1. GLI INSIEMI
È ovvio che quando scriviamo o quando parliamo, lo facciamo per essere compresi da chi dovrà
leggerci o da chi dovrà ascoltarci. Però, quando scriviamo o pronunciamo frasi come “il bosco è
un insieme di alberi”, “la mia scuola è frequentata da un insieme di alunni di cui io faccio parte”,
siamo sicuri di essere compresi da chi dovrà leggerci o ascoltarci perché in tutti noi è chiaro il
significato della parola “insieme”.
Ma che cosa è un insieme? Può essere definito?
Possiamo solo dire che è un concetto primitivo, cioè un concetto che non definiremo ma che
accetteremo in base al suo significato comune.
Proviamo a fare alcuni esempi (gli alunni forniscono esempi su mia sollecitazione).
Facciamo attenzione alle frasi che usiamo; per esempio, “formiamo una squadra di calcio
mettendo insieme undici calciatori più bravi”, è chiaro che tale insieme di calciatori non sarà ben
definito perché ognuno di voi potrà inserire nella squadra i giocatori che secondo lui sono i più
bravi, ma che secondo un altro non lo sono. Quindi questo non è un insieme!
Gli insiemi li indichiamo con le lettere maiuscole dell’alfabeto A, B, C, …, X, Y, Z mentre i loro
elementi li indichiamo con le lettere minuscole a, b ,c, …, x, y, z
Come possiamo rappresentare gli insiemi?
Gli insiemi possiamo rappresentarli in modo grafico o in modo analitico.
Vediamo prima il metodo grafico.
Supponiamo di voler rappresentare l’insieme delle persone che si trovano in questa aula, possiamo
rappresentare l’insieme in uno dei seguenti modi:
1) Faremo un disegno delle persone sopra indicate e, tracciata una linea chiusa qualunque,
porremo nel suo interno i disegni, al suo esterno possiamo porre anche, per esempio, il Preside,
il professore di un'altra classe, il bidello. Questo modo di rappresentare l’insieme lo
chiameremo rappresentazione grafica oggettiva.
2) Oppure, disegneremo sempre la linea curva e indicheremo gli oggetti che interessano il nostro
insieme usando un puntino con l’indicazione del nome dell’oggetto e la chiameremo
rappresentazione grafica nominale.
3) Oppure, potremo infine decidere di indicare, per esempio, con la prima lettera del loro nome
tutti gli elementi che stiamo prendendo in considerazione, facendo attenzione ai casi in cui le
iniziali sono le stesse (se si dovesse verificare). Questo modo di rappresentare l’insieme lo
chiameremo rappresentazione grafica simbolica.
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2. Gli Insiemi
Mentre i primi due modelli appartengono alla fase iconografica dell’apprendimento della
matematica, l’ultimo modello, tipico della fase simbolica, è l’unico proponibile agli studenti della
prima classe di una scuola media superiore.
Rappresentiamo l’insieme A delle vocali dell’alfabeto.
A
ha he Questa rappresentazione va sotto il nome di
hi Rappresentazione grafica di Eulero –Venn
ho hu
Figura 1
La rappresentazione analitica di un insieme può essere realizzata :
1) Sotto forma estensiva (cioè, per esteso) indicando tutti i suoi elementi tra parentesi graffa e
separandoli con una virgola, evitando le ripetizioni e prescindendo eventualmente, dall’ordine.
Nel nostro esempio si ha:
A = {a, e, i, o, u}
Questa rappresentazione va sotto il nome di Rappresentazione tabulare.
2) Sotto forma intensiva (cioè, manifestando una intenzione). Sempre considerando l’insieme A
possiamo scrivere:
A = {x: “x è vocale dell’alfabeto”}
Si legge: “A è uguale all’insieme di tutti quegli elementi x tali che x è vocale dell’alfabeto”.
Questa rappresentazione è detta Rappresentazione mediante proprietà caratteristica.
La proprietà caratteristica del generico elemento x di A è : “x è vocale dell’alfabeto”.
L’elemento x appartiene all’insieme A, si può scrivere in simboli: x ∈ A.
