seca em A e depois em B e uma abertura maior do que a metade do arco AB, determinamos o ponto C. 3. A reta que passa por A e B é a bissetriz pro- curada.3. A semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB. 21
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática Construindo ângulos Ângulo de 600 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. 2. Traçamos a bissetriz de BÔC. 2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer, determinamos na semi-reta o ponto A. BÔD = 450, logo DÔA = 1350 (suplementares) ⎯ Esquadros e construção de retas 3. Ponta-seca em A e raio OA, encontramos B. Os esquadros são usados para traçar linhas pa- ralelas e linhas perpendiculares. Para a determi- nação desses traços, utilizamos os esquadros em conjunto, ficando um sempre fixo, enquan- to o outro se desloca, apoiado nele. AÔB = 600 Ângulo de 900 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. Retas paralelas 2. Prolongamos a semi-reta e traçamos um ângulo raso AÔB. Passo a passo 1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 3. Encontramos a bissetriz do ângulo AÔB. 2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450 . AÔC = 900 Ângulo de 1350 Passo a passo 1. Utilizando o processo anterior, determina- 3. Segure o esquadro de 600, movimente o de mos o ângulo reto AÔC. 450 e trace as linhas paralelas. 22
  17. 17. Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas Compasso e régua Perpendicular a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r.Retas perpendicularesPasso a passo Passo a passo1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura maior que a distância de P a r, traçamos um arco de circunferência que intercepta a reta r em A e B.2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450. 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber- tura maior que a semi-distância AB, traça- mos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B, determinando o ponto Q.3. Mude a posição do esquadro de 450, con- forme a figura. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à reta r.4. Segure o esquadro 600, movimente o de 450 até o ponto P e trace a perpendicular. Observação: a reta s é a mediatriz do seg- mento AB. Dada a reta r e um ponto P onde P ∈ r. , Passo a passo 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura qualquer, traçamos uma semicircunferência que intercepta a reta r em A e B. 23
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática 4. Temos ⊥ . 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber- tura maior que a semi-distância AB, traça- mos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B. Determina-se, assim, o ponto Q. Paralela a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r, deter- mina a reta s // r onde P ∈ s. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à r procurada. Passo a passo 1. Ponta-seca do compasso em P e uma aber- tura maior do que a distância a reta r, traça- mos um arco, determinando em r o ponto O. Dada a semi-reta , determinar a perpen- dicular passando por O. Passo a passo O 1. Ponta-seca do compasso em O e uma aber- tura qualquer, traçamos uma semicircun- 2. Ponta-seca do compasso em O e a mesma ferência. abertura, traçamos um arco, passando por P determinando em r o ponto Q. , 2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertu- ra, determinamos sobre a semicircunferên- cia o ponto Q. 3. Ponta-seca do compasso em O e abertura igual a PQ , traçamos um arco determinan- do ponto R. 3. Repetimos o processo em Q, determinando R, depois em R determinando S. 24
  19. 19. Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas 4. A reta que passa por P e R é a reta s para- lela a reta dada. 5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b per- pendicular a s, ambas passando por P .1. Dada a reta r e o ponto P tal que P ∉ r, deter- , mine as retas s (paralela) e t (perpendicular), passando por P Utilize o jogo de esquadrados . 6. Prolongando os lados do triângulo ABC, deter- para traçar as retas s e t. mine a altura relativa a cada lado. 7. Faça o transporte do ângulo^ do exercício an- B,2. Resolva o exercício anterior utilizando o com- terior, para a semi-reta e encontre a reta s, passo. passando por P paralela a essa nova semi-reta. ,3. Trace m, pelo ponto A, tal que m ⊥ r. Trace n, 8. Trace um ângulo de 300. pelo ponto B, tal que n ⊥ s. Chame {P} = m ∩ n. Pelo ponto P trace m’ // r e n’ // s. 9. Trace um ângulo de 1500.4. Trace a reta t, tangente à circunferência dada, tal que t // r. 10. Trace um ângulo de 22030’. 25
