Matematika 6 alb
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matematika 6 alb

on

  • 11,551 views

 

Statistics

Views

Total Views
11,551
Views on SlideShare
11,551
Embed Views
0

Actions

Likes
5
Downloads
135
Comments
2

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • liber per metodha te mesimdhenies a ka/
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • fq 83 2345
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matematika 6 alb Matematika 6 alb Document Transcript

  • Jovo Stefanovski Naum CellakoskiKLASA E GJASHTË ARSIMI FILLOR NËNTËVJEÇAR Shkup, 2011
  • Nxënës i dashur! Ti tani je në klasën e gjashtë dhe ke hyrë në sekretet e matematikës. Me matematikën shoqërohesh çdo ditë: në shkollë, në shtëpi, po edhe në lojërat tua. Me këtë libër do të mësosh përmbajtje të reja interesante për numra. Do të përvetësosh njohuri tëreja nga gjeometria. Te tema Matja do ti mësosh njësitë matëse për shumë madhësi dhe operacioneme to. Libri është ndarë në katër njësi tematike. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtjen e tyre, ndërsanjësitë mësimore në to janë të numëruara. Në njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpërmjet tyre janë shkruar porositë, aktivitete,obligime dhe sugjerime të tjera, dhe atë: Njësitë mësimore fillojnë me diçka që e ke të njohur. Duhet të kujtohesh dhe Kujtohu! t’i zgjidhësh kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbejë gjatë të mësuarit të mësimit të ri. A , B ... Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë të cilat i referohen nocioneve të reja. 1. Me këto shenja janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t’i zgjid- hësh në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë do 2. të mësosh mësimin e ri, prandaj duhet të kesh kujdes të jesh aktiv që më mirë 3. ... të mësosh dhe të kuptosh. Kryesorja është ngjyrosur me ngjyrë të verdh. Ajo që është më me rëndësi nga mësimi është ndarë në formë të pyet- Duhet të dish jeve, detyrave ose pohimeve. Atë duhet ta mbash mend dhe ta shfrytëzosh te detyrat dhe shembuj praktik. Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrollohesh Testohu! nëse pjesën më të madhe prej asaj që e ke mësuar e kupton që të mundesh ta zbatosh dhe ta shfrytëzosh në jetën e përditshme. Duhet rregullisht dhe në mënyrë të pavarur t’i zgjidhësh detyrat. Në Detyra këtë mënyrë më mirë do ta kuptosh atë që e ke mësuar, e ajo do të jetë e dobishme për ty. Përpiqu që t’i zgjidhësh detyrat dhe problemet në këtë pjesë. Me këtë do të Probleme dish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide. Nëqoftëse has në vështirësi në të mësuarit e matematikës mos u dorëzo, përpiqu përsëri, qëndrueshmëria do të sjell rezultat dhe kënaqësi. Do të na gëzon nëqoftëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe do të arrish sukses të shkëlqyeshëm. Nga autorët
