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    2862949 2862949 Presentation Transcript

    • Notas de aula para o curso de F´ ısica 3 Fernando T. Brandt (professor), Alessandro M. Marques, Bertha M. Cuadros-Melgar, Edgar R. R. Sanabria, Luciano B. de Lemos e Manuel A. Espinoza (monitores) 27 de setembro de 2000 1 Primeira aula 1.1 Intera¸oes fundamentais da natureza c˜ As intera¸oes entre os constituintes mais elementares da mat´ria, conhecidos c˜ e at´ o presente, podem ser classificadas em 4 tipos (em ordem crescente da e intensidade da intera¸ao) c˜ • Gravitacional • Nuclear fraca • Eletromagn´tica e • Nuclear forte As intera¸oes nucleares operam somente na escala microsc´pica (nuclear c˜ o e sub-nuclear), decaindo muito rapidamente para grandes distˆncias. Fe- a nˆmenos macrosc´picos no dom´ o o ınio da f´ısica cl´ssica, podem ser estudados a levando-se em conta somente as intera¸oes gravitacional e eletromagn´tica. c˜ e Embora estas duas intera¸oes possuam certas semelhan¸as qualitativas for- c˜ c mais, do ponto de vista quantitativo elas diferem em v´rias ordens de gran- a deza. De fato, considerando a intera¸ao entre, por exemplo, dois el´trons, c˜ e Atra¸ao gravitacional c˜ 1 = . Repuls˜o el´trica a e 4, 17 × 1042 1
    • + + - - + - Figura 1: Tipos de cargas Apesar desta gigantesca diferen¸a, os efeitos da intera¸ao gravitacional c c˜ nos parecem mais percept´ ıveis do que a intera¸ao eletromagn´tica. Isto ocorre c˜ e porque a for¸a el´trica pode ser tanto atrativa como repulsiva. J´ a gravita¸ao c e a c˜ atua em todos os corpos materiais (na verdade, em qualquer forma de energia) sempre de maneira atrativa. Entretanto, este mascaramento da intera¸ao c˜ eletromagn´tica, relativamente a gravitacional, desaparece totalmente (na e ` verdade ele se inverte) quando consideramos efeitos n˜o est´ticos, como a a a intera¸ao da mat´ria com ondas eletromagn´ticas. c˜ e e 1.2 Carga el´trica e A existˆncia de atra¸ao e repuls˜o foi descrita pela primeira vez em ter- e c˜ a mos de cargas el´tricas por Charles Fran¸ois de Cisternay du Fay em 1773. e c Investigando-se a eletriza¸ao por atrito concluiu-se que existem dois tipos de c˜ carga: carga positiva e carga negativa, como mostra a figura 1. 1.2.1 Conserva¸˜o da carga ca Normalmente um corpo ´ neutro por ter quantidades iguais de cargas positi- e vas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o objeto II, o objeto I fica carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas de sinal contr´rio. Esta hip´tese, formulada pela primeira vez por Benjamin a o Franklin, ´ considerada a primeira formula¸ao da lei de conserva¸ao de carga e c˜ c˜ el´trica. e 2
    • 1.2.2 Quantiza¸˜o da carga ca Em diversos problemas que ser˜o abordados neste curso, assumiremos a a existˆncia de cargas distribu´ e ıdas continuamente no espa¸o, do mesmo modo c como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente uma boa aproxima¸ao para diversos problemas macrosc´picos. De fato, sa- c˜ o bemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem cargas que s˜o m´ ltiplos inteiros da carga do el´tron a u e e = 1, 602177 × 10−19 C, onde a unidade de carga C, o coulomb, ser´ definida mais adiante. Este fato a experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909. 1.3 A Lei de Coulomb A primeira constata¸ao de que a intera¸ao entre cargas el´tricas obedece a c˜ c˜ e ` lei de for¸a c 1 F ∝ 2, (1) r onde r ´ a distˆncia entre as cargas e F ´ o m´dulo da for¸a, foi feita por e a e o c Priestley em 1766. Priestley observou que um recipiente met´lico carregado, a n˜o possui cargas na superf´ interna, 1 , n˜o exercendo for¸as sobre uma a ıcie a c carga colocada dentro dele. A partir deste fato experimental, pode-se dedu- zir matematicamente a validade de (1) O mesmo tipo de dedu¸ao pode ser c˜ feita na gravita¸ao, para mostrar que dentro de uma cavidade n˜o h´ for¸a c˜ a a c gravitacional. Medidas diretas da lei (1) foram realizadas em 1785 por Coulomb, utili- zando um aparato denominado balan¸a de tor¸ao. Medidas modernas mos- c c˜ tram que supondo uma lei dada por 1 F ∝ , (2) r 2+ ent˜o | | < 3 × 10−16 [6]. a O resultado completo obtido por Coulomb pode ser expresso como q1 q2 F2 1 = k r12 , ˆ (r12 )2 3
    • F 12 r F21 12 q1 q2 r 12 Figura 2: For¸a entre duas cargas c onde a nota¸ao est´ explicada na figura 2. Um outro fato experimental ´ a c˜ a e validade da terceira lei de Newton, F2 1 = − F1 2 . 1.3.1 Sistema de unidades No sistema MKSA a carga el´trica ´ medida em unidades de coulomb (C) e e e a constante de Coulomb k ´ dada por e k = 8, 9875 × 109 N · m2 /C 2 ´ E conveniente definir tamb´m a constante de permissividade do v´cuo, 0 e a dada por 1 0 = (3) 4πk A unidade de carga C ´ definida em termos da unidade de corrente, o amp`re, e e A; em um segundo, a quantidade de carga que atravessa uma se¸ao transversal c˜ de um fio, por onde flui uma corrente de 1 A ´ 1 C. e 1.4 Princ´ ıpio de superposi¸˜o ca Em situa¸oes mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no v´cuo, a c˜ a experiˆncia mostra que vale o princ´pio de superposi¸ao, ou seja, a for¸a sobre e ı c˜ c cada carga ´ a soma vetorial das suas intera¸oes com cada uma das outras e c˜ cargas. Portanto, qj Fi = Fi j = kqi r , ˆ 2 ji (4) j=i j=i (rji ) 1´ E por esta raz˜o que as pessoas dentro de um avi˜o que atravessa uma tempestade, a a n˜o morrem eletrocutadas! a 4
    • 1.5 O Campo Consideremos a equa¸ao (4) aplicada a for¸a sentida por uma carga q 0 , devida c˜ ` c a N cargas q1 · · · qN ` N qj F = q0 k r, ˆ 2 j (5) j=1 (rj ) onde rj ´ a distˆncia desde a carga qj at´ o ponto do espa¸o onde se encontra e a e c a carga q0 e rj ´ o vetor unit´rio apontando na dire¸ao da linha que une ˆ e a c˜ as cargas qj e q0 , no sentido de qj para q0 . Esta equa¸ao pode ser escrita c˜ formalmente como N F = q0 Ej = q0 E, (6) j=1 onde N N qj E= Ej = k r. ˆ 2 j j=1 j=1 (rj ) A grandeza E ´ denominada campo el´trico e est´ definida em todos os pontos e e a do espa¸o. Para que possamos observar, ou seja, medir, o campo el´trico E, c e ´ preciso posicionar uma carga em um determinado ponto do espa¸o, medir e c a for¸a sentida por esta carga e calcular a raz˜o c a F . q0 Estamos supondo uma situa¸ao idealizada, onde a carga q0 n˜o altera o c˜ a campo produzido pelas outras cargas. A id´ia de se introduzir campos na f´ e ısica constitui um passo importante para uma descri¸ao onde as intera¸oes s˜o entendidas sem a introdu¸ao de c˜ c˜ a c˜ a¸ao a distˆncia. Na presente descri¸ao, a intera¸ao entre duas cargas se d´ c˜ ` a c˜ c˜ a em duas etapas. Primeiro a carga q1 cria o campo E, e em seguida, a carga q2 interage com o campo E. Este detalhamento, que por enquanto parece um luxo desnecess´rio, ´ de fundamental importˆncia em problemas dependentes a e a do tempo, tendo em vista que os sinais eletromagn´ticos propagam-se, no e v´cuo, com a velocidade da luz a c = 2, 99792458 × 108 m/s 5
    • E1 y E P E2 r θ θ + x q1 q2 2a Figura 3: Dipolo el´trico e 1.6 Campo de um dipolo Um dos exemplos mais simples do campo el´trico de mais de uma carga ´ o e e caso do chamado dipolo el´trico, mostrado na figura 3. e Um dipolo el´trico nada mais ´ do que duas cargas de sinais opostos e e separadas por uma certa distˆncia, que aqui vale 2a. Supondo que as duas a cargas se encontram sobre o eixo x, ambas a uma distˆncia a da origem, ` a vamos calcular o campo el´trico devido a elas em um ponto que se encontra e ` sobre o eixo y. Supondo tamb´m que as duas cargas tenham m´dulos iguais, e o |q1 | = |q2 | = q ent˜o a q |E 1 | = | E 2 | = k 2 . r Note que, devido a geometria do problema e a condi¸ao acima, as componen- ` ` c˜ tes y de E1 e E2 s˜o iguais em m´dulo mas com sentidos opostos e portanto a o a componente y da resultante E1 + E2 ´ nula. A componente x ´ dada por e e q a 2kaq 2kaq E1x + E2x = |E1 | cos θ + |E2 | cos θ = 2k = 3 = r 2r r (y 2 + a2 )3/2 Uma situa¸ao de especial interesse ´ quando a separa¸ao entre as cargas ´ c˜ e c˜ e 6
    • ∆q i ^ ri P ∆Ei Figura 4: Distribuic˜o continua de carga a muito menor que a distˆncia at´ o ponto de observa¸ao P a e c˜ y a. Neste caso, podemos desprezar a no denominador da equa¸ao anterior, ob- c˜ tendo p E1x + E2x = k 3 , y na qual p ≡ 2qa (7) ´ o chamado momento de dipolo. e Situa¸oes de interesse f´sico e tecnol´gico onde aparece o momento de c˜ ı o dipolo ocorrem tanto em sistemas atˆmicos como em antenas. o 2 Segunda aula 2.1 Campo de uma distribui¸˜o cont´ ca ınua de cargas Em v´rias situa¸oes de interesse pr´tico, podemos desprezar a granularidade a c˜ a da carga el´trica e calcular o campo el´trico, assumindo a continuidade da e e distribui¸ao. Este procedimento envolve os seguintes passos: c˜ • Dividimos o volume em peda¸os ∆Vi , cada um possuindo carga ∆qi , c conforme a figura 4. 7
    • • Calculamos o campo el´trico produzido por ∆qi no ponto P , e ∆qi ∆E i = k ri ˆ (ri )2 • Usamos o princ´ ıpio de superposi¸ao para calcular o campo total em P c˜ ∆qi E = lim ∆Ei = k lim ri ˆ ∆qi →0 i ∆qi →0 i (ri )2 Ap´s tomarmos o limite indicado nas express˜es acima, obtemos a se- o o guinte express˜o para o campo a dq E=k r, ˆ V r2 onde V denota a regi˜o onde a distribui¸ao de cargas ´ n˜o nula. a c˜ e a ´ conveniente distinguirmos os seguintes tipos de distribui¸oes de cargas: E c˜ dq • Carga distribu´ em um volume V com densidade ρ = ıda dV . dq • Carga distribu´ em uma superf´ A com densidade σ = ıda ıcie dA dq • Carga distribu´ em ao longo de uma linha l com densidade λ = ıda dl . Veremos a seguir alguns exemplos simples de distribui¸oes cont´ c˜ ınuas. 2.2 Campo de um bast˜o carregado a Consideremos um bast˜o de comprimento l possuindo carga Q, positiva, a uniformemente distribu´da. Vamos calcular o campo el´trico em um ponto ı e P , localizado a uma distˆncia d da extremidade esquerda do bast˜o, como a a mostra a figura 5. O elemento de comprimento dx possui carga Q dq = λdx; λ= . l Cada elemento de carga dq produz um campo el´trico em P , apontando e sempre no sentido negativo do eixo x. De acordo com a lei de Coulomb, dq dx dE = −ˆ 2 = −ˆ ik ikλ 2 , x x 8
    • y l P   ¡   ¤ ¥   ¡ ¢ ¤ ¥ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ x E ¦ § ¦ § dx d Figura 5: Bast˜o carregado a onde ˆ ´ o versor na dire¸ao x. O campo el´trico total em P ´ dado pela i e c˜ e e superposi¸ao dos campos infinitesimais c˜ d+l dx 1 1 kQ E = −ˆ i dE = ˆ ikλ 2 = −ˆ ikλ − = −ˆ i d x d d+l d (d + l) Note que para d l Q |E| ≈ k , d2 que ´ o campo de uma carga puntiforme. e Para um fio de comprimento infinito, ou seja, l d, mas com densidade λ finita, 1 |E| ≈ kλ . d 2.3 Campo de um anel carregado Consideremos um anel uniformemente carregado, possuindo carga total Q, positiva. Queremos determinar o campo el´trico em um ponto P , que est´ e a a uma distˆncia z do plano do anel, situado no eixo do anel, conforme a a figura 6. Note que a soma vetorial das componentes do campo el´trico or- e togonais ao eixo z ´ nula. De fato, para cada elemento de carga dq, existe e outro, diametralmente aposto, produzindo uma componente ortogonal com sinal oposto. Esta equivalˆncia entre os elementos de cargas diametralmente e opostos ´ denominada uma simetria do sistema; uma simetria nada mais ´ do e e que uma equivalˆncia, neste caso geom´trica, entre uma parte de um sistema e e e sua contra-parte reversa, neste caso o ponto oposto em rela¸ao ao centro do c˜ 9
    • dE dE P dE r θ z dq a y x Figura 6: Anel carregado anel. Simetrias s˜o muito uteis pois costumam facilitar bastante a solu¸ao a ´ c˜ de problemas mais complicados. As componentes paralelas ao eixo z s˜o dadas por a dq z dE|| = z k ˆ 2 cos θ = z kdq 3 . ˆ r r Note que a grandeza rz3 assume sempre o mesmo valor quando percorremos os pontos do anel. Logo, z z z z E|| = dE|| = z k ˆ ˆ dq = z k 3 dq = k Q = z kQ ˆ (8) r 3 r r 3 (a2 + z 2 )3/2 Para z a a express˜o acima comporta-se como a kQ E|| ≈ z ˆ , z2 que ´ o campo de uma carga puntiforme. e 10
