F´
                ısica Moderna
      para iniciados, interessados e aficionados




                   Ivan S. Oliveira
 ...
Notas do Autor

Escrever um livro sobre f´        ısica moderna como este exige um bocado de
esp´ırito de risco em rela¸˜o...
tamb´m, ondas eletromagn´ticas idem. Podemos lan¸ar sat´lites, ex-
       e                            e                  ...
sobre conceitos formulados h´ 300 anos que, de certa forma, ficaram
                                 a
“soterrados” no in´ ...
Agradecimentos


Gostaria de agradecer aos seguintes amigos e companheiros de labuta:
Dr. Luis A. C. P. da Mota do Institu...
.




            Para
      J´lio e Maur´cio
       u          ı
    meu melhor incentivo




             v
Ganhadores do Prˆmo Nobel de F´ 1
                          e             ısica
    1901. Wilhelm Konrad R¨ntgen - pela de...
1925. James Frank e Gustav Hertz - pelos seus trabalhos sobre o impacto
de el´trons em ´tomos.
      e         a
     1926...
magn´tico do el´tron.
        e        e
      1956. William Shockley, John Bardeen e Walter Houser Brattain -
pelos seus ...
desordenados.
     1978. Peter L. Kapitza - pelos seus trabalhos em f´       ısica a baixas temper-
aturas. Arno A. Penzia...
1998. Robert C. Laughlin, Horst L. Stoermer e Daniel C. Tsui - pela
descoberta de novas propriedades eletrˆnicas a baixas ...
Lista de Pain´is por Cap´
                                          e          ıtulo
   Cap´ ıtulo 1
   Painel I - “A Vida...
xii
Edited by Foxit Reader
                                           Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007
       ...
Edited by Foxit Reader
                           Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007
                       ...
5.8    O que s˜o Computadores? . .
                  a                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   ....
8.5   Novos Desafios a Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . 430
                        `
   8.6   O Universo teve um...
Chapter 1

A F´
   ısica at´ 1905: uma Casa
           e
de Gigantes

1.1      A Mecˆnica Cl´ssica
              a       a...
2

    O Livro do Gˆnesis descreve de maneira po´tica o momento da
                e                            e
Cria¸˜o ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES3

n˜o nos damos conta de que este conh...
4

acompanhar o texto.
    A obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princ´
                                ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES5

                                   P...
6

        A famosa express˜o matem´tica1
                        a       a


                                   F = ma   ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES7

e podemos omitir o negrito da nota¸˜...
8

                                      PAINEL II
                 QUANTIDADES ESCALARES E VETORIAIS


Em f´
    ısica, n...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES9



                              F1 =...
10

e o segundo:

     F1 × F2 = (F1y F2z − F1z F2y )i + (F1z F2x − F1x F2z )j + (F1x F2y − F1y F2x )k

Essas duas rela¸˜e...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES11

      A acelera¸˜o a ´ definida como...
12

a posi¸˜o e o instante iniciais. No nosso exemplo do carro, |∆r| = 80
      ca
km, e ∆t = 1 h. Embora estejamos usando...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES13


                                  ...
14

                                      PAINEL III
                                            ¸˜
                      ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES15

    Este processo pode ser repetido...
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     Outras quantidades importantes da mecˆnica s˜o o momento linear
                                          a      ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES17

onde v e p s˜o os m´dulos dos vetor...
18

pedra de 50 g quanto uma de 10 kg que a velocidade ao tocar o solo
ser´ a mesma. Falaremos mais sobre isto adiante.
  ...
CAP´
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                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES19



                                 ...
20

haver´ sempre os “Pel´s”, os “Chico Buarques”, e os outros.
     a               e
     O caso mais trivial de movimen...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES21

parado, assim permanecer´ indefinida...
22

anula o numerador. Teremos ent˜o o estranho resultado 0/0. Mate-
                              a
maticamente o resulta...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES23

O exemplo do motorista que deve per...
24

                                       PAINEL IV
                                            ¸˜
                      ...
CAP´
   ITULO 1 - A F´       ´
                ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES25

