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Numeros complexos e estatística 2012

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Resumo de Estatística e Números complexos

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Numeros complexos e estatística 2012

  1. 1. Professor Cristiano Marcell Colégio Pedro II b) Calcule o número de acidentes com vítimas ocorridos em Unidade Realengo II - 2011 Campinas em 2002. Lista de exercícios de Números Complexos Noções básicas de estatística. Prof. Cristiano Marcell Barras Exemplo 1) Em dezembro de 2002, a Empresa Brasileira deNoções de Básicas de Estatística Turismo (EMBRATUR) apresentou um relatório sobre o turismo praticado em ambientes naturais conservados, que são aqueles que A estatística é um ramo da matemática aplicada que tem têm garantida a proteção de seus recursos naturais originais.por objetivo fornecer métodos para coleta, organização, resumo, Para a elaboração do relatório, foi feita uma pesquisa comapresentação e análise dos dados, visando obtenção de conclusões freqüentadores de algumas dessas unidades de conservação. Após oválidas e, finalmente, tomada de decisões. levantamento dos dados, construiu-se um gráfico referente aos meios de informação que levaram os turistas a escolher um dessesPopulação (ou universo) ambientes naturais conservados para a sua viagem de férias. Conjunto de elementos com pelo menos uma característicacomum.Amostra Subconjunto finito de uma população.Variável Conjunto de resultados possíveis para um fenômeno.Tipos de VariáveisI. Qualitativa – quando for expressa por tipos ou atributos: sexo(masculino ou feminino), cor dos olhos (azuis, castanhos, etc.),qualidade de uma peça produzida (perfeita ou defeituosa). Analisando o gráfico, pode-se dizer queII. Quantitativa – quando for expressa em números. É importante a) mais da metade dos pesquisados obtiveram a informação pornotar que as variáveis quantitativas podem ser subdivididas em intermédio de amigos ou parentes.discretas e contínuas. b) agências de viagens e revistas juntas tiveram, porcentualmente, mais influência na decisão do que a Internet.Variável contínua c) a influência de amigos e parentes é o triplo da influência de publicações especializadas.Pode assumir qualquer valor entre dois limites. d) menos de um quinto dos pesquisados obtiveram informações via televisão.Variável discreta e) a maioria dos pesquisados obtiveram a informação via Internet.Assume valores pertencentes a um conjunto enumerável. ColunasGráficos Exemplo 1) (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisaLinha abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.Exemplo 1) (UNICAMP) O gráfico a seguir mostra o total deacidentes de trânsito na cidade de Campinas e o total de acidentessem vítimas, por 10.000 veículos, no período entre 1997 e 2003.Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 2002. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: a) 14%. b) 48%. c) 54%.a) Calcule o número total de acidentes de trânsito ocorridos em d) 60%.Campinas em 2003. e) 68%. Os números governam o mundo. (Platão)
  2. 2. Professor Cristiano MarcellSetor circular Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado,Exemplo 1) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.realizada com 1 000 famílias com filhos em idade escolar: b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 2) (ENEM) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico abaixo mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessasfamílias.II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de500 dessas famílias.Então, é CORRETO afirmar quea) nenhuma das afirmativas é verdadeira.b) apenas a afirmativa I é verdadeira.c) apenas a afirmativa II é verdadeira.d) ambas as afirmativas são verdadeiras.Exemplo 2)(UFRJ) Dois estados produzem trigo e soja. Os gráficosabaixo representam a produção relativa de grãos de cada um desses Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camadaestados. hidratada de uma obsidiana a) é diretamente proporcional à sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais. 3) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura abaixo.a) A produção de trigo do estado A corresponde a que porcentagemda produção de grãos do estado?b) É possível afirmar, a partir dos gráficos, que a produção total detrigo do estado A é