Your SlideShare is downloading. ×
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Sol bal
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Sol bal

531

Published on

solucionario del algebra de baldor

solucionario del algebra de baldor

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
531
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. EJERCICIO 1 1. Una deuda se expresa en sentido negativo. Luego inicalmente el estado económico de Pedro es - 60 bs. Al recibir 320 bs. Aumenta su capital tantos bs. como ha recibido; entonces la operaciòn queda expresada como se indica − 60 + 320 = + 260 bs. EJERCICIO 3 1. + 32 m ; − 16 m 2. + 10 m ; − 4 m 3. 50 − 85 = − 35 m 4. − 6 ⋅11= − 66m 2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres 3. 200 + 56 − 189 = + $ 67 5. -8 × 6 =-48 m 9 × 6 =+ 54 m 4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles 5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30 6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9 7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones 8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0 EJERCICIO 2 1. 12 − 15 = − 3! 400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor − 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo 7. Los 40 pies de longitud del poste se reparten asi: 15 pies que sobresalen - se asumen en sentido positivo- . 25 pies que se encuentran enterrados. - se asumen en sentido negativo - . Al introducir 3 pies màs, se adicionan a los que estan bajo el suelo y se deben descontar de los que estan por encima. Aritmèticamente significa: 40 = 15 + 25 − 25 − 3 = − 28 pies + 15 − 3 = + 12 pies 2. − 3 + 8 − 6 = − 1! 3. 6. 15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18! ( ) 4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13! 8. 55 − 52 = + 3 m 5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6! 6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4! → 7 am − 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0! → 8 am − 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12! → 11am 9. − 32 + 15 = − 17m 10. 35 − 47 = − 12 m 11. − 39 + 56 = + 17m 12. 90 − 58 − 36 = − 4 m 7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5! → 10 am − 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7! → 11am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4! → 12 am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2! → 2 pm 8. − 56 + 7 = − 49! 9. − 71 + 5 = − 66! long − 15 + (− 5) = − 20! lat. 10. 18 + 3 =+ 21! long 65 -4 =+ 61! lat. 11. -75 +135 =+ 60 años 13. 72 72 72 72 − 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m 14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km − 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0 − 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km − 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km
  • 2. EJERCICIO 7. 1. x + 2x = 3x 27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a 28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1 2. 8a + 9a = 17a 29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y 3. 11b + 9b = 20b 30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am 4. − b − 5b = − 6b 5. − 8m − m = − 9m 31. 6. − 9m − 7m = − 16m 1 1 1 4 + 2 +1 + 8 15 a+ a+ a+a = a= a 2 4 8 8 8 2 1 1 1 8 + 10 + 2 + 1 21 ax + ax + ax + ax = ax = ax 5 2 10 20 20 20 7. 4a x + 5a x = 9a x 32. 8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1 33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m 9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1 34. − 1 1 1 ab − ab − ab − ab 7 14 28 − 4 − 2 − 1− 28 35 5 = ab = − ab = − ab 28 28 4 10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2 11. 1 1 1+ 1 2 a+ a= a = a =a 2 2 2 2 3 1 6ab + ab 7 ab + ab = = ab 12. 5 10 10 10 13. 1 1 2 +1 3 1 xy + xy = xy = xy = xy 3 6 6 6 2 14. − 1 4 − 1− 4 5 xy − xy = = − xy = − xy 5 5 5 5 15. − 5 2 1 − 20 − 3 2 23 2 a b − a 2b = a b =− ab 6 8 24 24 7 −8−7 15 16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a 17. 8a + 9a + 6a = 23a 2 3 1 1 1 3 x y − x 3y − x3y − x y 3 6 9 12 −2 4 − 6 − 4 − 3 3 37 3 x y=− x y = 36 36 35. − 36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2 37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m 38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1 39. 1 1 1 1 1 a+ a+ a+ a+ a 2 3 4 5 6 30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29 a= a= a = 60 60 20 1 1 1 1 1 ab − ab − ab − ab − ab 3 6 2 12 9 −12 − 6 − 18 − 3 − 4 43 = ab = − ab 36 36 40. − 18. 15x + 20x + x = 36x 19. − 7m − 8m − 9m = − 24m 20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b 21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x 22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1 EJERCICIO 8 1 2 6+3+4 13 a= a 23. a + a + a = 2 3 6 6 1. 8a − 6a = 2a 24. − x − 25. 2 1 − 6 − 4 −1 11 x− x= x=− x 3 6 6 6 1 3 2 + 3 + 10 15 3 ax + ax + ax = ax = ax = ax 5 10 10 10 2 3 4 5 6 2 2 2 26. − a x − a x − a x = −9 − 10 − 12 2 31 2 a x=− a x 12 12 2. 6a − 8a = − 2a 3. 9ab − 15ab = − 6ab 4. 15ab − 9ab = 6ab 5. 2a − 2a = 0 6. − 7b + 7b = 0 7. − 14xy + 32xy = 18xy
  • 3. 8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y 35. 9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y 10. −m2n + 6m2n = 5m2n 11. − 15xy + 40xy = 25xy 12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2 5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1 a − a = a = a = a 6 12 12 12 4 2 36. 4a − 1 2 12 − 1 2 11 2 a = a = a 3 3 3 37. − 5mn + 3 − 20 + 3 17 mn = mn = − mn 4 4 4 13. − x 2 y + x 2 y = 0 38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3 14. −9ab 2 + 9ab2 = 0 39. − 15. 7x2 y − 7x2 y = 0 16. − 101mn + 118mn = 17mn 7 m n m n −7+8 m n 1 m n a b +a b = a b = a b 8 8 8 40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy 17. 502ab − 405ab = 97ab 18. − 1024 x + 1018x = − 6x 19. −15ab + 15ab = 0 EJERCICIO 9 20. 1 3 2−3 1 a− a= a=− a 2 4 4 4 1. 9a − 3a + 5a = 11a 21. 3 1 3−2 1 a− a= a= a 4 2 4 4 3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn 22. 5 2 5 2 10 − 5 2 5 2 a b− a b= a b= a b 6 12 12 12 5. 19m − 10m + 6m = 15m 4 2 9 2 −8+ 9 2 1 2 x y= x y= x y 23. − x y + 7 14 14 14 3 5 3 − 10 7 am − am = am = − am 24. 8 4 8 8 25. − am + 26. 3 −5+3 2 am = am = − am 5 5 5 5 7 20 − 21 1 mn − mn = mn = − mn 6 8 24 24 2 27. − a b + − 11+ 3 2 3 2 8 a b= a b = − a 2b 11 11 11 28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3 , 29. − 12yz + 3,4yz = 2,2yz 30. 4a x − 2a x = 2a x 31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0 32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1 33. − x a + 1 + x a + 1 = 0 34. − 1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2 a a + a = = a 4 2 4 4 2. − 8x + 9x − x = 0 4. − x + 19x − 18x = 0 6. −11ab − 15ab + 26ab = 0 7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X 8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0 9. 2 1 2 + 1− 3 0 y+ y−y= y= y=0 3 3 3 3 10. − 11. 3 1 1 − 12 + 5 − 10 17 m+ m− m = m =− m 5 4 2 20 20 3 2 1 3+2− 8 2 3 a b + a 2b − a 2b = a b = − a 2b 8 4 8 8 12. − a + 8a + 9a − 15a = a 13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab 14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0 15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy 16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab 17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2 18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax 19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0 20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0
  • 4. 21. 1 1 1 1 30 − 20 + 15 − 12 13 x− x+ x− x= x= x 2 3 4 5 60 60 EJERCICIO 10 22. 1 1 1 1 4 − 4 + 2 −1 1 y− y+ y− y= y= y 3 3 6 12 12 12 1. 7a + 6a − 9b − 4b − 9b − 4b = − 13b 7a + 6a = 13a = 13a − 13b 3 2 1 2 1 2 2 23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b 18 − 5 + 10 − 30 2 7 2 = a b=− a b 30 30 5 2 1 2 3 2 2 24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab − 20 − 4 + 24 − 9 2 9 3 ab = − ab 2 = − ab2 = 24 24 8 25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a 26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c 27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn 28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0 29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a 30. 1 2 7 1 x+ x− x+ x−x 2 3 6 2 3+4−7+3−6 3 1 x=− x= − x = 6 6 2 3 1 5 31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x − 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5 = x=− x= − x 24 24 6 32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0 33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1 34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a 35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b 36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b 37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x = − 1340m2 x 38. 5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2 6 3 4 8 20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2 = ab = ab 24 24 37 3 2 = a b = 4 5 a 3b 2 8 8 39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a 40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0 2. a + b − c − b − c + 2c − a a−a =0 b −b =0 =0 − c − c + 2c = 0 3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y 5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y = 25x − 12y − 10 − 9 − 1 = − 10 4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11 − 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n = − 13m + 7n − 6 5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b − a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0 = 2a 5 − 11= − 6 − 2c + 2c = 0 6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y − 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0 = − 30z − 30z 7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab 15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2 − 6ab − 5ab − ab = − 12ab 20 − 31= − 11 = 8a − 12ab − 11 2 8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b −3a − 6a + 31a − a = 21a 4b + 81b − 114b − b = − 30b = 21a − 30b 3 4 2 3 4 2 3 3 9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b − 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b − 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0 = − 48a 3b 10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c −a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0 − c − 2c + 3c = 0 8 − 19 − 3 = − 14 = − 2a − 14
  • 5. 2 2 3 2 2 3 11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m 3 3 3 2 2 2 m + 6m = 7m m − 14m − m − 115m2 = − 129m2 mn 71 − 65mn = 6mn = 7m3 − 129m2 + 6mn 4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3 12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50 − x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2 x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y x 2y − x2y = 0 − y3 − 10 − 9 + 50 = 31 = 14x y − 7x y − y + 31 4 3 2 3 13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3 − 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0 = − 25 − 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0 5a x + 1 − 5a x + 1 = 0 − 50 − 65 + 90 = − 25 14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3 − x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3 =−x m+3 −a m+2 am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2 −3 15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c 0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a 0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b = 2,7a − 3,3b − 3,4c 16. 17. −5+8−6= −3 1 1 3 1 3 1 a + b + 2a − 3b − a − b + − 4 6 4 2 2 3 1 3 2+8−3 7 a + 2a − a = a= a 2 4 4 4 7 17 1 = a− b+ 4 6 4 0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c 1 1 2 − 18 − 1 17 b − 3b − b = b=− b 3 6 6 6 3 2 1 1 m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2 5 10 3 3 2 1 6 + 1− 20 2 13 m + m2 − 2m2 = m = − m2 5 10 10 10 13 2 1 = − m − mn 10 3 − 2mn − 3 1 3−2 1 − = = 4 2 4 4 − 6 − 1+ 6 1 1 mn + 2mn = mn = − mn 3 3 3 18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab 3 4 2 6 4 6 3 2−3−8 9 3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2 1 3 a = a ab − ab − 2ab = ab = − ab − a + a = 4 4 4 3 12 12 2 4 5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2 6 2 2 b =− b =−b − b + b − b = 6 6 3 6 6 19 2 9 2 a − ab − b = 12 4
  • 6. 3 2 2 1 xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6 8 5 4 2 2−2 2 x y=0 0,4x 2 y − x 2 y = 5 5 , 1 14 3 − 2,4 + 1 3 − 0,6y 3 + y 3 = y =− y = − 0,35y 3 4 4 4 = 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25 2 19. 0,4x y + 31+ 3 7 m − 2 3 m−1 1 m− 2 1 + a − − 0,2a m − 1 + b m − 2 b b 50 5 25 5 3 m − 1 3 m −1 3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1 a + a − 0,2a m − 1 = a = a 25 5 25 25 13 m − 1 1 m − 2 = a + b 25 50 a 20. 25 m−1 , , 3 2 3 − 16 2 14 2 xy − 0,2xy 2 = xy = xy = 0,175xy 2 8 8 8 31− 6 = 25 − − 7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2 − + b = = b b b b 50 25 5 50 50 EJERCICIO 11 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4 1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6 2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120 4 2 2 2 1 1 3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = = 2 3 6 3 12. 4a 4 ⋅1 4 2 = = = 3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9 2  1 1 5⋅ 2 2 ⋅   20 ⋅  2 5b m 4 = 5 = 60 13. = = 1 1 1 1 np ⋅ 3 4 12 12 2 2  1   1  2   3 3 4. 24m n p = 24     ⋅ 2 3 1 1 1 6 1 = 6⋅ ⋅ = = 4 27 4 108 18 3 5. 2 4 2 3 2 4 2  1 2 1 8 1 a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅   = ⋅ 4⋅ = =  2 3 3 3 8 24 3 6. 7 3 2 7  1  1 189 1 1 189 63 ⋅ ⋅ = = c p m = ⋅ 33 ⋅   ⋅ =  4  2 12 16 2 384 128 12 12 14. 2 2  1   1  2   3 3 b c a 7. m n p =     ⋅ 8. 9. 1 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = 4 4 27 4 432 5 b −1 c − 2 5 2 −1  1  a ⋅ m = ⋅1 ⋅    2 6 6 3− 2 5 1 5 = ⋅ = 6 2 12 2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6 3 2 10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅ 4 3 11. mn ⋅ 8a b = 15. 1 3 ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12 2 1 1 1 8 4 ⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = = 2 3 6 6 3 16. 2 3 3 3 3 3 ⋅ 8 24 b ⋅2 6 4 =4 = 4 = 4 = =1 2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6 c ⋅3 3 3 3 3 1 2 = 1 = 1=3 = 2 1 1 n2  1   9 3  3 2m 2⋅ 1 1 24 ⋅ ⋅ 2 3 = = 2 2 2 ⋅ n2 p2  1  1  2⋅ 2⋅      3  4  24mn = 4 4 = = 24 1 1 2⋅ 12 6 24 4 6 = 1 1 1 2⋅ ⋅ 9 16 144
  • 7. 3 3 6 3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 3 ⋅ 36 17. 3 ⋅ 64b c = = 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216 1 2m 2⋅ 2 18. 3 1 3 3 ⋅ 1⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ apb 2 5 4 5 5 = = 3 3 ⋅ 125bm 3 ⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3 2 2 2 2 4 3 3 ⋅ 1 4 5 5 = = = 250 3 ⋅ 3 125 3 ⋅ 5 2 2 2 3 5 = 6 = 2 15 75 25 2 EJERCICIO 12 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores: a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4 1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1  1  3 2 1 1  1 3 2  2 2 2 2 2. c + 2cd + d =   + 2 ⋅ ⋅ +   = 3. 1 1 1 4 + 12 + 9 25 + + = = 9 3 4 36 36 a b 3 4 + = + = 9 + 8 = 17 1 c d 1 3 2 1 c m 6 2 2 − 72 + 6 64 − +2= 3 − + 2 = − 24 + 2 = =− 4. 1 1 3 3 d n 3 2 4 5. a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36 − + = − + = − + = 3 − 8 + 6 =1 3 2 6 3 2 6 3 2 6 6. 3 1 3 1 1 1 1 1− 10 + 5 4 c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1= =− 5 2 5 3 2 2 5 5 5 1 1 3⋅ 4⋅ ab ac bd 3 ⋅ 4 3 − 2 = 12 + 1 − 2 = 48 + 2 − 1 = 144 + 6 − 1 = 149 = 49 2 + − = + 3 1 1 6 1 1 7. n 3 3 3 6 d m 4 2 2 4 8. b + n + 6m = 4 + 1 1 4 + 1+ 12 17 1 + 6⋅6 = 2 + + 6 = = =8 2 4 2 2 2 1 3 1 2 1 4 2 2 9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅ 10. ma 63 216 = = 216 ⋅ 16 = 3.456 4 = b 1 d  1   16  2 1 1 1 1 1 2 − 16 + 1 13 = ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + = =− =−6 2 3 2 4 2 2 2 1 2
  • 8. 2 2  1  1 1 1 3  4  11. 3 c 2 + 4n =  3 +  4  = 3 + 4 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 1 4 4 6 4 6 12 24 24 24 8 m 2 2 2 12. 4d 2 16n 2 2 8 1 1  1  1 + − 1= 2 ⋅   + 8 ⋅   − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0  2  4 2 2 4 16 2 2 13. a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10 − = − = − = 21− 20 = 1 1 1 1 1 c d 3 2 2 3 14. 1 2 b−a m−b 4−3 6−4 + + 5a = + + 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23 1 1 1 1 n d 4 2 2 4 12c − a 16n − a 1 − + = 15. m d 2b 1 1 − 3 16 ⋅ − 3 1 1 3 − 4 + 48 47 1 4−3 4−3 3 4 − + = − +2= − +2= = = 1 23 24 1 8 6 8 6 24 24 2⋅4 6 2 12 ⋅ 3⋅ 3 6⋅6 3a 6m 9 − = 4⋅4 + − = 16 + − 3 6 3 6 3 16. 4b + 17. b + 2d 3c + 8d − = 2 4 2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d 18. + 3 4 2 2 2 4 + 2⋅ 2 1 2 3⋅ − 36 3 6 = 4 + − = 4 + 1− 1= 4 6 3 6 1 1 + 8⋅ 3 2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3 = − = − = = 4 2 4 2 4 4 4  1 3⋅ 2 +    2 2 9 3⋅ 2⋅ 3 ⋅4 1 2 ⋅ 144 1 4 − a⋅ n = + − 3⋅ = + − 3⋅ 3 4 4 3 4 2 3 9 2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3 9 3 64 + 9 − 12 61 5 = + − = + − = 8+ − = = =78 3 4 2 3 4 2 8 2 8 8 2 2 EJERCICIO 13 Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0 1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5 ( )( ) ( ( )( )( ) ) 2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3  1   4 − 1  9 − 2  2 3 7 7 7+8 2 2   + 4= ⋅ + 4= + 4= 3. b − m c − n + 4a =  2 −   3 −  + 4 ⋅ 1 =   2   3  2  3  2 3 2 2 4. 1 1    (2m + 3n)(4 p + b ) =  2 ⋅ 2 + 3⋅ 2   4 ⋅ 4 + 2  = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15   3  2 ( )( )( 2 )  1 1 ( ) 2  ( ) 2 2 2 2 5. 4m + 8 p a + b 6n − d =  4 ⋅ + 8  1 + 2  6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0  2  3  4 = 15 1 =72 2
  • 9. ( )( )( )( ) ( )( 1 ) 2 )(  2 − 1 1  = 4  4 1 4 6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1  −  = 1⋅ 1⋅ 1    ( ) ( ) ( 7 168 − 7 161  1 2  3+ 4 +  + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 −  = = 26 5  = 28 − = 6  6  2 3 6 6 6 ) 2 2 2 2 7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1   ( ) ( 1 2 ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14 1  1 16 ⋅   8⋅  8m 16 p  2+ 4  ⋅1 = 4 + 4 = 4 + 2 = 2 + 2 = 2 + 6 = 8 = 2 2 +   a= 3 9.  9n 18 2 6 b  2  3 3 3  9⋅ 2  3  3 ( ) b c a 10. x + m a + d − c = 0 + ( ) 1 2 3 1 1 1 (1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 2 ⋅ 62 = 31 2  1 1 4 +  2 2 3 5 3 27 4 1 + 2  2 + 1 1 + 4 ÷ = 4 ÷ = 4⋅ ÷ = = =52 5 2  4  1 3 9 4 9 5 5 9 4 m + p a 2 + b2 2 11. ÷ = 2 a c ( )( )( 12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p ) 1  1 2 1  2 1 2  1 =  2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅   8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅   9 ⋅ + 20 ⋅  = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176  2 2  3 4 3 4  4 3 ( ) ( ) ( 2 2 2 13. c m + n − d m + p + b n + p 1 = 32  + 2 ) 2 7 3 11 21 44 126 − 144 + 44 26  1 1  2 1 2  − 4 2  +  + 2 2  +  = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 + = = = 2 12 = 2 1 6  2 4  3 4 3 6 4 12 2 12 12 12  c2 + d 2  32 + 4 2 2  1  9 + 16 2  1  25 2  1 2  1 5 1   m=  ⋅ =  ÷ ÷ 14.     2  1 ÷ 2  ⋅ 2 =  1 ÷ 2  ⋅ 2 = 5⋅ 2 = 2 = 2 2 1 a 4 d       15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a ) 2 1 1   1   1  =  4 ⋅ + 2 ⋅ 2  18 ⋅ − 24 ⋅  + 2  8 ⋅ + 2  40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162  4   2  3 4 4  2 2 2 5+  1 d 2 4 2+ 4 1 6   a+ 5 + 2 1+  2 b⋅ m = 2⋅ 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 13 = 3 ⋅ 208 = 624 = 312 = 16. 1 d −b p2 4 − 2  1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2   16 16 16 16  4 5+ ( ) ( ) 1 2  2  3 2 1 2 2 3 2 6 2 90 − 2 88 = = 14 4 = 14 2 6 3 6 6 6 2 2 2 17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅   = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =  2  1+ 3 6⋅   a+c 6n  1  4 4 1 2 4 3   ÷ (c + d )⋅ p =   ÷ 7⋅ = = + + ÷ (3 + 4)⋅ = + 18.  2  2 2  4  2 2  2 7 7 b      2  
  • 10. ( ) ( ) 2 n 6 1 1 2 = 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3 2 2 4 2 3 19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p − 20. 6abc 3mn cdnp + − 2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc 1 2 2 1 3⋅ ⋅ 3⋅ 4 ⋅ ⋅ 2 3 3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11 = + − 1⋅ 2 ⋅ 3 24 24 12 2 ⋅ 8⋅ 2 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3 2(2 − 1) 6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 21. a 2 + b2 12 + 2 2 5 5 5 + 216 221 + 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 = = = 73 2 3 2 2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2 b −a 2 − 12 3 3 3 3  1 1   1 1  1 1  +  +  + +   a b   b c   n m 2 2 22. b +  2   2 2 5  7 21 49 70 35  3 5  3   1 1   1 1  1 1  2 1 = = = 17 2 = 2 +  +   +  +  +  = 4 +  ⋅  +  + 2 = 4 + +   = +  2 6  2   1 2   2 3  2 1  4  2 4 4 4 2  3 2 (2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m 23. 2 n2 2  1 1 4 4 4 189 − 4 185  1   1  2 5 =  2 ⋅ + 3⋅   4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4     = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − = = = 20 9  2   2   3 3  4 4 9 9 9 9 9 2 2 c 2 2 3 22 − 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26 3 − n = 1 3 7 9 7 9 1 1 24. 2ab − m b − m 63 63 4− 2− 2 ⋅1⋅ 2 − 2 2 2 2 2 b2 − EJERCICIO 14 ( ) 10. $ x + a − m 1. a + b + m 2. m2 + b3 + x 4 ( ) 11. m − a − b − c Km 3. a + 1 ; a + 2 12. $ (n − 300) 4. x − 1 ; x − 2 13. 5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6 14. $ 8a ; $15a ; $ ma ( ) 6. $ a + x + m 7. m − n ( (365− x) días 15. 2a + 3b + ) 17. 23n m2 ( ) ( 20. (a + b)( x + y ) 21. $ (8 x + 48) 22. bs. (a − 8)(x + 4) 19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm 23. 75 sucres x 16. a ⋅ b m2 9. x − m Km c 2 18. x 2 m2 8. bs. x − 6 ( ) 24. $ a m )
  • 11. 3.000 25. n − 1 colones a +b 29. $ m − 2 x 26. a − 3 soles 27. m m 14 28.  30.  x + 2 x +  x +1 km h a  x  hab. 2  2a   a .  sucres 31. 1000 −  a + +  3 4    EJERCICIO 15 3 2 x y 8 − 32 + 3 2 3 29 2 x y=− x y − 4x 2 y + x 2 y = 8 8 8 1. m, n → m + n 20. − 4x 2 y , ( ) 2. m , − n → m + − n = m − n 3. − 3a , 4b → − 3a + 4b 4. 5b , 6a → − 6a + 5b ( ) 5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1 21. 6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3 7. − 2x , 3y → − 2x + 3y 8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m 9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a ( ) 3 3 mn , − mn 8 4 3 3 3−6 3 mn − mn = mn = − mn 8 4 8 8 22. a , b , c → a + b + c 23. a , − b , c → a − b + c 24. a , − b , 2c → a − b + 2c 10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x 25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p 11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m 26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2 12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab 13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy ( ) 14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn 1 2 1 2 a− b 15. a , − b → 2 3 2 3 16. 3 3 3 3 b, c→ b+ c 5 4 5 4 17. 1 2 1 2 3 b, b→ b+ b= b=b 3 3 3 3 3 18. − 1 1 1 1 2 xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy 2 2 2 2 2 3 2 abc , − abc 5 5 3 2 5 − abc − abc = − abc = − abc 5 5 5 19. − 27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2 28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6 29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b 30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n 31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b 32. 1 2 3 x, y, − x 2 3 4 1 3 2 4−6 2 1 2 x− x+ y= x+ y=− x+ y 2 4 3 8 3 4 3 3 2 33. − 5 m , − m , − 3 mn − 3 2 −3−5 2 8 2 m − m − mn = m − mn = − m − mn 5 3 5 3 5 3 34. − 7a 2 , 5ab , 3b 2 , − a2 − 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2
  • 12. 35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m 36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5 3 3 2 2 3 EJERCICIO 16 2 37. 5x2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2 1. 3a + 2b − c 2a + 3b + c 5a + 5b 38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3 = − 9a b − 6ab − 7b 2 2 3 2. 3 2 2 2 3 39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n 3 2 2 3 = m − m n + 7mn − n 40. 41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b 3. m+n−p −m−n+ p 4. 42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2 9x − 3y + 5 5. 2 2 2 2 44. 6a + 9a − 5ab − 7b − 8b − 11 a+ b − c 2a + 2b − 2c − 3a − b + 3c 2 45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8 2 2 3 3 4 = 2xy 3 − 4y 4 − 8 1 1 46. 3a − a + b − b − 4 + 6 2 2 6 −1 1− 2 5 1 = a+ b+2= a− b+2 2 2 2 2 47. 1 2 3 2 2 1 5 5 x + x + xy − xy + y 2 − y 2 2 4 3 3 6 6 2 + 3 2 2 −1 5 2 1 = x + xy = x + xy 4 3 4 3 48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2 3 2 2 2 1 1 49. x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2 4 3 3 3 3+ 4 2 3 1+ 15 2 7 2 16 2 x − xy + y = x − xy + y = 4 3 3 4 3 50. 3 2 1 1 1 5 a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2 4 4 2 2 6 3 − 1+ 4 2 3+3−5 3 2 1 2 = a b+ ab = a b + ab 2 4 6 2 6 ay + az 12. 5x − 7y + 8 − 4x − y + 6 − 3x + 8y + 9 − 2x + 23 13. − am + 6mn − 4s − am − 5mn + 6s 3am − 5mn − 2s am − 4mn 2b = 15a − 5ab − 15b − 11 2 2 − 5 ax − 7ay − 6az 4 ax + 9ay + 8az 3x = m3 − 8m2n − 7mn2 2 ax − ay − az 11. 0 − x − y +4 − 5x + 4 y − 9 43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z ab + bc + cd − 8ab − 3bc − 3cd 5ab + 2bc + 2cd − 2ab 7a − 4b + 5c − 7a + 4b − 6c −c 1 1 2 1 a − a + b+ b−6 2 4 3 5 2 −1 10 + 3 1 13 = a+ b−6= a + b−6 4 15 4 15 10. 6. p+ q+ r − 2p − 6q + 3r p + 5q − 8r − 4r 14. 2a + 3b 6b − 4c −a + 8c a + 9b + 4c 15. 6m − 3n 7. − 7x − 4y + 6z 10x − 20y − 8z − 5x + 24y + 2z − 2x − 4n + 5p − 5p 5m − 7n 16. 2a + 3b 8. − 2m + 3n − 6 3m − 8n + 8 − 5m + n − 10 − 4m − 4n − 8 9. − 5a − 2b − 3c 7a − 3b + 5c − 8a + 5b − 3c − 6a −m −c 8a + 5c − 4 +6 + 7c − 9 10a + 3b + 12c − 7 17. 2x − 3y 6x + 5z + 9 −4 −5 3y 8x + 5z
  • 13. 18. 8a + 3b − c 5a − b + c − 8a + 5a − 9a x −a −b − c 7a − b + 4c 19. 7x + 2y m 24. n − 11a x + 5am + 16an −4 4m + 9y − 6z + 5 − y + 3z − 6 8 x − 3y −5 − 7m + 2bc + 2cd − 3de − 2ab + 4bc + 3de − ab − 3bc − 6cd −m 2ab 26. a − b 23. b−c c+d 8x + y + z + u − 3x − 4y − 2z + 3u c−d −a m2 + n2 2a a 3 − 2a 2 − 4m a − ab + b 2 2 2 2a − a 2 − 11a + 15 − 3mn 2 8. 3x + x 3 3 x − 7x 2 −x 2 − 8x + 9x − 6 2 + 2x 3 3. x − x2 +4 x − x + 2x + 4 3 2 x 2 − 3xy + y 2 9. − x + 3xy − 2y 2 − 3a 2 + a3 x + 3xy − 2y 2 + 4a a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a 10. + 5a b − 4ab 2 a 2 − 7ab2 − b3 3 a 2 − 3ab + b 2 + xy 2 + y 3 15. x 3 + a − 5ab − b − x 2 + 3x 2 − 2a + 8ab − b 2 2x 3 2 4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3 2 +6 −b x 3 − x 2 + 3x + 6 6. x 2 − 4 x − 7x + 6 3x 2 2 2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3 2 x3 − b3 3 14. a 2 x 2 + 3xy − y 2 4 4. a + 8x − 5 3 −1 3x +5 3 − x + 4x − 6 3 − x2 + x − 6 13. − 4x 2 + 5 2 +6 + a − 7a + 4 − 5m − 5n 2 2x 2 − x 5. − 4a + 5 3 12. a + 4n2 − 3mn 1. x + 4 x x 2 − 5x +d −d a y + 3z + 2u 7. −c a 4x + 5y + 3z − 4u − 9x − y + z + 2u 2 2 2. a + ab − 2ab + b 2 + 2c 25. 5ab − 3bc + 4cd a+3 5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3 − m + 3n + 2p − 9 EJERCICIO 17 a+2 − 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3 15x + 7y − 3z − 10 20. − m − n − p m + 2n −5 − 6m + 3p + 4 5m + 2n −8 − 3a a +1 a+2 − 5ma + 3 22. 6m − 7m a +1 a+ b − c +d a− b + c −d − 2a + 3b − 2c + d − 3a − 3b + 4c − d − 14a x + 7am + 3c 19a 5a x − 3am − 7an 21. −5 4x 2 − 11x + 1 11. − 7x 2 + 5x − 6 4 x + 8x − 9 2 −x 2 − 7x + 14 − 4 x 2 + 6x − 1 x − 5x y 3 − y3 2 − 4xy 2 − 5y 3 − 7m2n 16. +m 2 − m + 7m n 3 + 4n3 + 6mn − n3 3 2 + 5n3 + 6mn2 + 8n3
  • 14. + x 3 − 4x 2 + a +5 − 4a + 4a m − 3am2 + a4 +a − 3a −6 − 3a + 3a m − 6am −6 3 +6 + a + a + a − 2a − a 5 4 3 + 3x 4 − 7x 2 − 3x + 5xy 4 + 2y 5 2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3 26. a 5 + a6 + a2 − 4x + 5 + a 4 + a3 + 6 + 3a 2 +a 20. a + a + a2 + 5 + 6 − 5a +a +a +4 6 4 3 − b4 a4 27. + 4a + 7 a 2 − 8 + 5a − 4a 2 5 3 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 − 8 a2 − 6 − 3a + 5a 3b − 4a 2b 2 4 −1 − 4a 3b + 3a 2b 2 − 2a 4 − x 2y2 − 5x 3 y − 4xy − y 5 4 x5 −a 4 21. x − y5 + 3x y 2 x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2 a 3 + 5a + 3x y 2 3 3 2 +6 3 − xy 4 + 2x y + x −9 5 19. x 2 − x 3y 2 4 + a 3 − a 2 − 14 6 2 5 25. x +8 3 2 + 7a 2m − 4am2 x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11 5 − 5am2 + m3 3 3 + 7x 2 − 4x + 6 6 18. + a − 8a 2m + 6am2 − m3 24. − x2 + x 4 17. x + 6xy 3 − 4x y − ab 3 − 4b 4 m3 − n3 + 6m2n 28. − 4 xy 3 + y 4 + n3 − 4m2n + 5mn2 −6 2 2 − 3b 4 x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6 m − n3 + 6mn2 3 − 2m + n − 2m n 3 3 2 11mn2 2 22. + x + xy + 5a − x 2 + 6xy + 5y 2 x −1 + ax −1 − 7 x 2 + 7 xy − y 2 a + 6a x a 3 − 8ax 2 + x 3 3 a + 14ax − x 3 5a 3 2 − 13a x − 3 − 3a + ax − 4 −a x+3 + 4a x 3 − 2x 3 x−2 + ax + 2 − 3a 2 − x 3 − 5a 2 x 3a 3 x −1 30. − a x + a x + 1 − 6ax − x + 5a x 2 + 6a x − 3 + 7a x − 3 + a x − 4 − 6x 2 − 4xy + y 2 23. − 3a x − 2 x 29. a − x 2 + 4 xy − 7y 2 −a x −1 +a x+3 − 5a x + 2 +a x −1 −a − 2a x + a x + 1 + a x + 3 ⇒a x+3 − 3a x+2 x−2 +a x−2 + ax + 2 − 3a x + 2 x +1 − 2a x
  • 15. EJERCICIO 18 1. 1 xy 3 1 xy + 2 5 2 x − 6 1 − x2 + 6 1 − x2 + 3 6. 1 2 x + 2 1 + y2 4 1 2 2+3 1 1 5 1 x + xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 2 6 4 2 6 4 1 2 2. a + 2 ab 1 − ab 4 1 − ab 4 1 2 b 2 1 − b2 5 2 xy 3 1 − xy 6 5 − xy 6 + 8. + y2 2 xy + 5 1 + xy + 10 − 1 2 y 2 1 2 y 6 1 2 y 3 2 2 a 3 5 2 a 6 1 2 − a 12 1 ab 5 1 − ab 10 1 + ab 20 + + b3 − 2b 3 + − 3 3 b 5 − − − x2 + 5 2 3 x − 3 5 3 x − + 6 + − 3 4 x 5 2 3 m 3 1 mn2 + 4 1 mn2 − 8 2 3 n 5 3 3 n 5 − − + n3 m3 1 2 b 2 1 2 b 6 1 2 b 3 − 3 + 1− 2 2 8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1 a + ab + b 12 20 6 17 2 3 4 17 2 3 2 = a + ab − b2 = a + ab − b2 12 20 6 12 20 3 5 2 a b 6 1 2 a b 2 3 x 8 3 x 4 5−3 4 2 4+5 3 −3−6 x − x + 2+ x + x 5 6 8 2 9 9 2 3 9 = x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2 5 6 8 5 2 8 9. − 3 + 1+ 2 2 3 2 3 3 2 − 4 +1 x + xy + y = x − xy 4 10 6 4 10 5. x4 − 4 − 1− 5 3+2 2 xy + y 6 3 2 5 1 5 = x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2 6 3 3 3 − + −3 + 2 + y2 3 3 2 x 4 − 4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2 a + ab + b + a b 4 8 5 6 5 7 8 2 5 1 7 8 = a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3 4 8 5 6 4 3 8 5 x2 + 4. 1 2 ab 2 3 2 − ab 8 − 1 3 a 4 2 − 1− 1 5−2 2 3 2 a + ab + b = a2 + b 4 10 10 2 2 3. x 3 xy 4 1 xy 2 5 xy 6 + 5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10 x + y + xy 6 24 12 2 7 2 13 1 13 7 2 = x2 − y + xy ⇒ x 2 + xy − y 6 24 12 3 12 24 7. a 3 + 2 2 y 3 1 2 y 8 1 2 y 4 1 2 m n 6 1 2 − m n 2 + 2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2 m + mn + n + m n 3 8 5 6 5 1 6 2 5 1 1 6 = m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3 3 8 5 6 3 3 8 5 4 10. x − 5 4 x 6 + 2x 2 y 2 + − 3 2 2 x y 8 1 2 2 x y 4 + 2 4 y 7 1 4 − y 14 1 4 + y 7 − 1 3 xy 6 − 5 3 x y 6 6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3 x + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 17 2 2 5 4 1 3 5 3 = x4 + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4 ⇒ x − x y+ x y − xy + y 6 6 8 6 14
  • 16. 2 3 x 3 5 11. x − + − 3x 5 1 3 x 6 1 3 x 12 + − − 2x 5 + 4 x 5 1 − x 10 6 13. a − + 3 2 x 8 1 2 − x 4 − − 2 4 x 3 3 − a2x 7 2 1 − a3 + a2x 3 2 5 2 ax 6 7 2 − ax 8 1 2 − ax 4 5 2 a 8 +6 −7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3 a + a + a − a + a 7 8 5 8 8 10 4 3 2 3 5 3 3 7 = a6 − a + a + a − a − a 7 8 5 8 8 3 5 10 4 3 3 3 2 7 ⇒ a6 + a − a − a + a − a 5 7 8 8 8 a6 + 7 3 13 1 2 x + x + x2 − x4 − 4 12 10 8 3 2 7 3 1 2 13 ⇒ − 2x 5 − x 4 − x + x + x −4 3 12 8 10 + − −4 − 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6 3−2 2 2 4 x + x+ x − x −4 12 10 8 3 2 3 a 9 3 4 a 7 3 5 3 3 1 a − a − a 5 8 2 3 − a −6 8 = − 2x 5 − 12. a2 + 3 x 5 + + a4 1 3 x 3 1 3 − x 9 − 14. − x5 1 3 2 3 4 x y − xy − 10 4 + − 2 3 2 x y 5 − − y5 1 5 y 6 1 5 y 9 1 5 y 3 + 3 4 5 x y − x2y3 5 6 + 2x 4 y 1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4 5 x y − xy + y + x y − x2y3 10 4 18 5 6 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5 x y − xy − y + x y − x2 y 3 = x5 − 10 4 18 5 6 13 4 3 3 2 5 2 3 3 4 29 5 x y− x y − x y − xy − y ⇒ x5 + 5 10 6 4 18 x5 + 2−6 3 −6+7 2 20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3 a + a x+ ax + x 9 14 24 9 4 1 2 7 4 = − a3 + a x− ax 2 − x 3 9 14 24 9 EJERCICIO 19 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5 1. 3. 4x − 5y − 3x + 6y − 8 2x 4 − 4x − x+ y = − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8 = − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8 = − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811 x 2 − 5x + 8 − 6x 2 + 5x − 50 − 6x 2 + 10x − 72 ⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72 = − 150 + 50 − 72 = − 172 + 7x 3y + 10xy 3 ⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8 ⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0 − x 2 + 10x − 30 − 5x 2 y 2 − 8 4 − x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3 2y − 8 2. x4 − y4 4. 3m − 5n + 6 − 6m − 20n + 8 12m − 20n − 12 9m − 45n + 2 2 1 18 45 ⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 = − + 2 = 6 − 9 + 2 = −1 3 5 3 5
  • 17. 5. nx + cn − ab 8nx − 2cn − ab 10. − ab − 5 nx − 6 + x 4 − x 2y2 5x 3 y 10nx − cn − 3ab − 5 1 1 ⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 5 5 50 10 = − − 6 ⋅3 − 5 5 5 = 10 − 2 − 18 − 5 = − 15 6. x 3 y − xy 3 + 5 − 6xy + 2 + 3xy 3 + 1 − y4 6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4 − y4 ⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2 4 3 3 4 = 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2 = 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2 = 625 + 3.000 − 1280 − 256 + 2 = 2.091 . + b3 a3 + x2 y2 3 − 3a b + 8ab − b 3 2 2 − 5a 3 − 6ab 2 + 3a b − 4a +8 − 2b 2 11. 3 2 ⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8 = − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8 = − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42 3 2 3 + 3 2 − 2 +1 6 + 1− 3 2 a − ab + b 4 6 9 3 1 4 = a 2 − ab + b 2 4 6 9 3 1 4 ⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32 4 6 9 3 1 4 = ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6 4 6 9 + 125n 3 3 7. 27m − 9m n + 25mn 2 2 − 14mn 2 −8 + 10m n + 11mn 2 2 27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8 3 2 2 3 2  1  2  2 1  1 ⇒ 27 ⋅   +   ⋅ + 22 ⋅ ⋅   + 125 ⋅   − 8  3  3 5  5 3  5 8 4 1 44 1 1 = 27 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 125 ⋅ −8 27 9 5 3 25 125 4 44 4 44 =8+ + + 1− 8= + +1 45 75 45 75 20 + 132 + 225 377 = = = 1 152 225 225 225 a −1 + y b − 2 + mx − 4 8. x − 2y − 2m + 3y 2x b−2 x −4 b−2 − 2m x − 4 3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4  2 ⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3   3 9. n b −1 − m x −3 +8 − 5nb −1 − 3m x − 3 + 10 4nb −1 + 5m x − 3 − 18 mx − 3  2 ⇒   3 5−3 4  2 =  =  3 9 2 5−4 = 15 + 8 − 2 = 21 2 2 b 3 1 1 ab + b 2 3 9 1 1 ab − b 2 6 3 + − + 2ab − 2b3 + 8 3 a −1 3 2 a 4 12. 9 2 m 17 7 2 m 34 7 2 m − 34 + + 25 2 n 34 5 2 n 17 − + − + 1 4 1 2 1 4 3 − 15mn − 30mn 18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12 − 45mn m + n + 34 34 4 18 2 35 2 12 = − 45mn m + n + 34 34 4 9 2 35 2 ⇒ m − 45mn + n +3 17 34 2 2 9  2 2 1 35  1 =   − 45⋅ ⋅ +   +3 17  3  3 5 34  5 9 4 90 35 1 ⋅ − + ⋅ +3 17 9 15 34 25 4 35 4 7 = − 6+ + 3= + −3 17 170 17 850 40 + 7 − 510 463 = =− = − 2 123 170 170 170 =
  • 18. 13. 1 2 b m 2 3 2 b m 4 1 2 − b m 4 1 − b 2m 8 − − + + 3 cn 5 1 cn 10 1 cn 25 2cn − 2 + 14. + 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3 6 + − 0,4a 3 4 + 0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b 3 5 0,2a − 0,8a 2b +6 + 15a 2b + 0,9b3 , 3 ab 2 − 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6 ⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6 2 4 + 6 − 2 −1 2 − 30 − 5 + 2 + 100 − 10 + 30 + 20 + 3 b m+ cn + 8 50 5 7 2 67 43 7 2 2 67 1 43 ⇒ b m+ cn + = ⋅3 ⋅ + ⋅10 ⋅ + 8 50 5 8 3 50 5 5 7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43 = + + = + + = + + 24 50 5 24 250 5 4 25 5 525 + 268 + 860 1. 653 53 = = = 16 100 100 100 2 = − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6 = − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6 = − 12 + 18 + 2,7 + 6 , = 25,5 EJERCICIO 20 21. − 8xa + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11 1. − 8 − 5 = − 13 22. 2. − 7 − 4 = − 11 3. 8 − 11 = − 3 4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3 ( ) 5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8 6. 2a − 3b = 2a − 3b 7. 3b − 2 = 3b − 2 (− 60a ) = − 45a + 60a = 15a − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m 23.− 45a x −1 − 24. 54bn −1 25. − 35ma  1 8. 4x − 6b = 4x − 6b 9. − 5a − 6b = − 5a − 6b ( ) 10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3 11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2 ) 27. − n −1 n −1 a a x −1 n −1 a a 1 10 + 1 11 1 = =52 2 2 2 3 −8−9 17 − = =− 3 4 12 12 29. 4 3  5 3  24 + 25 3 49 3 x y −  − x y = x y= x y  6  5 30 30 1 2  3 2  − 1+ 6 2 5 2 ab −  − ab  = ab = ab  4  8 8 8 15. − 6 x 2 y − (− x 2 y) = − 6x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y 30. − 16. 11a 3m2 − (− 7a 3m2 ) = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2 31. − 2 − 3 = − 5 17. − 8ab 2 − (− 8ab 2 ) = − 8ab 2 + 8ab 2 = 0 18. 31x 2 y − (− 46 x 2 y) = 31x 2 y + 46 x 2 y = 77 x 2 y 19. − 84a 2b − (− 84a 2b) = − 84a 2b + 84a 2b = 0 ( ) 33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3 34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9 35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0 36. 2a − (− 5) = 2a + 5 32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8 x −1 n −1 1 2  2 2 1 2 2 2 3 2 2 x −− x  = x + x = x = x  3  3 3 3 3 14. 11 2 − 25 m2 = − 14m2 m 20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2 x −1 28. 12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz 13. 3a − 4a = − a x −1 26. 5 −  −  = 5 + =  2 2 2 ( 6a n − (− 5a n ) = 6a n + 5a n = 11a n
  • 19. EJERCICIO 21 37. −3x − b = − 3x − b 38. − 2n − 5m = − 2n − 5m ( 40. ( 11a + b − 4 ) ( ) 44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b 2 4. x − 3x 5x − 6 x 2 + 2x − 6 43. 3a − − a = 3a + a = 4a 54 x 3 − (− 11x 3 ) = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3 3 2 5. a − a b − 7a 2b − 9ab 2 − 54a 2 y − (− 43a 2 y ) = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y 48. − ab − 9ab = − 10ab − 31x y − (− 31x y) = − 31x y + 31x y = 0 2 2 2 50. − 3a − a = − 4a x 51. x 53. − 31a x − 18a 54. − 236ma − x −1 x 2 + y 2 − 3xy 8. − 3x 2 + y 2 + 4xy 2 x + 2 y − 2z 9. − 2x 2 + 2y 2 + xy x3 − x2 + 6 − 5x − 6 + 4 x x = − 49a 2 x − 6x 2 x −1 (− 19m ) = − 236m a a 2 + 6y 3 −8 10. y 2 4 − 6y 3y − 2y 4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8 + 4x 3 ⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8 + 19ma = − 217ma 11. a 3 − 6ab 2 + 9a + 8a − 15a 2b − 5 1 1 56. − (− 6a ) = + 6a 4 4 − 2 + 15 13 2 = 57. − − ( − 5) = 3 3 3 a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5 ⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5 12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4 7 3 3 3 58. − m − m 10 8 − 56 − 30 3 86 3 43 3 m =− m =− m = 80 80 40 5 2 2  11 2 2  a b −− ab   12  6 10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2 = ab = ab = ab 12 12 4 1 3 2 a b − 45a 3b 2 9 − 1− 405 3 2 − 406 3 2 1 ab = a b = − 45 9 a 3b2 = 9 9 60. − 0 ⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2 55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2 59. −x+y−z x 52. 105m − 9m = 96m x −1 7. x + y − z x+ y − z 2 311a x +1 − (− 7a x +1 ) = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1 x x−y+z 6. a 3 − 8a 2b − 9ab 2 46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b 49. 3x − 5y 3. 8a + b 3a −4 42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25 47. x − 2y 3 41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9 45. 2. 2x − 3y 2b 8b − (− 5a ) = 5a + 8b 3 a +b −a +b 1. ) 39. 3b − − 6a = 6a + 3b − 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2 ⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4 13. a + b + c − d a + b−c+d 14. 2a + 2b 15. x 3 + 6x 2 − 9x − 19 − 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43 − 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24 ab + 2ac − 3cd − 5de − 8ab + 4ac + 5cd − 5de − 7 ab + 6ac + 2cd − 10de
  • 20. 5 3 2 16. y − 9y + 6y − 31 − 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31 17. 5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2 − 5m3 + 21m2n − 14mn2 + 18 − 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18 18. 4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2 25x 3 y + 51xy 3 − 32 x 2 y 2 + x 4 29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4 6 4 2 2 4 19. m + m n − 9m n + 19 + 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5 m6 + m4n2 + 21 2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80 m − a 5b 20. + 11a b 6 8a + 6 a 3b 3 4 − 18 ab 5 + 11a b 2 2 + 42 − 9b 4 6 8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42 2 4 3 5 21. 1 − x + x − x + 3x − 6x 24 + 30x 2 − 8x 4 − 15x + x6 25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25 22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18 + 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4 − 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98 − 8m4n2 6 23. m + 21m2n4 − 6mn5 − 14m n 5 23m n + 8 + 24mn5 − 8n6 + 14 3 3 m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21 2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22 m 7 5 2 24. x − 8x + 16x − 23x − 15 − 51x + 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3 x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3 25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6 + 15a b 4 9a 6 6 5 3 3 5 + 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14 2 ax + ax +1 − ax + 2 26. + 14 − 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab 2 − 5a x + 6a x + 1 + a x + 2 − 4a x + 7a x + 1 4
  • 21. a a −1 + 3ma − 2 27. m − m − 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 4ma 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3 m+4 − 7am + 2 − 8a m + 6am − 1 28. a + 14a m + 2 + 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1 a+2 − 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2 29. x − 19x a − 45x a − 1 x a+2 − 26x − 36x a a −1 + 11x a + 1 − 60x a − 3 + 25x a−2 + 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3 n+1 n−2 + 8mn − 3 − 19mn − 5 30. m − 6m − 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4 mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5 EJERCICIO 22 b− a 1. 7. − a + 2b − 3c − a + b − 2c b− a 2b − 2a ⇒ − 2a + 2b − 2a + 3b − 5c 2. 2x + 3y −x+y 8. − 3n + 4m + 5p + n − m −p x + 4y − 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p 3. − 7a + 5 5a −b 9. x + 3y − 6z x−y +z − 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5 2x + 2y − 5z 4. − x 2 + 6 −x 10. − 5b 2 + 8ab + a 2 + 5x 2 6b 2 − ab − 3a 2 − 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6 2 2 b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2 5. x 2 y + 5xy 2 + xy 2 − 5m2 − n2 + 6mn −x 3 11. x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2 6. 7a 2b + 5ab 2 − 6a 2 b 2 − 6m2 + 9mn 12. − 8x 2 + 5x − 4 + 8a 3 + x − 6 + x3 a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab 2 − m2 + n2 + 3mn 3 3 2 2 − 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10
  • 22. 13. 6 3 2 23. y + y + y + 9 14m2 − 8n + 16 − 14m − 9 −m 2 − 23y 3 3 − 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7 y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y ⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14 14. 8ab + 5bc + 6cd − ab + bc − 6cd 8 6 4 2 24. x − x + 3x − 5x − 9 − 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x 7 ab + 6bc x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x 3 2 3 15. a − 9a b − b ⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45 − 25a 2b + b 3 + 8ab 2 a 3 − 34a 2b + 8ab 2 16. 6x − 8x y − 6xy 3 2 25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60 + 60x 4 y 3 + x 2 y 5 2 − xy 2 + 6y 3 − 4 + 5a x + 1 −d 27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3 − 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1 − 7an − 15an + 16an − 4 + 10an − 2 19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15 ⇒ − 15a − 8a n − 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x + 10a + 9x a + 2 20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18 5 n −1 n−2 − 8an − 1 + 16an − 4 3 2 1 28. 15x a + + 5x a + − 6x a + 41x a − ⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22 − 25y − a x + 2 + 6a x ⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5 5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4 − 6xy 2 5 a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x − 40ab 3 + 6b 4 − 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4 4 4 3 x+3 − 8a x + 1 − 5 26. a − 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14 4 3 18. 5a + 9a b 5 2 ⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60 m2 − 9n + 11c + 14 − m2 − 7n + 8c − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6 x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6 7 6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4 17. + 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y + 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4 15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4 −x +x y 5 2 3 ⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1 − 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3 ⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18 m −1 − 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 29. 9a 5am − 1 − 12am − 2 x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x 21. − 25x 3 + am + 8am − 4 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4 + 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5 ⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5 − 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5 ⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37 − 26a 3b 2 5 22. a + 8ab 4 − b 5 + 6 − 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4 +8 a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14 5 4 3 2 2 3 4 5 − 15mx + 3 30. m m x+4 x+4 + 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2 + 23m − 15m x+3 x+2 + 23m x+2 + 6mx + 1 + 56m x +1 + mx − 1 − 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2 x
  • 23. EJERCICIO 23 2 11. x − 1 − xy − y 2 1 1. x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1 − a +1 −a+2 +6 3 12. a 2. 0 − a+8 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6 − a+8 + y3 3 13. x + 5 x y − 17 xy 2 −9 3. +5 2 x + 5 x y − 17 xy + y + 5 3 − 3a − a + 5 2 − 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4 2 2 2 3 2 − 9 x y + 8x y + 15 xy 3 + 16 4. 2 2 3 x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1 − 5xy + x − 16 4 2 − 5xy + x 2 −1 4 14. x ⇒ x 2 − 5xy + b5 5 15. a + 11a b − 2a b − 8a b + 4ab 4 5. 1 3 2 4 a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5 5 − a 3 + a 2b − ab 2 1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1 3 2 2 3 2 ⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5 2 + x2 4 16. x 6. x 3 − 5x x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2 + 50 + 25x 3 x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50 2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2 6 17. y + y − 41 3 7. a − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3 y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3 ⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41 + y4 8. 6 18. a 5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4 m4 + 15a b + a 2b 4 − 17a b 30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30 + 14ab 5 + b 6 4 3 19. x + x − 11x − 5 x + x 2 + 34 x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34 −1 3 20. m 10. 16 14 − b + a − c − d 3 3 a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6 − 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 − 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 + 9a 4b 2 5 5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 9. 2 3 − m2n − 7mn2 + 3n3 m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1
  • 24. EJERCICIO 24 1. 1 2 a 2 1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5 5 3 6. 6 m + + 2 +1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5 3 2 1 2 2 = a + ab − b 4 3 5 4 2 5 − xy − yz + 5 3 9 7. 4 2 135 + 5 xy − yz + 5 3 9 4 2 140 = − xy − yz + 5 3 9 4 2 = − xy − yz + 15 5 9 5 3 − 3 bc 3. 5 1 − bc 6 3 2 ab + cd 4 9 18 − 5 3 2 bc + ab + cd 30 4 9 3 13 2 ⇒ ab + bc + cd 4 30 9 1 2 a − b 4. 2 3 4 2 1 − a − b + 5 9 2 5−8 6+2 1 a− b+ 10 9 2 3 8 1 =− a− b+ 10 9 2 5 2 5. 9 x − − 3 2 y 8 1 2 5 3 y − xy + 10 7 11 5 2 30 + 8 2 5 3 x − y − xy + 9 80 7 11 5 38 2 5 3 = x2 − y − xy + 9 80 7 11 5 5 19 2 3 ⇒ x 2 − xy − y + 9 7 40 11 1 2 3 m n − mn2 2 8 3 2 a + 7 5 2 − a − 14 1 3 ab − b2 3 5 1 1 + ab 2 8 6−5 2 2−3 a + ab 14 6 1 2 1 3 1 a − ab − b 2 + 14 6 5 8 8. + + 5 3 10 + 9 3 1 2 3 m + n + m n − mn2 6 45 2 8 5 3 1 2 3 19 3 2 ⇒ m + m n − mn + n 6 2 8 45 15 2. 2 3 n 9 1 3 n 5 3 2 x 8 3 2 x 5 5 xy 6 3 + xy 10 + − 1 2 y 10 − 2y 2 15 + 24 2 50 + 18 1+ 20 2 x + xy − y 40 60 10 39 2 68 21 2 39 2 17 21 2 = x + xy − y = x + xy − y 40 60 10 40 15 10 3 2 9. a + a + − + a 7 2 9 a − a − 8 10 5 6 7 8 8 + 7 2 10 + 9 20 − 21 a − a+ 8 10 24 15 2 19 1 3 =a + a − a− 8 10 24 a3 + 7 3 2 10 . m + 12 mn 5 − mn2 9 − 4 3 n 7 − n3 + 5 2 1 m n+ 21 8 21− 20 4+7 3 5 2 1 mn2 − n + m n+ 36 7 21 8 5 1 11 1 ⇒ m3 + m2n + mn2 − n3 + 21 36 7 8 m3 +
  • 25. 3 4 3 x + x3y 5 4 11. − x4 5 3 xy 7 1 + xy 3 3 − − 5 2 2 x y 8 2 4 y 3 5 4 − y 6 + 12. 3−5 4 3 3 5 15 − 7 3 4 − 5 4 x + x y − x2y 2 − xy + y 5 4 8 21 6 2 3 5 8 3 1 4 = − x 4 + x3y − x2y 2 − xy − y 5 4 8 21 6 1 3 7 8 − a+ b c + d 2 5 8 9 7 1 1 7 + b − c + d − 20 8 9 8 1 12 + 7 7 +1 8 +1 7 a+ b− c+ d− 2 20 8 9 8 1 19 8 9 7 b− c+ d − = a+ 2 20 8 9 8 1 19 7 = a+ b− c+ d − 2 20 8 EJERCICIO 25 1. 3 2 a 8 5 − a2 6 − 6. 5 2 a b+ 8 5 a 6 + 9 − 20 2 5 11 2 5 a − a=− a − a 24 6 24 6 2. 8a 1 − a 2 + + − 5 3 a 6 5 2 2 + 7 2 1+ 18 5 3 − a a b+ ab − 8 8 3 6 5 2 9 2 19 5 3 = a b + ab − − a 8 8 3 6 5 5 9 19 ⇒ − a 3 + a 2b + ab2 − 6 8 8 3 −5 6b 3 b 5 1 2 1 ab − 4 3 7 2 ab − 6 8 16 − 1 30 + 3 15 33 a+ b−5 = a+ b−5 2 5 2 5 7. 2 2 3. x + x y − 6 3 7 2 − x y 9 3 x3 + 4. a + b 2 3 20 − 49 2 2 3 + 2 m n+ mn + mn3 − 6 11 56 9 2 29 2 2 5 = m4 + m3n − m n + mn3 − 6 11 56 9 − c − 2 c 3 2 −1 4+3 3+2 1 7 5 a+ b− c= a+ b− c 2 4 3 2 4 3 5. 2 5 m + n 3 6 −m − n 1 mn3 − 6 3 2 + mn3 9 + m4 + 6−7 2 1 x y − 6 = x3 − x2y − 6 9 9 1 3 − a + b 2 4 2 3 5 2 2 mn + mn 11 14 7 2 2 − m4 mn 8 1 p 2 + p + 2−3 5−6 1+ 2 1 1 3 m+ n+ p= − m− n+ p 3 6 2 3 6 2 8. − 1 5 x 2 7 4 1 3 2 2 2 3 1 4 x y + x y + x y + xy 8 14 3 3 3 3 2 1 x y − + xy 4 7 8 − 7 − 2 9 1 5 7 4 1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2 x − x y+ x y + x y + xy − 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65 x − x y− x y + x y + xy − = 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 x − x y− x y + x y + xy − 7 2 = 9 2 8 14 3 24
  • 26. 7 5 x y+ 9 2 4 2 1 2 6 x y − x 3y 3 − x 2 y 4 + xy 5 + y 3 8 13 7 4 2 1 2 4 + − x y x y − xy 5 + y6 9 11 9. − x6 − x6 + 10. 7 5 6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4 xy+ x y − x y − x y 9 9 8 11 1 3 7 2 x − x y 3 9 2 3 1 2 x + x y 3 6 5 2 xy 8 3 − xy 2 4 + − 7 3 y − 11 + 2 + 13 6 7 13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6 y = − x6 + x5 y + x y − x y − x y + y 13 9 9 8 11 13 2 5 − 6 1+ 2 3 14 − 3 2 5 − 6 2 7 3 2 + 30 11 2 1 7 32 x − x y+ xy − y − = x3 − x y − xy 2 − y 3 − 3 18 8 11 5 18 8 11 5 11. 3 4 2 3 2 4 5 6 mn − mn + n 10 7 9 2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 m + mn − mn − n 13 20 14 3 + 3 5 2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3 m + mn − mn + n + = m + mn − mn + n + 13 20 14 9 5 13 20 14 9 5 3 5 7 4 12. 8 c + 22 c d 5 4 + c d 11 7 3 2 1 2 3 1 5 − c d + c d d 12 2 3 5 3 2 3 3 5 + − cd 4 − c d d 6 4 13 + − 35 3 5 7 + 10 4 7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5 c + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39 3 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5 = c5 + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39 EJERCICIO 26 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5 2 1. a − ab 3 3 2. a + b + 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2 − 3ab − b 2 a 2 − 4ab − b 2 = 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11 a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3 3 = 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8 = 1+ 10 − 24 + 24 = 11
  • 27. 1 a 2 3. −a 2 − 2 2 4. 3m − 5n − m2 − 10n 2 − 8mn 9. a 2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2 2 − a b + 5a b 2 9 24 12 45 − 48 − 24 27 − − == =− 2 5 5 10 10 − 18x 2 y 2 + 15y 4 3 16x y a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5 5 = 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25 = 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21 − 16ab + 10mn − 8mx 3 3 2 = − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4 2 2 5 = − 32 + 6 − 48 = − 74 x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4 = 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5 = 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625 = 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926 4 3 2 2 3 4 3 11. a 3 2 3 6. a − 7am + m 2 + 5am + 5m3 − 8a 2 m − 11a 2b + 9ab 2 − b 3 a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3 a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3 2 = 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23 = 1− 22 + 36 − 8 = 7 3 3 24 9 27  3  3 = 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1  + 6   = 1 − − 2⋅ + 6⋅  2  2 2 2 4 8 9 81 4 − 48 − 18 + 81 19 = 1 − 12 − + = = 2 4 4 4 12. 7. 3 3 10. − ab + 10mn − 8mx − 15ab + 6xy − 9y 4 3 − 3a 2b 4 + b 5 5 4 2 3 2 9 48 4  3  2 = 2   − 8 ⋅ ⋅ − 15   = 2 ⋅ − − 3⋅  2  5 2 5 4 10 5 4 5. x 1 1 2 1 2 1 3 mn + mn + n + m3 6 4 2 4+1 2 3+ 1 2 5 m n+ mn + m3 = m3 + m2 n + mn2 6 4 6 3 2 2 3 5  3 2 3  2  27 5 18 3 4  =  +   ⋅ +   = + ⋅ + ⋅  2 6  2 5 2  5 8 6 20 2 25 27 3 12 675 + 150 + 48 873 = + + = = 8 4 50 200 200 1− 2 1 5 1 1 5 a − b+ c=− a− b + c 2 2 3 2 2 3 1 1 5 1 ⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5 2 2 3 2 −1− 2 + 10 7 1 = = =3 2 2 2 = 3 2 2 3 8. 3 m n + 4 mn − 2 n 1 5 b+ c 2 3 2 2 7 1 a + ab − b2 3 8 5 1 1 2 − a 2 − ab + b 6 10 4 −1 2 7 − 8 2 −1 2 1 2 1 1 a + ab − b = a − ab − b 2 6 8 10 2 8 10 1 1 1 2 1 2 4 ⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 − ⋅2 = − − 2 8 10 2 8 10 1 1 2 10 − 5 − 8 3 = − − = =− 2 4 5 20 20 1 4 x 64 − 2 2 5 3 x − x+ 3 6 8 1 4 2 2 5 3 x − x − x+ 64 3 6 8 1 4 2 2 5 3 = ⋅4 − ⋅4 − ⋅4 + 64 3 6 8 32 20 3 96 − 256 − 80 + 9 = 4− − + = 3 6 8 24 231 77 5 =− =− = −9 8 24 8
  • 28. + x3 13. 3 2 x y− 16 3 3 x 4 − 2 2 xy 5 3 2 1 3 + xy + y 5 25 14. 4−3 3 3 2 2−3 2 1 3 x + x y− xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 2 1 3 ⇒ x3 + x y+ xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 1 3 = ⋅ 43 + ⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 + ⋅5 4 16 5 25 1 15 4 125 = ⋅ 64 + ⋅16 + ⋅ 25 + 4 16 5 25 = 16 + 15 + 20 + 5 = 56 2 x −1 x 5 a + a − ax − 3 + ax − 2 5 6 − ax −1 + 9a x − 3 − a x − 2 2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3 a +a − a 5 6 3 49 x − 3 ⇒ ax − ax −1 + a 5 6 3 49 4 − 3 = 14 − ⋅14 − 1 + ⋅1 5 6 3 49 + 30 − 18 + 245 257 =1 − + = = = 8 17 30 5 6 30 30 EJERCICIO 27 + ab + b 2 1. a2 − 5b 2 − a 2 − ab + 4b 2 a 2 + ab − 4b 2 − ab + 4b 2 a2 a+8 −a+6 1 − 14 − 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2 2a 3 + 5a 2 − 2a + 2 + y3 − a 3 − 5a 2 + 2a − 3 5 x 3 − 9x 2 − 11x − 7x 4 − 7x y 2 10. x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3 x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3 +4 − 6x 3 35a 2b − 7ab 2 − 11 11. 12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5 7a − ab − 4n3 − 7a 8a − ab + b + 5 5m4 − 4n3 2 + ab − 5 3 2 12. − 11n4 3 + 14n2 − 25n + 8 6a 19n3 − 6n2 + 9n − 4 − 7a − 9b + 3c −a − 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4 a −b +c 5a a +b−c − 2a + b − c a −a 2a + b − c + b3 a3 − 7a − 35a b + 8ab + 6 5m4 2 8a + 9b − 3c a −1 x4 11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4 − 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4 3 6. −1 a3 − 8a + 6 − x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3 5. − 6a 2 − 24 x 2 − 5ax − 3a 2 5a 2 + 6a − 4 2a 3 + 4n3 − 25 x 2 6a 2 + 25x 2 + 4xy 2 3 2 3 4. − 3m n + 4mn − n 3 2 3m n − 4mn + 5n3 x 2 − 5ax + 3a 2 − 9ax + 7a 2 + 25 x 2 9. + 5x 2 y 0 9ax − a 2 − 13 3 3. − x m−n+p −m+n−p m− n + p 8. 14 2. 7. − m + n − p 2m − 2n + 2p − 7n3 n5 + 4n 11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4 4 n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4 3 +5 2 2 3
  • 29. − 6a 3m 13. + 5am3 7a − 5a m − 11a m 4 3 2 20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4 −6 − 6m 2 + 8x y + 31y 2 2 3 2 2 3 − 8a 2m2 a4 − x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4 4 x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4 7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6 4 x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4 4 0 4 5 4 21. − 6n + n + m4 + n2 + 7n3 − n2 − 8n − 6 − 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6 − 6n5 + n4 + 7n3 − 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6 − 8n − 6 − 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6 − 4x 4 y 14. − 6x n + 13x 2 y 3 − 9xy 4 + 8x y 5 + xy 3 2 4 − 2y − 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y 5 4 3 2 2 3 − 30x 3 y 2 x5 4 + 40xy 4 + y 5 + 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5 a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5 − 5a b − 2a + b 8x + 6y + 4 2 23. x − 7 xy + 34y 2 2 x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16 18. 4a + 8ab − 5b a 2 − 7ab + 6b 2 5a + ab + b − 14x y + 5xy 7a 2 − 11ab + b 2 x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3 +4 2b 2 − 8 2b 2 − 4 + 2b 2 25. 3a − 4b + 5c − 7a + 8b − 11 − a + 2b − 7c − 5a + 6b − 2c − 11 − a + b + 2c − 6a + 7b 5a 3 + 14a 2 − 19a + 8 26. + 9a − 1 a5 x − 14x y + 5xy − y 3x 3 2 2 2 2b 2 − 8 2 3 3 3 − 7a 2 + 11ab + b 2 − 8 − y3 2 4 − 5a + 6b − 2c − 11 a2 19. x 3 m − 3m − 5m + 6m − 1 2 2 − 4a 2 − ab + b 2 5a 2 + ab + b 2 24. −5 m4 − 3m − 5m + 6m + 4 x 2 − 7 xy + 34y 2 2 − 3m3 − 5m2 + 6m + 4 + 8m + 4 3 2 9y 2 − 16 2 4m3 − 5m2 − 2m − 7m3 − 7 xy + 40y 2 2 − b5 2 3 a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5 8 x + 6y + 6 − 6y − 5ab 4 − b 5 + 7a b 4 8x + 6y + 4 17. x − 3a 3b2 + 6ab 4 a 5 + 22a 4b + 7a 3b2 6y − 5 2 3 4 2a +9 4 5 22. a b 16. 8x 5 5 7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5 2a − 19 n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25 6 5 6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5 15. a + b a−b + 3n4 + 8n3 6 − a4 3 − 19y 3 a −a 5 4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3 + 3a 2 −1 + 5a + 17a − 10a + 6 4 3 2 − a 4 + 3a 3 −5 a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1 5 4 3 2 − 11
  • 30. + 10m2n2 4 27. m + 15n4 2 2 3 m − 11m n − 4m n 4 3 3x y + 21x y + 18x y − y 5 4 − 3mn + 16n 2 2 3 4 3 − x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3 m 5m + 11m n + 11 n + 11mn − 17n 4 3 2 2 3 + 4a 3b 2 5 28. a − 7a b 4 29x 4 y − 47x 3 y 2 + 8ab 4 − b5 + 15a b − 25ab + 3b 4 2 3 2 3 x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5 − m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4 4 3 2 x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3 + 7m2n2 + 8mn3 − n4 6m4 + y5 5 29. x − 11m n − 14m n − 3mn + n4 3 4 − 2xy 4 + y 5 x x −1 30. 3a + 6a a x − 7a x − 1 + a x − 2 5 − a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4 4a x − a x − 1 + a x − 2 a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5 8a x + 2 − 7a x + 1 − a x 3a − 6a b − 21ab 5 2 3 −6 4 − a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b 5 4 3 2 2 3 4 2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab 5 4 3 2 2 3 4 − 4a 5 x + 12 a x − 1 + ax −1 − ax − 2 8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2 − 2b − 6 5 EJERCICIO 28 +5 2x − 6 2 1. x x−4 −x+6 x 2 + 2x − 1 −2 2 x + 2x − 3 x + 2x − 1 2 2. 3a − 5b + c a − b − 3c 7a + b + 3ax 3 − 3a + b + c − 3x 2 − x + 1 6x − x + 8 − 3x + 8 x + 5 10a 2 x − 14ax 2 3x 2 − 8x − 5 6x + 2x 2 − 8x + 3 2 a +1 2 4. 2 a a3 + a2 a −2 a4 + a 5. ab + bc + ac − 7bc + 8ac − 9 ab − 6bc + 9ac − 9 +8 3 +2 4 −1 a3 6x 3 − x 2 a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3 − a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3 3 +1 3. x 5x 3 − x 2 + 7 3 9x + 4 3 a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3 − 7a + 7b + 3c 7a − 7b − 3c − 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3 a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3 2 a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3 4a − 6b − 2c − 8b − 3c 4a − 6b − 2c a 2 − 3x 3 a2 x 6. a +a 3 − a4 −x 2 x −a 4ab + 9ac − 5x + 4 x 2 2x − x − 4 x + x + 2 ab − 6bc + 9ac − 9 − 4ab − 9ac − 3ab − 6bc −3 − 3x + 5 3 4 4 − a4 + a3 + a2 − a 5ab − 3bc + 4ac − ab + 3bc + 5ac + x2 4 7. x −9 3 2 − 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4 x −3 4 x − 7 x + 8 x − 3x + 1 4 3 2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2 − x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1 x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1 2
  • 31. − n4 4 8. m 17m n − 4m n − 7mn3 3 − m4 2 2 − m4 + 6m2n2 +6 − 80n4 − m2n2 + mn3 − 4 17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4 17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4 − m4 − m2n2 + mn3 + 2 + a3 9. a −a 5 + 8 − a 4 − 4a 3 + a 2 m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2 a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27 − 5a 2 − 11a + 26 16a 3 − 8a 2 − 7a − 15 a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27 − a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15 − y2 2 10. 3x − 11xy + 9y − 14 19x − 8xy + 9y 2 3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14 a −1 20x 2 − 11xy + 8y 2 − 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14 2 a 2 − ab + b 2 12. 3a 2 − 8ab + 7b 2 − 3a + 8 − 5a + 11ab − 17b a 2 − 2a + 1 − a 2 + 2ab − 9b2 2 − a 2 + 9ab + 3b 2 − 8ab − 7b − a 2 + ab − 4b2 2 a 2 − 2ab + 9b 2 − a 2 + ab − 4b 2 − ab + 5b 2 2 −1 4 13. m − m3 + 8m2 − 6m + 5 − 16 m5 − m − 7m + 1 m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5 m5 − 16m4 − 16m + 7m − 3 m5 − 16m4 + 7m2 − 19 2 14. x + 14 17 x 2 a −4 0 − 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42 a5 20x 2 − 11xy + 8y 2 −3 a2 − a +1 + a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15 x 2 − 3xy − y 2 2 11. −2 + a − 7 − 6a 2 4 + m2n2 − mn3 m4 4 + 7m2 − 19 − m + m − 7m2 + 13m − 5 2 4 3 m5 − 17m4 + m3 + 13m − 24 − y5 5 − 2x y + 5x y − 7 x y 4 3 2 − 3y 5 2 3 − 7x y + 6 xy 3 2 7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4 −8 4 − xy x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8 5 15. − a 4 3 2 2 3 4 + 7a 4 6 − 3a 4 − 5a 3 − 2a + 8 − 3a 4 + 5a − 4a + 1 2 5a − a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13 − 20a x 5 7x 4 y − x 3 y 2 + 10xy 4 −1 − x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7 5 4 + 21a x − 19ax 3 2 2 3 − 7a + 41a − 50a + 8 a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13 6 a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a + 18a 3 x 2 − 4x 5 − 8 − 9a x − 17a x + 11a x 4 − 7ax 4 + x 5 − 80 2 3 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13 2 4 a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71 3 2 + 7a 2 − 8a + 5 3 + 9 2 3 + 9a 3 x 2 4 4 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13 − 7a 3 x 2 4 5 3 2 +4 − 6a 4 − 11a 3 5 16. a −1 7 x y − x y + 10xy − 1 5 − 8a + 11a 3 − a 2 5 − x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8 4 4 5 3 2 2 3 + 36 a5 a − 9a x + a x 5 a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3 4 3 2 + 11a x − 4 x − 4 x 5 + 28 − a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71 5 11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99 2 3 5 + 28
  • 32. EJERCICIO 29 7 1 b 1. a + 2 2 3 − a + b 3 4 5. 12 a 3 a 4 1 − a 3 − 5 b 4 9−4 a− 12 5 = a− 12 3−2 2+3 a+ b 3 4 1 5 = a+ b 3 4 − 5 b 4 5 b 4 3 a−6 8 1 3 3 2 a + a 2 5 5 3 3 2 3 a − a − a+6 6 5 8 5 3 3 − a3 + a2 + a − 6 6 5 8 3+5 3 3 − a+6 a 6 8 4 3 = a3 − a + 6 3 8 5 3 − a3 + a2 6 5 3. a − + 3b 2 2 a − b 5 3 +6 5−2 9 −2 a+ b+6 5 3 7 3 = a+ b+6 5 3 1 3 4. 3 x − 3 a+ 5 1 − a+ 5 1 3 6 −1 2 2 1+ 30 x − x − x+ 3 14 9 5 1 3 5 2 2 31 = x − x − x+ 3 14 9 5 5 3 x 6 1 3 5 2 2 31 − x + x + x− 3 14 9 5 − 5+2 3 5 2 2 31 x + x + x− 6 14 9 5 7 3 5 2 2 1 =− x + x + x−6 5 6 14 9 − 7 b +6 3 1 b 6 3 −1 14 + 1 a+ b+6 5 6 2 5 = a+ b+6 5 2 3 2 1 + x 7 5 1 2 2 x − x+6 14 9 3 3 2 2 a + a −6 7 5 7+9 4 3 3 2 2 a − a + a − 12 7 5 4 4 3 3 2 2 = a − a + a − 3 7 5 7 4 3 3 2 2 a − a + a −6 12 7 5 6. − 2. 7 4 3 2 −6 a − a3 + a2 12 7 5 3 4 1 1 − a+ a 4 5 3 4 1 x+ 2 − 2 1 y− z 3 4 1 2 y− z +3 9 5 5 2 y − 9 5 1 5 13 x− y+ z− 3 2 9 20 1 6 −1 5+8 x+ y− z+3 2 9 20 1 5 13 z+3 =− x+ y− 2 9 20 1 13 2 + 15 x z− + 2 20 5 1 13 17 z− = x+ 2 20 5 − − 7. 3 2 3 a b + ab2 2 4 1 2 5 a b − ab 2 8 6 1 18 − 1 a− 5 3 1 17 a− 5 3 − b3 + 2 3 b 3 12 − 1 2 9 − 10 2 3 − 2 3 a b+ ab − b 8 12 3 11 1 1 ab 2 − b 3 = − a 2b − 8 12 3 − 1 3 a 2 1 3 b 3 11 2 1 1 a b+ ab 2 + b 3 8 12 3 − 1 3 11 2 1 a + a b+ ab 2 2 8 12 1 2 8. a − b 2 9 1 b 3 − 3 c 5 1 2−3 3 a− b− c 2 9 5 1 1 3 = a+ b − c 2 9 5 2 1 b + c 3 5 5 1 − b − c 9 10 1 1 3 a+ b − c 2 9 5 1 1 − b− c 9 10 6−5 2 −1 1 6 +1 − b+ c a c 9 10 2 10 1 1 1 7 = b+ = a− c c 9 10 2 10
  • 33. 1 3 1 2 9. 3 a + 8 a 3 − a2 5 1 5 3 1 − a− 4 10 1 2 a 4 1 3 29 2 a − a 3 40 + 1 3 5 − 24 2 3 2 −1 a + a − a+ 3 40 4 10 1 3 19 2 3 1 = a − a − a+ 3 40 4 10 3 2 5 10. 5 x − 6 xy 3 − xy 2 2 2 y 9 1 − y2 3 2 2 x 9 17 2 x 45 1 4 3 2 10 + 18 2−3 2 1 x − xy + y + 5 12 9 4 3 2 28 1 2 1 xy − y + = x − 5 12 9 4 3 2 7 1 2 1 = x − xy − y + 5 3 9 4 2 11. 7 a 3 1 3 b 5 3 3 1 3 − a 2b + ab 2 + b 4 8 10 − 2 3 3 2 3 2 −1 3 a − a b + ab 2 − b 7 4 8 10 2 3 3 2 3 2 1 3 = a − a b + ab − b 7 4 8 10 12. 2 4 3 m + m3n 7 5 1 4 7 3 m − mn 14 20 − + 2 1 a+ 3 4 1 − 8 1 3 a − 3 1 − a3 + 3 1 3 10 − 29 2 2 2 −1 a + a − a+ 3 40 3 8 1 3 19 2 2 1 = a − a − a+ 3 40 3 8 + + − 1 xy 9 22 − xy 9 2 2 y 3 3 2 − y 2 + 1 2 2 mn 3 2 2 2 mn 5 1 2 2 mn 4 − 1 mn3 − 4 + − + − 1 8 1 10 8−9 10 − 8 a+ 12 80 1 2 1 1 = = a+ a+ 12 80 12 40 − − 1 2 10 + 17 2 1− 22 4+9 2 1 x + xy − y − 45 9 6 2 27 2 21 13 2 1 x − xy − y − = 45 9 6 2 3 2 7 13 2 1 = x − xy − y − 5 3 6 2 2−5 2 2 +1 2 3 3 2 + 5 a b+ ab − b − 4 8 2 10 3 2 3 2 3 3 7 = − a b + ab − b − 4 8 2 10 2 a 3 3 a 4 − − 1 2 1 2 1 − a b + ab 2 4 5 5 1 2 3 1 − a 2b + ab − b 3 − 4 8 2 2 19 2 a − 40 19 2 a + 40 3 2 7 13 2 x + xy + y 5 3 6 3 2 7 1 x − xy − y 2 5 3 9 1 2 1 + 4 + 39 − 2 2 2 + 1 y + 18 4 = 37 2 3 y + 4 18 3 2 3 3 a b + ab 2 − b 3 4 8 2 2 3 3 1 3 − a 3 + a 2b − ab 2 + b 7 4 8 10 − − 7 10 2 3 15 − 1 3 7 − a b − 7 10 10 2 3 14 3 7 2 3 7 3 7 =− a − =− a − b − b − 7 10 10 7 5 10 − n4 5 4 n 3 2 4 n 3 4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1 3−5+2 4 m + m n+ m n − mn3 − n 14 20 60 4 3 5 4 5 3 11 2 2 1 0 = m + m n+ m n − mn3 − n4 14 20 60 4 3 5 4 1 3 11 2 2 1 3 = m + m n+ m n − mn 14 4 60 4 5 4 2 − n4 m 14 5 5 4 1 3 11 2 2 1 3 − m − m n− m n + mn 14 4 60 4 − 1 3 11 2 2 1 2 m n− m n + mn3 − n4 4 60 4 5
  • 34. 13. 1 1 x+ y 2 3 3 y − 4 1 z 6 2 z 5 1 m 4 1 − m 2 + 5 + 1 3 n+ 3 8 − 1 4+9 5 − 12 1− 2 1 3 x+ y− z+ m + n+ 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 3 = x+ y+ z− m + n+ 2 12 30 4 3 8 5 4 a + 6 14. 1 3 a 2 − − 3 4 a − 8 3 3 a 4 1 3 a 6 + + 2 2 a − 3 1 2 a 6 1 13 7 1 1 40 − 3 x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 37 =− x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8 + 39 a 40 5 − + 3 8 − 3 a 5 3 a 8 − 1 13 7 1 1 x− y− z+ m − n − 2 12 30 4 3 2 3 3 11 + 11 4 a 24 − a4 20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39 165 − 22 + 9 a + a − a − a+ 24 12 6 40 33 11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 = = a − a − a − a+ a − a − a + 24 12 6 40 33 24 12 2 33 1 3 1 2 a − a + 12 2 1 3 + − a 12 152 33 3 8 − . 11− 24 4 1 1216 − 99 − a2 + a 24 2 264 . 13 4 1 2 1117 =− a − a + 24 2 264 EJERCICIO 30 1. x3 − x2 +5 4. − x + x + 3x − 5 − 6 3 2 3x −6 5. 3 2 6. 4x + 5x − 5x − 2 − 5x 2 − 4 x + 8 4x 3 Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b −4 Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8 − 8a 2b + 5ab2 − 4b 3 2 −8 3 − 9x + 6 Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2 2 1 1 x− y−4 2 3 1 1 − x+ y 2 3 4 − a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3 2 8. − m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8 − b3 3 3 − 3mn3 + 6n4 4m2n2 − 11 Rta. 5a + 8ab − b3 − 11 2 m4 + b3 4a 3 + 8ab 2 Rta. x − 4 x − x + 13 3 8x + 9 Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9 a3 − a3 x− 5 2 2. − 5a + 9b − 6c 5a − 9b + 6c + 8x + 9 3. 3 2 3 7. 5a + 8ab − b − 11 +8 − x 3 + 4 x 2 + x − 13 Rta. − x + x + 3x − 11 3 x 3 − 4x 2 Rta. 1 1 x− y−4 2 3
  • 35. 9. 5x 2 − 7 xy − 8y 2 n3 10. − 9m + 8m n − 5mn + n − 5x + 7 xy + 8y + 1 2 3 2 2 11. Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1 2 2 3 2 2 − a + 5a − 8 − a 3 + 5a − 8 Rta. 0 3 10m − 8m n + 5mn − 2n 2 0 3 3 − 9m + 8m n − 5mn + 2n 3 1 2 2 3 m3 Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3 EJERCICIO 31 6. a + (a − b) + (− a + b) 1. x − ( x − y) = x− x+ y =y 11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z) = a+ a−b− a+b = 2a − a = a ( ) 2 2 2. x + − 3x − x + 5 = x+ y+ x− y+ z− x− y+ z = x − y + 2z = a − b + 2a − a + b = − 3x + 5 = 3a − a = 2a 2 2 2 2 3. a + b − (− 2a + 3) = a + b + 2a − 3 12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b) 2 2 2 2 2 7. a + − b + 2a − a − b = x − 3x − x + 5 2 2 2 2 = a − b − a − a + b + a − 2b = − 2b 2 2 ( 8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3} = 2a + x − a + 1 − a − x + 3 = 3a + b − 3 ) [ ( = 4m + 2m + n = x + y − x − 2 xy − y − x + y = 6m + n = − x − 2 xy + y 2 2 2 5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y) = 2 x + 3y − 4 x − 3 y = − 2x 2 2 2 2 2 ] [ ]{ } ( 2 2 2 2 2 14. 8x + − 2 xy + y − − x + xy − 3 y − x − 3xy = 8x − 2 xy + y + x − xy + 3y − x + 3xy 2 2 2 2 2 = 8x 2 + 4 y 2 2 10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6 15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b) = − 5m + 6 − m + 5 − 6 = − 6m + 5 = − a − b − a − b + b − a + 3a + b =0 EJERCICIO 32 [ ] 2. 3x − x + y − (2 x + y) = 2a + a − a − b = 3x − x + y − 2 x − y 1. 2a + a − (a + b) [ = 2a + a − a − b = 2a − b ] ] 2 = − 3x 2 + 3xy + 2 y 2 2 2 2 2 2 2 9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y 2 ) [ ( = − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy 2 = 1+ 3= 4 4. 4m − (− 2m − n) ) 13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy [ [ = 3x − x − y + 2 x + y = 4x ] ] [ ] 3. 2m − (m − n) − (m + n) [ = 2m − m − n − m − n = 2m − m + n + m + n = 2m + 2n ] )
  • 36. [( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y [ = 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y 2 2 2 2 2 ] [ ] 11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b) [ ] = a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b = a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b = 3a − 7b = 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2 = 6 x 2 + 3xy − 4 y 2 5. a + )] {[ {(− 2a + b) − (− a + b − c) + a} ( ) ( 2 2 2 12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m {[ )] }− (2n + 3) ]} − 2n − 3 − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3 = a + {− 2a + b + a − b + c + a} = 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 = a − 2a + b + a − b + c + a =a+c = 7m − {− m [ 2 ] [ ] [ ] ] = 7 m2 + 2 n − 5 = 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1 {[ = − 5n + 2 {[ = 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a ( = 6a − b − { 4a − b + a − b + a} )] 7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y} [ ] = 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y ) [ = 2 x + − 5x + 2 y + x − y ] =b ( [ [ ( 8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y { 2 { ]) } 14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y) = − 2x + y { ]} = 6a − b − 4a + b − a + b − a = 2 x − 5x + 2 y + x − y 2 ]} 13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a ) = 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1 [ 2 = 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3 6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1) [ 2 2 [ 2 = x 2 − − 7 xy + − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 = x 2 − {− 7 xy − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 } ( [ ]) = 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] ) = 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y )] } ]} = 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y) = 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y = 5x − 5y + 6 = x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2 [ = 2 x 2 + 4 xy + 3y 2 [ { } 9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a [ ] = − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b} [ = − a − b + − a + b + 2a − b + a − b ] = − a − b − a + b + 2a − b + a − b = a − 2b } ] [ = 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c [ ] ]} = − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] } [ = − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y} = − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y ] = 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c = 6a + 7c ))} − (n + 6)] = − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6] = − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6] = − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6] ( { ] = 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c ) [ { ( ( 16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5 10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y ) = − 3x + y { 15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c = − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6 = − 6m + 2n + 1
  • 37. {[ )] = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b} = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b} ( [ {( ) [ ( ) ( )] = − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}] = − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}] = − [x − x − 2 y + z ] 23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y } 17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b) = 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b} = − x + x + 2y − z = 2y − z = 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b = − a − 5b − 6 [ )] { = − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y} ( } 18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y) [ ] = − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y = 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1 =−4 [ ] {[ ][ ] [ ]} 19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c) [ ] { [ ]} = − a + a + {b − c + c} = − [a] − − a + b − c − − c ) [ ( ) ] }] = − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }] = − [− a + {− a − c − a − b}] = − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c ( ) ( EJERCICIO 33 ( ) 2. x − 3xy − y + 6 2 =b 2 = x 2 + (− 3xy − y 2 + 6) {[ ]} { [ ]} = − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b 20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b) = − {a + b} − {b + a} − a − b 3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1 = x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1) 4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 = − a− b− b− a − a− b = a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 ) = − 3a − 3b }] ]} { [ ]} [ { = − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}] {[ 21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b) [ ] = − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b = − a + b + 2c [ { [ { 24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b 1. a − b + c − d = a + −b+ c− d = b− c+ c = − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b ))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}] = − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}] = − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ] = − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3] ( ( 22. − 3m + − m − n − m + 4 = − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3 = − 2m + 4n − 7 }] 4 3 2 5. x − x + 2 x − 2 x + 1 = x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1) 6. 2 a + b − c + d = 2a − − b + c − d ( ) 3 2 7. x + x + 3x − 4 = x 3 − (− x 2 − 3x + 4) 8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 = x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 ) 2 2 2 9. a − x − 2 xy − y = a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) 2 2 2 10. a + b − 2bc − c = a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )
  • 38. EJERCICIO 34 1. x + 2 y + ( x − y ) [ 6. − 2a + (− 3a + b) [ 2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n) [ [( 2 = x2 [ 2 2 [ 2 ] ( [ ] 2 2 ) ] 8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2 ) 4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3 [ ) ( 2 = − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 ) ) ] − {3xy − [( x − xy) + y ] } 3. x − 3xy + x − xy + y 2 ( 7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y ] = 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n) 2 ] = − 2a − (− 3a + b) ] = x − − 2 y − (x − y) = − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2 { ] = x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3) { [ ( )] } = 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }] 5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a 9. } [m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3) = − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)} 4 2 4 2 EJERCICIO 35 17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1 1. 2 ⋅ − 3 = − 6 18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x 2. − 4 ⋅− 8 = 32 19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x 3. − 15 ⋅16 = − 240 4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2 5. 2x 2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3 6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3 20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1 EJERCICIO 36 7. − 5x3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3 1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1 8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x 2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2 9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p 3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1 10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y 4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2 11. − x2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4 5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4 12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d 6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5 13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3 7. 4x a + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5 14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y 8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc 15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6 9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2 16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4 10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c 2 2 2 2
  • 39. EJERCICIO 37 3 m 2 3 1 3 m+1 3 a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 = a b 4 5 2 5 10 1 2 4 3 1 4 4 5 2 a ⋅ a b = ⋅ a 5b = a b = a 5b 2 5 2 5 10 5 8. − 3 2 7 2 3 m n ⋅− am 7 14 3 7 2 5 21 2 5 3 2 5 a m n= a m n= amn = − ⋅− 7 14 98 14 1. 9. 2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 x y ⋅− a x y = − a x y = − a2x 6y 4 3 5 15 5 10. − 2. − 3. 4. − 7. 2 x m +1 3 x −1 m a b ⋅− a b 9 5 2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1 b a b = ⋅ a = 3 5 15 1 3 4 4 3 2 4 3 5 5 1 3 5 5 m n ⋅− a m n = amn = amn 8 5 40 10 7 2 3 14 4 1 a bc = − a 4bc 5. − abc ⋅ a = − 8 7 56 4 6. − 5 m n 3 a b ⋅− ab 2c 6 10 1 1 1 = − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c 2 2 4 3 3 4 5 3 1 x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9 5 6 6 2 11. 2 x +1 x − 3 2 44 x − 3 2 a b c ⋅− a b 11 7 8 4 = 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2 7 7 12. − 1 3 3 m+1 1 m+1 a ⋅ am = a = a 3 5 15 5 EJERCICIO 38 3 m n 4 12 3m 2n 3 3m 2n a b ⋅ − a 2mbn = − a b =− a b 8 5 40 10 3 3 1 x a m ⋅− 5a 2m ⋅− am 5 10 15 2 + x 3 +1+ a 3 x+2 a+4 a m a m =− =− 50 10 8. − 1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4 2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y 3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4 9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7 4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2 10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x 5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1 6. 7. 1 3 2 2 3 6 2 + 4 3 +1 1 x ⋅− a x ⋅− a 4m = a x m = a 6 x 4m 2 3 5 30 5 2 m 3 2 4 a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1 3 4 18 m + 2 + 4 4 + x + 1 3 a b =− = − a m + 6b x + 5 12 2 = − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x 11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x = − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x 1 2 3 10 3 3 2 x y ⋅− xy 2 ⋅− x ⋅− x y 2 5 3 4 6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4 y = x = x y 8 4 12. − EJERCICIO 39 1. 2. 8x 2 y − 3y 2 3x 3 − x 2 − 2x − 6x + 2x 4 2ax 3 3 16ax 5 y − 6ax 3 y 2 2 3. x − 4x + 3 − 2x − 2x 3 + 8 x 2 − 6 x 3 2 4. a − 4a + 6a 3ab 3a 4b − 12a 3b + 18a 2b
  • 40. 2 2 5. a − 2ab + b − ab 13. − 4x 2 − a 3b + 2a 2b 2 − ab 3 − 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2 5 3 6. x − 6 x − 8x 2 2 3a x 4 3 2 2 14. a − 6a x + 9a x − 8 3 3bx 3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3 3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3 m4 − 3m2n2 + 7n4 7. n+ 3 − 3a n + 2 − 4a n + 1 − an 15. a − an x 2 − 4m3 x − 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x − a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2 3 2 2 8. x − 4x y + 6 xy 16. ax 3 y ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3 a − 5a b − 8ab 3 9. 2 x 3 − 3x 2 + 5x − 6 x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5 − 3a 2 x 3 − 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3 2 3 2 2 3 17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y 2 2 5a xy − 4 a 4m 2 − 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2 − 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5 m m −1 + am − 2 10. a − a − 2a 18. x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1 − 2x 2 − 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1 − 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3 = − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1 19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8 m+1 + 3 xm − x m − 1 11. x 2m 3x − 5a 3 y 2 − 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2 3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1 m n m −1 n + 2 m−2 n+4 + a m − 3b n + 6 20. a b + 3a b − a b m n m − 1 n +1 m−2 n+ 2 12. a b + a b − a b 4a mb 3 3a 2b 4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9 3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3 EJERCICIO 40 1 1. 2 a− 2 b 3 2 2 a 5 2 1+ 2 4 2 − a a b 10 15 1 3 4 2 = a − a b 5 15 2 3 2. 3 a − 4 b − 2 3 a b 3 4 6 3 1+ 1 − a3 + 1b + a b 9 12 4 4 1 3 2 =− a b+ a b 9 2 3. 3 1 2 a− b+ c 5 6 5 5 2 − ac 3 15 1+ 1 2 5 10 2 + 1 a c + abc 2 − ac 15 18 15 5 2 = − a 2c 2 + abc 2 − ac 3 18 3 − 2 4. 5 a2 + 1 2 ab − b 2 3 9 3a 2 x 6 2+2 3 6 a x + a2 + 1bx − a 2b 2 x 5 3 9 6 2 = a 4 x + a3bx − a 2b 2 x 5 3
  • 41. 5. 1 2 1 2 1 2 1 2 a − b + x − y 2 3 4 5 5 − a 2m 8 1 2 2 1 x − xy − y 2 3 5 4 3 3 y 2 5 2+ 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 40 5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2 =− a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 8 3 2 3 6 3 x y − xy 3 + 1 − y 2 + 3 6 10 8 1 3 3 = x 2 y 3 − xy 4 − y 5 2 5 8 6. 8. − 3a − 5b + 6c 3 2 3 − a x 10 9. 9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3 a x + a bx − a cx 10 10 10 9 3 3 3 2 3 9 2 3 =− a x + a bx − a cx 10 2 5 − 7. 2 3 1 2 5 1 m + m n − mn2 − n3 3 2 6 9 3 2 3 mn 4 6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3 m n + m n − m n − mn 12 8 24 36 1 3 5 1 = m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6 2 8 8 12 2 6 1 4 2 3 2 4 1 6 x − x y + x y − y 5 3 5 10 5 − a3x 4 y3 7 2 4 2 2 1 4 x −x y + y 9 3 3 3 4 x y 7 6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4 x y − x y + x y 63 7 21 2 7 4 3 5 6 1 3 8 = x y − x y + x y 21 7 7 10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3 a x y + a x y − a x y + a x y 35 21 35 70 2 5 3 1 3 4 9 = − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 + a x y 7 21 7 14 10. − EJERCICIO 41 1. a + 3 a −1 3. x + 5 x−4 a 2 + 3a − a−3 x + 5x a 2 + 2a − 3 x + x − 20 2. a − 3 a +1 a 2 − 3a a−3 a − 2a − 3 2 2 − 4x − 20 2 4. m − 6 m−5 5. − x + 3 −x+5 7. 3x − 2 y 2x + y 6x 2 − 4 xy x 2 − 3x − 5x + 15 + 3xy − 2 y 2 x 2 − 8x + 15 6x 2 − xy − 2 y 2 6. − a − 2 −a −3 8. 5x − 4y − 3x + 2y m2 − 6m − 5m + 30 a 2 + 2a + 3a + 6 + 10xy − 8y 2 m − 11m + 30 a 2 + 5a + 6 − 15x 2 + 22xy − 8y 2 2 − 15x 2 + 12xy
  • 42. 11. − a + b 8a − 4b 9. 5a − 7b a + 3b 13. − 9m + 8n 6m + 4n − 8a 2 + 8ab 5a 2 − 7ab + 15ab − 21b − 54m2 + 48mn + 4ab − 4b 2 2 − 36mn + 32n2 − 8a 2 + 12ab − 4b2 5a 2 + 8ab − 21b2 − 54m2 + 12mn + 32n2 12. 6m − 5n m−n 10. 7x − 3 2x + 4 14. − 7y − 3 2y − 11 6m2 − 5mn 14x 2 − 6x − 14y 2 − 6y + 28x − 12 − 6mn + 5n + 77y + 33 14x + 22x − 12 mn 6m − 11 + 5n − 14y + 71y + 33 2 2 2 2 2 EJERCICIO 42 2 2 1. x + xy + y x−y 3 2 5. a + a − a a −1 a 4 + a3 − a2 x 3 + x 2 y + xy 2 − x y − xy − y 2 2 −a −a 3 3 − y3 x3 a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 + am3 − am2 + am − 2a 2 2 10. 3a − 5ab + 2b 4a − 5b 12a 3 − 20a 2b + 8ab 2 − m4n2 − m2n4 − n6 − 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3 − n6 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3 m6 + a b + 2ab + b 2 4 2 2 4 11. 5m − 3m n + n 3m − n 2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x a 3 + 2a 2b + ab 2 2 + 7x − 3 y2 + 2 +x 2 +3 − 9x 2 + x + 3 + 6y 3y 5 + 3mn4 + 3m n 2 3 − n5 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5 a 4 + a3 + a2 3y 5 − 6y 3 + 5y 2 3 4 2 12. a + a + 1 a2 − a − 1 3 9. 3y − 6y + 5 3 2 4. x − 3x + 1 x+3 − 5m n 2 2x 4 − x 3 − 9m3n2 15m5 + 3x − 6 x + 9x − 3 3 3 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 − am − 2a am4 3 2 7. x − 2x + 3x − 1 2x + 3 2 2 3. a + 2ab + b a +b x4 +a m6 + m4n2 + m2n4 − a 2b + 2ab 2 − b 3 + 3x − 9x am4 − am3 + am2 − 2am 4 2 2 4 6. m + m n + n 2 2 m −n a 3 − 2a 2b + ab 2 3 2 − 2a 2 + a a4 2 2 2. a − 2ab + b a −b x 4 − 3x 3 3 2 9. m − m + m − 2 am + a − a3 − a2 − a − 12y + 10 − a2 − a − 1 + 5y 2 − 12y + 10 a4 − a 2 − 2a − 1
  • 43. 13. x 3 + 2x 2 − x 19. x 2 − 2xy + y 2 x 2 − 2x + 5 − x 2 + xy + 3y 2 x + 2x − x 5 4 − x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2 3 − 2x − 4 x + 2x 4 3 + x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3 2 + 5x + 10x − 5 x 3 + 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4 2 + 12x 2 − 5x x5 − x 4 + 3x 3 y 2 20. n − 2n + 1 3 2 2 14. m − 3m n + 2mn m − 2mn − 8n 2 n2 − 1 2 n4 − 2n3 + n2 m5 − 3m4n + 2m3n2 − n2 + 2n − 1 − 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3 − 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4 m − 5m n 5 − 5xy 3 + 3y 4 + 20m n − 16mn 4 2 3 n4 − 2n3 + 2n − 1 4 3 2 2 21. a − 3a b + 4ab 15. x 2 + x + 1 x2 − x − 1 a 2b − 2ab 2 − 10b 3 x4 + x3 + x2 a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3 − 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4 − x3 − x2 − x − 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5 − x2 − x −1 a 5b − 5a 4b 2 − x 2 − 2x − 1 x4 4 2 16. x − 3x + 2 22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3 x 2 − 2x + 3 x 2x + 3y − 3x 6 − 2x + 2x 4 + 6x 5 + 3x x 6 − 2x 5 − 4x 3 − 9x 4 16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3 2 2 +6 4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y + m3 + m2 − 4m − 1 m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1 + 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20 4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20 4 3 2 3 24. − a + 2ax + 3x 3 18. a − 5a + 2 2a 2 − 3ax − x 2 a −a+5 2 − 2a 5 − 5a 3 + 2a 2 + 3a x 2 3 + 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3 +a x 3 2 − 25a + 10 + 7a 2 − 27a + 10 − 6a 2 x 3 − 9ax 4 4 + 5a − 2a 4 + 5a − 27y 4 2y + 5 m6 + m5 − 4m4 − m3 a5 − a4 − 24 x 2 y 2 16x 4 3 2 23. 2y − 3y + y − 4 m3 + 1 −a + 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4 + 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6 17. m3 + m2 − 4m − 1 a5 + 22a 2b 4 − 40ab 5 − 2a + 3a x + 5a x 5 4 3 2 − 2ax 4 − 3x 5 − 11ax 4 − 3x 5
  • 44. 2 30. y − 2y + 1 y 4 − 2y 2 + 2 25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3 − x 2 − xy − y 2 y 6 − 2y 5 + y 4 − x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3 − 2y 4 + 4y 3 − 2y 2 − x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4 + 2y 2 − 4y + 2 − x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5 − x 6 + 2x 5 y y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3 − 3x 2 y 4 − xy 5 − 4y + 2 4 2 31. m − 3m + 4 26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3 a − 2a − 7 3m3 − 2m + 1 a 6 − 5a 5 + 2a 4 − 3a 3 3m7 − 9m5 3 − 2m − 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a + 6m3 +m − 7a + 35a − 14a + 21 3 a − 5a 6 2 2 − 3m 2 5 4 3 +4 2 3 2 32. a + a − a + 1 3 a + a 2 − 2a − 1 4 3 2 27. m + m − m + 3 m − 2m + 3 2 m6 + m5 − m4 a6 + a 5 − a 4 + 3m2 − 2m5 − 2m4 + 2m3 +a + a − 6m + 3m4 + 3m3 − 3m2 m6 − m5 − 8m 4 3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4 7 + 31a − 8a + 21 5 + 12m3 5 + 5m3 5 4 + a3 − a3 + a2 − 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a +9 − a 3 − a2 + a − 1 − 6m + 9 a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 3 2 2 3 33. 8x − 12x y − 6xy + y 28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4 3x 2 − 2xy + 4y 2 a 2 − 2ab + b2 24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3 a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab 5 4 2 3 3 2 4 − 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4 5 + a b + a b − 3a b − ab + b 4 2 3 3 2 4 a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 5 + 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5 6 24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 − 3ab5 + b6 4 3 2 34. 5a − 4a + 2a − 3a − 1 29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 a 4 − 2a 2 + 2 x 2 + xy − 2y 2 x −x y+ x y 6 5 4 2 − x y 3 3 5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4 + x y 2 4 − 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2 + x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5 − 2x y + 2x y 4 2 x6 3 3 − 2x y + 2xy − 2y 2 4 5 6 − 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 + 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2 5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2
  • 45. 4 3 2 35. x − x + x − x + 1 40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2 x − 2x + 3x + 6 a 4 − 3a 2 + 4a − 5 x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4 3 2 − 9a 7 − 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2 + 12a + 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x 3a 9 − 15a 7 + 14a 6 + 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10 5 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 + x 2 − 3x + 6 41. a + b − c a−b+c 3 2 36. 3a + 2a − 5a − 4 a + a − 2a + 1 3 − 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a − 15a + 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6 x 7 − 3x 6 + 6x 5 + 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2 6 2 a 2 + ab − ac 3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3 − ab + 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2 − b 2 + bc + ac − 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a + 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 + bc − c 2 − b 2 + 2bc − c 2 a2 3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4 42. x + 2y − z x−y+z 37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y y 4 − 3y 2 − 1 x 2 + 2xy − xz 5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5 − xy − 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3 + xz − 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y x 2 + xy 5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 4 3 2 2 4 38. m − 2m n + 3m n − 4n − m7 + 2m6n − 3m5n2 + 4m3n4 + 3m n − 6m n + 9m n 5 2 4 3 + m4n3 − 2m3n4 + 2xy + 20mn6 + 3m2n5 39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 x − 2x y + 3xy 4 x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6 − 6yz + 10z 2 − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2 44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2 x +y+z x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2 + x2y − 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8 − xy 2 − xyz +x z 2 + 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10 x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 − 3y 2 + 5yz + 4 xz − 4n7 − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 3 2 − 2y 2 + 3yz − z2 − 2x 2 + 3xy − 5xz − 12m2n5 − 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4 5 + 2yz − z 2 43. 2x − 3y + 5z − x + y + 2z − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 6 − 2y 2 + yz x3 − xyz − xz − 3xyz + y 3 − y 2 z + yz 2 + y 2z − yz 2 + z 3 2 + y3 + z3
  • 46. x x −1 x−2 7. a + 3a − 2a EJERCICIO 43 ax − ax −1 + a x+ 2 x +1 x 1. a − a + a a +1 a x+ 3 −a x +2 +a a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2 − a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 + a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4 x +1 + a x + 2 − a x +1 + a x a x−2 x+ 3 +a a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4 x a+4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1 8. m 2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1 − ma − 1 + ma − 2 + m x +x 2 − m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a − x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3 + m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1 − x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2 + m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2 − x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2 −m a+ 2 a +1 a a −1 3. m + m − m + m − 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma + 3m + 2m 2a + 2 xa − 1 − xa − 2 − x ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1 ma + 4 − ma + 3 2a + 3 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2 9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4 m2 − 2m + 3 a+ 2 a−3 + 3m a +1 − 3m + 3m a a −1 a−3 x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5 − x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 − x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7 x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4 n+ 2 n +1 n 4. a + 3a − 2a n +1 n a +a a 2n + 3 + 3a 2n + 2 − 2a n n −1 2 n− 2 3 n−3 4 10. a b − a b + 2a b − a b anb2 − an − 2b4 2n + 1 + a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6 a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n − a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8 a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5 5. x a + 2 + 2x a +1 − x a x a + 3 − 2x a + 1 11. a x + b x x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3 − 2x x 2a + 5 2a + 3 − 4x 2a + 2 + 2x 2a + 1 + 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 a m + bm am + x + amb x + a xbm + bm + x a 6. a − 2a x x −1 + 3a a + 2a + 3a x +1 − 4a x + 6a x − 1 x − a + 2a x a x+2 x −1 − 2a + 8a x + a b + a xbm + bm + x m x x −1 n−1 12. a − b a−b x +1 − 2a m+ x x−2 a 2 + 2a − 1 x+2 a x − abn − 1 − 3a x −1 − x 2a − 7 x−2 − 3a x−2 − a x − 1b + bn a − ab x n −1 − a x − 1b + bn − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8
  • 47. 2 2 2 1 2 13. − 5a m + + a m + + 3a m 6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3 − 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1 + 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2 − 5a 5m − 1 + a 5m − 2 + 3a 5m − 3 − 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3 a + 2 x −1 a +1 x a x +1 14. x y − 4x y + 3x y − 2x 2a − 1y x − 2 − 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2 + 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1 EJERCICIO 44 3. 1. 1 1 a− b 2 3 1 1 a+ b 3 2 2 3 x − 6 2 2 x y 9 3 2 − x y 4 1 2 1 a − ab 6 9 1 1 + ab − b2 4 6 2 y 5 1 5 x+ y 3 6 1 2 x − 3 + 4. 2 xy 15 5 10 2 xy − y 6 30 1 2 4 − 25 10 2 x − xy − y 3 30 30 1 21 1 = x2 + xy − y 2 3 30 3 1 7 1 = x2 + xy − y 2 3 10 3 2 xy 2 12 3 2 3 + xy − y 3 6 8 + 2 3 8 + 27 2 2+6 2 3 3 x − x y+ xy − y 6 36 12 8 1 3 35 2 8 3 3 2 = x − x y+ xy − y 3 36 12 8 1 3 35 2 2 2 3 3 = x − x y + xy − y 3 36 3 8 1 2 4−9 1 a − ab − b 2 6 36 6 1 5 1 = a2 + ab − b2 6 36 6 2. x − 1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2 1 2 2 a − ab + b2 4 3 1 3 a− b 4 2 1 3 a − 16 1 2 2 ab + ab2 4 12 3 2 3 2 − ab + ab 8 2 − 6 3 b 6 1 3 2+3 2 2 + 18 2 a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 20 2 = a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 5 = a − a b + ab 2 − b 16 8 3
  • 48. 5. 2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2 3 2 m − mn + 2n2 2 6 4 3 3 m + m n 10 6 2 − m3n 5 6. 3 2 2 m n 4 1 − m2n2 3 4 + m2n2 5 6 5 2 4 4 3 x + x − x 8 4 5 3 3 − x 24 − 1 mn 3 2 2 + mn 3 3 + − 1 3 2 2 7. − 2 x + 3 ax + 2 a 8. 3 2 2 x − ax + a 2 2 3 − 3 4 3 3 x + ax 4 6 1 + ax 3 2 + − − 9 2 2 a x 4 1 2 2 a x 3 2 2 2 a x 6 3 − a3x 2 2 + a3x 9 6 4 a 6 3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3 6 x + ax + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 6 19 2 2 23 3 6 = − x 4 + ax 3 + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 4 19 2 2 23 3 3 4 = − x + ax + a x − a x+a 4 12 18 − 9. 2 x 15 2 + x 4 + 2 3 1 x − x2y + 7 5 1 2 2 x − xy + 4 3 − + − 3 3 x 8 1 3 x 30 1 3 x 20 + − − 3 2 x 4 1 2 x 40 1 2 x 15 4 5 1 2 xy 2 5 2 y 6 1 3 2 x y 8 2 3 2 + x y 15 10 3 2 + x y 42 + 2 2 3 x y 6 5 2 3 − x y 30 − + 5 xy 4 12 2 5 21+ 80 4 105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 2 5 101 4 417 3 2 15 2 3 5 = x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 = 12 14 420 280 2 1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− 2 10 5 3 5 3 4 x + x 8 6 1 4 + x 40 − 6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30 4 x + x − x − x + x− 8 4 120 24 60 5 3 5 1 4 111 3 16 2 38 4 = x + x − x + x + x− 4 2 120 24 60 5 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 = x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5 2 5 1 4 x − x y 28 20 4 4 − x y 21 + 1 2 x 12 6 2 + x 8 − 2 4 n 2 6 4 15 − 12 3 45 + 20 − 48 2 2 3 + 4 2 m + m n− m n + mn3 − n4 10 30 60 6 2 6 4 3 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn 3 − n 4 10 30 60 6 3 4 1 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn3 − n4 5 10 60 6 1 3 2 1 2 x + x− 8 4 5 1 3 2x − x + 2 3 1 x 20 1 1 + x − 20 10 + 3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1 1 x + x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 3 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 = x5 + = x + x − x + x + x− x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10
  • 49. 3 1 2 1 3 2 2 3 10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n 2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2 6 5 2 4 m − m n + 12 6 6 4 − m n+ 12 + 4 3 2 m n 15 2 3 2 m n 6 15 3 2 m n 8 − − − 2 2 3 m n 12 4 2 3 m n 15 5 2 3 m n 4 2 mn 4 12 10 + mn 4 10 + − 5 5 n 8 6 5 4+6 4 32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 12 12 120 60 120 8 1 5 10 4 297 3 2 101 2 3 140 5 5 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 4 mn − n = m − m n + m n − m n + mn 4 − n5 = m − m n+ m n − m n + 2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8 EJERCICIO 45 3 2 2 3 3 2 3 4. m − 5m n + 6mn + n por m − 4mn − n 1− 5 + 6 + 1 1 + 0 − 4 −1 3 2 2 1. x − x + x por x − 1 1− 1+ 1 1+ 0 − 1 1− 5 + 6 + 1 − 4 + 20 − 24 − 4 −1 + 5 − 6 −1 1− 1+ 1 − 1+ 1− 1 1− 1+ 0 + 1− 1 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 = x5 − x 4 + x 2 − x = m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6 4 3 2 3 2 2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8 1− 2 + 0 − 7 4 2 4 2 5. x − 8x + 3 por x + 6x − 5 1+ 0 − 8 + 0 + 3 1+ 0 + 6 + 0 − 5 1+ 3 − 5 + 0 + 8 − 2 − 6 + 10 + 0 − 16 − 7 − 21+ 35 + 0 − 56 1+ 0 − 8 + 0 + 3 + 6 + 0 − 48 + 0 + 18 1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15 = x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 = x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b 1+ 3 − 2 + 5 − 1 1− 2 + 1 4 3 2 2 3 − 5 + 0 + 40 + 0 − 15 4 por a − 2ab + b 2 2 1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20 1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 = a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b 5 4 2 1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10 − 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40 + 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30 − 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20 1+ 3 − 2 + 5 − 1 − 2 − 6 + 4 − 10 + 2 +1 + 3 − 2 + 5 −1 6 6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10 3 3 2 4 5 6 = a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2
  • 50. 7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10 12 8 4 16 12 8 4 8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3 1− 7 + 9 − 15 1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2 3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10 1− 5 + 9 − 4 + 3 1− 7 + 9 3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6 − 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16 + 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20 − 4 + 28 − 36 + 60 + 3 − 21 + 27 − 45 3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20 = 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20 − 15 − 5 + 35 − 45 + 75 + 9 − 63 + 81 − 135 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 = m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45 9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2 5 2 4 2 10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7 6+0+0−4+6−2 1+ 0 − 2 + 1− 7 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 2+0+4 6+0+ 0 −4+ 6 −2 − 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4 2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2 + 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4 + 6+ 0 +0−4 +6 − 2 − 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14 2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 = 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7 = 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3 3 − 4 + 0 + 0 −1 11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4 6 4 3 4 2 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 1+ 0 − 5 + 3 1+ 0 − 3 + 0 + 4 3 − 4 + 0 + 0 −1 − 15 + 20 + 0 + 0 + 5 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12 + 9 − 12 + 0 + 0 − 3 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 + 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16 = 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7 1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 = n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16 13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 − 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24 − 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30 + 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6 1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6 x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 m m−1 m− 3 por a 2 − 5 14. a − 3a + 5a 1− 3 + 0 + 5 1+ 0 − 5 1− 3 + 0 + 5 − 5 + 15 + 0 − 25 1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25 = a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 x+2 x +1 x −1 por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 15. a − 5a − 7a 1− 5 + 0 − 7 7 + 0 + 6 +1 7 − 35 + 0 − 49 + 6 − 30 + 0 − 42 + 1 −5+ 0 −7 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 = 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1
