Arnaldo Barbosa Lourenço    Clício Freire da Silva  Genilce Ferreira OliveiraCálculo I         Manaus 2007
FICHA TÉCNICA                                Governador                             Eduardo Braga                         ...
SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
PERFIL DOS AUTORES              Arnaldo Barbosa Lourenço                Licenciado em Matemática - UFPA            Licenci...
UNIDADE I  Função
Cálculo I – Função                                                                 Observação – Por simplificação, deixare...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                            Observe que todas as retas ver...
Cálculo I – Função   c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta      função associa a cada real x o número real      f...
UEA – Licenciatura em Matemática    Solução:                                                              9. Seja    a)   ...
Cálculo I – Função   g(x) = 3 – 4x                                          f(x) = 2kx +1   (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1    ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                            Solução:                      ...
Cálculo I – Função2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.                  Gráfico   Solução:                         ...
UEA – Licenciatura em Matemática    parábola y = –x2 + 2x – 5.    a) (1,–4)              b) (0,–4)    c) (–1,–4)          ...
Cálculo I – Função                                                          b)                 é uma função racional com  ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                               5. Determine o domínio das ...
Cálculo I – Função                                                          1.7 Função logaritmica                        ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                   0    Da simples observação dos gráficos acima,    podem...
UNIDADE II  Limites
Cálculo I – Limites                                                              quanto por valores x > 1 (à direita de 1)...
UEA – Licenciatura em Matemática    lim f(x) = L    x→ c    O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi-    trário, ex...
Cálculo I – Limites                                                                obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ...
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Cálculo I – Limites    do ser interior ao intervalo ou em qualquer das              2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas x→ 2 g...
UEA – Licenciatura em Matemática     de f ou que “quebram” o domínio de f (neste     exemplo, x = 3).                     ...
Cálculo I – Limites                                                                 Demonstração:5.                       ...
UEA – Licenciatura em Matemática    nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-    plificar a fração, eliminando a indete...
Cálculo I – Limites8. O                é igual a:                                                   TEMA 05   a)   1/9    ...
UEA – Licenciatura em Matemática    Observamos pelas tabelas, que se x → 0, por                   Definição:    valores ma...
Cálculo I – Limites     Formalizaremos agora o conceito de assíntota           2. Calcule     horizontal.     Definição:  ...
UEA – Licenciatura em Matemática           TEMA 06     LIMITES TRIGONOMÉTRICOS6.1 Introdução                              ...
Cálculo I – Limites2. Determine:   a)                                           TEMA 07                                   ...
UEA – Licenciatura em Matemática    Logo:                                                    Fazendo –x = t, temos:       ...
Cálculo I – Limites           Augustin-Louis Cauchy (Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio      de 1857) foi um ...
UNIDADE III  Derivada
Cálculo I – Derivada                                                                causa dos trabalhos dos matemáticos fr...
Cálculo i
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Cálculo i

  1. 1. Arnaldo Barbosa Lourenço Clício Freire da Silva Genilce Ferreira OliveiraCálculo I Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza PioCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Lourenço, Arnaldo Barbosa.L892c Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva, Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46TEMA 10 – Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73TEMA 15 – Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 16 – Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88TEMA 18 – Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM
  5. 5. UNIDADE I Função
  6. 6. Cálculo I – Função Observação – Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de explicitar o domínio e o con- TEMA 01 tradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o FUNÇÃO OU APLICAÇÃO domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão.1.1. Definição, elementos Exemplo: Entendemos por uma função f uma terna (A, B, Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b, uma regra que nos permite associar a cada ele- B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária mento a de A um único b de B. O conjunto A é R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função. o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. Solução: O conjunto B é o contradomínio de f. O único b M = {0, 1 ,2} de B associado ao elemento a de A é indicado N={0, 1, 4, 5} por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f