Projeto Trigonometria   Cristiane Maciel E Marcia Cristina
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Projeto Trigonometria Cristiane Maciel E Marcia Cristina

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Este trabalho tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria,

Este trabalho tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria,
procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia.

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Projeto Trigonometria   Cristiane Maciel E Marcia Cristina Projeto Trigonometria Cristiane Maciel E Marcia Cristina Presentation Transcript

  • TRIGONOMETRIA
  • O presente trabalho foi realizado pelas alunas Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e Marcia Cristina de Sá Sousa, sob a orientação da professora Rosangela Figueira Dornas, e tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria, procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia e utilizando recursos tecnológicos como ferramenta de apoio. Rio de Janeiro, 15 de junho de 2009. Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar.
    • Dupla: Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e
    • Marcia Cristina de Sá Sousa.
    • Nome da Dupla: Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar.
    Trigonometria
    • Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigonométricos, foram desenvolvidos pelos babilônios e antigos egípcios, que realizavam estudos e cálculos relativos a fenômenos astronômicos e geográficos, como a determinação de eclipses, fases da lua, distâncias inacessíveis e rotas de navegação.
    • Hoje em dia, a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo, na topografia, astronomia, agrimensura, física, entre outras áreas.
    Mais aplicações Triângulos e tabelas Construções R. e C. Anexos Histórico Aplicações Trigonometria
  • Histórico
    • O termo “trigonometria”, criado em 1595, pelo matemático alemão Bartolomeu Pitiscus (1561-1613), deriva das palavras gregas “trigono” e “metria” e foi usado pela primeira vez em seu livro Thesaurus Mathematicus, como sendo a ciência da resolução de triângulos.
    •   Deve-se aos babilônios a divisão da circunferência, ainda, hoje em uso, ou seja, dividida em graus, minutos e segundos.
  • Histórico
    • Entre os gregos, também é possível encontrar trabalhos ligados à Astronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonométricos, como, por exemplo, a expressão 1/2 < sen 30º < 1/18, usada no trabalho denominado “Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua”. O autor deste trabalho é Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.).
    • É atribuído a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), por muitos considerado o “Pai da Astronomia”, o estabelecimento das “bases da Trigonometria”, bem como a construção das primeiras “tabelas trigonométricas”.
  • Histórico
    • Ptolomeu (85 a 165 d.C.) inspirando-se no trabalho de Hiparco e ampliando-o, escreve uma obra intitulada “Sintaxe matemática”, resultando num “tratado sobre a Trigonometria.
    •   Inicialmente considerada uma extensão da Geometria, com o trabalho do árabe Nasir Edin (1201-1274), a Trigonometria recebe um tratamento independente.
  • Histórico
    • Até o século XII, os trabalhos sobre Trigonometria eram relacionados à Astronomia. Entre os árabes, destacam-se as contribuições de Abulwafa (940-998), do observatório de Bagdá, que construiu tábuas de senos e tangentes, com relativa precisão.
    • No século XII. Fibonacci escreveu à obra “Practica Geometriae” (1220), apresentando importantes aplicações de Trigonometria. São aplicações que havia aprendido em contatos feitos com árabes e hindus.
    MENU
  • Aplicações MENU LARGURA DO RIO ALTURA DO PRÉDIO SOMBRA DE UMA ÁRVORE
  • Aplicações MENU Aplicação 1 - LARGURA DO RIO Na figura, temos a ilustração do trecho de um rio. De acordo com as informações indicadas, qual a largura do rio neste trecho? Aplicação 2 Aplicação 3
  • Aplicações MENU Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO Aplicação 3 Aplicação 1 (Esam-RN) Um observador de 1,80 metro de altura a 100 m de distância da base de um prédio vê o topo desse prédio sob um ângulo de 30º com a horizontal, conforme mostra a figura.   Sabendo que os olhos do observador estão a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura h do prédio?
  • Aplicações MENU Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE Aplicação 1 Aplicação 2 Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o Sol esta 30º acima do horizonte?
  • Mais aplicações TEODOLITO O teodolito é um instrumento de medir ângulos usado, geralmente, por agrimensores e construtores para calcular grandes distâncias ou alturas inacessíveis. À primeira vista, parece com uma máquina fotográfica montada sobre um tripé, e a pessoa que usa esse instrumento carrega sempre uma trena. Pra efetuar essas medidas, o agrimensor utiliza-se do conceito de tangente de um ângulo agudo.
