Agnaldo Souza Pereira     Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de OliveiraCálculoII                                 4.º ...
FICHA TÉCNICA                                Governador                             Eduardo Braga                         ...
SUMÁRIOUNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
PERFIL DOS AUTORES                 Agnaldo Souza Pereira                    Bacharel em Física - UFRJ                     ...
UNIDADE IFunções de várias variáveis
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                       Além das contribuições em c...
UEA – Licenciatura em Matemática    tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à    leitura das obras de Newton e de Lapl...
Cálculo II – Funções de várias variáveisvolume com as variáveis r e h. Podemos, então,              O volume do paralelepí...
UEA – Licenciatura em Matemática    Função de três variáveis                                     b) No ponto B(2,7): T(2,7...
Cálculo II – Funções de várias variáveis    TEMA 02DOMÍNIO E IMAGEMMais sobre domínio e imagem das funçõesde várias variáv...
UEA – Licenciatura em Matemática    uma radiciação, e só tem sentido no conjunto    dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0....
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                        TEMA 031. Determine e faça...
(v) z(x,y) = e–x2 + ey2(ii) z(x,y) = x – 3x2                                     (vi)(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2        ...
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                       ser descritos sobre o plano...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                             Figura 15 – Gráfico e curvas ...
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                             TEMA 041. Estabeleça ...
UEA – Licenciatura em Matemática    xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites        Podemos ver que, se um ponto ...
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                       TEMA 05                    ...
UEA – Licenciatura em Matemática    dizem que o custo total variará com a mesma               No exemplo anterior, a varia...
Cálculo II – Funções de várias variáveis                                                                1. Para determinar...
UEA – Licenciatura em Matemática     Em relação a cada variável, encaramos todas          Regra da Cadeia     as demais co...
Cálculo II – Funções de várias variáveis    TEMA 06DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR                             1. Verifique qu...
UEA – Licenciatura em Matemática    Calcule e interprete         e     no ponto (2,5).5. Mostre que qualquer função dada p...
UNIDADE IIDerivada direcional
Cálculo II – Derivada direcional                                                     Já para o movimento exclusivo sobre o...
UEA – Licenciatura em Matemática    O gradiente aponta na direção de maior vari-              a) Ache a taxa de variação d...
Cálculo II – Derivada direcional                                                       O gráfico de g(x,y) = k é uma curva...
UEA – Licenciatura em Matemática    Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-                                       ...
Cálculo II – Derivada direcional   respectivamente, ache as dimensões que mini-   mizam o custo.3. Deve-se construir um de...
UNIDADE IIIIntegrais de linha
Cálculo II – Integrais de linhaINTRODUÇÃOA integral de linha é uma generalização natural            TEMA 01da integral def...
UEA – Licenciatura em Matemática    Exemplo 3                                                 g (I) é a curva representada...
Cálculo II – Integrais de linhaDefinição 2                                                Exemplo 7Seja C ⊂ IRn uma curva ...
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Cálculo ii
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Cálculo ii

15,321

Published on

1 Comment
4 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
15,321
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
309
Comments
1
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Cálculo ii"

  1. 1. Agnaldo Souza Pereira Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de OliveiraCálculoII 4.º Período Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza PioCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Pereira, Agnaldo Souza.P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor, Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 4. Período) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3
  3. 3. SUMÁRIOUNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de Oliveira Licenciado em Matemática – UCSalPós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
  5. 5. UNIDADE IFunções de várias variáveis
  6. 6. Cálculo II – Funções de várias variáveis Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis UM BREVE HISTÓRICO Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo. Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes- tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.” Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientistaJean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de e renomado homem de cultura.novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimoda marquesa Claudine Guerin de Tencin,escritora, e do cavaleiro Louis-CamusDestouches, oficial do exército francês.Logo após o nascimento, foi abandonado porsua mãe nas escadarias da Capela de SaintJean Le Rond, de onde foi levado para umorfanato, à espera de adoção.O bebê recebeu o nome do santo protetor dacapela, e foi adotado por um humilde artesão esua esposa. Seu pai biológico, mesmo nãoreconhecendo a paternidade, custeou-lhe aeducação por meio de uma pensão.Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes em 8 de agosto de 1805. Seus pais morrerame Direito, e formou-se advogado em 1738, aos deixando o pequeno órfão aos cuidados de um21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes- tio, que o educou dentro de uma severa linhasar-se por Medicina e Matemática, sendo que de comportamento, dando-lhe uma educaçãoseu primeiro trabalho matemático é publicado abrangente, com forte ênfase em línguasem 1739, no qual ele apresenta correções de estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anoserros que encontrou em um dos livros usado de idade, lia e recitava Homero em grego; aosem sua formação. Aos 24 anos de idade, 8 anos, já falava fluentemente o italiano e oD’Alembert já era célebre por seu trabalho em francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu gua árabe. Seu interesse pela matemáticaTratado de Dinâmica, com importantes con- surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecertribuições à ciência da mecânica. um jovem norte-americano chamado ZertahDeixou também contribuições para a teoria das Colburn, que possuía fantástica habilidade paraequações diferenciais, em que se destaca o realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinitymétodo de solução de D’Alembert para resolver College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-equações diferenciais não-homogêneas por do entre 100 candidatos no concurso de admis-meio de uma equação auxiliar. são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire- 9