R ={(x,y) Mx N/ y = x2} associa a a. Quando x percorre o domínio de f, x = 0 y = 02 = 0 f(x) descreve um conjunto denominado ima- x = 1 y = 12 = 1 gem de f e que se indica por Imf: x = 2 y = 22 = 4 Imf = {f(x)|x∈Df} No diagrama de flechas, temos que: Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são sub- conjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f : A B uma função. O conjunto Gf = {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então é um subconjunto de todos os pares ordena- podemos afirmar que f é uma função ou aplica- dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla- ção, já que de cada elemento de M temos uma no de um sistema ortogonal de coordenadas única correspondência com elementos de N. cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen- Veja também que D(f) = {0,1,2}, sado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. f. Gráficos de funções Dizemos que uma relação binária R: A B é fun- ção ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A. Exemplos: 1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun- ção. 11
  7. 7. UEA – Licenciatura em Matemática Observe que todas as retas verticais que tra- çarmos, tocarão em um e único ponto no grá- fico. Logo g é uma função ou aplicação. 3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que: • Df = IR • Im(f) = {x / x∈IR} = IR 3 3 • O valor que f assume em x é f(x) = x . Esta função associa a cada real x o número real Solução: f(x) = x3. 3 3 Dado o gráfico, temos que: • f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 0 = 0, f(1) = 1 = 1 • O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3, x∈IR} Domínio de funções O domínio de uma função representa o conjun- to de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos: a) O domínio de uma função polinomial é sem- pre real. Observe que existem retas verticais que tocam b) Para o domínio de uma função que possui em mais de um ponto no gráfico, daí podemos variável no denominador, basta ser este dife- concluir que f não é função ou aplicação. rente de zero.2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou c) Radical com índice par no numerador pos- aplicação. sui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero. Exemplos: 1. Qual é o domínio mais amplo para a função ? Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio Solução: é dado por D(f) = IR – {1}. Dado o gráfico abaixo, temos: 2. Qual é o domínio da função ? Solução: → 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}. 3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se: a) Df = IR b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3 = y. 12
  8. 8. Cálculo I – Função c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3 . d) f(–1)=(–1)3 = –1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. e) Gráfico de f: Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR} Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3, sendo o crescimento de y mais acentuado 5. Considere a função g dada por . Tem–se: que o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.); quando x se aproxima de zero, y aproxima- a) Dg = {x∈IR| x ≠ 0} se de zero mais rapidamente que b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o real x((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). esta g(x) = 1/x análise dá-nos uma idéia da parte do gráfi- co correspondente a x > 0. Para x < 0, é só c) observar que f(–x) = –f(x). d) Gráfico de g: Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi- mando-se de Zero ; à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0.4. Seja f a função dada por . Tem–se: a) Df = {x∈IR| x ≥ 0} b) Im f = {x∈IR/ y ≥ 0} c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2). d) e) f) Gráfico de f: A função f é dada pela regra . Observação – Quando uma função vem Quando x cresce, y também cresce sendo o dada por uma regra do tipo x |→ y, y = f(x), crescimento de Y mais lento que o de x é comum referir-se à variável y como variá- ; quando x se vel dependente, e à variável x como variável aproxima de zero, y também aproxima-se independente. de zero, só que mais lentamente 6. Dada a função f(x) = – x2 + 2x, simplifique: que . a) b) 13
  9. 9. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: 9. Seja a) assim Tem–se: a) Df = IR; Im f = {–1,1} . b) Gráfico de f Observe: f(1) = –12 +2 = 1. b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2 + 2(x + h) = –x2 – 2xh – h2 + + 2x + 2h. Então, Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não. 1.2 Função composta ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0. Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que:7. Função constante – Uma função f: A → IR h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A. dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante. Representando essa situação por diagrama de flechas, temos: a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se: (i) Df = IR; Im f = {2} (ii) Gráfico de f Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}. O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).8. g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é Exemplos a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1 14
