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  • 1. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 2 ¶ Modulo 2: As Leis do Movimento »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, estudaremos os princ¶ o ³pios da din^mica | a descri»~o do movi- a ca mento de um corpo a partir de suas intera»~es. Esta discuss~o tem por base co a as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»a, massa, c referenciais inerciais, e faremos aplica»~es. co Leituras indispens¶veis a Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶ o ³tulos 4 (se»~es 4.1 a 4.5) e 5 co (se»~es 5.1 a 5.3), e as se»~es 13.1 e 13.2 do cap¶ co co ³tulo 13 do livro texto, de H. M. Nussenzveig. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~o a { da lei da in¶rcia e o conceito de referenciais inerciais (se»~es 4.1 e e co 4.2); { do conceito de for»a e massa, e a segunda lei de Newton (se»~es 4.3 c co e 4.4); { da terceira lei de Newton (se»~o 4.5); ca { das intera»~es fundamentais (se»~o 5.1); co ca { e dos exemplos 1 a 6 da se»~o 4.5 do livro texto (p¶g. 78 a 80). ca a Atividade 2 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^mica. a Atividades extras 1 1. Leia todo o cap¶tulo 4 do livro. ³ 2. Resolva os exerc¶cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6. ³
  • 2. F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 2 ³ 3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto. Atividade 3 Discuss~o sobre as intera»~es fundamentais e as for»as de contato (se- a co c co »~es 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»~o 5.3. ca Atividade 4 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 8 e 14 da Lista 6. Atividades extras 2 1. Leia todo o cap¶tulo 5. ³ 2. Releia o cap¶tulo 4. ³ 3. Resolva todos os exerc¶cios j¶ feitos novamente. ³ a 4. Resolva os exerc¶cios 16 a 21 da Lista 6. ³ Atividade 5 Discuss~o da cinem¶tica da rota»~o (se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto) e a a ca co o exemplo 4 da se»~o 5.3 do livro texto. ca Atividade 6 Resolu»~o de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^- ca a mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~o Inerciais). a Atividades extras 3 1. Leia as se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto. co 2. Releia o cap¶tulo 5. ³ 3. Resolva os exerc¶cios 18 a 24 do cap¶tulo 3 do livro texto. ³ ³ 4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶s no Guia de Es- a tudo 1, das listas 1, 2 e 3. Atividade 7 Resolu»~o dos problemas 20 e 25 da Lista 6. ca
  • 3. F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 3 ³ Atividade 8 Discuss~o dos conceitos de velocidade relativa (se»~o 3.9), mudan»a de a ca c sistema de refer^ncia, referenciais inerciais e n~o inerciais (se»~es 13.1, e a co 13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶ ³cios das Listas 8 e 9. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 2 1. Releia os cap¶ ³tulos 4 e 5 do livro texto. 2. Termine a lista de exerc¶cios de 6, sobre Din^mica. ³ a 3. Fa»a os exerc¶cios do Cap¶ c ³ ³tulo 4 e 5 do livro texto. 4. Releia os cap¶ ³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶ ³cios que faltavam (inclusive os de movimento circular e de movimento relativo). 5. Leia as se»~es 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto. co 6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶ ³tulo 13 do livro texto. 7. Resolva todos os exerc¶ ³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^- a mica), 7 Cinem¶tica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo) a e 9 (Referenciais N~o Inerciais). a
  • 4. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 5 Vetores Novamente 1. Represente em termos dos unit¶rios ^ ^ das dire»~es x; y os vetores a ³, ´ co representados na ¯gura. y r 2 c r 1 a x −3 −2 −1 1 2 3 −1 r −2 b 2. Considere os vetores: ~ = 3^ + 2^ a ³ ´ ~ = ¡^ + 2^ b ³ ´ c ~ = 2^ ¡ ^ ³ ´ ~ d = ¡2^ ¡ 3^ ³ ´ (a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y). (b) Represente neste plano os vetores ~ + ~ e ¡ 2 ~. a b c (c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores (i) ~ a (ii) ~ b (iii) d~ (iv) ~ + ~ a b (v) 3 ~ c (vi) ~ ¡ 2 ~ a b c ~ (vii) ~ + d
  • 5. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5 ³s1 3. O produto escalar de dois vetores ¶ uma opera»~o que associa a dois e ca vetores ~ e b a ~ um n¶mero real de valor igual a a b cos µ , onde µ ¶ o u e a ^ngulo entre ~ e b a ~ , medido de ~ para ~ . Usa-se a nota»~o ² para a b ca representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»~o, observa-se que ca ~ ² ~ = a b cos µ = a ba ; a b onde ~a ¶ a proje»~o de ~ sobre a dire»~o de¯nida por ~ . b e ca b ca a r b θ r r ba a Demonstre que (a) ~ ² ~ = a2 . a a (b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~o ~ ² ~ = 0 , ~ ?~ a a b a b. (c) ^ ² ^ = 0 ; ^ ² ^ = 1 ; ^ ² ^ = 1 . i ´ ³ ³ ´ ´ (d) ax = ~ ² ^ a ³ (e) ~ ² ~ = ~ ² ~ a b b a ³ ´ (f) ~ ² ~ + ~ = ~ ² ~ + ~ ² ~. a b c a b a c a ³ ´ ^ (g) Se ~ = ax ^ + ay ^ + az k e ~ = bx ^ + by ^ + bz ^ , ent~o b ³ ´ k a ~ ² ~ = ax bx + a y by + a z bz a b 4. Para ~ = ^ ¡ 2^ , ~ = 2^ + 3^ e ~ = ¡^ + ^ calcule a ³ ´ b ³ ´ c ³ ´ (a) ~ + ~ a b (b) ¡ 3~ c (c) 2~ ¡ ~ a b ³ ´ (d) ~ ² ~ + ~ a b c (e) ~ ² (~ ¡ 2 ~) b a c
  • 6. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6 ³s1 5. Um bloco de massa m est¶ apoiado e em repouso sobre um plano in- a clinado de um ^ngulo ® em rela»~o µ horizontal. a ca a y x (a) Isole o bloco e indique todas as for»as que atuam sobre ele. c (b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y de cada uma das for»as atuando sobre o corpo. c (c) Calcule o m¶dulo de cada uma das for»as e o ^ngulo entre cada o c a uma delas e o eixo x. 6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»as constantes, ex- c pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como F 1 = ^ + 2^ ¡ 3 ^ ~ ³ ´ k ~ ´ ^ F2 = ^ ¡ k ~ F3 = ¡ ^ + ^ i ´ O observador que descreve este sistema ¶ um observador inercial. e (a) Calcule a for»a resultante sobre este corpo. c (b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»as e da c for»a resultante. c c ~ (c) Calcule o ^ngulo que a for»a F1 faz com o eixo x. a c ~ ~ (d) Calcule o ^ngulo entre as dire»~es das for»as F2 e F3. a co (e) Obtenha o ^ngulo que a for»a resultante faz com o eixo z. a c c ~ (f) Obtenha o vetor unit¶rio da dire»~o de¯nida pela for»a F1 . a ca (g) Qual o vetor acelera»~o deste corpo? ca (h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~± = 12^¡16 ^ v ´ k, e sua posi»~o em rela»~o a um ponto ¯xo para o observador vale ca ca vecr± = 0, qual a trajet¶ria que o corpo descreve? o
  • 7. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7 ³s1 7. Considere o vetor posi»~o de uma part¶ ca ³cula de massa m = 0; 5 kg medido por um observador ¯xo a um sistema inercial: ~(t) = 5 t2 ^ + (10 t ¡ 4) ^ + 6 exp (¡2 t) ^ r ³ ´ k. (a) Obtenha o valor do vetor posi»~o desta part¶cula nos instantes de ca ³ tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s. (b) Obtenha a express~o que descreve a velocidade desta part¶cula a ³ como fun»~o do tempo, ~ (t). ca v (c) Obtenha a express~o que descreve a acelera»~o desta part¶cula a ca ³ como fun»~o do tempo. ca (d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»~o da part¶cula nos ca ³ instantes t = 1 s e t = 4 s. (e) Calcule a for»a resultante sobre a part¶ c ³cula no instante t = 4 s.
  • 8. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 6 Din^mica de uma Part¶ a ³cula 1. Quais as for»as que atuam sobre a ma»~ da ¯gura? Onde est~o as c ca a rea»~es a essas for»as? Considere as mesmas perguntas com a ma»~ co c ca caindo. Despreze a resist^ncia do ar. e 2. Ao caminhar, a for»a de atrito ¶ que aparentemente produz o movi- c e mento. Qual o sentido desta for»a? Explique. c 3. Um homem de peso PH, de p¶ sobre uma superf¶ e ³cie, empurra um arm¶rio de peso PA. Considerando a exist^ncia de atrito entre a su- a e perf¶cie do sapato do homem e o ch~o, bem como entre o arm¶rio ³ a a e o ch~o, esquematize claramente as for»as aplicadas no arm¶rio, no a c a homem e no ch~o. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»as. a c 4. Uma part¶ ³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2 . (a) Quais s~o o peso e a massa da part¶ a ³cula, se ela for para um ponto no 2 espa»o onde g = 4; 9 m/s ? (b) Quais s~o o peso e a massa da part¶ c a ³cula, se ela for deslocada para um ponto do espa»o onde a acelera»~o de queda c ca livre seja nula? 5. Suponha que no futuro a Companhia de Pesquisas Lunaresquot; monte laborat¶rios na Lua e na Terra, mantendo um servi»o de foguetes entre o c eles. Nos dois laborat¶rios s~o usados quilograma-padr~o. Um bloco de o a a masa 10 kg ¶ usado como carrinhoquot; para experi^ncias em uma mesa e e sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco est¶ na Lua, sua massa ¶ igual µ massa lida na Terra? a e a Os experimentadores possuem uma balan»a de mola A, calibrada em c Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma for»a de 4 N. (b) No laborat¶rio da Terra, com uma for»a de 4 N, qual c o c ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique. (c) No laborat¶rio da Lua, com a ca o a mesma for»a de 4 N, qual ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique. c a ca
  • 9. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9 ³s1 Os experimentadores possuem tamb¶m uma balan»a de mola B, n~o e c a graduada. No laborat¶rio da Terra, eles a calibram em quilogramas- o pesoquot;, suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~o. Outra a balan»a n~o graduada C est¶ dispon¶ c a a ³vel. Ela ¶ calibrada no Labo- e rat¶rio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade o e ¶ quilograma-pesoquot;. (d) No laborat¶rio da Terra, puxa-se o mesmo o bloco com a balan»a de mola B (calibrada em quilogramas no Labo- c rat¶rio da Terra). Se a leitura da balan»a for 2,0, qual ¶ a acelera»~o o c e ca do bloco? (e) No laborat¶rio da Lua, o mesmo bloco ¶ puxado com a o e mesma balan»a B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua). c Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor ou igual ca a a µ encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶rio da Lua, o o mesmo bloco ¶ puxado, agora com o aux¶ da balan»a C (calibrada e ³lio c na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor ca a ou igual µ encontrada no item (e)? a 6. Dois blocos, de massas M e m, est~o em contato apoiados sobre uma a c ~ mesa horizontal lisa. Uma for»a F de m¶dulo F e que faz um ^ngulo µ o a com a horizontal ¶ aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura. e Calcule o valor da for»a de contato entre os dois blocos em fun»~o dos c ca dados do problema e da acelera»~o da gravidade g. Calcule tamb¶m os ca e valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶cie. ³ Ex. 6 Ex. 7 r m1 F r F m2 θ M m 7. Dois blocos est~o em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»a a c horizontal ¶ aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se e m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»a de contato c entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»a F for aplicada c a m2, ao inv¶s de m1, a for»a de contato entre os dois blocos vale 2,1 e c N, que n~o ¶ o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»a. a e c 8. Tr^s blocos s~o ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de e a massa desprez¶³vel. Os blocos est~o apoiados sobre uma mesa horizontal a
  • 10. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10 ³s1 lisa, e s~o puxados para a direita por uma for»a horizontal de m¶dulo a c o T 3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule (a) a acelera»~o do sistema e (b) as tens~es T1 e T2 da ¯gura. ca o Ex. 8 T1 T2 r T3 m1 m2 m3 9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶ parado sobre o ch~o. O coe¯ciente a a de atrito est¶tico entre ele e o ch~o ¶ 0,68 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,56. a a e e e Em quatro diferentes tentativas para mov^-lo, foi empurrado com for»as e c horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine, para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶dulo da for»a de o c atrito sobre ele. O arquivo est¶ sempre parado antes de cada tentativa. a 10. Um bloco de massa 2 kg est¶ apoiado sobre uma mesa plana e lisa. a Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de m¶dulo e c o 5,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da for»a ca c normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa? ³cie Ex. 10 Ex. 11 θ 11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre a mesa plana e lisa. Voc^ passa a empurr¶-lo com uma for»a de mesmo e a c ± m¶dulo 5,0 N, mas agora fazendo um ^ngulo µ = 30 com a horizontal. o a Qual a acelera»~o do bloco? E qual o valor da for»a normal de contato ca c entre o bloco e a superf¶ ³cie? 12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶ apoiado e sobre uma mesa plana mas n~o lisa. O coe¯ciente de atrito est¶tico a a entre o bloco e a superf¶ vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶tico ³cie e vale 0,20.
  • 11. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11 ³s1 (a) Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de e c m¶dulo 4,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da o ca for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa? c ³cie (b) Voc^ agora aumenta o empurr~o, passando a exercer uma for»a e a c horizontal de m¶dulo 8,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? o ca Qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶ c ³cie? (c) Voc^ passa a empurrar o bloco com uma for»a de m¶dulo 8,0 N que e c o faz um ^ngulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»~o do bloco, a ca agora? E qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a c superf¶ ³cie? 13. Um preso num c¶rcere decide escapar deslizando por uma corda forne- a cida por um c¶mplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de u massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de 60 kg. O gancho pode suportar uma tra»~o de 400 N sem quebrar. A ca janela est¶ a 15 m do n¶ do solo. Para n~o se arriscar, o preso resolve a ³vel a veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula. Qual a velocidade m¶ ³nima com que o macaco e o preso dever~o atingir a o solo de modo a n~o quebrar o gancho? a 14. Um bloco de massa m ¶ colocado sobre outro bloco de massa M , e o e conjunto ¶ apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior, e ~ aplica-se uma for»a horizontal F de m¶dulo F . Observa-se que os dois c o blocos movem-se juntos, o de cima n~o deslizando sobre o de baixo. Os a coe¯cientes de atrito est¶tico e cin¶tico entre os blocos valem respec- a e tivamente ¹ E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶ de apoio ¶ ³cie e desprez¶³vel. Qual o valor m¶ximo F MAX que a for»a F pode ter para a c que o bloco m n~o se mova em rela»~o ao bloco M? Qual o valor, a ca quando F = FMAX , da for»a de contato entre os dois blocos? c m M
  • 12. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12 ³s1 15. Um bloco de 4,0 kg ¶ colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para e fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶ mantido ¯xo, e uma for»a horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima. c O conjunto de blocos ¶ agora colocado sobre uma mesa horizontal sem e atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»a horizontal F m¶xima c a aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b) a acelera»~o resultante dos blocos. ca 4,0 kg 5,0 kg 16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~o li- a gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o t^m massas e desprez¶ ³veis, e n~o h¶ atrito entre A e a superf¶ horizontal. a a ³cie (a) Calcule a acelera»~o do sistema e a for»a F exercida pelo ¯o em A. ca c (b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria ter a massa de B para que a for»a F 0 atuando sobre A seja o dobro da c for»a F calculada no item (a)? c Ex. 16 (c) Comente o resultado do item (b) A para os casos em que mA = mB e mA < mB . B 17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶ sobre um plano liso com in- a ± clina»~o de 30 , preso por uma corda que passa por uma polia, de ca massa e atrito desprez¶ ³veis. Na outra extremidade da corda est¶ colo- a cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado verticalmente (veja ¯gura). Quais s~o a Ex. 10 (a) os m¶dulos das acelera»~es de cada bloco e o co (b) o sentido da acelera»~o de m2? ca m1 m2 (c) Qual a tens~o na corda? a 18. Dois blocos s~o ligados atrav¶s de uma polia, como mostrado na ¯gura. a e A massa do bloco A ¶ de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶tico ¶ 0,20. e e e
  • 13. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13 ³s1 O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B? m1 m2 19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que n~o est~o presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre eles a a a e ¶ ¹ E = 0,38, mas na superf¶ embaixo de M n~o h¶ atrito. Qual a ³cie a a for»a horizontal m¶ c ³nima F necess¶ria para manter m em contato com a M? Ex. 19 Ex. 20 r F sem atrito ~ 20. Uma for»a horizontal F , de m¶dulo 50 N, empurra um bloco de peso c o 20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre a a parede e bloco ¶ 0,40 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,30. Suponha que e e e inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»ar¶ a se c a mover? (b) Qual a for»a exercida pela parede sobre o bloco? c 21. Uma part¶ ³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com a equa»~o x = 0; 2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶ dado em metros e t em ca e segundos. Qual a for»a que age sobre a part¶cula em t = 0 s? Qual o c ³ valor m¶ximo dessa for»a? a c 22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de areia, e afunda 5 cm at¶ parar. Se supusermos que a for»a de resist^ncia e c e que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶ constante, quanto ela e vale? 23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~es desprez¶ o ³veis est¶ caindo a verticalmente em dire»~o µ superf¶ da Terra. Quando est¶ a 10 m de ca a ³cie a
  • 14. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14 ³s1 altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»~o de um forte tuf~o que lhe ca a imprime uma for»a de componente horizontal dada por 3t (em Newtons, c com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima. Quais a velocidade e a posi»~o da part¶cula em cada instante? Qual ca ³ a equa»~o da trajet¶ria descrita pela part¶ ca o ³cula? Esboce a curva desta trajet¶ria. o 24. Um homem de 80 kg pula para um p¶tio, da beirada de uma janela que a est¶ a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos, a quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dist^ncia de 2,0 cm. a (a) Qual a acelera»~o m¶dia do homem, entre o primeiro instante em ca e que seus p¶s tocaram o ch~o, ao instante em que ¯cou completamente e a parado? (b) Qual a for»a que o impacto transmitiu µ sua estrutura c a ¶ssea? o 25. Um disco de massa M que est¶ ligado por um ¯o leve a outra massa a m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶vel, como mostrado ³ na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !? m r M 26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfer^ncia hori- e zontal em torno das paredes verticais de um po»o cil¶ c ³indrico de raio R. (a) Com que velocidade m¶nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito ³ est¶tico entre os pneus e a parede ¶ ¹E ? (b) Calcule esta velocidade a e para R = 5 m e ¹ E =0,9. 27. Uma curva circular de auto-estrada ¶ projetada para velocidades de e 60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶ 150 m, qual deve ser o ^ngulo e a de inclina»~o da rodovia? (b) Se a curva n~o fosse inclinada, qual ca a deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶nimo entre os pneus e a estrada ³ para permitir o tr¶fego a essa velocidade sem derrapagem? a
  • 15. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15 ³s1 28. Uma crian»a coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um c carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve ser o coe¯ciente de atrito est¶tico entre a cesta e o carrossel, para que a a cesta n~o deslize sobre este? a 29. Um p^ndulo c^nico ¶ formado por massa de 50 g presa por um cord~o e o e a de 1,2 m. A massa gira formando um c¶ ³rculo horizontal de 25 cm de raio. (a) Qual ¶ a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»~o? (c) Qual e ca a tens~o no cord~o? a a 30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo?
  • 16. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 7 ¶ Cinematica do Movimento Circular 1. Um prato girat¶rio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»~es por o co minuto. Qual a velocidade angular de rota»~o deste disco? ca 2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a cada 2 segundos. Calcule o m¶dulo da velocidade do objeto se ele o estiver a uma dist^ncia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O. a 3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»~o vale 0; 1 ¼ m/s. Em ca t = 2 s, sua velocidade ¶ o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a e acelera»~o angular m¶dia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade ca e angular est¶ aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶ necess¶rio a a a para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s? 4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dist^ncia ` = 10 cm em a torno de um ponto O com per¶ ³odo de rota»~o ¯xo e igual a 4 s. Qual ca a for»a resultante agindo sobre este objeto? c 5. O objeto do exerc¶ anterior num certo instante passa a descrever um ³cio movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A acelera»~o angular vale 0; 1 ¼ rad/s2. Qual a for»a resultante agindo ca c sobre o objeto? 6. Na lista de exerc¶cios 2, sobre Vetores, voc^ demonstrou no exerc¶ ³ e ³cio 9 uma rela»~o entre os vetores unit¶rios na representa»~o polar e os ca a ca vetores unit¶rios na representa»~o cartesiana, a ca r = cos µ^ + sen µ ^ ^ ³ ´ ^ µ = ¡ sen µ ^ + cos µ^ ³ ´
  • 17. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17 ³s1 Observando que a dire»~o destes dois vetores varia com o tempo, calcule ca d^ r ^ dµ e dt dt A partir destas express~es, e usando que o movimento ¶ circular (r ¶ o e e constante) ~ =r^ r r demonstre que ^ ~ =!rµ v ^ ~ = ¡ !2 r r + ® r µ a ^ onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.
  • 18. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 8 Movimento Relativo 1. Um piloto de ultraleve est¶ voando, e quer ir de um ponto A a um a ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶ soprando a seu a favor, na dire»~o A-B. A velocidade do vento em rela»~o ao ch~o ¶ de ca ca a e 20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade de 40 km/h em rela»~o ao ar. Qual a velocidade que um observador no ca ch~o mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶ a e B? Se as condi»~es do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar co de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade, observada do ch~o, na volta? a 2. A dist^ncia entre dois pontos A e B ¶ L. Um avi~o voa de A at¶ B e a e a e volta, com velocidade de m¶dulo v constante em rela»~o ao ar. Calcule o ca o tempo total que gastar¶ para realizar o percurso, se o vento sopra a com uma velocidade de m¶dulo u: o (a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B; (b) na dire»~o perpendicular µ linha que une A e B. ca a Demonstre que a dura»~o da viagem sempre ¶ maior quando h¶ vento. ca e a 3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶gua move-se com ve- a locidade de m¶dulo u em rela»~o µs margens. Um barco parte de um o ca a ponto A em uma das margens, para alcan»ar um ponto B na outra, c desenvolvendo uma velocidade de m¶dulo v em rela»~o µ ¶gua. Qual o ca a a a orienta»~o que ele deve tomar, e que tempo levar¶ para atravessar o ca a rio, se (a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A? (b) o ponto B ¶ tal que o tempo de travessia ¶ o menor poss¶ e e ³vel?
  • 19. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19 ³s1 4. Um navio a vapor navega em dire»~o ao Sul a 25 km/h em uma regi~o ca a onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o ^ngulo que a fuma»a a c saindo da chamin¶ forma com a dire»~o Norte? e ca 5. Um navio est¶ navegando paralelamente a uma linha costeira reta com a velocidade de m¶dulo v. No instante que ele passa por um porto, um o barco da guarda-costeira sai para intercept¶-lo com uma velocidade de a m¶dulo u (u > v). Que dire»~o o barco da guarda costeira deve seguir o ca para alcan»ar o navio no menor tempo poss¶ c ³vel? 6. Um b^bado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante. e Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»a quase c vazia. Ele somente nota o fato ap¶s ter remado meio hora. Nesse o instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶ encontrar e a garrafa, que se encontrava a um quil^metro da ponte, rio abaixo. o Ache a velocidade do rio. (Sugest~o: utilize um sistema de refer^ncia a e parado em rela»~o µ ¶gua.) ca a a 7. Duas part¶ ³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci- dades constantes ~1 = 2^ cm/s e ~ 2 = 3^ cm/s. No instante t = 0 elas v ³ v ´ est~o nas posi»~es dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm. a co Obtenha o vetor ~2 ¡ ~1 que representa a posi»~o da part¶ r r ca ³cula 2 com respeito µ part¶ a ³cula 1, como fun»~o do tempo. Determine em que ins- ca tante de tempo elas estar~o com a menor separa»~o poss¶ a ca ³vel, e qual ¶ e esta dist^ncia de m¶xima aproxima»~o. a a ca
  • 20. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 9 ~ Referenciais Nao Inerciais 1. Um homem entra numa farm¶cia e pesa-se em uma balan»a calibrada a c em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador que possui uma balan»a tamb¶m calibrada em Newtons. O que ler¶ se c e a repetir a pesagem dentro do elevador (a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»~o cons- ca 2 tante de 2 m/s ? (b) subindo entre o terceiro e o d¶cimo andares com velocidade cons- e tante de 7 m/s? (c) subindo entre o d¶cimo e o d¶cimo segundo andares com desace- e e lera»~o de 2 m/s 2? ca (d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando µ raz~o de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante a a de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µ raz~o de 2 m/s 2? a a 2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos- sui acelera»~o ~ e est¶ num local do espa»o onde n~o existe campo ca a a c a gravitacional algum. O alvo est¶ na mesma altura das m~os do ob- a a servador, e a uma dist^ncia L deste. A velocidade inicial do proj¶til a e tem m¶dulo v0. Fa»a um desenho mostrando a trajet¶ria seguida pelo o c o proj¶til, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados e do problema, ache o ^ngulo que o proj¶til deve fazer com a horizontal a e ao ser arremessado para que ele atinja o alvo.
