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EL movimiento Armónico Simple es una caracerística importante de los movimientos oscilatorios

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  • Oscilaciones 7 5 Capítulo 6 OscilacionesEn los tres dibujos correspondientes a la figura 1, la bolita se encuentra enequilibrio. a En el primer caso (Fig. 1a) su equilibrio es inestable, esto significa que si labolita se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio, comenzará aacelerar alejándose de dicha posición.En el segundo caso (Fig. 1b) el equilibrio es indiferente, si se desplaza de la bposición de equilibrio, no se observará ninguna tendencia ni a volver a di-cha posición ni a alejarse.En el tercer caso (Fig. 1c) al desplazar la bolita de la posición de equilibrio,comenzará a realizar un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de cequilibrio. La fuerza resultante sobre el cuerpo tiende a moverlo hacia laposición de equilibrio, por esta razón suele decirse que la fuerza es"restauradora". Fig. 1 Las tres bolitas están en equilibrio. a. Equilibrio inestable. b. Equilibrio indiferente.El movimiento de un péndulo, el de una masa unida a un resorte o el de un c. Equilibrio estable.punto de una cuerda de guitarra, son ejemplos de movimientos oscilatorios.Una característica común a todos estos ejemplos es la periodicidad, estosignifica que el movimiento se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo. Denominamos PERÍODO al tiempo en que se desarrolla una oscilación Relación entre frecuencia y completa. Su notación es "T" y su unidad en el S.I es el segundo (s). período en un movimiento pe- riódico. Denominamos FRECUENCIA al número de oscilaciones comple- 1 f= tas que se realizan por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es T el Hertz (HZ). (Fig. 2) Fig. 2Decimos que se ha efectuado una oscilación completa, cuándo el cuerpoque oscila pasa 2 veces por la misma posición y con la misma velocidad. Porejemplo si soltamos un cuerpo que está en reposo unido a un resorte com-primido, se completará una oscilación cuando el cuerpo vuelva a estar enreposo y comprimiendo el resorte.La mayor parte de este capítulo lo dedicaremos a estudiar un tipo especialde movimiento oscilatorio denominado Movimiento Armónico Simple La sigla M.A.S. significa Movi-(M.A.S.). Este es un movimiento ideal, en el cual la energía del sistema per- miento Armónico Simple.manece constante y la oscilación se mantiene incambiada durante un tiem-po infinito.En los sistemas oscilantes reales, siempre existen fuerzas (fricción) que disi-pan energía, al final del capítulo veremos las características más relevantesde este tipo de movimiento, denominado movimiento amortiguado.
  • 7 6 Oscilaciones MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Un típico ejemplo de M.A.S. es el de un bloque oscilando libremente y sin fricción unido a un resorte (Fig. 3). Estudiaremos el movimiento desde el x=-A x=0 x=A punto de vista cinemático, dinámico y energético. Fig. 3 Elegimos la posición "x = 0" donde el bloque se encuentra en equilibrio. Durante la oscilación el bloque se mueve entre las posiciones x = A y x = -A. Relación posición - tiempo en un M.A.S. Comenzaremos describiendo como varía la posición1 (x) del cuerpo en fun- ción del tiempo (t). Elegimos como punto de referencia (x = 0) el punto donde el cuerpo está en equilibrio, en este caso es cuando el resorte está sin estirar. x Denominamos AMPLITUD y la simbolizamos "A", a la distancia des- A de la posición de equilibrio hasta el punto de máxima posición. x0 El movimiento de un cuerpo con M.A.S. es simétrico respecto a la posición de equilibrio y se mueve entre las posiciones x = A y x = -A. 0 T t Experimentalmente podríamos medir las posiciones (x) que va tomando el cuerpo a medida que transcurre el tiempo y al realizar la gráfica x = f (t) obtendremos una curva como la de la figura 4. Este tipo de curva es una función trigonométrica denominada sinusoide. En el anexo 4 encontrará más -A información sobre las características de algunas funciones trigonométricas. Fig. 4 El cuerpo se encontraba en la posición "x0" La ecuación que describe la posición en función del tiempo para un cuando comenzó el movimiento. Si el móvil se en- contraba en el origen de coordenadas al iniciar el cuerpo con M.A.S. es: x (t) = A . sen (Ö . t + î). estudio del movimiento, la gráfica comenzaría des- de el origen. • "A"es la amplitud del movimiento, su unidad en el S.I. es el metro. • "î" (phi) recibe el nombre de fase inicial o desfasaje del movimiento y lo expresaremos en radianes (rad). Su valor depende de la posición y veloci- dad inicial del movimiento. 