O documento apresenta conceitos básicos de cálculo vetorial em mecânica clássica, incluindo noções de vetores e escalares, triângulo retângulo, representação de vetores, soma e subtração de vetores, projeção ortogonal de vetores e multiplicação de vetores.

1. MECÂNICA CLÁSSICA
– NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
1.1 – VETORES E ESCALARES
Algumas grandezas físicas ficam completa-
mente definida quando informamos um número e uma
unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma
pessoa é 37ºC a informação está completa. A
temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que
a velocidade de um automóvel é de 50km/h não
definimos completa-mente a informação. Não foi dito em
que direção e sentido esse corpo se movimentava. A
necessidade dessa informação complementar - direção
e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.
Os vetores são representados por setas, e
costuma-se representar um vetor com módulo maior
que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos
basicamente de dois modos de representar os vetores,
o método geométrico e o método analítico.
1.2 – TRIÂNGULO RETÂNGULO
Vamos considerar um triângulo retângulo com
hipotenusa a e catetos b e c respectiva-mente.
O teorema de Pitágoras diz que:
222
cba 
As funções seno e cosseno são definidas como:


sen
a
b
a
c
sen


cos
cos
Do Teorema de Pitágoras, temos:
c
b
sentg
g
b
csen
tg
sen











cos1
cot
cos
1cos22
1.3 – VETOR
Vetor é uma grandeza física que tem módulo ou
valor absoluto, direção e sentido, tais como
deslocamento, velocidade força e aceleração.
Vamos representar os vetores como:
1.4 – SOMA DE VETORES
Quando a análise do problema
envolve dois ou mais vetores, podemos
calculara o vetor resultante (ou a soma
vetorial). Para isso, existem duas regras:
a) Regra do paralelogramo: utilizada para
dois vetores.
b) Regra do polígono fechado: para efetuarmos a
soma vetorial escolhemos um dos vetores como
ponto de partida e traçamos os vetores seguintes,
colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a
extremidade do 1º e, assim, sucessivamente, até
traçarmos todos os vetores. O vetor soma ( S

) ou
resultante (R

) é determinado pela origem do 1º
vetor e pela extremidade do último vetor traçado.
1.5 – SUBTRAÇÃO DE VETORES
Dados dois vetores a e b , define-se a
diferença )( babad  , onde b é o vetor
oposto a b .
1
FísicaProf.AlexandreSchmitz
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Mecânica Clássica

2. Regra do paralelogramo:
cos222
abbad 
1.6 – PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR
Vamos considerar um sistema de coordenadas
bidimensional, definido pelos eixos x e y, como
mostrados na figura ao lado. O vetor a tem
componentes cartesianas ax e ay que tem a forma:


senaa
aa
y
x
.
cos.


Uma maneira de representar vetores é através
de suas componentes num dado sistema de
coordenadas, como foi antecipado na figura anterior.
Desse modo:

 jaiaa yx
Onde

i e

j são vetores unitários que apontam nas
direções dos eixos x e y respectivamente e têm
módulos iguais a um.
1 ji
Podemos definir a soma de dois vetores como:

 jAiAA yx e

 jBiBB yx , consideremos a
soma

 BAC , tal que:
   

 jCiCjBAiBAC yxyyxx
yyy
xxx
BAC
BAC


1.7 – MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
As operações com vetores são utilizadas de
maneira muito ampla na Física, para expressar as
relações que existem entre as diversas grandezas.
1º CASO: multiplicação de um escalar por um vetor.
Sejam dois vetores

a e

b e um escalar k.
Definimos a multiplicação mencionada como:

 akb .
2º CASO: produto escalar.
Define-se o produto escalar de dois vetores

a e

b como a operação:
cos..baba 

onde φ é o ângulo formado pelos dois vetores.
Podemos dizer que o produto escalar de dois
vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a
componente do segundo no eixo determinado pelo
primeiro, ou vice-versa. Isso se pode resumir na
propriedade:

 abba
Uma aplicação do produto escalar é a
definição de trabalho W executado por uma força
constante que atua ao longo de um percurso d:
cos..dFdFW 

3º CASO: produto vetorial.
Define-se o produto vetorial de dois vetores

a e

b como a operação:

 bac
Onde o módulo é dado
por:
senbac ..
Onde

c é um vetor perpendicular ao plano defino
pelos vetores

a e

b e φ é o ângulo formado por
esses dois últimos dois vetores.
Uma aplicação do produto vetorial é a
definição da força

F que atua em uma carga elétrica
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3. q que penetra com velocidade

v numa região que
existe um campo magnético

B :

 BvqF Onde em módulo senbvqF ...
Usando as propriedades de matrizes,
encontramos que o produto vetorial pode ser expresso
como o determinante da matriz definida a seguir:
EXERCÍCIOS
01 - Considere as seguintes grandezas físicas
mecânicas: TEMPO, MASSA, FORÇA,
VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm
caráter vetorial apenas
a) força e velocidade.
b) massa e força.
c) tempo e massa.
d) velocidade e trabalho.
e) tempo e trabalho.
02 – Dados os vetores A, B e C, representados na
figura em que cada quadrícula apresenta lado
correspondente a uma unidade de medida, é
correto afirmar que a resultante dos vetores tem
módulo:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
03 – Com seis vetores de módulo iguais a 8u,
construiu-se o hexágono regular a seguir. O
módulo do vetor resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u
b) 32 u
c) 24 u
d) 16 u
e) zero
04 - Num bairro, onde todos os quarteirões são
quadrados e as ruas paralelas distam 100m
uma da outra, um transeunte faz o percurso de
P a Q pela trajetória representada no esquema
a seguir.
O deslocamento vetorial desse transeunte tem
módulo, em metros, igual a:
a) 300
b) 350
c) 400
d) 500
e) 700
05 - Na figura são dados os vetores , e :
Sendo u a unidade de medida do módulo
desses vetores, pode-se afirmar que o vetor
tem módulo:
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a
direita.
d) ( u, e sua orientação forma 45° com a
horizontal, no sentido horário.
e) ( )u, e sua orientação forma 45° com a
horizontal, no sentido anti-horário.
06 - Um caminhoneiro efetuou duas entregas de
mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário
indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2
ilustrados na figura. Para a primeira entrega, ele
deslocou-se 10 km e para a segunda entrega,
percorreu uma distância de 6 km. Ao final da
segunda entrega a distância a que o
caminhoneiro se encontra do ponto de partida é:
a) 4 km.
b) 8 km.
c) 19 km.
d) 8 km.
e) 16 km.
07 – Analisando a disposição dos vetores BA,
EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir,
assinale a alternativa que contém a relação
vetorial correta.
3Mecânica Clássica