    Considere, por exemplo, a fun¸˜...
26

     Um exemplo de for¸a extremamente importante em f´
                      c                              ısica ´ aq...
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  1. 1. F´ ısica Moderna para iniciados, interessados e aficionados Ivan S. Oliveira Ph.D. Oxford Departamento de Mat´ria Condensada e F´ e ısica Estat´ ıstica Centro Brasileiro de Pesquisas F´ ısicas
  2. 2. Notas do Autor Escrever um livro sobre f´ ısica moderna como este exige um bocado de esp´ırito de risco em rela¸˜o ao pr´prio trabalho. Alguns colegas poder˜o ca o a achar este esfor¸o fatalmente in´ til, por considerarem quase imposs´ c u ıvel para o “pedestre comum” compreender as estranhas id´ias da rainha e das ciˆncias no s´culo XX. Discordo frontalmente; n˜o ´ preciso ser e e a e um Villa-Lobos para “arrancar” alguns acordes. A minha motiva¸˜o ca ao abra¸ar tal empreitada ´ muito simples: tenho certeza que meni- c e nos e meninas ao final do ensino m´dio, com um certo esfor¸o, s˜o e c a capazes de entender os conceitos da f´ ısica do s´culo XX somente com a e matem´tica que j´ aprenderam. Esta certeza nasceu, em parte, do meu a a breve conv´ ıvio com alguns destes estudantes no chamado Programa de Voca¸˜o Cient´ ca ıfica, iniciado na Fiocruz, e adotado no CBPF ao final de 1997, e em parte devido a um interesse particular por desafios deste tipo. Ap´s algum tempo trabalhando somente com estudantes de o mestrado e doutorado, foi uma agrad´vel surpresa descobrir a curiosi- a dade cient´ ıfica, ainda sem v´ ıcios, e o desembara¸o de estudantes t˜o c a jovens. Assist´ ı-los apresentando semin´rios ou em frente a um painel, a explicando sem cerimˆnia o que aprenderam para uma audiˆncia de ci- o e entistas profissionais, foi uma surpresa que me causou grande est´ ımulo. Contudo, o texto n˜o ´ dirigido somente para alunos do ensino a e m´dio, mas tamb´m para todos os que se consideram iniciados, in- e e teressados ou aficionados. Dentre estes incluem-se alunos no in´ de ıcio gradua¸˜o em engenharias, qu´ ca ımica, e qualquer pessoa que tenha in- teresse em f´ ısica moderna, e que conhe¸a a matem´tica do segundo c a grau. Acredito que o texto ser´ particularmente util para professores a ´ do segundo grau, e alunos dos cursos em licenciatura. Aqui uma cons- tata¸˜o: o livro n˜o ´ um livro texto no sentido usual, mas tamb´m n˜o ca a e e a ´ um livro de divulga¸˜o como outros tantos. Tentei atingir um balan¸o e ca c entre as duas abordagens. A raz˜o ´ que com pouqu´ a e ıssima matem´tica a pode-se ir muito al´m do que se conseguiria sem nenhuma. e A matem´tica ´ a linguagem natural da f´ a e ısica. Qualquer pessoa que deseje conhecer f´ ısica com alguma profundidade, n˜o poder´ ignorar a a a matem´tica. A raz˜o ´ t˜o simples quanto fascinante: os fenˆmenos a a e a o da Natureza obedecem a equa¸˜es matem´ticas! Um buraco negro ´ co a e uma solu¸˜o de um conjunto de equa¸˜es matem´ticas; um eco de spins ca co a i
  3. 3. tamb´m, ondas eletromagn´ticas idem. Podemos lan¸ar sat´lites, ex- e e c e trair energia dos n´ cleos dos atomos, conhecer a idade do Universo, ob- u ´ servar as imagens de um c´rebro humano em funcionamento, ou ainda e sonhar com computadores quˆnticos e computadores biol´gicos, gra¸as a o c a ` compreens˜o matem´tica que temos dos fenˆmenos naturais. a a o Acredito que a abordagem matem´tica utilizada neste texto o torna a acess´ a todos aqueles que tenham interesse pela f´ ıvel ısica e seus fasci- nates problemas no s´culo XX. O leitor precisar´ ter no¸˜o do que seja e a ca uma fun¸˜o e conhecer algumas opera¸˜es alg´bricas elementares, ao ca co e n´ do que se aprende no segundo grau de nossas boas escolas. Al- ıvel guns cap´ ıtulos s˜o mais t´cnicos do que outros, e podem parecer mais a e dif´ıceis. Aqueles que n˜o se impressionarem com s´ a ımbolos, e tiverem um pouco de paciˆncia, n˜o encontrar˜o dificuldades em seguir os argumen- e a a tos. Aqueles outros que possu´ ırem apetite especial para matem´tica, a encontrar˜o material suplementar em alguns dos pain´is inseridos ao a e longo do texto. Aos que “odeiam” matem´tica, mas possuem inter- a esse por certas areas da f´ ´ ısica, recomendo que simplesmente ignorem as f´rmulas e sigam adiante. O aproveitamento depender´ neste caso do o a cap´ ıtulo e da experiˆncia do leitor em achar o “caminho das pedras”! e O s´culo XX foi o s´culo da f´ e e ısica. Avan¸os espetaculares na com- c preens˜o dos fenˆmenos naturais (se ´ que podemos realmente afir- a o e mar que “compreendemos” o que significa o tempo dilatar ou uma fun¸˜o de onda colapsar!) desaguaram em tecnologias nunca antes ca sonhadas, e em discuss˜es filos´ficas t˜o infind´veis quanto interes- o o a a santes. Nosso conhecimento sobre a Natureza avan¸a vertiginosamente, c e ´ imposs´ dizer como ele, e a tecnologia que dele decorre, v˜o es- e ıvel a tar ao final do s´culo XXI! Computadores quˆnticos realizando tele- e a porte e calculando com velocidade inimagin´vel, gerando c´digos crip- a o togr´ficos indecifr´veis; todas as maravilhas prometidas pela chamada a a nanociˆncia decorrente da manipula¸˜o de materiais em escala atˆmica, e ca o como circuitos eletrˆnicos moleculares; transporte de energia sem dis- o sipa¸˜o em supercondutores; novos dados observacionais sobre a ex- ca pans˜o do Universo, desafiando modelos cosmol´gicos; novas teorias a o sobre os constituintes elementares da mat´ria. Estas s˜o apenas algu- e a mas das tendˆncias mais atuais. e Acredito que nossos cursos, tanto introdut´rios quanto intermedi´rios, o a devessem “concentrar fogo” sobre essa “nova f´ ısica”, e n˜o estagnar a ii
  4. 4. sobre conceitos formulados h´ 300 anos que, de certa forma, ficaram a “soterrados” no in´ ıcio do s´culo XX. A maioria dos nossos jovens s´ e o conhece Einstein pela explorada fotografia da careta, e o associam a ` f´rmula E = mc2 . E preciso separar os resultados das suas dedu¸˜es. o ´ co Deduzir a express˜o matem´tica E = mc2 como conseq¨ˆncia l´gica de a a ue o alguns postulados simples, ´ consideravelmente t´cnico para um estu- e e dante em fase inicial. Mas isso n˜o quer dizer que ele n˜o possa com- a a preender o que esta f´rmula significa, e quais s˜o as suas implica¸˜es! O o a co mesmo se pode dizer sobre a mecˆnica quˆntica, sobre a f´ a a ısica nuclear, sobre o magnetismo, sobre a supercondutividade, etc. Obviamente n˜o a ´ preciso que um estudante de medicina seja Ph.D. em f´ e ısica para ir al´m dos bot˜es dos equipamentos, e entender um pouco dos princ´ e o ıpios da ressonˆncia magn´tica nuclear, fenˆmeno f´ a e o ısico que o auxiliar´ com a os seus pacientes! Resumindo, este livro ´ um laborat´rio. Inevitavelmente muitos e o t´picos importantes ficaram de fora, como em qualquer outro livro com o um n´ mero manuse´vel de p´ginas. Ao me convencer de que ele n˜o u a a a poderia ser um livro texto como os usuais, me senti livre para experi- mentar um estilo descontra´ ıdo, que em geral funciona nos meus cursos na p´s-gradua¸˜o do CBPF. Afinal, para um carioca incorrig´ como o ca ıvel eu, ficar longe do bom humor e do sarcasmo pode ser sintoma de doen¸a c grave. Espero que esta combina¸˜o pouco ortodoxa seja util para o ca ´ leitor. Ivan S. Oliveira iii
  5. 5. Agradecimentos Gostaria de agradecer aos seguintes amigos e companheiros de labuta: Dr. Luis A. C. P. da Mota do Instituto de F´ ısica da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (companheiro infal´ de muita pizza e muita ıvel f´ ısica nos g´lidos s´bados de Oxford); ao meu querido amigo Dr. Edi- e a som Moreira Jr., do Departamento de Matem´tica e Computa¸˜o do a ca Instituto de Ciˆncias da Escola Federal de Engenharia de Itajub´; Dr. e a Jos´ Abdalla Helay¨l Neto, do Departamento de Campos e Part´ e e ıculas do Centro Brasileiro de Pesquisas F´ ısicas, ao ex-aluno, agora amigo e colaborador, Engenheiro Salvador Barreto Belmonte e ao Dr. Alberto Passos Guimar˜es, amigo e mentor de longa data, do Departamento a de Mat´ria Condensada e F´ e ısica Estat´ıstica do Centro Brasileiro de Pesquisas F´ ısicas. Checou todas as v´ ırgulas, colocou todas as tremas e corrigiu todas as crases! Ao meu bom amigo alem˜o, Dr. Stefan Jorda, a e ao amigo Dr. Vitor Luiz Bastos de Jesus, a quem pude sugerir algu- mas id´ias e de quem aprendi outras tantas. Aos colegas do Instituto de e F´ısica Gleb Wataghin da UNICAMP, Drs. Marcelo Knobel e Leandro R. Tessler, pelo encorajamento e incentivo. Quero tamb´m agradecer e a ` minha esposa, Dra. Rosinda Martins Oliveira, entusiasmada neuro- psic´loga. Enquanto muitos autores agradecem as respectivas esposas o ` pela “compreens˜o”, “paciˆncia”, “est´ a e ımulo”, etc., tenho a sorte de ter tido o mesmo, e ainda contar com algo mais. Crescemos juntos, e esta- mos ambos familiarizados com as belezas desta estrada, mas tamb´m e com seus “buracos” e “ped´gios”. Foi ela quem primeiro leu o livro e a fez as primeiras cr´ ıticas e sugest˜es. E gostou! o iv