  10. 10. Cálculo I – Função g(x) = 3 – 4x f(x) = 2kx +1 (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 g(x) = 2– 3x = 6 – 8x – 1 fog(x) = gof(x) = 5 – 8x 2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 = 3 – 8x + 4 4k = –1 k = –1/4 = 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) 3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que = 5 – 8x – 7 + 8x f(2x –1) = 3 – x. = –2 Solução f(2x –1) = 3 – xa) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0). 2x – 1 = –1 x = 0 Solução: f(–1) = 3 – 0 (fog)(x) = 2x + 1 f(–1) = 3 f(x) = –2x + 3 4. Determine o domínio da função . g(0) = ? Solução: (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1 x+1=t x=t–1 3–x>0 x<3 D(f) = ]–;3[1. Qual é o domínio mais amplo da função 1.4 Função polinomial do 1.o grau ? Definição Solução: Chama-se função polinomial do 1.o grau, ou (1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma (2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2 f(x) = ax + b, em que a e b são números reais Fazendo-se (1) (2), temos que: dados e a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chama- – do de coeficiente de x, e o número b é chama- do termo constante. D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2} Gráfico2. Determine o valor de k para que O gráfico de uma função polinomial do 1.o fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta g(x) = 2– 3x. oblíqua aos eixos Ox e Oy. Solução: • Se a > 0, então f será crescente. 15
  11. 11. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon- tos (0, 0) e (1, 2). Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • Se a < 0, então f será decrescente; b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2). Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Observação – Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos y = –2x pontos (0, 0) e (1, a): c) Primeiro, eliminemos o módulo Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox.Exemplos:1. Esboce os gráficos. a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I 16
  12. 12. Cálculo I – Função2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2. Gráfico Solução: O gráfico de uma função polinomial do 2.o Primeiro, eliminemos o módulo grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. ou • a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; • a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo. Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas Observação – A quantidade de raízes reais de y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma: uma função quadrática depende do valor obti- do para o radicando Δ, chamado discrimi- nante, a saber: • quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando Δ é zero, há só uma raiz real; • quando Δ é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; para x ≥ 1, f(x) = x + 1 quando a < 0, a parábola tem concavidade para x < 1, f(x) = –x + 3 voltada para baixo e um ponto de máximo V. Sempre que uma função for dada por várias Em qualquer caso, as coordenadas de V sentenças, você poderá proceder dessa forma. são . Veja os gráficos: Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi- co de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtém- se do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas uni- dades.1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o grau) Definição Chama-se função quadrática, ou função poli- nomial do 2.o grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são Exemplo: números reais e a ≠ 0. (PUC) Determine as coordenadas do vértice da 17
  13. 13. UEA – Licenciatura em Matemática parábola y = –x2 + 2x – 5. a) (1,–4) b) (0,–4) c) (–1,–4) d) (2,–2) Exemplo: e) (1,–3) (USP) Construir o gráfico da função Solução: f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano. 1. y = –x2 + 2x – 5, então a = –1, b = 2 e Solução: c = –5 (1) f(x) = –x2 + 2x –1, então a = –1, b = 2 e 2. = b2 – 4ac = 22 – 4.(–1).(–5) = –16 c = –1 3. (2) = b2 – 4ac, então = 22 – 4.(–1).(–1) = 0, logo as raízes de f são 4. 5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem (3) O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode (4) assumir. Há duas possibilidades: (5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0) (6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7) Então o gráfico pode ser dado por: a<0 Observação: 1. Função polinomial – Uma função f: IR → IR dada por f(x) = a0xn + a1xn–1+ ... + an – 1x + an em que a0, a1, a2, ..., an são números fixos, denomina-se função polinomial de grau n (n IN). a) f(x) = x2 – 4 é uma função polinomial de grau 2, e seu gráfico é a parábola 18
  14. 14. Cálculo I – Função b) é uma função racional com domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria pa- . À medida que I x I vai crescen- ralela ao eixo Oy. do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o grá- b) g(x) = (x – 1) é uma função polinomial de 3 fico de g vai, então “encostando” na reta grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). y = x3, transladando-o uma unidade para a À medida que x aproxima-se de zero, o grá- direita. fico de g vai encostando na curva . c) é uma função racional com Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é2. Função racional – Uma função f é uma função obtido do gráfico de y = , transladando-o dada por onde p e q são duas duas unidades para a esquerda. funções polinomiais; o domínio de f é o con- junto {x∈IR|q(x) ≠ 0}. a) é uma função racional definida para todo x 0. Como , segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3). 19
