Este documento describe vectores en tres dimensiones. Explica que en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, un vector se representa como una tríada de números reales correspondientes a sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También define conceptos como la suma y resta de vectores, y la multiplicación de un vector por un escalar en tres dimensiones.

1. VECTORES EN DOS
DIMENSIONES
PERTENECE: CRISTOPHER ORELLANA AVILES
4b

2.  Representar un vector como una flecha es una definición
útil para nuestros propósitos.
Ejemplos conocidos en esta dirección son la velocidad, la
aceleración de gravedad g, las fuerzas, etc. .
> Un vector involucra magnitud , dirección y sentido.
> La magnitud de un vector es el largo de la flecha,
> La dirección es la línea sobre la cual descansa y
> El sentido indica hacia donde apunta.
REPRESENTACION DE UN
VECTOR

3.  Representación Geométrica
 En este caso se nos da la magnitud del vector, el ángulo
que forma con la horizontal, (su dirección) y la punta de
la flecha indica el sentido del vector. En mecánica
necesitamos trabajar en un sistema de referencia.
Generalmente es conveniente proyectar este vector
sobre los ejes coordenados. Recurriendo a la
trigonometría, podemos definir una componente
horizontal y vertical.
UN EJEMPLO CONCRETO

4.  La proyección en los ejes coordenados x e
y, introduce naturalmente una nueva notación:
Los vectores representados con una cuña en su
parte superior representan vectores de magnitud
unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo
al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.
EJEMPLOS COCRETOS

5.  Otra forma de describir un vector es mediante un
par ordenado de números. En el caso de dos
dimensiones, en el primer casillero se anota la
magnitud de la proyección del vector en el eje X y en
el segundo casillero, se incluye la proyección del
vector en el eje Y.
DESCRIBIR UN VENTOR

6. 
NOTACIONES DE VECTOR

7.  Cantidades escalares: Se denominan así a los fenómenos
físicos que pueden ser claramente
 descritos mediante un número real y una unidad, como
por ejemplo la temperatura. En África hay
 temperaturas extremas de hasta 50 °C bajo la sombra, así
como en Rusia hay temperaturas bastante
 bajas como de – 40 °C; se aprecia claramente que la
temperatura, de manera intuitiva, muestra qué
 tanto frío o qué tanto calor puede existir en un ambiente
CANTIDADES ESCOLARES

8.  Otro ejemplo de magnitud escalar es la
masa, cuando alguien va al supermercado a
comprar carne
 compra 2 kilos, o 2 kilogramos de carne, esta
cantidad, intuitivamente nos indica cuánta carne
es la
 adquirida, si alguien compra un quintal de
cemento (50 kg) se podrá notar claramente que
éste pesa
 mucho más que la carne comprada.
ejemplos de magnitudes

9.  Hay una diferencia entre la masa y
temperatura y es que la primera jamás podrá
ser negativa, mientras
 que la segunda si puede ser negativa.
Podemos concluir, entonces, que habrá
cantidades escalares que
 pueden ser positivas, negativas y cero, como
la temperatura; o cantidades escalares que
solamente
 pueden ser positivas o cero, como la masa.
Diferencias de mas

10.  Cantidades vectoriares: Se denominan así a los
fenómenos físicos que quedan claramente
 definidos mediante una magnitud (número real y unidad) y
una dirección. Cuando se habla de dirección
 se habla de un ángulo con respecto a un eje de referencia.
Ejemplos de magnitudes vectoriales tenemos
 el desplazamiento; no quedaría clara la idea si se indica
que, por ejemplo, Julio camina 15 metros y
 Leonardo camina 12 metros. No sabemos en qué dirección
camina cada uno de ellos. Para que quede la
 idea o el concepto claro podríamos decir, por ejemplo, Julio
15 m hacia el norte y Leonardo camina 12
 m hacia el sur
Cantidades vectoras

