Chapitre 1 loi de coulomb et champ électrostatique

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  • 1. Chapitre 1 : Loi de Coulomb et champ électrostatique :Première partie : Loi de Coulomb 3Charge électrique………………………………………………………………………….. 4Notion de distribution de charges………………………………………………………… 6Loi de Coulomb dans le vide………………………………………………………………Seconde partie : Champ électrique 9Définitions………………………………………………………………………………… 10Champ électrique créé par des charges ponctuelles………………………………………. 11Champ électrique créé par des distributions de charges continues………………….......... Loi de Coulomb et Champ électrostatique Loi de Coulomb I- Charge électrique 1) Aspect microscopique a) Introduction La matière est constituée d’atomes. Un atome est constitué de particules élémentaires : électrons, protons et neutrons. Parmi les caractéristiques principales d’une particule, on peut citer son état électrique. Cette dernière peut exister sous l’une des trois formes suivantes : négative, neutre ou positive. b) Charge électrique élémentaire C’est la charge électrique notée e correspondant à la charge d’un proton. L’électron a une charge −e. e = 1,60207.10-19C Le coulomb est l’unité de la charge électrique (symbole C). 2) Aspect macroscopique
  • 2. a) IntroductionTout corps ou système porte une quantité de charges ou d’électricité notée Q, qui est soitnégative (Q < 0), soit nulle (Q = 0), soit positive (Q > 0). b) Conservation de la charge électriqueLa quantité de charge portée par un système isolé reste constante. c) Quantification de la charge électriqueToute quantité d’électricité Q portée par un corps ou un système est un multiple entier relatifde la charge élémentaire e. Q = n.e où n ∈ ¢On dit dans ce cas que la charge Q est quantifiée cest-à-dire Q ne prend que des valeursdiscrètes. 3 1Exemples : Q = −1020 e , Q = 25 e . On ne peut jamais avoir Q = e ou Q = e . 4 2 d) Notion de charge ponctuelleUne charge ponctuelle est une charge qui existe en un point de l’espace. En réalité, ce n’estqu’une approximation. La charge q étudiée peut être considérée comme ponctuelle si ladistance séparant le point d’observation et le centre de la charge est très grande devant lesdimensions de la charge q.II- Notion de distribution de charges1) DéfinitionUne distribution de charges est la manière dont sont réparties ces charges dans l’espace. Unedistribution peut être discrète ou continue. Elle est discrète (ou ponctuelle), si toutes lescharges qui la constituent sont ponctuelles. Elle est continue si les charges qui la constituentsont réparties de façon continue sur, ou dans un support quelconque.Une distribution continue de charges peut exister sous forme linéaire, surfacique ouvolumique.2) Distribution linéaire a) Définition
  • 3. Une distribution de charges est considérée comme linéaire (ou linéique) si elle peut êtreapprochée par une répartition continue de charges sur une ligne. b) Densité linéique de chargesLa charge par unité de longueur notée λ est appelée densité linéique de charges. Si dq est laquantité de charges portée par une longueur élémentaire dl (cf.fig et tableau.pages 12-13), dqalors la charge par unité de longueur est : λ = dlLa charge totale Q portée par une ligne de longueur L est : Q = ∫ (L) dq = ∫ (L) λ dl : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargéL’unité de la densité linéique de charges λ est le coulomb par mètre (symbole : C/m).3) Distribution surfacique a) DéfinitionUne distribution de charges est dite surfacique ou superficielle lorsqu’elle est répartie defaçon continue sur une surface. b) Densité surfacique de chargesLa charge par unité de surface notée σ est appelée densité superficielle (ou surfacique) decharges. Si dq est la quantité de charges portée par l’élément de surface dS (cf.fig et dqtableaux.pages 14→17), alors la densité superficielle de charges est donnée par : σ = dSLa quantité de charges portée par une surface d’aire S est : Q = ∫ (S) dq = ∫ (S) σ dS : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargéeL’unité de la densité superficielle σ est le coulomb par mètre carré (symbole : C/m2).4) Distribution volumique a) DéfinitionUne distribution volumique de charges traduit la manière dont sont réparties les charges dansun volume. b) Densité volumique de charges