2 • "Ö" (omega) se denomina velocidad o frecuencia angular y su valor de- 2 .Ò 2 .Ò Ö = 2 .Ò .f = pende de la periodicidad del sistema Ö = 2 . Ò . f = T . La unidad de "Ö" T -1 en el S.I. es "s " o "½" que es dimensionalmente equivalente. En todos los ejemplos y proble- Ejemplo 1 mas planteados en este capítu- Un objeto describe un M.A.S. y la ecuación de la posición en función del lo y el siguiente, si no se indican tiempo es x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ) . (Fig. 5) las unidades en que están ex- presadas las magnitudes a) Determine: la amplitud (A), la frecuencia angular (Ö), la frecuencia (f ) y el involucradas en las ecuaciones, período (T). significa que corresponden al S.I. de Unidades. La amplitud y la velocidad angular la reconocemos directamente de la ecua- ción del movimiento: x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ) Fig. 5 ¼ ¼ ¼ x (t) = A . sen (Ö . t + î). 1 Para representar la posición, también se utilizan las letras: "e" por la elongación del resorte o "y" A = 0,10 m y Ö = Ò ½ . en los casos de movimientos verticales. Conociendo "Ö" calculamos la frecuencia y el período: 2 El M.A.S. es un movimiento rectilíneo. El nombre velocidad angular puede inducir al error de su- Ö Ò 1 poner la existencia de una rotación. Ö = 2 .Ò .f ò f = = ò f = 0,50 Hz y T = ò T = 2,0 s 2 .Ò 2 .Ò f
  • Oscilaciones 7 7b) Construya la gráfica x = f (t). x (cm) 3La función x (t) es una sinusoide desfasada ŒÒ radianes . En la figura 6 ve- 0,10mos su representación gráfica.Otra forma más general de trazar una gráfica es determinar valores de posi-ción, para algunos tiempos. Por ejemplo podemos tomar como guía los si- 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s)guientes t = 0 s, t = 1 T, t = 1 T, t = 3 T, y t = T . Luego los ubicamos en los 4 2 4ejes y podremos realizar el trazado. Recuerde que para calcular los valoresde "x" utilizando la ecuación del movimiento, la calculadora deberá estar enel modo "radianes". -0,10 Fig. 6 El movimiento comienza desde su posición máxima.Relación velocidad - tiempo en un M.A.S.A medida que un cuerpo con M.A.S. se aleja de la posición de equilibrio su V=0 Vmáx V=0velocidad disminuye hasta alcanzar el reposo en las posiciones x = A y x = -A.Por el contrario a medida que se acerca a la posición de equilibrio la veloci-dad aumenta, alcanzando su valor máximo al pasar por ella (Fig. 7). x=-A x=0 x=A Fig. 7 En los extremos la velocidad es nula y en el La velocidad de un cuerpo con M.A.S. puede expresarse en función punto de equilibrio la velocidad es máxima. del tiempo con la ecuación: v (t) = Ö . A . cos (Ö . t + î). Siendo el producto "Ö. A", la velocidad máxima ò vmáx = Ö. A x x = f(t) AEs conocido por nosotros que la pendiente de una gráfica x (t) representa lavelocidad del móvil. La gráfica x (t) de un M.A.S. es una curva (sinusoide), por x0lo que la velocidad esta en continuo cambio. Para saber su valor en un ins-tante deberíamos trazar la tangente en dicho punto y luego calcular su pen-diente (Fig. 8). 0 T tAquellos alumnos que tengan conocimientos de cálculo diferencial, sabránque realizando la derivada de una función obtienen otra, cuyos valores co-rresponden a los de las pendientes de las tangentes en cada punto de la -Afunción que fue derivada.Esto significa que si derivamos la función x (t) = A . sen (Ö . t + î), obtenemos Fig. 8 Vemos que cuando x = A o x = -A, la pendien-la función v (t) = Ö . A . cos (Ö . t + î). te es nula (v = 0) y cuando x = 0, las pendientes al- canzan sus valores máximos.Ejemplo 2Para el M.A.S. del ejemplo 1 cuya ecuación es: x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ).a) Escriba y grafique la función v = f (t)La ecuación v = f (t) es una función del tipo v = v máx . cos (Ö . t + î) .v máx = Ö . A ò v máx = 0,10 Òê y el ángulo de desfasaje ya lo conocemosî = µrad ò v (t) = 0,10Ò . cos (Ò . t +µ)Para construir la gráfica v = f (t), podemos calcular algunos valores de veloci-dad, utilizando la ecuación v (t), que nos sirvan de guía para realizar el traza-do. O recordar la forma de la función coseno y desfasarla un ángulo de µrad. 3 Ver anexo 4 (Pág. 146).