  • 3 TEMA 1. NUMRAT NATYRORË1. Bashkësia. 15. Varësia e prodhimit dhe Mënyra e të shkruarit 4 herësit nga ndryshimi i2. Numri i bashkësisë. komponentëve 40 Bashkësi të fundshme 7 16. Shprehja numerike. Barazimet 433. Bashkësi ekuivalente. 17. Mesatarja aritmetike 47 Bashkësi të barabarta. 18. Plotë pjesëtueshmëria e numrave Nën bashkësi 9 natyror. Plotë pjesëtueshmëria e4. Prerja, unioni dhe ndryshimi shumës dhe ndryshimit 48 i bashkësive 12 19. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë5. Çifti i renditur. me 2 dhe me 5 51 Prodhimi i Dekartit 15 20. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë6. Vargu i numrave natyror 17 me 3 dhe me 9 537. Sistemi numerik dekadë 20 21. Indicet për plotë8. Leximi dhe rrumbullakimi pjesëtueshmërinë me 4 55 i numrave natyror 23 22. Numrat e përbërë dhe të thjeshtë.9. Instrumente për mbledhjen Paraqitja e numrave të përbërë si e të dhënave 26 prodhim i numrave të thjeshtë 5710. Mbledhja 27 23. Pjesëtuesi i përbashkët.11. Zbritja 29 Pjesëtuesi më i madh i përbashkët 6012. Varësia e shumës dhe 24. Shumëfishi i përbashkët. ndryshimit nga ndryshimi Shumëfishi më i vogël i përbashkët. 63 i komponentëve 31 25. Diagram me fotografi.13. Shumëzimi 34 Diagrami shtyllor 6614. Pjesëtimi 37 26. Mësove për numrat natyrorë. Kontrollo njohurinë tënde 68
  • 4 1 BASHKËSIA. MËNYRAT E DHËNIES TË BASHKËSISË Kujtohu! A V a g b v Në vizatim janë paraqitur bashkësia A dhe A 1 Me D le të jetë e shënuar bashkësia e bashkësia B me diagram të Venit ditëve të javës. Shkruaji të gjitha elementet e bashkësisë Elementet e bashkësisë A janë lule. D. Muaji prill a është element i bashkësisë Çfarë jenë elementet e bashkësisë B? D? Sa elemente ka bashkësia D?2 Trego gojarisht një bashkësi A dhe shkruaji elementet e saj. Trego dy objekte që nuk janë elemente të bashkësisë tënde A. Të mbaj mend! Një bashkësi është e përcaktuar nëse dihen të gjitha ele- mentet e saj.B 3 Në vizatim është paraqitur bashkësia C me diagram të Venit. Cilët numra janë elemente të bashkësisë C? 1 7 2 Bashkësia C mund të shënohet në mënyrë tabelare (duke i radhi- 6 S tur elementet), ashtu që elementet e saj shënohen ndërmjet klla- 3 pave, të ndara me presje, dmth 4 5 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.4 Elementet e një bashkësie P janë numra: 10, 6, 2, 8 dhe 4. Paraqite bashkësinë P me diagram të Venit Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të voglit. Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të mad- hit.
  • Gjatë shënimit të elementeve të bashkësisë në mënyrë tabelare, radhit- ja e elementeve nuk është e rëndësishme. 55 Shkruaj bashkësi S prej të gjitha zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe. Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A të shkronjave që përdoren te fjala mami. Të mbaj mend! Bashkësia A={m, a, m, i} shkruhet drejt {m, a, i}. elementet e njëjta të bashkësisë shkruhen vetëm një herë.6 Familjen Ahmeti e përbëjnë: Babai Ervini, Nënë Hajria, djali Bedi dhe vajza Eljesa. Me A le të shënojmë bashkësinë e të gjithë anëtarëve të familjes Ahmeti Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare. Nëse shkronja x përdoret si zëvendësim i emrave të anëtarëve të famil- jes Ahmeti, Bashkësia A mund të shkruhet: A={x | x është anëtar i familjes Ahmeti}. Bashkësia A e shkruar në këtë mënyrë themi se është paraqitur në mënyrë përshkruese.7 Bashkësinë S={x | x është shifër e numrit 2638} shkruaje: me diagram të Venit; në mënyrë tabelare.8 Në vizatim është dhënë bashkësia P me diagramin e Venit. Shkruaje bashkësinë P në mënyrë tabelare. Me cilën nga shënimet e mëposhtme bashkësia P është paraqitur në mënyrë përshkruese? a) {x | x >19}. 11 13 b) {x | x e është numër te i dhjetëshes së dytë}. R 15 c) {x | x është numër natyror i dhjetëshes së dytë}. 17 19 C 9 Vëre bashkësinë M të paraqitur me diagram të Venit. Elementet e bashkësisë M janë shkronja të fjalës sport. Themi: Shkruajmë: k l M “Shkronja k është element i bashkësisë M ose k k∈M a u p i takon M” “Shkronja t është element i bashkësisë M ose t i t∈M takon M” “Shkronja e nuk është element i bashkësisë M e∉M ose e nuk i takon M”
  • Duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉ shkruaj pohimet të sakta për shkronjat i, s, l, u, p dhe 6 bashkësinë M. a V10 Në vizatim është paraqitur një segment a dhe pikat: A, B, C, N, L, K dhe S K S. S Shkruaj pohime të sakta për pika të shënuara në vizatim dhe për N segmentin a duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉. L11 Vizato një drejtëz p dhe shëno pika R, P, S dhe L të atillë që: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p; A Duhet të dish Testohu! Të tregosh shembuj për bashkësi; Kur një bashkësi është e përcaktuar? Të paraqesësh bashkësi me dia- Shkruaje bashkësinë K elementet e së cilës janë: 1, 3, 5, 7 dhe 9: gram të Venit, në mënyrë për- shkruese dhe tabelare; me diagram të Venit; në mënyrë tabelëre; Ti zbatosh drejt shenjat në mënyrë përshkruese. ∈ dhe ∉. Cili numër i dhjetëshes së parë është element, kurse cili nuk është element i bashkësisë K? Shkruaje atë duke i shfry- tëzuar shenjat ∈ dhe ∉. Detyra 1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë A dhe B. Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare, ndërsa bashkësinë B në mënyrë përshkruese. A Me shfrytëzimin e shenjave ∈ dhe ∉ shkruaj V cila prej shkronjave: e, p, b, k është element i u bashkësisë B. e k b p 2. Vizato një segment dhe shënoje me a. a Shëno pika M, N, C, D dhe S ashtu që: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a. Cilat shkronja janë elemente të bashkë- sisë A? Me diagram të Venit shkruaj bashkësitë A 3 Prej shkronjave që janë elemente të dhe B ashtu që: bashkësisë B formo fjalë (emër të një 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, druri). 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.
  • 2 NUMRI I BASHKËSISË. BASHKËSI TË FUNDME 7 Kujtohu! A 1 Shihi bashkësitë A, B dhe C dhe përgjigju në pyetjet. Bashkësia A është dhënë me diagram të Venit. A = {a, b, c}; A B = {x | x është ditë e javës}; a c C = {x | x është numër natyror më i vogël se 100}. d b Prej cilave elemente përbëhet çdonjëra prej bashkësive? Prej cilëve elemente përbëhet bashkësia Sa elemente ka çdonjëra prej bashkësive A? A, B dhe C? Numëroji elementet e bashkësisë A. Sa elemente ka bashkësia A? Vëreja! Bashkësia A ka tre elemente, bashkësia B ka 7 elemente dhe bashkësia C ka 99 elemente. Mbaj mend! Numri i elementeve të bashkësisë së dhënë A quhet numër i A dhe shënohet δA.2 Sa elemente ka bashkësia e vajzave në klasën tënde? Sa nxënës ka gjithsej bashkësia e meshkujve në klasën tënde? Sa është numri i të gjithë nxënësve në klasën tënde? Vëre dhe mbaj mend! Secilës bashkësi ia përcaktove numrin e elementeve të tij. Të gjitha këto bashkësi janë bashkësi të fundme.B 3 Mali më i lartë në Republikën e Maqedonisë është Korabi. Maja e Korabit është e lartë 2764 metra. Sa elemente ka bashkësia e maleve në Maqedoni që janë më të larta se 3000 metra?4 Cakto numrin ë bashkësive A, B dhe C. V A = {qershor, korrik, janar} Maj C = {x | x është muaji i vitit emri i të cilit fillon me shkro- njën l}.
