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    Cálculo II Cálculo II Document Transcript

    • Agnaldo Souza Pereira Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de OliveiraCálculoII 4.º Período Manaus 2007
    • FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza PioCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Pereira, Agnaldo Souza.P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor, Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 4. Período) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3
    • SUMÁRIOUNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
    • PERFIL DOS AUTORES Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de Oliveira Licenciado em Matemática – UCSalPós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
    • UNIDADE IFunções de várias variáveis
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis UM BREVE HISTÓRICO Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo. Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes- tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.” Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientistaJean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de e renomado homem de cultura.novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimoda marquesa Claudine Guerin de Tencin,escritora, e do cavaleiro Louis-CamusDestouches, oficial do exército francês.Logo após o nascimento, foi abandonado porsua mãe nas escadarias da Capela de SaintJean Le Rond, de onde foi levado para umorfanato, à espera de adoção.O bebê recebeu o nome do santo protetor dacapela, e foi adotado por um humilde artesão esua esposa. Seu pai biológico, mesmo nãoreconhecendo a paternidade, custeou-lhe aeducação por meio de uma pensão.Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes em 8 de agosto de 1805. Seus pais morrerame Direito, e formou-se advogado em 1738, aos deixando o pequeno órfão aos cuidados de um21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes- tio, que o educou dentro de uma severa linhasar-se por Medicina e Matemática, sendo que de comportamento, dando-lhe uma educaçãoseu primeiro trabalho matemático é publicado abrangente, com forte ênfase em línguasem 1739, no qual ele apresenta correções de estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anoserros que encontrou em um dos livros usado de idade, lia e recitava Homero em grego; aosem sua formação. Aos 24 anos de idade, 8 anos, já falava fluentemente o italiano e oD’Alembert já era célebre por seu trabalho em francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu gua árabe. Seu interesse pela matemáticaTratado de Dinâmica, com importantes con- surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecertribuições à ciência da mecânica. um jovem norte-americano chamado ZertahDeixou também contribuições para a teoria das Colburn, que possuía fantástica habilidade paraequações diferenciais, em que se destaca o realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinitymétodo de solução de D’Alembert para resolver College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-equações diferenciais não-homogêneas por do entre 100 candidatos no concurso de admis-meio de uma equação auxiliar. são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire- 9
    • UEA – Licenciatura em Matemática tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e TEMA 01 criou sua própria formulação da mecânica, con- hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que INTRODUÇÃO é tremendamente importante em todos os cam- pos da física moderna, notadamente na física O conceito de função de várias variáveis está quântica. Sua vida particular não foi das mais intimamente ligado aos fenômenos mais com- tranqüilas; ele teve sérios problemas com o plexos no campo da matemática aplicada à fí- alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, sica e à engenharia. Se um meteorologista, por convence-se de que a única solução seria exemplo, tiver de determinar o comportamento nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida futuro da temperatura de uma região, ele preci- alcoólica. sará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, umidade do ar. mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de Podemos ver, claramente, que a temperatura beber apenas água durante festas e do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, se altera, ela também se altera, ou seja, ela é afundando-se ainda mais no vício. Apesar da uma função que depende de várias outras var- desordem em que estava mergulhada sua vida iáveis. privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o Ainda como exemplo, podemos enxergar o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mão- autoria o termo gradiente para designar o vetor de-obra e do custo do transporte, pois se esses que aponta na direção de maior variação de elementos variam, o preço final do produto va- uma função escalar. Hamilton também realizou riará também. pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função animais e que foi chamado “o novo Newton” f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções morreu em 1865, deixando uma obra inacaba- é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 da, que foi publicada por seu filho no ano até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos seguinte. de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variá- veis. Exemplo 1 Volume de um cilindro Figura 1 – O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h. O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do 10
    • Cálculo II – Funções de várias variáveisvolume com as variáveis r e h. Podemos, então, O volume do paralelepípedo de largura x, pro-classificar VCIL como uma função de duas va- fundidade y e altura z é dado porriáveis. V = xyzEm razão disso, podemos simbolizar o volume Assim como nos exemplos anteriores, pode-de um cilindro como: mos ver que a mudança do conjunto de valo-VCIL = VCIL(r,h) res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, umaExemplo 2 vez que ele é função das dimensões deste sóli-Área de um retângulo do. Ou seja: V=V(x,y,z) Exemplo 4: Potencial elétrico de uma carga elétrica pun- tiforme Figura 2 – A área de um retângulo Considere uma carga elétrica puntiforme Q, é função de duas variáveis, a e b. posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencialOutro exemplo de função de duas variáveis elétrico em qualquer ponto do espaço depen-que podemos buscar nos domínios da geo- derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, oumetria é a área de um retângulo de lados a e b. seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustarsabendo que a área da superfície retangular édada por: essa situação.S = ab,em que a e b são as varáveis, pois podemassumir valores arbitrários, determinando umúnico valor de S para cada par de valores (a,b).Podemos escrever s como uma função de duasvariáveis:S = S(a,b). Figura 4 – Potencial elétrico gerado emContinuando nossa seqüência de exemplos, todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.vamos analisar alguns casos de função de trêsvariáveis. Elas são essenciais em problemasque descrevem fenômenos tridimensionais,como o volume de um paralelepípedo, o es-coamento de um gás ou a distribuição de tem- Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende deperaturas em uma sala. um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço.Exemplo 3 Para resumir as idéias expostas, vamos con-Volume de um paralelepípedo ceituar as funções de duas e três variáveis. Função de duas variáveis Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um con- junto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da Figura 3 – O volume de um função, e o conjunto imagem é o conjunto dos paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. valores possíveis de f. 11
    • UEA – Licenciatura em Matemática Função de três variáveis b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 = Uma função de três variáveis é uma regra que 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC. associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 = z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun- 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC. ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va- d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ lores possíveis de f. ( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )= Essas definições são facilmente extensíveis ao 0,25oC. caso de várias variáveis: Função de várias variáveis Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada (x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor 1. A superfície de um lago é representada por real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con- uma região D em um plano –xy, de modo que junto D é o domínio da função, e o conjunto a profundidade sob o ponto correspondente a imagem é o conjunto dos valores possíveis de (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que f. x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a Exemplo 5 distância entre ela e o fundo do lago. O potencial elétrico U no ponto 2. Um objeto está em um sistema coordenado re- P(x,y,z) é dado por , ache o valor tangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é Solução: expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi- Para achar o valor da função U(x,y,z) em ne a diferença de temperatura entre os pontos P(1,5,4), basta substituir os valores das coor- A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC . denadas do ponto P na equação da função, e , achar U(1,5,4). Exemplo 6 Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatu- ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( , ). Solução: Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes. a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 = 0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC. 12
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 02DOMÍNIO E IMAGEMMais sobre domínio e imagem das funçõesde várias variáveisSabemos que o domínio de uma função é o Figura 6 – Domínio e imagemconjunto numérico no qual a função toma va- de uma função de duas variáveis.lores para a variável independente, e que a Podemos ver, no diagrama, a função fazendo aimagem de uma função é o conjunto numérico correspondência entre elementos do domíniodos valores assumidos pela função. No caso da e elementos pertencentes ao conjunto ima-função de uma variável, temos a variável inde- gem. É importante notar que os elementos dopendente x, cujos valores permitidos perten- domínio são pares ordenados de valores; issocem a um dado conjunto numérico (domínio), faz que funções de duas variáveis sejam apli-e a variável dependente y(x), que expressa os cadas a problemas envolvendo grandezas quevalores numéricos assumidos pela função, va- variam sobre superfícies. Ainda podemos ob-lores esses, que pertencem a um segundo con- servar que o conjunto de todos os pontos dojunto numérico (imagem). domínio, que é um conjunto de vários paresO diagrama abaixo representa o conceito de fun- ordenados, é uma figura plana, contida noção por um diagrama como uma correspondên- plano xy (o domínio é uma subdivisão do planocia entre dois conjuntos numéricos. xy). O conjunto imagem, por sua vez, também é uma superfície formada de todos os pontos de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun- ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo. Figura 5 – Diagrama representando o conceito de função: é uma correspondência entre conjuntos numéricos.Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-lação representada entre o conjunto A e o con-junto B associa a cada elemento de A um ele-mento de B. A correspondência entre os ele- Figura 7 – Domínio e gráfico dementos associados é representada pelas setas uma função de duas variáveis.que partem do conjunto A (que é o domínio dafunção) e chegam ao conjunto B (imagem dafunção). Vamos, agora, ampliar esses concei- Exemplo 7tos para as funções de duas variáveis. 1. Determine o domínio da funçãoO domínio de uma função de duas variáveis éum conjunto formado por todos os pares de .valores (x,y) em que a função toma valores. Ve- Para achar o domínio, devemos achar o con-jamos o diagrama seguinte, semelhante ao junto de pares (x,y) para os quais é possívelque foi feito para a função de uma única va- realizar a operação indicada. No presente ca-riável: so, a operação é . Essa operação é 13
    • UEA – Licenciatura em Matemática uma radiciação, e só tem sentido no conjunto dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim, todos os pares de valores (x,y), que obedecem à desigualdade acima, pertencem ao domínio daquela função: 16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, portanto, x2 + y2 ≤ 16 . Figura 9 – Domínio da função Essa é uma equação que representa os pontos de um círculo de raio 4, centrado na origem. z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) Exemplo 9 3. Determine o domínio da função Nesse caso, encontramos duas condições a serem atendidas: 1.a O denominador deve ser sempre diferente de zero. 2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre Figura 8 – Domínio da função maior que zero. Para atender à 1.a condição, impomos a restrição x – 1 = 0 x = 1. Em seguida, para atender à 2.a condição, impomos a restrição x + y + 1> 0. Exemplo 8 y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos2. Determine o domínio da função concluir que os pontos para a função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). está definida são aque- Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida les que possuem abscissa diferente de zero no item anterior, o domínio da função é o con- e estão acima da reta y = –x – 1. junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu- Os pontos pertencentes a essa região es- lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos tão representados no gráfico da figura 10. reais. As linhas tracejadas são aquelas que não Como sabemos que só existem logaritmos para possuem pontos do domínio: a reta vertical x =1 e a reta inclinada y = –x –1. números maiores que zero, podemos dizer que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for- mado por todos os pares (x,y) que obedecem a 1–x2–y2 > 0 . Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1. O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o conjunto de todos os pares de valores (x,y) contidos no interior de um círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo-se os pontos da Figura 10 – Domínio da função circunferência (pois na circunferência temos x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está na figura 9, a seguir. 14
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 031. Determine e faça o esboço do domínio das GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS funções abaixo: VARIÁVEIS a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) b) Assim como no caso das funções de uma va- c) z(x,y) = 4x + y 2 riável, em que um gráfico no plano –xy apre- d) senta, visualmente, a relação entre os valores do par ordenado, também no caso das fun- e) ções de duas variáveis podemos expressar f) graficamente a relação entre o par ordenado (x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função g) z(x,y) = xln(y2 – x) de duas variáveis será uma superfície em R3. h) Noutras palavras, podemos dizer que assim como o gráfico de uma função de uma única i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z) variável é uma curva de equação f(x), o gráfico j) de uma função de duas variáveis será uma l) superfície S com equação z(x,y). Podemos ver a superfície S acima ou abaixo do domínio D m) da função. É importante notar que a superfície que representa o domínio da função, pode ser vista como uma projeção do gráfico de z(x,y) sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos um meio rápido e eficiente para estudar o com- portamento de uma função e avaliar suas ca- racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem- plos de gráficos de funções de duas variáveis, (i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 15
    • (v) z(x,y) = e–x2 + ey2(ii) z(x,y) = x – 3x2 (vi)(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2 (vii)(iv) z(x,y) = ln (x2 + y2) (viii) z(x,y) = (x2 + y2)2 16
