Problema copiados de libros

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Problema copiados de libros

  1. 1. PROBLEMAS DE DISTINTOS LIBROSProblema 1 (CABALLERO Y OTROS (Programación Lineal) Una tienda de electrodomésticos lanza una oferta durante 20 días. Paraello contrata a cuatro vendedores y a tres instaladores durante cuatro horasdiarias. La oferta está dirigida a la venta de frigoríficos, lavadoras yvitrocerámicas. Se estima que un vendedor tarda 20 minutos en vender un frigorífico, 16minutos en una lavadora y 30 en una vitrocerámica, mientras que losinstaladores necesitan 15 minutos en instalar un frigorífico, 36 minutos en unalavadora y 21 en una vitrocerámica. Si los precios de venta son 70.000 pts. un frigorífico, 50.000 pts. unalavadora y 60.000 pts. una vitrocerámica,¿Cuál es la combinación de ventas que maximiza los ingresos de la tiendacorrespondiente a esta promoción?¿Habrá contratado a algún vendedor y/o instalador de más? Problema: Maximizar los ingresos de la tienda correspondientes a la promoción. Variables que intervienen: x nº frigoríficos y nº lavadoras z nº vitrocerámicas Función objetivo: Máx. Ingresos = 70000x + 50000y + 60000z sujeto a: 20x + 16y +30z 19200 15x + 36y + 21z 14400 x,y,z 0Solución óptima: Variable Valor x 960 s1 0 s2 0------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gracias a los(as) alumnos(as) de cursos anteriores
  2. 2. 2 Ingresos 67.200.000 No ha contratado a ningún vendedor y/o instalador de más, ya que lasvariables de holgura (s1 y s2) adquieren valor cero (son un coladero).Problema 2 Un profesor ha llevado a cabo un examen que consta de tres preguntasy está asignando puntuación a cada una de ellas. Para ello decide: a) El tercer problema debe puntuar como mínimo 2,5 puntos. b) En total deben sumar diez puntos. c) Debido a la dificultad de las preguntas 1 y 2, la diferencia entre la puntuación de la primera y la segunda deberá ser a lo sumo de un punto. El profesor conoce que un 50 % del curso resolverá la primera preguntacorrectamente, un 30 % la segunda y un 40 % la tercera.¿Cómo debe asignar los puntos de modo que se maximice la puntuación globaldel curso? Problema: Maximizar la puntuación global del curso. Variables que intervienen: x puntuación primera pregunta y puntuación segunda pregunta z puntuación tercera pregunta Función objetivo: Máx. Z = 50x + 30y + 40z sujeto a: z 2,5 x + y + z = 10 x–y 1 x,y,z 0Solución óptima: Variable Valor x 4,25----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  3. 3. 3 y 3,25 z 2,50 Z 410,00(Resolución en archivo puntuac.met , programa “manager”)(Resolución en archivo puntuac.lp, programa “lp88”)Problema 3 En una acería se producen cuatro tipos de acero: A, B, C y D,dependiendo de su contenido en hierro y carbón. Las instalaciones fabriles están divididas en 4 grandes departamentos:fundición, laminado, corte y bobinado: - El departamento de fundición trabaja las 24 horas del día. - El departamento de laminado funciona con horas-máquina y horas- hombre: las 2 máquinas existentes pueden trabajar las 24 horas al día ininterrumpidamente, para lo que se utilizan tres turnos de operarios de 2 hombres cada uno, que trabajan 8 horas. - En el departamento de corte trabajan operarios al mismo nivel que en el de laminado. - En el departamento de bobinado se trabaja 12 horas al día. El número de horas que la fabricación de cada tipo de acero requiere enlos distintos departamentos es: Número de horas en el departamento Fundición Laminado Corte BobinadoAcero tipo A 2 2 6 -Acero tipo B 3,5 3 2 -Acero tipo C 1 4 3 1Acero tipo D 2 1 4 3 El coste por unidad de medida de acero producido viene determinadopor la relación entre hierro y carbón que se utilice para cada tipo de acero: Acero tipo A Acero tipo B Acero tipo C Acero tipo DHierro 6 9 8 7Carbón 4 1 2 3 El coste de cada unidad de hierro es de 0,4 unidades monetarias,mientras que el coste de cada unidad de carbón es de 1 unidad monetaria.Debido a la cercanía del almacén del proveedor, el suministro de las materiasprimas (hierro y carbón) es inmediato y el transporte no supone un plus en elcoste de las mismas.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  4. 4. 4 El acero tipo B está en fase de desaparición, debido a su pocaresistencia y alta corrosión, por lo que la empresa ha estimado que laproducción máxima del mismo sea de 2 unidades. Los ingresos producidos por cada tipo de acero son 12, 9, 11 y 12unidades monetarias respectivamente por unidad de medida.¿Cuál es la producción óptima que maximice los beneficios de la acería? Problema: Alcanzar la producción óptima que maximice los beneficios de la acería. Variables que intervienen: x1 acero tipo A x2 acero tipo B x3 acero tipo C x4 acero tipo D Función objetivo: Máx. Beneficios = (12x1 + 9x2 + 11x3 + 12x4) – (6,4x1 + 4,6x2 + 5,2x3 + 5,8x4) sujeto a: 2x1 + 3,5x2 + 1x3 + 2x4 24 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 48 6x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 48 x3 + 3x4 12 x2 2 x1, x2, x3, x4 0Solución óptima: Variable Valor x1 2,11 x2 2,00 x3 9,21 x4 0,93 s1 1,71----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  5. 5. 5 Beneficios 79,80Dual: Min. W = 24y1 + 48y2 + 48y3 +12y4 + 2y5 s.a.: 2y1 + 2y2 + 6y3 5,6 3,5y1 + 3y2 + 2y3 + y5 4,4 y1 + 4y2 + 3y3 + y4 5,8 2y1 + y2 + 4y3 + 3y4 6,2Problema 4 Un agricultor posee una parcela de 800 m 2 para dedicarla al cultivo deárboles frutales: naranjos, perales, manzanos y papayeros. Se pregunta de quéforma repartirá la superficie de la parcela entre las cuatro variedades paraconseguir el máximo beneficio sabiendo que: - Cada naranjo precisa como mínimo de 16 m2, cada peral 4 m2, cada manzano 8 m2 y cada papayero 10 m2. - Dispone de un total de 1200 horas de trabajo/año (150 jornales), precisando cada naranjo de 30 horas/año, cada peral de 5 horas/año, cada manzano de 10 horas/año y cada papayero de 13 horas/año. - Los beneficios unitarios son de 50, 25, 20 y 35 unidades monetarias por cada naranjo, peral, manzano y papayero respectivamente. - El agricultor posee un depósito de 4.000 litros para el regadío de los árboles frutales, el cual es llenado por la empresa suministradora una vez al año. Cada naranjo precisa de 55 litros/año, perales 40 litros/año, manzanos 25 litros/año y papayeros 30 litros/año. El precio de cada litro de agua tratada es de 0,3 unidades monetarias, pagando el agricultor únicamente por el agua consumida. - El cultivo de papayeros tiene como destino satisfacer la demanda local, por lo que el agricultor ha determinado que para no quedarse con excedentes la superficie de papayeros no puede ser superior a 180 m2. Problema: Maximizar el beneficio a través del reparto de la superficie dedicada al cultivo.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  6. 6. 