• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
 

20131013 h10 lecture4_matiyasevich

on

  • 216 views

 

Statistics

Views

Total Views
216
Views on SlideShare
174
Embed Views
42

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

4 Embeds 42

http://beta.compscicenter.ru 35
http://compsciclub.ru 3
http://logic.pdmi.ras.ru 3
http://gamma.compscicenter.ru 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    20131013 h10 lecture4_matiyasevich 20131013 h10 lecture4_matiyasevich Presentation Transcript

    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Четвёртая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
    • Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}
    • Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )} a = b c ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {P(a, b, c, x1 , . . . , xm ) = 0}
    • Рекуррентные последовательности второго порядка αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2
    • Рекуррентные последовательности второго порядка αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) 0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . . b≥2
    • Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
    • Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
    • Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) b≥2
    • Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n b≥2
    • Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2 (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n bd − 1 d +1 n ≤ αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n
    • Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2 (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n bd − 1 d +1 n ≤ αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n a = b n ⇐⇒ ⇐⇒ ∃d αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) 1 ≤a≤ ≤ + αd+1 (n + 1) αd (n + 1) αd+1 (n + 1) 2
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1)
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
    • Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0 Ab (n) = Ψn
    • Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1
    • Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1
    • Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1 x = αb (n + 1) y = αb (n) x = αb (n − 1) y = αb (n)
    • Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1)
    • Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1) Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
    • Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
    • Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
    • Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
    • Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k)
    • Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ?
    • Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
    • Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
    • Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) |
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m Ab (m) = Ab (k) m=k αb (k) |
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
    • Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) + αb (k)αb−1 (k − 1) b −1 1 0 2 (mod αb (k))
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) αb (k) |
    • Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib −1 ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) αb (k) | 2 αb (k) | αb (m)
    • Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
    • Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
    • Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m) Следствие. 2 kαb (k) | m ⇔ αb (k) | αb (m)
    • Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
    • Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
    • Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, u 2 | s, v = bs − 2r , v | B − b, u | B − 2, B ≥ 4, 2 X − BXY + Y 2 = 1, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ?
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) =
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N}
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 }
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 } N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b
    • Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 } N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}
    • Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
    • Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) b ≡ b (mod b − b )
    • Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
    • Функции rem и arem z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1
    • Функции rem и arem z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1 z = arem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x) or y ≡ −z (mod x) &2z ≤ x
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b )
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
    • Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b ) αb (n) = rem(αb (n), b − b ) provided αb (n) < b − b
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}
    • Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N} N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b
    • Третий шаг N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b
    • Третий шаг N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v ) αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )
    • Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v ) αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v ) αb (n) ≡ αb (n + p) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . .
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . .
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v ) αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
    • Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v ) αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . .
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . .
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v )
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v ) При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность αb (0) (mod v ), αb (1) имеет период длины 4m (mod v ), . . . , αb (1) (mod v ), . . .
    • Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v ) При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (1) (mod v ), . . . имеет период длины 4m, а последовательность arem(αb (0), v ), arem(αb (1), v ), . . . , arem(αb (n), v ), . . . имеет период длины 2m.
    • Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
    • Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
    • Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
    • Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
    • Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
    • Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
    • Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
    • Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
    • Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b
    • Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b u|B − 2
    • Ключевая идея
    • Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2
    • Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u;
    • Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m.
    • Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m. u = αb ( ) u 2 |αb (m)
    • Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, u 2 | s, v = bs − 2r , v | B − b, u | B − 2, B ≥ 4, 2 X − BXY + Y 2 = 1, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
    • Часть “тогда” Если b ≥ 4 и числа x, k, B, r , s, t, u, v , X , Y удовлетворяют условиям u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r , r < s, 2 u | s, B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1, v | B − b, u | B − 2, 2a < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u). то x = αb (k).
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ u = αb ( )
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m)
    • Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m) ⇒ u|m
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2)
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b u |B −2 ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),
    • Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b u |B −2 ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ), ⇒ X ≡ n (mod u)
    • Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m
    • Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, Ab (n) = Ψn b j ≤m
    • Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b m±j
    • Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b = m±j [Ψm ]2 Ψ±j b b
    • Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b m±j = [Ψm ]2 Ψ±j b b = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
    • Часть “тогда” Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
    • Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1)
    • Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) (mod v )
    • Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) = −[Ab (m)]−1 [Ab (m)]2 ≡ −E (mod v ) Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v ) (mod v )
    • Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) = −[Ab (m)]−1 [Ab (m)]2 ≡ −E (mod v ) Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v ) X ≡ αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v ) (mod v )
    • Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j)
    • Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
    • Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j
    • Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j 2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
    • Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j 2j ≤ 2αb (j) = 2x < u x = αb (k)
    • Часть “только тогда” Для любых b ≥ 4, xk, если x = αb (k) то найдутся числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, v = bs − 2r , u 2 | s, B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1, v | B − b, u | B − 2, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2)
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
    • Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > 2αb (m) ≥ 0
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u)
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r 2 s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1
    • Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r 2 s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1 ⇒ d =1
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) ⇒ X 2 − BXY + Y 2 = 1
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v )
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X ≡ x (mod B − b)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v )
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v )
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > αb (m) = αb ( u)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > αb (m) = αb ( u) ≥ αb ( ) = u > 2x
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)
    • Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u) 2x < u