• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Matematika 8 alb
 

Matematika 8 alb

on

  • 5,629 views

 

Statistics

Views

Total Views
5,629
Views on SlideShare
5,629
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
86
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Matematika 8 alb Matematika 8 alb Document Transcript

    • 2010Skopje
    • I nderuar nx[n[s!Ky lib[r do t[ mund[son t’i m[sosh p[rmbajtjet e parapara p[r klas[n VIII. Do t[ m[sosh p[rmbajtje t[reja interesante p[r ngjashm[rin[ e figurave. Do t[ m[sosh teknika p[r zgjidhjen e barazimeve linearedhe jobarazimeve lineare, si dhe p[r zgjidhjen e disa sistemeve t[ barazimeve lineare. Do t’i zgjeroshnjohurit[ p[r funksionin linear edhe p[r trupat gjeometrik, syprin[n dhe v[llimin e tyre.Libri [sht[ ndar[ n[ kat[r t[r[si tematike, kurse disa prej tyre jan[ ndar[ n[ n[ntema.T[r[sit[ tematike fillojn[ me p[rmbajtje, kurse nj[sit[ m[simore n[ to jan[ t[ num[ruara.Te nj[sit[ m[simore ka shenja me ngjyra dhe mbi ato jan[ shkruar porosi, aktivitete, obligime dhesygjerime t[ tjera edhe at[: Nj[sit[ m[simore fillojn[ me di]ka q[ e ke t[ njohur. Duhet t[ kujtohesh Kujtohu! dhe t’i zgjidhish k[rkesat e dh[na. At[ do ta shfryt[zosh gjat[ t[ m[suarit t[ m[simit t[ ri. Me k[to shenja, nj[sia m[simore [sht[ ndar[ n[ pjes[ te t[ cilatA , B ... u kushtohen koncepteve t[ reja.1. Me shenjat e k[tilla jan[ sh[nuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat q[ do t’i zgjidhish n[ m[nyr[ t[ pavarur ose me ndihm[n e arsimtarit t[nd. N[ k[t[2. pjes[ e m[son m[simin e ri, prandaj duhet t[ jesh i kujdessh[m dhe aktiv ... q[ sa m[ mir[ ta m[sosh dhe ta kuptosh. Ajo q[ [sht[ m[ me r[nd[si [sht[3. me ngjyr[ portokalli. Ajo q[ [sht[ m[ e r[nd[sishme nga m[simi [sht[ ve]uar n[ form[ t[ Duhet t[ dish: pyetjeve, detyrave ose pohimeve. At[ duhet ta mbash n[ mend dhe ta shfryt[zosh gjat[ zgjidhjeve t[ detyrave dhe shembujve praktik. Kjo pjes[ p[rmban pyetje dhe detyra me t[ cilat mund t[ provosh Kontrollohu! pjes[n m[ t[ madhe t[ asaj q[ e ke m[suar a e ke kuptuar q[ t[ mund ta zbatosh dhe shfryt[zosh n[ jet[n e p[rditshme. Duhet rregullisht dhe n[ m[nyr[ t[ pavarur t’i zgjidhish k[to detyra. Detyra Me t[ m[ mir[ do ta kuptosh at[ q[ e ke m[suar, kurse ajo do t[ jet[ shum[ e dobishme p[r ty. Përpiqu! ... P[rpiqu t’i zgjidhish detyrat dhe problemet n[ k[t[ pjes[ (kjo nuk [sht[ e domosdoshme). Me t[ do t[ dish m[ shum[ dhe do t[ jesh m[ i pasur me ide. KONTROLLO N[ fund t[ ]do teme ke teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe n[ NJOHURIN{ T{NDE m[nyr[ t[ pavarur testin dhe me t[ do t[ provosh njohurit[ tua nga tema e m[suar.N[se has n[ v[shtir[si gjat[ t[ m[suarit t[ matematik[s mos u dor[zo, p[rpiqu p[rs[ri, kurse k[mb[nguljado t[ sjell[ rezultat dhe k[naq[si.Do t[ na g[zon n[ qoft[ se me k[t[ lib[r do ta duash m[ shum[ matematik[n dhe do t[ arish sukses t[shk[lqyesh[m. Nga autor[t
    • TEMA 1. NGJASHM{RIA SEGMENTET PROPORCIONALE 8. Kriteri i dyt[ dhe i tret[ p[r trek[nd[shat1. Raporti nd[rmjet dy segmenteve 4 e ngjash[m 312. Segmentet proporcionale 8 9. Raporti i perimetrave dhe raporti i syprinave3. Ndarja e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta 12 t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m 334. Teorema e Talesit p[r segmentet TEOREMA E PITAGOR{S proporcionale 16 10. Ngjashm[ria te trek[nd[shi k[nddrejt 375. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Talesit 20 11. Teorema e Pitagor[s 41 TREK{ND{SHAT E NGJASH{M 12. Detyra me zbatimin e teorem[s s[6. Figurat e ngjashme. Trek[nd[shat e Pitagor[s 44 ngjash[m 24 13. Popullimi, mostra 487. Kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 27 Provo njohurin[ t[nde 53 Segmentet proporcionale 3
    • SEGMENTET PROPORCIONALE 1 RAPORTI ND{RMJET DY SEGMENTEVE Kujtohu! A 1. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy segmente: Raport ose p[rpjes[ e numrit a dhe numrit b (b ≠ 0) [sht[ her[si i a dhe b, d.m.th. A B a a : b ose ; b C D lexohet: a ndaj b; numri a quhet an[tari i par[, kurse b an[tari ku AB = 6 cm, CD = 4 cm. i dyt[ i raportit. Shkruaje raportin e numrave mat[s t[ gjat[sis[ Numri q[ fitohet duke kryer pjes[timin e a me s[ segmentit AB dhe gjat[sis[ s[ segmentit CD. b quhet vlera e raportit a : b dhe sh[nohet me k. N[ k[t[ rast a : b = k, d.m.th. a = bk. Her[sin 6 : 4 do ta marrim si raport nd[rmjet segmentit AB dhe segmentit CD. Cakto vler[n e raportit: Në përgjithësi a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16; ]) 1,8 : 2,4. Raporti ose p[rpjesa nd[rmjet dy segmenteve P[r cilat raporte themi se jan[ t[ barabarta? [sht[ her[si i numrave mat[s t[ gjat[sive t[ tyre me gjat[si t[ nj[jt[ mat[se. Cil[t prej raporteve a) - ]) jan[ t[ barabart[? Raportin i nj[ segmenti AB ndaj segmentit tjet[r Cakto an[tarin e panjohur t[ raportit: CD e shkruajm[: a) x : 8, n[ qoft[ se vler[n e ka 4; b) 18 : y, n[ qoft[ se vler[n e ka 12. AB AB : CD ose . CD An[tari i dyt[ CD a mund t[ jet[ i barabart[ me zero? 3 Te detyra 1, raporti AB : CD [sht[ 6 : 4, kurse vlera e tij [sht[ . 22. Cakto vler[n e raportit t[ segmentit a ndaj segmentit b, n[ qoft[ se: a) a = 12 cm, b = 4 cm; b) a = 30 cm, b = 6 dm. Ke kujdes! Gjat[sit[ e dy segmenteve te raporti duhet t[ shprehen me nj[si t[ nj[jt[ mat[se. Raporti i dy segmenteve [sht[ num[r i paem[rtuar. 4 Tema 1. Ngjashmëria
    • 3. }do an[tar te raporti 0,5 : 0,25: a) shum[zoje me 20; b) pjes[toje me 5. Pastaj, vler[n e raportit t[ dh[n[ krahasoje me vlerat e raporteve t[ fituara me a) dhe b). }ka p[rfundon?4. Shkruaje raportin e segmentit a = 6 cm ndaj segmentit a b = 3 cm dhe cakto vler[n e tij. Pastaj, cakto raportin a : b dhe vler[n e tij, n[ qoft[ b se gjat[sit[ e segmenteve i shkruan n[: a) mm; b) dm; c) m. }ka p[rfundon p[r ato raporte? Me dy detyrat paraprake u përkujtove se: Raporti a : b nuk ndryshon n[ qoft[ se t[ dy an[tar[t e tij shum[zohen ose pjes[tohen me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros, d.m.th. n[ se a : b = k dhe m ≠ 0, at[her[ (am) : (bm) = k dhe (a : m) : (b : m) = k. N[ qoft[ se raporti i dy numrave [sht[ N[ qoft[ se a : b = k, at[her[ a : b = k, at[her[ me se [sht[ i barabart[ a = kb. Numri k tregon sa her[ numri a? numri b p[rfshihet te numri }far[ tregon numri k p[r numrat a dhe b? a. Mbaj mend N[se raporti i dy segmenteve AB dhe CD [sht[ k, AB : CD = k, at[her[ AB = k ⋅ CD . Raporti k tregon sa her[ segmenti CD p[rfshihet te segmenti AB, d.m.th. k [sht[ numri mat[s i gjat[sis[ s[ segmentit AB si nj[si mat[se do t[ meret segmenti CD.B 5. Jan[ dh[n[ segmentet a = 1,2 dm, b = 18 cm. Shkruaje raportin a : b dhe njehso vler[n e tij. Shkruaje raportin b : a dhe njehso vler[n e tij. P[r raportin b : a thuhet se [sht[ i anasjellt[ i raportit a : b. K[shtu, raporti 18 : 12 [sht[ i anasjellt[ i raportit 12 : 18.6. Arta ka 5 vjet, Blerta ka 10 vjet, kurse Vlera ka 35 vjet. Shkruaje raportin e vjet[ve nd[rmjet: a) Art[s dhe Blert[s; b) Blert[s dhe Vler[s; c) Art[s dhe Vler[s. Segmentet proporcionale 5
    • Shihi raportet 5 : 10; 10 : 35 dhe v[re se ]kan[ t[ p[rbashk[t. An[tari i dyt[ i raportit t[ par[ [sht[ i barabart[ me an[tarin e par[ t[ raportit t[ dyt[. Mbaj mend! Raportet a : b dhe b : c zakonisht shkurtimisht shkruhen si a : b : c. Shprehja a : b : c quhet raport i vazhduar i a, b, c. K[shtu, 5 : 10 : 35 [sht[ raport i vazhduar p[r t[ dy raportet 5 : 10 dhe 10 : 35. P[rve] saj , raporti i vazhduar e p[rmban edhe raportin 5 : 35.7. Larg[sia ajrore nd[rmjet tre qyteteve A, B, C jan[: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km. Paraqiti ato larg[si, n[ vizatim, t[ zvog[luara 800 000 her[. Shkruaje raportin e vazhduar CA : AB : BC n[ form[ sa m[ t[ thjesht[. C 8. N[ vizatim jan[ dh[n[ tre segmente A B AB, CD dhe PQ, ashtu q[ AB = 5 PQ, CD = 3PQ . C D Sa her[ segmenti PQ p[rfshihet te P Q segmenti a) AB; b) CD? V[ren se segmenti PQ, te segmentet AB dhe CD, p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh. PQ thuhet se [sht[ masa e p[rbashk[t e segmenteve AB dhe CD. Në përgjithësi P[r dy segmente thuhet se jan[ t[ bashk[matsh[m, n[ qoft[ se ekziston segment i tret[ q[ p[rfshihet num[r t[ plota her[sh te ]donj[ri prej tyre. Raporti i dy segmenteve t[ bashk[matsh[m [sht[ num[r racional (i plot[ ose thye). Segmentet AB, CD n[ detyr[n 8 jan[ t[ bashk[matsh[m. T[ atill[ jan[ edhe ]iftet e segmenteve: AB, BC dhe BC, CA, te detyra 7 (mas[ t[ p[rbashk[t e kan[ segmentin me gjat[si, p[r shembull, 1 km).9. N[ vizatim [sht[ paraqit katrori me brinj[ a dhe diagonale d. d Shprehe diagonalen d me ndihm[n e brinj[s a. Trego se raporti d : a [sht[ num[r iracional 2. a Vëreve se Ka ]ifte t[ segmenteve p[r t[ cil[t nuk ekziston segment itret[ q[ do t[ p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh te ]donj[ri prej tyre. P[r dy segmente t[ atill[ thuhet se jan[ t[ pabashk[matsh[m dhe raporti i tyre gjithmon[ [sht[ num[r iracional. 6 Tema 1. Ngjashmëria
    • P[r shembull, brinja a dhe diagonalja d e katrorit jan[ segmente t[ pabashk[matsh[m; raporti i tyre d : a [sht[ numri 2. Duhet të dish: t[ em[rtosh dhe t[ caktosh raport t[ dy numrave dhe t[ dy segmenteve; t[ caktosh vler[n e raportit dhe raporteve t[ barabart[; t[ shkruash raport t[ anasjellt[ dhe raport t[ vazhduar; t[ caktosh an[tarin e panjohur te raporti. Kontrollohu! Jan[ dh[n[ segmentet AB = 8 cm dhe A C B AC = 2 cm (n[ vizatim). Shprehe vler[n e raportit: a) AB : AC ; b) AC : CB ; c) CB : AC ; ]) CB : AB . Shprehe raportin e a ndaj b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1 kg, b = 800 g. Cakto vler[n e ]donj[rit prej raporteve: a) 6 : 8; b) 150 : 200; c) 80 : 60; ]) 0,18 : 0,24. Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[? Vlera e raportit x : 4 [sht[ 5. Sa [sht[ x? 4. Larg[sia Shkup - Vallandov[ [sht[ Detyra 150 km, Shkup - Kriva Pallank[ [sht[ 100 km, kurse Shkup - Tetov[ [sht[ 50 km.1. Shprehe raportin a : b n[ form[ sa m[ t[ a) Shkruaje raportin e vazhduar t[ atyre thjesht[, n[ qoft[ se: largesave. a) a = 15 cm, b = 2 dm; b) Shkruaje at[ raport n[ form[ sa m[ t[ b) a = 6x, b = 4x; thjesht[. c) a = 2 l, b = 800 ml. 5. Njehso an[tarin e panjohur te raporti, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[ vlera e tij:2. Shkruaje raportin e anasjellt[ p[r ]donj[rin prej raporteve te detyra paraprake. a) x : 5 = 3; c) 6,5 : y = 13; 2 13. Raportet q[ vijojn[ paraqiti n[ form[ t[ b) x : 1,3 = 6; ]) 4 :y=3 . 3 3 raporteve an[tar[t e t[ cil[ve jan[ numra t[ plot[. 6. Cakto raportin e brinj[s dhe perimetrit t[: 2 4 a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m; a) 0,3 : 0,6; b) 0,35 : 0,7; c) : ; 5 3 b) pes[k[nd[shit brinj[nj[sh[m; c) gjasht[k[nd[shit brinj[nj[sh[m. ]) 2 3 : 5 , 2 ; d) 5 1 : 3 5 . 5 4 2 Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[ nd[rmjet vedi? Segmentet proporcionale 7
    • 7. {sht[ dh[n[ segmenti AB = 24 cm dhe n[ t[ 9. Te trek[nd[shi k[nddrejt nj[ri prej k[ndeve [sht[ 60 o. Me se [sht[ i barabart[ raporti i [sht[ zgjedhur pik[ C, ashtu q[ AC = 18 cm . hipotenuz[s dhe katet[s s[ vog[l? T[ caktohet: 10. Shuma e gjat[sive t[ dy segmenteve [sht[ 35, a) AC : CB kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7. b) raporti i segmentit m[ t[ shkurt[r ndaj T[ caktohet raporti i atyre segmenteve. segmentit m[ t[ gjat[.8. Segmenti m[ i vog[l nd[rmjet dy segment[ve Përpiqu! ... p[rfshihet te segmenti m[ i madh 7 her[ dhe ngel segmenti q[ p[rfshihet te segmenti i vog[l Tre pula p[r tre dit[ kan[ b[r[ tre vez[. 2 her[. Sa [sht[ i gjat[ segmenti m[ i gjat[, n[ qoft[ se dihet se segmenti m[ i vog[l [sht[ i a) Sa vez[ do t[ b[jn[ gjasht[ pula p[r gjasht[ gjat[ 1 cm? dit[? b) Sa pula p[r 100 dit[ do t[ b[jn[ 100 vez[? 2 SEGMENTET PROPORCIONALE Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ kat[r segmente me gjat[si AB = 40 cm , PQ = 7 cm , Si jan[ nd[rmjet vedi raportet 12 : 8 dhe 6 : 4? CD = 8 cm , RS = 35 cm. }ka paraqet barazia e raporteve t[ barabarta: A mundesh prej tyre t[ formosh 12 : 8 = 6 : 4? p[rpjes[tim? N[ qoft[se raportet a : b dhe c : d jan[ t[ Formo prej tyre ndonj[ p[rpjes[tim. barabart[, at[her[ barazia V[re, p[r shembull: a c a : b = c : d, d.m.th. = 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, b d d.m.th. prej gjat[sive t[ segmenteve mund t[ quhet p[rpjes[tim, kurse numrat a, b, c, d formohet p[rpjes[tim jan[ an[tar[ t[ atij proporcioni. 40 : 8 = 35 : 7. Cili prej atyre numrave [sht[ an[tar i par[, P[r k[t[ shkak, mund t[ thuhet se ]ifti i dhe cili [sht[ an[tari i tret[ i p[rpjes[timit? segmenteve AB, CD dhe RS, PQ jan[ pro- Cil[t jan[ an[tar[t e jasht[m, dhe cil[t jan[ porcional. an[tar[t e brendsh[m? Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe Në përgjithësi prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m t[ p[rpjes[timit 12 : 8 = 6 : 4. P[r dy ]ifte t[ segmenteve a, b dhe c, d Si jan[ nd[rmjet veti ato prodhime? thuhet se jan[ proporcional, n[ qoft[ se gjat[sit[ e tyre formojn[ p[rpjes[tim. a c a : b = c : d , d.m.th.  b d 8 Tema 1. Ngjashmëria
    • Vlera k e raporteve t[ barabart[ a : b dhe c : d t[ ]ifteve t[ segmenteve proporcional a, b dhe c, d quhet koeficienti i p[rpjes[timit. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ nga detyra 1? Si do ta caktosh koeficientin e Do ta caktoj vler[n e raportit AB : CD , proporcionit t[ segmenteve? d.m.th. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5. a2. Jan[ dh[n[ segmentet a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm. b c Trego se a, b dhe c, d jan[ proporcional. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit? d Shkruaj p[rpjes[tim t[ segmenteve a, b dhe c, d. Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m. Si jan[ ato prodhime nd[rmjet veti? Në përgjithësi vlen! Prodhimi i an[tar[ve t[ jasht[m t[ nj[ p[rpjes[tim [sht[ i barabart[ me prodhimin e an[tar[ve t[ tyre t[ brendsh[m, d.m.th. N[se a : b = c : d , at[her[ a ⋅ d = b ⋅ c Kjo rregull[ quhet vetia themelore e p[rpjes[timit. P[r ]donj[r[n prej kat[r segmenteve proporcional a, b, c, d thuhet se [sht[ proporcionalja e kat[rt gjeometrike e tre t[ tjerave. bc P[r shembull, d = [sht[ proporcionalja gjeometrike e kat[rt e segmenteve a, b, c te p[rpjes[timi a a : b = c : d.3. Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 6 cm, b = 8 cm, c = 12 cm te p[rpjes[timet: a) a : b = c : x; b) x : c = a : b; c) a : x = b : c. Krahaso zgjidhjen t[nde p[r a) me zgjidhjen e dh[n[: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12; x =16 cm. Kujtohu! B 4. Jan[ dh[n[ segmentet a = 9 cm dhe b = 4 cm. Cakto segment x, ashtu q[ P[r numrat 5 dhe 20 cakto numrin x ashtu a : x = x : b. q[ 5 : x = x : 20. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. }ka paraqet numri 5 ⋅ 20 (= 10) p[r numrat 5 dhe 20? p[rpjes[timi 9 : x = x : 4, sipas vetis[ themelore sillet n[ barazimin x2 = 9 × 4, pra x = 36 = 6 ; Cakto mesin gjeometrik t[ numrave 2 dhe 32. x = 6 cm. Segmentet proporcionale 9
    • V[re se numri 6 [sht[ mesi gjeometrik i numrave 4 dhe 9. Mbaj mend! Mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) e dy segmenteve a dhe b quhet segmenti me gjat[si x ashtu q[ a : x = x : b, d.m.th. a=x x b  x 2 = ab  x  ab5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve: a) a =12 cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm. a6. Konstato me matje se segmenti b nga vizatimi a [sht[ mesi gjeometrik b i segmenteve a dhe c. c 8 10 8 + 4 10 + 5 C 7. {sht[ dh[n[ p[rpjes[timi = . Trego se [sht[ p[rpjes[tim dhe barazi = . 4 5 4 5 Në përgjithësi vlen a c a+b c+d N[se = , at[her[ = . P[rpiqu ta v[rtetosh k[t[. b d b d a c a c a b c d a+b c+d V[reve se: nga = vijon + 1= + 1; pastaj: + = + , d.m.th. = . b d b d b b d d b d8. Trego se vlen edhe pohimi i anasjellt[. a+b c+d a c N[se = , at[her[ = . b d b d Kujtohu! Kur tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabarta, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[ a b c p[rpjes[timit t[ vazhduar, si p[r shembull: = = . a1 b1 c1 P[r at[ vlen: a +b +c = a = b = c a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 10 Tema 1. Ngjashmëria
    • Duhet të dish: Kontrollohu! ta p[rkufizosh konceptin e p[rpjes[timit; t[ caktosh an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi; Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi 10 : a = 15 : 6. t[ sqarosh cil[t ]ifte t[ segmenteve jan[ Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt proporcional; gjeometrike x t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm, t[ caktosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve. c = 8 cm te p[rpjes[timi a : b = c : x. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a = 2 cm dhe b = 8 cm. Detyra1. Cili num[r duhet t[ q[ndron n[ vend t[ 6. Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, segmenti CD shkronj[s a q[ t[ jet[ e sakt[ barazia: [sht[ lart[sia e l[shuar ndaj hipotenuz[s AB. 5 a a 3 a) = ; b) = ? C 2 8 14 72. Formo p[rpjes[tim me gjat[sit[ e kat[r segmenteve: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.3. Cakto gjat[sin[ x t[ proporcionales s[ kat[rt gjeometrike a, b, c n[ p[rpjes[timin a : b = x : c, n[ qoft[ se: 1 3 2 A D B a) a = dm, b = dm, c = dm; 2 4 3 Me matje, konstato se: b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m. a) segmenti CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve AD dhe DB;4. Te DABC n[ vizatim [sht[ dh[n[: b) segmenti AC [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve CM : MA = CN : NB . N[ ]do rresht nga tabela AD dhe AB. jan[ dh[n[ disa gjat[si. Cakto gjat[sit[ q[ mungojn[. 7. Cakto x dhe y, n[ qoft[ se: C x y 3 7 y 1 a) = = ; b) = = . CM MA CN NB 4 5 2 x 6 4 a) 8 6 4 M N 8. Trego se prej p[rpjes[timi a = c mund t[ b) 6 4 5 b d c) 8 8 4 fitohen p[rpjes[timet:A B a b b d c d = ; = ; = . c d a c a b5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a dhe b, n[ qoft[ se: a) a = 2 cm, b = 8 cm; 9. V[rteto se: n[ qoft[ se a = c , at[her[ b d 4 b) a = 4 dm , b = 12 cm; a -b c - d 5 = . b d c) a = 7 cm, b = 14cm. Segmentet proporcionale 11
    • 3 NDARJA E SEGMENT{VE N{ PJES{ T{ BARABART{ Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ paraqitur k[ndi SOT dhe n[ krahun OS jan[ bartur segmenta Si do ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabart[: t[ barabart[ OA = AB = BC . a) n[ dy; b) n[ kat[r? P[r ΔFGH dhe ΔPQR n[ vizatim [sht[ dh[n[: α = α1, β = β1, FG = PQ . H R α β α1 β1 F G P Q Si jan[ nd[rmjet veti ato trek[nd[sha? N[p[r pikat A, B dhe C jan[ t[rhequr nd[rmjet veti drejt[za paralele p, q dhe r, t[ cilat e presin Si jan[ nd[rmjet veti brinj[t p[rkat[se t[ p[rkat[sisht krahun OT n[ pikat A1, B1 dhe C1. trek[nd[shave t[ puthitsh[m? P[r segment[t OA1, A1B1 dhe B1C1 thuhet se jan[ p[rgjegj[se p[r segmentet (me radh[):OA, AB dhe BC. Mati segmentet OA1, A1B1, B1C1. }far[ p[rfundon?2. N[ lidhje me vizatimin nga detyra 1, p[rpiqu t[ v[rtetosh se O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1 Shihe vizatimin te i cili jan[ t[rhequr edhe segmentet A1B2 dhe B1C2, paralele me krahun OS, dhe jan[ sh[nuar disa k[nde me numrat. V[re ΔOAA1 dhe ΔA1B2B1 poashtu v[re: 1 = 3, 2 = 4 (Pse?)  OA = A B 1 2 (Pse?) ΔOAA ≅ ΔA B B , dhe OA = A B (Pse?). 1 1 2 1 1 1 1 V[re ΔA1B2B1 dhe ΔB1C2C1. Trego se ato jan[ t[ puthitsh[m dhe se A1B1 = B1C1 . V[re dhe mbaje mend k[t[ teorem[ p[r segmentet e barabart[ t[ krah[ve t[ nj[ k[ndi.N[ qoft[ se n[ nj[rin krah t[ k[ndit t[ dh[n[ jan[ bartur segmente t[ barabart[ dhe n[p[r skajet e tyrejan[ t[rhequr drejt[za paralele q[ e presin krahun tjet[r t[ k[ndit, at[her[ ato drejt[za presin edhe tekrahu tjet[r segmente t[ barabart[ nd[rmjet veti. 12 Tema 1. Ngjashmëria
    • N[ baz[ t[ k[saj teoreme mund ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabarta p[r ]fardo num[r t[ dh[n[.3. Segmentin AB n[ vizatim ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta. A B Si do ta zbatosh teorem[n Te pika A do t[ t[rheq ]far[do gjysm[drejt[z paraprake q[ ta ndash dhe n[ t[ me fillim n[ pik[n A do t[ barti 5 segmentin AB n[ 5 pjes[ t[ segmente t[ barabart[. Pastaj do t[ t[rheq barabarta? drejt[za paralele, sipas teorem[s. P[rcille zgjidhjen dhe v[re m[nyr[n p[r ndarjen e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta. T[rhiq ]far[do gjysm[drejt[z AS si n[ vizatim. Te AS, duke filluar prej A, pes[ her[ barte ]far[do segment t[ zgjedhur, p[r shembull AE; me at[ do t[ fitosh pes[ pika, pik[n e pest[ sh[noje me C. T[rhiqe, s[ pari, drejt[z[n CB dhe pastaj, n[p[r ]donj[r[n prej pikave t[ fituara n[ AC, t[rhiq drejt[z paralele me drejt[z[n CB; ato drejt[za e ndajn[ segmentin AB n[ pes[ pjes[ t[ barabarta. Sqaro pse ato 5 pjes[ jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.4. Vizato segment AB me gjat[si 7 cm dhe ndaje n[ 6 pjes[ t[ barabarta.5. Vizato nj[ segment dhe cakto mesin e tij, duke shfryt[zuar teorem[n p[r segmentet e barabart[. Kujtohu! B 6. Vizato segment AB t[ gjat[ 6 cm. Te segmenti AB [sht[ sh[nuar pika M ashtu a) Ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta. q[: AM = 4 cm dhe MB = 3 cm . b) Sh[no pik[n M ashtu q[ AM : MB = 3 : 2 . A M B N[ ]far[ raporti pika M e ndan segmentin AB? Segmentet proporcionale 13
    • Krahasoje zgjidhjen t[nde me zgjidhjen t[ dh[n[ n[ vizatim.7. Vizato segmentin AB dhe ndaje n[ dy pjes[ raporti i t[ cilave [sht[ 3 : 4. S[ pari, ndaje segmentin AC n[ 3+4=7 pjes[ t[ barabarta. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[ n[ vizatim, ku [sht[ marr[ AK = 3 ⋅ AE dhe KM || CB. K[shtu [sht[ fituar AM : MB = 3 : 4 . Sqaro pse AM : MB = 3 : 4 . Ky nd[rtim quhet ndarja e segmentit n[ raport t[ dh[n[8. Segmenti AB n[ vizatim [sht[ ndar[ me pik[n M n[ raport A M B 3 : 2. Gjithashtu, segmenti CD me pik[n N [sht[ ndar[ n[ raportin e nj[jt[ 3 : 2. C N D Formo p[rpjes[tim p[r pjes[t e segmentit AB dhe prej segmentit CD. Nj[ mund[si [sht[: AM : MB = CN : ND , q[ do t[ thot[ AM, MB jan[ segmente proporcionale me segmentet CN, ND. Prandaj themi se segmentet AB dhe CD jan[ ndar[ proporcionalisht. Duhet të dish: P[r dy segmente thuhet se jan[ ndar[ proporcionalisht, n[ qoft[ se raporti i pjes[ve t[ nj[rit segment formon p[rpjes[tim me raportin e pjes[ve t[ segmentit tjet[r.9. Vizato dy segmente me gjat[si 7 cm dhe 4 cm dhe ndaji proporcionalisht n[ raport 1 : 2. 14 Tema 1. Ngjashmëria
    • Duhet të dish: Kontrollohu! t[ ndash segment n[ pjes[ t[ barabarta dhe ta Vizato segment AB t[ gjat[ 5 cm dhe ndaje n[ sqarosh m[nyr[n; 3 pjes[ t[ barabarta. Pastaj, sh[no pik[n M q[ e ndan segmentin AB n[ raport 2 : 1. t[ ndash segmentin n[ raport t[ dh[n[; Shkruaj p[rpjes[tim nd[rmjet pjes[ve t[ t[ sqarosh kur dy segmente jan[ ndar[ segmenteve PQ dhe RS t[ cil[t me pikat H dhe proporcionalisht. K n[ vizatim jan[ ndar[ proporcionalisht. 2 6 P H Q 3 1 R K S Detyra1. Vizato segment t[ gjat[ 6 cm dhe ndaje n[ 6. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport pjes[ t[ barabarta: AB : MB = 5 : 3. Gjat[sia e segmentit AM [sht[ a) n[ tre b) n[ shtat[. 4,8 dm. Cakto gjat[sin[ e segmentit MB; AB.2. Vizato segment AB dhe ndaje n[ raport a) 2 : 1; b) 5 : 2. 7. P[r sa duhet t[ vazhdohet segmenti AB = 12 cm q[3. Vizato segment me gjat[si 10 cm dhe ndaje: t[ fitohet segment AC i cili do te plot[soj[ a) n[ 7 pjes[ t[ barabarta; p[rpjes[timin AC : BC = 5 : 2 ? b) n[ raport 4 : 3; c) n[ tre segmente n[ raport 1 : 2 : 4. 8. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport4. Vizato DABC dhe brinj[t e tij ndaji n[ nga tre AM: MB = 3 : 2 . Cakto raportet AM : AB dhe pjes[ t[ barabarta. AB : MB .5. Vizato ΔABC dhe n[ mesoren AA 1. Cakto pik[n e r[ndimit T t[ trek[nd[shit n[ at[ m[nyr[ q[ AA 1 ta ndash n[ raport AT : TA1 = 2 : 1 . Segmentet proporcionale 15
    • 4 TEOREMA E TALESIT P{R SEGMENTET PROPORCIONALE Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ k[ndi i ngusht[ SOT. N[ krahun OS [sht[ zgjedhur Si ndahet segmenti i dh[n[: pika B, kurse n[ krahun OT pika D. a) n[ pjes[ t[ barabarta; N[p[r B dhe D [sht[ t[rhequr drejt[za b) n[ raportin e dh[n[ m : n? p. T D Sqaro nd[rtimin. p O B S N[ segmentin OB cakto pik[n A, ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 . N[p[r pik[n A t[rhiq drejt[z q || p. Drejt[za q le ta prej[ OT n[ pik[n C. Trego se OC : CD = 3 : 2 . }ka do t[ shfryt[zosh q[ t[ tregosh Do ta shfryt[zoj m[nyr[n dhe gjykimin p[r ndarjen e segmentit n[ se OC : CD = 3 : 2 ? raport t[ dh[n[. N[ vizatim [sht[ dh[n[ zgjidhja e detyr[s. P[rgjigju n[ k[to pyetje. Si [sht[ ndar[ segmenti OB n[ 5 pjes[ t[ barabarta? Si [sht[ p[rcaktuar pika A ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 ? Pse OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ? V[re dhe mbaj mend gjykimin t[ quajtur teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale. N[ qoft[ se krah[t e nj[ k[ndi priten me dy drejt[za t[ ndryshme paralele, at[her[ segmentet q[ fitohen n[ nj[rin krah jan[ proporcionale me segmentet p[rkat[se t[ krahut tjet[r. D C AC || BD  OA : AB = OC : CD O A B2. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. N[ qoft[ se OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , cakto CD ; trego se OA : OB = OC : OD . 16 Tema 1. Ngjashmëria
    • N[ p[rgjith[si vlen: prej barazis[ OA : AB = OC : CD (te teorema e Talesit) fitohet barazia OB : OA = OD : OC ose OA :OB = OC:OD . Duke e shfryt[zuar k[t[ veti p[r p[rpjes[timet, prej AB : OA = CD : OC vijon (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC . Trego se OB : OA = OD : OC . C3. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[za MN || AB q[ i pret dy brinj[t tjera AC dhe BC. Konstato se brinj[t AC dhe BC me drejt[z[n M N MN jan[ ndar[ proporcionalisht, d.m.th. CM : MA = CN : NB . N[ qoft[ se ke nevoj[ p[r ndihm[... A B S[ pari, v[re se krah[t e “ACB jan[ prer[ me drejt[zat paralele MN dhe AB. Pastaj, zbato teorem[n e Talesit. T D B 4. Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet si n[ C vizatim: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm . O A B S Bindu se segmentet OA, OB dhe OC, OD jan[ proporcionale, d.m.th. OA : OB = OC : OD . T[rhiqi drejt[zat AC dhe BD. Pastaj, me ndihm[n e dy trek[ndshave, provo se a jan[ paralele ato drejt[za. N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft mir[, sigurisht ke p[rfunduar se AC || BD. N[ p[rgjith[si vlen! N[ qoft[ se dy drejt[za presin prej krah[ve t[ ndonj[ k[ndi segmente paralele, at[her[ ato drejt[za jan[ paralele. T D C OA : OB = OC : OD  AC || BD O A B S Kjo veti e segmentave paralele quhet teorema e anasjellt[ e Talesit. Segmentet proporcionale 17
    • R5. Konstato p[r cil[t prej k[tyre gjat[sive sipas vizatimit do t[ jet[ MN || PQ: a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; M N b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6; c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P Q Duhet të dish ta shprehish teorem[n e Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme; ta shprehish teorem[n e anasjellt[ t[ Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme. Kontrollohu! N[ vizatim [sht[ dh[n[ PQ || BC. Plot[soji k[to pohime q[ t[ jen[ t[ sakta: C Q a) AP : AB = : ; c) : = AQ : QC ; b) AP : PB = : ; ]) AC : AQ = : . A P B E 28 C P[r segmentet e sh[nuara a do t[ jet[ BC || DE? 35 20 16 A B D Detyra 1. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. 2. Te ΔABC n[ vizatim [sht[ dh[n[ MN || AB. D C a) Cakto CN , n[ qoft[ se: C CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ; M N b) Cakto CM , n[ qoft[ se: O A B CM = NB , MA = 4 dhe A BCakto OB , n[ qoft[ se: CN = 9 .OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm . 18 Tema 1. Ngjashmëria
    • 3. Te ]donj[ri prej trek[nd[shave n[ vizatim 6. Trego se prej p[rpjes[timi D [sht[ t[rhequr segment paralel me baz[n dhe C OA : AB = OC : CD jan[ sh[nuar gjat[sit[ e disa segmenteve. fitohen p[rpjes[timet: O A B a 1 x m a) AB : OA = CD : OC ; c) OB : AB = OD : CD ; c x k 2 b) OB : OA = OD : OC ; ]) OA : OB = OC : OD .b x n 1 1 d 2 xTe t[ kat[r rastet cakto x, duke llogaritur se Përpiqu! ...shkronjat tjera jan[ numra t[ dh[n[. Nuk është e domosdoshme 4. Krah[t e SOT (n[ vizatim) jan[ prer[ me 7. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC te CD [sht[ drejt[za paralele AA 1 , BB 1 dhe CC 1 , ku simetrale e k[ndit pran[ kulmit C. Pastaj, [sht[ vazhduar brinja AC dhe [sht[ t[rhequr OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 dhe OA1 =6 cm. Cak- drejt[za BE || DC. to gjat[sit[ e segmenteve A1B1 dhe B1C1. a) V[rteto se ΔBEC [sht[ dybrinj[nj[sh[m me krah BC = CE . b) V[rteto se simetralja e ACB te ΔABC e ndan brinj[n e p[rballt[ AB n[ dy pjes[ q[ jan[ proporcionale me dy brinj[t tjera, d.m.th. 5. P[r segmentet e sh[nuar n[ vizatimin a); b), AD : DB = CA : CB , d.m.th. provo a do t[ jet[ BC || DE. Sqaro p[rgjigjen (c - x) : x = b : a. t[nde. a) 18 24 b) Segmentet proporcionale 19
    • 5 DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ TALESIT Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC. Pastaj, t[rhiq drejt[z Si thot[ teorema e Talesit p[r segmentet B1C1 q[ do ti prej[ krah[t e A dhe proporcionale? [sht[ paralele me brinj[n BC, si n[ vizatim. Shprehe teorem[n e anasjellt[ t[ teorem[s s[ C Talesit. C1 Si jan[ nd[rmjet veti raportet AB : AB1 dhe AC : AC1 ? Mati me kujdes segmentet AB, AB1; BC, B1C1 dhe pastaj njehso raportet AB : AB1 dhe BC : B1C1 . A B1 B }ka v[ren? N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft preciz, sigurisht v[reve se segmentet AB, AB 1 jan[ proporcionale me segmentet BC, B1C1, d.m.th. AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1 Në përgjithësi vlen! N[ qoft[ se n[ nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[ brinj[ dhe i pret dy brinj[t tjera t[ trek[nd[shit, at[her[ fitohet trek[nd[sh i ri brinj[t e t[ cilit jan[ proporcionale me brinj[t e trek[nd[shit t[ dh[n[. C2. P[rpiqu ta v[rtetosh pohimin te detyra 1, duke zbatuar teorem[n e Talesit. C1 a{sht[ dh[n[: te ΔABC, drejt[za B1C1 || BC (si n[ vizatim). a1 BC AC AB a b cV[rteto se: = = , pra = = , A B1 B B1C1 AC1 AB1 a1 b1 c1 Cku: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 . C1 Vizatimi i dh[n[ [sht[ plot[suar me t[rheqjen e drejt[z[s F B1F paralele me AC. Si do ta zbatosh teorem[n e Talesit q[ ti v[rtetosh barazit[ e dh[na? A B1 B Do ti shkruaj p[rpjes[timet prej segmenteve proporcionale q[ jan[ fituar p[r k[ndet: BAC dhe ABC. Pastaj do t[ kryej krahasimin. Krahaso mendimin t[nd me zgjidhjen e dh[n[. 20 Tema 1. Ngjashmëria
    • AB AC BAC [sht[ prer[ me B1C1 || BC, pra sipas teorem[s s[ Talesit: = AB1 AC1 (1) AB BC ABC [sht[ prer[ me B1F || AC, sipas teorem[s s[ Talesit: = AB1 FC (2) Kat[rk[nd[shi B1FCC1 [sht[ paralelogram (pse?), pra: FC = B1C1 ; pas z[v[nd[simit te (2), fitohet AB BC BC AB AC a c b = . (3)  Prej (1) dhe (3): = = , d.m.th. = = . AB1 B1C1 B1C1 AB1 AC1 a1 c1 b1 Ky pohim quhet edhe teorema e Talesit p[r trek[nd[shin. Vlen edhe pohimi i anasjelltë! N[ qoft[ se nj[ drejt[z gjat[ prerjes s[ dy C brinj[ve t[ trek[nd[shit i ndan ato n[ m p m:n=p:q FG || AB segmente proporcionale, at[her[ ajo F G  drejt[z [sht[ paralele me brinj[n e tret[ t[ q n trek[nd[shit. A B C3. N[ ΔABC te vizatimi MN || BC. N Cakto raportin BC : MN , n[ qoft[ se AM = 12, AB = 18 . Cakto MN , n[ qoft[ se AB = 15, BC = 10 dhe M [sht[ mesi i AB. A M B Provo zgjidhjen p[r MN sipas vetis[ p[r vij[n e mesme t[ trek[nd[shit! p q4. Drejt[zat p dhe q n[ vizatim jan[ prer[ me tre drejt[za nd[rmjet veti A B paralele. Trego se segmentet p[rkat[se a, a jan[ proporcionale me a a segmentet b, b, d.m.th. a : a = b : b. b b P[rcille zgjidhjen e detyr[s. C D T[rhiqe segmentin AD, si n[ vizatim, dhe v[re se krah[t e CAD dhe t[ p q ADB jan[ prer[ me nga dy drejt[za paralele, pra: A B a : b = x : y dhe a : b = x : y. a x a Pasi an[t e djathta t[ barazis[ jan[ t[ barabarta, mund t[ p[rfundosh se b y b a : b = a : b d.m.th. a : a = b : b. C D Sipas vizatimit paraprak, [sht[ dh[n[ a = 3, b = 5 dhe b = 7. Cakto gjat[sin[ e segmentit a. D C5. P[r trapezin ABCD n[ vizatim [sht[ dh[n[: MN || AB, AD = 18 cm , M N BC = 24 cm dhe DM = 3 cm . Cakto BN dhe NC . A B Segmentet proporcionale 21
    • a B 6. Jan[ dh[n[ segmentet a, b, c sikurse n[ vizatim. b Cakto segmentin x ashtu q[ a : b = c : x, d.m.th. nd[rto proporcionalen c e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a, b, c. N[ qoft[ se nuk mund ta zgjidhish vet detyr[n, Kujtohu n[ teorem[n e Talesit. Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet a=OA , b= AB dhe c=OC , si n[ vizatim. T[rhiq drejt[z n[p[r B, paralele me AC dhe prerjen sh[noje me D. x=CD [sht[ segmenti i k[rkuar. (Pse?) Proporcionalja e kat[rt gjeometrike x e segmenteve a, b, c mund t[ fitohet edhe sipas vizatimit tjet[r. Shqyrto vizatimin dhe sqaro m[nyr[n.7. P[r segmentet a = 4 cm, b = 6 cm dhe c = 5 cm, nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike: bc ac a) x = ; b) x = . b) a b bc S[ pari v[re se x = mund ta formosh p[rpjes[timin x : c = b : a. a8. Vizato dy segmente a = 3 cm dhe b = 2 cm. Nd[rto segmentin x, ashtu q[ x = ab. S[ pari v[re se prej x = ab mund ta formosh p[rpjes[timin 1: a = b : x; pastaj kryeje nd[rtimin. Duhet të dish: Kontrollohu! ta shprehish teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin dhe ta zbatosh P[r ΔABC [sht[ dh[n[: MN || AB. Cakto brinj[t e tij sipas n[ detyra t[ ndryshme; t[ dh[nave n[ vizatim. Sqaro m[nyr[n p[r nd[rtimin e proporcionales s[ kat[rt t[ nd[rtosh proporcionalen e kat[rt gjeometrike x t[ tre segmenteve t[ dh[n[ a, b, c. gjeometrike p[r tre segmente. 22 Tema 1. Ngjashmëria
    • Detyra 6. Vizato tre segmente a, b, c. Pastaj, nd[rto segment x, ashtu q[: 1. Te trapezi ABCD n[ vizatim, me baza a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c. AB = 12 , CD = 5 dhe krah AD = 7 , jan[ va-zhduar krah[t AD dhe BC deri 7. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg- ment x, ashtu q[ x = a2.te prerja e tyre S. Cakto SD . 8. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg- ment x, ashtu q[ a2 b2 a) x = ; b) x = . b a 9. Brinja DC e trapezit C 2. Cakto lart[sin[ AB t[ ABCD me bazat D nj[ druri (n[ vizatim) AD = 8 dhe BC = 20 , n[ qoft[ se hija e tij [sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[ x yBC [sht[ 20 m, barabarta dhe n[p[r pik[-kurse nj[koh[- prerjet jan[ t[rhequr drejt[za A Bsisht, hija e shkopit paralele me bazat (si n[ viza-PQ prej 1 m [sht[ tim). Cakto gjat[sit[ x dhe y t[ segmenteve t[e gjat[ 1,4 m. formuara n[ trapez. Ndihm[. T[rhiqe drejt[z[n DM paralele me AB dhe 3. Te trapezi D C shqyrto ΔDMC (kujtohu se si e zgjidhe detyr[n 4). ABCD n[ vizatim, 6 8 P Q 10. N[ vizatim [sht[ paraqitur situata e terenit t[MN || PQ || AB. Cakto 6 paarritsh[m me pik[n e paarritshme A dhegjat[sit[ e krah[ve AD M N pik[n e arritshme B.dhe BC sipas t[ 3dh[nave n[ vizatim. A B a) Cakto larg[sin[ e paarritshme BA . b) Njehso BA , n[ qoft[ se jan[ matur gjat[sit[: 4. Te ΔABC n[ vizatim C BC = 100 m, CE = 250 m dhe CD = 80 m . brinja BC [sht[ ndar[ k c) Cakto larg[sin[ EA , n[ qoft[ se jan[ matur:n[ tre pjes[ t[ barabarta dhe xn[p[r pik[prerjet jan[ k CE = 250 m, CD = 80 m dhe DB = 96 m . yt[rhequr drejt[za, paralele mebrinj[n AB, gjat[sia e s[ cil[s k[sht[ 15 cm. Cakto gjat[sin[ A 15 Be ]do segmenti, t[ formuar n[trek[nd[sh. 5. Nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c). Segmentet proporcionale 23
    • TREK{ND{SHAT E NGJASH{M6 FIGURAT E NGJASHME. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! N[ jet[n e p[rditshme shpesh her[ hasim A sende q[ e kan[ form[n e nj[jt[, kurse Krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat madh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[: paralele AC dhe BD. automobili dhe modeli i tij; dy gota, dy karrika etj. T D C O A B S Sipas vizatimit, shkruaj raport t[ segmenteve P[r dy figura t[ ngjashme q[ kan[ plot[sisht q[ [sht[ i barabart[ me raportin: form[ t[ nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme ose a) OA : AB; b) OC : OD . t[ nj[jt[, zakonisht themi se jan[ t[ ngjashme. Sipas cil[s teorem[ i shkruajte raportet? 1. P[r cilat figura mund t[ themi se jan[ t[ N[ vizatim vlen p[rpjes[timi i segmenteve: ngjashme: OA : AB = OD : DC . dy katror[; C dy rrath[; D katrori dhe rrethi? 2. Jan[ dh[n[ dy harta gjeografike t[ Maqe- O A B donis[. E para n[ raport 1 : 1000000, kurse e dyta me raport 1 : 500000. }far[ pozite kan[ drejt[zat AD dhe BC? A jan[ t[ ngjashme ato harta? Si jan[ sipas madh[sis[ k[ndet: a) OAD dhe OBC; b) ODA dhe OCB? N[ hart[n e par[, larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ [sht[ 4 cm. Sa [sht[ larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ te harta e dyt[?Cili [sht[ raporti i larg[sis[ Shkup - Kumanov[ prej hart[s s[ par[ me larg[sin[ Shkup - Kumanov[ n[hart[n e dyt[?Si [sht[ raporti i larg[sis[ nd[rmjet ]far[do dy vendeve t[ hart[s s[ par[ me larg[sin[ nd[rmjet dyvendeve p[rkat[se t[ hart[s s[ dyt[?24 Tema 1. Ngjashmëria
    • C1 B 3. Shihe vizatimin te i cili kulmet e C trek[nd[shave ABC dhe A 1 B 1 C 1 shtrihen n[ gjysm[drejt[zat me pik[ B T O B1t[ fillimit O dhe formojn[ segmente proporcionale: AOA : OA1 = 1 : 2 ; OB : OB1 = 1 : 2 ; A1 SOC : OC1 = 1 : 2 . P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 do t[ dallojm[: kulme p[rgjegj[se, k[nde p[rgjegj[se dhe brinj[ p[rgjegj[se, etj.  kulme p[rgjegj[se jan[: A dhe A1; B dhe B1; C dhe C1;  k[nde p[rgjegj[se jan[: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1;  brinj[ p[rgjegj[se jan[: AB dhe A1B1; BC dhe B1C1; AC dhe A1C1. Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1; BC || B1C1 dhe AC || A1C1. Trego se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[, d.m.th. A = A1; B = B1 dhe C = C1. Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ proporcionale, d.m.th. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 . Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Pasi OA : OA1 = OB : OB1 , prej teorem[s s[ anasjellt[ t[ Talesit, vijon se AB || A1B1. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se BC || B1C1 dhe AC || A1C1. Pasi AB || A1B1 dhe AC || A1C1, vijon se A = A1, si k[nde me krah paralele. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se B = B1 dhe C = C1. P[rkujtohu n[ teorem[n e Talesit: n[ qoft[ se krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paralele AB dhe A1B1, at[her[ segmentet p[rgjegj[s AB dhe A1B1 jan[ proporcionale me segmentet OA dhe OA1, d.m.th. OA : OA1 = AB : A1B1 = 1 : 2 . Mund t[ tregosh se raport t[ nj[jt[ kan[ edhe brinj[t tjera p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave, etj. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 . C1 P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 tregove se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta, kurse brinj[t p[rgjegj[se i kan[ propor- C cionale. Ato mund t[ jen[ dh[n[ edhe n[ tjet[r pozit[, sikurse n[ vizatim, n[ an[n e djatht[. C1 N[ qoft[ se trek[nd[shin ABC e vizaton n[ flet[ t[ tejdukshme, mund ta A B A1 B1 C vendosish n[ hap[sir[n e ΔA 1 B 1 C 1 (sikurse n[ vizatim), ashtu q[ brinj[t p[rgjegj[se ti ken[ paralele. V[re se ΔABC dhe ΔA1B1C1 kan[ form[ t[ nj[jt[, por madh[si t[ ndryshme, d.m.th. se ato A B jan[ trek[nd[sha t[ ngjash[m.A1 B1 Trekëndëshat e ngjashëm 25
    • Mbaj mend! P[r dy trek[nd[sha thuhet se jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta dhe brinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale. P[r trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1 shkruajm[: ΔABC ∼ ΔA1B1C1. Lexohet: ΔABC [sht[ i ngjash[m me ΔA1B 1C 1. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve te trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1? Te detyra 3 v[reve se koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe 1 A1B1C1 [sht[ 1 : 2, d.m.th. . 2 Koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m (ΔABC ~ ΔA1B1C1) quhet edhe koeficienti i ngjashm[ris[. N[se shkruan ΔABC∼ΔMNP, kjo do t[ thot[ se kulmet p[rgjegj[se jan[: A dhe M, B dhe N, C dhe P. 14. Te detyra 3 v[reve se ΔABC ∼ ΔA1B1C1 edhe koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ . 2 Pse ΔA1B1C1 ∼ ΔABC dhe cili [sht[ koeficienti i ngjashm[ris[? Duhet t[ dish: n[se ΔABC ∼ ΔXYZ, at[her[ AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k dhe A = X, B = Y, C = Z; ta caktosh koeficientin e ngjashm[ris[ s[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m. Kontrollohu! P N[ vizatim: ΔABC ∼ ΔMNP. C 6 x Shkruaji: 2 3 a) brinj[t p[rgjegj[se; b) k[ndet p[rgjegj[se. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. A 4 B M y N Cakto x dhe y. Detyra 1. {sht[ dh[n[: ΔABC ∼ ΔRST. 3. N[ vizatimin ΔABC ∼ ΔPQR dhe jan[ sh[nuar Shkruaji: gjat[sit[ e brinj[ve. Cakto x dhe y. a)brinj[t p[rgjegj[se, b) k[ndet p[rgjegj[se. C R 2. Vizato dy trek[nd[sha barabrinj[s, i pari me brinj[ a = 3 cm, kurse i dyti me brinj[ 4 cm. 12 15 x 10 Trego se ato jan[ t[ ngjash[m. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. A 6 B P y Q 26 Tema 1. Ngjashmëria
    • 4. N[ vizatimin, C 5. Prej ΔABC ≅ ΔA1B1C1, a vijon se ΔABC ∼ ΔABC ∼ ΔMNC. Me ΔA 1B 1C 1? Sqaro. ]ka [sht[ e barabart[ M N 6. Le t[ jen[ M dhe N meset e brinj[ve AC dhe CB dhe MN , n[ qof- BC te trek[nd[shi ABC. Trego se ΔMNC ∼ t[ se CM= 5 ; CN = 6 ; ΔABC. AB=12 dhe CA =15 ? A B 7 KRITERI I PAR{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC dhe segmentin A 1B 1 q[ [sht[ tre her[ m[ i gjat[ se brinja Q[ t[ konstatosh se trek[nd[shat ABC dhe AB. Pastaj vizato trek[nd[sh A1B1C1 A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m duhet t[ provosh me brinj[ A1B1,B1A1C1 = A dhe A1B1C1 = k[ndet e tyre p[rgjegj[se a jan[ proporcionale B. d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 K[ndet e brendshme p[rgjegj[se t[ dhe AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 . trek[nd[shave ABC dhe A 1B 1C 1 a jan[ t[ barabart[? Pse? Krah[t e k[ndit MON jan[ prer[ me drejt[zat paralele a dhe b, ashtu q[ K[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabarta; A = A1 dhe B = B1, sipas OB : OA = OC : OD = 2 : 1 nd[rtimit; Shihi trek[nd[shat C N C = C1, pasi OAD dhe OBC, kurse D C = 180o - A + B) = pastaj: M = 180o - (A1 + B1) = C1. cakto raportin e brinj[ve O A B a b BC dhe AD; Provo me matje brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 cakto si jan[ nd[rmjet veti k[ndet p[rgjegj[se me ΔABC a jan[ proporcionale. Cakto koefi- t[ trek[nd[shave. cientin e p[rpjes[timit. A [sht[ ΔOBC ∼ ΔOAD? P[rpiqu t[ sqarosh se brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 dhe ΔABC jan[ proporcionale dhe se ΔA 1B 1C 1 ∼ ΔABC. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. N[ vizatim jan[ dh[n[ ΔABC dhe ΔA1B1C1, ashtu q[ A1B1 = 3AB ,A=A1dhe B= B1. Q[ t[ tregosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC duhet t[ provosh se a jan[ plot[suar gjasht[ k[rkesat p[r trek[nd[shat e ngjash[m, d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 dhe A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC . Trekëndëshat e ngjashëm 27
    •  Ti tregove se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ΔA1B1C1, ashtu q[: kulmi A puthitet me A1, B me B2 dhe kulmi C me C2; A puthitet me A1, B me A1B2C2 dhe C me B2C2A1. Pasi A1B2C2 = B1, vijon se B2C2 || B1C1. Sipas vizatimit, me ndihm[n e teorem[s s[ Talesit p[r segmentet proporcionale, ke treguar se A1B1 : A1B2 = A1C1 : A1C2 = B1C1 : B2C2 = 3 : 1 , d.m.th. A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC . Mund t[ p[rfundosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. V[reve se trek[nd[shat A1B1C1 dhe ABC q[ vizatove kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[ dhe ti tregove se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Prandaj, q[ t[ konstatosh se dy trek[nd[sha a jan[ t[ ngjash[m mjafton t[ provosh se ato a kan[ dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[. Mbaj mend! Dy trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ t[ barabart[ me dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r. Ky pohim quhet kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m.2. N[ vizatim [sht[ dh[n[: A = D = 30o dhe pika C [sht[ prerje e segmenteve AE dhe BD. V[rteto se ΔABC ∼ ΔDEC. C B 3. Te ΔABC [sht[ t[rhequr segmenti MN paralel me AB. Trego se α = α 1 dhe β = β 1 . α1 β1 M N V[rteto se ΔABC ∼ ΔMNC. α β V[re k[t[ gjykim. A B N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[r[n prej brinj[ve dhe i pret dy brinj[t tjera, at[her[ fitohet trek[nd[sh q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[. Krahaso k[t[ pohim me teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin. C4. Te ΔABC n[ vizatim, jan[ t[rhequr segmentet: MN || AB dhe NP || AC. M N Sa trek[nd[sha v[ren? Shkruaj cil[t trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet tyre. A P B 28 Tema 1. Ngjashmëria
    • V[re se: R }do trek[nd[sh [sht[ i ngjash[m me vet[veten. Dy trek[nd[sha t[ puthitsh[m jan[ t[ ngjash[m. C Sa [sht[ koeficienti i tyre i ngjashm[ris[?5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat k[nddrejt[ ABC dhe PQR, ashtu q[ A = P = α. α α Trego se ΔABC ∼ ΔPQR. A B P Q V[re se trek[nd[shat kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[: A = P dhe B = Q = 90o. Sipas kriterit t[ par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m vijon: Dy trek[nd[sha k[nddrejt[ jan[ t[ ngjash[m n[ qoft[ se nj[ k[nd i ngusht[ i nj[rit [sht[ i barabart[ me nj[ k[nd t[ ngusht[ t[ trek[nd[shit tjet[r. C6. Te trek[nd[shi ABC n[ vizatim [sht[ t[rhequr lart[sia CD dhe segmenti MN || AB. M S N Sa trek[nd[sha k[nddrejt[ mund t[ v[resh dhe cil[t prej tyre jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet veti? A D B7. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe PQR, te t[ cil[t k[ndet pran[ maj[s i kan[ t[ barabarta, d.m.th. C = R = α. Trego se A = P. Trego se ΔABC ∼ ΔPQR. N[ p[rgjith[si Dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndi pran[ maj[s t[ nj[rit trek[nd[sh [sht[ i barabart[ me k[ndin pran[ maj[s t[ trek[nd[shit tjet[r.8. Vizato dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe A1B1C1 me baza AB dhe A1B1 p[rkat[sisht, ku A = A1. Trego se ΔABC ∼ ΔA 1B1C1. Shprehe pohimin tjet[r p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave dybrinj[nj[sh[m. Trekëndëshat e ngjashëm 29
