• Like
  • Save
20130301 np algorithms_kulikov_lecture02-03_tsp
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

20130301 np algorithms_kulikov_lecture02-03_tsp

on

  • 416 views

 

Statistics

Views

Total Views
416
Views on SlideShare
356
Embed Views
60

Actions

Likes
0
Downloads
2
Comments
0

3 Embeds 60

http://compsciclub.ru 46
http://logic.pdmi.ras.ru 10
http://www.compsciclub.ru 4

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    20130301 np algorithms_kulikov_lecture02-03_tsp 20130301 np algorithms_kulikov_lecture02-03_tsp Presentation Transcript

    • Алгоритмы для NP-трудных задач Лекции 2–3: Алгоритмы для задачи коммивояжёра Александр Куликов Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российская академия наук Computer Science клуб в Екатеринбурге 1–2 марта 2013А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 1 / 62
    • 1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 2 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 3 / 62
    • Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 4 / 62
    • Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 4 / 62
    • Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 4 / 62
    • Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. Применения: проектирование схем, планирование, сборка генома. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 4 / 62
    • Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. Применения: проектирование схем, планирование, сборка генома. Сложность полного перебора: O(n!). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 4 / 62
    • Цикл по 15 городам ГерманииОптимальный маршрут коммивояжёра че-рез 15 крупнейших городов Германии. Ука-занный маршрут является самым короткимиз всех возможных 43 589 145 600.http://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 5 / 62
    • Цикл по 13 509 городам США David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal and William Cook. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 6 / 62
    • Оптимальный путь лазера85 900 «городов» David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal and William Cook. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 7 / 62
    • Ещё интересное http://www.tsp.gatech.edu/ книги, статьи мировые рекорды датасеты программы игры триллер А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 8 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 9 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 10 / 62
    • Пример графа 1 F E 2 2 G D 1 1 1 1 1 5 H C 1 1 A B 2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 11 / 62
    • Пример графа 1 F E 2 2 G D 1 1 1 1 1 5 H C 1 1 A B 2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 11 / 62
    • Дерево поиска A 10 B F 8 H 8 10 C E 10 8 E G C G 13 14 8 10 D H 14 D F 10 8 B D 15 12 11 E G G G C 8 ∞ 14 14 11 F 8 D H ∞ 11 G 8 G 11 H 8 H Стоимость: 11 Стоимость: 8 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 12 / 62
    • Дерево поиска A 10 B F 8 H 8 10 C E 10 8 E G C G 13 14 8 10 D H 14 D F 10 8 B D 15 12 1 11 E G G G C 8 2 F E 2 ∞ 14 14 G D 11 F 8 D H 1 ∞ 1 1 1 1 5 11 G 8 G H C 1 1 A B 11 H 8 H 2 Стоимость: 11 Стоимость: 8 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 12 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, самого лёгкого ребра из b в V ∖ S и А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, самого лёгкого ребра из b в V ∖ S и минимального покрывающего дерева графа на вершинах V ∖ S. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 13 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 14 / 62
    • Локальный поиск1 s ← какое-нибудь начальное решение2 while в окрестности s есть решение s ′ большей стоимости3 do заменить s на s ′4 return s А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 15 / 62
    • 2-окружение А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 16 / 62
    • Узкое место А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 17 / 62
    • 3-окружение А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 18 / 62
    • Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 19 / 62
    • Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 19 / 62
    • Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 19 / 62
    • Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 19 / 62
    • Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 19 / 62
    • Локальный поиск абстрактно стоимость локальный оптимум А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 20 / 62