maior do que a do estado B? Justifique suaresposta.Exercícios1) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na GrandeSão Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE,apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270 Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse Grande São Paulo número é 1985 - 1996 a) 45. b) 90. c) 180.16,0% d) 450.14,0% e) 900.12,0% 4) (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um10,0% político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A8,0% Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O6,0% 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE. Os números governam o mundo. (Platão)
  3. 3. Professor Cristiano Marcell 6) (UENF) O gráfico a seguir representa o número de pacientes Gráfico I atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de determinado ano. a) Determine o número total de pacientes atendidos durante o semestre. b) Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período considerado. 7) (FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: nº de alunos. 23Analisando os gráficos, pode-se concluir que 20 a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. 10 c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. 5 d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos 2 decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas 16 17 18 19 20 idade (anos) diferentes. Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos5) (UERJ) Às vésperas das eleições, verificou-se que todos os dois alunos?mil eleitores pesquisados tinham pelo menos dois nomes em quem, a) 16 anos e 10 meses.com certeza, iriam votar. b) 17 anos e 1 mês.Nos quatro gráficos abaixo, o número de candidatos que cada eleitor c) 17 anos e 5 meses.já escolheu está indicado no eixo horizontal e cada "carinha" d) 18 anos e 6 meses.representa 100 eleitores. e) 19 anos e 2 meses. 8) (UERJ) Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica: Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99, em kWh, foi igual a: a) 141O gráfico que está de acordo com os dados da pesquisa é o de b) 151número: c) 161 d) 171a) I b) II c) III d) IV Os números governam o mundo. (Platão)
  4. 4. Professor Cristiano Marcell Classes de frequência, são simplesmente, intervalos de9) (UERJ) Analise o gráfico e a tabela: variação. As classes serão representadas por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k é o número total de classes. Limites de classe são os extremos de cada classe, e teremos um limite inferior (li) e um limite superior (lf). Amplitude (hi) é calculada pela subtração dos limites superior e inferior da classe: hi = lf - li Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o Limite superior máximo e o limite inferior mínimo: AT = Lmax lmin Para a determinação do número de classes de uma distribuição, usamos a seguinte equação (regra de Sturges): i ≈ 1 + 3,3 . log n e para definirmos a amplitude do intervalo de classe usamos: ℎ=De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, porkm, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: Exercíciosa) 4/7 1) Os resultados do lançamento de um dado 20 vezes foram:b) 5/7c) 7/8 6563435241d) 7/10 456131241510) (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrarautomaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento 2) Observe a distribuição de frequênciaestatístico dos registros do radar permitiu a elaboração dadistribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidadeaproximada. xi 3 4 5 6 7 8 fi 2 5 12 10 8 3 45 40 40 Determine: Veículos (%) 35 a) As frequências relativas 30 30 25 b) As frequências acumuladas 20 c) As frequências relativas acumuladas 15 15 10 6 Medidas de tendência central 5 5 3 1 0 Indicam um ponto em torno do qual se concentram os 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, ou o “centro de gravidade” dos dados. Estudaremos a Média aritmética, Velocidade (km/h) moda e mediana.A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: Média Aritmética (x) a) 35 km/h b) 44 km/h Soma de todos os valores observados da variável dividida c) 55 km/h pelo número total de observações. É a medida de tendência central d) 76 km/h mais utilizada para representar a massa de dados. e) 85 km/h Moda (Mo)Distribuição de freqüência Valor que mais se repete em uma sequência de dados.Seu Para descrevermos graficamente os dados coletados, nosso uso da moda é mais indicado quando se deseja obter, rapidamente,primeiro passo é a determinação das frequências dos valores uma medida de tendência central.existentes da variável. Frequência simples (ou absoluta) é o número de vezes Uma série pode ser:que um valor foi observado, e podemos obter, a partir de dados  Amodal: quando nenhum valor se repete;brutos, uma tabela de distribuição de frequências.