Complexos pdf

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  1. 1. Professor Cristiano Marcell Colégio Pedro II – Unidade Realengo II RESUMO DE COMPLEXOS Matemática Professor Cristiano Marcell Uma equação como x² + 1= 0 não tinha soluções, Representação Geométrica do número complexo.enquanto estávamos limitados ao conhecimento do conjunto dosnúmeros Reais. O motivo pelo qual foi criado e desenvolvido por Imgrandes nomes da matemática, é bem verdade, não foi o intuito Z = a + bi b (afixo)de solucioná-la tão somente.Unidade imaginária i² = -1 Z A forma Z = a +bi desse número é chamada de algébrica,onde a é parte real e b, a imaginária. θ O número Z = a – bi é seu conjugado. O a Re Se Z1=a + bi e Z2= c + di são tais que Z1= Z2, então a=c e b=d. Se Z é um número estritamente real termos que b = 0 Módulo de um número complexo Se Z é um número estritamente imaginário termos que a = 0 Z =ρ= a 2  b2 Se Z1= a + bi e Z2= c + di, então, Z1 ± Z2 = (a+c) ± (b+d)i Argumento de um número complexo. No caso do produto entre dois complexos usamos a propriedade distributiva, assim como se usa com valores a b reais. 𝜃= arc cos = arc sen z z Z1 Z1 Z 2  . Forma Trigonométrica (Polar) de um número complexo Z2 Z2 Z2 Z= Z ( cos θ + isen θ) = Z cis θAlgumas consequências desta definição: Operações. I. Z  Z  2a Sejam Z1= Z1 (cos θ1 + i.sen θ1) e Z2= Z 2 (cos θ2 + i.sen θ2) II. Z . Z  2bi Produto. → Z1. Z2 = Z1 . Z 2 .(cos (θ1 + θ2) + isen (θ1 + θ2))Potências de iSendo n um número natural, de modo geral, temos: Divisão. → Z1 = Z1 .(cos (θ1 – θ2) + isen (θ1 – θ2)) Z2 Z2 i4n =1 i4n+1 = i Potenciação. → Zn= Z n. (cos (θn) + isen (θn)) i4n+2 = -1 i4n+3 = -i Radiciação. A potência ik, sendo K um inteiro, é obtida dividindo o n Z = n Z .( cos (   2k ) + isen (   2k )),expoente K por 4 e considerando o resto r (0 ≤ r <4) da divisão n ncomo novo expoente de i. onde 𝐾 ∈ Z(𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 ) Exemplo: i2013 = i1 = i (o expoente 1 de i, após a igualdade,se dá pois 2013 dividido por 4 deixa igual a 1) Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

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