  • Mais aplicações Construção de um teodolito Material: - pedaço de papelão grosso (o melhor é aquele que é ondulado por dentro) de aproximadamente 10 cm x 15 cm; - um pedaço de barbante de aproximadamente 20 cm; - um canudo de plástico; - um peso de linha de pesca ou moeda ou uma argola de metal; - um desenho ou cópia xerográfica de um transferidor de 180º; - fita adesiva; - cola.
  • Mais aplicações Construção de um teodolito (continuação) Como construir: Usando a fita adesiva, prenda o canudo na borda do papelão. Cole o desenho do transferidor logo abaixo do canudo. Amarre o peso numa extremidade do barbante. Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o papelão, bem no encontro da linha de fé do transferidor com a linha que marca 90º. Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo lado onde está o transferidor e dê um nó bem firme.
  • Mais aplicações O teodolito construído é semelhante ao da imagem abaixo.
  • Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito: Agora, vamos experimentar o teodolito para realizar cálculos de grandes alturas. Para isso, necessitamos de uma trena (ou de fita métrica ou metro de carpinteiro). Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância até ele e anote (cateto adjacente). Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste. A altura do poste corresponderá ao cateto oposto. Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou. Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante(na posição horizontal, o ângulo marcado é de 90º).
  • Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito (continuação): Procure, na tabela de razões trigonométricas, a tangente do seu ângulo de visão. Essa tangente será a razão entre a altura do poste, vista pelo observador, e a distância desse observador até o poste. Para saber a altura do poste devemos acrescentar a altura do observador(do chão até seus olhos) à altura vista por ele. Realize os cálculos e determine a altura do poste. Não se esqueça de somar a distância entre o chão e os seus olhos na altura que você determinou.
  • Mais aplicações Agora resolva: 1) Paulo, treinando o uso de um teodolito semelhante ao que você construiu, observa uma torre. Calcule a altura da torre, sabendo que o ângulo de visão de Paulo ao topo dessa torre é de 45º, que ele está a 3,5 m dela e que seus olhos estão a 1,25 m do chão.   2) Paulo, ainda treinando o uso de seu teodolito, observou o topo de um poste de 7 m, sob um ângulo de visão de 15º. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste? Faça outras experiências semelhantes a esta e procure calcular distâncias a partir de algum objeto do qual você conhece a altura.   MENU
  • Triângulos e Tabelas
    • Associação entre os triângulos retângulos e as tabelas trigonométricas.
    •   Cálculo das razões trigonométricas
    •   Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo são encontrados em tabelas próprias para isso. Vejamos um exemplo em que precisamos consultar essa tabela (veja o Anexo 3).
    • Os centros da roda de uma bicicleta estão a uma distância PQ de 100 cm.
    • O raio PA da roda traseira (a menor) mede 24 cm e raio QB da roda maior mede 40 cm.
    • Observe o esquema dessa situação:
  • Triângulos e Tabelas
    • Resolução:
    • Esses triângulos são proporcionais, ou seja: AO/OB=OP/OQ=AP/BQ
    • Usando as duas últimas razões, temos:
    • x/(2,90846 + x) = 1,60119/3,00498
    •   3,00498x = 4,656997 + 1,60119x
    •   x = 3,3174456
    •   
    • Pela figura, temos: sen Ô =1,60119/3,3174456  sen Ô = 0,4826575
    •  
    •   Consultando a tabela de razões trigonométricas, encontramos Ô = 29º .
  • Triângulos e Tabelas
    • Para alguns ângulos, os valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos em seguida.
    •  
    •   Ângulo de 45º
    • Consideremos um quadrado cujo lado mede a.
    • Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
    • ABC , obtemos a medida d da diagonal desse quadrado:
    Note que esses valores não dependem do valor de a .
  • Triângulos e Tabelas
    •   Ângulo de 60º
    • Consideremos um triângulo eqüilátero cujo lado mede a.
    • Como o triângulo é equilátero,cada um de seus ângulos
    • internos mede 60º e a altura CH é também mediana do
    • segmento AB e bissetriz do ângulo C.
    • A medida da altura ( h ) é achada aplicando-se o teorema
    • de Pitágoras no triângulo retângulo AHC:
    Novamente, obtivemos valores que não dependem do valor de a .
