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Influences électrostatiques

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  • 1. Influences électrostatiques CondensateursI- Introduction1) PrésentationOn considère un conducteur K en l’équilibre électrostatique, isolé et initialement neutre. On le rmet dans une région où règne un champ électrique E1 crée par une charge ponctuelleimmobile.Les charges du conducteur K vont se trouver soumise à des forces telles que : des charges négatives de K vont migrer du côté de q. et des charges positives de K vont se trouver du côté opposé. − + q Eint = 0 + − − + + K − E2 E1 + − + − +On dit dans ce cas que l’apparition des charges dans le conducteur K est faite par influence dela charge q sur ce conducteur.2) Etude de l’équilibre électrostatiqueLa séparation des charges positives et négatives à l’intérieur du conducteur K va créer un r rchamp E 2 (cf.fig.ci-dessus). Ce dernier va se superposer au champ E1 . A l’équilibre le champtotal à l’intérieur du conducteur K est nul : r r r r E int = E 1 + E 2 = 0
  • 2. 3) Remarquesi/ Les lignes de champ de la charge q se trouve déformées par la présence du conducteur K.ii/ Toutes les lignes de champ de la charge q n’arrivent pas au conducteur K.iii/ Sur le conducteur K, les lignes de champ sont rentrant dans la zone à charges négatives etsont sortant dans la zone à charges positives.II- Théorème des éléments correspondantsSoient K1 et K2 deux conducteurs sous influence mutuelle l’un par rapport à l’autre(cf.fig. ci-dessous).Supposons que K1 porte des charges positives, et considérons un tube de champ s’appuyantsur une surface élémentaire dS1 partant de K1. Ce tube de champ arrive sur K2 et découpe surcelui-ci une surface élémentaire dS2.1) DéfinitionLes surfaces élémentaires dS1 et dS2 sont appelées éléments correspondants des conducteursconsidérés.2) ThéorèmeDeux éléments correspondants portent des charges égales en valeur absolue et de signesopposés.Considérons une surface fermée, formée par les parois du tube de champ T et deux surfacesΣ1 et Σ2 prises à l’intérieur des conducteurs K1 et K2. + − + − K1 + T − K2 + − dq2 − dS1 + dq1 dS2 Σ1 Σ2 + − + − E + − + − dq1 + dq 2Le flux à travers cette surface fermée est : Φ = Φ + Φ + Φ = Σ1 Σ2 T ε O
  • 3. Φ : le flux à travers Σ1,2 est nul puisque le champ en tout point intérieur à K1,2 est nul. Σ1,2Φ : le flux à travers les parois du tube de champ est nul, puisque le champ est tangent en Tchaque point de cette surface latérale. Φ=0 ⇒ dq 2 = − dq1Les quantités d’électricité portées par deux éléments correspondants sont égales en valeursabsolues mais de signes contraires.III- Influence partielle et influence totale1) Influence partielle a) DéfinitionSoit K2 un conducteur chargé positivement. On dit qu’il y a influence partielle du conducteurK2 sur le conducteur K1 initialement neutre, lorsque les lignes de champ issues de K2n’arrivent pas toutes sur K1. + Q2 + q q2 + −1 + − + + K2 + K1 + − + + + − + + + b) Conséquences Q 2 〉 0 , Q1 = q1 + q 2 = 0 (le conducteur K1 est initialement neutre) ⇒ q 2 = −q1 avec q1 〈 0 et q 2 〉 0. Q 2 〉 q 2 et Q 2 〉 q1