  • 51. − 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2 1+ 0 − 5 + 0 − 6 6 − 4 + 2 +1 16. x a+2 2x + 2 − 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1 1− 3 − 1− 5 6−5+3 17. a 6 + 0 − 30 + 0 − 36 − 4 + 0 + 20 + 0 + 24 + 2 + 0 − 10 + 0 − 12 6 − 18 − 6 − 30 − 5 + 15 + 5 + 25 + 3 − 9 − 3 − 15 + 1+ 0 − 5 + 0 − 6 6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 = 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 = 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 EJERCICIO 46 ( )( ( )( )( ( ) )( )( 2 2 6. a − b a − 2ab + b a + b 2 2 2 4. x + 1 x − 1 x + 1 ) 1. 4 a + 5 a − 3 x2 + 1 x4 + x2 a 3 − 2a 2b + ab2 x +1 4a + 20 a−3 4a 2 + 20a ) a 2 − 2ab + b 2 a+b 2 − 12a − 60 + x2 + 1 + a 2b − 2ab2 + b3 4a 2 + 8a − 60 x 4 + 2 x2 + 1 a 3 − a 2b − ab 2 + b 3 a−b x2 − 1 ( )( a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3 x 6 + 2 x 4 + x2 ) 2. 3a x + 1 x − 1 2 − a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4 − x4 − 2 x 2 − 1 3a 2 x + 3a 2 a 4 − 2a 3b x6 + x4 − x2 − 1 x−1 + 2ab3 − b 4 3a 2 x 2 + 3a 2 x − 3a 2 x − 3a 2 ( )( )( 5. m m − 4 m − 6 3m + 2 − 3a 2 3a 2 x 2 ) m − 4m 2 ( )( )( 3. 2 a − 3 a − 1 a + 4 ) m 3 − 4 m2 − 6m2 + 24m a −1 2a 2 − 6a − 2a + 6 2a 2 − 8a + 6 a+4 2a 3 − 8a 2 + 6a + 8a − 32a + 24 2 2a 3 m − 10m + 24m 3 − 26a + 24 2 3m + 2 3m4 − 30m3 + 72m2 + 2m3 − 20m2 + 48m 3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m )( )( ) 3x − 6 x + 3x x−1 3 m− 6 2a − 6 ( 7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1 2 3x 4 − 6 x 3 + 3x 2 − 3 x 3 + 6 x 2 − 3x 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x x+1 3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2 + 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x 3x 5 − 6 x 4 + 6 x 2 − 3x
  • 52. ( )( )( 2 2 8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2 11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1) ) x2 − x + 1 x−3 x+ 4 x−5 x+1 x2 + x − 1 x 2 − 3x x 2 − 5x + 4 x − 12 + x3 − x2 + x x x2 − 4 x − 5 x2 − 4x − 5 − x2 + x − 1 x 4 + x 3 − 12 x 2 − x2 + 2x − 1 x4 x− 2 + x −5 x 2 + x − 12 x4 − x3 + x2 − 4 x 3 − 4 x 2 + 48x − 5x 2 − 5x + 60 − x + 2x − x 5 3 − 2x x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60 2 + 2x − 4x + 2 4 2 2 2 2 12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3) 2 x + 2x + 1 x2 − 3 x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2 5 4 3 x2 + 3 x−1 x + 2x + x 4 m m −1 m −1 9. (a − 3)(a + 2)(a − 1) m a −3 2 x + 3x 2 + 6 x + 3 +a − 3a m −1 x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3 −6 2a + a m 2 m −1 − 3a m −1 − x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2 −6 − 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x a m −1 − 1 2a − a a + 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9 +a 3m − 2 − 3a 2m−2 2 m −1 2 m −1 − 6a m −1 + 3a +a 3m − 2 − 3a 2m−2 − 3a x +x −x 7 m −1 m −1 − 2a + 6 6 − x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9 5 m − 2a m + 6 ⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6 2 13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1) 27a 3 − 18a 2 2a − 1 2a + 1 a−1 54a 4 − 36a 3 ( )( )( ) 10. a a − 1 a − 2 a − 3 a2 − a 2a 2 − a + 27a − 18a 3 54a − 9a − 18a 4 3 2 − 2a + 1 2 2a − 3a + 1 2 2a 2 − 3a + 1 a−2 108a 6 − 18a 5 − 36a 4 a3 − a2 − 162a 5 + 27a 4 + 54a 3 − 2a + 2a + 54a 4 − 9a 3 − 18a 2 a − 3a + 2a 108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2 2 3 +3 x 3 − x 2 − 3x + 3 x 3 − x 2 − 3x + 3 2 m −1 m 2 m −1 − 3x 3 − x2 x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3 a m −1 + 2 2a 3 2 a−3 a 4 − 3a 3 + 2a 2 − 3a 3 + 9a 2 − 6a a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a 6 5 ( x x +1 x +2 14. a a + b a a 2 x +1 +a b x )(a x +1 − b x + 2 )b x x+2 b − b2 x + 2 x +1 x a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2 − a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4 a 3 x + 2b x − a xb 3 x + 4
  • 53. EJERCICIO 47 ( 1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2 ) ) ( ) 2 = 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2 ) ( = 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2 ) 2 2 2 2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2 = 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2 = 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10 2 ( 2 = 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2 = 4 x + 12 + 5x + 10 = 9 x + 22 ( ) 11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2 2 2 = 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2 = 8x + 31 2 12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n) 2 3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a ) = m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2 = 10a + ax 2 2 2 2 2 2 2 4. x ( y + 1) + y ( x + 1) − 3x y = 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2 = − 2m2 − 10mn + 16n 2 = x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2 = − x2 y2 + x2 + y2 ( 2 2 2 2 2 = ax + x 2 ) ( ) ( = − y 3 + 3y 2 ( ) ( )( ) = 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x 2 2 2 2 2 a+b− c a+ b− c = − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4 a−b+ c a−b+ c a 2 + ab − ac 2 a 2 − ab + ac + ab = − x 2 − 6x + 6 + b 2 − bc − ac 8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4) − ab − bc + c 2 = a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4) = a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12 + b 2 − bc + ac a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c 2 = a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20 2 2 − bc + c 2 a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 2 a+b+ c a+b+ c a 2 + ab + ac = − 2a 2 + 5a + 7 + ab 9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b) = 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 ) = 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2 = − 14a 2 + 5ab + 5b 2 ) ( ) = (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c) = a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c ) 2 2 2 2 14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c) 7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x 2 ) + a + 2 x ) − (a − x)(a − x ) − a − 2 x − (a − ax − ax + x ) = − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2 2 10. a + c − a − c ) ( = 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2 ) = y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2 ( ) ( )( + 3ax + 3x − (ax + 2 x = 4ax + x + 3x − ax − 2 x 2 2 3 3 2 2 2 2 2 6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1 2 ( 2 = 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2 ( ) 13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x 5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n ) = 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2 2 2 = (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n) = a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2 3 2 2 = a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2 = 4ac 2 + b 2 + bc + ac + bc + c 2 a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2 2 2 a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2 a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 − a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2 a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc
  • 54. ( ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 2 15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3 x + x− 3 x + x−2 x + x− 3 2 x2 + x − 2 2 2 2 x 4 + x 3 − 3x 2 x4 + x3 − 2x2 + x 3 + x 2 − 3x ( ) ( x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 + xy x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9 x 4 − x 3 − 3x 2 − x 3 + x 2 + 3x − x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4 − 3x 2 + 3x + 9 x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14 [ ][ ] 2 17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x + xz [ ][ ] = [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z 2 − y2 x2 2 + y2 3x + 3xy + 3y 2 2 3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2 ⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz [ [ ][ = [− x + 2][x + 8] = 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4 2 = − x 2 − 6 x + 16 = 5x − 5x + 3 )][ ( ) ( )] = [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n] = [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n] = [− 2mn − 2n ][− m + 5n] ) ( )( 19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n 2 2 2 20. [ [ ] ] ][xy − y ] 2 = − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4 [ [ ] = − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3 ] ] = − − 4x − 6y − 3 = 4x + 6y + 3 { )] } − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] } − {− 3x + 5 + x − 2 x + x } − {− 4 x + 5 + x } [ ( 4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x ] 2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2) [ ][ 2 = − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4 [ = x − 3a + 2 x − 2 = 3 x − 3a − 2 [ 2 ] 3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1) 1. x − 3a + 2 (− x + 1) [ 2 3 EJERCICIO 48 = x − 3a − 2 x + 2 ][ 2 = − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2 = 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3 = 2m n − 8mn − 10n 2 = x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y 2 2 2 [ 2 2 [(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)] = x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2 2 2 ] ] = − x 2 − 8 x + 2 x + 16 2 )( ][ 18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2) = 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2 [ − xy − y 2 + yz + z 2 2 = x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2 2 + y 2 + yz − x2 x2 − x − 3 2 x 2 + xy x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2 x2 − x − 3 [( ) x+ y x− y x 2 + xy + xz − 2x2 − 2x + 4 x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9 ) ( x+ y+ z x+ y+ z + x3 + x2 − 2x − 3 x 2 − 3x + 9 )( 2 2 2 16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y ] = − a − b − 3 2a − ab + 2b = − a − b − 6a + 3ab − 6b = − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b = 4x2 = 4x2 = 4x2 = 4x2 + 4x − 5− x2 = 3x 2 + 4 x − 5 2 2 2 ]
  • 55. { [{( ) }] = m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}] = − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}] = − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}] = − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}] 10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m )) ] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] } = 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] } = 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8} [ ( ( 5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a [ [ ] = − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5 = 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8 = − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8 = − 2m − 3n − 6m + 4n − 5 = − 8m + n − 5 ] 6. a − ( x + y ) − 3( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y) [ ] = a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y [ ] { [ ] } − {− [− (x + y)] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y} 11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y) = a − 4x + 2y + 2 x + 4y = a − 4x + 2 y + 2x + 8y = a − 2 x + 10 y { [ = − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y ]} 7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1) { [ ]} = − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y = m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1 { [ ]} = 36 x + 29 y = − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1 = − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1} = − n − 3 { − 5m + 2n − 1} { [ ] } 12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a = − n + 15m − 6n + 3 { { { [ [ ] } = 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a = − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3 ]} = − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] } = − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] } [ 8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b) ] } = 5 {− 2 a − b + 18a − 9b} = 5{16a − 10b} = 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a = 80a − 50b = − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2} = − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2} {[ ] } − 4 {− [− (− a − b)] } = − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] } 13. − 3 − + (− a + b) = − 5a − 4b − 12a + 16b + 8 = − 17a + 12b + 8 [ }] = − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x = − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}] = − 3{a − b} − 4 {− a − b} { 9. − 5( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x [ = − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4] ] = − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4 = − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4 = − x − 8y + 4 = − 3a + 3b + 4a + 4b = a + 7b { ]} [ ]} = − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] } = − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6} {[ 14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a ) = − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9} = − {− a + 9b − 3} = a − 9b + 3
  • 56. EJERCICIO 49 8 9 4 4 12. − a b c ÷ 8c = − 1 8 9 4 −4 1 a b c = − a 8b9 8 8 6 4 3 13. 16m n ÷ − 5n = − 16 6 4 − 3 16 mn = − m6n 5 5 1. − 24 ÷ 8 = − 3 2. − 63 ÷ − 7 = 9 3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a 4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2 5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c 6. − a b ÷ − ab = a 2 2 − 1 1− 1 b =a 7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x 2 2 3 2 3 8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5 9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1 2 10. − xy ÷ 2y = − xy 2 − 1 xy =− 2 2 4 5 4 11. 5x y ÷ − 6x y = − 5 4 − 4 5 −1 5 x y = − y4 6 6 EJERCICIO 50 1. am + 3 ÷ am + 2 = a 3. − 3a m− 2 3 m − 2 − b − 5 g 3 m −2 − m + 5 3 3 m = a = a a 5 5 5 b ÷ − 6a 2m − 2 b x−4 108 7 6 − 6 8 − 8 27 7 ab c a = 20 5 2 2 −1 6 − 6 2 m n = m 3 3 16. a x ÷ a 2 = a x − 2 17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2 3 4 m n 18. 5a b c ÷ − 6a b c = − x m m n 19. a b ÷ − 4a b = − 5 m − 3 n − 4 1− 1 5 a b c = − a m − 3bn − 4 6 6 1 x−m m−n a b 4 3 5 3 5 a x 3 x 2 3 a−x x−2 3−3 = m a − xnx − 2 20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x a 2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − b+ 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2 b g= am + 3 − m − 2 = a 3 2 x−2 n 5. − 4a b ÷ − 5a b = 7. 5a 2 6 6 15. − 2m n ÷ − 3mn = m+3− m+2 ÷ − 5am − 5 = 2m − 1 x − 3 7 6 8 6 8 14. − 108a b c ÷ − 20b c = 4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2 a b = a b 5 5 4. x 2n + 3 ÷ − 4xn + 4 = − m + 3 m −1 ÷ − 8x 4 y 2 = 6. − 7x y 7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3 x y = x y 8 8 n −1 n +1 n −1 n +1 8. − 4x y ÷ 5x y = − 5 5 = − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab 6 6 9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x 1 2n + 3 − b+ 4g 1 1 n = − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1 x 4 4 4 2 3 m n x 10. − 5ab c ÷ 6a b c = − 4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1 4 x y =− 5 5 5 1− m 2 − n 3 − x a b c 6 EJERCICIO 51 1 1 2 2 2 2 3 2 x ÷ = x = x 1. 2 3 2 4 3 3 3 3 4 2 15 3 a= a − a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 = 4 2. 5 5 20 4 5 2 2 5 3 1 3 12 5 xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = − xy = − 4xy 5 1 3. 3 6 3 6 4. − 7 7 m n 3 28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2 a b ÷ − ab 2 = 8 a m − 1b n − 2 = a b = a b 3 8 4 24 6 4 2 5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5 2 18 9 9 1 3 6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p 3 3 7 7 2 5 6 5 5 6 8 2 − 1 5 − 5 6 − 6 = 14 a = 7 a 7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a b c 40 20 2 2 2 x m 3 2 10 x − 1 m − 2 8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = − a b 3 3 5 9 5
  • 57. 11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6 3 1 2 3 3 5 3 x 8 c 3 d 5 − x = − 12 c 3 d 5 − x = − 1 c 3 d 5 − x − c d ÷ d =− 2 3 9. 8 4 24 2 4 1 3 12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1 15 5 3 6 m n− 3 1 3 m n 3 1 a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = − a b = − a mb n − 3 3 5 1 10. 4 12 2 2 = − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = − ab 6 c 2 = − ab 6 c 2 3 2 45 9 5 EJERCICIO 52 2 1. a − ab ÷ a = a 2 − ab a 2 ab = − =a −b a a a 10. 2 3 2 4 2 2. 3x y − 5a x ÷ − 3x = 3x 2 y 3 − 5a 2 x 4 − 3x 2 = 3x 2 y 3 − 3x 2 − 5a 2 x 4 − 3x 2 = − y3 + 5 2 2 a x 3 3 2 2 3 3. 3a − 5ab − 6a b − 2a = 4. 3 2 2 3 3a 5ab 6a b 3 5 − − = − a 2 + b 2 + 3ab 3 2 2 − 2a − 2a − 2a x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x = − + = x 2 − 4x + 1 x x x x 8 6 4 5. 4x − 10x − 5x 2x 3 4x 8 10x 6 5x 4 5 = 3− − = 2x 5 − 5x 3 − x 2 2x 2x 3 2x 3 3 2 2 6. 6m − 8m n + 20mn − 2m = 6m3 8m2n 20mn2 − + = − 3m2 + 4mn − 10n2 − 2m − 2m − 2m 8 8 6 6 2 3 7. 6a b − 3a b − a b 2 3 3a b 6a 8b 8 3a 6b6 a 2b 3 1 = 2 3− − = 2a 6b 5 − a 4b3 − 3 3a b 3a 2b3 3a 2b3 4 3 2 8. x − 5x − 10x + 15x − 5x = 5x 3 10x 2 15x 1 x4 − − + = − x 3 + x 2 + 2x − 3 5 − 5x − 5 x − 5x − 5 x 9 2 7 4 5 6 3 8 9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n 2 2m 8m9n2 10m7n4 20m5n6 12m3n8 = − − + 2m2 2m2 2m2 2m2 7 2 5 4 3 6 8 = 4m n − 5m n − 10m n + 6mn a x + am − 1 a x am − 1 = 2 + 2 = a x − 2 + am − 3 a2 a a m m+2 + 6am + 4 11. 2a − 3a 3 − 3a = 2am 3am + 2 6am + 4 2 − + = − am − 3 + am − 1 − 2am + 1 − 3a 3 − 3a 3 − 3a 3 3 m n m −1 n + 2 m−2 n+4 12. a b + a b − a b 2 3 ab ambn am − 1bn + 2 am − 2bn + 4 = 2 3 + − ab a 2b 3 a 2b 3 m−2 n−3 m− 3 n−1 = a b + a b − a m − 4 bn + 1 m+2 − 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1 13. x xm − 2 m+2 x 5x m 6x m + 1 x m − 1 = m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2 x x x x = x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x x + 4 m−1 − 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3 14. 4a b − 2a x + 2 b m − 4 = 4a x + 4 b m − 1 6a x + 3 b m − 2 8a x + 2 b m − 3 − + x+2 m−4 x+2 m−4 − 2a b − 2a b − 2a x + 2b m − 4 = − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b EJERCICIO 53 1 2 2 x x 3 6 3 1. 2 − 3 = x − = x −1 2 2 4 6 4 x x 3 3 1 3 3 2 1 a a a 3 −5 + 4 3 3 3 − − − 5 5 5 2. 5 5 5 3 15 2 5 =− a + a − a = − a 3 + a2 − a 9 15 12 9 12
  • 58. 1 m 1 m−1 a a 2 2 2 1 3 +4 = am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2 1 6. 1 3 4 3 2 a a 2 2 2 3 3 2 2 3. 1 m 4 mn mn 3 4 − + 8 1 2 1 2 1 2 m m m 4 4 4 4 8 12 2 8 3 = m2 − mn + n = m2 − mn + n2 4 3 8 3 2 4. 7. 2 4 3 1 3 4 1 2 5 x y x y x y xy 6 3 − 5 + 4 − 1 1 1 1 − xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3 5 5 5 5 10 3 5 2 5 =− x + x y − xy 2 + 5y 3 3 5 4 10 3 5 2 2 = − x + x y − xy + 5y 3 3 4 2 x 2 x +1 1 x −1 a a a 3 4 − − 5 1 x−2 1 x−2 1 x−2 a a a 6 6 6 12 3 6 12 2 12 2 3 = a − a− a ⇒ 4a 3 − a − a 3 4 5 5 2 1 n m +1 2 n +1 m 3 n−1 m+ 2 ax a x a x 8 4 + −3 2 2 2 − a 3x2 − a3x 2 − a 3x2 5 5 5 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2 a x − a x a x = + 8 16 6 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2 a x − a x = + a x 8 16 3 8. − 2 5 1 3 3 a ab ab 5 2 4 1 2 3 1 5 5. 5 −3 − = a − ab − b 5a 5a 5a 25 15 5 EJERCICIO 54 2 1. a + 2a − 3 − a 2 − 3a a 2 + 5a + 6 6. a+3 − a − 2a a −1 −a −a + 8a 2 − 8ab 3a + 6 − 3a − 6 + a+3 2 11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2 a+3 2 − a−3 2 2. a − 2a − 3 a+2 a +1 4ab − 4b 2x + y − 6 x 2 − 3xy a−3 3x − 2y + 4 xy + 2y 12. 6m2 − 11 + 5n2 mn − 6m + 6mn 2 − 4 xy − 2y 2 − 3a − 3 + 3a + 3 8a − 4b 2 − 4ab + 4b 2 6x 2 − xy − 2y 2 7. −a +b m−n 6m − 5n − 5mn + 5n2 2 + 5mn − 5n2 3 . x + x − 20 x+5 − x 2 − 5x 8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2 x−4 2 + 15x 2 − 10xy − 4x − 20 + 4x + 20 4. m − 11 + 30 m 2 − m2 + 6m x 2 − 8x + 15 − x + 3x 2 − 5x + 15 + 5x − 15 5x − 4y 12 xy − 8y 2 − 12xy + 8y 2 m−6 m−5 5a + 8ab − 21b 9. 2 + 7ab + 21b −x+5 10. 2 2 13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n + 54m2 − 48mn 6m + 4n − 36mn + 32n2 a + 3b + 36mn − 32n2 5a − 7b − 7ab − 21b −x+3 2 − 5a 2 − 15ab − 5m + 30 + 5m − 30 5. − 3 x + 2y 14. − 14y 2 + 71y + 33 2 + 14y 2 + 6y 2 14x 2 + 22x − 12 − 14x + 6x 2 28x − 12 − 28x + 12 7x − 3 2x + 4 + 77y + 33 − 77y − 33 − 7y − 3 2y − 11
  • 59. 15. − y3 x − y x3 −x +x y 3 21. x 2 + xy + y 2 2 − 12y + 5y 2 + 10 3y 5 − 3y − 6 y 5 2 x y + 6y 3 + 12y xy − y 2 3 − xy + y 2 5y 2 + 10 3 − 5y 2 − 10 a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b − a 3 + a 2b a 2 − 2ab + b 2 22. − am − 2a am4 − am4 − am3 − 2a 2b + 3ab2 + am3 + am2 ab 2 − b3 am2 − am − ab 2 + b3 17. x − 9x 2 am + a m3 − m2 + m − 2 − am3 + 2a 2b − 2ab 2 4 3y 3 − 6 y + 5 − 6y 3 − 12y − x 2 y + xy 2 16. y2 + 2 3 − am2 − am +x+3 x+3 − x 4 − 3x 3 − 2am − 2a + 2am + 2a x 3 − 3x 2 + 1 − 3x 3 − 9 x 2 + 3x 3 + 9x 2 23. x+3 −x−3 18. a +a 4 −a − a 4 −a − 12a 3 + 15 a 2b + 20a 2b − 25ab 2 a −a +a 3 4a − 5b 3a 2 − 5ab + 2b 2 − 20a 2b + 33ab 2 a +1 3 2 8ab 2 − 10b 3 3 − 8ab 2 + 10b 3 +a +a 3 2 24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5 a2 + a − 15m + 5m n 5 −a −a 2 19. 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3 − 9m3n2 + 3m2n3 − n6 m 2 − n2 m6 − m 6 + m 4 n2 3m − n 5m4 − 3m2n2 + n4 4 + 9m3n2 − 3m2n3 m4 + m2n2 + n4 3mn4 − n5 m 4n2 − 3mn4 + n5 − m4n2 + m2n4 m2n4 − n6 − m2n4 + n6 4 3 20. 2x − x + 7x − 3 − 2x 4 − 3x 3 − 4x EJERCICIO 55 2x + 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 1 3 − a 2 − 2a − 1 1. a 4 − a4 − a3 − a2 + 4 x 3 + 6x 2 6x 2 + 7 x − 6x 2 − 9x − 2x − 3 2x + 3 a2 − a − 1 − a − 2a − 2a 3 a2 + a + 1 2 + a3 + a 2 + a − a2 − a − 1 + a2 + a + 1
  • 60. + 12x 2 − 5x 2. x 5 − x + 2x − 5 x 5 4 4 3 8. − x + 3x y x 3 + 2x 2 − x 2 x − 5 x + 12x 4 x 2 − 2x + 5 3 3 − 5xy 3 + 3y 4 + x − 2x y + x y 4 3 2 x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3 − 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2 − x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3 − x + 2x − 5x 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4 + x − 2x + 5 x − 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4 3 2 3 3. x 2 − 2xy + y 2 − x 2 + xy + 3y 2 2 2 2 m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn 4 − m + 2m n + 8m n 5 4 3 m2 − 2mn − 8n 2 9. m − 3m n + 2mn 2 3 2 2 n4 − 2n3 + 2n − 1 − n4 + 2n3 − n2 − 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3 n2 − 2n + 1 n2 − 1 − n2 + 2n − 1 + 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3 + n2 − 2n + 1 2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4 − 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4 10. a 5b − 5a 4b 2 4. − x 2 − 2x − 1 x4 x2 − x −1 − x 4 + x 3 + x2 +x 4 2 a 3 − 3a 2b + 4ab 2 3 3 − 3a b + 10a b + 22a b 4 2 x2 + x + 1 3 3 2 4 + 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4 − 2x 3 + 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3 − a b + 2a b + 10a b 5 4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5 − x 3 + x2 + x − 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5 x − x −1 2 11. − x2 + x + 1 − 24x 2 y 2 16x 4 − 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3 − 16x + 24x y − 12x y + 18xy 4 6 5 5. x − 2x + 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6 − x6 + 3x 4 3 2 2 2 x + 3y 3 x 4 − 3x 2 + 2 x 2 − 2x + 3 − 2x 2 24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4 − 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x + 2x 5 − 6x3 + 4x 3x 4 − 9x 2 − 3x 4 + 9x 2 4 3 2 12. 4y + 4y − 13y − 3y − 20 +6 − 4y 4 − 10y 3 −6 2y + 5 2y 3 − 3y 2 + y − 4 − 6y 3 − 13y 2 6. m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1 − m6 − m5 + 4m4 + m3 + 6y 3 + 15y 2 m3 + m2 − 4m − 1 2y 2 − 3y m3 + 1 − 2y 2 − 5y − 20 m3 + m2 − 4m − 1 − 8y − 20 8y + 20 − m3 − m2 + 4m + 1 7. a5 − a 4 + 7a 2 − 27a + 10 − a + a − 5a 5 4 a2 − a + 5 3 a 3 − 5a + 2 − 5a + 7a − 27a 3 2 + 5a 3 − 5a 2 + 25a 5 4 3 2 13. − 2a − 3a x + 5a x + 2a 3 2 2 + 6a 2 x 3 + 9ax 4 2 − 2ax 4 − 3x 5 2 + 2ax 4 + 3x 5 a x − 2a 2 + 2a − 10 −a x 3 3 − a 3 + 2ax 2 + 3x 3 2a 2 − 3ax − x 2 3 3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4 − 3a 4 x 2a − 2a + 10 2 − 11ax 4 − 3x 5 − 4a x − 6a x 5
  • 61. 6 5 14. − x + 2x y − 3x 2 y 4 − xy 5 x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3 + x − 3x y + 2x y + x y 6 5 4 2 − x 2 − xy − y 2 3 3 − x y + 2x y + x y − 3x y 5 4 2 3 3 2 4 6 5 4 3 19. y − 2y − y + 4y + x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4 −y − x y + 3x y − 2 x y − xy 4 2 3 3 2 4 5 −a + 2y 5 + 31a 2 − 8a + 21 + 2a + 7a 6 4 4 + 5a 5 2 − 3m7 + 9m5 − 8m − 6a − 21 m4 − 6m + 9 m 4 + m3 − m2 + 3 − a6 − a5 + a4 − a3 −9 − a + 2a b − a b 4 a3 + a2 − a + 1 a 3 + a 2 − 2a − 1 − a5 − a4 + a3 − a2 +9 a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 5 −4 a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3m4 − 3m3 + 3m2 6 +4 + 3m2 + 6m 3m4 + 3m3 − 3m2 17. − 3m2 a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 21. m2 − 2m + 3 − 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m + 2m5 + 2m4 − 2m3 − 6m3 − m4 − 3m2 m4 − 3m2 + 4 3m3 − 2m + 1 + 8m + 6a + 21 + 3a 3 + 5m3 − 12m3 + 2m5 − 3a 3 m6 − m5 −2 − 2m5 + m4 + 6m3 + 4a 2 + 14a − m6 − m5 + m 4 +2 + 2y 2 3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4 20. 2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a 16. 2 2 − 10a 3 − 35a 2 − 2a 4 + 4y − 2y 4 − y4 a − 5a + 2a − 3 3 3 y 2 − 2y + 1 2 − 4y 3 y a 3 − 2a − 7 3 − 5a + 2a + 7a + 31a 5 − 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2 − 2y 4 − 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y + x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5 6 5 15. a − 5a + 2y 6 − 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a + 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1 − a3 − a2 + a − 1 − 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2 a + a b − 3a b − ab + b 2 4 3 2 2 3 + a3 + a2 − a + 1 4 a b − 5a b + 6a b 5 4 2 3 3 − a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3 24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3 22. − 3a 4b 2 + 5a 3b 3 − 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3 + 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4 − a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5 5 − a b + 2ab − b 2 18. 4 2 3 4 5 6 − 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5 6 − 2 x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2 x6 − x − x y + 2x 4 y 2 6 2 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5 a b − 2ab + b 4 3 + 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4 + a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5 2 3x 2 − 2xy + 4 y 2 − 16x y + 56x y − 36x y − 26xy 4 x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 5 −x y + 2x y 5 3 3 23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2 x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3 + x4y2 − 5a 8 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 + x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5 x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6 − x2y4 − 10a 4 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a − 4a + 2a + 5a − 4a − 2a − x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4 − x3y3 + 10a 6 7 − xy 5 + 2y 6 6 + 4a 7 5 − 8a 5 4 3 + 8a 3 + 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2 − 2a 6 + 4a 4 − 3a 5 3a 5 − 4a 2 3 − 6a − 6a 3 + 6a + 6a
  • 62. 7 6 5 24. x − 3x + 6x + x 2 − 3x + 6 x 3 − 2x 2 + 3x + 6 − x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4 − x + 3x − 6 x 6 5 x 4 − x 3 + x2 − x + 1 4 + x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6 x − 3x + 6x + x 5 4 3 − x + 2x − 3x − 6 x − 3x 5 4 3 7 7 2 x − 2x 3 − 12a 6 2 3 2 + 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a − 15a + 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10 5 + 15a 25. 4 − 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2 − x + 2 x − 3x − 6 3 5 + 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a + 3x + 6 2 a 4 − 3a 2 + 4a − 5 5 6 + 9a 7 + x − 2x + 3x + 6 x + 6 3 6 − 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a 2 − x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x 4 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2 − 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4 9 2 − 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10 5 3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4 6 5 4 3 2 3 − 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3 4 3 − b2 30. a 2 a 3 + a 2 − 2a + 1 + 3a − 4a − 6a + 8a 5 2 − a 2 − ab 2 + ab + b 2 − 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a 2 − ac − bc + c 2 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 − 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4 26. 2 2 2 31. − 2x + 5xy − xz − 3y − yz + 10z 2x − 3y + 5z 5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y − 5y + 3y − 4y − 2y 8 7 6 + 2 x 2 − 3xy + 5 xz 4 + 15y − 9y + 12y + 6y 5 4 − x + y + 2z 2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz y − 3y − 1 5 2 − 2xy − 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3 6 − bc ac + bc − c 2 + 6a + 4a − 10a − 8a 3 a+b−c a−b+c − ab − b 2 + ac + 2bc − 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2 4 + 2bc − c 2 + ac + 3y 2 − 5yz 4 xz − 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y − 6yz + 10z 2 − 4 xz 3 + 6yz − 10z 2 + 5y − 3y + 4y + 2y 4 3 2 27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 + m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3 m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4 2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4 − 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4 − 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11 3n 4 − 9m2n 5 m + 3m5n 2 − 9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5 4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7 − 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7 28. x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4 − x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4 − 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 + 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6 − x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8 + x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10 − x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10 x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 + y3 32. x 3 − x3 + x 2y + x2z − 3xyz + z 3 − xy 2 + xyz x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2 − xz 2 x+y+z x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2 − x2 y − y 3 + xy 2 + xyz + y 2 z − yz 2 x z − xyz + z − xz + y 2 z − yz 2 −x z + xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2 2 2 3 2
  • 63. + b5 a + b 33. a 5 −a −a b 5 a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 4 − a 4b 37. 3 a b + y 15 x15 + a 4b + a 3b 2 −x −x y 15 2 12 −x y 12 − a 3b 2 − a 2b 3 −a b 2 x3 + y 3 x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12 3 3 x12 y 3 + x 9 y 6 3 x9y6 + a 2b 3 + ab 4 − x9y 6 − x6y 9 ab 4 + b 5 − x6y 9 − ab 4 − b 5 x 6 y 9 + x 3 y 12 x 3 y12 + y15 34. 21x − 21y 5 5 − 21x + 21x y 5 − x 3 y 12 − y 15 3x − 3y 7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y 4 4 21x 4 y 3 2 2 3 4 38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1 − 21x 4 y + 21x 3 y 2 − x − 2x y − xy 3 21x 3 y 2 2 x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1 − x − xy − x 2 x + y −1 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x − 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3 − x 2 y − 2xy 2 − y 3 21x 2 y 3 − xy − y2 − y − 1− x − 2xy − x − y 2 − y 2 − 21x 2 y 3 + 21xy 4 + 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y 21xy 4 − 21y 5 − 21xy 4 + 21y 5 35. − 16y 8 16x 8 − 16x − 16x y 8 2x 2 + 2y 2 8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6 6 2 − 16x 6 y 2 + y5 5 39. x + 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4 − x + x y − x y + x y − xy 5 16x 4 y 4 − 16x y − 16x y 4 4 2 6 − 16x 2 y 6 − 16y 8 4 3 2 2 3 x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 x+y 4 x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5 + 16x 2 y 6 + 16y 8 36. − y 10 x 10 − x10 + x 8 y 2 x2 − y2 x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8 x8y2 EJERCICIO 56 − x8y2 + x6y4 6 x y 4 − x6y 4 + x 4 y6 1. x4 y 6 − x 4y 6 + x2y 8 x 2 y 8 − y 10 − x 2 y 8 + y 10 + ax ax+3 − ax +3 − ax +2 −a a +1 a x + 2 − a x +1 + a x x+2 + a x + 2 + a x +1 a x +1 + a x − a x +1 − a x
  • 64. 2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2 +x n+ 5 +x x2 + x n+ 4 + 2x − 2x − x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1 n+ 4 n+ 4 + 3x − 2x 8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2 n+ 3 n+ 3 − ma − 1 + ma − 2 + ma − 3 + m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1 ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1 + m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a xn + 3 + x n + 2 − m2a + 2 − xn+ 3 − xn+ 2 + m2a +1 + m2a 2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1 − 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1 3. ma + 4 − ma + 3 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 − ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2 m − 3m a+3 a+2 m2 − 2m + 3 + 6m + m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2 a +1 − ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1 9. − ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4 + 2x ma + 1 − 2ma + 3ma − 1 2a − 3 − 3x + x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6 + x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7 a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n − x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7 3a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n +1 − 2a 2n 3 2n −1 4 2n − 2 5 10. a b − a b + a b −a b +a 2n x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4 2a − 4 − x 2a − 4 + 2x 2a − 5 a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n − 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1 x a − 1 − x a −2 − x a − 3 − 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5 − ma + 1 + 2ma − 3ma − 1 − a 2 n + 3 − a 2n + 2 − x 2a − 7 − x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4 + ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma 4. − m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2 ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1 2n 3 2n − 1 4 2a 2n + 1 + 2a 2n b − 2a −a 2n − 2 2n − 2 − 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4 b +a 5 b +a 5 2n − 3 2n − 3 a nb 2 − a n − 2 b 4 b6 b − 2a 6 2n − 4 b +a 7 2n − 5 b 8 + a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8 5. x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1 − x 2a + 5 + 2x 2 a + 3 + 2x 2a + 4 −x x a + 2 + 2x a + 1 − x a 2a + 3 − 2x 2a + 4 11. + 4x 2 a + 2 − x 2a + 3 6. − 2x 2 a + 1 x+2 + 2a x +1 a b +b − 2a m+ x a x − 2a x − 1 + 3a x − 2 − 3a a 2 + 2a − 1 x + 4a − 6a x 12. a x − a x − 1b + b n − ab n − 1 − a x + a x − 1b x −1 + a − 2a x x −1 + 3a b − ab a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4 3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3 − 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4 + 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4 n−1 − b n + ab n − 1 x−2 − a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2 a−b a x −1 − b n − 1 n − a x + 2a x − 1 − 3a x − 2 7. m − a xb m − b m + x 2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1 x +1 ax + bx a m + bm x − 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2 ax+2 −a + 2x 2 a + 1 + x 2a + 3 a m + x + a mb x + a x b m + b m + x − a m + x − a mb x a x − a x −1 + a x − 2 a x + 3a x − 1 − 2a x − 2 13. 3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1 − 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1 + a 5m − 2 − 13a 5m − 1 3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2 + 46a 5m − a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m − 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1 5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1
  • 65. 14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2 − 2x 3a + 1 2 x − 3 y 3a 2 x − 2 + 8x y − 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1 − 6x 3a − 1 2 x − 1 − 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x y + 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x 10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1 EJERCICIO 57 1. 1 2 5 1 a + ab − b 2 6 36 6 1 1 − a 2 − ab 6 4 − 2. 1 1 a+ b 3 2 1 1 a− b 2 3 5. 1 1 ab − b 2 9 6 1 1 ab + b 2 9 6 1 2 7 1 x + xy − y 2 3 10 3 1 2 xy − x2 + 3 15 3 4 1 3 17 2 2 7 m + m n− m n + mn 3 − n 4 5 10 60 6 3 4 2 3 4 2 2 − m + m n− m n 5 5 5 1 3 65 2 2 7 m n− m n + mn3 2 60 6 1 3 1 2 2 2 − m n + m n − mn 3 2 3 3 − 2 y 5 1 5 x+ y 3 6 x− 5 1 xy − y 2 6 3 5 1 − xy + y 2 6 3 1 3 35 2 x − x y+ 3. 3 36 1 3 2 2 − x + x y− 3 9 2 2 3 3 xy − y 3 8 1 2 xy 6 3 2 − x y+ 4 3 2 x y− 4 6. 3 2 2 m n + 4 3 2 2 m n − 4 1 mn3 − n4 2 1 mn3 + n 4 2 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5 3 5 1 3 3 2 x − x − x + 4 8 4 1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2 − 4 3 x 5 4 3 x 5 9 1 2 4 x− 15 5 2 4 x+ − 15 5 + 13 1 a 4 − a 3x − a 2x 2 + ax 3 − x 4 7. 1 3 5 2 5 1 3 4 12 18 3 a − a b + ab 2 − b 3 a− b 16 8 3 4 2 9 4 3 3 2 2 − a + a x− a x 4 2 1 3 3 2 1 2 2 − a + ab a − ab + b 2 1 3 13 2 2 13 3 16 8 4 3 1 − a 2b + 4 1 2 ab− 4 5 2 ab 3 3 2 ab 2 1 2 ab − b 3 6 1 − ab 2 + b3 6 1 x+2 3 3 2 1 2 x + x− 8 4 5 2x 3 − 1 4 4 3 1 2 19 x − x − x + x 2 5 12 30 1 1 2 1 x − x − x4 + 2 12 2 1 2 3 3 xy − y 2 8 1 2 3 3 xy + y 2 8 4. 3 2 m − mn + 2n 2 2 2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2 a x− a x + ax 2 12 18 1 1 2 2 2 3 a x − ax − a3x + 2 3 9 − 3 2 2 1 3 1 4 a x + ax − x 4 2 3 3 2 2 1 3 1 4 a x − ax + x 4 2 3 3 2 2 a − ax + x 2 2 3 3 2 1 1 a + ax − x 2 2 3 2
  • 66. 8. 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 14 420 280 2 12 1 5 1 4 1 3 2 − x + x y− x y 14 20 8 − + 4 4 x y+ 21 4 4 x y− 21 13 3 2 1 2 3 x y − x y 35 2 2 3 2 1 2 3 x y + x y 15 3 9. 5 3 2 1 2 3 5 x y − x y + xy 4 21 6 12 5 3 2 1 2 3 5 − x y + x y − xy 4 21 6 12 2 3 1 2 1 x − x y + xy 2 7 5 2 1 2 2 5 x − xy + y 2 4 3 6 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 x + x − x + x + x− 8 40 120 120 10 10 3 1 3 3 3 2 − x5 − x4 + x − x 8 2 8 4 1 4 1 3 11 2 1 x − x − x + x 40 60 120 10 1 4 1 3 1 2 1 − x − x + x − x 40 30 40 20 − 10. 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 2 6 40 60 6 8 1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 − m + m n− m n + m n 2 3 15 6 − 1 4 m n+ 2 1 4 m n− 2 1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− x 2 10 5 1 3 1 2 1 1 x − x + x− 20 15 20 10 1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 20 15 20 10 3 3 1 2 2 1 m − m n + mn 2 − n3 4 2 5 4 2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2 53 3 2 91 2 3 7 m n − m n + mn 4 24 60 6 1 3 2 4 2 3 1 m n + m n − mn4 3 15 6 15 3 2 m n − 8 15 3 2 − m n + 8 5 2 3 m n + 4 5 2 3 m n − 4 5 5 n 8 5 mn4 + n5 8 mn 4 − EJERCICIO 58 1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x 1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1 − 1+ 1− 1 − 1+ 1− 1 + 1− 1+ 1 3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2 1+ 0 − 1 1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 − 1+ 2 − 1 ⇒ x2 − 1 2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7 1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1− 2 + 0 − 7 − 1+ 2 − 0 + 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8 3 − 11+ 10 − 13 − 3 + 6 − 0 + 21 − 5 + 10 + 8 + 19 + 5 − 10 + 0 − 35 8 − 16 + 0 − 56 − 8 + 16 − 0 + 56 ⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8 3 − 8 + 12 −3+6− 3 1− 2 + 1 1+ 3 − 2 + 5 − 1 ⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4 − 2 + 9 − 13 2− 4+ 2 5 − 11 + 7 − 5 + 10 − 5 − 1 + 2 −1 + 1 − 2 +1
  • 67. 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3 4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 1+ 0 − 4 − 1 − 1− 0 + 4 + 1 1− 5 + 6 + 1 − 5 + 6 + 21 − 19 5 + 0 − 20 − 5 ⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3 6 + 1 − 24 − 10 − 6 − 0 + 24 + 6 8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 − 1+ 7 − 9 + 15 1 + 0 − 4 −1 −1 − 0 + 4 +1 − 5 + 44 − 112 + 187 + 5 − 35 + 45 − 75 5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5 1− 2 − 50 + 58 − 15 1+ 6 − 5 1− 8 + 3 − 1− 6 + 5 − 8 − 45 + 58 1− 7 + 9 − 15 1− 5 + 9 − 4 + 3 ⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3 9 − 67 + 112 − 192 − 9 + 63 − 81 + 135 − 4 + 31 − 57 + 87 + 4 − 28 + 36 − 60 ⇒ x 4 − 8x 2 + 3 + 8 + 48 − 40 3 − 21 + 27 − 45 − 3 + 21 − 27 + 45 3 + 18 − 15 − 3 − 18 + 15 6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2 − 1+ 4 − 3 + 2 1− 3 − 6 + 10 − 3 + 6 + 25 − 52 3 − 12 + 9 − 6 ⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10 6 9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2 − 6 + 34 − 58 + 42 2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 −2−0− 4 − 6 − 12 − 20 6 + 0 + 12 + 6 − 24 + 18 − 12 10 − 40 + 30 − 20 − 8 + 0 − 18 + 8 + 0 + 16 15 12 9 6 3 6 3 7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10 3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10 − 2+0−4 2+0+ 4 1− 4 + 3 − 2 − 12 + 41 − 70 ⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 − 12 − 8 − 24 + 12 + 0 + 24 − 10 + 40 − 30 + 20 − 3 + 8 − 10 2+0 +4 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 ⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2 12 − 32 + 40 9 − 30 + 46 − 9 + 24 − 30 − 6 + 16 − 20 6 − 16 + 20 10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 4 + 6 + 6 − 16 + 38 + 4 + 0 − 8 + 4 − 28 6 − 2 − 12 + 10 − 44 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 2 + 0 + 4 − 2 + 14 + 2 − 0 − 4 + 2 − 14 6+0+0−4+6−2 ⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2
  • 68. 10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3 11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4 1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4 1+ 0 − 3 + 0 + 4 − 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12 ⇒ n4 − 3n2 + 4 + 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12 12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 − 3 − 0 + 15 − 9 − 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16 − 4 + 0 + 20 − 13 + 4 + 0 − 20 + 12 1+ 0 − 5 + 3 3 − 4 + 0 + 0 −1 ⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4 − 1+ 0 + 5 − 3 1 −0−5+3 13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6 1− 4 − 5 + 1 − 1+ 4 + 5 − 1 1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6 14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5 − 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5 + 5 − 20 − 25 + 5 − 1− 0 + 5 1− 3 + 0 + 5 3 − 18 + 9 + 33 − 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3 − 3 + 12 + 15 − 3 + 3 + 0 − 15 − 6 + 24 + 30 − 6 + 5 + 0 − 25 + 6 − 24 − 30 + 6 − 5 − 0 + 25 15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 −7− 0 −6− 1 7 + 0 + 6 +1 1− 5 + 0 − 7 ⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1 − 35 + 0 − 79 − 5 + 35 + 0 + 30 + 5 − 49 + 0 − 42 − 7 49 − 0 + 42 + 7 16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2 6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 − 6 + 4 − 2 −1 6 − 4 + 2 +1 1+ 0 − 5 + 0 − 6 ⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2 − 30 + 20 − 46 + 19 + 30 − 20 + 10 + 5 − 36 + 24 − 12 − 6 36 − 24 + 12 + 6 17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 − 6 + 18 + 6 + 30 − 5 + 18 − 4 + 22 + 5 − 15 − 5 − 25 3 − 9 − 3 − 15 − 3 + 9 + 3 + 15 1− 3 − 1− 5 6−5+3 ⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1
  • 69. EJERCICIO 59 1. a 2 + b2 a2 − a2 1+ b 4. 3. 9x 3 + 6x 2 + 7 a4 + 2 2. b2 a2 − a4 − 9x 3 a3 a+ 7 3x 2 − 6x 2 +7 16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2 − 16a 4 3x + 2 + + 6x 2 2 a3 +2 2 3x 2 9. 4a 2 − 5ab + 2b 2 + x 3 − x 2 + 3x + 2 3 7b 4a − x3 + x2 − x − 20a 3b x2 − x + 1 2x + 2 x+ 2 x − x +1 + 2x + 2 + 20a 3b 8a 2 b 2 10. − 8a b 2 2 − x3 + x2y + 7ab 3 5. x + 1+ x−y x 2 + xy + y 2 + 2y 3 x−y x2y − x 2 y + xy 2 x 2 + 7x + 10 x + 6 − x 2 − 6x + y3 x3 4 x+6 xy 2 + y 3 − xy 2 + y 3 x + 10 −x − 6 2y 3 +4 6. x 2 − 5x + 7 x−4 11. 3 x − 1+ x−4 − x + 4x 2 −x + x y 4 x−y x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 + 4 x4 y −x+7 x−4 − x4 y + x3y 2 x3y2 +3 7. + y5 x5 − x3y2 + x2y3 m4 − 11m2 + 34 m2 − 3 x2y3 − x 2 y 3 + xy 4 10 m2 − 8 + 2 m −3 − m4 + 3m2 + xy 4 + y 5 − 8m + 34 − xy 4 + y 5 2 8m − 24 2 2y 5 + 10 8. x 2 − 6xy + y 2 − x 2 − xy x − 7y + 2 8y x+y − x3 + 2x2 − x 2 + 8y 2 x2 − 2x + 1 x + 6+ 6 x 2 − 6x + 8 − 7xy + y 2 + 7xy + 7y 3 2 12. x + 4 x − 5x + 8 x +y − 6 x 2 + 12 x − 6 6x + 2 6x + 2 x2 − 2x + 1 2y 5 x−y
  • 70. 5 4 14. x − 3x 3 2 2 3 13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b − 8a 3 + 12a 2b 4a 2 + 3ab + 7b 2 + 3 12b 2a − 3b + 9x 2 + 7 x − 4 x 2 − 3x + 2 − x 5 + 3x 4 − 2x 3 x 3 − 2x + 3 + 6a 2b + 5ab 2 − 2x 3 + 9x 2 + 7x − 6a 2b + 9ab 2 20 x − 10 x 2 − 3x + 2 + 2x 3 − 6x 2 + 4 x 14ab 2 − 9b 3 3x 2 + 11x − 4 − 14ab 2 + 21b 3 − 3x 2 + 9x − 6 12b 3 20x − 10 EJERCICIO 60 Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores: a = - 1 b = - 2 c = - 1/2 2 2 1. a − 2ab + b 4 3 3. a − 3a + 2ac − 3bc 3 2 2 3 2. 3a − 4a b + 3ab − b = (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2 = 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3 3 2 = 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9 2 = − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31 4 3  1  1 = (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1)  −  − 3⋅ 2  −   2  2 1 1 = 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8 2 2 5 4 3 2 2 3 4 5 4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c 2 3 4 5 4 3 2 1 1 1  1  1 = (− 1) − 8 (− 1)  −  + 16 (− 1)  −  − 20 (− 1)  −  + 40 (− 1)  −  −  −   2  2  2  2  2 5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 − 32 + 1 31 =− = − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ + = − 1+ 4 − 4 + − + = − 1+ = 2 4 8 16 32 2 2 32 32 32 32 ( ) ( ) ( 2 2 5. a − b + b − c − a − c ) ( 2   1   2  1  = (− 1 − 2) +  2 −  −   −  − 1 −  −    2    2   2 2 2 1  1   5  1  = (− 3) +  2 +  −  − 1 +  = 9 +   −  −   2  2 2  2  25 1 24 = 9+ − = 9+ = 9 + 6 = 15 4 4 4 2 2 2 7. ab + ac − bc c b a  1  1 1 − 1 −  2  −   2  2 2 2 2 − 1⋅ 2 = + − = + − 1 1 2 2 2 −1 − 2 2 1 1 12 + 1 13 1 = 4 + − 1= 3 + = = =34 4 4 4 4 ( ) ( ) ( 9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b [ ] ) ( 3 ) ( 3 6. b + a − b − c − a − c [ ) 3 3 ] 3   1    1  = 2 + (− 1) −  2 −  −   −  − 1 −  −    2    2   2 3 3 1  1   5  1 = 2 − 1 −  2 +  −  − 1 +  = 13 −   −  −  2  2   2  2 125 1 124 31 2 − 31 29 1 = 1− + = 1− = 1− = =− = − 14 2 8 8 8 2 2 2 [ ( 3 ] ) ( 3 3 3 ) 2 2 8. a + b + c − a − b − c + c 2 2   1    1   1 =  − 1+ 2 +  −   −  − 1− 2 −  −   +  −   2    2   2  1 1  1  5 1  1  = 1−  −  − 3 +  − =   −  −  − 2 2  2  2 2  2  1 25 1 1 − 25 − 2 26 1 = − − = = − = −62 = −62 4 4 4 2 4 4 2 2 2 2 )   1   1  1 2  3 6 = 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1)  2 +  −   − 2  −  (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4  2 −  + (− 3) = 3⋅ 0 + 4   − = 6 − 3 = 3  2   2 2 2  2 2  [ ]
  • 71. Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2 2 2 11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x − y )(m + x − n) 4 2 2 10. x − x y + 3xy − y 3 8 2 2 2 (− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1) = 4 2 2 8 2 2 16 − 4 − 6 = − + + 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2 8 2 2 ( ) ( )( ) [ ][ = − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1) 2 2 [ − (− 1) ( ] [ ] [ ] 2 2 1 2 2  = 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1)  3 + (− 2) −  2  1 2 2 2   1 2 = 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1  3 − 2 −  = [ 4] + − 1 + 3 1 −  2   2 3 34 + 3 37  1 1 = 16 + 1 + 3   = 17 + = = = 18 2 2 2 2  2 3 12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n 2 [ ] [ ] [ ] [ ] ) 1 1 ][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 1  − 2 + (− 1) + 2  = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+  − 2 − 1 + 2  3 1 5 38 + 5 43   5 1 = 1 + 5 − 4 +  − 3 +  = 1 − 20 +  −  = − 19 − = − = − = − 21 2 2 2 2 2 2   [ ] 14. x− y 13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y − 2 2 2    1 1 4 +  −  (− 2 ) + (− 2 ) − 3 3  1 1  2 3 −8 −8 8 = − + (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13 − 3 2−1 3 8 8 8 + 69 77 = + 21 + 2 = + 23 = = = 25 2 3 3 3 3 3 (− 2) − (− 1) 2 2  1  = 3(− 2) − 2 (− 1)  2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) − 2  2  − 2+1 −1 = − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − = − 4 − 11 + 16 − 2 2 1 1 1 = 44 + 16 + = 60 + = 60 2 2 2 [ ] [ ][ ] 4x x3  1 1 − +  −  x + x4 − m 3y 2 + y 3  n b  = [ ] 4 (− 2 ) (− 2) 3 (− 1) 2 + (− 1) 3 − 2 2 2 2 15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n) 2 1 1 2 2 2  = (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) −  + − 2 + (− 1)  32 − 2 ⋅   2 2  2 2 1 9 9 160 + 9 169   1 1 = = 84 2 = 4 [1 + 1] − [− 2 + 1]  4 + 1 −  + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 −  + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + = 2 2 2 2 2   2 2 [ ][ ] m y n [ ] +5 ↓ ↓ 2a 2 − 3a + 5 −1 −4 2a 2 − 3a + 8 +2 ! 3. x 2 − 3xy ! ! x2 3xy − y 2 − x2 + y2 − y2 y 2 Rta 4. 3x 2 − 5x + 6 − 3x 2 + 8 x − 6 3x Rta [ ] 2a 2 − 3a + 8 3 9 am ↓ ! 10 am 5. 8 am ↓ x2 3⋅ [ ] EJERCICIO 61 1. 7 am ] 1 2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4 ( ) ( ) −2 −1 1 3 3 2 2 4+ 9 13 13 114 + 13 127 = − 9− + 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = − =− = − 21 1 6 6 6 6 6 6 16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) + x [ 8a + 5 2a 2 + 5a + 13 Rta {[ ( ( ))] } − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] } − { − [4 x + 5x − x + x + 6] } 6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6 = − 3x 2 = − 3x 2 2 2 2 2 = − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6
  • 72. ( )( ) ( 7. x + y x − y − x + y ) 2 = x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y ) 12. = x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 ) = x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 1 3 1 1 3 a ab 2 + b − 4 90 15 1 1 − a 3 − a 2b 4 6 1 1 a+ b 2 3 1 2 1 1 a − ab + b 2 2 3 5 1 2 1 a b− ab 2 6 90 1 2 1 a b + ab 2 6 9 1 2 1 a + ab + b 2 2 5 − = − 2 xy − 2 y 2 8. a = 2 b = 3 c = 1 c− b 3 (a + b) − 4 (c − b) + −a 1 1 3 ab 2 + b 10 15 1− 3 −2 = 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) + = 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24 − 5y 2 2 9. 3x − x + 3xy − y 2 2 x + 3xy − 6 y 2 2a b + 3ab − b 2 − x − 5xy 2 2 2 x 2 3 +1 4 ab = ab 3 3 a 3 − a 2b + b3 − 2a 2b + 2b3 3 − 2b 3 2a 2b + 6y 2 − 3ab 2 − b3 13. 2 x 2 + 5xy + 6 y 2 1 2 1 1 a + ab − b2 2 3 5 1 1 3 ab 2 − b 10 15 − −2 −2 = 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) + − a 3 − 3a 2b + 3b 3 2 a 3 − 3a 2b + 3b 3 2 x + 3xy − 6 y 2 2 x 2 + 6y 3x + 3xy 2 a 2 − ab + b2 2 a 5 − 3a 4b − a b + 3a b Rta + a b − 3a b a 5 − 4a 4b + 4a 3b2 − 8x + 8x − 3 x 3 + 3x 2 − x + 12 − x + 2x − 6 x 4 − x x+4 4x − 4x + 12 2 − 4x 2 + 4x − 12 x 2 − 2x + 6 x3 − x + 5 3 3 x2 − x + 3 − 6 x + 30 3 3 x 3 + 3x 2 − x + 12 2 x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30 5 − x 3 + x 2 − 3x + 2x − 10x 4 − x 3 + 19x 2 − 6x x 3 − 19x 2 + 6x 2 + 6x 5 2x 3 − 16x 2 + 5x + 12 2 − x 3 + 5x 2 − 2x − 3ab 4 + 3b 5 − 6x 2 − 6 x + 3 1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4 a + a b− a b + ab − b 3 4 120 20 5 4 + 3b 5 2 3 3 2 14. x − 5x + 4x 1 4 1 3 1 2 2 a − a b+ ab 3 4 10 1 3 3 + a 3b − a 2b2 + ab 3 2 8 20 4 2 − a 2b 2 + ab 3 − b4 3 5 x5 − 3ab 4 3 2 3 2 2 2 1 1 2 10. a − ab + b 3 2 5 1 2 3 a + ab − 2b2 2 4 11. + 3a 2b 3 4 + 7 x − 16x 2 + x 3 − 2x 2 + 6x 5 x 2 − 10x + 30 − 5 x 2 + 10x − 30 15. (2 + x) (1+ x ) − (x (4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x 2 2 2 2 4 2 3 − 2)( x 2 + x − 3) = x 2 (3x + 10) + 2 (3x − 1) − 5x 2 − 2 x + 6) = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2 4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2 3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
  • 73. 16. x = − 2 y = 1 (x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y) = (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1) = (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3) 2 2 2 2 [x − (3x + 2)][x + (− x + 3)] 2 21. [x 2 2 ][ = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6 x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6 x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 [ ] [2 (x 22. x ( x + y ) − x ( x − y ) = x 2 + xy − x 2 + xy = 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15 17. x + 2x + 8 2 x 2 + 4x + 6 x−6 ] − 3x − 2 x 2 − x + 3 2 x+4 = 2 x + 2 y 2 − 3x 2 + 3 y 2 = 2 xy = − x 2 + 5y 2 − x 2 + 5y 2 5x 2 − 4x + 3 − 2 x 3 y + 10 xy 3 4 x 3 y − 7 xy 3 2 xy [ 18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) } ] − 2 (a + b) − (a − b) = − {3a − b + a − 2a − 2b} [ = − 2 a +b− a +b = − {2a − 3b} = − 2 [ 2b ] = − 2 a + 3b − 2 x y + 10 xy 3 ] = − 4b −x +x y 3 2 x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2 − x y + xy 2 Rta ))] = 5x + [− (3x − x + y )] = 5x + [− 2 x − y ] ( 19. 5x + − 3x − x − y [ [ = 8x + − 2 x − x + y = 8 x − 3x + y = 5x + y ] + x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3 2 + x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4 xy 2 ] 8 x + − 2 x + (− x + y) = 5x − 2 x − y − xy + y 2 ( )( 4 ) ( )( 3 [ ) = x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3 [ 5x + y = x3 − y3 − x 3 + y3 3x − y ] ] = x3 − y3 − x 3 − y 3 15x 2 + 3xy = − 2 y3 − 5xy − y 2 15x − 2 xy − y 2 1 3 1 2 5 1 x + x y+ xy 2 + y 3 4 24 12 3 1 3 1 2 1 2 − x + x y − xy 4 8 2 1 2 1 1 x y− xy 2 + y 3 6 12 3 1 2 1 1 2 − x y+ xy − y 3 6 12 3 [ ] 2 x + − 5x − ( x − y ) [ = 2 x + − 5x − x + y = 2 x − 6x + y x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta 3 2 2 2 2 24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y = 3x − y = − 4x + y x 2 + xy + y 2 2 x2y 2a − 7b = 2 x + − 6x + y x 2 + 3xy − y 2 x + xy + y 2 Rta 2 x 3 y + 3xy 3 3 − y3 x − y 3 23. x − 4b 2a − 3b [ ] + y 2 ) − 3( x 2 − y 2 ) 4x − 8x − 3 Rta x + 4x + 6 20. 2 2 2 2 [( = x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6) 2 ] ] − 2 Rta 25. a = 4 b = 9 c = 25 9b ab c + 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b) c a b 1 2 1 x − xy + y 2 2 4 1 1 x+ y 2 3 4x + = 36 81 5 6 9 5 + 2⋅5 − 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅ 25 16 3 5 4 3 6 45 12 + 225 − 800 − 563 3 = + − 80 = = = − 56 10 5 2 10 10 = 26. y 1 1 − x − y 2 3 8+ 1 3− 1 − x+ y 2 3 9 2 Rta − x+ y 2 3 4⋅9 9⋅9 25 + 2 (9 − 4) − 3 (25 − 9) 25 42 9 x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3 − x − 3x 3 x2 − 4 x −4 2 x2 −4 =x−2 ? 2 − 4x − 12 + 4x + 12 x + 2x 2 2x − 4 − 2x + 4 x−2 x+2 Rta
  • 74. )} [ { }] − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si { ( 2 2 2 27. 4 x − 3x − x − (4 + x ) + x − x + (− 3) = 4 x2 2 2 [ = 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3 ] 2 28. x + 7x − 5 x2 − 9 x=−2 x 4 − 11x 3 x + 7x − 5x 4 6 x 2 − 5x − 1 3 3 − 9x 2 − 63x + 45 = 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1 + 21x Rta 18x − 14x − 84 x + 45 2 2 x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45 2 = 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3 x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45 = 6 ( 4) + 10 − 1 = 24 + 10 − 1 = 33 = 6 x − 5x − 1 2 [ [ [ ] x + 5x − 6 = − x − 3x + 4 + x − 3 x 3 + 5x 2 − 3 = − x2 − 2 x + 1 3 29. (a (a 2 +b 2 +b 2 )(a + b)(a − b) [ = a − 3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b 4 )(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ] (a + b )(a − b ) = a − [b ] 2 2 2 2 2 2 2 a −a b +a b −b 4 2 2 4 2 2 a −b 4 4 =a −b =a −b ( ) 2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x 3. (6a + b) = 36a + 12ab + b 4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m 5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121 6. ( x + y ) = x + 2 xy + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 9. (a x + by ) = a x 2 2 2 4 2 + 2a 2 xby 2 + b 2 y 4 EJERCICIO 63 1. a − 3 = a 2 − 6a + 9 2 2 6. 7. 2 2 2 (a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6 2 (3a 4 − 5b2 ) = 9a 8 − 30a 4b2 + 25b4 2 6 2 6 3 4 10 8 5 6 2 3 4 2 4 6 2 3 2 12 2 4 2 3 2 10 12 2 n 2 2 3 2 6 6 10 12 m+ n 2m 24 2n x x +1 2x 8 3 2 20 x −2 2 a +1 2 3 4 4 2 x +1 2 2 2 2a +2 4 2 x +2 a +1 x − 2 2 x −4 2 2 2 7 2 7 2 2 4 2 5 2 2 x +1 (x − 1) = x − 2 x + 1 9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y 10. (a − b ) = a − 2a b + b 2 2 3 5 8. ( ) 2. ( x − 7) = x − 14 x + 49 3. (9 − a ) = 81 − 18a + a 4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b 5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1 − x2 + 2x − 1 (3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b 11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n 12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x 13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y 14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m 15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y 16. (a + a ) = a + 2a +a 17. (a + b ) = a + 2a b + b 18. ( x + y ) = x + 2x y + y x 2 x2 − x + 2 x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta m (1+ 3x2 ) = 1+ 6x2 + 9 x 4 7. −3 x+1 10. 2 x 3 + 5x 2 4 1. m + 3 = m2 + 6m + 9 2 ] = − x2 + 2 x − 1 4 4 2 4 4 EJERCICIO 62 2 ] 2 4 4 4 4 ( 10 14 5 2 7 7 2 4 14 ) 2 11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2 (10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y 13. ( x − y ) = x − 2 x y + y 14. (a − 5) = a − 10a + 25 15. ( x − 3x ) = x − 6x + 9 x 5 2 3 12. m n 2 6 2m x −2 2 a +1 a −2 2 4 5 m n 2 x −4 2 10 2n x −2 2a + 2 ] − x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3) 3 30. 2a −1 2a − 4
  • 75. EJERCICIO 64 ( )( ) 2. (m − n )(m + n) = m − n 3. (a − x )( x + a ) = a − x ( )( ) 7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x 8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81 6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1 1. x + y x − y = x 2 − y 2 2 2 4. (x 2 ( 2 2 2 2 (a − b )(a + b ) = a − b 10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y + a 2 )( x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4 )( 3 9. ) 5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1 2 3 2 2 2 2 2 4 n 15. (a 2 m 4 n m 2m m 4 2 2n a 2a 2m − 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 ) = a 2 x + 2 − 4b2 x − 2 x +1 2 4 2 2 4 2 2 − y 2 + 2 yz − z 2 (x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36 13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b 14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x 2 2 2 2 2 12. 2 2 (n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1 2 m ( )( ) 11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x 2 2 2 2 10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2 2 2 2 (6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x 13. (a + b )(a − b ) = a − b 14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y 12. 2 2 2 ) a 4 4 )( (a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9 9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1 2 2 2 6 8. ( )( ) 2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z 3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z 4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1 5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1 6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4 1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z 2 2 2 EJERCICIO 65 7. 2 ( 11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2 2 3 2 2 4 2 2 2 3 4 2 6 2 2 4 3 2 4 EJERCICIO 66 ( ) 6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y ( ) 2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1 3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27 4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64 3 5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 3 1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8 3 3 3 3 3 2 3 2 3 (2 + y ) = 8 + 12 y 2 3 7. ( 2 2 − 27 y 3 + 6y4 + y6 ) 3 8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3 2 ( ) 3 9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27 10. (a 2 ( − 2b) = a 6 − 6a 4b + 12a 2b2 − 8b3 3 ) 3 11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 12. (1− a ) = 1− 3a 2 3 2 + 3a 4 − a 6 EJERCICIO 67 ( )( ) 2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8 3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21 6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2 7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3 8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20 1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 10. (n − 19)(n + 10) = n 9. a − 11 a + 10 = a 2 − a − 110 − 9n − 190 2 (a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45 12. ( x − 1)( x − 7) = x − 8 x + 7 13. (n − 1)(n + 20) = n + 19n − 20 14. (n + 3)(n − 6) = n − 3n − 18 15. ( x + 7)( x − 6) = x + x − 42 16. (a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8 11. 2 2 4 2 2 2 2 3 3 6 3 3 6 4 4 8 2 4 2 4 2 3 3 4 (a − 2)(a + 7) = a 18. (a + 7)(a − 9) = a 5 17. 10 5 6 6 ( )( + 5a 5 − 14 12 − 2a 6 − 63 ) 19. ab + 5 ab − 6 = a 2b 2 − ab − 30 (xy − 9)(xy + 12) = x y + 3xy − 108 21. (a b − 1)(a b + 7) = a b + 6a b − 7 22. ( x y − 6)(x y + 8) = x y + 2 x y − 48 23. (a − 3)(a + 8) = a + 5a − 24 24. (a − 6)(a − 5) = a − 11a + 30 2 20. 2 2 2 3 3 x x +1 2 4 2 2 4 4 3 3 x 6 6 2x x +1 2 2 2 3 3 x 2 x +2 x +1
  • 76. (x − 2)(x + 5) = x 4 4 + 3x 4 − 10 8 EJERCICIO 68 20. ( ) 2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6 3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1 4. ( x − 1) = x − 2 x + 1 5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15 6. (m − 3)(m + 3) = m − 9 7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b 8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b 21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2 ( 2 1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4 ( 2 25. 2a + x 2 2 −1 ( )( 12. (1 − 4ax ) 2 2 13. + 25x 4 2 ( )( ) 15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a 16. (m − 8)(m + 12) = m 4 2 3 + 4m − 96 4 4 2 6 x2 − y2 3. x + y = x − y 4. y2 − x2 = y+x y−x x2 − 4 5. x + = x − 2 2 9 − x4 2 6. 3 − x 2 = 3 + x 3 6 4 3 4 a − 4b = a − 2b a + 2b 8. 25 − 36x = 5 + 6x 2 5 − 6x 2 9. 4x − 9m n = 2x − 3mn2 2x + 3mn2 2 4 2 2 4 36m − 49n x 2 2 4 6m − 7nx 2 = 6m + 7nx 2 81a 6 − 100b 8 3 4 11. 9a 3 + 10b 4 = 9a − 10b a 4b6 − 4x 8 y10 2 3 4 5 12. a 2b 3 + x 4 y 5 = a b + 2x y 2 13. 4 8 2 2 − m2 4 ) 2 2 3 2 3 4 6 2 2 3 4 4 2 2 4 2 4 4 ( )( )( )( ) 38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a 8 2 10. 3 2 8 2 37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4 7. 1− x 2 2. 1− x = 1+ x 3 4 2 3 EJERCICIO 69 2 6 2 2 6 2 1. x − 1 = x − 1 x +1 4 2 2 3 3 4 2 (x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3 18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48 19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m 2 4 (x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48 33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b 34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81 36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25 32. + a 2 − 56 2 17. 2 ( 14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1 2 4 4 31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2 = 1 − 8ax + 16a 2 x 2 2 a +1 = 8a 3 + 12a 2 x + 6ax 2 + x 3 4 ) (a + 8)(a − 7) = a 3 2 2 2 11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2 2 ) 2n 2a +2 2 2 3 4 2 2 2 3 3 (a + 4)(a − 4) = a − 16 10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx 9. 2x a +1 2 26. 2 n (x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22 27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b 28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180 29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n 30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77 2 2 x 2 2 2 3 n a +1 2 2 ) (a + b )(a − b ) = a − b 23. ( x − 8)( x + 9) = x − x − 72 24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c 22. 2 2 )( x x 2n − y 2n = xn − y n xn + yn 14. a 2 x + 2 − 100 = a x + 1 + 10 a x + 1 − 10 1− 9x 2m + 4 m+2 15. 1 + 3x m + 2 = 1− 3x (x + y ) − z = x + y + z 16. (x + y ) − z 1 − (a + b) = 1− a − b 17. 1 + (a + b) 4 − (m + n) = 2 − m− n 18. 2 + (m + n) x − (x − y) =y 19. x + (x − y) 2 2 2 2 2 2 (a + x) − 9 = a + x − 3 (a + x) + 3 2 20. 4 − 13a 2 + 36
  • 77. EJERCICIO 70 1+ a 3 2 1. 1+ a = 1− a + a EJERCICIO 71 1. x4 − y4 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 x−y 3. a 5 − n5 = a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4 a −n 4. x6 − y6 = x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5 x+y 5. a6 − b6 = a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5 a −b 6. x7 + y7 = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6 x+y 7. a 7 − m7 = a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6 a −m 8. a 8 − b8 = a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7 a+b 9. x10 − y10 = x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9 x−y 10. m9 + n9 = m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8 m+n a 3x3 + b3 2 2 2 11. ax + b = a x − axb + b 11. m9 − n9 = m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8 m−n n3 − m3 x 3 2 2 2 12. n − mx = n + nmx + m x 12. a10 − x10 = a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9 a+x 1− a 3 2 2. 1− a = 1+ a + a x3 + y 3 = x 2 − xy + y 2 x+y 3. 8a 3 − 1 2 4. 2a − 1 = 4a + 2a + 1 8x 3 + 27y 3 = 4x 2 − 6xy + 9y 2 2x + 3y 5. 6. 27m3 − 125n3 = 9m2 + 15m + 25n2 3m − 5n 7. 64a + 343 = 16a 2 − 28a + 49 4a + 7 8. 216 − 125y = 36 + 30y + 25y 2 6 − 5y 9. 1 +a b = 1− ab + a 2b 2 1+ ab 3 3 3 3 729 − 512b = 81+ 72b + 64b 2 9 − 8b 3 10. x 6 − 27y 3 4 2 2 13. x 2 − y = x + 3x y + 9y 3 8a 9 + y 9 6 3 3 6 14. 2a 3 + y 3 = 4a − 2a y + y 1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x 1− n5 2 3 4 13. 1− n = 1+ n + n + n + n 2. m5 + n 5 = m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4 m+n 1− a 6 2 3 4 5 14. 1− a = 1+ a + a + a + a + a 1+ a 7 2 3 4 5 6 15. 1+ a = 1− a + a − a + a − a + a 1− m8 2 3 4 5 6 7 16. 1+ m = 1− m + m − m + m − m + m − m 27x 6 + 1 4 2 16. 3x 2 + 1 = 9x − 3x + 1 17. x 4 − 16 = x 3 + 2x 2 + 4x + 8 x−2 64a 3 + b9 2 3 6 17. 4a + b3 = 16a − 4ab + b 18. x 6 − 64 = x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32 x+2 a 6 − b6 4 2 2 4 18. a 2 − b2 = a + a b + b 19. x 7 − 128 = x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64 x−2 20. a 5 + 243 = a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81 a+3 21. x 6 − 729 = x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243 x−3 19. 125 − 343 x15 5 − 7x 5 = 25 + 35x 5 + 49 x10 n +1 4 2 20. n2 + = n − n + 1 1 6
  • 78. 22. 625 − x 4 = 125 − 25x + 5x 2 − x 3 x+5 24. x10 − 1 9 8 = x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1 x −1 26. 16a 4 − 81b 4 = 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3 2a − 3b 27. 64m6 − 729n6 = 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5 2m + 3n 28. 1. 024x10 − 1 = 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1 2x − 1 29. 512a 9 + b9 = 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8 2a + b 30. a 6 − 729 = a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243 a −3 23. m8 − 256 = m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128 m−2 25. x 5 + 243y 5 = x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4 x + 3y EJERCICIO 72 x6 + y6 4 2 2 4 1. x 2 + y 2 = x − x y + y m16 − n16 12 8 4 4 8 12 8. m4 − n4 = m + m n + m n + n a 8 − b8 6 4 2 2 4 6 2. a 2 + b2 = a − a b + a b − b 9. m10 − n10 8 6 2 4 4 2 6 8 3. m2 − n2 = m + m n + m n + m n + n 10. a12 − b12 9 6 3 3 6 9 4. a 3 + b 3 = a − a b + a b − b a12 − x12 9 6 3 3 6 9 5. a 3 − x 3 = a + a x + a x + x x15 + y15 12 9 3 6 6 3 9 12 6. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + y m12 + 1 8 4 7. m4 + = m − m + 1 1 a18 − b18 = a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15 a 3 + b3 x 20 − y 20 = x15 − x10 y 5 + x 5 y10 − y15 x5 + y 5 m21 + n21 18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18 11. m3 + n3 = m − m n + m n − m n + m n − m n + n x 24 − 1 18 12 6 12. x 6 − = x + x + x + 1 1 a 25 + b 25 20 15 5 10 10 5 15 20 13. a 5 + b 5 = a − a b + a b − a b + b a 30 − m30 24 18 6 12 12 6 18 24 14 a 6 − m6 = a + a m + a m + a m + m EJERCICIO 73 x4 −1 2 = x −1 1+ x 2 4. x 6 − 27y 3 = x 4 + 3x 2 y + 9y 2 x 2 − 3y 8m3 + n6 2 2 4 2. 2m + n2 = 4m − 2mn + n 5. x 6 − 49y 6 = x 3 − 7y 3 x 3 + 7y 3 1 − a5 2 3 4 3. 1− a = 1+ a + a + a + a 6. a14 − b14 = a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12 a2 − b2 1.
  • 79. 1 + a3 2 7. 1+ a = 1− a + a 8. 16. 16x 2 y 4 − 25m6 = 4xy 2 − 5m3 4xy 2 + 5m3 64x 6 − 343y 9 = 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6 4x 2 − 7y 3 a18 − b18 15 12 3 9 6 6 9 3 12 15 17. a 3 + b 3 = a − a b + a b − a b + a b − b x 27 + y 27 24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24 9. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + x y − x y + x y − x y + y a 27 + y 27 18 9 9 18 10. a 9 + y 9 = a − a y + y 18. (a + x) − y (a + x) − y a 4b 4 − 64x 6 2 2 3 11. a 2b2 + x 3 = a b − 8x 8 19. 1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 = x − x + x − x + x − x + x − x + x − x +1 x +1 1− a 2b 4 c 8 2 4 12. 1− ab 2c 4 = 1+ ab c 20. x 40 − y 40 = x 32 + x 24 y 8 + x16 y16 + x 8 y 24 + y 32 x8 − y8 2 =a+ x+ y 32x 5 + 243y 5 = 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4 2x + 3y 13. 25 − (a + 1) 2 14. 2 5 + (a + 1) 21. 1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x EJERCICIO 74 x 8 − 256 7 = x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128 x−2 3 2 2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1 4 3 3. x − x + 5 ÷ x − 2 = (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2 3 1. x − 2x + 3 ÷ x − 1 2 2 = 24 − 23 + 5 = 16 − 8 + 5 = 13 = − 1− 3− 2 − 2 = − 8 = 1 − 2 ⋅1+ 3 = 1− 2 + 3 = 2 2 4 3 2 5. m + m − m + 5 ÷ m − 4 =4 +4 −4 +5 = 256 + 64 − 16 + 5 = 309 4 4 3 2 4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3 = (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6 4 9 − 36x10 = 3 − 6x 5 3 + 6x 5 22. = 4− a 3 2 = 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6 = 81 + 135 + 18 − 6 = 228 5 3 7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5 = 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4 = 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4 3 2 5 4 3 2 6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3 = (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2 5 3 2  2  2  = 15  −  − 11  −  + 10  −  3  3  4 20  8 = 15  −  − 11⋅ − + 18  27  9 3 40 44 20 =− − − + 18 9 9 3 − 40 − 44 − 60 + 162 18 = = =2 9 9 3 2 = − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2 = − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98 8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1 3 2  1  1  1 3 = 6  −  +  −  + 3 −  + 5 9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3  2  2  2 = 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90 3 1 3  1 1 3 = 6 −  + − + 5= − + − + 5 = 12 − 21+ 90 = 81  8 4 2 4 4 2 − 3 + 1 − 6 + 20 12 = = = 3 6 4 2 4 4 12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3 3 2 = 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2 3 2 10. 15x − 11x + 10 x + 18 ÷ 3x + 2 4 6 4 2  3  3  3  3 =  −  +  −  − 8 −  + 4 −  + 1 4 3 2  2  2  2  2  2  2  2  2 = 5   − 12   + 9   − 22   + 21  5  5  5  5 729 81 9 12 = + − 8⋅ − + 1 16 8 4 44 64 16 4 2 2 = 5⋅ − 12 ⋅ + 9⋅ − + 21  + 18 729 81 729 81 625 125 25 5 3 = + − 18 − 6 + 1 = + − 23 16 96 36 44 64 16 64 16 = − + − + 21 729 + 324 − 1. 472 419 125 125 25 5 = = − 80 36 44 64 64 =− + − + 21 125 25 5 − 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625 = = = 13 125 125
  • 80. EJERCICIO 75 1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3 1 −7 5 3 − 12 11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3 1 1 −5 0 4 − 48 − 2 14 − 28 48 3 1 − 7 14 − 24 1 −4 −7 = x − 4 Re s. − 7 −3 −3 4 18 − 3 − 66 −1 207 0 − 618 2 −3 1. 854 1 6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2 2 −6 22 − 69 206 − 618 1. 856 −2 = x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856 0 = n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0 12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1 2 2. a − 5a + 1÷ a + 2 1 −5 1 −2 − 2 14 1 1 1 −2 1 − 7 15 = a − 7 Re s. 15 −3 7 1 −1 −2 6 −2 3 2 13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2 3 1 −2 1 − 12 − 1 − 4 12 0 1 −3 4 −6 −2 0 0 −1 0 −4 4 −4 −2 3 2 0 1 0 Re s. 0 4 1 0 −3 0 4 −6 2 1 1 −1 1 4 2 4 16 2 1 2 8 = x + 1 Re s. 0 2 −3 3 −9 5 −3 1 − 208 = a 2 − 6a + 18 Re s. − 60 0 0 5 10. 1 8 10 = x3 − x2 + x − 3 25 125 5 25 − 83 0 15 0 −1 − 3 2 9 4 1 − 3 2 2 . 076 1 = x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1 15 8 15 − 8 5 4 1 5 − 415 − 2 . 075 − 415 Re s. 5 6 4 3 2 15. x − x + 8 x + x − 1 ÷ 2x + 3 x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5 5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3 − 10 1 3 −3 3 2 = a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10 1 − 6 18 − 60 −6 9 −4 9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2 0 1 −3 0 −6 − 3 18 − 54 4 −6 3 2 0 1 6 4 3 2 14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1 2 4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2 1 −2 1 −2 2 2 3 − 5 = a 2 − 2a + 3 = x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2 = x − 2x + 4 Re s. − 6 −4 −2 5 4 3 2 8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4 1 − 5 = x 2 − x + 3 Re s. − 2 3 = x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3 3 2 3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1 −1 1 −1 2 − 2 −1 2 − 4 1 2 3 2 4 7. x − 3x + 5 ÷ x − 1 1 0 0 −3 5 1 1 1 1 −2 2 = 0 0 1 −1 0 − 3 2 9 4 1 − 3 2 − 5 4 1 5 3 4 5 3 1 3 x − x + x + x− 2 4 8 2 4 Re s. 5 4 EJERCICIO 76 1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3 Exacta (6 múltiplo de 3) 2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2 Exacta (10 múltiplo de 2) 3 2 3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1 Inexacta (1 no anula el polinomio) 4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3 Inexacta (8 no es múltiplo de 3) 5. 4x 3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1 Exacta (4 múltiplo de 1) 6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1 Inexacta (- 1 no anula el polinomio) 7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5 (− 1) 3 − 2(− 1) + 2(− 1) + 5 2 = − 1− 2 − 2 + 5 = 0 No existe residuo, luego a + 1 divide exactamente al polinomio, por lo que se deduce es un factor de este. 8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10 55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10 = 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0 Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se anula, entonces x - 5 divide con exactitud a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10 3 2
  • 81. 9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3 4 3 17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5 − 25 0 30 − 20 5 2  3  3  3  3 4  − 7  + 7  − 7  + 3  4  4  4  4 15 7 2 − 6 18 − 54 3 2 21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1 −5 3 −8 0 20 − 12 32 0 k − 8 = 0 entoces k = 8 − a + 2a + 2 ÷ a + 1 −1 1 0 − 2 0 EJERCICIO 77 + 5x − 6 ÷ x − 1 1 1 1 6 x5 + 1 1. x − 1 Inexacta Re s. 2 0 Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6 6 14. x 6 1 6 2. − 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6 36 − 18 48 − 24 30 −3 8 −4 5 0 Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5 6 5 4 3 2 15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4 4 0 −4 0 4 − 16 1 0 −1 0 1 −4 9 Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9 4 3 2 16. 16x − 24 x + 37x − 24x + 4 ÷ 4x − 1 4 16 −5 − 20 32 8 −4 − 16 87 2 − 6 18 − 29 0 Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0 2 1 1 1 6 4 + 25a + k ÷ a + 3 4 20. 2a Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2 13. x 4 −2 1 −1 2 0 k + 4 = 0 , luegok = − 4 Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8 2 0 19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2 11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2 − 4 12 − 16 1 −1 0 30 Sik = − 150 se anula 3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al reemplazar tal valor en el polinomio resultará un residuo, por ende la división no será exacta y 3n + 2 no se puede concebir como factor de dicho polinomio. 12. a 2 2 18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5 35 150 10. 3n + 2 no es factor de 4 −6 Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n − 1; Re s. − 6 324 189 63 21 − + − +3 256 64 16 4 324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768 0 = = =0 256 256 La variable x del dividendo se reemplaza por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el divisor. valor de la variable del divisor. Se observa su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es un divisor exacto de tal polinomio. 8 − 3 12 4 = 2 −6 − 18 0 0 9. a 5 + 32 Inexacta Re s. 64 a−2 a 4 + b4 Inexacta Re s. 2b 4 a+b x8 −1 3. x 2 + Exacta 1 10. x 7 − 128 Inexacta Re s. − 256 x+2 a11 + 1 4. a − Inexacta Re s. 2 1 a 6 + b6 Inexacta Re s. 2b 6 5. 2 a + b2 x7 − 1 6. x − Exacta 1 x3 − 8 7. x + 2 Inexacta Re s. − 16 Exacta; coc. 4x 3 − 5x 2 + 8x − 4 8. x 4 − 16 Exacta x+2 11. 16a 4 − 81b 4 Exacta 2a + 3b a 3x6 + b9 12. ax 2 + b3 Exacta
  • 82. EJERCICIO 78 1. 6. 5x = 8x − 15 5x − 8x = − 15 − 3x = − 15 − 15 x= −3 x=5 2. 4 x + 1= 2 4x = 2 − 1 4x = 1 x= 3. 1 4 y − 5 = 3y − 25 y − 3y = − 25 + 5 − 2y = − 20 − 20 y= −2 y = 10 4. 5x + 6 = 10x + 5 5x − 10x = 5 − 6 − 5x = − 1 −1 x= −5 1 x= 5 21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36 8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14 − 6x + 8x = 27 − 21 16x = 65x − 36 + 1 11x − 4 = 8 x + 14 2x = 6 16x − 65x = − 35 11x − 8 x = 14 + 4 − 49x = − 35 6 3x = 18 x= 2 − 35 18 x= x= x=3 − 49 3 x= 10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y 11y − 81= 72y + 102 11y − 72y = 102 + 81 − 61y = 183 183 y= − 61 y=−3 5. 9y − 11= − 10 + 12y 9y − 12y = − 10 + 11 − 3y = 1 y=− 9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x − 4 x + 9 = − x − 13 − 4x + x = − 13 − 9 − 3x = − 22 x= 11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x 8x + 11= 10x − 3 8x − 10x = − 3 − 11 − 2x = − 14 − 14 x= −2 x=7 13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x 9x + 14 = − 717x + 256 9x + 717x = 256 − 14 726x = 242 242 726 1 x= 3 x= − 22 −3 x= x=6 5 7 1 3 22 3 12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100 − x + 68 = 8 − 16x − x + 16 x = 8 − 68 15 x = − 60 − 60 15 x=−4 x= 14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172 − 88x = 84 x − 172 − 88x − 84x = − 172 − 172x = − 172 − 172 x= − 172 x =1 EJERCICIO 79 1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3) x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3 − x − 1 = 5 − 3x − x + 3x = 5 + 1 2x = 6 6 x= 2 x=3 2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6) 15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3 15x − 10 = 4 x + 1 15x − 4 x = 10 + 1 11 11 x=1 x= 5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6 x − 1 = 5x + 17 x − 5x = 17 + 1 − 4 x = 18 18 x= −4 9 x= − 2
  • 83. 5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x) 4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x ) 15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x 30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x 10 x = − 10x − 20 26 x − 2 = − 2 x − 14 10 x + 10 x = − 20 20 x = − 20 26 x + 2 x = − 14 + 2 28x = − 12 − 20 20 x= −1 12 28 3 x=− 7 x= x=− [ ] [ [ ] ] 3x + [− 6x − 3] = 3x − 9 [ ] ] [ 16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5 4 x + 6 = 26 x − 5 4 x − 26 x = − 5 − 6 −2 − 2x = − 2 ⇒ x = =1 −2 ] [ }] x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3 x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3 { 8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3 } 9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0 9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0 4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0 [ ] ] x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3 4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0 12 x − 8 = 0 12 x = 8 8 x= 12 2 x= 3 [ x − 11 − x = − 3 x − 11 + x = − 3 2 x = − 3 + 11 2x = 8⇒ x = ] } − {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5 − {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5 [ 11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5 [ [ ] x=−5 EJERCICIO 80 1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5 ( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x 5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x 37 x + 43 = 5x − 21 4 x + 8x = − 6 + 3 37 x − 5x = − 21 − 43 12 x = − 3 [ ] ] [ [ ] 71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3 − {− x} = − 5 32 x = − 64 x= ] 8 =4 2 10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3) − {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5 −3 1 ⇒ x= − x= 12 4 ] − 22 x = − 11 − 11 1 = x= − 22 2 − x − x = − 3+ 1 x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12 4 x − 3 = − 8x − 6 [ [ 16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5 3x − 6x − 3 = 3x − 9 − 3x − 3 = 3x − 9 − x − 1= x − 3 { ] 16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3 3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9 { [ 7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3) 6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9) − 64 ⇒ x= − 2 32 [ 71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7 ] 71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7 74 − 7 x = 32 + 7 x 74 − 32 = 7 x + 7 x 42 = 14 x 42 =x 14 3= x 3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5) 6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x − 14 x + 18 = − 8 x − 14 x + 8 x = − 18 − 6 x = − 18 − 18 ⇒ x=3 x= −6
  • 84. 4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6 ( )( ) ( 2 7 x + 5x = − 7 − 5 12 x = − 12 149 − 289 = 6 x + 14 x − 140 = 20 x − 12 12 x= −1 − 140 =x 20 − 7= x x= 5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3(2 x + 5) − 12 2 23x + 13x = − 36 − 108 36 x = − 144 − 144 36 x= − 4 x= ) ( 2 ( )( ) ( + 13x − 3) = 17 − (10 x 14 − (10 x 3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0 2 6 − 72 1 x= − 12 x= x=5 7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0 ( x − 2) 2 13. 4 x = 20 x − 4 x + 4 + x 2 − 3x = 3 ( x 2 + x − 12) − ( x 2 + x − 2) + 2 20 4 x=5 2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2 2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4 − 7 x − 2 x = − 36 − 9 x = − 36 (3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5) ( )( ) ( )( ) − 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21 2 2 41x − 76 x = − 21 + 20 − 35x = − 1 −1 x= − 35 1 x= 35 + x ( x − 3) = 3( x + 4)( x − 3) − ( x + 2)( x − 1) + 2 2 x= 9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x ) − 59 x − 6) − 13x − 59 x = 6 − 72 x = 6 − 5x = − 25 − 25 x= −5 − 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0 4 x − 20 = 0 2 14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6 − 5x + 25 = 0 12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20 − 25x + 38 x = 20 − 12 13x = 8 8 x= 13 )( 12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6 ) 6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0 8. =1 x2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1 2x − 5= 1 2x = 6 6 x= 2 x=3 108 + 23x = − 13x − 36 ) ( (x − 2) − (3 − x) 11. 126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12 ) ( ) 2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5 2 149 − 14 x = 289 + 6 x ( )( 10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5 184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6 x= − 36 −9 x= 4 14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0 2 2 9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0 − 20x + 4 = 0 − 20x = − 4 −4 x= − 20 1 x= 5
  • 85. 2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12 2 15. 2 2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12 4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12 − 46 x = − 12 − 34 − 46 x = − 46 − 46 x= − 46 x=1 16. 2 7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2 2 19. 5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0 2 2 7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2 2 5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0 2 4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6 − 51x − 27 = 0 − 86 x = − 6 − 37 − 86 x = − 43 − 51x = 27 x= 27 − 51 x= − 43 − 86 9 17 x= 1 2 x= − 2 17. x − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x ) x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x − 5x + 15 = − 4 x + 15 − 5x + 4 x = 0 − x= 0 5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2 2 20. 5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2 − x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2 8 x + 13x = − 2 − 47 21x = − 49 x= 0 18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0 3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0 − 49 21 7 x= − 3 x= 45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0 21x − 6 = 0 21x = 6 6 x= 21 2 x= 7 EJERCICIO 81 [ ] 1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0 [ ] ] 14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0 [ 11x + 2 − 4 x + 3 = 0 11x + 2 − 4 x − 3 = 0 7 x − 1= 0 7x = 1 1 x= 7 (3x − 7) 2 2. [ ] − 5(2 x + 1)( x − 2) = − x 2 − − (3x + 1) [ ] 9 x 2 − 42 x + 49 − 5(2 x 2 − 3x − 2) = − x 2 − − 3x − 1 9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1 − 27 x + 59 = 3x + 1 − 27 x − 3x = 1− 59 − 30 x = − 58 − 58 29 ⇒ x= x= − 30 15
  • 86. { ]} [ 3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1) { ]} 4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1} 4 x − 1 = − {− 3x + 1} [ (x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7 ( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7 8. 6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1 2 2 x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7 4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57 4 x − 1 = 3x − 1 x + 16 x = − 57 + 6 4 x − 3x = − 1 + 1 17 x = − 51 x=0 ( ) { − 3 = − {3x − 3 = − {3x ( ) ( x= )} 4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2 2 2 x − 3x 2 2 x − 3x 2 2 2 2 + 2 x − 2 − 3x − 6} − x − 8} (x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3) + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x 3 9. x 3 + 3x 2 3 2 2 3 6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x 2 = − 18 x 2 1 = x⇒ − = x − 18 9 x = 11 ]} = 0 − {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0 x − {3x + [x + x − 4] } = 0 ) ( ) 2 2 2 5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x x 2 2 2 3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3 2 2 10. (3x 3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x − 48x + 3x = − 60 − 45x = − 60 − 60 4 ⇒ x= x= − 45 3 x=1 } 3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2 [ ] 3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2 2 2 [ − 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x 2 2 2 − 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2 − 5x + 3x = 16 − 15 − 2x = 1 1 x= − 2 (x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1) (x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1) 7. 2 2 x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2 3 2 2 − 12 x + 12)( x + 5) = (3x 2 + 6 x + 3)( x − 1) + 3 2 − 4x = − 4 −4 x= −4 [{ 2 3x + 15x − 12 x 2 − 60 x + 12 x + 60 = 3x 3 − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3 3 x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0 2 2 3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3 2 x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0 6. 2 2 2x − x = 8 + 3 2 3 x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x 3 2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8 { [( − 51 ⇒ x= − 3 17 ] ] EJERCICIO 82 1. x → N º mayor x − 8 → N º menor x + x − 8 = 106 2 x − 8 = 106 2 x = 106 + 8 114 x= 2 x = 57 → N º mayor 3 − 7 x − 6 = − 3x − 2 − 7 x + 3x = − 2 + 6 − 4x = 4 4 ⇒ x= −1 x= −4 x − 8 ⇒ 57 − 8 = 49 → N º menor
  • 87. 2. x → Nº mayor x − 32 → Nº menor x + x − 32 = 540 2x = 540 + 32 2x = 572 572 x= 2 x = 286 → Nº mayor 6. A + B = 1.080 soles A − 1.014 = B A + A − 1.014 = 1.080 2A = 1.080 + 1.014 2 .094 A= 2 A = 1.047 soles A − 1.014 = B ⇒ 1.047 − 1.014 = B 33 soles = B x − 32 ⇒ 286 − 32 = 254 → Nº menor 7. 3. 10. = 96 → Nº menor 2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2 = 96 + 2 = 98 → Nº mayor x → Nº mayor x − 1→ Nº menor x + x − 1= 103 2x = 103 + 1 104 x= 2 x = 52 → Nº mayor A + B = 1.154 bs. A − 506 = B A + A − 506 = 1.154 2A = 1.154 + 506 2A = 1.660 1.660 A= 2 A = 830 bs. 11. x + x − 1+ x − 2 = 186 3x − 3 = 186 3x = 189 189 x= 3 x = 63 → Nº mayor x − 1⇒ 63 − 1 x − 1⇒ 52 − 1 8. x + 2 → Nº mayor x + x + 1+ x + 2 = 204 3x + 3 = 204 3x = 204 − 3 201 x= 3 x = 67 → Nº menor 130 2 x = 65 x → Nº mayor x= x + 1⇒ 67 + 1 = 68 → Nº medio x − 24 ⇒ 65 − 24 x + 2 ⇒ 67 + 2 = 41→ Nº menor 5. A + B = 56 años A + 14 = B A + A + 14 = 56 2A = 56 − 14 42 A= 2 A = 21años A + 14 = B 21+ 14 = B 35 años = B x → Nº menor x + 1 → Nº medio 4. x → Nº mayor x − 24 → Nº menor x + x − 24 = 106 2x = 106 + 24 = 69 → Nº mayor 9. x → Nº 1 x + 1→ Nº 2 x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4 x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74 = 62 → Nº medio x − 2 ⇒ 63 − 2 = 61→ Nº menor 12. caballo + coche + arreos = 325 coche + 80 = caballo coche − 25 = arreos coche + 80 + coche + coche − 25 = 325 3 coches + 55 = 325 3 coches = 270 270 coche = 3 coche = $ 90 4x + 6 = 74 4x = 74 − 6 68 x= 4 x = 17 → Nº 1 x + 1⇒ 17 + 1 = 18 → Nº 2 x + 2 ⇒ 17 + 2 = 19 → Nº 3 x → Nº mayor x − 1→ Nº medio x − 2 → Nº menor = 51→ Nº menor A − 506 = B ⇒ 830 − 506 = B 324 bs. = B 2x → Nº menor 2x + 2 → Nº mayor 2x + 2x + 2 = 194 4x = 194 − 2 192 x= 4 x = 48 2x ⇒ 2 ⋅ 48 x + 3 ⇒ 17 + 3 = 20 → Nº 4 coche + 80 = caballo ⇒ 90 + 80 = caballo $ 170 = caballo coche − 25 = arreos ⇒ 90 − 25 = arreos $ 65 = arreos
  • 88. 13. x → Nº mayor x − 32 → Nº medio EJERCICIO 83 16. x − 65 → Nº menor x → 1º x − 20 → 2º x − 20 − 40 → 3º x + x − 32 + x − 65 = 200 3x − 97 = 200 3x = 297 297 x= 3 x = 99 → Nº mayor x − 32 ⇒ 99 − 32 ⇒ x − 60 → 3º x + x − 20 + x − 60 = 310 3x = 310 + 80 3x = 390 390 x= 3 x = 130 → 1º x − 20 ⇒ 130 − 20 = 67 → Nº medio x − 65 ⇒ 99 − 65 = 110 → 2º x − 60 ⇒ 130 − 60 = 34 → Nº menor = 70 → 3º 14. x → 1º cesto x − 10 → 2º cesto x − 15 → 3º cesto x + x − 10 + x − 15 = 575 3x − 25 = 575 3x = 600 600 x= 3 x = 200 → 1º cesto x − 10 ⇒ 200 − 10 = 190 → 2º cesto x − 15 ⇒ 200 − 15 = 185 → 3º cesto 15. 17. x → mayor x − 20 → menor x − 18 → medio x + x − 20 + x − 18 = 88 3x − 38 = 88 3x = 88 + 38 3x = 126 126 x= 3 x = 42 → mayor x − 20 ⇒ 42 − 20 = 22 → menor x − 18 ⇒ 42 − 18 = 24 → medio x → mayor x − 55 → medio x − 70 → menor x → mayor 18. x + x − 55 + x − 70 = 454 x − 36 → menor 3x − 125 = 454 x + x − 36 = 642 3x = 454 + 125 2x − 36 = 642 3x = 579 2x = 642 + 36 579 x= 2x = 678 3 678 x = 193 → mayor x= 2 x − 55 ⇒ 193 − 55 x = 339 → mayor = 138 → medio x − 70 ⇒ 193 − 70 x − 36 ⇒ 339 − 36 = 123 → menor = 303 → menor 1. x → edad Juan 3x → edadPedro x + 3x = 40 4 x = 40 40 4 x = 10 → edad Juan x= 3x ⇒ 3 ⋅10 = 30 → edadPedro 2. x → Arreos 4x → Caballo x + 4x = 600 5x = 600 600 x= 5 x = $ 120 → Arreos 4x ⇒ 4 ⋅120 = $ 480 → Caballo 3. x → 1º piso x → 2º piso 2 x x + = 48 2 2x + x = 48 2 3x = 48 ⋅ 2 3x = 96 96 3 x = 32 Habt. → 1º piso x 32 ⇒ 2 2 = 16 Habt. → 2º piso x= 4. A + B + C = 300 B = 2A C = 3A ⇒ A + 2A + 3A = 300 6A = 300 300 A= 6 A = 50 colones B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50 = 100 colones C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50 = 150 colones
  • 89. 8. x → 1º parte 5. A + B + C = 133 4x → 2º parte B A= 5x → 3º parte 2 x + 4x + 5x = 850 C = 2B 10x = 850 B ⇒ + B + 2B = 133 2 850 x= B 10 + 3B = 133 2 x = 85 → 1º parte B + 6B 4x ⇒ 4 ⋅ 85 = 133 2 = 340 → 2º parte 7B = 133 ⋅ 2 5x ⇒ 5 ⋅ 85 266 = 425 → 3º parte B= 7 B = 38 Sucres B 38 ⇒ 2 2 = 19 Sucres C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38 A= = 76 Sucres 7. A + B + C = 140 A B = ⇒ 2B = A 2 C B = ⇒ 4B = C 4 2B + B + 4B = 140 7B = 140 140 B= 7 B = 20 Quetz. A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 Quetz. C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20 = 80 Quetz. x → 1º parte x → 2º parte 3 4x → 3º parte 3 x 4x = 96 x+ + 3 3 3x + x + 4 x = 96 3 8x = 96 ⋅ 3 8x = 288 288 x= 8 x = 36 → 1º parte x 36 ⇒ = 12 → 2º parte 3 3 4x 4 ⋅ 36 ⇒ = 4 ⋅12 = 48 → 3º parte 3 3 14. x → EdadEnrique 2x → EdadPedro 3x → Edad Juan 6x → EdadEugenio x + 2x + 3x + 6x = 132 12x = 132 132 x= 12 x = 11→ EdadEnrique 2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro 3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan 6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio 9. x → Nº buscado 2x = x + 111 2x − x = 111 x = 111→ Nº buscado 6. x → Nº mayor x → edadRosa 10. x 3x + 15 → edadMaría → Nº menor 6 x + 3x + 15 = 59 x x + = 147 4x = 59 − 15 6 4x = 44 6x + x = 147 44 6 x= 4 7x = 147 ⋅ 6 x = 11→ edadRosa 7x = 882 3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15 882 x= = 33 + 15 7 = 48 → edadMaría x = 126 → Nº mayor x 126 ⇒ 6 6 = 21→ Nº menor 13. 11. x → Nº buscado 8 x = x + 21 8 x − x = 21 7 x = 21 21 x= 7 x = 3 → Nº buscado 12. x → Mi edad 3x + 7 = 100 3x = 100 − 7 3x = 93 93 x= 3 x = 31→ Mi edad EJERCICIO 84 1. x → 1º parte 3x → 2º parte 3x − 40 → 3º parte x + 3x + 3x − 40 = 254 7x = 254 + 40 7x = 294 294 x= 7 x = 42 → 1º parte 3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte 3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40 = 126 − 40 = 86 → 3º parte
  • 90. x → 1º Número A + B + C = 152 8. x−6 B+8 → 2º Número B = 2 A − 8⇒ =A C = 2A 5 2 B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A x − 6 → 3º Número B − 32 = C B = 2A + 15 x−6 B+8 + x − 6 = 72 x+ + B + B − 32 = 152 A + 2A + 15 + 2A = 130 5 2 5A = 130 − 15 x 6 B 8 2x + − = 78 + + 2 B = 152 + 32 5A = 115 5 5 2 2 10x + x 6 B + 4B 115 = 78 + A= = 184 − 4 5 5 2 5 11x 390 + 6 5B = 180 ⋅ 2 A = 23 Balb. = 5 5 B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb. 360 B= 11x = 396 5 C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb. 396 B = $ 72 x= 11 x → 1º Número 3. B + 8 72 + 8 80 ⇒ = = $ 40 A= x = 36 → 1º Número x−8 2 2 2 → 2º Número x−6 36 − 6 C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40 2 ⇒ 5 5 x − 18 → 3º Número 30 x−8 = = 6 → 2º Número x+ + x − 18 = 238 5 2 x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número x 8 2x + − = 256 2 2 6. A + B = 99 4x + x 9. x → Nº buscado = 256 + 4 B = 3A + 19 2 x − 80 = 220 − 2 x 5x = 260 ⋅ 2 A + 3A + 19 = 99 x + 2x = 220 + 80 520 4A = 99 − 19 3x = 300 x= 5 4A = 80 300 x= x = 104 → 1º Número 80 3 A= x − 8 104 − 8 96 4 x = 100 → Nº buscado ⇒ = = 48 → 2º Número 2 2 2 A = 20 bs. x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19 = 60 + 19 = 79 bs. x → Costo traje 4. x → cm de azúl 7. x 10. x → Tengo ahora → Costo sombrero 8 x − 14 2x + 10 = x + 60 → cm deblanco x − 30 → Costo bastón 2 2x − x = 60 − 10 x − 14 x x = 50 S /. → Tengo ahora x+ = 74 x + + x − 30 = 259 2 8 x 14 x x+ − = 74 2x + = 259 + 30 x → Parte separada 2 2 8 11. 2x + x 16x + x x + 80 → La otra parte = 74 + 7 = 289 2 8 x + x + 80 = 910 3x = 81⋅ 2 17x = 289 ⋅ 8 2x = 910 − 80 162 2 .312 830 x= x= x= 3 17 2 x = 54 → cmde azúl x = $ 136 → Costo traje x = 415 cm x − 14 54 − 14 x 136 ⇒ 4 ,15 m → Parte separada ⇒ ⇒ = $ 17 → Costo sombrero 2 2 8 8 x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm 40 x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón = = 20 → cmde blanco ⇒ 4 , 95 m → La otra parte 2 2. A + B + C = 130 5.
  • 91. 12. x → Edad padre 14. x → Nº buscado x−3 13. A + B + C = 9 . 000 8 x − 60 = 60 − 7 x → Edad hijo B + 500 = A 3 8 x + 7 x = 60 + 60 x−3 B − 800 = C 15 x = 120 = 83 x+ 3 B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000 120 x= x 3 3B = 9 .000 + 300 15 x + − = 83 3 3 9 . 300 x = 8 → Nº buscado B= 3x + x 3 = 83 + 1 15. x → Edad hom bre 3 B = 3 .100 Votos 2x − 17 = 100 − x 4x = 84 ⋅ 3 A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos 2x + x = 100 + 17 252 C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos x= 3x = 117 4 x = 63 → Edad padre 117 x= x − 3 63 − 3 60 3 ⇒ = = 20 → Edad hijo x = 39 → Edad hom bre 3 3 3 EJERCICIO 85 1. 2. x → Nº mayor 2x → Nº menor 3 2x = 100 x+ 3 3x + 2x = 100 3 5x = 100 ⋅ 3 300 x= 5 x = 60 → Nº mayor 2x 2 ⋅ 60 ⇒ = 40 → Nº menor 3 3 x → Edad padre x − 15 → Edad hijo 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 = 60 x+ − 2 2 2x + x 15 = 60 + 2 2 3x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Edad padre x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Edad hijo 2 2 3. x → Partemayor x − 232 → Partemenor x + x − 232 = 1.080 2x = 1.080 + 232 x → Nº mayor 6. x − 88 → Nº menor 3 x − 88 = 540 x+ 3 x 88 x+ − = 540 3 3 3x + x 88 = 540 + 3 3 4 x 1. 620 + 88 = 3 3 4 x = 1. 708 1.708 x= 4 x = 427 → Nº mayor 1.312 2 x = 656 → Partemayor x − 232 ⇒ 656 − 232 = 424 → Partemenor x= 4. A + B = 150 A − 46 = B A + A − 46 = 150 2A = 150 + 46 196 A= 2 A = 98 Soles B = A − 46 ⇒ 98 − 46 427 − 88 x − 88 ⇒ 3 3 339 = = 113 → Nº menor 3 = 52 Soles 5. x → Ang. mayor x + 45 → Ang. menor 2 x + 45 = 180 x+ 2 x 45 = 180 x+ + 2 2 2x + x 45 = 180 − 2 2 3x 360 − 45 = 2 2 3x = 315 x= 7. 315 3 x = 105 ! → Ang. mayor x + 45 105 + 45 ⇒ = 75! → Ang. menor 2 2 x → N º mayor x − 12 → N º menor 4  x − 12  x−   = 36  4  x− x 12 + = 36 4 4 4x − x = 36 − 3 4 3x = 33⋅ 4 3x = 132 132 3 x = 44 → N º mayor x − 12 44 − 12 ⇒ = 8 → N º menor 4 4 x=
  • 92. 8 x → Costo perro x → Costo collar 8 x x + = 54 8 8x + x = 54 8 9x = 54 ⋅ 8 9x = 432 432 9 x = $ 48 → Costo perro 48 x ⇒ = $ 6 → Costo collar 8 8 A + B = 84 9. 10. ⇒ A − 16 − 20 = B A − 36 = B A + A − 36 = 84 2A = 84 + 36 120 2 A = $ 60 A= x= B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24 x → Nº mayor x + 150 → Nº menor 3 x → Parte mayor 11. x + 150 = 506 x+ x + 16 → Parte menor 3 3 150 x x + 16 x + = 506 − = 160 x+ 3 3 3 3x + x 1.518 − 150 x 16 = x + = 160 − 3 3 3 3 3x + x 480 − 16 4x = 1.368 = 3 3 1. 368 x= 4x = 464 4 464 x= x = 342 → Nº mayor 4 x + 150 342 + 150 x = 116 → Parte mayor ⇒ 3 3 x + 16 116 + 16 ⇒ 492 3 3 = = 164 → Nº menor 132 3 = = 44 → Parte menor 12. 3 EJERCICIO 86 1. 2 x → Edad actual A x → Edad actual B 2 x − 10 = 3 ( x − 10) 3. 2x → Tiene A x → TieneB 2x − 30 = x − 5 2x − x = 30 − 5 x = $ 25 → TieneB 2 x − 10 = 3x − 30 2 x − 3x = − 30 + 10 − x = − 20 x = 20 → Edad actual B 2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A 2. 3x → Edad A x → Edad B 3x + 5 = 2 ( x + 5) 3x + 5 = 2 x + 10 3x − 2 x = 10 − 5 x = 5 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A 2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A 4. x → Tiene A 2 x → Tiene B x + 66 = 2 ( x − 90) 2 x + 132 = 2 ( x − 90) 2 x + 132 = 4 (x − 90) x + 132 = 4 x − 360 − 3x = − 492 − 492 −3 x = 164 colones → Tiene B x 164 ⇒ = 82 → colones Tiene A 2 2 x= x → Nº Señoritas x − 15 → Nº Jovenes 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 x + = 60 + 2 2 2 x + x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Nº Señoritas x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Nº jovenes 2 2 A − 16 = B + 20 13. x → Esti log ráfica x − 10 → Lapicero x + x − 10 = 18 2x = 28 28 x= 2 x = 14 bs. → Esti log ráfica x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero 14. x → Parte roja x + 4 → Parte negra x + x + 4 = 84 2x = 80 x = 40 cm → Parte roja x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra 5. x → Nº var ones x → Nº Srtas 3 x + 14 = x − 10 3 x − x = − 10 − 14 3 x − 3x = − 24 3 − 2x = − 72 x = 36 → Nº var ones x 36 ⇒ = 12 → Nº Srtas 3 3 6. 3x → Edad padre x → Edad hijo 3x − 5 = 2 ( x + 10) 3x − 5 = 2 x + 20 x = 25→ Edad hijo 3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre
  • 93. 8. 5x → Tiene Enrique x → Tiene suhno. 5x − 0 ,5 = x + 0 , 5 5x − x = 0 , 5 + 0 , 5 x → Nº mayor 7. 2x − 56 → Nº menor x + 2x − 56 = 85 3x = 141 141 x= 3 x = 47 → Nº mayor 2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56 = 94 − 56 = 38 → Nº menor x → Bolsa 1 x − 400 → Bolsa 2 x + x − 400 = 1. 400 2x = 1. 800 x = 900 S /. → Bolsa 1 9. 4x = 1 1 x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2 x= 4 x = $ 0 , 25 → Tiene suhno 5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25 12. 3x → Edad actual Juan x → Edad actual hijo = $ 1, 25 → Tiene Enrique 3x + 22 = 2 ( x + 22) 11. 2 x → Edad act . padre x → Edad act . hijo 10. 4x → Días Trab.Pedro x → Días Trab.Enrique 4x − 15 = x + 21 4x − x = 21+ 15 3x = 36 3x = 2 x + 44 − 22 x = 22 → Edad actual hijo 3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan 2 x − 14 = 3( x − 14) 2 x − 14 = 3x − 42 13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B 2 x − 3x = − 42 + 14 − x = − 28 36 3 x = 12 → Días Trab.Enrique 4x ⇒ 4 ⋅12 x= = 48 → Días Trab.Pedro A + 80 = 3 ( B + 4) ⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12 − B − 3B = 12 − 164 x = 28 → Edad act . hijo − 4 B = − 152 − 152 B= −4 Edades hace 14 años : 2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14 = 42 años → padre x − 14 ⇒ 28 − 14 B = $ 38 A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46 = 14 años → hijo EJERCICIO 87 3. 16 − x → Pr ob. reslt . x → Pr ob. no reslt . 1. 2x → Nº Sombreros x → Nº trajes 4x + 50x = 702 54x = 702 5. 35 − x → Trajes de 30 Q x → Trajes de 25 Q 30 (35 − x ) + 25x = 1.015 12 (16 − x) − 5x = 73 1. 050 − 30 x + 25x = 1.015 192 − 12 x − 5x = 73 702 54 x = 13 → Nº trajes 2x ⇒ 2 ⋅13 − 5x = 1.015 − 1.050 − 17 x = 73 − 192 x= x= − 119 − 17 x= x = 7 → Pr ob. no reslt . = 26 → Nº Sombreros 16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt . 6. 2. x → Cab. x − 6 → Vacas 600x + 800 ( x − 6) = 40 .000 4. 50 − x → Días trab. x → Días no trab. 600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000 1. 400x = 44 .800 x= 44 .800 1. 400 x = 32 → Cab. x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas 3(50 − x) − 2 x = 90 150 − 3x − 2 x = 90 − 5x = − 60 x= − 60 −5 x = 12 → Días no trab. 50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab. − 35 −5 x = 7 → Trajes de 25 Q 35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q x → Traje Cal. x − 7 → Traje inf. 32 x + 18 ( x − 7) = 1.624 32 x + 18x − 126 = 1. 624 50x = 1.750 1.750 x= 50 x = 35balb. → Traje Cal. x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.
  • 94. 8. 3 x + 5 → Sac. Frij. 7. 3x → N º Lápices x → N º cuad . 0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 , 21x = 1, 47 1 , 47 x= 0 , 21 x=7 ⇒ 7 → N º cuad . 3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices x → Sac. azúc. 6 (3 x + 5) + 5 x = 582 18 x + 30 + 5x = 582 23 x = 552 552 23 x = 24 ⇒ 24 → Sac. azúc. 3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5 = 77 → Sac. Frij. x= 9. 80 − x → Cedro 10. 1. 050 − x → P. mayor x → P. menor x → Caoba 3 0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825 3 60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 40 .150 − 3x − 2 x = 1.825 − 5x = 1.825 − 3.150 0 ,15x = 8 , 40 − 5x = − 1. 325 8 , 40 x= − 1. 325 0 , 15 x= −5 x = 56 x = 265 3 ⇒ 56 pies → Caoba ⇒ 265 → P. menor 80 − x ⇒ 80 − 56 1. 050 − x ⇒ 1. 050 − 265 = 24 pies3 → Cedro = 785 → P. mayor EJERCICI0 88 1. x → 1º 2x → 2º x + 2x − 20 → 3º ⇒ 3x − 20 → 3º x + 2x + 3x − 20 = 196 6x = 196 + 20 216 x= 6 x = 36 → 1º 2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º 3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20 = 108 − 20 = 88 → 3º 2. 3x → Edad A x → Edad B 3x − 5 = 4 ( x − 5) 3x − 5 = 4 x − 20 3x − 4 x = − 20 + 5 − x = − 15 x = 15 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A 3. x → Par zap. 2 x + 50 → Traje 4. x → Costo casa 7. x → Gasté x x = + 2 . 000 85 − x = 4x 4 6 85 = 5x x x + 12 . 000 = 85 4 6 =x 5 6x = 4x + 48 . 000 17 = x 2x = 48 . 000 ⇒ $ 17 → Gasté 48 .000 x= 2 x = 24 . 000bs. → Costo casa 5. x → Nº mayor 8. 2 x − 156 → Nº menor 3 2 x − 156 = 108 x+ 3 2x 156 x+ = 108 + 3 3 3x + 2x 324 + 156 = 3 3 5x = 480 480 x= 5 x = 96 → Nº mayor 2 x − 156 2 ⋅ 96 − 156 ⇒ 3 3 36 = = 12 → Nº menor 3 9. x → Edad act . B 2 ( x − 12) → Edad A hace 12 años 2 ( x − 12) + 24 + 68 = 3 ( x + 12) 2 x − 24 + 92 = 3x + 36 2 x − 3x = 36 − 68 − x = − 32 x = 32 → Edad act . B Edad actual de A : 2 ( x − 12) + 12 ⇒ 2 (32 − 12) + 12 = 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años x → mon. 10 cts. 22 − x → mon. 5 cts. 6. x → Ancho 0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85 461− 11= 9x 50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000 0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85 450 = 9x 100 x + 2.500 + 35x = 16 .000 0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10 450 =x 135x = 16 .000 − 2. 500 0 , 05x = 0 , 75 9 13. 500 50 = x 0 , 75 x= x= 135 ⇒ 50 pies → Ancho 0 , 05 x = 100 soles → Par zap. x = 15 → mon.10 cts. 2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje 22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.