  • Vëren se bashkësia e maleve nga detyra 3 dhe bashkësia C nga detyra 4 nuk kanë asnjë ele- 8 ment. Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët dhe shënohet me shenjën ∅. Edhe bashkësia e zbrazët numërohet si bashkësi e fundshme. M = {x | x është mal në R. e Maqedonisë më i lartë se 3000 metra} = ∅. δ∅ = 0.5 Trego një shembull për bashkësinë e zbrazët. Duhet të dish Testohu! Ç’është numër i bashkësisë; Shkruaj shembull për: Të tregosh shembuj për Bashkësi të fundme C ashtu që δS = 3; bashkësi të fundme dhe të Bashkësi S ashtu që δY = 0. zbrazët. Detyra1. Cakto numrin e elementeve të 2. Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësisë: bashkësi A dhe B të dhënë me diagram të Venit. L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x është nxënës i klasës së V më i lartë se 5 metra} A 2 5 V 1 3 K=∅ 4 6 7 Shokët e tu që ishin për pushim në planetin Mars. 3. Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësi A = {2, 3, 4, ..., 99} dhe B = {x | x është numër natyror dhe 8 ≤ x < 25}. Problem A është e fundme bashkësia e banorëve në Shkup; yjeve në qiell; kokrrave të grurit në thes; numrave që mund të shkruhen me shifrën 1?
  • 3 BASHKËSITË EKUIVALENTE. BASHKËSITË E BARABARTA. NËN BASHKËSITË 9 Kujtohu Cakto numrin e elementeve të bashkë- A 1 sisë T dhe S. Cakto numrin e elementeve të bashkësisë: Y A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} T C = {10, 20, 30, 40, 50}. Ç’vëren? Cila prej shenjave <, =, ose > duhet të shkruhet në rreth δT δY?2 Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A = {x | x është shkronjë e fjalës DIBËR} dhe bashkës- inë B = {x | x është numër tek i dhjetëshes së parë}. Cakto δA dhe δV, dhe pastaj krahasoi. Shkruaj bashkësi C që ka numër të elementeve të barabartë me δA, përkatësisht δV. Bashkësitë që kanë numër të barabartë të elementeve quhen bashkësi me numër të njëjtë të elementeve ose , PSE HABITESH V- bashkësi ekuivalente. BASHKË SITË JANË EKUI ALENTE ! Nëse bashkësitë A dhe B janë ekuivalente, atëherë shëno- jmë: A ~ V.3 Cakto numrin e çdo bashkësie: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} dhe G = {M, A, T, E, I, K}. Cilat bashkësi janë me numër të njëjtë? Shkruaj bashkësi që do të jetë ekuivalente me bashkësinë G.B 4 Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës azil dhe bashkësinë T elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës liza. Vëreni! Bashkësitë A dhe B kanë numër të njëjtë të elementeve: δA = δV. Gjithashtu, bashkësia A përbëhet prej elementeve të njëjtë sikurse bashkësia B.
  • Dy bashkësitë A dhe B janë të barabarta nëse përbëhen prej elementeve të njëjta. 10 Shkruajmë: A=B5 A janë të barabarta bashkësitë: A={1,3,5,7} dhe B={1,2,5,7}? Për dy bashkësi A dhe B që nuk janë të barabarta, shkruajmë: A ≠ V. por: {S, O, K}={K, O, S}6 Cila prej këtyre bashkësive janë të barabarta ndërmjet veti: A = {x | x > 5 dhe x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?C 7 Shihe vizatimin! Elementet e bashkësisë M janë tulipan, M kurse të bashkësisë S janë trëndafila të kuq. S Çdo element i bashkësisë S a është element i bashkë- sisë M? Për bashkësinë S themi se është nën bashkësi e bashkësisë M, nëse çdo element i bashkësisë S është element i bashkësisë M. Shkruajmë: S ⊆ M. Nëse bashkësia S është nën bashkësi e bashkësisë M dhe bashkësia M përmban elemente që nuk i takojnë bashkësisë S, atëherë S quhet nën bashkësisë e vërtet e bashkësisë M. Shënojmë: S ⊂ M.8 Bashkësia S është dhënë me diagram të Venit. Y Bashkësia P a është nën bashkësi e bashkësisë S? 1 3 Sqaro përgjigjen tënde! 2 5 K Bashkësia K a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro! R 4 6 7 Cila prej këtyre është e saktë: P ⊂ S; S ⊆ S dhe S ⊂ S? Vëre! Çdo bashkësi është nën bashkësisë e vetvetes. A ⊆ A. Shembull: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, pasi që çdo element e bashkësisë së parë është element i bashkë- sisë së dytë. Bashkësia e zbrazët është nën bashkësi e çdo bashkësie. ∅ ⊆ A.