  20. 20. UNIDADE IIIDivisão de segmentos e segmentos proporcionais
  21. 21. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Razão entre dois segmentos TEMA 05 Consideremos os segmentos consecutivos da figura seguinte: DIVISÃO DE SEGMENTO Temos: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB = 1mm, AC = 2mm, AD = 3mm, AE = 4mm, etc. A razão entre dois segmentos é a razão entre as medidas desses segmentos em uma mes- ma unidade. Temos, na figura acima, por exemplo:Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales 1.de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó jáconhecia sua fama de grande matemático. Ou-vira dizer até que Tales era capaz de uma in- 2. oucrível façanha: podia calcular a altura de umaconstrução, por maior que fosse, sem precisar 3.subir nela. Segmentos proporcionais Sabemos que proporção é uma igualdade en- tre duas razões. Exemplo:Por ordem do monarca, alguns matemáticos Consideremos, agora, quatro segmentos, AB,egípcios foram ao encontro do visitante e pedi- CD, EF e GH, nessa ordem.ram-lhe que calculasse a altura de uma daspirâmides. Tales ouviu-os com atenção e dis-pôs-se a atendê-los imediatamente.Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fin-cou no chão uma vara, na vertical. Observandoa posição da sombra, Tales deitou a vara nochão, a partir do ponto em que foi fincada,marcando na areia o tamanho do seu compri-mento. Depois, voltou a vara à posição vertical.“Vamos esperar alguns instantes”, disse ele.“Daqui a pouco, poderei dar a resposta”.Ficaram todos ali, observando a sombra que avara projetava. Num determinado momento, asombra ficou exatamente do comprimento davara. Tales disse então aos egípcios: “Vão de-pressa até a pirâmide, meçam sua sombra e Dizemos, então, que quatro segmentos, na or-acrescentem ao resultado a medida da metade dem, são proporcionais quando a razão de suasdo lado da base. Essa soma é a altura exata da medidas (mesma unidade) forma uma pro-pirâmide. porção. 29
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática Teorema de Tales 4. Traçamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi- ⎯ Um feixe de retas paralelas determina em duas nando sobre AB três segmentos congruen- retas transversais segmentos correspondentes tes. proporcionais. Na figura, temos: Dividir um segmento AB em sete partes de medidas iguais. e ⎯ ⎯ ⎯ , logo, PQ, QR, PS 1. Por uma das extremidades, traçamos uma ⎯ e ST, nessa ordem, são proporcionais. semi-reta qualquer. Aplicando o Teorema de Tales Dividir um segmento em n partes de medidas iguais Dividir um segmento AB em três partes de medidas iguais. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, Passo a passo traçamos sete segmentos consecutivos e 1. Por uma das extremidades, traçamos uma congruentes sobre a semi-reta. semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos três segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3) Unimos o ponto 7 à extremidade B, obten- do o segmento B7. 3. Unimos o ponto 3 à extremidade B, obten- do o segmento B3. 4. Traçamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7, ⎯ determinando sobreAB, sete segmentos con- gruentes. 30
  23. 23. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Assim .Dividir um segmento numa razão dada ⎯ ⎯ Determinar M sobre AB tal que .Determinar M, sobre AB tal que . Passo a passoPasso a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos seis (1 + 5 da razão dada) seg- traçamos cinco (3 + 2 da razão dada) seg- mentos consecutivos e congruentes sobre mentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. a semi-reta. 3. Unimos o ponto 6 à extremidade B, obten-3. Unimos o ponto 5 à extremidade B, obten- do o segmento B5. do o segmento B5.4. Traçamos em 3, para obtermos a razão , 4. Traçamos em 1, para obtermos a razão , ⎯ ⎯ uma paralela a B5, determinando sobre AB uma paralela a B6 determinando sobre AB o ponto M. o ponto M. 31
