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Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux
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Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux

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  • 1. Réseaux électriques linéaires Théorèmes générauxL’objectif de ce chapitre est d’établir les lois et les théorèmes permettant de calculer lesvaleurs des intensités et des tensions dans des circuits. Ces circuits peuvent comprendre desdipôles linéaires actifs ou passifs (l’étude se fera toujours dans le domaine où lacaractéristique du dipôle est linéaire).I- Définitions1) DipôleC’est un appareil à deux bornes ou deux pôles (une entrée et une sortie du courant électrique).2) Dipôle linéaireUn dipôle est dit linéaire lorsqu’il existe : une relation affine entre l’intensité et la tension. ou bien si la tension et l’intensité sont liées par une équation différentielle à coefficientsconstants.3) RéseauUn réseau est un ensemble de conducteurs (dipôles) reliés les uns aux autres d’une façonquelconque.1) NœudUn nœud est un point du réseau où au moins trois conducteurs parcourus par des courants sontreliés entre eux. A nœud A nœu A nœud
  • 2. 5) Branche branche ABUne branche est un ensemble de conducteurs (dipôles)montés en série et se trouvant entre deux nœudsadjacents. A B6) MailleUne maille est un ensemble de branches successivesconstituant un circuit fermé, où on ne passe qu’uneseule fois par les nœuds rencontrés. Maille à deux A B A B Maille à quatre D C7) Source autonomeUne source de tension (ou de courant) est dite autonome ou libre si sa force électromotrice (ouson courant) ne dépend pas des grandeurs du circuit.II- Lois de Kirchhoff1) Loi des nœudsLa première loi de Kirchhoff appelée aussi loi des nœuds exprime la non accumulation descharges en un nœud.La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui enrepartent. Si les courants qui arrivent au nœud sont affectés du signe ( + ) et ceux qui enrepartent sont affectés du signe ( − ) , la somme algébrique de tous les courants considérés ence nœud est nulle.Sur la figure ci-dessous, nous avons trois courants (I1, I2, I3) qui arrivent au nœud A et deuxcourants (I4, I5) qui partent de ce nœud.
  • 3. I2 I3 I1 A I4 I5Comme on l’avait montré lors de l’étude de la conservation de la densité du courant : I1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5Ce résultat se généralise comme suit : ∑I entrant = ∑ Isortant nOu bien pour n courants : ± ∑ i=1 Ik = 0( +) I k si le courant est entrant au nœud et ( −) I k si le courant est sortant du nœud.2) Loi des maillesC’est la seconde loi de Kirchhoff. Elle consiste à écrire que la différence de potentiel est nullelorsqu’on parcourt une maille.La somme des tensions appliquées à un circuit fermé est égale à la somme des chutes detensions dans ce circuit. En d’autres termes, la somme algébrique des différences de potentieldans un circuit fermé est nulle.Pour une branche AB quelconque la loi d’Ohm s’écrit : VA − VB = ± ∑ R i Ii ± i ej ± e′ k ∑j ∑ kSi le sens de parcourt choisi est de A vers B, nous avons les conventions suivantes :+ R i Ii le sens de I i est de A vers B.− R i Ii le sens de I i est de B vers A.+ ej si on rentre du côté ( + ) du générateur.− ej si on rentre du côté ( − ) du générateur.+ e′k si on rentre du côté ( + ) du récepteur.− e′k si on rentre du côté ( − ) du récepteur.