  • Duhet të dish Testohu! 11 Të tregosh shembuj për bashkësi të barabarta, Është dhënë bashkësia P={5, 10, 15, 20}. përkatësisht bashkësi ekuivalente; Shkruaj bashkësi K ekuivalente me Të dallosh bashkësitë ekuivalente prej bashkë- bashkësinë P sive të barabarta; Shkruaj bashkësi L të barabartë me Të dish çka është nën bashkësi; bashkësinë P. Të caktosh nën bashkësi prej bashkësisë së Shkruaj dy nën bashkësi të bashkësisë P. dhënë. Detyra1. Në vizatim i vëren bashkësitë D dhe N. 2. Le të jetë U bashkësia e nxënësve të shkollës tënde, P është bashkësia e nxënësve të klasës D 7 9 5 së gjashtë, K është bashkësi e nxënësve të 1 klasës tënde, kurse elementi y je ti, nxënës. 8 6 3 2 Me diagram të Venit paraqiti bashkësitë 4 10 N U, P, K dhe elementin y. Shkruaje bashkësinë D në mënyrë tabelare. 3. Nëse y ∈ K dhe K ⊆ R, atëherë y ∈ R. A është e saktë? Pse? Shkruaje bashkësinë N në mënyrë për- shkruese. Bashkësitë D dhe N a janë ekuivalente? 4. Shënoji të gjitha nën bashkësitë të bashkës- Pse? inë A = {a, b, c}. Çka është e saktë për D dhe N: D ⊆ N ose N ⊆ D? Pse? Provo mendjemprehtësinë tënde! DetyraNë një shitore me prodhime metalike, mes blerësit dhe shitësit është zhvilluarbiseda vijuese:“Sa para është një?, ka pyetur blerësi.“Dhjetë denarë”, është përgjigjur shitësi.“Për sa para mund ti blej dymbëdhjetë?”, ka pyetur blerësi.“Dhjet denarë”, është përgjigjur shitësi.“Mirë, atëherë mi jepni treqind e dymbëdhjetë”, ka thënë blerësi.“Kjo do të ju kushtoj, zotëri, tridhjetë denarë.”Çfarë ka blerë blerësi?
  • 12 4 PRERJA, UNIONI DHE NDRYSHIMI I BASHKËSIVE Kujtohu! A 1 Janë dhënë bashkësitë S A={1, 2, 3, 4, 5} dhe B={3, 4, 5, 6}. A V Paraqiti bashkësitë A dhe B me diagram të Venit. Elementet e përbashkëta të bashkësive A dhe B paraqiti me C. Bashkësinë C paraqite në mënyrë tabelare. Sipas vizatimit, bashkësia A është bashkësi e figurave të kuqe, B të Vëreni zgjidhjen. Bashkësia C është trekëndëshave, kurse C e C = {3, 4, 5}. prerje e bashkësisë trekëndëshave të kuq. A dhe B. C A B Pse është bashkësia C prerje e bashkë- 1 3 sive A dhe B? 6 4 2 5 Prerje e dy bashkësive A dhe B është bashkësia C e formuar prej elementeve të përbashkëta të A dhe B. Shënojmë: C = A ∩ V dhe lexojmë: “Çka është e barabartë me A prerje B” x ∈ A ∩ V, d.m.th: x ∈ A dhe x ∈ V.2 Le të jetë A= {1,2,3,4}, B={2,4,5,7} dhe C={1,4,5,} Caktoji bashkësitë: A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ A. Bashkësitë A ∩ B dhe B ∩ A a janë ekuivalente? A janë të ndryshme? Paraqiti bashkësitë A, B dhe C me diagram të Venit, ashtu që të caktohen prerjet e tyre. DB 3 Në vizatimin janë dhënë bashkësitë A, B dhe D. A V Shënoji bashkësitë A, B dhe D në mënyrë tabelare. 1 3 2 6 5 7 4 10 Bashkësia D është union i 9 8 bashkësive A dhe B.