  7. 7. UEA – Licenciatura em Matemática tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e TEMA 01 criou sua própria formulação da mecânica, con- hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que INTRODUÇÃO é tremendamente importante em todos os cam- pos da física moderna, notadamente na física O conceito de função de várias variáveis está quântica. Sua vida particular não foi das mais intimamente ligado aos fenômenos mais com- tranqüilas; ele teve sérios problemas com o plexos no campo da matemática aplicada à fí- alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, sica e à engenharia. Se um meteorologista, por convence-se de que a única solução seria exemplo, tiver de determinar o comportamento nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida futuro da temperatura de uma região, ele preci- alcoólica. sará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, umidade do ar. mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de Podemos ver, claramente, que a temperatura beber apenas água durante festas e do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, se altera, ela também se altera, ou seja, ela é afundando-se ainda mais no vício. Apesar da uma função que depende de várias outras var- desordem em que estava mergulhada sua vida iáveis. privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o Ainda como exemplo, podemos enxergar o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mão- autoria o termo gradiente para designar o vetor de-obra e do custo do transporte, pois se esses que aponta na direção de maior variação de elementos variam, o preço final do produto va- uma função escalar. Hamilton também realizou riará também. pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função animais e que foi chamado “o novo Newton” f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções morreu em 1865, deixando uma obra inacaba- é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 da, que foi publicada por seu filho no ano até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos seguinte. de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variá- veis. Exemplo 1 Volume de um cilindro Figura 1 – O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h. O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do 10
  8. 8. Cálculo II – Funções de várias variáveisvolume com as variáveis r e h. Podemos, então, O volume do paralelepípedo de largura x, pro-classificar VCIL como uma função de duas va- fundidade y e altura z é dado porriáveis. V = xyzEm razão disso, podemos simbolizar o volume Assim como nos exemplos anteriores, pode-de um cilindro como: mos ver que a mudança do conjunto de valo-VCIL = VCIL(r,h) res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, umaExemplo 2 vez que ele é função das dimensões deste sóli-Área de um retângulo do. Ou seja: V=V(x,y,z) Exemplo 4: Potencial elétrico de uma carga elétrica pun- tiforme Figura 2 – A área de um retângulo Considere uma carga elétrica puntiforme Q, é função de duas variáveis, a e b. posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencialOutro exemplo de função de duas variáveis elétrico em qualquer ponto do espaço depen-que podemos buscar nos domínios da geo- derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, oumetria é a área de um retângulo de lados a e b. seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustarsabendo que a área da superfície retangular édada por: essa situação.S = ab,em que a e b são as varáveis, pois podemassumir valores arbitrários, determinando umúnico valor de S para cada par de valores (a,b).Podemos escrever s como uma função de duasvariáveis:S = S(a,b). Figura 4 – Potencial elétrico gerado emContinuando nossa seqüência de exemplos, todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.vamos analisar alguns casos de função de trêsvariáveis. Elas são essenciais em problemasque descrevem fenômenos tridimensionais,como o volume de um paralelepípedo, o es-coamento de um gás ou a distribuição de tem- Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende deperaturas em uma sala. um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço.Exemplo 3 Para resumir as idéias expostas, vamos con-Volume de um paralelepípedo ceituar as funções de duas e três variáveis. Função de duas variáveis Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um con- junto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da Figura 3 – O volume de um função, e o conjunto imagem é o conjunto dos paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. valores possíveis de f. 11
  9. 9. UEA – Licenciatura em Matemática Função de três variáveis b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 = Uma função de três variáveis é uma regra que 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC. associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 = z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun- 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC. ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va- d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ lores possíveis de f. ( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )= Essas definições são facilmente extensíveis ao 0,25oC. caso de várias variáveis: Função de várias variáveis Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada (x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor 1. A superfície de um lago é representada por real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con- uma região D em um plano –xy, de modo que junto D é o domínio da função, e o conjunto a profundidade sob o ponto correspondente a imagem é o conjunto dos valores possíveis de (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que f. x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a Exemplo 5 distância entre ela e o fundo do lago. O potencial elétrico U no ponto 2. Um objeto está em um sistema coordenado re- P(x,y,z) é dado por , ache o valor tangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é Solução: expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi- Para achar o valor da função U(x,y,z) em ne a diferença de temperatura entre os pontos P(1,5,4), basta substituir os valores das coor- A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC . denadas do ponto P na equação da função, e , achar U(1,5,4). Exemplo 6 Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatu- ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( , ). Solução: Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes. a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 = 0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC. 12