    • P                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ r                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ R   ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ y                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ x Figura 7: Disco carregado 2.4 Campo de um disco carregado Consideremos agora um disco uniformemente carregado possuindo carga total Q, conforme a figura 7. Queremos calcular o campo el´trico em um ponto e P situado no eixo do disco, a uma distˆncia z do plano do disco. Utilizando a o princ´pio de superposi¸ao, o campo produzido em P ´ a soma (integral) ı c˜ e dos campos produzidos por an´is de raio r, com r variando entre 0 e R. De e acordo com a equa¸ao (8), c˜ z dE|| = z k ˆ dq, (9) (r 2 + z 2 )3/2 onde dq ´ a carga contida em um anel infinitesimal de raio r e espessura dr. e Ou seja, dq = σdA = σ2π r dr. (10) Substituindo (10) em (9) e integrando, teremos R rdr z z ˆ E|| = z 2π k σ z = z 2π k σ ˆ −√ 2 . (11) 0 (r 2 + z 2 )3/2 |z| R + z2 11
    • E + + + + + + + + + + + + + + + E Figura 8: Plano infinito carregado Nas proximidades do disco, z R, o segundo termo em (11) pode ser desprezado. Neste caso, teremos z σ E|| ≈ z 2π k σ ˆ =z ˆ sinal(z), (12) |z| 20 aqui usamos a equa¸ao (3). A fun¸ao sinal(z) ´ definida como c˜ c˜ e −1 se z < 0 , sinal(z) = (13) 1 se z > 0 . Este limite nos d´ o campo el´trico de uma plano infinito carregado, como a e est´ ilustrado na figura 8. a 3 Terceira aula 3.1 Linhas de campo Nos exemplos vistos anteriormente, o campo el´trico foi calculado em um e unico ponto P do espa¸o. Antes de partirmos para o c´lculo em pontos ar- ´ c a bitr´rios, ´ conveniente que tenhamos uma visualiza¸ao qualitativa do campo a e c˜ el´trico. Esta visualiza¸ao pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas e c˜ de campo. Na figura 9 foram desenhadas algumas destas linhas, possuindo as seguintes propriedades: 12
    • E Figura 9: Linhas de campo • As linhas s˜o tangentes, em cada ponto, a dire¸ao do campo el´trico a ` c˜ e neste ponto. • A intensidade do campo ´ proporcional ao n´mero de linhas por uni- e u dade de area de uma superf´ perpendicular as linhas. ´ ıcie ` Na figura 10 est˜o representadas as linhas as linhas de campo de uma a carga puntiforme positiva e de uma carga puntiforme negativa negativa. As linhas do campo de um dipolo est˜o representadas na figura 11. a 3.1.1 Consistˆncia com a Lei de Coulomb e Podemos verificar que a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a ´ consis- c˜ c e tente com a lei de Coulomb. Para isso, devemos notar que, por simetria, a intensidade do campo deve ser a mesma em todos os pontos de uma superf´cie ı esf´rica de raio r. Sendo N o n´ mero de linhas que originam-se na carga, e u ent˜o o n´mero de linhas por unidade de area da superf´ esf´rica ´ a u ´ ıcie e e N . 4π r 2 De acordo com a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a, c˜ c N E∝ , 4π r 2 o que est´ de acordo com a lei de Coulomb. a 13
    • + − Figura 10: Linhas do campo de uma carga puntiforme + _ Figura 11: Linhas do campo de um dipolo 14
    • 3.2 Fluxo e Lei de Gauss 3.2.1 Fluxo De acordo com a no¸ao qualitativa de linhas de campo, vista na se¸ao 3.1, a c˜ c˜ intensidade do campo el´trico ´ proporcional ao n´mero de linhas que atra- e e u vessam uma superf´cie ortogonal as linhas. Para estudarmos, de maneira ı ` quantitativa, as rela¸oes entre a intensidade do campo e superf´ c˜ ıcies quaisquer, vamos agora introduzir a grandeza Φ, denominada fluxo do campo el´trico e atrav´s de uma superf´cie. Vejamos inicialmente dois exemplos simples. e ı • Campo uniforme E atravessando uma superf´ ortogonal de area A ıcie ´ Φ = EA • Campo uniforme E atravessando uma superf´ ıcie, cuja normal forma um angulo θ com a dire¸ao do campo ˆ c˜ Φ = EA cos θ = E · A, (14) onde A ≡ An; n ´ o vetor unit´rio normal a superf´ ˆe a ` ıcie. Em situa¸oes mais gerais, o campo ´ n˜o uniforme, e a superf´ pode c˜ e a ıcie ter uma forma qualquer, como ilustra a figura 12. Em pequenas regi˜es dao superf´ ıcie, podemos utilizar a express˜o (14). Devemos subdividir a superf´ a ıcie em pequenos elementos de area ∆Ai . Para cada um destes elementos, teremos ´ um fluxo elementar dado por Φi = Ei · ∆Ai = Ei ∆Ai cos θi . Somando todos os elementos de area e tomando o limite ∆Ai → 0, teremos ´ a seguinte express˜o para o fluxo total atrav´s de uma superf´cie arbitr´ria a e ı a Φ = lim E i · ∆A i = E · dA ∆Ai →0 superf´ ıcie Um caso de especial interesse ´ quando a superf´ sobre a qual esta- e ıcie mos integrando, ´ fechada. Uma superf´ fechada divide o espa¸o em uma e ıcie c regi˜o interna e uma regi˜o externa a superf´ a a ` ıcie. Um exemplo deste tipo de superf´ ıcie, denominada superf´cie gaussiana, ´ mostrado na figura 13. Neste ı e 15
    • ∆ Ai θ Ei Ej θ ∆ Aj Figura 12: Fluxo atrav´s de uma superficie gen´rica e e ∆ Ai θ Ei Figura 13: Superf´ gaussiana ıcie 16
    • caso, convenciona-se que o vetor n aponta no sentido da regi˜o interna para ˆ a a regi˜o externa. O fluxo atrav´s de uma superf´ fechada ´ ent˜o dado por a e ıcie e a Φc = E · dA = En dA, ˆ onde En = E · n ˆ ˆ ´ a componente do campo el´trico na dire¸ao da normal a superf´ e e c˜ ` ıcie. Estude o exemplo 24.1 do livro texto [5]. 3.2.2 Lei de Gauss Consideremos o campo el´trico de uma carga puntiforme. De acordo com a e lei de Coulomb, em um ponto localizado a uma distˆncia r da origem, a q r ˆ E= . 4π 0 r 2 Imaginemos agora uma superf´ gaussiana arbitr´ria, abrangendo uma regi˜o ıcie a a qualquer do espa¸o. O fluxo de E atrav´s de um elemento de area dA = ndA c e ´ ˆ desta superf´ imagin´ria ´ ıcie a e q dA cos θ dΦ = , (15) 4π 0 r2 onde usamos n · r = cos θ. ˆ ˆ Digress˜o sobre ˆngulo s´lido a a o Na figura 14 ∆A ´ o elemento de area de uma superf´ qualquer, ∆Σ e e ´ ıcie ∆Ω s˜o elementos de area de esferas de raio r e de raio 1, respectivamente. a ´ A grandeza ∆Ω ´ o elemento de angulo s´lido subentendido pelo elemento e ˆ o de superf´ ∆A. Note que ıcie ∆Σ ∆A cos θ ∆Ω = 2 = r r2 Portanto, somar sobre ∆A cos θ , r2 ´ o mesmo que somar sobre ∆Ω. Devemos agora considerar duas possibili- e dades. 17
    • ∆A ∆Σ 1 ∆Ω P O r θ θ r n ˆ Figura 14: Angulo S´lido o • A origem O est´ dentro da superf´cie gaussiana. Neste caso, a ı dΩ = 4π (O interno), (16) onde usamos o resultado para a area de uma superf´ esf´rica de raio ´ ıcie e unit´rio. a • A origem O est´ fora da superf´cie gaussiana. Neste caso, os elementos a ı de angulo s´lido cancelam-se mutuamente, resultando em ˆ o dΩ = 0 (O externo). (17) Fim da Digress˜o sobre ˆngulo s´lido a a o A equa¸ao (15) pode agora ser expressa como c˜ q dΦ = dΩ, (18) 4π 0 ´ onde dΩ ´ o angulo s´lido subentendido por dA, visto da posi¸ao da carga q. E e ˆ o c˜ importante notar que o fluxo do campo proporcional ao angulo s´lido, ´ uma ˆ o e 18
    • consequˆncia direta da lei do inverso quadrado da distˆncia. A mesma forma e a seria obtida se estiv´ssemos considerando o fluxo do campo gravitacional e newtoniano, produzido por uma massa puntiforme. Utilizando as equa¸oes (16) e (17), teremos para o fluxo total, c˜  q  se a carga q estiver dentro de A q   0 Φ= dΩ = 4π 0   0 se a carga q estiver fora de A  Uma distribui¸ao qualquer de cargas pode ser decomposta em elementos c˜ de cargas, cada um comportando-se como uma carga puntiforme. O princ´ ıpio de superposi¸ao nos d´ o campo resultante como a soma dos campos pro- c˜ a duzidos por cada elemento de carga. Assim, obtemos a Lei de Gauss na forma qin E · dA = , (19) 0 onde qin ´ a carga contida dentro da superf´ A. e ıcie A Lei de Gauss est´ expressa na equa¸ao (19) na forma integral. Esta a c˜ ´ uma das quatro equa¸oes de Maxwell do eletromagnetismo. Veremos que e c˜ existe uma forma equivalente em termos de uma equa¸ao diferencial, e que c˜ esta lei permanece v´lida mesmo quando as distribui¸oes de cargas n˜o s˜o a c˜ a a est´ticas, ou seja, quando as cargas possuem um movimento qualquer. a H´ uma interessante analogia entre as linhas de campo el´trico e linhas a e de velocidade de um fluido. Cargas positivas (negativas) s˜o an´logas as a a ` ´ fontes (sorvedouros) de um fluido. E por esta raz˜o que as cargas el´tricas a e s˜o consideradas como fontes do campo eletrost´tico [4]. a a 4 Quarta aula 4.1 Exemplos simples de aplica¸oes da Lei de Gauss c˜ A lei de Gauss n˜o ´ somente uma forma elegante de expressar os fenˆmenos a e o ´ eletrost´ticos. E tamb´m uma ferramenta util para o c´lculo do campo de a e ´ a distribui¸oes de cargas possuindo elementos de simetria. De maneira geral, c˜ sempre que for poss´ identificar uma superf´cie gaussiana tal que o campo ıvel ı el´trico tenha o mesmo valor em todos os seus pontos, ent˜o o c´lculo do e a a fluxo torna-se elementar Φ= E · dA = EA, (20) 19
    • onde E ´ a intensidade do campo e A ´ a area da superf´ e e ´ ıcie. Note que E pode ser positivo ou negativo, dependendo se as linhas de campo est˜o entrando a ou saindo da superf´ıcie. Vejamos alguns exemplos. 4.1.1 Campo de uma carga puntiforme Devemos determinar a superf´ ıcie gaussiana tal que o fluxo do campo de uma carga puntiforme adquira a forma simples dada por (20). O campo produzido por uma carga puntiforme deve possuir simetria esf´rica. Ou seja, e sua intensidade n˜o varia quando percorremos a superf´ de uma esfera a ıcie imagin´ria de raio r, a qual possui area a ´ A = 4π r 2 Portanto, utilizando a rela¸ao (20), teremos c˜ Φ = E4π r 2 . Finalmente, aplicando a lei de Gauss dada por (19), teremos q E= 4π 0 r 2 4.1.2 Campo de uma esfera isolante possuindo densidade de carga uniforme e raio a. Novamente temos uma configura¸ao possuindo simetria esf´rica. Ou seja, o c˜ e fluxo do campo el´trico a uma distˆncia r do centro da esfera ´ e ` a e Φ = E4π r 2 . Para r > a, toda a carga da esfera est´ contida no interior da superf´ a ıcie gaussiana. Logo, de acordo com a lei de Gauss, Q E= ; r > a, 4π 0 r 2 onde Q ´ a carga total da esfera. e Para r < a, a carga que est´ contida no interior da superf´ gaussiana ´ a ıcie e 4 q = ρ πr 3 , 3 20
    • Figura 15: Soluc˜o do problema (24.63) do Serway a onde ρ ´ a densidade uniforme de carga da esfera isolante, e Q ρ= 4 . (21) 3 πa3 Aplicando a lei de Gauss, q 1 Qr 3 Q E= 2 = 3 2 = 3 r; r < a. 0 4πr a 4π 0 r a 4π 0 Note que nos pontos internos a esfera o campo varia linearmente com r, ` tendendo a zero quando r → 0. ` Como uma aplica¸ao deste resultado, vamos fazer o problema (24.63) do c˜ livro texto [5]. A solu¸ao gr´fica deste problema ´ mostrada na figura 15. c˜ a e 4.1.3 Campo de uma casca esf´rica delgada e Consideremos uma casca esf´rica delgada, possuindo raio a e uma carga Q e uniformemente distribu´ sobre sua superf´ ıda ıcie. Novamente temos uma si- metria esf´rica. Para pontos externos a casca esf´rica, imaginamos uma e ` e superf´ gaussiana possuindo raio r > a. Aplicando a lei de Gauss, teremos ıcie Q E= ; r > a. (22) 4π 0 r 2 21
    • Note que para pontos externos a distribui¸ao de cargas, os campos dados por ` c˜ (21) e (22) comportam-se como se toda a carga estivesse concentrada num unico ponto na origem. ´ Para pontos internos a casca esf´rica, a carga no interior da superf´ ` e ıcie gaussiana imagin´ria ´ nula. Logo, a e E = 0; r < a. 4.1.4 Distribui¸˜o de cargas com simetria cil´ ca ındrica Certas distribui¸oes de carga exibem simetria cil´ndrica, ou seja, podemos c˜ ı antecipar que o campo produzido por estas distribui¸oes tem a mesma inten- c˜ sidade em todos os pontos pertencentes a uma superf´cie cil´ndcdrica ima- ` ı ı gin´ria. Podemos decompor o fluxo total atrav´s do cilindro como a e Φ= En dA = ˆ En1 dA − ˆ En1 dA + En2 (2πrl), ˆ ˆ (23) topo base onde r ´ o raio do cilindro, l ´ sua altura e os vetores unit´rios n1 e n2 e e a ˆ ˆ s˜o mutuamente ortogonais apontando para cima e para fora da superf´ a ıcie lateral, respectivamente. Suponhamos a distribui¸ao de cargas seja um fio de comprimento infinito, c˜ uniformemente carregado com densidade linear de carga λ. Por simetria, as linhas de campo s˜o direcionadas radialmente, de modo que En1 = 0 e a ˆ En2 = E, sendo E a intensidade do campo. Usando a lei de Gauss, e a ˆ express˜o (23) teremos a qin 1 λ En 2 = ˆ = , (24) 0 (2πrl) 2π 0 r onde usamos qin = λl. 4.1.5 Plano uniformemente carregado Neste caso, podemos antecipar que o campo el´trico E ter´ o mesmo valor e a em todos os pontos dos planos paralelos ao plano da distribui¸ao de cargas, c˜ sendo paralelo a normal exterior de dois planos quaisquer que contenham ` o plano de cargas entre eles (sanduiche). Constru´ımos ent˜o uma superf´ a ıcie gaussiana, adicionando quatro planos de maneira a formar um paralelep´pedo. ı O fluxo atrav´s das 4 faces laterais do paralelep´ e ıpedo ´ nulo, j´ que o campo e a 22