  24. 24. UEA – Licenciatura em Matemática 7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg- ⎯ mento AB nas razões e respectivamente. 8. Dado o segmento AB, determine dois segmen- Assim . tos AX e XB, de modo que: . 9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque1. Divida o segmento dado em oito partes de me- o segmento de medida . didas iguais. ⎯2. Divida o segmento dado em treze partes de me- 10. Dado o triângulo ABC com AB já dividido em ⎯ ⎯ didas iguais. 5 partes de medidas iguais, divida BC e AC também em 5 partes de medidas iguais. ⎯ ⎯3. Dados os segmentos AB = 3cm, CD = 5cm e ⎯ EF = 2cm, trace a circunferência com centro em A e raio igual à sétima parte do segmento- ⎯ ⎯ ⎯ soma AB + CD + EF.4. Divida o perímetro do triângulo ABC, em seis partes iguais.5. Determine o quadrado de lado igual a do segmento AB. ⎯6. Trace um segmento PQ = 8,5 e determine o ⎯ ponto R que divide PQ na razão de . 32
  25. 25. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais M N TEMA 06DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAISDividir um segmento em partesproporcionais a 2, 4 e 3Passo a passo1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. Assim , etc. Dividir um segmento em partes proporcionais a 3, 5 e 7 Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, semi-reta qualquer. traçamos nove (2 + 4 + 3) segmentos con- secutivos e congruentes sobre a semi-reta. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos quinze (3 + 5 +7) segmentos con- secutivos e congruentes sobre a semi-reta.3. Unimos o ponto 9 à extremidade B, obten- do o segmento B9. 3. Unimos o ponto 15 à extremidade B, obten- do o segmento B15.4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralela 4. Traçamos em 3 e depois em 8 uma paralela ⎯ ⎯ a B9, determinando sobre AB os ponto M e a B15, determinando sobre AB os ponto M N, dividindo o segmento dado em partes e N, dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 2, 3 e 4. proporcionais a 3, 5 e 7. 33
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática Terceira proporcional Dados dois segmentos de medidas a e b, de- nomina-se terceira proporcional desses seg- mentos um segmento de medida x, tal que: Determinar a terceira proporcional aos segmen- tos AB = a e BC = b. Assim , etc. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos Quarta proporcional AB e BC. Dados três segmentos de medidas a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses seg- mentos um segmento de medida x, tal que: 2. Por A, traçamos uma semi-reta s qualquer, ponta-seca do compasso em A e abertura igual ⎯ ⎯ a AB, determinamos em s o segmento AD. Determinar a quarta proporcional aos segmen- tos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos AB e BC. 3. Unimos os pontos B e D, obtendo o seg- 2. Traçamos pela extremidade A uma semi- mento BD. reta s e marcamos o segmento AD = c. ⎯ 4. Traçamos por C uma reta paralela a BD, determinando em s o ponto E. 3. Traçamos o segmento BD e por ele tra- çamos uma paralela passando por C, deter- minando na semi-reta o ponto X. O seg- mento DX é a quarta proporcional. O segmento DE é a terceira proporcional procurada. 34
  27. 27. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Outra forma de encontrar a média geométrica TEMA 07MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA 1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos oDados dois segmentos de medidas a e b, segmento AB.denomina-se média geométrica ou propor-cional desses segmentos um segmento demedida x, tal que: 2. A partir do ponto A e para direita, marcamos o segmento AC.Aplicação:Determinar a média geométrica dos segmen- 3. Determinamos em r, o ponto M (ponto mé-tos AB e BC dados. dio do segmento AB).Passo a passo ⎯1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos os 4. Ponta-seca em M e uma abertura AM, dois segmentos. traçamos uma semicircunferência. ⎯2. Determinamos M, ponto médio de AC. 5. Traçamos por C uma perpendicular a r, deter- minando na semicircunferência o ponto D. ⎯ D3. Ponta-seca em M e medida AM, traçamos uma semicircunferência. O segmento AD é a média geométrica pro- curada.4. Por B traçamos uma perpendicular à reta r, determinando na semicircunferência o pon- to D. O segmento BD é a média geométrica dos segmentos dados. 35