  • 95. 10. x → N º buscado 15. 12 ( x − 24) = 24 ( x − 27) 12 x − 288 = 24 x − 648 12 x − 24 x = − 648 + 288 − 12 x = − 360 − 360 x= − 12 x = 30 → N º buscado 11. x → c / cab. 35x = 40 ( x − 10) 35x = 40 x − 400 − 5x = − 400 x= − 400 −5 x = $ 80 → c / cab. 12. x → Nº buscado 3x − 55 = 233 − x 3x + x = 233 + 55 4x = 288 288 x= 4 x = 72 → Nº buscado 13. x → N º menor x + 1→ N º medio x + 2 → N º mayor 2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740 x → Parte hijo x + 2 . 000 → Parte hijas 3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500 19. x → Lunes 2 x → Martes 4 x → Miercoles 8 x → Jueves 3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500 8 x − 30 → Viernes = 12 . 500 5x 8 x − 20 → Sábado 12 .500 x= x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911 5 x = 2 .500 31x − 50 = 911 ⇒ 2 .500 colones → Parte hijo 31x = 911 + 50 x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500 961 x= ⇒ 4 .500 colones → Parte hijas 31 x = $ 31→ Lunes x → N º mayor 16. 2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes x − 1→ N º menor 2 4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles 2 x − x − 1 = 31 8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves 2 2 x − x + 2 x − 1 = 31 8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes 2 x = 32 8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado x = 16 → N º mayor ( ) x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor 17. 3x → Edad A x → Edad B x → Edad C 5 x − 12 → Edad C Luego : x = x − 12 5 x = 5 ( x − 12) x = 5x − 60 − 4 x = − 60 x = 15 → Edad B 3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A x → Nº 1 20. x − 18 → Nº 2 x + x − 18 = 3 ⋅18 2x = 54 + 18 72 x= 2 x = 36 → Nº 1 x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2 21. x → Tiene A 3( x − 16) → Tiene B x + 3 ( x − 16) = 36 x + 3x − 48 = 36 2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740 x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C 4 x = 84 9 x = 740 − 11 x → Edad act . A 18. 84 x= 729 x+5 4 x= → Edad B en 5 años 9 3 x = $ 21→ Tiene A x = 81 x + 20 → Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16) ⇒ 81 → N º menor 2 = 3⋅ 5 = $15 → Tiene B Luego : x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio x+5 x + 20 22. 3x → Tiene A x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor + 15 = 3 2 x → Tiene B x → A caballo 14. x + 5 + 45 x + 20 x = → Tiene C 3x → Enauto 3 2 2 x − 20 → A pie 2 ( x + 50) = 3( x + 20) x  3x − 1 − ( x − 3) = 2  + 20 x + 3x + x − 20 = 150 2 x + 100 = 3x + 60 2  5x = 150 + 20 − x = − 40 3x − 1 − x + 3 = x + 40 170 x = 40 → Edad act . A 2 x − x = 40 − 2 x= 5 Edad actual de B : x = 38 → Tiene B x = 34 Km → A caballo 40 + 20 x + 20 3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A − 20 ⇒ − 20 3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto 2 2 x 38 x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie ⇒ = $19 → Tiene C = 30 − 20 = 10 años 2 2
  • 96. 23. x → Costo tienda x x − 800 = 5 7 x − 4 . 000 x = 5 7 7 x − 28 .000 = 5 x 2 x = 28 .000 24. x → Cab. peor 28 2 ( x + 15) → Cab. mejor x + 2 x + 30 = 120 3x = 90 x = $ 30 → Cab. peor 2 ( x + 15) = 2 (30 + 15) = 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor x → queda A 3x → queda B x + 3x = 160 4x = 160 2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o x → Lunes x + 6 → Martes x + 12 → Miercoles x + 18 → Jueves 4x → Jueves x + 18 = 4x − 3x = − 18 31. 3x → Padre hace 5 años x → Hijo hace 5 años 3x + 10 = 2 ( x + 10) 3x + 10 = 2 x + 20 x = 10 años Edad actual Padre : 3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años x = $ 6 → Lunes Edad actual Hijo : x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años 4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves x = 40 Como A tenía 80 Q. ⇒ lo que perdío A 32. 3x → Edad A en 4 años x → Edad B en 4 años 29. x → Tenía ppio. 2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0 3x − 6 = 5 ( x − 6) 2 x − 440 + 4 x − 100 = 0 6 x = 540 540 x= 6 x = 90 ⇒ 90 soles → Tenía ppio. = 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q. 26. 2 x → Emp. A x → Emp. B 2 (2 x − 400) = x + 400 4 x − 800 = x + 400 3x = 1. 200 x = $ 400 → Emp. B 2 2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2 2 x = 24 x = 12 m → Ancho 4 x + 5 = 3x + 15 x = 10 → Vacas 4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab. x + 2 ( x + 15) = 120 25. (2 x − 6)(x + 4) = 2 x 4 x + 5 = 3 (x + 5) x = 14 . 000 ⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda 30. 2 x → L arg o x → Ancho 27. 4 x → Cab. x → Vacas 3x − 6 = 5x − 30 − 2 x = − 24 x = 12 años Edad Actual A : 3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años Edad Actual B : x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años 2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A EJERCICIO 89 ( 1. a + ab = a a + b 2 ) ( ) 3. x + x = x ( x + 1) 4. 3a − a = a (3a − 1) 5. x − 4 x = x (1 − 4 x ) 6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m) 2. b + b 2 = b 1 + b 2 3 2 2 11. 12. 15c d + 60c d = 15c d 3 13. 2 2 20. 2a x + 2ax − 3ax 9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 (a 2 − 2 x ) 2 2 3 2 2 = ax (2a + 2 x − 3) (c + 4d ) 21. 35m2 n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m) ( 22. 14 x 2 y 2 − 28 x 3 + 56 x 4 ) 14. abc + abc2 = abc 1 + c (2a − 3xy ) 16. a + a + a = a (a + a + 1) 7. ab − bc = b (a − c) 17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1) 8. x y + x z = x ( y + z) 18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1) 9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x ) 10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x ) 3 4 2 3 3 2 15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x 3 + x 5 − x 7 = x 3 (1 + x 2 − x 4 ) = 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 ) 23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2 = 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 ) 24. 96 − 48mn 2 + 144n 3 = 48 (2 − mn 2 + 3n 3 ) 25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 = a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )
  • 97. 26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3 34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4 = 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 ) = 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 ) 27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x 35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2 = 31a x (3axy − 2 x y − 4) 2 28. 29. 2 x − x + x − x = x (1 − x + x − x 2 3 = 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c) 2 4 2 3 ) 4 3 2 2 30. 25x − 10 x + 15x − 5x 7 5 3 4 2 2 3 4 5 6 37. a − 2a + 3a − 4a + 6a = a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 ) 2 = 5x (5x − 2 x + 3x − 1) 2 31. 5 3 38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m x − x + 2 x − 3x = x ( x − x + 2 x − 3) 15 12 x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x (x 4 − x 3 + x 2 − x + 1) 36. a − 3a + 8a − 4a = a (a − 3a + 8a − 4) 6 9 6 6 9 6 3 = ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm) 32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3 20 16 12 8 4 2 39. a − a + a − a + a − a = 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 ) = a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1) 33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3 = 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 ) EJERCICIO 90 (x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4) 1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b) 19. 2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3 20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1 ( ) ( ) ( )( ) 3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y ) 4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n) 5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y ) 6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1) 7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1) 8. ( 21. ) 14. ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n) 25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x 26. 3 2 ) 4m (a 2 + x − 1) + 3n ( x − 1 + a 2 ) = (a 2 + x − 1)(4m + 3n) 15. x (2a + b + c) − 2a − b − c = x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1) 17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y ) 18. )( 24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n) a (a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b 16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3) ) ( 5x (a 2 + 1) + (x + 1) (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(6x + 1) ( ) ( )( ) 10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a ) 11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1) 12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1) 13. )( 23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2 ( 2 ) ( = (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b ) 9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y 3 2 22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b ) a 2 + 1− b (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(1 − b) ( 2 (a + b − 1)(a + 1) − a 2 2 − 1 = (a 2 + 1)(a + b − 2) 27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3) = ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a ( ) ( ) ( ) ( )( ) 29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1) 30. x (a + 2) − a − 2 + 3 (a + 2) = (a + 2)(x + 2) 31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4) 28. 3x x − 1 − 2 y x − 1 + z x − 1 = x − 1 3x − 2 y + z ( )( ) ( ) ( )( ) = (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2) 32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2 (a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1) )
  • 98. EJERCICIO 91 9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby 2 2 2 2 = (a + b)(a + x ) = (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x) 2. am − bm + an − bn = (am − bm) + (an − bn) = 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x ) = m (a − b) + n (a − b) = (1 − 2 x )(3a − b 2 ) = (a − b)(m + n) 3 2 11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx 3. ax − 2bx − 2ay + 4by = (ax − 2bx ) − (2ay − 4by ) = (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx ) = (a − 2b)( x − 2 y ) = 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b) = x (a − 2b) − 2 y (a − 2b) 4. a x − 3bx + a y − 3by 2 2 = (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 ) = x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b) = (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 ) 5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4 = (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 ) = 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 ) = (1 + x 4 )(3m − 2n) 2 2 2 6. x − a + x − a x = − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x ) = − a 2 (1 + x) + x ( x + 1) = ( x + 1)( x − a 2 ) = (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 ) = 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 ) = (a 2 + 1)(4a − 1) 8. x + x − xy − y 2 2 = 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax ) = (ax − b)(4a 2 − 3m) 12. 6ax + 3a + 1 + 2 x = (6ax + 3a ) + (1 + 2 x ) = 3a (2 x + 1) + (2 x + 1) = (2 x + 1) (3a + 1) 3 2 13. 3x − 9ax − x + 3a = (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a ) = x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1) = (3x 2 − 1)( x − 3a ) 14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx 2 2 = (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx) = a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x ) = a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y ) 7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a 2 = ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 ) = x (1 + x ) − y 2 ( x + 1) = ( x + 1)( x − y 2 ) 2 2 2 = n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 ) 2 2 10. 3a − b + 2b x − 6ax 2 2 = (x 2 + y 2 )(3ab − 2) = a (a + b) + x (a + b) 2 2 = (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x ) = 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 ) = (a 2 + ab) + (ax + bx ) 2 2 = (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 ) 1. a 2 + ab + ax + bx 2 17. n x − 5a y − n y + 5a x = (2 x − 5 y )(a 2 − 3b) 15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3 = (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 ) = xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 ) = (2 x + y 2 )( xy + z 2 ) 16. 6m − 9n + 21nx − 14mx = (6m − 14mx ) − (9n − 21nx ) = 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x ) = (3 − 7 x )(2m − 3n) = n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x ) = ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 ) 18. 1 + a + 3ab + 3b = (1 + a ) + (3ab + 3b) = (1 + a ) + 3b (a + 1) = (1 + a )(3b + 1) 19. 4am − 12amn − m + 3n 3 2 = (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n) = 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n) = (m2 − 3n)(4am − 1) 20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay = (20ax + 8ay) − (5bx + 2by ) = 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y) = (5x + 2 y )(4a − b) 21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab = (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab) = (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3) = (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 ) = (3 − x 2 )(1 − 2ab) 3 2 22. a + a + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1) = a 2 (a + 1) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1) 23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2 = (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 ) = 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a ) = (a + x )(3a − 7b 2 ) 24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1 = (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1) = 2a (m − n + 1) − (m − n + 1) = (2a − 1)(m − n + 1)
  • 99. 28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2 25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b = (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b) = − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 ) = 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2) = − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 ) = ( x + y − 2)(3a − 2b ) = (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 ) 29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y 26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2 = (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) = (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 ) = (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 ) = a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) 27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b 3 2 2 2 = (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 ) 2 2 2 2 = 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b 2 2 2 = (3a − 1)(a − ab + 3b 2 2 ) 2. a 2 3. x 2 4. 2 y + 2 y + 1 = ( y + 1) 2 2 ( 7. ) ( 11. 12. 1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a ) ) ) ) 24. 1 + 16. 2 2 ) 5 2 ) 2 2 1 + 14 x y + 49 x y = (1 + 7 x y) 1 − 2a + a = (1 − a 2 2 2 2 2 2b b2  b  + =  1+  3 9  3 2 b4  2 b2  4 2 2 = a −  25. a − a b + 4  2 ) 4 4 2 10 2 2 2 9b − 30a b + 25a = (3b − 5a 5 2 2 2 ( 15. 2 29. a + 2a a + b + a + b 2 3 2 a 6 − 2a 3b3 + b6 = (a 3 − b3 ) 2 ( 2 2 2 2 13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y 14. n2 n  + 2mn + 9m2 =  + 3m 3  9 2 2 2 2 28. 2 2 2 a 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9) 2 = a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x ) 2 2 36 + 12m2 + m4 = (6 + m 10. = (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x) 2 2 8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a 9. 4 2 4 2 2 3 2 16 + 40 x + 25x = (4 + 5x 2 2 ) ( ) 18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12 = (a + a + b) = (2a + b) 5 4 6 2 = (10 x − 3a y ) 30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a) 2 19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 ) = (2 − 1 + a ) = (1 + a) 2 2 2 4 4 20. a − 24am x + 144m x 31. 4m − 4m (n − m) + (n − m) 2 = (a − 12m2 x 2 ) = (2m − n + m) = (3m − n) 2 4 2 2 21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9 2 = (m − n + 3) 22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1) 33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y ) a a  − ab + b =  − b 23. 2  4 = (a + x − x − y ) = (a − y ) ) 5. a 2 − 10a + 25 = a − 5 6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x 4 2 2 ( 2 3 2 = (7m3 − 5an2 ) 2 2 4 ) ) 4 17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4 ( ) + 2ab + b = (a + b) − 2 x + 1 = ( x − 1) 2 2 2 = (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x) EJERCICIO 92 1. a 2 − 2ab + b2 = a − b 30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x 2 3 = (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b 3 2 34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m) 2 6 3 2 2 = (m + n − a + m) = (2m + n − a) 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) = (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3) 2 35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1 1 x 2 25x 4  1 5x 2  − + = −  26. 25 3 36  5 6  27. 16 x − 2 x y + 2 2 2 2 2 36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y ) 2 2 2 = (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y ) y2  y4  3 =  4x −  16  4 2 2
  • 100. EJERCICIO 93 ( )( 1. x 2 − y 2 = x + y x − y 27. 28. ) ( )( ) ( )( ) 4. 9 − b = (3 + b )(3 − b) 5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m) 6. 16 − n = (4 + n)(4 − n) 7. a − 25 = (a + 5)(a − 5) 8. 1 − y = (1 + y )(1 − y ) 9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3) x 2 y 2 z 4  x yz 2   x yz 2  − = +  −  100 81  10 9   10 9  x 6 4a 10  x 3 2a 5   x 3 2a 5  − = +   −  49 121  7 11   7 11  2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1 3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2 2 2 4 29. 100m n − 2 2 30. a 2n − b 2n = 2 31. 4 x − 2n 2 2 10. 25 − 36 x 4 = (5 + 6 x 2 )(5 − 6 x 2 ) ( )( 11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab 12. 13. 14. 15. 16. 32. ) a − 49b = (a + 7b 5 25x y − 121 = (5xy 2 4 2 )(a − 7b ) + 11 )(5xy − 11) 6 5 1  n 1   n 1 =  2x +   2x −  9  3  3 6m y 2 n  3m y n   3m y n  =  4x +   4x −  49  7 7 − 6 2 b12 x  5n b 6 x   5n b 6 x  =  7a +   7a −  81  9   9  2n 4n 35. a b − 100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) 12 + b n )(a n − b n ) n 10 n 34. 49a − a 2b8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c) 10 (a a 4 n − 225b 4 = (a 2 n + 15b 2 )(a 2 n − 15b 2 ) 33. 16 x 4 x 2 − 81y 4 = (2 x + 9 y 2 )(2 x − 9 y 2 ) 1 8  1  1  x =  10mn 2 + x 4   10mn 2 − x 4   16 4  4  1  n 2 n 1  n 2 n 1 = a b +  a b −  25  5  5 36. 17. 100m2 n 4 − 169 y 6 1  1   1  − x 2n =  + x n   − x n   10   10  100 = (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 ) 18. a 2 m4 n 6 − 144 = (am2 n 3 + 12)(am2 n 3 − 12) EJERCICIO 94 19. 196 x 2 y 4 − 225z12 = (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 ) ( 20. 256a12 − 289b 4 m10 21.1 − 9a b c d = (1 + 3ab c d 8 2 3 )( ) 2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a) 3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n ) 4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4) 5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z) 6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1) 7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y ) 2 )(1− 3ab c d ) − 1) 4 22. 361x14 − 1 = (19 x 7 + 1)(19 x 7 23. 1 1 1  − 9a 2 =  + 3a  − 3a 2 2  4 a2  a  a  = 1+  1−  24. 1 − 25  5   5  1 4x  1 2x   1 2x  − = +   −  16 49  4 7   4 7  2 25. ( 2 2 = (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 ) 2 4 6 ) 1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a a2 x6  a x3   a x3  − = +  −  26. 36 25  6 5   6 5  2 3 4 2 2 2 2 2 8. ( x + 2a ) − 4 x 2 2 = ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x ) ( ) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d ) 10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d ) 2 9. a + b − c + d 2 2 2
  • 101. 11. ( x + 1) − 16 x 2 25. (2a + b − c) − (a + b) 2 2 2 = (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b) = ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x) = (3a + 2b − c)(a − c) 12. 64m2 − (m − 2n) 2 ( ) ( )( ) − ( y − x ) = (x + y − x )( x − y + x ) = ( y )(2 x − y ) = (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n) 26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z ( 27. x 2 ) ( ) ( 2 )( 2 13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y ) 2 2 29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x ) 2 15. ( x + 1) − 4 x 2 2 = (3x ) (2 z − 2 y − x ) 16. 36 x 2 − (a + 3x ) 2 = (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a ) 30. (2 x + 1) − ( x + 4) 2 a 6 − (a − 1) = (a 3 + a − 1)(a 3 − a + 1) 18. (a − 1) − (m − 2) = (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1) 19. (2 x − 3) − (x − 5) 2 23. 2 ( ) ( 2 24. x − y − c + d 34. 36 (m + n) − 121(m − n) 2 16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3) 5 ) = (7 x − 3 y )(3x − 7 y ) m6 − (m2 − 1) = (m3 + m2 − 1)(m3 − m2 + 1) 2 )( 2 = (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y ) 2 5 ( 2 33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y ) ) ( )( ) 21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9) 2 ) 2 20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x 2 = (2a + 3x )( x + 2) 32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y 2 10 2 = (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1) ( = (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2) 22. 31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1) 2 2 2 2 = (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3) 2 2 2 = ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x ) = ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x ) ( 2 = (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x ) = (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c) 17. 2 28. (2 x + 3) − (5x − 1) 14. (2a − c) − (a + c) 2 2 2 ) = (x − y + c + d )(x − y − c − d ) 2 2 = (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n) = (17m − 5n)(17n − 5m) EJERCICIO 95 2 2 2 1. a + 2ab + b − x 2 2 4. a − 2a + 1− b = (a − 1) − b 2 = (a + b ) − x 2 2 2 = (a − 1 + b)(a − 1 − b) = (a + b + x )(a + b − x ) 2 2 2 2. x − 2 xy + y − m = (x − y) − m 2 2 2 5. n + 6n + 9 − c = (n + 3) − c2 2 2 = ( x − y + m)( x − y − m) 2 2 3. m + 2mn + n − 1 = (m + n) − 1 2 = (m + n + 1)(m + n − 1) = (n + 3 + c)(n + 3 − c) 2 2 6. a + x + 2ax − 4 = (a + x ) − 4 2 = (a + x + 2)(a + x − 2) 2 2 7. a + 4 − 4a − 9b 2 2 10. 4 x + 25 y − 36 + 20 xy = (2 x + 5 y ) − 36 = (a − 2) − 9b 2 2 2 = (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6) = (a + 3b − 2)(a − 3b − 2) 2 2 8. x + 4 y − 4 xy − 1 11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax = (3x − 4a ) − 1 = (x − 2 y ) − 1 2 2 = (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1) = ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1) 2 2 2 9. a − 6ay + 9 y − 4 x = (a − 3 y ) − 4 x 2 2 2 4 12. 1 + 64a b − x − 16ab 2 = (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x) = (8ab − 1) − x 4 2 = (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )
  • 102. 2 2 2 21. 9 x − a − 4m + 4am 2 2 2 13. a − b − 2bc − c = a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 ) = a 2 − (b + c) 2 = (a + b + c)(a − b − c) 2 2 14. 1 − a + 2ax − x = 1 − (a − 2ax + x 2 2 = 1 − (a − x ) ) 2 = (1 + a − x)(1 − a + x ) 2 2 2 15. m − x − 2 xy − y = m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = m2 − ( x + y) 2 = (m + x + y)(m − x − y ) 2 2 16. c − a + 2a − 1 = c2 − (a 2 − 2a + 1) = c2 − (a − 1) 2 = (c + a − 1)(c − a + 1) 2 17. 9 − n − 25 − 10n = 9 − (n + 10n + 25) 2 = 9 − (n + 5) 2 = (3 + n + 5)(3 − n − 5) = − (n + 8)(n + 2) 2 2 18. 4a − x + 4 x − 4 = 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 4a 2 − ( x − 2) 2 = (2a + x − 2)(2a − x + 2) 19. 1 − a − 9n − 6an 2 2 = 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 ) = 1 − (a + 3n) 2 = 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 ) 2 2 20. 25 − x − 16 y + 8 xy = 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 ) = 25 − ( x − 4 y ) 2 = (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y ) = (3x − 2 y ) − (a + 5b) = 9 x 2 − (a − 2m) 2 2 2 2 2 31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x 2 2 2 2 22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b = (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9) = 16x 2 y 2 − (4a 2 − 12ab + 9b 2 ) = (a + m) − ( x + 3) 2 = 16x 2 y 2 − (2a − 3b) 2 2 4 2 2 32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b 2 2 23. − a + 25m − 1 − 2a = ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 ) = 25m2 − (a 2 + 2a + 1) = ( x + 1) − (b − 3a 2 ) 2 = 25m2 − (a + 1) 2 2 2 2 33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m 4 2 2 24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy = (16a 2 − 24ax + 9 x 2 ) − (25m2 + 10m + 1) = 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 ) = (4a − 3x) − (5m + 1) 2 = 49 x 4 − (5x − 3 y ) 2 2 2 2 2 34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m 2 2 2 = − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100) 2 = (a − b) − (c + d ) = (3m − 10) − (a − cd ) 2 2 = (a − b + c + d )(a − b − c − d ) 2 2 2 2 35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab = (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 ) = ( x + y) − (m − n) 2 = ( x + y + m − n)( x + y − m + n) = (2a − 7b) − (3x + 5 y ) 2 2 2 2 2 27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a = (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a 2 2 2 = (a + 2b) − ( x + a ) 2 2 = (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd ) 2 2 2 2 26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n 2 2 = (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1) = (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y ) 2 2 2 25. a − 2ab + b − c − 2cd − d 2 = ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 ) = (5m + a + 1)(5m − a − 1) 2 2 = (a + m + x + 3)(a + m − x − 3) = (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b) 2 2 = (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b) = (3x + a − 2m)(3x − a + 2m) ) = (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y ) = (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 ) 2 = (2a + 2b + x )(2b − x ) 2 2 2 2 28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by = (15a + 1) − (13b − c) 2 = (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c) 2 2 37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y = ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 ) = ( x − 2a ) − ( y − 3b) 2 = ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b) 2 2 2 2 29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a 2 2 2 2 36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c = (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a) 2 = (a + 3n + 1)(1 − a − 3n) 2 2 2 2 30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab 2 2 2 = (9 x − 12 xy + 4 y ) − (a + 10ab + 25b 2 ) = ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1) = ( x + 2) − ( y + 1) 2 2 = ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1) = ( x + y + 3)( x − y + 1) 2 2 38. a − 16 − x + 36 + 12a − 8 x 2 = (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 ) = (a + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16) = (m + 3n) − ( x + 2a ) 2 2 = (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a ) = (a + 6) − ( x + 4) 2 2 = (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4) = (a + x + 10)(a − x + 2)
  • 103. EJERCICIO 96 7. 4a + 3a b + 9b 4 2 2 + 9a 2b 2 + a2 (a + 2a + 1) − a = (a + 1) − a = (a + a + 1)(a − a + 1) 2 2 2 4 2 2 − 9 x2 −x x + 4x + 4 − x 16. 49 + 76n 2 + 64n 4 + 4x4 y4 + 36n 2 − 4x4 y4 4 2 2 +mn a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2 = (a 2 + 3) − 4a 2 ) 2 2 4 + 64 x 4 y 4 2 2 − 64 x 4 y 4 2 − 16a b 2 2 12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4 + 25x y 2 19. 4 − 108 x + 121x 2 − 25x y 2 = (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 ) 2 + 64 x 2 4 − 64 x 2 2 36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2 4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2 = (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2 = (2 − 11x 2 ) − 64 x 2 2 2 = (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 ) 13. 81m + 2m + 1 8 4 + 16m 4 − 16m 4 = (9m + 1) − 16m 4 2 = (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 ) 4 2 4 8 20. 121x − 133x y + 36 y 81m + 18m + 1 − 16m 8 = ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1) − 16a b 2 2 = (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 ) x − 2 x + 1− 4 x 2 2 8 4 4 8 18. 49 x + 76 x y + 100 y 2 2 = (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4 2 2 = (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 ) = (5a + 7b = (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 ) − 4x2 = (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2 49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4 2 4 2 6. x − 6 x + 1 − 49 x 2 y 2 25a + 70a b + 49b − 16a b 5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4 = (a 2 − b2 ) − a 2b 2 4 2 + 16a b 4 2 a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2 2 25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2 − m2 n 2 2 2 = (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3) 2 + 49 x 2 y 2 2 2 11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4 2 − a 2b 2 ) 2 2 4 = (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 ) − 4a 2 = ( x − 1) − 4 x −m n 16m − 24m n + 9n − m n = (4m2 − 3n + a 2b 2 4 2 2 2 2 = (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7) 17. 25x − 139 x y + 81y 4 2 2 4 = (7 + 8n2 ) − 36n 2 2 = ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 ) 10. 16m − 25m n + 9n − 36n 2 49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2 x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4 = (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4 4 2 4. a + 2a + 9 2 = (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 ) 8 4 4 8 9. x + 4 x y + 16 y = (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2) 2 2 = (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5) 4 2 2 = (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4 = (2 x 2 − 5) − 9 x 2 4 = ( x 4 + 2) − x 4 + 4x2 4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4 2 4 4 4 8 4 4 8 15. 4a − 53a b + 49b + 25a 4b 4 − 25a 4b 4 2 8 4 3. x + 3x + 4 + 4a 2 = (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10) 4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2 = (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn) + x 2 − 9a 2b 2 + 9x2 4 2 2 4 2. m + m n + n + m2 n 2 − m2 n 2 = (m2 + n 2 ) − m2 n 2 = (c2 − 10) − 25c2 ) 8. 4 x − 29 x + 25 2 m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2 c4 − 20c2 + 100 − 25c2 2 2 = (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 ) 2 2 8 − 25c2 = (2a 2 + 3b − a2 2 + 25c2 − 9a 2b 2 4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 1. a 4 + a 2 + 1 4 4 2 14. c − 45c + 100 4 4 4 4 = (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1) + x2 y4 − x2 y4 121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4 = (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4 2 = (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )
  • 104. 21. 144 + 23n 6 + 9n12 25. 1 − 126a b + 169a b 2 4 + 49n 6 − 49n6 4 8 + 100a 2b 4 − 100a 2b 4 144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6 1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4 = (12 + 3n = (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4 ) 6 2 2 − 49n 6 = (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 ) = (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 ) 22. 16 − 9 c 4 + c8 + c 4 4 2 2 26. x y + 21x y + 121 −c 4 + x2 y2 4 − x2 y2 16 − 8c 4 + c8 − c4 x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2 = (4 − c4 ) − c4 = ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2 2 2 = (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 ) 23. 64a − 169a b + 81b 4 2 4 = ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11) 27. 49c + 75c m n + 196m n 8 + 25a 2b4 8 − 25a 2b4 4 2 2 4 4 + 121c4 m2 n2 − 121c4 m2 n 2 64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4 49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2 = (8a 2 − 9b = (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2 ) 4 2 2 − 25a 2b4 = (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 ) = (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 ) 24. 225 + 5m2 + m4 28. 81a b − 292a b x + 256 x 4 8 + 25m 2 4 8 − 25m 2 16 + 4a b x 2 − 4a 2b 4 x 8 2 4 8 225 + 30m2 + m4 − 25m2 81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8 = (15 + m2 ) − 25m2 = (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8 2 2 = (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15) = (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 ) EJERCICIO 97 + 64 y 4 4 1. x + 16 x 2 y 2 − 16 x 2 y 2 + 36a 2b 2 + 100 x 4 − 36a 2b 2 x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2 = ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2 4 + 100 x + 625x − 100 x 4 = (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2 + y8 8 2. 4 x + 4x4 y4 − 4x4 y4 4x + 4x y + y − 4x y 8 4 = (2 x + y 4 4 ) 4 2 8 4 − 4x y 4 4 2 4 = (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2) = (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 ) + 36m2n 2 − 36m2 n 2 4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2 ( = (2m = (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n 2 2 ) 2 2 + a 12 6. 64 + 81n 4 4 4. 4 m 8 = (2 + 25x 4 ) − 100 x 4 2 = ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 ) − 100 x 4 4 a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2 2 + 625x 8 5. 4 + 324b 4 4 3. a − 36m n 2 2 + 6mn + 9n 2 )(2m2 − 6mn + 9n 2 ) + 16a 6 − 16a 6 64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6 = (8 + a 6 ) − 16a 6 2 = (a 6 + 4a 3 + 8)(a 6 − 4a 3 + 8)
  • 105. + 4n 4 7. 1 + 4n + y8 8. 64 x 8 − 4n 2 2 1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2 = (1 + 2n2 ) − 4n2 2 = (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1) + 16 x y 4 + 64b 4 4 9. 81a − 16 x y 4 4 + 144a b − 144a 2b 2 2 2 4 81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2 64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4 = (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2 = (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4 2 2 = (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 ) = (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 ) EJERCICIO 98 ( )( ) 2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2) 3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1) 5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1) 6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2) 7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4) 8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1) 10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3) 11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1) 12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1) 13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1) 14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2) 15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3) 16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2) 17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1) 18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3) 19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2) 20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1) 21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5) 22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4) 23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4) 24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4) 25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5) 26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1) 1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2 ( )( ) 27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3 ( )( 2 28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2 2 29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1 2 30. x 2 2 31. x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32. a 2 ( )( ) + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7) − 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6) + 7a − 60 = (a + 12)(a − 5) 2 33. x − 17 x − 60 60 2 30 2 15 3 5 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 3⋅ 1 = 3 5 ⇒ 20 − 3 = 17 = ( x − 20)( x + 3) 1 2 34. x + 8 x − 180 180 2 90 45 15 2 2 ⋅ 3⋅ 3 = 18 3 2 ⋅ 5 = 10 3 ⇒ 18 − 10 = 8 5 5 = ( x + 18)( x − 10) 1 2 35. m − 20m − 300 300 2 150 2 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30 75 3 2 ⋅ 5 = 10 25 5 ⇒ 30 − 10 = 20 5 5 = (m − 30)(m + 10) 1 2 36. x + x − 132 132 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 11⋅ 1 = 11 66 33 2 3 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1 1 = ( x + 12)( x − 11) ) 2 37. m − 2m − 168 168 2 84 42 21 2 2 3 7 7 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 2 ⋅ 7 = 14 ⇒ 14 − 12 = 2 = (m − 14)(m + 12) 1 2 38. c + 24c + 135 135 3 45 15 3 3 3⋅ 3 = 9 3⋅ 5 = 15 5 5 ⇒ 15 + 9 = 24 = (c + 15)(c + 9) 1 2 39. m − 41m + 400 400 2 200 2 2 4 = 16 100 2 50 2 52 = 25 ⇒ 25 + 16 = 41 25 5 5 1 = (m − 25)(m − 16) 5 2 40. a + a − 380 380 2 190 2 2 2 ⋅ 5 = 20 95 5 19 ⋅ 1 = 19 19 19 ⇒ 20 − 19 = 1 1 = (a + 20)(a − 19) 2 41. x + 12 x − 364 364 2 182 2 2 ⋅ 13 = 26 91 13 1 7 2 ⋅ 7 = 14 13 ⇒ 26 − 14 = 12 = ( x + 26)( x − 14)
  • 106. 2 42. a + 42a + 432 432 2 2 47. c − 4c − 320 320 2 2 45. x − 2 x − 528 528 2 216 2 2 3 ⋅ 3 = 24 108 2 2 ⋅ 32 = 18 264 2 2 3 ⋅ 3 = 24 160 2 2 ⇒ 24 + 18 = 42 132 2 2 ⋅ 11 = 22 80 2 2 ⇒ 24 − 22 = 2 40 2 ⇒ 20 − 16 = 4 54 3 = (a + 24)(a + 18) 3 1 33 3 = ( x − 24)( x + 22) 3 9 66 3 27 11 11 2 = 16 33 = 27 504 2 2 2 ⋅ 7 = 28 2 ⇒ 16 + 27 = 43 252 2 2 2 ⋅ 32 = 36 54 4 27 2 =8 2 ⇒ 42 + 8 = 50 3 2 14 63 3 21 3 7 1 7 2 ⇒ 36 − 28 = 8 3 = (m − 36)(m + 28) 2 = ( y + 42)( y + 8) 7 126 3 3 1 3⋅ 7 ⋅ 2 = 42 3 = (n + 16)(n + 27) 9 44. y 2 + 50 y + 336 336 3 28 2 48. m − 8m − 1. 008 1. 008 2 216 2 1 56 5 108 2 5 = (m − 45)(m + 15) 112 2 2 5 1 2 46. n + 43n + 432 432 2 2 = (c − 20)(c + 16) 10 2 5 22 ⋅ 5 = 20 20 1 43. m − 30m − 675 675 3 225 5 3⋅ 5⋅ 3 = 45 45 3 3⋅ 5 = 15 15 3 ⇒ 45 − 15 = 30 2 4 = 16 7 1 13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2 EJERCICIO 99 1. 2. = ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a ) x + 5x + 4 = (x + 4)( x + 1) 4 2 2 2 14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3 2 x 6 − 6 x 3 − 7 = ( x 3 − 7)( x 3 + 1) 3. x 8 − 2 x 4 − 80 = (x 4 ( − 10)(x 4 + 8) )( = (2 x − 3)(2 x − 1) 15. (m − n) + 5 (m − n) − 24 2 = (m − n + 8)(m − n − 3) ) 4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3 ( )( ) + 13(5x) + 42 = (5x + 7)(5x + 6) 5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3 2 2 6. (5x ) 8 4 16. x + x − 240 240 2 24 = 16 2 3⋅ 5 = 15 2 ⇒ 16 − 15 = 1 4 4 2 2 18. a b − 2a b − 99 99 3 3⋅ 3 = 9 33 3 11⋅ 1 = 11 11 11 ⇒ 11 − 9 = 2 = (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9) 1 2 19. c + 11cd + 28d 2 = (c + 7d )(c + 4d ) 2 20. 25x − 5 (5x ) − 84 84 2 ( )( ) 8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b) 9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4) 120 2 42 2 2 2 ⋅ 3 = 12 60 30 21 3 7 ⋅1 = 7 10. − x + 4 x + 5 5 1 7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a 2 2 2 15 2 = − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1) 11. x + x 5 − 20 = (x 5 + 5)(x 5 − 4) 10 ( 12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n )(m − 7n) 3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15) 5 2 17. − y + 2 y + 15 = − ( y − 2 y − 15) 2 7 ⇒ 12 − 7 = 5 7 = (5x − 12)(5x + 7) 1 2 21. a − 21ab + 98b 98 2 2 ⋅ 7 = 14 2 49 7 7 ⋅1= 7 7 7 ⇒ 14 + 7 = 21 = − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1 = (a − 14b)(a − 7b)
  • 107. 27. − n 2 + 5n + 14 4 4 2 2 22. x y + x y − 132 = − (n − 5n − 14) 132 2 66 2 28. x + x − 930 930 2 6 = ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11) 1 2 93 31 = − (x − 2 x − 48) 4 2 = − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6) 24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65 25. a + 2axy − 440 x y 440 2 2 2 220 2 2 ⋅ 5 = 20 110 2 7 1 7 11⋅ 2 = 22 2 5 11 11 = (a + 22 xy )(a − 20 xy ) 6 6 3 3 26. m n − 21m n + 104 31. a − a b − 156b 104 2 2 =8 13⋅ 1 = 13 13 ⇒ 13 + 8 = 21 13 78 39 = (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8) 1 13 EJERCICIO 100 1. 2 x + 3 x − 2 2 = 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4 = (2 x + 4)(2 x − 1) 2 = ( x + 2)(2 x − 1) 2. 3x − 5x − 2 2 = 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6 2 4. 5x + 13x − 6 = 25x 2 + 13 (5x ) − 30 (5x + 15)(5x − 2) = 5 = ( x + 3)(5x − 2) 2 5. 6 x − 5x − 6 = 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36 (3x − 6)(3x + 1) = (6x − 9)(6x + 4) = = ( x − 2)(3x + 1) = (2 x − 3)(3x + 2) 3 3. 6x + 7 x + 2 2 = 36x + 7 ( 6x) + 12 2 (6x + 4)(6x + 3) = 2⋅ 3 = (3x + 2)(2 x + 1) 36. (7 x 4 3⋅ 2 2 6. 12 x − x − 6 = 144 x 2 − 1(12 x) − 72 (12 x − 9)(12 x + 8) = 3⋅ 4 = (4 x − 3)(3x + 2) ) 2 2 + 24(7 x 2 ) + 128 128 4 4 2 = 16 4 4⋅2 = 8 2 ⇒ 16 + 8 = 24 32 4 8 2 13 ⇒ 13 − 12 = 1 = (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 ) 2 7. 4a + 15a + 9 = (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8) 1 2 10.20 y + y − 1 = 400 y 2 + 1(20 y ) − 20 = 16a 2 + 15( 4a ) + 36 = = (a + 11)(a − 10) = (m + 8abc )(m − 7abc) 2 ⋅ 3 = 12 13⋅ 1 = 13 1 3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9) 32 = 9 ⇒ 12 − 9 = 3 2 2 2 2 35. m + abcm − 56a b c 2 2 3 3 3 1 156 2 3 2 2 7 ⋅1= 7 ⇒ 15 − 7 = 8 2 2 2 2 ⋅ 3 = 12 2 3 5⋅ 3 = 15 = ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab) 4 108 2 27 9 30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2 1 2 54 = (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7) ⇒ 22 − 20 = 2 55 34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108 − 8 (4 x 2 ) − 105 105 5 21 3 2 = ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a ) = ( x 3 + 31)( x 3 − 30) 1 2 2 = (c + d − 13)(c + d − 5) = (7a − x )( x + 3a ) 33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2 2 ⋅ 5⋅ 3 = 30 3 31⋅ 1 = 31 31 ⇒ 31 − 30 = 1 29. (4 x ) 2 = − ( x − 7a)(x + 3a ) 3 465 5 23. − x + 2 x + 48 4 52 26 = − ( x 2 − 4ax − 21a 2 ) = − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2) 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1 33 11 32. − x 2 + 4ax + 21a 2 2 (4a + 12)(4a + 3) = 4 = (a + 3)(4a + 3) (20 y + 5)(20 y − 4) 5⋅ 4 = (4 y + 1)(5 y − 1) 2 8. 10a + 11a + 3 = 100a 2 + 11(10a ) + 30 = (10a + 6)(10a + 5) 11. 8a 2 − 14a − 15 2⋅5 = 64 a 2 − 14 (8a) − 120 9. 12m2 − 13m − 35 = 144m2 − 13(12m) − 420 120 2 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 30 2 2⋅ 3= 6 15 3 ⇒ 20 − 6 = 14 = (5a + 3)(2a + 1) 4 ⋅ 7 = 28 5⋅ 3 = 15 420 105 4 5 21 3 ⇒ 28 − 15 = 13 5 7 7 = 1 1 (12m − 28)(12m + 15) 4⋅3 = (3m − 7)(4m + 5) 5 = (8a − 20)(8a + 6) 4⋅ 2 = (2a − 5)(4a + 3)
  • 108. 12. 7 x − 44 x − 35 = 49 x 2 − 44 (7 x) − 245 2 245 5 49 7 1 7 7 7 ⋅ 7 = 49 5⋅1 = 5 ⇒ 49 − 5 = 44 = (7 x − 49)(7 x + 5) 2 13. 15m + 16m − 15 = 225m2 + 16 (15m) − 225 225 5 45 5 5⋅ 5 = 25 9 3 3⋅ 3 = 9 3 3 ⇒ 25 − 9 = 16 = = 400n − 9( 20) − 400 2 (15m + 25)(15m − 9) 5⋅ 3 = (3m + 5)(5m − 3) 200 2 100 2 50 2 52 = 25 ⇒ 25 − 16 = 9 25 5 (20n − 25)(20n + 16) = 5 5 = (4n − 5)(5n + 4) = 4a + 5 ( 2a ) + 4 2 (21x + 14)(21x − 3) 7⋅ 3 = (3x + 2)(7 x − 1) 19. 15m2 + m − 6 = 225m2 + 15m − 90 (15m + 10)(15m − 9) 5⋅ 3 = (3m + 2)(5m − 3) 180 3 2 = (a + 2)(2a + 1) 2 15. 12 x − 7 x − 12 = 144 x 2 − 7 (12 x) − 144 144 2 72 2 2 9 3 3 3 3 2 ⋅ 32 = 18 5⋅ 2 = 10 ⇒ 18 − 10 = 8 24 = 16 32 = 9 ⇒ 16 − 9 = 7 (12 x − 16)(12 x + 9) = 4⋅3 = (3x − 4)(4 x + 3) 1 = (5a − 6)(3a + 2) 1 21. 9 x + 37 x + 4 = 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36 = (9 x + 36)(9 x + 1) 9 = (x + 4)(9 x + 1) 2 22. 20n + 44n − 15 = 400n2 + 44 ( 20n) − 300 300 2 = 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9 150 2 2 ⋅ 5 = 50 75 5 2⋅ 3= 6 15 5 ⇒ 50 − 6 = 44 = 3 (9a + 9)(9a + 1) 9 = (a + 1)(9a + 1) 2 90 2 45 15 3 32 = 9 3 ⇒ 20 + 9 = 29 5 1 22 ⋅ 5 = 20 = 1 3 (2 x + 20)(2 x + 9) 2 = (2 x + 10)(2 x + 9) 2 25. 20a − 7a − 40 = 400a 2 − 7 (20a ) − 800 800 4 200 4 50 10 5 52 = 25 5 ⇒ 32 − 25 = 7 2 2 = 42 ⋅ 2 = 32 (20a − 32)(20a + 25) 4⋅5 = (5a − 8)(4a + 5) 1 = 2 2 ⋅ 3 = 12 66 2 33 11 3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1 = 1 (4n + 12)(4n − 11) 4 = (n + 3)(4n − 11) 2 2 16. 9a + 10a + 1 180 2 26. 4n + n − 33 (15a − 18)(15a + 10) = 16n2 + 4n − 132 = 3⋅ 5 132 2 2 2 36 18 2 5 3 2 24. 2 x + 29 x + 90 2 90 45 9 (2a + 4)(2a + 1) = 7⋅2 = (2m − 5)(7m + 2) 5 = 441x 2 + 11(21x) − 42 = (14m − 35)(14m + 4) = 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180 1 2 18. 21x + 11x − 2 = = 1 5⋅ 4 2 14. 2a + 5a + 2 140 2 70 2 5⋅ 7 = 35 35 5 2⋅2 = 4 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31 2 4 = 16 20. 15a − 8a − 12 = 225a 2 − 8 (15a ) − 180 2 2 23. 14m − 31m − 10 = 196m2 − 31(14m) − 140 400 2 7 = ( x − 7)(7 x + 5) 1 2 17. 20n − 9n − 20 (20n + 50)(20n − 6) 10 ⋅ 2 = (2n + 5)(10n − 3) 27. 30 x 2 + 13x − 10 = 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300 300 2 52 = 25 150 2 75 5 2 ⋅ 3 = 12 15 5 ⇒ 25 − 12 = 13 3 3 = 1 2 (30 x + 25)(30x − 12) 5⋅ 6 = (6 x + 5)(5x − 2)
  • 109. EJERCICIO 101 = − (10 x 2 + 7 x − 12) 2 = (6 x = ) + 5 (6 x 2 ) − 36 2 2 (6x 120 2 60 2 = ) (5x + 4 (5x 3 ) − 60 3 + 10)(5x 3 − 6) 5 3 = (10 x ) (10 x = 4 + 29 (10 x 4 ) + 100 + 25)(10 x 4 + 4) 5⋅ 2 2 ⋅ 7 = 56 2 3 3 = 27 ⇒ 56 − 27 = 29 3 3 (21x − 56 y)(21x + 27 y) 63 = 3 = (3x − 8 y )(7 x + 9 y ) 7 7 6 = (m − 3a )(6m + 5a ) 10. 14 x − 45x − 14 2 = (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196 2 2 400 2 196 200 2 52 = 25 100 2 24 = 16 50 2 ⇒ 25 − 16 = 9 25 5 = 5 5 (20xy + 25)(20xy − 16) 5⋅ 4 2 98 49 7 2 7 ⋅ 7 = 49 7 2⋅2 = 4 7 ⇒ 49 − 4 = 45 = 1 = (4 xy + 5)(5xy − 4) 1 2 2 6. 15x − ax − 2a = (15x) − a (15x ) − 30a 2 2 (15x − 6a)(15x + 5a) 3⋅ 5 = (5x − 2a )(3x + a ) 2 (6m − 18a )(6m + 5a ) 4 (14 x 2 − 49)(14 x 2 + 4) 7⋅2 = (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2) 2 11. 30a − 13ab − 3b 2 = 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2 (30a − 18b)(30a + 5b) = 6⋅ 5 = − (3a 2 − 13a − 30) = − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90) =− (3a − 18)(3a + 5) 3 = − (a − 6)(3a + 5) = (6 − a )(3a + 5) 8 4 14. − 6 x + 7 x + 5 = − (6 x 8 − 7 x 4 − 5) ( ) = − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30 =− 2 (6 x 4 − 10)(6 x + 3) 2⋅ 3 4 = − (3x 4 − 5)(2 x 4 + 1) 15. 6a 2 − ax − 15x 2 = 36m − 13 (6am) − 90a = − 35)(7 x 3 + 2) 7 = (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1) 2 2⋅3 = (20 xy) + 9 (20 xy) − 400 7⋅3 1 2 2 9. 6m − 13am − 15a (6ax + 14)(6ax − 9) 2 2 5. 20 x y + 9 xy − 20 3 21 2 3 2 ⋅ 7 = 14 7 3⋅ 3 = 9 3 ⇒ 14 − 9 = 5 = (3ax + 7)(2ax − 3) = 2 378 189 (6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126 = = − (2 x + 3)(5x − 4) 756 2 2 4. 6a x + 5ax − 21 1 5⋅ 2 1. 512 2 = (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2) 126 63 21 3 ] − (10x + 15)(10x − 8) = 441x 2 − 29 (21xy ) − 1.512 y 2 3. 10 x + 29 x + 10 3 13. − 3a 2 + 13a + 30 2 2 8. 21x − 29 xy − 72 y 4 4 2 [ (7 x = ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2) = (2 x + 3)(4 − 5x ) 3 8 = 3 = 5⋅ 3 = 15 1 = (x + 2)(5x − 6) 3 ] 2 2 3=8 5 ⇒ 15 − 8 = 7 30 15 2. 5x 6 + 4 x 3 − 12 = (5x 2 [ = (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2) 3 2 = (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70 2 = − (10x ) + 7 (10 x ) − 120 + 9)(6 x 2 − 4) 3⋅ 2 2 12. 7 x 6 − 33x 3 − 10 7. − 10 x 2 − 7 x + 12 1. 6 x + 5x − 6 4 = (5a − 3b)(6a + b) = 36a 2 − 6ax − 90 x 2 = (6a − 10x)(6a + 9 x) 2⋅3 = (3a − 5x )(2a + 3x ) 2 2 2 16. 4 x + 7mnx − 15m n = ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2 2 = (4 x + 12mn )(4 x − 5mn) 4 = ( x + 3mn)(4 x − 5mn) 17.18a + 17ay − 15y 2 = (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2 2 2 270 2 135 27 9 5 33 = 27 3 5⋅ 2 = 10 3 ⇒ 27 − 10 = 17 3 3 1 = (18a + 27 y)(18a − 10 y) 9⋅2 = (2a + 3 y )(9a − 5 y )
  • 110. 4 2 18. − 8 x + 2 x + 15 23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2 = − (8 x 4 − 2 x 2 − 15) ( ) 630 315 = − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5) = (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5) 19. − 25x + 5x + 6 8 2 5 5⋅ 7 = 35 =− 3 3 2 ⋅ 32 = 18 ⇒ 35 − 18 = 17 7 − 12)(8 x 2 + 10) 4⋅ 2 2 = − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2 63 21 2 (8x 7 = = − (25x 8 − 5x 4 − 6) (25x 4 − 15)(25x 4 + 10) 5⋅ 5 ) = (3 − 5x 4 )(5x 4 = − (20a 2 − 27ab + 9b 2 ) + 2) ( ) (15a − 10)(15a − 6) =− = − (15a ) − 16 (15a ) + 60 2 = (30 x = ) (30x 5 − 91(30 x ) − 900 5 5⋅ 3 − 100)(30 x + 9) 10 ⋅ 3 = − (3a − 2)(5a − 2) 5 = (3a − 2)(2 − 5a ) = (3x − 10)(10 x + 3) 5 180 90 45 2 5 2 2 ⋅ 3 = 12 5⋅ 3 = 15 9 3 ⇒ 15 + 12 = 27 3 =− ) 2 3 = − (15a 2 − 16a + 4) 10 5 20. 30 x − 91x − 30 5 2 ( 2 = − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2 22. − 15a + 16a − 4 4 = (4 x − 3y )(2 y − x ) 2 2 24. − 20a + 27ab − 9b 2 = − (5x − 3)(5x + 2) 4 2⋅ 3 5⋅ 6 = − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150 =− (6 y − 8x)(6 y − 3x) ) = (6m + 7a )(5m − 3a ) 1 2 2 = − (3 y − 4 x )(2 y − x ) (30m + 35a)(30m − 18a) 4 ( ( 2 = (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2 = − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120 =− = − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 ) 2 2 21. 30m + 17am − 21a (20a − 15b)(20a − 12b) 5⋅ 4 = − (4a − 3b)(5a − 3b) 1 = (4a − 3b)(3b − 5a ) 5 EJERCICIO 102 ( ) 1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1 ( 2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x 2 ( 12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x 3 3 ) ( ( 4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a 5. 8 + 12a 2 3 14. 15. ) 6 3 2 ) 17. 3 3 3 2 3 ( ) 7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b) 8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n) 2 3 16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y 2 3 ( 2 x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = ( x 3 − 3 y 4 ) 3 ) 6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1 3 a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = (a 2 + b3 ) 3 + 6a + a = (2 + a 4 3 13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto 3 3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n 2 ) 3 3 9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto 10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto ( ) 11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b 3 4 + 8 y5 ) 3 3 ( 64 x 9 − 240x 6 y 4 + 300 x 3 y 8 ) 3 (1+ 6a b ) − 125 y = (4 x − 5 y ) 2 3 3 21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = 22. (5x a18 + 3a 12 + 3a 6 + 1 = (a 6 + 1) 20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an 3 3 216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = (6 − 7a 2 ) 18. 125x 12 + 600 x 8 y 5 + 960 x 4 y10 + 512 y15 = 19. ) 12 3 4 3
  • 111. EJERCICIO 103 (1+ 7n)(1− 7n + 49n ) 1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81) 2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x ) 3. x + y = (x + y)( x − xy + y ) 23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a ) 4. m − n = (m − n )(m + mn + n ) 24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y ) 5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1) 25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x ) 6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1) 26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n ) 7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1) 27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y ) 8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1) 28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y ) 9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x ) 29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 ) 10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 30. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9) 31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1) 12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y ) 32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b ) 13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b ) 33. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a ) 34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b ) 15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25) 35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81) 16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m ) 36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b ) 17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b ) 37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z ) 18. x − b = ( x − b )( x + x b + b ) 38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n ) 19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y ) 39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x ) 3 2 3 20. 1 + 343n 3 = 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 6 2 6 2 2 3 2 9 2 3 2 2 2 2 3 6 2 2 3 3 3 3 3 12 6 2 4 3 3 2 4 2 4 2 2 3 3 4 4 4 8 6 2 4 4 4 2 2 3 6 2 4 3 9 2 8 8 4 4 6 2 6 2 2 12 9 6 4 5 4 2 3 2 2 6 2 9 2 6 2 3 3 3 6 2 12 4 2 3 9 12 3 2 2 2 6 2 6 2 3 3 8 4 3 9 6 2 4 2 3 3 3 2 3 4 6 3 6 3 3 4 9 3 4 3 2 3 3 3 2 6 2 2 3 12 2 3 2 2 9 2 3 2 2 2 3 2 12 8 2 6 3 4 3 4 4 2 2 4 2 3 6 8 )[( ) ( ) ] = (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1) 1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ] 6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ] = (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y ) = (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b ) 2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ] 7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ] = (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b ) = (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1) 3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ] = (2a + 1)(a + a + 1) = (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n ) 8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ] 4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4] = (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1) = (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4) = (a + 1)(7a − 4a + 1) ( EJERCICIO 104 ) ( 3 2 5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
  • 112. ( ) 14. ( x − y ) − ( x + y ) = [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ] = [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ] = (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y ) = ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y ) = (2 x + y )(13x − 5xy + y ) = − 2 y (3x + y ) 10. (2a − b) − 27 15. (m − 2) + (m − 3) = (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9] = [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ] = (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9) = (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9) 11. x − ( x + 2) = (2m − 5)(m − 5m + 7) 16. (2 x − y ) + (3x + y ) = [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ] = [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ] = ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4) = (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y ) = ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4) = (5x ) (7 x + 3xy + 3 y ) 12. (a + 1) + (a − 3) 17. 8 (a + b) + (a − b) = (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ] = [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ] = (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9) = (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b ) = (2a − 2)(a − 2a + 13) = (3a + b)(3a + 6ab + 7b ) 13. ( x − 1) − ( x + 2) 18. 64 (m + n) − 125 = [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ] = [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25] = ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4) = (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25) = − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1) 9. 27 x 3 − x − y 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 6 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 2 2 4 2 3 4 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 EJERCICIO 105 (a + 1)(a − a + a − a + 1) 2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1) 3. 1 − x = (1− x)(1 + x + x + x + x ) 1. a 5 + 1 = 4 3 5 4 3 10. 2 2 5 4.a + b 7 2 3 11. 243 − 32b5 = (3 − 2b)(81 + 54b + 36b 2 + 24b 3 + 16b 4 ) a 5 + b5c5 = (a + bc)(a 4 − a 3bc + a 2b2 c 2 − ab3c 3 + b4 c4 ) 7 7 7 12. m − a x 4 = (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 ) 7 3 2 5 9. x 7 + 128 15. a 7 + 2 .187 2 5 2 3 3 4 = (a + 3)(a 6 − 3a 5 + 9a 4 − 27a 3 + 81a 2 − 243a + 729) (1− 2a)(1+ 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a ) + 32 y = (x + 2 y )(x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y ) 16. 1 − 128a 7 = 4 = (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64) − x 3 + x 4 − x5 + x 6 ) = ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 ) = (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 ) 4 2 14. x 7 − y 7 5. m7 − n 7 (a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81) 7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m ) 8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x ) (1+ x)(1− x + x 13. 1 + x 7 = = (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 ) 6. a 5 + 243 = 2 17. x10 2 5 18. 1 + 128 x 4 2 8 3 6 4 4 2 5 2 3 6 4 = (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )
  • 113. (a + 1)(a − a + 1) 19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my EJERCICIO 106 ( 18. a 6 + 1 = ) 1. 5a + a = a 5a + 1 2 3 ( ) 3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b) = a (a + 1) − b(a + 1) = (a + 1)(a − b) 4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6) 5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y ) 6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4) 2 2. m + 2mx + x = m + x 2 2 2 2 6 21. 1 + a 7 = 2 2 (1+ a)(1− a + a ( = (1 + m)(1− m) 2 23. 1 − m2 24. 2 ) + 9 y4 ) 2 ) 3 x 4 + 4 x 2 − 21 = ( x 2 + 7)( x 2 − 3) 25. 125a 6 + 1 = 7. 6 x 2 − x − 2 2 − a3 + a4 − a5 + a6 ) 22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1 2 2 2 ( 2 2 4 20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b 2 2 2 (5a + 1)(25a 2 4 − 5a 2 + 1) 2 2 2 26. a + 2ab + b − m = 36 x 2 − 6 x − 12 = (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m) (6x − 4)(6x + 3) = 2 ( 3⋅ 2 27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b = (3x − 2)(2 x + 1) ) 28. x 5 − x 4 + x − 1 (1+ x)(1− x + x ) = (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1) 9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1) 29. 6 x + 19 x − 20 = 36x + 19 ( 6 x ) − 120 10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m ) 120 2 11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b ) 60 2 2 ⋅ 3 = 24 8. 1 + x 3 = 2 3 5 4 4 2 5 5 3 2 4 2 4 3 2 2 2 2 3 2 4 2 3 12. 2 xy − 6 y + xz − 3z 30 15 ( 13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b 14. 4 x + 3x y + y 4 2 2 +x y 2 ) −x y 2 2 2 4 30. = (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 2 = (2 x + xy + y 2 15. x − 6 x y + y 8 4 4 + 2x y 4 2 )(2 x 2 − xy + y − 4x y 4 x − 2x y + y − 4x y 8 4 4 2 ) 8 4 2 ) 16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5 2 17. 15m + 11m − 14 = 225m2 + 11(15m) − 210 3⋅ 5 = (5m + 7)(3m − 2) 2 = ( x + y + a − b)( x + y − a + b) = ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 ) (15m + 21)(15m − 10) 2 = ( x + y ) − (a − b) 2 = (1− m)(1+ m + m ) = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 ) 4 )( 6 = (x + 4)(6 x − 5) 2 2 2 2 32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b 4 = (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4 ( (6x + 24)(6x − 5) 25x 4 − 81y 2 = (5x 2 + 9 y)(5x 2 − 9 y) 31. 1 − m3 = 8 4 = 1 2 4x + 4x y + y − x2 y2 4 5 2 4 2 5⋅1 = 5 ⇒ 24 − 5 = 19 2 3 5 = 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z) 33. 21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n3 − 7m2 n = 7m2 n (3m3 − m2 n + mn 2 − 1) ( ) ( ) ( ) ( )( 35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y) ) 34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1 2 36. 1 − a 2b 4 = 2 (1+ ab )(1− ab ) 2 2 ( 37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a 38. ) 2 x 6 + 4 x 3 − 77 = (x 3 + 11)( x 3 − 7)
  • 114. (1+ 6x )(1− 6x + 36x ) 53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16) 39. 15x − 17 x − 4 4 2 = (15x = ) (15x 2 52. 1 + 216 x 9 = − 17 (15x ) − 60 2 2 2 3 − 20)(15x + 3) 5⋅ 3 2 ( ) 55. 18ax ) y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 (ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5 ) 5 3 4 3 ( ) 56. 49a 2b 2 − 14ab + 1 = 7ab − 1 [ ) ( )( ) ( 58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c) − 6ab + 9b ) 59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3) = (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b) 2 = (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a 2 + 25 + 9x2 6 2 ( 3 4 2 41. x + x 3 54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x = (3x 2 − 4)(5x 2 + 1) 40. 1 + a − 3b 3 ( ] )( 2 2 2 2 2 2 3 2 61. 9a + 63a − 45a 2 60. 7 x + 31x − 20 − 9 x2 = 9a (a 2 + 7 − 5a ) = ( 7 x) + 31( 7 x) − 140 2 x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2 140 70 2 = (x + 3x + 5)(x − 3x + 5) 2 2 35 7 = (x 2 + 5) − 9 x 2 2 42. a − 28a + 36 4 + 16a 4 − 16a 4 7 2 4 64. 1 − 27b + b + 25b 2 343 + 8a 3 = (7 + 2a )(49 − 14a + 4a 2 ) ( ) = ( x + 5y)( x − 3y ) ) ( 4 )(9a − 2bc ) 68. a 3 4 48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b ) 2 = (m2 + n 2 ) − m2 n 2 2 = (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 ) (3x 2 − 3x + 4 ) − x −a− x 2 = (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1) 2 49. 20 − x − x 70. 6m + 7m − 20 4 = − ( x 2 + x − 20) 4 2 69. x − 8 x − 240 = − ( x + 5)( x − 4) 240 60 = ( x + 5)(4 − x ) ( )( ) 15 5 50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6 2 2 2 2 51. a − d + n − c − 2an − 2cd = (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d = (a − n) − (c + d ) 2 = (a − n + c + d )(a − n − c − d ) 2 ) 1 − m2 n 2 m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2 67. 15x 4 − 15x 3 + 20 x 2 = 5x 2 )( 2 + m2 n 2 c 4 − 4d 4 = (c2 + 2d 2 )(c 2 − 2d 2 ) 66. − 4b c = (9a + 2bc 4 2 2 4 65. m + m n + n − 25b 2 = (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 ) = 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1) 3 2 2 = (6am + 3m) − (4an + 2n) = (3m − 2n)(2a + 1) = (9 x 2 − 5 y ) = (1 − b 2 ) − 25b 2 45. x 2 + 2 xy − 15 y 2 46. 6am − 4an − 2n + 3m 2 ⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2 1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2 44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y ( 63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y = ( x + 5)(7 x − 4) = (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6) 47. 81a = (a − 1)( x + 1) (7 x + 35)(7 x − 4) = 2 2 8 = a (x + 1) − ( x + 1) 2 1 = (a 4 − 6) − 16a 4 6 = (ax + a ) − (x + 1) 7 ⋅ 5 = 35 a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4 43. 62. ax + a − x − 1 5 2 =4 7 ⇒ 35 − 4 = 31 2 8 ) 57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8 4 4 4 ⋅ 5 = 20 3 4 ⋅ 3 = 12 5 ⇒ 20 − 12 = 8 = ( x 2 − 20)( x 2 + 12) = (6m 2 ) 2 2 + 7 (6m2 ) − 120 120 4 30 3 10 5 2 2 4⋅2 = 8 5⋅ 3 = 15 ⇒ 15 − 8 = 7 1 = (6m 2 + 15)(6m2 − 8) 3⋅ 2 = (2m2 + 5)(3m2 − 4)
  • 115. 71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2 84. = (3n − 2a ) 2 a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 (a 6 − a 4 + a 2 + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1 2 x + 2 = 2 (x + 1) ( )( ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2 74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3) = − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 ) 75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n ) = − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 ) 2 76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y) 2 1  1 2 88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a 89. x − x + =  x −  8a − 22a − 21 3 9  3 77. = (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a ) = (8a ) − 22 (8a ) − 168 = m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a ) 90. 4a 2 n − b 4 n 168 4 = m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c) 42 2 3⋅ 2 = 6 = (2a n + b2 n )(2a n − b2 n ) 21 3 4 ⋅ 7 = 28 = (2a − 3b − c)(m + 1) 7 7 ⇒ 28 − 6 = 22 91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a ) (8a − 28)(8a + 6) 72. 2 2 ( ) 86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n ( 73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1 2 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 = 1 = (2a − 7)(4a + 3) ( 78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab 79. 4a − 1 = (2a + 1)(2a − 1) 6 2 2 92. a + 9 − 6a − 16 x 4⋅ 2 3 2 ) 2 2 93. 9a − x − 4 + 4 x 3 80. x − 4 x − 480 6 = (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3) 2 = 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2) 2 3 480 120 40 10 2 94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y 4 3 5⋅ 4 = 20 4 4 ⋅ 3⋅ 2 = 24 5 ⇒ 24 − 20 = 4 2 = (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1) ( = (x − 24)( x + 20) 3 3 2 4 3 5 2 2 1 ] 4 ⋅ 5 = 20 3⋅ 2 = 6 ⇒ 20 − 6 = 14 =− 1. 470 7 210 7 30 5 6 6 2 = (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 ) = (a + 2b) − (m + 3n) (8x − 20)(8x + 6) 4⋅2 = − (2 x − 5)(4 x + 3) = (5 − 2 x )(4 x + 3) 98. 1 − 7 ⋅ 6 = 42 ⇒ 42 + 35 = 77 = (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 2 ) = (49 x − 35)(49 x − 42) 7⋅7 2 4 8  2 4  2 4 a =  1+ a   1− a   3  3  9 7 ⋅ 5 = 35 1 = (7 x − 5)(7 x − 6) = (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n) = − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120 120 30 10 2 = (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2 = 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 ) [ = ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470 − 36a 2b 2 2 2 2 2 97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b = (6am − 3m) − (2a − 1 ) 2 100. 49 x 2 − 77 x + 30 4 36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2 = a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 ) = (a − b)( x + y − 1) 82 6am − 3m − 2a + 1 2 2 + 36a 2b2 = (ax + ay − a ) − (bx + by − b) = − (8 x 2 − 14 x − 15) ) 96. 36a − 120a b + 49b 4 1 81. ax − bx + b − a − by + ay 83. 15 + 14 x − 8 x )( 95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8 2 2 2 101. x − 2abx − 35a b + 36a 2b 2 − 36a 2b 2 x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2 2 99. 81a + 64b12 8 + 144a 4b 6 81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6 = (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6 2 = ( x − ab) − 36a 2b 2 2 − 144a 4b 6 = ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab) = ( x + 5ab)( x − 7ab) = (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )
  • 116. ( ) 2 2 2 116. 49a − x − 9 y + 6 xy 3 102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3 =− 103. (a − 2) − (a + 3) 2 2 2 = 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b) (1+ 3x ) 106. a + 3a b − 40b = (a + 8b)(a − 5b) 107. m + 8a x = (m + 2ax )(m − 2axm + 4a x ) 2 3 2 3 3 = ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 ) 108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y [ = ( x 2 + 2) − ( y + 2 z ) 2 2 2 2 118. 2 ] 119. = − (3x − 4 y) − 1 120. [ ] [ 109. 1 + 11x + 24 x a 6 − 3a 3b − 54b 2 = (a 3 − 9b)(a 3 + 6b) 165 33 (24 x + 8)(24 x + 3) 5 3 11 1 2 2 11 ( = (15 − x ) ( x + 11) ) − 9x y − c + 3xy)(a 111. a + b − c 2 2 = (a 2 + b 2 ( 2 2 ) 4 2 122. a + a + 1 + a2 2 [ ][ 2 = (a 2 + 1) − a 2 + b2 − c2 − 3xy) ] = 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1 2 = (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1) 2 = (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1) 123. x2 y6  x y3   x y3  − = +  −  4 81  2 9   2 9  2 = (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7) 6 4 ) + 5(a + 1 ) − 24 = (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a 2 2 2 115. 1 + 1. 000 x 6 = 2 8 xy y 2  + =  4x + 5 25  y  5 2 + 100 − 100 = (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 ) 114. a + 1 124. 16 x + 4 4 2 2 125. a b + 4a b − 96 113. 100 x y − 121m 4 − a2 a 4 + 2a 2 + 1 − a 2 2 2 3 112. 8 a + 1 − 1 11⋅ 1 = 11 ⇒ 15 − 11 = 4 = − ( x − 15)( x + 11) 9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 (1 − 3x − x 3 ) ( 5⋅ 3 = 15 8⋅ 3 = (3x + 1)(8 x + 1) 110. a 5 + x 5 = (a + x )(a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 + x 4 ) = − ( x 2 − 4 x − 165) = ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24 = a 3 − 64 = (a − 4)(a 2 + 4a + 16) 121. 165 + 4 x − x 2 ] = − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1) = (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x ) 2 = ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z) 2 2 = − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1 2 ] ] 117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2 3 2 2 2 = (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y) = (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn) 4 [ − 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2 = − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y ) 104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn 105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 = 2 = − ( x − 3 y) − 49a 2 = (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5) 2 [ (x a b + 4a b + 4 − 100 4 4 2 2 = (a 2b 2 + 2) − 100 2 2 + 9)(a − 2) (1+ 10x )(1− 10x 2 2 2 2 2 + 100 x 4 ) = (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10) = (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)
  • 117. 126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx 2 3 2 = (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx) 130. = 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b) 729 − 125x 3 y12 = (9 − 5xy 4 )(81 + 45xy 4 + 25x 2 y 8 ) ( ) = (1 + 3b − a )(7 y + 8a x ) 2 ( 4 − a2 )( ) 2 2 128. 7 + 33m − 10m [ = (2 + a − b)(2 − a + b) ] 2 = − (10m) − 33 (10m) − 70 (10m − 35)(10m + 2) 133. x − y + x − y 3 = (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1) = − (2m − 7)(5m + 1) = (7 − 2m)(5m + 1) 2 [ 3 = (x 3 − y 3 ) + (x − y ) 5⋅ 2 134. a − b + a − b 2 129. 4 (a + b) − 9 (c + d ) + 2ab − b 2 = 4 − (a − b) 2 = − (10m2 − 33m − 7) − b2 = 4 − (a 2 − 2ab + b 2 ) = ( x + 26)( x − 15) 2 =− ) ( ) + b2 13⋅ 2 = 26 5 5⋅ 3 = 15 13 ⇒ 26 − 15 = 11 1 2 4 − a 2 − b 2 + 2ab 2 65 13 ) ( 2 2 132. 4 − a + b + 2ab 4 2 127. x + 11x − 390 390 3 130 ( 2 131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1 2 3 3 = (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 ) 2 ][ = (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ] = 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d ) = (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d ) = (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 ) EJERCICIO 107 3 3 7. 3ax + 3ay 1. 3ax 2 − 3a = 3a ( x + y = 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1) 3 8. 4ab − 4abn + an 2 ) = x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1) = (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y ) 2 2 2 13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a = 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1) 2 = ( x − 4)( x + 1) 2 2 3 2 2 14. 16 x − 48 x y + 36 xy = ( x + 2)( x − 2)( x + 1) = 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y) 2 4. 2a 3 − 2 = 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1) 5. a − 3a − 28a = a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4) 15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3 = (a 3 − a 2 ) − (a − 1) = (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 ) = a (a − 1) − (a − 1) = x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y ) 2 = (a − 1)(a − 1) = (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y ) 2 3 2 6. x − 4 x + x − 4 = (a − 1)(a + 1)(a − 1) = (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4) = x ( x + 1) − 4 ( x + 1) 2 3 2 10. a − a − a + 1 2 16. 5a 4 + 5a 2 11. 2ax − 4ax + 2a = (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1) 2 = (x 3 − x) + (x 2 y − y) 9. x − 3x − 4 4 = 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b) 2 2 = a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n) 2 2 3 ) = 3a ( x + y )( x − xy + y 2 2 3. 2a x − 4abx + 2b x = 2 x (a 2 − 2ab + b 2 ) 12. x 3 − x + x 2 y − y 2 2. 3x 2 − 3x − 6 = 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1) 3 = 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1) 2 = 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)
  • 118. 2 17. 6ax − ax − 2a 27. 4 x 2 + 32 x − 36 = a (6 x − x − 2) 35. x − 3x 2 − 18 x 3 = 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144 2 = x (1 − 3x − 18 x 2 ) = a (36 x − 6 x − 12) 144 2 72 2 = 36 9 4 3 4 ⋅ 3⋅ 3 = 36 ⇒ 36 − 4 = 32 3 3 = 2 a (6 x − 4)(6 x + 3) 2⋅3 = a (3x − 2)(2 x + 1) 18. n 4 − 81 = (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9) 2 2 2 ( = (a + a + 2)(a − 2)(a + 1) 29. x − 25x − 54 6 = x ( x 2 − 6 x + 9 − 16) ] 30. a + a 6 = a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1) 3 2 22. m + 3m − 16m − 48 31. a b + 2a bx + abx − aby 3 = (m3 + 3m2 ) − (16m + 48) [ = 3ab (m2 − 1) 3 )( ) ( 2 = (a 2 − b 2 )(a + b − 1) ) = 3ab (m + 1)(m − 1) 33. 81x y + 3xy 4 = (a + b)(a − b)(a + b − 1) = 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 ) = 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 ) 34. a 4 − a 3 + a − 1 = 2ax (4a 2 − 3b) 2 = (a 4 − a 3 ) + (a − 1) = 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b) = a 3 (a − 1) + (a − 1) 26. x − x + x − x 3 2 = x ( x − x + x − 1) 3 [ = (a − 1)(a 3 + 1) 2 ] [ ] = x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1) 2 4 = 3xy (27 x 3 + y 3 ) 25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x 4 ] ) 2 32. 3abm − 3ab = (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y ) ( 2 2 2 = ab (a + x + y )(a + x − y ) 3 2 2 3 23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y 24. a + b a − b − a − b 2 = ab (a + x ) − y 2 = (m + 3)(m − 4)(m + 4) 2 2 = ab (a + 2ax + x − y = (m + 3)(m2 − 16) 2 2 2 = m2 (m + 3) − 16 (m + 3) 2 = − x (3x + 1)(6x − 1) = x (3x + 1)(1 − 6x ) 2 36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b = 2 x (3a − b) + 2b (3a − b) = (3a − b)(2 x + 2b) = 2 ( x + b )(3a − b) = am (m2 − 7m + 12) = am (m − 4)(m − 3) 2 3 2 38. 4a x − 4a = a (a 5 + 1) = x ( x + 1)( x − 7) ] 3 2 37. am − 7am + 12am = ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2) = x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4) 2 3 = ( x 3 − 27)(x 3 + 2) = x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16) − x (18 x + 6)(18 x − 3) = 6⋅ 3 = (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 ) 2 2 = x ( x 2 − 6 x − 7) 2 ) 2 2 3 2 21. x − 6 x − 7 x [ 4 = (a + a + 2)(a − a − 2) = ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5) = x ( x − 3) − 4 2 (4 x + 36)(4 x − 4) = 4 ( x + 9)( x − 1) 28. a 4 − a + 2 20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax [ 2 = − x (18x ) + 3 (18x) − 18 = ( x + 9)(4 x − 4) 1 19. 8ax 2 − 2a = 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1) = − x (18 x 2 + 3x − 1) 22 = 4 = (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1) = 4a 2 ( x 3 − 1) = 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) 3 3 39. 28 x y − 7 xy = 7 xy (4 x 2 − y 2 ) = 7 xy (2 x − y )(2 x + y ) 2 40. 3abx − 3abx − 18ab = 3ab ( x 2 − x − 6) = 3ab ( x − 3)( x + 2) 41. x 4 − 8 x 2 − 128 128 4 32 4 4 ⋅ 4 = 16 8 4 4⋅ 2 = 8 2 2 ⇒ 16 − 8 = 8 1 = ( x 2 − 16)( x 2 + 8) = ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8) 2 2 3 42. 18 x y + 60 xy + 50 y = 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 ) = 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )
  • 119. ( )( ) ( ) = (a + 1)( x − 2 xy + y ) = (a + 1)( x − y)( x − y ) 2 2 43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1 2 3 2 = a (6ax − 9a − x 2 2 = (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y) = x (a 2 − 4b2 ) + 2 y (a 2 − 4b 2 ) = (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y ) 53. 64a − 125a = 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2) 2 2 ) = 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28) = 2 x 2 ( x + 7)( x − 4) = 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27) ] = ( x 3 − 27)(2 x + 5) 2 2 5 3 7 = ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5) 60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2 = a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 ) [ = a [x (x 3 = (2a − 5)(15a + 10) 15⋅ 2 = 5 (2a − 5)(3a + 2) + xy + y ) − 2 ( x + xy + y 2 2 2 = a (x − 2)( x + xy + y 2 ( ) 2 ) 2 )] 4 61. x + y − 1 [ ][ ] = (x + y ) + 1 (x + y ) − 1 2 2 = ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1) 2 62. 3a 5 + 3a 3 + 3a = a 3 (a 4 + 6a 3 − 55) = 3a (a 4 + a 2 + 1) = a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5) 56. 16a b − 56a b + 49ab 5 ] = a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ) 55. a 7 + 6a 6 − 55a 3 (30a − 75)(30a + 20) = − x 2 y 2n 2 5⋅ 2 = 20 5 2m + 2 = (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135) = 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3) 2 x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 ) 7 4 3 59. 2 x + 5x − 54 x − 135 7 ⋅5 52 ⋅ 3 = 75 ⇒ 75 − 20 = 55 ⇒ 35 − 3 = 32 = x 2 ( x m + y n )( x m − y n ) (35x + 28)(35x − 15) = 2 50. 30a − 55a − 50 2 = ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500 1. 500 2 3⋅ 1 = 3 = x (x m + y n ) x (x m − y n ) ⇒ 28 − 15 = 13 4 3 2 49. 2 x + 6 x − 56 x 1 ) 2 2 ⋅ 7 = 28 3⋅ 5 = 15 = (b − 1)(x + 1)( x − 1) ] = ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n ) 105 21 7 1 = (b − 1)(x 2 − 1) 3 3 4 5⋅ 7 = 35 58. x 420 210 = x 2 (b − 1) − (b − 1) 15 2 = x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 ) [ = (bx 2 − x 2 ) − (b − 1) 2 2 3 = 2 = 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420 2 2 48. bx − b − x + 1 5 5 4 7 1 = 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12) ) = (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12) 375 75 2 2 2 2 4 3 2 54. 70 x + 26 x − 24 x = (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12) 750 ) = a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a = 5a 2 (9 x 4 − 4) ( 2 2 7 4 = a (64 − 125a 2 4 2 46. 45a x − 20a 47. a 4 − a − 12 4 4 ) = − a (x − 3a )( x − 3a ) = a (3a − x )( x − 3a ) 2 = (a 2 − 4b2 )( x + 2 y) 2 = − a (x − 6ax + 9a 45. a x − 4b x + 2a y − 8b y 2 2 4 21 2 3 2 52. 6a x − 9a − ax = x ( x + 3 y)( x − y ) 2 2 2 2 = x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 ) 2 6 2 2 44. x + 2 x y − 3xy 3 ( ) ( ) 57. 7 x + 32a x − 15a x = (x − y )[9 ( x − y ) − 1] = x (7 x + 32a x − 15a ) = (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a 105 5 = (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1) 51. 9 x − y − x − y 3 3 = 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 ) 5 = ab (16a − 56a b + 49b 4 2 2 = ab (4a 2 − 7b 2 ) 2 4 ) [ = 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2 [ = 3a (a + 1 ) − a 2 2 2 ] ] = 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 ) 2 2
  • 120. EJERCICIO 108 9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy = (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy) 1. 1 − a8 = (1+ a 4 )(1− a 4 ) = 9 x 3 (x + y) − x (x + y) = (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 ) = (1+ a 4 )(1+ a )(1+ a)(1− a) 2 [ 400 4 42 = 16 2 3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1) = 5 52 = 25 4 ⇒ 25 + 16 = 41 ] 17. a x − a y + 2ax − 2ay 2 3 = (x + y = (a − b 4 ) = [(a + b)(a − b)] = (a + b) (a − b) 2 2 2 2 2 3 = x (x + 2)(x + 1)( x − 1) 6. 2 x + 6 x − 2 x − 6 3 2 = (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a) = a 3 (a + 2) − a (a + 2) 2 = (a 3 − a )(a + 2) 2 = a (a 2 − 1)(a + 2) = (2 x 3 − 2)( x + 3) 3 3 2 [ 2 3 3 2 5 2 3 5 ) = (a − 1) (a 2 + a + 1) = (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b = 3( x − 81) 2 15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2 = 3( x + 9)( x + 3)( x − 3) 2 4 ) = [(2 x + y )(2 x − y )] = (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y ) [ = 2 (4 x 2 2 = 2 ) 2 2 2 = (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 ) [ = (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2 2 + 3 (4 x ) − 4 2 2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1) 4 ] ] ) = (m + 3)(m − 3)[(m + 9) − 9m ] = (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9) 2 2 2 = 2 (4 x + 3x − 1) 4 2 = (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81) = (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 ) 4 2 6 20. m − 729 = a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 ) 7. 3x 4 − 243 ] = (a − 1)(a 2 + a + 1) = (a − a b ) − (a b − b 5 2 2 = (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) = 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3) 8. 16 x − 8 x y + y = (a 3 − 1) = (8 + x 3 )(8 − x 3 ) 5 = 3( x + 9)(x − 9) 19. 1 − 2a 3 + a 6 2 14. a − a b − a b + b 2 = a (a + 1)(a − 1)(a + 2) 3 = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1) = 2 ( x 3 − 1)( x + 3) 2 3 6 13. 64 − x = 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3) = (4 x − y 2 2 = (2 x + 6x ) − (2 x + 6) 2 2 = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1) 3 2 2 2 2 4 4 4 3 2 18. a + 2a − a − 2a 4 = (x − 8)(x + 1) 2 2 6 3 = x (x + 2)( x − 1) 2 4 4 4 2 = x ( x 4 + x 2 − 2) 4 4 4 12. x − 7 x − 8 5. x + x − 2 x 5 4 3 = a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) )(x − y ) = (x + y ) (x + y )( x − y ) = (x + y )( x + y )( x + y )( x − y ) 4. a − 2a b + b 4 3 = (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 ) = 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1) 2 2 3 = a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 ) 4 8 8 = ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y 4 2 = (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 ) = 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1) = ( x 2 − 25)( x 2 − 16) 1 = (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3) = 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12 3. x − 41x + 400 20 4 = (a 2 − 16 )(a 2 − 9 ) = 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3) 2 100 5 1 4 2 10. 12ax + 33ax − 9a = (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1) 32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25 3 3 = x (3x + 1)(3x − 1)( x + y ) = (a 3 + 1)(a 3 − 1) 4 9 = x (9 x − 1)( x + y ) 2 4 2 = 16 36 = (9 x 3 − x )( x + y) 6 2. a − 1 4 4 2 16 a − 25a + 144 144 4 2 2 21. x − x = 2 ( x 2 + 1)(4 x 2 − 1) = 2 (x 2 + 1)(2 x + 1)(2 x − 1) 5 = x (x 4 − 1) = x (x 2 + 1)(x 2 − 1) = x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
  • 121. 22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5 = (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 ) = (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 ) = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 ) = x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 ) = (x + y 3 3 )(x −y 2 2 ) 4 3 2 2 3 4 23. a b − a b − a b + ab = (a b − a b ) − (a b − ab 3 2 2 3 = a b (a − b) − ab (a − b) 3 4 = (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a ) ) 29. a x + b y − b x − a y 24. 5a − 3.125 4 2 2 2 2 2 ) − 2 (a + 2a ) − 3 2 = (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4 2 = {[(a + 2a) − 2 (a + 2a)+ 1]− 4} 2 2 = (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4) = (a + 1) 2 2 + 2a + 1) − 4 [(a + 1) − 4] ] 2 = (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2) 2 = (a + 1) (a + 3)(a − 1) 2 26. a x + 2ax − 8a − 16a 2 3 3 2 = (a x + 2ax ) − (8a + 16a ) 2 3 2 = (3bx 2 − 12b)(a + 1) ) = x (a − b ) − y (a − b ) = (a − b )( x − y ) = (a + b)(a − b)( x + y )( x − y ) 2 2 2 2 2 ) = 3b ( x 2 − 4)(a + 1) = 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1) 2 2 2 2 35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30 2 = (3a 2 m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30) 2 = 3m (a 2 + 3a − 10) + 3 (a 2 + 3a − 10) = (3m + 3)(a 2 + 3a − 10) 3 2 = ax (a + 2) − 8a (a + 2) 3 = (ax − 8a )(a + 2) 3 = a ( x − 8)(a + 2) 3 = a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2) = 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2) 30. x + x − 2 8 4 = (x + 2)(x − 1 ) 4 4 = (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x 2 − 1) 3 2 3 3 2 36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6 = (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) = (a 2 + 2a + 1)(a 2 + 2a − 3) 2 2 2 = (a 2 + 2a − 1 + 2)(a 2 + 2a − 1 − 2) [(a 2 2 2 2 2 2 = (a 2 + 2a − 1) − 4 = (a + 1) = 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1) 2 2 2 2 = (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b) 2 2 2 2 2 2 = 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5) ( 2 2 2 25. a + 2a 2 = x (a − b ) + y (b − a = 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25) 2 2 = (a x − b x ) + (b y − a y = 5 (a 4 − 625) 2 34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b = 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2) 2 31. a + a − 9a − 9a 4 3 2 = (a + a ) − (9a + 9a ) 4 3 − 16)(16m2 − 9) 16 = (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3) = 5a ( x 2 − 1)(x + 2) = ab (a + b)(a − b)(a − b) (16m = (m2 − 1)(16m2 − 9) = (5ax 2 − 5a )( x + 2) = ab (a 2 − b 2 )(a − b) 3 32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25 2 = = 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2) = (a 3b − ab 3 )(a − b) 4 9 3 1 3 2 28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a 3 4 2 = 16 36 = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 ) = (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y) 4 4 2 33. 16m − 25m + 9 2 2 = (16m ) − 25(16m2 ) + 144 144 4 6 6 27.1 − a b 2 = a (a + 1) − 9a (a + 1) = (a 3 x 2 − 5a 3 x + 6a 3 ) + ( x 2 − 5x + 6) = a 3 ( x 2 − 5x + 6) + ( x 2 − 5x + 6) = (a 3 + 1)( x 2 − 5x + 6) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(x − 3)( x − 2) ( ) ( )( 2 2 2 2 2 37. x x − y − 2 x − 1 x − y ) )[x − (2 x − 1) ] = ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1) = a (a − 9)(a + 1) = ( x + y)( x − y)( x − 1) = a(a + 3)(a − 3)(a + 1) 38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1) = a ( x + 1)(x − x + 1) + 3ax ( x + 1) 32. a x + a x − 6a − x − x + 6 = (x + 1)[a (x − x + 1) + 3ax ] = (a x + a x − 6a ) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax − ax + a + 3ax ) = a ( x + x − 6) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax + 2ax + a ) = (a − 1)( x + x − 6) = a ( x + 1)(x + 2 x + 1) = (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2) = a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1) = (x − y 3 2 = (a 3 − 9a )(a + 1) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
  • 122. EJERCICIO 109 1. x − xy 9 7 4 3 10. x + x − 81x − 81 4 3 2 2 2 2 2 6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b = (x 7 + x 4 ) − (81x 3 + 81) = (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 ) 8 = x (x − y = x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1) = 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2) ) = 2 (a − a − 2)(a − b ) = x (x − y )( x + y ) = 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b) = x(x + y )(x − y )(x + y ) = x (x + y )(x + y )( x − y )( x + y ) 8 8 4 4 4 2 2 2 2 2 2 = (x 4 − 81)(x 3 + 1) 4 2 4 4 17 11. x − x = x ( x16 − 1) = ( x + 5x ) − (81x + 405x) 6 5 2 = x ( x 8 + 1)(x 8 − 1) = x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5) = x ( x 2 − 36)( x 2 − 4) = x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1) = ( x 5 − 81x )( x + 5) = x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 ) = x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1) = x ( x 4 − 81)( x + 5) 6 3 3 4 3 3. a + a b − a − ab = x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1) = x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5) = (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 ) 6 4 2 12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200 = x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5) = a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 ) = (a 3 − a)(a 3 + b3 ) = (3x 6 − 75x 4 ) − (48 x 2 − 1. 200) = 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25) 8. 3 − 3a 6 = a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = (3x 4 − 48)( x 2 − 25) = 3 (1 − a 6 ) = 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5) = 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 ) = 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 ) 4. 4 x − 8 x + 4 2 2 2 2 3 2 2 9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax = 4 ( x − 2 x + 1) 2 = 4 ( x − 1)( x − 1) 2 = (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1) 6 5 2 7. x + 5x − 81x − 405x = x ( x 4 − 40 x 2 + 144) 4 = (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1) 4 3 4 2 4 2. x − 40 x + 144 x 5 2 2 = 4 ( x + 1) ( x − 1) 2 2 = 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 ) 2 7 6 5. a − ab = (a 6 x 2 − x 2 ) + (a 6 x − x ) 2 = x 2 (a 6 − 1) + x (a 6 − 1) = (4ax − a )(a − x ) 2 2 = (x 2 + x )(a 6 − 1) = a (4 x − 1)(a − x ) 2 2 = a (a 6 − b 6 ) = a (a 3 + b3 )(a 3 − b 3 ) = x (x + 1)(a 3 − 1)(a 3 + 1 ) = a (2 x + 1)(2 x − 1)(a − x ) 2 = a (a + b)(a 2 − ab + b 2 )(a − b)(a 2 + ab + b2 ) = 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5) 6 2 2 6 13. a x − x + a x − x = 4ax (a − x ) − a (a − x ) 2 2 = 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5) = x (x + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)(a + 1)(a 2 − a + 1) ( )( ) = a (a − x )( x − 81)( x − 1) = a (a − x )( x + 9)(x − 9)( x + 1)(x − 1) 2 4 2 14. a − ax x − 82 x + 81 2 EJERCICIO 110 3 2 1. x + x − x − 1 1 1 −1 −1 +1 1 2 1 1 2 1 0 = (x 2 + 2 x + 1)(x − 1) = (x + 1) (x − 1) 2 3 2 2. x − 4 x + x + 6 1 − 4 1 6 −1 −1 5 − 6 1 −5 6 0 = ( x 2 − 5x + 6)( x + 1) = ( x − 3)( x − 2)( x + 1) 3 2 3. a − 3a − 4a + 12 1 − 3 − 4 12 + 2 2 − 2 − 12 1 −1 − 6 0 = (a 2 − a − 6)(a − 2) = (a − 3)(a + 2)(a − 2) 2 3 4. m − 12m + 16 1 0 − 12 16 2 1 2 +2 4 − 16 −8 0 = (m + 2m − 8)(m − 2) 2 = (m + 4)(m − 2)(m − 2) = (m + 4)(m − 2) 2
  • 123. 4 3 2 11. x − 4 x + 3x + 4 x − 4 2 x 3 − x 2 − 18 x + 9 2 − 1 − 18 9 6 15 − 9 5. 2 −3 5 1 −4 +3 1 −3 0 2 −1 1 −4 0 = (2 x − 1)(x − 3)(x + 3) 20 7 0 1 1 1 2 0 −2 0 1 −2 1 = ( x + 1)(x + 2) 6 +1 1 −6 = (n + 3)(n − 2)(n − 1) −6 1 32 − 2 0 − 2 16 − 32 1 − 8 16 1 − 1 − 12 2 10. 6 x + 23x + 9 x − 18 9 − 18 − 3 − 18 − 15 0 = (6x + 5x − 6)( x + 3) 2 [ ] 2 = ( 6 x ) + 5 ( 6 x) − 36 ( x + 3) = −2 +4 60 − 8 − 60 − 2 8 − 15 0 = (8a − 2a − 15)(a + 2)(a − 4) 2 [ ] 2 = (8a) − 2 (8a) − 120 (a + 2)(a − 4) 120 4 3 4 ⋅ 3 = 12 10 2 5 1 5 ⇒ 12 − 10 = 2 = 0 (6x + 9)(6x − 4)(x + 3) 3⋅ 2 1 0 − 27 − 14 120 2 4 − 46 − 120 1 2 − 23 − 60 18 5 −6 6 −7 5⋅ 2 = 10 (8a − 12)(8a + 10)(a + 2)(a − 4) 4⋅2 = (2a − 3)(4a + 5)(a + 2)(a − 4) 4 2 14. n − 27n − 14n + 120 2 23 − 34 32 24 = (a − 4)(a + 3)(a − 1)(a + 2) = ( x − 4) ( x + 2) 6 − 24 = (a 2 − a − 12)(a − 1)(a + 2) 0 = (x 2 − 8 x + 16)(x + 2) 3 1 − 14 −2 2 0 2 30 0 = (a 3 + a 2 − 14a − 24)(a − 1) 9. x 3 − 6 x 2 + 32 1 0 1 1 − 14 − 24 60 = (8a − 34a − 7a + 60)(a + 2) 8 1 0 − 15 − 10 24 + 1 1 1 − 14 − 24 = (n 2 + n − 6)(n − 1) 68 14 − 120 3 4 2 13. a − 15a − 10a + 24 0 4 3 2 16. 8a − 18a − 75a + 46a + 120 8 − 18 − 75 46 120 − 2 − 16 = ( x − 4)(x + 3)( x − 2)( x + 1) 8. n − 7n + 6 1 0 −7 1 − 6 0 8 − 34 − 7 = ( x 2 − x − 12)(x − 2)( x + 1) 3 1 0 0 − 13 − 12 − 1 −1 1 12 1 − 1 − 12 0 2 1 0 − 13 − 12 = ( x 3 − 13x − 12)(x − 2) x3 + 2x2 + x + 2 2 −2 7 = ( x 2 − 3x + 7)( x + 4)( x + 5) 1 − 2 − 13 14 24 + 2 2 0 − 26 − 24 = (a + 5a + 7)(a − 4) 1 1 −3 −5 4 3 2 12. x − 2 x − 13x + 14 x + 24 2 7. 0 = ( x − 2) ( x − 1)(x + 1) 28 1 5 0 2 −8 35 − 5 15 − 35 1 2 +4 35 = ( x 3 + 2 x 2 − 8x + 35)(x + 4) = ( x 2 − 4 x + 4)( x − 1)( x + 1) 3 2 6. a + a − 13a − 28 4 4 3 140 − 4 32 − 140 1 2 −8 0 1 − 3 0 4 −1 −1 4 −4 −3 1 1 − 13 − 28 1 6 0 −4 −8 = ( x 3 − 3x 2 + 4)( x − 1) = (2 x + 5x − 3)( x − 3) 5 −3 −6 3 4 3 15. x + 6 x + 3x + 140 +1 4 1 −3 0 4 0 2 2 3 4 −4 = (2 x + 3)(3x − 2)( x + 3) +2 0 = (n3 + 2n2 − 23n − 60)(n − 2) 2 − 23 −3 3 − 60 1 − 1 − 20 0 1 −3 60 = (n − n − 20)(n − 2)(n + 3) 2 = (n − 5)(n + 4)(n − 2)(n + 3) 17. x 4 − 22 x 2 − 75 1 0 − 22 0 5 25 15 1 5 3 15 − 75 +5 75 0 = ( x + 5x + 3x + 15)(x − 5) 3 2 1 5 3 15 − 5 − 5 0 − 15 1 0 3 0 = ( x + 3 )(x − 5)( x + 5) 2
  • 124. 21. 4 x 5 + 3x 4 − 108x 3 − 25x 2 + 522 x + 360 4 3 2 18. 15x + 94 x − 5x − 164 x + 60 15 94 − 5 − 164 60 + 1 15 109 104 − 60 15 109 104 − 60 −8 − 10 19 (15x + 25)(15x − 6)( x − 1)(x + 6) 4 23 1 0 − 21 16 108 − 144 2 4 − 34 − 36 144 72 +2 − 18 24 2 24 − 24 2 1 − 12 1 1 −1 −2 6 1 −3 − 16 − 22 16 −3 − 16 96 −2 6 − 13 − 81 112 180 − 144 12 − 2 − 166 − 108 144 0 − 16 −1 − 83 − 54 72 +2 0 = (6x 4 − x 3 − 83x 2 − 54 x + 72)( x − 2) 6 − 19 − 26 24 −3 0 = (6x 3 − 19 x 2 − 26x + 24)( x − 2)( x + 3) +3 0 = (a 2 − 16)(a + 1)(a + 2)(a − 3) = (a + 4)(a − 4)(a + 1)(a + 2)(a − 3) 0 3 0 = (2a + 3)(a − 4) 4 5 4 3 2 26. x + 2 x − 15x − 3x − 6 x + 45 1 2 − 15 − 3 − 6 45 + 3 3 15 0 − 9 − 45 0 − 3 − 15 1 5 0 1 5 0 −3 −5 0 0 − 15 −5 0 15 x 6 + 6 x 5 + 4 x 4 − 42 x 3 − 113x 2 − 108 x − 36 = (n − n + 3)(n + 2)(n + 5)(n − 6) 27. 6 48 0 − 48 0 0 = ( x − 3)( x − 3)( x + 5) 0 32 − 96 0 2 1 0 0 −3 +6 48 = (a 3 − 3a 2 − 16a + 48)(a + 1)(a + 2) 1 3 6 − 1 − 83 − 54 72 − 18 57 78 − 72 0 5 4 25. 2a − 8a + 3a − 12 2 − 8 0 0 3 − 12 + 4 8 0 0 0 12 2 16 96 0 = ( x 2 − x + 1)( x + 1)( x − 5)( x + 5) 3 6 = (a 4 − a 3 − 22a 2 + 16a + 96)(a + 1) 3 −1 1 − 18 18 112 96 − 1 22 − 16 − 96 1 0 5 4 3 2 23. 6x − 13x − 81x + 112 x + 180 x − 144 0 − 23 − 6 1 − 1 − 22 1 9 − 18 2 −7 9 6 −6 1 0 2 1 −5 5 5 −5 = ( x 4 + 5x 3 − 3x − 15)( x − 3) = (n − 7n + 9n − 18)(n + 2)(n + 5) 20. a − 23a − 6a + 112a + 96 −1 −5 − 26 3 2 1 0 −7 1 +2 = ( x + 4)( x − 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2) 3 27 − 90 27 − 90 35 − 45 90 −2 −5 1 0 = ( x + 4) ( x − 3) ( x + 3)( x − 2) ] = (n4 − 2n3 − 26n 2 + 27n − 90)(n + 2) = ( x 2 + x − 12)( x − 2)( x + 3)(x − 2) 5 − 2 − 26 1 −3 72 42 − 72 − 1 − 14 1 −1 0 − 30 − 25 − 36 − 180 − 2 −2 4 52 − 54 180 1 +5 0 −4 5 3 2 22. n − 30n − 25n − 36n − 180 0 5 4 −5 1 = ( x + 5)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) −4 4 − 25 25 = ( x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5)( x + 1)( x − 5) +4 ] [ = ( x 3 − x 2 − 14 x + 24)( x − 2)( x + 3) 1 1 = (4 x + 20)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) ÷ 4 = ( x 4 + 2 x 3 − 17 x 2 − 18x + 72)( x − 2) − 14 0 2 = ( 4 x ) + 23( 4 x ) + 60 ( x + 2)( x − 3)( x − 4) 5 3 2 19. x − 21x + 16x + 108x − 144 1 −1 1 − 1 − 24 25 5 20 − 20 0 [ 0 = ( x 4 − x 3 − 24 x 2 + 25x − 25)( x + 1) 2 = (3x + 5)(5x − 2)( x − 1)( x + 6) 3 15 0 − 25 1 0 − 25 − 1 −1 1 24 − 25 25 1 − 1 − 24 25 − 25 = (4 x + 23x + 15)( x + 2)( x − 3)( x − 4) 5⋅ 3 − 17 0 171 180 + 3 21 − 231 − 180 7 − 77 − 60 16 92 60 4 ] 2 −3 180 = (4 x 3 + 7 x 2 − 77 x − 60)( x + 2)( x − 3) 2 = (15x ) + 19 (15x) − 150 ( x − 1)( x + 6) 1 171 7 − 77 − 60 4 0 1 2 − 17 − 18 1 196 − 342 − 360 10 12 = (15x 2 + 19 x − 10)( x − 1)( x + 6) = 5 3 2 24. x − 25x + x − 25 −2 360 − 5 − 98 4 −6 [ 522 = (4 x 4 − 5x 3 − 98x 2 + 171x + 180)( x + 2) = (15x 3 + 109 x 2 + 104 x − 60)( x − 1) 15 − 25 4 − 5 − 98 0 15 109 104 − 60 − 90 − 114 60 3 − 108 4 − 19 − 26 24 6 5 24 + 4 20 − 24 − 6 ] 2 = ( 6 x ) + 5( 6 x ) − 36 ( x − 2)( x + 3)( x − 4) = − 113 − 108 − 36 − 1 41 72 36 1 5 − 1 − 41 − 72 − 36 0 = ( x 5 + 5x 4 − x 3 − 41x 2 − 72 x − 36)( x + 1) 1 5 − 1 − 41 −1 − 4 5 − 72 − 36 − 1 36 36 1 4 − 5 − 36 − 36 0 = ( x 4 + 4 x 3 − 5x 2 − 36 x − 36)( x + 1)(x + 1) 1 4 − 5 − 36 − 36 − 2 − 2 − 4 18 36 1 2 − 9 − 18 0 = ( x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18)(x + 1) (x + 2) 2 0 = (6x 2 + 5x − 6)( x − 2)( x + 3)( x − 4) [ 1 6 4 − 42 −1 − 5 1 (6x + 9)(6x − 4)(x − 2)(x + 3)(x − 4) 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2)( x − 2)( x + 3)( x − 4) 1 2 − 9 − 18 − 2 0 18 1 0 −9 −2 0 = ( x 2 − 9)(x + 1) (x + 2) 2 2 = ( x + 3)( x − 3)( x + 1) ( x + 2) 2 2
  • 125. 29. x 6 − 41x 4 + 184 x 2 − 144 1 0 − 41 0 184 0 − 144 1 1 − 40 − 40 144 144 6 4 3 2 28. a − 32a + 18a + 247a − 162a − 360 1 0 − 32 18 247 − 162 − 360 − 1 − 1 1 31 − 49 − 198 360 1 − 1 − 31 49 198 − 360 1 1 − 40 − 40 144 144 0 49 198 − 360 2 − 58 − 18 360 2 − 29 − 9 1 1 180 1 1 − 40 − 40 144 144 0 40 0 − 144 −1 +2 1 0 − 40 = (a 4 + a 3 − 29a 2 − 9a + 180)(a + 1)(a − 2) 1 4 − 17 − 60 = ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1) +3 6 5 4 3 2 31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a − 144 1 − 60 1 1 − 20 −3 0 −6 −6 = (a 2 + a − 20)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3) 56 − 480 − 36 1 − 4 − 14 63 − 36 3 − 3 − 51 36 −1 0 1 −1 2 10 148 − 240 −2 0 = (2 x 4 − 16x 3 + 10 x 2 + 148 x − 240)(x + 1)(x + 2) − 16 10 148 − 240 4 − 24 − 28 240 2 − 12 − 14 120 +2 0 = (2 x 3 − 12 x 2 − 14 x + 120)(x + 1)(x + 2)(x − 2) 2 − 12 − 14 120 8 − 16 − 120 − 4 − 30 2 +4 12 0 = (a − a − 17a + 12)(a − 2) 2 2 − 1 − 17 12 − 4 20 − 12 −5 3 (a − 3) −4 0 = (a − 5a + 3)(a − 2) 2 2 (a − 3)(a + 4) 7 5 4 3 2 32. x − 20 x − 2 x + 64 x + 40 x − 128 1 0 − 20 − 2 64 40 0 − 128 + 2 2 4 − 32 − 68 − 8 64 128 1 2 − 16 − 34 − 4 32 64 0 = ( x 6 + 2 x 5 − 16 x 4 − 34 x 3 − 4 x 2 + 32 x + 64)( x − 2) 1 2 − 16 − 34 − 4 32 + 64 − 2 0 32 4 0 − 64 1 0 − 16 − 2 0 32 −2 0 = ( x − 16 x − 2 x + 32)( x − 2)( x + 2) 5 0 = (2 x − 4 x − 30)( x + 1)( x + 2)(x − 2)( x − 4) 2 [ − 17 3 1 3 +2 +3 2 − 12 − 22 168 56 − 480 − 4 32 − 20 − 296 480 2 0 0 = (2 x − 12 x − 22 x + 168 x + 56 x − 480)(x + 1) 2 − 16 72 2 − 6 − 6 91 − 162 72 2 − 8 − 28 126 − 72 1 4 − 162 3 = (a 4 − 4a 3 − 14a 2 + 63a − 36)(a − 2)(a − 2) 6 5 4 3 2 30. 2 x − 10 x − 34 x + 146 x + 224 x − 424 x − 480 146 224 − 424 − 480 22 − 168 − 56 480 4 1 − 4 − 14 63 = (a + 5)(a − 4)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3) 5 91 = (a − 6a − 6a + 91a − 162a + 72)(a − 2) 1 2 − 12 − 22 168 6 103 − 344 396 − 144 + 2 2 − 12 − 12 182 − 324 144 5 60 2 − 10 − 34 −2 12 −8 1 = (a 3 + 4a 2 − 17a − 60)(a + 1)(a − 2)(a − 3) − 17 − 3 0 = ( x 2 − 36)( x 2 − 4)( x − 1)( x + 1) 0 1 4 −3 0 144 −1 = ( x 4 − 40 x 2 + 144)( x − 1)( x + 1) 0 1 1 − 29 − 9 180 3 12 − 51 − 180 0 = ( x 5 + x 4 − 40 x 3 − 40 x 2 + 144 x + 144)( x − 1) = (a 5 − a 4 − 31a 3 + 49a 2 + 198a − 360)(a + 1) 1 − 1 − 31 +1 ] 2 = ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) − 60 (x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4) (2 x − 10)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4) = 2 = (x − 5)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4) = 2 (x − 5)(x + 3)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4) 3 2 1 0 − 16 − 2 0 32 + 4 4 16 0 − 8 − 32 1 4 0 −2 −8 0 = ( x 4 + 4 x 3 − 2 x − 8)( x − 2)( x + 2)( x − 4) 1 4 0 −2 −8 −4 0 0 8 1 0 0 −2 −4 0 = ( x − 2)( x − 2)( x + 2)( x − 4)( x + 4) 3
  • 126. EJERCICIO 111 7. 15a 2b3 c , 24ab2 x , 36b 4 x 2 1. a 2 x , ax 2 mcd ax 2 15 5 3 3 1 2 2. ab c , a bc mcd abc 3. 2x 2 y , x 2y 3 mcd x 2 y 4. 6a 2b 3 ,15a 3b 4 6 3 15 3 2 2 5 1 3⋅2 = 6 11. 42am2n , 56m3n2 x , 70m4n2 y 42 14 56 14 70 14 36 3 12 4 3 3 1 3 5 mcd 3 ⇒ 3b 3 2 18 6 3 24 3 8 2 2 2 2 2 2 1 75 5 1 mcd 2 = 4 4 ⇒ 4m 2 2 3 4 6. 18mn , 27a m n 18 3 27 3 6 3 9 3 2 2 3 3 1 1 32 ⋅ 2 = 18 mcd 5 5 6 33 = 27 6 1 ⇒ 9mn2 15 5 3 3 1 1 1 2 = 4 2⋅4 = 8 2 = 2 2 ⋅ 5 = 10 mcd 2 ⇒ 2ab 1 8 ⋅ 32 = 72 2 2 7 ⇒ 7 a 2b 3 c 4 1 mcd 3 = 9 2 225 15 13. 4a 2b , 8a 3b 2 , 2a 2bc ,10ab 3c 2 4 2 8 2 2 2 10 2 2 2 4 4 1 5 5 3 4 4 2 2 3 4 5 7 10. 72x y z , 96x y z ,120x y z 72 8 96 8 120 8 9 3 12 3 15 3 3 3 4 4 5 5 2 15 5 mcd 15 ⋅ 5 ⇒ 75a 3b 3 1 1 1 7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 7 ⋅ 6 = 42 4 150 10 15 ⋅ 5 = 75 15 ⋅ 5 ⋅ 2 = 150 15 ⋅ 5 ⋅ 3 = 225 9. 28a 2b 3c 4 , 35a 3b 4 c 5 , 42a 4b 5 c 6 28 7 35 7 42 7 2 5 1 mcd 3 ⋅ 2 ⇒ 6 xyz 22 ⋅ 5 = 20 15 5 1 3 ⋅ 2 2 = 12 32 ⋅ 2 = 18 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 2 5 mcd 14 ⇒ 14m2n 3 4 1 4 12. 75a 4b 3c 2 ,150a 5b 7 x 2 , 225a 3b 6 y 2 12 4 3 2 2 5. 8am n, 20x m 8 2 20 2 4 2 10 2 2 2 5 5 1 1 4 2 8. 12x 2 yz 3 ,18 xy 2 z , 24 x 3 yz2 mcd 3 ⇒ 3a 2b 3 3 1 1 1 14 ⋅ 3 = 42 14 ⋅ 4 = 56 14 ⋅ 5 = 70 5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 32 ⋅ 4 = 36 1 3 ⋅ 5 = 15 23 = 8 24 3 8 4 2 2 1 14. 38a 2 x 6 y 4 , 76mx 4 y 7 , 95x 5 y 6 38 19 76 19 95 19 2 2 4 4 5 5 1 1 1 19 ⋅ 2 = 38 19 ⋅ 4 = 76 19 ⋅ 5 = 95 1 8 ⋅ 3 ⋅ 4 = 96 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 mcd 19 ⇒ 19 x 4 y 4 mcd 8 ⋅ 3 ⇒ 24x 2 y 2 z3 EJERCICIO 112 1. 2a 2 + 2ab = 2a (a + b) 4a 2 − 4ab = 2 2 a (a − b) mcd 2. 6 x y − 6 x y = 2 ⋅ 3x y ( x − 1) 2 2 9 x 3 y 2 + 18 x 2 y 2 = 32 x 2 y 2 (x + 2) 12a b = 4 ⋅ 3 a b 3 2 mcd 4a b 3 2 4. ab + b = b (a + 1) a + a = a (a + 1) 2 mcd a + 1 2 2 18a x y = 6 ⋅ 3 a x y 2 7. 3 4 2 6a x y − 18a xy = 6a xy 2 2 4 2 2 mcd 6a xy 4 4 8. 5a − 15a = 5a (a − 3) 2 (a − 3) a (a − 3) a − 3a = a 3 mcd 2 2 2 4 3 4 (x − 3) a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 10axy 2 − 20 x 2 y 2 = 5⋅ 2 xy 2 (a − 2 x ) 3 4a b − 8a b = 4a b (a − 2b) 2 2 30ax 2 − 15x 3 = 5⋅ 3x 2 (2a − x ) 6. 10. mcd mcd 5x 2 3 2 mcd x ( x + 5) mcd x ( x − 1) mcd 3x 2 y 3. ax 2 + 5ax = ax ( x + 5) x 3 − x 2 = x 2 ( x − 1) 2a 3 9. 3x 3 + 15x 2 = 3x 2 ( x + 5) 2 5. x − x = x ( x − 1) 11. (a − b) m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 ) 3am + 3an = 3a (m + n) mcd m + n ( )( ) − 8 = ( x − 2)(x + 2 x + 4) 12. x 2 − 4 = x + 2 x − 2 x 3 mcd x − 2 2
  • 127. 13. 2ax 2 + 4ax = 2ax (x + 2) 21. x 3 − x 2 − 6 x = x ( x 2 − x − 6) = x (x − 3)( x + 2) (2 x mcd x ( x + 2) 14. 4 x 4 − y 2 = (2 x 2 + y )(2 x 2 − y) 9 x 2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1) ( 4a 2 + 4ab + b2 = (2a + b) 9x3 2 2a 2 − 2ab + ab − b2 = (2a 2 − 2ab) + (ab − b 2 ) = 2a (a − b) + b (a − b) = (2a + b)(a − b) 2 2 25. = 3⋅ 2 ( x − 4)( x + 1) 3 ( x − 4) x ( x − 1) mcd x 4 − 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 9) = x 2 ( x + 3)( x − 3) x 4 − 5x 3 + 6x 2 = x 2 ( x 2 − 5x + 6) = x 2 ( x − 3)( x − 2) 2 ( a 4b − a 2b 3 = a 2b (a 2 − b 2 ) 2x + y ( ) = 2a (a − 3b) a x − 9ab x = ax (a − 9b ) = ax (a + 3b)(a − 3b) mcd a (a − 3b) 19. ac + ad − 2bc − 2bd = (ac + ad ) − (2bc + 2bd ) = a (c + d ) − 2b (c + d ) = (a − 2b)(c + d ) 2c + 4cd + 2d = 2 (c + 2cd + d ) = 2 (c + d ) mcd 3 2 2 2 2 18. 2a − 12a b + 18ab = 2a a − 6ab + 9b 2 2 2 2 2x 2 mcd c + d 3a 2 m2 + 6a 2 m − 45a 2 = 3a 2 (m2 + 2m − 15) = 3a (m + 5)(m − 3) 2 6am2 x + 24amx − 30ax = 6ax (m2 − 4m − 5) = 3⋅ 2ax (m + 5)(m − 1) ab (a + b) 2 2 ( ) = 2 (x + 2)(x − 1) − 8x + 6 = 2 ( x − 4 x + 3) = 2 ( x − 3 )( x − 1) = 2 ( x + 1)( x − 1) 2 x − 2 = 2 (x − 1) mcd 2 ( x − 1) 2 3 2 ax 3 − 2ax 2 − 8ax = ax (x 2 − 2 x − 8) 28. = ax ( x − 4)( x + 2) ax − ax − 6a = a ( x − x − 6) 2 = a ( x − 3)( x + 2) 2 a x − 3a x − 10a x = a x (x − 3x − 10) = a 2 x ( x − 5)( x + 2) 2 3 2 2 2 mcd 3a (m + 5) ( ) = a b (a + b)(a − b) 2 2 27. 2 x + 2 x − 4 = 2 x + x − 2 2 2 ) 3 2 2 3 2 2 26. a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b = a (2 x + y )(2 x − y ) 2 x 2 ( x − 3) mcd 4ax 2 − ay 2 = a (4 x 2 − y 2 ) 20. 4 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 ( x − 1) x 4 − 6x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 6 x + 9) = x 2 ( x − 3) 8 x 3 + y 3 = (2 x + y )(4 x 2 − 2 xy + y 2 ) 2 3x 2 − 3x = 3x ( x − 1) 2 mcd a + b = 3( x + 5)( x − 4) 3 24. 2 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 ( x − 1) a + a b = a (a + b) 3 3x 2 + 3x − 60 = 3( x 2 + x − 20) mcd 2 ab + b 2 = b (a + b) 6x 2 − 18 x − 24 = 6 ( x 2 − 3x − 4) 17. )( ) = 3x ( x + 1)(x + 1)(x − 1) − 9 x = 9 x ( x − 1) = 3 x( x + 1)( x − 1) mcd 3x ( x + 1)(x − 1) 2 23. a + ab = a (a + b ) 2a + b mcd ( 2 mcd 3x − 1 16. ) 22. 3x 5 − 3x = 3x x 4 − 1 = 3x x 2 + 1 x 2 − 1 9 x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1) mcd 2 mcd 2 x 2 + y 2 15. + y) = (2 x 2 + y)(2 x 2 + y) 2 mcd 2 2 2 a ( x + 2) ( ) = 2a (n − 4)(n − 4) = 2a (n + 2) (n − 2) = 2an (n + 2)(n − 2) 2an − 8an = 2an (n − 4) = 2a (n + 2)(n − 2n + 4) 2a n + 16a = 2a (n + 8) mcd 2a (n + 2) 4 2 4 2 29. 2an − 16an + 32a = 2a n − 8n + 16 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2
  • 128. ( ) ( )( ) 2a − 6a + 4 = 2 (a − 3a + 2) = 2 (a − 2)(a − 1) 6a + 18a − 24 = 6 (a + 3a − 4) = 3⋅ 2 (a + 4)(a − 1) mcd 2 (a − 1) 4a − b = (2a + b)(2a − b) 31. 8a + b = (2a + b)(4a − 2ab + b ) 4a + 4ab + b = (2a + b) 30. 4a 2 + 8a − 12 = 4 a 2 + 2a − 3 = 2 2 a + 3 a − 1 2 39. 2 2 3a 2 − 6a = 3a (a − 2) a − 4a = a (a 2 − 4) = a (a + 2)(a − 2) 3 a 2b − 2ab = ab (a − 2) 2 2 3 2 2 2a + b mcd 2 27 x 3 − 1 = (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1) 9 x 2 − 6x + 1 = (3x − 1) x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2) 32. 3x 2 − x = x (3x − 1) 40. 2 2 a−2 mcd 2 3 a 2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1) 2 3ax − a + 6 x − 2 = (3ax − a ) + (6 x − 2) x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3) = a (3x − 1) + 2 (3x − 1) x 3 − 9 x 2 + 20 x = x ( x 2 − 9 x + 20) = x ( x − 5)( x − 4) 33. a + a = a (a + 1) mcd 2 3x − 1 a − 6a − 7a = a (a − 6a − 7) = a (a − 7)(a + 1) 3 2 2 a 6 + a = a (a 5 + 1) = a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1) a (a + 1) mcd 34. = (a + 2)(3x − 1) x− 4 mcd 41. x 3 + 27 = ( x + 3)( x 2 − 3x + 9) a 4 − 1 = (a 2 + 1)(a 2 − 1) = (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1) a 3 + a 2 + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1) 2 x 2 − 6 x + 18 = 2 ( x 2 − 3x + 9) = a 2(a + 1 ) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1) x 4 − 3x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 3x + 9) a 3 x + a 2 x + ax + x = (a 3 x + a 2 x ) + (ax + x ) = a 2 x (a + 1) + x (a + 1) x 2 − 3x + 9 mcd 35. x + ax − 6a = ( x + 3a)( x − 2a ) 2 = (a 2 x + x )(a + 1) = x (a 2 + 1)(a + 1) 2 x 2 + 2ax − 3a 2 = ( x + 3a )( x − a ) a 5 + a 3 + a 2 + 1 = (a 5 + a 3 ) + (a 2 + 1) x 2 + 6ax + 9a 2 = (x + 3a ) 2 = a 3 (a 2 + 1) + (a 2 + 1) x + 3a mcd 54 x 3 + 250 = 2 (27 x 3 + 125) 36. 18ax 2 − 50a = 2a (9 x 2 − 25) = (a 3 + 1)(a 2 + 1) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 1) = 2 (3x + 5)(9 x 2 − 15x + 25) = 2a (3x + 5)(3x − 5) (a + 1)(a + 1) 2 mcd 18 x 2 + 60x + 50 = 2 (9 x 2 + 30 x + 25) = 2 (3x + 5) 2 mcd 2 (3x + 5) (x 37. 2 [ x 2 − 4 x − 5 = (x − 5)( x + 1) = 2 (m + n) ] − 1) = (x + 1)(x − 1) 2 x+1 m + m n + mn + n = m2 (m + n) + n 2 (m + n) 3 a 2 x 3 − 8a 2 x 2 + 7a 2 x = a 2 x ( x 2 − 8 x + 7) = a 2 x (x − 7)( x − 1) ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x − 8)(x − 7) 4 3 2 mcd ax ( x − 7) 2 2 2 2 3 = (m2 + n 2 )(m + n) 4ax 2 − 28ax = 4ax ( x − 7) 38. ) 2 2 x 4 − 1 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) = (x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) mcd ( 42. 2m2 + 4mn + 2n 2 = 2 m2 + 2mn + n 2 2 m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 ) m3 − mn 2 = m (m2 − n 2 ) = m (m + n)(m − n) mcd m + n
  • 129. ( ) ( ) 46. = (a − 1)(a + a + 1) − 3a (a − 1) = (a − 1)(a + a + 1 − 3a ) = (a − 1)(a − 2a + 1) = (a − 1)(a − 1) a − 2a + 1 = (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) a − 4a + 3 = (a − 3)(a − 1) 2a 2 − am + 4a − 2m = (2a 2 − am) + (4a − 2m) 3 2 3 43. a − 3a + 3a − 1 = a − 1 − 3a a − 1 = a (2a − m) + 2 (2a − m) 2 = (a + 2)(2a − m) 2 2am − m = m2 (2a − m) 2 2 2 [ 2 6a 2 + 5am − 4m2 = (6a ) + 5m ( 6a ) − 24m2 2 2 3 3 [ = (3a + 4m)(2a − m) 2 mcd a − 1 ] ] = (6a + 8m)(6a − 3m) ÷ 2 ⋅ 3 2 16a + 72am − 40m = 8 (2a 2 + 9am − 5m2 ) 2 2 [ ] 2 = 8 (2a ) + 9m (2a ) − 10m [ = 8 (a + 5m)(2a − m) = 2 x (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9) 12a 2 x 2 − 42ax 2 − 90 x 2 = 6x 2 (2a 2 − 7a − 15) [ [ 2 ] mcd 2a − m ( = 6 x (2a − 10)(2a + 3) ÷ 2 2 = 3⋅ 2 x (a − 5)(2a + 3) 2 32a x + 24a x − 36ax = 4ax (8a 2 + 6a − 9) 3 3 2 [ 2 = 4ax (8a) + 6 (8a ) − 72 [ ) ( ) = 6a (2 x − y) + 12b (2 x − y ) = (6a + 12b)(2 x − y) = 3⋅ 2 (a + 2b)(2 x − y ) 3a + 24b = 3(a + 8b ) = 3 (a + 2b)(a − 2ab + 4b ) + 9ab − 18b = 9(a + ab − 2b ) = 3 (a + 2b)(a − b) 12a + 24ab = 12a (a + 2b) = 4 ⋅ 3a (a + 2b) mcd 3 (a + 2b) 47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = 12ax − 6ay + 24bx − 12by ] = 6 x ( 2a ) − 7 (2a ) − 30 2 ] = 8 (2a + 10m)(2a − m) ÷ 2 16a 3 x + 54 x = 2 x (8a 3 + 27) 44. ] ] 3 3 2 9a 2 = 4ax (8a + 12)(8a − 6) ÷ 4 = 22 ax (2a + 3) (8a − 6) 3 2 2 2 2 2 2 = 23 ax (2a + 3)(4a − 3) 32a 4 x − 144a 2 x + 162 x = 2 x (16a 4 − 72a 2 + 81) ( ) ( ) = (5a + 5 y)(a + x ) = 5(a + y)(a + x ) = 2 x [(2a + 3)(2a − 3)] 15a − 15ax + 15a y − 15x y = 15a (a + y ) − 15x (a + y) mcd 2 x (2a + 3) = (15a − 15x )(a + y ) = 15(a − x )(a + y) = 5⋅ 3(a + x )(a − x )(a + y) 20a − 20ay + 20a x − 20 xy = 20a (a + x) − 20 y (a + x) (xy + y ) = x y + 2 xy + y = (20a − 20 y )(a + x) = y ( x + 2 xy + y ) = y ( x + y) = 20 (a − y )(a + x) y − 2 xy − 3y = y ( x − 2 xy − 3 y ) = y ( x − 3 y)( x + y) = 5⋅ 4 (a + y)(a − y )(a + x) = ay ( x + y )( x − xy + y ) ax y + ay = ay ( x + y ) 5(a + y)(a + x ) mcd = 2 x (4a 2 − 9) 2 48. 5a 2 + 5ax + 5ay + 5xy = 5a a + x + 5 y a + x 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 45. 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x2 2 3 3 4 2 2 3 3 x 2 y − y 3 = y (x 2 − y 2 ) mcd y (x + y) 2 2 2 = y ( x + y )( x − y) 2 2
  • 130. 4 3 2 2 3 5. 8a − 6a x + 7a x − 3ax EJERCICIO 113 1. 12 x 2 + 8 x + 1 2 x 2 − 5x − 3 − 12 x 2 + 30 x + 18 2 x 2 − 5x − 3 14ax − 7 x ÷ 7 x 2 15a − 18ax + 3x − 3a + 3ax ; 3a − 4a x + ax 3 2 2 − 285x + 225x − 475x + 375 3 = a (3a 2 − 4ax + x 2 ) a− x 3a − 4ax + x 2 − 475x − 225x mcd 1 3 2 − x3 − x2 + x − 2 2 x3 + x 2 − x + 2 1 21x − 14 x y + 63xy − 42 y 2 2 − 3x 2 + 2 xy 2 x − 2 x + 2 (÷ 2 ) 3x − 2 y x2 − x + 1 − 3x + 2 y 2 21x − 17 xy + 2 y 2 3 (÷ y) 7 (÷ − 148 y) 2 3x − 2 y x 63xy − 42 y x2 − x + 1 (÷ − y ) 2 3x 2 + 61xy − 42 y 2 2 y2 − 444 xy + 296 y x 3 4 x 3x y + 61xy − 42 y 3x 2 + 61xy − 42 y 2 3 2x 2 2 21x 2 − 17 xy + 3x − 2 x 2 y + 9 xy 2 − 6 y 3 ( 7) 4 3 3 − 21x 2 + 427 xy + 294 y 2 x2 − x + 1 mcd 2 2 2 2 1 2 − 21x + 17 x y − 2 xy x − x+1 − x3 + x2 − x 3 − 21x y + 17 xy − 2 y 3 2 x 3 + x2 − x + 2 2 − 6 x + 4 x y − 18 x y + 12 xy 3 3 3x 2 + 5 mcd 6 x − 4 x y − 3x y + 5xy − 2 y 4 4 a (a − x ) (÷ − 75) 3x 2 + 5 − 3x 2 − 5 7. 95x − 375 2 2 x 3 + 2 x2 − 2 x + 3 − x2 + x − 1 3x 2 + 5 2 3 3x 2 + 5 4. (2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 6) ÷ 2 x2 − x + 1 (÷ − 191) − 285x 2 (÷ − x) 1 1 − 955 − 573x 5 a− x −a+ x 285x 3 − 225x 2 + 475x − 375 2 285x 3 − 225x 2 + 475x − 375 3a − ax + x 2 2 285x 3 − 798 x 2 + 475x − 1. 330 a− x 2 x 57 x − 45x + 95x − 75 (5) 3 2ax − 2 x 2 (÷ 2 x ) 3a 2 − 4ax + x 2 4 − 15x 4 + 42 x 3 − 25x 2 + 70 x a− 2 = a (15a 2 − 18ax + 3x 2 ) − 15a 2 + 20ax − 5x 2 2 15x 4 + 15x 3 − 20 x 2 + 25x − 75 15x 3 − 42 x 2 + 25x − 70 (19) 3. 3(5a − 6a x + ax ) = 15a 3 − 18a 2 x + 3ax 2 2 3x 4 + 3x 3 − 4 x 2 + 5x − 15 (5) − 12 x − 12 x + 16 x − 20 x + 60 3 − 15x 3 + 42 x 2 − 25x + 70 (− 1) 2 2 mcd a (2a − x ) 12 x 4 − 3x 3 + 26 x 2 − 5x + 10 (÷ 2) 2 1 4 a− 2 1 mcd 3 − 2a + x 4 3 2 6. (12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a ) ÷ a 3a 5a − 10 a−2 −a+2 3ax − 2ax 2 + x 3 ÷ − x 2 2a − x 2a − x a −2 − 3a 2 + 6a 2a − x − 6a 2 x + 3ax 2 (÷ − a ) 3a − a − 10 3 6a x − 5ax 2 + x 3 2a − a 2 + 2a 3 1 2 3a 2 − a − 10 2 2a 2 + 3ax − 2 x 2 ( 3x ) 4a 2 − 6a 2 x + 5ax 2 − x 3 mcd 2 x + 1 1 − 6a + 2a + 20a = a (2a 2 + 3ax − 2 x 2 ) 2 2 2 ) 3 − 18a x + 15ax − 3x ÷ − 3 2x + 1 6a 3 − 3a 2 − 18a 3 6a 2 x + 9ax 2 − 6 x 3 6a 2 x − 5ax 2 + x 3 2. 3 (2a 3 − a 2 − 6a ) ; (6a 2 − 2a − 20) ÷ 2 3 2 2 x 2x + 1 − 2x − 1 2 − 8a − 12a x + 8ax (÷ 2) (÷ − 3) − 6x − 3 2 3 2x + 1 − 2x2 − x 2 8a − 6a x + 7ax − 3x 3 6 38 x + 19 2 2a 3 + 3a 2 x − 2ax 2 ; = a (8a − 6a x + 7ax − 3x 3 2 (÷ 21y ) 3x − 2 y 1 mcd 3x − 2 y
  • 131. ( (x ) 4 3 2 8. ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ; 4 + 4 x − x − 4 x) ÷ x 3 ( x3 + 4 x2 − x − 4 − x4 − 4x3 + x2 + 4x x 3x 2 + 9 x − 12 x 2 + 3x − 4 3m4 − 6m3 + 8m2 − 10m + 5 − 6m + 12m − 16m + 20m − 10 3 2 2 (÷ − 19) − 19m + 38m − 19 2 3m − 6m + 8m − 10m + 5 4 1 3 m − 2m + 1 2 2 − 3m4 + 6m3 − 3m2 (÷ 3) 3m2 (÷ 5) 5m2 − 10m + 5 m − 2m + 1 m − 2m + 1 2 x 2 − m2 + 2m − 1 ( ÷ − 2) − 2 x2 − 6x + 8 2 6m − 12m3 − 3m2 + 18m − 9 x 2 + 3x − 4 − x 3 − 3x 2 + 4 x 3 4 x 3 + x 2 − 10 x + 8 x 3 + x 2 − 10 x + 8 ; − 6m + 8m − 10m + 5m) ÷ m 4 4 − x 3 − x 2 + 10 x − 8 (− 1) − x 3 − x 2 + 10x − 8 (3m 5 x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 6 x − 8 x3 + 4x2 − x − 4 ) 9. 3 2m4 − 4m3 − m2 + 6m − 3 2 mcd m2 − 2m + 1 1 x 2 + 3x − 4 − x − 3x + 4 2 mcd x 2 + 3x − 4 1 10. Factor común a 7 (3a 5 − 6a 4 + 16a 3 − 2a 2 + 5a ) ; 3 (7a 5 − 14a 4 + 33a 3 + 4a 2 − 10a ) = 21a 5 − 42a 4 + 112a 3 − 14a 2 + 35a ; = 21a 5 − 42a 4 + 99a 3 + 12a 2 − 30a 21a 4 − 42a 3 + 112a 2 − 14a + 35 − 21a + 42a − 99a − 12a + 30 4 3 2 13a − 26a + 65 2 21a 4 − 42a 3 + 99a 2 + 12a − 30 1 (÷ 13) 21a − 42a + 99a + 12a − 30 a 2 − 2a + 5 4 2 3 − 21a 4 + 42a 3 − 105a 2 − 6a 2 + 12a − 30 a − 2a + 5 21a 2 (÷ − 6) a − 2a + 5 2 2 mcd a (a 2 − 2a + 5) − a 2 + 2a − 5 1 12. Factor común 2 : 2 x 3 + 2ax 2 + 2a 2 x + 2a 3 ; 10 x 3 + 4ax 2 + 10a 2 x + 4a 3 3 2 11. (45ax + 75ax − 18ax − 30a ) ÷ 3a ; (24ax 4 (15x 3 3 + 40ax 2 − 30ax − 50a ) ÷ 2a + 25x 2 − 6 x − 10) ; 5 (12 x 3 + 20 x 2 − 15x − 25) 60 x + 100 x − 24 x − 40 3 2 60 x + 100 x − 75x − 125 (÷ 5) 3 2 12 x + 20 x − 15x − 25 2 − 12 x 3 − 20 x 2 − 15x − 25 3x + 5 − 3x − 5 3x + 5 1 − 3 ax 2 − 3a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 51x + 85 (÷ 17) 3 − 5x 3 − 5ax 2 − 5a 2 x − 5a 3 5 2 − 60 x − 100 x + 75x + 125 1 3 5x 3 + 2ax 2 + 5a 2 x + 2a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 − x3 3x + 5 − a2 x ax 4 x2 x2 + a2 (÷ − 5) −x −a 2 mcd a (3x + 5) + a3 2 2 (÷ − 3a ) x2 + a2 x (÷ a ) x2 + a 2 1 mcd 2 (x 2 + a 2 )
  • 132. 7 6 + a4 + 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 ( a ) 16. a − a 7 6 5 3 2 − a + 2a − a −a +a a2 13. Factor común 3 : 9 x + 15ax + 3a x − 3a ; 3 2 2 3 12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 ( 3) a 6 − a5 + a4 − a 3 + a 2 + 1 12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 − 12 x − 20ax − 4a x + 4a 3 2 + 2a x + a 2 ax 2 2 3x + 5ax + a x − a 3 2 2 x + 2ax + a 2 −a (÷ − a) mcd 3( x 2 + 2ax + a 2 ) + 6b 3 − 12a + 18a b − 12ab + 6b 2 2 2 2 − 6a 3 + 3a 2b − 3ab 2 2a − ab + b 2 − 2a 2 + ab − b 2 (÷ − 3b) 3 4 2 5 15a + 20a n − 35an + 10n 2 2 3an − 2n 2 36a − 39an + 10n 2 − 36a 2 + 24an − 15an + 10n2 3a − 2n − 3a + 2n 3a − 2n 1 2 a − 180a 2 + 195an − 50n 2 108 x − 216 x + 96 x 36a − 39an + 10n (12) 2 − 225x 2 + 231x − 54 300 x 3 + 25x 2 − 375x + 150 − 300 x + 308 x − 72 x (÷ n) 2 2 − 108 x − 9 x + 135x − 54 2 36a 2 n − 39an2 + 10n3 180a − 192an + 48n a4 − a3 + 1 3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5x + 2 ( 9) 6 3 5 (÷ n) 3a − 2n 12a (÷ − 5n) mcd 3a 2 n 2 (3a − 2n) 2 333x 2 − 447 x + 150 2 27 x 2 − 54 x + 24 2 36 x 3 + 3x 2 − 45x + 18 3 15a − 16an + 4n 3 − 15a 3 + 16a 2 n − 4an2 2 3 3 ( ÷ − n) − 15a 2 n + 16an2 − 4n 3 2 mcd 1 − 27 x + 54 x − 24 x 4 − 3a 3 − 4a 2 n + 7an2 − 2n 3 1 2 3 27 x 4 − 18 x 3 + 27 x 2 − 45x + 18 3a 3 − 11a 2n + 9an2 − 2n3 3a 3 + 4a 2 n − 7an2 + 2n3 (5) 3 (− 1) − 27 x 2 + 54 x − 24 (− 1) 9a n + 12a n − 21a n + 6a n 3 a −1 18 x 4 − 12 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 12 mcd 2ab (2a 2 − ab + b 2 ) − 18 x 4 + 12 x 3 − 18 x 2 + 30 x − 12 1 9a 5n2 − 33a 4 n 3 + 27a 3n 4 − 6a 2 n5 ; 4 a4 − a3 + 1 36ax 4 − 24ax 3 − 18ax 2 + 48ax − 24a 2a 2 − ab + b 2 15. Factor común 3a 2 n 2 : 5 2 1 (÷ 2 ) 17. Factor común 2a : 6ax 4 − 4ax 3 + 6ax 2 − 10ax + 4a ; 3a − 6a 2b + 3ab2 − 3b 3 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 a4 − a3 + 1 −a +a − 1 2a 2 − ab + b 2 6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 a4 − a3 + 1 4 (÷ 12b) 3 +2 − a 4 − a4 + a3 6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 3 24a b − 12ab + 12b 2 2 −a +a a (− 1) − a+1 3 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 5 a5 − a3 + a + 1 2 2a 4 − 2a 3 6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 +1 −a −a 4 − a + 2a − a − a + 1 4 1 (− 1) −a−1 − a3 + a + 1 5 14. Factor común 2ab : 8a 4b + 4a 3b 2 + 4ab 4 ; 12a 4b − 18a 3b2 + 12a 2b 3 − 6ab 4 3 +a 6 a6 − a5 + a 4 − a 3 + a2 + 1 −1 2 + a3 a5 x + 2ax + a 2 12a 3 + 6a 2b 3 − a 5 + 2a 4 − a 3 2 3 (4a 3 + 2a 2b + 2b 3 ) 4 a 6 − a5 + a4 − a3 + a 2 3x − x 2 − 2ax − a 2 1 5 − a5 x 2 + 2ax + a 2 − ax 2 − 2a 2 x − a 3 + a2 − a −a +a −a +a −a (÷ a) 3 a 6 − 2a 5 + a 4 6 4 3 − 3x 3 − 6ax 2 − 3a 2 x 2 3x 3 + 5ax 2 + a 2 x − a 3 3 ( 4 x) x2 (÷ 3) 12 x 3 + x 2 − 15x + 6 ( 25) 9 (÷ − 3) 75x 2 − 77 x + 18 (111) 4x (÷ 3) 8 . 325x 2 − 8 .547 x + 1. 998 111x 2 − 149 x + 50 (2 . 628) − 8 . 325x 2 + 11.175x − 3 .750 75 2 . 628 x − 1. 752 291. 708 x 2 − 391.572 x + 131. 400 2 . 628 x − 1. 752 (÷ 876) − 291. 708 x 2 + 194 .472 x − 197 .100 x + 131.400 3x − 2 − 3x + 2 111x (÷ − 65. 700) 3x − 2 1 mcd 2a (3x − 2)
  • 133. 3 2 2 3 3 2 2 3 2. 8 x + 6 x y − 3xy − y 2 x − x y − 2 xy + y − 8 x 3 + 4 x 2 y + 8 xy 2 − 4 y 3 4 4 3 2 3. ( x + x − x − x ) ÷ x ; 3 2 2 10 x 2 y + 5xy 2 − 5 y 3 (÷ 5 y ) 1. 2 x − 5x − 6 x + 9 2 x − 5x − 3 3 2 (2 x + 2 x − 2 x − 2) ÷ 2 2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 2 x 2 + xy − y 2 − 2 x 3 + 5x 2 + 3x x 3 2 2 x3 + x2 − x − 1 x3 + x2 − x − 1 − 2 x − x y + xy x EJERCICIO 114 − 3x + 9 2 x 2 − 5x − 3 (÷ − 3) − 2 x + 6x 2 2 x + xy − y 2 2x x − 3 ( x) − x 3 + 3x 2 − 6 x − 3xy + 3 y x − 5x + 6 2 x − 5x + 6 − 2 x + xy x−3 − x2 + 2x x−3 − x+3 2x − y (÷ − 3) − 3x + 6 x−3 1 − 10 x + 7 x + 3 − 2x + y 17 x − 7 x − 10 − 170 x + 70 x + 100 2 − 49 x + 49 2x − y 17 x 2 − 7 x − 10 mcd 2 x − y x−3 (÷ x 2 ) 5. Factor a 4 + 3a 3 x + a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 a 2 + 6ax + 8x 2 ( 3a ) − a − 6a x − 8a x 4 3 2 2 a 3a + 18a x + 24ax 2 3 3 − 3a 3 − 7a 2 x − 3ax 2 − 2 x 3 2 154a + 294ax − 28 x − 154a 2 − 429ax − 242 x 2 − 135ax − 270x 2 14a 2 + 39ax + 22 x 2 − 4a − 8a x 3 2 3 (÷ − 135x) a + 2x − 41x + 41x 2 3x x−1 41x 20 x − 20 a + 2x (÷ 20) − 4 x − 3x + 4 x 6 4 − 3 x + 3x 6 3 5 5 mcd a + 2x x−1 x−1 − x +1 1 0 x−1 3x 3x − 4 x − 3x + 4 x a + 2x 1 41x 2 − 21x − 20 2 0 5 (÷ − 182) − 182 x + 182 a + 2x a + 2x − ax 2 − 2 x 3 (÷ − x 2 ) − a − 2x 41x 2 − 21x − 20 − 205x 2 + 105x + 100 − a − 2x 1 4a 8x 41x 2 − 21x − 20 205x 2 − 287 x + 82 (÷ 11x) 4a + 8a x − ax − 2 x 2 (− 1) − 5x + 7 x − 2 2 11 14a 11ax + 22 x 2 2 2 a + 2x − 14a 2 − 28ax (14) 1 2 − 40 x 3 + 56 x 2 − 16 x 14a + 39ax + 22 x 2 8 x 3 − 3x 2 − x − 4 (5) 40 x 3 − 15x 2 − 5x − 20 5x 2 − 7 x + 2 ( 41) (÷ x) 14a 2 x + 39ax 2 + 22 x 3 3 2 3a 2 2 − 8 x 3 + 3x 2 + x + 4 2 − 33a 3 − 63a 2 x + 6ax 2 3 8x3 − 8x2 + 6x − 6 11a + 21ax − 2 x 3 x 8 x − 3x − x − 4 3 (÷ x ) 33a + 77a x + 33ax + 22 x 2 mcd x − 1 − 4 x − 4 4 x 3 − 4 x 2 + 3x − 3 ( 2 ) − 4 x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 3 x 2 1 11a 2 x + 21ax 2 − 2 x 3 3 2 x−1 1 2 (2 x 5 + 2 x 4 − 2 x 2 − 2 x ) 3a + 7a x + 3ax + 2 x (11) 2 17 x (÷ 10) común x 4 x4 + 4 x3 2 (÷ − x) − 3a 3 x − 7a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 x −1 − x+1 10 (÷ − 49) x−1 10 x − 10 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4. 3a + 9a x + 4a x − 3ax + 2 x a + 3a x + a x − 3ax − 2 x 4 3 2 2 3 4 − 3a − 9a x − 3a x + 9ax + 6x 3 a 2 x 2 + 6ax 3 + 8 x 4 17 x 2 − 7 x − 10 170 x 2 − 119 x − 51 − 17 x 2 + 17 x mcd x 2 (÷ y) 1 (− 1) − 10 x 3 + 7 x 2 + 3x x 2 xy − y 2 x 5 10 x 3 + 10 x 2 − 10 x − 10 10 x 2 − 7 x − 3 (17) 2x − y 2 2 2 3 2 x 2 + xy − y 2 (÷ 2) 2 − 5x − 5x + 5x + 5 3 − 4 xy + 2 y 2 (÷ − 2 y ) x 2 − 5x + 6 1 x 3 + x 2 − x − 1 (10) 5x 3 − 5x 2 + 2 x − 2 2 x 2 + xy − y 2 2 1 0 2 1 6 x 2 − xy − y 2 x2 2x − 6 2 0 2 x 2 − 3x + 5x − 6 2 x + xy − y 2 − 2 x 2 − xy + y 2 x −3 x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 − x3 − x2 + x + 1 − 2 x 2 y − xy 2 + y 3 (÷ − y ) x−3 4 (3x ) 4 5 3 Continua.