4. a) CB + CD + DE = BA + EA
b) BA + EA + CB = DE + CD
c) EA - DE + CB = BA + CD
d) EA - CB + DE = BA - CD
e) BA - DE - CB = EA + CD
08 - Um gancho é puxado pela força ,
conforme a figura.
Dados: F = 50 N, sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6
A componente de na direção do eixo x vale:
a) 30 N.
b) 37,5 N.
c) 40 N.
d) 48 N.
e) 50 N.
09 - A soma dos módulos de dois vetores é 23, e a
diferença entre os módulos é 9. Qual das
alternativas abaixo representa um possível valor
para o módulo do vetor soma desses dois vetores?
a) zero b) 5 c) 7 d) 10 e) 35
10 - M e N são vetores de módulos iguais
(|M|=|N|= M). O vetor M é fixo e o vetor N pode
girar em torno do ponto O (veja figura) no plano
formado por M e N. Sendo R = M + N, indique,
entre os gráficos abaixo, aquele que pode
representar a variação de |R| como função do
ângulo θ entre M e N.
11 - Um paciente é submetido a uma tração
conforme indicada na figura, onde as roldanas P
e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no
mesmo plano horizontal. Nessas condições,
pode-se afirmar que a intensidade da força
resultante, aplicada no queixo do paciente, vale
aproximadamente:
a) 12 kgf
b) 22 kgf
c) 32 kgf
d) 42 kgf
e) 52 kgf
12 – Com respeito ao polígono orientado
abaixo, fechado em forma de hexágono:
13 - Analisando a figura a seguir, pode-se
afirmar:
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5. 14 - A figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja
resultante da soma de todos os vetores
representados tem módulo, em cm, igual a:
a) 8 b) 26 c) 34 d) 40 e) 52
15 - Dois vetores têm a mesma direção, sentidos
opostos e módulos 3 e 4, respectivamente. A
diferença entre estes vetores tem módulo igual a:
a) 1 b) 5 c) 7 d) 12 e) 6
16 - Uma partícula é submetida à ação de
duas forças, uma de 60 N e a outra de 80 N.
Sobre o módulo da força resultante sobre essa
partícula, pode-se afirmar que será:
a) de 140 N, necessariamente.
b) de 20 N em qualquer situação.
c) de 100 N se as forças forem perpendiculares
entre si.
d) obrigatoriamente diferente de 80 N.
17 – A figura mostra 5 forças representadas por
vetores de origem comum, dirigindo-se aos
vértices de um hexágono regular. Sendo 10 N o
módulo da força , a intensidade da resultante
dessas 5 forças é:
a) 50 N
b) 45 N
c) 40 N
d) 35 N
e) 30 N
18 – As forças , e , cujas intensidades são,
respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0 N, têm
direções coincidentes com as arestas de um bloco
retangular, conforme esquema abaixo.
A intensidade da resultante dessas três forças
vale, em newtons,
a) 3,7 b) 5,5 c) 7,0 d) 9,3 e) 11,0
19 – A equação que descreve o diagrama
vetorial abaixo é:
20 – Na figura abaixo estão representados os
vetores , e e os vetores e . Assinale a
expressão errada:
21 – A soma de dois vetores cujos módulos são
12 e 18 tem certamente o módulo
compreendido entre:
a) 29 e 31
b) 12 e 18
c) 6 e 18
d) 6 e 30
e) 12 e 30
22 - Com base nesta representação de vetores,
podemos afirmar que é correto escrever:
23 – Sobre a composição dos vetores abaixo,
podemos dizer:
5Mecânica Clássica

6. 24 - (EEAR) Uma força de intensidade igual a
N foi decomposta em duas componentes
ortogonais, de modo que a intensidade de uma é o
triplo da outra. Qual é, em newtons, a intensidade
de cada componente?
a) 3 e 9
b) 9 e 27
c) 10 e 30
d) 81 e 243
25 – (EEAR) Dado os vetores , e dispostos
no diagrama da figura, o comprimento, em cm, do
vetor resultante da operação , é de:
a)
b)
c) 4
d) 5
GABARITO
01) A 02) A 03) B 04) D 05) B 06) C 07) D
08) A 09) D 10) B 11) E 12) C 13) E 14) C
15) C 16) C 17) E 18) C 19) C 20) D 21) D
22) D 23) C 24) D 25) D
–
1.1– CINEMÁTICA
É a parte da Mecânica que descreve os
movimentos. Mas ela não estabelece relações com
suas causas.
1.2– MÓVEL
O foco de concentração dos estudos da
Cinemática é o móvel. Ele é, portanto, o corpo cujo
movimento é descrito. De acordo com as dimensões
envolvidas em um fenômeno cinemático, o móvel é
classificado em:
a) Ponto material: corpo de dimensões desprezíveis
dentro do fenômeno como um todo: é também chamado
de partícula.
Exemplo: aeronave sobrevoando o oceano Atlântico, de
Londres a Nova York.
b) Corpo extenso: corpo cujas dimensões não podem
ser desprezadas no fenômeno, pois interferem nos
valores das grandezas medidas.
Exemplo: automóvel sendo manobrado numa
garagem.
1.3– ESPAÇO OU POSIÇÃO (s)
Sempre que precisar localizar certo corpo,
uma pessoa deve estar habituada a determinar a
distância que separa o referido corpo de algo que
seja tomado como referência.
Concluindo, a posição de um automóvel tem
um valor relativo, pois ela depende do ponto ou reta
de referência utilizada.
⤇ Trajetória: conjunto de todas as posições que
podem ser ocupadas por um móvel durante seu
movimento.
Exemplo: uma composição do metrô, à medida que
se desloca, descreve um movimento ao longo de
uma trajetória.
(Figura 1.1)
⤇ Espaço (s): valor algébrico da distância medida
sobre a trajetória entre o móvel e a origem (O) dos
espaços. O ponto O é o ponto de referência.
Exemplo: na figura 1.1, teremos as seguintes
posições:
SA = 0 km; SB = 1 km; SC = 2 km ou SF = 7 km
1.4– MOVIMENTO E REPOUSO
Um corpo ou sistema físico que sirva como
referência para o posicionamento de móveis recebe
o nome de referencial ou sistema de referência. Uma
vez escolhido o referencial, é possível definir se há
movimento ou repouso.
6
FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA2
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7. Dizemos que um corpo está em movimento
quando sua posição muda, com o passar do tempo, em
relação a um referencial adotado.
Dizemos que um corpo está em repouso
quando sua posição se mantém, com o passar do
tempo, em relação a um referencial adotado.
Os conceitos de movimento, repouso, bem
como o conceito de trajetória são relativos, dependem
do referencial adotado.
Exemplo: um objeto pode estar, simultaneamente, em
movimento em relação a um referencial e em repouso
em relação a outro referencial. Essa situação se aplica
à lâmpada L, da figura a seguir:
Observações: toda vez que afirmamos que um corpo
está em movimento ou em repouso, sem dizer
explicitamente qual é o referencial, estaremos
considerando um referencial fixo na superfície da Terra.
1.5– AXIOMAS FUNDAMENTAIS
Axioma 1 – “As dimensões lineares de um corpo são as
mesmas qualquer que seja o referencial adotado.”
Axioma 2 – “A duração de um evento é a mesma
qualquer que seja o referencial adotado.”
Os axiomas acima são válidos apenas na
Mecânica Clássica.
1.6– DESLOCAMENTO ESCALAR
A variação de o espaço escalar ou
deslocamento escalar indica numericamente a diferença
algébrica entre os espaços de chegada e de partida.
Δs = s – s0
O conceito de deslocamento é diferente do
conceito de distância efetivamente percorrida (d).
Atenção!
s: indica a posição sobre a trajetória;
Δs: indica a diferença entre duas posições;
D: indica quanto que o móvel percorreu
1.7– VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Seja Δs a variação de espaço de um ponto
material, num intervalo de tempo Δt. Defini-se
velocidade escalar média , no intervalo de tempo
considerado como:
Unidades de velocidade:
SI (MKS): m/s
Unidades práticas: km/h; cm/s; m/min etc
1.8– VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
A velocidade escalar média nos dá uma idéia
geral do movimento. Para sabermos o que
aconteceu em cada instante devemos definir a
velocidade escalar instantânea. Esta pode ser
entendida como uma velocidade escalar média para
um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, Δt → 0.
Quando Δt → 0, Δs também tende para zero,
mas o quociente Δs/Δt tende a um valor limite que é
a velocidade instantânea.
Cada função matemática tem a sua derivada
específica. Para o estudo da Cinemática, no ensino
médio, tem grande importância a derivada de uma
função polinomial, a qual é calculada de acordo com
a técnica descrita a seguir:
2.9– NOÇÕES BÁSICAS DE DERIVADA
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
1º) Derivada da função constante
Dada a função f(x) = c, c IR, temos:
0)('
 xf
dx
df
Ex.: f(x) = 6 → 0)('
xf
2º) Derivada da função potência
Dada a função f (x) = x
n
,
*
INn , temos:
7Mecânica Clássica