  • 4. Dans le cas d’une maille, le circuit est fermé ( VA = VB ), et avec les mêmes conventions,nous avons : ± ∑R I i i i ± ∑e j j ± ∑ e′ = k k 0Exemple :Soit la maille ABCD représentée ci-dessous :On parcourt la maille dans le sens ABCD (sens arbitraire) et on choisit sur chaque brancheun sens positif arbitraire des courants ( I1 dans le sens A  B, I 2 dans le sens →B  C, I3 dans le sens D  C et dans le sens A  D). → → → IA IB A I1 B e′ 2 R1 e1 R2 I4 + R4 I2 e2 e R3 ID D I3 C ICOn remplace les récepteurs non polarisés par des Ii Ii + e′générateurs montés en opposition sur lescourants qui les traversent ( cf.fig ci-contre). i e′ i −
  • 5. On obtient la maille représentée par la figure ci-dessous : IA IB A I1 B + R1 e1 e′ 2 − R2 I4 + I2 R4 + ′ e1 e2 R3 − ID D I3 C ICOn peut donc écrire : ± ∑R I i i i ± ∑e j j = 0 . Ce résultat constitue la loi de Kirchhoffrelative aux mailles.soit : R 1I1 − e1 + R 2 I 2 + e1 − R 3 I3 + e 2 − R 4 I 4 − e′2 = 0 ′Dans le cas d’une simple boucle (cf.fig. ci-contre), la relation I − e′2 R1 e1conduit à la loi de Pouillet : + R2 ± I ∑ Ri ± ∑e j = 0 I i j Isoit : R4 + e′1 e1 − e2 − e1 − e′ ′ e2 R3 − I = 2 R1 + R 2 + R 3 + R 4 I
  • 6. RemarqueSi le calcul donne une valeur positive, le courant réel circule dans le sens choisi sur labranche. Si on trouve une valeur négative (cf. exemple ci-dessous), il suffit de changer le sensdu courant dans la branche correspondante et I devient une valeur positive. E2 R3 E2 R3 D I3 C D I3 C ID IC ID IC I3 = − 1A I3 = 1A ! Dans le cas où la branche comporte un récepteur non polarisé de f.c.e.m. e′ et lecalcul donne une intensité négative, il faut reprendre les calculs en inversant le sens ducourant dans la branche en question, car e′ change de signe dans la nouvelle mise en équationdes mailles.Si de nouveau on trouve une valeur négative, le problème n’admet donc pas de solution :aucun courant ne circule dans cette branche.III- Théorème de superposition1) EnoncéL’intensité I k du courant électrique qui circule dans une branche k d’un réseau linéaire est iégale à la superposition des intensités I k imposées par chaque source ( i ) comme si elle étaitla seule à fonctionner dans le réseau, les autres sources sont éteintes. Ik = ∑ i i Ik2) Remarque
  • 7. Eteindre une source revient à la remplacer par un fil (pour avoir e = 0) ou un circuit ouvert(pour avoir I = 0). On garde les résistances internes des sources éteintes. CC source de tension court-circuit e ou (e , r) r résistance interne source de courant ICC circuit ouvert ICC ou r r résistance interneIV- Théorèmes de Thévenin et Norton1) PrésentationQuelque soit le réseau linéaire étudié, on peut le décomposer en deux parties : la partie intéressé; la charge R C . le reste du réseau qu’on appelle le réseau d’attaque A Réseau électrique ≡ Réseau d’attaque RC U charge linéaire quelconque B
  • 8. 2) Théorème de Thévenin a) EnoncéD’après Thévenin le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de tension de f.e.m. E Thet de résistance interne R Th . b) Détermination de E ThLa f.e.m. E Th est la tension U AB mesurée entre les bornes A et B du circuit non chargé (sans lacharge R C ≡ en circuit ouvert) a) Détermination de R ThLa résistance R Th équivalente correspond à la résistance d’entrée du réseau mesurée entre lesbornes A et B ; toutes les sources internes sont éteintes (e = 0 et I = 0). On garde les CCrésistances internes des sources. source de tension résistance interne (e , r) r I source r r de courant résistance interne b) Schéma équivalent RTh A A Réseau d’attaque RC U ≡ ETh RC U B B
  • 9. E Th RC I= et U = R CI = E Th R C + R Th R C + R Th3) Théorème de Norton a) EnoncéD’après Norton le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de courant d’intensité I CCet de résistance interne R N . A b) Détermination de I N Réseau ICCL’intensité du courant I N = I CC est l’intensitémesurée après court-circuit de la sortie AB du d’attaqueréseau d’attaque ( U AB = 0 ). B a) Détermination de R NLa détermination de la résistance équivalente de Norton est identique à celle de Thévenin. R N = R Th b) Schéma équivalent A A I ICC I ≡ Réseau RC RN RC d’attaque B B RN I= I cc RC + RN

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