  • 4. La charge par unité de volume notée ρ est appelée densité volumique de charges. Si dq est laquantité de charges contenue dans l’élément de volume dτ (cf.fig et tableau.pages 18-19), dqalors la densité volumique de charges peut s’écrire : ρ = dτLa charge électrique totale contenue dans un volume τ est : Q = ∫ (τ) dq = ∫ (τ) ρ dτ : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargéL’unité de la densité volumique de charges ρ est le coulomb par mètre cube (symbole : C/m3).5) Calcul de la charge QL’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte despropriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) auproblème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de Q.III- Loi de coulomb dans le vide1) Enoncé de la loiDeux charges électriques ponctuelles q 1 et q 2 stationnaires s’attirent ou se repoussentmutuellement avec une force proportionnelle au produit des valeurs des charges etinversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.La forme vectorielle de la loi de coulomb est donnée par : r q1 q 2 r r q1 q 2 r F12 = 2 u 12 ; F 21 = 2 u 21 4πε o r 4πε o r u21 M F12 ∆ r M F21 O q2 u12 r O q2 q1 q1 ∆ q1 q2 > 0 u21 M F21 r F12 ∆ O M q2 u12 r O q2 q1 q1 ∆ q1 q2 < 0
  • 5. rIci q1 et q2 sont les nombres donnant la valeur absolue et le signe des charges respectives, u 12est le vecteur unitaire dirigé de la charge 1 vers la charge 2, r est la distance séparant les deux r rcharges et F12 est la force agissant sur la charge 2. u 21 est le vecteur unitaire dirigé de la rcharge 2 vers la charge 1 et F 21 est la force agissant sur la charge 1.2) Caractéristiques du vecteur Force électrique r M lorsque q agit sur q → F12 (M)  o Point d’application :  1 2 r O lorsque q agit sur q → F 21 (O)  2 1 o Direction : la droite d’action ∆ r r dans le sens de u12 , si q q 〉 0 ; dans le sens contraire de u12 , si q q 〈 0  1 2 1 2 o Sens :  r r dans le sens de u 21 , si q1q 2 〉 0 ; dans le sens contraire de u 21 , si q1q 2 〈 0  q q 1 2 o Module : 2 4πε o rεo est une constante appelée permittivité diélectrique du vide (ou constante diélectrique). Elle 1 2 2vaut dans le système international (S.I.) : 9 C /N.m où 8,85 10 −12 Farad/m (le 36π 10Farad est l’unité de la capacité dans le SI).La loi de Coulomb exprime le fait que des charges de même signe se repoussent, et que descharges de signe contraire s’attirent. Elle exprime aussi le caractère Newtonien de la force, r rcest-à-dire que : F12 = − F 21On remarque que la force d’interactions entre les charges électriques varie en 1/r2 comme laforce d’interactions gravitationnelle. + q n3) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition r n Soient q 2 , ..................... q i , ............ ,q n , un ensemble de n−1 charges ponctuelles placées F i1 − uu r r q2respectivement aux points O 2 , ................. O i , ............2 ,O n . La force électrique résultante F 1 exercée Msur la charge q 1 placée au 1point M est donné par : q + F n1 F F 21 31 r i r 3 + q i q3 −
  • 6. r u r n qi r uuuu r r ri F1 (M) = ∑ i =2 4πε o r 2 ui , r i = Oi M et ui = ri i uu r uur uu r uu r uu r F 1 (M) = F21 + F31 + .......... + Fi1 + ............ + Fn1 Attention de bien additionner les forces de manière vectorielle3) Comparaison entre les forces électrique et gravitationnelleConsidérons deux électrons séparés par une distance r. 2 eL’intensité de la force électrique (répulsive dans ce cas) est : Fe = 2 4πε o r 2 mLa valeur de la force de gravitation (toujours attractive) est : Fg = G 2 roù G = 6,67.10-11 S.I., est la constante de gravitation et m = 9,1.10 −31 kg est la masse del’électron.Le rapport Fg/Fe est de l’ordre de 10−22. Ce résultat montre qu’on peut négliger la force degravitation par rapport à la force électrique. Ceci sera valable dans toute la suite de ce cours,sauf mention explicite du contraire.Un amas d’éléments positifs se repousserait avec une force énorme et éclaterait dans toutesles directions. Un amas d’éléments négatifs en ferait autant. Mais un mélange égal d’élémentspositifs et négatifs ferait quelque chose de tout à fait différent. Les éléments opposés seraientmaintenus ensemble par des attractions énormes. Le résultat global serait que les forcesterrifiantes s’équilibreraient entre elles presque parfaitement en formant des mélanges fins etserrés d’éléments positifs et négatifs, et entre deux amas d’un tel mélange, il n’y auraitpratiquement pas du tout d’attraction ni de répulsion.