8. 1'
.)( 
 n
xnxf
dx
df
Ex.:
a) f(x) = x
6
→
5'
6)( xxf 
b) f(x) = 3x
4
+2x
3
+1 →
23'
612)( xxxf 
3º) Derivada da função seno
Dada a função f(x) = sen x, temos:
xxf
dx
df
cos)('

4º) Derivada da função cosseno
Dada a função f(x) = cos x, temos:
senxxf
dx
df
 )('
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01 - A equação horária do espaço de um móvel é
)(65 3
SIts  . Determine a velocidade no instante t
= 2 s.
02 - Determine as equações horárias da velocidade nos
movimentos cujas equações horárias do espaço são
dadas abaixo:
a) 125 23
 ttts
b) 452 2
 tts
c) ts 47
03 - Sendo
2
55 tts  , a equação horária do
espaço, em unidades do SI, pede-se o instante em que
a velocidade se anula.
2.10– ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
Define-se aceleração escalar média am, no
intervalo de tempo Δt, como sendo o quociente entre a
variação de velocidade Δv e o correspondente intervalo
de tempo Δt:
t
v
am


 (m/s
2
; km/h
2
etc.)
2.11– ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA
A aceleração escalar instantânea a é o limite
para o qual tende
t
v


quando Δt tende para zero, e
escreve-se:
dt
dv
t
v
a
t




 0
lim
EXERÍCIOS DE FIXAÇÃO
01 - Uma partícula movimenta-se segundo a
equação horária do espaço:
2
345 tts  (SI).
Determine a aceleração escalar do movimento.
02 - A equação horária da velocidade de um móvel é
dada por
2
45 tv  (SI). Qual sua aceleração
escalar no instante t = 1s?
EXERCÍCIOS
01 – Considere um ponto material que se desloca,
em relação a um dado referencial, com a seguinte
função horária do espaço:
S = t
2
– 5t +2 (SI)
Determine a velocidade escalar média entre os
instantes 0 e 1 segundo.
02 – Um ponto material percorre um trajeto ABC de
uma trajetória, tal que os trechos AB e BC possuem
comprimentos iguais (AB = BC = d). Sejam v1 e v2 as
respectivas velocidades escalares médias nos
trechos AB e BC. Calcule a velocidade escalar média
do ponto material no trajeto ABC.
03 – Um ponto material percorre um trajeto ABC de
uma trajetória de tal forma que o trecho AB é
percorrido com velocidade v1 num intervalo de tempo
Δt1 e o trecho BC com velocidade v2 num intervalo
de tempo Δt2. Calcule a velocidade escalar média no
trajeto ABC.
04 – (UFSM) Uma partícula realizando um
movimento retilíneo, desloca-se segundo a equação
x = -2 -4 t + 2t
2
(SI). Qual o módulo da velocidade
média, em m/s, dessa partícula entre t = 0s e t = 4s?
05 – (FCM) Um professor, ao aplicar uma prova a
seus 40 alunos, passou uma lista de presença. A
distância média entre cada dois alunos é de 1,2 m e
a lista gastou cerca de 13 min para ser assinadas
por todos. Qual foi a velocidade média dessa lista de
presença?
06 – (AFA) De uma aeronave que voa
horizontalmente, com velocidade constante, uma
bomba é abandonada em queda livre. Desprezando-
se o efeito do ar, a trajetória da bomba, em relação à
aeronave, será um:
a) arco de elipse.
b) arco de parábola.
c) segmento de reta vertical.
d) ramo de hipérbole.
e) um ponto.
07 – Duas pequenas esferas, A e B, colidem na
origem (0) do sistema cartesiano (x,y) representado
na figura, no instante t = 0. Imediatamente após o
choque, elas passam a trafegar, respectivamente,
8 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

9. sobre os eixos x e y obedecendo às seguintes funções
horárias: x = 3 · t e y = 4 · t, sendo as posições x e y
medidas em metros
e t em segundos. Qual a distância (d) entre as esferas
no instante t = 1 s?
a) 8 m
b) 7 m
c) 5 m
d) 2 m
e) 1 m
08 – (UFMG) Um automóvel fez uma viagem de 100
km, sem paradas, e sua velocidade escalar média,
nesse percurso, foi de 60 km/h. Tendo em vista essas
informações, pode-se concluir que o tempo gasto pelo
automóvel para percorrer os primeiros 30 km da viagem
foi:
a) 0,50 h.
b) 0,30 h.
c) 0,60 h.
d) 1,0 h.
e) um valor impossível de se determinar.
09 – (UFPE) Em uma corrida de 400 m, o vencedor
cruza a linha de chegada 50 s depois da largada.
Sabendo-se que nesse tempo o último colocado fez seu
percurso com uma velocidade escalar média 10%
menor que a do primeiro, a que distância, em metros,
da linha de chegada ele estava quando o vencedor
chegou?
10 – (AFA) Um terço de percurso retilíneo é percorrido
por um móvel com velocidade escalar média de 60
km/h e o restante do percurso, com velocidade escalar
média da 80 km/h. Então, a velocidade escalar média
do móvel, em km/h em todo percurso, é:
a) 70 b) 72 c) 73 d) 75
11 – (ITA) Um automóvel faz a metade de seu percurso
com velocidade escalar média igual a 40 km/h e a outra
metade com velocidade escalar média de 60 km/h.
Determine a velocidade escalar média do carro no
percurso total.
12 – Um avião decola de Fernando de Noronha às 8
hora da manhã e chega a Rio Branco, no Acre, às 8
horas da mesma manhã. Sabendo que a distância entre
essas localidades é de aproximadamente 3990 km e
que o Brasil tem quatro fusos horários, calcule a
velocidade escalar média do avião em km/h.
13 – A função horária do espaço referente ao
movimento de uma partícula é s = 5t
3
– 5 t (SI).
Determine:
a) a função horária da velocidade escalar instantânea
b) a velocidade escalar no instante 2 s
14 - (OBF) Um adolescente de altura h caminha,
com velocidade constante v, em um corredor reto e
passa sob uma lâmpada pendurada a uma
altura H acima do solo. A velocidade da sombra
da cabeça do adolescente no solo é dada por:
a) v
hH
H
vS 