  • 4. b) RemarqueSi on relie le conducteur (K1) au sol, cest-à-dire V1 = 0 alors : Q2 + + + q1 + − + − + K2 + K1 + − + + − + + + + Q 2 〉 0 , q 2 = 0 et q1 〈 0 avec Q 2 〉 q1 .2) Influence totale a) DéfinitionSoient K1 et K2 deux conducteurs. On dit qu’il y a influence totale de K2 supposé être chargépositivement sur K1 initialement neutre lorsque K1 enveloppe complètement K2, autrement ditsi toutes les lignes de champ issues de K2 arrivent à K1. + + q1− − + q2 − − K1 + + +++ Q − − K2 + 2 + + + ++ + − − − − + + + b) Conséquences Q 2 〉 0 , Q1 = q1 + q 2 = 0 (le conducteur K1 est initialement neutre) ⇒ q 2 = − q1
  • 5. Linfluence totale ⇒ q1 = − Q 2 et q 2 = Q 2 . c) RemarqueSi on relie le conducteur K1 au sol, cest-à-dire − q1−V = 0 alors : − 1 − K1Q 2 〉 0 , q 2 = 0 et q1 〈 0 avec q1 = − Q 2 . + + ++ Q − + K2 + 2 − ++ + + − − − −IV- Coefficients d’influence d’un système de conducteurs.1) Système d’équations en Vi* Considérons un système de n conducteurs fixes et indéformablesK , K , ............... K , ............, K . n 1 2 i* Supposons que tous les conducteurs sont au potentiel zéro, sauf le premier que nousporterons au potentiel unité.Il se produit un état d’équilibre dans lequel le conducteur K1 prend une charge notée C11 et ilapparaît par influence sur les n−1 autres conducteurs des charges notées :C , C , ............... C , ............, C . Le premier indice ce rapporte au conducteur influencé, et le 21 31 i1 n1second indice indique le conducteur influençant.i/ Supposons un premier équilibre dans lequel, le premier conducteur est porté au potentiel V1et tous les autres conducteurs étant au potentiel zéro. Toutes les charges sont multipliées parV1 et deviennent alors : C V , C V , ............... C V , ............, C V . 11 1 21 1 i1 1 n1 1ii/ Dans un deuxième équilibre, c’est le conducteur K2 qui et porté au potentiel V2, tous lesautres sont au potentiel zéro. Les charges seront alors : C V , C V , ............... C V , ............, C V . 12 2 22 2 i22 n2 2iii/ Et ainsi de suite jusqu’au nième équilibre où tous les conducteurs sont au potentiel nul saufle conducteur Kn qui est porté au potentiel Vn. Les charges des différents conducteurs sont : C Vn , C Vn , ............... C Vn , ............, C nn Vn . 1n 2n iniiii/ En superposant les n états d’équilibres la charge accumulée par chacun des conducteursest donnée par :
  • 6. Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn 1 11 1 12 2 13 3 1i i 1n Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn 2 21 1 22 2 23 3 2i i 2n ……………………………………………………… ……………………………………………………… Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn i i1 1 i2 2 i3 3 ii i in ……………………………………………………… ……………………………………………………… Q n = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C nn Vn n1 1 n2 2 n3 3 ni i2) DéfinitionsLe coefficient Cii est appelé coefficient de capacité du conducteur Ki dans sa position relativequ’il occupe dans le système considéré.Le coefficient Cij (i≠j) est appelé coefficient d’influence du conducteur Ki sur le conducteur Kjou coefficient d’influence du conducteur Kj sur le conducteur Ki. C’est le coefficientd’influence mutuelle.3) PropriétésLes coefficients de capacité Cii sont positifs, les coefficients d’influences sont négatifs avec :Cij = Cji ( i ≠ j ).4) Capacité d’un conducteur isolé a) DéfinitionLa capacité d’un conducteur isolé dans l’espace est le coefficient de proportionnalité entre sa Qcharge Q et son potentiel V : C= VLa capacité C dépend de la forme géométrique du conducteur; elle est proportionnelle à laconstante diélectrique du milieu dans lequel est placé le conducteur. Les coefficients decapacité et les coefficients d’influence s’expriment en farads (symbole :F).