  10. 10. Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 02DOMÍNIO E IMAGEMMais sobre domínio e imagem das funçõesde várias variáveisSabemos que o domínio de uma função é o Figura 6 – Domínio e imagemconjunto numérico no qual a função toma va- de uma função de duas variáveis.lores para a variável independente, e que a Podemos ver, no diagrama, a função fazendo aimagem de uma função é o conjunto numérico correspondência entre elementos do domíniodos valores assumidos pela função. No caso da e elementos pertencentes ao conjunto ima-função de uma variável, temos a variável inde- gem. É importante notar que os elementos dopendente x, cujos valores permitidos perten- domínio são pares ordenados de valores; issocem a um dado conjunto numérico (domínio), faz que funções de duas variáveis sejam apli-e a variável dependente y(x), que expressa os cadas a problemas envolvendo grandezas quevalores numéricos assumidos pela função, va- variam sobre superfícies. Ainda podemos ob-lores esses, que pertencem a um segundo con- servar que o conjunto de todos os pontos dojunto numérico (imagem). domínio, que é um conjunto de vários paresO diagrama abaixo representa o conceito de fun- ordenados, é uma figura plana, contida noção por um diagrama como uma correspondên- plano xy (o domínio é uma subdivisão do planocia entre dois conjuntos numéricos. xy). O conjunto imagem, por sua vez, também é uma superfície formada de todos os pontos de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun- ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo. Figura 5 – Diagrama representando o conceito de função: é uma correspondência entre conjuntos numéricos.Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-lação representada entre o conjunto A e o con-junto B associa a cada elemento de A um ele-mento de B. A correspondência entre os ele- Figura 7 – Domínio e gráfico dementos associados é representada pelas setas uma função de duas variáveis.que partem do conjunto A (que é o domínio dafunção) e chegam ao conjunto B (imagem dafunção). Vamos, agora, ampliar esses concei- Exemplo 7tos para as funções de duas variáveis. 1. Determine o domínio da funçãoO domínio de uma função de duas variáveis éum conjunto formado por todos os pares de .valores (x,y) em que a função toma valores. Ve- Para achar o domínio, devemos achar o con-jamos o diagrama seguinte, semelhante ao junto de pares (x,y) para os quais é possívelque foi feito para a função de uma única va- realizar a operação indicada. No presente ca-riável: so, a operação é . Essa operação é 13
  11. 11. UEA – Licenciatura em Matemática uma radiciação, e só tem sentido no conjunto dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim, todos os pares de valores (x,y), que obedecem à desigualdade acima, pertencem ao domínio daquela função: 16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, portanto, x2 + y2 ≤ 16 . Figura 9 – Domínio da função Essa é uma equação que representa os pontos de um círculo de raio 4, centrado na origem. z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) Exemplo 9 3. Determine o domínio da função Nesse caso, encontramos duas condições a serem atendidas: 1.a O denominador deve ser sempre diferente de zero. 2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre Figura 8 – Domínio da função maior que zero. Para atender à 1.a condição, impomos a restrição x – 1 = 0 x = 1. Em seguida, para atender à 2.a condição, impomos a restrição x + y + 1> 0. Exemplo 8 y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos2. Determine o domínio da função concluir que os pontos para a função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). está definida são aque- Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida les que possuem abscissa diferente de zero no item anterior, o domínio da função é o con- e estão acima da reta y = –x – 1. junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu- Os pontos pertencentes a essa região es- lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos tão representados no gráfico da figura 10. reais. As linhas tracejadas são aquelas que não Como sabemos que só existem logaritmos para possuem pontos do domínio: a reta vertical x =1 e a reta inclinada y = –x –1. números maiores que zero, podemos dizer que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for- mado por todos os pares (x,y) que obedecem a 1–x2–y2 > 0 . Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1. O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o conjunto de todos os pares de valores (x,y) contidos no interior de um círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo-se os pontos da Figura 10 – Domínio da função circunferência (pois na circunferência temos x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está na figura 9, a seguir. 14
  12. 12. Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 031. Determine e faça o esboço do domínio das GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS funções abaixo: VARIÁVEIS a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) b) Assim como no caso das funções de uma va- c) z(x,y) = 4x + y 2 riável, em que um gráfico no plano –xy apre- d) senta, visualmente, a relação entre os valores do par ordenado, também no caso das fun- e) ções de duas variáveis podemos expressar f) graficamente a relação entre o par ordenado (x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função g) z(x,y) = xln(y2 – x) de duas variáveis será uma superfície em R3. h) Noutras palavras, podemos dizer que assim como o gráfico de uma função de uma única i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z) variável é uma curva de equação f(x), o gráfico j) de uma função de duas variáveis será uma l) superfície S com equação z(x,y). Podemos ver a superfície S acima ou abaixo do domínio D m) da função. É importante notar que a superfície que representa o domínio da função, pode ser vista como uma projeção do gráfico de z(x,y) sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos um meio rápido e eficiente para estudar o com- portamento de uma função e avaliar suas ca- racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem- plos de gráficos de funções de duas variáveis, (i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 15
  13. 13. (v) z(x,y) = e–x2 + ey2(ii) z(x,y) = x – 3x2 (vi)(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2 (vii)(iv) z(x,y) = ln (x2 + y2) (viii) z(x,y) = (x2 + y2)2 16
