Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
672
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Алгоритмы для задачи коммивояжёра Александр Куликов Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российская академия наук Computer Science клуб 24 февраля 2012А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 1 / 55
  • 2. 1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 2 / 55
  • 3. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 3 / 55
  • 4. Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 4 / 55
  • 5. Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 4 / 55
  • 6. Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 4 / 55
  • 7. Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. Применения: проектирование схем, планирование, сборка генома. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 4 / 55
  • 8. Формулировка задачи Задача о гамильтоновом цикле: проверить, есть ли в графе цикл, проходящий по каждой вершине ровно один раз. Задача коммивояжёра: найти в данном полном взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса. Периодически мы будем искать не цикл, а путь. Применения: проектирование схем, планирование, сборка генома. Сложность полного перебора: O(n!). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 4 / 55
  • 9. Цикл по 15 городам ГерманииОптимальный маршрут коммивояжёра че-рез 15 крупнейших городов Германии. Ука-занный маршрут является самым короткимиз всех возможных 43 589 145 600.http://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 5 / 55
  • 10. Цикл по 13 509 городам США David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal and William Cook. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 6 / 55
  • 11. Оптимальный путь лазера85 900 «городов» David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal and William Cook. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 7 / 55
  • 12. Ещё интересное http://www.tsp.gatech.edu/ две книги мировые рекорды датасеты программы игры триллер А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 8 / 55
  • 13. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 9 / 55
  • 14. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 10 / 55
  • 15. Метод ветвей и границ 1 Начать с некоторой задачи P0 2 S = {P0 } ← множество активных подзадач 3 лучшийрезультат = ∞ 4 while S не пусто 5 do выбрать подзадачу (частичное решение) P ∈ S и удалить её из S 6 разбить P на меньшие подзадачи P1 , P2 , · · · , Pk 7 for каждой Pi 8 do if Pi является полным решением 9 then обновить лучшийрезультат10 elseif нижняяграница(Pi ) < лучшийрезультат11 then добавить Pi в S12 return лучшийрезультат А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 11 / 55
  • 16. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 17. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 18. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 19. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 20. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, самого лёгкого ребра из b в V ∖ S и А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 21. Подзадачи и нижняя граница подзадача: [a, S, b] — достроение простого пути из a в b, проходящего по всем вершинам из S ∋ a, b (то есть кратчайший путь из b в a, проходящий по V ∖ S) начальная задача: [a, {a}, a] нижняя граница — сумма из самого лёгкого ребра из a в V ∖ S, самого лёгкого ребра из b в V ∖ S и минимального покрывающего дерева графа на вершинах V ∖ S. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 12 / 55
  • 22. Кстати, о минимальных покрывающих деревьях Задача о минимальном покрывающем дереве — оставить в графе (n − 1) ребро, так чтобы граф остался связным и чтобы суммарный вес был минимальным. Решается почти за линейное время. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 13 / 55
  • 23. Кстати, о минимальных покрывающих деревьях Задача о минимальном покрывающем дереве — оставить в графе (n − 1) ребро, так чтобы граф остался связным и чтобы суммарный вес был минимальным. Решается почти за линейное время. Задача о минимальном пути коммивояжёра — то же самое, но запрещаем вершины степени больше двух. До сих пор не умеем решать быстрее 2n . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 13 / 55
  • 24. Пример графа 1 F E 2 2 G D 1 1 1 1 1 5 H C 1 1 A B 2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 14 / 55
  • 25. Пример графа 1 F E 2 2 G D 1 1 1 1 1 5 H C 1 1 A B 2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 14 / 55
  • 26. Дерево поиска A 10 B F 8 H 8 10 C E 10 8 E G C G 13 14 8 10 D H 14 D F 10 8 B D 15 12 11 E G G G C 8 ∞ 14 14 11 F 8 D H ∞ 11 G 8 G 11 H 8 H Стоимость: 11 Стоимость: 8 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 15 / 55
  • 27. Дерево поиска A 10 B F 8 H 8 10 C E 10 8 E G C G 13 14 8 10 D H 14 D F 10 8 B D 15 12 1 11 E G G G C 8 2 F E 2 ∞ 14 14 G D 11 F 8 D H 1 ∞ 1 1 1 1 5 11 G 8 G H C 1 1 A B 11 H 8 H 2 Стоимость: 11 Стоимость: 8 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 15 / 55
  • 28. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 16 / 55
  • 29. Локальный поиск1 s ← какое-нибудь начальное решение2 while в окрестности s есть решение s ′ большей стоимости3 do заменить s на s ′4 return s А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 17 / 55
  • 30. 2-окружение А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 18 / 55
  • 31. Узкое место А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 19 / 55
