20131006 h10 lecture2_matiyasevich
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

20131006 h10 lecture2_matiyasevich

on

  • 282 views

 

Statistics

Views

Total Views
282
Views on SlideShare
213
Embed Views
69

Actions

Likes
0
Downloads
1
Comments
0

6 Embeds 69

http://beta.compscicenter.ru 31
http://compsciclub.ru 19
http://logic.pdmi.ras.ru 8
http://compscicenter.ru 6
http://gamma.compscicenter.ru 4
http://www.compsciclub.ru 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    20131006 h10 lecture2_matiyasevich 20131006 h10 lecture2_matiyasevich Presentation Transcript

    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Вторая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
    • Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
    • Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
    • Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
    • Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
    • Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
    • Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы:
    • Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an;
    • Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm.
    • Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
    • Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}. Множества, имеющие такие представления называются диофантовыми.
    • Перечислимые множества
    • Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
    • Гипотеза Martin’a Davis’а
    • Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым.
    • Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
    • Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
    • Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
    • DPRM-теорема DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
    • DPRM-теорема DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
    • DPRM-теорема DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
    • DPRM-теорема DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
    • An e-mail
    • An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
    • Первый шаг Теорема (Martin Davis [1950]) Каждое перечислимое множество M имеет "почти диофантово" представление a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃z∀y≤z∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm, y, z) = 0}.
    • DPR-теорема Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
    • DPR-теорема Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.
    • DPR-теорема Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.
    • Регистровые машины
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов:
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP
    • Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP Lambek [1961], Melzak [1961], Minsky [1961], Minsky [1967], Shepherdson и Sturgis [1963]
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0 В каком случае машина остановится?
    • Протокол
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0 sk,t = 1, если на шаге t машина была в состоянии k 0 в противном случае
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... R1 r1,q . . . r1,t+1 r1,t . . . r1,0 ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Rn rn,q . . . rn,t+1 rn,t . . . rn,0 r ,t – это содержимое -го регистра на шаге t
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Z1 z1,q . . . z1,t+1 z1,t . . . z1,0 ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ... Zn zn,q . . . zn,t+1 zn,t . . . zn,0 z ,t = 1, если r ,t > 0 0 в противном случае
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 =
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 = a
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = 0
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = 0 s9,q = 1
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = 0 s9,q = 1 s1,q = · · · = s8,q = 0
    • Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = 0 s9,q = 1 s1,q = · · · = s8,q = 0
    • Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
    • Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si,
    • Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si, а − -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sj.
    • Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
    • Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd,
    • Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj,
    • Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj, а 0 d -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sd.
    • Начальные значения
    • Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0.
    • Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a,
    • Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a, все остальные регистры пусты: r2,0 = · · · = rn,0 = 0.
    • Остановка Sm является единственной командой STOP: sm,q = 1, s1,q = · · · = sm−1,q = 0. При остановке все регистры пусты: r1,q = · · · = rn,q = 0.
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
    • Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 b = 2c+1 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
    • Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k
    • Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k a & b = ∞ k=0 akbk2k
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1bt+1 = r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
    • Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) r1 − a = br1 + b + sk − b − (z & sk) r = br + b + sk − b − (z & sk), = 2, . . . , n
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1bt+1 = = + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
    • Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = q−1 t=0 1 · bt+1 = bq − 1 b − 1
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t =
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt
    • Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = q t=0 1 · bt = bq+1 − 1 b − 1
    • Выбор c r ,t < b
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0
    • Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0 2c f & r = 0 f = q t=0 1 · bt+1 = bq+1 − 1 b − 1
    • Все условия
    • Все условия b = 2c+1
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0
    • Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0 sm = bq