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Texto de matemática 2012
CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetación 1 13-07-10 12:13 Página 1




                                          TEXTO PARA EL ESTUDIANTE




                                                               MARIO ZAÑARTU NAVARRO
                                              LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
                                                      PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
                                           MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,
                                                       UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

                                                          FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
                                                 LICENCIADA   ENMATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,
                                                                 MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,
                                                        PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

                                                                   MAURICIO RAMOS RIVERA
                                                  LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA
                                                      LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA
                                                                  UNIVERSIDAD DE CHILE
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            El material didáctico Matemática 2º,
            para Segundo Año de Educación Media, es
            una obra colectiva, creada y diseñada por el
            Departamento de Investigaciones Educativas
            de Editorial Santillana, bajo la dirección de:
                    MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

            COORDINACIÓN DEL PROYECTO:
                   EUGENIA ÁGUILA GARAY

            COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:
                   VIVIANA LÓPEZ FUSTER

            EDICIÓN:
                       JAVIERA SETZ MENA

            AYUDANTE DE EDICIÓN:
                  ALDO PEREIRA SOLIS

            AUTORES:
                   MARIO ZAÑARTU NAVARRO
                   FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
                   MAURICIO RAMOS RIVERA

            REVISIÓN DE ESPECIALISTA:
                    JOSÉ CORTÉS OTÁROLA
                    MANUEL SALAZAR CÓRDOVA

            CORRECCIÓN DE ESTILO:
                   ISABEL SPOERER VARELA
                   ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO

            DOCUMENTACIÓN:
                  PAULINA NOVOA VENTURINO
                  MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES

            La realización gráfica ha sido efectuada
            bajo la dirección de:
                     VERÓNICA ROJAS LUNA

            COORDINACIÓN GRÁFICA:
                   CARLOTA GODOY BUSTOS

            COORDINACIÓN LICITACIÓN:
                   XENIA VENEGAS ZEVALLOS
                                                                                          Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
            DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:                                                       "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
                    XIMENA MONCADA LOMEÑA                                                     parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
                                                                                           reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
                    MARIELA PINEDA GÁLVEZ                                                                                            mediante alquiler o préstamo público.

            FOTOGRAFÍAS:
                                                                                          © 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones,
                   ARCHIVO SANTILLANA
                                                                                          Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
            CUBIERTA:                                                                                                       PRINTED IN CHILE
                    XENIA VENEGAS ZEVALLOS                                                        Impreso en Chile por World Color Chile S.A.
                                                                                                                  ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1566 - 6
            PRODUCCIÓN:                                                                                                  Inscripción N° 186.188
                   GERMÁN URRUTIA GARÍN                                                                                        www.santillana.cl



                                 Referencias de los Textos Educación Matemática 2 y 3, Educación Media, de los autores:
                             Ángela Baeza Peña, María José García Zattera, Marcia Villena Ramírez, Marcela Guerra Noguera,
                   Patricia Urzúa Figueroa y Rodrigo Hernández Reyes. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005.

                          La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.
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                             Presentación

                          El texto Matemática Segundo Año Medio ha sido creado y diseñado pensando en tus intereses,
                          gustos e inquietudes.

                          Este año profundizarás algunos de los temas vistos en tu Primer Año de Educación Media con el
                          estudio de los números reales y de las expresiones algebraicas fraccionarias. Además, te presentamos
                          una Unidad de sistemas de ecuaciones lineales que te permitirá comprender, modelar y resolver
                          situaciones cercanas a la vida diaria.

                          En el estudio de la Geometría, podrás profundizar tus conocimientos relacionados con la semejanza
                          de figuras planas, incluyendo los teoremas de Thales y de Euclides, y con la circunferencia, tanto
                          respecto de las relaciones entre sus ángulos, como de las relaciones métricas de sus trazos.

                          Te presentamos una Unidad de Datos y azar cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e
                          interpretación de la información entregada por los medios de comunicación y para manejar recursos
                          objetivos para fundamentar tus opiniones.

                          Te invitamos a que, junto a tus compañeros y compañeras, descubras, deduzcas, hagas conjeturas,
                          inventes y resuelvas problemas usando otras estrategias, distintas a las que planteamos en este Texto,
                          de manera que seas un constructor de tu aprendizaje matemático.




                                                                                                             Presentación   |   3
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                              Índice

                                       12   Unidad 1: NÚMEROS Y RAÍCES


                                            14     ¿CUÁNTO SABES?
                                            16     Números racionales en la recta numérica
                                            18     Números irracionales
                                            20     Números reales
                                            22     Aproximación de un número irracional
                                            24     MI PROGRESO

                                            25     Raíces cuadradas y raíces cúbicas

                                            27     Ubicación de raíces en la recta numérica

                                            29     Irracionalidad de algunas raíces cuadradas

                                            31     Raíces enésimas
                                                   Cálculo de raíces enésimas y
                                            33
                                                   sus propiedades
                                                   Relación entre raíces enésimas y
                                            35
                                                   potencias de exponente racional
                                            37     Situaciones que involucran raíces
                                            41     MI PROGRESO
                                            42     Logaritmos
                                            46     Propiedades de los logaritmos
                                            48     Propiedades de las operaciones de los logaritmos
                                            50     Ecuaciones logarítmicas
                                            53     Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas
                                            55     Herramientas tecnológicas
                                            59     MI PROGRESO
                                            60     CÓMO RESOLVERLO
                                            62     EN TERRENO
                                            64     SÍNTESIS DE LA UNIDAD
                                            66     EVALUACIÓN DE LA UNIDAD




           4 | Índice
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              68       Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS                  106   Unidad 3: SISTEMAS DE ECUACIONES
                                 FRACCIONARIAS
                       70      ¿CUÁNTO SABES?                                   108    ¿CUÁNTO SABES?

                       72      Fracciones algebraicas                           110    Ecuaciones lineales con dos incógnitas

                       74      Comparación de fracciones algebraicas                   Planteo de sistemas de ecuaciones
                                                                                112
                                                                                       lineales con dos incógnitas
                       76      Análisis de fracciones algebraicas
                                                                                114    Método gráfico
                       78      Restricciones en fracciones algebraicas
                                                                                116    Herramientas tecnológicas
                       79      Herramientas tecnológicas
                                                                                       Análisis de las soluciones en el
                       80      Simplificación de fracciones algebraicas         118
                                                                                       plano cartesiano
                       82      Multiplicación de fracciones algebraicas
                                                                                120    MI PROGRESO
                       84      División de fracciones algebraicas
                                                                                121    Método de igualación
                       86      MI PROGRESO
                                                                                123    Método de sustitución
                               Mínimo común múltiplo de expresiones
                       87                                                       125    Método de reducción
                               algebraicas
                       89      Adición de fracciones algebraicas                       Análisis algebraico sobre la existencia
                                                                                127
                                                                                       de las soluciones
                       91      Sustracción de fracciones algebraicas
                                                                                129    Pertinencia de las soluciones
                               Ecuaciones que involucran fracciones
                       93                                                              Otros sistemas asociados a sistemas
                               algebraicas
                                                                                131
                                                                                       de ecuaciones lineales
                               Situaciones que involucran fracciones
                       95
                               algebraicas                                      133    MI PROGRESO
                       97      MI PROGRESO                                      134    CÓMO RESOLVERLO
                       98      CÓMO RESOLVERLO                                  136    EN TERRENO
                       100     EN TERRENO                                       138    SÍNTESIS DE LA UNIDAD
                       102     SÍNTESIS DE LA UNIDAD                            140    EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
                       104     EVALUACIÓN DE LA UNIDAD




                                                                                                                    Índice |     5
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                                       142   Unidad 4: SEMEJANZA


                                             144    ¿CUÁNTO SABES?