  15. 15. UEA – Licenciatura em Matemática 5. Determine o domínio das funções: a) b)1. Calcule: c) d) a) f(–1) e sendo f(x) = –x2 + 2x e) b) g (0), g (2) e g( ) sendo 1.6 Função exponencial c) sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0 Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em ex- d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0 poente. A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de2. Simplifique sendo dados: base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais posi- a) f(x) = x2 e p = 1 tivos, maiores que zero). b) f(x) = 2x + 1 e p = 2 Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: c) f(x) = 1/x e p = 2 quando a>1; d) f(x) = e p = –3 quando 0<a<1. e) f(x) = 5 e p = 2 Acompanhe os exemplos seguintes: 1. y = 2x (nesse caso, a=2, logo a>1)3. Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabe- igual a: la e o gráfico abaixo: a) 2x + 1 b) x2 c) –2x2 + 3 d) 5 e)4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a) f(x) = 3x b) 0 c) h(x) = 2. y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) d) g(x) = Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a ta- bela e o gráfico seguintes: e) f(x) = 20
  16. 16. Cálculo I – Função 1.7 Função logaritmica Considere a função y = ax, denominada função exponencial, em que a base a é um número po- sitivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que, nessas condições, ax é um nú- mero positivo, para todo x∈IR, onde IR é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais po- 0 sitivos por R+ poderemos escrever a função *, exponencial como segue: f: R → R+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1 *Nos dois exemplos, podemos observar que: Essa é bijetora, pois:a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes. a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos- suem imagens distintas.b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1). b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co-c) Os valores de y são sempre positivos (po- incide com o seu contradomínio. tência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Assim sendo, a função exponencial é BIJETO- RA e, portanto, é uma função inversível, ouAlém disso, podemos estabelecer o seguinte: seja, admite uma função inversa.Se 0 < a < 1, então f será decrescente. Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay → y = logax Portanto a função logarítmica é então: f: R+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1. * Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes,Se a > 1, então f será decrescente. ou seja, simétricas em relação à reta y = x. 21
  17. 17. UEA – Licenciatura em Matemática 0 Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: • Para a > 1, as funções exponencial e loga- rítmica são CRESCENTES. • Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = logax é o conjun- to R+ . * • O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais. • O domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais. • O conjunto-imagem da função y = ax é o conjunto R*+. Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarít- mica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponen- cial. Isso ocorre porque as funções são inver- sas entre si. 22
  18. 18. UNIDADE II Limites
  19. 19. Cálculo I – Limites quanto por valores x > 1 (à direita de 1). TEMA 02 Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS valores x à esquerda e à direita de x = 1. Pela esquerda de x = 12.1 O papel dos limites de funções reais O conceito de Limite de uma função realiza Pela direita de x = 1 um papel muito importante em toda teoria ma- temática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função estabelecida no Cálculo: f quando x se aproxima de 1, o que denotare- Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, mos por: Derivadas e Integrais lim f(x) = 2 x→1 Para entender os conceitos mais importantes Esse resultado pode ser visto por meio da análise da lista acima, que são os últimos, a Teoria de gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo: Limites é fundamental. O motivo para isso é que nem tudo o que que- remos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estu- dos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é 2.3 Limite de uma função real possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e con- Seja f uma função real definida sobre o interva- tinuidade. Na verdade, esse cálculo depende lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per- do Teorema do Valor Intermediário (apresenta- tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. do no fim), que é uma conseqüência do estu- Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto do de continuidade de funções. c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c2.2 Idéia intuitiva de limite por valores (à direita de c) maiores do que c. Estudaremos o comportamento de uma função Em símbolos: f nas proximidades de um ponto. Para fixar lim f(x) = Ld x→ +∞ idéias, consideremos a função f:R – {1} → R O limite lateral à esquerda de f no ponto c é definida por: igual a Le, se os valores da função se aproxi- lim mam de Le, quando x se aproxima de c por va- Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e lores (à esquerda de c) menores que c. Em reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1. símbolos: Ao analisar o comportamento dessa função nas lim f(x) = Le x→ +∞ vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não Quando o limite lateral à esquerda Le coincide pertence ao domínio de f, constatamos que a com o limite lateral à direita Ld, diz–se que função se aproxima rapidamente do valor L = existe o limite da função no ponto c e o seu 2, quando os valores de x se aproximam de x = valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) escrevemos: 25