  14. 14. Cálculo II – Funções de várias variáveis ser descritos sobre o plano do papel por meio de um conjunto de curvas, em que cada curva corresponde a um corte do morro ou da mon- tanha a uma dada altura, que fica registrada sobre a curva de nível correspondente. Na car- tografia, então, os pontos de uma curva de nível é a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma altura, ou seja: h = constante. Dessa forma, podemos encarar as curvas de(ix) nível como tendo sido obtidas cortando-se o morro ou a montanha em fatias paralelas a um plano horizontal. Veja a figura abaixo:(x)O aspecto visual desses gráficos não escondeo fato de que é bem difícil traçá-los manual-mente. Esses exemplos foram traçados com oauxílio de um programa de computador. Comos programas computacionais, podemos en-xergar o comportamento do gráfico em qual-quer região do domínio da função, mas nessesexemplos é preferível ver o comportamento em De forma geral, é importante notar que, ondepontos próximos à origem, pois em várias apli- as curvas de nível estiverem mais próximascações torna-se importante saber o compor- umas das outras, a superfície será mais incli-tamento da função para valores pequenos das nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,variáveis. a superfície será mais plana.Apesar do exposto acima sobre a dificuldade Saindo um pouco da cartografia, podemos di-de traçado desses gráficos sem o auxílio com- zer que, de forma mais geral, uma curva deputacional, já era possível traçá-los manu- nível é obtida pela junção dos pontos corres-almente com o auxílio das curvas de nível, for- pondentes a um valor constante de uma dadamadas pelas interseções do gráfico de uma grandeza. As curvas de nível de uma funçãofunção de duas variáveis com um plano hori- f de duas variáveis são as curvas comzontal. As curvas de nível são um recurso que equação f(x,y) = k, onde k é uma constante.foi tomado emprestado da cartografia; por As figuras seguintes comparam os gráficos emeio delas, um morro ou uma montanha pode as curvas de nível de algumas funções. 17
  15. 15. UEA – Licenciatura em Matemática Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = x2 – 3y2 Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 18
  16. 16. Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 041. Estabeleça a correspondência correta entre as LIMITES E CONTINUIDADE PARA equações e as curvas de nível de cada função FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS dada por z = f(x,y). a) f(x,y) = x2 – y2 Assim como nas funções de uma única variáv- el, os conceitos de limite e continuidade de b) uma função de várias variáveis estão inti- mamente ligados. Na teoria das funções de c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2 uma única variável, dizemos que a função é d) f(x,y) = x2 + y2 contínua num dado valor xo se no limite em que x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores que xo, ou por valores de x menores que xo. Se a função tender para valores diferentes con- 1. forme x se aproxime de xo pela direita ou pela esquerda, a função é dita descontínua. Veja- mos os gráficos abaixo: 2. 3. Figura 17 – Continuidade de uma função de uma variável. 4. A definição de continuidade da função de uma2. Uma chapa plana de metal está situada em um variável diz que, se o limite de f(x), quando x plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C) tende a xo por valores maiores que xo, coincide no ponto (x,y) é inversamente proporcional à com o limite de f(x) quando x tende a xo por val- distância da origem. ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua a) Descreva as isotérmicas. em x = xo. Resumindo, uma função é con- siderada contínua quando os limites laterais b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C, são iguais, o que significa que a imagem f(x) ache a equação da isotérmica para uma de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao temperatura de 200C. limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os limites laterais são iguais também significa que3. Deve-se construir uma usina de incineração de o limite da função está bem definido em x = xo, lixo para atender a duas cidades. ou seja, o limite existe em x = xo. Cada cidade gostaria de maximizar sua distân- Por outro lado, a definição de função descontí- cia à usina, mas, por motivos econômicos, a nua diz que a função possui uma descontinui- soma da distância de cada cidade à usina não dade em x = xo, se os limites laterais não são pode exceder M quilômetros. Mostre que as coincidentes. curvas de nível para localização da usina são Dizer que os limites laterais não são coinci- elipses. dentes significa que se x tende a xo por valores maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e quando x tende a xo por valores menores que 19
  17. 17. UEA – Licenciatura em Matemática xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per- laterais são diferentes, não se pode afirmar que tencente ao domínio da função e contido em a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, uma vizinhança circular centrada em Po aprox- tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ- imar-se de Po ao longo de qualquer caminho ação, dizemos que o limite não está definido contido no círculo, também sua imagem, per- em x = xo, ou seja, não existe o limite da correrá pontos da superfície-imagem até função em alcançar o ponto B, imagem de Po. x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Noutras palavras, se um ponto P nas vizinhan- , ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami- nho totalmente contido sobre a superfície do gráfico da função, qualquer que seja o cami- nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po) é o limite da função quando P tende a Po. Isso equivale a dizer que existe o limite da fun- ção em P = Po, pois para qualquer caminho que se use para chegar até Po, alcançaremos o mesmo valor final para f(P). Figura 18 – Descontinuidade de uma função de uma variável. (f(P) = f(Po)). Simbolicamente: A figura 18 acima ilustra os conceitos formu- lados sobre a descontinuidade de uma função Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y) de uma única variável. e Po=Po(xo,yo): Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen- ça de comportamento dos limites da função quando x tende a xo pela direita (por valores Assim como no caso da função de uma única maiores que xo) e pela esquerda (por valores variável, a existência do limite garante a con- menores que xo). tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por A extensão dessas idéias para o campo das outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P= funções de duas variáveis é imediata. Conside- Po depender do caminho seguido para se atin- remos a figura 19 abaixo: gir o ponto Po, o limite da função não estará definido em Po e, da mesma forma que para uma única variável, diremos que a f(x,y) é des- contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar- mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao longo dos quais f(P) atinge limites diferentes, quando P se aproxima do mesmo ponto Po, então o limite não está definido em P = Po. Dizemos, então, que não existe o limite de f(P) em P = Po, e que Po é um ponto de descon- tinuidade da função. A noção de continuidade é essencial para o cálculo de funções de várias variáveis, pois, assim como no universo das funções de uma única variável, permite definir a existência das derivadas no contexto das funções de várias variáveis. A figura 20, a se- Figura 19 – Continuidade de guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun- uma função de duas variáveis. ção de duas variáveis. 20