  • Union i bashkësive A dhe B është bashkësia D e formuar prej të gjitha elementeve të atyre bashkësive. 13 Shënojmë: D = A ∪ V dhe lexojmë: “ D është e barabartë me A union B”. x ∈ A ∪ V, d.m.th: x ∈ A ose x ∈ V.4 Në vizatim me diagram të Venit janë dhënë V C bashkësitë A, B dhe C. A 1 2 Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: 12 13 A, V dhe C. 3 14 11 C ∪ B, C ∪ A dhe B ∪ A. 9 A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A dhe A ∩ C.C 5 Janë dhënë bashkësitë A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe V = {2, 4, 6, 8}. Caktoji bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A. Bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A a janë të ndryshme? Caktoji bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A. Bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A a janë të barabarta? Vëreni se: A ∩ V = V ∩ A dhe A ∪ B = B ∪ A Prerja e dy bashkësive ka vetinë e ndërrimit (komutative). Unioni e dy bashkësive ka vetinë ndërrimit.6 Trego se për prerjen, gjegjësisht unionin, e bashkësive B dhe C nga detyra 4 vlen vetia ndërrimit. Provo vetinë e ndërrimit për unionin e tyre.7 Le të jetë A = {3, 6, 9} , B = {2, 4, 6, 8} dhe C = {1, 3, 5, 9}. Vëreni! Cakto A ∪ B, pastaj (A ∪ B) ∪ C. Unioni i tre bashkësive e ka vetinë e Cakto B ∪ C, pastaj A ∪ (B ∪ C). shoqërimit (associative). A është (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Prerja e tre bashkësive e ka vetinë e Provo a vlen: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). shoqërimit. Problem Zgjidh tre bashkësi A, B dhe C dhe trego se (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Nëse dihet që x ∈ A ∪ B, a vlen x ∈ B?D 8 Shihe vizatimin ! Me diagram të Venit janë paraqitur A 1 6 7 8 B bashkësitë A dhe B. 5 2 9 3 Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë A dhe B. Shënoje në mënyrë tabelare bashkësinë C elementet e së cilës janë ato elemente të bashkësisë A por që nuk janë të bashkësinë B.
  • Bashkësia C = {1, 2, 5, 6} e fituar në këtë mënyrë është ndryshimi i bashkë- 14 sive A dhe B përkatësisht S = A V. Bashkësia C e elementeve që i takojnë bashkësisë A, por që nuk i takojnë bashkësisë B quhet ndryshimi i bashkësisë A me bashkësinë B. Shënojmë: S = A V dhe lexojmë: “ C është e barabartë A minus B”. x ∈ A B d.m.th: x ∈ A dhe x ∉ B.9 Le të jetë A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} dhe C = {3, 5, 7, 9, 11}. Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: A B, B A, B C dhe A (B C). A vlen A B = B A? TË E ÇFARË ËSH DAL- Provo a është e saktë: A (B C) = (A B) C? ABARTË ME BAR E? MES TYR LIMIN NË Ndryshimi i bashkësive nuk e ka as vetinë e ndërrimit as vetinë e shoqërimit.10 Le të jetë M = {x | x është numër natyror dhe x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} dhe P = {x | x është numër natyror i dhjetëshes së parë}. Cakto: M ∩ Y. Y ∪ R. P M. M ∪ (R Y). Duhet të dish! Testohu! Të caktosh prerjen e dy bashkësive. Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, f, g}, Të caktosh ndryshimin e dy bashkësive. B = {b, c, e, f, 1, 2} dhe C = {b, c, e, 1}. Të caktosh unionin e dy bashkësive. Shënoji bashkësitë: Se prerja dhe unioni kanë vetinë e ndërrimit A ∩ B. B C. A ∪ B ∪ C. dhe shoqërimit. Detyra Cakto δA i δM. Shëno në mënyrë tabelare A ∪ M,1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë me M ∩ A dhe M A. diagram të Venit nën a,b dhe c. Cakto: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) dhe δ(M A). Cilat operacione janë paraqitur me pjesët e ngjyrosura? 