Matematica%20 financiera interes compuesto

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  • Buenos días, me gustaría informarle de que Hacienda Vital. es una compañía financiera aquí en Australia y nos están dando préstamos a personas de todo el mundo y es accesible, tengo una capital que se utilizará para conceder préstamos privado individual a corto, medio y largo plazo con todos, las personas honestas y serias buenas moralidades que quieren de este préstamo reembolsable más de un período de 01 a 20 años como máximo según la suma prestada ya que no puedo violar la ley sobre el desgaste. Mi tasa de interés es del 3% la oficina year.My es capaz de ayudarle en varios campos entre los que se pueden citar: * Préstamo empresa * Préstamo financiero * Listo para la inversión * Préstamo de automóvil * Deuda de consolidación * Margen de crédito * La segunda hipoteca * Rescate de crédito * Préstamo inmobiliario * Construcción de Préstamo * Préstamo personal * Listo para empresas * Listo bienvenida * Etc. nuestra cantidad del préstamo varía de $ 9,000.00 a $ 50,000,000.00 y un re-pago período de 1 año a 30 años de duración. Para iniciar el préstamo proceso de aplicación, puede encontrar alguna información vital sobre el préstamo que ofrecemos a continuación. en obtener un préstamo de nuestra empresa, hay cierta información que necesitamos para pasar a través de usted antes de que podamos continuar con el proceso de solicitud. TASA DE INTERÉS: En el préstamo que ofrecemos, nos hacemos cargo de 3% anual para el préstamo. tenga en cuenta que el horario de préstamo re-pago comienza 4 meses después de préstamo ha sido transferido a los solicitantes. no somos un banco y no con el beneficio de los bancos, o es mejor tener un proyecto y necesita financiación, mal crédito o necesitan dinero para pagar facturas, el alquiler, el dinero para invertir en las empresas. Así que si usted necesita pedir prestado dinero, por favor póngase en contacto conmigo. Y usted puede Consultar para más información sobre mis condiciones muy favorables Con mis préstamos a sus problemas financieros para resolver y dar un buen estudio. Para obtener más información esté disponible. NB / Póngase en contacto conmigo por e -mail: Vitalfinancecontact@gmail.com
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  • Vitalfinancecontact@gmail.com
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  • alguien me prodia ayudar:
    Muestre que si el interés anual del 12% se compone mensualmente ello equivale a un interés anual de aproximadamente el 12,68% si el interés se compone
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  • me podrian ayudar a desarrollar esto: Muestre que si el interés anual del 12% se compone mensualmente ello equivale a un interés anual de aproximadamente el 12,68% si el interés se compone
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  • Hola me podrían aclarar esta duda?? cuando se invierte una cantidad de dinero a una tasa de interés fija, el monto obtenido no necesariamente es mayor a la cantidad obtenida??? es verdadero o falso??
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Matematica%20 financiera interes compuesto

  1. 1. Módulo 1 MATEMÁTICA FINANCIERA ¨Módulo. MATEMÁTICA FINANCIERA Edicion No. 2 Reservados todos los derechos Prohibida su reproducción total o parcial Diseño e Impresión: Comunicamos Ideas Ideas322@yahoo.es 1
  2. 2. CONTENIDO Introducción Objetivo General Especifico Auto evaluación Conceptos Generales Definiciones Genéricas Interés simples Interés compuesto Línea de tiempo Amortizaciones1. Problemas de Interés Simple Problemas Resueltos 2. Problemas de Descuento 3. Transformación de Tasas 4. Problemas de Interés Compuesto 5. Problemas de Anualidades Vencidas 6. Problemas de Anualidades Anticipadas 7. Problemas de Anualidades Diferidas 8. Problemas de Rentas Perpetuas 9. Problemas de Amortización 10. Problemas de Fondo de Amortización 11. Bibliografía MATEMÁTICA FINANCIERA2
  3. 3. MATEMÁTICA FINANCIERA IntroducciónLa matemática financiera es un conjunto de herramientas propias de finanzas,necesarias en la operación y en las decisiones de los negocios, y en particularen la actividad que a diario enfrentan los ejecutivos y empresarios.En consecuencia, deben ser estudiados por quienes tienen a su cargo la elabo-ración, evaluación y dirección de planes financieros, así como de aquellos que porprofesión se enfrenta constantemente, a aconsejar a clientes o a tomar decisionessobre el dinero, si desean acertar en su gestión .El éxito de este curso radica en obtener claridad sobre los conceptos básicos, poderrepresentar gráficamente el problema o la situación planteada adaptar las cifrasconocidas a una formula básica y sencilla, y proceder a resolver los interrogantescon el uso de cualquier tipo de calculadora o computador.Después de ese instrumental o matemático, debe analizarse y evaluarse el resultadoo respuesta obtenida, antes de tomar la decisión definitiva. Recuerde: la matemática financiera es un medio, el fin es tomar decisiones en forma oportuna y confiable. 3
  4. 4. OBJETIVOS:GENERAL:Desarrollar habilidad para reconocer los parámetros y principios fundamentales en quese basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo, y sercapaz de resolver las situaciones de tipo financiero con las herramientas brindadas.ESPECIFICOS:- Interpretar el significado del valor del dinero en el tiempo, y el principio de equivalencia.- Manejar el concepto de interés y rentabilidad y poder determinar los parámetros involucrados y su aplicación a operaciones bancarias corrientes en pesos.- Calcular las transformaciones y equivalencias de las tasas de interes nominales y efectivas.- Calcular rentabilidades para los diferentes activos financieros del mercado colombiano.- Desarrollar la habilidad en el manejo de calculadoras financieras o cualquier otro tipo de calculadora, que el asistente tenga de uso diario.AUTOEVALUACIÓN INICIAL:1. Un pagare cuyo valor para dentro de 2 años es de $700.000.00, se compra hoy por $402.000.00. Si el comprador tiene una tasa del 37% anual efectiva para sus inver- siones, cuánto ganará o perderá el comprador dentro de 2 años al hacer esta inversión? Graficar.2. Cuantos años se requiere para que:- Una inversión de $120.000.00 se convierta en $186.000 con una tasa de interés del DTF?- Una inversión de $100.000.00, Se convierta en $234.000.00 con una tasa de corrección Monetaria e interes del 3% nominal anual M.V.?3. Hace un año la acción del Banco de inversión se cotizaba en bolsa $23.60. hoy en día se cotiza a $ 32.14, durante ese año se ha pagado un dividendo de $ 0.25 mensual por acción. Cuál es la R.E.A?4. Qué es mejor: invertir una suma de dinero en una compañía que propone duplicar el dinero al cabo de 15 meses? o invertida en una cuenta de ahorros que paga el 4.73% mensual? Si usted esta en capacidad de resolver acertadamente todos estos ejerci- cios, (en un tiempo inicial de unos 10 minutos ) no necesita participar en este curso ni estudiar esta cartilla . FELICITACIONES! MATEMÁTICA FINANCIERA4