L’elemento x non appartiene all’insieme B, si può scrivere in simboli: x ∉ B.
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3. Gli Insiemi
Rappresentate nei tre modi visti in precedenza i seguenti insiemi:
L’insieme A dei divisori di 12.
L’insieme B dei numeri primi minori di 12.
Vediamo ora alcuni simboli dell’algebra moderna di notevole importanza che vengono utilizzati.
Riassumiamoli in una tabella.
SIMBOLI SIGNIFICATO
∈ Appartiene
∉ Non appartiene
∀ Per ogni
∃ Esiste almeno
∃! Esiste ed è unico
⇒ Se … allora …
⇔ Se e solo se
→ Corrisponde un unico
Corrisponde biunivocamente
: ∋′ / t.c. Tale che
Utilizzando i simboli dell’algebra moderna traducete le seguenti frasi:
“Per ogni studente (s) appartenente alla scuola (S) esiste almeno un insegnante di matematica
(M)”.
“Ad ogni libro (L) corrisponde un solo titolo (t)”.
Consideriamo ora il seguente insieme: l’insieme delle vocali che sono comuni ai nomi sciarpa e
berretto. Notiamo subito che tale insieme è privo di elementi. Infatti la proprietà caratteristica
risulta sempre falsa, cioè non soddisfatta da ogni oggetto che noi consideriamo.
Definizione Si chiama insieme vuoto un qualsiasi insieme che sia privo di elementi.
I simboli che si usano per rappresentare l’insieme vuoto sono i seguenti:
Ø oppure { }
Nei pochi esempi di insiemi ben costruiti che abbiamo visto, e soprattutto, in tutti gli altri esempi
che sono scaturiti in sede di esercitazione di singoli e di gruppo, abbiamo evidenziato il fatto che
gli elementi di un insieme possiedono, oltre a quelle qualità che li caratterizzano in quanto tali,
altre qualità che li differenziano permettendo la costruzione di particolari raggruppamenti entro
l’insieme stesso.
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4. Gli Insiemi
Per esempio: gli alunni di questa classe, oltre ad essere elementi (in quanto alunni) di un insieme
(la classe) possono essere ulteriormente raggruppati in base ai criteri più vari. Cercateli!
Anno di nascita, sesso, paese, tifosi di una stessa squadra di calcio, ecc..
L’insieme dato viene così suddiviso in sottoinsiemi. B
Se ricordiamo il primo esempio fatto di insieme, Consonanti
A
quello delle vocali dell’alfabeto, possiamo dire che
ha he
esso è sottoinsieme dell’insieme di tutte le lettere ho
hi
hu
dell’alfabeto.
Definizione Si dice che l’insieme A è un
Figura 2
sottoinsieme dell’insieme B se e solo
se ogni elemento di A è anche
elemento di B.
A è sottoinsieme di B in simboli: (A ⊆B) se e solo se (∀x∈A : x∈B)
Consideriamo il seguente insieme:
A = {a, b, c}
E, applicando la definizione, proponiamoci di scrivere tutti i suoi sottoinsiemi, che indicheremo con
A1, A2, A3, ….
I sottoinsiemi dotati di un solo elemento sono: A1={a} A2={b} A3={c}
I sottoinsiemi dotati di due elementi sono: A4={a, b} A5={a, c} A6={b, c}
Gli insiemi appena descritti li chiameremo sottoinsiemi propri di A. esistono altri due sottoinsiemi
di A che, per le loro caratteristiche diverse dai precedenti, si chiamano sottoinsiemi impropri di A.
Essi sono: l’insieme vuoto ∅ e l’insieme stesso A.
Diamo ora la seguente
Definizione Si dice che B è un sottoinsieme proprio di A se e solo se B è un sottoinsieme di A
diverso dall’insieme vuoto e dall’insieme A stesso.