  18. 18. Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 05 DERIVADAS PARCIAIS As definições dadas até aqui não são exclusi- vas das funções de duas variáveis, são co- muns a todas as funções de várias variáveis. O fato de usarmos as funções de duas variáveis deve-se à facilidade de visualização que elas apresentam, pois podemos ver seus gráficos como superfícies em um espaço tridimen- sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma função de 20 variáveis, por exemplo! Figura 20 - Descontinuidade da função de duas variáveis. Um caso simples de função de mais de duas variáveis é o custo de um produto que envolva mais de dois ingredientes em sua fabricação, cada um com seu preço, o que se refletirá no preço de custo do produto. Por exemplo: o custo final kf de um bolo de1. Ache o limite chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó a) de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar, leite e fermento, dependerá dos preços desses ingredientes e pode ser escrito na forma fun- b) cional kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6 c) em que A,B,C,D,E e F são constantes que re- presentam as quantidades utilizadas de cada d) ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam os preços de cada ingrediente. e) Assim, fica claro que o custo final é uma função de seis variáveis, kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).2. Mostre que o limite não existe. Não podemos desenhar um gráfico dessa fun- a) ção, cujo domínio é hexadimensional, para po- dermos enxergar, de uma única vez, o compor- b) tamento dessa função. Analisemos o compor- tamento da função custo total quando o preço de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar, c) varia, enquanto os demais preços permane- cem constantes. d) É razoável supor que o custo total variará com a mesma rapidez com que varia o preço do açú- e) car. Se, agora, o único preço variável for o do fermento, enquanto todos os demais preços estiverem estacionados, novamente podemos 21
  19. 19. UEA – Licenciatura em Matemática dizem que o custo total variará com a mesma No exemplo anterior, a variação no custo de taxa de variação do fermento, pois ele estará nosso bolo de chocolate, devido à variação no sendo o único responsável pela variação do preço do açúcar, é dada por custo final do bolo. ; Se em outra situação, os preços do açúcar e do fermento estiverem variando, e os preços e a variação no custo do bolo, devido às vari- dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa ações combinadas dos preços do açúcar e do de variação do custo total será a soma da taxa fermento, é dada por de variação do preço do açúcar com a taxa de variação do preço do fermento, ingredientes . responsáveis pela variação do custo final do produto. A taxa de variação de uma função de N variáveis, em relação a uma de suas varáveis Interpretação Geométrica das Derivadas xj em particular, é chamada derivada parcial da Parciais função em relação a xj, e é definida pela razão Quando precisamos subir uma elevação, co- incremental: mo um pequeno morro, sempre procuramos subir pelo lado menos íngreme, para poupar esforço. O formato geométrico da elevação é tal que o dispêndio de energia depende da O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se encosta que escolhermos para subir. derron), que significa D-redondo, em francês. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior, No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva- fazendo que cada metro percorrido na hori- da parcial do custo final (kf) da iguaria em re- zontal resulte numa grande elevação vertical, lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento tornando a subida é mais abrupta. A figura 21 (x6) são definidas, respectivamente, como: mostra um gráfico da função , Notemos que a definição de derivada parcial é representando um morro. Podemos observar similar à definição da derivada da função de que, se subirmos o morro ao longo do eixo y, uma única variável, envolvendo o limite da fun- faremos um esforço maior, pois ao longo desse ção em um dado ponto. Para que a derivada da caminho, a elevação é mais pronunciada, mais função de N variáveis possa existir no ponto íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x, considerado, é necessário que exista o limite da o esforço será menor. função naquele ponto, ou seja, é preciso que a Com esse exemplo, vemos que a taxa de va- função seja contínua no ponto. O incremento riação de uma função de duas variáveis pode diferencial (df) no valor da função de N variá- depender do caminho. Nesse caso, a taxa de veis, devido ao incremento no valor de apenas variação da altura em relação à distância ho- uma de suas variáveis, é dado por rizontal depende do caminho escolhido. . De forma mais geral, o incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido a incre- mentos em todas as suas variáveis, é dado por 22
  20. 20. Cálculo II – Funções de várias variáveis 1. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se y fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a x. 2. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se x fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a y. 3. No caso de N variáveis, para determinar , devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN) Figura 21 – Crescimento diferenciado da função. em cada direção. A distância como se todas as variáveis diferentes de xj, fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN) entre as curvas de nível mostra que o crescimento em relação a xj. desta função é mais veloz ao longo do eixo y, do que ao longo do eixo x. Exemplo 10A análise das curvas de nível do morro também 1. Ache as derivadas parciais demostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).estão mais próximas umas das outras do queas atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele- Solução:vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do Em relação a x, encaramos y como umaque ao longo do eixo–x.Vemos, novamente, que a taxa de variação da constante: .altura em relação a x depende da direção quese segue até o alto do morro. De fato, se se- Em relação a y, encaramos x como umaguirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-do pela seta pontilhada, a inclinação terá outrocomportamento, diferente daqueles sobre x e y. constante .Resumindo o que acabamos de discutir, sechamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) ainclinação da função z(x,y) em cada ponto de- Exemplo 11penderá da direção de deslocamento sobre o Ache as derivadas parciais .plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,a tangente do ângulo de inclinação será dada Solução:por Em relação a x, encaramos y como uma cons- e para um percurso ao longo do tante :eixo–y, será dada por Em relação a y, encaramos x como uma cons- tante:Como se Calculam as Derivadas Parciais deuma Função?Até aqui, estivemos preocupados com a cons- 3) Ache as derivadas parciais detrução conceitual das derivadas parciais; pas-semos, agora, a ver como se determina aderivada parcial de uma função em relação auma de suas variáveis. A regra é simples: Solução: 23