  6. 6. . Para J´lio e Maur´cio u ı meu melhor incentivo v
  7. 7. Ganhadores do Prˆmo Nobel de F´ 1 e ısica 1901. Wilhelm Konrad R¨ntgen - pela descoberta dos raios-X. o 1902. Hendrik Antoon Lorentz e Pieter Zeeman - pelas suas pesquisas sobre radia¸˜o. ca 1903. Antoine Henri Becquerel e Pierre Curie - pela descoberta da radioatividade espontˆnea. a 1904. John William Strutt (Lord Rayleigh) - pela descoberta do argˆnio. o 1905. Philipp Eduard Anton von Lenard - pelos seus trabalhos sobre os raios cat´dicos. o 1906. Joseph John Thompson - pelos seus trabalhos sobre a condutividade el´trica dos gases. e 1907. Albert Abraham Michelson - pelos seus trabalhos com instrumentos o ´pticos de precis˜o. a 1908. Gabriel Lippmann - pelos seus trabalhos com cores e fenˆmenos de o interferˆncia. e 1909. Guglielmo Marconi e Carl Ferdinand Braun - pelas suas con- tribui¸˜es ao desenvolvimento do tel´grafo sem fio. co e 1910. Johannes Diderik van der Waals - pelos seus estudos sobre a equa¸˜o ca de estados de gases e l´ ıquidos. 1911. Wilhelm Wien - pelos seus estudos sobre radia¸˜o de calor. ca 1912. Nils Gustaf Dal´n - pela inven¸˜o de reguladores autom´ticos utiliza- e ca a dos na ilumina¸˜o de far´is. ca o 1913. Heike Kamerlingh Onnes - pela liquefa¸˜o do h´lio. ca e 1914. Max von Laue - pela descoberta da difra¸˜o de raios-X por cristais. ca 1915. William Henry Bragg e William Lawrence Bragg - pelos seus estudos sobre a estrutura de cristais utilizando difra¸˜o de raios-X. ca 1917. Charles Glover Barkla - pela descoberta dos raios-X caracter´ ısticos dos elementos. 1918. Max Plank - pela descoberta do quantum de energia. 1919. Johannes Stark - pelos seus trabalhos com o Efeito Doppler. ´ 1920. Charles-Edounard Guillaume - pelos seus trabalhos em medidas de precis˜o. a 1921. Albert Einstein - pelos seus trabalhos em f´ ısica te´rica, em particular o pela explica¸˜o do efeito fotoel´trico. ca e 1922. Niels Bohr - pelas suas investiga¸˜es sobre a estrutura do atomo. co ´ 1923. Robert Andrews Millikan - pelos seus trabalhos sobre a carga ele- mentar e sobre o efeito fotoel´trico. e 1924. Karl Manne Georg Siegbhan - pelas suas pesquisas sobre espectro- scopia de raio-X. 1 Parcialmente compilado de: Fundamentals of Physics, D. Halliday e R. Resnick, 3a. Ed., John Wiley & Sons (Nova Iorque, 1988) vi
  8. 8. 1925. James Frank e Gustav Hertz - pelos seus trabalhos sobre o impacto de el´trons em ´tomos. e a 1926. Jean Baptiste Perrin - pelos seus trabalhos sobre a estrutura da mat´ria. e 1927. Arthur Holly Compton e Charles Thompson Rees Wilson - pelo m´todo de condensa¸˜o de vapor para tornar trajet´rias de part´ e ca o ıculas vis´ ıveis. 1928. Owen Willans Richardson - pelos seus trabalhos sobre o efeito ter- moiˆnico. o 1929. Louis-Victor de Broglie - pela descoberta da natureza ondulat´ria o do el´tron. e 1930. Chandrasekhara Venkata Raman - pelos seus trabalhos sobre es- palhamento de luz. 1932. Werner Heisenberg - pela cria¸˜o da Mecˆnica Quˆntica. ca a a 1933. Erwin Schr¨dinger e Paul Adrien Maurice Dirac - pelos seus o trabalhos sobre a teoria atˆmica. o 1935. James Chadwick - pela descoberta do nˆutron. e 1936. Victor Franz Hess e Carl David Anderson - pela descoberta do p´sitron. o 1937. Clinton Joseph Davisson e George Paget Thompson - pelos seus trabalhos sobre a difra¸˜o de el´trons por cristais. ca e 1938. Enrico Fermi - pela descoberta dos elementos transurˆnicos.a 1939. Ernest Orlando Lawrence - pela inven¸˜o do acelerador c´ ca ıclotron. 1943. Otto Stern - pela descoberta do momento mang´tico do pr´ton. e o 1944. Isidor Isaac Rabi - pelos seus estudos em ressonˆncia magn´tica a e nuclear. 1945. Wolfgang Pauli - pela descoberta do Princ´ ıpio de Exclus˜o. a 1946. Percy Williams Bridgeman - pelos seus trabalhos em f´ ısica de alta press˜o. a 1947. Edward Victor Appleton - pelos seus trabalhos sobre f´ ısica at- mosf´rica. e 1948. Patrik Maynard Stuart Blackett - pelas suas descobertas em f´ ısica nuclear e radia¸˜o c´smica. ca o 1949. Hideki Yukawa - pela previs˜o te´rica da existˆncia do m´son. a o e e 1950. Cecil Frank Powel - pelo desenvolvimento de m´todos fotogr´ficos no e a estudo de processos nucleares. 1951. John Douglas Cockcroft e Ernest Thomas Sinton Walton - pelos seus trabalhos sobre a transmuta¸˜o de n´cleos atˆmicos utilizando aceleradores de ca u o part´ıculas. 1952. Felix Bloch e Edward Mills Purcell - pelos suas descobertas em ressonˆncia magn´tica nuclear. a e 1953. Fritz Zernike - pela inven¸˜o de novas t´cnicas de microscopia. ca e 1954. Max Born - pela interpreta¸˜o estat´ ca ıstica da fun¸˜o de onda. ca 1955. Willis Eugene Lamb - pelos seus trabalhos sobre a estrutura fina do a ´tomo de hidrogˆnio. Polykarp Kush - pela determina¸˜o precisa do momento e ca vii
  9. 9. magn´tico do el´tron. e e 1956. William Shockley, John Bardeen e Walter Houser Brattain - pelos seus trabalhos em semicondutores e transistores. 1957. Chen Ning Yang e Tsung Dao Lee - pelos seus trabalhos sobre as leis de paridade em part´ ıculas elementares. cˇ 1958. Pavel Aleksejeviˇ Cerenkov, Il’ja Michajloviˇ Frank e Igor’Evegen’ c ˇ eviˇ Tamm - pela descoberta do efeito Cerenkov. c 1959. Emilio Gino Segr` e Owen Chamberlain - pela descoberta do e antipr´ton. o 1960. Donald Arthur Glaser - pela inven¸˜o da cˆmara de bolhas. ca a 1961. Robert Hofstadter - pelos seus trabalhos sobre espalhamento de el´trons por n´ cleos. Rudolf Ludwig M¨ssbauer - pela descoberta do efeito e u o M¨ssbauer. o 1962. Lev Davidoviˇ Landau - pelos seus trabalhos em mat´ria condensada. c e 1963. Eugene P. Wigner - pelas suas contribui¸˜es ` teoria nuclear e de co a part´ ıculas. Maria Geoppert Mayer e J. Hans D. Jensen - pela descoberta da estrutura de camadas nuclear. 1964. Charles H. Townes, Nikolai G. Basov e Alexander M. Pro- chorov - pelos seus trabalhos em eletrˆnica quˆntica. o a 1965. Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard P. Feynman - pelos seus trabalhos em eletrodinˆmica quˆntica. a a 1966. Alfred Kastler - pela descoberta e desenvolvimento de m´todos opticos e ´ para o estudo de ressonˆncias em atomos. a ´ 1967. Hans Albrecht Bethe - pelas suas contribui¸˜es ` teoria das rea¸˜es co a co nucleares. 1968. Luis W. Alvarez - pelos seus trabalhos em part´ ıculas elementares. 1969. Murray Gell-Mann - pelos seus trabalhos em part´ ıculas elementares. 1970. Hannes Alv´n - pelos seus trabalhos em magnetohidrodinˆmica. Louis e a N´el - pelas suas descobertas sobre antiferromagnetismo e ferrimagnetismo e suas e aplica¸˜es ao estado s´lido. co o 1971. Dennis Gabor - pela descoberta dos princ´ da holografia. ıos 1972. John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer - pelo desenvolvimento da teoria da supercondutividade. 1973. Leo Esaki - pela descoberta do tunelamento em semicondutores. Ivar Giaever - pela descoberta do tunelamento em supercondutores. Brian D. Joseph- son - pela descoberta da supercorrente atrav´s de jun¸˜es em supercondutores. e co 1974. Antony Hewish - pela descoberta dos pulsares. Martin Ryle - pelo seu trabalho em radio-astronomia. 1975. Aege Bohr, Ben Mottelson e James Rainwater - pelos seus tra- balhos sobre a estrutura nuclear. 1976. Burton Richter e Samuel Chao Chung Ting - pelas suas descober- tas de uma part´ ıcula fundamental. 1977. Philip Warren Anderson, Nevill Francis Mott e John Has- brouck Van Vleck - pelas suas investiga¸˜es em materiais magn´ticos e sistemas co e viii
