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Loi d’ohm et loi de joule
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    Loi d’ohm et loi de joule Loi d’ohm et loi de joule Document Transcript

    • Loi d’Ohm et Loi de JouleI- Loi d’Ohm localeSoit un conducteur parcouru par un courant électrique d’intensité I, dq est une quantité decharges élémentaires entourant un point M du conducteur et ρ est la densité des charges r rlibres. On appelle E le champ à l’intérieur de ce conducteur. Notons que E est indépendantdu temps et de la position à l’intérieur du conducteur. r r rAvec : E = E m + ESrE m est le champ électromoteur. Il est créé par le générateur du courant électrique.rE S est le champ statique. Il est créé par les charges du conducteur autre que dq. uu rLa charge élémentaire dq = ρdτ est soumise alors à une force dF 1 tel que : uu r r r r 1 = dFρ dτ E = ρ dτ (E Em + S )Cette charge est freinée par les chocs successifs sur les atomes constituant le réseau du uu r rmatériau. Ceci est matérialisé par une force de frottement de la forme : dFα ρ v−dτ 2 = roù α est une caractéristique du matériau et v la vitesse acquise par les charges mobiles.L’équation du mouvement est donnée par le principe fondamental de la dynamique appliqué àla charge dq. uu r uu r r dF1 + dF2 = mγSi δ désigne la masse spécifique de dq alors : uu r r r dv ρ dτ E − α ρ v dτ = δ dτ dt r r Eαρt u rd’où v = + C exp( − ) α δ u rPour calculer la constante vectorielle C , on utilise les conditions aux limites : r r r u r E A t=0 : v = 0 ⇒ C =− α r r Eαρtd’où : v = (1 − exp( − )) α δ
    • r r E tLa vitesse des porteurs mobiles peut aussi s’écrire : v = (1 − exp( − )) α τ δAvec τ = : une constante de temps (à ne pas confondre avec le volume τ ). Pour les αρmétaux, τ est un temps très petit. En effet, dans le cas du cuivre par exemple τ est de l’ordrede 10−14 s. rEn conséquence, lorsque le temps dépasse quelques secondes la vitesse v des porteurs libres r Ese rapproche de la valeur de . Le régime permanant est rapidement atteint. α r r 1La vitesse des porteurs mobiles (électrons) s’écrit : vμ = E avec : μ= α u r r r r =Sachant que j ρv = et v μE , la densité du courant électrique s’écrit sous la forme :ur r =j γE appelée loi d’Ohm locale ρoù γ = = ρ μ est la conductivité caractéristique du matériau. αNotons que l’inverse de la conductivité du matériau est appelé résistivité du matériau. Larésistivité du matériau est symbolisée par la lettre ρ (à ne pas confondre avec la densité de 1charge volumique ρ) : ρ = γDans le système international d’unités (SI), ρ s’exprime en Ωm et γ en Siemens/m.Lorsque le conducteur est homogène et isotrope alors γ est constante et les lignes de courantse confondent avec les lignes de champ électrique.II- Facteurs influençant la résistivitéLa résistivité d’un matériau dépend de plusieurs facteurs :1) La nature du matériauConducteur Cu ρ = 1,7 10−8 ΩmSemi conducteur Si ρ = 104 ΩmIsolant plastique ρ > 105 Ωm2) TempératurePour les métaux ρ = ρo (1 + aT), T est la température du matériau en °C et a est une constantecaractéristique du matériau. Aux basses températures ρ = kT5, T est la température en °K.Pour les semi conducteurs ρ = a eb/T, T est la température en °C, a et b sont des constantescaractéristiques du matériau.