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis ser descritos sobre o plano do papel por meio de um conjunto de curvas, em que cada curva corresponde a um corte do morro ou da mon- tanha a uma dada altura, que fica registrada sobre a curva de nível correspondente. Na car- tografia, então, os pontos de uma curva de nível é a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma altura, ou seja: h = constante. Dessa forma, podemos encarar as curvas de(ix) nível como tendo sido obtidas cortando-se o morro ou a montanha em fatias paralelas a um plano horizontal. Veja a figura abaixo:(x)O aspecto visual desses gráficos não escondeo fato de que é bem difícil traçá-los manual-mente. Esses exemplos foram traçados com oauxílio de um programa de computador. Comos programas computacionais, podemos en-xergar o comportamento do gráfico em qual-quer região do domínio da função, mas nessesexemplos é preferível ver o comportamento em De forma geral, é importante notar que, ondepontos próximos à origem, pois em várias apli- as curvas de nível estiverem mais próximascações torna-se importante saber o compor- umas das outras, a superfície será mais incli-tamento da função para valores pequenos das nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,variáveis. a superfície será mais plana.Apesar do exposto acima sobre a dificuldade Saindo um pouco da cartografia, podemos di-de traçado desses gráficos sem o auxílio com- zer que, de forma mais geral, uma curva deputacional, já era possível traçá-los manu- nível é obtida pela junção dos pontos corres-almente com o auxílio das curvas de nível, for- pondentes a um valor constante de uma dadamadas pelas interseções do gráfico de uma grandeza. As curvas de nível de uma funçãofunção de duas variáveis com um plano hori- f de duas variáveis são as curvas comzontal. As curvas de nível são um recurso que equação f(x,y) = k, onde k é uma constante.foi tomado emprestado da cartografia; por As figuras seguintes comparam os gráficos emeio delas, um morro ou uma montanha pode as curvas de nível de algumas funções. 17
    • UEA – Licenciatura em Matemática Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = x2 – 3y2 Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 18
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 041. Estabeleça a correspondência correta entre as LIMITES E CONTINUIDADE PARA equações e as curvas de nível de cada função FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS dada por z = f(x,y). a) f(x,y) = x2 – y2 Assim como nas funções de uma única variáv- el, os conceitos de limite e continuidade de b) uma função de várias variáveis estão inti- mamente ligados. Na teoria das funções de c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2 uma única variável, dizemos que a função é d) f(x,y) = x2 + y2 contínua num dado valor xo se no limite em que x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores que xo, ou por valores de x menores que xo. Se a função tender para valores diferentes con- 1. forme x se aproxime de xo pela direita ou pela esquerda, a função é dita descontínua. Veja- mos os gráficos abaixo: 2. 3. Figura 17 – Continuidade de uma função de uma variável. 4. A definição de continuidade da função de uma2. Uma chapa plana de metal está situada em um variável diz que, se o limite de f(x), quando x plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C) tende a xo por valores maiores que xo, coincide no ponto (x,y) é inversamente proporcional à com o limite de f(x) quando x tende a xo por val- distância da origem. ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua a) Descreva as isotérmicas. em x = xo. Resumindo, uma função é con- siderada contínua quando os limites laterais b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C, são iguais, o que significa que a imagem f(x) ache a equação da isotérmica para uma de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao temperatura de 200C. limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os limites laterais são iguais também significa que3. Deve-se construir uma usina de incineração de o limite da função está bem definido em x = xo, lixo para atender a duas cidades. ou seja, o limite existe em x = xo. Cada cidade gostaria de maximizar sua distân- Por outro lado, a definição de função descontí- cia à usina, mas, por motivos econômicos, a nua diz que a função possui uma descontinui- soma da distância de cada cidade à usina não dade em x = xo, se os limites laterais não são pode exceder M quilômetros. Mostre que as coincidentes. curvas de nível para localização da usina são Dizer que os limites laterais não são coinci- elipses. dentes significa que se x tende a xo por valores maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e quando x tende a xo por valores menores que 19
    • UEA – Licenciatura em Matemática xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per- laterais são diferentes, não se pode afirmar que tencente ao domínio da função e contido em a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, uma vizinhança circular centrada em Po aprox- tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ- imar-se de Po ao longo de qualquer caminho ação, dizemos que o limite não está definido contido no círculo, também sua imagem, per- em x = xo, ou seja, não existe o limite da correrá pontos da superfície-imagem até função em alcançar o ponto B, imagem de Po. x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Noutras palavras, se um ponto P nas vizinhan- , ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami- nho totalmente contido sobre a superfície do gráfico da função, qualquer que seja o cami- nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po) é o limite da função quando P tende a Po. Isso equivale a dizer que existe o limite da fun- ção em P = Po, pois para qualquer caminho que se use para chegar até Po, alcançaremos o mesmo valor final para f(P). Figura 18 – Descontinuidade de uma função de uma variável. (f(P) = f(Po)). Simbolicamente: A figura 18 acima ilustra os conceitos formu- lados sobre a descontinuidade de uma função Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y) de uma única variável. e Po=Po(xo,yo): Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen- ça de comportamento dos limites da função quando x tende a xo pela direita (por valores Assim como no caso da função de uma única maiores que xo) e pela esquerda (por valores variável, a existência do limite garante a con- menores que xo). tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por A extensão dessas idéias para o campo das outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P= funções de duas variáveis é imediata. Conside- Po depender do caminho seguido para se atin- remos a figura 19 abaixo: gir o ponto Po, o limite da função não estará definido em Po e, da mesma forma que para uma única variável, diremos que a f(x,y) é des- contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar- mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao longo dos quais f(P) atinge limites diferentes, quando P se aproxima do mesmo ponto Po, então o limite não está definido em P = Po. Dizemos, então, que não existe o limite de f(P) em P = Po, e que Po é um ponto de descon- tinuidade da função. A noção de continuidade é essencial para o cálculo de funções de várias variáveis, pois, assim como no universo das funções de uma única variável, permite definir a existência das derivadas no contexto das funções de várias variáveis. A figura 20, a se- Figura 19 – Continuidade de guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun- uma função de duas variáveis. ção de duas variáveis. 20
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 05 DERIVADAS PARCIAIS As definições dadas até aqui não são exclusi- vas das funções de duas variáveis, são co- muns a todas as funções de várias variáveis. O fato de usarmos as funções de duas variáveis deve-se à facilidade de visualização que elas apresentam, pois podemos ver seus gráficos como superfícies em um espaço tridimen- sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma função de 20 variáveis, por exemplo! Figura 20 - Descontinuidade da função de duas variáveis. Um caso simples de função de mais de duas variáveis é o custo de um produto que envolva mais de dois ingredientes em sua fabricação, cada um com seu preço, o que se refletirá no preço de custo do produto. Por exemplo: o custo final kf de um bolo de1. Ache o limite chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó a) de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar, leite e fermento, dependerá dos preços desses ingredientes e pode ser escrito na forma fun- b) cional kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6 c) em que A,B,C,D,E e F são constantes que re- presentam as quantidades utilizadas de cada d) ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam os preços de cada ingrediente. e) Assim, fica claro que o custo final é uma função de seis variáveis, kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).2. Mostre que o limite não existe. Não podemos desenhar um gráfico dessa fun- a) ção, cujo domínio é hexadimensional, para po- dermos enxergar, de uma única vez, o compor- b) tamento dessa função. Analisemos o compor- tamento da função custo total quando o preço de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar, c) varia, enquanto os demais preços permane- cem constantes. d) É razoável supor que o custo total variará com a mesma rapidez com que varia o preço do açú- e) car. Se, agora, o único preço variável for o do fermento, enquanto todos os demais preços estiverem estacionados, novamente podemos 21
    • UEA – Licenciatura em Matemática dizem que o custo total variará com a mesma No exemplo anterior, a variação no custo de taxa de variação do fermento, pois ele estará nosso bolo de chocolate, devido à variação no sendo o único responsável pela variação do preço do açúcar, é dada por custo final do bolo. ; Se em outra situação, os preços do açúcar e do fermento estiverem variando, e os preços e a variação no custo do bolo, devido às vari- dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa ações combinadas dos preços do açúcar e do de variação do custo total será a soma da taxa fermento, é dada por de variação do preço do açúcar com a taxa de variação do preço do fermento, ingredientes . responsáveis pela variação do custo final do produto. A taxa de variação de uma função de N variáveis, em relação a uma de suas varáveis Interpretação Geométrica das Derivadas xj em particular, é chamada derivada parcial da Parciais função em relação a xj, e é definida pela razão Quando precisamos subir uma elevação, co- incremental: mo um pequeno morro, sempre procuramos subir pelo lado menos íngreme, para poupar esforço. O formato geométrico da elevação é tal que o dispêndio de energia depende da O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se encosta que escolhermos para subir. derron), que significa D-redondo, em francês. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior, No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva- fazendo que cada metro percorrido na hori- da parcial do custo final (kf) da iguaria em re- zontal resulte numa grande elevação vertical, lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento tornando a subida é mais abrupta. A figura 21 (x6) são definidas, respectivamente, como: mostra um gráfico da função , Notemos que a definição de derivada parcial é representando um morro. Podemos observar similar à definição da derivada da função de que, se subirmos o morro ao longo do eixo y, uma única variável, envolvendo o limite da fun- faremos um esforço maior, pois ao longo desse ção em um dado ponto. Para que a derivada da caminho, a elevação é mais pronunciada, mais função de N variáveis possa existir no ponto íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x, considerado, é necessário que exista o limite da o esforço será menor. função naquele ponto, ou seja, é preciso que a Com esse exemplo, vemos que a taxa de va- função seja contínua no ponto. O incremento riação de uma função de duas variáveis pode diferencial (df) no valor da função de N variá- depender do caminho. Nesse caso, a taxa de veis, devido ao incremento no valor de apenas variação da altura em relação à distância ho- uma de suas variáveis, é dado por rizontal depende do caminho escolhido. . De forma mais geral, o incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido a incre- mentos em todas as suas variáveis, é dado por 22
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis 1. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se y fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a x. 2. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se x fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a y. 3. No caso de N variáveis, para determinar , devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN) Figura 21 – Crescimento diferenciado da função. em cada direção. A distância como se todas as variáveis diferentes de xj, fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN) entre as curvas de nível mostra que o crescimento em relação a xj. desta função é mais veloz ao longo do eixo y, do que ao longo do eixo x. Exemplo 10A análise das curvas de nível do morro também 1. Ache as derivadas parciais demostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).estão mais próximas umas das outras do queas atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele- Solução:vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do Em relação a x, encaramos y como umaque ao longo do eixo–x.Vemos, novamente, que a taxa de variação da constante: .altura em relação a x depende da direção quese segue até o alto do morro. De fato, se se- Em relação a y, encaramos x como umaguirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-do pela seta pontilhada, a inclinação terá outrocomportamento, diferente daqueles sobre x e y. constante .Resumindo o que acabamos de discutir, sechamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) ainclinação da função z(x,y) em cada ponto de- Exemplo 11penderá da direção de deslocamento sobre o Ache as derivadas parciais .plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,a tangente do ângulo de inclinação será dada Solução:por Em relação a x, encaramos y como uma cons- e para um percurso ao longo do tante :eixo–y, será dada por Em relação a y, encaramos x como uma cons- tante:Como se Calculam as Derivadas Parciais deuma Função?Até aqui, estivemos preocupados com a cons- 3) Ache as derivadas parciais detrução conceitual das derivadas parciais; pas-semos, agora, a ver como se determina aderivada parcial de uma função em relação auma de suas variáveis. A regra é simples: Solução: 23
    • UEA – Licenciatura em Matemática Em relação a cada variável, encaramos todas Regra da Cadeia as demais como constantes, e efetuamos a Freqüentemente, nos problemas aplicados às derivação em relação à variável considerada: ciências naturais, surge a dependência das va- riáveis, e da própria função, em relação ao tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape- nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos também acompanhar sua variação em relação ao tempo, ainda que esta dependência não esteja explícita na fórmula da função. Se o tempo não aparecer explicitamente na ex- pressão matemática da função, mas souber- mos como uma (ou mais) das variáveis se com- porta em relação a ele, podemos determinar a variação temporal da função como um todo por meio da regra da cadeia:1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f. a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 Exemplo: b) f(x,y) = (x3 – y2)5 Um circuito elétrico simples consiste em um c) resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo d) instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à e) f(x,y) = xey + ysen(x) razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, f) f(x,y) = ey + ln(xy) , e a regra da cadeia para achar a taxa à g) qual a corrente I (em ampères) varia. 2 h) f(x,y,z) = 3x z + xy 2 SOLUÇÃO: i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t) l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y Substituindo valores: m) V=80, , R= 40, e , obtemos:2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV = nKT, em que n é o número de mo- léculas do gás, V é o volume, T é a tem- peratura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que:3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx) 24
    • Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 06DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 1. Verifique que a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3yAnalogamente ao que ocorre no caso de umaúnica variável, também para várias variáveis é b)possível determinar derivadas de ordem supe-rior à primeira. c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)O cálculo é realizado da mesma forma como é d)realizado na derivada ordinária: encarando to-das as variáveis como constantes, menos a va- e)riável em relação à qual se está derivando. Osímbolo para a derivada parcial de ordem m é 2. Uma função de x e y é dita harmônica se em todo o domínio de f. ProveAssim: que a função dada é harmônica. é a derivada parcial de segunda ordem a) b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)de f em relação a x; 2 é a derivada parcial de terceira ordem 3. Se w(x,y) = e–c t sen(cx), mostre quede f em relação a y; para todo número real c. 4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda é a derivada parcial de quarta ordem def em relação a w; a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)e da mesma forma para outras ordens. b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)É necessário salientar que, nas aplicações damatemática às ciências naturais, as derivadas 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, émais importantes são as de segunda ordem, emitido por uma chaminé de h metros deque dão origem à maior parte das equações altura, a concentração C(x,y) em do po-diferenciais da física, da química, e da enge- luente em um ponto a x quilômetros da cha-nharia. miné e à altura de y metros pode ser represen-Existe também o caso em que a função é deri- tada porvada sucessivamente em relação a variáveis di-ferentes, a chamada derivada cruzada: Como as variáveis são inde- em que a e b são constantes positivas quependentes entre si, podemos ver que: dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão de poluente. Suponha que . 25
    • UEA – Licenciatura em Matemática Calcule e interprete e no ponto (2,5).5. Mostre que qualquer função dada por satisfaz a equação de Laplace em três dimensões .6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas- culino de x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximado pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete a) b)7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula , onde I é a corrente, V é a voltagem, R a resistência, L a indutância e uma constante positiva. Calcule e interprete e . 26
    • UNIDADE IIDerivada direcional
    • Cálculo II – Derivada direcional Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y, podemos escrever um vetor deslocamento TEMA 01 → dy = dy^ y Para o caso em que o movimento é oblíquo eVETOR GRADIENTE E DERIVADAS recebe contribuições tanto do deslocamentoDIRECIONAIS ao longo de x quanto de y, podemos escrever um vetor deslocamento →Retomemos o exemplo da inclinação do morro dr = dxx + dy^ ^ y Podemos resumir os três casos em uma sódado pela equação notação se enxergarmos dz como resultado de um produto escalar entre os deslocamentos ena figura 22 abaixo. um novo vetor, de forma que para deslocamentos sobre o eixo x. para deslocamentos sobre o eixo y. Figura 22 – Crescimento diferenciado para deslocamentos oblíquos. da função em cada direção. → O vetor ∇ z definido pelas igualdades acima é escrito comoVemos, nas curvas de nível, que é mais fácilsubir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.Podemos dizer que quando subimos ao longodo eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-dx percorrido é jeção do gradiente em uma direção cujo uni- tário^ faz um ângulo com a direção do gradi- u ente, fornece-nos a derivada da função na direção de^ a chamada derivada direcional, u,e se subirmos ao longo do eixo y, teremos Du, como mostra a figura 23 a seguir :acréscimos na subida dados por:Para uma direção oblíqua, em que não estare-mos ao longo de nenhum dos eixos, teremoscontribuições das duas variáveis: → → → Duf = ∇ f .^ =|∇ f||^ u u|cos(θ) = |∇ f| cos(θ) → Podemos notar da igualdade Duf = |∇ f|cos(θ)Note que para o movimento exclusivo sobre o que o maior valor da derivada direcional ocorreeixo x, podemos escrever um vetor desloca- quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-mento cional é o próprio gradiente, o que nos revela → ^dx = dxx uma importantíssima propriedade do gradiente: 29
    • UEA – Licenciatura em Matemática O gradiente aponta na direção de maior vari- a) Ache a taxa de variação de T em P na dire- ação da função. ção de ^+ ^ x y. Embora tenhamos apresentado o gradiente b) Em que direção T aumente mais rapida- em um exemplo bidimensional, ele é tridimen- mente em P? sional em sua forma mais geral: c) Em que direção a taxa de variação é zero? 3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V= x2 + 4y2 +9z2 Devemos também assinalar que o gradiente está definido para uma função f escalar; não a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na existe gradiente de vetor, embora em várias direção de P para a origem. aplicações seja importante saber o gradiente b) Ache a direção que produz a taxa máxima do módulo de um vetor. de variação de V em P. Duas das aplicações mais importantes do gra- c) Qual a taxa máxima de variação em P? diente na física estão na mecânica e no eletro- magnetismo. Na mecânica, podemos definir a 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por → força conservativa, F como simétrica ao gra- T = 4x2 – y2 +16z2. diente da energia potencial mecânica W: → a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na → F = –∇ W direção de 2^+ 6^ – 3z.. x y ^ No eletromagnetismo, de forma similar, define- b) Em que direção T aumenta mais rapida- → se o campo elétrico E gerado por um potencial mente em P? elétrico φ: → → c) Qual é esta taxa máxima de variação? E = –∇ φ d) Em que direção T decresce mais rapidamen- te em P? e) Qual é esta taxa de variação?1. Ache a derivada direcional de f em P na dire- ção indicada a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; b) f(x,y) = x2ln(y); P(5,1), ^ = –^+ 4^ u x y c) f(x,y,z) = z2exy; P(–1,2,3), ^ = 3^ +^– 5^ u x y z d) ;2. Uma chapa de metal está situada no plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja in- versamente proporcional à distância da ori- gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF. 30
    • Cálculo II – Derivada direcional O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano- xy. A curva C pode ser escrita em termo de TEMA 02 componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um parâmetro, como o tempo em problemas deMULTIPLICADORES DE LAGRANGE mecânica, mas que, em geral, pode ser um ângulo ou outra grandeza conveniente.Muitas vezes, em problemas de aplicações, →devemos achar os extremos de uma função de Seja r (t) = x x + y^ = h(t)^ + m(t)^ o vetor ^ y x yvárias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figuracomo exemplo, o problema de acharmos o 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),maior volume de uma caixa retangular sem em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a →tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total t = to, isto é, r (to) = xo^ + yo^ = h(to)^ + x y x ^ Definindo F de uma variável t por m(to) y.seja de 12m2. Podemos ver que a função a sermaximizada é o volume F(t) =f(h(t),m(t)),V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área vemos que, quando t varia, obtemos valorestotal seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a mos considerando apenas os valores de f(x,y)expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma que estão sobre pontos da curva C. Comocurva de nível para a função superfície da cai- f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =xa, pois representa todos os pontos de coor- f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)denadas (x,y,z) para os quais o valor da função = 0. Se encaramos F como uma função com-é constante e igual a 12. posta, então, pela regra da cadeia,O método dos multiplicadores de Lagrangefornece-nos uma ferramenta eficiente pararesolver problemas dessa natureza, com baseno conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de Fazendo t = to, temos:gradiente de uma função. Comecemos com asfunções de duas variáveis: em termos gerais, ovínculo aplicado à função, cujos extremosprocuramos, restringe os valores das coor- →denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de Isso mostra que o vetor ∇ f(xo,yo) é perpen- →nível correspondente ao vínculo, ou seja, só dicular ao vetor r’(to) tangente a C. →nos interessaremos pelos valores da função Entretanto ∇ g(xo,yo) também é perpendicular a →que corresponderem a pontos que estiverem r’(to) porque C é uma curva de nível para g. → →sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Como ∇ f(xo,yo) e ∇ g(xo,yo) são perpendicula-Vejamos a figura res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto → → é, ∇ f(xo,yo) = λ∇ g(xo,yo) para algum λ. O número λ é chamado multiplicador de Lagran- ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectiva- mente, da caixa em metros. Exemplo 1 Achar a caixa sem tampa de maior volume com superfície total de 12m2. Solução: Figura 24 – Curva de nível C, representando g(x,y) =k, e a representação em Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito → → termos do parâmetro t, mostrando que ∇f = λ∇g à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12. 31
    • UEA – Licenciatura em Matemática Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro- → , curamos os valores de x, y, z e tais que ∇ V = → λ∇ g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi- ções, geramos as equações: , e x2+y2 = 1 Elas resultam em: (8) 2x = 2x e 2xz+2yz+xy = 12, (9) 4y = 2y ou seja: (10) x2+y2 = 1 (1) yz = (2z+y) A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0, então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a (2) xz = (2z+x) equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação (3) xy = (2x+2y) (10) fornece x = ±1. Portanto os valores (4) 2xz+2yz+xy =12 extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1), (0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses Para resolver esse sistema de equações, va- quatro pontos, temos: mos lançar mão de alguns truques: observe que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) f (0,1) = 2 por z, os lados esquerdos dessas equações f(0,–1) = –2 ficam iguais. Assim temos que: f(1,0) = 1 (5) xyz = (2xz+xy) f(–1,0) = 1 (6) xyz = (2yz+xy) Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo (7) xyz = (2xz+2yz) x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = f(±1,0) = 1. xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy = 2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos: 2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan- to y = 2z. Se substituirmos 1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para x = y =2z em (4), teremos: determinar os valores máximo e mínimo da 4z2+4z2+4z2 = 12 função sujeita à restrição dada: sabendo que x, y, e z são todos positivos, a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1 temos que z =1, x = 2 e y = 2. b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100 Exemplo 2 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6 Determine os valores extremos da função d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25 f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1 Solução: f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35 Devemos achar os valores extremos de f (x,y) sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re- de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua- → → solvemos as equações ∇ f = λ∇ g, g(x,y) = 1, drado do material para os lados, o fundo e a que podem ser escritas como: tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00, 32
    • Cálculo II – Derivada direcional respectivamente, ache as dimensões que mini- mizam o custo.3. Deve-se construir um depósito com tampa, em forma de cilindro circular reto e com área de superfície fixa. Mostre que o volume é máximo quando h = 2R.4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área máxima, com perí- metro constante p, é um quadrado.5. Determine as dimensões de uma caixa retan- gular de volume máximo tal que a soma de suas doze arestas seja um constante c.6. Determine as dimensões da uma caixa retan- gular de maior volume se sua superfície total é dada como 64m2. 33
    • UNIDADE IIIIntegrais de linha
    • Cálculo II – Integrais de linhaINTRODUÇÃOA integral de linha é uma generalização natural TEMA 01da integral definida , em que o intervalo CAMINHOS E CURVAS[a, b] é substituído por uma curva, e a função Seja g uma função vectorial que toma valoresintegranda é um campo escalar ou um campo em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. Àvetorial definido e limitado nessa curva. medida que a variável independente t percorre I,As integrais de linha são de uma importância os correspondentes valores da função g(t) per-fundamental em inúmeras aplicações, nomea- correm um conjunto de pontos de IRn, que con-damente, em ligação com energia potencial, stitui o contradomínio da função. Se a funçãofluxo do calor, circulação de fluidos, etc. tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu- alizar, geometricamente, esse contradomínio.No que se segue, começaremos por apresen-tar os conceitos de curva e de comprimento de Exemplo 1uma curva; em seguida, daremos a definição Seja g : IR → IR2 a função definida por:de integral de linha. Depois de enunciarmos aspropriedades fundamentais da integral de linha, g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal- O contradomínio de g é a reta que passa peloho realizado por uma força. ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1). Se a função g é contínua em I, o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concreta- mente, a curva descrita por g. Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por: f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR. Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é, o seu contradomínio. 37
    • UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 3 g (I) é a curva representada por g, e que g é uma representação paramétrica da curva C; O traço da curva é como os pontos da curva são da forma g (t), com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa- da por parâmetro da representação paramétri- o segmento de reta de extremidade inicial ca considerada. Se g é um caminho definido (–1,0,2) e final (7,6,4). num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do Exemplo 4 caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser ponto final do caminho g. representado, parametricamente, por , ou seja, é o traço da curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2). As propriedades da função g podem ser uti- lizadas para investigar as propriedades geo- métricas do seu gráfico. Em particular, a deri- vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada com o conceito de tangência, tal como no caso das funções reais de variável real. Veja-se qual Exemplo 5 o comportamento do quociente A curva quando h → 0. Esse quociente é o produto do Tem por traço a cúbica vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal, o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor . Como já foi visto no Cálculo Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de quando h → 0, tem-se g (t + h) − g (t ) lim = g (t ) h→0 h ,e, se g’(t) = 0, o Observe que, elimidando-se o parâmetro t, vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente, obtemos , logo (x,y) pertence ao traço como o vetor tangente à curva g no ponto g(t). de γ se, e só se, . Definição 1 Chama-se caminho em IRn qualquer função contínua definida num intervalo (limitado ou não) de números reais I e com valores em IRn. O contradomínio de um caminho chama-se cur- va ou arco. Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C = 38
