Projeto Trigonometria Cristiane Maciel E Marcia Cristina

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Este trabalho tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria,
procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia.

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Projeto Trigonometria Cristiane Maciel E Marcia Cristina

  1. 1. TRIGONOMETRIA
  2. 2. O presente trabalho foi realizado pelas alunas Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e Marcia Cristina de Sá Sousa, sob a orientação da professora Rosangela Figueira Dornas, e tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria, procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia e utilizando recursos tecnológicos como ferramenta de apoio. Rio de Janeiro, 15 de junho de 2009. Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar.
  3. 3. <ul><li>Dupla: Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e </li></ul><ul><li>Marcia Cristina de Sá Sousa. </li></ul><ul><li>Nome da Dupla: Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar. </li></ul>Trigonometria
  4. 4. <ul><li>Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigonométricos, foram desenvolvidos pelos babilônios e antigos egípcios, que realizavam estudos e cálculos relativos a fenômenos astronômicos e geográficos, como a determinação de eclipses, fases da lua, distâncias inacessíveis e rotas de navegação. </li></ul><ul><li>Hoje em dia, a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo, na topografia, astronomia, agrimensura, física, entre outras áreas. </li></ul>Mais aplicações Triângulos e tabelas Construções R. e C. Anexos Histórico Aplicações Trigonometria
  5. 5. Histórico <ul><li>O termo “trigonometria”, criado em 1595, pelo matemático alemão Bartolomeu Pitiscus (1561-1613), deriva das palavras gregas “trigono” e “metria” e foi usado pela primeira vez em seu livro Thesaurus Mathematicus, como sendo a ciência da resolução de triângulos. </li></ul><ul><li>  Deve-se aos babilônios a divisão da circunferência, ainda, hoje em uso, ou seja, dividida em graus, minutos e segundos. </li></ul>
  6. 6. Histórico <ul><li> Entre os gregos, também é possível encontrar trabalhos ligados à Astronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonométricos, como, por exemplo, a expressão 1/2 < sen 30º < 1/18, usada no trabalho denominado “Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua”. O autor deste trabalho é Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.). </li></ul><ul><li>É atribuído a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), por muitos considerado o “Pai da Astronomia”, o estabelecimento das “bases da Trigonometria”, bem como a construção das primeiras “tabelas trigonométricas”. </li></ul>
  7. 7. Histórico <ul><li>Ptolomeu (85 a 165 d.C.) inspirando-se no trabalho de Hiparco e ampliando-o, escreve uma obra intitulada “Sintaxe matemática”, resultando num “tratado sobre a Trigonometria. </li></ul><ul><li>  Inicialmente considerada uma extensão da Geometria, com o trabalho do árabe Nasir Edin (1201-1274), a Trigonometria recebe um tratamento independente. </li></ul>
  8. 8. Histórico <ul><li>Até o século XII, os trabalhos sobre Trigonometria eram relacionados à Astronomia. Entre os árabes, destacam-se as contribuições de Abulwafa (940-998), do observatório de Bagdá, que construiu tábuas de senos e tangentes, com relativa precisão. </li></ul><ul><li>No século XII. Fibonacci escreveu à obra “Practica Geometriae” (1220), apresentando importantes aplicações de Trigonometria. São aplicações que havia aprendido em contatos feitos com árabes e hindus. </li></ul>MENU
  9. 9. Aplicações MENU LARGURA DO RIO ALTURA DO PRÉDIO SOMBRA DE UMA ÁRVORE
  10. 10. Aplicações MENU Aplicação 1 - LARGURA DO RIO Na figura, temos a ilustração do trecho de um rio. De acordo com as informações indicadas, qual a largura do rio neste trecho? Aplicação 2 Aplicação 3
  11. 11. Aplicações MENU Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO Aplicação 3 Aplicação 1 (Esam-RN) Um observador de 1,80 metro de altura a 100 m de distância da base de um prédio vê o topo desse prédio sob um ângulo de 30º com a horizontal, conforme mostra a figura.   Sabendo que os olhos do observador estão a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura h do prédio?
  12. 12. Aplicações MENU Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE Aplicação 1 Aplicação 2 Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o Sol esta 30º acima do horizonte?
  13. 13. Mais aplicações TEODOLITO O teodolito é um instrumento de medir ângulos usado, geralmente, por agrimensores e construtores para calcular grandes distâncias ou alturas inacessíveis. À primeira vista, parece com uma máquina fotográfica montada sobre um tripé, e a pessoa que usa esse instrumento carrega sempre uma trena. Pra efetuar essas medidas, o agrimensor utiliza-se do conceito de tangente de um ângulo agudo.
  14. 14. Mais aplicações Construção de um teodolito Material: - pedaço de papelão grosso (o melhor é aquele que é ondulado por dentro) de aproximadamente 10 cm x 15 cm; - um pedaço de barbante de aproximadamente 20 cm; - um canudo de plástico; - um peso de linha de pesca ou moeda ou uma argola de metal; - um desenho ou cópia xerográfica de um transferidor de 180º; - fita adesiva; - cola.