  • 134. 16. 3x 3 , 6x2 , 9x 4 y2 mcm 18x 4 y2 Continuación. 3x 5 − 4 x 4 − 3x 3 + 4 x (÷ x ) 5 4 5. 3x − 3x − 3x + 4 x + 3x − 4 x 5 4 3 1 3 3x 4 − 4 x 3 − 3x 2 x 3 + 3x 2 − 4 (13) + 12 x 20. 20m2n3 , 24m3n , 30mn2 (÷ − 1) − 13x − 3x + 12 x + 4 2 13x 3 + 39 x 2 19. 18a 3 , 24b2 , 36ab 3 mcm 72a 3b 3 3x +4 − 3x 4 − 9 x 3 3 18. 10m2 , 15mn2 , 20n3 mcm 60m2n3 (÷ x) x + 3x − 4 x 4 − 13x 3 − 3x 2 + 12 x + 4 36 x 2 + 12 x − 48 (÷ 12) 6 5 4 4 ⇒ mcm 120m3n3 1 1 20 24 30 20 4 5 4 13x 3 + 3x 2 − 12 x − 4 ( 3) − 52 17. 9a 2bx , 12ab 2 x 2 , 18a 3b 3 x mcm 36a 3b 3 x 2 1 1 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 39 x 3 + 9 x 2 − 36 x − 12 3x 2 + x − 4 13x − 39 x 3 − 13x 2 + 52 x − 4 x 2 + 16x − 12 3x + x − 4 21. ab 2 , bc 2 , a 2 c 3 , b 3c 3 mcm a 2b 3c 3 (÷ − 4) 22. 2x 2 y , 8xy 3 , 4a 2 x 3 , 12a 3 mcm 24a 3 x 3 y 3 x − 4x + 3 2 2 − 3x 2 + 12 x − 9 23. 6a 2 , 9x , 12ay 2 , 18x 3 y mcm 36a 2 x 3 y 2 3 13x − 13 (÷ 13) x2 − 4 x + 3 − x2 + x 24. 15mn2 , 10m2 , 20n3 , 25mn4 15 10 20 25 5 x−1 x − 3x + 3 x−1 x−1 − x+1 1 52 ⋅ 3 ⋅ 22 = 300 3 mcd x ( x − 1) 2 4 5 5 3 1 (÷ − 3) 2 2 1 4 4 2 1 3 ⇒ mcm 300m2n4 2 2 1 EJERCICIO 115 25. 24a 2 x 3 , 36a 2 y 4 , 40x 2 y 5 , 60a 3 y 6 2 2 2 2 1. a , ab mcm a b 24 2. x 2 y , xy 2 mcm x2 y2 12 18 20 30 2 3. ab c , a bc mcm a b c 6 9 10 15 3 4. a 2 x 3 , a 3bx 2 mcm a 3bx 3 2 3 10 5 5 ⇒ mcm 360a 3 x 3y 6 1 3 2 2 2 2 36 40 60 2 6. 9ax 3 y , 15x 2 y 5 mcm 45ax 3y 5 3 2 2 5. 6m2n , 4m3 mcm 12m3n 1 2 1 2 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 2 1 7. a 3 , ab 2 , a 2b mcm a 3b2 8. x 2 y , xy 2 , xy 3 z mcm x2 y3 z 2 2 3 26. 3a 3 , 8ab , 10b 2 , 12a 2b 3 , 16a 2b 2 3 2 9. 2ab , 4a b , 8a mcm 8a b 3 8 10 12 16 2 10. 3x 2 y 3z , 4x 3 y3 z2 , 6x 4 mcm 12x 4 y 3z2 3 4 5 6 8 2 3 2 5 3 4 2 2 4 ⋅ 3⋅ 5 = 240 3 1 5 3 2 2 ⇒ mcm 240a 3b 3 3 5 3 1 3 1 5 1 2 2 3 3 3 3 11. 6mn , 9m n , 12m n mcm 36m n 12. 3a 2 , 4b 2 , 8x 2 mcm 24a 2b2 x 2 13. 5x2 , 10xy , 15xy 2 mcm 30x2 y 2 14. ax 3 y2 , a 3 xy , a 2 x 2 y 3 mcm a 3 x 3 y3 15. 4ab , 6a 2 , 3b2 mcm 12a 2b2 1 5
  • 135. EJERCICIO 116 2a = 2a 1. 13. 3a 2 − 6ab = 3a (a − 2b) ( x − 2) mcm 4a ( x − 2) 2. ab − b = b (a − b) 4x − 8 = 2 2 ( 3. x y + xy = xy ( x + y ) mcm x 2 y ( x + y ) 3a 2b 2 + 6ab 3 = 3ab 2 (a + 2b) 6a 2b 2 (a + 2b) ( 3 3 2 2 2 16. 9 x y + 9 xy = 3 xy x + y 9m = 32 m 6mn − 12mn = 2 ⋅ 3mn (n − 2) ⇒ 18 x 3 ( x 2 − 4) ( x − 3) ) = x (2 x − 3 y) 2 2 x − 3x y = x 3 (2 x − 3 y) 4 ( ) (x + 1) 17. x 2 y − xy = xy x − 1 x3 + x2 = x2 mcm a x (2 x − 3 y ) ( 2 2 8m − 24 = 2 3 (m − 3) ⇒ 72 x 3 y 2 ( x − 5) ) 25. n2 x 2 + n2 y 2 = n2 (x 2 + y 2 ) nx 2 + 2nxy + ny 2 = n (x 2 + 2 xy + y 2 ) = n (x + y) 2 24 = 23 ⋅ 3 36a 2 = 2 2 ⋅ 32 a 2 mcm 2 2 ⋅ 32 a 2 ( x − 3 y ) ⇒ 36a ( x − 3 y ) 2ax y + 5x y = x y (2a + 5) 2 3 mcm 12 x 2 y 3 (2a + 5) 12. mn 3 − mn 2 = mn 2 (n − 1) an 3 = an3 ⇒ 24m (m2 − 9) mcm 2an3 (x + y ) ( x 2 + y 2 ) 2 19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1) 2 12 xy 2 = 22 ⋅ 3xy 2 2n = 2n mcm 23 ⋅ 3m (m + 3)(m − 3) 10. 4ax − 12ay = 2 a ( x − 3 y ) ( 26. 4 x 3 + 24 x 2 + 36 x = 2 2 x x 2 + 6 x + 9 2 a 2 b 2 = 2 a 2b 2 6 x − 18 = 2 ⋅ 3 ( x − 3) mcm 6a b 2 2 x − 8 x + 8 x = 2 x ( x 2 − 4 x + 4) 3 2 = 2 x ( x − 2) 2 2 3 = 2 x ( x + 3) 2 2 x2 = x2 mcm x ( x + 2) ( x − 1) 2 2 ) 2 2 (x + 1)(x − 3) 20. x + 4 x + 4 = ( x + 2) x + x − 2 x = x ( x + x − 2) = x ( x + 2)( x − 1) 2 2 32 ⋅ 2 3 x 3 y 2 ( x − 5) mcm 2 ( 2 2 8 x 3 = 23 x 3 2 18. 6m + 18m = 2 ⋅ 3m m + 3 mcm 10 (1 − 3b) ) 12 x y = 3 ⋅ 2 x y 2 ⇒ 4 x y ( x − 1) 3x + 6 = 3 ( x + 2) 2 3 2 2 24. 9 x − 45x = 3 x x − 5 mcm 2 2 x 2 y ( x − 1)( x + 1) 2 3 a2 x2 = a2 x2 2 4 x = 22 x ⇒ 18mn (n − 2) mcm 15 ( x + 2) 10 = 5 ⋅ 2 9. 5 − 15b = 5 (1 − 3b) ( 23. 4 x 3 − 12 x 2 y + 9 xy 2 = x 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 mcm 5⋅ 2 ⋅ 32 x 2 y ( x 2 + y 2 ) 15 = 5 ⋅ 3 mcm m2 n 2 (n − 1) mcm 2 ⋅ 32 x 3 ( x + 2)( x − 2)( x − 3) 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 2 ⋅ 32 mn (n − 2) m2 = m 2 = 3x ( x − 3)( x + 2) 6 x = 2 ⋅ 3x 3 ⇒ 90 x 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 mn = mn ) 3x 3 − 3x 2 − 18x = 3x ( x 2 − x − 6) 10 = 5⋅ 2 2 3 = 32 x 2 ( x + 2)( x − 2) 3 ⇒ 54a 3b 3 (a + 3b) mcm 14 x (3x + 2 y ) 2 3 mcm 2 ⋅ 33 a 3b3 (a + 3b) 2 3 3 18b3 = 2 ⋅ 32 b 3 6 x 2 + 4 xy = 2 x (3x + 2 y ) 2 9 x 4 − 36 x 2 = 32 x 2 ( x 2 − 4) 9a 2 = 32 a 2 6a 2b = 2 ⋅ 3 a 2b 11. ( 15. 27a b + 81a b = 3 a b a + 3b mcm 23 (1 + 2a ) = 8 (1 + 2a ) 8. 22. 3 2 8 = 23 mcm 2 3 4 2 4. 4 + 8a = 2 (1 + 2a ) 7. ⇒ 18a 2b ( x − 2 y ) mcm 5x y ( x − 1) 4 14 x = 7 ⋅ 2 x 2 x2 y3 = x2 y3 x y = x2 y 2 6. ) xy 2 = xy 2 2 2 mcm 3 ⋅ 2a 2b ( x − 2 y ) 2 14. 5x 5 − 5x 4 = 5x 4 x − 1 mcm 3b (a − b) mcm 6ab = 2 ⋅ 3ab mcm 6a b (a − 2b) 2 5. 2 2 3b2 = 3b 2 9a 2 x − 18a 2 y = 32 a 2 ( x − 2 y ) x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y) 2a 2 = 2a 2 6ab = 2 ⋅ 3ab 2 2 21. 2 x 3 + x 2 − 6 x = x ( x 2 + x − 6) = x ( x + 3)( x − 2) 8 x = 23 x 2 2 mcm 8 x 2 ( x + 3) ( x − 2) 2 2 )
  • 136. 6 x 3 + 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 (x + 1) 27. 28. ax − a + bx − b = a ( x − 1) + b ( x − 1) = (a + b)( x − 1) 2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 − x + 1) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 x + 1 = ( x + 1)( x − x + 1) 3 2 3x = 3x 3 4 xy 2 = 2 2 xy 2 3x − 3x 2 = 3x 2 ( x − 1) 3 3 mcm 2 ⋅ 3x 3 (x + 1)( x 2 − x + 1) mcm 2 2 ⋅ 3 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) ⇒ 12 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) 2 ⇒ 6 x 3 ( x + 1)(x 2 − x + 1) 29. 5ab 3 − 5b 4 = 5b 3 (a − b) ( ) 30. 14 x + 14 = 7 ⋅ 2 x + 1 12a − 24ab + 12b 2 = 2 2 ⋅ 3 (a 2 − 2ab + b 2 ) x + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 2 2 = 2 2 ⋅ 3 (a − b) 7 x 2 + 7 = 7 ( x 2 + 1) 2 6a b = 2 ⋅ 3a b 2 2 2 28 x = 7 ⋅ 2 2 x x 2 + 1 = (x 2 + 1 ) 4b = 2 2 b 2 a = 2a mcm 28 x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2 mcm = 5⋅ 2 2 ⋅ 3a 2b 3 (a − b) ⇒ 60a 2b 3 (a − b) 2 2 EJERCICIO 117 ( ) 11. x + y = (x + y)(x − xy + y ) (x + y) = (x + y) = a (a + b) 3x + 3 = 3 ( x + 1) mcm ( x + y) ( x − xy + y ) a + a b = a (a + b) mcm 2 ⋅ 3 ( x − 1)( x + 1) 12. x − y = ( x − y )( x + xy + y ) mcm a (a + b) ⇒ 6 ( x − 1) (x − y) = (x − y) 7. 2bx + 6bx − 8b = 2b (x + 3x − 4) 2. 10 x − 40 = 5 ⋅ 2 (x − 4) = 2b ( x + 4)( x − 1) mcm ( x − y ) ( x + xy + y ) = 5 ⋅ 2 ( x + 2)(x − 2) 3ax + 12a = 3a ( x + 4) 13. 4 x − 7 x − 2 = ( 4 x) − 7 ( 4 x ) − 8 5x + 10 = 5 (x + 2) mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x − 1) = [(4 x − 8)(4 x + 1)] ÷ 4 mcm 5⋅ 2 (x + 2)(x − 2) ⇒ 6ab ( x + 4)( x − 1) = ( x − 2)(4 x + 1) ⇒ 10 (x − 4) 8. x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 3. x − 4 y = ( x + 2 y )( x − 2 y ) x − 25x = x ( x − 25) mcm ( x − 2)(4 x + 1)( x + 5) x + 2 x y = x (x + 2 y) = x ( x + 5)( x − 5) a + a − 30 = (a + 6)(a − 5) 14. mcm x ( x + 2 y )( x − 2 y ) mcm x ( x + 5)( x − 5)( x − 3) a + 3a − 18 = (a + 6)(a − 3) ⇒ x (x − 4 y ) mcm (a + 6)(a − 3)(a − 5) ⇒ x ( x − 25)( x − 3) 4. x − 6 x + 9 = ( x − 3) 15. x + 2 x − 15x = x ( x + 2 x − 15) 9. ( x − 1) = ( x − 1) 3a x − 9a = 3a ( x − 3) = x ( x + 5)( x − 3) x − 1 = ( x + 1)( x − 1) mcm 3a ( x − 3) x − 9 x + 5x − 45 = x ( x − 9) + 5 ( x − 9) mcm ( x + 1)( x − 1) = ( x + 5)( x − 9) 5. 4a − 12ab + 9b = (2a − 3b) 10. ( x + 1) = ( x + 1) = ( x + 5)( x + 3)( x − 3) 4a − 9b = (2a + 3b)(2a − 3b) x + 1= x + 1 mcm x ( x + 5)( x + 3)( x − 3) mcm (2a + 3b)(2a − 3b) mcm ( x + 1)( x + 1) ⇒ x ( x + 5)( x − 9 ) ( ) 3 2 2 2 2 6. a + 2a b + ab = a a + 2ab + b 1. 6 x − 6 = 2 ⋅ 3 x − 1 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
  • 137. x 6 − 4 x 3 − 32 = ( x 3 − 8)( x 3 + 4) 16. 15x + 15 = 5⋅ 3 ( x + 1) = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)(x 3 + 4) 5x − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1) ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 = ax 2 ( x 2 + 2 x + 4) 2 mcm 5⋅ 2 ⋅ 3( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) ⇒ 30( x 2 + 1)( x 2 − 1) mcm ax 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x 3 + 4) ( ) ( )( ) 8 (x − y) = 2 (x − y ) mcm 2 ⋅ 3 ( x + y )( x − y ) ⇒ 24 ( x + y )( x − y ) 18. 5( x + y ) = 5 (x + y) 10 (x + y ) = 5⋅ 2 ( x + y ) mcm 10( x + y )( x + y) 19. 6a (m + n) = 2 ⋅ 3a (m + n) 4a b (m + n ) = 2 a b (m + n)(m − mn + n ) mcm 2 ⋅ 3 a b (m + n) (m − mn + n ) ⇒ 12 a b (m + n) (m − mn + n ) 20. ax (m − n) = ax (m − n) x (m − n ) = x (m − n)(m + mn + n ) mcm ax (m − n) (m + mn + n ) 2a + 2a = 2a (a + 1) 21. 3a − 3a = 3a (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) mcm 2 ⋅ 3a (a + 1)(a − 1) ⇒ 6a (a − 1) 22. x + 2 x = x ( x + 2) x − 2 x = x ( x − 2) x − 4 = ( x + 2)(x − 2) mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x − 4) 2 2 2 17. 12 x − y = 2 ⋅ 3 x + y x − y 2 2 3 2 3 2 2 2 2 x 2 − xy = x ( x − y) mcm x ( x + y)( x − y)(a − 2b) ⇒ x ( x 2 − y 2 )(a − 2b) 2 4a 2b + 4ab 2 = 2 2 ab (a + b) 2 2 27. 6a − 6b = 2 ⋅ 3 (a − b) 3 3 2 = ( x + y)(a − 2b) x 2 + xy = x ( x + y) 2 3 3 26. ax − 2bx + ay − 2by = x (a − 2b) + y (a − 2b) 2 2 2 10 x 2 + 10 = 5⋅ 2 ( x 2 + 1) 25. 2 2 2 3 2 2 2 2 15a − 15b = 5⋅ 3(a − b 2 ) = 5⋅ 3 (a + b)(a − b) 2 2 2 mcm 2 2 ⋅ 3⋅ 5ab (a + b)(a − b) ⇒ 60ab (a 2 − b 2 ) ( )( ) x − 125 = ( x − 5)( x + 5x + 25) 2 x + 10 = 2 ( x + 5) mcm 2 ( x + 5)(x − 5)(x + 5x + 25) 29. a b − 6a b + 9ab = ab (a − 6ab + 9b ) = ab (a − 3b) a − 2ab − 3b = (a − 3b)(a + b) ab + b = b (a + b) mcm ab (a − 3b) (a + b) 2m + 2mn = 2m (m + n) 30. 4mn − 4n = 2 n (m − n) 6m n − 6mn = 2 ⋅ 3mn (m − n ) = 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) 23. x + x − 2 = ( x + 2)( x − 1) mcm 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) ⇒ 12mn (m − n ) x − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1) 31. 20 ( x − y ) = 2 ⋅ 5 ( x + y)( x − y ) x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 15( x − y) = 5⋅ 3 ( x − y ) mcm ( x + 2)( x − 1)( x − 3) 12 ( x + y ) = 2 ⋅ 3 ( x + y ) 24. 4 + 12a + 9a = (2 + 3a ) 3a + 14a + 8 = (3a ) + 14 (3a ) + 24 mcm 2 ⋅ 5⋅ 3 ( x + y ) ( x − y ) ⇒ 60 ( x + y ) ( x − y) = [(3a + 12)(3a + 2)] ÷ 3 = (a + 4)(3a + 2) 32. ax + 5ax − 14a = a ( x + 5x − 14) = a ( x + 7)( x − 2) 6a + 13a + 6 = (6a ) + 13(6a ) + 36 x + 14 x + 49 x = x ( x + 14 x + 49) = x ( x + 7) = [(6a + 9)(6a + 4)] ÷ 3⋅ 2 = (2a + 3)(3a + 2) x + 7 x − 18 x = x ( x + 7 x − 18) = x ( x + 9)( x − 2) mcm (a + 4) (2a + 3)(3a + 2) mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9) 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 28. x − 25 = x + 5 x − 5 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
  • 138. 2 38. ( ) ( ) 16 + 8x 2 + x 4 = (4 + x 2 ) 2 2 2 = 3x ( x + 3)(x − 3) 3x − 27 x = 3x (x − 9) = (2 − x) (2 + x ) 16 − 8 x 2 + x 4 = (4 − x 2 ) 5x + 30 x + 45x = 5x ( x + 6 x + 9) = 5x ( x + 3) 16 − x 4 = (4 + x 2 )(4 − x 2 ) = (4 + x 2 )(2 + x)(2 − x) 2 2 2 mcm 2 ⋅ 3⋅ 5x (x + 3) ( x − 3) ⇒ 30 x ( x + 3) (x − 3) mcm (4 + x 2 ) (2 + x) (2 − x) 34. 3 − 3a = 3(1 − a ) = 3 (1 + a )(1 − a ) 39. 1 + a = 1 + a 6 + 6a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) (1 + a ) = (1 + a) 12 + 12a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 9 − 9a = 3 (1 − a ) mcm (1 + a ) (1 − a + a )(1 + a ) mcm 2 ⋅ 3 (1 + a )(1 + a )(1 − a ) 40. 8n − 10n − 3 = (8n) − 10 (8n) − 24 ⇒ 36 (1 + a )(1 − a ) = 36 (1 − a ) = [(8n − 12)(8n + 2)] ÷ 4 ⋅ 2 = (2n − 3)(4n + 1) 2 (3n − 2) = 2 (3n − 2) 35. 20n + 13n + 2 = ( 20n) + 13 ( 20n) + 40 135n − 40 = 5 (27n − 8) = 5 (3n − 2)(9n + 6n + 4) = [(20n + 8)(20n + 5)] ÷ 4 ⋅ 5 = (5n + 2)(4n + 1) 12n − 8 = 2 (3n − 2) 10n − 11n − 6 = (10n) − 11(10n) − 60 = [(10n − 15)(10n + 4)] ÷ 5⋅ 2 = (2n − 3)(5n + 2) mcm 5⋅ 2 (3n − 2) (9n + 6n + 4) mcm (2n − 3)(5n + 2)(4n + 1) ⇒ 20(3n − 2) (9n + 6n + 4) 41. 6a + ab − 2b = 36a + 6ab − 12b 36. 12mn + 8m − 3n − 2 = 4m (3n + 2) − (3n + 2) = [(6a + 4b)(6a − 3b)] ÷ 2 ⋅ 3 = (4m − 1)(3n + 2) = (3a + 2b)(2a − b) 48m n − 3n + 32m − 2 = 16m (3n + 2) − (3n + 2) 15a + 22ab + 8b = (15a) + 22b (15a ) + 120b = (16m − 1)(3n + 2) = [(15a + 12b)(15a + 10b)] ÷ 3⋅ 5 = (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2) = (5a + 4b)(3a + 2b) 6n − 5n − 6 = (6n) − 5( 6n) − 36 10a + 3ab − 4b = (10a) + 3b (10a) − 40b = [(6n − 9)(6n + 4)] ÷ 3⋅ 2 = [(10a + 8b)(10a − 5b)] ÷ 2 ⋅ 5 = (2n − 3)(3n + 2) = (5a + 4b)(2a − b) mcm (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)(2n − 3) mcm (3a + 2b) (2a − b)(5a + 4b) ⇒ (16m − 1) (3n + 2)(2n − 3) 33. 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x = 2 x x 2 − 6 x + 9 = 2 x x − 3 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 37. 15a x + 16a x − 15a x = a x (15x + 16 x − 15) 2 5 2 [ ] 2 = a 2 x 3 (15x ) + 16 (15x ) − 225 =a x 2 3 18 x + 60x + 50 x = 2 x (9 x + 30 x + 25) 2 [ = (3x + 2 y )(4 x − y ) 15x + 13xy + 2 y = (15x ) + 13 y (15x ) + 30 y 2 2 ] 2 = 2 x ( 9 x ) + 30 ( 9 x ) + 225 [ [ ] = (3x + 2 y )(5x + y ) 20 x 2 − xy − y 2 = (20 x ) − y (20 x ) − 20 y 2 2 [ 12ax 3 + 20ax 2 = 2 2 ax 2 (3x + 5) = (4 x − y )(5x + y ) 2 = 4a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3) 2 ] = (20 x − 5 y )(20 x + 4 y ) ÷ 5⋅ 4 2 mcm = 22 a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3) ] = (15x + 10 y )(15x + 3 y ) ÷ 5⋅ 3 = 2 x (9 x + 15)(9 x + 15) ÷ 3⋅ 3 = 2 x (3x + 5) 2 2 2 [ ] = (12 x + 8 y )(12 x − 3 y ) ÷ 4 ⋅ 3 [(15x + 25)(15x − 9) ÷ 5⋅ 3] = a 2 x 3 (3x + 5)(5x − 3) 3 2 2 2 42. 12 x + 5xy − 2 y = (12 x ) + 5 y (12 x ) − 24 y 2 4 mcm (4 x − y)(5x + y)(3x + 2 y)
  • 139. 6b 2 x 2 + 6b 2 x 3 = 2 ⋅ 3b 2 x 2 (1 + x ) 43. ( b (a 3a 2 x − 3a 2 x 2 = 3a 2 x (1 − x ) 2 [ ] = b [a (a + b)] = a b (a − b) x 4 + 8x − 4 x 3 − 32 = x 3 (x − 4) + 8 ( x − 4) 48. 2 m3 − 27n3 = (m − 3n)(m2 + 3mn + 9n2 ) m2 − 6mn + 9n2 = (m − 3n) a 2 x 4 − 2a 2 x 3 − 8a 2 x 2 = a 2 x 2 ( x 2 − 2 x − 8) 2 m2 + 3mn + 9n 2 = (m2 + 3mn + 9n 2 ) = a 2 x 2 (x − 4)( x + 2) mcm (m − 3n) (m2 + 3mn + 9n2 )(m + 3n) 2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 = 2 x 2 (x 2 − 2 x + 4) = ( x 4 − 6 x 2 + 9) − 4 x 2 2 m2 − 9n2 = (m − 3n)(m + 3n) = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)(x − 4) x 4 − 10 x 2 + 9 = ( x 4 − 10x 2 + 9 + 4 x 2 − 4 x 2 ) = a 2b (a + b) 2 2 mcm 2a 2 x 2 ( x + 2)(x 2 − 2 x + 4)( x − 4) 2 mcm a 2b 2 (a + b) (a − b) ⇒ 6a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = ( x 3 + 8)( x − 4) = ab2 (a − b) 2 a 2b − ab2 = ab (a − b) mcm 2 ⋅ 3a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x ) 45. 2 2 a 4b 2 − a 2b 4 = a 2b 2 (a 2 − b 2 ) = a 2b 2 (a + b)(a − b) 1 − x 4 = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x ) 44. ) + ab) 2 47. a ab − b 2 EJERCICIO 118 1. a2 a = ab b 10. 21mn3 x 6 3nx 4 = 28m4n2 x 2 4m3 = ( x − 3)( x + 1)( x + 3)( x − 1) 2. 2a 1 = 8a 2b 4ab 11. 42a 2c 3n 21n = 26a 4 c 5m 13a 2 c 2m = ( x + 4 x + 4) − 1 x 2y 2 1 3. x 3 y 3 = xy 7x 3 y 4 z6 1 12. 34x 7 y 8z10 = 2x 4 y 4 z4 ax 3 a 4. x 5 y = x 2 y 4 4 13. 30x 6 y 2 2x 2 y 2 = 3 3 3 4 3 45a x z 3a z 14. a 5b 7 1 = 3a 8b 9c 3a 3b2 c 15. 21a 8b10 c12 a 4b 9c10 = 63a 4bc 2 3 = ( x 2 − 3) − 4 x 2 2 = ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 + 2 x − 3) x + 4 x + 3 = ( x 2 + 4 x + 3 + 1− 1) 2 2 = ( x + 2) − 1 2 = ( x + 2 + 1)( x + 2 − 1) = ( x + 3)( x + 1) x 2 − 4 x + 3 = ( x 2 − 4 x + 3 + 1 − 1) = ( x 2 − 4 x + 4) − 1 2 3 = ( x − 2) − 1 5. 2 = ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3) x 3 − 9 x + x 2 − 9 = x 2 ( x + 1) − 9 ( x + 1) = ( x 2 − 9)( x + 1) = ( x + 3)( x − 3)( x + 1) (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 46. 1 − a = (1 − a ) 1 − a = (1 + a )(1 − a ) 1 − 2a + a = (1 − a ) mcm (1 − a ) (1 + a + a )(1 + a ) mcm 3 ⇒ ( x 2 − 9)( x 2 − 1) 6m n = 2mn3 3m 9x 2 y 3 3 6. 24a 2 x 3 y 4 = 8a 2 xy 7. 8m4n3 x 2 m3n = 24mn2 x 2 3 17. 2 8. 12x 3y 4 z5 3x 2 y 2 z4 = 32xy 2 z 8 2 2 2 2 2 54x 9 y11z13 6 16. 63x10 y12 z15 = 7xyz2 9. 12a 2b3 1 = 60a 3b5 x 6 5ab 2 x 6 a 15a12b15 c 20 = 75a11b16 c 22 5bc 2 18. 75a7m5 3a 4 = 100a 3m12n3 4m7n3
  • 140. EJERCICIO 119 3ab 3ab 3b 1. 2a 2 x + 2a 3 = 2a 2 x + a = 2a x + a ( ) ( ) 15. 2ax + ay − 4bx − 2by ax − 4a − 2bx + 8b xy xy 1 2. 3x 2 y − 3xy 2 = 3xy x − y = 3 x − y ( ) ( ) 2ax + 4bx 2 x (a + 2b) 2 x = 3. 3ay + 6by = 3 y (a + 2b) 3 y 10a 2b 3c 5. 16. x 2 − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1) = = x+1 x−3 x−3 4. a 2b 3c = = = 80 (a 3 − a 2b) 8a 2 (a − b) 8 (a − b) (x + 2)(x − 2) = x − 2 x2 − 4 6. 5ax + 10a = 5a 5a ( x + 2) 2 2 2 2 2 2 2 m −n 2 2 2 (a − x) 3 20. a 3 − x3 2 2 (m − n) = m − n (m + n)(m − n) m + n 2 = (a − x) (a − x) = = (a − x)(a + ax + x ) a + ax + x 3 2 2 2 2 2 [(a + 1)(1− a)] = (1− a) = + 2a + 1 a+1 (1− a ) 2 2 2 22. a 2 2 ( 2 x 3 + 4 x 2 − 21x x (x + 4 x − 21) (x + 7)(x − 3) x + 7 = = = 12. x3 − 9x x ( x 2 − 9) (x + 3)(x − 3) x + 3 2 13. 6 x + 5x − 6 15x 2 − 7 x − 2 ( 6 x ) 2 + 5 ( 6 x ) − 36 (15x) 2 − 7 (15x ) − 30 [(6x + 9)(6x − 4)]÷ 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2) = 2 x + 3 = [(15x − 10)(15x + 3)]÷ 5 ⋅ 3 (3x − 2)(5x + 1) 5x + 1 1 a3 + 1 a3 + 1 a3 + 1 = 3 = 3 = 14. a 4 − a 3 + a − 1 a (a − 1) + (a − 1) (a + 1)(a − 1) a − 1 ) 2 4 x2 − y2 (x + y)(x − y) ( )( ) x+ y = 2 2 24. x 3 − y 3 = x − y x 2 + xy + y 2 x + xy + y (a − 2b) a 2 − 4ab + 4b 2 a − 2b = = 3 3 a − 8b (a − 2b)(a 2 + 2ab + 4b2 ) a 2 + 2ab + 4b2 25. 2 2 2 a 2b 2 (a 2 − b 2 ) a b −a b a 2b 2 = 2 2 2 2 = 2 2 23. a 4 − b4 (a + b )(a − b ) a + b 4 2 2 = 2 3 a 2 − a − 20 (a − 5)(a + 4) a + 4 = 21. a 2 − 7a + 10 = (a − 5)(a − 2) a − 2 2 11. 2 = (m − n) 2 2 2 (x + y)(x − xy + y ) = x − xy + y (x + y) (x + y) ( x + y) 3 2 2 2 (a − 3b)(a + 2b) = (a − 3b)(a + 2b) = a + 2b ax (a − 3b) ax (a − 3b) ax (a 2 − 6b + 9b 2 ) 2 ( 3x ) 2 − 4 ( 3x ) − 45 2 (2 x + y)(a − 2b) = 2 x + y (x − 4)(a − 2b) x − 4 a 2 − ab − 6b 2 a x − 6a 2bx + 9ab 2 x x3 + y3 19. (x − 3)(x − 2) [(3x − 9)(3x + 5)] ÷ 3 = (x − 3)(3x + 5) = 3x + 5 = (x − 3)(x − 2) x − 2 (x − 3)(x − 2) 15a b (n − 3m) 15a bn − 45a bm 3 = = 8. 10a b n − 30a b m 10a b (n − 3m) 2b (x + y)(x − y) = x − y x −y 9. x + 2 xy + y = x+ y ( x + y) 3xy ( x + 5) 3x y + 15xy 3xy = = 10. x − 25 (x + 5)(x − 5) x − 5 = 1 m2 + n 2 m2 + n 2 = 2 2 2 2 = 2 2 17. m4 − n 4 (m + n )(m − n ) m − n 18. 2 7. 3x − 4 x − 15 x 2 − 5x + 6 = x (a − 2b) − 4 (a − 2b) 3 = b 3c 2 x (a − 2b) + y (a − 2b) 24a 3b + 8a 2b 2 36a 4 + 24a 3b + 4a 2b 2 = 8a 2b (3a + b) 4a (9a 2 + 6ab + b 2 ) 2 n3 − n 26. 2 n − 5n − 6 = 27. n (n 2 − 1) (n − 6)(n + 1) 8n3 + 1 8n 3 − 4n 2 + 2n 2b (3a + b) (3a + b) 2 2 = n (n + 1)(n − 1) n (n − 1) = (n − 6)(n + 1) n − 6 (2n + 1)(4n − 2n + 1) = 2n + 1 2n 2n (4n − 2n + 1 ) 2 = = = 2b 3a + b
  • 141. 2 28. a − (b − c) (a + b)2 − c2 2 (a + b − c)(a − b + c) = a − b + c = (a + b − c)(a + b + c) a + b + c 29. (a + b) − (c − d ) (a + c) − (b − d ) (a + b + c − d )(a + b − c + d ) = (a + b + c − d )(a − b + c + d ) 2 2 = = a + b− c+ d = a− b+ c+ d 40. = − 15(4a 2 ) − 16 4 2 2 2 2 46. 2 x − 3xy 3 ) x (x − 3 y 35. x 4 − 6 x 2 y 2 + 9 y 4 = 2 x − 3y 2 ( 2 ) )= 2 x = x 2 − 3y 2 42. m − 27 3 mn (m2 + 3m + 9) (m − 3)(m 2 = + 3m + 9) = a (125 + a 3 ) 2a (a + 10a + 25) 2 (5 + a)(25 − 5a + a ) 2 (a + 5) 2 3 2 36. m n + 3m n + 9mn = = = 2 2 125a + a 4 3 2a + 20a 2 + 50a 2 x ( x + 4 xy + 16 y 16a 2 x − 25x 12a 3 − 7a 2 − 10a = 41. 3 2 2 2 2 x − 4y 2 2 (x − 4 y) = x ( x − 64 y ) ( x − 4 y) = x ( x − 4 y)( x + 4 xy + 16 y ) 2 2 2 a − 10 2 3m + 8n m2 + mn + n 2 3 2 44. 15a b − 18a b 2 2 20a b − 24ab 2 x 5 − 64 x 2 y 3 2 2 2 2 2 = 2 2 ( x − 4 y) 2 2 2 x 2 ( x − 6) x 2 x 3 − 6x 2 = 33. x 2 − 12 x + 36 = (x − 6)2 x − 6 3 2 2 2 10a 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 5 (a + b) = 3 6a 2 (a 2 − ab + b 2 ) 2 2 3a b (5a − 6) 3a (a − 10)(a + 2) = = 4ab (5a − 6) 4b (4a − 16)(4a + 1)] ÷ 4 [ = (a − 10)(a + 2) 45. 9 x − 24 x + 16 9 x − 16 x (a − 4)(4a + 1) = (3x − 4) (a − 10)(a + 2) = x (9 x − 16) (a + 2)(a − 2)(4a + 1) = (3x − 4) 3x − 4 (a − 10)(a + 2) = = x (3x + 4)(3x − 4) x (3x + 4) (a − 2)(4a + 1) = a (4a 2 − 8ab) 4a 2 (a − 2b) 4a = = 32. x (3a 2 − 6ab) 3ax (a − 2b) 3x 34. 2 (4a ) (m − n)(m + mn + n ) [(3m + 8n)(3m − 3n)] ÷ 3 = (m − n)(m + mn + n ) (3m + 8n)(m − n) = (m − n)(m + mn + n ) = 4a − 15a − 4 a 2 − 8a − 20 ( 3m) 2 + 5n ( 3m) − 24n 2 2 (x + 5)(3x + 4) = x + 5 (3x + 4)(2 x + 3) 2 x + 3 2 2 10a 2 (a 3 + b 3 ) 31. 6a 4 − 6a 3b + 6a 2b2 = [(3x + 15)(3x + 4)] ÷ 3 [(6 x + 8)(6x + 9)]÷ 2 ⋅ 3 4 2 3x 3 + 9 x 2 3x ( x + 3) 3x 2 = 30. x 2 + 6 x + 9 = (x + 3)2 x + 3 = m3 − n 3 (3x ) 2 + 19 ( 3x) + 60 = ( 6 x) 2 + 17 (6 x ) + 72 2 2 2 2 43. 3m + 5mn − 8n 2 39. 3x + 19 x + 20 6 x 2 + 17 x + 12 mn m− 3 2 2 x 4 − 8 x 2 + 15 ( x − 5)( x − 3) x 2 − 5 = 2 = 4 37. x −9 (x + 3)(x 2 − 3) x 2 + 3 2 2 a 4 + 6a 2 − 7 (a + 7)(a − 1) a 2 + 7 = 2 = 38. 4 2 a + 8a − 9 (a + 9)(a 2 − 1) a 2 + 9 a 2 − 5a + 25 = = 2 (a + 5) a 2 n2 − 36a 2 an 2 + an − 30a = = 2 47. a (n + 6)(n − 6) = n−5 [ x (4a + 5)(4a − 5) 2 a (12a ) − 7 (12a ) − 120 [ x (4a + 5)(4a − 5) x (4a + 5)(4a − 5) a (4a − 5)(3a + 2) ] = x(4a + 5) a (3a + 2) x (8 x 3 − y 3 ) x (4 x 2 − 4 xy + y 2 ) 2 (2 x − y)(4 x + 2 xy + y ) x (2 x − y ) 2 = ] a (12a − 15)(12a + 8) ÷ 3⋅ 4 8 x 4 − xy 3 4x − 4x3 y + x2 y2 = (n + 6)(n − 5) a (n − 6) = a (12a 2 − 7a − 10) 4 a 2 (n 2 − 36) a (n2 + n − 30) x (16a 2 − 25) 2 2 4 x 2 + 2 xy + y 2 x (2 x − y )
  • 142. 2 53. 4a − ( x − 3) 48. 3an − 4a − 6bn + 8b 6n2 − 5n − 4 = 2 3n (a − 2b) − 4 (a − 2b) ( 6n) 2 − 5 ( 6n) − 24 (3n − 4)(a − 2b) [(6n − 8)(6n + 3)]÷ 2 ⋅ 3 (3n − 4)(a − 2b) = a − 2b = (3n − 4)(2n + 1) 2n + 1 2 x ( x 2 + 2 x − 63) = 50. = x 2 ( x + 7)( x − 7) x ( x + 7) = x+9 x ( x + 9)( x − 7) = x 3 (x − y) + (x − y ) 55. x 2 (x − y) − (x − y) (x 3 + 1)(x − y) x2 − x + 1 x−1 2 x 2 ( x + 3) − ( x + 3) x 2 ( x + 3) + (x + 3) (2 x − 1)(x + 3) = 2 x − 1 = (x + 1)(x + 3) x + 1 am (a 2 − 4) + an (a 2 − 4) a 2 (a 2 − 4a − 12) a (m + n)(a 2 − 4) (m + n)(a + 2)(a − 2) a (a − 6)(a + 2) (m + n)(a − 2) = a (a − 6) = 2x2 + 1 = x (14 x 2 − 10)(14 x 2 + 7) ÷ 2 ⋅ 7 1 = x (7 x − 5)(2 x 2 + 1) x (7 x 2 − 5) ] = 2x2 + 1 2 = = 57. = a (1 − a ) + (1 − a ) 2 (a (a 2 2 − 1)(1 − a ) a 2 − 1 = 2 + 1)(1 − a ) a + 1 = 6 xy (2 x + y ) + (8 x 3 + y 3 ) = (8 x) 2 − 2 (8x ) − 24 (6 x) 2 − 5( 6x ) − 24 [(8x − 6)(8x + 4)] ÷ 2 ⋅ 4 [(6x − 8)(6x + 3)] ÷ 2 ⋅ 3 (4 x − 3)(2 x + 1) = 4 x − 3 (3x − 4)(2 x + 1) 3x − 4 (mn + 5)(mn − 2) = mn + 5 mn − 2 (mn − 2) 2 x 2 ( x + y ) − 4b 2 ( x + y) (2b − x) ( x − 4b )(x + y) = (x − 2b) ( x + 2b)(x − 2b)(x + y) = (x − 2b) (x + 2b)( x + y) = 2 2 2 6 xy (2 x + y ) + (2 x + y )(4 x − 2 xy + y [(6x + 3y)(6 x − 2 y)] ÷ 3 ⋅ 2 2 2 ) 2 (2 x + y )(4 x + 4 xy + y ) = (2 x + y ) 3x − y (2 x + y )(3x − y ) 2 − (6x 2 − 5x − 4) 2 (6 x ) 2 + y ( 6 x ) − 6 y 2 2 = − (8 x 2 − 2 x − 3) 3 2 2 2 62. x + x y − 4b x − 4b y 2 2 4b − 4bx + x 8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 6 x 2 + xy − y 2 = (x + 3)( x − 2) = x − 2 (x − 5)(x + 3) x − 5 m2 n 2 + 3mn − 10 61. 4 − 4mn + m2 n 2 a 2 (1 − a ) − (1 − a ) 2 2 a 2 (a − 6)(a + 2) 2 2 3 56. a − a − 1 + a 2 a + 1− a3 − a 3 3 52. a m − 4am + a n − 4an a 4 − 4a 3 − 12a 2 = ] x (14 x 2 ) − 3(14 x 2 ) − 70 = x 3 + 3x 2 + x + 3 = = = 51. 2 x + 6 x − x − 3 2 = 2x2 + 1 [ − ( x 2 − 2 x − 15) 4 + 5x − 6 x 2 3x (14 x 4 − 3x 2 − 5) [ − ( x 2 + x − 6) 2 60. 3 + 2 x − 8 x 3(2 x 2 + 1) 2 2 = 6x 2 + 3 5 42 x − 9 x 3 − 15x = 2 6 − x − x2 15 + 2 x − x 2 = m+ n m+ n = a 2 − 2a + 1 (a − 1)2 = 2 = 3 2 3 59. 2 (x − 1)(x − y) (x + 1)(x − x + 1) = (x + 1)(x − 1) = 4n 2 + 10n + 25 2n − 5 2 x4 + x − x3 y − y x3 − x − x2 y + y = = (1− a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1+ a + a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1− 2a + a ) + 7 x )( x 2 − 7 x ) (2n − 5)(4n + 10n + 25) (2n − 5) 2 m (1 − a ) + n (1 − a ) = 8n 3 − 125 25 − 20n + 4n 2 = 2a − x + 3 = 2a + x + 3 m − am + n − an 54. 1 − 3a + 3a 2 − a 3 x 4 − 49 x 2 3 x + 2 x 2 − 63x (x = 58. 2 = 49. (2a + x) − 9 (2a + x − 3)(2a − x + 3) = (2a + x + 3)(2a + x − 3) 2 x − 2b
  • 143. 63. x6 + x3 − 2 4 x − x3 y − x + y (x + 2)(x − 1) x (x − y ) − ( x − y) (x + 2)(x − 1) = x + 2 = (x − 1)(x − y) x − y 64. (x − x − 2)(x − 9) (x − 2 x − 3)(x + x − 6) (x − 2)(x + 1)(x + 3)(x − 3) = 1 = (x − 3)(x + 1)(x + 3)(x − 2) 3 = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 65. (a − 4a + 4)(4a − 4a + 1) 2 2 (a + a − 6)(2a − 5a + 2) 2 2 2 −2 4 1 −2 −3 1 −2 = ( x + 2)( x + 2)(x − 1) 2 1 −1 x 3 + x 2 − 8 x − 12 1 1 − 8 − 12 −2 2 12 1 −1 − 6 0 −2 = ( x + 2)( x − 3)( x + 2) = ( x + 2) ( x − 3) 2 (x = (x 4 3 − 3x)( x 3 − 1) + x 3 + x 2 )( x 2 − 1) (x + 2) (x − 1) = x − 1 (x + 2) (x − 3) x − 3 2 67. 2 2 2 2 2 2 2 2 (x − y )(x + y) (x − y )(x + x y + xy + y ) (x + y )(x − y )(x + y) = ( x − y )[ x ( x + y ) + y ( x + y ) ] (x + y )(x + y) = x + y = (x + y )(x + y) x + y 6 3 6 3 3 1 −6 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 (x + 2)(x − 1)(x − x − 4) x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 24 1 − 2 − 9 10 24 − 2 − 2 8 2 − 24 1 − 4 − 1 12 0 (x + 2)(x − 4 x 2 − x + 12) 3 −1 12 − 3 − 12 3 1 −1 −4 3 0 (x + 2)(x − 3)(x − x − 4) (x + 2)(x − 1)(x − x − 4) = x − 1 ⇒ (x + 2)(x − 3)(x − x − 4) x − 3 2 = ( x − 2) ( x + 3) x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20x − 12 1 − 2 − 7 20 − 12 2 2 0 − 14 1 0 −7 6 (x − 2)( x 1 0 3 12 0 − 7 x + 6) −7 6 2 2 4 −6 1 2 −3 0 = ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 x − 3) = ( x − 2) ( x + 3)( x − 1) 2 (x − 2) (x + 3) (x − 2) (x + 3)( x − 1) 2 ⇒ 2 = 1 x −1 2 5 3 2 72. a − a − a + 1 = a 2 (a 3 − 1) − (a 3 − 1) 0 2 (4n + 4n − 3)(n + 7n − 30) (2n − 7n + 3)(4n + 12n + 9) [(4n) + 4 (4n) − 12](n + 10)(n − 3) = [(2n) − 7 (2n) + 6](2n + 3) (n + 10)(n − 3)[(4n + 6)(4n − 2)]÷ 2 ⋅ 2 = (2n + 3) [(2n − 6)(2n − 1)]÷ 2 ⋅ (n + 10)(n − 3)(2n + 3)(2n − 1) = n + 10 = (2n + 3) (n − 3)(2n − 1) 2n + 3 3 2 2 − 12 = ( x − 2)( x + 3)( x − 2) x ( x + 1) 0 2 2 2 x −3 2 68. 2 = ( x − 2)( x + x − 6) 2 2 = 70. x − x − 8 x + 12 1 − 1 − 8 12 1 x ( x + x + 1)( x + 1)(x − 1) 2 1 2 3 2 x ( x 2 − 3)( x − 1)( x 2 + x + 1) 0 −4 1 −4 2 2 66. 6 −8 4 −3 4 −1 − 4 1 = ( x + 2) ( x − 1) ⇒ 8 −2 (x + 2)(x 3 − 2 x 2 − 3x + 4) = ( x + 2)( x 2 + x − 2) 2 0 −7 −2 1 = ( x + 2)( x 2 − x − 6) (a − 2) (2a − 1) (a + 3)(a − 2)[(2a ) − 5(2a) + 4] (a − 2)(2a − 1) = a + 3)[(2a − 4)(2a − 1)] ÷ 2 ( (a − 2)(2a − 1) = 2a − 1 = (a + 3)(a − 2)(2a − 1) a + 3 = 71. x 4 − 7 x 2 − 2 x + 8 3 2 69. x + 3x − 4 1 3 0 −4 −2 −2 −2 4 1 1 −2 0 = (a 2 − 1)(a 3 − 1) = (a − 1) (a + 1)(a 2 + a + 1) 2 a − 2 a − 6a 3 + 8a 2 + 5a − 6 1 −2 −6 8 5 −6 1 1 −1 − 7 1 6 1 −1 − 7 1 6 0 5 4 (a − 1)(a − a 3 − 7a 2 + a + 6) 4 1 −1 −7 1 6 1 0 −7 −6 1 0 −7 −6 0 (a − 1) (a 2 3 1 − 7a − 6) 0 −7 −6 −1 1 6 1 −1 −6 0 1 −1 (a − 1) (a + 1)(a − a − 6) = (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) (a − 1) (a + 1)(a + a + 1) ⇒ (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) 2 2 2 2 2 = a2 + a + 1 (a − 3)(a + 2) 2
  • 144. (x − 3) = x − 3 9 − 6x + x 2 = 11. 2 x − 7 x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 4 EJERCICIO 120 2 4 ( x − 1) 4 − 4 x 4(1 − x ) 2 =− =− 1. 6 x − 6 = 3 6 ( x − 1) 6 ( x − 1) 2. 3. a 2 − b2 12. b 3 − a 3 (a − b ) = − 1 a 2 − b2 2 2 =− b −a (a 2 − b2 ) 2 2 (m + n)(m − n) = (m + n)(m − n) = m + n = (n − m) (n − m)(n − m) (m − n)(m − n) m − n (x − 4)(x + 3) = − x + 3 x − x − 12 ( x − 4)( x + 3) = =− 16 − x (4 − x)(4 + x) (x − 4)(4 + x) 4 + x (a + b)(a − b) (b − a)(b + ab + a ) (a + b)(a − b) = − =− (a − b)(b + ab + a ) b = m2 − n 2 2 2 3y − 6 x 5. 2mx − my − 2nx + ny = 13. 3 ( y − 2 x) = 3 (2 x − y) 2x − 9x − 5 10 + 3x − x 2 2 2 (b − a ) − x (b − a ) 3 ( x − 2)(a − b) (2 − x)(b − a) ] = − 9(2 x ) − 10 = (2 x − 10)(2 x + 1) = − (x − 5)(2 x + 1) = − 2 x + 1 =− (x − 5)( x + 2) ( x − 5)(x + 2) x + 2 8 − a3 7. 2 a + 2a − 8 (2 − a)(4 + 2a + a ) = − (a − 2)(4 + 2a + a ) = − a (a + 4)(a − 2) (a + 4)(a − 2) 2 2 =3 (a + x)(a − x) = (a + x)(a − x) = a + x (x − 3)(x − a) (3 − x)(a − x) 3 − x 3x (b − 2) (2 − b)(4 + 2b + b ) 3x (b − 2) 3x =− =− (b − 2)(4 + 2b + b ) 4 + 2b + b 2 2 (2 x − y) = − 2 x − y 4 x 2 − 4 xy + y 2 (2 x − y ) = =− 5 y − 10 x 5 5(y − 2 x) 5 (2 x − y ) 2 16. (1 − a ) = − 1 − a ( ) (1 − a) 3 =− a −1 2 2 2 17. 2 x 3 − 2 x 2 y − 2 xy 2 3 y 3 + 3xy 2 − 3x 2 y = 3m ( x − y) − n ( x − y) 2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3y ( y + xy − x 2 ) 2 − 3m ( y 2 − x 2 ) + n ( y 2 − x 2 ) (3m − n)(x − y) = (3m − n)(x − y) = x − y = 1 = (n − 3m)( y − x ) (3m − n)(x − y ) (x + y)(x − y) x + y 2 (1 − a) 3 3mx − nx − 3my + ny 10. ny 2 − nx 2 − 3my 2 + 3mx 2 2 3bx − 6 x 8 − b3 = + 2a + 4 a+4 (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = a + 2 n (1 − a) − m (1 − a ) (n − m)(1 − a ) (m − n)(a − 1) m − n = (x − 2)(a − b) (a + x)(a − x) a2 + a − 2 8. n − an − m + am 9. 3 ( x − 2)(a − b) x (x − a ) − 3( x − a) 15. 2 = = 2 x 2 − 3x − 10 = a+b + ab + a 2 a2 − x2 14. x − ax − 3x + 3a 2 [(2 x) =− 2 3x (a − b) − 6 (a − b) 3 = =− =− (2 x − y)(m − n) (2 x − y)(m − n) m − n 6. 2 3ax − 3bx − 6a + 6b 2b − 2a − bx + ax = 3( y − 2 x ) 2 x (m − n) − y (m − n) 2 2 2 4. 2 2 2 =− 2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3 y ( x − xy − y 2 ) 2 (a − b) = (a − b) (b − a) (a − b) 3 18. 3 2 2 =a−b =− 2x 3y
  • 145. 2 x 2 − 22 x + 60 19. 75 − 3x 2 [(2 x) = 2 25. ] − 22 (2 x) + 120 3(25 − x 2 ) = (2 x − 12)(2 x − 10) = 3 (5 − x)(5 + x) (2 x − 12)(x − 5) = 2 (6 − x)(5 − x) = 2 (6 − x) = 3(5 − x )(5 + x ) 3(5 − x)(5 + x) 3( x + 5) 20. = 2 2 3n2 (2a − b2 ) (b 2 − 2a ) 2 21. 26. y 2 (2 x + 1) − x 2 (2 x + 1) (2 x + 1)(x (2 x + 1)( y 2 2 − y2 ) (x −x ) (x 2 =− = 3n2 (2a − b 2 ) (2a − b )(2a − b ) 2 2 = 3n 2 2a − b 2 2 2 − y2 ) − y2 ) = −1 30 x 2 y − 45xy 2 − 20 x 3 8 x 3 + 27 y 3 5x (6 xy − 9 y 2 − 4 x 2 ) (2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 5x (4 x − 6 xy + 9 y ) 5x =− =− (2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 x + 3y 2 2 2 2 2 2 n + 1 − n3 − n2 27. n 3 − n − 2n 2 + 2 (x − y ) − z ( y + z) − x (x − y − z)(x − y + z) = ( y + z − x)( y + z + x) (z + y − x)( y − x − z) = y − x − z = (z + y − x)( y + z + x) x + y + z 2 = 2 x (x 2 − y 2 ) + (x 2 − y 2 ) = 6an − 3b n b 4 − 4ab2 + 4a 2 2 2 x 3 − 2 xy 2 + x 2 − y 2 2 xy 2 + y 2 − 2 x 3 − x 2 2 (n + 1) − n (n + 1) n (n − 1) − 2 (n − 1) (1− n )(n + 1) = (1− n )(n + 1) = n + 1 = (n − 2)(n − 1) (2 − n)(1− n ) 2 − n 2 2 = 2 2 2 2 2 2 (x − 2) (x + x − 12) 28. (2 − x)(3 − x) (2 − x) ( x + 4)(x − 3) = (2 − x)(3 − x) (x − 2)(x + 4)(3 − x) = ( x − 2)(x + 4) = 3− x (3 − x) 2 2 2 3a 2 − 3ab 22. bd − ad − bc + ac = = 2 3a (a − b) 2 d (b − a ) − c (b − a ) 3a (a − b) = 3a (a − b ) (d − c)(b − a) (c − d )(a − b) = 3a c− d 2 5x 3 − 15x 2 y 29. 90 x 3 y 2 − 10 x 5 (x − 5) 3 5x 2 ( x − 3y ) = 23. 125 − x 3 ( x − 5) (5 − x)(25 + 5x + x ) (x − 5) (x − 5) =− =− (x − 5)(x + 5x + 25) x + 5x + 25 10 x 3 (9 y 2 − x 2 ) = 2 x (3y − x)(3 y + x) 3 = 2 3 2 2 2 (6x 2 − 13x + 6) = − 1 13x − 6 − 6 x 2 =− 24. 2 6 x − 13x + 6 6x 2 − 13x + 6 ( x − 3y ) =− x − 3y = −1 2 x ( x − 3 y)(3 y + x) 2 x (3 y + x) (x − 1)(x − 8x + 16) 30. (x − 4 x)(1− x ) (x + 1)(x − 1)(x − 4)(x − 4) = (1− x)(4 − x) = 4 − x = x x ( x − 4)(1+ x)(1− x) x (1 − x) 2 2 2 2
  • 146. EJERCICIO 121 1. a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 a 4 − a 3 x − 2a 2 x 2 + 2ax 3 Factor común a a 3 − a 2 x + ax 2 − x 3 3. a 3 − a 2 x − 2ax 2 + 2 x 3 − a 3 + a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 − 6x + 8x − 2 x − 6x + 6 1 a − a x − 2ax + 2 x 2 2 − a3 + a2 x + 2ax − 2 x 2 30 x − 40 x + 10 x + 30 x − 30 30 x 3 − 30 x 2 − 72 x + 72 (÷ 6) = a − ax 2 −a +a x a +x 2 a − a x − 2a x + 2ax 2 a − ax 2 − 5. 244 x 2 + 3. 084 x + 2 .160 1 3 437 x 2 − 257 x − 180 − x − 3x − 6x − 3x − 5 x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 1 x + 3x + 6x + 3x + 5 3 2 − x 4 − 3x 3 − 5x 2 x−1 − x − 3x − 5 ⇒ 2ax − ax − ax − 2ax + 2a 3 2 − 2ax 4 + 2ax 3 x + 3x + 5 2 2 ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a + 2ax − 2a mcd x + 3x + 5 2 x + 3x + 5 2 x2 − 1 − x 2 − 3x − 5 3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a − 3ax 4 + 3ax 3 − x 4 − 3x 3 − 5x 2 x 2 + 3x + 5 − x 2 − 3x − 5 Rta. + ax 3 − ax 2 x 2 + 3x + 5 3ax − 3a − 3ax + 3a x2 + 1 = ax − a 3x 3 − x 2 + 3 − ax 3 + ax 2 x 2 + 3x + 5 x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 ax − a 2x 3 + x 2 − 2 − ax 3 + ax 2 1 3 − x 4 − 3x 3 − 5x 2 x2 − 1 x2 + 1 = ax − a 4 x2 ⇒ x + 3x + 4x − 3x − 5 = mcd = a (x − 1) 1 x 2 + 3x + 5 2 4 (÷ 180) x−1 − x +1 x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 5 437 x 180 x − 180 − 2x 2 − 6x − 10 ÷ − 2 4 x−1 − 437 x 2 + 437 x x 4 + 3x 3 + 4x 2 − 3x − 5 2. x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 2 (÷ − 1. 723) − 1723x + 1723 a +x = 2 Rta. a − 2x2 x 4 + 3x 3 + 4 x 2 − 3x − 5 (− 12) 5. 244 x 2 − 3. 084 x − 2 .160 ( ÷ 12) 5 . 244 x 2 − 4 .807 x − 437 2 3 5x 2 a2 − 2x2 + 2a x − 2ax 4 12 x 2 − 11x − 1 ( 437) − 437 x + 257 x + 180 2 − 2a 2 x 2 + 2ax 3 2 (÷ 3) 36 x − 33x − 3 − 60 x 3 + 55x 2 + 5x − a4 + a3x 2 1 2 60 x 3 − 492 x 2 + 252 x + 180 3 ( ÷ − 2) 5x 3 − 41x 2 + 21x + 15 (12) 5x − 5x 2 − 12 x + 12 2 − a 2 x 2 + ax 3 2 x − 10 x 3 + 82 x 2 − 42 x − 30 3 − 5x 3 + 41x 2 − 21x − 15 a 2 x 2 − ax 3 3 2 − 30 x 4 + 30 x 3 + 72 x 2 − 72 x a 2 − ax 4 3 mcd = a (a − x) 3 3 ( 6) 5x − 5x − 12 x + 12 a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 4 1 2 4 a2 − 2x2 − 2ax 2 + 2 x 3 2 3 a− x 3 3 Factor común a 6 x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 6 (5) 6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 6 x + 6 4 3ax 2 − 3x 3 ÷ 3x 2 3 2ax 4 − ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a ( 3) 3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a (2) 2x 3 + x 2 − 2 Rta. 3x 3 − x 2 + 3
  • 147. 6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 (10) 4. 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 ( 6) Continuación 60 x 3 − 54 x 2 + 66 x + 72 (÷ 6) 60 x 3 − 130 x 2 + 180 x − 80 − 10 x + 15x − 20 x 2 2 x − 3x + 4 − x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3 + x3y − x2y 2 x 2 y 2 − xy 3 2 x 2 − 3x + 4 − x 2 y 2 + xy 3 5x 6 x 2 − 9 x + 12 (÷ 3) 2x 4 − 5x 3 y + 4x 2 y 2 − xy 3 2 x − 3x + 4 2 2 − 2 x 2 + 3x − 4 − 2x + 2x y 4 mcd = 2 x 2 − 3x + 4 1 6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 + 3x 3 y − 3x 2 y 2 x 2 y 2 − xy 3 3x − 2 − x 2 y 2 + xy 3 − 4 x 2 + 6x − 8 + 4 x 2 − 6x + 8 = 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 2 x 2 − 3x + 4 − 10 x + 15x − 20 x 3 5x + 3 2 6. 6a 5 − 3a 4 + 6a 3 + 6a 2 + 9 6 x − 9 x + 12 5. − a Rta. 3a − a + 3a + 4a Factor común x − 2 x 3 + 5x 2 y − 4 xy 2 + y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3 − 2x3 1 (÷ y) − y3 x2 y x 2 − y 2 (5) + 2 xy 2 2x − 5x 2 y + 6 xy 2 − y 3 − 5y 2 5x 2 6 xy − 6 y 5x 2 − 6 xy + y 2 − 5x 2 + 5xy − xy + y x− y − x+ y x− y 1 (÷ − y) 5x 2 − 6 xy + y 2 − 5x 2 + 6 xy − y 2 1 2 + 2a 2 +1 − a 4 − 3a 3 + 4a 2 − 3a + 5 − 3a + 6a − 3a + 6 3 2 a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5 − a 4 + 2a 3 − a 2 + 2a 5a − 5a + 5a − 5 a 3 − 2a 2 + a − 2 −1 2 −a a2 + 1 − a2 − 1 1 (÷ − 3) a 3 − 2a 2 + a − 2 (÷ 5) a3 − a2 + a − 1 1 (÷ − 1) a2 + 1 a −1 2 a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5 a 2 3 −a Continúa 3a − a − 3a + 4a − 3a + 5 (− 1) a4 − a3 mcd x ( x − y ) = x 2 − xy a 4 + 2a 2 + 1 − 3a 3 a3 − a2 + a − 1 (÷ − y) +5 2 − 6a 3 − a x− y 5x 2 − 3a 5 3 − a3 + a2 − a + 1 (÷ 6 y) 2 4 4 2 x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3 (÷ − 1) 2 5 x 4 − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 − xy 3 (2) 2 x 4 − 5x 3 y + 4 x 2 y 2 − xy 3 1 − 2a − 1 4 Rta. 6a 5 − 2a 4 + 6a 3 + 8a 2 + 10 (÷ 2) − 6a 5 + 2a 4 − 6a 3 − 8a 2 − 10 − 6 x 2 + 9 x − 12 3x − 2 5x + 3 x 2 − xy + y 2 2x 2 − 3xy + y 2 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 ( 3) 3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 (2) 2 = x 2 − xy 2x 2 − 3xy + y 2 3 − 3x 3 y + 4x 2 y 2 2 x 2 − 3x + 4 − 6 x 3 + 9 x 2 − 12 x x 2 − xy x 2 − xy + y 2 3 (÷ − 38) − 76 x 2 + 114 x − 152 3 −x + x y 4 1 − 60 x 3 + 54 x 2 − 66 x − 72 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 x 4 − 2x 3y + 2x 2 y 2 − xy 3 5. (÷ − 1) a2 + 1 1 mcd = a 2 + 1 Continúa
  • 148. Continuación Continuación 6. ⇒ 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 − 2a 5 a2 +1 − 2a 3 −a 1− 2x − x 2 − 2x 3 + x 4 7. 2a 3 − a 2 + 3 − 1− x − x + 2a + 3 4 2 + a4 + 3x + 3x 2 + 3x 3 x 2 + x 3 + x4 − 3a 2 − 3 − x2 − x3 − x4 3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 − 3a − 3a −a = a2 + 1 3a − a + 5 3 3 2 2 + a4 3m3 + 3m2 n + mn + n 2 = m (3m2 + n) + n (3m2 + n) − 5a 2 − 5 7. 2a 3 − a 2 + 3 3a 3 − a 2 + 5 1− x 2m3 + 2m2 n − mn 2 − n 3 m + n − 2m3 − 2m2 n − x +x 1− 2 x − x − 2 x + x 4 2 − 1+ 2 x + x 2 + 2 x 3 − x4 1− 2 x − x − 2 x + x 2 3 + mn2 + n3 1+ x + x 3 + 3x + 3x 3m + 3m n + mn + n 2 ( 3) 3m2 + n 2 mn + n 2 − mn − n 2 2 3+ 2x + 2x − x 2 3 (÷ x ) 1+ x + x − 3 − 3x − 3x 2 9. 2 −x +x 1+ x + x 3 4 + 30 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 2 2 a − 26a 2 + 2a 3 − 18a 3 4 3a 4 − 2a 2 + 5 − 3a + 2a − 5 4 − x 2 − x3 − x 4 Continúa 2 + 65 3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30 − 3a 5 x 2 + x3 + x 4 3 (÷ − 1) 3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30 − 6a 5 + 36a 4 + 4a 3 − 24a 2 − 10a + 60 2 39a 4 − 2x − x 2 − x 3 + x 4 + 2 x + 2x + 2x − 2a 2 + 2a − 10a − 5a 4 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 2 1− 2x + x 2 Rta. − 3a + 18a + 2a − 12a − 5a + 30 mcd = 1 + x + x 2 4 5 5 1+ x + x 2 1 + 14a 4 − 6a − 3a + 4a 6 (÷ − x) − x − x2 − x3 2m2 − n 2 3m2 + n 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 ( 2) 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 6a 6 3 3 = 1 3 m+ n − 3m − 3m n 3 (÷ − x) 3+ 2x + 2x − x 2 x + x2 + x3 2 2 2 1 − 3− 2x − 2x2 + x3 − 1− x − x 2m2 − n 2 − mn 2 − n 3 3 4 − 3x − 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 ⇒ 1− x 4 1 − 1− x − x 2 − 1− x − x 2 3 (÷ x) x + x2 + x 3 = (m + n)(3m2 + n) mcd = m + n Rta. 3 1+ x + x 2 Rta. = m (2m2 − n 2 ) + n (2m2 − n 2 ) = (m + n)(2m2 − n 2 ) + a2 5a 2 + 5 = 1− 2x + x 2 1− 3x + x 2 3 2 2 3 8. 2m + 2m n − mn − n + 4a + 5 4 1− 3x + x 2 − 3x − 2x 2 − 2x 3 + x 4 + a2 3a 2 + 3 5 1+ x + x 2 2 2 − 5a + 12a 2 − 30 (÷ 13) 3a 4 − 2a 2 + 5 a (÷ − 6) 3a 4 − 2a 2 + 5 1 mcd = 3a 4 − 2a 2 + 5 Continúa
  • 149. Continuación 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 9. − 6a + 4a 5 3a 4 − 2a 2 + 5 − 10a 3 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 2a + 1 − 3a + 2a − 5a 6 4 3a 4 − 2a 2 + 5 a2 + 3 2 3a 4 − 2a 2 +5 9a 4 − 6a 2 + 15 − 3a 4 + 2a 2 −5 − 9a 4 + 6a 2 − 15 = 2a + 1 a2 + 3 Rta. 5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 (3) (5) 10. 3x 6 − 6 x 4 + 11x 3 + 2 x − 4 15x 6 − 30x 4 + 63x 3 − 6x + 12 15x 6 − 30x 4 + 55x 3 + 10x − 20 (÷ 5) − 15x 6 + 30x 4 − 55x 3 − 10 x + 20 1 (÷ 8) 8x 3 − 16x + 32 3x − 6x + 11x + 2 x − 4 6 4 x3 − 2x + 4 3 − 3x 6 + 6x 4 − 12 x 3 3x 3 (÷ − 1) − x3 + 2 x − 4 x − 2x + 4 3 − x3 + 2x − 4 x3 − 2 x + 4 mcd = x 3 − 2 x + 4 1 5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 − 5x + 10x − 20x 6 4 x3 − 2x + 4 3x 6 − 6x 4 + 11x 3 + 2 x − 4 5x + 1 3 − 3x + 6 x − 12 x 3 6 4 x3 − 2x + 4 3x 3 − 1 3 x3 − 2x + 4 − x3 + 2 x − 4 − x3 + 2x − 4 + x3 − 2x + 4 = 6 5 4 3 2 11. n − 3n − n + 3n + 7n − 21n 5x 3 + 1 3x 3 − 1 Rta. = n5 (n − 3) − n3 (n − 3) + 7n (n − 3) = (n − 3)(n5 − n 3 + 7n) n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n2 + 14n = n5 (n + 2) − n3 (n + 2) + 7n (n + 2) = (n + 2)(n5 − n3 + 7n) n6 − 3n5 − n4 + 3n3 + 7n2 − 21n − n6 + n4 − 3n − 7n2 + 3n n− 3 − n6 − 21n 2n + 21n − 2 n5 − a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 10a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − 2a − 3a + 12a − 21a + 8 4 3 2 2a + 4a − 10a + 20a + 8a − 20a + 32 5 4 3 − 2a − 3a + 12a − 21a + 8a 6 + n4 3 a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 6 n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n 2 + 14n − 3n3 5 + 3n5 12. n5 − n 3 + 7n 5 4 3 2 2 5 − 7n2 − 2n n5 − n3 + 7n n+ 2 3 + 14n + 2n3 − 14n a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 ( 2) a (÷ − 1) 2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 (a ) a2 a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2a + 3a 4 − 12a 3 + 21a 2 − 8a 5 − 2a 5 − 4a 4 + 2a 3 − 32a 2 + 40a − 64 − a − 10a − 11a + 32a − 64 4 3 2 a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2 (− 1) Continúa = n− 3 Rta. n+ 2
  • 150. Continuación 5 4 12. a + 2a − a 4 + 10a 3 + 11a 2 − 32a + 64 ( 2) a 3 + 16a 2 − 20a + 32 − a 5 − 10a 4 − 11a 3 + 32a 2 − 64a a − 8a − 12a + 48a − 84a + 32 4 3 2 2a 4 + 20a 3 + 22a 2 − 64a + 128 − 2a 4 − 3a 3 + 12a 2 − 21a + 8 1 (÷ 17) 17a + 34a − 85a + 136 3 2 2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 − 2a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − a − 2a 3 2 a + 2a − 5a + 8 3 (÷ − 4) 2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 2a + 5a − 8 (− 1) a + 2a − 5a + 8 2 3 − a 3 − 2a 2 + 5a − 8 2 mcd = a 3 + 2a 2 − 5a + 8 1 a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 − a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 8a 4 a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 4 a4 + 1 − a 6 − 2a 5 + 5a − 8a 3 a + 2a − 5a + 8 3 2 2a − a 3 − 2a 2 + 5a − 8 = a4 + 1 a3 + 2 3 a3 + 2 + 4a − 10a + 16 2 − 2a 3 − 4a 2 + 10a − 16 Rta EJERCICIO 122 5x 2x + y 10x 2 + 5xy 15. 2x + y ⋅ 2x + y = 4x 2 + 4xy + y 2 a 2 2a 2a 3 8. a + ⋅ a = a 2 + a 2 2 2 4 3 2a 6a ⋅ = 2a 2a 4a 2 5 4a 20a ⋅ = 2. 9x 2 4a 36ax 2 m 2a 2am ⋅ = 3. ab 2 2a 2a 2b 2 1. x+3 x−3 x2 − 9 16. x + 1 ⋅ x − 3 = x 2 − 2x − 3 3a a + b 3a 2 + 3ab 9. a + b ⋅ a + b = a 2 + 2ab + b2 2 a 2 − a + 1 2a 2 − 2a + 2 17. a + 1 ⋅ a 2 − a + 1 = a3 + 1 x − 4 x + 2 x 2 − 2x − 8 10. x + 3 ⋅ x + 2 = x 2 + 5x + 6 3x 3xy 2 9x 2 y 2 4. 8y ⋅ 3xy 2 = 24xy 3 2a a 2 2a 3 11. x + a ⋅ a 2 = a 2 x + a 3 4m n 4mn ⋅ = 5n2 n 5n3 2x + 7 3 6x + 21 ⋅ = 6. 5 3 15 x − y 2 2x − 2y ⋅ = 12. 6 2 12 5 x a + b 5ax + 5bx 13. a − b ⋅ a + b = a 2 − b 2 2x x 2x 2 7. x − 1⋅ x = x 2 − x 14. 5. 18. x −1 x +1 x2 −1 19. x + 1 ⋅ x + 1 = x 2 + 2x + 1 20. 6a 3 − 10a 2 2a 6a 3 10a 2 = − 2a 2a 2 = 3a − 5a a + b 9ab 9a 2b + 9ab 2 ⋅ = 7a 2 9ab 63a 3b x +1 x − 2 x2 − x − 2 21. x + 5 ⋅ x − 2 = x 2 + 3x − 10 x − 5 3x 3x 2 − 15x ⋅ = a 3x 3ax EJERCICIO 123 1. x − 2y 3xy 3x 2y − 6xy 2 ⋅ = 3x 3xy 9x 2 y 4. 2. 9x y − 6x y + 3xy 3xy 3 2 2 3 9x 3 y 6x 2 y 2 3xy 3 = − + 3xy 3xy 3xy = 3x 2 − 2xy + y 2 3. x +3 2 x − x2 x 3 3 =x+ x 10a 2 + 15a − 2 − 10a 2 5a 2a + 3 15a − 2 − 15a −2 2 = 2a + 3 − 5a
  • 151. 9x 3 − 6x 2 + 3x − 5 5. − 9x 3x 3x − 2x + 1 3 2 11. 2x 3 − 7 x 2 + 6x − 8 2x 2 − x + 1 − 2x 3 + x 2 − x − 6x 2 − 6x + 5 x − 8 + 6x 2 6 x 2 − 3x + 3 3x 2x − 5 2x − 5 =x−3+ 2 2x − x + 1 − 3x −5 5 = 3x − 2x + 1− 3x 2 x 2 − 5 x − 16 6. 12. x+2 − x 2 − 2x 2a 4 − 3a 3 + a 2 − 2a + 2a − 2a 4 x−7 3 − 2a 2 + a 2a 2 − 2a + 2 12x 2 − 6x − 2 − a +2 a−2 = 2a − a − 2 − 2 a − a +1 4x − 1 − 12x + 3x 2 2 3x − 3x − 2 − 3x − 2 3x + 2 = 3x + = 3x − 4x − 1 4x − 1 a + 3b 3 13. − x + 2x 4 − 3x − 4 3x + 4 =x −2− 2 x −2 2 4ab 2 + 3b 3 − 4ab 2 − 8b 3 14. − 5b 3 = x − 1+ 10. − 3n − 10n + 3 15. 4x 2 + 5x + 6 8x 4 − 8x 4 − 10x 3 − 12x 2 −3 − 3x − 2 − 3x − 2 = x − 1− = 2x 2 − x2 − 3 − 3x 3 + 2x 2 y 3x − 2 y x 2 + 2 xy + 2y 2 16. 10x 3 + 12x 2 4x 2 + 5x + 6 6m5 + 3m4n − 6m 6 x 2 y + 2 xy 2 3m3 − mn2 + n3 + 2m n − 2m n 5 3 2 2 3 2m2 + mn 3m4n + 2m3n2 − 2m2n3 − 6x 2 y + 4 xy 2 6xy 2 − 6y 3 − 3m4n − 6 xy 2 + 4 y 3 − 2y + m2n3 − mn4 2m3n2 − m2n3 − mn4 3 2y 3 = x + 2xy + 2y − 3x − 2 y 2 2x 2 − 10x 3 − 12x 2 3x + 2 3 x 3 + 4 x 2 y + 2xy 2 − 6y 3 2 5n 3n2 + 10n − 3 = 5n − 2n2 − 3n + 1 x −1 x2 − 3 2 2 − x 2 − 3x + 1 x2 2n2 − 3n + 1 − 10n + 15n − 5n 5b 3 a + 2b 2 + 3x 10n3 − 18n2 − 5n + 3 3 9. x − x − 6x + 1 x − 3 2 −4 2x 2 2a 2b + 4ab 2 = a 2 − 2ab + 4b 2 − x2 − 2 x2 − 2 2 − 2 x 2 − 3x a 2 − 2ab + 4b 2 − 2a 2b − x3 x 4 − 4 x 2 − 3x a + 2b 3 − a 3 − 2a 2b 3 2a 2 − a − 2 a 3 − a2 + a −2 2 =x−7− x+2 8. a2 − a + 1 2 − a3 − a2 − 7 x − 16 + 7 x + 14 7. x−3 2 = 2m2 + mn + 2m3n2 − m2n3 − mn4 3m3 − mn2 + n3
  • 152. EJERCICIO 124 4a a+2 1. a + = a (a + 2) + 4a a+ 2 a + 2a + 4a a + 6a a (a + 6) = = a+2 a+2 a+2 2. m − n − = n2 m 2 m 3. x + 5 − = (x = m2 − mn − n2 m = 2 x2 − y2 x− y 2 x 3 − 7 x 2 + 10 x − 3x 2 − 6 x x−2 x 3 − 10 x 2 + 4 x x−2 − y2 2 2 15. a + 3ab − b + x− y 11. = 2a 3 + 5a 2b − 5ab 2 + b 3 + 7ab 2 − b 3 2a − b = 2a 3 + 5a 2b + 2ab 2 2a − b 2 (x 2 − y 2 ) x− y 2 ( x + y)( x − y ) x− y 16. 3mn + m − 2n m− n = m− n = m − 3mn + 2n + 3mn m + 2n = m− n m− n 12. 2a − 3x − 2 2 5ax − 6x 2 a + 2x 2 = a + 2x = 2a 2 − 4ax a + 2x 2 + 3ab − b 2 )(2a − b) + 7ab 2 − b 3 2a − b x3 + 2 − ( x + 1) x − x+1 = (x 3 + 2) + ( x 2 − x + 1)(− x − 1) x2 − x + 1 x3 + 2 − x3 − 1 1 = 2 x2 − x + 1 x − x+1 17. x + 3 − (2a − 3x)(a + 2 x) − (5ax − 6x ) 2a 2 + ax − 6 x 2 − 5ax + 6 x 2 = a + 2x (a 2 = (m − n)(m − 2n) + 3mn 2 a− x 2a + x − a − x a = a+ x a+ x 7ab 2 − b 3 2a − b 2x2 − 2 y2 x− y 2 = − 5x )( x − 2) − 3x ( x + 2) x−2 = = 2 x + 2 y = 2 (x + y) = 2a + x − (a + x ) = a+ x 2 = = a 2a + x 7. −1 a+ x (x 3x ( x + 2) x−2 x2 − y2 + x2 − y2 x− y = − 2 5. 1 a + a − 3 2x a− x−a− x =− = a− x a− x m3 + 8 − m 3 8 = m+ 2 m+ 2 = a 2 + ab + ab a 2 + 2ab = = a+b a+b (a − x) − (a + x) − 2m + 4)(m + 2) − m3 m+ 2 2 = 2 (x + y)(x − y) + x m3 m+ 2 = a (a + b) + ab a+b a+ x a− x = 2 2 (m 14. x 2 − 5x − x ( x − 2) x − 2x = x+2 x+2 = ab 4. a + a + b = 2 10. x + y + x + 3x − 10 − 3 x + 3x − 13 = x−2 x−2 6. 1 − − 3x )( x + 2) − ( x 2 − 6 x ) x+2 3 a (a − 3) + 1 − a 2 a a 2 − 3a + 1 − a 2 3a − 1 = =− a a x 2 − 6x x+2 = x − x − 6x − x + 6x = x+2 x−2 = 2 3 (x + 5)(x − 2) − 3 = = x−1 2 9. x − 3x − 3 x−2 2 = x2 + x − 2 − 3 x2 + x − 5 = = x−1 x−1 2 (m − n) m − n (x + 2)(x − 1) − 3 = 2 = 13. m2 − 2m + 4 − 3 8. x + 2 − x−1 = = = x3 − 2x2 + 1 x2 − 4x + 3 ( x + 3)(x 2 − 4 x + 3) − ( x 3 − 2 x 2 + 1) x2 − 4x + 3 x3 − x2 − 9x + 9 − x3 + 2x2 − 1 x2 − 4x + 3 x 2 − 9 x + 8 ( x − 8)( x − 1) x − 8 = = x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) x − 3
  • 153. 18. 3a + x − 27 19. x − 3 − x 2 − 6 x + 9 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2 = 3a (a 2 − b 2 ) + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2 = 3a 3 − 3ab 2 + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2 = 3a 2 (a + b) 3a 3 + 3a 2b = a 2 − b2 (a + b)(a − b) = 2 20. a − 3a + 5 + 3 = = (x − 3)(x 2 − 6 x + 9) − (x − 27) x 2 − 6x + 9 3 x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 − x 3 + 27 x2 − 6x + 9 − 9 x + 27 x 2 = (x − 3) 2 = = = − 9 x ( x − 3) (x − 3) 2 = 3a 2 a−b = (a 2 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2 − 3a + 5)(a 2 + a − 2) + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2 a 4 − 2a 3 + 11a − 10 + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2 (a − 1)(a + 1) (a + 2)(a − 1) (a + 2)(a − 1) (a + 1)(a + 1)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) a4 − 1 2 2 = 2 − 9x 9x = x − 3 3− x = a3 + a2 + a + 1 a+2 EJERCICIO 125 4. 3 x 1. a 1 ; b ab mcm = ab ab ÷ b = a ab ÷ ab = 1 a a⋅a a = = b ab ab 1 1⋅ 1 1 a2 1 = = ⇒ , ab ab ab ab ab 2 2. x 3 , 3 mcm = a 3b 2 2 ab ab a a 3b 2 ÷ ab 2 = a 2 a 3b 2 ÷ a 2b = ab 2 Rta. x 4 , mcm = 6a 2 x 2a 3a 2 x 6a 2 x ÷ 2a = 3ax 1 3 5 3. 2x 2 , 4x , 8x 3 8 x 3 ÷ 2x 2 = 4 x 36 x 2 y 3 ÷ 6 x 2 = 6 y 3 36 x 2 y 3 ÷ 9 xy = 4 xy 2 36 x 2 y 3 ÷ 12 y 3 = 3x 2 3 2 7 y 7 y (6 y ) 42 y 4 1 1(4 xy ) 4 xy 2 = ; 2 = 2 3 = 2 3 ; 2 3 = 6x 36 x y 36 x y 9 xy 36 x y 36 x 2 y 3 6. 8 x 3 ÷ 4 x = 2x 2 8x 3 ÷ 8x 3 = 1 1 1⋅ 4x 4x = = 2x 2 8x 3 8 x 3 3 3x ⋅ 2x 2 6x 2 = = 3 4x 8x 3 8x 5 5 ⋅1 5 = = 8x 3 8 x 3 8x 3 4x 6x 2 5 ⇒ 3 , , 8x 8x 3 8x 3 2 5x 5x (3x 2 ) 15x 3 = = 12 y 2 36 x 2 y 3 36 x 2 y 3 mcm = 8x 3 a 3b 2 ÷ a 3 = b 2 3x 3x (a ) 3a x x x ( ab) abx 3 3 (b 2 ) 3b 2 = = 2 = 3 2 = 3 2 ; 2 = 3 2 = 3 2 ; ab ab ab ab ab ab a 3 a 3b 2 a 3b 2 2 2 3a x 3b abx ⇒ 3 2 , 3 2 , 3 2 Rta. ab ab ab 1 5x 5. 7 y mcm = 36 x 2 y 3 , , 6 x 2 9 xy 12 y 3 2 6a 2 x ÷ 3a 2 x = 2 x x ( 3ax ) 3ax 2 = = 2a 6a 2 x 6a 2 x 4 4⋅2 8 = = 3a 2 x 6a 2 x 6a 2 x 3ax 2 8 Rta. ⇒ 2 , 6a x 6a 2 x , ⇒ a−1 5 a+2 mcm = 6a 2 , , 3a 6a a2 6a 2 ÷ 3a = 2a 6a 2 ÷ 6a = 1 15x 3 42 y 4 4 xy 2 Rta. 2 3 , 2 3 , 36 x 2 y 3 36 x y 36 x y 6a 2 ÷ a 2 = 6 a − 1 (a − 1) (2a) 2a 2 − 2a 5 5⋅ 1 5 = = = = ; ; 3a 6a 2 6a 2 6a 6a 2 6a 2 a + 2 (a + 2) 6 6a + 12 2a 2 − 2a 5 6a + 12 = ⇒ , , 2 = 2 2 a 6a 6a 6a 2 6a 2 6a 2 x− y x+ y 7. 2 mcm = 3x 2 y 2 , , 5 x y 3xy 2 Rta. 3x 2 y 2 ÷ x 2 y = 3 y 3x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = x x − y ( x − y) (3y ) 3xy − 3y 2 x + y ( x + y ) x x 2 + xy = = = = ; ; 2 2 2 2 2 x y 3x y 3x y 3xy 2 3x 2 y 2 3x 2 y 2 Rta. 5= 5 (3x 2 y 2 ) 15x 2 y 2 = 3x 2 y 2 3x 2 y 2 ⇒ x 2 + xy 15x 2 y 2 3xy − 3 y 2 , , 2 2 3x 2 y 2 3x y 3x 2 y 2 Rta.
  • 154. 1 m+ n m− n 8. , , 2m 5m3n 10n 2 10m3n 2 ÷ 2m = 5m2 n 2 2 3 , 5 x+1 11. mcm = 10m n 3 2 (5x + 5) ÷ 5 = x + 1 (5x + 5) ÷ (x + 1) = 5 2 2 ( x + 1) 2 x + 2 3 3⋅ 5 15 = = = = ; 10m3n 2 ÷ 5m3n = 2n m − n (m − n) ( 2n) 2mn − 2n 2 = = 5m3n 10m3n 2 10m3n 2 3 3 1(m ) 1 m = = 10n 2 10m3n 2 10m3n 2 5m3n 2 + 5m2 n 3 2mn − 2n 2 m3 ⇒ , , Rta. 3 2 3 2 10m n 10m n 10m3n 2 a + b a − b a 2 + b2 mcm = 6ab 2 9. 6 , 2a , 3b 2 6ab 2 ÷ 6 = ab 2 6ab ÷ 2a = 3b 2 5x + 5 5 10m3n 2 ÷ 10n 2 = m3 2 2 m + n (m + n) (5m n ) 5m3n 2 + 5m2 n 3 = = 3 2 2m 10m n 10m3n 2 2 mcm = 5x + 5 5x + 5 a − b (a − b) (3b = 2a 6ab 2 ) 2 2 ) = (a − b 2 ) ÷ (a + b) = a − b 2 a (a − b) a 2 − ab a = 2 2 = 2 2 ; a+b a −b a −b 10. 13. x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) x 1 , 2 x2 − 1 x − x−2 x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1) 3ab 2 − 3b 3 = ; 6ab 2 2 12a 2b 2 ÷ 4b 2 = 3a 2 12a b ÷ 2 = 6a b 2 2 mcm = ( x − 1)( x − 2)( x + 1) a 2b 2 + ab 3 ; 6ab 2 2a − b 3b − a a − 3b mcm = 12a 2b 2 , , 3a 2 4b 2 2 12a 2b 2 ÷ 3a 2 = 4b 2 2 = ( x 2 − 1)(x − 2) = x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x − x + 2 3 2 − x3 +x − 2x x −1 x − 2 x2 − x + 2 x2 − x − 2 2 3 x− 2 − x3 + x2 + 2x 2 +2 −2 x2 − x − 2 x ( x − 2) x2 − 2x x = 3 = 3 ; 2 x − 1 x − 2x − x + 2 x − 2x2 − x + 2 2 1( x − 1) x−1 1 = = x2 − x − 2 x3 − 2x2 − x + 2 x3 − 2x2 − x + 2 2 14. x2 − 2x x−1 ; 3 x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x2 − x + 2 a−3 4 (a + 5) [8 (a + 5)] ÷ [ 4 (a + 5)] = 2 2 2 a − 3b (a − 3b) 6a b 6a 3b 2 − 18a 2b 3 = = 2 2 2 12a b 12a 2b 2 4 (a + 5) 8ab 2 − 4b 3 9a 2b − 3a 3 6a 3b 2 − 18a 2b 3 Rta. , , 12a 2b 2 12a 2b 2 12a 2b 2 a−3 = 2 (a − 3) 8 (a + 5) = 8 (a + 5) ÷ 8 = a + 5 2a − 6 8 (a + 5) 3a 3a (a + 5) 3a 2 + 15a = = 8 8 (a + 5) 8 (a + 5) ⇒ 2a − 6 Rta. 3a mcm = 8 (a + 5) 8 , 3b − a (3b − a ) 3a 9a 2b − 3a 3 = ; 2 = 2 2 4b 12a b 12a 2b 2 2 x−1 − x2 + x + 2 2x2 ⇒ 2 2a − b (2a − b) 4b 8ab 2 − 4b 3 = ; 2 = 2 2 3a 12a b 12a 2b 2 ⇒ − b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = 1 2 a 2 − ab b , Rta. a 2 − b2 a 2 − b2 ⇒ (a + b )(2a ) 2a 3 + 2ab2 2 2 (a 1b b b = = a 2 − b2 a 2 − b 2 a 2 − b 2 a +b = = 3b 2 6ab 2 6ab 2 3 2 2 3 2 3ab − 3b 2a 3 + 2ab 2 a b + ab ⇒ , Rta. , 2 2 6ab 6ab 6ab 2 2 Rta. a b 2 2 12. a + b , a 2 − b 2 mcm = a − b 6ab 2 ÷ 3b 2 = 2a a + b (a + b)(ab = 6 6ab 2 x + 1 5x + 5 5x + 5 2x + 2 15 ⇒ , 5x + 5 5x + 5 8 (a + 5) , 3a 2 + 15a 8 (a + 5) Rta. ;
  • 155. 15. x2 3 (a − x) x mcm = 6 (a − x) 6 , 19. [a (a [a (a [a (a [6 (a − x)] ÷ [3(a − x)] = 2 [6 (a − x)] ÷ 6 = a − x x2 x x (a − x ) ax − x 2 ; = = 6 6 (a − x ) 6 (a − x ) 2x2 = 3 (a − x) 6 (a − x ) 2x2 ⇒ 6 (a − x ) ax − x 2 6 (a − x) , 16. 3 , 2 , x + 3 x2 x x2 − x mcm = x 2 ( x − 1) 2 2 x ( x − 1) 2x2 − 2x x ( x − 1) a (a − b (x (x [8 (a [8 (a 2 2 x ( x − 1) ] [8 (a − b )] ÷ (4a − 4b) = 2 (a + b) − b 2 ) ÷ (2a + 2b) = 4 (a − b) 2 2 8 (a − b 2 ) , 8 (a − b 2 2 ) , y 8 (a 2 − b 2 ) Rta. 2 + xy) = y x ( x + y) x x + xy = = xy xy ( x + y ) xy ( x + y ) 2 y y 3 3x = = ; x 2 + xy xy ( x + y ) xy + y 2 xy ( x + y ) xy ( x + y ) , y xy ( x + y ) , 3x a 2 + ab a (a 2 − b 2 ) Rta. 3 mcm = x 2 − 1 − 1) ÷ ( x − 1) = x + 1 (x 2 − 1) ÷ ( x 2 − 1) = 1 3x 2 − 3x x 3 + x 2 x3 , 2 , 2 Rta . 2 x −1 x −1 x −1 2 2 2 2 2 2 2 xy ( x + y ) n (m + n) n mn + n2 = = 2 2 m − mn m (m − n ) m (m2 − n2 ) 2 2 x + xy ) , m (m − n) m m2 − mn = = ; m2 + mn m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 ) 2 ⇒ 2 m 1 = ; m2 − n 2 m (m2 − n 2 ) a 2b − b 3 [xy (x + y)]÷ xy = x + y [xy (x + y)] ÷ (x [xy (x + y)] ÷ (xy + y ) = x 2 a (a − b 2 − 1) ÷ ( x + 1) = x − 1 2 2 3 2 a−b [m (m − n )] ÷ (m − n ) = m [m (m − n )] ÷ (m + mn) = m − n [m (m − n )] ÷ (m − mn) = m + n 18. xy , x 2 + xy , xy + y 2 mcm = xy ( x + y) x 2 ⇒ 2 2a 2 + 2ab 2 ] 2 2 b b (a − b ) a 2b − b 3 = = 2 2 8 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 ) 2 ) , − b2 ) ÷ 8 = a 2 − b2 1 m n mcm = m (m2 − n2 ) , , 21. m2 − n 2 m2 + mn m2 − mn 2a (a + b) 2a 2 + 2ab a = = ; 4a − 4b 8 (a 2 − b 2 ) 8 (a 2 − b 2 ) 4 (a − b) 2 2 x 2 x ( x + 1) x 3 + x 2 x3 x3 = 2 = 2 ; 2 = 2 x−1 x −1 x −1 x −1 x −1 Rta. 2 4 (a − b) 1 = ; 2a + 2b 8 (a 2 − b 2 ) ⇒ − ab) = a + b 3x 3x ( x − 1) 3x 2 − 3x = 2 = 2 x+1 x −1 x −1 mcm = 8 (a 2 − b 2 ) 1 a b 17. , , 2a + 2b 4a − 4b 8 + ab) = a − b 3x x x 20. x + 1 , x − 1 , x 2 − 1 x 2 + 3x , 2 2 2 x + 3 x ( x + 3) x 2 + 3x = = x 2 − x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) , 2 2 2 2 2 (x − x) 2 x 2 − 2 x = = ; x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) 3x − 3 2 2a ⇒ 3 3x − 3 = = ; x 2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) 2 2 ] − b )] ÷ (a − b )] ÷ (a 2 a (a + b) a a 2 + ab = = a − ab a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 ) 3( x − 1) ⇒ 2 − b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = a 2 2 2 2 2 2a 1 a−b = = ; 2 a 2 − b 2 a (a 2 − b 2 ) a + ab a (a 2 − b 2 ) Rta. [x (x − 1)] ÷ x = x − 1 [x (x − 1)]÷ x = x (x − 1) [x (x − 1)] ÷ (x − x) = x 2 2 1 a mcm = a (a 2 − b 2 ) , , a 2 − b 2 a 2 + ab a 2 − ab Rta. ⇒ m m (m − n 2 2 ) , m2 − mn m (m2 − n 2 ) n+1 n−1 n +1 22. n − 1 , n + 1 , n2 − 1 , n (m + n) m (m2 − n 2 ) Rta. 2 (n (n 2 mcm = n 2 − 1 − 1) ÷ (n − 1) = n + 1 (n − 1) ÷ (n − 1) = 1 n + 1 (n + 1)(n + 1) (n + 1) n − 1 (n − 1) = = = ; 2 − 1) ÷ (n + 1) = n − 1 2 2 2 n−1 n −1 2 n −1 2 2 n+1 n −1 2 ; (n + 1) , (n − 1) , n2 + 1 Rta. n 2 + 1 n2 + 1 = 2 ⇒ 2 2 n −1 n −1 n −1 n2 − 1 n2 − 1 2 2
  • 156. 23. a 2 − b 2 a 2 + b2 a 4 + b4 , , a 2 + b2 a 2 − b2 a 4 − b4 (a (a 4 4 mcm = a 4 − b 4 − b 4 ) ÷ (a 2 + b 2 ) = a 2 − b 2 − b ) ÷ (a − b ) = a + b 4 2 2 2 2 2 a 2 − b 2 (a − b ) 2 2 = 4 a +b a − b4 (a 2 4 27. [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (a + 4) = (3a + 5)(3a − 5) [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (9a − 25) = a + 4 [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (3a − 5) = (a + 4)(3a + 5) − b ) ÷ (a − b ) = 1 4 4 2 4 2 2 a 2 + b 2 (a + b ) ; 2 2 = 4 a −b a − b4 2 2 ; 3 (3a + 5)(3a − 5) 3 27a 2 − 75 = = ; a + 4 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25) a 4 + b4 a 4 + b4 = a 4 − b 4 a 4 − b4 (a ⇒ − b2 ) (a 2 + b2 ) , 4 4 a −b a 4 − b4 2 2 2 2 (a + 4) 2a + 8 2 = = ; 9a 2 − 25 (a + 4) (3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25) a 4 + b4 Rta. a 4 − b4 3x x−1 1 24. x − 1 , x + 2 , x 2 + x − 2 5 (a + 4)(3a + 5) 5 15a 2 + 85a + 100 = = 3a − 5 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25) mcm = x 2 + x − 2 2 2 + x − 2) ÷ ( x + 2 ) = x − 1 [(x + 2)(x [(x + 2)(x [(x + 2)(x x − 1 ( x − 1) 1 1 = = ; 2 x + 2 x2 + x − 2 x + x − 2 x2 + x − 2 2 ( x − 1) , 1 3x 2 + 6 x , 2 x + x−2 x2 + x − 2 x2 + x − 2 Rta. 26. , 2x 10( x + 3) ⇒ , 2x − 1 3x + 1 4x + 3 , , 3x + 12 6 x + 24 x+ 4 x−1 10( x + 3) 29. Rta. mcm = 6( x + 4) [6(x + 4)]÷ (x + 4 ) = 6 [6(x + 4)]÷ [3(x + 4 )]= 2 [6(x + 4)]÷ [6 (x + 4 )] = 1 2 x − 1 6 (2 x − 1) 12 x − 6 = = ; x + 4 6 ( x + 4) 6( x + 4) 12 x − 6 , 6x + 2 6( x + 4) 2 − 25) Rta. 2 2 2 ] + x − 6)] ÷ ( x + x − 6)] ÷ ( x + x − 6) ÷ ( x 2 − 4) = x + 3 2 2 (x + 1)(x + 3) + x − 6) = x + 2 + 5x + 6) = x − 2 (x + 2) 3x − 6 x Rta. , (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) 2 x2 + 4x + 3 , 2 2 2 2 mcm = (a + 5)(a 2 − 7a + 12) [(a + 5)(a [(a + 5)(a [(a + 5)(a 2 2 ] − 7a + 12)] ÷ (a − 7a + 12)] ÷ (a − 7a + 12) ÷ (a 2 + a − 20) = a − 3 2 − 7a + 12 ) = a + 5 + 2a − 15) = a − 4 (a + 3)(a − 3) = a+3 a −9 = ; + a − 20 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 5a (a + 5) 5a 5a + 25 = = ; − 7a + 12 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 1)(a − 4) = a − 3a − 4 a+1 = + 2a − 15 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 2 2 2 2 2 a2 4x + 3 4x + 3 = 6x + 24 6( x + 4) 6( x + 4) (a + 4)(9a a+3 5a a+1 , 2 , 2 a 2 + a − 20 a − 7a + 12 a + 2a − 15 a2 3x + 1 2 (3x + 1) 6x + 2 = = ; 3x + 12 6 ( x + 4) 6( x + 4) ⇒ 15a 2 + 85a + 100 3x ( x − 2 ) 3x 3x 2 − 6 x = = 2 x + 5x + 6 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6) x x−1 x−1 2x = = ; 5x + 15 10( x + 3) 10 x + 30 10( x + 3) 10( x + 3) − 25) , 2 x 5x ( x + 3) 5x 2 + 15 = = 2 10( x + 3) 10( x + 3) 5x 2 + 15 (a + 4)(9a 2 2 [10(x + 3)] ÷ 2 = 5(x + 3) [10(x + 3)] ÷ [5(x + 3)] = 2 [10(x + 3)] ÷ [10(x + 3)] = 1 ⇒ 2a + 8 (x + 2)(x + 2) = (x + 2) x+2 = ; x 2 + x − 6 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6) x−1 25. 2 , 5x + 15 , 10 x + 30 mcm = 10( x + 3) x − 25) , x2 + 4x + 3 x+1 = = ; 2 2 x − 4 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6) 2 x (a + 4)(9a 2 x+1 x+ 2 3x 2 28. x 2 − 4 , x 2 + x − 6 , x 2 + 5x + 6 mcm ( x + 2)( x + x − 6) + x − 2 ) ÷ ( x 2 + x − 2) = 1 3 x 3x ( x + 2 ) 3x 2 + 6 x = = ; x − 1 x2 + x − 2 x2 + x − 2 ⇒ 27a 2 − 75 ⇒ ( x 2 + x − 2) ÷ ( x − 1) = x + 2 (x (x 2 5 a , , mcm = (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) a + 4 9a 2 − 25 3a − 5 2 2 a2 , 4x + 3 6( x + 4) Rta. ⇒ 2 a2 − 9 5a 2 + 25 a 2 − 3a − 4 (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) , , Rta.
