Chapitre 4   equilibre électrostatique des conducteurs
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Chapitre 4   equilibre électrostatique des conducteurs Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurs Document Transcript

  • Equilibre électrostatique des conducteursI- Conducteurs à l’équilibre électrostatique1) DéfinitionUn conducteur est un corps où existent en grandes quantités des charges électriques libres.Ces charges peuvent se déplacer sous l’action d’un champ électrique extérieure.2) Définition de l’équilibre électriqueUn conducteur est en équilibre électrique si ses charges libres sont au repos relatif (vitessemoyenne des porteurs libres dans le conducteur est nulle). Les conducteurs étudiés sontsupposés être homogènes et en équilibre thermique.3) Propriétés électriques d’un conducteur en l’équilibre électrostatique a) Champ électriqueSoit q une charge libre dans un conducteur en équilibre. La charge q étant immobile, sa rvitesse moyenne est donc nulle et la résultante des forces F agissant sur cette charge est aussinulle. r r rLa loi de coulomb permet d’écrire : F = q E int où E int est le champ en tout point intérieurdu conducteur. Nous en déduisons que : r r E int = 0 b) Potentiel électrique r r r uu rPuisque E int = 0 , la relation champ-potentiel dVint = − E int dl donne dVint = 0 , d’où : Vint = constanteDonc à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre le potentiel est constant. Par continuité, lasurface limitant le volume du conducteur en l’équilibre est une surface équipotentielle. a) Densité de charge excédentaire r rDans un conducteur en l’équilibre électrique : E int = 0 .
  • rDe la relation div E = ρ(M) , nous déduisons que . int ρ int = 0 εo Conducteur en équilibre électrostatique Eint = 0 Vint = Cte ρ=0A l’équilibre, la densité volumique de charges est nulle. En d’autres termes, dans un mêmevolume dτ il y a autant de charges positives que de charges négatives.4) Cavités dans un conducteur a) CavitéUne cavité est une région à l’intérieur du conducteur où il n’y a pas de matière. Un exemplede conducteur avec deux cavités est montré dans la figure ci-dessous. Cavité Cavité a) Champ, potentiel et densité de chargesNous savons que dans un conducteur en r rl’équilibre : E int = 0 , ρ int = 0 et V = C te . int Cavité Surface interneDe la continuité du potentiel, on en déduit quecelui-ci est constant dans la cavité et par E=0conséquent le champ y est nul et que la densité Surface externe ρ = 0 = Cte Vintde charges vaut zéro.
  • II- Champ au voisinage d’un conducteur en l’équilibre -Théorème de Coulomb1) Densité de charges sur la surface externe d’un conducteur à l’équilibre.Nous savons qu’à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre il n’y a ni excès ni défaut decharges ( ρ int = 0 ). Donc le conducteur contient des charges, alors elles ne peuvent se trouverque sur sa surface externe.2) Propriétés du champ électrique au voisinage d’un conducteur chargé r a) Direction et sens de ELa charge positive ou négative du conducteur à l’équilibre se répartie sur sa surface externe. r uuur rCette surface est une surface équipotentielle. De la relation E = − grad V , on déduit que Eest perpendiculaire à cette surface. rSoit σ la densité surfacique de charges du conducteur. Le sens de E est sortant si σ > 0, il estrentrant si σ < 0. + + + − − − + + + + − Eint = 0 − − + − Eint = 0 + − σ>0 Vint = C te − σ<0 Vint = Cte E(M) n M+ ρ=0 + n M ρ=0 − − E(M) + + + − − − r b) Expression de E - Théorème de Coulomb + EConsidérons un point A infiniment proche d’un + + nconducteur en l’équilibre, et dS un élément de dSsurface entourant le point A. + A +Surface de Gauss : la base dS + la surface + E = 0 +latérale + la surface Σ (Σ est à l’intérieur du + Σconducteur) + V = Cet Φ=Φ + Φ + Φ + dS latΣ ρ=0 σ>0 +Φ = u r 0 ( E est tangent à la surface latérale) lat + charge interneΦ = u r r 0 ( E = 0 à l’intérieur du conducteur) : σ dS + + Σ +
  • σdS r σ r Φ=Φ = E dS = ⇒ E = n dS εo εoCe résultat constitue le théorème de Coulomb. A la traversée de la surface chargée le champ σsubit une discontinuité de l’ordre de . εoIII- Pression électrostatique1) Décomposition du champ au voisinage d’un conducteur chargé r r σ r rLe champ E en un point A très proche d’un conducteur chargé est : E = n , où n est la εonormale à la surface du conducteur au point A. r r r r r rOn peut décomposer le champ E en deux champs E A et E A tel que : E = E A + E A roù E A est le champ électrique créé au point A par la quantité de charges dq A portées parl’élément de surface dS A assimilé à un disque de rayon R et de densité de charge uniforme σ ret E A est le champ créé par le reste du conducteur.Le champ en un point situé sur l’axe d’un disque (D) chargé en surface( σ 〉 0 ) (cf.fig.ci-contre) et au voisinage de ce dernier (à une distancez) est donné par la formule : r σ z r r EA = (1 − )n (où n est la normale au disque). 2ε o 2 z +R 2 r σ rLorsque la distance z tend vers zéro : EA = n 2 εo r r r σ rSoit : EA = E − EA = n 2 εo2) Expression de la pression électrostatique a) Calcul de la pression rLa charge dq A portée par l’élément de surface dS est sous l’influence du champ E A (cf ci- r rdessus). Elle est donc soumise à une force : dF = dq A E A
  • r σ r r σ 2 ravec : A = dqσ dS et E A = n ⇒ dF = dS n 2 εo 2 εoLes charges électriques réparties sur la surface d’un conducteur en équilibre sont soumises àdes forces normales à cette surface, dirigées vers l’extérieur quelque soit le signe des charges.La valeur de cette force par unité de surface est analogue à une force de pression appeléepression électrostatique. Elle vaut : 2 σ p = 2 εoL’unité de la pression électrostatique dans lesystème S.I. est le newton par mètre carré(symbole : N/m 2 ) forces électrostatiques dirigées vers l’extérieurExemple : bulle de savonSi on électrise une bulle de savon (cf.fig.ci-contre), son volume va augmenter sousl’effet de la pression électrostatique jusqu’àexplosion.