  • 21. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21 ³s1 ~ 6 a ¾ - t t L 3. Um garoto est¶ sobre a carroceria de um caminh~o, que corre sobre o a a solo plano com acelera»~o ~ na dire»~o de seu movimento. Com que ca a ca a ^ngulo com a vertical o garoto deve lan»ar uma bola de massa m para c que, quando a bola cair, ele possa apanh¶-la sem se mover? a 4. O passageiro de um avi~o, nervoso na decolagem, tira sua gravata e a deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante a corrida para al»ar v^o, que dura 30 s, a gravata faz um ^ngulo de c o a 0 15 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e horizontal, e que a acelera»~o do motor ¶ constante. ca e 5. Um objeto de massa m est¶ preso por uma corda de massa desprez¶ a ³vel ao teto de um vag~o. Num determinado instante, o vag~o ¶ colocado a a e em movimento, com uma acelera»~o ~ horizontal de m¶dulo constante, ca a o para a direita. O objeto ent~o encosta na parede (como na ¯gura). O a a ^ngulo que o ¯o faz com o teto ¶ µ. O atrito entre o objeto e a parede e e ¶ desprez¶ ³vel. µ¶ ¶ ¶u ¶ ~ a - (a) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um c c observador ¯xo numa esta»~o, ca (b) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um ob- c c servador dentro do vag~o, e diga onde est~o atuando suas rea»~es. a a co
  • 22. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22 ³s1 (c) Calcule o valor da for»a de contato entre o objeto e a parede do c vag~o. a 6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶ ³cie 0 sem atrito inclinada de 30 em rela»~o µ horizontal. Suponha que esta ca a superf¶ seja acelerada para a esquerda com acelera»~o ~ constante. ³cie ca a A magnitude da acelera»~o ¶ tal que o objeto n~o desliza. (a) Desenhe ca e a um diagrama que mostre as for»as que atuam sobre o objeto, em um c sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»~o para ca que o objeto n~o deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto a de vista de um observador (n~o inercial) que move-se junto com o plano a inclinado. © © © © © ©m A © © A © ©© A © © © © © © ¾ ~ a © © © 300 © 7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de mesma massa m s~o colocados em cabines montadas nas extremidades a opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶ girado com e velocidade angular - num c¶ ³rculo vertical em torno do ponto m¶dio da e barra, O. Cada cabine possui uma balan»a, e os astronautas se pesam c sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver- tical, (a) fa»a um diagrama das for»as que agem sobre cada um dos c c astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me- dida da balan»a feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que c velocidade de rota»~o ¶ necess¶ria para produzir a sensa»~o de impon- ca e a ca derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»~o, qual a leitura feita na ca balan»a da outra cabine? c
  • 23. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23 ³s1  ¿ Á À -O  ¿ Á À 8. Um corpo de massa m est¶ apoiado em um suporte dentro de um a cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o coe¯ciente de atrito est¶tico entre o corpo e a parede interna do cilindro, a pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar o suporte sem que o corpo deslize em rela»~o µ parede do cilindro? (b) ca a O que acontece com o valor da for»a de atrito se - for maior do que o c valor m¶³nimo encontrado no item anterior?
  • 24. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 1 Vetores Muitas das grandezas usadas na F¶sica n~o podem ser representadas por ³ a um unico n¶mero. Grandezas como a posi»~o de um objeto, sua velocidade, ¶ u ca a for»a aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»~o c ca precisa, n~o s¶ de um valor num¶rico { a dist^ncia a um ponto de refer^ncia, o a o e a e valor medido no od^metro de um carro, a intensidade da for»a { mas tamb¶m o c e de dire»~o e sentido. ca De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶ uma grandeza que pode ser e representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento e ¶ o m¶dulo do vetor, sua dire»~o ¶ fornecida pela dire»~o da reta que suporta o ca e ca o semento, e o sentido ¶ dado pela orienta»~o do segmento. Um vetor em e ca geral ¶ representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como e ~ ; seu m¶dulo ¶ representado por j~ j = a. a o e a r a Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶, um e vetor ¶ um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo e de diferentes pontos do espa»o. Um vetor tamb¶m ¶ um elemento de um c e e conjunto { chamado espa»o vetorial { que associado a duas opera»~es, a c co adi»~o e a multiplica»~o por escalar, tem algumas propriedades: ¶ fechado ca ca e em rela»~o a estas duas opera»~es (a soma de dois vetores ¶ um vetor,...), ca co e o elemento neutro da adi»~o (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os ca vetores possuem elemento inverso em rela»~o µ adi»~o, .... ca a ca Um exemplo de vetor bem conhecido ¶ o vetor deslocamento de um objeto e pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen- ~ tado por um vetor d com m¶dulo igual µ dist^ncia entre os pontos A e B, o a a dire»~o de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B. ca r d B A
  • 25. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25 ³ Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor- responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada. Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C. r B r d1 d2 r C d A A opera»~o de adi»~o de dois vetores ¶ de¯nida de forma an¶loga µ soma ca ca e a a de dois vetores deslocamentos. O vetor ~ que resulta da soma de dois outros c vetores ~ e ~ ~ = ~ +~ ¶ o vetor correspondente ao segmento de reta orientado a b, c a b, e obtido de acordo com a regra do paralelogramoquot;. Esta regra de soma tem este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que pode ser formado com lados ~ e ~ a b. r r r r c = a+b a r b A adi»~o de vetores ¶ comutativa ca e ~ +~ = ~ + ~ a b b a e ¶ distributiva: e ³ ´ ³ ´ ~ + ~ +~ = ~ +~ + ~ a b c a b c o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente. ~ Um deslocamento d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»~o, ca a dire»~o da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a ca mesma dire»~o pode ser escrito como o produto deste deslocamento d por ca ~ um n¶mero real ®, de forma tal que a dist^ncia percorrida seja ® d. Se ® ¶ u a e positivo, os sentidos s~o os mesmos. Para voltar de B at¶ A, o deslocamento a e pode ser representado por um vetor com a mesma dire»~o, mesmo m¶dulo e ca o ~ sentido oposto, ¡ d. r r −d 2d r B A d
  • 26. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26 ³ A opera»~o de multiplica»~o de um vetor ~ por um escalar ® (um n¶ mero ca ca b u real) ¶ de¯nida como sendo uma opera»~o cujo resultado ¶ um vetor ® ~ e ca e b { cujo m¶dulo ¶ dado por j®j b, o e { cuja dire»~o ¶ a mesma dire»~o do vetor ~ ca e ca b, { e cujo sentido ¶ o de ~ no caso em que ® > 0, e contr¶rio se ® < 0. e b a Desta maneira, a diferen»a de dois vetores ¶ a soma de dois vetores, o c e primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶mero real ¡1: u ³ ´ ~ ¡ ~ = ~ + ¡~ : a b a b r r r d = a −b r r r r c =a +b a r b Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m) na dire»~o de A para B pode ser o padr~o de medida de todos os vetores que ca a t^m a dire»~o AB. e ca Da mesma maneira que ¶ necess¶ria uma unidade de medida, um padr~o, e a a para a descri»~o de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre- ca cisamos de um padr~o de medida para vetores. Mas a especi¯ca»~o de um a ca vetor exige m¶dulo, dire»~o e sentido; um padr~o para descrev^-lo n~o pode o ca a e a ser um simples n¶mero, tem que ter tamb¶m dire»~o e sentido. Ou seja, ¶ u e ca e tamb¶m um vetor. e Um vetor cujo m¶dulo vale 1 unidade ¶ chamado de vetor unit¶rio. A sua o e a representa»~o ¶ feita usuamente por um chap¶uquot; (acento circun°exo) sobre ca e e uma letra: ^. Da opera»~o de multiplica»~o por escalar, podemos escrever a ca ca imediatamente ~ ^ d = ad : r ˆ d d B A E para obter-se o vetor unit¶rio associado a um vetor qualquer basta divid¶ a ³-lo pelo seu m¶dulo: o ^ 1~ d= d: d
  • 27. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27 ³ Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor- denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»o, s~o necess¶rias tr^s c a a e coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por- tanto, precisamos de suas tr^s componentes ao longo de tr^s eixos { ou de e e tr^s unit¶rios de dire»~es independentes. O sistema de tr^s vetores unit¶rios e a co e a mais comum ¶ um sistema constitu¶do de tr^s unit¶rios mutuamente perpen- e ³ e a diculares, com a conven»~o de ordem indicada na ¯gura abaixo. ca ˆ k z y ) j ˆ i x Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento atrav¶s das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»~o ¯ca como e ca na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~o as componentes segundo os eixos a x e y: A = (xA; yA ). y yA A A = ( xA , yA ) O xA x ~ ~ O vetor OA = d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»~o ¯ca ca ~A = ~ A + ~A r x y como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶rios das dire»~es x e y como a co sendo ^ e ^ temos ³ ´, ~ A = xA ^ + y A ^ r ³ ´ y yA A A = ( xA, yA ) r O xA x rA = x A ˆ + y A ˆj i O vetor componente de ~A na dire»~o x, ~ A, tem m¶dulo igual a jxAj, pois r ca x o xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~ A x
  • 28. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28 ³ coincidir ou n~o com o sentido do unit¶rio ^ O mesmo ocorre para o vetor a a ³. componente de ~A na dire»~o de y, yA. Assim, r ca x ~ A = xA ^ ; ~A = yA ^ : ³ y ´ y A r r r r yA rA = xA + yA = = xA ˆ + y A ˆ r O xA x i j Os valores xA e yA s~o chamadas de componentes do vetor ~A segundo os a r eixos x e y, ou segundo as dire»~es dos unit¶rios ^ e ^ co a ³ ´. y A y x = r cos θ r y = r senθ θ x x Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r corresponde µ dist^ncia µ origem de coordenadas e µ o ^ngulo que a dire»~o a a a a ca OA faz com um eixo arbitr¶rio { no caso o eixo x. As duas descri»~es a co A = (r; µ) = (x; y) est~o relacionadas atrav¶s das express~es a e o x = r cos µ ; y = r sen µ q y r= x2 + y2 ; µ = arctg x e ¶ imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou e menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶dulo o ~ do vetor OA. As opera»~es de adi»~o de vetores e multiplica»~o por escalar podem ser co ca ca feitas em termos de componentes. r r r r c = a+b a r c cx = a x + b x x r bx a x cx b Da ¯gura, para a adi»~o de vetores ca ³ ´ cx = ~ + ~ a b = ax + bx x
  • 29. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29 ³ e de forma an¶loga a ³ ´ cy = ~ + ~ a b = ay + by y Para a multiplica»~o de um vetor por um escalar, ca r r r b b=αa r bx = α a x a x ax bx bx = (® ~ )x = ® ax ; a by = (® ~ )y = ® ay : a Duas outras opera»~es com vetores s~o usadas para a de¯ni»~o de con- co a ca ceitos f¶ ³sicos. A primeira opera»~o ¶ o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta ca e opera»~o, a um par de vetores ~ e ~ associa-se um n¶mero real ~ ¢ ~ de¯nido ca a b u a b como ~ ¢ ~ = a b cos µ a b onde µ ¶ o ^ngulo entre as dire»~es de ~ e ~ e a co a b. r ab = a cos θ a θ r ab b Esta de¯ni»~o ¶ equivalente a dizer que o produto escalar de ~ por ~ ¶ o ca e a be produto do m¶dulo de b o ~ pela proje»~o de ~ na dire»~o de ~ Geometricamente, ca a ca b. veri¯ca-se trivialmente que ~ ¢~ =~ ¢~ a b b a ~ ¢~ = a2 a a ~ ¢ ~ = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~ ? ~ a b a b ³ ´ ~ ¢ ~ + ~ = ~ ¢~ + ~ ¢ ~ a b c a b a c Se os vetores ~ e ~ s~o paralelos, ~ ¢ ~ = a b. Se s~o anti-paralelos (seus a b a a b a ~ = ¡ a b. sentidos s~o opostos) ~ ¢ b a a Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro- priedades anteriores. Se ~ = ax ^ + ay ^ + az ^ e ~ = bx ^ + by ^ + bz k , ent~o a ³ ´ k b ³ ´ ^ a ³ ´ ³ ´ ~ ¢ ~ = ax ^ + ay ^ + az ^ a b ³ ´ k ^ ¢ bx^ + by ^ + bz k = ax bx + a y by + az bz ³ ´
  • 30. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30 ³ Da de¯ni»~o do produto escalar, tamb¶m, pode-se demonstrar que ca e a x = ~ ¢ ^ ; ay = ~ ¢ ^ ; az = ~ ¢ ^ a ³ a ´ a k ~ ¢~ a b cos µ = ab O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~es em F¶ o ³sica com ~ num deslocamento: a de¯ni»~o de trabalho realizado por uma for»a F ca c Z F WAB = ~ r F ¢ d~ : A outra opera»~o, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois ca ~ um terceiro vetor c vetores ~ e b a ~ = ~ £~ c a b com o m¶dulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶ o (menor) ^ngulo entre ~ e ~ o e a a b, ~ e sentido dado pela com dire»~o perpendicular ao plano que cont¶m ~ e b, ca e a chamada regra da m~o direitaquot;. Esta de¯ni»~o est¶ ilustrada na ¯gura a a ca a seguir. r r r r r c c c = a× b r c = área b r r a b b senθ r a O produto vetorial de dois vetores n~o ¶ comutativo { a ordem dos fatores a e troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶m podem ser veri¯cadas e facilmente da de¯ni»~o, ca ~ £~ = ¡~ £ ~ a b b a ³ ´ ~ £ ~ + ~ = ~ £~ + ~ £ ~ a b c a b a c ³ ´ ~ £ ®~ = ®~ £ ~ a b a b a~ = 0 a O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶ nulo. e
  • 31. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31 ³ Em componentes, ~ £ ~ = (ay bz ¡ az by ) ^ + (az bx ¡ ax bz ) ^ + (a x by ¡ ay bx) k a b ³ ´ ^ O produto vetorial aparece em F¶sica na de¯ni»~o de torque de uma for»a ³ ca c em rela»~o a um ponto, e momento angular de uma part¶ ca ³cula em rela»~o a ca um ponto: r ~ ¿ =~£F ~ LO = ~ £ p = m ~ £ ~ r ~ r v
  • 32. F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 6 { Respostas 1. Peso (rea»~o sobre a Terra) e sustenta»~o (rea»~o sobre a ponta do ca ca ca cabo). Quando a ma»~ est¶ caindo, atua apenas o peso. ca a 2. No sentido do movimento do corpo. 3. No arm¶rio: peso, normal, atrito e empurr~o do homem. No homem: a a peso, normal, atrito, rea»~o ao empurr~o. ca a 4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg. 5. (Discutir com o professor.) 6. For»a de contato entre os blocos: de m¶dulo F cos µ m=(M + m), ho- c o rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»a de c contato entre m e a superf¶ ³cie: mg, vertical e para cima. For»a de c contato entre M e a superf¶ ³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima. 7. (a) 1; 1 N. 8. (a) 0; 97 m/s2 ; (b) T1 = 11; 6 N, T 2 = 34; 8 N. 9. (a) N~o, fat = 222 N. (b) N~o, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d) a a Sim, fat = 311 N. 10. a = 2; 5 m/s2 , N = 20 N. 11. a = 2; 2 m/s2 , N = 22 N. 12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2, N = 24 N, caso a for»a tenha dire»~o e sentido como na ¯gura do c ca exerc¶ 11. ³cio 13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s 2. 14. F MAX = ¹E (M + m) g; f = ¹E mg e n = mg s~o as duas componentes a da for»a de contato entre os dois blocos. c
  • 33. F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33 ³ 15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2. 16. (a) a = mB g=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB ). (b) m0B = 2mAmB =(mA ¡ mB). 17. (a) 0; 75 m/s2 ; (b) para baixo; (c) 21; 3 N. 18. Supondo que o ^ngulo de inclina»~o do plano ¶ de 30±, mB = 3; 3 kg. a ca e 19. 421 N. 20. (a) N~o. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori- a zontal: 50 N para a esquerda. 21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N. 22. 1000 N. 23. Sistema de coordenadas: unit¶rios ^ na dire»~o horizontal, com o sen- a ³ ca tido do tuf~o, ^ para cima; a origem est¶ no ch~o, bem embaixo do ponto a ´ a a v 2 inicial do corpo. ~(t) = 3t ^ + 10 (t ¡ 1) ^, ~(t) = t3 ^ + 5 (t2 ¡ 2t + 2)^. ³ ´ r ³ ´ 24. (a) 250 m/s2 ; (b) 2; 0 £ 104 N. 25. m = M g=(!2r). q 26. (a) vMIN = gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h. 27. (a) 10± ; (b) 0,19. 28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02. ³rculo; (b) 2,1 m/s2 , apontando para o centro 29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶ do c¶³rculo; (d) 0,5 N. 30. 192 kg.
  • 34. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 3 ¶ Modulo 3: Trabalho e Energia »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamos o discutir a lei da conserva»~o da energia mec^nica de uma part¶cula, o que ca a ³ s~o energia cin¶tica, energia potencial, e o trabalho de for»as. Come»are- a e c c mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nosso estudo para o caso do movimento geral. Leituras indispens¶veis a Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶ o ³tulos 6 (se»~es 6.1 a 6.5) e 7 co (se»~es 7.1 a 7.3 e parte da se»~o 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig. co ca 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~o a | da conserva»~o de energia mec^nica num campo gravitacional (se»~o ca a ca 6.1), | da de¯ni»~o de trabalho de uma for»a, ca c | da de¯ni»~o de energia cin¶tica e energia potencial de um corpo. ca e (se»~o 6.2). ca Atividade 2 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia. Atividades extras 1 1. Leia as se»~es 6.1 e 6.2 do cap¶tulo 6 do livro. co ³ 2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho e energia.
  • 35. F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 2 ³ 3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento relativo e referencias n~o inerciais). a 4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto. Atividade 3 Discuss~o sobre o trabalho de uma for»a constante de dire»~o qualquer, a c ca introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»~o 7.1); ca o trabalho de uma for»a no caso do movimento geral (se»~o 7.2); as c ca for»as conservativas (se»~o 7.3); e pot^ncia (item a da se»~o 7.6). c ca e ca Atividade 4 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia. Atividades extras 2 1. Leia as se»~es 7.1 a 7.3 e item a da se»~o 7.6 do cap¶ co ca ³tulo 7 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia. ³ 3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro texto. Atividade 5 Discuss~o sobre trabalho de uma for»a vari¶vel (se»~o 6.3) e a con- a c a ca serva»~o da energia mec^nica no movimento unidimensional (se»~o 6.4). ca a ca Atividade 6 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou outros, a crit¶rio do professor). e Atividades extras 3 1. Leia as se»~es 6.3 e 6.4 do cap¶tulo 6 do livro. co ³ 2. Resolva os exerc¶cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho ³ e energia. 3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.