  21. 21. UEA – Licenciatura em Matemática Em relação a cada variável, encaramos todas Regra da Cadeia as demais como constantes, e efetuamos a Freqüentemente, nos problemas aplicados às derivação em relação à variável considerada: ciências naturais, surge a dependência das va- riáveis, e da própria função, em relação ao tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape- nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos também acompanhar sua variação em relação ao tempo, ainda que esta dependência não esteja explícita na fórmula da função. Se o tempo não aparecer explicitamente na ex- pressão matemática da função, mas souber- mos como uma (ou mais) das variáveis se com- porta em relação a ele, podemos determinar a variação temporal da função como um todo por meio da regra da cadeia:1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f. a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 Exemplo: b) f(x,y) = (x3 – y2)5 Um circuito elétrico simples consiste em um c) resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo d) instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à e) f(x,y) = xey + ysen(x) razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, f) f(x,y) = ey + ln(xy) , e a regra da cadeia para achar a taxa à g) qual a corrente I (em ampères) varia. 2 h) f(x,y,z) = 3x z + xy 2 SOLUÇÃO: i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t) l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y Substituindo valores: m) V=80, , R= 40, e , obtemos:2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV = nKT, em que n é o número de mo- léculas do gás, V é o volume, T é a tem- peratura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que:3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx) 24
  22. 22. Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 06DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 1. Verifique que a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3yAnalogamente ao que ocorre no caso de umaúnica variável, também para várias variáveis é b)possível determinar derivadas de ordem supe-rior à primeira. c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)O cálculo é realizado da mesma forma como é d)realizado na derivada ordinária: encarando to-das as variáveis como constantes, menos a va- e)riável em relação à qual se está derivando. Osímbolo para a derivada parcial de ordem m é 2. Uma função de x e y é dita harmônica se em todo o domínio de f. ProveAssim: que a função dada é harmônica. é a derivada parcial de segunda ordem a) b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)de f em relação a x; 2 é a derivada parcial de terceira ordem 3. Se w(x,y) = e–c t sen(cx), mostre quede f em relação a y; para todo número real c. 4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda é a derivada parcial de quarta ordem def em relação a w; a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)e da mesma forma para outras ordens. b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)É necessário salientar que, nas aplicações damatemática às ciências naturais, as derivadas 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, émais importantes são as de segunda ordem, emitido por uma chaminé de h metros deque dão origem à maior parte das equações altura, a concentração C(x,y) em do po-diferenciais da física, da química, e da enge- luente em um ponto a x quilômetros da cha-nharia. miné e à altura de y metros pode ser represen-Existe também o caso em que a função é deri- tada porvada sucessivamente em relação a variáveis di-ferentes, a chamada derivada cruzada: Como as variáveis são inde- em que a e b são constantes positivas quependentes entre si, podemos ver que: dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão de poluente. Suponha que . 25
  23. 23. UEA – Licenciatura em Matemática Calcule e interprete e no ponto (2,5).5. Mostre que qualquer função dada por satisfaz a equação de Laplace em três dimensões .6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas- culino de x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximado pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete a) b)7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula , onde I é a corrente, V é a voltagem, R a resistência, L a indutância e uma constante positiva. Calcule e interprete e . 26
  24. 24. UNIDADE IIDerivada direcional
  25. 25. Cálculo II – Derivada direcional Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y, podemos escrever um vetor deslocamento TEMA 01 → dy = dy^ y Para o caso em que o movimento é oblíquo eVETOR GRADIENTE E DERIVADAS recebe contribuições tanto do deslocamentoDIRECIONAIS ao longo de x quanto de y, podemos escrever um vetor deslocamento →Retomemos o exemplo da inclinação do morro dr = dxx + dy^ ^ y Podemos resumir os três casos em uma sódado pela equação notação se enxergarmos dz como resultado de um produto escalar entre os deslocamentos ena figura 22 abaixo. um novo vetor, de forma que para deslocamentos sobre o eixo x. para deslocamentos sobre o eixo y. Figura 22 – Crescimento diferenciado para deslocamentos oblíquos. da função em cada direção. → O vetor ∇ z definido pelas igualdades acima é escrito comoVemos, nas curvas de nível, que é mais fácilsubir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.Podemos dizer que quando subimos ao longodo eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-dx percorrido é jeção do gradiente em uma direção cujo uni- tário^ faz um ângulo com a direção do gradi- u ente, fornece-nos a derivada da função na direção de^ a chamada derivada direcional, u,e se subirmos ao longo do eixo y, teremos Du, como mostra a figura 23 a seguir :acréscimos na subida dados por:Para uma direção oblíqua, em que não estare-mos ao longo de nenhum dos eixos, teremoscontribuições das duas variáveis: → → → Duf = ∇ f .^ =|∇ f||^ u u|cos(θ) = |∇ f| cos(θ) → Podemos notar da igualdade Duf = |∇ f|cos(θ)Note que para o movimento exclusivo sobre o que o maior valor da derivada direcional ocorreeixo x, podemos escrever um vetor desloca- quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-mento cional é o próprio gradiente, o que nos revela → ^dx = dxx uma importantíssima propriedade do gradiente: 29
