20120214 gametheory katsev_lecture01

498 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
498
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
236
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20120214 gametheory katsev_lecture01

  1. 1. Теория игр Илья Кацев1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2013И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 1 / 23
  2. 2. Предмет Конкуренция vs кооперация И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 2 / 23
  3. 3. Предмет Конкуренция vs кооперация Конкуренция = ”правила игры” И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 2 / 23
  4. 4. Предмет Конкуренция vs кооперация Конкуренция = ”правила игры” Рынок работает не всегда И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 2 / 23
  5. 5. Предмет Конкуренция vs кооперация Конкуренция = ”правила игры” Рынок работает не всегда И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 2 / 23
  6. 6. Предмет Конкуренция vs кооперация Конкуренция = ”правила игры” Рынок работает не всегда И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 3 / 23
  7. 7. История Библия, Талмуд - некоторые ситуации Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция Zermelo E (1913) - шахматы Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое поведение” Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение Shapley LS (1953) - вектор Шепли Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 4 / 23
  8. 8. Talmud ruleНаследство E = 400.Три жены претендуют на c1 = 100, c2 = 200, c3 = 300. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 5 / 23
  9. 9. Talmud ruleНаследство E = 400.Три жены претендуют на c1 = 100, c2 = 200, c3 = 300. Coalition {1} {2} {3} {12} {13} {23} И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 5 / 23
  10. 10. Talmud ruleНаследство E = 400.Три жены претендуют на c1 = 100, c2 = 200, c3 = 300. Coalition Guarantee {1} 0 {2} 0 {3} 100 {12} 100 {13} 200 {23} 300 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 5 / 23
  11. 11. Talmud ruleНаследство E = 400.Три жены претендуют на c1 = 100, c2 = 200, c3 = 300. Coalition Guarantee Value {1} 0 50 {2} 0 125 {3} 100 225 {12} 100 175 {13} 200 275 {23} 300 350 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 5 / 23
  12. 12. Talmud ruleНаследство E = 400.Три жены претендуют на c1 = 100, c2 = 200, c3 = 300. Coalition Guarantee Value Satisfaction {1} 0 50 50 {2} 0 125 125 {3} 100 225 125 {12} 100 175 75 {13} 200 275 75 {23} 300 350 50 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 5 / 23
  13. 13. История Библия, Талмуд - некоторые ситуации Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция Zermelo E (1913) - шахматы Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое поведение” Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение Shapley LS (1953) - вектор Шепли Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 6 / 23
  14. 14. Борель и стратегические игрыДва игрока, три стратегии.Выигрыш первого игрока aij , причем aii = 0.Первый игрок выбирает стратегию i с вероятностью pi , второй - с вероятностьюqi . Тогда мат. ожидание выигрыша первого игрока равно p1 p2 p3 q1 q2 q3 a23 −a13 a12 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 7 / 23
  15. 15. История Библия, Талмуд - некоторые ситуации Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция Zermelo E (1913) - шахматы Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое поведение” Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение Shapley LS (1953) - вектор Шепли Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 8 / 23
  16. 16. Дилемма заключенногоC = “cooperate”D = “defect” C D ( ) C −1, −1 −10, 0 D 0, −10 −9, −9 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 9 / 23
  17. 17. Дилемма заключенногоC = “cooperate”D = “defect” C D ( ) C −1, −1 −10, 0 D 0, −10 −9, −9 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 10 / 23
  18. 18. Дилемма заключенногоC = “cooperate”D = “defect” C D ( ) C −1, −1 −10, 0 D 0, −10 −9, −9 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 11 / 23
  19. 19. Дилемма заключенногоC = “cooperate”D = “defect” C D ( ) C −1, −1 −10, 0 D 0, −10 −9, −9 И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 12 / 23
