Este documento presenta un modelo matemático para resolver un problema de ruteo de vehículos con múltiples almacenes. El objetivo es encontrar las rutas óptimas que minimicen los costos de transporte y los costos fijos de los vehículos al recolectar y entregar productos a clientes desde varios almacenes. El modelo incluye restricciones sobre ventanas de tiempo, capacidad de vehículos y almacenes, y conservación de flujo.

1. Un Modelo para un problema de carga y descarga con múltiples almacenes (buscar un titulo) Lic. Andrés Castrillón Escobar 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León

2. Introducción El problema básicamente consiste en la recolección y entrega de productos a los clientes atreves de una red de distribución, sabiendo que se tienen varios almacenes y también varios vehículos para realizar la tareas. A los clientes solo se les puedes atender a cierta hora del día y también los vehículos solo se pueden usar para realizar la tarea en un periodo de tiempo definido. La meta es encontrar la mejor configuración de rutas posible que minimice el costo asociado al ruteo (puede ser distancia o tiempo ) y el costo asociado por el uso de los vehículos. 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 2

3. Introducción De igual forma se pide que los vehículos no lleguen todos al mismo tiempo sino que vayan llegando en tiempos diferidos para así no saturar la llegada de los camiones a las plantas. Finalmente los vehículos no tienen por que tener la misma capacidad incluso se sabe que existen dos tipos de vehículos que maneja la empresa y cada tipo de vehículo tarda tiempos diferentes en viajar de un punto a otro y por consiguiente el costo también esta en función al tipo de vehículo que se este usando. 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 3

4. Introducción Por políticas de la empresa los vehículos inician su recorrido en una de las plantas disponibles y deben de regresar de nuevo a la misma planta al final del día. No existe ninguna limitante de como se debe de hacer las entregas, como en los casos de PDP-LIFO o Dial-A-Ride. Los pedidos se pueden particionar y varios vehículos pueden visitar a un cliente si esto es necesario. 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 4

5. Introducción i j 21/08/2011 5 Universidad Autónoma de Nuevo León

6. Supuestos Todos los vehículos deben de regresar a su lugar de origen al final del recorrido. Un cliente puede ser atendido por cualquier planta y por cualquier vehículo. Debido a que se puede particionar la orden. No hay restricción alguna de la cantidad de producto que un vehículo le puede entregar a un cliente. (no hay una limitante en cuanto se debe de entregar al menos cierta cantidad de producto incluso esta cantidad puede ser fraccionaria). 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 6

7. Formulación del problema Nodos 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 7 : cajas del producto k que se debe de recoger del cliente i. : cajas del producto k que se debe de entregar al cliente i. : Tiempo en que apenas se le puede atender al cliente i. : Tiempo que a mas tardar se le debe de atender al cliente i. La carga de una planta es la capacidad de la planta para atender a los clientes, se puede retirar ese producto de la planta, para entregárselo a algún cliente.

8. Formulación del problema 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 8 Vehículos : Capacidad máxima del vehículo m.(en m3 de volumen) : Ubicación inicial del vehículo m. : Tiempo en donde apenas puede ser usado el vehículo m. : Tiempo en donde a mas tardar debe regresar el vehículo m.: El tipo del vehículo m. (sencillo o doble) : Costo fijo por el uso del vehículo m.

9. Formulación del problema Vehículos 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 9 Cabe resaltar que el parámetro cumple con la propiedad: (Cada vehículo esta asignado a una sola planta)

10. Arcos Formulación del problema 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 10 (Los tiempos de transito incluyen el tiempo que se toma en llegar a j estando en i y además el tiempo en atender a j) : Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0. : Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1. : Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0. : Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1.

11. Productos Restricciones adicionales Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo por lo que limita las llegadas a la planta i Formulación del problema 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 11 : Cantidad de cajas del producto k que caben en un m3. : Cantidad máxima de vehículos que pueden llegar a la hora h en la planta i.