    • Cálculo II – Integrais de linhaDefinição 2 Exemplo 7Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca- A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferênciaminho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t) C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.oexiste e é diferente do vetor nulo, a reta que quadrante, com o segmento de reta C2, quepassa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t) une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-designa-se por reta tangente a C no ponto g(t). cionalmente de classe C1. Com efeito, trata-se de uma curva que não é deDefinição 3 classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1,Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe 1)), mas é a união de duas curvas de classe C1.C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 seexiste um caminho de classe C1 que represen-ta, parametricamente, C.Exemplo 6O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),define uma curva de classe C1 pois g’(t) =(1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1]. Lembrando Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar f é uma função de classe Cr num conjunto aber- to S quando admite derivadas parciais contí- nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se que f é de classe Cr em S se existir uma função g de classe Cr num aberto que contenha S, tal que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) , diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr em I, qualquer que seja i=1,..., n.Definição 4Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional- Definição 5mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que gser decomposto num número finito de subin-tervalos em cada um dos quais o caminho é de é um caminho fechado se I é um intervaloclasse C1. Uma curva diz-se seccionalmente de fechado e limitado de extremos a e b e g(a)classe C1 se existir um caminho seccionalmen- = g(b). Diz-se que o caminho não-fechado gte de classe C1 que a parametrize. é um caminho simples quando g é injetivaConclui-se que um caminho seccionalmente (isto é, g não assume o mesmo valor emde classe C1 não pode deixar de ser contínuo. quaisquer dois pontos distintos de I). O caminho fechado g diz-se um caminho sim-Exemplo 4A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência ples se g for injetiva no interior de I. Um con-C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou umaquadrante, com o segmento de reta C2, que curva simples se existe, respectivamente,une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec- um caminho fechado ou um caminho sim-cionalmente de classe C1. ples que o representa parametricamente. 39
    • UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 8 A função g : [0, 8π] → IR3 definida por g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que representa um arco de hélice cilíndrica. Entre as diferentes representações paramé- tricas de uma curva, interessa identificar aque- las que correspondem apenas a uma mudança de escala do parâmetro. Definição 6 Exemplo 9 Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos Uma circunferência centrada na origem e de em IRn. raio 2 tem por equação cartesiana a expressão x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se paramétrica dessa circunferência pode ser da- existe uma função bijetiva e continuamente da pela função f:[0, 2π] → IR2, diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp- todos com exceção dum número finito de pon- lo de um caminho simples e fechado. tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca- minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca- so, diz–se que a função φ preserva o sentido; no segundo caso, que inverte o sentido. Exemplo 11 Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com definidos no exemplo 10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) = Exemplo 10 2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente A curva representada na figura abaixo pode ser diferenciável e tem derivada não nula em todo definida, parametricamente, pelo caminho o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre- lado, sentações paramétricas da mesma curva são, por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com , com Pode-se, então, concluir que α e β são cami- λ(t) = (tgt,tg t). 3 nhos equivalentes com o mesmo sentido. 40
    • Cálculo II – Integrais de linha TEMA 021. Determine as representações paramétricas das COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS seguintes curvas de IR2 e indique quais são sim- ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1: Como aplicação da integral definida em IR, já a) y = x , x∈[–1,1] 2 foi visto que o comprimento do gráfico C de uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b], b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0) c) x2 + y2 = 2 pode obter-se pela fórmula d) 4x2 + y2 = 1 desde que f tenha derivada contínua em [a, b]. O objetivo desta seção é formalizar a noção de2. Determine as representações paramétricas das comprimento de uma curva. Esse conceito seguintes curvas de IR3 : pode ser facilmente introduzido a partir da a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0) noção de comprimento de uma linha poligonal, até (1,1,1). definida como a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que a constituem. b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0) até (1, 1, 2). Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi- mado do comprimento da curva aí representa- c) A curva definida pelas condições da pode ser obtido marcando-se na curva um x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1. certo número de pontos e calculando-se o com- primento da linha poligonal cujos extremos são precisamente esses pontos. A intuição leva a supor que, se for inscrita na curva uma nova linha poligonal, pela adição de mais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima- ção do comprimento da curva. Por outro lado, também é claro que o compri- mento de qualquer linha poligonal inscrita não deverá exceder o da curva, visto que uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos! É, pois, natural, definir o comprimento de uma curva como o supremo do conjunto dos com- primentos de todas as linhas poligonais inscri- tas na curva. Definição 7 Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se 41
    • UEA – Licenciatura em Matemática linha poligonal inscrita no caminho g a uma união de segmentos de reta cujos extremos são pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti- ficável se o conjunto dos comprimentos de li- nhas poligonais nele inscritas é majorado e, nesse caso, chama-se comprimento do cami- nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo- rantes) desse conjunto. Diz-se que uma curva é retificável se pode ser representada parametricamente por um cami- | g(ti) – g(ti–1)| é o comprimento do segmento | | nho retificável e, nesse caso, chama-se com- da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti). primento da curva ao ínfimo dos comprimentos Se o caminho for de classe C1, pode escrever- de todos os caminhos retificáveis que a repre- se, qualquer que seja a decomposição Δ, sentam parametricamente. (1) O teorema seguinte estabelece uma condição suficiente para que um caminho seja retificável e indica a forma de calcular o seu comprimen- to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada condição é igualmente necessária para que A segunda igualdade é justificada pela apli- um caminho seja retificável. cação da fórmula de Barrow a cada uma das funções componentes de g. A desigualdade Teorema 1 que lhe segue justifica-se pela seguinte pro- Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti- priedade: se f é um campo vetorial integrável ficável se ||g’|| é uma função integrável em no intervalo [a, b], então [a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções integráveis em no intervalo [a, b]. De (1),sai, então, que é um majorante Em particular, o comprimento de g é S = s(b) = ∫b | g’(t)| a | |dt. dos comprimentos das linhas poligonais ins- critas em g, o que implica que o caminho g é Observação: retificável. A função | g’(t)| | |representa a norma euclidiana Vejamos, agora, que o comprimento de g entre de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto, g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por . . Demonstração: Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b, o comprimento da linha poligonal inscrita na curva definida por g é dado por 42
    • Cálculo II – Integrais de linhaSeja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos” Deve-se referir que o comprimento de uma cur-e s(τ) o comprimento do arco de curva que vai va de classe C1 é independente da respectivadesde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ), parametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b]com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondo → IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza-τ >τ0, tem-se ções equivalentes de uma mesma curva. Seja φ : I → J uma função bijetiva e continua- mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos,donde com exceção dum número finito de pontos t ∈I(2) e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note- se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t) ≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t) = 0. Então, tendo em conta o teorema da mu-caso τ < τ0, tem-se dança de variável na integral definida, deduz- se sucessivamente,e as desigualdades 2 mantêm-se válidas.Por outro lado, uma vez que a norma é umafunção contínua, tem-se(3)adicionalmente é válida a igualdade(4) Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤ φ (b).pois, pelo teorema da média, Observação 1 s(t) diz-se a função comprimento de arco. OConsequentemente, o enquadramento (2) e as diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt.igualdades (3) e (4) implicam que Observação 2 No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–see, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b], e .conclui-se que s é uma função derivável doparâmetro t que verifica Observação 3(5) No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 coms’(t) = | g’(t)| , ∀t∈[a,b]. | | g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-seAssim, para a ≤ t ≤ b, ee, em particular, o comprimento de toda acurva é dado por Então, o comprimento s do caminho g é dado por 43
    • UEA – Licenciatura em Matemática função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ). . Nesse caso, é fácil verificar que as extremida- Observação 4 des da curva correspondem aos valores 0 e π No caso de uma curva em IR2 ser dada explici- do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e tamente por uma função real de variável real f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ). y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a Por outro lado, curva por meio das equações f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et) . e, portanto, Nesse caso, admitindo que f tem derivada con- tínua em [a, b], tem-se . O comprimento pedido é então: , donde o comprimento s da curva é dado por , que é precisamente o resultado apresentado no início desta seção. Exemplo 12 Calcular o comprimento do arco da catenária definido parametricamente pela função g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t). Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do Hélice helicoidal. arco da catenária será 1. Determinar o comprimento dos seguintes ar- cos de curvas: a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2] b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦ c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π] d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦ e) Exemplo 13 Determinar o comprimento do arco da hélice helicoidal definido parametricamente pela 44
    • Cálculo II – Integrais de linha TEMA 03DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHAPara tornar mais clara a definição de integralde linha, tenha-se em atenção o que segue.Seja C uma curva do plano unindo dois pontosA e B, definida parametricamente por um cami-nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe Interpretação Geométrica da Integral de linha.C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1,. . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a Admitindo-se que a integral de linhauma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < .. existe, vejamos como o seu cálculo se pode. < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi = fazer, recorrendo a uma integral definida nog(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo intervalo [a, b].escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2, Uma vez que função comprimento de arco s(t)contendo a curva C, e suponhamos que aque- é contínua e derivável em [a, b], o teorema dela função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0, Lagrange implica que∀(x, y)∈D. (6) Σ nConsidere-se, agora, a soma i=1 ϕ(Qi)Δsi em ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algumque ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o ξi∈]ti–1 , ti[.comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto Considerando a soma conclui-searbitrário escolhido nesse arco. Como a figuraa seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma de (6) que“faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e (7)altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σ ϕ(Qi)Δsi n i=1 ,constitui uma proximação da área da superfíciecilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao sendo de notar que o 2.o membro dessa igual-eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil no intervalo [a,b] relativamente à decom-aceitar que, no caso de existir e ser finito o li- posição considerada.mite de Σi=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi n Como essa função é contínua, pode-se garan-|ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a tir a existência da sua integral de Riemann noárea de S. Ora, caso não dependa da decom- intervalo [a, b], tendo-se, portanto,posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esselimite é precisamente a integral de linha de ϕsobre a curva C relativamente ao comprimentode arco s. Essa integral é designada, habitual-mente, por integral de linha de 1.a espécie e re- atendendo a (5). Passando ao limite ambos os membros de (7), deduz-se quepresenta-se por , isto é, . Como o limite do 1.o membro não pode deixar 45
    • UEA – Licenciatura em Matemática de ser , conclui-se que para calcular essa As integrais de linha relativos ao comprimento de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro- última integral bastará calcular a integral definida blemas relacionados com a distribuição de uma grandeza escalar (massa, carga elétrica, etc) ao longo de uma curva. Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva Supondo, por exemplo, que um filamento com definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a a configuração de uma curva em IR3 tem den- integral de linha pode ser interpretada geo- sidade de massa por unidade de comprimento metricamente como a área de uma superfície. dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z), Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual- que é a massa por unidade de comprimento quer campo escalar definido em IRn e C uma qualquer linha do mesmo espaço, a integral de no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do linha de 1.a espécie define-se como segue: filamento é definida por Definição 8 Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí- nio contém uma curva C representada para- O centro de massa do filamento é definido metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn, como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são seccionalmente de classe C1. A integral, determinadas pelo sistema de equações: , dado por diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo ao comprimento de arco s definido pelo cami- nho g. Exemplo 14 Exemplo 15 Calcular a área da superfície lateral do sólido limitado superiormente pelo plano de equação Calcular o centro de gravidade do arco de semi- z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0} do plano z = 0. supondo que em todos os pontos de C a den- sidade de massa por unidade de comprimento Solução: é constante (ver figura a seguir). A curva que no plano XOY limita a superfície é Solução: a circunferência . Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas- Designando essa curva por C e representando- sa por unidade de comprimento em cada pon- a parametricamente pelas equações to (x,y) do arco de semicircunferência C. Considerando a parametrização de C, , tem-se que a área pe- g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a massa de C é dada por dida é igual a 46
