Matematika 8 alb

10,334
-1

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
10,334
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
162
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematika 8 alb

  1. 1. 2010Skopje
  2. 2. I nderuar nx[n[s!Ky lib[r do t[ mund[son t’i m[sosh p[rmbajtjet e parapara p[r klas[n VIII. Do t[ m[sosh p[rmbajtje t[reja interesante p[r ngjashm[rin[ e figurave. Do t[ m[sosh teknika p[r zgjidhjen e barazimeve linearedhe jobarazimeve lineare, si dhe p[r zgjidhjen e disa sistemeve t[ barazimeve lineare. Do t’i zgjeroshnjohurit[ p[r funksionin linear edhe p[r trupat gjeometrik, syprin[n dhe v[llimin e tyre.Libri [sht[ ndar[ n[ kat[r t[r[si tematike, kurse disa prej tyre jan[ ndar[ n[ n[ntema.T[r[sit[ tematike fillojn[ me p[rmbajtje, kurse nj[sit[ m[simore n[ to jan[ t[ num[ruara.Te nj[sit[ m[simore ka shenja me ngjyra dhe mbi ato jan[ shkruar porosi, aktivitete, obligime dhesygjerime t[ tjera edhe at[: Nj[sit[ m[simore fillojn[ me di]ka q[ e ke t[ njohur. Duhet t[ kujtohesh Kujtohu! dhe t’i zgjidhish k[rkesat e dh[na. At[ do ta shfryt[zosh gjat[ t[ m[suarit t[ m[simit t[ ri. Me k[to shenja, nj[sia m[simore [sht[ ndar[ n[ pjes[ te t[ cilatA , B ... u kushtohen koncepteve t[ reja.1. Me shenjat e k[tilla jan[ sh[nuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat q[ do t’i zgjidhish n[ m[nyr[ t[ pavarur ose me ndihm[n e arsimtarit t[nd. N[ k[t[2. pjes[ e m[son m[simin e ri, prandaj duhet t[ jesh i kujdessh[m dhe aktiv ... q[ sa m[ mir[ ta m[sosh dhe ta kuptosh. Ajo q[ [sht[ m[ me r[nd[si [sht[3. me ngjyr[ portokalli. Ajo q[ [sht[ m[ e r[nd[sishme nga m[simi [sht[ ve]uar n[ form[ t[ Duhet t[ dish: pyetjeve, detyrave ose pohimeve. At[ duhet ta mbash n[ mend dhe ta shfryt[zosh gjat[ zgjidhjeve t[ detyrave dhe shembujve praktik. Kjo pjes[ p[rmban pyetje dhe detyra me t[ cilat mund t[ provosh Kontrollohu! pjes[n m[ t[ madhe t[ asaj q[ e ke m[suar a e ke kuptuar q[ t[ mund ta zbatosh dhe shfryt[zosh n[ jet[n e p[rditshme. Duhet rregullisht dhe n[ m[nyr[ t[ pavarur t’i zgjidhish k[to detyra. Detyra Me t[ m[ mir[ do ta kuptosh at[ q[ e ke m[suar, kurse ajo do t[ jet[ shum[ e dobishme p[r ty. Përpiqu! ... P[rpiqu t’i zgjidhish detyrat dhe problemet n[ k[t[ pjes[ (kjo nuk [sht[ e domosdoshme). Me t[ do t[ dish m[ shum[ dhe do t[ jesh m[ i pasur me ide. KONTROLLO N[ fund t[ ]do teme ke teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe n[ NJOHURIN{ T{NDE m[nyr[ t[ pavarur testin dhe me t[ do t[ provosh njohurit[ tua nga tema e m[suar.N[se has n[ v[shtir[si gjat[ t[ m[suarit t[ matematik[s mos u dor[zo, p[rpiqu p[rs[ri, kurse k[mb[nguljado t[ sjell[ rezultat dhe k[naq[si.Do t[ na g[zon n[ qoft[ se me k[t[ lib[r do ta duash m[ shum[ matematik[n dhe do t[ arish sukses t[shk[lqyesh[m. Nga autor[t
  3. 3. TEMA 1. NGJASHM{RIA SEGMENTET PROPORCIONALE 8. Kriteri i dyt[ dhe i tret[ p[r trek[nd[shat1. Raporti nd[rmjet dy segmenteve 4 e ngjash[m 312. Segmentet proporcionale 8 9. Raporti i perimetrave dhe raporti i syprinave3. Ndarja e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta 12 t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m 334. Teorema e Talesit p[r segmentet TEOREMA E PITAGOR{S proporcionale 16 10. Ngjashm[ria te trek[nd[shi k[nddrejt 375. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Talesit 20 11. Teorema e Pitagor[s 41 TREK{ND{SHAT E NGJASH{M 12. Detyra me zbatimin e teorem[s s[6. Figurat e ngjashme. Trek[nd[shat e Pitagor[s 44 ngjash[m 24 13. Popullimi, mostra 487. Kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 27 Provo njohurin[ t[nde 53 Segmentet proporcionale 3
  4. 4. SEGMENTET PROPORCIONALE 1 RAPORTI ND{RMJET DY SEGMENTEVE Kujtohu! A 1. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy segmente: Raport ose p[rpjes[ e numrit a dhe numrit b (b ≠ 0) [sht[ her[si i a dhe b, d.m.th. A B a a : b ose ; b C D lexohet: a ndaj b; numri a quhet an[tari i par[, kurse b an[tari ku AB = 6 cm, CD = 4 cm. i dyt[ i raportit. Shkruaje raportin e numrave mat[s t[ gjat[sis[ Numri q[ fitohet duke kryer pjes[timin e a me s[ segmentit AB dhe gjat[sis[ s[ segmentit CD. b quhet vlera e raportit a : b dhe sh[nohet me k. N[ k[t[ rast a : b = k, d.m.th. a = bk. Her[sin 6 : 4 do ta marrim si raport nd[rmjet segmentit AB dhe segmentit CD. Cakto vler[n e raportit: Në përgjithësi a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16; ]) 1,8 : 2,4. Raporti ose p[rpjesa nd[rmjet dy segmenteve P[r cilat raporte themi se jan[ t[ barabarta? [sht[ her[si i numrave mat[s t[ gjat[sive t[ tyre me gjat[si t[ nj[jt[ mat[se. Cil[t prej raporteve a) - ]) jan[ t[ barabart[? Raportin i nj[ segmenti AB ndaj segmentit tjet[r Cakto an[tarin e panjohur t[ raportit: CD e shkruajm[: a) x : 8, n[ qoft[ se vler[n e ka 4; b) 18 : y, n[ qoft[ se vler[n e ka 12. AB AB : CD ose . CD An[tari i dyt[ CD a mund t[ jet[ i barabart[ me zero? 3 Te detyra 1, raporti AB : CD [sht[ 6 : 4, kurse vlera e tij [sht[ . 22. Cakto vler[n e raportit t[ segmentit a ndaj segmentit b, n[ qoft[ se: a) a = 12 cm, b = 4 cm; b) a = 30 cm, b = 6 dm. Ke kujdes! Gjat[sit[ e dy segmenteve te raporti duhet t[ shprehen me nj[si t[ nj[jt[ mat[se. Raporti i dy segmenteve [sht[ num[r i paem[rtuar. 4 Tema 1. Ngjashmëria
  5. 5. 3. }do an[tar te raporti 0,5 : 0,25: a) shum[zoje me 20; b) pjes[toje me 5. Pastaj, vler[n e raportit t[ dh[n[ krahasoje me vlerat e raporteve t[ fituara me a) dhe b). }ka p[rfundon?4. Shkruaje raportin e segmentit a = 6 cm ndaj segmentit a b = 3 cm dhe cakto vler[n e tij. Pastaj, cakto raportin a : b dhe vler[n e tij, n[ qoft[ b se gjat[sit[ e segmenteve i shkruan n[: a) mm; b) dm; c) m. }ka p[rfundon p[r ato raporte? Me dy detyrat paraprake u përkujtove se: Raporti a : b nuk ndryshon n[ qoft[ se t[ dy an[tar[t e tij shum[zohen ose pjes[tohen me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros, d.m.th. n[ se a : b = k dhe m ≠ 0, at[her[ (am) : (bm) = k dhe (a : m) : (b : m) = k. N[ qoft[ se raporti i dy numrave [sht[ N[ qoft[ se a : b = k, at[her[ a : b = k, at[her[ me se [sht[ i barabart[ a = kb. Numri k tregon sa her[ numri a? numri b p[rfshihet te numri }far[ tregon numri k p[r numrat a dhe b? a. Mbaj mend N[se raporti i dy segmenteve AB dhe CD [sht[ k, AB : CD = k, at[her[ AB = k ⋅ CD . Raporti k tregon sa her[ segmenti CD p[rfshihet te segmenti AB, d.m.th. k [sht[ numri mat[s i gjat[sis[ s[ segmentit AB si nj[si mat[se do t[ meret segmenti CD.B 5. Jan[ dh[n[ segmentet a = 1,2 dm, b = 18 cm. Shkruaje raportin a : b dhe njehso vler[n e tij. Shkruaje raportin b : a dhe njehso vler[n e tij. P[r raportin b : a thuhet se [sht[ i anasjellt[ i raportit a : b. K[shtu, raporti 18 : 12 [sht[ i anasjellt[ i raportit 12 : 18.6. Arta ka 5 vjet, Blerta ka 10 vjet, kurse Vlera ka 35 vjet. Shkruaje raportin e vjet[ve nd[rmjet: a) Art[s dhe Blert[s; b) Blert[s dhe Vler[s; c) Art[s dhe Vler[s. Segmentet proporcionale 5