b) v
hH
hH
vS 







.
c) v
hH
hH
vS 








d) vhHvS )( 
e) vvS 
15 - Um automóvel viajando com determinada
velocidade média completou um percurso de 480 km
em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada
em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas
a menos. Quantos minutos duraram a viagem?
a) 360
b) 390
c) 420
d) 480
e) 510
16 – (Saraeva) Crazy Turtles – Três tartarugas
encontram-se nos vértices de um triângulo eqüilátero
de lado L. Simultaneamente, elas começam a se
movimentar com uma velocidade V, sendo que a
primeira se dirige em direção à segunda, a segunda
em direção à terceira e a terceira, em direção à
primeira.
a) Após quanto tempo as tartarugas vão se
encontrar?
b) Qual a distância percorrida por uma tartaruga
qualquer nesse episódio?
17 – (EFOMM) Qual das unidades abaixo NÃO
pertence ao Sistema Internacional de Unidades
(S.I.)?
a) Quilograma.
b) Libra massa.
c) Segundo.
d) Mol.
e) Candela.
18 – (EFOMM) Um navegador solitário completa
certo percurso com velocidade média de 9 nós (1 nó
= 1 milha/hora = aproximadamente 1,852 km/h) em
24 dias; a distância percorrida, em km, foi de:
a) 5401
b) 6507
c) 8723
9Mecânica Clássica

10. d) 9601
e) 10202
GABARITO
01) – 4m/s 02) 03) 04) 4
05) 6 cm/s 06) C 07) C 08) E 09) 40 m 10) B
11) 48 km/h 12) 1330 km/h 13) a) v = 15t
2
– 6
b) 54 m/s 14) A 15) D 16) a) 2L/V b) 2L/3 17) B
18) D
–MOVIMENTO UNIFORME
3.1- DEFINIÇÃO
Se observarmos atentamente os movimentos
que ocorrem ao nosso redor, encontraremos vários
exemplos de movimentos nos qual a velocidade escalar
permanece constante. Uma estrela no céu, as
extremidades dos ponteiros de um relógio movimentam-
se com velocidade escalar constante. Também um
pára-quedista, com o pára-quedas aberto há algum
tempo, cai com velocidade praticamente constante.
Num modelo simplificado do átomo de hidrogênio,
dizemos que o elétron gira em torno do próton com
velocidade escalar constante.
Esses movimentos, nos quais a velocidade
escalar permanece constante, são denominados
movimentos uniformes.
Podemos definir então, que Movimento
Uniforme (MU) é aquele onde o móvel percorre
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, isto é, o
módulo de sua velocidade é constante e diferente de
zero.
A figura a seguir representa um movimento
uniforme, em trajetória retilínea, com velocidade escalar
constante de 4 m/s.
3.2- FUNÇÃO HORÁRIA
Sendo a velocidade instantânea de um móvel
dada por:
Onde s = s(t), teremos que , logo, integrando
membro a membro, teremos:
Considerando que t0 = 0 e v é constante, teremos:
tvss 0 
s Posição ou espaço final;
so  Posição ou espaço inicial;
v  velocidade;
t  tempo.
3.3- VELOCIDADE ESCALAR RELATIVA
Consideremos duas partículas A e B
movendo-se em uma mesma trajetória e com
velocidades escalares vA e vB , em duas situações
distintas: movendo-se no mesmo sentido e em
sentidos opostos.
A velocidade escalar que uma das partículas
possui em relação à outra (tomada como referência)
é chamada de velocidade relativa ( REL) e o seu
módulo é calculado como relatamos a seguir:
→ Móveis em sentidos opostos
BA
rel
rel vv
t
s
v 



→ Móveis no mesmo sentido
BA
rel
rel vv
t
s
v 



3.4– GRÁFICOS DO MU
Conhecendo-se o diagrama horário de uma
das grandezas de um movimento (espaço,
velocidade ou aceleração), podemos tirar conclusões
a respeito das outras grandezas, bem como construir
seus respectivos diagramas horários.
O quadro a seguir relaciona os diagramas
horários com as informações que podem ser obtidas
em cada um deles.
Para interpretarmos um gráfico, devemos
observar o significado da inclinação da reta ou da
área delimitada pelo gráfico. Veja os gráficos abaixo:
10
3
Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

11. PROPRIEDADES
GRÁFICO V x t
sΔÁREA
n

GRÁFICO S x t
12
12
tt
ss
tΔ
sΔ
αtg



eVelocidadαtg
n

EXERCÍCIOS
01 – (Fuvest) Um automóvel e um ônibus trafegam em
uma estrada plana, mantendo velocidades constantes
em torno de 100km/h e 75km/h, respectivamente. Os
dois veículos passam lado a lado em um posto de
pedágio. Quarenta minutos (2/3 de hora) depois, nessa
mesma estrada, o motorista do ônibus vê o automóvel
ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o automóvel deve
ter realizado, nesse período, uma parada com duração
aproximada de
a) 4 minutos
b) 7 minutos
c) 10 minutos
d) 15 minutos
e) 25 minutos
02 – (Unifest)
A foto, tirada da Terra, mostra uma seqüência de 12
instantâneos do trânsito de Vênus em frente ao Sol,
ocorrido no dia 8 de junho de 2004. O intervalo entre
esses instantâneos foi, aproximadamente, de 34 min.
a) Qual a distância percorrida por Vênus, em sua
órbita, durante todo o transcorrer desse fenômeno?
Dados: velocidade orbital média de Vênus: 35 km/s;
distância de Vênus à Terra durante o fenômeno:
4,2 × 10
10
m; distância média do Sol à Terra:
1,5 × 10
11
m.
b) Sabe-se que o diâmetro do Sol é cerca de 110
vezes maior do que o diâmetro de Vênus. No
entanto, em fotos como essa, que mostram a
silhueta de Vênus diante do Sol, o diâmetro do Sol
parece ser aproximadamente 30 vezes maior.
Justifique, baseado em princípios e conceitos da
óptica geométrica, o porquê dessa discrepância.
03 – (UFMG) Um pequeno bote, que navega a uma
velocidade de 2,0 m/s em relação à margem de um
rio, é alcançado por um navio, de 50 m de
comprimento, que se move paralelamente a ele, no
mesmo sentido, como mostrado nesta figura:
Esse navio demora 20 segundos para ultrapassar o
bote. Ambos movem-se com velocidades constantes.
Nessas condições, a velocidade do navio em relação
à margem do rio é de, aproximadamente,
a) 0,50 m/s.
b) 2,0 m/s.
c) 2,5 m/s.
d) 4,5 m/s.
04 - (Challenging Problems) Uma coluna de
soldados de 600 m de comprimento marcha ao longo
de uma estrada com uma velocidade constante de
4,5 km/h. Na mesma direção da coluna, mas em
sentido oposto, aproxima-se um oficial superior
caminhando a uma velocidade constante de 3,0
km/h. Quando ele passa ao lado de cada soldado,
ordena que estes se movam no sentido oposto.
Cada soldado instantaneamente (tão logo recebe a
sua ordem) inverte o sentido da sua marcha e
continua com a mesma velocidade, mas no sentido
oposto. Após algum tempo, toda a coluna está se
11Mecânica Clássica