  10. 10. desordenados. 1978. Peter L. Kapitza - pelos seus trabalhos em f´ ısica a baixas temper- aturas. Arno A. Penzias e Robert Woodrow Wilson - pela descoberta da radia¸˜o de fundo do Universo. ca 1979. Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam e Steven Weinberg - pela teoria unificada da intera¸˜o eletrofraca. ca 1980. James W. Cronin e Val L. Fitch - pela descoberta de viola¸˜es em co princ´ıpios fundamentais de simetria no decaimento de m´sons K. e 1981. Nicolaas Bloembergen e Arthur Leonard Schawlow - pelas suas contribui¸˜es ` espectroscopia de laser. Kai M. Siegbahn - pelas suas con- co a tribui¸˜es ` espectroscopia de el´tron. co a e 1982. Kenneth Geddes Wilson - pelos seus estudos sobre fenˆmenos cr´ o ıticos na mat´ria. e 1983. Subrehmanyan Chandrasekhar - pelos seus estudos sobre a evolu¸˜o ca das estrelas. William A. Fowler - pelos seus estudos sobre a forma¸˜o de elemen- ca tos qu´ ımicos no Universo. 1984. Carlo Rubia e Simon van der Meer - pelas suas contribui¸˜es ` co a descoberta das part´ ıculas W e Z. 1985. Klaus von Klitzing - pela descoberta do efeito Hall quˆntico. a 1986. Ernst Ruska - pela descoberta do microsc´pio eletrˆnico. Gerd Bin- o o nig - pela descoberta da varredura de tunelamento. Heinrich Rohrer - pela inven¸˜o do microsc´pio eletrˆnico por varredura de tunelamento. ca o o 1987. Karl Alex M¨ ller e J. George Bednorz - pela descoberta dos u supercondutores de alta temperatura cr´ ıtica. 1988. Leon M. Lederman, Melvin Schwartz e Jack Steinberger - pelas suas pesquisas sobre a estrutura dos l´ptons. e 1989. Norman F. Ramsey, Hans G. Dehmelt e Wolfgang Paul - pelo desenvolvimento da t´cnica de aprisionamento de ´ e ıons. 1990. Jerome I. Friedman, Henry W. Kendall e Richard E. Taylor - pelas suas investiga¸˜es sobre o espalhamento inel´stico de el´trons em pr´tons e co a e o nˆutrons. e 1991. Pierre-Gilles de Gennes - pelos seus estudos em cristais l´ ıquidos e pol´ımeros. 1992. Georges Charpak - pela inven¸˜o de detectores de part´ ca ıculas. 1993. Russell A. Hulse e Joseph H. Taylor Jr. - pela descoberta de um novo tipo de pulsar. 1994. Bertramin N. Brockhouse e Clifford G. Shull - pelas suas con- tribui¸˜es ao desenvolvimento de t´cnicas de difra¸˜o de nˆutrons. co e ca e 1995. Martin L. Perl e Frederick Reines - pelas suas contribui¸˜es ` f´ co a ısica dos leptons. 1996. David M. Lee, Douglas D. Osheroff e Robert C. Richardson - pela descoberta da superfluidez no 3 He. 1997. Steven Chu, William D. Phillips e Claude Cohen-Tannoudji - pelos seus trabalhos sobre as intera¸˜es entre radia¸˜o e mat´ria. co ca e ix
  11. 11. 1998. Robert C. Laughlin, Horst L. Stoermer e Daniel C. Tsui - pela descoberta de novas propriedades eletrˆnicas a baixas temperaturas e altos campos o magn´ticos. e 1999. Gerardus ’t Hooft e Martinus J.G. Veltman - pelos seus trabalhos te´ricos sobre a estrutura e movimento de part´ o ıculas subatˆmicas. o 2000. Zhores Alferov, Herbert Kroemer e Jack Kilby - por suas pesquisas em semicondutores que permitiram o desenvolvimento de computadores ultra-r´pidos. a x
  12. 12. Lista de Pain´is por Cap´ e ıtulo Cap´ ıtulo 1 Painel I - “A Vida e a Obra de Dois Gˆnios” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pg. 5 e Painel II - “Quantidades Escalares e Vetoriais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Painel III - “Derivada de uma Fun¸˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ca Painel IV - “Integral de uma Fun¸˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ca Painel V - “N´meros Imagin´rios, N´ meros Complexos e u a u Fun¸˜es Complexas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 co Cap´ıtulo 2 Painel VI - “A Experiˆncia de Michelson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 e Painel VII - “Casamento Conturbado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Cap´ıtulo 3 Painel VIII - “Fun¸˜es de Distribui¸˜o de Probabilidades” . . . . . . . . . . . . . . . 148 co ca Painel IX - “A Equa¸˜o de Schr¨dinger” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 ca o Cap´ıtulo 4 Painel X - “ Coordenadas Retangulares vs. Esf´ricas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 e Cap´ıtulo 5 Painel XI - “Alan Turing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Cap´ıtulo 6 Painel XII - “RMN e Computa¸˜o Quˆntica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 ca a Cap´ıtulo 7 Painel XIII - “O Projeto Manhattan” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Painel XIV - “Espelhos Magn´ticos e Tokamaks” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 e Cap´ıtulo 8 Painel XV - “O Efeito M¨ssbauer” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 o Painel XVI - “Relatividade e Imposturas Intelectuais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Cap´ıtulo 9 Painel XVII - “A Cˆmara de Wilson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 a Painel XVIII - “Vida e Obra de Cesar Lattes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 Painel XIX - “Vida e Obra de Jos´ Leite Lopes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 e Painel XX - “O Laborat´rio Nacional de Luz S´ o ıncrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Painel XXI - “O Modelo Padr˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 a xi
  13. 13. xii
  14. 14. Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007 For Evaluation Only. Contents 1 A F´ısica at´ 1905: uma Casa de Gigantes e 1 1.1 A Mecˆnica Cl´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 1 1.1.1 As Leis do Movimento; Newton, Espa¸o e Tempo Absolutos . . . . . . . . c 3 1.1.2 Movimento de Objetos sob a A¸˜o de ca For¸as Mecˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . c a 18 1.1.3 Gravita¸˜o Universal: da Queda da Ma¸˜ a Queda ca ca ` da Lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.4 O Movimento dos Planetas . . . . . . . . . . . . . 33 1.1.5 Massa Inercial vs. Massa Gravitacional . . . . . . 39 1.1.6 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.1.7 F´ ısica T´rmica: dos Planetas aos Gases . . . . . . e 44 1.1.8 E´ Poss´ o Tempo andar para Tr´s? . . . . . . . ıvel a 47 1.1.9 O Rel´gio C´smico . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 51 1.2 O Eletromagnetismo Cl´ssico . . . . . . . . . . . . . . . a 52 1.2.1 Fenˆmenos El´tricos e Magn´ticos . . . . . . . . . o e e 52 1.2.2 Fenˆmenos Ondulat´rios: Difra¸˜o e Interferˆncia o o ca e 62 1.2.3 Ondas Eletromagn´ticas . . . . . . . . . . . . . . e 70 1.2.4 Afinal, o que ´ a Luz? . . . . . . . . . . . . . . . e 75 1.2.5 Afinal, Porque o C´u ´ Azul? . . . . . . . . . . . e e 79 1.2.6 Acabou a F´ ısica?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2 A Teoria da Relatividade 85 2.1 Einstein: um Gˆnio Desempregado . . . . . . . . . . . . e 86 2.2 Maxwell n˜o Concorda com Newton . . . . . . . . . . . . a 89 2.3 Os Postulados da Relatividade: a Implos˜o do Velho Templo . . . . . . . . . . . . . . . . a 104 xiii
  15. 15. Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007 For Evaluation Only. 2.4 O Tempo pode ser Esticado! . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.5 O Espa¸o pode ser Encolhido! . . c . . . . . . . . . . . . . 115 2.6 E = mc2 : Energia que d´ Gosto! a . . . . . . . . . . . . . 117 2.7 Viagens no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 A Mecˆnica Quˆntica a a 129 3.1 Havia uma Pedra no Caminho . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2 Max Plank: Pacotes de Luz?! . . . . . . . . . . . . . . . 133 e 3.3 Louis de Broglie: Ondas de Mat´ria?! . . . . . . . . . . . 140 o e 3.4 Erwin Schr¨dinger e o Mist´rio ψ(r, t) . . . . . . . . . . 144 u 3.5 A D´ bia Vida de um Pobre Gato . . . . . . . . . . . . . 159 3.6 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.7 O Princ´ ıpio de Exclus˜o de Pauli . . . . a . . . . . . . . . 170 a 3.8 Einstein: “Deus n˜o Joga Dados” . . . . . . . . . . . . . 178 co 3.9 Correla¸˜es Estranhas: Afinal, Deus Joga Dados? . . . . 182 a 3.10 Existe um Mundo l´ Fora? . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.11 Teletransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 ´ 4 Como Construir um Atomo 197 ´ 4.1 A Estrutura do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 a 4.2 Orbitais Quˆnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 e 4.3 A Mat´ria do Universo em uma Tabela . . . . . . . . . . 217 o 4.4 Esticando a Tabela Peri´dica . . . . . . . . . . . . . . . 220 co 4.5 Liga¸˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 e 4.6 ADN: uma Mol´cula muito Especial . . . . . . . . . . . . 228 ´ 4.7 Magnetismo do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 c 4.8 For¸a Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 ıvel 4.9 O Indivis´ pode ser Dividido! . . . . . . . . . . . . . . 242 5 Dos ´ Atomos aos Computadores 247 5.1 Objetos Macrosc´picos . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 249 5.2 Periodicidade na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 5.3 Porque a Lata Difere do Diamante? . . . . . . . . . . . . 255 5.4 Autoestados em uma Caixa Peri´dica o . . . . . . . . . . . 256 5.5 O Mundo ´ Quˆntico! . . . . . . . . . e a . . . . . . . . . . . 264 5.6 Metais, Isolantes e Semicondutores . . . . . . . . . . . . 269 5.7 Jun¸˜es, Diodos e Transistores . . . . co . . . . . . . . . . . 272 xiv