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática O gradiente aponta na direção de maior vari- a) Ache a taxa de variação de T em P na dire- ação da função. ção de ^+ ^ x y. Embora tenhamos apresentado o gradiente b) Em que direção T aumente mais rapida- em um exemplo bidimensional, ele é tridimen- mente em P? sional em sua forma mais geral: c) Em que direção a taxa de variação é zero? 3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V= x2 + 4y2 +9z2 Devemos também assinalar que o gradiente está definido para uma função f escalar; não a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na existe gradiente de vetor, embora em várias direção de P para a origem. aplicações seja importante saber o gradiente b) Ache a direção que produz a taxa máxima do módulo de um vetor. de variação de V em P. Duas das aplicações mais importantes do gra- c) Qual a taxa máxima de variação em P? diente na física estão na mecânica e no eletro- magnetismo. Na mecânica, podemos definir a 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por → força conservativa, F como simétrica ao gra- T = 4x2 – y2 +16z2. diente da energia potencial mecânica W: → a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na → F = –∇ W direção de 2^+ 6^ – 3z.. x y ^ No eletromagnetismo, de forma similar, define- b) Em que direção T aumenta mais rapida- → se o campo elétrico E gerado por um potencial mente em P? elétrico φ: → → c) Qual é esta taxa máxima de variação? E = –∇ φ d) Em que direção T decresce mais rapidamen- te em P? e) Qual é esta taxa de variação?1. Ache a derivada direcional de f em P na dire- ção indicada a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; b) f(x,y) = x2ln(y); P(5,1), ^ = –^+ 4^ u x y c) f(x,y,z) = z2exy; P(–1,2,3), ^ = 3^ +^– 5^ u x y z d) ;2. Uma chapa de metal está situada no plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja in- versamente proporcional à distância da ori- gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF. 30
  27. 27. Cálculo II – Derivada direcional O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano- xy. A curva C pode ser escrita em termo de TEMA 02 componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um parâmetro, como o tempo em problemas deMULTIPLICADORES DE LAGRANGE mecânica, mas que, em geral, pode ser um ângulo ou outra grandeza conveniente.Muitas vezes, em problemas de aplicações, →devemos achar os extremos de uma função de Seja r (t) = x x + y^ = h(t)^ + m(t)^ o vetor ^ y x yvárias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figuracomo exemplo, o problema de acharmos o 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),maior volume de uma caixa retangular sem em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a →tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total t = to, isto é, r (to) = xo^ + yo^ = h(to)^ + x y x ^ Definindo F de uma variável t por m(to) y.seja de 12m2. Podemos ver que a função a sermaximizada é o volume F(t) =f(h(t),m(t)),V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área vemos que, quando t varia, obtemos valorestotal seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a mos considerando apenas os valores de f(x,y)expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma que estão sobre pontos da curva C. Comocurva de nível para a função superfície da cai- f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =xa, pois representa todos os pontos de coor- f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)denadas (x,y,z) para os quais o valor da função = 0. Se encaramos F como uma função com-é constante e igual a 12. posta, então, pela regra da cadeia,O método dos multiplicadores de Lagrangefornece-nos uma ferramenta eficiente pararesolver problemas dessa natureza, com baseno conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de Fazendo t = to, temos:gradiente de uma função. Comecemos com asfunções de duas variáveis: em termos gerais, ovínculo aplicado à função, cujos extremosprocuramos, restringe os valores das coor- →denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de Isso mostra que o vetor ∇ f(xo,yo) é perpen- →nível correspondente ao vínculo, ou seja, só dicular ao vetor r’(to) tangente a C. →nos interessaremos pelos valores da função Entretanto ∇ g(xo,yo) também é perpendicular a →que corresponderem a pontos que estiverem r’(to) porque C é uma curva de nível para g. → →sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Como ∇ f(xo,yo) e ∇ g(xo,yo) são perpendicula-Vejamos a figura res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto → → é, ∇ f(xo,yo) = λ∇ g(xo,yo) para algum λ. O número λ é chamado multiplicador de Lagran- ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectiva- mente, da caixa em metros. Exemplo 1 Achar a caixa sem tampa de maior volume com superfície total de 12m2. Solução: Figura 24 – Curva de nível C, representando g(x,y) =k, e a representação em Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito → → termos do parâmetro t, mostrando que ∇f = λ∇g à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12. 31
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro- → , curamos os valores de x, y, z e tais que ∇ V = → λ∇ g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi- ções, geramos as equações: , e x2+y2 = 1 Elas resultam em: (8) 2x = 2x e 2xz+2yz+xy = 12, (9) 4y = 2y ou seja: (10) x2+y2 = 1 (1) yz = (2z+y) A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0, então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a (2) xz = (2z+x) equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação (3) xy = (2x+2y) (10) fornece x = ±1. Portanto os valores (4) 2xz+2yz+xy =12 extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1), (0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses Para resolver esse sistema de equações, va- quatro pontos, temos: mos lançar mão de alguns truques: observe que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) f (0,1) = 2 por z, os lados esquerdos dessas equações f(0,–1) = –2 ficam iguais. Assim temos que: f(1,0) = 1 (5) xyz = (2xz+xy) f(–1,0) = 1 (6) xyz = (2yz+xy) Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo (7) xyz = (2xz+2yz) x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = f(±1,0) = 1. xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy = 2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos: 2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan- to y = 2z. Se substituirmos 1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para x = y =2z em (4), teremos: determinar os valores máximo e mínimo da 4z2+4z2+4z2 = 12 função sujeita à restrição dada: sabendo que x, y, e z são todos positivos, a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1 temos que z =1, x = 2 e y = 2. b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100 Exemplo 2 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6 Determine os valores extremos da função d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25 f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1 Solução: f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35 Devemos achar os valores extremos de f (x,y) sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re- de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua- → → solvemos as equações ∇ f = λ∇ g, g(x,y) = 1, drado do material para os lados, o fundo e a que podem ser escritas como: tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00, 32