    • Duhet t[ dish: ta shprehish kriterin e par[ p[r ngjashm[rin[ e Kontrollohu! trek[nd[shave; D N[ skajet e segmentit cil[t kushte mjaftojn[ p[r ngjashm[rin[ e dy AB jan[ t[rhequr seg- trek[nd[shave k[nddrejt[, p[rkat[sisht dybrinj[nj[sh[m; mentet AC = 3 cm dhe s t[ konstatosh ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave; BD = 5 cm , normale A (pingule) n[ AB. N[ M B t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ]far[ raporti drejt[za s e ngjash[m. ndan segmentin AB? C Detyra1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ trek[nd[shi ABC dhe 2. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ AB = 20 , MN || AB. BC = 12 dhe CA = 16 . N[p[r pik[n M q[ C shtrihet n[ brinj[n BC [sht[ t[rhequr drejt[za paralele me AB dhe e pren[ AC n[ pik[n N. Cakto MN , n[ qoft[ se CM = 3 . M N 3. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD diagonalet AC dhe BD priten n[ pik[n S. B a) V[rteto se ΔABS ~ ΔCDS. A b) Cakto CD , n[ qoft[ se AB = 12 , AS = 6 Cakto raportin: dhe SC = 3 . a) N[ qoft[ se CM : MA = 3 : 2 , at[her[ 4. Nd[rto trek[nd[shin A1B1C1 t[ ngjash[m me CM : CA = ; ΔABC me brinj[t 4, 5, 6 n[ qoft[ se: b) N[ qoft[ se CM : MA = 7 : 3 , at[her[ a) brinj[n m[ t[ vog[l e ka 5; CN : NB = ; 3 b) koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ 4 c) N[ qoft[ se CM : CA = 3 : 4 , at[her[ 5. Cakto lart[sin[ e nj[ druri hija e t[ cilit [sht[ AB : MN = . e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht, njeriu i lart[ 1,7 m e ka hijen e gjat[ 1 m.30 Tema 1. Ngjashmëria
    • 8 KRITERI I DYT{ DHE I TRET{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC me A = 60 o brinj[ Cilat prej gjasht[ k[rkesave duhet t[ AB = 3 cm dhe AC = 2cm . Pastaj plot[sohen p[r dy trek[nd[sha ABC dhe vizato ΔA 1B 1C 1 me A1 = 60o dhe A1B1C1 q[ t[ jen[ t[ ngjash[m? Cilat jan[ kushtet e mjaftueshme, sipas kriterit brinj[ A1B1 = 3AB , A1C1 = 3AC . t[ par[ t[ trek[nd[shave, q[ t[ jet[ ΔABC ∼ Mati dhe krahasoji: B dhe B1, C ΔA1B1C1? dhe C1, BC dhe B1C1 . }ka p[rfundon? N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat sipas kushteve C1 t[ detyr[s. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ashtu q[ A puthitet me A 1 dhe ΔABC puthitet me C trek[nd[shin A 1B2C 2. C2 Cakto raportet: A1B1 : A1B2 ; A1C1 : A1C2 dhe B1C1 : B 2C2 . A B A1 B2 B1 Trego se B = B1 dhe C = C1. Pse ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Cilat elemente p[rgjegj[se t[ dy Jan[ dh[n[ nga dy brinj[ p[rgjegj[se trek[nd[shave jan[ dh[n[ dhe proporcionale dhe k[nde t[ barabart[ q[ a mjafton q[ t[ tregosh se trek[- i formojn[ ato brinj[. Kjo mjafton q[ t[ nd[shat jan[ t[ ngjash[m? tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m. V[re se si mund t[ shprehet kriteri p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i dyt[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh jan[ p[rkat[sisht proporcionale dy brinj[ t[ trek[nd[shit tjet[r dhe k[ndet q[ i formojn[ ato brinj[ jan[ t[ barabarta, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.2. Provo a jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ qoft[ se: a) BC = 20, AC = 22, C = 50o ; B1C1 = 30; A1C1 = 33, C1 = 50o . b) BC = 25, AC = 70, C = 70o ; B1C1 = 50; A1C1 = 139, C1 = 70o . C3. Te ΔABC, n[ vizatim, pika M [sht[ mesi i brinj[s AB, kurse N [sht[ mesi i brinj[s AC. N V[rteto se ΔABC ∼ ΔAMN. Trego se vija e mesme MN e ΔABC [sht[ sa gjysma e gjat[sis[ s[ brinj[s BC. A M B Trekëndëshat e ngjashëm 31
    • B 4. Vizato DABC me brinj[ AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm , kurse pastaj ΔA1B1C1 me brinj[ dy her[ m[ vogla t[ ΔABC. Mati dhe krahasoji k[ndet: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1. Cp[rfundon? A [sht[ ΔABC ~ ΔA1B1C1? Brinj[t p[rkat[se t[ dy trek[nd[- Q[ dy trek[nd[sha t[ jen[ t[ ngjash[m, shave jan[ proporcionale. A mjaf- mjafton q[ brinj[t p[rkat[se t[ jen[ ton q[ t[ konstatosh se ato jan[ t[ proporcionale, pasi at[her[ k[ndet ngjash[m ? p[rgjegj[se jan[ t[ barabart[. V[ren se mund t[ shprehet edhe nj[ kriter p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se t[ tre brinj[t e nj[rit trek[nd[sh jan[ proporcionale me brinj[t p[rkat[se te trek[nd[shi tjet[r, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.3. A jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat me brinj[t: a) 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 dhe 6,6, 8; ]) 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4,5? Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ shprehish kriterin e dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m; Brinj[t e ΔABC jan[: a = 6 cm, b = 4 cm dhe c = 3 cm. Cakto perimetrin e ΔA1B1C1 q[ [sht[ t[ konstatosh ngjashm[rin e dy trek[nd[shave i ngjash[m me ΔABC, kurse brinja e tij m[ e sipas kriterit t[ dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat vog[l [sht[ 6 cm. e ngjash[m; Provo se ΔABC dhe ΔPQR a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se: A = 55o, t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ngjash[m. AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55o, PR = 12 cm, PQ = 18 cm . Detyra 3. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 6, 5 dhe 4. Brinja1. Vizato dy trek[nd[sha ABC dhe PQR, kurse m[ e madhe e trek[nd[shit tjet[r, i ngjash[m pastaj shkruaj cilat kushte duhet ti plot[sojn[ me trek[nd[shin e dh[n[ [sht[ 9. Cakto q[ ΔABC ∼ ΔPQR sipas: perimetrin e trek[nd[shit tjet[r. a) kriterit t[ dyt[; b) kriterit t[ tret[ 4. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[2. Trego se trek[nd[shat ABC dhe EDC jan[ t[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ nga 60o ngjash[m dhe sipas cilit kriter. dhe 70o, kurse dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r B E jan[ nga 50o dhe 80o. 4 9 5. K[ndi pran[ maj[s t[ nj[ trek[nd[shi C dybrinj[nj[sh[m [sht[ 70o. K[ndi pran[ baz[s A 6 6 D t[ trek[nd[shit tjet[r dybrinj[nj[sh[m [sht[ 55 o . V[rteto se ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m. 32 Tema 1. Ngjashmëria
    • 6. Sqaro se a [sht[ ΔABC ∼ ΔMNR, n[ qoft[  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse? se: BAC = 50o, AB = 4 cm , AC = 6 cm ; Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se NMR = 50o, MN = 30 cm , MR = 45 cm . BC = 40 m, CB1 = 5 m , kurse B1A1 = 6,5 m. 7. Provo se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se brinj[t e tyre jan[: 9. Si do ta njehsosh larg[sin[ nd[rmjet pikave t[ a) 15, 17, 24 dhe 4,5; 5,1; 7,2; arritshme A dhe B, n[ teren, n[ qoft[ se nd[rmjet pikave A dhe B ka pjes[ t[ b) 22; 8,2; 20 dhe 55; 20,5; 50. paarritshme. 8. Si do ta caktosh larg[sin[ prej pik[s A deri te V[re vizatimin. pika B, n[ qoft[ se pika A [sht[ e paarritshme? V[re vizatimin.  {sht[ zgjedhur pika C N[ teren, zgjedhim dhe n[ vazhdim t[ AC dhe BC, jan[ zgjedhur pika C dhe B 1 n[ drejt[z[n e nj[jt[ pikat A1 dhe B1, ashtu me B, ashtu q[ BC = m ⋅ CB1 . q[ AC = n ⋅ CA1 dhe BC = n ⋅ CB1 . Me instrument caktojm[ k[ndin  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse? B1 t[ barabart[ me B. Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se N[ krahun e B 1 caktojm[ pik[n A1, ashtu q[ pikat A, C dhe A1 shtrihen n[ drejt[z[n e nj[jt[. AC = 10 m, CA1 = 2 m dhe A1B1 = 3,5 m . 9 RAPORTI I PERIMETRAVE DHE RAPORTI I SYPRINAVE T{ DY TREK{ND{SHAVE T{ NGJASH{M Kujtohu! A 1. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi ABC jan[ Njehso perimetrin e trek[nd[shit me brinj[: a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 12 cm. a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm. Brinja m[ e vog[l e trek[nd[shit tjet[r A1B1C1, i ngjash[m me ΔABC [sht[ a1 = 3 cm. Njehso syprin[n e trek[nd[shit me brinj[ a = 10 cm dhe lart[sin[ p[rkat[se h = 6 cm. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ s[ trek[n- d[shave. N[ qoft[ se tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ Cakto brinj[t b1 dhe c1 t[ ΔA1B1C1. barabart[, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ Cakto perimetrat e ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1. form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, p[r Krahaso raportin e perimetrave t[ trek[nd[shave a b c me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. }ka shembull: = = ,d.m.th. a : b : c = a1 : b1 : c1. a1 b1 c1 p[rfundon? P[r p[rpjes[timin vlen: a +b +c a b c = = = =k . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 Trekëndëshat e ngjashëm 33
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. T[ njohura jan[ dy brinj[ p[rgjegj[se a dhe a 1 t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m. a 6 Prandaj = = 2 , d.m.th. k = 2. a1 3 b cb 1 = c1 =k ;  b = kb ;; 8 = 2b 1  12==kc2c ; c ;1 1 1 b1 = 4 cm; c1 = 6 cm. V[re se perimetri P i ΔABC [sht[: P = 6 + 8 + 12, d.m.th. P = 26 cm, nd[rsa perimetri P1 i ΔA1B1C1 [sht[: P1 = 3 + 4 + 6, d.m.th. P1 = 13 cm. 26 6 8 12 = = = = 2 . V[reve se raporti i perimetrave t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i 13 3 4 6 barabart[ me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. Në përgjithësi vlen! P a b c N[ qoft[ se ΔABC ∼ ΔA 1B 1 C 1, at[her[    . P a1 b1 c1 1 V[rtetimi. Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 C1 a b c vijon: = = . Sipas vetis[ t[ proporcionit t[ C a1 b1 c1 b1 a1 vazhduar vijon: b a a +b +c a b c P a b c = = = , d.m.th.    . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 P a1 b1 c1 A c B A1 c1 B1 1 Mbaj mend Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ n[ raport t[ nj[jt[ me raportin e brinj[ve p[rkat[se.2. Brinj[t e DABC jan[ a = 6, b = 15 dhe c = 18, kurse ΔA 1B 1C 1 [sht[ i ngjash[m me 1 trek[nd[shin e ngjash[m me koeficientin e ngjashm[ris[ k = . Cakto perimetrin P1 t[ ΔA1B1C1. 3 CB 3. Trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ vizatim jan[ t[ C1 ngjash[m. Jan[ t[rhequr lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D1. Trego se ΔADC ∼ ΔA1D1C1. Trego se lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D 1 jan[ A D B A1 D1 B1 proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[n- d[shave. 34 Tema 1. Ngjashmëria
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. V[re se trek[nd[shat k[nddrejt[ ADC dhe A D C 1 1 1 kan[ nga nj[ k[nd t[ ngusht[, d.m.th. A = A1 (pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C 1). Mund t[ p[rfundosh se ΔADC ∼ ΔA1D1C 1. Prej k[tu vijon: CD : C1D1 = AC : A1C1 = k . CD AC AB BC Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 vijon: = = = C1D1 A1C1 A1B1 B1C1 =k . Te trek[nd[shat e ngjash[m lart[sit[ p[rgjegj[se jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se. Në përgjithësi Te dy trek[nd[sha t[ ngjash[m lart[sit[ p[rkat[se, mesoret, simetralet e k[ndeve, rrezet e rrathve t[ brendashkruar dhe jashtashkruar p[rgjegj[se kan[ raport t[ nj[jt[ me brinj[t p[rgjegj[se.4. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 16 cm dhe 24 cm, kurse nj[ra lart[si e trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 9 cm. Cakto lart[sin[ p[rgjegj[se t[ trek[nd[shit t[ dyt[. C1 V 5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat e ngjash[m C ABC dhe A1B1C1. Syprinat e tyre jan[ S dhe S1. c1 b1 Shkruaji formulat p[r syprinat S dhe S1 sipas brinj[ve c b h1 t[ dh[na dhe lart[sive p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave. h A a B A1 a1 B1 Shkruaj raport t[ barabart[ me raportin h : h1. P[rpiqu t[ hjensosh sa [sht[ i barabart[ raporti i syprinave t[ trek[nd[shave, d.m.th. S : S1. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 1 1 1 1 S ah a h S  a h S1  a1  h1  S:S 1  ah : a1h1 d.m.th    . 2 2 2 2 S1 a1h1 a1 h1 h a S a a S a2 Pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C1 vijon se = . h1 a1  Prandaj,   ;  2 . S1 a1 a1 S1 a1 S b2 S c 2 N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregohet se:  ;  S1 b12 S1 c12 . Mbaj mend Raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i barabart[ me raportin e katror[ve t[ brinj[ve t[ tyre p[rgjegj[se.6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B 1C 1 jan[ 49 cm2 dhe 36 cm 2, kurse nj[ brinj[ e ΔABC [sht[ a = 7 cm. Cakto brinj[n p[rgjegj[se a1 t[ trek[nd[shit tjet[r dhe lart[sive p[rgjegj[se h dhe h1. Trekëndëshat e ngjashëm 35
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 2 2 2 S: S 1 = a 2 : a1 ; 49 : 36 = 49 : a1 ; a1 = 36; a 1 = 6 cm. ah 2S 2  49 S 2 ;h  a h 7  14; h  14cm Prej ΔA1B1C1 cakto lart[sin[ h1, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[: S1 dhe a1. Duhet t[ dish: t[ shprehish ]far[ raporti kan[ perimetrat, kurse Kontrollohu! ]far[ raporti kan[ syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m; Brinj[t e ΔABC jan[ a = 8, b = 6 dhe c = 4, pe- ta shprehish pohimin p[r raportin e lart[sive, rimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m me ΔA1B1C1 mesoreve dhe simetralve t[ k[ndeve [sht[ 45. Cakto brinj[t e ΔA1B1C1. p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m; Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar n[ ti zbatosh n[ detyra raportet e perimetrave dhe raport 1 : 200. Cili [sht[ raporti nd[rmjet raportet e syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ syprin[s s[ trek[nd[shit nga vizatimi dhe ngjash[m. syprin[s s[ ar[s. Detyra1. Perimetri i nj[ trek[nd[shi [sht[ tre her[ m[ i 6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC madh se perimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m dhe A1B1C1 jan[ 81 dhe 25. Brinja b e ΔABC me t[. N[ qoft[ se brinja m[ e madhe e [sht[ 9. Cakto brinj[n b 1 e ΔA 1 B 1C 1 dhe trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 24 cm, sa [sht[ lart[sin[ h1 q[ [sht[ t[rhequr ndaj asaj. brinja m[ e madhe e trek[nd[shit t[ dyt[? 7. Vizato trek[nd[sh ABC dhe pastaj nd[rto2. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 8 cm, 15 cm, trek[nd[sh t[ ngjash[m me ΔA 1 B 1 C 1 9 cm, q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e syprina e t[ cilit [sht[ nj[ e kat[rta e syprin[s par[ me P1 = 96 cm. Cakto brinj[t e trek[n- s[ ΔABC. d[shit tjet[r. 8. Brinja a e ΔABC [sht[ 10, kurse lart[sia3. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m p[rkat[se [sht[ 5. Cakto brinj[n a 1 dhe q[ndrojn[ si 5 : 2, kurse shuma e brinj[ve m[ lart[sin[ p[rkat[se h1 t[ ΔA1B1C1 q[ [sht[ i t[ m[dhaja [sht[ 42 cm. Cakto gjat[sit[ e ngjash[m me ΔABC dhe e ka syprin[n 81. brinj[ve m[ t[ gjata.4. Brinj[t a, b, c, t[ nj[ trek[nd[shi ABC 9. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ q[ndrojn[ si 3 : 4 : 6. Cakto brinj[t a1, b1, c1 n[ raport 9 : 25. Cakto koeficientin e t[ ΔA1B1C1 me perimet[r P1 = 52 cm, q[ [sht[ ngjashm[ris[ t[ atyre trek[ndshave. i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[. 10. Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar5. Te ΔABC, n[ larg[si 2 cm prej brinj[s AC n[ raport 1 : 500. Syprina e trek[nd[shit n[ [sht[ t[rhequr drejt[za MN || AC. vizatim [sht[ 2,76 dm2. Cakto syprin[n e ar[s Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s AC t[ ΔABC, n[ n[ hektar[. qoft[ se AB : MB = 13 : 9 .36 Tema 1. Ngjashmëria
    • TEOREMA E PITAGOR{S 10 NGJASHM{RIA TE TREK{ND{SHI K{NDDREJT Kujtohu! A 1. Trek[nd[shi k[nddrejt ABC n[ viza- tim me lart[si CD t[ l[shuar ndaj Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, [sht[ l[shuar hipotenuz[s AB, [sht[ ndar[ n[ dy lart[sia CD ndaj hipotenuz[s AB. trek[nd[sha k[nddrejt[: ΔADC dhe ΔCDB. }far[ pozite reciproke kan[ krah[t e k[ndeve α dhe γ2? Cil[t ]ifte t[ k[n- deve t[ sh[nuara kan[ krah[ nor- male (pingule)? Sqaro pse (sipas cilit kriter) jan[ t[ ngjash[m tre- Cil[t prej k[ndeve t[ sh[nuar jan[ t[ barabart[ k[nd[shat: nd[rmjet veti? a) ΔABC ∼ ΔCBD; b) ΔABC ∼ ΔACD. Jan[ dh[n[ segmentet a = 3 cm, c = 12 cm. V[re segmentin AD te ΔABC n[ vizatim. P[r t[ Njehso mesin e tyre gjeometrik. themi se [sht[ projeksioni i katet[s AC mbi hipotenuz[n AB. Gjat[sin[ e tij do ta sh[nojm[ me q. Ngjash[m, segmenti DB quhet projeksioni i katet[s BC mbi hipotenuz[n. Gjat[sia e tij [sht[ sh[nuar me p.2. V[reji trek[nd[shat e ngjash[m k[nddrejt[ ABC dhe CBD n[ vizatim dhe gjat[sit[ e sh[nuara t[ brinj[ve t[ tyre. Cil[t brinj[ t[ ΔCBD Brinja c [sht[ hipotenuz[ te ABC, kurse brinja a jan[ p[rgje-gj[se me [sht[ hipotenuz[ te ΔCBD. Prandaj: c [sht[ p[rgjegj[s brinj[t c dhe a t[ me a; brinja a e ABC [sht[ p[rgjegj[s me p t[ ΔCBD. ΔABC? Sqaro pse AB : CB = BC : BD , d.m.th. c : a = a : p. Prej p[rpjes[timit c : a = a : p fitohet a2 = cp. C paraqet kateta a p[r hipotenuz[n c dhe projeksioni p?3. N[ vizatim te detyra 2, v[reji trek[nd[shat k[nddrejt[ t[ ngjash[m ABC dhe ACD. Shkruaji ]iftet e brinj[ve p[rgjegj[se. Sqaro pse c : b = b : q, d.m.th. b2 = cq. Shprehe me fjal[ lidhjen e katet[s b me hipotenuz[n c dhe projeksionin q t[ b mbi c. Teorema e Pitagorës 37
    • Mbaj mend! Teorema 1o }do katet[ e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dhe proeksionit t[ asaj katete mbi hipotenuz[n. a 2 = cp, a = cp  b 2 = cq, b = cq4. Te ΔABC k[nddrejt me katete a = 12 dhe b = 5 dhe hipotenuz[ c = 13, cakto proeksionet e a dhe b mbi c. B 5. Te ΔABC k[nddrejt [sht[ l[shuar lart[sia CD ndaj hipotenuz[s. Pse CAD [sht[ i barabart[ me BCD? Shihi ΔACD dhe ΔCBD n[ vizatim dhe trego se ato jan[ t[ ngjash[m. Cil[t jan[ brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔCBD p[r brinj[t q dhe h nga ΔACD? Sqaro pse q : h = h : p, d.m.th. h2 = pq. Shprehe me fjal[ lidhjen e lart[sis[ h me proeksionet p dhe q (t[ a dhe b mbi c). Mbaj mend!Teorema 2o Lart[sia h e l[shuar ndaj hipotenuz[s c n[ nj[ trek[nd[sh k[nddrejt [sht[ mesi gjeometrik i proeksioneve p dhe q t[ kateteve n[ hipotenuz[n.  h 2 = pq h = pq .6. Cakto p, n[ qoft[ se q = 4 dhe h = 6. Pohimet 1o dhe 2o, d.m.th. lidhjet a2 = cp, b2 = cq, h2 = pq, i ka v[rtetuar matematikani i vjet[r grek Euklidi (365-310 vjet. p.e.r.) dhe p[r at[ shkak ato quhen teoremat e Euklidit. 38 Tema 1. Ngjashmëria
    • Kujtohu! C 7. Vizato dy segmente m dhe n, sikurse n[ vizatim. N[ vizatim [sht[ dh[n[ gjysm[ rrethi me diamet[r AB dhe [sht[ zgjedhur pika C n[ m gjysm[ rrethin. n I cilit lloj [sht[ k[ndi ACB? Pastaj, nd[rto mesin gjeometrik t[ atyre segmenteve Si thot[ teore- (d.m.th. segmentin x, ashtu q[ x2 = m × n). ma e Talesit p[r k[ndin pe- riferik mbi dia- P[rcille m[nyr[n sikurse [sht[ treguar. metrin?  Vizato gjysm[drejt[z AT dhe barti n[ t[ segmentet m= AD dhe n=DB sikurse n[ vizatim. Nd[rto mesin O t[ segmentit AB dhe vizato gjysm[vij[n rrethin me diamet[r AB. Nd[rto normalen (pingulen) AB n[p[r pik[n D dhe sh[noje me C prerjen e saj me gjysm[ rrethin. Sipas teorem[s 2o sqaro pse segmenti i fituar x=CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve m dhe n.8. Nd[rto mesin gjeometrik x t[ segmenteve m = 2 cm dhe n = 3 cm. Duhet të dish: ti shprehish teoremat e Euklidit dhe ti zbatosh n[ detyra; t[ nd[rtosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve. Kontrollohu! Te ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proeksionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbi hipotenuz[n c. a) N[ qoft[ se c = 12 dhe p = 3, sa [sht[ a? c) N[ qoft[ se q = 2 dhe p = 8, sa [sht[ h? b) N[ qoft[ se b = 13, sa [sht[ cq? Si nd[rtohet mesi gjeometrik i dy segmenteve? (P[rshkruaje m[nyr[n.) Teorema e Pitagorës 39
    • Detyra1. N[ baz[ t[ vizatimit plot[soji an[tar[t q[ 4. Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve: mungojn[ te p[rpjes[timi: a) m = 2,5 cm dhe n = 3,5 cm; b) m = 1,5 cm dhe n = 3 cm. m ? a) = ; ? n ? x m 5. N[ kundrej ΔABC k[nddrejt [sht[ dh[n[ b) = ; x m+n y kateta a = 8 dhe proeksioni i saj p = 6,4. z Njehso hipo-tenuz[n c dhe katet[n tjet[r b. n c) x ⋅ y = (m + n) ⋅ ; x m+n y ]) = . 6. N[ k[ndrejtin ABCD [sht[ brendashkruar y ? ΔABM k[nddrejt me k[nd t[ drejt te kulmi M (si n[ vizatim).2. N[ ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proek- sionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbi hipotenuz[n c. Cakto vler[n e madh[sis[ s[ panjohur. a) p = 12, q = 3, h = ? b) a = 11, cp = ? c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ? Njehsoe syprin[n e pjes[s s[ hiesuar n[ qoft[ se CM = 9 cm dhe DM = 16 cm ..3. N[ k[nddrejtin ΔABC [sht[ dh[n[ lart[sia h=2,4 e l[shuar ndaj hipotenuz[s dhe proeksioni i katet[s b mbi hipotenuz[n, q = 7. Nd[rto katror q[ e ka syprin[n e barabart[ 1,8. me syprin[n e drejtk[nd[shit me dimensione Cakto: a = 4 cm dhe b = 3 cm. a) segmentin p; b) hipotenuz[n c; c) katet[n b; ]) katet[n a.40 Tema 1. Ngjashmëria
    • 11 TEOREMA E PITAGOR{S Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ paraqitur ΔAVS k[nddrejt me gjat[si t[ kateteve a, b Teorem[n e Pitagor[s e ke t[ njohur nga viti i dhe gjat[si t[ hipotenuz[s c. Mbi brinj[t kaluar shkollor. Ajo thot[: e tij jan[ nd[rtuar katror[ dhe syprinat e tyre jan[ Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt katrori i sh[nuar p[rkat[sisht me Sa, Sb dhe Sc . hipotenuz[s c [sht[ i barabart[ me shum[n e katror[ve t[ katetave a dhe b. D.m.th. c2 = a2 + b2 Sa [sht[ syprina e katrorit me brinj[ a = 5 cm? Shkruaje lidhjen nd[rmjet Sa, Sb dhe Sc. V[re se: Sa = a2, Sb = b2 dhe Sc = c2. Nga c2 = a2 + b2 p[rfundo se Sc = Sa + Sb. Sipas k[saj, teorema e Pitagor[s mund t[ shprehet edhe k[shtu: Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt syprina e katrorit mbi hipotenuz[ [sht[ e barabart[ me shum[n e syprinave t[ katror[ve mbi katet[, d.m.th. Sc = Sa + Sb.2. Me ndihm[n e udh[zimeve vijuese p[rpiqu ta v[rtetosh teorem[n e Pitagor[s. Vizato ΔABC k[nddrejt me C = 90o dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj hipotenuz[s. Shkruaje lidhjen nd[rmjet ]do katete me hipotenuz[n dhe proeksionit p[rkat[s, d.m.th. lidhja sipas teoremave t[ Euklidit. Cakto shum[n e shumave t[ majta dhe shumave t[ djathta t[ barazimeve. Krahaso mendimin t[nd me v[rtetimin e dh[n[. Pohimi V[rtetimi Sqarimi1. CD ⊥ AB  Lart[sia te trek[nd[shi [sht[ normal (pingul) mbi brinj[n p[rgjegj[se.2. a2 = pc, b2 = qc  Kateta [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dhe proeksionit p[rgjegj[s.3. a + b = pc + qc 2 2  Vetia mbledhja e barazimeve.4. a2 + b2 = (p + q) ⋅ c  Distributiviteti i shum[zimit n[ lidhje me mbledhjen.5. a2 + b2 = c ⋅ c, t.e. a2 + b2 = c2.  Principi i z[v[nd[simit (c = p + q). Teorema e Pitagorës 41
    • Si mund ta shprehish hipotenuz[n c me Prej c2 = a2 + b2 vijon: ndihm[n e kateteve a dhe b? c = a 2 + b 2 , a = c 2 -b2 Si do ta shprehish nj[r[n katet[ me ndihm[n e hipotenuz[s dhe katet[s tjet[r? b = c2 - a2 .3. Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt, n[ qoft[ se katetet jan[ a = 15 dhe b = 20.4. {sht[ dh[n[ hipotenuza c = 29 dhe kateta a = 20 e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt. Cakto katet[n tjet[r.5. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 10 cm. trego se vlen barazimi a2 + b2 = c2. Nd[rto ΔABC dhe me matje, bindu se ai [sht[ k[nddrejt. N[ p[rgjith[si vlen N[ qoft[ se p[r nj[ trek[nd[sh me brinj[ a, b, c vlen barazimi a2 + b2 = c2, at[her[ ai trek[nd[sh [sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[n c. Ky gjykim [sht[ teorem[, e quajtur, teorema e anasjellt[ e Pitagor[s.6. Brinj[t e ΔABC jan[: a) a = 7, b = 24, c = 25; b) c = 8, b = 10, c = 15. Provo ΔABC a [sht[ k[nddrejt. B 7. Njehso gjat[sin[ d t[ diagonales s[ drejtk[nd[shit me brinj[ a = 6 dm dhe b = 11 cm. Krahaso zgjidhjen t[nde me udh[zimin e dh[n[. D C Vizato drejtk[nd[sh ABCD dhe sh[noji brinj[t dhe diagonalen, d b sikurse n[ vizatim. V[re se ΔABC [sht[ k[nddrejt; hipotenuza e tij [sht[ diagonalja d, kurse katetet a dhe b jan[ brinj[t e drejtk[nd[shit. A a B Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔABC: d 2 = a2 + b2 = 602 + 112 = 3 600 + 121 = 3 721; d = 3721= 61 ; d = 61 cm.8. Njehso lart[sin[ h t[ ΔABC dybrinj[nj[sh[m me baz[ a = 18 dhe krah b = 41. Shqyrtoji udh[zimet dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. C Vizato ΔABC dybrinj[nj[sh[m dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj baz[s, sikurse n[ vizatim. b h a V[re se ΔADC [sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[ b dhe kateta dhe h. 2 A a D B 2 42 Tema 1. Ngjashmëria
    • 2 æaö Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔADC: b =h +ç ÷ ; 2 2 ç ÷ prej k[tu: è ÷ ç2ø 2 æaö h2 = b2 - ç ÷ = 412 - 92 = 1681 - 81 = 1 600; h= 1600 = 40 ; h = 40 cm. ç ÷ ç2÷ è ø9. Njehso perimetrin e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[n 10 dhe lart[sin[ 12. Duhet t[ dish: Kontrollohu! ta shprehish dhe ta v[rtetosh teorem[n e Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt Pitagor[s; me kateta a = 8 dhe b = 15. ta njehsosh gjat[sin[ e nj[r[s brinj[ te Njehso lart[sin[ e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m trek[nd[shi k[nddrejt, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ me baz[n 20 cm dhe krahun 26 cm. dy t[ tjerat. Detyra 1. Cakto brinj[n e panjohur te trek[nd[shi 7. Kateta e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 35 k[nddrejt me katete a dhe b, dhe hipotenuz[ cm. Shuma e hipotenuz[s dhe katet[s tjet[r c, n[ qoft[ se: [sht[ 49. Njehso hipotenuz[n c dhe katet[n a) a = 12, b = 35, c = ? tjet[r b. b) b = 56, c = 65, a = ? c) a = 25, b = 31, c = ? 8. Hipotenuza e trek[nd[shit k[nddrejt [sht[ 35 cm. Raporti i katetetve [sht[ 3 : 4. Cakto 2. A [sht[ ΔABC k[nddrejt, n[ qoft[ se brinj[t e tij jan[: katetet. a) 14, 48, 50; b) 9, 12, 17; 9. Syprinat e trek[nd[shave brinj[nj[sh[m mbi c) 5,6; 3,3; 6,5; ]) 100, 60, 80? katetet a,b dhe hipotenuz[n c nga DABC k[nddrejt jan[ sh[nuar me Sa, Sb dhe Sc.3. Cakto diagonalen e drejtk[nd[shit me brinj[ 0,28 dm dhe 0,96 dm. Trego se:4. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me diago- Sc = Sa + Sb. nale 8,5 dm dhe nj[ brinj[ 1,3 dm. Provo a vlen5. Njehso perimetrin e trek[nd[shit lidhja e k[till[, n[ dybrinj[nj[sh[m me baz[ 14 dhe lart[si 24.. qoft[ se n[ vend t[ trek[nd[shave t[6. Njehso p[raf[rsisht lart[sin[ h t[ trek[nd[shit rregullt nd[rtohen brinj[nj[sh[m me brinj[ a = 12. gjasht[k[nd[sha t[ rregullt. Teorema e Pitagorës 43
    • 1o 2mn, m2 - n2, m2 + n2, Treshet e Pitagor[s p[r ]do m, n ∈ N, m > n. Kjo nuk [sht[ e domosdoshme! Interesante [sht[ pyetja p[r treshet e numrave 2o 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; natyror[ a, b, c q[ e k[naqin barazimin p[r ]do n ∈ N fitohet nga nj[ treshe e Pitagor[s. a2 + b2 = c2, n 2 -1 n 2 +1 3o n, , , 2 2 Treshe t[ atilla jan[, p[r shembull: p[r ]do num[r tek n ∈ N, n ≥ 3. 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13 etj. 2 2 Ato quhen treshe t[ Pitagor[s. ænö æ ö 4 n, ç ÷ - 1, o ç ÷ ç n ÷ +1, ç ÷ ç2÷ è ø ç2÷ è ø Provo se me k[to shprehje fitohen treshe t[ Pitagor[s. p[r ]do num[r ]ift n ∈ N, n ≥ 4.12 DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ PITAGOR{S Kujtohu! A 1. Njehso lart[sin[ h t[ trapezitBazat e trapezit dybrinj[nj[sh[m me baza 16 cm dhedybrinj[nj[sh[m ABCD 30 cm, kurse krahu 25 cm.jan[ a = AB = 15cm dhe N[ qoft[ se nuk mundesh vet ta zgji-b = CD = 9 cm , kur- dhish detyr[n, p[rci-se DE [sht[ lart[- lli udh[zimet.sia e trapezit.  Vizato trapezNjehso x = AE . dybrinj[nj[sh[m ABCD dhePik[prerja e diagona- t[rhiqi lart[sit[ eleve te rombi EFGH n[ tij DE dhe CF.vizatim [sht[ sh[nuarme S. I cilit lloj [sht[ΔEFS? Sqaro p[rgji-  Shihe, pastaj ΔAED k[nddrejt me hipotenuz[ c = 25 cm dhe katete x dhe h.gjen t[nde.Te vija rrethore me qend[r  Shihe gjithashtu prej vizatimit se a -bO, n[ vizatim [sht[ viza- a = b + 2x, prej ku x = .tuar korda MN, kurse te 2ΔMNO [sht[ l[shuar lar-t[sia OS ndaj brinj[s MN.  Zbatoje teorem[n e Pitagor[s p[r ΔAED; do t[Si jan[ nd[rmjet veti fitoshΔMSO dhe ΔNSO? Pse? 2 æa -b÷ ö h2 = c2 - x2 = c2 - ç ç 2 ÷ ç è ÷ ø44 Tema 1. Ngjashmëria
    • Duke z[v[nd[suar c, a dhe b, do t[ fitosh: 2 æ ö 2 ç 30 - 16 ÷ = 625 - 49 = 576; h = 576 = 24; h = 24 cm. h = 25 - ç 2 ÷ ç 2 ø è ÷2. Bazat e trapezit dybrinj[nj[sh[m jan[ 30 dhe 20, kurse krahu [sht[ 13. Njehso syprin[n e trapezit.3. Cakto perimetrin e rombit ABCD me diagonale AC = 70 dhe BD = 24 . Me ]ka [sht[ i barabart[ perimetri P i rombit me brinj[ a? Si do ta njehsosh brinj[n a t[ rombit n[ qoft[ se i din[ diagonalet e tij? d1 d2 2 Te rombi ABCD n[ vizatim, prerja e diagonaleve [sht[ sh[nuar me S. 2 d1 d Shihe ΔABS. Ai [sht[ k[nddrejt (pse?) me hipotenuz[ a dhe kateta = 35 dhe 2 = 12 . 2 2 Sipas teorem[s s[ Pitagor[s: 2 2 æd ö æd ö ç ÷ ç ÷ a = ç 1 ÷ + ç 2 ÷ = 352 + 122 = 1225 + 144 = 1369; a = 1369 = 37; a = 37; P= 4 ⋅ 37 = 148. 2 ç2÷ ç 2÷ è ø è ø4. N[ rrethin me rreze r = 2 dm [sht[ t[rhequr korda MN me gjat[si t = 2,4 dm. Sa [sht[ larg[sia d e asaj korde prej qendr[s s[ rrethit? N[ qoft[ se ndihma [sht[ e domosdoshme, shqyrtoe vizatimin. t Shqyrtoje ΔMSO k[nddrejt, me hipotenuz[ r dhe katet[ d dhe , kurse 2 pastaj, sipas teorem[s s[ Pitagor[s, do t[ fitosh: 2 æt ö d 2 = r 2 - ç ÷ = 22 - 1, 22 = 4 - 1, 44 = 2, 56; d = 2, 56 = 1, 6; d = 1,6 dm. ç ÷ ç2÷ è ø B 5. Jan[ dh[n[ segmentet a dhe b (a > b) sikurse n[ vizatim. a Nd[rto segmentin x, ashtu q[: b a) x = a 2 + b 2 ; b) x = a 2 - b 2 Krahaso zgjidhjen t[nde me vizatimin e dh[n[: a) b) nd[rtohet trek[nd[sh k[nddrejt p[r: a) me katete a dhe b, kurse p[r b) me hipotenuz[ a dhe katet[ b. Teorema e Pitagorës 45
    • 6. Nd[rto segment me gjat[si n , ku n = 2, 3, 4, 5, 6, 7... Nd[rtimi [sht[ paraqitur n[ vizatim. Segment me gjat[si 2 [sht[ nd[rtuar ashtu q[ [sht[ nd[rtuar ΔOAB k[nddrejt dybrinj[nj[sh[m me katete OA = AB = 1 (cm, dm,...); hipotenuza OB e ka gjat[sin[ 2 . (Pse?) N[ qoft[ se OB = 2 meret p[r nj[ katet[, kurse segmenti BC = 1 p[r katet[n tjet[r t[ ΔOBC k[nddrejt, at[her[ hipotenuza e ΔOBC do ta ket[ gjat[sin[ 3 (Pse?). Sqaro se si jan[ nd[rtuar segmentet me gjat[si 4, 5 etj. Nd[rtimi i x = n mund t[ kryhet edhe ,,drejtp[rdrejt, duke nd[rtuar mesin gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si n dhe 1, sikurse n[ vizatim ( ) n = CD .7. Nd[rto segment me gjat[si x = a 2 + ab . Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si a dhe a + b. Duhet t[ dish: Kontrollohu! Njehso perimetrin e trapezit dybrinj[nj[sh[m ta zbatosh teorem[n e Pitagor[s p[r njehsimin me baza 30 dhe 14, kurse lart[sia 15. e gjat[sive t[ figurave t[ rrafshta gjeometrike; Brinja e nj[ rombi [sht[ a = 13 cm, kurse nj[ra diagonale [sht[ 10. Sa [sht[ diagonalja tjet[r? t[ zgjidhish detyra t[ caktuara dhe detyra t[ tjera me ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s. Sqaro se si nd[rtohet segmenti me gjat[si 3. Detyra 1. Shkalla me gjat[si 7,4 m [sht[ mb[shtetur n[ 2. Njehso: a) lart[sin[, b) syprin[n, c) diagonalen e mur ashtu q[ skaji i posht[m i shkall[s [sht[ i trapezit dybrinj[nj[sh[m, n[ qoft[ se dihen bazat larguar 2,4 m prej murit. Deri te cila lart[si ka e tij a = 42 cm, b = 24 cm dhe krahu c = 41 cm. arritur shkalla. (B[je skic[n.) 46 Tema 1. Ngjashmëria
    • 3. Diagonalet e nj[ rombi jan[ d1 = 40 dhe d2 = 50. 8. Nd[rto katror syprina e t[ cilit [sht[ e barabart[ Sa (p[raf[rsisht) [sht[ brinja a e atij rombi? me: a) shum[n, b) ndryshimin e syprinave t[ dy katror[ve t[ dh[n[.4. Syprina e trapezit barakrahas [sht[ S = 72 cm2, kurse bazat i ka t[ gjata 20 cm dhe 4 cm. Njehso perimetrin e trapezit. 9. N[ rrethin me rreze 17 cm [sht[ brenda- shkruar drejtk[nd[sh. Cakto perimetrin e atij5. Brinj[t e nj[ deltoidi jan[ t[ gjata 25 cm dhe drejtk[nd[shi n[ qoft[ se raporti i brinj[ve 52 cm t[ gjata, kurse diagonalja q[ nuk [sht[ [sht[ 15 : 8. simetrale [sht[ 40 cm. Njehso syprin[n e deltoidit.6. N[ rrethin me rreze 3,4 cm [sht[ t[rhequr 10. N[ dru q[ [sht[ n[ 8 m larg nj[ burimit kan[ korda n[ larg[si 1,6 cm prej qendr[s. Cakto hypur dy majmun[-nj[ri n[ maj[, kurse tjetri gjat[sin[ e kord[s. n[ 2 m lart tok[s. P[r t[ pir[ uj[, majmuni prej maj[s [sht[ hudhur drejt te burimi, kurse tjetri ka zbritur prej drurit dhe ka shkuar deri te burimi duke ecur. Megjithat[, t[ dy7. Nd[rto segmentin me gjat[si: a) 2; majmun[t kan[ kaluar rrug[ t[ barabarta. Sa [sht[ i lart[ druri? b) 5 ; c) a 2 + a ; ]) a 2 - ab (a > b) ku a dhe b jan[ segmenta t[ dh[n[. P[rpiqu ... nuk [sht[ e domosdoshme! Dy rrath[ takohen prej jasht[ dhe jan[ t[ vendosura brenda nj[ rrethi tjet[r. }donj[ri prej rrath[ve i takon rrath[t e tjer[, kurse qendrat e tyre O, O1, O2 shtrihen n[ drejt[z t[ nj[jt[, AB, sikurse n[ vizatim. {sht[ dh[n[ gjat[sia t (p[r shembull, t = 6 cm) e kord[s CD e rrethit t[ madh e cila [sht[ tangjent[ e p[rbashk[t e dy rrath[ve t[ vegj[l. Njehso syprin[n S t[ pjes[s s[ qarkut t[ madh q[ [sht[ jasht[ prej rrath[ve t[ vegj[l (d.m.th. t[ pjes[s s[ ngjyrosur). Teorema e Pitagorës 47
    • P U N A M E T { D H { N A 13 POPULLIMI. MOSTRAA 1. N[ nj[ fabrik[ ]okolatash ka t[ pun[suar nj[ degustator. Detyra e tij [sht[ ti provon ]okolatat dhe ta vler[son kualitetin e tyre. Mendo dhe p[rgjigju, a duhet degustatori ta provon secil[n ]okolat[? Asesi jo. Degustatori zgjedh nj[ num[r t[ caktuar t[ ]okolatave t[ cilat i provon. T[r[sia e t[ gjitha atyre elementeve, n[ k[t[ rast ]okolatave, t[ cilat jan[ objekt i studimit quhet popullim. Pjesa e zgjedhur e elementeve, n[ t[ cilat kryhet studimi quhet most[r ose zgjedhje.2. V[re shembujt p[r popullimit dhe mostr[s. Popullimi MostraNx[n[s nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[ nj[ Nga nj[ paralele nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[shkoll[ shkoll[n e njejt[Ekipe futbolli Nga tre futbollist[ nga ]do ekipT[ gjith[ nx[n[sit q[ shkojn[ n[ shkolla private p[r Nga nj[ nx[n[s nga ]do shkoll[ private p[r gjuh[ t[gjuh[ angleze huajaT[ gjith[ nx[n[sit e klas[s s[ VII n[ R. e Nga nj[ nx[n[s s[ klas[s s[ VII nga ]do shkoll[ n[Maqedonis[ q[ kan[ not[n 5 n[ matematik[ R. e Maqedonis[ q[ ka not[n 5 n[ matematik[. Shkruaj tre shembuj t[ popullimit dhe mostr[s (pjes[) nga ai populacion.3. Mendo dhe p[rgjigju. Q[ t[ kontrollohet se a d[shirojn[ nx[n[sit gjat[ koh[s s[ pushimit t[ madh tju l[shohet muzik[, ]far[ [sht[ m[ mir[: t[ pyeten t[ gjith[ nx[n[sit n[ t[ gjitha shkollat ose t[ pyetet mostra prej disa nx[n[sve nga ]do shkoll[? Arsyeto p[rgjigjen t[nde. Shpesh her[ nuk mund t[ b[het ndonj[ hulumtim, testim ose kontrollim dhe studim i gjith[ popullimit. Pse? Ajo mund t[ jet[: - shum[ shtrenjt[; - t[ zgjat[ shum[ koh[; - t[ jet[ e pamundur t[ arihet deri te ]do an[tar i popullimit (p[r shembull, numri i peshq[ve n[ Liqenin e Ohrit). 48 Tema 1. Ngjashmëria
    • 4. Shkruaj nga nj[ shkak pse [sht[ m[ mir[ t[ meret nj[ most[r n[ vend t[ popullimit t[ t[r[ p[r secil[n nga hulumtimet e m[poshtme. Emisioni televiziv m[ i shikuar n[ nj[ qytet me 50000 banor[. Kualiteti i l[ngjeve n[ nj[ nd[rrmarje. Numri mesatar i librave q[ i ka lexuar ]do banor i R. s[ Maqedonis[ n[ vitin e kaluar. Kur ka nevoj[ t[ b[het p[rfundim ose t[ deklarohet di]ka p[r t[r[ populacioninB dhe meret most[r, mostra duhet t[ jet[ reprezentativ (p[rkat[s p[r popullimin).5. V[re shembullin. P[r t[ kontrolluar se sa nx[n[sit nga shkolla e tij shfryt[zojn[ komunikacionin urban, Agoni u ndal n[ nj[ stacion autobusash dhe mblodhi t[ dh[na duke pyetur njer[zit q[ zbritnin nga nj[ autobus. T[ dh[nat q[ i mblodhi Agoni nuk jan[ adekuate pasi mostra nuk [sht[ p[rfaqsuese e p[rshtatshme. N[se Agoni ka pyetur nx[n[sit e shkoll[ s[ tij, a do t[ jet[ ekzemplari reprezentativ? Arsyeto p[rgjigjen t[nde!6. Merita ka dashur ta gjen gjat[sin[ mesatare t[ gjetheve t[ nj[ bime q[ ka pasur dy her[ m[ tep[r gjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha. Cila most[r e gjetheve q[ duhet ta zgjedh ajo [sht[ e p[rshtatshme? a) Vet[m gjethe t[ m[dha; c) Num[r t[ barabart[ t[ gjetheve t[ vogla dhe t[ m[dha; b) Vet[m gjethe t[ vogla;; ]) Dy her[ m[ tep[r gjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha; Arsyeto p[rgjigjen t[nde! Mostra p[rkat[se mund t[ zgjedhet me metod[n e zgjedhjes s[ rast[sishme dhe sistematike. Zgjedhja e rast[sishme do t[ thot[ se ]do objekt ose person nga popullimi ka gjasa t[ nj[jta q[ t[ zgjedhet. Q[ t[ zgjedhim, rast[sisht, 5 nga 30 nx[n[s n[ nj[ paralele mund ti sh[nojm[ numrat e tyre nga ditari i paraleles n[ flet[za, flet[zat ti p[rziejm[ n[ nj[ kuti dhe ti t[rheqim 5 flet[za. Ose t[ zgjedhim nj[ num[r (p[r shembull 7), dhe pastaj sistematikisht ta zgjedhim ]do t[ pestin nx[n[s: ( 7 + 5 = 12 ; 12 + 5 = 17 ; 22 ; 27 )7. Vetoni ka dashur t[ pyes[ mostr[n e nx[n[sve nga shkolla e tij p[r ate se a d[shirojn[ q[ t[ ky]et mbajtja e obligueshme e uniformave shkollore. Arsyeto pse asnj[ra nga m[nyrat e m[poshtme p[r zgjedhje t[ mostr[s nuk [sht[ e mir[: a) t[ pyet 20 personat e par[ q[ do t[ hyjn[ n[ shkoll[; b) t[ pyet nx[n[sit e paraleles s[ tij; c) t[ pyet nx[n[sit e seksionit matematikor; Punë me të dhëna 49
    • Si duhet Vetoni ta zgjedh mostr[n? V[re!Zgjedhja e mostr[s duhet t[ jet[ e rast[sishme dhe t[ jet[ e p[rb[r[ nga nx[n[sit e t[ gjitha klasave(nga klasa e I deri n[ klas[n e VIII) n[ at[ m[nyr[ p[rfundimi do t[ jet[ i drejt. Mostra Numri i p[rgjigjeve8. N[ tabel[ Vetoni i ka rregulluar t[ dh[nat nga hulumtimi p[r mbajtjen t[ obligueshme t[ uniformave shkollore. Mostra Po Jo Klasa e I 12 3 Sa nx[n[s gjithsej ka patur mostra e Vetonit? Klasa e II 10 5 N[se mostra ka qen[ 10% e popullimit, sa nx[n[s ka pasur Klasa e III 10 5 gjithsej n[ shkoll[? Klasa e IV 9 6 Cili [sht[ p[rfundimi i Vetonit p[r mbajtjen t[ obligueshme t[ uniformave shkollore? Klasa e V 7 8 Sh[no edhe nj[ p[rfundim q[ mund t[ fitohet nga t[ dh[nat n[ Klasa e VI 7 8 tabel[. Klasa e VII 2 13 Klasa e VIII 0 15 T[ dh[nat e mbledhura nga mostra dhe vlerat e fituara p[r tendenca qendroreV mund[sojn[ q[ t[ nxiren p[rfundime dhe t[ p[rgatiten informata p[r t[ gjith[ popullimin.9. V[re shembullin: N[ nj[ vendbanim ka pasur 5000 banor[ m[ t[ vjet[r se 15 T[ dh[nat e mbledhura vjet. Blendi ka dashur t[ vler[son se sa her[ brenda vitit ata shkojn[ n[ kinema.Numri vjetor i P[rgjigjet e t[ Ai p[r ekzemplar[ ka zgjedhur 50 persona dhe me filmave pyeturve telefonata ka mbledhur t[ dh[nat. T[ dh[nat e mbledhura i 0 ka paraqitur n[ tabel[ n[ kategori sipas numrit t[ filmave t[ shikuar n[ kinema. 1deri 4 5 deri 8  Blendi plot[soi tabel[n me vlera t[ frekuencave ose dendurive (num[r t[ p[rgjigjeve p[r ]do kategori). Pastaj njehsoi 9 deri 12 p[rqindjen p[r numrin e p[rgjigjeve n[ ]do kategori nga numri i p[rgjitsh[m i t[ pyeturve n[ mostr[n (50 persona). 13 e m[ tep[r 50 Tema 1. Ngjashmëria
    •  Numri vjetor i filmave P[rgjigjet e t[ pyeturve Vlera e funksionit P[rqindja  N[ fund p[rqindjet e fituara p[r 21 ekzemplarin, 0 21 ⋅ 100 = 42% Blendi i zbatoi p[r 50 t[r[ populacionin. 16 1deri 4 16 ⋅ 100 = 32% 50 5 deri 8 6 6 ⋅ 100 = 12% 50 3 9 deri 12 3 ⋅ 100 = 6% 50 13 e m[ tep[r 4 4 ⋅ 100 = 8% 50 42% nga 5000 [sht[ 2100 N[se 42% nga ekzemplari nuk shkojn[ n[ kinema, mund t[ konsiderohet se 42% nga populacioni nuk shkojn[ n[ kinema, q[ [sht[ 2100 persona. B[n p[rgjith[sim p[r populacionin p[r kategorit[ tjera (numri i filmave t[ shikuar n[ kinema-brenda vitit).10. Mimoza ka dashur t[ kontrollon se sa ndotet mjedisi jet[sor me mbeturina plastike t[ hudhura n[ oborrin shkollor gjat[ koh[s s[ pushimit t[ gjat[. Rast[sisht ka zgjedhur nj[ muaj n[ t[ cilin ka mbledhur t[ dh[na, si ekzemplar[ nga t[r[ viti shkollor. T[ dh[nat e Lloji i mbeturinave Numri mbledhura i ka paraqitur n[ tabel[.Qese plastike 137 a) Njehso nga sa mbeturina mesatarisht n[ nj[ dit[ jan[ hudhur nga secili lloj.Shishe jogurti 59 b) N[se viti shkollor ka 180 dit[, p[rdor p[rgjigjen n[n a) p[r taShishe l[ngu 72 patur parasysh numrin e ]do lloji t[ mbeturinave gjat[ vitit shkollor.Got[za pudingu 16 Duhet të dish: Kontrollohu! ]far[ [sht[ popullimi dhe ]far[ mostra; Vler[so dhe p[rgjigju a [sht[ e mir[ zgjedhja e t[ vler[sosh a [sht[ mostra e dh[n[ mostr[s: "zgjedhja e rast[sishme e 50% e p[rfaq[suese adekuate e popullimit te dh[n[; popullimit t[ emrave telefonik t[ qytetit" p[r t[ caktosh most[r q[ [sht[ adekuate p[r hulumtimin: "mendim p[r kualitetin e hulumtimin e dh[n[; komunikacionit urban n[ nj[ qytet". T[ p[rgjith[sosh p[rfundim t[ fituar nga mostra e popullimit. Arsyeto p[rgjigjen t[nde. Punë me të dhëna 51
    • DetyraA N[ tre rastet vijuese: 6. Hulumtim: Efikasiteti i medikamentit t[ ri p[r kok[dhembje. Cakto popullimin; Mostra: t[ gjith[ pacient[t e nj[ mjeku q[ kan[ Vler[so se a [sht[ adekuate m[nyra e zgjedhjes kok[dhembje t[ shpeshta. s[ mostr[s; Propozo m[nyr[ tjet[r t[ zgjedhjes s[ mostr[s. 7. Hulumtim: kualiteti i buk[s n[ nj[ furr[ buke. Mostra: ]do i nj[zeti bler[s n[ nj[ shitore ku1. Arditi ka dashur t[ zbulon se sa fitojn[ shitet buk[ nga ajo furr[. student[t q[ punojn[ n[p[rmjet organizat[s studentore. Ai shkoi n[ bibliotek[n e student[ve dhe pyeti 40 vajza.2. N[ or[n e gjeografis[ Jetoni duhet t[ d[rgon 8. N[ nj[ qytet ka 6000 familje. Jan[ zgjedhur 100 familje p[r hulumtim: cila [sht[ dita m[ n[ shkoll[ 5 lloje t[ copave t[ dheut nga e preferuar p[r treg? kopshti i tij. Ai u ndal n[ mes t[ kopshtit, hodhi monedh[ T[ dh[nat jan[ dh[n[ n[ tabel[. dhe atje ku pikoi monedha mori most[r. Dita e preferuar p[r treg3. Erona ka d[shiruar t[ hulumton se a [sht[ e Dita Frekuenca P[rqindja v[rtet[ se grat[ n[ Manastir jetojn[ m[ shum[ E h[n[ 8 se burrat. Ajo k[rkoi t[ dh[na nga Enti p[r statistik[ E mart[ 10 nga viti i kaluar. E m[rkur[ 14B N[ pes[ rastet vijuese: E enjte 2 E premte 16 cil[t nga mostrat jan[ p[rfaq[sues p[r popullimin dhe p[r hulumtimin? E shtun[ 30 Arsyeto secil[n nga p[rgjigjet e tua. E diel 12 Ska dit[ t[ pref. 84. Hulumtim: mendim p[r ate se a duhet t[ nd[rtohet kafeteri e re. Gjithsej 100 Mostra: zgjedhje e rast[sishme nga vizitor[t m[ t[ shpesht[ t[ bibliotek[s s[ qytetit. a) Cakto p[rqindjet p[r ]do dit[.5. b) P[rdor p[rqindjen nga mostra p[r ta parashikuar Hulumtim: A e b[n maqina p[r paqetimin numrin e familjeve nga i t[r[ popullimi, t[ cil[t dit[ "Smoki", me gramazh[ t[ njejt[. m[ t[ preferuar p[r treg e kan[ t[ premten. Mostra: 50 paqetat e par[ "Smoki" q[ dalin nga maqina p[r nj[ dit[. Masa e tyre [sht[ c) Sa familje n[ qytet nuk kan[ dit[ t[ preferuar matur. p[r treg?52 Tema 1. Ngjashmëria
    • M{SOVE P{R NGJASHM{RIN{ KONTROLLO NJOHURIN{ T{NDE1. Jan[ dh[n[ dy katror[, nj[ri me brinj[ 8. {sht[ dh[n[ segmenti me gjat[si 12 cm. a = 12 cm, kurse tjetri me b = 8 cm. Cakto Nd[rto trek[nd[sh me perimet[r 12 cm, raportin e: ashtu q[ brinj[t t[ q[ndrojn[ si 3:5:6. a) brinj[ve t[ tyre; b) perimetave t[ tyre; c) syprinave t[ tyre. Ndonj[ri prej atyre raporteve a jan[ t[ 9. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[ barabart[? se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ 40o dhe 60o, kurse t[ tjetrit jan[ 60o dhe 80o? Sqaro!2. Segmenti AB [sht[ i gjat[ 12 cm. Cakto gjat[sin[ nd[rmjet pik[s S t[ segmentit dhe pik[s M q[ e ndan segmentin n[ raport 10. Nj[ shtyll[ elektrike e hudh hijen e gjat[ 3 : 5. 10 m, kurse nj[koh[sisht hija e nj[ njeriu t[ gjat[ 1,5 m [sht[ e gjat[ 1,5 m. Cakto3. Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi: lart[sin[ e shtyll[s. a) x : 4 = 5 : 2; b) 3 : 2x = 1 : 6; c) 7 : 3 = 14 : (x + 2). 11. Nj[ ]ift i brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[n- d[shave t[ ngjash[m jan[: a = 15 dm dhe a1 = 6 dm, kurse lart[sia ndaj brinj[s a [sht[4. Cakto gjat[sin[ e segmentit q[ [sht[ mesi 8 cm. Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s a1. gjeometrik i segmentit me gjat[si 8 cm dhe 18 cm. 12. Dy brinj[ p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 7,5 cm dhe 10 cm. Njehso perimetrin dhe syprin[n e trek[nd[shit m[5. Vizato ]far[do segment dhe ndaje n[: t[ vog[l, n[ qoft[ se trek[nd[shi m[ i madh a) 4; b) 5; c) 7 pjes[ t[ barabarta. e ka perimetrin 60 cm dhe syprin[n 80 cm2. 13. Te trek[nd[shi k[nddrejt jan[ dh[n[6. {sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[z MN || AB proeksionet e katetave mbi hipotenuz[n, q[ e pret AC n[ M dhe BC n[ N. Cakto: p = 2 dhe q = 8. a) AC , n[se CN = 6, NB = 3 dhe MA = 4 . Cakto: c, a, b, h. b) BC , n[se AC : CM = 5 : 2 dhe CN = 14 . 14. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me brinj[ 300 dhe diagonale 340.7. Vizato k[nd SOT. Te krahu OS barti seg- 15. A [sht[ k[nddrejt trek[nd[shi q[ ka brinj[t: a) 32, 24, 40; b) 20, 40, 50; mentat OA = 3 cm dhe OB = 5 cm , kurse c) 0,7; 2,4; 2,5? n[ krahun OT - segmentat OC = 4 ,5 cm 16. Cakto perimetrin e trek[nd[shit dhe OD = 7 ,5 cm . Vizatoji drejt[zat AC dhe dybrinj[nj[sh[m me baz[ 28 dhe lart[si 48. BD. 17. Njehso brinj[n e rombit diagonalet e t[ cilit a) Provo n[ vizatim drejt[zat a jan[ paralele. jan[ 9 cm dhe 5,6 cm. b) Sqaro pse p[rgjigja yte [sht[ e drejt[. Kontrollo njohurinë tënde 53
    • 54
    • TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR BARAZIMI LINEAR SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEARE1. Barazia, barazimi, identiteti 56 ME NJ{ T{ PANJOHUR2. Llojet e barazimeve 59 12. Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve3. Zgjidhja e barazimit. Barazimet ekuivalente 62 lineare me nj[ t[ panjohur 1004. Teoremat p[r barazimet ekuivalente-1 665. Teoremat p[r barazimet ekuivalente-2 70 FUNKSIONET LINEARE6. Forma e p[rgjithshme e barazimit linear 13. Funksioni linear 104 me nj[ t[ panjohur 74 14. Paraqitja grafike e funksionit linear 1077. Zbatimi i barazimit linear me nj[ t[ 15. Pozita reciproke e grafik[ve t[ disa panjohur 78 funksioneve lineare 111 16. Vijimi i funksionit linear 114 JOBARAZIMET LINEARE ME 17. Zgjidhja grafike e barazimeve lineare NJ{ T{ PANJOHUR me nj[ t[ panjohur 1178. Koncepti p[r jobarazi dhe jobarazim 83 18. Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes 1209. Zgjidhja e jobarazimit. Intervalet 87 Provo njohurin[ t[nde 12510. Teoremat p[r jobarazimet ekuivalente 9211. Zgjidhja e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur 98
    • BARAZIMET LINEARE 1 BARAZIA, BARAZIMI, IDENTITETI Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ barazit[: Dy shprehje t[ lidhura me shenj[n ,,=" a) 3 ⋅ 2 - 11 = 2 - 7; (baraz) formojn[ barazi. b) 3x - 1 = 2x + 5; Barazi jan[, p[r shembull: 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 ⋅ 2 = 7 + 10; c) x + 2y = 8; 2x - 3 = x + 1; x2 - y2 = (x - y)(x + y). ]) 15 - 6 : 2 = 4 ⋅ 2 - 5. Shkruaj barazi me t[ cilin [sht[ shprehur: a) vetia komutative e mbledhjes n[ Q; b) vetia e shp[rndarjes e shum[zimit n[ lidhje Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe e me mbledhjen n[ Q. djatht[ jan[ shprehje numerike? Shkruaj barazi ku 4x2 - 4x [sht[ ana e majt[, Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe e kurse x - 6 [sht[ ana e djatht[ e barazis[. djatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore? V[re dhe mbaj mend Te barazit[ a) dhe ]) ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike. Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike quhen barazi numerike. Te barazit[ b) dhe c) ana e majt[ dhe e djatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore. Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore, quhen barazi me ndryshore. Ndryshoret ndryshojn[ n[ bashk[sin[ R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si. P[r barazin[ numerike thuhet se [sht[ e sakt[, n[ qoft[ se vlera e shprehjes n[ an[n e majt[ [sht[ e barabart[ me vler[n e shprehjes t[ an[s s[ djatht[. Cil[t prej shprehjeve numerike a) dhe ]) jan[ t[ sakta?2. Shkruaj sakt[sisht barazi te e cila ana e majt[ [sht[: a) 3 + 2 ⋅ 7; b) 5 - (9 + 2).3. Cakto cila prej k[tyre barazive jan[ barazi me ndryshore. a) 7 - 10 : 2 = 4 ⋅ 3 - 10; b) 3x + 2 - x = 8; c) 3x - 5 = x + 3; ]) 5 ⋅ 2 + 1 = 9 : 3 + 8. 56 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Bashk[sia te e cila ndryshoret marrin vlerat quhet bashk[sia e p[rkufizimit dhe shpesh her[ sh[nohet me D. Barazia me nj[ ndryshore, n[ rastin e p[rgjithsh[m do ta sh[nojm[ me A(x) = B(x), x ∈ D, ku A(x) dhe B(x) jan[ shprehje me ndryshore x, e p[rkufizuar n[ D. M[ tutje, n[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit at[her[ do t[ n[nkuptojm[ se ajo [sht[ bashk[sia e numrave real[ R.4. Jan[ dh[n[ barazit[ me ndryshore: a) 3x - 7 = x + 1, x ∈ N; b) x + y = 2 + 3y; c) 5x - 2 = x - 6, x ∈ Z; ]) x2 - 4x = x - 5 Em[rtoji ndryshoret, dhe pastaj edhe bashk[sin[ e p[rkufizimit t[ secilit prej atyre barazive. Te cil[t prej barazive t[ dh[na n[nkuptojm[ se bashk[sia e p[rkufizimit [sht[ bashk[sia R? Mbaj mend Barazit[ me ndryshore quhen barazime. Ndryshoret te barazimet quhen t[ panjohura.5. Cil[t prej barasive t[ dh[na jan[ barazime? Theksoji t[ panjohurat te ato. a) 4 ⋅ 5 - 11 = 3 ⋅ 3; b) x - y = 5; c) 3x - 8 = x + 2; ]) 12 : 2 - 1 = 2 ⋅ 3 - 1. B 6. Jan[ dh[n[ barazimet: 2x - 3 = x - 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 dhe x+4=x-3 me bashk[sin[ e nj[jt[ t[ p[rkufizimit D = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3}. V[re n[ tabel[ p[r cil[n vler[ t[ x -2 -1 0 1 2 3 ndryshores x barazimi kalon n[ ba- rasi numerike t[ sakt[. 2x - 3 = x - 1 J J J J S J x2 + 3 = 4x J J J S J S Provo a [sht[ plot[suar sakt[ tabela 3(x + 2) = 3x + 6 S S S S S S p[r secilin barazim dhe ]do vler[ t[ dh[na t[ x. x+4=x-3 J J J J J J S - e sakt[; J - jo e sakt[ Prej tabel[s v[re se: barazimi 2x - 3 = x - 1 kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 2; barazimi 2 x + 3 = 4x kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 1 dhe x = 3; barazimi 3(x + 2) = 3x + 6 kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r t[ gjitha vlerat e x nga D; barazimi x+4=x-3 nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ x nga D. Barazimi linear 57
