D I S C I P L I N A   Álgebra Linear I                                         Matrizes                                   ...
Governo Federal                                                                        Revisoras de Língua PortuguesaPresi...
ApresentaçãoN        esta primeira aula, vamos trabalhar com as tabelas numéricas chamadas matrizes.        Introduziremos...
Definição de matriz                               Em Matemática, é conveniente considerar tabelas quadradas ou retangulares...
Exemplo     Em Gonçalves e Souza (1977, p.4), é considerada a seguinte ligação entre pontos (osquais podem representar pes...
Algumas matrizes especiais                             Seja A = [aij ] uma matriz m × n. Se m = n, diz-se que A é uma matr...
A álgebra das matrizes     Denotaremos por Mm×n (IR) o conjunto de todas as matrizes m × n, com elementospertencentes ao c...
Multiplicação por escalar                               Aqui escalar significa um número real.                             ...
Assim, para se obter o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna de AB, multipli-camos, preservando a ordem natural, o...
                                                                                                        a11 a12     ...
A transposta de uma matriz       A matriz transposta da matriz A = [aij ]m × n, indicada por At , é a matriz       obtida ...
Atividade 2                                          Complete a verificação da validade das propriedades 1, 2 e 3.         ...
A matriz inversa     Aqui, discutiremos o inverso multiplicativo de uma matriz quadrada de ordem n.      Seja A uma matriz...
Veja que o problema de achar a inversa de A reduziu-se a encontrar as                                soluções de dois sist...
Resumo  Você aprendeu que para adicionar duas matrizes adicionam-se os elementos  correspondentes dessas matrizes. Agora, ...
Exercícios propostos                          1) Escreva a matriz A = [aij ]2 × 3, sabendo-se que aij = 5i + j − 4.       ...
ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.GOLÇALVES, A.; S...
Anotações1   Aula 01 Álgebra Linear I
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  1. 1. D I S C I P L I N A Álgebra Linear I Matrizes Autores Jonas Gonçalves Lopes Marcelo Gomes Pereira aula 01
  2. 2. Governo Federal Revisoras de Língua PortuguesaPresidente da República Janaina Tomaz CapistranoLuiz Inácio Lula da Silva Sandra Cristinne Xavier da CâmaraMinistro da Educação IlustradoraFernando Haddad Carolina CostaSecretário de Educação a Distância – SEED Editoração de ImagensRonaldo Motta Adauto Harley Carolina CostaUniversidade Federal do Rio Grande do Norte DiagramadoresReitor Mariana Araújo BritoJosé Ivonildo do RêgoVice-Reitor Adaptação para Módulo MatemáticoNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho Thaisa Maria Simplício LemosSecretária de Educação a Distância Imagens UtilizadasVera Lúcia do Amaral Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN Fotografias - Adauto HarleySecretaria de Educação a Distância- SEDIS MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,Coordenadora da Produção dos Materiais East, San Rafael, CA 94901,USA.Célia Maria de Araújo MasterFile – www.masterfile.com MorgueFile – www.morguefile.comCoordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky Pixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.com FreeImages – www.freeimages.co.ukProjeto Gráfico FreeFoto.com – www.freefoto.comIvana Lima Free Pictures Photos – www.free-pictures-photos.comRevisores de Estrutura e Linguagem BigFoto – www.bigfoto.comEugenio Tavares Borges FreeStockPhotos.com – www.freestockphotos.comMarcos Aurélio Felipe OneOddDude.net – www.oneodddude.netPedro Daniel Meirelles Ferreira Stock.XCHG - www.sxc.hu Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Lopes, Jonas Gonçalves Álgebra linear I / Jonas Gonçalves Lopes, Marcelo Gomes Pereira – Natal (RN) : EDUFRN – Editora da UFRN, 2006. 224 p. ISBN 85-7273-290-X 1. Álgebra. 2. Sistema de equações lineares. 3. Transformações lineares. I. Pereira, Marcelo Gomes. II. Título. CDU 512 RN/UFR/BCZM 2006/14 CDD 512 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizaçãoexpressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