  • 32. 3-окружение А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 20 / 55
  • 33. Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 21 / 55
  • 34. Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 21 / 55
  • 35. Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 21 / 55
  • 36. Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 21 / 55
  • 37. Пример локального поиска (с 3-окружением) А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 21 / 55
  • 38. Локальный поиск абстрактно стоимость локальный оптимум А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 22 / 55
  • 39. Метод имитации отжига1 s ← какое-нибудь начальное решение2 repeat3 выбрать случайное решение s ′ из окружения s4 ∆ ← cost(s ′ ) − cost(s)5 if ∆ < 06 then заменить s на s ′7 else заменить s на s ′ с вероятностью e −Δ/T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 23 / 55
  • 40. Метод имитации отжига абстрактно А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 24 / 55
  • 41. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 25 / 55
  • 42. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 26 / 55
  • 43. Задача коммивояжёра в метрическомпространствеЗадача коммивояжёра в метрическом пространстве (Metric TSP):частный случай для графов, веса рёбер которых удовлетворяютнеравенству треугольника (w (i, j) ≤ w (i, k) + w (k, j)). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 27 / 55
  • 44. 2-приближённый алгоритм1 построить минимальное покрывающее дерево T2 продублировать каждое ребро дерева T и в полученном графе найти эйлеров цикл3 выкинуть из этого цикла все повторения вершин и вернуть полученный цикл А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 28 / 55
  • 45. Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 46. Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 47. Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 48. Пример 7 14 8 13 6 1 10 11 9 12 3 2 4 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 49. Пример 7 14 8 13 6 1 10 11 9 12 3 2 4 5 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 50. Пример А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 29 / 55
  • 51. Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 30 / 55
  • 52. Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 30 / 55
  • 53. Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево каждое ребро построенного гамильтонова цикла заменяет какой-то путь эйлерова цикла, длина которого по неравенству треугольника не менее длины этого ребра А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 30 / 55
  • 54. Доказательство пусть WT — вес минимального остовного дерева, а Wopt — вес оптимального гамильтонова цикла WT ≤ Wopt , поскольку при выкидывании ребра из гамильтонва цикла получается остовное дерево каждое ребро построенного гамильтонова цикла заменяет какой-то путь эйлерова цикла, длина которого по неравенству треугольника не менее длины этого ребра значит, длина найденного пути не превосходит 2WT , а следовательно, и 2Wopt А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 30 / 55
  • 55. 1.5-приближённый алгоритм1 построить минимальное покрывающее дерево T2 найти минимальное полное паросочетание всех вершин дерева T нечетной степени3 добавить найденные рёбра в дерево T и найти в полученном графе эйлеров цикл4 выкинуть из этого цикла все повторения вершин и вернуть полученный цикл А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 31 / 55
  • 56. Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 32 / 55
  • 57. Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 32 / 55
  • 58. Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 обозначим через A множество всех вершин нечётной степени дерева T А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 32 / 55
  • 59. Доказательство как и в предыдущем доказательстве, вес построенного цикла не превосходит WT + WP , где WP — вес минимального паросочетания вершин нечетной степени дерева T нужно показать, что WP ≤ Wopt /2 обозначим через A множество всех вершин нечётной степени дерева T рассмотрим такой гамильтонов цикл на вершинах множества A: вершины множества A в нём будут встречаться в такой последовательности, в какой они идут в оптимальном гамильтоновом цикле графа G А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 32 / 55
  • 60. Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 33 / 55
  • 61. Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 33 / 55
  • 62. Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания вес хотя бы одного из них будет не более Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 33 / 55
  • 63. Доказательство (продолжение) важно отметить, что нам не нужно строить такой цикл; нам важен лишь факт его существования разбив вершины только что построенного цикла на чётные и нечётные, мы получим два паросочетания вес хотя бы одного из них будет не более Wopt /2 значит, и вес минимального паросочетания не превосходит Wopt /2 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 33 / 55
  • 64. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 34 / 55
  • 65. Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 35 / 55
  • 66. Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 35 / 55
  • 67. Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. Между любыми двумя не соединёнными ребром вершинами добавим ребро веса 𝛼n + 1. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 35 / 55