    • Cálculo II – Integrais de linha ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1, g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma No caso bidimensional, a curva C é habitual- mente descrita por um par de equações para- métricas do tipo , Centro de gravidade de semicircunferência.Então, as coordenadas do centro de gravidade e a integral de linha escreve-se na forma são dadas por: No caso tridimensional, a curva C é habitual-Isto é, . mente descrita por três equações paramétricas do tipoA definição de integral de linha que agora seapresenta é relativa a campos vetoriais e intro- ,duz a habitualmente designada integral de linhade 2.a espécie. e a integral de linha escreve-se na formaDefinição 9Seja C uma curva representada parametrica-mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec-cionalmente de classe C1, e f um campo veto-rial definido em C, que toma valores em IRn.Chama-se integral de linha de f ao longo docaminho g à integral(8) Exemplo 16 Seja f o campo vetorial definido por para todos os paressempre que a integral da direita exista. (Naigualdade anterior, “.” representa a operação (x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0.de produto interno.)Observação 5Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode Bser expressa por ∫ f.dg; quando Aessa notação é usada, há de se ter em contaque a integral depende não só dos seusextremos, mas também do caminho que osliga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos-tume representar a integral de linha de f aolongo de g pelo símbolo .Quando f e g são expressos pelas suas com- 47
    • UEA – Licenciatura em Matemática Calcular a integral de linha de f de (0,0) até vetorial, e ϕ o campo escalar definido por (1,1), ao longo de cada um dos seguintes ca- ϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto inter- minhos: no de um campo vetorial f definido em C com 1. o segmento de reta de equações paramétri- o vetor unitário tangente . Então, cas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1; 2. o caminho com equações paramétricas x = t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1. Solução: No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e . Então, o produto interno Interpretemos fisicamente : se f caracteri- f[g(t)].g’(t) é igual a , donde zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f for um campo de velocidades), f. T traduzirá a com- ponente tangencial desse escoamento em No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2), cada ponto da linha C, constituindo uma medi- e da do escoamento do fluido na direção de T, em cada ponto da referida linha; assim, se C A integral pedida será, portanto, for uma curva fechada, a integral de linha ∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida do escoamento do fluido ao longo da linha C, Esse exemplo mostra que a integral, desde um medida essa que se designa por circulação. ponto até outro, pode depender do caminho que liga os dois pontos. Repare, no entanto, que se efetuar o cálculo do segundo integral, utilizando a mesma curva, mas com uma outra representação paramétrica, por exemplo, 1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que: , com 0 = t = 1, tem-se a) e C é a curva parametrizada , e a integral é igual por , com t∈[0,4] a como anteriormente. Esse fato ilustra a b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com independência do valor da integral de linha re- 0 < x < 1. lativamente à representação paramétrica uti- 2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas si- lizada para descrever a curva. Recordemos tuadas entre as curvas do plano XOY e as que tal propriedade já tinha sido observada superfícies indicadas: quando se definiu a noção de comprimento de arco. a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície . Seja C uma curva de classe C parametrizada 1 por g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquer b) Curva e superfície . t∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-se regular). Mostra-se seguidamente que a inte- c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfície gral de linha de um campo vetorial ao longo de z = x – z. uma curva regular não é mais do que a integral de linha de um certo campo escalar relativo ao 3. Considere um fio com a forma da hélice de comprimento de arco. Seja, então, f um campo equações 48
    • Cálculo II – Integrais de linha Calcule a massa do fio, sabendo que em cada ponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada por .4. Calcule a massa do segmento de curva y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se a densidade linear em cada ponto for igual ao quadrado da abscissa do ponto.5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linha poligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e (–2,0).6. Calcule , em que C é a circunferência x2 + y2 = 4, orientada no senti- do positivo. 49
    • UNIDADE IVIntegrais múltiplas
    • Cálculo II – Integrais múltiplas sor assistente. Em 1859, morreu Dirichlet, e Riemann foi nomeado professor titular para UM BREVE HISTÓRICO substituí-lo. O período de 1851 a 1859, do ponto de vista RIEMANN econômico, foi o mais difícil da vida de Rie- mann, mas ele criou suas maiores obras justa- mente nesses anos. Riemann era um matemático de múltiplos inte- resses e mente fértil, contribuindo não só para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos números como também para o da análise matemática. Riemann tornou claro o conceito de integrabi- lidade de uma função por meio da definição do que atualmente chamamos Integral de Rie- mann.Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, em Durante uma conferência-teste, generalizou to-Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro das as geometrias, euclidianas e não-euclidia-luterano e teve uma boa instrução, estudando nas, estabelecendo a Geometria Riemanniana,em Berlim e Göttingen, mas em condições que serviu de suporte para a Teoria da Rela-muito modestas por causa de sua saúde frágil tividade de Einstein.e de sua timidez. Em 1859, publicou seu único trabalho emAos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do Teoria dos Números: um artigo dedicado aopai, para a Universidade de Göttingen, estudar Teorema dos Números Primos, no qual, partin-teologia com o objetivo de tornar-se clérigo. do de uma identidade notável descoberta porMais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o Euler, chegou a uma função que ficou conheci-foco dos seus estudos para a Matemática, da como Função Zeta de Riemann. Nesse arti-transferindo-se, um ano depois, para a Univer- go, provou várias propriedades importantessidade de Berlim, onde atraiu o interesse de e dessa função, e enunciou várias outras semJacobi. prová-las. Durante um século, depois de suaEm 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o morte, muitos matemáticos tentaram prová-lasgrau de doutor em 1851. Sua brilhante tese foi e acabaram criando novos ramos da análisedesenvolvida no campo da teoria das funções matemática.complexas. Nessa tese, encontram-se as cha- Riemann morreu de tuberculose, no dia 20 demadas equações diferenciais de Cauchy- Julho de 1866, em Selasca, na Itália, durante aRiemann – conhecidas, porém, antes do tempo última de suas várias viagens para fugir dode Riemann – que garantem a analiticidade de clima frio e úmido do norte da Alemanha.uma função de variável complexa e o produti-vo conceito de superfície de Riemann, queintroduziu considerações topológicas na aná-lise.Três anos mais tarde, foi nomeadoPrivatdozent, cargo considerado o primeirodegrau para a escalada acadêmica. Com amorte de Gauss em 1855, Dirichlet foi chama-do a Göttingen como seu sucessor e passou aincentivar Riemann, primeiro com um pequenosalário, e depois com uma promoção a profes- 53
    • UEA – Licenciatura em Matemática INTRODUÇÃO TEMA 01 As integrais múltiplas ou integrais de funções INTEGRAIS DUPLAS de várias variáveis são uma extensão natural do conceito de integral de funções de uma va- Seja f(x, y) uma função definida num domínio D riável. As integrais múltiplas contribuíram bas- do plano. Vamos supor que D seja limitado, de tante para o engrandecimento do cálculo e sua sorte que ele estará todo contido num retângulo possível atuação em diversas ciências. O cál- culo, por meio das Integrais Múltiplas, tem di- R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, versas aplicações. Entre as diversas apli- Como ilustra a Fig. 6.1., vamos dividir os lados cações das Integrais Múltiplas, temos: o cálcu- horizontais desse retângulo em m subinterva- lo de volume de sólidos, o cálculo do centro de massa e momento de inércia de um corpo, etc. los iguais de comprimentos . De igual modo, dividimos os lados verticais em n subintervalos iguais, de comprimentos . Sejam: x0 = a < x1 < x2 < ........ < xm = b e y0 = c < y1 < y2 < ........ < yn = d os pontos dessas divisões. Traçando, por esses pontos, retas paralelas aos eixos de coordenadas, o retângulo R fica dividido em sub-retângulos Rij, i = 1,..., m e j = 1, ..., n, cada um deles com área ΔxΔy. Agora, tomamos em cada sub-retângulo Rij um ponto Pij = (ξi,ηj), como ilustra a Fig. 5.1 e for- mamos uma soma, chamada de soma de Riemann: em que tomamos f(ξi,ηj) como zero quando o ponto Pij estiver fora do domínio D. Quando Δx e Δy tendem a zero, ou m e n tendem a infinito, pode acontecer que essa soma tenha um limite determinado. Isso ocorrendo, esse limite é cha- mado a integral de f sobre o domínio D, que se indica pelo símbolo: ∫∫Df(x,y)dxdy Portanto, por definição, ∫∫Df(x,y)dxdy = (1) 54
    • Cálculo II – Integrais múltiplas lelepípedos cujas bases são os sub-retângulos Rij e cujas alturas correspondentes são os va- lores f(ξi,ηj). Quando Δx → 0 e Δy → 0, essa soma vai-se aproximando mais e mais do que podemos chamar o volume do sólido delimita- do pelo domínio D, pelo gráfico de f e pelas retas que passam pela fronteira de D e são paralelas ao eixo Oz. Podemos, pois, definir o volume desse sólido como a integral em (1). Fig. 6.1A existência desse limite depende do compor-tamento da função f e das propriedades do do-mínio D. Vamos supor que a fronteira de D sejaconstituída de um número finito de arcos dotipo:x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β,em que x(t) e y(t) são funções contínuas comderivadas contínuas num intervalo fechado Fig. 6.2[α,β], satisfazendo a condição x’2 + y’–2 ≠ 0.Um tal arco é dito regular e uma fronteira con- Quando f for positiva em alguns pontos e ne-stituída de um número finito de arcos regulares gativa em outros, a integral em (1) consistirá deé chamada fronteira regular. Quando a função duas partes: uma parcela positiva, igual ao vo-f é contínua num domínio compacto (fechado e lume do sólido correspondente ao subconjun-limitado), com fronteira regular, a integral dupla to de D onde f é positiva, e uma parcela nega-e (1) existe. Esse resultado é suficiente para os tiva, igual, em valor absoluto, ao volume do só-propósitos do nosso curso. lido correspondente ao subconjunto de D ondeObserve-se que, se um sub-retângulo Rij conti- f é negativa.ver pontos de D e pontos fora de D, ele con- A área de uma figura plana D, com fronteiratribuirá ou não à soma (1) conforme Pij seja regular, é definida como sendo a integral daescolhido em D ou fora, respectivamente. função f(x, y) = 1 em D, isto é,Essa escolha não afeta o valor da integral, que A = ∫∫Ddxdyé o limite da soma quando os lados dos sub- Essa definição é perfeitamente natural, já queretângulos Rij tendem a zero. Esse fato decorre as somas de Riemann em (1), com f(x, y) = 1,da hipótese que fazemos de que a fronteira são áreas de polígonos que vão “aproximando”regular tem “área nula”, portanto em nada con- mais e mais a figura D, à medida que Δx e Δytribui à integral. Existem fronteiras não regu- tendem a zero (Figs. 6.3).lares e bastante complexas para terem “áreapositiva” ou “medida positiva”, como se diz.Para interpretar geometricamente o significadoda integral dupla, vamos supor, por um mo-mento, que a função f seja positiva. Então, ográfico de z = f(x, y) é uma superfície que estáacima do plano Oxy, como ilustra a Fig. 6.2.Podemos compreender que a soma de Rie-mann em (1) é a soma dos volumes dos para- 55
    • UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 INTEGRAIS REPETIDAS Veremos que o cálculo das integrais duplas reduz-se ao cálculo de integrais simples, gra- ças a um teorema que se demonstra nos cur- Figs 6.3 sos de análise. Vamos considerar uma versão simplificada desse teorema, suficiente para os Como aplicação imediata da definição de área, propósitos de nosso curso. podemos verificar que a área A da figura deli- Vamos supor que o domínio d da função f con- mitada pelo gráfico de uma função f(x) ≥ 0, o sista dos pontos (x, y), com a ≤ x ≤ b e y1(x) ≤ eixo Ox e as retas x = a e x = b (Fig. 6.4) é y ≤ y2(x), onde y = y1(x) e y = y2(x) sejam dada por funções contínuas no intervalo [a, b], como b A = ∫ af(x)dx ilustra a fig. 6.5. Pode-se demonstrar, então, que a integral dupla de f sobre d é o resultado De fato, de acordo com a definição acima e (2) de duas integrações sucessivas: abaixo, (2) A = ∫∫Ddxdy = Fig. 6.4 Fig. 6.5 Podemos escrever a integral repetida do segundo membro de (2) na forma ou ainda Quando f é positiva, a integração em y, que aparece no segundo membro de (2), represen- ta a área A(x) de uma seção do sólido delimita- do pelo domínio D, pela superfície z = f(x, y) e pelas retas paralelas a Oz que passam pela fronteira de D. O produto A(x)dx representa o 56
    • Cálculo II – Integrais múltiplasvolume de uma “fatia” desse sólido, como ilus- Integrando primeiro em y, de y = 0 a y=tra a Fig. 6.6. Quando integramos x, obtemos o , obtemos:volume total do sólido. ∫∫D cos(y )dxdy Em seguida integramos em x, de x = 0 a x = : = = =1– Outro modo de calcular a integral consiste em integrar primeiro em x e depois em y, como ilustra a Fig. 6.7 b Fig. 6.6O resultado expresso em (2) pode ser formula-do trocando-se os papéis das variáveis x e y.Para isso, devemos supor que D possa serdescrito como o conjunto dos pontos (x, y)com c ≤ y ≤ d e x1(y) ≤ x2(y), onde x = x1(y) ex = x2(y) sejam funções contínuas no intervalo[c, d]. Então, a integral dupla da função f é oresultado de se integrar primeiro em x e depoisem y: Fig.6.7 b (3) ∫∫D cos(y )dxdy=Observe-se que para a validade, tanto de (2)como de (3), devemos supor que f seja funçãocontínua no domínio D e que este inclui sua Esse procedimento não é bom porque estafronteira, sendo, então, um conjunto compacto. última integral em x é bem mais complicada de se calcular (integral por partes).Exemplo 1Calcular a integral Exemplo 2 , onde D é o domínio deli- Calcular a integral da função f(x, y) = x no domínio D formado pelas retasmitado pelas retas y = 0, x = e pela curva y = 0, x + y = 2 e a parábola x = y2 (Fig.6.8). Nesse caso, é conveniente integrar primeiro emy= (Fig. 6.7a) relação a x: = = = Fig. 6.7 a 57
    • UEA – Licenciatura em Matemática = . É claro que continuando essas integrações vamos encontrar, sucessivamente, ,.............., , Fn(x) é o resultado de inte- grar f(t)n + 1 vezes entre 0 e x. Como vimos, nos exemplos anteriores, a escolha da ordem Fig.6.8 de integração no cálculo de uma integral dupla é ditada pela conveniência em cada caso. Observação: Poderíamos começar integrando primeiro em y, mas é um modo mais difícil. É mais interes- sante descobrir o modo mais fácil de resolver a integral dupla, ou começando por x ou por y, depende de cada caso. 1. Em cada um dos exercícios, de a a g, são da- Exemplo 3 dos um domínio D e uma função f. Calcule a Integrar uma função f(t), entre t = 0 e t = x, n integral dupla de f sobre D em cada caso. vezes é mostrar que o resultado pode ser ex- a) D é o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e presso com uma única integração. Vamos es- f(x,y) = x2 + y2 crever x x b) D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} e f(x, y) = x2y F0(x)= ∫ 0f(t)dt1, F1(x) = ∫ 0F0(t)dt1, F2(x) = x ∫ 0F1(t)dt, ........., c) D é o quadrado de vértices (±1,0) e (0,±1), e x f(x, y) = x.ey Fn(x) = ∫ 0Fn – 1(t)dt d) D é o domínio delimitado pelas retas x = y, Note-se que x s x = –1 e y = 1, e f(x, y) = x.y F1(x) = ∫ 0 ds ∫ 0 f(t)dt = ∫∫Df(t)dtds, onde D é o e) D é o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 e triângulo, no plano t, s, delimitado pelas retas f(x, y) = x t = s, t = 0 e s = x. f) D é o domínio delimitado pela parábola Integrando primeiro em s, depois em t, obte- y = x2, pelo eixo Ox e pela reta x =1 e mos: x x x f(x, y) = x.ey F1(x) = ∫ 0 f(t)dt ∫ 1 ds = ∫ 0 f(t)(x – 1)dt, usando esse resultado, podemos calcular F2(x) de g. D é o domínio delimitado pela parábola maneira análoga: y = x2, o eixo Oy e a reta y = e f(x, y) = . 2. Calcule a integral dupla ∫R∫(2x – 3y)dA se R é a região que consiste de todos os pontos (x, y), Com esse resultado, podemos calcular F3(x) tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 pelo mesmo método de trocar a ordem das in- tegrações: 3. Encontre o volume do sólido limitado pela su- 58