  6. 6. Shihi raportet 5 : 10; 10 : 35 dhe v[re se ]kan[ t[ p[rbashk[t. An[tari i dyt[ i raportit t[ par[ [sht[ i barabart[ me an[tarin e par[ t[ raportit t[ dyt[. Mbaj mend! Raportet a : b dhe b : c zakonisht shkurtimisht shkruhen si a : b : c. Shprehja a : b : c quhet raport i vazhduar i a, b, c. K[shtu, 5 : 10 : 35 [sht[ raport i vazhduar p[r t[ dy raportet 5 : 10 dhe 10 : 35. P[rve] saj , raporti i vazhduar e p[rmban edhe raportin 5 : 35.7. Larg[sia ajrore nd[rmjet tre qyteteve A, B, C jan[: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km. Paraqiti ato larg[si, n[ vizatim, t[ zvog[luara 800 000 her[. Shkruaje raportin e vazhduar CA : AB : BC n[ form[ sa m[ t[ thjesht[. C 8. N[ vizatim jan[ dh[n[ tre segmente A B AB, CD dhe PQ, ashtu q[ AB = 5 PQ, CD = 3PQ . C D Sa her[ segmenti PQ p[rfshihet te P Q segmenti a) AB; b) CD? V[ren se segmenti PQ, te segmentet AB dhe CD, p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh. PQ thuhet se [sht[ masa e p[rbashk[t e segmenteve AB dhe CD. Në përgjithësi P[r dy segmente thuhet se jan[ t[ bashk[matsh[m, n[ qoft[ se ekziston segment i tret[ q[ p[rfshihet num[r t[ plota her[sh te ]donj[ri prej tyre. Raporti i dy segmenteve t[ bashk[matsh[m [sht[ num[r racional (i plot[ ose thye). Segmentet AB, CD n[ detyr[n 8 jan[ t[ bashk[matsh[m. T[ atill[ jan[ edhe ]iftet e segmenteve: AB, BC dhe BC, CA, te detyra 7 (mas[ t[ p[rbashk[t e kan[ segmentin me gjat[si, p[r shembull, 1 km).9. N[ vizatim [sht[ paraqit katrori me brinj[ a dhe diagonale d. d Shprehe diagonalen d me ndihm[n e brinj[s a. Trego se raporti d : a [sht[ num[r iracional 2. a Vëreve se Ka ]ifte t[ segmenteve p[r t[ cil[t nuk ekziston segment itret[ q[ do t[ p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh te ]donj[ri prej tyre. P[r dy segmente t[ atill[ thuhet se jan[ t[ pabashk[matsh[m dhe raporti i tyre gjithmon[ [sht[ num[r iracional. 6 Tema 1. Ngjashmëria
  7. 7. P[r shembull, brinja a dhe diagonalja d e katrorit jan[ segmente t[ pabashk[matsh[m; raporti i tyre d : a [sht[ numri 2. Duhet të dish: t[ em[rtosh dhe t[ caktosh raport t[ dy numrave dhe t[ dy segmenteve; t[ caktosh vler[n e raportit dhe raporteve t[ barabart[; t[ shkruash raport t[ anasjellt[ dhe raport t[ vazhduar; t[ caktosh an[tarin e panjohur te raporti. Kontrollohu! Jan[ dh[n[ segmentet AB = 8 cm dhe A C B AC = 2 cm (n[ vizatim). Shprehe vler[n e raportit: a) AB : AC ; b) AC : CB ; c) CB : AC ; ]) CB : AB . Shprehe raportin e a ndaj b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1 kg, b = 800 g. Cakto vler[n e ]donj[rit prej raporteve: a) 6 : 8; b) 150 : 200; c) 80 : 60; ]) 0,18 : 0,24. Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[? Vlera e raportit x : 4 [sht[ 5. Sa [sht[ x? 4. Larg[sia Shkup - Vallandov[ [sht[ Detyra 150 km, Shkup - Kriva Pallank[ [sht[ 100 km, kurse Shkup - Tetov[ [sht[ 50 km.1. Shprehe raportin a : b n[ form[ sa m[ t[ a) Shkruaje raportin e vazhduar t[ atyre thjesht[, n[ qoft[ se: largesave. a) a = 15 cm, b = 2 dm; b) Shkruaje at[ raport n[ form[ sa m[ t[ b) a = 6x, b = 4x; thjesht[. c) a = 2 l, b = 800 ml. 5. Njehso an[tarin e panjohur te raporti, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[ vlera e tij:2. Shkruaje raportin e anasjellt[ p[r ]donj[rin prej raporteve te detyra paraprake. a) x : 5 = 3; c) 6,5 : y = 13; 2 13. Raportet q[ vijojn[ paraqiti n[ form[ t[ b) x : 1,3 = 6; ]) 4 :y=3 . 3 3 raporteve an[tar[t e t[ cil[ve jan[ numra t[ plot[. 6. Cakto raportin e brinj[s dhe perimetrit t[: 2 4 a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m; a) 0,3 : 0,6; b) 0,35 : 0,7; c) : ; 5 3 b) pes[k[nd[shit brinj[nj[sh[m; c) gjasht[k[nd[shit brinj[nj[sh[m. ]) 2 3 : 5 , 2 ; d) 5 1 : 3 5 . 5 4 2 Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[ nd[rmjet vedi? Segmentet proporcionale 7
  8. 8. 7. {sht[ dh[n[ segmenti AB = 24 cm dhe n[ t[ 9. Te trek[nd[shi k[nddrejt nj[ri prej k[ndeve [sht[ 60 o. Me se [sht[ i barabart[ raporti i [sht[ zgjedhur pik[ C, ashtu q[ AC = 18 cm . hipotenuz[s dhe katet[s s[ vog[l? T[ caktohet: 10. Shuma e gjat[sive t[ dy segmenteve [sht[ 35, a) AC : CB kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7. b) raporti i segmentit m[ t[ shkurt[r ndaj T[ caktohet raporti i atyre segmenteve. segmentit m[ t[ gjat[.8. Segmenti m[ i vog[l nd[rmjet dy segment[ve Përpiqu! ... p[rfshihet te segmenti m[ i madh 7 her[ dhe ngel segmenti q[ p[rfshihet te segmenti i vog[l Tre pula p[r tre dit[ kan[ b[r[ tre vez[. 2 her[. Sa [sht[ i gjat[ segmenti m[ i gjat[, n[ qoft[ se dihet se segmenti m[ i vog[l [sht[ i a) Sa vez[ do t[ b[jn[ gjasht[ pula p[r gjasht[ gjat[ 1 cm? dit[? b) Sa pula p[r 100 dit[ do t[ b[jn[ 100 vez[? 2 SEGMENTET PROPORCIONALE Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ kat[r segmente me gjat[si AB = 40 cm , PQ = 7 cm , Si jan[ nd[rmjet vedi raportet 12 : 8 dhe 6 : 4? CD = 8 cm , RS = 35 cm. }ka paraqet barazia e raporteve t[ barabarta: A mundesh prej tyre t[ formosh 12 : 8 = 6 : 4? p[rpjes[tim? N[ qoft[se raportet a : b dhe c : d jan[ t[ Formo prej tyre ndonj[ p[rpjes[tim. barabart[, at[her[ barazia V[re, p[r shembull: a c a : b = c : d, d.m.th. = 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, b d d.m.th. prej gjat[sive t[ segmenteve mund t[ quhet p[rpjes[tim, kurse numrat a, b, c, d formohet p[rpjes[tim jan[ an[tar[ t[ atij proporcioni. 40 : 8 = 35 : 7. Cili prej atyre numrave [sht[ an[tar i par[, P[r k[t[ shkak, mund t[ thuhet se ]ifti i dhe cili [sht[ an[tari i tret[ i p[rpjes[timit? segmenteve AB, CD dhe RS, PQ jan[ pro- Cil[t jan[ an[tar[t e jasht[m, dhe cil[t jan[ porcional. an[tar[t e brendsh[m? Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe Në përgjithësi prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m t[ p[rpjes[timit 12 : 8 = 6 : 4. P[r dy ]ifte t[ segmenteve a, b dhe c, d Si jan[ nd[rmjet veti ato prodhime? thuhet se jan[ proporcional, n[ qoft[ se gjat[sit[ e tyre formojn[ p[rpjes[tim. a c a : b = c : d , d.m.th.  b d 8 Tema 1. Ngjashmëria
  9. 9. Vlera k e raporteve t[ barabart[ a : b dhe c : d t[ ]ifteve t[ segmenteve proporcional a, b dhe c, d quhet koeficienti i p[rpjes[timit. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ nga detyra 1? Si do ta caktosh koeficientin e Do ta caktoj vler[n e raportit AB : CD , proporcionit t[ segmenteve? d.m.th. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5. a2. Jan[ dh[n[ segmentet a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm. b c Trego se a, b dhe c, d jan[ proporcional. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit? d Shkruaj p[rpjes[tim t[ segmenteve a, b dhe c, d. Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m. Si jan[ ato prodhime nd[rmjet veti? Në përgjithësi vlen! Prodhimi i an[tar[ve t[ jasht[m t[ nj[ p[rpjes[tim [sht[ i barabart[ me prodhimin e an[tar[ve t[ tyre t[ brendsh[m, d.m.th. N[se a : b = c : d , at[her[ a ⋅ d = b ⋅ c Kjo rregull[ quhet vetia themelore e p[rpjes[timit. P[r ]donj[r[n prej kat[r segmenteve proporcional a, b, c, d thuhet se [sht[ proporcionalja e kat[rt gjeometrike e tre t[ tjerave. bc P[r shembull, d = [sht[ proporcionalja gjeometrike e kat[rt e segmenteve a, b, c te p[rpjes[timi a a : b = c : d.3. Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 6 cm, b = 8 cm, c = 12 cm te p[rpjes[timet: a) a : b = c : x; b) x : c = a : b; c) a : x = b : c. Krahaso zgjidhjen t[nde p[r a) me zgjidhjen e dh[n[: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12; x =16 cm. Kujtohu! B 4. Jan[ dh[n[ segmentet a = 9 cm dhe b = 4 cm. Cakto segment x, ashtu q[ P[r numrat 5 dhe 20 cakto numrin x ashtu a : x = x : b. q[ 5 : x = x : 20. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. }ka paraqet numri 5 ⋅ 20 (= 10) p[r numrat 5 dhe 20? p[rpjes[timi 9 : x = x : 4, sipas vetis[ themelore sillet n[ barazimin x2 = 9 × 4, pra x = 36 = 6 ; Cakto mesin gjeometrik t[ numrave 2 dhe 32. x = 6 cm. Segmentet proporcionale 9