  5. 5. CONCEPTOS GENERALESDEFINICIONES GENERICASAntes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o pretender aplicar fórmulasse debe tener muy en claro, el significado de algunos conceptos básicos, que seutilizan en la solución de todos los problemas de matemáticas financieras.De ahí la necesidad de entender bien sus principios y fundamentos, puesto que su aplicacióndeficiente nos conducirá a errores que en muchas ocaciones, afectarán negativamente laimagen que el cliente tiene sobre su negocio o la entidad para la que ud. trabaja.El concepto fundamental de las Matemáticas Financieras, es el valor del dinero en eltiempo El dinero tiene un valor dependiendo de la fecha en que se considera. Así,la preocupación básica es relacionar en todo momento las magnitudes o cantidades,con la fecha.Por ello, debemos fijarnos como norma , que en toda información financiera debe indi-carse o identificarse con facilidad , si es un ingreso o egreso, además de su cantidady la fecha en que ocurre el ingreso o egreso, en otras palabras siempre debemosindicar el cuánto y el cuando.Podemos conconcluir entonces que como el dinero tiene un valor diferente según eltiempo en que se realiza su desembolso, nunca podemos sumar o restar pagos dediferentes fechas.INTERESES:Es el precio que se paga por el uso del dinero, un periodo dado, Puede definirsetambién como la unidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad deuna inversión. Sigla: IHay quien considera que siempre hay dos caras de un préstamo o inversión: la dequien coloca el dinero y recibe a cambio el interes, y la de quien lo toma, que pagael interés o sea su costo . Para este ultimo su sigla será “C”TASA DE INTERESEs la relación resultante entre el valor recibido, la cantidad prestada y generalmentese usa en relación como una base de 100, por lo que se manifiesta como “por cien-to” o “porcentaje” Sigla: ¡% ó ¡pEl subíndice “p” se refiere al período en consideración, que bien podría ser “m” paramensual, “s”para semestral ,etc.. Se lee entonces como la tasa de interés periodístico. 5
  6. 6. VALOR PRESENTEEs la cantidad inicial de dinero que se entrega o que se toma en préstamo. Es elcapital. Sigla: VPVALOR FUTUROEs el valor resultante en el tiempo de juntar el capital inicial y los rendimientos generados Sigla: VFTIEMPO PERIODOIntervalo de tiempo durante el cual se gana el interés o en el cual tiene lugar laoperación financiera Sigla: NREPRESENTACIÓN GRAFICA:Todos los problemas de matemáticas financiera, es posible graficarlos. La representacióngráfica de la información, es la que se denomina líneas de tiempo, y como en ellas loque se registra es el momento y cantidad en que el efectivo ingresa o sale, y podemoshablar entonces del diagrama o grafica del FLUJO DE CAJA.Vale entonces resaltar que como las matemáticas financieras se basan en el manejo deefectivo, no de la causación contable, el resultado, análisis y la cantidad de la decisionestomadas, serán tan buenos como buena sea la información básica considerada .En una recta horizontal se presenta las fracciones de tiempo, los ingresos con unaflecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.EJEMPLO:Compramos un taxi usado por $ 5.7millones, al mes gastamos $ 250.000 en repara-ciones el vehículo lo tenemos en servicio durante un año, pagando por combustible $60.000 mensuales y recibiendo del servicio $ 280.000 mensuales.Al fin lo vendemos en $ 6.000.000.Interes del 32%.Identificar: ip , VP, VF ,N Ingresos y egresos gratificar flujo de cajaSOLUCION:Primero: Identificación de variables: VP =$57.00.000 N = un año =12 meses ip =2% mensual Egresos: $ 5.7 MM periodo 0 $250.000 periodo 1 $60.000 periodos 1 al 12 Ingresos: $280.000 periodos 1-12 $6.0MM Periodo 12 MATEMÁTICA FINANCIERA6
  7. 7. Segundo: Solución gráfica 6.000 280 Ingresos 0Egresos 60 ip =2% MV 5.700 Antes de dar unos conceptos vamos a nalizar la conversación que sostiene Diego y Richard veamos : Richard : Diego necesito que me hagas el favor y me preste $ 1.000000. Diego: Richard yo los tengo disponible pero los voy a invertir en un banco que me ofrece un interes del 30% anual Richard: por que no me los prestas y yo te pago lo mismo que te ofrece el banco Diego : observa lo siguiente: por cada $100 que yo invierta, el banco a la vuelta de un año me entrega $130. estos $ 130 son los 100 iniciales mas $30 por concepto de intereses. Si tu estas dispuesto te presto el dinero.De acuerdo con la situación anterior nos damos cuenta que Diego que es el prestamista(aquel que ofrece sus fondos al sacrificarlos prestando su dinero) obviamente recibe unacompensación al cobrar un interés.Richard que es el prestario (es el que demanda los fondos ) está dispuesto a pagarun precio por el préstamo o sea $30 de interés por cada 100 que le presta Diego.En otras palabras esta pagando un 30 por ciento en el año (30% anual).Con base en esto podemos decir que: 7
  8. 8. El interés es el precio por el cuál se presta el dinero. Inicialmente hablamos de $1.000.000 pero hacer el análisis con $100 es equivalente. En este caso $30 es el interesque se va a ganar Diego en 1 año.Si denotamos a I = interés, entonces I = $30Los $100 son el valor que se van a invertir y lo vamos a llamar valor presente deno-tado por P. O sea que P = $100.A l cabo de un año Diego recibe $ 130 que son sus $100 más el interes ($30). A estevalor final (acumulado) lo vamos a llamar valor futuro y lo denotamos por 1 entonces: F =100x 30 = F = $ 103 En términos generales: F=P+I De tal forma que I =F-PComo Richard pagó $30 en un año por $100 prestados quiere decir esto que Diego lecobró una tasa de interés del 30% anual.¿Como se pudo obtener esta tasa de interés?R/ Si i = tasa de interés Entonces: i = 30  30% 100 ITérminos generales: i= pAhora, el tiempo por el cual se hizo el préstamo fue de un año . INTERÉS SIMPLESupongamos que se tienen $ 100 para invertir a una tasa del 3% mensual.Si este 3% mensual es simple esto indicará que cada mes se obtendría un interésDe $3. De tal forma que el interés se obtendría con base en capital inicial¿Cómo se obtuvieron los $3?R/ los $3 se obtuvieron multiplicando el capital por la tasa de interés que es del3% o sea : $3 = $100*(3/100).¿Cuánto se tendría acumulado por concepto de interés en un año?R/ Como cada mes se ganan $3 de interés, entonces se debe multiplicar este valorpor los 12 meses del año. MATEMÁTICA FINANCIERA8
  9. 9. Si llamamos I = interés, entonces:I = $3 x12  1= $36 o de otra forma: I = 100 x 3 x 12  Tasa de interés Número de periodos  100En términos generales si:P = inversión inicial i = tasa de interés; n = Número de periodosEntonces:  I = P. i. nAhora , si queremos calcular el valor futuro, o sea el valor presente, más el interesentonces en el ejercicio nos quedaría así ( ) 3F =100 + 36  F = 136 ó F = 100 + 12 F = $136Y en términos generales:F = P + P.i.n  F = P (1+ in) Esta expresión sirve para hallar el valor futuro de una inversión a interés simpleDe aquí podemos despejar p y nos daría F P= 1 + inDebemos tener en cuenta lo siguiente:Para utilizar las expresiones anteriores es importante que tanto la tasa de interés (i) y elnúmero de periodos (n) sean constantes. O sea si (i) es mensual entonces (n) debe estardado en meses. Además si el valor de i esta dado en porcentaje lo debemos dividir entre 100(si i = 3% -3/100 = 0.03).Retomemos el ejercicio inicial:Si usted tiene $100 y los invierte a una tasa del 3% mensual simple, ¿Cuánto tendrá acumu-lado en el 1 año?R/ Si utilizamos la expresión: F = P (1+in)P = 100 i = 3%  i = 0.03 n = 12 meses, entonces:F = 100 (1+ 0.03*12)  F = 100 (1.36)  F = $136 9