    • Cálculo II – Integrais múltiplas perfície f(x, y) = 4 – os planos TEMA 03 x=3 e y = 2 e os três planos coordenados. INTEGRAIS TRIPLAS4. Encontre, por integração dupla, a área da re- gião no plano xy, limitado pelas curvas y = x2 A extensão da integral dupla à integral tripla é e y = 4x – x2. análoga à extensão da integral simples à inte-5. Determine o valor da integral dupla gral dupla. O tipo mais simples de região em R3 é um paralelepípedo retangular, limitado pe- . los seis planos:6. Encontre o valor da integral ∫R∫sen xdA, R é a x = a1 x = a2 região limitada pelas retas y = 2x, y = , e y = b1 x = π. y = b2 z = c17. Encontre o volume do sólido abaixo do plano z = c2 z = 4x , e acima da circunferência x2 + y2 = 16 com a1< a2 , b1< b2 e c1< c2. no plano xy. Seja f uma função de três variáveis e supo- nhamos que f seja contínua em tal região D. Uma partição dessa região é formada dividindo D em sub-regiões retangulares traçando pla- Propriedades da Integral Dupla nos paralelos aos planos coordenados. Deno- Vamos relacionar aqui várias propriedades das temos tal partição por Δ e suponhamos que n integrais duplas, que são comuns às integrais seja o número de sub-regiões. Seja ΔiV a medi- simples. A linearidade da integral expressa-se da do volume da i-ésima sub-região. Escolhe- por meio das seguintes equações: mos um ponto arbitrário (ξi,γi,μi) na i-ésima sub- região. Formamos a soma: 1. ∫∫Dc.f(x,y)dxdy = c∫∫Df(x,y)dxdy, 2. ∫∫D[f(x,y) + g(x,y)]dxdy (1) = ∫∫Df(x,y)dxdy + ∫∫Dg(x,y)dxdy, A norma |Δ| da partição é o comprimento da | | onde c é constante, f e g são funções con- maior diagonal das sub-regiões. As somas da tínuas num domínio compacto D com fron- forma (1) terão um limite quando a norma da par- teira regular. Se D = D1∪D2, onde D1 e D2 tição tender a zero, para qualquer escolha dos são domínios disjuntos ou só têm em pontos (ξi,γi,μi), se f for contínua em D. Denomina- comum um número finito de arcos regu- mos esse limite de integral tripla de f em D e lares, então escrevemos: 3. ∫∫D1∪D2f(x,y)dxdy = = ∫∫D1f(x,y)dxdy + ∫∫D2f(x,y)dxdy Assim, a integral tripla é igual a uma integral iterada-tripla. Quando D é o paralelepípedo re- tangular descrito anteriormente e f é contínua em D, temos Exemplo 1 Calcule a integral tripla 59
    • UEA – Licenciatura em Matemática Construímos planos paralelos aos planos coor- se D é o paralelepípedo re- denados, formando um conjunto de paralelepí- pedos retangulares que cobrem completamen- tangular limitado pelos planos x = π, y = , te D. Os paralelepípedos que estão totalmente dentro de D ou na fronteira de D formam uma partição Δ de D. Escolhemos um sistema de z= e os planos coordenados. numeração de tal forma que sejam numerados de 1 a n. A norma ||Δ|| dessa partição de D é Solução: o comprimento da maior diagonal de qualquer paralelepípedo que pertence à partição. Seja = ΔiV a medida do volume do i-ésimo paralele- pípedo. Seja f uma função de três variáveis, que é contínua em D e seja (ξi, γi, μi) um ponto = arbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Formando = a soma (2) = = Se as somas da forma (2) têm um limite quan- do ||Δ|| tende a zero, e se esse limite é inde- pendente da escolha dos planos que formam a = partição e as escolhas dos pontos arbitrários (ξi, γi, μi) em cada paralelepípedo, então esse = limite é chamado a integral tripla de f em D, e escrevemos: = (3) Agora, discutiremos como definir a integral tri- Em cálculo avançado, podemos demonstrar pla de uma função contínua de três variáveis que uma condição suficiente para que o limite numa região em R3, diferente de um paralelepí- em (3) exista é que f seja contínua em D. Além pedo retangular. Seja D a região tridimensional disso, sob a condição imposta sobre funções fechada, limitada pelos planos x= a e x = b, φ1, φ2, F1, F2 de que sejam suaves, também po- pelos cilindros y = φ1(x) e y = φ2(x) e pelas demos dizer que a integral tripla pode ser cal- superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), onde as culada por meio da integral iterada funções φ1, φ2, F1, F2 são curvas (têm derivadas ou derivadas parciais contínuas). Veja Fig. 7.0. Assim como a integral dupla pode ser interpre- tada como a medida da área de uma região plana quando f(x, y) =1 em R1, a integral tripla pode ser interpretada como a medida do vo- lume de uma região tridimensional. Se f(x, y, z) = 1 em D , então a Eq. (3) transforma-se em e a integral tripla é a medi- da do volume da região D. Exemplo 2 Fig.7.0 Encontre o volume do sólido limitado pelo cilin- 60
    • Cálculo II – Integrais múltiplasdro x2 + y2 = 25, o plano x + y + z = 8 e oplano xy.Solução:Os limites de z para a integral iterada são de 0a 8 – x – y (o valor de z no plano). Os limites , portanto a massa éde y são obtidos da fronteira da região noplano xy, que é a circunferência x2 + y2 = 25.Então, os limites de y são de– . Os limites de x são de–5 a 5. Se V unidades cúbicas é o volumeprocurado, temos:V== 1. Calcule a integral iterada:= a)= b) 2. Calcule a integral tripla de se D é a re- gião limitada pelo tetraedro formado pelo pla- no 12x + 20y + 15z = 60 e os planos coorde- nados.= 200π, portanto o volume é 200π unidades 3. Calcule a integral tripla de se D é acúbicas. região limitada pelo tetraedro com vérticesExemplo 3 (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 0, 1).Encontre a massa do sólido acima do plano xylimitado pelo cone 9x2 + z2 = y2 e o plano 4. Calcule a integral tripla de (xz + 3z)dV se Dy = 9 se a medida da densidade do volume em é a região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 equalquer ponto(x, y, z) no sólido é proporcional os planos x + y =3, e z = 0 e y = 0 acima doà medida da distância do ponto ao plano xy. plano xy.Solução: 5. Calcule as integrais repetidas abaixo:Seja M quilogramas a massa do sólido e seja adistância medida em metros. Então, a densi- a)dade do volume em qualquer ponto (x, y, z) nosólido é kz kg/m3, em que k é uma constante. b)Assim, se (ξi, γi, μi) é qualquer ponto no i-ésimo paralelepípedo retangular da partição,temos: c) Calcule a integral de f sobre o domínio D em cada um dos Exercícios de 6 a 8. Sempre que possível, esboce o domínio D. 61
    • UEA – Licenciatura em Matemática6. f (x, y, z) = x.y2z3, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 TEMA 047. f (x , y, z) = x + y + z e D é o tetraedro delimi- tado pelos planos de coordenadas e pelo pla- MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS no x + y + z + 1 = 0. DUPLAS8. f (x, y, z) = (x + y + z + 2)–3 e D é o tetrae- Seja f uma função contínua num domínio com- dro delimitado pelos planos de coordenadas e pacto D, com fronteira regular. Vamos supor pelo plano x – y + z = 1. que D seja dividido em n subdomínios D1, D2,........,Dn. Por meio de um número finito de Nos Exercícios 9 e 10, calcule, por integração arcos regulares, como ilustra a Fig. 1. Em cada tripla, o volume do sólido dado. um dos subdomínios Di, escolhemos um ponto9. Sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0, arbitrário Pi e formamos a soma z = x e pela superfície cilíndrica z = 1 – y2.10. Sólido delimitado pelos planos z = 0, z = 5 + x + y e pelas superfícies cilín- dricas y2 = x e y2 = 1.11. Usando integração tripla, encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado inferiormen- te pelo plano xy, acima pelo plano z = y e la- teralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x = 1.12. Encontre o volume do sólido no primeiro oc- tante limitado pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2+ 2z = 4 e pelos três planos coordenados.13. Encontre o volume do sólido limitado pelo Onde A(Di) representa a área do subdomínio parabolóide elíptico 3x2 + y2 = z e abaixo do Di. Em seguida, consideramos toda uma se- cilindro x2+ z = 4. qüência de divisões do domínio D, a cada uma das quais associamos uma soma Sn da manei-14. Encontre o volume do sólido limitado pelo elip- ra descrita acima. Seja dn o maior dos diâme- sóide . tros dos subdomínios D1, D2,........,Dn da divi- são que fornece a soma Sn. Vamos supor que15. Determine a massa do sólido limitado pelos à medida que n cresce, tendendo a infinito, o cilindros x = z2 e y = x2 , e os planos x = 1, diâmetro máximo dn tende a zero. Então, a so- y = 0 e z = 0. A densidade de volume varia ma Sn tende à integral de f sobre D. Não nos com o produto das distâncias aos três planos vamos ocupar da demonstração desse resulta- coordenados e é medida em kg/m2. do: vamos apenas usá-lo em várias aplicações.16. Calcule a massa do sólido limitado pela su- • Coordenadas Polares perfície z = x.y e pelos planos x = 1, y = 1 e Como primeira aplicação do resultado anterior, z = 0. A densidade de volume em qualquer vamos considerar a integração de uma função ponto é ρkg/m3 e . f em coordenadas polares r e θ. Vamos supor f já expressa como função de r e θ, num domínio17. Determine, por integração tripla, o volume do D, dado na forma sólido formado pela intersecção da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 6 com o parabolóide z ≥ x2 + y2. r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β 62
    • Cálculo II – Integrais múltiplasNesse caso, é conveniente dividir o domínio D Supomos ainda que essas funções sejam con-em subdomínios Di pelos círculos R = const. e tínuas, com derivadas contínuas e jacobianoas retas θ = const. Dessa maneira, a área de diferente de zero em D’:Dié aproximadamente dada porA(Di) ≅ Δ ∼ r(rΔθ)Já que Δr e r Δθ são os lados AB e AC de D Vamos imaginar, no cálculo integral (1), que o(Fig. 2). Com esse valor de A(Di), a soma Sn em domínio D seja dividido em subdomínios pelasFig.1 curvas u = const. E v = const.. Um subconjun- to Di dessa divisão será delimitado pelas curvasé aproximadamente igual a u = u0 , u = u0 + Δu, v = v0 e v = v0 + Δv. Vamos fazer um cálculo aproximado de sua área, con-Quando passamos ao limite, com n → ∞, essa siderando valores pequenos de Δu e Δv.soma deve convergir para a integral repetida Sejam (a) P = P(u, v) = (x(x, v), y(u, v)) eIsso, de fato, ocorre, e essa integral é igual à P0 = (x0, y0) = (x(u0, v0), y(u0, v0))integral dupla de f sobre D: Aproximaremos a área de Di pela do paralelo- . gramo, cujos lados são os vetores eUma demonstração rigorosa desse resultado éfeita nos cursos de Análise e está fora dos . Note-se que esses vetores são tan-objetivos do nosso curso. gentes, no ponto P0, às curvas v = v0 eExemplo 1 u = u0, respectivamente. Essa área é o módu-Vamos calcular a integral de f(x, y) = lo do produto vetorial desses vetores:no círculo x2 + y2 ≤ R2. Seria muito trabalhosoefetuar essa integração em coordenadas carte- (2)sianas. No entanto o cálculo é imediato emcoordenadas polares, pois r = , logo: Isso sugere que a integral dupla em (1) seja = dada pela integral dupla de f|j| sobre D’, isto é, ∫∫Df(x,y)dxdy = ∫∫Df[x(u,v), y(u,v)]|j|dudv (3) = De fato, essa fórmula é correta. Não vamos de- monstrá-la aqui, mas apenas nos contentar com o argumento heurístico que demos acima. = = Esse argumento sugere ainda que o módulo do jacobiano é o limite das áreas de Di e do subdomínio correspondente D’i do plano u, v,• Mudança Geral de Variáveis quando Δu e Δv tendem a zero:Vamos considerar, agora, o problema geral demudança de variáveis numa integral dupla, (4)∫∫Df(x,y)dxdy (1) Esse resultado também é verdadeiro e podeVamos supor que o domínio D do plano x, y ser demonstrado com auxílio do teorema daseja transformado num domínio D’ do plano u, Média( veja exercício adiante). O sinal do jaco-v por uma aplicação biunívoca dada pelas biano, por sua vez, está ligado às orientaçõesequações de transformação dos domínios D e D’: se J>0, então quando umx = x(u, v) y = y(u, v) ponto P percorre a fronteira de D no sentido 63
    • UEA – Licenciatura em Matemática anti-horário, sua imagem Q percorre a fronteira de D’ no mesmo sentido anti-horário; mas se TEMA 05 j<0, então enquanto P percorre o contorno de D no sentido anti-horário, Q estará descreven- A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA do a fronteira de D’ no sentido horário. Exemplo 2 Veremos, agora, diversas aplicações práticas com integrais duplas e triplas. Aplicações que Note-se que, na integral (a), o fator r que revolucionaram em muito o cálculo e outras aparece no integrando é precisamente o jaco- ciências como a engenharia, a arquitetura, a biano da transformação física, etc. x = r.cosθ, y = r.senθ: • Centro de Massa e Momento de Inércia Usamos integrais simples para encontrar o cen- tro de massa de uma lâmina homogênea. Ao Esse resultado está de acordo com a fórmula usarmos integrais simples, podemos conside- geral (3). rar apenas lâminas de densidade de área cons- tante (exceto em casos especiais). Mas, com Exemplo 3 integrais duplas, podemos encontrar o centro Para calcular a integral de massa de uma lâmina homogênea ou não homogênea. , Suponhamos uma lâmina com a forma de uma região fechada R no plano xy. Seja ρ(x,y) a D = {(x, y): medida da densidade de área da lâmina em um ponto qualquer (x, y) de R, onde ρ é con- Primeiro, fazemos a mudança de coordenadas tínua em R. Seja Δ uma partição de R em n x = au, y = bv. retângulos. Se (ξi,γi) é um ponto qualquer no i- Em conseqüência, ésimo retângulo que tem uma área de medida I = a.b∫∫u2 + v2 ≤ 1(u2 + v2)dudv ΔiA, então uma aproximação da medida da Em seguida, introduzimos coordenadas pola- massa do i-ésimo retângulo é dada por ρ(ξi,γi) res: u = r.cosθ, v = r.senθ, logo ΔiA, e a medida da massa total da lâmina é aproximada por: ρ(ξi,γi)ΔiA Tomando o limite da soma acima quando a norma de Δ aproxima-se de zero, expressamos a medida M da massa da lâmina por Nos exercícios de 1 a 5, use coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. M= (1) A medida do momento de massa do i-ésimo1. ∫∫x2 + y2 < R2 dxdy retângulo em relação ao eixo x é aproximada por γiρ(ξi,γi)ΔiA. Então, a soma das medidas dos2. ∫∫x2 + y2 < R2 e–x –y dxdy 2 2 momentos de massa dos n-retângulos em re- lação ao eixo x será aproximada pela soma de3. ∫∫Dxydxdy, D: 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 n tais termos. A medida Mx do momento de massa em relação ao eixo x da lâmina inteira é4. ∫∫Dxydxdy, D: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, x ≥ 0, y ≥ 0 dada por5. ∫∫Dxydxdy, D: (2) 64
    • Cálculo II – Integrais múltiplasAnalogamente, a medida My de seu momentode massa em relação ao eixo y é dada por (3) Para encontrar o centro de massa, observemosO centro de massa da lâmina é denotado pelo que, devido à simetria, esse deve estar na reta –– –ponto (x , y) e e . y = x. Portanto, se encontramos x, teremos – Usando a fórmula (3), temos também y.Exemplo 1Uma lâmina na forma de um triângulo isósce- = k∫R∫ x . (x2 + y2)dAles tem uma densidade de área que varia como quadrado da distância do vértice do ânguloreto. Se a massa é medida em kg e a distânciaem metros, encontre a massa e o centro demassa da lâmina. – = Como M x = My, temos M x ; e como M= obtemos . Portanto o centro de massa está no ponto .Solução: O momento de inércia de uma partícula, cujaEscolhemos os eixos coordenados de tal for- massa é mkg, em relação a um eixo, define-sema que o vértice do ângulo reto na origem e os como mr2kg – m2, em que r m é a distâncialados de comprimento a metros do triângulo perpendicular da partícula ao eixo.estejam ao longo dos eixos coordenados (veja Se temos um sistema de n partículas, o mo-Fig. anterior). Seja ρ(x,y) o número de kg/m2 da mento de inércia do sistema define-se como adensidade da lâmina no ponto (x, y). Então, soma dos momentos de inércia de todas asρ(x,y) = k.(x2 + y2), onde k é uma constante. partículas. Isto é, se a i-ésima partícula temPortanto, se M kg é a massa da lâmina, da fór- uma massa de mikg e está a uma distância demula (1) temos: γi m do eixo, então I kg-m2 é o momento de inércia do sistema, onde (4)= k ∫∫R(x2 + y2)dA= Estendendo esse conceito de momento de inércia a uma distribuição contínua de massa em um plano, tal como barras ou lâminas, por processos semelhantes aos usados anterior- mente, temos a definição abaixo. Suponhamos uma dada distribuição contínua 65