  • 7. V- Energie d’un système de chargesLes lois de Newton contiennent toute la mécanique et la loi de Coulomb contient toutel’électrostatique. En effet, connaître des charges et leurs positions permet de trouver toutes lesforces électriques. De plus, avoir des charges pouvant circuler librement sous l’action d’autrestypes de forces permet de trouver l’état d’équilibre pour lequel les charges resteront statiques.De même qu’en mécanique, il est intéressant d’introduire le concept d’énergie. Pourl’électrostatique, l’énergie est un concept très utile car les forces électrostatiques sontconservatifs (le travail est indépendant du chemin suivi).2) Cas de deux chargesConsidérons deux particules de charges q 1 et 2q 2 qui sont très éloignées l’une de l’autre. q2Rapprochons lentement la charge q 2 de q 1 r12placée en 1 jusqu’à ce que leur distance soit 1r12 = r21 (cf.fig.ci-contre). q1Combien avons-nous dû fournir de travail ? rAu cours de ce déplacement, l’opérateur, exerçant sur la charge q2 une force Fop , doit lutter r u rcontre la force électrostatique F élec = q 2 E1 exercée par la charge q1 sur q2.La charge q2 immobile à l’infini est amenée en 2 où sa vitesse est nulle : d’après le théorèmede l’énergie cinétique, on peut écrire : 2 r r uu r ∫ ( F op + F élec ) dl = ∆E c = 0 ∞Il vient : 2 r uu r 2 r uu r ∫ F op dl = − ∫ F élec dl ∞ ∞Le travail de l’opérateur est égal et opposé au travail de la force électrique, soit : 2 u uu r r 2 uuuur uur 2 Wop 1 = − ∫ q 2 E 1 dl = q 2 ∫ gradV1 dl = q 2 ∫ dV1 ∞ ∞ ∞ Wop 1 = q 2 V1 (2)où V1 (2) est le potentiel créé au point 2 par la charge q1 . q1 q 2soit : Wop 1 = 4πε o r12
  • 8. Ce travail est intégralement converti en énergie emmagasinée par la charge q 2 et constitue pardéfinition son énergie électrostatique.3) Cas de trois chargesReprenons les deux charges q 1 et q 2 distant de r12 . 2q 2Soit une troisième charge q 3 située en un point très r12 r23éloigné et amenons là en un point 3 dont la distance 1à la charge q 1 est r13 et celle à la charge q 2 est r23 . q1 r13 q2 3Le travail que l’on doit fournir pour effectuer ceci est : 3 u uu r r 3 uuuur uu r 3 Wop 2 = − ∫ q 3 E 12 dl = q 3 ∫ gradV12 dl = q 3 ∫ dV12 = q 3 V12 (3) ∞ ∞ ∞où V12 (3) est le potentiel créé au point 3 par les charges q1 et q 2 .  q q2 soit : Wop 2 = q 3  1 +   4πε o r 4πε o r23   13 Ce travail est intégralement converti en énergie emmagasinée par la charge q3 et constitue pardéfinition son énergie électrostatique.L’énergie totale W nécessaire pour obtenir ce système de trois charges est donc : W = Wop 1 + Wop 2  qq qq q q  W = 1 2 + 1 3 + 2 3   4πε r 4πε o r13 4πε o r23   o 12  1  q1 q 2 qq qq qq q q q q  W=  + 1 2 + 1 3 + 1 3 + 2 3 + 2 3  2  4πε o r12 4πε o r12 4πε o r13 4πε o r13 4πε o r23 4πε o r23    1  q2 q3  1  q1 q3  1  q1 q2  W= q1  +  + q2  +  + q3  +  2  4πε o r12 4πε o r13    2  4πε o r12 4πε o r23    2  4πε o r13 4πε o r23   L’énergie du système à trois charges peut s’écrire :
  • 9. 1 j=3 j = 3 qk  1 1 1 W= 2 ∑ j=1 q j ∑ k ≠ j 4πε o r jk  =  2 q 1 V1 + 2 q 2 V2 + q V 2 3 3  où q2 q3 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 1 . Il est V1 = + 4πε o r12 4πε o r13 créé par les charges q 2 et q 3 . q1 q3 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 2 . Il est V2 = + 4πε o r12 4πε o r23 créé par les charges q 1 et q 3 . q1 q2 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 3 . Il est V3 = + 4πε o r13 4πε o r23 créé par les charges q 2 et q 1 .En généralisant les résultats obtenus pour trois charges, on peut affirmer que l’énergienécessaire pour établir un système de n charges ponctuelles discrètes q 1 , ..................... q i , ............, q ns’exprime par : 1 j =n q q W= ∑ k∑j 4πε r j k 2 j =1 ≠ o jkCette équation peut s’écrire de la façon suivante : 1 j =n  qk  W= 2 ∑ j=1 qj ∑ k ≠ j 4πε o r jk    Chaque terme de la somme entre crochets est la contribution d’une des charges au potentielélectrique Vj au point où se trouve la charge q j .De cette façon, nous pouvons exprimer W sous la forme : j=N 1 W= 2 ∑ j=1 q j Vj5) Cas d’une distribution continue de chargesSi nous avons une distribution continue de charges au lieu d’avoir des charges discrètes, nous 1 j=Nremplaçons simplement la somme de l’équation W = ∑ q j Vj par l’intégrale 2 j=1correspondante.