  • Triângulos e Tabelas
    •   Ângulo de 30º
    Outra vez, obtivemos valores que não dependem do valor de a . Em todos os casos, observamos que os resultados só dependem dos ângulos e não da medida dos lados da figura. A tabela abaixo apresenta um resumo dos valores encontrados. MENU
  • Construções no R. e C. MENU
  • BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática : ensino médio. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2004.v.1.   CARDOSO, Adriano Sumar. Trigonometria : Tabela Trigonométrica . Disponível em: < http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html#c >. Acesso em: 13 jun. 2009. DOLCE, O., POMPEO, J. N. (1993) Fundamentos de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana - 7ª Ed. São Paulo: Atual.   EDUMATEC – Educação Matemática e Tecnologia Informática. Winplot – Software de Funções. Disponível em: http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:
  • LOPES, Alice K. T. e outros (2006). Matemática – 2ª Ed. Paraná: SEED- PR.   PAIVA, MANOEL (1999) Coleção base: matemática (ensino médio): volume único - 1ª Ed. São Paulo: Moderna.   UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Régua e Compasso: Software de Geometria Dinâmica Gratuito. Disponível em: < http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ > . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:
  • Anexos Anexo 1 - Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. Anexo 2 - Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Anexo 3 - Tabela trigonométrica. Anexo 4 - Resoluções das atividades. Anexo 5 - Atividades utilizando o software Winplot
  • Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. A Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo: - na Engenharia: construção de pontes sobre rios, envolvida com o conceito de proporcionalidade; - na Astronomia: cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra, usando-se observações e cálculos trigonométricos; - na Agrimensura: arte de medir os campos, as terras; - na Física : estudo de deslocamento. Anexo 1
  • Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Situação problema: Na entrada de uma loja será construída uma rampa de acesso de pessoas portadoras de deficiência física, como mostra a ilustração abaixo. A rampa deverá ser construída no final da terceira porta com 8,5 m de extensão. Altura a ser atingida é de 0,8 m. Qual deverá ser a medida do ângulo de inclinação da rampa em relação ao solo? Anexo 2
  • Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. (continuação) Resolução: Ao observarmos a rampa, percebemos que temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 8,5 m e cateto oposto ao ângulo  igual a 0,8 m. Logo, devemos aplicar a razão trigonométrica seno. Assim, temos:   sen  = medida do cateto oposto a  /medida da hipotenusa sen  = 0,8/ 8,5 = aproximadamente 0,0941 Ao observamos a tabela trigonométrica no seno, temos: 0,0941 entre: 0,0872 < sen  < 0,1045 Logo: 5º<  < 6º   Anexo 2
  • Tabela trigonométrica Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos entre 1 o e 89 o . Anexo 3
  • Tabela trigonométrica (continuação) Anexo 3
    • Resoluções de atividades - Aplicações
    • Aplicação 1 – LARGURA DO RIO
    • tg 55º = (x + 8,5) / 35
    • 1,428148 = (x + 8,5) / 35
    • x + 8,5 = 49,98518
    • x = 41,485 m
    • Logo, a largura do rio é 41,485 m.
    • Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO
    • tg 30º = x / 100
    • 0,57735 = x / 100
    • x = 57,7 = aproximadamente 58
    • h = x + 1,70  h = 58 + 1,70 = 59,7 m.
    • Logo, a altura do prédio é 59,7 m.
    Anexo 4
    • Resoluções de atividades - Aplicações (continuação):
    • Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE
    • tg 30º = 5 / x
    • 0,57735 = 5 / x
    • x = 5 / 0,57735
    • x = 8,67 m Logo, o comprimento da sombra é 8,67 m.
    Anexo 4
    • Resoluções de atividades - Mais aplicações
    • 1)
    tg 45º = x / 3,5 1 = x / 3,5 x = 3,5 Logo, a altura da torre é (3,5 + 1,25) m, ou seja, 4,75 m. 2) tg 15º = 5,75 / x x = 5,75 / tg 15º x = 5,75 / 0,2679 = aproximadamente 21,5. Logo, Paulo está aproximadamente 21,5 m do posto. Anexo 4
    • Atividades, utilizando o software Winplot, que levam os alunos a verificar o gráfico das funções sen, cos e tg com variação de constantes e parâmetros
    • Gráfico da função y = sen x
    Anexo 5 Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = sen x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =sen x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 sen x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =2 sen x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = sen x quando acrescentamos o parâmetro 2 na função?
  • Anexo 5 Gráfico da função y = cos x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = cos x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 3 cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 3 cos x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = cos x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?
  • Anexo 5 Gráfico da função y = tg x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = tg x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 2 tg x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = tg x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?