  10. 10. Como obtuvimos una utilidad de $ 36 en un año habiendo invertido $100 entonces podemosconcluir que se obtuvo una rentabilidad del 36% anual.De tal forma que hablar del 3% mensual simple es equivalente al 36% anual simple.Esta equivalencia se da ¡SI EL INTERÉS ES SIMPLE! 36% anual simple  mensual simple 3%O sea que cuando tratamos interés simple se puede dividir la tasa de interés por un factor (onúmero) para reducirlo. Por ejemplo:a). Si tenemos 40% anual simple y dividimos entre 4 lo convertimos en 10% trimestral simple. 40% anual simple  trimestral simple 10%EJERCICIOS RESUELTOS1. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por interés al cabo de un año y medio?R/ P = 2.000.000: I = 38.4% anual  I = 38.4/12 = 3.2% mensual n = 1.5 años n =  18 meses, entonces: Si I = P.i.n =  I= 2.000.000 (0.032) (18)  I = 1.152.000 I = UP x ip x NHemos determinado la tasa de interés mensual y el valor de n lo convertimos en meses.Podríamos haber dejado la tasa de interés anual y el valor de n en años, así:I = P.i.n  I = 2.000.000 (0.384) (1.5)  I = $1.152.0002. En el ejercicio anterior ¿Cuánto se tendrá acumulado en año y medio?R/ Sabemos que F = P + 1 F = 2.000.000 + 1.152.000 F = $3.152.000 Valor acumuladoOtra forma: F = P (1 + in) F = 2.000.000 (1 + 0.384 x 1.5) F = $3.152.0003. Cuál debe ser el capital que colocado al 12% semestral simple durante 3 años pro- duce un interés de $2.160.000? MATEMÁTICA FINANCIERA10
  11. 11. R/ Aquí I = 2.1600.000 n = 3 años; i = 12% semestral: P =? n = 6 semestres Como I = P.i.n  2.160.000 = P (0.12) (0.6)  P = $ 3.000.000 I = vp x ip x N I= P / [0.12 * 0.6] = I = VP I*n4. Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder reti- rar en 2 años la suma de $5.000000.R/ p = ? I = 4.8% bimestral n = 2 años n =  12 bimestres F = $ 5.000.000 5.000.000 Si F = p (1 + in)  5.000.000 = p / (1 +0.048 x 12)  p= F 1.576 P= (1+i.n) P = $3.172.5895. ¿Que tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000?R/ n=? p = 1.500.000; F = 2.193.000 i = 3.3% mensual Si F = p (1+ in )  2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n ) 2.193000 = 1+0.033n  1+0.033n = 1.462 - 1  0.033n = 0.462 1.500000 0.462 n= 0.033  n = 14 meses6. ¿Que tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple?R/ n=? p=? i = 27.5% anual  F = 2p 2P Si F = 2p = ( 1+in)  2p = p (1+ 0.275n)  = 1 + 0.275 n P 1 2 = 1+ 0.275n  1 = 0.275n n=  n = 0.2753  n = 64 años n = 3.636 añosla respuesta anterior esta dada en años y la podemos convertir en años, meses y días,así: 3.64 años  años + 0.64 años 3¿0.64 años equivalen a cuantos meses?R/ Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente : si una cantidad inicial se multiplicapor 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto. 11
  12. 12. Ejemplo:Si tenemos a  a* 1 = aAhora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así: 0.64 x 12 meses = 7.68 meses 1añosO sea que 0.64 años  7.68 meses, entonces:7.68 meses  7 meses + 0.68 mesesAhora para pasar 0.68 meses a días hacemos lo siguiente : 30 días0.68 meses x = 20.4 días =  20 días en conclusión 1mes 3.64 años  año . 7 meses y 20 días 37. ¿Que tasa de interés trimestral simple me incrementa una inversión en un 43.2% al cabo de año y medio?R/ Como nos piden la tasa de interés trimestral entonces reemplazamos el valor de n al cabo de año y medio? 43.2 4.32P =? F=p+ p  F=p+ x p F =1.432P 100 100i =? n = 1.5 años  n = 6 trimestresSi F = p (1 + in)  1.432p = p (1 +6i)  1.432 P =1+6i P 0.4321.432 - 1 = 6i  i= 6  i = 0.072 * 100  i = 7.2 % i = 7.2 % trimestral simple INTERÉS COMPUESTOCuando tratamos interés simple dijimos que el interés que se ganaba en cada periodo, seobtenía de la inversión inicial, situación que ocurre en el interés compuesto.¿Qué significa eso? MATEMÁTICA FINANCIERA12
  13. 13. Ejemplo:Si usted tiene $ 100 y los inviertes al 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto(en lo sucesivo hablar del 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto). Dentrode un mes usted tiene $ 3 por concepto de interés, de tal forma que el valor acumuladoes $ 103.Cuando se va a calcular el interés para el segundo mes se hace con base en lo que setenga acumulado en al primer mes (o sea $ 103)Esto indica que se ganarán un poco más de $3. ¿cuánto?R/ Veamos:¿cuál es el 3% de $103? 3R/ (103) = $ 3.09 100O sea que para el segundo mes se tiene 103 +3.09 = $106.09Cuando se vaya a liquidar u obtener el interés para el tercer mes lo debemos hacer con baseen lo que se tenga acumulado en el segundo mes (o sea $ 106.09) y así sucesivamente.Osea que en otras palabras la diferencia que existe entre interés simples y compuesto esque cuando se hace una inversión a interés compuesto los intereses ganan interés debido aque en cada periodo estos se agregan al capital y con base en el valor acumulado se calculalos intereses del próximo periodo.Cuando el interés se agrega al capital se dice que el interés se capitaliza. O también que losinterés se reinviertan.En conclusión un interés compuesto se reconoce interés sobre los interéses ganados por lainversión inicial y esto no ocurre con interes simple. FORMULA DEL INTERÉS COMPUESTOAntes de conocer la formula para interés compuesto es conveniente saber con que notaciónvamos a trabajar; puesto que es la que llevaremos de aquí en adelante.NOTACIÓN: P :Inversión inicial (Valor actual ó presente ) I : Tasa de interes porperiodo N :Número de periodo F :Saldo ó monto compuesto (valor futuro ), valor presente más interes compuesto.Ejemplo :Supongamos que una persona hace una inversión inicial de p =$ 500.000 a una tasa de interésdel 3% mensual. Cuando tendrá dentro de 6 meses ?Como no tenemos una formula para hallar el valor futuro(o sea los $500.000más los interes)a los 6 meses; hagamos el análisis mes a mes. 13
  14. 14. Hoy  = 500.000 1mes  500.000 +500.000 (3/100) = 515.000 2mes  515.000 +515.000 (3/100) = 530450 3 mes  530.450+530.450 (3/100) = 546.363,5 4mes  546.363,5 + 546.363,5 (3/100) = 562.754,40 5 mes  562.754,40+562.754,40(3/100) = 579.637,04 6 mes  579.637,04 +579.637,04 (3/100) = 597.026,15Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que si se invierte $500.000 (hoy) a una tasade interés compuesto del 3% mensual, dentro de 6 meses se tendrá $597.026,15¿Qué hubiéramos hecho si nos piden este valor pero dentro de tres años (36 meses)?Tendríamos que elaborar una tabla para 36 meses, y esto resultara muy largo. Preguntémonosentonces. ¿Habrá alguna expresión que me permitía conocer el valor futuro dado un valorpresente un número de periodos y una tasa de interés por periodo?Supongamos que una persona hace una inversión inicial p a una tasa de interes por periodoi. Cuanto tendrá dentro de n periodos ?Para el caso anterior (el de los $50.000 ) la tasa de interes era mensual, y es por eso queel análisis lo hicimos mes a mes . Para este caso como la tasa de interés es por periodo,hacemos el análisis cada periodo: Hoy:  p 1- periodo  p +pi = p(1+i) 2- periodo  p(1+i)+p(1 +i)i = p(1 +i)(1 +i) = p(1+i)2 3-periodo  p(1 +i)2 p(1 +i)2i = p(1 +i)2(1+i) = p (1 +i)3 4- periodo  p(1+i)3 +p(1+i)3 i = p(1+i)3(1+i) = p(1+i)4 5- periodo  p(1+I)4 +P(14+I)4 i = p(1+i)4 (1+i) = p (1+i)5 n periodos  (1+i) n-1+ p (1+i)n-1i = p(1+i)n-1 (1+i) = p(1+i)n pHaciendo este seguimiento nos damos cuenta que el valor futuro(F) viene dado por lasiguiente expresión : F = p (1+i)nDe acuerdo con esto podemos dar la siguiente definición:DEFINICION :Si se invierte una cantidad inicial (p) a una tasa de interés por periodo (i ) entonces : el valorfuturo ( f) dentro de ( n) periodos vendrá dado por la siguiente expresión: F = p (1+ i)n  formula de interes compuesto MATEMÁTICA FINANCIERA14