  3. 3. ApresentaçãoN esta primeira aula, vamos trabalhar com as tabelas numéricas chamadas matrizes. Introduziremos algumas operações no conjunto de todas as matrizes e mostraremos algumas de suas principais propriedades. Os assuntos tratados aqui têm importânciafundamental na resolução de equações lineares simultâneas, que são uma parte importantedesta disciplina. Para esta aula, é necessário apenas que você conheça as quatro operações usuais comnúmeros reais. Na verdade, na prática, trabalharemos mais com números inteiros e frações.É desejável, também, que você tenha alguma experiência com resolução de equações doprimeiro grau.Objetivos Ao término desta aula, você deverá ser capaz de: adicionar ma- trizes, multiplicar uma matriz por um número real (escalar), mul- tiplicar duas matrizes, bem como encontrar a transposta de uma matriz dada e a inversa (se existir) de uma matriz quadrada (pelo menos 3 × 3). Aula 01 Álgebra Linear I 1
  4. 4. Definição de matriz Em Matemática, é conveniente considerar tabelas quadradas ou retangulares de números reais da forma   a11 a12 · · · a1n    a21 a22 · · · a2n  A=    ··· ··· ··· ···   am1 am2 · · · amn Uma tabela desse tipo chama-se matriz e os números (reais) a11 , a12 , · · · , amn são os elementos da matriz. A matriz A acima tem m linhas e n colunas e, por isso, chama-se uma matriz m × n (m por n). Se o número de linhas e colunas for claro ao contexto, a matriz A acima será repre- sentada na forma abreviada [aij ] . O elemento genérico aij indica o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna. Por exemplo, a13 é o elemento localizado na primeira linha e terceira coluna. No lugar do colchete em [aij ], podemos usar um parêntese; neste caso, a matriz será denotada por (aij ). O uso matemático de tabelas assim tem origem muito antiga. Há registros chineses sobre matrizes que datam de 250 anos antes de Cristo. As matrizes aparecem em várias áreas da Matemática e suas aplicações. Por exemplo, uma matriz pode servir de modelo ou representar uma situação do nosso cotidiano. Con- sidere a matriz 4×3   8 7 5    6 4 9  A=  10 5 6     7 9 8 Nessa matriz A, cada linha pode representar um aluno e cada coluna pode representar seu grau de aprovação em uma dada avaliação. Isto é, a matriz A pode representar o seguinte quadro de avaliação: 1a avaliação ª Avaliação 1ª Avaliação 2a avaliação 3a avaliação 3ª Avaliação Aluno 1 Aluno 1 88 7 7 5 5 Aluno 2 Aluno 2 6 6 4 4 9 9 Aluno 3 Aluno 3 1010 5 5 6 6 Aluno 4 Aluno 4 7 7 9 9 8 8 Muitas vezes, para se construir uma matriz, é definida uma lei de formação para o elemento genérico aij da matriz, como no exemplo a seguir. Aula 01 Álgebra Linear I