    • Mbaj mend! Barazimi q[ kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r ]do vler[ t[ x ∈ D quhet identitet. Barazimi i cili nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ ndryshores nga fusha e p[rkufizimit quhet barazim i pamundsh[m ose barazim kund[rth[n[s.7. N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ p[rfundosh se barazimi 3(x + 2) = 3x + 6, x∈R [sht[ identitet?8. Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ identitete: a) x + 5 = 5 + x, x ∈ R; b) (x-1) (x+1) = x2 - 1, x ∈ Z; c) 2x - 3 = x - 1?9. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s: 1 1 a) 2x - 1 = x + 2; b) 3 - x = 5 - x; c) x + = x- . 2 2 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ p[rkufizosh barazim dhe bashk[sin[ e p[rkufizimit t[ barazimit; }[sht[ paraqitur me sh[nimin t[ p[rkufizosh identitet; 5x - 3 = x + 2, x ∈ Z? t[ p[rkufizosh barazimin kund[rth[n[s. N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ konstatosh se barazimi x + 8 = 8 + x [sht[ identitet? Detyra1. Cakto cil[t prej k[tyre barazive jan[ t[ sakt[: 4. Provo a [sht[ identitet ndonj[ra prej bara- a) 3 + 2 × 4 = 20 : 5 + 7; zimeve x2 + 6 = 5x dhe 5(x - 1) = 5x - 5 n[ t[ b) 3x + 1 = 2x - 1 p[r x = 2; nj[jt[n bashk[si t[ p[rkufizimit D = {-1, 0, 1, 2, 3}. c) x - 3 = 2x + 1 p[r x = -4. 5. Provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ barazime kund[rth[n[se:2. Cil[t prej k[tyre barazive jan[ barazime: a) 2x - 3 = 2x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3}; a) 15 ⋅ 1 - 4 = 8 + 3; b) x2 - 1 = x2 + 4, x ∈ {-1, 0, 1, 2}; b) 4x - 5 = 3x - 2; c) 3x - 4 = x + 2, x ∈ {2, 3, 4, 5}. c) x2 - 3 = 4x. 6. Cakto vler[n e a, ashtu q[ p[r x = 3 barazimi3. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} barazimi ax - 2 = 2x + 1 t[ kalon n[ barazi t[ sakt[ 2x - 3 = x - 1 kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. numerike? 58 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 2 LLOJET E BARAZIMEVE Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ barazimet: Ti m[sove se ][sht[ barazimi. P[r shembull, 3x - 2 = 2x + 1; 3x - y = y + 2; barazime jan[: 5x - 2y = 3z -4. 3x - 2 = x + 4; x + 2y + 1 = x + y; x + 2y - z = 4. Cakto numrin e t[ panjohurave te ]donj[ra prej barazimeve t[ dh[na. Em[rtoji t[ panjohurat te ]donj[ri prej tyre. V[ren se: barazimi 3x - 2 = 2x + 1 ka vet[m nj[ t[ panjohur x, barazimi 3x - y = y + 2 ka dy t[ panjohura x dhe y, kurse barazimi 5x - 2y = 3z - 4 ka tri t[ panjohura x, y dhe z. V[reve se disa barazime kan[ nj[ t[ panjohur, disa dy t[ panjohura, disa tre t[ panjohura e me rradh[. Sipas numrit t[ panjohurave, barazimet mund t[ jen[: barazime me nj[ t[ panjohur, barazime me dy t[ panjohura, barazime me tri t[ panjohura e me rradh[.2. Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prej k[tyre barazimeve: 2x - 3y = 5 - 2x; 3x - 7 + 2x = 1 + x + 3x?3. Shkruaj nj[ barazim me t[ panjohurat x dhe y. Kujtohu! B 4. Cakto te cil[t prej shprehjeve nga ana e majt[ dhe nga ana e djatht[ t[ bara- Shkalla m[ e lart[ e ndryshores te nj[ polinom zimit e panjohura ka shkall[ m[ t[ lart[. quhet shkalla e polinomit. a) 2x + 3 = 5x - 2; b) x2 - 2x = 5x + 8; Cakto shkall[n e polinomit t[ ]donj[rit prej c) 2x3 - x2 = 5 + x. polinom[ve: a) x2 - 2x + 3; b) x3 + x2y2 - x2. Barazimi 2x + 3 = 5x - 2 [sht[ shkruar me shprehjet: 2x, 3, 5x dhe -2. Ato jan[ an[tar[ t[ barazimit. Barazimi An[tari me shkall[ m[ t[ Shkalla e an[tarit V[re n[ tabel[ lart[ t[ panjohur[s an[tar[t e ba- 1 2x + 3 = 5x - 2 i shkall[s s[ par[ 2x dhe 5x razimeve me shkall[ m[ t[ 2 x2 - 2x = 5x + 8 i shkall[s s[ dyt[ x2 lart[. 3 2x3 - x2 = 5 + x 2x3 i shkall[s s[ tret[ Barazimi linear 59
    • V[reve se te disa barazime an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n jan[ t[ shkall[s s[ par[, te t[ tjerat ka t[ pakt[n nj[ an[tar te i cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ dyt[, te i treti ka t[ pakt[n nj[ an[tar te i cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ tret[ etj. Mbaj mend! Sipas shkall[s m[ t[ lart[ t[ panjohur[s, barazimet mund t[ jen[: barazime t[ shkall[s s[ par[ ose barazime lineare, barazime t[ shkall[s s[ dyt[ ose barazime katrore, barazime t[ shkall[s s[ tret[ ose barazime kubike e me rradh[.5. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej barazimeve t[ dh[na: 2x + y - 7 = 5; x3 - 2x2 = 5x + 8; x2 + 7 = 2x; x2y - 3x = 5y - 2. C 6. Jan[ dh[n[ barazimet a) 2x - 1 = 3; b) 3x + 5y = 4; c) 3x2 - 1 = 6x; ]) 8x - 3 = x + 2. Cakto cili prej tyre [sht[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[. V[reve se barazimet 2x - 1 = 3 dhe 8x - 3 = x + 2 jan[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[. N[ p[rgjith[si, barazime me nj[ t[ panjohur t[ shkall[s s[ par[ quhen barazime lineare me nj[ t[ panjohur.7. Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ barazim linear me nj[ t[ panjohur: a) 5x2 - 2 = 3x; b) 2x - 3 = 5 - x; c) 5x + y = 7?8. Jan[ dh[n[ barazimet lineare me nj[ t[ panjohur x: 1 a) 8 - 2x = x + ; b) ax + 5 = x; c) ax + b = 0; ]) x - 1 = 3x. 2 P[r ]far[ dallohen barazimet a) dhe ]) prej barazimeve b) dhe c)? V[reve se, duke mos marrun parasysh t[ panjohur[n, t[ gjith[ an[tar[t e barazimeve a) dhe ]) p[rmbajn[ vet[m numra real[, kurse disa an[tar[ t[ barazimeve b) dhe c) p[rmbajn[ edhe numra t[ p[rgjithsh[m. N[ p[rgjith[si, barazime te t[ cilat an[tar[t p[rmbajn[ numra t[ p[rgjithsh[m (parametra) quhen barazime me parametra ose barazime parametrike. 60 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 9. Cilat prej barazimeve me t[ panjohur[n x [sht[ barazim me paramet[r: 1 a) ax + 2 = 5x; b) x + 3 = 0; c) x - 6 = p? 2 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ dallosh dhe t[ em[rtosh barazime: : sipas numrit t[ t[ panjohurave; I cilit lloj [sht[ barazimi 5x - xy = 2x - 3 sipas: sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s; t[ dallosh barazim linear me nj[ t[ panjohur  numrit t[ t[ panjohurave; me paramet[r ose pa paramet[r.  shkall[s? Detyra 1. Cakto me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prej 4. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ bara- barazimeve: zim linear. a) x + y + z = 2x + 8; a) x + 2y = 7 + 2x; b) xy2 + y = 3 + 5x; b) 3x - 15 = 7 - 2x; c) 3x - 1 = x + 5. c) 10 xy - 12y = 10 + x. 2. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej 5. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ barazimeve: barazim linear me nj[ t[ panjohur. a) x + x = 5 - x; 3 2 a) 2x - 1 + y = 5x + 3; b) 3xy - 5 = 2x + y; b) x2 - 2x + 1 = 0; c) x + 3 = 3x - 5. c) 3x - 2 = 5 + x; ]) 3x - 7 + 2x = 11 - x. 3. Cilat prej barazimeve me qe vijojn[ t[ panjohura x ose y jan[ me parametra: a) ax + 2y = 5 - x; b) 3x2 + 1 = 2x; c) ax + c = by + 3; ]) 5x - 7 = 2x - 5? Barazimi linear 61
    • 3 ZGJIDHJA E BARAZIMIT. BARAZIMET EKUIVALENTE Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 2 = 2x + 1, me bashk[sin[ e p[rkufizimit Shprehja me ndryshore kalon n[ shprehje D = {-3, -2, 2, 3}. numerike n[ qoft[ se ndryshorja z[v[nd[sohet me ndonj[ num[r. Paraqite barazimin n[ barazi numerike p[r ]do Paraqite n[ shprehje numerike shprehjen me x ∈ D. ndryshore x2 + 2x - 1 p[r x = 2. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D barazimi kalon n[ barazi Njehso vler[n numerike t[ shprehjes t[ sakt[ numerike? a2 - 2a + 5, p[r a = -3. Krahaso zgjidhjen t[nde sipas t[ dh[nave n[ tabel[. Barazimi x Barazia numerike Sakt[ - S Jo e sakt[ - J -3 3 ⋅ (-3) - 2 = 2 ⋅ (-3) + 1 J -2 3 ⋅ (-2) - 2 = 2 ⋅ (-2) + 1 J 3x - 2 = 2x + 1 2 3⋅2-2=2⋅2+1 J 3 3⋅3-2=2⋅3+1 S Prej tabel[s mund t[ v[resh se barazimi 3x - 2 = 2x + 1 kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike, p[rkat[sisht ana e majt[ dhe e djatht[ ka vlera numerike t[ barabarta vet[m p[r x = 3. Mbaj mend!}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje oserr[nja e barazimit.2. Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7}.3. Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3}. Te detyra 2 dhe 3 mund t[ v[resh se zgjidhja e barazimit 12 - 2x = x - 3 [sht[ 5, kurse zgjidhje t[ barazimit x2 + 6 = 5x jan[ 2 dhe 3. 62 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • V[re dhe mbaj mend! T[ zgjidhet nj[ barazim dometh[n[ t[ caktohen t[ gjitha zgjidhjet e tij. T[ gjitha zgjidhjet e nj[ barazimi formojn[ bashk[si e cila quhet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij barazimi. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ nj[ barazimi shpesh her[ sh[nohet me M. P[r shembull, bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7} [sht[ M = {5}, kurse p[r barazimin x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3} [sht[ M = {2, 3}.4. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit, p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}: a) 4x - 1 = x + 5; b) x2 + 3 = 4x. B 5. Cakto bashk[sin[ e barazimit 3(x - 2) = 3x - 6, n[ qoft[ se D={-2, -1, 0, 1, 2}. V[re prej tabel[s bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit 3(x - 2) = 3x - 6. x -2 -1 0 1 2 Barazi 3(-2-2)=3⋅(-2)-6 3(-1- 2)=3⋅(-1)-6 3(0-2)=3⋅(0)-6 3(1-2)=3⋅1-6 3(2-2)=3⋅2-6 numerike Sakt[ - S S S S S S Jo e sakt[ - J V[reve se p[r ]do x ∈ D, barazimi kalon n[ barazi t[ Ky barazim quhet sakt[ numerike. Si quhet ky barazim? identitet. N[ p[rgjith[si, identitet [sht[ barazimi p[r t[ cilin ]do vler[ nga fush[s s[ p[rkufizimit D [sht[ zgjidhje e tij, d.m.th. M = D.6. Provo se barazimi 2x - 2 = 2(x - 1), x ∈ {0, 1, 2, 3} a [sht[ identitet.7. {sht[ dh[n[ barazimi x + 5 = x - 4 dhe D = {-2, -1, 0, 1, 2}. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D ky barazim kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike? }ka p[rfundon? Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[.. x -2 -1 0 1 2 Barazi -2 + 5 = -2 - 4 -1 + 5 = -1 - 4 0+5=0-4 1+5=1-4 2+5=2-4 numerike Sakt[ - S J J J J J Jo e sakt[ - J Barazimi linear 63
    • Dometh[n[ nuk ekziston num[r x ∈ D i cili [sht[ zgjidhje e barazimit x + 5 = x - 4, d.m.th. M = ∅. N[ p[rgjith[, barazimi, bashk[sia e zgjidhjeve t[ s[ cil[s [sht[ bashk[sia e zbraz[t, [sht[ barazim i pamundsh[m, d.m.th. barazim kund[rth[n[s.8. Cil[t prej k[tyre barazimeve me D = {1, 2, 3, 4} jan[ t[ pamundshme a) x + 3 = 7 + x; b) 2x + 1 = 7; c) 3 + 2x = 2x - 5; ]) 3x - 1 = 2x + 1?9. Provo barazimin x + 7 = 4 a ka zgjidhje n[ bashk[sin[ a) N; b) Q. N[ bashk[sin[ N a ka num[r i mbledhur me 7 q[ e jep shum[n 4? A ka num[r t[ atill[ n[ bashk[sin[ Q?N[ bashk[sin[ N nuk ekziston num[r i mbledhur me 7 i cili jep shum[n 4, d.m.th. barazimix + 7 = 4 nuk ka zgjidhje n[ bashk[sin[ N.N[ bashk[sin[ Q zgjidhja e barazimit x + 7 = 4 [sht[ x = -3, pasi-3 + 7 = 4 [sht[ barazi e sakt[. Mbaj mend Ekzistojn[ barazime t[ cilat n[ nj[ bashk[si kan[ zgjidhje, kurse n[ tjetr[n nuk kan[ zgjidhje, d.m.th. jan[ t[ pamundshme. C 10. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej barazimeve: 2x - 1 = x + 1, x2 + 2 = 3x dhe 4x - 3 = 2x + 1, n[ qoft[ se bashk[sia e p[rkufizimit t[ ]donj[rit prej tyre [sht[ D = {0, 1, 2, 3}. Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[. V[re cilat vlera t[ x jan[ zgjidhje t[ barazimeve. x 0 1 2 3 Barazimi 2x - 1 = x + 1 2⋅0-1≠0+1 2⋅1-1≠1+1 2⋅2-1=2+1 2⋅3-1≠3+1 x2 - 2 = 3x 02 + 2 ≠ 3 ⋅ 0 12 + 2 = 3 ⋅ 1 22 + 2 = 3 ⋅ 2 32 + 2 ≠ 3 ⋅ 3 4x - 3 = 2x + 1 4 ⋅ 0 - 3 ≠ 2 ⋅ 0 + 1 4 ⋅ 1 - 3 ≠ 2 ⋅ 1 + 1 4 ⋅ 2 - 3 = 2 ⋅ 2 + 1 4 ⋅ 3 - 3 ≠ 2 ⋅ 3 + 1 Cil[t prej k[tyre bara- Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit zimeve t[ dh[na kan[ 2x - 1 = x + 1 [sht[ {2}, t[ barazimit x2 + 2 = 3x bashk[si t[ zgjidhjeve [sht[ {1, 2} dhe t[ barazimit 4x - 3 = 2x + 1 [sht[ t[ barabarta? {2}. Barazimet: 2x - 1 = x + 1 dhe 4x - 3 = 2x + 1 kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta. 64 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Dy barazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit dhe q[ kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta quhen barazime ekuivalente.11. Cakto cil[t prej bashk[sive t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ A = {0, 1, 2, 3} jan[ ekuivalente: a) 3x - 1 = x + 1; b) x2 - 2 = x; c) (x - 1)(x - 2) = 0; ]) 4x - 2 = x + 1. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ provosh se numri i dh[n[ a [sht[ zgjidhje e Jan[ dh[n[ barazimet: 2x + 1 = 3x - 1 dhe barazimit; x + 5 = 3x + 1. t[ p[rkufizosh cil[t barazime jan[ ekuivalente. Provo se ndonj[ri prej k[tyre barazimeve a [sht[ ekuivalent me barazimin 3x + 2 = 4x, n[ bash- k[sin[ A = {1, 2, 3, 4}. Detyra1. Cakto cili prej k[tyre pohimeve [sht[ i sakt[. 4. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit (x - 1)(x - 2) = 0, x ∈ {0, 1, 2, 3}, [sht[ {1, 2}. a) Numri -2 [sht[ zgjidhje e barazimit Cili prej k[tyre barazimeve: 3x - 1 = x + 2. a) 3x - 2 = 2x - 1; b) x2 + 1 = 3x - 1; b) Numri 4 [sht[ zgjidhje e barazimit 2y - 1 = y + 3. c) 2x + 1 = 3x - 1 c) Numri 0 [sht[ zgjidhje e barazimit [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[? 2x - 3 = x - 3. 5. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i2. P[r cil[n vler[ t[ parametrit a, numri 3 [sht[ pamundsh[m n[ bashk[sin[ Z. zgjidhje e barazimit 2x - 1 = a? a) 2x + 7 = 3; b) x + 5 = x - 2; c) x - 4 = -x.3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit t[ barazimeve t[ dh[na, n[ qoft[ se bashk[sin[ 6. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamu- e p[rkufizimit e kan[ A= {2, 3, 4}. ndsh[m n[ bashk[sin[ N, por ka zgjidhje n[ bashk[sin[ Z: a) 4x - 1 = 3x + 1; b) x + 3 = 2x; a) x + 5 = 2; b) 2x - 1 = 3; c) 8 - x = 9? c) 2x - 3 = x + 1. Barazimi linear 65
    • 4 TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 1 Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 1 = x + 5, x ∈ {1, 2, 3, 4} = D, zgjidhja e t[ cilit Dy barazime jan[ ekuivalente n[ qoft[ se [sht[ numri 3, dhe M = {3}. bashk[sit[ e zgjidhjeve jan[ t[ barabarta. Provo a jan[ barazime ekuivalente, n[ bash- N[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ bara- k[sin[ e p[rkufizimit zimit shtoje: a) 4; b) -2; c) 2x. D ∈ {1, 2, 3, 4} barazimet: Provo barazimet e fituara a jan[ ekuiva- 2x - 1 = x + 2 dhe x + 4 = 2x + 1. lente me barazimin e dh[n[.. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Barazimi Barazia numerike p[r x = 3 Zgjidhja e barazimit 3x - 1 = x + 5 3 ⋅ 3 - 1 = 3 + 5; 8=8 Numri 3 a) 3x - 1 + 4 = x + 5 + 4 3 ⋅ 3 - 1 + 4 = 3 + 5 + 4; 12 = 12 Numri 3 b) 3x - 1 - 2 = x + 5 - 2 3 ⋅ 3 - 1 - 2 = 3 + 5 - 2; 6 = 6 Numri 3 v) 3x - 1 + 2x = x + 5 + 2x 3 ⋅ 3 - 1 + 2 ⋅ 3 = 3 + 5 + 2 ⋅ 3; 14 = 14 Numri 3 Provo se barazimet a), b) dhe c) nuk kan[ zgjidhje tjet[r n[ bashk[sin[ D, p[rve] numrin 3. Prej tabel[s v[reve se te shtimin e numrit t[ nj[jt[ (4 ose -2) ose shprehje me ndryshoren (2x) n[ t[ dy an[t e barazimit 3x - 1 = x + 5 fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund t[ shprehet edhe kjo teorem[ p[r shtimin e numrit ose shprehjes s[ nj[jt[ n[ t[ dy an[t e barazimit. Teorema 1  N[se an[s s[ majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit A(x) = B(x) i shtohet numri i nj[jt[ c ∈ R ose shprehja C(x) me ndryshore x, q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimit t[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. Shkruajm[: A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Shenj[n ⇔ e lexojm[ ,,[sht[ ekuivalente me". 66 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Nuk [sht[ e domosdoshme... Shqyrto v[rtetimin e teorem[s. Barazimi i dh[n[ A(x) = B(x) me bashk[sin[ e p[rkufizimit D dhe shprehja C(x) e p[rcaktuar p[r ]do x ∈ D. Duhet t[ v[rtetohet se: A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Q[ ta v[rtetojm[ teorem[n duhet t[ tregosh se A(x) = B(x) dhe A(x) + C(x) = B(x) + C(x) kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve, d.m.th. a) ]do zgjidhje e A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) dhe b) ]do zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e A(x) = B(x). a) Le t[ jet[ xo ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. A(xo) = B(xo) [sht[ barazi e sakt[ numerike. Pasi C(xo) [sht[ num[r real vijon se barazia e dh[n[ A(xo) + C(xo) = B(xo) + C(xo) [sht[ barazi numerike e sakt[. (Pse?) Prandaj, xo [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazi- mit A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x). b) Le t[ jet[ x1 ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th. A(x1) + C(x1) = B(x1) + C(x1) [sht[ barazi numerike e sakt[. N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e k[saj barazie e shtojm[ numrin e kund[rt[ t[ C(x1), do t[ fitojm[ barazi numerike t[ sakt[ A(x1) = B(x1). Prandaj, x1 [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazi- mit A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x).2. Sipas T1 provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente: a) 3x + 1 = 5x - 3 dhe 3x + 1 + 7 = 5x - 3 + 7; b) 5y - 2 = 3y + 4 dhe 5y - 2 - 5 = 3y + 4 + 5; c) 4x - 1 = 3x - 2 dhe 4x + 5x - 1 = 3x + 5x - 2. B Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformime ekuivalente t[ barazimeve. Nj[ barazim mund ta transformosh n[ barazim t[ r[ndomt[ e q[ [sht[, ekuivalent me t[.3. {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 5 = 2x + 1. Shtoje shprehjen 5 - 2x n[ t[ dy an[t e barazimit. Silli n[ form[n normale shprehjet n[ t[ dy an[t e barazimit. V[re se ]far[ ka ndodhur me 2x dhe -5 te barazimi i fituar. Me ]ka [sht[ e barabart[ shuma e Shuma e numrave t[ kund[rt, por numrave t[ kund[rt[, p[rkat[sisht t[ gjithashtu, edhe t[ monom[ve t[ monom[ve t[ kund[rt? kund[rt [sht[ zero. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 3x - 5 = 2x + 1 ⇔ 3x - 5 + 5 - 2x = 2x + 1 + 5 - 2x ⇔ 3x - 2x = 1 + 5 ⇔ x = 6. Barazimi linear 67
    • V[reve se me transformimin sipas T1, nga barazimi i dh[n[ 3x - 5 = 2x + 1 e fitove barazimin x = 6, ekuivalent me t[. Prej barazimit x = 6 mund t[ lexohet zgjidhja, d.m.th. numri 6 [sht[ zgjidhja e barazimit t[ dh[n[. Barazimi x = a (a ∈ R), prej t[ cilit mund t[ lexohet zgjidhja, quhet barazim n[ form[n e zgjidhur. V[ren se n[ barazimin 3x - 2x = 1 + 5 monomi 2x [sht[ bartur prej an[s s[ djatht[ n[ an[n e majt[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (-2x), kurse numri -5 prej an[s s[ majt[ [sht[ bart n[ an[n e djatht[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (+5). At[ q[ e v[reve p[r barazimet ekuivalente 3x - 5 = 2x + 1 dhe 3x - 2x = 1 + 5 vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet dhe njihet si rrjedhimi 1 nga T1. Ajo thot[:  }do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ t[ barazimit n[ an[n tjet[r, por me shenj[ t[ kund[rt. P14. Te barazimi 4x - 1 + x = 7 + 3x - 2 an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n barti n[ an[n e majt[ t[ barazimit, kurse ato q[ nuk e p[rmbajn[ t[ panjohur[n i bart n[ an[n e djatht[ t[ barazimit.5. Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente: a) x + 3 = 2x - 1 dhe x - 2x = -1 - 3; b) 2x + 5 = 4x + 1 dhe 2x - 4x = 1 - 5; c) 3x + 1 = 2x + 3 dhe 3x + 2x = 3 + 1?6. Zgjidhe barazimin 4x - 8 = 3x - 10, e pastaj provo zgjidhjen. Si do t[ veprosh n[ fillim gjat[ S[ pari do ta zbatoj pasoj[n 1 nga zgjidhjes s[ detyr[s? teorema 1.. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 4x - 8 = 3x - 10 ⇔ 4x - 3x = -10 + 8 ⇔ x = -2; M = {-2}. Prova: 4 ⋅ (-2) - 8 = 3 ⋅ (-2) - 10; -8 - 8 = -6 - 10; -16 = -16.7. Zgjidhe barazimin: 1 1 a) 5x - 7 = 4x + 2; b) 3x - 4 = 2 + 2x; c) x - 1 = 2 - x. 2 2 C 8. {sht[ dh[n[ barazimi 4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5. V[re se a ka an[tar t[ barabart[ n[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit. Eleminoji an[tar[t e barabart[ nga t[ dy an[t e barazimit dhe provo se barazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 68 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Barazimi i dh[n[ Barazimi i fituar 4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5 4x - 2 = 3x - 5⇔ 4x + 2x - 2x - 3x = 1 - 1 + 2 - 5 ⇔ 4x - 3x = 2 - 5⇔ 4x - 3x = 2 - 5 ⇔ x = -3⇔ x = -3 M = {-3} M = {-3} V[ren se n[ qoft[ se prej barazimit i eleminon an[tar[t e barabart[ (2x, p[rkat[sisht -1), q[ gjenden n[ an[ e kund[rta t[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. At[ q[ e v[reve vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet dhe njihet si pasoja 2 nga teorema 1. Ajo thot[:  N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e barazimit ka an[tar[ t[ barabart[, at[her[ ato mund t[ eleminohen P2 (t[ fshihen).9. Te barazimi 3x - 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x eleminoji an[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ e mundshme, q[ t[ fitosh barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[, dhe pastaj zgjidhe barazimin e dh[n[. Duhet t[ dish: Kontrollohu! ta shprehish teorem[n 1 p[r barazimet ekuivalente; Te barazimi 7x - 3 + 5x = 5 + 2x - 3 grupoi ta shprehish dhe ta zbatosh n[ detyra an[tar[t q[ p[rmbajn[ t[ panjohur[n n[ an[n e rrjedhimin 1 t[ teorem[s 1; majt[, kurse an[tar[t tjer[ n[ an[n e djatht[ nga barazimi. ta shprehish dhe ta zbatosh rrjedhimin 2 t[ Trego me transformacione ekuivalente se: teorem[s 1. 3x - 2 + x = 4 + x - 2 + x ⇔ 2x = 4. Detyra 5. Cakto m, ashtu q[ t[ jet[ e sakt[ ekuivalenca: 3x - 1 = 2x - 3 ⇔ 3x - 1 + 5x = 2x - 3 + m. 1. {sht[ dh[n[ barazimi 2x - 3 = x + 1. Shtoje 3x n[ t[ dy an[t e barazimit. 6. Konstato a jan[ ekuivalente k[to dy barazime: Provo barazimi i fituar a [sht[ barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. a) 2x - 1 = x + 3 dhe 2x - 1 + 5 = x + 3 + 5; 2. Sqaro ekuivalenc[n: b) 4x - 1 = 2x + 5 dhe 4x - 2x = 5 + 1; 7x - 3 = 5x + 1 ⇔ 7x - 3 + 2x = 5x + 1 + 2x. c) 3x - 2 = 2x + 1 dhe 3x + 2x = 1 - 2. 3. Te barazimi 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 eliminoji Sqaro p[rgjigjen. an[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ i mundsh[m, q[ t[ fitosh barazim ekuivalent me barazimin e 7. Zgjidhe barazimin: dh[n[. a) 3 - 7x = 2 - 8x; 3 1 4. Me transformacione ekuivalente trego se: b) x + 1 + 2x = 5 + 2x - x. 4 4 3x - 2 + x = 5 + 2x - 3 ⇔ 2x = 4. Barazimi linear 69
    • 5 TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 2 Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ barazimi 2x - 3 = x - 1. Te prodhimi i dh[n[, shum[zuesi i panjohur Zgjidhe barazimin. caktohet, n[ qoft[ se prodhimi pjes[tohet me Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me: shum[zuesin e njohur. a) 2; b) -4. Zgjidhi barazimet: Provo barazimet e fituara a jan[ 1 3 ekuivalente me barazimin e dh[n[. a) 2x = 4; b) x = 3; c) x = 3x. 2 4 Si do t[ provosh se barazimi i dh[n[ Cakto SHVP(4, 5, 10). a [sht[ ekuivalent me barazimin e fituar? Njehso: 3 2 7 1 1 1 Do ti zgjidh barazimet me ndihm[n + + ; + + . 4 5 10 2 3 6 e rrjedhimit 1 nga T1, e pastaj do ti kra-hasoj bashk[sit[ e tyre t[ zgjidhjeve. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Barazimi i dh[n[ Barazimi i fituar a) Barazimi i fituar b) 2x - 3 = x - 1 2x - 3 = x - 1 / ⋅ (2) 2x - 3 = x - 1 / ⋅ (-4)⇔ 2x - x = - 1 + 3 ⇔ 2x ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 = x ⋅ 2 - 1 ⋅ 2 ⇔ 2x ⋅ (-4) - 3 ⋅ (-4) = x ⋅ (-4) - 1 ⋅ (-4)⇔ x=2 ⇔ 4x - 2x = -2 + 6 ⇔ -8x + 12 = -4x + 4 M = {2} ⇔ 2x = 4 ⇔ 12 - 4 = -4x + 8x 4 ⇔ 8 = 4x ⇔ x= ⇔ x=2 2 8 ⇔ x= ⇔ x=2 M = {2} 4 M = {2} V[reve se barazimi i dh[n[ dhe barazimet e fituara kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve. }far[ transformime T[ dy an[t e barazimeve i shum[zova me 2, kryeve te barazimi p[rkat[sisht me -4 dhe fitova barazime 2x - 3 = x - 1 dhe ]far[ ekuivalente me barazimin e dh[n[. barazime fitove? Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim teorem[n p[r shum[zim, p[rkat[sisht pjes[timi i barazimeve me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros. 70 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Teorema 2 N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit A(x) = B(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[ nj[jt[ a ≠ 0, at[her[ fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.  A(x) = B(x) ⇔ A(x) ⋅ a = B(x) ⋅ a.2. Konstato me ndihm[n e T2 a jan[ ekuivalente k[to barazime: a) 5x + 3 = 2x + 9 dhe 10x + 6 = 4x + 18; c) 2x - 3 = x - 1 dhe 2x - 3 = 5x - 5; b) 8x - 12 = 4 + 4x dhe 2x - 3 = 1 + x; ]) 3x - 1 = 2x + 1 dhe -6x + 2 = -4x - 2.3. Zgjidhi barazimet: a) 3 - 12x = -3x - 15; b) -8x + 4 = 12 - 4x. V[re m[nyr[n a). 3 - 12x = -3x - 15 ⇔ -12x + 3x = -15 - 3  Sipas P1 nga T1. ⇔ -9x = -18 / :(-9)  Sipas T2. ⇔ x = 2; M = {2}. B 4. {sht[ dh[n[ barazimi 5x - 2 = 3x + 4. Zgjidhe barazimin. Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me -1. Pse barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[? Trego se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin x = 3. V[re barazimin e dh[n[ dhe barazimin e fituar. 5x - 2 = 3x + 4  Barazimi i dh[n[ 5x - 2 = 3x + 4 / ⋅(-1) ⇔ 5x ⋅ (-1) - 2 ⋅ (-1) = 3x ⋅ (-1) + 4 ⋅ (-1)  Sipas T2. ⇔ -5x + 2 = -3x - 4  Barazimi i fituar T[ dy an[t e barazimit 5x - 2 = 3x + 4 Barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me i shum[zojm[ me -1. }ka v[ren te barazimin e dh[n[ sipas T2. barazimi i fituar -5x + 2 = -3x - 4? An[tar[t e barazimit t[ dh[n[ dhe barazimit t[ fituar jan[ me shenja t[ kund[rta. Barazimi linear 71
    • Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim k[t[ rrjedhimt[ T2.  N[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit shum[zohen me -1, at[her[ fitohet barazim ekuivalent P1 me barazimin e dh[n[, d.m.th. n[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit z[v[nd[sohen me an[tar[t e tyre t[ kund[rt, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.5. Zgjidhi barazimet: a) 2x - 1 = 3x - 5; b) 4x + 2 = 5x - 1; Krahaso zgjidhjen t[nde a). 2x - 1 = 3x - 5 ⇔ 2x - 3x = -5 + 1 ⇔ -x = -4 / ⋅ ( - 1) ⇔ x = 4; M = {4}. x - 1 3 x -1 x - 96. Barazimin + = transformoe n[ barazim pa em[ruesa. 2 4 3 Sa [sht[ SHVP(2, 4, 3)? SHVP(2, 4, 3) = 12. T[ dy an[t e Si do t[ lirohesh prej em[ruesave barazimit do ti shum[zoj me 12 dhe te barazimi? do t[ fitoj barazim pa em[ruesa. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. x -1 3 x + 1 x - 9 2 + 4 = 3  SHVP (2, 3, 4) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12. x -1 3x +1 x -9 T[ dy an[t e barazimit shum[zohen me ⇔ 12 ⋅ + 12 ⋅ = 12 ⋅ 2 4 3  SHVP(2, 3, 4), d.m.th. me 12 ⇔ 6(x - 1) + 3(3x + 1) = 4(x - 9)  Thjeshtimi i em[ruesave me 12. ⇔ 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36  Lirimi prej kllapave. Trego se barazimi 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36 [sht[ ekuivalent me barazimin x = -3. x -1 3 x + 1 x - 9 V[ren se shum[zimi i an[tar[ve t[ barazimit + = me shum[fishin m[ t[ vog[l t[ 2 4 3 p[rbashk[t fitohet barazim pa em[ruesa 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36, ekuivalent me barazimin e dh[n[. x -1 3 x + 1 x - 9 At[ q[ e v[reve p[r barazimin + = vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta 2 4 3 shprehim k[t[ pasoj[ nga teorema 2.  N[ qoft[ se disa an[tar[ t[ barazimit kan[ em[ruesa, at[her[ prej em[ruesave mund t[ lirohemi P2 me shum[zimin e t[ dy an[ve t[ barazimit me shum[fishin m[ t[ vog[l t[ p[rbashk[t. 72 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 2 x -1 x + 17. Lirohu prej em[ruesave t[ barazimit = , e pastaj zgjidhe. 5 4 Duhet t[ dish: Kontrollohu! ta shprehish teorem[n 2 p[r barazimet Zgjidhe barazimin: ekuivalente; a) 5x - 3 = 3x - 1; b) 6x - 1 = 7x. ti shprehish rrjedhimet nga teorema 2; Lirohu prej em[ruesave te barazimi ti zbatosh pasojat nga teorema 2 n[ zgjidhjen 3 x -1 x + 2 x + 2 - = dhe trego se ai [sht[ e detyrave 4 3 6 ekuivalent me barazimin x = 5. Detyra1. Te barazimi 3 - x = 7 - 3x t[ dy an[t shum[- 5. Lirohu prej em[rues[ve te barazimet dhe zoi me -2. zgjidhi. Trego, sipas zgjidhjeve, se barazimi i fituar x +1 x + 2 x + 3 a) + = ; [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. 2 5 10 2x - 3 x + 3 x - 3 b) - = . 3 6 22. Te barazimi 12x - 9 + 3x = 9x + 3 t[ dy an[t pjes[toi me 3 dhe trego se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. 6. Duke i shfryt[zuar teoremat p[r barazimet (Krahasoji zgjidhjet e tyre.) ekuivalente dhe rrjedhimet e tyre, trego se: x -1 x + 1 2x + =  x=3.3. A jan[ ekuivalente t[ dy barazimet e dh[na? 2 4 3 Sqaro p[rgjigjen t[nde. a) 3x - 1 = x + 3 dhe 6x + 2 = 2x + 6; b) -2x + 3 = -3x + 5 dhe 2x - 3 = 3x - 5; c) 4x - 1 = 3x + 2 dhe 4x + 1 = 3x + 2. P[rpiqu...4. Te barazimi 2x - 3 = 3x - 5 z[v[nd[soi t[ Nj[ shishe me kapak kushton 11 denar[, gjith[ an[tar[t me an[tar[t e tyre t[ kund[rt nd[rsa vet[m shishja (pa kapak) [sht[ 10 dhe provo sipas zgjidhjeve se barazimi i fituar denar[ m[ shtrenjt[ se kapaku. Sa kushton [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. shishja dhe sa kapaku? Barazimi linear 73
    • 6 FORMA E P{RGJITHSHME E BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ barazimi 4x - 5 = 2x - 1. Te shprehja ax + b me ndryshore x, a dhe b jan[ koeficient[. T[ gjith[ an[tar[t e barazimit barti n[ an[n e djatht[ dhe pastaj kryeji operacionet. Cakto koeficient[t te shprehja me ndryshore 1 Barazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me x: a) 2x - 5; b) ax + . 2 barazimin e dh[n[? Pse? Sipas P1 nga T1 p[r barazimet ekuivalente, ]do Cil[t rrjedhime p[r barazime an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s ekuivalente mund ti zbatosh te kjo an[ n[ an[n tjet[r t[ barazimit, por me shenj[ detyr[? t[ kund[rt. A jan[ ekuivalente barazimet: a) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x - 2x = 1 + 3; Sipas rrjedhimit 1 p[r barazimet ekuiva-lente, an[tar[t nga ana e majt[ b) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x + 2x = 1 - 3? e barazimit do ti bart n[ an[n e Sqaro p[rgjigjen. djatht[, por me shenj[ t[ kund[rt. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 4x - 5 = 2x - 1 ⇔ 4x - 5 - 2x + 1 = 0 ⇔ 2x - 4 = 0. Barazimi 2x - 4 = 0 [sht[ ekuivalent me barazimin 4x - 5 = 2x - 1. P[r barazimin 2x - 4 = 0 thuhet se [sht[ forma normale e barazimit 4x - 5 = 2x - 1. Mbaj mend! Barazimi ax + b = 0 quhet forma e p[rgjithshme ose normale e barazimit linear me nj[ t[ panjohur, ku x [sht[ e panjohura, a [sht[ koeficient para t[ panjohur[s dhe b an[tari i lir[.2. Shkruaje n[ form[n normale k[t[ barazim 2x - 3 = x - 1. Kujtohu! B 3. {sht[ dh[n[ barazimi ax + b = 0, me Cila prej k[tyre shprehjeve nuk ka vler[: t[ panjohur[n x dhe koeficienta a dhe b, ku a ≠ 0. 5 ⋅ 2 - 10 7-3 a) ; b) ? Cakto zgjidhjen e atij barazimi. 7-3 5 ⋅ 2 - 10 Sqaro p[rgjigjen t[nde. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[ 5 b P[r cil[n vler[ t[ a shprehja nuk ka ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = - , d.m.th. a -3  a vler[? b Cakto zgjidhjen e barazimit - [sht[ zgjidhje e barazimit ax + b = 0, p[r 2x - 6 = 0. a a ≠ 0. 74 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • b Her[si - , p[r a ≠ 0, [sht[ gjithmon[ nj[vler[sisht i p[rcaktuar, prandaj barazimi ax + b = 0 ka a b b vet[m nj[ zgjidhje x= - , d.m.th. M = {- }. a a4. Cakto zgjidhjen e secili prej k[tyre barazimeve: a) 3x - 6 = 0; b) x + 3 = 0; c) 3x + 1 = 0.5. Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 4 (b ≠ 0). Cakto zgjidhjen e atij barazimi. V[re me cilin nu- Pasi a = 0 dhe b = 4, barazimi e ka form[n m[r duhet ta pje- s[tosh barazimin. 0 ⋅ x + 4 = 0, prej ku 0 ⋅ x = -4. Me zero nuk pjes[tohet. 4 Shprehja - nuk ka vler[ dhe barazimi nuk ka zgjidhje. 0 V[re se N[ rastin kur te barazimi ax + b = 0, [sht[ dh[n[ a = 0 dhe b ≠ 0, barazimi nuk ka zgjidhje, p[rkat[sisht M = ∅. P[r barazimin e atill[ thuhet se [sht[ i pamundsh[m ose kund[rth[n[s.6. Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s: a) 3x + 1 = 0; b) 0 × x - 2 = 0; c) 3x = 0?7. Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 0. Shkruaje at[ barazim. Transformoe barazimin e fituar n[ form[n ax = -b. 1 Provo se -2; 5; ; x = 3,5 a jan[ zgjidhje t[ barazimit t[ transformuar 0 ⋅ x = 0. 2 1 V[re se -2; 5; dhe 3,5 jan[ zgjidhje t[ barazimit 0 ⋅ x = 0. 2 Cakto zgjidhje tjet[r t[ k[tij barazimi. Me se [sht[ i barabart[ prodhimi i zeros dhe ]far[do numri real? Pse [sht[ do num[r real zgjidhje e barazimit 0 ⋅ x = 0? V[reve se Barazimi ax + b = 0, p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, dhe M = R. Barazimet lineare 75
    • Mbaj mend! Barazimi linear ax + b = 0: b b  a) p[r a ≠ 0 ka zgjidhje t[ vetme x = - dhe M = { - }. a a  b) p[r a = 0 dhe b ≠ 0 nuk ka zgjidhje, d.m.th. M = ∅ .  c) p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, ku M = R.8. Shkruaj vlera p[r a dhe b ashtu q[ barazimi ax + b = 0 t[: a) ket[ vet[m nj[ zgjidhje b) mos ket[ zgjidhje; c) ket[ pafund shum[ zgjidhje. C 9. Zgjidhe barazimin 5x - 7 + x = 1 + 2x. S[ pari do ti barti t[ gjith[ an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ Si do t[ veprosh gjat[ panjohur[n n[ an[n e majt[ t[ barazimit, kurse ato q[ zgjidhjes s[ barazi- nuk e p[rmbajn[ - n[ an[n e djatht[. Pastaj barazimin mit t[ dh[n[? do ta sjell[ n[ form[n ax = -b dhe do ta zgjidh bara- zimin. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 5x - 7 + x = 1 + 2x ⇔ 5x + x - 2x = 1 + 7  Zbatimi i P nga T . 1 1 ⇔ 4x = 8  Sjellja e shprehjeve nga t[ dy an[t e barazimit. 8 ⇔ x= 4  Zbatimi i T ; t[ dy an[t e barazimit jan[ pjes[tuar me 4. 2 ⇔ x=2Dometh[n[, zgjidhja e barazimit 5x - 7 + x = 1 + 2x [sht[ 2, d.m.th. M = {2}.10. Zgjidhe barazimin 5x - 1 - x = x + 4 - 2x.11. Zgjidhe barazimin 3(x - 1) + x = 2x - 2 - (x - 5). Lirohu prej kllapave. Vepro si te zgjidhja e detyr[s 9.12. 2 x - 3 3 x - 4 1- 14 x Zgjidhe barazimin - = . 5 3 15 76 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • T[ dy an[t e barazimit do ti shum[- Si do ta sjellish barazimin e dh[n[ zoj me SHVP(5, 3, 15) = 15, kurse n[ barazim pa em[rues, ekuivalent pastaj do t[ vazhdoj si te detyra me barazimin e dh[n[? paraprake! Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 2 x - 3 3 x - 4 1- 14 x - = /⋅ 15 5 3 15 ⇔ 3(2x - 3) - 5(3x - 4) = 1 - 14x  Sipas P nga T . 2 2 ⇔ 6x - 9 - 15x + 20 = 1 - 14x  {sht[ kryer lirimi prej kllapave. ⇔ 6x - 15x + 14x = 1 + 9 - 20  Sipas P nga T . 1 1 ⇔ 5x = -10  Sjellja e t[ dy an[ve t[ barazimit. 10 ⇔ x=- 5  Sipas T . 2 ⇔ x = -2.Dometh[n[, zgjidhje e detyr[s s[ dh[n[ [sht[ -2, d.m.th. M={-2}. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ sjellish barazimin linear n[ form[n e p[rgjithshme (normale); Sille n[ form[n normale k[t[ barazim 3x + 1 = 2x - 2 - x. t[ zgjidhish barazim linear me nj[ t[ panjohur; 3 x -1 x x+6 t[ caktosh zgjidhje t[ barazimit Zgjidhe barazimin - = 4 3 6 ax + b = 0 p[r: a) a ≠ 0; b) a = 0, b ≠ 0; c) a = 0, b = 0. Detyra 1. Silli n[ form[n normale k[to barazime: 3. Zgjidhi barazimet: a) 3x + 1 = x + 5; b) 3x - 5 = x + 1. a) 3x - 5 + 2x = 7 + x - 4; b) 1,4x + 2,8 = 0,7x + 4,2; 1 1 1 1 1 c) x- - x = - x. 2. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamun- 2 4 4 2 4 dsh[m: a) 3x = 0; b) 5x = -1; c) 0 ⋅ x = 4? 4. P[r cil[n vler[ t[ panjohur[s x shprehjet: 2x - 8 dhe 1 - x kan[ t[ nj[jt[n vler[ nume- rike? Barazimet lineare 77
    • 5. Zgjidhi barazimet: Trik me domino... a) 5(x + 3) = 2(x + 3); b) 2(x + 1) - 3(x - 1) = 4(x + 1) + 1; c) 5(x - 1) - 2(x + 1) = 3(x - 2) - (x - 5). Fto shokun t[nd t[ zgjedh (ose t[ vizaton) nj[ domino, kurse ti t[ mos dish cila [sht[ ajo.6. Zgjidhi barazimet: Pastaj, urdh[roi ti kryej me radh[ k[to ope- 4 + x x - 4 x -1 racione: a) + = ; 6 2 3 Nj[rin prej numrave shum[zoe me 2. x - 3 x +1 x - 5 x - 4 b) - = - 4 6 2 3 Shtoe numrin 6.7. Zgjidhi barazimet: Shum[zoe me 5. a) (x - 1)2 - 2 = x(x - 3) + 2; Shtoe numrin tjet[r nga dominoja. b) (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2; Zbrite numrin 30. c) (x - 2)(x + 2) + 2x = x2 + 2. Trego numrin q[ fitove.8. P[r cil[n vler[ t[ parametrit a barazimi Ti q[llon! Shifrat e rezulltatit t[ fituar jan[ 8x - 3a - 5 = 2a + 5x - 16 e ka zgjidhjen x = 3? numrat e dominos s[ zgjedhur. Sqaro trikun matematikisht.. 7 ZBATIMI I BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu! A 1. N[na tani [sht[ tre her[ m[ e vjet[r se vajza. Pas 10 vjet n[na do t[ jet[ dy Gjot[ t[ m[suarit t[ matemtik[s shpesh her[ her[ m[ e vjet[r se vajza. Sa vjet ka has detyra te t[ cilat var[sit[ nd[rmjet tani n[na dhe sa vajza? madh[sive jan[ t[ p[rshkruara me fjal[, n[ gjuh[n ,,e t[ folurit". ,,P[rkthimi" i atyre var[sive n[ gjuh[n matematike shpesh her[ V[re se cil[t madh[si dhe raporte kryhet n[p[rmjet barazimit. nd[rmjet tyre jan[ t[ njohura, kurse cilat t[ panjohura. V[reje at[ te kjo detyr[: Dihet se n[na tani [sht[ tre her[ m[ e N[na dhe djali s[ bashku kan[ 32 vjet. N[na vjet[r se vajza, kurse pas 10 vjet n[na [sht[ p[r 20 vjet m[ e vjet[r se djali. Sa vjet ka n[na, dhe sa djali? do t[ jet[ dy her[ m[ e vjet[r se vajza. Nuk dihet sa vjet ka vajza dhe sa n[na.78 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • N[ qoft[ se numrin e viteve t[ N[ qoft[ se vitet e vajz[s jan[ x, vajz[s e sh[nojm[ me x, at[her[ se at[her[ n[na tani ka 3x vjet. Pas 10 si do ta sh[nosh numrin e viteve t[ vjet vajza do t[ ket[ (x + 10) vjet, n[n[s? Sa vjet do t[ ket[ selila prej kurse n[na (3x + 10) vjet. tyre pas 10 vjet? V[re n[ tabel[ se cilat jan[ var[sit[ nd[rmjet madh[sive dhe si [sht[ formuar barazimi. sa vjet do t[ sa vjet ka tani barazimi ket[ pas 10 vjet vajza x x + 10 3x + 10 = 2(x + 10) n[na 3x 3x + 10 Zgjidhe barazimin 3x + 10 = 2(x + 10). Sa vjet ka vajza? Sa vjet ka n[na? Zgjidhja e barazimit [sht[ 10.2. N[na tani ka 36 vjet, kurse vajza e saj 10 vjet. Pas sa vjet n[na do t[ jet[ tre her[ m[ e vjet[r se vajza? B Detyrat me tekst zgjidhen me sukses n[ qoft[ se punohet me plan t[ caktuar. V[reje at[ n[ k[t[ detyr[.3. N[ provimin kontrollues me shkrim arsimtari u ka dh[n[ nx[n[sve 15 detyra. P[r ]do detyr[ t[ zgjidhur sakt[ nx[n[si ka fituar 5 pik[, kurse p[r detyr[n e zgjidhur gabimisht ka humbur 2 pik[. Sa detyra ka zgjidhur nx[n[si i cili n[ fund ka fituar 54 pik[?1.  T[ kuptuarit e detyr[s }ka [sht[ e njohur Dihet se nx[n[si ka pasur 15 detyra, p[r ]do detyr[ t[ zgjidhur ai ka fituar nga 5 pik[, kurse p[r detry[n te detyra, kurse ]ka pazgjidhur ka humbur 2 pik[. N[ fund nx[n[si ka fituar [sht[ e panjohur? 54 pik[. Nuk dihet sa detyra ka zgjidhur nx[n[si.2.  T[ sh[nuarit e madh[sive t[ panjohura Sh[no numrin e detyrave t[ zgji- N[ qoft[ se numri i detyrave t[ zgji- dhura me x. Si do ta sh[nosh numrin dhura [sht[ x, at[her[ numri i detyra- e detyrave t[ pazgjidhura? ve t[ pazgjidhura [sht[ 15 - x. Barazimet lineare 79
    • 3.  T[ v[rejturit e lidhjeve nd[rmjet madh[sive Sa pik[ ka fituar nx[n[si, Nx[n[si ka fituar 5x pik[ (x detyra nga 5 pik[), kurse sa pik[ ka humbur? kurse ka humbur 2 (15 - x) pik[ (15 - x detyra nga 2 pik[) dhe ka fituar 54 pik[.4.  Formimi i barazimit Cili barazim prej lidhjeve t[ v[rejtura Prej lidhjes nd[rmjet madh[sive nd[rmjet madh[sive fitohet? vijon barazimi 5x - 2(15 - x) = 54. V[re m[nyrat paraprake n[ tabel[. Detyra Numri i Numri i pik[ve Barazimi detyrave sipas detyrave Gjithsej 15 Detyrat e x 5x 5x - 2(15 - x) = 54 zgjidhura Detyrat e pazgjidhura 15 - x 2(15 - x)5.  T[ zgjidhurit e detyr[s V[re t[ zgjidhurit e detyr[s: 5x - 2(15 - x) = 54. 84 5x - 2(15 - x) = 54 ⇔ 5x - 30 + 2x = 54 ⇔ 5x + 2x = 54 + 30 ⇔ 7x = 84 ⇔ x = , d.m.th. 7 x = 12.6.  P[rgjigje p[r pyetjen e parashtruar dhe prova }ka tregon zgjidhja e barazimit? N[ qoft[ se x = 12, kjo do t[ thot[ se nx[n[si ka zgjidhur sakt[sisht 12 detyra, kurse nuk ka zgjidhur 15 - 12 = 3 detyra. B[je prov[n e zgji- 12 detyra nga 5 pik[ [sht[ 60 pik[. 3 detyra nga 2 dhjes. pik[ [sht[ 6 pik[. 60 - 6 = 54 pik[. Dometh[n[, zgjidhja e detyr[s [sht[ e sakt[.4. N[ nj[ shitore ka 22 automobil[ dhe moto]ikleta. Ato gjithsej kan[ 74 rrota. Sa automjete jan[ automobila, kurse sa moto]ikleta?5. Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m krahu [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza, kurse perimetri i tij [sht[ 25 cm. Cakto baz[n dhe krahun e atij trek[nd[shi. 80 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • V[re sh[nimin e shkurt[r t[ planit p[r zgjidhjen e k[saj detyre.1. Krahu b [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza a, kurse perimetri [sht[ 25 cm.2. N[ qoft[ se baza a = x, at[her[ b = x + 2.3. a + 2b = P.4. x + 2(x + 2) = 25. 215. x + 2(x + 2) = 25 ⇔ x + 2x + 4 = 25 ⇔ x + 2x = 25 - 4 ⇔ 3x = 21 ⇔ x = ⇔ x = 7. 3 Dometh[n[, baza a = 7 cm, kurse krahu b = 7 + 2 = 9 cm.6. Prova: P = a + 2b; P = 7 + 2 ⋅ 9; P = 25 cm. V[re var[sin[ nd[rmjet Madh[sit[ Shenjat e madh[sive Barazimi madh[sive n[ k[t[ Baza a=x detyr[ te tabela. Krahu b = a + 2; b = x + 2; x + 2(x + 2) = 25 Perimetri P = 25 cm; P = 2a + b; P = x + 2(x + 2)6. Gjat[sia a e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cm m[ e gjat[ se gjer[sia b, kurse perimetri i tij [sht[ 34 cm. Cakto gjat[sin[ dhe gjer[sin[ e atij drejtk[nd[shi.7. Prej vendit A nga vendi B nisen nj[koh[sisht dy bi]ikletist[. I pari l[viz me shpejt[si 16 km/or[, kurse tjetri me shpejt[si 12 km/or[. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B, n[ qoft[ se bi]ikletisti i par[ arrin 1 or[ m[ her[t se i dyti. V[re var[sin[ nd[rmjet madh[sive n[ k[t[ detyr[ te tabela. Shpejt[sia Koha Rruga Barazimi Bi]ikletisti i par[ 16 km/or[ x or[ AB = 16 ⋅ x 16x = 12(x + 1) Bi]ikletisti i dyt[ 12 km/or[ x + 1or[ AB = 12 ⋅ (x + 1) Zgjidhe barazimin dhe cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B. B[je prov[n e zgjidhjes s[ barazimit. Duhet t[ dish: Kontrollohu! ti zbatosh barazimet gjat[ zgjidhjes s[ detyrave N[ nj[ trek[nd[sh nj[ra prej brinj[ve [sht[ p[r tekstuale; 2 cm m[ e madhe se tjetra, kurse p[r 1 cm m[ e vog[l se e treta. t[ kryejsh prov[n e zgjidhjes s[ fituar. Cakto brinj[t e trek[nd[shit, n[ qoft[ se perimetri i tij [sht[ 43 cm. Barazimet lineare 81
    • Detyra1. N[ qoft[ se ndonj[ numri i shtohet numri 12 8. Nj[ pun[tor vet mund ta kryen nj[ pun[ p[r 6 dhe shuma e fituar shum[zohet me 5, at[her[ or[, kurse tjetri p[r 12 or[. P[r sa or[ t[ dy do fitohet numri 200. Cili [sht[ ai num[r? ta kryejn[ t[ nj[jt[n pun[?2. Shuma e dy numrave [sht[ 180. Numri i par[ [sht[ p[r 36 m[ i vog[l se i dyti. Cil[t jan[ 9. Nj[ pishin[ mbushet prej dy gypave. Nga gypi ato numra? i par[ pishina mbushet p[r 4 or[, kurse nga i dyti p[r 6 or[. P[r sa or[ do t[ mbushet pishina3. Ndryshimi i dy numrave [sht[ 46. Kur numri e zbraz[t, n[ qoft[ se n[ t[ nj[koh[sisht hapen m[ i madh do t[ pjes[tohet me numrin e vog[l t[ dy gypat? fitohet her[si 4 dhe mbetja 7. Cil[t jan[ ato numra? 10. Dy gypa s[ bashku mund ta mbushin nj[4. Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m baza [sht[ 2 pishin[ p[r 12 or[. Nj[ri gyp vet mund ta cm m[ e vog[l se krahu. Cakto baz[n dhe mbush pishin[n p[r 20 or[. P[r sa or[ gypi krahun e atij trek[nd[shi n[ qoft[ se perimetri i dyt[ vet do ta mbush pishin[n e zbraz[t? i tij [sht[ 43 cm.5. Mentori ka 25 monedha prej 2 dhe 5 denar[ P[rpiqu ... ose gjithsej 80 denar[. Sa monedha jan[ prej Epitafi i Diofantit 2 denar[ dhe sa prej 5 denar[? Mbi pllak[n e varrit t[ matematikanit t[ vjet[r grek [sht[ shkruar:6. Detyr[ e vjet[r kineze. N[ nj[ kafaz ka lepuj ,,Udh[tar, k[tu [sht[ varrosur Diofanti. Numrat tre- dhe fazan[. Ato s[ bashku kan[ 35 koka dhe gojn[, ]udira, sa e gjat[ ka qen[ jeta e tij. F[mij[ria 94 k[mb[. Sa jan[ gjithsej lepuj dhe fazan[? e mrekullueshme ia ka marr[ nj[ t[ gjasht[n e jet[s, por kur ka kaluar edhe nj[ e dymb[dhjeta e jet[s s[ tij, fytyr[n e tij e mbuloi mjekrra. Pasi kaloi edhe nj[ e shtata e jet[s s[ tij, Diofanti u martua. Kur kaluan 5 vjet t[ jet[s bashk[shortore, e g[zoi lindja7. Nj[ korrier e kalon larg[sin[ nd[rmjet vendeve e f[mij[s s[ tij t[ par[, t[ cilit fati i dhuroi vet[m A dhe B p[r koh[ t[ caktuar. N[ qoft[ se l[viz gjysm[n e viteve t[ jet[s s[ babait t[ tij. Prej me shpejt[si 35 km/or[, do t[ vonohet 2 or[, s[mundjes s[ r[nd[ plaku e priti fundin e jet[s s[ por n[ qoft[ se l[viz me shpejt[si 50 km/or[, tij duke jetuar edhe 4 vjet pas humbjes s[ djalit". do t[ arrin nj[ or[ m[ her[t. Cakto larg[sin[ Sa vjet ka jetuar Diofanti? nd[rmjet vendeve A dhe B.82 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • JOBARAZIMET LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR 8 KONCEPTI P{R JOBARAZI DHE JOBARAZIM Kujtohu! A 1. Cila shenj[ duhet t[ q[ndron te rrethi, q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i vlerave Shprehje numerike jan[: 5 + 8, 9 : 3 - 2, 4,6 ⋅ 3,5 - 1, 8 : 0,2 etj. numerike t[ shprehjeve: Pasi ti kryen t[ gjitha operacionet te shprehja a) 3 ⋅ (5 - 2) 8 - 4 ⋅ 3; fitohet num[r i cili quhet vlera numerike e b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 (- 4)2 + 1? shprehjes. Njehso vler[n numerike t[ shprehjes }ka duhet s[ pari t[ b[jsh q[ ti 15 - 22 ⋅ 3 - 6,4 : 0,4. krahasosh shprehjet numerike? Gjat[ krahasimit t[ numrave racional i shfryt[zove shenjat =, < dhe >. S[ pari duhet ti njehsoj vlerat Cila prej shenjave: > ose < duhet t[ q[ndron numerike t[ shprehjeve t[ dh[na, te rrethi q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i numrave: pastaj t[ caktoj cila shenj[ duhet t[ q[ndron te rrethi. 5 -12; 0 3,5; Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. -1 -5; -4 0? a) 3 ⋅ (5 - 2) = 3 ⋅ 3 = 9; 8 - 4 ⋅ 3 = 8 - 12 = Cili prej k[tyre jobarazive [sht[ i sakt[: = -4; 9 > -4, pra 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3. a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3? b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 = 20 - 10,8 = 9,2; (-4)2 + 1 = =16 + 1 = 17; 9,2 < 17 pra 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1. Duke e zgjidhur ⋅detyr[n 1dhe dy - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht 3 (5 - 2) t[ 8 shprehjet numerike: 8 ⋅ 2,5 - 10,8 dhe (-4)2 + 1 i lidh me nj[r[n prej shenjave > ose < dhe fiton: 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1. 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3 dhe 8 ⋅ 2,5 - 10,8 > (-4)2 + 1 jan[ jobarazi numerike.2. Formo jobarazi t[ sakt[ numerike prej shprehjeve: 8 ⋅ 5 - 62 dhe 3 ⋅ 4 + 5.3. Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive numerike jan[ t[ sakta: 28 - 8 ⋅ 3 > -9 ⋅ 2 + 20; 7 < 3 ⋅ 12 - 52; -9 + 6 > 8 ⋅ 3 - 35. Jobarazimet lineare me një të panjohur 83