  29. 29. Cálculo II – Derivada direcional respectivamente, ache as dimensões que mini- mizam o custo.3. Deve-se construir um depósito com tampa, em forma de cilindro circular reto e com área de superfície fixa. Mostre que o volume é máximo quando h = 2R.4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área máxima, com perí- metro constante p, é um quadrado.5. Determine as dimensões de uma caixa retan- gular de volume máximo tal que a soma de suas doze arestas seja um constante c.6. Determine as dimensões da uma caixa retan- gular de maior volume se sua superfície total é dada como 64m2. 33
  30. 30. UNIDADE IIIIntegrais de linha
  31. 31. Cálculo II – Integrais de linhaINTRODUÇÃOA integral de linha é uma generalização natural TEMA 01da integral definida , em que o intervalo CAMINHOS E CURVAS[a, b] é substituído por uma curva, e a função Seja g uma função vectorial que toma valoresintegranda é um campo escalar ou um campo em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. Àvetorial definido e limitado nessa curva. medida que a variável independente t percorre I,As integrais de linha são de uma importância os correspondentes valores da função g(t) per-fundamental em inúmeras aplicações, nomea- correm um conjunto de pontos de IRn, que con-damente, em ligação com energia potencial, stitui o contradomínio da função. Se a funçãofluxo do calor, circulação de fluidos, etc. tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu- alizar, geometricamente, esse contradomínio.No que se segue, começaremos por apresen-tar os conceitos de curva e de comprimento de Exemplo 1uma curva; em seguida, daremos a definição Seja g : IR → IR2 a função definida por:de integral de linha. Depois de enunciarmos aspropriedades fundamentais da integral de linha, g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal- O contradomínio de g é a reta que passa peloho realizado por uma força. ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1). Se a função g é contínua em I, o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concreta- mente, a curva descrita por g. Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por: f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR. Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é, o seu contradomínio. 37
  32. 32. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 3 g (I) é a curva representada por g, e que g é uma representação paramétrica da curva C; O traço da curva é como os pontos da curva são da forma g (t), com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa- da por parâmetro da representação paramétri- o segmento de reta de extremidade inicial ca considerada. Se g é um caminho definido (–1,0,2) e final (7,6,4). num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do Exemplo 4 caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser ponto final do caminho g. representado, parametricamente, por , ou seja, é o traço da curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2). As propriedades da função g podem ser uti- lizadas para investigar as propriedades geo- métricas do seu gráfico. Em particular, a deri- vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada com o conceito de tangência, tal como no caso das funções reais de variável real. Veja-se qual Exemplo 5 o comportamento do quociente A curva quando h → 0. Esse quociente é o produto do Tem por traço a cúbica vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal, o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor . Como já foi visto no Cálculo Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de quando h → 0, tem-se g (t + h) − g (t ) lim = g (t ) h→0 h ,e, se g’(t) = 0, o Observe que, elimidando-se o parâmetro t, vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente, obtemos , logo (x,y) pertence ao traço como o vetor tangente à curva g no ponto g(t). de γ se, e só se, . Definição 1 Chama-se caminho em IRn qualquer função contínua definida num intervalo (limitado ou não) de números reais I e com valores em IRn. O contradomínio de um caminho chama-se cur- va ou arco. Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C = 38
  33. 33. Cálculo II – Integrais de linhaDefinição 2 Exemplo 7Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca- A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferênciaminho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t) C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.oexiste e é diferente do vetor nulo, a reta que quadrante, com o segmento de reta C2, quepassa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t) une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-designa-se por reta tangente a C no ponto g(t). cionalmente de classe C1. Com efeito, trata-se de uma curva que não é deDefinição 3 classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1,Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe 1)), mas é a união de duas curvas de classe C1.C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 seexiste um caminho de classe C1 que represen-ta, parametricamente, C.Exemplo 6O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),define uma curva de classe C1 pois g’(t) =(1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1]. Lembrando Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar f é uma função de classe Cr num conjunto aber- to S quando admite derivadas parciais contí- nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se que f é de classe Cr em S se existir uma função g de classe Cr num aberto que contenha S, tal que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) , diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr em I, qualquer que seja i=1,..., n.Definição 4Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional- Definição 5mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que gser decomposto num número finito de subin-tervalos em cada um dos quais o caminho é de é um caminho fechado se I é um intervaloclasse C1. Uma curva diz-se seccionalmente de fechado e limitado de extremos a e b e g(a)classe C1 se existir um caminho seccionalmen- = g(b). Diz-se que o caminho não-fechado gte de classe C1 que a parametrize. é um caminho simples quando g é injetivaConclui-se que um caminho seccionalmente (isto é, g não assume o mesmo valor emde classe C1 não pode deixar de ser contínuo. quaisquer dois pontos distintos de I). O caminho fechado g diz-se um caminho sim-Exemplo 4A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência ples se g for injetiva no interior de I. Um con-C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou umaquadrante, com o segmento de reta C2, que curva simples se existe, respectivamente,une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec- um caminho fechado ou um caminho sim-cionalmente de classe C1. ples que o representa parametricamente. 39

×