  15. 15. De la expresión anterior es importante tener en cuenta lo siguiente : El valor de n y de í debe ser consistente , en el sentido de que cuando la tasa de interes es bimestral el número de periodos debe estar dado en meses, si la tasa de interes es bimestral el número de periodos debe estar dado en bimestre , etc.NOTA:El valor de í se debe reemplazar en la formula en tanto por uno ; o sea que si tengo porejemplo 5% =í debo dividir 5 entre 100 y reemplazaríamos 0.05 i.Ejemplo:Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo ytasa de interés dados a continuación: a) Dentro de 6 meses: 3% mensual b) Dentro de un año y medio: 5% bimestral c) Dentro de 1 año: 8% trimestral d) Dentro de tres meses: 0.07562% diario e) Dentro de 3 años: 34% anual.SOLUCIÓN:Para resolver nuestro ejercicio utilizamos la siguiente expresión F = P (1 + i) nDonde el valor de p para cada caso es de $ 500.000. Lo que se debe tener en cuenta es queel valor de n debe ser consistente con el valor de í.Caso: AP = 500.000. í = 3% mensual n = 6 mesesF =500.000 (1+ 0.03) 6  F = 500.000 (1.194052)  El ejercicio propone 6 meses F = $ 597.026,14Caso: BP = 500.000. í = 5% bimestral n = 1.5 años n = 9 bimestreF = 500.000 . (1+0.05)9  F = 500.000 (1.05)9F = 500.000 (1.551328 )  F = $ 775.664Caso: CP = 500.000. í = 8% trimestral n = 1 año n = 4 semestres 4F = 500.000 (1+ 0.08)  F = $ 680.244Caso: D 0.07562P = 50.000. í = 0.07562% diario í= = 0.0007562 100 15
  16. 16. n = 3 meses  n = 90 días F = 500.000 (1+0.0007562)90 = 500.000 (1.0007562) 90  F = 500.000 (1.0703999) F= $ 535.200Caso :EP = 500.000 í = 34% anual n = 3 años n= 3 F= 500.000 (1 + 0.34)3 F= 1´203.052 LINEA DE TIEMPOLa línea de tiempo es una herramienta que vamos a utilizar en los problemas de tipo financiero.Esta consta de una línea horizontal donde se va a respetar el dinero a través del tiempo . Seconstituye dividiendo en intervalos de tiempo que van asociados a la tasa de interés.En esta línea se va a mostrar los ingresos y los egresos mediante vectores (flechas )Que van a ir en sentido contrario, por ejemplo: los ingresos podrán ir representándolos medianteflechas: hacia arriba y los egresos mediante flechas hacia abajo o viceversa.Por ejemplo podríamos dibujar una línea de tiempo para el caso A del ejemplo anterior: 500000  0 1 2 3 4 5 6 (meses) í = 3% mensual 597026Nota:En la línea de tiempo debemos escribir entre corchetes ó paréntesis el tipo de periodo al cualestamos haciendo referencias y en la parte de abajo irá la tasa de interés asociada a estosperiodos.Ya que conocemos la formula de interes compuesto f = (1+ í )n , Podemos hacer los siguientescomentarios: 1) Es una igualdad donde intervienen 4 variables 2) Para determinar una de las variables de la ecuación se necesita conocer las tres (3) variables restantes . 3) Si queremos despejar el valor de n y para tal efecto reemplazamos un valor de í correspondiente a una tasa de interés bimestral, entonces al valor de n que despejemos serian bimestres y viceversa.Hagamos entonces 4 ejercicios donde se piden cada una de las variables y Medan como infor-mación las tres (3) resultados. MATEMÁTICA FINANCIERA16
  17. 17. 1er. Caso : ( hallar f dado p, í, n )El señor Roberto Hoyos tiene disponibles $ 800.000 para invertir ¿Cuánto tadra dentro deun año y medio si la inversión la hace al 7.5 % trimestral ?Información Í = 7.5% Trimestral  F= ?Suministrada n = 1.5 años = 6 trimestre P = 800.000F = 800.000 (1+0.075) 6 F = $ 1.234.641Dibujar la línea de tiempo2do. Caso: ( hallar p dado f, í, n )¿Cuánto debo invertir hoy al 1.95% mensual para poder retirar en 10 meses la suma de$ 2.500.000? F = 2.500.000 100 í = 1.95% mensual í= = 0.0195Información 1.95Suministrada n = 10 meses p=?F = P / ( 1+ Í )  2.500.000 = p / (1+0.0195)10 2.500.000.P=  p = $ 2.060.951 ( 1.0195 )10Di bujar la línea de tiempo3er. Caso : (hallar n dado p, f, í )¿ Durante cuanto tiempo debo invertir $ 1.200.000 al 0.076674% diario para obtener$1.315.604 ? p = 1.200.000 0.076674 í = 0.076674% diario  í= = 0.0007664Información 100Suministrada F = 1.315.604 n=?F = p ( 1+ í )n n  1.315.604 = 1.200.000 ( 1+ 0.00076674)1.315.604 = ( 1.00076674)n à ( 1.00076674)n = 1.0963371.200.000 17
  18. 18. Log. (1.00076674)n = Log . 1.096337n log. 1.00076674 = Log 1.096337 log 1.096337n=  n = 120 días log 1.00076674Dibujar la línea de tiempoPara desplazar el valor de “n” en términos generales lo podemos hacer de la siguientemanera: FDado F= p (1+ í )N à (1+ í )N = ( Aplicando Logaritmos ) PLog . (1+ í) n = Log. ( F/ p) Log(F/ P)n Log. (1+ í ) = Log. ( F/ P)  n = Log (1+ í )Si hubiéramos aplicado esta formula para ejercicio anterior lo haríamos así: Log (1.315604/1.200000) Log1.096337 n=  n =  n = 120 días Log (1+0.00076674) Log1.00076674 n = 4 meses4to.Caso : (hallar í dado P,F y n)¿ A qué de interés bimestral debo invertir $ 1.500.000 para obtener al cabo de año y mediola suma de $2.123908? P = 1.500.000Información F = 2.123.908Suministrada í = ? ( bimestre n = 1 1/ 2 años n = 9 bimestresF =P ( 14+ í )n  2.123.908 = 1.500.000 (1 + í )92.123.908 = ( 1+ í) 9  ( 1+ í )9 = 1.415.9391.500.000( 1+ í ) = ( 1.415.939)1/9  í = 1.0394-1  í = 0.0394 í = 0.039*100  í = 3,94% bimestralDibujar la línea de tiempoPara desplazar el valor de “ í” en términos generales lo podremos hacer de la siguientemanera : F FDado F = P ( 1+ í )n  P = ( 1+ Í )n  P = ( 1+ Í )1/n MATEMÁTICA FINANCIERA18
  19. 19. FÍ=( p) 1/N  1 Si queremos el valor de í expresado en porcentaje la formula quedaria así : í = [( ) -1] *100 F p 1/nNota :En la fórmula anterior se debe hacer aclaración en el sentido de que si se requiere una tasade interés bimestral el valor de n se debe reemplazar como un número que corresponde abimestresAplicar la formula para el ejercicio anterior . AMORTIZACIONESGeneralmente cuando se habla de amortización este termino lo utilizamos cuando se estapagando una deuda. Analicemos la siguiente situación :Usted va hacer un préstamo por $1.000000 para pagarlo con 4 cotas mensuales. La financierala cobra una tasa del 3% mensual: ¿ Cual es el valor de las cuotas si usted comienza apagardentro de un mes ?R/ Aquí tenemos p = 1.000000 n=4 ÍM = 3% A=? 1 1.000000 2 3 4 ( meses)  0   A   F.F = 0 1-(1 +0.03) 4 1.000000 =A 0.03 A = $ 269027El valor de cada cuota es de $269027. Regularmente lo que uno hace es multiplicar el valorde la cuota por 4 y esto nos daría:269027* 4= $ 1.076108 Este valor que se paga (contablemente ) distribuido en los 4  meses.¿Cuánto se paga por concepto de interes ?R/ Interés = 1.076.108 – 1.000.000 = $ 76.108, esto indica que durante los 4 meses en totalse pagarón por concepto de interés la suma de $ 76.108. 19
  20. 20. Debemos tener en cuenta que cuando se paga una cuota de la deuda, una parte de ella (lacuota) va cubrir el interés que cobra la financiera y el resto va a amortizar el capital.Cuando una persona hace un préstamo es muy normal que la financiera le entrega una tablade amortización. Este es un documento que sirve para darse cuenta del comportamiento dela deuda, en el sentido de que allí se va a explicar por ejemplo de cada cuota que repaguecuánto corresponde a interés y cuando irá a amortizar el capital.Esta tabla también servirá para darnos cuenta de cuanto tendríamos que pagar a la financieraen el caso en que quisiéramos saldar la deuda en cualquier ínstante.¿ De que consta la tabla ?R/ La tabla consta de 5 columnas que van hacer las siguientes : Columna 1: Muestra los periodos o el tiempo en que se va apagar la deuda . Columna 2: Muestra lo que debe realmente en cada periodo, a esto lo vamos a llamar saldo de la deuda . Columna 3: Muestra la distribución de los interéses que se pagan durante todo el tiempo. Columna 5: Muestra lo que se abona a capital en cada periodo. Aquí se va a mostrar la tabla de amortización y posteriormente se explicara como se obtuvo cada valor.Nota :Se construirá la tabla para el presupuesto de $ 1.000.000 que se paga con 4 cuotas mensu-ales de $ 269.027 e interés del 3 % mensual. (1) (2) (3) (4) (5) n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 1.000.000 0 0 0 1 760.973 30.000 269.027 239.027 2 514.775,19 228.229.19 269.027 246.197.81 3 261.191,45 15.443.26 269.027 253.583.74 4 0.19 7.835.74 269.027 261.191.26 76.108 1.076.108 1.000.000¿ Como se construyó la tabla anterior ?R/ Observaciones que en la columna (2 ) a usted le han entregado $ 1.000000 o sea que es loque se debe en este momento.¿Como se obtiene este valor?R/1.000000*0.03 = $ 30000O esa que en el primer mes usted debe por concepto de interés $ 30000 ( columnas (3) conperiodo 1). MATEMÁTICA FINANCIERA20
