Los números complejos

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Presentación para apoyar la explicación de los número complejos en Matemáticas I1º Bachillerato

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Los números complejos

  1. 1. LOS NÚMEROSCOMPLEJOS Imagen tomada del blog de Alberto Montt http://www.dosisdiarias.c
  2. 2. 0a.Un problema algebraicoLa NECESIDAD de resolver ecuaciones ha dado lugar a los distintos CONJUNTOS NUMÉRICOSResolviendo ecuaciones… x-1=0 x=1 solución en N x+1=0 x=-1 solución en Z 2x=3 x=2/3solución en Q x2=3 x=√3 solución en I
  3. 3. 0a.Un problema algebraico ¿La ecuación x2 = -1 tiene solución en R? NoPor eso se introduce un nuevo conjunto: C, los números Complejos i = √-1
  4. 4. 0a.Un problema algebraicoLos conjuntosnuméricos
  5. 5. 0b. Algo de historiaS. I a. de C. Herón de Obtiene raíces negativas(En el Maediterráneo se Alejandría resolviendo pirámidesextiende el Imperio Romano)S. XVI Tartaglia y Obtienen raíces negativasFelipe II Cardano al resolver ecuacionesMiguel de CervantesNicolás Copérnico polinómicas de grado 2 y 3S. XVII Descartes Introduce el términoÚltimo Austria (Carlos II) “Número imaginario”Francisco de QuevedoIsaac NewtonS. XVII Euler Introduce la notación “i”Último Austria (Carlos II)Francisco de QuevedoIsaac NewtonS. XIX Gauss Extiende su usoGuerras NapoleónicasGustavo A. BecquerLouis Pasteur
  6. 6. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosUnidad imaginaria: i = √-1 2 → i = -1Números complejos: C = {a+bi, a,b números reales}Ejemplos: 3-5i, -7+i, 2+4i… a es la parte real (es un nº real) b es la parte imaginaria (también es un número rea
  7. 7. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosz=a+bi es la forma binómica de un número complej  si b = 0 z=a es un número real. Luego todos los reales son nº complejos si b ≠ 0 → z=a+bi es un número imaginario  si a = 0 →z=bi es un número imaginario puro
  8. 8. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosIgualdad: Dos números complejos son iguales cuandosus partes reales son iguales y la imaginarias también: z=a+bi y z’=a’+b’i z=z’ ↔ a=a’ y b=b’Opuesto: el opuesto de z=a+bi es –z=-a-biConjugados: a+bi y a-bi se llaman conjugados
  9. 9. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosEJEMPLOS:Números imaginarios: 2-3i, -5+√3i, 1+iπ…Números reales: 2+0i, π, 2/3…Números imaginarios puros: 3i, πi, -1234i…Sea z=-3+5iEl opuesto es: -z = -(-3+5i) = 3-5iEl conjugado es: z = -3-5i¿Cuánto deberían valer las letras para que estos númeroscomplejos sean iguales?z=3-bi y z’=a+5iz=z’ ↔ a=3, b=-5
  10. 10. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosRepresentación gráfica: a es un número real: lo representamos en el eje horizontal (Eje Real) b es un número real: lo representamos en el eje vertical (Eje Imaginario)A cada punto del plano le corresponde un ºn complejo z = x+yi y viceversa Por eso se habla del PLANO COMPLEJO
  11. 11. 1. Aspectos básicos de los nº complejos Representación gráfica:Observa que: •El número complejo z=3+2i •El punto P(3,2) •Y el vector libre de componentes v=(3,2)coinciden
  12. 12. 1. Aspectos básicos de los nº complejosEJEMPLOS. Representa gráficamente los siguientesnúmeros complejos:z1=2+5iz2=-3-3iz3=iz4=8z5=-6iz6=12/5z7=-7+iz8=4-5i
  13. 13. 1. Aspectos básicos de los nºcomplejosResolución de ecuaciones en C:En el conjunto de los números complejos, lasecuaciones polinómicas de segundo grado sinsolución real tienen dos soluciones complejasconjugadasEjemplo:
  14. 14. 2. Operaciones con nº complejosSUMAEjemplos:(3-5i)+(2+9i) = 5+4i(-2+i)-(6-2i) = -8+3i2+(1-i) = 3-i
  15. 15. 2. Operaciones con nº complejosPRODUCTOEjemplo:(3-5i)·(2+9i) = 6+27i-10i-45i2=6+45+27i-10i=51+17i¿Qué pasa si multiplicamos un número por suconjugado?(a+bi)·(a-bi) =a.a-abi+bia-bbi2 = a2-b2
  16. 16. 2. Operaciones con nº complejosCOCIENTE:Se multiplica y divide por el conjugado deldenominador No se puede dividir por cero
  17. 17. 2. Operaciones con nº complejosPROPIEDADES DE LAS OPERACIONES:• El 0 es el elemento neutro de la suma z+0=z• El opuesto de a+bi es -a-bi• El inverso de a+bi esEl 0 no tiene inversoEn la práctica, operamos con los complejos comosi fueran reales, teniendo en cuenta que i2 = -1
  18. 18. 2. Operaciones con nº complejos• Las potencias de i son: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 · i = -i i4 = i2 · i2 =1 i5 = i4 · i = i in ·= i(resto de dividir n entre 4)
  19. 19. 3. Nº complejos en forma polarSi representamos un número complejo z: |z| Módulo: de z: módulo del vector z α Argumento de z: ángulo que forma el vector con el eje real. Forma polar de z: z = rα
  20. 20. 3. Nº complejos en forma polarPaso de forma binómica a polar:
  21. 21. 3. Nº complejos en forma polarPaso de forma polar a binómica:
  22. 22. 3. Nº complejos en forma polarAlgunos ejemplos:¿Cuál es la forma polar de los siguientes complejos?z=1 = 10ºz = -1 = 1180ºz=i = 190ºz = -i = 1270º
  23. 23. 4. Operaciones en forma polarProducto:El módulo es el producto de los módulosEl argumento es la suma de los argumentosEjemplo: Observa que Multiplicar = estirar (o encoger) el vector (r·r’) y girarlo (α+β)
  24. 24. 4. Operaciones en forma polarProducto:Multiplicar por un complejo de módulo 1 es realizarun giro de amplitud β
  25. 25. 4. Operaciones en forma polarCociente:El módulo es el cociente de los módulosEl argumento es la resta de los argumentosEjemplo:
  26. 26. 4. Operaciones en forma polarPotencia:El módulo se eleva al exponenteEl argumento se multiplica por el exponenteEjemplo:
  27. 27. 4. Operaciones en forma polarPotencia:Si aplicamos las operaciones con potencias a uncomplejo de módulo 1 obtenemos: Por otra parte:Con lo que obtenemos la fórmula de Moivre, querelaciona las razones de nα con las de α:
  28. 28. 4. Operaciones en forma polarRaíz n-sima de un nº complejo :El módulo es la raíz n-sima del móduloEl argumento es el argumento dividido por n Con k=0, 1, 2,…n-1Por lo tanto, un número complejo tiene n raíces n-ésimas,todas con el mismo módulo y diferentes argumentosSi n>2 los puntos afijos de las n raíces de un númerocomplejo son los vértices de un n-ágono regular concentro en el origen de coordenadas
  29. 29. 4. Operaciones en forma polarRaíz n-sima de un nº complejo : Vamos a calcular las tres raíces cúbicas de 8iLlamaremos a la raíces z1 z2 y z3
  30. 30. 4. Operaciones en forma polarRaíz n-sima de un nº complejo : Si representamos lasraíces vemos que ocupan los vértices de un triángulo equilátero

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