É representada por  Modal: quando um valor se repete;f i.  Bimodal: quando dois valores se repetem;  Trimodal: quando três valores se repetem; Frequências relativas (fri) são o resultado da razão entre  Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.as frequências simples e a frequência total. Mediana (Md) = ∑ Valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. Assim, Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50%todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada classe: dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana. Fk = f1 + f2 + f3 + ... fk Se a quantidade de dados for ímpar, a mediana é simplesmente o valor central, e se a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Os números governam o mundo. (Platão)
  5. 5. Professor Cristiano Marcell 8) As questões de Matemática do Concurso Vestibular da UFRGSExercícios de 2004 foram classificadas em categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra o gráfico de barras a seguir.1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunosda 5ª série. Calcule a média, a mediana e a moda, e classifique asérie conforme a moda.Notas: 7,0 3,5 2,5 6,5 9,0 3,52) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram:8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, sãorespectivamente:a) 7,9; 7,8; 7,2b) 7,2; 7,8; 7,9c) 7,8; 7,8; 7,9d) 7,2; 7,8; 7,9e) 7,8; 7,9; 7,2 Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico de setores3) Um professor de matemática elaborou, através do computador, circulares, a cada categoria corresponderia um setor circular. Oum histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo ângulo do maior desses setores mediriavalor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois a) 80°.este professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos que b) 120°.obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração a seguir. c) 157°. d) 168°. e) 172°. 9) O Curso de Turismo da "UniverCidade" realizou uma pesquisa com 1.000 turistas estrangeiros que estavam na cidade do Rio de Janeiro durante o período de Carnaval.A moda dessas notas é:a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 5. A partir dos dados e supondo que em cada critério da4) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma avaliação do desfile os percentuais de homens e mulheresnota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média mantenham-se os mesmos que os apresentados no gráfico de setores,da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era: pode-se afirmar que o número de mulheres que avaliaram o desfile como bom foia) 7,6 d) 6,0 a) 400. b) 200. c) 100. d) 80. e) 40.b) 7,0 e) 6,4c) 7,4 10) Um professor de Física aplicou uma prova, valendo 100 pontos, em seus 22 alunos e obteve, como resultado, a distribuição das notas5) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total vista no quadro seguinte:de fabricação dividido pela quantidade produzida.Uma empresa fabrica bicicletas à um custo fixo mensal de R$ 90000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de1 200 unidades.Qual o custo médio mensal mínimo por unidade?6) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7,x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto.Se x é um número real entre 8 e 21 sendo diferente de17, então aqual a média aritmética dos elementos desse conjunto?7) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas,tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente.A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados:igual a a) Determine a freqüência relativa da moda. b) Esboce um gráfico com as freqüências absolutas de todas asa) 1,70. b) 1,71. notas.c) 1,72. d) 1,73. c) Determine a mediana dos valores da segunda linha do quadroe) 1,74. apresentado. Os números governam o mundo. (Platão)