    • UEA – Licenciatura em Matemática de massa que ocupou uma região R no plano = xy, e consideremos que a medida da densi- dade de área dessa distribuição no ponto (x, y) seja ρ(x,y)kg–m2 onde ρ é contínua em R. Então, o momento de inércia Ix kg-m2 em rela- ção ao eixo x dessa distribuição de massa é O momento de inércia, é, então, determinado por: kg–m2 (5) Consideremos que a massa total M kg de uma lâmina esteja concentrada em um ponto; isto Analogamente, a medida Iy do momento de é, suponhamos que uma partícula nesse ponto inércia em relação ao eixo y é dada por: tenha a mesma massa M kg que a lâmina. Então, se essa partícula está a uma distância r (6) m do eixo dado L, o momento de inércia em relação a L dessa partícula é Mr2kg-m2. O E a medida I0 do momento de inércia em rela- número r é a medida do raio de giração da lâ- ção à origem ou ao eixo z, é dada por: mina dada em relação a L. Temos a definição: Se I é o momento de inércia em relação a um = eixo L de uma distribuição de massa em um (7) plano, e M é a medida da massa total da dis- ∫R∫(x + y )ρ(x,y)dA 2 2 tribuição, então o raio de giração da distribui- O número I0 da fórmula (7) é a medida do que ção em relação a L tem medida r, onde denominamos o momento polar de inércia. Exemplo 2 Uma lâmina retangular tem uma densidade de Exemplo 3 área constante de ρkg/m2. Encontre o momen- Suponhamos que uma lâmina tenha a forma to de inércia da lâmina em relação a um canto. de uma região limitada por uma semicircunfe- rência, e a medida da densidade de área da lâmina em um ponto qualquer seja propor- cional à medida da distância do ponto ao diâmetro. Se a massa é medida em kg e a dis- tância em m, encontre o raio de giração da lâmina em relação ao eixo x. Solução: Suponhamos que a lâmina seja limitada pelas retas x= a, y = b, o eixo x e o eixo y. Veja a Fig. acima. Se I0 kg-m2 é o momento de inér- cia em relação à origem, então, = ∫R∫ρ(x2 + y2)dA = = ∫R∫kydA = 66
    • Cálculo II – Integrais múltiplas mitada pelas retas x = 3 e y = 2 e os eixos coordenados. A densidade de área em um ponto qualquer é xy2kg-m2. 2. Uma lâmina na forma da região limitada pela parábola x2 = 8y, a reta y = 2 e o eixo y. A densidade de área varia com a distância à reta = y = –1. Se Ixkg–m2 é o momento de inércia da lâmina 3. Uma lâmina na forma da região no primeiro em relação ao eixo x, então quadrante limitada pela circunferência x2 + y2 = a2 e os eixos coordenados. A densi- dade de área varia com a soma das distâncias aos dois lados retos. = ∫R∫ky3dy dx 4. Uma lâmina na forma da região limitada pela = curva y = sen x e o eixo x de x = 0 a x = π. A densidade de área varia com a distância ao eixo x. 5. Uma lâmina na forma da região no primeiro qua- drante limitada pela circunferência x2 + y2 = 4, e a reta x+y = 2. A densidade de área em um ponto qualquer é xy kg/m2. Nos Exercícios de 6 a 7, encontre o momento de inércia da lâmina homogênea dada em relação Portanto, se r m é o raio de giração ao eixo indicado se a densidade da área é ρkg/m2 e a distância é medida em metros. 6. Uma lâmina na forma da região limitada por 4y = 3x, x = 4 e o eixo x; em relação ao eixo y. e assim . O raio de giração, então é 7. Uma lâmina na forma da região limitada por m. uma circunferência de raio a unidades; em re- lação a seu centro. 8. Uma lâmina homogênea de área de densidade ρkg-m2 tem a forma da região limitada por um triângulo isósceles, que tem uma base de com- primento b m e uma altura de comprimento h m. Encontre o raio de giração da lâmina em Nos Exercícios de 1 a 5, encontre a massa e o relação à sua reta de simetria. centro de massa da lâmina dada, conforme a densidade da área for indicada. A massa é medida em kg; a distância, em m.1. Uma lâmina na forma da região retangular li- 67
    • UEA – Licenciatura em Matemática Centro de Massa e Momento de Inércia seqüência, a massa contida num elemento de (outras considerações) volume dV = h.dx.dy será dada por Seja ρ a densidade de massa de um corpo que ρdV = ρhdxdy = σdxdy ocupa um domínio D do espaço. O centro de e a massa total do domínio D do plano será massa desse corpo é definido como sendo o ∫∫Dσdxdy ponto C = (x0,y0,z0) tal que As coordenadas do centro de massa C = (x0,y0) serão agora dadas por , e (3) (1) O centro de massa de um corpo é chamado onde M é a massa total do corpo. centróide ou centro geométrico quando sua Para bem compreender o significado dessa massa estiver homogeneamente distribuída, isto é, quando ρ for constante. Nesse caso, a definição, devemos notar que xρdV é o produ- fórmula (3) reduz-se a to da massa elementar dm = ρdV por sua dis- tância x ao plano Oyz (Fig. 1).Esse produto é chamado o momento de massa em relação ao plano Oyz. A primeira integral em (1) é a soma onde V é o volume de D; e as fórmulas (3) dos momentos de todas as massas elemen- ficam sendo Ax0 = ∫∫Dxdxdy e Ay0 = ∫∫Dydxdy tares dm ou momento total em relação ao onde A é a área de D. plano Oyz. Do mesmo modo, a segunda e a Para introduzir a noção de momento de inércia, terceira integrais são momentos totais em vamos considerar um corpo D em rotação em relação aos planos Oxz e Oyz, respectiva- torno de um eixo L, com velocidade angular ω mente. O que as Equações (1) nos dizem é (Fig.1). que ao três momentos referidos são, respecti- vamente, iguais aos momentos Mx0, My0 e Mz0 da massa total M, concentrada no centro de massa C. Em outras palavras, os momentos de massa são os mesmos que se obtêm como se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa. As Equações (1) podem ser escritas na forma compacta: (2) Onde R = C = (x0,y0,z0) e r = (x, y, z). A inte- Fig. 1 gral que aí aparece é o vetor cujas compo- nentes são as integrais das componentes do Então, cada elemento de massa dm = ρdV, a vetor ρr = (ρx, ρy, ρz). Naturalmente, se a ori- uma distância r do eixo, terá velocidade esca- lar ωr, portanto sua energia cinética será gem do sistema de coordenadas coincidir com o centro de massa, R será zero e ∫∫∫ DρrdV Vamos supor que a massa esteja distribuída so- A energia cinética total, Eer, devida à rotação, bre uma lâmina de espessura h, disposta sobre será a soma de todos esses elementos, isto é, o plano x, y e que ρ seja independente de z: ρ = ρ(x,y). Nesse caso, é conveniente introduzir a densidade superficial de massa σ = ρh. Em con- 68
    • Cálculo II – Integrais múltiplasEssa última integral é, por definição, o momen- • Área de uma superfícieto de inércia I do corpo em relação ao eixo L: A integral dupla pode ser utilizada para seI = ∫ ∫ ∫ Dr ρdV 2 (4) determinar a área da porção da superfícieEm termos do momento de inércia, a energia z = f(x,y), situada sobre uma região fechada Rcinética de um corpo em rotação assume a no plano xy. Para mostrar isso, devemos, ini- cialmente, definir o que significa a medida des-forma . Note-se que essa energia é sa área e depois obter uma fórmula para cal- culá-la. Suponhamos que f e suas derivadasdiretamente proporcional ao momento de inér- parciais primeiras sejam contínuas em R e su-cia. Quanto maior o momento de inércia, tanto ponhamos também que f(x, y) > 0 em R. Sejamaior será a energia necessária para colocar o Δ uma partição de R em n sub-regiões retangu-corpo em rotação ou para pará-lo. lares. O i-ésimo retângulo tem dimensões deA integral (4) mostra-nos que o momento de medidas Δix e Δiy e uma área de medida ΔiA.inércia I será tanto maior quanto mais afastada Seja (ξi,γi) um ponto qualquer no i-ésimo retân-do eixo L estiver a massa do corpo, como ocor- gulo, e o ponto Q (ξi,γi,f(ξi,γi)) na superfície.re nos volantes ou reguladores de velocidade. Consideremos o plano tangente à superfície.Observe também a analogia entre a expressão Projetamos verticalmente para cima o i-ésimoda energia cinética de rotação e a energia ciné- retângulo sobre o plano tangente, e seja Δiσ atica de um corpo de massa m em translação medida da área desta projeção. A Fig. 1 mostra a região R, a porção da superfície sobre R, a i-com velocidade r: . ésima sub-região retangular de R e a projeção do i-ésimo retângulo sobre o plano tangente àVemos que a massa m desempenha aqui pa- superfície em Q. O número Δiσ é uma aproxi-pel análogo ao do momento de inércia no caso mação da medida da área da parte da superfí-de uma rotação. cie que está sobre o i-ésimo retângulo. ComoNo caso de uma lâmina D disposta sobre o pla- temos n dessas partes, a somano x, y, com densidade superficial de massa σ,o momento de inércia em relação a um eixo L,perpendicular ao plano, é dado por é uma aproximação da medida σ da área daI = ∫Dr2σdxdy porção da superfície que está sobre R. Isso nosOnde r é a distância do elemento de massa σ leva a definir σ como:dxdy ao eixo L. (1)Exemplo 1 Fig. 1 69
    • UEA – Licenciatura em Matemática Agora, precisamos obter uma fórmula para cal- Esse limite é uma integral dupla que existe em cular o limite da Eq.(1). Para isso, encontramos R devido à continuidade de fx e fy que está uma fórmula para calcular Δiσ como a medida sobre R, da área de um paralelogramo. Para simplificar (3) o cálculo, tomamos o ponto (ξi,γi) no i-ésimo retângulo, no vértice (xi–1,yi–1). Sejam A e B ve- tores que têm como representantes os seg- Exemplo 1 mentos de reta orientados com pontos iniciais Encontre a área da superfície do cilindro em Q e que formam os dois lados adjacentes x2 + z2 = 16. Limitada pelos planos do paralelogramo, cuja área tem Δiσ de medida x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3. (veja Fig.2). Solução: Fig.2 A superfície é mostrada acima. A região R é o retângulo no primeiro quadrante do plano xy, Então, Δiσ = |AXB|. Como limitado pelas retas x = 2 e y = 3 tem equação A = Δixi + fx(ξi,γi)Δixk e x2 + z = 16. Resolvendo para z, temos z = . Portanto, f(x, y) = . B = Δiyj + fy(ξi,γi)Δiyk Assim, se σ é a medida da área da superfície, Segue que temos da equação (3) = –Δix Δiy fx(ξi,γi) i – Δix Δiy fy(ξi,γi)j + Δix Δiyk Portanto veja em (2) abaixo Δiσ = |A x B| = Substituindo a Eq. (2) em (1), temos = 2πunidades quadradas. Exemplo 2 Encontre a área do parabolóide z = x2 + y2 limitado superiormente pelo plano z = 4. 70
    • Cálculo II – Integrais múltiplas Solução: O hemisfério é mostrado acima. Resolvendo a equação da esfera para z e colocando esse igual a f(x, y), obtemos: F(x, y) = Como fx(x,y) = –x/ ,eSolução: fy(x,y) = –y/ , notamos que fx e fyA figura acima mostra a superfície dada. Da não são definidos na circunferênciaequação do parabolóide, vemos quef(x, y) = x2 + y2. A região fechada no plano xy x2 + y2 = a2, que é a fronteira da região R nolimitada pela circunferência x2 + y2 = 4 é a plano xy. Além disso, a integral dupla obtida naregião R. Se σ unidades quadradas é a área Eq. (3) édesejada, da equação (3), temos: , que é imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto da fronteira de R. Podemos resolver essa situaçãoComo o integrando contém os termos considerando a região R’ como a limitada pela4(x2 + y2), o cálculo da integral dupla é simpli- circunferência x2 + y2 = b2,onde b< a, toman-ficado se usarmos coordenadas polares. Então, do depois o limite, b → a–. Além disso, o cálcu-x2 + y2 = r2 e dxdy = dA = r dr dθ. Além disso, lo é simplificado se a integral dupla for calcula-r varia de 0 a 2 e θ de 0 a 2π. Temos, então, da por uma integral iterada e se usarmos coor- denadas polares. Então, temos , portanto esta é a área em uni-dades quadradas. = 2πa2, que é a área do hemisfério em unida-Exemplo 3 des quadradas.Encontre a área da metade superior da esferax2 + y2 + z2 = a2. 71
    • UEA – Licenciatura em Matemática1. Encontre a área da superfície formada pela in- tersecção dos planos, x = 0, x = 1, y = 0, y =1, com o plano 2x + y + z = 4.2. Encontre a área da superfície no primeiro oc- tante delimitada pelo cilindro x + y = 9 e o plano x = z.3. Determine a área da porção da superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4x recortada por uma folha do cone y2 + z2 = x2.4. Determine a área da porção de superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4z, interior ao parabolóide x2 + y2 = 3z.5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b) gira em torno do eixo x. Encontre a área da superfície do cone gerado.6. Encontre a área da porção do plano x = z que está compreendida entre os planos y = 0 e y = 6 e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144. 72
    • UNIDADE VTeorema de Green
    • Cálculo II – Teorema de Green Teorema 1 (Teorema de Green). → TEOREMA DE GREEN Seja U um aberto de R2 e F = (F1, F2) um cam- po vetorial de classe C1 sobre U. Suponha-se →George Green, matemático e físico inglês, com que r : [a,b] → U é um caminho fechado sim-pouca formação básica, foi quem desenvolveu ples, seccionalmente C1, orientado no sentido →o Teorema de Green. Em 1828, Green publicou positivo. Seja A o interior de Γ = r ([a,b]).seu trabalho An Essay on the Application of Temos então:Mathematical Analysis to the Theories ofElectricity and Magnetism (um ensaio sobre a (1)aplicação da análise matemática e as teoriasde eletricidade e magnetismo). Nesse trabalho, Pelas razões acima referidas, a prova desseo teorema foi utilizado, mas passou desperce- teorema para o caso geral está longe de serbido pela pequena tiragem do trabalho. Pos- realizável no âmbito deste curso. Assim, vamosteriormente, Green procurou a formação supe- restringir-nos a uma classe particular de regi-rior e, após anos de estudos autodidáticos, en- ões do plano:trou na Universidade de Caius, em Cambridge. Definição 1Formou-se em quatro anos, com desempenhodesapontador, possivelmente por estar engaja- Seja U ⊂ IR2 um aberto limitado. Diz-se que U édo em sua pesquisa. Publicou trabalhos sobre uma região regular se for, simultaneamente,luz e som, e morreu em 1844. x-regular e y-regular, isto é,Quatro anos depois, seus trabalhos iniciais fo- U = {(x,y)∈ 2 : f1(x) < y < f2(x) e a < x < b}ram novamente publicados, sendo, então, con- esiderados de imensa importância para teorias U = {(x,y)∈ 2 : h1(y) < x < h2(x) e c < y < d},modernas de eletricidade e magnetismo. → Com f1,f2,h1,h2 funções de classe C1.Seja U um aberto de R2 e r : [a,b] → U um cam-inho seccionalmente C1, fechado e simples, isto →é r , não se auto-intersecta, exceto nas extremi- →dades. Seja A a região interior a Γ = r ([a,b]) –parte da dificuldade na formalização da versãomais geral do Teorema de Green deve-se aofato de ser difícil definir com rigor o “interior” deuma curva fechada. Outra dificuldade reside nadefinição de “orientação” de um caminho.Vamos resignar-nos à seguinte definição: dize- →mos que o caminho fechado simples r está ori- →entado no sentido positivo, se r percorre a cur- Região x-regular. →va Γ = r ([a,b]), deixando à esquerda os pon-tos do interior de Γ. Exemplo 1 Um intervalo I = ]a,b[X]c,d[ é uma região re- gular de R2. 75
    • UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 2 por outro lado, Um círculo D ⊂ IR2, de raio R e centro em P0 = (x0,y0) é uma região regular. Com efeito, Do mesmo modo, uma vez que a região A tam- bém pode ser descrita por A = {(x,y)∈ : h1(y) < x < h2(y) e c < y < d}, Temos: e e Vamos provar o Teorema de Green no caso em Assim, que A é uma região regular. Nesse caso, a fronteira de A é a curva Γ = Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4, com Γ1 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f1(x)}, Γ2 = {(x,y) ∈ IR2 : x = b e f1(b) ≤ y ≤ f2(b)}, Exemplo 3 Γ3 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f2(x)}, Seja Γ o quadrado de vértices em (0, 0), (2, 0), Γ4 = {(x,y) ∈ IR2 : x = a e f1(a) ≤ y ≤ f2(a)}, (2, 2) e (0, 2). → Para obtermos um caminho r para Γ orientado positivamente, podemos considerar: → r 1(t) = (t,f1(t)) t∈[a,b]; → r 2(t) = (b,t) t∈[f1(b), f2(b)]; → r 3(t) = (a + b – t, f2(a + b – t)) t∈[a,b]; → r 4(t) = (a, f1(a) + f2(a) – t) t∈[f1(a), f2(a)]. → Seja F o campo vetorial dado por → F = (y2, x): Aplicando o Teorema de Green, obtemos: Assim, Exemplo 4 Seja A a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = x2 + 2 para x > 0. 76