  • 36. F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 3 ³ Atividade 7 Discuss~o do movimento unidimensional sob a a»~o de for»as conser- a ca c vativas. Atividade 8 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia. Atividades extras 4 1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶ ³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do livro texto. Atividade 9 Resolu»~o de exerc¶ ca ³cios e problemas escolhidos pelo professor. Atividades extras 5 Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»~es 7.4, 7.5 e 7.6b) co do livro texto. 1. Termine a lista de exerc¶cios de trabalho e energia. ³ 2. Fa»a toda a lista de exerc¶ c ³cios 5, sobre movimento rela- tivo e referenciais n~o inerciais. a 3. Termine tudo que voc^ deixou para tr¶s. e a 4. D^ uma lida na discuss~o sobre for»as n~o-conservativas e a c a na se»~o 8.12 do livro de Alonso&Finn (voc^ pode en- ca e contr¶-lo na biblioteca do Instituto de F¶sica). a ³ 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Leia novamente os cap¶ ³tulos 6 e 7 do livro texto. 2. Fa»a todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e c 7) que voc^ ainda n~o fez. e a 3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»~o de energia. ca
  • 37. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 2 »~ A Conservacao da Energia Richard P. Feynman Texto extra¶ do Cap¶tulo 3 | Os grandes princ¶ ³do ³ ³pios de conserva»~o ca | do livro O que ¶ uma lei f¶sica (The Character of Physical Law), e ³ de Richard P. Feynman, vers~o baseada na tradu»~o portuguesa de a ca Carlos Fiolhais, editora Gradiva. Quando estudamos as leis da f¶ descobrimos que s~o numerosas, com- ³sica, a plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»~o, da eletricidade e do ca magnetismo, das intera»~es nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares co parecem obedecer a grandes princ¶ ³pios gerais. Exemplos destes ¶ltimos s~o u a os princ¶ ³pios de conserva»~o, algumas caracter¶sticas de simetria, a forma ca ³ geral dos princ¶ ³pios da mec^nica qu^ntica e, infeliz ou felizmente, o fato, a a j¶ referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶tica. Hoje quero a a falar-lhes dos princ¶pios de conserva»~o. ³ ca O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma lei de conserva»~o signi¯ca que existe um n¶mero que pode calcular num ca u dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~o de a mudan»as, se voltar a repetir o c¶lculo, o resultado ¶ o mesmo. Esse n¶ mero c a e u e ¶, pois, invariante. Um exemplo ¶ a conserva»~o de energia. Existe uma e ca quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶lculoa e ¶ sempre o mesmo, independentemente do que aconte»a. c Podemos agora ver como isso pode ser util. Suponhamos que a f¶ ¶ ³sica, ou melhor a Natureza, ¶ um grande jogo de xadrez, com milh~es de pe»as, e e o c que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente por grandes deuses, sendo dif¶cil observ¶-los e compreender as respectivas jo- ³ a gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶ a algumas que n~o exigem a observa»~o de todos os movimentos. Por exemplo, a ca suponhamos que s¶ existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo o se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar- mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a
  • 38. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5 ³s1 prestar aten»~o ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talvez ca ¶ numa outra posi»~o, mas numa casa da mesma cor. E essa a ess^ncia das ca e leis de conserva»~o. N~o precisamos ver todos os pormenores para sabermos ca a alguma coisa sobre o jogo. ¶ E certo que no xadrez esta lei particular n~o ¶ necessariamente v¶lida em a e a todas as circunst^ncias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo, a pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~o seja promovido a a rainha ou que um deus decida que ¶ prefer¶vel que este pe~o seja promovido e ³ a a bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte- cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~o sejam perfeitamente a exatas, mas vou consider¶-las tal qual as conhecemos. a Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶cnico. Uma e palavra que ¯gura no t¶tulo desta palestra ¶ grandequot; | Os grandes prin- ³ e c¶pios de conserva»~oquot;. N~o se trata de um termo t¶cnico: foi colocado no ³ ca a e t¶ ³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶tico. Podia muito bem ter a dito As leis de conserva»~oquot;. H¶ algumas leis de conserva»~o que n~o fun- ca a ca a cionam totalmente; s~o s¶ aproximadamente verdadeiras, o que n~o impede a o a que muitas vezes sejam ¶teis. Podemos chamar-lhes pequenasquot; leis de con- u serva»~o. Embora v¶ mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~o ca a a funcionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~o, tanto quanto a podemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas. Come»arei pela lei mais f¶cil de compreender, que diz respeito µ con- c a a serva»~o da carga el¶trica. Existe um n¶mero, a carga el¶trica total no uni- ca e u e verso, que n~o varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar, a acabo por encontr¶-la noutro. A conserva»~o refere-se ao conjunto de todas a ca as cargas el¶tricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday. e (...) Foram descobertas outras leis de conserva»~o, que s~o an¶logas aos prin- ca a a c¶pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶ ³ ³micos pensavam a certa altura que, em quaisquer circunst^ncias, o n¶mero total de ¶tomos de s¶dio a u a o a se conservava. Os ¶tomos de s¶dio, por¶m, n~o s~o permanentes. E o e a a ¶ poss¶ ³vel transformar ¶tomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o a elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempo a¯rmava que a massa total de um objeto ¶ invariante. A sua validade depende e da maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶ relacionada ou n~o com a e a energia. A lei de conserva»~o da massa est¶ inclu¶ numa outra lei de que ca a ³da vou falar a seguir: a lei de conserva»~o da energia. ca
  • 39. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6 ³s1 A conserva»~o da energia ¶ um pouco mais dif¶ porque desta vez temos ca e ³cil, um n¶ mero que n~o varia com o tempo e n~o se refere a nenhum objeto u a a particular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicar o que se passa. Imaginemos que uma m~e deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincar a com 28 cubos absolutamente indestrut¶ ³veis. A crian»a brinca com os cubos c durante todo o dia e a m~e, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem a 28 cubos; constatando, assim, a conserva»~o dos cubos! A cena repete-se ca durante algum tempo, at¶ que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶ 27 e o cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶ fora da janela, para onde a ³do crian»a o tinha atirado. A primeira coisa que ¶ necess¶rio compreender numa c e a lei de conserva»~o ¶ que tem de se veri¯car se a mat¶ria observada n~o passa ca e e a para o outro lado da parede. O inverso tamb¶m poderia ter acontecido: um e amigo podia ter vindo brincar com a crian»a, trazendo alguns cubos consigo. c Obviamente, estas quest~es t^m de ser consideradas quando se discutem leis o e de conserva»~o. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~e nota ca a que s¶ h¶ 25, mas suspeita de que a crian»a escondeu tr^s numa caixa de o a c e brinquedos. Vou abrir a caixaquot;, diz ent~o. N~oquot;, responde a crian»a, voc^ a a c e n~o pode abrir a caixa.quot; Como a m~e ¶ inteligente, diria: Sei que a caixa a a e vazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa.quot; Assim, para obter o n¶mero total de cubos a m~e escreveria u a Peso da caixa ¡ 600g N¶mero de blocos observados + u 100g sendo o resultado 28. Este m¶todo funciona bem durante algum tempo, mas e um dia a soma n~o d¶ certo. A m~e veri¯ca, por¶m, que o n¶vel de ¶gua a a a e ³ a suja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶gua ¶ de 6 cm, se n~o a e a houver cubos no fundo, e que o n¶ subiria de 0,5 cm se um cubo estivesse ³vel dentro da ¶gua. Junta ent~o um novo termo, ¯cando agora com a a Peso da caixa ¡ 600g N¶mero de blocos observados + u + 100g Altura da ¶gua ¡ 6cm a + 0; 5cm µ sendo o novo total de 28. A medida que aumenta o engenho do rapaz, au- menta tamb¶m o da m~e, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos e a
  • 40. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 7 ³s1 representando cubos. Do ponto de vista matem¶tico, trata-se de c¶lculos a a abstratos, uma vez que os cubos est~o escondidos. a Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que h¶ de seme- a lhante e de diferente entre a conserva»~o dos cubos e a conserva»~o da energia. ca ca Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situa»~es a m~e viu co a cubos. O termo n¶mero de cubos vis¶ u ³veisquot; nunca aparece. Ent~o a m~e a a estaria sempre a calcular termos como cubos na caixaquot;, cubos na ¶guaquot;, a etc. O mesmo se passa com a energia: n~o existem cubos, tanto quanto sabe- a mos. Al¶m disso, ao contr¶rio do caso dos cubos, os n¶meros que aparecem e a u no caso da energia n~o s~o inteiros. Penso no que poderia acontecer µ pobre a a a m~e se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcular a um outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28. ¶ E o que acontece no caso da conserva»~o da energia. ca Descobrimos para a energia um esquema com uma s¶rie de regras. A e partir de cada conjunto de regras podemos calcular um n¶mero para cada u tipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os n¶meros, referentes a u todas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia, tanto quanto sabemos, n~o existem unidades reais, n~o h¶ pequenas esferas a a a de energia. Trata-se de uma abstra»~o, puramente matem¶tica: h¶ apenas ca a a um n¶ mero que n~o varia, qualquer que seja o modo como ¶ calculado. N~o u a e a consigo dar melhor interpreta»~o do que esta. ca Esta energia assume v¶rias formas, µ semelhan»a dos cubos na caixa, na a a c a ¶gua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada energia cin¶ticaquot;, e energia devida µ intera»~o gravitacional, chamada energia potencial gravita- a ca cionalquot;, energia t¶rmica, energia el¶trica, energia da luz, energia el¶stica, por e e a exemplo, numa mola, energia qu¶ ³mica, energia nuclear | e existe tamb¶m a e energia que qualquer part¶ ³cula tem pelo simples fato de existir, energia que depende diretamente da respectiva massa. Esta ¶ ltima deve-se a Einstein, u 2 como com certeza sabem. E = mc ¶ a famosa equa»~o que representa a lei e ca de que estou a falar. Embora tenha mencionado um grande n¶mero de energias, gostaria de ex- u plicar que n~o somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, as a rela»~es entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos co energia t¶rmicaquot; ¶, em grande medida, a energia cin¶tica do movimento das e e e part¶³culas no interior de um objeto. A energia el¶stica e a energia qu¶ a ³mica t^m ambas a mesma origem, nomeadamente as for»as interat^micas. Quando e c o os ¶tomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, veri¯ca-se que h¶ uma a a
  • 41. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 8 ³s1 varia»~o de energia, implicando essa mudan»a que algo mais tem de aconte- ca c cer. Por exemplo, na combust~o de qualquer coisa varia a energia qu¶ a ³mica e ocorre um °uxo de calor: o balan»o de energia tem de estar certo. As energias c el¶stica e qu¶mica prov^m de intera»~es entre os ¶tomos. Sabemos hoje que a ³ e co a estas intera»~es s~o uma combina»~o de duas coisas, a energia el¶trica e a co a ca e energia cin¶tica, embora esta ultima seja descrita por uma f¶rmula qu^ntica. e ¶ o a A energia da luz n~o ¶ mais do que energia el¶trica, uma vez que a luz ¶ hoje a e e e interpretada como uma onda eletromagn¶tica. A energia nuclear n~o pode e a ser representada em fun»~o das outras; de momento s¶ posso dizer que ¶ o re- ca o e sultado das for»as nucleares. N~o estou falando apenas da energia produzida. c a No n¶cleo de ur^nio existe uma determinada quantidade de energia; quando u a se desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade to- tal de energia no mundo n~o varia: no decurso da desintegra»~o liberta-se, a ca portanto, calor e mat¶ria, a ¯m de que a energia seja conservada. e
  • 42. F¶s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 9 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 10 Trabalho e Energia 1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~0 constante v sobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todas as for»as que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontos c A e B distantes 3 m entre si. r vοο Ex. 2 r Ex. 1 vοο h b A B 2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~0 constante v sobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calcule o trabalho realizado por cada uma das for»as que atuam no bloco desde c o alto at¶ a base do plano inclinado. e 3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe- ¯ciente de atrito cin¶tico entre a superf¶cie da mesa e o bloco ¶ ¹ c. e ³ e Calcule o trabalho realizado por todas as for»as que atuam sobre o c bloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade ¶ ~0, ev e o ponto B, onde o bloco p¶ra, em fun»~o dos dados (m, ¹ c, v0 e g). a ca 4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. O coe¯ciente de atrito cin¶tico entre o bloco e e a superf¶ ¶ ¹ = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele come»a a ³cie e c subir o plano inclinado ¶ 8 m/s, e a acelera»~o da gravidade pode ser e ca considerada como g = 10 m=s 2. (a) Calcule o trabalho realizado por todas as for»as que atuam no c bloco desde o in¶ da subida at¶ o ponto que o bloco p¶ra. ³cio e a (b) Calcule a varia»~o da energia cin¶tica do bloco. ca e (c) Calcule a dist^ncia que o bloco percorreu at¶ parar. a e
  • 43. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 10 ³s1 5. Para empurrar um caixote de 25; 0 kg numa rampa sem atrito que faz um ^ngulo de 30± com a horizontal, um oper¶rio exerce uma for»a a a c constante de 200 N, paralela µ rampa. Se o caixote se desloca de 1; 5 m, a qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo oper¶rio, a (b) pelo peso do caixote, (c) pela for»a normal exercida pela rampa sobre o caixote? c (d) Qual a varia»~o na velocidade do caixote, se ele parte do repouso? ca 6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a a»~o de uma for»a ca c F~ constante. Demonstre que neste caso | em que a for»a resultante c e ¶ constante | o teorema trabalho-energia cin¶ticaquot; ¶ equivalente µ e e a equa»~o vf ca 2 = v 2 + 2~ ¢ ¢~ (µs vezes chamada de equa»~o de Tor- a r a ca i ricelliquot;), onde ~f ¶ a velocidade ¯nal, ~i ¶ a velocidade inicial, ~ ¶ a v e v e ae acelera»~o do corpo e ¢~ ¶ a dist^ncia percorrida pelo corpo entre os ca re a instantes inicial e ¯nal. Mostre que se o movimento ¶ unidimensional, e esta express~o pode ser escrita como v2 = v2 + 2 a ¢x, onde ¢~ = ¢x^ a f i r ³. 7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros, 10 m abaixo. A rede se estica de 1; 0 m antes de deter a queda e arremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esti- cada, supondo que a energia mec^nica ¶ conservada? a e 8. Considere o sistema constitu¶do por um corpo de massa m ligado a ³ um ¯o de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tens~o a m¶xima suportada pelo ¯o ¶ igual a 2mg. Se a massa ¶ solta de um a e e ponto B situado na mesma horizontal de A, a que dist^ncia vertical h a abaixo desta horizontal a corda se rompe? B A l h
  • 44. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 11 ³s1 9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito con- tendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na ¯gura. O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura h acima da base da curva, passa por B, na base e d¶ a volta na curva. a (a) Determine o m¶dulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eD o da ¯gura. (b) Determine a menor altura h para que o corpo d^ uma volta com- e pleta na pista circular. (c) Determine a altura h0 tal que, quando a part¶ ³cula atingir o ponto D, ela exer»a sobre a pista uma compress~o igual ao seu pr¶prio c a o peso. Ex. 10 Ex. 9 A 30 °° θ h D r C B 10. Um p^ndulo de 1 m de comprimento ¶ amarrado ao topo de um arm¶rio, e e a como mostra a ¯gura.O peso ¶ elevado de tal modo que a corda fa»a um e c angulo de 30± com a vertical, e, ent~o, liberado. Se o lado do arm¶rio a a tiver comprimento 0; 5 m, que ^ngulo a corda far¶ com a vertical quando a a o peso estiver em seu ponto mais alto sob o arm¶rio? Admita que todos a os efeitos de atrito s~o desprez¶veis. a ³ 11. Um objeto de massa m ¶ amarrado num suporte no teto usando-se e uma corda ¯na e °ex¶ de comprimento l. Ele ¶ deslocado at¶ que a ³vel e e corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a ¯gura, e depois e ¶ deixado livre. (a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela est¶ diretamente a abaixo do ponto de suspens~o, na base de sua oscila»~o. a ca (b) Ache a tens~o na corda neste ponto, imediatamente antes da corda a tocar no pino.
  • 45. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 12 ³s1 (c) A corda ¶ interceptada por um pino, como mostra a ¯gura. Qual e a dist^ncia b m¶ a ³nima para que a massa realize um giro completo em torno do pino? Ex. 11 Ex. 12 l m1 b h m2 12. Analise, usando considera»~es de energia, o movimento da m¶quina de co a Atwood mostrada na ¯gura. A corda e a polia t^m massas desprez¶ e ³veis, a polia n~o tem atrito, e m1 > m2 . O sistema est¶ inicialmente em a a repouso. (a) Se voc^ considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa como e o n¶ de refer^ncia, qual a energia total do sistema? ³vel e (b) O sistema ¶ liberado e m1 desce. Escreva uma express~o para a e a energia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa. (c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade dos corpos pouco antes de m1 atingir a mesa. (d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi- dera»~es de energia para determinar a que dist^ncia m2 se eleva co a depois disso. 13. Uma bola de 0; 5 kg ¶ lan»ada verticalmente para cima com velocidade e c inicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda de energia devida µ resist^ncia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2 . a e 14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a dist^ncia m¶nima para a ³ parar um autom¶vel se movendo numa superf¶ horizontal onde o ³cie o coe¯ciente de atrito entre os pneus e a estrada ¶ ¹ e a velocidade e inicial ¶ v0 . e (b) Qual seria a dist^ncia m¶ a ³nima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e ¹ = 0; 8?
  • 46. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 13 ³s1 (c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um tempo de rea»~oquot; tr entre o instante em que o motorista ¶ avisado para ca e parar e o momento em que os freios s~o aplicados. a (d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de rea»~o do motorista for ca 2 de 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s . 15. Um modo simples de se medir o coe¯ciente de atrito cin¶tico entre duas e superf¶³cies ¶ mostrado na ¯gura. Um bloco de massa m desliza numa e superf¶ horizontal; a interface entre os dois ¶ a interface de atrito a ³cie e ser estudada. Este bloco ¶ acelerado atrav¶s de uma dist^ncia h pela e e a 0 0 queda da massa m . Depois da massa m bater no ch~o, a massa m a continua a se mover ao longo da superf¶cie, at¶ parar, devido ao atrito, ³ e ap¶s percorrer uma dist^ncia adicional d. Usando a conserva»~o de o a ca energia, determine: (a) uma express~o para o coe¯ciente de atrito cin¶tico em termos das a e grandezas mensur¶veis m; m0 ; h e d; a (b) o coe¯ciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg, m0 = 20; 0 kg, h = 0; 200 m e d = 0; 500 m. F (N ) Ex. 16 Ex. 15 m h d 3 2 1 m' 0 x (m ) 1 2 3 4 5 6 7 -1 h -2 -3 16. Uma for»a F paralela ao eixo x varia conforme o gr¶¯co da ¯gura. c a (a) Determine o trabalho realizado pela for»a atuando sobre uma part¶ c ³- cula que se move de x = 0 at¶ x = 3 m. e (b) Calcule o trabalho realizado por F quando a part¶cula passa de ³ x = 3 m a x = 6 m. (c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 at¶ x = 6 m. e
  • 47. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 14 ³s1 17. O gr¶¯co da ¯gura representa a varia»~o de uma for»a unidimensional a ca c em fun»~o da dist^ncia µ origem do eixo x. Esta for»a est¶ agindo sobre ca a a c a uma part¶ ³cula de massa 2 kg que est¶ com velocidade 3 m/s no ponto a x = 0. Qual ¶ a sua velocidade em x = 4 m? e F (N ) Ex. 17 Ex. 18 m 3 2 h 1 0 x (m ) 1 2 3 4 18. A mola representada na ¯gura tem a massa desprez¶vel e sua constante ³ el¶stica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m ¶ largado, a e num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondo desprez¶³veis os poss¶ ³veis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longo de um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola est¶ ¯xa, a calcule o deslocamento m¶ximo do topo da mola. a c ~ 19. Um bloco de massa m ¶ empurrado por uma for»a Fext contra uma mola e de constante el¶stica k. O bloco comprime a mola a uma velocidade a constante, at¶ uma dist^ncia d em rela»~o µ posi»~o de equil¶ e a ca a ca ³brio da mola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser considerada como sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar a energia cin¶tica do bloco no processo de compress~o da mola. Logo e a que a mola ¯ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pela pista, como mostra a ¯gura. N~o existe atrito em parte alguma. a Ex. 19 C • • r h m Fext k d B • •
  • 48. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 15 ³s1 c ~ (a) Qual ¶ o trabalho Wext realizado pela for»a Fext? Em que foi e transformado este trabalho? (b) Qual ¶ a velocidade ~ 0 do bloco quando chega ao ponto B, a p¶ e v e da pista curvil¶nea? ³ (c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde p¶ra? a (d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriores para o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g. Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considere g = 10 m/s 2. 20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas for»as, c ~1 e F2, como mostrado na ¯gura. O m¶dulo da for»a F1 varia com x F ~ o c ~ ~ e e o de F 2 ¶ constante e igual a 20 N. ~ (a) Determine o trabalho realizado por F1 quando o objeto se move de x = 0 at¶ x = 3 m. e ~ (b) Qual o trabalho correspondente realizado por F2? (c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repouso em x = 0 e seu peso ¶ de 80 N? Suponha que n~o exista atrito e a entre o corpo e a superf¶ e considere g = 10 m/s2 . ³cie r Ex. 21 C • • F1 r F2 60 ο ο B • • hC m k hB θ θ Ex. 20 21. Um bloco de massa m = 0; 2 kg est¶ encostado em uma mola compri- a mida de 8 cm em rela»~o ao seu comprimento normal. Ao ser liberada ca a mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao ponto B (altura hB = 1; 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere que no trecho at¶ B n~o h¶ atrito. A partir de de B o atrito n~o ¶ mais e a a a e desprez¶³vel, e o bloco ¯nalmente p¶ra no ponto C (altura hC = 2; 2 m). a A inclina»~o do plano ¶ de 30±. ca e (a) Calcule, em fun»~o dos dados do problema, o valor da constante ca el¶stica da mola. a
  • 49. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 16 ³s1 (b) Qual o trabalho realizado pela for»a de atrito desde o instante c inicial at¶ o instante em que o bloco p¶ra? e a (c) Determine o coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶ do ³cie plano inclinado no trecho BC. 22. Considere dois observadores, o primeiro ¯xo ao solo e o outro num trem que se move com velocidade uniforme u em rela»~o ao solo. Cada um ca deles observa que uma part¶ ³cula de massa m, inicialmente em repouso em rela»~o ao trem, ¶ acelerada por uma for»a constante aplicada a ela ca e c durante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento. (a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela for»a c ¶ igual ao acr¶scimo de energia cin¶tica da part¶ e e e ³cula, mas que um observador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1=2ma2t2, enquanto que o outro (no solo) encontra 1=2ma2t2 + maut, onde a ¶ a acelera»~o da part¶ e ca ³cula vista pelos dois observadores. (b) Explique as diferen»as entre os trabalhos realizados pela mesma c for»a em termos das diferentes dist^ncias nas quais os observadores c a medem a for»a que atua durante o tempo t. Explique as diferentes c energias cin¶ticas ¯nais medidas por cada observador em fun»~o do e ca trabalho que a part¶³cula poderia realizar ao ser trazida ao repouso, em rela»~o ao sistema de refer^ncia de cada observador. ca e 23. Considere o sistema constitu¶do por uma massa m apoiada numa mesa ³ horizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa des- prez¶ e constante el¶stica k. A outra extremidade da mola est¶ ¯xa. ³vel a a (a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o gr¶¯co desta fun»~o. a ca (b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma dist^ncia d em a rela»~o ao seu comprimento de equil¶ ca ³brio, qual ¶ a energia total do e sistema? (c) Para a energia do item (b), quais as regi~es do espa»o em que a o c massa pode ser encontrada? (d) Calcule os valores m¶ximo e m¶ a ³nimo da velocidade da massa. Em que pontos esses valores ocorrem?
  • 50. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17 ³s1 24. Uma part¶cula desloca-se sobre um eixo x sob a»~o de uma for»a resul- ³ ca c tante conservativa cuja energia potencial est¶ representada no gr¶¯co. a a No instante inicial a part¶³cula estava no ponto x1 , afastando-se da origem do eixo x. U(x) x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 7 x 8 x9 (a) Descreva o movimento da part¶³cula quando a energia mec^nica total a e ¶ E1. Caso existam, quais s~o os pontos de invers~o neste movimento? a a (b) Repita o item (a) no caso em que a energia mec^nica total ¶ E2. a e (c) Idem para o caso em que a energia mec^nica total ¶ E3 . a e (d) Em que regi~es do eixo x a for»a resultante aponta para a origem o c do eixo x? Justi¯que todas as suas respostas. 25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x est¶ sujeito a uma a for»a dada por c F (x) = ¡2x onde x ¶ dado em metros e F em Newtons. e (a) Determine a energia potencial U em fun»~o de x, considerando ca U (0) = 0. (b) Trace o gr¶¯co de U contra x. a (c) Qual o ponto de equil¶brio est¶vel e qual a energia do corpo nesta ³ a situa»~o? ca (d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~o de a x para a qual o corpo oscila? 26. Uma part¶ ³cula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha reta em uma regi~o em que a sua energia potencial varia como na ¯gura. a
  • 51. F¶ { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18 ³s1 N~o h¶ for»as dissipativas agindo. Quando x ! 1, a energia potencial a a c se anula. U(x) 6 x1 x2 x -5 (a) Sabendo-se que a part¶cula se aproxima da origem (x = 0) e que ³ sua energia cin¶tica quando est¶ muito longe dela ¶ de 10 J, determine e a e o m¶dulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2 . o (b) Em que regi~o a part¶ a ³cula pode ser encontrada se sua energia total for de ¡3 J? (c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida µ part¶cula para que a ³ ela se afaste inde¯nidamente da origem? 27. A energia potencial de uma part¶ ³cula de massa m em fun»~o de sua ca posi»~o x esta indicada na ¯gura. Calcule o per¶ ca ³odo de uma oscila»~o ca completa, caso a part¶cula tenha uma energia mec^nica total dada por ³ a E = 3U0 =2. U(x) 2U 0 E U0 x 0 b
  • 52. F¶ { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 10 { Respostas 1. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 0 J. 2. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 6; 0 J; W AT RIT O = ¡ 6; 0 J. 3. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 6; 0 J; W AT RIT O = ¡ 1 m v2. 2 ± 4. (a) W NORMAL = 0 J; W P ESO = 0 J; W AT RIT O = ¡ 4; 0 J; (b) ¢Ec = ¡ 16; 0 J; (c) 4; 0 m. 5. (a) 300; 0 J; (b) ¡ 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s. 6. (Leia a demonstra»~o no livro texto, e discuta com seu professor.) ca 7. 9; 9 £ 103 J. 2 8. 3 `. p q q 9. (a) vB = 2 g h ; vC = 2 g (h ¡ r) ; vD = 2 g (h ¡ 2r) ; (b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r. 10. arccos 0; 73 = 43±. p 2 11. (a) 2g` ; (b) 3mg ; (c) 5 `. 1 12. (a) m1 g h ; (b) 2 (m1 + m2 ) v2 + m2 g h ; q m1¡m2 m1¡m2 (c) m1+m2 2 g h ; (d) m1+m2 h. 13. ¡ 25 J. 2 2 14. (a) v± =(2¹g); (b) 42 m; (c) v± =(2¹g) + v± tr ; (d) 59 m. 15. (a) ¹ = (m0 h) = [(m + m0 ) d + m h]; (b) 0; 39. 16. (a) 7; 5 J; (b) ¡ 3; 0 J; (c) 4; 5 J. 17. 3; 9 m/s.
  • 53. F¶ { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 20 ³s1 ³ q ´ 18. mg=k 1 + 1 + 2kh=(mg) . q 19. (a) W EX T = 1 kd 2; em energia potencial el¶stica; (b) v± = 2 a k=m d; (c) h = kd 2=(2mg); (d) W EXT = 0; 4 J, v± = 20 m/s, h = 20 m. ~ 20. (a) 0 J; (b) considerando o ^ngulo entre F2 e a horizontal como sendo a ± de 60 , 30 J; (c) 2; 7 m/s. 21. Usando g = 10 m/s2 , (a) k = 1625 N/m, (b) W AT = ¡ 0; 8 J, (c) 0; 6. 22. (Discuta com o seu professor). 23. (a) Considerando a energia potencial el¶stica igual a zero quando a mola a n~o est¶ comprimida nem distendida, Ep = 1 k x2 (x ¶ o deslocamento a a 2 e da massa em rela»~o µ posi»~o de equil¶brio do sistema). (b) E = 1 k d2. ca a ca ³ q q 2 (c) ¡ d · x · + d. (d) vMAX = + k=m; d e vMIN = ¡ k=m; d; ambas ocorrem quando x = 0. 24. As energias n~o est~o indicadas na ¯gura; considere E1 como sendo a a a energia associada µ linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 µ a a mais alta. (a) Movimento oscilat¶rio entre os pontos x1 e x3; pontos de o invers~o x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade at¶ a e x2 , e come»a, a partir da¶ a ter sua velocidade reduzida, at¶ parar em c ³, e x4 ; nesse ponto, ¶ acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se at¶ x9 e e e retorna. (d) At¶ o primeiro m¶ximo (n~o indicado na ¯gura, antes de e a a x1 ) a for»a ¶ negativa (aponta para a origem do eixo); a for»a tamb¶m c e c e aponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6 . 25. (a) U (x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equil¶ ³brio est¶vel, E = 0. (d) a ¡0; 7 · x · 0; 7. 26. (a) T (x1 ) = 4 J, T (x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado se sua energia total for de ¡ 3Jquot; por se sua energia total for de ¡ 5 Jquot;: em x = x1 . (c) Nesse caso, 11 J. 27. Na ¯gura, falta a indica»~o do valor de x para o qual a energia potencial ca salta do valor U± para o valor 1; 5 U± ; considere esse valor como sendo 1; 5 b. q 7 per¶ ³odo completo = 2 b 12 m=U± .
