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4419704 algebra-linear-i-aula-13-571-transformacoes-lineares

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4419704 algebra-linear-i-aula-13-571-transformacoes-lineares

  1. 1. esta aula, você estudará um tipo especial de função. O domínio e o contradomínioN dessa função serão espaços vetoriais sobre e ela deve satisfazer algumas con- dições de linearidade. As transformações lineares aparecem no cálculo diferencial,ligadas aos conceitos de diferenciabilidade, em que curvas, num certo sentido, são aproxi-madas por retas. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de definir transformação linear de , dar exemplos de transformações line- ares, determinar se uma função é ou não linear, trabalhar com a composição de transformações lineares, e saber determinar a inversa de uma transformação linear dada. Aula 13 Álgebra Linear I 1
  2. 2. Lembre-se do espaço vetorial , em que a adição é definida por e a multiplicação por Se , temos o vetor nulo do , o qual será indicado por ou simplesmente por 0, quando estiver claro no contexto. Assim, etc. Trabalharemos com funções . Se , você estudou no Ensino Fundamental que toda função definida por , para algum ,é chamada linear. Exemplo 1 Exemplo 1 Considere definida por . Construa a tabela a seguir: x y T(x) Note que ao variarmos de 1 para 3, de 3 para 5, , isto é, em 2 unidades, varia, respectivamente, de 3 para 9, de 9 para 15, , ou seja, em 6 unidades. De maneira mais geral, se a variação em for constante, a variação em será também constante. Essa é uma característica importante de uma função linear. Agora, se , então, satisfaz as seguintes propriedades: i) se , então, ; ii) se e , então, .2 Aula 13 Álgebra Linear I
  3. 3. Reciprocamente, se satisfaz as propriedades (i) e (ii), é fácil ver que élinear. De fato, usando a propriedade (ii), obtemos em que Portanto, poderíamos ter dito que é linear, se satisfaz as propriedades(i) e (ii) anteriores. Atividade 1 A função definida por é uma transformação linear? Para e quaisquer, diremos que é uma transformação linear, sei) , para todo , isto é, preserva a soma;ii) , para todo e todo , isto é, preserva a multiplicaçãopor escalares. Note que se é linear, então, pode ser dada na forma ,em que é uma matriz . De fato, por simplificação, considere . Nestecaso, , e temos Lembre-se de que é a base canônica do . Como e pertencem ao espaço vetorial , sabemos que e podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base canônica de , isto é, existem números (escalares) taisque Aula 13 Álgebra Linear I 3
  4. 4. Assim (vetor escrito como coluna) Observe que se , então, a matriz , coincide com o número . Logo, se é linear, . Assim, se uma dada função é tal que , então, não é linear. Atividade 2 A função dada por é linear? é definida por , para todo , para alguma matriz , , pela propriedade distributiva de matrizes, temos i) , ii) , para toda e todo ; logo é linear. Exercício resolvido 1 Considere a função 1 definida por a qual é chamada “projeção” no plano . Verifique que é uma transformação linear.4 Aula 13 Álgebra Linear I
  5. 5. Solução De fato, se e , então, i) e, para , temos ii) Logo, a projeção no plano é uma transformação linear. Note que pode ser escrito na formaExemplo 2Exemplo 2 Uma empresa fabrica dois produtos, e . Para cada real ganho com o produto ,a empresa gasta 40 centavos com a matéria-prima, 20 centavos com a mão-de-obra e 15centavos com as demais despesas. Para cada real ganho com o produto , a empresa gasta45 centavos com a matéria-prima, 35 centavos com a mão-de-obra e 10 centavos com asdemais despesas. Sejam e e representam o “custo por real de produção” para os dois produtos. Considerando as colunas e , construímos a matriz de “custo unitário”. Produto matéria-prima mão-de-obra demais despesas Seja um vetor de “produção” correspondendo a reais do produto e reais do produto , e considere definida por Aula 13 Álgebra Linear I 5
  6. 6. total do custo de matéria-prima total do custo de mão-de-obra total do custo de demais despesas A função transforma a lista de quantidades produzidas (medidas em reais) numa lista de custo total. A linearidade de significa que: i) se a produção for aumentada de um fator, digamos 10, de para 10 , então, os custos aumentarão pelo mesmo fator, de para 10 ; ii) se e são vetores de produção, então, o vetor do custo total associado à produção é , ou seja, é a soma dos vetores de custo e . Transformações do plano são as transformações lineares . Exibiremos algumas transformações desse tipo. Transformações de “semelhança” em que Se , note que leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo sentido, mas de comprimento menor do que (uma fração do comprimento de ), e temos, neste caso, uma contração. Se , leva cada vetor nele mesmo, isto é, é o operador identidade. Finalmente, se , leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo sentido, mas de comprimento vezes o de . Nesse último caso, é uma dilatação. Em todos os casos anteriores, o vetor nulo é levado nele mesmo. Dizemos que fixa o vetor nulo.6 Aula 13 Álgebra Linear I