    • Kujtohu! B 4. Cila prej shenjave: > ose < duhet t[ q[ndroj te rrethi q[ t[ jet[ i sakt[ Shprehje me ndryshore jan[: x - 1; 2y - krahasimi i shprehjeve me ndryshore: 3, x2 - 2x + 1 etj. }far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[ se te x2 - 2x + 1 2x + 3, p[r x = -2? shprehja 2y - 3 ndryshoren y e z[v[nd[son me 2? }far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[ Njehso vler[n numerike t[ shprehjes x2 - 2x se te shprehjet e dh[na me ndryshore, + 1 p[r x = 3. x e z[v[nd[soni me -2? }duhet b[r[ pastaj? Me z[v[nd[simin e ndryshores x me -2, do t[ fitoj shprehje numerike, t[ cilat mund ti krahasoj dhe ta vendos shenj[n e nevojshme te rrethi. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. x - 2x > -1,=vijon se- 2(-2) ++11=>4 2x4++31 =p[r 2 2 + 1 (-2) + 9; 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1. 2 Pasi 9 x - 2x x = -2. Jobarazia x2 - 2x + 1 > 2x + 3 quhet jobarazi me ndryshore. Jobarazia te e cila ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore quhet jobarazi me ndryshore ose jobarazim.5. Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ jobarazime: a) 5 > -2 ⋅ 3; c) x2 + 1 < x2 - 2x + 3, x ∈ Z; b) 2x + 3 > 0, x ∈ R; ]) 8 ⋅ 3 - 22 < 5 ⋅ 6 + 3. Mbaj mend! Ndryshoret te jobarazimet shpesh her[ sh[nohen me x, y, z, ... dhe ato ndryshojn[ n[ bashk[sin[ R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si t[ saj. Me dh[n[jen e jobarazimit jepet edhe bashk[sia te e cila marrin vlera ndryshoret, d.m.th. bashk[sia e p[rkufizimit. N[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit do t[ llogarisim se ajo [sht[ bashk[sia R. Jobarazimi me nj[ t[ panjohur, n[ rastin e p[rgjithsh[m shkruajm[: f(x) < g(x), x ∈ D, ku f(x) dhe g(x) jan[ shprehje me ndryshores x, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D. 84 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Kujtohu! C 6. Jan[ dh[n[ jobarazimet: Cil[t lloje t[ barazimeve i kemi sipas numrit 2x - 1 < 3x + 1; 2x - y > 5 - x; t[ t[ panjohurave? x2 - 1 > 2x; x2y - 2 < 3x. Sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s barazimet mund t[ jen[: lineare (t[ shkall[s s[ par[), Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ra prej katrore (t[ shkall[s s[ dyt[), kubike (t[ jobarazimeve? shkall[s s[ tret[) etj. Si do ti em[rtosh jobarazimet 2x - 1 < 3x + 1 I cil[s shkall[ [sht[ barazimi: 2x - 3 = x + 1; dhe x2 - 1 > 2x sipas numrit t[ t[ panjohurave, x2 - 3x = 2? dhe si jobarazimet 2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x? Cilat jobarazime jan[ me Jobarazimet: 2x - 1 < 3x + 1 dhe x2 - 1 > 2x jan[ nj[ t[ panjohur, kurse cilat me nj[ t[ panjohur, kurse jobarazimet: me dy t[ panjohura? 2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x me dy t[ panjohura. Mbaj mend! Sipas numrit t[ t[ panjohurave, jobarazimet mund t[ jen[: jobarazime me nj[ t[ panjohur, jobarazime me dy t[ panjohura, jobarazime me tri t[ panjohura etj.7. Cakto me sa t[ panjohura [sht[ secili prej k[tyre jobarazimeve. a) 2x - 1 < x + 2; b) x + y < 7 - z; c) x + 2y < x - y + 1; ]) 2x > x + 2.8. Jan[ dh[n[ jobarazimet: a) x2 + 2 > 2x; b) x2y - 2 > 3x; c) x - 2 < 2x + 3; ]) x - y < y + 3. Cakto shkall[n m[ t[ lart[ t[ t[ panjohurave te secila prej jobarazimeve. Sipas shkall[s t[ t[ panjohurave, t[ cilit lloj jan[ jobarazimet? Cakto llojin e jobarazimeve Jobarazimet x - 2 < 2x + 3 dhe x -y < y + 3 ja- sipas shkall[s t[ t[ panjo- n[ t[ shkall[s s[ par[; jobarazimi x2 + 2 > 2x hurave sikurse te barazimet. [sht[ i shkall[s s[ dyt[, kurse jobarazimi x2y - 2 > 3x [sht[ i shkall[s s[ tret[. Jobarazimet lineare me një të panjohur 85
    • Mbaj mend! Jobarazimet f(x) < g(x) ose f(x) > g(x), te t[ cil[t ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje t[ plota racionale, sipas shkall[s t[ t[ panjohur[s mund t[ jen[: jobarazime t[ shkall[s s[ par[ (jobarazime lineare), jobarazim t[ shkall[s s[ dyt[ (jobarazime katrore), jobarazime t[ shkall[s s[ tret[ (jobarazime kubike) etj.9. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej jobarazimeve: a) 5x - 2 < x + 4; b) x2 - 2x < 6; c) x2y - 5 > 2x; ]) 2x + y < 7. Duhet t[ dish: Kontrollohu! se dy shprehje t[ lidhura me shenj[n < ose > Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive jan[ formojn[ jobarazim; jobarazime: a) 5 ⋅ 8 - 3 > 17 - 22; b) x2 - 1 < 5x; c) 3x + ta p[rkufizosh konceptin jobarazim; y < y + 2; ]) 5 - 2 ⋅ 3 > 3 - 4 ⋅ 2. ta caktosh llojin e jobarazimit sipas numrit t[ Cakto cila prej k[tyre jobarazimeve jan[ t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ t[ jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur: panjohur[s. a) x2 + 6 > 5x; b) x + 2y < 5x + 1; c) y - 2 < 3y; ]) x + 2 > 2x - 5. Detyra1. Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ t[ sakta: 3. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimeve a) 12 - 2 ⋅ 5 > 3 ⋅ 2 - 8; sipas numrit t[ t[ panjohurave: b) 52 - 3 ⋅ 4 > 12 : 4; a) x - 3 < 2x + 5; c) 3x + 1 - x > x + 5; c) 17 - 3 ⋅ 5 > 72 - 5 ⋅ 6. b) x - 2y + 3 > 2x; ]) x - 5 < y + 3. 4. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimeve sipas shkall[s t[ panjohur[s: a) x2 - 3 < 2x - 1; c) x + 2 > 6 - x;2. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, 0, 2} [sht[ e sakt[ 2 jobarazia: x - 2x < x + 5? b) x - 2 - 3x < 5; ]) x2y - 3x > 2y - 1. 86 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 9 ZGJIDHJA E JOBARAZIMIT. ITERVALET Kujtohu! A 1. Cakto p[r cilat vlera t[ x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} = D ]donj[ri prej Vlera e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimi jobarazimeve t[ dh[na kalon n[ joba- kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhet razi t[ sakt[ numerike: zgjidhje (rr[nj[) e barazimit. a) 3x + 1 > x - 1; c) 2x - 3 > x + 2. b) 2x - 2 < x + 4; Provo numri 2 a [sht[ zgjidhje e barazimit: a) 2x - 1 = x + 1; b) 3x - 5 = x + 3. N[ cmenyr[ prej jobarazimeve do Cakto zgjidhjen e barazimit: t[ fitosh jobarazi numerike? a) 3x - 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5. P[rpiqu q[ zgjidhjen e detyr[s ta paraqesish me tabel[.Duke z[v[nd[suar t[ panjohur[n x me vlerat e fush[s s[ p[rkufizimit D jobarazimin do tashnd[rroj n[ jobarazi numerike dhe do t[ konstatoj a [sht[ i sakt[ (T) ose jo i sakt[ (⊥). Krahaso zgji- Vlera e x dhjen t[nde -2 -1 0 1 2 Jobarazimi me zgjidhjen -5 > -3 -2 > -2 1 > -1 4>0 7>1 e dh[n[. 3x + 1 > x - 1 ⊥ ⊥ T T T -6 < 2 -4 < 3 -2 < 4 0<5 2<6 2x - 2 < x + 4 T T T T T -7 > 0 -5 > 1 -3 > 2 -1 > 3 1>4 2x - 3 > x + 2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Prej tabel[s konstatove se: jobarazimi 3x + 1 > x - 1 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r x = 0, x = 1 dhe x = 2; p[rkufizimit 2x - 1 < x + 4 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r ]do vler[ t[ jobarazimi D; x nga fusha e jobarazimi 2x - 3 > x + 2 nuk kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r asnj[ vler[ t[ x nga D. }do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n jobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje e jobarazimit. T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi f (x) < g (x) formojn[ nj[ bashk[si, e cila quhet bashk[sia e zgjidhjeve t[ jobarazimit dhe zakonisht sh[nohet me Z(f (x) < g(x)). P[r jobarazimin 3x + 1 > x - 1 nga detyra e m[sip[rme kemise Z(3x + 1 > x - 2) = {0, 1, 2}. Jobarazimet lineare me një të panjohur 87
    • 2. Shkruaji zgjidhjet e jobarazimeve 2x - 2 < x + 4 dhe 2x - 3 > x + 2 nga detyra 1..3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit 2x - 3 < 3x - 2, n[ qoft[ se x ∈ {-3, -1, 1, 2, 3}. Sigurisht caktove se bashk[sia e zgjidhjeve [sht[ Z(2x - 3 < 3x - 2) = {1, 2, 3}. Me t[ e zgjidhe jobarazimin 2x - 3 < 3x -2. Mbaj mend! T[ zgjidhet jobarazimi do t[ thot[ t[ caktohet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij jobarazimi. Kujtohu! B 4. Jan[ dh[n[ jobarazimet: 3x + 2 > 2x + 1 dhe 2x - 3 > x - 4 me bashk[sin[ P[r dy barazime themi se jan[ ekuivalente n[ e p[rkufizimit D = {-1, 0, 1, 2}. qoft[ se kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dy Provo a jan[ ekuivalente barazimet: 3x - 4 = jobarazimeve. 2x - 1 dhe 2x - 5 = x - 2. Krahaso zgjidhjet e t[ dy jobarazimeve. }ka v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[. x -1 0 1 2 Jobarazimi 3 ⋅ (-1) + 2 > 2 ⋅ (-1) + 1 3 ⋅ 0 + 2 > 2 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 + 2 > 2 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 2 + 2 > 2 ⋅ 2 + 1 3x + 2 > 2x + 1 ⊥ T T T 2 ⋅ (-1) - 3 > -1 - 4 2⋅0-3>0-4 2⋅1-3>1-4 2 ⋅ 2 - 3 > 2 -4 2x - 3 > x - 4 ⊥ T T T V[ren se Z(3x + 2 > 2x + 1) = {0, 1, 2}, Z(2x - 3 > x - 4) = {0, 1, 2}, d.m.th. Z(3x + 2 > 2x + 1) = Z(2x - 3 > x - 4). P[r jobarazimet e atilla thuhet se jan[ ekuivalente dhe shkruajm[ 3x + 2 > 2x + 1 ⇔ 2x - 3 > x - 4, x ∈ D. Mbaj mend! Dy jobarazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve jan[ t[ barabarta.5. Provo se jobarazimet: 3x - 1 > 2x + 1 dhe 2x + 3 < 3x + 1, a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {1, 2, 3, 4}. 88 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • C 6. {sht[ dh[n[ drejt[za numerike dhe n[ A B t[ jan[ sh[nuar pikat A dhe B. Pikave A dhe B u jan[ shoq[ruar p[rkat[sisht -1 0 1 2 3 4 5 numrat 1 dhe 4. Pasi pika A [sht[ n[ t[ majt[ t[ pik[s B, at[her[ p[r numrat e tyre p[rkat[se vlen: 1 < 4. Cil[t numra natyror[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4? 3 16 Cili prej numrave ; -3; 3 ; 2,8; [sht[ nd[rmjet 1 dhe 4? 2 3 Pse 2 [sht[ nd[rmjet 1 dhe 4? Pasi 2 ≈ 1,41, ai [sht[ djathtas prej 1, kurse majtas prej 4.. T[ gjith[ numrat real[ q[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4 formojn[ nj[ bashk[si,t[ quajtur interval me skaje 1 dhe 4. N[ p[rgjith[si N[ qoft[ se a dhe b jan[ numra t[ dh[n[ real[ dhe a < b, at[her[ bashk[sia e t[ gjitha numrave real[ nd[rmjet a dhe b quhet interval, kurse numrat e dh[n[ a dhe b - skaje t[ atij intervali. N[ qoft[ se skajet a dhe b nuk i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i hapur. Sh[nohet (a; b) O a b Paraqitet n[ drejt[z[n numerike: ( ) N[ qoft[ se skajet a dhe b i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i mbyllur. Sh[nohet [a; b] O a b Paraqitet n[ drejt[z[n numerike: [ ]7. Shkruaj interval me skaje 3 dhe 5 dhe paraqite n[ drejt[z[n numerike: a) intervalin e mbyllur b) intervalin e hapur; c) interval i cili nuk e p[rmban ]) interval i cili nuk e p[rmban vet[m skajin e majt[; vet[m skajin e djatht[. Krahaso zgjidhjen t[nde c) dhe ]). c) (3; 5] ( ] ]) [3; 5) [ ) 3 5 3 5 Interval paraqet edhe bashk[sia e t[ gjitha numrave reale q[ jan[:  m[ t[ m[dhej se a; (a; +∝)  m[ t[ vegj[l se a; (-∝; a)  m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ me a; [a; +∝)  m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ me a; (-∝; a] Jobarazimet lineare me një të panjohur 89
    • V[re se nj[ri skaj i intervaleve [sht[ shenja +∝ ose -∝. Intervali (a; +∝) lexohet: ,,a, plus pakufi". Intervali (-∝; a) lexohet: ,,minus pakufi, a". Bashk[sia R mund t[ shkruhet si interval: (-∝; +∝). V[re se nuk kan[ kuptim shenjat: (3; -∝); [1; +∝]; (+∝; 4).8. Shkruaje si interval, kurse pastaj paraqite n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e t[ gjitha numrave real[: a) m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ se 2; b) m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ se 1. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) (2, +∝) ( b) (-∝, 1] ] 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 D 9. Jan[ dh[n[ jobarazimet: a) x > -1; x ∈ R; b) x < 2; x ∈ R. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[r[s prej jobarazimeve t[ dh[na. Paraqite ]donj[r[n prej atyre bashk[sive n[ drejt[z[n numerike. Me cilat numra duhet t[ Ndryshorja x te jobarazimi x > -1 duhet z[v[nd[sohet x te jobarazimi t[ z[v[nd[sohet me ]far[do num[r real, x > -1, dhe me cil[t te jobarazimi m[ i madh se -1, dhe te jobarazimi x < 2, x < 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[ - me ]far[do num[r real q[ [sht[ m[ i sakta numerike? vog[l se 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[ sakta numerike. V[reve se bashk[sia e zgjidhjeve t[ jobarazimit x > -1 p[rb[het prej t[ gjitha numrave real[ prej -1 deri n[ +∝, kurse ai [sht[ intervali (-1, +∝). V[reji bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve t[ dh[na, n[ drejt[z[n numerike. Jobarazimet x > -1 dhe x < 2 kan[ t[ ashtuquajtur form[ t[ zgjidhur; p[r jobarazimet e atilla bashk[sia e zgjidhjeve mund t[ lexohet menj[her[, drejtp[rdrejt. Mbaj mend! Jobarazimet: x > a, x < a dhe 0 × x < a, ku a [sht[ num[r i dh[n[ real i sh[nuar n[ form[n e zgjidhur dhe quhen jobarazime themelore. 90 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 10. Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < -5. A ekziston num[r real i cili i Pasi ]far[do num[r i shum[zuar me 0 [sht[ 0, shum[zuar me 0 e jep prodhi- kurse 0 nuk [sht[ m[ i vog[l se -5, jobarazimi min -5? 0 ⋅ x < -5 nuk ka zgjidhje.11. Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < 5. V[reji zgjidhjet e jobarazimit 0 ⋅ x < a: Z(0 ⋅ x < a, p[r a < 0) = ∅ dhe Z(0 ⋅ x < a, p[r a > 0) = R.12. Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: x > -5; x < 4; 0 ⋅ x < -1; 0 ⋅ x < 3, me ndihm[n e intervalit. Zgjidhjet e jobarazimeve t[ llojit x ≥ a jan[ intervalet [a; +∞), kurse t[ jobarazimeve x ≤ a jan[ intervalet (-∞; a].13. Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: a) x ≤ 3; b) x ≥ -2. V[re se si zgjidhet detyra e k[tij lloji. a) N[ qoft[ se x ≤ 3, at[her[ x ∈ (-∞; 3]. b) N[ qoft[ se x ≥ -2, at[her[ x ∈ [-2; +∞).14. Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit x ≤ -1 me ndihm[n e intervalit. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ provosh cil[t prej vlerave jan[ zgjidhje t[ jobarazimit t[ dh[n[; Provo a [sht[ Z(2x -1 > x + 1) = {2, 3, 4} n[ t[ konstatosh dy jobarazime a jan[ ekuivalente; qoft[ se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} Konstato se jobarazimi 3x - 1 > x + 1 a [sht[ t[ sqarosh kur dy jobarazime jan[ ekuivalente; ekuivalent me jobarazimin 4x - 1 > 3x, n[ qoft[ se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} = D. ta paraqesish me intervale dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ Paraqite me interval zgjidhjen e jobarazimit jobarazimit t[ dh[n[. x < -3. Jobarazimet lineare me një të panjohur 91
    • Detyra1. Te bashk[sia D = {-1, 0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[ 4. Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[n jobarazimet: numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve: a) 3x + 1 > 2x + 1; b) 2x + 3 > x + 3. a) x > -3; b) x < 2. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej jobarazimeve t[ dh[na. 5. Paraqite me intervale dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[2. Cakto cil[t prej k[tyre jobarazimeve jan[ jobarazimeve: ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {-2, -1, 0, 1, 2}: a) x ≤ -2; b) x ≥ 1. a) 3x - 2 > 2x - 3; c) 2x + 5 > x + 4. b) 2x - 1 > x - 2; 6. Cili prej k[tyre jobarazimeve nuk ka zgjidhje? Sqaro p[rgjigjen. a) x > 0; c) 0 ⋅ x > -2;3. Paraqite me interval bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: b) 0 ⋅ x < -1; ]) x < -5. a) x > -2; b) x < 0; c) x ≤ 1; ]) x ≥ -3.10 TEOREMAT P{R JOBARAZIMET EKUIVALENTE Kujtohu! A 1. N[ bashk[sin[ D = {-2, -1, 0, 1, 2} [sht[ P[r cil[t barazime thuhet se jan[ ekuivalente? dh[n[ jobarazimi 3x - 2 > 2x - 3. Provo a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit t[ D = {1, 2, 3, 4} jobarazimet: 3x - 1 > x + 3 dhe dh[n[. 2x - 1 > x + 1. Shtoje n[ t[ dy an[t e jobarazimit shprehjen x - 1 dhe provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalent Si thot[ teorema 1 p[r barazimet ekuivalente? me jobarazimin e dh[n[. Si do t[ konstatosh se jobarazimi i Do ti caktoj bashk[sit[ e zgjidhjeve dh[n[ a [sht[ ekuivalent me joba- t[ dy jobarazimeve dhe do ti kra- razimin e fituar? hasoj ato.92 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Vlera Jobarazimi i dh[n[ I sakt[ Jobarazimi i fituar I sakt[ p[r x 3x - 2 > 2x - 3 jo i sakt[ 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1 jo i sakt[ -2 3 ⋅ (-2) - 2 > 2 ⋅ (-2) - 3 ⊥ 3 ⋅ (-2) - 2 - 2 - 1 > 2 ⋅ (-2) - 3 - 2 - 1 ⊥ -1 3 ⋅ (-1) - 2 > 2 ⋅ (-1) - 3 ⊥ 3 ⋅ (-1) - 2 - 1 - 1 > 2 ⋅ (-1) - 3 - 1 - 1 ⊥ 0 3⋅0-2>2⋅0-3 T 3⋅0-2+0-1>2⋅0-3-0-1 T 1 3⋅1-2>2⋅1-3 T 3⋅1-2+1-1>2⋅1-3+1-1 T 2 3⋅2-2>2⋅2-3 T 3⋅2-2+2-1>2⋅2-3+2-1 T Prej tabel[s v[reve se: Z(3x - 2 > 2x - 3) = {0, 1, 2} dhe Z(3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x -1) = {0, 1, 2}, p[rkat[sisht duke shtuar shprehjen x + 1 n[ t[ dy an[t e jobarazimit 3x - 2 > 2x - 3 fitojm[ jobarazim 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1, ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shtimin e numrit ose shprehjes n[ t[ dy an[t e jobarazimit. Teorema 1 N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g (x) shtohet numri i nj[jt[ ose shprehje racionale h(x), q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimit, fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. f (x) > g(x) ⇔ f (x) + h(x) > g(x) + h(x).2. A jan[ ekuivalent k[to dy jobarazime: a) 5x + 1 > 4x + 3 dhe 5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x; b) 2x - 5 > x - 2 dhe 2x - 5 + 5x - 1 > x - 2 + 5x - 1; c) 3x - 1 < x + 2 dhe 3x - 1 - 4x < x + 2 - 4x? Sqaro p[rgjigjen. B 3. Jobarazimin 4x - 1 < 3x + 2 sille n[ jobarazim t[ form[s s[ zgjidhur. Cil[n shprehje mund ta shtojsh n[ t[ dy an[t N[ t[ dy an[t e jobarazimit e jobarazimit q[ ta sjellish n[ form[n e mund ta shtoj shprehjen zgjidhur? -3x + 1. Jobarazimet lineare me një të panjohur 93
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Sipas teorem[s 1+kemi: 4x - 1 < 3x 2 ⇔ 4x - 1 - 3x + 1 < 3x + 2 - 3x + 1 ⇔ 4x -3x < 2 + 1 ⇔ x < 3. Prej 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 mund t[ v[resh se: an[tari 3x [sht[ bart prej an[s s[ djatht[ n[ an[n e majt[, por me shenj[ t[ kund[rt, kurse an[tari 1 [sht[ bart prej an[s s[ majt[ n[ an[n e djatht[, gjithashtu me shenj[ t[ kund[rt. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ pasoj[ 1 nga teorema 1:  }do an[tar i nj[ jobarazimi mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, me shenj[ t[ kund[rt. P1 Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformacione ekuivalente t[ jobarazimeve, me t[ cil[n do ti sjellish deri n[ jobarazime t[ zakonshme, ekuivalente me ato. V[reje at[ n[ k[t[ detyr[.4. Transformoe n[ jobarazim n[ form[n e zgjidhur 4x - 1 > 3x + 2. Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me interval. Zbato rrjedhimin 1 dhe grupoji t[ Sipas rrjedhimit 1 vlen: panjohurat n[ an[n e majt[, kurse 4x - 1 > 3x + 2 ⇔ 4x - 3x > 2 + 1⇔ t[ njohurat n[ an[n e djatht[. ⇔ x > 3, kurse Z(4x - 1 > 3x + 2) = = (3; +∝).5. {sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 5 > x - 3. Transformo jobarazimin n[ form[n e zgjidhur. Paraqite zgjidhjen n[ jobarazim me interval.6. Provo jobarazimet 3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x dhe 3x - 2 < x + 1, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3, 4} a jan[ ekuivalente. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dy Z(3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x) = {0, 1, 2}; jobarazimeve dhe provo a jan[ Z(3x - 2 < x + 1) = {0, 1, 2}, ekuivalente. pra jobarazimet e dh[na jan[ ekuivalente. V[ren se n[ t[ dy an[t e jobarazimit t[ par[ kan[ an[tar t[ nj[jt[ 4x. Me eleminimin e 4x nga t[ dy an[t [sht[ fituar jobarazimi 3x - 2 < x + 1, ekuivalent me jobarazimin e par[. Sqaro se si do ta zbatosh teorem[n 1 q[ t[ tregosh se an[tari 4x i cili gjendet n[ t[ dy an[t e jobarazimit mund ta eleminosh dhe t[ fitosh jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. 94 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim edhe nj[ pasoj[ nga teorema 1:  N[ qoft[ se n[ an[t e ndryshme t[ jobarazimit ka an[tar t[ barabart[, at[her[ mund t[ P2 eleminohen.7. Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 4x - 2 - 5x < 3x - 1 - 5x. C 8. {sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 1 > 2x + 1 me D = {1, 2, 3, 4, 5}. Shum[zoi t[ dy an[t e jobarazimit me 2. Provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. V[re n[ tabel[ zgjidhjen e detyr[s. Vlera e x 1 2 3 4 5 Jobarazimi 2>3 5>5 8>7 11 > 9 14 > 11 3x - 1 > 2x + 1 ⊥ ⊥ T T T 4>6 10 > 10 16 > 14 22 > 18 28 > 22 6x - 2 > 4x + 2 ⊥ ⊥ T T T Prej tabel[s mund t[ v[resh se Z(3x - 1 > 2x + 1) = {3, 4, 5} dhe Z(6x - 2 > 4x + 2) = = {3, 4, 5}, d.m.th. 3x - 1 > 2x + 1 ⇔ 6x - 2 > 4x + 2. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet, vet[m n[ qoft[ se numri me t[ cilin shum[zohen t[ dy an[t e jobarazimit [sht[ pozitiv. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shum[zimin e jobarazimit me num[r pozitiv: Teorema 2 N[ qoft[ se t[ dy an[t e nj[ jobarazimi f (x) > g(x) shum[zohen me nj[ num[r a > 0, at[her[ fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. f (x) > g(x) ⇔ a ⋅ f (x) > a ⋅ g(x) p[r a > 0..9. Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente: 3x - 2 < 2x - 3 dhe 9x - 6 < 6x - 9.10. {sht[ dh[n[ jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x, te i cili jan[ krye k[to transformacione ekuivalente: 1 1 1 1 4x ⋅ - 8 ⋅ < 12 ⋅ - 8 x ⋅ ⇔ x - 2 < 3 - 2x; 4 4 4 4 4x : 4 - 8 : 4 < 12 : 4 - 8x : 4 ⇔ x - 2 < 3 - 2x. Sqaro cil[t transformacione jan[ krye te jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x. Krahasoi jobarazimet e fituara. }ka v[ren? Jobarazimet lineare me një të panjohur 95
    • 1 V[reve se: n[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit 4x - 8 < 12 - 8x shum[zohen me , at[her[ [sht[ 4 krye transformacioni i nj[jt[ sikurse t[ dy an[t e atij jobarazimi t[ pjes[tohen me 4. Mund t[ jepet ky rrjedhim i teorem[s 2.  N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit kan[ shum[zues pozitiv t[ p[rbashk[t, at[her[ t[ dy an[t P1 e jobarazimit mund t[ pjes[tohen me at[ vler[ dhe n[ at[ rast fitohet jobarazim i ri ekuvalent me te parin.11. {sht[ dh[n[ jobarazimi 10x - 25 < 5x + 15. Transformo k[t[ jobarazim n[ jobarazim t[ zakonsh[m me zbatimin e rrjedhimit 1. 3 1 5 112. {sht[ dh[n[ jobarazimi x + > x - . Me cilin num[r mund ti shum[zosh t[ dy an[t e 4 2 8 4 jobarazimit, q[ t[ fitosh jobarazim pa em[ruesa? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 3 1 5 1 SHVP(4, 2, 8) = 8; 8⋅ 4 x + 8⋅ > 8⋅ x - 8⋅ 2 8 4  6x + 4 > 5x - 2 . 3 1 5 1 Transformimi i jobarazimit x+ > x- [sht[ krye n[ baz[ t[ teorem[s 2. V[re se mund t[ 4 2 8 4 shprehet ky rrjedhi i T2.  Jobarazimi me koeficient thyes mund t[ transformohet n[ jobarazim ekuvalent me koeficient P2 numra t[ plot[, n[se shum[zohen t[ dy an[t e jobarazimit me shumefishin m[ t[ vog[l t[ p[rbashk[t t[ emrues[ve t[ atyre koeficient[ve 1 1 5 113. Transformo n[ jobarazim me koeficient t[ plot[ numerik jobarazimin x- > x + . 3 2 6 214. Jan[ dh[n[ jobarazit[ e sakta numerike: 7 > 4, -5 < -3 dhe 1 > -4. Shum[zoi t[ dy an[t e ]donj[rit nga jobarazimet e dh[na me -2. Provo jobarazit[ numerike t[ fituara a jan[ t[ sakta. }ka v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 7 > 4; -2 ⋅ 7 > -2 ⋅ 4, -14 > -8  jobarazi numerike jo e sakt[. -5 < -3, -2 ⋅ (-5) < -2 ⋅ (-3), 10 < 6  jobarazi numerike jo e sakt[. 1 > -4, -2 ⋅ 1 > -2 ⋅ (-4), -2 > 8  jobarazi numerike jo e sakt[. 96 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Q[ t[ fitohet jobarazi t[ sakt[ numerike, [sht[ e nevojshme t[ ndryshon shenja e jobarazis[, d.m.th. - 14 > -8 t[ z[v[nd[sohet me -14 < -8, 10 < 6 t[ z[v[nd[sohet me 10 > 6 dhe -2 > 8 t[ z[v[nd[sohet me -2 < 8. Kjo vlen p[r ]far[do numra real[ a, b dhe c. N[ qoft[ se a > b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c < b ⋅ c, por n[ qoft[ se a < b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c > b ⋅ c. V[re v[rtetimin e pohimit. {sht[ dh[n[: a>b dhe c < 0. Duhet t[ v[rtetohet: a ⋅ c < b ⋅ c. a ⋅ c - b ⋅ c = (a - b) ⋅ c; pasi c < 0 dhe a - b > 0 (pse a > b), vijon se prodhimi (a - b) ⋅ c [sht[ negativ, d.m.th. a ⋅ c - b ⋅ c < 0; a ⋅ c < b ⋅ c. P[r shenjat te jobarazit[ 3 < 5 dhe 2 > -1 themi se kan[ kahe t[ kund[rta. Prandaj, p[r jobarazimet mund ta parashtrojm[ k[t[ teorem[: Teorema 3 N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[ nj[jt[ negativ c dhe poashtu shenja e jobarazimit z[vend[sohet me shenj[n e kund[rt, at[her[, do t[ fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. p[r c < 0: f (x) > g(x) ⇔ c ⋅ f (x) < c ⋅ g(x).15. Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 2x - 7 > 5x - 1. Zbatoje pasoj[n 1 nga teorema 1, 2x - 7 > 5x - 1 ⇔ 2x - 5x > -1 + 7 pasoj[n 1 nga teorema 2 dhe ⇔ -3x > 6 ⇔ -x > 2 ⇔ x < -2, teorema 3. d.m.th.Z(2x - 7 > 5x - 1) = (-∞, - 2). Duhet t[ dish: Kontrollohu! ti shprehish edhe rrjedhimet e tyre p[r jobarazimet ekuivalente; Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente: ti zbatosh teoremat dhe rrjedhimet p[r jobarazimet ekuivalente lineare n[ detyra. 2x - 5 < x - 3 dhe 2x - 5 - x < x - 3 - x; 2 1 x - 1 < x + 2 dhe 4x - 6 < 3x + 12; 3 2 -5x + 3 < -3x - 1 dhe 5x - 3 > 3x + 1. Detyra1. K[to jobarazime transformoji n[ form[n e 2. Te jobarazimi 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x elemino zgjidhur. dy an[tar ashtu q[ t[ fitosh jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. a) 3x - 1 < 2x + 1; b) 4x - 3 > 3x - 1. Jobarazimet lineare me një të panjohur 97
    • 3. K[t[ jobarazim transformoe n[ jobarazim 5. Jobarazimin 3x - 5 < 4x - 3 transformo n[ ekuivalent pa em[ruesa: jobarazim n[ form[n e zgjidhur. Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me inter- x +1 x 3x + 2 x -1 val. a) < + 1; b) < - 1. 2 4 6 3 x x4. Jobarazimin - 1 < + 1, sille n[ 6. Sqaroi k[to ekuivalenca: 2 3 jobarazim n[ form[n e zgjidhur. a) -5x + 1 > 2x - 3 ⇔ 5x - 1 < -2x + 3; b) 4x - 2 < 3x + 1 ⇔ -4x + 2 > -3x - 1. 11 ZGJIDHJA E JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu! A 1. Zgjidhe jobarazimin 4x - 3 > 2x + 1. Paraqite zgjidhjen me interval n[ Cakto cili prej k[tyre jobarazimeve jan[ drejt[z[n numerike. jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur: x2 + 6 > 4x; 3x - 1 < 2x + 3; Si do ta sjellish jobarazimin e dh[n[ x + 5 > 3x -1; x + 2y < 3 - x. n[ form[n e zgjidhur? Transformo n[ form[n e zgjidhur k[t[ jobarazim 5x - 3 > 3x + 1. Do t[ zbatoj pasoj[n 1 nga teorema 1 dhe pasoj[n 1 nga teorema 2. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 4x - 3 > 2x + 1 ⇔ 4x - 2x > 1 + 3  (sipas P t[ T ) 1 1 4x - 2x > 1 + 3 ⇔ 2x > 4  (sjellja e t[ dy an[ve t[ jobarazimit) 2x > 4 ⇔ x > 2  (pjes[timi i jobarazimit sipas P t[ T )1 2 Z(4x - 3 > 2x + 1) = Z(x > 2) = (2; +∝).2. Zgjidhi k[to jobarazime: a) x - 4 > 8 - 3x; b) 3x - 5 < -x + 3. Jobarazime jan[ edhe:f (x) ≤ g(x); f (x) ≥ g(x);3. {sht[ dh[n[ zgjidhja e jobarazimit 3(2x - 1) £ -(9 - 8x). Sqaro ]do transformacion ekuivalent t[ zbatuar gjat[ zgjidhjes. 3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x) ⇔ 6x - 3 ≤ -9 + 8x ⇔ 6x - 8x ≤ -9 + 3 ⇔ -2x ≤ -6 ⇔ -x ≤ -3 ⇔ x ≥ 3; Z(3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x)) = Z(x ≥ 3) = [3, +∝). 98 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 4. Zgjidhe jobarazimin 2x - (3 - x) ≥ 5x - 1. 2 x -1 1 x + 15. Zgjidhe jobarazimin - < . 3 2 6 Si do t[ lirohesh prej em[ruesave te T[ dy an[t e jobarazimit do ti shu- jobarazimi i dh[n[? m[zoj me SHVP(3,2,6)=6. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 2 x -1 1 x + 1 - < ⇔ 2(2x - 1) -3 ⋅ 1 < x + 1 ⇔ 4x - 2 - 3 < x + 1 ⇔ 4x - x < 1 + 2 + 3 3 2 6 ⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2. 2 x -1 1 x + 1 Z( - < ) = Z(x < 2) = (-∝; 2), d.m.th. x ∈ (-∝; 2). 3 2 6 x -1 1 2x - 36. Zgjidhe jobarazimin - > . 3 6 4 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ zgjidhish jobarazim linear me nj[ t[ Zgjidhe k[t[ jobarazim: panjohur; 2(x - 3) ≤ -(9 - 5x). t[ provosh intervalin e dh[n[ a [sht[ zgjidhje P[r cilat vlera t[ x shprehja 2x - 4 [sht[ pozi- e jobarazimit t[ dh[n[; tive? t[ formosh jobarazim p[r detyr[n e dh[n[ t[ Zgjidhe jobarazimin: p[rshkruar me fjal[. 3 x -1 2 x + 1 3 x -1 - < . 2 3 6 Detyra 4. Zgjidhi k[to jobarazime:1. Zgjidhi k[to jobarazime: 3x - 5 2x +1 a) - <0 ; a) 5x - 2 > 3x + 4; b) 2x - 7 < 5x + 2. 2 3 x-3 x +1 b) - 1< -22. Zgjidhi k[to jobarazime: 3 2 a) 2x - 3(x - 1) ≤ -(5 - x); 5. Cakto p[r cilat vlera t[ x shprehja b) 3x - 2(x + 3) ≥ -3(4 - x); 9- x x +3 - ka vler[ pozitive. 2 43. Provo se intervali (-3; +∝) a [sht[ zgjidhje e 6. Gjat[sia e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cm 5x + 4 x - 4 m[ e madhe se gjer[sia. Sa duhet t[ jet[ jobarazimit: < . gjat[sia e drejtk[nd[shit q[ t[ jet[ perimetri 4 2 m[ i vog[l p[r 54 cm? Jobarazimet lineare me një të panjohur 99
    • SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR12 ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ jobarazimet: }do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n 3x + 1 > 2x - 1 dhe 4x - 1 < 3x + 2. jobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike Zgjidhi jobarazimet e dh[na. quhet zgjidhje e jobarazimit. Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej jobarazimeve me interval Provo x = 3 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit dhe n[ drejt[z[n e nj[jt[ numerike. 3x - 1 > 2x - 3. Konstato se jobarazimet e dh[na a kan[ T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi formojn[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta. bashk[si e cila quhet bashk[si e zgjidhjeve t[ atij jobarazimi. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit Si do t[ konstatosh jobarazimet e 5x - 2 < 3x + 4. dh[na a kan[ zgjidhje t[ p[rbash- k[ta? Jobarazimet e dh[na do ti sjell[ deri te forma e zgjidhur, pastaj zgjidhjet do ti paraqes me interval dhe n[ t[ nj[jt[n drejt[z numerike, prej ku do t[ v[rej prerjen e bashk[sis[ s[ zgjidhjeve t[ tyre. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 3x + 1 > 2x - 1 ⇔ 3x - 2x > -1 - 1 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 ⇔ x > -2 ⇔ x<3 Z(3x + 1 > 2x - 1) = (-2; +∝) Z(4x - 1 < 3x + 2) = (-∝; 3)  Z(3x + 1 > 2x - 1) ∩ Z(4x - 1 < 3x + 2) N[ drejt[z[n numerike n[ p[rgjith[si mund t[ v[resh se numrat q[ i takojn[ intervalit (-2, 3) jan[ zgjidhje edhe t[ nj[rit jobarazim edhe t[ joabrazimit tjet[r. P[r dy jobarazime t[ dh[na themi se formojn[ sistem t[ dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur.100 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Mbaj mend! P[r dy ose m[ shum[ jobarazime lineare me t[ panjohur[n e nj[jt[, p[r t[ cilat k[rkohen zgjidhjet e p[rbashk[ta, thuhet se formojn[ sistem t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur. }do sistem prej dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur mund t[ sillet n[ form[n normale, si p[r shembull: ìax > b ï ï í (a, b, a1, b1 ∈ R). ïa1x > b1 ï î ì3 x - 1< 2 x + 3 ï2. {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve ï í ï5 x - 3 > 2 x + 9 . ï î Sille sistemin e dh[n[ n[ form[n normale. Cakto zgjidhjet e p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit n[ drejt[z[n numerike. T[ gjitha vlerat e t[ panjohur[s x q[ jan[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit, p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ jobarazimeve nga sistemi, quhet bashk[si e zgjidhjeve t[ jobarazimeve t[ sistemit dhe sh[nohet me Zs, d.m.th. Zs = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1). Shkruaje me interval bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[ dh[n[. Dy sisteme t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ e nj[jt[ jan[ ekuivalente n[ qoft[ se kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta. ìax > b ï B 3. {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve lineare ï í dhe jobarazimi a2x > b2 q[ [sht[ ïa1x > b1 ï î ekuivalent me ax > b. ìax > b ï ìa2 x > b2 ï V[rteto se sistemi i jobarazimeve ï í [sht[ ekuivalent me sistemin ï í ïa1x > b1 ï î ïa1x > b1. ï î V[re hapat gjat[ v[rtetimit. ìax > b ï1 Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve ï í [sht[ Zs = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1). ïa1x > b1 ï î2 Prej ax > b ⇔ a2x > b2 vijon Z(ax > b) = Z(a2x > b2). ìa x > b2 ï3 Zgjidhja e sistemit ï 2 í ïa1x > b1 ï î [sht[ Zs = Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1).4 Prej Z(ax > b) = Z(a2x > b2) vijon se Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1) = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1), ìax > b ï d.m.th. ï í ì ïa x > b2 ⇔ ï 2 í ïa1x > b1 ï î ïa1x > b1. ï î Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur 101
    • Me k[t[ v[rtetuam se vlen: Teorema 1 N[ qoft[ se n[ nj[ sistem t[ jobarazimeve z[v[nd[sohet cilido jobarazim me jobarazimin ekuivalent me t[, fitohet sistemi i jobarazimeve ekuivalent me sistemin e dh[n[. ìx +2 ï ï ï -3 < 0 ï4. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve ï 3 í ï x +1 ï x Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval t[ ï < 1- . ï 4 ï î 2 boshtit numerik. N[ ]far[ forme duhet ti sjellish S[ pari, jobarazimet e sistemit do ti jobarazimet e sistemit dhe si do transformojm[ n[ form[n e zgjidhur, ta caktosh zgjidhjen e tij? pastaj do t[ caktoj prerjen e bashk[sive q[ jan[ zgjidhje e jobarazimeve t[ sistemit. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. ìx +2 ï ï ï 3 -3 <0 ï ï ì ïx + 2 - 9 < 0 ï ì x < -2 + 9 ï ìx < 7 ï ìx < 7 ï í í ï ï ï ï x +1 ï ï < 1- x ï ï x + 1< 4 - 2 x î í ï x + 2 x < 4 -1 ï î í ï3 x < 3 ï î í ïx < 1 . ï î ï 4 ï î 2 Zs = (-∝; 7) ∩ (-∝; 1) = (-∝; 1)  Zs = Z(x < 7) ∩ Z(x < 1) = (-∝; 1) ì2x + 1 ï x -1 ï ï 3 - 1> 6 Zgjidhjen e sistemit paraqite me inter- ï5. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve ï í val t[ boshtit numerik. ï3 x -1 ï x ï + 1< . ï 4 ï î 2 Kur sistemi prej dy jobarazimeve Sistemi nuk do t[ ket[ zgjidhje n[ lineare mund t[ mos ket[ zgjidhje? qoft[ se prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[ bashk[si e zbraz[t. 102 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. ì2x + 1 ï x -1 ï ï 3 - 1> 6 ï ï ì4 x + 2 - 6 > x - 1 ï ì4 x - x > -1- 2 + 6 ï ì3 x > 3 ï ìx > 1 ï í ï ï ï ï ï3 x -1 ï ï + 1< x í ï3 x - 1+ 4 < 2 x ï î í ï3 x - 2 x < 1- 4 ï î í ï x < -3 ï î í ï x < -3 . ï î ï 4 ï î 2 Z(x > 1) = (1; +∞), Z(x < -3) = (-∞; -3); Zs = Z(x > 1) ∩ Z(x < -3) = ∅. Mbaj mend! N[ qoft[ se bashk[sia e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[ bashk[si e zbraz[t, at[her[ thuhet se sistemi nuk ka zgjidhje ose sistemi [sht[ kund[rth[n[s. ì x -1 x - 5 ï ï ï 2 < 4 ï6. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve: ï í ï 2 x -1 x + 2 ï ï < ï 2 ï î 3 Duhet t[ dish: t[ zgjidhish sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur; n[ drejt[z[n numerike dhe me interval ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohu Kontrollohu! ìx+2 ï ï ï 3 - 1< 0 ï Zgjidhe sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur: ï í ï x x +1 ï + ï > 1. ï2 ï î 4 ìax > b ï Cila [sht[ zgjidhje e sistemit t[ jobarazimeve me nj[ t[ panjohur: ï í n[ qoft[ se ïa1x > b1 ï î Z(ax > b) = (-∝, -1) dhe Z(a1x > b1) = (0, +∝)? Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur 103
    • Detyra1. Zgjidhe sistemin: 3. Zgjidhe sistemin: ì6 - 3 x > -2 x ï ì3 x - 2 > 2 x - 5 ï a) ï í b) ï í ì3( x - 2) > 2( x + 3) - 2 x ï a) ï ï9 + 6 x > 3 x ; ï î ï2 + x > 2 x + 3 . ï î í ï2(2 x - 5) - 1< 3( x - 1) ï î2. Zgjidhe sistemin: ì5 - ( x - 2) > 2 x - (1+ x) ï b) ï í ï2( x - 1) > -(5 - x). ï î ìx ï 2 ï - < x+7 ï2 3 ï ï í a) ï 2 x + 3 ï x-2 ï - 1> ; 4. Zgjidhe sistemin: ï 4 ï î 3 ì( x + 2)2 - 3 > x( x + 2) ï a) ï í ì x - 2 x +1 1 x ï ï2 x( x + 1) - x(2 x -1) < 4; ï ï ï 3 - 2 <6- 2 î ï ï í ì( x - 1)2 + ( x - 2)2 > 2( x - 3)2 - 1 b) ï x 1 x - 2 ï ï ï ï - > ï2 6 . ï ï î 3 b) í 1 x - 1 2 x - 1 x - 9 ï + ï > + . ï2 ï î 3 3 6 FUNKSIONI LINEAR13 FUNKSIONI LINEAR Kujtohu! A 1. N[ nj[ en[ q[ nxen 35 l ka 5 l uj[. Nj[ gyp hedh[ n[ en[ nga 3l uj[ n[ minut[. P[rpjes[timi i drejt[ dhe i zhdrejt[ jan[ fun- ksione. Ato zakonisht jepen me formula. Sa litra uj[ do t[ ket[ n[ en[ pas: 1 minut[; 2 minuta; 2,5 minuta; 5 minuta; 10 minuta? Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[n y = 2x? Sa litra uj[ (y) do t[ ket[ n[ en[ pas (x) Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[n minuta? 1 B[je tabel[n me t[ dh[nat e detyr[s. y= ? x Si do ta njehsosh sa uj[ ka n[ en[ P[r x = 1 minut[, y = 3 ⋅ 1 + 5 = 8 ; p[r x = 1 minuta, kurse sa p[r x = 2 p[r x = 2 minuta, y = 3 ⋅ 2 + 5 = 11 . minuta?104 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • V[reve se pas x minuta n[ en[ do t[ ket[ 3x + 5 litra uj[, d.m.th. y = 3x + 5. V[re se procesi i mbushjes s[ en[s me uj[ mund t[ p[rshkruhet si funksion f t[ dh[n[ me formul[ f(x) = 3x + 5. Sipas formul[s mund t[ formosh tabel[ dhe p[r vlera tjera t[ x (koha), p[rve] t[ dh[nave tjera.. x 1 1,5 2 2,5 3 5 9 10 Pas sa minuta ena do t[ mbushet me uj[?f(x) = 3x + 5 8 9,5 11 12,5 14 20 32 35 V[ren se, sipas natyr[s s[ problemit, koha x mund t[ ndryshon prej 0 deri m[ 10 minuta. N[ qoft[ se e shqyrton vet[m formul[n f(x) = 3x + 5, at[her[ x mund t[ jet[ ]far[do num[r real. }do numri real x i shoq[rohet num[r real i caktuar y, i atill[ q[ y = f(x). Me formul[n f(x) = 3x + 5 [sht[ dh[n[ funksioni f n[ bashk[sin[ R dhe paraqet shembull p[r funksion linear. V[re dhe mbaj mend! Funksioni f q[ [sht[ dh[n[ me formul[n f(x) = kx + n, ku k dhe n jan[ ]far[do numra t[ dh[n[ real[, quhet funksion linear. Numri k quhet koeficienti para argumentit x, kurse n an[tari i lir[. N[ qoft[ se funksioni linear [sht[ dh[n[ me formul[ dhe n[ qoft[ se nuk [sht[ th[n[ asgj[ p[r fush[n e p[rkufizimit, at[her[ do t[ llogarisim se fusha e p[rkufizimit t[ atij funksioni [sht[ R.2. Shkruaje funksionin linear p[r t[ cilin: a) k = 3 dhe n = 5; c) k = -2 dhe n = -1; b) k = 2 dhe n = -3; ]) k = 5 dhe n = 0. }far[ forme ka funksioni te i cili N[ qoft[ se k = 5 dhe n = 0, at[her[ k = 5 dhe n = 0 nga detyra 2? funksioni e mer form[n f(x) = 5x. }far[ p[rpjes[timi paraqet funksioni? Ai [sht[ p[rpjes[tim i drejt[.3. Shkruaje funksionin linear te i cili: koeficienti para argumentit [sht[ 4, kurse an[tari i lir[ 2; koeficienti para argumentit [sht[ -3, kurse an[tari i lir[ 1; koeficienti para argumentit [sht[ -2, kurse an[tari i lir[ 0. Funksioni linear 105
    • B 4. {sht[ dh[n[ funksioni linear f(x) = x - 2. Cakto: f (-2); f (0); f (2). P[r x = 2 fitohet f(x) = 2 - 2, d.m.th. P[r cil[n vler[ t[ argumentit x, vlera f(x) = 0, p[r x = 2. f(x) e funksionit [sht[ zero? Mbaj mend! Vlera e argumentit x p[r t[ cil[n vlera e funksionit y [sht[ zero, quhet zero e funksionit.5. Provo se numir -3 a [sht[ zero e funksionit f(x) = x + 3.6. Cakto zeron e funksionit: a) y = -3x + 6; b) y = 2x - 1. V[re se, te funksionet e dh[na, n[ vend t[ f(x) q[ndron y. K[shtu do ti shkruajm[ funksionet lineare p[r m[ tutje. Si do ta caktosh x te funksioni Q[ t[ jet[ y = 0, duhet kx + n = 0. Prej y = kx + n q[ t[ jet[ y = 0? n k[tu kx = -n, kurse x = - , p[r k ≠ 0. k Krahaso zgjidhjen t[nde p[r funksionin a). a) Vlera e funksionit y = -3x + 6 [sht[ zero n[ qoft[ se: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, d.m.th. numri 2 [sht[ zero e funksionit y = -3x + 6.7. Cakto zeron e ]donj[rit prej funksioneve: 1 a) y = x - 5; b) y = 5x - 3; c) y = -3x; ]) y = x-2 . 2 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ p[rkufizosh funksion linear; Cili prej k[tyre funksioneve [sht[ funksion li- near? t[ caktosh koeficientin dhe an[tarin e lir[ te 6 funksioni linear; a) y = 6x; b) y = ; c) y = 2x2 - 1; x ]) y = -2x + 1; d) y = x + 3. t[ caktosh zeron e funksionit linear. Cakto zeron e funksionit y = -2x - 6. 106 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Detyra1. Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[ li- 4. Cakto zeron e funksionit: near: 1 1 12 a) y = 3x - 6; b) y = x- ; a) y = ; 2 b) y = x - 1; c) y = 3x; 2 4 x c) y = 2x - 5; ]) y = 2x. 1 ]) y = -2x + 3; d) y = x+2. 22. Shkruaje funksionin linear te i cili: 5. Zero e funksionit y = kx + n [sht[ x = 2, a) k = -2, n = 3; b) k = -1, n = 2; kurse n = -3. Cakto koeficentin para argumentit. 1 n= 1 c) k = -2, n = 0; ]) k = , . 2 43. Cakto koeficientin para argumentit dhe 6. P[r funksionin y = kx + n, x = -2 [sht[ zero e an[tarin e lir[ te funksioni: funksionit, kurse an[tari i lir[ [sht[ p[r 3 m[ i a) y = 2x - 3; b) y = 2x; madh se koeficienti para argumentit. Cakto k dhe n. 1 1 c) y = - x+3 ; ]) y = - x. 3 214 PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONIT LINEAR Kujtohu! A 1. N[p[r pikat O dhe A n[ vizatim [sht[ t[rhequr drejt[z. N[ vizatim [sht[ dh[n[ sistemi k[nddrejt koordinativ Oxy. Trego se ajo drejt[z [sht[ grafiku i fun- ksionit y = 2x. Provo se pikat O(0,0) dhe A(1, 2) a i takojn[ grafikut t[ funksionit y = 2x. Trego se pika Si quhet boshti x, dhe si quhet boshti y? (2,4) i takon gra- Si quhet pika O? fikut t[ funksionit Cakto koordinatat e pik[s A. y = 2x. Sa drejt[za kalojn[ n[p[r dy pika? Funksioni linear 107
    • Si do t[ tregosh se pikat O(0, 0) dhe P[r x = 0, y = 2 × 0, y = 0. A(1,2) i takojn[ grafikut t[ fun- P[r x = 1, y = 2 × 1, y = 2. ksionit? Vijimisht pikat O dhe A i takojn[ grafikut t[ funksionit. V[re, n[ vizatim, se [sht[ t[hequr drejt[za n[p[r pikat O dhe A, t[ cilat i takojn[ grafikut t[ funksionit y = 2x. V[re sqarimin se ]do pik[ e drejt[z[s OA e plot[son kushtin y = 2x, kurse pika q[ nuk i takon OA nuk e plot[son k[t[ kusht. T[ zgjedhim ]far[do pik[ B(x , y ) q[ shtrihet n[ drejt[z[n OA (shihe vizatimin). 1 1 V[re se ΔONB ~ ΔOMA. Nga ngjashm[ria e trek[nd[shave vijon se NB : ON = MA : OM , d.m.th. y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1. Pra pika B(x1, y1) i takon grafikut t[ funksionit y = 2x. T[ zgjedhim nj[ pik[ vizatimin). C q[ nuk i takon drejt[z[s OA, kurse ka abshis[ t[ nj[jt[ me pik[n B (shihe Dometh[n[ pika C nukNBtakon grafikut t[ funksionit. , d.m.th. pika C nuk e k[naq kushtin Pasi y = 2x , vijon se 1 1 i = 2ON . V[re se NC ¹ 2ON y = 2x. Mund t[ themi se grafiku i funksionit linear y = 2x [sht[ drejt[z[ e cila kalon n[p[r fillimin (origjin[n) e koordinatave. N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen teorema vijuese: Teorema 1  Grafiku i funksionit linear y = kx, p[r ]far[do num[r k ∈ R [sht[ drejt[z q[ kalon n[p[r origin[n e koordinatave.2. {sht[ dh[n[ funksioni y = -3x. Provo pikat: A(1, -3) dhe B(-1, 3) a i takojn[ grafikut t[ funksionit. Paraqite grafikisht funksionin. B 3. N[ vizatim [sht[ dh[n[ grafiku i funksionit: y = 2x dhe n[p[r pikat P dhe B [sht[ t[rhequr drejt[z. Trego se ajo drejt[z [sht[ grafik i funksionit y = 2x + 3. Cakto koordinatat e pik[s P ku grafiku i funksionit y = 2x + 3 e pret boshtin y. Sipas vizatimit, cakto koordinatat e pik[s B e cila i takon grafikut t[ funksionit y = 2x + 3. Cakto OP dhe AB . 108 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. koordinata P(0,=3). ⋅ 0 + 3; y = 3. Grafiku i funksionit y = 2x + 3, e pret boshtin P[r x = 0, y 2 y n[ pik[n P me P[r 2x = 1, y = 2 ⋅ 1 + 3; y = 5. Pika B(1, 5) i takon grafikut t[ funksionit y= x + 3. N[ qoft[ 3see argumentit2a i+jep vler[ y = 2x + ka vler[n x 3. a, at[her[ funksioni y = 2x fiton vler[ 2a, kurse funksioni se ordinata me abshis[n e nj[jt[grafiku i funksionit 2x.= 2x + 3 [sht[ p[r 3 (an[tari i lir[) m[ e madhe V[re se ordinata e ]do pike nga t[ funksionit y = y Segmentet kjo vijonAB jan[ paralele dhe OP = AB paralele. kat[rk[nd[shi OAPB [sht[ paralelogram, kurse nga OP dhe se drejt[zat OA dhe PB jan[ . Prandaj V[re se grafiku i funksionit linear y = 2x + 3 [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = 2x, kurse boshtin e ordinat[s e pret n[ pik[n (0, 3). N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen Teorema 2  Grafiku i funksionit y = kx + n [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = kx, kurse boshtin e ordinatave e pret n[ pik[n (0, n).4. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit y = 2x - 3 e pret boshtin y . C 5. Paraqite grafikun e funksionit y = 3x - 2. Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[ Drejt[za [sht[ p[rcaktuar me dy pika q[ i drejt[z? A mund at[ ta shfryt[- takojn[. Dometh[n[, duhet ti caktoj zosh n[ k[t[ detyr[? koordinatat e dy pikave q[ i takojn[ grafikut t[ funksionit. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. y = 3x - 2 x 0 1 y = 3 ⋅ 0 - 2, y = -2, A(0, -2) y -2 1 y = 3 ⋅ 1 - 2, y = 1, B(1, 1) Funksioni linear 109
    • V[re dhe mbaj mend! Funksioni linear grafikisht paraqitet n[ at[ m[nyr[ q[ n[ fillim caktohen koordinatat e dy pikave t[ grafikut t[ tij, pastaj ato pika paraqiten n[ rrafshin koordinativ dhe n[p[r ato t[rhiqet drejt[z. Ajo drejt[z e paraqet grafikun e funksionit t[ dh[n[.6. Paraqite grafikisht funksionin y = -2x + 1.7. N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni y = x - 2. x 0 2 y -2 0 Cakto koordinatat e pik[prerjes A t[ grafikut me boshtin e abshis[s. Cakto zeron e funksionit. Krahaso zeron e funksionit me abshis[n e pik[prerjes. }far[ v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. N[ qoft[ se y = 0, at[her[ 0 = x - 2, x = 2, d.m.th. A(2, 0); zero e funksionit [sht[ 2. Mbaj mend! Abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionit linear dhe boshtin x [sht[ zero e funksionit. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ konstatosh se pika e dh[n[ a i takon grafikut t[ funksionit t[ dh[n[; ti caktosh koordinatat e pik[s te e cila grafiku Cila prej pikave: A(0, 0), B(2, 6) dhe C(-1, 3) i funksionit e pret boshtin e ordinatave; i takon grafikut t[ funksionit y = -3x? grafikisht ta paraqesish funksionin linear; Paraqite grafikisht funksionin y = 2x - 1. prej grafikut t[ funksionit ta caktosh zeron e Prej grafikut cakto zeron e funksionit, kurse funksionit. pastaj kryeje prov[n. Detyra 1. Cila prej pikave: A(-2, -5), B(-1, -2), 2. P[r cil[n vler[ t[ x pika A(x, 2) i takon gra- C(0, 3) dhe D(2, -1) i takon grafikut t[ fikut t[ funksionit y = 3x - 1? funksionit y = x - 3? 110 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 3. Paraqiti grafikisht funksionet: 5. Te funksioni y = -2x + n cakto n ashtu q[ y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x - 2. pika P(1, 3) ti takon grafikut t[ tij.4. Cakto koordinatat e pik[s te e cila funksioni y = 2x - 4 e pret boshtin e abshis[s. 6. Te funksioni y = kx - 2 cakto k ashtu q[ pika A(1, 0) ti takon grafikut t[ tij.15 POZITA RECIPROKE E GRAFIK{VE T{ DISA FUNKSIONEVE LINEARE Kujtohu! A 1. Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem Grafiku i funksionit y = kx kalon n[p[r t[ koordinatave, k[to funksione: fillimin e koordinatave. y = 2x; y = 2x - 3; y = 2x + 3; 1 V[re ]kan[ t[ p[rbashk[t funksionet e Te cili funksion: y = 3x, y = x - 3, y = - x, dh[na. 2 grafiku kalon n[p[r fillimin e koordinatave? N[ ]far[ pozite reciproke jan[ grafik[t e funksioneve y = 2x - 3 dhe y = 2x + 3 me grafikun e funksionit y = 2x? Cil[t funksione: 1 1 y= x + 1; y = 2x + 1; y = x -1 ; 2 2 e kan[ koeficientin e nj[jt[ para argumentit? N[ vizatim jan[ paraqitur grafik[t e funksioneve. Si jan[ koeficient[t e tyre dhe si [sht[ pozita reciproke e grafik[ve t[ tyre?Funksionet e dh[na kan[ koeficient t[ nj[jt[ paraargumentit, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[za paralele. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit. Mbaj mend! Grafiqet e funksioneve lineare me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit jan[ drejt[za paralele. 1 1 1 12. {sht[ dh[n[ funksioni y= x - 2 . Te cili funksion: y = - x + 2 ; y = 2 x - ; y = x + 5 2 2 2 2 grafiku [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit t[ dh[n[? Funksioni linear 111