6 Variables que intervienen: x1 naranjos x2 perales x3 manzanos x4 papayeros Función objetivo: Máx. Z = (50x1 + 25x2 + 20x3 + 35x4) – (16,5x1 + 12x2 + 7,5x3 + 9x4) sujeto a: 16x1 + 4x2 + 8x3 + 10x4 800 30x1 + 5x2 + 10x3 + 13x4 1200 55x1 + 40x2 + 25x3 + 30x4 4000 x4 18 x1, x2, x3, x4 0Solución óptima: Variable Valor x1 23,07 x2 54,78 x4 18,00 s1 31,76 Z 1952,97Dual: Min. W = 800y1 + 1200y2 + 4000y3 + 18y4 s.a.: 16y1 + 30y2 + 55y3 33,5 4y1 + 5y2 + 40y3 13 8y1 + 10y2 + 25y3 12,5 10y1 + 13y2 + 30y3 + y4 26----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  7. 7. 7Problema 5 Un médico receta a una de sus pacientes una dieta especial deadelgazamiento basada en cinco productos (arroz, pescado, verduras, carne depavo y fruta fresca) que han de combinarse de manera que cumplan una seriede requisitos mínimos en cuanto a proteínas y calorías, y máximos en cuanto agrasas y colesterol: - Los requisitos mínimos se sitúan en 15 unidades de proteínas y en 8.000 calorías. - Los requisitos máximos se sitúan en 9 unidades de grasa y 5 unidades de colesterol. Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades porkilogramo: - El arroz contiene 1 unidad de proteína, 1.000 calorías, 0 unidades de grasa y 0,5 unidades de colesterol. - El pescado contiene 3 unidades de proteínas, 2.500 calorías, 2 unidades de grasa y 1 unidad de colesterol. - Las verduras contienen 2 unidades de proteínas, 1.000 calorías, 1 unidad de grasa y 0,5 unidades de colesterol. - La carne de pavo contiene 8 unidades de proteínas, 3.000 calorías, 4 unidades de grasa y 5 unidades de colesterol. - La fruta fresca contiene 0 unidades de proteínas, 1.500 calorías, 0 unidades de grasa y 0 unidades de colesterol. Los precios de los cinco productos básicos son respectivamente de 70,120, 100, 210 y 90 pesetas el kilogramo.¿Cuál ha de ser la combinación de productos que cubriendo los requerimientosmínimos y máximos tenga el mínimo coste? Problema: Minimizar el coste de la dieta propuesta por el médico. Variables que intervienen: x1 arroz x2 pescado x3 verduras x4 carne de pavo x5 fruta fresca Función objetivo: Min. Z = 70x1 + 120x2 + 100x3 + 210x4 + 90x5 sujeto a: x1 + 3x2 + 2x3 + 8x4 15 1000x1 + 2500x2 + 1000x3 + 3000x4 + 1500x5 8000 2x2 + x3 + 4x4 9 0,5x1 + x2 + 0,5x3 + 5x4 5----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  8. 8. 8 x1, x2, x3, x4, x5 0Solución óptima: Variable Valor x2 3,00 x3 2,33 x4 0,17 s2 2333,33 Z 628,33Dual: Max. W = 15y1 + 8000y2 - 9y3 - 5y4 s.a.: y1 + 1000y2 - 0,5y4 70 3y1 + 2500y2 - 2y3 - y4 120 2y1 + 1000y2 - y3 - 0,5y4 100 8y1 + 3000y2 - 4y3 - 5y4 210 1500y2 90Problema 6 Un accionista particular, el 1/1/97, quiere invertir en acciones concotización oficial, para crear una cartera de valores que maximice su beneficio.Tiene la opción de adquirir entre 6 tipos de acciones (Telefónica, Aceralia, BBV,Banco Santander, Hiberdrola y Ercros), cuyos precios el primer día decotización son de 2700, 1800, 4750, 2800, 1500 y 160. Deseamos invertir unmáximo de 7 millones de pesetas para adquirir dichas acciones. El 31/12/97 vamos a vender las acciones adquiridas a principios de año,y sabemos que las previsiones de la Comisión del Mercado de Valoresgarantizan que la cotización a finales de año sufrirá un aumento porcentualsobre el valor nominal de lo mostrado en la tabla adjunta:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  9. 9. 9 Banco Telefónica Aceralia BBV Hiberdrola Ercros Santander 10% - 12% 15% - 20% 5% - 7% 11% - 13% 7% - 9% 30% - 70% El accionista teniendo en cuenta dichas previsiones de la Comisión, ypara determinar el precio final de venta, hace la media aritmética de losaumentos porcentuales de las acciones. Banco Telefónica Aceralia BBV Hiberdrola Ercros Santander Cotización 2700 1800 4750 2800 1500 160 1/1/97 Cotización 31/12/97 2997 2115 5035 3136 1620 240 Como viene siendo habitual en los últimos años las empresas repartenunos dividendos que suponen un 10% del precio nominal a principio de año (seacogen a este reparto de dividendos todas las empresas salvo Hiberdrola, queeste año no reparte dividendos). La comisión que tenemos que pagar a los brokers por la adquisición dedichas acciones es del 3 por 1000 del valor nominal de compra, pero cuandodicho valor nominal es inferior a 1600 unidades monetarias la comisiónasciende al 6 por mil. Debido a la privatización de Telefónica, el gobierno no permite adquirirmás de 100 acciones por accionista individual. Ya que Ercros tiene un riesgomuy elevado, el accionista no quiere adquirir más de un 15% del presupuestototal. Dado que tiene cuentas bancarias en los dos bancos (BBV y Santander),decide destinar un mínimo del 10% del presupuesto a la adquisición deacciones para cada uno de los bancos. Problema: Pretendemos maximizar los beneficios por invertir en Bolsa Variables que intervienen: x1 acciones de Telefónica x2 acciones de Aceralia x3 acciones del BBV x4 acciones del Banco Santander x5 acciones de Hiberdrola x6 acciones de Ercros----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  10. 10. 10 Función Objetivo: Máx. B = (2997x1 + 2115x2 + 5035x3 + 3136x4 + 1620x5 + 240x6) + + (10% · (2700x1 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6)) – (2700x1 + 1800x2 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6) – [(3‰ (2700x1+ 1800x2 + 4750x3 + 2800x4)) + (6‰ (1500x5 + 160x6))] sujeto a: (2700 ·1.003)x1 + (1800 ·1.003)x2 + (4750 ·1.003)x3 + (2800 ·1.003)x4 + + (1500 ·1.006)x5 + (160 ·1.006)x6 7000000 x1 100 160x6 1050000 4750x3 700000 2800x4 700000 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0Solución óptima: Variable Valor x1 0 x2 0 x3 147,36842 x4 1866,40039 x5 0 x6 6562,5 s2 100 s5 4525921,5 B 1867624,8800Dual: Min. W = 7000000y1 + 100y2 + 1050000y3 – 700000y4 –700000y5 s.a.: 2708,1y1 + y2 558,9 1805,4y1 309,6----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  11. 11. 11 4764,25y1 – 4750y4 745,75 2808,4y1 – 2800y5 607,6 1509y1 261 160,96y1 + 160y3 95,04Problema 7 La empresa X, S.A. tiene que distribuir el producto que fabrica, desdetres plantas industriales, a cinco centros de consumo. Las capacidades de producción son respectivamente de 200, 240 y 240(en miles de unidades). El producto se consume en los cinco centros con unascapacidades respectivamente de 80, 100, 140, 180 y 180 (en miles deunidades). Los costes de transporte desde cada planta industrial a cada centro deconsumo vienen dados en la siguiente tabla. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Centro 5 Producción Planta 1 8 2 4 12 18 200 Planta 2 12 8 6 10 14 240 Planta3 10 4 12 8 16 240 Demanda 80 100 140 180 180¿Cuál será la distribución de la producción para el coste del transporte sea elmínimo? Problema: Pretendemos minimizar el coste de transporte Variables que intervienen: x11 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 1 al centro de venta 1. x12 Unidades que tenemos que transportar desde----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  12. 