    • Метод имитации отжига1 s ← какое-нибудь начальное решение2 repeat3 выбрать случайное решение s ′ из окружения s4 ∆ ← cost(s ′ ) − cost(s)5 if ∆ < 06 then заменить s на s ′7 else заменить s на s ′ с вероятностью e −Δ/T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 21 / 62
    • Метод имитации отжига абстрактно А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 22 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 23 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 24 / 62
    • Задача коммивояжёра в метрическомпространствеЗадача коммивояжёра в метрическом пространстве (Metric TSP):частный случай для графов, веса рёбер которых удовлетворяютнеравенству треугольника (w (i, j) ≤ w (i, k) + w (k, j)). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 25 / 62
    • 2-приближённый алгоритм1 построить минимальное покрывающее дерево T2 продублировать каждое ребро дерева T и в полученном графе найти эйлеров цикл3 выкинуть из этого цикла все повторения вершин и вернуть полученный цикл А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 26 / 62
    • Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Пример 7 14 8 13 6 1 10 11 9 12 3 2 4 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Пример 7 14 8 13 6 1 10 11 9 12 3 2 4 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 27 / 62
    • Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 28 / 62
    • Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 28 / 62
    • Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево каждое ребро построенного гамильтонова цикла заменяет какой-то путь эйлерова цикла, длина которого по неравенству треугольника не менее длины этого ребра А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 28 / 62
    • Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево каждое ребро построенного гамильтонова цикла заменяет какой-то путь эйлерова цикла, длина которого по неравенству треугольника не менее длины этого ребра значит, длина найденного пути не превосходит 2WT , а следовательно, и 2Wopt А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 28 / 62
    • 1.5-приближённый алгоритм1 построить минимальное покрывающее дерево T2 найти минимальное полное паросочетание всех вершин дерева T нечетной степени3 добавить найденные рёбра в дерево T и найти в полученном графе эйлеров цикл4 выкинуть из этого цикла все повторения вершин и вернуть полученный цикл А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 29 / 62
    • Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 30 / 62
    • Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 30 / 62
    • Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 обозначим через A множество всех вершин нечётной степени дерева T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 30 / 62
    • Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 обозначим через A множество всех вершин нечётной степени дерева T рассмотрим такой гамильтонов цикл на вершинах множества A: вершины множества A в нём будут встречаться в такой последовательности, в какой они идут в оптимальном гамильтоновом цикле графа G А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 30 / 62
    • Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 31 / 62
    • Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 31 / 62
    • Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания вес хотя бы одного из них будет не более Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 31 / 62
    • Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания вес хотя бы одного из них будет не более Wopt /2 значит, и вес минимального паросочетания не превосходит Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 31 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 32 / 62
    • Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 33 / 62
    • Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 33 / 62
    • Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. Между любыми двумя не соединёнными ребром вершинами добавим ребро веса 𝛼n + 1. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 33 / 62
    • Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. Между любыми двумя не соединёнными ребром вершинами добавим ребро веса 𝛼n + 1. Заметим теперь, что если в исходном графе существует гамильтонов цикл, то в новом графе существует гамильтонов цикл веса n. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 33 / 62
    • Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 34 / 62
    • Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 34 / 62
    • Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А это позволит нам понять (за полиномиальное время!), есть в исходном графе гамильтонов цикл или нет. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 34 / 62
    • Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А это позволит нам понять (за полиномиальное время!), есть в исходном графе гамильтонов цикл или нет. Но тогда P = NP. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 34 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 35 / 62
    • Покрытие ориентированными циклами 4 5 3 1 2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 36 / 62
    • Покрытие ориентированными циклами 4 1 1 2 2 5 3 3 3 4 4 1 2 5 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 36 / 62
    • Покрытие ориентированными циклами 4 1 1 2 2 5 3 3 3 4 4 1 2 5 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 36 / 62
    • Покрытие ориентированными циклами 4 1 1 2 2 5 3 3 3 4 4 1 2 5 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 36 / 62
    • 1/2-приближение для максимизационной версии Найдём покрытие циклами максимального веса. Выкинем из каждого цикла самое лёгкое ребро (при этом суммарный вес уменьшится не более чем вдвое). Соединим полученные пути произвольно. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 37 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 38 / 62
    • Теория и практика Camil Demetrescu. Engineering shortest path algorithms А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 39 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 40 / 62
    • Динамическое программирование Подзадачи: для подмножества городов S ⊆ {1, 2, . . . , n}, включающего 1 и j, обозначим через C [S, j] длину кратчайшего пути, начинающегося в 1 и заканчивающегося в j, проходящего через каждый город из множества S ровно один раз. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 41 / 62
    • Динамическое программирование Подзадачи: для подмножества городов S ⊆ {1, 2, . . . , n}, включающего 1 и j, обозначим через C [S, j] длину кратчайшего пути, начинающегося в 1 и заканчивающегося в j, проходящего через каждый город из множества S ровно один раз. Пересчёт: C [S, j] = min {C [S ∖ {j}, i] + dij }. i∈S,i̸=j А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 41 / 62
    • Псевдокод1 C [{1}, 1] ← 02 for s ← 2 to n3 do for всех S ⊆ {1, 2, . . . , n} размера s, содержащих 14 do C [S, 1] ← ∞5 for всех j ∈ S, j ̸= 16 do C [S, j] ← min {C [S ∖ {j}, i] + dij } i∈S,i̸=j7 return min C [{1, . . . , n}, j] + dj1 j А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 42 / 62
    • Сложность алгоритма Время работы данного алгоритма есть O(n2 2n ) = O * (2n ). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 43 / 62
    • Сложность алгоритма Время работы данного алгоритма есть O(n2 2n ) = O * (2n ). Более того, памяти ему требуется тоже O * (2n ), что делает его совсем непрактичным. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 43 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 44 / 62
    • Формула включений-исключенийПусть A∑︀ некоторое множество, f , g : 2A → R, т.ч. —f (X ) = Y ⊆X g (Y ). Тогда ∑︁ g (X ) = (−1)|X −Y | f (Y ) . Y ⊆X А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 45 / 62
    • Формула включений-исключенийПусть A∑︀ некоторое множество, f , g : 2A → R, т.ч. —f (X ) = Y ⊆X g (Y ). Тогда ∑︁ g (X ) = (−1)|X −Y | f (Y ) . Y ⊆XДоказательство ∑︁ ∑︁ ∑︁ (−1)|X −Y | f (Y ) = (−1)|X −Y | g (Z ) = Y ⊆X Y ⊆X Z ⊆Y ∑︁ ∑︁ = g (Z ) (−1)|X −Y | = g (X ) Z ⊆X Z ⊆Y ⊆X(последняя сумма равна 1, если Z = X , и нулю иначе). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 45 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 46 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. Для {s, t} ⊆ X ⊆ V обозначим через f (X ) количество путей (не обязательно простых! путь может проходить по некоторым вершинам несколько раз, а по некоторым вообще не проходить) длины n − 1 из s в t, проходящих только по вершинам множества X . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 46 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. Для {s, t} ⊆ X ⊆ V обозначим через f (X ) количество путей (не обязательно простых! путь может проходить по некоторым вершинам несколько раз, а по некоторым вообще не проходить) длины n − 1 из s в t, проходящих только по вершинам множества X . Нетрудно видеть, что значение f (X ) содержится в строке s и столбце t матрицы An−1 , где A — матрица смежности графа G [X ]. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 46 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь g (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, g (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 47 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь g (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, g (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ g (V ) = (−1)|V −Y | f (Y ) . Y ⊆V А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 47 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь g (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, g (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ g (V ) = (−1)|V −Y | f (Y ) . Y ⊆V Таким образом, количество гамильтоновых путей в графе может быть найдено за время O * (2n ) и полиномиальную память. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 47 / 62
    • Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь g (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, g (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ g (V ) = (−1)|V −Y | f (Y ) . Y ⊆V Таким образом, количество гамильтоновых путей в графе может быть найдено за время O * (2n ) и полиномиальную память. Интересно отметить, что данный алгоритм переизобретался три раза. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 47 / 62
    • Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая 1/2-приближение для максимизационной версии4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 48 / 62
    • ЗамечаниеДалее мы рассмотрим алгоритм Бьорклунда для решения задачио гамильтоновом цикле в двудольном графе за время O * (2n/2 ).Для общего случая задачи коммивояжёра оценка на времяработы алгоритма Бьорклунда составляет O * (1.657n · W ) (W —максимальный вес ребра). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 49 / 62
    • Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 50 / 62
    • Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 perm(M) = А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 50 / 62
    • Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 50 / 62
    • Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 2 2 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + x13 x24 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 50 / 62
    • Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 2 2 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + x13 x24 + x12 x24 x43 x31 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 50 / 62
    • Поле характеристики 2 Если вычислять перманент над полем характеристики 2, то все циклы, не полностью состоящие из циклов длины 2, сократятся. Действительно, если в покрытии циклами есть цикл длины не 2, то возьмём первый из них (первый относительного какого-нибудь фиксированного порядка на вершинах) и обратим в нём все рёбра. Получим другое покрытие циклами, которому соответствует тот же самый моном. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 51 / 62
    • Поле характеристики 2 Если вычислять перманент над полем характеристики 2, то все циклы, не полностью состоящие из циклов длины 2, сократятся. Действительно, если в покрытии циклами есть цикл длины не 2, то возьмём первый из них (первый относительного какого-нибудь фиксированного порядка на вершинах) и обратим в нём все рёбра. Получим другое покрытие циклами, которому соответствует тот же самый моном. Мы хотим исправить следующие два момента: во-первых, чтобы гамильтоновы циклы не сокращались, а во-вторых, чтобы покрытия с циклами длины 2 всё же пропадали. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 51 / 62
    • Первая цель: оставить гамильтоновы циклыСделаем вершину 1 графа выделенной: TG [1, j] = x1j , ноTG [j, 1] = xj1 для ребра {1, j} ∈ E . Тогда каждому гамильтоновуциклу будут соответствовать два разных монома. x12 x13 x14 x21 x24 x31 x34 x41 x24 x34 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 52 / 62
    • Вторая цель: сократить всё остальное A 1 1 2 B B AB BF C 3 3 BC BD AF 2 CD BE 5 CE DE 4 D 4 EF E 5 E 6 F 6 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 53 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: покрытия циклами, в которых используются не все пометки — сократятся по формуле включений-исключений (рассмотрим все 2n/2 подмножеств пометок); А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: покрытия циклами, в которых используются не все пометки — сократятся по формуле включений-исключений (рассмотрим все 2n/2 подмножеств пометок); негамилтьтоновы покрытия циклами, в которых есть все пометки, разобьются на пары и сократятся (из-за пометок). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 54 / 62
    • Получившийся алгоритм Рассмотрим многочлен ∑︁ P(¯) = x perm(MS ). S⊆L А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 55 / 62