    • 3. Te funksioni y = kx - 3 cakto k ashtu q[ grafiku i tij t[ jet[ drejt[z[ paralele me grafikun e funksionit y = 5x - 2. B 4. Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem koordinativ, k[to funksione: y = -2x + 3; y = x + 3; y = -x + 3. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i ]do fun- ksioni e pret boshtin y; V[re ]far[ kan[ t[ p[rbashk[ta funksionet e dh[na. V[re an[tar[t e lir[ t[ Funksionet e dh[na kan[ an[tar t[ lir[ t[ nj[jt[ funksioneve. Si jan[ ato +3 dhe koeficient t[ ndrysh[m para argumentit. nd[rmjet vedi? Ato e presin boshtin e ordinat[s n[ pik[n (0, 3). Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me an[tarin e nj[jt[ t[ lir[ n. Mbaj mend! Grafik[t e funksioneve lineare me an[tar t[ nj[jt[ t[ lir[ jan[ drejt[za t[ cilat boshtin e ordinat[s e prejn[ n[ pik[n me koordinata (0, n). 15. Jan[ dh[n[ funksionet: y = 3x - 2; y= x - 2; dhe y = -2x + 3. 2 Cili prej grafiqeve t[ atyre funksioneve priten n[ pik[n e boshtit y? Cakto koordinatat e asaj pike. 16. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit y =- x - 2 e pret boshtin e ordinat[s. 2 C 7. Shkruaji funksionet te t[ cilat: a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; dhe c) k = 0, n = -2. Paraqiti funksionet e fituara grafikisht. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) k = 0, n = 3 b) k = 0, n = 1 c) k = 0, n = -2 y=0⋅x+3 y=0⋅x+1 y=0⋅x-2 y=3 y=1 y = -2 y=0⋅x+3 y=0⋅x+1 y=0⋅x-2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 y 3 3 y 1 1 y -2 -2 112 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • V[ren se koeficienti para argumentit te funksioni t[ dh[n[ [sht[ 0, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[za paralele me boshtin e abshis[s. Te funksioni y = 0 ⋅ x + n, y = n d.m.th. p[r ]do vler[ t[ x, vlera e y [sht[ n. Funksioni y = n quhet funksion konstant. V[re dhe mbaj mend! Grafiku i funksionit konstant y = n [sht[ drejt[z paralele me boshtin x. Grafiku i tij e pret boshtin y n[ pik[n (0, n). Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ sqarosh kur grafiku i funksioneve lineare {sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3. Grafiku i jan[ drejt[za paralele; cilit funksion y = -2x + 3, y = 2x - 1 dhe 1 t[ sqarosh kur grafik[t e funksioneve priten n[ y= x - 3 [sht[ drejt[z q[: 2 pik[n e nj[jt[ t[ boshtit y; a) [sht[ paralele me grafikun e funksionit t[ dh[n[; grafikisht t[ paraqesish funksion konstant. b) e pret boshtin e ordinat[s n[ pik[n e nj[jt[ me grafikun e drejt[z[s s[ dh[n[? Detyra1. Cili prej funksioneve: 4. Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[ 1 pika M(0, -1) ti takon grafikut t[ funksionit. y = 3x - 2; y = -3x + 2; y= x-2 3 e ka grafikun paralel me grafikun e funksionit y = 3x?2. Cakto k ashtu q[ grafiku i funksionit 5. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionit y = kx + 2 t[ jet[ drejt[z paralele me grafikun y = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun e funksionit y = -2x + 1 dhe pika P(-2, 6) ti 1 takon grafikut t[ funksionit. e funksionit y = -3 x + . 23. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionit y = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun e 6. Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem funksionit y = 2x - 1 dhe ta pret boshtin e koordinativ k[to funksione: y = -3; y = 2 ordinat[s n[ pik[n M(0, -3). dhe y = 4. Funksioni linear 113
    • 16 VIJIMI I FUNKSIONIT LINEAR Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ funksioni linear y = 3x - 2. N[ vizatim [sht[ paraqitur sistemi k[nddrejt Paraqite funksionin me tabel[ p[r koordinativ Oxy. x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} Paraqite funksionin grafikisht. Si ndryshon vlera e funksionit n[ qoft[ se argumenti x ritet? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. y = 3x - 2 x -2 -1 0 1 2 Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[ y -8 -5 -2 1 4 paraqitur n[ boshtin x, prej an[s s[ majt[ n[ t[ djatht[? Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[ paraqitur n[ boshtin y, prej posht lart[? Prejqoft[ se ritet vlerav[resh se: at[her[ ritet edhe vlera e funksionit. n[ tabel[s mund t[ e argumentit, Prandaj p[r funksionin y = 3x - 2 thuhet se [sht[ rrit[s. N[ p[rgjith[si P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ rrit[s, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave t[ argumentit x riteri edhe vlera e funksionit y.2. {sht[ dh[n[ funksioni y = 4x - 1. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}. Konstato se funksioni a [sht[ rrit[s. B 3. {sht[ dh[n[ funksioni y = -2x + 1. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}. Si ndryshon vlera e funksionit, n[ qoft[ se vlera e argumentit ritet? 114 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. x -2 -1 0 1 2 y 5 3 1 -1 -3 Prejqoft[ se ritet vlera v[resh se: n[ tabel[s mund t[ e x, at[her[ vlera e funksionit y zvog[lohet. P[r k[t[ shkak p[r funksionin y = -2x + 1 thuhet se [sht[ zvog[lues. N[ p[rgjith[si P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ zvog[lues, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave argumentit x vlera e funksionit zvog[lohet.4. {sht[ dh[n[ funksioni y = -3x + 2. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}. Cakto se funksioni a [sht[ zvog[lues.5. }far[ numri (pozitiv ose negativ) [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1 nga detyrat 1 dhe 2? }far[ numri [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 nga detyrat 3 dhe 4? Cil[t prej funksioneve jan[ rrit[s, dhe cil[t zvog[lues? }ka p[rfundove p[r Te funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1 koeficienti funksionet e dh[na: para argumentit [sht[ num[r pozitiv dhe ato jan[ rrit[s. kur ato jan[ rrit[s, Te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 koeficienti dhe kur jan[ zvog[- para argumentit [sht[ num[r negativ dhe ato jan[ lues? zvog[lues. At[ q[ e konstatove p[r funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1, p[rkat[sisht p[r y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet lineare. Mbaj mend! N[ qoft[ se te funksioni y = kx + n, koeficienti k [sht[ pozitiv, at[her[ funksioni [sht[ rrit[s, kurse p[r k < 0, funksioni [sht[ zvog[lues.6. Cakto cili prej funksioneve [sht[ rrit[s, dhe cili zvog[lues: 1 1 a) y = x +3; b) y = x - 5; c) y = -5x + 2; ]) y = - x - 1. 2 2 Funksioni linear 115
    • Duhet t[ dish: t[ konstatosh se funksioni linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues; ta sqarosh m[nyr[n se nj[ funksion linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues. Kontrollohu! Cakto prej tabel[s funksioni a [sht[ rrit[s ose zvog[lues. x 0 1 2 3 x 0 2 4 6 1 a) y = 3x - 5; b) y = - x + 2 . y -5 -2 1 4 2 y 2 1 0 -1 Cakto se funksioni y = kx + n a [sht[ rrit[s ose zvog[lues n[ qoft[ se: 1 2 a) k = ; b) k = -3; c) k = - . 2 3 Detyra1. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[ 4. Paraqite grafikisht funksionin y = 2px - 1 dhe rrit[s: konstato se ai a [sht[ rrit[s ose zvog[lues, n[ qoft[ se: 2 a) y = x - 2; c) y = -x - 3; a) p = 2; b) p = -1. 5 b) y = -2x + 5; ]) y = x - 2.2. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[ 5. Paraqite grafikisht funksionin zvog[lues: y = (a - 3)x + 1 dhe konstato se ai a [sht[ 1 rrit[s ose zvog[lues, n[ qoft[ se: a) y = x + 2; c) y = 3x - 5; 3 a) a = 0; b) a = 5. 1 b) y = -3x + 1; ]) y = - x+2. 23. P[r cil[n vler[ t[ k ∈ {-2, - 1 , 1 , 3} 6. Grafiku i funksionit y = kx + n e pret boshtin 2 3 y n[ pik[n P(0, 2) dhe kalon n[p[r pik[n funksioni y = kx + n [sht[ A(1, -1). Cakto se funksioni a [sht[ rrit[s ose a) rrit[s; b) zvog[lues? zvog[lues.116 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 17 ZGJIDHJA GRAFIKE E BARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu! A 1. {sht[ dh[n[ funksioni y = 3x - 6. Zero e funksionit [sht[ vlera e argumentit p[r t[ cil[n vlera e funksionit [sht[ e barabart[ Paraqite grafikisht funksionin. me zero.. Prej grafikut t[ funksionit cakto zeron e Cakto zeron e funksionit y = 2x - 4. funksionit. Cakto zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i Krahaso zeron e funksionit y = 3x - 6 me funksionit y = 2x - 4 e pret boshtin x. zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0. Si do ta caktosh zgjidhjen e Funksionin y = 3x - 6 do ta paraqes grafikisht barazimit 3x - 6 = 0 me ndih- dhe do ti caktoj koordinatat e pik[prerjes t[ m[n e grafikut t[ funksionit grafikut me boshtin x. Me k[t[ do ta caktoj edhe y = 3x - 6? zeron e funksionit, kurse ai num[r [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.  Prerja e grafikut dhe boshtit x [sht[ pika M(2, 0).  Zero e funksionit y = 3x - 6 [sht[ x = 2.  Zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0 [sht[ 6 3x - 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = , x = 2. 3  Zgjidhje t[ funksionit 3x=- 3x =- 6 grafikut e barazimit y 6 0 [sht[ abshisa e prerjes s[ dhe boshtit x, d.m.th. x = 2. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionin linear. V[re dhe mbaj mend! Zgjidhja e barazimit ax + b = 0, p[r a ≠ 0 [sht[ abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionit y = ax + b me boshtin x.2. Zgjidhe grafikisht barazimin x + 2 = 0. Funksioni linear 117
    • B 3. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = -x + 3. V[re se barazimin 2x - 3 = -x + 3 mund ta zgjidhish grafikisht n[ qoft[ se paraprakisht e transformon n[ form[n e p[rgjithshme ax + b = 0. Vepro sipas k[rkesave dhe v[re tjet[r m[nyr[ t[ zgjidhjes grafike t[ barazimit. Zgjidhe barazimin 2x - 3 = -x + 3. Prej shprehjeve nga ana e majt[ dhe e djatht[ e barazimit shkruaji funksionet y = 2x - 3 dhe y = -x +3, kurse pastaj paraqite grafikisht Krahaso zgjidhjen e barazimit me abshis[n e pik[prerjes s[ grafik[ve t[ funksioneve. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.. y = 2x - 3 y = -x + 3 x 0 1 x 0 1 y -3 -1 y 3 2 V[ren se grafiqet e t[ dy funksioneve priten n[ pik[n M(2, 1). Abshisa e 2x - 3 M-x + 3. x = 2, kurse ajo [sht[ edhe zgjidhje e barazimit pik[s = [sht[ Koeficient[tdhe barazimi ka zgjidhje t[ vetme. jan[ t[ ndryshme (2 ≠ -1), grafik[t kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t para argumentit t[ dy funksioneve4. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = x + 1.5. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 1 = 2x + 3. Krahasoi koeficient[t para T[ dy funksionet y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3 argumentit t[ funksioneve q[ kan[ koeficient t[ nj[jt[ para argumentit, do ti fitosh. }ka v[ren? }far[ kurse an[tar[t e lir[ i kan[ t[ ndrysh[m. pozite reciproke kan[ gra- Grafik[t e k[tyre funksioneve jan[ drejt[za fik[t? paralele, d.m.th. nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.. y = 2x - 1 y = 2x + 3 x 0 1 x 0 -1 y -1 1 y 3 1 Grafik[t e funksioneve y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3 jan[ drejt[za paralele. Ato nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t, pra barazimi nuk ka zgjidhje. 118 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • 6. Cili prej k[tyre barazimeve nuk ka zgjidhje? a) 2x - 3 = 3x - 2; b) 4x - 1 = 4x + 2; c) 2x - 5 = -2x + 3.7. Zgjidhe barazimin 2x + 1 = 2x + 1. Krahasoji koeficient[t dhe an[tar[t e Koeficient[t para argumentit dhe lir[ t[ funksioneve q[ i fiton me an[tar[t e lir[ t[ funksioneve: shprehjet t[ an[s s[ majt[ dhe t[ y = 2x + 1 dhe y = 2x + 1 jan[ t[ ba- djatht[ t[ barazimit. }fare konstaton? rabarta, kurse grafik[t e funksioneve puthiten. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. V[re se barazimi 2x + 1 = 2x + 1 [sht[ identitet. y = 2x + 1 y = 2x + 1 x 0 1 x 0 -1 y 1 3 y 1 -1 V[ren se grafik[t e funksioneve jan[ drejt[za q[ puthiten dhe barazimi ka pafund shum[ zgjidhje.8. Cakto cili prej k[tyre barazimeve: 3x - 1 = 2x + 1; 3x - 2 = 3x + 1; 5x - 1 = 5x -1. a) ka nj[ zgjidhje; b) nuk ka zgjidhje; c) ka pafund shum[ zgjidhje. Duhet t[ dish: Kontrollohu! grafikisht t[ zgjidhish barazim li- near me nj[ t[ panjohur; Sipas vizatimit cakto zgjidh- jen e barazimit 2x - 1 = x + 1. prej grafikut t[ p[rfundosh se barazimi a ka nj[ zgjidhje, a nuk ka zgjidhje ose ka pafund shum[ Cakto sa zgjidhje ka secili zgjidhje. prej barazimeve t[ dh[n[: 2x - 1 = 2x + 3; 3x - 2 = 2x - 3. Detyra 1. Zgjidhe grafikisht barazimin: 3. Te barazimi 2x - 3 = kx + 1, cakto k ashtu q[ a) x - 2 = 0; b) 2x - 6 = 0. barazimi t[ mos ket[ zgjidhje. 2. Zgjidhe grafikisht barazimin: a) x + 1 = 2x - 1; b) 3x - 1 = -x + 3. Funksioni linear 119
    • 4. Cakto k dhe n te funksioni y = kx + n ashtu q[ barazimi kx + n = 2x + 3 t[ ket[ pafund shum[ zgjidhje. P[rpiqu ... Kosit[sit e Tolstoit Nj[ grup i kosit[sve [sht[ dashur t[ kosisin dy livadhe, ku nj[ri [sht[ dy her[ m[ i madh se tjetri. Gjysm[ dite t[ gjith[ kosit[sit kan[ kositur n[ livadhin e madh, e pastaj jan[ ndar[ n[ dy grupe. Grupi i par[ ka ngelur t[ kosit te livadhi i madh dhe e ka krye kositjen deri n[ fund t[ dit[s, kurse grupi i dyt[ ka kositur te livadhi i vog[l dhe n[ fund t[ dit[s i ka ngelur edhe nj[ pjes[ e livadhit. At[ pjes[ e ka kositur nj[ kosit[s, duke kositur t[r[ dit[n e nes[rme. Sa kosit[s gjithsej kan[ qen[ n[ grup? P U N A M E T { D H { N A18 NGJARJET E RASTIT. PROBABILITETI I NGJARJES Kujtohu! A 1. Driloni hedh[ monedh[n n[ aj[r. Pas Nj[ ekip futbolli luan ndeshje. Rezultatet e r[nies s[ saj n[ tok[, e mundshme [sht[ mundshme t[ ndeshjes jan[: fitore, barazi, ose q[ n[ pjes[n e saj t[ sip[rme t[ paraqitet humbje. "numri" ose " stema". Sa ngjarje t[ mundshme ka? N[ nj[ kuti ka toptha t[ bardh[, t[ zi dhe t[ Driloni d[shiron t[ paraqitet "numri" kuq. Nxirret nj[ topth. d.m.th. ngjarje e d[shiruar p[r Cilat jan[ ngjarjet e mundshme t[ nxjerrjes. Drilonin [sht[ "numri". Sa jan[ mund[sit[ t[ bjer[ "numri" n[ raport me "stem[n"? Nj[ zar hudhet mbi tavolin[ dhe pas ndaljes Sa her[ mund t[ p[rs[ritet hudhja e monedh[s s[ saj, nj[ faqe [sht[ lart[. Cilat ngjarje jan[ n[ aj[r. t[ mundshme n[ lidhje me Hudhja e monedh[s n[ aj[r [sht[ eksperiment. numrin e pikave t[ asaj ane? T[rheqja e kart[s nga grumbulli prej 52 sosh [sht[ shembull tjet[r i eksperimentit. Çdo rezultat n[ lidhje me eksperimentin e dh[n[ E quhet ngjarje ose pasoj[ q[ ka t[ b[j[ me at[ eksperiment. Gjat[ eksperimentit hudhja e monedh[s n[ aj[r mund[sia q[ t[ paraqitet "numri" ose "stema" jan[ t[ njejta. P[r k[to ngjarje themi se kan[ mund[si t[ paraqiten ose jan[ te barabarta. Eksperimenti E "hudhja e monedh[s n[ aj[r" mund t[ p[rs[ritet, n[ kushte t[ njejta, sa her[ q[ t[ duam, d.m.th. mund t[ b[het nj[ seri n prej eksperimenteve t[ tilla.120 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • N[ secilin nga eksperimentet ta v[rejm[ ngjarjen A: "ra numri". Me p(A) ta sh[nojm[ numrin e eksperimenteve n[ t[ cilat [sht[ paraqitur ngjarja A n[ nj[ seri prej n eksperimentesh. Konkretisht! N[ tabel[n vijuese jan[ paraqitur rezultatet e ngjarjes A: "ra numri" n[ pes[ seri me nga 100 eksperimente. r(A ) r(A ) V[re her[sin , d.m.th. p[r ]do seri. n 100 r(A ) r(A ) Seria r(A) V[reve se numrat n[ kolon[n jan[ af[r numrit 0,5. N[se numri n n 1 52 0,52 i eksperimenteve n[ seri rritet, at[her[ numri i atij her[si do t[ jet[ m[ af[r 0,5. Ky num[r paraqet vler[n statistikore p[r ngjarjen A. 2 49 0,49 3 53 0,53 r(A ) Numri deri te i cili afrohen her[sat nga serit[ e realizuara, 4 51 0,51 n quhet probabiliteti i ngjarjes A. 5 48 0,48 Ai sh[nohen me V(A). N[se shqyrtojm[ seri me nga n eksperimente, at[her[ numri p(A) n[ paraqitje t[ ngjarjes A mund t[ jet[ m[ s[ paku 0, dhe m[ s[ shumti n, d.m.th. 0 £ r ( A ) £ n . N[se pjes[tojm[ me n, do t[ fitojm[ 0 r(A ) n r(A ) £ £ , d.m.th. 0 £ £ 1. n n n n r(A ) V[reve se numri p[r ]do seri nga n eksperimente [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1. Sipas saj edhe n probabiliteti i ngjarjes A [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1, d.m.th. 0 £ V (A ) £ 1 . Ngjarja A: "ra numri" n[ eksperimentin "hudhja e monedh[s n[ aj[r" quhet ngjarje e rastit. N[ p[rgjith[si P[r nj[ ngjarje A n[ lidhje me eksperimentin E thuhet se [sht[ ngjarje e rastit, n[se vlejn[ dy kushtet vijuese:1.  Eksperimenti E mund t[ p[rs[ritet gjat[ kushteve t[ njejta sa her[ q[ duam. r(A )2.  Nga shum[ seri t[ kryera t[ eksperimentit E, p[raf[sisht jan[ t[ barabart[ her[sat n e atyre serive.2. Merita ka nj[ loj[ q[ quhet rrotulluese. N[se e rrotullon shigjet[n jan[ t[ mundshme tre ngjarje: shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe, n[ fush[n e verdh[ ose n[ fush[n e kalt[r. V[re madh[sin[ e secil[s fush[. A [sht[ secila nga ngjarjet nj[lloj e mundshme. N[se jo, cila ngjarje [sht[ me mund[si m[ t[ m[dha. Funksioni linear 121
    •  Ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme pasi tre fushat e ngjyrosura nuk kan[ madh[si t[ njejt[. Gjasat q[ shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe jan[ m[ t[ m[dha pasi fusha e kuqe ka syprin[ m[ t[ madhe. Dometh[n[, shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe [sht[ mund[si m[ e madhe se n[ fushat tjera.3. V[re vizatimet nga eksperimentet. P[r ]do eksperiment shkruaj: ngjarjet e mundshme; a jan[ ata ngjarje nj[lloj t[ mundshme; n[se ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme, cila ngjarje [sht[ m[ e mundshme. Rrotullimi i shigjet[s Hudhja e zarit me faqet Hudhja e zarit t[ kalt[rt dhe zarit t[ kuq n[ rrotulluese e sh[nuara me A, B, C, nj[koh[sisht D, G, H (ngjarjet jan[ ]ifte t[ renditura) Gjuajtja e topit n[ Rrotullimi i shigjet[s Hudhja e monedh[s dy shport[ n[ rrotulluese denar[she B Ngjarja e ndonj[ eksperimenti mund t[ jet[ e sigurt, e pamundshme ose e mundshme.4. V[re shembujt: Jan[ dh[n[ tre kuti me toptha me ngjyr[. Nd[r ]do kuti jan[ sh[nuar pohime p[r ngjarjet nga t[rheqja e topthave pa shikuar. P[rmban P[rmban P[rmban 20 10 10 6 14 Me siguri mund t[ t[rhiqet E mundshme [sht[ q[ t[ E mundshme [sht[ q[ t[ topth i zi. t[rhiqet ose topth i zi ose t[rhiqet ose topth i zi ose E pamundur [sht[ t[ i kuq. i kuq. M[ tep[r [sht[ e mundshme t[rhiqet topth i kuq. E pamundur [sht[ t[ q[ t[ t[rhiqet topth i kuq se t[rhiqet topth i bardh[. sa i zi. 122 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • Kur [sht[ e sigurt se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 1 ose 100%. Shembull, t[rheqja e topthit t[ zi nga kutia e par[. Kur [sht[ e pamundshme se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 0. Shembull, t[rheqja e topthit t[ bardh[ nga kutia e dyt[. T[ gjitha mund[sit[ ose probabilitet tjera jan[ nd[rmjet 0 dhe 1. Shembull, t[rheqja e topthit t[ kuq nga kutia e tret[.5. V[re shkall[n e probabilitetit. e pamundshme nj[lloj e mundshme e sigurt m[ pak e mundshme m[ shum[ e mundshme 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Duk[ shfryt[zuar shkall[n e gjas[s p[r ]do ngjarje nga tabela e dh[n[ m[ posht[, p[rgjigju: a) Sa [sht[ gjasa p[r t[ ndodhur ngjarja, parashtroje me rastet: e pamundshme, m[ pak e mundshme, nj[lloj e mundshme, m[ shum[ e mundshme ose e sigurt[. e sigurt 1 100% b) Vizato shkall[ si e dh[na dhe n[ t[ sh[no ngjarjet 1, 2, 3, ...,10, sipas asaj se sa [sht[ gjasa q[ t[ ndodh ajo. m[ shum[ e mundshme 0,9 90% c) Sqaro secil[n p[rgjigje. 0,8 80% Ngjarja 0,7 70% 1 Nes[r udh[tosh p[r n[ Mars. 2 Sonte do t[ shkruash detyra sht[pie nga matematika. 0,6 60% 3 T[ gjith[ shok[t e tu do t[ shkojn[ nes[r n[ shkoll[. nj[lloj e mundshme 0,5 50%4 Sot do t[ bjerr shi. 5 m[ pak e mundshme Nj[ vullkan do t[ ket[ erupcion k[t[ vit. 0,4 40% 6 Do t[ bjerr bor[ n[ gusht. 0,3 30% 7 Do t[ bjerr shi k[t[ vit. 8 N[se hudhish shishe plastike, ajo do t[ thehet. 0,2 20% 9 Do t[ udh[tosh me anije nga Shkupi p[r n[ Manastir. 0,1 10% 10 N[se hudhish zarin do t[ bjerr numri 5. e pamundshme 0 Funksioni linear 123
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ dallosh ngjarjet e mundshme nga t[ pamundshmet. Shkruaj nga nj[ shembull: t[ sqarosh se cila ngjarje [sht[ e rastit; ngjarje q[ ka gjas[ 0; t[ tregosh shembuj t[ ngjarjeve me probabilitet ngjarje q[ ka gjas[ 0,5; 0, nd[rmjet 0 dhe 1 dhe probabilitet 1. ngjarje q[ ka gjas[ 1; t[ vler[sosh probabilitetin e ngjarjes gjat[ eksperimentit t[ r[ndomt[. Detyra1. V[re rrotullueset: 3. Shkruaje ]do shkronj[ t[ fjal[s ANANAS n[ kartel[ t[ ve]ant[. P[rziej kartelat dhe t[rhiq kartela pa shikuar. P[rshkruaj probabilitetin q[ t[ t[rheqish: a) shkronj[n N; b) shkronj[n A; a) b) c) ]) c) shkronj[n A ose shkronj[n N; ]) shkronj[n C; Cili rresht nga rradha sipas cil[s jan[ sh[nuar Sa kartela m[ paku duhet t[ t[rheqish q[ t[ [sht[ p[rkat[se p[r renditje sipas probabilitet jesh i sigurt se do ta fitosh emrin ANA? shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kalt[r? a b c ]; ] c b a; P[rpiqu: a c b ]; c b ] a. N[ nj[ raft ka ]orap[ t[ zi dhe t[ kuq. Sa her[ m[ pak Genti duhet t[ marr[, pa shikuar,2. N[ nj[ qese ka 2 kube t[ kalt[rta dhe 3 kube nga nj[ ]orap nga rafti, p[r t[ qen[ i sigurt[ se ngjyr[ portokalli. do t[ t[rheq nj[ pal[ ]orap[ me ngjyr[ t[ njejt[? P[rshkruaje probabilitetin q[ t[ t[rhiqet: kub i kalt[r; kub ngjyr[ portokalli; ose kub i kalt[rt ose kub ngjyr[ portokalli; kub i verdh[;124 Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear
    • M{SOVE P{R BARAZIMIN LINEAR, JOBARAZIMIN LINEAR DHE P{R FUNKSIONIN LINEAR. PROVO NJOHURIN{ T{NDE1. Provo se x = 3 a [sht[ zgjidhje e barazimit 9. Zgjidhe jobarazimin: 3x - 2 = x + 4. a) 4(x - 1) > 3x - 1;2. Barazimi 5x - 3 = 2x + 3 ka zgjidhje x = 2. x +1 x + 2 x + 3 Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ ekuivalent b) - < . me barazimin e dh[n[: 3 6 2 Zgjidhjen paraqite me interval dhe grafikisht. a) x + 2 = 7 - x; b) 2x - 1 = x + 1; 10. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve: c) 3x - 1 = 2x + 3? ì-8 - y > 2 y + 1 ï a) ï í ï2 y - 3 > 5 y - 15; ï î3. Zgjidhe barazimin: a) 3x - 2,5 = x + 1,7; ì x -1 x + 1 ï ï ï > -1 b) í 3 4 b) 4(x - 1) - 3(2x + 1) = -9; ï ï3( x - 1) - 3 < x - 1. ï î 3 x -1 2 + x c) - = 1. Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval dhe 4 5 grafikisht.4. Te barazimi ax + 4 = 5x - a + 11 cakto a ashtu q[ x = -2 t[ jet[ zgjidhje e atij 11. {sht[ dh[n[ funksioni linear y = 2x -3. barazimi. Paraqite grafikisht funksionin.5. Shuma e tre numrave natyrore t[ nj[pas- Cakto zeron e funksionit. nj[sh[m [sht[ 84. Cil[t jan[ ato numra? 12. {sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3.6. Prej vendit A nga vendi B [sht[ nisur kamio- Cakto cila prej pikave: A(0, -3), B(1,1) dhe ni i cili l[viz me shpejt[si 50 km/n[ or[. Dy C(2, 1) i takon grafikut t[ funksionit. or[ m[ von[ prej vendit A [sht[ nisur automobil i cili l[viz me shpejt[si 75 km/ n[ or[. Automobili e ka arritur kamionin n[ 13. Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[ vendin B. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve pika M(1, -1) i takon grafikut t[ atij funksioni. A dhe B.7. Provo se x = -1 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit 14. Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[ 3x2 - 2x > x + 3. rrit[s, kurse cilizvog[lues: y = -3x + 1; y = 3x - 2;8. N[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[ y = 2x - 3; y = -x - 1. jobarazimet: 2x - 1 > x - 2; 3x + 1 > 2x - 3. Provo se jobarazimet e dh[na a jan[ 15. Zgjidhe grafikisht barazimin 3x - 1 = x + 3. ekuivalente. Provo njohurinë tënde 125
    • 126
    • TEMA 3. SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE BARAZIMET LINEARE ME 5. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare DY T{ PANJOHURA me dy t[ panjohura me metod[n e1. Barazimet lineare me dy t[ panjohura 128 z[v[nd[simit 1412. Barazimet lineare ekuivalente me dy t[ 6. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare panjohura 131 me dy t[ panjohura me metod[n e SISTEMI I BARAZIME LINEARE koeficient[ve t[ kund[rt 145 ME DY T{ PANJOHURA 7. Zbatimi i sistemit t[ dy barazimeve3. Sistemi i dy barazimeve lineare lineare me dy t[ panjohura 148 me dy t[ panjohura 134 8. Zgjidhja e problemeve me principin e4. Zgjidhja grafike e sistemit t[ barazimeve Dirihles 153 lineare me dy t[ panjohura 138 Provo njohurin[ t[nde 157 Barazimet lineare me dy të panjohura 127
    • BARAZIMET LINEARE ME DY T{ PANJOHURA 1 BARAZIMI LINEAR ME DY T{ PANJOHURA Kujtohu! A 1. Jetoni dhe Iliri s[ bashku kan[ 9 sheqerka. Sa sheqerka ka Jetoni dhe Sipas numrit t[ panjohurave nj[ barazim sa ka Iliri? mund t[ jet[:: - me nj[ t[ panjohur; Sa zgjidhje ka detyra? - me dy t[ panjohura etj. V[re k[to zgjidhje t[ detyr[s: Sipas shkall[s t[ panjohurave barazimi mund Jetoni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t[ jet[: - linear (barazim i shkall[s s[ par[); Iliri 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 - katrore (barazimi i shkall[s s[ dyt[); - kubik (barazim i shkall[s s[ tret[) etj. Me ]iftin e numrave (0,9) le t[ jet[ paraqitur zgjidhja: Jetoni ka 0 sheqerka, kurse Iliri ka 9 Barazimi a p[rmban parametra ose jo, mund sheqerka. t[ jet[: - barazim parametrik; Shkruaji si ]ifte t[ renditura t[ gjitha zgjidhjet - barazim me koeficient[ t[ ve]ant[. tjera, n[ qoft[ se numri i par[ te ]ifti [sht[ numri V[reji barazimet: i sheqerkave t[ Jetonit, kurse numri i dyt[ te a) 2x + 3 = 5; b) 2x + y = 3; ]ifti [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit. 2 c) 2x = x + 1; ]) 2x + y = kx + 3. Le t[ jet[ x numri i sheqerkave t[ Jetonit, kurse P[r ]do barazim cakto llojin sipas numrit t[ y [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit. Fjalia Jetoni t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ panjo- dhe Iliri s[ bashku kan[ 9 sheqerka, mund t[ hur[s. Cili barazim [sht[ barazim me para- shkruhet: x + y = 9. met[r? }far[ vlera mund t[ ket[ x, Vlerat e ndryshoreve x dhe y jan[ elemente t[ dhe ]far[ y te barazimi bashk[sis[ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ashtu q[ x + y = 9? shuma e tyre t[ jet[ 9. Bashk[sia A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} paraqet bashk[sin[ e p[rkufizimit p[r barazimin x + y = 9. Bashk[sia e ]ifteve t[ renditura R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} paraqet bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit x + y = 9. V[re se x + y = 9 [sht[ barazim i cili sipas numrit t[ panjohurave [sht[ me 2 t[ panjohura, kurse sipas shkall[s s[ t[ panjohurave [sht[ barazim linear. Cakto llojin e barazimit 2x - y = 5 sipas numrit t[ panjohurave dhe sipas t[ shkall[s s[ t[ panjohur[s.128 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • N[ qoft[ se p[r barazimin nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit, m[ tutje do t[ llogarisim se ajo [sht[ bashk[sia R e numrave real[. Mbaj mend Barazimi i form[s ax + by = c, ku a, b dhe c jan[ numra reale (koeficient[), kurse x dhe y jan[ t[ panjohura reale, quhet barazim linear me dy t[ panjohura. V[re barazimin 4x + 3y = 9; ai [sht[ linear me 2 t[ panjohura x dhe y, kurse koeficient[t jan[ numrat 4, 3 dhe 9. B 2. {sht[ dh[n[ barazimi 3x + y = 7. Cakto disa vlera t[ x dhe y, p[r t[ cilat barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. Provo se ]ifti i renditur (x, y) [sht[ zgjidhje e V[re shembullin: p[r x = 1 dhe y = 4. barazimit: 3x + y = 7; 3 ⋅ 1 + 4 = 7; 7 = 7. V[re se ]ifti i renditur a) x = 2 dhe y = 1; c) x = 4 dhe y = -5; (x, y) = (1, 4) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit. b) x = 1 dhe y = 3; ]) x = -1 dhe y = 10. Zgjidhje e barazimit linear me dy t[ panjohura [sht[ ]do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[t barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. Bashk[sia M = {(x, y) | x, y ∈ R dhe 3x + y = 7}, paraqet bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barazimit 3x + y = 7. 13. Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (4, -6) a [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - y = 10. 3 Barazimi 3(u - 2) = 2(1 - v) a kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike p[r u = 0 dhe v = -5?4. {sht[ dh[n[ barazimi x - 2y = 4. Cakto tre zgjidhje t[ tij. V[re m[nyr[n. Zgjedhet ]far[do num[r real p[r x. Shembull: x = 3. Z[v[nd[sohet vlera p[r x te barazimi: 3 - 2y = 4. Zgjidhet barazimi i fituar linear me nj[ t[ panjohur zgjidhja e t[ cilit [sht[: 1 1 3 - 2y = 4; -2y = 4 - 3; -2y = 1; -y = ; y=- . 2 2 1 Dometh[n[, ]ifti i renditur (x, y) = (3, - 2 ) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit t[ dh[n[. Duke e zbatuar m[nyr[n e treguar cakto edhe 2 zgjidhje t[ tjera t[ barazimit t[ dh[n[. Barazimet lineare me dy të panjohura 129
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! cili barazim [sht[ barazim linear me 2 t[ Cili prej barazimeve: x + 5 = y - 3; y - 7x = 10 panjohura; dhe 9 = 2y [sht[ barazim linear me 2 t[ panjohura? t[ caktosh zgjidhje t[ barazimit linear me dy t[ }ifti i renditur (1, 6) a [sht[ zgjidhje e barazimit panjohura. 3x - y = -3? Detyra 4. Pasi te barazimi linear me dy t[ panjohura1. P[r ]do barazim shkruaji cilat jan[ t[ panjo- nj[ra prej t[ panjohurave z[v[nd[sohet me hurat e tij, dhe cil[t jan[ koeficient[t e tij: vler[n e dh[n[ numerike, barazimi kalon n[: a) 2x - y = 3; c) y = 2z - 1; a) barazi t[ sakt[ numerike; b) 3x + 2y = x - 4y + 1; ]) 5u + 3v = 16. b) barazim linear me nj[ t[ panjohur; c) barazim linear me dy t[ panjohura ]) jobarazim linear.2. }ifti i renditur: Cil[t prej k[tyre pohimeve jan[ t[ sakta? a) (4,-6) a [sht[ zgjidhje i barazimit 1 2x - y = 10; 3 5. Cakto zgjidhjet e barazimit b) (0, -5) a [sht[ zgjidhje e barazimit 2x + y = -1 p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}. 3(u -2) = 2(1 - v). 6. {sht[ dh[n[ barazimi 3(x + y) = 2x - 3. kryej3. Cakto komponent[n e panjohur te ]ifti i k[to k[rkesa sipas radhitjes s[ dh[n[: renditur (x, y) p[r barazimin p[rkat[s ashtu 1o lirohu prej kllapave te barazimi; q[ t[ kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike. 2o shkruaji an[tar[t me t[ panjohur[n nga ana e majt[, kurse an[tarin me pa t[ njohur[n n[ a) ( , -2) p[r barazimin y = 2x; an[n e djatht[ pas shenj[s "="; 1 3o sille shprehjen n[ an[n e majt[ n[ form[n b) (0, ) p[r barazimin 2x + y = ; 2 normale. ) p[r barazimin 1 x + 2y = 7. Cili barazim fitohet? c) (-6, 2130 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • 2 BARAZIMET LINEARE EKUIVALENTE ME DY T{ PANJOHURA Kujtohu! A 1. Cakto zgjidhjet e barazimeve Cili ]ift i renditur i numrave real[ [sht[ zgji- A: 4x + y = 6 dhe dhje e nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura? 1 B: 2x + y = 3 p[r y=4. 2 Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (-1, 2) [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - y = -4 dhe e barazimit 3x - y = x - 4. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 2 1 1A: 4x + y = 6; 4x + y = 6; 4x + 4 = 6; 4x = 6 - 4; 4x = 2; x = ; x= . Zgjidhja: ( , 4). 4 2 2 1 1 1 1B: 2x + y = 3; 2x + y = 3; 2x + ⋅ 4 = 3; 2x + 2 = 3; 2x = 3 - 2; 2x = 1; x = . 2 2 2 2 1Zgjidhja: ( , 4). 2 1 V[reve se ]ifti i renditur (, 4) [sht[ zgjidhje e barazimit A dhe e barazimit B. 2 Zgjedh vler[ p[r x dhe cakto zgjidhjet e barazimeve A dhe B. }far[ p[rfundon?2. Provo se barazimet: 3(x + 2y) = 5y + 1 dhe 3x + y = 1 a kan[ zgjidhje t[ barabarta p[r: x ∈ {-1, 0, 1, 2}. V[re m[nyr[n p[r x = -1. 3(x + 2y) = 5y + 1; 3x + y = 1; 3(-1 + 2y) = 5y + 1; 3(-1) + y = 1; -3 + 6y = 5y + 1; -3 + y = 1; 6y - 5y = 1 + 3; y = 1 + 3; y = 4; y = 4; (x, y) = (-1, 4). (x, y) = (-1, 4). V[re dhe mbaj mend Dy barazime lineare me dy t[ panjohura jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ tyre jan[ t[ barabarta. Nj[ lloj si te barazimet lineare me nj[ t[ panjohur, mund t[ zbatosh transformime t[ barazimit linear me dy t[ panjohura dhe ta sjellish n[ form[n ax + by = c. V[re transformimet e barazimeve B1 dhe B2 2( x + 3 y )B1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 dhe B2: = 5 - x. 3 Barazimet lineare me dy të panjohura 131
    • Barazimi B1: Barazimi B2: Transformimi (T) 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 2( x + 3 y ) =5-x 3T1: Nj[ra an[ e barazimit z[v[nd[sohet me 4x + 6 y ⇔ 4x + 2y - 7 = 3x - 2 ⇔ =5-xshprehje identike 3 T2: }do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, por me shenj[ t[ ⇔ 4x + 2y - 3x = -2 + 7 kund[rt: 4x + 6 y Antar[t me t[ panjohura n[ an[n e majt[, ⇔ (4x - 3x) + 2y = 7 - 2 ⇔ +x=5 3 nd[rsa antar[t konstant n[ an[n e djatht[. ⇔ x + 2y = 5 T3: T[ dy an[t e barazimit shum[zohen me 3(4 x + 6 y ) num[r t[ nj[jt[ t[ ndryshuesh[m prej zeros. ⇔ + 3x = 5 ⋅ 3 3 ⇔ 4x + 6y + 3x = 15 ⇔ 7x + 6y = 15 V[re se me shfryt[zimin e transformimeve, barazimet B1 dhe B2 jan[ sjellur n[ form[n: x + 2y = 5 dhe 7x + 6y = 15, d.m.th. n[ form[n ax + by = c. Me k[t[ forme m[ leht[ mund t[ caktosh bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimeve. x + 2y = 5; k + 2y = 5; 2y = 5 - k; 7x + 6y = 15; 7k + 6y = 15; P[r x = k, k ∈ R, 5 - k ìæ 5 - k ö ïç ï ÷ ü ï ï 15 - 7k caktohet bashk[sia e y= ; íçk, ç ÷ | k Î Rý ÷ 6y = 15 - 7k; y = ; zgjidhjeve t[ barazimit 2 ïè ï î 2 ø ï ï þ 6 ìæ 15 - 7k ö ï ï ü ï ï íçk, ç ÷ ÷ | k Î Rý ïç è 6 ø ÷ ï ï î ï þ Cakto zgjidhjet e barazimeve B1 dhe B2 p[r: a) k = 0; b) k = 2; c) k = 4.3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: a) y = 3x - 5; b) x - 1 = 3x - y. D(2, 5) B 4. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit -2x + y = 1, kurse pastaj paraqite grafikisht n[ sistemin koordinativ k[nddrejt. V[re m[nyr[n dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. C(1, 3) -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1; p[r x = k, k ∈ R; y = 2k + 1. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit [sht[: {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. Shkruajm[: R(-2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. x -1 0 1 2 Cakto zgjidhjet e barazimit p[r: a) k = -1; B(0, 1) b) k = 0; c) k = 1. y -1 1 3 5 V[re se me barazimin -2x + y = 1 n[ bashk[sin[ R (numra reale) [sht[ p[rcaktuar funksioni linear y = 2x + 1. A(-1, -1) 132 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare {(k, 2k + 1) | k ∈ R}
    • N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni linear y = 2x + 1. }iftet e renditura (x, y) t[ grafikut Pasi -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1, t[ funksionit jan[ zgjidhje t[ at[her[ ]ifti i renditur i koordinatave barazimit y = 2x + 1. t[ ]far[do pike nga grafiku i }far[ paraqesin ato ]ifte t[ funksionit y = 2x + 1 [sht[ zgjidhje e barazimit -2x + y = 1? barazimit -2x + y = 1. V[re se me grafikun e funksionit linear y = 2x + 1, grafikisht [sht[ paraqitur bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit -2x + y = 1. Themi se ai [sht[ grafiku i barazimit. Provo se ]iftet e renditura t[ cilat paraqesin koordinata t[ pikave: A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) dhe D(2, 5) a jan[ zgjidhje t[ barazimit -2x + y = 1.5. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: 3x - y = 1. Provo se ]ifti i renditur (-1, -4) a [sht[ zgjidhje e barazimit. Bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit paraqite grafikisht. Prej grafikut t[ barazimit cakto koordinat[n e dyt[ t[ pik[s S(2, ). V[re se ]ifti i renditur [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - y = 1. Duhet t[ dish: Kontrollohu! cil[t prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura jan[ ekuivalente; Duke shfryt[zuar transformimet provo se t[ shfryt[zosh transformime q[ t[ fitosh barazim barazimi x + 2y = 6 a [sht[ ekuivalente me ekuivalent me barazimin e dh[n[ linear me dy x t[ panjohura; barazimin y = 3 - . t[ caktosh bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit; 2 Bashk[sin[ e zgjidhjeve {(k, k - 1) | k ∈ R} t[ grafikisht ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjeve nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura paraqite t[ barazimit. grafikisht. Detyra 3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej barazimeve dhe paraqiti grafikisht:1. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: 1 a) 2x + y = 3; b) 3x + 2y = x - 4y + 1. a) 2x + 3y = 6; b) x - y = 3; 2 Secilin prej barazimeve sille n[ form[n c) 2x + 0 ⋅ y = 4.2. ax + by = c duke i shfryt[zuar transformimet. a) 3(x + y) = 2x - 3; b) (x - 3) (y - 2) - 1 = xy; 4. Cakto vler[n e parametrit p p[r ]iftin e renditur (0, 1) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit: x + 3y x + y (p - 5)x - (3p - 1)y = 5 - p. c) - = 2 + x; 4 3 x y ]) 5( x - 3) + 8( y - 2) = - . 4 4 Barazimet lineare me dy të panjohura 133
    • SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA 3 SISTEMI I DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA Kujtohu! A 1. Edona dhe Mentori kan[ nga nj[ akuarium me peshq. Cili barazim quhet barazim linear me dy t[ panjohura? Shuma e numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet [sht[ 10. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit Ndryshimi i numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet linear me dy t[ panjohura: [sht[ 4. x+y=7 Sa zgjidhje ka barazimi? Sa peshq ka n[ akuariumin e Edon[s, kurse sa te akuariumi i Mentorit? V[re zgjidhjen: Te akuariumi i Edon[s le t[ ket[ x peshq, kurse te i Mentorit ka y peshq. Prej kushtit t[ par[ t[ detyr[s kemi: x + y = 10. Ndryshoret x dhe y ndryshojn[ n[ bashk[sin[ x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A={1, 2, 3,..., 9}. Pse? N[ tabel[ jan[ dh[n[ zgjidhjet y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e barazimit. Prej kushtit t[ dyt[ t[ detyr[s vijon: x - y = 4. x 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5 Shqyrto tabelat dhe v[re zgjidhjet. N[ nj[rin akuarium ka 7 peshq, kurse te tjetri ka 3 peshq. Shuma e tyre [sht[ 7 + 3 = 10, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7 - 3 = 4. Cakto cili prej ]ifteve t[ renditura (x, y) [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t p[r t[ dy barazimet. V[re se ]ifti (x, y) = (7, 3) [sht[ zgjidhje e barazimit x + y = 10 dhe i barazimit x - y = 4. K[t[ detyr[ e zgjidhe ashtu q[ caktove zgjidhje t[ p[rbashk[ta p[r t[ dy barazimet lineare me dy t[ panjohura, d.m.th. caktove prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre. Mbaj mend Dy barazime lineare me dy t[ panjohura t[ nj[jta, p[r t[ cilat k[rkohet zgjidhja e p[rbashk[t, p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre, quhet sistemi i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura. a1 x  b1 y  c1 Shkruhet: a x  b y  c , x dhe y jan[ t[ panjohurat, a1, a2, b1, b2, c1 dhe c2 jan[ numra reale  2 2 2 (koeficient[).134 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • 2. Shkruaji barazimet nga detyra 1 si sistem dhe cakto t[ panjohurat dhe koeficient[t e sistemit. ì3 x + y = 1 ï ï ï3. V[re sistemin: í2 ï x - 3 y = -2. ï ï3 î Em[rtoji t[ panjohurat. Cakto koeficient[t e barazimit. B 4. Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: 3x + 2y = 4. Provo se ]ifti (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: x - y = 3. ì3 x + 2 y = 4 ï V[re se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) [sht[ zgjidhje e sistemit: ï í ïx - y = 3 ï î N[ p[rgjith[si, zgjidhje e sistemit t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura [sht[ ]ifti i renditur i numrave reale i cili [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t e t[ dy barazimeve.5. Provo p[r cilin sistem ]ifti i renditur (-2, 3) [sht[ zgjidhje: ì x - y = -5 ï ìx + 2 y = 4 ï ì2 x - 3 y = 3 ï a) ï í b) ï í c) ï í ï2 x + 2 y = -1; ï î ï3 x + 5 y = 9; ï î ï x + 5 y = 1. ï î ìx + y = 5 ï Jan[ dh[n[ sistemet: A: ï í Kujtohu! C 6. ï3 x - y = 3 ï î ìy = 5 - x ï N[ qoft[ se n[ nj[ sistem jobarazimesh nj[ri dhe B: ï í ï3 x - y = 3. ï î prej jobarazimeve z[v[nd[sohet me jobara- zimin ekuivalent me t[, fitohet sistem Bashk[sia e zgjidhjeve t[ sistemit A [sht[ prerje jobarazimesh ekuivalente q[ [sht[ ekuivalent e bashk[sis[ s[ zgjidhjeve p[r barazimin me sistemin e dh[n[. x + y = 5: {(k, 5 - k) | k ∈ R} edhe p[r barazimin 3x - y = 3: {(k, 3(k - 1) | k ∈ R}. ì10 x > 20 ï Pse sistemi ï í Prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve do ta caktosh ï x > -3 ï î duke barazuar komponentat e ]ifteve t[ ì5 x > 10 ï renditura. Komponentat e par[ jan[ t[ barabart[, [sht[ ekuivalent me ï í d.m.th. k = k. Cakto k nga komponentat e dyta, ï x > -3 ? ï î d.m.th. zgjidhe barazimin 5 - k = 3(k - 1). N[ qoft[ se dy barazime lineare me dy t[ panjohura kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve, at[her[ ato jan[ ekuivalente. Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje e sistemit A. Provo se barazimi 3(x + 2y) = 5y +1 dhe barazimi 3x + y = 1 a jan[ ekuivalent. Bashk[sia e zgjidhjeve e sistemit B [sht[ prerje e bashk[sive t[ zgjidhjeve p[r barazimin: y = 5 - x: {(k, 5 - k) | k ∈ R} dhe p[r barazimin: 3x - y = 3: {(k, 3k - 3) | k ∈ R}. Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 135
    • Kush [sht[ prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ barazimeve n[ sistemin B. Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje e sistemit B. V[re se barazimet te sistemi B kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve si barazimet te sistemi A. K[to dy sisteme kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve. }ifti (x, y) = (2, 3) {sht[ zgjidhje e sistemit A dhe i sistemit B. N[ qoft[ se dy sisteme t[ barazimeve kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta, at[her[ ata jan[ ekuivalente. ìx + y = 5 ï y  5 x Sistemi A: ï í dhe sistemi B:  jan[ ekuivalent. ï3 x - y = 3 ï î 3 x  y  3 Cili prej barazimeve te sistemi B [sht[ ekuivalent me barazimin x + y = 5 te sistemi A, dhe me cilin transformim [sht[ fituar? N[ qoft[ se ndonj[ri prej barazimeve t[ sistemit t[ dh[n[ z[v[nd[sohet me barazimin ekuivalent t[ tij, fitohet sistem ekuivalent me sistemin e dh[n[.7. V[re dhe sqaro pse jan[ ekuivalent sistemet: ì5 x - y = x - 4 ï ï ì4 x = y - 4 ï ï ìx + y = 8 ï ï ì2 x + y = 3 ï í í í ï ïx + y = 3 dhe ï x + y = 3; ï2 x + y = 3 dhe í ï2 x + 2 y = 16. ï î ï î ï î ï î Me transformime ekuivalente sistemi i dh[n[ transformohet n[ sistem ekuivalent i cili e ka form[n ìx = a ï ï í , prej t[ cilit drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja e sistemit. ïy = b ï î }ifti (x, y) = (a, b) [sht[ zgjidhje. ì2( x + y ) = 6 + 2 y ï8. V[re zgjidhjen e sistemit: ï í ï y = 5. ï î ì2( x + y ) = 6 + 2 y ï ì2 x + 2 y = 6 + 2 y ï ï í ïy = 5 ï î  ï í ïy = 5 ï î  Ana e majt[ e barazimit t[ par[ [sht[ z[v[nd[suar me shprehjen identike. ì2 x + 2 y - 2 y = 6 ï  ï í ïy = 5 ï î  An[tari 2y [sht[ bart n[ an[n e majt[ t[ barazimit (me shenj[ t[ kund[rt[). ì2 x = 6 ï  ï í ïy = 5 ï î  Shprehja n[ an[n e majt[ t[ barazimit t[ par[ [sht[ sjellur n[ form[n normale. ìx = 3 ï  ï í ïy = 5  Barazimi i par[ [sht[ zgjidhur sipas x, p[rkat[sisht ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ pjes[tuar me 2. ï î}ifti (x, y) = (3, 5) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve. ì x = -7 ï9. Zgjidhe sistemin: ï í ï2( y - 1) + 3 x = 3( x + 2). ï î 136 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • Duhet t[ dish: ][sht[ sistem i dy barazimeve lineare me dy Kontrollohu! t[ panjohura dhe si shkruhet; t[ provosh se ]ifti i renditur i dh[n[ a [sht[ Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[n[; ì5 x - 3 y = 2 x + 1 ï ï í , te i cili t[ dy barazimet e t[ caktosh sistem ekuivalent me sistemin e ï y = 2x + 3 ï î dh[n[; kan[ form[n ax + by = c. t[ zgjidhish sistem duke e sjellur n[ form[n prej Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (3, 2) [sht[ ku drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja. ì2 x - y = 6 - y ï zgjidhje e sistemit: ï í ï y = 2. ï î Detyra1. Caktoji t[ panjohurat dhe koeficient[t te 4. Cakto nj[ sistem ekuivalent t[ sistemit: ]donj[ri prej sistemeve: ì1 ï ìx + 2 y = 0 ï ìx + 2 y = 0 ï ï x+ y=2 ï ï ì2 x - y = 6 - y ï ï ï a) ï 2 b) í 2 a) ï í b) í 2 í ï ï x + 1 y = 2. ï y = 2; ï î ï x + 1 y = 2; ï ï x - 2 y - 5 = 0; ï ï ï3 î 2 ï3 î 2 î ì0,25 x + 0,04 y = 0 ï c) ï í ï4 x + 25 y = 641. ï î 5. Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit2. Shkruaji si sistem t[ dy barazimeve lineare ì( x - 1)( x + 1) - 2 y = ( x - 3)2 me dy t[ panjohura: ï ï ï : íx ï - y = x, te i cili t[ dy Shuma e dy numrave [sht[ 64, kurse ï ndryshimi i tyre [sht[ 17. ï2 ï î 2 Nj[ k[nd i brendsh[m i trek[nd[shit ABC barazimet e kan[ form[n ax + by = c. [sht[ 52 o. Ndryshimi i dy k[ndeve tjer[ [sht[ 18o. 6. Zgjidhe sistemin: N[ dy arka gjithsej ka 440 denar[. N[ qoft[ ì x - y = -2 - y ï ì x = -3 ï a) ï b) ï se prej t[ par[s barten te e dyta 180 denar[, í í te arkat do t[ ket[ shum[ t[ barabart[ t[ ï y = 4; ï x + y = 3 + x. ï î ï î parave.3. Provo se ]ifti i renditur: a) (2, 10) a [sht[ zgjidhje e sistemit: 7. Bashkimi dhe Dritoni jan[ v[llez[r. Shuma e ì3 x - y = -4 viteve t[ Bashkimit dhe t[ Dritonit [sht[ 16. ï ï í Shuma e viteve t[ Bashkimit dhe gjysma e ï y = 5 x; ï î viteve t[ Dritonit [sht[ 12. b) (2, 2) a [sht[ zgjidhje e sistemit: Shkruaj sistem prej dy barazimeve lineare ì ï x - 4 y = -6 ï í me dy t[ panjohura sipas kushteve te detyra. ï5 x - 3 y = 4; ï î c) (1, 1) a [sht[ zgjidhje e sistemit: Bashkimi dhe Dritoni a jan[ bineq? ì ïx + y = 2 ï Sqaro p[rgjigjen t[nde. í ï2 x - y = 0. ï î Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 137