  • 68. Неприближаемость Предположим, что существует 𝛼-приближённый алгоритм для задачи коммивояжёра. Возьмём тогда произвольный (невзвешенный и необязательно полный) граф и присвоим всем его рёбрам вес 1. Между любыми двумя не соединёнными ребром вершинами добавим ребро веса 𝛼n + 1. Заметим теперь, что если в исходном графе существует гамильтонов цикл, то в новом графе существует гамильтонов цикл веса n. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 35 / 55
  • 69. Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 36 / 55
  • 70. Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 36 / 55
  • 71. Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А это позволит нам понять (за полиномиальное время!), есть в исходном графе гамильтонов цикл или нет. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 36 / 55
  • 72. Неприближаемость (продолжение) Если же такого цикла в исходном графе нет, то самый лёгкий цикл в новом графе имеет вес хотя бы (𝛼n + 1) + (n − 1) > 𝛼n. Таким образом, с помощью 𝛼-приближенного алгоритма для задачи о коммивояжёре мы можем понять, стоимость оптимального цикла в построенном графе превосходит n или нет. А это позволит нам понять (за полиномиальное время!), есть в исходном графе гамильтонов цикл или нет. Но тогда P = NP. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 36 / 55
  • 73. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 37 / 55
  • 74. Теория и практика А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 38 / 55
  • 75. Теория и практика Camil Demetrescu. Engineering shortest path algorithms А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 38 / 55
  • 76. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 39 / 55
  • 77. Динамическое программирование Подзадачи: для подмножества городов S ⊆ {1, 2, . . . , n}, включающего 1, и j ∈ S, обозначим через C [S, j] длину кратчайшего пути, начинающегося в 1 и заканчивающегося в j, проходящего через каждый город из множества S ровно один раз. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 40 / 55
  • 78. Динамическое программирование Подзадачи: для подмножества городов S ⊆ {1, 2, . . . , n}, включающего 1, и j ∈ S, обозначим через C [S, j] длину кратчайшего пути, начинающегося в 1 и заканчивающегося в j, проходящего через каждый город из множества S ровно один раз. Пересчёт: C [S, j] = min {C [S ∖ {j}, i] + dij }. i∈S,i̸=j А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 40 / 55
  • 79. Псевдокод1 C [{1}, 1] ← 02 for s ← 2 to n3 do for всех S ⊆ {1, 2, . . . , n} размера s, содержащих 14 do C [S, 1] ← ∞5 for всех j ∈ S, j ̸= 16 do C [S, j] ← min {C [S ∖ {j}, i] + dij } i∈S,i̸=j7 return min C [{1, . . . , n}, j] + dj1 j А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 41 / 55
  • 80. Сложность алгоритма Время работы данного алгоритма есть O(n2 2n ) = O * (2n ). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 42 / 55
  • 81. Сложность алгоритма Время работы данного алгоритма есть O(n2 2n ) = O * (2n ). Более того, памяти ему требуется тоже O * (2n ), что делает его совсем непрактичным. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 42 / 55
  • 82. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 43 / 55
  • 83. Формула включений-исключенийПусть A∑︀ некоторое множество, f , g : 2A → R, т.ч. —f (X ) = Y ⊆X g (Y ). Тогда ∑︁ g (X ) = (−1)|X −Y | f (Y ) . Y ⊆X А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 44 / 55
  • 84. Формула включений-исключенийПусть A∑︀ некоторое множество, f , g : 2A → R, т.ч. —f (X ) = Y ⊆X g (Y ). Тогда ∑︁ g (X ) = (−1)|X −Y | f (Y ) . Y ⊆XДоказательство ∑︁ ∑︁ ∑︁ (−1)|X −Y | f (Y ) = (−1)|X −Y | g (Z ) = Y ⊆X Y ⊆X Z ⊆Y ∑︁ ∑︁ = g (Z ) (−1)|X −Y | = g (X ) Z ⊆X Z ⊆Y ⊆X(последняя сумма равна 1, если Z = X , и нулю иначе). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 44 / 55
  • 85. Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 45 / 55
  • 86. Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. Для {s, t} ⊆ X ⊆ V обозначим через g (X ) количество путей (не обязательно простых! путь может проходить по некоторым вершинам несколько раз, а по некоторым вообще не проходить) длины n − 1 из s в t, проходящих только по вершинам множества X . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 45 / 55
  • 87. Задача о гамильтоновом пути Формулировка задачи: необходимо проверить, есть ли в данном графе простой путь, проходящий через все вершины, начинающийся в заданной вершине s и заканчивающийся в заданной вершине t. Для {s, t} ⊆ X ⊆ V обозначим через g (X ) количество путей (не обязательно простых! путь может проходить по некоторым вершинам несколько раз, а по некоторым вообще не проходить) длины n − 1 из s в t, проходящих только по вершинам множества X . Нетрудно видеть, что значение g (X ) содержится в строке s и столбце t матрицы An−1 , где A — матрица смежности графа G [X ]. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 45 / 55
  • 88. Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь f (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, f (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 46 / 55
  • 89. Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь f (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, f (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ f (V ) = (−1)|V −Y | g (Y ) . Y ⊆V А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 46 / 55