In simboli: B ⊂A, che si può leggere anche: ”B è incluso (o contenuto) in senso stretto in A”
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5. Gli Insiemi
Supponiamo di avere A={a, b, c, d, e, f}
ed un suo sottoinsieme B={b, d ,e}, A ∗a ∗d ∗f
∗b
rappresentiamoli. ∗e B
∗c
Fate attenzione a non confondere il simbolo di
appartenenza (∈) con il simbolo di sottoinsieme
Figura 3
(⊆) in quanto, il primo stabilisce una relazione tra
un elemento e un insieme, il secondo stabilisce una
relazione tra due insiemi.
Consideriamo i seguenti insiemi: A={x∈N: x è divisore di 8} e B={ x∈N: x =2k , con k=0, 1, 2, 3}
e determiniamo le corrispondenti rappresentazioni tabulari.
Si trova che: A={1, 2, 4, 8}. Passiamo ora a determinare gli elementi di B.
Per k=0 si ha: x(0)=20=1
k=1 si ha: x(1)=21=2
k=2 si ha: x(2)=22=4
k=3 si ha: x(3)=23=8
quindi la rappresentazione tabulare è B={1, 2, 4, 8}.
Osserviamo che i due insiemi A e B hanno gli stessi elementi e, per tale motivo, diciamo che A è
uguale a B.
Possiamo dare, allora la seguente
Definizione Diciamo che due insiemi A e B sono uguali (in simboli: A=B) se e solo se
possiedono gli stessi elementi.
Consideriamo, ad esempio, l’insieme: A={1, 2, 3, 4, 5} esso può essere visto come
sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N e, per tale motivo, si dice che “N è
l’insieme ambiente (o insieme universo) di A”, cioè N rappresenta la totalità degli elementi da cui
bisogna trarre quelli occorrenti per formare l’insieme A.
Nell’esempio visto in precedenza con le vocali e le consonanti si ha che l’insieme B delle lettere
dell’alfabeto è l’insieme ambiente dell’insieme A delle vocali.
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6. Gli Insiemi
Ora ci proponiamo di definire le operazioni che si possono effettuare con gli insiemi.
Consideriamo gli insiemi A={1, 2, 3, 4, 5} e B={3, 5, 7} ed applichiamo su di essi un’operazione di
nome intersezione, il cui simbolo è ∩ , così definita A∩B={x: x∈A e x∈B} , otteniamo come
risultato il nuovo insieme I= A∩B={3, 5} chiamato insieme intersezione.
Definiamo tale operazione e rappresentiamo l’insieme I.
Figura 4
Definizione L’operazione di intersezione tra due
insiemi A e B dà per risultato un nuovo h1 h3 h7
insieme I, i cui elementi sono quelli che h2 h5
h4
appartengono contemporaneamente ad
A e B. A I B
Diamo un’altra
Figura 5
Definizione Due insiemi A e B la cui intersezione sia
l’insieme vuoto, quindi non hanno
h1 h3 h2
elementi in comune, si dicono disgiunti. h4 h5
∩ ∅
I= A∩B=∅ A B
Forniamo ulteriori esempi.
Prendiamo ora gli stessi insiemi visti nell’operazione di intersezione A={1, 2, 3, 4, 5} e B={3, 5, 7}
ed applichiamo su di essi un’operazione di nome unione, il cui simbolo è ∪ , che viene così definita
A ∪ B={x: x∈A vel x∈B} , otteniamo come risultato un nuovo insieme U={1, 2, 3, 4, 5, 7} detto
insieme unione. Il termine vel (o inclusivo) viene chiarito nella seguente
Definizione L’operazione di unione tra due insiemi A e B dà per risultato un nuovo insieme U, i
cui elementi devono appartenere ad almeno uno (vel) dei due insiemi dati.
L’unione degli insiemi della Figura 4 è rappresentato
nella figura accanto.
Consideriamo ora l’insieme dei numeri naturali pari e
h1 h h3 h7
l’insieme dei numeri naturali dispari. A∪B h2 h5
h4
Determinate i nuovi insiemi che si ottengono
applicando le operazioni di intersezione e di unione, e
Figura 6
fate la loro rappresentazione grafica
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7. Gli Insiemi
Abbiamo visto che l’operazione di unione tra insiemi è strettamente legata all’o inclusivo vel;
l’operazione di differenza simmetrica, invece, presenta nella sua definizione un altro termine l’o
esclusivo aut.