  • 157. 30. a+1 2a 1 , , a3 − 1 a2 + a + 1 x − 1 2x − 3 mcm = a 3 − 1 3 3 3 2 2 2 2 a3 − 1 a3 − 1 a2 + a + 1 a3 − 1 2 (2 x − 3) 2x − 3 4x − 6 = = ; 6 x 2 + 7 x + 2 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) a3 − 1 1 a + a+1 a + 1 2a 2 − 2 a 2 + a + 1 Rta. , , 3 = ⇒ 3 a −1 a−1 a3 − 1 a − 1 a3 − 1 2 6 (3x + 2) 18 x + 12 3 = = ; 2 x + 1 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) mcm = 3 (x 3 − 1) 1 1 2 31. , , x − 1 x3 − 1 3 2 x − 1 (2 x − 1)(2 x + 1) 4x2 − 1 = = 6 x + 4 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) [3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3(x + x + 1) [3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3 [3(x − 1)] ÷ 3 = x − 1 3 2 3 3 3 ⇒ 3 2 1 3 ( x + x + 1) 3x 2 + 3x + 3 = = ; x − 1 3 ( x 3 − 1) 3 (x 3 − 1) 1 3 2 2 (x − 1) 2 x − 2 = = ; = x 3 − 1 3 (x 3 − 1) 3 3 (x 3 − 1) 3 (x 3 − 1) 3x 2 + 3 x + 3 3 3 2x3 − 2 3 ( x − 1) 3 (x − 1) 3 ( x 3 − 1) b 3 1 , , 32. 2a 2 + 2ab a 2 x + abx 4ax 2 − 4bx 2 3 , mcm = 4ax (a − b 2 [4ax (a [4ax (a [4ax (a , 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15a 60ab 4ab − 8b 2 + 3ab − 3a 2 − 3a 2 + 7ab − 8b 2 = = 60ab 60ab 2 2 5ab a + 3b + 3 a 2b − 4ab 2 a + 3b a b − 4ab + = 4. 3ab 5a 2b 2 15a 2b 2 5a 2b + 15ab 2 + 3a 2b − 12ab 2 = 15a 2b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (a − 1) + 2 ⋅ 2a + 3a + 4 4a − 4 + 4a + 3a + 4 11a = = 12 12 12 n 3 2 n ⋅ n + 3m + 2mn 3m + 2mn + n2 + = = 6. 2 + m mn m m2n m2n 1− x x + 2 1 7. + 2 + 2x x 3ax 2 2 = 2 2 ⇒ 2 2 6ax 2 − 6bx 2 4ax (a − b 2 2 2 ) a+1 , 2 2 2 4abx − 4b2 x 4ax (a − b 2 2 3 (a + 1) 2 ) , 2 2 a 2 + ab 4ax 2 (a 2 − b2 ) Rta. 3ax (1 − x ) + 6a (x + 2) + 2 6ax 2 2 3ax − 3ax + 6ax − 12a + 2 9ax + 12a − 3ax 2 + 2 = = 6ax 2 6ax 2 , mcm = (a − 1) 33. a − 1 , (a − 1)2 (a − 1)3 1 3 = (a − 1) ÷ (a − 1) = (a − 1) (a − 1) ÷ (a − 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ; a + 1 = (a + 1)(a − 1) = a − 1 ; 1 = a − 1 (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3 (a + 1) 3a + 3 (a − 1) , a − 1 , 3a + 3 Rta. = ⇒ (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 8. 2a − 3 3x + 2 x − a 10 x (2a − 3) + 3a (3x + 2) + 6 ( x − a ) + + = 3a 10 x 5ax 30ax 20ax − 30 x + 9ax + 6a + 6 x − 6a = 30ax 2 3 ) = 2 2 ) ( 8a 2b + 3ab 2 ab (8a + 3b) 8a + 3b = = 15a 2b 2 15a 2b 2 15ab a − 1 2a 3a + 4 5. + + 3 6 12 2 2 20b ( 2 2 2 1 3b ⋅ 2 + 5a 5a + 6b + = = 5a 2 3ab 15a 2b 15a 2b 4b (a − 2b) + 3a (b − a ) − − 3. a 2b + b a = 2 2 x − 2 3x + 2 3 x − 2 + 2 3x + 2 3x − 6 + 6 x + 4 9x − 2 + = = = 4 6 12 12 12 2. Rta. ) 2 b gb g 1. )] ÷ (2a + 2ab) = 2 x (a − b) − b )] ÷ (a x + abx) = 4 x (a − b) − b )] ÷ (4ax − 4bx ) = a (a + b) 3[2 x (a − b)] 6ax − 6bx 3 = = ; 2a + 2ab 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) b [4 x (a − b)] 4abx − 4b x b ; = = a x + abx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) a (a + b) 1 a + ab = = 4ax − 4bx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) −b 2 4x − 6 18 x + 12 4x2 − 1 , , Rta. 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) EJERCICIO 126 3 ⇒ mcm = 2 (3x + 2)(2 x + 1) [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 7 x + 2) = 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (2 x + 1) = 2 (3x + 2) [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 4) = 2 x + 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ÷ (a + a + 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = a + a + 1 2a (a − 1) 2a − 2 a+1 a+1 2a = = = ; ; 3 2x − 1 3 34. 6 x 2 + 7 x + 2 , 2 x + 1 , 6 x + 4 3 = 29ax − 24 x x (29a − 24) 29a − 24 = = 30ax 30ax 30a
  • 158. 9. 3 x + 2 x2 + 2 + + 5 2x 6x2 = 12. 6 x 2 ⋅ 3 + 15x (x + 2) + 5(x 2 + 2) x + 2 x2 − 2 2 − x3 + + 3x 5x 2 9x3 = 15x 2 ( x + 2) + 9 x ( x 2 − 2) + 5 (2 − x 3 ) 45x 3 15x + 30 x + 9 x 3 − 18 x + 10 − 5x 3 = 45x 3 3 2 19 x + 30 x − 18 x + 10 = 45x 3 30 x 2 2 2 18 x + 15x + 30 x + 5x 2 + 10 = 30 x 2 3 2 2 38 x 2 + 30 x + 10 2 (19 x + 15x + 5) 19 x 2 + 15x + 15 = = 2 30 x 30 x 2 15x 2 1 b 2 − a 2 ab + b 2 x − y 2x + y y − 4x + + 2 2 13. + + ab ab 3 ab 10. 12 15 30 ab 2 + a (b 2 − a 2 ) + b (ab + b 2 ) 5 (x − y) + 4 (2 x + y ) + 2 ( y − 4 x ) = = a 2b 3 60 2 2 ab + ab − a 3 + ab 2 + b 3 − a 3 + 3ab 2 + b 3 5 x − 5 y + 8 x + 4 y + 2 y − 8 x 5x + y = = = = a 2b 3 a 2b 3 60 60 a + 3b 2a − 3m 3 m − n n − a 2a − m + + 14. 11. + + ab am a mn na am m (a + 3b) + b (2a − 3m) + 3bm a (m − n) + m (n − a ) + n (2a − m) = = abm amn am + 3bm + 2ab − 3bm + 3bm am + 2ab + 3bm 1 am − an + mn − ma + 2an − mn an = = = = = abm abm amn amn m = EJERCICIO 127 a − 1+ a + 1 2a 1 1 1. a + 1 + a − 1 = a 2 − 1 = a 2 − 1 6. x + y x − y ( x + y)( x + y ) + ( x − y )( x − y) = + x− y x+ y x2 − y2 (x + y ) + (x − y) 2 2 1 + 2. x+ 4 x−3 = 2( x − 3) + x + 4 2 x − 6 + x + 4 3x − 2 = = 2 = 2 x 2 + x − 12 x + x − 12 x + x − 12 3. 4. = 3 (2 x + 5) + 6 (1 − x ) 6 x + 15 + 6 − 6 x 21 = = (1 − x)(2 x + 5) (1− x)(2 x + 5) (1 − x)(2 x + 5) x ( x + y) + x ( x − y) x + xy + x − xy 2x = = = 2 x2 − y2 x2 − y2 x − y2 2 2 2 m+ 3 m+ 2 5. m − 3 + m − 2 = m2 + m − 6 + m 2 − m − 6 = 2m2 − 12 8. x ( x − 1) + ( x + 1) x x+1 + = x 2 − 1 ( x − 1)2 (x − 1)2 (x + 1) = = 2 3x + = x − 5 x 2 − 25 x2 − x + x 2 + 2 x + 1 = 2 x2 + x + 1 (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) 2 (x + 5) + 3x 2 x + 10 + 3x 5x + 10 2 x 2 − 25 = x 2 − 25 2 = x 2 − 25 x−y 1 3 x + 2y + x − y 4x + y 9. 3x − 2y + 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4 y 2 10. (m − 2)(m + 3) + (m − 3)(m + 2) (m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2) x + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 2 x 2 + 2 y 2 = 2 x2 − y2 x − y2 2 7. x x + x− y x+ y = x2 − y2 2 3 6 + 1 − x 2x + 5 = 2 2 (m2 − 6) 2 2 x + a 3a 2 − x 2 ( x − 3a )( x + a ) + 3a − x + 2 2 = 2 2 x + 3a x − 9a x − 9a (m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2) = x 2 + ax − 3ax − 3a 2 + 3a 2 − x 2 x 2 − 9a 2 = − 2ax 2ax = x 2 − 9a 2 9a 2 − x 2
  • 159. 11. a a 2 + 1− a 1+ a 2 = 12. a (1 + a 2 ) + a (1 − a 2 ) 2 2 2 + a 2 − ab ab + b 2 a + a3 + a − a3 = = x + x 2 = x (1 + x) 2a 1− a 4 (1− a )(1 + a ) 2b (a + b) + 2a (a − b) = ab (a − b ) (1 − a )(1+ a ) 2 2 2 2 = x − x 2 = x (1 − x) 1 − x = (1 + x)(1− x) 2 2ab + 2b 2 + 2a 2 − 2ab ab (a 2 − b 2 ) = = 2a 2 + 2b 2 ab (a 2 − b 2 ) ab + a (3a − b) ab + 3a 2 − ab 3a 2 = = = 2 2 2 2 2 9a − b 9a − b 9a − b 2 a−b+ a+b 1 1 2a + 2 = 2 = 14. a 2 − b 2 a−b a+b a−b a+b a−b ( 3 x + y2 2 ) ( )( ) ( )( 3(x + y) + 2 ( x + y ) 2 + = x + y) (x + y )(x + y) ( 2 2 2 = (x = 2 = ) 2 = 2 2 +y 2 = 2 ax = ax ax − x = x (a − x ) = + y 2 )( x + y ) 20. 2 17. ax (a − x) a 2 + 2a + 1 = (a + 1) (a + 1) 2 = = = 2 x + 4 = 2 ( x + 2) 2 x − 4 = 2 ( x − 2) x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) = = = 21. 3 (x − 2) + ( x − 1)( x + 2) + 2 ( x + 8) 2 ( x 2 − 4) 3x − 6 + x 2 + x − 2 + 2 x + 16 2 ( x 2 − 4) (x + 2)(x + 4) = x + 4 = − 4) 2 (x + 2)( x − 2) 2 (x − 2) 2 (x x 2 + 6x + 8 2 = 2 (x + y) x− y mcm = (a − 5)(a + 1) 2 + a (a + 1) + (a + 5)(a − 5) (a − 5)(a + 1) 2 a 2 + 2a + 1 + a 2 + a + a 2 − 25 2 2 2 x (a − x) mcm = 2 (x 2 − 4) (x + y )(x − y ) (a − 5)(a + 1) 3a + 3a − 24 3(a + a − 8) = = (a − 5)(a + 1) (a − 5)(a + 1) 2a x−1 x+8 3 + + 2x + 4 2x − 4 x2 − 4 2 (x + y ) 1 a a+5 + + a − 5 a 2 − 4a − 5 a 2 + 2a + 1 a − 5= a − 5 2 = mcm = x 2 − y 2 2 2 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy 2 (x + 2 xy + y ) = 2 2 2 2 x −y x −y a 2 − 4a − 5 = (a − 5)(a + 1) mcm = ax (a − x ) x+ 2 x (1− x) x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xy x2 − y2 2 2a 2 (x + 1)(x + 2) = x (1− x)(1+ x) x2 − y2 )(x + y) ax (a − x ) ax (a − x ) = 2 x 2 + (a + x)(a − x ) + a 2 x2 + a2 − x2 + a2 x (1− x 2 ) (x − y )(x − y ) + (x + y )(x + y ) + 4 xy 2 = 2 + x 2 + 3x = x a+ x a + + a 2 − ax ax ax − x 2 a 2 − ax = a (a − x ) x (1 − x 2 ) 2 5x 2 + 6 xy + 5y 2 (x 1 − x + 1+ x + x ( x + 3) x− y x+ y 4 xy 19. x + y + x − y + x 2 − y 2 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2 = 16. 2 2 mcm = x (1− x 2 ) 2 ab a 13. + 9a 2 − b 2 3a + b 15. x+3 1 1 + + x + x 2 x − x2 1− x 2 18. 2 3 2 1 − 85a + + a 5a − 3 25a 2 − 9 = = 3 (25a 2 − 9) + 2a (5a + 3) + a (1 − 85a ) a (25a 2 − 9) 75a 2 − 27 + 10a 2 + 6a + a − 85a 2 x+1 x− 3 a (25a 2 − 9) x− 2 22. 10 + 5x − 10 + 2 = = mcm = a (25a 2 − 9) 7a − 27 = a (25a 2 − 9) mcm = 10 ( x − 2) (x + 1)(x − 2) + 2 (x − 3) + 5(x − 2)( x − 2) 10 ( x − 2) x 2 − x − 2 + 2 x − 6 + 5x 2 − 20 x + 20 10 ( x − 2) = 6 x 2 − 19 x + 12 10 ( x − 2)
  • 160. 23. x+5 x+ 4 x−3 + + x + x − 12 x 2 + 2 x − 15 x 2 + 9 x + 20 27. 2 x 2 + x − 12 = ( x + 4)( x − 3) x2 − 4 1 3 + + x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1 x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) 2 = x + 9 x + 20 = ( x + 5)( x + 4) 2 mcm = ( x + 5)( x + 4)( x − 3) = = = = ( x + 5)(x + 5) + (x + 4)(x + 4) + (x − 3)(x − 3) ( x + 5)(x + 4)(x − 3) x 2 + 10 x + 25 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9 3x 2 + 12 x + 50 2 x ( x + 1) 2x2 + 2x 2x = = 3 x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1 mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3) ( x + 5)(x + 4)(x − 3) = x 1 1− 2 x 2 + 3 + 24. x − 2 x − 8 x2 + 2x + 4 = x − 8 = ( x − 2)( x + 2 x + 4) mcm = x − 8 2 3 = x + 2 x + 4 + 1 − 2 x + x ( x − 2) x3 − 8 = (x + 2)(x + 3) + x + 3 + x + 1 (x − 1)(x + 2)(x + 3) x 2 + 5x + 6 + 2 x + 4 = x 2 + 7 x + 10 (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x + 5)(x + 2) = x + 5 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 3) − x2 + 2x + 5+ x2 − 2x 5 = 3 x3 − 8 x −8 2 25. x 2 − 4 + x 2 − x + 1 + 3x + 3 x3 + 1 x+1 1 1 28. x − 1 + x − 1 x + 2 + x − 1 x + 2 x + 3 ( )( ) ( )( )( ) (x + 5)( x + 4)( x − 3) 3 mcm = x 3 + 1 2 a a+1 2 + + a + 1 (a + 1)2 (a + 1)3 mcm = (a + 1) 3 29. 2 x 2 − 5x − 3 = ( x − 3)(2 x + 1) 2 (a + 1) + a (a + 1) + a + 1 2 = = 2 x 2 − 3x − 2 = ( x − 2)(2 x + 1) (a + 1) 3 x 2 − 5x + 6 = (x − 3)( x − 2) 2a 2 + 4a + 2 + a 2 + a + a + 1 (a + 1) 3a + 6a + 3 3(a + 2a + 1) 3 (a + 1) = = = (a + 1) (a + 1) (a + 1) mcm = ( x − 3)( x − 2)(2 x + 1) 3 2 2 2 3 3 x+1 2x 3 = 3 a+1 = = 1 26. 3x 2 + 11x + 6 + x 2 − 9 + 3x + 2 = 3x + 11x + 6 = ( x + 3)(3x + 2) 2 x − 9 = (x + 3)( x − 3) x−2 x− 3 2x − 1 + + 2 x 2 − 5x − 3 2 x 2 − 3 x − 2 x 2 − 5 x + 6 (x − 2)(x − 2) + (x − 3)(x − 3) + (2 x − 1)(2 x + 1) (x − 3)(x − 2)(2 x + 1) x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6x + 9 + 4 x 2 − 1 (x − 3)(x − 2)(2 x + 1) 6 x 2 − 10 x + 12 (x − 3)(x − 2)(2 x + 1) 2 3 x + 2 = 3x + 2 = = 2 x ( x − 3) + ( x + 1)(3x + 2) + x 2 − 9 (x 2 − 9)(3x + 2) 2 x 2 − 6 x + 3 x 2 + 5x + 2 + x 2 − 9 (x 2 − 9)(3x + 2) 6x − x − 7 2 = mcm = ( x 2 − 9)(3x + 2) (x 2 − 9)(3x + 2) 30. a− 2 a+ 3 a+1 + + a−1 a+ 2 a− 3 = = = mcm = (a − 1)(a + 2)(a − 3) (a + 2)(a − 2)(a − 3) + (a − 1)(a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1)(a + 2) (a − 1)(a + 2)(a − 3) a 3 − 3a 2 − 4a + 12 + a 3 − a 2 − 9a + 9 + a 3 + 2a 2 − a − 2 (a − 1)(a + 2)(a − 3) 3a 3 − 2a 2 − 14a + 19 (a − 1)(a + 2)(a − 3)
  • 161. EJERCICIO 128 7. 4 ( x − 1) − 3 ( x − 2) − 2 ( x + 3) 12 x+4 4 x − 4 − 3x + 6 − 2 x − 6 − x − 4 = = =− 12 12 12 x − 3 x + 2 2 ( x − 3) − (x + 2) 2 x − 6 − x − 2 x − 8 − = = = 4 8 8 8 8 a + 5b b − 3 2. − a2 ab b (a + 5b) − a (b − 3) ab + 5b 2 − ab + 3a 3a + 5b 2 = = = a 2b a 2b a 2b = 1. 3. a − 3 4 − 3ab − 5ab 3a 2b3 8. 2 1 2 ( 2m) − ( 3n) 4m − 3n − = = 3mn 2 2m2 n 6m2 n 2 6m2 n 2 4. = 20a 2 12a − 4a − 2a − 4a 2 − 1 4a 2 − 2a − 1 = = 20a 2 20a 2 3ab2 (a − 3) − 5(4 − 3ab 2 ) 9. 2 3 = 2 3x 2 + 3x − 3 3 ( x + x − 1) x 2 + x − 1 = = 3 15x 15x 3 5x 3 1 2+ b 5 10. 2a − 3ab − 6a 2b 3 3ab3 − 2ab 2 (2 + b) − 5 = 6a 2b 3 3 3ab − 4ab 2 − 2ab 3 − 5 ab 3 − 4ab 2 − 5 = = 6a 2b 3 6a 2b 3 = = x − 3− x + 4 = mcm = m2 − n2 (m − n)(m − n) − (m + n)(m + n) a 2 + ab = a (a + b) 1 (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) m− n m+ n 2. m + n − m − n = a+b b− a 4. a 2 + ab − ab + b 2 mcm = (x − 4)(x − 3) 1 1 − x−4 x−3 3 x − 1 x2 + 2x + 3 − − 5x 3x 2 15x 3 3x 2 ( 3) − 5x ( x − 1) − ( x 2 + 2 x + 3) 15x 3 2 2 9 x − 5x + 5x − x 2 − 2 x − 3 = 15x 3 6 y 2 − 12 xy − 5x 2 + 15xy 6 y 2 + 3xy − 5x 2 = 120 xy 120 xy EJERCICIO 129 2 = 6 y ( y − 2 x ) − 5x ( x − 3 y ) 120 xy x − 3 − ( x − 4) 4a 2 (3) − 2a (2a + 1) − (4a 2 + 1) 2 2 = = 3 2a + 1 4a 2 + 1 − − 5 10a 20a 2 = 15a b 3a 2b 2 − 9ab2 − 20 + 15ab2 3a 2b 2 + 6ab2 − 20 = = 15a 2b3 15a 2b 3 2a + 3 a − 2 − 5. 4a 8a 2 (2a + 3) − (a − 2) 4a + 6 − a + 2 3a + 8 = = = 8a 8a 8a y − 2 x x − 3y − 6. 20 x 24 y 1. x −1 x − 2 x + 3 − − 3 4 6 = mcm = ab (a + b) b (a + b) − a (b − a ) ab (a + b) m+ n m + n 2 = ab + b 2 − ab + a 2 ab (a + b) (m + n)(m + n) − (m 2 2 5. m − n − m2 − n 2 = m2 − n 2 ab + b 2 = b (a + b) ; = = +n 2 m2 − n 2 a 2 + b2 ab (a + b) ) 2mn m2 + 2mn + n2 − m2 − n 2 = 2 2 m2 − n 2 m −n m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n 2 − 4mn 4mn = 2 = 1 1 m2 − n 2 m − n 2 n 2 − m2 x + x2 = x x + 1 ; x − x2 = x 1− x − 6. x + x2 x − x2 1 − x 1 + x (1 − x)(1 − x ) − (1 + x )(1 + x) 3. − = mcm = x 1 − x 2 1 + x 1− x 1− x 2 1− x − 1+ x 1− x − 1− x − 2x −2 2 1 − 2 x + x 2 − 1− 2 x − x 2 − 4 x 4x = = = = = = = 2 = 2 x 1− x2 x 1− x 2 x 1− x 2 1− x x − 1 1− x 2 1− x 2 x 2 − 1 = ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ( ) ) )
  • 162. 7. a+ x x − (a − x) a − x (a + x)(a + x) − x (a − x) = (a − x) (a + x) 2 2 13. 2 6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1) 4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1) 2 = 8. a 2 + 2ax + x 2 − ax + x 2 (a − x) (a + x) 2 = x+3 1 − 6x 2 + x − 2 4 x 2 − 4 x + 1 a 2 + ax + 2 x 2 (a − x) (a + x) = 2 a +1 1 − 6a + 3 12a + 6 = 6a + 3 = 3 (2a + 1) ; 12a + 6 = 6 (2a + 1) mcm = 6 (2a + 1) a−4 a+3 9. a 2 − 6a + 9 − a 2 + a − 12 a − 6a + 9 = (a − 3) 2 x 2 + 5x − 3 − 3x − 2 (3x + 2)(2 x − 1) 2 x+2 = 2x2 + 2x − 5 (3x + 2)(2 x − 1) 2 mcm = 8 (x 2 − 1) 2 (x − 1)( x − 1) − ( x + 2)( x + 1) 8 ( x 2 − 1) 2 x − 4 x + 2 − x 2 − 3x − 2 x2 − 7x 2 = ; a + a − 12 = (a + 4)(a − 3) 2 2 x−1 = 2 (2 x − 1)(x + 3) − (3x + 2) (3x + 2)(2 x − 1) 14. 4 x + 4 − 8 x − 8 2 (a + 1) − 1 2a + 2 − 1 2a + 1 1 = = = = 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 2 mcm = (2 x − 1) (3x + 2) 2 2 mcm = (a − 3) (a + 4) 8 (x 2 − 1) = 8 ( x 2 − 1) 2 (a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) = (a + 4)(a − 3) 15. 2 = a 2 − 16 − a 2 + 9 (a + 4)(a − 3) 2 = = −7 (a + 4)(a − 3) 2 a 2 + 4ab − 3b 2 b − 10. a 2 − 9b 2 a + 3b mcm = a − 9b 2 16. 2 a 2 + 4ab − 3b 2 − b (a − 3b) = a 2 − 9b 2 = = a (a + 3b) a 2 + 3ab a = = a 2 − 9b 2 (a + 3b)(a − 3b) a − 3b x x+1 − 11. 2 x − 1 ( x − 1)2 = = = = − 3x − 1 (x + 1)(x − 1) 2 =− 2 mcm = (a − b) (a + ab + b 3 2 2 ) 18. 2 a − 2ab + b − a − ab − b 2 (a − b) (a 3 2 2 + ab + b 2 ) − 3ab 2 = 1 x− y mcm = a (a 2 − b2 ) ab − b (a − b) ab − ab + b 2 b2 = = 2 2 2 2 a (a − b ) a (a − b ) a (a 2 − b 2 ) ; 4a 2 + 12a + 9 = (2a + 3) 2 4a 2 − 9 − 3a + 3 4a 2 − 3a − 6 = 2 2 3(2a + 3) 3(2a + 3) (a − b) (a 3 2 + ab + b 2 ) 2 x+1 x−1 − x2 + x + 1 x2 − x + 1 = 2 2 = (2a + 3)(2a − 3) − 3(a − 1) 3(2a + 3) 3x + 1 (x + 1)(x − 1) (a − b) − (a + ab + b ) (a − b) (a + ab + b ) 2 y (x − y) = 2 3 y = = 2 2 y (x − y) 2 (x + 1)(x − 1) 2 x− x+ y mcm = 3(2a + 3) x ( x − 1) − ( x + 1)( x + 1) (x + 1)(x − 1) = 6a + 9 = 3(2a + 3) mcm = ( x − 1) ( x + 1) x2 − x − x2 − 2x − 1 y (x − y) 2a − 3 a−1 − 6a + 9 4a 2 + 12a + 9 2 1 1 − 12. 3 a − b3 (a − b)3 = 17. x − (x − y ) b b − a 2 − b 2 a 2 + ab = a 2 + 4ab − 3b 2 − ab + 3b 2 a 2 − 9b 2 mcm = y ( x − y ) 1 x − xy − y 2 y = mcm = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) x + 1 − ( x − 1) (x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) (x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) x + 1− x + 1 = (x 2 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)
  • 163. a −1 1 1 − − 19. 2 a + a 2a − 2 2 a + 2 = = 3 x x 24. x 2 + x − 2 − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 5x + 6 x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1) 2 (a − 1)(a − 1) − a (a + 1) − a (a − 1) x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1) 2a(a − 1) x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2) 2 2 (a − 2a + 1) − a − a − a + a 2 = mcm = 2a(a − 1) 2 2 mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3) 2 2a(a 2 − 1) = 2a 2 − 4 a + 2 − 2a 2 2a(a 2 − 1) =− = − 2a(a 2 − 1) 2 (2a − 1) 25. = − 2a − 1 1 − 2a = a (a 2 − 1) a (a 2 − 1) = = 6 (a 2 + 1)(a − 1) − 3 (a 2 + 1)(a + 1) − 2 (a 2 − 1) = 6 (a 3 − a 2 + a − 1) − 3(a 3 + a 2 + a + 1) − 2a 2 + 2 = 22. 23. 3 x3 (x − 1)(x − 1) 3 2a + 2ab + 2b 2 = 2 (a 2 + ab + b 2 ) 2a − 2b = 2 (a − b) mcm = 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) 3a − 11a + 3a − 7 2 24 (a − 1) 4 = mcm = x ( x − y ) = x (x − y) = y− x+ y− x x (x − y) 2 y − 2x x (x − y) = 2 ( y − x) x (x − y) =− a − (a + b) − a a (a + b) = 2 (x − y) x (x − y) −a−b a (a + b) x + y − (x − y) − 2 y x (x − y 2 ) 2 x =− = a+b a (a + b) x (x − y 2 2 ) = 2a + 2b − a 2 + b 2 − a 2 − ab − b 2 2 (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) 2b 2 − ab 2 (a − b)(a + ab + b 2 2 = 2b 2 − ab ) 2 (a 3 − b3 ) 3a a−1 10a − 1 − − 2a 2 − 2a − 4 4a 2 + 8a − 32 8a 2 + 40a + 32 4a 2 + 8a − 32 = 4 (a 2 + 2a − 8) = 4 (a + 4)(a − 2) 8a 2 + 40a + 32 = 8 (a 2 + 5a + 4) = 8 (a + 4)(a + 1) =− mcm = 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1) 1 a mcm = x (x 2 − y 2 ) x− y− x+ y 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) 2 2a 2 − 2a − 4 = 2 (a 2 − a − 2) = 2 (a − 2)(a + 1) mcm = a (a + b ) 1 1 2y − − x 2 − xy x 2 + xy x 3 − xy 2 2 27. =− 2 (a 2 + b 2 ) − (a + b)(a − b) − (a 2 + ab + b 2 ) 2 y − (x − y) − x a 1 1 − − a + ab a a + b = (x − 1)(x − 1) a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) 2 = 3x 2 − 6x + 3 − x 3 − x 2 − x − 2 x 2 − 2 x − 2 − 1 + 9 x 2 6a 3 − 6a 2 + 6a − 6 − 3a 3 − 3a 2 − 3a − 3 − 2a 2 + 2 1 1 y 21. x − xy − x − x − y = 3 a 2 + b2 a+b 1 26. a 3 − b 3 − 2a 2 + 2ab + 2b 2 − 2a − 2b 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) 2 = (x − 1)(x − 1) =− 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) 3 3( x − 1) − (x + 2)(x 2 + x + 1) − (1 − 9 x) 2 mcm = 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) = x+ 2 3 1− 9 x − − mcm = ( x 3 − 1)( x − 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 (x 3 − 1)( x − 1) = 1 1 1 20. − − 4a + 4 8a − 8 12a 2 + 12 = ( x + 2)( x − 1)( x + 3) x 2 + 3 x − 3x − 6 − x 2 + x x−6 = = x + 2)( x − 1)( x + 3) x + 2)( x − 1)( x + 3) ( ( 4a − 2 2a(a 2 − 1) x ( x + 3) − 3 ( x + 2) − x ( x − 1) 0 x (x − y 2 2 ) =0 = = = 12a (a + 4) − 2 (a − 1)(a + 1) − (10a − 1)(a − 2) 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1) 12a 2 + 48a − 2a 2 + 2 − 10a 2 + 20a + a − 2 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1) 69a 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
  • 164. a2 + 9x2 a 1 − 3 − 4a − 12 x a − 27 x 3 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) 28. 2a 2 − 3 a + 1 9a 2 − 14 29. 10a + 10 − 50 − 50a + 50 4a − 12 x = 4 (a − 3x ) 10a + 10 = 10 (a + 1) a 3 − 27 x 3 = (a − 3x)(a 2 + 3ax + 9a 2 ) 50 = 50 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) = 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) 50a + 50 = 50 (a + 1) mcm = 4 (a 3 − 27 x 3 ) = = = mcm = 50 (a + 1) a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4 (a 2 + 9 x 2 ) − 2a (a − 3x) = 4 (a 3 − 27 x 3 ) = − 5a 2 + 9ax − 27 x 2 = 4 (a 3 − 27 x 3 ) 4 (a − 27 x 3 ) =− 5a 2 − 9ax + 27 x 2 4 (a − 27 x 3 3 50 (a + 1) 10a − 15 − a − 2a − 1 − 9a 2 + 14 2 a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4a 2 − 36x 2 − 2a 2 + 6ax 3 5 (2a 2 − 3) − (a + 1)(a + 1) − (9a 2 − 14) ) 2 50 (a + 1) − 2a − 2 50 (a + 1) =− 2 (a + 1) 50 (a + 1) =− 1 25 EJERCICIO 130 2 3 4x − 7 1. x − 3 + x + 2 − x 2 − x − 6 = = 2. 2 ( x + 2) + 3 ( x − 3) − (4 x − 7) 2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7 (x − 3)(x + 2) = 4a − 2 + a + 12 x+2 (x − 3)(x + 2) 12 (a + 2) = mcm = 3x 2 (x 2 + 1) 3x 2 (x 2 + 1) = mcm = 4 (a 2 − 1) 4 (a − 1) 2 2 4 (a − 1) 2 = 3a − 3a + 10 2 = mcm = ab (a + b) b (a − b) + (a + b)(a + b) − a 2 ab (a + b) ab − b 2 + a 2 + 2ab + b 2 − a 2 ab (a + b) x− y x+ y 4 x2 6. x + y − x − y + x 2 − y 2 = 3ab ab (a + b) ( x − y)(x − y) − ( x + y)( x + y) + 4 x x −y 2 = 3 a+b mcm = x 2 − y 2 2 2 4 (a 2 − 1) 4 x (x − y) 4 x 2 − 4 xy 4x = = x2 − y2 ( x + y)( x − y) x + y mcm = ax (a − x ) x 1 1 7. a 2 − ax + a + x = 4 (a + 3) + 2 (a − 1)(a − 1) + (a − 4)(a + 1) 4a + 12 + 2a − 4a + 2 + a − 3a − 4 = = 3x 3 + x 3 + x − 3x 2 − 3 4 x 3 + x − 3x 2 − 3 = 3x 2 ( x 2 + 1) 3x 2 (x 2 + 1) 2 a−b a+b a + − a 2 + ab ab ab + b 2 x 2 − 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 + 4 x 2 = x2 − y2 3x 3 + x (x 2 + 1) − 3 (x 2 + 1) a+ 3 a −1 a−4 + + 4. 2 − 1 2a + 2 4a − 4 a = 5 (a + 2) 5 = = = 12 (a + 2) 12 (a + 2) 12 x 1 1 + − x 2 + 1 3x x 2 = 1 x−3 = mcm = 12 (a + 2) 5a + 10 5. = (x − 3)(x + 2) a 1 a + 12 − + 3a + 6 6a + 12 12a + 24 = 3. mcm = (x − 3)( x + 2) = x 2 + x (a − x ) + a (a − x ) ax (a − x ) x 2 + ax − x 2 + a 2 − ax ax (a − x ) = a2 ax (a − x ) = a x (a − x )
  • 165. x+1 x+4 x+5 8. x 2 − x − 20 − x 2 − 4 x − 5 + x 2 + 5x + 4 12. x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4) a − 1 a − 2 a 2 + 2a − 6 − + 3a + 3 6a − 6 9a 2 − 9 x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1) = mcm = ( x − 5)(x + 4)( x + 1) = x 2 + 5x + 4 = ( x + 4)( x + 1) (x + 1)(x + 1) − (x + 4)(x + 4) + (x − 5)(x + 5) = (x − 5)(x + 4)(x + 1) = = = = x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 8 x − 16 + x 2 − 25 (x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 10)(x + 4) = x − 10 (x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5) (x + 1) = = 2 (2 x + 1)(2 x − 1) − 8 x 2 + 2 x (3 x + 2) 8 (3x + 2)(2 x − 1) = 8 (3x + 2)(2 x − 1) = 6x + 4 x − 2 2 8 (3x + 2)(2 x − 1) 3x 2 + 2 x − 1 = 11. 15. 8 (3x + 2)(2 x − 1) 4 (3x + 2)(2 x − 1) a + x − x + ax ax (a + x ) = ax + a = = (x − y)( x 2 2 3 2 )(x − 4y 4y = x4 − y4 y4 − x4 3 2 (a + 6)(a + 2)(a − 4) 2 +y 2 −y 2 2 )(x 2 = +y 3 2 ) 26 (a + 6)(a + 2)(a − 4) mcm = xy ( x + y ) x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 xy ( x + y) 2 0 = xy ( x + y ) =0 mcm = a 3 + 1 x+1 x (a + x ) a 3 + (a + 1)(a + 3) − (a − 1)(a 2 − a + 1) a3 + 1 = a 3 + a 2 + 4a + 3 − a 3 + a 2 − a + a 2 − a + 1 3a 2 + 2a + 4 = a3 + 1 a3 + 1 2 1 2x 3x 2 + 2 − 3 x−1 x −1 x −1 = ) 2 = (x + y)(x + y) − x (x + 2 y) − y xy ( x + y ) mcm = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) 16. −y (x 3 = (x (a + 6)(a + 2)(a − 4) a + 2 + 2a + 12 − 3a + 12 a3 a+3 a−1 + − a + 1 a2 − a + 1 a + 1 + y 2 ) − ( x + y)( x 2 + y 2 ) + 2 y ( x 2 − y 2 ) 2 a + 2 + 2 (a + 6) − 3 (a − 4) 3 x + xy − x y − y − x − xy − x y − y + 2 x y − 2 y 3 = 2 a ( x + 1) ax (a + x) ax (a + x ) 1 1 2y − + x + y x − y x2 + y2 5a = = mcm = ax (a + x ) 1 1 1 10. ax − a 2 + ax + a + x 5a (a − 1) = 18 (a − 1) 18 (a + 1)(a − 1) 18 (a + 1) 2 x + y x + 2y y − − xy xy + y 2 x 2 + xy 14. 8 x2 − 2 − 8 x 2 + 6x 2 + 4 x = 5a 2 − 5a mcm = (a + 6)(a + 2)(a − 4) mcm = 8 (3x + 2)(2 x − 1) = 18 (a 2 − 1) a 2 + 8a + 12 = (a + 6)(a + 2) 16 x − 8 = 8 (2 x − 1) 2 (3x 2 + 2 x − 1) 6a 2 − 12a + 6 − 3a 2 + 3a + 6 + 2a 2 + 4a − 12 a 2 − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2) 6 x 2 + x − 2 = (3x + 2 )(2 x − 1) = 18 (a 2 − 1) a 2 + 2a − 24 = (a + 6)(a − 4) 12 x + 8 = 4 (3x + 2) = 6 (a − 1)(a − 1) − 3 (a − 2)(a + 1) + 2 (a 2 + 2a − 6) 1 2 3 13. a 2 + 2a − 24 + a 2 − 2a − 8 − a 2 + 8a + 12 x 2 − 6 x − 40 2x + 1 x2 2x − + 9. 12 x + 8 6 x 2 + x − 2 16 x − 8 = mcm = 18 (a 2 − 1) 3 (x + 1)(x + x + 1) + 2 x ( x 2 + x + 1) − 3x 2 ( x + 1) (x − 1)(x 2 2 + x + 1) 2 (x − 1)(x 2 x + 4x + 1 3 2 = 2 x + x + x + x + x + 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 3x 3 − 3x 2 3 = 2 mcm = ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1) (x − 1)(x 2 2 + x + 1) 2 + x + 1)
  • 166. a+b 1 3a 2 + 3 3 17. 2 2 − a − ab + b a + b a + b (a + b)(a + b) − (a = mcm = a 3 + b 3 1− x2 x2 6x − 2 − 9− x 9 + 6x + x2 9 − 6x + x2 22. 9 − x 2 = (3 + x )(3 − x ) ; − ab + b 2 ) + 3a 2 3 a + b3 = 2 9 − 6 x + x 2 = (3 − x ) 2 = = mcm = x 3 − 8 = 2 ( x 2 + 2 x + 4) + (2 x + 3)(x − 2) − (6 x + 12) x3 − 8 = 2 x 2 + 4 x + 8 + 2 x 2 − 4 x + 3x − 6 − 6x − 12 x3 − 8 = 4 x − 3x − 10 ( x − 2)(4 x + 5) 4x + 5 = = 2 x3 − 8 x3 − 8 x + 2x + 4 = 3x + 2 5x + 1 4x − 1 19. x 2 + 3x − 10 − x 2 + 4 x − 5 + x 2 − 3x + 2 = x 2 + 3x − 10 = ( x + 5)(x − 2) ; x 2 + 4 x − 5 = ( x + 5)(x − 1) x 2 − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1); = = mcm = (x + 5)( x − 2)( x − 1) 2 18 ( x 2 − 1) 9 x 2 − 9 x − 6 x 2 − 12 x − 6 + 3x 2 − 6 x + 3 − 5x − 5 18 ( x 2 − 1) 2 6 x 2 − 32 x − 8 2 (3x − 16x − 4) 3x 2 − 16 x − 4 = = 18 ( x 2 − 1) 18 ( x 2 − 1) 9 ( x 2 − 1) = 3 n (n − 1) = n2 − n + n 3 − 2n 2 + n − n − n3 + 3n2 − 3n + 1 2n 2 − 4n + 1 = 3 3 n (n − 1) n (n − 1) (a 2 4a 2 + 4a − 8 − 7a − 2a 2 + 4a + 6 8 (a − 1) 2 2a + 5 4a − 1 − 25)(a + 5) 2 2 8 (a 2 − 1) mcm = 120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 8a − 2 2 1 3 26. 2 x 2 + 5x + 3 − 2 x 2 − x − 6 + x 2 − x − 2 2 x 2 + 5x + 3 = (2 x + 3)( x + 1) 2 x 2 − x − 6 = (2 x + 3)( x − 2 ) 2 x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1) mcm = (2 x + 3)( x + 1)( x − 2) a + 20a − 25 4 = 2a 2 + a − 2 2 (4a − 1) 4a − 1 = = 120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 60 (2a + 1) − 25)(a + 5) 4 = 120 (2a + 1) 2 a − 25 − a + 10a − 25 + a + 10a + 25 (a 8 (a 2 − 1) 2 2 4 4 (a + 2)(a − 1) − 7a − 2 (a − 3)(a + 1) 12a − 36 + 12a + 30 − 16a + 4 mcm = (a − 25)(a + 5) 4 2 4 mcm = 8 (a 2 − 1) 12 (a − 3) + 6 (2a + 5) − 4 (4a − 1) a − 25 − (a − 5)(a − 5) + (a + 5)(a + 5) 4 = = 3 4 a+2 a−3 7a − − 2a + 2 8a 2 − 8 4a − 4 = mcm = n (n − 1) mcm = 18 ( x 2 − 1) 9 x ( x − 1) − 6 ( x + 1)( x + 1) + 3( x − 1)( x − 1) − 5 ( x + 1) = 3 1 a2 − 5 a2 + 5 21. 2 − 2 + 4 a + 5 (a 2 + 5) a − 25 = 2 a−3 2 2 2 (3 + x) (3 − x) 24. n (n − 1) + n (n − 1) − n − (n − 1) 4 2 25. 20a + 10 + 40a + 20 − 60a + 30 1 1 1 − − 20. 2 + n − 1 (n − 1)3 n (n + 1) = 2 9 − 54 x − 55x 2 (x + 5)(x − 2)(x − 1) 1 = − 6 x (3 + x ) 2 3x 2 − 3x + 2 x − 2 − 5x 2 + 10 x − x + 2 + 4 x 2 + 20 x − x − 5 2 x + 27 x − 5 2 (3 + x) (3 − x) (3x + 2)(x − 1) − (5x + 1)(x − 2) + (4 x − 1)(x + 5) (x + 5)(x − 2)(x − 1) (x + 5)(x − 2)(x − 1) 2 2 2 9 − x 2 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 6 x 3 − x 4 − 54 x − 36 x 2 − 6 x 3 2 = 2 5 x x+1 x−1 − + − 2 x + 2 3x − 3 6x + 6 18 x − 18 23. 2 = mcm = (3 + x ) (3 − x ) ; 2 2 3a (a + b) 3a + 3ab 3a = = a 3 + b3 (a + b)(a 2 − ab + b2 ) a 2 − ab + b2 2 2x + 3 6 x + 12 18. x − 2 + x 2 + 2 x + 4 − x 3 − 8 2 (1− x )(9 − x ) − x (3 − x) = (3 + x) (3 − x) a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + ab − b 2 + 3a 2 a 3 + b3 2 = 9 + 6 x + x 2 = (3 + x ) (a 2 4 − 25)(a + 5) 2 = = 2 ( x − 2) − ( x + 1) + 3 (2 x + 3) (2 x + 3)( x + 1)(x − 2) 2 x − 4 − x − 1+ 6x + 9 = 7x + 4 (2 x + 3)( x + 1)(x − 2) (2 x + 3)(x + 1)( x − 2)
  • 167. a−1 a−2 mcm = (a − 2)(a + 3)(a − 1) 1 27. a − 2 − a + 3 + a − 1 (a − 1) (a + 3) − (a − 2) (a − 1) + (a − 2)(a + 3) (a − 2)(a + 3)(a − 1) (a − 2a + 1)(a + 3) − (a − 4a + 4)(a − 1) + a + a − 6 = (a − 2)(a + 3)(a − 1) 2 2 = 2 1. 2 mcm = m2 − n2 a 3 + 3a 2 − 2a 2 − 6a + a + 3 − a 3 + a 2 + 4a 2 − 4a − 4a + 4 + a 2 + a − 6 (a − 2)(a + 3)(a − 1) x2 x2 x 2x 2x 2x − = + = + x − xy y − x x ( x − y) x − y x − y x − y 2. 7a 2 − 12a + 1 2 (a − 2)(a + 3)(a − 1) mcm = x − y 2 + 3a 2 − 3a a 28. − − 2 − 3a 2 + 3a (2 − 3a )2 = = = = = x + 2 x 3x = x− y x− y 3. (2 + 3a)(4 − 9a ) − (2 − 3a ) − a (2 + 3a ) (4 − 9a )(2 − 3a ) 3 8 − 18a 2 + 12a − 27a 3 − 8 + 36a − 54a 2 + 27a 3 − 2a − 3a 2 = (4 − 9a )(2 − 3a ) 2 46a − 75a 2 4. (4 − 9a )(2 − 3a) 2 2 (1 + a 2 2 2 2 5. = (2 − x)(1+ x) = 1+ x x (2 − x )( x + 2) x (2 + x) 10 (1 + a 2 2 2 2 = a 2 + 2ab + b2 − a 2 a (a − b 2 2 ) = 2ab + b2 a (a 2 − b2 ) x−4 x x−4 x − = + x 2 − 2 x − 3 6 − 2 x ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3) )(1− a ) 2 = ) (a + b)(a + b) − a a (a − b ) mcm = 2 ( x − 3)( x + 1) 2 − 2a + 2 a 2 − 2a 3 + 2 + 2 a + 2a 2 + 2 a 3 − 1 + a 2 10 (1 − a x (4 − x 2 ) a+b a a+b a + = − a 2 − ab b 2 − a 2 a (a − b) a 2 − b 2 mcm = 10 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) = )(1 − a) + 2 (1 + a )(1 + a ) − (1 − a ) 10 (1 + a )(1 − a ) 4 2 + x − x2 mcm = a (a 2 − b2 ) 2 5a 2 + 3 1 x 1 x + = − 2 x − x 2 x 2 − 4 x (2 − x) 4 − x 2 mcm = x (4 − x 2 ) 2 1 1 1 + − 5 + 5a 5 − 5a 10 + 10a 2 = = mcm = (4 − 9a 2 )(2 − 3a ) 2 29. 1 1 m m + = − m − n n2 − m2 m − n m2 − n2 m+n−m n = 2 2 = 2 2 m −n m −n 2 = = EJERCICIO 131 2 ( x − 4) + x ( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1) 1 = 2x − 8 + x2 + x = x 2 + 3x − 8 2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1) 1 1 1 = − 6. x 2 + 2 x − 8 + (2 − x)(x + 3) (x + 4)(x − 2) (x − 2)(x + 3) mcm = ( x − 2)( x + 3)( x + 4) x x 1 1 − + − 30. 3 − 3x 3 + 3x 6 + 6 x 2 2 − 2 x 2 3 − 3x = 3 (1 − x ) = 3 + 3x = 3 (1 + x ) ; mcm = 6 (1 + x (x − 2)(x + 3)(x + 4) = (x − 2)(x + 3)(x + 4) (2 − x)(x + 3)(x + 4) )(1 − x ) = 6 (1 − x ) 2 (1 + x )(1 + x ) − 2 (1 + x )(1 − x ) + x (1 − x ) − 3x (1 + x ) = 6 (1 − x ) 2 2 4 2 2 2 4 = = 2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 + 2 x − 2 x 2 + 2 x 3 + x − x 3 − 3x − 3x 3 6 (1 − x 4 ) 2x x + 3− x − 4 = 6 + 6 x 2 = 6 (1 + x 2 ) ; 2 − 2 x 2 = 2 (1 − x 2 ) 2 x + 3 − ( x + 4) (x − 2)(x + 3)(x + 4) −1 7. 1 2 7 1 2 7 + + = − + 2 x + 2 1 − x 4 x − 4 2 ( x + 1) x − 1 4 (x − 1) mcm = 4 ( x 2 − 1) = x = 6 (1 − x 4 ) 3(1 − x 4 ) 1 = = 2 ( x − 1) − 8 ( x + 1) + 7 ( x + 1) 4 ( x 2 − 1) 2 x − 2 − 8x − 8 + 7 x + 7 4 ( x 2 − 1) = x− 3 4 ( x 2 − 1)
  • 168. 8. 1 2 a+1 + 12. a − 3 + 3 − a )(a − 2) (2 − a )(1 − a ) ( 2a 3a 2a 2a 3a 2a + + = + − a + 3 a − 3 9 − a2 a + 3 a − 3 a2 − 9 1 2 a+1 − + a − 3 (a − 3)(a − 2) (a − 2)(a − 1) mcm = a 2 − 9 = 2a (a − 3) + 3a (a + 3) − 2a a2 − 9 = mcm = (a − 3)(a − 2)(a − 1) = 2a 2 − 6a + 3a 2 + 9a − 2a 5a 2 + a = 2 a2 − 9 a −9 = x + 3y 3y 2 x x + 3y 3y 2 x + 2 = + 2 − 2 − y+ x x − y y − x y + x x − y2 x − y = mcm = x 2 − y 2 = 9. = = (x + 3y)( x − y) + 3y x −y 2 2 + x ( x + y) 2 13. x 2 − xy + 3xy − 3 y 2 + 3 y 2 + x 2 + xy 2 x 2 + 3xy = 2 x2 − y2 x − y2 x = − x− 3 + = x + 2x − x + 9 + x + 2x − 3 11. 2 a+3 (3 − a)(a − 2)(a − 1) 2 1 2 x 2 x ( x + 1) − + 2 x−1 x3 − 1 x + x+1 2 x ( x 2 + x + 1) − 2 x 2 ( x + 1) + ( x − 1) x3 − 1 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 3x − 1 = 3 x3 − 1 x −1 x+ 2 x+1 4 x 2 + 6x + 3 14. 3x − 1 + 3 − 2 x + 6 x 2 − 11x + 3 x + 4x + 6 (x + 3)( x + 2)(x − 1) = 3 1 4 3 1 4 − − = − + 2a + 2 4a − 4 8 − 8a 2 2 (a + 1) 4 (a − 1) 8 (a 2 − 1) = = = 12 (a − 1) − 2 (a + 1) + 4 8 (a − 1) x+ 2 x+1 4 x 2 + 6x + 3 − + 3x − 1 2 x − 3 (2 x − 3)(3x − 1) mcm = (2 x − 3)(3x − 1) mcm = 8 (a 2 − 1) = = = 2 = −a−3 (a − 3)(a − 2)(a − 1) = 1 2 (x + 3)(x + 2)(x − 1) (a − 3)(a − 2)(a − 1) mcm = x 3 − 1 (x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 2) x + 2 mcm = ( x + 3)( x + 2)( x − 1) x ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) + ( x + 3)( x − 1) = (x + 3)(x + 2)(x − 1) 2 a 2 − 3a + 2 − a 2 + 1 + 2a − 6 2x 2 x3 + 2x2 1 + + 2 x−1 1− x 3 x + x+1 = x x− 3 1 + 10. x 2 + 2 x − 3 + (1− x)(x + 2) x + 2 (a − 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 1) + 2 (a − 3) (a − 3)(a − 2)(a − 1) 2 10 (a − 1) 12a − 12 − 2a − 2 + 4 10a − 10 5 = = = 8 (a 2 − 1) 8 (a 2 − 1) 8 (a − 1)(a + 1) 4 (a + 1) (x + 2)(2 x − 3) − (x + 1)(3x − 1) + 4 x (2 x − 3)(3x − 1) 2 + 6x + 3 2 x 2 − 3x + 4 x − 6 − 3x 2 + x − 3x + 1 + 4 x 2 + 6 x + 3 (2 x − 3)(3x − 1) (x + 2)(3x − 1) = x + 2 3x + 5x − 2 = = (2 x − 3)(3x − 1) (2 x − 3)(3x − 1) 2 x − 3 2 EJERCICIO 132 2a 2 6b2 12a 2b2 ⋅ = = ab 1. 3b 4a 12ab 2. x 2 y 10a 3 9m 90x 2 ya 3m 6a 3y ⋅ ⋅ = = xm 5 3m2 x 3 15x 3m2 5x 2 4y 2 14m 14 ⋅ 5 ⋅ 4x 2my 2 8 3. 7y 3 ⋅ 7m3 ⋅ 5x 4 = 49 ⋅ 5x 4m3 y 3 = 7x 2m2 y 4. 5 2a 3b 10 ⋅ 3ab 3 ⋅ ⋅ = = a b2 10 10ab2 b 2x 3 3a 2 5x 2 15 ⋅ 2a 2 x 5 2x 4 5. 15a 3 ⋅ y ⋅ 7xy 2 = 15 ⋅ 7a 3 xy 3 = 7ay 3 n2 7a 3m 5n4 7 ⋅ 3 ⋅ 5amn4 6. 6m2 ⋅ 10n2 ⋅ 14ax = 14 ⋅ 6 ⋅10am2n2 x = 8mx 7. 8. x (2 x + 1) 2x2 + x 8 4 2x + = ⋅ = 6 4x + 2 3 2 (2 x + 1) 3 5x + 25 7 x + 7 5( x + 5) 7 ( x + 1) x + 1 ⋅ = ⋅ = 14 10 x + 50 14 4 10 ( x + 5)
  • 169. 9. 1 − x a 2 + a x 2 1 − x a (a + 1) x 2 ⋅ =x 21. a + 1 ⋅ x − x 2 ⋅ a = a + 1 ⋅ x (1 − x) a m+ n n2 ⋅ mn − n 2 m2 − n 2 = m+ n n2 ⋅ n (m − n) (m + n)(m − n) xy − 2 y x + 2 xy + y ⋅ x 2 + xy x 2 − 2 xy 2 10. = 11. 2 y ( x − 2 y) = n (m − n) 2 = n m − 2mn + n 2 22. 2 2 (x + y) = y (x + y) = xy + y x x x (x + y) x ( x − 2 y) ⋅ 2 2 2 2 2 2 = 2 a 2 − ab + a − b 3 ⋅ 13. a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x (x − 2 y) (x − 2 y) ⋅ x x − 2 xy = = = x + 4 xy + y x ( x + 2 y) ( x + 2 y)( x − 2 y ) ( x + 2 y) 2 x ( x + 1) x ( x − 3) 2 x + 2 x x − 3x ⋅ = ⋅ =1 12. 2x x − 2x − 3 2x (x − 3)(x + 1) 2 2 2 m− n − x m 24. 2a + 2ab x3 − x x ⋅ 2ax − 2ax a x + b2 x x + 1 3 2 2 ⋅ 2 2a (a 2 + b2 ) x ( x 2 − 1) x (a + 1)(a − b) ⋅ 3 = 1 = 1 = ⋅ ⋅ =1 2ax ( x − 1) x (a 2 + b2 ) x + 1 (a + 1)(a + 1) 6a (a − b) 2a (a + 1) 2a + 2a (x − y) ⋅ x + x + 1 = (x − y) ⋅ x + x + 1 = x − y 25. a − 5a + 6 ⋅ 6a ⋅ a − 25 3a − 15 a − a − 30 2a − 4 x−1 x − 1 (x − y) (x − 1)(x + x + 1) (a − 3)(a − 2) ⋅ 6a (a + 5)(a − 5) = ⋅ 2a − 2 a − 4a − 5 2 (a − 1) (a − 5)(a + 1) 3 (a − 5) (a − 6)(a + 5) 2 (a − 2) ⋅ = ⋅ 2a − 50 3a + 3 2 (a − 25) 3(a + 1) a (a − 3) a − 3a (a − 1)(a − 5) = a − 1 = a − 1 = a − 6 = a − 6 = 3(a + 5)(a − 5) 3(a + 5) 3a + 15 x − 3xy − 10 y x − 16 y x − 6xy ⋅ ⋅ 26. x − 2 xy − 8 y x + 4 xy x + 2 y 3 ( x + 2) 2 x − 3x − 2 3x + 6 ( x − 2)(2 x + 1) ⋅ = ⋅ =1 6x + 3 x −4 3 (2 x + 1) ( x − 2)( x + 2) (x − 5y)(x + 2 y) ⋅ (x + 4 y)(x − 4 y) ⋅ x (x − 6 y) = x + 2y (x − 4 y)(x + 2 y) x (x + 4 y) y + 9 y + 18 5 y − 25 ( y + 6)( y + 3) 5 ( y − 5) ⋅ = ⋅ = y+6 y−5 y−5 5 y + 15 5( y + 3) (x − 5y)(x − 6 y) = x − 11xy + 30 y = = 2 3 14. ( x − 4)(x + 2) ⋅ x (x + 4) (x − 4)( x + 4) x (x + 1) (x + 2)(x + 2) x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4) 1 = = x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)( x + 1) x + 1 (m + n) − x ⋅ (m − n) − x 23. (m + x) − n m + mn − mx (m + n + x)(m + n − x) ⋅ (m − n + x)(m − n − x) = (m + n + x)(m − n + x) m (m + n − x) ⋅ 2 2 2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 x2 ⋅ 2 x 2 + 2 xy x − 4y2 2 x ( x + 2) = 2 2 x2 + 2x x2 − 2x − 8 x2 + 4x ⋅ 2 ⋅ x 2 − 16 x 3 + x 2 x + 4x + 4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 15. 2 2 2 2 16. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17. 2 18. x + 2y x + 2 x − 3x 2 x + 3x ⋅ 4 x 2 + 8x + 3 x 2 − x 3 = = 2 2 (2 x + 1)( x − 1) = (x + 2a) ⋅ 2a (x − 2a) ⋅ 6 (a + x) 3a ( x − 2a ) a ( x + 1) ( x + 2a )( x + a ) 4 ( x + 2a ) 4 x + 8a = = ax + a a ( x + 1) 2 = x ( x + 3) x 2 + 3x = 2x + 1 2x + 1 x − 27 a 2 + a + 1 ⋅ a 3 − 1 x 2 + 3x + 9 3 19. (x − 3)(x + 3x + 9) ⋅ a + a + 1 = x − 3 (a − 1)(a + a + 1) x + 3x + 9 a − 1 2 = 2 x + 2y x 2 + 4ax + 4a 2 2ax − 4a 2 6a + 6 x ⋅ 2 ⋅ 27. ax + a x + 3ax + 2a 2 3ax − 6a 2 x ( x 2 + 2 x − 3) x (2 x + 3) ⋅ (2 x + 3)(2 x + 1) x ( x − 1) x ( x + 3)( x − 1) 2 2 2 a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b (a + 2b) 2 (a + 2b) 2 ⋅ = ⋅ = 20. 3 3 (a + 2b)3 3 (a + 2b)3 2 a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2 28. 2a 2 + 10a ⋅ a 2 − 36 ⋅ 2a + 18 ⋅ 2a + 22 (a + 9)(a − 9) ⋅ a + 11 ⋅ 2 (a − 6) ⋅ a (a + 5) 2a (a + 5) (a + 6)(a − 6) 2 (a + 9) 2 (a + 11) a (a − 9) a − 9a = = 4 (a + 6) 4a + 24 2 = 2
  • 170. 30. 29. a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a ⋅ ⋅ a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8 (a + 5)(a + 2) ⋅ (a − 4)(a + 1) ⋅ a (a − 2a − 3) (a − 7)(a + 1) (a + 5)(a − 3) (a − 4)(a + 2) a (a − 3)(a + 1) a (a + 1) a + a = = = (a − 3)(a − 7) a − 7 a − 7 1 x 4 + 27 x x4 + x x2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ x − x + x x − 3x + 9 x x ( x + 3) x − 3 x ( x 3 + 27) = a  a   1.  a + b   a − b + 1    a ab + a a (b + 1) = = b b b a (b + 1) ab ⋅ = a2 b b+1  2  1  2.  x − x + 1  x + x + 2     (x + 2)(x − 1) ⋅ (x + 1) x+2 x+1  x   1−   1+ 3.  a + x   2 x+1 x2 − 9 12 x+1 (x + 2)(x + 1) − 12 x+1 x 2 + 3x + 2 − 12 x 2 + 3x − 10 ( x + 5)( x − 2) = = = x+1 x+1 x+1 10 − 3x ⇒ x−2+ x+5 (x − 2)(x + 5) + 10 − 3x = x x+5 ⇒ (x + 5)(x − 2) ⋅ x+1 ⇒ a+ ab a (a − b) + ab a 2 − ab + ab a2 = = = a−b a−b a−b a−b ⇒ 1− b2 a 2 − b2 = a2 a2 a 2 a 2 − b 2 (a + b)(a − b) =a+b ⋅ = a−b a2 (a − b) + 3x − 10 + 10 − 3x x2 = +5 x x+5 x 2 ( x − 2) x 3 − 2 x 2 x2 = = x+1 x+1 x+5 x y+ x = y y ⇒ 1+ ⇒ x− x  a  ab   b 2  a+   1−  a − b  a2  4.  2  x  x2    1+   x − 6.  y  x + y = ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1 a+ x− x a x ⇒ 1− = = a+ x a+ x a+ x x a+ x ⇒ 1+ = a a a a+ x ⇒ ⋅ =1 a+ x a ⇒ = x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1) 1 = = = x+2 x+2 x+2 x+2 2 ⇒ = = x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) 2 ⇒ x− = = = x+1 x+1 x+1 x+1 ⇒ x+ − 3x + 9) ( x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⋅ ⋅ 2 2 2 1 3x + 9 x − x+ x − (x − 9)(x + 3) = ⇒ x+ 2− a (b + 1) − a ab + a − a a ab = = ⇒ a− = b+1 b+1 b+1 b+1 ⇒ (x + 3)(x 2  12   10 − 3x   x+ 2−   x− 2+  5.  x + 1  x+5  EJERCICIO 133 ⇒ a+ ⋅ 2 2 2 x ( x 3 + 1) x ⋅ 2 x ( x − x + 1) x ( x 2 − 3x + 9) ( x + 3) ( x − 3) = ⇒ x ( x + y) − x 2 x 2 + xy − x 2 x2 xy = = = x+ y x+ y x+ y x+ y y + x xy ⋅ =x y x+ y  ax + x 2   x  a+ x−   1+  a + 2x   a + x 7.  ax + x 2 a + 2x ⇒ a+ x− (a + x)(a + 2 x) − (ax + x ) 2 = a + 2x a + 3ax + 2 x 2 − ax − x 2 a 2 + 2ax + x 2 (a + x ) = = a + 2x a + 2x a + 2x x a + x + x a + 2x ⇒ 1+ = = a+ x a+ x a+ x 2 2 = (a + x) 2 ⇒ a + 2x ⋅ a + 2x =a+ x a+ x
  • 171.  mn   n3   m−   1+ 3  m+ n  m  9.   x 3 − 6x   8  x− 2   x + 1−  x − 25   x + 3 8.  2 3 x 3 − 6 x x (x − 25) − (x − 6 x ) ⇒ x− 2 = 2 x − 25 x − 25 x 3 − 25x − x 3 + 6 x − 19 x 19 x = 2 = x 2 − 25 x − 25 25 − x 2 = ⇒ x + 1− = x 2 + 4 x + 3 − 8 x 2 + 4 x − 5 (x + 5)( x − 1) = = x+3 x+3 x+3 (5 − x)(x + 3) = ⇒ = = = ⇒ 2 2a 2 + 5ax + 2 x 2 − 14 x 2 2a 2 + 5ax − 12 x 2 (a + 4 x )(2a − 3x ) = = 2a + x 2a + x 2a + x a  b  b2     1−   1+ 2 b   a   a − b2  b+ a a −b a2 a2 a ⋅ ⋅ = = b a (a + b)(a − b) ab b  2  6  1 2+   3−   1+  x + 1  x + 2  x 12.  a 2 + 5x 2 a + 4x ⇒ 2+ (a − x)(a + 4 x) + a 2 (a + 4 x)(2a − 3x) ⋅ (a + x )(2a + x) EJERCICIO 134 2 7. 3 1. x xy 2x x y ÷ = ⋅ = 3y 2 y 3 3y 2 2x 6 2. 3a 2b 3a 2b 1 3 ÷ a 2b 3 = ⋅ = 2 5x 5x 2 a 2b3 5b 2 x 2 2 3. 4 2 4 a 2x 5 = 6a 2 x 3 ⋅ 2 = 30x 2 a x 5 15m2 20y 2 15m2 38a 3 x 4 3m2a 2 x 5. 19ax 3 ÷ 38a 3 x 4 = 19ax 3 ⋅ 20y 2 = 2y 2 11x 2 y 3 11x 2 y 3 1 x2 4 6. 7m2 ÷ 22y = 7m2 ⋅ 22y 4 = 14m2 y 2 ( x + 2 ) 3x x + 1 ⋅ ⋅ =6 x+1 x+ 2 x x − 1 2x − 2 x − 1 6 ÷ = ⋅ =1 3 6 3 2 ( x − 1) ab (a + 3b) 3a 2 5a 3 3a 2 3b ⋅ = 8. a 2 + 6ab + 9b 2 ÷ a 2b + 3ab 2 = 5(a + 3b) (a + 3b)2 5a 3 an 5m 10m 5m 14an ÷ = ⋅ = 7n3 14an4 7n3 10m4 m2 2 3 4. 6a x ÷ 1 x+1 = x x ⇒ a + 4x = (2a − 3x )(a + x ) = 2a 2 − ax − 3x 2 2 3 ( x + 2 ) − 6 3 x + 6 − 6 3x 6 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+ 2 ⇒ 1+ a 2 + 3ax − 4 x 2 + a 2 + 5x 2 2a 2 + 3ax + x 2 (a + x )(2a + x ) = = a + 4x a + 4x a + 4x 2a + x 2 ( x + 1) + 2 2 x + 4 2 ( x + 2) 2 = = = x+1 x+1 x+1 x+1 ⇒ 3− + 5x 2 a + 4x ⇒ 2 a b+ a = b b b a−b ⇒ 1− = a a b2 a2 ⇒ 1+ 2 2 = 2 a −b a − b2 2a + x ⇒ a− x+ ) ⇒ 1+ 19 x 2 − 19 x 19 x 2 − 19 x = 5x + 15 − x 2 − 3x 15 + 2 x − x 2 (a + 2 x )(2a + x) − 14 x 2 m2 (m + n)(m − mn + n ) m2 − mn + n2 ⋅ = m+ n m3 m  11.  1 +   14 x 2   a 2 + 5x 2   a + 2x −  a− x+  2a + x   a + 4x  10.  14 x 2 ⇒ a + 2x − 2a + x = n3 m3 + n3 (m + n)(m − mn + n = = m3 m3 m3 2 19 x (x + 5)(x − 1) ⋅ x+3 25 − x 2 19 x (x − 1) mn m (m + n) − mn m2 + mn − mn m2 = = = m+ n m+ n m+ n m+ n 2 ⇒ 1+ (x + 1)(x + 3) − 8 8 = x+3 x+3 = ⇒ ⇒ m− 9. 2 x 3 − x 5x 2 − 5x x (x − 1) 2 (x + 3) x + 1 ÷ = ⋅ = 2 2 x + 6x 2 x + 6 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x 1 2 10. a 2 − a − 30 ÷ a 2 + a − 42 = 1 (a − 6)(a + 5) ⋅ (a + 7)(a − 6) = 2 a+7 2 (a + 5) 20x 2 − 30 x 4 x − 6 5x (4 x − 6) x + 1 1 ⋅ = 11. 15x 3 + 15x 2 ÷ x + 1 = 15x 2 (x + 1) (4 x − 6) 3x
  • 172. a 2 − 6a + 5 a 2 + 2a − 35 12. a 2 − 15a + 56 ÷ a 2 − 5a − 24 18. (a − 5)(a − 1) ⋅ (a − 8)(a + 3) (a − 8)(a − 7) (a + 7)(a − 5) (a − 1)(a + 3) = a + 2a − 3 = (a − 7)(a + 7) a − 49 = 2 8 x 2 + 26 x + 15 6x 2 + 13x − 5 ÷ 16 x 2 − 9 9x2 − 1 (2 x + 5)(4 x + 3) ⋅ (3x + 1)(3x − 1) = 3x + 1 (4 x + 3)(4 x − 3) (2 x + 5)(3x − 1) 4 x − 3 x − 121x x − 11x ÷ x 2 − 49 x+ 7 3 14. = 15. 2 + 1)(a 2 − 1) a (a + 1) 2 x 3 + 125 17. x 2 − 64 ÷ (a 7x2 + 7x + 7 x3 − 1 ÷ 2x − 2x + 2 7x3 + 7 2 (x − 1)(x + x + 1) ⋅ 7 (x + 1) 2 ( x − x + 1) 7 ( x + x + 1) (x − 1) ⋅ x + 1 x − x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x − 1 = ( )( ) 2 2 2 ( x − x + 1) 2 3 2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ 15x 2 + 7 x − 2 6 x 2 + 13x + 6 ÷ 25x 3 − x 25x 2 + 10 x + 1 = 2a − 1 1 = (2a + 1)(2a − 1) a 2 (ax 2 + 5) a 2 (2a + 1) (a 2 2 21. (x + 7) = x + 11 (x + 7)(x − 7) x (x − 11) x − 7 a 4 − 1 a 4 + 4a 2 + 3 ÷ 3a 3 + 9a a3 + a2 = 2 2 ⋅ ax 2 + 5 2 (3x + 2)(5x − 1) ⋅ (5x + 1) = 5x + 1 = 5x + 1 = x (5x − 1)(5x + 1) (2 x + 3)(3x + 2) x (2 x + 3) 2 x + 3x ax 2 + 5 a 3 x 2 + 5a 2 ÷ 4a 2 − 1 2a − 1 = 16. 20. 2 x ( x 2 − 121) 2 a (a + 9) a 2 − 6a a 2 + 3a − 54 a (a − 6) 1 ⋅ = 19. a 3 + 3a 2 ÷ a 2 + 9a = 2 a (a + 3) (a + 9)(a − 6) a + 3 2 = (4 x − 3y) ⋅ 2 (16x + 12 xy + 9 y ) = 1 4 (4 x − 3y ) (4 x − 3 y)(16 x + 12 xy + 9 y ) 2 2 = 13. 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 64 x 3 − 27 y 3 ÷ 16 x − 12 y 32 x 2 + 24 xy + 18 y 2 3a (a 2 + 3) 2 + 3)(a 2 + 1) = 3 (a − 1) a 22. 2mx − 2my + nx − ny ÷ 8m + 4n 3x − 3 y = 23. x 3 − 5x 2 + 25x x 2 + x − 56 x 2 − 6x + 9 x 2 + 5x − 24 ÷ 2 4x2 − 1 2 x + 17 x + 8 (x − 3) ⋅ (2 x + 1)(x + 8) = x − 3 (2 x + 1)(2 x − 1) (x + 8)(x − 3) 2 x − 1 2 = (x + 5)(x − 5x + 25) ⋅ (x + 8)(x − 7) (x + 8)(x − 8) x (x − 5x + 25) (x + 5)(x − 7) = x − 2 x − 35 = x − 8x x ( x − 8) 2 = (2m + n)(x − y) ⋅ 1 = 1 3( x − y) 4 (2m + n) 12 2 24. 2a 2 + 7ab − 15b 2 a 2 − 3ab − 40b 2 ÷ 2 a 3 + 4a 2b a − 4ab − 32b 2 2 2 = (a + 5b)(2a − 3b) ⋅ (a − 8b)(a + 4b) = 2a − 3b a (a + 4b) (a − 8b)(a + 5b) a 2 2 EJERCICIO 135  a   2a   1+  ÷  1+  b  a + b  1. a a + b + a 2a + b = = a+b a+b a+b 2a b + 2a ⇒ 1+ = b b b b 2 a + b b + 2a 2 a + b ⇒ ÷ = ⋅ = a+b b a + b b + 2a a + b ⇒ 1+  2   x  x−  ÷ x−  2.  x + 1  x + 1 ⇒ x− ⇒ x− ⇒ x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 2 = = x+1 x+1 x+1 x ( x + 1) − x x 2 x = = x+1 x+1 x+1 x2 + x − 2 x2 x2 + x − 2 x + 1 x2 + x − 2 ÷ = ⋅ 2 = x+1 x+1 x+1 x x2
  • 173.  1   1  6.  1 − x 3 + 2  ÷  x + x − 1      a2   2    ÷  1+  1− a + 1 + a   a 2 − 1 3.  a 2 (1 − a )(1 + a) + a 1 − a 2 + a 2 1 = = ⇒ 1− a + = 1+ a 1+ a 1+a 1+ a ⇒ 1− 2 a2 − 1+ 2 a2 + 1 ⇒ 1+ 2 = = 2 a −1 a2 − 1 a −1 ⇒ x+ 2 ⇒ 1 a2 + 1 1 a2 − 1 a − 1 = ⋅ ÷ 2 = 1+ a a − 1 1 + a a 2 + 1 a 2 + 1 ⇒ =  2   3  x+  ÷x+  4.  x + 3  x + 4 ⇒ x+ x+4 (x + 2)( x + 4) = x = x ( x + 3)(x + 1) (x + 3)  x+ 4 2  b b  ⇒ a+b+ (a + b)(a − b) + b = a − b + b = a b = a−b a−b a−b a−b 2 2 2 2 − x + 1) x +2 3 ⋅ (x + 1)(x − 1) = x 2 − 1 x−1 = x − x+1 x3 − 2 x3 + 2 2 x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) 1 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+2 x 2 − 4 + 3 x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) 3 = = 2 = x2 − 4 x2 − 4 x − 4 ( x + 2)( x − 2 ) ( x + 1) ( x + 1)(x − 1) (x + 2)(x − 2) ( x + 1) ⋅ (x + 2)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2) = x = x + 2 ( x + 1)( x − 1) x−1 2 ⇒ + 6x + 8 2 + 6x + 9 2 5.  a + b + a − b  ÷  1 − a + b      2 (x + 1)(x ⇒ 1+  2 2 − x + 1) x 2 − x + 1 ÷ x3 + 2 x−1 ⇒ x+ ( x + 1)(x + 2) ÷ (x + 3)( x + 1) ⇒ x+ 3 (x + 1)(x 2 x ( x + 4 ) + 3 x 2 + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1) 3 ⇒ x+ = = = x+4 x+4 x+ 4 x+4 x+3 x ( x − 1) + 1 x 2 − x + 1 1 = = x−1 x−1 x−1  1   3  x+  ÷  1+ 2  x + 2  x − 4 7.  x ( x + 3) + 2 x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) 2 = = = x+3 x+3 x+ 3 x+3 ( x + 1)(x + 2) ⋅ = 2 1 x 3 + 2 − 1 x 3 + 1 ( x + 1)( x − x + 1) = 3 = 3 = 3 x +2 x +2 x +2 x +2 3 2 2 x+2 ÷ 2 2 − x−2 x−1  n − 1 2n − 1  2 8.  n − n 2 + 2  ÷  n + 1 − n      ⇒ n− b a+b−b a ⇒ 1− = = a+b a+b a+b 2 2n − 1 n (n + 2) − (2n − 1) n3 + 2n − 2n + 1 n3 + 1 = = = 2 n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2 n +2 2 n − 1 n (n + 1) − (n − 1) n3 + n − n + 1 n3 + 1 = = = n n n n n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n n ⇒ 2 ÷ = 2 ⋅ = n +2 n n + 2 n3 + 1 n2 + 2 a2 a a 2 a + b a (a + b) a 2 + ab ⇒ ÷ = ⋅ = = a−b a+b a−b a a−b a−b ⇒ n2 + 1− EJERCICIO 136 64a 2 − 81b 2 ( x − 9) 8a 2 + 9ab ⋅ ÷ x 2 − 81 8a − 9b (x + 9)2 2 4. 3x 8y z2 2 3x 2 2x 2 1. 4y ⋅ 9x ÷ 3x 2 = 3 ⋅ z 2 = z2 (8a + 9b)(8a − 9b) ⋅ (x − 9) ⋅ (x + 9) (x + 9)(x − 9) 8a − 9b a (8a + 9b) x − 9)( x + 9) x − 81 ( = = 2 2 = 2 5a  2a 5x  5a 2ab 2 2a 2b ÷ ⋅ = ⋅ = 2. b  b 2 4a 2  b 5x x a 5. a + 1 3a − 3 a2 + a ⋅ ÷ 2 3. a − 1 2a + 2 a + a − 2 = = a + 1 3 (a − 1) (a + 2)(a − 1) ⋅ ⋅ a − 1 2 (a + 1) a (a + 1) 3 (a + 2)(a − 1) 2a (a + 1) = 3a 2 + 3a − 6 2a 2 + 2 a a x − x − 12 x − x − 56 x 2 − 5x − 24 ⋅ ÷ x 2 − 49 x 2 + x − 20 x+5 2 = 6. 2 (x − 4)(x + 3) ⋅ (x − 8)(x + 7) ⋅ x + 5 = 1 (x + 7)(x − 7) (x + 5)(x − 4) (x − 8)(x + 3) x − 7 a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42 ⋅ ÷ a 2 − 11a + 30 a 2 − 1 a 2 − 4a − 5 = (a − 7)(a − 1) ⋅ (a + 6)(a − 6) ⋅ (a − 5)(a + 1) = 1 (a − 6)(a − 5) (a + 1)(a − 1) (a − 7)(a + 6)
  • 174. 2 x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 x ( x − 3)(x + 3x + 9) ( x + 10) x− 3 x− 3 ⋅ 3 ÷ = ⋅ ⋅ = 7. 2 x + 7 x − 30 x + 3x 2 + 9 x x−3 (x + 10)(x − 3) x (x 2 + 3x + 9) (x + 10)(x − 10) x − 10 2 (a + 1) ÷  a 2 + a 4 x + 8  a 2 + 1 a (a + 1) 4 (x + 2) a 2 + 1 3 (a − 2)(x − 3) x−3 x−3 ⋅ = ÷ ⋅ = ⋅ = = 8. 3a − 6  6a − 12 x − 3  3 (a − 2) 6 (a − 2) x − 3 3 (a − 2) 2a (a 2 + 1)( x + 2) 2a ( x + 2) 2ax + 4a 2 3 (3x + 2) = (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9 8 x 2 − 10 x − 3 4 x 2 − 9 8 x 2 + 14 x + 3 (2 x − 3)(4 x + 1) (2 x + 3)(2 x − 3) ⋅ ⋅ 9. 6 x 2 + 13x + 6 ⋅ 3x 2 + 2 x ÷ 9 x 2 + 12 x + 4 = (2 x + 3)(3x + 2) x (3x + 2) (2 x + 3)(4 x + 1) x (2 x + 3) 2 x 2 + 3x 2 (a + b) (a − b) 2 10. 2 −c (a + c) 2 − c2 ⋅ 2 − b2 a + ab − ac 2 ÷ 2 a (a + b + c) a 2 + ab + ac a + b + c (a + b + c)(a + b − c) (a + b + c)(a − b + c) a2 = ⋅ ⋅ = = a2 a+b+ c a − b− c a − b− c − b + c)(a − b − c) + b − c) a (a (a 2 a − 5a  a 2 + 6a − 55 ax + 3a  a (a − 5) b (b + 1)(b − 1)(a + 11) b (b − 1) b2 − b = ⋅ 2 ⋅ = 2 ÷ 2 2 = b+b ab + 11b  b (1 + b) a (a + 11)(a − 5)( x + 3) x+3 x+3  b −1 2 11. 12. m3 + 6m2 n + 9mn 2 m3 + 27n 3 4m2 − n2 2 2 3⋅ 2 2 ÷ 2m n + 7mn + 3n 8m − 2mn − n 16m2 + 8mn + n2 m (m + 3n) m (4m + n) (2m + n)(2m − n) ⋅ (4m + n) 4m + mn = = n (m + 3n)(2m + n) (2m − n)(4m + n) (m + 3n)(m − 3mn − 9n ) n (m − 3mn + 9n ) m n − 3mn + 9n 2 = 13. (a 2 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 3 − ax )  a3 − a2 x 1 a2 − x2   2 2 ⋅ 3 2 ÷ 2 2 ⋅ 3 a + x a + a x  a + 2ax + x a + ax 2  2 2 (a = − ax) a (a + x ) (a 2 + x 2 ) a (a − x ) 1 1 a 2 − ax ⋅ = 2 = = 2 2 ⋅ 2 2 a + x a (a + x ) a (a − ax)(a + x )(a − x ) a (a − x ) a 2 (a − x ) a 14. (a 2 2 2 − 3a ) 27 − a 3 a 4 − 9a 2 ⋅ ÷ 2 2 2 9− a (a + 3) − 3a (a + 3a)2 = 2 2 (a (3 − a)(9 + 3a + a ) ⋅ (a + 3a) = (a (3 + a)(3 − a) a + 3a + 9 (a − 3a)(a + 3a) 2 − 3a ) 2 2 ⋅ 2 2 2 2 2 EJERCICIO 137 a ab − a b = b = a (b − 1) = a 1 b2 − 1 (b + 1)(b − 1) b + 1 1. b− b b 1 x3 − 1 2 2 x − x = x = ( x − 1)( x + x + 1) = x 2 + x + 1 2. 1 x−1 x−1 1− x x a b a 2 − b2 − b a = ab = (a + b)(a − b) = a − b 3. b a+b b b (a + b) 1+ a a 1 1 m+n + m n = mn = m + n 4. 1 1 n − m n − m − m n mn a− 6. 7. 8. − 3a)(a 2 + 3a) a (a 2 − 3a )(a + 3) 3 = = a − 3a 2 3+ a a+3 x 2x + x 2 = 2 = 2 ( 3x ) = 2 x 4x − x 3x x− 4 4 x y x2 − y2 − (x + y)(x − y) = x − y y x xy = = y x+ y y y (x + y) 1+ x x 3 x2 + 4x + 3 x+ 4+ (x + 1)(x + 3) = x + 3 x= x = 5 x 2 − 4 x − 5 ( x − 5)( x + 1) x − 5 x− 4− x x 4 a 2 − 4a + 4 a− 4+ (a − 2)(a − 2) = a − 2 a= a = 2 a−2 (a − 2) 1− a a x+ 5. 2
  • 175. 20 x 2 + 7 x − 6 x 14. 4 2 − 25 x 2a 2 − b 2 −b a 9. 4a 2 + b 2 +1 4ab 2 2a − b 2 − ab a = 4a 2 + b 2 + 4ab 4ab = = = (2a + b) 4b (a − b) 4ab − 4b = = 2 2a + b 3a 10b + 3a 2+ 3 5b = 5b = 10b 3a + 10b 5b 10. a+ 3 3 x2 a+ x a2 a2 − a+ x a− x+ a2 a (a + x − 1) = 1 a+ x−1 1 x−1 15. 1 1+ 2 x −1 x − 1+ 1 x ( x + 1) x + 1 x−1 = = = 2 x − 1+ 1 x2 x 2 x −1 a 2 (a − b) a 2 (a + b) = a−b a+b 5 x+ 3 17. 35 x + 5− x+ 3 x − 1− = (a + 7)(a + 1 ) a (a − 2) a − 2a = = 2 a+1 a+1 1 9 20 − + a a2 a3 13. 16 −a a 2 a − 9a + 20 a3 = 16 − a 2 a ( x + 4)(x − 2) = x + 4 ( x + 10)(x − 2) x + 10 7a + 9 a+3 18. 5a − 11 a − 4+ a+1 (a − 5)(a − 4) = a (4 + a )(4 − a ) 2 5− a a−5 =− 2 =− 3 = a + 4a 2 a 3 + 4a 2 a (a + 4) a 2 + 5a + 6 − 7a − 9 a+3 = 2 a − 3a − 4 + 5a − 11 a+1 (a + 1)(a − 2a − 3) (a + 3)(a + 2a − 15) (a + 1)(a − 3)(a + 1) = (a + 3)(a + 5)(a − 3) (a + 1) = a + 2a + 1 = (a + 3)(a + 5) a + 8a + 15 2 2 2 (x 2 − x − 2) + x (2 x + 6) x ( x + 1) x (3x − 1) (x − 1)(3x + 5x − 2) x (3x − 1) = = (x − 1)(3x − 1)(x + 2) x = 2 2 x + x−2 a b − a−b a+b 3. a + b a + a−b b = a+ 2− = = x + 1 + 2 ( x − 1) x2 − 1 a (a + b) − b (a − b) x2 + 2x − 8 x+ 3 = 2 x + 8 x − 20 x+ 3 a (a + 7)(a − 2) a−5 1 2 + x−1 x+1 2. x − 2 2 x + 6 + x x+1 1+ = 14 a 8 7 1+ + 2 a a a 2 + 5a − 14 = 2 a a + 8a + 7 a2 = 4 x 2 + 3x 5x + 2 ab a 2 + ab − ab a+b a+b = 2 16. ab a − ab + ab a+ a−b a−b a + 5− 12. (2 + 5x)(2 − 5x) a− a2 − x2 + x2 a+ x = 3 a + a2 x − a2 a+ x 2 x (4 x + 3)(5x − 2) =− 2 = x 4 − 25x 2 x2 = 4b (a − b)(2a + b) 11. x+1 x−1 1. 1 1 − x−1 x+1 x − 1+ x + 1 2 x ( x + 1) 2 x−1 = = =x +x 2 x + 1 − ( x − 1) x2 − 1 1+ (4 x + 3)(5x − 2) 4b (2a 2 − b 2 − ab) 4a 2 + b 2 + 4ab 2a + b EJERCICIO 138 2 2 (a − b)(a + b) b (a + b ) + a (a − b) b (a − b ) a 2 + ab − ab + b 2 a 2 + b 2 a+b a+b b = = = ab + b 2 + a 2 − ab a 2 + b 2 a + b b b x+ 3 − x+4 4. x − 1 − x+2 x+1 x+2 x−3 x+4 (x + 3)(x + 2) − (x + 1)( x + 4) (x + 4)(x + 2) = ( x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2) (x + 2)(x + 4) x 2 + 5x + 6 − x 2 − 5x − 4 x 2 + 3x − 4 − x 2 + x + 6 1 2 2 = = = 4 x + 2 2 (2 x + 1) 2 x + 1 =
  • 176. m2 m2 − n2 + n m+ n 5. m − n n + n m m2 (m + n) − n (m2 − n 2 ) = n (m + n) = = 2 x2 + 2x + 1 − 2 x 5 + 2 x5 + 2 2x 1− x 2 (x + 1) (a + x)(b − x) − (b + x)(a − x) (a − x)(b − x) = 2 (b − x ) − 2 (a − x ) (a − x)(b − x) = = 2 = 2 (x + 1) (x + 1)(1− x) (x + 1) ⋅ (x + 1)(1 − x) = 2 ( x + 1) (x + 1) (1− x) = 2 2 a2 1 + b3 a 6. a b − a − b a−b (x = + 2 x + 1)(1 − x ) a (a + 2b) + b (a − b) a + 2b b + a (a − b) a−b a = 11. a + b 3b (a + b)(a − b) + 3ab + a a−b a (a − b) = (x + y) − (x − y) (x − y)(x + y) = (x + y) − x (x + 2 y ) x (x + y) 2 2 2 2 )( ) ) ( )( ) a 2 + 2ab + ab − b 2 a 2 − b 2 + 3ab a 2 + 3ab − b 2 =1 a 2 + 3ab − b 2 7 12 1− + 2 x x 12. 16 x− x x 2 − 7 x + 12 x2 = x 2 − 16 x = x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + 2 xy − y 2 x− y a + b a 2 − ab + b2 = x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy 2 ab = x a 2 − b2 4 xy a−b x− y = 2 a + b a 2 − ab + b 2 a−b y = ⋅ ab 2 a+b a−b x 4 xy x 4x2 4x2 a 2 − ab + b2 = ⋅ 2= = 2 = 2 x− y y y ( x − y) xy − y ab ( a 2 = 2 a + ax + a 2 − ax a− x a a a− x a− x = 22 = ⋅ = 2a 2 2a 2 4a a− x 2 2 2 x2 − x3 + 2x − 2x2 + 1− x = 2 1+ x − x 2 − x 3 = 2 − ab + b2 ) ab 3 2 a − ab − b 2 + ab b (a − b) )( 2bx − 2ax 2 x (b − a ) = =x 2b − 2a 2 (b − a ) 2 b (a − b) ( ab − ax + bx − x 2 − ab + bx − ax + x 2 2b − 2 x − 2a + 2 x 2a − a a a − 2 (a + x ) a + x 2a + 2 x = 10. a a a (a + x ) + a (a − x) + a− x a+ x (a − x)(a + x) x+ y x− y − x− y x+ y 8. x + y x + 2 y − x x+ y a 3 + b3 ab3 = a (a − b) − b (b − a ) = 2 x (1 − x 4 ) + 2 x 5 + 2 2 − mn + n2 ) m+ n = m2 − mn + n2 m m = m2 − mn + n2 ⋅ 2 =m m − mn + n2 (a + b)(a 1+ x2 + 2 x 1+ x 2 (1+ x )(1 − x ) m (m − n) + n2 nm m3 + m2 n − m2 n + n 3 m+ n = m2 − mn + n 2 m m3 + n 3 m+ n = 2 m − mn + n 2 m (m + n)(m a+ x b+ x − a− x b− x 9. 2 2 − a− x b− x 2x 1+ x2 7. 2 x5 + 2 2x + 1− x4 1+ (x − 4)( x − 3) = x (x − 4)(x + 4) ( x − 4)(x − 3) ⋅ = x = x−3 x ( x + 4) = 1 ( x − 4)(x + 4) x−3 x2 + 4x
  • 177. a 2 b2 − b a 13. 1 1 b + + b a a2 a 3 − b3 = 2 ab 2 a + ab + b a 2b 3 a − b3 = 2 a + ab + b 2 a 2b + c a −b −c 17. c − 2b 1− a −b +c = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ⋅ = a (a − b) = a 2 − ab a 1− a + 1− a a 18. 1 − a a − a 1− a 4 y2 x+ y 14. 5y 2 x − 3y − x+ y a 2 + (1 − a ) 2 = (x − 2 y)(x + y) − 4 y 2 x+ y (x − 3y)(x + y) − 5y = 2 x+ y = (x − 3y)(x + 2 y) = x − 3y (x − 4 y)(x + 2 y) x − 4 y = 6 ( x + 2) x+2 x−5 1 x x = = 1⋅ = x +1 x +1 20. 1+ 1 x + 1 x x 2 + 2a + 2 − 2a 4 1 =− =− a 2 − 2a − 2 − 2a 4a 1 1 − x+ y+ z x− y+ z 16. 1 1 − x− y+ z x+ y+ z 21. 1 1+ = 1 1− 1 x x− y+ z− x− y− z 2y 1 1 x −1 x 1 = x 1+ x −1 1+ 1 x − 1+ x x −1 1 x −1 x −1 = = 1⋅ = 2x − 1 2x − 1 2 x − 1 x −1 = (x + y + z)(x − y + z) = − 2 y = − 1 = x+ y+ z− x+ y− z a 2 + 1 − 2a + a 2 2 a 2 − 2a + 1 = 1 − 2a + a 2 − a 2 1 − 2a 1 2 2 x 2 = 2 1+ x+2 x 2 = 2x 1+ x+2 2 = x + 2 + 2x x+2 2 x + 2 2x + 4 = = 2⋅ = 3x + 2 3x + 2 3x + 2 x+2 x−5 x−5 =1 = = 11( x − 2) x + 7 x− 4+ x+7 x−2 x+7 (1− a)(1+ a) 2 (1 − a ) − 2 (1 + a ) (1+ a)(1− a) (x − y + z)(x + y + z) 1+ x+1 − 2 (1 + a ) + 2 (1 − a ) 2+ 2 23. 2 6 x + 12 x+2 x−5 19. 11x − 22 x− 4+ x−2 x+7 2 2 + 1− a 1+ a 15. 2 2 − 1+ a 1− a = (1 − a ) − a a (1 − a ) 2 x + 1− x − xy − 6 y 2 x 2 − 2 xy − 8 y 2 2 = a (1 − a ) 1 1 x −1 3 1 = 1− 1 2+ x−3 3 1 = 1− 3 2+ x−3 1 = 1− 2x − 3 x−3 x−3 = 1− 2x − 3 x 2x − 3 − x + 3 = = 2x − 3 2x − 3 a − b − c + 2b + c a −b −c = a − b + c − c + 2b a −b+ c a+b a−b−c = a+b a−b+c a+b a −b+c a −b +c = ⋅ = a −b −c a +b a−b−c a a 2 + ab + b2 x − 2y − = 22. 1− 1+ 24. 1+ 1 x x2 x +1 1 = x x− 2 x + x − x2 x +1 1 = x x− x x +1 1 = x2 + x x− x 1 1 = 2 = = −1 x − x2 − x − x x x x− x−
  • 178. 1 25. a +1 1 a− a 1 1 1 1 1 a−1 a−1 = = = = = 1⋅ = = a+1 a a (a + 1) (a + 2)(a − 1) − a a 2 + a − 2 − a a 2 − 2 a 2 − 2 a+ 2− 2 a+ 2− a −1 a + 2− a +1 a −1 a−1 a−1 a−1 ( )( ) a a + 2− x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 = = = = = x−1 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 (x 2 + 2)(x + 1) x + 2 − x − 1 x + 2− x+ 2− 2 x + 2− 2 x + 2− x−2 x + x− x+ 2 x +2 x2 + 2 x− x+1 x+1 x+1 26. EJERCICIO 139 x2 − 2x + 1 9. x − 2 x 2 − x + 2 Para x → 1 3 x−2 1. x + 3 Para x → 2 2−2 0 = =0 2+3 5 (x − 1) x ( x − 2) − ( x − 2) (x − 1) = (x − 1)(x − 2) (x − 1) = = (x − 1)(x + 1)(x − 2) x 2 2 x−2 2. x − 3 Para x → 3 3−2 1 = =∞ 3−3 0 2 2 x2 − a2 3. x 2 + a 2 Para x → a a2 − a2 0 = =0 a 2 + a 2 2a 2 x2 + y2 4. x 2 − y 2 Para x → y y 2 + y 2 2y 2 = =∞ y2 − y 2 0 5. x −1 Para x → 2 3 x−2 2 −1 1 1 = = =0 3 3 ∞ 2−2 0 2 10. 2 1− 1 0 x−1 = = =0 − x − 2 12 − 1 − 2 − 2 a3 − 8 Para a → 2 a + 11a − 26 2 (a − 2)(a + 2a + 4) = a + 2a + 4 = 2 a + 13 (a + 13)(a − 2) 2 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 12 4 = = 2 + 13 15 5 x2 − 9 6. x 2 + x − 12 Para x → 3 (x − 6)( x − 1) = x − 6 = 1− 5 = − 4 = ∞ x2 − 7x + 6 11. x 2 − 2 x + 1 Para x → 1 x − 1 1− 1 0 (x − 1)2 a −a−6 7. a 2 + 2a − 15 Para a → 3 12. x 3 − 7 x + 6 (x + 3)(x − 3) = x + 3 = 3 + 3 = 6 (x + 4)(x − 3) x + 4 3 + 4 7 2 (a − 3)(a + 2) = a + 2 = 3 + 2 = 5 (a + 5)(a − 3) a + 5 3 + 5 8 8. x 2 − 7 x + 10 Para x → 2 x − 2x2 − x + 2 3 (x − 5)(x − 2) x 2 ( x − 2) − ( x − 2) = Para x → 2 x 3 − 3x − 2 = 1 0 − 3 − 2 2 4 2 1 2 1 2 2 0 ⇒ (x − 2)( x + 2 x + 1) 2 x3 − 7x + 6 = 1 0 − 7 6 2 4 −6 2 −3 1 (x − 5)(x − 2) = x − 5 = 2 − 5 = − 3 = − 1 (x − 1)(x − 2) x − 1 4 − 1 3 2 x 3 − 3x − 2 ⇒ (x − 2)( x + 2 x − 3) 2 0 2 (x − 2)(x + 1) = (x + 1) = (2 + 1) = 9 (x − 2)(x + 2 x − 3) x + 2 x − 3 2 + 2 ⋅ 2 − 3 5 2 2 2 2 2 2
  • 179. 13. x 2 − 16 x3 − 4x2 − x + 4 Para x → 4 19. 14. 2 2 4x2 − 4x + 1 4 x 2 + 8x − 5 Para x → 2 1 2 20. 15. 8x − 6x + 1 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 Para x → 2 = 1 2 ⇒ 8 x 2 − 6 x + 1 = (8 x ) − 6 (8 x ) + 8 2 Para x → a 2 2 2 2 x3 − a3 a2 x − a3 (x − a)(x + ax + a ) a (x − a ) 1 (2 x − 1) = 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 − 1 = 1 − 1 = 0 = 0 (2 x + 5)(2 x − 1) 2 x + 5 2 ⋅ 1 + 5 1 + 5 6 2 Para y → x (x + y)(x − y) = x + y = x + x = 2 x = 2 y x x y (x − y) ( x − 4)( x + 4) = ( x − 4)(x + 4) = x + 4 = 4 + 4 = 8 x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − 1)( x − 4) x − 1 4 − 1 15 2 x2 − y2 xy − y 2 21. = (8 x − 4)(8 x − 2) = (2 x − 1)(4 x − 1) x 2 + ax + a 2 a 2 + a 2 + a 2 3a 2 = = 2 =3 a2 a2 a x 3 − 3x + 2 2 x 3 − 6x2 + 6x − 2 12 − 15 4 − 4 − 16 16 − 4 ⇒ 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 = 4 4 ⇒ x 3 − 3x + 2 1 0 −3 2 1 1 1 −2 −4 1 1 −2 Para x → 1 1 0 = ( x + 4)(4 x 2 − 4 x + 1) = ( x + 4)(2 x − 1) = ( x − 1)( x 2 + x − 2) 0 = ( x − 1)( x + 2)( x − 1) 2 1 (2 x − 1)(4 x − 1) = 4 x − 1 = 4 ⋅ 2 − 1 = 1 = ∞ ⇒ (2 x − 1)2 (x + 4) (2 x − 1)(x + 4)  2 ⋅ 1 − 1  1 + 4 0     2 2  16. x 3 − 9 x + 10 x − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 4 ⇒ x 3 − 9 x + 10 1 0 − 9 10 2 4 − 10 1 2 −5 1 = ( x − 1)(2 x 2 − 4 x + 2) 2 0 ⇒ 22. = (x − 2)( x 3 + x 2 − 9 x − 9) = x2 + 2x − 5 22 + 2 ⋅ 2 − 5 3 1 = 3 2 = =− 2 x + x − 9 x − 9 2 + 2 − 9 ⋅ 2 − 9 − 15 5 2 2 3 ( x − 1) (x + 2) = x + 2 = 1 + 2 = 3 = ∞ (x − 1) (2 x − 2) 2 x − 2 2 ⋅1− 2 0 + ax + a 2 ) 2 = x + ax + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 x−a 2 (a − b) = a − b = a − a = 0 a a a (a − b) 2 Para b → a 2 x4 − x3 − 7x2 + x + 6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6 Para x → 3 ⇒ x4 − x3 − 7x2 + x + 6 1 −1 − 7 1 6 −2 −2 6 2 −6 1 − 3 −1 (x + 2)(x 3 3 0 − 3x 2 − x + 3) 1 Para x → a a 2 − 2ab + b2 18. a 2 − ab 0 2 −9 −9 (x − a)(x 2 = ( x − 1) (2 x − 2) (x − 2)(x + 2 x − 5) (x − 2)(x + x − 9 x − 9) x3 − a3 x−a −4 = ( x − 1)( x − 1)(2 x − 2) ⇒ 17. ⇒ 2 x 3 − 6 x 2 + 6x − 2 2 −6 6 −2 1 2 −4 2 2 = ( x − 2)( x 2 + 2 x − 5) 0 3 2 2 ⇒ x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 1 − 1 − 11 9 18 2 2 2 − 18 − 18 1 Para x → 2 = ( x − 1) ( x + 2) −3 1 −1 3 −2 −3 1 −2 −3 1 0 = (x + 2)(x − 1)( x 2 − 2 x − 3) = (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x + 1) Continúa
  • 180. Continuación 4 3 2 22. ⇒ x − 3x − 3x + 11x − 6 1 − 3 − 3 11 − 6 − 2 − 2 10 − 14 6 1 −5 −3 7 Continuación 24. 0 1 −5 7 −3 1 −4 3 3 0 x + 1 3+ 1 4 = =2 = x − 1 3− 1 2 3x 3 − 5x 2 − 4 x + 4 23. x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 8 x − 4 Para x → 2 ⇒ 3x − 5x − 4 x + 4 2 3 −5 −4 4 1 ⇒ x + 2 x − 3x − 8 x − 4 2 1 4 8 10 0 (x − 2)(x 1 4 3 2 + 4 x 2 + 5x + 2) 5 −2 2 −2 −4 −2 1 2 1 1 (x − 2)(3x + x − 2) (x − 2)(x + 2)(x + 1) 2 = = 2 3x 2 + x − 2 (x + 2)(x + 1) 2 3⋅ 2 2 + 2 − 2 (2 + 2)(2 + 1) 2 1 12 1 = 36 3 ⇒ x − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4) 2 ⇒ x 4 − 2 x3 − 9 x2 + 2x + 8 1 −2 −9 2 8 1 1 − 1 − 10 − 8 1 − 1 − 10 − 8 0 ⇒ x 4 − 8 x 2 + 16 1 0 −8 0 16 − 2 − 2 4 8 − 16 + 2 x 3 + 8 x + 16) 16 − 2 0 8 0 0 − 16 0 0 8 2 1 −2 −4 (x + 2)(x 0 1 12 4 20 1 −2 −2 0 = ( x − 2)( x + 2) ( x 2 − 2 x + 5) 0 Continúa (x − 2)(x + 2)(x + 8) ⇒ (x − 2)(x + 2) (x − 2 x + 5) 3 2 (x + 2)(x 2 − 2 x + 5) 2 +8 ⇒ = 28. 2 ( x + 2) ( x + 2) ( x − 2) 2 x+ 2 = 2 − 2+ 2 (x − 2) (− 2 − 2) 2 2 = 0 =0 16 9 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 1 Para x → − 27 x 3 + 1 3 = 3x 2 (3x + 1) + (3x + 1) 27 x 3 + 1 = + 1)(3x + 1) (3x + 1)(9 x − 3x + 1) = 3x 2 + 1 9 x 2 − 3x + 1 (3x 2 2 2 3 16 4 = = = (2 + 2)(22 − 2 ⋅ 2 + 5) 20 5 0 3 2 x3 + 8 4 2 + x + 10) −2 0 1 10 − 2 4 − 10 −4 8 −2 8 −8 = ( x + 2) ( x − 2) 0 0 3 0 2 2 10 8 = ( x + 2) ( x − 4 x + 4) 2 1 12 20 − 2 − 2 0 − 2 − 20 0 1 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) 3 1 −4 + 2 x + x + 12 x + 20) 3 1 −2 5 = 0 2 2 x 2 − 5x + 4 24. x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 Para x → 1 4 0 8 16 4 ( x − 2)(x + 2)( x 1 = 1 4 = ( x + 2)( x + 4 x + 4) = ( x + 2) 2 ( x − 2) ( x 1 x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 Para x → − 2 x 4 − 8x 2 + 16 32 ⇒ x 5 − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40 1 0 − 3 10 − 4 − 40 2 2 4 2 24 40 1 0 = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 1) ⇒ 2 9 2 = 36 = 18 5 10 5 4 ⇒ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 1 6 12 8 − 2 −2 −8 −8 = ( x − 2)( x + 2)( x 3 + 8) 4 5 2 3 2x + 3 2⋅ 4 + 3 = = 3 3x − 1 3⋅ − 1 4 4 0 16 −2 2 1 2 −3 −8 −4 = ⇒ x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 1 0 − 4 8 0 − 32 2 ( x − 2)(x (12 x − 9)(12 x − 4) (2 x + 3)(4 x − 3) (4 x − 3)(3x − 1) 2 x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 Para x → 2 x − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40 3 4 (8x)2 + 6 (8x) − 72 (12 x) 2 − 13(12 x) + 36 = 5 1 0 3 = (x − 1)(x − 4) (x − 1)(x − 4)(x + 3x + 2) 2 = ( x − 2)(3x 2 + x − 2) 4 0 27. 25. Para x → (8x + 12)(8x − 6) 8 2 1 1 1 = = x 2 + 3x + 2 12 + 3⋅ 1 + 2 6 = 2 2 −4 6 1 −2 3 12 3 ⇒ (x + 2)(x − 1)(x − 3)(x + 1) (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x − 1) 3 ⇒ 4 = ( x − 1)( x − 4)( x 2 + 3x + 2) 1 = ( x + 2)( x − 1)( x − 3)( x − 1) = −8 4 1 = ( x + 2)( x − 1)( x 2 − 4 x + 3) ⇒ − x − 10 x − 8) 2 − 1 − 10 1 = ( x + 2)( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3) 1 −4 (x − 1)(x 3 8x 2 + 6x − 9 26. 12 x 2 − 13x + 3 =  1 3 −  + 1  3 2  1  1 9  −  − 3 −  + 1  3  3 4 4 = 3= 3 9
