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碎形(Fractal)藝術 謝惠雯
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碎形(Fractal)藝術 謝惠雯

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  • 1. 碎形理論 ( F ra c ta l)報告人 謝惠雯老師
  • 2. 1975 理論誕生 - (Benoit Mandelbrot,1924 -)美籍法蘭西數學家曼德布洛特 Outside the Newton Institute in Cambridge The Fractal Geometry of Nature by Benoit B. Mandelbrot (Hardcover - 1983)
  • 3. 碎形幾何理論形成背景Mandelbrot :• 「雲彩不是球形,高山不 是錐狀,海岸線不是個圓 ,樹皮也不平滑,連閃電 的路徑都不是直線。」• 研究英國海岸線長度測 量• 揭示自然界混亂、無規 則結構內的規律性與物 理本質
  • 4. 碎形在藝術造形的應用自我相似性 (self similarity)縮放尺寸,仍有類似的造形與複雜程度未減弱的結構• M.C.Escher• Opart, B.Riley• Louis Sullivan 反動的裝飾• 日本 18 世紀 葛釋北齋
  • 5. M.C.Escher Angels and Devils
  • 6. M.C.EscherCircle Limit III, 1959
  • 7. Bridget RileyBlaze 1, 1962Emulsion on Hardboard, 43x43 in. Descending, 1965 Emulsion on Hardboard, 36x36 in. Movement in Squares, 1961.
  • 8. Louis Henri Sullivan father of modernism Bayard-Condict Building
  • 9. 葛釋北齋かつしか ほくさい冨嶽三十六景:神奈川海浪裏
  • 10. 碎形造形特徵1. 自我相似性 (Self-similarity)2. 分數的維度 (Fractal Dimension)與歐式幾何整數維度不同3. 混沌的動態 (Chaotic dynamics)初始值的微小變化會產生不可預測的結果4. 無限的延展性 (Unlimited Expansion)內含無窮的結構 運用電腦高速運算特性, 處理反覆疊代 (Recursive) 性或遞迴式子 繪出圖形,將式子內解的集合,發展在空間中
  • 11. 碎形造形的相似維度Koch 曲線︰ (═4)/ (═3)=1.2618Cantor 集︰ (═2)/ (═3)=0.6309Sierpinski 集︰ 襯墊︰ (═3)/ (═2)=1.5850 地毯︰ (═8)/ (═3)=1.8927 海綿︰ (═20)/ (═3)=2.7268
  • 12. 典型的碎形  |  ├─ Pythagorean Trees  |  ├─ Cantor Set  |  ├─ Sierpinski Gasket And Carpet  |  ├─ Koch Curve  |  ├─ Cesaro Curve  |  ├─ Levy Curve  |  ├─ Dragon Curve  |  ├─ Peano Curve  |  ├─ Hilbert Curve  |  ├─ H-Fractal  |  └─ Tree Fractal
  • 13. 規則的碎形幾何造形 在 Mandelbrot 的提出理論之前,許多數學家就曾經構造過多種不規 則的幾何圖形,此類圖形具有和海岸線相似的性質。1. 卡區 (Koch curve) 曲線 1904 年瑞典數學家科赫( H.von Koch)2. 皮諾 (Giuseppe Peano) 曲線 1890 年 Giuseppe Peano3. 康托 (Georg Cantor) 曲線 1883 年 Cantor4. 西爾平斯基 (Sierpinski) 造形 1915 年,波蘭數學家謝爾賓斯基( W.Sierpinski )5. 朱利亞 (Julia Set) 集合造形 1918-1919 年朱利亞( G.Julia ) 有規則的碎形只是少數,絕大部分碎形是統計意義上的無規則碎形。
  • 14. 卡區 (Koch curve) 雪花曲線 1904 年瑞典數學家科赫( H.von Koch) 提出 曲線,它的生成方法是把一條直線段分成三 段,將中間的一段用夾角為 60 度的兩條等 長折線來代替,形成一個生成元,然後再把 每個直線段用生成元進行代換,經無窮次疊 代後就呈現出一條有無窮多彎曲的 Koch 曲 線。