  21. 21. Como usted le entrega a la financiera en ese mes ( periodo 1) $ 269027 entonces ellos a esevalor le quitan el interés ( $ 30000 ) y el resto ($ 239027) se lo descuenta (amortizan) al capital (que es de este caso es 1.000000) de tal forma que es ese instante usted debe la diferencia entre1.000000 y el ahorro a capital que es $ 239027 que es:Para el secundo mes usted debe menos interés puesto que se determina con base en lo quedebe en el primer mes que es $ 760973, o sea que el interés es ;760973*0.03 = $ 22829.19 y alas otra s columnas se calculan de forma idéntica, de tal forma que el proceso es repetitivo.En resumen para calcular : Columna 3  ( Saldo periodo anterior + Tasa de interés ) Columna 4  Cuota a pagar a la financiera Columna 5  (4) – (3) Columna 2  Valor de la columna (2) (anterior ) Valor de la columna (5) actualObservamos que al sumar todos los valores de la columna (3) nos daría en total de los intere-ses que son $ 76108. Al sumar todos los valores de la columna (5) nos daría el valor exacto delpréstamo que es $ 1.000000. Al sumar de todos los valores de la columna (4) nos daría el valordel préstamo más los intereses (o sea $ 1.76108) se tal forma que siempre en una tabla deamortización se debe cumplir que:Suma de valores de = Suma de valores de + Suma de valores deLa columna (4) la columnas (3) la columna (5)Resolver ahora algunos ejercicios para construir la tabla y usted amigo lector la completa. AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Préstamo = $ 4.000000 No. De cuotas mensuales = 8 Tasa de interés = 36% nominal mes vencido íacm = 36% im = 3% Valor de las cuotas A = ?4.000.000 0 1      2 3 4 5 6    7 8 (meses) F.F = 0 A [ 1-(1+0.03) ] -R 4.000.000 = A  A = $569825 0.03 A=P [ i (1 ++ i)nn ] (1 i) 21 financiera 21
  22. 22. n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 4.000.000 0 0 0 1 3.550175 120000 569825 449825 2 3.086855 106505.25 569825 463319.75 $558605 $3.999995 AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Y CUOTA (S) EXTRA (S)Préstamo = $ 4.000000No. De cuotas mensuales = 8Cuota extra = $1.000000 (en el mes No. 3)Tasa de interés = 3% mensual 4.000.000 0 1      2 3 4 5 6    7 8 (meses)  1.000.000 [ F.F = 1 - (1.03)- 8 A = $ 439458 4.000000 = 1.000000 (1.03) +A 0.03 -3  n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 4.000.000 0 0 0 1 3.680542 120000 439458 319458 2 439458 3 439458 4 1.439458 5 439458 6 439458 7 439458 8 439458 MATEMÁTICA FINANCIERA22
  23. 23. AMORTIZACIÓN CON PERIODO DE GRACIAPréstamo = $ 10.000000No. De cuotas mensuales = 8, se pegan a partir del mes No. 4Tasa de interes = 3% mensual F. F = 3 10.000000 ( 1 .03) 3 = A 1 – ( 1.03) -8 à A= $ 1.556659 0 .03 O 10.000000 0 0 0 1 10.300000 300000 0 – 300000 2 10.609000 309000 0 – 309000 3 10.927270 318270 0 – 318270 4 9.698429 327818 1.556659 1.228841 51.556659 6 1.556659 7 1.556659 81.556659 9 1.556659 10 1.556659 11 1.556659 F.F = 3 10.000000 (1. 03) 3 = (1.03)3 – 1 + A 1 – (1+ 0.03) -8 0.0 3 0.03 A = $ 1.424565 0 10.000000 0 0 0 1 10.000000 300000 300000 0 2 10.000000 300000 300000 0 3 10.000000 300000 300000 0 4 8.875436 1.424564 1.124564 5 1.424564 6 1.424564 7 1.424564 8 1.424564 9 1.424564 101.424564 11 1.424564 23
  24. 24. PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERA1. Problemas de Interés Simple C = 5.000 i = 0,0075 t =116 mesesFormulas de Interés Simple 3I=C*t*i 3años *12 meses =36 meses + 2 me- ses = 38 meses + (20dias * 1 mes)=VF =C (1 + i * t) 116 mesesC =VF (1 + i * t)-1 1 año 30 díasVF = C + I I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Re- spuestaI = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i =tasa. Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses porCalcular el interés simple comercial de: lo que debe transformarse el tiempo a. $2.500 durante 8 meses al 8%. también a meses C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08 b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual. I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respu- esta 12 C = $8000 t =7,5 i = 0,015 b. $60.000 durante 63 días al 9%. 7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses I =$60.000 t =63 días i =0,09 30 días I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respu- I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta esta 360 2. Un señor pago $2.500,20 por c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %. un pagaré de $2.400, firmado C =12.000 t =3 meses i =0,085 el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respu- qué fecha lo pagó? esta 12 VF = 2.500,20 d. $15.000 al 10% en el tiempo transcur- rido entre el 4 de abril y el 18 de sep- C =2.400 tiembre. Del mismo año. i = 0.045C =$15.000 i =0,10 t =167 días t =?I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta VF = C (1 + i * t)360 2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)Calcular el interés simple comercial de: a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 0,04175=0,045 t días al 0,75% mensual. MATEMÁTICA FINANCIERA24
  25. 25. t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997* Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de juliocon vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionistaque desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000 - valor de mora.360 360 * Una persona descuenta el 15 de mayo un124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 pagaré de $ 20.000 con vencimiento para elRespuesta 360 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se* Una persona debe cancelar $14.000 a 3 le descontó el pagaré?meses, con el 8% de interés. Si el pagará tienecomo cláusula penal que, en caso de mora,se cobre el 10% por el tiempo que exceda alplazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70días después del vencimiento? VF =VP (1+ i * t) 20.000=19.559,90 (1 + i * 90)VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor devencimiento 36012 i =0, 09  9% RespuestaVF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta* Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses.Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año,respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómesecomo fecha focal dentro de un año). 25