12. 12 la planta 1 al centro de venta 2. x23 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 2 al centro de venta 3. . . x35 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 3 al centro de venta 5. Función objetivo: Min C = 8x11 + 2x12 + 4x13 + 12x14 + 18x15 + 12x21 + 8x22 + 6x23 + + 10x24 + 14x25 + 10x31 + 4x32 + 12x33 + 8x34 + 16x35 sujeto a: x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 200 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 240 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 240 x11 + x21 + x31 = 80 x12 + x22 + x32 = 100 x13 + x23 + x33 = 140 x14 + x24 + x34 = 180 x15 + x25 + x35 = 180 xij 0Solución óptima: Variable Valor x11 20 x12 100 x13 80 x14 0 x15 0 x21 0 x22 0 x23 60 x24 0 x25 180 x31 60 x32 0 x33 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  13. 13. 13 x34 180 x35 0 C 5600COMENTARIO DEL DUAL Las variables yi corresponden a los precios sombra, que serán los costesde oportunidad de cada una de las restricciones del primal. La variable dual esel precio que, en el óptimo, la empresa está dispuesta a pagar por unincremento de recurso disponible. Por tanto, mide el grado de sensibilidad de lafunción objetivo en el óptimo cuando se varían ligeramente las constantes derestricción. Así pues, podemos considerar los problemas duales como determinar unsistema de precios marginales no negativos de forma que se minimiza el preciototal de los recursos y tal que los costes imputados a cada bien sean iguales omayores que su margen de beneficio unitario. Para la solución óptima del problema, unas restricciones estaránsaturadas y otras no. Las variables duales asociadas a las restricciones nosaturadas del primal son nulas, y si la variable dual es positiva, el recursocorrespondiente se utiliza en su totalidad, es decir, las restricciones estánsaturadas. Si la variable de holgura asociada a una restricción es positiva nosindicará que los recursos utilizados en producir el output vale más que elmargen de beneficios derivado del bien, y sabemos, por las condiciones deholgura complementarias, que la variable del primal asociada a esa restricciónes cero, es decir, no se producirá unidad alguna de ese bien. Luego, sólo seproducirá de aquellos bienes para los cuales el valor de los recursos utilizadosen su producción coincide con su margen de beneficios.Por ejemplo, tomando los datos del problema tipo número 1 (acería.dua): PRIMAL DUAL Variable Valor Variable Valor X1 2,11 Y1 0 X2 2,00 Y2 0,70 X3 9,21 Y3 0,70 X4 0,93 Y4 0,90 S1 1,71 Y5 0,90----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  14. 14. 14 En el primal podemos observar que en la restricción primera hay unavariable de holgura no nula. Por tanto, en el dual la variable y 1 tomará valornulo, ya que no supondrá un coste adicional el aumento o disminución en unaunidad de las horas de trabajo en el departamento de fundición. Por otro lado, observamos que en el dual no hay variables de holgura, loque implica que vamos a producir de todos los tipos de acero, ya que el costede los recursos usados en cada tipo de acero coincide con su margen debeneficios. Los valores de las variables del dual yi (i = 1,2,3,4,5), nos indican encuanto se ve modificado el coste de producción al variar en una unidad lascapacidades respectivas del primal.Problema 8 El “Banco Canario” está formulando una política de préstamos, en la que sepueden invertir un máximo de 1.200 millones de pesetas. Los datos de los diferentestipos de préstamos con los que el banco trata son los siguientes: Tipo de Préstamo Tipo de Interés Probabilidad de insolvenciaDe coche 0’13 0’07De vivienda 0’12 0’03Agrícola 0’125 0’05Comercial 0’1 0’02 La competencia con otras instituciones financieras del entorno, requiere que elbanco asigne al menos el 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Conel fin de ayudar a la industria constructora de viviendas de la región, los préstamos paravivienda deben igualar, al menos, al 5% de los personales, de coche y de vivienda enconjunto. Asimismo, el “Banco Canario” ha establecido una política que especifica queel ratio global de los impagados en todos los préstamos no puede exceder del 0’04%.Solución:Definición de las variables (en centenas de millones de ptas.)X1 = préstamos personales Probabilidad ProbabilidadX2 = préstamos para coche de insolvencia de solvenciaX3 = préstamos para viviendaX4 = préstamos agrícolas 0’10 0’90X5 = préstamos comerciales 0’07 0’93 0’03 0’97----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  15. 15. 15 0’05 0’95 0’02 0’98Primal:F.O. Max. Z= 0’14 0’90 X1 + 0’13 0’93.X2 + 0’97 X3 + 0’125 0’95.X1 + 0’10’98 X5 - 0’1 X1 - 0’07 X2 - 0’03 X3 - 0’05 X4 - 0’02 X5Sujeto a:X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12  inversión X4 + X5 4’8 (40 % de 12)  Préstamos agrícolas ycomerciales X3 0’5 (X1 + X2 + X3)  Préstamos de viviendas0’1X1 + 0’07 X2 + 0’03 X3 + 0’05 X4 + 0’02 X5 0’04  límite de inpagados X1+ X2 + X3 + X4 + X5 X1, X2, X3, X4, X5 0  no negatividadSimplificando, tenemos:F.O. Max Z = 0’026 X1 + 0’0509 X2 + 0’0864 X3 + 0’06875 X4 + 0’078 X5Sujeto a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12 X4 + X5 4’8 - 0’5 X1 - 0’5 X2 + 0’5 X3 00’06 X1 + 0’03 X2 - 0’01 X3 + 0,01 X4 - 0,02X5 0DUALF.O Min. W = 12 Y1 - 4’8 Y2Sujeto a: 1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’06Y4 0’026 1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’03Y4 0’0509 1Y1 + 0Y2 + 0’5 Y3 - 0’01Y4 0’0864 1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 + 0’01Y4 0’06875 1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 - 0’025Y5 0’078Problema 9. Planificación urbana:Una empresa posee 800 has. de tierra no urbanizada a orillas de un lago. En el pasadono se aplicó prácticamente regulación alguna a nuevos desarrollos alrededor del lago.Las orillas del lago están ahora pobladas con viviendas para veraneantes. Debido al----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  16. 16. 