12. movendo no sentido contrário. Pode-se afirmar que o
novo comprimento da fila de soldados será:
a) 600 m b) 120 m c) 450m d) 150 m e) 320 m
05 – (Saraeva) Um guarda caminha todos os dias ao
longo de uma linha de bondes até uma estação
ferroviária, retornando ao entardecer. No seu percurso
de ida, percebeu ser ultrapassado pelos bondes que
trafegam pela linha a cada seis segundos. Chegando à
estação, o guarda sentou para almoçar e notou que os
bondes passavam pela estação a cada T segundos. Já
ao entardecer, caminhando no percurso de volta com a
mesma velocidade usual, o guarda percebeu que agora
os bondes passavam por ele a cada três segundos.
Admitindo que os bondes trafeguem pela linha sempre
com a mesma velocidade escalar o tempo inteiro,
determine T:
a) 3,5 s b) 4 s c) 4,5 s d) 5 s e) 5,5 s
06 – (Saraeva) Um barco a motor, que ia subindo um
rio, encontrou uma bolsa que se movia no sentido da
correnteza. Após uma hora do encontro, o motor do
barco parou. O conserto do motor durou 30 min e
durante esse tempo o barco moveu-se livremente no
sentido da correnteza. Depois do conserto, o barco
começou a se mover na direção da correnteza,
seguindo rio abaixo com a mesma velocidade relativa à
água e encontrou a bolsa a uma distância de 7,5 km em
relação ao primeiro encontro. Determine a velocidade
da correnteza.
a) 5 km/h b) 4 km/h c) 3 km/h d) 2 km/h e) 6 km/h
07 - (EEAR) "O guepardo, também conhecido como
chitá, é o mais rápido dos animais terrestres. Ele
depende de sua velocidade de até 120 km/h para
alcançar animais velozes como gazelas e antílopes..."
(revista SuperInteressante, dezembro de 2000).
Admitindo que o guepardo desenvolva sua velocidade
máxima, como descrita acima, e sendo constante essa
velocidade por 10 segundos, a distância percorrida, em
linha reta, por esse animal durante este intervalo de
tempo vale aproximadamente:
a) 333 m.
b) 333 km.
c) 360 km.
d) 360 m.
08 - (Tore Nils Johnson) A e B são duas estações de
uma estrada de ferro linha dupla. Num dado instante,
passa pela estação A um trem T1 que se dirige para B
com velocidade de 54 km/h. Decorrido um certo
intervalo de tempo, outro trem T2, que move-se a 72
km/h, passa por A rumo à estação B. O intervalo de
tempo que separa as passagens de T1 e T2 pela
estação A é tal que ambos passariam simultaneamente
pela estação B. Acontece, entretanto, que após ter
percorrido 2/3 da distância que separa as duas
estações, o trem T1 reduz sua velocidade à metade e
em conseqüência é ultrapassado por T2 num ponto
situado 10 km antes da estação B. A distância entre as
duas estações é:
a) 37,5 km b) 10 km c) 24,5 km d) 100 km e) 50 km
09 – A figura mostra uma escada rígida que
escorrega apoiada numa parede vertical. Num certo
instante, a extremidade inferior da escada tem
velocidade v perpendicular ao plano vertical da
parede e a escada tem inclinação α em relação à
parede. Qual a velocidade vertical da extremidade
superior da escada no referido instante?
a) zero
b) v
c) v/2
d) –v/2
e) -3v/4
10 – *(Saraeva) Três turistas, que possuem uma
bicicleta, devem chegar ao centro turístico no menor
espaço de tempo (o tempo conta-se até que o último
turista chegue ao centro). A bicicleta pode
transportar apenas duas pessoas e por isso o
terceiro turista deve ir a pé. Um ciclista leva o
segundo turista até um determinado ponto do
caminho, de onde este continua a andar a pé e o
ciclista regressa para transportar o terceiro. Qual a
velocidade média dos turistas, sendo a velocidade
do que vai a pé 4 km/h e o do ciclista 20 km/h?
a) 10 km/h b) 15 km/h c) 20 km/h d) 5 km/h
11 - A motorboat going downstream overcame a raft
at a point A; Τ= 60 min later it turned back and after
some time passed the raft at a distance L = 6,0 km
from the point A. Find the flow velocity assuming the
duty of the engine to be constant.
a) 1 km/h b) 3 km/h c) 6 km/h d) 10 km/h
12 - Three points are located at the vertices of an
equilateral triangle whose site equals a. They all satrt
moving simultaneously with velocity v constant in
modulus, with the first point heading continually for
the second, the second for the third, and the third for
the first. How soon will the points converge?
a) t = 2a/v b) t = a/v c) t = 3v/2a d) t =v/a
13 - Considere um relógio de pulso em que o
ponteiro dos segundos tem um comprimento, r(s) =7
mm, e o ponteiro dos minutos tem um comprimento,
r(m) =5 mm (ambos medidos a partir do eixo central
do relógio). Sejam v(s) a velocidade da extremidade
do ponteiro dos segundos, e v(m), a velocidade da
extremidade do ponteiro dos minutos. A razão
v(s)/v(m) é igual a:
a) 35 b) 42 c) 70 d) 84 e) 96
14 - Uma pessoa está observando uma corrida a 170
m do ponto de largada. Em dado instante, dispara-se
a pistola que dá início à competição. Sabe-se que o
tempo de reação de um determinado corredor é 0,2
s, sua velocidade é 7,2 km/h e a velocidade do som
no ar é 340 m/s. A distância desse atleta em relação
12 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