    • ´ ortogonal a normal destes 4 planos. Como o vetor E tem sentidos opostos e ` acima e abaixo do plano de cargas, ent˜o a Φ = EA + EA = 2EA Usando a lei de Gauss, qin σ E= = , 2A 0 20 onde usamos qin = σA. Note que j´ hav´ a ıamos obtido este resultado (veja a equa¸ao (12)), a partir do limite de pequenas distˆncias do campo do disco c˜ a uniformemente carregado. Note tambem que este campo n˜o depende do a ponto do espa¸o; ´ um campo uniforme. c e 4.1.6 Equil´ ıbrio no campo eletrost´tico a A lei de Gauss tamb´m permite a demonstra¸ao de certas propriedades gerais e c˜ em eletrost´tica. Uma destas propriedades diz respeito a n˜o existˆncia de a ` a e pontos de equil´brio est´vel em um campo eletrost´tico. Um ponto P0 ´ de ı a a e equil´ ıbrio est´vel se, ao deslocarmos uma carga q0 em qualquer dire¸ao, a a c˜ partir do ponto P0 , as for¸as eletrost´ticas tender˜o a puxar a carga q0 de c a a volta para o ponto P0 . Para que isto ocorra, as linhas de campo el´trico e devem todas convergir para o ponto P0 . Mas, neste caso, o fluxo do campo atrav´s de uma pequena superf´ gaussiana, contendo o ponto P0 em seu e ıcie interior, ser´ n˜o nulo. De acordo com a lei de Gauss, isto n˜o ´ poss´vel, a a a e ı uma vez que n˜o existe uma carga q (fonte do campo el´trico) em P0 . a e 5 Quinta aula 5.1 Condutores As cargas el´tricas (el´trons) podem se mover no interior de um meio condu- e e tor, mas n˜o podem escapar espontaneamente deste meio. Na eletrost´tica, a a estamos descrevendo situa¸oes onde as cargas encontram-se em repouso. Ad- c˜ mitindo que as cargas ja se deslocaram para uma configura¸ao de equil´brio c˜ ı −16 (em um bom condutor, o equil´ ıbrio ´ atingido em cerca de 10 s), n˜o pode e a haver campo el´trico no interior do condutor, pois, se houvesse, as cargas e ainda estariam se movendo sob a a¸ao deste campo. Logo, no equil´brio c˜ ı eletrost´tico, a 23
    • Figura 16: Condutor Carregado o campo el´trico ´ nulo no interior do condutor. e e A figura 16 mostra um condutor carregado, ou seja, n˜o neutro, onde a a linha tracejada em vermelho representa uma superf´ gaussiana cujo interior ıcie cont´m o volume interno do condutor. Uma vez que, no equil´ e ıbrio, o campo el´trico ´ nulo no interior do condutor, ent˜o o fluxo do campo atrav´s da e e a e superf´ gaussiana ´ nulo. Logo, de acordo com a lei de Gauss, n˜o h´ ıcie e a a cargas no interior do condutor. Do ponto de vista macrosc´pico, a solu¸ao o c˜ de equil´brio eletrost´tico ´ tal que ı a e a carga localiza-se na superf´ ıcie do condutor. Na parte externa do condutor, existe um campo el´trico produzido pelas e cargas superficiais. Como estas cargas n˜o possuem movimento ao longo da a superf´ do condutor (solu¸ao est´tica), ent˜o ıcie c˜ a a a componente do campo tangencial ` superf´ a ıcie externa do condutor deve ser nula Para determinar a componente normal a superf´ ` ıcie, constru´ ımos uma su- perf´ gaussiana em forma de caixa cil´ ıcie ındrica como mostra a figura 17 Na face lateral da caixa cil´ ındrica o fluxo do campo ´ nulo, pois n˜o existe e a componente tangencial. Na base do cilindro, que est´ dentro do condutor, o a campo el´trico ´ nulo. Logo, s´ h´ fluxo atrav´s do topo do cilindro, e este e e o a e fluxo ´ dado por e Φ = EdA, onde dA ´ a area do topo do cilindro, que ´ idˆntica a area de se¸ao do e ´ e e ` ´ c˜ 24
    • E Figura 17: Superf´ gaussiana para o condutor ıcie cilindro com a superf´ do condutor. Portanto, usando a Lei de Gauss, ıcie dqin σ E= = , 0 dA 0 dq onde usamos σ = dA . Estude o exemplo (24.7) do livro texto. 5.2 Potencial Eletrost´tico a Sabemos que uma part´ ıcula carregada, possuindo carga q0 , sob a a¸ao de um c˜ campo eletrost´tico ser´ acelerada por uma for¸a a a c F = q0 E. Em consequˆncia, a energia cin´tica ser´ aumentada ou diminu´ e e a ıda. De onde vem a energia adquirida ou perdida pela part´ ıcula? A resposta a esta quest˜o ` a nos leva a introduzir o conceito de energia na descri¸ao dos fenˆmenos ele- c˜ o tromagn´ticos. e 5.2.1 Campos conservativos A figura 18 [1] ilustra o movimento de uma carga q0 , na presen¸a do campo c eletrost´tico produzido por outra carga q. O trabalho realizado sobre a carga a 25
    • q0 , num deslocamento infinitesimal ds ´ e dW = q0 E · ds. Consideremos inicialmente o trecho 1 → 2. A varia¸ao da energia cin´tica c˜ e da carga q0 neste trecho ´ e 2 2 ˆ r · ds 2 dr 1 1 T2 − T 1 = q0 E · ds = kq0 q = kq0 q = −kq0 q − . 1 1 r2 1 r 2 r2 r1 Suponhamos agora que a carga q0 percorra todo o trajeto mostrado na figura 18, retornando ao ponto 1 de partida. Caso sua energia cin´tica fosse, por e exemplo, maior que a inicial, ter´ ıamos uma forma de produzir energia do nada! Sabemos que isto n˜o ´ poss´ a e ıvel, pois n˜o existe um moto perp´tuo. a e Portanto, devemos ser capazes de demonstrar que o trabalho realizado ao longo de qualquer trajet´ria fechada ´ nulo o e (Caso uma determinada trajet´ria resultasse em um trabalho negativo o (diminuindo a energia cin´tica da carga q0 ), poder´ e ıamos inverter o sentido da trajet´ria obtendo assim um ganho de energia cin´tica.) o e Vamos primeiro mostrar que o trabalho ´ de fato nulo para a trajet´ria e o simples mostrada na figura 18. Note que, nos trechos 2 → 3, 4 → 5, 6 → 7 e 8 → 1, a carga q0 desloca-se perpendicularmente a dire¸ao do campo radial E. Portanto, o trabalho ´ nulo ` c˜ e nestes trechos (dW = E · ds = 0). Nos trechos onde o trabalho ´ n˜o nulo e a temos 2 dr 1 1 W12 = kq0 q = −kq0 q − , 1 r2 r2 r1 4 dr 1 1 W34 = kq0 q 2 = −kq0 q − , 3 r r4 r3 6 dr 1 1 W56 = kq0 q 2 = −kq0 q − , 5 r r6 r5 8 dr 1 1 W78 = kq0 q 2 = −kq0 q − . 7 r r8 r7 26
    • 1 q0 8 2 7 q 5 3 6 4 Figura 18: Trajet´ria num campo conservativo o 27
    • O trabalho total ´ a soma dos trabalhos em cada trecho; e 1 1 1 1 1 1 1 1 W = −kq0 q − + − + − + − . r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 Conclu´ ımos facilmente que W = 0, notando que r2 = r3 , r4 = r5 , r6 = r7 e r1 = r 8 . A curva utilizada na figura 18 pode parecer muito especial. Vamos agora verificar o que acontece em uma situa¸ao mais geral, como a mostrada na c˜ figura 19 (escolhemos uma for¸a repulsiva, mas o mesmo poderia ser deduzido c com uma for¸a atrativa). A amplia¸ao de um dos trechos da trajet´ria, c c˜ o mostra uma aproxima¸ao em termos de dente de serra. Estamos portanto c˜ reduzindo uma trajet´ria qualquer ao caso considerado na figura 18, onde j´ o a demonstramos que o trabalho ´ nulo quando percorremos o circuito fechado. e Tomando dentes suficientemente pequenos, como ´ mostrado na amplia¸ao e c˜ seguinte, tudo o que precisamos mostrar ´ que, para um dente qualquer, o e trabalho Wac ´ o mesmo que a soma dos trabalhos Wab e Wbc . No trecho e a → c o trabalho ´ e c Wca = F · ds = F s cos θ, a pois a for¸a ´ constante ao longo do trecho infinitesimal. No trecho horizontal, c e c Wab = F · ds = F x. a No trecho vertical Wbc = 0, visto que a for¸a ´ perpendicular ao deslocamento. c e Como s cos θ = x, conclu´ ımos que Wac = Wab + Wbc . Portanto, o trabalho ao longo de uma trajet´ria qualquer ´ o mesmo que o trabalho ao logo de o e uma trajet´ria em forma de dente de serra, que por sua vez ´ nula para um o e circuito fechado. For¸as possuindo a propriedade demonstrada acima, s˜o chamadas de c a for¸as conservativas. Note que esta propriedade ´ comum a qualquer for¸a c e ` c que dependa somente da distˆncia radial, ou seja, for¸as centrais. a c Uma consequˆncia imediata do anulamento do trabalho em um circuito e fechado ´ que o trabalho realizado entre dois pontos A e B quaisquer, n˜o e a depende do caminho entre A e B. Para mostrar isto, considere as duas trajet´ria exibidas na figura 20. Partindo do ponto A e percorrendo as duas o trajet´rias no sentido hor´rio, teremos o a AB BA Wvermelho + Wazul = 0. 28
    • q c F s y . θ . a x b Figura 19: Trajet´ria geral num campo conservativo o 29
    • A B Figura 20: Diferentes caminhos entre A e B 30
    • BA AB Como Wazul = −Wazul , obtemos AB AB Wvermelho = Wazul . Portanto, para calcular W AB , podemos escolher qualquer trajet´ria. Uma o trajet´ria conveniente ´ aquela mostrada em verde, na figura 20. No trecho o e semi-circular desta trajet´ria, sabemos que n˜o h´ trabalho realizado. No o a a trecho que vai de rA at´ rB , o trabalho ´ e e B dr 1 1 W AB = kq0 q 2 = −kq0 q − , (25) A r rB rA Esta propriedade pode ser equivalentemente expressa dizendo que o trabalho realizado por uma for¸a conservativa c s´ depende da posi¸˜o dos pontos inicial e final o ca No caso de um campo eletrost´tico produzido por uma distribui¸ao qual- a c˜ quer de cargas, podemos invocar o princ´pio de superposi¸ao, subdividindo a ı c˜ distribui¸ao de cargas em elementos de carga puntiforme, cada um dos quais c˜ produzindo um campo coulombiano, portanto conservativo. Naturalmente, a soma de campos conservativos ´ um campo conservativo. e 5.2.2 Diferen¸a de potencial eletrost´tico c a Consideremos dois pontos A e B de uma regi˜o do espa¸o onde existe um a c campo el´trico E e uma carga q0 que pode ocupar qualquer destes pontos. e Definimos a diferen¸a de energia potencial eletrost´tica deste sistema como c a B ∆U = UB − UA = −q0 E · ds. (26) A Note que ∆U ´ o trabalho realizado sobre q0 entre A e B, com sinal trocado. e Se imaginarmos um agente externo deslocando a carga q0 entre A e B, sem alterar sua energia cin´tica, ent˜o a equa¸ao (26) ´ idˆntica ao trabalho re- e a c˜ e e alizado pelo agente externo. Sabemos da se¸ao anterior que ∆U ´ de fato c˜ e uma grandeza que depende somente da posi¸ao dos pontos A e B. Podemos c˜ portanto utilizar qualquer caminho ligando os ponto A e B, para calcular a integral de linha na equa¸ao (26). c˜ Podemos tamb´m definir a grandeza, denominada diferen¸a de potencial e c entre os pontos A e B, como UB − U A B ∆V = =− E · ds. q0 A 31
    • Note que esta grandeza depende somente das propriedades do campo el´trico. e Escolhendo arbitrariamente um ponto de referˆncia, P0 , onde V (P0 ) = 0, e teremos o potencial em qualquer ponto do espa¸o c P V (P ) = − E · ds. (27) P0 Frequentemente, o ponto P0 ´ tomado a uma distˆncia infinita das distri- e ` a bui¸oes de carga. c˜ 5.2.3 Cargas puntiformes Vimos que o trabalho realizado pela for¸a eletrost´tica de uma carga q sobre c a outra carga q0 ´ dado pela equa¸ao (25). Utilizando a defini¸ao geral de e c˜ c˜ diferen¸a potencial eletrost´tico, dada por (5.2.2), teremos c a B dr 1 1 VB − VA = −kq 2 = kq − , (28) A r rB rA Convencionando-se que o valor do potencial ´ zero em rA = ∞, podemos e falar em potencial em cada ponto produzido por uma carga puntiforme, como sendo dado por q V =k . r Note que este potencial n˜o muda de valor nos pontos de superf´ a ıcies esf´ricas e de raio r. Em geral, superf´ ıcies onde o potencial tem sempre o mesmo valor s˜o denominadas a Superf´ ıcies Equipotenciais Utilizando o princ´ ıpio de superposi¸ao, o potencial produzido por N car- c˜ gas puntiformes, q1 , · · · qN , ´ dado por e N qi V =k , i=1 ri onde o potencial, de cada carga, no infinito, foi posto igual a zero. ` 32
    • 5.2.4 Energia potencial de part´ ıculas carregadas Uma carga q1 est´ produzindo um potencial a q1 V1 = k r12 em um ponto que est´ a uma distˆncia r12 de q1 . Da defini¸ao de potencial, a a c˜ sabemos que o trabalho realizado por um agente externo para deslocar, sem acelera¸ao, uma segunda carga q2 , desde o infinito at´ a distˆncia r12 ´ c˜ e a e q 2 V1 . Este trabalho ´ definido como a energia potencial U do sistema de cargas. e Ou seja, q1 q2 U =k . r12 Para um sistema constitu´ de N cargas, devemos somar as energias poten- ıdo ciais associadas a cada par de cargas. Ou seja, qi qj U =k . i>j rij 5.2.5 Distribui¸oes cont´ c˜ ınuas de cargas Utilizando o princ´pio de superposi¸ao, o potencial de uma distribui¸ao con- ı c˜ c˜ t´ ınua ´ dado pela soma dos potenciais e dq dV = k r produzidos por elementos de carga dq. Ou seja, dq V =k . r Estamos convencionando que o potencial ´ nulo em pontos situados a uma e distˆncia infinita da distribui¸ao de cargas. a c˜ 33
    • P r’’ r φ r’d θ θ r ’ r ’ sen θ d φ d r’ Figura 21: Esfera uniformemente carregada 6 Sexta aula 6.1 Potencial de uma esfera uniformemente carregada A figura 21 mostra uma esfera possuindo carga total Q, uniformemente dis- tribu´da em todo o seu volume. ı Um elemento de carga dq = ρdv (o volume dv est´ mostrado na figura), a produz um potencial dq dv dV = k = kρ r r num ponto P situado a uma distˆncia r do centro da esfera. Tamb´m esta a e indicada na figura, a distˆncia r , que vai do centro da esfera at´ o volume a e dv. Podemos expressar r em termos de r e r , observando que r = (r senθ)2 + (r − r cos θ)2 = r 2 + r 2 − 2rr cos θ As dimens˜es do elemento de volume dv s˜o r senθdφ, r dθ e dr . Portanto, o a dv = (r senθdφ)(r dθ)(dr ). 34