16problema de servicio de aguas residuales, las tanquillas sépticas, la mayoría instaladasimpropiamente, están teniendo un gran uso. Para parar esto las autoridades públicas han aprobado ordenanzas paraconstrucciones futuras.1. Solo pueden construirse casas para una familia, para dos o para tres, siendo las de una familia, al menos, un 50% del total.2. Para limitar el número de tanquillas sépticas, las viviendas simples, dobles y triples han de tener un tamaño mínimo de 2,3 y 4 has., respectivamente.3. Debe establecerse áreas de recreo de una hectárea cada una por cada 200 familias (al menos). La empresa está estudiando la posibilidad de desarrollar 800 has. Este nuevodesarrollo incluirá viviendas simples, dobles y triples. Se estima que el 15% de lasuperficie de destinará a la apertura de calles y servidumbres.Estimación de los ingresos netos Simples Dobles TriplesBº Neto por ud. 10.000 12.000 15.000 El coste de la conexión del servicio de aguas es proporcional al Nº de viviendasconstruídas. Sin embargo, la empresa estipula que para que el proyecto seaeconómicamente viable deben ser recaudados al menos 100.000 u.m. Además, laexpansión de la conexión de aguas mas allá de la capacidad actual está limitada a200.000 galones por día durante las horas de mayor consumo. Simples Dobles Triples Areas de recreoCte. Unitario del ss. de agua 1000 1200 1400 800Consumo unitario de agua (gal/dia) 400 600 840 450Solución X1 = Nº. de viviendas simples X2 = Nº. de viviendas dobles X3 = Nº. de viviendas triples X4 = Nº. de áreas de recreoPRIMAL F.O: Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3 Sujeto a:Uso del terreno 2X1 + 3X2 + 4X3 + 1X4 680 ( 85% X 800)Viviendas simples X1 0’5  0’5X1 -0’5 X2 - 0’5 X3 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  17. 17. 17 X1+X2+X3áreas de recreo  200 X4 - 1X1 - 2X2 - 3X2 0  X4 X1 + 2X2 + 3X3 200capital  1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4 100.000consumo de agua  400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4 200.000diario Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3 Sujeto a: 2X1 + 3X2+ 4X3 + 1X4 680 0’5X1 - 0’5X2 - 0’5X3 0 -X1 - 2X2 - 3X3 + 200X4 0 1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4 100.000 400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4 200.000DUAL F.O. Min. W = 680Y1 - 0Y2 - 0Y3 - 100.000Y4 + 200.000Y5 Sujeto a: 2Y1 + 0’5Y2 - 1Y3 + 1000 Y4 + 400Y5 10.000 3Y1 - 0’5Y2 - 2Y3 + 1200 Y4 + 600Y5 12.000 4Y1 - 0’5Y2 - 3Y3 + 1400 Y4 + 840Y5 15.000 1Y1 + 0Y2 + 200Y3 + 800 Y4 + 450Y5 = 0Problema 10. Reducción de tráfico: Una empresa está estudiando la posibilidad de introducir un sistema de tránsitoel guaguas que reduzca el tráfico en la ciudad, de manera que se determine el númeromínimo de guaguas que puedan cubrir las necesidades de transporte. Después de recabarla información necesaria, la empresa ve como el mínimo de guaguas varía según la horadel día. Estudiando esos datos más a fondo, llegan a la conclusión de que el número deguaguas requerido puede estar próximo a valores constantes de intervalos sucesivos de4 horas cada uno (vemos los resultados en el gráfico). Para cumplir con elmantenimiento diario requerido, cada guagua sólo puede operar durante 8 horassucesivas al día.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  18. 18. 18 14 12 nº de guaguas 10 8 6 4 2 0 0 4 8 12 16 20 24 horas de salida 0 4 8 12 16 20 24 horas de salida X1 = nº de guaguas que salen a las 12:01 A.M. X2 = nº de guaguas que salen a las 4:01 A.M. X3 = nº de guaguas que salen a las 8:01 A.M. X4 = nº de guaguas que salen a las 12:01 P.M. X5 = nº de guaguas que salen a las 4:01 P.M. X6 = nº de guaguas que salen a las 8:01 P.M. PRIMAL Min. Z : X1 + X2+ X3 + X4 + X5+ X6 Sujeto a: X1 + X6 4 X1 + X2 8 X2 + X3 10 X3 + X4 7 X4 + X5 12 X5 + X6 4----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  19. 19. 19DUAL Max . W = -4Y1 - 8Y2 - 10Y3 - 7Y4 - 12 Y5 - 4Y6 Sujeto a: 1Y1 + 1Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6 1 0Y1 + 1Y2 + 1Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6 1 0Y1 + 0Y2 + 1Y3 + 1Y4 + 0Y5 + 0Y6 1 0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 1Y4 + 1Y5 + 0Y6 1 0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 1Y5 + 1Y6 1 1Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 1Y6 1Problema 11. PRODUCCION AGRICOLA Un experimento social interesante en la región del Mediterráneo es el Sistemade Kibbutzim, o comunicaciones agrícolas comunales, en Israel. Es igual que algunosgrupos de Kibbutzim se unen para compartir los ss. técnicos comunes y coordinar laproducción. El ejemplo se refiere a un grupo de 3 Kibbutzim, al que se llamará laConfederación Sur de Kibbutzim. La planeación global de la C.S.K se hace en su oficina de coordinacióntécnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el próximoaño. La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponiblepara irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigna parairrigarlo (Tabla 1). El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo,y éstas son precisamente las 3 que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto por area esperadoy en su consumo de agua. Además, el Ministerio de agricultura ha establecidocantidades máximas de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas.(Tabla 2) Los 3 que pertenecen a la C.S. están de acuerdo en que cada Kibbutz se lamisma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Cualquier combinación de estacosechas se puede sembrar en cualquiera de las Kibbutz. El W al que se enfrenta laoficina de coordinación técnica consiste en planear cuantas acres deben asignarse a cadatipo de cosecha en cada Kibbutz.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  20. 20. 20Tabla 1 = datos de recursos para C.S.K Kibbutz Terrenos para Asignación de Agua uso (acres) (pies-acre) 1 400 600 2 600 800 3 300 375Tabla 2 = Datos de cosechas para C.S.K Cosecha Cant. Máx. Consumo de agua Rendimiento neto (acres) (pies - acre/acre) ($ / acre) Remolacha 600 3 400 Algodón 500 2 300 Sorgo 325 1 100Cumpliendo con las restricciones dadas, el objetivo es maximizar el rendimiento netototal para C.S.Tabla 3 = Vbles. de decisión para el problema de CSK Cosecha Asignación (acres) Kibbutz 1 2 3 Remolacha X1 X2 X3 Algodón X4 X5 X6 Sorgo X7 X8 X9----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  21. 21. 21PRIMALMaximizar Z = 400 ( X1+ X2 + X3 ) + 300 (X4 + X5 + X6 ) + 100 (X7 + X8 + X9)Sujeta a las siguientes restricciones: 1) Terreno: X1 + X4 + X7 400 X2 + X5 + X8 600 X3 + X6 + X9 300 2) Agua: 3X1 + 2X4 + X7 600 3X2 + 2X5 + X8 800 3X3 + 2X6 + X9 375 3) Cosecha: X1+ X2 + X3 600 X4 + X5 + X6 500 X7 + X8 + X9 325 4) Sociales: 3 (X1 + X4 + X7)-2( X2 + X5 + X8) = 0 X2 + X5 + X8 –2(X3 + X6 + X9) = 0 4(X3 + X6 + X9)-3( X1 + X4 + X7) = 0 5) No negatividad: Xj 0 ; para j = 1,2,.......,9DUALMin. W = 400Y1+ 600Y2 + 300Y3 + 600Y4 + 800Y5 + 375Y6 + 600Y7 + 500Y8 +325Y9 + 0 Y10 + 0 Y11 + 0 Y12Restricciones:Y1+ 3Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5 400Y1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5 400 RemolachaY1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 400Y1 + 2Y2 + Y3 +3Y4 -3Y5 300Y1 + 2Y2 +Y3 - 2Y4 + 1Y5 300 AlgodónY1 + 2Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 300----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  22. 22. 