13. à linha de largada, quando o som do disparo chegar ao
ouvido do espectador, é:
a) 0,5 m b) 0,6 m c) 0,7 m d) 0,8 m e) 0,9 m
15 – (Fuvest) Tem-se uma fonte sonora no vértice A de
uma pista triangular eqüilátera e horizontal, de 340m de
lado. A fonte emite um sinal que após ser refletido
sucessivamente em B e C retorna ao ponto A. No
mesmo instante em que a fonte é acionada um corredor
parte do ponto X, situado entre C e A, em direção a A,
com velocidade constante de 10m/s. Se o corredor e o
sinal refletido atingem A no mesmo instante, a distância
AX é de:
a) 10m b) 20m c) 30m d) 340m e) 1020m
16 – (UFPE) Um terremoto normalmente dá origem a
dois tipos de onda, s e p, que se propagam pelo solo
com velocidades distintas. No gráfico anexo, está
representada a variação no tempo da distância
percorrida por cada uma das ondas a partir do epicentro
do terremoto. Com quantos minutos de diferença essas
ondas atingirão uma cidade situada a 1.500 km de
distância do ponto 0?
17 – (Fuvest) Em um prédio de 20 andares (além
do térreo) o elevador leva 36 s para ir do térreo
ao 20° andar. Uma pessoa no andar x chama o
elevador, que está inicialmente no térreo, e 39,6 s
após a chamada a pessoa atinge o andar térreo. Se
não houve paradas intermediárias e o tempo de
abertura e fechamento da porta do elevador e de
entrada e saída do passageiro é desprezível, podemos
dizer que o andar x é o:
a) 9º b) 11º c) 16º d) 18º e) 19º
18 – (Fuvest) Uma composição ferroviária com 19
vagões e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo
o comprimento de cada elemento da composição 10 m,
qual é o intervalo de tempo que o trem gasta para
ultrapassar completamente:
a) um sinaleiro?
b) uma ponte de 100 m de comprimento?
19 – (ITA) Um avião voando horizontalmente a 4.000 m
de altura, em movimento retilíneo uniforme, passou por
um ponto A e depois por um ponto B, situado a 3.000 m
do primeiro. Um observador no solo, parado no ponto
verticalmente abaixo de B, começou a ouvir o som
do avião, emitido em A, 4,00 s antes de ouvir o som
proveniente de B. Se a velocidade do som no ar era de
320 m/s, a velocidade do avião era de:
a) 960 m/s b) 750 m/s c) 390 m/s d) 421 m/s
e) 292 m/s
20 – Uma formiga caminha sobre um cubo de aresta
0,4 m em qualquer direção, com velocidade
constante 0,1 m/s.
Calcule o tempo mínimo para a formiga ir do vértice
A ao ponto B, localizado no centro da face superior,
onde foi colocada uma gota de mel.
21 – (ITA) A figura representa uma vista aérea de
um trecho retilíneo de ferrovia Duas locomotivas a
vapor, A e B, deslocam-se em sentidos contrários
com velocidades constantes de módulos 50,4
km/h e 72 km/h, respectivamente. Uma vez que AC
corresponde ao rastro da fumaça do trem A, BC ao
rastro da fumaça de B e AC = BC, determine a
intensidade da velocidade do vento. Despreze a
distância entre os trilhos de A e B.
a) 5,00 m/s
b) 4,00 m/s
c) 17,5 m/s
d) 18,0 m/s
e) 14,4 m/s
22 – (Mackenzie)
Correndo com uma bicicleta, ao longo de um trecho
retilíneo de uma ciclovia, uma criança mantém a
velocidade constante de módulo igual a 2,50 m/s. O
diagrama horário da posição para esse movimento
está ilustrado na figura. Segundo o referencial
adotado, no instante t = 15,00 s, a posição x da
criança é igual a:
a) - 37,50 m
b) - 12,50 m
c) 12,50 m
d) 37,50 m
e) 62,50 m
13Mecânica Clássica

14. 5
– MOVIMENTO UNIFORMEMENTE
VARIADO
4.1- DEFINIÇÃO
Um objeto encontra-se em movimento
uniformemente variado (MUV) quando a sua velocidade
escalar varia de quantidades iguais em intervalos de
tempo iguais. Nestas condições, podemos dizer que a
aceleração escalar média coincide com o valor da
aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la
simplesmente de aceleração escalar (a).
4.2 -
A – VELOCIDADE
Considere uma partícula que descreve um
MUV, com aceleração escalar instantânea dada por:
Onde v = v(t), teremos . Integrando membro a
membro, teremos:
Considerando t0 = 0 e a constante, teremos:
tavv 0 
B – ESPAÇO
Considere numa partícula que se move
segundo a função horária , tal que:
Supondo t0 = 0 e a constante, teremos:
2
ta
tvss
2
00


4.3- EQUAÇÃO DE TORRICELLI
O deslocamento, a velocidade e a aceleração
podem ser relacionados numa única expressão,
independente do tempo. Tal expressão é denominada
Equação de Torricelli.
Como v = v(s) e s = s(t), derivando v para t, teremos:
Portanto, supondo a constante e t0 = 0, teremos:
SΔa2vv 2
0
2

4.4- VELOCIDADE MÉDIA NO MUV
No MUV, a velocidade média entre dois
instantes qualquer é igual à média aritmética das
velocidades instantâneas nos instantes
considerados, ou seja:
2
o
m
vv
t
s
v





4.5- GRÁFICOS DO MUV
Como já estudamos no movimento uniforme,
podemos representar a variação de uma grandeza
física em relação a outra utilizando gráficos (ou
diagramas).
No caso do movimento uniformemente
variado, temos uma diferença: a função horária dos
espaços é do segundo grau e, conseqüentemente,
seu gráfico do espaço em função do tempo será uma
parábola.
O estudo matemático das funções do MUV
mostra que a aceleração é importantíssima para
determinar o traçado do gráfico.
1. DIAGRAMAS DO MUV
No MUV, as funções horárias são as
representadas pelo quadro abaixo:
Graficamente, terem os:
14
01) C 02) a) 7,9.10 km b) 30,8 03) D 04) B 05) B
06) C 07) E 08) A 09) E 10) A 11) B 12) A
13) D 14) B 15) C 16) 2 min 17) B 18) a) 10 s
b) 15 s 19) D 20) 6,3 21) A 22) E 23)
GABARITO
4
FUNÇÕES HORÁRIAS DA VELOCIDADE E
DOS ESPAÇOS
Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

15. 2. PROPRIEDADES
GRÁFICO tv 
No gráfico vxt, a área compreendida entre o gráfico
e o eixo dos tempos é numericamente igual ao
deslocamento escalar sofrido pelo móvel.
A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
dos tempos é numericamente igual a aceleração do
móvel.
SΔÁREA
n

Atenção! A tangente do ângulo , marcado no gráfico,
fornece a aceleração escalar do móvel:
0t
vv
αtg
1
0



aceleraçãoαtg
n

GRÁFICO ta 
No gráfico a x t, a área abaixo do gráfico é
numericamente igual a variação da velocidade sofrida
pelo móvel.
vΔÁREA
n

EXERCÍCIOS
01 - (UFPR) Em uma prova de atletismo, um
corredor de 100m rasos parte do repouso, corre com
aceleração constante nos primeiros 50 m e depois
mantém a velocidade constante até o final da prova.
Sabendo que a prova foi completada em 10 s, o
valor da aceleração é:
a) 2,25 m/s
2
.
b) 1,00 m/s
2
.
c) 1,50 m/s
2
.
d) 3,20 m/s
2
.
e) 2,50 m/s
2
.
02 - (ITA) Um avião de vigilância aérea está voando
a uma altura de 5,0 km, com velocidade de 50 10
m/s no rumo norte, e capta no radio goniômetro um
sinal de socorro vindo da direção noroeste, de um
ponto fixo no solo. O piloto então liga o sistema de
pós-combustão da turbina, imprimindo uma
aceleração constante de 6,0 m/s
2
. Após 40 10 /3s,
mantendo a mesma direção, ele agora constata que
o sinal está chegando da direção oeste. Neste
instante, em relação ao avião, o transmissor do sinal
se encontra a uma distância de:
a) 5,2 km b) 6,7 km c) 12 km d) 13 km e) 28 km
03 - (UFES) Um predador, partindo do repouso,
alcança sua velocidade máxima de 54 km/h em 4 s e
mantém essa velocidade durante 10 s. Se não
alcançar sua presa nesses 14 s, o predador desiste
da caçada. A presa, partindo do repouso, alcança
sua velocidade máxima, que é 4/5 da velocidade
máxima do predador, em 5 s e consegue mantê-la
por mais tempo que o predador. Suponha-se que as
acelerações são constantes, que o início do ataque e
da fuga são simultâneos e que predador e presa
partem do repouso. Para o predador obter sucesso
em sua caçada, a distância inicial máxima entre ele e
a presa é de:
a) 21 m b) 30 m c) 42 m d) 72 m e) 80 m
04 - (Unifest) Uma ambulância desloca-se a 108
km/h num trecho plano de uma rodovia quando um
carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância,
entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo
sua velocidade constante. A mínima aceleração, em
m/s
2
, que a ambulância deve imprimir para não se
chocar com o carro é, em módulo, pouco maior que:
a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0.
05 - (UERJ) O movimento uniformemente acelerado
de um objeto pode ser representado pela seguinte
progressão aritmética:
7 11 15 19 23 27...
Esses números representam os deslocamentos, em
metros, realizados pelo objeto, a cada segundo.
Portanto, a função horária que descreve a posição
desse objeto é:
a) 3t + 4t
2
b) 5t + 2t
2
c) 1 + 2t + 4t
2
d) 2 + 3t + 2t
2
15Mecânica Clássica