  • 10. a) Distribution surfacique σ : 1 W= 2 (S) ∫ σVdS : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée b) Distribution volumique ρ : 1 W= 2 ρVdτ (τ) ∫ : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargéV est le potentiel électrostatique au point où se trouve la charge élémentaire σdS ou encoreρdτ (cf.figs et tableaux.pages14→19).VI- Energie d’un système de conducteurs1) DéfinitionConsidérons un système de n conducteurs de charges respectives Q 1 , ..................... Q i , ............, Q n etde potentiels respectifs V1 , ..................... Vi , ............, Vn . L’énergie électrostatique de ce système den conducteurs est l’énergie qu’il faut dépenser pour le ramener à un état d’équilibre donné àpartir de l’état d’équilibre où Q 1 = Q 2 = ..................... = Q i = ............ = Q n = 0, etV = V = ..................... = V = ............ = Vn = 0 . 1 2 i2) Expression de l’énergie électrostatique a) Energie d’un condensateur isoléL’énergie d’un conducteur isolé à l’équilibre électrique est donnée par l’expression suivante : 1 W= 2 ∫ (S) dq V l’intégration (ici double) porte sur la surface du conducteurA l’équilibre le potentiel est constant. Il a la même valeur V en tout point du conducteur.Q étant la charge du conducteur considéré. 1 1 W= V 2 (S) dq = VQ 2∫Sachant que Q = CV, l’énergie du conducteur peut s’écrire en fonction de C, Q et V :
  • 11. 2 1 1 1 Q W= VQ = CV = 2 2 2 2 C b) Energie d’un système de conducteurs à l’équilibreL’énergie d’un système de n conducteurs de charges respectifs Q 1 , ..................... Q i , ............, Q n etde potentiels respectifs V1 , ..................... Vi , ............, Vn est donnée par l’expression : n 1 W = 2 ∑ QV i=1 i iVII- Condensateurs1) Définition Q2On appelle condensateur, un ensemble de deux K2conducteurs K1 et K2 placés en influence totale l’un K1par rapport à l’autre. Les conducteurs formant uncondensateur s’appellent armatures. On dit armature Q1interne pour le conducteur K1 et armature externe − Q1pour le conducteur K2.. Q1 = C11V1 + C12V2 Q2 = C21V1 + C22V2 Q2 = − Q1 + q (q est la charge initiale du conducteur K2)2) Etude du condensateur* Si on relie les deux armatures par un fil conducteur de capacité nulle (V 1 = V2), la charge Q1de l’armature interne est neutralisée par la charge – Q1 de l’armature externe. Donc pour leconducteur K2 l’armature interne aura la charge 0 et l’armature externe aura la charge q sursa surface externe.soit : 0 = (C11 + C12) V1 = (C11 + C12) V2 cest-à-dire C12 = − C11= − C* Si on relie K2 à la terre ou à la masse (V2 = 0), on aura : q = 0 , Q2 = − Q1 , Q1 = C11V1 et Q2 = C21V1cest-à-dire : C21 = − C11 = − C
