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Folien zur Vorlesung "Ausgewählte Kapitel der Mathematik" von D. Totaro & C. Spannagel, PH Heidelberg

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Mengen

  1. 1. MengenAusgewählte Kapitel der Mathematik Wintersemester 2012 / 2013 D. Totaro & C. Spannagel D. Totaro & C. Spannagel
  2. 2. MengePhoto by Stephan Kulla (derivate work), CC-BY 3.0http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Veranschaulichung_einer_Menge.svg&filetimestamp=20110302234450 D. Totaro & C. Spannagel
  3. 3. Menge Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. (Georg Cantor, 1895) D. Totaro & C. Spannagel
  4. 4. Beispiele für Mengen D. Totaro & C. Spannagel
  5. 5. Gleichheit und Teilmengenbeziehung D. Totaro & C. Spannagel
  6. 6. Gleichheit und Teilmengenbeziehung D. Totaro & C. Spannagel
  7. 7. Mengenoperationen Vereinigung Schnitt Differenz M N M N M N D. Totaro & C. Spannagel
  8. 8. Mengenoperationen Vereinigung Schnitt Differenz M N M N M N D. Totaro & C. Spannagel
  9. 9. Zeigen Sie mit Venn-Diagrammen: D. Totaro & C. Spannagel
  10. 10. Mächtigkeit von Mengen • Mächtigkeit von M: |M| • Beispiele: • A={a,b,c,d}, |A|=4 • B={3}, |B|=1 D. Totaro & C. Spannagel
  11. 11. Mächtigkeit von Mengen D. Totaro & C. Spannagel
  12. 12. Mit der Unendlichkeit holenwir uns jedoch jede Menge Probleme ins Haus… D. Totaro & C. Spannagel
  13. 13. Die natürlichen Zahlen21 22 23 24 25 26 27 28 29 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50… D. Totaro & C. Spannagel
  14. 14. Wie viele Quadratzahlen gibt es?21 22 23 24 25 26 27 28 29 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50… D. Totaro & C. Spannagel
  15. 15. Angenommen, wir können nicht zählen… D. Totaro & C. Spannagel
  16. 16. Angenommen, wir können nicht zählen…„Jeder wohl definierten Menge kommt… einebestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengendieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wennsie sich gegenseitig eindeutig, Element fürElement, einander zuordnen lassen.“ D. Totaro & C. Spannagel
  17. 17. Quadratzahlen und nat. Zahlen 21 22 23 24 25 26 27 28 29 … 11 14 19 16 25 36 49 64 81 … D. Totaro & C. Spannagel
  18. 18. Ganze Zahlen und natürliche Zahlen… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …… 10 8 6 4 2 1 3 5 7 9 11 … D. Totaro & C. Spannagel
  19. 19. Aber es gibt mehr Bruchzahlen… oder? 1 3 1 0 4 8 2 1 1146734537282454738 D. Totaro & C. Spannagel
  20. 20. Nö. 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 1 2 3 2 4 5 3 3 3 3 3 1 2 3 3 4 5 4 4 1 4 2 4 3 4 4 5 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 D. Totaro & C. Spannagel
  21. 21. Georg Cantor (1845-1918) „… als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat.“ (Henri Poincaré; 1854-1912) „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." (David Hilbert; 1862-1943) D. Totaro & C. Spannagel
  22. 22. Hilberts Hotel 1 2 3 4 5 6 7 8 … D. Totaro & C. Spannagel
  23. 23. Hilberts Hotel: Bus mit unendlichvielen Personen kommt… 1 2 3 4 5 6 7 8 … D. Totaro & C. Spannagel
  24. 24. Hilberts Hotel: Unendlich viele Bussemit jeweils unendlich vielen Personenkommen… 1 2 3 4 5 6 7 8 … D. Totaro & C. Spannagel
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