  • 7 8 Oscilaciones x (m) x = f(t) En la figura 9 vemos la gráfica x = f (t) que ya conocíamos y la gráfica v = f (t) correspondiente a este movimiento. Podemos observar que la "forma" de 0,10 4 las gráficas sólo difieren en la posición del eje de las ordenadas . En todo M.A.S. si a la gráfica x = f (t) le adelantamos el eje de las ordenadas un cuarto de período obtenemos la "forma" de la gráfica correspondiente a v = f (t). 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s) b) ¿Cuánto tiempo después de comenzar el movimiento el móvil pasa por primera vez por la posición x = 0,050m? -0,10 Sustituimos el valor de "x" en la ecuación x (t) y despejamos "t": 0,050 = 0,10 sen (Ò . t + µ) ò 0,50 = sen (Ò . t + µ). v (ê) v = f(t) El siguiente paso es hallar el ángulo cuyo seno vale 0,50 e igualarlo a (Ò . t + µ). La función matemática que nos permite hacer esto se denomina arcoseno. 0,10Ò -1 En las calculadoras la función arcoseno está indicada como sin , siendo su tecla la misma que la de la función seno, pero previamente debe oprimirse otra tecla generalmente rotulada como inv o shif. Arcsen (0,50) = (Ò . t + µ) ò 0,52 = Ò . t + µ ò t = - 0,33 s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s) Hemos obtenido como solución un tiempo negativo, solución que no es correcta. El problema radica en que el arcoseno de 0,50 tiene más de una -0,10Ò solución. Por cada período tiene dos soluciones y la calculadora solo nos da una de ellas. Si a la obtenida con la calculadora la denominamos "¶" la otra es "Ò - ¶" (Fig. 10). Como ¶ = 0,52 rad la otra solución es (Ò - 0,52) rad. Fig. 9 Gráficas correspondientes a las funciones: x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ) y v (t) = 0,10Ò . cos (Ò . t + µ). La siguiente solución es: Ò - 0,52 = Ò . t + µ ò t = 0,33 s sen (¶) = sen (Ò - ¶) Relación aceleración - tiempo y fuerza - tiempo cos (¶) = cos (2Ò - ¶) La ecuación de la v = f (t) la obtuvimos al derivar en función del tiempo la Fig. 10 Cuando realizamos el arcoseno o el arcoco- ecuación x = f (t). Nosotros sabemos que la variación de velocidad en fun- seno de un número debemos recordar que existen ción del tiempo es la aceleración del movimiento. Si razonamos de forma 2 soluciones por período. La calculadora sólo nos da análoga al caso anterior, podremos obtener la ecuación a = f (t) derivando la una de ellas, la otra debemos determinarla utilizan- do las relaciones indicadas. función v = f (t). La aceleración de un cuerpo con M.A.S. puede expresarse en fun- 2 ción del tiempo con la ecuación: a(t) = - Ö . A . sen (Ö . t + î). Siendo el 2 2 producto "Ö . A", la aceleración máxima ò amáx = Ö . A La ecuación de la segunda Ley de Newton expresa una relación directa- Îmáx Îmáx mente proporcional entre la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo (masa amáx amáx constante) y su aceleración. Si multiplicamos la función a(t) por la masa del cuerpo obtendremos la función F(t). x=-A x=0 x=A Fig. 11 Î y ä tienen siempre el mismo sentido, La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo un cuerpo con M.A.S. pue- que es contrario a la posición del cuerpo. de expresarse en función del tiempo con la ecuación: F(t) = - m. amáx . sen (Ö . t + î). Siendo el producto "m. amáx" la fuerza 4 Recuerde que las gráficas x = f(t) y v = f (t) repre- máxima ò F máx = m . amáx . (Fig. 11) sentan magnitudes distintas.