22Y1 + Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5 100Y1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5 100 SorgoY1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 100Problema 12. CONTROL DE LA CONTAMINACION La compañía Nori & Leets, una de las mayores productoras de acero del mundooccidental, está localizada en Stell Town que de momento emplea a cerca de 50.000residentes. La contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de laplanta, está arruinando la apariencia de la ciudad y poniendo en peligro la salud de sushabitantes. Como resultado durante las elecciones de un nuevo consejo directivo másresponsable, hubo una revuelta entre los accionistas. Los nuevos directores han decididoseguir políticas de responsabilidad social y están en pláticas con las autoridades de laciudad. Juntos han establecido estándares de calidad del aire para la ciudad. Los 3 tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos deazufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca suemisión anual. El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que elpersonal de ingeniería determine cómo lograr estas reducciones. Reducción requerida en la Contaminante tasa de emisión anual (millones libras) Partículas 60 Oxidos de azufre 150 Hidrocarburos 125 La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de contaminación, los altoshornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierroen acero. Los medios de abatimiento son: 1) aumentar la altura de las chimeneas 2) usar filtros en las chimeneas 3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todosestos métodos tienen limitaciones. Reducción de la tasa de emisión con el uso factible máximo del método deabatimiento para Nori & Leets.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  23. 23. 23 Chimeneas más altas Filtros Mejores combustiblesContaminante Altos Hornos hog. Altos Hornos hog. Altos horno hog. Hornos abierto Hornos abierto Hornos abiertoPartículas 12 9 25 20 17 13Oxidos de azufre 35 42 18 31 56 49Hidrocarburos 37 53 28 24 29 20 Los métodos se pueden utilizar en cualquier nivel fraccionario de su capacidadde abatimiento. Como operan de manera independiente, las reducciones logradas porcada método no se ven afectadas en forma sustancial si se usan también los otrosmétodos. La combinación de los 3 métodos a toda su capacidad resulta demasiado caro ymucho mayor de lo que se pide. Por lo tanto se tendría que utilizar alguna combinaciónde los métodos. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método deabatimiento, se tomaron en cuenta los costos iniciales o fijos: Costo total anual para eluso factible máximo del MA.Método de Abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto.Chimeneas más altas 8 10Filtros 7 6Mejores combustibles 11 9 El plan para disminuir la contaminación consistirá en especificar que tipo demétodos de abatimiento deben emplearse y a que fracciones de su capacidad para 1)Altos Hornos y 2) Hornos Hoagres Abiertos. El objetivo es minimizar el costo total sinviolar los requerimientos de la emisión.PRIMAL Minimizar: Z = 8X1 + 10X2 + 7X3 + 6X4 + 11X5 + 9X6 Sujeto a: 1) Reducción de emisión de contaminación----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  24. 24. 24 12X1 + 9X2 + 25X3 + 20X4 + 17X5 + 13X6 60 35X1 + 42X2 + 18X3 + 31X4 + 56X5 + 49X6 150 37X1 + 53X2 + 28X3 + 24X4 + 29X5 + 20X6 125 2) Tecnológicas XJ 1 3) No Negatividad XJ 0 Variables de decisión Método abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto Chimeneas más altas X1 X2 Filtros X3 X4 Mejores Combustibles X5 X6 Costo mín. ( X1, X2, X3, X4, X5, X6) = (1, 0’623, 0’343, 1, 0’048, 1)DUAL Máx. W = -60 Y1 - 150 Y2 - 125 Y3 Sujeto a: 12Y1 + 35Y2 + 37Y3 8 9Y1 + 42Y2 + 53Y3 10 25Y1 + 18Y2 + 28Y3 7 20Y1 + 31Y2 + 24Y3 6 17Y1 + 56Y2 + 29Y3 11 13Y1 + 49Y2 + 20Y3 9----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  25. 25. 25Problema 13 Un médico receta a uno de sus pacientes una dieta especial deadelgazamiento basado en tres productos (arroz, pescado y verduras frescas) quehan de combinarse de manera que cumplan una serie de requisitos mínimos encuanto a proteínas y calorías. Estos mínimos se sitúan en tres unidades deproteínas y en 4000 calorías. Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades por Kg: - el arroz contienen 1 unidad de proteínas y 2000 calorías - el pescado tiene 3 unidades de proteínas y 3000 calorías - las verduras frescas poseen 2 unidades de proteínas y 1000 calorías Si los precios de los tres productos básicos son respectivamente de 70, 120 y 50 pesetas el Kg ¿ cuál ha de ser la combinación de productos que cubriendo los requerimientos mínimos tenga el mínimo coste Las ecuaciones del problema son: Min. F(x) = 70 x1 + 120 x2 + 50 x3 s. a. 2000 x1 + 3000 x2 + 1000 x3 4000 x1 + 3 x2 + 2 x3 3 x1 0 ; x2 0 ; x3 0Problema 14. La empresa “A” se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y 50centímetros cúbicos. Posee una planta que está estructurada en cuatro----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  26. 26. 26departamentos: fabricación de los chasis, pintura, montaje y el departamento deO.K.- Line o verificación de calidad. Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos demotocicletas en los diferentes departamentos son los siguientes: Sección Sección Pintura Sección Sección O.K.- Fabricación Montaje Line ChasisMod. 500 8 6 8 4Mod. 250 6 3 8 2Mod. 125 4 2 6 2Mod. 50 2 1 4 2La distribución de los trabajadores es la siguiente: El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, el depintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.- Line de 10. Todos los trabajadoresrealizan una jornada laboral de 8 horas. Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200000, 140000,80000 y de 40000 ptas. respectivamente, ¿ cuál ha de ser la combinación óptima demotocicletas a producir para que el beneficio sea máximo?Función Objetivo: Max. F(x) = 200000 x1+140000 x2+80000 x3+40000 x4 s.a. 8 x1 + 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 200 6 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 144 8 x1 + 8 x2 + 6 x3 + 4 x4 240 4 x1 + 2 x2 +2 x3 +2 x4 80 x1 0 ; x2 0; x3 0; x4 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  27. 27. 27Problema 15. Una persona dedicada a la fabricación de artículos navideños producebolas, tiras de luces y estrellas luminosas. En la producción de una unidad de cadaartículo utiliza materias primas en las siguientes cantidades: Bolas Tiras EstrellasCable eléctrico -- 2 1 (metros)Bombillas -- 10 4 (unidades)Plástico 2 2 10 (bloques)Papel brillante 2 4 4 (hojas) Llegado el mes de Diciembre se encuentra con que su almacén proveedor hacerrado por quiebra y no le queda tiempo para reemplazarlo. Haciendo inventariode sus existencias contabiliza 100 m. de cable eléctrico, 400 bombillas, 1000 bloquesde plástico y 560 hojas de papel brillante. Por otra parte, sabe que, para que las tiendas admitan un determinado pedido,el número de bolsas ha de ser como mínimo el doble que el número de tiras yestrellas. El beneficio que proporciona cada unidad de producto esrespectivamente de 5, 8 y 10 ( bolas, tiras y estrellas) El fabricante se plantea cual debe ser su producción para que el beneficio seamáximo. Función objetivo: Max F(x)= 5x1 +8x2 +10x3 s.a. : 2x2 +x3 100 10x2 +4x3 400 2x1 +2x2 +10x3 1000 2x1 +4x2 +4x3 560 x1 2(x2 +x3) x1 0; x2 0; x3 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  28. 