  • 7. Champ électrostatiqueI- Définitions1) Champ de vecteurs a) DéfinitionUn champ de vecteurs est une région de l’espace où à chaque point, on fait correspondre unvecteur. b) Conséquence de la loi de CoulombOn sait qu’une charge électrique ponctuelle q O placée en un point O, exerce une forced’origine électrique sur une autre charge ponctuelle q M placée au point M telle que : r uuu r r q q r r r F(M) = O M u 2 , r = OM et u= 4πε o r r r qO r r rOn pose : E(M) = 2 u d’où F(M) = q M E(M) 4πε o rCette écriture permet de définir en tout point M de l’espace (M≠O), un nouveau vecteurrE(M) appelé champ électrostatique ou champ électrique.
  • 8. 2) Champ électrique rOn appelle champ électrostatique E (ou champ électrique), un champ de vecteur capabled’exercer une force, sur toute charge électrique q M placée dans sa zone d’influence : r r F(M) = q M E(M) . r r F et E ont le même sens si q M > 0. Ils sont opposés lorsque q M < 0.Dans le système international (SI), l’unité du champ électrique est le Newton par Coulomb(symbole : N/C ), ou le volt par mètre (symbole : V/m).II- Champ électrique créé par des charges ponctuelles1) cas d’une seule charge rLe champ électrique E(M) en un point M créé par une charge ponctuelle q O placée en un r q rpoint O (O≠M) a pour expression : E(M) = O 2 u 4πε o r E(M) M ∆ E(M) ∆ r r M O u O u q qO qO >0 O q O< 0 uuu r roù r = OM est la distance du point O au point M et u (dans le sens de O vers M) est unvecteur unitaire de la droite d’action ∆.2) Caractéristiques du vecteur champ électrique o Point d’application : le point M o Direction : la droite d’action ∆
  • 9. r r le sens de u, si q est positive : E séloigne de la charge positive  o o Sens  r r   le sens contraire de u, si q o est négative : E se dirige vers la charge négative qO o Module : 2 4πε o r3) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superpositionSoient q 1 , ..................... q i , ............ , q n , un ensemble de n charges ponctuelles placées respectivementaux points O 1 , ................. O i , ............ , O n . Le champ électrique résultant au point M est donné par : r r n qi r uuuu r r ri E(M) = ∑ i =1 4πε o r 2 ui , ri = Oi M et ui = ri i + q 1 u 1 r 1 En − r 2 u 2 q 2 M E1 E E2 i r n r i u n+ q n qi − u i uu r uu r uu r uu r uu r E (M) = E1 + E 2 + .......... + E i + ............ + E n Attention de bien additionner les forces de manière vectorielleIII- Champ électrique créé par des distributions continues
  • 10. 1) Distribution linéique fil chargé(L) est une ligne chargée et λ est la densitélinéique de charges. On divise la charge de la λ>0distribution en petits éléments infinitésimauxqui peuvent être considérés comme descharges ponctuelles. Un élément de longueur d udl centré en A et portant la charge A =dq(A) λ(A) d (A) l crée en un point M r(M∉L) le champ élémentaire : uu r dq(A) r M dE(M) = 2 u (L) dE 4πε o r Expressions d’éléments de longueurs dans les trois systèmes de coordonnées
  • 11. rectangulaires cylindriques sphériquesuu r uuuuuuur r r r uu r uuuuuuur r r rdl1 = M1M 2 = dx e x + dy e y + dz e z ; dl 2ρ = M1M 2 φ= dρ e z+ ρdφ e + dz e uu r uuuuuuur r r r dl 3 = M1M 2 = dr e rθ + rdθ e + rsinθdφ e φ Rectangulaires Cylindriques Sphériques dx dρ dr