    • 4 ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE ME DY T{ PANJOHURA Kujtohu! A 1. N[ t[ nj[jtin rrafsh koordinativ (n[ vizatimin e nj[jt[), vizato grafik[t e V[re grafikun e barazimit 2x - 3 = y. barazimeve: x + y = 5 dhe 3x - y = 3. V[re se me barazimet e dh[na jan[ p[rcaktuar funksionet: y = 5 - x dhe y = 3x - 3. x y Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. -1 -5 x+y=5 0 -3 y=5-x 2 1 x y 3 3 0 5 A(0, 5) 4 1 B(4, 1) 3x - y = 3 Cakto koordinatat e ]do pik A, B, C dhe D. y = 3x - 3 }far[ paraqesin koordinatat e atyre pikave p[r x y barazimin e dh[n[? 0 -3 C(0, -3) 1 0 D(1, 0) Pika ku priten grafik[t e barazimeve le t[ jet[ pika M. Cakto koordinatat e pik[s M. Prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ dy barazimeve [sht[ ]ifti i renditur i koordinatave t[ pik[s M(2, 3). ìx + y = 5 ï }ifti (x, y) = (2, 3) [sht[ zgjidhja e vetme e sistemit t[ barazimeve ï í ï3 x - y = 3. ï î ì3 x - y = 3 ï ï2. Grafikisht zgjidhe sistemin e barazimeve: í ï3 x + y = 0. ï î Kujtohu! Sistemi i dy barazimeve lineare me dy Dy drejt[za n[ rrafsh mund t[ jen[: B t[ panjohura: - t[ priten n[ nj[ pik[; - t[ puthiten;  ka nj[ zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t e bara- zimeve priten; - t[ jen[ reciprokisht drejt[za paralele. Grafik[t e barazimeve n[ nj[ sistem jan[  ka pafund barazimeve jan[ n[ qoft[ q[ grafik[t e shum[ zgjidhje, drejt[za se drejt[za, dhe sistemi ka aq zgjidhje sa pika t[ puthiten; p[rbashk[ta kan[ grafik[t.  nuk ka zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t e barazimeve jan[ drejt[za t[ ndryshme paralele. 138 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • ìx + 2 y = 5 ï ï3. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: í ï x - y = -1. ï îx + 2y = 5 x - y = -1 x y x y-1 3 C -3 -2 A 3 1 D 2 3 B Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C, D dhe M. Cila prej pikave [sht[ prerje e grafik[ve? V[re se, sistemi ka nj[ zgjidhje Zs = {(1, 2)}, d.m.th. (x, y) = (1, 2). ìx + 2 y = 3 ï ï4. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: í ï2 x + 4 y = 6. ï îx + 2y = 3 2x + 4y = 6 x y x y 1 1  A 1 1 C 3 0  B 3 0 D Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D. V[re se t[ gjitha pikat e grafik[ve jan[ t[ p[rbashk[ta dhe sistemi ka pafund shum[ zgjidhje. ìx + 3 y = 2 ï ï5. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: í ï x + 3 y = 5. ï îx + 3y = 2 x + 3y = 5 x y x y-1 1 A 5 0 C 2 0 B 2 1 D Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D. A kan[ grafik[t pik[ t[ p[rbashk[t? V[re se grafik[t jan[ drejt[za t[ ndryshme paralele dhe sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th.Zs = ∅. Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 139
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! ti vizatosh grafik[t e t[ dy barazimeve t[ N[ cilin rast sistemi prej dy barazimeve sistemit n[ nj[ rrafsh koordinativ; lineare me dy t[ panjohura: a) ka vet[m nj[ zgjidhje; grafikisht t[ zgjidhish sistem prej dy barazimeve b) ka pafund shum[ zgjidhje; me dy t[ panjohura; c) nuk ka zgjidhje? ta vler[sosh bashk[sis[n e zgjidhjeve t[ sistemit Sqaro p[rgjigjen t[nde. sipas grafik[ve t[ barazimeve. Detyra 3. Kujtohu!1. Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve: Grafiku i funksionit y = ax [sht[ drejt[z q[ kalon n[p[r fillimin e koordinatave. ì y = 8 - 4x ï ìy = x + 2 ï a) ï í b) ï í ï y = 5 x - 1; ï î ï3 x - y = -6; ï î Grafiku i funksionit y = ax + b, [sht[ drejt[z q[ [sht[ paralele me grafikun e funksionit y = ax. ì y - 6x = 0 ï c) ï í ï ï4 x - y = 2. î Grafiku i funksionit y = a [sht[ drejt[z paralele me boshtin x. Grafiku i funksionit x = a [sht[ drejt[z paralele me boshtin y.2. Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve. Nga sa zgjidhje ka secili prej tyre? Secili prej barazimeve te sistemet m[ posht[ shkruaji si funksione: ì2 x - y = 1 ï ìx + 3 y = 2 ï a) ï í b) ï í ì y = 2x ï ì2 x + y - 1 = 0 ï ï y = 1- x; ï2 x + 6 y = 4; ï î ï î a) ï í b) ï í ï y - 2 x = -3; ï î ï y = 1; ï î ìy = x ì1 ï ï ï x + 2y = 1 c) ï í ]) ï 2 ìx = 3 ï ìx + y = 2 ï ï x = 2; ï î í ï c) ï í ]) ï í ï y = 1. ï y = 2; ï î ï3 x + 3 y = 6. ï î ï î P[r ]do sistem vler[so pozit[n reciproke t[ grafik[ve t[ funksioneve dhe vler[so bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit. Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve dhe provo vler[simin t[nd.140 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • 5 ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA ME METOD{N E Z{V{ND{SIMIT Kujtohu! A 1. V[re sistemet A dhe B prej dy Kur dy sisteme t[ barazimeve jan[ ekuivalente? barazimeve lineare me dy t[ panjohura. Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (5, 1) [sht[ ì2 x + y = 1 ï zgjidhje e sistemeve: A: ï í dhe ï3 x - 5 y = 21 ï î ìx = 8 - 3 y ï ìx = 8 - 3 y ï ï í dhe ï í ì y = 1- 2 x ï ï ï2 x - 4 y = 6 ï î ï2(8 - 3 y ) - 4 y = 6 ï î B: í ï3 x - 5(1- 2 x ) = 21 . ï î }far[ v[ren p[r barazimet e t[ dy sistemeve? Si jan[ fituar barazimet te sistemi i dyt[ nep[rmjet barazimeve t[ sistemit t[ par[? Barazimet e para A dhe B jan[ ekuivalente, kurse te barazimi i dyt[ nga sistemi B, e panjohura y [sht[ z[v[nd[suar me shprehje nga barazimi i par[. Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -3) [sht[ zgjidhje e sistemeve. N[ qoft[ se n[ nj[r[n prej barazimeve te sistemi, nj[ra prej t[ panjohurave shprehet n[p[rmjet t[ dyt[s, dhe pastaj me shprehjen e fituar z[v[nd[sohet ajo e panjohur te barazimi i dyt[, at[her[ barazimi i ri i fituar dhe barazimi i par[ nga sistemi formojn[ sistem t[ ri q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[. Kjo quhet vetia e z[v[nd[simit. ì3 x + 2 y = 13 ï2. V[re zgjidhjen e sistemit ï í duke shfryt[zuar vetin[ e z[v[nd[simit. ïy = 5 ï î ì3 x + 2 y = 13 ï ì ï3 x + 2 ⋅ 5 = 13 ï í ïy = 5 ï î  ï í ïy = 5 ï î  Te barazimi i par[, e panjohura y [sht[ z[v[nd[suar me vler[n e y nga barazimi i dyt[. ì3 x + 10 = 13 ï  ï í ïy = 5 ï î  Fitohet sistem ekuivalent me sistemin paraprak. ì3 x = 13 - 10 Shfryt[zohet transformimi ekuivalent (10 bartet prej ï  ï í ïy = 5 ï î  nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r t[ shenj[s ,,=" me shenj[ t[ kund[rt[). ì3 x = 3 ï  ï í ìx = a ï ïy = 5 ï î Sistemi i fituar [sht[ i form[s ï í prej ku drejt- ï y = b,  ï ìx = 1 ï  ï î p[rsdrejti lexohet ]ifti i renditur (x, y) = (1, 5) q[ [sht[ í ïy = 5 ï î zgjidhje e sistemit. Zs = {(1, 5)}. Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 141
    • ì2 x + y = 6 ï Zgjidhe sistemin e barazimeve ï í ï x = 3. ï î ìy = x - 5 ï ï3. Cakto ]iftin e renditur q[ [sht[ zgjidhje e sistemit: í ï5 x + 2 y = 4. ï î V[re! Mund ta shfryt[zosh vetin[ e z[v[nd[simit ashtu q[ te barazimi i dyt[ t[ panjohur[n y do ta z[v[nd[sosh me shprehjen x - 5 t[ barabart[ me y nga barazimi i par[. ìy = x - 5 ï ï ìy = x - 5 ï í  ï í ï5 x + 2 y = 4 ï î ï5 x + 2( x - 5) = 4 ï î N[ qoft[ se vazhdon t[ zgjidhish drejt, do ta fitosh sistemin ekuivalent: ìy = x - 5 ï  ï í ïx = 2 ï î ìy = 2 - 5 ï N[ qoft[ se t[ panjohur[n x te barazimi i par[ e z[v[nd[son me vler[n  ï í ïx = 2 ï î  2 p[r x nga barazimi i dyt[, do t[ fitosh sistem prej t[ cilit mund ta shkruajsh zgjidhjen. ì y = -3 ï  ï í ï x = 2. ï î Provo se p[r ]iftin e renditur (x, y) = (2,-3),a jan[ barazimet e sistemit barazi t[ sakta numerike. ìy = x -1 ï N[ m[nyr[ t[ ngjashme zgjidhe sistemin e barazimeve: ï í ï x + y = 3. ï î ì3 x + 2 y = 5 ï4. V[re zgjidhjen e sistemit t[ barazimeve: ï í ï2 x - 3 y = -14. ï î V[re: Te barazimi i dyt[ e panjohura x [sht[ shprehur ì3 x + 2 y = 5 ïì3 x + 2 y = 5ïïíï ï  ï í ï 3 y - 14  n[p[rmjet t[ panjohur[s y. M[ tutje, x te barazimi i par[ z[v[nd[sohet me shprehjenï2 x - 3 y = -14î ïx = ï î 2 p[r x nga i dyti dhe kryhen transformimet. ì 3 y - 14 ï ï3 ⋅ ï + 2y = 5 /⋅ 2 ì13 y = 52 ï ì9 y - 42 + 4 y = 10 ï ì13 y = 10 + 42 ï ï 2 ï ï ï ï í ï  í ï 3 y - 14  í 3 y - 14  ï í  ï ï x = 3 y - 14 ïx = ï ïx = ï ï x = 3 y - 14 ï ï ï ï î 2 ï î 2 ï î 2 ï î 2 ì3 (3 y - 14) + 4 y = 10 ï ìy = 4 ìy = 4 ï ìy = 4 ì x = -1 ï ï ï ï ï ï ï ï ï í ï í ose ï í í  í 12 - 14 ï x = -1 ï y = 4. ïx = 3 y - 14 ï ï x = 3 ⋅ 4 - 14 ï ïx = ï ï ï î ï î ï ï î 2 ï î 2 î 2 142 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • provo se ]ifti (x, y) = (-1, 4) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve. ì5 x - 3 y = 17 ï Zgjidhe sistemin e barazimeve ï í ï2 x + 3 y = 11. ï î M[nyra e k[till[ e zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura quhet zgjidhje e sistemit me metod[n e z[v[nd[simit. ìx + y x - y ï ï ï - =8 ï 2 ï 35. Te sistemi i barazimeve: í asnj[ra prej barazimeve nuk [sht[ shkruar n[ ïx + y x - y ï ï + = 11; ï 3 ï î 4 form[n ax + by = c. Q[ t[ zgjidhet sistemi i k[till[, s[ pari [sht[ e nevojshme barazimet t[ sillen n[ form[n ax + by = c . ìx + y x - y ï ï ï - = 8 /⋅ 6 ï 2 ï 3 V[re zgjidhjen: í ïx + y x - y ï ï + = 11/ ⋅ 12 ï 3 ï î 4 ì ïx + y ⋅6- x - y ⋅6 = 8⋅6 ï ï ï 2 3 ì3( x + y ) - 2( x - y ) = 48 ï ì3 x + 3 y - 2 x + 2 y = 48 ï ï í  ï í  ï í  ïx + y ï x- y ï4( x + y ) + 3( x - y ) = 132 ï î ï4 x + 4 y + 3 x - 3 y = 132 ï î ï ⋅ 12 + ⋅ 12 = 11⋅ 12 ï 3 ï î 4 ì x + 5 y = 48 ï ì x = 48 - 5 y ï ï í  ï í ï7 x + y = 132 ï î ï7(48 - 5 y ) + y = 132 ... ï î ì x = 18 ï Vazhdo me zgjidhjen. Sakt[sisht e ke zgjidhur n[ qoft[ se ke fituar sistemin ï í , p[rkat[sisht ïy = 6 ï î ]ifti i renditur (x, y) = (18, 6), i cili [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[na. ìx y ï ï - =1 ï ï3 2 Zgjidhe sistemin e barazimeve: ï í . ïx y ï + =4 ï ï2 2 ï î N[ qoft[ se gjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve, pas transformimeve t[ kryera fitohet sistemi te i cili nj[ri prej barazimeve nuk ka zgjidhje (p[r shembull, n[ qoft[ se fitohet 0 ⋅ x = -1), at[her[ sistemi nuk ka zgjidhje. N[ qoft[ se, pra, fitohet sistemi te i cili ]do num[r real [sht[ zgjidhje e nj[rit prej barazimeve (p[r shembull, 0 ⋅ y = 0), at[her[ sistemi ka pafund shum[ zgjidhje. Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 143
    • ìx + y = 3 ï ì ï2 x + 3 y = 1 ï6. Zgjidhe sistemin A: ïí edhe sistemin B: í ï2 x + 2 y = 5 ï ï4 x + 6 y = 2. ï î î V[re se sistemi A nuk ka zgjidhje, kurse sistemi B ka pafund shum[ zgjidhje. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ caktosh zgjidhje t[ sistemit prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura duke Sqaro se si do t[ veprosh gjat[ zgjidhjes s[ shfryt[zuar metod[n e z[v[nd[simit; ìx = 5 ï ï sistemit: í duke shfryt[zuar ï2 x + y = 7, ï î drejt ti shfryt[zosh transformimet ekuivalente gjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve. metod[n e z[v[nd[simit. DetyraZgjidhi sistemet e barazimeve me metod[n e z[v[nd[simit. ì2 ì ï3 x + 2 y = 14 ì2 x - 3 y = 5 ï ï ï (2 x + x ) - 1 ( x - y ) = 8 ï 1. ï a) í b) í 4. a) ï 3 í 2 ï y = 4; ï ï y = 5; ï î ï î ï x + y = 2; ï î ì4x = 0 ï ï ìx ï y c) í ï + =6 ï2 ï ï3x + 2 y = 14. ï 3 î b) ï í ïx ï - y = -1 . ï ï2 ï î 4 ìx - y = 2 ï ï ì y = 11- 2 x ï ï 2. a) í b) í ï3 x - 2 y = 9; ï î ï5 x - 4 y = 8 ; ï î ìx ï y +5 ï + ï3 =1 ï ï 2 ì3 x + y - 13 = 0 ï 5. a) í ï ï ï y = x + 1; c) í ï2 x - 3 y - 5 = 0. ï ï î ï ï î 2 ì x +1 y +1 x - y ï ì2 x - y = 2 ï ì y - 2z = 3 ï ï ï 3 - 2 = 3 3. ï ï ï ï a) í ï3 x + 4 y = 3; b) í ï5 y + z = 4; b) í ï î ï î ïx-3 y -3 ï ï - = 2 y. ï 4 ï î 2 ì3 x = 3 - 6 y ï ï c) í ï ï5 x - y = 16. î 144 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • 6 ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA ME METOD{N E KOEFICIENT{VE T{ KUND{RT ì2 x - 3 y = 12 ï ì2 x - 3 y = 12 ï1. Jan[ dh[n[ sistemet e barazimeve A : ï í dhe B : ï í ï5 x + 3 y = 9 ï î ï(2 x - 3 y ) + (5 x + 3 y ) = 12 + 9. ï î Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (3, -2) [sht[ zgjidhje e sistemit. V[re se sistemet jan[ ekuivalente. Si jan[ fituar barazimet e sistemit t[ dyt[ prej barazimeve te sistemi i par[? Barazimet e para edhe te dy sistemet jan[ t[ nj[jta, kurse barazimi i dyt[ te sistemi B [sht[ fituar me mbledhjen e an[ve t[ majta, p[rkat[sisht an[ve t[ djathta t[ barazimit t[ par[ nga sistemi A. N[ qoft[ se an[t p[rkat[se t[ dy barazimeve i mbledhim, p[rkat[sisht i zbresim, themi se kemi b[r[ mbledhje, p[rkat[sisht zbritje e barazimeve. N[ qoft[ se te sistemi i dh[n[ cilido barazim z[v[nd[sohet me shum[n ose ndryshimin e barazimeve, fitohet sistem i ri q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[. Kjo quhet vetia e shum[s e barazimeve t[ sistemit. ì5 x - 2 y = 5 ï2. V[re zgjidhjen e sistemit ï í duke shfryt[zuar vetin[ e shum[s. ï7 x + 2 y = 31, ï îì5 x - 2 y = 5ï ì5 x - 2 y = 5 ïïí ï íï7 x + 2 y = 31, ï(5 x - 2 y ) + (7 x + 2 y ) = 31+ 5ïî ï î  Barazimi i par[ i sistemit i [sht[ shtuar barazimi t[ dyt[. ì5 x - 2 y = 5 ï ì5 x - 2 y = 5 ï ï  ï í ï5 x - 2 y + 7 x + 2 y = 31+ 5 ï î í ï12 x = 36 ï î  Fitohet sistemi ekuivalent me barazimin e par[ dhe barazimi i dyt[ [sht[ transformuar n[ ì5 x - 2 y = 5 ï barazim me nj[ t[ panjohur. ï í ïx = 3 ï î ì5 ⋅ 3 - 2 y = 5 ï ì ï-2 y = 5 - 15 ï í ïx = 3 ï î  ï í ïx = 3 ï î  Zgjidhet sistemi me metod[n e z[v[nd[simit. ì-2 y = -10 ï ì ïy = 5 ìx = a ï ï í ïx = 3 ï î  ï í ï x = 3. ï î  Barazimet sillen n[ form[n ï í ïy = b ï î . Provo se (x, y) = (3, 5) a [sht[ zgjidhje e sistemit. ì2 x + y = 1 ï Zgjidhe sistemin e barazimeve ï í ï3 x - y = 9. ï î Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 145
    • {sht[ e r[nd[sishme t[ v[resh se koeficient[t para x, p[rkat[sisht para y te t[ dy barazimet duhet t[ jen[ numra t[ kund[rt; gjat[ mbledhjes t[ an[ve p[rkat[se t[ barazimeve fitohet barazim me nj[ t[ panjohur; te sistemi ekuivalent i ri i fituar nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur, pastaj sistemi zgjidhet me metod[n e z[v[nd[simit. ì5 x + 2 y = 3 ï3. Zgjidhe sistemin e barazimeve: ï í ï x + y = 3. ï î Koeficient[t para x, p[rkat[sisht para y, nuk jan[ numra t[ kund[rt, pra n[ qoft[ se i mbledh barazimet nuk do t[ fitosh sistem ekuivalent te i cili nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur. Cilin transformim duhet ta kryesh te barazimi i dyt[ i sistemit ashtu q[ koeficient[t para x ose para y t[ jen[ numra t[ kund[rt? N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit t[ dyt[ i shum[zoj me -5, at[her[ koeficient[t para x do t[ jen[ numra t[ kund[rt. N[ qoft[ se t[ dy an[t e k[tij barazimi i shum[zoj me -2, at[her[ koeficient[t para y do t[ jen[ numra t[ kund[rt. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.ì5 x + 2 y = 3ï ì5 x + 2 y = 3 ï Duke e shum[zuar barazimin e dyt[ me (-5), fitohetïíï x + y = 3 /⋅ (-5)ïî  ï í ï-5 x - 5 y = -15 ï î  sistem ekuivalent te i cili koeficient[t para x jan[ numra t[ kund[rt. ì ï5 x + 2 y = 3 Mblidhen barazimet dhe fitohet sistem te i ciliï í ï(5 x + 2 y ) + (-5 x - 5 y ) = 3 - 15 ï î  barazimi i dyt[ [sht[ me nj[ t[ panjohur. ì5 x + 2 y = 3 ï ì ï5 x + 2 y = 3 ï í ï ï-3 y = -12 î  ï í ïy = 4 ï î ...  M[ tutje sistemi zgjidhet me metod[n e z[v[- nd[simit. P[rfundo zgjidhjen e sistemit. Provo se (x, y) = (-1, 4) a [sht[ zgjidhje e sistemit. Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para y t[ jen[ numra t[ kund[rt. ì3 x + y = 1 ï Zgjidhe sistemin ï í ï2 x + 3 y = -4. ï î ì2m + 7n = 9 ï4. Zgjidhe sistemin e barazimeve: ïí ï3m + 2n = 5. ï î N[ k[t[ sistem, q[ t[ fitohen barazime me koeficienta t[ kund[rta para m (ose para n) duhet t[ shum[zohen me 3 barazimi i par[ dhe me (- 2) barazimi i dyt[ (ose me 2 barazimi i par[, kurse me (-7) barazimi i dyt[). 146 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • P[rfundo zgjidhjen e sistemit:ì2m + 7n = 9ïï /⋅ 3 ì ï6m + 21n = 27 ì ï6m + 21n = 27 ì6m + 21n = 27 ïí  ï í  ï í  ï íï3m + 2n = 5ïî /⋅ (-2) ï-6m - 4n = -10 ï î ï(6m + 21n) + (-6m - 4n) = 27 - 10 ï î ï17n = 17 ... ï î Provo se (m, n) = (1, 1) [sht[ zgjidhje e sistemit. Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para n t[ jen[ numra t[ kund[rt. M[nyra e k[till[ e zgjidhjes t[ sistemit t[ barazimeve quhet zgjidhje me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt. 5. Me shfryt[zimin e metod[s s[ koeficient[ve t[ kund[rt[ zgjidhe sistemin e barazimeve: ì7 x - 2 y = 3 ï ï í ï3 x + 8 y = -43. ï î Duhet t[ dish: Kontrollohu! metoda e koeficient[ve t[ kund[rt ve]an[risht [sht[ e p[rshtatsh[m p[r shfryt[zim kur Vler[so cili prej sistemeve [sht[ m[ i p[r- koeficient[t para t[ panjohurave jan[ numra t[ shtatsh[m p[r zgjidhje me metod[n e kund[rt ose duke shum[zuar leht[ mund t[ koeficient[ve t[ kund[rt: sillen te ajo form[; ì6 x - 7 y = 40 ose ì2 x + 11y = 15 ï ï ï í ili ï í t[ zgjidhish sistem barazimesh me metod[n e ï5 y - 2 x = -3 ï î ï10 x - 11y = 9 . ï î koeficient[ve t[ kund[rt. Sqaro p[rgjigjen. Detyra ìx ì 7x 5 y ï + y =7 ï ï2 ï ï ï 6 + 3 = 34 ï ï 3 ï ï 5. í í Me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt zgjidhe ï 2x ï y ï7 x ï + y = 17. sistemin: ï - = 1; ï ï 3 ï î 4 ï6 ï î 4 ì2 x - 3 y = 12 ï ï ì3 y - 7 x = 32 ï ï 1. í í ìx + 2 y + 6 = 0 ï ï ìx - 4 y = 8 ï ï ï5 x + 3 y = 9; ï î ï2 x - 3 y = 3. ï î 6. í ; í . ï3 x - 2 y = -2 ï î ï3 x - 2 y + 6 = 0 ï î ì 4 x + 3 y = -4 ï ï ì6 x - 7 y = 44 ï ï 2. í í 7. Cakto zgjidhjen e sistemit grafikisht, kurse ï6 x + 5 y = -7; ï î ï5 y - 2 x = -4. ï î pastaj kryeje prov[n duke e zgjidhur me metod[n e z[v[nd[simit ose me koeficient[t ì7 x - 8 y = 19 ï ï e kund[rt. 3. í ï3 x + 5 y = 25 . ï î ì2 x + 3 y = 9 ï ï ì2 x + 3 y = 3 ï ï a) í ï3 x - 2 y = 7; b) í ï4 x + 6 y = 5; ì5( x + 2 y ) - 3 = x + 5 ï ï ï î ï î 4. í ï4( x - 3 y ) = 50 - y. ï î ìx + 2 y = 2 ï ï c) í . ï3 x + 6 y = 6 ï î Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 147
    • 7 ZBATIMI I SISTEMIT T{ DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA Kujtohu! Duke zgjidhur detyra t[ A ndryshme nga matematika, Shkruaje fjalin[: ,,Shuma e dy numrave [sht[ shkencat tjera ose probleme nga 6, kurse ndryshimi i gjysm[s s[ numrit t[ par[ jeta e p[rditshme, shpesh her[ duhet t[ caktosh vlera dhe numrit t[ dyt[ [sht[ 0" me sistem t[ dy t[ panjohura. Problemet (detyrat) n[ situatat e k[tilla jan[ shprehur barazimeve lineare me dy t[ panjohura. me fjal[, por q[ t[ zgjidhen ato shpesh [sht[ e Sistemin q[ duhet ta fitosh [sht[: nevojshme t[ paraqiten n[ form[ t[ barazimeve. ìx + y = 6 ï ï ï Me zgjidhjen e k[tij sistemi do íx ï - y = 0. ï ï2 î t[ zbulosh cil[t jan[ ato numra. 1. Shihi udh[zimet q[ duhet t[ lexohen gjat[ Provo se ]ifti (x, y) = (4, 2) a [sht[ zgjidhje e zgjidhjes t[ detyrave t[ k[tilla dhe sistemit, p[rkat[sisht t[ dy numrat e k[rkuar radhitjen e m[nyrave q[ duhet t[ jan[ 4 dhe 2. shfryt[zohen. Fillimi Sh[nimi i T[ v[rejturit e Formimi i madh[sive lidhjeve reciproke sistemit Me kujdes lexohet detyra dhe cakto- T[ panjohurat sh[- V[rehen lidhjet re- Formohen bara- het ][sht[ e njohur,  nohen (x, y, a, b  ciproke nd[rmjet  zime, formohet kurse ][sht[ e etj.) dhe v[rehen madh[sive t[ pa- sistem dhe sistemi panjohur. karakteristikat e njohura dhe t[ njo- zgjidhet. tyre. hura.Shembulli: Adhurimi ka 17 monedha me vler[ t[ p[rgjithshme 67 denar[. Monedhat jan[ 2 denarshe, dhe 5 denarshe. Sa monedha 2 denarshe dhe sa monedha 5 denarshe ka Jetoni? Fillimi Sh[nimi Lidhjet reciproke SistemiI njohur: • me x numrin e • numri i mone- monedhave prej 5 ì x + y = 17 ï ï• numri i monedhave•vlera e p[rgjith-  denar[; • me y numrin e  dhave [sht[ 17; (x + y = 17);  í ï5 x + 2 y = 67 ï î shme; monedhave prej 2 • vlera e p[rgjith- denar[.• lloji i monedhave shme [sht[ 67 den.I panjohur: (5x + 2y = 67).• nga sa monedha kaprej ]do lloji. Zgjidhe sistemin. Zgjidhja e sistemit [sht[ (x, y) = (11, 6). Provo se a jan[ t[ sakta pohimet te detyra n[ qoft[ se Adhurimi ka 11 monedha 5 denarshe dhe 6 monedha 2 denarshe.148 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • 2. N[ dy rafte ka 124 libra. N[ raftin e par[ ka pasur 3 her[ m[ shum[ libra se sa n[ t[ dytin. Nga sa libra ka pasur n[ ]do raft?3. Vendi K dhe vendi A jan[ 190 km largnj[ri tjetrit. Prej vendit K kah vendi A [sht[ nisur kamion, kurse pas gjysm[ ore prej vendit A kah vendi K [sht[ nisur autobusi. Pas dy or[ t[ nisjes t[ kamionit ato jan[ takuar dhe kan[ vazhduar l[vizjen. Nj[ or[ pas takimit autobusi dhe kamioni kan[ qen[ t[ larguar 110 km. Me ]far[ shpejt[si kan[ l[vizur autobusi dhe kamioni? Kjo detyr[ [sht[ me l[vizje. P[r zgjidhjen e k[tyre detyrave m[ leht[ [sht[ t[ v[rehen lidhjet reciproke n[ qoft[ se b[het vizatim. Shihe vizatimin: E Prej vendit K niset kamioni, prej vendit A niset autobusi. kamioni (k) autobusi (a) N Vendi ku takohen [sht[ J pika C. O Prej K deri n[ C kamioni ka l[vizur 2 or[. H Prej A deri n[ C autobusi ka l[vizur 1,5 or[. U S H { N I M I Prej C deri n[ D kamioni ka udh[tuar 1 or[. R Prej C deri n[ B autobusi ka udh[ztuar 1 or[. Shpejt[sia e kamionit [sht[ x. Larg[sia prej B deri n[ D [sht[ 110 kilometra. Shpejt[sia e autobusit [sht[ y. LIDHJET RECIPROKE Pasi l[vizjet e kamionit dhe autobusit jan[ t[ nj[trajtshme, shfryt[zohet formula p[r l[vizjen e nj[trajtshme s = v ⋅ t, p[rkat[sisht n[ rastin ton[ v [sht[ x ose y. Kamioni prej vendit K deri n[ vendin C (p[r 2 or[) e ka kaluar rrug[n 2x. Autobusi prej vendit A deri n[ vendin C (p[r 1,5 or[) ka kaluar rrug[n 1,5y. P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin D kamioni ka kaluar 1 ⋅ x. P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin B kamioni ka kaluar 1 x y.Sipas vizatimit: KC + CA = KA ose 2x + 1,5y = 190; CD + CB = DB ose 1x + 1y =110. SISTEMI I BARAZIMEVE ì2 x + 1, 5 y = 190 ï ï í ï x + y = 110 ï î Zgjidhe sistemin. Provo a [sht[ e sakt[ se kamioni l[viz me shpejt[si 50 km/h, kurse autobusi me shpejt[si 60 km/h.4. Nj[ anije l[viz n[p[r rrjedhjen e lumit me shpejt[si 25 km/h, kurse p[rball[ rrjedhjes s[ lumit me shpejt[si 20 km/h. Cakto shpejt[sin[ e anijes dhe shpejt[sin[ e lumit. Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 149
    • 5. Jan[ dh[n[ dy tretje t[ thartirave K1 dhe K2. Tret[si K1 [sht[ 36%, kurse tret[si K2 [sht[ 96%. Nga sa litra duhet t[ meren prej ]do tret[si, q[ t[ fitohen 120 litra tretje prej 80%? Duhet t[ p[rkujtohesh p[r p[rqindjet. k⋅m Mbaj mend se n[ m litra me k% tretje ka litra thartir[. 100 E NJOHUR Tretja K1 [sht[ 36%. Tretja K2 [sht[ 96%. Tretja e re duhet t[ jet[ 80%. T{ SH{NUARIT Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K1 le t[ jet[ x. Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K2 le t[ jet[ y. LIDHJET RECIPROKE 36 x N[ x litra tretje prej K1 ka litra thartir[. 100 96 y N[ y litra thartir[ K2 ka litra thartir[. 100 N[ 120 litra prej tretjes s[ re ka x litra K1 dhe y litra K2 ose: x + y = 120. 120 ⋅ 80 36 x 96 y 120 ⋅ 80 N[ 120 litra n[ tretjen e re ka litra thartir[ ose + = . 100 100 100 100SISTEMI I BARAZIMEVE ì x + y = 120 ï ï ï í 36 x 96 y 120 ⋅ 80 ì x + y = 120 ï ï ï ï100 + 100 = 100 ⇔ í ï ï3 x + 8 y = 800 ï î î Zgjidhe sistemin. Prova (x, y) = (32, 88) a i plot[son kushtet e detyr[s.6. Sa litra uj[ dhe sa litra shpirto prej 90% duhet t[ p[rzihen q[ t[ fitohen 60 litra prej 75% shpirto?7. Shuma e gjat[sive t[ dy kateteve te trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 20 cm. N[ qoft[ se kateta e vog[l vazhdohet p[r 2 cm, kurse m[ e gjata shkurtohet p[r 4 cm, at[her[ syprina e trek[nd[shit do t[ zvog[lohet p[r 8 cm2. Cakto gjat[sit[ e kateteve t[ trek[nd[shit. 150 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • Q[ ti zgjidhish detyrat e k[tilla duhet t[ kujtohesh p[r formulat dhe vetit[ e figurave gjeometrike rrafshore. E NJOHUR Shuma e kateteve t[ trek[nd[shit [sht[ 20 cm. Te trek[nd[shi k[nddrejt kateta [sht[ edhe lart[si e trek[nd[shit. ah Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ S , ku a [sht[ brinja e trek[nd[shit, kurse h [sht[ lart[sia p[rkat[se. 2 T{ SH{NUARIT Gjat[sia e katet[s s[ vog[l [sht[ x. Gjat[sia e katet[s s[ gjat[ [sht[ y. LIDHJET RECIPROKE Shuma e kateteve [sht[: x + y = 20. Pas vazhdimit t[ katet[s s[ vog[l, gjat[sia e saj [sht[ x + 2. Pas zvog[limit t[ katet[s s[ madhe, gjat[sia e saj [sht[ y - 4. x⋅ y Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ . 2 x⋅ y Syprina e trek[nd[shit pas vazhdimit dhe shkurtimit t[ katetave p[rkat[se [sht[ -8 . 2 SISTEMI I BARAZIMEVE ì x + y = 20 ï ï ï ì x + y = 20 ï í ( x + 2) ⋅ ( y - 4) x ⋅ y ï í ï ï = -8 ï4 x - 2 y = 8 ï î ï î 2 2 Zgjidhe sistemin. Prova se ]ifti (x, y) = (8, 12) a jan[ gjat[sit[ e k[rkuara t[ katetave t[ trek[nd[shit.8. Lart[sia e nj[ trapezi [sht[ 6 cm, kurse syprina e tij [sht[ 96 cm2. Gjat[sit[ e brinj[ve paralele ndryshojn[ p[r 4 cm. Cakto gjat[sit[ e brinj[ve paralele t[ atij trapezi (bazat). Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 151
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! P[r detyr[n: "Cakto dy numra shuma e t[ cil[ve [sht[ ti shprehish dhe t[ zbatosh m[nyrat p[r 100, kurse raporti i tyre [sht[ 4”, zbatoi rregullat: zgjidhjen e problemiti cili sillet n[ sistem t[ dy barazimeve me dy t[ panjohura. Sh[noji t[ panjohurat dhe shkruaji raportet reciproke t[ madh[sive t[ njohura dhe t[ panjohura. Formo sistem t[ barazimeve dhe zgjidhe. Provo zgjidhjen. Detyra1. Shuma e dy numrave [sht[ 72, kurse ndry- 5. Afrimi ka bler[ 8 fletore (t[ m[dha dhe t[ shimi i tyre [sht[ 2. Cil[t jan[ ato numra? vogla) dhe ka paguar 250 denar[. Fletoret e m[dha kan[ kushtuar nga 50 denar[, kurse t[ voglat nga 20 denar[.2. N[ nj[ paralele gjithsej ka 28 nx[n[s. Numri Sa fletore t[ m[dha dhe sa t[ vogla ka bler[ i djemve [sht[ p[r 4 m[ i madh se numri i Afrimi? vajzave. Sa nx[n[s n[ paralele kan[ qen[ djem dhe sa vajza? 6. E [ma dhe bija s[ bashku kan[ 37 vjet. Para dy vjet e [ma ka qen[ 10 her[ m[ e vjet[r se e bija. Sa vjet kan[ e [ma dhe sa e bija?3. Nj[ anije ka kaluar 63 km p[r 5 or[ duke lundruar p[rball[ rrjedhjes s[ lumit. Kur anija ka lundruar n[p[r rrjedhjen e lumit t[ nj[jt[n at[ larg[si e ka kaluar p[r 3 or[. Sa [sht[ 7. Cakto numrat mat[s t[ k[ndit t[ ngusht[ dhe shpej-t[sia e anijes, dhe sa [sht[ shpejt[sia e t[ gjer[ me krah paralel n[ qoft[ se ndryshimi lumit? i tyre [sht[ 36o. 8. Perimetri i nj[ trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m4. N[ qoft[ se n[ 8 litra uj[ t[ nxeht[ shtohen 2 [sht[ 36 cm. Ndryshimi i gjat[sive t[ krahut litra uj[ t[ ftoht[, at[her[ temperatura e ujit dhe baz[s [sht[ 3 cm. Cakto syprin[n e [sht[ 66o. N[ qoft[ se, tani n[ 7 litra uj[ t[ trek[nd[shit. nxeht[ shtohen 3 litra t[ ftoht[, temperatura e ujit t[ p[rzier [sht[ 59o. Sa ka qen[ temperatura e ujit t[ nxeht[, dhe 9. N[ nj[ kafaz ka pasur lepuj dhe fazan[. sa e ujit t[ ftoht[? Dardani n[ kafaz ka num[ruar 35 koka, kurse 94 k[mb[. Sa lepuj dhe sa fazan[ ka pasur n[ kafaz?152 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • P U N A M E T { D H { N A 8 ZGJIDHJA E PROBLEMEVE ME PARIMIN E DIRIHLES Shembull: Shtat[ toptha rradhiti n[ tre kuti t[ cilat nuk jan[ t[ sh[nuara n[ m[nyr[ t[ ve]ant[.A K[t[ mund ta b[sh n[ tet[ m[nyra. V[re vizatimin.M[ tutje, q[llimi yn[ nuk [sht[ caktimi i numrit t[ mund[sive (m[nyrat) p[r zgjidhjen e detyr[s. Q[llimiyn[ [sht[ respektimi i nj[ parimi. V[re! Si do q[ t[ rradhiten shtat[ topthat, gjithmon[ do t[ ekziston kuti n[ t[ cil[n do t[ ket[ patjet[r tre toptha.Shembulli i p[rshkruar paraqet form[ t[ thjesht[ t[ nj[ parimi t[ r[ nd[sish[m i njohur si parimi i Dirihles. Ai thot[: Petar Gustav Lezhen Dirihle N[se n[ n kuti rradhiten m[ shum[ se n sende, at[her[ patjet[r n[ (1805-1859) nj[r[n prej kutive do t[ ket[ m[ shum[ se nj[ send. matematikan gjerman1. a) A mund t[ thuhet se n[ paralelen me 34 nx[n[s me siguri ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat e t[ cil[ve fillojn[ me shkronj[ t[ njejt[? b) A vlen ky pohim n[se n[ paralele ka 30 nx[n[s? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) K[tu, sipas parimit t[ Dirihles, shkronjat nga alfabeti jan[ "kuti".T[ atilla ka 31 (alfabeti qirilik). N[ rastin m[ t[ p[rshtatsh[m, p[r mbiemrat e 31 nx[n[sve do t[ "mereshin" 31 shkronja. Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura 153
    • Me ]far[ shkronje fillojn[ mbiemrat e tre nx[n[sve tjer[ t[ mbetur? Ata fillojn[ me ndonj[r[n nga shkronjat q[ jan[ marr[ m[ par[. M[ s[ paku te sa nx[n[s mbiemrat fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[? N[ paralele ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat e t[ cil[ve fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[. b) Pse pohimi nuk do t[ vlente n[se n[ paralele do t[ kishte m[ pak se 31 nx[n[s?2. N[ gar[n e matematik[s kan[ mar[ pjes[ 372 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nxn[s t[ cil[t n[ t[ njejt[n dit[ e festojn[ dit[lindjen.3. N[ nj[ shkoll[ ka 16 paralele nga klasa e V deri n[ klas[n e VIII. N[ seksionin "Matematikan[t e rinj" jan[ t[ an[tar[suar 18 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nx[n[s nga e njejta paralele. V[re! Rast m[ i pap[rshtatsh[m [sht[ n[se nga ]do paralele n[ seksion do t[ kishte nga nj[ nx[n[s an[tar.Por, kjo [sht[ gjithsej 16 nx[n[s. Cmund t[ p[rfundosh p[r dy nx[n[sit e mbetur t[ seksionit?4. N[ paralele ka 30 nx[n[s. N[ provimin me shkrim nga matematika disa nx[n[s kan[ b[r[ m[ s[ shumti 8 gabime, nd[rsa nx[n[sit tjer[ kan[ b[r[ m[ pak gabime. V[rteto se n[ paralele ka m[ s[ paku 4 nx[n[s t[ cil[t kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve n[ provimin me shkrim. Cili [sht[ numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra? Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[. Numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra [sht[ 8. Dometh[n[, ka nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime; e mundur [sht[ q[ t[ ket[ nx[n[s me: 7 gabime; 6 gabime;---;1 gabim, por edhe nx[n[s q[ nuk kan[ b[r[ gabim (d.m.th. kan[ b[r[ zero gabime). T[ gjith[ nx[n[sit i ndajm[ n[ 9 grupe: 1) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime; 2) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 7 gabime dhe ashtu me rradh[. N[ grupin e n[nt[ jan[ nx[n[sit q[ nuk kan[ b[r[ asnj[ gabim. 154 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • Rast m[ i pa favorsh[m [sht[ n[se 3 nx[n[s kan[ b[r[ 8 gabime, 3 nx[n[s kan[ b[r[ 7 gabime e k[shtu me rradh[, nd[rsa 3 nx[n[s nuk kan[ b[r[ asnj[ gabim. K[ta jan[ gjithsej 3 × 9 = 27 (kemi 9 grupe nx[n[sish). Por, 30 = 3 × 9 + 3. Tre nx[n[sit e tjer[ kan[ b[r[ 8, 7, ..., 2, 1 ose 0 gabime, d.m.th. sipas parimit t[ Dirihles, ka grup nx[n[sish n[ t[ cil[n ka m[ s[ paku 4 nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve ose nuk kan[ b[r[ gabime.5. N[ paralele ka 34 nx[n[s. Gjat[ t[ sh[nuarit t[ tekstit t[ njejt[ n[ kompjuter Petriti ka b[r[ 13 gabime, nd[rsa t[ tjer[t m[ pak. V[rteto se ka tre nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve. B Parimi i Dirihles [sht[ i zbatuesh[m n[ shum[ l[mi t[ matematik[s. Ndiqi disa detyra me zbatimin e tij n[ pjes[tueshm[rin[ e numrave dhe n[ gjeometri.6. Jan[ dh[n[ 5 numra t[ ]far[dosh[m. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy numra ashtu q[ ndryshimi i tyre [sht[ i pjes[tuesh[m me 4.Puno sipas udh[zimit: Sa dhe cilat mbetje fitohen gjat[ pjes[timit me 4? Fitohen 4 mbetje: 0, 1, 2 ose 3. Gjat[ pjes[timit t[ 4 numrave me pes[ fitohen 5mbetje. Dometh[n[, m[ s[ paku dy nga mbetjet jan[ t[ barabarta (sipas parimit t[ Dirihles). Numrat a dhe b gjat[ pjes[timit me 4 le t[ japin mbetje t[ a = 4m + p; b = 4n + p. njejt[ p, ku p ∈ {0, 1, 2, 3}. Ndryshimi a - b = (4m + p) - (4n + p) = 4(m - n) = 4k [sht[ i form[s 4k, d.m.th. ajo [sht[ e pjes[tueshme me 4. Shkruajm[ 4 | (a - b).7. Sa numra natyrore m[ s[ paku duhet t[ meren p[r t[ pasur nd[rmjet tyre dy numra t[ atill[ q[ ndryshimi t[ jet[ i pjes[tuesh[m me 7?8. N[ flet[ t[ bardh[ (20 cm x 30 cm) [sht[ derdhur ngjyr[. V[rteto se n[ k[t[ flet[ ekzistojn[ s[ paku dy pika me ngjyr[ t[ nj[jt[ t[ cilat jan[ n[ larg[si 10 cm nj[ra nga tjetra. Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura 155
    • Ndiqe sqarimin. Nd[rto trek[nd[sh brinj[nj[sh[m me brinj[ 10 cm n[ at[ flet[. V[re se nga tre kulmet e k[tij trek[nd[shi, dy jan[ t[ bardh[, nd[rsa nj[ri i kalt[r, ose dy jan[ t[ kalt[r, nd[rsa nj[ri i bardh[, ose t[ tre jan[ t[ bardh[ ose t[ tre jan[ t[ kalt[r. Dy kulme me ngjyr[ t[ nj[jt[ jan[ kulmet e k[rkuara.9. N[ rrafsh jan[ dh[n[ 5 drejt[za nga t[ cilat asnj[ dyshe nuk [sht[ paralele. V[rteto se nd[rmjet tyre ekzistojn[ dy drejt[za q[ formojn[ k[nd m[ t[ vog[l se 37o. Puno n[ m[nyr[n vijuese. Zgjidh pik[ M n[ rrafsh dhe zhvendosi paralelisht t[ gjitha drejt[zat ashtu q[ ata t[ kalojn[ n[p[r pik[n M. V[re se drejt[zat n[p[r pik[n M e ndajn[ rrafshin n[ 10 k[nde. N[se k[ndet jan[ t[ barabarta, at[her[ secili ka 360 : 10 = 36o, nd[rsa 36o < 37o, d.m.th. gjithmon[ ka k[nd q[ [sht[ M m[ i vog[l se 37o. N[se k[ndet jan[ t[ ndryshme, at[her[ nuk jan[ t[ gjith[ m[ t[ m[dhenj se 37o, pasi 10 ⋅ 37o = 370o > 360o. D.m.th. ndonj[ri prej atyre k[ndeve [sht[ m[ i vog[l se 37o. Detyra1. N[ nj[ shkoll[ ka 1200 nx[n[s. V[rteto se: 3. N[ nj[ paralele ka 37 nx[n[s. V[rteto se ka a) m[ s[ paku 4 nx[n[s nga ajo shkoll[ nj[ muaj n[ vit n[ t[ cilin jan[ lindur m[ s[ festojn[ dit[lindjen n[ t[ njejt[n dit[; paku se 4 nx[n[s nga paralelja. b) m[ s[ paku dy nx[n[s kan[ iniciale t[ nj[jta. 4. N[ 25 kuti ka 3 lloje mollash, ashtu q[ n[ ]do kuti ka vet[m nj[ lloj molle. V[rteto se2. T[ v[rtetohet se n[ Shkup ka m[ s[ paku tre nd[rmjet tyre ka 9 kuti me molla nga lloji i persona q[ kan[ num[r t[ nj[jt[ t[ qimeve nj[jt[. n[ kok[. (Nj[ njeri n[ kok[ nuk ka m[ shum[ se 200 000 qime).156 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • M{SOVE P{R SISTEMIN E BARAZIMEVE LINEARE PROVO NJOHURIN{ T{NDE1. } [sht[ zgjidhje e barazimit linear me dy t[ 7. Zgjidhe sistemin me metod[n e z[v[nd[simit. panjohura? ì4 x - y = 5 ï ï í ï5 x - 3 y = 1 ï î2. Cakto parametrin k p[r ]iftin e renditur (2, 6) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit (4x - 2)k - 1 = y - k.3. Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit 8. Zgjidhe sistemin me metod[n e koefi- 1 cient[ve t[ kund[rt[: -2 x + y=0 grafikisht. 2 ì ïx + 2 y + 3 = 1 ( x + y) ï ï í 3 ï ï2(2 x + 3) = 3 x - y. ï î4. }[sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura?5. Cakto sistem ekuivalent te sistemi i dh[n[ te i cili t[ dy barazimet e kan[ form[n 9. Sipas zgjidhjes grafike t[ sistemit t[ ax + by = c. barazimeve lineare, vler[so sa zgjidhje ka sistemi: ì x + y + 1 2x - 3 y ï ì2 x - y = 0 ï + = -3 ìx - y = 1 ï ï ï ï ï 3 6 a) ï í ; b) ï í í ï3 x + 3 y = 0 ï î ï4 x - 2 y = 0 ï î ï2x - y - 4 ï ï - y = 6. ï ï î 36. Zgjidhe grafikisht sistemin: 10. Shuma e viteve t[ babait dhe djalit [sht[ 46. Pas 10 vjet babai do t[ jet[ dy her[ m[ i vjet[r ìx + 2 y = 7 ï ï ï se djali. Nga sa vjet kan[ tani? í 1 ï x - y = 0. ï ï î 3 Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura 157
    • 158 Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare
    • TEMA 4. TRUPAT GEOMETRIKE PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI 8. V[llimi i poliedrit. N{ HAP{SIR{ V[llimi i kuboidit dhe kubit 1831. Pika, drejt[za dhe rrafshi 160 9. V[llimi i prizmit t[ drejt[ 1872. Dy drejt[za 163 PIRAMIDA3. Dy rrafshe 165 10. Piramida. Syprina e piramid[s 1904. Proektimi paralel. Proektimi ortogonal 168 11. V[llimi i piramid[s 1945. Paraqitja e trupit gjeometrik me vizatim 171 CILINDRI, KONI DHE TOPI PRIZMI 12. Cilindri, syprina dhe v[llimi 1976. Prizmi. Llojet e prizmave. 13. Koni, syprina dhe v[llimi 200 Prerjet diagonale 174 14. Topi, syprina dhe v[llimi 2037. Paralelopipedi. 15. Gjasa (Probabiliteti) 206 Rrjeti dhe syprina e prizmit 177 Provo njohurin[ t[nde 208 Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 159
    • PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI N{ HAP{SIR{ 1 PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI Kujtohu! A 1. N[ vizatim jan[ paraqitur kubi dhe kuboidi. Drejt[za, k[ndi, trapezi dhe rrethi jan[ figura rrafshore. Ka edhe figura tjera gjeometrike t[ rrafshta Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat e rrafshta quhet planimetri. Disa veti t[ drejt[z[s jan[ p[rvet[suar si veti A [sht[ kuboidi figur[ e rrafsh[t? Pse? themelore (aksioma). Si aksiom[ e par[ aksioma (A1) e p[rvet[suam T[ gjitha pikat e kubit a i takojn[ t[ nj[jtit rrafsh? vetin[: n[ ]do drejt[z shtrihen pafund shum[ pika, por ka edhe pika q[ nuk shtrihen n[ at[ Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat n[ hap[- drejt[z. sir[ quhet stereometri. Pikat, drejt[zat dhe rrafshet jan[ figura themelore gjeometrike n[ hap[sir[. Rrafshi mund t[ paramendohet si qelq i rrafsh[t, sikurse sip[rfaq[ja e ujit t[ qet[ etj. Ajo [sht[ sip[rfaqe e pakufizuar. P[r at[ [sht[ pranuaur kjo aksiom[:A1 N[ ]do rrafsh shtrihen pafund shum[ pika, ekzistojn[ pika q[ nuk shtrihen n[ at[ rrafsh. M {sht[ dh[n[ rrafshi ∑ edhe pikat A, B, C, D, M n[ vizatim. A D Pika A i takon rrafshit ∑, d.m.th. A ∈ Σ. Mund t[ thuhet se A shtrihet n[ Σ, p[rkat[sisht Σ kalon n[p[r A.. B C Cilat pika tjera t[ sh[nuara shtrihen n[ Σ? Σ P[r tre ose m[ shum[ pika q[ shtrihen n[ nj[ rrafsh thuhet se jan[ komplanare. K[shtu, n[ vizatim pikat A, B, C, D ∈ Σ, M ∉ Σ, pra A, B, C, D jan[ komplanare, kurse B, C, D, M nuk jan[ komplanare.B Kujtohu! P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[): N[p[r ]do tri pika q[ nuk shtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht vet[m nj[ rrafsh.160 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[): A2 N[p[r ]far[do tre pika q[ nuk shtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht nj[ rrafsh.2. Pse karrika me tre k[mb[ nuk ,,l[kundet" edhe kur k[mb[t nuk jan[ me gjat[si t[ barabarta? A vlen kjo edhe te tavolina me kat[r k[mb[?3. Shihe kuboidinn n[ vizatim dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Cili kulm i kuboidit shtrihet n[ rrafsh t[ p[rcaktuar me pikat A, B dhe B1? Kulmi C a shtrihet n[ at[ rrafsh? A jan[ komplanare k[to pika: a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; c) A, B, C, C1? Cakto kat[r kulme tjera ashtu q[ t[: a) shtrihen; b) mos shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Vizato kuboid dhe sh[noje si n[ vizatim. Pastaj, hijezoje pjes[n e rrafshit q[ kalon n[p[r pikat B, C, D1, A1 q[ shtrihet edhe n[ kuboid. N[ qoft[ se ]do pik[ e nj[ drejt[ze shtrihet n[ nj[ rrafsh, at[her[ thuhet se drejt[za shtrihet n[ C at[ rrafsh, kurse p[r rrafshin thuhet se kalon n[p[r at[ drejt[z. N[ nj[ rrafsh shtrihen pakufi shum[ drejt[za.4. N[ vizatim [sht[ paraqitur rrafshi ∑ dhe dy pika A dhe B, q[ B shtrihen n[ t[. Sa drejt[za kalojn[ n[p[r pikat A dhe B? A Pikat tjera t[ drejt[z[s AB a shtrihen n[ rrafshin ∑? Σ {sht[ p[rvet[suar si e sakt[ kjo veti themelore (aksiom[) e rrafshit. A3 N[ qoft[ se dy pika t[ nj[ drejt[ze shtrihen te ndonj[ rrafsh, at[her[ edhe drejt[za shtrihet n[ at[ rrafsh. Kjo aksiom[ do t[ ndihmon t[ v[resh pozitat reciproke t[ drejt[z[s dhe rrafshit n[ hap[sir[. Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet p[r pozit[n reciproke t[ mundshme t[ nj[ drejt[ze dhe nj[ rrafshi. Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 161
    • P[r rrafshin ∑ dhe drejt[z[n a jan[ t[ mundshme k[to tre raste. Drejt[zathuhetrrafshi nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta. || Σ. At[her[ dhe se ato jan[ paralele, dhe shkruhet a Drejt[za thuhetrrafshi kan[evet[m drejt[z[n t[ p[rbashk[t. At[her[ dhe se rrafshi pret nj[ pik[ ose drejt[za a e dep[rton rrafshin ∑ n[ pik[n P; p[r pik[n P thuhet se [sht[ pik[ dep[rtuese. edhe n[ k[t[shtrihet n[ rrafshinjan[; paralele. Drejt[za a rast thuhet se ato ∑5. Shihe kuboidin dhe v[re rrafshin ∑, t[ p[rcaktuar me kulmet A, B, C. Em[rtoji drejt[zat e p[rcaktuara me tehet q[: a) jan[ paralele me ∑ ; b) e dep[rtojn[ ∑ ; c) shtrihen n[ ∑. Duhet t[ dish: Kontrollohu! Si [sht[ pozita reciproke e: a) pik[s dhe ti shprehish figurat themelore rrafshit; b) drejt[z[s dhe rrafshit? gjeometrike n[ hap[sir[; Pikat A, B, C, M, D jan[ kulme t[ kuboidit n[ vizatimin e sip[rm. Cil[t prej k[tyre kat[r t[ caktosh pozit[n reciproke t[ kulmeve: drejt[z[s dhe rrafshit. a) jan[ komplanare, b) nuk jan[ komplanare? Sa rrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r: a) pik[n e dh[n[ A; b) dy pika t[ dh[na B dhe C; c) tre pika t[ dh[na A, B, C? Detyra 1. Vizato kubin ABCDA1B1C1D1. 3. Tehu AB i kubit nga detyra 1 [sht[ paralel Em[rto kat[r kulme t[ cil[t jan[: vet[m me dy faqe t[ tij dhe nuk ka pika t[ p[rbashk[ta me ato. Em[rtoji ato faqe. a) komplanare; b) jokomplanare. 2. Sa drejt[za mund t[ p[rcaktohen me nj[ kulm 4. Diagonalja AC e baz[s s[ kubit nga detyra 1 nga baza e sip[rme dhe nj[ kulm nga baza e nuk ka pika t[ p[rbashk[ta vet[m me nj[ faqe poshtme e nj[ kubi? t[ kubit. Cila [sht[ ajo faqe? 162 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 2 DY DREJT{ZA Kujtohu! A Dy drejt[za n[ hap[sir[: Shprehi aksiomat p[r rrafshin.  ose kan[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t (priten); Sa pika p[rcakton nj[ drejt[z  ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta; a) n[ rrafsh, b) n[ hap[sir[?  osep[rbashk[ta).qoft[ se kan[ dy pika t[ puthiten (n[ Si [sht[ pozita reciproke e dy drejt[zave (n[ hap[sir[) q[ kan[ dy pika t[ p[rbashk[ta? 1. N[ vizatim, drejt[zat a dhe b priten, d.m.th. kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t P. Shihe vizatimin Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[ rrafsh? dhe p[rgjigju n[ pyetjet. a A Drejt[za a ka dy pika t[ p[rbashk[ta me rrafshin Σ. Si [sht[ pozita reciproke e a dhe P Σ? b B A mundet ]far[do pik[ e zgjedhur A ∈ a, B ∈ b dhe prerja P (A≠P dhe B≠P) t[ jen[ kolineare? Pse? Pikat A, B dhe P p[rcaktojn[ sakt[sisht nj[ rrafsh. Pse? Drejt[zat a dhe b shtrihen n[ at[ rrafsh. Pse? D1 C12. N[ vizatim [sht[ paraqitur nj[ kuboid. Shqyrtoje dhe p[rgjigju n[ pyetjet. A1 Tehu AB a shtrihet n[ rrafshin e nj[jt[ me tehun: B1 a) BB1; b) A1B1; c) B1C1? Tehet CB dhe C1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Pse? D C Tehet AB dhe A1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[ dhe nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t; dhe drejt[zat AB dhe A1B1 nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t - ato jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1. A B Ke kujdes! Dy drejt[za paralele gjithmon[ shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Tehet, p[rkat[sisht drejt[zat AB dhe B1C1, gjithashtu, nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta, por ato nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; p[r ato thuhet se jan[ shmang[se.3. Me ndihm[n e kuboidit shih edhe disa ]ifte t[ drejt[zave paralele. Tre drejt[za paralele a shtrihen gjithmon[ n[ rrafshin e nj[jt[? Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 163
    • Mbaj mend dhe shihi vizatimet! Dy drejt[za n[ hap[sir[ mund t[: shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; at[her[ ato ose priten ose jan[ paralele (por mund edhe t[ puthiten), sikurse n[ fig. 1; nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. t[ jan[ drejt[za shmang[se (a dhe c n[ fig. 2). Fig. 1 Fig. 24. Sipas fig. 2 shkruaj disa ]ifte t[: a) drejt[zave aplanare; b) drejt[zave paralele.5. Pik[prerjet e drejt[zave n[ fig. 2 jan[ kulme t[ nj[ kuboidi. Konstato se jan[ t[ sakta k[to pohime. a) Drejt[zat b dhe m nuk priten dhe nuk jan[ paralele, d.m.th. ato jan[ shmang[se. b) Drejt[zat m dhe d nuk priten dhe shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. ato jan[ paralele. c) Drejt[zat a dhe d priten dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. ]) Drejt[zat b dhe m jan[ shmang[se dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. B Kujtohu! Sipas aksiom[s A2, rrafshi [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar me tre pika jokolineare. Disa pozita t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[, gjithashtu, p[rcaktojn[ nj[ rrafsh. Cilat jan[ ato pozita?6. Shihi vizatimet dhe sqaro pse nj[ rrafsh n[ hap[sir[ [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar: a) me tre pika jokolineare; b) me drejt[z dhe pik[ q[ nuk shtrihet n[ a) b) at[ drejt[z; c) me dy drejt[za paralele; ]) me dy drejt[za q[ priten. c) ]) 164 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 7. Sa rrafshe p[rcaktojn[ tehet an[sore t[ nj[ kuboidi? (Ke kujdes: ka m[ shum[ se kat[r rrafshe) Duhet t[ dish: ti sqarosh pozitat reciproke t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[. Kontrollohu! P[r cilat drejt[za thuhet se jan[: a) paralele, b) shmang[se? Vizato kub ABCDA1B1C1D1 dhe vizatoji diagonalet e bazave t[ tij. Cilat ]ifte t[ drejt[zave AC, BD, A1C1, B1D1: a) priten, b) jan[ paralele, c) jan[ shmang[se? Detyra1. Tre drejt[za t[ ndryshme n[ hap[sir[ kalojn[ 3. Le t[ jen[ a dhe b drejt[za n[ hap[sir[. Sa n[p[r t[ nj[jt[n pik[. Sa rrafshe mund t[ rrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r ato drejt[za? p[rcaktojn[ k[to drejt[za?2. Vizato kuboidin ABCDA1B1C1D1 dhe vizatoji 4. Sa rrafshe p[rcaktojn[ kat[r pika jokom- diagonalet e dy faqeve fqinje t[ tij, p[r shem- planare? bull, ABB1A1 dhe BCC1B1. Cilat ]ifte t[ drej- t[zave AB1, BA1, CB1, BC1: 5. Sqaro gjykimin: a) priten; b) jan[ paralele; ,,N[ qoft[ se drejt[zat AB dhe CD priten, c) jan[ shmang[se? at[her[ pikat A, B, C, D jan[ komplanare”. 3 DY RRAFSHE Kujtohu! A 1. Mendo dhe p[rgjigju: Si thot[ aksioma me t[ cil[n plot[sisht A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m nj[ p[rcaktohet nj[ rrafsh n[ hap[sir[? pik[ t[ p[rbashk[t? }far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ nj[ A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m dy drejt[z dhe nj[ rrafsh n[ hap[sir[? pika t[ p[rbashk[ta? P[rgjigjen n[ k[t[ pyetje e jep kjo veti themelore (aksioma A4): A4 N[ qoft[ se dy rrafshe t[ ndryshme kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t, at[her[ ato rrafshe kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t q[ kalon n[p[r at[ pik[. Sipas aksiom[s, dometh[n[, dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ2: a) ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta; b) ose kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t. N[ qoft[ se rrafshet kan[ tre pika t[ p[rbashk[ta jokolineare, ato puthiten. Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 165