  20. 20. Равновесие по Нэшу ( ) 0, 1 1, 0 1, 0 0, 1Нет равновесий И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 13 / 23
  21. 21. Равновесие по Нэшу ( ) 0, 1 1, 0 1, 0 0, 1Нет равновесий - используем смешанные стратегии. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 13 / 23
  22. 22. Равновесие по Нэшу ( ) 0, 1 1, 0 1, 0 0, 1Нет равновесий - используем смешанные стратегии. ( ) 5, 5 1, 0 1, 0 7, 7Что делать, если несколько равновесий? И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 13 / 23
  23. 23. Пример И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 14 / 23
  24. 24. Пример И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 15 / 23
  25. 25. Пример И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 16 / 23
  26. 26. Пример И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 17 / 23
  27. 27. Арбитражные схемыАрбитражной схемой называется пара (X, d), где X ⊂ R2 - переговорноемножество, а d ∈ X - точка несогласия. Решением для класса арбитражных схем B называется отображение φ : B → R2 . И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 18 / 23
  28. 28. Аксиомы 1. Парето-оптимальность: φ(X, d) ∈ ∂ X. 2. Индивидуальная рациональность: φ(X, d) ≥ d. . Независимость от аффинных преобразований: для a 3 > 0, b ∈ R2 φ(aX + b, ad + b) = aφ(X, d) + b. 4. Анонимность: если π : R2 → R2 - симметрия относительно прямой y = x, то φ(π X, π d) = πφ(X, d). 5. Независимость от несущественных альтернатив: если X′ ⊂ X и φ(X, d) ∈ X′ , то φ(X′ , d) = φ(X, d)..Теорема (Нэш, 1950).Существует только одно решение, удовлетворяющее аксиомам 1,3,4,5.. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 19 / 23
  29. 29. Нобелевские премии 1971, J.Hicks, K.Arrow За новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния 1994, J.F.Nash, J.C.Harsanyi, R.Selten За анализ равновесия в теории некоалиционных игр 2005, R.Aumann, T.Schelling За углубление нашего понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа теории игр 2007, L.Hurwicz, E.Maskin, R.Myerson За создание основ теории оптимальных механизмов 2012, A.E.Roth, L.S.Shapley За теорию стабильного распределения и практики устройства рынков И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 20 / 23
  30. 30. Теорема Эрроу И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 21 / 23
  31. 31. Теорема ЭрроуАксиома независимости от несущественных альтернатив (АННА)Рассмотрим 2 задачи группового выбора. Если для двух альтернатив a, b ∈ Aиндивидуальные предпочтения участников совпадают в двух задачах, то иотношение коллективного предпочтения совпадает.Аксиома единогласияЕсли a ≻i b для всех i ∈ N, то a ≻ b. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 21 / 23
  32. 32. Теорема ЭрроуАксиома независимости от несущественных альтернатив (АННА)Рассмотрим 2 задачи группового выбора. Если для двух альтернатив a, b ∈ Aиндивидуальные предпочтения участников совпадают в двух задачах, то иотношение коллективного предпочтения совпадает.Аксиома единогласияЕсли a ≻i b для всех i ∈ N, то a ≻ b..Теорема (Эрроу, 1950).Пусть G - класс всех задач группового выбора с числом кандидатов большимдвух, так что все возможные комбинации индивидуальных предпочтенийдопустимы. Пусть правило группового выбора ≻ удовлетворяет аксиомамАННА и единогласия. Тогда это правило является диктаторским, т.е.существует такое i ∈ N, что ≻=≻i .. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 21 / 23
  33. 33. Нобелевские премии 1971, J.Hicks, K.Arrow За новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния 1994, J.F.Nash, J.C.Harsanyi, R.Selten За анализ равновесия в теории некоалиционных игр 2005, R.Aumann, T.Schelling За углубление нашего понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа теории игр 2007, L.Hurwicz, E.Maskin, R.Myerson За создание основ теории оптимальных механизмов 2012, A.E.Roth, L.S.Shapley За теорию стабильного распределения и практики устройства рынков И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 22 / 23
  34. 34. Matching И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Введение 2013 23 / 23

×