  20. 20. UEA – Licenciatura em Matemática lim f(x) = L x→ c O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi- trário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão. O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites dife- rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o Notamos que à medida que x se aproxima de teorema da unicidade, porque garante que se 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende o limite de uma função existe, então ele deverá para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja: ser único. lim (2x + 1) = 3 x→1 Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x) Observamos que quando x tende para 1, y = B quando x tende ao ponto c, então A = B. tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então estudo do comportamento de f(x) quando x existe d > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x as- 0< |x – a| < d. Como também temos por suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, sempre que 0<|x–a|<d". embora possam ocorrer casos em que para x Tomando d=min{d,d"}>0, temos que: = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, |f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que escrevemos: 0<|x–a|<d. lim f(x) = b se, quando x se aproxima de x→a Pela desigualdade triangular, temos: a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b). |A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos: 2. Seja, agora, a função |A–B| < e lim então |A–B| = 0, o que garante que A=B. Como x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos: Exemplos:1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (val- ores menores que 1) e calcular o valor corres- Podemos notar que quando x se aproxima de pondente de y: 1 (x → 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, x→1 g(x) = x→1 (x + 2) lim lim = 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 26
  21. 21. Cálculo I – Limites obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo: lim 2(x2 – 1)/(x – 1) = 4 [δ = ε/2] x→13. Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c. à 2. x→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon- lim à trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| . limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe Assim, se tomarmos δ = ε/3, temos: e é igual a 2: 0 > |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε. à 3. x→2 (x2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos lim Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan- procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o |x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto, limite de f(x) é 2. |x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então2.4 Generalização do conceito de limite |(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε. Definição Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}. Dados uma função f: B IR e um ponto de acu- mulação a de B, diz-se que um número ∈IR 4. x→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem- lim é limite de f em a, e escreve-se: pre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos lim f(x) = ou f(x) → , com x → a x→a tomar δ = ε uma vez que, nesse caso: quando vale a seguinte condição: 0 <|x – a|< δ,então: Para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: |cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε. |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2| Exemplos:1. Consideremos a função à Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por- tanto, é natural suspeitar que x→1 f(x) = 4. lim Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever |f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2 à 27
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 031. Na função f definida por CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO temos: 3.1 Introdução 2 lim f(x)= x→1+ (3 – x) = 2 e x→1− f(x) = x→1− (x – 4) = –3 x→1+ lim lim lim Dizemos que uma função f(x) é contínua num Como os limites laterais são diferentes, dize- ponto a do seu domínio se as seguintes mos que x→1 f(x) não existe. lim condições são satisfeitas: ∃f(a)2. Dada a função f definida por para to- ∃x→a f(x) lim do x∈IR*, calcule x→0+ f(x) e x→0− f(x). Existe x→0 f(x)? lim lim lim lim f(x) = f(a) x→a Solução: 3.2 Propriedade das funções contínuas , temos: Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: e f(x) ± g(x) é contínua em a; f(x) . g(x) é contínua em a; f(x) g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0). Considerando que x→0+ f(x) ≠ x→0− f(x), concluí- lim lim mos que não existe x→0 f(x). lim 3.3 Generalização sobre continuidade de uma função3. Calcule x→1+ f(x) e x→1− f(x), sendo lim lim Dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa que f(a) existe e que f leva . pontos “próximos” de a em pontos “próximos” Solução: de f(a). Isso pode ser resumido precisamente lim f(x) = x→1+ 2x = 2 e x→1− f(x) = x→1− x2 = 1. x→1+ lim lim lim na seguinte definição: Definição: Uma função f : B → é contínua em um ponto a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. Note que, se o domínio de f for um intervalo, a) 1 B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três seguintes condições: 1) a∈B; 2) existe x→a f(x) e lim 3) x→a f(x) = f(a). lim b) n c) 1 3.4 O teorema de Weierstrass Toda função contínua num intervalo fechado n [a,b] assume um máximo e um mínimo em d) [a,b]. Entretanto é importante observar que ele ga- , verifique que rante que uma função, sendo contínua num in-2. Dada a função tervalo fechado, certamente admitirá ponto de lim f(x) = x→1− f(x). x→1+ lim extremo, tanto máximo como mínimo, poden- 28