16. 06 – (ITA) Um móvel parte da origem do eixo x com
velocidade constante igual a 3 m/s. No instante t = 6 s o
móvel sofre uma aceleração de – 4 m/s
2
. A equação
horária a partir do instante t = 6 s será:
a) x = 3t – 2t
2
b) x = 18 + 3t – 2t
2
c) x = 18 – 2t
2
d) x = -72 + 27t – 2t
2
e) x = 27t – 2t
2
07 – (UFU) Um carro trafega por uma avenida, com
velocidade constante de 54 km/h. A figura a seguir
ilustra essa situação.
Quando o carro encontra-se a uma distância de 38 m do
semáforo, o sinal muda de verde para amarelo,
permanecendo assim por 2,5 s. Sabendo que o tempo
de reação do motorista é de 0,5 s e que a máxima
aceleração (em módulo) que o carro consegue ter é de
3 m/s
2
, responda:
a) verifique se o motorista conseguirá parar o carro
(utilizando a desaceleração máxima) antes de chegar
ao semáforo. A que distância do semáforo ele
conseguirá parar?
b) considere que, ao ver o sinal mudar de verde para
amarelo, o motorista decide acelerar, passando pelo
sinal amarelo. Determine se ele conseguirá atravessar o
cruzamento de 5 m antes que o sinal fique vermelho.
08 – Um rato, em sua ronda à procura de alimento, está
parado em um ponto P, quando vê uma coruja
espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à
sua toca T, localizada a 42 m dali, em movimento
retilíneo uniforme e com velocidade v = 7 m/s. Ao ver o
rato, a coruja dá início à sua caçada, em um mergulho
típico, como o mostrado na figura.
Ela passa pelo ponto P, 4 s após a partida do rato e a
uma velocidade de 20 m/s.
a) Considerando a hipótese de sucesso do rato, em
quanto tempo ele atinge a sua toca?
b) Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partir
do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no
momento em que ele atinge a entrada de sua toca?
09 – (ITA) Billy sonha que embarcou em uma nave
espacial para viajar até o distante planeta Gama,
situado a 10,0 anos-luz da Terra. Metade do
percurso é percorrida com aceleração de 15 m/s
2
, e
o restante com desaceleração de mesma magnitude.
Desprezando a atração gravitacional e efeitos
relativistas, estime o tempo total em meses de ida e
volta da viagem do sonho de Billy. Justifique
detalhadamente.
10 - Em uma pista retilínea, um atleta A com
velocidade escalar constante de 4,0 m/s passa por
outro B, que se encontra parado. Após 6,0 s desse
instante, o atleta B parte em perseguição ao atleta A,
com aceleração constante, e o alcança em 4,0 s.
A aceleração do corredor B tem o valor de:
a) 5,0 m/s
2
b) 4,0 m/s
2
c) 3,5 m/s
2
d) 3,0 m/s
2
e) 2,5 m/s
2
11 – (ITA) Um automóvel com velocidade escalar de
90 km/h passa por um guarda num local em que a
velocidade escalar máxima é 60 km/h. O guarda
começa a perseguir o infrator com a sua motocicleta,
mantendo aceleração escalar constante, até que
atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa
velocidade escalar até alcançá-lo, quando lhe faz
sinal para parar. O automóvel e a moto descrevem
trajetórias retilíneas paralelas. Pode-se afirmar que:
a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro.
b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro.
c) a velocidade escalar do guarda, ao alcançar o
carro, era de 25 m/s.
d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em
perseguição até alcançar o motorista infrator.
e) o guarda não consegue alcançar o infrator.
12 – (ITA) Uma partícula, partindo do repouso,
percorre, no intervalo de tempo t, uma distância D.
Nos intervalos de tempo seguintes, todos iguais a
t, as respectivas distâncias percorridas são iguais a
3D, 5D, 7D etc. A respeito desse movimento, pode-
se afirmar que:
a) a distância percorrida pela partícula desde o ponto
em que inicia seu movimento cresce
exponencialmente com o tempo.
b) a velocidade escalar da partícula cresce
exponencialmente com o tempo.
c) a distância percorrida pela partícula desde o
ponto em que inicia seu movimento é diretamente
proporcional ao tempo de movimento elevado ao
quadrado.
d) a velocidade escalar da partícula é diretamente
proporcional ao tempo de movimento elevado ao
quadrado.
e) nenhuma das opções acima está correta
16 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

17. 13 – (Fei) Na figura, estão representados os gráficos
das velocidades de dois móveis A e B, em função do
tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a
partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória
retilínea. Em que instantes eles voltam a se encontrar?
14 – (ITA) Três carros percorrem uma estrada plana e
reta com as velocidades, em função do tempo,
representadas pelo gráfico abaixo. No instante t = 0, os
três carros passam por um semáforo. A 140 m deste
semáforo há outro sinal luminoso permanentemente
vermelho. Quais os carros que ultrapassarão esse
segundo farol?
15 - Nas planícies africanas, o jogo entre predador e
presa encontra um limite delicado. A gazela, sempre
atenta, vive em grupos. É rápida e seu corpo sustenta a
aceleração de 0 m/s a 14 m/s em 3 s. O quepardo, com
sua cabeça pequena e mandíbulas curtas projetadas
para um abate preciso por estrangulamento, está bem
camuflado e com seu corpo flexível, amplia sua
passada, sobrevoando o solo na maior parte de sua
corrida.Mais ágil que a gazela, vai de 0 m/s a 20 m/s em
3 s.
O esforço, no entanto, eleva a sua temperatura a níves
perigosos de sobrevivência e, em virtude disto, as
perseguições não podem superar 20 s. Um guepardo
aproxima-se 27 m de uma gazela. Parados, gazela e
guepardo fitam-se simultaneamente, quando, de
repente, começa a caçada. Supondo que ambos corram
em uma trajetória retilínea comum e, considerando o
gráfico do desempenho de cada animal, a duração da
caçada, em s, será:
a) 3,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 10 e) 11
16 – (EFOMM) Uma lancha da guarda–costeira,
atracada à costa, recebe a denúncia de que um
navio, carregado de contrabando, a 50 milhas
afastado da costa, vem avançando a uma velocidade
constante de 12 nós. A distância mínima que
qualquer navio estranho deve estar da costa é de 20
milhas. A aceleração constante mínima que a lancha
deverá ter, em milhas/h
2
, para que o navio não
adentre o perímetro da costa é
a) 0,8 b) 1,6 c) 3,2 d) 6,4 e) 16
17 – (AFA) Uma partícula move-se com velocidade
de 50 m/s. Sob a ação de uma aceleração de
módulo 0,2 m/s
2
, ela chega a atingir a mesma
velocidade em sentido contrário. O tempo gasto, em
segundos, para ocorrer essa mudança no sentido da
velocidade é:
a) 500 b) 250 c) 100 d) 50
18 – (AFA) O diagrama abaixo representa as
posições de dois corpos A e B em função do tempo.
Por este diagrama, afirma-se que o corpo A iniciou o
seu movimento, em relação ao corpo B, depois de :
a) 2,5 s b) 5,0 s c) 7,5 s d) 10 s
19 – (AFA) Uma bola rola com velocidade v,
constante, sobre uma superfície de vidro plana e
horizontal, descrevendo uma trajetória retilínea.
Enquanto a bola se desloca, a sua sombra percorre
os planos representados pelos trechos 1 e 2 da
figura abaixo, com velocidades escalares médias v1
e v2 , respectivamente.
17Mecânica Clássica