                                             146    Semejanza de figuras

                                             148    Semejanza de triángulos: criterio AA

                                             150    Semejanza de triángulos: criterio LLL

                                             152    Semejanza de triángulos: criterio LAL

                                             154    Análisis de semejanza en figuras planas
                                                    Aplicación de la semejanza
                                             156
                                                    en modelos a escala
                                             158    MI PROGRESO

                                             159    Teorema de Thales
                                             162    Teorema general de Thales

                                             163    Herramientas tecnológicas

                                             165    División de un trazo en una razón dada

                                             167    Teorema de Euclides
                                             169    Aplicaciones del teorema de Euclides

                                             171    Homotecia

                                             174    Herramientas tecnológicas

                                             175    MI PROGRESO

                                             176    CÓMO RESOLVERLO

                                             178    EN TERRENO

                                             180    SÍNTESIS DE LA UNIDAD

                                             182    EVALUACIÓN DE LA UNIDAD




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              184      Unidad 5: CIRCUNFERENCIA                         214   Unidad 6: DATOS Y AZAR


                       186     ¿CUÁNTO SABES?                                 216    ¿CUÁNTO SABES?
                       188     Medición de arcos                              218    Medidas de dispersión
                       190     Ángulos del centro y ángulos inscritos                Medidas de dispersión para datos
                                                                              222
                                                                                     agrupados
                       194     Ángulos semi-inscritos
                                                                                     Comparación de dos o más
                       196     MI PROGRESO                                    224
                                                                                     conjuntos de datos
                       197     Ángulos interiores y exteriores
                                                                              226    Homogeneidad y heterogeneidad
                               a una circunferencia
                                                                              228    Muestreo aleatorio simple
                               Proporcionalidad entre las cuerdas
                       199
                               de una circunferencia                          230    Herramientas tecnológicas

                               Proporcionalidad entre las secantes            232    MI PROGRESO
                       201
                               de una circunferencia                          233    Conjuntos
                               Proporcionalidad entre las secantes y          235    Técnicas de conteo
                       203
                               tangentes de una circunferencia
                                                                              239    Regla de Laplace
                       205     MI PROGRESO
                                                                              241    Probabilidad de la unión
                       206     CÓMO RESOLVERLO
                                                                              243    Probabilidad de la intersección
                       208     EN TERRENO
                                                                              247    MI PROGRESO
                       210     SÍNTESIS DE LA UNIDAD
                                                                              248    CÓMO RESOLVERLO
                       212     EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
                                                                              250    EN TERRENO

                                                                              252    SÍNTESIS DE LA UNIDAD

                                                                              254    EVALUACIÓN DE LA UNIDAD


                                                                              256    SOLUCIONARIO

                                                                              271    BIBLIOGRAFÍA




                                                                                                                 Índice |   7
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                         Organización del Texto

                      Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo
                      con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que te
                      rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él.
                      A través de sus 6 unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender,
                      construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas
                      encontrarás las siguientes páginas y secciones:




                      Páginas de inicio


                                                                                     Expresiones
                                                               2    Unidad
                                                                                     algebraicas
                                                                                     fraccionarias




                                                                                                                                                        CONVERSEMOS DE:

                                                                                                                                                        Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfección en todas las cosas. El Partenón de Atenas,
                                                                                                                                                        templo ubicado en la Acrópolis, dedicado a la diosa Atenea y considerado el monumento más importante
                                                                                                                                                        de la civilización griega antigua, está construido de manera que el largo y ancho de la base forman
                                                               EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:                                                             un rectángulo que consideraban ideal. Es un rectángulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible,
                                                                                                                                                        se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos lados están en la misma proporción que el rectángulo original.
                                                               • Interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la    Esta relación entre los lados del rectángulo se puede expresar como:
                                                                 operatoria con fracciones numéricas.                                                                                                       x+1
                                                                                                                                                                                                                  =x
                                                               • Reconocer para qué valores una expresión fraccionaria algebraica puede ser positiva,                                                         x
                                                                 negativa o cero, y para qué valores se indetermina.                                    • ¿Has visto alguna vez una expresión como esta?
                                                               • Resolver situaciones en las que sea necesario simplificar fracciones algebraicas.      • ¿Existe algún valor de x que satisface tal relación?, ¿cómo lo sabes?
                                                               • Resolver situaciones en las que sea necesario sumar, restar, multiplicar o dividir     • ¿Para qué valores de x está definida la fracción del lado izquierdo?
                                                                 fracciones algebraicas.                                                                • Intenta dibujar un rectángulo que cumpla con esta condición.



                                                    68 | Unidad 2                                                                                                                                                Expresiones algebraicas fraccionarias      | 69




                      EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A...
                      En esta sección conocerás los principales
                                                                                                                                                        CONVERSEMOS DE...
                      objetivos que se espera que logres con el
                                                                                                                                                        A través de una introducción al tema de la unidad,
                      desarrollo de la unidad.
                                                                                                                                                        conectamos elementos e imágenes de la vida
                                                                                                                                                        diaria con el contenido que trabajarás. Además,
                                                                                                                                                        encontrarás preguntas relacionadas con la
                                                                                                                                                        imagen y con los contenidos de la unidad que
                                                                                                                                                        te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y
                                                                                                                                                        argumentar a partir de tus experiencias.