  6. 6. Professor Cristiano Marcell z1Conjunto dos Números Complexos(Resumo teórico) II) para efetuar a divisão multiplicam-se ambos os termos pelo z2 O conjunto dos números complexos representados por Cpode ser definido por: conjugado de z2 . C  {z  a  bi | a, b  R e i 2  1} Forma Trigonométrica de um ComplexoOnde: Dado um número complexo z  a  bi , a sua representação a  parte real de z; no plano de Gauss, através de um ponto:b  parte imaginária de z; ` número real: todo complexo z tal que b  0; número imaginário puro: todo imaginário z talque a  0 e b  0.Exemplo:I )Calcule x para que z  (3  x )  5i seja imaginário puro. módulo de z: p  z  a 2  b 2 b argumento de z: tg  ,Igualdade de Números Complexos a onde  é o arg umento. Dois números complexos z1  a1  b1i e z2  a2  b2i sãoiguais se, e somente se, O número complexo z  a  bi (forma algébrica) pode ser escrito a1  a2 e b1  b2 na forma trigonométrica. z  p.(cos   isen )Operações com Números Complexos Multiplicação1.Adição Sendoz1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z1  p1 (cos 1  isen1 ) e z2  p2 (cos 2  isen2 ) , o produto2.Subtração de z1.z 2 é dado por:z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i z1.z2  p1. p2 [cos(1  2 )  i.sen(1  2 )]3. Multiplicação Divisão SendoSabendo –se que i2 = – 1. z1  p1 (cos 1  isen1 ) e z2  p2 (cos 2  isen 2 ) , a divisãoLogo, z1 é dada por: z2Agrupando os termos semelhantes, obtemos: z1 p1  .[cos(1  2 )  i.sen(1  2 )] z2 p24.Divisão Para a realização da divisão de dois números complexos é Potenciação: Forma Trigonométricanecessário introduzir o conceito de conjugado de um númerocomplexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z̅ = a - bi. Agora Sendopodemos definir a operação de divisão para números complexos. z  p (cos   i.sen ) e n  Z , então: z n  p n .[cos(n. )  i.sen(n. )] ExercíciosConjugado de um Número Complexo 1) Prove que (1  i) 2  2i . Aproveitando o resultado anterior, Dado um número complexo z  a  bi , chama-se 20conjugado de z ao complexo z tal que: calcule (1  i ) . z  a  bi 2   2) (PUC)  2 (1  i )  é igual a:Módulo de um Número Complexo    2  a) 1 b) -1 c) i d) -i e) 0 z  a2  b2 3) (UNIRIO) Se 2i  a  bi , onde i  1 , então o valor de 1 iObservações a  b é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) -1 e) 3/2I) para um número complexo z  a  bi , em que a, b  R , tem-se: z  z  R e z.z  R 4) (UFRRJ) Calcule o complexo z sabendo que 2 z  3i z  2  4i . Os números governam o mundo. (Platão)
  7. 7. Professor Cristiano Marcell 305) (PUC) Calcule  1  i  . a) 2 + i. b) 2 - i. c) 1 - 2i.    1 i  d) -1 + 2i. e) - 2 - i.6) (UFRJ) As raízes da equação x 2  4 x  8  0 são números 18)complexos que representados no plano, têm afixos A e B.a) Mostre que 2  2i é uma das raízes dessa equação.b) Determine a medida do menor ângulo AÔB, onde O representaorigem.7) Escreva na forma trigonométrica os números:a) z  1  ib) z  8c) z   1  3 i 2 28) Escreva na forma algébrica os números:a) z  8.cis 45ºb) z  10.cis 330º9) (UFRJ) z é um número complexo tal que z 7  1, z  1 . 2Calcule 1  z  z  z3  z 4  z5  z 6 .10)(UERJ) Um matemático, observando um vitral com o desenhode um polígono inscrito em um círculo, verificou que os vérticesdesse polígono poderiam ser representados pelas raízes cúbicascomplexas do número 8.A área do polígono observado pelo matemático equivale a:a) √3b) 2√3c) 3√3d) 4√311) (UFRRJ) Dado o complexo z  cos     i.sen    , calcule      16   16 z12 , e dê o resultado na forma algébrica.12) (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que asextremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelosnúmeros complexos z e w a seguir: z = α [cos(π/2) + isen(π /2)], w =z2, sendo ‘ um número real fixo, 0 < α < 1.Determine a hora do jantar.13) (UFF) Determine as raízes quartas do número complexoz  8  8 3i .14) (UFRRJ) João deseja encontrar o argumento do complexo z =√3 + i. O valor correto encontrado por João éa) π /6 b) π /4 c) π /3 d) π /2 e) 2 π /315) Calcule o valor de 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 +...+i98 + i99 + i 100.16) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. Ovalor da expressão (i + 1)8 é:a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i17) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss sãonúmeros complexos, sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. Oquarto vértice do quadrado é o número complexo Os números governam o mundo. (Platão)

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