  16. 16. 5.8 O que s˜o Computadores? . . a . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.9 Bits & Bites: o B´sico . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.10 A Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.11 O ADN Computa! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.12 Computadores podem Pensar? . . . . . . . . . . . . . . . 297 6 Magnetismo 307 6.1 Origem do Magnetismo na Mat´ria e . . . . . . . . . . . . 307 e 6.2 Tipos de Ordem Magn´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.3 Magnetismo Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 a e 6.4 Ressonˆncia Magn´tica Nuclear . . . . . . . . . . . . . . 327 6.5 O Sistema Girante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 6.6 Ecos de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 6.7 Imagens do Corpo Humano; uso M´dico da RMN . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 345 6.8 A Fauna Quˆntica: F´tons, Fˆnons, a o o M´gnons, Plasmons, e outros ‘ons’ a . . . . . . . . . . . . 349 6.9 Trens que Flutuam! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Energia Nuclear 365 7.1 Instabilidade Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.2 Alfa, Beta e Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 7.3 Fiss˜o Nuclear: Xˆ Satan´s! . . . . . . . . . . . . . . . . 374 a o a 7.4 Energia de Fiss˜o: Quantos N´cleos Fervem uma Piscina?378 a u 7.5 Reatores-N & Bombas-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 7.6 Lixo Atˆmico: um Sub-Produto Indesej´vel . . . . . . . 389 o a 7.7 Fus˜o Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 a 7.8 Como Funciona o Sol? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 7.9 Efeitos Biol´gicos da Radia¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . 397 o ca 7.10 Medicina Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8 Relatividade Geral 409 8.1 Einstein Ataca de Novo! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 8.2 O Princ´ıpio da Equivalˆncia . . . e . . . . . . . . . . . . . 410 8.3 Geometria e Gravita¸˜o . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . 423 8.4 Nascimento e Morte das Estrelas: Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 xv
  17. 17. 8.5 Novos Desafios a Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . 430 ` 8.6 O Universo teve um In´ ıcio? A Grande Explos˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 a 8.7 O Universo ter´ um Fim? a O Grande Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 9 O Sonho da Unifica¸˜o ca 445 9.1 As Quatro Damas da Cria¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . 446 9.2 Newton: Unifica¸˜o do C´u com a Terra . . . . . . . . . . . ca e . . . 449 9.3 Maxwell: Unifica¸˜o da Eletricidade com o Magnetismo ca ´ e com a Otica F´ ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 9.4 Part´ ıculas Elementares: A Ducha C´smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . 453 9.5 Unifica¸˜o Eletrofraca . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . 464 ´ Poss´ Recriar o Universo em um Laborat´rio? 9.6 E ıvel o . . . 468 9.7 Gravita¸˜o: outra Pedra no Caminho! . . . . . . . . ca . . . 476 9.8 Teorias de Tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 xvi
  18. 18. Chapter 1 A F´ ısica at´ 1905: uma Casa e de Gigantes 1.1 A Mecˆnica Cl´ssica a a No in´ tudo era o caos. Primeiro criou Deus o C´u e a Terra. A Terra ıcio e era vazia e sem forma. O Esp´ ırito de Deus pairava sobre as aguas. E ´ Deus disse: - Haja Luz! Notando no entanto que nada acontecera, o desapontado Criador deu um longo suspiro, e balbuciou distra´ ıdo: - Haja Paciˆncia! e Um de seus Arcanjos ent˜o, constrangido com o que ocorrera, cochichou- a Lhe algo nos ouvidos. . . - Ah, sim. Claro! Haja, antes, Espa¸o e Tempo! c E depois repetiu animado: - Haja Luz! E um aberto sorriso iluminou Sua face. 1
  19. 19. 2 O Livro do Gˆnesis descreve de maneira po´tica o momento da e e Cria¸˜o do Universo. Embora alguns cientistas ainda discutam se houve ca realmente um “in´ ıcio”, as evidˆncias mais recentes apontam para o e fato de que o Universo em que vivemos teve seu nascimento em algum momento, h´ cerca de 15 bilh˜es de anos atr´s. A adultera¸˜o das a o a ca primeiras palavras da B´ ıblia feita acima, serve para enfatizar (de forma bem humorada) o que intuimos a respeito da estrutura mais b´sica do a ´ ıcil Universo: o espa¸o e o tempo. E dif´ imaginarmos o espa¸o e o tempo c c como objetos f´ ısicos em s´ que foram criados com os outros objetos do ı, Universo. O sentimento que temos ´ de que o espa¸o e o tempo devem e c ter pre-existido a cria¸˜o das outras coisas. ` ca No entanto, parece n˜o ser assim. Como veremos ao longo deste a livro, a Natureza muitas vezes n˜o corresponde as nossas intui¸˜es a ` co ingˆnuas. No primeiro quarto do s´culo XX o edif´ cient´ e e ıcio ıfico cons- tru´ durante mais de 300 anos por gigantes da Ciˆncia como Galileu ıdo e Galilei, Isaac Newton, e James Clerk Maxwell, viu as suas bases ru´ ırem diante das id´ias revolucion´rias de homens como Albert Einstein, Max e a Planck, Niels Bohr, Louis de Broglie, Wolfgang Pauli, Werner Heisen- berg, Erwin Schr¨dinger, entre outros. o Nos dias de hoje estamos habituados a usar computadores, e ouvir coisas sobre energia nuclear, bombas atˆmicas, buracos negros, tomo- o grafia computadorizada, lixo atˆmico, viagens interestelares, etc. Es- o tas coisas aparecem em jornais, revistas, romances, filmes, poemas, etc. Fazem parte do nosso dia-a-dia, e ocupam o centro da produ¸˜o ca cient´ ıfica e tecnol´gica dos pa´ industrializados, onde o uso deste co- o ıses nhecimento gera riqueza e desenvolvimento. No entanto, muitas vezes
  20. 20. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES3 n˜o nos damos conta de que este conhecimento ´ o produto de uma a e revolu¸˜o cient´ ca ıfica (talvez a maior da hist´ria da humanidade), que o ocorreu h´ menos de 100 anos atr´s! As bases desta revolu¸˜o s˜o duas a a ca a ısicas espetaculares: a Teoria da Relatividade e a Mecˆnica teorias f´ a ´ Quˆntica. E sobre estas duas teorias e suas conseq¨ˆncias de que trata a ue este livro. Antes, contudo, para melhor apreciarmos a devasta¸˜o feita ca por estes dois furac˜es, ´ necess´rio que nos coloquemos na situa¸˜o o e a ca dos f´ ısicos do in´ do s´culo XX, que tiveram que assistir perplexos ıcio e ao desabamento do Templo que habitavam. 1.1.1 As Leis do Movimento; Newton, Espa¸o e Tempo Absolutos c O que hoje chamamos de F´ ısica Cl´ssica ´ basicamente o conte´do da a e u obra de dois homens: o inglˆs Isaac Newton, e o escocˆs James Clerk e e Maxwell. O primeiro unificou as leis da mecˆnica, que descrevem o a movimento de objetos sob a a¸˜o de for¸as que sobre ele atuam. O ca c segundo unificou as leis que regem os fenˆmenos el´tricos e magn´ticos, o e e incluindo a propaga¸˜o de ondas eletromagn´ticas no espa¸o, como on- ca e c das de r´dio e a luz. Na f´ a ısica, esses dois monumentos te´ricos s˜o o a conhecidos como Mecˆnica Cl´ssica e Eletrodinˆmica Cl´ssica. a a a a Nesta se¸˜o vamos revisar os fundamentos da mecˆnica, seus pos- ca a tulados, e suas leis do movimento: as trˆs leis de Newton. Na segunda e parte deste cap´ ıtulo estudaremos os fenˆmenos eletromagn´ticos. Al- o e guns conceitos matem´ticos, como a “derivada” e a “integral” de uma a fun¸˜o s˜o introduzidos nos pain´is, por raz˜es de complementaridade. ca a e o Ter conhecimento pr´vio destas t´cnicas n˜o ´, contudo, necess´rio para e e a e a
  21. 21. 4 acompanhar o texto. A obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princ´ ıpios Matem´ticos da Filosofia Natural, publicada em 1687, ´ um marco na a e Hist´ria da Ciˆncia, que perpetua o nome de Isaac Newton como um o e dos maiores, sen˜o o maior gˆnio cient´ a e ıfico que j´ existiu. Nesta obra, a Newton estabelece os fundamentos da mecˆnica. O espa¸o e o tempo a c absolutos s˜o conceituados como estruturas est´ticas, homogˆneas, in- a a e alter´veis, que nada tˆm a ver com as outras coisas. Para Newton, a e as no¸˜es vulgares de espa¸o e tempo que temos decorrem da nossa co c experiˆncia de movimento dentro dessa estrutura absoluta. e
  22. 22. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES5 PAINEL I ˆ A VIDA E OBRA DE DOIS GENIOS O inglˆs Isaac Newton nasceu no dia de Natal de 1642, em uma cidade chamada e Woolsthorpe ao centro-norte da Inglaterra. No mesmo ano morria o italiano Galileu Galilei. Newton bacharelou-se pela Universidade de Cambridge em 1665, ano que retornaria para Woolsthorpe, fugindo da Grande Peste que assolava a Europa. Os dois anos que se seguiram foram, segundo o pr´prio Newton, os mais f´rteis de sua o e vida. Durante este per´ ıodo desenvolveu o C´lculo Diferencial e Integral (que ele a denominava c´lculo das flux˜es), fez importantes estudos de ´tica, e come¸ou a sua a o o c Teoria da Gravita¸˜o Universal. Tornou-se membro da Royal Society (a academia ca de ciˆncias inglesa) em 1672. Sua obra mais importante, o Philosophiae Naturalis e Principia Mathematica foi publicada em 1687, com duas edi¸˜es posteriores, em co 1713 e 1726. Newton morreu em 1727. James Clerk Maxwell nasceu em Edinburgo, capital da Esc´cia, no dia 13 de o junho de 1831, e portanto quase 100 anos ap´s a morte de Newton. Ainda muito o jovem j´ revelava aptid˜es especiais para a ciˆncia. Aos 19 anos produziu alguns a o e trabalhos originais que foram apresentados a Royal Society de Edinburgo. Em 1847 ` Maxwell ingressou na Universidade de Edinburgo, terminando sua gradua¸˜o em ca janeiro de 1854. Seus trabalhos mais importantes sobre Teoria Cin´tica dos Gases e e Eletrodinˆmica foram desenvolvidos durante os anos de 1860 e 1865, per´ a ıodo em que esteve no Kings College, em Londres. Em 1871 tornou-se professor de eletricidade e magnetismo em Cambridge, onde durante os primeiros anos deu retoques em seu grande trabalho sobre a eletrodinˆmica. Em 1879 caiu doente e faleceu no dia 5 de a novembro, com a idade de apenas 49 anos.