    • Получившийся алгоритм Рассмотрим многочлен ∑︁ P(¯) = x perm(MS ). S⊆L Как мы уже выяснили, этот многочлен не равен нулю тогда и только тогда, когда в графе есть гамильтонов цикл. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 55 / 62
    • Получившийся алгоритм Рассмотрим многочлен ∑︁ P(¯) = x perm(MS ). S⊆L Как мы уже выяснили, этот многочлен не равен нулю тогда и только тогда, когда в графе есть гамильтонов цикл. Проверять, равен он нулю или нет, мы будем вероятностно: подставим случайные значения всем переменным; если получился не ноль, то и многочлен точно не равен нулю; в противном случае мы могли попасть в корень. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 55 / 62
    • Проверка равенства нулю многочленаЛеммаПусть P — ненулевой многочлен полной степени d над полем F ипусть S ⊆ F. Тогда Prr1 ,...,rn ∈S {P(r1 , . . . , rn ) = 0} ≤ d/|S| . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 56 / 62
    • Проверка равенства нулю многочленаЛеммаПусть P — ненулевой многочлен полной степени d над полем F ипусть S ⊆ F. Тогда Prr1 ,...,rn ∈S {P(r1 , . . . , rn ) = 0} ≤ d/|S| .ДоказательствоИндукция по n. При n = 1 утверждение верно, поскольку умногочлена степени d от одной переменной может быть не болееd корней. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 56 / 62
    • ПереходРазложим многочлен P по степеням переменной xn : k ∑︁ i P(x1 , . . . , xn ) = xn Pi (x1 , . . . , xn−1 ) , i=0где deg(Pi ) ≤ d − i, k ≤ d и Pk ̸≡ 0. Распишем теперь поформуле полной вероятности: Pr{P(r1 , . . . , rn ) = 0} = Pr{P(r1 , . . . , rn ) = 0 ∧ Pk (r1 , . . . , rn−1 ) = 0}+ Pr{P(r1 , . . . , rn ) = 0 ∧ Pk (r1 , . . . , rn−1 ) ̸= 0} ≤ (d − k)/|S| + Pr{P(r1 , . . . , rn ) = 0 | Pk (r1 , . . . , rn−1 ) ̸= 0} (d − k)/|S| + k/|S| = d/|S| А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 57 / 62
    • Открытые задачиОткрытые задачи Точный алгоритм для задачи о гамильтоновом цикле в ориентированных графах за O * (1.99n ). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 58 / 62
    • Открытые задачиОткрытые задачи Точный алгоритм для задачи о гамильтоновом цикле в ориентированных графах за O * (1.99n ). Какое-нибудь константное приближение для metric TSP в ориентированных графах. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 58 / 62
    • Открытые задачиОткрытые задачи Точный алгоритм для задачи о гамильтоновом цикле в ориентированных графах за O * (1.99n ). Какое-нибудь константное приближение для metric TSP в ориентированных графах. Приближение лучше 1.5 для metric TSP в неориентированных графах. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 58 / 62
    • Открытые задачиОткрытые задачи Точный алгоритм для задачи о гамильтоновом цикле в ориентированных графах за O * (1.99n ). Какое-нибудь константное приближение для metric TSP в ориентированных графах. Приближение лучше 1.5 для metric TSP в неориентированных графах. Приближение лучше 2/3 для максимального цикла коммивояжёра. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 58 / 62
    • Литература I Held, M., Karp, R. M. A dynamic programming approach to sequencing problems. 1962. Lin, Shen; Kernighan, B. W. An Effective Heuristic Algorithm for the Traveling-Salesman Problem. 1973. Christofides, N. Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem. 1973. Kohn, S., Gottlieb, A., Kohn, M. A generating function approach to the traveling salesman problem. 1977. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 59 / 62
    • Литература II Lawler, E. L.; Lenstra, J. K.; Rinnooy Kan, A. H. G.; Shmoys, D. B. The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimization. 1985. Goldberg, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. 1989. Arora, S. Polynomial time approximation schemes for Euclidean traveling salesman and other geometric problems. 1998. Applegate, D. L.; Bixby, R. E.; Chv´tal, V.; Cook, W. J. a The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. 2006. Bj¨rklund, A. o Determinant Sums for Undirected Hamiltonicity. 2010. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 60 / 62
    • Литература III Cook, W. In Pursuit of the Travelling Salesman: Mathematics at the Limits of Computation. 2011. Paluch, K., Elbassioni, K., Zuylen, A. van. Simpler Approximation of the Maximum Asymmetric Traveling Salesman Problem. 2012. Cygan, M., Kratsch, S., Nederlof, J. Fast Hamiltonicity checking via bases of perfect matchings. 2013. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 61 / 62
    • Спасибо! Спасибо за внимание! А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 1–2 марта 2013 62 / 62