  10. 10. V[re se numri 6 [sht[ mesi gjeometrik i numrave 4 dhe 9. Mbaj mend! Mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) e dy segmenteve a dhe b quhet segmenti me gjat[si x ashtu q[ a : x = x : b, d.m.th. a=x x b  x 2 = ab  x  ab5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve: a) a =12 cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm. a6. Konstato me matje se segmenti b nga vizatimi a [sht[ mesi gjeometrik b i segmenteve a dhe c. c 8 10 8 + 4 10 + 5 C 7. {sht[ dh[n[ p[rpjes[timi = . Trego se [sht[ p[rpjes[tim dhe barazi = . 4 5 4 5 Në përgjithësi vlen a c a+b c+d N[se = , at[her[ = . P[rpiqu ta v[rtetosh k[t[. b d b d a c a c a b c d a+b c+d V[reve se: nga = vijon + 1= + 1; pastaj: + = + , d.m.th. = . b d b d b b d d b d8. Trego se vlen edhe pohimi i anasjellt[. a+b c+d a c N[se = , at[her[ = . b d b d Kujtohu! Kur tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabarta, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[ a b c p[rpjes[timit t[ vazhduar, si p[r shembull: = = . a1 b1 c1 P[r at[ vlen: a +b +c = a = b = c a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 10 Tema 1. Ngjashmëria
  11. 11. Duhet të dish: Kontrollohu! ta p[rkufizosh konceptin e p[rpjes[timit; t[ caktosh an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi; Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi 10 : a = 15 : 6. t[ sqarosh cil[t ]ifte t[ segmenteve jan[ Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt proporcional; gjeometrike x t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm, t[ caktosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve. c = 8 cm te p[rpjes[timi a : b = c : x. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a = 2 cm dhe b = 8 cm. Detyra1. Cili num[r duhet t[ q[ndron n[ vend t[ 6. Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, segmenti CD shkronj[s a q[ t[ jet[ e sakt[ barazia: [sht[ lart[sia e l[shuar ndaj hipotenuz[s AB. 5 a a 3 a) = ; b) = ? C 2 8 14 72. Formo p[rpjes[tim me gjat[sit[ e kat[r segmenteve: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.3. Cakto gjat[sin[ x t[ proporcionales s[ kat[rt gjeometrike a, b, c n[ p[rpjes[timin a : b = x : c, n[ qoft[ se: 1 3 2 A D B a) a = dm, b = dm, c = dm; 2 4 3 Me matje, konstato se: b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m. a) segmenti CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve AD dhe DB;4. Te DABC n[ vizatim [sht[ dh[n[: b) segmenti AC [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve CM : MA = CN : NB . N[ ]do rresht nga tabela AD dhe AB. jan[ dh[n[ disa gjat[si. Cakto gjat[sit[ q[ mungojn[. 7. Cakto x dhe y, n[ qoft[ se: C x y 3 7 y 1 a) = = ; b) = = . CM MA CN NB 4 5 2 x 6 4 a) 8 6 4 M N 8. Trego se prej p[rpjes[timi a = c mund t[ b) 6 4 5 b d c) 8 8 4 fitohen p[rpjes[timet:A B a b b d c d = ; = ; = . c d a c a b5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a dhe b, n[ qoft[ se: a) a = 2 cm, b = 8 cm; 9. V[rteto se: n[ qoft[ se a = c , at[her[ b d 4 b) a = 4 dm , b = 12 cm; a -b c - d 5 = . b d c) a = 7 cm, b = 14cm. Segmentet proporcionale 11
  12. 12. 3 NDARJA E SEGMENT{VE N{ PJES{ T{ BARABART{ Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ paraqitur k[ndi SOT dhe n[ krahun OS jan[ bartur segmenta Si do ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabart[: t[ barabart[ OA = AB = BC . a) n[ dy; b) n[ kat[r? P[r ΔFGH dhe ΔPQR n[ vizatim [sht[ dh[n[: α = α1, β = β1, FG = PQ . H R α β α1 β1 F G P Q Si jan[ nd[rmjet veti ato trek[nd[sha? N[p[r pikat A, B dhe C jan[ t[rhequr nd[rmjet veti drejt[za paralele p, q dhe r, t[ cilat e presin Si jan[ nd[rmjet veti brinj[t p[rkat[se t[ p[rkat[sisht krahun OT n[ pikat A1, B1 dhe C1. trek[nd[shave t[ puthitsh[m? P[r segment[t OA1, A1B1 dhe B1C1 thuhet se jan[ p[rgjegj[se p[r segmentet (me radh[):OA, AB dhe BC. Mati segmentet OA1, A1B1, B1C1. }far[ p[rfundon?2. N[ lidhje me vizatimin nga detyra 1, p[rpiqu t[ v[rtetosh se O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1 Shihe vizatimin te i cili jan[ t[rhequr edhe segmentet A1B2 dhe B1C2, paralele me krahun OS, dhe jan[ sh[nuar disa k[nde me numrat. V[re ΔOAA1 dhe ΔA1B2B1 poashtu v[re: 1 = 3, 2 = 4 (Pse?)  OA = A B 1 2 (Pse?) ΔOAA ≅ ΔA B B , dhe OA = A B (Pse?). 1 1 2 1 1 1 1 V[re ΔA1B2B1 dhe ΔB1C2C1. Trego se ato jan[ t[ puthitsh[m dhe se A1B1 = B1C1 . V[re dhe mbaje mend k[t[ teorem[ p[r segmentet e barabart[ t[ krah[ve t[ nj[ k[ndi.N[ qoft[ se n[ nj[rin krah t[ k[ndit t[ dh[n[ jan[ bartur segmente t[ barabart[ dhe n[p[r skajet e tyrejan[ t[rhequr drejt[za paralele q[ e presin krahun tjet[r t[ k[ndit, at[her[ ato drejt[za presin edhe tekrahu tjet[r segmente t[ barabart[ nd[rmjet veti. 12 Tema 1. Ngjashmëria
  13. 13. N[ baz[ t[ k[saj teoreme mund ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabarta p[r ]fardo num[r t[ dh[n[.3. Segmentin AB n[ vizatim ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta. A B Si do ta zbatosh teorem[n Te pika A do t[ t[rheq ]far[do gjysm[drejt[z paraprake q[ ta ndash dhe n[ t[ me fillim n[ pik[n A do t[ barti 5 segmentin AB n[ 5 pjes[ t[ segmente t[ barabart[. Pastaj do t[ t[rheq barabarta? drejt[za paralele, sipas teorem[s. P[rcille zgjidhjen dhe v[re m[nyr[n p[r ndarjen e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta. T[rhiq ]far[do gjysm[drejt[z AS si n[ vizatim. Te AS, duke filluar prej A, pes[ her[ barte ]far[do segment t[ zgjedhur, p[r shembull AE; me at[ do t[ fitosh pes[ pika, pik[n e pest[ sh[noje me C. T[rhiqe, s[ pari, drejt[z[n CB dhe pastaj, n[p[r ]donj[r[n prej pikave t[ fituara n[ AC, t[rhiq drejt[z paralele me drejt[z[n CB; ato drejt[za e ndajn[ segmentin AB n[ pes[ pjes[ t[ barabarta. Sqaro pse ato 5 pjes[ jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.4. Vizato segment AB me gjat[si 7 cm dhe ndaje n[ 6 pjes[ t[ barabarta.5. Vizato nj[ segment dhe cakto mesin e tij, duke shfryt[zuar teorem[n p[r segmentet e barabart[. Kujtohu! B 6. Vizato segment AB t[ gjat[ 6 cm. Te segmenti AB [sht[ sh[nuar pika M ashtu a) Ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta. q[: AM = 4 cm dhe MB = 3 cm . b) Sh[no pik[n M ashtu q[ AM : MB = 3 : 2 . A M B N[ ]far[ raporti pika M e ndan segmentin AB? Segmentet proporcionale 13
  14. 14. Krahasoje zgjidhjen t[nde me zgjidhjen t[ dh[n[ n[ vizatim.7. Vizato segmentin AB dhe ndaje n[ dy pjes[ raporti i t[ cilave [sht[ 3 : 4. S[ pari, ndaje segmentin AC n[ 3+4=7 pjes[ t[ barabarta. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[ n[ vizatim, ku [sht[ marr[ AK = 3 ⋅ AE dhe KM || CB. K[shtu [sht[ fituar AM : MB = 3 : 4 . Sqaro pse AM : MB = 3 : 4 . Ky nd[rtim quhet ndarja e segmentit n[ raport t[ dh[n[8. Segmenti AB n[ vizatim [sht[ ndar[ me pik[n M n[ raport A M B 3 : 2. Gjithashtu, segmenti CD me pik[n N [sht[ ndar[ n[ raportin e nj[jt[ 3 : 2. C N D Formo p[rpjes[tim p[r pjes[t e segmentit AB dhe prej segmentit CD. Nj[ mund[si [sht[: AM : MB = CN : ND , q[ do t[ thot[ AM, MB jan[ segmente proporcionale me segmentet CN, ND. Prandaj themi se segmentet AB dhe CD jan[ ndar[ proporcionalisht. Duhet të dish: P[r dy segmente thuhet se jan[ ndar[ proporcionalisht, n[ qoft[ se raporti i pjes[ve t[ nj[rit segment formon p[rpjes[tim me raportin e pjes[ve t[ segmentit tjet[r.9. Vizato dy segmente me gjat[si 7 cm dhe 4 cm dhe ndaji proporcionalisht n[ raport 1 : 2. 14 Tema 1. Ngjashmëria