Dati A={1, 2, 3, 4, 5} e B={3, 5, 7}, applichiamo su di essi un’operazione di nome differenza
simmetrica, il cui simbolo è , così definita A B={x: x∈A aut x∈B}, otteniamo come risultato
un nuovo insieme S={1, 2, 4, 7} chiamato insieme differenza simmetrica della coppia A e B.
Come possiamo osservare, per ottenere l’insieme S facciamo prima l’unione, A∪B, e poi
eliminiamo quegli elementi che appartengono all’intersezione A∩B.
Definizione L’operazione di differenza simmetrica applicata su di una coppia (A, B) di insiemi
dà per risultato un nuovo insieme S=A B , i cui elementi devono appartenere ad
uno o all’altro ma non ad entrambi (aut).
Esempio guidato. Dati gli insiemi: A={a, b, c} B={e, f, g, h} vogliamo determinare i nuovi
insiemi: I=A∩B U=A∪B S=A B
Svolgimento
Completate quanto segue:
1. I=A∩B=…, quindi A e B sono …………
2. U=A∪B={………}
3. S=A B={………}
Confrontando U con S si osserva che …………
Conclusione: solo se i due insiemi A e B sono disgiunti allora gli insiemi
U=A∪B ed S=A B sono coincidenti.
Consideriamo ora A={1, 2, 3, 4, 5} e B={3, 5, 7}, applichiamo su di essi un’operazione detta
differenza tra insiemi, il cui simbolo è – , così definita A – B={x: x∈A e x∉B}, otteniamo come
risultato (vedi Figura 6) un nuovo insieme D={1, 2, 4} chiamato insieme differenza della coppia di
insiemi A e B.
Dobbiamo fare attenzione con tale operazione, in quanto se facciamo la differenza B – A={7}
possiamo notare che è diversa dalla differenza A – B. Allora dobbiamo tener conto dell’ordine.
Possiamo dare la seguente
Definizione L’operazione di differenza tra insiemi applicata ad una coppia ordinata (A, B) di
insiemi, dà per risultato un nuovo insieme D=A – B i cui elementi sono tutti quelli e
solo quelli che appartengono ad a e non a B.
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8. Gli Insiemi
Riprendiamo ora l’esempio visto in precedenza con l’insieme B delle lettere dell’alfabeto e
l’insieme A delle vocali, dove B sappiamo essere l’insieme ambiente dell’insieme A.
Applichiamo l’operazione di differenza alla coppia di insiemi (B, A):
B
Consonanti
otteniamo come risultato il nuovo insieme
A
∈
B – A ={x∈B: x è una consonante}
ha he
ho
hi Che indichiamo con il simbolo AB denominato
hu
insieme complementare di A rispetto all’ambiente B.
La proprietà che caratterizza il complementare di A, rispetto all’ambiente B, è la seguente:
∈
AB = {x∈B: x non appartiene ad A}
Dato un insieme A = {a, b, c}, come abbiamo visto all’inizio, è possibile scrivere tutti i suoi
sottoinsiemi propri ed impropri, che sono:
∅
A1={∅}; A2={a}; A3={b}; A4={c}; A5={a, b}; A6={a, c}; A7={b, c}; A8={a, b, c}.
Questi sottoinsiemi costituiscono gli elementi di un nuovo insieme, denominato insieme delle parti
di A. Il simbolo che useremo per identificarlo è il seguente: P(A).
Ciò premesso, l’insieme delle parti di A ammette la rappresentazione tabulare:
P(A)={{ ∅ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
La sua rappresentazione grafica di Eulero – Venn è la seguente:
Figura 7
P(A) {∅} {a} {b} {c}
a b
A {a, b} {a, c} {b, c}
c
{a, b, c}
Definizione Dato un insieme A, il nuovo insieme P(A), i cui elementi sono tutti e soli i
sottoinsiemi di A, si chiama insieme delle parti di A.
In simboli: P(A) = {Ai: Ai ⊆ A}.