  15. 15. Mais aplicações Construção de um teodolito (continuação) Como construir: Usando a fita adesiva, prenda o canudo na borda do papelão. Cole o desenho do transferidor logo abaixo do canudo. Amarre o peso numa extremidade do barbante. Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o papelão, bem no encontro da linha de fé do transferidor com a linha que marca 90º. Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo lado onde está o transferidor e dê um nó bem firme.
  16. 16. Mais aplicações O teodolito construído é semelhante ao da imagem abaixo.
  17. 17. Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito: Agora, vamos experimentar o teodolito para realizar cálculos de grandes alturas. Para isso, necessitamos de uma trena (ou de fita métrica ou metro de carpinteiro). Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância até ele e anote (cateto adjacente). Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste. A altura do poste corresponderá ao cateto oposto. Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou. Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante(na posição horizontal, o ângulo marcado é de 90º).
  18. 18. Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito (continuação): Procure, na tabela de razões trigonométricas, a tangente do seu ângulo de visão. Essa tangente será a razão entre a altura do poste, vista pelo observador, e a distância desse observador até o poste. Para saber a altura do poste devemos acrescentar a altura do observador(do chão até seus olhos) à altura vista por ele. Realize os cálculos e determine a altura do poste. Não se esqueça de somar a distância entre o chão e os seus olhos na altura que você determinou.
  19. 19. Mais aplicações Agora resolva: 1) Paulo, treinando o uso de um teodolito semelhante ao que você construiu, observa uma torre. Calcule a altura da torre, sabendo que o ângulo de visão de Paulo ao topo dessa torre é de 45º, que ele está a 3,5 m dela e que seus olhos estão a 1,25 m do chão.   2) Paulo, ainda treinando o uso de seu teodolito, observou o topo de um poste de 7 m, sob um ângulo de visão de 15º. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste? Faça outras experiências semelhantes a esta e procure calcular distâncias a partir de algum objeto do qual você conhece a altura.   MENU
  20. 20. Triângulos e Tabelas <ul><li>Associação entre os triângulos retângulos e as tabelas trigonométricas. </li></ul><ul><li>  Cálculo das razões trigonométricas </li></ul><ul><li>  Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo são encontrados em tabelas próprias para isso. Vejamos um exemplo em que precisamos consultar essa tabela (veja o Anexo 3). </li></ul><ul><li>Os centros da roda de uma bicicleta estão a uma distância PQ de 100 cm. </li></ul><ul><li>O raio PA da roda traseira (a menor) mede 24 cm e raio QB da roda maior mede 40 cm. </li></ul><ul><li>Observe o esquema dessa situação: </li></ul>
  21. 21. Triângulos e Tabelas <ul><li>Resolução: </li></ul><ul><li>Esses triângulos são proporcionais, ou seja: AO/OB=OP/OQ=AP/BQ </li></ul><ul><li>Usando as duas últimas razões, temos: </li></ul><ul><li>x/(2,90846 + x) = 1,60119/3,00498 </li></ul><ul><li>  3,00498x = 4,656997 + 1,60119x </li></ul><ul><li>  x = 3,3174456 </li></ul><ul><li>   </li></ul><ul><li>Pela figura, temos: sen Ô =1,60119/3,3174456  sen Ô = 0,4826575 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  Consultando a tabela de razões trigonométricas, encontramos Ô = 29º . </li></ul>
  22. 22. Triângulos e Tabelas <ul><li>Para alguns ângulos, os valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos em seguida. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  Ângulo de 45º </li></ul><ul><li>Consideremos um quadrado cujo lado mede a. </li></ul><ul><li>Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo </li></ul><ul><li>ABC , obtemos a medida d da diagonal desse quadrado: </li></ul>Note que esses valores não dependem do valor de a .
  23. 23. Triângulos e Tabelas <ul><li>  Ângulo de 60º </li></ul><ul><li>Consideremos um triângulo eqüilátero cujo lado mede a. </li></ul><ul><li>Como o triângulo é equilátero,cada um de seus ângulos </li></ul><ul><li>internos mede 60º e a altura CH é também mediana do </li></ul><ul><li>segmento AB e bissetriz do ângulo C. </li></ul><ul><li>A medida da altura ( h ) é achada aplicando-se o teorema </li></ul><ul><li>de Pitágoras no triângulo retângulo AHC: </li></ul>Novamente, obtivemos valores que não dependem do valor de a .