    • 1) Remarquesi/ Certains alliages ont la propriété de voir leur résistivité augmenter lorsque le champmagnétique appliqué augmente, c’est la magnétorésistance.ii/ Les photorésistances présentent une résistivité décroissante sous l’effet d’un éclairement.Exemple de matériau photorésistant le CdS (sulfure de cadmium): la résistance varie de 0,1 Ωà 100 kΩ entre la lumière solaire et l’obscurité.III- Résistance d’un conducteur homogène1) Expression intégrée de la loi d’OhmConsidérons un conducteur dans lequel circuleun courant électrique I, comme illustre la figure Bci-contre. Dans le conducteur, une ligne de r rcourant est aussi une ligne de champ : j = γE . VBLa d.d.p. entre les bouts du conducteur est r uu r ∫ jégale : VA − VB = E dl A AB S u uu r r r uu ret I= ∫ S = j dSγ ∫ E dS S VAEntre la tension et l’intensité du courant, on peutétablir la relation suivante : r uu r VA − VB 1 ∫ E dl = AB r uu r Iγ ∫ S E dS r uurLa quantité 1 ∫ E dl AB r uu = R est définie comme la résistance caractéristique de la r γ ∫ S E dSportion AB du conducteur. L’unité de la résistance dans le système international est l’ohm(symbole : Ω).VA − VB = R I est la loi d’Ohm généralisée. C’est une expression intégrale de la loi d’Ohm u r rlocale j γ=E pour un conducteur homogène.La loi d’Ohm peut également s’écrire sous la forme : I = G (VA − VB ) 1où G = est la conductance de la portion AB du conducteur étudié. R
    • N.B. : Si l’une des relations ci-dessus est respectée, on dit que le conducteur est ohmique.2) Résistance d’une portion finie et de section constante (Résistance filiforme) a) Calcul de la valeur de ROn suppose que la portion conductrice étudiée aune longueur l et une section S constante. Cette VA VBportion est traversée par un courant d’intensité I AS E Bdu point A au point B de potentiels respectifs VAet VB (VA > VB). lLa résistance de cette portion du conducteur est donnée par son expression générale : r uu r 1 ∫ E dl R= AB r uu r γ ∫ S E dS rLe champ E dans le conducteur suit la direction du conducteur (les lignes de champ sont des rdroites parallèles) ⇒ le champ E est uniforme. Il vient : r uu r r uu r ∫ AB E dl = E l et ∫ S E dS = E SLa résistance R se réduit à : 1 l l Rρ = = γ S S où ρ est la résistivité du matériau considéré. b) Représentation d’une résistancePour représenter une résistance ohmique, on utilise l’un des trois schémas suivants.3) Association de résistancesLes résistances peuvent être associées en série ou en parallèle ou les deux à la fois. a) Groupement en série I R1 R2 I Ri Rn IA B I R I A B
    • Les résistances associées en série sont parcourues par le même courant.On désigne par R la résistance équivalente au groupement des n résistances. On écrit VA−VBde deux manières : n VA − VB = R 1I + ⋅ ⋅ ⋅ + R i I + ⋅⋅⋅ + R n I = ( ∑ i=1 Ri ) I et VA − VB = R I nd’où : R = ∑ i=1 Ri b) Groupement en parallèle I1 R1 I2 R2 A I I B Ii Ri In Rn I R I A BR est la résistance équivalente au groupement des n résistances. Les résistances associées endérivation sont soumises à la même différence de potentiel (d.d.p.).En régime permanent l’intensité du courant électrique dans le conducteur principal est égale àla somme des intensités dans les conducteurs dérivés.On peut exprimer I de deux façons : n VA − VB ∑ 1 I = I1 + ⋅ ⋅⋅ + Ii + ⋅⋅⋅ + I n = ( ) (VA − VB ) et I = Ri R i=1 n ∑ 1 1d’où : = R Ri i=1
    • 4) Caractéristique d’un dipôleConsidérons un dipôle quelconque parcouru par un courant d’intensité I. La différence depotentiel aux bornes de ce dipôle est notée U. La courbe représentant la variation de la tensionU (ou l’intensité I) en fonction de l’intensité I (ou la tension U), est la courbe caractéristiquede ce dipôle.Exemples: I I Résistance U Diode U I I Voltmètre U Générateur U IIV- Energie et puissance électrique Moteur de Joule - Loi U1) Notion de générateur et de récepteur