  • 54. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 4 ¶ »~ Modulo 4: A Rotacao de um Corpo »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, estudaremos o movimento de rota»~o de um corpo, e as o ca grandezas que usamos para descrev^-lo: coordenada, velocidade e acelera»~o e ca angulares. Introduziremos o conceito de torque ~ de uma for»a em rela»~o a ¿ c ca um ponto, e momento angular L ~ de um corpo em rela»~o a um ponto. Dis- ca cutiremos a rela»~o entre eles, a segunda leiquot; para rota»~es. Tudo ilustrado ca co com o movimento planet¶rio e as leis de Kepler. a Leituras indispens¶veis: a Os t¶picos citados acima correspondem a parte dos cap¶tulos 10 (se»~es 10.1 o ³ co a 10.8), 11 (se»~es 11.3 e 11.4, e parte da se»~o 11.2) e a revis~o do cap¶tulo co ca a ³ 3 (se»~es 3.7 e 3.8) do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶sica B¶sica, co ³ a Vol. 1 { Mec^nica, 3a edi»~o, Editora Edgard Blucher Ltda. a ca 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade extra 1 1. Resolva os exerc¶cios 1 a 4 da Lista de Exerc¶cios 11, mais ³ ³ uma sobre vetores. Atividade 1 Discuss~o sobre as leis de Kepler e sobre a lei da gravita»~o universal a ca de Newton (se»~es 10.1 a 10.8 do livro texto); e uma revis~o sobre a co a descri»~o do movimento circular (se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto), com ca co a obten»~o da rela»~o entre raio m¶dio da ¶rbita e per¶ ca ca e o ³odo (a terceira Lei de Kepler). Atividade 2 Demonstrar, a partir da lei da gravita»~o universal de Newton, a ter- ca ceira lei de Kepler para uma ¶rbita circular (o problema inverso do o resolvido na se»~o 10.6 do livro texto). ca
  • 55. F¶s1 { 04/1 { G.4 | p. 2 ³ Atividades extras 2 1. Leia as se»~es 10.1 a 10.8 do cap¶tulo 10 do livro texto. co ³ 2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerc¶cios 12 ³ ( Rota»~es, Torque e Momento Angular da Part¶ co ³cula). 3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores). 4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do cap¶tulo 3 do ³ livro texto. 5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do cap¶³tulo 10 do livro texto. Atividade 3 Discuss~o: a | o que ¶ o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedades e e maneiras de calcul¶-lo (pequeno trecho µs p¶ginas 229 e 230 da se»~o a a a ca 11.2 do livro texto); | o conceito de torque de uma for»a; c | o conceito de momento angular de um corpo; ~ dL± | e como reescrever a segunda lei de Newton para rota»~es: co dt ¿ res = ~± ; | e, ¯nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei da gravita»~o universal de Newton. ca Atividade 4 Resolu»~o dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12. ca Atividades extras 3 1. Leia (releia!) as se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto. co 2. Leia a parte da se»~o 11.2 referente ao produto vetorial ca de dois vetores. 3. Leia as se»~es 11.3 e 11.4 do livro texto. co 4. Resolva todos os exerc¶cios (os que faltam) da Lista 11, ³ sobre vetores e produto vetorial. 5. Resolva todos os exerc¶cios (os que faltam) da Lista 12. ³
  • 56. F¶s1 { 04/1 { G.4 | p. 3 ³ Atividade 5 Resolu»~o de problemas, a crit¶rio do professor. ca e Atividades extras 4 1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores. 2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rota»~es, torque co e momento angular) que voc^ ainda n~o resolveu. e a 3. Leia as se»~es 3.4, 3.5 e 3.6 do cap¶ co ³tulo 3. 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Releia tudo: cap¶tulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (exceto ³ se»~o 5.4), 6 (todo), 7 (se»~es 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da se»~o 7.6), 10 ca co ca (exceto se»~es 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as se»~es 11.3 e 11.4, co co mais a de¯ni»~o de produto vetorial na se»~o 11.2). ca ca 2. Refa»a todos os exemplos resolvidos do livro. c 3. Termine ou refa»a todos os problemas indicados neste e nos guias an- c teriores. 4. Fa»a o que voc^ ainda n~o fez. c e a
  • 57. F¶ { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 11 ... e Mais Vetores 1. O produto vetorial de dois vetores ¶ uma opera»~o que associa a dois e ca ~ um terceiro vetor ~ = ~ £ ~ de¯nido por um vetor: vetores ~ e b a c a b { de m¶dulo c = a b sen µ , onde µ ¶ o menor ^ngulo entre ~ e ~ ; o e a a b { de dire»~o perpendicular tanto µ dire»~o de ~ quanto µ dire»~o de ~ ca a ca a a ca b; { de sentido (por conven»~o) obtido atrav¶s da regra da m~o direita: ca e a colocando a m~o direita com a palma aberta na dire»~o do vetor a ca ~ , tente fechar a palma levando-a de ~ para ~ atrav¶s do menor a a b e ^ngulo; quando o movimento de ir de ~ para b a a ~ fechar a m~o, o a sentido que o polegar apontar ¶ o sentido de ~. e c Usa-se a nota»~o £ para representar o produto vetorial. Da ¯gura e ca da de¯ni»~o, observa-se que ca c = j~ £ ~ = a b sen µ = a b? ; a bj onde ~? ¶ a proje»~o de ~ sobre a dire»~o perpendicular a ~ . b e ca b ca a r r r r r r c = a ×b c = a ×b 2 r r b b r )θ b⊥⊥ 1 r r a a Demonstre que (a) j~ £ ~ = S, onde S ¶ a ¶rea do paralelogramo de lados de¯nidos a bj e a por ~ e ~ a b.
  • 58. F¶ { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 5 ³s1 (b) ~ £~ = 0. a a (c) ~ £ ~ = ¡ ~ £ ~ . a b b a (d) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~o ~ £ ~ = 0 , ~ k ~ a a b a b. ³ ´ ³ ´ (e) Se ® ¶ um n¶mero real qualquer, ~ £ ®~ = (®~ )£b = ® ~ £ ~ = e u a b a a b ®~ £ ~ a b. ³ ´ (f) ~ £ ~ + ~ = ~ £ ~ + ~ £ ~. a b c a b a c 2. Considere um sistema de eixos cartesianos x; y; z z como na ¯gura. Os unit¶rios destes eixos s~o os a a y ³ ´ ^ vetores ^, ^ e k respectivamente. x Demonstre as express~es a seguir. o (a) ^ £^ = ^ £ ^ = ^ £ k = 0 ; ^ £^ = k ; ^ £ ^ = ¡^ ^ £ ^ = ^ . ³ ³ ´ ´ k ^ ³ ´ ^ ³ k ´; ´ k ³ a ³ ´ ^ (b) Se ~ = ax ^ + ay ^ + az k e ~ = bx ^ + by ^ + bz ^ , ent~o b ³ ´ k a ~ £ ~ = (ay bz ¡ az by ) ^ + (az bx ¡ axbz ) ^ + (a xby ¡ a ybx) k a b ³ ´ ^ 3. Para ~ = ^ + ^, ~ = ^ ¡^ , ~ = ^ ¡^ + 2 k , e d = ¡ 2^ + ^ ¡ ^ calcule a ³ ´ b ³ ´ c ³ ´ ^ ~ ³ ´ k (a) ~ + ~ a b (b) ~ ¡ ~ a b (c) ~ ² ~ a b (d) ~ £ ~ a b ³ ´ ³ ´ (e) ~ + ~ ² ~ ¡ ~ a b a b ³ ´ ³ ´ (f) ~ + ~ £ ~ ¡ ~ a b a b c ~ (g) ~ ² d c ~ (h) ~ £ d ³ ´ c ~ (i) ~ £ ~ + d a ³ ´ (j) ~ £ ~ £ ~ a b c
  • 59. F¶ { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 6 ³s1 4. Calcule o produto vetorial ~ £ ~ entre os vetores ~ e ~ onde a b a b (a) ~ = 3^ ¡^ + ^ e ~ = ¡6^ + 2^ ¡ 2 k; a ³ ´ k b ³ ´ ^ (b) ~ ¶ o vetor que liga os pontos O e B, e ~ ¶ o vetor que liga os a e b e pontos A e B do cubo de aresta 1 m da ¯gura. C¡ ¡ ¡ ¡ O¡ ¡ ¡ ¡ A B 5. Mostre, baseado na de¯ni»~o geom¶trica do produto vetorial ou usando ca e sua express~o em componentes, que: a (a) a ¶rea do paralelogramo cujos lados s~o formados pelos vetores ~ a a a ~ ¶ j~ £ ~ j; e b e a b (b) a ¶rea do tri^ngulo cujos lados s~o formados pelos vetores ~ e ~ a a a a b 1 ¶ j~ £ b e a ~ j; 2 (c) se ~ e ~ s~o dois vetores quaisquer, ent~o a b a a ³ ´2 j~ £ ~ j 2 = a2 b2 ¡ ~ ¢ ~ ; a b a b (d) se ®, ¯, ° s~o os ^ngulos opostos aos tr^s lados ~ , ~ , ~ de um a a e a b c tri^ngulo, ent~o (lei dos senos) a a a b c = = ; sen® sen¯ sen° (e) se ~ , ~ s~o dois vetores quaisquer, a b a ³ ´ ³ ´ ~ + ~ £ ~ ¡ ~ = 2~ £ ~ a b a b a b (interprete geometricamente este resultado); ³ ´ ³ ´ (f) ~ £ ~ £ ~ = ~ ( ~ ¢ ~ ) ¡ ~ ~ ¢ ~ ; a b c b a c c a b ³ ´ ³ ´ (g) ~ £~ ¢ ~ = ~ £ ~ ¢ ~ = (~ £ ~ ) ¢~ a b c b c a c a b.
  • 60. F¶ { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 7 ³s1 6. (a) Mostre que o m¶dulo do produto triplo o ³ ´ j ~ £~ a b ¢ ~j c ¶ o volume do paralelep¶ e ³pedo cujos lados s~o de¯nidos pelos ve- a ~ e ~. tores ~ , b c a (b) Calcule a ¶rea da superf¶ deste paralelep¶ a ³cie ³pedo. (c) Considere ~ = ^ + ^ , ~ = ^ ¡ ^ e ~ = ^ + 2 k . Calcule a ¶rea da a ³ ´ b ³ ´ c ³ ^ a superf¶ e o volume do paralelep¶pedo de¯nido por estes vetores. ³cie ³ Considere as unidades dadas no S.I. 7. De¯ne-se o vetor torque de uma for»a em rela»~o a um ponto como c ca ¿F r ~ ~O = ~ £ F onde ~ ¶ o vetor que de¯ne a posi»~o, em rela»~o ao ponto O, do ponto re ca ca de aplica»~o da for»a. ca c r F v r ponto em que a força é aplicada O Considere um objeto num ponto cuja posi»~o em rela»~o a um obser- ca ca vador ¯xo a um ponto O ¶ descrito por e ~ = ^ + 2^ ¡ ^ r ³ ´ k Sobre este corpo a for»a resultante atuando vale c ~ F = 3^ ¡~ ³ ´ (todas as unidades est~o em unidades do SI.) a c ~ Calcule o torque da for»a F em rela»~o ao ponto O. ca c ~ Calcule o torque da for»a F em rela»~o ao ponto O' cuja posi»~o em ca ca ~ 0 =^ rela»~o a O ¶ descrita por OO ca e ³. Os dois valores s~o iguais? a
  • 61. F¶s1 { 04/1 { G.4 | p. 8 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 12 Rotac ~ es, Torque e Momento Angular »o 1. Um LP (tamb¶m chamado de disco de vinilquot;) gira num toca-discos e que descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto pr¶ximo µ o a periferia, no in¶ do disco, e pr¶ximo a seu centro, no ¯nal do disco, ³cio o ambas medidas por um observador ¯xo µ Terra. a 2. Para o problema anterior, estime a desacelera»~o do prato do toca- ca discos quando a agulha chega a seu ¯m e o prato p¶ra, supondo a a desacelera»~o constante e o tempo de parada da ordem de 10 s. ca 3. Quais os m¶dulos da velocidade e da acelera»~o, para um observador o ca suposto inercial, ¯xo ao seu eixo de rota»~o, de um corpo parado sobre ca a superf¶cie da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23± (Rio ³ de Janeiro); (c) no p¶lo Sul? Despreze o movimento da Terra em torno o do Sol. 4. Quais os m¶dulos da velocidade e da acelera»~o da Terra em seu movi- o ca mento de rota»~o em torno do Sol? Suponha a ¶rbita da Terra circular, ca o e procure em tabelas os dados que voc^ precisa. e 5. Um motor que move um moinho ¶ desligado quando este ¶ltimo gira a e u 240 rpm. Ap¶s 10 s, a velocidade angular ¶ 180 rpm. Se a desacelera»~o o e ca angular permanecer constante, quantas rota»~es adicionais ele faz at¶ co e parar? 6. As duas polias de uma m¶quina est~o ligadas por uma correia que n~o a a a desliza, conforme mostra a ¯gura. Se os raios das duas polias s~o R1 e a R2 , determine a raz~o entre as velocidades angulares das duas polias. a Qual das duas gira mais rapidamente? ' h h $ h h h º R2· R1 h h h & % ¹ ¸
  • 62. F¶s1 { 04/1 { G.4 | p. 9 ³ 7. O volante de uma m¶quina a vapor desenvolve uma velocidade angu- a lar constante de 150 rpm. Quando o motor ¶ desligado, o atrito dos e mancais e do ar fazem com que a roda p¶re em 2,2 horas. (a) Qual ¶ a e a acelera»~o angular m¶dia da roda? (b) Quantas rota»~es far¶ a roda ca e co a antes de parar? (c) Qual ¶ a acelera»~o tangencial de uma part¶cula e ca ³ distante 50 cm do eixo de rota»~o, quando o volante estiver girando ca a 75 rpm? (d) Qual ¶ o m¶dulo da acelera»~o total da part¶cula no e o ca ³ instante do item (c)? 8. (*) Demonstre que para um corpo que move-se girando num movi- mento circular em torno de um ponto O com velocidade angular ~ (ve- ! tor de¯nido como tendo o m¶dulo dado pela velocidade angular usual, o dire»~o perpendicular ao plano que cont¶m o c¶ ca e ³rculo do movimento, e sentido dado usando a regra da m~o direitaquot;) podemos escrever, para a um observador inercial ¯xo ao ponto O (o centro do c¶³rculo) ~ = ~ £~ v ! r ~ = ~ £ ~ + ~ £ (~ £ ~) a ® r ! ! r ® ¶ o vetor acelera»~o angular, de¯nido de forma an¶loga ao vetor ~ e ca a velocidade angular. 9. Considere uma part¶³cula que est¶ num dado instante na posi»~o indi- a ca ~1 e F2 indicadas, onde cada na ¯gura. Sobre ela atuam as duas for»as F c ~ F 1 = 10 N e F2 = 20 N. (a) Calcule o torque de cada uma das for»as c em rela»~o ao ponto O. (b) Calcule o torque da for»a resultante em ca c torno do ponto O. (c) Repita o problema para o ponto A da ¯gura. y (m) 6 ~ F2 @± ~ F 1 { 45{@{' 1 { R ¾ ' 'A ' - x (m) O ' 1
  • 63. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 10 ³s1 10. De¯ne-se o vetor torque de uma for»a em rela»~o a um ponto O como c ca ¿F r ~ ~± = ~ £ F onde ~ ¶ o vetor que de¯ne a posi»~o, em rela»~o ao ponto O, do ponto re ca ca de aplica»~o da for»a. De¯ne-se o vetor momento angular de uma ca c part¶ ³cula em rela»~o a um ponto O como ca ~ L± = ~ £ ~ = m ~ £ ~ r p r v onde ~ ¶ o vetor que de¯ne a posi»~o da part¶ r e ca ³cula em rela»~o ao ponto ca O, ~ ¶ a sua velocidade ( ~ = d~=dt ) e ~ = m ~ ¶ o momento linear da v e v r p v e part¶ ³cula. r F v v r r ponto em que r v a força é aplicada O O Demonstre que, se O ¶ um observador num referencial inercial, ent~o a e a segunda lei de Newton para as rota»~esquot; ¶ co e ~ dL± = ~±RES : ¿ dt 11. Um pequeno objeto de massa m est¶ preso a uma extremidade de um a ¯o de comprimento `. A outra extremidade do ¯o est¶ pendurada no a teto de uma sala. O objeto oscila em um plano vertical, em torno de sua posi»~o de equil¶ ca ³brio est¶vel. a (a) Indique todas as for»as que atuam sobre o objeto. c (b) Calcule o trabalho realizado por cada uma destas for»as e pela c for»a resultante quando este corpo desloca-se do ponto mostrado c na ¯gura (no qual o ¯o faz um ^ngulo ® com a vertical) at¶ o a e ponto de equil¶brio est¶vel (quando o ¯o est¶ na vertical). ³ a a (c) Calcule o torque de cada uma destas for»as em rela»~o ao ponto c ca de sustenta»~o do ¯o (no teto). ca
  • 64. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 11 ³s1 (d) Supondo que o objeto foi largado do repouso da posi»~o mostrada ca na ¯gura a, calcule o valor de sua velocidade no instante em que ele passa pela sua posi»~o de equil¶ ca ³brio. (e) Neste ponto (¯o na vertical), calcule o momento angular do objeto em rela»~o ao ponto de sustenta»~o. ca ca ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ α α l l figura a figura b m m 12. Considere um planeta de massa m nas vizinhan»as de uma estrela de c massa M >> m. Supondo que este sistema est¶ isolado de intera»~es a co externas, e considerando que a estrela est¶ no ponto O (¯xo num refe- a rencial inercial), (a) indique as for»as que atuam sobre o planeta; c (b) calcule o torque destas for»as em rela»~o ao ponto O. c ca (c) O momento angular deste planeta ¶ constante? Por qu^? e e 13. Um objeto de massa m desliza sobre uma mesa lisa. Nesta mesa, um ponto O ¶ tomado como ponto de refer^ncia. No instante t = 0, sua e e velocidade ¶ ~± , e ele est¶ no ponto indicado na ¯gura, no qual seu e v a vetor posi»~o, de m¶dulo b, ¶ perpendicular µ sua velocidade. ca o e a r vοο r rοο r ο= b ο= O⊕ ⊕ (a) Calcule o torque de cada uma das for»as que atuam sobre o corpo c e o torque da resultante, em rela»~o ao ponto O. ca
  • 65. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 12 ³s1 (b) Calcule o momento angular do corpo em rela»~o ao ponto O no ca instante t = 0. (c) Quanto vale o momento angular em rela»~o ao ponto O em um ca instante de tempo t qualquer? 14. O vetor posi»~o de uma part¶ ca ³cula de massa 2 kg em rela»~o a um ca observador inercial ¯xo num ponto O ¶ dado por ~ = 2 t ^ + t^ + t4 ^ e r 2 ³ ´ k, onde todas as unidades empregadas est~o no S.I. (a) Qual ¶ a for»a a e c resultante que age sobre esta part¶³cula? (b) Qual ¶ o torque desta e for»a em rela»~o a O? (c) Qual ¶ o momento angular desta part¶cula c ca e ³ em rela»~o a O? (d) Veri¯que se a segunda lei de Newton para as ca rota»~es ¶ v¶lida neste caso. co e a 15. O momento angular de uma part¶ ³cula, calculado em rela»~o a um ponto ca O parado em rela»~o µ Terra, ¶ dado por L ca a e ~ = b t^ + c t2 ^, onde b = 2 J, ³ ´ c = 2 J/s, e t ¶ dado em segundos. (a) Determine o torque sobre a e part¶ ³cula em rela»~o ao ponto O. (b) Calcule o m¶dulo deste torque ca o para t = 1 s. 16. Um proj¶til de massa m ¶ lan»ado com uma velocidade ~0 que faz um e e c v a ^ngulo µ0 com a dire»~o horizontal. Tomando como origem do sistema ca de coordenadas o ponto de lan»amento O, calcule o momento angular c do proj¶til em rela»~o a O como fun»~o do tempo. Calcule o torque e ca ca da for»a resultante sobre este corpo em rela»~o ao mesmo ponto, e c ca veri¯que se ~ dL0 = ~0 : ¿ ~0© © v * dt © © { µ0{ { { { { { { { { O 17. Quando a Terra est¶ no af¶lio (posi»~o em que est¶ mais afastada do a e ca a Sol), no dia 21 de junho, a sua dist^ncia ao Sol ¶ de 1,52 £ 1011 m, e a e sua velocidade orbital ¶ de 2,93 £ 104 m/s. Determine sua velocidade e orbital no peri¶lio (posi»~o mais pr¶xima do Sol), cerca de 6 meses ap¶s e ca o o 11 o af¶lio, quando sua dist^ncia ao Sol ¶ de 1,47 £ 10 m. Determine e a e tamb¶m em cada caso a velocidade angular de rota»~o da Terra em e ca torno do Sol.
  • 66. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 13 ³s1 18. Um p^ndulo c^nico ¶ constitu¶ por uma bola de massa m presa µ e o e ³do a extremidade de um ¯o de comprimento d, amarrado a um suporte ¯xo no laborat¶rio. O p^ndulo gira com velocidade ! constante, com o o e ¯o fazendo um ^ngulo constante ® com a vertical. Qual ¶ o momento a e angular L~ 0 da bola em rela»~o ao ponto de sustenta»~o O? Mostre ca ca ~ diretamente que a taxa de varia»~o de L0 em rela»~o ao tempo ¶ medida ca ca e pelo torque em rela»~o a O das for»as que agem sobre a bola. ca c O α d R m ω 19. Uma part¶ ³cula de massa m move-se sob a»~o de uma for»a atrativa ca c que varia com o inverso do quadrado da dist^ncia a um ponto ¯xo: a F = ¡k=r 2. A trajet¶ria descrita ¶ um c¶ o e ³rculo de raio a. Mostre que a energia total ¶ E = ¡k=(2a), que o m¶dulo da velocidade ¶ q e o e v = k=(ma), e que o m¶dulo do momento angular em rela»~o ao o ca p centro do c¶rculo ¶ L = mka. ³ e 20. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B que permanece ¯xa. A D d B Inicialmente, quando A est¶ muito distante de B (r ! 1), A tem a velocidade de m¶dulo v0 dirigida ao longo da linha mostrada na ¯gura. o A dist^ncia entre esta linha e B ¶ D. O objeto A desvia-se de sua a e
  • 67. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 14 ³s1 trajet¶ria inicial devido µ presen»a de B, e move-se segundo a trajet¶ria o a c o indicada na ¯gura. A menor dist^ncia entre esta trajet¶ria e B ¶ d. a o e Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravita»~o. ca 21. A Lua gira em torno da Terra de forma tal que um observador na Terra v^ sempre a mesma face da Lua. (a) Qual ¶ a raz~o entre a velocidade e e a angular orbital da Lua em redor da Terra e a velocidade angular de rota»µo da Terra em torno de seu pr¶rio eixo? (b) Determine a raz~o ca p a entre o momento angular orbital e o momento angular de rota»~o da ca Lua, chamando de r a dist^ncia do centro da Terra ao centro da Lua e a de RL o raio da Lua.
  • 68. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 15 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 11 { Respostas 1. As demonstra»~es podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. co 2. As demonstra»~es podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. co 3. (a) 2^ (b) 2^ (c) 0; (d) ¡2 ^ (e) 0; (f) 4 ^ (g) ¡5; (h) ¡^ ¡ 3^ ¡ ^ ³; ´; k; k; ³ ´ k; (i) ^ ¡^ + ^ (j) ¡2^ ¡ 2^. ³ ´ k; ³ ´ ~ 4. (a) 0 (os dois vetores s~o antiparalelos); (b) OC (o vetor que liga os a pontos O e C). 5. As demonstra»~es podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. co ³¯ ¯ ¯ ¯´ 6. (a) (demonstra»~o). (b) S = 2 ¯ ~ £ ~ ¯ + j~ £ ~ j + ¯ ~ £ ~ ¯ . ca ¯a b¯ a c ¯b c¯ (c) Volume = 4 m3 ; ¶rea = 16 m2 . a 7. ~O = ¡^ + 3^ ¡ 7 ^ ~O0 = ¡^ + 3^ ¡ 6 k; n~o. ¿ ³ ´ k; ¿ ³ ´ ^ a Lista de exerc¶ ³cios 12 { Respostas 1. Supondo que os raios interno e externo do LP s~o respectivamente a iguais a Ri = 5 cm e Re = 15 cm, obt¶m-se para as velocidades os e valores vi = 18 m/s e ve = 52 m/s. 2. a ' 1; 7 m/s2. 3. (a) vE ' 470 m/s, aE ' 0; 03 m/s2; (b)vR ' 430 m/s, aR ' 0; 03 m/s2; (c)vP = 0, aP = 0. 4. v ' 3 £ 104 m/s, a ' 6 £ 10¡3 m/s2 . 5. Ele leva 40 s para parar. Portanto, o n¶mero de rota»~es at¶ parar ¶ 4. u co e e 6. !2 =!1 = R1 =R2 > 1; a roda de raio menor gira mais rapidamente.