  26. 26. Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200 VF =VN valor nominal12 C =VP valor presenteVf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67 Formulas de Descuento Comercial12 D = VP * t * dDeuda = 21.200 + 16.426,67 VN= VP + DDeuda = 37.626,67 VN = VP (1 + d* t)Pagos VP = VN (1 - d * t)P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fe-12 chas indicadas a continuación:P2 = x a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.Pagos =P1 +P2 20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 RespuestaPagos =2,04 x 360Deuda = Pagos b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses37.626,67=2,04 x antes de su vencimiento.Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno 18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta/RespuestaNota: En este problema como en todos los 12similares debe llevarse los valores de las deu- c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio,das a la fecha focal, en este caso 12 meses, si su fecha de vencimiento es para el 18 depara poder efectuar operaciones sobre estos septiembre del mismo año.valores. 14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta2. Problemas de Descuento 360Formulas para Descuento Real d. $10.000 descontados al 10% el 20 deD = VP * t * d noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.VN= VP + D 10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 RespuestaVN = VP (1 + d* t) 360VP = VN (1 + d * t) -1Las formulas son iguales a las de interéssimple he aquí sus equivalencias.i = d tanto por ciento/tasa de descuentoI = D descuento MATEMÁTICA FINANCIERA26
  27. 27. 2.2. Alguien vende una propiedad por la que ¿Qué tasa de descuento real se aplico arecibe los siguientes valores el 9 de julio de un documento con valor nominal de 700cierto año: dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67a. $20.00 de contado dólares netos?b. Un pagaré por $20.000, con vencimientoel 9 de octubre del mismo año.c. Un pagaré por $30.000, con vencimientoel 9 de diciembre del mismo año.Si la tasa de descuento bancario en la lo- 700=666,67(1 + i 60)calidad es del 9%, calcular el valor real dela venta. 360a. 20.000 contado i = 0.30  30% Respuesta ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré porb. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540 el cual se recibieron 146,52 dólares, si se360 descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento? a. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5 360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta Un pagaré de $10.000 se descuen- tan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de ven- cimiento del pagaré. 146,52 = VF (1 - 0,49 * 85) 10.000=9.789 (1+0.1 * t) 360 t = 0,21 años VF = 165,68 Respuesta. 0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta 3. Transformación de Tasas 1 año Método de igualación El Banco Ganadero descuenta un Del 18% efectivo trimestral en- pagaré por $80.000 al 10%, 90 días cuentre la tasa nominal trimestral antes de su vencimiento, 5 días capitalizable mensualmente después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la (1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12 utilidad del Banco Ganadero. 80.000(1-0.1 * 90)=78.000 3 360 80.000(1-0.09 * 75)= 78.500 360 Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta 27
  28. 28. T. nominal trimestral capitalizable mensual- Hallar la cantidad que es necesario colocarmente = 0, 17  17,01% R. en una cuenta que paga el 15% con capital- ización trimestral, para dispones de 20.000Del 24% nominal anual capitalizable anual- al cabo de 10 años.mente, encuentre la tasa nominal trimestralcapitalizable semestralmente. i = 0,15 efectiva trimestral(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2 n = 10 añosTasa nominal trimestral capitalizable semes-tralmente =5,6 % Respuesta. M = 20.000Del 12% nominal anual capitalizable trimestral- C =?mente, encuentre la tasa nominal semestralcapitalizable trimestralmente. C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4 442 C =4.586,75 RespuestaTasa nominal semestral capitalizable trimes- ¿Cuántos meses deberá dejarse una pólizatralmente =0,06  6% R. de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?Del 22% efectivo semestral, encuentre latasa efectiva bimensual. n =?(1+ 0,22) 2/6 = (1 + e b) 6/6 C = 2.000Tasa efectiva bimensual = 0,06852  i = 0,036,85% Respuesta.Del 30% nominal bimensual capitalizable M =7.500semestralmente, encuentre la tasa nominaltrimestral capitalizable anualmente. 7.500 = 2.000 (1 +0,03)n(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca) ln 15/4 = n ln 1,033 n = 44,71 añosTasa nominal trimestral capitalizable anual- 44,71 años * 12 meses = 536,52 mesesmente = 0,6525 è 65,25% R. Respuesta.Del 52% nominal anual capitalizable anual-mente, encuentre la tasa nominal trimestral 1 añocapitalizable semestralmente.(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2 Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:Tasa nominal capitalizable semestralmente =0,1164 è 11,54% Resp. a. al 5% efectivo anual4. Problemas de Interés Compuesto M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 RespuestaFormulas de Interés Compuesto:M = C (1 + i)n b. al 5% capitalizable mensualmenteC = M (1 + i)-n M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 RespuestaM = monto o también llamado VF; C = capi-tal; i = tasa; n =tiempo MATEMÁTICA FINANCIERA28
  29. 29. 12 i = 7,17% sociedad madererac. al 5% capitalizable trimestralmente ———————M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta M = 1(1+0,06)4 4a. al 5% capitalizable semestralmente M =1,8140 no duplicoM = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta Respuesta es más conveniente la sociedad2 maderera* Hallar el valor futuro de $20.000 depositadosal 8%, capitalizable anualmente durante 10 * Una inversionista ofreció comprar un pagaráaños 4 meses. de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8%VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 efectivo anual; calcular el precio ofrecido.Respuesta* ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es C = 120.000(1 + 0,08)-3equivalente al 8%, capitalizable trimestral-mente? C = 95.259,87 Respuesta(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2 * Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Com-42 parar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.i =0,0808  8,08% Respuesta VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respu-Hallar la tasa nominal convertible semestral- estamente, a la cual $10.000 se convierten en$12.500, en 5 años. VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 con-12.500 = 10.000 (1 +i ) 10 vertible mensualmente Resp.2 12i =0,0451  4,51% Respuesta 5. Problemas de Anualidades Vencidas¿Cuántos años deberá dejarse un depósito Formulas de Anualidades Vencidasde $6.000 en una cuenta de ahorros queacumula el 8% semestral, para que se con- F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuroviertan en $10.000? i10.000=6.000 (1+ 0,08)n P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presenten = 13,024 /2n = 6,512 años Respuesta i* ¿Qué es más conveniente: invertir en una F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiemposociedad maderera que garantiza duplicar elcapital invertido cada 10 años, o depositar * Calcular el valor futuro y el valor presenteen una cuenta de ahorros que ofrece el 6% de las siguientes anualidades ciertas ordina-capitalizable trimestralmente? rias.M =2C=1 (a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.2=1(1+ i) 10 29
  30. 30. F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor valor presentefuturo 0,0730,04 (c) $200 mensuales durante 3 años 4 me-P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 ses, al 8% con capitalización mensual.valor presente F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor0,04 futuro(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, 0,0067capitalizable anualmente. P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valorF = 4.000[¨ (1 + 0, 073) -1] =28.830,35 valor 6 presentefuturo 0,00670,073P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85* Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pagode $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9%con capitalización mensual.i =0,09/12=0,0075P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,080,00752.500(1+0,0075)-31=1.983,0926.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.* ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuotainicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se cargael 12% con capitalización mensual? MATEMÁTICA FINANCIERA30