  23. 23. Cálculo I – Limites do ser interior ao intervalo ou em qualquer das 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas x→ 2 g(x) ≠ g(2) e lim extremidades. consequentemente g não é contínua em x = 2. 3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é con- tínua em 1, pois Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a ∈ IR, temos: 4. A função definida em IR é à Observação: descontínua em 1, pois No gráfico, observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mí- nimo local, ambos interiores ao intervalo. Entretanto o ponto de máximo global da fun- ção ocorre na extremidade b, e o ponto de mínimo global ocorre na extremidade a do in- tervalo. Também é conveniente observar que o Teo- rema só vale se a função é contínua num inter- valo fechado. Se a continuidade for num inter- valo aberto, não é possível garantir a existência de máximo e mínimo globais. Exemplos: Observemos que f é contínua em IR – {1} pois, para todo a IR – {1}, temos:1 Consideremos medida que x se à aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos: 5. Dada a função , verificar se existe algum ponto de descontinuidade . À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi- Como x→ 3 f(x) = x→ 3 (x + 1) = 4; x→ 3+ f(x) = lim lim lim ma–se de 0.4 e consequentemente temos a = x→ 3 4 = 4 e f(3) = 4 temos que x→ 3 f(x) = f(3) lim lim igualdade x→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri- lim o que implica que a função é contínua no ponto fique a igualdade f(c) = x→ c f(x), diz–se que f é lim x = 3. contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Para k ≤ 3, limk f(x) = limk (x + 1) = x→ x→ lim x + x→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1 x→ k lim2. Vejamos a função: Para k > 3, x→ k f(x) = x→ k 4 = 4 e f(k) = 4 lim lim Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade. à Em geral, restringimos a análise aos valores de O limite de g(x) à medida que x se aproxima de x que não verificam as condições de existência 29
  24. 24. UEA – Licenciatura em Matemática de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3). TEMA 046. Verifique se a função é contínua PROPRIEDADES DOS LIMITES em x = 3. 4.1 Introdução Cálculo de f(3): Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas Cálculo de x® 3 f(x) = lim como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduzire- mos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a. Como x® 3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3 lim • Se f(x) = C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C. • Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b. • Se f e g são duas funções, k uma constante, Verifique se a função f é contínua no ponto A e B números reais e além disso Lim especificado. f(x)=A e Lim g(x)=B, então: (1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B1. (2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B (3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A2. (4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An (5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B,3. se B é não nulo. (6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) • Se acontecer uma das situações abaixo:4. Lim f(x) = 0. Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar.5. Então: Exemplos: 1. 2. 3. 4. 30
  25. 25. Cálculo I – Limites Demonstração:5. Seja ε > 0 um número qualquer. Como limf(x)=x→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que x→a lim x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε,6. x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε,7. Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a condição 0 < |x – a| < δ implica8. ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε, Observações sobre as propriedades: Donde |g(x) – | < ε, ou seja, x→a g(x) = . lim Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a As propriedades que valem para duas funções, relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x < valem também para um número finito de fun- 1 então, quando x→0: ções. 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1 As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem que, se existem os limites das parcelas, então Observações – Todas as propriedades vistas existirá o limite da operação, mas a recíproca para o cálculo de limites são válidas também deste fato não é verdadeira, pois o limite de para limites laterais e para limites no infinito. uma operação pode existir sem que existam os Quando, no cálculo do limite de uma função, limites das parcelas. aparecer uma das sete formas, que são deno- minadas expressões indeterminadas,4.2 Teoremas importantes Teorema do anulamento – Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0, nada se poderá concluir de imediato sem um quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. estudo mais aprofundado de cada caso. Esse resultado é útil para podermos obter cál- Exemplo: culos com limites. Seja f uma função e suponha que para todo x Teorema do Confronto (regra do sanduiche) tenhamos |f(x)| ≤ x2. – Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, a) Calcule, caso exista, x→ 0 f(x); lim exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim b) f é contínua em x = 0? Por quê? h(x), então Lim g(x) = L. Solução: Generalização: a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2 Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) Como x→ 0 f(–x2) = 0 = x→ 0 x2, segue, do teo- lim lim x∈B, e x→a f(x) = x→a h(x) = . Então x→a g(x) = . lim lim lim rema do confronto, que x→ 0 f(x) = 0. lim O gráfico de g fica "preso entre os de f e h, b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se como mostra a figura abaixo. f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim, lim f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0. x→ 0 1. Calcular . Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 se anulam para x = 3, cairemos na expressão e 31