           8 | Oganización del Texto
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                                                 ¿Cuánto sabes?                                                                                                                                                                                                                                      Unidad 2



                                                                                         Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.                             ⎛1                      2 ⎞ ⎛5 6                      ⎞

             ¿CUÁNTO SABES?                                                              1. Resuelve los siguientes ejercicios con fracciones y simplifica cada
                                                                                            vez que sea necesario.
                                                                                                                                                                                                     2   5
                                                                                                                                                                                                         3
                                                                                                                                                                                           g. (ab + 2b –c) · (3a – c)
                                                                                                                                                                                                                      9 ⎠ ⎝6
                                                                                                                                                                                                                      2
                                                                                                                                                                                                                                   5
                                                                                                                                                                                                                                          9
                                                                                                                                                                                           f. ⎜ a 2 + a − b 5 − 3b 3 + ab ⎟ − ⎜ b − b 3 − a 2 − 5ab ⎟
                                                                                                                                                                                              ⎝2     7                                   10         ⎠                                                                     ¿QUÉ DEBES RECORDAR?
                                                                                                 ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ ⎛ 2 3 ⎞⎞                                                                                          2       2


             En esta sección, te invitamos                                                    a. ⎜ + ⎟ − ⎜1− ⎜ + ⎟⎟


                                                                                              b.
                                                                                                 ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ ⎝ 3 2 ⎠⎠

                                                                                                   4    9 ⎛6 7 ⎞
                                                                                                     −8+ −⎜ + ⎟
                                                                                                                                                                                           h. (5xy – 3x ) · (3y – yx)
                                                                                                                                                                                              ⎛6
                                                                                                                                                                                              ⎝x
                                                                                                                                                                                                       3x ⎞ ⎛ 3
                                                                                                                                                                                                        5 ⎠ ⎝5
                                                                                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                                           i. ⎜ 3 − x + ⎟⋅ ⎜ − x ⎟
                                                                                                                                                                                                                  ⎞
                                                                                                                                                                                                                  ⎠
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Podrás activar tus conocimientos
                                                                                                   5    5 ⎝ 5 10 ⎠


             a resolver ejercicios y                                                          c.
                                                                                                   2 8 2 5 9
                                                                                                    + − ⋅ +
                                                                                                   5 6 3 3 7
                                                                                                         3 2 9 3   9 2
                                                                                                                                                                                        Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
                                                                                                                                                                                        ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          previos a través de un resumen
                                                                                              d. 5 +      + − ⋅ −2+ ⋅                                                                   correctamente el ejercicio.
                                                                                                         5 3 6 2   4 3

             problemas que te ayudarán                                                           1 9 ⎛3 ⎛6
                                                                                                 9 3 ⎝2 ⎝ 4
                                                                                                                1⎞ 9 ⎞
                                                                                              e. − ⋅ ⎜ − ⎜ − 2 + ⎟+ − 5⎟
                                                                                                                3⎠ 4 ⎠
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          que incluye los principales
             a evaluar tus conocimientos                                                 2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
                                                                                            Justifica tu respuesta.

                                                                                              a. La adición de fracciones cumple con las propiedades asociativa y
                                                                                                                                                                                         ¿QUÉ DEBES RECORDAR?
                                                                                                                                                                                         • Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          conceptos trabajados en años
                                                                                                 conmutativa.                                                                              y se conserva el denominador.

             y a recordar lo que aprendiste                                                   b. Si a ≠ 0, entonces
                                                                                                                     0
                                                                                                                     a
                                                                                                                       =0

                                                                                              c. Si a, b ∈ ‫ ޚ‬y a ≠ 0, entonces
                                                                                                                                          a+b
                                                                                                                                           a
                                                                                                                                              =b
                                                                                                                                                                                         • Para sumar o restar fracciones con distinto numerador, se puede amplificar o simplificar
                                                                                                                                                                                           hasta obtener fracciones equivalentes con igual denominador y, luego, sumarlas o restarlas.
                                                                                                                                                                                         • Al multiplicar fracciones, se obtiene una fracción cuyo numerador corresponde al producto
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          anteriores y que te servirán
                                                                                                                                                                                           de los numeradores, y cuyo denominador, al producto de los denominadores.
                                                                                                                                          a·b

             en años anteriores y que                                                         d. Si a, b ∈ ‫ ޚ‬y a ≠ 0, entonces

                                                                                              e.
                                                                                                   1
                                                                                                   0
                                                                                                     existe.
                                                                                                                                           a
                                                                                                                                              =b
                                                                                                                                                                                                                          En general, si a, b, c, d ∈ ‫ ,ޚ‬b ≠ 0, d ≠ 0
                                                                                                                                                                                                                                                                              a c
                                                                                                                                                                                                                                                                               · =
                                                                                                                                                                                                                                                                              b d
                                                                                                                                                                                                                                                                                   a·c
                                                                                                                                                                                                                                                                                   b·d
                                                                                                                                                                                         • Para dividir fracciones, se puede multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          como apoyo para los
                                                                                              f. La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades                                de la segunda.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          aprendizajes que se espera que
                                                                                                                                                                                                                                                                a c      a d

             serán la base para el desarrollo                                                    conmutativa y asociativa.

                                                                                         3. Resuelve los siguientes ejercicios:
                                                                                                                                                                                                             En general, si a, b, c, d ∈ ‫ ,ޚ‬b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0

                                                                                                                                                                                         • Algunas factorizaciones y productos notables son:
                                                                                                                                                                                                                                                                  : = ·
                                                                                                                                                                                                                                                                b d      b c


                                                                                                                                                                                                         2   2                2
                                                                                                     6         6                                                                               (a Ϯ b) = a Ϯ 2ab + b                                     (cuadrado de binomio)

             de la unidad.                                                                    a. 2x + 5x
                                                                                                     2
                                                                                              b. 5y – y
                                                                                                     3
                                                                                                           2

                                                                                                           4
                                                                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                               (a + b) · (a – b) = a – b
                                                                                                                                                                                                                              2


                                                                                                                                                                                               x + (a + b) · x + ab = (x + a) · (x + b)
                                                                                                                                                                                                                                                         (suma por su diferencia)
                                                                                                                                                                                                                                                         (producto de dos binomios con un término común)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          logres en la unidad.
                                                                                              c. 3x · 5x                                                                                                 3   3       2            2    3
                                                                                                                                                                                               (a Ϯ b) = a Ϯ 3a b + 3ab Ϯ b                              (cubo de binomio)
                                                                                                     2     3
                                                                                              d. 6a : 4a                                                                                        3        3                2           2
                                                                                                                                                                                               a Ϯ b = (a Ϯ b) · (a ϯ ab + b )                           (suma y diferencia de cubos)
                                                                                                 ⎛ 4a        ⎞ ⎛7        3a ⎞
                                                                                              e. ⎜ − 5a − 3b ⎟ − ⎜ − 6b + ⎟
                                                                                                       2
                                                                                                 ⎝ 5b        ⎠ ⎝ 4b       b⎠

                                                70 | Unidad 2                                                                                                                                                                                                        Expresiones algebraicas fraccionarias       | 71




             Páginas de desarrollo

             ANALICEMOS...                                                                                                                                                                                                                                                                                                EN TU CUADERNO
                                                Fracciones algebraicas                                                                                                                                                                                                                                   Unidad 2


             Por medio de preguntas,                                                     Ana debe trotar cuatro vueltas a la pista de atletismo de su colegio. Su                        EN TU CUADERNO
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Resolverás variadas actividades
                                                                                         desempeño es como sigue: se demora t segundos en dar la primera vuelta,

             trabajarás el razonamiento,                                                 luego trota más rápido, demorándose t – 10 segundos en la segunda, pero
                                                                                         cerca del final se cansa un poco, y se demora t – 5 segundos en la tercera
                                                                                         vuelta y t + 5 segundos en dar la última vuelta.
                                                                                                                                                                                         1. Calcula cuál sería la rapidez de Ana en cada vuelta suponiendo ahora que en la primera vuelta
                                                                                                                                                                                            se demora:

                                                                                                                                                                                               a. 1 minuto.                           b. 1 minuto y 10 segundos.                 c. un minuto y medio.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          para ir construyendo los
                                                                                         ANALICEMOS...                                                                                         •    En cada caso, ¿en qué vueltas se tienen la mayor y menor velocidad?

             explorarás el contenido                                                     • Si la distancia recorrida en una vuelta es a, ¿qué expresión permite
                                                                                           calcular la rapidez con que recorrió cada vuelta?
                                                                                         • ¿En qué vuelta trotó a mayor rapidez y en qué vuelta a menor rapidez?
                                                                                                                                                                                               •    ¿Existe alguna diferencia con el ejemplo? De ser así, ¿en qué casos cambian?