28. 28Problema 16. Cierta empresa produce cuatro artículos diferentes utilizando losmateriales A y B. Dada la distancia existente entre el almacén proveedor yla empresa, el proveedor establece como condición de servir los materialesque el consumo mínimo mensual de A y B debe ser de 5.600 y de 8.700unidades. La estructura del proceso productivo es la siguiente: Producto (1) Producto (2) Producto (3) Producto (4)Material A 200 150 100 45Material B 300 250 180 82 El coste unitario de producción es, respectivamente, de 90, 80, 50,24.¿Cuál debe ser la distribución de la producción para que los costes seanmínimos? Función objetivo: Min F(x) = 90x1 + 80x2 +50x3 +24x4 s.a : 200x1 +150x2 +100x3 +45x4 5.600 300x1 +250x2 +180x3 +82,5x4 8.700 x1 0; x2 0 ; x3 0 ; x4 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  29. 29. 29 Problema 17. Una refinería de petróleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero), el Venezuela (medio) y el México (pesado), cuyos precios en el mercado libre son de 40$, de 36$ y de 32$ el barril, respectivamente. De cada uno de los crudos en el proceso de destilación y refino se obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, así como unas pérdidas por obtención de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes barriles de los productos refinados: GASOLINA KEROSENO GAS-OIL REDIDUOS1 barril Arabia 0.40 0.20 0.30 0.101 barril Venezuela 0.30 0.20 0.40 0.101 barril México 0.20 0.30 0.40 0.10 La refinería ha firmado un contrato con una compañía multinacional para el suministro de 1.500.000 barriles de gasolina, 400.000 de keroseno y 700.000 de gas-oil , durante el próximo año. ¿ Qué cantidad debe adquirir de cada tipo de crudo para que el coste sea mínimo? Función objetivo: Min F(x) = 40x1 +36x2 +32x3 s.a. : 0.4x1 +0.3x2 + 0.2x3 1.500.000 0.2x1 +0.2x2 +0.3x3 400.000 0.3x1 +0.4x2 +0.4x3 700.000 x1 0; x2 0; x3 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  30. 30. 30 Problema 18. Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo en la empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un trabajador para cada máquina). La empresa, para realizar la selección, ha probado a 5 trabajadores en las 4 máquinas. Realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas el mismo trabajo, se ha obtenido la siguiente relación de tiempos. Trabajadores m1 m2 m3 m4 Máquinas t1 10 6 6 5 t2 8 7 6 6 t3 8 6 5 6 t4 9 7 7 6 t5 8 7 6 5 Determinar qué 4 trabajadores debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe asignar cada uno de los trabajadores contratados. Problema 19. La empresa “Química, S.A.” busca la definición de su proceso de producción en base a la fabricación de dos productos A y B. Para ello se consideran relevantes los siguientes criterios: se quiere conseguir el mayor beneficio posible con la producción y venta de A y B. Por otra parte la empresa desea respetar limitaciones relacionadas con las disponibilidades máximas de 1.000 y 800 unidades, respectivamente. Por otra parte, también existen limitaciones con la disponibilidad de la mano de obra que alcanza una cuantía máxima de 1.200 horas/hombre. Para mantener cierto nivel de actividad se considera que el volumen de producción total no debe bajar de 400 unidades entre ambos productos. Existe además, la limitación de no poder trabajar más de 20 días al mes por riesgo a sobrecarga en las instalaciones y a no poder operar más de 6 horas seguidas en las máquinas que generan ambos productos. Por razones medioambientales, esta empresa química no puede producir más de 10.000 productos al mes. Se trata de hallar la función de producción mensual, teniendo en cuenta los siguientes datos unitarios: Bº unitario Consumo unit. X Consumo unit. Y Mano Obra Días H/MProducto A 3 3 1 3h/h 2 2Producto B 4 1 2 2h/h 1 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  31. 31. 31Problema 20. Una entidad financiera tiene 5 tipos de préstamos para sus clientes, que tienenlos siguientes tipos de interés: Préstamos de 1ª hipoteca .................... 14% Préstamos de 2ª hipoteca .................... 20% Préstamos acondicion. vivienda.......... 20% Préstamos personales.......................... 10% Préstamos preferenciales.................... 8% La entidad tiene disponibles para prestar a sus clientes en estas cincomodalidades de préstamos hasta 250 millones de pesetas. Sin embargo se deben cumplirlas siguientes condiciones de política financiera de la entidad: a) los préstamos de 1ª hipoteca deben ser al menos el 55% del total de loshipotecarios. b) los préstamos de 2ª hipoteca no deben exceder del 25% del total. c) por razones impositivas para la entidad, que tiene un tipo impositivoprogresivo, el tipo medio de interés del total de los préstamos no debe exceder del 15%. ¿Cual debe ser la distribución de los préstamos de la entidad a fin de que semaximice la renta de interese y se verifiquen todas las limitaciones de políticafinanciera? Problema 21. (de Hiller - Liebermann) La compañía Wyndor Glass produce artículos de vidrio de alta calidad,incluye ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y moldurasde aluminio se hacen en la planta 1; los marcos de madera se fabrican en laplanta 2 y en la planta 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general hadecidido reorganizar la línea de producción. Se dejarán de producir variosproductos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad deproducción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos quehan tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto 1) es unapuerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  32. 32. 32ventana grande (4*6 pies) para vidrio doble con marco de madera. Eldepartamento de Marketing ha sacado por conclusión que la compañía puedevender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sinembargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad deproducción en la planta 3, no es obvio qué mezcla de los 2 productos sería lamás rentable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigaciónde operaciones que estudiara el asunto.Después de hacer algunas investigaciones, el departamento de I. de O.determinó: 1. el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta queestará disponible para estos productos. 2. el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producidapor minuto. 