11. Vectores de tres dimenciones

12.  Se sabe que los vectores tienen módulo o
magnitud y dirección. Un vector ubicado en un
sistema de coordenadas rectangulares puede ser
expresado como coordenadas o con una ecuación
vectorial donde intervienen unos vectores muy
especiales: i, j y k. denominados vectores
unitarios. El uso de estos vectores unitarios hace
que las operaciones vectoriales como la
suma, resta e inclusive producto sean mucho
más fácil.
vectores

13.  Hasta ahora en clase, hemos analizado a todo lo relevante con
vectores proyectados en un plano, pero los vectores no solo
son eso, es más los vectores pueden ser también expresados
en el espacio y es así que consultamos lo siguiente.
 OBJETIVOS:
 Los objetivos principales de este trabajo son aprender cuales son
las formas de expresar un vector en el espacio, así cuando ya las
conozcamos aprender acerca de las características de los vectores
en el espacio.
 Tanto así que también existen objetivos secundarios los cuales
pueden ser que a la larga aprendemos las aplicaciones de los
vectores en tres dimensiones para nuestra vida diaria.

objetivo de los vectores

14.  vectores de tres dimenciones

15.  Las coordenadas de este sistema son (0,0,0)
 En este sistema de coordenadas, a un punto en el
espacio se le asocia con una tercia de números
(a,b,c), y a los números a, b, c se les denomina " las
coordenadas cartesianas " del punto P.
 En este sistema, las coordenadas rectangulares son
(1,2,3)
 Este punto se localiza en la intersección de los planos x
= a, y = b, z = c.
 Las coordenadas de este sistema so (3,2,1)

16.  Cada par de ejes coordenados determina un plano
coordenado. El eje x y el eje y determinan el
plano xy, el eje x y el eje z determinan el plano xz, y el
eje z y el eje y determinan el plano yz.
 Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho
regiones llamadas octantes. El octante en el que las
tres coordenadas de un punto son positivas se
denomina primer octante. No hay un acuerdo para
denominar a los otros siete octantes.
octavos

17.  La fórmula para la distancia entre dos puntos en el
espacio es una simple extensión de la fórmula para la
distancia en el plano.
 d(p1 , p2) = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 -
z2)2 ]1/2
 Ejemplo:
 P1=(1,2,3)
 P2=(3,3,3)
 Distancia ente puntos =2(3) ½
ejemplos

18.  La suma de vectores se define mediante la ley del
paralelogramo, En general, un vector A en el espacio tridimensional
es cualquier tríada de números reales,
 A= <a1, a2, a3>
 en donde los números a1, a2, a3 se llaman componentes del vector
. Ejemplo:
 A=(4,2,3)
 En términos de componentes, la suma de vectores se define como
sigue:
 Sean A= <x1, y1, z1> y B= <x2, y2, z2>, la suma de A y
B se define como:
 A+B = <x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2>
 Ejemplo:
 A= { 3, 2, 3} B= {2, 2, 0}
 C= A+ B= {5, 4, 3}
suma de vectores

19.  Por el teorema de Pitágoras, tendríamos que:
 Sea A= <a1, a2,a3>,entonces A = ( a12 + a22 + a32 )1/2

Ahora definiremos otra operación, la multiplicación de un vector por un
escalar.
 Sea A= <a1, a2, a3> y k un escalar, entonces definimos la
multiplicación por un escalar como sigue:
 kA = <k a1, k a2, k a3>

Ejemplo:
 A= {4, 3, 2} kA = 1 / 4
 C= k A= {1, 3 / 4, 1 / 2}
teoria de vectores

20. La sustracción o resta de vectores.
 Se define la resta de vectores como: A - B= A+ (- B)
 Las propiedades de la resta de vectores espaciales son las
siguientes:
 Los vectores unitarios i, j y k.
 Cualquier vector dá origen a un vector con la misma
dirección pero de magnitud 1.
Por las definiciones dadas anteriormente, cualquier vector
 A= <a1, a2, a3>
 se puede escribir en la forma
 A= a1<1, 0, 0> + a2<0, 1, 0> + a3<0, 0, 1>
Sustracion o resta de vectores