                                                                                                                                                                                         2. Determina el valor de las siguientes fracciones algebraicas si n = 1, 2, 3, 4, 5:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          conceptos y reforzando así
             matemático que aprenderás,                                                  Si los datos de la situación anterior se organizan en una tabla, se obtiene:

                                                                                                                       Distancia recorrida           Tiempo             Rapidez
                                                                                                                                                                                               a.
                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                                                                                                                                    n+1
                                                                                                                                                                                                                                      c.
                                                                                                                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                                                                                               n –1
                                                                                                                                                                                                                                               2n + 7
                                                                                                                                                                                                                                                                                 e.
                                                                                                                                                                                                                                                                                       2+n
                                                                                                                                                                                                                                                                                         3
                                                                                                                                                                                                                                                                                       n +1
                                                                                                                                                                                                                                                                                             n
                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          tu aprendizaje.
                                                                                                                                                                                                    3 – 2n                                     4n – 1                                  (–1) · n
                                                    RECUERDA QUE...                                                                                                         a                  b.                                     d.                                         f.

             pondrás en práctica lo              • La rapidez es el cuociente entre la
                                                   distancia recorrida y el tiempo
                                                                                          Primera vuelta

                                                                                          Segunda vuelta
                                                                                                                                  a

                                                                                                                                  a
                                                                                                                                                       t

                                                                                                                                                     t – 10
                                                                                                                                                                            t
                                                                                                                                                                            a
                                                                                                                                                                         t – 10
                                                                                                                                                                                                      5n

                                                                                                                                                                                         3. Observa el siguiente ejemplo:
                                                                                                                                                                                                                                                2n                                       2
                                                                                                                                                                                                                                                                                        n +1



                                                   empleado en recorrerla.                                                                                                  a                                 1 2 3 4 5                                                            n

             que ya sabes, compartirás tus                       v=
                                                                      d
                                                                      t
                                                                                          Tercera vuelta

                                                                                          Cuarta vuelta
                                                                                                                                  a

                                                                                                                                  a
                                                                                                                                                      t–5

                                                                                                                                                      t+5
                                                                                                                                                                          t–5

                                                                                                                                                                         t+5
                                                                                                                                                                            a
                                                                                                                                                                                               Las fracciones  , , , ,
                                                                                                                                                                                                              3 5 7 9 11
                                                                                                                                                                                                                                 , ..., son generadas por la fracción algebraica

                                                                                                                                                                                               al remplazar n = 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente.
                                                                                                                                                                                                                                                                                 2n + 1
                                                                                                                                                                                                                                                                                        , porque se obtienen




                                                 • Los elementos de una fracción son:                              a      a      a        a                                                    Encuentra la fracción algebraica que genera las siguientes fracciones en cada caso:

             ideas y extraerás
                                                                                         Luego, las expresiones      ,       ,        y       representan la rapidez de
                                                                                                                   t t – 10 t – 5 t + 5
                                                           a       Numerador                                                                                                                         1 4 9 16 25                                                    2 5 10 17 26
                                                                                         Ana en cada vuelta. Expresiones como las anteriores son llamadas expresiones                          a.     , ,  , , , ...                                           c.    , ,  , ,     , ...
                                                           b       Denominador                                                                                                                       4 9 16 25 36                                                   2 9 28 65 126
                                                                                         algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas.



             conclusiones.                      GLOSARIO
                                                                                         Observa que corresponden a cuocientes entre expresiones algebraicas.
                                                                                         Tal como en las fracciones, se llama numerador y denominador a cada parte
                                                                                         de la fracción algebraica.
                                                                                         Ahora, considerando que una pista de atletismo tiene 400 m se puede remplazar
                                                                                                                                                                                                   1 1   1 1   1
                                                                                                                                                                                               b. – , , – , , – , ...
                                                                                                                                                                                                   3 6 11 18 27
                                                                                                                                                                                                                                                                   1 2   3 4   5
                                                                                                                                                                                                                                                               d. – , , – , , – , ...
                                                                                                                                                                                                                                                                   2 5 10 17 26                                           EN RESUMEN
                                                Desigualdad: expresión matemática        este valor por a, y suponiendo que en la primera vuelta Ana se demoró 80 s,
                                                que sirve para representar que cierta
                                                cantidad es menor o mayor que otra.
                                                                                         se obtiene:
                                                                                         Primera vuelta:
                                                                                                               a 400
                                                                                                               t
                                                                                                                 =
                                                                                                                    80
                                                                                                                        =5               Rapidez: 5 m/s
                                                                                                                                                                                           EN RESUMEN
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Encontrarás explicaciones,
                                                                                                                       a     400
                                                GLOSARIO
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          formalizaciones o definiciones
                                                                                         Segunda vuelta:                   =     = 5,71         Rapidez: 5,71 m/s
                                                                                                                    t – 10    70                                                         Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q ≠ 0, llamaremos expresión algebraica
                                                 Álgebra:: rama de la matemática en                                  a    400                                                                                                                            p
                                                                                         Tercera vuelta:                =     = 5,33            Rapidez: 5,33 m/s                        fraccionaria o fracción algebraica a toda expresión de la forma   .
                                                 la cual las operaciones aritméticas                                t–5    75                                                                                                                            q
                                                 se generalizan empleando números,
                                                                                         Cuarta vuelta:
                                                                                                                     a
                                                                                                                        =
                                                                                                                          400
                                                                                                                              = 4,7             Rapidez: 4,7 m/s                         Ejemplo:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          que destacan y precisan lo que
                                                 letras y signos. Cada letra o signo                                t+5    85
                                                 representa simbólicamente un                                                                                                                                      2      n+1
                                                                                                                                                                                         Las expresiones              y            son fracciones algebraicas.
                                                 número u otra entidad matemática.       Luego, Ana trotó con mayor rapidez durante la segunda vuelta, y con menor                                               n – 1 3n2 – n + 9
                                                                                         rapidez en la última vuelta.

                                                72 | Unidad 2                                                                                                                                                                                                        Expresiones algebraicas fraccionarias       | 73
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          vas aprendiendo.




