Função exponencial logaritmo_2012

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Resumo de Exponencial e Logaritmo

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Função exponencial logaritmo_2012

  1. 1. Professor Cristiano Marcell Colégio Pedro II Propriedades da função exponencial Unidade Realengo II - 2012 Lista de Função Exponencial e Logarítmica.  O domínio da função exponencial é R, isto é, d(f) = R Prof. Cristiano Marcell  A imagem da função exponencial é R+*, isto é, Im(f) = R+*  Em qualquer caso, o gráfico corta o eixo y no ponto P(0, 1)  Se a > 1, a função é crescente, pois x1 > x2 ⤇ ax1 > ax2Função Exponencial  Se 0 < a < 1, a função é decrescente, pois x1 > x2 ⤇ ax1< ax2Função ƒ:R→R+* tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0 < a e a≠1. Equações exponenciaisO a é chamado de base e o x de expoente. Apresentam variáveis em expoente.Vamos resolver algumas:A função pode ser crescente ou decrescente a depender dovalor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0< a < 1) a função é decrescente.I) f(x) = 2x x y Inequações exponenciais São inequações que apresentam variável em expoente. I) 2x < 2 II) 3x-1  9 Resolução de equações exponenciais Se b e c são números reais, então:II) ( ) =  a > 1 ⤇ ab > ac ⤇ b > c x y  0 < a < 1 ⤇ ab > ac ⤇ b < c Exercícios Questão 1) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5x +3. Seu conjunto-imagem é a) ]- ∞; 3[ b) ]- ∞; 5[ c) [3; 5] d) ]3; +∞[ Questão 2) O número real que é raiz da equação 5 x+2 + 5 x-1 +5 x+1+ 5 x = 78 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Questão 3) Os pontos A = (1, 6) e B = (2,18) pertencem ao gráfico da função y = nax. Então, o valor de an é: a) 6 b) 9 c) 12 d) 16Gráfico da função exponencial Questão 4) Uma das soluções da equação y é: y a) x = 1 b) x = 0 1 c) x = -2 1 d) x = 3 0 x Questão 5) Na equação 2x+1 + 2-x = 3, é verdadeira a 0 x a>1 0<a<1 afirmativa: Os números governam o mundo. (Platão)
  2. 2. Professor Cristiano Marcella) Uma das raízes é 1.b) A soma das raízes é um número inteiro positivo. Questão 15) Se x e y são números reais que tornamc) O produto das raízes é um número inteiro negativo. simultaneamente verdadeiras as sentenças 2x+y-2 = 30 e 2x - y-d) O quociente das raízes pode ser zero (0). 2 = 0, então xy é igual a: 2 xQuestão 6) Os valores de x para os quais (0,8) 4 x  a) 9 b) 8 c)1/8 d) 1/9 3( x  1)(0,8) são 3 1 3 1 Questão 16) Ao estudar o processo de reprodução em umaa)   x  c) x   ou x  cultura de bactérias, um grupo de biólogos, a partir de dados 2 2 2 2 experimentais coletados em um determinado período de 1 3 1 3 tempo, concluiu que o número aproximado de indivíduos, N,b)   x  d) x   ou x  em função do tempo t em horas, é dado por N(t) = 50.20,3t . 2 2 2 2 Dessa forma, a cultura terá 3200 indivíduos depois de a) 12 horas.Questão 7) O conjunto-solução da inequação (0,5) x(x - 2) < b) 20 horas.(0,25)x - 1,5 é c) 15 horas. d) 23 horas.a) {x  R / x <1}. b) {x  R / x >3}. e) 18 horas.c) {x  R / 1 < x <3}. d) {x R / x < 1 ou x > 3} Questão 17) Resolva 3x-1 - 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306Questão 8) Dentre as identidades a seguir, marque a FALSA. Questão 18) A produção de uma indústria vem diminuindo 2 ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu  4 1 6 2 a)     0,81 principal produto. A partir daí, a produção anual passou a  2 2 2 2    seguir a lei 38 . 44 27 y = 1000.(0,9)x. O número de unidades produzidas nob)  segundo ano desse período recessivo foi de: 6 . 124 2c)   2 2  3  27 a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 1  3  50  2 6 Questão 19) Num período prolongado de seca, a variação da 1728 quantidade de água de certo reservatório é dada pela funçãod)  3 6 64 q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 quantidade inicial de água no reservatório eQuestão 9) Se 3x + 3-x = 5 então 2.(9x +9-x) é igual a q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório sea) 50 b)25 c) 46 d)23 reduzirá à metade do que era no início?Questão 10) No intervalo [–1, 100], o número de soluções a) 5. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.inteiras da inequação 3x – 8 > 32–x é Questão 20) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a jurosa) 97 b)98 c)99 d)100 compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1, CássiaQuestão 11) O produto das soluções da equação 2x – 2-x = 5 computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao (1 – 2-x) é final da aplicação. Esse valor é:a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 a) R$ 18.750,00. b) R$ 18.150,00. c) R$ 17.250,00. d) R$ 17.150,00. e) R$ 16.500,00.Questão 12) Num laboratório é realizada uma experiênciacom um material volátil, cuja velocidade de volatização é Questão 21) Certa substância radioativa desintegra-se demedida pela sua massa, em gramas, que decresce em função modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade aindado tempo t, em horas, de acordo com a fórmula não desintegrada da substância é m = -32t – 3t +1 + 108. S = S0.2-0,25tAssim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõempara utilizar este material antes que ele volatilize totalmente em que S0 representa a quantidade de substância que havia noé: início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?a) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutosb) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos Questão 22) Uma população de bactérias começa com 100 ec) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias apósd) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos t horas é dado pela função N(t) = 100.2t/3 Nessas condições, pode-se afirmar que a população será deQuestão 13) Se 8x-9 =16x/2, então x é um número múltiplo de: 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas.a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas.Questão 14) Se (0,0625)x+2 = 0,25, então (x+1)6 vale: d) 1 dia e 19 horas.a) -3/2 b) 1/32 c) 64 d) 1/64 Os números governam o mundo. (Platão)
  3. 3. Professor Cristiano MarcellQuestão 23) No programa de rádio HORA NACIONAL, o Conseqüências da definiçãolocutor informa:  log b1 = 0"Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma  log b b = 1notificação da defesa civil do País alertando para a chegada  logb bn = nde um furacão de grandes proporções nas próximas 24 log b ahoras. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os  b =aórgãos do governo já estão tomando todas as providênciascabíveis". PropriedadesPara atender às solicitações que seguem, suponha que o  log a (b . c) = log ab + loga cnúmero de pessoas que tenha acesso a essa informação, aquando transcorridas t horas após a divulgação da notícia,  log a = log ab - loga cseja dado pela expressão b  log a an = n. loga n  = , onde c > 0 e c  1 ( )= 1 + 9. 2 Logaritmo de uma Raiz Se 0 < a  1, b > 0 e n  N*, então:sendo t ≥ 0 e P a população do País. 1a) Calcule o percentual da população que tomou n b bn 1  log a  log a  log b aconhecimento da notícia no instante de sua divulgação. nb) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à Concluímos que = .notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% dapopulação do país já conhecia a informação. Equações logarítmicasQuestão 24) A equação 2x = - 3x + 2, com x real,a) não tem solução. Apresentam variável em logaritmo, no logaritmo ou base.b) tem uma única solução entre 0 e 2/3.c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0. a) log(x – 1)2 = 3 c) log (x + 1) x – 1 = 2d) tem duas soluções, sendo uma positiva b) log 2x = 31 d) log xx2 - 1 = 1e outra negativa.e) tem mais de duas soluções. Ao resolvermos uma equação logarítmica, devemos observar as restrições a que devemos estar submetidos osQuestão 25) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 logaritmandos, as bases, e conseqüentemente a incógnita, sãodiminui em função do tempo devido à desintegração elas:radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função  O logaritmando deve ser positivoexponencial dada por m=m0.2-xt . Nessa sentença, mx é a  A base deve ser positiva e diferente de 1massa (em gramas) no tempo t (em anos), m0 é a massa inicial e x é uma constante real.Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa Inequações Logarítmicasinicial, o valor x é: Envolvem variável em logaritmo ou na base, ou no logaritmo.a) – 3 b) 1/3 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8 Para resolvermos uma inequação logarítmica, devemos estar atentos, às restrições a que devem estar submetidas as incógnitas vamos estudar os tipos possíveis:Função Logarítimica 1.° Tipo: log f(x)a > log g(x)a, 0< a  1A palavra logaritmo vem do grego: logos= razão e arithmos=número. Se a > 1, então f(x) > g (x) > 0 Se 0 < a 1, então 0< f(x) , g(x) logba = c  bx = c 2.° Tipo: log f(x)a > k; 0 < a  1, k  RChamamos a de antilogaritmo; b, de base (maior que zero ediferente de 1) e c de logaritmo.  Se a > 1, então: f(x) > ak  Se 0 < a < 1, então: 0 < f(x) < akCalcular o logaritmo de a na base b é o mesmo que encontrarum expoente que colocado em b, resulte numa potência igual 3.° Tipo: Incógnita Auxiliar:a a. São as inequações que resolvemos fazendo uma mudança de incógnitas.Condição de existência  a>0  b>0eb1 Os números governam o mundo. (Platão)
  4. 4. Professor Cristiano MarcellFunção Logarítmica Propriedades da Função LogarítmicaFunção ƒ:R→R+* tal que ( ) = em que b ∈ R, 0 < b O domínio da função e R*+, ou seja, somente númerose b ≠1. positivos possuem logaritmo.O b é chamado de base do logaritmo.  O conjunto imagem é R, isto é, qualquer n° real é logaritmoA função pode ser crescente ou decrescente a depender do de algum n° real positivo, numa certa base.valor da base.  O ponto P(1, 0) pertence ao gráfico da função. Se a base b for > 1, a função é crescente; Se a base b for um número real entre 1 e 0, (0< b < 1) a  Se a > 1, a função é crescente, pois se x > y, então > função é decrescente.  Se 0 < a < 1, a função é decrescente pois se x < y, entãoI) ( ) = > x y Logaritmos Decimais Vamos estudar os logaritmos em uma base específica, a base 10. Qualquer que seja o n° Real positivo x, ele estará certamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros e consecutivos. Ex: 1. x = 0,04 ⤇ 10-2 < 0,04 <10-1 2. x = 3,72 ⤇ 100 < 3,72 < 101 3. x = 573 ⤇ 102 < 573 < 103 Assim, dado x > 0, existe c e Z tal que: 10c  x < 10c + 1 ⤇ log10c  log x < log 10c + 1, logo: c  log x < c + 1, então podemos afirmar que: log x = c + m, onde c  Z e 0  m < 1, o número inteiro c é aII) ( ) = característica do logaritmo de x e o m é a mantissa do logaritmo de x. x y Cálculo da Característica 1. A característica do logaritmo decimal de um n° real x > 1 é igual ao n° de algarismos de sua parte inteira menos 1. log 2, 3 c=0 log 31,4789 c=1 log 204 c=2 log 4194,710 c=3 2. A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Ex: Logaritmo Característica log 0,2 c = -1 log 0,035 c = -2Gráfico da Função Logarítmica log 0,00405 c = -3 log 0,00053 c = -4 y y y = logax Mantissa É obtida nas tábuas de logaritmos, e tem uma propriedade 1 importante: Os logaritmos de 2 números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula, tem 0 x y = logax Mantissas iguais. 0 1 x 1. log 54 = 1,7323 2. log 5,4 = 0,7323 a>1 0<a<1 3. log540 = 2,7323 4. log 0,000054 = -5 +0,7323 = -4,2677 = 5 ,7323 onde 5 é característica e 7323 é mantissa Os números governam o mundo. (Platão)
  5. 5. Professor Cristiano Marcell a) 1, 50 c) 101, 200Observe que no exemplo acima, dizemos que -4,2677 é aforma negativa e 5 ,7323 é a forma mista ou preparada. b) 51, 100 d) 201, 500 Questão 10) A figura a seguir mostra o gráfico da funçãoExercícios logaritmo na base b. O valor de b é:Questão 1) Resolva os logaritmos a seguir: a) 1/4 b) 2.a) b) c) 3. d) 4.c) d)e) f) Questão 11) A equação log 2 (9x-1 +7) = 2 + log 2 (3 x-1+1) possuig) h) a) duas raízes positivas. c) duas raízes simétricas.Questão 2) O gráfico que melhor representa a função b) duas raízes negativas. d) uma única raiz..mostrada na