18. Considerando que a sombra está sendo gerada por
uma projeção ortogonal à superfície de vidro, pode-se
afirmar que o seu movimento é:
a) acelerado no trecho 1 e retardado no trecho 2,
sendo v1>v>v2
b) acelerado nos dois trechos, sendo v1 = v2 > v
c) uniforme nos dois trechos, sendo v1 = v2 > v
d) uniforme nos dois trechos, sendo v1 = v2 = v
20 – (IME)
O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto
em função do tempo. A aceleração média do objeto no
intervalo de tempo de 0 a é t4:
a) v/t b) 3v/4t c) v/4t d) – v/4t e) – 3v/4t
GABARITO
01) A 02) D 03) C 04) A 05) B 06) D 07) a) 7 m
após o semáforo. b) Sim, com folga de 0,5 m, no
fechar do semáforo. 08) a) 6s b) 1m/s
2
09) 8.10
7
s
10) A 11) D 12) C 13) 6 s 14) B 15) C 17) A
18) B 19) C 20) D
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
01 – Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido,
em uma estrada reta, com velocidades constantes VA =
100 km/h e VB = 80 km/h, respectivamente.
a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em
relação a um observador no carro A?
b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente
do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A
alcance B?
02 – Um trem percorre uma via no sentido norte-sul, seu
comprimento é 100 m e sua velocidade de 72 km/h. Um
outro trem percorre uma via paralela no sentido sul-
norte com velocidade de 72 km/h. Considere o instante t
= 0 aquele que os trens estão com as frentes na mesma
posição. O tempo que o segundo trem leva para
ultrapassar totalmente o primeiro é de 6s. O
comprimento do segundo trem é:
a) 42 m. b) 58 m. c) 240 m. d) 140 m. e) 100 m.
03 – Uma possível solução para a crise do tráfego
aéreo no Brasil envolve o emprego de um sistema de
trens de alta velocidade conectando grandes
cidades. Há um projeto de uma ferrovia de 400 km
de extensão que interligará as cidades de São Paulo
e Rio de Janeiro por trens que podem atingir até 300
km/h.
a) Para ser competitiva com o transporte aéreo,
estima-se que a viagem de trem entre essas duas
cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 minutos.
Qual é a velocidade média de um trem que faz o
percurso de 400 km nesse tempo?
b) Considere um trem viajando em linha reta com
velocidade constante. A uma distância de 30km do
final do percurso, o trem inicia uma desaceleração
uniforme de 0,06m/s
2
, para chegar com velocidade
nula a seu destino. Calcule a velocidade do trem no
início da desaceleração.
04 – Em uma prova de atletismo, um corredor de
100m rasos parte do repouso, corre com aceleração
constante nos primeiros 50 m e depois mantém a
velocidade constante até o final da prova. Sabendo
que a prova foi completada em 10 s, o valor da
aceleração é:
a) 2,25 m/s
2
.
b) 1,00 m/s
2
.
c) 1,50 m/s
2
.
d) 3,20 m/s
2
.
e) 2,50 m/s
2
.
05 – Em um piso horizontal um menino dá um
empurrão em seu caminhãozinho de plástico. Assim
que o contato entre o caminhãozinho e a mão do
menino é desfeito, observa-se que em um tempo de
6 s o brinquedo foi capaz de percorrer uma distância
de 9 m até cessar o movimento. Se a resistência
oferecida ao movimento do caminhãozinho se
manteve constante, a velocidade inicial obtida após o
empurrão, em m/s, foi de
a) 1,5. b) 3,0. c) 4,5. d) 6,0. e) 9,0.
06 - Um automóvel que trafega com velocidade
constante de 10 m/s, em uma pista reta e horizontal,
passa a acelerar uniformemente à razão de 60 m/s
em cada minuto, mantendo essa aceleração durante
meio minuto. A velocidade instantânea do
automóvel, ao final desse intervalo de tempo, e sua
velocidade média, no mesmo intervalo de tempo,
são, respectivamente:
a) 30 m/s e 15 m/s.
18 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

19. b) 30 m/s e 20 m/s.
c) 20 m/s e 15 m/s.
d) 40 m/s e 20 m/s.
e) 40 m/s e 25 m/s.
07 - O gráfico da velocidade em função do tempo de um
ciclista, que se move ao longo de uma pista retilínea, é
mostrado a seguir. Considerando que ele mantém a
mesma aceleração entre os instantes t = 0 e t = 7
segundos, determine a distância percorrida neste
intervalo de tempo. Expresse sua resposta em metros.
08 - Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos
com velocidade constante igual a 80 km/h. No instante
em que o trem passa por uma estação, cai um objeto,
inicialmente preso ao teto do trem. A trajetória do
objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem,
será:
09 - Um carteiro, ao fazer sua entrega, caminha por uma
rua retilínea descrevendo a trajetória indicada, com velocidade
média de 30 m/min. Os segmentos formam com a rua
triângulos eqüiláteros de 20 m de lado.
a) Quantos metros o carteiro caminhou desde o ponto A até o
ponto B?
b) Quanto tempo ele levou para ir de A até B?
10 - Os pontos A, B, C e D representam pontos médios dos
lados de uma mesa quadrada de bilhar. Uma bola é lançada a
partir de A, atingindo os pontos B, C e D, sucessivamente, e
retornando a A, sempre com velocidade de módulo constante
v1. Num outro ensaio a bola é lançada de A para C e retorna a
A, com velocidade constante v2 e levando o mesmo tempo
que o do lançamento anterior.
Podemos afirmar que a relação v1 / v2 vale:
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 .
11 - (AFA) Um atleta pretende percorrer a distância de
42 km em 2 horas e 20 minutos. Por dificuldades no
percurso, percorreu os primeiros 5 km a uma
velocidade média de 15 km/h e os 21 km seguintes
com uma velocidade média de 18 km/h. Com que
velocidade média, em km/h, deverá o atleta percorrer a
distância restante, para cumprir o percurso no tempo
previsto?
a) 10,5 b) 15,3 c) 19,2 d) 25
GABARITO
01) a) 20 km/h b) 3,0.10
-2
h 02) D 03) a) 240
km/h b) 60 m/s 04) A 05) B 06) E 07) 77 m
08) A 09) a) 120 m b) 4 10) C 11) C
19Mecânica Clássica

20. 20 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.