Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
М...
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
М...
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Третья лекци...
Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [18...
Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [18...
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(...
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
p, 2p, 3p, . . . ,
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
...
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
...
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
...
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
...
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
...
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(...
Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(...
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−...
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−...
Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
m = r
j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . ...
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−...
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−...
Следствия теоремы Куммера
Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из ...
Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из ...
Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из ...
Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из ...
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . ....
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
...
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
...
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофа...
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофа...
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофа...
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) ...
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) ...
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2...
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2...
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2...
Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm)
такой что
b ≥ 4 & x...
Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm)
такой что
b ≥ 4 & x...
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
(b − 1)n
≤ αb(...
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)...
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)...
От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)...
От α к β
bd − 1
d + 1
n
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ bn
≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
bd + 1
d − 1
n
От α к β
bd − 1
d + 1
n
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ bn
≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
bd + 1
d − 1
n
a = bn
⇐⇒
⇐⇒ ∃d
αbd (n +...
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n ...
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n ...
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n ...
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n ...
Характеристическое уравнение
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
или же
...
Характеристическое уравнение
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
или же
...
Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n)...
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy...
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy...
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy...
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − ...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − ...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − ...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − ...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − ...
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= ...
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= ...
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= ...
Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= ...
Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
=
Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E +...
Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E +...
Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E +...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k...
Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

20131006 h10 lecture3_matiyasevich

145

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
145
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20131006 h10 lecture3_matiyasevich

  1. 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  2. 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  3. 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Третья лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  4. 4. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n
  5. 5. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n!
  6. 6. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  7. 7. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»;
  8. 8. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из разряда в разряд при этом сложении.
  9. 9. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  10. 10. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  11. 11. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  12. 12. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  13. 13. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . ,
  14. 14. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . , k p p
  15. 15. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p
  16. 16. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2
  17. 17. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3
  18. 18. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ...
  19. 19. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ... βp(k) = k p + k p2 + k p3 + . . .
  20. 20. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  21. 21. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  22. 22. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  23. 23. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  24. 24. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  25. 25. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  26. 26. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  27. 27. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса
  28. 28. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса m = r j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0 n = r j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0 m + n = r j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0 m/pk = mr . . . mk n/pk = nr . . . nk (m + n)/pk = r . . . k
  29. 29. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  30. 30. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  31. 31. Следствия теоремы Куммера
  32. 32. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным
  33. 33. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1.
  34. 34. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1. Лемма. Биномиальный коэффициент a b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k ak ≥ bk
  35. 35. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1. Лемма. Биномиальный коэффициент a b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k ak ≥ bk a b = b + (a − b) b
  36. 36. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k
  37. 37. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
  38. 38. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b
  39. 39. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b
  40. 40. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн.
  41. 41. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн.
  42. 42. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  43. 43. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  44. 44. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐= a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  45. 45. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  46. 46. Биномиальные коэффициенты
  47. 47. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0
  48. 48. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m
  49. 49. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m c = m n ⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧ c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m }
  50. 50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  51. 51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) = = ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
  52. 52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) = = ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)} a = bc ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c, x1, . . . , xm) = 0}
  53. 53. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
  54. 54. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n) αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
  55. 55. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n) αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .
  56. 56. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
  57. 57. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
  58. 58. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
  59. 59. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n)
  60. 60. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n) = 2(n + 1) − n
  61. 61. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n) = 2(n + 1) − n = n + 2
  62. 62. Диофантовость последовательности αb(k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm) такой что b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}
  63. 63. Диофантовость последовательности αb(k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm) такой что b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}
  64. 64. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
  65. 65. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 (b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
  66. 66. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 (b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1) (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
  67. 67. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
  68. 68. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
  69. 69. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
  70. 70. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
  71. 71. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
  72. 72. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n
  73. 73. От α к β bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n
  74. 74. От α к β bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n a = bn ⇐⇒ ⇐⇒ ∃d αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ a ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) + 1 2
  75. 75. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
  76. 76. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1)
  77. 77. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
  78. 78. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  79. 79. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  80. 80. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0 Ab(n + 1) = Ab(n)Ψ
  81. 81. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
  82. 82. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n)
  83. 83. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b)
  84. 84. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  85. 85. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  86. 86. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  87. 87. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1
  88. 88. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1 x2 − bxy + y2 = 1
  89. 89. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1 x2 − bxy + y2 = 1 x = αb(n + 1) y = αb(n) x = αb(n − 1) y = αb(n)
  90. 90. Характеристическое уравнение Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1) y = αb(n) или же x = αb(n) y = αb(n + 1)
  91. 91. Характеристическое уравнение Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1) y = αb(n) или же x = αb(n) y = αb(n + 1) Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  92. 92. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  93. 93. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1
  94. 94. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1, следовательно x = 1.
  95. 95. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем x = 1 = αb(1) = αb(n + 1) y = 0 = αb(0) = αb(n)
  96. 96. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  97. 97. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). y − 1
  98. 98. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1
  99. 99. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что
  100. 100. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что y = αb(n), x = αb(n + 1)
  101. 101. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  102. 102. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  103. 103. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
  104. 104. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
  105. 105. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  106. 106. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0
  107. 107. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x
  108. 108. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x ≤ by z = by − x
  109. 109. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x ≤ by z = by − x Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
  110. 110. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  111. 111. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y
  112. 112. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x
  113. 113. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x > by − y2 y = by − y
  114. 114. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x > by − y2 y = by − y Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
  115. 115. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  116. 116. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1
  117. 117. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2
  118. 118. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
  119. 119. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2
  120. 120. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2 = 1
  121. 121. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2 = 1 Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
  122. 122. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
  123. 123. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m)
  124. 124. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m) x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)
  125. 125. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m) x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2) n = m + 1
  126. 126. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
  127. 127. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
  128. 128. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
  129. 129. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
  130. 130. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k) ⇐⇒ ?
  131. 131. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
  132. 132. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k
  133. 133. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1)
  134. 134. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b
  135. 135. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b
  136. 136. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b)
  137. 137. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b) = Ab(n)Ab(k)
  138. 138. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b) = Ab(n)Ab(k) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  139. 139. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k))
  140. 140. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))
  141. 141. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n)
  142. 142. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n) m = n + k , 0 ≤ n < k
  143. 143. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n) m = n + k , 0 ≤ n < k n = 0 m = k
  144. 144. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k)
  145. 145. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  146. 146. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  147. 147. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1
  148. 148. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E]
  149. 149. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E] = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  150. 150. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E] = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  151. 151. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) =
  152. 152. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  153. 153. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k))
  154. 154. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k)) = (−1) αb(k − 1) 1 0 0 1 + +(−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) b −1 1 0 (mod α2 b(k))
  155. 155. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k)) = (−1) αb(k − 1) 1 0 0 1 + +(−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) b −1 1 0 (mod α2 b(k)) αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k))
  156. 156. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k))
  157. 157. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1)
  158. 158. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) |
  159. 159. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) | m = k
  160. 160. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) | m = k
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×