  23. 23. 6 A famosa express˜o matem´tica1 a a F = ma (1.1) define a rela¸˜o entre a for¸a resultante F que atua sobre um objeto ca c de massa m, e a acelera¸˜o a que este adquire sob a a¸˜o da for¸a. ca ca c ca a e Esta equa¸˜o dinˆmica ´ o cora¸˜o da mecˆnica cl´ssica. Ela descreve ca a a o movimento de qualquer objeto: pode tanto ser uma bola que rola ladeira abaixo, quanto o movimento de um planeta em torno do Sol. A equa¸˜o 1.1 ´ a express˜o matem´tica da conhecida Segunda Lei de ca e a a Newton. Newton postulou mais duas leis de movimento. S˜o elas: a Primeira Lei: Todo corpo permanece em estado de re- pouso ou de movimento retil´ ıneo uniforme, a menos que atuem sobre ele for¸as externas que alterem este estado; c Terceira Lei: A toda a¸˜o existe sempre uma rea¸˜o ca ca igual em m´dulo, e em sentido contr´rio. o a Com essas trˆs Leis, Newton revolucionou o Mundo! e ´ E importante lembrar que a equa¸˜o 1.1 ´ uma equa¸˜o vetorial. ca e ca As quantidades F e a n˜o s˜o n´ meros puros: s˜o vetores, e portanto a a u a possuem m´dulo, dire¸˜o e sentido. Vetores, de uma maneira geral, pos- o ca suem trˆs componentes, que correspondem `s trˆs dimens˜es do espa¸o. e a e o c No caso da for¸a F, por exemplo, representamos essas componentes por c Fx , Fy e Fz . Em problemas unidimensionais s´ haver´ uma componente o a 1 Adotaremos a nota¸˜o em negrito ‘F’, ao inv´s da mais usual ‘F ’, para repre- ca e sentar vetores.
  24. 24. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES7 e podemos omitir o negrito da nota¸˜o vetorial, observando, contudo, ca o sentido do movimento.
  25. 25. 8 PAINEL II QUANTIDADES ESCALARES E VETORIAIS Em f´ ısica, n´ meros servem para quantificar propriedades relacionadas a objetos ou u ao movimento de objetos. Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui uma massa de 5 kg, associamos ` propriedade de massa, o n´ mero 5, vezes o padr˜o a u a quilograma. Algumas propriedades, no entanto, n˜o ficam completamente caracte- a rizadas apenas com um n´ mero. Por exemplo, se algu´m disser ‘passou por aqui um u e carro a 100 km/h’, nos ocorre a pergunta: ‘em que dire¸˜o?’ Neste caso, somente ca o n´ mero ‘100 km/h’ n˜o completa a informa¸˜o. Quantidades que ficam caracte- u a ca rizadas apenas por um n´ mero s˜o chamadas escalares, e quantidades associadas a u a ` dire¸˜es no espa¸o s˜o chamadas vetoriais. co c a Vetores possuem m´dulo, dire¸˜o e sentido. Usamos os vetores unit´rios (ou o ca a seja, de m´dulo 1, tamb´m chamados de versores) i, j e k, tamb´m chamados de o e e vetores de base, para representarmos as 3 dire¸˜es do espa¸o. Com isso podemos co c escrever qualquer vetor como uma combina¸˜o dos vetores de base. Por exemplo, ca F = Fx i + Fy j + Fz k representa um vetor F cujas componentes s˜o Fx , Fy e Fz . Embora n˜o seja es- a a tritamente necess´rio, os vetores de base s˜o em geral perpendiculares entre si, ou a a seja, formam angulos de 90 graus uns com os outros. ˆ O m´dulo de um vetor F, representado por |F| ou F , ´ uma medida da inten- o e sidade da grandeza f´ ısica que ele representa. O m´dulo ´ dado por: o e |F| = 2 2 2 Fx + Fy + Fz √ Por exemplo, o m´dulo do vetor posi¸˜o r = 3i−2j+5k ´ igual a o ca e 9 + 4 + 25 ≈ 6, 2 unidades de distˆncia (por exemplo, o metro). O m´dulo do vetor velocidade v = a o √ 4i + j − 5k ´ 16 + 1 + 25 ≈ 6, 5 unidades de velocidade (por exemplo, kilˆmetros e o por hora). A soma de dois vetores ´ outro vetor cujas componentes s˜o as somas das e a componentes dos vetores originais. Se
  26. 26. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES9 F1 = F1x i + F1y j + F1z k e F2 = F2x i + F2y j + F2z k ent˜o: a F1 + F2 = (F1x + F2x )i + (F1y + F2y )j + (F1z + F2z )k Por exemplo, se F1 = 3i − 2j + 5k, e F2 = i + 4j − k, ent˜o, F1 + F2 = 4i + 2j + 4k. a Graficamente, o vetor soma ´ dado pela diagonal do paralelogramo cujos lados s˜o e a formados pelos vetores originais. A dire¸˜o de um vetor ´ dada pelo vetor unit´rio obtido dividindo-se cada ca e a componente do vetor pelo seu m´dulo. Por exemplo, a dire¸˜o de F = 3i − 2j + 5k, o ca a qual vamos representar por eF , ´ igual a: e 3i − 2j + 5k eF = = 0, 48i − 0, 32j + 0, 81k 6, 2 Note que |eF | = 1, como requer um vetor unit´rio. a Existem tipos diferentes de produtos entre vetores. Por exemplo, o produto escalar, cujo resultado ´ uma quantidade escalar, e o produto vetorial, cujo resultado e ´ outro vetor, perpendicular aos dois vetores originais. Se F1 e F2 s˜o dois vetores, e a e θ o menor ˆngulo entre eles, seu produto escalar ser´ dado por: a a F1 · F2 = |F1 ||F2 |cosθ E o m´dulo do produto vetorial ser´ dado por: o a |F1 × F2 | = |F1 ||F2 |senθ Os produtos escalar e vetorial podem tamb´m ser expressos em termos das e componentes dos vetores, sendo o primeiro dado por: F1 · F2 = F1x F2x + F1y F2y + F1z F2z
  27. 27. 10 e o segundo: F1 × F2 = (F1y F2z − F1z F2y )i + (F1z F2x − F1x F2z )j + (F1x F2y − F1y F2x )k Essas duas rela¸˜es podem ser obtidas a partir do fato de que os unit´rios i, j e k co a possuem as propriedades: i·i= j·j= k·k =1 i·j= j·k= k·i =0 i × j = k; j × k = i; k × i = j i×i= j×j= k×k = 0 e notando que o produto vetorial troca de sinal sob uma permuta dos vetores: i × j = −j × i, etc. A partir do que foi dito acima, fica f´cil calcular o angulo entre dois vetores; a ˆ este ser´ dado pelo angulo entre os vetores unit´rios correspondentes, ou seja: a ˆ a cosθ = eF1 · eF2 Por exemplo, se eF1 = 0, 48i − 0, 32j + 0, 81k e eF2 = 0, 24i − 0, 94j + 0, 24k, o angulo ˆ entre F1 e F2 ´ igual a: e cosθ = 0, 11 + 0, 30 + 0, 19 = 0, 61 ⇒ θ = 52, 4o
  28. 28. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES11 A acelera¸˜o a ´ definida como a taxa de varia¸˜o da velocidade v, ca e ca por intervalo de tempo. A velocidade, por sua vez ´ definida como a e taxa de varia¸˜o da posi¸˜o r do objeto por intervalo de tempo. Neste ca ca ponto aparece uma certa dificuldade nessas defini¸˜es. Para exempli- co fic´-la, considere uma situa¸˜o simples em que um motorista ´ obrigado a ca e a percorrer uma distˆncia de 80 km em 1 hora. Obviamente isto pode a ser feito de diversas maneiras. A mais simples consiste em manter uma velocidade constante, exatamente igual a 80 km/h, e ap´s 1 hora ele o ter´ percorrido a distˆncia desejada. Neste caso, n˜o h´ varia¸˜o da a a a a ca velocidade durante o percurso, e conseq¨entemente a acelera¸˜o ser´ u ca a igual a zero. Uma segunda op¸˜o seria acelerar o carro uniformemente ao longo ca do percurso. Por exemplo, se a carro iniciar o movimento com uma ve- locidade de 20 km/h, e o motorista for capaz de manter uma acelera¸˜o ca constante de 120 km/h2 (isto ´, a cada hora a velocidade aumentar de e 120 km/h), ap´s exatamente 1 hora ele ter´ percorrido os 80 km. o a Nesses casos simples (de acelera¸˜o nula ou uniforme), v e a podem ca ser definidos por: r − r0 ∆r v= = (1.2) t − t0 ∆t v − v0 ∆v ∆ ∆r ∆2 r a= = = ≡ (1.3) t − t0 ∆t ∆t ∆t (∆t)2 ımbolo ∆2 r foi introduzido para representar ∆(∆r), ou seja, a onde o s´ varia¸˜o da varia¸˜o da posi¸˜o do objeto2 r0 e t0 s˜o respectivamente ca ca ca a 2 No presente contexto, a express˜o mais a direita, ∆2 r/∆t2 , deve ser vista como a
  29. 29. 12 a posi¸˜o e o instante iniciais. No nosso exemplo do carro, |∆r| = 80 ca km, e ∆t = 1 h. Embora estejamos usando unidades do nosso dia- a-dia para expressar velocidade e distˆncia, no sistema internacional a (SI) as unidades de r e v s˜o respectivamente o metro (m) e o metro a por segundo (m/s). A acelera¸˜o se mede em metro por segundo ao ca quadrado (m/s2 ), e a for¸a em newtons (N=kg · m · s−2 ). c Estamos de acordo que estas n˜o s˜o as duas unicas maneiras de se a a ´ percorrer 80 km em 1 h. De um modo geral, a acelera¸˜o e a velocidade ca ir˜o variar de uma forma arbitr´ria com o tempo ao longo do percurso, a a e as defini¸˜es 1.2 e 1.3 n˜o ser˜o v´lidas, pois consideram os valores de co a a a r e v apenas no in´ e fim do movimento. Newton se deparou com este ıcio problema, e para resolvˆ-lo teve que inventar uma nova matem´tica! e a Imagine que ao inv´s de medir a varia¸˜o de r e v entre o in´ e ca ıcio (t0 ) e o fim (t) do movimento, o intervalo de tempo ∆t seja dividido em 1000 intervalos menores, cada um com 3,6 segundos. Se para cada um destes sub-intervalos calcularmos as raz˜es dadas por 1.2 e 1.3, o teremos uma esp´cie de velocidade e acelera¸˜o “instantˆneas”. Para e ca a sermos ainda mais precisos, poder´ ıamos dividir ∆t em 10000 ou em 1000000 de sub-intervalos. Quanto menor for o sub-intervalo, mais as defini¸˜es 1.2 e 1.3 refletir˜o os valores instantˆneos de v e a. Nada co a a nos impede de imaginarmos intervalos infinitamente pequenos de r e t. Em matem´tica esses intervalos infinitesimais s˜o representados por dr a a e dt. Com isso as defini¸˜es 1.2 e 1.3 se tornam: co um mero s´ ımbolo matem´tico, e n˜o uma opera¸ao propriamente dita. Somente para a a c˜ intervalos de tempo muito pequenos de ∆r e ∆t ´ que este “s´ e ımbolo” se transforma em uma opera¸˜o. ca