  • 69. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 16 ³s1 7. (a) ® ' 2 £ 10¡3 s¡2; (b) aproximadamente 9900 rota»~es; co (c) 0; 001 m/s2; (d) aproximadamente 31 m/s2. 8. (demonstra»~o) ca p ³ p ´ 9. (a) ~1 = 10 ^ (J), ~2 = ¡ 20 2 ^ (J); (b) ~R = 10 ¡ 20 2 k (J); (c) ¿ k ¿ k ¿ ^ p ³ p ´ ~1 = 10k, ~2 = ¡10 2 k, ~R = 10 1 ¡ 2 k = ¡0; 4^ (J). ¿ ^ ¿ ^ ¿ ^ k d~ ± d(~£~) 10. L dt = r p dt = d~ r dt ~ r dt v p £ p + ~ £ d~ = ~ £ (m~ ) + ~ £ F RES = ~±RES : v r ~ ¿ 11. (a) peso e tra»~o da corda; (b) W (T ) = 0, W (P ) = mg` (1 ¡ cos ®); ca (c) considerando o unit¶rio ^ como o unit¶rio do eixo Oz perpendicular a k a ao plano do papel e para fora deste, ~O (T ) = 0, ~O(P ) = ¡m g ` sen® ^ ¿ ¿ k; (d) a velocidade ¶ tangente ao c¶ e q ³rculo e aponta da esquerda para a direi- q ~ ta com m¶dulo v = 2g` (1 ¡ cos ®) ; (e) L = ¡m ` 2g` (1 ¡ cos ®) . o 12. (a) A for»a que atua no planeta ¶ a for»a de atra»~o gravitacional entre c e c ca ele e a estrela; (b) 0; (c) sim, porque o torque da for»a resultante ¶ c e nulo. 13. Usando um sistema de eixos radial, tangencial e perpendicular ao plano com unit¶rios r (dire»~o da reta que une o corpo ao ponto O, indo de a ^ ca ^ O para o corpo), t (dire»~o perpendicular a ^ e mesmo sentido da ca r velocidade no instante mostrado na ¯gura) e k ^ (perpendicular ao plano ¿ ~ t ¿ ~ da mesa, e para dentro dela): (a) ~O(N ) = b m g ^, ~0(P ) = ¡b m g ^,t ~O (F ¿ ~ k; ~ ~ ~ RES ) = 0; (b) LO(t = 0) = b m v± ^ (c) LO (t) = LO (t = 0). ³ ´ d 14. (a) F RES = m ~ = m dt a d~ r = 8^ + 24 t2 k; ³ ^ dt (b) ~O = 24 t3 ^ ¡ 40 t4 ^ ¡ 8 t k; ¿ RES ³ ´ ^ (c) ~ O = 6 t4 ^ ¡ 8 t5 ^ ¡ 4 t2 k; L ³ ´ ^ ~ LO ^ ¿ RES (d) dt = 24 t3 ^ ¡ 40 t4 ^ ¡ 8 t k = ~O . ³ ´ p 15. (a) ~ = b^ + 2 c t^ = 2^ + 4 t^ (b) ~ (1) = 2^ + 4^ ¿ (1) = ¿ ³ ´ ³ ´; ¿ ³ ´, 20 J. 16. Usando um sistema de eixos x (a dire»~o horizontal para a direita), y ca (a dire»~o perpendicular a x, no plano do papel, de baixo para cima) ca
  • 70. F¶ { 04/1 { G.4 | p. 17 ³s1 e z (perpendicular ao papel, para fora), podemos escrever para os ve- ca ca a g tores acelera»~o, velocidade e posi»~o: ~ = ~ = ¡g^ ~ = ~ ± ¡ ~ t = ´, v v g 1 2 = v cos µ t^ + v± cos µ± + (v± sen ´ ± ¡ g t) ^, ~ = ~± + ~± t + 2 ~ t µ ´ r r v g ± ± ³ ³ 1 2 v± sen µ ± t ¡ 2 g t ^. Ent~o ´ a LO = ¡ 1 m g v± cos µ± t2 , 2 ¿0 = ¡ m g v± cos µ± t, ~ e veri¯ca-se diretamente que dL=dt = ~ . ¿ 17. 3; 03 £ 104 m/s; !A = 1; 93 £ 10¡7 rad/s, !P = 2:06 £ 10¡7 rad/s. 18. LO = m d2 ! sen ® cos ® ½ + m d2 ! sen2 ® ^ O torque da tens~o ¶ nulo. ~ ^ k. a e O torque da for»a peso ¶ ~O (P ) = m d2 !2 sen2 ® ^. Como a derivada c e ¿ t do unit¶rio da dire»~o radial ¶ o vetor unit¶rio da dire»~o tangencial a ca e a ca ~ multiplicado por !, ou d^ = ! ^, veri¯ca-se diretamente que dL=dt = ~ . ½ t ¿ dt 19. (Sugest~o: escreva a segunda lei de Newton e obtenha a velocidade da a part¶ ³cula.) v± (d2 ¡D2 ) 2 20. M = ¡ 2 Gd . 21. (a) As duas velocidades angulares s ao iguais. Leixo R2 (b) LT erra = r2 . L
  • 71. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 5 Modulo 5: Sistema de Part¶ ¶ ³culas: Momento Linear e sua Lei de Conservac ~ o, »a Centro de Massa e Colis ~ es o »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, daremos in¶ µ descri»~o de um sistema de part¶ o ³cio a ca ³culas, cor- respondendo µ descri»~o de sistemas f¶ a ca ³sicos que n~o podem ser tratados como a objetos pontuais. Come»aremos de¯nindo o momento linear de um sistema c de part¶culas e vendo como aplicar e generalizar a segunda lei de Newton ³ para este sistema. Estudaremos em que situa»~es o momento linear de um co sistema de part¶culas ¶ conservado. Veremos que no estudo de um sistema ³ e de part¶ ³culas um conceito fundamental ¶ o de centro de massa do sistema, e ao qual associaremos a for»a externa total agindo sobre o sistema. c Leituras indispens¶veis: a Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶ o ³tulos 8 (se»~es 8.1 a 8.4) e 9 co do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶sica, Vol. 1 { Mec^nica, a a 3 a edi»~o, Editora Edgard Blucher Ltda. ca 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~o a | da de¯ni»~o de momento linear para um sistema de duas ou mais ca part¶ ³culas (se»~es 8.1 e 8.2); co | da lei de conserva»~o do momento linear (se»~o 8.3). ca ca Atividade 2 Resolu»~o do problema 26 da lista de exerc¶ ca ³cios 13 (sobre Sistema de part¶culas: momento linear, centro de massa, conserva»~o do momento, ³ ca e colis~es). Este problema corresponde µ primeira atividade experi- o a mental do M¶dulo 5, feito no laborat¶rio; pense as condi»~es que a o o co
  • 72. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 2 ³ experi^ncia deve ser realizada para que haja conserva»~o do momento e ca linear. Atividades extras 1 1. Leia as se»~es 8.1, 8.2 e 8.3 do cap¶tulo 8 do livro texto. co ³ 2. Resolva os exerc¶cios 6 e 8 da lista de exerc¶cios 13. ³ ³ 3. Demonstre (com o livro fechado) que para um sistema de part¶ ³culas ~ dP ~ = F ext dt ~ e ~ onde P ¶ o momento linear total e F ext ¶ a resultante e das for»as externas aplicadas sobre o sistema. c Atividade 3 Discuss~o (novamente) dos conceitos apresentados na aula anterior, a com a resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 5 e 2 da lista 13. Atividade 4 Discuss~o do conceito de centro de massa, obtendo a equa»~o que des- a ca creve o movimento deste ponto (se»~o 8.3); e c¶lculos de alguns centros ca a de massa para sistemas simples (se»~o 8.4). ca Atividades extras 2 1. Leia novamente as se» ~es 8.1, 8.2 e 8.3 do livro texto. co 2. Leia a se»~o 8.4 do livro texto. ca 3. Resolva os exerc¶cios 1,2,3,7,8,9,11,14 e 16 da lista 13. ³ Atividade 5 Discuss~o dos conceitos envolvidos na an¶lise de colis~es usando o a a o Exemplo A a seguir. Exemplo A Consideremos a colis~o de duas bolas de borracha numa mesa a sem atrito. As duas bolas t^m massas m1 e m2 , e supomos e conhecidas as suas velocidades iniciais ~1i e ~2i . Durante um v v
  • 73. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 3 ³ curto intervalo de tempo as duas bolas permanecem em contato, e depois se afastam com velocidades ¯nais ~1f e ~2f . v v Esquematicamente, podemos ver como se d¶ a evolu»~o tem- a ca poralquot; deste sistema, como na ¯gura abaixo. ¡ v 2 m ¡ ¡ ¡ v ¡ @ ~1f I v ¡ v ¼ © v v ¡ ~ 1i ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ v v 2 ¡ v ~2i ¡ m1 * © ¡ ¡ ¡ m ¡ m1 ¡ ¡ ¡ ¡ ~2f ¡ vR @ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ t± t1 t2 t3 As duas part¶culas antes, durante e depois da colis~o. ³ a Nosso problema fundamental ¶ encontrar as velocidades ¯nais e ~1f e ~2f . Podemos fazer um gr¶¯co das for»as que agem sobre v v a c os dois corpos como fun»~o do tempo. Este gr¶¯co tem a forma ca a mostrada abaixo. F1 (t) ¨¥ ¦ E ¦ E E t± t1 ´ µ t2 ³ ¶ t3 - t ¦ E ¦ E ¦ §¦ F2 (t) Podemos escrever a segunda lei de Newton para cada um dos dois corpos; tanto antes quanto depois da colis~o, se ~1 e ~2 a p p s~o os momentos lineares dos corpos, a d ~1 p d ~2 p =0 ; =0 dt dt nos intervalos de tempo t0 < t < t1 e t2 < t < t3 . Por outro lado, durante a colis~o | isto ¶, no intervalo de tempo a e t1 < t < t2 , a segunda lei de Newton nos diz que d ~1 p ~ d ~2 p ~ = F1 ; = F2 : dt dt
  • 74. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 4 ³ Se conhecessemos estas for»as, poder¶ c ³amos (tentar) resolver o problema de encontrar as velocidades ¯nais dos corpos. Mas na maioria dos casos de colis~es a forma destas for»as nos ¶ o c e desconhecida. Sabemos, por¶m, pela terceira lei de Newton, e que elas constituem um par a»~o e rea»~o, ca ca ~ ~ F1 + F2 = 0 : Embora n~o tenhamos uma solu»~o completa, podemos usar a ca esta propriedade para obter informa»~es ¶teis sobre o que est¶ co u a acontecendo com o sistema considerado. Se somarmos as duas equa»~es, obteremos uma rela»~o que ser¶ co ca a v¶lida antes, durante e depois da colis~o: a a d ~1 d ~2 p p d (~1 + ~2) p p + = =0 dt dt dt Podemos de¯nir uma nova grandeza, a qual chamaremos de momento linear total do sistema, ou quantidade de movimento total do sistema, como sendo a soma do momento de cada uma das part¶ ³culas que comp~em o sistema o ~ p P = ~1 + ~2 p e, olhando para a equa»~o anterior, temos ca ~ dP =0 dt Esta equa»~o signi¯ca que o momento linear total do sistema ca | que ¶ isoladoquot; | ¶ uma grandeza conservada; isto ¶, seu e e e valor ¶ sempre o mesmo, antes, durante e depois da colis~o: e a (~1 + ~2)inicial = (~1 + ~2)f inal p p p p Duas quest~es s~o fundamentais. o a A primeira: o momento linear total de um sistema de part¶ ³culas ¶ sempre conservado? A resposta ¶ n~o! Se tivermos for»as e e a c
  • 75. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 5 ³ externas atuando sobre o sistema (por exemplo, atrito) n~o te- a remos o valor nulo para a soma das duas equa»~es anteriores. co A segunda: a energia cin¶tica ¶ conservada nesta colis~o? A e e a resposta ¶ n~o necessariamente! Discutiremos a seguir o porque e a desta a¯rma»~o. ca Um ¶ltimo coment¶rio: o que discutimos aqui se aplica em u a geral. N~o ¯zemos nenhuma restri»~o sobre a for»a interna que a ca c atua entre as part¶ ³culas durante a colis~o (a ¶nica restri»~o foi a u ca exigir que ela satis¯zesse ao princ¶ de a»~o e rea»~o). Assim, ³pio ca ca qualquer que seja a for»a interna, o momento linear total de um c sistema isolado ¶ conservado. e Atividade 6 Discuss~o a | do conceito de impulso de uma for»a (se»~o 9.2), ilustrando com o c ca exerc¶ 22; ³cio | e do que ocorre com o momento linear total e com a energia cin¶tica e num processo de colis~o (se»~o 9.3), classi¯cando as colis~es em el¶sti- a ca o a cas e inel¶sticas; a | e resolu»~o do caso geral de uma colis~o el¶stica unidimensional. ca a a Atividades extras 3 1. Leia as se»~es 9.1, 9.2 e 9.3 do livro texto. co 2. Resolva os exerc¶cios 21 e 22 da lista 13. ³ 3. Leia a se»~o 9.4. ca 4. Com o livro fechado, obtenha as equa»~es (9.4.11) do co livro texto e aplique estas equa»~es ao caso particular co em que as duas massas s~o iguais. a 5. Escreva um modelo te¶rico que descreva a atividade 2 o da experi^ncia do laborat¶rio - colis~o el¶stica entre dois e o a a corpos de mesmas massas - e compare com a observa»~o ca feita no laborat¶rio. o 6. Resolva os exerc¶cios 23 e 24 da lista 13. ³
  • 76. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 6 ³ Atividade 7 Discuss~o do problema das colis~es unidimensionais n~o el¶sticas, e em a o a a particular o caso da colis~o totalmente inel¶stica (se»~o 9.5); e resolu»~o a a ca ca do exerc¶cio 41 (p^ndulo bal¶ ³ e ³stico). Atividade 8 Rediscuss~o de conceitos relacionados µ lei de conserva»~o do momento a a ca linear de um sistema de part¶culas e ao conceito de centro de massa ³ usando o Exemplo B a seguir. Exemplo B Consideremos agora o caso de dois corpos (part¶ ³culas) de mas- sas m1 e m2 . Esses dois corpos n~o est~o, como no caso do a a Exemplo A, isolados. Sobre eles, atuam tanto for»as internas | c a intera»~o de um com o outro, como no caso anterior, quanto ca for»as externas | por exemplo, a for»a peso, o atrito, etc. c c Podemos, para cada um dos dois corpos, separar a for»a resul- c tante em duas partes: uma, correspondente µs for»as internas a c ao sistema, e outra correspondente µs for»as externas. Assim, a c sobre os corpos 1 e 2 a resultante das for»as ¶ escrita como c e ~ ~ int ~ ext F1 = F1 + F1 ~ ~ int ~ ext ; F2 = F2 + F2 e a segunda lei de Newton ¯ca p d ~1 ~ ~ ext p d ~2 ~ int ~ ext = F1int + F1 ; = F2 + F2 : dt dt A for»a internaquot; que atua sobre o corpo 1 deve-se µ intera»~o c a ca deste corpo com outros corpos do sistema; no caso, o outro corpo do sistema ¶ o corpo 2. O mesmo ¶ v¶lido para o corpo e e a c ~ ~ int 2. As for»as F1int e F2 constituem um par a»~o-rea»~o, e a ca ca terceira lei de Newton nos d¶ a ~ int ~ int F1 + F2 = 0 : De¯nimos o momento linear total de nosso sistema de part¶ ³cu- las como sendo ~ p P ´ ~1 + ~2 : p
  • 77. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 7 ³ Ent~o podemos escrever a ~ dP d (~1 + ~2 ) ³ ~ int ~ int ´ ³ ~ ext ~ ext´ p p = = F1 + F2 + F1 + F2 dt dt ~ ~ ext ~ Se F ext = F1 + F2ext ¶ a resultante das for»as externas que e c atuam sobre as part¶ ³culas de nosso sistema, ~ dP ~ = F ext : dt Desta express~o, podemos ver imediatamente sob que condi»~es a co o momento linear total de um sistema ¶ conservado. Todas as e vezes que a resultante das for»as externas ¶ nula, o sistema c e tem momento linear constante | e n~o apenas quando o sis- a tema ¶ isolado. Por este motivo, um sistema de duas part¶ e ³culas em colis~o sobre uma superf¶ horizontal sem atrito pode ser a ³cie tratado como sendo isolado: as for»as externas, pesos e normais, c se anulam, dando uma resultante externa nula e conservando o momento total. A equa»~o que de¯ne o momento linear total do sistema nos ca inspira para uma outra observa»~o. Como ~1 = m1 ~1 e ~2 = ca p v p m2 ~2, o momento total ¶ dado por v e ~ P = (m1 ~1 + m2 ~2 ) v v Esta express~o nos faz pensar que talvez fosse conveniente de- a ¯nir um ponto especial de nosso sistema. Este ponto mover- se-ia com uma velocidade que ¶ uma m¶dia ponderadaquot; das e e velocidades dos corpos ~ m1 m2 V = v ~1 + ~ : v m1 + m2 m1 + m2 2 Os pesos nesta m¶dia s~o as massas dos corpos envolvidos. A e a este ponto damos o nome de centro de massa do sistema de part¶ ³culas. Este ponto especial tem algumas propriedades interessantes e que se tornam bastante ¶teis para a discuss~o de sistemas de u a
  • 78. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 8 ³ part¶ ³culas. Sua posi»~o ¶ de¯nida como um ponto do espa»o ca e c que tem coordenadas dadas por ~ m1 m2 Rcm ´ ~1 + r r ~2 : m1 + m2 m1 + m2 Se escrevemos para a massa total do sistema M = m1 + m2, temos das de¯ni»~es acima co m m ~ Rcm = 1 ~1 + 2 ~2 r r M M m m ~ Vcm = 1 ~1 + 2 ~2 v v M M e observamos (primeira propriedade interessante!) que ~ ~ P = M Vcm : Este ponto especial tem uma velocidade que corresponde ao momento total do sistema dividido pela massa total do sistema | ou seja, tem a velocidade que teria um corpo de massa M que possu¶ um momento linear P . ³sse ~ Tamb¶m a equa»~o que escrevemos acima para a conserva»~o e ca ca do momento linear pode ser reescrita. A acelera»~o do centro ca de massa ¶ e ~ m1 m2 Acm = ~1 + a ~2 : a M M Temos que ~ dP d ~1 d ~2 p p = + = m1 ~ 1 + m2 ~ 2 ; a a dt dt dt ou seja, ~ ~ F ext = M Acm : A¶ temos mais uma propriedade interessante do centro de massa: ³ sua acelera»~o corresponde µ raz~o entre a for»a externa resul- ca a a c tante sobre o sistema e a massa total do sistema | a acelera»~o ca de uma part¶ c ~ ³cula de massa M sobre a qual agisse uma for»a F ext . Com esta discuss~o, podemos ver que o centro de massa ¶ a e um ponto bastante ¶til na discuss~o do movimento de um sis- u a tema de part¶ ³culas, ou de um corpo constitu¶ de mais de uma ³do
  • 79. F¶s1 { 04/1 { G.5 | p. 9 ³ part¶³culaquot;. Este ponto nos permite fazer uma an¶lise global do a movimento do sistema, independente do movimento interno das componentes do sistema em rela»~o umas µs outras. Este ponto ca a ¶ tal que tudo se passa como se sobre ele estivesse concentrada e toda a massa do sistema e agissem todas as for»as externas ao c sistema. Ele ¶ um auxiliar bastante ¶til na discuss~o de cor- e u a pos mais complexos, dos quais n~o temos muitas indica»~es (ou a co temos e s~o complicadas) de como s~o as intera»~es dentro do a a co sistema, como num corpo r¶ ³gido, etc. Ele nos permite de uma primeira maneira intuitiva entender porque colocamos a for»a c peso agindo sobre o centroquot; dos corpos, e a for»a gravitacional c de um objeto sobre a Terra agindo sobre o centro da Terra, etc, resultados que ser~o formalizados com mais clareza e exatid~o a a posteriormente em nosso curso. Atividade 9 Discuss~o a | de como a descri»~o de uma colis~o pode ser feita usando tanto o ca a referencial do laborat¶rio quanto o referencial do centro de massa do o sistema, usando as transforma»~es galileanas de velocidade para passar co de um sistema de refer^ncia inercial para o outro; e e | e aplica»~o ao Exemplo C a seguir. ca Exemplo C Duas bolas de bilhar de massas m1 e m2 movendo-se com velocidades ~1 e ~2 no referencial do laborat¶rio colidem. v v o A colis~o ¶ totalmente inel¶stica, isto ¶, as duas bolas saem a e a e juntas ap¶s a colis~o. o a 1. Calcule a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colis~o no referencial do laborat¶rio. a o 2. Calcule as energias cin¶ticas inicial e ¯nal do sistema no e referencial do laborat¶rio. o 3. Calcule as velocidades ~ 1 e ~ 2 de cada uma das duas u u bolas antes da colis~o no referencial do centro de massa do a sistema.
  • 80. F¶ { 04/1 { G.5 | p. 10 ³s1 4. Descreva a colis~o para um observador que anda junto com a o centro de massa. 5. Calcule as energias cin¶ticas inicial e ¯nal do sistema no e referencial do centro de massa. Atividades extras 4 1. Leia as se»~es 9.1 a 9.4 do livro texto. co 2. Resolva os exerc¶cios 27, 28, 29 da lista 13. ³ 3. Resolva os exerc¶cios 30, 31 e 32 da lista 13. ³ Atividade 10 Discuss~o sobre colis~es no caso geral, bidimensional (se»~es 9.6 e 9.7) a o co tanto el¶sticas quanto inel¶sticas, exempli¯cando com o problema 36 a a da lista 13. Atividade 11 Discuss~o de um processo de colis~o do ponto de vista do referencial a a do laborat¶rio e do ponto de vista do referencial do centro de massa do o sistema, resolvendo com o problema 39 da lista 13. Atividades extras 5 1. Leia as se»~es 9.6 a 9.7 do livro texto. co 2. Releia a se»~o 13.1 do livro texto (transforma» ~es de ca co Galileu). 3. Refa»a exerc¶ c ³cios da lista 8, sobre mudan» a de sistema c de refer^ncia. e 4. Resolva os exerc¶cios 37, 38, 39 da lista 13. ³ Atividade 12 Demonstra»~o de que podemos escrever a energia cin¶tica de um sis- ca e tema de duas part¶culas como sendo ³ 1 1 m1 m2 Ec = 2 M Vcm + (~1 ¡ ~2 )2 v v 2 2 m1 + m2 e discuss~o do exerc¶cio 28 em vista desta equa»~o. a ³ ca
  • 81. F¶ { 04/1 { G.5 | p. 11 ³s1 Atividades extras 6 1. Releia todo o guia, e todo o cap¶ ³tulo 9. 2. Fa»a tudo que voc^ ainda n~o fez. c e a Atividade 13 Resolu»~o de problemas da lista 13 e dos cap¶ ca ³tulos 8 e 9 do livro texto, a crit¶rio do professor. e ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 5 1. Releia os cap¶ ³tulos 8 e 9 do livro texto. 2. Releia a se»~o 13.1 do livro texto. ca 3. Refa»a todos os exemplos deste guia e do livro texto. c 4. Fa»a todos os exerc¶ c ³cios da lista 13 que voc^ ainda n~o fez. e a
  • 82. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 12 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 13 Sistema de Part¶ ³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservacao do Momento, Colis~ es »~ o 1. Um corpo de massa m1 est¶ sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpo a de massa m2 est¶ sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor da a dist^ncia entre o centro de massa do sistema constitu¶ pelos dois a ³do corpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em que m2 = m1 e m2 = 2 m1. 2. Um sistema de part¶ ³culas ¶ composto de dois objetos de massas m1 e e m2. Demonstre que o centro de massa est¶ deste sistema est¶ sobre a a a linha que une os dois, entre os dois, e a raz~o entre a dist^ncias d1 a a e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa ¶ inversamente e proporcional µ raz~o entre as massas: d1=d2 = m2=m1. a a w u 1 cm 2 - d1 d2 3. Obtenha a posi»~o do centro de massa de um sistema de duas part¶cu- ca ³ las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posi»~es co r ³ ´ r ~1 = 5^+ 2^ e ~2 = ^ ¡ 3^. Calcule a dist^ncia de cada uma das massas ³ ´ a ao centro de massa do sistema. As posi»~es est~o dadas em metros. co a 4. Um n¶cleo de r¶dio 226 (com 88 pr¶tons e 128 n^utrons, 226 Ra) sofre u a o e 88 decaimento radioativo, emitindo uma part¶cula ® (que corresponde ao ³ n¶cleo do ¶tomo de h¶lio, com 2 pr¶tons e 2 n^utrons, 4He). As mas- u a e o e 2 sas do pr¶ton e do n^utron s~o aproximadamente iguais. Se o n¶ cleo o e a u original estiver inicialmente em repouso, a part¶cula ® ¶ emitida com ³ e 7 velocidade de 1; 5 £ 10 m/s. Qual ¶ a velocidade do n¶cleo residual? e u
  • 83. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 13 ³s1 5. Um proj¶til ¶ lan»ado com velocidade inicial de 400 m/s numa dire»~o e e c ca ± que faz um ^ngulo de 60 com a horizontal. No ponto mais alto de a sua trajet¶ria, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais cai o verticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que dist^ncia a do ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se o solo horizontal? 6. Um n¶cleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindo u um el¶tron e um neutrino em dire»~es perpendiculares entre si. O e co m¶dulo do momento linear do el¶tron ¶ 1; 2 £ 10¡22 kg m/s e o do o e e ¡23 neutrino 6; 4 £ 10 kg m/s. (a) Ache a dire»~o e o m¶dulo do momento adquirido pelo n¶ cleo ao ca o u recuar. (b) A massa do n¶cleo residual ¶ de 5; 8£10¡26 kg. Qual a sua energia u e cin¶tica de recuo? e 7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/s sem in°u^ncia de qualquer for»a externa. Num certo instante, ocorre e c uma explos~o interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kg a cada. Com a explos~o, uma energia cin¶tica de transla»~o de 36 J ¶ a e ca e transmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dos dois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e o sentido do movimento de cada fragmento depois da explos~o.a 8. Duas part¶ ³culas P e Q est~o inicialmente em repouso, separadas por a uma dist^ncia de 1 m. A part¶ a ³cula P tem massa m1 = 3; 0 kg, e Q tem massa m2 = 5; 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma for»a c constante de m¶dulo 0,35 N. Nenhuma for»a externa atua sobre este o c sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema. (b) A que dist^ncia da posi»~o original de P as part¶culas v~o colidir? a ca ³ a 9. Um homem de massa m est¶ pendurado numa escada de corda, sus- a pensa por um bal~o de massa M. O bal~o est¶ estacion¶rio em rela»~o a a a a ca ao solo.