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática nada poderemos concluir. Assim, devemos sim- plificar a fração, eliminando a indeterminação. 2. Determine o Valor de . Logo, a) 1/5 b) 2/6 c) 3/42. Calcular . d) 4/3 e) 3/5 Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. 3. Calcule . a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 19 4. Calcule3. Calcular . a) 2/5 b) 3/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 2/44. Calcular . 5. Ache o valor de . a) 1 b) –1 c) –2 d) 3 e) –4 6. O é igual a: a) –4 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 7. Calcular .1. Calcule x→ 1 (log 10x). lim a) 0 b) 1 a) x b) 2x c) 2 d) 3 c) 4x d) 3x e) 4 e) 5x 32
  27. 27. Cálculo I – Limites8. O é igual a: TEMA 05 a) 1/9 LIMITES INFINITESIMAIS b) 1/27 c) 1/243 5.1 Limites infinitos d) 1/81 Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos e) 1/54 analisar o comportamento numérico dessa fun- ção por meio das tabelas abaixo.9. O valor de é: a) 2 b) 0 Quando x → 0, por valores maiores que zero c) 8 (x → 0+) os valores da função crescem sem d) 4 limite. e)10. O limite Quando x → 0, por valores menores que zero a) não existe; (x → 0), os valores da função decrescem sem b) não é nenhum número real; limite. c) vale 2; Observamos que próximo de x = 0, o compor- d) vale 0; tamento da função é estranho. e) vale 4.11. O vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0, esta função não tem os va- lores aproximando-se de um limite bem defi-12. O valor de é: nido. a) –1 Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observa- b) –2 mos que: c) d) 0 e) 1 33
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática Observamos pelas tabelas, que se x → 0, por Definição: valores maiores ou menores do que 0, os va- Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x→a lores da função crescem sem limite. Assim, po- pela esquerda e também pela direita, dizemos demos afirmar, por este exemplo, que, quando que o limite de f(x), quando x → a é infinito, e x → 0 esta função tem os valores aproximan- escrevemos: limx→af(x) = +∞ do-se de um limiar (inf = infinito = ∞). Nesse Analogamente, a expressão matemática: caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal limx→af(x) = –∞ fato por: significa que f(x) tende a –∞, se x→a pela esquerda e também pela direita. 5.2 Extensão sobre limites no infinito Por causa dessa notação, costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos, e Analisaremos agora o comportamento de por causa desse limite, dizemos também que o h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente gráfico desta função tem uma assíntota verti- (x→∞) ou quando x decresce arbitrariamente cal, que é uma reta cuja equação é dada por (x→–∞). x = 0, neste caso. y x Pelas tabelas, observamos que: Limx→+ ∞ h(x) = 0 Definição: Limx→– ∞ h(x) = 0 Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x = a em I um Quando construímos o gráfico de h, observa- intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem mos que existe uma reta (assíntota) horizontal limite infinito, quando x se aproxima de a, o que que é a reta y=0, que nunca toca a função, é denotado por: limx→a f(x)=+ ∞ mas aproxima-se dela em +∞ e em –∞. Se, para todo número real L>0, existir um d>0 y tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L. De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um grá- fico com todos os valores da imagem no interva- lo (–∞,0). O comportamento de g próximo de x x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0, no entanto represen- tamos tal resultado por: Limx→0 –1/x²= + ∞ y Temos, então, uma definição geral, engloban- do tal situação: x Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,∞). Escrevemos: lim f(x) = L x→∞ quando, para todo e>0, existe um número real M > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M. 34
  29. 29. Cálculo I – Limites Formalizaremos agora o conceito de assíntota 2. Calcule horizontal. Definição: a) 0 Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho- b) 1 rizontal do gráfico de f se c) 3 lim f(x) = L ou x→–∞f(x) = L x→∞ lim d) 25.3 Limite de uma função polinomial para x→±∞ e) 4 Seja a função polinomial 3. Calcule . f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0. a) 0 Então: b) 1 c) 6 Demonstração: d) 2 e) –2 4. Calcule . Mas: a) 1 b) 4 c) 3 Logo: d) 2 e) 0 m De forma análoga, para g(x) = bmx +...b1x + b0, temos: 5. Calcule os limites: a) b) Exemplos:1. c)2. d)3. e)1. Calcule a) 1/5 b) 2/6 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4 35
  30. 30. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 06 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS6.1 Introdução 1. Determinar . Demonstração: Para x → 0, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: 2. Determinar Transformando, temos: Mas: lim 1 = x→0 cos x = 1 x→0 lim g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se lim g(x) = x→a h(x) = b então, x→a f(x) = b. Logo, x→a lim lim 3. Calcular Transformando, temos:6.2 Exemplos:a)b)c) 1. Calcular os seguintes limites: a)d) b) 36
