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LOS NÚMEROS
COMPLEJOS




    Imagen tomada del blog de Alberto Montt http://www.dosisdiarias.c
0a.Un problema algebraico
La NECESIDAD de resolver ecuaciones ha
  dado lugar a los distintos CONJUNTOS
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Resolviendo ecuaciones…
 x-1=0   x=1           solución en N
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0a.Un problema algebraico
            ¿La ecuación
               x2 = -1
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       C, los números Complejos

               i = √-1
0a.Un problema algebraico

Los conjuntos
numéricos
0b. Algo de historia
S. I a. de C.                 Herón de      Obtiene raíces negativas
(En el Maediterráneo se       Alejandría    resolviendo pirámides
extiende el Imperio Romano)
S. XVI                        Tartaglia y   Obtienen raíces negativas
Felipe II                     Cardano       al resolver ecuaciones
Miguel de Cervantes
Nicolás Copérnico
                                            polinómicas de grado 2 y
                                            3
S. XVII                       Descartes     Introduce el término
Último Austria (Carlos II)                  “Número imaginario”
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Último Austria (Carlos II)
Francisco de Quevedo
Isaac Newton
S. XIX                        Gauss         Extiende su uso
Guerras Napoleónicas
Gustavo A. Becquer
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1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Unidad imaginaria:     i = √-1
                          2      → i = -1
Números complejos:


       C = {a+bi, a,b números reales}
Ejemplos: 3-5i, -7+i, 2+4i…

   a es la parte real (es un nº real)
   b es la parte imaginaria (también es un número rea
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
z=a+bi es la forma binómica de un número complej
   si b = 0 z=a es un número real.
     Luego todos los reales son nº complejos

  si b ≠ 0 → z=a+bi es un número imaginario

   si a = 0 →z=bi es un número imaginario puro
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Igualdad: Dos números complejos son iguales cuando
sus partes reales son iguales y la imaginarias también:
              z=a+bi y z’=a’+b’i
               z=z’ ↔ a=a’ y b=b’

Opuesto: el opuesto de z=a+bi es –z=-a-bi

Conjugados: a+bi y a-bi se llaman conjugados
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
EJEMPLOS:
Números imaginarios: 2-3i, -5+√3i, 1+iπ…
Números reales: 2+0i, π, 2/3…
Números imaginarios puros: 3i, πi, -1234i…
Sea z=-3+5i
El opuesto es: -z = -(-3+5i) = 3-5i
El conjugado es: z = -3-5i
¿Cuánto deberían valer las letras para que estos números
complejos sean iguales?
z=3-bi y z’=a+5i
z=z’ ↔ a=3, b=-5
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Representación gráfica:
  a es un número real: lo representamos
  en el
          eje horizontal (Eje Real)
  b es un número real: lo representamos
  en el
        eje vertical (Eje Imaginario)

A cada punto del plano le corresponde un
    ºn complejo z = x+yi y viceversa

 Por eso se habla del PLANO COMPLEJO
1. Aspectos básicos de los nº
 complejos
 Representación gráfica:




Observa que:
    •El número complejo z=3+2i
    •El punto P(3,2)
    •Y el vector libre de componentes v=(3,2)
coinciden
1. Aspectos básicos de los nº
 complejos
EJEMPLOS. Representa gráficamente los siguientes
números complejos:

z1=2+5i
z2=-3-3i
z3=i
z4=8
z5=-6i
z6=12/5
z7=-7+i
z8=4-5i
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Resolución de ecuaciones en C:
En el conjunto de los números complejos, las
ecuaciones polinómicas de segundo grado sin
solución real tienen dos soluciones complejas
conjugadas
Ejemplo:
2. Operaciones con nº complejos

SUMA


Ejemplos:
(3-5i)+(2+9i) = 5+4i
(-2+i)-(6-2i) = -8+3i
2+(1-i) = 3-i
2. Operaciones con nº complejos

PRODUCTO


Ejemplo:
(3-5i)·(2+9i) = 6+27i-10i-45i2=6+45+27i-10i=51+17i

¿Qué pasa si multiplicamos un número por su
conjugado?

(a+bi)·(a-bi) =a.a-abi+bia-bbi2 = a2-b2
2. Operaciones con nº complejos

COCIENTE:
Se multiplica y divide por el conjugado del
denominador




    No se puede dividir por cero
2. Operaciones con nº complejos

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES:
• El 0 es el elemento neutro de la suma
          z+0=z
• El opuesto de a+bi es -a-bi
• El inverso de a+bi es



El 0 no tiene inverso


En la práctica, operamos con los complejos como
si fueran reales, teniendo en cuenta que i2 = -1
2. Operaciones con nº complejos

• Las potencias de i son:
      i0 = 1
      i1 = i
      i2 = -1
      i3 = i2 · i = -i
      i4 = i2 · i2 =1
      i5 = i4 · i = i

      in ·= i(resto de dividir n entre 4)
3. Nº complejos en forma polar

Si representamos un número complejo z:

                      |z| Módulo: de z: módulo
                      del vector z

                      α Argumento de z: ángulo
                      que forma el vector con el eje
                      real.