figura adiante, é: Questão 12) Se log 2 123 = 2,09, o valor de log 21,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 Questão 13) O valor da soma log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100) é: a) 0 b) -1 c) -2 d) 2 Questão 14) Se a = log2(2 sen 70°/ cos 20°), então log‚ a é: a) -1/2 b) -1/4 c) 1 d) -1 Questão 15) Se log 7 875 = a, então log 35 245 é igual a:Questão 3) log 32= x, então3 x + 3-x é: a) (a + 2)/(a + 7) b) (a + 2)/(a + 5)a) 9/7 c) (a + 5)/(a + 2) d) (a + 7)/(a + 2)b) 5/2c) 4 Questão 16) Na figura abaixo, a curva representa o gráficod) 6 da função y  log x , para x  0 . Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual aQuestão 4) Se log x2 = ¼, então a base x vale: ya) 20 b) 16 c) 12 d) 10 a) log 2 S2 S1Questão 5) O valor de 4 log29 é: b) log 3 c) log 4a) 81 b) 9 c) 64 d) 36 d) log 6 1000Questão 6) Seja x = 2 sabendo que log 10 é 2 1 2 3 4 xaproximadamente 0,30103 pode-se afirmar que o n° dealgarismos de x é:a) 300 c) 1000 Questão 17) O valor de y  IR que satisfaz a igualdadeb) 301 d) 2000 log y 49 = log y 2 7  log 2 y 7 ,éQuestão 7) Calcule o valor da expressão a) ½ b) 1/3 c) 3 d) 1/8 log n  log n n  n n    Questão 18) Resolvendo o sistema, obtemosa) 2 b) -2 c) 4 d) n log 2 x  log 4 y  4   xy  8Questão 8) O número real x que satisfaz a equação  1  S   32 , log2 (12 – 2x) = 2x é:  4  c) S   2 , 4  a)  1 a) log2 5 b) 2 c) log 25 d) log 23 S   16 ,   b) S  8 , 1  d)  2 Questão 9) Se o logarítimo de um número na base “n” é 4 ena base “ n 2 ” é 8, então esse número está no intervalo Os números governam o mundo. (Platão)
  6. 6. Professor Cristiano MarcellQuestão 19) Se log 3 2 = a e log73 = b, então log314 = Questão 24) A intensidade I de um terremoto, medida pela escala Richter, é definida pela equação a seguir, na qual E a 1 ab  1 ab  1 representa a energia liberada em kWh.a) b 1 b) c) d) O gráfico que melhor representa a energia E, em função da a b b a intensidade I, sendo E0 igual a 10-3 kWh, está indicado em:Questão 20) Supondo que exista, o logaritmo de a na base bé:a) o número ao qual se eleva a para se obter b.b) o número ao qual se eleva b para se obter a.c) a potência de base b e expoente a.d) a potência de base a e expoente b.e) a potência de base 10 e expoente a.Questão 21) (Unicamp) Um capital de R$12.000,00 éaplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizadosanualmente. Considerando que não foram feitas novasaplicações ou retiradas, encontre:a) O capital acumulado após 2 anos.b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que ocapital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.[Se necessário, use log2 = 0,301 e log3 = 0,477].Questão 22) O brilho de uma estrela percebido pelo olhohumano, na Terra, é chamado de magnitude aparente daestrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitudeaparente que a estrela teria se fosse observada a umadistância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente3 × 1013 km). As magnitudes aparente e absoluta de umaestrela são muito úteis para se determinar sua distância aoplaneta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M amagnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M édada aproximadamente pela fórmula M = m + 5 . logƒ (3 .d-0,48)onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigeltem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitudeabsoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, deRigel ao planeta Terra.Questão 23) Na figura a seguir, encontram-se representadoso gráfico da função f : ]0,-∞[ → IR, definida por f(x) = log2x,e o polígono ABCD. Os pontos A, C e D estão sobre ográfico de f. Os pontos A e B estão sobre o eixo dasabscissas. O ponto C tem ordenada 2, o ponto D tem abscissa2 e BC é perpendicular ao eixo das abscissas.Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a áreado polígono ABCD é:a) 2,5 cm2.b) 3 cm2.c) 3,5 cm2.d) 4 cm2.e) 4,5 cm2. Os números governam o mundo. (Platão)

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