• Like
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

20131006 h10 lecture3_matiyasevich

  • 83 views
Published

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
83
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
1
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Третья лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 4. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n
  • 5. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n!
  • 6. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 7. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»;
  • 8. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из разряда в разряд при этом сложении.
  • 9. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 10. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 11. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  • 12. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 13. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . ,
  • 14. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . , k p p
  • 15. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p
  • 16. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2
  • 17. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3
  • 18. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ...
  • 19. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ... βp(k) = k p + k p2 + k p3 + . . .
  • 20. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 21. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 22. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 23. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  • 24. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 25. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 26. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  • 27. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса
  • 28. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса m = r j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0 n = r j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0 m + n = r j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0 m/pk = mr . . . mk n/pk = nr . . . nk (m + n)/pk = r . . . k
  • 29. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 30. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  • 31. Следствия теоремы Куммера
  • 32. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным
  • 33. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1.
  • 34. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1. Лемма. Биномиальный коэффициент a b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k ak ≥ bk
  • 35. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1. Лемма. Биномиальный коэффициент a b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k ak ≥ bk a b = b + (a − b) b
  • 36. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k
  • 37. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
  • 38. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b
  • 39. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b
  • 40. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн.
  • 41. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн.
  • 42. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 43. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 44. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐= a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 45. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 46. Биномиальные коэффициенты
  • 47. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0
  • 48. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m
  • 49. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m c = m n ⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧ c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m }
  • 50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  • 51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) = = ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
  • 52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) = = ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)} a = bc ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c, x1, . . . , xm) = 0}
  • 53. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
  • 54. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n) αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
  • 55. Рекуррентные последовательности второго порядка βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n) αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .
  • 56. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
  • 57. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
  • 58. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
  • 59. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n)
  • 60. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n) = 2(n + 1) − n
  • 61. Рекуррентные последовательности второго порядка α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n) = 2(n + 1) − n = n + 2
  • 62. Диофантовость последовательности αb(k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm) такой что b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}
  • 63. Диофантовость последовательности αb(k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm) такой что b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}
  • 64. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
  • 65. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 (b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
  • 66. Скорость роста αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2 (b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1) (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
  • 67. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
  • 68. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
  • 69. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
  • 70. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
  • 71. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
  • 72. От α к β (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n
  • 73. От α к β bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n
  • 74. От α к β bd − 1 d + 1 n ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ bn ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ bd + 1 d − 1 n a = bn ⇐⇒ ⇐⇒ ∃d αbd (n + 1) αd+1(n + 1) ≤ a ≤ αbd+1(n + 1) αd (n + 1) ≤ αbd (n + 1) αd+1(n + 1) + 1 2
  • 75. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
  • 76. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1)
  • 77. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
  • 78. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  • 79. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  • 80. Матричное представление αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n) Ab(n) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb Ψb = b −1 1 0 Ab(n + 1) = Ab(n)Ψ
  • 81. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
  • 82. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n)
  • 83. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b)
  • 84. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  • 85. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  • 86. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n
  • 87. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1
  • 88. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1 x2 − bxy + y2 = 1
  • 89. Характеристическое уравнение det(Ab(n)) = α2 b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1) = α2 b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2 b(n) = α2 b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2 b(n) = det(Ψn b) = (det Ψb)n = 1 x2 − bxy + y2 = 1 x = αb(n + 1) y = αb(n) x = αb(n − 1) y = αb(n)
  • 90. Характеристическое уравнение Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1) y = αb(n) или же x = αb(n) y = αb(n + 1)
  • 91. Характеристическое уравнение Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1) y = αb(n) или же x = αb(n) y = αb(n + 1) Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  • 92. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  • 93. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1
  • 94. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1, следовательно x = 1.
  • 95. Индукция по y: случай y = 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем x = 1 = αb(1) = αb(n + 1) y = 0 = αb(0) = αb(n)
  • 96. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
  • 97. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). y − 1
  • 98. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1
  • 99. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что
  • 100. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 101. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 102. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 103. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
  • 104. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). n − 1 Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
  • 105. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 106. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0
  • 107. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x
  • 108. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x ≤ by z = by − x
  • 109. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) by − x ? ≥ 0 x = by + 1 − y2 x ≤ by z = by − x Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
  • 110. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 111. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y
  • 112. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x
  • 113. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x > by − y2 y = by − y
  • 114. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) z ? ≤ y x = by + 1 x − y2 x > by − y2 y = by − y Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
  • 115. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
  • 116. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1
  • 117. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2
  • 118. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
  • 119. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2
  • 120. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2 = 1
  • 121. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1) y2 − byz + z2 ? = 1 y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2 = x2 − bxy + y2 = 1 Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
  • 122. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
  • 123. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m)
  • 124. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m) x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)
  • 125. Индукция по y: случай y > 0 Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb(m + 1), z = αb(m) x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2) n = m + 1
  • 126. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
  • 127. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
  • 128. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
  • 129. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
  • 130. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . } ⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k) ⇐⇒ ?
  • 131. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
  • 132. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k
  • 133. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1)
  • 134. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b
  • 135. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b
  • 136. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b)
  • 137. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b) = Ab(n)Ab(k)
  • 138. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m Доказательство. m = n + k , 0 ≤ n < k Ab(m) = αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn b(Ψk b) = Ab(n)Ab(k) = αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  • 139. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k))
  • 140. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))
  • 141. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n)
  • 142. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n) m = n + k , 0 ≤ n < k
  • 143. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) ≡ αb(n + 1) −αb(n) αb(n) −αb(n − 1) αb(k + 1) 0 0 −αb(k − 1) (mod αb(k)) αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k)) αb(k) | αb(n) m = n + k , 0 ≤ n < k n = 0 m = k
  • 144. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k)
  • 145. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  • 146. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1)
  • 147. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1
  • 148. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E]
  • 149. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E] = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  • 150. Свойства делимости m = k Ab(m) = Ab(k) = αb(k + 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k) αb(k) −αb(k − 1) = αb(k) b −1 1 0 − αb(k − 1) 1 0 0 1 = [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E] = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  • 151. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) =
  • 152. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b
  • 153. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k))
  • 154. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k)) = (−1) αb(k − 1) 1 0 0 1 + +(−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) b −1 1 0 (mod α2 b(k))
  • 155. Свойства делимости αb(m + 1) −αb(m) αb(m) −αb(m − 1) = Ab(m) = i=0 (−1) −i i αi b(k)α −i b (k − 1)Ψi b ≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1)Ψb (mod α2 b(k)) = (−1) αb(k − 1) 1 0 0 1 + +(−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) b −1 1 0 (mod α2 b(k)) αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k))
  • 156. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k))
  • 157. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1)
  • 158. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) |
  • 159. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) | m = k
  • 160. Свойства делимости Лемма. α2 b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m αb(m) ≡ (−1) −1 αb(k)α −1 b (k − 1) (mod α2 b(k)) αb(k) | α −1 b (k − 1) αb(k) | m = k