  5. 5. Exemplo Em Gonçalves e Souza (1977, p.4), é considerada a seguinte ligação entre pontos (osquais podem representar pessoas, cidades, nações etc.), dada pelo diagrama: Essas ligações são indicadas definindo-se aij = 1, se o ponto i está ligado ao j, casocontrário, isto é, se o ponto i não está ligado ao j, define-se aij = 0. É admitido que nenhumponto está ligado a ele mesmo. É fácil ver que a forma matricial deste diagrama é dada por   0 1 0 1    1 0 1 1  A=    0 1 0 0   1 1 0 0 Note que a13 = 0, pois, pelo diagrama, vemos que o ponto 1 não está ligado ao 3.Também a31 = 0, a34 = 0, a43 = 0. Agora, como nenhum ponto está ligado a si próprio,veja que a11 = a22 = a33 = a44 = 0. Finalmente, observe que os outros pontos estãoligados, isto é, a12 = 1, a14 = 1, a21 = 1, a23 = 1, a24 = 1, a32 = 1, a41 = 1, a42 = 1.Igualdade de matrizes Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] são ditas iguais se, e somente se, tiverem o mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas e aij = bij para todos i, j. Por exemplo, as matrizes     1 2 4 1 2 4 A= e B= 3 0 5 −1 0 5não são iguais, pois, embora tenham o mesmo número de linhas (2) e o mesmo número decolunas (3) veja que a21 = 3, enquanto b21 = −1. Aula 01 Álgebra Linear I 3
  6. 6. Algumas matrizes especiais Seja A = [aij ] uma matriz m × n. Se m = n, diz-se que A é uma matriz quadrada de ordem n. Por exemplo, as matrizes     4 3 1 3 0   e  0 2 6  4 1 3 5 7 −1 são quadradas de ordem 2 e 3, respectivamente. Numa matriz quadrada A = [aij ] de ordem n, os elementos a11 , a22 , . . . , ann formam a diagonal principal de A. Uma matriz quadrada, na qual todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero, chama-se matriz diagonal. Simbolicamente, A = [aij ] de ordem n é uma matriz diagonal, se aij = 0 para i = j (i, j = 1, . . . , n). Por exemplo, as matrizes:         5 0 0 3 0 0 0 1 0   A= B= C= D= 0 7 0  0 0 0 4 0 −1 0 0 −1 são matrizes diagonais. Agora, uma matriz é dita matriz nula, se todos os seus elementos são iguais a zero. Denotaremos a matriz nula por 0. Note que uma matriz nula de ordem n é também uma matriz diagonal. Um outro exemplo de matriz diagonal é a matriz identidade, In , de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Por exemplo,     1 0 0 1 0   I2 = , I3 =  0 1 0 . 0 1 0 0 1 Você verá no decorrer deste estudo que essas matrizes especiais desempenham um papel fundamental para o desenvolvimento desta disciplina. Aula 01 Álgebra Linear I
  7. 7. A álgebra das matrizes Denotaremos por Mm×n (IR) o conjunto de todas as matrizes m × n, com elementospertencentes ao conjunto IR dos números reais. Introduziremos nesse conjunto algumasoperações, a saber:Adição de matrizes Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes m × n, sua soma A + B é definida como sendo a matriz [aij + bij ] obtida adicionando os elementos correspon- dentes de A e B. Observe que a soma A + B é definida somente quando A e B são do mesmo tipo, istoé, tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Por exemplo,     3 2 1 −1 0 2     Se A =  0 4 6  e B =  1 6 7 , então, 5 3 7 4 3 9     3 + (−1) 2 + 0 1 + 2 2 2 3     A+B = 0+1 4 + 6 6 + 7  =  1 10 13 . 5+9 3+4 7+3 14 7 10 Como no conjunto IR, a adição é comutativa e associativa, segue que no conjuntoMm×n (IR) a adição de matrizes também tem essas propriedades, isto é, temos para todoA, B, C ∈ Mm×n (IR):i) A + B = B + A (propriedade comutativa);ii) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa). A operação adição de matrizes tem ainda as duas seguintes propriedades:iii) existe um elemento zero, denotado por 0, tal que, A + 0 = 0 + A = A, para todoA ∈ Mm×n (IR). Veja que esse elemento zero é a matriz nula. De fato, temos A + 0 =[aij ] + [0] = [aij + 0] = [aij ] = A = 0 + A;iv) para cada matriz A = [aij ] ∈ Mm×n (IR), existe uma matriz inversa aditiva, denotadapor −A, tal que A + (−A) = −A + A = 0. Veja que −A = [−aij ]. Uma outra operação a ser considerada no conjunto Mm×n (IR) é a multiplicação porescalar. Aula 01 Álgebra Linear I