  15. 15. Duhet të dish: Kontrollohu! t[ ndash segment n[ pjes[ t[ barabarta dhe ta Vizato segment AB t[ gjat[ 5 cm dhe ndaje n[ sqarosh m[nyr[n; 3 pjes[ t[ barabarta. Pastaj, sh[no pik[n M q[ e ndan segmentin AB n[ raport 2 : 1. t[ ndash segmentin n[ raport t[ dh[n[; Shkruaj p[rpjes[tim nd[rmjet pjes[ve t[ t[ sqarosh kur dy segmente jan[ ndar[ segmenteve PQ dhe RS t[ cil[t me pikat H dhe proporcionalisht. K n[ vizatim jan[ ndar[ proporcionalisht. 2 6 P H Q 3 1 R K S Detyra1. Vizato segment t[ gjat[ 6 cm dhe ndaje n[ 6. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport pjes[ t[ barabarta: AB : MB = 5 : 3. Gjat[sia e segmentit AM [sht[ a) n[ tre b) n[ shtat[. 4,8 dm. Cakto gjat[sin[ e segmentit MB; AB.2. Vizato segment AB dhe ndaje n[ raport a) 2 : 1; b) 5 : 2. 7. P[r sa duhet t[ vazhdohet segmenti AB = 12 cm q[3. Vizato segment me gjat[si 10 cm dhe ndaje: t[ fitohet segment AC i cili do te plot[soj[ a) n[ 7 pjes[ t[ barabarta; p[rpjes[timin AC : BC = 5 : 2 ? b) n[ raport 4 : 3; c) n[ tre segmente n[ raport 1 : 2 : 4. 8. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport4. Vizato DABC dhe brinj[t e tij ndaji n[ nga tre AM: MB = 3 : 2 . Cakto raportet AM : AB dhe pjes[ t[ barabarta. AB : MB .5. Vizato ΔABC dhe n[ mesoren AA 1. Cakto pik[n e r[ndimit T t[ trek[nd[shit n[ at[ m[nyr[ q[ AA 1 ta ndash n[ raport AT : TA1 = 2 : 1 . Segmentet proporcionale 15
  16. 16. 4 TEOREMA E TALESIT P{R SEGMENTET PROPORCIONALE Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ k[ndi i ngusht[ SOT. N[ krahun OS [sht[ zgjedhur Si ndahet segmenti i dh[n[: pika B, kurse n[ krahun OT pika D. a) n[ pjes[ t[ barabarta; N[p[r B dhe D [sht[ t[rhequr drejt[za b) n[ raportin e dh[n[ m : n? p. T D Sqaro nd[rtimin. p O B S N[ segmentin OB cakto pik[n A, ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 . N[p[r pik[n A t[rhiq drejt[z q || p. Drejt[za q le ta prej[ OT n[ pik[n C. Trego se OC : CD = 3 : 2 . }ka do t[ shfryt[zosh q[ t[ tregosh Do ta shfryt[zoj m[nyr[n dhe gjykimin p[r ndarjen e segmentit n[ se OC : CD = 3 : 2 ? raport t[ dh[n[. N[ vizatim [sht[ dh[n[ zgjidhja e detyr[s. P[rgjigju n[ k[to pyetje. Si [sht[ ndar[ segmenti OB n[ 5 pjes[ t[ barabarta? Si [sht[ p[rcaktuar pika A ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 ? Pse OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ? V[re dhe mbaj mend gjykimin t[ quajtur teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale. N[ qoft[ se krah[t e nj[ k[ndi priten me dy drejt[za t[ ndryshme paralele, at[her[ segmentet q[ fitohen n[ nj[rin krah jan[ proporcionale me segmentet p[rkat[se t[ krahut tjet[r. D C AC || BD  OA : AB = OC : CD O A B2. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. N[ qoft[ se OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , cakto CD ; trego se OA : OB = OC : OD . 16 Tema 1. Ngjashmëria
  17. 17. N[ p[rgjith[si vlen: prej barazis[ OA : AB = OC : CD (te teorema e Talesit) fitohet barazia OB : OA = OD : OC ose OA :OB = OC:OD . Duke e shfryt[zuar k[t[ veti p[r p[rpjes[timet, prej AB : OA = CD : OC vijon (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC . Trego se OB : OA = OD : OC . C3. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[za MN || AB q[ i pret dy brinj[t tjera AC dhe BC. Konstato se brinj[t AC dhe BC me drejt[z[n M N MN jan[ ndar[ proporcionalisht, d.m.th. CM : MA = CN : NB . N[ qoft[ se ke nevoj[ p[r ndihm[... A B S[ pari, v[re se krah[t e “ACB jan[ prer[ me drejt[zat paralele MN dhe AB. Pastaj, zbato teorem[n e Talesit. T D B 4. Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet si n[ C vizatim: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm . O A B S Bindu se segmentet OA, OB dhe OC, OD jan[ proporcionale, d.m.th. OA : OB = OC : OD . T[rhiqi drejt[zat AC dhe BD. Pastaj, me ndihm[n e dy trek[ndshave, provo se a jan[ paralele ato drejt[za. N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft mir[, sigurisht ke p[rfunduar se AC || BD. N[ p[rgjith[si vlen! N[ qoft[ se dy drejt[za presin prej krah[ve t[ ndonj[ k[ndi segmente paralele, at[her[ ato drejt[za jan[ paralele. T D C OA : OB = OC : OD  AC || BD O A B S Kjo veti e segmentave paralele quhet teorema e anasjellt[ e Talesit. Segmentet proporcionale 17
  18. 18. R5. Konstato p[r cil[t prej k[tyre gjat[sive sipas vizatimit do t[ jet[ MN || PQ: a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; M N b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6; c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P Q Duhet të dish ta shprehish teorem[n e Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme; ta shprehish teorem[n e anasjellt[ t[ Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme. Kontrollohu! N[ vizatim [sht[ dh[n[ PQ || BC. Plot[soji k[to pohime q[ t[ jen[ t[ sakta: C Q a) AP : AB = : ; c) : = AQ : QC ; b) AP : PB = : ; ]) AC : AQ = : . A P B E 28 C P[r segmentet e sh[nuara a do t[ jet[ BC || DE? 35 20 16 A B D Detyra 1. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. 2. Te ΔABC n[ vizatim [sht[ dh[n[ MN || AB. D C a) Cakto CN , n[ qoft[ se: C CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ; M N b) Cakto CM , n[ qoft[ se: O A B CM = NB , MA = 4 dhe A BCakto OB , n[ qoft[ se: CN = 9 .OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm . 18 Tema 1. Ngjashmëria
  19. 19. 3. Te ]donj[ri prej trek[nd[shave n[ vizatim 6. Trego se prej p[rpjes[timi D [sht[ t[rhequr segment paralel me baz[n dhe C OA : AB = OC : CD jan[ sh[nuar gjat[sit[ e disa segmenteve. fitohen p[rpjes[timet: O A B a 1 x m a) AB : OA = CD : OC ; c) OB : AB = OD : CD ; c x k 2 b) OB : OA = OD : OC ; ]) OA : OB = OC : OD .b x n 1 1 d 2 xTe t[ kat[r rastet cakto x, duke llogaritur se Përpiqu! ...shkronjat tjera jan[ numra t[ dh[n[. Nuk është e domosdoshme 4. Krah[t e SOT (n[ vizatim) jan[ prer[ me 7. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC te CD [sht[ drejt[za paralele AA 1 , BB 1 dhe CC 1 , ku simetrale e k[ndit pran[ kulmit C. Pastaj, [sht[ vazhduar brinja AC dhe [sht[ t[rhequr OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 dhe OA1 =6 cm. Cak- drejt[za BE || DC. to gjat[sit[ e segmenteve A1B1 dhe B1C1. a) V[rteto se ΔBEC [sht[ dybrinj[nj[sh[m me krah BC = CE . b) V[rteto se simetralja e ACB te ΔABC e ndan brinj[n e p[rballt[ AB n[ dy pjes[ q[ jan[ proporcionale me dy brinj[t tjera, d.m.th. 5. P[r segmentet e sh[nuar n[ vizatimin a); b), AD : DB = CA : CB , d.m.th. provo a do t[ jet[ BC || DE. Sqaro p[rgjigjen (c - x) : x = b : a. t[nde. a) 18 24 b) Segmentet proporcionale 19