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática 7. Construa a quarta proporcional entre os seg- mentos m, n e p:1. Marque os pontos M e N, no segmento AB dado, de modo que . 8. Determine, graficamente, a média geométrica dos segmentos que medem a = 4,0cm e b = 3,0cm.2. Construa um triângulo ABC cujo perímetro seja igual a 10,5cm, e os seus lados sejam propor- 9. Dados os segmentos de medidas a e b, deter- cionais aos segmentos que medem 2,5cm; mine, graficamente, a média geométrica entre 3,5cm e 5,0cm. eles.3. Construa a quarta proporcional entre os seg- mentos m, n e p dados. 10. Construa o quadrado de lado igual à média geo- métrica dos segmentos dados.4. Dados três segmentos de medidas a, b e c, obtenha, nessa ordem, um segmento x, de modo que . 11. Construir o retângulo ABCD de lados de medi- das x e y, sabendo que x é a quarta propor- cional de a, b e c e que y é a média geométri- ca de b e c.5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cm e b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento de medida x, de modo que . (terceira proporcional) 12. Construa o triângulo ABC retângulo, sabendo6. Construa a terceira proporcional entre os seg- que as projeções dos catetos sobre a hipote- mentos dados. nusa medem 5,5cm e 3,5cm. 13. Construa o triângulo DEF retângulo, sabendo que a hipotenusa mede 8,0cm e a projeção de um dos catetos mede 2,5cm. 36
  29. 29. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais interior ao segmento, as duas partes por ele determinadas chamam-se segmentos aditivos; TEMA 08 quando o ponto é exterior, as duas partes de- nominam-se segmentos subtrativos. Em am-DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO bos os casos, o ponto estará à esquerda doÁUREO ponto médio do segmento se a razão de seção for própria, isto é, menor que a unidade; o ponto estará à direita do ponto médio do seg- mento se a razão de seção for imprópria, isto é, maior que a unidade. Dado o segmento AB e seu ponto médio. Tomando os pontos M e N à esquerda do pon-Em Alexandria, durante o reinado de Diocle- to médio, como indicado na figura, determina-ciano (284 – 305), viveu um grande matemáti- remos as seguintes razões.co, seguidor das idéias de Eudoxo e Arqui-medes, Papus de Alexandria, como ficou con-hecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livromuito importante com o título de Coleção (razões próprias)(Synagoge). Deve-se a sua importância a vá-rios fatores. Contém conteúdos inéditos para Tomando os pontos M e N à direita do pontoépoca, é uma rica fonte histórica da matemáti- médio, como indicado na figura, determinare-ca grega e apresenta provas novas e lemas mos as seguintes razões.suplementares para as obras de Euclides, Ar-quimedes, Apolônio e Ptolomeu. No livro III,seção 2 da Coleção, Papus teve como preocu-pação o problema de colocar num mesmo (razões impróprias)semi-círculo as três médias: aritmética, geo-métrica e harmônica, mas inicia a seção comas definições pitagóricas dessas médias. Dado um segmento AB, dividi-loAssim, dados dois números a e c (com c < a), harmonicamente numa razão dadaseja b, com c < b < a, então a razão (a-b):(b-c) deve ser proporcional a a:ac = c:c para amédia aritmética, a a:b para a média geométri-ca e a a:c para a harmônica. Assim: Na razão .Média aritmética: Passo a passo 1. Efetuamos a divisão do segmento na razão determinada.Média Geométrica:Média harmônica:Razão de seçãoChama-se razão de seção de um ponto numsegmento a razão das distâncias do ponto aosextremos do segmento. Quando o ponto é 37
  30. 30. UEA – Licenciatura em Matemática → → 2. Por B traçamos uma paralela à semi-reta A5 4. A interseção entre AB e 12 é o conjugado ⎯ e com ponta-seca em B e raio A1, determi- harmônico de M. namos 6 e 7. → → 3. A interseção entre AB e 37, o ponto Q, é o conjugado harmônico de P . Dados um segmento AB e o conjugado harmônico externo M obter o outro Passo a passo ⎯ 1. Ponta-seca em A e raio AN e ponta-seca em ⎯ B e raio BN, determinamos dois arcos. Os pontos A, P B e Q formam uma divisão , harmônica. Dados um segmento AB e o conjugado harmônico interno M obter o outro Passo a passo ⎯ 1. Ponta-seca em A e raio AM e ponta-seca 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep- ⎯ em B e raio BM, determinamos dois arcos. ta um dos semi-arcos em 1. 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep- ta um dos semi-arcos em 1. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. → → 4. A interseção entre AB e 12 é o conjugado harmônico de N. 38