                                                Restricciones en fracciones algebraicas                                                                                                                                                                                                                   Unidad 2



                                                                                                                                                 x+1                                      HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
                                                                                          Pedro y Pablo necesitan analizar la fracción algebraica
                                                                                                                                                   x
                                                                                                                                                       . Quieren saber
                                                                                          cuándo se obtienen valores positivos y negativos de esta expresión.                             En esta actividad, aprenderás cómo analizar expresiones algebraicas y obtener sus valores utilizando una planilla
                                                                                                                                                                                          de cálculo como Excel.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             HERRAMIENTAS
                                                                                         ANALICEMOS...
                                                                                          • Si x es un número real cualquiera, ¿cómo son los valores que se obtienen
                                                                                            para la expresión dada?, ¿positivos o negativos?, ¿enteros o decimales?
                                                                                            Justifica tus respuestas..
                                                                                                                                                                                          Primero, debes familiarizarte con el procedimiento
                                                                                                                                                                                          para escribir fórmulas, y la manera de remplazar valores
                                                                                                                                                                                          en ellas. Considera, por ejemplo, la fórmula x + 5.
                                                                                                                                                                                                                                                    2                                                                        TECNOLÓGICAS
                                                                                                                                                                                          • Selecciona en la celda A2 y escribe un número real.
                                                                                          • ¿Existen valores que hacen indefinida esta expresión?, ¿cuál o cuáles?
                                                                                          • ¿Cómo se describe lo que ocurre para estos casos?
                                                                                                                                                                                          • A continuación, al lado escribe la fórmula,
                                                                                                                                                                                            escribiendo en lugar de x la celda en la que escribiste
                                                                                                                                                                                            tu número. Es decir, escribe como fórmula
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Aprenderás a utilizar planillas
                                                                                                                                                                                            = A2^2 + 5.



             GLOSARIO
                                                                                          Para diversos valores de x, Pedro y Pablo obtienen la siguiente tabla:


                                                                                              Valor de x           –10 –4    –2       –1 –0,5 –0,1     0      0,1 0,5      1      2
                                                                                                                                                                                          • Aparecerá el resultado de remplazar en la fórmula el
                                                                                                                                                                                            valor escrito antes.                                                                                                             de cálculo o programas
                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x
                                                                                                   x+1
                                                                                                    x
                                                                                                                   –9 –3
                                                                                                                   –10 –4
                                                                                                                             –1
                                                                                                                             –2
                                                                                                                                      0 0,5 0,9
                                                                                                                                        –   –
                                                                                                                                      –1 0,5 0,1
                                                                                                                                                       1
                                                                                                                                                       0
                                                                                                                                                              1,1 1,5
                                                                                                                                                              0,1 0,5
                                                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                                           1
                                                                                                                                                                                  3
                                                                                                                                                                                  2
                                                                                                                                                                                          Ahora estás en condiciones de analizar fracciones algebraicas. Como ejemplo considera la expresión
                                                                                                                                                                                          En una planilla de cálculo como Excel, haz lo siguiente:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1–x
                                                                                                                                                                                                                                                                                                             .

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             computacionales.
             Te presentará nuevos               GLOSARIO
                                                                                              Cuociente            0,9 0,75 0,5       0    –1   –9            11    3      2      1,5     • En la columna A escribe, hacia abajo, una serie de números, los cuales pueden ser enteros,
                                                                                                                                                                                            fraccionarios, positivos o negativos. Para anotar fracciones, anota en la celda correspondiente, por
                                                                                                                                                                                            ejemplo =5/7.
                                                                                                                                                                                          • Luego, en B1 escribe lo siguiente:

             términos matemáticos                Una fracción algebraica está
                                                 indefinida para un cierto valor de
                                                 una variable si su denominador se
                                                 anula para tal valor y el numerador
                                                                                          Según los valores que aparecen en la fila de los cuocientes, se observa que:
                                                                                          •
                                                                                          •
                                                                                               Cuando x = –1, el valor de la expresión es 0.
                                                                                               Si x es positivo y cercano a 0, el cuociente es cada vez mayor.
                                                                                                                                                                                            =A1/(1-A1), ya que con esto ingresarás la fórmula;
                                                                                                                                                                                            al terminar, aprieta enter. El número que aparece es
                                                                                                                                                                                            el resultado de remplazar en la expresión el valor
                                                                                          •    Si x es positivo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.                        escrito en A1.
                                                 es distinto de 0.

             relacionados con el                           a
                                                 Si a ≠ 0, está indefinida.
                                                           0
                                                                                          •
                                                                                          •
                                                                                          •
                                                                                               Si x es negativo y cercano a 0, el cuociente es cada vez menor.
                                                                                               Si x es negativo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.
                                                                                               Cuando x = 0, la expresión se indefine, y se dice que tiene una restricción.
                                                                                                                                                                                          A continuación, copia el resultado que aparece en B1
                                                                                                                                                                                          de manera que aparezca abajo de cada valor escrito
                                                                                                                                                                                          anteriormente. Lo que hace la planilla de cálculo es
                                                                                                                                                                                          copiar la fórmula escrita (en este caso, la fracción

             contenido que se                        EN RESUMEN
                                                  Para el análisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos,
                                                                                                                                                                                          algebraica) y mostrar el resultado inmediatamente.
                                                                                                                                                                                          Si aparece el mensaje #¡DIV/0!, el valor al que
                                                                                                                                                                                          acompaña es una restricción para x.
                                                  positivos y negativos, grandes y pequeños. Además, se debe distinguir si la expresión se indefine y
                                                                                                                                                                                          Ejercicios

             está desarrollando.                  los valores para los cuales se anula.
                                                                                                                                                                                          Repite el procedimiento anterior de análisis, indicando los valores de x para los cuales las expresiones
                                                                                                                                                                                          son positivas, negativas o cero, además de los puntos donde la expresión no está definida.
                                                                                                                                                                                                    2x                                          1 – 2x
                                                                                                                                                                                          1.                                              2.                                          3. 4 x − 5
                                                                                                                                                                                                   1–x
                                                                                                                                                                                                         2                                      x–4
                                                                                                                                                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                                                                                                                                                         x +2



                                                78 | Unidad 2                                                                                                                                                                                                         Expresiones algebraicas fraccionarias      | 79