  20. 20. 5 DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ TALESIT Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC. Pastaj, t[rhiq drejt[z Si thot[ teorema e Talesit p[r segmentet B1C1 q[ do ti prej[ krah[t e A dhe proporcionale? [sht[ paralele me brinj[n BC, si n[ vizatim. Shprehe teorem[n e anasjellt[ t[ teorem[s s[ C Talesit. C1 Si jan[ nd[rmjet veti raportet AB : AB1 dhe AC : AC1 ? Mati me kujdes segmentet AB, AB1; BC, B1C1 dhe pastaj njehso raportet AB : AB1 dhe BC : B1C1 . A B1 B }ka v[ren? N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft preciz, sigurisht v[reve se segmentet AB, AB 1 jan[ proporcionale me segmentet BC, B1C1, d.m.th. AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1 Në përgjithësi vlen! N[ qoft[ se n[ nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[ brinj[ dhe i pret dy brinj[t tjera t[ trek[nd[shit, at[her[ fitohet trek[nd[sh i ri brinj[t e t[ cilit jan[ proporcionale me brinj[t e trek[nd[shit t[ dh[n[. C2. P[rpiqu ta v[rtetosh pohimin te detyra 1, duke zbatuar teorem[n e Talesit. C1 a{sht[ dh[n[: te ΔABC, drejt[za B1C1 || BC (si n[ vizatim). a1 BC AC AB a b cV[rteto se: = = , pra = = , A B1 B B1C1 AC1 AB1 a1 b1 c1 Cku: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 . C1 Vizatimi i dh[n[ [sht[ plot[suar me t[rheqjen e drejt[z[s F B1F paralele me AC. Si do ta zbatosh teorem[n e Talesit q[ ti v[rtetosh barazit[ e dh[na? A B1 B Do ti shkruaj p[rpjes[timet prej segmenteve proporcionale q[ jan[ fituar p[r k[ndet: BAC dhe ABC. Pastaj do t[ kryej krahasimin. Krahaso mendimin t[nd me zgjidhjen e dh[n[. 20 Tema 1. Ngjashmëria
  21. 21. AB AC BAC [sht[ prer[ me B1C1 || BC, pra sipas teorem[s s[ Talesit: = AB1 AC1 (1) AB BC ABC [sht[ prer[ me B1F || AC, sipas teorem[s s[ Talesit: = AB1 FC (2) Kat[rk[nd[shi B1FCC1 [sht[ paralelogram (pse?), pra: FC = B1C1 ; pas z[v[nd[simit te (2), fitohet AB BC BC AB AC a c b = . (3)  Prej (1) dhe (3): = = , d.m.th. = = . AB1 B1C1 B1C1 AB1 AC1 a1 c1 b1 Ky pohim quhet edhe teorema e Talesit p[r trek[nd[shin. Vlen edhe pohimi i anasjelltë! N[ qoft[ se nj[ drejt[z gjat[ prerjes s[ dy C brinj[ve t[ trek[nd[shit i ndan ato n[ m p m:n=p:q FG || AB segmente proporcionale, at[her[ ajo F G  drejt[z [sht[ paralele me brinj[n e tret[ t[ q n trek[nd[shit. A B C3. N[ ΔABC te vizatimi MN || BC. N Cakto raportin BC : MN , n[ qoft[ se AM = 12, AB = 18 . Cakto MN , n[ qoft[ se AB = 15, BC = 10 dhe M [sht[ mesi i AB. A M B Provo zgjidhjen p[r MN sipas vetis[ p[r vij[n e mesme t[ trek[nd[shit! p q4. Drejt[zat p dhe q n[ vizatim jan[ prer[ me tre drejt[za nd[rmjet veti A B paralele. Trego se segmentet p[rkat[se a, a jan[ proporcionale me a a segmentet b, b, d.m.th. a : a = b : b. b b P[rcille zgjidhjen e detyr[s. C D T[rhiqe segmentin AD, si n[ vizatim, dhe v[re se krah[t e CAD dhe t[ p q ADB jan[ prer[ me nga dy drejt[za paralele, pra: A B a : b = x : y dhe a : b = x : y. a x a Pasi an[t e djathta t[ barazis[ jan[ t[ barabarta, mund t[ p[rfundosh se b y b a : b = a : b d.m.th. a : a = b : b. C D Sipas vizatimit paraprak, [sht[ dh[n[ a = 3, b = 5 dhe b = 7. Cakto gjat[sin[ e segmentit a. D C5. P[r trapezin ABCD n[ vizatim [sht[ dh[n[: MN || AB, AD = 18 cm , M N BC = 24 cm dhe DM = 3 cm . Cakto BN dhe NC . A B Segmentet proporcionale 21
  22. 22. a B 6. Jan[ dh[n[ segmentet a, b, c sikurse n[ vizatim. b Cakto segmentin x ashtu q[ a : b = c : x, d.m.th. nd[rto proporcionalen c e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a, b, c. N[ qoft[ se nuk mund ta zgjidhish vet detyr[n, Kujtohu n[ teorem[n e Talesit. Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet a=OA , b= AB dhe c=OC , si n[ vizatim. T[rhiq drejt[z n[p[r B, paralele me AC dhe prerjen sh[noje me D. x=CD [sht[ segmenti i k[rkuar. (Pse?) Proporcionalja e kat[rt gjeometrike x e segmenteve a, b, c mund t[ fitohet edhe sipas vizatimit tjet[r. Shqyrto vizatimin dhe sqaro m[nyr[n.7. P[r segmentet a = 4 cm, b = 6 cm dhe c = 5 cm, nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike: bc ac a) x = ; b) x = . b) a b bc S[ pari v[re se x = mund ta formosh p[rpjes[timin x : c = b : a. a8. Vizato dy segmente a = 3 cm dhe b = 2 cm. Nd[rto segmentin x, ashtu q[ x = ab. S[ pari v[re se prej x = ab mund ta formosh p[rpjes[timin 1: a = b : x; pastaj kryeje nd[rtimin. Duhet të dish: Kontrollohu! ta shprehish teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin dhe ta zbatosh P[r ΔABC [sht[ dh[n[: MN || AB. Cakto brinj[t e tij sipas n[ detyra t[ ndryshme; t[ dh[nave n[ vizatim. Sqaro m[nyr[n p[r nd[rtimin e proporcionales s[ kat[rt t[ nd[rtosh proporcionalen e kat[rt gjeometrike x t[ tre segmenteve t[ dh[n[ a, b, c. gjeometrike p[r tre segmente. 22 Tema 1. Ngjashmëria
  23. 23. Detyra 6. Vizato tre segmente a, b, c. Pastaj, nd[rto segment x, ashtu q[: 1. Te trapezi ABCD n[ vizatim, me baza a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c. AB = 12 , CD = 5 dhe krah AD = 7 , jan[ va-zhduar krah[t AD dhe BC deri 7. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg- ment x, ashtu q[ x = a2.te prerja e tyre S. Cakto SD . 8. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg- ment x, ashtu q[ a2 b2 a) x = ; b) x = . b a 9. Brinja DC e trapezit C 2. Cakto lart[sin[ AB t[ ABCD me bazat D nj[ druri (n[ vizatim) AD = 8 dhe BC = 20 , n[ qoft[ se hija e tij [sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[ x yBC [sht[ 20 m, barabarta dhe n[p[r pik[-kurse nj[koh[- prerjet jan[ t[rhequr drejt[za A Bsisht, hija e shkopit paralele me bazat (si n[ viza-PQ prej 1 m [sht[ tim). Cakto gjat[sit[ x dhe y t[ segmenteve t[e gjat[ 1,4 m. formuara n[ trapez. Ndihm[. T[rhiqe drejt[z[n DM paralele me AB dhe 3. Te trapezi D C shqyrto ΔDMC (kujtohu se si e zgjidhe detyr[n 4). ABCD n[ vizatim, 6 8 P Q 10. N[ vizatim [sht[ paraqitur situata e terenit t[MN || PQ || AB. Cakto 6 paarritsh[m me pik[n e paarritshme A dhegjat[sit[ e krah[ve AD M N pik[n e arritshme B.dhe BC sipas t[ 3dh[nave n[ vizatim. A B a) Cakto larg[sin[ e paarritshme BA . b) Njehso BA , n[ qoft[ se jan[ matur gjat[sit[: 4. Te ΔABC n[ vizatim C BC = 100 m, CE = 250 m dhe CD = 80 m . brinja BC [sht[ ndar[ k c) Cakto larg[sin[ EA , n[ qoft[ se jan[ matur:n[ tre pjes[ t[ barabarta dhe xn[p[r pik[prerjet jan[ k CE = 250 m, CD = 80 m dhe DB = 96 m . yt[rhequr drejt[za, paralele mebrinj[n AB, gjat[sia e s[ cil[s k[sht[ 15 cm. Cakto gjat[sin[ A 15 Be ]do segmenti, t[ formuar n[trek[nd[sh. 5. Nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c). Segmentet proporcionale 23
  24. 24. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M6 FIGURAT E NGJASHME. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! N[ jet[n e p[rditshme shpesh her[ hasim A sende q[ e kan[ form[n e nj[jt[, kurse Krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat madh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[: paralele AC dhe BD. automobili dhe modeli i tij; dy gota, dy karrika etj. T D C O A B S Sipas vizatimit, shkruaj raport t[ segmenteve P[r dy figura t[ ngjashme q[ kan[ plot[sisht q[ [sht[ i barabart[ me raportin: form[ t[ nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme ose a) OA : AB; b) OC : OD . t[ nj[jt[, zakonisht themi se jan[ t[ ngjashme. Sipas cil[s teorem[ i shkruajte raportet? 1. P[r cilat figura mund t[ themi se jan[ t[ N[ vizatim vlen p[rpjes[timi i segmenteve: ngjashme: OA : AB = OD : DC . dy katror[; C dy rrath[; D katrori dhe rrethi? 2. Jan[ dh[n[ dy harta gjeografike t[ Maqe- O A B donis[. E para n[ raport 1 : 1000000, kurse e dyta me raport 1 : 500000. }far[ pozite kan[ drejt[zat AD dhe BC? A jan[ t[ ngjashme ato harta? Si jan[ sipas madh[sis[ k[ndet: a) OAD dhe OBC; b) ODA dhe OCB? N[ hart[n e par[, larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ [sht[ 4 cm. Sa [sht[ larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ te harta e dyt[?Cili [sht[ raporti i larg[sis[ Shkup - Kumanov[ prej hart[s s[ par[ me larg[sin[ Shkup - Kumanov[ n[hart[n e dyt[?Si [sht[ raporti i larg[sis[ nd[rmjet ]far[do dy vendeve t[ hart[s s[ par[ me larg[sin[ nd[rmjet dyvendeve p[rkat[se t[ hart[s s[ dyt[?24 Tema 1. Ngjashmëria