  • 90. Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь f (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, f (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ f (V ) = (−1)|V −Y | g (Y ) . Y ⊆V Таким образом, количество гамильтоновых путей в графе может быть найдено за время O * (2n ) и полиномиальную память. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 46 / 55
  • 91. Задача о гамильтоновом пути (продолжение) Пусть теперь f (X ) есть количество путей длины n − 1 из s в t, проходящих по всем вершинам множества X . В частности, f (V ) есть количество гамильтоновых путей из s в t. Тогда ∑︁ f (V ) = (−1)|V −Y | g (Y ) . Y ⊆V Таким образом, количество гамильтоновых путей в графе может быть найдено за время O * (2n ) и полиномиальную память. Интересно отметить, что данный алгоритм переизобретался три раза. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 46 / 55
  • 92. Содержание1 Введение2 Эвристики Метод ветвей и границ Метод локального поиска3 Приближённые алгоритмы 1.5-приближение для Metric-TSP Неприближаемость общего случая4 Точные алгоритмы Динамическое программирование Формула включений-исключений Матрица Татта и перманент А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 47 / 55
  • 93. ЗамечаниеДалее мы рассмотрим алгоритм Бьорклунда для решения задачио гамильтоновом цикле в двудольном графе за время O * (2n/2 ).Для общего случая задачи коммивояжёра оценка на времяработы алгоритма Бьорклунда составляет O * (1.657n · W ) (W —максимальный вес ребра). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 48 / 55
  • 94. Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 49 / 55
  • 95. Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 perm(M) = А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 49 / 55
  • 96. Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 49 / 55
  • 97. Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 2 2 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + x13 x24 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 49 / 55
  • 98. Перманент матрицы Татта 1 2 x12 x13 x14 x12 x24 x13 x34 3 4 x14 x24 x34 2 2 perm(M) = x12 x24 x43 x31 + x13 x24 + x12 x24 x43 x31 + . . . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 49 / 55
  • 99. Поле характеристики 2 Если вычислять перманент над полем характеристики 2, то все циклы, не полностью состоящие из циклов длины 2, сократятся. Действительно, если в покрытии циклами есть цикл длины не 2, то возьмём первый из них (первый относительного какого-нибудь фиксированного порядка на вершинах) и обратим в нём все рёбра. Получим другое покрытие циклами, которому соответствует тот же самый моном. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 50 / 55
  • 100. Поле характеристики 2 Если вычислять перманент над полем характеристики 2, то все циклы, не полностью состоящие из циклов длины 2, сократятся. Действительно, если в покрытии циклами есть цикл длины не 2, то возьмём первый из них (первый относительного какого-нибудь фиксированного порядка на вершинах) и обратим в нём все рёбра. Получим другое покрытие циклами, которому соответствует тот же самый моном. Мы хотим исправить следующие два момента: во-первых, чтобы гамильтоновы циклы не сокращались, а во-вторых, чтобы покрытия с циклами длины 2 всё же пропадали. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 50 / 55
  • 101. Первая цель: оставить гамильтоновы циклыСделаем вершину 1 графа выделенной: TG [1, j] = x1j , ноTG [j, 1] = xj1 для ребра {1, j} ∈ E . Тогда каждому гамильтоновуциклу будут соответствовать два разных монома. x12 x13 x14 x21 x24 x31 x34 x41 x24 x34 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 51 / 55
  • 102. Вторая цель: сократить всё остальное A 1 1 2 B B AB BF C 3 3 BC BD AF 2 CD BE 5 CE DE 4 D 4 EF E 5 E 6 F 6 А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 52 / 55
  • 103. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 104. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 105. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 106. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 107. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: покрытия циклами, в которых используются не все пометки — сократятся по формуле включений-исключений (рассмотрим все 2n/2 подмножеств пометок); А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 108. Почему же всё сократится? В новом графе нам нужен помеченный гамильтонов цикл. В матрице Татта теперь будут помеченные переменные: вместо x24 будет x24,C + x24,E . При вычислении над полем характеристики 2 гамильтоновы циклы по-прежнему не сократятся (из-за специальной переменной 1). Всё остальное: покрытия циклами, в которых используются не все пометки — сократятся по формуле включений-исключений (рассмотрим все 2n/2 подмножеств пометок); негамилтьтоновы покрытия циклами, в которых есть все пометки, разобьются на пары и сократятся (из-за пометок). А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 53 / 55
  • 109. Литература A. Bj¨rklund. o Determinant sums for undirected Hamiltonicity Proc. 51st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS ’10), pp. 173–182. M. Held, R. M. Karp A Dynamic Programming Approach to Sequencing Problems Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics 10 (1): 196–210. Paluch, K., Elbassioni, K., Zuylen, A. van. Simpler Approximation of the Maximum Asymmetric Traveling Salesman Problem. STACS’ 12. А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 54 / 55
  • 110. Спасибо! Спасибо за внимание! А. Куликов (ПОМИ РАН) Алгоритмы для задачи коммивояжёра 24 февраля 2012 55 / 55