12. Decisiones Que vehículos se van a usar. Ruta que va a tomar el vehículo Instante en que el vehículo m empieza a atender al nodo i Horario en que termina la jornada el vehículo. Carga del producto k que tiene el vehículo m en el momento que visita al nodo i Porcentaje de la demanda del producto k que entregara el vehículo m al cliente i Porcentaje de la demanda del producto k que recogerá el vehículo m al cliente i Variables de Decisión 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 12

13. Modelo Objetivo Minimizar el costo asociado al ruteo de vehículos (que esta en función al tipo de vehículo) aunado al costo asociado al costo fijo por el uso del vehículo(1) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 13 Min (1)

14. Modelo Restricciones: De Ventanas de Tiempo Cumplir las ventanas de tiempo de los clientes Cumplir las ventanas de tiempo de los vehículos Cumplir el criterio de llegadas de los camiones de manera espaciada De Ruteo Conservación de flujo Restringir sub-tours Solo se puede usar vehículos habilitados. De Demanda Cumplir con la demanda del cliente De Capacidad No exceder la capacidad de la planta No exceder la capacidad del vehículo De no negatividad y variables binarias 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 14

15. Modelo Ventanas de tiempo Cumplir con las horas de llegada al nodo i. (2) Cumplir con los horarios del vehículo m.(3) Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo. (el vehículo solo puede regresar a la hora que le fue asignada)(4) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 15 (2) (3) (4) En la ecuación (4) se multiplica por el termino para que la ecuación siempre se cumpla cuando , es decir que esta ecuación solo restringirá a las cuando la i sea el nodo con el que inicio el vehículo m. por otro lado las unidades de son en minutos por lo que se divide entre 60.

16. Modelo Ventanas de tiempo Cumplir el máximo numero de llegadas en la hora h.(5) El vehículo m solo puede llegar a lo mas en un horario (puede darse el caso de no usar el vehículo)(6) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 16 (5) (6)

17. Modelo Ventanas de tiempo El vehículo m no puede comenzar el servicio en el cliente j antes de si proviene del cliente i.(7) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 17 (7) se refiere al tiempo de llegada al nodo i con el vehículo m mas el tiempo asociado a la transportación y (realización de la actividad) del nodo i K es un valor lo suficientemente grande para que en caso de que sea , siempre cumpla con la restricción. El termino sirve para que no exista restricción cuando se viaja de i a j , e i es la planta inicial. Para esta restricción se presenta un ejemplo a continuación.

18. Modelo Ventanas de tiempo 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 18 SCm= 3 Casos donde Xijm = 0 , siempre se cumple C SBm= 1 2 B 3 Caso XABm: Caso XBCm: Caso XCAm: 1 SAm= 6 0 A Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa el tiempo en llegar a la planta de inicio es decir el final de la jornada.

19. Modelo Ruteo de vehículos Solo se pueden asignar rutas a vehículos que están habilitados.(8) Respetar la conservación de flujo.(9) No formar sub-tours.(10) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 19 (8) (9) (10)

20. Modelo Demanda Un cliente debe de ser visitado al menos por un vehículo.(11) Cumplir la demanda de los cliente.(12) Un vehículo solo puede cumplir la demanda del cliente i , si visito al cliente i.(13) 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 20 (11) (12) (13)

21. Modelo Es conveniente aclarar que esta restricción (14) siempre se cumplirá si , es decir solo se restringe a la carga con la que sale el vehículo m al inicio de su jornada. En la restricción (15) se multiplica por ambos lados por el factor para que solo tome en cuenta a los clientes, a continuación se ve un ejemplo. 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 21 Capacidad No exceder la capacidad de la planta.(14) La carga del vehículo en el nodo j depende de la carga que tenia en el nodo i. si el vehículo m viajo de i a j(15) No exceder la capacidad del vehículo.(16) (14) (15) (16)

22. Modelo Capacidad 21/08/2011 Universidad Autónoma de Nuevo León 22 C QAmk= 0 QAmk= 10 Caso XABm: Caso XBCm: Caso XCAm: B QAmk= 14 A Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa la cantidad de producto k con el que el vehículo m va salir de la planta. Nota que podría tomar cualquier valor pero con la restricción (14) no debe de ser superior a la capacidad de la planta.