  • 84. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 14 ³s1 (a) Se o homem come»ar a subir pela escada com velocidade de m¶- c o dulo v (em rela»~o µ escada), em que dire»~o e com que velocidade ca a ca (em rela»~o µ Terra) o bal~o mover-se-¶? ca a a a (b) Como se mover¶ o bal~o depois que o homem parar de subir? a a 10. Um avi~o, cuja massa total ¶ M, em v^o horizontal planado (com motor a e o desligado) com velocidade de m¶dulo v0 dispara para frente um foguete o de massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de m¶dulo vc em o rela»~o ao avi~o (medida pelo piloto ap¶s o lan»amento). Calcule as ca a o c velocidades do avi~o e do foguete em rela»~o µ Terra imediatamente a ca a ap¶s o disparo. o 11. Um cachorro de 5,0 kg est¶ de p¶, parado dentro de um barco cujo a e extremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na ¯gura. Ele anda 2,4 m sobre o barco em dire»~o µ margem, e depois p¶ra. O barco ca a a tem uma massa de 20 kg, e sup~e-se n~o haver atrito entre ele e a ¶gua. o a a A que dist^ncia da margem estar¶ o barco no ¯nal da caminhada do a a cachorro? 12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento em uma lagoa de ¶guas calmas. Em um dado momento, o homem cai fora a do barco, perdendo o remo, e ¯ca a uma dist^ncia de 1,5 m da popa a do barco na dire»~o de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabe ca nadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em dire»~o µ proa do barco, a ca a ¯m de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barco e a ¶gua, determine se a mulher ser¶ ou n~o bem sucedida. Suponha a a a que o centro de massa do barco est¶ em seu centro geom¶trico. a e 13. Um homem de massa M , em repouso, de p¶ com patins sobre uma e superf¶ ³cie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m ho- rizontalmente, com velocidade de m¶dulo v, para outro patinador de o mesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesma velocidade v. (A velocidade dada corresponde µ velocidade em rela»~o a ca ao patinador antes dele lan»ar a bola.) c
  • 85. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 15 ³s1 (a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo ap¶s lan»ar a o c bola. (b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo ap¶s receber a o bola. (c) Calcule a velocidade do segundo patinador ap¶s lan»ar a bola de o c volta. 14. Determine o centro de massa de um sistema composto por tr^s part¶ e ³- culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos v¶rtices de um e tri^ngulo equil¶tero de 2 m de lado. a a 15. Num instante particular, tr^s part¶ e ³culas move-se como mostrado na ¯gura. Elas est~o sujeitas apenas µs suas intera»~es m¶tuas. Ap¶s a a co u o um certo tempo, elas s~o novamente observadas; v^-se que m1 move-se a e como mostrado na ¯gura, enquanto m2 est¶ parada. Ache a velocidade a de m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0; 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s, v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s. O I M ÍC y FI y IN r v3 3 3? 30 0 x r x r v1' 1r v2 v1 2 1 2 16. Um conjunto de part¶ ³culas possui massa total M = 2 kg. O momento ~ linear do sistema ¶ dado por P = b t^ + c t2 ^ onde b = 2 kg m/s2, e ³ ´, 3 c = 4 kg m/s e t ¶ dado em segundos. Todas as massas permanecem e constantes. (a) Determine a velocidade do centro de massa em fun»~o do tempo. ca (b) Obtenha uma express~o para a for»a que atua sobre o sistema a c como fun»~o do tempo. ca (c) Calcule o m¶dulo da for»a externa para t = 1 s. o c
  • 86. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 16 ³s1 17. A posi»~o do centro de massa de um sistema constitu¶do de 4 part¶culas ca ³ ³ de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg ¶ dada e por XCM = ¡0; 4 m e YCM = ¡0; 1 m. Sabendo que as tr^s primeiras e part¶ ³culas est~o localizadas nas posi»~es (1; 0), (¡1; ¡1) e (¡1; 1), onde a co as coordenadas est~o dadas em metros, determine a posi»~o da quarta a ca part¶ ³cula. 18. Um observador mede as velocidades de duas part¶ ³culas de massas m1 e m2 e obt¶m os valores ~1 e ~2 . Determine: e v v (a) a velocidade do centro de massa das duas part¶ ³culas; (b) a velocidade de cada uma das part¶culas em rela»~o ao centro de ³ ca massa do sistema; (c) o momento linear de cada part¶cula em rela»~o ao centro de massa ³ ca do sistema. 19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste r¶gida de massa desprez¶ ³ ³vel e comprimento igual a 20 cm est¶ em repouso na posi»~o indicada na a ca c ~ ¯gura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as for»as F1 = 3^ e ´ ~2 = ¡4^ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2. F ³ Despreze o atrito com a mesa. y (cm) 6 w y - x (cm) -5 5 10 15 (a) Encontre a acelera»~o do centro de massa do sistema. ca (b) Calcule a posi»~o do centro de massa do sistema como fun»~o do ca ca tempo. (c) Que tipo de trajet¶ria descrever¶ o centro de massa? o a (d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste r¶ ³gida for substitu¶ por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons- ³da tante el¶stica k = 0; 1 N/cm. a
  • 87. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 17 ³s1 20. Considere uma chapa homog^nea de massa M , na forma de um tri^n- e a gulo equil¶tero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De- a termine o vetor posi»~o do centro de massa da chapa como fun»~o do ca ca ~ ~ tempo, sabendo que as for»as constantes F1 e F2 mostradas na ¯gura c s~o aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posi»~o indicada a ca na ¯gura. D^ sua resposta em fun»~o dos par^metros M , a e F , onde e ca a y 6 ~ ~ F = jF1 j = jF 2j : Y H ¢A H H ¢ A ~2 ¢ F A ¢ A ¢ A ¢ A ~ F1 6 ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A - x 21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma for»a de c 50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ¶ e de 0,20 kg, que velocidade ela ter¶ ap¶s o impacto? a o 22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade de 25 m/s. Ela ¶ rebatida para cima e volta com uma velocidade de e 10 m/s. (a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo? (b) Se a bola ¯cou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a for»a c m¶dia exercida sobre o solo? e 23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal- mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque ¶ per- e feitamente el¶stico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do a choque? 24. Uma massa m1, com velocidade de m¶dulo v, choca-se frontalmente o com uma massa m2. Ap¶s a colis~o, m2 possui velocidade de m¶dulo o a o u2 . A massa m1 , chocando-se com a mesma velocidade de m¶dulo v o com a massa m3 , faz com que esta adquira uma velocidade de m¶dulo o
  • 88. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 18 ³s1 u3 . Os choques s~o el¶sticos e as massas m2 e m3 est~o inicialmente a a a em repouso. (a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3 , u2 e u3. (b) Em 1932, num hist¶rico trabalho de pesquisa, James Chadwick o obteve um valor para a massa do n^utron, estudando colis~es e o el¶sticas de n^utrons r¶pidos com n¶cleos de hidrog^nio e de ni- a e a u e trog^nio. Ele encontrou que a m¶xima velocidade ¯nal do n¶ cleo e a u 7 de hidrog^nio inicialmente em repouso era 3; 3 £ 10 m/s e que e a m¶xima velocidade ¯nal do n¶cleo de nitrog^nio 14 era 4; 7 £ a u e 6 10 m/s. A massa do n¶cleo de hidrog^nio ¶ uma unidade de u e e massa at^mica (u.m.a.) e a do n¶cleo de nitrog^nio 14 ¶ de 14 o u e e u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do n^utron, e a e velocidade inicial dos n^utrons utilizados na rea»~o. e ca 25. Num reator de ¯ss~o nuclear, os n^utrons produzidos pela ¯ss~o de um a e a n¶cleo de ur^nio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidos u a por outros n¶cleos e produzam mais ¯ss~es. Esta frenagem ¶ obtida u o e por meio de colis~es el¶sticas com n¶cleos, na regi~o de modera»~o o a u a ca do reator. Se desejarmos frear os n^utrons com o m¶ e ³nimo de colis~es o poss¶ ³vel, que elementos devem ser usados como material moderador? Por qu^? e 26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectiva- mente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constante el¶stica k = 3 N/cm e de massa desprez¶ a ³vel est¶ presa ao bloco B. a Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um ¯o, e neste processo comprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o ¯o se rompe. Determine a velocidade de cada bloco ap¶s a separa»~o. o ca antes A γγγγγγ γγγγγ γγγγγ B depois A γγγγγγγγ γγγγ γγγγ B
  • 89. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 19 ³s1 27. Considere um choque el¶stico unidimensional de um corpo A que se a aproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como voc^ escolhe- e ria a massa de B, em rela»~o µ massa de A, para que ap¶s o choque B ca a o tenha: (a) a m¶xima velocidade poss¶vel; a ³ (b) o maior momento linear poss¶ ³vel; (c) a m¶xima energia cin¶tica? a e 28. Uma part¶cula de massa m1 e energia cin¶tica inicial T1 colide elastica- ³ e mente com uma part¶cula de massa m2 inicialmente em repouso. Qual ³ e ¶ a energia m¶xima que a primeira part¶ a ³cula pode perder durante esta colis~o? (Sugest~o: use o referencial do centro de massa do sistema.) a a 29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades de m¶dulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na ¯gura, colidem e o permanecem juntas ap¶s o choque. o v2 m2 v1 m1 (a) Calcule a velocidade das part¶culas ap¶s o choque e a varia»~o na ³ o ca energia cin¶tica total durante o choque. e (b) Calcule as velocidades iniciais e ¯nais dos corpos num referencial ligado ao centro de massa do sistema. Fa»a o esquema da colis~o c a neste referencial. (c) Calcule a varia»~o da energia cin¶tica no referencial do centro de ca e massa do sistema. 30. Como mostrado na ¯gura, observa-se um bloco de madeira com massa M = 0; 49 kg em repouso num plano horizontal. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e o plano ¶ ¹ = 0; 25. Uma bala de massa m = 0; 01 kg ¶ e e atirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ¯cando nele engastada.
  • 90. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 20 ³s1 (a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente ap¶s o impacto. o (b) Ache a dist^ncia que o conjunto percorre at¶ parar. a e v ~0 m - M 31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf¶ hori- ³cie zontal, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶ ¶ ¹. Uma extremidade de uma mola, de constante el¶stica k, ³cie e a est¶ ligada ao bloco, e a outra extremidade est¶ presa a uma parede. a a Inicialmente a mola n~o est¶ distendida. Uma bala de massa m1 atinge a a o bloco e ¯ca grudada nele. Se a de°ex~o m¶xima da mola for x, a a obtenha a velocidade da bala em fun»~o de m1, m2, k, ¹, g e x. ca ¾ t m1 °°°°°°° m2 32. Um vag~o de massa m desce uma colina de altura h. Ao ¯nal da colina a o solo ¶ horizontal, e o vag~o colide com um vag~o igual inicialmente e a a em repouso. Os dois se engatam e come»am a subir uma outra colina. c Que altura eles alcan»am? c Considere o atrito desprez¶vel. ³ h 33. Considere o sistema da ¯gura, formado por um conjunto de n massas suspensas por ¯os de massas desprez¶veis de forma a n~o existir contato ³ a entre elas. A primeira massa tem um valor f m0 , a segunda f 2 m0, a terceira f 3 m0 e assim sucessivamente at¶ a n-¶sima, f n m0. Uma e e part¶ ³cula de massa m0 e velocidade ~0 choca-se com a primeira massa. v
  • 91. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 21 ³s1 { ~- v0 k k k k¢ ¢ ¢ k n m0 f m0 f m0 (a) Supondo todas as colis~es entre as massas perfeitamente el¶sticas, o a mostre que a ultima massa ¶ ejetada com velocidade ¶ e quot; #n 2 ~n = v ~0 : v 1+f (b) Mostre que, para valores de f pr¶ximos da unidade (f = 1 + », o » ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamente toda a energia cin¶tica da part¶ e ³cula incidente para a ¶ ltima massa u suspensa, mesmo para grandes valores de n. (c) Calcule, para f = 0; 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energia cin¶tica da ultima massa suspensa em fun»~o de m0 e de ~0 da e ¶ ca v part¶cula incidente. Compare com o resultado que seria obtido ³ numa colis~o direta entre a part¶cula incidente e a ¶ltima part¶cula a ³ u ³ suspensa. a e u 34. Um ¶tomo de deut¶rio (cujo n¶cleo, o d^uteron, cont¶m um pr¶ton e e e o um n^utron) com energia cin¶tica de 0; 81 £ 10¡13 J colide com um e e a ¶tomo similar em repouso. Ocorre uma rea»~o nuclear, e ¶ emitido um ca e n^utron cuja velocidade faz um ^ngulo reto com a dire»~o da velocidade e a ca do primeiro ¶tomo. Nesta rea»~o, ¶ liberada uma energia de 5; 31 £ a ca e 10¡13 J, que ¶ transformada em energia cin¶tica das part¶ e e ³culas emitidas. Determine a energia cin¶tica do n^utron, dado que o outro produto ¶ e e e 3 um ¶tomo de H¶lio 3 e que as massas do n^utron, do deut¶rio e do He a e e e s~o respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10 a ¡27 kg. 35. Uma part¶ ³cula de massa m0 com velocidade de m¶dulo v0 atinge uma o part¶³cula estacion¶ria de massa 2 m0. Como resultado, a part¶ a ³cula de massa m0 tem a dire»~o de seu movimento de°etida de um ^ngulo de ca a 45± e o m¶dulo de sua velocidade passa a ser v0=2. Ache o vetor ve- o locidade da part¶ ³cula de massa 2 m0 ap¶s a colis~o. Houve conserva»~o o a ca da energia cin¶tica do sistema? e
  • 92. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 22 ³s1 36. Mostre que em uma colis~o el¶stica n~o frontal de duas esferas id^nti- a a a e cas, em que uma delas est¶ inicialmente em repouso, o ^ngulo formado a a pelas dire»~es das velocidades ¯nais das duas esferas ¶ sempre ¼=2. co e 37. Uma part¶³cula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part¶ ³cula em repouso de massa m2. O choque ¶ perfeitamente el¶stico. Observa-se e a que depois do choque as part¶culas t^m velocidades iguais e opostas. ³ e Ache: m2 (a) a rela»~o ca m1 ; (b) a velocidade do centro de massa do sistema; (c) a energia cin¶tica total das part¶ e ³culas no referencial do centro de massa do sistema, em fun»~o da energia cin¶tica inicial de m1, ca e 1 2 T1 = 2 m1 u1 ; (d) a energia cin¶tica ¯nal de m1 no sistema de laborat¶rio. e o 38. Uma part¶³cula de massa m movendo-se com velocidade v sobre uma mesa plana sem atrito incide sobre outra part¶ ³cula de massa 2m, em repouso. Ap¶s o choque, observa-se que a massa m tem velocidade o de m¶dulo 2v=3 fazendo um ^ngulo de 60± com a dire»~o original do o a ca movimento, do ponto de vista de um observador no laborat¶rio. o (a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois do choque? (b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do sistema, da part¶ ³cula de massa 2m ap¶s o choque? o 39. Uma part¶ ³cula de massa m, que move-se com velocidade de m¶dulo v, o choca-se com uma part¶cula em repouso de massa 2m. Em consequ^ncia ³ e ± disto, a part¶³cula de massa m ¶ desviada de 30 da sua dire»~o de e ca incid^ncia, e ¯ca com uma velocidade ¯nal de m¶dulo v=2. Obtenha e o a velocidade ¯nal da part¶cula de massa 2m (em m¶dulo, dire»~o e ³ o ca sentido) depois desta colis~o. A energia cin¶tica se conserva durante a e a colis~o? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de a massa do sistema. Observe que ^ngulos medidos em referenciais que se a movem um em rela»~o ao outro n~o s~o necessariamente iguais. ca a a
  • 93. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 23 ³s1 40. Uma bola de a»o de massa 0,5 kg est¶ presa a um cord~o de 70 cm de c a a comprimento e ¶ abandonada quando o cord~o est¶ na horizontal. Na e a a parte mais baixa de sua trajet¶ria, a bola atinge um bloco de a»o de o c massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superf¶cie lisa, como ³ mostrado na ¯gura. A colis~o ¶ el¶stica. Determine as velocidades da a e a w p p bola e do bloco ap¶s a colis~o. o a w 41. O arranjo da ¯gura ¶ chamado de p^ndulo bal¶ e e ³stico. Ele ¶ usado para e determinar a velocidade de um proj¶til, atrav¶s da medida da altura h e e que o bloco sobe ap¶s ter sido atingido pelo proj¶til. o e A A A A t m - M M h ~ v (a) Prove que a velocidade do proj¶til ¶ dada por e e q m+M v= 2gh ; m onde m e a massa da bala e M a massa do bloco. ¶ (b) Calcule a energia gasta pelo proj¶til para penetrar no bloco. e 42. Uma bala de massa m e velocidade v passa atrav¶s do bulbo de um e p^ndulo de massa M e emerge com velocidade v=2. O ¯o que suporta o e bulbo tem comprimento `. Qual ¶ o menor valor de v para que o bulbo e do p^ndulo gire uma volta completa? e m v v /2 M
  • 94. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 24 ³s1 43. Demonstre que, para um sistema de part¶culas, a varia»~o da energia ³ ca cin¶tica total ¶ igual µ soma do trabalho total das for»as internas e do e e a c trabalho total das for»as externas. c 44. Considere duas part¶ ³culas de massas m1 e m2 sujeitas apenas µ in-a tera»~o m¶ tua do tipo newtoniano (satisfazendo µ terceira lei de New- ca u a ton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das part¶ ³culas. Subtraia uma das equa»~es da outra e mostre ent~o que o movimento co a relativo de duas part¶ ³culas, sujeitas apenas µs suas intera»~es m¶tuas, a co u e ¶ equivalente, em rela»~o a um observador inercial, ao movimento de ca uma part¶cula de massa ¹ = m1 m2=(m1 + m2 ) | a massa reduzida do ³ sistema | sob a a»~o de uma for»a igual µ for»a de intera»~oquot;. ca c a c ca 45. Seja um sistema de duas part¶ ³culas de massas m1 e m2 e velocidades v ~1 e ~2 . v (a) Mostre que para um observador que se move com o centro de massa do sistema a energia cin¶tica vale e 1 02 Tcm = ¹v ; 2 onde ¹ = m1 m2=(m1 + m2) ¶ a massa reduzida do sistema e e ~ 0 = ~1 ¡ ~ 2 ¶ a velocidade relativa das duas part¶ v v v e ³culas. (b) Mostre que para um observador num sistema de refer^ncia qual- e quer a energia cin¶tica do sistema ¶ e e 1 2 T = Tcm + M Vcm ; 2 ~ e onde M = m1 +m2 ¶ a massa total do sistema e Vcm ¶ a velocidade e de seu centro de massa. (c) Qual ¶ o maior valor da energia que pode ser perdida atrav¶s de e e colis~es das duas part¶culas? Suponha o sistema isolado. o ³
  • 95. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 25 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Respostas { Lista de exerc¶ ³cios 13 Sistema de Part¶ ³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservacao do Momento, Colis~ es »~ o m2 1. d 1 = m1 +m2 (x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 1 (x2 ¡ x1). 2 w u 1 cm 2 - d1 d2 m2 2. Se d = j~1 ¡ ~2 j ¶ a dist^ncia entre os dois objetos, d1 = r r e a m1 +m2 d, m1 d 2 = m1 +m2 d, e portanto d1=d2 = m2=m1. ~ 3. R = 2^ ¡ 7 ^; d1 = 4; 8 m, d2 = 1; 6 m. ³ 4´ 4. 0; 66 £ 105 m/s. 5. 60 m. 6. (a) Fazendo um ^ngulo de 118± com a dire»~o do momento do el¶tron, a ca e ¡22 com m¶dulo 1; 36 £ 10 o kg.m/s. (b) 1; 6 £ 10¡19 kg. 7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma dire»~oca e o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmento tem velocidade de 1 m/s, com a mesma dire»~o e sentido oposto ao ca sentido da velocidade inicial do corpo. 8. (a) O centro de massa est¶ em repouso inicialmente, e permanece em a repouso. (b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema).
  • 96. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 26 ³s1 9. (a) A velocidade do homem em rela»~o µ Terra vale u = v + V (em ca a m¶dulo), e V ¶ o m¶dulo da velocidade do bal~o em rela»~o µ o e o a ca a Terra; ent~o V = mv= (M ¡ m) { o bal~o sobe em rela»~o µ Terra a a ca a se sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se sua massa for menor. (b) Ficar¶ em repouso. a 10. Avi~o: (M ¡ m)v±=(M ¡ 2m); foguete: m v± =(2m ¡ M ), onde o sinal a positivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avi~o. a 11. A 6,6 m da margem. 12. N~o (supondo que o bra»o do homem mede menos de 0,5 m). a c 13. (a) u1 = m v=M , com sentido oposto ao da bola. (b) u2 = m v=(M + m), com o mesmo sentido da velocidade da bola. (c) u4 = (m=M) m v=(M + m), com sentido oposto ao da velocidade da bola. 14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a dire»~o x ¶ de¯nida ca e pelas posi»~es das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocada co sobre a posi»~o da massa de 1,0 kg, e com a posi»~o da massa de 6,0 kg ca ca com coordenadas positivas, R~ = 1; 2^ + 1; 0^ (em metros). ³ ´ v0 15. ~3 = 4; 5^ ¡ ^ (em m/s). ³ ´ ~ 16. (a) V = t^ + 2 t2 ^ (em m/s). ³ ´ ~ EXT (b) FRES = 2^ + 8 t^ (em N). ³ ´ (c) F (t = 1) = 8; 2 N. 17. (0; ¡0; 5). ~ 18. (a) V = (m1 ~ 1 + m2 ~2 ) =(m1 + m2). v v v v v (b) ~ ¤1 = m2 (~1 ¡ ~2) =M e ~ ¤2 = ¡ m1 (~1 ¡ ~2 ) =M , onde M = v v v m1 + m2 (c) ~¤1 = ¡~¤2 = m1 m2 (~1 ¡ ~2 ) =M p p v v ~ 19. (a) A = ¡^ + 0; 75^. ³ ´
  • 97. F¶ { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 27 ³s1 (b) Considerando a massa 1 como sendo a que est¶ em x1 = ¡5 cm, a ~ 2 2 R(t) = (0; 1 ¡ 0; 5 t ) ^ + 0; 38 t ^ ³ ´. (c) Uma reta; a equa»~o da trajet¶ria ¶ X = 0; 1 ¡ (4=3) Y , ou Y = ca o e 3=4 (0; 1 ¡ X). (d) Todas as respostas anteriores ¯cam iguais, pois o movimento do centro de massa n~o depende de for»as internas ao sistema. a c ³ p ´ ³ ´ ~ 20. R(t) = a ¡ 3 F 2 a 3 F 2 4 M t ^+ ³ p + 2 2 3 4 M t ^ ´ 21. 2; 5 m/s. 22. (a) 35 N.s. (b) 1; 75 £ 103 N. 23. vbola = 4=101 = 0; 04 m/s; vbloco = ¡99=101 = ¡0; 98 m/s. 24. (a) m1 = (m3 u3 ¡ m2 u2) = (u2 ¡ u3); v = 0; 5 [(m3 ¡ 2 m2) u3 + m2 u2] = (m3 u3 ¡ m2 u2 ). (b) m = 1; 16 u.m.a., v = 0; 8 £ 106 m/s. 25. 26. v1 = 1; 4 m/s, v2 = 0; 7 m/s, na mesma dire»~o e em sentidos opostos. ca 27. (a) mB >>> mA, ou mA =mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± a velocidade inicial do corpo A). (b) mB << mA, ou mB =mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±). (c) 28. 29. (a) ~f = 8=3 ^1 (em m/s); ¢T = ¡ 98=3 J. v v
  • 98. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 6 M¶ dulo 6: Rotac oes o »~ »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, continuamos o estudo de um sistema de part¶ o ³culas, dis- cutindo movimentos de rota»~o, em particular em torno de um eixo ¯xo. ca Generalizaremos para um sistema de part¶culas os conceitos de torque e mo- ³ mento angular introduzidos no M¶dulo 4 para uma part¶cula, e discutiremos o ³ a lei de conserva»~o do momento angular para um sistema de part¶ ca ³culas. Leituras indispens¶veis: a Os t¶picos citados acima correspondem ao cap¶ o ³tulo 11 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶ ³sica B¶sica, Vol. 1 { Mec^nica, 3a edi»~o, Editora a a ca Edgard BlÄcher Ltda. u 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Revis~o dos conceitos de torque de uma for»a e momento angular de a c uma part¶³cula em torno de um ponto O e a segunda lei de Newton para rota»~esquot; (se»~es 11.3 e 11.4). co co Atividade 2 Discuss~o da conserva»~o do momento angular de uma part¶cula sob a ca ³ a»~o de for»as centrais, exempli¯cando a discuss~o com o problema ca c a 5 da lista de exerc¶cios 14 (sobre Sistemas de Part¶ ³ ³culas: Rota»~es e co Momento Angular). Atividade 3 Discuss~o do problema 7 da Lista 14, ilustrando a depend^ncia do a e momento angular com o ponto em rela»~o ao qual ele ¶ calculado, e ca e observando um caso simples em que o momento angular precessa.
  • 99. F¶s1 { 04/1 { G.6 | p. 2 ³ Atividades extras 1 1. Leia as se»~es 11.3 e 11.4 do livro texto. co 2. Veri¯que se voc^ sabe fazer c¶lculos de produto vetorial. e a 3. Volte ao Guia 4 e refa»a a Lista 12, sobre Rota»~es. c co 4. Resolva os exerc¶cios 1 a 7 da Lista 14. ³ Atividade 4 Apresenta»~o dos conceitos de momento angular e torque para um sis- ca tema de part¶³culas, e demonstra»~o da rela»~o existente entre o mo- ca ca mento angular em rela»~o a um ponto O e o momento angular em ca rela»~o ao centro de massa (equa»~o 11.5.6 do livro texto, e parte do ca ca exerc¶ 21 da lista 14). ³cio Atividade 5 Demonstra»~o da lei de conserva»~o do momento angularquot; para um ca ca sistema de part¶ ³culas (se»~o 11.6) e discuss~o de exemplos (parte (a) ca a da se»~o 11.7 do livro texto). ca Atividades extras 2 1. Leia a se» ~o 11.6 do texto, obtendo novamente (com o ca livro fechado) todas as equa»~es. co 2. Leia a parte (a) da se»~o 11.7 do texto. ca 3. Resolva os exerc¶cios de 7 a 11 da Lista 14. ³ 4. * Resolva o problema 11.5 do livro texto. Atividade 6 Resolu»~o dos problemas 12 e 16 da Lista 14. ca Atividade 7 Discuss~o de problemas escolhidos pelo professor. a Atividades extras 3 1. Releia o cap¶tulo 11. ³ 2. Fa»a os problemas 12 a 16 da Lista 14. c
  • 100. F¶s1 { 04/1 { G.6 | p. 3 ³ Atividade 8 Discuss~o da situa»~o em que um corpo gira em torno de um eixo a ca ¯xo, com a introdu»~o do conceito de momento de in¶rcia em rela»~o a ca e ca um eixo; e demonstra»~o da rela»~o entre a componente do momento ca ca angular na dire»~o do eixo de rota»~o e a velocidade angular, equa»~o ca ca ca (12.1.4) do livro texto (se»~o 12.1 do livro texto). ca Atividade 9 Discuss~o sobre a energia cin¶tica de rota»~o de um corpo girando em a e ca torno de um eixo ¯xo. Atividade 10 Resolu»~o do problema 12.9 do livro texto, que constitui o arranjo ca experimental que est¶ sendo utilizado na experi^ncia do M¶dulo 6 de a e o F¶ ³sica Experimental I. Atividades extras 4 1. Leia novamente o cap¶ ³tulo 11. 2. Leia a se»~o 12.1 do livro texto. ca 3. Resolva os exerc¶cios 17 a 21 da lista 14. ³ Atividade 11 Discuss~o do conceito de momento de in¶rcia de um corpo, ilustrada a e com alguns exemplos simples (se»~o 12.2 do livro texto). ca Atividade 12 Resolu»~o de exerc¶ ca ³cios. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 6 1. Leia as se»~es 12.1 e 12.2 do livro texto. co 2. Termine tudo que voc^ ainda n~o terminou do M¶dulo 4. e a o 3. Termine os problemas que faltam da lista 14.