  31. 31. Cálculo I – Limites2. Determine: a) TEMA 07 LIMITES EXPONENCIAIS b) 7.1 Introdução c)3. Calcular os seguintes limites: Nesse caso, e representa a base dos logarit- a) mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú- mero irracional cujo valor aproximado é b) 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de . c) d) e) f) Notamos que à medida que . De forma análoga, efetuando a substituição , temos: Ainda de forma mais geral, temos : As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios desse tipo e evitam substituições algébricas. Se ax – 1 = u, então ax + 1 = u. Mas: 37
  32. 32. UEA – Licenciatura em Matemática Logo: Fazendo –x = t, temos: x → –∞ t → + ∞ Substituindo-se, vem: Como x → 0 , então u → 0. Portanto: 1. Calcule a) e b) e7 Generalizando a propriedade acima, temos c) 1/e3 d) ex . e) e4 2. Calcule o a) e b) –e c) e2 d) 4 e) e 3. Calcule os limites:1. Determinar a) b)2. Determinar o . c) Fazendo temos x = 3 u e x → + ∞ impli- ca u → +∞ assim: Logo:3. Calcular . Transformando, temos: 38
  33. 33. Cálculo I – Limites Augustin-Louis Cauchy (Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio de 1857) foi um matemático francês.O primeiro avanço na matemática modernapor ele produzido foi a introdução do rigor naanálise matemática. O segundo foi no ladooposto – combinatorial. Partindo do ponto cen-tral do método de Lagrange, na teoria das equa-ções, Cauchy tornou-a abstrata e começou asistemática criação da teoria dos grupos. Nãose interessando pela eventual aplicação doque criava, ele desenvolveu para si mesmoum sistema abstrato. Antes dele, poucos bus-caram descobertas proveitosas na simplesmanipulação da álgebra.Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini-tos. Em análise infinitesimal, criou a noçãomoderna de continuidade para as funções devariável real ou complexa. Mostrou a importânciada convergência das séries inteiras, com asquais seu nome está ligado. Fez definições pre-cisas das noções de limite e integral definida,transformando-as em notável instrumento parao estudo das funções complexas. Sua abor-dagem da teoria das equações diferenciais foiinteiramente nova, demonstrando a existênciade unicidade das soluções, quando definidasas condições de contorno. Exerceu grandeinfluência sobre a física de então, ao ser oprimeiro a formular as bases matemáticas daspropriedades do éter, o fluido hipotético queserviria como meio de propagação da luz.A vida de Augustin Cauchy assemelha-se auma tragicomédia. Seu pai, Louis-François,esteve muito próximo da guilhotina, apesarde ser advogado, culto, estudioso da Bíblia,católico fanático e tenente de polícia.Augustin era o mais velho dos seis filhos (doishomens e quatro mulheres). Seguia obsti-nadamente os preceitos da Igreja Católica.Seu eterno louvor à beleza e à santidadecansava os que o ouviam. 39
  34. 34. UNIDADE III Derivada
  35. 35. Cálculo I – Derivada causa dos trabalhos dos matemáticos france- ses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) e TEMA 08 Joseph Louis Lagrange (1736–1813). DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO O cálculo diferencial e integral, como é co- nhecido hoje, é um instrumento matemático de8.1 CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLA extrema importância. Suas aplicações, além da AGITA O MEIO CIENTÍFICO matemática e da física, estendem-se também à química, à biologia, à engenharia, etc. As primeiras idéias sobre o cálculo foram re- gistradas na Grécia, no século V a.C., e es- 8.2 INTRODUÇÃO DO ESTUDO DAS tavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes e DERIVADAS comprimentos de arcos. O problema fundamental do cálculo diferencial Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxo é estabelecer uma medida para a variação da de Cnido quem teria dado os primeiros passos função com precisão matemática. Foi investi- nesse campo, criando o método de exaustão, gando problemas dessa natureza, lidando com que mais tarde foi aplicado brilhantemente grandezas que variam com continuidade, que pelo matemático grego Arquimedes de Sira- Newton foi conduzido à descoberta dos princí- cusa (287–212 a.C.) para calcular a área de um pios fundamentais do cálculo. segmento parabólico. Para o cálculo avançar, porém, era necessário descobrir fórmulas ge- rais, que permitissem, por exemplo, calcular a área de qualquer figura geométrica. Contudo isso só veio a acontecer no século XVII, quando vários matemáticos, entre eles o francês Pierre de Fermat (1601–1665) e os ingleses Jhon Wallis (1616–1703) e Isaac Barrow (1630–1677), deram importantes pas- Da física, sabemos que quando uma partícula sos nesse sentido, além de abrirem caminho se movimenta segundo a equação horária S = para dois outros grandes matemáticos daque- f(t), em que s é a abscissa (posição) do ponto la época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz. em que se encontra a partícula no instante t (s é uma função de t), a velocidade média do mo- vimento entre dois instantes (t0,t), que vamos indicar por Vm(t0;t) é dada por: A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) é definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tende a t0: Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Essa dupla, trabalhando separadamente e no Exemplo: mesmo período, estabeleceu as bases do cálculo. • Uma particula movimenta-se segundo a equação horária S = 2t2 + 5t + 10, s em me- Newton fundamentava suas idéias na mecâni- tros e t em segundos. Obter a velocidade: ca e Leibniz, na geometria. a) no instante t = 1; A partir do século XVIII, o cálculo sofreria pro- fundas transformações, principalmente por b) num instante t = t0 43

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