  24. 24. Triângulos e Tabelas <ul><li>  Ângulo de 30º </li></ul>Outra vez, obtivemos valores que não dependem do valor de a . Em todos os casos, observamos que os resultados só dependem dos ângulos e não da medida dos lados da figura. A tabela abaixo apresenta um resumo dos valores encontrados. MENU
  25. 25. Construções no R. e C. MENU
  26. 26. BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática : ensino médio. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2004.v.1.   CARDOSO, Adriano Sumar. Trigonometria : Tabela Trigonométrica . Disponível em: < http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html#c >. Acesso em: 13 jun. 2009. DOLCE, O., POMPEO, J. N. (1993) Fundamentos de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana - 7ª Ed. São Paulo: Atual.   EDUMATEC – Educação Matemática e Tecnologia Informática. Winplot – Software de Funções. Disponível em: http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:
  27. 27. LOPES, Alice K. T. e outros (2006). Matemática – 2ª Ed. Paraná: SEED- PR.   PAIVA, MANOEL (1999) Coleção base: matemática (ensino médio): volume único - 1ª Ed. São Paulo: Moderna.   UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Régua e Compasso: Software de Geometria Dinâmica Gratuito. Disponível em: < http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ > . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:
  28. 28. Anexos Anexo 1 - Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. Anexo 2 - Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Anexo 3 - Tabela trigonométrica. Anexo 4 - Resoluções das atividades. Anexo 5 - Atividades utilizando o software Winplot
  29. 29. Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. A Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo: - na Engenharia: construção de pontes sobre rios, envolvida com o conceito de proporcionalidade; - na Astronomia: cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra, usando-se observações e cálculos trigonométricos; - na Agrimensura: arte de medir os campos, as terras; - na Física : estudo de deslocamento. Anexo 1
  30. 30. Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Situação problema: Na entrada de uma loja será construída uma rampa de acesso de pessoas portadoras de deficiência física, como mostra a ilustração abaixo. A rampa deverá ser construída no final da terceira porta com 8,5 m de extensão. Altura a ser atingida é de 0,8 m. Qual deverá ser a medida do ângulo de inclinação da rampa em relação ao solo? Anexo 2
  31. 31. Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. (continuação) Resolução: Ao observarmos a rampa, percebemos que temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 8,5 m e cateto oposto ao ângulo  igual a 0,8 m. Logo, devemos aplicar a razão trigonométrica seno. Assim, temos:   sen  = medida do cateto oposto a  /medida da hipotenusa sen  = 0,8/ 8,5 = aproximadamente 0,0941 Ao observamos a tabela trigonométrica no seno, temos: 0,0941 entre: 0,0872 < sen  < 0,1045 Logo: 5º<  < 6º   Anexo 2
  32. 32. Tabela trigonométrica Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos entre 1 o e 89 o . Anexo 3
  33. 33. Tabela trigonométrica (continuação) Anexo 3
  34. 34. <ul><li>Resoluções de atividades - Aplicações </li></ul><ul><li>Aplicação 1 – LARGURA DO RIO </li></ul><ul><li>tg 55º = (x + 8,5) / 35 </li></ul><ul><li>1,428148 = (x + 8,5) / 35 </li></ul><ul><li>x + 8,5 = 49,98518 </li></ul><ul><li>x = 41,485 m </li></ul><ul><li>Logo, a largura do rio é 41,485 m. </li></ul><ul><li>Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO </li></ul><ul><li>tg 30º = x / 100 </li></ul><ul><li>0,57735 = x / 100 </li></ul><ul><li>x = 57,7 = aproximadamente 58 </li></ul><ul><li>h = x + 1,70  h = 58 + 1,70 = 59,7 m. </li></ul><ul><li>Logo, a altura do prédio é 59,7 m. </li></ul>Anexo 4
  35. 35. <ul><li>Resoluções de atividades - Aplicações (continuação): </li></ul><ul><li>Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE </li></ul><ul><li>tg 30º = 5 / x </li></ul><ul><li>0,57735 = 5 / x </li></ul><ul><li>x = 5 / 0,57735 </li></ul><ul><li>x = 8,67 m Logo, o comprimento da sombra é 8,67 m. </li></ul>Anexo 4
  36. 36. <ul><li>Resoluções de atividades - Mais aplicações </li></ul><ul><li>1) </li></ul>tg 45º = x / 3,5 1 = x / 3,5 x = 3,5 Logo, a altura da torre é (3,5 + 1,25) m, ou seja, 4,75 m. 2) tg 15º = 5,75 / x x = 5,75 / tg 15º x = 5,75 / 0,2679 = aproximadamente 21,5. Logo, Paulo está aproximadamente 21,5 m do posto. Anexo 4
  37. 37. <ul><li>Atividades, utilizando o software Winplot, que levam os alunos a verificar o gráfico das funções sen, cos e tg com variação de constantes e parâmetros </li></ul><ul><li>Gráfico da função y = sen x </li></ul>Anexo 5 Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = sen x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =sen x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 sen x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =2 sen x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = sen x quando acrescentamos o parâmetro 2 na função?
  38. 38. Anexo 5 Gráfico da função y = cos x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = cos x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 3 cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 3 cos x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = cos x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?
  39. 39. Anexo 5 Gráfico da função y = tg x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = tg x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 2 tg x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = tg x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?

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