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Oganización del Texto |             9
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  • 2. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetación 1 13-07-10 12:13 Página 1 TEXTO PARA EL ESTUDIANTE MARIO ZAÑARTU NAVARRO LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA. FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA ENMATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA, MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAURICIO RAMOS RIVERA LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA UNIVERSIDAD DE CHILE
  • 3. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetación 1 13-07-10 12:13 Página 2 El material didáctico Matemática 2º, para Segundo Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER EDICIÓN: JAVIERA SETZ MENA AYUDANTE DE EDICIÓN: ALDO PEREIRA SOLIS AUTORES: MARIO ZAÑARTU NAVARRO FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO MAURICIO RAMOS RIVERA REVISIÓN DE ESPECIALISTA: JOSÉ CORTÉS OTÁROLA MANUEL SALAZAR CÓRDOVA CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS COORDINACIÓN LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o XIMENA MONCADA LOMEÑA parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella MARIELA PINEDA GÁLVEZ mediante alquiler o préstamo público. FOTOGRAFÍAS: © 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, ARCHIVO SANTILLANA Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) CUBIERTA: PRINTED IN CHILE XENIA VENEGAS ZEVALLOS Impreso en Chile por World Color Chile S.A. ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1566 - 6 PRODUCCIÓN: Inscripción N° 186.188 GERMÁN URRUTIA GARÍN www.santillana.cl Referencias de los Textos Educación Matemática 2 y 3, Educación Media, de los autores: Ángela Baeza Peña, María José García Zattera, Marcia Villena Ramírez, Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa y Rodrigo Hernández Reyes. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005. La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.
  • 4. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetación 1 13-07-10 12:13 Página 3 Presentación El texto Matemática Segundo Año Medio ha sido creado y diseñado pensando en tus intereses, gustos e inquietudes. Este año profundizarás algunos de los temas vistos en tu Primer Año de Educación Media con el estudio de los números reales y de las expresiones algebraicas fraccionarias. Además, te presentamos una Unidad de sistemas de ecuaciones lineales que te permitirá comprender, modelar y resolver situaciones cercanas a la vida diaria. En el estudio de la Geometría, podrás profundizar tus conocimientos relacionados con la semejanza de figuras planas, incluyendo los teoremas de Thales y de Euclides, y con la circunferencia, tanto respecto de las relaciones entre sus ángulos, como de las relaciones métricas de sus trazos. Te presentamos una Unidad de Datos y azar cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e interpretación de la información entregada por los medios de comunicación y para manejar recursos objetivos para fundamentar tus opiniones. Te invitamos a que, junto a tus compañeros y compañeras, descubras, deduzcas, hagas conjeturas, inventes y resuelvas problemas usando otras estrategias, distintas a las que planteamos en este Texto, de manera que seas un constructor de tu aprendizaje matemático. Presentación | 3
  • 5. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 4 Índice 12 Unidad 1: NÚMEROS Y RAÍCES 14 ¿CUÁNTO SABES? 16 Números racionales en la recta numérica 18 Números irracionales 20 Números reales 22 Aproximación de un número irracional 24 MI PROGRESO 25 Raíces cuadradas y raíces cúbicas 27 Ubicación de raíces en la recta numérica 29 Irracionalidad de algunas raíces cuadradas 31 Raíces enésimas Cálculo de raíces enésimas y 33 sus propiedades Relación entre raíces enésimas y 35 potencias de exponente racional 37 Situaciones que involucran raíces 41 MI PROGRESO 42 Logaritmos 46 Propiedades de los logaritmos 48 Propiedades de las operaciones de los logaritmos 50 Ecuaciones logarítmicas 53 Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas 55 Herramientas tecnológicas 59 MI PROGRESO 60 CÓMO RESOLVERLO 62 EN TERRENO 64 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 66 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 4 | Índice
  • 6. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 5 68 Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 106 Unidad 3: SISTEMAS DE ECUACIONES FRACCIONARIAS 70 ¿CUÁNTO SABES? 108 ¿CUÁNTO SABES? 72 Fracciones algebraicas 110 Ecuaciones lineales con dos incógnitas 74 Comparación de fracciones algebraicas Planteo de sistemas de ecuaciones 112 lineales con dos incógnitas 76 Análisis de fracciones algebraicas 114 Método gráfico 78 Restricciones en fracciones algebraicas 116 Herramientas tecnológicas 79 Herramientas tecnológicas Análisis de las soluciones en el 80 Simplificación de fracciones algebraicas 118 plano cartesiano 82 Multiplicación de fracciones algebraicas 120 MI PROGRESO 84 División de fracciones algebraicas 121 Método de igualación 86 MI PROGRESO 123 Método de sustitución Mínimo común múltiplo de expresiones 87 125 Método de reducción algebraicas 89 Adición de fracciones algebraicas Análisis algebraico sobre la existencia 127 de las soluciones 91 Sustracción de fracciones algebraicas 129 Pertinencia de las soluciones Ecuaciones que involucran fracciones 93 Otros sistemas asociados a sistemas algebraicas 131 de ecuaciones lineales Situaciones que involucran fracciones 95 algebraicas 133 MI PROGRESO 97 MI PROGRESO 134 CÓMO RESOLVERLO 98 CÓMO RESOLVERLO 136 EN TERRENO 100 EN TERRENO 138 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 102 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 140 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 104 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Índice | 5
  • 7. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 6 142 Unidad 4: SEMEJANZA 144 ¿CUÁNTO SABES? 146 Semejanza de figuras 148 Semejanza de triángulos: criterio AA 150 Semejanza de triángulos: criterio LLL 152 Semejanza de triángulos: criterio LAL 154 Análisis de semejanza en figuras planas Aplicación de la semejanza 156 en modelos a escala 158 MI PROGRESO 159 Teorema de Thales 162 Teorema general de Thales 163 Herramientas tecnológicas 165 División de un trazo en una razón dada 167 Teorema de Euclides 169 Aplicaciones del teorema de Euclides 171 Homotecia 174 Herramientas tecnológicas 175 MI PROGRESO 176 CÓMO RESOLVERLO 178 EN TERRENO 180 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 182 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6 | Índice