  • 12. * Si on reporte ces résultats dans les équations de la définition, on obtient : Q1 = C11V1+C12V2 = C (V1 – V2) Q2 = − C11V1 + C22 V2 = − C11 V1 + C22 V2 + C11V2 – C11V2 Q2 = − C11 (V1 – V2) + (C22 – C11) V2 Q2 = − C (V1 – V2) + (C22 – C11) V2 Q2 = − Q1 + qsoient : Q1 = C (V1 – V2) et q = (C22 – C11) V23) Charge d’un condensateurLa charge d’un condensateur est la charge de l’armature interne. Elle est proportionnelle à ladifférence de potentiel, ou la tension entre les deux armatures. Q1 = C (V1 – V2)4) Capacité d’un condensateur Q1 C= V1 − V2c’est un cœfficient qui ne dépend que de la forme et de la position relative des armatures,ainsi que de la nature du milieu placé entre les armatures. L’unité de capacité est le Farad(symbole : F). Dans la pratique le Farad est une unité très grande d’où l’utilisation des sousmultiples : µF (microfarad :10−6F), nF (nanofarad :10−9F) et pF (picofarad :10−12F).6) Lois d’association de condensateurs a) Représentations schématiques − + − + Capacité non polarisée Capacité polarisée
  • 13. b) Associations de condensateurs en série C1 C2 Ci Cn A B Q −Q Q −Q Q −Q Q −Q C A B Q −QLa capacité équivalente C de n condensateurs C 1 , ..................... C i , ............, C n , mis en série secalcule comme suit. On écrit VA−VB de deux manières : n Q Q Q Q Q VA − VB = + ⋅⋅ ⋅ + + ⋅⋅⋅ + =∑ et VA − VB = C1 Ci Cn i=1 Ci C n 1 1d’où : =∑ C i=1 Ci c) Association de condensateurs en parallèle C1 Q1 −Q 1 C2 A Q2 −Q 2 B Ci Qi −Q i Cn Qn −Q n C A B Q −Q
  • 14. La capacité équivalente C de n condensateurs C1 , ..................... C i , ............, C n , montés en parallèlese calcule comme suit. On exprime Q de deux façons : n Q = Q1 + ⋅ ⋅ ⋅ + Q i + ⋅ ⋅ ⋅ + Q n = ∑ i=1 Ci (VA − VB ) et Q = C (VA − VB ) nd’où : C = ∑i=1 Ci6) Energie d’un condensateur a) Expression d’énergieL’énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur de capacité C, de charge Q etdont la différence de potentiel entre ses bornes est V, s’écrit : 1 1 1 W= 2 ∑ Qi Vi = 2 (QVA − QVB ) = 2 Q (VA − VB ) b) Densité d’énergie : cas du condensateur planOn considère un condensateur plan, de surface S et d’épaisseur e. Dans le vide la capacité C Sde ce condensateur est : C ε= o . e VBL’énergie électrostatique emmagasinée dans ce −condensateur est : 1 S W= 2 C (VA − VB ) 2 e E 1 Q2 = VA + 2 CLe module du champ électrostatique entre les armatures d’un condensateur plan vaut: (VA − VB )E = . Sachant que τ = S e (τ est le volume compris entre les deux earmatures), l’énergie du condensateur peut s’écrire : 1 1 W ε=S e E o = E τo 2 2 ε 2 2 W 1L’énergie par unité de volume (densité d’énergie) est donnée par : ϖ = = εo E2 τ 2
  • 15. rL’énergie emmagasinée dans le volume τ où règne le champ électrostatique E est : 1 1 W= ∫ ϖ dε = E o d ∫ 2 τ τ 2 2 (τ) (τ) l’intégration (ici triple) porte sur tout l’espace où règne le champ électrostatique ″ Ce résultat est tout à fait général quelque soit la forme du système étudié ″ExempleUne sphère conductrice isolée en équilibre électrostatique, de rayon R, porte une charge Q.1) Calculer la capacité de ce conducteur.2) Déduire son énergie électrostatique W.3) Retrouver l’expression de W à partir de la