Prezentare ppt matrice

1,809 views
1,510 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,809
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
28
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Prezentare ppt matrice

  1. 1. MATRICE INVERSABILE ÎN MN(ℂ)
  2. 2. CUPRINS:
  3. 3. DEFINIŢIE Definitie: O matrice A ϵ Mn(ℂ) se numeste inversabila in in Mn(ℂ) pe scurut inversabila) daca exista o matrice B ϵ Mn(ℂ) astfel incat AB=BA=In Observatii: • Pentru o matrice de A ϵ Mn(ℂ) exista cel mult o matrice B ϵ Mn(ℂ) cu proprietatea din enunt.Intr-adevar,daca Ab=BA=In si AC=CA=In cu B,C ϵ Mn(ℂ) atunci B=B In=B(AC)=(BA)C=InC=C.De aceea ,daca A este inversabila,matricea B din definitie este unica.Ea se noteraza cu A-1 si se noteaza inversa lui A. • Daca inlocuim,in definitie ,multimea ℂ cu una din multimile ℝ , ℚ, sau ℤ obtinem notiunea de inversabilitate pentru matricele patratice peste ℝ , ℚ, si respectiv ℤ. Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ),iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare pentru matricele patratice peste ℝ, ℚ, si respectiv ℤ. Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ) ,iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare a inversei unei matrice inversabile. Avem nevoie,mai intai , de urmatoarea propozitie. Cuprins
  4. 4. PROPOZIŢIE Daca A=(aij) ϵ Mn(ℂ) atunci, pentru orice i ≠ j avem: Ai1 Г+ai2 Г+...+ain Гjm=0 si a1i+ Г1j+a2i Г2j +...+ani Гnj =0, (deci suma produselor elementelor unei linii si complementii algebrici ai elementelor altei linii este zero, proprietate adevarata si pentru coloane). Demonstratie.Consideram matricea B obtinuta din A prin inlocuirea liniei j cu linia j cu linia i a matricei A,linia i ramanand aceeasi .Deoarece matricele A si B difera,cel mult ,prin linia j atunci complementii algebrici ai elementelor corespunzatoare e pe linia j din cele doua matrice sunt aceeasi .Dezvoltand determinantul matricei B dupa linia j obtinem : det B=aij Гj1 +ai2 Гj2 ...+ain Гjn .Pe de alta parte,matricea B are liniile i si j egale.Atunci det B=0 si demonstratia este incheiata .Pentru coloane demonstratia se face analog. Cuprins
  5. 5. TEOREMĂO matrice A ϵ Mn (ℂ) este inversabila in Mn daca si numai daca det A≠0.Demonstratie.( ⇒).Deoarece A∙A-1=In rezulta ca det(A∙A-1)=detIn=1.Dinproprietatea 6 a determinantilor obtinem detA∙detA-1=1,deci, in particular ,detA≠0.( ⇒)Fie A=(aij). Γ11 Γ21 … Γn1 Γ12 Γ22 … Γn2Notam cu A* matricea Γ13 Γ23 … Γn3 ,obtinuta din A prininlocuirea … … ... … Γ1n Γ2n … Γnnelementului aij cu Γji (deci cu complementul algebric al elementului aij).
  6. 6. Daca A∙A*=(bik) atunci bik=ijΓkj , ∀ i,k∊{1,2,….,n}. Din proprietatea 5 a determinantilor(dezvoltarea dupa linie) si propozitia anterioararezulta bii=detA , ∀ i ∊{1,2,….,n} si bik=0, ∀ i,k∊{1,2,….,n} cu i≠k . Obtinem A∙A*=(detA)∙In sianalog A*∙A=(detA)∙In . Deoarece det A≠0rezulta ca A∙ ∙A* = ∙A* ∙A=In . In consecinta,matricea A esteinversabila si A-1 = A*. Cuprins
  7. 7. OBSERVAŢII  Matricea se numeşte matricea adjunct(reciprocă) asociată matricei A.Ea este,de fapt,matricea transpusă a complemenţilor algebrici ai elementelor lui A şi se mai poate obţine astfel:se consideră matricea şi se înlocuieşte fiecare element al ei cu complementul algebric.  Matricea Aϵ(ℝ) atunci det Aϵ ℝ si ϵ (ℝ).În ipoteza că det A≠0 atunci = este o matrice pătratică peste ℝ,deci A este inversabilă în (ℝ).Proprietatea se păstrează dacă înlocuim multimea ℝ cu multimea ℚ.În consecinţă,teorema anterioară caracterizează şi matricele inversabile din (ℝ) si (ℚ).
  8. 8.  În cazul matricilor pătratice peste ℤeste adevărat următorul rezultat:Aϵ (ℤ) este inversabilă în (ℤ) daca şinumai dacă det A≠±1. Într-adevar,dacă A este inversabilăîn (ℤ) atunci,cum matricile A şi auelemente întregi,rezultă că det A ϵ ℤ şidet ϵ ℤ.Deoarece det A ∙ det=1,deducem că det A =±1.Reciproc,dacă det A =±1 rezultă că Aeste inversabilă în (ℚ) şi==±Complemenţii algebrici aielementelor lui A sunt numere întregi şiîn consecinţă elementele lui ,deci şi alelui sunt numere întregi. Cuprins
  9. 9. MECANISM DE DETERMINARE Cuprins
  10. 10. EXEMPLE
  11. 11. Se da:A= . Vom arăta că A este inversabilă şi vom determina .Avem det A=. = * =9 0Calculăm complemenţii algebrici ai elementelor lui A si obţinemmatricea adjunctă =Inversa matricei A este = ∙ (ℂ).
  12. 12. Să observăm că dacă matricea A este gîndită în M3(ℝ)sau M3(ℚ) concluzia este aceeaşi. Cum A-1 ϵM3 (ℚ)rezultă că A este inversabilă inM3(ℝ) sau M3 (ℚ).Nu acelaşi lucru se întîmplă dacă privim matricea A inM3(ℤ). Determinantul ei nu este -1 sau 1,Deci A nu este inversabilă în M3(ℤ). De altfel, seobservă cu usurinţă că A-1∉ M3(ℤ) Cuprins
  13. 13. Cuprins
  14. 14. Exercitii Propuse
  15. 15. Cuprins

×