  • 8. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 7 184 Unidad 5: CIRCUNFERENCIA 214 Unidad 6: DATOS Y AZAR 186 ¿CUÁNTO SABES? 216 ¿CUÁNTO SABES? 188 Medición de arcos 218 Medidas de dispersión 190 Ángulos del centro y ángulos inscritos Medidas de dispersión para datos 222 agrupados 194 Ángulos semi-inscritos Comparación de dos o más 196 MI PROGRESO 224 conjuntos de datos 197 Ángulos interiores y exteriores 226 Homogeneidad y heterogeneidad a una circunferencia 228 Muestreo aleatorio simple Proporcionalidad entre las cuerdas 199 de una circunferencia 230 Herramientas tecnológicas Proporcionalidad entre las secantes 232 MI PROGRESO 201 de una circunferencia 233 Conjuntos Proporcionalidad entre las secantes y 235 Técnicas de conteo 203 tangentes de una circunferencia 239 Regla de Laplace 205 MI PROGRESO 241 Probabilidad de la unión 206 CÓMO RESOLVERLO 243 Probabilidad de la intersección 208 EN TERRENO 247 MI PROGRESO 210 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 248 CÓMO RESOLVERLO 212 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 250 EN TERRENO 252 SÍNTESIS DE LA UNIDAD 254 EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 256 SOLUCIONARIO 271 BIBLIOGRAFÍA Índice | 7
  • 9. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 8 Organización del Texto Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que te rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él. A través de sus 6 unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones: Páginas de inicio Expresiones 2 Unidad algebraicas fraccionarias CONVERSEMOS DE: Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfección en todas las cosas. El Partenón de Atenas, templo ubicado en la Acrópolis, dedicado a la diosa Atenea y considerado el monumento más importante de la civilización griega antigua, está construido de manera que el largo y ancho de la base forman EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A: un rectángulo que consideraban ideal. Es un rectángulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible, se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos lados están en la misma proporción que el rectángulo original. • Interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la Esta relación entre los lados del rectángulo se puede expresar como: operatoria con fracciones numéricas. x+1 =x • Reconocer para qué valores una expresión fraccionaria algebraica puede ser positiva, x negativa o cero, y para qué valores se indetermina. • ¿Has visto alguna vez una expresión como esta? • Resolver situaciones en las que sea necesario simplificar fracciones algebraicas. • ¿Existe algún valor de x que satisface tal relación?, ¿cómo lo sabes? • Resolver situaciones en las que sea necesario sumar, restar, multiplicar o dividir • ¿Para qué valores de x está definida la fracción del lado izquierdo? fracciones algebraicas. • Intenta dibujar un rectángulo que cumpla con esta condición. 68 | Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias | 69 EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A... En esta sección conocerás los principales CONVERSEMOS DE... objetivos que se espera que logres con el A través de una introducción al tema de la unidad, desarrollo de la unidad. conectamos elementos e imágenes de la vida diaria con el contenido que trabajarás. Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias. 8 | Oganización del Texto
  • 10. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 9 ¿Cuánto sabes? Unidad 2 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. ⎛1 2 ⎞ ⎛5 6 ⎞ ¿CUÁNTO SABES? 1. Resuelve los siguientes ejercicios con fracciones y simplifica cada vez que sea necesario. 2 5 3 g. (ab + 2b –c) · (3a – c) 9 ⎠ ⎝6 2 5 9 f. ⎜ a 2 + a − b 5 − 3b 3 + ab ⎟ − ⎜ b − b 3 − a 2 − 5ab ⎟ ⎝2 7 10 ⎠ ¿QUÉ DEBES RECORDAR? ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ ⎛ 2 3 ⎞⎞ 2 2 En esta sección, te invitamos a. ⎜ + ⎟ − ⎜1− ⎜ + ⎟⎟ b. ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ ⎝ 3 2 ⎠⎠ 4 9 ⎛6 7 ⎞ −8+ −⎜ + ⎟ h. (5xy – 3x ) · (3y – yx) ⎛6 ⎝x 3x ⎞ ⎛ 3 5 ⎠ ⎝5 2 i. ⎜ 3 − x + ⎟⋅ ⎜ − x ⎟ ⎞ ⎠ Podrás activar tus conocimientos 5 5 ⎝ 5 10 ⎠ a resolver ejercicios y c. 2 8 2 5 9 + − ⋅ + 5 6 3 3 7 3 2 9 3 9 2 Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve previos a través de un resumen d. 5 + + − ⋅ −2+ ⋅ correctamente el ejercicio. 5 3 6 2 4 3 problemas que te ayudarán 1 9 ⎛3 ⎛6 9 3 ⎝2 ⎝ 4 1⎞ 9 ⎞ e. − ⋅ ⎜ − ⎜ − 2 + ⎟+ − 5⎟ 3⎠ 4 ⎠ que incluye los principales a evaluar tus conocimientos 2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. La adición de fracciones cumple con las propiedades asociativa y ¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores conceptos trabajados en años conmutativa. y se conserva el denominador. y a recordar lo que aprendiste b. Si a ≠ 0, entonces 0 a =0 c. Si a, b ∈ ‫ ޚ‬y a ≠ 0, entonces a+b a =b • Para sumar o restar fracciones con distinto numerador, se puede amplificar o simplificar hasta obtener fracciones equivalentes con igual denominador y, luego, sumarlas o restarlas. • Al multiplicar fracciones, se obtiene una fracción cuyo numerador corresponde al producto anteriores y que te servirán de los numeradores, y cuyo denominador, al producto de los denominadores. a·b en años anteriores y que d. Si a, b ∈ ‫ ޚ‬y a ≠ 0, entonces e. 1 0 existe. a =b En general, si a, b, c, d ∈ ‫ ,ޚ‬b ≠ 0, d ≠ 0 a c · = b d a·c b·d • Para dividir fracciones, se puede multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo como apoyo para los f. La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades de la segunda. aprendizajes que se espera que a c a d serán la base para el desarrollo conmutativa y asociativa. 3. Resuelve los siguientes ejercicios: En general, si a, b, c, d ∈ ‫ ,ޚ‬b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 • Algunas factorizaciones y productos notables son: : = · b d b c 2 2 2 6 6 (a Ϯ b) = a Ϯ 2ab + b (cuadrado de binomio) de la unidad. a. 2x + 5x 2 b. 5y – y 3 2 4 2 2 (a + b) · (a – b) = a – b 2 x + (a + b) · x + ab = (x + a) · (x + b) (suma por su diferencia) (producto de dos binomios con un término común) logres en la unidad. c. 3x · 5x 3 3 2 2 3 (a Ϯ b) = a Ϯ 3a b + 3ab Ϯ b (cubo de binomio) 2 3 d. 6a : 4a 3 3 2 2 a Ϯ b = (a Ϯ b) · (a ϯ ab + b ) (suma y diferencia de cubos) ⎛ 4a ⎞ ⎛7 3a ⎞ e. ⎜ − 5a − 3b ⎟ − ⎜ − 6b + ⎟ 2 ⎝ 5b ⎠ ⎝ 4b b⎠ 70 | Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias | 71 Páginas de desarrollo ANALICEMOS... EN TU CUADERNO Fracciones algebraicas Unidad 2 Por medio de preguntas, Ana debe trotar cuatro vueltas a la pista de atletismo de su colegio. Su EN TU CUADERNO Resolverás variadas actividades desempeño es como sigue: se demora t segundos en dar la primera vuelta, trabajarás el razonamiento, luego trota más rápido, demorándose t – 10 segundos en la segunda, pero cerca del final se cansa un poco, y se demora t – 5 segundos en la tercera vuelta y t + 5 segundos en dar la última vuelta. 