  30. 30. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES13 dr v= (1.4) dt dv d2 r a= = 2 (1.5) dt dt O leitor iniciado em matem´tica avan¸ada reconhecer´ imediata- a c a mente as express˜es acima como as derivadas dos vetores r e v em o rela¸˜o a t (dizemos que a velocidade ´ igual a derivada primeira da ca e ` posi¸˜o em rela¸˜o ao tempo, e que a acelera¸˜o ´ a sua derivada se- ca ca ca e gunda). O leitor n˜o iniciado em C´lculo Diferencial , n˜o precisa se a a a preocupar, pois n˜o faremos uso desta ferramenta neste livro (algumas a no¸˜es b´sicas s˜o descritas no Painel III). O importante ´ lembrar que co a a e as defini¸˜es 1.2 e 1.3 est˜o restritas a situa¸˜es particulares. co a co
  31. 31. 14 PAINEL III ¸˜ DERIVADA DE UMA FUNCAO Seja r uma fun¸˜o de t: r = r(t). Esta poderia ser, por exemplo, a posi¸˜o ca ca de um objeto que se move com o tempo. Como calcular a velocidade do objeto, tamb´m como fun¸˜o de t? Tomemos dois intervalos de tempo, t e t + ∆t. As e ca posi¸˜es correspondentes a esses instantes ser˜o, respectivamente, r(t) e r(t + ∆t). co a Por defini¸˜o, a velocidade m´dia neste intervalo ser´: ca e a r(t + ∆t) − r(t) v= ∆t A derivada de r em rela¸˜o a t ´ definida como o limite da raz˜o acima quando o ca e a intervalo de tempo ∆t for infinitamente pequeno, ou seja, ∆t → 0 (lˆ-se ‘delta t e tende a zero’). Simbolicamente escrevemos: dr r(t + ∆t) − r(t) v= = lim dt ∆t→0 ∆t Suponha por exemplo que a fun¸˜o r(t) seja proporcional ao quadrado de t: ca r(t) = a0 t2 , onde a0 ´ constante. Ent˜o: e a r(t + ∆t) = a0 (t + ∆t)2 = a0 (t2 + ∆t2 + 2t∆t) = = r(t) + 2a0 ∆t + a0 (∆t)2 Consequentemente: r(t + ∆t) − r(t) = 2a0 t∆t + a0 ∆t2 Dividindo esta express˜o por ∆t teremos: a r(t + ∆t) − r(t) = 2a0 t + a0 ∆t ∆t Tomando o limite ∆t → 0, o segundo termo do lado direito se anula e ficamos com: r(t + ∆t) − r(t) lim = v(t) = 2a0 t ∆t→0 ∆t
  32. 32. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES15 Este processo pode ser repetido para qualquer fun¸˜o, escalar ou vetorial. Pode- ca mos, por exemplo, calcular a acelera¸˜o a partir do resultado acima: ca d2 r v(t + ∆t) − v(t) a= 2 = lim = 2a0 dt ∆t→0 ∆t . A velocidade instantˆnea em um tempo t ´ obtida dividindo-se o intervalo infinite- a e simal δx por δt.
  33. 33. 16 Outras quantidades importantes da mecˆnica s˜o o momento linear a a (ou quantidade de movimento) p, definido por p = mv onde m ´ a massa do objeto, e o momento angular L, definido como o e produto vetorial entre r e p, tamb´m chamado de torque do momento e linear: L=r×p onde o s´ ımbolo ‘×’ representa o produto vetorial. Enquanto p ´ uma e medida da quantidade de movimento de transla¸˜o, L ´ uma medida da ca e quantidade de movimento de rota¸˜o. Por exemplo, um carro pesando ca 1 tonelada (1000 kg) se deslocando a 100 km/h (aproximadamente 28 m/s) possui uma quantidade de movimento com m´dulo igual a p = o 28000 kg m/s. Se ao inv´s do carro fosse um p´ssaro, com apenas 0,5 e a kg, o m´dulo da quantidade de movimento seria de 14 kg m/s. Se por o outro lado o nosso carro estivesse descrevendo uma curva circular com raio de 50 m, ele teria um momento angular cujo m´dulo seria 1, 4×106 o kg m2 /s. A varia¸˜o de p est´ ligada a aplica¸˜o de for¸as externas sobre o ca a ` ca c sistema, assim como a varia¸˜o de L est´ ligada a torques externos. ca a Portanto, essas quantidades se conservar˜o (ou seja, n˜o mudar˜o com a a a o tempo) se n˜o houver for¸as e torques atuando sobre o sistema. a c Outra vari´vel dinˆmica importante ´ a energia cin´tica do objeto, a a e e definida por: 1 2 p2 T = mv = 2 2m
  34. 34. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES17 onde v e p s˜o os m´dulos dos vetores v e p, respectivamente. T ´ uma a o e medida da energia associada ao movimento do objeto, e sua unidade no SI ´ o joule (J). Se houver um campo de for¸as atuando sobre o e c objeto, como por exemplo o campo gravitacional (veja adiante), haver´ a tamb´m uma energia potencial, que representamos genericamente por e V. Ao contr´rio da energia cin´tica, que ´ zero se o objeto estiver a e e parado, a energia potencial n˜o se anula para v = 0. Se, por exem- a plo, segurarmos uma pedra a uma altura h do solo, sabemos que se a soltarmos ela cair´. Antes de ser solta, a pedra possu´ uma energia a ıa potencial igual a V = mgh, onde m ´ a massa e g a acelera¸˜o da e ca gravidade. Ao tocar o solo, h = 0 e consequentemente V = 0, mas a velocidade nesse instante ser´ m´xima, e portanto a energia cin´tica a a e tamb´m ser´ m´xima. O que ocorreu ao soltarmos a pedra foi uma e a a transforma¸ao da energia potencial em cin´tica. Usando o fato de que c˜ e a energia total se conserva, a velocidade do objeto ao chegar ao solo pode ser calculada simplesmente igualando as duas formas de energia: ´ ´ ENERGIA CINETICA MAXIMA = ENERGIA POTENCIAL ´ MAXIMA 2 mvmax = mgh ⇒ vmax = 2gh 2 Por exemplo, se h = 10 m, e g = 10 m/s2 , vmax ≈ 14 m/s, ou aproxi- madamente 4 km/h. Note deste resultado que a velocidade m´xima independe da massa a da pedra, embora a energia dependa! Ou seja, tanto pode ser uma
  35. 35. 18 pedra de 50 g quanto uma de 10 kg que a velocidade ao tocar o solo ser´ a mesma. Falaremos mais sobre isto adiante. a Em qualquer situa¸˜o a energia total do objeto, E, ´ a soma das ca e energias cin´tica e potencial: e E =T +V Em uma grande classe de problemas importantes, como o caso da queda de objetos, a energia total se conserva (note que isso n˜o quer dizer a que T e V se conservam separadamente, mas apenas sua soma). Tais sistemas s˜o chamados de conservativos. a 1.1.2 Movimento de Objetos sob a A¸˜o de ca For¸as Mecˆnicas c a Para conhecermos a trajet´ria e a velocidade de um objeto temos que o resolver a equa¸˜o 1.1. Um exemplo bem conhecido de aplica¸˜o pr´tica ca ca a daquela equa¸˜o ´ o c´lculo da trajet´ria de um proj´til disparado de ca e a o e um canh˜o. Podemos tamb´m calcular a velocidade com que gotas a e d’´gua caem do c´u em um dia de chuva, as posi¸˜es de uma massa a e co oscilando presa a uma mola, a trajet´ria do cometa de Halley, etc. o Qualquer que seja o caso, ´ preciso conhecermos a natureza da for¸a e c F que comparece em 1.1, e sua forma funcional. Forma funcional ´ e a express˜o matem´tica que descreve a dependˆncia da for¸a com as a a e c vari´veis do problema, como a posi¸˜o, a velocidade, o tempo, etc. Se a ca o amigo leitor entender este ponto, j´ ter´ ganho o dia! Matematica- a a mente, podemos escrever a for¸a com qualquer forma. Por exemplo, c podemos inventar uma for¸a do tipo c
  36. 36. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES19 a F =√ x onde x ´ a posi¸˜o do objeto. Podemos inventar o que quisermos: e ca F = bx2/7 , −c/x2 , dsen(kx), etc. Formalmente qualquer coisa serve! F pode tamb´m depender explicitamente da velocidade e do tempo. e Matematicamente ´ uma festa! Acontece que para descrevermos os e fenˆmenos da Natureza temos que encontrar a F correta para cada um o deles. Isso ´ o que faz a diferen¸a. Movimentos de planetas, quedas e c de objetos, movimentos de part´ ıculas carregadas em campos eletro- magn´ticos, etc., obedecem a for¸as com formas funcionais espec´ e c ıficas. S˜o leis imut´veis estabelecidas pela Natureza. O trabalho do f´ a a ısico ´ precisamente descobrir quais s˜o estas leis a partir da observa¸˜o do e a ca movimento causado por elas. Matematicamente este trabalho se traduz em escrever corretamente o lado esquerdo da equa¸˜o 1.1, e depois re- ca solvˆ-la a fim de encontrar os vetores r(t) e v(t) (o que nem sempre ´ e e poss´ ıvel, mesmo conhecendo-se a lei correta!). O leitor pode estar se perguntando que m´todos s˜o utilizados para se descobrir a forma fun- e a ´ cional correta da for¸a em um dado problema. E o an´logo a perguntar c a que m´todos Chico Buarque utiliza para escrever os seus versos, ou e e que m´todos Pel´ utilizava para chegar at´ o gol! As vezes ´ poss´ e e ` e ıvel, atrav´s de experimentos, deduzir uma forma funcional para F em uma e dada situa¸˜o. Outras vezes se consegue bons resultados por tentativa ca e erro, ou seja, “chuta-se”. Obviamente quanto melhor informado es- tivermos acerca do problema, maiores ser˜o nossas chances de darmos a um bom “chute”. Mas, assim como na m´sica e no futebol, na f´ u ısica