  25. 25. C1 B 3. Shihe vizatimin te i cili kulmet e C trek[nd[shave ABC dhe A 1 B 1 C 1 shtrihen n[ gjysm[drejt[zat me pik[ B T O B1t[ fillimit O dhe formojn[ segmente proporcionale: AOA : OA1 = 1 : 2 ; OB : OB1 = 1 : 2 ; A1 SOC : OC1 = 1 : 2 . P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 do t[ dallojm[: kulme p[rgjegj[se, k[nde p[rgjegj[se dhe brinj[ p[rgjegj[se, etj.  kulme p[rgjegj[se jan[: A dhe A1; B dhe B1; C dhe C1;  k[nde p[rgjegj[se jan[: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1;  brinj[ p[rgjegj[se jan[: AB dhe A1B1; BC dhe B1C1; AC dhe A1C1. Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1; BC || B1C1 dhe AC || A1C1. Trego se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[, d.m.th. A = A1; B = B1 dhe C = C1. Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ proporcionale, d.m.th. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 . Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Pasi OA : OA1 = OB : OB1 , prej teorem[s s[ anasjellt[ t[ Talesit, vijon se AB || A1B1. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se BC || B1C1 dhe AC || A1C1. Pasi AB || A1B1 dhe AC || A1C1, vijon se A = A1, si k[nde me krah paralele. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se B = B1 dhe C = C1. P[rkujtohu n[ teorem[n e Talesit: n[ qoft[ se krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paralele AB dhe A1B1, at[her[ segmentet p[rgjegj[s AB dhe A1B1 jan[ proporcionale me segmentet OA dhe OA1, d.m.th. OA : OA1 = AB : A1B1 = 1 : 2 . Mund t[ tregosh se raport t[ nj[jt[ kan[ edhe brinj[t tjera p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave, etj. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 . C1 P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 tregove se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta, kurse brinj[t p[rgjegj[se i kan[ propor- C cionale. Ato mund t[ jen[ dh[n[ edhe n[ tjet[r pozit[, sikurse n[ vizatim, n[ an[n e djatht[. C1 N[ qoft[ se trek[nd[shin ABC e vizaton n[ flet[ t[ tejdukshme, mund ta A B A1 B1 C vendosish n[ hap[sir[n e ΔA 1 B 1 C 1 (sikurse n[ vizatim), ashtu q[ brinj[t p[rgjegj[se ti ken[ paralele. V[re se ΔABC dhe ΔA1B1C1 kan[ form[ t[ nj[jt[, por madh[si t[ ndryshme, d.m.th. se ato A B jan[ trek[nd[sha t[ ngjash[m.A1 B1 Trekëndëshat e ngjashëm 25
  26. 26. Mbaj mend! P[r dy trek[nd[sha thuhet se jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta dhe brinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale. P[r trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1 shkruajm[: ΔABC ∼ ΔA1B1C1. Lexohet: ΔABC [sht[ i ngjash[m me ΔA1B 1C 1. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve te trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1? Te detyra 3 v[reve se koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe 1 A1B1C1 [sht[ 1 : 2, d.m.th. . 2 Koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m (ΔABC ~ ΔA1B1C1) quhet edhe koeficienti i ngjashm[ris[. N[se shkruan ΔABC∼ΔMNP, kjo do t[ thot[ se kulmet p[rgjegj[se jan[: A dhe M, B dhe N, C dhe P. 14. Te detyra 3 v[reve se ΔABC ∼ ΔA1B1C1 edhe koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ . 2 Pse ΔA1B1C1 ∼ ΔABC dhe cili [sht[ koeficienti i ngjashm[ris[? Duhet t[ dish: n[se ΔABC ∼ ΔXYZ, at[her[ AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k dhe A = X, B = Y, C = Z; ta caktosh koeficientin e ngjashm[ris[ s[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m. Kontrollohu! P N[ vizatim: ΔABC ∼ ΔMNP. C 6 x Shkruaji: 2 3 a) brinj[t p[rgjegj[se; b) k[ndet p[rgjegj[se. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. A 4 B M y N Cakto x dhe y. Detyra 1. {sht[ dh[n[: ΔABC ∼ ΔRST. 3. N[ vizatimin ΔABC ∼ ΔPQR dhe jan[ sh[nuar Shkruaji: gjat[sit[ e brinj[ve. Cakto x dhe y. a)brinj[t p[rgjegj[se, b) k[ndet p[rgjegj[se. C R 2. Vizato dy trek[nd[sha barabrinj[s, i pari me brinj[ a = 3 cm, kurse i dyti me brinj[ 4 cm. 12 15 x 10 Trego se ato jan[ t[ ngjash[m. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. A 6 B P y Q 26 Tema 1. Ngjashmëria
  27. 27. 4. N[ vizatimin, C 5. Prej ΔABC ≅ ΔA1B1C1, a vijon se ΔABC ∼ ΔABC ∼ ΔMNC. Me ΔA 1B 1C 1? Sqaro. ]ka [sht[ e barabart[ M N 6. Le t[ jen[ M dhe N meset e brinj[ve AC dhe CB dhe MN , n[ qof- BC te trek[nd[shi ABC. Trego se ΔMNC ∼ t[ se CM= 5 ; CN = 6 ; ΔABC. AB=12 dhe CA =15 ? A B 7 KRITERI I PAR{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC dhe segmentin A 1B 1 q[ [sht[ tre her[ m[ i gjat[ se brinja Q[ t[ konstatosh se trek[nd[shat ABC dhe AB. Pastaj vizato trek[nd[sh A1B1C1 A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m duhet t[ provosh me brinj[ A1B1,B1A1C1 = A dhe A1B1C1 = k[ndet e tyre p[rgjegj[se a jan[ proporcionale B. d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 K[ndet e brendshme p[rgjegj[se t[ dhe AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 . trek[nd[shave ABC dhe A 1B 1C 1 a jan[ t[ barabart[? Pse? Krah[t e k[ndit MON jan[ prer[ me drejt[zat paralele a dhe b, ashtu q[ K[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabarta; A = A1 dhe B = B1, sipas OB : OA = OC : OD = 2 : 1 nd[rtimit; Shihi trek[nd[shat C N C = C1, pasi OAD dhe OBC, kurse D C = 180o - A + B) = pastaj: M = 180o - (A1 + B1) = C1. cakto raportin e brinj[ve O A B a b BC dhe AD; Provo me matje brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 cakto si jan[ nd[rmjet veti k[ndet p[rgjegj[se me ΔABC a jan[ proporcionale. Cakto koefi- t[ trek[nd[shave. cientin e p[rpjes[timit. A [sht[ ΔOBC ∼ ΔOAD? P[rpiqu t[ sqarosh se brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 dhe ΔABC jan[ proporcionale dhe se ΔA 1B 1C 1 ∼ ΔABC. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. N[ vizatim jan[ dh[n[ ΔABC dhe ΔA1B1C1, ashtu q[ A1B1 = 3AB ,A=A1dhe B= B1. Q[ t[ tregosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC duhet t[ provosh se a jan[ plot[suar gjasht[ k[rkesat p[r trek[nd[shat e ngjash[m, d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 dhe A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC . Trekëndëshat e ngjashëm 27