    • O potencial total em P ´ obtido integrando em r , θ e φ e 2π π ρ senθ r 2R V =k dφ dθ dr √ . 0 0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ Como a densidade de carga ρ ´ constante e o resto do integrando n˜o depende e a de φ, podemos imediatamente integrar em φ, resultando em π R ρ senθ r 2 V = kρ(2π) dθ dr √ . 0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ Fazendo a mudan¸a de vari´vel c a senθdθ = −d(cos θ) = −du, teremos R r2 1 V = kρ(2π) du √ 2 dr . 0 −1 r + r 2 − 2rr u Fazendo uma segunda mudan¸a de vari´vel c a 2 x = r + r 2 − 2rr u; dx = −2rr du, teremos R (r−r )2 dx r 2 V = kρ(2π) dr √ 0 (r+r )2 (−2rr ) x kρ(2π) R = − r (|r − r | − |r + r |) dr r 0 Devemos agora distinguir duas situa¸oes: c˜ ponto P fora da distribui¸˜o de cargas ca Neste caso, |r − r | − |r + r | = −2r . Logo, kρ(4π) R3 kQ V = = (29) r 3 r ponto P dentro da distribui¸˜o de cargas ca Devemos, neste caso, separar a regi˜o de integra¸ao em duas partes. Uma, a c˜ de 0 at´ r, onde |r − r | − |r + r | = −2r . Outra, de r at´ R, onde |r − r | − e e |r + r | = −2r. Logo kρ(4π) r 3 R2 r 2 kQ r2 V = +r − = 3− 2 (30) r 3 2 2 2R R 35
    • s ds E θ Figura 22: Campo el´trico de uma carga teste e 6.2 C´lculo do campo el´trico a partir do potencial a e Consideremos uma carga teste q0 movendo-se ao longo da dire¸ao s, mostrada c˜ na figura 22. As linhas tracejadas representam superf´ıcies equipotenciais. Ao atravessar uma diferen¸a de potencial dV , ´ realizado um trabalho c e dW = −q0 dV = q0 E · ds = q0 E ds cos θ. Portanto, dV E cos θ = − . ds Ou seja, ∂V (Componente de E ao longo de s) = − ∂s O eixo s poderia ter sido escolhido ao longo de qualquer um dos 3 eixos x, 36
    • y ou z. Neste caso, ter´ ıamos as componentes cartesianas do vetor campo el´trico dadas por e ∂V ∂V ∂V Ex = − , Ey = − , Ez = − . (31) ∂x ∂y ∂z 6.3 Potencial de um condutor carregado J´ sabemos que o campo el´trico ´ nulo no interior de um condutor. Usando- a e e se as equa¸oes (31), chega-se a conclus˜o de que c˜ ` a o potencial no interior do condutor ´ constante. e Como o campo el´trico ´ sempre normal a superf´cie do condutor, pode- e e ` ı mos facilmente deduzir que em dois pontos A e B quaisquer, na superf´ıcie do condutor, o potencial ´ o mesmo. De fato, e B VB − V A = − E · ds = 0. A Portanto, o condutor ´ uma regi˜o equipotencial e a A figura 23 mostra os gr´ficos do potencial e do campo el´trico de uma a e esfera condutora carregada. 6.4 Condutor possuindo uma cavidade - Blindagem A figura 24 mostra o corte de um condutor carregado possuindo uma cavi- dade, no interior da qual n˜o h´ carga l´ a a ıquida. Queremos determinar o campo el´trico no interior da cavidade e a distribui¸ao de cargas na superf´ in- e c˜ ıcie terna. Na figura 25 constru´ ımos uma superf´ (linha tracejada), passando ıcie pelo interior do meio condutor, e envolvendo toda a cavidade. Como E = 0 no condutor, a lei de Gauss nos d´ a qin E · da = 0 = . 0 Portanto, toda a informa¸ao que a lei de Gauss nos d´, ´ que a carga l´quida c˜ a e ı na superf´ da cavidade ´ nula. ıcie e Admitindo que as cargas teriam se distribu´ na superf´ da cavidade, ıdo ıcie como na figura 26 (sabemos que num condutor tal configura¸ao n˜o seria c˜ a est´vel), ter´ a ıamos um campo el´trico n˜o nulo no interior da cavidade. Mas e a 37
    • + + + + + + + + + R + + + + + + + V kQ R kQ r r E kQ r2 r Figura 23: Potencial e campo el´trico de uma esfera carregada e E=0 Q =0 Q= 0 E=? E=0 Figura 24: Condutor possuindo uma cavidade 38
    • Superficie gaussiana −− − ? + ++ Figura 25: Superf´ gaussiana envolvendo a cavidade ıcie - - - + ++ Γ Figura 26: Distribuic˜o de cargas na cavidade a 39
    • esta suposi¸ao nos leva a uma contradi¸ao, uma vez que a integral de linha c˜ ` c˜ do campo el´trico, ao longo da curva fechada Γ, indicada na figura, seria n˜o e a nula; E · ds = 0, Γ o que ´ um absurdo. Logo, e n˜o h´ campo el´trico no interior de uma cavidade de um condutor a a e ´ E por esta raz˜o que circuitos el´tricos sens´ a e ıveis (como a placa m˜e de um a computador) s˜o blindados por um gabinete met´lico. Note que se a lei de a a Gauss n˜o fosse verdadeira, a blindagem n˜o ocorreria, mesmo que o campo a a fosse conservativo. 7 S´tima aula e 7.1 Capacitores Capacitores s˜o utilizados em diversos dispositivos tais como: a • “Flash” de m´quina fotogr´fica. a a • Sintonizador de radio. • Filtros. • Capacitores microsc´picos em mem´ria RAM de computadores. o o Basicamente, um capacitor ´ um armazenador de energia potencial el´- e e trica. Um capacitor t´ ıpico ´ formado por dois condutores possuindo cargas e iguais e opostas (estas cargas podem ser fornecidas por uma bateria), sepa- rados por um isolante. De acordo com o princ´pio de superposi¸ao, a superposi¸˜o de duas con- ı c˜ ca figura¸oes idˆnticas a mostrada na figura 27 (mesma disposi¸ao geom´trica e c˜ e ` c˜ e mesmo isolante), ser´ uma nova configura¸ao possuindo o dobro da carga; o a c˜ campo el´trico ser´ dobrado em cada ponto do espa¸o, o que por sua vez far´ e a c a com que o trabalho para transportar uma carga teste seja tamb´m dobrado. e Portanto, conclu´ımos que o m´dulo da carga el´trica Q deve ser proporcional o e ao m´dulo da diferen¸a de potencial V , ou seja, o c Q = CV. 40
    • Condutor +Q -Q Condutor Isolante Bateria Figura 27: Capacitor 41
    • Q + + + + + + + + + + + + + + d + - - - - - - E - - - - - - - - - Figura 28: Capacitor de placas paralelas Note que a rela¸ao acima n˜o depende da validade da lei de Coulomb. Ela c˜ a ´ uma consequˆncia somente do princ´ e e ıpio de superposi¸ao e do fato de ser c˜ o campo el´trico um campo conservativo (deriv´vel de um potencial). A e a constante C ´ chamada de capacitˆncia e V ´ denominado voltagem. e a e A unidade de capacitˆncia ´ o farad. a e C [C] = = F. V Um capacitor t´ ıpico possui capacitˆncia variando entre 1µ F = 10−6 F at´ a e −12 1pF = 10 F . Como um exemplo, vamos calcular a capacitˆncia de uma esfera condu- a tora. Sabemos que a voltagem ´ V = kQ/R, onde R ´ o raio da esfera (o e e outro condutor ´ uma casa esf´rica met´lica a uma distˆncia praticamente e e a ` a infinita da esfera). Portanto, Q Q R C= = kQ = = 4π 0 R. (32) V R k Para uma esfera de 10 cm de raio, C = 4π 0 (0, 1) = 4π 8, 85 × 10−12 × 0, 1 = 11, 1 pF 7.1.1 Capacitor de placas paralelas O potencial entre as placas ´ e − V = E · ds. (33) + 42
    • y − + + + + + + + + − − − − − − − x Figura 29: Distorc˜o das linhas de campo nas bordas a Desconsiderando a pequena distor¸ao das linhas de campo nas proximidades c˜ das bordas (veja a figura 29), teremos  σˆ    i entre as placas. 0 E= (34)   0 em qualquer outro ponto.  Substituindo (34) em (33), teremos − σ d σd V = E · ds = dx = . (35) + 0 0 0 Portanto, Q 0Q 0A C= = = , V σd d onde utilizamos Q . σ= A Exerc´ıcio: Calcule a area das placas paralelas de um capacitor possuindo ´ capacitˆncia C = 1 F e distˆncia entre as placas de um mil´ a a ımetro. 43
    • b a +Q L −Q Figura 30: Capacitor Cil´ ındrico 7.1.2 Capacitor cil´ ındrico A figura 30 mostra um condutor cil´ ındrico de raio a, comprimento L b, e carga +Q, coaxial com uma casca cil´ ındrica de raio b > a, tamb´m e condutora, e possuindo carga −Q. Tomando superf´ ıcies gaussianas cil´ ındricas de comprimento l L, a lei de Gauss nos d´ a qin 1 λ  r= ˆ r ˆ para a < r < b   (2πrl) 2π 0 r   0 E= , (36)     0 em qualquer outro ponto. onde λ ´ a carga por unidade de comprimento do cilindro. O potencial ´ e e − λ b dr λ b V = E · ds = = ln . + 2π 0 a r 2π 0 a Portanto, a capacitˆncia ´ a e Q λL 2π 0 L C= = = b . V V ln a 7.1.3 Capacitor esf´rico e O capacitor esf´rico ´ constitu´ por uma esfera met´lica de raio a e carga e e ıdo a +Q, concˆntrica com uma casca esf´rica met´lica de raio b > a e carga e e a 44
    • −Q. Utilizando superf´ıcies gaussianas esf´ricas e concˆntricas com a esfera e e condutora, a lei de Gauss nos d´ a Q  r ˆ para a < r < b   r2   4π 0 E=   0 em qualquer outro ponto.   O potencial ´ e − Q b dr Q 1 1 Q b−a V = E · ds = =− − = . + 4π 0 a r2 4π 0 b a 4π 0 a b Portanto, a capacitˆncia ´ a e Q ab C= = 4π 0 . (37) V b−a Note que a equa¸ao (32) ´ obtida da equa¸ao (37) tomando-se limite b → c˜ e c˜ ∞. Ou seja, quando o segundo condutor est´ a uma distˆncia infinita do a a primeiro. 7.1.4 Energia eletrost´tica de um capacitor a Consideremos o processo de transferˆncia de carga para um capacitor. Vamos e imaginar que este processo seja subdividido em diversas etapas, tais que, em cada uma delas, uma quantidade de carga infinitesimal dq seja lentamente transferida desde o infinito, at´ o capacitor (+dq para uma placa e −dq para e outra placa). Quando a carga do capacitor for q, o potencial ser´ a q V (q) = . (38) C Nesta situa¸ao, um agente externo (uma bateria, por exemplo) ter´ que re- c˜ a alizar um trabalho V (q) dq para adicionar uma carga dq ao capacitor. Este trabalho ´ armazenado no e capacitor sob a forma de energia 1 dU = V (q) dq = q dq. C 45
    • Deste modo, ap´s ter sido carregado com uma carga Q, o capacitor possuir´ o a uma energia total dada por 1 Q Q2 U= dU = q dq = . C 0 2C Usando Q = C V , podemos tamb´m expressar a energia do capacitor em e termos do potencial V como 1 U= C V 2. (39) 2 Podemos tamb´m relacionar a energia diretamente com o campo el´trico. e e Para um capacitor de placas paralelas possuindo espa¸amento d e area A, c ´ sabemos que V 2 = E 2 d2 e C = 0 A/d. Levando estas grandezas na equa¸aoc˜ (39), obtemos 0 0 U = E 2 (A d) = E 2 (volume). (40) 2 2 ´ E importante notar que a grandeza volume na express˜o acima, ´ o volume a e da regi˜o do espa¸o onde o campo el´trico ´ n˜o nulo. Podemos portanto a c e e a introduzir uma densidade de energia u, do campo el´trico, dada por e dU 0 u= = E 2. (41) dv 2 Como um exemplo, vamos calcular a energia do campo eletrost´tico de a uma esfera met´lica de raio a, a partir da equa¸ao (41). Sabemos que para a c˜ r < a, o campo el´trico ´ nulo. Logo, de acordo com a equa¸ao (41), n˜o e e c˜ a h´ densidade de energia dentro da esfera met´lica. Em pontos do espa¸o a a c situados a uma distˆncia r > a do centro da esfera, a densidade de energia ´ a e 0 Q2 0 1 u(r) = E2 = 2 ; r > a. (42) 2 2 16π 2 0 r4 A quantidade de energia contida em uma casca esf´rica de espessura dr ´ e e Q2 dr dU = u(r) 4πr 2 dr = ; r > a. 8π 0 r 2 Portanto, a energia contida em todo o espa¸o ´ c e Q2 ∞ dr Q2 U= = . 8π 0 a r2 8π 0 a 46
    • 8 Oitava aula 8.1 Capacitores com diel´tricos e Sabe-se empiricamente que a capacitˆncia aumenta quando o capacitor ´ pre- a e enchido com um material diel´trico. Os primeiros a constatarem isto foram e (independentemente) Faraday (1837) e Cavendish (1773). Todo diel´trico e pode ser caracterizado por uma grandeza denominada constante diel´trica, e denotada pela letra grega κ, definida por C κ= , C0 onde C e C0 s˜o as capacitˆncias de um mesmo capacitor respectivamente a a com e sem diel´trico. Note que o valor m´ e ınimo κ = 1 ocorre no caso em que o capacitor est´ vazio, ou seja, C = C0 . O valor de κ a temperatura de 25 C a ´ 1, 00059 para o ar, 2, 25 para a parafina, 78, 2 para agua destilada. e ´ Quando um capacitor ´ carregado com carga Q e mantido isolado, de tal e forma que sua carga n˜o pode variar, a mudan¸a da capacitˆncia deve ser a c a acompanhada de uma mudan¸a do potencial entre as placas. De fato, como c Q = C V n˜o muda, ent˜o a a C0 V0 = C V, onde V0 e V s˜o os potenciais respectivamente antes e depois da introdu¸ao a c˜ do diel´trico. Portanto, o novo potencial e C0 1 V = V0 = V0 C κ 1 diminui por um fator κ em rela¸ao ao potencial V0 , na ausˆncia do diel´trico. c˜ e e 8.2 Capacitores com dois diel´tricos e A figura 31 mostra um capacitor carregado com carga Q e preenchido com dois diel´tricos de constantes diel´tricas κ1 e κ2 em regi˜es de larguras (1−r)d e e o e rd respectivamente. Qual ´ a capacitˆncia resultante? e a Este capacitor ´ equivalente ao mostrado na figura 32, onde foram intro- e duzidas duas placas de cargas ±Q entre os diel´tricos. Como nas regi˜es 1 e e o 2 os potencias s˜o V1 e V2 , ent˜o o potencial total ´ a a e V = V1 + V2 . 47