  31. 31. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Segmento áureo ⎯ Sejam AB um segmento e P um ponto perten- cente a reta-suporte desse segmento. P é interior P é exteriorDIVISÃO ÁUREAEuclides de Alexandria (365 a.C. – 300 a.C.) Diz-se que um segmento está dividido por um ponto na razão áurea quando uma das partes por ele determinada é a média geométrica entre o segmento e a outra parte. ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⎯ ⎯ O segmento AP é o chamado áureo de AB. Determinação algébrica do segmento áureo. ⎯ 1.o caso: P é interior a AB. Por definição temos: ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⇒ x2 = a .(a – x) ⇒Também teve grande importância para a his- x2 + ax – a2 = 0, cujas raízes são:tória da geometria. Ele elaborou a teoria daproporção áurea, em que dois números (X e Y,por exemplo) estão em proporção áurea se arazão entre o menor deles sobre o maior for , descartamos a raizigual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja, negativa.X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece um ⎯ 2.o caso: P é exterior a AB.coeficiente áureo, onde se pode analisar que,basicamente, tudo que se encontra na nature-za está inscrito nessa proporção, seja o corpohumano, uma colmeia de abelhas, uma estrelado mar, uma concha, etc. Por definição temos: ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⇒ x2 = a .(a + x) ⇒ x2 – ax – a2 = 0, cujas raízes são: , descartamos a raiz negativa. 39
  32. 32. UEA – Licenciatura em Matemática A razão entre cada segmento áureo e o seg- mento a que ele se refere é um número de ouro. e ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AP = 0,618 . AB e AP’ = 1,618 . AB RETÂNGULO ÁUREO Resolução gráfica Dividir o segmento AB em média e extrema razão. Passo a passo ⎯ É o retângulo que tem os seus lados a e b na 1. Por B traçamos uma perpendicular a AB. razão áurea a/b = f = 1,618034. Portanto o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a). O retângulo áureo exerceu grande influência na arquitetura grega. As proporções do Par- tenon prestam testemunho dessa influência. Construído em Atenas, no século V a.C., o Partenon é considerado uma das estruturas 2. Ponta-seca em B e raio , encontramos mais famosas do mundo. Quando seu frontão na perpendicular o ponto O. triangular ainda estava intacto, suas dimen- sões podiam ser encaixadas quase exata- mente em um retângulo áureo. 3. Traçamos a circunferência de centro O e ⎯ raio OB, e os pontos C e D (interseção da semi-reta AO com a circunferência). Construção do retângulo áureo Dado o quadrado ABCD ⎯ ⎯ 4. Ponta-seca em A e raio AC e depois AD, determinamos sobre o segmento AB os pontos P e P’. 40
  33. 33. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionaisPasso a passo 3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t ⎯ passando pelo ponto A.1. Determinamos o ponto médio de AB. ⎯2. Ponta-seca em M e raio MC, determinamos na semi-reta AB o ponto E. 4. Determinar o ponto médio M do segmento AB e traçar a reta mediatriz m ao segmento AB. O3. Passando por E, traçamos uma semi-reta → → vertical a AE, cuja interseção com DC é o ponto F. 5. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto O retângulo AEFD é um retângulo áureo. O e abertura OA, traçar o arco de circunfe- rência localizado acima do segmento AB.Arco capazDado um segmento AB e um ângulo k, pergun-ta-se: qual é o lugar geométrico de todos ospontos do plano que contém os vértices dosângulos cujos lados passam pelos pontos A eB sendo todos os ângulos congruentes aoângulo k? Este lugar geométrico é um arco decircunferência denominado arco capaz.Construção do arco capaz O1. Traçar um segmento de reta AB.2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k. O arco que aparece acima no gráfico é o arco capaz. 41