3. la ganancia unitaria por cada producto.Esta información se resume en la tabla. Como cualquiera que sea la capacidadutilizada por uno de los productos en la planta 3, el otro ya no puedeaprovecharla, de inmediato el departamento de I. de O. reconoció éste comoun problema de programación lineal clásico de mezcla de productos yemprendió la tarea de formular y resolver el problema. Capacidad usada por unidad de tasa de producción. Planta Producto Producto Capacidad 1 2 disponible 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Ganancia $3 $5 unitariaX1= Producto 1X2= Producto 2Función Objetivo: Max Z= 3X1+5X2Restricciones: X1<=4 2X2<=12 3X1+2X2<=18 X1, X2>=0DUAL:Función objetivo:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  33. 33. 33 Min Z = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3Restricciones: Y1 + 3Y3 >= 3 2Y2 + 2Y3 >=5Soluciones:PRIMAL DUALS1 = 2 Y3 = 1X2 = 6 Y2 = 1.5X1 = 2 Z = 36Z = 36Problema 22. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. MocholiArce y Sala Garrido). La empresa ¨A¨ se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y50 cc.Posee una planta que está estructurada en 4 departamentos: fabricaciónde los chasis, pintura, montaje y el departamento de O.k.-Line o verificación decalidad. Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos demotocicleta en los diferentes departamentos son los siguientes: Sección de Sección Sección Sección Fabricación Pintura Montaje O.K.-Line Chasis.Mod. 500 8 6 8 4Mod. 250 6 3 8 2Mod. 125 4 2 6 2Mod. 50 2 1 4 2 La distribución de los trabajadores es la siguiente: El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, elde pintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.-Line de 10. Todos lostrabajadores realizan una jornada laboral de 8 horas. Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200.000,140.000, 80.000 y de 40.000 pesetas respectivamente, ¿Cuál ha de ser lacombinación óptima de motocicletas a producir para que el beneficio seamáximo?. Se trata de un problema de PRODUCCIÓN cuyo objetivo es maximizar los beneficiosde una empresa que fabrica 4 modelos de motocicletas. Las restricciones se refieren almáximo de horas de trabajo en cada uno de los 4 departamentos.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  34. 34. 34Función objetivo: Max f(x) = 200.000 X1 + 140.000 X2 + 80.000 X3 + 40.000 X4Restricciones: 8 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 2 X4 <= 200 6 X1 + 3 X2 + 2 X3 + X4 <= 144 8 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 4 X4 <= 240 4 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 2 X4 <= 80 X1,X2,X3;X4 >=0DUAL:Función objetivo: Min f(x) = 200Y1 + 144Y2 + 240Y3 + 80Y4Restricciones: 8Y1 + 6Y2 + 8Y3 + 4Y4 >= 200000 6Y1 + 3Y2 + 8Y3 + 2Y4 >= 140000 4Y1 + 2Y2 + 6Y3 + 2Y4 >= 80000 2Y1 + Y2 + 4Y3 + 2Y4 >= 40000Soluciones:PRIMAL DUALX2 = 20 Y4 = 10000S2= 24 S4 = 20000S3 = 0 Y1 = 20000X1 = 10 S3 = 20000Z = 4800000 Z = 4800000Problema 23. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. Mocholi Arcey Sala Garrido). Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de pollos, unadieta mínima para la alimentación de las aves compuesta de 3 uds. de hierro y4 uds. de vitaminas. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5uds. de hierro y 1 ud. de vitamina, cada kilo de harina de pescado, 3 uds devitamina y cada kilo de cierto pienso sintético 1 ud. de hierro y 2 uds. devitamina. El granjero se pregunta por la composición de la dieta óptima queminimice el costo de la alimentación, sabiendo que los precios del maíz, laharina de pescado y pienso sintético son, respectivamente, de 20, 30 y 16pesetas. Se trata de encontrar la combinación de kilos de maíz (X1), de harina depescado (X2) y pienso sintético (X3) que minimice la función de coste.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  35. 35. 35 Se trata de un problema de asignación de dieta, para minimizar los costes de lamisma, sabiendo que ésta debe cumplir unos requisitos de contenido mínimo de hierro yvitaminas.Función objetivo: Min f(x) = 20 X1 + 30 X2 + 16 X3Restricciones: 5/2 X1 + 3 X2 + X3 >= 3 X1 + 3 X2 + 2 X3 >= 4 X1, X2, X3 >=0DUAL:Función objetivo: Max f(x) = 3 Y1 + 4Y2Restricciones: 5/2Y1 + Y2 <= 20 3Y1 + 3Y2 <= 30 Y1 + 2Y2 <= 16Soluciones:PRIMAL DUALX2 = 0.67 S1 = 4X3 = 1 Y1 = 4Z = 36 Y2 = 6 Z = 36----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  36. 36. 36Problema 24. (de Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.Wayne L. Winston) Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados detiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleadosde tiempo completo requerido para cada día son: DÍAS nº de empleados de tiempo completo requerido 1 = lunes 17 2 = martes 13 3 = miércoles 15 4 = jueves 19 5 = viernes 14 6 = sábado 16 7 = domingo 11 Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo,tiene que trabajar 5 días consecutivos y, después, descansar 2 días. La oficinade correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar sólamenteempleados de tiempo completo. Formule un P.L. que pueda utilizar la oficina decorreos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hayque contratar. Se trata de un problema de establecimiento del horario de trabajo con 7 variables y 7restricciones referentes al número mínimo de empleados de tiempo completo requeridos pordía.Variables: Xi = número de empleados que empiezan a trabajar el día i; i= 1,...,7Función objetivo: Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7Restricciones: X1 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 17 (restricción del lunes) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 >= 13 (restricción del martes) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 >= 15 (restricción del miércoles) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 >= 19 (restricción del jueves) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 >= 14 (restricción del viernes) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 >= 16 (restricción del sábado) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 11 (restricción del domingo) Xi >= 0 ( i = 1,...,7) (restricción de signo)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  37. 37. 37DUAL:Función objetivo: Max Z = 17Y1 + 13Y2 + 15Y3 + 19Y4 + 14Y5 + 16Y6 + 11Y7Restricciones: Y1 + Y2 +Y3 +Y4 +Y5 <= 1 Y2 + Y3 +Y4 +Y5 +Y6 <= 1 Y3 +Y4 +Y5 +Y6 +Y7 <= 1 Y1 + Y4 +Y5 + Y6 +Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y5 + Y6 + Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y3 + Y6 + Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y7 <= 1Soluciones:PRIMAL DUALX4 = 7.33 Y4 = 0.33X1 = 6.33 Y6 = 0.33X6 = 3.33 Y7 = 0X3 = 0.33 Y1 = 0.33S2= 1.67 S5 = 0.33S5 = 5 Y3 = 0.33X2 = 5 S7 = 0Z = 22.33 Z = 22.33Problema 25. (Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. WayneL. Winston). Star Oil Company considera 5 diferentes oportunidades de inversión. Enla siguiente tabla se muestran los desembolsos de caja y los valores actualesnetos (en millones de dólares). Salidas caja Inversión 1 Inversión 2 Inversión 3 Inversión 4 Inversión 5 Tiempo 0 11 53 5 5 29 Tiempo 1 3 6 5 1 34 VAN 13 16 16 14 39----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  38. 