  37. 37. 20 haver´ sempre os “Pel´s”, os “Chico Buarques”, e os outros. a e O caso mais trivial de movimento ocorre quando a for¸a que atua c sobre o objeto ´ nula, ou seja, F = 0. A equa¸˜o 1.1 neste caso se e ca torna: ma = 0 Mas na medida em que m = 0, a unica solu¸˜o poss´ ´ ca ıvel para a esta equa¸˜o ´: ca e a=0 Por simplicidade vamos considerar o movimento em 1 dimens˜o e a omitir o negrito da nota¸˜o vetorial da acelera¸˜o. Nesse caso escreve- ca ca mos: a=0 Consequentemente, utilizando a defini¸˜o simplificada da acelera¸˜o ca ca obtemos: ∆v v − v0 = =0 ∆t t − t0 Para que a fra¸˜o se anule, ´ suficiente que o seu numerador se anule. ca e Logo: v − v0 = 0 ⇒ v = v0 ou seja, a velocidade do objeto neste caso permanece igual a sua ve- ` locidade inicial. Isso quer dizer que se o objeto estiver inicialmente
  38. 38. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES21 parado, assim permanecer´ indefinidamente. Se por outro lado o ob- a jeto estiver se movendo, continuar´ nesse estado de movimento ad eter- a num. Observe que obtivemos matematicamente aquilo que ´ enunciado e da primeira lei de Newton! Na literatura secundarista este problema aparece com o nome - na minha opini˜o excessivamente burocr´tico - a a de movimento retil´ ıneo e uniforme, ou MRU. Podemos levar o c´lculo adiante e obter a posi¸˜o do objeto no a ca tempo. Basta escrevermos: x − x0 v= = v0 ⇒ x = x0 − v0 t0 + v0 t t − t0 Como sabemos, x0 e v0 s˜o condi¸˜es iniciais arbitr´rias. Seus va- a co a lores s˜o obtidos em t0 , o instante do in´ do movimento. Em geral a ıcio escolhemos t0 = 0, e a equa¸˜o acima se torna: ca x = x0 + v0 t A prop´sito, temos aqui uma daquelas situa¸˜es embara¸osas que o o co c leitor atento j´ deve ter percebido. O que ocorre com a defini¸˜o de v a ca acima se fizermos t = t0 ? Em princ´ ıpio dever´ ıamos obter a velocidade em t = t0 , que por sua vez ´ igual a v0 , j´ que n˜o h´ for¸as atuando e a a a c no sistema. Mas vemos que para t = t0 o denominador da express˜o a para v se anula. Uma fra¸˜o com denominador muito pequeno ´ um ca e n´ mero muito grande. Por exemplo, 1/0, 01 = 100; 1/0, 001 = 1000; e u 1/0, 0000001 = 1000000. Extrapolando, dizemos que se o denominador da fra¸˜o tender para zero, a fra¸˜o tender´ para infinito (ocasional- ca ca a mente o leitor estar´ lembrado que 1/0 = ∞). Mas, por defini¸˜o, em a ca t = t0 , o objeto se encontra exatamente em x = x0 , o que tamb´m e
  39. 39. 22 anula o numerador. Teremos ent˜o o estranho resultado 0/0. Mate- a maticamente o resultado da divis˜o de zero por zero ´ indeterminado. a e Indeterminado?! Como, se sabemos de in´ que a velocidade ´ cons- ıcio e tante e igual a v0 ? Deixo para o leitor o desafio deste paradoxo! Voltando ao problema, vemos que a posi¸˜o do objeto em um ins- ca tante t qualquer pode ser obtida calculando-se a area sob a curva em ´ um gr´fico de v versus t. O problema foi resolvido. Passado e futuro a est˜o plenamente determinados! Por exemplo, se x0 = 0, e v0 = 50 a km/h, em 5 minutos o objeto estar´ a uma distˆncia de 4,2 km da a a origem. H´ 100 anos atr´s (ou seja, t = −100 anos), o objeto estava a a a −43800000 km da origem, e assim por diante. Um segundo exemplo, ligeiramente mais complicado, ´ o caso de e uma for¸a constante, igual a F0 , atuando sobre o objeto. Teremos c neste caso: F0 ma = F0 ⇒ a = m ou seja, a acelera¸˜o tamb´m ´ constante e igual a F0 /m. Vamos ba- ca e e tizar de a0 essa quantidade. Usando a defini¸˜o simplificada de a, e ca considerando novamente t0 = 0, obtemos a velocidade (que ´ numeri- e camente igual a area sob a curva de a versus t): `´ v = v0 + a0 t A posi¸˜o ser´ novamente dada pela area sob a curva de v versus t, e ca a ´ pode ser facilmente obtida: 1 x = x0 + v0 t + a0 t2 2
  40. 40. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES23 O exemplo do motorista que deve percorrer 80 km em 1 h, com v0 = 20 km/h, e a0 = 120 km/h2 , pode agora ser trivialmente verificado da express˜o acima: a 120 x − x0 = 20 + = 80 2 E o que ocorre no caso geral em que a for¸a ´ uma fun¸˜o arbitr´ria c e ca a de t? Ainda aqui podemos interpretar v(t) e x(t) geometricamente como as areas sob as curvas de a versus t e v versus t, respectivamente. ´ A diferen¸a est´ no fato de que neste caso o c´lculo da ´rea se torna c a a a mais complicado. A t´cnica matem´tica para se calcular areas sob curvas com formas e a ´ arbitr´rias ´ chamada de integra¸˜o, e foi inventada (“pra variar”) por a e ca Newton3 3 Esta t´cnica faz parte do que chamamos atualmente em matem´tica de C´lculo e a a Diferencial e Integral, ou simplesmente C´lculo. O C´lculo foi inventado simultane- a a amente por Newton e pelo matem´tico alem˜o Gottfried Wilhelm Leibniz. a a
  41. 41. 24 PAINEL IV ¸˜ INTEGRAL DE UMA FUNCAO ´ Seja uma fun¸˜o arbitr´ria f (x). E interessante sabermos calcular a area sob ca a ´ a curva descrita por f . Somente em situa¸˜es muito simples, como no caso de co uma fun¸˜o constante, ou linear, ´ que podemos fazer isso usando as f´rmulas da ca e o Geometria Plana. Em um caso geral, para sabermos a area temos que integrar a ´ fun¸˜o. ca A integra¸˜o de uma fun¸˜o pode ser visualizada como um processo de soma ca ca de ´reas infinitesimais. O intervalo no qual a ´rea ser´ calculada ´ dividido em a a a e N subintervalos, cada um com uma largura infinitesimal ∆x. Cada um desses subintervalos pode ser considerado como um retˆngulo de base ∆x e altura f (x), e a portanto possuir´ uma area igual a a ´ ∆S = f (x)∆x Se somarmos todas as ´reas dos N intervalos, teremos a area total desejada: a ´ S= f (x)∆x N A integral de f (x) ´ definida como o resultado dessa soma quando tomamos o limite e ∆x → 0, que representamos por dx. Simbolicamente representamos a integral por (uma esp´cie de ‘S’ esticado): e lim f (x)∆x ≡ f (x)dx ∆x→0 N Matematicamente pode ser demonstrado que a opera¸˜o de integra¸˜o de uma ca ca fun¸˜o ´ o inverso da opera¸˜o de deriva¸˜o. Ou seja, se g(x) ´ a fun¸˜o que resulta ca e ca ca e ca da deriva¸˜o de f (x), ca df (x) g(x) = dx ent˜o, a fun¸˜o f ´ a integral de g: a ca e f (x) = g(x)dx
  42. 42. CAP´ ITULO 1 - A F´ ´ ISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES25 Considere, por exemplo, a fun¸˜o v(t) = a0 t, a velocidade de um objeto que ca se move ao longo do eixo x com acelera¸˜o constante, igual a a0 . A integral desta ca fun¸˜o ser´: ca a v(t)dt = a0 tdt Mas como a0 n˜o depende de t, podemos escrever: a v(t)dt = a0 tdt A fun¸˜o a ser integrada ´ portanto f (t) = t. Como esta fun¸˜o ´ igual a derivada ca e ca e ` da fun¸˜o g(t) = t2 /2, teremos: ca 1 2 v(t)dt = a0 t 2 Reconhecemos este resultado como a posi¸˜o de um objeto que se move em MRUA, ca com velocidade e posi¸˜o iniciais iguais a zero: ca 1 2 x(t) = v(t)dt = a0 t 2 A integral de uma fun¸˜o entre os pontos a e b ´ numericamente igual ` soma das ca e a a ´reas dos trap´zios, como mostrado na figura. e
  43. 43. 26 Um exemplo de for¸a extremamente importante em f´ c ısica ´ aquela e em que F ´ proporcional ao deslocamento do objeto, mas atua em e sentido contr´rio ao movimento, ou seja: a F = −kx O tipo de movimento que decorre dessa for¸a aparece em v´rios fenˆmenos c a o da Natureza, e da´ a sua importˆncia. A solu¸˜o formal da equa¸˜o 1.1 ı a ca ca nesse caso ´ consideravelmente complexa para ser apresentada aqui, e mas podemos conhecer o resultado mesmo sem realizarmos formalmente os c´lculos. a Na express˜o acima, k ´ uma constante positiva chamada de “cons- a e tante de for¸a”, ou “constante el´stica”. Sua unidade ´ o newton por c a e ıstica intr´ metro (N/m), e ´ uma caracter´ e ınseca do sistema. Por exem- plo, esse tipo de for¸a ocorre em uma mola que ´ deformada se nela c e pendurarmos um objeto de massa m (por exemplo, num dinamˆmetro). o k ´ uma caracter´ e ıstica intr´ ınseca da mola, assim como m ´ uma car- e acter´ ıstica intr´ ınseca do objeto preso a ela. Quanto mais esticamos a mola, mais dif´ se torna estic´-la, porque a for¸a F aumenta com a de- ıcil a c forma¸˜o x, e portanto tende a restaurar o estado n˜o deformado. Todo ca a mundo j´ viu as oscila¸˜es de um objeto preso a uma mola. Se sim- a co plesmente pendurarmos o objeto, a mola se deformar´ e ficar´ parada. a a Mas se al´m desse ponto esticarmos a mola e a soltarmos, o objeto e passa a oscilar em torno da posi¸˜o de equil´ ca ıbrio. Esse movimento de “vai-vem” ´ descrito pelas fun¸˜es peri´dicas seno e cosseno: e co o x(t) = xmax cos(ω0 t)
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