                      Forma polar de z:   z = rα
3. Nº complejos en forma polar

Paso de forma binómica a polar:
3. Nº complejos en forma polar

Paso de forma polar a binómica:
3. Nº complejos en forma polar

Algunos ejemplos:
¿Cuál es la forma polar de los siguientes complejos?

z=1      = 10º
z = -1   = 1180º
z=i      = 190º
z = -i   = 1270º
4. Operaciones en forma polar

Producto:
El módulo es el producto de los módulos
El argumento es la suma de los argumentos



Ejemplo:


 Observa que
 Multiplicar = estirar (o encoger) el vector (r·r’) y girarlo
 (α+β)
4. Operaciones en forma polar

Producto:
Multiplicar por un complejo de módulo 1 es realizar
un giro de amplitud β
4. Operaciones en forma polar

Cociente:
El módulo es el cociente de los módulos
El argumento es la resta de los argumentos



Ejemplo:
4. Operaciones en forma polar

Potencia:
El módulo se eleva al exponente
El argumento se multiplica por el exponente



Ejemplo:
4. Operaciones en forma polar

Potencia:
Si aplicamos las operaciones con potencias a un
complejo de módulo 1 obtenemos:


 Por otra parte:


Con lo que obtenemos la fórmula de Moivre, que
relaciona las razones de nα con las de α:
4. Operaciones en forma polar

Raíz n-sima de un nº complejo :
El módulo es la raíz n-sima del módulo
El argumento es el argumento dividido por n



                                        Con k=0, 1, 2,…n-1

Por lo tanto, un número complejo tiene n raíces n-ésimas,
todas con el mismo módulo y diferentes argumentos

Si n>2 los puntos afijos de las n raíces de un número
complejo son los vértices de un n-ágono regular con
centro en el origen de coordenadas
4. Operaciones en forma polar

Raíz n-sima de un nº complejo :
                            Vamos a calcular las tres
                                    raíces cúbicas de 8i




Llamaremos a la raíces z1 z2 y z3
4. Operaciones en forma polar

Raíz n-sima de un nº complejo : Si representamos las
raíces vemos que ocupan los vértices de un triángulo equilátero