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9. Gli Insiemi
Se E1, E2, E3, …, Ep sono p sottoinsiemi di E, diciamo che essi formano una partizione di E se sono
soddisfatte le seguenti condizioni:
1. Nessuno di essi è vuoto, cioè Ei ∅ (con Ei indichiamo uno qualsiasi dei p sottoinsiemi);
2. L’intersezione di due qualunque di essi è ∅, ossia essi sono a due a due disgiunti;
3. La loro unione dà E, cioè E1 4 E2 4 E3, 4…4 Ep = E.
Dal punto di vista grafico una partizione di E in E1, E2, E3, E4, E5, è riportata in Figura 8
E
E2 E3
E1
Figura 7
E4 E5
Consideriamo gli insiemi: A = {a, b, c} B = {1, 2}
Applichiamo su di essi un’operazione il cui simbolo è x, così definita:
A x B = {(x, y): x∈A e y∈B}
Otteniamo come risultato il nuovo insieme:
P = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Chiamato prodotto cartesiano degli insiemi A e B.
Un metodo particolarmente significativo per rappresentare
l’insieme P = A x B è quello grafico, che andiamo a descrivere.
Il primo insieme A va posto su di una retta orizzontale, detta asse delle x o delle ascisse. Il secondo
insieme B va posto su di un’altra retta, in genere perpendicolare alla prima, detta asse delle y o delle
ordinate. Per ogni x∈A e y∈B si conducono opportune rette parallele rispettivamente all’asse y e
all’asse x che, intersecandosi, individuano gli elementi dell’insieme P, rappresentati con un pallino
colorato in Figura 9.
Figura 9
y
B (a, 2) (b, 2) (c, 2)
2 P=AxB
1
(a, 1) (b, 1) (c, 1)
x
a b c
A
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10. Gli Insiemi
In generale, vale la seguente
Definizione Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è un nuovo insieme, P = A x B, i cui
elementi sono tutte e sole le coppie ordinate del tipo (x, y), ottenute al variare di x in
A e di y in B.
Ad ogni coppia ordinata (x, y) ∈ P corrisponde un sol punto ( ) e viceversa. L’insieme dei punti
costituisce il grafico cartesiano dell’insieme P = A x B.
Nell’eventualità che gli insiemi, sui quali si applica l’operazione x , siano uguali, si ottiene come
risultato il prodotto cartesiano del tipo:
P = A x A = A2
Costituito da tutte e sole le coppie ordinate (x, y), con x ∈ A e y ∈ A.
Possiamo organizzare un lavoro di gruppo per ricavare le proprietà caratteristiche delle
operazioni sugli insiemi viste fino ad ora.
Un gruppo considera l’operazione di intersezione e verifica se tale operazione gode delle proprietà:
associativa, commutativa e distributiva; un altro gruppo farà lo stesso con l’operazione unione; un
altro con la differenza simmetrica; un altro con la differenza tra insiemi.
Alla fine dei lavori controlliamo e discutiamo i risultati ottenuti.
Giustifichiamo l’affermazione “l’operazione x, che conduce al prodotto cartesiano non è
commutativa.
A questo punto posso somministrare agli alunni la verifica sommativa del tipo semistrutturata per
tale unità didattica.
Gli item della verifica sommativa sono del tipo Vero – Falso; risposte a scelta multipla.
1. Dite se costituiscono un insieme i giocatori di calcio di serie a che nella stagione 98/99:
a) Hanno segnato almeno una rete V F
b) Sono risultati i migliori in attacco V F
c) Sono tesserati per la squadra giallorossa V F
d) Hanno la maglia dai colori più vistosi V F
e) Sono stati convocati in Nazionale, almeno una volta
nel corso dell’anno 98 V F
2. In una classe di 25 studenti, dopo due mesi dall’inizio dell’anno scolastico, 13 sono stati
interrogati in italiano oppure (vel) in matematica; fra questi, 5 esclusivamente in italiano e 7 in
entrambe le materie. Determinare il numero di studenti che sono stati interrogati esclusivamente
in matematica.
(a) 8; (b) 1; (c) 3; (d) 5.
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