  8. 8. Multiplicação por escalar Aqui escalar significa um número real. Dada uma matriz A = [aij ] e um escalar r ∈ IR, definimos o produto de r por A, indicado por rA, como sendo a matriz rA = [rAij ], isto é, a matriz rA é obtida multiplicando cada elemento da matriz A por r. Por exemplo, se       −4 2 (−2) · (−4) (−2) · 2 8 −4 A= e r = −2, então, (−2)A = = . 1 0 (−2) · 1 (−2) · 0 −2 0 A operação multiplicação por escalar tem as propriedades descritas a seguir. Se A e B são matrizes m × n e c, c1 , c2 são escalares, então: 1) (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A; 2) c(A + B) = cA + cB; 3) c1 (c2 A) = (c1 c2 )A; 4) 1 · A = A, (−1) · A = −A(−1) · A, 0 · A = 0m×n , em que 0 denota o escalar zero, enquanto 0m×n é a matriz nula m × n. Observação: define-se a subtração de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] por A − B = A + (−1) · B = [aij − bij ]. A próxima operação a ser considerada em Mm×n (IR) é a multiplicação de matrizes. Multiplicação de matrizes Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m × n e B = [bij ] uma matriz do tipo n × p, de modo que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Define-se a matriz produto de A por B, indicada por AB, como sendo a matriz AB = [cij ], m × p, em que (∗ )cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p. Aula 01 Álgebra Linear I
  9. 9. Assim, para se obter o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna de AB, multipli-camos, preservando a ordem natural, os elementos da i-ésima linha de A pelos elementosda j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados dessas multiplicações. Por exemplo, se       2 3 −1 5 1 8 −2       A= 0 1 0  e B =  0 −1 , então, AB =  0 −1 , 4 −1 2 2 1 24 7pois (2)(5) + (3)(0) + (−1)(2) = 8, (0)(1) + (1)(−1) + (0)(1) = −1, (2)(1) + (3)(−1) + (−1)(1) = −2, (4)(5) + (−1)(0) + (2)(2) = 24, (0)(5) + (1)(0) + (0)(2) = 0, (4)(1) + (−1)(−1) + (2)(1) = 7.     2 1 3 1 Dadas as matrizes A = eB = , −1 3 −1 0     5 2 5 6observe que AB = , enquanto BA = . −6 −1 −2 −1 Note que, AB = BA e, portanto, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Emgeral, tem-se AB = BA. Em certos casos particulares, podemos permutar os fatores. Por exemplo, se     −1 2 7 8 C= eD= , você pode verificar que 3 5 12 31   17 54 CD = DC = . 81 119 Murdoch (1972, p. 82) faz o seguinte comentário: Você pode muito bem perguntar por que escolhemos esta definição aparentemente tão complicada do produto matricial (∗ ), em vez de, por exemplo, o processo mais óbvio de multiplicarmos os elementos correspondentes em duas matrizes m × n, [aij ] e [bij ], e obtermos o “produto” [aij bij ]. A resposta é que escolhemos a definição que nos leve ao mais interessante e frutífero desenvolvimento matemático e às aplicações mais úteis. Usando as definições de multiplicação e de igualdade de matrizes, você pode verificarfacilmente que um sistema de equações lineares mais incógnitas x1 , x2 , . . . , xn :   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ,   ·································    a x + a x + ··· + a x = b m1 1 m2 2 mn n mpode ser expresso na forma matricial AX = B, em que Aula 01 Álgebra Linear I
  10. 10.       a11 a12 · · · a1n x1 b1        a21 a22 · · · a2n   x2   b2  A=  , X =     e B=      ··· ··· ··· ···   ···   ···  am1 am2 · · · amn xn bm Note que a notação matricial abrevia a notação (por equações). Cabe salientar que essa notação matricial foi introduzida pelo matemático inglês Artur Cayley em 1858. Propriedades básicas do produto matricial A lei associativa do produto matricial Sejam A uma matriz m × n, B uma matriz n × r e C uma matriz r × s. Então, (AB)C = A(BC). Leis distributivas Sejam A e B matrizes m × n, C uma matriz r × m e D uma matriz n × s. Então, C(A + B) = CA + CB, (A + B)D = AD + BD. Atividade 1 Mostre a lei associativa do produto, considerando uma matriz A 3 × 2, B uma matriz 2 × 2 e C uma matriz 2 × 3. Também, mostre a lei distributiva con- siderando matrizes A e B 3 × 2, C uma matriz 2 × 3 e D uma matriz 2 × 3. Observação: note que a matriz identidade In , de ordem n, age como uma unidade multiplicativa porque In · A = A · In = A para toda matriz A, n × n. Note também que para qualquer matriz quadrada A, n × n, temos A · 0n×n = 0n×n · A = 0n×n , em que 0n×n é a matriz nula, já definida. Aula 01 Álgebra Linear I
