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Calculo 3   integrais duplas - coordenadas polares
 

Calculo 3 integrais duplas - coordenadas polares

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    Calculo 3   integrais duplas - coordenadas polares Calculo 3 integrais duplas - coordenadas polares Presentation Transcript

    • Integrais Duplas Coordenadas Polares Prof. Jailson de Abreu Cálculo 3
    • Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.
    • Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u ( x , y ) e v = v ( x , y ). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D , respectivamente, temos (3)
    • Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v , dado por
    • Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A transformação que leva pontos (r,  ) do plano r  a pontos (x, y) do plano xy é dada por e seu jacobiano é dado por (4) Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)
    • Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula Para que (4) seja bijetora, considera-se r  para os quais r e  satisfazem:
    • Coordenadas Polares Área  A’ do retângulo em D’ Área  A do retângulo polar em D
    • Coordenadas Polares
    • Coordenadas Polares
    • Coordenadas Polares dA = dxdy = rdrd 
    • Coordenadas Polares Integral Dupla em D’ Assim, obtemos o jacobiano r k da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n , tome um ponto arbitrário ( x k , y k ) no k -ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por ( r k cos  k , r k sin  k ) é equivalente a onde  A ' k =  r k  k é a área do k -ésimo retângulo em D ’. que tem representação ( r k ,  k ) referente à região correspondente em D ’. Assim, a soma de Riemann
    • Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos dada pela fórmula (5). que equivale a integral
    • Coordenadas Polares x y P(x,y) = P(r,  ) r  x y Relações: r 2 = x 2 + y 2  = arctg(y/x) x = r.cos  y = r.sen  z = z
    • Coordenadas Polares
    • Coordenadas Polares y r x x  y P y = r sen  x = r cos  sen  = y/r cos  = x/r r 2 = x 2 + y 2  = arctg y/x retang.  polares polares  retang.
    • Curvas em Coordenadas Polares y  2 x  1  1     2 r = f (  )  P r 
    • Regiões em Coordenadas Polares y  2 x  1  1     2 f 1 (  )  r  f 2 (  ) r = f 2 (  ) r = f 1 (  ) R
    • Integrais Duplas em Coordenadas Polares y x   R  R k =  (r 1 2 - r 2 2 )(  -  )/2  r 1 r 2 R k = [(r 1 + r 2 )/2] (  r  ) unidade de área:  R k
    • Integrais Duplas em Coordenadas Polares
    • Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares R:     r 1 (  )  r  r 2 (  )
    • Exercícios Exemplo: Calcular R é a região semicircular, x 2 + y 2 = 1, onde y é positivo. R = 1
    • ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE Exemplo: Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
    • Exercícios
    • Exercícios
    • Cálculo de Volumes - Aplicações Para f ( x , y )  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f ( x , y ), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D .
    • Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
    • Exercícios
    • Cálculo Áreas de Regiões Planas Fazendo f ( x , y ) = 1, a área da região de integração D é dada por:
    • Exercícios
    • REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Loiuis Leithold. – O cálculo com Geometria Analítica volume 2, editora HARBRA. James Stewart. – Cálculo volume 2, editora CENGAGE LEARNING.