  34. 34. UEA – Licenciatura em Matemática 9. São dados o segmento EF, a reta x e um ângu- lo de 400. Determine os pontos da reta x que vêem o segmento EF sob o mesmo ângulo.1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nas razões dadas. a) b) 10. Construa o arco capaz a um segmento de c) 5,0cm sob um ângulo de 450.2. Dado o segmento, obtenha o conjugado har- mônico externo de P. A língua é a expressão falada ou escrita do3. Dado o segmento, obtenha o conjugado har- pensamento humano. A cada povo corres- mônico interno de Q. ponde um idioma diferente variado, igual- mente, por meio da evolução peculiar a cada um, sua representação gráfica. Essa repre- sentação, principalmente no mundo ociden-4. Divida o segmento AB em média e extrema tal, é feita por meio do alfabeto de origem razão (seção áurea). fenícia, que passou à Grécia e à Roma, e pela sua simplicidade constituiu-se no principal veículo de transmissão do conhecimento hu- mano. Anteriormente, essa comunicação era5. Divida o segmento AB em média e extrema feita por meio do desenho, às vezes bem rudi- razão (seção áurea). mentar, do homem primitivo, por meio de hie- róglifos como no Egito ou no México, grava- dos ou esculpidos nos monumentos, ou por meio dos caracteres cuneiformes das civiliza- ções da Mesopotâmia, ou, ainda, por meio dos caracteres ideográficos sino-japoneses. Algumas tribos primitivas serviam-se de paus,6. Construa o arco capaz de um ângulo de 300, pedras, fios tecidos, colares, e com eles fazi- conhecendo o segmento GH. am palavras, compondo frases e expressan- do idéias. É a escrita mnemônica. De origem americana,7. O segmento RS mede 3,8cm e α forma com esta escrita transmite idéias ou fatos sem ele um ângulo de 600. Trace o arco capaz cor- desenhá-los, isto é, não tem forma gráfica. respondente. Os principais exemplos deste sistema são os8. Determine os pontos da reta r que vêem o seg- “quipos” dos índios do Peru e os “wampus” mento PQ sob um ângulo de 350. dos índios irogueses. Em síntese, a evolução da escrita pode ser resumida em: 42
  35. 35. Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionaisPictografia – Desenhos de figuras rudimenta-res – do latim “pictus” (pintado) e do grego“grafe” (descrição). Escrita figurada usada pelohomem primitivo para fixar, nas paredes dascavernas, seus principais feitos, cenas decaçadas, objetos de uso pessoal, etc. Res-tringia a linguagem gráfica, limitando-a ao re-gistro de fatos e coisas materiais com o máxi-mo de realidade possível. Se eles queriamexprimir a palavra “bisão”, desenhavam um ouvários bisões, e para a palavra “caça”, desen- Fonetismo – Nesse sistema, as figuras lidashavam homens com lanças ou arcos e animais. evocavam seu primitivo sentido acrescido da expressão sonora. Pássaro, ao invés de sim- bolizar apenas rapidez, adquiria o valor sono- ro de ave. Isto é, equivaliam ao som, processo seme- lhante ao usado atualmente nas cartas enig- máticas, onde é comum o símbolo do sol mais o do dado, representar a palavra soldado. A linguagem gráfica e o mundo das formas na nossa vida “Disco de Faisto”, século XIV a. C. Ele encerra uma espiral de hieróglifos da antiga Creta, que até hoje não foram decifrados.Ideografia – Fixação das idéias por meio dossímbolos – sinais que, muitas vezes, não signifi-cavam acontecimentos vistos e palpáveis. Sãosignos convencionais correspondentes a deter-minadas expressões por meio das quaissurgem idéias. Cada desenho isolado tem umsignificado, por onde o abstrato pode ser repre-sentado. A lua e as estrelas simbolizavam omês; um olho, a vigilância; o desenho do sol,por exemplo, já não designava somente oastro, e sim, o tempo de luz solar entre duas Esses mosaicos matemáticos nem semprenoites, isto é, o dia. 43
  36. 36. UEA – Licenciatura em Matemática são construídos pelo homem. O surpreen- dente é que podemos observá-los também na natureza, vejamos: Nos favos de mel das abelhas, encontramos um mosaico de hexágonos regulares. (Hexágonos são polígonos de seis lados) Um mosaico de hexágonos aparece também na casca do abacaxi. 44
  37. 37. UNIDADE IVFiguras da geometria plana
  38. 38. Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana TEMA 09 DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS PARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL)1 Divisão de circunferência em duas partes 6. Divisão de circunferência em sete partes iguais iguais. 3600 / 7 = 510 3600 / 2 = 1800 7. Divisão de circunferência em oito partes iguais2. Divisão de circunferência em três partes iguais. 3600 / 8 = 450 3600 / 3 = 1200 8. Divisão de circunferência em nove partes3. Divisão de circunferência em quatro partes iguais iguais. 3600 / 9 = 400 3600 / 4 = 900 9. Divisão de circunferência em dez partes iguais4. Divisão de circunferência em cinco partes iguais 3600 / 10 = 360 3600 / 5 = 720 10. Divisão de circunferência em doze partes5. Divisão de circunferência em seis partes iguais iguais. 3600 / 6 = 600 3600 / 12 = 180 47