  • 101. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 14 Sistema de Part¶ »~ ³culas:Rotacoes e Momento Angular 1. Considere uma part¶ ³cula que est¶ num dado instante na posi»~o des- a ca crita pelo vetor ~ = ^ + ^ (em rela»~o a um observador ¯xo a um ponto r ³ ´ ca O situado na origem de nosso sistema de coordenadas). Sobre esta part¶ ~ ³ ~ ´, ³cula atuam duas for»as, F 1 = ¡10^ e F2 = 20^ ¡ 20^ onde as c ³ unidades s~o dadas no Sistema Internacional (SI) de unidades. (a) a Calcule o torque de cada for»a em rela»~o ao ponto O. (b) Calcule o c ca torque da for»a resultante em torno do ponto O. (c) Repita o c¶lculo c a para o ponto A = (1,0). 2. A posi»~o de uma part¶cula de massa m = 1 kg, em rela»~o a um obser- ca ³ ca ³+(5 ¡ 2t2)^ 3 ^ vador inercial ¯xo no ponto O, ¶ dado pelo vetor ~ = t^ e r ´+t k, onde todas as unidades empregadas s~o do SI. (a) Qual ¶ a for»a re- a e c sultante agindo sobre a part¶³cula? (b) Qual ¶ o torque desta for»a em e c rela»~o ao ponto O? (c) Qual o valor deste torque no instante t = 2 s? ca (c) Qual ¶ o momento angular desta part¶ e ³cula em rela»~o a O? (d) ca Veri¯que se a segunda lei de Newton para as rota»~es ¶ v¶lida neste co e a caso. 3. Um corpo de massa m est¶ livre, n~o agindo sobre ele nenhuma for»a. a a c Um observador inercial O v^ este corpo num certo instante junto a si, e com velocidade ~ . Descreva o movimento do corpo visto pelo obser- v vador inercial O. Obtenha o momento angular deste corpo e o torque resultante sobre ele em rela»~o ao ponto O . Considere agora um outro ca observador O', que v^ O em repouso e cuja menor dist^ncia ao corpo e a vale d. Calcule o momento angular e o torque em rela»~o a O'. ca 4. Uma barra r¶ ³gida de comprimento ` est¶ presa pelo seu centro O, po- a dendo girar em torno dele num movimento plano. Sobre esta barra atua um bin¶rioquot; de for»as, como mostrado na ¯gura: em pontos sim¶tricos a c e em rela»~o ao ponto O, atuam for»as de mesmo m¶dulo, mesma dire»~o ca c o ca e sentidos opostos. Descreva o movimento do centro de massa (onde
  • 102. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 5 ³s1 est¶ o centro de massa?) desta barra. Calcule o torque das for»as que a c atuam sobre a barra. Qual o movimento descrito pela barra? 6 ~ s ¡F ~ F O ? 5. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa hori- zontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo ` e massa desprez¶ ³vel . Este corpo descreve um movimento circular uniforme em torno do ponto O. (a) Indique as for»as que agem sobre c o corpo num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»a resultante sobre o corpo em torno do ponto O no instante t0 . c (c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 6. Considere agora o mesmo corpo de massa m do problema anterior, descrevendo agora um movimento circular n~o uniforme em torno do a ponto O. (a) Indique as for»as que agem sobre o corpo num instante c de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»a resultante sobre c o corpo em torno do ponto O no instante t0 . (c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 7. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa hori- zontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo ` e massa desprez¶ ³vel . Este corpo descreve um movimento circular uniforme em torno do ponto O. O eixo z ¶ perpendicular ao plano do e movimento circular, e a uma dist^ncia h do ponto O sobre este eixo a marcamos um ponto O'. (a) Indique as for»as que agem sobre o corpo c num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»a c resultante sobre o corpo em torno do ponto O' no instante t0 . (c) Cal- cule o momento angular deste corpo em torno do ponto O' no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 8. A ¯gura mostra algumas for»as aplicadas a um corpo que gira em torno c de um eixo passando pelo ponto O e perpendicular ao plano da folha.
  • 103. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 6 ³s1 Calcule o torque de cada for»a e o torque resultante em rela»~o ao ponto c ca O. Caso o objeto seja solto do repouso na posi»~o da ¯gura, em que ca sentido come»ar¶ a girar? Dados: F1 = 10 N, r1 = 1; 0 m, F 2 = 6; 0 N, c a r 2 = 1; 5 m, F3 = 8; 0 N, r3 = 0; 5 m, F4 = 4; 0 N, r4 = 0; 5 m. ¡ @ ¡ 45 ± - @ 110± F ~ µ ¡ ~ F1 @ - 3 ¡ ~1 r r I ~3 @ ¡ ¾ @ t ¡ ~2 r ~4 ¢ O r ~ F2 ® ¢ ? ¢ ~ ¢F4 ¢ ® ¢ 9. Considere um hex¶gono regular de raio r. Suponha que em cada v¶rtice a e deste hex¶gono existe uma massa m, conforme mostra a ¯gura, e que a este hex¶gono gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro e ¶ a e perpendicular ao plano do papel. (a) Calcule o vetor momento angular ~ L0 do sistema em rela»~o ao seu centro de massa. (b) Considerando a ca ¯gura, calcule o vetor momento angular ~ do sistema em rela»~o a um L ca dos v¶rtices do hex¶gono. (c) Qual a rela»~o entre ~ e L0? Por que e a ca L ~ ~ este resultado j¶ deveria ser esperado? (d) Usando que L = I~ (por a ! qu^?), calcule a velocidade angular do sistema. e ~ v ¾ t m © H © © H H v ~ © © H H A K t m © HA tm ~¢ v ® ¢ t ¸ ¢ ~ v m tH H © t ¢m A © ~A H H vU © © H t- H © © ~ v m 10. Considere duas part¶ ³culas de mesma massa m, respectivamente, unidas por um bast~o sem massa de comprimento 2a, girando com velocidade a
  • 104. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 7 ³s1 angular ~ em torno de um eixo perpendicular ao bast~o e passando ! a pelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶ o momento angular e do sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶ o momento angular em e torno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»~o a dist^ncias ca a 0 d e d , respectivamente, de C? (c) Qual ¶ o torque em torno de cada e um dos pontos C, O e O' ? Interprete seu resultado. 6~ ! ¾ a -¾ a - m y ym 6 C 6 d d0 ? sO sO' ? 11. Considere duas part¶³culas de massas m e 2m, respectivamente, unidas por um bast~o sem massa de comprimento 2a, girando com velocidade a angular ~ em torno de um eixo perpendicular ao bast~o e passando ! a pelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶ o momento angular e do sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶ o momento angular em e torno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»~o a dist^ncias ca a 0 d e d , respectivamente, de C? (c) Qual ¶ o torque em torno de cada e um dos pontos C, O e O' ? Interprete seu resultado. 6~ ! ¾ a -¾ a - m y ~ 2m 6 C 6 d d0 ? sO sO' ?
  • 105. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 8 ³s1 12. Dois patinadores de mesma massa m movem-se um em rela»~o ao ca outro com velocidades de mesmo m¶dulo v0 e em sentidos opostos. o A dist^ncia entre eles ¶ d. Quando passam um pelo outro, se d~o as a e a m~os. a A s- | | | | || | | | || v ~0 6 d ||||||? ||||¾ 0s ¡~v | B (a) Calcule a velocidade angular de rota»~o dos dois patinadores em ca torno de seu centro de massa. (b) Calcule a varia»~o na energia cin¶tica do sistema constitu¶ pelos ca e ³do dois patinadores antes e depois de se darem as m~os. Discuta e a justi¯que o resultado encontrado. (c) De repente, os dois patinadores se puxam um na dire»~o do outro, ca e a dist^ncia entre eles passa a ser a metade do valor anterior, a d0 = d=2. Qual ser¶ a nova velocidade angular de rota»~o !0 do a ca sistema em torno de seu centro de massa? (d) Qual a varia»~o na energia cin¶tica do sistema, e o que a causou? ca e (e) Obtenha os resultados acima para m = 70 kg, v0 = 4 m/s e d = 1; 5 m. (f) Repita o problema supondo massas e velocidades diferentes: mA = 100 kg, mB = 50 kg, vA = 6 m/s e vB = 6 m/s. 13. Um corpo de massa M = 2 kg preso a um ¯o de comprimento d = 7 m est¶ em repouso sobre uma superf¶ plana e horizontal numa posi»~o a ³cie ca descrita pelo vetor ~ = ^ + ^, como mostra a ¯gura a seguir. Um outro r ³ ´ corpo menor, de massa m = 0; 5 kg, move-se com velocidade ~ = 3^ e v ´ vai se chocar com o corpo de massa M , permanecendo preso a ele ap¶so o choque. As unidades utilizadas s~o as do SI. a (a) Qual ¶ a velocidade do conjunto imediatamente ap¶s o choque? e o
  • 106. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 9 ³s1 (b) Qual ¶ a velocidade angular de rota»~o do conjunto ap¶s a corda e ca o ser esticada? z 6 - y H ¡ H H x ¡m s { { H H u { { { { - { M {j { ª ¡ v ~ 14. Considere um sistema de duas massas iguais m ligadas por uma barra de massa desprez¶³vel e comprimento h. O sistema est¶ suspenso pelo a ponto m¶dio da barra, e gira num plano horizontal com velocidade e angular !, como mostrado na ¯gura. Suponha que no instante t = 0 o ¯o se rompa e o sistema comece a cair sob a»~o da gravidade. Qual o ca momento angular total do sistema para t = 0 e para t = t0 em rela»~o ca a um ponto O situado no plano inicial de rota»~o, a uma dist^ncia d ca a do centro da barra? ³³³³³³³³³³³³ z 6~ ! 6 - y s s ¡ x¡ O ª ¾ d - 15. Uma part¶cula de massa m est¶ presa num dos extremos de uma haste ³ a r¶ ³gida de comprimento ` e massa M = 2m. Num certo instante, uma outra massa m, que move-se com velocidade ~ 0, incide perpendicu- v larmente µ barra, atingindo-a em seu outro extremo, e grudando-se a a ela. N~o h¶ for»as externas atuando sobre o sistema descrito. Des- a a c creva quantitativamente o movimento do sistema ap¶s a colis~o. Qual o a a quantidade de energia cin¶tica perdida nesta colis~o? Seria poss¶ e a ³vel haver uma perda maior de energia cin¶tica? e Suponha agora que a barra ¶ substitu¶ por uma mola ideal de con- e ³da stante el¶stica k. Descreva qualitativamente o movimento do sistema a ap¶s a colis~o. o a s- u
  • 107. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 10 ³s1 16. Uma part¶ ³cula de massa m e velocidade de m¶dulo v colide com um o haltere em repouso. O haltere ¶ formado por duas part¶ e ³culas, cada uma delas com massa m=2, ligadas por uma barra de massa desprez¶ ³vel e comprimento a. Depois da colis~o, a part¶cula incidente possui veloci- p a ³ 2 dade 10 v e sua trajet¶ria faz um ^ngulo de ¼=4 com o eixo de colis~o. o a a Calcule a velocidade ¯nal do centro de massa do haltere e a veloci- dade angular em torno de seu centro de massa. A energia cin¶tica se e conserva? 17. Um haltere de comprimento 2a, tendo uma massa 2m em sua extre- midade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa sobre uma mesa horizontal lisa. A barra r¶³gida que une A a B tem massa des- prez¶³vel. Um objeto de massa m aproxima-se de A com velocidade ~0 v perpendicular µ barra, como mostra a ¯gura, grudando-se µ massa m a a ap¶s o choque. (a) Veri¯que se h¶ conserva»~o do momento angular o a ca do sistema. Justi¯que. (b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema ap¶s a colis~o? (c) Qual a velocidade angular de rota»~o do o a ca sistema em torno do centro de massa ap¶s a colis~o? (d) Qual a varia»~o o a ca da energia cin¶tica durante o processo de colis~o? e a m B 2m m i -0{ { { { { { { { { { { { { A m i ~ v { 18. Duas massas iguais M s~o ligadas por um bast~o r¶ a a ³gido de massa des- prez¶ e comprimento a. O centro de massa deste sistema est¶ esta- ³vel a cion¶rio num espa»o livre de gravidade, e o sistema gira em torno de a c seu centro de massa com velocidade angular !. Uma das massas em rota»~o atinge uma terceira massa estacion¶ria M , que gruda a ela. ca a (a) Localize o centro de massa do sistema de tr^s part¶ e ³culas no instante imediatamente anterior µ colis~o. Qual ¶ a velocidade do centro de a a e massa? (b) Qual ¶ o momento angular do sistema em torno de seu e centro de massa no instante imediatamente anterior µ colis~o? E no a a instante seguinte µ colis~o? (c) Qual ¶ a velocidade angular do sistema a a e
  • 108. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 11 ³s1 em torno de centro de massa ap¶s a colis~o? (d) Quais s~o as energias o a a cin¶ticas inicial e ¯nal do sistema? e 19. Considere um haltere constitu¶ de duas massas m ligadas por uma ³do haste r¶ ³gida de comprimento a e massa desprez¶ deslocando-se com ³vel velocidade constante ~ sobre uma mesa horizontal sem atrito. O hal- v tere choca-se ent~o com uma massa m, originalmente em repouso, que a por sua vez adere ao conjunto como mostra a ¯gura. Determine a ve- locidade do centro de massa do sistema e a velocidade de cada corpo em rela»~o ao centro de massa ap¶s a colis~o. ca o a w m w v ~ ¡ - ¡ ¡ } w w ¡ m m antes depois 20. Um estudante est¶ em cima de uma plataforma que pode girar quase a sem atrito, segurando em suas m~os uma roda de bicicleta que gira a com uma velocidade angular ! em torno do eixo vertical. Inicialmente a plataforma est¶ em repouso. O que vai ocorrer quando o estudante a (a) mover o eixo da roda para longe do centro da plataforma e depois o trouxer de volta; (b) inverter o eixo de rota»~o da roda; ca (c) voltar o eixo para a orienta»~o inicial; ca (d) tocar a roda com seu bra»o e fazer com que ela p¶re com o atrito. c a 21. Demonstre que para um sistema de part¶ ³culas valem as rela»~es co ¿ ~ ~ ~O = ~CM + M R £ F ¿ ~ ~ ~ ~ LO = LCM + M R £ V ~ dLO ¿ ext = ~0 (apenas se O for inercial) dt
  • 109. F¶ { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 12 ³s1 ~ dLCM ¿ ext = ~CM dt onde ~O ¶ o torque total em rela»~o ao ponto O, ~CM ¶ o torque total em ¿ e ca ¿ e ~ O ¶ o momento angular total em rela»~o rela»~o ao centro de massa, L e ca ca a O, L ~ CM ¶ o momento angular total em rela»~o ao centro de massa, e ca ¿ ext e ~O ¶ o torque das for»as externas em rela»~o ao ponto O, ~CM ¶ o c ca ¿ e ~ ¶ o vetor torque das for»as externas em rela»~o ao centro de massa, R e c ca ~ e posi»~o do centro de massa do sistema do ponto de vista de O, V ¶ o ca ~ e vetor velocidade do centro de massa do sistema, e F ¶ a resultante das for»as externas sobre o sistema. c
  • 110. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 7 M¶ dulo 7: Corpos R¶ o ³gidos »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, encerramos a F¶ o ³sica 1 discutindo um exemplo particular de um sistema de part¶culas, o chamado corpo r¶gido. Vamos estudar a din^mica ³ ³ a do movimento de um corpo r¶gido no caso simples do movimento plano do ³ corpo r¶ ³gido, e faremos a discuss~o da situa»~o em que h¶ rolamento sem a ca a deslizamento. Leituras indispens¶veis: a Os t¶picos citados acima correspondem ao cap¶ o ³tulo 12 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶ ³sica B¶sica, Vol. 1 { Mec^nica, 3a edi»~o, Editora a a ca Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Revis~o de rota»~es em torno de um eixo ¯xo (se»~o 12.1 do livro texto). a co ca Atividade 2 Exemplos de c¶lculos de momentos de in¶rcia para corpos r¶ a e ³gidos (se»~o ca 12.2 do livro texto). Atividade 3 Discuss~o do problema 21 da lista de exerc¶ a ³cios 15, Corpos R¶gidos. ³ Atividades extras 1 1. Leia as se»~es 12.1 e 12.2 do livro texto. co 2. Releia o cap¶tulo 11 do livro texto. ³ 3. Resolva os exerc¶cios 1, 3, 4, 5, 6, 20 e 22 da lista 15. ³ 4. Fa»a o exerc¶cio 9 e um dos exerc¶cios entre o 11 e o 14 c ³ ³ da lista 15.
  • 111. F¶s1 { 04/1 { G.7 | p. 2 ³ Atividade 4 Discuss~o do movimento plano de um corpo r¶ a ³gido, com a decomposi»~o ca do movimento como uma transla»~o mais uma rota»~o em torno do ca ca centro de massa (se»~o 12.3). ca Atividade 5 Exemplos e exerc¶ ³cios sobre os conceitos discutidos: o i^-i^, o rolamento o o num plano inclinado e a tacada numa bola de bilhar (se»~o 12.4). ca Atividades extras 2 1. Leia as se»~es 12.3 e 12.4 do texto. co 2. Refa»a, com o livro fechado, os exemplos da se»~o 12.4. c ca 3. Resolva os exerc¶ ³cios de 19, 20, 23, 25, 26, 28, 29 e 30 da lista 15. Atividade 6 Discuss~o sobre est¶tica (equil¶brio) de corpos r¶ a a ³ ³gidos (se»~o 12.8 do ca livro texto) e resolu»~o do problema 44 da lista 15. ca Atividades extras 3 1. Releia os cap¶tulos 11 e 12. ³ 2. Refa»a os problemas que o professor resolveu em sala. c 3. Fa»a os problemas 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 e 38 da c lista 15. Atividade 7 Resolu»~o de problemas. ca Atividades extras 4 1. Leia novamente o cap¶ ³tulo 12. 2. Resolva os exerc¶cios 41, 42, 44 e 45 da lista 15. ³ ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 7 1. Releia os cap¶ ³tulos 11 e 12 do livro texto. 2. Termine tudo que voc^ ainda n~o terminou das aulas anteriores. e a
  • 112. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 3 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 15 Corpos R¶ ³gidos 1. Considere um sistema formado por dois corpos de mesma massa m ligados por uma barra r¶ ³gida de comprimento 2` e massa desprez¶³vel, articulada em seu centro com o eixo de rota»~o do sistema, que gira ca com velocidade angular ~ (ver ¯gura). ! ~ a e (a) Mostre que para µ 6= ¼ , L n~o ¶ paralelo a ~ . ! 2 (b) Calcule Lz . ~ (c) Mostre que para µ = ¼ , L = I~ . ! 2 d~ (d) Mostre que L dt =~ £~ ! L. r r z ω ω l l d d θ θ a Exercício 1 Exercício 2 2. A ¯gura acima (2) mostra um corpo r¶gido formado por duas massas ³ iguais unidas por um bast~o sem massa girando com velocidade angular a ! em torno de um eixo preso rigidamente ao bast~o e suportado por ~ a dois mancais sem atrito. Calcule a for»a exercida pelo eixo sobre cada c mancal e indique sua dire»~o. ca 3. Uma barra r¶ ³gida, uniforme, de massa m e comprimento `, tem presa a cada uma de suas pontas duas pequenas esferas, tamb¶m de massa e
  • 113. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 4 ³s1 m, formando um haltere. As esferas s~o t~o pequenas que podem ser a a consideradas como massas pontuais. (a) Qual ¶ o momento de in¶rcia deste objeto em torno de um eixo e e perpendicular µ barra passando pelo seu centro? a (b) Qual o momento de in¶rcia do sistema em torno de um eixo per- e pendicular µ barra que passa atrav¶s de uma das massas puntiformes? a e 4. Calcule o momento de in¶rcia de um cilindro homog^neo de massa M , e e raio R e altura H em torno dos eixos principais de in¶rcia que passam e pelo centro de massa (eixos x, y e z da ¯gura). (Sugest~o: decomponha a o cilindro em pequenos discos de altura dz e some os momentos de in¶rcia de cada disco.) e z y x 5. Demonstre que a soma dos momentos de in¶rcia de uma l^mina plana, e a relativos a dois eixos perpendiculares quaisquer situados no plano da l^mina, ¶ igual ao momento de in¶rcia da l^mina em rela»~o a um a e e a ca eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de interse»~oca dos outros dois eixos (teorema dos eixos perpendiculares). Utilize este resultado para calcular: (a) o momento de in¶rcia de um disco circular em rela»~o a um dos e ca di^metros; a (b) o momento de in¶rcia de uma placa retangular de lados a e b em e rela»~o ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro. ca 6. Calcule o momento de in¶rcia de um disco ¯no uniforme de raio R e e massa M em torno de um eixo pertencendo ao plano do disco e tangente a ele. R
  • 114. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 5 ³s1 7. Calcule o momento de in¶rcia de uma placa quadrada uniforme de e massa M e lado a em torno de um eixo paralelo a um dos lados da placa e passando por ele. 8. Determine o momento de in¶rcia de um disco uniforme, de raio R e e massa M com um buraco circular exc^ntrico de raio r, em rela»~o ao e ca eixo perpendicular que passa pelo centro do disco. A dist^ncia entre os a centros do disco e do buraco ¶ a, onde a < R ¡ r. e R a L r r F Exercício 8 Exercício 9 A 9. Uma barra homog^nea e estreita, de massa M e comprimento L, re- e pousa sobre uma superf¶ horizontal sem atrito. Subitamente a barra ³cie e ¶ golpeada perpendicularmente em sua extremidade A, recebendo um impulso horizontal que a p~e em movimento. Que dist^ncia D ter¶ sido o a a percorrida pelo centro de massa, no instante em que a barra tiver dado meia volta? 10. Uma barra homog^nea, de comprimento 2 h, sofre a a»~o de uma for»a e ca c impulsiva (por exemplo, uma pancada), a uma dist^ncia d do seu centro a de massa (ver ¯gura). Qual o ponto da barra que ¯ca inicialmente em repouso? (Observa»~o: pense se isto tem algo a ver com o local onde ca seguramos uma raquete de t^nis.) e d CM 2h d 2a CM • Exercício 10 Exercício 11 11. Um haltere, formado por duas massas m unidas por um bast~o sem a massa de comprimento 2a, repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito. Um corpo de massa M = 2 m move-se com velocidade ~± e v
  • 115. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 6 ³s1 atinge o bast~o a uma dist^ncia d do centro de massa do haltere, como a a mostrado na ¯gura. Ap¶s a colis~o, a massa M passa a mover-se com o a 1 velocidade 3 ~±. v (a) Quais as grandezas que se conservam durante este processo? Justi- ¯que. (b) Qual a velocidade do centro de massa do haltere ap¶s a colis~o? o a (c) Qual a velocidade angular de rota»~o do haltere em torno de seu ca centro de massa? (d) Existe algum d para o qual a energia cin¶tica se conserva no proces- e so? Qual ¶ ele? e 12. Uma haste de comprimento ` est¶ sobre uma mesa horizontal, sem a atrito. Sua massa ¶ M e ela pode mover-se livremente. Um pequeno e disco de massa m, que move-se como indicado na ¯gura, com velocidade de m¶dulo v± , colide elasticamente com a haste. o (a) Que grandezas s~o conservadas? a (b) Qual deve ser a massa m do disco para que ele permane»a em c repouso ap¶s o choque? o M Exercício 13 M CM 2l d l m r v0 1 M 3 r Exercício 12 v0 13. Um proj¶til de massa 1 M e velocidade ~± penetra e se aloja na ex- e 3 v tremidade de uma barra de massa M e comprimento 2`, que estava originalmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. Num instante inicial t = 0 o proj¶til estava a uma dist^ncia D da barra. Sabendo e a que ~ ± tem dire»~o horizontal e perpendicular µ face lateral da barra, v ca a como mostra a ¯gura, determine: (a) a velocidade do centro de massa do conjunto barra-proj¶til antes e e depois do choque; (b) as componentes do vetor posi»~o do centro de massa (indique o ca sistema de coordenadas) como fun»~o do tempo t ap¶s o choque; ca o