1. Calcula cuál sería la rapidez de Ana en cada vuelta suponiendo ahora que en la primera vuelta se demora: a. 1 minuto. b. 1 minuto y 10 segundos. c. un minuto y medio. para ir construyendo los ANALICEMOS... • En cada caso, ¿en qué vueltas se tienen la mayor y menor velocidad? explorarás el contenido • Si la distancia recorrida en una vuelta es a, ¿qué expresión permite calcular la rapidez con que recorrió cada vuelta? • ¿En qué vuelta trotó a mayor rapidez y en qué vuelta a menor rapidez? • ¿Existe alguna diferencia con el ejemplo? De ser así, ¿en qué casos cambian? 2. Determina el valor de las siguientes fracciones algebraicas si n = 1, 2, 3, 4, 5: conceptos y reforzando así matemático que aprenderás, Si los datos de la situación anterior se organizan en una tabla, se obtiene: Distancia recorrida Tiempo Rapidez a. 1 n+1 c. 2 n –1 2n + 7 e. 2+n 3 n +1 n 2 tu aprendizaje. 3 – 2n 4n – 1 (–1) · n RECUERDA QUE... a b. d. f. pondrás en práctica lo • La rapidez es el cuociente entre la distancia recorrida y el tiempo Primera vuelta Segunda vuelta a a t t – 10 t a t – 10 5n 3. Observa el siguiente ejemplo: 2n 2 n +1 empleado en recorrerla. a 1 2 3 4 5 n que ya sabes, compartirás tus v= d t Tercera vuelta Cuarta vuelta a a t–5 t+5 t–5 t+5 a Las fracciones , , , , 3 5 7 9 11 , ..., son generadas por la fracción algebraica al remplazar n = 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. 2n + 1 , porque se obtienen • Los elementos de una fracción son: a a a a Encuentra la fracción algebraica que genera las siguientes fracciones en cada caso: ideas y extraerás Luego, las expresiones , , y representan la rapidez de t t – 10 t – 5 t + 5 a Numerador 1 4 9 16 25 2 5 10 17 26 Ana en cada vuelta. Expresiones como las anteriores son llamadas expresiones a. , , , , , ... c. , , , , , ... b Denominador 4 9 16 25 36 2 9 28 65 126 algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas. conclusiones. GLOSARIO Observa que corresponden a cuocientes entre expresiones algebraicas. Tal como en las fracciones, se llama numerador y denominador a cada parte de la fracción algebraica. Ahora, considerando que una pista de atletismo tiene 400 m se puede remplazar 1 1 1 1 1 b. – , , – , , – , ... 3 6 11 18 27 1 2 3 4 5 d. – , , – , , – , ... 2 5 10 17 26 EN RESUMEN Desigualdad: expresión matemática este valor por a, y suponiendo que en la primera vuelta Ana se demoró 80 s, que sirve para representar que cierta cantidad es menor o mayor que otra. se obtiene: Primera vuelta: a 400 t = 80 =5 Rapidez: 5 m/s EN RESUMEN Encontrarás explicaciones, a 400 GLOSARIO formalizaciones o definiciones Segunda vuelta: = = 5,71 Rapidez: 5,71 m/s t – 10 70 Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q ≠ 0, llamaremos expresión algebraica Álgebra:: rama de la matemática en a 400 p Tercera vuelta: = = 5,33 Rapidez: 5,33 m/s fraccionaria o fracción algebraica a toda expresión de la forma . la cual las operaciones aritméticas t–5 75 q se generalizan empleando números, Cuarta vuelta: a = 400 = 4,7 Rapidez: 4,7 m/s Ejemplo: que destacan y precisan lo que letras y signos. Cada letra o signo t+5 85 representa simbólicamente un 2 n+1 Las expresiones y son fracciones algebraicas. número u otra entidad matemática. Luego, Ana trotó con mayor rapidez durante la segunda vuelta, y con menor n – 1 3n2 – n + 9 rapidez en la última vuelta. 72 | Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias | 73 vas aprendiendo. Restricciones en fracciones algebraicas Unidad 2 x+1 HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Pedro y Pablo necesitan analizar la fracción algebraica x . Quieren saber cuándo se obtienen valores positivos y negativos de esta expresión. En esta actividad, aprenderás cómo analizar expresiones algebraicas y obtener sus valores utilizando una planilla de cálculo como Excel. HERRAMIENTAS ANALICEMOS... • Si x es un número real cualquiera, ¿cómo son los valores que se obtienen para la expresión dada?, ¿positivos o negativos?, ¿enteros o decimales? Justifica tus respuestas.. Primero, debes familiarizarte con el procedimiento para escribir fórmulas, y la manera de remplazar valores en ellas. Considera, por ejemplo, la fórmula x + 5. 2 TECNOLÓGICAS • Selecciona en la celda A2 y escribe un número real. • ¿Existen valores que hacen indefinida esta expresión?, ¿cuál o cuáles? • ¿Cómo se describe lo que ocurre para estos casos? • A continuación, al lado escribe la fórmula, escribiendo en lugar de x la celda en la que escribiste tu número. Es decir, escribe como fórmula Aprenderás a utilizar planillas = A2^2 + 5. GLOSARIO Para diversos valores de x, Pedro y Pablo obtienen la siguiente tabla: Valor de x –10 –4 –2 –1 –0,5 –0,1 0 0,1 0,5 1 2 • Aparecerá el resultado de remplazar en la fórmula el valor escrito antes. de cálculo o programas x x+1 x –9 –3 –10 –4 –1 –2 0 0,5 0,9 – – –1 0,5 0,1 1 0 1,1 1,5 0,1 0,5 2 1 3 2 Ahora estás en condiciones de analizar fracciones algebraicas. Como ejemplo considera la expresión En una planilla de cálculo como Excel, haz lo siguiente: 1–x . computacionales. Te presentará nuevos GLOSARIO Cuociente 0,9 0,75 0,5 0 –1 –9 11 3 2 1,5 • En la columna A escribe, hacia abajo, una serie de números, los cuales pueden ser enteros, fraccionarios, positivos o negativos. Para anotar fracciones, anota en la celda correspondiente, por ejemplo =5/7. • Luego, en B1 escribe lo siguiente: términos matemáticos Una fracción algebraica está indefinida para un cierto valor de una variable si su denominador se anula para tal valor y el numerador Según los valores que aparecen en la fila de los cuocientes, se observa que: • • Cuando x = –1, el valor de la expresión es 0. Si x es positivo y cercano a 0, el cuociente es cada vez mayor. =A1/(1-A1), ya que con esto ingresarás la fórmula; al terminar, aprieta enter. El número que aparece es el resultado de remplazar en la expresión el valor • Si x es positivo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1. escrito en A1. es distinto de 0. relacionados con el a Si a ≠ 0, está indefinida. 0 • • • Si x es negativo y cercano a 0, el cuociente es cada vez menor. Si x es negativo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1. Cuando x = 0, la expresión se indefine, y se dice que tiene una restricción. A continuación, copia el resultado que aparece en B1 de manera que aparezca abajo de cada valor escrito anteriormente. Lo que hace la planilla de cálculo es copiar la fórmula escrita (en este caso, la fracción contenido que se EN RESUMEN Para el análisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos, algebraica) y mostrar el resultado inmediatamente. Si aparece el mensaje #¡DIV/0!, el valor al que acompaña es una restricción para x. positivos y negativos, grandes y pequeños. Además, se debe distinguir si la expresión se indefine y Ejercicios está desarrollando. los valores para los cuales se anula. Repite el procedimiento anterior de análisis, indicando los valores de x para los cuales las expresiones son positivas, negativas o cero, además de los puntos donde la expresión no está definida. 2x 1 – 2x 1. 2. 3. 4 x − 5 1–x 2 x–4 2 x +2 78 | Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias | 79 Oganización del Texto | 9