    • (1 - r) rd - + + + + + + + + - - κ1 κ2 - - - - - Figura 31: Capacitor com dois diel´tricos e (1 - r) rd - - + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - κ1 κ2 - - - - - - - - - - Figura 32: Configurac˜o equivalente a 48
    • Denotando por C1 e C2 as capacitˆncias nas duas regi˜es, teremos a o Q Q Q = + . C C1 C2 Logo, C1 C2 C= . (43) C1 + C 2 Substituindo A 0 C1 = κ 1 (1 − r) d e 0A C2 = κ 2 rd em (43), teremos κ1 κ2 C = C0 κ2 − r (κ2 − κ1 ) 9 Nona aula 9.1 Descri¸˜o atˆmica do diel´trico ca o e O campo el´trico E, no interior de um meio diel´trico ´ diferente do campo e e e E0 originalmente produzido pelas cargas das placas. Isto pode ser facilmente entendido, lembrando que V0 1 V =− E · dl = =− E0 · dl. κ κ Ou seja, 1 E= E0 . (44) κ De acordo com o princ´ ıpio de superposi¸ao, o campo E deve ser a soma c˜ de E0 , com outro campo. Qual ´ a fonte deste outro campo? e Sendo o diel´trico completamente neutro, a unica possibilidade (ou a e ´ possibilidade mais simples) ´ que suas mol´culas constituem dipolos perma- e e nentes, ou induzidos pela a¸ao do campo el´trico. Este efeito de polariza¸ao c˜ e c˜ ocorre porque, sob a a¸ao do campo el´trico, as cargas negativas (el´trons) c˜ e e 49
    • +q F = q E0 2a + asen θ θ + τ E0 F q Figura 33: Interac˜o de um dipolo com o campo externo a deslocam-se em rela¸ao as cargas positivas (pr´tons). A somat´ria dos cam- c˜ ` o o pos de todos estes dipolos moleculares, d´ origem a um campo m´dio induzido a ` e Ei , que somado a E0 , resulta no campo total E. ` Para que possamos obter uma descri¸ao mais quantitativa da natureza c˜ do campo induzido Ei , precisamos entender de que maneira os dipolos se configuram dentro do diel´trico. A intera¸ao de um unico dipolo com o e c˜ ´ campo E0 est´ esbo¸ada na figura 33 O dipolo est´ sujeito a um torque τ , a c a ` cujo m´dulo ´ o e τ = 2a senθ F = 2aq E0 senθ = p E0 senθ = p × E0 , onde usamos a express˜o para o momento de dipolo dada por (7). a Quando um agente externo gira um dipolo um angulo dθ, ele realiza um ˆ trabalho dW = τ dθ. Este trabalho acarreta uma varia¸ao da energia potencial do sistema campo- c˜ dipolo, dada por θ θ U − U0 = τ dθ = p E senθ dθ = −pE (cos θ − cos θ0 ) . (45) θ0 θ0 Portanto, a energia potencial do dipolo ´ e U = −p · E + constante. 50
    • E Ei E0 − + − + − + − + − + − + − + − + − + + + + + + + + − + + + + + + + + − + − + − + − + − + − + − − − + − + − + − + − − + − + − + − + − − + − + − + = −σ − + − + − + σ + σ − −σ − + − + − + − + − + − + − + − + − i i i i − + − + − + − + − + − + − − − + − + − + − + − + − + − + − + − − − + − + − + − − + − + − + − − + − + − + − + − − + − + − + − + − x Figura 34: Dipolos no interior de um diel´trico e Na situa¸ao de equil´brio, a energia potencial ´ m´nima. Ou seja, c˜ ı e ı  dU = 0    dθ    d2 U    > 0.   dθ 2  Usando a equa¸ao (45), obt´m-se facilmente que a solu¸ao para estas duas c˜ e c˜ condi¸oes ´ θ = 0, ou seja, o dipolo p de cada mol´cula fica alinhado na c˜ e e mesma dire¸ao e sentido do campo aplicado E0 . c˜ A figura 34 ilustra o efeito do alinhamento dos dipolos no interior de um diel´trico que est´ dentro de uma capacitor de placas paralelas. Observe e a que o efeito l´quido do alinhamento dos dipolos ´ a produ¸ao de um campo ı e c˜ el´trico induzido Ei . Este campo superp˜e-se ao campo E0 , resultando em e o um campo total E = E0 + Ei = (E0 − Ei ) ˆ i. (46) Ao campo induzido Ei , est´ associada uma densidade de carga induzida, na a superf´ do diel´trico. Esta rela¸ao pode ser facilmente obtida aplicando- ıcie e c˜ se a lei de Gauss como mostra a figura 35. Utilizando-se uma superf´ ıcie gaussiana de area A, teremos ´ qin σi A Ei A = = . 0 0 Portanto, σi Ei = . (47) 0 51
    • Ei − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + σ i − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + Figura 35: Superf´ gaussiana para o diel´trico anterior ıcie e Substituindo (47) em (46) e utilizando ainda σ E0 = , (48) 0 bem como a rela¸ao (44), obt´m-se facilmente a rela¸ao c˜ e c˜ 1 σi = σ 1 − . (49) κ Observe que quanto maior for a constante diel´trica κ, maior ser´ a carga e a induzida σi . As densidades de cargas σi e σ na equa¸ao (49) recebem o nome de cargas c˜ de polariza¸ao e cargas livres, respectivamente. c˜ 10 D´cima aula e 10.0.1 O vetor P (polariza¸˜o diel´trica) ca e Se existirem N mol´culas por unidade de volume do diel´trico, e cada uma e e possui um momento de dipolo q δ (δ ´ a separa¸ao entre a carga positiva e e c˜ negativa), ent˜o o momento de dipolo por unidade de volume ´ a e P = N q δ. (50) Consideremos o caso mais simples em que P tem o mesmo valor em todos os pontos do material diel´trico. Neste caso, a m´dia espacial da quantidade e e 52
    • de carga em qualquer volume ´ sempre nula. No entanto, na superf´cie do e ı diel´trico sabemos que existe uma densidade superficial de cargas de pola- e riza¸ao σi . Vejamos agora como relacionar P com a densidade σi . O n´ mero c˜ u de cargas negativas que atravessam uma superf´ ıcie de area A ´ igual ao ´ e produto de N pelo volume δ A (estamos assumindo que o deslocamento das cargas se d´ na dire¸ao normal a superf´ a c˜ ` ıcie). A carga ´ obtida multiplicando- e se o n´ mero de cargas por q. Finalmente, a densidade superficial ´ obtida u e dividindo-se pela area A. Deste modo, obtemos ´ σi = N q δ. Comparando a equa¸ao acima com (50), vemos que a densidade superficial c˜ de cargas ´ igual a polariza¸ao P no interior do material diel´trico. Ou seja, e ` c˜ e σi = P. (51) Podemos agora expressar o campo total E no interior do material diel´- e trico, em termos da densidade de cargas livres σ e da polariza¸ao P . Subs- c˜ tituindo as equa¸oes (47) e (48) na equa¸ao (46) e usando a equa¸ao (51), c˜ c˜ c˜ podemos escrever 0 E = σ − σi = σ − P (52) A rela¸ao (52) ´ um caso especial de c˜ e D= 0E + P, onde D ´ denominado deslocamento el´trico. No caso do capacitor plano, e e D = σ. Para uma apresenta¸ao um pouco mais detalhada, veja as notas em c˜ os trˆs vetores el´tricos. e e Para determinarmos o campo total E no interior do diel´trico, resta saber e quanto vale P . Em situa¸oes em que P depende linearmente do campo total c˜ E, podemos escrever P = χ 0 E, (53) onde a constante χ ´ denominada susceptibilidade el´trica. Substituindo (53) e e na equa¸ao (52), teremos c˜ 1 0E = σ . 1+χ Finalmente, usando a equa¸ao (44) obtemos a seguinte rela¸ao entre a cons- c˜ c˜ tante diel´trica e a susceptibilidade e κ = 1 + χ. 53
    • Para um tratamento bastante completo das propriedades dos diel´tricos, e recomendamos o cap´ ıtulo 10 e 11 da referˆncia [2]. e 11 D´cima Primeira Aula e 11.1 Corrente el´trica e Iniciaremos o estudo dos fenˆmenos envolvendo cargas em movimento, defi- o nindo a grandeza denominada corrente el´trica, como sendo a quantidade de e carga que atravessa uma dada superf´ por unidade de tempo. A corrente ıcie el´trica instantˆnea ´ e a e dQ I= . (54) dt A unidade de corrente no sistema internacional (SI) ´ o amp`re (A). Um e e amp`re corresponde a uma taxa de um coulomb por segundo. Quantos e ` el´trons passam durante um segundo em uma corrente de um amp`re? Sendo e e N o n´ mero de el´trons, teremos u e 1C C = N × 1, 6 × 10−19 . (55) 1s s Portanto, N = 6, 2 × 1018 . Embora em condutores met´licos a corrente seja devida ao movimento dos a el´trons, convenciona-se que o sentido da corrente ´ oposto ao movimento das e e cargas negativas. 11.1.1 Velocidade de migra¸˜o ca A figura 36 mostra um instantˆneo de um volume cil´ a ındrico contento cargas el´tricas que se deslocam todas com velocidade de migra¸ao v d . A corrente e c˜ el´trica ´ o resultado deste movimento coletivo das cargas el´tricas. A quan- e e e tidade de carga contida neste volume ´e ∆Q = n q A ∆x, (56) onde n ´ o n´ mero de portadores de carga por unidade de volume e q ´ a carga e u e de cada portador. Ap´s um intervalo de tempo ∆t = ∆x/vd , toda a carga o 54
    • ∆x A vd vd ∆ t Figura 36: Velocidade de migra¸ao c˜ contida no volume cil´ ındrico ter´ atravessado a area A. Este movimento d´ a ´ a origem a uma corrente ` ∆Q n q A ∆x I= = = n q A vd . (57) ∆t ∆x/vd ´ E interessante compararmos a velocidade de migra¸ao em um material c˜ t´ ıpico, como o cobre, com a velocidade t´rmica dos el´trons a temperatura e e ` 6 ambiente, que ´ de cerca de vT ≈ 10 m/s. Em uma corrente de 1 A num fio e de cobre (n = 8, 5 × 1028 m−3 ) de 2 mm de raio, teremos da equa¸ao (57) c˜ 1 1 vd = = 28 )(4 × π × 10−6 )(1, 6 × 10−19 ≈ 5, 9 × 10−6 (58) nAq (8, 5 × 10 Vemos que a velocidade de migra¸ao constitui uma ´ c˜ ınfima fra¸ao da veloci- c˜ −12 dade t´rmica dos el´trons; vd /vT ≈ 10 . e e 11.2 Densidade de corrente A corrente atravessando um elemento de superf´ de area da com normal n ıcie ´ ˆ pode ser obtida a partir do vetor densidade de corrente J como dI = J · nda. ˆ (59) 55
    • Vemos que a corrente ´ obtida calculando-se o fluxo do vetor densidade de e corrente. Podemos agora relacionar a densidade de corrente com a velocidade de migra¸ao obtida na se¸ao anterior. Usando a equa¸ao (57) para a area infi- c˜ c˜ c˜ ´ nitesimal da, teremos dI = n q da vd (60) J · n da = n q da vd . ˆ Portanto, J · n = n q vd . ˆ (61) Note que a velocidade de migra¸ao foi tomada no mesmo sentido e dire¸ao c˜ c˜ do vetor n. Portanto, em geral, podemos escrever ˆ J = n qvd . (62) 11.3 Rela¸˜o entre J e E (Lei de Ohm) ca O movimento coletivo das cargas, com velocidade vd , deve-se a um campo ` el´trico, aplicado por algum agente externo (uma bateria, por exemplo). A e resposta do meio material constitui uma rela¸ao em J e E, que vai depender c˜ da natureza do meio material condutor. (Temos aqui uma situa¸ao an´loga a c˜ a ` que encontramos no caso de um diel´trico que responde com uma polariza¸ao e c˜ P ao campo el´trico existente no meio material). e Para diversos meios isotr´picos, l´ o ıquidos e s´lidos (mas n˜o para gases), o a vale a Lei de Ohm, (formulada em 1826 em analogia com a lei de condu¸ao c˜ de calor). J = σ E, (63) onde σ ´ a condutividade el´trica do material e e 11.4 Resistˆncia e Consideremos um fio condutor com area de se¸ao A, como mostra a figura ´ c˜ 36. Admitindo que exista um campo el´trico aplicado, o qual atuar´ sobre as e a cargas deste condutor, gostar´ıamos de determinar a rela¸ao entre a corrente c˜ el´trica produzida e a diferen¸a de potencial entre dois pontos quaisquer do e c fio, separados por uma distˆncia l. Sabemos que a diferen¸a de potencial ´ a c e b l V = Vb − Va = − E · dl = E dx = E l. (64) a 0 56
    • Em se tratando de um material para o qual seja v´lida a lei de Ohm ent˜o o a a campo el´trico na equa¸ao acima pode ser obtido da equa¸ao (63), resultando e c˜ c˜ em lJ V = , (65) σ sendo σ a condutividade do material e J a intensidade do vetor densidade de corrente que atravessa a se¸ao de area A. Logo, usando a equa¸ao (59), c˜ ´ c˜ teremos l V = I. (66) σA Temos ent˜o uma rela¸ao linear entre a diferen¸a de potencial e a corrente a c˜ c que est´ fluindo no fio condutor. As caracter´ a ısticas intr´ ınsecas ao material (sua geometria e condutividade σ) definem, neste caso, a resistˆncia do fio e l Rf io ≡ . (67) σA ´ E claro que a rela¸ao c˜ V = RI (68) permanece sendo v´lida para um objeto de forma qualquer, que obede¸a a a c lei de Ohm. 11.5 Modelo para condu¸˜o el´trica ca e A condutividade σ pode ser calculada a partir das propriedades microsc´picas o dos materiais, ou seja, levando-se em conta a dinˆmica dos portadores de a carga. No entanto, para obter o valor correto de σ dever´ ıamos utilizar a Mecˆnica Quˆntica. Mesmo assim, vale a pena insistir em um tratamento a a n˜o quˆntico, com o intuito de esclarecer o conceito f´ a a ısico de condutividade e tamb´m para exemplificar como um modelo ´ construido e suas conseq¨ˆncias e e ue s˜o julgadas. a A id´ia central do modelo para condu¸ao el´trica ´ que o s´lido contem e c˜ e e o el´trons livres como portadores de carga. Uma caracter´ e ıstica intr´ ınseca de cada material ´ a densidade de el´trons livres, n. Este n´ mero ´ respons´vel e e u e a pelas diferentes propriedades de condutores, isolantes ou semi-condutores. O modelo pressup˜e que os el´trons livres formem um g´s de part´ o e a ıculas inde- pendentes em equil´ ıbrio t´rmico a temperatura T . Uma corrente ´ produzida e e quando um campo el´trico aplicado for¸a os el´trons a se movimentarem. Mas e c e 57