  39. 39. UEA – Licenciatura em Matemática 5. A aranha está encontrando dificuldades para armar sua teia, pois faltam fios importantes que1. Dividir a pizza em seis partes iguais. saem do centro e passam pelas bordas dos polígonos.2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam alguns raios para que possa pedalar entregando pães. Complete os raios faltantes. 6. Complete o desenho da roda dentada de acor- do com a sua metade pronta.3. No visor do relógio de parede caíram os pon- tos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e 11 horas. 7. As duas circunferências foram divididas em oito partes cada, e seus pontos não são coli- neares. Verifique que figura surgirá ao ligar os pontos das duas circunferências em seqüên- cia.4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-o em vinte partes iguais, projetando seus raios em forma de triângulos a partir da circunferên- cia para fora. Seu centro coincide com a quina do muro. 48
  40. 40. Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana8. A partir dessa divisão de circunferência, usan- 11. Dada a circunferência, divida-a em nove partes do todos os pontos como centros, a ligação iguais e construa um polígono estrelado regu- dos números e a ligação das letras mostrarão lar inscrito (eneágono estrelado) ligando os duas figuras em sobreposição, de forma que o seus vértices em intervalos de dois em dois. centro 1 ligará com um arco os pontos a e d, e assim por diante, pois o raio é constante. Os números darão origem à figura formada pelas letras, e as letras darão origem à figura forma- da pelos números. 12. Construa um polígono estrelado regular inscrito de nove pontas (eneágono estrelado), ligando seus vértices em intervalos de três em três.9. A hélice do ventilado quebrou num desses dias de calor intenso, e, para piorar, o condicio- nador de ar não funciona. Coloque, então, uma nova hélice sabendo que o ângulo entre elas é de 600 (destacar as hélices). 13. Complete o pentágono estrelado regular ins- crito dada uma de suas pontas.10. Verifique se os ângulos α da divisão da circun- ferência têm ângulos medidos iguais. α β 49
  41. 41. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 TRIÂNGULOS BREVE HISTÓRICO Os triângulos são formas geométricas que apre- sentam rigidez e estabilidade pela agudez de 2. Construir um triângulo eqüilátero de lado suas quinas e orientam-se por uma base. São ⎯ AB = 3cm utilizando régua e compasso. figuras de grande influencia nas culturas hu- a) 1.o passo: manas, como egípcios, babilônios e Pitágoras, ⎯ enfim, seja nas construções, seja nas artes, na Traçar o lado AB = 3cm matemática, etc. A B O triângulo é o menor entre os polígonos. b) 2.o passo: Os polígonos regulares (expressão, harmonia ⎯ e simetria) admitem uma circunferência inscri- Abrir o compasso com a distância AB e ta e circunscrita. colocar sua ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, assim, o ponto C, po- dendo, então, ligar os pontos e definir o tri- ângulo desejado. 3. Construir um triângulo eqüilátero inscrito sen- do dada a circunferência de raio = 1,25cm. a) 1.o passo: PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS. Traçar a circunferência e o seu diâmetro.1. Construir um triângulo eqüilátero de lado ⎯ AB = 3 cm, usando somente a régua e o par de esquadros. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado AB = 3cm A B b) 2.o passo: Com a ponta-seca do compasso em uma b) 2.o passo: das extremidades do diâmetro e abertura Posicione os esquadros de forma a obter a igual ao raio, traçar um arco cruzando a partir de A e B ângulos de 600 cruzando-se circunferência duas vezes definindo, e obtendo-se o ponto C (vértice oposto à assim, os dois pontos (vértices) que geram ⎯ base AB). o triângulo. 50