    • Cálculo II – Teorema de Green Essa discussão elucida-nos como tratar regi- ões que têm “buracos”. Exemplo 5 Considere a coroa circular A = A1∪A2 da figura → seguinte.Seja F o campo vetorial dado por→F = (xy,x):Aplicando o Teorema de Green, obtemos:Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, talcomo ilustra a figura seguinte, onde se possaaplicar o Teorema de Green, vamos ver que a Essa região não é o interior de uma curva sim-fórmula (1) do Teorema de Green vale ainda ples, mas sim a região limitida por duas curvaspara a união A = A1 ∪ A2. simples, a saber, Γe = Γ1∪Γ4 e Γi = Γ2∪Γ3 Repare-se que a fronteira de A é Γ = Γe∪Γi → Dado um campo vectorial F = (F1,F2), podemos aplicar o Teorema de Green para A1 e para A2 :Repare-se que A é interior à curva Γ = Γ1∪Γ2. →Para um dado campo vectorial F = (F1,F2), te-mos: Somando, obtemos, mais uma vez, a fórmula do Teorema de Green:Somando as duas equações, obtemos a fórmu-la do Teorema de Green para a região A: Note-se que as orientações indicadas para Γe e Γi “deixam à esquerda os pontos de A". Ainda em relação à figura anterior, suponha-se que as circunferências têm raios R1 = 1 e R2 = 2. → Consideremos o campo vectorial F = (y3, – x3). Aplicando o Teorema de Green, obtemos: 77
    • UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 6 Por meio do teorema de Green, calcule , onde C é a curva fechada que consiste nos gráficos de y = x2 e y = 2x entre Exemplo 8 os pontos (0,0) e (2,4). Com o auxílio do teorema de Green, calcule a in- Solução: A figura abaixo exibe a região R delimitada por tegral curvilínea C. Aplicando o teorema de Green, temos: se C é a fronteira da região delimitada pelos quartos de círculo de raios a e b e pelos seg- mentos dos eixos x e y, conforme figura a se- guir. Solução: Exemplo 7 Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea , onde Teorema C é a elipse 4x2 + 9y2 = 36. Se uma região R do plano-xy é delimitadanpor uma curva fechada simples, parcialmente sua- Solução: ve C, então, a área A de R é A figura abaixo ilustra a região R delimitada por C. Aplicando o teorema de Green, temos 78
    • Cálculo II – Teorema de Green Exemplo 9 A INVENÇÃO DO PLANÍMETRO Use o teorema anterior para achar a área da Em 1854, o matemático suíço Jacob Amsler elipse inventou um dispositivo mecânico capaz de medir a área de regiões planas limitadas. Na ocasião (e até hoje) o instrumento foi enxerga- do com muito entusiasmo. Se considerarmos a Solução: dificuldade de medir áreas de planos extrema- As equações paramétricas da elipse C são mente irregulares, teremos idéia do quão ino- x = a cost, y = b sent; 0 ≤ t ≤ 2π. vador foi o planímetro no século XIX. Julgando o planímetro um instrumento bastan- te interessante, pensaremos um pouco mais a respeito do seu funcionamento. Mecanicamen- te, o instrumento tem uma construção muito simples, possui dois braços de tamanho igual ou não, comumente feitos de metal. Esses bra- ços são capazes de variar o ângulo entre eles, desde 0 a 180 graus.1. Aplique o teorema de Green ao cálculo da inte- gral curvilínea. a) C é a curva fecha- Na extremidade de um dos braços, temos uma da definida por y = x e y = –x. 2 ponta que pode ser fixada em superfícies pla- nas. Na outra ponta, temos uma rodinha que b) C é o quadrado gira perpendicularmente ao braço na qual é fi- de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). xada. Na ponta dessa rodinha, temos um conta- dor, que mede o número de voltas que ela dá c) C é o círculo x2 + y2 = 1. quando a ponta móvel do instrumento desloca- se em uma superfície plana. Quando essa ponta d) C é o triângulo de vér- se desloca sobre uma curva plana fechada, o tices (1,1), (2,2) e (3,0). contador indicará a área cercada pela curva. e) C é a fronteira da Ao pensar em um instrumento tão simples, so- mos imediatamente induzidos a imaginar co- região entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. mo este pode executar cálculos que, em princí- pio, tem um grande grau de complexidade.2. Calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das equações: O Teorema de Green aliado ao Planímetro a) y = 4x2, y = 16x O desenho seguinte esquematiza o funciona- b) y2 – x2 = 5, y = 3 mento de um planímetro. A área R a ser medi- c) C é a hipociclóide x = acos3 t, y = asen3 t; da não deve conter a extremidade fixa do apa- 0 ≤ t ≤ 2π. relho, e percorreremos a curva C com a ex- tremidade móvel, sempre no sentido anti-horá- rio (por causa do marcador). 79
    • UEA – Licenciatura em Matemática Assim, temos que nosso campo é: Precisamos, agora, determinar a e b. Para isso, consideraremos a equação dos círculos que podem ser descritos por cada um dos braços Para usar o Teorema de Green, precisamos do planímetro: descrever o campo de direções definido pelo instrumento. Para tal, comecemos definindo coordenadas x e y. Como podemos fazer qual- quer escolha, coloquemos a origem na ponta Da segunda linha, temos que: do planímetro que é fixada e, a partir dela, dois eixos perpendiculares x e y. Como a rodinha gira perpendicularmente ao braço no qual está fixada, o campo F(x,y) definido pelo planímetro e logo é perpendicular ao braço móvel, e podemos supor que tenha módulo 1. Substituindo na equação do círculo centrado em (0,0), e desenvolvendo, teremos: 4y2a2 + (x2 + y2)2 + 4x2a2 – 4xa(x2 + y2) = 4y2r2 4(x2 + y2)a2 – 4x(x2 + y2)a +(x2 + y2)2 – 4y2r2 = 0 Colocando (x2 + y2) = R2 temos: Equação do Campo F(x,y) e logo Vamos considerar aqui que o planímetro tem os dois braços com comprimento igual a r. O primeiro está centrado na origem escolhida ou seja, (0,0); o segundo, em um ponto móvel (a,b). → Chamemos de v o vetor que define o braço móvel do planímetro. A escolha do valor positivo de a implica sim- plesmente que o caminho a ser percorrido pelo braço do planímetro é o sentido anti-horário (sentido padrão de funcionamento). Com esse valor, o valor de b aparece, consequentemen- te, como sendo: → Temos v = (x – a, y – b) e um vetor perpendi- ou seja, → cular é w = (–(y – b), x – a). Como o braço tem comprimento r, temos: . Agora, que calculamos os valores de a e de b 80
    • Cálculo II – Teorema de Greentemos que o campo para o planímetro é: Para ver isso, faremos uma breve introdução ao cálculo do trabalho, desde situações mais simples, em que a força aplicada a uma partí- cula é constante e na direção e no sentido do movimento, até situações com mudanças cons- tantes na direção do movimento, na direção e na intensidade da força sobre a partícula.Derivando ambas as equações, obtemos: Na situação mais simples, em que a força apli- cada a uma partícula é constante e na direção e no sentido do movimento, que se dá em linha reta, o trabalho é dado por W = F.(b – a), em que b – a é a distância percorrida pelo objeto durante a atuação da força, e F é o módulo da força.logo,e No caso em que a força não tem módulo cons- tante, podemos subdividir a distância percorri-Assim, pelo Teorema de Green aplicado ao da em intervalos de tamanhos Δx e supor queplanímetro, a constante que multiplica a área a força é constante em cada um dos pedaci-só depende do comprimento dos braços, ou nhos. Assim, W = FiΔx e, tomando o limiteseja quando Δx tende a zero, teremos . área cercada de C. Podemos, então, mudar a direção da força atu- ante sobre o objeto. Se seu módulo e direção forem constantes, podemos determinar suaO QUE MEDE A INTEGRAL DE LINHA? componente na direção do movimentoTendo especificado que, para o campo gerado (|F|cosθ) e, assim, determinar o trabalho co-pelo planímetro, e de acordo com o Teorema mo W = |F|cosθ(b – a).de Green, a integral de linha ∫Cf(x,y)dx +g(x,y)dy é igual a um múltiplo da área daregião delimitada pela curva C, torna-se neces-sário definir agora o que exatamente calcula aintegral de linha, e a relação desta com a medi-ção realizada pelo planímetro.Para entender essa relação, analisaremos al-guns casos de interesse que possibilitarão es- No caso em que o módulo da força não é cons-sas definições. tante, novamente torna-se necessária a inte- gração dessa força ao longo de toda a tra-Quando o campo é um campo de forças jetória e .Quando o campo é um campo de forças, temosque a integral de linha ∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy re- Também é possível fazer que a direção de atu-presenta o trabalho realizado pelo campo veto- ação da força sobre a partícula varie durante arial F = (f, g) em uma partícula que se move ao trajetória, além da variação já incluída dolongo da curva C. módulo da força. 81
    • UEA – Licenciatura em Matemática de forças, a integral de linha calcula o trabalho realizado para se mover sobre a curva C sob a ação do campo. O planímetro, em princípio, não determina um campo de forças, e a inte- gral de linha, então, não calcula trabalho. QUANDO O CAMPO É UM CAMPO QUALQUER Nesse caso, torna-se necessário definir um ve- → Se o campo é qualquer, a integral de linha não tor v unitário, que representa a direção do calcula o trabalho realizado ao se mover um movimento do objeto. ponto sobre a curva C, mas o exemplo anterior O produto escalar do vetor força F pelo vetor → mostra que a integral de linha de um campo direção v dá-nos o módulo da componente da → qualquer F, ao longo de um curva C, mede a força na direção do movimento (|F|cosθ = F.v ) → concordância da circulação do campo F com a uma vez que v é unitário. Integrando esse pro- orientação da curva C, pois, se em um ponto F duto escalar por toda a trajetória, obtemos o não tiver componente na direção de C, o valor trabalho . Lembramos que, nesse ca- acrescido por esse ponto na integral de linha → será nulo, e se tiver componente nessa dire- so apenas o vetor F é variável, o vetor v é cons- ção, haverá um acréscimo na integral de linha tante. Finalmente, temos o caso em que, além de valor igual ao módulo dessa componente do módulo e da direção da força sobre o obje- do campo. Ela mede também a soma das pro- to serem variáveis, a direção do movimento jeções da força na direção da curva. também varia. Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y), g(x, y)), podemos procurar suas curvas inte- grais, isto é, as curvas que são sempre tan- gentes ao campo. Procuramos curvas (x(s), y(s)) tais que o vetor tangente Para determinar o trabalho nessa situação, é necessário realizar uma parametrização da ou, na prática, procuramos soluções do sis- curva por comprimento de arco. Também é → preciso determinar um vetor unitário v que re- tema de equações diferenciais e presente a direção do movimento do objeto. O produto escalar dos vetores variáveis Força F e → . Se |F| = 1 então a curva sai para- direção v terá como resultado o módulo da → componente da força na direção do movimen- metrizada por comprimento de arco e F.v = 1. to em cada ponto da trajetória. Integrando esse Assim, a integral de linha de um campo unitário produto escalar durante todo o comprimento em cima de uma curva integral mede o compri- da curva, obtemos o trabalho . mento desta curva, pois → Seja F = (f(x, y), g(x, y)). Como v é um vetor tangente a uma trajetória curvilínea parame- trizada por comprimento de arco s, então Relação entre a integral de linha e a medição realizada pelo Planímetro e As figuras a seguir, realizadas usando o soft- ware Maple, mostram o campo gerado pelo Planímetro, no primeiro quadrante, e algumas Assim, no caso em que o campo é um campo curvas integrais e ortogonais desse campo. 82
    • Cálculo II – Teorema de Green Então, ∫C f dx + g dy ≈ ∫C1 f dx + g dy + + ∫C2 f dx + g dy + ... + ∫Cn f dx + g dy = (k1 + k2 + ... + kn)πd em que k é o número dado pelo contador ao percorrermos a curva C. Funcionamento do Planímetro Chamemos de r o comprimento de cada braço do Planímetro, d o diâmetro da rodinha coloca- da perpendicularmente ao braço móvel e de k o número dado pelo contador ao se percorrer C no sentido anti-horário. O campo determina- do pelo Planímetro é F = (f, g). Então área cercada por C ou seja: Área cercada por De todo o conteúdo colocado, podemos ver oTraduzindo para o funcionamento físico do Pla- quão interessante é esse instrumento que, ba-nímetro, quando este percorre uma curva inte- seado num teorema relativamente simples, temgral do campo, a rodinha fixada perpendicular- aplicações extensas e extremamente úteis namente na extremidade do braço móvel, roda engenharia, na geologia, etc.perfeitamente livre. O contador acoplado aessa rodinha mede o número de voltas que eladá ao se deslocar sobre a curva. Seja k estamedida e d o diâmetro da rodinha. O compri-mento total da curva integral será então kπd.Chamando novamente de F = (f, g) o campoassociado ao Planímetro e de C a curva inte-gral, temos:∫C f dx + g dy = comprimento de C = kπdQuando o Planímetro percorre uma curva orto-gonal, a rodinha não roda nada; logo, o medi-dor acoplado na rodinha indicará zero, ou seja,o valor da integral de linha do campo sobre acurva ortogonal.Assim, em qualquer um dos casos,∫C fdx + g dy = kπdem que k é o número medido pelo contadoracoplado à rodinha.Qualquer curva fechada C, contida no primeiroquadrante, pode ser aproximada por vários seg-mentos de curvas integrais e ortogonais inter-caladas, que denotaremos por C1, C2, ...,Cn. 83
    • Respostas dos Exercícios
    • Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE I c) Todos reais (todo plano xy) Funções de várias variáveis TEMA 01 INTRODUÇÃO d) y ≥ x Pág. 12 y > –x1. 25m2. –7,34oC . TEMA 02 DOMÍNIO E IMAGEM Pág. 15 e)a) f)b) 87
    • UEA – Licenciatura em Matemáticag) m) x2 + y2 ≠ 4h) x2 + y2 ≤ 3 TEMA 03 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Pág. 19 1. a–4 b–3 c–1 d–2i) y>u 2. a) As isotérmicas são círculos centrados na origem b) x2 + y2 = 100 3. A soma das distâncias entre um ponto perten- cente à elipse e cada um de seus focos é con- stante. A usina estará sobre uma elipse que tem tenha uma da cidades em cada um de seus focos, de forma que a soma das distâncias entrej) y ≥ –x a usina e cada cidade seja igual a M. TEMA 04 LIMITES E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISl) x2 + y2 ≠ 1 Pág. 21 Demonstrações TEMA 05 88
    • Cálculo II – Respostas dos exercícios DERIVADAS PARCIAIS UNIDADE II Derivada direcional Pág. 24 TEMA 01Demontrações VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS TEMA 06 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Pág. 30 Demonstrações Pág. 25Demonstrações TEMA 02 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Pág. 32 1. a) máximos: f(±1,0) =1, mínimos f(0,±1) =–1 b) x = 100/3, y = 100/3, z = 100/3 c) máximos: f(± 2,1) = 4, mínimos f(± 2,–1) = –4 d) máximo: mínimo : e) mínimo: f) máximo: f(1,3,5) = 70, mínimo: f(–1,–3,–5) = – 70 2. Base quadrada de lado , altura 3. Demonstração 4. Demonstração. 5. Cubo, aresta de comprimento c/12. 6. x = y 4,62 m e z 2,31 m. 89
    • UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE III 2. a) Integrais de linha b) TEMA 01 CAMINHOS E CURVAS c) 3. pág. 41 4.Demonstrações 5. 56 6. 2π TEMA 02 COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS pág. 441. a) b) c) 8a d) e) 14 TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Pág. 481. a) b) 90
    • Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE IV 4. Integrais múltiplas 5. a) – TEMA 02 b) INTEGRAIS REPETIDAS c) Pág. 58 6.1. a) 1. ; 7. b) 2. ; 8. c) 3.0; d) 4.0; 9. e) 5. 0; 10. f) ; g) 11. unid.cúbicas2. –24 12. unid.cúbicas3. 21,54. 8 / 3 13. 4πunid. Cúbicas5. 42 14. unid. cúbicas6. 15.7. un. Cúbicas 16. 17. TEMA 03 INTEGRAIS TRIPLAS TEMA 04 MUDANÇA DE VARIÁVEIS Pág. 61 NAS INTEGRAIS DUPLAS1. a) b) Pág. 642. 1 πR2 2 2. π(1 – e–R )3. 91
    • UEA – Licenciatura em Matemática3. UNIDADE V Teorema de Greenn4. (b4 – a4)/85. 0 Pág. 79 TEMA 05 1. a) A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA b) c) π d) – 3 Pág. 67 e) –3π 2. a)1. 12kg, (2, ) b)2. c)3. )4.5.6. 9ρkg–m27.8. Pág. 721. unid. quadradas2. 9 unid. quadradas3. 8π unid. quadradas4. 12πunid. quadradas.5. unid. quadradas6. unid. quadradas 92