  28. 28.  Ti tregove se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ΔA1B1C1, ashtu q[: kulmi A puthitet me A1, B me B2 dhe kulmi C me C2; A puthitet me A1, B me A1B2C2 dhe C me B2C2A1. Pasi A1B2C2 = B1, vijon se B2C2 || B1C1. Sipas vizatimit, me ndihm[n e teorem[s s[ Talesit p[r segmentet proporcionale, ke treguar se A1B1 : A1B2 = A1C1 : A1C2 = B1C1 : B2C2 = 3 : 1 , d.m.th. A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC . Mund t[ p[rfundosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. V[reve se trek[nd[shat A1B1C1 dhe ABC q[ vizatove kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[ dhe ti tregove se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Prandaj, q[ t[ konstatosh se dy trek[nd[sha a jan[ t[ ngjash[m mjafton t[ provosh se ato a kan[ dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[. Mbaj mend! Dy trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ t[ barabart[ me dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r. Ky pohim quhet kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m.2. N[ vizatim [sht[ dh[n[: A = D = 30o dhe pika C [sht[ prerje e segmenteve AE dhe BD. V[rteto se ΔABC ∼ ΔDEC. C B 3. Te ΔABC [sht[ t[rhequr segmenti MN paralel me AB. Trego se α = α 1 dhe β = β 1 . α1 β1 M N V[rteto se ΔABC ∼ ΔMNC. α β V[re k[t[ gjykim. A B N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[r[n prej brinj[ve dhe i pret dy brinj[t tjera, at[her[ fitohet trek[nd[sh q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[. Krahaso k[t[ pohim me teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin. C4. Te ΔABC n[ vizatim, jan[ t[rhequr segmentet: MN || AB dhe NP || AC. M N Sa trek[nd[sha v[ren? Shkruaj cil[t trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet tyre. A P B 28 Tema 1. Ngjashmëria
  29. 29. V[re se: R }do trek[nd[sh [sht[ i ngjash[m me vet[veten. Dy trek[nd[sha t[ puthitsh[m jan[ t[ ngjash[m. C Sa [sht[ koeficienti i tyre i ngjashm[ris[?5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat k[nddrejt[ ABC dhe PQR, ashtu q[ A = P = α. α α Trego se ΔABC ∼ ΔPQR. A B P Q V[re se trek[nd[shat kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[: A = P dhe B = Q = 90o. Sipas kriterit t[ par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m vijon: Dy trek[nd[sha k[nddrejt[ jan[ t[ ngjash[m n[ qoft[ se nj[ k[nd i ngusht[ i nj[rit [sht[ i barabart[ me nj[ k[nd t[ ngusht[ t[ trek[nd[shit tjet[r. C6. Te trek[nd[shi ABC n[ vizatim [sht[ t[rhequr lart[sia CD dhe segmenti MN || AB. M S N Sa trek[nd[sha k[nddrejt[ mund t[ v[resh dhe cil[t prej tyre jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet veti? A D B7. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe PQR, te t[ cil[t k[ndet pran[ maj[s i kan[ t[ barabarta, d.m.th. C = R = α. Trego se A = P. Trego se ΔABC ∼ ΔPQR. N[ p[rgjith[si Dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndi pran[ maj[s t[ nj[rit trek[nd[sh [sht[ i barabart[ me k[ndin pran[ maj[s t[ trek[nd[shit tjet[r.8. Vizato dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe A1B1C1 me baza AB dhe A1B1 p[rkat[sisht, ku A = A1. Trego se ΔABC ∼ ΔA 1B1C1. Shprehe pohimin tjet[r p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave dybrinj[nj[sh[m. Trekëndëshat e ngjashëm 29
  30. 30. Duhet t[ dish: ta shprehish kriterin e par[ p[r ngjashm[rin[ e Kontrollohu! trek[nd[shave; D N[ skajet e segmentit cil[t kushte mjaftojn[ p[r ngjashm[rin[ e dy AB jan[ t[rhequr seg- trek[nd[shave k[nddrejt[, p[rkat[sisht dybrinj[nj[sh[m; mentet AC = 3 cm dhe s t[ konstatosh ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave; BD = 5 cm , normale A (pingule) n[ AB. N[ M B t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ]far[ raporti drejt[za s e ngjash[m. ndan segmentin AB? C Detyra1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ trek[nd[shi ABC dhe 2. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ AB = 20 , MN || AB. BC = 12 dhe CA = 16 . N[p[r pik[n M q[ C shtrihet n[ brinj[n BC [sht[ t[rhequr drejt[za paralele me AB dhe e pren[ AC n[ pik[n N. Cakto MN , n[ qoft[ se CM = 3 . M N 3. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD diagonalet AC dhe BD priten n[ pik[n S. B a) V[rteto se ΔABS ~ ΔCDS. A b) Cakto CD , n[ qoft[ se AB = 12 , AS = 6 Cakto raportin: dhe SC = 3 . a) N[ qoft[ se CM : MA = 3 : 2 , at[her[ 4. Nd[rto trek[nd[shin A1B1C1 t[ ngjash[m me CM : CA = ; ΔABC me brinj[t 4, 5, 6 n[ qoft[ se: b) N[ qoft[ se CM : MA = 7 : 3 , at[her[ a) brinj[n m[ t[ vog[l e ka 5; CN : NB = ; 3 b) koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ 4 c) N[ qoft[ se CM : CA = 3 : 4 , at[her[ 5. Cakto lart[sin[ e nj[ druri hija e t[ cilit [sht[ AB : MN = . e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht, njeriu i lart[ 1,7 m e ka hijen e gjat[ 1 m.30 Tema 1. Ngjashmëria
  31. 31. 8 KRITERI I DYT{ DHE I TRET{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC me A = 60 o brinj[ Cilat prej gjasht[ k[rkesave duhet t[ AB = 3 cm dhe AC = 2cm . Pastaj plot[sohen p[r dy trek[nd[sha ABC dhe vizato ΔA 1B 1C 1 me A1 = 60o dhe A1B1C1 q[ t[ jen[ t[ ngjash[m? Cilat jan[ kushtet e mjaftueshme, sipas kriterit brinj[ A1B1 = 3AB , A1C1 = 3AC . t[ par[ t[ trek[nd[shave, q[ t[ jet[ ΔABC ∼ Mati dhe krahasoji: B dhe B1, C ΔA1B1C1? dhe C1, BC dhe B1C1 . }ka p[rfundon? N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat sipas kushteve C1 t[ detyr[s. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ashtu q[ A puthitet me A 1 dhe ΔABC puthitet me C trek[nd[shin A 1B2C 2. C2 Cakto raportet: A1B1 : A1B2 ; A1C1 : A1C2 dhe B1C1 : B 2C2 . A B A1 B2 B1 Trego se B = B1 dhe C = C1. Pse ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Cilat elemente p[rgjegj[se t[ dy Jan[ dh[n[ nga dy brinj[ p[rgjegj[se trek[nd[shave jan[ dh[n[ dhe proporcionale dhe k[nde t[ barabart[ q[ a mjafton q[ t[ tregosh se trek[- i formojn[ ato brinj[. Kjo mjafton q[ t[ nd[shat jan[ t[ ngjash[m? tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m. V[re se si mund t[ shprehet kriteri p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i dyt[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh jan[ p[rkat[sisht proporcionale dy brinj[ t[ trek[nd[shit tjet[r dhe k[ndet q[ i formojn[ ato brinj[ jan[ t[ barabarta, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.2. Provo a jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ qoft[ se: a) BC = 20, AC = 22, C = 50o ; B1C1 = 30; A1C1 = 33, C1 = 50o . b) BC = 25, AC = 70, C = 70o ; B1C1 = 50; A1C1 = 139, C1 = 70o . C3. Te ΔABC, n[ vizatim, pika M [sht[ mesi i brinj[s AB, kurse N [sht[ mesi i brinj[s AC. N V[rteto se ΔABC ∼ ΔAMN. Trego se vija e mesme MN e ΔABC [sht[ sa gjysma e gjat[sis[ s[ brinj[s BC. A M B Trekëndëshat e ngjashëm 31
  32. 32. B 4. Vizato DABC me brinj[ AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm , kurse pastaj ΔA1B1C1 me brinj[ dy her[ m[ vogla t[ ΔABC. Mati dhe krahasoji k[ndet: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1. Cp[rfundon? A [sht[ ΔABC ~ ΔA1B1C1? Brinj[t p[rkat[se t[ dy trek[nd[- Q[ dy trek[nd[sha t[ jen[ t[ ngjash[m, shave jan[ proporcionale. A mjaf- mjafton q[ brinj[t p[rkat[se t[ jen[ ton q[ t[ konstatosh se ato jan[ t[ proporcionale, pasi at[her[ k[ndet ngjash[m ? p[rgjegj[se jan[ t[ barabart[. V[ren se mund t[ shprehet edhe nj[ kriter p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se t[ tre brinj[t e nj[rit trek[nd[sh jan[ proporcionale me brinj[t p[rkat[se te trek[nd[shi tjet[r, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.3. A jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat me brinj[t: a) 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 dhe 6,6, 8; ]) 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4,5? Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ shprehish kriterin e dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m; Brinj[t e ΔABC jan[: a = 6 cm, b = 4 cm dhe c = 3 cm. Cakto perimetrin e ΔA1B1C1 q[ [sht[ t[ konstatosh ngjashm[rin e dy trek[nd[shave i ngjash[m me ΔABC, kurse brinja e tij m[ e sipas kriterit t[ dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat vog[l [sht[ 6 cm. e ngjash[m; Provo se ΔABC dhe ΔPQR a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se: A = 55o, t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ngjash[m. AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55o, PR = 12 cm, PQ = 18 cm . Detyra 3. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 6, 5 dhe 4. Brinja1. Vizato dy trek[nd[sha ABC dhe PQR, kurse m[ e madhe e trek[nd[shit tjet[r, i ngjash[m pastaj shkruaj cilat kushte duhet ti plot[sojn[ me trek[nd[shin e dh[n[ [sht[ 9. Cakto q[ ΔABC ∼ ΔPQR sipas: perimetrin e trek[nd[shit tjet[r. a) kriterit t[ dyt[; b) kriterit t[ tret[ 4. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[2. Trego se trek[nd[shat ABC dhe EDC jan[ t[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ nga 60o ngjash[m dhe sipas cilit kriter. dhe 70o, kurse dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r B E jan[ nga 50o dhe 80o. 4 9 5. K[ndi pran[ maj[s t[ nj[ trek[nd[shi C dybrinj[nj[sh[m [sht[ 70o. K[ndi pran[ baz[s A 6 6 D t[ trek[nd[shit tjet[r dybrinj[nj[sh[m [sht[ 55 o . V[rteto se ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m. 32 Tema 1. Ngjashmëria
  33. 33. 6. Sqaro se a [sht[ ΔABC ∼ ΔMNR, n[ qoft[  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse? se: BAC = 50o, AB = 4 cm , AC = 6 cm ; Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se NMR = 50o, MN = 30 cm , MR = 45 cm . BC = 40 m, CB1 = 5 m , kurse B1A1 = 6,5 m. 7. Provo se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se brinj[t e tyre jan[: 9. Si do ta njehsosh larg[sin[ nd[rmjet pikave t[ a) 15, 17, 24 dhe 4,5; 5,1; 7,2; arritshme A dhe B, n[ teren, n[ qoft[ se nd[rmjet pikave A dhe B ka pjes[ t[ b) 22; 8,2; 20 dhe 55; 20,5; 50. paarritshme. 8. Si do ta caktosh larg[sin[ prej pik[s A deri te V[re vizatimin. pika B, n[ qoft[ se pika A [sht[ e paarritshme? V[re vizatimin.  {sht[ zgjedhur pika C N[ teren, zgjedhim dhe n[ vazhdim t[ AC dhe BC, jan[ zgjedhur pika C dhe B 1 n[ drejt[z[n e nj[jt[ pikat A1 dhe B1, ashtu me B, ashtu q[ BC = m ⋅ CB1 . q[ AC = n ⋅ CA1 dhe BC = n ⋅ CB1 . Me instrument caktojm[ k[ndin  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse? B1 t[ barabart[ me B. Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se N[ krahun e B 1 caktojm[ pik[n A1, ashtu q[ pikat A, C dhe A1 shtrihen n[ drejt[z[n e nj[jt[. AC = 10 m, CA1 = 2 m dhe A1B1 = 3,5 m . 9 RAPORTI I PERIMETRAVE DHE RAPORTI I SYPRINAVE T{ DY TREK{ND{SHAVE T{ NGJASH{M Kujtohu! A 1. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi ABC jan[ Njehso perimetrin e trek[nd[shit me brinj[: a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 12 cm. a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm. Brinja m[ e vog[l e trek[nd[shit tjet[r A1B1C1, i ngjash[m me ΔABC [sht[ a1 = 3 cm. Njehso syprin[n e trek[nd[shit me brinj[ a = 10 cm dhe lart[sin[ p[rkat[se h = 6 cm. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ s[ trek[n- d[shave. N[ qoft[ se tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ Cakto brinj[t b1 dhe c1 t[ ΔA1B1C1. barabart[, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ Cakto perimetrat e ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1. form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, p[r Krahaso raportin e perimetrave t[ trek[nd[shave a b c me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. }ka shembull: = = ,d.m.th. a : b : c = a1 : b1 : c1. a1 b1 c1 p[rfundon? P[r p[rpjes[timin vlen: a +b +c a b c = = = =k . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 Trekëndëshat e ngjashëm 33
  34. 34. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. T[ njohura jan[ dy brinj[ p[rgjegj[se a dhe a 1 t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m. a 6 Prandaj = = 2 , d.m.th. k = 2. a1 3 b cb 1 = c1 =k ;  b = kb ;; 8 = 2b 1  12==kc2c ; c ;1 1 1 b1 = 4 cm; c1 = 6 cm. V[re se perimetri P i ΔABC [sht[: P = 6 + 8 + 12, d.m.th. P = 26 cm, nd[rsa perimetri P1 i ΔA1B1C1 [sht[: P1 = 3 + 4 + 6, d.m.th. P1 = 13 cm. 26 6 8 12 = = = = 2 . V[reve se raporti i perimetrave t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i 13 3 4 6 barabart[ me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. Në përgjithësi vlen! P a b c N[ qoft[ se ΔABC ∼ ΔA 1B 1 C 1, at[her[    . P a1 b1 c1 1 V[rtetimi. Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 C1 a b c vijon: = = . Sipas vetis[ t[ proporcionit t[ C a1 b1 c1 b1 a1 vazhduar vijon: b a a +b +c a b c P a b c = = = , d.m.th.    . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 P a1 b1 c1 A c B A1 c1 B1 1 Mbaj mend Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ n[ raport t[ nj[jt[ me raportin e brinj[ve p[rkat[se.2. Brinj[t e DABC jan[ a = 6, b = 15 dhe c = 18, kurse ΔA 1B 1C 1 [sht[ i ngjash[m me 1 trek[nd[shin e ngjash[m me koeficientin e ngjashm[ris[ k = . Cakto perimetrin P1 t[ ΔA1B1C1. 3 CB 3. Trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ vizatim jan[ t[ C1 ngjash[m. Jan[ t[rhequr lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D1. Trego se ΔADC ∼ ΔA1D1C1. Trego se lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D 1 jan[ A D B A1 D1 B1 proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[n- d[shave. 34 Tema 1. Ngjashmëria
  35. 35. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. V[re se trek[nd[shat k[nddrejt[ ADC dhe A D C 1 1 1 kan[ nga nj[ k[nd t[ ngusht[, d.m.th. A = A1 (pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C 1). Mund t[ p[rfundosh se ΔADC ∼ ΔA1D1C 1. Prej k[tu vijon: CD : C1D1 = AC : A1C1 = k . CD AC AB BC Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 vijon: = = = C1D1 A1C1 A1B1 B1C1 =k . Te trek[nd[shat e ngjash[m lart[sit[ p[rgjegj[se jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se. Në përgjithësi Te dy trek[nd[sha t[ ngjash[m lart[sit[ p[rkat[se, mesoret, simetralet e k[ndeve, rrezet e rrathve t[ brendashkruar dhe jashtashkruar p[rgjegj[se kan[ raport t[ nj[jt[ me brinj[t p[rgjegj[se.4. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 16 cm dhe 24 cm, kurse nj[ra lart[si e trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 9 cm. Cakto lart[sin[ p[rgjegj[se t[ trek[nd[shit t[ dyt[. C1 V 5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat e ngjash[m C ABC dhe A1B1C1. Syprinat e tyre jan[ S dhe S1. c1 b1 Shkruaji formulat p[r syprinat S dhe S1 sipas brinj[ve c b h1 t[ dh[na dhe lart[sive p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave. h A a B A1 a1 B1 Shkruaj raport t[ barabart[ me raportin h : h1. P[rpiqu t[ hjensosh sa [sht[ i barabart[ raporti i syprinave t[ trek[nd[shave, d.m.th. S : S1. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 1 1 1 1 S ah a h S  a h S1  a1  h1  S:S 1  ah : a1h1 d.m.th    . 2 2 2 2 S1 a1h1 a1 h1 h a S a a S a2 Pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C1 vijon se = . h1 a1  Prandaj,   ;  2 . S1 a1 a1 S1 a1 S b2 S c 2 N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregohet se:  ;  S1 b12 S1 c12 . Mbaj mend Raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i barabart[ me raportin e katror[ve t[ brinj[ve t[ tyre p[rgjegj[se.6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B 1C 1 jan[ 49 cm2 dhe 36 cm 2, kurse nj[ brinj[ e ΔABC [sht[ a = 7 cm. Cakto brinj[n p[rgjegj[se a1 t[ trek[nd[shit tjet[r dhe lart[sive p[rgjegj[se h dhe h1. Trekëndëshat e ngjashëm 35

×