    • as colis˜es com os atomos ou ´ o ´ ıons que formam a rede cristalina do s´lido fa- o zem com que a velocidade dos el´trons seja diminu´ e ıda. Neste modelo, um dado portador de carga q move-se entre duas colis˜es com velocidade o qE v = v0 + a t = v 0 + t (69) m Tomando a m´dia sobre todos os poss´ e ıveis valores de v0 e t e levando em conta que os valores m´dios de v0 , v e t s˜o respectivamente 0 (distribui¸ao e a c˜ aleat´ria), vd (velocidade de migra¸ao) e τ (tempo m´dio entre colis˜es), o c˜ e o podemos escrever qE vd = τ. (70) m Utilizando a rela¸ao entre a velocidade de migra¸ao e a densidade de corrente, c˜ c˜ dada pela equa¸ao (61), teremos c˜ J = nqvd = σE q2 E , (71) = n m τ = ou seja, nq 2 σ= τ. (72) m ´ E conveniente definir a grandeza resistividade, como 1 m 1 ρ≡ = 2 . (73) σ nq τ Expressando o inverso do tempo m´dio como a raz˜o entre a velocidade e a t´rmica m´dia v e o livre caminho m´dio d, teremos e e ¯ e m v¯ ρ= 2d . (74) nq Medidas da velocidade t´rmica vd para o cobre a temperatura ambiente e d˜o resultados mais de 10 vezes maiores do que o valor previsto pelo modelo. a Um estimativa cl´ssica para dependˆncia de v com a temperatura resultaria a e ¯ √ 2 em (usando 1/2mvd = 3/2kT , onde k ´ a constante de Boltzmann) ρv ∼ T . e No entanto, sabe-se que nos metais puros a resistividade varia linearmente com a temperatura. Na verdade, sabe-se experimentalmente que v ´ pra- ¯ e ticamente independente da temperatura e que 1/d depende linearmente da temperatura. 58
    • Na teoria quˆntica os el´trons se comportam como ondas que se espalham a e na estrutura de rede cristalina do material e n˜o como um g´s cl´ssico de a a a part´ıculas n˜o interagentes. Utilizando o formalismo da Mecˆnica Quˆntica, a a a podemos mostrar que em uma rede cristalina sem vibra¸oes ou impurezas c˜ os el´trons se deslocariam sem qualquer resistˆncia. A resistividade apa- e e rece como conseq¨ˆncia de efeitos t´rmicos (fazendo a rede vibrar) ou de ue e intera¸oes com as impurezas. Em altas temperaturas a resistividade ´ do- c˜ e minada pelas vibra¸oes t´rmicas, enquanto em baixas temperaturas s˜o as c˜ e a impurezas que produzem o efeito de resistividade. 11.6 Energia e potˆncia el´trica e e Correntes el´tricas s˜o produzidas em condutores pela a¸ao de um campo e a c˜ el´trico aplicado, por exemplo, por uma bateria. Neste caso, a energia e qu´ımica da bateria est´ sendo transformada em energia cin´tica dos porta- a e dores de carga. A resistˆncia do condutor, por sua vez, transforma a energia e mecˆnica em energia t´rmica. Ou seja, como em qualquer processo onde h´ a e a atrito, a energia ´ dissipada na forma de calor. A dissipa¸ao de energia no e c˜ resistor ´ denominada efeito Joule e Vamos idealizar uma situa¸ao simples, onde h´ somente uma diferen¸a de c˜ a c potencial V entre as extremidades do condutor (uma bateria, por exemplo) e um resistor dissipando a energia. Consideremos uma quantidade de carga dq dq = dt = I dt dt atravessando uma diferen¸a de potencial V . Neste processo h´ um trabalho c a realizado dW = dqV = I dtV. Portanto, a potˆncia ´ e e dW P = = I V. (75) dt N˜o havendo varia¸ao da corrente (a velocidade das cargas n˜o varia), a a c˜ a potˆncia P ´ totalmente dissipada no resistor. e e A equa¸ao (75) ´ v´lida em geral, mesmo para resistores que n˜o obede- c˜ e a a cem a lei linear de Ohm, sendo uma conseq¨ˆncia direta da lei de conserva¸ao ue c˜ de energia (primeira lei da termodinˆmica). Para os casos especiais de ma- a teriais que obedecem a lei de Ohm, podemos utilizar a rela¸ao V = R I em ` c˜ 59
    • (75), resultando em P = R I2 (76) ou ainda V2 P = . (77) R A aplica¸ao de uma ou outra das duas equa¸oes acima depende do problema c˜ c˜ espec´ ıfico em considera¸ao. c˜ 12 D´cima Segunda Aula e 12.1 For¸a eletromotriz c Por raz˜es hist´ricas a fonte de energia que faz os el´trons se moverem em um o o e circuito el´trico ´ denominada fonte de for¸a eletromotriz (fem). Exemplos e e c de fontes fem: • Energia qu´ ımica (bateria). • Energia luminosa (bateria solar). • Diferen¸a de temperatura (termo-par). c • Energia mecˆnica (queda d’agua). a • Energia T´rmica: e – Queima de carv˜o. a – Queima de oleo combust´ ´ ıvel. – Rea¸oes nucleares. c˜ Utilizaremos o termo “bateria” de maneira gen´rica, para designar qual- e quer fonte de fem. Inicialmente vamos considerar somente situa¸oes para c˜ as quais a fem n˜o varia como uma fun¸ao do tempo. Neste caso, veremos a c˜ que a corrente produzida no circuito pode ou n˜o variar com o tempo. Se a a corrente for tamb´m constante, temos uma situa¸ao de estado estacion´rio e c˜ a com uma corrente cont´nua fluindo no circuito. ı 60
    • ^ Fio sem resistencia I + ε − R a I Figura 37: Circuito com uma resistˆncia e 12.1.1 Circuitos Um circuito ´ um conjunto de dispositivos, tais como resistores e capacitores e conectados por fios condutores idealmente sem resistˆncia (ou qualquer outra e propriedade que seja caracter´ ıstica dos elementos do pr´prio circuito). Na o figura 37, ´ mostrado o esquema b´sico de um circuito simples possuindo e a somente uma fonte de fem e um resistor. Este esquema pode estar represen- tando, por exemplo, uma bateria (fem) ligada a uma lˆmpada (R). ` a 12.1.2 A fun¸˜o da “Bateria” ca Uma bateria (no sentido gen´rico mencionado anteriormente) nada mais ´ que e e um dispositivo que utiliza energia para “bombear” cargas, analogamente a uma bomba d‘´gua que impulsiona a agua de um po¸o, vencendo a for¸a gra- a ´ c c vitacional. Quando ´ ligada a um circuito, como na figura 37, uma corrente e 61
    • flui do terminal positivo (maior potencial el´trico) para o negativo (menor e potencial el´trico). A diferen¸a de potencial entre os terminais ´ denominada e c e voltagem de terminal. A quantidade de corrente que flui, depende dos ou- tros componentes do circuito da mesma forma que a quantidade de agua que ´ flui em uma rede hidr´ulica depende da espessura dos encanamentos, etc. a No presente caso, a resistˆncia R vai determinar a corrente I. A corrente ´ e e formada pelo movimento dos el´trons que est˜o sendo atraidos para o termi- e a nal positivo da bateria (lembre-se que a corrente ´ definida pelo movimento e oposto ao dos el´trons). e Suponha que o mecanismo interno da bateria realize um trabalho dW para mover uma quantidade dq de carga positiva do terminal negativo para o positivo. Ent˜o a fem da bateria ´ definida como a e dW E≡ (78) dq ou seja, a fem ´ a energia por unidade de carga que ´ fornecida pela fonte e e de energia. No sistema de unidades MKS, E tem unidade de volt. Algumas vezes utiliza-se de maneira imprecisa o termo voltagem referindo-se a fem. ` No entanto, esta denomina¸ao ´ mais apropriada para se referir a diferen¸a c˜ e ` c de potencial entre os terminais da bateria, a qual pode ser diferente de E. Para determinar quantitativamente a corrente que flui no circuito, consi- deremos o esquema esbo¸ado na figura 37. Iniciando no ponto a e seguindo c o sentido da corrente I, teremos um aumento de uma quantidade E do po- tencial ao passar do terminal negativo para o terminal positivo da bateria (n˜o h´ varia¸ao de potencial ao atravessarmos os fios de resistˆncia nula). a a c˜ e Ao atravessar a resistˆncia R (que estamos supondo omica), o potencial di- e ˆ ` minui de uma quantidade I R. A esta queda de potencial est´ associada a uma diminui¸ao da energia potencial das cargas (a energia potencial est´ c˜ a sendo convertida em energia t´rmica no resistor). Lembrando que o poten- e cial el´trico ´ deriv´vel de uma for¸a conservativa, o trabalho realizado para e e a c transportar uma carga em um circuito fechado, ´ zero. Logo, a varia¸ao e c˜ total de potencial correspondente deve ser tamb´m igual a zero. Portanto, e devemos ter E − I R = 0. (79) Ou seja, E I= (80) R 62
    • ^ Fio sem resistencia I r + R ε− I Figura 38: Resistˆncia interna de uma bateria e 12.1.3 Resistˆncia interna da “Bateria” e Sabemos que uma pilha comum ou uma bateria de autom´vel produz algum o aquecimento quando est´ em opera¸ao. Na verdade, qualquer mecanismo a c˜ de “bombeamento de cargas” possui uma resistˆncia interna r como est´ e a esquematizado na figura 38. Calculando a diferen¸a de potencial total em c um circuito fechado, como fizemos acima, teremos E −Ir−IR =0 (81) Note que agora utilizamos V =E −Ir (82) para a diferen¸a de potencial V entre os terminais da bateria. Assim, a c corrente depende tamb´m da resistˆncia interna da bateria, sendo dada por e e E I= (83) r+R 63
    • Observe que podemos medir E diretamente, fazendo com que a corrente no circuito seja igual a zero. Neste caso, a equa¸ao (82) nos d´ V = E, onde c˜ a V ´ a diferen¸a de potencial que ´ medida entre os terminais da bateria. e c e Para que a corrente I seja igual a zero, podemos tomar uma resistˆncia R e muito grande (o medidor da voltagem V deve ter resistˆncia idealmente igual e a infinito). 12.2 Circuitos RC A figura 39 mostra dois circuitos possuindo uma bateria produzindo uma diferen¸a de potencial E (com resistˆncia interna nula), um resistor R, uma c e chave S e um capacitor C. Este circuito ´ denominado circuito RC. Na e primeira figura a chave est´ aberta e o capacitor descarregado. A segunda a figura representa a configura¸ao do circuito ap´s a chave S ter sido ligada. c˜ o Vamos supor que a chave foi ligada no instante de tempo t = 0. Considerando as varia¸oes parciais da energia potencial de uma quantidade de carga dq, em c˜ seu percurso no circuito fechado a → b → c → d → a, e igualando a soma destas varia¸oes a zero, teremos, c˜ dq (Vb − Va ) + dq (Vd − Vc ) + dq (Va − Vd ) = 0. (84) Usando (Vb − Va ) = E, (Vd − Vc ) = −R I(t) e (Va − Vd ) = − q(t) , obtemos a C equa¸ao b´sica do circuito RC c˜ a q(t) E − R I(t) − =0 (85) C A equa¸ao acima determina a carga q no capacitor e a corrente I para qual- c˜ quer instante de tempo. De acordo com as condi¸oes iniciais descritas acima, c˜ no instante t = 0, temos q = 0 (capacitor descarregado). Portanto, a equa¸ao c˜ (85) nos d´ para a corrente em t = 0, a E I(t = 0) ≡ I0 = . (86) R Quando o capacitor estiver completamente carregado, n˜o haver´ mais cor- a a rente no circuito (caso contr´rio o capacitor ainda estaria sendo carregado). a Portanto, a carga m´xima no capacitor ´, de acordo com a equa¸ao (85) com a e c˜ I(t) = 0, qm ax ≡ Q = CE. (87) 64
    • I =0 S + ε − R C I =0 / b c S + ε − R − + a d C Figura 39: Circuito RC A taxa de aumento de carga no capacitor deve ser igual a corrente (con- ` serva¸ao de carga) no circuito, ou seja, c˜ dq(t) I= . (88) dt Substituindo a equa¸ao acima em (85), teremos c˜ dq(t) q(t) E −R − = 0. (89) dt C Vamos resolver a equa¸ao diferencial acima. Primeiramente, observe que c˜ 65
    • esta equa¸ao pode ser equivalentemente escrita como c˜ d (q(t) − EC) −RC − (q(t) − EC) = 0. (90) dt Temos portanto uma equa¸ao mais simples c˜ d¯ q 1 =− q ¯ (91) dt RC para a nova vari´vel a q ≡ q − EC. ¯ (92) Reescrevendo a equa¸ao (91) como c˜ d¯ q 1 =− dt (93) q¯ RC e integrando desde t = 0 at´ um instante qualquer t, e q ¯ d¯q 1 t = − dt q0 q ¯ ¯ RC 0 q¯ t ln = − . (94) q0 ¯ RC Portanto, t q (t) = q0 e− RC ¯ ¯ (95) Finalmente, usando a equa¸ao (92), obtemos o seguinte resultado para a c˜ carga no capacitor em fun¸ao do tempo c˜ t q(t) = EC 1 − e− RC . (96) Derivando a equa¸ao acima em rela¸ao ao tempo, teremos a corrente no c˜ c˜ circuito dada por E t I(t) = e− RC . (97) R A figura 40 mostra os gr´ficos da carga no capacitor e da corrente no circuito. a A unidade de tempo utilizada ´ a constante de tempo do circuito RC, definida e como τ ≡ RC. (98) A carga no capacitor est´ em unidades de EC e a corrente em unidades de a I0 . 66
    • Q ε− − 1 C 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 t −− τ I − 1 − I0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 t −− τ Figura 40: 67