  • 15. 皮諾 (Giuseppe Peano) 曲線 1890 年 Giuseppe Peano ,與 1891 年的 David Hilbert 分別發現了 能夠填滿平面的曲線,他們發現了某種在有限的平面區域中,曲線最有 效率的「伸展」方式,以生物的觀點來說,如果有機體必須有效的運用 所處的有限空間,它們很有可能採取這樣的組織結構。產生 Peano Curve 的方法如下: 1 :畫出一條線段 2 :分成三等份,依下圖所示,其中 每一個線段都是在端點上互相結 合的,而並非交錯分割 3 :將曲線中的每一個線段都重複第一步驟 4 :重複第二步驟,重複地疊代下去…
  • 16. 康托 (Georg Cantor) 曲線1883 年 Cantor 構造了如下一類集合︰取一段歐式長度為 l 的直線段,將該線段三等分,去掉中間的一段,剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分,各去掉中間的一段,剩下四段。將這個操作進行下去,直至無窮,可得到一個離散的點集,點數趨於無窮多,而長度趨於零。經無限次操作所得到的離散點集稱為 Cantor 集。 橫向 縱向
  • 17. 西爾平斯基 (Sierpinski) 襯墊造形 首先,將一個等邊三角形四等分,得到四個小等邊三角形,去掉中間的 一個,保留它的邊。將剩下的三個小三角形再分別進行四等分,並分別 去掉中間的一個,保留它的邊。重複操作直至無窮,得到一個面積為零 ,線的歐式長度趨於無窮大的圖形。這個圖形被人們稱為西爾平斯基襯 墊。
  • 18. 西爾平斯基 (Sierpinski) 地毯造形將一個正方形九等分,去掉中間的一個,保留四條邊,剩下八個小正方形。將這九個小正方形再分別進行九等分,各自去掉中間的一個保留它們的邊。重複操作直至無窮。
  • 19. 西爾平斯基 (Sierpinski)金字塔海綿
  • 20. 朱利亞 (Julia Set) 集合造形Julia Set 是碎形裡另一個經典的例子。原理與 Mandelbrot Set 相似,是對複數平面上每一點 z= a+bi ,利用疊代式  f(xn+1)=xn2+ C , x0=z ,其中C 是一個常數,不同的 C 會產生不同的圖形。 Julia Set 運算下的島嶼 規則碎形介紹
  • 21. 自然界的碎形造形 - 天象從行星至原子
  • 22. 自然界的碎形造形 - 動物、植 物 ( 碎形模擬 ) 碎形樹程式
  • 23. 自然界的碎形造形 - 結晶 ( 碎形模擬 )
  • 24. 數學的碎形造形• 線性 (Linear) 碎形 ( 康托、皮諾曲線 )• 非線性 (Nonlinear) 碎形 (Sierpinski 造形 ) 線性與非線性碎形差異: 反饋 (Feedback) 具有自乘的項,呈現轉折迴旋或重複的曲線• 機率 (Probabilitic) 碎形 (Julia set)
  • 25. 社會及思維的碎形• 社會的碎形股價變動、城市結構分布、人際關係組織圖、人事管理組織圖• 思維的碎形人的腦波、學習過程、認知、思維模式
  • 26. 國內外碎形藝術• 吳寬瀛 - 數學與藝術結合• 作品 [ 有限單元無窮的可能 ] 大型不鏽鋼積木 時空之星 -2
  • 27. 3D Fractal 影片 music
  • 28. 3D Fractal
  • 29. 3D Fractal
  • 30. 碎形傢俱Takeshi Miyakawa Design MGX 的 Fractal Table
  • 31. Julia 項鏈• 由數學啟發的珠寶設 計。知名珠寶商伯敻 (Boucheron) 及珠寶設 計師 Marc Newson 合 作推出這款 碎形幾何 珠寶設計• - Julia 項鏈。
  • 32. 國內外碎形幾何相關研究• 於設計課程的重要性 謝寶泰 (1989)-“ 碎形宜做為基礎設計課程之要領” 可應用於建築設計,如牆面裝飾• 美感 呂素齡 (1991) - 無窮的結構與自我相似性,放大仍曲折多變的面貌• 於造型藝術、電腦藝術所扮演的角色 碎形成為自然界、人類和有機體、無機體溝通橋樑,成為造形藝術 的一種規則• 衍生的美學問題 何佩琪 (1992)- 就配色調合與否進行分析與研究
  • 33. 論碎形美感• 由簡到繁、由有序到無序、由有限到無限,讓設計創作者多一種思考方式。• 純粹的造形透過無窮的反饋與增殖,與大自然造形呼應。• 渾沌理論所談到的「非線性」與「無序」 ,是後現代思考方法之一。• 片刻、斷裂、無連續感,零碎化的審美感,應用在視覺設計創作上,產生新 的解釋與自省。• 大眾媒體科技化、電子化,碎形符碼引發人對時間、空間的非線性思考。
  • 34. 德國哲人萊布尼茲(G.W.F.VonLeibniz1646 ~ 1716) 設想,在一滴水裡包 含著多姿多彩的世界 ,其中又有許多滴水 ,每滴水又各有新的 世界。

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