    • Mbaj mend Kur dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ2 kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t thuhet se ato rrafshe priten, kurse drejt[za e p[rbashk[t [sht[ drejt[za prer[se e tyre. P[r dy rrafshe Σ1 dhe Σ2 thuhet se jan[ paralele n[ qoft[ se nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta ose n[ qoft[ se puthiten, kjo sh[nohet me Σ1 || Σ2.2. V[re se jan[ t[ sakta k[to gjykime. (B[n vizatim!) a) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe n[ qoft[ se a e dep[rton Σ1, at[her[ a e dep[rton edhe Σ2. b) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe a || Σ1, at[her[ a || Σ2. c) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe Σ3 pritet me Σ1, at[her[ Σ3 pritet edhe me Σ2. Shihe vizatimin dhe p[rcille sqarimin. Rrafshet Σ1 dhe Σ2 priten dhe s [sht[ drejt[z prer[se. M nj[ pik[ e ]far[doshme e s, prej t[ cil[s jan[ t[rhequr dy gjysm[drejt[za pingule (normale) n[ s, ashtu q[ nj[ra shtrihet n[ S1, kurse tjetra n[ Σ2. Ato gjysm[drejt[za e formojn[ k[ndin α. K[ndi α, krah[t e t[ cilit jan[ ato gjysm[drejt[za quhet k[ndi nd[rmjet rrafsheve Σ1 dhe Σ2. Edhe k[ndi i tij i puq[t paraqet k[nd nd[rmjet atyre rrafsheve. N[ qoft[ se k[ndi nd[rmjet rrafsheve [sht[ i drejt[, at[her[ p[r rrafshet thuhet se jan[ pingule (normale) nd[rmjet veti, d.m.th. Σ1 ⊥ Σ2.3. }far[ k[ndi formojn[ dyshemeja dhe faqeja n[ klas[n t[nde? A jan[ pingul nd[rmjet tyre faqeja e muret dhe e tavanit? Po tavani dhe dyshemeja?4. }far[ k[ndi formojn[ baza dhe nj[ faqe an[sore e kuboidit? 166 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet. B Drejt[za a e dep[rton rrafshin Σ n[ pik[n P. N[p[r pik[n dep[rtuese P jan[ t[rhequr drejt[zat b dhe c q[ shtrihen n[ Σ; ato me drejt[z[n a formojn[ k[nde β dhe γ. N[p[r pik[n P mund t[ t[rhiqen dhe drejt[za t[ tjera t[ atilla; t[ gjitha ato me a formojn[ k[nde t[ ndryshme. Sigurisht v[reve se ato k[nde mund t[ jen[ t[ barabart[ nd[rmjet veti kur ato jan[ k[nde t[ drejt[. At[her[ p[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin, d.m.th. se a [sht[ pingule n[ rrafshin Σ; ajo sh[nohet me a ⊥ Σ. Mbaje mend P[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin Σ, n[ qoft[ se a [sht[ pingule n[ ]do drejt[z q[ shtrihet n[ Σ dhe q[ kalon n[p[r pik[n dep[rtuese t[ Σ me a.5. V[re se p[r rrafshet Σ1, Σ2 dhe drejt[zat a, b, k[to pohime jan[ t[ sakta. B[je vizatimin! a) N[se a || b dhe a ⊥ Σ1, at[her[ b ⊥ Σ1. b) N[se Σ1 || Σ2 dhe a ⊥ Σ1, at[her[ a ⊥ Σ2. C 6. N[ vizatim pika M nuk shtrihet n[ rrafshin Σ. Prej M mund t[ l[shojm[ pingule (normale) n[ Σ. Le t[ jet[ M pika dep[rtuese e asaj normaleje. Shihe vizatimin, pra mendo dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Sa pingule (normale) t[ atilla n[ Σ mund t[ l[shohen prej M? N[p[r M [sht[ t[rhequr drejt[za b q[ e dep[rton Σ n[ pik[n N ≠ M. Drejt[za b a [sht[ pingule (normale) n[ Σ? }far[ trek[nd[shi [sht[ ΔMMN? Nxirre p[rfundimin se MM [sht[ pingulja (normalja) e vetme e Σ e l[shuar prej pik[s M. Sqaro ][sht[ pingule (normale) e rrafshit e l[shuar prej pik[s q[ shtrihet jashta rrafshit. P[r segmentin MM (prej vizatimit) thuhet se [sht[ ortogonale n[ rrafshin Σ, kurse p[r ]do segment tjet[r (sikurse [sht[ MN) - se [sht[ i pjerr[t. Larg[sia MM quhet edhe larges[ e pik[s M deri te rrafshi Σ. Shprehe p[rkufizimin p[r larges[n e pik[s deri te rrafshi. Prej vizatimit konstato se MM < MN . Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 167
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ sqarosh ][sht[ prerje e dy rrafsheve; Si [sht[ pozita reciproke e dy rrafsheve n[ qoft[ me vizatim ti paraqesish pozitat reciproke t[ se kan[: dy rrafsheve; a) nj[; b) dy; c) tri pika t[ p[rbashk[ta? me vizatim t[ sqarosh: k[ndin nd[rmjet dy P[r drejt[zat a, b dhe rrafshin Σ a jan[ t[ sak- rrafsheve dhe larges[n prej pik[s deri n[ rrafsh. ta gjykimet (b[je vizatimin): a) N[ qoft[ se a || b dhe drejt[za a e dep[rton Σ, at[her[ edhe drejt[za b e dep[rton Σ. Detyra b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ dhe b ⊥ Σ, at[her[ a || b.1. P[r cil[t dy rrafshe thuhet se: 4. Largesa prej pik[s M me rrafshin Σ [sht[ d. a) jan[ paralel; b) jan[ pingul (normal)? Sqaro se p[r gjat[sin[ e ]do segmenti t[ l[shuar prej p[k[s M deri te cila do pik[ X t[2. Sa drejt[za pingule (normale) mund t[ t[rhiqen rrafshit Σ vlen: MX ³ d . prej pik[s s[ dh[n[, n[ rrafshin e dh[n[?3. P[r drejt[zat e dh[na a dhe b dhe rrafshet Σ 1, Σ 2, Σ 3 a jan[ t[ sakta gjykimet? (B[je 5. }far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ rrafshi vizatimin.) Σ1, q[ kalon n[p[r pikat A, B, C dhe rrafshi a) N[ qoft[ se a || b dhe a || Σ1, at[her[ edhe Σ2, q[ kalon n[p[r pikat A, B, D? b || Σ1. b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ1 dhe a ⊥ Σ2, at[her[ edhe Σ1 || Σ2. c) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe Σ1 || Σ3, at[her[ edhe Σ2 || Σ3. 4 PROJEKTIMI PARALEL. PROJEKTIMI ORTOGONALA 1. {sht[ dh[n[ rrafshi ∑ dhe drejt[za s q[ nuk [sht[ paralele me ∑. Zgjedh pik[ A dhe n[p[r t[ t[rhiq drejt[z a q[ [sht[ paralele me drejt[z[n s. Drejt[za a e dep[rton rrafshin ∑. (Pse?) Vizato at[ pik[ t[ dep[rtimit dhe sh[noe me A. Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[. Pika A quhet projeksion i pik[s A n[ rrafshin ∑ n[ drejtim t[ s. P[r drejt[z[n s thuhet se [sht[ drejtimi projektues. Drejt[za a quhet drejt[za projektuese e pik[s A. P[r rrafshin ∑ thuhet se [sht[ rrafshi projektues. Me k[t[ [sht[ p[rcaktuar pasqyrim i pikave prej hap[sir[s mbi rrafshin ∑. Ky pasqyrim quhet projektim paralel, me drejtimin projektues s.168 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 2. Pikat A’ , B’ dhe C’ n[ vizatim jan[ p[rkat[sisht projeksione t[ pikave A, B dhe C. Pse A’ ≡ B’ dhe C’ ≡ C?3. Pikat X dhe Y’ n[ vizatim jan[ projeksione t[ disa pikave, mbi rrafshin ∑, n[ drejtim t[ drejt[z[s s. Cilat pika nga hap[sira proektohen n[ pik[n X’ ? Cilat pika nga rrafshi ∑ proektohen n[ pik[n Y’? V[re dhe mbaj mend! N[ qoft[ se A’ [sht[ projeksion i pik[s A, at[her[ A’ [sht[ projeksion i ]do pike t[ drejt[z[s projektuese q[ kalon nep[r piken A. }do pik[ nga rrafshi projektues puthitet me projeksionin e tij.4. Vizato rrafsh ∑ me drejtim projektues s dhe drejt[z p, p s. Zgjedh n[ drejt[z[n p tri pika A, B, C dhe vizatoji projeksionet e tyre A’ , B’ , C’ . (Ke kujdes: pikat A’ , B’ , C’ do t[ jen[ kolineare!) Kujtohu! Projeksioni i nj[ figure mbi rrafshin e B dh[n[ ∑ [sht[ bashk[sia e pikave q[ }[sht[ projektim paralel? jan[ proeksione t[ pikave t[ asaj figure. Figura gjeometrike (edhe rrafshore edhe hap[sinore) paraqet nj[ bashk[si pikash. N[ k[t[ m[nyr[ projektimi i drejt[z[s n[ rrafshin ∑ , n[ rastin m[ t[ p[rgjithsh[m [sht[ drejt[z, i }donj[ra prej atyre pikave ka projeksion t[ segmentit - [sht[ segment, i trek[nd[shit - [sht[ vet gjat[ projektimit t[ tij paralel. trek[nd[sh e me rradh[.5. {sht[ dh[n[ rrafshi ∑, drejt[za s dhe s ⊥ ∑, A ∉ ∑, B ∈ ∑. Cakto projeksionet e A dhe B n[ ∑ n[ drejtim t[ s. Shihe dhe p[rcille sqarimin. N[ rastin kur drejtimi proektues [sht[ pingul (normal) n[ rrafshin projektimin e dh[n[ ∑, p[r projektimin paralel thuhet se [sht[ ortogonal, kurse p[r projeksionet thuhet se jan[ projeksione ortogonale. K[shtu, pikat A’ dhe B’ jan[ projeksione ortogonale t[ pikave A dhe B mbi rrafshin ∑.6. Shihe vizatimin dhe sqaro se si [sht[ b[r[ nd[rtimi i projeksionit ortogonal a i drejt[z[s a n[ rrafshin ∑ . Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 169
    • 7. B[n vizatim n[ fletore sikurse vizatimi i dh[n[ dhe vizato projeksionin ortogonal t[ drejt[z[s a mbi rrafshin ∑.8. }[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit AB n[ rrafshin e dh[n[ ∑: a) n[ rastin kur AB nuk [sht[ pingule (normale) n[ ∑; b) n[ qoft[ se AB || Σ? Shihi vizatimet dhe v[re sqarimet. A N[ qoft[ se A’ dhe B’ jan[ projeksionet e pikave t[ skajshme a) dhe B t[ segmentit AB, at[her[ proeksioni i segmentit AB mbi rrafshin ∑ [sht[ segmenti A’B’. b) N[ qoft[∑se at[her[ projeksioni i tijparalel[sht[ paralel me projeksionit , segmenti AB [sht[ A’B’ me rrafshin e segmentin e dh[n[, d.m.th. AB || AB, AB = AB , pasi kat[rk[nd[shi ABB’A’ [sht[ paralelogram. (Pse?)9. }[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit, q[ [sht[ normal n[ ∑? C 10. Projeksioni i trek[nd[shit, n[ rastin e p[rgjithsh[m [sht[ trek[nd[sh. }far[ pozite reciproke ka rrafshi te i cili shtrihet trek[nd[shi, me rrafshin projektues, projeksioni i trek[nd[shit nuk [sht[ trek[n- d[sh? N[ qoft[ se rrafshi te i cili shtrihet trek[nd[shi [sht[ pingul (normal) n[ rrafshin projektues, at[her[ projeksioni i tij [sht[ segment. Te vizatimi, ΔPQR projektohet n[ segment PR. Kontrollohu! Duhet t[ dish: Drejt[za b [sht[ pingule (normale) n[ ∑ me t[ sqarosh: projektimin paralel dhe projeksionin pik[n dep[rtuese P. Cakto projeksionin ortogonal mbi rrafsh; ortogonal b’ t[ drejt[z[s b. t[ b[jsh projeksionin ortogonal t[ pik[s, drejt[z[s, segmentit dhe trek[nd[shit mbi Si [sht[ pozita reciproke e drejt[zave projek- rrafsh. tuese dhe rrafshit t[ projeksionit gjat[ projeksionit ortogonal? 170 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • Detyra 1. Pikat e skajshme t[ segmentit AB shtrihen n[ 3. Drejt[zat a dhe b priten. A mundet proek- an[ t[ ndryshme t[ rrafshit projektues. Cakto sionet e tyre t[ jen[ dy drejt[za t[ ndryshme projeksionin ortogonal t[ segmentit. B[je paralele? vizatimin. 4. Projeksionet A, B, C t[ pikave A, B, C jan[ 2. Projeksionet ortogonale t[ segmentave AB kolineare. Pikat A, B, C a jan[ patjet[r koli- dhe CD jan[ AB dhe CD. Cili prej k[tyre neare? pohimeve [sht[ i sakt[? 5. Pika C [sht[ mesi i segmentit AB. a) N[ qoft[ se AB = CD , at[her[ AB = CD . Sqaro se projeksioni C (i pik[s C) [sht[ mesi i segmentit AB. b) N[ qoft[ se AB || CD, at[her[ AB = CD . c) N[ qoft[ se AB || CD dhe AB = CD , 6. Pika M nuk shtrihet n[ drejt[z[n a. A mundet projeksioni M t[ shtrihet n[ drejt[z[n a? at[her[ AB = CD . 5 PARAQITJA E TRUPAVE GJEOMETRIK ME VIZATIM Kujtohu! Me kubin dhe kuboidin je njohur m[ her[t gjat[ shkollimit t[nd. P[r ato din[ t[ njehsosh edhe syprin[n dhe v[llimin. kubi P[rve] k[tyre dy trupave gjeometrik ke njohur kuboidi edhe trupa t[ tjer[ me form[n: cilindrike, konike dhe t[ topit. cilindri Cil[t prej trupave gjeometrik n[ vizatim jan[ me tehe (trupa tehor) kurse cil[t t[ rrumbullak[t? topi koniA 1. Vizato nj[ kuboid n[ fletore. Gjat[ t[ vizatuarit duhet t[ kesh kujdes p[r k[t[: quhen bazacila posht[vendosur n[ ndonj[ rrafsh dhejan[ paralele dhe o 1 Faqja e ( [sht[ dhe lart[); ato gjithmon[ faqja p[rball[ saj, paralelograme t[ puthitshme nd[rmjet veti paralelograme. Kjo vlen edhe p[r t[ gjitha prizmat. 2o Faqet an[sore dhe tehet an[sore t[ kuboidit (edhe te prizmat e drejt[) duhet t[ jen[ ortogonale (pingule) me t[ dy bazat. Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 171
    •  3o Tehet paralele t[ kuboidit (edhe t[ ]do prizmi) patjet[r jan[ paralele edhe n[ vizatim! 4o T[ gjith[ 12 tehet e kuboidit nuk mund t[ shihen. N[ vizatim, tehet q[ shihen paraqiten me vij[ t[ plot[, dhe ato q[ nuk shihen me vija t[ nd[rprera. Cilat prej tyre do t[ ,,shihen", dhe cilat nuk shihen, varet prej ku shihet kuboidi: a) prej lart[ (sikurse shohin zogjt[ - ,,perspektiva e zogut") ose prej posht[ (sikurse shohin bretkosat - ,,perspektiva e bretkos[s"), ose b) prej an[s s[ djatht[ ose prej an[s s[ majt[. 4 5 3 6 2 1 prej lart[, prej posht[, nga kontura nga e djathta e majta 5o Gjasht[ tehet q[ e formojn[ kontur[n te vizatimi (1, 2, ..., 6) ,,shihen". Shihi tehet prej 1 deri 6; ato shihen edhe n[ dy vizatimet tjera. 6o Prej 6 teheve tjera duhet t[ vler[sosh: cil[t prej tre teheve kan[ kulm t[ p[rbashk[t i cili nuk shihet. Ato tehe nuk shihen. B Shpesh her[ (por edhe rekomandohet), trupat gjeometrik t[ vizatohen ashtu q[ t[ shihen prej lart[ dhe na ana e djatht[.2. T[ vizatojm[ pjes[risht nj[ kuboid (me tehe: a, b, c). Vizato n[ fletore, duke i p[rcjellur hapat prej a) deri n[ ]): a) vizato drejtk[nd[sh me brinj[ a dhe c a (faqeja e p[rparme an[sore); b b c b) vizato baz[n e sip[rme; a c c c) prej kulmeve t[ baz[s s[ sip[rme l[sho (dy) c c c tehe an[sore me gjat[si c dhe paralele me c; b ]) tani mund t[ vizatohet edhe baza e posh- a a a a t[me dhe t[ shihet cilat tehe nuk shihen. a) b) c) d) Vizato kub q[ e sheh3. a) prej lart[ dhe nga ana e djatht[; b) prej lart[ dhe nga ana e majt[. Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[. a) b) 172 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 4. Vizato kubin q[ shihet: a) prej posht[ dhe nga ana e djatht[; b) prej posht[ dhe nga ana e majt[. Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[. a) b) C Shihi vizatimet. Te ato jan[ paraqitur nj[ priz[m e drejt[ gjasht[k[ndore dhe dy piramida (nj[ra trek[ndore dhe tjetra kat[rk[ndore). K[to trupa tehor do ti hasish n[ m[simet q[ pasojn[.5. Vizato priz[m t[ drejt[ trek[ndore.6. Vizato piramid[ me baz[ pes[k[nd[sh. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ paraqesish trup gjeometrik me vizatim. Vizato nj[ kuboid q[ shihet prej lart[ dhe nga ana e majt[. Detyra1. Vizato kub me brinj[ a = 2,5 cm. P[rpiqu t[ num[rosh... Nj[ bllok druri n[ form[ t[ kubit me2. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prej teh prej 3 dm [sht[ ngjyrosur me lart[ dhe: ngjyr[ t[ kuqe (d.m.th. me ngjyr[ t[ kuqe) n[ a) nga ana e djatht[; b) nga ana e majt[. gjasht[ faqet. Zdrukthtari e ka prer[ n[ 27 kube ]donj[rin me teh 1 dm.3. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prej a) Sa kube nuk kan[ asnj[ faqe t[ ngjyrosur me t[ posht[ dhe: kuqe? a) nga ana e majt[ b) nga ana e djatht[ b) Sa kube ka me nga nj[ faqe t[ kuqe?4. Paraqit nj[ kuboid n[ kat[r rastet e shiqimit. c) Sa kube ka me nga dy faqe t[ kuqe? ]) Sa kube ka me nga tre faqe t[ kuqe? d) Sa kube ka me nga kat[r faqe t[ kuqe? Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 173
    • PRIZMI 6 PRIZMI. LLOJET E PRIZMAVE. PRERJET DIAGONALE Kujtohu! A P[rcjelle sqarimin se si fitohet prizmi. Kubi dhe kuboidi jan[ figura gjeometrike hap[sinore. }far[ figura gjeometrike jan[ faqet e tyre?  Meren dy rrafshe t[ ndryshme paralele Σ dhe Σ1, skurse n[ vizatim. N[ nj[r[n prej tyre t[ gjitha faqet jan[ figura t[ puthitshme. }far[? Vizato nj[ kub dhe nj[ kuboid dhe sqaro se p[r ]far[ ndryshojn[. Meret edhe nj[ shum[k[nd[sh, p[r shembull pes[k[nd[shi ABCDE, q[ shtrihet n[ Σ. Pastaj, meret edhe nj[ drejt[z p q[ i dep[rton ato dy rrafshe. N[p[r kulmet e shum[k[nd[shit t[ zgjedhur t[rhiqen drejt[za paralele me drejt[z[n p; n[ vizatim, pikat e tyre dep[rtuese t[ rrafshit Σ1 sh[nohen p[rkat[sisht me A1, B1, C1, D1, E1.1. N[ lidhje me vizatimin, konstato cil[t prej k[tyre pohimeve jan[ t[ sakt[ dhe pse. AA1 || BB1 dhe AA1 = BB1 . AB || A1B1 dhe AB = A1B1 . EAB = E1A1B1. V[re se tre pohimet jan[ t[ sakta. Prej aty mund t[ p[rfundosh se: a) kat[rk[nd[shat ABB1A1, BCC1B1 etj. jan[ paralelograme; b) pes[k[nd[shi A 1B 1C 1D 1 E 1 [sht[ i puthitsh[m me pes[- k[nd[shin ABCDE. Figura gjeometrike q[ p[rb[het prej atyre dy pes[k[nd[shave dhe pes[ paralelogram[ve t[ ve]uar [sht[ paraqitur n[ vizatim. Ajo [sht[ nj[ sip[rfaqe q[ e ndan bashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona: e brendshme dhe e jashtme. 174 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • Zona e brendshme, s[ bashku me at[ sip[rfaqe, formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet priz[m pes[k[ndor N[ t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ fitohet edhe: priz[m trek[ndor, priz[m kat[rk[ndor etj. Trek[nd[shat, kat[rk[nd[shat, pes[k[nd[shat etj., q[ e p[rcaktojn[ form[n e prizmit, quhen baza t[ prizmit. Faqet tjera jan[ paralelogram[ - ato jan[ faqe an[sore, kurse unioni i tyre, pra, quhet sip[rfaqe an[sore. }do priz[m ka dy baza dhe sip[rfaqe an[sore. Kulmet e bazave jan[ kulmet e prizmit, kurse brinj[t (segmentat) e bazave dhe t[ faqeve an[sore jan[ tehe, dhe at[: tehe te baz[s dhe tehe an[sore.2. N[ vizatim jan[ paraqitur dy trek[nd[sha dhe nj[ kuad[r, d.m.th. priz[m kat[rk[ndor. Em[rtoji bazat e t[ tre prizmave. Em[rtoji faqet an[sore t[ dy prizmave trek[ndore. Sa kulme dhe sa tehe ka nj[ priz[m kat[rk[ndor? Cil[t tehe jan[ t[ baz[s, dhe cil[t jan[ tehe an[sore te prizmi pes[k[ndor nga detyra paraprake?3. Num[roji kulmet (k), faqet (f) dhe tehet (t) t[ prizmit pes[k[ndor nga vizatimi i sip[rm, dhe provo a vlen barazia: f + k = t + 2.. Prizmi te i cili tehet an[sore jan[ pingule(normale) B n[ bazat quhet priz[m i drejt[. T[ atilla jan[ prizmat I dhe II n[ vizatim. Prizmi ku tehet an[sore nuk jan[ normale n[ bazat quhet prizmi i pjerr[t. Prizma t[ atilla jan[ III dhe IV n[ vizatim. Prizmi kat[rk[ndor quhet paralelopiped. I II4. Em[rtoji prizmat I - IV n[ vizatim: sipas llojit t[ baz[s; sipas pozit[s s[ teheve an[sore (ndaj baz[s); sipas llojit t[ bazave dhe pozit[s t[ teheve an[sore. }do priz[m i drejt[ me baz[ shum[k[nd[sh t[ rregullt quhet III IV priz[m i rregullt. K[shtu, p[r nj[ priz[m t[ drejt[ me baz[ katror thuhet se [sht[ prizmi i rregullt kat[rk[ndor. Prizmi 175
    • 5. Sa dhe ]far[ faqe ka: a) prizmi kat[rk[ndor; c) prizmi i rregullt kat[rk[ndor; b) prizmi i drejt[ kat[rk[ndor; ]) prizmi i rregullt gjasht[k[ndor? Mbaj mend Larg[sia nd[rmjet bazave paralele t[ nj[ prizmi quhet lart[sia e prizmit. P[r prizmin n[ vizatimin IV ai [sht[, p[r shembull, gjat[sia e segmentit MM’, kurse p[r prizmin e drejt[ II ajo [sht[ gjat[sia e cilitdo tehu an[sor, p[r shembull AA1. C Shihi vizatimet dhe v[re: N[ qoft[ se nj[ priz[m pritet me rrafsh fitohet shum[k[nd[sh i cili quhet prerja e prizmit. Prerja e prizmit me rrafsh q[ kalon n[p[r dy tehe an[sore jofqinje t[ prizmit quhet prerje diagonale. Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ dy kulme t[ nj[ prizmi, q[ nuk shtrihen n[ faqen e nj[jt[, quhet diagonale hap[sinore ose vet[m diagonalja e prizmit. P[r prizmin te vizatimi segmenti DB1 [sht[ diagonale hap[sinore.6. Te vizatimi i m[ sip[rm [sht[ paraqitur (hijezuar) prerja diagonale ACC1A1 e prizmit pes[k[ndor ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1. Em[rto t[ pakt[n edhe dy prerje diagonale t[ tij. Si do t[ sqarosh se ]do prerje diagonale [sht[ paralelogram ku nj[ri ]ift i brinj[ve [sht[ ]ifti ,,diagonalet p[rkat[se" t[ bazave? }far[ paralelogrami [sht[ prerja diagonale e prizmit t[ drejt[? Sa prerje diagonale ka prizmi: a) pes[k[ndor; b) gjasht[k[ndor; c) tet[k[ndore?7. N[ lidhje me vizatimin paraprak, p[rgjigju n[ k[to k[rkesa. Em[rtoji t[ gjitha diagonalet (hap[sinore) t[ prizmit kat[rk[ndor ABCDA1B1C1D1. (Ke kujdes, ka 4 diagonale!) Sa diagonale ka prizmi pes[k[ndor n[ vizatim? Sa diagonale t[ prizmit shtrihen n[ nj[ prerje t[ tij diagonale? }far[ jan[ ato p[r prerjen? 176 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • Duhet t[ dish: Kontrollohu! ti njohish dhe em[rtosh llojet e prizmave; A mundet bazat e nj[ prizmi t[ dallohen sipas t[ em[rtosh elementet e prizmit (bazat, faqet numrit t[ brinj[ve? an[sore, tehet...); Numri i p[rgjithsh[m i teheve t[ nj[ prizmi a t[ p[rkufizosh dhe t[ vizatosh prerjen e prizmit, mund t[ jet[: prerjen diagonale dhe diagonalen hap[sinore a) 6; b) 9; c) 12, ]) 15? t[ prizmit. }[sht[ prizmi i drejt[? }[sht[ prizmi i rregullt? Detyra1. Sa faqe an[sore ka prizmi i drejt[ shtat[- 4. A mundet bazat e prizmit t[ pjerr[t t[ jen[ k[ndor? }far[ shum[k[nd[sha jan[ ato? shum[k[nd[sha t[ rregullt? 5. A ekziston priz[m me:2. Sa faqe ka prizmi n-k[ndor? a) 4; b) 8; c) 13 faqe? 6. Sa diagonale (hap[sinore) mund t[ t[rhiqen3. Si [sht[ lidhja nd[rmjet numrit f t[ faqeve prej nj[ kulmi t[ baz[s s[ sip[rme te prizmi: an[-sore dhe numrit t t[ teheve t[ baz[s? a) trek[ndor; b) pes[k[ndor; c) gjasht[k[ndor? 7 PARALELOPIPEDI. RRJETI DHE SYPRINA E PRIZMIT Kujtohu! }far[ shum[k[n[shash jan[ faqet an[sore t[ nj[ prizmi? T[ gjasht[ faqet e paralelopipedit jan[ parale- }[sht[ prizmi i: a) drejt[, b) pjerr[t? lograme. P[r cilin priz[m thuhet se [sht[ i rregullt? Prej tyre mund t[ formohen tre ]ifte faqe t[ p[rballta (d.m.th. ]ifte t[ faqeve q[ nuk kan[ Kuboidi a [sht[ priz[m i rregullt? tehe t[ p[rbashk[ta. Kubi a [sht[ priz[m i rregullt?1. V[re ]iftin e faqeve t[ p[rballta ADD1A1 dhe BCC1B1 t[ paralelopipedit nga vizatimi dhe p[rgjigju n[ k[rkesat. Em[rto dy ]ifte tjera t[ faqeve t[ p[rballta. Si jan[ nd[rmjet vedi, sipas pozit[s reciproke dhe gjat[sis[, tehet: AD dhe BC; AA1 dhe BB1; AB dhe A1B1? A1AD = B1BC. Pse? Nxirre p[rfundimin se faqet ADD 1 A 1 dhe BCC 1 B 1 jan[ paralelograme t[ puthitshme. Prizmi 177
    • N[ p[rgjith[si vlen Te paralelopipedi ]far[do dy faqe reciprokisht t[ p[rballta jan[ paralele dhe t[ puthitshme. Pasi paralelopipedi [sht[ priz[m, mund t[ themi P[r cilin paralelopiped se ai [sht[ i drejt[ n[ qoft[ se tehet an[sore jan[ mund t[ themi se [sht[ normale me bazat. N[ qoft[ se ato nuk jan[ paralelopiped i drejt[ dhe pingule (normale) n[ bazat, at[her[ p[r cilin i pjerr[t? paralelopipedi [sht[ i pjerr[t. Paralelopipedi [sht[ i drejt[ dhe e ka baz[n drejtk[nd[sh quhet paralelopiped k[nddrejt ose kuboid. Gjat[sit[ e t[ tre teheve q[ dalin prej nj[ kulmi (p[r shembull, n[ vizatim: AB, BC, BB1) quhen p[rmasa (dimensione) t[ kuboidit. Kuboidi te i cili p[rmasat jan[ t[ barabarta quhet kub.2. N[ vizatim, v[re prerjen diagonale BDD1B1 t[ kuboidit, mendo dhe p[rgjigju n[ pyetjet. }far[ kat[rk[nd[sha jan[ prerjet diagonale t[ kuboidit? Si jan[ nd[rmjet veti, sipas madh[sive dhe pozit[s reciproke, diagonalet hap[sinore BD1 dhe DB1? Sa diagonale hap[sinore ka kuboidi? Si jan[ ato nd[rmjet veti sipas madh[sis[ dhe pozit[s reciproke? Shihe kat[rk[nd[shin BCD1A1 n[ vizatim. Ai [sht[ drejtk[nd[sh (pse?) dhe diagonalet e tij BD1 dhe CA1 jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Prandaj: CA1 = BD1 = DB1 (= AC1 ) . Mbaj mend Te kuboidi t[ gjitha diagonalet hap[sinore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Ato priten n[ nj[ pik[ dhe p[rgjysmohen me at[.3. N[ vizatim [sht[ paraqitur kuboidi me p[rmasa a, b, c. Shihe diagonalen hap[sinore BD 1 dhe mendo se si do t[ p[rfundosh p[r gjat[sin[ d = BD1 vlen: d = a2 + b2 + c2 178 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • Q[ ta nxjerrish p[rfundimin e k[rkuar, v[re se: a) DBAD [sht[ k[nddrejt, pra BD2 = a 2 + b2 (pse?); b) DBDD1 [sht[ k[nddrejt, pra d 2 = BD2 + c 2 (pse?). Prandaj vlen barazimi: d 2 = a2 + b2 + c2.4. Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa 8 cm, 6 cm, 24 cm. B Le t[ jet[ dh[n[ nj[ priz[m kat[rk[ndore. Paramendo se [sht[ ,,e prer[" sipas nj[ tehu an[sor dhe n[p[r tre tehet e bazave t[ dy bazave, sikurse n[ vizatim. N[ qoft[ se, pastaj, t[ gjitha faqet e tij i hapim n[ nj[ rrafsh, do t[ fitojm[ nj[ figur[ e cila qu- het rrjeti i atij prizmi. Mbaj mend }do priz[m i drejt[ e ka rrjetin e tij. Rrjeti p[rb[het prej dy shum[k[nd[shave (baza t[ prizmit) dhe prej nj[ drejtk[nd[shi me dimensione: P (perimetri i baz[s) dhe H (gjat[sia e tehut an[sor, d.m.th. lart[sia) e prizmit.5. Figura p[rb[het prej nj[ drejtk[nd[shi dhe dy trek[nd[shave t[ puthitsh[m, ,,t[ ngjitur" te drejtk[nd[shi. Sqaro se ai [sht[ rrjeti i nj[ prizmi trek[ndor t[ drejt[. A [sht[ ai priz[m i drejt[? Pse?6. T[ tre figurat a jan[ rrjeta t[ kubeve? P[rpiqu t[ formosh kubin ose b[j model. a) b) c) Prizmi 179
    • Kujtohu! C Shihe vizatimin te i cili [sht[ paraqitur nj[ priz[m shum[- Sip[rfaqja e nj[ prizmi shum[k[ndor p[rb[het k[ndore dhe v[re t[ cilit lloj prej: dy bazave (t[ cilat jan[ shum[k[nd[sha t[ shum[k[nd[shave jan[ t[ puthitsh[m) dhe sip[rfaqja an[sore (e cila faqet e tij. p[rb[het prej paralelogram[ve). Shuma e sip[rfaqeve t[ t[ gjitha faqeve t[ nj[ prizmi quhet syprina e prizmit. P[r syprin[n S t[ nj[ prizmi kemi: S = 2B + M B - syprina e nj[r[s baz[; M - syprina e baz[s an[sore (mb[shtjell[si).7. Njehso syprin[n e prizmit trek[ndor t[ drejt[ me tehet e baz[s a = 6 cm, b = 25 cm, c = 29 cm dhe lart[si H = 35 cm. Zgjidhjen t[nde krahaso me zgjidhjen e dh[n[. Syprina B e baz[s mund t[ njehsohet me formul[n e Heronit: B = s( s - a )( s - b)( s - c) , 2s = a + b + c = P; 2s = 6 + 25 + 29 = 60; s = 30; B = 30 ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅ 1 = 3600 = 60 , d.m.th. B = 60 cm2. Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej tre drejtk[nd[shave, pra p[r syprin[n e tij M kemi: M = a ⋅ H + b ⋅ H + c ⋅ H = (a + b + c) ⋅ H = P ⋅ H = 60 ⋅ 35, d.m.th. M = 2100 cm2. Dometh[n[, syprina SS =e 2B + M =[sht[: + 2100 = 2220, prizmit 2 ⋅ 60 d.m.th. S = 2220 cm2. N[ p[rgjith[si Syprina M e sip[rfaqes an[sore t[ prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[n: M = P ⋅ H, ku P [sht[ perimertri i baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit.8. Njehso M e prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndore me tehun a = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm.9. Syprin[n e kuboidit dhe t[ kubit e ke njehsuar edhe m[ par[. 180 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • V[re dhe sqaro: Syprina e kuadrit me p[rmasa a, b, c (shprehi me t[ nj[jt[n nj[si mat[se) njehsohet me formul[n: S= 2(ab + ac + bc), Syprina e kubit me teh a: S = 6a2. Njehso tehun e kubit me syprin[ S= 61,44 cm2.10. Sqaro formulat p[r njehsimin e syprinave t[: a2 3 a) prizmit t[ rregullt[ trek[ndor S  3aH ; 2 b) prizmit t[ rregullt[ kat[rk[ndor: S = 2a (a + 2H); c) prizmit t[ rregullt[ gjasht[k[ndor: S  3a ( a 3  2 H ) . . me tehun e baz[s a dhe lart[si H. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ njohish dhe t[ skicosh paralelopiped dhe ti Cakto formul[n p[r gjat[sin[ d t[ diagonales shprehish vetit[ e tij; s[ kubit me brinj[ a. t[ vizatosh kuboid dhe kub si edhe rrjetin e Vizato rrjetin e prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor. llojeve t[ ndryshme t[ prizmave; t[ shprehish m[nyr[n e p[rgjithshme dhe t[ Njehso syprin[n e prizmit t[ rregullt njehsosh syprin[n e llojeve t[ ndryshme t[ kat[rk[ndor me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si prizmave. 10 cm. Detyra1. Njehso syprin[n e: 3. Njehso lart[sin[ e prizmit t[ rregullt a) kuboidit me p[rmasa 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm; kat[rk[ndor, n[ qoft[ se syprina e sip[rfaqes an[sore [sht[ M = 160 cm2, kurse syprina e b) kubit me teh 2,5 cm. prizmit [sht[ S= 210 cm2.2. Syprina e nj[ kubi [sht[ 294 cm2. Njehso tehun dhe diagonalen e kubit. Prizmi 181
    • 4. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmi 7. Prizmi i drejt[ me tehun e baz[s 12 cm e ka i rregullt kat[rk[ndor t[ caktohen t[ baz[n romb me diagonale 6 cm dhe 8 cm. panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[: Cakto syprin[n e prizmit. a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm; b) a = 12 cm, M = 432 cm2; c) a = 8 cm, S = 480 cm2; ]) B = 49 cm2, H = 12 cm; 8. Cil[t prej figurave t[ dh[na 1 - 8 paraqesin d) B = 81 dm2; S = 342 dm2; rrjete t[ kubit? dh) H = 8 dm, M = 208 dm2; e) M = 120 dm2, B = 36 dm2; [) M = 180 cm2, S = 342 cm2. 1 2 35. Sa her[ do t[ zmadhohet syprina e nj[ kubi, n[ qoft[ se tehu i tij zmadhohet tre her[? 5 4 66. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmi trek[ndor i rregullt cakto t[ panjohurat, n[ 8 7 qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ centimetra): a) a = 6, H = 15; b) a = 4, M = 108; c) a = 12, ; ]) B = 4 3 , H = 9; d) M = 270, B = 9 3 ; dh) M = 240, S ≈ 326,5. A mundet merimanga t[ arrin[ deri te miza? MzN[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i rregullt kat[rk[ndor me tehun ebaz[s 1 cm dhe lart[si 3 cm.Nj[ merimang[ (P) dhe nj[ miz[ (M) jan[ n[ pozit[n sikurse n[ Mrvizatim. Merimanga e ka pyetur miz[n: ,,A do t[ m[ presish t[ vij[deri te ty?" Miza i [sht[ p[rgjigjur: ,,Do t[ pres[ n[ qoft[ se i plot[sonk[to dy kushte:1) t[ kalosh n[p[r t[ gjitha kat[r faqet ansore dhe 2) rruga e kaluar t[ mos jet[ m[ e madhe se 5 cm."182 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 8 V{LLIMI I POLIEDRIT. V{LLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT Kujtohu! A N[ vizatim jan[ vizatuar modele t[ trupave geometrike. Kubi, kuboidi dhe prizmat tjera jan[ figura tjera Em[rto ]donj[rin prej tyre. hap[sinore. Cil[t prej tyre jan[ tehor, kurse cil[t trupa Ato ,,z[n[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s" dhe quhen rrotulluese? trupa gjeometrike. P[rve] tyre ka edhe trupa t[ tjera gjeometrike. 3 1 2 6 4 5 N[ p[rgjith[si Trupi gjeometrik [sht[ pjes[ e mbyllur e kufizuar e hap[sir[s. N[ qoft[ se sip[rfaqja e trupit p[rb[het vet[m prej shum[k[nd[shave, at[her[ p[r at[ thuhet se [sht[ trup tehor ose polied[r (si] jan[, prizmi, dhe piramida). N[ qoft[ se tani, disa pjes[ t[ sip[rfaqes q[ e kufizojn[ trupin jan[ t[ lakuara, at[her[ p[r at[ themi se [sht[ trup rrotullues (p[r shembull: cilindri, koni dhe topi).2. Em[rto tre sende (d.m.th. ,,trupa fizik") nga rrethi i yt q[ e kan[ form[n e trupit gjeometrik: a) tehor, b) rrotullues.3. N[ vizatim jan[ paraqitur dy prizma, bazat e t[ cil[ve jan[ trek[nd[sha t[ puthitsh[m (ΔABC ≅ ΔMNP),kurse tehet an[sore i kan[ t[ barabarta ( AA1 = MM1 ) . }do t[ ndodh n[ qoft[ se p[r ndonj[ l[vizje t[ kulmeve A, B, C puthitet me kulmet M, N, P p[rkat[sisht, kurse kulmet A1, B1, C1 puthiten me kulmet M1, N1, P1, p[rkat[sisht? V[ren se, me at[ l[vizje, prizmat do t[ sillen deri n[ puthitje t[ plot[sishme. P[r k[t[ shkak themi se ato jan[ t[ puthitshme nd[rmjet veti. Mbaj mend P[r dy figura gjeometrike (kurse ve]an[risht, p[r dy trupa gjeometrik) mund t[ thuhet se jan[ t[ puthitshme, n[ qoft[ se ato, me ndonj[ l[vizje, mund t[ sillen deri n[ puthitje. Prizmi 183
    • 4. Kuboidi n[ vizatimin a) [sht[ prer[ me rrafshin EFF1E1, ashtu q[ fitohen dy kuboide. Ato kan[ faqe t[ p[rbashk[ta, por nuk kan[ pika t[ brendshme t[ p[rbashk[ta. P[r ato themi se jan[ pjes[ p[rb[r[se (ose p[rb[r[sa) t[ kuboidit t[ dh[n[. N[ sa pjes[ p[rb[r[se [sht[ ndar[ prizmi n[ vizatimin b)? Em[rtoji ato pjes[. a) b) Kujtohu! Cakto v[llimin e kuboidit me p[rmasa a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm; Numrin q[ e fitove poashtu (45 cm 3) e karak- terizon madh[sin[ e pjes[s s[ brendshme t[ kuboidit. }tregon ai num[r (45 cm3)? Ai num[r tregon se te kuboidi i dh[n[ mund t[ vendosim 45 kube me teh 1 cm, d.m.th. 45 kube me v[llim 1 cm3. Prandaj themi se ai kuboid e ka v[llimin 45 cm3. B }do trup formon ndonj[ pjes[ t[ hap[sir[s. P[r ,,madh[sin[" e pjes[s s[ brendshme t[ trupit, d.m.th. t[ pjes[s s[ kufizuar nga hap[sira thuhet se [sht[ v[llimi i trupit. Detyra e p[rgjithshme p[r p[rcaktimin, d.m.th. p[r matjen e v[llimit t[ trupit [sht[ e ngjashme me detyr[n p[r matjen e syprin[s s[ figur[s s[ rrafshit. P[rkat[sisht, madh[sia e pjes[s s[ brendshme t[ nj[ trupi gjeometrik, por ve]an[risht t[ poliedrit mund ti shoq[rohet nj[ num[r real i cili quhet v[llimi i trupit. Mbaj mend Cilitdo polied[r mund ti shoq[rohet numri real V, q[ quhet v[llimi i poliedrit, ashtu q[ t[ plot[sohen k[to kushte (aksiomat p[r v[llimin). 1o V[llimi V i cilitdo polied[r [sht[ num[r pozitiv, d.m.th. V > 0. 2o N[se dy poliedra jan[ t[ puthitsh[m, at[her[ v[llimet e tyre V1dhe V2 jan[ t[ barabart[, d.m.th. V1 = V2. N[ qoft[ se nj[ polied[r [sht[ ndar[ n[ pjes[ p[rb[r[se, at[her[ v[llimi i tij V [sht[ i barabart[ 3o me shum[n e v[llimeve V1 dhe V2 t[ pjes[ve p[rb[r[se, d.m.th.. V = V1 + V2. 184 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 4o Meret se kubi me teh 1 cm (1 dm, p[rkat[sisht, 1m, etj) e ka v[llimin 1 cm3 (1 dm3, p[rkat[sisht 1m3, etj.).5. Te kuboidi n[ figur[n a) te detyra 4 jan[ sh[nuar p[rmasat e tij, si edhe p[rmasat e dy kuboideve t[ tij p[rb[r[s. Njehso v[llimin V t[ kuboidit, dhe pastaj edhe v[llimet V1 dhe V2 t[ p[rb[r[sve t[ tij. Provo, p[r k[t[ rast, aksiomat (1o dhe 3o) p[r v[llimin.6. Si mundet prej aksiom[s 3o t[ nxirret p[rfundimi se v[llimi i nj[ poliedri [sht[ m[ i madh se v[llimi i ]far[do pjese t[ tij p[rb[r[se? Ke kujdes dhe mbaj mend N[ lidhje me kushtin 4o, [sht[ shum[ e r[nd[sishme t[ konstatohet nj[sia themelore mat[se p[r v[llimin. P[r nj[sin[ e atill[ mund t[ meret v[llimi i cilitdo kub. Por, me Sistemin Nd[rkomb[tar t[ nj[sive mat[se (SI), [sht[ p[rvet[suar t[ jet[ kubi me teh 1 m i cili quhet met[r kub; shenja: m3.7. Cilat jan[ nj[sit[ m[ t[ vogla q[ nxirren prej met[r kubit? Sa: a) decimet[r kub (dm3); b) centimet[r kub (cm3); c) milimet[r kub (mm3) p[rfshihen n[ 1 m3? Njehso n[ m3: a) 2 350 dm3; b) 625 000 cm3; c) 55 ⋅ 106 mm3. P[r matjen e v[llimit (zakonisht t[ l[ngjeve) p[rdoret edhe nj[sia mat[se litri (l) Gjat[ s[ cil[s: 1  = 1 dm3.8. Sa litra ka n[: a) 35 dm3; b) 2 500 cm3; c) 2 m3? C N[ baz[ t[ aksiomave p[r v[llim mund t[ v[rtetohet se v[llimi V i kuboidit me p[rmasa a, b, c, mund t[ njehsohet me formul[n (q[ e din[): V = abc kurse i kubit me tehun a (d.m.th. kuboidit me p[rmasa a = b = c): V = a3 Formula p[r v[llimin e kuboidit mund t[ shkruhet edhe n[ form[n: V=B⋅H ku B = a ⋅ b [sht[ syprina e baz[s, kurse H = c [sht[ lart[sia e kuboidit. Prizmi 185
    • 9. Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit, baza e t[ cilit e ka tehun a = b = 25 cm, nxen 25 6 uj[. Sa [sht[ lart[sia e kov[s? Duhet t[ dish: Kontrollohu! Sa kube me teh 1 cm, mund t[ vendosen te kubi t[ njehsosh v[llimin e kuboidit dhe kubit me me teh shembulla t[ ndryshme praktike; a) 2 cm, b) 3 cm, c) 1 dm? ti shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin. Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit me p[rmasa a = b = 30 cm dhe lart[sia H = 40 cm. Sa litra uj[ nxen kova? Detyra1. Njehso v[llimin e kubit me syprin[ 54 cm2. 6. V[llimi i nj[ kubi [sht[ i barabart[ me v[llimin e nj[ kuboidi me p[rmasa 8 cm, 4 cm, 2 cm. Njehso syprin[n e kubit.2. P[rmasat e nj[ kuboidi jan[: 16 cm, 4 dm, 1 m. Cakto tehun e kubit q[ e ka v[llimin e barabart[ me v[llimin e kuboidit. 7. Q[ t[ b[het nj[ mur i lart[ 2,80 m dhe i gjer[ 40 cm jan[ shpenzuar 2 600 tjegulla. Dihet se p[r 1 m3 mur jan[ shfryt[zuar 400 tjegulla. Sa3. Te ndonj[ kub, syprina n[ cm2 dhe v[llimin [sht[ i gjat[ muri? n[ cm3 jan[ shprehur me num[r t[ nj[jt[. Sa [sht[ tehu i kubit? 8. Nj[ priz[m i drejt[ e ka lart[sin[ 8 cm dhe ba- z[n trek[nd[sh k[nddrejt me kateta a = 3 cm4. Nj[ kuboid e ka baz[n katror me brinj[ 4 cm dhe b = 4 cm. Njehso v[llimin e tij, duke pasur dhe syprin[n an[sore M = 112 cm2. Njehso parasysh se ai [sht[ gjysma e kuboidit me v[llimin e atij kuboidi. p[rmasa 3 cm, 4 cm, 8 cm.5. Baza e nj[ kuboidi i ka tehet 6 cm dhe 8 cm, kurse diagonalja e atij kuboidi [sht[ 26 cm. Cakto v[llimin e atij kuboidi. 186 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 9 V{LLIMI I PRIZMIT T{ RREGULLT Kujtohu! A P[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[ me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt vlen for- V[llimi i kuboidit me p[rmasa a, b, c njehsohet mula e nj[jt[ sikurse p[r kuboidin: me formul[n V = abc. Si fitohet formula p[r njehsimin V = BH t[ v[llimit t[ kuboidit t[ nj[jt[? V = BH, P[r kubin e din[ se V = a3. P[r at[ a vlen: ku B [sht[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[sia V = BH? e prizmit. Si njehsohet syprina e trek[nd[shit k[nddrejt P[rcille sqarimin e k[tij pohimi. me katete a dhe b?  Te vizatimi a) [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ me lart[si H dhe baz[ trek[nd[sh k[nddrejt me katete a dhe b. te vizatimi b) prizmi i dh[n[ [sht[ plot[suar n[ kuboid me priz[m tjet[r q[ [sht[ i puthitsh[m me t[. V[llimi Vk i kuboidit [sht[ dy her[ m[ i madh se v[llimi V i prizmit t[ dh[n[ trek[ndor, d.m.th. Vk = 2V (pse?). ab E dijm[ se Vk = abH, pra: 2V = abH, d.m.th.. V = 2 ⋅H . a) b) ab ab Pasi 2 [sht[ syprina e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[ (pse?), d.m.th. B = 2 , p[r v[llimin e prizmit mund t[ shkruajm[: V=B⋅H1. Shprehe me fjal[ formul[n p[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[ me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt.2. Trek[nd[shi k[nddrejt me kateta 6 dm dhe 8 dm [sht[ baza e prizmit t[ drejt[ me lart[si 1,5 m. Njehso v[llimin e atij prizmi. B 3. Vizato ]far[do trek[nd[sh dhe ndaje n[ dy trek[nd[sha k[nddrejt p[rb[r[s. At[ mundesh gjithmon[ ta b[jsh (sikurse n[ vizatim) me lart[si t[ l[shuar nga brinja e tij m[ e madhe.4. N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ me baz[ ]far[do trek[nd[sh. Sqaro se si [sht[ prer[ prizmi dhe me at[ [sht[ ndar[ n[ dy prizma t[ drejt[ p[rb[r[s me baza trek[nd[sha k[nddrejt. Prizmi 187
    • Shfryt[zoe at[ q[ t[ tregosh se v[llimi V i prizmit trek[ndor t[ dh[n[ njehsohet me formul[n V = B ⋅ H. (B - syprina e baz[s, H - lart[sia). V[re se, n[ qoft[ se V1 = B1 ⋅ H dhe V2 = B2 ⋅ H jan[ v[llimet e prizmave p[rb[r[se, at[her[ (sipas aksiom[s 3o p[r v[llimin), v[llimi V i prizmit t[ dh[n[ do t[ jet[: V = V1 + V2 = B1H + B2H = (B1 + B2) ⋅ H. N[ qoft[ se e sh[nojm[ me B syprin[n e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[, at[her[ B = B1 + B2, pra V=B⋅Hd.m.th. v[llimi i prizmit trek[ndor t[ rregullt [sht[ i barabart[ me prodhimin e lart[sis[ dhe syprin[s s[baz[s s[ prizmit.5. Trek[nd[shi me brinj[ a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm [sht[ baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[si H = 20 cm. Njehso v[llimin e prizmit.6. Njehso v[llimin e prizmit trek[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm. C 7. N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ pes[k[ndor dhe prej nj[ kulmi jan[ t[rhequr dy diagonale t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Sa prerje diagonale mund t[ vendosen n[p[r nj[ kulm t[ baz[s? Sa prizma trek[ndore t[ drejta p[rb[r[se mund t[ fitohen me ato prerje? N[ qoft[ se V1, V2, V3 [sht[ v[llimi i prizmit trek[ndor t[ drejt[ I, II, III p[rkat[sisht, si mund t[ shprehet v[llimi V i prizmit pes[k[ndor? N[ qoft[ se B [shjt[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit pes[k[ndor, si do ta shkruajsh formul[n p[r v[llimin e tij? Sigurisht je p[rgjigjur se v[llimi i prizmit pes[k[ndor t[ drejt[ [sht[ i barabart[ me shum[n e v[llimeve t[ prizmave trek[ndore p[rb[r[se. P[rfundimi i atill[ vlen p[r ]do priz[m shum[k[ndore t[ drejt[. Prandaj: V[llimi V i prizmit t[ drejt[ [sht[ prodhimi i syprin[s B t[ baz[s dhe lart[sis[ H, d.m.th. V=B⋅H8. Njehso v[llimin e kov[s n[ form[ t[ prizmit gjasht[k[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s a = 10 cm dhe lart[si H = 60 cm. Sa litra l[ng nxen ajo kof[?9. Prizmi i drejt[ me lart[si 12 cm e ka baz[n trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m k[nddrejt me katete 8 cm. Njehso v[llimin e prizmit. 188 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 10. Cakto formulat p[r v[llimin e: Provo rrezulltatet e tua: a) prizmit t[ rregullt trek[ndor. a2 3 a 2H 3 a) B = , V= ; b) prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor; 4 4 c) prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndor, me tehun b) B = a2, V = a2H; e baz[s a dhe lart[si H. 3a 2 3 3 a 2H 3 c) B = , V= . 2 2 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ njehsosh v[llimin e prizmit sipas formul[s Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjash- s[ p[rgjithshme; t[k[ndor me tehun e baz[s a = 4 cm dhe lart[si H = 13 cm. ti nxjerrish formulat p[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ rregullt trek[ndor, kat[rk[ndor, Dy prizma trek[ndore kan[ lart[si t[ barabarta gjasht[k[ndor; dhe v[llime t[ barabarta. Bazat e tyre a jan[ patjet[r: ti shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin gjat[ a) trek[nd[sha t[ puthitsh[m, zgjidhjes t[ shembujve t[ ndrysh[m p[r b) trek[nd[sha me syprina t[ barabarta? syprin[n dhe v[llimin e prizmit. Detyra1. Nj[ kuti me gjat[si 2 m dhe gjer[si 1 m nxen 6. Sa [sht[ i lart[ prizmi i rregullt gjasht[k[ndor 16 h6 oriz. Sa [sht[ lart[sia e kutis[? me tehun e baz[s a = 6 cm dhe v[llim V = 1260 cm3?2. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjash- t[k[ndor me perimetrin e baz[s 24 cm dhe 7. Prerja e drejt[ e kanalit, t[ gjat[ 2 km, e ka lart[si 10 cm. form[n e trapezit dybrinj[nj[sh[m me bazat 6 m dhe 10 m, kurse krahun 2,9 m. Sa m 33. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[ dheu [sht[ nxjerr[ duke gropuar kanalin? baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[si 20 cm. Njehso v[llimin dhe syprin[n e prizmit. 8. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S, V te prizmi i rregullt kat[rk[ndor cakto madh[sit[ e panjohura, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm; cm2;4. Prizmi i rregullt kat[rk[ndor e ka syprin[n cm 3): S = 448 dm2 dhe sip[rfaqen e syprin[n an[sore M = 320 dm2. a) a = 5, M = 160; ]) H = 14, V = 1694; Njehso v[llimin e prizmit. b) a = 3, S = 66; d) H = 15, M = 780;5. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt trek[ndor c) B = 36, M = 168; e) M = 160, V = 200. me: a) tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm; b) tehun e baz[s a dhe lart[si 4a. Prizmi 189
    • PIRAMIDA10 PIRAMIDA. SYPRINA E PIRAMID{S Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet te Kujtohu! A kjo detyr[. K[shtu do t[ njihesh edhe me }[sht[ polied[r ose trup tehor? nj[ trup tehor gjeometrik. Pse prizmi [sht[ trup tehor? Si konstatohet se prizmi [sht[ trek[ndor, 1. {sht[ dh[n[: kat[rk[ndor etj, por sipas cil[s veti caktohet se ai [sht[ i drejt[, p[rkat[sisht i rregullt?  nj[ rrafsh Σ, P[rshkruaje me fjal[ ndonj[r[n prej  nj[ n-k[nd[sh n[ t[, p[r pes[k[nd[shi ABCDE, shembull, piramidave egjyptase.  nj[ pik[ S q[ shtrihet n[ t[ Σ.  Prej pik[s S jan[ t[rhequr segmente deri te kulmet e pes[k[nd[shit. Sa trek[nd[sha jan[ fituar at[her[? Em[rtoji trek[nd[shat }far[ kan[ t[ p[rbashk[t t[ ato pes[ trek[n- d[sha? V[re sip[rfaqen q[ e formojn[ pes[k[nd[shi i dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shat e fituar. Sip[rfaqja q[ p[rb[het prej pes[k[nd[shit t[ dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shave t[ fituar e ndan bashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona: t[ brendshme dhe t[ jashtme. Zona e brendshme s[ bashku me sip[rfaqen e theksuar formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet piramida pes[k[ndore. Ajo piramid[ [sht[ e ve]uar dhe e paraqitur n[ vizatim. Pes[k[nd[shi i dh[n[ quhet baza e piramid[s, trek[nd[shat e fituar ABS, BCS,... - faqe an[sore, kurse pika S - kulmi i piramid[s. Kulmi S dhe kulmet e baz[s quhen kulmet e piramid[s, kurse faqet an[sore e formojn[ sip[rfaqen an[sore t[ tij. Edhe te piramida dallojm[: tehe t[ baz[s dhe tehe an[sore. Me t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ arrihet deri te piramida trek[ndore, piramida kat[rk[ndore etj. }donj[ra prej tyre quhet, shkurtimisht, piramid[.190 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 2. N[ vizatim jan[ paraqitur piramida trek[ndore SABC dhe piramida kat[rk[ndore SABCD. Em[rtoji: a) tehet e baz[s; c) baz[n; b) tehet an[sore; ]) faqet an[sore e piramid[s 1) SABC; 2) SABCD. V[re segmentin SS’ te piramida SABCD n[ vizatim. Segmenti SS’, ku S [sht[ kulmi i piramid[s, kurse S’ [sht[ proeksioni ortogonal i saj mbi baz[n quhet lart[sia e piramid[s. Pika S’ [sht[ k[mb[za e lart[sis[. Zakonisht edhe gjat[sia SS quhet lart[sia e piramid[s.3. I cilit lloj [sht[ piramida q[ ka: 1. a) 4, b) 6, c) 9 kulme; 2. a) 6, b) 10, c)12 tehe; 3. a) 4, b) 7, c) 10 faqe? Prerja e piramid[s me rrafsh q[ kalon n[p[r kulmin dhe n[p[r ]far[do B diagonale t[ baz[s quhet prerje diagonale. N[ vizatim [sht[ paraqitur prerja diagonale ACS e piramid[s. V[re dhe em[rto edhe dy prerje t[ atilla. Sa prerje diagonale ka kjo piramid[? Sa prerje diagonale ka cilado piramid[? V[reva se trek[nd[shat BDS dhe ECS jan[ prerje diagonale; kjo piramid[ ka 5 prerje t[ atilla, kurse ]do piramid[ ka aq prerje diagonale sa diagonale ka baza.4. N[ vizatim [sht[ paraqitur piramida SABCD me baz[ katror, kurse k[mb[za e lart[sis[ bjen n[ prerjen O t[ diagonaleve t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe p[rcjelli sqarimet. Pika O i p[rgjysmon diagonalet e katrorit (baz[s). Trek[nd[shat k[nddrejt AOS, BOS, COS, DOS kan[ nj[ katet[ t[ p[rbashk[t (lart[sia OS), kurse kateta tjet[r [sht[ e barabart[ me gjysm[n e diagonales s[ katrorit. Sipas i kriterit BKB ato jan[ t[ puthitsh[m nd[rmjet veti. Prej k[tu vijon se te piramida e till[: a) t[ gjitha tehet an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti; b) faqet an[sore jan[ trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m, nd[rmjet veti trek[nd[sha t[ puthitsh[m; c) lart[sit[ e faqeve an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Piramida 191
    • P[r k[t[ piramid[ dhe p[r ]do tjet[r piramid[ ku baza [sht[ shum[k[nd[sh i rregullt, kurse k[mb[za e lart[sis[ bie n[ qendr[n e baz[s, thuhet se [sht[ piramid[ e rregullt. Lart[sia h e cil[s do faqe an[sore t[ piramid[s s[ rregullt quhet apotem[ e piramid[s.5. Njehso h e piramid[s trek[ndore t[ rregullt me tehun e baz[s a = 14 cm dhe tehu an[sor s = 25 cm. Shihe trek[nd[shin AES n[ vizatim. N[ qoft[ se prehen t[ gjitha tehet e baz[s (p[rve] nj[rit) edhe vet[m C nj[ teh an[sor, at[her[ sip[rfaqja e nj[ piramide mund t[ ,,hapet" n[ rrafsh. K[shtu fitohet rrjeti i piramid[s.6. N[ vizatim jan[ paraqitur dy nd[rtime t[ rrjetit t[ piramid[s trek[ndore t[ rregullt me tehun e baz[s a dhe tehun an[sor s. V[re dhe p[rshkruaji me fjal[ t[ dy m[nyrat. Sqaro dhe skico rrjetin e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore. Sikurse edhe te prizmi, shuma e syprinave t[ D t[ gjitha faqeve t[ nj[ piramide quhet syprina e piramid[s. Prandaj, n[ qoft[ se B [sht[ syprina e baz[s, kurse M syprina e sip[rfaqes an[sore, at[her[ syprina S e piramid[s do t[ jet[:  P=B+M7. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s 14 cm dhe tehun an[sor s = 25 cm. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. P[r baz[n B = a = 14 = 196, d.m.th. B = 196 cm ; 2 2 2 a⋅h p[r syprin[n an[sore: M = 4 ⋅ 2 = 2ah, ku h [sht[ apotema. Apotema do t[ njehsohet me ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s n[ trek[nd[shin k[nddrejt AES: 2 æaö h 2 = s 2 - ç ÷ = 252 - 72 = 625 - 49 = 576; h = 24 cm. ç ÷ ç2÷ è ø K[shtu, M = 2ah = 2 ⋅ 14 ⋅ 24 = 672, d.m.th. M = 672 cm . 2 Dometh[n[: S = B + M = 196 + 672 = 868, d.m.th. S = 868 cm . 2 192 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 8. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 10 cm dhe lart[si H = 12 cm. Shfryt[zo ΔSOE n[ vizatimin e detyr[s 7. Piramida trek[ndore quhet tetraed[r. Piramida trek[ndore te e cila t[ gjitha faqet jan[ t[ barabarta quhet tetraed[r i rregullt.9. Njehso syprin[n e tetraedrit t[ rregullt me tehun a = 12 cm. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ njohish dhe t[ em[rtosh piramid[n dhe N[ qoft[ se baza e nj[ piramide [sht[ shum[- elementet e saj; k[nd[sh i rregullt, a duhet t[ jet[ piramida e rregullt? t[ njohish dhe t[ p[rkufizosh piramid[n e rregullt; Njehso syprin[n S t[ piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s c = 17 cm dhe t[ njehsosh syprin[n e piramid[s. apotem[n h = 15 cm. Detyra1. Sa faqe m[ pak mund t[ ket[ nj[ piramid[? E 5. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt cilit lloj [sht[ ajo? trek[ndore me tehun e baz[s 6 cm dhe tehun an[sor 10 cm.2. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt 6. Njehso syprin[n e baz[s s[ piramid[s s[ gjasht[k[ndore me tehun e baz[s 10 cm dhe rregullt kat[rk[ndore me lart[si H = 6 dm dhe apotema 13 cm. apotem[n h = 6,5 dm.3. Njehso apotem[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore sip[rfaqja an[sore e s[ cil[s [sht[ 7. Nd[rmjet madh[sive a, H, h, B, M, S te 20 dm2, kurse baza e ka syprin[n 16 dm2. piramida e rregullt kat[rk[ndore njehso t[ panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ centimetra) :4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore me tehun e a) a = 12, h = 10; ]) H = 21, h = 29; baz[s a = 8 cm e ka syprin[n 144 cm2. Njehso b) a = 14, H = 24; d) S = 819, B = 81; lart[sin[ H e piramid[s. c) B = 256, M = 544; dh) S = 3584, M = 2800. Piramida 193