  • 181. (x − 1)(x + 2) = x + 2 = 1+ 2 = 3 = 1 1 3 x 2 + x + 1− 3 x 2 + x − 2 − 3 = = Para x → 1 x−1 x −1 x3 − 1 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 12 + 1+ 1 3 29.  ( 1   Para x → 2 x − 2 ) 2 30. x + 3x − 10  1 +   x−1 (x + 5)(x − 2) x − 2  = (x + 5)(x − 1)⇒ (2 + 5)(2 − 1) = 7   EJERCICIO 140 1. 12 x 2 + 31x + 20 18 x 2 + 21x − 4 (12 x) 2 + 31(12 x) + 240 (18 x) 2 + 21(18x ) − 72 = = (12 x + 16)(12 x + 15) = (3x + 4)(4 x + 5) = 4 x + 5 = (18x + 24)(18x − 3) (3x + 4)(6x − 1) 6x − 1 = 2 3. ⋅ a3 a (a + 1)(a − 1) x ( x 2 + 3x + 9) x ( x − 27) 2 3 (x + y ) a+1 a+1 = 3 2 a 2 (a − 1) a − a x 2 + 3x + 9 = x (x − 3)(x + 3x + 9) 2 1 x (x − 3) ⇒ x ( x + y ) − x (x − y ) xy = x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − x 3 + 2 x 2 y − xy 2 4 x 2 y = = 4x xy xy 2 2 ⇒ (a − 2b)(a + b) a (a + b ) − 2b (b + a ) (a − 2b)(a + b ) a + b = = = (a − 2b)(a + b) (a − 2b)(a + b) a + b 1 + 5a a − 5a + 1 + 5a a + 1 (a + 1)(a − a + 1) = = = a+ 2 2 2 6. ⇒ 2 2 3 a2 − 5 a2 − 5 a− 2 2 3 a2 − 5 a + 5 a2 + a − a − 5 a2 − 5 = = a+1 a+1 a+1 (a + 1)(a − a + 1) a 2 − 5 2 = a −a+1 ⋅ a −5 a+1 2 2 9 x − 3x 2 x 3 − 1 = x−3 x−1 ( x − 1) (x − 3) − 3x (3 − x ) = (x − 1)(x + x + 1) x−1 2 2 2 2 x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 − 9 x + 3x 2 = x2 + x + 1 x−3 ⇒ x3 − 2x2 − 2x − 3 2 = x + x+1 x−3 2 2 ⇒ 2 a2 − 5 x−3 2 ⇒ 2 2 x (x + y )( x − y ) = x ( x + y )⇒ x (x + y ) = x ( x + y ) x− y 2 ⇒ a 4 − 2b 3 + a 2b 2 − 2a 2b 2 x (x 2 − y 2 ) = x (x + y) x− y 11. x 2 − 2 x + 1 − a 4 − 2b 3 + a 2b (b − 2) 5. a 4 − a 2b − 2b 2 2 170 − x 2 x−5 4x 2 − 5xy + y 2 4x 2 5xy y 2 4x 5y y 2 = − + = − + 3x 3x 3x 3x 3 3 3x m−n− x m n x 1 1 1 = − − = − − 9. mnx mnx mnx mnx nx mx mn x 3 − xy 2 2 10. x − y = x + xy 2 − = = x 3 − 29 x + 20 − x 3 + 29 49 − 29 x = x−5 x−5 8. x (x − y ) xy 2 y = + 5x − 4) − x 3 + 29 x−5 x 2 + 29 x − 170 + 170 − x 2 29 x = x−5 x−5 49 − 29 x 29 x 49 − 29 x x − 5 49 − 29 x ⇒ ÷ = ⋅ = x−5 x−5 x − 5 29 x 29 x x 3 + 3x 2 + 9 x x 5 − 27 x 2 = 4. = 2 =  a 2 + 2a + 1  a 2 + 2a − 2a − 1 =  ÷  a3 a     (a + 1) (x − 5)(x x + 34 + 2a + 1 1 2 1   2.  + 2 + 3  ÷  a + 2 − a a a   a  = x 3 − 29 x−5 7. x 2 + 5x − 4 − ( x − 3)( x + x + 1) 2 = x + x + 1 ⇒ x 2 + x + 1= x 2 + x + 1 x−3 2 a 4 − 5a 2 + 4 2 + 4a 12. a 3 + a 2 − 4a − 4 = a − 3 + 2a + 1 (a − 2)(a − 1)(a + 2)(a + 1) = 2a − 5a − 3 + 2 + 4a 2a + 1 (a − 2)(a + 1)(a + 2) (2a + 1)(a − 1) ⇒ a − 1 = a − 1 2a − a − 1 ⇒ a − 1= ⇒ a − 1= 2 ⇒ 2 2a + 1 2a + 1
  • 182. 13. 16 − 81x 2 17. 72 x 2 − 5x − 12 1 1 2a + + a − b a + b a 2 − ab + b 2 = a 3 + b 3 + (a − b)(a 2 − ab + b 2 ) + 2a (a 2 − b 2 ) (a 3 3 = ) (a − b) 3 (4 − 9 x)(4 + 9 x) (72 x − 32)(72 x + 27) (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − 9 x + 4 = (9 x − 4)(8x + 3) (4 − 9 x)(8x + 3) 8 x + 3 + b 3 ) (a − b) 4a − 2a b (a 3  a 2 + b 3 ) (a − b) 2 a 4   1+ a  3   ⋅  1− a + 2  − 14.  1 − a 2 1 − a 4   a  1  x 2 3   x 6  −  ÷  + + + 18.  x x + 2 x + 3  x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 =  a 2 (1 + a 2 ) − a 4   a 2 (1 − a ) + 1 + a 3    ⋅ =     1− a 4 a2     =  a 2 + a 4 − a 4   a 2 − a 3 + 1+ a 3  =  ⋅  a2   1− a4   = (4 − 9 x)(4 + 9 x) (72 x ) 2 − 5 (72 x ) − 864 = 2 (a 3 = +b 3 a + b + a − 2a b + 2ab 2 − b 3 + 2a 3 − 2ab 2 3 = 3 x 2 + 5x + 6 − 2 x ( x + 3) + 3x ( x + 2) x ( x + 3) + x ( x + 2) + 6 ÷ x 2 + 5x + 6 x ( x 2 + 5x + 6) x 2 + 5x + 6 − 2 x 2 − 6x + 3x 2 + 6x x (x + 5x + 6) 2 1 a2 a2 + 1 ⋅ = 1− a 4 a 2 1− a2  ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) a 2 ( x − 4)( x + 4)  2 x + 1 x + 4  =  ( x − 4)( x + 3) ⋅ x − 3  ⋅ ( x + 3)(2 x + 1) ⋅  a 2 x 2  = x     b b 1+ a−b a + 19. a − 3b b2 1− 2 2 − a−b a a−b+b b a−b = 2a 2 + 2a − 2b − a + 3b a −b a−b a2 a a−b = + a (a 2 − b 2 ) a + b a−b 3x 3 − x 2 − 12 x + 4 6x + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4 a 2b 4 ⇒ 3x 3 − x 2 − 12 x + 4 3 − 1 − 12 4 − 2 = − 6 14 − 4 3 −7 2 0 = ( x + 2)(3x − 7 x + 2) = ( x + 2)( x − 2)(3x − 1) = 2 6 x 4 + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4 6 1 − 25 − 4 4 − 12 6 − 11 (x + 2)(6x 6 − 11 12 6 1 22 −3 3 0 − 11x 2 − 3x + 2) −3 2 2 2 −2 −1 a 2b a + a (a 2 − b 2 ) a + b a 2b + a 2 (a − b) a 2b + a 3 − a 2b = a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 ) = −2 6 −4 2 x 2 + 5x + 6 x + 3x + x 2 + 2 x + 6 2 2 x 2 + 5x + 6 1 1 = = ⋅ 2 x 2 x + 5x + 6 x  x2 − 9 x − 3  a 2 x 2 − 16a 2  2 1  15.  x 2 − x − 12 ÷ x 2 + 3x  ⋅ 2 x 2 + 7 x + 3 ⋅  a 2 x + a 2 x 2      16. ⋅ 0 a (a 2 − b 2 ) = 1  x − 36 x  ÷ 2  ⋅ 3 x x − 4 2 20. a2 a − b2 2 1 1 ⋅ 36 4 x− x− x x  (x + 6)( x − 6) ( x + 2)( x − 2) 1 1 1  ⋅ 2 =  ⋅  x − 36 ⋅ x 2 − 4 x x 3   x x = ( x − 2) ( x + 2)(6x 2 + x − 1) = (x + 2)(x − 2)(3x − 1) = 1 ⇒ (x − 2)(x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) 2 x + 1 = = ( x − 2)( x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) a3 (x + 6)(x − 6) ⋅ (x + 2)(x − 2) ⋅ 3x x x x ⋅ x 2 − 36 x 2 − 4 x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 1 = 3x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 3
  • 183. 3a + (a − 2b) 2 21. 5 1 + a − 5b a − 2b 3a − 14ab + 10b a 2 − 4ab + 4b2 2 23. 1 1 1 − − + 3x − 9 6 x + 12 2 ( x − 3)2 = 2 = 3a 2 − 14ab + 10b 2 (a − 2b) = 2 3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b = 2 2 (a − 5b)(3a 9a − 42ab + 30b 2 = (a − 5b)(3a x+1 − x−1 22. x − 1 + x+1 2 2 2 − 14ab + 10b 2 ) = 3(3a − 14ab + 10b ) 3 = (a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) a − 5b 2 2 − 14ab + 10b2 ) = 2 2 2 (x − 1) + (x + 1) 2 2 ⋅ x2 + 1 = ⋅ 6 ( x − 3) ( x + 2) 2 7 x 2 + 13x − 27 6 ( x − 3) ( x + 2) 2 2a 2 b (a + b) 2 a+b 1 2a (a − b) b (a + b) b a ⋅ = ⋅ ⋅ =1 = 2 ⋅ 2a b 2 (a + b) a (a − b) 2a b a−b b a−b x + 2 x + 1− x + 2 x − 1 x + 1 4x x +1 1 ⋅ = ⋅ = x 2 − 2 x + 1+ x2 + 2 x + 1 4 x 2 2 ( x 2 + 1) 4 x 2 2 x 2 − 2 x − 12 − x 2 + 6 x − 9 − 3x − 6 + 6 x 2 + 12 x a 2 − b 2 + a 2 + b 2 ab + b 2 a+b 1 = 2 ⋅ a ⋅ a − b 2 − a 2 + 2b 2 a − b b + 2a − b b a−b x2 − 1 2 6 ( x − 3) ( x + 2) 2 a 2 + b2 b2 a+b b+ a 1 ⋅ ⋅ 24. 2a − b a 2 − 2b 2 a − b 1+ a+b− b a−b a2 − b 2 (a − b) 2 x 2 2 ( x − 3)( x + 2) − ( x − 3) − 3( x + 2) + 6 ( x + 2) a−b+ 2 x2 − 1 x 1 1 1 − − 2 + x 2 − 6x + 9 3 ( x − 3) 6 ( x + 2) 2 ( x − 3) 2 x−1 x + 1 x2 + 1 2x ⋅ ÷ x + 1 2a 2 − 2b a 2 − b x−1 (x + 1) − (x − 1) = 2 9 x 2 (a − 2b) (a − 5b) 2 2 x − 6+ 2 3a (a − 5b) + 5 (a − 2b) + (a − 2b)(a − 5b) = 1 2 2 EJERCICIO 141 1. x 1 + 5= − x 6 3 x + 30 1 − 3x ⇒ = 6 3 x x 5 mcm = 12 6 x + 24 − x = 2x − 15 6 x − x − 2x = − 15 − 24 3x = − 39 − 39 x= 3 x = − 13 x + 30 = 2 (1 − 3x ) x + 30 = 2 − 6 x x + 6 x = 2 − 30 7 x = − 28 − 28 x= 7 x=−4 3x 2x 1 − + = 0 mcm = 15 2. 5 3 5 9x − 10x + 3 = 0 −x=−3 x=3 1 1 1 1 mcm = 20x + − = 3. 2x 4 10x 5 10 + 5 x − 2 = 4x 5x − 4 x = − 10 + 2 x=−8 x 4. 2 + 2 − 12 = 6 − 4 5. 3x 1 5 3x − + 2x = − mcm = 20 4 5 4 20 15x − 4 + 40x = 25 − 3x 55x + 3x = 25 + 4 58x = 29 29 x= 58 1 x= 2 2 5 7 3 − = − + 1 mcm = 30x 6. 3x x 10 2x 20 − 150 = 21x − 45 + 30x − 130 + 45 = 51x − 85 =x 51 −5 =x 3 7. x−4 −5=0 3 x − 4 − 15 = 0 mcm = 3 x − 19 = 0 x = 19 x + 2 5x = mcm = 12 12 2 12x − x − 2 = 30x 11x − 30x = 2 − 19x = 2 8. x − x=− 2 19 5x − 1 3 = 4x − mcm = 15 3 5 15x − 25x + 5 = 60x − 9 − 10x − 60x = − 9 − 5 − 70x = − 14 9. x − − 14 − 70 1 x= 5 x=
  • 184. 10. 10 x − 8x − 3 = 2 ( x − 3) mcm = 4 4 40 x − 8 x + 3 = 8 ( x − 3) 15. 4 − 48 − 20 x − 2 = 48 x − 48 x − 9 − 20 x + 46 = − 9 − 20 x = − 55 − 55 x= − 20 11 x= 4 x− 2 x−3 x− 4 − = mcm = 60 3 4 5 20 ( x − 2) − 15 (x − 3) = 12 ( x − 4) 20 x − 40 − 15x + 45 = 12 x − 48 1 1 1 16. 2 ( x − 1) − ( x − 3) = 3 ( x + 3) + 6 − 7 x = − 53 3x − 3 − 6x + 18 = 2 x + 6 + 1 − 3x + 15 = 2 x + 7 53 x= 7 − 5x = − 8 x−1 x− 2 x− 3 x−5 − − =− 12. 2 3 4 5 mcm = 60 x= 30 ( x − 1) − 20 ( x − 2) − 15( x − 3) = − 12 ( x − 5) 17. 30x − 30 − 20 x + 40 − 15x + 45 = − 12 x + 60 8 5 6x + 1 11x − 2 1 5 − − (5x − 2) = (6 x + 1) 6 3 9 4 72 x + 12 − 44 x + 8 − 45x + 18 = 180 x + 30 − 5x + 12 x = 60 − 55 − 17 x + 38 = 180 x + 30 7x = 5 5 x= 7 ) − 197 x = − 8 x= 7 − 5x = 1 mcm = 10 10 10 x − 10 (5x − 1) − (7 − 5x) = 10 18. 5x − 6 1 + ( x − 5) = − 5x 4 3 mcm = 12 24 x − 3(5x − 6) + 4 ( x − 5) = − 60 x 24 x − 15x + 18 + 4 x − 20 = − 60x 13x − 2 = − 60x 13x + 60x = 2 2 x= 73 8 197 4x + 1 1 13 + 2 x 1 = (4 x − 1) − − ( x − 3) 3 3 6 2 mcm = 6 2 (4 x + 1) = 2 (4 x − 1) − (13 + 2 x ) − 3( x − 3) 10 x − 50 x + 10 − 7 + 5x = 10 − 35x + 3 = 10 − 35x = 7 −7 x= 35 1 x= − 5 14. 2 x − mcm = 36 12 (6 x + 1) − 4 (11x − 2) − 9 (5x − 2) = 30 (6 x + 1) − 5x + 55 = − 12 x + 60 ( mcm = 6 3( x − 1) − 6 ( x − 3) = 2 ( x + 3) + 1 5x − 12 x = − 48 − 5 13. x − 5x − 1 − mcm = 12 48 − 2 (10 x + 1) = 48 x − 3 (16 x + 3) 40 x − 8x = 8 x − 24 − 3 40 x − 16 x = − 27 − 27 x= 24 9 x= − 8 11. 10 x + 1 16 x + 3 = 4x − 6 4 8 x + 2 = 8 x − 2 − 13 − 2 x − 3x + 9 2 = − 6 − 5x 8 = − 5x − 19. 8 =x 5 2 3 1 (5x − 1) + 10 (10x − 3) = − 2 (x − 2) − 6 5 5 4 (5x − 1) + 3 (10x − 3) = − 5 ( x − 2) − 12 20x − 4 + 30x − 9 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x − 2 55x = 11 x= 1 5 mcm = 10
  • 185. 20. 3 x − 1 5x + 4 x + 2 2 x − 3 1 − − = − 2 3 8 5 10 mcm = 120 x 3x + 5 2 11 = 3 12 − 25. 10 − 6 4 60 − 3x − 5 47 x ⇒ = − 6 12 8 60 (3x − 1) − 40 (5x + 4) − 15 (x + 2) = 24 (2 x − 3) − 12 180x − 60 − 200 x − 160 − 15x − 30 = 48 x − 72 − 12 4 (55 − 3x ) = 94 − 3x − 35x − 250 = 48 x − 84 − 83x = 166 220 − 12 x = 94 − 3x − 12 x + 3x = 94 − 220 − 9 x = − 126 x= − 2 21. 7x − 1 5− 2x 4x − 3 1+ 4x2 − = + 3 2x 4 3x mcm = 12 x x= 28x 2 − 4 x − 30 + 12 x = 12 x 2 − 9 x + 4 + 16 x 2 8 x − 30 = − 9 x + 4 17 x = 34 x=2 1 26. 9 x − 2 − 7 x  − x x 1  1+ 2 3 +24 = 2 2  2 − x  x + 2 11 ⇒ 9x − 2 − 7x  = +  2  4 4 2 2 x + 7 2 ( x − 4) 4 x 2 − 6 7 x 2 + 6 − − = 22. 3 5x 15x 3x 2 2 mcm = 15x  2 − x  x + 13 ⇒ 9x − 2 − 7  =  2  4 36x − 8 − 28 + 14 x = x + 13 10 x 3 + 35x 2 − 6 x 3 + 24 x − 4 x 3 + 6x = 35x 2 + 30 30 x = 30 50 x − 36 = x + 13 49 x = 49 x=1 30 30 x=1 x= mcm = 60 27. mcm = 4 36x − 8 − 14 (2 − x) = x + 13 5x 2 (2 x + 7) − 6 x ( x 2 − 4) − x (4 x 2 − 6) = 5 (7 x 2 + 6) 3x 7 12 x − 5 2 x − 3 4 x + 9 7 − − − + + =0 8 10 16 20 4 80 mcm = 160 60 x − 112 − 10 (12 x − 5) − 8 (2 x − 3) + 40 (4 x + 9) + 14 = 0 8 (x + 1) = 15( x − 6) 60 x − 112 − 120 x + 50 − 16 x + 24 + 160 x + 360 + 14 = 0 8 x + 8 = 15x − 90 8 x − 15x = − 90 − 8 − 7 x = − 98 − 98 x= −7 x = 14 24. − 126 −9 x = 14 4 x (7 x − 1) − 6 (5 − 2 x ) = 3x (4 x − 3) + 4 (1 + 4 x 2 ) 2  x + 1 3  x − 6  23. 3  5  = 4  3      mcm = 24 84 x + 336 = 0 84 x = − 336 − 336 84 x= −4 x= 3  2 x − 1 4  3x + 2  1  x − 2  1  −  −   + =0 5 6  3  4  5 3  5 mcm = 60 6 (2 x − 1) − 20 (3x + 2) − 4 ( x − 2) + 12 = 0 12 x − 6 − 60 x − 40 − 4 x + 8 + 12 = 0 − 52 x − 26 = 0 x= − 26 1 =− 52 2 28. 5x 3 x + 24 − ( x − 20) − (2 x − 1) = mcm = 68 4 17 34 85x − 12 ( x − 20) − 68 (2 x − 1) = 2 ( x + 24) 85x − 12 x + 240 − 136 x + 68 = 2 x + 48 − 63x + 308 = 2 x + 48 − 65x = − 260 − 260 x= − 65 x=4
  • 186. 29. 5 + 5x  x 1 x 2 1  =  2 −  − +  10 −  4 3 2 3 4  3 EJERCICIO 142 3 3 1. 5 + 2 x − 1 = 0 20 + x 1  4 − x  2 1  30 − 5x  =  − +   4 3 2  3 4  3  20 + x 4 − x 2 30 − 5x ⇒ = − + 4 6 3 12 mcm = 12 ⇒ 3(2 x − 1) + 15 = 0 6 x − 3 + 15 = 0 6 x = − 12 x= −2 3 (20 + x ) = 2 (4 − x ) − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = 8 − 2 x − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = − 7 x + 30 10 x = − 30 x=−3 5 (x + 2) 4 22 − x 8 − x 20 − 3x 30. + − = 3x − 20 − − 12 9 36 12 18 2. mcm = 36 15x + 30 − 6 + x = 108 x − 720 − 24 + 3x − 40 + 6 x − 101x = − 808 x=8 x  x x    3 −  −  1−  = 7 −  x −    2  3 2 31. x 6 − x 3− x ⇒ − = 7− mcm = 6 2 3 2 3(6 − x ) − 2 (3 − x) = 42 − 3x 18 − 3x − 6 + 2 x = 42 − 3x 12 − x = 42 − 3x 2 x = 30 x = 15 5  x  3 32. (x + 3)( x − 3) − x − 4 =  x − 5  −  3x − 4      5 4 x 12 x − 3 2 2 ⇒ x − 9− x − = − 4 5 4 41 16 x − 60 x + 15 ⇒− = 4 20 41 − 44 x + 15 ⇒− = mcm = 20 4 20 − 205 = − 44 x + 15 − 220 = − 44 x 5= x 144 x − 9 (13x + 1) = 4 (2 x + 4) − 18 144 x − 117 x − 9 = 8 x + 16 − 18 27 x − 9 = 8 x − 2 19 x = 7 7 x= 19 mcm = 16 x 2 − 1 8 x + 2 = 12 x − 3 − 4x = − 5 5 x= 4 5 1 2 3. x 2 − 1 = x − 1 mcm = x − 1 5 = x +1 4=x 4. 3 1 − =0 x + 1 x2 − 1 mcm = x 2 − 1 3 ( x − 1) − 1 = 0 3x − 3 − 1 = 0 3x = 4 4 x= 3 5x + 8 5x + 2 = 5. 3x + 4 3x − 4 mcm = (3x + 4)(3x − 4) (3x − 4)(5x + 8) = (5x + 2)(3x + 4) 2 3x − 1 2  x + 2  1  33. 2 x −  2 x − 8  = 3  6  − 4     16 x − 3x + 1 2 x + 4 1 ⇒ 2x − = − mcm = 72 8 18 4 2 3 = 4x − 1 4x + 1 2 (4 x + 1) = 3(4 x − 1) 15( x + 2) + 16 − 22 + x = 108 x − 720 − 3(8 − x ) − 2 (20 − 3x ) 16 x + 24 = 117 x − 784 mcm = 5 (2 x − 1) 15x 2 + 4 x − 32 = 15x 2 + 26 x + 8 − 26 x + 4 x = 8 + 32 − 22 x = 40 40 x= − 22 20 x= − 11 6. 10x 2 − 5x + 8 =2 5x 2 + 9 x − 19 mcm = 5x 2 + 9 x − 19 10 x 2 − 5x + 8 = 2 (5x 2 + 9 x − 19) 10 x 2 − 5x + 8 = 10x 2 + 18 x − 38 − 5x − 18 x = − 38 − 8 − 23x = − 46 x= − 46 − 23 x= 2
  • 187. 7. 1 1 1 + = mcm = 12 ( x 2 − 1) 3x − 3 4 x + 4 12 x − 12 4 ( x + 1) + 3 ( x − 1) = x + 1 13. 3x − 9 = 2 x − 8 + 8 7x − x = 0 3x − 2 x = 9 x=9 6x = 0 x= 0 mcm = 4 (4 x − 5) x (4 x − 5) − 4 (x 2 − 8 x ) = 7 (4 x − 5) 14. 6 x − 1 3 ( x + 2) 1 + 3 x − = 18 5x − 6 9 30 x 2 − 41x + 6 − 54 x − 108 = − 26 x − 12 + 30 x 2 − 95x − 102 = − 26 x − 12 − 69 x = 90 x = 35 90 69 7 x = − 1 23 x= − mcm = 10 (2 x − 1) (2 x − 9)(2 x − 1) + 10 (2 x − 3) = 2 x (2 x − 1) 4 x 2 − 20 x + 9 + 20 x − 30 = 4 x 2 − 2 x − 21 = − 2 x 5 3 6 2 15. 1 + x − 1 − x − 1 − x 2 = 0 mcm = 1 − x 5 (1 − x ) − 3(1 + x) − 6 = 0 − 21 =x −2 10. (3x − 1) x −1 5 − 5x − 3 − 3 x − 6 = 0 − 8x − 4 = 0 − 8x = 4 1 10 2 = x 2 = 18x − 1 2 mcm = 2 ( x − 1) x= − 2 (9 x 2 − 6x + 1) = (x − 1)(18 x − 1) 18 x 2 − 12 x + 2 = 18x 2 − 19 x + 1 − 12 x + 19 x = 1 − 2 7x = − 1 1 x= − 7 2x + 7 2x − 1 mcm = (5x + 2) (5x − 4) 11. 5x + 2 − 5x − 4 = 0 (2 x + 7)(5x − 4) − (2 x − 1)(5x + 2) = 0 10x 2 + 27 x − 28 − 10x 2 + x + 2 = 0 28 x = 26 13 x= 14 (5x − 2)(7 x + 3) − 1= 0 mcm = 7 x 5x − 1 12. ( ) 7 x (5x − 1) (5x − 2)(7 x + 3) − 7 x (5x − 1) = 0 35x 2 + x − 6 − 35x 2 + 7 x = 0 8x = 6 x= mcm = 18 (5x − 6) (6x − 1)(5x − 6) − 54 (x + 2) = 2 (1+ 3x)(5x − 6) 4 x 2 − 5x − 4 x 2 + 32 x = 28 x − 35 27 x = 28 x − 35 − x = − 35 2x − 9 2x − 3 x 9. + = 10 2x − 1 5 mcm = x 2 − 7 x + 12 3( x − 3) = 2 ( x − 4) + 8 4 x + 4 + 3x − 3 = x + 1 x x 2 − 8x 7 8. − = 4 4x − 5 4 3 2 8 = + x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12 3 4 16. 1 2 1+ 2 x 1 − 2 x 3x − 14 − =− 1+ 3x 1 − 3x 1− 9 x 2 mcm = 1 − 9 x 2 (1+ 2 x)(1− 3x) − (1− 2 x)(1+ 3x) = − 3x + 14 1− x − 6x 2 − 1− x + 6x 2 = − 3x + 14 − 2 x = − 3x + 14 x = 14 3x − 1 1 7 17. x 2 + 7 x + 12 = 2 x + 6 + 6 x + 24 ⇒ x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4) ⇒ 2 x + 6 = 2 ( x + 3) ⇒ 6 x + 24 = 6 ( x + 4) 6 (3x − 1) = 3( x + 4) + 7 ( x + 3) 18 x − 6 = 3x + 12 + 7 x + 21 18 x − 6 = 10 x + 33 8 x = 39 39 x= 8 x=47 8 mcm = 6 ( x + 3)( x + 4)
  • 188. 18. 1 − 3 mcm = 2 ( x − 1) ( x + 1) 3 =− (x − 1) 2 x − 2 2 x + 2 2 ( x + 1) − 3 ( x − 1)( x + 1) = − 3( x − 1) 2 2 24. 2 7 1 2 3 − = − 3 x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4 1 2 3 7 − = − x − 1 x − 2 2 x − 2 6 x − 12 2 x + 2 − 3x + 3 = − 3x + 6 x − 3 2 x + 5 = 6x − 3 − 4x = − 8 x=2 2 2 5x + 13 4 x + 5 x − = 19. 15 5x − 15 3 mcm = 6 ( x − 1)( x − 2) mcm = 15 ( x − 3) 6 ( x − 2) − 12 ( x − 1) = 9 ( x − 2) − 7 ( x − 1) 6 x − 12 − 12 x + 12 = 9 x − 18 − 7 x + 7 − 6 x = 2 x − 11 (5x + 13)(x − 3) − 3(4 x + 5) = 5x (x − 3) 5x 2 − 2 x − 39 − 12 x − 15 = 5x 2 − 15x − 14 x − 54 = − 15x x = 54 2x − 1 x−4 2 20. 2 x + 1 − 3x − 2 = 3 mcm = 3 (2 x + 1)(3x − 2) 3 (2 x − 1)(3x − 2) − 3 ( x − 4)(2 x + 1) = 2 (2 x + 1)(3x − 2) − 8 x = − 11 − 11 3 = 18 x= −8 1 2 11 2 2 25. x + 3 − 5x − 20 = 3x − 12 − x + 3 mcm = 15( x − 4)(x + 3) 18 x 2 − 21x + 6 − 6 x 2 + 21x + 12 = 12 x 2 − 2 x − 4 18 = − 2 x − 4 22 = − 2 x − 11 = x 4 x + 3 3x + 8 21. 2 x − 5 − 3x − 7 = 1 15( x + 3) − 30 ( x − 4) 2 15x + 45 − 30 x − 120 15x − 60 − 6 x − 18 = 2 15( x − 4) − 6 (x + 3) = mcm = (2 x − 5)(3x − 7) 2 (9 x − 78) = 15x + 45 − 2 (30 x − 120) (4 x + 3)(3x − 7) − (3x + 8)(2 x − 5) = (2 x − 5)(3x − 7) 12 x 2 − 19 x − 21 − 6 x 2 − x + 40 = 6 x 2 − 29 x + 35 − 20 x + 19 = − 29 x + 35 9 x = 16 16 x= 9 x =17 9 22. 10 x − 7 3x + 8 5x 2 − 4 = − 15x + 3 12 20 x + 4 18 x − 156 = 15x + 45 − 60 x + 240 18 x − 156 = − 45x + 285 63x = 441 x=7 1 4 10 3 − = − 26. 6 − 2 x 5 − 5x 12 − 4 x 10 − 10 x mcm = 20 (1 − x )(3 − x ) mcm = 12 (5x + 1) 10 (1 − x ) − 16 (3 − x ) = 50 (1 − x ) − 6 (3 − x ) 10 − 10 x − 48 + 16x = 50 − 50 x − 18 + 6 x 4 (10 x − 7) = (3x + 8)(5x + 1) − 3 (5x 2 − 4) 6 x − 38 = − 44 x + 32 40 x − 28 = 15x 2 + 43x + 8 − 15x 2 + 12 40 x − 28 = 43x + 20 − 3x = 48 x = − 16 23. 4x − 1 x − 2 8x − 3 3 + = − 1 10 5 2x − 7 10 mcm = 10 (2 x − 7) 2 (4 x − 1)(2 x − 7 ) + 10 ( x − 2) = (8 x − 3)(2 x − 7 ) − 13 (2 x − 7) 16 x 2 − 60 x + 14 + 10 x − 20 = 16 x 2 − 62 x + 21 − 26 x + 91 − 50 x − 6 = − 88 x + 112 38 x = 118 118 38 2 x = 3 19 x= 1 2 3 21 3 − = − x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4 50 x = 70 7 5 x=12 5 x= 27. 2 6x 2 2 − 2 = 3 9 x − 1 3x − 1 mcm = 3 (9 x 2 − 1) 2 (9 x 2 − 1) − 18 x 2 = 6 (3x + 1) 18 x 2 − 2 − 18 x 2 = 18 x + 6 − 2 = 18 x + 6 − 8 = 18 x 4 − =x 9
  • 189. 28. 5x 2 − 27 x 1 − = x−6 5x + 3 x mcm = x (5x + 3) x−2 2x − 5 x−2 33. x 2 + 8 x + 7 = x 2 − 49 − x 2 − 6 x − 7 ⇒ x 2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1) x (5x 2 − 27 x ) − (5x + 3) = x (5x + 3)(x − 6) ⇒ x 2 − 49 = ( x + 7)( x − 7) 5x 3 − 27 x 2 − 5x − 3 = 5x 3 − 27 x 2 − 18 x − 5x − 3 = − 18 x 13x = 3 3 x= 13 4x + 1 6 4x − 1 − = mcm = 16 x 2 − 1 29. 4 x − 1 16 x 2 − 1 4 x + 1 (4 x + 1) 2 ⇒ x 2 − 6x − 7 = ( x − 7)(x + 1) mcm = ( x + 7)( x − 7)(x + 1) = ( x 2 − 49)( x + 1) (x − 2)(x − 7) = (2 x − 5)(x + 1) − (x − 2)(x + 7) x 2 − 9 x + 14 = 2 x 2 − 3x − 5 − x 2 − 5x + 14 − 9 x + 14 = − 8x + 9 − x= −5 x=5 − 6 = (4 x − 1) 2 16 x 2 + 8 x + 1 − 6 = 16 x 2 − 8 x + 1 16 x − 5 = 1 16 x = 6 3 x= 8  x − 1  x + 1  5x ( x − 1) 30. 3   + 2 =  x + 1  x − 4  x 2 − 3x − 4 4x + 5 2x + 3 2x − 5 34. 15x 2 + 7 x − 2 − 12 x 2 − 7 x − 10 − 20 x 2 − 29 x + 5 = 0 ⇒ 15x 2 + 7 x − 2 = (3x + 2)(5x − 1) ⇒ 12 x 2 − 7 x − 10 = (4 x − 5)(3x + 2) ⇒ 20 x 2 − 29 x + 5 = (4 x − 5)(5x − 1) mcm = (3x + 2)(5x − 1)(4 x − 5) mcm = x 2 − 3x − 4 (4 x + 5)(4 x − 5) − (2 x + 3)(5x − 1) − (2 x − 5)(3x + 2) = 0 3( x − 1)( x − 4) + 2 ( x + 1) = 5x ( x − 1) 2 3x 2 − 15x + 12 + 2 x 2 + 4 x + 2 = 5x 2 − 5x − 11x + 14 = − 5x − 6 x = − 14 −7 x= −3 x=21 3 16 x 2 − 25 − 10 x 2 − 13x + 3 − 6 x 2 + 11x + 10 = 0 − 2 x − 12 = 0 − 2 x = 12 x= −6 35. 3 ( x + 1) 7 3 2 − = − 2x + 1 x + 4 x + 1 2x2 + 9x + 4 mcm = (2 x + 1)( x + 4)( x + 1)  x + 2  x−2  x 2 + 78  − 3 = 2 31. 2   x − 2  2 x + 3 2 x − x − 6 7 ( x + 4 )( x + 1) − 3 (2 x + 1)( x + 1) = 2 (2 x + 1)( x + 4 ) − 3 ( x + 1) 2 mcm = (x − 2)(2 x + 3) 7 x 2 + 35x + 28 − 6 x 2 − 9 x − 3 = 4 x 2 + 18 x + 8 − 3x 2 − 6 x − 3 26 x + 25 = 12 x + 5 2 ( x + 2)(2 x + 3) − 3( x − 2) = x 2 + 78 2 14 x = − 20 10 x= − 7 3 x = −17 4 x + 14 x + 12 − 3x 2 + 12 x − 12 = x 2 + 78 2 26 x = 78 x= 3 32. 1 1 3 − = x 2 + 3x − 28 x 2 + 12 x + 35 x 2 + x − 20 ⇒ x + 3x − 28 = ( x + 7)( x − 4) 2 ⇒ x 2 + 12 x + 35 = ( x + 7)( x + 5) ⇒ x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4) mcm = ( x + 7)( x + 5)(x − 4) x + 5 − ( x − 4) = 3 ( x + 7) x + 5 − x + 4 = 3x + 21 9 = 3x + 21 − 12 = 3x − 4= x (x + 3) (x − 3) 2 36. 2 = x − 1 2 (7 x + 1) + x + 1 x2 − 2x − 3 mcm = (x − 3) ( x + 1) 2 (x + 3) (x + 1) = (x − 3) (x − 1) + 2 (7 x + 1)(x − 3) 2 2 x 3 + 7 x 2 + 15x + 9 = x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 + 14 x 2 − 40 x − 6 9 = − 15 − 40 x 24 = − 40 x 3 − =x 5
  • 190. 37. 12 ( x + 3) x− 4 x+1 − =− x+5 x− 2 (x + 5)2 mcm = ( x + 5) ( x − 2) 2 (x + 5)(x − 2)(x − 4) − (x + 5) (x + 1) = − 12 (x + 3)(x − 2) 2 x 3 − x 2 − 22 x + 40 − x 3 − 11x 2 − 35x − 25 = − 12 x 2 − 12 x + 72 − 57 x + 15 = − 12 x + 72 − 45x = 57 57 45 4 x = − 1 15 x= − 38. x− 3 x−2 x+ 2 x+3 − = − x− 4 x− 3 x+1 x+ 2 mcm = ( x − 4)( x − 3)( x + 1)( x + 2) (x − 3) (x + 1)(x + 2) − (x 2 2 − 4)( x − 4)( x + 1) = ( x + 2) (x − 4)( x − 3) − ( x 2 − 9)( x − 4)( x + 1) 2 x 4 − 3x 3 − 7 x 2 + 15x + 18 − x 4 + 3x 3 + 8 x 2 − 12 x − 16 = x 4 − 3x 3 − 12 x 2 + 20 x + 48 − x 4 + 3x 3 + 13x 2 − 27 x − 36 3x + 2 = − 7 x + 12 10 x = 10 x=1 39. x+ 6 x+1 x−5 x − = − x+ 2 x− 3 x−1 x+ 4 mcm = ( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x + 4) ( x + 6)(x − 3)(x − 1)(x + 4) − ( x 2 − 1)( x + 2)( x + 4) = ( x − 5)( x + 2)( x − 3)( x + 4) − x ( x + 2)( x − 3)( x − 1) x + 6 x − 13x − 66 x + 72 − x − 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 8 = x 4 − 2 x 3 − 25x 2 + 26 x + 120 − x 4 + 2 x 3 + 5x 2 − 6 x 4 3 2 4 − 60 x + 80 = 20 x + 120 − 80 x = 40 x= − EJERCICIO 143 ( ) 1. a x + 1 = 1 1 x + 1= a 1 − 1+ x + 1= − 1 a 1− a x= a 2. ( ) 2 4. 3 2a − x + ax = a + 9 7. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab) 6a − 3x + ax = a 2 + 9 ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab x (a − 3) = a 2 + 9 − 6a ax + x = a 2 − 1 x (a − 3) = (a − 3) x (a + 1) = (a + 1)(a − 1) 2 x=a−3 5. a ( x + b) + x (b − a ) = 2b (2a − x) ax + ba + xb − ax = 4ab − 2bx xb + 2bx = 4ab − ab 3bx = 3ab 3ab x= 3b x= a ax − 4 = bx − 2 ax − bx = 4 − 2 x (a − b) = 2 2 x= a−b 1 2 (x − a) − (x + a) 2 6. 2 x= a−1 ( 3. ax + b = a − bx ax + bx = a 2 − b 2 2 x (a + b) = (a + b)(a − b) x= a−b 2 2 ) ( 3 2 ) 3 − a 2 x − 2b 2 x = − a 3 − 2b 3 a 2 x + 2b 2 x = a 3 + 2b 3 = a (a − 7 x ) x 2 − 2ax + a 2 − x 2 − 2ax − a 2 = a 2 − 7ax 3ax = a 2 a2 3a a x= 3 ( a −a x−b x+b =b x−b 3 − 4ax + 7ax = a 2 2 ) 8. a 2 a − x − b 2 x − b = b 2 x − b x (a 2 + 2b 2 ) = a 3 + 2b 3 x= a 3 + 2b 3 a 2 + 2b 2 ( x + a)( x − b) − ( x + b)( x − 2a) = b (a − 2) + 3a x= x 2 − bx + ax − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a − 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a 9. x (3a − 2b) = 3a − 2b x=1
  • 191. ( ) ( 2 ) 2 2 10. x + a = a + x − a a − 1 x 2 + a 2 = a 2 + 2ax + x 2 − a 2 + a 16. (m + 4 x)(3m + x) = (2 x − m) 2 2 a = 2ax + a 2 2 2mx = − 3m2 a (a − 1) =x 2a a −1 =x 2 3m2 2m 3m x= − 2 x= − 11. m (n − x) − m (n − 1) = m (mx − a ) mn − mx − mn + m = m2 x − am − mx − m2 x = − am − m − xm (1 + m) = − m (a + 1) x= 12. + m (15x − m) 3m + 13mx + 4 x = 4 x − 4mx + m2 + 15mx − m2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 17. a a − x − a a + 1 − b b − x − b 1 − b + a 1 + a = 0 a 3 − a 2 x − a 3 − a 2 − b3 + b2 x − b + b 3 + a + a 2 = 0 − a 2 x + b2 x − b + a = 0 x (b 2 − a 2 ) − (b − a ) = 0 a+1 m+ 1 x (b − a )(a + b) = b − a x − a + 2 = 2ax − 3 (a + x ) − 2 (a − 5) x (a + b) = 1 x − a + 2 = 2ax − 3a − 3x − 2a + 10 x= x − a = 2ax − 5a − 3x + 8 x + 4a − 8 = 2ax − 3x 4 (a − 2) = 2ax − 4 x (ax − b) = (bx − a)(a − x) − x (b − a ) + a 2 4 (a − 2) = 2 x (a − 2) 18. 2 2 2 1 a+b + b (1 − 2b) a x − 2abx + b = abx + bx − a − ax − bx + a x + a 2 + b − 2b2 2 2= x 2 2 2 2 2 2 2 ax (1 − 3b) = b (1 − 3b) 13. a ( x − a ) − 2bx = b (b − 2a − x ) x= ax − a 2 − 2bx = b 2 − 2ab − bx b a ax − bx = b2 − 2ab + a 2 x (a − b) = (b − a )(b − a ) (a − b)(b − a) x= − (x + b) − (x − a ) − (a + b) 2 19. 2 2 2 2 2 2 x (b + a ) − 2a (a + b) = 0 x= a−b 2 ( x − a )(a + b) = 0 14. ax + bx = ( x + a − b) − (x − 2b)( x + 2a) 2 x = 2a 2 x=a x (a + b) = x 2 + 2ax − 2bx + a 2 − 2ab + b2 − x 2 − 2ax + 2bx + 4ab x (a + b) = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b) 2 20. (x + m) 3 − 12m3 = − ( x − m) + 2 x 3 3 x 3 + 3x 2 m + 3xm2 + m3 − 12m3 = − x 3 + 3x 2 m − 3xm2 + m3 + 2 x 3 x= a+b ( 2 2bx + 2ax − 2a 2 − 2ab = 0 x = − (b − a ) ) =0 x + 2bx + b − x + 2ax − a − a − 2ab − b = 0 2 a−b ( 2 ) ( ) ( 15. x a + b − 3 − a a − 2 = 2 x − 1 − x a − b ax + bx − 3 − a 2 + 2a = 2 x − 2 − ax + bx 2ax − 2 x = a 2 − 2a + 1 2 x (a − 1) = (a − 1) 2 x= a−1 2 ) 2 x 3 + 6 xm2 − 2 x 3 = 12m3 6 xm2 = 12m3 12m3 6m2 x = 2m x=
  • 192. EJERCICIO 144 1. m 1 2 − = x m m 2 m − x = 2x mcm = mx 7. x − 3a 2a − x 1 − =− a2 ab a b (x − 3a ) − a (2a − x ) = − ab bx − 3ab − 2a 2 + ax = − ab bx + ax = 2ab + 2a 2 x (a + b) = 2a (a + b) m = 3x 2 m2 =x 3 2. x = 2a a b 4a mcm = 2x + = x 2 x 2a + bx = 8a bx = 6a 6a x= b 3. x + m x + n m2 + n 2 − = −2 8. m n mn n ( x + m) − m ( x + n) = m2 + n 2 − 2mn xn + mn − mx − mn = m2 − 2mn + n 2 2 x (n − m) = − (n − m)(m − n) x 1− x 1 − = 2a a 2 2a x = n− m x−b x− a = 2− 9. a b x (a + 2) = a + 2 x= x = − (m − n) mcm = 2a 2 ax − 2 + 2 x = a a+2 a+2 x=1 mcm = ab b ( x − b) = 2ab − a ( x − a ) bx − b 2 = 2ab − ax + a 2 bx + ax = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b) 2 m n n + = + 1 mcm = mx x m x m2 + nx = mn + mx x=a+b 4x 3 − 3= − 10. 2a + b 2 mcm = 2 (2a + b) m2 − mn = mx − nx 8 x − 6 (2a + b) = − 3 (2a + b) m= x 8 x − 12a − 6b = − 6a − 3b 8 x = 6a + 3b m (m − n) = x (m − n) 5. mcm = mn x (n − m) = (m − n) ax − 2 (1 − x ) = a 4. mcm = a 2b a − 1 1 3a − 2 + = a 2 x mcm = 2ax 3 (2a + b) 8 2a + 3x 2 (6 x − a ) 11. = mcm = ( x + a )(4 x + a ) x+a 4x + a x= 2 x (a − 1) + ax = 2a (3a − 2) 2ax − 2 x + ax = 6a 2 − 4a 3ax − 2 x = 2a (3a − 2) (2a + 3x)(a + 4 x) = (2 x + 2a)(6x − a) 2a 2 + 11ax + 12 x 2 = 12 x 2 + 10ax − 2a 2 ax = − 4a 2 x (3a − 2) = 2a (3a − 2) x = 2a a − x b − x 2 (a − b) − = 6. a b ab mcm = ab b (a − x ) − a (b − x ) = 2 (a − b) ab − bx − ab + ax = 2 (a − b) x (a − b) = 2 (a − b) x= 2 x = − 4a 2 ( x − c) 2 x + c = 12. 4 x − b 4 ( x − b) mcm = 4 (4 x − b)( x − b) 8 ( x − c)( x − b) = (2 x + c)(4 x − b) 8 x − 8 xb − 8 xc + 8bc = 8 x 2 − 2 xb + 4 xc − bc − 6 xb − 12 xc = − 9bc 2 − 6 x (b + 2c) = − 9bc x= 3bc 2 (b + 2c)
  • 193. 13. 5x + a 5x − b 19. 3x + b = 3x − a 1 m 1 1 − = − mcm = xmn n x mn x 2 xm − m n = x − mn (3x − a)(5x + a ) = (5x − b)(3x + b) xm − x = m2 n − mn 15x 2 − 2ax − a 2 = 15x 2 + 2bx − b 2 x (m − 1) = mn (m − 1) − 2ax − 2bx = a 2 − b 2 x = mn 14. ( x − 2b)(2 x + a) = 2 mcm = x − a a − 2b + x ( )( ) ( x − a)(a − 2b + x) ( x − 2b)(2 x + a) = 2 ( x − a)(a − 2b + x) 2 x 2 + ax − 4bx − 2ab = − 4bx + 2 x 2 − 2a 2 + 4ab ax = 6ab − 2a 2 − 2 x (a + b) = (a + b)(a − b) x= ( 2 2 2 2 4ax = 2ax + a 2b 2ax = a 2b ab x= 2 (x + m) = (x + n)(x − n) x + 2mx + m2 = x 2 − n 2 2 2mx = − m2 − n 2 m +n 2m 21. 2 x (2 x + 3b)( x + b) = 2 x 2 − bx + b 2 16. x + 3b 2 x − 3a 11a − 2= 2 x + 4a x − 16a 2 (2 x − 3a)(x − 4a) − 2 (x x (2 x + 3b)( x + b) = ( x + 3b)(2 x − bx + b 2 mcm = x 2 − 16a 2 2 2 2 − 11ax + 44a 2 = 11a ) − 11ax = 11a − 44a 2 − 11ax = 11a (1− 4a) 2 x 3 + 5x 2b + 3b 2 x = 2 x 3 + 5bx − 2b 2 x + 3b 3 2 3b 2 x + 2b 2 x = 3b 3 3b x= 5 3  x x  1  x x  5a + 13b 17.  +  =  −  + 4  b a 3  b a 12a x = − (1 − 4a) x = 4a − 1 3  ax + bx  1  ax − bx  5a + 13b ⇒  =  + 4  ab  3  ab  12a 3ax + 3bx ax − bx 5a + 13b ⇒ = + mcm = 12ab 4ab 3ab 12a x2 x+ a 1 22. x + a + a 2 + ax = a 2 a + x 2 = x 2 + 2ax + a 2 a − a 2 = 2ax a (1 − a) =x 2a 1− a =x 2 9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b 2 5ax + 13bx = 5ab + 13b 2 x (5a + 13b) = b (5a + 13b) x=b 2 (x + a )(3x − a ) = 3 (x − b) 2 mcm = 3 (3x − a ) 2 2 2ax + 6bx = a 2 + 3ab 2 x (a + 3b) = a (a + 3b) x= a 2 2 23. 2 (a + x) 3(b + x ) 6 (a 2 − 2b2 ) − = b a ab mcm = ab 2a (a + x) − 3b (b + x ) = 6 (a 2 − 2b2 ) + 3ab − 3b 2 3x + 2ax − a = 3x − 6bx + 3b + 3ab − 3b 2 mcm = a (x + a) a + x 2 = (x + a) 3 (3ax + 3bx ) = 4 (ax − bx ) + b (5a + 13b) x + a (x − b) 3ab − 3b 2 = + 3 3x − a 9 x − 3a − 16a 2 ) = 11a 2 x − 11ax + 12a − 2 x + 32a 2 = 11a 2 mcm = x + 3b 2 18. = a (2 x + ab) x + 2ax + a − x + 2ax − a = 2ax + a 2b 2 2 x= − mcm = ( x − a )( x + a ) 2 mcm = (m + x )(x − n) 2 ) ( x + a ) − (x − a ) x = 2 (3b − a) x+ m n+ x = x − n m+ x b− a 2 a 2 x + ab 20. x + a − x − a = x−a x+a x2 − a2 ax = 2a (3b − a) 15. mcm = (3x + b)(3x − a ) 2 2a 2 + 2ax − 3b 2 − 3bx = 6a 2 − 12b2 2ax − 3bx = 4a 2 − 9b2 x (2a − 3b) = (2a − 3b)(2a + 3b) x = 2a + 3b
  • 194. ( ) ( 1 )( ) (2mn − 3m n) n nm (n − x ) − n (m − n)(m + x) = n − (2mn 2 24. m n − x − m − n m + x = n − 2 mcm = n 2 3 2 − 3m2 n) mn 2 − mnx − m2 n + mn2 − mnx + n2 x = n 3 − 2mn2 + 3m2 n − 2mnx + n 2 x = − 4mn2 + 4m2 n + n3 nx (n − 2m) = n (n2 − 4mn + 4m2 ) x (n − 2m) = (n − 2m) 2 x = n − 2m EJERCICIO 145 x → N º buscado 1. 3x = 2 x − 11 x− 8 8 x − 3x = 8 (2 x − 11) 5x = 16x − 88 − 11x = − 88 − 88 x= − 11 x=8 2. x → N º buscado x+ 5x = 3x − 14 6 6 x + 5x = 6 (3x − 14) 11x = 18 x − 84 − 7 x = − 84 x= − 84 −7 x = 12 3. x → N º que se resta 6x 22 − x = 11 + 5 5(22 − x) = 55 + 6x 110 − 5x = 55 + 6 x − 11x = − 55 x=5 4. x → Nº que tiene diferencia 5 7 x − x = 30 mcm = 8 4 8 10x − 7x = 240 3x = 240 x = 80 5. x → Nº buscado 3 1 x − 17 = x − x mcm = 30 5 6 30x − 510 = 18 x − 5x − 510 = − 17 x 30 = x 6. x → N º buscado x 3 1  1 + x − 49 = 2  x − x 6 5 8 12  x 3 x mcm = 120 ⇒ + x − 49 = 5 8 6 24 x + 45x − 5. 880 = 20 x 49 x = 5 .880 x = 120 7. x → Edad de A 3x → Edad de B 5 3x  3x  x+ − 4= 2   5 5 5x + 3x − 20 = 6 x 10. x → Lo que tenia 1  1 x −  x + x = 39 mcm = 24 3 8  24 x − 8 x − 3x = 936 13x = 936 x = 72 bs. 11. x → Nº buscado x mcm = 3 3x − 48 = 3 9x − 144 = x 8x = 144 x = 18 12. x → Nº buscado 2 x = 20 x = 10 años → Edad de A 3⋅ 10 30 ⇒ = = 6 años → Edad de B 5 5 8. x → Lo que tiene A 7x → Lo que tiene B 8  7x  x + 90 = 2   mcm = 8  8 8 x + 720 = 14 x − 6 x = − 720 x = $ 120 → Tiene A 7 ⋅ 120 ⇒ = $ 105 → Tiene B 8 9. x → Long. pieza 3x = 40 mcm = 5 x− 5 5x − 3x = 200 2x = 200 x = 100 m x + 30 2 8x − 38 = x + 60 7x = 98 x = 14 4x − 19 = mcm = 5 mcm = 2 13. x → Nº buscado x = x − 10 mcm = 2 2 160 − x = 2x − 20 − 3x = − 180 x = 60 80 − 14. x → Nº buscado 7x 4x −2= mcm = 40 8 5 35x − 80 = 32 x 3x = 80 80 3 x = 26 2 3 x= 15. x → Ancho del buque 8x 9 8x 56 = 9 504 = 8x 504 =x 8 63 Pies = x 800 − 744 =
  • 195. EJERCICIO 146 1. x → N º menor x → N º menor 2. x + 1→ N º mayor 4 ( x + 1) = x− 4 5 4x + 4 = x− 4 5 3. x + 1→ N º mayor 3 ( x + 1) 7x − 17 = mcm = 40 5 8 35x − 680 = 24 ( x + 1) x − 81 = − x = − 24 x = 24 → N º menor mcm = 20 20 x − 1. 620 = 15x − 8 (x + 1) 13x = 1. 612 11x = 704 x = 64 → N º menor 4 x + 4 = 5x − 20 3x 2 (x + 1) − 4 5 20 x − 1. 620 = 15x − 8 x − 8 35x − 680 = 24 x + 24 4 x + 4 = 5 ( x − 4) x → N º menor x + 1→ N º mayor x = 124 → N º menor ⇒ x+1 ⇒ x+1 = 64 + 1 = 65→ N º mayor = 124 + 1 = 125 ⇒ x+1 x → N º mayor = 24 + 1 = 25 → N º mayor 4. x → N º menor 5. x + 1 → N º mayor 3( x + 1) 1 1 (x + 1) + 33 x − 8 = 20 mcm = 660 5 132 ( x + 1) + 20x − 5. 280 = 99 (x + 1) 132 x + 132 + 20x − 5.280 = 99 x + 99 152 x − 99 x = 5.148 + 99 53x = 5. 247 x = 99 → N º menor 2 x → N º menor 2 x + 2 → N º mayor (2 x + 2) 2 x + x + 1− 25 = 2x 5 5(2 x − 24) = 2 x 10 x − 120 = 2 x 8x = 120 x = $ 15 → Gane ayer ⇒ x + 1 = 15 + 1 = $ 16 → Gane hoy 9. x → Tiene B x + 1 → Tiene A x − 8= 4 ( x + 1) − 4 mcm = 5 5 5x − 40 = 4 x + 4 − 20 8 x = 320 x = 40 ⇒ 2 x = 2 ⋅ 40 = 80 → N º menor 5x − 4 x = 40 − 16 ⇒ 2 x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor 8. x → Gane ayer x + 1 → Gane hoy − ( 2 x ) = 324 4 x 2 + 8 x + 4 − 4 x 2 = 324 ⇒ x + 1 = 99 + 1 = 100 → N º mayor 7. 6. 2 x = $ 24 → Tiene B ⇒ x + 1 = 24 + 1 = $ 25 ⇒ Tiene A x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor x x+1 x+ 2 + + =9 20 27 41 mcm = 22 .140 1.107 x + 820 ( x + 1) + 540 ( x + 2) = 199 . 260 1.107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1. 080 = 199 . 260 2 . 467 x = 197 . 360 x = 80 → N º menor ⇒ x + 1 = 80 + 1 = 81 → N º medio ⇒ x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor x → N º menor x + 1 → N º medio 10. x + 2 → N º mayor 3x 5 ( x + 2 ) + − 31 = x + 1 mcm = 30 5 6 18 x + 25 ( x + 2) − 930 = 30 x + 30 18 x + 25x + 50 − 930 = 30 x + 30 43x − 30 x = 880 + 30 13x = 910 x = 70 x → N º menor ⇒ x + 1 = 70 + 1 = 71 → N º medio ⇒ x + 2 = 70 + 2 = 72 → N º mayor x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor 3( x + 1) 3x 1 − − 1 = ( x + 2) mcm = 770 7 10 11 330 ( x + 1) − 231x − 770 = 70 ( x + 2) 330 x + 330 − 231x − 770 = 70 x + 140 29 x = 580 x = 20 → N º menor ⇒ x + 1 = 20 + 1 = 21 → N º medio ⇒ x + 2 = 20 + 2 = 22 → N º mayor
  • 196. 11. x → Edad B x + 2 → Edad A x − 2 → Edad C 12. x + 1 → Edad C 7 ( x + 2) x + x − 2 − 12 = 8 17 ( x − 1) (x + 1) − x = 5 − 4 5 ( x + 2 x + 1) − 5x = 17 ( x − 1) − 20 2 8 (2 x − 14) = 7 ( x + 2) 2 16 x − 112 = 7 x + 14 9 x = 126 2 mcm = 5 2 5x + 10 x + 5 − 5x = 17 x − 17 − 20 − 7 x = − 42 2 x = 14 → Edad B 2 x = 6 → Edad B ⇒ x − 1 = 6 − 1 = 5 → Edad A ⇒ x + 1 = 6 + 1 = 7 → Edad C ⇒ x + 2 = 14 + 2 = 16 → Edad A ⇒ x − 2 = 14 − 2 = 12 → Edad C EJERCICIO 147 x → N º mayor 1. 59 − x → N º menor x−5 =2 59 − x x → Edad B x − 1 → Edad A 3. x → N º mayor x − 44 → N º menor 5. 2 x − 40 3(260 − x ) x−2 =3 x − 44 2 x − 40 = 1.560 − 6 x x − 2 = 3x − 132 − 2 x = − 130 x − 5 = 118 − 2 x 3x = 123 8 x = 1. 600 x = 200 → Parte mayor x = 65 → N º mayor ⇒ x − 44 = 65 − 44 = 21 → N º menor x = 41 → N º mayor ⇒ 59 − x = 59 − 41 = 18 → N º menor ⇒ 260 − x 6. x → N º mayor 2. 436 − x → N º menor x → N º mayor 4. x − 56 → N º menor x − 73 =2 436 − x x − 8 = 3 ( x − 56) x − 73 = 872 − 2 x 3x = 945 x = 315 → N º mayor ⇒ 436 − x = 436 − 315 = 121 → N º menor = 260 − 200 = 60 → Parte menor x → Parte de A 196 − x → Parte de B 3x − 16 8 =1 196 − x 5 3x − 128 5 ⋅ =1 8 196 − x x−8 =3 x − 56 x − 73 = 2 (436 − x ) =2 2 x − 40 = 6 (260 − x ) x − 2 = 3 ( x − 44) x − 5 = 2 (59 − x ) x → Parte mayor 260 − x → Parte menor 5 (3x − 128) = 8 (196 − x ) x − 8 = 3 x − 168 − 2 x = − 160 x = 80 → N º mayor ⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor 15x − 640 = 1.568 − 8 x 23x = 2 . 208 x = 96 soles → Parte de A ⇒ 196 − x = 196 − 96 = 100 soles → Parte de B EJERCICIO 148 er 1. x → Ganó el 1 día x → Ganó el 2º día 2 x → Ganó el 3 er día 4 x x x + + = 175 mcm = 4 2 4 4 x + 2 x + x = 700 7 x = 700 x = $ 100 → Ganó el 1er día x 100 = = $ 50 → Ganó el 2º día 2 2 x 100 ⇒ = = $ 25 → Ganó el 3 er día 4 4 ⇒ 2. x → Perdió miercoles 3. x → Tiene A 3 x → Perdió jueves 5 1 x → Perdió viernes 2 3 1 x + x + x = 252 mcm = 10 5 2 10x + 6x + 5 x = 2 . 520 21x = 2 . 520 x = $ 120 → Perdió miercoles 3 ⇒ ⋅120 = $ 72 → Perdió jueves 5 1 ⇒ ⋅120 = $ 60 → Perdió viernes 2 2 x → Tiene B 3 2 x → Tiene C 5 2x 2 x + = 248 mcm = 15 x+ 3 5 15x + 10x + 6x = 3 . 720 31x = 3 . 720 x = 120 suc. → Tiene A 2 ⇒ ⋅ 120 = 80 sucres → Tiene B 3 2 ⇒ ⋅ 120 = 48 sucres → Tiene C 5
  • 197. 4. x → Edad A 3 x → Edad B 5 9 x → Edad C 40 3x 9x + = 73 mcm = 40 x+ 5 40 40x + 24x + 9x = 2 . 920 73x = 2 . 920 x = 40 40 años → edad de A 3 ⇒ ⋅ 40 = 24 años → edaddeB 5 9 ⇒ ⋅ 40 = 9 años → edadde C 40 er 5. x → 1 día 1 x → 2º día 3 1 x → 3º día 9 1 x → 4º día 27 1 1 1 x+ x+ x+ x = 120 mcm = 27 3 9 27 27x + 9x + 3x + x = 3 . 240 40x = 3 . 240 x = 81 Km. 81 Km. → 1er día 1 ⇒ ⋅ 81= 27 Km. → 2º día 3 1 ⇒ ⋅ 81= 9 Km. → 3º día 9 1 ⇒ ⋅ 81= 3 Km. → 4º día 27 6. x → 1ª semana 11 x → 2ª semana 10 121 x → 3ª semana 100 1. 331 → 4ª semana 1.000 Continuación 6. 1. 000 Km. → 1ª semana 11 ⇒ ⋅1. 000 = 1.100 Km. → 2ª semana 10 121 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 210 Km. → 3ª semana 100 1. 331 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 331Km. → 4ª semana 1. 000 7. x → 1ª Persona ; x → 2 ª Persona 2 x → 4 ª Persona 40 x → 3ª Persona ; 8 x → 5ª Persona 400 x x x x x+ + + + = 330 .500 mcm = 400 2 8 40 400 400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x = 132 ' 200 . 000 661x = 132 ' 200 . 000 x = 200 . 000 colones 200 . 000 colones → 1ª Persona x 200 . 000 ⇒ = = 100 . 000 colones → 2 ª Persona 2 2 x 200 . 000 ⇒ = = 25 . 000 colones → 3ª Persona 8 8 x 200 . 000 ⇒ = = 5. 000 colones → 4 ª Persona 40 40 x 200 . 000 ⇒ = = 500 colones → 5ª Persona 400 400 8. x → Re c. en barco 4 x → Re c. en tren 9 5 x → Re c. en avión 18 4 x 5x + = 9 . 362 mcm = 18 x+ 9 18 18x + 8x + 5x = 168 . 516 31x = 168. 516 11 121 1. 331 x = 5 . 436 Km. x+ x+ x = 4 . 641 mcm = 1. 000 10 100 1. 000 5 . 436 Km. → Re c. en barco 1. 000x + 1.100x + 1. 210x + 1. 331x = 4' 641. 000 4 4 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 2 . 416 Km. → Re c. en tren 4 . 641x = 4' 641. 000 9 9 x = 1. 000 Km. 5 5 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 1. 510 Km. → Re c. en avión 18 18 Continúa x+
  • 198. EJERCICIO 149 1. x → Tenía al principio 5. x → Aves en la granja 8. x → Tenía al principio 4 x 2 ( x − 20) x → Palomas x − − 15 = 30 mcm = 2 = 10 mcm = 3 x − 20 − 5 2 3 4 x 2x − x − 30 = 60 3x − 60 − 2 ( x − 20) = 30 Re sto x− x= 5 5 x = 90 3x − 60 − 2 x + 40 = 30 x 3 3 $ 90 → Tenía al principio ⋅ = x → Gallinas x − 20 = 30 5 4 20 x = 50 4 x 3x − = 4 mcm = 20 x− $ 50 → Tenía al principio 5 20 x → Tenía al principio 2. 20x − 16x − 3x = 80 9. x → Tenía al principio x x x = 80 3 − = 21 mcm = 4 x − x + 1. 300 = x + 100 2 4 80 → Aves en la granja 4 2x − x = 84 mcm = 4 4 4 ⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas x = 84 4 x − 3x + 5 . 200 = 4 x + 400 5 5 84 Q. → Tenía al principio 3 3 − 3x = − 4 . 800 ⇒ ⋅ 80 = 12 → Gallinas x= 3. x → Tengo ahora 20 20 x = 1. 600 4 → Gallos 4 ( x + 7) 1. 600 suc. → Tenía al principio = 20 mcm = 5 x + 7− 6. x → Tenía al principio 5 4 x 5x + 35 − 4 (x + 7) = 100 x− x= → quedó 5 5 5x + 35 − 4 x − 28 = 100 2 x 2 x + 7 = 100 ⋅ = x → Perdí 10. x → Tenía al principio 3 5 15 x = 93 3 x 4 2 → quedó x− x= x− x− x − 8 = 0 mcm = 15 $ 93 → Tengo ahora 4 4 5 15 x → Tenía al principio 4. 2 x x 15x − 12x − 2x − 120 = 0 ⋅ = → Libros 2x 3 3 4 6 x = 120 = x → quedó x− 5 5 3 x 2 120 soles → Tenía al principio x − x − = x − 38 5 3 1 4 6 5 ⋅ x = x → prestó 7. x → Tenía al principio 6 5 2 mcm = 60 5 Luego x− x + 42 = x + 2 mcm = 12 60x − 45x − 10x = 24x − 2 . 280 12 2 1 − 19x = − 2 . 280 12x − 5x + 504 = 12x + 24 x − x − x = 500 mcm = 10 5 2 x = 120 − 5x = − 480 10x − 4x − 5x = 5 . 000 $ 120 → Tenía al principio x = 96 x = 5 . 000 $ 96 → Tenía al principio 5 . 000 bs. → Tenía al principio EJERCICIO 150 1. x → Edad actual A 3x → Edad actual B 1 x − 15 = (3x − 15) mcm = 6 6 6x − 90 = 3x − 15 3x = 75 x = 25 años → Edad actual A ⇒ 3x = 25⋅ 3 = 75 años → Edad actual B 2. x → Edad actual B 3x → Edad actual A 3x + 20 = 2 ( x + 20) 3x + 20 = 2 x + 40 x = 20 años → Edad actual B ⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60 años → Edad actual A
  • 199. 3. x → Edad actual A 9 x − 5 = ( x + 5) mcm = 11 11 11x − 55 = 9 x + 45 2 x = 100 x = 50 8. 3( x − 15) mcm = 8 8 8 x − 320 = 3x − 45 5x = 275 x = 55 55 años → Edad padre ⇒ x − 25 = 55 − 25 = 30 años → Edad hijo x − 25 − 15 = 50 años → Edad actual A 4. x → Edad actual A 2 ( x − 6) = x + 24 2 x − 12 = x + 24 x = 36 36 años → Edad actual A 5. x → Edad hijo 3x → Edad padre 2 ( x + 16) = 3x + 16 2 x + 32 = 3x + 16 16 = x 16 años → Edad hijo ⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre 6. x → Edad padre 2 x → Edad hijo 5 2 ( x − 8) 2 x = − 8 mcm = 35 7 5 10 x − 80 = 14 x − 280 200 = 4 x 50 = x 50 años → Edad padre ⇒ 2 2 x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo 5 5 7. x → Edad actual de A 65 − x → Edad actual de B 5( x + 10) mcm = 12 12 900 − 12 x = 5x + 50 850 = 17 x 50 = x 50 años → Edad actual de A ⇒ 65 − x = 65 − 50 = 15 años → Edad actual de B 65 − x + 10 = x → Edad padre x − 25 → Edad hijo 9. 2 x → Edad padre hace 10 años x → Edad hijo hace 10 años 2 x + 10 → Edad actual padre x + 10 → Edad actual hijo 3 ( x + 10 + 10) 2 4 x + 40 = 3x + 60 2 x + 10 + 10 = mcm = 2 x = 20 ⇒ 2 x + 10 = 2 ⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed . act . padre ⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed . act . hijo 10. x + 18 → Edad de A x → Edad de B 5( x − 18) mcm = 2 2 2 x = 5x − 90 90 = 3x 30 = x 30 años → Edad de B ⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A x + 18 − 18 = 11. 3x → Edad A x → Edad B 3x − 4 + x − 4 = x + 16 4x − 8 = x + 16 3x = 24 x=8 8 años → Edad B ⇒ 3x = 3 ⋅ 8 = 24 años → Edad A
  • 200. x → Tiene A 2 x → Tiene B 3 x → Tiene B 2 7 2 x → Tiene A x + 22 = ( x − 22) mcm = 15 3 5 4 ( x + 20) 10 x + 330 = 21x − 462 2 x − 20 = mcm = 5 5 792 = 11x 10 x − 100 = 4 x + 80 72 = x $ 72 → Tiene A 6 x = 180 2 2 ⇒ x = ⋅ 72 = $ 48 → Tiene B x = 30 3 3 30 soles → Tiene B 7. x → Tiene B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 30 = 60 soles → Tiene A 4 x → Tiene A x → Tiene B 5 4 x x + 13 = x − 5 mcm = 5 → Tiene A 5 2 x 4x + 65 = 5x − 25 x − 24 = + 24 mcm = 2 2 90 = x $ 90 → Tiene B 2x − 48 = x + 48 4 4 ⇒ x = ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A x = 96 5 5 96 colones → Tiene B 8. x → Tiene A x 96 x ⇒ = = 48 colones → Tiene A → Tiene B 2 2 2 x → Tiene A x 1 + x = x + 5 mcm = 6 2 x → Tiene B 2 3 3x + 2x = 6x + 30 3 (2 x − 6) = x + 6 mcm = 5 5x = 6x + 30 5 6 x − 18 = 5x + 30 30 = x $ 30 → Tiene A x 30 x = 48 ⇒ = = $ 15 → Tiene B 2 2 $ 48 → Tiene A 9. x → Empezaron A y B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 48 = $ 96 → Tiene B 3 x → Tiene A x − x = x − 24 mcm = 5 5 3 x → Tiene B 5x − 3x = 5x − 120 5 − 3x = − 120 3 9 x + 30 = (x − 30) mcm = 5 x = 40 5 5 40 balboas → Empezaron A y B 3x + 150 = 9 x − 270 10. x → Empezaron A y B 420 = 6 x EJERCICIO 151 1. 2. 3. 4. 70 = x $ 70 → Tiene A 3 3 ⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B 5 5 5. x → Tiene A yB x + 30 x − 30 = mcm = 2 2 2x − 60 = x + 30 x = 90 90 suc. → Tiene A yB 6. x− EJERCICIO 152 1. x → N º años que pasan 3 28 + x = x + 38 mcm = 4 4 112 + 4 x = 3x + 114 ( x=2 2 → años pasan 2. x → N º años que pasan 7 30 + x = x + 25 mcm = 6 6 180 + 6 x = 7 x + 175 ( 3x = 12 x − x − 288 3x = 11x − 288 − 8 x = − 288 x = 36 36 soles → Empezaron A y B ) 5= x 5 → años pasan 3. x → N º años hace 9 48 − x = 52 − x 10 mcm = 10 ( ) 480 − 10 x = 468 − 9 x 12 = x 12 → años hace 4. x → N º años hace 1 18 − x = 27 − x 4 mcm = 4 ( ) 72 − 4 x = 27 − x 45 = 3x 15 = x 15 → años hace 5. x → La suma de dinero 3 50 + x = x + 22 mcm = 5 5 150 + 3x = 5x + 110 ( ) 40 = 2 x 20 = x 3 x x = → Le queda B 4 4 x → 3ª parte de lo queda B 12 x x + 288 + 24 = → ha ganado A 12 12 x x + 288   = x−   mcm = 12  12  4 ) $ 20 → La suma de dinero 6. x → Gastó cada uno 3 90 − x = 50 − x mcm = 11 11 270 − 3x = 550 − 11x ( ) 8 x = 280 x = 35 35 Q. → Gastó cada uno
  • 201. 7. x → Edad actual hermano 3 x → Edad actual persona 8. x → ganó cada uno 4 3 54 + x + 32 + x = 4x + 66 (x + x) + 4 x + x = 75 2x + 86 = 4x + 66 3 20 = 2x 3x + x = 75 mcm = 4 4 10 = x 12 x + 3x = 300 $ 10 → ganó cada uno x = 20 20 años → Edad actual hermano 3 3 ⇒ x = ⋅ 20 = 15 años → Edad actual persona 4 4 EJERCICIO 153 1. x + 3 → Long. rect . x → Ancho rect . (x + 4)(x + 1) − 22 = x (x + 3) ( EJERCICIO 154 1. 5. x → Numerador x − 2 → Deno min ador 1 x = x−2+7 2 48m ⋅12m → Dimensiones x → Long. del cuadrado x=9 ) 600 = 5x 120 = x 120 bs. → Le dió A a B Continuación x 4. + 24 = x mcm = 2 2 x + 48 = 2x 48 = x x 2 + 5x + 4 − 22 = x 2 + 3x 2 x = 18 9. x → Le dió A a B 1 153 − x = 12 + x mcm = 4 4 612 − 4 x = 12 + x Equiv. al rect . 1 x = x+5 2 2x = x + 5 9m → Ancho rect . x + 7 → Long. del rect . x=5 5 → Numerador ⇒ x + 3 = 9 + 3 = 12m → Long. rect . x − 6 → Ancho del rect . 5 − 2 = 3 → Deno min ador (x + 5)(2 x + 5) − 160 = 2 x 2 2 x 2 + 15x + 25 − 160 = 2 x 2 15x = 135 x= 9 9m⋅ 18m → Dimensiones (x + 7)(x − 6) = x 5 → fracción 3 2 2 x + x − 42 = x x → Numerador 2. x = 42 x + 1 → Deno min ador 1 x ⇒ x + 7 = 42 + 7 = 49 → Long. del rect . = x + 1+ 15 3 ⇒ − = − = → 2. x → Una de las dim ensiones 2 x → La otra dim ensión x 6 42 6 36 2 x 2 + 25x + 150 + 150 = x 2 + 30 x 300 = 5x x − 8 x + 15 + 115 = x + 2 x 2 60 = x − 10 x = − 130 60m → Ancho x = 13 ⇒ x + 30 = 60 + 30 = 90m → Long. 90m ⋅ 60m → Dimensiones 15m ⋅ 13m → Dimensiones x + 24 → Long. del rect . 2 x − 12 → Ancho del rect . 2  x  x x  + 24  − 12 = x  − 12 2 2  2  Continúa 1 x = x + 16 3 3x = x + 16 (x + 30 − 20)(x + 15) + 150 = x (x + 30) (x + 10)(x + 15) + 150 = x + 30x (x − 5)(x − 3) + 115 = x (x + 2) 4. Ancho del rect. 49m ⋅ 36m → Dimensiones x → Ancho 6. x + 30 → Longitud 3. x + 2 → Una dim ensión x → Otra dim ensión 2 2 x → Ancho 7. x + 10 → Longitud (x + 8)(x + 1) = x (x + 10) x + 9 x + 8 = x + 10 x 2 2 8 = x → Ancho ⇒ x + 10 = 8 + 10 = 18 → Long. 18m ⋅ 8m → Dimensiones 2 x = 16 x=8 8 → Numerador 8 + 1= 9 → Deno min ador 8 → Fracción 9 3. x − 8 → Numerador x → Deno min ador x − 8+1 = x+1 x− 7 = x+1 3 4 3 4 4 ( x − 7) = 3( x + 1) 4 x − 28 = 3x + 3 x = 31 31 − 8 = 23 → Numerador 31 → Deno min ador 23 → Fracción 31
  • 202. 4. x → Numerador x → Numerador 5. 2 x + 1→ Deno min ador x−4 1 = 2x + 1 3 2 x + 6 → Deno min ador 4 x + 15 = 2x + 6 − 1 3 3 ( x − 4) = 2 x + 1  x  x = 3  −2 x + 1+ 4  x + 1 x + 15 4 = 2x + 5 3 3x − 12 = 2 x + 1 x = 13 13 → Numerador 2 ⋅ 13 + 1 = 27 → Deno min ador 13 → Fracción 27 3x + 45 = 8 x + 20 25 = 5x 5= x 5 → Numerador x → Numerador 5 → Fracción 16 3x − 1→ Deno min ador 11 x+8 = 3x − 1 + 4 12 x + 8 11 = 3x + 3 12 3x x = −2 x+5 x+1 3 ( x + 15) = 4 (2 x + 5) 2 ⋅ 5 + 6 = 16 → Deno min ador 7. x → Numerador x + 1→ Deno min ador 6. 8. x → Numerador x − 22 → Deno min ador x x − 15 − = 3 mcm = x − 22 x − 22 x − 22 mcm = (x + 5)( x + 1) x ( x + 1) = 3x (x + 5) − 2 (x + 5)(x + 1) x 2 + x = 3x 2 + 15x − 2 x 2 − 12 x − 10 x = 3x − 10 10 = 2 x 5= x 5 → Numerador 5 + 1 = 6 → Deno min ador 5 → Fracción 6 x − ( x − 15) = 3 ( x − 22) 12 ( x + 8) = 33( x + 1) 15 = 3x − 66 12 x + 96 = 33x + 33 81 = 3x 63 = 21x 27 = x 3= x 3 → Numerador 27 → Numerador 3 ⋅ 3 − 1 = 8 → Deno min ador 27 − 22 = 5 → Deno min ador 3 → Fracción 8 27 → Fracción 5 EJERCICIO 155 1. x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas 10 ( x + 2) + x 10 x + 20 + x 11x + 20 → El Número 11x + 20 2 ( x + 1) =7 11x + 20 = 14 ( x + 1) 11x + 20 = 14 x + 14 6 = 3x 2= x 2 → cifra de unidades 2 + 2 = 4 → cifra de decenas 42 → N º buscado 2. x → cifra de unidades x − 4 → cifra de decenas 10 ( x − 4) + x 3. x → cifra de unidades 2 x → cifra de decenas 10 x − 40 + x 11x − 40 → El Número 10 ( 2 x ) + x − 9 21x − 9 → N º dis min uido en 9 11x − 40 21x − 9 =6 3x 21x − 9 = 18x 2 ( x − 2) =4 11x − 40 = 8 x − 16 3x = 24 x=8 8 → cifra de unidades 8 − 4 = 4 → cifra de decenas 48 → N º buscado 3x = 9 x= 3 63 → N º buscado
  • 203. 4. x → cifra de unidades x + 1 → cifra de decenas 10 ( x + 1) + x 3 (11x + 10) 33x + 30 → N º multip.* 3 33x + 30 = 21(2 x + 1) 33x + 30 = 42 x + 21 9 = 9x 1= x 1 → Cifra de unidades 1 + 1 = 2 → Cifra de decenas 21 → N º buscado 5. x → cifra de unidades 7 − x → cifra de decenas 10 (7 − x ) + x + 8 78 − 9 x → N º aumentado en 8 78 − 9 x 2 (7 − x ) =6 78 − 9 x = 12 (7 − x ) 78 − 9 x = 84 − 12 x 3x = 6 x=2 52 → N º buscado 6. x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas 10 (x + 2) + x 11x + 20 → El Número 11x + 20 − 27 = 10 x 11x − 7 = 10 x x= 7 7 → cifra de unidades 7 + 2 = 9 → cifra de decenas 97 → N º buscado 7. x → cifra de unidades 2 x → cifra de decenas 10 ( 2 x) + x − 4 21x − 4 → N º dis min en 4 21x − 4 = 20 2x − x 21x − 4 = 20x x=4 84 → N º buscado EJERCICIO 156 1. x → Días trabaj. juntos 1 1 1 + = mcm = 6x 3 6 x 2x + x = 6 3x = 6 x=2 Continuación 4. 8x + 2x + 5x = 12 15x = 12 12 15 4 x= 5 x= 2 días → Hacen la obra 2. x → Tiempo en llenar depósito 4 de día hacen la obra 1 1 1 5 mcm = 20x + = 10 20 x 5. x → Tiempo en llenar depósito 2x + x = 20 1 1 1 1 + + = mcm = 60x 3x = 20 5 6 12 x 20 12x + 10x + 5x = 60 x= 3 27x = 60 x=6 2 60 3 x= 6 2 min. → En llenar depósito 27 3 x=2 2 3. x → Hacen obra juntos 9 1 1 1 1 + + = 4 6 12 x 3x + 2x + x = 12 mcm = 12 x 6 x = 12 x=2 2 días → Hacen obra juntos 4. x → Hacen obra juntos 1 1 1 1 + + = 1 12 6 2 2 x 5 2 1 5 1 mcm = 12x + + = 3 6 12 x 2 2 min → Llenar el depósito 9 6. x → Tiempo en llenar depósito 1 1 1 1 mcm = 40x + − = 4 8 20 x 10x + 5x − 2x = 40 13x = 40 40 x= 13 1 x = 3 13 1 3 13 min. → Llenar el depósito Continúa EJERCICIO 157 1. ABCD = x AB = 5 X BC = 12 CD = 30 x = 5 + 30 + x 12 x 12 12x = 420 + x 11x = 420 420 2 x= = 38 11 11 x = 35 +
  • 204. 2. 3. 5. AB = x BD = 15 ABCD = x AB = x AB = 10 x BC = 12 CD = 15 BD = 30 AC = 50 X CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 50 + mcm = 12 12 12x + 180 = 600 + x 11x = 420 420 x= 11 2 x = 38 11 AC = 40 CD = x 12 ABCD = AB + BC + CD x + 15 12 x x = 25 + 12 mcm = 12 x = 10 + AB + BD = AC + CD x mcm = 12 12 12x + 360 = 480 + x x + 30 = 40 + 12x = 300 + x 11x = 120 11x = 300 300 x= 11 3 x = 27 11 120 11 x = 10 10 11 x= 4. 6. AB = x BD = 45 AC = 50 x CD = 12 AC + CD = AB + BD x = x + 45 mcm = 12 50 + 12 600 + x = 12x + 540 60 = 11x 60 =x 11 5 5 11 = x x 12 BC = 30 AB = ABC = x ABC = AB + BC x + 30 mcm = 12 12 12x = x + 360 x= 11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11 ABC = x AB = 20 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11
  • 205. 7. 8. 10. ABCD = x ABCD = x AB = 30 x BC = 12 CD = 15 ABCD = AB + BC + CD x x = 30 + + 15 mcm = 12 12 12x = 360 + x + 180 11x = 540 540 x= 11 1 x = 49 11 AB = x BD = 15 AC = 30 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 30 + 12 x x− = 15 mcm = 12 12 12x − x = 180 11x = 180 180 x= 11 4 x = 16 11 AB = 15 x BC = 12 CD = 5 ABC = x AB = 50 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 9. ABCD = AB + BC + CD x +5 x = 15 + 12 x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11 11. AB = x BD = 15 AC = 35 x 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 35 + 12 12x + 180 = 420 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11 CD = ABCD = x AB = 40 x BC = 12 CD = 10 ABCD = AB + BC + CD x x = 40 + + 10 12 x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 Continúa
  • 206. 11. Continuación EJERCICIO 158 1. x → N º mayor x − 6 → N º menor x 3 − 10 = ( x − 6) mcm = 8 8 2 4 x − 80 = 3x − 18 x = 62 → N º mayor 62 − 6 = 56 → N º menor AB = x BD = 10 AC = 40 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 10 = 40 + 12 x = 30 x− 12 mcm = 12 12x − x = 360 11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11 3. x → Nº buscado x+6 +5 8 x + 46 → Cociente sumado 5 8 x + 46 8 = x + 46 → Nueva sum ÷ en 2 2 16 x + 46 =4 16 x + 46 = 64 x = 18 → Nº buscado 2. x → Le dió A a B 11 120 − x = 90 + x mcm = 10 10 1. 320 − 11x = 900 + 10 x ( ) 420 = 21x 20 = x $ 20 → Le dió A a B 4. x → Persona favorecida 5 x → Persona que recibió menos 7 5 x + x = 48 . 000 mcm = 7 7 7x + 5x = 336 . 000 12x = 336 . 000 x = 28 . 000 28 . 000 soles → Pers. favorecida 5 ⋅ 28 . 000 = 20 . 000 7 20 . 000 soles → Pers. que rec .men.
  • 207. 5. x → Parte mayor 84 − x → Parte menor 1 1 x = (84 − x ) 10 4 mcm = 20 2 x = 5(84 − x ) 2 x = 420 − 5x 7 x = 420 x = 60 60 → Parte mayor 84 − 60 = 24 → Parte menor 6. 7. x → Parte mayor 120 − x → Parte menor 3 120 − x = x mcm = 5 5 600 − 5x = 3x 600 = 8x 75 = x → Parte mayor 120 − 75 = 45 → Parte menor 9. x → Edad de A 2 x → Edad de B 5 2 2 4 ⋅ x= x → Edad de C 3 5 15 4 2 x+ x+ x = 25 mcm = 15 5 15 15x + 6x + 4x = 375 25x = 375 x = 15 15 años → Edad de A 2 ⋅15 = 6 años → Edad de B 5 4 ⋅15 = 4 años → Edad de C 15 12. Continuación 7x 3 21x ⋅ = → Vr. total vta. 4 2 8 de todos los lib. Luego 21x 51x − = 54 mcm = 40 8 40 105x − 51x = 2 .160 54x = 2 .160 x = 40 7x 7 ⋅ 40 = = 70 4 4 70 → Total libros comprados 10. x → Costo auto x 8 . 000 + = x + 2 . 000 mcm = 3 3 24 . 000 + x = 3x + 6 . 000 13. x → Sueldo mensual 18 . 000 = 2x x 3 7 + x = x → mensual 2 8 8 7  15x − 15  x = 300 mcm = 8 8  120 x − 105x = 2 . 400 15x = 2 . 400 x = 160 $ 160 → Sueldo mensual 9 . 000 = x 9 . 000 bs → Costo auto 11. x → Libros compre 7x 5x − = 8 mcm = 2 2 2 7x − 5 x = 16 2x = 16 x = 8 → Lib. compre 8. x → Lo que tenía 12. 1 x → Gastó en ropa 5 3 x → Gastó en libros 8 1 3 x − x − x − 102 = 0 mcm = 40 5 8 40x − 8x − 15x − 4 . 080 = 0 17x = 4 . 080 x = 240 1 ⋅ 240 = $ 48 → Gastó en ropa 5 3 ⋅ 240 = $ 90 → Gastó en libros 8 x → Cierto N º de libros 3x → Vr. cierto N º de libros 4 3x  7  21x 3 → Vr. del N º  = 4  10 40 4 de lib. ant . 3x 21x 51x + = → Vr. total de 4 40 40 lib. compré x+ 3x 7 x = → total lib. comp. 4 4 Continúa x → 1ª parte 5x → 2ª parte 6 3 5x 1 ⋅ = x → 3ª parte 5 6 2 1 1 1 ⋅ x = x → 4ª parte 3 2 6 5x 1 1 + x + x = 150 x+ 6 2 6 mcm = 6 6x + 5x + 3x + x = 900 15x = 900 x = 60 60 → 1ª parte 5 ⋅ 60 = 50 → 2ª parte 6 1 ⋅ 60 = 30 → 3ª parte 2 1 ⋅ 60 = 10 → 4ª parte 6
  • 208. 14. 22. x → libros que compró 18. x → Edad actual B x 5x x → Libros más x+ = → Edad actual A 4 4 4 400 320 1 x = − 10 = x − 10 mcm = 40 5x x 4 10 4 10 x − 400 = 4 x − 40 320 400 6 x = 360 = −2 mcm = x x x x = 60 320 = 400 − 2x 60 años → Edad actual B 2x = 80 ABC = x 60 x = 40 = 15 años → Edad actual A AB = 45 4 40 libros → compró x BC = 400 12 = $ 10 → Pagópor c / u 19. x → N º mayor 40 ABC = AB + BC x − 1 → N º menor x x → Suma repartida 23. 2 1 x = 45 + mcm = 12 x 2 − x − 1 − 43 = x−1 12 x 11 − 30 → Re cibió A 12x = 540 + x 2 1 2 2 x − x + 2 x − 1 − 43 = x−1 11x = 540 3x 11 + 20 → Re cibió B 540 7 1 x= 2 x − 44 = x−1 11 x 3x 11 − 30 + + 20 + 30 = x 1 x = 49 11 2 7 11 2 x − 44 = x − 1 mcm = 14 15. x → Edad A 22 x − 484 = x − 1 7 x + 6 x + 280 = 14 x x − 10 → Edad B 21x = 483 280 = x 3 x = 23 x − 10 − 15 = x − 15 mcm = 4 4 280 23 → N º mayor − 30 = $ 110 → Re c. A 4 x − 40 − 60 = 3x − 45 2 23 − 1 = 22 → N º menor 4 x − 100 = 3x − 45 3 ( 280) + 20 = $ 140 → Re c. B x = 55 7 x → Vr. sortija 20. 55 años → Edad A x → Lib. comprad. 24.  3. 000 + x  7  = 1.500 + x mcm = 12 55 − 10 = 45 años → Edad B 6x   12 → Vr. de x lib. 5 16. x → Puede hacerla A 21. 000 + 7 x = 18 . 000 + 12 x x 2x 1 1 1 → Re sto x− = 3. 000 = 5x mcm = 60x + = 3 3 10 x 6 600 = x 2x 9 3x 6x + 60 = 10x ⋅ = → Vr. vta resto 600 sucres → Vr. sortija 3 4 2 60 = 4 x 3x 6x 15 = x − = 9 mcm = 10 x → Nº personas 21. 2 5 15 días → Puede hacerla A 1 6x 15x − 12x = 90 x+ x= → Nº más de pers. x → Parte mayor 17. 5 5 3x = 90 650 − x → Parte menor 120 100 x = 30 = x 6x x = 650 − x − 50 30 → Libros comprados 5 5 100 120 25. x → Fortuna x = − 2 mcm = x = 600 − x mcm = 5 x x x x x 5 x − − − = 2 . 500 100 = 120 − 2x x = 3 . 000 − 5x 2 4 6 mcm = 12 2x = 20 6x = 3 . 000 12x − 6x − 3x − 2x = 30 . 000 x = 10 x = 500 x = 30 . 000 10 personas → Se repartió $ 500 → Parte mayor 30 . 000 colones → Fortuna ⇒ 650 − 500 = 150 → Parte menor ( ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ( ( )
  • 209. 30. 26. x → sueldo anual 3x x x x− − − = 810 5 8 20 mcm = 40 40x − 24 x − 5x − 2x = 32 . 400 9x = 32 . 400 x = 3 . 600 3 . 600 balboas → sueldo anual 27. x → Ahorros 3x 5x 5x − = → Le quedaba x− 8 12 24 3 5x x ⋅ = 5 24 8 5x x − = 400 mcm = 24 24 8 5x − 3x = 9 . 600 2x = 9 . 600 31. x = 4 . 800 $ 4 . 800 → ahorros 28. x → Parte mayor 350 − x → Parte menor 3x 17 = x− 350 − x − (350 − x) 5 15 mcm = 15 5. 250 − 15x − 9 x = 15x − 5. 950 + 17 x − 24 x − 32 x = − 11. 200 − 56 x = − 11. 200 x = 200 200 → Parte mayor 350 − 200 = 150 → Parte menor 29. x → Suma repartida $ 15 → Re cibió A x − 15 = B + C x − 15 − C = B C= A+ B 180 = x $ 180 → Suma recibida 2 2 33. x + 2 x + 1= x + 111 2 x = 110 3 x → N º piezas de 20 ctvs 4 2 3x x ⋅ = → N º piezas de 10 ctvs 3 4 2 3 0 ,10 x = 9 , 60 x + (0 , 20 x) + 4 2 mcm = 4 4 x + 0 , 6 x + 0 , 2 x = 38 , 4 4 , 8 x = 38 , 4 x = 55 55 → hom bres en el lado del 1er cuadrado (55) + 36 2 = 3. 061 → Homb. en la tropa 34. x → Lo que tenía 5x x x− − 20 = + 16 8 4 mcm = 8 8x − 5x − 160 = 2x + 128 x=8 8 → Pesos 3 ⋅ 8 = 6 → piezas de 20 ctvs 4 8 = 4 → piezas de 10 ctvs 2 x = 288 $ 288 → tenía x → Capital primitivo 35. 1 x → 1er año 5 x 4x x− = → Le quedaba 5 5 3 4x 6x ⋅ = → 2º año 10 5 25 4x 6x 26x + = → Tenia al term. 5 25 25 el 2º año 3 26x 78x ⋅ = → 3er año 5 25 125 x 6x 78x x− + + = 13 . 312 5 25 125 125x − 25x + 30x + 78x = 1' 664 . 000 208x = 1' 664 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 Q. → Capitalprimitivo C = 15 + ( x − 15 − C) C= x − C 2C = x x C= 2 2 x x 15 + 15 + ⋅ + = x 3 2 2 x x 30 + + = x 3 2 180 + 2 x + 3x = 6 x Continuación x → Pesos 32. x → Edad de A 2 x − 10 = x + 5 mcm = 3 3 3x − 30 = 2 x + 10 ( ) x = 40 40 años → Edad de A 33. x → Cant . hom bres en el lado del 1er cuadrado mcm = 6 2 x + 36 → Hombres en la tropa (x + 1) 2 = x 2 + 36 + 75 Continúa x → Empezó a jugar 2 x − 60 → Le quedaba − 180 3 (2 x − 60) = 6x 10 10  6 x − 180 7 x − =0 x + x − 60 −   10  8 mcm = 40 80 x − 2 . 400 − 24 x + 720 − 35x = 0 21x = 1. 680 x = 80 80 Lempiras → Empezó a jugar 36. x → Cifra unidades x + 5 → Cifra decenas 10 ( x + 5) + x − 18 = 6 ( x + 5 + x) 10 x + 50 + x − 18 = 12 x + 30 2= x 2 → Cifra unidades 2 + 5 = 7 → Cifra decenas 72 → N º buscado 37. x → Unidades 9 − x → Decenas 10 (9 − x ) + x − 27 = 10 x + 9 − x 90 − 10 x + x − 27 = 10 x + 9 − x 54 = 18 x 3= x 3 → Unidades 9 − 3 = 6 → Decenas 63 → N º buscado
  • 210. 38. x → Mangos que había 2 x − 12 x → Quedaban x− − 4= 3 3 1  2 x − 12  2 x + 42   + 6= 3 3  9 2 x + 42 9 + 9 = x + 102 2 9 x  2 x + 42   x + 102  x− − 4−   − =0  9   9  3 mcm = 9 9 x − 3x − 36 − 2 x − 42 − x − 102 = 0 3x = 180 x = 60 60 → Mangos había 39. x → Ganó c / u 7 80 + x = 50 + x mcm = 10 10 560 + 7 x = 500 + 10 x ( ) 60 = 3x 20 = x $ 20 → Ganó c / u 40. x → Pluma fuente 3 x → Lapicero 5 5 3 (x − 0 , 20) = 5 x + 0 , 30 6 mcm = 30 25x − 5 = 18 x + 9 7 x = 14 x=2 $ 2 → Costo la pluma 3⋅ 2 = $ 1, 20 → Costo lapicero 5 41. x → Tenía el lunes antes de x x+4 + 2= → Lunes 2 2  x + 4 x − 4 x− = → Quedaba  2  2 x−4 2 + 2 = x + 4 → Martes 2 4 x − 4  x + 4  x − 12 → Quedaba − =  4  2 4 x − 12 4 + 2 = x + 4 → Miercoles 2 8 Continúa Continuación 41. x − 12 −  x + 4  = 0    8  4 2 x − 24 − x − 4 = 0 mcm = 8 x − 28 = 0 x = 28 ⇒ $ 28 → Tenía el lunes antes de 42. x → Capital primitivo 3x − 12 . 000 x − 6 . 000 = → Tenía 2 2 3 x − 12 . 000 3x − 36 . 000 2 − 6 . 000 = → 2º año 2 4 3x − 12 . 000 3x − 36 . 000 9 x − 60 . 000 + = → Tenía 2 4 4 9 x − 60 . 000 9 x − 108 . 000 4 − 6 . 000 = → 3º año 2 8 9x − 60 . 000 9x − 108 . 000 + = 32 . 250 mcm = 8 4 8 18x − 120 . 000 + 9x − 108 . 000 = 258 . 000 27x = 486 . 000 x+ x = 18 . 000 $ 18 . 000 → Capital primitivo 43. x → Pr ecio traje $ 15 → Pr ecio bastón 3x s + 15 = 4 x + 15 − 5 = 2s x + 10 → Pr ecio sombrero 2 3x x + 10 + 15 = mcm = 4 2 4 2x + 20 + 60 = 3x 80 = x $ 80 → Pr ecio traje 80 + 10 = $ 45 → Pr ecio sombrero 2 44. x → Espacio recorrido por perro y conejo Perro Conejo sup uesto 2 5 Pr egunta ? 50 2 ⋅ 50 Luego: → Saltos del perro con respecto a la ventaja 5 Perro Conejo sup uesto 3 8 Pr egunta 8x Luego: 3 x ? → Saltos que avanza el conejo al ser alcanzado Continúa
  • 211. Continuación 44. sup uesto 46. Perro Conejo 2 5 Pr egunta ? x 5x → Saltos que da el perro Luego : 2 para alcanzar al conejo Entonces: 8x 2 ⋅ 50 5x − = mcm = 6 3 5 2 16x − 120 = 15x x = 120 5 ⋅120 = 300 → Saltos del perro 2 para alcanzar el conejo 45. x → Espacio recorrido por perro y liebre Perro Liebre sup uesto 3 4 Pr egunta ? 60 3 ⋅ 60 → Saltos del perro con Luego: 4 respecto a la ventaja Perro Liebre sup uesto 5 8 Pr egunta ? x 8x → Saltos que avanza la Luego: 5 liebre al ser alcanzada Perro Liebre sup uesto 3 4 Pr egunta ? x 4x → Saltos que da el perro Luego: 3 para alcanzar a la liebre Entonces : 8x 3 ⋅ 60 4x − = 5 4 3 8x 4x − 45 = mcm = 15 5 3 24x − 675 = 20x 4x = 675 x = 168 , 75 4 ⋅168 , 75 = 225 → Saltos del perro 3 para alcanzar la liebre AB = x AC = 50 x CD = 12 BD = 6 AB + BD = AC + CD x x + 6 = 50 + 12 x x− = 44 mcm = 12 12 12x − x = 528 11x = 528 528 x= 11 x = 48 47. x → Aporta A 3 x → Aporta B 4 x 4x → 1er año A x− = 5 5 3x 3x + 12 . 000 + 3. 000 = → 1er año B 4 4 4 x + 8 . 000 4x + 1. 600 = → 2º año A 5 5 3x + 12 . 000 1  3x + 12 . 000  −   mcm = 36  4 9 4 27 x + 108 . 000 − 3x − 12 . 000 36 24 x + 96 . 000 3 (8 x + 32 . 000) = 36 36 8 x + 32 . 000 → 2º año B 12 Entonces : 4 x + 8 . 000 8 x + 32 . 000 = mcm = 60 5 12 48 x + 96 . 000 = 40x + 160 . 000 8 x = 64 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 bs → Aportó A 3⋅ 8 . 000 = 6 . 000 bs → Aportó B 4
  • 212. 50. Buey → $ 80 P + 80 = 2C 48. x → Años para que la edad del padre sea = a la suma de sus hijos 60 + x = 16 + x + 14 + x 60 + x = 30 + 2x 30 = x 30 años → Edad del padre sea igual a la suma de sus hijos C + 80 = 13 P 2 Luego: P + 80 =C 2 13 P P + 80 + 80 = mcm = 2 2 2 P + 80 + 160 = 13 P 240 = 12 P 20 = P $ 20 → Costo el perro 20 + 80 =C mcm = 2 2 20 + 80 = 2C 49. x → Km. recorridos x x + = 12 mcm = 50 50 10 x + 5 x = 600 6x = 600 x = 100 100 → Km. recorridos 100 = 2C 50 = C $ 50 → Costo el caballo EJERCICIO 159 1. a = 30m v = 8m s v ' = 5m s 30 ⋅ 8 x= 8−5 240 x= 3 x = 80m 2. a = 160 Km v = 50 Km h v ' = − 30 Km h x= 160 ⋅ 50 50 − (− 30) 8 . 000 x= 80 x = 100 Km. 3. a = 200 Km v = 90 Km h v ' = 40 Km h 200 ⋅ 90 90 − 40 Continúa x= Continuación 18 . 000 50 x = 360 Km de A 3. x = 5. a = 550 Km v = 100 Km h Km v ' = − 120 De B. Como la dis tan cia entre A y B es 200 Km x= Entonces B recorrió 360 Km − 200 Km = 160 Km 4. a = 80 Km v = 90 Km h v ' = 70 Km h 80 ⋅ 90 90 − 70 7 . 200 x= 20 x = 360 Km El tiempo empleado x= en encontrarse será . 360 Km = 4 horas 90 Km h h De A. 550 ⋅ 100 100 − (− 120) 55 . 000 220 x = 250 Km Como los trenes pasan por A y B a las 8 am x= Entonces De A. x = 250 Km v = 100 Km h Tiempo empleado para los 250 Km. es 250 Km 100 Km h = 2 , 5 horas 2 , 5 horas → 2 h 30 min. Luego : 8 am + 2 h 30 min = 10 : 30 10 : 30 am → Se encuentran
  • 213. 6. a = 70 Km v = 9 Km h 7. A y B dis tan tes 29 Km 1 ⇒ 29 2 Km − 2 1 Km = 27 Km 2 v ' = − 5 Km h x → Dis tan cia recorrida por A al encontrarse 70 ⋅ 9 x= 9 − (− 5) a = 27 Km v = 5 Km h v ' = − 4 Km 630 14 x = 45 Km → A Como A recorrió 45 Km Entonces B 70 Km − 45 Km = 25 Km → B 9. a = 186 Km v=v v'= − v x= x= 8. Re corrido tren de c arg a en 3 horas es 1 2 x= Km (3 h) = 126 Km h a = 126 Km 42 v = 60 Km h v ' = 42 Km h h 27 ⋅ 5 5 − (− 4) x= 135 9 x = 15 Km Luego A recorre x= 7 . 560 18 x = 420 Km x= 420 Km → Alcanza el tren de 1 15 Km + 2 1 Km = 17 2 Km 2 B recorre 186 v v − (− v ) pasajeros al de c arg a El tiempo empleado es: 1 1 29 2 Km − 17 2 Km = 12 Km 186v x= 2v x = 93 Km. 126 ⋅ 60 60 − 42 420 Km = 7 horas 60 Km h EJERCICIO 162 1. b = 10 cm h = 8 cm b ⋅h A= 2 10 cm ⋅ 8 cm A= 2 A = 40 cm2 4. v = 9 m s 2 2 π = 3 ,14 C = 2π ⋅ r C = 2 ⋅ 3 ,14 ⋅ 5m C = 10m ⋅ 3 ,14 C = 31, 4 m 2 a 2 = 16m2 + 9m2 a = 25m (8 m) 2 2 A= A = 3 ,14 ⋅ 25m2 8. r = 5m 2 d 2 A = 3 ,14 (5m) 2 a = 25m2 a = 5m 2 A = 32 m2 9. h = 9m r = 2m π = 3 ,14 6. a = 13 m c = 5m 3. t = 15 s b2 = a 2 − c2 v = 9ms e= v⋅t ( e = (15 s) 9 m s e = 135 m ) 2 b = 169m − 25m 2 p v 8 , 24 g D= 8 cm3 D= D = 1, 03 g cm3 11. L = 4m 2 3 4 ( 4m) 2 3 A= 4 A = 4m2 3 A= L A = 6 , 92m2 h⋅π ⋅r 3 2 9m ⋅ 3 ,14 ( 2m) v= 3 v = 12m2 ⋅ 3 , 14 2 b = (13m) − (5m) 2 2 A = 78 , 5m2 a 2 = ( 4m) + ( 3m) 2 V = 8 cm3 A = π ⋅r2 c = 3m a =b +c 2. d = 8 m 10. P = 8 , 24 g π = 3 ,14 5. b = 4 m 2 A= 7. r = 5m e = 108 m e 108 m t= ⇒ t= v 9ms t = 12 s 2 2 2 b 2 = 144m2 b = 144m b = 12m 2 v= v = 37 , 68m2 12. N = 6 S = 180 (6 − 2) ! S = 180 ( 4) ! S = 720 !