    • 13 D´cima Terceira Aula e 13.1 O campo magn´tico e A for¸a magn´tica manifesta-se de maneira bastante evidente em diversas c e situa¸oes. Assim como a gravita¸ao e a eletrost´tica, a for¸a magn´tica pro- c˜ c˜ a c e duzida por im˜s naturais ou artificiais, ´ tamb´m observada comummente na a e e escala macrosc´pica. Na Gr´cia antiga, j´ haviam descoberto que pequenos o e a peda¸os de ferro podiam ser atraidos por uma material chamado magnetita c (Fe3 O4 ). Em 1100 A.C. os chineses j´ haviam utilizado a magnetita para a construir uma b´ ssola. William Gilbert, em 1600, sugeriu que tanto a mag- u netita como a Terra comportam-se como um im˜ permanente. a O estudo dos fenˆmenos magn´ticos (magnetismo) passou a estar asso- o e ciado a eletricidade a partir de 1820, quando Amp`re combinou seus ex- ` e ¨ perimentos com os realizados por Orsted para mostrar o aparecimento de efeitos magn´ticos toda vez que cargas el´tricas est˜o em movimento. Por e e a volta de 1820, Faraday desvendou a rela¸ao entre eletricidade e magnetismo. c˜ Finalmente, em 1860 Maxwell realizou a s´ ıntese definitiva da eletricidade e do magnetismo, possibilitando o entendimento da luz e de outras ondas eletromagn´ticas. e 13.1.1 Im˜s e campos magn´ticos a e Quando dois im˜s s˜o aproximados, pode ocorrer uma for¸a de atra¸ao, de a a c c˜ repuls˜o ou um torque. Por conven¸ao, a extremidade do im˜ que ´ atraida a c˜ a e para o sul geogr´fico da terra ´ rotulada de sul (S) e a outra de norte (N). a e Se realizarmos experimentos com dois im˜s rotulados desta maneira, obser- a varemos que o p´los iguais se repelem e p´los distintos se atraem. Note que, o o de acordo com a conven¸ao adotada, o sul geogr´fico da Terra ´ na verdade c˜ a e o p´lo norte de um im˜. o a A intera¸ao entre p´los N e S parece semelhante a intera¸ao eletrost´tica c˜ o ` c˜ a entre cargas positivas e negativas. Entretanto, enquanto um dipolo el´trico e pode ser quebrado em uma carga positiva e negativa, o mesmo n˜o ocorrea para um im˜. O dipolo magn´tico n˜o pode ser separado em dois peda¸os, a e a c um possuindo somente N e outro somente S. Quando um im˜ ´ quebradoa e em dois, cada um dos peda¸os constitui um dipolo N-S. At´ o presente, n˜o c e a se descobriu nenhum constituinte da mat´ria possuindo as propriedades de e um monopolo magn´tico. A inexistˆncia de monopolos magn´ticos ´ um fato e e e e 68
    • experimental de fundamental importˆncia no eletromagnetismo. a Da mesma maneira que a intera¸ao entre cargas el´tricas ´ descrita em c˜ e e termos de um campo el´trico, tamb´m a intera¸ao entre os dipolos magn´ticos e e c˜ e ´ mediada por um campo magn´tico que propaga-se por todo o espa¸o. Este e e c campo ´ denotado pelo s´ e ımbolo B. Em geral, semelhantemente ao campo el´trico, em cada ponto do espa¸o B aponta em uma dire¸ao diferente. e c c˜ O vetor B associado a um dipolo magn´tico pode ser mapeado utilizando- ` e se um dipolo de prova, semelhantemente a carga de prova utilizada para ` mapear o campo el´trico. Quando colocamos o dipolo de prova em uma e regi˜o onde h´ campo magn´tico, ele gira orientando seu eixo N-S na dire¸ao a a e c˜ do campo magn´tico. Assim por exemplo, se quisermos mapear o campo e magn´tico da Terra, devemos percorrer o espa¸o a sua volta, munidos de e c uma b´ ssola, e observar a orienta¸ao N-S da b´ ssola em cada ponto (estamos u c˜ u considerando uma b´ ssola que possa girar em torno de um unico ponto, e u ´ apontar em todas as dire¸oes do espa¸o). Um outro experimento simples c˜ c que permite visualizar as linhas de campo magn´tico consiste em espalhar e pequenos limalhas de ferro (por exemplo, fragmentos de um esponja de a¸o) c sobre uma folha de papel colocada encima de um im˜. Cada pedacinho de a ferro comporta-se como um pequeno im˜ (uma “b´ ssola”) que ser´ girado a u a pelo campo magn´tico. A orienta¸ao dos diversos peda¸os de ferro nos d´ e c˜ c a uma id´ia da proje¸ao das linhas do campo B ao longo da superf´ plana e c˜ ıcie do papel. Em regi˜es onde a densidade de limalhas ´ maior, o campo B ´ o e e mais intenso (maior densidade de linhas de campo). A conven¸ao utilizadac˜ para o sentido de B ´ tal que as linhas de B saem de N e entram em S. A e figura abaixo mostra um esbo¸o das linhas do campo B produzido por um c im˜ em forma de barra. a 13.2 For¸a magn´tica c e Al´m de agir sobre outro im˜, o campo B tamb´m exerce for¸as sobre cargas e a e c el´tricas. Podemos nos convencer facilmente disto, aproximando um im˜ de e a um tubo de imagem de um aparelho de televis˜o e observando a distor¸ao a c˜ que ´ produzida na imagem (este experimento pode danificar seu apa- e relho de televis˜o; ´ mais aconselh´vel utilizar um oscilosc´pio de a e a o laborat´rio). Neste caso, o feixe de el´trons que est´ se movendo em rela¸ao o e a c˜ a tela ´ desviado pela a¸ao de B. ` e c˜ A fim de descrever detalhadamente a for¸a magn´tica, consideremos uma c e 69
    • regi˜o do espa¸o onde existe um campo B orientado na dire¸ao do eixo +y, e a c c˜ uma carga positiva q, suficientemente pequena. Os seguintes fenˆmenos s˜o o a observados: • Se a carga estiver em repouso em rela¸ao as linhas de campo, n˜o haver´ c˜ a a for¸a sobre ela. c • Se a carga se mover na dire¸ao +z com velocidade v, a for¸a F sobre c˜ c ela ser´ na dire¸ao −x com m´dulo proporcional a velocidade v. a c˜ o ` • Se a carga se mover na dire¸ao +x, F estar´ na dire¸ao +z, sendo c˜ a c˜ novamente proporcional a v. ` • Se a carga se mover na dire¸ao y (mesma dire¸ao de B), F ser´ nula. c˜ c˜ a • Se a carga se mover em uma dire¸ao qualquer, a for¸a F ser´ proporcio- c˜ c a nal a componente de v perpendicular a B e ter´ a dire¸ao perpendicular ` ` a c˜ ao plano formado por v e B. Esta propriedade engloba as quatro an- teriores. • F ´ proporcional ao m´dulo de B. e o • F ´ proporcional ao sinal e ao m´dulo de q. e o Todas as propriedades acima est˜o sumarizadas na seguinte express˜o a a FB = qv × B. (99) A grandeza v × B na express˜o acima, representa o produto vetorial do ve- a tor velocidade pelo vetor campo magn´tico. (Clique aqui para ver algumas e anima¸oes mostrando a regra da m˜o direita para o produto vetorial). Se o c˜ a angulo entre v e B for θ o m´dulo de FB ser´ ˆ o a FB = q v B senθ. (100) No sistema de unidades MKS a unidade de campo magn´tico ´ o tesla e e (T), em homenagem a Nikola Tesla por suas contribui¸oes a tecnologia de ` c˜ ` gera¸ao de energia el´trica. Em termos das unidades anteriormente definidas, c˜ e temos kg 1T = 1 . (101) Cs 70
    • B saindo B entrando Figura 41: Conven¸ao gr´fica para B c˜ a Uma outra unidade frequentemente utilizada ´ o gauss (G); 1 T = 104 G. Na e tabela abaixo s˜o mostrados alguns valores de campos magn´ticos. a e Localiza¸˜o ou Fonte ca Valor (T) Espa¸o interestelar c 10−10 Proximidades da superf´ da terra ıcie 5 × 10−5 Im˜ de geladeria a 10−2 Proximidades da superf´ do sol ıcie 10−2 Magnetos cient´ıficos 2−4 Proximidades de um pulsar 108 Proximidades do n´ cleo atˆmico u o 1012 13.2.1 Nota¸˜o para vetores perpendiculares ` p´gina ca a a A representa¸ao geom´trica dos vetores F , v e B n˜o pode ser feita utilizando c˜ e a somente o plano. Ela envolve necessariamente as trˆs dimens˜es do espa¸o. e o c Por isso, ´ conveniente definirmos uma nota¸ao para vetores que est˜o en- e c˜ a trando ou saindo da p´gina. A figura 41 mostra a conven¸ao utilizada. a c˜ 13.2.2 A for¸a de Lorentz c Um outro fato experimental b´sico no eletromagnetismo ´ que as cargas a e reagem independentemente aos campos el´tricos e magn´ticos. Ou seja, a e e for¸a el´trica FE = q E superp˜e se linearmente a for¸a magn´tica, resultando c e o ` c e numa for¸a l´ c ıquida dada por F =q E+ v×B . (102) A equa¸ao acima ´ conhecida como Lei de For¸a de Lorentz em homenagem c˜ e c ao f´ ısico Hendrik A. Lorentz, por suas diversas contribui¸oes a f´ c˜ ` ısica cl´ssica. a 71
    • F F I= 0 I I Figura 42: For¸a magn´tica sobre um fio c e 14 D´cima Quarta Aula e 14.1 For¸a magn´tica sobre correntes c e Vimos que uma carga movendo-se em um campo magn´tico pode estar sujeita e a uma for¸a. Sabemos tamb´m que a corrente el´trica em um fio condutor c e e ´ devida ao movimento dos el´trons. Logo, um fio conduzindo corrente deve e e estar sujeito a uma for¸a el´trica. A figura 42 ilustra este fato, mostrando ` c e trˆs fios condutores colocados em uma regi˜o onde h´ em campo magn´tico e a a e entrando na p´gina. a Na primeira figura, da esquerda para a direita, a corrente ´ nula, n˜o e a havendo portanto qualquer for¸a sobre o fio. A aplica¸ao da regra da m˜o c c˜ a direita mostra que a for¸a nos dois casos seguintes deve ter o sentido indicado c na figura (lembre-se que o sentido da corrente ´ determinado pelo movimento e das cargas positivas). 14.1.1 For¸a magn´tica sobre fios de comprimento infinitesimal c e Como um primeiro passo para uma an´lise quantitativa mais detalhada, em a situa¸oes mais gerais, vamos considerar a for¸a magn´tica sobre um fio de c˜ c e comprimento infinitesimal ds. Consideremos o vetor ds possuindo m´duloo ds e orienta¸ao dada pela corrente I que est´ fluindo ao longo do fio, como c˜ a indicado na figura 43. A carga dq que passa atrav´s do segmento ds durante e um intervalo do tempo dt ´e dq = I dt, (103) 72
    • B Fio I dq I v ds Figura 43: For¸a magn´tica sobre um segmento c e 73
    • onde I ´ a corrente no fio. O vetor velocidade da carga dq ´ e e ds v= . (104) dt Utilizando a equa¸ao (99) e as duas equa¸oes acima, obtemos para a for¸a c˜ c˜ c magn´tica que atua sobre o segmento infinitesimal e ds dF = dqv × B = (Idt) ×B . (105) dt Cancelando os fatores dt, teremos finalmente, dF = Ids × B. (106) Sabemos que, em geral, o campo magn´tico B assume diferentes valores em e cada ponto do espa¸o e a forma do fio ´ representada por uma curva qualquer. c e A corrente I tem o mesmo valor em todos os pontos do espa¸o, j´ que a carga c a ´ conservada. e 14.1.2 For¸a magn´tica sobre fios possuindo correntes c e A for¸a resultante sobre o fio ´ obtida fazendo-se a soma vetorial de todas as c e for¸as infinitesimais, ou seja, integrando (106) sobre todos os pontos do fio. c Como a corrente I tem o mesmo valor ao longo do fio, podemos tira-la para fora da integral, obtendo FB = I (ds × B) . (107) f io Dependendo da forma do fio e da configura¸ao de campo magn´tico, a integral c˜ e acima pode ser calculada de maneira bastante simples. A situa¸ao mais simples poss´ c˜ ıvel, consiste de um fio reto imerso em um campo magn´tico uniforme. Neste caso, B pode ser tirado para fora da e integral em (107), resultando em F =I ds × B. = I L × B, (108) f io Na express˜o acima, usamos f io ds = L, onde L ´ um vetor orientado no a e sentido da corrente e possuindo o comprimento L do fio. 74
    • Fio B I a θ L’ b Figura 44: For¸a sobre um fio com qualquer curvatura c Consideremos agora um fio possuindo uma curvatura qualquer, imerso em um campo magn´tico uniforme, como est´ ilustrado na figura 44. Novamente, e a o campo magn´tico em (107) pode ser tirado para fora da integral, resultando e em FBunif. = I ds × B. (109) f io A integral na equa¸ao acima ´ simplesmente uma soma vetorial dos infinitos c˜ e vetores infinitesimais ds. Geometricamente, o vetor resultante ´ o que est´ e a indicado na figura 44 orientado de a para b e formando um angulo θ com ˆ a dire¸ao do campo magn´tico. Vemos que a resolu¸ao do problema de um c˜ e c˜ fio qualquer imerso num campo magn´tico uniforme ´ equivalente ao pro- e e blema de um fio reto, orientado de uma extremidade a outra do fio original. ` Denotando a integral na equa¸ao (109) por L (veja a figura 44), teremos c˜ FBunif. = I L × B. (110) Usando a mesma abordagem acima, podemos concluir facilmente que a for¸a c total sobre um fio formando uma curva fechada (espira), imerso em um campo uniforme, ´ nula, uma vez que, neste caso, a resultante dos infinitos vetores e ds ´ igual a zero. e 75