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Los números complejos

  • 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Imagen tomada del blog de Alberto Montt http://www.dosisdiarias.c
  • 2. 0a.Un problema algebraico La NECESIDAD de resolver ecuaciones ha dado lugar a los distintos CONJUNTOS NUMÉRICOS Resolviendo ecuaciones…  x-1=0 x=1 solución en N  x+1=0 x=-1 solución en Z  2x=3 x=2/3solución en Q  x2=3 x=√3 solución en I
  • 3. 0a.Un problema algebraico ¿La ecuación x2 = -1 tiene solución en R? No Por eso se introduce un nuevo conjunto: C, los números Complejos i = √-1
  • 4. 0a.Un problema algebraico Los conjuntos numéricos
  • 5. 0b. Algo de historia S. I a. de C. Herón de Obtiene raíces negativas (En el Maediterráneo se Alejandría resolviendo pirámides extiende el Imperio Romano) S. XVI Tartaglia y Obtienen raíces negativas Felipe II Cardano al resolver ecuaciones Miguel de Cervantes Nicolás Copérnico polinómicas de grado 2 y 3 S. XVII Descartes Introduce el término Último Austria (Carlos II) “Número imaginario” Francisco de Quevedo Isaac Newton S. XVII Euler Introduce la notación “i” Último Austria (Carlos II) Francisco de Quevedo Isaac Newton S. XIX Gauss Extiende su uso Guerras Napoleónicas Gustavo A. Becquer Louis Pasteur
  • 6. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Unidad imaginaria: i = √-1 2 → i = -1 Números complejos: C = {a+bi, a,b números reales} Ejemplos: 3-5i, -7+i, 2+4i… a es la parte real (es un nº real) b es la parte imaginaria (también es un número rea
  • 7. 1. Aspectos básicos de los nº complejos z=a+bi es la forma binómica de un número complej  si b = 0 z=a es un número real. Luego todos los reales son nº complejos si b ≠ 0 → z=a+bi es un número imaginario  si a = 0 →z=bi es un número imaginario puro
  • 8. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Igualdad: Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales son iguales y la imaginarias también: z=a+bi y z’=a’+b’i z=z’ ↔ a=a’ y b=b’ Opuesto: el opuesto de z=a+bi es –z=-a-bi Conjugados: a+bi y a-bi se llaman conjugados
  • 9. 1. Aspectos básicos de los nº complejos EJEMPLOS: Números imaginarios: 2-3i, -5+√3i, 1+iπ… Números reales: 2+0i, π, 2/3… Números imaginarios puros: 3i, πi, -1234i… Sea z=-3+5i El opuesto es: -z = -(-3+5i) = 3-5i El conjugado es: z = -3-5i ¿Cuánto deberían valer las letras para que estos números complejos sean iguales? z=3-bi y z’=a+5i z=z’ ↔ a=3, b=-5
  • 10. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Representación gráfica: a es un número real: lo representamos en el eje horizontal (Eje Real) b es un número real: lo representamos en el eje vertical (Eje Imaginario) A cada punto del plano le corresponde un ºn complejo z = x+yi y viceversa Por eso se habla del PLANO COMPLEJO
  • 11. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Representación gráfica: Observa que: •El número complejo z=3+2i •El punto P(3,2) •Y el vector libre de componentes v=(3,2) coinciden
  • 12. 1. Aspectos básicos de los nº complejos EJEMPLOS. Representa gráficamente los siguientes números complejos: z1=2+5i z2=-3-3i z3=i z4=8 z5=-6i z6=12/5 z7=-7+i z8=4-5i
  • 13. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Resolución de ecuaciones en C: En el conjunto de los números complejos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado sin solución real tienen dos soluciones complejas conjugadas Ejemplo:
  • 14. 2. Operaciones con nº complejos SUMA Ejemplos: (3-5i)+(2+9i) = 5+4i (-2+i)-(6-2i) = -8+3i 2+(1-i) = 3-i
  • 15. 2. Operaciones con nº complejos PRODUCTO Ejemplo: (3-5i)·(2+9i) = 6+27i-10i-45i2=6+45+27i-10i=51+17i ¿Qué pasa si multiplicamos un número por su conjugado? (a+bi)·(a-bi) =a.a-abi+bia-bbi2 = a2-b2
  • 16. 2. Operaciones con nº complejos COCIENTE: Se multiplica y divide por el conjugado del denominador No se puede dividir por cero
  • 17. 2. Operaciones con nº complejos PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES: • El 0 es el elemento neutro de la suma z+0=z • El opuesto de a+bi es -a-bi • El inverso de a+bi es El 0 no tiene inverso En la práctica, operamos con los complejos como si fueran reales, teniendo en cuenta que i2 = -1
  • 18. 2. Operaciones con nº complejos • Las potencias de i son: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 · i = -i i4 = i2 · i2 =1 i5 = i4 · i = i in ·= i(resto de dividir n entre 4)
  • 19. 3. Nº complejos en forma polar Si representamos un número complejo z: |z| Módulo: de z: módulo del vector z α Argumento de z: ángulo que forma el vector con el eje real. Forma polar de z: z = rα
  • 20. 3. Nº complejos en forma polar Paso de forma binómica a polar:
  • 21. 3. Nº complejos en forma polar Paso de forma polar a binómica:
  • 22. 3. Nº complejos en forma polar Algunos ejemplos: ¿Cuál es la forma polar de los siguientes complejos? z=1 = 10º z = -1 = 1180º z=i = 190º z = -i = 1270º
  • 23. 4. Operaciones en forma polar Producto: El módulo es el producto de los módulos El argumento es la suma de los argumentos Ejemplo: Observa que Multiplicar = estirar (o encoger) el vector (r·r’) y girarlo (α+β)
  • 24. 4. Operaciones en forma polar Producto: Multiplicar por un complejo de módulo 1 es realizar un giro de amplitud β
  • 25. 4. Operaciones en forma polar Cociente: El módulo es el cociente de los módulos El argumento es la resta de los argumentos Ejemplo:
  • 26. 4. Operaciones en forma polar Potencia: El módulo se eleva al exponente El argumento se multiplica por el exponente Ejemplo:
  • 27. 4. Operaciones en forma polar Potencia: Si aplicamos las operaciones con potencias a un complejo de módulo 1 obtenemos: Por otra parte: Con lo que obtenemos la fórmula de Moivre, que relaciona las razones de nα con las de α:
  • 28. 4. Operaciones en forma polar Raíz n-sima de un nº complejo : El módulo es la raíz n-sima del módulo El argumento es el argumento dividido por n Con k=0, 1, 2,…n-1 Por lo tanto, un número complejo tiene n raíces n-ésimas, todas con el mismo módulo y diferentes argumentos Si n>2 los puntos afijos de las n raíces de un número complejo son los vértices de un n-ágono regular con centro en el origen de coordenadas
  • 29. 4. Operaciones en forma polar Raíz n-sima de un nº complejo : Vamos a calcular las tres raíces cúbicas de 8i Llamaremos a la raíces z1 z2 y z3
  • 30. 4. Operaciones en forma polar Raíz n-sima de un nº complejo : Si representamos las raíces vemos que ocupan los vértices de un triángulo equilátero