  42. 42. Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 5. Construir um triângulo isósceles dado o lado ⎯ (base) AB = 3cm e um ângulo α = 700 adja- cente à base. a) 1.o passo: Traçar a base AB. A B c) 3.o passo: b) 2.o passo: Finalmente, ligam-se os pontos e define-se Traçar o ângulo α a partir de A, estendendo o triângulo. o traçado. c) 3.o passo:4. Construir um triângulo isósceles dado o lado Repetir a operação a partir de B obtendo-se o ⎯ ⎯ ponto C pelo encontro dos ângulos le- menor (base) AB = 2cm e sua altura MC = 3,2cm. vantados, ligando os três pontos do triângulo. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado base AB = 2cm. A B M C b) 2.o passo: ⎯ Pelo ponto médio de AB, levantar uma per- ⎯ pendicular e nela marcar a altura MC. 6. Construir um triângulo retângulo isósceles ins- crito à circunferência dada. a) 1.o passo: Traçar a circunferência. c) 3.o passo: Ligar os pontos ABC do triângulo isósceles. b) 2.o passo: Traçar pelo centro da circunferência o lado AB igual a diâmetro. 51
  43. 43. UEA – Licenciatura em Matemática c) 3.o passo: b) 2.o passo: Pelo centro da circunferência, levantar uma Abrir o compasso com a distância igual a AC perpendicular igual ao raio da circunferência. e com a ponta seca em B traçando um arco. c) 3.o passo: d) 4. passo: o Abrir o compasso com a distância BC, colo- Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C. cando a ponta seca em A e traçando um arco que cruze o arco BC definindo o ponto C. 7. Construir um triângulo retângulo dados os ⎯ ⎯ d) 4.o passo: lados AB = 4,4cm e AC = 1,8cm. Ligar os pontos dos vértices A, B e C. a) 1.o passo: Traçar o lado AB. A B b) 2.o passo: Traçar uma perpendicular à extremidade A. 9. Construir um triângulo escaleno dado o lado ⎯ base AB = 5cm e dois ângulos adjacentes a A e B com ângulos α = 450 e 600 respectivamente. a) 1.o passo: Traçar o lado (base) AB. c) 3. passo: o Ligar os pontos A, B e C, definindo o triân- b) 2.o passo: gulo pedido. ⎯ A partir de AB, levantar o ângulo de 450 pela extremidade A.8. Construir um triângulo escaleno dados os ⎯ ⎯ ⎯ lados AB = 5cm, BC = 2,7cm e AC = 2cm. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado base AB = 6cm. c) 3.o passo: Levantar o ângulo de 600 pela extremidade 52
  44. 44. Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana B, cruzando a reta do ângulo de 450 no ⎯ a abertura do compasso OM e inscrever o ponto C. triângulo. Observe que, nesse caso, os lados do triân- gulo são tangentes à circunferência.10. Construir um triângulo eqüilátero de lado = 3cm, circunscrevê-lo e inscrevê-lo. a) 1.o passo: Construir o triângulo por um dos processos já vistos. 1. Dado o triângulo retângulo isósceles circuns- crevê-lo. b) 2.o passo: 2. Desenhar um triângulo escaleno, dados os Traçar as três alturas que também são as ⎯ ⎯ ⎯ lados AB = 4cm, BC = 3cm e CA = 2cm. bissetrizes do triângulo. O cruzamento des- ⎯ sas alturas determinará o centro inscritível e 3. Desenhar um triangulo dada a base AB = 4cm e circunscritível do triângulo. dois ângulos adjacentes à base α = 450 e β = 600. 4. Desenhar um triangulo retângulo dado o lado ⎯ maior AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm. 5. Dada a circunferência, circunscreva um triân- gulo retângulo sabendo que seu lado maior corresponde ao diâmetro. c) 3.o passo: 6. Desenhar um triângulo dada a base Com a ponta-seca do compasso no ponto ⎯ ⎯ AB =5,5cm e AC = 3,5cm e um ângulo adja- O (centro) e abertura a qualquer um dos cente à base a partir de A igual α = 600. vértices, circunscrever o triângulo (por fora). 7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isós- celes abaixo para obter outros dois triângulos retângulos isósceles. d) 4.o passo: Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir 53
  45. 45. UEA – Licenciatura em Matemática8. Complete o triângulo abaixo dado o seu lado 12. Quantos triângulos eqüiláteros há nesta figura? ⎯ base AB e a sua altura. 13. Dado o módulo triangular, crie um módulo maior repetindo-se quatro vezes, orientadondo-se pelo eixo perpendicular.9. Classifique os triângulos existentes na figura abaixo quanto à forma e quanto ao ângulo.10. Complete a placa de sinalização “SIGA EM 14. Dado o triângulo eqüilátero, divida-o para obter FRENTE” para que não haja transtornos no quatro triângulos eqüiláteros (basta usar três trânsito da rua. traços). 15. A marca da Mercedes Bens (automóveis) é mundialmente conhecida apresentando geome-11. O triângulo incompleto abaixo oculta um outro tria muito simples. Reproduza a marca abaixo triângulo idêntico. Defina este triângulo. com precisão, citando o nome do triângulo base da marca. 54

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