  11. 11. A transposta de uma matriz A matriz transposta da matriz A = [aij ]m × n, indicada por At , é a matriz obtida escrevendo as linhas de A como colunas, isto é, At = [aji ], n × m. Veja que se A é do tipo m × n, então, At é do tipo n × m. Por exemplo, a transpostada matriz     1 4 5 1 −1 0 2   t =  −1 2 6      A= 4 2 1 3  é a matriz A  0 1 7    5 6 7 0 3×4 2 3 0 4×3 Propriedades 1) (At )t = A; 2) (A + B)t = At + B t ; 3) (cA)t = cAt , em que c é um escalar; 4) (AB)t = B t At (a transposta do produto é o produto das transpostas na ordem inversa). Verificaremos a validade dessas propriedades trabalhando com matrizes 2 × 2. De fato, se     a11 a12 b11 b12A= B= , então, a21 a22 b21 b22   a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22AB = a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22     b11 b21 a11 a21e, B t = e A t = , de modo que, por cálculo direto, b12 b22 a12 a22   t At = b11 a11 + b21 a12 b11 a21 + b21 a22B . b12 a11 + b22 a12 b12 a21 + b22 a22 Veja que B t At é a transposta de AB, verificando a validade de 4). Aula 01 Álgebra Linear I
  12. 12. Atividade 2 Complete a verificação da validade das propriedades 1, 2 e 3. Diz-se que uma matriz A é simétrica, se At = A, e que A é anti-simétrica, se At = −A. Exercício resolvido 1   4 −1 3   Escreva a matriz A =  2 5 1  como a soma de uma matriz simétrica e 1 uma matriz anti-simétrica. 3 0 6 Solução Se você conhece a matriz A, pode obter a matriz transposta de A, isto é, 4 2 3 t =  A  −1 5 0  . 3 1 6 A + At A − At Agora, observe que A = + . 2 2   4 1 3 A+A t  2  Veja que S = =  1 5 1  é simétrica, 2 2 2 3 1 6 2   0 −3 02 A − At  3  enquanto S  = =  2 0 1  é anti-simétrica. 2 2 0 −1 0210 Aula 01 Álgebra Linear I
  13. 13. A matriz inversa Aqui, discutiremos o inverso multiplicativo de uma matriz quadrada de ordem n. Seja A uma matriz n × n. Se existe uma matriz n × n A , tal que A · A = A · A = In , dizemos que A é a inversa de A, e a denotaremos por A−1 . Neste caso, A é dita inversível (ou não singular). Se A não possui inversa, A é chamada não-inversível (ou singular). Por exemplo, se    3 −5 2 5 A= eB = , −1 2 1 3     3 · 2 + (−5) · 1 3 · 5 + (−5) · 3 1 0então, AB = = = I2 e BA = I2 . (−1) · 2 + 2 · 1 (−1) · 5 + 2 · 3 0 1 Conseqüentemente, A−1 = B, isto é, A é inversível.Exercício resolvido 2 Suponha que não conheçamos a inversa da matriz A do último exemplo e tentemos 1 encontrá-la. Solução   x y Seja A−1 = . Devemos ter A · A−1 = I2 A, assim, z w       3 −5 x y 1 0 · = −1 2 z w 0 1     3x − 5z 3y − 5w 1 0 = . −x + 2z −y + 2w 0 1 Usando a definição de igualdade de matrizes, obtemos   3x − 5z = 1 3y − 5w = 0 (I) e (II) . −x + 2z = 0 −y + 2w = 1 Aula 01 Álgebra Linear I 11
  14. 14. Veja que o problema de achar a inversa de A reduziu-se a encontrar as soluções de dois sistemas com duas equações e duas variáveis. Para resolver o sistema (I), podemos obter x = 2z na 2a equação e substituir o valor de x na 1a equação. Temos 3(2z) − 5z = 1 6z − 5z = 1 z=1 Segue daí que x = 2 · 1 = 2. Lembre-se de que esse método de resolução do sistema é chamado de substi- tuição. Agora, para resolver o sistema (II), usaremos o método da adição. Para isso, multiplicamos a segunda equação de (II) por 3, e obtemos  3y − 5w = 0 (III) . −3y − 6w = 3 Adicionando membro a membro, as equações de (II), encontramos w = 3. Substituindo esse valor de w na segunda equação de (II), obtemos finalmente −y + 2 · 3 = 1 ⇒y =6−1=5   2 5 Logo, A−1 = . 