38. 38 La compañía dispone de 40 millones de dólares para invertir en elmomento actual ( tiempo 0); estima que en un año (tiempo 1) dispondrá de 20millones de dólares para invertir. Star Oil puede comprar cualquier fracción decualquier inversión. En este caso, las salidas de caja y los VAN se ajustan deforma correspondiente. Star Oil quiere maximizar el VAN que se puedeobtener mediante las inversiones 1 a 5. Formule un P.L. que ayude a alcanzaresta meta. Supóngase que los fondos no usados en el tiempo 0 no se puedenutilizar en el tiempo 1.Solución: Star Oil tiene que determinar qué fracción de cada inversión hay quecomprar. Definimos: Xi = fracción de la inversión i comprada por Star Oil ( i = 1,..,5) La meta de la compañía es maximizar el VAN ganado por lasinversiones. Se trata de un problema de inversiones con un presupuesto limitado.Función Objetivo: Max Z = 13 X1 + 16 X2 + 16 X3 + 14 X4 + 39 X5Restricciones: 11 X1 + 53 X2 + 5 X3 + 5 X4 + 29 X5 <= 40 (restricción del tiempo 0) 3 X1 + 6 X2 + 5 X3 + X4 + 34 X5 <= 20 (restricción del tiempo 1) X1 <= 1 X2 <=1 X3 <= 1 X4 <= 1 X5 <= 1 Xi >= 0; i = 1,...,5.DUAL:Función objetivo: Min Z = 40Y1 + 20Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7Restricciones: 11Y1 + 3Y2 + Y3 >= 13 53Y1 + 6Y2 + Y4 >= 16 5Y1 + 5Y2 + Y5 >= 16 5Y1 + Y2 + Y6 >= 14 29Y1 + 34Y2 + Y7 >= 39----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  39. 39. 39Soluciones:PRIMAL DUALX2 = 0.20 Y3 = 7.95X5 = 0.29 Y1 = 0.19X1 = 1 Y5 = 10.12S4 = 0.80 Y6 = 12.06X3 = 1 Y2 = 0.98X4 = 1 Z = 57.45S7 = 0.71Z= 57.45Problema 26. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)Supongamos que pretendemos realizar una encuesta para determinar la opinión de losespañoles acerca del problema de la inmigración. A fin de que la misma searepresentativa desde un punto de vista estadístico, exigiremos que ésta deba cumplir lossiguientes requisitos: 1. Entrevistar al menos un total de 2.300 familias españolas 2. De las familias entrevistadas, al menos 1.000 deben cumplir que su cabeza de familia no supere los 30 años de edad 3. Al menos 600 de las familias entrevistadas tendrán un cabeza de familia con edad comprendida entre los 31 y los 50 años 4. El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevadatasa de inmigración no debe ser inferior a un 15% del total 5. Finalmente, no más de un 20% de los entrevistados mayores de 50 años pertenecerán a zonas con alta tasa de inmigraciónAdemás todas las encuestas deberán realizarse en personaA continuación indicamos el coste estimado en euros de cada encuesta según la edad delencuestado y si procede o no de una zona con alta tasa de inmigración: ZONA EDAD 31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD 50 AÑOS Tasa de inmigración 7.50 6.80 5.50 elevada Tasa de inmigración 6.90 7.25 6.10 bajaObviamente, nuestro objetivo será cumplir todos los requisitos anteriores minimizandoel coste.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  40. 40. 40Definimos pues, nuestras variables de decisión (cuántos de cada grupo deben serentrevistados) tal como reflejamos en el cuadro siguiente: ZONA EDAD 31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD 50 AÑOS Tasa de inmigración E1 (A) E2(B) E3(C) elevada Tasa de inmigración B1(D) B2(E) B3(G) bajaY las restricciones vienen expresadas por los requisitos que se han de cumplir.Luego nuestro modelo matemático es:Min 7.5 A + 6.8 B + 5.5 C + 6.9 D + 7.25 E + 6.1 FstA + B + C + D + E + F >= 2300A + D >= 1000B + E >= 600A + B + C - .15 A - .15 B - .15 C - .15 D - .15 E - .15 F >= 0C - .2 C - .2 F <= 0endgin 6LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE VALUE = 15166.0000FIX ALL VARS.( 2) WITH RC > 0.000000E+00NEW INTEGER SOLUTION OF 15166.0000 AT BRANCH 0 PIVOT 4BOUND ON OPTIMUM: 15166.00ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUNDRE-INSTALLING BEST SOLUTION...----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  41. 41. 41 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 15166.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST A 0.000000 7.500000 B 600.000000 6.800000 C 140.000000 5.500000 D 1000.000000 6.900000 E 0.000000 7.250000 F 560.000000 6.100000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 395.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000NO. ITERATIONS= 4BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0Problema 27. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)Una compañía de ámbito nacional produce y distribuye una línea de bicicletasde alta competición. La empresa tiene líneas de montaje en dos ciudades:Castellón y Sabadell, mientras que sus principales cadenas de distribuciónestán localizadas en Madrid, Barcelona y Vitoria.La oficina de Madrid presenta una demanda anual de 10.000 bicicletas,mientras que la de Barcelona solicita 8.000 y la de Vitoria 15.000.La planta de Castellón puede producir hasta 20.000 bicicletas anuales, por15.000 la de Sabadell.Los costes en euros de transporte por unidad son los siguientes:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  42. 42. 42 MADRID BARCELONA VITORIA CASTELLON 2 3 5 SABADELL 3 1 4La Compañía pretende establecer una plan de distribución que minimice sus costesanuales.Para su solución, definimos las variables de decisión que definen las cantidades queenvío desde las plantas montadoras a las ciudades donde tenemos el mercado (p.e CVindica la cantidad de bicicletas que envío desde Castellón para su venta en Vitoria).Así pues, nuestras variables de decisión son: CM, CB, CV, SM, SB y SVLa función objetivo: Minimizar Costes, luego: Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SVY las restricciones son las que establece el estudio de Mercado y la capacidad deproducción de ambas plantas, luego: CM + SM = 10000 CB + SB = 8000 CV + SV = 15000 CM + CB + CV 20000 SM + SB + SV 15000siendo todas las variables enteras.Con el LINDO:Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SVSTCM + SM = 10000CB + SB = 8000CV + SV = 15000CM + CB + CV <= 20000SM + SB + SV <= 15000endGIN 6----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
  43. 43. 43 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 96000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST CM 10000.000000 2.000000 CB 0.000000 3.000000 CV 8000.000000 5.000000 SM 0.000000 3.000000 SB 8000.000000 1.000000 SV 7000.000000 4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 2000.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000NO. ITERATIONS= 2BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores

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