    • Soit U la différence de potentiel appliquée aux extrémités d’une portion de circuit AB, et Il’intensité de courant traversant ce dipôle. I A B I VA VB UDans la configuration ci-dessus, on a adopté la convention récepteur (I et U sont représentéspar des flèches de sens opposés).La quantité d’électricité qui traverse ce dipôle pendant le temps dt est : dq = I dt .A l’entrée Adu dipôle, elle apporte l’énergie dq VA et à la sortie, elle retire l’énergie dq VB . Au total,l’énergie fournie au dipôle est égale au travail des forces électriques. dW = dq (VA − VB ) = U I dtLa puissance développée entre les bornes A et B est : dW P = = UI dta) Générateur : Si VA < VB alors dW est négatif. Le dipôle est donc un générateur. Il cède au reste du circuit une énergie électrique en transformant une autre forme d’énergie (mécanique, chimique, etc…).b) Récepteur : Si VA > VB alors dW est positif. Le dipôle dans ce cas est un récepteur. Il transforme l’énergie électrique reçue en énergie calorifique, mécanique, radiative, etc…En définitive, un circuit électrique comportant des générateurs, des récepteurs et desconnections permet la transformation et le transport de l’énergie.2) Loi de JouleUn conducteur traversé par un courant électrique Rs’échauffe. Cette chaleur provient du travail des I Iforces de frottement et chocs des électrons surles ions du conducteur. Cette transformation est Uappelée effet Joule. dW = R I dt 2L’énergie fournie à cette résistance pendant le temps dt est :Cette énergie est intégralement transformée en chaleur, la puissance dissipée dans larésistance R est : P = R I2 GV- Loi d’Ohm généralisée P N e1) Générateur E E m s VP > VN
    • Un générateur est un dipôle actif quitransforme une énergie non électrique(mécanique, calorifique, chimique etc…)en une énergie électrique. Lorsque legénérateur noté G est fermé sur uncircuit extérieur, les électrons desconducteurs formant le circuit circulentde la plaque positive (P) à la plaquenégative (N) à l’intérieur de G.On admet qu’il existe un champ rélectromoteur E m responsable de cemouvement de P à N. r r rA l’intérieure du générateur le champ électrique est donné par : E = E m + ESrE m est le champ électromoteur. Il est créé par le générateur du courant électrique.rE S est le champ statique. Il est créé par les charges du conducteur autre que la chargeconsidérée. a) Générateur en circuit ouvertLes charges à l’intérieur du générateur sont au repos car il ne débite aucun courant électrique. r rDans ce cas : E = 0 r r r r rd’où E m + ES = 0 ⇒ E m = − ESCalculons VP − VN : N r uu r N r uu r P r uu r VP − VN = ∫P E S dl = − ∫ P E m dl = ∫ N E m dlDans ce cas VP − VN est la tension à vide du générateur. Elle est donnée par la circulation du rchamp électromoteur E m de N (borne négative) à P (borne positive). Par définition c’est laforce électromotrice du générateur G (en abréviation f.e.m.). Elle se note « e » et son unité estle volt (symbole V). P r uu r e = ∫ N E m dl b) Générateur en charge (circuit fermé)Le générateur débite un courant électrique dans le circuit et les charges sont en mouvement àl’intérieur de G.Dans le générateur le champ électrique est donné par : r r r ur uu r E = E m + ES avec E m 〉 ES
    • r r rCalculons la circulation de E = E m + E S le long de PN = l , sachant qu’en régime u r rpermanent nous avons j = γ E et l’intensité I est constante. N r uu r N r r uu r 1 N u uu r r ∫ P E . dl = ∫P ( E m + E S ) dl = γ ∫ P j dl u r I r r uu r r rOn pose j = − u (de même sens que E ) et dl = dl u avec u vecteur unitaire dans Sle sens de P vers N.Dans ce cas on a : N r uu r N r uu r 1 r N u uu r r 1 Il ∫ P E dl = ∫ P ( E m + E S ) dl = γ ∫ P j dl = − =− rI γ SLe générateur G dissipe de l’énergie par effet Joule, caractérisée par une résistance interne r. r r rCalculons d’une autre façon la circulation de E = E m + E S le long de PN. N r uur N r r uu r N r uu r N r uu r ∫P E .dl = ∫ P ( E m + E S ) dl = ∫ P Em dl + ∫ P E S dl = − e + (VP − VN ) rEn égalant les deux résultats obtenus pour le calcul de la circulation de E le long de PN, nousobtenons : − rI = − e + (VP − VN ) VP − VN = e − r IC’est la loi d’Ohm généralisée pour un générateur. d) Puissance d’un générateurLa puissance délivrée par un générateur et transformée en puissance électrique est : P = e I .Sachant que VP − VN = e − r I et en multipliant les deux membres de l’égalité par I, nousobtenons : (VP − VN ) I = eI − r I 2(VP − VN ) I : la puissance fournie par le générateur au circuit.