  • 214. EJERCICIO 163 8. V = Vo − a ⋅ t 1. e = v ⋅ t e v= Rta t e t= Rta v V + a ⋅ t = V0 Rta a ⋅ t = V0 − V  b + b ' A= h    2  2. 2 A = h (b + b ') 2A = h Rta b+ b' 1 3. e = a ⋅ t 2 2 2e = a ⋅ t 2 2e = a Rta t2 t= V0 − V Rta a Rta f ⋅ p ' = p ( f − p ') f ⋅ p' =p f − p' 10. a = b + c 2 a 2 − c 2 = b Rta a2 − b2 = c2 a − b = c Rta 2 14. 11. V = a ⋅ t V = t Rta a V a= Rta t 12. 6. a = b + c − 2bx a 2 − b 2 − c 2 = − 2bx 2 a2 − b2 − c2 =x 2b 2 2 2 b +c −a = x Rta 2b 7. V = Vo + a ⋅ t V − a ⋅ t = V0 Rta V − V0 = a ⋅ t V − V0 =a t Rta V − V0 =t a Rta 1 1 1 = − f p' p p '⋅ p f ⋅ p− f ⋅ p' = f ⋅ p '⋅ p f ⋅ p '⋅ p 15. p'= p⋅ f Rta p+ f Continúa V2 2a 2ae = V 2 e= 2ae = V Rta 1 2 a⋅t 2 2e = 2V0 ⋅ t + a ⋅ t 2 e = V0 ⋅ t + 2e − a ⋅ t 2 = V0 2⋅ t 20. u = a + (n − 1) r u − (n − 1) r = a Rta u − a = (n − 1) r u− a = n−1 r u− a + 1= n r u− a+ r = n Rta r u − a + r = nr Rta 1 e = V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2 2e = 2V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2e + a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t 2e + a ⋅ t 2 = V0 2⋅t u − a = nr − r u − a = r (n − 1) Rta a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t − 2e 2V ⋅ t − 2e a= 0 2 t p'= p '(p + f )= p⋅ f 19. 2e − a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t p ' ⋅ p = f ( p − p ') f ( p − p ') p f ⋅ p f ⋅ p' − p'= p p f ⋅ p' p'= f − p f ⋅ p' =f p'+ p p '⋅ p + f ⋅ p ' =f p Rta e d e 2 v = d v 2 ⋅ d = e Rta e d = 2 Rta v 2 c ⋅ t ⋅r 100 100 I = c ⋅ t ⋅ r 100 I = c Rta t ⋅r 100 I = t Rta r⋅c 100 I = r Rta c⋅t I= 18. E = I ⋅R E = R Rta I E = I Rta R 13. v = a2 − c2 = b2 2 17. p '⋅ p + f ⋅ p ' =f 12. p p' ⋅ p f ⋅ p ' + =f p p f ⋅ p' =f p'+ p f ⋅ p' = f − p' p 9. D = P V DV = P 2 A = r Rta π − V0 − V t P Rta D P = VD Rta 2 5. A = π ⋅ r A 2 =r π 2 a= V= 1 4. A = a ⋅ l ⋅ n 2 2A = a ⋅ l ⋅ n 2A = a Rta l ⋅n 2A = l Rta n⋅ a 2A = n Rta l⋅ a 2 Continuación u− a =r n−1 16. V= u = a Rta r n −1 u n−1 =r a h ⋅π ⋅ r 2 3 3V = h Rta π ⋅r 2 3V 2 =r π ⋅h 3v = r Rta π ⋅h u = a ⋅r n − 1 21. 2 (V0 ⋅ t − e) a= Rta t2 Rta n −1 22. u = r Rta a Q t Q = I⋅ t I= Q =t I Rta Rta
  • 215. EJERCICIO 164 1. x − 5 < 2x − 6 − 5 + 6 < 2x − x 1< x 1 → Lim. inf erior de x 2. 5x − 12 > 3x − 4 5x − 3x > 12 − 4 2x > 8 x>4 4 → Lim. inf eror de x 3. x − 6 > 21− 8x x + 8x > 21+ 6 9x > 27 x>3 3 → Lim. inf erior de x ( )( ) ( )( ) 8. x + 2 x − 1 + 26 < x + 4 x + 5 6 x 2 + 7 x + 2 > 6 x 2 + 13x − 5 2 + 5 > 13x − 7 x 7 > 6x 7 >x 6 9. 3 ( x − 2) + 2 x ( x + 3) > (2 x − 1)( x + 4) 3x − 6 + 2 x 2 + 6 x > 2 x 2 + 7 x − 4 9x − 6> 7x − 4 14. 9x − 7x > − 4 + 6 2x > 2 ( x>1 ) ( )( x 2 + 5x + 6 − 12 > x 2 + 2 x ) ( 5x − 2 x > 6 ) 3x > 6 6 x 2 + 6 − 6 x 2 + 8 x + 8 < 15x + 63 x>2 8 x + 14 < 15x + 63 8 x − 15x < 63 − 14 15. − 7 x < 49 7 x > − 49 5 x > + 10 3 3 6x − 5 > x + 30 ( )( ) ( )( 6x − x > 30 + 5 5 x > 35 15x − 5 − 20 < 6 x + 2 15x − 6 x < 25 + 2 ) 9 x < 27 x 2 + x − 20 < x 2 − 5x + 6 x< 3 5x + x < 20 + 6 6 x < 26 x>7 x 5x < +2 4 2 12x − 16 + x < 10x + 8 12x + x − 10x < 16 + 8 3x < 24 x <8 3x − 4 + 5 20 2 − < 3 x + 1 9 x 2 − 1 3x − 1 5(3x − 1) − 20 < 2 (3x + 1) x> −7 11. x − 4 x + 5 < x − 3 x − 2 x+ 3 4 x − > 3 x+2 3 (x + 2)(x + 3) − 12 > x ( x + 2) 10. 6 x 2 + 1 − 2 x − 4 3x + 2 < 3 5x + 21 5. 2x − 2x + 1 2x + 5 > 3x − 1 3x + 2 (3x + 2)(2 x + 1) > (2 x + 5)(3x − 1) x 2 + x − 2 + 26 < x 2 + 9 x + 20 24 − 20 < 9 x − x 4 < 8x 1 <x 2 4. 3x − 14 < 7x − 2 − 14 + 2 < 7x − 3x − 12 < 4x −3<x 6. 13. 16. 26 6 13 x< 3 x< 1 1 1 > − x2 + x x 2 − x x2 − 1 x − 1> x + 1− x x>2 17. x → Nº s. enteros x x 12. + 15 > + 1 2 3 2 3 2 3 2 4 x − 12 x + 9 + 4 x − 28 x < 4 x − 24 x + 48 x − 32 2 2 2x + 90 > 3x + 6 x −1 − 7> x − 2 7. − 12 x − 48 x < − 9 − 32 90 − 6 > 3x − 2x 2 2 − 60x < − 41 x − 2x + 1− 7 > x − 4 x + 4 84 > x − 6 − 4 > − 4x + 2x 60x > 41 Nº s. enteros menores − 10 > − 2 x 41 x> que 84 Rta 60 10 < 2 x ( ) ( (2 x − 3) 2 + 4 x 2 ( x − 7) < 4 ( x − 2) 3 ) 5< x EJERCICIO 165 1. x − 3 > 5 y 2x + 5 > 17 2x + 5 > 17 x−3>5 2x > 12 x>5+3 x>8 x>6 x > 8 Rta y 2x + 9 > 3x 2. 5 − x > − 6 − x> −6−5 −x>−9 x < 11 x <9 x < 9 Rta 3. 6x + 5 > 4x + 11 4 − 2x > 10 − 5x 2x > 6 3x > 6 x>3 x>2 x > 3 Rta
  • 216. 4. 5x − 4 > 7x − 16 y 8 − 7x < 16 − 15x 12 > 2x 8x < 8 x <1 6>x x < 1 Rta 5. 8. ( x − 1)( x + 2) < ( x + 2)( x − 3) y − 3< x < − 2 7. x−1 x− 5 < x+ 4 x−1 (x − 1) < (x − 5)(x + 4) 2 x 2 + 5x + 6 > x 2 + 6 x − 16 22 > x x 2 − 2 x + 1< x 2 − x − 20 21< x 21< x < 22 5 x > 20 x>4 4 < x < 6 Rta EJERCICIO 166 3. Rta 10. x → Nº s. enteros x 3x − 6 > + 4 y 4x + 8 < 3x + 15 2 6x − 12 > x + 8 x<7 5x > 20 x>4 4 < x < 7 Luego son 5 y 6 Rta x x 2 1 − 1> − 1 2 y 2x − 3 3 > x + 5 4 3 5 3x − 12 > 4x − 18 10x − 18 > 5x + 2 x = Ky 1. x = Ky 2. 9 = K6 2 = K3 9 2 =K =K 6 3 3 2 x = ⋅8 24 = y 2 3 x = 12 3 ⋅ 24 =y 2 36 = y Rta y (x + 2)(x + 3) > (x − 2)(x + 8) 2x − 3 < x + 10 y 6x − 4 > 5x + 6 2x − x < 10 + 3 6x − 5x > 6 + 4 x < 13 x > 10 10 < x < 13 Rta 18 − 12 > 4 x − 3x 6>x x+ 2 x− 2 > x+8 x+3 9. 120 < 20x 6<x x > 20 Rta 6. x 2 + 8 x + 15 > x 2 + 7 x + 12 x> − 3 x<−2 x x 3 − 3 > + 2 y 2x + < 6 x − 23 2 5 2 4 5 2x − 12 > x + 8 10x + 3 < 30x − 117 x > 20 (x + 3)(x + 5) > (x + 4)(x + 3) x2 + x − 2 < x2 − x − 6 2x < − 4 A = KBC 30 = K (2)(5) 30 =K 10 3= K A = 3(7)( 4) A = 84 4. x = KYZ 4 = K ( 3)(6) 4 =K 18 2 =K 9 10 = Ky9 2 10 = y9 9 10 = 2 y 5= y K B K 3= 5 15 = K 5. A = K 7 15 1 A= =2 7 7 A= K A 1 K = 3 1 2 1 = 2K 3 1 =K 6 1 1 1 1 = 6 ⇒ = 12 A 12 6A ⇒ 6A = 12 ⇒ A = 2 6. B = K 11. A → Area del 12. Ap → Area piramide KB K y 9. x = K y 2 − 1 10. x = 2 cuadrado 8. x = y −1 a → apotema C Z d → Diagonal 48 = K 52 − 1 K pb → perim. de la b. K 12 4K 9= 2 8= 3= Ap = Kapb 3 −1 A = Kd 2 3 8 48 = K 25 − 1 2 2 8 = 4K 480m2 = K (12m)(80m) 24 = 4 K K 18m = K ( 6m) 48 9= =K 2 =K 480m2 = K (960m2 ) 6 =K 8 24 18m2 =K 2⋅7 72 = K 7 ⋅6 480m2 2= K 36m2 A= 10 = =K 14 960m2 Z 72 1 x = 2 72 − 1 x= 2 =K A =1 1 42 5 −1 2 =K Z= x = 2 ⋅ 48 2 10 1 2 72 1 1 A = (10m) x = 96 x= Z=4 5 Ap = ( 6m)( 40m) 2 24 2 100m2 x=3 240m2 A= Ap = 2 2 A = 50m2 Ap = 120m2 7. A = ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( )
  • 217. 13. Vp → Vol. piramide h → Altura Ab → Area base Vp = KhAb 96m3 = K ⋅ 8m (36m2 ) 96m = K (288m 3 3 ) 14. Ao → Area circulo r → Radio 15. Lo → Long. circunf. r → Radio Ao = Kr 2 616 cm = K (14cm) 2 2 616 cm2 =K 196 cm2 22 =K 7 22 Ao = (7 cm)2 7 Ao = 22 ⋅ 7 cm2 1 =K 3 1 Vp = ⋅ 12m (64m2 ) 3 768m3 Vp = 3 Vp = 256 m3 Ao = 154 cm2 16. Lo = Kr 44cm = K ⋅ 7cm 44 =K 7 44 r 66cm = 7 462 cm = 44r 462 cm = r 44 1 10 2 cm = r K y2 K 4= 2 6 36 ⋅ 4 = K 144 = K x= 9= y2 = 144 y2 144 9 144 9 12 y= ± 3 y= ±4 y=± EJERCICIO 167 1. A = KB 10 = K 5 2 = K ⇒ A = 2B 2. e → Espacio V → Velocidad t → Tiempo e = KVt Si K = 1⇒ e = Vt 3. Ar → Area rombo D → Diag mayor D ' → Diag menor A = KDD ' 24 cm = K ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm 2 24 cm2 = K ⋅ 48 cm2 1 =K 2 1 A = DD ' 2 KB 4. A = C 3B K=3 ⇒A= C C = Kr 5. 132 cm = K ⋅ 21cm 132 cm =K 21cm 44 =K 7 44 C= r 7 6. C → Espacio ( h) t → Tiempo h → Altura (e) e= K⋅t 2 19 , 6 m = K ( 2s) 19 , 6 m =K 4s2 m 4 ,9 2 = K s e = 4 ,9 t2 7. F = 2 KmV 2 r 8. y → Función x → Vble. indep. y = 2x + 3 9. L → Lado de un cuad. inscrito en un circulo r → Radio L = K ⋅r K= 2 L= 2⋅ r 10. y → Función x → Vble. indep. x2 y= +2 2 11. y = 5 − 2x 3 12. F → Fuerza de atracc. m → Masa cuerpo1 m ' → Masa cuerpo 2 d → Dis tan cia K ⋅m ⋅m ' F= d2 13. h → Altura ∆ A → Area del ∆ B → Base K⋅A h= B K ⋅ 20 cm2 10 cm = 4 cm 10 cm = K ⋅ 5 cm 2 =K 2A h= B 14. W → Energ. cinetica m → Masa V → Velocidad W = KmV 2 1 2 1 W = mV 2 2 K=
  • 218. 15. B → Area base piramide V → Volumen h → Altura K 16. x = y K 5 10 = K KB C K ⋅ 24 3= 4 12 = K ⋅ 24 1 =K 2 1 B 2 A= C B A= 2C 18. A = K 17. x = 2 y K 22 12 = K 2= KV h K ⋅ 400 100 = 12 1. 200 = K ⋅ 400 3=K 3V B= h B= x= 10 y 3= x= 12 y2 EJERCICIO 173 1. x + y = 5 y=5−x 5 − x → Entero y + Para que y sea entero y + el mayor valor que podemos dar a x es 4 . Por tan to las soluciones enteras y + son: x =1 x=2 x=3 x=4 y=4 y=3 y=2 y =1 2. 2x + 3y = 37 2x = 37 − 3y 37 − 3y x= 2 36 1 2y y + − − x= 2 2 2 2 1− y x = 18 − y + 2 1− y x − 18 + y = 2 1− y → Entero 2 3 − 3y → Entero 2 2 1 2y y + − − 2 2 2 2 1− y → Entero 1− y + 2 Continúa 2. Continuación 3. Continuación 1− y =m 2 1 − y = 2m x − 14 + y = − y = 2m − 1 y = 1 − 2m ⇒ 2 x + 3 (1 − 2m) = 37 2 x + 3 − 6m = 37 2 x = 34 + 6m 2 (17 + 3m) 2 x = 17 + 3m x= y = 1 − 2m → m entero x = 17 + 3m m = 0 y = 1 x = 17 sol m= 1 y = − 1 → no m= −1 y = 3 m= − 2 y = 5 m= − 3 y = 7 x = 14 sol x = 11 sol x = 8 sol m = − 4 y = 9 x = 5 sol m = − 5 y = 11 x = 2 sol m = − 6 y = 13 x = − 1 → no 3. 3x + 5y = 43 3x = 43 − 5y 43 − 5y x= 3 42 1 3y 2y + − − x= 3 3 3 3 1− 2y x = 14 − y + 3 Continúa 1− 2 y 3 1− 2 y → Entero 3 2− 4y → Entero 3 2 3 y 1y − − 3 3 3 2− y − y+ 3 2− y =m 3 2 − y = 3m − y = 3m − 2 y = 2 − 3m 3x + 5(2 − 3m) = 43 3x + 10 − 15m = 43 3x = 33 + 15m 3(11+ 5m) 3 x = 11 + 5m x= y = 2 − 3m x = 11+ 5m m= 0 x = 11 m= 1 x = 16 m= − 1 x = 6 m= − 2 x = 1 m= − 3 x = − 4 y = 2 sol y = − 1 → No y = 5 sol y = 8 sol → No
  • 219. 4. x + 3 y = 9 x = 9 − 3y 9 − 3y → Entero 3 − y → Entero 3− y = m − y = m− 3 y = 3− m x + 3(3 − m) = 9 x + 9 − 3m = 9 x = 3m y = 3− m x = 3m m= 0 x = 0 m= 1 x = 3 m= 2 x = 6 y = 3 → No y=2 sol y=1 sol m = 3 x = 9 y = 0 → No m = 4 x = 12 y = − 1 → No 5. 7 x + 8 y = 115 7 x = 115 − 8 y 115 − 8 y 7 112 3 7 y y + − − x= 7 7 7 7 3− y x = 16 − y + 7 x= 3− y → Entero 7 24 − 8 y → Entero 7 24 7 y y − − 7 7 7 24 − y − y+ 7 24 − y =m 7 24 − y = 7m − y = 7m − 24 y = 24 − 7m 7 x + 8 (24 − 7m) = 115 7 x + 192 − 56m = 115 7 x − 56m = − 77 7 (8m − 11) x= 7 x = 8m − 11 Continúa 5. Continuación y = 24 − 7m x = 8m − 11 m=0 x = − 11 → No m =1 x = − 3 → No m=2 x = 5 y = 10 sol m = 3 x = 13 y = 3 sol m = 4 x = 21 y = − 4 → No m = − 1 x = − 19 → No x= 25 1 5 y − − 5 5 5 1 x + = 5− y 5 5− y = m − y = m− 5 y = 5− m x + 25 − 5m = 24 136 − 15x y= 7 133 3 14 x x + − − y= 7 7 7 7 3− x y = 19 − 2 x + 7 3− x y − 19 + 2 x = 7 3− x → Entero 7 24 − 8x → Entero 7 24 7 x x − − 7 7 7 24 − x − x+ 7 24 − x =m 7 24 − x = 7m − x = 7m − 24 x = 24 − 7m 15(24 − 7m) + 7 y = 136 360 − 105m + 7 y = 136 − 105m + 7 y = − 224 7 (15m − 32) 7 y = 15m − 32 y= x = 24 − 7m y = 15m − 32 m= 0 x = 24 y = − 32 → No m= 1 x = 17 y = − 17 → No m= 2 x = 10 y = − 2 m= 3 x= 3 m= 4 x= −4 m = − 1 x = − 31 x = 24 + 1 − 1 − 5 y x + 5(5 − m) = 24 6. 15x + 7 y = 136 7 y = 136 − 15x y = 13 7. x + 5 y = 24 x = 24 − 5 y → No sol → No → No x = 31 y = − 47 → No x = 5m − 1 y = 5− m x = 5m − 1 m= 0 x = − 1 → No m= 1 x=4 y= 4 sol m= 2 m= 3 x=9 x = 14 y=3 y= 2 sol sol m= 4 x = 19 y=1 sol m= 5 x = 24 y= 0 → No m= 6 x = 29 y = − 1 → No m= − 1 x = − 6 → No 8. 9x + 11y = 203 9x = 203 − 11y 203 − 11y x= 9 198 5 9y 2y + − − x= 9 9 9 9 5 − 2y x = 22 − y + 9 5 − 2y x − 22 + y = 9 5 − 2y → Entero 9 25 − 10y → Entero 9 18 7 9y y + − − 9 9 9 9 7−y 2−y+ 9 7−y =m 9 7 − y = 9m − y = 9m − 7 y = 7 − 9m Continúa
  • 220. 10. 8 x + 13 y = 162 8x = 162 − 13 y 8. Continuación 9 x + 11(7 − 9m) = 203 9 (14 + 11m) 9 x = 14 + 11m x= y = 7 − 9m x = 14 + 11m m= 0 m= 1 x = 14 x = 25 y= 7 sol y = − 2 → No y = 16 sol m= − 1 x = 3 m = − 2 x = − 8 → No 9. 5x + 2 y = 73 2 y = 73 − 5x 73 − 5x 2 72 1 4 x x + − − y= 2 2 2 2 1− x y = 36 − 2 x + 2 1− x y − 36 + 2 x = 2 1− x =m 2 1− x = 2m − x = 2m − 1 y= x = 1 − 2m 5(1− 2m) + 2 y = 73 5 − 10m + 2 y = 73 y= 2 (34 + 5m) 2 y = 34 + 5m x = 1− 2m y = 34 + 5m m= 0 x=1 m= 1 x= −1 162 − 13y 8 160 2 8 y 5y + − − x= 8 8 8 8 2 − 5y x = 20 − y + 8 2 − 5y x − 20 + y = 8 2 − 5y → Entero 8 10 − 25 y → Entero 8 10 24 y y − − 8 8 8 10 − y − 3y + 8 10 − y =m 8 10 − y = 8m − y = 8m − 10 y = 10 − 8m x= 9 x + 77 − 99m = 203 y = 34 sol → No m= − 1 x = 3 y = 29 sol m= − 2 x = 5 m= − 3 x = 7 m= − 4 x = 9 y = 24 sol y = 19 sol m = − 5 x = 11 y=9 sol m = − 6 x = 13 y=4 sol m = − 7 x = 15 y = − 1 → No y = 14 sol 8 x + 13(10 − 8m) = 162 8x + 130 − 104m = 162 8 (4 + 13m) 8 x = 4 + 13m 11. Continuación 10 2 5x x + − − 5 5 5 5 2− x 2− x+ 5 2− x 2− x+ 5 2− x =m 5 2 − x = 5m − x = 5m − 2 x = 2 − 5m 7 (2 − 5m) + 5 y = 104 14 − 35m + 5 y = 104 5 (18 + 7m) 5 y = 18 + 7m y= x = 12 − 5m y = 18 + 7m m= 0 x=2 y = 18 sol m= 1 x= −3 → No m= − 1 x= 7 y = 11 sol m= − 2 x = 12 y=4 m= − 3 x = 17 y = − 3 → No sol x= y = 10 − 8m x = 4 + 13m m= 0 x= 4 y = 10 sol m= 1 x = 17 y = 2 sol m= 2 x = 30 y = − 6 → No m = − 1 x = − 9 → No 11. 7x + 5y = 104 5y = 104 − 7x 104 − 7x y= 5 100 4 5x 2x y= + − − 5 5 5 5 4 − 2x y = 20 − x + 5 4 − 2x y − 20 + x = 5 4 − 2x → Entero 5 12 − 6x → Entero 5 Continúa 12. 10 x + y = 32 y = 32 − 10 x y = 32 + 2 − 2 − 10 x 30 2 10 x + − 10 10 10 2 y = 3+ − x 10 2 y − = 3− x 10 3− x = m y= − x = m− 3 x = 3− m 10 (3 − m) + y = 32 30 − 10m + y = 32 y = 2 + 10m m= 0 x= 3 m= 1 x=2 y=2 y = 12 sol m= 2 x=1 y = 22 sol m= 3 x= 0 y = 32 → No m= 4 x= −1 m= − 1 x=4 sol → No y = − 8 → No
  • 221. 13. 9 x + 4 y = 86 4 y = 86 − 9 x 16. 10 x + 13 y = 294 10 x = 294 − 13 y 14. Continuación 9 x + 11(45 − 9m) = 207 86 − 9 x 4 84 2 8x x = + − − y 4 4 4 4 2− x y = 21 − 2 x + 4 2− x y − 21+ 2 x = 4 2− x =m 4 2 − x = 4m y= 9 x + 495 − 99m = 207 9 (11m − 32) 9 x = 11m − 32 x= y = 45 − 9m x = 11m − 32 m= 0 x = − 32 → No m= 1 m= 2 x = − 21 → No x = − 10 → No m= 3 x=1 y = 18 sol 9 (2 − 4m) + 4 y = 86 m= 4 m= 5 x = 12 x = 23 y = 9 sol y = 0 → No 18 − 36m + 4 y = 86 m= 6 x = 34 y = − 9 → No − x = 4m − 2 x = 2 − 4m y= 4 (17 + 9m) m = − 1 x = − 43 → No 4 y = 17 + 9m 10 x + 13 (28 − 10m) = 294 x = 2 − 4m m= 0 x=2 y = 17 sol m= 1 x = − 2 → No m= − 1 x= 6 y= 8 m= − 2 x = 10 y = − 1 → No sol 14. 9x + 11y = 207 9x = 207 − 11y 207 − 11y x= 9 198 9 9y 2y x= + − − 9 9 9 9 9 − 2y x = 22 − y + 9 9 − 2y x − 22 + y = 9 9 − 2y → Entero 9 45 − 10y → Entero 9 45 9y y − − 9 9 9 45 − y =m 9 45 − y = 9m − y = 9m − 45 y = 45 − 9m Continúa 294 − 13 y 10 290 4 10 y 3 y + − − x= 10 10 10 10 4 − 3y x − 29 + y = 10 4 − 3y → Entero 10 28 − 21y → Entero 10 28 20 y y − − 10 10 10 28 − y − 2y + 10 28 − y =m 10 28 − y = 10m − y = 10m − 28 y = 28 − 10m x= 10 x + 364 − 130m = 294 15. 11x + 12 y = 354 11x = 354 − 12 y 354 − 12 y x= 11 352 2 11y y + − − x= 11 11 11 11 2− y x = 32 − y + 11 2− y x − 32 + y = 11 2− y =m 11 2 − y = 11m − y = 11m − 2 y = 2 − 11m 11x + 12 (2 − 11m) = 354 11x + 24 − 132m = 354 x= 11(30 + 12m) 11 x = 30 + 12m y = 2 − 11m m= 0 x = 30 y = 2 m= 1 x = 42 y = − 9 → No sol m = − 1 x = 18 y = 13 sol m= − 2 x = 6 sol y = 24 m = − 3 x = − 6 → No 10 (13m − 7) 10 x = 13m − 7 x= y = 28 − 10m → No m= 0 x = − 7 m=1 x = 6 y = 18 sol m = 2 x = 19 y = 8 sol m = 3 x = 32 y = − 2 → No m = − 1 x = − 20 → No 17. 11x + 8y = 300 8y = 300 − 11x 300 − 11x y= 8 296 4 3x 8x y= + − − 8 8 8 8 4 − 3x y = 37 − x + 8 4 − 3x y − 37 + x = 8 4 − 3x → Entero 8 12 − 9x → Entero 8 Continúa
  • 222. Continuación 18. Continuación y = 192 − 21m m = 0 x = − 195 → No m = 7 x = − 20 → No m=8 x = 5 y = 24 sol m = 9 x = 30 y = 3 sol m = 10 x = 55 y = − 18 → No m = − 1 x = − 220 → No 12 8x x − − 17. 8 8 8 12 − x =m 8 12 − x = 8m − x = 8m − 12 x = 12 − 8m 11(12 − 8m) + 8 y = 300 132 − 88m + 8 y = 300 8 (21 + 11m) y= 8 y = 21 + 11m x = 12 − 8m m= 0 m= 1 x = 12 x=4 y = 21 y = 32 m= 2 m= − 1 x= −4 x = 20 → No y = 10 sol m= − 2 x = 28 y = − 1 → No sol sol 18. 21x + 25 y = 705 21x = 705 − 25 y 705 − 25 y 21 693 12 21y 4 y + − − x= 21 21 21 21 12 − 4 y x = 33 − y + 21 12 − 4 y → Entero 21 192 − 64 y → Entero 21 192 63 y y − − 21 21 21 192 − y − 3y + 21 192 − y =m 21 192 − y = 21m − y = 21m − 192 y = 192 − 21m x= 21x + 25 (192 − 21m) = 705 21x + 4 .800 − 525m = 705 21(25m − 195) 21 x = 25m − 195 x= Continúa 19. 3x − 4 y = 5 3x = 5 + 4 y 5+ 4y x= 3 2 3 3y y + x= + + 3 3 3 3 2+ y x = 1+ y + 3 2+ y x − 1− y = 3 2+ y =m 3 2 + y = 3m y = 3m − 2 3x − 4 (3m − 2) = 5 3x − 12m + 8 = 5 3 (4m − 1) 3 x = 4m − 1 x= y = 3m − 2 m = 1 x = 3 y = 1 sol m = 2 x = 7 y = 4 sol m = 3 x = 11 y = 7 sol 20. 5x − 8y = 1 5x = 1+ 8y x= 1+ 8y 5 1+ 8y → Entero 5 2 + 16y → Entero 5 2 15y y + + 5 5 5 2+y 3y + 5 2+y =m 5 Continúa 20. Continuación 2 + y = 5m y = 5m − 2 5x − 8 (5m − 2) = 1 5x − 40m + 16 = 1 5 (8m − 3) 5 x = 8m − 3 x= y = 5m − 2 m= 1 x=5 m= 2 m= 3 x = 13 y = 8 sol x = 21 y = 13 sol y= 3 sol 21. 7 x − 13 y = 43 7 x = 43 + 13 y 43 + 13 y 7 42 1 7 y 6 y + + + x= 7 7 7 7 1+ 6 y x = 6+ y + 7 1+ 6 y x − 6− y = 7 1+ 6y → Entero 7 6 + 36 y → Entero 7 6 35 y y + + 7 7 7 6+ y 5y + 7 6+ y =m 7 6 + y = 7m y = 7m − 6 x= 7 x − 13(7m − 6) = 43 7 x − 91m + 78 = 43 7 (13m − 5) 7 x = 13m − 5 x= y = 7m − 6 y=1 sol m= 1 x = 8 m = 2 x = 21 y = 8 sol m = 3 x = 34 y = 15 sol
  • 223. 22. 11x − 12 y = 0 11x = 12 y 12 y 11 11y y + x= 11 11 y x− y= 11 y =m 11 y = 11m x= 11x − 12 (11m) = 0 11x − 132m = 0 x = 12m y = 11m m = 1 x = 12 y = 11 sol m = 2 x = 24 y = 22 sol m = 3 x = 36 y = 33 sol 23. 14 x − 17 y = 32 14 x = 32 + 17 y 32 + 17 y 14 28 4 14 y 3 y + + + x= 14 14 14 14 4 + 3y x= 2+ y+ 14 x= 4 + 3y → Entero 14 20 + 15 y → Entero 14 14 6 14 y y + + + 14 14 14 14 6+ y 1+ y + 14 6+ y =m 14 6 + y = 14m y = 14m − 6 24. 7 x − 11y = 83 7 x = 83 + 11y 83 + 11y 7 77 6 7 y 4 y + + + x= 7 7 7 7 6+ 4y x = 11 + y + 7 6+ 4y x − 11− y = 7 6+ 4y → Entero 7 12 + 8 y → Entero 7 7 5 7y y + + + 7 7 7 7 5+ y 1+ y + 7 5+ y =m 7 5 + y = 7m y = 7m − 5 x= 7 x − 11(7m − 5) = 83 7 x − 77m + 55 = 83 7 (11m + 4) 7 x = 11m + 4 x= y = 7m − 5 m = 1 x = 15 y = 2 sol m = 2 x = 26 y = 9 sol m = 3 x = 37 y = 16 sol 25. 8x − 13y = 407 8x = 407 + 13y 407 + 13y x= 8 400 7 8y 5y + + + x= 8 8 8 8 7 + 5y x = 50 + y + 8 14 x − 17 (14m − 6) = 32 7 + 5y 14 x − 238m + 102 = 32 x − 50 − y = 8 14 (17m − 5) 7 + 5y x= → Entero 14 8 x = 17m − 5 35 + 25y → Entero y = 14m − 6 8 m = 1 x = 12 y = 8 sol 32 3 24y y + + + m = 2 x = 29 y = 22 sol 8 8 8 8 m = 3 x = 46 y = 36 sol Continúa 25. Continuación 3+ y 4 + 3y + 8 3+ y =m 8 3 + y = 8m y = 8m − 3 8 x − 13 (8m − 3) = 407 8 x − 104m + 39 = 407 8 (13m + 46) 8 x = 13m + 46 x= y = 8m − 3 m = 1 x = 59 y = 5 sol m = 2 x = 72 y = 13 sol m = 3 x = 85 y = 21 sol 26. 20 y − 23x = 411 20 y = 411 + 23x 411 + 23x 20 400 11 20 x 3x + + + y= 20 20 20 20 11 + 3x y = 20 + x + 20 11 + 3x y − 20 − x = 20 11 + 3x → Entero 20 77 + 21x → Entero 20 60 17 20 x x + + + 20 20 20 20 17 + x 3+ x + 20 17 + x =m 20 17 + x = 20m x = 20m − 17 y= 20 y − 23 (20m − 17) = 411 20 y − 460m + 391 = 411 y= 20 (23m + 1) 20 x = 20m − 17 y = 23m + 1 m = 1 x = 3 y = 24 sol m = 2 x = 23 y = 47 sol m = 3 x = 43 y = 70 sol
  • 224. 27. 5 y − 7 x = 312 5 y = 312 + 7 x 312 + 7 x 5 310 2 5x 2 x + + + y= 5 5 5 5 2 + 2x y = 62 + x + 5 2 + 2x y − 62 − x = 5 2 + 2x → Entero 5 6 + 6x → Entero 5 5 1 5x x + + + 5 5 5 5 1+ x 1+ x + 5 1+ x =m 5 1 + x = 5m x = 5m − 1 y= 5 y − 7 (5m − 1) = 312 5 y − 35m + 7 = 312 5 (7m + 61) 5 y = 7m + 61 y= x = 5m − 1 m = 1 x = 4 y = 68 m = 2 x = 9 y = 75 m = 3 x = 14 y = 82 EJERCICIO 174 1. x → Billetes $ 2 y → Billetes $ 5 2x + 5y = 42 2x = 42 − 5y 42 − 5y x= 2 40 2 3y 2y + − − x= 2 2 2 2 2 − 3y x = 20 − y + 2 2 − 3y x − 20 + y = 2 2 − 3y → Entero 2 Continúa 1. Continuación 2. Continuación y = 1− m m=0 x = 7 y = 1 sol m =1 x = 9 y = 0 → No m = − 1 x = 5 y = 2 sol 2 2y y − − 2 2 2 2− y − y+ 2 2− y =m 2 2 − y = 2m m = − 2 x = 3 y = 3 sol m = − 3 x = 1 y = 4 sol m = − 4 x = − 1 → No − y = 2m − 2 1 de $ 5 y 4 de $ 10 y = 2 − 2m 3 de $ 5 y 3 de $ 10 2 x + 5 (2 − 2m) = 42 5 de $ 5 y 2 de $ 10 2 x + 10 − 10m = 42 2 (5m + 16) 2 x = 5m + 16 x= y = 2 − 2m m= 0 x = 16 y=2 m= 1 x = 21 y=0 m= 2 m= −1 x = 26 x = 11 y = − 2 → No y = 4 sol sol → No m= − 2 x = 6 y=6 sol m= − 3 x =1 y=8 sol m = − 4 x = − 4 → No 1 de $ 2 y 8 de $ 5 6 de $ 2 y 6 de $ 5 11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó 16 de $ 2 y 2 de $ 5 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 10 5x + 10 y = 45 5x = 45 − 10 y 45 − 10 y x= 5 40 5 5 y 5 y + − − x= 5 5 5 5 5 − 5y x = 8− y + 5 x − 8 + y = 1− y 1− y = m − y = m− 1 y = 1− m 5x + 10 (1 − m) = 45 5x + 10 − 10m = 45 5 (2m + 7) 5 x = 2m + 7 Continúa x= 7 de $ 5 y 1 de $ 10 3. 5x + 3 y = 62 3y = 62 − 5x 62 − 5x y= 3 60 2 3x 2 x + − − y= 3 3 3 3 2 − 2x y = 20 − x + 3 2 − 2x y − 20 + x = 3 2 − 2x → Entero 3 10 − 10 x → Entero 3 9 1 9x x + − − 3 3 3 3 1− x 3 − 3x + 3 1− x =m 3 1− x = 3m − x = 3m − 1 x = 1 − 3m 5(1 − 3m) + 3 y = 62 5 − 15m + 3 y = 62 3(5m + 19) 3 y = 5m + 19 y= x = 1 − 3m m= 0 x = 1 y = 19 sol → No m= 1 x= −2 m= − 1 x = 4 y = 14 sol m= − 2 x = 7 y = 9 sol m = − 3 x = 10 y = 4 sol 1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ; 10 y 4
  • 225. 4. x → Sombreros y → Pares de zapatos 5. x → Metros de lana y → Metros de seda 8 x + 15 y = 340 8 x = 340 − 15 y 340 − 15 y x= 8 336 4 8 y 7 y + − − x= 8 8 8 8 4 − 7y x = 42 − y + 8 4 − 7y − 42 + y = x 8 4 − 7y → Entero 8 28 − 49 y → Entero 8 24 4 48 y y + − − 8 8 8 8 4− y 3− 6y + 8 4− y =m 8 4 − y = 8m − y = 8m − 4 y = 4 − 8m 8 x + 15(4 − 8m) = 340 8 x + 60 − 120m = 340 8 (15m + 35) 8 x = 15m + 35 x= y = 4 − 8m m = 0 x = 35 y = 4 sol m= 1 x = 50 y = − 4 → No m = − 1 x = 20 y = 12 sol m= − 2 x = 5 y = 20 sol m = − 3 x = − 10 → No 5 sombreros y 20 pares de zap. 20 sombreros y 12 pares de zap. 35 sombreros y 4 pares de zap. 1, 50x + 2 , 50 y = 42 → Si multiplico por 2 la ecuación inicial no se altera . Luego 3x + 5y = 84 3x = 84 − 5y 84 − 5y x= 3 81 3 3y 2 y − x= + − 3 3 3 3 3− 2 y x = 27 − y + 3 3− 2 y x − 27 + y = 3 3− 2y → Entero 3 15 − 10 y → Entero 3 12 3 9 y y + − − 3 3 3 3 3− y 4 − 3y + 3 3− y =m 3 3 − y = 3m − y = 3m − 3 y = 3 − 3m 6. x → niños y → adultos 0 , 45x + y = 17 (20) 9 x + 20 y = 340 9 x = 340 − 20 y 340 − 20 y x= 9 333 7 18 y 2 y + − − x= 9 9 9 9 7 − 2y x = 37 − 2 y + 9 7 − 2y x − 37 + 2 y = 9 7 − 2y → Entero 9 98 − 28 y → Entero 9 90 8 27 y y + − − 9 9 9 9 8− y 10 − 3 y + 9 8− y =m 9 8 − y = 9m − y = 9m − 8 y = 8 − 9m 9 x + 20 (8 − 9m) = 340 9 x + 160 − 180m = 340 9 (20m + 20) 9 x = 20m + 20 3x + 5(3 − 3m) = 84 x= 3x + 15 − 15m = 84 3(5m + 23) 3 x = 5m + 23 x= y = 3 − 3m m= 0 x = 23 y = 3 sol m= 1 x = 28 y = 0 → No m = − 1 x = 18 y = 6 sol m = − 2 x = 13 y = 9 sol m= − 3 x = 8 y = 12 sol m= − 4 x = 3 y = 15 sol m = − 5 x = − 2 → No 3m de lana y 15m de seda 8m de lana y 12m de seda 13m de lana y 9m de seda 18m de lana y 6m de seda 23m de lana y 3m de seda y = 8 − 9m m = 0 x = 20 y = 8 sol m=1 x=0 y = − 1 → No m= −1 x= 0 y = 17 → No m = − 2 x = − 20 → No 20 niños y 8 adultos 7. x → Caballos y → Vacas 460 x + 440 y = 41. 000 (÷ 20) 23x + 22 y = 2 . 050 22 y = 2 . 050 − 23x 2 . 050 − 23x y= 22 2 . 046 4 22 x x + − − y= 22 22 22 22 Continúa
  • 226. 7. Continuación 4− x y = 93 − x + 22 4− x =m 22 4 − x = 22m − x = 22m − 4 8. Continuación y = 3m − 1 m = 0 x = − 1 → No m = 1 x = 4 y = 2 sol Los Nº s son 4 y 2 x = 4 − 22m 23 (4 − 22m) + 22 y = 2 . 050 92 − 506m + 22 y = 2 . 050 22 (23m + 89) 22 y = 23m + 89 y= x = 4 − 22m m= 0 m= 1 m= − 1 x = 4 y = 89 sol x = − 18 → No x = 26 y = 66 sol m = − 2 x = 48 y = 43 sol m = − 3 x = 70 y = 20 sol m = − 4 x = 92 y = − 3 → No 4 caballos y 89 vacas 26 caballos y 66 vacas 48 caballos y 43 vacas 70 caballos y 20 vacas 8. 3x + 3 = 5 y + 5 3x − 5 y = 2 3x = 2 + 5 y 2 + 5y x= 3 2 + 5y → Entero 3 4 + 10 y → Entero 3 3 1 9y y + + + 3 3 3 3 1+ y 1 + 3y + 3 1+ y =m 3 1 + y = 3m y = 3m − 1 3x − 5 (3m − 1) = 2 3x − 15m + 5 = 2 3 (5m − 1) 3 x = 5m − 1 Continúa x= 9. x → Monedas de 0 , 25 y → Monedas de 0 ,10 0 , 25x + 0 ,10 y = 2 ,10 (100) 25x + 10 y = 210 10 y = 210 − 25x 210 − 25x y= 10 200 10 20 x 5x + − − y= 10 10 10 10 10 − 5x y = 20 − 2 x + 10 2− x y − 20 + 2 x = 2 2− x =m 2 2 − x = 2m − x = 2m − 2 x = 2 − 2m 25(2 − 2m) + 10 y = 210 50 − 50m + 10 y = 210 10 (5m + 16) 10 y = 5m + 16 y= x = 2 − 2m m= 0 x=2 m= 1 x=0 m= − 1 x = 4 m= − 2 x = 6 m= − 3 x = 8 m = − 4 x = 10 2 mon. de 0 , 25 4 mon. de 0 , 25 6 mon. de 0 , 25 8 mon. de 0 , 25 y = 16 sol → No y = 11 sol y = 6 sol y = 1 sol y = − 4 → No y 16 mon. de 0 ,10 y 11 mon. de 0 ,10 y 6 mon. de 0 ,10 y 1 mon. de 0 ,10
  • 227. EJERCICIO 175 21. x + 1= 0 x = −1 23. x − y = 2 x=0 y=−2 x=2 y=0 y−4=0 y=4 3x + y = 18 x = 0 y = 18 x=6 y=0 con Escala 1:2 + 3x y= 18 (-1 ,4) y=4 x=-1 (5,3) 0 y x- 2 = 0 Intersección → (− 1 , 4) 22. 3x = 2y 3x − 2 y = 0 x =1 con 1 y =12 x+y=5 x=0 y=5 x=5 y=0 Intersección 24. 2x − y = 0 → (5 , 3) 5x + 4y = − 26 con x =1 y = 2 x=0 3x = 2x - 2y y= 0 x=−2 4y = 6 6 6 6 6 -2 (-2,- 4) 5 (2,3) + y= y= y= y= y= Intersección 5x x+ x+ x+ x+ x+ 0 0 → (2 , 3) Intersección → (− 2 , − 4) 1 y= −6 2 y=−4
  • 228. 25. 5x + 6y = − 9 1 x = 0 y = −1 2 4x − 3y = 24 con x=0 y= −8 x=3 y=−4 x=3 y=−4 27. 3x + 8y = 28 x=4 y=2 x=0 5x − 2y = − 30 x=0 y = 15 con 1 y=3 2 x=−2 y = 10 Escala 1:2 = -9 2y = 6y -30 0 + 5x - 5x 3x + 8y = 28 4x -3 y = (- 4 ,5 ) 24 (3,-4) 0 Intersección → con 6x − 7y = − 9 x=2 y=3 x=−5 y=−3 Intersección → 28. y − 4 = 0 y=4 7x + 2y = 22 x = 0 y = 11 x=2 y=4 con = -7 y 6x = 2 2y 2 2 2 x+5=0 (− 4 , 5) + x+ x+ x+ x+ 7x -9 2 2 2 2 22 0 (2 ,4 ) 26. x + 5 = 0 x=−5 (3 , − 4) y-4=0 (-5,-3) 0 Intersección → (− 5 , − 3) Intersección → (2 , 4)
  • 229. 29. 6x = − 5y 6x + 5y = 0 x=5 y=−6 con 4x − 3y = − 38 x = − 2 y = 10 x =1 y = 14 30. 5x − 2y = − 14 x=0 y=7 x=−2 y=2 8x − 5y = − 17 x =1 y=5 x=−4 y=−3 con Escala 1:2 0 6x = -5 y 5y = 5x - (-5 ,6) -17 -14 38 2y = y -3 - 8x - 4x = 0 (-4 ,-3 ) Intersección → (− 5 , 6) Intersección → (− 4 , − 3) EJERCICIO 176 1. x + 6 y = 27 ; 7 x − 3 y = 9 x = 27 − 6 y 7 x = 9 + 3 y 9 + 3y 7 9 + 3y 27 − 6 y = 7 x= 7 (27 − 6 y ) = 9 + 3y 189 − 42 y = 9 + 3 y 180 = 45 y 4= y x + 6 ( 4) = 27 x + 24 = 27 x=3 sol : x = 3 y = 4 2. 3x − 2 y = − 2 ; 5x + 8 y = − 60 3x = − 2 + 2 y 5 x = − 60 − 8 y x= − 2 − 2y 60 + 8 y x= − 3 5 2− 2y 60 + 8 y − =− 3 5 5 (2 − 2 y ) = 3 (60 + 8 y ) 10 − 10 y = 180 + 24 y − 170 = 34 y − 5= y 3 x − 2 (− 5) = − 2 3x + 10 = − 2 3x = − 12 x= −4 sol : x = − 4 y= −5 2x − y = − 4 3. 3x + 5 y = 7 ; − y = − 4 − 2x 5 y = 7 − 3x y= 7 − 3x y = 4 + 2x 5 7 − 3x = 4 + 2x 5 7 − 3x = 5(4 + 2 x) 7 − 3x = 20 + 10 x − 13 = 13x − 1= x 2 (− 1) − y = − 4 − 2− y= − 4 − y= −2 y=2 sol : x = − 1 y = 2
  • 230. ; 9 x + 8 y = 13 4. 7 x − 4 y = 5 7x = 5+ 4 y 9 x = 13 − 8 y x= 5+ 4 y 7 x= 9 (5 + 4 y ) = 7 (13 − 8 y ) 13 − 8 y 9 x= 45 + 36 y = 91 − 56 y 92 y = 46 46 1 = y= 92 2  1 9 x + 8   = 13  2 x= 12 (11y − 87) = 15 (27 − 5 y) y= y= 4 (7 − 9 x) = 16 ( 3x ) 3x 4 28 − 36 x = 48x 28 = 84 x 28 1 = x= 84 3 4 y − 1= 0 4y = 1 1 y= 4 1 1 sol : x = y= 3 4 8 (11y − 29) = 14 (13y − 30) 88 y − 232 = 182 y − 420 188 = 94 y 2= y 13(2) − 8 x = 30 26 − 8 x = 30 − 8x = 4 1 x= − 2 1 sol : x = − y=2 2 12 x + 5 (7) = 27 1. 449 =7 207 12 x + 35 = 27 12 x = − 8 x= − 8 2 =− 12 3 2 3 y=7 sol : x = − 8. 7 x + 9 y = 42 9 y = 42 − 7 x y= 6. 14 x − 11y = − 29 ; 13 y − 8 x = 30 14 x = 11y − 29 − 8 x = 30 − 13y 11y − 29 x= 14 27 − 5 y 12 132 y − 1. 044 = 405 − 75 y 207 y = 1. 449 ; 4 y − 3x = 0 5. 9 x + 16 y = 7 16 y = 7 − 9 x 4 y = 3x 7 − 9x 16 11y − 87 15 − 12 x − 5 y = − 27 12 x = 27 − 5 y 9 x + 4 = 13 9x = 9 x=1 1 sol : x = 1 y = 2 y= 7. 15x − 11y = − 87 15x = 11y − 87 13 y − 30 x= 8 42 − 7 x 9 12 x + 10 y = − 4 10 y = − 4 − 12 x 4 + 12 x y= − 10 10 (42 − 7 x ) = − 9 (4 + 12 x ) 420 − 70 x = − 36 − 108x 38 x = − 456 x = − 12 12 (− 12) + 10 y = − 4 − 144 + 10 y = − 4 10 y = 140 sol : x = − 12 y = 14 y = 14
  • 231. 9. 6 x − 18 y = − 85 ; 24 x − 5 y = − 5 − 18 y = − 6 x − 85 6 x + 85 y= 18 5 (6 x + 85) = 18 (5 + 24 x ) − 5 y = − 5 − 24 x 5 + 24 x y= 5 30 x + 425 = 90 + 432 x 335 = 402 x EJERCICIO 177 1. x + 3 y = 6 ; 5x − 2 y = 13 x = 6 − 3y 5 (6 − 3 y ) − 2 y = 13 30 − 15 y − 2 y = 13 − 17 y = − 17 y=1 335 5 = x= 402 6  5 6   − 18 y = − 85  6 x + 3 (1) = 6 x + 3= 6 x=3 sol : x = 3 y = 1 5 − 18 y = − 85 − 18 y = − 90 y=5 5 sol : x = y=5 6 2. 5x + 7 y = − 1 ; − 3x + 4 y = − 24 5x = − 1 − 7 y 1+ 7 y x= − 5  1+ 7 y  3  + 4 y = − 24  5  3 + 21y + 4 y = − 24 5 3 + 21y + 20 y = − 120 41y = − 123 y= −3 4. x − 5 y = 8 ; − 7 x + 8 y = 25 8 y = 25 + 7 x y= 25 + 7 x 8  25 + 7 x   =8 x − 5  8  8 x − 5(25 + 7 x ) = 64 8x − 125 − 35x = 64 6. 10 x + 18 y = − 11 ; 16 x − 9 y = − 5 10 x = − 11 − 18 y − 27 x = 189 x= −7 11 + 18 y 10  11 + 18 y   − 9y = − 5 − 16   10  x=− − 7 − 5y = 8 − 3x + 4 (− 3) = − 24 − 5 y = 15 − 3x − 12 = − 24 − 3x = − 12 x=4 sol : x = 4 y = − 3 sol : x = − 7 y = − 3 3. 3x + 4 y = 8 ; 8 x − 9 y = − 77 4 y = 8 − 3x 8 − 3x y= 4  8 − 3x  8x − 9   = − 77  4  32 x − 9 (8 − 3x ) = − 308 32 x − 72 + 27 x = − 308 59 x = − 236 x=−4 3 (− 4) + 4 y = 8 − 12 + 4 y = 8 4 y = 20 y=5 sol : x= −4 y=5 y= −3 − 16 (11 + 18 y) − 90 y = − 50 5. 15x + 11y = 32 ; 7 y − 9 x = 8 − 176 − 288 y − 90 y = − 50 − 378 y = 126 7 y = 8 + 9x 8 + 9x y= 7  8 + 9x   = 32 15x + 11  7  105x + 11(8 + 9 x) = 224 105x + 88 + 99 x = 224 204 x = 136 136 2 = x= 204 3  2 15   + 11y = 32  3 10 + 11y = 32 11y = 22 y= 2 2 sol : x = y=2 3 y= −  1 10 x + 18  −  = − 11  3 10 x − 6 = − 11 10x = − 5 x= − sol : x = − 1 2 1 2 y= − 1 3 126 1 =− 378 3
  • 232. 8. 32 x − 25 y = 13 ; 16 x + 15 y = 1 16 x = 1 − 15 y 7. 4 x + 5 y = 5 ; − 4 x − 10 y = − 7 10 y = 7 − 4 x 7 − 4x y= 10  7 − 4x  4x + 5  =5  10  x= 1 − 15 y 16 9. 11x − 13y = − 163 ; − 8x + 7 y = 94 11x = − 163 + 13y 163 − 13y x= − 11  163 − 13y  8  + 7 y = 94  11   1 − 15 y   − 25 y = 13 32   16  2 (1 − 15 y ) − 25 y = 13 2 − 30 y − 25 y = 13 2 − 55 y = 13 8 x + 7 − 4 x = 10 4x = 3 3 x= 4 − 55 y = 11 y= −  3 4   + 5y = 5  4 8 (163 − 13y ) + 77 y = 1. 034 1 5 1. 304 − 104 y + 77 y = 1. 034 − 27 y = − 270  1 16 x + 15  −  = 1  5 3 + 5y = 5 y = 10 11x − 13(10) = − 163 11x − 130 = − 163 11x = − 33 16 x − 3 = 1 5y = 2 2 y= 5 3 2 sol : x = y= 4 5 16 x = 4 x= x= sol : 1 4 1 1 y= − 4 5 x= − 3 x= − 3 y = 10 sol : EJERCICIO 178 1. 6x − 5y = − 9 4 x + 3y = 13 ( 2) (− 3) 3. − 12 x − 9 y = − 39 − 19 y = − 57 31x y= 3 4 x + 9 = 13 4x = 4 x=1 y= −1 7 x − 15 (− 1) = 1 7 x + 15 = 1 7 x = − 14 x=−2 sol : x = − 2 y = − 1 = 217 x= 7 10 x − 3 (− 2) = 36 10 x = 30 x=3 sol : x = 3 y = − 2 sol : x = 7 y = − 5 4. 9 x + 11y = − 14 6 x − 5 y = − 34 36 x + 44 y = − 56 − 36 x + 30 y = 204 74 y = 148 y=2 6 x − 5 (2) = − 34 6 x − 10 = − 34 6 x = − 24 x= −4 sol : x = − 4 y = 2 (− 5) − 28 y = 56 y= −2 − 4 y = 20 y= −5 sol : x = 1 y = 3 − 57 y = 57 2x + 5y = − 4 10 x − 3 y = 36 − 10 x − 25 y = 20 3(7) − 4 y = 41 21 − 4 y = 41 4 x + 3( 3) = 13 7 x − 15 y = 1 − 7 x − 42 y = 56 5. 10 x − 3 y = 36 11x + 6 y = 47 (2) 9 x − 12 y = 123 22 x + 12 y = 94 12 x − 10 y = − 18 2. 7 x − 15 y = 1 − x − 6 y = 8 ( 7) 3x − 4 y = 41 ( 3) ( 4) (− 6) 6. 11x − 9 y = 2 13x − 15y = − 2 55x − 45 y = 10 − 39 x + 45 y = 6 = 16 16x x=1 11(1) − 9 y = 2 11 − 9 y = 2 − 9y = − 9 y=1 sol : x = 1 y=1 (5) (− 3)
  • 233. 7. 18 x + 5y = − 11 ( 2) (− 3) 12 x + 11y = 31 36 x + 10 y = − 22 − 36 x − 33 y = − 93 y=5 − 14 x + 12 y = − 19 ( 6) 24 x − 17 y = 10 84 x − 98 y = 140 − 84 x + 72 y = − 114 x= − 2 y=5 9x + 7y = − 4 (− 11) 11x − 13y = − 48 ( 9) − 99 x − 77 y = 44 99 x − 117 y = − 432 − 194 y = − 388 y=2 12 x = 6 1 x= 2 1 sol : x = y= −1 2 10. 15x − y = 40 (8) 29 y = − 58 y= −2 36x − 11(− 2) = − 14 36 x + 22 = − 14 36 x = − 36 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2 19 x + 8 y = 236 − 161y = 644 y= −4 = 556 12 x − 17 (− 4) = 104 15 (4) − y = 40 9 x + 14 = − 4 9 x = − 18 12 x + 68 = 104 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = − 4 60 − y = 40 − y = − 20 x= −2 y = 20 sol : x = − 2 y = 2 15x + 19 y = − 31 (− 4) 60 x − 85 y = 520 − 60 x − 76 y = 124 120x − 8 y = 320 x=4 9 x + 7 ( 2) = − 4 12 x − 17 y = 104 (5) 12. 19 x + 8 y = 236 139 x sol : x = 4 (− 3) 72 x − 22 y = − 28 − 72 x + 51y = − 30 12 x + 14 = 20 18 x + 25 = − 11 18 x = − 36 36x − 11y = − 14 (2) 11. 12 x − 14 (− 1) = 20 18 x + 5(5) = − 11 8. 12 x − 14 y = 20 ( 7) − 26 y = 26 y= −1 − 23 y = − 115 sol : x = − 2 9. y = 20 EJERCICIO 179 1. 8x − 5 = 7 y − 9 8x − 7 y = − 9 + 5 8x − 7 y = − 4 6x = 3y + 6 6x − 3y = 6 24 x − 21y = − 12 − 24 x + 12 y = − 24 − 9 y = − 36 y=4 6 x − 3 ( 4) = 6 6 x − 12 = 6 6 x = 18 x=3 sol : x = 3 y = 4 x− y = 2 (3) ( − 4) x − 3y = − 4 2 ( y + 5) = 7 x 3x + 6 = 2 y (− 1) x− y = 2 − x + 3y = 4 2y = 6 y=3 x − 3= 2 x=5 sol : x = 5 y = 3 2 y + 10 = 7 x 3x − 2 y = − 6 3x − 2 y = − 6 ; x − 3 = 3y − 7 x − 3y = − 4 6x − 3y = 6 8x − 7 y = − 4 3. 3 ( x + 2) = 2 y 2. x − 1 = y + 1 x− y= 2 7 x − 2 y = 10 7 x − 2 y = 10 3x = − 6 + 2 y 6− 2y x= − 3 7 x = 10 + 2 y 10 + 2 y x= 7 − 7 (6 − 2 y ) = 3(10 + 2 y ) − 42 + 14 y = 30 + 6 y 8 y = 72 y=9 7 x − 2 ( 9) = 10 7 x − 18 = 10 7 x = 28 x=4 sol : x = 4 y = 9
  • 234. 4. x − 1 = 2 ( y + 6) 6. Continuación 8. Continuación − 5 y = − 40 x − 1 = 2 y + 12 x − 2 y = 13 x = 13 + 2 y  30  − 2x + 7  −  = − 6  89  y=8 − 178 x − 210 = − 534 x − 2 (8) = − 10 x + 6 = 3 (1 − 2 y) x − 16 = − 10 − 178 x = − 324 x=6 x + 6 = 3− 6y x + 6y = − 3 x = − 3− 6y 13 + 2 y = − 3 − 6 y − 3 − 6 y − 2 y = 13 − 8 y = 16 y= −2 x= sol : x = 6 y = 8 73 sol : x = 1 89 7. ( x − y ) − (6 x + 8 y) = − (10 x + 5 y + 3) x − y − 6 x − 8 y = − 10 x − 5 y − 3 − 5x − 9 y = − 10 x − 5 y − 3 x − 2 (− 2) = 13 5x − 4 y = − 3 (x + y) − (9 y − 11x) = 2 y − 2 x x + 4 = 13 x=9 sol : x = 9 y = − 2 x + y − 9 y + 11x = 2 y − 2 x 12 x − 8 y = 2 y − 2 x 5. 30 − (8 − x ) = 2 y + 30 14 x − 10 y = 0 (5) 5x − 4 y = − 3 30 − 8 + x = 2 y + 30 x − 2y = 8 14 x − 10 y = 5x − 29 = x − (5 − 4 y ) (− 2) 0 25x − 20 y = − 15 5x − 29 = x − 5 + 4 y 4 x − 4 y = 24 − 3x 9. 2 ( x + 5) = 4 ( y − 4 x ) 2 x + 10 = 4 y − 16 x 18 x − 4 y = − 10 10 ( y − x) = 11y − 12 x 10 y − 10 x = 11y − 12 x 2x − y = 0 18 x − 4 y = − 10 18 x − 4 y = − 10 − 18 x + 9 y = 0 5 y = − 10 y= −2 2 x − (− 2) = 0 = − 15 x=5 (− 1) x− y =6 2x + 2 = 0 2x = − 2 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2 5 (5) − 4 y = − 3 25 − 4 y = − 3 − 4 y = − 28 x − 2y = 8 − x+ y =−6 y=7 10. 3x − 4 y − 2 (2 x − 7) = 0 sol : x = 5 y = 7 − y=2 y=−2 x − 2 (− 2 ) = 8 ( x=4 sol : x = 4 y = − 2 6. 3x − (9 x + y ) = 5 y − (2 x + 9 y) 3x − 9 x − y = 5 y − 2 x − 9 y − 4 x + 3y = 0 4 x − (3y + 7) = 5 y − 47 4 x − 3 y − 7 = 5 y − 47 4 x − 8 y = − 40 x − 2 y = − 10 − 4 x + 3y = 0 x − 2 y = − 10 ( 4) − 4 x + 3y = 0 4 x − 8 y = − 40 ) ( ) 8. 5 x + 3 y − 7 x + 8 y = − 6 x+4=8 Continúa 5x + 15y − 7 x − 8 y = − 6 − 2x + 7 y = − 6 7 x − 9 y − 2 ( x − 18 y) = 0 7 x − 9 y − 2 x + 36 y = 0 5x + 27 y = 0 − 2x + 7y = − 6 5x + 27 y = 0 (− 9) 2x − y = 0 − 28x + 20 y = 0 x− y=6 x − 2y = 8 324 73 = 1 89 178 30 y= − 89 (5) ( 2) − 10 x + 35y = − 30 10x + 54 y = 0 89 y = − 30 30 y= − 89 Continúa 3x − 4 y − 4 x + 14 = 0 − x − 4 y = − 14 x + 4 y = 14 5 ( x − 1) − (2 y − 1) = 0 5x − 5 − 2 y + 1 = 0 5x − 2 y = 4 x + 4 y = 14 5x − 2 y = 4 ( 2) x + 4 y = 14 10x − 4 y = 8 11x = 22 x= 2 2 + 4 y = 14 4 y = 12 y=3 sol : x = 2 y = 3
  • 235. 11. 12 (x + 2 y ) − 8 (2 x + y ) = 2 (5x − 6 y ) 12. x ( y − 2) − y ( x − 3) = − 14 12 x + 24 y − 16 x − 8 y = 10 x − 12 y − 4 x + 16 y = 10 x − 12 y − 14 x + 28 y = 0 − x + 2y = 0 xy − 2 x − xy + 3 y = − 14 − 2 x + 3 y = − 14 y ( x − 6) − x ( y + 9) = 54 20 ( x − 4 y ) = − 10 xy − 6 y − xy − 9 x = 54 − 9 x − 6 y = 54 20 x − 80 y = − 10 2x − 8y = − 1 3x + 2 y = − 18 − 2 x + 3 y = − 14 ( 3) − x + 2 y = 0 ( 2) 2x − 8y = − 1 3x + 2 y = − 18 ( 2) − 6 x + 9 y = − 42 − 2x + 4 y = 0 2x − 8y = − 1 6 x + 4 y = − 36 13 y = − 78 − 4y = −1 1 y= 4  1 − x + 2  = 0  4 − 4x + 2 = 0 − 4x = − 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 4 y=−6 − 2 x + 3(− 6) = − 14 − 2 x − 18 = − 14 − 2x = 4 x=−2 sol : x = − 2 y= −6 EJERCICIO 180 1. 3x + y = 11 2 3x + 2 y = 22 2. y =7 2 2 x + y = 14 x+ 3x + 2 y = 22 ; 2 x + y = 14 3x = 22 − 2 y 2 x = 14 − y 22 − 2 y x= 3 14 − y x= 2 2 (22 − 2 y ) = 3 (14 − y ) 44 − 4 y = 42 − 3 y − y=−2 5x − y=9 12 5x − 12 y = 108 3y = 15 4 ; 4 x − 3 y = 60 ; 5x = 108 + 12 y 108 + 12 y x= 5  108 + 12 y  4  − 3 y = 60   5 4 (108 + 12 y ) − 15 y = 300 432 + 48 y − 15 y = 300 33 y = − 132 4 x − 3 (− 4) = 60 y=2 2 x + 2 = 14 2 x = 12 y= −4 4 x + 12 = 60 4 x = 48 x = 12 x=6 sol : x=6 sol : y=2 x− x = 12 y= −4 3. x y x + =5 ; 3 y − = 26 7 3 14 3x + 7 y = 105 ; 42 y − x = 364 3x + 7 y = 105 − x + 42 y = 364 3x + 7 y = 105 − 3x + 126 y = 1. 092 133 y = 1.197 y= 9 3x + 7 (9) = 105 3x + 63 = 105 3x = 42 x = 14 sol : x = 14 y = 9 (3)
  • 236. 4. x y y x = = −1 ; 5 4 3 3 y= x− 3 4 x = 5y x− y= 3 4 x − 5y = 0 4 x − 5y = 0 x − y= 3 7. 11 x y x y − 59 − =− + = ; 8 5 10 5 4 40 5x − 8 y = − 44 ; 8 x + 10 y = − 59 8 x + 10 y = − 59 ( 4) 8 x − 5( 4) = − 4 8x − 20 = − 4 8x = 16 x= 2 25x − 40 y = − 220 sol : x = 2 y = 4 5x − 8 y = − 44 (5) (− 4) 4 x − 5y = 0 − 4 x + 4 y = − 12 32 x + 40 y = − 236 = − 456 57 x − y = − 12 y = 12 x − 12 = 3 x = 15 sol : x = 15 y = 12 3x 1 − y= 2 ; 5 4 12 x − 5 y = 40 − 40 − 8 y = − 44 − 8y = − 4 5y 2 4 x = 5y 4 x − 5y = 0 (− 1) 12 x − 5y = 40 8. − 7y 8 2 x 3y 1 5x − =1 ; y− = 2 6. 3 4 8 6 8 x − 9 y = 12 ; 3 y − 20 x = 48 8 x − 9 y = 12 (3) 8 x − 9 y = 12 − 60 x + 9 y = 144 = 156 x= −3 8 (− 3) − 9 y = 12 − 24 − 9 y = 12 − 9 y = 36 y= −4 sol : x = − 3 y = − 4 (5) (− 6) 60 x + 25 y = − 30 − 60 x + 42 y = 432 x= 196 + 21y 4 67 y = 402 y= 6 10 x − 7 (6) = − 72 10 x − 42 = − 72 10 x = − 30 x= − 3 sol : x = − 3 y = 6 − 28 y = 1.568 + 168 y − 196 y = 1. 568 4 (5) − 5 y = 0 20 − 5y = 0 − 5y = − 20 y= 4 sol : x = 5 y = 4 − 52 x 1 2 − 28 y = 8 (196 + 21y ) x=5 − 20 x + 3 y = 48 10 x − 7 y = − 72 y= 1 3y x y + =0 ; =7 x− 7 8 7 4 8 x + 7 y = 0 ; 4 x − 21y = 196 8x = − 7 y 4 x = 196 + 21y x= = − 40 12 x + 5 y = − 6 1 2 sol : x = − 8 4 x − 5y = 0 − 12 x + 5y = − 40 − 8x 12 x + 5y = − 6 5x 7 y − = − 12 3 6 10 x − 7 y = − 72 5 (− 8) − 8 y = − 44 2x = 4 x − 5y = 0 10. 12 x + 5 y + 6 = 0 x= −8 y= 5. 9. Continuación y= −8 − 7 (− 8) 8 x= 7 sol : x = 7 y = − 8 x= 9. 2x + 1 y = 5 4 ; 2 x − 3y = − 8 4 (2 x + 1) = 5 y 8x + 4 = 5y 8x − 5y = − 4 2 x − 3y = − 8 (− 4) 8x − 5y = − 4 − 8 x + 12 y = 32 8x − 5y = − 4 7 y = 28 y=4 Continúa x 11. 5 = 3 ( y + 2) x = 15( y + 2) x = 15 y + 30 224 y + 3x = 5 5 y + 15x = 224 15x = 224 − y 224 − y x= 15 15 (15 y + 30) = 224 − y 225 y + 450 = 224 − y 226 y = − 226 y= −1 x = 15(− 1) + 30 x = − 15 + 30 x = 15 sol : x = 15 y = − 1
  • 237. 12. 1 x y x y 13 − =− − = ; 5 6 30 3 20 12 6x − 5y = − 1 ; 20 x − 3y = 65 (− 5) 20 x − 3y = 65 18 x − 15y = − 3 3y = 24 y=8 x = 2 (8) − 9 y=5 x= 7 sol : x = 4 y = 5 sol : x = 7 y = 8 x− 3 y− 4 − =0 ; 3 4 x− 4 y+ 2 + =3 2 5 4 ( x − 3) − 3( y − 4) = 0 ; 5( x − 4) + 2 ( y + 2) = 30 4 x − 12 − 3 y + 12 = 0 4 x − 3y = 0 16. ; 5x − 20 + 2 y + 4 = 30 5x + 2 y = 46 5x + 4 y = − 1 x 23y = 184 y=8 y=8 18 ( x − 1) − 12 ( y − 1) = − 13 18 x − 12 y = − 7 18 x − 12 y = − 7 (− 4) 18x − 12 y = − 7 − 8 x + 12 y = 12 2 x − 3y = − 3 x+ y x− y = 6 12 ; 2 (x + y) = x − y ; y= −1 x= 3 − 3y = − 4 sol : x = 3 y = − 1 y= y= 4 3 2x = y+3 3 2 x = 3 ( y + 3) 2x + 2 y = x − y ; 2 x = 3y + 9 x + 3y = 0 ; 2 x − 3y = 9 x = − 3y x = − 3 (− 1)  1 2   − 3y = − 3  2 sol : ; 2 x + 2 − 3y − 3 = − 4 17. − 6 y − 3y = 9 − 9y = 9 1 2 4 3 1 x= 2 x+1 y+1 2 − =− 3 2 3 2 (− 3 y) − 3 y = 9 =5 x= =−9 − 36 + 3y = − 3 3y = 33 y = 11 sol : x = − 9 y = 11 x−1 y−1 13 − =− ; 2 3 36 10x (− 3) 4 (− 9) + 3y = − 3 3(8) x= 4 x=6 2 x − 3y = − 3 ( 4) 16x + 12 y = − 12 − 15x − 12 y = 3 15y + 8 y = 184 14. 3y + 3 1 + 5x y= − ; 4 4 4 x = − 3y − 3 ; 4 y = − 1 − 5x 4 x + 3y = − 3 4 y + 5x = − 1 x= − 4 x + 3y = − 3 3y 4  3y  5   + 2 y = 46  4 sol : x = 6 2x − 8 = y − 2 2x − y = 6 4 y − 18 − y = 6 6 ( 4) − 5 y = − 1 − 5 y = − 25 x= x− 4 y− 2 = 5 10 2 (2 y − 9) − y = 6 = − 328 x= 4 13. ; x − 2y = − 9 x = 2y − 9 − 100 x + 15y = − 325 − 82 x ; x + 1 = 2 ( y − 4) ; 2 ( x − 4 ) = y − 2 ( 3) 6x − 5y = − 1 x+1 y− 4 = 10 5 x + 1= 2 y − 8 15.
  • 238. y−3 =6 5 15x − y + 3 = 30 18. 3x − 20. 15x − y = 27 xy − 4 y = xy − 6 x 6x − 4 y = 0 5 11 − =0 x− 3 y−1 3x − 4 x − 2 y = − 28 + 2 27 + y 15 x + 2 y = 26 5 ( y − 1) − 11( x − 3) = 0 3x − y 3 y − x − = y − 13 8 6 x−2 =9 3y − 7 21y − x + 2 = 63 5 y − 5 − 11x + 33 = 0 11x − 5 y = 28 3 (3x − y ) − 4 (3 y − x ) = 24 ( y − 13) − x + 21y = 61 13x − 15 y − 24 y = − 312 − x = 61 − 21y x + 2y = 27 + y = 15 (21y − 61) 26 30 x − 20 y = 0 − 44 x + 20 y = − 112 − 13x − 26 y = − 338 − 314 y = − 942 − 14 x 13x − 39 y = − 312 y=3 − 65 y = − 650 27 + 3 15 x=2 sol : x = 2 x + 2 (10) = 26 x + 20 = 26 y=3 x=6 x+ y y− x 7 − = 6 3 24 sol : x = 6 y = 10 4 (x + y) − 8 ( y − x) = 7 4 x + 4 y − 8 y + 8x = 7 12 x − 4 y = 7 x x− y 5 + = 2 6 12 6x + 2 x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5 (− 2 ) 12 x − 4 y = 7 − 16 x + 4 y = − 10 − 4x =−3 x= 3 4  3 12   − 4 y = 7  4 9− 4y = 7 − 4y = − 2 sol : 12 − 3x − 2 y = 3y + 2 6 72 − 3x + 2 y = 6 (3 y + 2) 6 x + 2 ( x − y) = 5 12 x − 4 y = 7 21. 1 y= 2 3 1 x= y= 4 2 − 3x + 2 y − 18 y = 12 − 72 3x + 16 y = 60 5 y − 3x = x− y 3 5 y − 3x = 3 ( x − y ) − 3x − 3x + 5 y + 3 y = 0 6x − 8 y = 0 3x + 16 y = 60 6x − 8 y = 0 ( 2) 3x + 16 y = 60 12 x − 16 y = 0 15x = 60 x=4 6 (4) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : x = 4 y = 3 = − 112 x=8 11(8) − 5 y = 28 − 5 y = 28 − 88 − 5 y = − 60 y = 12 sol : x = 8 y = 12 y = 10 x= (− 4) 11x − 5 y = 28 (− 13) 13x − 39 y = − 312 27 + y = 315 y − 915 (5) 6x − 4 y = 0 13x − 39 y = − 312 x = 21y − 61 19. 22. y ( x − 4) = x ( y − 6) x − 2 − 2 ( y − x ) = 4 ( x − 7) 15x = 27 + y x= x−2 y− x − = x−7 4 2 23. 3 ( x + 3 y ) 21 = 5x + 6 y 17 51( x + 3 y) = 21(5x + 6 y) 51x + 153 y = 105x + 126 y − 54 x + 27 y = 0 2x − y = 0 4x − 7 y =−2 2y + 1 4 x − 7 y = − 2 (2 y + 1) 4x − 7 y = − 4 y − 2 4 x − 3y = − 2 2x − y = 0 (− 2) 4 x − 3y = 2 − 4x + 2 y = 0 4 x − 3y = − 2 y=2 2x − 2 = 0 2x = 2 x=1 sol : x = 1 y = 2
  • 239. 24. 7 7 =− 2 x − 3y + 6 3x − 2 y − 1 26. 7 (3x − 2 y − 1) = − 7 (2 x − 3 y + 6) x 3 y 33 − 8= − 4 2 4 x − 32 = 6 y − 33 x− y= −1 6 10 = x− y+ 4 y+ 2 5x − 8 y = − 14 98 x − 8x + 8 y = 8 5x − 8 y = − 14 − y= −3 y= 3 sol : x = 2 y = 3 4 ( x + y + 1) = 3( x + y − 1) 4 x + 4 y + 4 = 3x + 3 y − 3 x+ y= − 7 8x − 6 y = 0 x + y = − 7 (6) 8x − 6 y = 0 6 x + 6 y = − 42 14 x = − 42 x= −3 − 3+ y = − 7 y= − 4 sol : x = − 3 y = − 4 (3) 8x − 7 y = − 7 = 49 10 x − 7 y = 7 1 2 − 8x + 7 y = 7 1 − 6y = − 1 2 1 − 12 y = − 2 − 12 y = − 3 1 y= 4 1 1 sol : x = y = 2 4 =−6 x=2 2− y= −1 x+ y+1 3 = x+ y−1 4 x + y − 1 = − 15x + 15 y − 15 16 x − 14 y = − 14 10 x − 7 y = 7 x= − 3x x + y = − 7x + 7 y x + y − 1 = − 15 ( x − y + 1) 2 x − 12 y = − 2 96 x + 12 y = 51 x − y = − 1 (− 8) 8x − 6 y = 0 10x − 7 y = 7 x+ y−1 = − 15 x− y+1 x − 6 y = − 1 ( 2) 32 x + 4 y = 17 x + y = − 7 (x − y) 20 x − 14 y = 14 8 y − 8 x − 24 x − 12 y = − 17 32 x + 4 y = 17 6 y + 12 = 10 x − 10 y + 40 − 28 = 10 x − 16 y − 14 = 5x − 8 y x+ y =−7 x− y 17 x − 17 y − 17 = − 3x − 3 y − 3 8 ( y − x ) − 12 (2 x + y ) = − 17 6 ( y + 2) = 10 ( x − y + 4) 25. 17 ( x − y − 1) = − 3( x + y + 1) x − 6y = − 1 y − x 2x + y 17 − =− 3 2 24 21x − 14 y − 7 = − 14 x + 21y − 42 35x − 35y = − 35 x− y−1 3 =− x+ y+1 17 28. 27. x− 2 y−7 = x+ 2 y−5 ( y − 5)(x − 2) = ( y − 7)(x + 2) xy − 2 y − 5x + 10 = xy + 2 y − 7 x − 14 2 x − 4 y = − 24 x − 2 y = − 12 x = − 12 + 2 y x+1 y− 3 = x−1 y−5 ( y − 5)(x + 1) = (x − 1)( y − 3) xy + y − 5x − 5 = xy − 3x − y + 3 − 2x + 2 y = 8 − x+ y=4 x= y−4 − 12 + 2 y = y − 4 y=8 x = 8− 4 x=4 sol : x = 4 y = 8 (− 1) 8x − 7 y = − 7 2x = 14 x= 7 10 ( 7) − 7 y = 7 − 7 y = − 63 y=9 sol : x = 7 y = 9 29. 6x + 9 y − 4 2 = 4x − 6y + 5 5 5 (6 x + 9 y − 4) = 2 (4 x − 6 y + 5) 30x + 45 y − 20 = 8 x − 12 y + 10 22 x + 57 y = 30 2 x + 3y − 3 6 = 3x + 2 y − 4 11 11(2 x + 3y − 3) = 6 (3x + 2 y − 4) 22 x + 33 y − 33 = 18x + 12 y − 24 4 x + 21y = 9 22 x + 57 y = 30 4 x + 21y = 9 44 x + 114 y = 60 − 44 x − 231y = − 99 − 117 y = − 39 y= 1 3  1 4 x + 21  = 9  3 4x + 7 = 9 4x = 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 3 ( 2) (− 11)
  • 240. 30. 3x + 2 y =−9 x + y − 15 32. 23(3x + 4 y ) = − 30 ( x − 6 y ) 3x + 2 y = − 9 ( x + y − 15) 69 x + 92 y = − 30x + 180 y 3x + 2 y = − 9 x − 9 y + 135 12 x + 11y = 135 99 x − 88 y = 0 37 (9 x − y ) = − 63(3 + x − y ) 32 x − 15 y + 15 = − 24 32 x − 15y = − 39 333x − 37 y = − 189 − 63x + 63 y 396 x − 100 y = − 189 (− 3) 9x − 8y = 96 x + 88 y = 1. 080 − 96x + 45y = 117 396 x − 100 y = − 189 − 396 x + 352 y = 133 y = 1.197 y= 9 9x = − 6 sol : x = x− −2 3 −2 −3 y= 3 4 4x + 1 2 y − 5 = 9 3 9 x − (4 x + 1) = 3(2 y − 5) 9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15 5x − 6 y = − 14 3 y + 2 x + 18 = y− 7 10 70 y − 10 (3 y + 2) = 7 ( x + 18) y + 62 − 2 (1 − x ) = 80 y − 2 + 2 x = 18 (− 1) 2 x + 17 y = − 940 − 2 x − y = − 20 16 y = − 960 y = − 60 2 x − 60 = 20 2 x = 80 x = 40 sol : x = 40 33. 70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126 − 146 = 7 x − 40 y 7 x − 40 y = − 146 5x − 6 y = − 14 − 35x + 200 y = 730 35x − 42 y = − 98 158 y = 632 y= 4 5x − 6 ( 4) = − 14 5x = − 14 + 24 y = − 60 x= 2 sol : x = 2 y = 4 + by = b 2 + 2b 2 y + by = b 2 + 2b y (2 + b) = b (b + 2) 2x + b = b + 2 2x = 2 x=1 sol : x = 1 9x + 6 = 0 2 x + 5 − 17 (5 − y ) = − 1. 020 y + 62 − (1 − x ) = 40 2 2bx y=b  − 3 9x − 8  =0  4  2x + 5 − (5 − y ) = − 60 17 2 x − 85 + 17 y = − 1. 025 2 x + 17 y = − 940 (− 44) 2bx + by = b 2 + 2b bx − y = 0 − 2bx + 2 y = 0 − 2bx + 2 y =0 −3 y= 4 x= 20 0 252 y = − 189 12 x + 11(9) = 135 12 x = 135 − 99 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = 9 2x + y = 0 2x + y = b + 2 2. 396 x − 100 y = − 189 (8) 32 x − 15 y = − 39 2 x + y = 20 2 x + 17 y = − 940 x =a a +y=a +b y=b sol: x = a y = b 9x − y 63 =− 3+ x − y 37 32 x − 15( y − 1) = − 24 31. 1. x + y = a + b ; x − y = a − b x+y=a+b x−y=a−b 9x − 8y = 0 4 x 5( y − 1) − = −1 3 8 12 x + 11y = 135 EJERICIO 181 3x + 4 y 30 =− 23 x − 6y (− 5) ( 7) y=b 3. 2x − y = 3a ; x − 2y = 0 − 2x + 4y = 0 2x − y = 3a − 2x + 4y = 0 3y = 3a y=a 2x − a = 3a 2x = 4a x = 2a sol: x = 2a y = a 4. x − y = 1− a ; x + y = 1+ a x − y = 1− a x + y = 1+ a =2 x =1 1+ y = 1+ a y=a sol: x = 1 y = a 2x
  • 241. x x 5. a + y = 2b ; b − y = a − b x + ay = 2ab ; x − by = ab − b 2 = 2ab x + ay −x + by = b 2 − ab =0 abx − b2 y − abx − aby = − a − b − b 2 y − aby = − (a + b) − yb (b + a ) = − (a + b) y (a + b) = b (b + a ) y=b x + ab = 2ab x = ab sol : x = ab y=b − yb = − 1 ⇒ y = ax = 1 ⇒ x = sol : x = abx + b 2 y = 2ab 2 − mnx + n y y (b − a ) = a (b − a 2 2 y = m− n − mny = m3 + mn 2 m2 x m2 x + n 2 x = m3 + mn 2 + m2 n + n 3 x (m2 + n 2 ) = (m + n)(m2 + n 2 ) x = m+ n x+ y=a+b sol : x = m + n − ax − ay = − a 2 − ab ax + by = a 2 + b 2 10. − ab 2 = a 2 + b2 by − ay = m2 n + n 3 x (m2 + n 2 ) = m (m2 + n 2 ) + n (m2 + n 2 ) x + b = 2b x=b sol : x = b y = a b 2 − ab y (b − a ) = b (b − a ) y = m− n x y + = 2m ; m n 2 xn + ym = 2m n xmn + ym2 − xmn mx − ny = m3 − mn 2 xmn − n2 y = m3n − mn 3 = 2m3n + n y = mn − m3n 2 3 ym2 + yn2 = mn3 + m3n y=b y (m2 + n2 ) = mn (n2 + m2 ) x+b=a+b x=a sol : x = a + mn 2 n 2 x + mny = − ay = − a y = mn y=b − n3 y (m2 + n 2 ) = (m2 + n 2 )(m − n) ) a ( x + b) = 2ab ax + by − m2 n y (m2 + n 2 ) = m2 (m − n) + n 2 (m − n) ax + ba = 2ab − ax = n 2 y + m2 y = m3 − m2n + mn 2 − n 3 y= a 7. mnx + m2 y = m3 + mn 2 3 + m2 y = m3 mnx 2ab 2 2 2 2 b2 y − a 2 y = − a 3 + ab 2 nx + my = m2 + n 2 ; mnx − n y = m n + n − a 2 y = − a 3 − ab 2 2 1 1 y= a b 2 − abx − a 2 y = − a 3 − ab 2 − abx 1 a 2 2 9. mx − ny = m + n x y a 2 + b2 + = a b ab bx + ay = a 2 + b 2 = 1 b  1 ax − b   = 0  b x y + =2 b a ax + by = 2ab abx + b2 y x+ y= abx − b 2 y = 0 ay + by = b 2 + ab 6. a+b ab abx + aby = a + b ax − by = 0 ; 8. xn + m n = 2m n 2 2 xn = m2 n ⇒ x = m2 sol : x = m2 y = mn
  • 242. 11. x + y = a − a x − a y = − 2a c 2 ax + ay = a 2 ax − by = a (a + b) + b − ax − ay − 2a 2 c 2 3 − 2a 2 y = 2 a 3 − 2 a 2 c − 2a 2 y = 2a 2 (a − c) = − a2 − by = a + ab + b − ay − by = 2 − y= a− c y = c− a x + c − a = 2c x− a= c ⇒ x= c+ a sol : x = a + c y= c− a ab + b2 − y (a + b) = b (a + b) − y=b y= −b x−b= a 15. x= a+b x= a+b ax − by = 0 ; b 2 ax − b 3 y = 0 y= −b − b ax + a by 2 a 2by − b 3 y = a 2 − b 2 − ny = m mx −n 2 by (a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2 by = 1 1 y= b 2 = − m2 + mn my − ny = mn − n 2  1 ax − b   = 0  b y (m − n) = n (m − n) y=n x − n = m− n x=m sol : x = m 13. x y + =0 a b bx + ay = 0 − abx y=n x 2 y 2b − a + = b a ab ax + 2by = 2b2 − a 2 2 ; − a2 y = 0 abx + 2b2 y = a 2 − b2 2 12. x − y = m − n mx − my = m2 − mn a 2 − b2 ab a 2by − b 2ax = a 2 − b 2 ay − bx = − b3 y = 0 b 2 ax − mx + my ; a 2 x − a 2 y = 2a 3 2 a x − a y = 2a 2 2 sol : 2 − a2 x − a2 y = 2 ax − by = a 2 + ab + b 2 ax ; a 2 ( x − y ) = 2a 3 x + y = 2c 14. = 2b 3 − a 2b 2b2 y − a 2 y = 2b 3 − a 2b y (2b 2 − a 2 ) = b (2b 2 − a 2 ) 2 ax = 1 1 x= a 1 1 sol : x = y= a b x y 16. + =a+b ; b2 a 2 a 2 x + b 2 y = a 3b2 + a 2b 3 ; bx = − ab x= −a sol : x = − a y=b x − y = ab 2 − a 2b a x − a 2 y = a 3b2 − a 4b 2 − a 2 x − b2 y = − a 3b2 − a 2b3 − a y = a 3b2 2 2 a x − b2 y − a 2 y = − a 4b − a 2b 3 − a 4b − y (a 2 + b 2 ) = − a 2b (b2 + a 2 ) − y = − a 2b y=b x b + =0 a b bx + ab = 0 x − y = ab (b − a ) y = a 2b 2 x ab =a+b + b2 a 2 3 x + b = ab2 + b3 x = ab2 sol : x = ab 2 y = a 2b
  • 243. m3 − n 3 nx + my = m + n ; mx − ny = 17. mn m2 nx + m3 y = m3 + m2 n m2 nx − mn2 y = m3 − n 3 − m nx − m y 2 3 bx + b 2 + ay − ab = a 2 + ab 2 − mn2 y = m3 m2 nx b ( x + b) + a ( y − b) = a (a + b) =−m −m n 3 − m y − mn y = 3 2 − ym (m + n ) = − n (m + n 2 abx + ab2 + a 2 y − a 2b = a 3 + a 2b − n3 − m n− n 2 2 2 2 − abx − ab 2 − a 2 y = − a 3 − 2a 2b x−a y−a a+b − =− b a a 3 ) a ( x − a ) − b ( y − a ) = − b (a + b) ym = n y= x+b y−b a+b + = a b b 19. ax − a 2 − by + ba = − ba − b 2 n m abx − a 2b − b 2 y + b 2 a = − b 2 a − b 3  n nx + m   = m + n  m abx − a 2b − b 2 y = − 2b 2 a − b 3 − abx − ab 2 nx + n = m + n −a b abx nx = m − a2 y ab 2 + a 2b + a 3 + b3 = a 2 y + b 2 y b 2 (a + b) + a 2 (b + a ) = y (a 2 + b 2 ) (b ax + bx − ay + by = ab − b b ( x + b) + a 2 = a (a + b) 2 2 bx + b 2 + a 2 = a 2 + ab bx = ab − b 2 ⇒ bx = b (a − b) ⇒ x = a − b − ax + bx + ay + by = − b 2 + 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2 sol : x = a − b y = a + b + 2by = − 2b2 + 4ab 2b ( x + y ) = 2b (2a − b) x + y = 2a − b ax − bx − ay − by = b2 − 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2 − 2ay = − 2ab 20. x y 1 + = a + b a + b ab − a 2by = − a 2 a bx + ab y 2 − y= − a y=a sol : x= a−b y=a = 2 ab 2 y − a 2by = − ab a2 + b2 b 2 − ab ayb (b − a ) = b (b − a ) ayb = b ay = 1 x− y= −b a−b− y= −b 2 − a 2bx x + y = 2a − b x=a−b a 2bx + ab 2 y = a 2 + b 2 − a bx − a by = − a − ab 2 2a (x − y ) = − 2ab = 2 (a − b) x y a 2 + b2 + = 2 2 b a a b ; abx + aby = a + b 2 x− y= −b 2x + a 2 )(a + b) = y (a 2 + b 2 ) x+b a+b−b a+b + = a b b ax − bx − ay − by = b2 − 3ab (a + b) x − (a − b) y = ab − b 2 a+b= y 18. (a − b) x − (a + b) y = b2 − 3ab 2ax − 2b 2 a − b 3 2 − ab 2 − a 2b − a 2 y − b 2 y = − a 3 − 2a 2b − 2b 2 a − b 3 m x= n m n sol : x = y= n m 2bx = − a 3 − 2a 2b −b y= 2 y= 1 a  1 abx + ab   = a + b  a abx + b = a + b abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x = sol : x = 1 b y= 1 a 1 b
  • 244. EJERCICIO 182 1. 1 2 7 2 1 4 + = + = ; x y 6 x y 3 2 4 7 − − =− x y 3 2 1 4 + = x y 3 −3 = −1 y 3=y 2 1 4 + = x 3 3 6 + x = 4x 6 = 3x ⇒ 2 = x sol: x = 2 y = 3 2. 3 2 1 2 5 23 ; − = + = x y 2 x y 12 6 4 − + = −1 x y 6 15 23 + = x y 4 19 19 = y 4 4=y 3 2 1 − = x 4 2 6−x= x 6 = 2x 3=x sol: x = 3 y = 4 3. 5 4 7 6 + =7 ; − =4 x y x y 15 12 + = 21 x y 14 12 − =8 x y 29 x = 29 1= x 5 4 + =7 1 y 5y + 4 = 7 y 4 = 2y 2=y sol: x = 1 y = 2 4. 12 5 13 18 7 19 ; + =− + =− x y x y 2 2 36 15 39 − − = x y 2 36 14 38 + =− x y 2 1 1 = y 2 −2=y 36 − 7x = − 19x 12x = − 36 x=−3 sol: x = − 3 y = − 2 − 9 3 5 4 5. + = 27 ; + = 22 x y x y 3 1 + =9 x y 12 4 − − = − 36 x y 5 4 + = 22 x y 7 − x 6. Continuación 4 11 + = 50 x 1 4 4 + 44 = 50 x 4 + 44x = 50x 4 = 6x 2 =x 3 2 1 sol: x = y= 3 4 7. 41 x 1 =x 2 6 8 4 11 6. x − y = − 23 ; x + y = 50 12 16 − + = 46 x y 12 33 + = 150 x y 49 = 196 y 1 =y 4 Continúa = − 41 − 1= x 7 15 − − =−4 1 y − 7y − 15 = − 4y − 15 = 3y −5=y sol: x = − 1 y = − 5 = − 14 5 4 4 + = 22 ⇒ 10 + = 22 1 y y 2 10y + 4 = 22y 4 = 12y 1 =y 3 1 1 sol: x = y= 2 3 9 10 7 15 + = − 11 ; − =−4 x y x y 27 30 + = − 33 x y 14 30 − =−8 x y 8. 1 3 3 1 5 4 − = + =− ; 2x y 4 3 x 2y 1 3 3 − = 2x y 4 1 5 2 − − = 2x 4 y 3 − 17 17 = 4 y 12 − 12 = 4 y − 3= y 1 5 4 + =− 3 x 2 (− 3) 6 − 5x = − 8 x 3x = − 6 x= −2 sol : x = − 2 y = − 3
  • 245. 2 1 11 1 3 4 9. 5x − 3 y = − 45 ; 10 x − 5 y = 5 − 2 1 11 + = 10 x 6 y 90 2 6 8 − = 10 x 5 y 5 3 7 2 1 8 103 10. x − 3 y = 3 ; 4 x + y = 84 3 7 1 − = 4 x 12 y 6 3 24 309 − − =− 4x 84 y 31 31 = 30 y 18 − 18 = 30 y 3 − =y 5 1 3 4 = + 10 x  3 5 5   5 3 + 30 x = 24 x − − 295 − 295 = 12 y 84 y=7 3 7 2 − = x 3 ( 7) 3 9 − x = 2x 6x = − 3 ⇒ x = − x=− sol : 1 1 1 1 + =a ; − =b x y x y 1 1 + = a x y 1 1 − + =−b x y 12. sol : x = 3 y = 7 1 3 y=− 2 5 13. 2 2 = a−b ⇒ =y y a−b 1 1 − =b 2 x a−b 2 3b 2 − 3a a b − = + =2 ; x y a x y 2a 3ab − = 2 − 3a x y 2a 2b − − =−4 x y 2 − x (a − b) = 2bx 2 − ax + xb = 2bx − ax = bx − 2 − ax − bx = − 2 x (a + b) = 2 ⇒ x = sol : x = 2 a+b 3 1 107 6 1 14 + = + = ; 10 x 3y 60 5x 4 y 5 3 2 107 + = 5x 3 y 30 3 1 7 − − =− 5x 8 y 5 13 13 = 24 y 6 1 =y 4 6 1 14 + = 5x  1 5 4   4 6 + 5x = 14 x 9 = 3x 3= x 1 2 11. b (− 3a − 2) = − 3a − 2 y b= y a b + =2 x b a + x = 2x a= x sol : x = a y = b 6 = 9x 2 =x 3 2 1 sol : x = y= 3 4 2 2 m+ n m n 14. x + y = mn ; x − y = 0 2n 2n m + n + = x y m 2m 2n − = 0 x y 2 (m + n) m + n = x m 2m = x m n − =0 2m y y − 2n = 0 y = 2n sol : x = 2m y = 2n 2 2 y= a+b a−b EJERCICIO 183 4 1. 2 5 2 2. 3 3. 5(− 8) − (− 3)(− 2) = − 40 − 6 = − 46 5 −2 −8 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21= − 11 7 5. 6. 9 − 11 9 ⋅ 7 − (− 11)(− 3) = 63 − 33 = 30 −3 7 −2 5 4 3 7 4. 5 −3 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2 3 9 5 −2 − 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 = − 6 − 20 = − 26 7. 7 (− 2) − 9 ⋅ 5 = − 14 − 45 = − 59 8. − 15 − 1 13 12 − 1 13 − 9 2 − 15⋅ 2 − 13(− 1) = − 30 + 13 = − 17 12 (− 9) − (13) (− 1) = − 108 + 13 = − 95
  • 246. 10 3 9. 17 13 10 ⋅13 − 3 ⋅17 = 130 − 51= 79 11. 8 −3 2 8 (0) − 2 (− 3) = 0 + 6 = 6 0 10. 12. −5 −8 − 19 − 21 (− 5)(− 21) − (− 8)(− 19) = 105 − 152 = − 47 31 − 85 31⋅ 43 − (− 85)(− 20) = 1. 333 − 1. 700 = − 367 − 20 43 EJERCICIO 184 4. 15x − 44y = − 6 − 27x + 32y = − 1 1. 7x + 8y = 29 5x + 11y = 26 29 8 26 11 319 − 208 111 = = =3 x= 7 8 77 − 40 37 5 11 7 5 y= 7 5 29 26 182 − 145 37 = = =1 8 37 37 11 sol: x = 3 y =1 2. 3x − 4y = 13 8x − 5y = − 5 −4 − 5 − 65 − 20 − 85 = = =−5 −4 − 15 + 32 17 −5 3 8 y= 3 8 13 − 5 − 15 − 104 − 119 = = = −7 −4 17 17 −5 y= −7 3. 13x − 31y = − 326 25x + 37y = 146 − 326 − 31 146 37 x= − 31 13 25 37 x= − 12 . 062 + 4 . 526 − 7 . 536 = = −6 481+ 775 1. 256 13 25 y= 13 25 x= − 192 − 44 − 236 1 = = 480 − 1.188 − 708 3 15 − 6 − 27 − 1 y= 15 − 44 − 27 32 − 15 − 162 − 177 1 = = − 708 − 708 4 1 1 sol: x = y= 3 4 y= 13 −5 x= 3 8 sol: x = − 5 − 6 − 44 −1 32 x= 15 − 44 − 27 32 − 326 146 − 31 37 1. 898 + 8 .150 10 . 048 = =8 y= 1. 256 1. 256 sol: x = − 6 y = 8 5. 8x = − 9y 8 x + 9y = 0 7 2x + 5 + 3y = 2 4x + 10 + 6y = 7 4 x + 6y = − 3 0 −3 x= 8 4 x= 9 6 9 6 0 + 27 27 9 1 = = =2 4 48 − 36 12 4 8 4 y= 8 4 0 −3 9 6 − 24 − 0 − 24 = =−2 12 12 1 sol: x = 2 4 y=−2 y= 6. ax − by = − 1 ax + by = 7 −1 − b 7 b x= a −b a b x= − b + 7b 6b 3 = = ab + ab 2ab a −1 7 −b b a a y= a a 7a + a 8a 4 = = 2ab 2ab b 3 4 sol: x = y= a b y= 7. 3x − ( y + 2) = 2 y + 1 3x − y − 2 = 2 y + 1 3x − 3 y = 3 x− y=1 5 y − ( x + 3) = 3x + 1 5 y − x − 3 = 3x + 1 − 4 x + 5y = 4 −1 1 x= 5 5+ 4 =9 x= −1 5− 4 −4 5 4 1 1 1 −4 4 4+ 4 =8 y= y= 1 −1 1 −4 5 sol : x = 9 y=8
  • 247. 8. ax + 2y = 2 ax − 3y = − 1 2 ax − 6y = − 2 2 a a − 2 − 2a − 2a − 4a 1 = = = y= 2 a − 8a − 8a 2 a −6 34 x − 19 y = 37 8x − 3y = − 5 3y − y − 5 2x − 3 − =0 6 5 63 y − 4 x − 1 = 63x + 105 − 67 x + 63 y = 106 5 y − 25 − 12 x + 18 = 0 − 12 x + 5 y − 7 = 0 37 − 12 x + 5y = 7 − 67 7 5 8 −3 − 12 7 y= 8 −3 − 12 x= y = − 12 2 3a 3 + a 2 − 2a 2 a (3a − 1) = =a x= 3a 2 − a a (3a − 1) 3 3a + 1 1 y= 3 2a a 1 a2 y= 6a − 3a − 1 a (3a − 1) sol : x = a x + y = 4 ( x − y) x + y = 4x − 4 y − 3x + 5 y = 0 −2 x− y−1 1 = x+ y+1 9 3a − 1 1 = a (3a − 1) a y= 1 a 9 ( x − y − 1) = x + y + 1 20 + 4 (m + 1) 4 (6 + m) = =2 12 + 2m 2 (6 + m) 2 (6 + m) sol : x = 2 9x − 9 y − 9 = x + y + 1 8 x − 10 y = 10 4 x − 5y = 5 5 6 (m + 1) − 5m 63 x+ y =4 x− y 14. 0 m 2 (m + 1) y= −2 3 4 m y= = y= −1 mx + 4 y = 2 (m + 1) 3 a2 1 5 12. 3x − 2 y = 5 x= a2 a 2a x= 3 − 67 sol : x = − 1 a 37 3. 604 + 2 . 479 =7 y= 869 sol : x = 5 y = 7 2 (m + 1) 4 x= −2 3 4 m x + ay = 2 a x + a 2 y = 2a 2 . 331 + 2 . 014 4 . 345 = =5 2 .142 − 1. 273 869 34 56 − 60 − 4 = = −1 y= 40 − 36 4 5 10. 3x + ay = 3a + 1 63 − 67 106 y= 34 − 19 8 −5 sol: x = − 8 3a + 1 x= 5 − 25 + 21 − 4 = = −1 40 − 36 4 − 12 − 19 106 63 x= 34 − 19 −5 −3 x= 4x + 1 = 3x + 5 21 63 y − (4 x + 1) = 21(3x + 5) 5 ( y − 5) − 6 (2 x − 3) = 0 x y + =−4 4 6 3x + 2y = − 48 x y − =0 8 12 3x − 2y = 0 2y + 3 = y+2 17 34 x − 2 y − 3 = 17 y + 34 8x − 3 y + 25 = 20 1 1 y= 2 a 3 − 48 3 0 0 + 144 = = − 12 y= 3 2 − 12 3 −2 2x − 34 x − (2 y + 3) = 17 ( y + 2) 8 x + 16 − 3 y + 9 = 20 − 48 2 0 − 2 96 − 0 96 = = =−8 x= 3 2 − 6 − 6 − 12 3 −2 9. 13. 8 ( x + 2) − 3 ( y − 3) = 20 2 2 −2 −6 − 12 + 4 −8 1 = = = x= 2 a − 6a − 2a − 8a a a −6 sol: x = x+2 y−3 5 − = 3 8 6 11. 5 5 −5 0 − 25 − 25 = = =5 x= − 3 5 15 − 20 − 5 4 −5 = 1 y= 2 1 m+ 6 = 2 (6 + m) 2 −3 0 y= 4 5 − 15 − 0 = =3 −3 5 −5 4 −5 sol : x = 5 y= 3
  • 248. x + 9 y + 21 16. x − 9 = y + 39 (x + 9)( y + 39) = ( x − 9)( y + 21) 15. x − y = 2b xy + 39 x + 9 y + 351 = xy + 21x − 9 y − 189 18 x + 18 y = − 540 x y + =2 a+b a−b x (a − b) + y (a + b) = 2 (a 2 − b 2 ) x= 2 (a 2 − b2 ) a + b ( y + 11)( x + 8) = ( y + 19)(x − 8) −1 a+b 1 a−b xy + 8 y + 11x + 88 = xy − 8 y + 19 x − 152 − 8 x + 16 y = − 240 2b (a + b) + 2 (a 2 − b2 ) 2a (b + a) = = b+ a 2a a+b+ a−b 1 y= x + 8 y + 19 = x − 8 y + 11 −1 2b x= x + y = − 30 − x + 2 y = − 30 − 30 − 30 x= 1 −1 2b a − b 2 (a 2 − b2 ) −1 1 a−b 1 2 − 60 + 30 − 30 = = = − 10 1 2+1 3 2 1 − 30 − 1 − 30 − 30 − 30 − 60 = = = − 20 y= 1 1 3 3 2 −1 a+b 2 (a 2 − b 2 ) − 2b (a − b) 2a (a − b) = =a−b 2a 2a sol : x = a + b y = a − b y= sol : x = − 10 y = − 20 EJERCICIO 185 1. x − y = 1 x = 0 y = −1 y=0 x= 1 x+y=7 x=0 y=7 y=0 x=7 2. x − 2y = 10 2x + 3y = − 8 x=0 y=−5 x=0 y=0 y=0 x=−4 x = 10 y= −2 2 3 x + y = = = = = 7 7 7 7 7 = 1 + 3y (4,3) x x x x 2x x -y = x = y -2 10 8 8 8 -8 (2,-4) sol : x=4 y=3 sol : x=2 Y=-4
  • 249. 3. 5x − 3y = 0 x=3 y=5 5. 3x + 4 y = 15 7 x − y = − 16 x = 0 y = 16 x=5 x=1 5x = y -3 3x + 0 4y = 15 (1,3) 7x y= -16 y=0 x= −2 2 7 Escala 1:2 2x + y = 5 x= 0 y=5 x= 2 y=1 y= 0 y=3 + 2 2x 2 2 2 = = = = y= (-3,-5) 5 5 5 5 5 sol : x = - 3 4. 3x = − 4y 3x + 4y = 0 x=4 y=−3 3x + sol : 5x − 6y = 38 x=−2 y=−8 y=−3 x=4 x=1 0 + + + 5x + y y 2y 2y = 16 5x 4 x + 3 y = 10 x=−2 y=6 x=1 y=2 x=2 y=3 x=4 y= −2 (4,-3) = y -6 y= 3 6. 5x + 2 y = 16 1 10 1 1 =1 = = y= y= 3y 3y 3y +3 x+ x+ x+ x+ 4x 4y = y=-5 38 sol : x = 4 (4,-2) y=-3 sol : x = 4 y=-2
  • 250. y−4=x+2 −x+y=6 x=0 y=6 x= −6 y=0 9. x y 1 3x − 2y = − 1 − =− 2 3 6 x=3 y=5 ; x=−3 y=−4 x y 7 + =− 4 x + 3y = − 7 3 4 12 x = −1 y = −1 ; x = − 4 y = 3 x x x 4x -2 y = -1 7. x + 8 = y + 2 x−y= −6 x=0 y=6 x= −6 y=0 + x 2 (-1,-1) sol : x = - 1 sol : Equivalentes 3x y 8. 5 + 4 = 2 12 x + 5 y = 40 x= 0 y=8 x=5 y= −4 3x 7 -7 = = = = = -4 y 2 y y y y 3y 8 + y + + x = x − 5 y = 25 x=0 x=5 y=−5 y= −4 10. x + 3y = 6 y=-1 3x + 9y = 10 x=0 y=2 1 x = 0 y =19 x=6 y=0 1 x=3 3 y=0 + 1 x 12x 1 x 1 x y y y y= 5y x+ 3y = 6 0 0 0 0 40 3x +9y =10 (5,-4) 25 x - 5y = sol : x = 5 y=-4 sol : Incompatibles
  • 251. 11. 2x + 3y = − 13 x = − 2 y = − 3 ; x = − 5 y = −1 6x + 9y = − 39 x = − 2 y = − 3 , x = − 5 y = −1 13. x + y = 9 x=6 y=3 ; x=4 y=5 x − y = −1 x = 0 y =1 ; x = 2 y = 3 x − 2y = − 6 x=0 y=3 ; x=2 y=4 (4,5) -1 3 -1 3y = -6 x+ = -3 9 -y 9y = = 2y x- x 6x + 2x + y= 9 sol : Equivalentes x−2 y−3 12. − =4 2 3 3 ( x − 2) − 2 ( y − 3) = 24 y− 2 x− 3 11 + =− 2 3 3 3( y − 2) + 2 ( x − 3) = − 22 3x − 6 − 2 y + 6 = 24 3 y − 6 + 2 x − 6 = − 22 3x − 2 y = 24 2 x + 3 y = − 10 x= 6 y= − 3 x= 4 sol : x = 4 x=4 y= −6 y= − 6 y=5 14. x + y = 5 x=0 y=5 ; x=2 y=3 3x + 4y = 18 x=2 y=3 ; x=−2 y=6 2x + 3y = 13 x = 2 y = 3 ; x = 5 y =1 x= −2 y= − 2 x+ 4y = 18 y = 5 + 2y = x x x x 2x 24 3x + 3y 1 10 1 10 -1 3x - = (2,3) 2x + (4,-6) sol : x = 4 y=-6 sol : x = 2 y=3 3y = 13
  • 252. EJERCICIO 186 15. 2x + y = − 1 x = 0 y = −1 ; x = −1 y =1 x − 2y = − 13 x=−5 y=4 ; x=−3 y=5 3x − 2y = − 19 x=−5 y=2 ; x=−3 y=5 1. x + y + z = 6 x − y + 2z = 5 x − y − 3z = − 10 x+ y+ z = 6 x − y + 2z = 5 -1 =y= y= y= y= +y x+ x+ x+ x+ 2x 2 x + 3z = 11 x+ y+ z = 6 x − y − 3z = − 10 (-3,5) − 2z = − 4 x− z= − 2 2 x + 3z = 11 x − z = − 2 ( 3) -1 9 3 -1 2 x + 3z = 11 3x − 3z = − 6 3x -2 y = x y= -2 2x =5 x=1 5x sol : x = - 3 2 (1) + 3z = 11 2 + 3z = 11 3z = 9 z= 3 1+ y + 3 = 6 y+ 4= 6 y=2 y=5 2y − x = − 4 4 x − 5y = 7 16. x − y = 1 x = 0 y = −1 x = 0 y = − 2 x = − 2 y = − 3 x =1 y = 0 x = 2 y = −1 x = 3 y =1 sol : x = 1 y = 2 z = 3 2. x + y + z = 12 x -y = y= -5 4x (-2,-3) 1 2y 7 -x = -4 2x − y + z = 7 x + 2y − z = 6 x + y + z = 12 2x − y + z = 7 3x + 2 z = 19 2 x − y + z = 7 ( 2) x + 2y − z = 6 4 x − 2 y + 2z = 14 x + 2y − z = 6 5x + z = 20 3x + 2 z = 19 5x + z = 20 (− 2 ) 3x + 2 z = 19 − 10 x − 2 z = − 40 − 7x sol : x = - 2 y=-3 Continúa = − 21 x= 3
  • 253. 2. Continuación 5( 3) + z = 20 4. Continuación 15 + z = 20 z=5 x − 4 y + 3z = 26 6x + 3y − 9z = − 3 x − 3 y − 2 z = − 12 3 + y + 5 = 12 y + 8 = 12 7x y= 4 sol : x = 3 y = 4 z = 5 3. x − y + z = 2 x+ y+ z= 4 2x + 2 y − z = − 4 x− y+ z = 2 x+ y+ z =4 5x − 2 y + z = 24 (2) 2 x + 5 y − 2 z = − 14 − 11z = − 15 10x − 4 y + 2 z = 48 2 x + 5 y − 2 z = − 14 x − z = − 1 (− 7) 7 x − 11z = − 15 12 x + y x − 4 y + 3z = 26 − 4z = − 8 z= 2 − 15x + 6 y − 3z = − 72 x − 4 y + 3z = 26 x− 2= −1 x=1 − 14 x + 2 y + z= 0 4x + z = 0 5. 2 x + 3 y + z = 1 6 x − 2 y − z = − 14 2 x − 2 y + 2z = 4 2x + 2 y − z = − 4 x + z = 3 (− 1) − 24 x − 2 y = − 68 − 14 x + 2 y = − 46 − 38 x 12 (3) + y = 34 36 + y = 34 y= −2 3 − 4 (− 2) + 3z = 26 3x + y − z = 1 =−3 x= −1 5x + 4 y 3 + 8 + 3z = 26 3z = 15 z=5 sol : x = 3 y = − 2 z = 5 =2 2 x + 3y + z = 1 − 1+ z = 3 z= 4 − 1− y + 4 = 2 − y + 3= 2 − y= −1 y=1 sol : x = − 1 y = 1 z = 4 4. 2 x + y − 3z = − 1 6 x − 2 y − z = − 14 8x + y = − 13 5x + 4 y = 2 8 x + y = − 13 x − 3 y − 2z = − 12 3x − 2 y − z = − 5 (− 4 ) 5x + 4 y = 2 2 x − y + 5z = 3 4 x + 2 y + 3z = 8 (− 2) 3x + 4 y + 2 z = − 1 = 54 − 8 x − 4 y − 6z = − 16 3x + 4 y + 2 z = − 1 x= − 2 2 x + y − 3z = − 1 (2) 3x − 2 y − z = − 5 8 (− 2) + y = − 13 − 16 + y = − 13 y= 3 4 x + 2 y − 6z = − 2 3x − 2 y − z = − 5 2 (− 2) + 3( 3) + z = 1 − 7z = − 7 x− z= −1 5+ z = 1 7x 7. 4 x + 2 y + 3z = 8 3x + 4 y + 2 z = − 1 − 32 x − 4 y = 52 − 27 x Continúa = − 114 x=3 2 x + 3y + z = 1 4x + z = 0 3x − 14 x + 2 y = − 46 3x + y − z = 1 − x− z= − 3 = − 46 12 x + y = 34 (− 2) 2 (1) + y − 3 (2) = − 1 2 + y − 6= − 1 y− 4= −1 y= 3 sol : x = 1 y = 3 z = 2 x − y + z = 2 ( 2) 2x + 2 y − z = − 4 = 34 5x − 2 y + z = 24 (− 3) − 7 x + 7z = 7 7 x − 11z = − 15 + 2z = 6 x+ z= 3 2x 4x 6. 5x − 2 y + z = 24 2 x + 5 y − 2 z = − 14 2 x + y − 3z = − 1 (3) x − 3y − 2 z = − 12 − 4+ 9+ z=1 z= − 4 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4 − 5x − 4 z = − 17 5x + 4 z = 17 4 x + 2 y + 3z = 8 2 x − y + 5z = 3 (2) 4 x + 2 y + 3z = 8 4 x − 2 y + 10z = 6 8x + 13z = 14 Continúa
  • 254. 10. Continuación 9. 2 x + 4 y + 3z = 3 10 x − 8 y − 9z = 0 7. Continuación 8 x + 13z = 14 (− 5) 4 x + 4 y − 3z = 2 5x + 4 z = 17 (8) 2 x + 4 y + 3z = 3 ( 3) 3x + 5 y − 40x − 65z = − 70 40 x + 32 z = 136 6 x + 12 y + 9z = 9 10x − 8 y − 9z = 0 z= −2 16 x + 4 y 10 x − 8 y − 9z = 0 5x + 4 (− 2) = 17 5x − 8 = 17 5x = 25 =9 − 2 x − 20 y 4 x + 3(− 6) = 2 =−6 x + 10 y = 3 16x + 4 y = 9 (5) sol : x = 5 y = − 3 z = − 2 x + 10 y = 3 (− 2) 80 x + 20 y = 45 − 2 x − 20 y = − 6 8. 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 10 x + 5 y + 3z = 21 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 ( 3) 6 x + 3 y + 2 z = 12 27 x − 3 y + 12 z = 111 33x + 14 z = 123 45x − 5 y + 20z = 185 10 x + 5 y + 3z = 21 + 23z = 206 33x + 14 z = 123 (5) 55x + 23z = 206 165x + 70z = 615 − 165x − 69 z = − 618 7 x + 3 y − 4 z = − 35 4y = 1 1 y= 4  1  1 2   + 4   + 3z = 3  2  4 1 + 1+ 3z = 3 3z = 1 1 1 sol : x = y= 2 4 1 3 1 z= 3 10. 3x + y + z = 1 x=5 6 (5) + 3 y + 2 (− 3) = 12 30 + 3 y − 6 = 12 3 y + 24 = 12 3 y = − 12 y= −4 sol : x = 5 y = − 4 z = − 3 7 x + 3 y − 4 z = − 35 − 3x − 3 y + 18z = 81 4x + 14z = 46 2 x + 7 z = 23 3x − 2 y + 5z = 38 + 11z = 12 15x 4 x − y + 5z = − 6 (2) 6 x + 2 y − 3z = 33 8x − 2 y + 10z = − 12 6 x + 2 y − 3z = 33 14 x + 7z = 21 2x + z = 3 15x + 11z = 12 2 x + z = 3 (− 11) 15x + 11z = 12 − 22 x − 11z = − 33 − 7x = − 21 x=3 2 ( 3) + z = 3 z= − 3 x + y + 2z = − 17 3x + y + z = 1 x + 2y − z = 1 =2 x + 2 y − z = 1 ( 2) x + y + 2 z = − 17 Continúa 12 − y − 15 = − 6 − y − 3= − 6 − y= −3 y= 3 sol : x = 3 y = 3 z = − 3 x + y − 6z = − 27 (2) 13. 9 x + 4 y − 10z = 6 3x − 2 y + 5z = 38 6 x − 8 y + 5z = − 1 2 x + 2 y − 12z = − 54 12 x + 12 y − 15z = 10 5x − 7 z = − 16 2 x + 7 z = 23 5x − 7 z = − 16 7x x + 2y − z = 1 4 x + 3y 12 x − 3y + 15z = − 18 3x + 3 y − 4z = 30 x + y − 6z = − 27 (− 3) 4 ( 3) − y + 5(− 3) = − 6 z= z= − 3 33x − 42 = 123 33x = 165 x + y − 6z = − 27  1 16   + 4 y = 9  2 (− 3) 33x + 14 (− 3) = 123 1 2 8+ 4y = 9 9 x − y + 4 z = 37 (5) 10 x + 5 y + 3z = 21 55x x= 4 x − 18 = 2 4 x = 20 x=5 5 − 6 + 2z = − 17 2z = − 16 z= −8 sol : x = 5 y = − 6 z = − 8 11. 7 x + 3 y − 4 z = − 35 3x − 2 y + 5z = 38 = 39 78 x (− 4) − 11y = 66 y= −6 10x − 8 y − 9z = 0 10 − y − 10 = 3 − y=3 y= −3 4 x − y + 5z = − 6 (3) 3x + 3y − 4 z = 30 ( 3) 12 x + 9 y = 6 − 12 x − 20 y = 60 − 12 x − 12 y + 9z = − 6 2 (5) − y + 5(− 2) = 3 2 3x + 5 y = − 15 4 x + 4 y − 3z = 2 (− 3) x=5 3x + 3y − 4 z = 30 6 x + 2 y − 3z = 33 = − 15 4 x + 3y = 10x − 8 y − 9z = 0 − 33z = 66 12. 4 x − y + 5z = − 6 2 x + 4 y − 2z = 2 x + y + 2 z = − 17 = 7 x=1 2 (1) + 7 z = 23 7 z = 21 z=3 1 + y − 6 (3) = − 27 y − 17 = − 27 y = − 10 sol : x = 1 y = − 10 z = 3 6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 2) 12 x + 12 y − 15z = 10 − 12 x + 16 y − 10z = 2 12 x + 12 y − 15z = 10 28 y − 25z = 12 9 x + 4 y − 10z = 6 6 x − 8 y + 5z = − 1 ( 2) (− 3) 18 x + 8 y − 20z = 12 − 18 x + 24 y − 15z = 3 32 y − 35z = 15 Continúa
  • 255. 13. Continuación 28 y − 25z = 12 32 y − 35z = 15 (− 8) ( 7) − 224 y + 200z = − 96 14. Continuación 10 x − (− 2) + z = 10  1 10   − (− 2) + z = 10  5 2 + 2 + z = 10 z= 6 224 y − 245z = 105 − 45z = 9 z= − 1 5  1 28 y − 25  −  = 12  5 28 y + 5 = 12 28 y = 7 1 4  1   1 6x − 8   + 5 −  = − 1  4   5 sol : x = 6x = 2 1 x= 3 1 1 1 sol : x = y= z= − 3 4 5 1 y= − 2 z= 6 5 15. x + y = 1 y+ z= −1 z+ x= −6 x+ y = 1 y + z = − 1 (− 1) y= 6x − 2 − 1 = − 1 17. y + z = − 8 2x + z = 9 x+ y =1 − y− z=1 x x− z= 2 x+ z= −6 − z= 2 19. 3z − 5x = 10 5x − 3 y = − 7 3y − 5z = − 13 − 5x + 3z = 10 =−7 5x − 3 y 2 x + z = 9 (− 1) − 3y + 3z = 3 y+ z= −8 − y+ z=1 − 2x − z= − 9 3y − 5z = − 13 − 2 x + y = − 17 − y + z = 1 ( 3) − 2 x + y = − 17 3 y − 5z = − 13 2 x + 3y = − 3 − 3 y + 3z = 3 4 y = − 20 3y + 2 x = − 3 y+ z= −8 y= −5 − 5+ z = − 8 z= − 3 2x − 3= 9 2 x = 12 x= 6 sol : x = 6 y = − 5 z = − 3 − 2 z = − 10 z= 5 − y + 5= 1 − y= −4 y= 4 5x − 3( 4) = − 7 5x − 12 = − 7 5x = 5 x=1 sol : x = 1 y = 4 z = 5 =−4 x= −2 − 2+ y=1 18. 3x − 2 y = 0 y=3 3 y − 4 z = 25 14. 5x + 3 y − z = − 11 3+ z = − 1 z − 5x = − 14 10 x − y + z = 10 z= −4 3 y − 4z = 25 20. 15x + 2 y − z = − 7 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4 ( 4) − 5x + z = − 14 5x + 3 y − z = − 11 10 x − y + z = 10 16. x + 2 y = − 1 3 y − 4z = 25 2y + z = 0 − 20 x + 4 z = − 56 = −1 15x + 2 y x + 2 z = 11 10 x − y + z = 10 − 20 x + 3y = − 31 = −1 x + 2y 15x + 2 y − z = − 7 − 20 x + 3y = − 31 ( 2) 2 y + z = 0 (− 1) = 3 25x + y 3x − 2 y = 0 ( 3) = −1 x + 2y 15x + 2 y = − 1 − 40 x + 6 y = − 62 − 2y − z = 0 25x + y = 3 (− 2) 9x − 6y = 0 − z= −1 x 15x + 2 y = − 1 − 31x = − 62 x − z = − 1 (− 1) − 50 x − 2 y = − 6 x= 2 x + 2 z = 11 − 35x =−7 3 ( 2) − 2 y = 0 − x+ z = 1 1 6− 2y = 0 x= x + 2 z = 11 5 − 2y = − 6 3z = 12  1 y=3 15   + 2 y = − 1  5 z= 4 3 ( 3) − 4z = 25 3+ 2 y = − 1 x− 4= −1 ⇒ x= 3 − 4 z = 16 2y = − 4 3+ 2 y = − 1 z= − 4 y= −2 2y = − 4 ⇒ y = − 2 sol : x = 2 y = 3 z = − 4 Continúa sol : x = 3 y = − 2 z = 4 2x x − 2y = 0 y − 2z = 5 x+ y+ z=8 x + y+ z=8 x − 2y = 0 (− 1) x+ y+ z=8 − x + 2y =0 3y + z = 8 3y + z = 8 ( 2) y − 2z = 5 6 y + 2z = 16 y − 2z = 5 7y = 21 y=3 x − 2 ( 3) = 0 x − 6= 0 x=6 6 + 3+ z = 8 z= −1 sol : x = 6 y = 3 z = − 1
  • 256. 21. 5x − 3z = 2 2z − y = − 5 x + 2 y − 4z = 8 23. Continuación x + 2 y − 4z = 8 − y + 2 z = − 5 ( 2) x + 2 y − 4z = 8 − 2 y + 4 z = − 10 x 5 (− 2) − 3z = 2 =−2 − 10 − 3z = 2 − 3z = 12 24. Continuación x−y+z=3 x + y − z =1 6 − 2y + 18 = 0 − 2y + 24 = 0 − 2y = − 24 y = 12 sol: x = 6 y = 12 z = 18 =4 x=2 2x 2−y+5=3 −y+7=3 −y=−4 y=4 sol: x = 2 y = 4 z = 5 z= −4 2 (− 4 ) − y = − 5 − 8− y = − 5 − y=3 y=−3 sol: x = − 2 y = − 3 z = − 4 22. 2 x − z = 14 4 x + y − z = 41 3x − y + 5z = 53 4 x + y − z = 41 24. x y z + − =3 2 2 3 3x + 3 y − 2 z = 18 x y z + − = −5 3 6 2 2 x + y − 3z = − 30 x y z − + =0 6 3 6 − 2y + z = 0 x 3x + 3 y − 2 z = 18 (2) 3x − y + 5z = 53 x − 2 y + z = 0 (3) + 4 z = 94 7x 6 x + 6 y − 4 z = 36 3x − 6 y + 3z = 0 7 x + 4 z = 94 2 x − z = 14 (4) 7 x + 4 z = 94 8 x − 4 z = 56 15x = 150 x = 10 2 (10) − z = 14 20 − z = 14 − z= −6 z=6 4 (10) + y − 6 = 41 y + 34 = 41 y=7 sol: x = 10 y = 7 z = 6 23. x + y − z = 1 z+x−y=3 z−x+y=7 z+x−y=3 z−x+y=7 2z = 10 ⇒ z = 5 Continúa 9x − z = 36 2 x + y − 3z = − 30 (2) x − 2y + z = 0 4 x + 2 y − 6z = − 60 x − 2y + z = 0 − 5z = − 60 x − z = − 12 9 x − z = 36 5x x − z = − 12 (− 1) 9 x − z = 36 − x + z = 12 = 48 x=6 6 − z = − 12 − z = − 18 z = 18 8x Continúa 25. x y z + + = 21 3 4 3 4 x + 3 y + 4 z = 252 x y z + − =0 5 6 3 6 x + 5 y − 10z = 0 x y z + − =3 10 3 6 3x + 10 y − 5z = 90 6 x + 5 y − 10z = 0 (− 2) 3x + 10 y − 5z = 90 − 12 x − 10 y + 20z = 0 3x + 10 y − 5z = 90 − 9x + 15z = 90 − 3x + 5z = 30 4 x + 3 y + 4 z = 252 3x + 10 y − 5z = 90 (10) (− 3) 40 x + 30 y + 40z = 2 . 520 − 9 x − 30 y + 15z = − 270 + 55z = 2 . 250 31x − 3x + 5z = 30 (− 11) 31x + 55z = 2 . 250 33x − 55z = − 330 31x + 55z = 2 . 250 64 x = 1. 920 x = 30 − 3 ( 30) + 5z = 30 − 90 + 5z = 30 5z = 120 z = 24 6 (30) + 5 y − 10 (24) = 0 180 − 240 + 5 y = 0 5 y = 60 y = 12 sol : x = 30 y = 12 z = 24
  • 257. y+ z =4 3 3x − y − z = 12 x+ z = 10 y− 8 8 y − x − z = 80 10 ( y − z ) = 3 (x + 2) 10 y − 10z = 3x + 6 3x − 10 y + 10z = − 6 y− x =5 2 2 z − y + x = 10 2 x − 5 y − 2 z = − 20 (5) 3x − 10 y + 10z = − 6 3x − y − z = 12 (− 1) 10 x − 25 y − 10z = − 100 − x + 8 y − z = 80 − x + 8 y − z = 80 = 68 5x − 2 y = 28 = − 106 (2) (− 35) 26 x − 70 y = − 212 − 175x + 70 y = − 980 x − y + 2 z = 10 − 2 x + 16 y − 2 z = 160 − 149 x x − y + 2 z = 10 = − 1.192 x=8 5 (8) − 2 y = 28 = 170 − x + 15 y = 170 13x − 35 y 13x − 35 y = − 106 − x + 8 y − z = 80 (2) − 4 x + 9 y = 68 (− 4 ) 40 − 2 y = 28 − 2 y = − 12 y=6 − 4 x + 9 y = 68 4 x − 60 y = − 680 2 (8) − 5 (6) − 2 z = − 20 − 51y = − 612 y = 12 16 − 30 − 2 z = − 20 − 2z = − 6 − 4 x + 9 (12) = 68 − 4 x + 108 = 68 − 4 x = − 40 x = 10 3 (10) − 12 − z = 12 30 − 12 − z = 12 18 − z = 12 z=6 sol : x = 10 y = 12 z = 6 27. x+ y y+4 = 7 5 5 ( x + y ) = 7 ( y + 4) 5x + 5 y = 7 y + 28 5x − 2 y = 28 x− z y−4 = 5 2 2 ( x − z ) = 5 ( y − 4) 2 x − 2 z = 5 y − 20 2 x − 5 y − 2 z = − 20 Continúa − x − 3y + 3z = − 22 (5) 5x − y − 5z = 22 − 5x − 15 y + 15z = − 110 − 16 y + 10z = − 88 − 8 y + 5z = − 44 − 8 y + 5z = − 44 8 y − 7z = 36 − 2z = − 8 z= 4 3x − 10 y + 10z = − 6 − 3x + y + z = − 12 − x + 15y 5x − y − 5z = 22 y− z x+2 = 3 10 z− − 4x + 9 y 28. Continuación 27. Continuación 26. x − z= 3 sol : x = 8 y = 6 z = 3 28. z+ 4 = x−6 2 2 y − z − 4 = 2 x − 12 − 2x + 2 y − z = − 8 x−7 = y−5 z− 3 3z − x + 7 = 3 y − 15 − x − 3 y + 3z = − 22 y+2 = z+ 4 x− 5 5x − y − 2 = 5z + 20 5x − y − 5z = 22 − 2x + 2 y − z = − 8 y− − x − 3 y + 3z = − 22 (− 2) − 2x + 2 y − z = − 8 2 x + 6 y − 6z = 44 8 y − 7z = 36 Continúa 8 y − 7 (4) = 36 8 y − 28 = 36 8 y = 64 y=8 − x − 3(8) + 3(4) = − 22 − x − 12 = − 22 x = 10 sol : x = 10 y = 8 z = 4 29. y− z =3 2 2x − 2 y + y − z = 6 2x − y − z = 6 x− y x− z − =0 2 4 2x − 2 y − x + z = 0 x − 2y + z = 0 y− z − x= −5 2 y − z − 2 x = − 10 2x − y − z = 6 − 2 x + y − z = − 10 x− y+ − 2z = − 4 z= 2 x − 2y + z = 0 2x − y − z = 6 (− 2 ) x − 2y + z = 0 − 4 x + 2 y + 2 z = − 12 − 3x + 3z = − 12 − 3x + 3(2) = − 12 − 3x + 6 = − 12 − 3x = − 18 x=6 Continúa
  • 258. 29. Continuación 31. 6 − 2y + 2 = 0 − 2y + 8 = 0 − 2y = − 8 y=4 sol: x = 6 y = 4 z = 2 30. 1 + x 1 x 1 + x 1 − x 1 y 3 x =5 = 5 1 − =−6 z 1 1 − = −1 y z 1 1 − = −1 y z 1 1 + = 7 y z 2 y (− 1) 3 2 + = 2 x y 2 2 3 − − =− 2 y z 1 + = 6 (− 1) z 1 y 3 2 + = 2 x y 2 2 3 + = y z 2 2 1 = 2 z 3 2 1 ( 2) − = x z 2 1 4 4 + = x z 3 6 4 − =1 x z 1 4 4 + = x z 3 7 7 = 3 x x=3 3 2 + =2 3 y 2 1+ = 2 y 2 =1 y 2= y 3 2 1 − = 3 z 2 2 1 1− = z 2 2 1 − =− 2 z 4= z sol : x = 3 y = 2 z = 4 =6 1 =y 3 1 1 + =5 x 1 3 1 + 3= 5 x 1 =2 x 1 =x 2 1 1 + =6 1 z 2 1 2+ = 6 z 1 =4 z 1 =z 4 1 1 1 sol : x = y = z= 2 3 4 − 32. 1 4 2 + + =−6 x y z 3 2 4 + + = 3 (− 2) x y z 1 4 2 + + =−6 x y z 6 4 8 − − − =−6 x y z 5 6 − − = − 12 x z Continúa 32. Continuación 1 4 2 + + = − 6 (5) x y z 6 5 6 − − = 31 (4) x y z 5 20 10 + + = − 30 x y z 24 20 24 − − = 124 x y z 29 14 − = 94 x z 5 6 − − = 12 (− 7) x z 29 14 − = 94 (3) x z 35 42 + = 84 x z 87 42 − = 282 x z 122 = 366 x 122 = 366 x 1 =x 3 5 6 − = − 12 1 z 3 6 − 15 − = − 12 z 6 − =3 z − 2= z − 1 4 2 + + =−6 1 y −2 3 4 3 + − 1= − 6 y 4 = −8 y 1 − =y 2 1 1 sol : x = y= − z= −2 3 2
  • 259. EJERCICIO 187 1. 1 2 1 1 1 3 0 2 3 4 1 2 1 −3 −1 4 1 2 1 −3 3 −1 −8 −3 −2 3 8. 3 3 2 −1 − 3 5 4 3 2 3 2 −1 − 3 5 −2 3 ⇒ − 15 − 8 − 6 + 6 − 12 − 10 = − 45 −7 ⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 = − 171 ⇒6 +0+ 8− 3−0− 4 =7 2. −8 5 4 2 1 1 2 −3 −7 4 0 5 2 7. 1 5 5 4 ⇒ − 45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10 = 0 4 1 9. 5 2 3 2 −3 1 2 −3 4 0 7 1 6 3 5 1 4 2 2 5 3 2 −3 0 6 1 2 3. − 3 ⇒ 63 + 4 + 0 + 3 + 0 − 56 = 14 4. 2 5 3 −4 6 2 2 5 −1 3 −4 ⇒ 25 + 72 + 12 − 9 − 40 − 60 = 0 10. 12 3 5 10 8 −6 9 7 4 −2 12 5 10 3 4 −1 8 −6 9 ⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80 = 847 ⇒ − 32 − 6 + 90 − 24 − 12 − 60 = − 44 5 −1 − 6 −2 5 3 11. − 9 7 3 −5 −4 −3 3 4 2 5 −1 − 6 −2 5 3 4 −9 7 6 3 −5 1 −4 −3 ⇒ 50 + 48 − 9 + 90 − 60 − 4 = 115 5. ⇒ 45 − 168 − 36 − 80 − 162 − 21= − 422 6. 4 1 5 3 12 4 2 3 1 −6 2 5 3 2 −6 ⇒ 16 + 45 − 72 − 120 + 72 − 6 = − 65 12. 11 − 5 − 12 3 − 13 1 7 8 9 11 − 5 − 12 3 7 8 ⇒ 297 − 84 + 520 + 273 − 88 − 540 = 378