    • 14.2 Torque sobre uma espira de corrente Uma espira de corrente consiste de um fio r´ ıgido formando uma curva fe- chada, por onde flui uma corrente I. Vimos que a for¸a resultante sobre c uma tal configura¸ao de corrente ´ nula. Veremos agora que, dependendo da c˜ e posi¸ao relativa da espira e das linhas de campo magn´tico, pode existir um c˜ e torque sobre a espira. Este efeito ´ fundamental para o funcionamento de e dispositivos tais como motores el´tricos e de instrumentos de medida. e Consideremos uma espira r´ ıgida, em forma retangular, de lado menor a e lado maior b, por onde flui uma corrente I. Quando aplicamos um campo magn´tico uniforme, B, cada um dos quatro lados da espira estar´ sujeito a e a ` uma for¸a que pode ser calculada utilizando-se a equa¸ao (108). A figura 45 c c˜ mostra uma configura¸ao da espira colocada em um campo aproximadamente c˜ uniforme. A espira est´ fixa a um eixo passando pelos pontos C − C , n˜o a a mostrado na figura. Utilizando a equa¸ao (108) para cada um dos quatro c˜ lados da espira, teremos F1 = IaB senθ, no sentido −y F2 = IbB no sentido −z (111) F3 = IaB senθ, no sentido +y F4 = IbB. no sentido +z As for¸as F1 e F3 possuem o mesmo m´dulo, mas sentidos opostos. O mesmo c o ´ verdade para o par formado por F2 e F4 . Isto est´ de acordo com o resultado e a geral, segundo o qual F1 + F2 + F3 + F4 = 0 para uma espira qualquer num campo uniforme. No entanto, enquanto o par F1 -F3 atua ao longo do mesmo eixo C − C , F2 e F4 atuam sobre eixos diferentes, produzindo um torque que faz a espira girar no sentido hor´rio, como mostra a figura 44 (b). Quando a o plano da espira coincidir com o plano z − y, o par F2 -F4 tamb´m estar´ e a atuando ao longo do mesmo eixo e n˜o haver´ mais torque. a a O vetor torque, τ , pode ser facilmente calculado, utilizando-se o resultado conhecido da mecˆnica, como a τ = r 2 × F2 + r 4 × F4 , (112) sendo que r2 e r4 , indicados na parte (c) da figura 44, s˜o vetores perpen- a diculares ao eixo C − C , ambos possuindo comprimentos a/2 e formando um angulo ψ com F2 e F4 , respectivamente. Assim, os dois termos do lado ˆ direito da equa¸ao acima possuem o mesmo sentido +y (entrando na folha c˜ 76
    • z x F4 A N θ S B z F2 y (b) x F4 C’ F3 N 4 3 z 2 S 1 I x C F1 F2 F4 µ (a) ψ N r4 S r2 B ψ F2 (c) Figura 45: Torque sobre uma espira 77
    • na parte (c) da figura 44). Logo, τ = r2 F2 senψ ˆ + r4 F4 senψ ˆ   a a = (IbB) senψ ˆ + (IbB) senψ ˆ   2 2 = I ab senψ B ˆ.  (113) Na segunda linha da equa¸ao acima, utilizamos (111) para F2 e F4 . c˜ Na parte (b) da figura 44, est´ indicado o vetor A. Este ´ o vetor area a e ´ da espira. Em geral, dada uma curva plana fechada, o vetor area ´ definido ´ e como um vetor perpendicular a superf´ delimitada pela curva, possuindo ` ıcie m´dulo igual a area da superf´ o ´ ıcie. Como existem duas possibilidades para vetores ortogonais a uma dada superf´ ` ıcie, a escolha ´ feita orientando-se a e curva no sentido dos dedos da m˜o direita e convencionando-se que o sentido a de A ´ o mesmo do polegar. Utilizando esta defini¸ao, podemos escrever a e c˜ equa¸ao (113) como c˜ τ = I A × B. (114) Aqui utilizamos que o angulo entre A e B ´ ψ, como est´ indicado na parte ˆ e a (b) da figura 44. A grandeza I A ´ denominada momento de dipolo magn´tico da espira e e e possui um papel muito importante na f´ ısica e na engenharia. Esta grandeza est´ denotada pela letra grega µ na parte (c) da figura 44. Embora a rela¸ao a c˜ (114) tenha sido obtida para uma configura¸ao especial de espira e campo c˜ magn´tico, ela ´ valida em geral. Qualquer espira de corrente possuindo e e momento de dipolo magn´tico µ = I A ficar´ sujeita a um torque e a τ =µ×B (115) quando imersa em um campo magn´tico B. e 15 T´picos a serem incluidos nestas notas o • Lei de Biot-Savart, lei de Amp`re, campos magn´ticos em diversas e e configura¸oes. c˜ • Fluxo magn´tico. Corrente de deslocamento e lei de Amp`re generali- e e zada. Magnetismo na mat´ria. Histerese. Momento magn´tico. Vetor e e B e H. 78
    • • Lei de Faraday. FEM. Campo el´trico produzido por fluxos magn´ticos e e vari´veis no tempo. Geradores e motores. Equa¸oes de Maxwell na a c˜ forma integral. • Auto-indutˆncia. Circuitos RL. Energia no campo magn´tico. M´ tua- a e u indutˆncia. Oscila¸oes num circuito LC (similaridade com oscilador a c˜ mecˆnico). Circuitos RLC. a • Circuitos de corrente alternada. Fasores. Resistores, indutores e capa- citores em circuitos de corrente alternada. Circuitos RLC. Potˆncia. e Ressonˆncia em circuitos RLC, filtros a • ”Recorda¸ao”dos teoremas b´sicos de c´lculo vetorial: teoremas de c˜ a a Gauss e Stokes. Redu¸ao das Equa¸oes de Maxwell a forma diferencial. c˜ c˜ ` Densidade de corrente de deslocamento. Obten¸ao da equa¸ao de onda c˜ c˜ em uma dimens˜o. a Campos Magn´ticos e devido ` Correntes a 16 Lei de Biot-Savart O campo magn´tico produzido por um condutor carregado pode ser obtido e atrav´s da Lei de Biot-Savart. Esta lei afirma que a contribui¸ao dB para o e c˜ campo produzido por um elemento de condutor ids em um ponto P , a uma distˆncia r do elemento de corrente, ´: a e µ0 ids × r dB = 4π r 3 Onde r ´ o vetor que aponta do elemento para o ponto em quest˜o. e a A quantidade µ0 , chamada constante de permeabilidade, tem o valor 4π × 10−7 T · m/A ≈ 1, 26 × 10−6 T · m/A 79
    • 17 Campo Magn´tico de um Fio Longo e Para um fio longo e reto carregando corrente i, a lei de Biot-Savart fornece, para o campo magn´tico a uma distˆncia r a partir do fio: e a µ0 i B= 2πr 18 Campo Magn´tico de um Arco Circular e O campo magn´tico no centro de um arco circular de raio R que carrega uma e corrente i ´ dado por: e µ0 iφ B= 4πR 19 For¸a Entre Fios Paralelos Carregando Cor- c rente Fios paralelos carregando correntes na mesma dire¸ao atraem um ao outro, c˜ enquanto que fios paralelos carregando corrente em sentidos opostos se repe- lem. A magnitude da for¸a sobre um comprimento L de cada fio ´: c e µ0 Lia ib Fba = ib LBa sin 90o = 2πd Onde d ´ a distˆncia de separa¸ao e ia e ib s˜o as correntes em cada fio. e a c˜ a 20 Lei de Ampere Para algumas distribui¸ao de correntes, a Lei de Ampere c˜ B · ds = µ0 iint Pode ser utilizada, ao inv´s da lei de Biot-Savart, para calcular o campo e magn´tico. A integral de linha nesta equa¸ao ´ calculada ao redor de um e c˜ e circuito fechado, um circuito amperiano. A corrente iint ´ a corrente total e compreendida pelo circuito. 80
    • 21 Campos de um Solen´ide e de um Tor´ide o o Dentro de um solen´ide longo carregando corrente i, em pontos afastados o das extremidades, a magnitude do campo magn´tico B ´: e e B = µ0 in Onde n ´ o n´ mero de espiras por unidade de comprimento. Em pontos e u dentro de um tor´ide, a magnitude do campo magn´tido ´: o e e µ0 iN 1 B= 2π r Onde r ´ a distˆncia do centro do tor´ide ao ponto em quest˜o. e a o a 22 Campo de um Dipolo Magn´tico e O campo magn´tico produzido por uma espira carregando corrente, que ´ e e um dipolo magn´tico, em um ponto P localizado a uma distˆncia z ao longo e a do eixo centro do dipolo ´ paralelo ao eixo e ´ dado por: e e µ0 µ B(z) = 2π z 3 Onde µ ´ o momento de dipolo da espira. e Indu¸˜o e Indutˆncia ca a 23 Fluxo Magn´tico e O fluxo magn´tico ΦB do campo magn´tico B ´ e e e ΦB = B.dA, (116) onde a integral ´ tomada sobre a area. No SI a unidade de fluxo magn´tico e ´ e 2 ´ o weber, onde 1 W b = 1 T.m . Se B ´ perpendicular a area e uniforme e e `´ sobre ela, a equa¸ao (116) ser´ c˜ a ΦB = BA (B ⊥ A, B unif orme). (117) 81
    • 24 Lei de Indu¸˜o de Faraday ca Se o fluxo magn´tico ΦB atrav´s de uma area limitada por um loop condutor e e ´ fechado muda com o tempo, uma corrente e uma fem s˜o produzidas no loop; a este processo ´ chamado de indu¸ao. A fem induzida ´ e c˜ e dΦB E=− . (Lei de F araday). (118) dt Se o loop ´ substituido por uma espira compacta de N voltas a fem induzida e ´ e dΦB E = −N . (119) dt 25 Lei de Lenz Uma corrente induzida tem a dire¸ao tal que o campo magn´tico da corrente c˜ e se op˜e a mudan¸a no campo magn´tico que produz a corrente. o ` c e 26 Fem e o Campo El´trico Induzido e Uma fem ´ induzida por um fluxo magn´tico n˜o constante mesmo quando e e a n˜o h´ um fio condutor. A varia¸ao do fluxo induz um campo el´trico E em a a c˜ e cada ponto do espa¸o; a fem induzida em um la¸o fechado ´ dada por c c e E= E.ds, (120) onde a integra¸ao ´ feita ao redor do la¸o. Da equa¸ao (120) podemos escrever c˜ e c c˜ a lei de Faraday na sua forma mais geral, dΦB E.ds = − (Lei de F araday). (121) dt A essˆncia desta lei ´ que um fluxo magn´tico que muda dΦB /dt induz um e e e campo el´trico E. e 82
    • 27 Indutores Um indutor ´ um artefato utilizado para produzir um campo magn´tico e e com caracter´ ısticas bem definidas. Se uma corrente i ´ estabelecida atrav´s e e de cada uma das N voltas de um indutor, um fluxo magn´tico Φ ´ produzido. e e A indutˆncia L de um indutor ´ a e NΦ L= (indutancia def inida). (122) i A unidade SI de indutˆncia ´ o henry (H), com a e 1 henry = 1 H = 1 T.m2 /A. (123) A indutˆncia por unidade de comprimento perto do meio de um solenoide a comprido de se¸ao transversal A e n voltas per unidade de comprimento ´ c˜ e L = µ 0 n2 A (solenoide). (124) l 28 Auto-indutˆncia a Se uma corrente i numa espira muda com o tempo, uma fem ´ induzida na e espira. Esta fem auto-induzida ´ e di EL = −L . (125) dt A dire¸ao de EL ´ achada da lei de Lenz: a fem auto-induzida atua de modo c˜ e a se opor a mudan¸a que a produz. ` c 29 Circuitos RL em s´rie e Se uma fem constante E ´ introduzida dentro de um circuito de um loop que e contem uma resistˆncia R e uma indutˆncia L, a corrente alcan¸a um valor e a c de equil´ ıbrio de E/R de acordo com E i = (1 − e−t/τL ) (crescimento de corrente). (126) R Aqui τL (= L/R) governa a taxa de crescimento da corrente e ´ chamado e de constante de tempo de indu¸˜o do circuito. Quando a fonte de fem ca constante ´ removida, a corrente cai a partir do valor i0 segundo e i = i0 e−t/τL (decaimento de corrente). (127) 83
    • 30 Energia Magn´tica e Se um indutor L leva uma corrente i, o campo magn´tico do indutor armazena e uma energia dada por 1 UB = Li2 (energia magnetica). (128) 2 Se B ´ o campo magn´tico em qualquer ponto (num indutor ou em qualquer e e outro lugar), a densidade de energia magn´tica armazenada em aquele ponto e ´ e B2 uB = (densidade de energia magnetica). (129) 2µ0 31 Indu¸˜o M´ tua ca u Se duas espiras (1 e 2) est˜o perto uma da outra, uma mudan¸a de corrente a c em qualquer espira pode induzir uma fem na outra. Esta indu¸ao ´ descrita c˜ e por di1 di2 E2 = −M e E1 = −M , (130) dt dt onde M (medida em henries) ´ a indutˆncia m´ tua para o arranjo de espiras. e a u Equa¸oes de Maxwell c˜ 32 Lei de Gauss para Campos Magn´ticos e As estruturas magn´ticas mais simples s˜o os dipolos magn´ticos. Monopolos e a e magn´ticos n˜o existem (pelo menos at´ o que se sabe hoje). A lei de Gauss e a e para campos magn´ticos, e ΦB = B · dA = 0 , estabelece que o fluxo magn´tico (efetivo) atrav´s de qualquer superf´ gaus- e e ıcie siana (fechada) ´ nulo. e 84
    • 33 Extens˜o de Maxwell para a Lei de Amp`re a e Um campo el´trico cujo fluxo varia induz um campo magn´tico B. A lei de e e Maxwell dΦE B · ds = µ0 0 (Lei da indu¸ao de Maxwell) , c˜ dt relaciona o campo magn´tico induzido ao longo de um caminho fechado com e a varia¸ao do fluxo de um campo el´trico ΦE atrav´s do caminho fechado. A c˜ e e lei de Amp`re e B · ds = µ0 icirc. , nos d´ o campo magn´tico gerado pela corrente icirc. circundada pelo caminho a e fechado de integra¸ao. A lei de Maxwell e a lei de Amp`re podem ent˜o serem c˜ e a escritas numa unica equa¸ao: ´ c˜ dΦE B · ds = µ0 0 + µ0 icirc (Lei de Amp`re-Maxwell) . e (131) dt 34 Corrente de Deslocamento Define-se uma corrente fict´ chamada corrente de deslocamento, a qual ´ ıcia e devida a varia¸ao do campo el´trico, como ` c˜ e dΦE id = 0 . dt A equa¸ao (131) torna-se c˜ B · ds = µ0 id,circ + µ0 icirc (Lei de Amp`re-Maxwell) , e na qual id,circ ´ a corrente de deslocamento circundada pelo caminho de e integra¸ao. A id´ia de uma corrente de deslocamento permite-nos reter a c˜ e no¸ao de continuidade da corrente atrav´s de um capacitor. Entretanto, a c˜ e corrente de deslocammento n˜o ´ uma transferˆncia de carga (e por isso a e e chamada de fict´ ıcia). 85
    • 35 Equa¸oes de Maxwell c˜ As equa¸oes de Maxwell, mostradas na tabela abaixo, resumem o eletromag- c˜ netismo e constituem os fundamentos deste. No. Nome ¸˜ Equacao q I Lei de Gauss (el´trica) e E · dA = 0 II Lei de Gauss (magn´tica) e B · dA = 0 III Lei de Faraday E · ds = − dΦB dt dΦE IV Lei de Amp`re-Maxwell e B · ds = µ0 0 dt + µ0 i Referˆncias e [1] R. P Feynman, R. B. Leighton e M. Sands, Lectures on Physics, vol I, Addison-Wesley Publishing Company (1977). [2] R. P Feynman, R. B. Leighton e M. Sands, Lectures on Physics, vol II, Addison-Wesley Publishing Company (1977). [3] R. P Feynman, The Character of Physical Law, The M.I.T Press (1986). [4] H. Moys´s Nussenzveig, Curso de F´sica B´sica, vol 3, Editora Edgard e ı a Bl¨ cher, LTDA (1999). u [5] R. S. Serway, F´sica 3, 3a edi¸ao Livros T´cnicos e Cient´ ı c˜ e ıficos. [6] E. R. Willians, J. E. Falter e H. A. Hill, Phys. Rev. Lett 26, 721 (1971). [7] Enciclop´dia Britannica. e 86