1 3 Observação: nas aulas 3 (Sistemas de equações lineares) e 4 (Justificativa do método de Gauss-Jordan), estudaremos detalhadamente os sistemas de equações lineares e desenvolveremos um método de resolução bastante prático, o qual facilitará, por exemplo, achar a inversa (se existir) de uma matriz n × n, para n grande. Propriedades da inversa i) (A−1 )−1 = A; ii) (AB)−1 = B −1 A−1 . Para provar a propriedade i) basta ver que como A · A−1 = In , então, A é a inversa de A−1 , ou seja, A = (A−1 )−1 , enquanto para ii), temos AB(B −1 A−1 ) = A(B · B −1 )A−1 = A · In · A−1 = A · A−1 = In .1 Aula 01 Álgebra Linear I
  15. 15. Resumo Você aprendeu que para adicionar duas matrizes adicionam-se os elementos correspondentes dessas matrizes. Agora, para multiplicar uma matriz por um número real (escalar), multiplicamos cada elemento da matriz por esse número. Em relação à multiplicação de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], o ele- mento genérico cij da matriz produto AB = [cij ] é obtido multiplicando-se, preservando a ordem, os elementos da i-ésima linha com os da j-ésima coluna  e adicionando-os, isto é, cij = air brj . Isso só é possível, se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz BA. A matriz transposta da matriz A é obtida escrevendo-se as linhas de A como colunas, e finalmente dizemos que An×n é inversível, se existe A−1 (a inversa de A), tal que A · A−1 = A−1 · A = In .Auto-avaliação     2 −1 0 1 0 −1     Dadas as matrizes, A =  1 2 −1  e B =  2 −3 1 , 3 0 1 −4 0 2 calcule i) A + B ii)A − B iii) 2A + 5B iv) A · B v) At e B t vi) A−1 Aula 01 Álgebra Linear I 13
  16. 16. Exercícios propostos 1) Escreva a matriz A = [aij ]2 × 3, sabendo-se que aij = 5i + j − 4. 2) Ache, se possível, os valores de x e y, tais que:     −1 4 y 4 a) = ; 0 x−2 0 7     x y 1 0 b) = . y y 0 1 3) Suponha que exista uma reação de “dominância” entre 4 pontos (que podem representar pessoas, nações etc.) dada pelo diagrama em que a seta indica a dominância do ponto i sobre o ponto j. Passe para a linguagem matricial esse diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).     1 2 2 1 4) Se A = e B= , calcule AB e BA. 2 −1 0 4      2 −1 6 x 2      5) Mostre que a equação matricial  1 4 2  y  =  1  é equivalente a três 3 2 −1 z 7 equações lineares em x, y e z.   6) Se X = 3 1 2 4 , calcule XX t e X t X. 1×4   1 −1 7) Será que A = é inversível? 1 −1 Lembrete: solicitamos a você que não verifique as respostas dos exercícios, que estão após as referências, antes de resolvê-los.1 Aula 01 Álgebra Linear I
  17. 17. ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.GOLÇALVES, A.; SOUZA, R. M. L., Introdução à álgebra linear. São Paulo: Editora EdgarBlucher Ltda, 1977.MURDOCH, D. C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: livros Técnicos e Científicos Editora Ltda,1972. Respostas dos exercícios Propostos   2 3 4 1) A = . 7 8 9 2) a) y = −1, x = 9. b) Não é possível, pois encontramos um absurdo do tipo 0 = 1. 3) Do mesmo modo do exercício resolvido 1, defina: aij = 1, se o ponto i domina o ponto j; aij = 0, se o ponto i não domina o ponto j.   0 1 0 0    0 0 1 1  Obtemos A =   .  0 0 0 0   1 0 0 0     2 9 4 3 4) AB = e BA = . 4 −2 8 −4   2x − y + 6z = 2  5) x + 4y + 2z = y .   3x + 2y − z = 7   9 3 6 12   tX =  3 1 2 4   6) XX t = [30] 1×1 e X  .  6 2 4 8    12 −4 8 16 4×4 7) Não, porque obtém-se um sistema que não admite solução. Aula 01 Álgebra Linear I 1
  18. 18. Anotações1 Aula 01 Álgebra Linear I

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