  • 260. EJERCICIO 188 2. Continuación 1. x + y + z = 11 x − y + 3z = 13 2x + 2y − z = 7 x= 11 13 7 11 13 x= 1 1 2 1 1 x= 1 1 −1 3 2 −1 1 1 −1 3 1 1 3 −1 2 −1 1 1 3 −1 11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12 = =2 1+ 2 + 6 + 2 − 6 + 1 6 1 11 1 13 1 3 −1 y= 2 7 1 11 1 13 − 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11 = = −1 3 − 4 − 1− 1− 2 − 6 − 11 y= 1 1 −6 2 1 −1 z= 1 −2 −6 1 1 −6 2 1 −1 − 6 + 24 − 1+ 6 − 2 + 12 33 = =−3 − 11 − 11 sol: x = − 1 y = − 2 z = − 3 z= 3. 2 x + 3 y + 4 z = 3 2 x + 6 y + 8z = 5 4x + 9 y − 4z = 4 1 3 − 13 + 7 + 66 − 26 − 21+ 11 24 = =4 6 6 1 1 11 1 − 1 13 z= 2 2 7 1 1 11 1 − 1 13 − 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30 = =5 6 6 sol: x = 2 y=4 z=5 2. x + y + z = − 6 2x + y − z = − 1 x − 2y + 3z = − 6 −6 −6 −1 x= 1 2 1 1 2 3 5 4 3 5 3 4 6 8 9 −4 3 4 6 8 2 2 4 2 3 4 6 8 9 −4 3 4 2 x= z= 1 1 −1 3 1 −1 − 3 − 12 + 6 + 1− 6 + 36 22 = = −2 − 11 − 11 y= −6 −1 −6 −1 −6 −6 −1 1 2 y= 1 1 2 6 2 2 1 1 −1 −2 3 1 1 1 −1 1 1 1 −1 3 −2 1 1 1 −1 8 − 72 + 180 + 96 − 96 − 216 + 60 − 48 1 = x= = − 48 + 72 + 96 − 96 − 144 + 24 − 96 2 y= 4 2 2 y= 3 5 4 8 4 −4 3 4 5 8 − 40 + 32 + 96 − 80 − 64 + 24 − 32 1 = = − 96 − 96 3 2 2 z= 4 2 2 3 6 9 3 6 3 5 4 3 5 48 + 54 + 60 − 72 − 90 − 24 − 24 1 = = − 96 − 96 4 1 1 1 sol : x = y= z= 2 3 4 z=
  • 261. 4. 4x − y + z = 4 2x + 2y − z = 2 6x − 2y + 3z = 12 4 2 12 4 2 x= 4 2 6 4 2 x= 5. Continuación x= −1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1 −1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1 24 − 4 + 12 − 24 − 8 + 6 6 1 = = 24 − 4 + 6 − 12 − 8 + 6 12 2 4 4 1 2 2 −1 y = 6 12 3 4 4 1 2 2 −1 66 + 25 − 104 − 260 − 11+ 60 − 224 = =−2 6 + 15 + 16 + 40 − 1+ 36 112 1 11 3 5 y = 4 − 26 1 11 3 5 − 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99 − 336 = =−3 112 112 1 4 11 3 −2 5 1 − 26 z= 4 1 4 11 3 −2 5 y= 52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560 = =5 112 112 sol: x = − 2 y=−3 z=5 z= 6. 7x + 10y + 4z = − 2 24 + 24 − 24 − 12 + 48 − 24 36 = =3 y= 12 12 4 −1 4 2 2 2 z = 6 − 2 12 4 −1 4 2 2 2 5x − 2y + 6z = 38 3x + y − z = 21 −2 10 38 − 2 21 −2 4 5 5 −2 1 − 26 1 − 3 11 4 5 5 −2 1 x= 1 4 5 3 −2 1 4 1 −3 1 4 5 3 −2 1 Continúa −1 4 x= 38 − 2 6 7 5 10 −2 4 6 3 96 − 16 − 12 − 48 + 16 + 24 60 = =5 12 12 1 sol: x = y=3 z=5 2 5. x + 4y + 5z = 11 3x − 2y + z = 5 4x + y − 3z = − 26 1 10 4 6 1 −1 7 5 x= z= 11 5 1 −3 5 1 10 −2 4 6 − 4 + 152 + 1. 260 + 168 + 12 + 380 1. 968 = =8 14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50 246 7 −2 4 5 38 6 y= 3 7 21 −2 −1 5 38 6 y= 4 − 266 + 420 − 36 − 456 − 882 − 10 − 1. 230 = =−5 246 246 7 10 − 2 5 z= 3 −2 7 5 10 −2 1 38 21 −2 38 − 294 − 10 + 1. 140 − 12 − 266 − 1. 050 − 492 z= = =−2 246 246 sol : x = 8 y=−5 z=−2
  • 262. 8. Continuación 7. 4x + 7y + 5z = − 2 6x + 3y + 7z = 6 x= x − y + 9z = − 21 −2 7 6 3 − 21 − 1 −2 7 6 3 x= 4 7 6 3 −1 1 4 7 6 3 x= − 54 − 30 − 1. 029 + 315 − 14 − 378 − 1.190 = =5 − 238 108 − 30 + 49 − 15 + 28 − 378 4 6 y= 1 4 6 y= 5 7 9 5 7 5 7 9 5 7 −2 6 − 21 −2 6 5 7 9 5 7 216 − 630 − 14 − 30 + 588 + 108 238 = = −1 − 238 − 238 4 7 6 3 z = 1 −1 4 7 6 3 − 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602 = =−2 15 + 12 − 240 + 16 − 54 − 50 − 301 y= 8x + 3y − 5z = − 33 − 22 32 − 33 − 22 32 x= 3 2 8 3 2 −5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6 −5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6 Continúa −5 −1 3 −5 −1 3 2 z= 8 3 2 − 22 32 − 33 − 22 32 99 − 132 − 1. 280 − 176 − 288 − 330 − 2 .107 = =7 − 301 − 301 sol: x = − 2 y=6 z=7 z= 9. x + y + z = 3 x + 2y = 6 2x + 3y = 6 3 1 1 6 6 3 2 3 1 0 0 1 6 2 0 1 1 1 2 1 0 2 1 3 1 0 1 1 x= − 252 + 12 + 42 + 6 + 24 + 882 714 z= = =−3 − 238 − 238 sol: x = 5 y = −1 z= −3 8. 3x − 5y + 2z = − 22 2x − y + 6z = 32 2 6 −5 2 6 − 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220 − 1. 806 = =6 − 301 − 301 −2 6 − 21 −2 6 − 22 32 − 33 − 22 32 3 2 y= 8 3 2 2 0 0 + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6 = =−6 x= 0+3+0−4+0+0 −1 1 3 1 1 y= 2 6 6 0 0 1 1 3 1 6 0 y= 0 + 6 + 0 − 12 + 0 + 0 − 6 = =6 −1 −1 1 1 1 2 3 6 z= 2 1 3 1 6 3 1 2 6 12 + 9 + 12 − 12 − 18 − 6 − 3 =3 = z= −1 −1 sol : x = − 6 y=6 z=3
  • 263. 10. 3x − 2y = − 1 4x + z = − 28 x + 2y + 3z = − 43 −1 − 28 − 43 −1 − 28 x= 3 4 1 3 4 x= −2 0 2 −2 0 −2 0 2 −2 0 11. Continuación x= 0 1 3 0 1 0 1 3 0 1 0 + 0 + 86 + 0 + 2 − 168 − 80 = = −5 0 + 0 − 2 + 0 − 6 + 24 16 3 −1 4 − 28 y = 1 − 43 0 − 8 + 56 + 0 + 168 − 344 − 128 = =−8 16 16 sol: x = − 5 y=−7 z=−8 x y z − + =1 3 4 4 4 x − 3y + 3z = 12 x= 3 −4 3 −4 3 −6 4 −3 3 3 −1 −6 −4 4 1 −3 3 −6 Continúa 3 1 6 −6 − 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 − 408 = =8 y= − 51 − 51 4 1 −3 3 12 6 z= 4 4 −1 −3 0 12 1 3 6 0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 − 204 = =4 z= − 51 − 51 x= 6 y=8 z=4 x + y = 2z + 3 ; 3 x + 3y = 6z + y ; x + 3y − 6z = 9 9 1 44 9 1 x= 1 1 4 1 1 y= 3 −6 1 4 3 0 12 3 −1 −1 3 −1 3 −1 −1 3 −1 x − y =1 ; ; y + 11 4 4x + 4z = y + 44 4x − y + 4z = 44 −6 0 4 −6 0 −6 0 4 −6 0 − 36 + 6 + 0 − 264 + 0 − 12 − 306 = =9 − 4 + 6 + 0 − 24 + 0 − 12 − 34 1 1 y= 4 1 1 x + 3y − 6z = 6 x y z − − =0 2 8 2 4x − y − 4z = 0 3 y= 4 4 x= x y + − z=1 6 2 2x + 6 y − 12z = 12 −1 −3 −6 12. z= 0 12 6 6 3 0 1 − 252 + 0 − 1+ 0 + 129 + 12 − 112 = = −7 16 16 −1 3 −2 4 0 − 28 z= 1 2 − 43 −1 3 −2 4 0 − 28 −3 12 sol : y= 12 6 4 1 0 1 3 −1 4 − 28 11. − 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 − 306 = =6 − 48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12 − 51 9 1 44 9 1 −6 0 4 −6 0 4 − 264 + 0 + 24 + 0 − 36 − 272 = =8 − 34 − 34 1 1 z= 4 1 1 3 −1 −1 3 −1 9 1 44 9 1 − 44 − 9 + 12 + 36 + 1− 132 − 136 = =4 − 34 − 34 sol: x = 9 y=8 z=4 z= x+z=
  • 264. EJERCICIO 191 1. x + 2y + z = 8 Plano ABC 2x + 2y + z = 9 x + 2y + z = 8 Plano DEF 2 x + 2y + z = 9 3x + 3y + 5z = 24 Plano GHI 3x + 3y + 5z = 24 Para y = 0 z = 0 x=8 1 Para y = 0 z = 0 x = 4 2 Para y = 0 z = 0 x = 8 Para x = 0 z = 0 y=4 1 Para x = 0 z = 0 y = 4 2 Para x = 0 z = 0 y = 8 Para x = 0 y = 0 z=8 Para x = 0 y = 0 z = 9 Para x = 0 y = 0 z = 4 4 5 D A G N N N N N 3 R 1 M C F 2 B E H Sol : x = 1 y= 2 z = 3 I Q
  • 265. 2. x + y + z = 5 Plano ABC x+y+z=5 3x + 2y + z = 8 Plano DEF 3x + 2y + z = 8 2x + 3y + 3z = 14 Plano GHI 2x + 3y + 3z = 14 Para y = 0 z = 0 x=5 Para y = 0 z = 0 x = 2 2 3 Para y = 0 z = 0 x = 7 Para x = 0 z = 0 y=5 Para x = 0 z = 0 y = 4 Para x = 0 z = 0 y = 4 2 3 Para x = 0 y = 0 z=5 Para x = 0 y = 0 z = 8 Para x = 0 y = 0 z = 4 2 3 D A G Q N 3 1 F 1 M R E H B sol : x = 1 y=1 z=3 C I
  • 266. 3. 2 x + 2 y + 3z = 23 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 23 2 x + 3y + 2 z = 20 Plano DEF 4 x + 3 y + 2z = 24 2 x + 3 y + 2 z = 20 Plano GHI 4 x + 3 y + 2 z = 24 Para y = 0 z = 0 x = 11 1 2 Para y = 0 z = 0 x = 10 Para y = 0 z = 0 x = 6 Para x = 0 z = 0 y = 11 1 2 Para x = 0 z = 0 y = 6 2 3 Para x = 0 z = 0 y = 8 Para x = 0 y = 0 z=72 3 Para x = 0 y = 0 z = 10 Para x = 0 y = 0 z = 12 G D Q A N 5 I M 2 E R 2 H B sol : x = 2 y=2 z=5 F C
  • 267. 4. 2 x + 2 y + 3z = 24 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 24 4 x + 5y + 2z = 35 Plano DEF 3x + 2 y + z = 19 4 x + 5 y + 2 z = 35 Para y = 0 z = 0 x = 12 3 Para y = 0 z = 0 x = 8 4 Para x = 0 z = 0 y = 12 Para x = 0 z = 0 y = 7 Para x = 0 y = 0 z=8 Para x = 0 y = 0 z = 17 Plano GHI 3x + 2 y + z = 19 Para y = 0 z = 0 x = 6 1 3 Para x = 0 z = 0 y = 9 1 2 1 2 Para x = 0 y = 0 z = 19 M G D M Q M M M A M M N 4 I 3 F M C M M 3 M M R M E M M H M B M sol : x = 3 y=3 z=4
  • 268. 5. 3x + 4y + 5z = 35 Plano ABC 2x + 5y + 3z = 27 3x + 4y + 5z = 35 2x + y + z = 13 2x + 5y + 3z = 27 Plano DEF Plano GHI 2x + y + z = 13 Para y = 0 z = 0 x = 11 2 3 1 Para y = 0 z = 0 x = 13 2 1 Para y = 0 z = 0 x = 6 2 Para x = 0 z = 0 y=8 3 4 Para x = 0 z = 0 y = 5 2 5 Para x = 0 z = 0 y = 13 Para x = 0 y = 0 z=7 Para x = 0 y = 0 z = 9 Para x = 0 y = 0 z = 13 G D Q A M 3 C I 2 4 N R E B H sol : x = 4 y=2 z=3 F
  • 269. 6. 4x + 3y + 5z = 42 Plano ABC 4x + 3y + 5z = 42 3x + 4y + 3z = 33 2x + 5y + 2z = 29 Plano DEF 3x + 4y + 3z = 33 Plano GHI 2x + 5y + 2z = 29 Para y = 0 z = 0 1 x = 10 2 Para y = 0 z = 0 x = 11 1 Para y = 0 z = 0 x = 14 2 Para x = 0 z = 0 y = 14 Para x = 0 z = 0 y = 8 Para x = 0 z = 0 y = 5 4 5 Para x = 0 y = 0 z=8 2 5 Para x = 0 y = 0 z = 11 1 4 1 Para x = 0 y = 0 z = 14 2 G D A R M 5 C N 3 2 Q H E B sol : x = 2 y=3 z=5 F I
  • 270. 5. x → Cifra decenas y → Cifra unidades 10 x + y − 17 =5 x+ y 10 x + y − 17 = 5( x + y ) 5x − 4 y = 17 10 x + y − 2 = 19 y−2 10 x + y − 2 = 19 ( y − 2) 10 x − 18 y = − 36 5x − 9 y = − 18 5x − 4 y = 17 5x − 9 y = − 18 (− 1) 5x − 4 y = 17 − 5x + 9 y = 18 5 y = 35 ⇒ y = 7 5x − 4 (7) = 17 5x − 28 = 17 5x = 45 ⇒ x = 9 sol : 97 6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades 10 x + y + 9 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 10 y + x − 1 =6 7 x + 10 y = 43 x− y = −1 (− 1) x + 10 y = 43 − x+ y = 1 x + 10 y = 43 11y = 44 ⇒ y = 4 x− 4= −1 ⇒ x= 3 sol : 34 7. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+ y= 9 10 ( x + 1) + y − 1 = 10 y + x 10 x + 10 + y − 1 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 x+ y= 9 x− y= −1 2x = 8 ⇒ x = 4 4+ y= 9 ⇒ y= 5 sol : 45 EJERCICIO 199 1. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 10 cts. x + y= (− 10) 78 20 x + 10 y = 1.130 − 10 x − 10 y = − 780 20 x + 10 y = 1.130 10 x = 350 x = 35 35 + y = 78 y = 43 sol : 35 Mon. de 20 cts. 43 Mon. de 10 cts. 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 4 x + y = 91 (− 4) 5x + 4 y = 404 − 4 x − 4 y = − 364 5x + 4 y = 404 x+ y = 700 (− 15) = 7 .500 x = 300 300 + y = 700 y = 400 sol : 300 adultos y 400 niños 4. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 25 cts. (− 20) − 20 x − 20 y = − 880 20 x + 25 y = 995 Continúa x + 2 y = 419 y = 132 x + 132 = 287 x = 155 sol : 155 Billetes de $ 1 132 Billetes de $ 2 (− 3) − 3x − 3 y = − 102 3x + 7 y = 174 25x 20 x + 25 y = 995 (− 1) − x − y = − 287 x + 2 y = 419 x + y = 34 − 15x − 15 y = − 10 .500 40 x + 15 y = 18 . 000 y = 44 x + y = 287 3x + 7 y = 174 40 x + 15 y = 18 . 000 x + 5. x → Billetes de $ 1 y → Billetes de $ 2 6. x → Libros de 3 col. y → Libros de 7 col. = 40 x 40 + y = 91 y = 51 sol : 40 Mon. de $ 5 51 Mon. de $ 4 3. x → N º de adultos y → N º de niños 4. Continuación 5y = 115 y = 23 x + 23 = 44 x = 21 sol: 21 Monedas de 20 cts. 23 Monedas de 25 cts. 4 y = 72 y = 18 x + 18 = 34 x = 16 sol : 16 libros de 3 col. 18 libros de 7 col. 7. x → N º de trajes y → N º de sombreros x + y= 54 (− 45) 375x + 45 y = 6 . 720 − 45x − 45 y = − 2 . 430 375x + 45 y = 6 . 720 = 4 . 290 x = 13 13 + y = 54 ⇒ y = 41 sol : 13 trajes 41 sombreros 330 x
  • 271. EJERCICIO 200 1. A − 1 = B + 1 A− B= 2 4. A − 10 = 2 ( B − 10) A − 2 B = − 10 A + 1 = 3 ( B − 1) A − 3B = − 4 A− B = 2 3 ( A + 10) = B + 10 4 3 ( A + 10) = 4 (B + 10) (− 1) 3 A − 4 B = 10 A − 3B = − 4 A − 2 B = − 10 (− 2) − A+ B = − 2 A − 3B = − 4 3 A − 4 B = 10 − 2 A + 4 B = 20 3 A − 4 B = 10 − 2B = − 6 B=3 A − 3= 2 A=5 sol : A → $ 5 B → $ 3 2 ( A − 2) = B + 2 2A− B= 6 B = 20 sol : A → 30 Años B → 20 Años 5. 8 A + 6 = ( B + 6) 5 2A− B = 6 5 ( A + 6) = 8 ( B + 6) − A+ B= 4 2A− B= 6 5 A − 8 B = 18 = 10 A 10 − B = − 4 − B = − 14 B = 14 sol : A → 10 soles B → 14 soles − 4 A + 8 B = 24 5 A − 8 B = 18 = 42 A B = 24 sol : A → 42 Años P− J = 6 4 ( J − 3) = P + 3 P − 4 J = − 15 (− 1) P − 4 J = − 15 − P+ J = − 6 P − 4 J = − 15 − 3J = − 21 J=7 B → 24 Años 6. A − 5= 3 (B − 5) 2 9y 5 3 ( x + 4) = y + 4 5 3x + 12 = 5 y + 20 3x − 5 y = 8 5x − 9 y = 0 ( 3) 3x − 5 y = 8 (− 5) 15x − 27 y = 0 − 15x + 25y = − 40 y = 20 9 x = (20) 5 x = 9 ( 4) x = 36 sol : 36 Años → tiene el hom bre 20 Años → tiene la esposa 5 ( A + 35) = B − 35 17 5 A + 175 = 17 B − 595 5 A − 17 B = − 770 A− B = 50 2 ( A − 5) = 3( B − 5) 2 A − 3B = − 5 7 ( A + 10) = B + 10 9 (− 5) 5 A − 17 B = − 770 − 5 A + 5 B = − 250 7 ( A + 10) = 9 ( B + 10) 7 A − 9 B = 20 (− 3) P − 7 = 6 ⇒ P = 13 2 A − 3B = − 5 sol : Pedro → $ 13 7 A − 9 B = 20 Continúa Juan → $ 7 B = 25 sol : A → 35 Años B → 25 Años 8. A − 25 = B + 25 A − B = 50 42 − 2 B = − 6 − 2 B = − 48 P − 3= J + 3 6 (− 4 ) A − 2B = − 6 5 A − 8 B = 18 3. P → Pedro J → Juan P− J = A − 6 = 2 ( B − 6) A − 2B = − 6 (− 1) A − B= −4 = 35 A 2 ( 35) − 3B = − 5 70 − 3B = − 5 x= 30 − 2 B = − 10 − 2 B = − 40 2. B − 2 = A + 2 A− B = − 4 7 A − 9 B = 20 7. x → Edad Hombre y → Edad Esposa = 30 A 6. Continuación − 6 A + 9 B = 15 5 A − 17 B = − 770 − 12 B = − 1. 020 B = 85 A − 85 = 50 A = 135 sol : A → 135 Lempiras B → 85 Lempiras
  • 272. 9. x → Edad padre y → Edad hijo 1 ( x − 6) = y − 6 5 x − 6 = 5 y − 30 x − 5y = − 24 2 ( x + 9) = y + 9 5 2 x + 18 = 5y + 45 2 x − 5y = 27 10. P + 15 = 5 ( J − 15) P − 5 J = − 90 3 ( P − 20) = J + 20 3 P − J = 80 P − 5 J = − 90 (− 3) 3P − J = − x + 5y = 24 2 x − 5y = 27 80 − 3 P + 15 J = 270 3 P − J = 80 x − 5y = − 24 (− 1) 2 x − 5y = 27 11. B B   + 60 = 4  B − − 60   2 2 2 A + B + 120 = 8B − 4 B − 480 2 A + B + 120 = 4 B − 480 2 A − 3B = − 600 B + 80 − 310 = A − 80 B − 230 = A − 80 A − B = − 150 2 A − 3B = − 600 A+ 14 J = 350 A − B = − 150 J = 25 (− 2) 2 A − 3B = − 600 − 2 A + 2 B = 300 3 P − 25 = 80 3 P = 105 P = 35 = 51 x sol : 35 cts. → tenia Pedro 51 − 5 y = − 24 25 cts. → tenia Juan − 5 y = − 75 y = 15 sol : 51 Años → Edad padre 15 Años → Edad hijo B = 300 A − 300 = − 150 A = 150 cts. sol : $ 1, 50 → tiene A $ 3 → tiene B 12. x → Edad de Enrique y → Edad hermana 3 x − 6 = ( y − 6) 2 2 x − 12 = 3 y − 18 2 x − 3y = − 6 4 ( x + 6) = 5 ( y + 6) 4 x + 24 = 5 y + 30 4 x − 5y = 6 2 x − 3 y = − 6 (− 2 ) 4 x − 5y = 6 − 4 x + 6 y = 12 4 x − 5y = 6 y = 18 2 x − 3 (18) = − 6 2 x − 54 = − 6 2 x = 48 x = 24 sol : 24 Añ. → Ed . Enrique 18 Añ. → Ed . herm. EJERCICIO 201 1. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua x − y → Veloc. bote contra la corriente 10 =1 x+y x + y = 10 4 =1 x−y x−y=4 x + y = 10 x−y= 4 = 14 x=7 7−y=4 y=3 sol: 7 Km 2x 2. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua x − y → Veloc. bote contra agua 28 7 = x+y 4 7x + 7y = 112 x + y = 16 24 =3 x−y 3x − 3y = 24 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 x = 12 12 − y = 8 y=4 sol: 12 Km 2x h → Veloc. bote agua tranq. 3 Km h → Veloc. del rio h → Bote 4 Km h → Rio 3. x → Tiempo ida y → Tiempo vuelta x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 x + y = 5 (8) 12 x − 8 y = 0 8 x + 8 y = 40 20 x = 40 x=2 12 ( 2) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : 2h → Tiempo ida 3h → Tiempo vuelta
  • 273. 4. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. rio x + y → Veloc. bote a favor de la cte x − y → Veloc. bote en contra de la cte 40 5 = x+y 2 5x + 5y = 80 x + y = 16 40 =5 x−y 5x − 5y = 40 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 ⇒ x = 12 12 − y = 8 ⇒ y = 4 sol: 12h → Veloc. bote 4h → Veloc. rio 5. x → tiempo ida y → tiempo vuelta 2x x+ y=6 20 40 = x y 40 x − 20 y = 0 2x − y = 0 x+ y=6 2x − y = 0 3x =6 6. x → tiempo ida y → tiempo vuelta ⇒ x=2 z → Pr ecio kilo fríjoles 5x + 3 y + 4z = 1, 18 4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46 5x + 3 y + 4z = 1, 18 (− 3) 4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 4) Continúa z → N º menor x+ y z − 1= 3 3z − 3 = x + y x + y − 3z = − 3 x + y + z = 37 y − z = x − 13 x − y + z = 13 2 x + 2 y = 10 3x − 2 y = 0 5x = 10 x=2 2+ y = 5 y=3 sol : 2h → tiempo ida 3h → tiempo vuelta Entonces 32 Km = 16 Km h → Veloc. rio abajo 2h x + y + z = 37 x + y − 3z = − 3 − 4 z = − 40 z = 10 x + y + z = 37 x − y + z = 13 2x h → Veloc. bote 6 Km h → Veloc. rio 2. Continuación − 15x − 9 y − 12 z = − 3 , 54 16 x + 20 y + 12 z = 5 , 80 x + 11y = 2 , 26 4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46 + 2 z = 50 2 x + 2 (10) = 50 2 x = 30 x = 15 15 + y + 10 = 37 y + 25= 37 y = 12 sol: 15 , 12 , 10 = 20 x = 10 10 + y = 16 y= 6 sol :10 Km (− 1) − x − y − z = − 37 x + y − 3z = − 3 12 Km = 4 Km h → Veloc. rio arriba 3h Luego x → Veloc. bote y → Veloc. rio x + y = 16 x− y= 4 sol : 2h → tiempo ida 4h → tiempo vuelta 2. x → Pr ecio kilo azúcar y → Pr ecio kilo café 1. x → N º mayor y → N º medio x + y = 5 ( 2) 3x − 2 y = 0 2x 2 ( 2) − y = 0 − y= −4 ⇒ y=4 EJERCICIO 202 x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 3x − 2 y = 0 ( 2) (− 3) 8 x + 10 y + 6z = 2 , 90 − 6 x − 3 y − 6z = − 1, 38 Continúa 2. Continuación 2. Continuación = 1, 52 2x + 7 y x + 11y = 2 , 26 (− 2) 2 x + 7 y = 1, 52 − 2 x − 22 y = − 4 , 52 2 x + 7 y = 1, 52 − 15 y = − 3 1 5 y = 0,2 y= Continúa 2 x + 7 (0 , 2) = 1 , 52 2 x + 1 , 4 = 1 , 52 2 x = 0 , 12 x = 0 , 06 2 (0 , 06) + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 0 , 12 + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 2 z = 0 , 14 z = 0 , 07 sol : 6 cts. → Kilo Az. 20 cts. → Kilo café 7 cts. → Kilo fríjoles
  • 274. 3. x → Cifra centenas y → Cifra decenas z → Cifra unidades x + y + z = 15 2 x + 2 y − 3z = 0 99 x − 99 z = 99 x− z=1 (− 2) 2 x + 2 y − 3z = 0 − 2 x − 2 y − 2 z = − 30 0 − 5z = − 30 z=6 x − 6= 1 x=7 7 + y + 6 = 15 y + 13 = 15 y= 2 sol : 726 4. x → N º mayor y → N º medio 31x + 31y + 31z = 186 59 x − 31y + z = 0 = 774 (− 45) + z = 65 (− 1) x x + y + z = 110 −x − z = − 65 y = 45 45x + 40 y + 72 z = 5. 400 61z = 183 z=3 x − 3= − 2 x=1 1+ y + 3= 6 y+ 4= 6 y=2 sol : 123 = 135 x = 45 2 x + 6 y + 9 z = 702 2 x + 6 y + 9 z = 702 18 x − 9 y − 9 z = 72 + 32z = 186 45x + 16z = 93 x y z + + = 15 8 9 5 45x + 40 y + 72 z = 5. 400 z + x = 65 x + y + z = 110 − 45x + 45z = 90 45x + 16z = 93 3x Continúa x + y + z = 6 ( 31) 59 x − 31y + z = 0 45x + 16z = 93 y+ z 2 2x − 8 = y + z 2x − y − z = 8 x + y + z = 127 2x − y − z = 8 20 x − 3 y z → Cifra unidades x+ y+ z= 6 sol: 80! , 55! , 45! 100 x + 10 y + z = 41 x+ y 100 x + 10 y + z = 41x + 41y 59 x − 31y + z = 0 7. x → N º de vacas 100 x + 10 y + z + 198 = 100z + 10 y + x y → N º de caballos 99 x − 99z = − 198 z → N º de terneros x− z= − 2 x + y + z = 110 x − z =−2 x− 4= 8 = 160 x = 80 80 − z = 35 z = 45 80 + y + 45 = 180 y + 125 = 180 y = 55 2x 5. x → Cifra centenas y → Cifra decenas 90x z → N º menor x + y + z = 127 z y x + + = 39 2 3 9 2 x + 6 y + 9 z = 702 2x − y − z = z − 20 = x − y x − y − z = − 20 x + y + z = 180 x − y − z = − 20 900 − 3 y = 774 − 3 y = − 126 z = 40 sol: 45 , 42 , 40 100 x + 10 y + z − 99 = 100z + 10 y + x 2 x + 2 y − 3z = 6. Continuación 20 (45) − 3 y = 774 y = 42 45 + 42 + z = 127 3z 2 2 x + 2 y = 3z x+ y= x + y + z = 15 4. Continuación ( 9) 6. x → Angulo mayor y → Angulo medio z → Angulo menor x + y + z = 180 x − 35 = z x − z = 35 Continúa x + z = 65 (− 45) 45x + 40 y + 72 z = 5. 400 − 45x − 45z = − 2 . 925 40 y + 27 z = 2 . 475 40 (45) + 27 z = 2 . 475 1. 800 + 27z = 2 . 475 27 z = 675 z = 25 x + 45 + 25 = 110 x + 70 = 110 x = 40 sol : 40 vacas ; 45 caballos ; 25 terneros
  • 275. 8. x → Cifra centenas y → Cifra decenas z → Cifra unidades x + y + z = 10 x+ y− 4= z x+ y− z= 4 x + z − 6= y x− y+ z= 6 x + y + z = 10 x + y − z = 4 (− 1) x + y + z = 10 − x− y+ z= − 4 2z = 6 z= 3 x + y + z = 10 + 2 z = 16 x+ z=8 A 2 A − 2C = 0 A − 10 = B C= A − B = 10 A + B + C = 140 = 10 A− B 2A + C = 150 100z + 10 y + x = 3. 993x − 660 y − 10 . 659 z = 0 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0 100 x = 300 x=3 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0 2 A + C = 150 ( 2) x x=5 5 + y + 3 = 10 = 300 A = 60 sol : 523 11. 9. x → Angulo mayor y → Angulo medio z → Angulo menor x + y + z = 180 x + y = 135 y + z = 110 x + y + z = 180 y + z = 110 (− 1) x + y + z = 180 − y − z = − 110 = 70 x 70 + y = 135 y = 65 70 + 65 + z = 180 135 + z = 180 z = 45 sol : 70! , 65! , 45! y + z = 6 (220) 0 220 x + 220 y + 220z = 1. 320 1.551x − 3. 333z = 1. 320 1.551( 3) − 3. 333z = 1. 320 4 . 653 − 3. 333z = 1. 320 z=1 3 + y + 1= 6 y+ 4= 6 y=2 A − 1= C + 1 A− C= 2 B − 1= C B− C=1 A + 5 = 2C A − 2C = − 5 − C= 2 A B− C= 1 A + B − 2C = 3 A + B − 2C = 3 A + 1. 331x − 220 y − 3.553z = A − 2C = 0 4 A + 2C = 300 A − 2C = 0 5A 41(100 x + 10 y + z ) 107 10 . 700z + 1. 070 y + 107 x = 4 .100x + 410 y + 41z B = 50 sol : A → 60bs. B → 50bs. C → 30bs. x + 3= 8 y=2 12. x + y + z = 6 2 ( 60) + C = 150 C = 30 60 + B + 30 = 140 x− y+ z= 6 2x 10. A + B + C = 140 − 2C = − 5 (− 1) A + B − 2C = 3 −A + 2C = 5 =8 B 8− C =1 C= 7 A− 7= 2 A= 9 sol : A → $ 9 B → $8 C → $ 7 sol : 321 13. A − 2 = B + 2 A− B= 4 B − 1= C + 1 B− C= 2 8 A= C 5 5 A − 8C = 0 =4 A− B B−C= 2 A −C= 6 A− C = 6 (− 8) 5 A − 8C = 0 − 8 A + 8C = − 48 5 A − 8C = 0 − 3A = − 48 A = 16 16 − B = 4 B = 12 12 − C = 2 C = 10 sol : A → 16Q B → 12Q C → 10Q
  • 276. 14. x → Cifra centena y → Cifra decena 15. z → Cifra unidades 100 x = 400 x= 4 x+ y+ z= 9 16 (100x + 10 y + z ) 49 4 . 900z + 490 y + 49 x = 1. 600 x + 160 y + 16z 1.551x − 330 y − 4 .884z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 100z + 10 y + x = x + + y = 9 (110) z 5A 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 110 x + 110 y + 110z = 990 5 A − 7C = 627 ( 4) − 1.518z = 990 2 .508 − 1.518z = 990 − 1.518z = − 1.518 z=1 4 + y + 1= 9 y + 5= 9 y=4 sol : 441 15. Continuación C = 10 5 A − 7 (10) = 5 5 A = 75 A = 15 2 (15) + B − 10 = 32 B + 20 = 32 B = 12 sol : 15 , 12 10 − 7C = 5 3 A − B − 6C = − 27 A + B − 3C = − 3 4A − 1.518z = 990 627 x 2 A + B = C + 32 2 A + B − C = 32 B + 2C = A + 9 3 B + 6C = 3 A + 27 3 A − B − 6C = − 27 A+ B = C−1 3 A + B = 3C − 3 A + B − 3C = − 3 2 A + B − C = 32 3 A − B − 6C = − 27 5 − 9C = − 30 (− 4) 4 A − 9C = − 30 (5) − 20 A + 28C = − 20 20 A − 45C = − 150 − 17C = − 170 EJERCICIO 203 1. x → Ancho y → L arg o 2 ( x + y ) = 18 4 y = 5x 5x − 4 y = 0 x + y = 9 ( 4) 5x − 4 y = 0 4 x + 4 y = 36 5x − 4 y = 0 9x = 36 x=4 4+ y= 9 y=5 sol : 5m ⋅ 4m 2. A = 2B A − 2B = 0 A − 12 = B + 12 A − B = 24 Continúa 2. Continuación A − 2B = 0 3. Continuación A − B = 24 − 3x + 2 y = 25 (− 1) x + y = 25 ( 3) 0 3x + 3 y = 75 − A + B = − 24 − 3x + 2 y = 25 A − 2B = B = 24 A − 24 = 24 A = 48 sol : A → 48 balboas B → 24 balboas 3. x → Ancho y → L arg o (x + 1)( y + 1) = 26 + xy xy + x + y + 1 = 26 + xy x + y = 25 (x + 2)( y − 3) = 19 + xy xy − 3x + 2 y − 6 = 19 + xy − 3x + 2 y = 25 Continúa 5 y = 100 y = 20 x + 20 = 25 x=5 sol : 20m ⋅ 5m 4. x → Pr ecio carro y → Pr ecio caballo z → Pr ecio arreos x + y + z = 200 x + z = y + 20 x − y + z = 20 y + z = x + 40 x − y − z = − 40 Continúa 4. Continuación x + y + z = 200 x − y − z = − 40 = 160 x = 80 x + y + z = 200 x − y + z = 20 2x 2x + 2z = 220 x + z = 110 80 + z = 110 z = 30 80 + y + 30 = 200 y + 110 = 200 y = 90 sol:$ 80 → Costo carro $ 90 → Costo caballo $ 30 → Costo arreos
  • 277. 5. x → 1er Número y → 2º Número z → 3er Número x + y = z + 18 x + y − z = 18 x + z − 78 = y x − y + z = 78 y + z = x + 102 x − y − z = − 102 x + y − z = 18 x − y + z = 78 = 96 x = 48 x − y + z = 78 x − y − z = − 102 7 (0 , 3) + 6 y = 4 , 8 x − y = 25 x + y = 55 2x 2 ,1 + 6 y = 4 , 8 6y = 2 , 7 y = 0 , 45 = 80 x = 40 40 − y = 25 y = 15 sol: 40 Km h → Veloc. del pájaro tranq. 6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+y=6 10x + y − 36 = 10y + x 9x − 9y = 36 x−y=4 x+y=6 x−y=4 = 10 x=5 5+ y =6 y =1 sol: 51 2x 7. x → Veloc. pájaro y → Veloc. viento x + y → Veloc. pájaro a favor x − y → Veloc. pájaro contra 55 =1 x+y x + y = 55 25 =1 x−y Continúa − 5 y = − 90 y = 18 xy = ( x + 5)( y − 2) xy = xy − 2 x + 5 y − 10 2 x − 5y = − 10 xy = ( x − 5)( y + 4) xy = xy + 4 x − 5 y − 20 (− 1) 2 x − 5 y = − 10 = − 30 x = 15 2 (15) − 5 y = − 10 30 − 5y = − 10 − 5y = − 40 y=8 sol : 15 → Libros compró $ 8 → cos tó c / u 9. x → Pr ecio kilo café y → Pr ecio kilo té 7 x + 6y = 4 ,8 (− 9) 8 x + 9 y = 6 , 45 (6) − 63x − 54 y = − 43 , 2 48 x + 54 y = 38 , 7 − 15x = − 4 ,5 x = 0,3 Continúa x + 18 = 50 x = 32 sol : 32 → trajes de $ 40 18 → trajes de $ 35 11. x → Numerador − 4 x + 5 y = − 20 − 2x 50 (− 40) − 40 x − 40 y = − 2 . 000 40 x + 35 y = 1. 910 8. x → N º de libros y → Pr ecio de c / u 4 x − 5 y = 20 10. x → trajes de $ 40 y → trajes de $ 35 40 x + 35 y = 1. 910 viento 4 x − 5y = 20 2 x − 5 y = − 10 sol : 30 cts. → Costo kilo café 45 cts. → Costo kilo té x + y = 15 Km h → Veloc. del 2x 2x − 2y = − 24 x − y = − 12 48 − y = − 12 y = 60 48 + 60 − z = 18 108 − 18 = z 90 = z sol: 48 , 60 , 90 9. Continuación 7. Continuación y → Deno min ador x −1 1 = y 3 3x − 3 = y 3x − y = 3 x 1 = y−2 2 2x = y − 2 − 2x + y = 2 3x − y = 3 − 2x + y = 2 x =5 3 (5) − y = 3 − y = − 12 y = 12 12. x → 1a bolsa y → 2a bolsa x + y = 200 x − 15 = y + 15 x − y = 30 Continúa sol : 5 12
  • 278. 12. Continuación x + y = 200 x − y = 30 15. x → N º de personas y → Pr ecio c / u 17. Continuación 5x − 6y = 0 xy = ( x + 10)( y − 5) = 230 x = 115 115 + y = 200 y = 85 xy = xy − 5x + 10 y − 50 5x − 10 y = − 50 x − 2 y = − 10 sol: 115 soles → 1a bolsa xy = xy + 5x − 6 y − 30 5x − 6 y = 30 5x − 6 y = 30 2x 85 soles → 2a bolsa 13. x → Pr ecio caballo y → Pr ecio coche x + 20 = 3 y x − 3 y = − 20 3x 20 + y = 5 3x = 100 + 5 y 3x − 5 y = 100 x − 3 y = − 20 (− 3) 3x − 5 y = 100 − 3x + 9 y = 60 3x − 5 y = 100 4 y = 160 y = 40 x − 3 ( 40) = − 20 x = 100 sol : 100 soles → Costó el caballo 40 soles → Costó el coche 14. x → Cifra decenas y → Cifra unidades 10 x + y = 6 ( x + y) 10 x + y = 6 x + 6 y 4 x − 5y = 0 10 x + y − 9 = 10 y + x 9x − 9 y = 9 x− y=1 4 x − 5y = 0 x − y =1 (− 5) 4 x − 5y = 0 − 5x + 5 y = − 5 −x = −5 x=5 5− y = 1 y= 4 sol : 54 xy = ( x − 6)( y + 5) x − 2 y = − 10 (− 3) 5x − 6 y = 30 − 3x + 6 y = 30 = 60 x = 30 2x 30 − 2 y = − 10 − 2 y = − 40 y = 20 sol : 30 → Personas 20 bs. → c / u − 6x + 6y = − 60 −x = − 60 x = 60 60 − y = 10 y = 50 sol: $ 60 → gané ayer $ 50 → gané hoy er 18. x → 1 nùmero y → 2º nùmero x 3 = y 5 x − 10 1 = y − 10 2 5x − 3 y = 0 2 x − y = 10 (− 3) 5x − 3 y = 0 − 6 x + 3 y = − 30 16. A + B = 1. 080 2A B = B− 5 4 20 A − 8 A = 20 B − 5B 12 A − 15B = 0 4 A − 5B = 0 −x A− A + B = 1. 080 (5) 4 A − 5B = 0 5 A + 5B = 5. 400 4 A − 5B = 0 9A = 5. 400 A = 600 600 + B = 1. 080 B = 480 sol : A → 600 sucres B → 480 sucres 17. x → gané ayer y → gané hoy y + 10 = x 5x y= 6 5x − 6 y = 0 5x − 6 y = 0 x − y = 10 Continúa = − 30 x = 30 2 (30) − y = 10 60 − y = 10 y = 50 sol : 30 , 50 19. A + 4 = B − 4 A− B= −8 9 ( A − 4) 5 5B + 20 = 9 A − 36 9 A − 5B = 56 B+ 4= A − B = − 8 (− 5) 9 A − 5B = 56 − 5 A + 5B = 40 9 A − 5B = 56 = 96 A = 24 24 − B = − 8 B = 32 sol : A → 24 lempiras B → 32 lempiras 4A (− 6)
  • 279. 20. A − 20 = 2 ( B − 20) A − 2 B = − 20 9 (B + 30) 7 7 A + 210 = 9 B + 270 A + 30 = 7 A − 9 B = 60 A − 2 B = − 20 (− 7 ) 7 A − 9 B = 60 21. Continuación 12 + y = 16 y=4 sol: 12 Km h → Veloc. bote 4 Km h → Veloc. rio 22. − 7 A + 14 B = 140 7 A − 9 B = 60 5B = 200 B = 40 A − 2 ( 40) = − 20 A − 2 B = 15 (− 5) A − 80 = − 20 5 A − 9 B = 90 − 5 A + 10 B = − 75 A = 60 sol : A → 60 Años B → 40 Años 21. x → tiempo ida y → tiempo vuelta x+y=3 4 8 = x y 8x − 4y = 0 2x − y = 0 x+y=3 2x − y = 0 3x =3 x =1 A B − 2= 9 5 5 A − 90 = 9 B 5 A − 9 B = 90 2 B = A − 15 A − 2 B = 15 5 A − 9 B = 90 B = 15 A − 2 (15) = 15 A − 30 = 15 A = 45 sol : A → 45 Años B → 15 Años 23. 5A − 4B = 4 7 A − 2 = 6B 7 A − 6B = 2 2y = 10 y=5 x+5=6 x =1 sol: 15 25. x → L arg o y → Ancho 2 ( x + y ) = 58 2 x + 2 y = 58 x + y = 29 (x + 2)( y − 2) = xy − 46 xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 46 − 2 x + 2 y = − 42 x − y = 21 x + y = 29 x − y = 21 2x = 50 x = 25 25 + y = 29 y=4 sol : 25 m ⋅ 4m 5 A − 4 B = 4 (6) (− 4) 7 A − 6B = 2 Si 1h → tiempo de ida 2 h → tiempo de vuelta Entonces 16 Km = 16 Km h → Veloc. a favor 1h 16 Km = 8 Km h → Veloc. en contra 2h Luego x → Veloc. del bote y → Veloc. delrio x + y = 16 x−y= 8 − 28 A + 24 B = − 8 = 24 x = 12 Continúa −x+y=4 x+y=6 5A − 4 = 4B 1+ y = 3 y=2 2x 24. Continuación 30 A − 24 B = 24 2A = 16 A= 8 26. x → L arg o y → Ancho 2 x + 2 y = 56 x + y = 28 ( y − 2)(x + 2) = xy 5(8) − 4 B = 4 40 − 4 B = 4 − 4 B = − 36 B= 9 sol : A → 8 Km B → 9 Km 24. x → Cifra decenas y → Cifra unidades y−x=4 10x + y + 10y + x = 66 11x + 11y = 66 x+y=6 Continúa xy + 2 y − 2 x − 4 = xy 2x − 2 y = − 4 x− y= −4 x + y = 28 x− y= − 4 2x = 24 x = 12 12 + y = 28 y = 16 sol : 16 m ⋅ 12 m
  • 280. EJERCICIO 204 1. m = 6 n = 3 3 3 3 A6 = 6 ⋅ 5 .... (6 − 3 + 1) A6 = 6 ⋅ 5⋅ 4 A6 = 120 2. P5 = 5! P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P5 = 120 9. P 5 − 1 = P 4 P4 = 4 ! P 3 = 3! P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P 3 = 3⋅ 2 P4 = 24 P 3 =6 10. P 6 = 6! P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P6 = 720 3. m = 7 n = 5 A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 5 + 1) = P5 5! 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3 5 C7= 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 2 . 520 5 C7= 120 5 C 7 = 21 5 5 C7= 4. m = 6 n= 2 A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 2 + 1) 2 2 A 6 = 30 11. Siendo el 1º P 6 = 6! P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 17. m = 5 n = 3 3 A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1) 3 A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3 3 A 5 = 60 18. P 11− 1 = P 10 P6 = 720 P 10 = 10! sin lugar fijo P 7 = 7! P 10 = 3 . 628 . 800 P 10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P 7 = 7P 6 P 7 = 7 ⋅ 720 P 7 = 5 . 040 19. m = 8 n = 3 5. m = 5 n = 3 A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1) 3 3 A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3 3 A 5 = 60 6. m = 12 n = 5 12. En un banco P 6 = 720 En una mesa redonda P 6 −1 = P 5 P 5 = 5! P 5 = 120 C8= 3 C8= 3 C 8 = 4⋅7⋅2 3 C 8 = 56 5 C 12 = A 12 12 ⋅ 11.... (12 − 5 + 1) = 13. m = 9 n = 3 P5 5! 3 A 9 = 9 ⋅ 8 ....(9 − 3 + 1) 12 ⋅11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 C 12 = 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 5 C 12 = 3⋅11⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 5 C 12 = 792 7. P 7 = 7! P 7 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2 P 7 = 5 . 040 8. m = 7 n = 4 A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 4 + 1) = P4 4! 4 4 C7= 4 C7= 4 C 7 = 7 ⋅5 4 C 7 = 35 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 3 A 9 = 504 n= 3 5 A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 3 + 1) 5 A 6 = 6 ⋅ 5⋅ 4 5 A 6 = 120 A 9 = 9 ⋅ 8⋅ 7 3 8⋅ 7 ⋅ 6 3⋅ 2 20. m = 6 5 5 A 8 8 ⋅ 7 .... (8 − 3 + 1) = P3 3! 3 3 A 6 = 6⋅ 5 2 16. P 5 − 2 = P 3 14. P 4 − 1 = P 3 P 3 = 3! 21. Palabras dist int as P 8 = 8! P 8 = 8⋅7 ⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2 P 8 = 40 . 320 P 3 =6 15. m = 5 n = 3 Vocales fijas P 5 = 5! P 5 = 120 A 5 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1) = P3 3! 22. P 5 − 1 = P 4 5⋅ 4 ⋅ 3 3 C5= 3⋅ 2 P 4 = 4! 3 C 5 = 5⋅ 2 P 4 = 4 ⋅3⋅2 3 P 4 = 24 C 5 = 10 3 3 C5=
  • 281. EJERCICIO 205 1. (4a 2 )2 = 16a 4 ( 11. ) 3 2. − 5a = − 125a 3 12. ( ) 2 4 2 2 3 3 6. (4a b c ) = 64a b c 6 9 12 (− 6x y ) = 36x y 8. (− 7ab c ) = − 343a b c 4 5 2 7. 8 10 3 4 3 9. 3 9 12 (a mbn )x = a mxbnx 10. (− 2 x y z ) = 16x 3 5 6 4 3 4 2 2 4  2ab 2  16a 4b8  = 81m12  3m3  15. 20.  − 8 4 12 5 2 6 9 2 3 4 3  3x 2  9x4  = 19.  −  4 y  16 y 2 9 3 (a 2b3c)m = a 2mb3mcm 13. (− 6a b) = 36a b 5. (− 2 x y ) = − 8 x y 2 3 3 (− m nx ) = m n x 14. (− 3a b) = − 243a b 3 3. 3xy = 27 x 3 y 3 4. (− 3m n) = − 27m n 10 5 (7 x y z ) = 49 x 5 6 8 2 2 5  2m3n  32m15n5  = 243x 20  3x 4  21.  10 12 16 y z 2  3a 3b 2  9a 6b 4  = 22.  − 4  16   x x  = 2 16.  −  2y 4y 2 8m  2m  17.  − 2  = − 6  n  n 3 4  mn2  m4 n8  = 3  81  3 23.  − 5  a 2b 4  a 10b 20  =− 2  32  3 12 20 24 y z  ab2  a 3b 6  = 18.  125  5  24.  − EJERCICIO 206 7. ( xy − a b ) 5 4 1. (a + 7b ) 2 2 2 2 = a 10 + 2a 5 (7b 4 ) + 49b8 = a + 14a b + 49b 10 ( 5 4 2. 3x − 5xy 4 8 ) 3 2 = 9 x 8 − 2 (3x 4 ) (5xy 3 ) + 25x 2 y 6 = 9 x 8 − 30 x 5 y 3 + 25x 2 y 6 ( 3. a b − a 2 3 ) 5 2 = a 4b 6 − 2a 2b 3 (a 5 ) + a 10 = a 4b 6 − 2a 7b 3 + a 10 ( 4. 7 x − 8 x y ) = 49 x − 2 (7 x 5 )(8x 3 y 4 ) + 64 x 6 y 8 10 ( ) 2 3 2 5. 9ab + 5a b = 81a 2b4 + 2 (9ab 2 )(5a 2b 3 ) + 25a 4b 6 = 81a 2b4 + 90a 3b5 + 25a 4b 6 ( 2 3 ) 3 2 2 6. 3x y − 7 x y 2  x 2y 8.  2 + 3    = 2 2 4 4 2 x2  x  2y 4y + 2    +  2  3  4 9  3a 2b  −   5  2 = 2 = 9 x 4 y 6 − 2 (3x 2 y 3 )(7 x 3 y 2 ) + 49 x 6 y 4 = 9 x 4 y 6 − 42 x 5 y 5 + 49 x 6 y 4 =  a 5   3a 3b 7  9a 6b14 a10 − 2   + 81 49  9 7  a10 2a 8b 7 9a 6b14 − + 81 21 49 2  2m4 5n 3  12.  5 − 4    = 2 2 4m8 25n 6 − m4 n 3 + 25 16 2  x y2  13.  +  3 4 = 4 9a 3a b 4b − + 16 5 25  5x 3 3xy 2  +   10.  6 5   2m4   5n 3  25n 6 4m8 − 2  + 25 16  5  4  = 2  3a 2   2b 2  4b 4 9a 4 − 2  + 16  4   5  25 4 2 = 2 x 2 2 xy 4 y 2 = + + 4 3 9 = 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8 2 = = x y − 2a b xy + a b 2 9.  4 3 4 2 5 = x 2 y 2 − 2 (xy )(a 2b 2 ) + a 4b 4  a 5 3a 3b 7   −  11.  9 7  2 =  5x 3   3xy 2  9 x 2 y 4 25x 6 + 2  + 36 25  6  5  = 25x 6 9 x2 y4 + x4 y2 + 36 25 2 4 x2  x  y  y + 2    +  3   4  16 9 x 2 xy 2 y 4 + + 9 6 16 2  2 x 3y  −  14.   3 5 = = 2 4x2  2 x   3y  9 y − 2    +  3   5  25 9 = 4 x 2 4 xy 9 y 2 − + 9 5 25
  • 282.  a 3 4a 2   +  15.  8 7b  = 2  5x 7 3 y 6   5x 7   3 y 6  9 y12 25x14 −  = − 2 4   + 36 y 8  6 y 4 10 x 2   6 y   10 x 2  100 x 4 17.   a 3   4a 2  16a 4 a 6 a 5 16a 4 a6 + 2   = + + +  8   7b  49b 2 64 7b 49b 2 64  3 2x4  16.  2 x − 3    = 2 = 25x 14 x 5 y 2 9 y12 − + 36 y 8 2 100 x 4 2  3a 6 4a 2   3a 6   4a 2  16a 4 9a12 − 5 = − 2  + 9b  64  8   9b5  81b10  8 2 18.  4 8 9 9 4 x8  3   2x  4x = 2 − 2x3 +  + 2 − 2  2x  3  4x 9 4x 9 = 9a12 a 8 16a 4 − + 64 3b5 81b10 EJERCICIO 207 (2a + 3b) = 8a + 3(4a )(3b) + 3 (2a ) (9b ) + 27b = 8a + 36a b + 54ab + 27b 2. (4a − 3b ) = 64a − 3 (16a )(3b ) + 3 ( 4a ) (9b ) − 27b = 64a − 144a b + 108ab − 27b 3. (5x + 6 y ) = 125x + 3 (25x ) (6 y ) + 3 (5x ) (36 y ) + 216 y = 125x + 450 x y + 540 x y + 216 y 4. (4 x − 3xy ) = 64 x − 3 (16 x ) (3xy ) + 3(4 x ) (9 x y ) − 27 x y = 64 x − 144 x y + 108 x y − 27 x y 5. (7a − 5a b ) 3 1. 3 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 6 3 4 4 9 2 3 3 6 3 4 3 2 2 6 6 2 3 9 3 2 2 6 4 4 3 6 2 6 9 2 3 3 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6 = 343a12 − 3 (49a 8 )(5a 2b 3 ) + 3 (7a 4 )(25a 4b 6 ) − 125a 6b 9 = 343a12 − 735a10b 3 + 525a 8b 6 − 125a 6b 9 (a + 9a x ) = a 7. (8 x − 7 x y ) 5 4 3 8 6. 4 24 + 3 (a 16 )(9a 5 x 4 ) + 3(a 8 )(81a 10 x 8 ) + 729a15 x12 = a 24 + 27a 21 x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x12 2 4 3 = 512 x12 − 3(64 x 8 )(7 x 2 y 4 ) + 3(8 x 4 )(49 x 4 y 8 ) − 343x 6 y12 = 512 x12 − 1. 344 x10 y 4 + 1.176 x 8 y 8 − 343x 6 y12 8. (3a b − 5a b ) 2 3 2 3 = 27a 6b 3 − 3 (9a 4b2 )(5a 3b2 ) + 3 (3a 2b)(25a 6b 4 ) − 125a 9b 6 = 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b5 − 125a 9b 6 4 6 3 2 2 4 6  a 2   2b 2  1 2b 2  a 3  a   4b  8b a a b 2ab 8b = + + + a+ +  + 3    = + 3    2   9  27 8 3  8 2 3 27  4 3  2 3 9.   3a 2   16b4  64b 6 27a 6 27a 4b 2 36a 2b 4 64b 6  9a 4   4b 2   3a 2 4b 2  27a 6 = − + − − 3 − −   + 3   = 5  64 64 20 25 125  4   25  125  16   5   4 3 10.   5a 2b 3b 4  −  11.  6 10   =  25a 4b 2   3b 4   5a 2b   9b8  27b12 125a 6b 3 5a 4b 6 9a 2b 9 27b12 125a 6b 3 − 3 = − + −   + 3  − 216 216 8 40 1. 000  36   10   6   100  1. 000  7 x5 4 y6  12.  8 − 7    = 3 3  49 x10   4 y 6   7 x 5   16 y12  64 y 18 343x15 21x10 y 6 6 x 5 y 12 64 y18 343x15 − 3 = − + +   + 3  + 512 512 16 7 343  64   7   8   49  343
  • 283.  x 2   3 y   x   9 y 2  27 y 3 x 3  x 3y  x3 9 27 y 27 y 3 + + 6 + 2  = 3 + 3 2   2  + 3   4  + 6 = 3 + 13.  x 8y 4 y 2 x3 x  2 y x  8y  4y   x   2y  x  3  2a 2   25  125 8a 6 6a 4 15a 2 125  4a 4   5   2a 2 5  8a 6 = − + − − 3 − 3 =  −   3  + 3 14.   5   4b 6  8b 9 125 5b 3 2b 6 8b 9  5 2b  125  25   2b  3   15.  4 x − 4  9 x 2  27 x 3  3x  3x  144 x 9 108 x 6 27 x 3 12 12 8 4 + − 9 6  − 9 = 64 x − 3  = 64 x − 3 (16 x )  3  + 3 (4 x )  y  y y3 y6 y y   y  3 4 6 3 2 3 6  3a 4b 2  27a 3  9a 2   4b 2   3a   16b  64b 27a 27a 72ab 64b +  =  + 3   + = + + 16.  3 + 3 2  3 +  2b   25  125 8b 8b 5 25 125  2b 5   4b   5  3 4 5 8 10  7 4 5  343  49  4 5  7  8 10 12 15 343 147 x y 21x y −x y  = − 3  x y + 3  x y − x y = − + − x12 y15 8  512  64   8 512 64 8 17.  3  m6   6n 2   m3   36n4  216n 6 m9 m4 n 2 18n 4 216n6  m3 6n 2  m9 = − + − − 3   2  + 3   4  − − 2 = 18.  216 2 m6 m m6  6 m  216  36   m   6   m  EJERCICIO 208 2 1. x − 2 x + 1 = x 4 + 4 x 2 + 1+ 2 x 2 (− 2 x) + 2 x 2 (1) + 2 (− 2 x) (1) = x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 3 + 2 x 2 − 4 x = x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1 2. 2 x 2 + x + 1 = 4 x 4 + x 2 + 1+ 2 (2 x 2 )( x ) + 2 (2 x 2 ) (1) + 2 ( x)(1) = 4 x 4 + x 2 + 1 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2 x + 1 ( ) ( ) 3. x 2 − 5x + 2 = x 4 + 25x 2 + 4 + 2 (x 2 ) − 5x + 2 ( x 2 )( 2) + 2 − 5x ( 2) = x 4 + 25x 2 + 4 − 10 x 3 + 4 x 2 − 20 x ( ) ( = x 4 − 10 x 3 + 29 x 2 − 20 x + 4 ) 4. x 3 − 5x 2 + 6 = x 6 + 25x 4 + 36 + 2 ( x 3 ) − 5x 2 + 2 (x 3 ) (6) + 2 − 5x 2 ( 6) = x 6 + 25x 4 + 36 − 10 x5 + 12 x 3 − 60 x 2 ( ) = x 6 − 10x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60x 2 + 36 ( ) 5. 4a 4 − 3a 2 + 5 = 16a 8 + 9a 4 + 25 + 2 (4a 4 ) − 3a 2 + 2 (4a 4 ) (5) + 2 − 3a 2 (5) = 16a + 9a + 25 − 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a 4 − 30a 2 + 25 8 4 6 4 2 8 6 ( ) ( )( ) ( ) 6. x + 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 ( x) 2 y + 2 ( x) − z + 2 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz 7. 3 − x 3 − x 6 = 9 + x 6 + x12 + 2 (3) (− x 3 ) + 2 (3) (− x 6 ) + 2 (− x 3 )(− x 6 ) = 9 + x 6 + x12 − 6 x 3 − 6 x 6 + 2 x 9 = x12 + 2 x 9 − 5x 6 − 6 x 3 + 9 ( ) ( ) 8. 5x 4 − 7 x 2 + 3x = 25x 8 + 49 x 4 + 9 x 2 + 2 (5x 4 ) − 7 x 2 + 2 (5x 4 ) ( 3x) + 2 − 7 x 2 ( 3x) = 25x + 49 x + 9 x − 70x + 30 x − 42 x = 25x − 70x + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2 8 4 2 6 5 3 8 6 ( ) ( 9. 2a 2 + 2ab − 3b 2 = 4a 4 + 4a 2b 2 + 9b 4 + 2 (2a 2 ) ( 2ab) + 2 (2a 2 ) − 3b 2 + 2 ( 2ab) − 3b 2 ) = 4a + 4a b + 9b + 8a b − 12a b − 12ab = 4a + 8a b − 8a b − 12ab 3 + 9b4 4 2 2 4 3 2 2 ( 3 ) 4 3 2 2 ( ) 10. m3 − 2m2n + 2n 4 = m6 + 4m4 n 2 + 4n8 + 2 (m3 ) − 2m2 n + 2 (m3 )(2n 4 ) + 2 − 2m2n (2n 4 ) = m6 + 4m4 n2 + 4n8 − 4m5n + 4m3n4 − 8m2 n5 = m6 − 4m5n + 4m4n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 11. 2 a c a2 c2 c2 ac bc  a  a  c  c a −b+ = + b 2 + + 2   (− b) + 2     + 2 (− b)   = + b 2 + − ab + −  2  2   4  4 4 2 4 4 16 16 4 2
  • 284. 12. 2 5 x2 25  x  25 2 x 50 y x  x   5  5 x − 5y + = + 25 y 2 + + 2   (− 5y ) + 2     + 2 (− 5 y)   = + 25 y 2 + − 2 xy + −  5  5   3  3 25 3 25 9 9 3 3 5 = x2 2x 50 y 25 − 2 xy + + 25 y 2 − + 25 3 3 9 2 4 4 2  2  2 13. x − x + 2 = x + x 2 + 4 + 2  x  − x + 2  x   2  + 2  2  − x = x + x 2 + 4 − x 3 + 2 x − 4 x     2 3 4  2 9 ( )  3  2   3 ( ) 4 9 3 3 x4 5x 2 4 x 4 = − x3 + − + 4 3 3 9 14. 2 2 a 1 x a2 1 x2 2x  a   1  a  x  1   x  a 1 x 2a − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −    = 2 + + 2 − + 2−  x   3  x  a  3  a  x 9 a 3x x 3 a x2 9 a2 3a = 15.  3a 2   a   3a 2   4  3a 2 a 4 9a 4 a 2 16  a   4 − + = + + + 2  −  + 2    + 2 −     2   5  2  5 4 2 5 16 4 25  4   4  = 16. a 2 2a 2 x x 2 19 − − + + x 2 3x 3a a 2 9 9a 4 a 2 16 3a 3 6a 2 4a 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 + + − + − = − + − + 16 4 25 4 5 5 16 4 20 5 25 2  a 2   3  a 2   b2  a 2 3 b2 a 4 9 b 4  3  b  − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −     5  9  4 5 9 16 25 81  4   5   4 9 = a 4 9 b 4 3a 2 a 2b 2 2b 2 a 4 3a 2 a 2b 2 9 2b 2 b 4 + + − + − = − + + − + 16 25 81 10 18 15 16 10 18 25 15 81 ( ) ( ) ( ) 17. x 3 − x 2 + x + 1 = x 6 + x 4 + x 2 + 1 + 2 (x 3 ) − x 2 + 2 (x 3 )( x ) + 2 x 3 + 2 − x 2 ( x) + 2 − x 2 + 2 x = x + x + x + 1 − 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 x = x − 2 x + 3x − x 2 + 2 x + 1 6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 3 2 18. x − 3x − 2 x + 2 = x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 + 2 (x 3 )(− 3x 2 ) + 2 ( x 3 ) (− 2 x) + 2 (x 3 )(2) + 2 (− 3x 2 )(− 2 x) + 2 (− 3x 2 ) (2) + 2 (− 2 x) (2) = x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 − 6x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 + 12 x 3 − 12 x 2 − 8 x = x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16x 3 − 8 x 2 − 8 x + 4 4 2 19. x + 3x − 4 x + 5 = x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 2 (x 4 )(3x 2 ) + 2 (x 4 ) (− 4 x ) + 2 (x 4 ) (5) + 2 (3x 2 )(− 4 x) + 2 (3x 2 )(5) + 2 (− 4 x ) (5) = x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 6 x 6 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 30 x 2 − 40 x = x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25 20. x 4 − 4 x 3 + 2 x − 3 = x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 + 2 (x 4 )(− 4 x 3 ) + 2 (x 4 )( 2 x) + 2 (x 4 )(− 3) + 2 (− 4 x 3 ) (2 x) + 2 (− 4 x 3 )(− 3) + 2 ( 2 x ) (− 3) = x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 − 8 x 7 + 4 x5 − 6x 4 − 16 x 4 + 24 x 3 − 12 x = x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9 21. 3 − 6a + a − a 2 3 = 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 + 2 (3) (− 6a ) + 2 (3) (a 2 ) + 2 (3) (− a 3 ) + 2 (− 6a )(a 2 ) + 2 (− 6a )(− a 3 ) + 2 (a 2 ) (− a 3 ) = 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 − 36a + 6a 2 − 6a 3 − 12a 3 + 12a 4 − 2a 5 = a 6 − 2a 5 + 13a 4 − 18a 3 + 42a 2 − 36a + 9 22. x3 2x − x2 + +2 2 3  x3   x3   2x   x3  x6 4x2  2x   2x  = + x4 + + 4 + 2   (− x 2 ) + 2     + 2   ( 2) + 2 (− x 2 )   + 2 (− x 2 )(2) + 2   (2)  3  3  3 4 9  2  2  2 = x6 4x2 2x4 4x3 8x x 6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x + − + +4 + x4 + + 4 − x5 + + 2x3 − − 4x2 + = − x5 + 3 3 9 3 4 9 3 3 3 4
  • 285. 23. a 3 2a 2 3a 1 − + − 2 3 4 2  a 3   2a 2   a 3   3a   a3   a 6 4 a 4 9a 2 1 = + + + + 2   −  + 2    + 2   − 4 9 16 4  2 3   2 4  2 =  2a 2   3a   2a 2   1  1  3a   1   + 2 −    + 2−   −  + 2   −   4   2 2  3  4  3   2 a 6 4a 4 9a 2 1 2a 5 3a 4 a 3 2a 2 3a a 6 2a 5 43a 4 3a 3 59a 2 3a 1 + + + − + − − a3 + − = − + − + − + 4 9 16 4 3 4 2 3 4 4 3 36 2 48 4 4 24. x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2 = x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 + 2 ( x 5 ) (− x 4 ) + 2 ( x 5 )( x 3 ) + 2 ( x 5 ) (− x 2 ) + 2 ( x 5 ) ( x ) + 2 ( x 5 ) (− 2) + 2 (− x 4 ) ( x 3 ) + 2 (− x 4 )(− x 2 ) + 2 (− x 4 ) ( x ) + 2 (− x 4 )(− 2) + 2 ( x 3 ) (− x 2 ) + 2 ( x 3 ) ( x ) + 2 ( x 3 ) (− 2) + 2 (− x 2 ) ( x) + 2 (− x 2 )(− 2) + 2 ( x) (− 2) = x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 − 2 x 9 + 2 x 8 − 2 x 7 + 2 x 6 − 4 x 5 − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 2 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x = x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8 x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4 EJERCICIO 209 ( )2 ( x) + 3(x 2 )2 (1) + 3( x)2 (x 2 ) + 3( x)2 (1) + 3(x 2 ) + 3( x) + 6 (x 2 )( x)(1) 1. x 2 + x + 1 = x 6 + x 3 + 1 + 3 x 2 = x 6 + x 3 + 1 + 3x 5 + 3x 4 + 3x 4 + 3x 2 + 3x 2 + 3x + 6 x 3 = x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1 ( )2 (− x) + 3(2 x 2 )2 (− 1) + 3(− x)2 (− 1) + 3(− x)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (− x) 2. 2 x 2 − x − 1 = 8 x 6 − x 3 − 1 + 3 2 x 2 + 6 (2 x 2 )(− x)(− 1) = 8x 6 − x 3 − 1 − 12 x 5 − 12 x 4 − 3x 2 + 6x 4 + 6 x 2 − 3x + 12 x 3 = 8x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1 3. 1 − 3x + 2 x 2 2 = 1 − 27 x 3 + 8 x 6 + 3(1) (− 3x ) + 3(12 )(2 x 2 ) + 3(− 3x ) (1) + 3(− 3x) (2 x 2 ) + 3(2 x 2 ) (1) + 3(2 x 2 ) (− 3x) 2 2 2 2 + 6 (1) (− 3x ) (2 x 2 ) = 1 − 27 x 3 + 8 x 6 − 9 x + 6x 2 + 27 x 2 + 54 x 4 + 12 x 4 − 36 x 5 − 36x 3 = 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36x 5 + 8 x 6 2 4. 2 − 3x + x 2 2 = 8 − 27 x 3 + x 6 + 3 (2) (− 3x ) + 3 (2) (x 2 ) + 3(− 3x ) (2) + 3(− 3x ) (x 2 ) + 3( x 2 ) (2) + 3 (x 2 ) (− 3x) + 6 (2) (− 3x) (x 2 ) 2 2 2 2 = 8 − 27 x 3 + x 6 − 36 x + 12 x 2 + 54 x 2 + 27 x 4 + 6x 4 − 9 x 5 − 36 x 3 = x 6 − 9 x5 + 33x 4 − 63x 3 + 66x 2 − 36 x + 8 3 2 5. x − 2 x − 4 = x 9 − 8 x 6 − 64 + 3( x 3 ) (− 2 x 2 ) + 3 (x 3 ) (− 4) + 3 (− 2 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 2 x 2 ) (− 4) + 3 (− 4) ( x 3 ) + 3 (− 4) (− 2 x 2 ) 2 2 2 2 2 2 + 6 (x 3 )(− 2 x 2 )(− 4) = x 9 − 8 x 6 − 64 − 6 x 8 − 12 x 6 + 12 x 7 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 + 48 x 5 = x 9 − 6 x 8 + 12 x 7 − 20 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 − 64 4 2 6. x − x − 2 = x12 − x 6 − 8 + 3 (x 4 ) (− x 2 ) + 3 (x 4 ) (− 2) + 3 (− x 2 ) ( x 4 ) + 3 (− x 2 ) (− 2) + 3 (− 2) (x 4 ) + 3 (− 2) (− x 2 ) 2 2 2 2 2 2 + 6 (x 4 )(− x 2 )(− 2) = x12 − x 6 − 8 − 3x10 − 6 x 8 + 3x 8 − 6 x 4 + 12 x 4 − 12 x 2 + 12 x 6 = x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
  • 286. 3 7. a + 2  a2  a2 a a6 a3 a 2 2 a  − = a9 + − + 3(a 3 )   + 3 (a 3 )  −  + 3    3 2 3 8 27  2  2 2 2 2  a2   a   a   −  + 3  −  (a 3 )  3 2   3 (a ) + 3   3 2 2  a2   a   a  a  + 3  −    + 6a 3    −   3  2   2   3 = a9 + a 6 a 3 3a 8 3a 7 a 5 a 5 a 4 3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 − + − a7 + − + + − a6 = a9 + − − + + − 8 27 2 4 4 3 6 2 4 8 12 6 27 2 2 2 2 2  x2   x  x2 x x6 x3  x  x   x 2 x  − + 2= − + 8 + 3    −  + 3 (x 2 )2 2 (2) + 3  −    + 3  −  (2) + 3 (2)   8.  3  2   3 2 3 8 27  2   3  2  x2   x  x 2 + 3 ( 2)  −  + 6    −  ( 2)  3  2   3 = x6 x3 x 5 3x 4 x 4 2 x 2 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 − + 8− + + + + 6x 2 − 4 x − 2 x 3 = − + − + − 4x + 8 8 27 4 2 6 3 8 4 3 27 3 3 2 9. a − a + a − 1 = a 9 − a 6 + a 3 − 1 + 3 (a 3 ) (− a 2 ) + 3 (a 3 ) ( a ) + 3 (a 3 ) (− 1) + 3 (− a 2 ) (a 3 ) + 3 (− a 2 ) ( a ) 2 2 2 2 2 + 3 (− a 2 ) (− 1) + 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 (− a 2 ) + 3a 2 (− 1) + 3 (− 1) (a 3 ) + 3 (− 1) (− a 2 ) + 3(− 1) (a ) 2 2 2 2 + 6 (a 3 ) (− a 2 ) (a ) + 6 (a 3 )(− a 2 )(− 1) + 6 (a 3 )( a ) (− 1) + 6 (− a 2 )( a ) (− 1) = a 9 − a 6 + a 3 − 1 − 3a 8 + 3a 7 − 3a 6 + 3a 7 + 3a 5 − 3a 4 + 3a 5 − 3a 4 − 3a 2 + 3a 3 − 3a 2 + 3a − 6a 6 + 6a 5 − 6a 4 + 6a 3 = a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1 ( ) ( ) ( ) (x ) + 3(− 2 x ) ( x) + 3 (− 2 x ) (− 3) + 3x (x ) + 3x (− 2 x ) + 3x (− 3) + 6 (x ) (− 2 x )( x ) + 6 ( x ) (− 2 x )(− 3) + 6 (x )( x ) (− 3) + 6 (− 2 x )( x ) (− 3) + 3 (− 3) ( x ) + 3 (− 3) (− 2 x ) + 3(− 3) x 3 2 9 6 3 3 2 3 3 2 10. x − 2 x + x − 3 = x − 8 x + x − 27 + 3 (x ) − 2 x + 3 (x ) ( x) + 3 ( x ) − 3 + 3 − 2 x 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 = x 9 − 8 x 6 + x 3 − 27 − 6 x 8 + 3x 7 − 9 x 6 + 12 x 7 + 12 x 5 − 36x 4 + 3x 5 − 6 x 4 − 9 x 2 − 12 x 6 + 36 x 5 − 18 x 4 + 36 x 3 + 27 x 3 − 54 x 2 + 27 x = x 9 − 6 x 8 + 15x 7 − 29 x 6 + 51x 5 − 60 x 4 + 64 x 3 − 63x 2 + 27 x − 27 3 2 11. x − 4 x + 2 x − 3 = x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 + 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) + 3(x 3 ) (2 x) + 3(x 3 ) (− 3) + 3 (− 4 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 4 x 2 ) (2 x ) 2 2 2 2 2 + 3 (− 4 x 2 ) (− 3) + 3 (2 x ) (x 3 ) + 3 (2 x) (− 4 x 2 ) + 3 (2 x) (− 3) + 3(− 3) (x 3 ) + 3(− 3) (− 4 x 2 ) 2 2 2 2 2 2 + 3 (− 3) (2 x ) + 6 (x 3 ) (− 4 x 2 ) (2 x ) + 6 (x 3 )(− 4 x 2 )(− 3) + 6 (x 3 )(2 x ) (− 3) + 6 (− 4 x 2 ) (2 x ) (− 3) 2 = x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 − 12 x 8 + 6 x 7 − 9 x 6 + 48 x 7 + 96 x 5 − 144 x 4 + 12 x 5 − 48 x 4 − 36 x 2 + 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x − 48 x 6 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3 = x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27 ( ) ( ) ( ) + 3(− x ) (2 x ) + 3(− x ) (− x ) + 3(2 x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (− x ) + 3(− x ) (− x ) + 3 (− x ) (2 x ) + 6 (− x ) (2 x ) + 6 (2 x )(− x ) + 6 (− x )(− x ) + 6 (− x ) (2 x ) (− x ) 12. 1 − x 2 + 2 x 4 − x 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 + 3 − x 2 + 3 (2 x 4 ) + 3 − x 6 + 3 − x 2 4 2 2 4 2 4 4 2 2 4 6 2 2 6 2 6 2 2 6 6 2 2 4 2 2 4 2 6 2 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 − 3x 2 + 6 x 4 − 3x 6 + 3x 4 + 6 x 8 − 3x10 + 12 x 8 − 12 x10 − 12 x14 + 3x12 − 3x14 + 6 x16 − 12 x 6 − 12 x10 + 6x 8 + 12 x12 = 1 − 3x 2 + 9 x 4 − 16x 6 + 24 x 8 − 27 x10 + 23x12 − 15x14 + 6 x16 − x18 6 4
  • 287. EJERCICIO 210 4⋅ 3 2 2 6⋅ 2 3 4 x ( 2) − x (2) + (2) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16 2 3 4 ⋅ 3 2 2 6⋅ 2 4 3 4 4 3 a (3) + a ( 3) + ( 3) = a 4 + 12a 3 + 54a 2 + 108a + 81 2. (a + 3) = a + 4a (3) + 2 3 5⋅ 4 3 2 10 ⋅ 3 2 3 10 ⋅ 2 5 5 4 ( 2) x − ( 2) x + (2) x 4 − x 5 = 32 − 80 x + 80x 2 − 40 x 3 + 10 x 4 − x 5 3. (2 − x ) = ( 2) − 5 ( 2) x + 2 3 4 ( ) 4 3 1. x − 2 = x − 4 x ( 2) + 4 ( 4. 2 x + 5 y ) 4 6⋅ 2 4⋅ 3 2 3 4 ( 2 x) 2 (5y ) + (2 x) (5y ) + (5 y) = 16 x 4 + 160 x 3 y + 600x 2 y 2 + 1. 000xy 3 + 625y 4 2 3 6 6 ⋅ 5 4 2 15⋅ 4 3 3 20 ⋅ 3 2 4 15⋅ 2 5 6 a − 3 = a 6 − 6a 5 ( 3) + a (3) − a ( 3) + a (3) − a (3) + (3) 2 3 4 5 = a 6 − 18a 5 + 135a 4 − 540a 3 + 1. 215a 2 − 1. 458a + 729 6 15⋅ 2 6⋅ 5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 6 5 ( 2a ) 4 b 2 − ( 2a ) 3 b 3 + ( 2a ) 2 b 4 − ( 2a )b5 + b 6 2 a − b = ( 2a ) − 6 ( 2a ) b + 2 3 4 5 = 64a 6 − 192a 5b + 240a 4b 2 − 160a 3b 3 + 60a 2b 4 − 12ab 5 + b 6 ⋅ ⋅ 5 5⋅ 4 2 3 5 4 (x ) (2 y 3 )2 + 103 3 (x 2 )2 (2 y 3 )3 + 104 2 (x 2 )(2 y 3 )4 + (2 y 3 )5 x 2 + 2 y 3 = (x 2 ) + 5(x 2 ) (2 y 3 ) + 2 = x10 + 10x 8 y 3 + 40 x 6 y 6 + 80 x 4 y 9 + 80 x 2 y12 + 32 y15 6 6 ⋅ 5 3 4 2 15⋅ 4 3 3 3 20 ⋅ 3 3 2 4 15⋅ 2 3 6 5 (x ) (1) + 3 (x ) (1) + 4 (x ) (1) + 5 (x )(1)5 + (1)6 x 3 + 1 = (x 3 ) + 6 (x 3 ) (1) + 2 = x18 + 6x15 + 15x12 + 20 x 9 + 15x 6 + 6 x 3 + 1 5 5⋅ 4 10 ⋅ 3 10 ⋅ 2 5 4 ( 2a ) 3 ( 3b) 2 − ( 2a ) 2 ( 3b) 3 + ( 2a )( 3b) 4 − ( 3b)5 2a − 3b = ( 2a ) − 5 ( 2a ) ( 3b) + 2 3 4 = 32a 5 − 240a 4b + 720a 3b 2 − 1. 080a 2b 3 + 810ab 4 − 243b5 = ( 2 x) + 4 ( 2 x) (5 y) + 4 5. ( 6. ( 7. ( 8. ( 9. ( 3 ) ) ) ) ) ( 4 3 10. x − 5 y ) 6 ⋅ ⋅ ⋅ 6⋅5 4 4 (x ) (5 y 3 )2 − 153 4 (x 4 )3 (5 y 3 )3 + 20 3 (x 4 )2 (5y 3 )4 − 155 2 (x 4 )(5y 3 )5 + (5y 3 )6 2 4 = x 24 − 30 x 20 y 3 + 375x16 y 6 − 2 .500 x12 y 9 + 9 . 375x 8 y 12 − 18 . 750 x 4 y 15 + 15. 625 y18 = (x 4 ) − 6 (x 4 ) (5 y 3 ) + 6  y 5 6 11.  2 x − 2    6⋅5  y  15⋅ 4  y  20 ⋅ 3  y  15⋅ 2  y  y 6 5  y (2 x ) 4   − ( 2 x) 3   + (2 x ) 2   − ( 2 x)   +   = (2 x ) − 6 (2 x )   +  2 2  2  2  2  2  2 3 4 5 2 = 64 x 6 − 96 x 5 y + 60 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 +   12.  3 − 5 3 4 5 6 15 2 4 3 5 y 6 x y − xy + 4 8 64 2 3 4 2 5⋅ 4 3  x 2  10 ⋅ 3 2  x 2  10 ⋅ 2  x 2   x 2  x2  5 4  x  ( 3)   − ( 3)   + ( 3)   −    = ( 3) − 5 ( 3)   + 3 3 4  3 2  3  3  3  3 5 10 6 5 8 x10 x + x − 3 27 243 6⋅5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 13. (2m − 3n ) = (2m ) − 6 (2m ) (3n ) + (2m ) (3n 4 )2 − 3 (2m3 )3 (3n 4 )3 + 4 (2m3 )2 (3n 4 )4 2 15⋅ 2 − (2m3 )(3n 4 )5 + (3n 4 )6 5 = 64m18 − 576m15n 4 + 2 .160m12 n 8 − 4 . 320m9 n12 + 4 .860m6n16 − 2 . 916m3n 20 + 729n 24 = 243 − 135x 2 + 30 x 4 −
  • 288. ( ) 2 14. x − 3 7 7 ⋅ 6 2 5 2 21⋅ 5 2 4 3 35⋅ 4 2 3 4 35⋅ 3 2 2 5 21⋅ 2 2 (x ) (3) − 3 (x ) (3) + 4 (x ) (3) − 5 (x ) (3) + 6 (x )(3) 6 − (3)7 2 = x14 − 21x12 + 189 x 10 − 945x 8 + 2 . 835x 6 − 5.103x 4 + 5.103x 2 − 2 .187 = ( x 2 ) − 7 (x 2 ) (3) + 7   6 5 15.  3a − 2 3 4 2  b 2  10 ⋅ 3  b 2  10 ⋅ 2  b2   b2  b2  5⋅ 4 5 4 b  (3a ) 3   − (3a )2   + (3a )   −    = (3a ) − 5 (3a )   + 3 3 4  3  3  3  3  3 2 = 243a 5 − 135a 4b 2 + 30a 3b4 − ( 2 2 16. x + 2 y 5 10 2 6 5 8 b10 ab + ab − 3 27 243 7⋅6 2 5 21⋅ 5 35⋅ 4 (x ) (2 y 2 )2 + 3 (x 2 )4 (2 y 2 )3 + 4 (x 2 )3 (2 y 2 )4 2 35⋅ 3 2 2 21⋅ 2 + (x ) (2 y 2 )5 + 6 (x 2 )(2 y 2 )6 + (2 y 2 )7 5 = x14 + 14 x12 y 2 + 84 x10 y 4 + 280 x 8 y 6 + 560 x 6 y 8 + 672 x 4 y10 + 448 x 2 y 12 + 128 y14 ) = (x ) 7 2 7 + 7 ( x 2 ) (2 y 2 ) + 6 17. x 3 − 1 8 = ( x 3 )8 − 8 ( x 3 )7 (1) + 8 ⋅ 7 ( x 3 )6 (1) 2 − 28 ⋅ 6 ( x 3 )5 (1) 3 + 56 ⋅ 5 ( x 3 )4 (1) 4 − 70 ⋅ 4 ( x 3 )3 (1)5 ( )   y 2 2 3 4 56 ⋅ 3 3 2 6 28 ⋅ 2 3 7 8 + (x ) (1) − 7 (x )(1) + (1) 6 = x 24 − 8 x 21 + 28x18 − 56x15 + 70 x12 − 56x 9 + 28x 6 − 8 x 3 + 1 9  y  2 18.  x 2 −  = ( x 2 ) − 9 ( x 2 )   + 9 8 y y y 9⋅8 2 7  y 36 ⋅ 7 84 ⋅ 6 126 ⋅ 5       (x )  2  − 3 (x 2 )6  2  + 4 (x 2 )5  2  − 5 (x 2 )4  2          2 2 (  x2 2 y2  20.  2 + 3    7 8 9 7⋅6 21⋅ 5 35⋅ 4 (2m3 )5 (n 4 )2 − 3 (2m3 )4 (n 4 )3 + 4 (2m3 )3 (n 4 )4 2 35⋅ 3 21⋅ 2 − (2m3 )2 (n4 )5 + 6 (2m3 )(n4 )6 − (n4 )7 5 = 128m21 − 448m18n 4 + 672m15n8 − 560m12 n12 + 280m9 n16 − 84m6n 20 + 14m3n 24 − n 28 ) = (2m ) 7 4 9 16 21 63 10 4 63 8 5 21 6 6 9 4 7 9 2 8 y9 x y + 9 x14 y 2 − x12 y 3 + x y − x y + x y − x y + x y − 2 2 8 16 16 32 256 512 = x18 − 19. 2m3 − n 4 3 y y 126 ⋅ 4 2 3  y  84 ⋅ 3 2 2  y  36 ⋅ 2     (x )  2  − 7 (x )  2  + 8 (x 2 )  2  −  2          6 6 + 5 3 7 − 7 (2m3 ) (n 4 ) + 6 5 5 4 3 2 2 3 4  x2   x 2   2 y 2  5⋅ 4  x 2   2 y 2  10 ⋅ 3  x 2   2 y 2  10 ⋅ 2  x 2   2 y 2   2 y 2  =   + 5   +     +     +    +  3  2  3  4  2 3   3   2  2  3  2  2  3  = x10 5x 8 y 2 5x 6 y 4 20 x 4 y 6 40 x 2 y 8 32 y10 + + + + + 32 24 9 27 81 243 15 ⋅ 4  1  5a  20 ⋅ 3  1  5a   1 5a   1  1  5a  6 ⋅ 5  1  5a   −  =   − 6    +     −     +      5  5  2  21.  5 2  2  5  2  3  5  2  4  5  2  6 6 5 4 15 ⋅ 2  1  5a   5a      +  5  5  2   2  5 − = 2 3 3 6 3a 3a 2 5a 3 375a 4 1. 875a 5 15 . 625a 6 1 − + − + − + 2 16 16 64 15.625 625 20 2 4 5 5
  • 289. EJERCICIO 211 NOTA: Triángulo NOTA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio 1 1 1 1 2 1 1 6 1 7 1 1 1 9 36 10 ( 45 1 21 70 7 56 126 ) 6 35 84 252 1 28 126 210 1 15 35 56 120 5 20 84 1 10 15 28 4 10 21 8 1 6 5 1 3 4 1 1 3 8 210 9 120 45 1. a + 2b = a 6 + 6a 5 ( 2b ) + 15a 4 (2b) + 20a 3 ( 2b) + 15a 2 ( 2b) + 6a (2b) + (2b) 6 2 3 1 36 4 5 1 10 1 6 = a 6 + 12a 5b + 60a 4b 2 + 160a 3b 3 + 240a 2b 4 + 192ab5 + 64b 6 ( 2. 2m2 − 3n 3 ) = (2m ) − 5(2m ) (3n ) + 10 (2m ) (3n ) 5 2 5 2 4 2 3 3 3 2 − 10 (2m2 ) (3n 3 ) + 5 (2m2 )(3n 3 ) − (3n 3 ) 2 3 4 5 = 32m10 − 240m8n 3 + 720m6n 6 − 1. 080m4 n 9 + 810m2 n12 − 243n15 ( 3. x 2 + y 3 ) = (x ) + 6 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y ) 6 2 6 2 5 3 2 2 4 3 + 20 (x 2 ) ( y 3 ) + 15( x 2 ) ( y 3 ) + 6 (x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 ) 3 3 4 2 5 6 = x12 + 6 x10 y 3 + 15x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y 18 ( 4. 3 − y ) 7 7 = ( 3) − 7 (3) ( y 7 ) + 21(3) ( y 7 ) − 35 (3) ( y 7 ) + 35( 3) ( y 7 ) − 21(3) ( y 7 ) + 7 ( 3) ( y 7 ) − ( y 7 ) 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 = 2 .187 − 5.103 y 7 + 5.103 y14 − 2 .835 y 21 + 945y 28 − 189 y 35 + 21y 42 − y 49 ( 5. 2 x 3 − 3 y 4 ) 6 = (2 x 3 ) − 6 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 20 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 6 (2 x 3 )(3 y 4 ) + (3 y 4 ) 6 5 2 4 3 3 2 4 5 6 = 64 x18 − 576 x15 y 4 + 2 .160 x12 y 8 − 4 . 320 x 9 y12 + 4 .860 x 6 y16 − 2 . 916 x 3 y 20 + 729 y 24 5 5 4  x2   x2   x2   x2  + y 3  =   + 5   y 3 + 10    2   2  2  2 6.  = 6 3 (y ) 3 2  x2  + 10    2 2 (y ) 3 3  x2  4 5 + 5  ( y 3 ) + ( y 3 )  2 x10 5x 8 y 3 5x 6 y 6 5x 4 y 9 5x 2 y12 + + + + + y15 32 16 4 2 2 6 5 4 2 3 3 2 4 5  a 3  a   a   3  a   3  a   3  a   3  a   3   3  −  =   − 6     + 15     − 20     + 15     − 6     +   7.  3 b   3  3  b  3  b  3  b  3  b  3  b  b = ( 8. 1 − x 4 6 a 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729 − + − 3 + − 5 + 6 729 27b 3b 2 b b4 b b ) 8 = (1) − 8 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 70 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 8 (1) (x 4 ) + (x 4 ) 8 7 6 2 5 3 4 = 1 − 8 x 4 + 28 x 8 − 56 x12 + 70 x16 − 56 x 20 + 28 x 24 − 8 x 28 + x 32 4 3 5 2 6 7 8
  • 290. 7 2 3  2 3  2  2  3  2  3  2  3  2  3 9.  3x − 2 y  =  3x  − 7  3x   2 y  + 21 3x   2 y  − 35 3x   2 y  + 35  3x   2 y                      7 6 5 5 4 6  2  3  3  2  3 − 21    + 7     −    3x   2 y   2 y   3x   2 y  2 = 3 4 7 128 224 56 70 105 567 1. 701 2 .187 − + − + − + − 2 .187 x 7 243x 6 y 9 x 5 y 2 3x 4 y 3 2 x 3 y 4 8 x 2 y 5 32 xy 6 128 y 7 7 2 3 2 2 2 2  2 m2   2   2  m   2  m   2  m   2  m  −  =   − 7     + 21    − 35     + 35      m  2   m  2   m  2   m  2   m 2   m 7 6 5 4 3 4 10.  5 6 7 2 2 2 2  2  m   2  m   m  − 21    + 7     −    m  2   m  2   2  = ( 128 224 168 35m5 21m8 7m11 m14 − 70m2 + − + − 7 − 4 + m m m 2 8 32 128 ) ( ) + 8 (x ) mn + 28 (x ) (mn) 8 11. x + mn = x 3 3 8 3 7 3 6 2 5 4 3 + 56 ( x 3 ) (mn) + 70(x 3 ) ( mn) + 56 (x 3 ) ( mn) 3 4 5 6 7 8 + 28( x 3 ) (mn) + 8 (x 3 ) (mn) + ( mn) 2 = x 24 + 8 x 21mn + 28 x18m2 n2 + 56 x15m3n 3 + 70 x12 m4 n 4 + 56 x 9 m5n5 + 28 x 6m6n 6 + 8 x 3m7 n 7 + m8n8 9 2 3 4 2 2 2 2 2  b2  9 8b  7 b  6b  5b  4b   3 −  = (3) − 9 (3)   + 36 (3)   − 84(3)   + 126(3)   − 126 ( 3)   12.  3  3  3  3  3  3 6 7 8 2 2  b2   b2  3b  2 b  + 84(3)   − 36(3)   + 9(3)   −    3  3  3  3 5 9 = 19 . 683 − 19 . 683b 2 + 8 . 748b 4 − 2 . 268b6 + 378b8 − 42b10 +  13.  1 −  28b12 4b14 b16 b18 − + − 9 27 243 19 . 683 2 5 10 3 4 1 10 9  1 8  1 7  1 6  1 5  1 4  1  = (1) − 10 (1)   + 45(1)   − 120 (1)   + 210(1)   − 252 (1)   + 210 (1)    x  x  x  x  x  x x 7 8 9  1  1 3  1 2  1 − 120 (1)   + 45(1)   − 10 (1)   +    x  x  x  x = 1− ( 14. 2 m2 − 5n 5 10 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 + − + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 x x x x x x x x x2 x3 ) = (2m ) − 6 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n ) 6 6 2 6 2 5 2 4 5 5 2 − 20 (2m2 ) (5n5 ) + 15 (2m2 ) (5n 5 ) 3 3 2 4 − 6 (2m2 )(5n 5 ) + (5n 5 ) 5 6 = 64m12 − 960m10n5 + 6 . 000m8n10 − 20 . 000m6n15 + 37 . 500m4 n 20 − 37 . 500m2 n 25 + 15. 625n 30   15.  4 − x5   4 7 2 3 4 5 6 5 5 5 5 5  x5   x 5  7 6 x  5 x  4 x  3 x  2 x  = ( 4) − 7 ( 4)   + 21( 4)   − 35 (4)   + 35 ( 4)   − 21( 4)   + 7 ( 4)   −    4  4  4  4  4  4  4 = 16 . 384 − 7 .168 x 5 + 1. 344 x10 − 140 x15 + 35x 20 21x 25 7 x 30 x 35 − + − 4 64 1. 024 16 . 384 7
  • 291. EJERCICIO 212 ( 1. x − y = ) 5 ( ) 6 donde r = 4 ( 2 5. a − 2b ( ) ( ( 9. a 2 + b ) = = donde r = 10 ) 6 donde r = 6 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 b ( 2a ) 8 − 5  −     2 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 6 −1  b5  = 56 (8a 3 )  −   32  = − 14a 3b5 donde r = 8 ) 2 11 = − 330 x 4 y 14 ( 2 10. 1 − x ) 12 donde r = 9 9 −1 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 12 − 8 (1) (− x 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 5. 005a 12b 9 ( 8 = 330 x 4 (− y14 ) 6 15⋅ 14 ⋅ 13⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 2 15 − 9 10 −1 = (a ) (b) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 2 11. 2a − b b 2 8 −1 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 11− 7 ( x ) (− y 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 = 210 ( x 8 ) (64 y 6 ) 15   donde r = 5 8. x − y donde r = 5 6.  2a −  = 2 . 016a 10b 4 donde r = 7 = 13. 440 x y 9 11 = 330 x 4 = 126 (a 10 )(16b 4 ) 7 −1 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 10 − 6 = (x ) (− 2 y) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 8 ) ) 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 11− 4 (1) ( x)5 −1 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 9 ⋅ 8⋅ 7 ⋅ 6 2 9−4 = (a ) (− 2b)5−1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 = − 4 . 320 x 3 y 3 7. x − 2 y ( 3. 1 + x donde r = 4 = − 2 . 240a 4b 3 = 20 (27 x 3 ) (− 8 y 3 ) 10 7 = 35a 4 (− 64b 3 ) 4 −1 6 ⋅ 5⋅ 4 (3x )6 − 3 (− 2 y ) 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ) 7 ⋅ 6⋅ 5 7−3 4 −1 (a ) (− 4b) = 1⋅ 2 ⋅ 3 2 5⋅ 4 ( x )5− 2 (− y ) = 10 x 3 y 2 1⋅ 2 4. 3x − 2 y = ( 2. a − 4b donde r = 3 = 495x 16 ( 12. 3x 2 − y 2 donde r = 6 6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 6 −1 ( 2a ) 6 −5 (− b 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 = ) 8 donde r = 5 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 8− 4 5−1 (3x ) (− y 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 = 70 (81x 8 )( y 8 ) = 6 ( 2a ) (− b10 ) = 5 . 670 x 8 y 8 = − 12ab10 EJERCICIO 213 1. 4a 2b 4 = ± 2ab 2 2. 25x6 y8 = ± 5x3 y4 3. 3 27a b = 3ab 4. 3 − 8a 3b6 x12 = − 2ab 2 x 4 3 9 5 − 243m5n15 = − 3mn3 81x6 y8 z20 = ± 9x3 y4 z10 10. 3 3 4 5 12. 4 81a b 16a 8b16 = ± 2a 2b 4 13. 6 64a12b18 c 30 = ± 2a 2b 3 c 5 64x y = ± 8x y 6. 4 7. 5 x15 y 20z25 = x 3 y 4 z5 14. 8. 3 − 64a 3 x 6 y18 = − 4ax 2 y 6 15. 9a 2 3a =± 2 25x 4 5x 16. 17. 3 12 24 = ± 3a b 3 6 18. 5 19. 4 49a 2nb 4n = ± 7a nb 2n 5 − x5ny10 x = − xny2 x 20. 7 x 2m xm =± 4n 121y 11y 2n 21. − 27a 3 3a =− 3 64x 9 4x 22. 3 − − a 5b10 ab 2 =− 3 15 32x 2x 23. 9 a18 a2 = 3 9 27 b c bc 24. 10 1. 000x9 y18 = 10x 3 y6 11. 8 10 5. 9. a8 a2 =± 4 12 81b c 3bc 3 128 2 = x14 x 2 125x 9 5x 3 =− 216m12 6m4 x 20 x2 =± 3 30 1. 024y 2y
  • 292. EJERCICIO 214 1. 16 x 2 − 24 xy 2 + 9 y 4 4 x − 3y 2 (8x − 3y ) (− 3y ) − 16 x 2 2 2 − 24 xy 2 + 9 y 4 24 xy − 9 y 2 = − 24 xy 2 + 9 y 4 4 0 2. 25a 4 − 70a 3 x + 49a 2 x 2 5a 2 − 7ax (10a − 25a 4 2 − 7ax )(− 7ax ) − 70a x + 49a x 3 = − 70a 3 x + 49a 2 x 2 2 2 70a x − 49a x 3 2 2 0 3. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1 (2 x − x4 2 − 2 x)(− 2 x) − 4 x 3 + 6x 2 4x − 4x 3 = − 4 x3 + 4 x 2 2 2x2 − 4x + 1 (2 x 2 − 4 x + 1) (1) − 2x + 4x − 1 = 2 x2 − 4 x + 1 2 0 4. 4a 4 + 4a 3 + 5a 2 + 2a + 1 2a 2 + a + 1 (4a − 4a 4 4a + 5a 3 2 + a)(a) = 4a 3 + a 2 2 − 4a 3 − a 2 4a 2 + 2a + 1 (4a 2 + 2a + 1) (1) − 4a − 2 a − 1 = 4a 2 + 2a + 1 2 0 5. n4 − 10n3 + 29n2 − 20n + 4 n2 − 5n + 2 (2n − n4 − 10n + 29n 3 2 − 5n)(− 5n) = − 10n3 + 25n 2 2 10n3 − 25n 2 4n 2 − 20n + 4 − 4n + 20n − 4 2 0 (2n 2 − 10n + 2) ( 2) = 4n2 − 20n + 4
  • 293. 6. x 6 − 10 x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60 x 2 + 36 x 3 − 5x 2 + 6 (2 x − x6 3 − 5x 2 )(− 5x 2 ) − 10 x 5 + 25x 4 10 x − 25x 5 = − 10 x 5 + 25x 4 4 (2 x 12 x 3 − 60 x 2 + 36 3 − 10 x 2 + 6) ( 6) − 12 x 3 + 60 x 2 − 36 = 12 x 3 − 60 x 2 + 36 0 7. 16a − 24a + 49a − 30a + 25 8 6 4 4a 4 − 3a 2 + 5 2 (8a − 16a 8 − 3a 2 )(− 3a 2 ) 4 − 24a 6 + 49a 4 = − 24a 6 + 9a 4 24a 6 − 9a 4 (8a 40a 4 − 30a 2 + 25 4 − 6a 2 + 5) (5) − 40a 4 + 30a 2 − 25 = 40a 4 − 30a 2 + 25 0 8. x + 4 xy − 2 xz − 4 yz + 4 y 2 + z 2 x + 2y − z 2 −x (2 x + 2 y)(2 y) 2 4 xy − 2 xz + 4y − 4 xy = 4 xy + 4 y 2 2 − 4y 2 − 2 xz − 4 yz 2 xz + 4 yz −z (2 x + 4 y − z)(− z) + z2 = − 2 xz − 4 yz + z 2 2 0 9. x + 2 x − 5x − 6 x + 9 12 9 6 x6 + x3 − 3 3 (2 x − x12 6 2 x 9 − 5x 6 + x 3 ) (x 3 ) = 2x9 + x6 − 2x9 − x6 (2 x − 6x 6 − 6x 3 + 9 6 + 2 x 3 − 3) (− 3) 6x 6 + 6x 3 − 9 = − 6x6 − 6x3 + 9 0 10. 25x 8 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2 5x 4 − 7 x 2 + 3x (10x − 25x 8 4 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 70 x − 49 x 6 = − 70 x 6 + 49 x 4 4 − 42 x 3 + 9 x 2 30 x 5 − 30 x − 7 x 2 ) (− 7 x 2 ) + 42 x − 9 x 5 3 0 2 (10x 4 − 14 x 2 + 3x) ( 3x) = 30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2
  • 294. 4a 4 + 8a 3b − 8a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4 11. 2a 2 + 2ab − 3b 2 (4a − 4a 4 + 2ab) (2ab) 2 8a b − 8a b 3 = 8a 3b + 4a 2b 2 2 2 − 8a 3b − 4a 2b 2 (4a − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4 2 + 4ab − 3b 2 ) (− 3b 2 ) 12 a 2b 2 + 12ab 3 − 9b 4 = − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4 0 x 6 − 2 x 5 + 3x 4 − x 2 + 2 x + 1 12. x3 − x2 + x + 1 (2 x − x6 3 − x 2 ) (− x 2 ) − 2 x 5 + 3x 4 = − 2 x5 + x4 2 x5 − x 4 (2 x 2x4 − x2 + 2 x 3 − 2 x 2 + x) ( x) 2x3 − 2 x4 − x2 = 2x4 − 2x3 + x2 2x3 − 2x2 + 2x + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x − 1 (2 x 3 − 2 x 2 + 2 x + 1 ) (1) = 2x3 − 2x2 + 2x + 1 0 13. x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 − 8x + 4 x 3 − 3x 2 − 2 x + 2 (2 x − x6 3 − 3x 2 ) ( − 3 x 2 ) − 6 x 5 + 5x 4 6x − 9 x 5 = − 6x5 + 9 x 4 4 (2 x − 4 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 3 − 6 x 2 − 2 x) (− 2 x ) 4 x 4 − 12 x 3 − 4 x 2 = − 4 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2 4 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x − 4 (2 x 3 − 6 x 2 − 4 x + 2) ( 2) = 4 x 3 − 12 x 2 − 8x + 4 0 14. x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25 x 4 + 3x 2 − 4 x + 5 (2 x − x8 6 x 6 − 8x 5 + 19 x 4 − 6x 6 (2 x − 9x4 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 8x + 24 x − 16 x 5 3 + 30 x 2 − 40 x + 25 − 10 x 4 − 30 x 2 + 40 x − 25 0 + 3x 2 ) (3x 2 ) = 6 x 6 + 9 x 4 4 + 6 x 2 − 4 x ) (− 4 x) = − 8 x 5 − 24 x 3 + 16 x 2 2 4 10 x 4 (2 x 4 + 6 x 2 − 8 x + 5) (5) = 10 x 4 + 30 x 2 − 40 x + 25
  • 295. 15. x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9 x4 − 4x3 + 2x − 3 (2 x − x8 − 8x 7 + 16 x 6 (2 x 8x 7 − 16x 6 4 − 4 x 3 ) (− 4 x 3 ) = − 8 x 7 + 16 x 6 4 − 8x 3 + 2 x) ( 2 x ) 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 16 x 5 − 4x 4 − 6x + 24 x = 4 x 5 − 16x 4 + 4 x 2 2 3 6 x 4 − 24 x 3 (2 x − 12 x + 9 − 8x 3 + 4 x − 3) (− 3) + 12 x − 9 4 4 = − 6 x 4 + 24 x 3 − 12 x + 9 0 16. 9 − 36a + 42a − 18a + 13a − 2a + a 2 3 4 5 6 3 − 6a + a 2 − a 3 (6 − 6a)(− 6a) = − 36a + 36a −9 − 36a + 42a 2 (6 − 12a + a )(a ) = 6a 36a − 36a 2 2 6a − 18a + 13a 2 3 2 − 12a 3 + a 4 4 (6 − 12a + 2a − 6a 2 + 12a 3 − a 4 2 − a 3 ) (− a 3 ) − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6 6a − 12a + 2a − a 3 2 2 4 5 = − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6 6 0 9 x − 24 x + 28 x − 22 x + 12 x 2 − 4 x + 1 6 17. 5 4 3 3x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1 (6x − 9x6 − 24 x 5 + 28 x 4 (6x 24 x 5 − 16 x 4 3 3 − 4 x 2 ) (− 4 x 2 ) = − 24 x 5 + 16 x 4 − 8 x 2 + 2 x) ( 2 x ) 12 x 4 − 22 x 3 + 12 x 2 = 12 x 4 − 16 x 3 + 4 x 2 − 12 x 4 + 16 x 3 − 4 x 2 − 6x 3 + 8x 2 − 4 x + 1 (6x 3 − 8x 2 + 4 x − 1) (− 1) 6x − 8x + 4 x − 1 3 = − 6x3 + 8x2 − 4 x + 1 2 0 18. 16 x − 40x + 73x − 84 x + 66x 2 − 36 x + 9 6 5 4 3 4 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3 (8x − 16 x 6 − 40x 5 + 73x 4 (8x 40 x 5 − 25x 4 3 3 48 x 4 − 84 x 3 + 66 x 2 − 5x 2 ) (− 5x 2 ) = − 40 x 5 + 25x 4 − 10 x 2 + 6 x) ( 6 x) = 48x 4 − 60 x 3 + 36x 2 − 48 x 4 + 60 x 3 − 36 x 2 − 24 x 3 + 30x 2 − 36 x + 9 24 x 3 − 30 x 2 + 36 x − 9 0 (8x 3 − 10x 2 + 12 x − 3) (− 3) = − 24 x 3 + 30 x 2 − 36x + 9
  • 296. 19. m6 − 4m5n + 4m4 n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 m3 − 2m2 n + 2n 4 (2m − m6 3 − 2m2 n) (− 2m2 n) − 4m5n + 4m4 n 2 = − 4m5n + 4m4 n 2 4m n − 4m n 5 4 2 (2m 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 − 4m n + 8m n − 4n 3 4 2 5 3 − 4m2 n + 2n 4 ) (2n 4 ) = 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 8 0 20. 9 x 6 − 6 x 5 y + 13x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 − 8 xy 5 + 4 y 6 3x 3 − x 2 y + 2 xy 2 − 2 y 3 (6x − 9x6 − 6x y + 13x y 5 4 − x 2 y )(− x 2 y) = − 6 x 5 y + x 4 y 2 3 2 (6x 6x5 y − x 4 y 2 3 − 2 x 2 y + 2 xy 2 ) (2 xy 2 ) 12 x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 = 12 x 4 y 2 − 4 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 12 x 4 y 2 + 4 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 (6x − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6 3 − 2 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 ) (− 2 y 3 ) 12 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 + 8 xy 5 − 4 y 6 = − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6 0 21. 16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 − 4ab5 + b 6 4a 3 − 3a 2b + 2ab2 − b 3 (8a − 16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 (8a 24a 5b − 9a 4b 2 3 − 3a 2b)(− 3a 2b) = − 24a 5b + 9a 4b 2 3 − 6a 2b + 2ab 2 ) (2ab 2 ) 16a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 = 16a 4b 2 − 12a 3b 3 + 4a 2b 4 − 16a b + 12a b − 4a b 4 2 3 3 2 4 (8a − 8a 3b3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6 3 − 6a 2b + 4ab 2 − b 3 ) (− b 3 ) 8a 3b 3 − 6a 2b 4 + 4ab5 − b 6 = − 8a 3b 3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6 0 22. 36x 8 − 36x 6 y 2 + 48x 5 y 3 − 15x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 6 x 4 − 3x 2 y 2 + 4 xy 3 − 2 y 4 (12 x − 36x 8 − 36 x y + 48 x y − 15x y 6 2 5 3 4 (12 x − 9x 4 y4 36x 6 y 2 48 x 5 y 3 − 24 x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28x 2 y 6 − 48x y 5 + 24 x y − 16 x y 3 3 − 24 x 4 y 4 4 24 x y − 3x 2 y 2 )(− 3x 2 y 2 ) = − 36x 6 y 2 + 9 x 4 y 4 4 4 4 5 2 (12 x 6 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 − 12 x y + 16xy − 4 y 2 0 6 4 7 8 − 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 ) (4 xy 3 ) = 48 x 5 y 3 − 24 x 3 y 5 + 16x 2 y 6 4 − 6 x y + 8xy 3 − 2 y 4 ) (− 2 y 4 ) 2 2 = − 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8
  • 297. 23. 25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 5a 3 − 4a 2 x + ax 2 − 2 x 3 (10a − 25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 (10a 40a 5 x − 16a 4 x 2 10a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4a 2 x)(− 4a 2 x ) = − 40a 5 x + 16a 4 x 2 − 8a 2 x + ax 2 ) (ax 2 ) = 10a 4 x 2 − 8a 3 x 3 + a 2 x 4 3 (10a − 10a 4 x 2 + 8a 3 x 3 − a 2 x 4 3 3 − 8a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 )(− 2 x 3 ) − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 = − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 20a 3 x 3 − 16a 2 x 4 + 4ax 5 − 4 x 6 0 24. 4a 8 − 12a 7 + 17a 6 − 16a 5 + 14a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 2a + 1 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a + 1 (4a − 12a + 17a 7 4 − 3a 3 )(− 3a 3 ) = − 12a 7 + 9a 6 (4a − 4a 8 4 − 6a 3 + 2a 2 ) (2a 2 ) 6 12a 7 − 9a 6 8a 6 − 16a 5 + 14a 4 = 8a 6 − 12a 5 + 4a 4 − 8a 6 + 12a 5 − 4a 4 (4a − 4a 5 + 10a 4 − 10a 3 + 5a 2 4a − 6a + 4a − a 5 4 3 − 6a 3 + 4a 2 − a )(− a ) 4 = − 4a 5 + 6a 4 − 4a 3 + a 2 2 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1 − 4a 4 + 6a 3 − 4a 2 + 2a − 1 (4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1) (1) = 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1 0 25. x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4 x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2 (2 x − x10 − 2 x 9 + 3x 8 (2 x 2 x − 4 x + 5x 7 5 − 2 x 4 + x 3 ) (x 3 ) = 2 x 8 − 2 x 7 + x 6 (2 x 2 x9 − x8 8 − x 4 )(− x 4 ) = − 2 x 9 + x 8 5 5 − 2 x 4 + 2 x 3 − x 2 )(− x 2 ) 6 − 2 x8 + 2 x 7 − x 6 − 2 x 7 + 4 x 6 − 8 x5 + 7 x 4 = − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x5 + x 4 2 x 7 − 2 x 6 + 2 x5 − x 4 2 x 6 − 6 x 5 + 6 x 4 − 6 x 3 + 5x 2 (2 x 5 − 2 x 6 + 2 x5 − 2 x4 + 2 x 3 − x 2 − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4 4 x5 − 4 x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x − 4 0 − 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + x) ( x ) = 2 x 6 − 2 x5 + 2 x 4 − 2 x 3 + x 2 (2 x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 2)(− 2) = − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4
  • 298. EJERCICIO 215 x4 5x 2 4 x 4 − x3 + − + 4 3 3 9 1. − x2 2 − x+ 2 3 x4 4 (x − x3 + 2 − x ) (− x ) = − x 3 + x 2 5x 2 3 2  2 2x2 4x 4  2 − +  x − 2x +    =  3  3 3 3 9 x3 − x2 2x2 4x 4 − + 3 3 9 2x2 4x 4 − + − 3 3 9 0 a 2 2a 19 2 x x 2 − + − + x 2 3x 9 3a a 2 2. − a 1 x − + x 3 a 2a 1  2a 1   1   −  −  = − +  x 3  3 3x 9 a2 x2 − 2a 19 + 3x 9 2a 1 − 3x 9 2x x2  2a 2 x   x   − +    = 2− +  x 3 a  a 3a a 2 2x x2 + 3a a 2 2x x2 −2 + − 3a a 2 0 2− a2 ac bc c2 − ab + b2 + − + 4 4 2 16 3. − a2 4 a c − b+ 2 4 (a − b) (− b) = − ab + b 2 − ab + b 2 c   c  ac bc c2   a − 2b +    = − +  4   4  4 2 16 ab − b2 ac bc c2 − + 4 2 16 ac bc c2 − + − 4 2 16 0
  • 299. 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 − + − + 16 4 20 5 25 4. − 3a 2 a 4 − + 4 2 5  3a 2 a   a  3a 3 a 2 +  −  −  = − 4 4  2 2  2 9a 4 16 − 3a 3 29a 2 + 4 20 3a 3 a2 − 4 4  3a 2 4   4  6a 2 4a 16 −a+    = − +  5  5  5 5 25  2 6a 2 4a 16 − + 5 5 25 6a 2 4a 16 − + − 5 5 25 0 a 4 a 3b 3a 2b 2 b4 + + − ab 3 + 16 2 4 4 5. −  a2  a 3b 2 2 +a b  + ab ( ab) = 2  2  a4 16 a 3b 3a 2b 2 + 2 4 a 3b 2 2 − −a b 2 −  a2 b 2   b2  a 2b 2 b4  + 2ab −   −  = − − ab 3 + 2 2 4 4  2 a 2b 2 b4 − ab 3 + 4 4 a 2b 2 b4 3 + ab − 4 4 0 x2 2x 25 50 y + − 2 xy + − + 25 y 2 25 3 9 3 6. − a2 b2 + ab − 4 2 x 5 + − 5y 5 3  2 x 5  5 2 x 25 +  +  =  5 3   3 3 9 x2 25 2x 25 − 2 xy + 3 9 2x 25 − − 3 9 − 2 xy 2 xy 50 y  2 x 10  + 25 y 2  + − 5 y (− 5 y ) = − 2 xy −  5 3  3 50 y + 25 y 2 3 50 y + − 25 y 2 3 0 −
  • 300. x 4 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + − + 9 3 15 5 25 7. − x2 y2 − 2 xy + 3 5  2x2  4x3 y  − 2 xy (− 2 xy ) = − + 4x2 y2 3 3   x4 9 − 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 + − 3 15 5 3 4x y − 4x2 y2 3  2 x2 y 2   y 2  2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − 4 xy +    = − +  5 5 15 5 25  3 2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + 25 15 5 2 2 3 2 x y 4 xy y 4 − + − 15 5 25 0 a 4 3a 2 9 a 2b2 2b 2 b 4 − + + − + 16 10 25 18 15 81 8. − a 2 3 b2 − + 4 5 9  a 2 3  3 3a 2 9 −  −  = −  + 10 25  2 5  5 a4 16 − 3a 2 9 + 10 25 3a 2 9 − 10 25  a 2 6 b 2   b 2  a 2b 2 2b 2 b 4 − +  = − +   2 5 9   9  18 15 81 a 2b 2 2b 2 b4 − + 18 15 81 a 2b 2 2b 2 b 4 − + − 18 15 81 0 9. x2 + 4x + 2 − 4 1 + y x2 x + 2− 1 x (2 x + 2) (2) = 4 x + 4 − x2 4x + 2   2x + 4 −  − 4x − 4 4 + y 4 2+ − y − 2− 0 1 x2 1 x2 1   − x  1 4 1  = − 2− + 2 x x x
  • 301. x 2 10 x 79 20 4 − + − + 2 9 3 3 x x 10. − x 2 − 5+ x 3 10 x  2x  + 25  − 5 (− 5) = −  3  3 x2 9 − 10 x 79 + 3 3 10 x − 25 3 4 20 4 − + 3 x x2 4 20 4 − + − 2 3 x x 0 2   2  4 20 4  2x  − 10 +    = − + 2  3 x  x 3 x x a4 30 9 − 5a 2 + 28 − 2 + 4 a a 4 11. − a2 3 − 5+ 2 a 2 a4 4 (a 2 − 5)(− 5) = − 5a 2 + 25 − 5a 2 + 28 3 3 30 9  2  a − 10 + 2   2  = 3 − 2 + 4  a a  a a 5a 2 − 25 30 9 + a2 a4 30 9 −3 + 2 − 4 a a 0 3 − a 4 2a 3 a 2 2ax x2 + + 2− − 2+ 2 a 9 3x x 3 12. − a2 a x + − 3 x a  2a 2 a   a  2 a 3 a 2 +  =  + x   x  3x x 2  3 a4 9 2a 3 a 2 + 3x x 2 3 2a a 2 − − 3x x 2  2 a 2 2a x   x  x2 2ax + −  −  = − − 2+ 2  x a  a a  3 3 − x2 2ax − 2+ 2 a 3 x2 2ax + 2− 2 a 3 0
  • 302. 9a 2 3a 65 x 4 x 2 − + − + x 2 2 x 16 3a 9a 2 13. − 3a 1 2 x − + x 4 3a 3a 1  6a 1   1  +  −  −  = −  x 4  4 2 x 16 9a 2 x2 − 3a 65 + 2 x 16 3a 1 − 2 x 16 x 4x2  6a 1 2 x   2 x   − +    = 4− + 2  x 2 3a   3a  3a 9a x 4x2 + 3a 9a 2 x 4x2 − 4+ − 3a 9a 2 0 4− 9 x 4 + 30 x 2 + 55 + 14. 50 25 + x2 x4 − 9x4 3x 2 + 5 + (6x 2 5 x2 + 5) (5) = 30 x 2 + 25 30x 2 + 55 − 30 x 2 − 25 5 5 50 25  2  6 x + 10 + 2   2  = 30 + 2 + 4  x x  x x 50 25 + x2 x4 50 25 − 30 − 2 − 4 x x 0 30 + 4a 2 2a 19 5x 25x 2 − + − + 25x 2 5x 12 3a 9a 2 15. − 2a 1 5x − + 5x 2 3a 2a 1  4a 1   1   −  −  = − +  5x 2   2  5x 4 4a 2 25x 2 − 2a 19 + 5x 12 2a 1 − 5x 4 4 5x 25x 2 − + 3 3a 9a 2 4 5x 25x 2 − − + 3 3a 9a 2 0 5x   5x  4 5x 25x 2  4a  − 1+    = − +  5x 3a   3a  3 3a 9a 2
  • 303. x 4 x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 y 4 − + + + 16 4 20 5 25 16. − x 2 xy y 2 − − 4 2 5  x 2 xy   xy  x3 y x2 y2  −  −  = − + 4 4  2 2 2 x4 16 − x 3 y 3x 2 y 2 + 4 20 x3 y x2 y2 − 4 4 −  x2 y2   y2  x 2 y 2 xy 3 y 4 + +  − xy −   −  = − 5 5 10 5 25  2 x 2 y 2 xy 3 y 4 + + 10 5 25 3 2 2 xy y 4 x y − − 10 5 25 0 4a 2b 2 2ab 21 7 xy 49 x 2 y 2 − + − + 49 x 2 y 2 7 xy 20 5ab 25a 2b 2 17. −  4ab 1   1  2ab 1 + −  −  = −  7 xy 4  7 xy 2   2  4a 2b 2 49 x 2 y 2 − 2ab 21 + 7 xy 20 2ab 1 − 7 xy 4 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + − 5 5ab 25a 2b 2 0 9a 2 x 2 6ax 23 4mn 4m2 n 2 + − + 2 2 − 25m n 25mn 75 45ax 81a 2 x 2 18. − 2ab 1 7 xy − + 7 xy 2 5ab  4ab 7 xy   7 xy  − 1+    5ab   5ab   7 xy = 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2 3ax 1 10mn − + 5mn 5 45ax 6ax 1  6ax 1  1 −  −  = − +   5mn 5  5 25mn 25 9a 2 x 2 25m2n 2 − 6ax 23 + 25mn 75 6ax 1 − 25mn 25 20 4mn 4m2n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2 20 4mn 4m2n 2 − + − 75 45ax 81a 2 x 2 0  6ax 2 10mn   10mn  − +     5mn 5 45ax   45ax  = 20 4mn 4m2 n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2
  • 304. x6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x − x5 + + − + +4 4 3 3 9 3 19. x3 2x − x2 + +2 2 3 x6 4 − (x − x5 + 3 − x 2 )(− x 2 ) = − x 5 + x 4 5x 4 3 2x   2x  2x4 4x3