    • eI : la puissance totale développée par le générateur.rI 2 : la puissance dissipée par effet joule dans le générateur. e) Générateur linéaireLa loi d’Ohm pour un générateur est : U = VP − VN = e − r I e UQue nous pouvons écrire sous la forme : I = − r r e 1Si on pose I = le courant de court-circuit et g = la conductance interne du CC r rgénérateur, la relation I = f (U) peut s’écrire : I = I CC − gU f) Générateur de tensioni/ Source idéale de tensionUne source idéale de tension est un générateur pouvant maintenir une d.d.p. U constante à sesbornes indépendamment de l’intensité I qu’il débite.Cette définition implique que r = 0 ce qui donne U = e. A I B A I B ou e e U e Iii/ Source réelle de tension : Modèle de Thévenin rEn réalité il y a toujours dissipation d’énergie sous forme d’effet joule modélisé par la A I B A I B ouprésence d’une résistance montée en série avec la source idéale de tension. e (e , r) U=e−rI U e e I r
    • g) Générateur de couranti/ Source idéale de courant :Une source idéale de courant est un générateur pouvant débiter un courant constant I CCindépendamment de la d.d.p. U à ses bornes. ICC ICC A B ou A B U ICC Ioù Icc est le courant de court-circuit.ii/ Source réelle de courant : Modèle de NortonUne source réelle de courant est modélisée par une source idéale de courant en parallèle avecune résistance. ICC U ICC IA B ou A ′ B r ICC I r U ICC I U = r I = r ( I CC − I ) U U = I CC − I ⇒ I = I CC − r r
    • h) Transformation (dualité) Thévenin−NortonA chaque fois on peut transformer le générateur de Thévenin en générateur de Norton et vice-versa. I A I A ICC ≡ r U r U e B B e Thévenin en Norton → I CC = rDonc pour transformer le générateur de Norton en Thévenin → e = r I CC i) Associations de générateurs en sériePour déterminer la force électromotrice et la résistance interne du générateur équivalent, il estcommode d’utiliser la représentation du générateur de tension. r1 r2 ri rn IA B e1 e2 ei en U r A I B e U = e − rILe générateur de tension équivalent est tel que :e= ∑e i i : est la force électromotrice du générateur de tension équivalent.r =∑ r i : est la résistance interne du générateur de tension équivalent. i
    • j) Association de générateurs en dérivationDans ce cas, il convient d’utiliser la représentation du générateur de courant. I1 r1 I2 r2 Ii A B ri In rn Icc A B rLe générateur de courant équivalent est tel que :I CC = ∑ I : est le courant de court-circuit du générateur de courant équivalent. i ig = ∑ g : est la conductance interne du générateur de courant équivalent. i i2) RécepteursUn récepteur est un dispositif électrique qui peut transformer l’énergie électrique en une autreforme d’énergie : mécanique, calorifique, chimique etc… e I r M N
    • La loi d’Ohm pour un récepteur se traduit par : VM − VN = e ′ + r ′ I« e′ » est la force contre électromotrice du récepteur (en abréviation f.c.e.m.). Elle a ladimension d’une tension et s’exprime en volts (symbole V).La puissance totale consommée par un récepteur : P = (VM − VN ) I .En remplaçant dans l’expression ci-dessus VM − VN par e′ + r ′ I , nous obtenons : P = (VM − VN ) I = e′ I + r ′ I 2(VM − VN ) I : la puissance totale consommée par le récepteur.e′ I : la puissance transformée ou la puissance utile.r′ I 2 : la puissance dissipée par effet joule dans le récepteur.3) Enchainement de dipôlesEtant donné un ensemble de dipôles (générateurs, récepteurs et résistances), entre deux pointsA et B d’un circuit. On veut calculer VA − VB . Le sens de parcourt est de A vers B. VA − VB = ± ∑R I i i i ± ∑e j j ± ∑ e′ k kLe bilan énergétique dans la portion AB donne :+ R i Ii le sens de I i est de A vers B.− R i Ii le sens de I i est de B vers A.+ ej si on rentre du côté ( +) du générateur.− ej si on rentre du côté ( −) du générateur.+ e′k si on rentre du côté ( +) du récepteur.− e′k si on rentre du côté ( −) du récepteur.