  31. 31. i =0,12/12=0,01 F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33 0,080,01 24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,162.500(1+0,01)-31=1.836,44 F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,4141.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 0,08Respuesta 1.500(1 + 0,08)18= 5994,02* Una mina en explotación tiene una produc-ción anual de $8’000.000 y se estima que se 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 =agotará en 10 años. Hallar el valor presente 75.553,60 Respuestade la producción, si el rendimiento del dineroes del 8%. * Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de in- terés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10]=53.680.651,19 respuesta. 0,06 /12 =0,005 tasa mensual0,08 F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Re- spuesta.* En el ejercicio 5.4. Se estima que al agot-arse la mina habrá activos recuperables por 0,005el valor de $1’500.000. Encontrar el valorpresente, incluidas las utilidades, si estas 6. Problemas de Anualidades Anticipa-representan el 25% de la producción. das 1.500.000 Formulas de Anualidades Anticipadas0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ańos F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro A=8.000.000 i1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23 P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8 i694.790,23 + 13420.162,80 =14.114.953,03 Respuesta F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo* En el momento de nacer su hija, un señor * Calcular el valor de Contado de una propie-depositó $1.500 en una cuenta que abona dad vendida a 15 años de plazo, con pagosel 8%; dicha cantidad la consigna cada de $3.000 mensuales por mes anticipado,cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento si la tasa de interés es del 12% convertiblesus consignaciones a $3.000. Calcular la mensualmente.suma que tendrá a disposición de ella a los 31
  32. 32. P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42252.464,64 Respuesta.0,01 0,0075* Una persona recibe tres ofertas parea la ¿Qué suma debe depositarse a principio decompra de su propiedad: (a) $400.000 de cada año, en un fondo que abona el 6% paracontado; (b) $190.000 de contado y $50.000 proveer la sustitución de los equipos de unasemestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por compañía cuyo costo es de $2.000.000 y contrimestre anticipado durante 3 años y un pago una vida útil de 5 años, si el valor de salva-de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué mento se estima en el 10% del costo?oferta debe escoger si la tasa de interés esdel 8% anual? 2’000.000 * 0.10= 200.000 2’000.000 - 200.000 = 1’800.000Oferta b 1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 ) ]= -4231.494,76 + 190.000 = 421.494,76 0,060,04 A = 301.239,17 Respuesta. * Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.Oferta cP =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]=215.736,960,02 8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46 0,0075215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42 A = 634,85 Respuesta. * Un empleado consigna $300 al principio deRespuesta = Oferta b es la más conveni- cada mes en una cuenta de ahorros que pagaente. el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto* ¿Cuál es el valor presente de una renta de tiempo logrará ahorrar $30.000?$500 depositada a principio de cada mes, du- 0,08 = 0,0067rante 15 años en una cuenta de ahorros quegana el 9%, convertible mensualmente? 12 30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1] 0,08 n = 76,479 meses MATEMÁTICA FINANCIERA32
  33. 33. 7. Problemas de Anualidades Diferidas pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿DuranteFormulas para anualidades diferidas cuántos años se pagará esta renta, si el bancoSon las mismas que las anualidades venci- abona el 6% convertible mensualmente?das y anticipadas salvo que estas tienen unperiodo de gracia.* Una compañía adquiere unos yacimientos demineral; los estudios de ingeniería muestranque los trabajos preparatorios y vías de ac-ceso demoraran 6 años. Se estima que losyacimientos en explotación rendirán unaganancia anual de $2.400.000. suponiendo VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67que la tasa comercial es del 8% y que losyacimientos se agotarán después de 15 años 181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]continuos de explotación, hállese el valor fu-turo de la renta que espera obtenerse. 0,005 n = 90,13 Respuesta = 7 años 7meses * Una deuda contraída al 8% nominal, debeVF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1] cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por0,08 pagar dentro de 2 años. Sustituirla por unaVF = 6.516.503,43 Respuesta obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera* En el problema anterior, hállese el valor de de inmediato.utilidad que espera obtener, en el momentode la adquisición de los yacimientos.VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]0,08VP = 20.542.748,8520.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Re-spuesta.* Una compañía frutera sembró cítricos que 20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 =empezaran a producir dentro de 5 años. La 119.707,7136producción anual se estima en $400.000 yese rendimiento se mantendrá por espacio de 0,0420 años. Hallar con la tasas del 6% el valorpresente de la producción. 119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ] 0,020,06 A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimes- tralesVP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90* Alguien deposita $100.000 en un banco,con la intención de que dentro de 10 años se 33
  34. 34. 8. Problemas de Rentas Perpetuas 0,03Formulas de Rentas Perpetuas c. 6% convertible mensualmente.P=A 156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]i 0,005P=A+A A = 12.646,36i P =12.646,36=2’529.272,61 RespuestaCC= Co + Com 0,005i * Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para suP = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo mantenimiento futuro. Si el costo inicial deinicial; CC = costo capitalizado; $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación,i = interés si la tasa efectiva es del 7%.* Hallar el valor actual de una perpetuidad de$5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6meses, con tasa nominal del 12% convertiblemensualmente P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta 0,07 * Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecerP =5.000=500.000 un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada0,01 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.M = 500.000 (1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Re-spuesta.* Hallar el valor actual de una renta de$156.000 por año vencido, suponiendo uninterés de:a. 6% efectivo 300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]156.000 = 2’561.576,35 Respuesta 0,060,06 A = 53.218,92b. 6% convertible semestralmente P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta156.000 = A [(1 + 0,03) - 1] 2 0,060,03 * Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene unaA = 76.847,29 vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular conP =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta la tasa del 6%. MATEMÁTICA FINANCIERA34