  • Oscilaciones 7 9Ejemplo 3 x (m) x = f(t) 0,10Escriba la función a = f (t) y realice la gráfica de aceleración en función deltiempo del M.A.S. del ejemplo 1 cuya ecuación es: x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ).La ecuación de la aceleración es: a(t) = - amáx. sen (Ö . t + î). 2 2 2amáx = Ö . A ò amáx = 0,10. Ò ë ò a (t) = - 0,10 . Ò . sen (Ò . t + µ) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s)Para construir la gráfica podemos calcular valores de aceleración para dife-rentes tiempos y con ellos trazar la gráfica (Fig. 12). -0,10Si observamos las gráficas x = f (t) y a = f (t) vemos que sus formas (sin teneren cuenta sus valores) presentan simetría respecto al eje de los tiempos.Esto se puede explicar por el hecho que la función x(t) es una constante a (ë) 2positiva "A" multiplicada por el seno de (Ò . t + µ) y la función a(t) es una constan- 0,10Ò a = f(t)te negativa "- amáx" multiplicada por el seno de la misma expresión (Ò . t + µ). 2 a (t) -Ö . A . sen . (Ö . t + î)Realizando el cociente = y simplificando obte- x (t) A . sen . (Ö . t + î)nemos que una expresión (independiente del tiempo) para la aceleración 0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s) 2en función de la posición a = - Ö . x 2 -0,10ÒEjemplo 4 Determinación de î Fig. 12 Representación gráfica de las funciones x (t) = 0,10 sen (Ò . t + µ) y a (t) = - 0,10 . Ò2. sen (Ò . t + µ).La gráfica (Fig. 13) muestra la posición en función del tiempo correspon-diente a una partícula en M.A.S. x (m) x = f(t)a) Escriba la ecuación x = f (t) 0,20La ecuación es: x (t) = A . sen (Ö . t + î). 2 .Ò 2 .Ò 0,15A = 0,20 m y Ö = = ò Ö = 2,5 . Ò ½ T 0,80Por ahora la ecuación es x (t) = 0,20 . sen (2,5Ò . t + î), sólo nos queda hallar "î". 0 0,80 tPara ello extraemos de la gráfica los siguientes datos: en t = 0 s x0 = 0,15 m ysustituyéndolos en la ecuación podremos despejar el desfasaje "î". 0,15 -0,200,15 = 0,20 . sen (2,5Ò . 0 + î) ò = sen î ò î = Arcoseno 0,75 0,20Recordemos del ejemplo 2, que cuando realizamos el arcoseno de un nú- Fig. 13 La posición inicial del móvil es: x0 = 0,15 m. Lamero obtenemos 2 soluciones. Una de ellas la obtenemos con la calculado- amplitud es A = 0,20 m y el período es T = 0,80 s. 5ra î1 = 0,85 rad y la otra es î2 = Ò - 0,85 = 2,3 rad.¿Cuál de las dos soluciones elegimos?Desde un principio sabemos que "î" depende de las condiciones inicialesdel movimiento. Las dos soluciones (î1 y î2) fueron obtenidas conociendo laposición inicial del objeto (x0 = 0,15 m), pero no aclaramos en que sentido seestaba moviendo. Para elegir cual de los dos ángulos es el correcto, debe-mos conocer el sentido de la velocidad inicial. 5 Recuerde pasar la calculadora al modo radianes.
  • 8 0 Oscilaciones x (m) x = f(t) Si los valores de posición a partir de "x0" van en aumento, la pen- 0,20 diente x = f(t) en dicho punto es positiva ò la velocidad inicial es positiva y elegimos la solución î1. 0,15 Si los valores de posición a partir de "x0" van disminuyendo, la pen- 0 diente x = f(t) en dicho punto es negativa ò la velocidad inicial es negativa y elegimos la solución î2 Fig. 14 A partir de x0 los valores de la posición au- mentan ò v0 > 0. También podemos observar que la pendiente en "x0" es positiva. En el caso particular de este problema la velocidad inicial "v0" es positiva (Fig. 14) y la ecuación del movimiento es: x(t)= 0,20 . sen (2,5Ò . t + 0,85) Ù SISTEMA MASA - RESORTE Îmáx En un sistema masa - resorte (Fig. 15) la fuerza neta sobre "m" es la realizada por el resorte y su módulo es directamente proporcional a su variación de x=0 longitud ò F = - K . x, siendo K la constante elástica del resorte (Ley de ã Hooke). Fig. 15 La fuerza neta sobre “m” es directamente pro- Sustituyendo F por el producto m. a ò m. a = -K. x porcional a su posición. m . a = -K . x K m . -Ö2 . x = -K . x ò Ö = m El período de oscilación de un 2 a = -Ö . x sistema masa resorte, al igual que cualquier M.A.S no depende de la amplitud del movimiento. K 1 K m • Si Ö = ò f= y T = 2 .