densité d’énergie ϖ . r1) A l’intérieur de la sphère conductrice le champ E(M) est nul.Son potentiel est constant = Vo r Q rA l’extérieur le champ a pour expression : E(M) = 2 er 4πε o roù r est la distance du point O, centre de sphère, au point M .Le champ électrostatique est àsymétrie sphérique (il ne dépend que de r) et radial (porté par la droite (OM)). u r uuuurLa relation E = − grad V se réduit ici à : dV(r) = − E(r) dr et par intégration, on obtient : Q V(M) = + C te 4πε o rLorsque r → ∞ , V = 0 (origine des potentiels) ⇒ C te =0D’autre part pour r = R, on a : V(R) = Vo : potentiel de tout le conducteur. Q Q = = 4πε o R Cd’où : C = 4πε o R .Ainsi, la capacité est une valeur positive. Elle dépend de la géométrie du conducteur (R) et dela nature du milieu ( ε o ) dans lequel il se trouve.2) L’énergie d’un conducteur isolé à l’équilibre électrique est :
  • 16. 1 W= 2 ∫ (S) dq Vo : l’intégration (ici double) porte sur la surface du conducteur 1 1 W= 2 Vo (S) ∫ dq = 2 V Q o r3) L’énergie emmagasinée dans l’espace extérieur où règne le champ électrostatique E (expression générale) est : 1 1 W= ∫ ϖ dε = τ ∫ τ 2 o E d 2 2 espace extérieur espace extérieur 2 1 Q = ∫ 2 εo r sinθ dr dθ dφ 2 4 2 espace extérieur (4πε o ) r 2 ∞ π 2π 1 Q dr = 2 εo (4πε o ) 2 ∫ R r 2 ∫ 0 sinθ dθ ∫ 0 dφ 1 Q 2 1 1 Q 2 = εo 2 ( ) (2) (2π) = 2 (4πε o ) R 2 4πε o R 1 = Q Vo 2On retrouve le même résultat que précédemment.IIX- Forces électrostatiques sur les conducteurs1) IntroductionChaque conducteur faisant partie d’un système de n conducteurs en équilibre est soumis à une r rforce dont la résultante est F ou un couple dont la résultante est Γ .Nous pouvons déterminer la force ou le couple par l’intermédiaire de l’énergie potentiel enutilisant le principe des déplacements virtuels. Ces déplacements fictifs sont supposés êtrefaits soit à potentiels constants, soit à charges constantes.Dans le cas d’un mouvement de translation, nous allons utiliser les coordonnées cartésienneset dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe, nous utiliserons les coordonnéespolaires r et θ , sachant que θ est l’angle de rotation.2) Déplacement à charges constantes
  • 17. A charge constante : le système est isolé et l’énergie WQ est de nature potentielle (le travail r uuurdes forces électrostatiques est indépendant du chemin suivi) ⇒ F = − grad WQ n n 1 1 WQ = 2 ∑ i =1 Vi Q i ⇒ dWQ = 2 ∑Q i =1 i dVi ∂WQ ∂WQ ∂WQ a) Mouvement de translation : Fx = − , Fy = − , Fz = − ∂x ∂y ∂z dWQ b) Mouvement de rotation : Γθ = − . dθ3) Déplacement à potentiels constantsA potentiel constant : le système n’est plus isolé ; en effet, la source qui maintient le potentielconstant fait partie du système électrostatique. n n 1 1 WV = 2 ∑V i =1 i Q i ⇒ dWV = 2 ∑ V dQ i =1 i i ∂WV ∂WV ∂WV a) Mouvement de translation : Fx = , Fy = , Fz = ∂x ∂y ∂z dWV b) Mouvement de rotation : Γθ = . dθ

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