  35. 35. 380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1] 0,06 A = 45.271,30800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1] CC = 380.000 + 45.271,300,06 0,06A = 47.421,62 CC = 1’134.521,78 RespuestaCC = 800.000 + 47421,62 Segunda Oferta0,06CC = 1’590.360,39 Respuesta.* En el problema anterior, calcular el costocapitalizado, suponiendo un valor de salva-mento igual al 15% del costo original. 510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]800.000 * 0.15 =120.000 0,06680.000 = A [(1 + 0,06) - 1] 12 A = 38692,660,06 CC = 510.000 + 38.692,66A = 40.308,38 0,06CC = 800.000 + 40.308,37 CC = 1’154.877,65 Respuesta0,06 Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86CC = 1’471.806,33 Respuesta* Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo 9. Problemas de Amortizaciónde máquina, ambas de igual rendimiento. Laprimer oferta es por $380.000 y las maquinas Formulas para anualidades diferidastiene una vida útil de 7 años; la segunda ofertaes de $510.000 por maquinas que tienen una F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futurovida útil de 10 años. Si el precio del dinero ies el 6% efectivo, ¿qué oferta es más con-veniente? P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presentePrimera oferta i F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas. 1. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar 35
  36. 36. el valor de estos, a la tasa efectiva 20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ]del 8%, y elaborar el cuadro deamortización para los dos primeros 0,0064meses. A = 1.737,19 Respuesta(1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12i = 6,43 *10-3* Una deuda de $100.000 debe cancelarse 73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respu-con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, esta Saldo insoluto al noveno pago.con interés del 12% capitalizable semestral-mente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el * Una propiedad se vende en $300.000, paga-noveno pago. deros así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del(1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ] efectuarse el quinto pago0,029 300.000 – 100.000 = 200.000A = 7.244,03 Anualidad 200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ]Para encontrar el valor del noveno pago 0,05F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ] A = 30.944,360,029 F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]F = 73.462,00 0,05M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95 F = 170.987,13 MATEMÁTICA FINANCIERA36
  37. 37. M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31 i = 0,39Derecho del Vendedor 255.256,31 - 12170.987,13 = 84.269,17 i = 0,0325D. comprador + 84.269,17 = 300.000 26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ]D comprador = 215.730.83 0,0325* ¿Con cuantos pagos semestrales iguales yvencidos de $9.500 se pagaría la adquisición n = 36 mensualidades Respuestade un terreno que cuesta $29.540 si se cargauna tasa anual de 34% convertible mensual- * Una aspiradora se vende en $499 al contadomente? o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito?Conversión de la tasa(1 +0,34)6 = (1 +i.s.)12 499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3]Interés semestral = 0,1825 i29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825) ] -n 2,69 = 1 – (1 + i)-30,1825 iln 0,4325 = - n ln(1,1825) Interpolación-0,838 = -n (0,1676)n = 5 pagos semestrales Respuesta* Determine el número de pagos necesa-rios para amortizar totalmente la compra a 0,06 – 0,05 = 0,06 – icrédito de un automóvil que cuesta $48.000y se vende con un enganche de 45% y el 2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69resto a pagar en mensualidades vencidasde $1.254,75 con interés al 39% convertible 0,00017 = 0.06 – imensualmente. 0,0502Enganche 21.600 i = 0,05661Quedan 26.400 i = 5,66 % Respuesta 37
  38. 38. 10. Problemas de Fondo de Amortización 1. Se establece un fondo de $5.000 se- mestrales que abona elFormulas para anualidades diferidas 6% capitalizable semestral- mente. Hallar el valor acumu- ladoF = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente 0,06 = 0,03i 2F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39Nota: Son las mismas que las anualidadesvencidas y anticipadas. 0,03* Un artesano necesita remplazar cada 5 años 6,622 * 10-3todas sus herramientas, cuyo valor es de$10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer A = 136,28 Respuestaen una cuenta de ahorros que abona el 8%, * Para cancelar una deuda de $80.000 a 5capitalizable trimestralmente? años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/124Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-310.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1] MATEMÁTICA FINANCIERA38
  39. 39. 80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1] 0,060,06 M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04A = 14.191,71 Primeros dos años 44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1]F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92 0,07 A = 13.744,11 Los 3 últimos años* Un municipio emite obligaciones a 10 añosde plazo por $2.000.000 que devengan el8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debehacer en un fondo que abona el 6% y queegreso anual tendrá el municipio hasta el pagode la deuda?2.000.000 * 0,08 = 160.000 (1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/62.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1] 120,06 i = 0,04380A = 151.735,92 depósitos anuales 29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respu-esta total egreso anual 0,04380Hallar la reserva anual en un fondo que A = 4330,4922 Respuesta.paga el 7% de interés, para cancelar en 25 * Para pagar una deuda de $5.400 que venceaños una deuda de $100.000. dentro de 5 meses se va a construir un fondo100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1] mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de0,07 inversiones que rinde el 32% anual convert- ible mensualmente, hallar su importe.A = 1.518,05 depósitos anuales* Se deben pagar $29.000 dentro de 12 me-ses por una deuda con anterioridad. Si parapagarla se decide constituir un fondo mediantedepósitos bimestrales vencidos ¿cuál seríael importante de los mismos si se colocan enun instrumento de inversión que rinde el 26%convertible mensualmente? 39
  40. 40. i = 0,32 sualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en12 una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.i = 0,0266 (1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/245.400= A [¨ (1 + 0,0266) -1 - 1] 6 Efectiva quincenal = 0,01340,0266 16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1]A = 997,32 Respuesta. 0,0134* Haga una tabla que muestre la forma en queamortizaría una deuda de $15.000 contratada A = 2719,34677 Respuesta.hoy y que debe pagarse en 3 meses coninterés al 12% trimestral capitalizable men-* ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colo-can en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto deamortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses?8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1]0,02375A = 998,29 Respuesta11. Bibliografía • Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998 • Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997 MATEMÁTICA FINANCIERA40

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