    • 11 V{LLIMI I PIRAMID{S Kujtohu! V[llimi i prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[n V = B ⋅ H, B - syprina e baz[s, H - lart[sia e prizmit Si fitohet piramida? Pastaj, ][sht[: a) baza; b) maja; c) sip[rfaqja an[sore; ]) lart[sia e piramid[s? Matjen e v[llimit t[ ndonj[ trupi nuk e b[jm[ me p[rcjelljen e drejtp[rdrejt t[ nj[sis[ mat[se,A por nxjerrim rregulla (q[ i shkruajm[ me formula), sipas t[ cilave, n[ baz[ t[ dh[nave t[ domosdoshme p[r trupin, me njehset e nevojshme, e fitojm[ v[llimin e tij. Si t[ fitojm[ rregull p[r njehsimin e v[llimit t[ piramid[s? P[r k[t[ q[llim mundesh (n[ sht[pi) t[ b[sh k[t[ prov[. B[n prizmit[dhe t[ nj[ piramide me syprina t[ nj[ model zbraz[t (p[r shembull, prej kartu]i) t[ barabarta (mundet: t[ puthitshme) t[ bazave dhe lart[si t[ barabarta (sikurse n[ vizatim). Mbushe piramid[n me prizmi. that[ (ose materijal tjet[r me kokrra: oriz, sheqer etj) dhe pastaj r[r[n prej piramid[s fute te r[r[ t[ Do t[ v[resh se duhet ta p[rs[risish edhe dy her[ q[ ta mbushish prizmin. Kjo tregon se piramida ka tre her[ v[llim m[ t[ vog[l se prizmi. Ky fakt, i v[rejtur eksperimentalisht, mund t[ v[rtetohet (por, ne k[t[ rast nuk do ta b[jm[). Mbaj n[ mend se vlen n[ p[rgjith[si V[llimi V i nj[ piramide [sht[ i barabart[ me nj[ t[ tret[n e prodhimit 1 t[ lart[sis[ H dhe syprin[s B t[ baz[s s[ piramid[s, d.m.th. V= B⋅H 31. Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 12 cm dhe lart[si H = 20 cm. 194 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • B 2. Shihi vizatimet dhe p[rpiqu ti nxjerrish formulat p[r njehsimin e v[llimit t[ piramid[s s[ rregullt: a) trek[ndore; b) kat[rk[ndore; c) gjasht[k[ndore; me tehun e baz[s a dhe lart[si H. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 1 N[ formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s V = 3 ⋅ B ⋅ H , duhet t[ z[v[nd[sohet vet[m B me formul[n p[rkat[se p[r syprin[n e: 1 2 a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m: B= ⋅a 3 ; b) katrorit: B = a2; 4 3 2 c) gjasht[k[nd[shit t[ rregullt: B= ⋅a 3 . 2 a 2H 3 a 2H a 2H 3 K[shtu do t[ fitohen formulat e k[rkuara a) V = 12 ; b) V = 3 ; c) V = 2 .3. Piramida e Keopsit n[ Egjypt e ka lart[sin[ 149 m dhe baz[n katror me brinj[ 232 m. Njehso v[llimin e tij.4. Tehu an[sor i piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore [sht[ 14 cm, kurse tehu i baz[s a = 2 cm. Njehso v[llimin e piramid[s. C 5. Njehso syprin[n dhe v[llimin e piramid[s me lart[si H = 12 cm dhe baz[ drejtk[nd[sh me p[rmasa a = 32 cm dhe b = 10 cm, n[ qoft[ se k[mb[za e lart[sis[ [sht[ n[ prerjen e diagonaleve (qendra e rrethit t[ p[rshkruar) t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe puno sipas udh[zimeve. S = B + M dhe B = a ⋅ b = 32 ⋅ 10; B = 320 cm . 2 Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej kat[r trek[nd[shave, ku: ΔSA1B1 ≅ ΔSC1D1 dhe ΔSB1C1 ≅ ΔSA1D1, pra prej vizatimit, ku ha = FS , hb = GS , fitohet 1 1 M=2⋅ ⋅ aha + 2 ⋅ ⋅ bhb = aha + bhb. 2 2 2 2 æbö æaö Njehso lart[sit[ an[sore ha dhe hb. N[ vizatim: ha = ç ÷ + H 2 = 169 dhe hb2 = ç ÷ + H 2 = 400, 2 ç ÷ ÷ ç ÷ ç2ø è ç2÷ è ø d.m.th. ha = 13 cm, hb = 20 cm dhe M = 32 ⋅ 13 + 10 ⋅ 20 = 616 cm2; S= 320 + 616 = 936; S = 936 cm . 2 Piramida 195
    •  Z[v[nd[so B dhe H te formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s: 1 1 V= ⋅ B ⋅ H = ⋅ 320 ⋅ 12 , V = 1 280 cm3. 3 3 Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ njehsosh v[llimin e piramid[s sipas formul[s Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullt s[ p[rgjithshme; trek[ndore me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si 9 cm. t[ nxjerrish formul[ p[r njehsimin e v[llimit n[ shembullin konkret. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka lart[sin[ 12 cm dhe diagonalen e baz[s 8 cm. Sa [sht[ v[llimi i piramid[s? Detyra 1. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka baz[n 5. Baza e nj[ piramide [sht[ drejtk[nd[sh me B = 144 cm2 dhe lart[si H = 40 cm. Njehso p[rmasa 90 cm dhe 1,20 m, kurse t[ gjitha v[llimin e piramid[s. tehet an[sore kan[ nga 1,25 m. Njehso v[llimin e tij. 2. V[llimi i nj[ piramide t[ rregullt kat[rk[ndore [sht[ 48 cm3,kurse syprina e baz[s [sht[ 6. Nj[ piramid[ e rregullt kat[rk[ndore e ka te- 36 cm2. Njehso syprin[n e piramid[s hun e baz[s a = 8 cm dhe v[lliminV = 576cm3. Njehso lart[sin[ dhe syprin[n e piramid[s. 3. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun e baz[s a = 24 cm dhe syprin[n an[sore 7. Nd[rmjet madh[sive a, H, s, B, M, S, V te M = 960 cm2. Njehso syprin[n S dhe v[llimin piramida e rregullt gjasht[k[ndore njehso t[ V e piramid[s. panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm): 4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun e a) a = 10, H = 24; baz[s 20 cm dhe v[llimin 3 200 cm3. Njehso b) B = 73,5 3 , s = 25; lart[sin[ dhe syprin[n e asaj piramide. c) a = 7, s = 25; d) V = 588 3 , H = 24. P[rpiqu... a) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me tehe an[sore t[ barabarta? b) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me apotema t[ barabarta? 196 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • CILINDRI, KONI DHE TOPI12 CILINDRI. SYPRINA DHE V{LLIMI T[ v[rejm[ se si fitohet trupi gjeometrik Kujtohu! A t[ cilin e quajm[ cilind[r.}[sht[ prizmi dhe si fitohet? Poashtu ]jan[:a) bazat; P[rcjelle m[nyr[n me kujdes.b) faqet an[sore  nj[ drejt[z p q[rrafsh Σ, rreth k pik[t[ T t[ {sht[ dh[n[ nj[ kalon n[p[r nj[ n[ edhec) sip[rfaqja an[sore; rrethit dhe [sht[ pingule (normale) n[ Σ,]) lart[sia e prizmit? sikurse n[ vizatimin a).P[r cilat trupa gjeometrikthuhet se jan[ rrotullues?Shum[ sende nga jeta e p[rditshme kan[form[n e cilindrit (p[r shembull: konzerva, a) b)boria).Num[ro edhe disa sende q[ e kan[ form[n c)cilindrike. T[ paramendojm[ se pika T fillon t[ l[viz n[p[r rrerthin, kurse drejt[za p - t[ ngel paralele me pozit[n e saj fillestare sikurse n[ vizatimin b). N[ k[t[ m[nyr[ drejt[za l[viz[se p p[rshkruan nj[ sip[rfaqe; ajo [sht[ sip[rfaqja cilindrike - viza-timi c).P[r drejt[z[n p thuhet se [sht[ p[rftues (gjeneratrise),kurse rrethi [sht[ drejtues (direktrise) i sip[rfaqescilindrike. T[ presim k[t[ sip[rfaqe edhe me nj[ rrafsh Σ 1 , paralele me S, sikurse n[ vizatimin d). ]) Mbaj mend d)Qarqet q[ sip[rfaqja cilindrike i pren[ me rrafshet Σ dhe Σ1, dhe pjesa e saj nd[rmjet rrafsheve,kufizojn[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet cilindri i drejt[ rrethor,kurse ne do ta quajm[ cilind[r. Ai cilind[r [sht[ i ve]uar dhe i paraqitur n[ vizatimin ]). Cilindri, koni dhe topi 197
    • N[ m[nyr[ ilustruese, cilindri mund t[ fitohet edhe kur drejtk[nd[shi rrotullohet rreth nj[ brinje t[ tij (fig. ABCD, rreth BC). B Shihe vizatimin dhe v[re elementet e cilindrit. Qarqet quhen baza, kurse pjesa e sip[rfaqes cilindrike nd[rmjet tyre quhet mb[shtjell[s i cilindrit. Rezja R e baz[s quhet rreze e cilindrit. Segmenti OO1 (pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ qendra t[ bazave) quhet bosht i cilindrit, ai [sht[ edhe lart[sia e tij. N[ qoft[ se cilindri pritet me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij, fitohet nj[ drejtk[nd[sh i cili quhet prerje boshtore (drejtk[nd[shi i hijezuar n[ vizatim).1. A mundet dy prerje boshtore t[ nj[ cilindri t[ mos jen[ t[ puthitsh[m nd[mjet tyre? Pse?2. Njehso syprin[n e prerjes boshtore t[ cilindrit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm. P[r cilindrin prerja boshtore e t[ cilit [sht[ katror, d.m.th. H = 2R, thuhet se [sht[ cilind[r barabrinj[s.3. Prerja boshtore e nj[ cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 100 cm2. Njehso rrezen dhe lart[sin[ e cilindrit. C N[ qoft[ se cilindri pritet n[p[r nj[ gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[ e bazave, sikurse n[ vizatimin a), at[her[ mund t[ shihet se rrjeti i cilindrit p[r- b[het prej dy rrath[ve t[ puthitsh[m (bazave) dhe nj[ drejtk[nd[shi (sip[r- faqja an[sore), sikurse vizatimi b). a)4. Shihe rrjetin n[ vizatimin b) dhe, p[r syprin[n S t[ cilindrit me rreze R dhe lart[si H, v[re se: b) a) S = 2B + M; (B - syprina e baz[s, M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si)); b) B = R π (Pse?), 2 M = 2Rπ ⋅ H (Pse?); c) S = 2R2π + 2Rπ ⋅ H ; S = 2Rπ(R + H). 198 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 5. Njehso syprin[n e cilindrit me rreze R = 8 cm dhe lart[si H = 2,5 dm. P[r v[llimin e cilindrit me rreze R Kujtohu! D (d.m.th. me syprin[ t[ bazs[s B = R2π) dhe lart[si H, ngjash[m si te prizmi, Ekziston ngjashm[ri e madhe nd[rmjet meret numri. cilindrit dhe prizmit t[ drejt[. V = B ⋅ H, d.m.th. V = R2π ⋅ H. Dometh[n[, v[llimi i cilindrit [sht[ i barabart[ me prodhimin e syprin[s t[ baz[s s[ tij dhe lart[sis[. 6. Njehso v[llimin e cilindrit me rreze R =10 cm - dy baza t[ puthitshme q[ shtrihen n[ rrafshe dhe lart[si H = 15 cm. paralele; 7. Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin e - sip[rfaqet an[sore me p[rftuese, p[rkat[sisht cilindrit barabrinj[s, me rreze R. me tehe normale te bazat. P[rgjigje: S= 6R2π; V = 2R3π. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ identifikosh elementet e cilindrit; Si fitohet: a) sip[rfaqja cilindrike b) cilindri? t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e cilindrit Njehso S dhe V t[ cilindrit me sipas formul[s. R = 1,2 dm dhe H = 15 cm. P[r cilin cilind[r thuhet se [sht[ barabrinj[s? Detyra1. T[ njehsohet S dhe V e cilindrit me 4. Diagonalet e prerjes boshtore t[ nj[ cilindri, R = 6 cm dhe syprin[n e prerjes boshtore q[ [sht[ i lart[ 8 cm, [sht[ i barabart[ me Q = 240 cm2. 10 cm. Njehso S dhe V t[ cilindrit.2. Njehso S dhe V t[ cilindrit barabrinj[s me: a) R = 10 cm, b) H = 2 dm. 5. Cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 1 350π cm2. Cakto v[llimin e tij.3. Cakto lart[sin[ e cilindrit, rrezja e t[ cilit [sht[ 6. Dy cilindra jan[ fituar duke u rrotulluar 5 cm, kurse v[llimi [sht[ V = 1 570 cm3. drejtk[nd[shi rreth ]donj[r[s prej brinj[ve t[ tij a dhe b. Cakto raportin e v[llimeve t[ atyre cilindrave. Cilindri, koni dhe topi 199
    • 13 KONI. SYPRINA DHE V{LLIMI Kujtohu! Nj[ trup gjeometrik me form[ konike A mund t[ fitohet n[ m[nyr[ t[ ngjashme N[ jet[n e p[rditshme hasim sikurse fitohej cilindri. sende me form[ konike. P[rcjelle m[nyr[n. Num[ro disa sende q[ e kan[ form[n konike. me qend[r O. Prej pik[sdhe n[ t[ nj[ rreth k {sht[ dh[n[ nj[ rrafsh Σ O [sht[ ,,ngritur" segmenti OS q[ [sht[ pingul (normal) me rrafshin Σ. Prej pik[s S t[rhiq nj[ gjysm[drejt[z SX q[ kalon n[p[r nj[ pik[ t[ rrethit k. Pika T rreth. t[ l[viz n[p[r rrethin, kurse gjysm[drejt[za SX t[ ,,rr[shqas" n[p[r fillon N[ k[t[ m[nyr[ gjysm[drejt[za l[viz[se p[rshkruan nj[ sip[rfaqe; ajo [sht[ sip[rfaqja konike. P[r gjysm[drejt[z[n SX thuhet sepika S p[rftuese (gjeneratris), rrethi - drejtues (direktris), kurse [sht[ - kulmi. Mbaj mend Qarku q[ e pret sip[faqen konike nga rrafshi S dhe pjesa e sip[rfaqes konike prej kulmit S deri te qarku, kufizojn[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet kon i drejt[ rrethor; ose thjesht quhet, vet[m kon. N[ vizatim [sht[ paraqitur ai kon i ve]uar.1. }far[ trupi gjeometrik fitohet kur nj[ Koni fitohet edhe kur trek[nd[shi trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m rrotullohet rreth k[nddrejt rrotullohet rreth nj[r[s lart[sis[ t[ l[shuar ndaj baz[s? katet[. 200 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • B Shihe vizatimin dhe v[re elementet e konit. Rrethi quhet baz[, kurse pjesa e sip[rfaqes konike - sip[rfaqja konike e konit (mb[shtjell[si). Rrezja R e baz[s quhet rreze e konit. Segmenti SO q[ e bashkon kulmin me qendr[n e baz[s quhet bosht i konit, ai [sht[ nj[koh[sisht edhe lart[si. Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ kulmi S i konit dhe ]far[do pik[ T e rrethit t[ baz[s, si edhe gjat[sia ST = s , quhet p[rftues gjeneratris[. Prerja e konit me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij gjithmon[ [sht[ trek[d[sh dybrinj[nj[sh[m, ajo quhet prerja boshtore e konit (trek[nd[shi i hijezuar n[ vizatim). N[ qoft[ se prerja boshtore [sht[ trek[nd[sh brinj[nj[sh[m, d.m.th. s = 2R, at[her[ p[r konin thuhet se [sht[ kon barabrinj[s.2. Njehso syprin[n Q t[ prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s me R = 10 cm.3. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju pse [sht[ e sakt[ barazia: s2 = H2 + R2 Nd[rmjet p[rftuesen s, lart[sin[ H dhe rrez[s R te ]do kon.4. Njehso lart[sin[ H t[ konit ku s = 25 cm dhe R = 7cm. N[ qoft[ se koni prehet n[p[r nj[ gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[ C e baz[s, at[her[ mund t[ shihet se rrjeti i konit p[rb[het prej nj[ qarku (baze) dhe nj[ sektori rrethor (sip[rfaqja an[sore), sikurse n[ vizatim.5. Shihe rrjetin n[ vizatim, p[r syprin[n S t[ konit me rreze R dhe p[rftuese s, v[re se: a) S= B + M (B - syprina e baz[s; M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si)); b) B = R2π (syprina e rrethit); 1 c) M = 2Rp⋅ s = R sp (syprina e sektorit rrethor); 2 ]) S = R2π + Rsπ; S = Rπ (R + s).6. Njehso syprin[n e konit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 1,5 dm. Cilindri, koni dhe topi 201
    • V[llimi i konit mund t[ caktohet me D eksperiment t[ ngjash[m p[r caktimin e v[llimit t[ piramid[s. N[ qoft[ se b[n modele t[ konit dhe cilindrit me baza t[ puthitshme dhe lart[si t[ barabarta, do t[ bindesh se ,,p[rmbajtja" e konit (r[r[, krip[ etj.) do t[ jet[ nj[ e treta e atij cilindri. V[llimi V i konit me rreze R dhe lart[si H [sht[: V = 1 BH ; V = 1 R 2pH. 3 37. Njehso v[llimin e konit me R = 10 cm dhe H = 3 dm.8. Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin e konit barabrinj[s. 3 Krahaso rezulltatin t[nd: S = 3R2π; V = R p 3 . 3 Mbaj mend Kontrollohu! t[ identifikosh elementet e konit; Si fitohet: t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e konit sipas a) sip[rfaqja konike; b) koni? formul[s s[ p[rgjithshme. Njehso S dhe V t[ konit me R = 5 cm dhe s = 13 cm. P[r cilin kon themi se [sht[ barabrinj[s? Detyra1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e konit me 5. V[llimi i konit me lart[si H = 20 cm, [sht[ rreze R = 5 cm dhe syprin[n e sip[rfaqes 1 500π cm3. Njehso syprin[n e konit. an[sore M = 65p cm2.2. Njehso S dhe V t[ konit me B = 314 cm2 dhe s = 26 cm. P[rpiqu! ... Nuk [sht[ e domosdoshme!3. Prerja boshtore e nj[ koni e ka syprin[n Q =18,48cm2, kurse lart[sia [sht[ H =5,6 cm. 6. K[ndi pran[ maj[s Njehso te rrjeti i konit [sht[ a) B; b) V; c) M. 120 o , kurse gjene- ratrisa e konit [sht[4. Perimetri i prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s 15 cm. [sht[ 18 cm. Cakto S dhe V t[ konit. Njehso diametrin e konit. 202 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 14 TOPI. SYPRINA DHE V{LLIMI Kujtohu! A Bashk[sia e t[ gjitha pikave n[ hap[sir[ q[ jan[ nj[ lloj t[ larguara prej pik[s s[ Shprehe p[rkufizimin e dh[n[ O, formon nj[ si- rrethit. r p[rfaqe; ajo sip[rfaqe qu- T }[sht[ qendra e rrethit dhe O het sfer[. ][sht[ rreze e rrethit? Si [sht[ i p[rcaktuar nj[ rreth? Pika e dh[n[ O quhet edhe qendra e sfer[s. Larg[sia prej qendr[s deri te cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s dhe zakonisht sh[nohet me R. }do segment OT, ku T [sht[ cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s.1. N[ vizatim [sht[ paraqitur sfera me qend[r O. Em[rto (t[ pakt[n dy) segmenta q[ jan[ rreze t[ sfer[s. Me ]far[ [sht[ p[rcaktuar nj[ sfer[? Kujtohu! B Sfera e ndan hap[sir[n n[ zon[n e }[sht[ zona e brendshme e nj[ rrethit? brendshme dhe t[ jashtme. Bashk[sia e t[ gjitha pikave t[ zon[s s[ }[sht[ qarku? brendshme (d.m.th. pikat larg[sia e t[ cilave deri }[sht[ korda dhe ][sht[ diametri i qarkut? te qendra [sht[ m[ e vog[l se rrezja e asaj sfere), Em[rto disa sende me form[ t[ topit q[ i has[n s[ bashku me sfer[n, formon trup gjeometrik i n[ jet[n e p[rditshme. cili quhet top. C D Qendra, p[rkat[sisht rrezja e sfer[s quhet r A B qend[r, p[rkat[sisht rreze e topit. O2. Topi me qend[r O e ka rrezen R = 5 cm. Pikat A, B dhe C gjenden n[ larg[si prej qendr[s: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm dhe OC = 5 cm. Cil[t prej tyre i takojn[ topit?3. Kujtohu ][sht[ diametri i qarkut dhe p[rpiqu ta shprehish (sipas analogjis[) p[rkufizimin e diametrit t[ topit. Cilindri, koni dhe topi 203
    • 4. Te vizatimi a) [sht[ paraqitur qarku me nj[ diamet[r t[ tij AB. }do t[ fitohet n[ qoft[ se qarku rrotullohet rreth diametrit AB? Mund t[ p[rfundosh se me rrotullimin e qarkut (ose gjysm[qarkut) rreth ndonj[ diametri t[ tij (sikurse n[ vizatimin b) fitohet topi. a) b) V[re se: Prerja e topit me rrafsh gjithmon[ [sht[ rreth. N[ qoft[ se rrafshi kalon n[p[r qendr[n O t[ topit, at[her[ rrethi i prer[ e ka rrezen e nj[jt[ (R) sikurse topi dhe quhet rrethi i madh. Sa rrath[ t[ m[dhenj ka nj[ top? Si jan[ nd[rmjet veti rrezet e tyre?5. V[re (ose paramendo) nj[ glob. Ekuatori p[rcakton nj[ rreth t[ madh t[ globit. Cilat vija p[rcaktojn[ rrath[ t[ tjer[ t[ m[dhenj? Sh[no disa rrath[ t[ vegj[l te globi. C Sip[rfaqja e ]do topi (d.m.th. sfera p[rkat[se) e ka syprin[n e tij, e cila quhet syprina e topit ose syprin[ e sfer[s Syprina e topit me rreze R p[rcaktohet me formul[n: S = 4R2π. V[re: Syprina e topit: a) [sht[ kat[r her[ m[ e madhe se syprina e qarkut t[ tij m[ t[ madh; b) [sht[ e barabart[ me prodhimin e diametrit 2R dhe perimetrit 2Rπ t[ nj[ qarku t[ tij t[ madh, d.m.th. S = 2R ⋅ 2Rπ = 4R2π. }do topi i shoq[rojm[ num[r V - v[llimi i topit, i p[rcaktuar me formul[n 1 4 3 V  SR , d.m.th. V R , 3 3 ku R [sht[ rreze, kurse S [sht[ syprna e topit. 204 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • 6. Njehso S dhe V e topit me rreze R = 5 cm.7. Njehso S dhe V e topit, p[r t[ cilin dihet se nj[ qark i tij i madh e ka syprin[n Q = 2 826 cm2. Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ identifikosh sfer[n dhe topin dhe elementet Sqaro ][sht[ sfera, dhe ][sht[ topi. Si fitohen? e tyre; t[ njehsosh syprin[ dhe v[llimin e topit sipas Sa jan[ S dhe V i topit me rreze R = 1 dm? formul[s. Detyra1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e topit, n[ 6. {sht[ dh[n[ kubi me tehun a. Rreth kubit qoft[ se diametri i tij [sht[ 12 cm. [sht[ jasht[shkruar topi dhe n[ kub [sht[ brendashkruar top. Cakto raportin nd[rmjet a) syprinave; b) v[llimeve t[ atyre dy topave.2. Njehso S dhe V e topit, n[ qoft[ se syprina e (Nj[ kub [sht[ brendashkruar te topi n[ qoft[ nj[ rrethi t[ tij t[ madh [sht[ 314 cm2. se t[ gjitha kulmet e tij shtrihen n[ sip[rfaqen e topit. At[her[ themi, gjithashtu, se topi [sht[ jasht[shkruar rreth kubit.)3. Topi prej plumbi me rreze R = 6 cm duhet t[ shkrihet n[ cilind[r me rreze t[ nj[jt[ R = 6 cm. Sa do t[ jet[ lart[sia e cilindrit? 7. Prej kubit t[ drurit me tehun 4 cm, duhet t[ gdhendet top me madh[si sa m[ t[ madhe. Njehso v[llimin e mbeturin[s. Sa p[rqind e v[llimit t[ kubit [sht[ v[llimi i mbeturin[s?4. Njehso v[llimin V e topit dhe syprin[n Q t[ rrethit t[ tij m[ t[ madh, n[ qoft[ se syprina e tij [sht[ S = 100πcm2. 8. Diametri i Tok[s [sht[ 12 733 km, kurse i H[n[s [sht[ 3 482 km. Sa her[ [sht[ m[ e5. Te kubi me teh 6 cm [sht[ vendosur topi i cili madhe: i prek t[ gjitha faqet e kubit. Sa [sht[ syprina a) syprina e Tok[s prej syprin[s s[ H[n[s; e topit? B[je vizatimin. b) v[llimi i Tok[s prej v[llimit i H[n[s? Cilindri, koni dhe topi 205
    • P U N A M E T { D H { N A 15 GJASA (PROBABILITETI) Kujtohu! Kur [sht[ e sigurt se ndonj[ ngjarje do t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 1 ose 100 %. P[r shembull: N[ qoft[ se shishja plastike e zbraz[t bjen n[ dysheme - nuk do t[ thehet. Kur [sht[ e pamundshme ndonj[ ngjarje t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 0. P[r shembull: Prej kutis[ plot[ vet[m me topa t[ kuq, t[ nxirret top i bardh[. T[ gjitha mund[sit[ e tjera (probabiliteti) jan[ nd[rmjet 0 dhe 1. 1 P[r shembull: N[ qoft[ se hudhet monedha n[ aj[r, probabiliteti q[ t[ bjen stema [sht[ . 21. Rrotulluesja n[ vizatim ka 6 fusha t[ barabarta. N[ qoft[ se rrotullohet shigjeta, sa [sht[ probabiliteti q[ ajo t[ ndalohet te fusha me numrin 4? Shih se: T[ mundshme jan[ 6 ngjarje - shigjeta t[ ndalohet te cilado prej fushave 1, 2, 3, 4, 5 ose 6. }donj[ra prej k[tyre ngjarjeve [sht[ e barabart[ me ngjarjet e mundshme. Ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet te fusha e numrit 4. 1 1 Probabilitet q[ shigjeta t[ ndalohet te fusha me numrin 4 [sht[ . Themi se probabiliteti V(4) = . 6 6 Sa [sht[ probabiliteti q[ shiqjeta t[ ndalohet te numri 1? 2 Gjasa p[r shigjet[n t[ ndalohet te numri 2 ose te numri 3 prej 6 ngjarjeve t[ mundshme [sht[ , ose 6 2 1 V(2 ose 3) = = . 6 3 Sa [sht[ probabiliteti q[ shigjeta t[ ndalohet te numri 1, 5 ose 6? V[re rrotulluesen. Ngjarje t[ mundshme ka 5: shigjeta mund t[ ndalet te fusha e sh[nuar me numrin 1, 2, 3, 4 ose 5. N[ qoft[ se ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet n[ fush[n t[ sh[nuar 0 me 7, probabiliteti i saj [sht[ 0, ose V(7) = = 0. 5 Ngjarja [sht[ e pamundshme. 206 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • N[ p[rgjith[si Le t[ jet[ n numri i "t[ gjitha ngjarjeve" n[ lidhje me eksperimentine dh[n[ dhe le t[ jen[ t[ gjitha ato raste nj[lloj t[ mundshme. N[se A [sht[ ngjarje n[ lidhje me at[ eksperiment dhe m [sht[ num[r i "t[ gjitha rasteve t[ volitshme" m p[r paraqitjen e asaj ngjarje, at[her[ her[si quhet probabilitet matematikor i ngjarjes A dhe n sh[nohet me V(A).Dometh[n[: m V (A) = . n2. Te secila kartel[ [sht[ shkruar nga nj[ shkronj[. M A T E M A T I K A Liridoni ka t[rhequr kartel[ pa shikuar. Cakto probabilitetin p[r ngjarjet: a) V(M); b) V(A); c) V(T ose K).3. Cakto probabilitetin e secil[s ngjarje t[ percaktuara me rrotullimin e shigjet[s. a) numrit 3; d) numrit 11; b) numrit ]ift; e) num[r m[ i madh se 7; c) numrit tek; f) num[r prej 1 deri n[ 10. ]) 5 ose 6; Shkruaje ]donj[r[n prej vlerave t[ fituara p[r probabilitetin n[ p[rqindje. Cila prej ngjarjeve prej a) deri te f) [sht[ e sigurt, dhe cila [sht[ e pamundshme? Cilat prej dy ngjarjeve a) deri te f) jan[ nj[ lloj t[ mundshme? Cil[t dy ngjarje jan[ t[ atilla q[ n[ qoft[ se ndodh nj[ra sigurisht nuk do t[ ndodh tjetra? Kontrollohu! Duhet t[ dish: Hudhet zari p[r loj[. Cilat ngjarje jan[ t[ t[ parashtrosh parashikime p[r ngjarje n[ lidhje mundshme? Numro s[ paku tre. me eksperimentin e dh[n[ dhe ta caktosh Sa [sht[ probabiliteti, gjat[ hudhjes s[ zarit p[r probabilitetin e tyre. loj[, n[ an[n e sip[rme t[ paraqitet: a) numri 2; b) numri 3 ose 4; c) numri 3 dhe 4; ]) num[r ]ift; d) numri 7; dh) num[r prej1 deri 6; Cilindri, koni dhe topi 207
    • M{SOVE P{R TRUPAT GJEOMETRIK PROVO NJOHURIN{ T{NDE1. Cili kulm nga 9. Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa kuboidi (n[ vizatim) 9 cm, 6 cm dhe 2 cm. [sht[ komplanar me: a) A,B,C1; b) A,C,C1? 10. Syprina e sip[rfaqes an[sore t[ nj[ prizmi t[ rregullt trek[ndor [sht[ M = 180 cm 2, kurse tehu i baz[s a = 10 cm. Njehso syp- rin[n S dhe v[llimin V e prizmit.2. A priten drejt[zat: a) DB1 dhe D1C; c) A1C dhe AC1? b) BB1 dhe D1C; Shihe vizatimin. 11. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[ baz[ e prizmit t[ drejt[ me lart[si 5 cm.3. A [sht[ i percaktuar rrafshi: Njehso S dhe V t[ prizmit. a) AD dhe B1C1; b) DC dhe DB1; c) BC dhe AA1? Shihe vizatimin. 12. Tehu i baz[s i piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore [sht[ 3 cm, kurse tehu an[sor 4 cm. Njehso v[llimin e piramid[s.4. Si quhen dy drejt[za n[ hap[sir[ q[ nuk jan[ paralele dhe nuk priten? N[ vizatim cakto dy ]ifte t[ drejt[zave t[ atilla. 13. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V t[ pira- mid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e5. Drejt[za e dh[n[ p [sht[ pingule me dy baz[s a = 10 cm dhe apotem[n h = 13 cm. rrafshe t[ ndryshme Σ 1 dhe Σ 2. Si [sht[ pozita reciproke e Σ1 dhe Σ2? 14. Sa litra uj[ nxen fu]ia n[ form[ t[ cilindrit6. }[sht[ projektimi ortogonal i segmentit mbi me syprin[n e baz[s 30 dm2 dhe lart[si 1 m? nj[ rrafsh?7. Sa tehe ka nj[ priz[m: 15. Njehso S dhe V t[ konit me rreze t[ baz[s a) trek[ndor; c) gjasht[k[ndor; R = 0,5 dm dhe lart[si H = 1,2 dm. b) kat[rk[ndor; ]) n - k[ndor?8. Syprina e prerjes diagonale t[ nj[ kubi [sht[ 16. Njehso S dhe V t[ topit ku qarku kryesor 64 2 cm2. Njehso tehun e kubit. (m[ i madhi) e ka syprin[n 56,25π cm2.208 Tema 4. Trupat gjeometrik
    • P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJE T{ detyrave TEMA 1. NGJASHM{RIA1 1. a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2. 2. a) 4 : 3; 6 1. a) AB dhe RS, AC dhe RT, BC dhe ST; b) A 3b) 2 : 3; c) 2 : 5. 3. a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10. dhe R, B dhe S, 2. . 3. x = 8, y = 7,5. 4T[ barabart[ nd[rmjet veti jan[ a), b) dhe ]); c) dhe d). C dhe T. 4. 18 dhe 4. 5. Po. Te trek[nd[shat e puthitsh[m, k[ndet 4. a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1. 5. a) 15; b) 7,8; p[rkat[se jan[ t[ barabart[ dhe brinj[t p[rkat[se jan[ t[ 7 barabart[ (pra ato jan[ proporcional).c) 0,5; ]) . 6. a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6. 5 6. MN || AB (si vij[ e mesme t[ ΔABC), pra k[ndet 7. a) 3 : 1; b) 1 : 4. 8. 7,5 cm. 9. 2 : 1. 1 1 p[rkat[se i kan[ t[ barabarta; MN = AB , AM = AC10. 3 : 2. P[rpiqu... a) 12vez[; b) 3 pula. 2 2 12 1. a) 20; b) 6. 2. P. sh. 28 : 16 =2,1:1,2. dhe BN = BC , pra brinj[t p[rkat[se i kan[ proporcionale. 2 4 8 3. a) dm; b) m . 4. a) 3; b) 7,5;c) 16. 9 3 5. a) 4 cm; b) 24 cm; c) 7 2 cm . 7 1. a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3. 2. 5. 3. b) 6.. 5. 17 m.7. a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.3 6. MB = 7, 2 dm; AB = 12 dm. 7. P[r 8 cm. 8 3. 22,5. 4. Jo. 6. Po, sipas kriterit t[ dyt[. 7. a) Po; b) Po. 8. 52 m. 9. 17,5 m.8. AM : AB = 3 : 5; AB : MB = 5 : 2. 9 1. 8 cm. 2. 24 cm, 45 cm, 27 cm. 3. 30 cm4 1. 6 cm. 2. a) 16; b) 6. 3. b a 4 ; cd; mn; . k dhe 12 cm 4. a1 = 12 cm, b1=16 cm, c1 = 24 cm.4. A1B1 = 9 cm, B1C1 = 3 cm . 5. a) Po; b) Jo. 5. 6,5 cm. 6. b1=5, h1 = 10. 7. Ndihm[: Te ΔABC5 1. 5. 2. AB » 14, 3 m . 3. AD = 13, 5 ; t[rhiqe vij[n e mesme A1B1 || AB dhe shihe ΔA1B1C. 8. a1 = 18, h1 = 9. 9. 3 . 10. 0,69 ha.BC = 18 . 4. x = 5, y = 10. 7. Ndihm[: V[re se 51 : a = a : x. 8. Ndihm[: a) b : a = a : x; 10 1. a) z; z; b) n; c) z; ]) m. 2. a) 6; b) 121;b) a : b = b : x. 9. x = 12; y = 16. 10. a) Zgjidhje: c) a = 12, b = 180 » 13, 4 . 3. a) 3,2; b) 5; c) 3; N[ vizatim, AB [sht[ vazhduar p[r (]far[do) larg[si BC, ]) 4. 5. c = 10; q = 3,6; b = 6. 6. 150 cm2.kurse ]far[do pik[ e arritshme E, prej ku shihet A, e bashkuar 7. Ndihm[: Konstrukto mesin gjeometrik x t[ segment[veme C. Poashtu [sht[ t[rhequr BD || AE. Sipas teorem[s s[ a dhe b. At[her[ x2 = a ⋅ b, pra katrori i k[rkuar e ka brinj[nTalesit fitohet CB : BA = CD : DE , d.m.th x.. BA = BC ⋅ DE . 11 1. a) 37; b) 33; c) c ≈ 40. 2. a), c), ]) Po; CD b) Jo. 3. 1. 4. 19,4 dm. 5. 64. 6. ≈ 10,4.b) 212,5 m. c) 300 m. Përgjigje dhe zgjidhje 209
    • 7. c = 37, b = 12. Zgjidhje. a2 + b2 = c2, p[r a = 35 dhe 1 2b = 49 - c b[het: 352 + (49 - c)2 = c2 , d.m.th. r22 = ( R - 2 Rx + x 2 ); 41 225 + 2401 - 98c + c2 = c2, prej ku fitohet 3626 = 98c, prac = 37; pastaj, b = 49 - c = 12. 1 2 1 t2 r12 + r22 = ( R + x2 ) = ( R2 + R 2 - ) ;8. 21 dhe 28. 2 2 412 1. 7 m. 2. a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) ≈ 51,9 cm. é 1 t2 ù p P = p ê R 2 - (2 R 2 - )ú = t 2 . ê ë 2 4 úû 83. a ≈ 32 cm. 4. 44 cm. 5. 1260 cm2. 6. 6 cm.8. Ndihm[: Shfryt[zo nd[rtimin te Test: 1. a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. T[ barabarta jan[ n[n a dhe b 2. 1,5 cm. 3. a) 10; b) 9; c) 4. detyra 5. 9. 92 cm (= 2 ⋅ (30 + 16) cm). 4. 12. 6. a) 12; b) 35. 7. AC || BD, pasi10. 6 m. Ndihm[. Le t[ jet[ (x + 2)m lart[sia e drurit. OA : OB = OC : OD . 8. Ndihm[: Segmenti At[her[ (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36, x + 2 = 6. prej 12 cm ndaje n[ tre pjes[, n[ raport 3 : 5 : 6. p 9p 9. Po, sipas indicit t[ par[ (k[ndet e trek[nd[shit t[P[rpiqu... P = t 2 ; p[r t = 6: P = . 8 2 par[: 40o, 60o dhe 80o, kurse k[ndet e t[ dytit: 60o, 80o dhe 1Zgjidhje. P = p é R 2 - ( r12 + r22 )ù ; r1 = ( R + x), 40o). 10. 10 m. 11. 3,2 cm. 12. P= 45 cm; ë û 2 S= 45 cm . 2 13. c = 10; a = 20 ; b = 80 ; h = 4. 1 1r = ( R 2 + 2 Rx + x 2 ); r2 = ( R - x ), 1 2 14. 920. 15. a) dhe c) Po; b) Jo. 16. 128. 4 2 17. 5,3 cm. TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR1 1. N[n a) dhe c). 2. N[n b) dhe c). 3. P[r x = 2. = 5 + 2x - 3 ⇔ 3x + x - 2x = 5 - 3 + 2 ⇔ 2x = 4..4. Identitet [sht[ 5(x - 1) = 5x - 5. 5. N[n a) dhe 5. m = 5x. 6. a). b). 7. a) -1; b) 4.n[n b). 6. P[r a = 3. 5 1. E nj[jta bashk[si e zgjidhjeve M = {2}.2 1. a) me 3 t[ panjohura, b) me nj[ t[ panjohur dhe c) 2. M = {2}. 3. a) Jo b) Po; c) Jo. 4. x = 2.me dy t[ panjohura. 2. a) i shkall[s s[ tret[, x -1 x +1 2 x 5. a) M = {-1} ; b) M = R. + 6. = ⇔b) i shkall[s s[ dyt[ c) i shkall[s s[ par[. 3. N[n a) dhe 2 4 3n[n c). 4. N[n a) dhe n[n c). 5. N[n c) dhe ]) 6x - 6 + 3x + 3 = 8x ⇔ 6x + 3x - 8x = 6 - 3 ⇔ x = 3.3 1. N[n b) dhe n[n c). 2. p[r a = 5. P[rpiqu... Kapaku 0,5 denar[, shishja 10,5 denar[.3. a) M = {2}; b) M = {2}; c) M = {4}. 6 1. a) 2x - 4 = 0; b) 2x + 6 = 0. 2. N[n c). 34. Barazimi n[n b). 5. Barazimi n[n b). 3. a) x = 2; b) x = 2; c) x= . 4. 2x - 8 = 1- x; 26. Barazimet n[n a) dhe n[n c). x = 3. 5. a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6. 6. a) x = 3;4 1. Barazimet jan[ ekuivalente. 2. N[ t[ dy b) x = 3. 7. a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.an[t e barazimit [sht[ shtuar shprehja 2x. 8. P[r a = 4. 3. Mund t[ eleminohen an[tar[t -3x; -5 dhe Triku me domino... Ndihm[. Ti sh[nojm[ me x dhe yfitohet barazimi 2x - 4 = 4. . 4. 3x - 2 + x = "numrat" e dominos dhe le t[ jet[ zgjedhur numri x. At[her[: (2x + 6) · 5 + y - 30 = 10x + y. 210 Përgjigje dhe zgjidhje
    • 7 1. 28. 2. 108 dhe 72 3. x = (x - 46) ⋅ 4 + 7; ato b) [1, +∝). 6. N[n b).jan[ numrat 59 dhe13. 4. a = b - 2;b - 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm. 5. N[se numrin e monedhave prej 2 denar[ i sh[nojm[ 10 1. a) x < 2; b) x > 2. 2. 2x - 3 < x - 1 ⇔ ⇔ 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x. 3. a) 2x + 2 < x + 4;me x, at[her[ numri i monedhave prej 5 denar[ jan[ 25 - x.Prej k[tu kemi: 2 ⋅ x + (25 - x) ⋅ 5 = 80, p[rkat[sisht prej 2 b) 3x + 2 > 2x - 2 - 6. 4. x < 12. 5. x > -2.denar[ kan[ qen[ 15 monedha, kurse prej 5 denar[ 10 6. a) dhe b). T[ dy an[t jan[ shum[zuar me -1.monedha. 6. N[ qoft[ se numrin e lepujve e sh[nojm[ mex, at[her[ numri i fazan[ve [sht[ 35 - x. Prej k[tu kemi: 4 ⋅x + (35 - x) ⋅ 2 = 94. Lepuj kan[ qen[ 12, kurse fazan[ 23. 11 1. a) x > 3; b) x > -3. 2. a) x ≥ 4; b) x ≤ 3. 3. Nuk [sht[. Zgjidhje [sht[ intervali (-∝, -4). 7. x + 2) ⋅ 35 = (x - 1) ⋅ 50; x = 8 or[ AB = 350 km. 2 1 4. a) x < 3 ; b) x > -3. 5. x < 5.8. Pun[tori i par[ p[r 1 or[ do t[ kryen e pun[s, kurse 5 6 6. 2a + 2(a - 3) < 54, a < 15. 1i dyti . N[ qoft[ se me x e sh[nojm[ koh[n e nevojshme, æ 5 ö 12 1 1 12 1. a) (-3, 6); b) (-3, -1). 2. a) ç- , + ¥÷ ; ç ç è 2 ÷ ÷ øat[her[ ⋅ x + x =1 , p[rkat[sisht x = 4. æ 1 4ö 6 12 b) (-3, 4). 3. a) [4, 8]; b) [-3, 4). 4. a) ç- , ÷ ; 2 9. P[r 2 or[. P[rpiqu... 84 vjet ç 2 3÷ ç è ÷ ø 5 b) (2, 4) 10. 1 12 x- 1 20 x =1 ; gypi i dyt[ do ta mbush rezervoarin 13 1. Funksione lineare jan[ n[n: c), ]) dhe d).e zbraz[t p[r 30 or[. 2. a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; c) y = -2x;8 1. N[n a) dhe n[n b). 2. P[r x = 0 dhe x = 2. ]) y = 1 2 1 x+ . 4 3. a) k = 2 dhe n = -3; b) k = 2 dhe3. 1 Me nj[ t[ panjohur jan[ jobarazimet n[n a) dhe c), n = 0; c) k = - dhe n = 3; ]) k = - 1 dhe n = 0.kurse me dy t[ panjohura jan[ jobarazimet n[n b) dhe ]) 3 24. Jobarazimi n[n a) [sht[ i shkall[s s[ dyt[, jobarazimet 1 5 4. a) x = 2; b) x = ; c) x = ; ]) x = 0. 2 2n[n b) dhe n[n c) jan[ t[ shkall[s s[ par[, dhe jobarazimi 3n[n ]) [sht[ i shkall[s s[ tret[. 5. k = . 6. k = 3 dhe n = 3. 29 1. a) Z(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} dhe 14 1. Pikat A dhe D. 2. P[r x = 1.b) Z(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. 2. Ekuivalente jan[ t[tre jobarazimet, pasi kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve 3. y = 3x x 0 1{0, 1, 2}. y 0 3 y = 3x + 2 x 0 -13. a) (-2, +∝); b) (-∝, 0); c) (-∝, 1]; ]) [-3, +∝); y 2 -14. a) (-3, +∝). y = 3x - 2 x 0 1 y -2 1 b) (-∝, +2). 4. (2, 0). 5. n = 5. 6. k = 2.5. a) (-∝, -2]. Përgjigje dhe zgjidhje 211
    • 15 1. Funksioni y = 6. 6. Prej P(0, 2), n = 2. Prej A(1, -1) kemi: - 1 = 1⋅ k + 2 , prej ku k = -3; funksioni [sht[ zvog[lues. 3x - 2.2. k = -3.3. k = 2 dhe n = -3. 17 1. a) y = x - 2 b) y = 2x - 64. n = -1. x 0 1 x 2 3 y -2 -1 y -2 05. k = -2 dhe n = 2. x=2 x=316 1. N[n a) dhe ]). 2. N[n b) dhe ]). 13. a) rrit[s p[r k = dhe k = 3; b) zvog[lues p[r 3 1 k = -2 dhe k = - . 24. a) y = 4x - 1 b) y = -2x - 1 2. a) y = x + 1 y = 2x - 1 x 0 1 x 0 -1 x 0 1 x 0 1 y -1 3 y 1 1 y 1 2 y -1 1Funksioni y = 4x - 1 [sht[ Funksioni y = -2x - 1 [sht[ x=2rrit[s. zvog[lues. b) y = 3x - 1 y = -x + 3 x 0 1 x 0 1 y -1 2 y 3 2 x=1 3. k = 2. 4. k = 2 dhe n = 3.5. a) y = -3x + 1 b) y = 2x + 1 x P[rpiqu... 8 kosit[s. 0 1 x 0 1 y 1 -2 y 1 3 Ndihm[. N[se syprina e livadhit t[ madh [sht[ sh[nuar me A, nd[rsa e vogla me B, at[her[ A = 2. Le t[ jet[ kFunksioni y = -3x + 1 [sht[ Funksioni y = 2x + 1 [sht[ x xzvog[lues.. rrit[s. numri i kosit[sve. Q[ t[ kositet A duhen + dit[ 2 4 x pune, nd[rsa p[r B: + 1 .Nga A = 2B fitohet barazimi 4 x x æx ö + = 2 ç + 1÷ . Nga kemi x = 8. 2 4 ç4 ÷ ç è ÷ ø 18 1. ]), c), b), a) 2. 2 3 ; ; 1; 0. 5 5 3. a) 1 2 ; 1 5 1 b) ; c) ; ]) ; 5 kartela; mundohu: 3 her[. 212 Përgjigje dhe zgjidhje 3 6 6
    • Testi: 1. Po. 2. b) 3. a) x = 2,1; b) x = 1; 11. x 0 1c) x = 3. 4. a = 3. 5. Ato numra le t[ jen[: y -3 -1x, x + 1dhe x + 2. kemi x + x + 1 + x + 2 = 84, d.m.th. x = 27. æ3 ö 3 ç , 0÷Numrat e k[rkuar jan[: 27, 28 dhe 29. x= ç2 ÷ ç è ÷ ø 2 6. N[ qoft[ se koha e l[vizjes t[ kamionit [sht[ x,at[her[ e automobili [sht[ x - 2. T[ dy automjetet kan[kaluar rrug[ t[ nj[jt[. Prej k[tu kemi: 50x = 75(x - 2),d.m.th.x =6 or[, kurse AB = 6 ⋅ 50 = 300 km . 7. Po. 12. A dhe C. 13. n = -3. 14. Rrit[s jan[ 8. 2x - 1 > x - 2 ⇔ 3x + 1 > 2x - 3, n[ D. funksionet: y = 2x - 3 dhe y = 3x - 2, kurse zvog[lues jan[ funksionet:y = -3x + 1 dhe y = -x - 1. 9 9. a) (3, +∝) b) (- , +∝) 2 15. y = 3x - 1 x 0 1 y -1 210. a) (-∝, -3) y=x+3 x 0 1 b) (- 5; 2,5) y -1 2 x=2 TEMA 3. SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE1 1. a) Koeficient[; 2, -1, 3; T[ panjohura: x, y. b) Koeficient[: 2, 6, 1; T[ panjohura: x, y. c) {(2, κ) | κ ∈ Ρ)}; grafiku [sht[ drejt[z paralele me boshtin y. 4. p = -2.c) Koeficient[: 1, -2, -1; T[ panjohura: y, z. ]) Koeficient[: 5, 3, 16; T[ panjohura: u, v. 1 3 1. a) Koeficient[: 2, 0, 6 dhe 0, 1, 2; T[ panjohura: 2. a) po; b) jo. 3. a) -1; b) ; c) 5. 4. b). 2 1 2 x, y; b) Koeficient[: 1, 2, 0, , , 2; T[ panjohura: x, y; 3 2 5. (-2, 3); (-1, 1); (0, -1); (1, -3); (2, -5). c) Koeficinet[: 0; 0,25; 0,04; 4; 25; 641; T[ panjohura: x, y. 6. x + 3y = -3. ì x + y = 64 ï ìæ ï í ï k - 1- 2k ö | k Î R } ïç 2.2 1. a) {(k, 3 - 2k) | k ∈ R}; b) íç ïç ïè î 6 ø ÷ ÷ ÷ .. ï x - y = 17; ï î 2. a) x + 3y = -3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24;     18 ì ï x + y = 440 ï  í]) 19x + 33y = 124. 52      180; ï x - 180 = y + 180. ï î ì ïæ ï 2 ö 3. a) po; b) po; c) jo. 4. P[r shembull: ÷3. a) íçk , 2 - k ÷| k Î R } ; ç ç ïè ÷ ï î 3 ø ì1 ï ï x+ y = 2 ìx + 2 y = 0 ì3 x - y = 5 ï ï x -3 0 3 a) ï 2 í b) ï í 5. ï í ï ï4 x + 3 y = 12. ï î ï x + y = 0. ï ï x - 2 y = 5; î y 4 2 0 ï î 6. a) (x, y) = (-2, 4); b) (x, y) = (-3, 3).b) {(k, 2(k - 3) | k ∈ R}; x -1 0 3 y -8 -6 0 Përgjigje dhe zgjidhje 213
    • ì x + y = 16 ï 6. (x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3). ï 7. Vjet[t e Bashkimit jan[ x, e t[ Dritonit y; ï í ï x + y = 12; ï 7. a) (x, y) = (3, 1); b) Nuk ka zgjidhje; ï î 2 c) Pafund shum[ zgjidhje. Bashkimi dhe Dritoni jan[ bineq. ì x + y = 72 4 1. a) y = 8 - 4x 7 ï 1. ï í ï x - y = 2 ; numri i par[ [sht[ 37, kurse i dyti 35. ï î x -2 0 2. Sh[nim M-djem, D-vajza. 1 2 y 16 8 4 0 ìM + D = 28 ï ï 3. Shpejt[sia e anijes í y = 5x - 1 ïM = D + 4, R = {(16, 12)}. ï R = {(1, 4)} î [sht[ 16,8 km/h, kurse e lumit 4,2 km/h. x -2 0 1 2 y -11 -1 4 9 4. Uji i ngroh[t ka 80 oC, kurse i ftohti 10 oC. 5. Afrimi ka bler[ 3 fletore t[ m[dha dhe 5 t[ vogla. 6. N[na ka 32 vjet, kurse vajza 5 vjet. 7. K[ndi i ngusht[ [sht[ 72o, kurse i gjeri 108o. 8. Formo sistem dhe cakto gjat[sit[ e brinj[ve. N[p[rmjet æ 2 1ö ÷ ç 2. a) Nj[ zgjidhje: ( x, y ) = ç 3 , 3 ÷ ; b) Pafund shum[; ç è ÷ ø teorem[s s[ Pitagor[s cakto lart[sin[. S = 60 cm2.c) Nj[ zgjidhje (x, y) = (2, 2); ]) Nj[ zgjidhje: (x, y) = (-2, 1). 9. Fazan[ ka 23, kurse lepuj ka 12. 3. a) Grafik[t jan[ drejt[za Testi: 1. }do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[tparalele; b) Grafik[t jan[ drejt[za q[ priten; c) Grafik[tjan[ drejt[za q[ priten; ]) Grafik[t jan[ drejt[za q[ puthiten. barazimi kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike. 2. k = 1. 3. Vizato grafikun sipas5 1. a) (x, y) = (2, 4); b) (x, y) = (10, 5); 2. a) (x, y) = (5, 3); b) (x, y) = (4, 3); tabel[s: x -2 0 y -8 0 1 4 2 8 4. }ifti i renditur prej numrave real[c) (x, y) = (0, 7). [sht[ zgjidhje e t[c) (x, y) = (4, 1).. 3. a) (x, y) = (1, 0); b) (z, y) = (-1, 1). dy barazimeve.c) (x, y) = (3, -1). 4. a) (x, y) = (7, -5); b) (x, y) = (4, 12). ì4 x - y = -20 ï ï 5. í 6. Vizato grafik[t e barazi- ï x - 2 y = 11. ï î5. a) (x, y) = (-3, -1); b) (x, y) = (-13, -1). meve. Cakto koordinatat e prerjes s[ tyre Z = {(1, 3)}.6 æ ç ç è 17 ö 1. (x, y) = (3,-2); ( x, y )= ç-7, - ÷. 3÷ ÷ ø 7. (x, y) = (2, 3). æ1 ö 8. (x, y) = (-7, 1). 9. a) nj[; b) pafund shum[2. ( x, y )=ç , -2÷; (x, y) = (12, 4). 3. (x, y) = (5, 2). ç ç2 ÷ ÷ è ø 10. Babai ka 34 vjet, kurse djali 12 vjet..4. (x, y) = (7, -2). 5. (x, y) = (6, 12); (x, y) = (12, 12). TEMA 4. TRUPAT GJEOMETRIK1 1. a) A, B, C, D; b) A, B, C, B1. 2. 1. CB1, BA1 dhe BC1, BC1 dhe CB1; b) asnj[; c) AB1 dhe BC1, BA1 dhe CB1.3. A1, B1C1D1 dhe CDD1C1. 4. A1B1C1D1. 3. Asnj[ra, n[ qoft[ se shmangen; vet[m n[ qoft[2 1. Nj[ ose tre 2. a) AB1 dhe BA1, AB1 dhe se jan[ paralele ose priten. 214 Përgjigje dhe zgjidhje
    • 4. Pikat jokomplanare A, B, C, D, p[rcaktojn[ kat[r S= 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. c) S= 240, a = 6, H = 7, V = 252. ]) a = 11, B = 121, M = 616, Srrafshe: ABC, ABD, ACD dhe BCD. = 858. d) a = 13, B = 169, S = 1118, 5. AB dhe AC priten, prandaj ato p[rcaktojn[ rrafsh t[ V = 2535. e) H = 8, a = 5, B = 25, S = 210.vet[m Σ te i cili shtrihen t[ gjitha pikat nga drejt[za ABdhe t[ gjitha pikat e drejt[z[s CD. 10 1. 4; tetraed[r. 2. (150 ) 3 + 390 cm2 . 3. 2,5 dm. 4. 3 cm. 5. ≈ 101,1 cm2. 6. 25 dm2..3 2. Vet[m nj[. 3. a) po; b) po; c) po. 7. a) B = 144; M = 240; S = 384; H = 8. b) B = 196; h = 25;5. Σ1 dhe Σ2: ose puthiten ose priten me drejt[z[n e prer[ M = 700; S = 896. c) S = 800; a = 16; h = 17; H = 15. ]) a = AB. 40; B = 1600; M = 2320; S = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41;4 2. c). 3. Jo. 4. Jo. A, B, C jan[ kolineare dhe H ≈ 40,45. e) B = 784; a = 28; h = 50; H = 48.kur rrafshi i p[rcaktuar me pikat jokolineare A, B, C [sht[paralele me drejtimin proektues s. 11 1. 1920 cm3. 2. 96 cm2. 3. 1 536 cm2; 5. B[je vizatimin dhe shqyrto trapezin ABBA. 3 072 cm3. 4. 24 cm; 1440 cm2. 5. 360 dm3.CC [sht[ vija e mesme e atij trapezi. Pse? 6. 7 cm; ≈ 491,2 cm2. 7. a) s = 26, V =1200 3 .6. Po, n[ qoft[ se rrafshi i p[rcaktuar me M dhe a [sht[ b) a = 7; H = 24. c) h ≈ 24,8; V =588 3 . ]) a = 7, s = 25.paralel me s. 12 1. 312π cm2; 720π cm3. 2. a) 600π cm2;5 P[rpiqu... a) 1; b) 6; c) 12; ]) 8; d) 0. 2 000π cm3. b) 6π dm2; 2π dm3. 3. ≈ 20 cm.6 1. 7; drejtk[nd[sha. 2. n + 2. 3. 2s = r. 4. 66π cm2; 72π cm3 5. 6 750π cm3. 6. b : a.4. Po. 5. a) Jo; b) po, gjasht[k[ndore; c) po, nj[mb[dhjetk[ndore. 13 1. 90π cm2; 100π cm3. 2. ≈ 1 130,4 cm2; ≈ 6. a) asnj[; b) 2; c) 3. 2 512 cm3. 3. a) ≈ 34,2 cm2; b) ≈ 63,8 cm3;7 1. a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2. 2. a = 7 cm, c) ≈ 67,36 cm2. 5. 600π cm2. 4. 27π cm2; 9  3 cm3 .. 6. 10 cm.d =7 3 cm. 3. 8 cm. 4. a) B = 20,25 dm2;M = 151,2 dm2; S= 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; 14 1. 144π cm2; 288π cm3. 2. ≈ 1 256 cm2;H = 9 cm; S = 720 cm2. c) B = 128 cm2; M = 352 cm2; ≈ 4 186,7 cm3. 3. 8 cm. 4. (500 : 3)π cm3; 25π cm2.H = 11 cm. ]) a = 7 cm; M = 336 cm2; S = 434 cm2. d) a =9 cm; M = 180 dm2; H = 5 dm. dh) a = 6,5 dm; B = 42,25 a 3 a 5. R = 3 cm; S = 36π cm2. 6. R1 = , R2 = ;dm2; S = 292,5 dm2. e) S = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. 2 2[) B = 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm. S1 : S2 = 3 : 1, V1 :V2 = 3 3 :1 . 7. V[llimi V i mbetu- 5. N[nt[ her[ 6. b) B = 4 3 ; H = 9; 4  rin[s [sht[: V = VK - VT =43 - ⋅ 23π = 64 - 32 ⋅ ≈; c) B =36 3 ; M =180 3 ; H =5 3 . 3 3d) a = 6; H = 15; dh) a ≈ 10; H ≈ 8. 32; V ≈ 32 cm3; ≈ 32%. 8. a) a » 13 her[. b) » 49 her[. 7. 288 cm2. 8. 1, 3, 6 dhe 7. Testi: 1. a) D1; b) A1. 2. a) jo; b) jo; c) po.P[rpiqu... Te rrjeti i prizmit t[rhiq segment MP. 3. a) po; b) po; c) jo. 5. Σ1 || Σ2. 7. a) 9;8 1. 27 cm3. 2. 4 dm. 3. 6 cm. 4. 112 cm3. b) 12; c) 18; ]) 3n. 8. 8 cm. 9. 11 cm.5. 1 152 cm3. 6. 96 cm2. 7. ≈ 5,8 m. 8. 48 cm3. ( ) 10. 10 5 3 +18 cm2 , 150 3 cm3 . 11. 500 cm 2 ,9 1. 8 dm. 2. 240 3 cm3 . 3. 2 400 cm3; 600 cm3. 14. 300 . 12. 18 3 cm3 . 13. 360 cm2, 400 cm3. 15. 90π cm2, 100π cm3.1 280 cm2. 4. 640 dm3. 5. a) 72 3 cm3 ; b) a 3 3 .6. ≈ 13,5 cm. 7. 33 600 m3. 8. a) B = 25, H = 8, 16. 225π cm2, 562,5π cm3. Përgjigje dhe zgjidhje 215
    • PASQYRA E KONCEPTEVEA Dep[rtues 162 - me ndryshore 84 -syprina 191Argumenti 105 Drejtimi proektues 168 K - v[llimi i 191An[tari i lir[ 105 E Kuboidi 178 P[rpjes[timi 8 - koeficienti para 105 Mostra 48 - v[llimi i 183 - vazhduar 10B F - rrjeti i 179 -proporcionaliteti 9Barazimi, 57 Figura, 24 Koni 200 -koeficienti i 9 - i pamundsh[m -e ngjashme 24 - lart[sia e 201 Planimetria 160 (kund[rth[n[s) 58,64,75 - gjeometrike 24 - v[llimi i 202 Popullimi 48 - grafiku 133 - themelore 24 - kulmi i 200 Prizmi 174 - katror 60 - puthitshme 183 - syprina e 202 - bazat e 175 - linear 62 Funksioni 105 - i drejt[ rrethor 201 - llojet e 176 - me dy t[ panjohura 128 - linear 105 - baza e 201 - baza 175 - forma e - paraqitja grafike 107 - rrjeti i 201 - an[sore 175 p[rgjithshme 74 - zero 106 - boshti i 201 -sip[rfaqja an[sore 175 - me nj[ t[ panjohur 60 - konstanta 113 - barabrinj[s 201 - kulmet e 175 - i shkall[s s[ par[ 60 - rrit[s linear 114 kubi 178 - tehet e 175 - parametrik 60 - zvog[lues linear 115 - v[llimi i 183 - t[ baz[s 175 - zgjidhje (rr[nj[) e 62 GJ -rrjeti i 179 - an[sore 175 - bashk[sia e -i brendashkruar n[ top205 - e drejt[ 175 Gjasa 197 zgjidhjeve 63 Kahja 97 - v[llimi i 178 Gjeneratrisa - ekuivalent 131 - e kund[rt 97 - e rregullt[ 175 (p[rftuesja) 188Barazi, 56 M - e pjerrt[ 175 - e konit 191 - numerike 56 Metoda e z[v[nd[si. 141 - lart[sia e 176 - e cilindrit 188 - me ndryshore 56 Metoda e koeficient[ve - prerja e 176 gjeometrike 10,39Bashk[sia 63 t[ kund[rt 145 - prerja diagon. e 176 - e mesme 10 - e p[rkufizimit 63 Mesi 10 - diagonalja e 176 -e kat[rta 10C - gjeometrik 10,39 - rrjeti i 179 ICilindri 197 N - syprina e 180 Identiteti 58 Ndryshore 56 - v[llimi i 187 - i drejt rrethor 198 Intervali 89 Ngjashm[ria 26 Paralelopipedi 175,177 - bazat e 198 - i mbyllur 89 - koeficienti i 26 - k[nddrejt 178 - sip[rfaqja an[sore 198 - skajet e 89 O Poliedri 183 - rrezja e 198 - i hapur 89 Ortogonale 169 - v[llimi i 184 - boshti i 198 J P Projektimi 168 - lart[sia e 198 Jobarazimi 84 Piramida 190 -paralel 168 - prerja boshtore e 198 - themelor 89 - baza e 190 -ortagonal 169 - barabrinj[s 198 - me nj[ t[ panjohur 85 - faqet e 190 Projeksioni 37,168, 169 - v[llimi i 199 - sistem me dy t[ -an[sore 190 R - rrjeti i 198 panjohura 86 - kulmi i 190 Raporti (p[rpjesa) 4 - syprina e 198 - katror 86D - kulmet e 190 - vlera e 4 - linear 86 - sip[rfaqja an[sore 190 - i zhdrejt[ 5Direktrisa (drejtuesja) 188 - forma e zgjidhur 90 - e cilindrit 197 - tehet e 190 - i vazhduar 6 - kubik 86 -bazave 190 RR - e konit 200 - zgjidhja e 87Drejt[zat 163 - an[sore 190 Rrafshi 161 - bashk[sia e - lart[sia e 190 - pingule n[ 167 - paralele 163 zgjidhjeve 87 - aplanare 164 - prerja diagon. 191 - k[ndi nd[rmjte dy 166 - ekuivalente 89 - e rregullt 192 - larg[sia prej -priten 163 - teoremat p[r 92 - projektuese 168 - apotema 192 pik[s deri 167 Jobarazia 83 - rrjeti i 192 - numerike 83 216 Pasqyra e koncepteve
    • S - qendra e 203 - syprina e 204Segmente 6 -rrezja e 203 - v[llimi i 204 - t[ pabashk[matsh[m 6 T Trek[nd[sha 25- t[ bashk[matsh[m 6 Treshja e Pitagor[s 43 - t[ ngjash[m 25 - proporcionale 8 Trupi 183 - kriteri i par[ p[r 27 -t[ barabart[ 12 - gjeometrik 183 - kriteri i dyt[ p[r 31Sip[rfaqja - tehor 183 - kriteri i tret[ p[r 32- konike 200 - i rrumbullak[t 183- cilindrike 197 - v[llimi i 184-Sistemi i jobarazimeve li- Teoremaneare me nj[ t[ panjohur100 - e Talesit 16, 21 -bashk[sia e zgjidh. 101 - e Pitagor[s 41 - kund[rth[n[s 103 - e anasjallt[ 42Sistemi prej dy barazimeve - e Euklidit 38lineare me dy t[ Tetraedri 193panjohura 134 - i rregullt 193 - zgjidhja grafike 138 Topi 203 - zbatimi 148 - qendra e 203 - zgjidhja e 135 - rrezja e 203Stereometria 160 - rrethi i madh i 204Sfera 203TEMA 1. NGJASHM{RIA 3TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE 55 FUNKSIONI LINEARTEMA 3. SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE 127TEMA 4. TRUPAT GEOMETRIKE 159 P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJET E DETYRAVE 209 PASQYRA E KONCEPTEVE 216 Pasqyra e koncepteve 217
    • Jovo Stefanovski, dr. Naum Celakoski Recensentë: dr. Jordanka Mitevska, profesor ordinar në FMN - Shkup Zhaneta Shumkoska, profesor në Sh.F. “Shën Kirili dhe Metodi” - Shkup Agim Bukla, profesor në Sh.F. “Pashko Vasa” - Grupçin Redaktor i botimit: Jovo Stefanovski Lektor i botimit në maqedonisht: Suzana Stojkovska Përkthyes: Satki Ismaili Redaktim profesional: prof. dr. Ilir Spahiu Lektor i botimit në shqip: Roland Poloska Përpunimi kompjuterik dhe dizajni: Dragan Shopkoski Korrekturë: Autorët Përgatitja për shtyp: Jovo Stefanovski, Dragan Shopkoski Botues: Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Republikës së Maqedonisë Shtyp: Qendra Grafike shpkpv, Shkup Tirazhi: 8.800 Me vendim të ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 22-2321/1 datë 21.04.2010 lejohet përdorimi i këtij libri. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје 373.3.016:51 (075.2)=163.3 СТЕФАНОВСКИ, Јово Математика за осмо одделение : осумгодишно основно образование / Јово Стефановски, Наум Целакоски . - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 219 стр. : илустр. ; 25 см ISBN 978-608-4575-88-7 1. Целакоски, Наум [автор] COBISS.MK-ID 84078858218 Pregled na poimi