  • 116. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 7 ³s1 (c) a velocidade angular do conjunto barra-proj¶til em torno do centro e de massa ap¶s o choque. o 14. Uma barra de comprimento d e massa M , na posi»~o vertical, pode ca girar livremente em torno de um pino colocado em A. Um proj¶til de e massa m e velocidade ~ atinge a barra a uma dist^ncia a de A, como v a mostra a ¯gura, ¯cando alojada nela. Despreze o atrito entre o pino e a barra. (a) Calcule a velocidade angular de rota»~o da barra imediatamente ca ap¶s a colis~o. o a (b) Que rela»~o deve existir entre a e d para que no instante da colis~o ca a n~o haja uma for»a extra (al¶m da que j¶ existia inicialmente) no pino a c e a da barra? (c) Quanta energia ¶ transformada em calor no processo? e A a r v d m M Exercício 14 Exercício 15 15. Uma barra homog^nea e estreita de comprimento h ¶ mantida verti- e e calmente com uma de suas extremidades apoiada ao ch~o. Deixa-se a cair a barra de modo que a extremidade apoiada no ch~o n~o deslize. a a Determine a velocidade da outra extremidade quando toca o ch~o. a 16. Uma barra homog^nea de massa m e comprimento h ¶ solta do repouso e e quando forma um ^ngulo µ ± com a vertical, como mostra a ¯gura. a Despreze o atrito entre o pino e a barra. (a) Qual a velocidade angular da barra quando esta estiver na vertical? (b) Supondo que nesta posi»~o o pino que sustenta a barra se solta, ca descreva o movimento da barra a partir deste instante. 17. Considere uma barra homog^nea de massa M e comprimento h, que e tem uma de suas extremidades presa a um pino ¯xo e sem atrito. A
  • 117. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 8 ³s1 barra ¶ abandonada na posi»~o horizontal com velocidade inicial nula, e ca como mostra a ¯gura. Calcule, em termos de M , h, e da acelera»~o da ca gravidade g, (a) a for»a exercida pelo pino na barra no exato momento em que a c barra ¶ abandonada; e (b) a velocidade angular instant^nea da barra quando esta atinge a a posi»~o vertical; ca (c) a for»a exercida pelo pino na barra no momento em que esta atinge c a posi»~o vertical. ca M h R A B θ0 r h r g A B Exercício 17 Exercício 16 Exercício 18 m 18. Um disco cil¶³ndrico de raio R, massa M e momento de in¶rcia 1 M R2 e 2 est¶ apoiado em mancais sem atrito por um eixo de raio r e in¶rcia a e rotacional desprez¶vel, conforme mostra a ¯gura. Uma massa m ¶ atada ³ e a uma corda enrolada em torno do eixo e atua para produzir uma acelera»~o angular no sistema. Calcule ca (a) a acelera»~o angular do sistema; ca (a) a acelera»~o linear da massa m; e ca (a) a tens~o na corda, em termos de m, M , r, g e R. a 19. Um caminh~o de massa M, com tra»~o nas rodas traseiras, est¶ ace- a ca a lerado para a frente com uma acelera»~o a, em uma rodovia retil¶nea. ca ³ Cada uma de suas quatro rodas possui massa m e raio R, e suponha que cada uma delas ¶ um cilindro homog^neo. e e (a) Qual a for»a de atrito nas rodas dianteiras? c (b) Qual a for»a de atrito nas rodas traseiras? c 20. Uma carro»a ¶ constitu¶ de uma plataforma de massa M , montada c e ³da atrav¶s de rolamentos sem atrito sobre duas rodas de raio R, cada uma e
  • 118. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 9 ³s1 com massa m. Considere cada roda como sendo aproximadamente um anel de raio R. Que for»a F o cavalo precisa exercer na carro»a para c c que ela adquira uma acelera»~o de m¶dulo a em um terreno plano? ca o r F r F Exercício 20 Exercício 21 21. Um cilindro de massa M est¶ rolando sem deslizar em uma superf¶ a ³cie horizontal, sendo puxado por uma for»a F , como est¶ mostrado na c a ¯gura. Determine: (a) os torques em rela»~o ao centro de massa das for»as peso, F e atrito; ca c (b) a acelera»~o adquirida pelo cilindro. ca 22. O cilindro de a»o de um rolo compressor tem 1 m de raio e massa c 20 toneladas. Ele ¶ empurrado pela m¶quina atrav¶s de uma for»a e a e c horizontal aplicada no seu eixo, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre o asfalto e o cilindro ¶ 0,4. Fa»a um diagrama das a e c for»as que atuam sobe o cilindro e calcule a m¶xima acelera»~o a que c a ca 1 2 ele pode ser submetido sem que derrape. (IC = 2 M R .) 23. O sistema da ¯gura a seguir representa dois cilindros que se movem mediante a a»~o de uma for»a F . Cada cilindro possui massa M e raio ca c R. Entre o ch~o e os cilindros existe atrito, de maneira que os cilindros a rolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule: (a) a acelera»~o do sistema; ca (b) a for»a de atrito em cada roda (explicitando o sentido). c r F z r F y x Exercício 23 Exercício 24
  • 119. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 10 ³s1 24. Um disco uniforme de raio R e massa M est¶ inicialmente em repouso a sobre uma superf¶ horizontal sem atrito. A partir do instante t± = 0, ³cie c ~ puxa-se o ¯o com uma for»a F = F ^ horizontal e constante, como ³, mostra a ¯gura. Pede-se calcular, para um instante t > t±: (a) a velocidade do centro de massa do disco; (b) a velocidade angular do disco em torno de seu centro de massa. 25. Considere um disco de massa M e raio R, tendo um ¯o de massa des- prez¶ ³vel enrolado nele. A outra extremidade do ¯o est¶ presa numa a parede. Escreva as equa»~es do movimento do disco, calcule a acelera- co ca »~o angular e a acelera»~o do centro de massa do disco e determine a ca tens~o no ¯o. a M,R Exercício 25 m Exercício 26 26. Uma massa m est¶ suspensa por um ¯o de massa desprez¶ enrolado a ³vel em uma polia homog^nea de massa M e raio R (ver ¯gura) que pode e girar em torno de um eixo perpendicular a ela passando pelo seu centro. (a) Calcule a acelera»~o da massa m. ca (b) Calcule a acelera»~o angular da polia. ca (c) Calcule a tens~o na corda quando a massa est¶ descendo. a a Suponha que a distribui»~o de massa na polia seja equivalente µ de um ca a disco. 27. Considere dois discos de mesma espessura colocados como na ¯gura. Exercício 27 R1 R2 m m'
  • 120. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 11 ³s1 (a) Sendo M a massa total dos discos e R1 e R2 seus raios, determine o momento de in¶rcia do disco. e (b) Conhecendo-se m e m0, determine a acelera»~o angular do disco ca composto e a velocidade angular do disco composto, supondo-se que ele partiu do repouso. (c) Calcule no caso do item anterior a tens~o nas cordas. a 28. Quando um corpo r¶ ³gido rola sobre uma superf¶cie, sem deslizar, pode- ³ mos considerar que o corpo gira, em cada instante, em torno de um ponto que est¶ momentaneamente em contato com a superf¶ a ³cie. Este ponto ¶ o que chamamos de centro instant^neo de rota»~o. Seja o e a ca seguinte problema, que posde ser resolvido facilmente com este con- ceito: as ¯guras a seguir representam v¶rias maneiras de puxar um a carretel pela linha enrolada sobre o cilindro interno. Considere que o atrito seja su¯ciente para que o carretel role sem deslizar. Fa»a voc^ c e mesmo esta experi^ncia. Qual o sentido da for»a de atrito em cada um e c dos casos? 29. Um i^-i^ de massa M , raio maior R e momento de in¶rcia I est¶ sobre o o e a ~ ¶ apli- uma mesa horizontal e pode rolar sem deslizar. Uma for»a F e c cada no raio interior r atrav¶s do ¯o, que forma um ^ngulo ® com a e a horizontal. r F Exercício 30 R R r α H Exercício 29 (a) Para quais valores de ® o i^-i^ ir¶ rolar para frente? E para tr¶s? o o a a (b) Calcule a acelera»~o do i^-i^ e a for»a de atrito entre o i^-i^ e a ca o o c o o mesa supondo que ele n~o se eleve da mesa. a
  • 121. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 12 ³s1 ~ (c) Qu~o forte precisa ser F para um ^ngulo ® de forma que o i^-i^ se a a o o levante da mesa? 30. Um estudante de F¶ ³sica Experimental deseja medir a velocidade do centro de massa de uma esfera de massa M e raio R, que desce uma canaleta inclinada (cuja se»~o transversal est¶ mostrada na ¯gura). D^ ca a e a previs~o te¶rica da velocidade com que a esfera chega ao ¯nal do a o plano inclinado de altura H. 31. Um cilindro de raio R e massa M rola sem deslizar, partindo do repouso, do topo de um plano inclinado de altura 2h at¶ a altura h. A partir da e altura h o cilindro desliza, pois n~o existe atrito (ver ¯gura). a Exercício 31 A B 2h C h Calcule: (a) a velocidade do centro de massa do cilindro no ponto B; (b) a velocidade angular do cilindro em rela»~o ao centro de massa no ca ponto B; (c) a velocidade do centro de massa no ponto C; (d) a velocidade angular em torno do centro de massa no ponto C. 32. Considere um cilindro homog^neo de massa total M = 100 kg e raio e R = 0; 5 m, contendo um dispositivo interno que lhe proporciona um torque bin¶rio constante ¿ em rela»~o ao eixo do cilindro. Este sobe a ca um plano inclinado de inclina»~o µ = 30± rolando sem deslizar com ca acelera»~o igual a 1 m/s 2. Sabendo que I± = 1 M R2 e g = 10 m/s2, ca 2 determine: (a) o valor de ¿ ; (b) o m¶dulo e a dire»~o da for»a de atrito; o ca c
  • 122. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 13 ³s1 (c) o valor m¶nimo do coe¯ciente cde atrito est¶tico entre a superf¶ ³ a ³cie do plano e do cilindro para que este possa subir o plano sem deslizar. m1 I Exercício 32 m2 Exercício 33 33. Considere na ¯gura que n~o existe atrito entre o bloco e a superf¶ a ³cie. A corda que liga os blocos de massas m1 e m2 passa por uma polia cujo momento de in¶rcia ¶ I, raio R e massa M . Calcule as tens~es na e e o corda, a acelera»~o dos blocos, e a acelera»~o angular da polia. ca ca 34. Nas duas ¯guras a seguir temos um cilindro de massa M e raio R que pode rolar sem deslizar. Na primeira ¯gura, um ¯o ¶ enrolado no e cilindro, passa por uma polia sem massa e tem a extremidade presa a um corpo de massa m. Na segunda ¯gura, o ¯o ¶ colocado de tal e maneira que ¯que preso ao eixo central do cilindro. (a) Fa»a o diagrama das for»as para os dois casos. c c (b) Calcule e compare as acelera»~es da massa m para os dois casos. co R r fig. 1 fig. 2 Exercício 34 Exercício 35 35. Um cilindro de massa 2m e raio 2b est¶ ligado por uma corda de massa a desprez¶ ³vel a um bloco de massa 4m, como mostrado na ¯gura. O cilindro tem uma ranhura muito estreita, de tal forma que a corda ¯ca enrolada a uma dist^ncia b de seu eixo. O cilindro rola sem deslizar a sobre o plano horizontal; a corda passa por uma polia de massa des- prez¶ e o atrito entre a polia e o seu eixo ¶ desprez¶ ³vel e ³vel. Sabendo-se
  • 123. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 14 ³s1 que o raio de gira»~o do cilindro em quest~o em rela»~o ao seu eixo de ca a ca simetria ¶ k, calcule: e (a) as acelera»~es do cilindro e do bloco, mostrando em um diagrama co as for»as que atuam no cilindro e no bloco; c (b) a acelera»~o angular do cilindro; ca (c) a for»a de atrito; c (d) a tens~o que atua no bloco. a 36. Considere um plano inclinado (de um ^ngulo µ) com uma polia (disco) a de massa MP e raio RP . Uma esfera de raio RE e massa M E tem o seu centro ligado por um ¯o, que passa pela polia e que tem em sua outra extremidade uma massa M , como na ¯gura. Considerando que a esfera rola sem deslizar e que a polia ¶ um disco delgado, calcule a e acelera»~o da massa M e a tens~o na parte vertical do ¯o. ca a Exercício 36 θ 37. (Mec^nica do Bilhar, Sommerfeld, Mechanics) Uma bola de bilhar de a raio a est¶ sobre uma mesa plana. O taco atinge a bola a uma altura a h da superf¶ c ~ ³cie, exercendo sobre ela uma for»a F horizontal. Conside- remos que esta for»a ¶ t~o intensa que podemos desprezar a for»a de c e a c atrito entre as superf¶ ~ ³cies do bloco e da bola durante a aplica»~o de F . ca r Exercício 37 F h a (a) Mostre que a velocidade angular de rota»~o da bola em torno ca de seu centro de massa e a velocidade do centro de massa est~o a
  • 124. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 15 ³s1 relacionadas, imediatamente ap¶s a tacada, por o 5 (h ¡ a) !± = V± 2 a2 (b) Por que voc^ n~o obteve V± = !± a ? O que acontece se h = a? e a E se h < a? Qual deve ser o valor de h para que haja rolamento sem deslizamento? (c) Considere a situa»~o em que a bola ¶ atingida no seu centro. ca e Mostre que neste caso a velocidade do centro de massa da bola no instante t ¶ dada por V = V± ¡ 2 a !, onde V± ¶ a velocidade e 5 e inicial do centro de massa da bola e ! ¶ a velocidade angular e no instante t. Por que a velocidade do centro de massa da bola n~o ¶ constante? Ap¶s um certo instante, a bola passar¶ a rolar a e o a sem deslizar. Qual o valor de V em termos de V± a partir deste in- stante? A partir da¶, a velocidade do centro de massa ¶ constante? ³ e Calcule a energia dissipada desde o in¶cio at¶ este instante. ³ e 38. Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude, colo- cada sobre uma mesa horizontal, ¶ pression¶-la com o dedo de maneira e a a projet¶-la ao longo da mesa com velocidade angular inicial ~ ± na a ! dire»~o de um eixo horizontal perpendicular µ velocidade inicial de seu ca a centro de massa ~± . O coe¯ciente de atrito est¶tico entre a bola de v a gude e a mesa ¶ constante. A bola possui raio R. e (a) Que rela»~o precisamos ter entre v±, !± e R para que a bola deslize ca at¶ parar completamente? e (b) Que rela»~o devemos ter entre v± , !± e R para que a bola deslize ca at¶ parar e depois volte at¶ sua posi»~o inicial com uma velocidade e e ca ¯nal constante de 3 v± ? 7 Exercício 38 r r ωο vο
  • 125. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 16 ³s1 39. Um palha»o est¶ andando num monociclo cuja roda pode ser conside- c a rada como um anel homog^neo de raio T R e massa m. A massa do e conjunto palha»o-monociclo ¶ M . Qual o torque que deve ser aplicado c e ao pedal para dar ao conjunto uma acelera»~o para a frente de m¶dulo ca o a? Suponha que a roda rola sem deslizar. 40. Um disco plano uniforme de massa M e raio R est¶ girando em torno a de um eixo ¯xo perpendicular a ele e passando pelo seu centro de massa com velocidade angular ! constante. Ache o momento angular do disco em rela»~o ao seu centro de massa. ca ¶ 41. E poss¶vel distingÄir um ovo cru de um ovo cozido fazendo-os girar ³ u sobre uma mesa? Como? 42. O que aconteceria ao per¶ ³odo de rota»~o da Terra se as camadas polares ca se derretessem? Explique por qu^.e 43. Dois discos pesados s~o ligados por um pequeno eixo de raio bem menor a que o dos discos, formando um haltere. O conjunto ¶ colocado sobre e um plano inclinado estreito de forma tal que s¶ o eixo do haltere ¯ca o apoiado, e rola para baixo sem deslizar. Pr¶ximo ao solo, os discos o tocam a superf¶cie e passam a se deslocar com velocidade muito maior. ³ Explique por qu^.e 44. Calcule a tra»~o na corda e a rea»~o na r¶tula do sistema da ¯gura, ca ca o sendo de 400 N o peso da barra e de 800 N o da carga. Suponha que a corda tem massa desprez¶³vel. Exercício 44 d Exercício 43 45 ο ο 45o (( B A 45. Uma barra de massa M est¶ apoiada num buraco, como mostra a ¯gura. a A largura do buraco ¶ d = 1 L, onde L ¶ o comprimento da barra. O e 3 e ^ngulo que a barra faz com a horizontal ¶ de 45±. A for»a de atrito no a e c ponto de contato A ¶ a m¶xima poss¶ e a ³vel, por¶m pode ser desprezada e
  • 126. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 17 ³s1 no ponto B. Qual ¶ o valor do coe¯ciente de atrito em A? Determine a e dire»~o, o m¶dulo e o sentido da for»a de atrito em B. ca o c 46. A barra uniforme ANB da ¯gura tem 4,0 m de comprimento e pesa 1000 N. H¶ um ponto ¯xo C, que dista 3,0 m de A, em torno do qual a ela pode girar. A barra est¶ inicialmente em repouso apoiada sobre a o ponto A. Um homem de massa 75 kg est¶ andando sobre a barra, a partindo de A. Calcule a maior dist^ncia que o homem pode se afastar a de A sem que a barra se desequilibre. Exercício 45 B A C
  • 127. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 18 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 15 { Respostas 1. (b) Lz = 2 m d2 sen2 µ !. 2. A for»a do eixo sobre cada mancal tem m¶dulo c o 1 F = m ! 2 a2 sen(2 µ) 2d e ¶ perpendicular (em cada instante) ao eixo, na dire»~o da reta que une ca cada part¶³cula ao centro do c¶rculo descrito por ela, e apontando para ³ fora do eixo. 7 4 3. (a) 12 m d2 , (b) 3 m d2. 4. Iz = 1 M R2 , Ix = Iy = 2 1 4 M R2 . 1 5. (a) 4 M R2 , (b) 1 12 M (a2 + b2). 5 6. 4 M R2 . 1 7. 3 M a2 . h 2 2 i 1 8. 2 M R2 + r2 ¡ Ra¡r 2 2 r 2 9. D = 1 ¼ L. 6 10. O ponto que ¯ca a uma dist^ncia d + h2 =(3d) do local da pancada. a ~ P ~ 11. (a) dP = F ext = 0 =) momento linear total do sistema haltere + dt massa ¶ conservado. e ~ dL± P dt ¿ ext = ~± = 0 =) momento angular do sistema (em rela»~o a ca qualquer ponto O da mesa) ¶ constante. e (b) 2 ~ ±. 3v (c) 2d 3a2 v± , (d) Sim, se d = a.
  • 128. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 19 ³s1 P ~ 12. (a) O momento linear total do sistema (pois F ext = 0), o momento P ext angular total (pois ~ ¿ = 0) e a energia cin¶tica (o enunciado in- e forma que a colis~o ¶ el¶stica). a e a (b) M h2= (12 d2 + h2). P ~ ~ ~ 13. (a) Como F EXT = 0, P = M T VCM = constante; portanto antes, a ~ durante e depois da colis~o, VCM = 1 ~± . 4 v c ³ a ca v e v ³, ´ a (b) Fa»amos ^ o unit¶rio da dire»~o de ~ ±, isto ¶, ~± = v± ^ ^ o unit¶rio ³) ^ da dire»~o da barra (perpendicular a ^ e k o unit¶rio da dire»~o perpen- ca a ca dicular ao plano do papel e saindo dele, como na ¯gura; e escolhamos como origem do sistema de coordenadas o ponto O onde ocorre o toque entre a massa m e a barra (a extremidade da barra antes da colis~o): a ˆj r VCM ω ⊗ ⊗ ι ˆ O k• ˆ ⊗ O 1 R(t) = 4 [(¡D + v± t) + 3`^]. ´ (c) ! = 3v± =(7`), no sentido anti-hor¶rio. a 3Mva 14. (a) ! = m d2+3 m a2 ; (b) d = 3 a ; 2 2 (c) ¢T = Tf ¡ Ti = ¡ 1 m v 2 M dM d m a2 2 2+3 p 15. 3 g h . q 3g 16. (a) h (1 ¡ cos µ ) . (b) O centro de massa descrever¶ um movimento uniformemente aceler- a q ado com acelera»~o inicial horizontal de m¶dulo 1 3 g h (1 ¡ cos µ±) ; ca o 2 a barra girar¶ em torno do centro de massa com velocidade angular q a 3g h (1 ¡ cos µ± ) em torno de um eixo perpendicular µ barra. a q 17. (a) 1 M g, vertical e para cima. 4 (b) 3 g=h . (c) 5 2 M g, vertical e para cima.
  • 129. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 20 ³s1 g 1 g mg 18. (a) r 1+ M R2 ; (b) M R2 ; (c) r2 . 2 m r2 1+ 2 m r 2 1+ 2 mR2 M 1 19. (b) 2 (M + m) a , para frente. 20. (M + 4m) a. ¿0 ¿0 ¿0 ^ ^e 21. (a) ~peso = 0 , ~F = 0 , ~fa = 1 F R k, onde k ¶ o unit¶rio da a 3 dire»~o do eixo do cilindro, para dentro. ca ~ (b) 2 F . 3M 22. Amax = 8 m/s. 2F 23. (a) 3 M . (b) Cilindro da frente: 2 ~ ~ F (mesmo sentido de F ); cilindro de 3 ~ tr¶s: ¡ 1 F . a 3 F 24. (a) ¡ m t^; (b) ³ 2F t ^ k. MR T 2T α 25. (a) Acm = g ¡ M ; ®= M R, onde T ¶ a tens~o no ¯o. e a 2 g 2 (b) 3 R; (c) 3g ; (d) 1 M g . r 3 ACM 2mg 2m g M mg 26. (a) M+2 m ; (b) R(M+m) ; (c) M+2 m . M R4 +R4 27. (a) 2 R2 +R2 ; 1 1 2 2 α m R1¡m0 R2 (b) ® = g I+m R2+m0 R2 ; 1 2 T T' m R1 ¡m0 R2 m m' (c) I+m R2 +m0 R2 g t; 1 2 0 (d) T = m g I+m R22(R1 +R22 ) . I+m R +m0 R 1 2 29. (a) Para frente, se cos ® > r=R; para tr¶s, se cos ® < r=R. a F cos ®¡r=R cos ®+ M I r R (b) a = M 1+ I 2 , fa = 2 , para tr¶s. a MR 1+ M I R Mg (c) F ¸ sen® .
  • 130. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 21 ³s1 30. Primeiro modelo: desprezando a energia cin¶tica de rota»~o da bola, p e ca v = 2gH. Segundo modelo: h¶ rolamento sem deslizamento na canaleta, com um a unico ponto de contato (a bola vem girando e rolando semq ¶ tocar nas laterais da canaleta e encostando apenas no fundo dela): v = 10gH=7. Terceiro modelo: h¶ rolamento sem deslizamento, com o contato en- a tre a canaleta e a bola dando-se nos dois pontos da ¯gura; k ¶ a e dist^ncia do centro da esfera ao eixo que passa pelos dois pontos: aq v = 2gH= (1 + 2R2 =(5k 2)). R k q q q q 1 2 1 10 2 1 31. (a) 2 3 g h ; (b) R 3 g h ; (c) 3 g h ; (d) R 3g h. 32. (a) 325 N.m; (b) 600 N; (c) 0,69. I m1 m2 g 1 m + 33 (a) Em m1: m1 +m2+ I2 ; em m2: m2 g m1 +m2R 2 I . + R R2 m2 g m2 g (b) m1 +m2 + I ; (c) R (m1 +m2+ I ) . R2 R2 r r r 34. (a) Caso 1: N T Caso 2: N r T r r r r P fa fa P mg mg (b) a1 = m+ 3 M , a2 = m+ 3 M (a1 > a 2). 8 2 r r T' 35. (a) abloco = 18 g b2 T 22 b2 +k 2 r r N P r r fa P' 2 2 2 2 (b) 6 gb 22 b2 +k 2 ; (c) 4 m g 22bb2¡k 2 , para a frente; (d) 4 m g 22bb2+k 2 . 2 +k 4 +k 1 M¡Me sen µ Mp +( 7 +sen µ) Me 36. (a) M+ 1 Mp + 7 Me g ; (b) 2 5 M+ 1 Mp+ 7 Me Mg. 2 5 2 5
  • 131. F¶ { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 22 ³s1 ωο 37. (b) Por que se h ¶ qualquer, a bola pode rolar e deslizar. e vο Se h = a, !± = 0 e a bola come»a a deslizar sem rolar. c ωο Se h < a, a bola rola em sentido anti-hor¶rio. a vο 7 Para que haja rolamento sem deslizamento, h = 5 a. (c) Vcm n~o ¶ constante porque a resultante das for»as externas na a e c bola n~o ¶ nula (h¶ atrito cin¶tico). Quando passarmos µ situa»~o de a e a e a ca rolamento sem deslizamento, V = 5 V± , e a partir da¶a velocidade do 7 ³ P ~ centro de massa ¯ca constante por que F ext = 0. A energia dissipada ¶ 1 M V ±2, e corresponde ao trabalho da for»a de atrito no deslizamento. e7 c 38. (a) v± = 2 !± R ; (b) v± = 1 !± R. 5 4 39. (M + m) a R. 40. 1 2 M R2 ~ (~ = ! ^ onde k ¶ o unit¶rio da dire»~o do eixo). ^e ! ! k, a ca 41. Sim. O ovo cru n~o ¶ um corpo r¶gido... a e ³ 42. O per¶ ³odo aumentaria, pois a velocidade angular diminuiria (devido ao aumento do momento de in¶rcia). e 43. Discuta com o seu professor. p r 44. Tra»~o na corda: 1000 2 N ca T r ~ R Rea»~o na r¶tula: ¡ R, onde R ' 1020 N, ca o α 45ο ® = arctg 0; 2 ' 11±. p p 45. ¹ C = 4 3 2 ¡ 1 ' 0; 9 ; fa = (1 ¡ 3 2 8 )M g ' 0; 47 M g, tangente µ a parede do buraco e para cima.