  7. 7. é claramente linear. Observe que .Transformações “reflexão em torno da origem” Aqui, note que leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas desentido oposto. Temos . é obviamente linear. Aqui, .Transformação “rotação de 90 ” Aula 13 Álgebra Linear I 7
  8. 8. Note que leva um vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas localizado o a 90 de , ou seja, é obtido através de uma rotação de 90o do vetor . Para tanto, observe que as retas que contêm e são perpendiculares. Aqui, . Neste caso, temos ainda que o vetor nulo é fixado, isto é, . Transformação “reflexão em torno do eixo dos ” Note que, se , então, reflete cada vetor em torno do eixo do . Se , então, o vetor é levado nele mesmo, isto é, qualquer vetor sobre o eixo é deixado invariante.8 Aula 13 Álgebra Linear I
  9. 9. Aqui, . Atividade 3 Verifique que as transformações “rotação de 90o ” e “reflexão em torno do eixo dos ” são lineares. Sejam e duas transformações lineares. Lembre-se de que a função composta é definida por ( , paratodo , isto é, primeiro aplicamos em e depois em . Aula 13 Álgebra Linear I 9
  10. 10. Exercício resolvido 2 Sejam 1 a “reflexão em torno do eixo dos ” e a “rotação de 90o ”. Determine . Solução Aqui, . Por definição, temos Logo, Note que é linear. De fato, veja que, se , então, i) , e, se , temos: ii) De um modo geral, vale o seguinte Teorema 1 Se e são transformações lineares, então, a composta é uma transformação linear.10 Aula 13 Álgebra Linear I
  11. 11. Prova Ora, se é linear, então, , para alguma matriz , ,e todo . Agora, como é linear, temos , para algumamatriz , , e todo . Assim, Neste caso, já sabemos, é linear. Seja uma transformação linear. Lembre-se de que é injetora, se dados com , então, , isto é, é injetora, se leva pontos distintos em valores distintos. Outra maneiraequivalente de dizer isso é: . Evidentemente, a transformaçãoidentidadeé injetora, pois, se , então, . O problema é que nem sempre é fácilconcluir que é injetora ou não. Na próxima aula, daremos um critério que facilitará essaanálise para funções lineares. Agora, linear é sobrejetora, se dado , existe tal que Aula 13 Álgebra Linear I 11
  12. 12. , isto é, é sobrejetora, se todo elemento de é imagem de algum elemento do através de . Lembre-se de que o conjunto imagem de , denotado por , é dado por: é um subconjunto do , isto é, , em que denota: está contido ou é igual. Outro modo de dizer que é sobrejetora é que Exercício resolvido 3 Demonstre que a “reflexão em torno do eixo dos ” 1 é injetora e sobrejetora.12 Aula 13 Álgebra Linear I
  13. 13. Solução Sejam tais que , isto é, Da igualdade de pares, segue que e , de modo que (multiplicando por ). Assim, . Isso prova que é injetora. Agora, seja .Tome e note que , provando que é também sobrejetora. Quando é injetora e sobrejetora, diz-se que é bijetora. Logo, o Exercício resolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos ” é uma transformação linear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa tal que e Veja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos ” é dada por isto é, é ela própria. De fato, eConclusão – A inversa de uma “reflexão em torno do eixo dos ” é uma “reflexão em tornodo eixo dos ”. Logo, a sua inversa é também uma transformação linear.Observação – Será mostrado na aula 14 (Núcleo e imagem de uma transformação linear),Corolário 3, que se é linear e bijetora, então, . De um modo geral, vale o seguinte teorema. Teorema 2 Seja uma transformação linear bijetora. Então, a função inversa é uma transformação linear. Aula 13 Álgebra Linear I 13
  14. 14. Prova Sejam e . Como é bijetora, existem únicos tais que e . Agora, sendo linear, temos e Por definição de função inversa, note que e Logo, e provando que é linear. Resumo Nesta aula, vimos o que significa uma função ser linear; você conheceu alguns exemplos de transformações lineares e aprendeu o critério para decidir se não é linear. Observou que toda transformação linear de em é da forma , para todo , para alguma matriz , . Além disso, vimos que a composta de duas transformações lineares é uma transformação linear e a inversa de uma transformação linear é uma transformação linear. Sejam e definidas por i) Mostre que e são lineares. ii) Determine e . iii) Encontre .14 Aula 13 Álgebra Linear I
  15. 15. Exercícios propostos1) Mostre que as seguintes funções são lineares.a) definida por , em que . é chamada“cisalhamento paralelo ao eixo dos ”. Descreva isso geometricamente.b) definida por .2) Quais das seguintes funções de em são lineares? Justifique.a) .b) .c) .3) Sejam e duas funções definidas por e , respectivamente.i) Encontre .ii) é linear?ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. SãoPaulo: Editora Harbra Ltda, 1986. Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de resolvê-las. Aula 13 Álgebra Linear I 15
  16. 16. Respostas dos exercícios propostos 1) Verifique que satisfaz as condições (i) e (ii) da definição. 2) a) Não é linear. Note que . b) Não é linear. Calcule . c) Não é linear. Calcule . 3) i) ii) Sim.16 Aula 13 Álgebra Linear I

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