  • 12. (sur une droite : axe des x) (sur une demi-droite : (sur une demi-droite : axe des ρ) axe des r)Déplacements élémentaires dy ρ dφ r dθ (sur un demi-cercle de rayon dl (sur une droite : axe des y ) (sur un cercle de rayon ρ : r : axe des θ) axe des ϕ) dz dz r sinθ dφ (sur une droite : axe des z) (sur une droite : axe des z) (sur un cercle de rayon r sinθ : axe des ϕ)Le champ global créé au point M est obtenu par intégration sur toute la ligne (L) : r λ(A) dl(A) r E(M) = ∫ (L) 4πε o r 2 u : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé2) Distribution surfacique(S) est une surface chargée et σ est la densité superficielle de charges . On divise la charge dela distribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme descharges ponctuelles. Un élément de surface dS centré en A et portant la chargedq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M (M∉S) le champ élémentaire : uu r dq(A) r dE(M) = 2 u 4πε o r dE M r u (S) A AA dS σ>0 surface chargée Expressions de surfaces élémentaires dans les trois systèmes de coordonnées
  • 13. a) Système rectangulaire uu r r r r uu r r r r dS1 = dy e y ∧ dz e z = dydz e x ; dS2 = dz e z ∧ dx e x = dxdz e y uu r r r r dS3 = dx e x ∧ dy e y = dxdy e zb) Système cylindrique
  • 14. uu r r r r uu r r r r 1φ= dSρdφ e ∧ z dz e =ρ ρdφdz e ; dS2 = dz e zρ ∧ dρ e =φdρdz e uu r r r r dS3ρ = dρ e ∧ ρdφ e = ρdρdφ e φ zc) Système sphérique
  • 15. uu r r r 2 r uu r r r rdS1θ = rdθ e ∧ rsinθdφ e = r sinθdθdφ e φ r ; dS2φ= rsinθdφ e ∧ dr e =θ rsinθdrdφ e r uu r r r r dS3 = dr e rθ ∧ rdθ e =φ rdrdθ e Surfaces élémentaires Rectangulaires Cylindriques Sphériques
  • 16. 2 dS1 dy dz ρ dφ dz r sinθ dθ dφ (sur la surface latérale du (sur la sphère de rayon (dans le plan x = C te ) cylindre de rayon ρ = C te ) te r = C ) dS2 dz dx dz dρ r sinθ dφ dr te ) (sur le cône de demi-angle (dans le plan y = C (dans le demi-plan φ = C te ) au sommet θ = C te ) dS3 dx dy ρ dρ dφ r dr dθ (dans le plan z = C te ) (dans le plan z = C te ) (dans le demi-plan φ = C te )Le champ global créé au point M est obtenu par intégration sur toute la surface chargée (S) : r σ(A) dS(A) r E(M) = ∫ (S) 4πε o r 2 u : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée3) Distribution volumique(τ) est un volume chargé et ρ est la densité volumique de charges . On divise la charge de ladistribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des charges =ponctuelles. Un élément de volume dτ centré en A et portant la charge dq(A) ρ(A) d (A) τcrée en un point M de l’espace le champ élémentaire : uu r dq(A) r dE(M) = 2 u 4πε o r dE M r ρ>0 u A A A dτ (τ) volume chargé Expressions du volume élémentaire dans les trois systèmes de coordonnées
  • 17. rectangulaires cylindriques sphériques r r r r r rdτ 1 = dx e x . ( dy e y ∧ dz e z ) ; dτ 2 = dρ e ρ . ( ρdφ e φ ∧ dz e z ) r r r dτ 3 = dr e rθ. ( rdθ e ∧ rsinθdφ e φ ) Rectangulaires Cylindriques Sphériques
  • 18. 2 Volume élémentaire dτ 1 = dx dy dz dτ 2 = ρ dρ dφ dz dτ 3 = r sinθ dr dθ dφLe champ global créé au point M est obtenu par intégration sur tout le volume (τ) : r ρ(A) dτ (A) r E(M) = ∫ (τ) 4πε o r 2 u : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé u r4) Calcul du champ EL’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte despropriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au rproblème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de E .