Ò m 2Ò m K Fig. 16 • Recordemos que la unidad de la constante elástica del resorte en el S.I. es Š. • Observa que Ö, f y T no dependen de la amplitud del movimiento y si de la masa del bloque y la constante del resorte (Fig. 16). Ejemplo 5 L0 Al colgar de un resorte un cuerpo de 400g de masa, éste se estira 10 cm hasta su posición de equilibrio (Fig. 17). Luego se desplaza el cuerpo 4,0 cm hacia abajo y se lo libera dejándolo oscilar libremente. ÎE ÀL a) Determine la constante del resorte P. EQUILIBRIO A En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula ò F elástica = P. ã m .g 0,40 Kg . 10 ë y=A K . ÀL = m . g ò K = = ò K = 40 Š ÀL 0,10 m Fig. 17 Cuando el resorte se estiró ÀL = 10cm, el peso se equilibra con la fuerza que realiza el resorte. b) Escriba la ecuación de la x = f (t) para el movimiento del cuerpo. Para escribir la ecuación x(t) = A . sen (Ö.t + î) debemos conocer A, Ö y î. - La amplitud es 4,0 cm, por ser lo máximo que se aleja de la posición de equilibrio.
  • Oscilaciones 8 1 K 40 Recordemos que el arcoseno de- Ö= = ò Ö = 10 ½ m 0,40 un número tiene dos soluciones:- Para determinar î sabemos que en t = 0s se encuentra en el máximo (¶) y (Ò - ¶). estiramiento x = 4,0 cm = 0,040m y su velocidad es nula. Si ¶ = µ rad la solución es única, x (t) = A . sen (Ö . t + î) ò 0,04 = 0,04 . sen (10 . 0 + î) ò sen î = 1 porque la otra sería Ò - µ = µ î = Arcoseno 1 ò î = µrad. (Fig. 18) Fig. 18 Caso particular del arcoseno de un número.La ecuación del movimiento es x (t) = 0,04 . sen (10 . t + µ)c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo cuando pasa por la posición x = 2,0 cm?La relación entre la aceleración y la posición en un M.A.S es: 2 2a = -Ö . x ò a = -(10 ½) . 0,020 m ò a = 2,0 ë .Energía en un sistema masa - resorteUn sistema masa – resorte, que oscila sobre un plano horizontal sin roza- Emiento es conservativo. La energía mecánica (EM) que es la suma de la energía EMcinética (Ec) más la energía potencial elástica (Ue), permanece constante (Fig. 19). EcLa energía cinética en función del tiempo se calcula: 2 UeEC = Œ . m . v 2 2 2 EC = Œ . m . Ö . A . cos (Ö . t + î)v (t) = Ö . A . cos (Ö . t + î) 0 T T t 2La energía potencial elástica se calcula:Ue = Œ . K . x2 Fig. 19 La curva amarilla representa la energía ciné- 2 2 tica y la violeta la energía potencial elástica. Su suma Ue = Œ . K . A . sen (Ö . t + î) en cualquier instante tiene el mismo valor y es la energía mecánica del sistema.x (t) = A . sen (Ö . t + î)La energía mecánica se calcula EM = Ec + Ue: 2 2 2 2 2EM = Œ . m . Ö . A . cos (Ö . t + î) + Œ . K . A . sen (Ö . t + î) 2 K 2Recordando que Ö = y sacando factor común Œ . K . A obtenemos: m 2 2 2 2EM = Œ . K . A [cos (Ö . t + î) + sen (Ö . t + î)] ò EM = Œ . K . ALa expresión obtenida nos indica que la energía mecánica del sistema esigual a la energía potencial elástica cuando x = A, lo cual es lógico ya que en La energía mecánica en un siste-ese punto la energía cinética es nula. (Fig. 20) ma que oscila con M.A.S. es di- rectamente proporcional al cua- drado de la amplitud ò EM Å A2.A partir de la conservación de la energía mecánica, podemos deducir unaexpresión para la velocidad en función de la posición para este sistema. Fig. 20 Relación energía mecánica - amplitud en un M.A.S. 2 2 2EM = Ec + Ue ò Œ . K . A = Œ . m . v + Œ . K . x , despejando la velocidad K 2 2obtenemos que v = ± (A - x ) = ± Ö . (A2 - x2) m