3. Le të jetë P bashkësi e numrave çift, kurse S është bashkësi e numrave tek të qindëshes së parë. Çka paraqet: a) b) c) a) Unioni i P dhe S; c) ndryshimi i P dhe S; b) Prerja e P dhe S; d) ndryshimi i S dhe P?2. Janë dhënë bashkësitë Sqaro përgjigjen tënde për çdo rast a, b, c dhe d. A = {m, n, p, k} dhe M = {s, p, t, k, r}
  • 5 ÇIFTI I RENDITUR. PRODHIMI I DEKARDIT. 15 Kujtohu! A 1 Ne vizatim është paraqitur salla e kinemasë. Karrigia e tretë te rreshti i dytë dhe karrigiaJanë dhënë bashkësitë {2, 3} dhe {3, 2}. Ato e dytë te rreshti i tretë janë të zbrazëta.janë bashkësi dy elementësh, gjegjësisht tëpërbëra prej çifteve të elementeve. Rreshti dhe karrigia paraqesin një çift. A vlen {2, 3} = {3, 2}? Pse? Numri i parë le tëPor në disa raste, radhitja e elementeve në paraqet rreshtin (2),çifte ka rëndësi të madhe: çifti i dorëzave,çifti i këpucëve, etj. kurse numri i dytë ta paraqet karrigen (3). Atë e shkruajmë me (2,3) dhe themi se është çift i renditur. Çiftet e renditura (2,3) dhe (3,2) a paraqesin vendin e njëjtë në sallë? Ato paraqesin vendet e Çifti (a, b) te i cili dihet saktë cili element është i ndryshme në sallë. pari, kurse cili element është i dyti quhet çift i rendi- tur. Në çifti i renditur (a, b), a është komponent i parë, kurse b është komponent i dytë.2 Le të jetë A = {s, p, q}, kurse bashkësia B = {1, 2}. Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku komponent i parë është element i A, kurse komponent i dytë është e B. Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku Ë mbaj mend! çifti i renditur komponent i parë është B, kurse kompo- (a, b) është i barabartë me çiftin e nent i dytë është e A. renditur (c, d) nëse a = c dhe b = d dhe shkruhet (a, b) = (c, d). Çifti i renditur (s, 1) a është i barabartë me (1, s)?B 3 Le të jetë A = {1, 2} dhe B = {a, b, c}. Formo bashkësinë elementet e së cilës janë të gjitha çiftet e renditura, te cila komponent i parë është elementi bashkësisë A, kurse komponent i dytë është i bashkësisë B. Bashkësia te e cila elemente janë të gjitha çiftet e renditura, ku komponent i parë është element i bashkësia A, kurse komponent i dytë është element i bashkësia B quhet prodhim i dekartit i bashkësive A dhe B. Shkruhet A x B. Lexohet A herë B. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.4 Është dhënë bashkësia S = {1, 2, 3} dhe prodhimi i Dekartit S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Shënoni bashkësinë P në mënyrë tabelare.
  • 16 5 Është dhënë bashkësia A = {a, b}. Cakto prodhimin e Dekartit A x A. Vëre dhe mbaj mend! A x A është prodhimi i Dekartit i bashkësisë A. Prodhimi i Dekartit A x A quhet katrori i Dekartit dhe shënohet me A2. Lexohet: “A në katror.”6 Cakto katrorin e Dekartit për bashkësinë M = {5, p}. Duhet të dish! Testohu! Të dallosh bashkësi dy elementësh prej çiftit Janë dhënë bashkësitë A = {a, b}, B = {5, 55} dhe C = {m, n}. të renditur; Të caktosh të gjitha çiftet e renditura për dy Shënoni të gjitha çiftet e renditura ku kompo- nenti i parë është element i bashkësisë A, kurse bashkësi të dhëna; Komponenta e dytë është element i bashkësisë Se çka është prodhimi i Dekartit; C. Të caktosh komponentin i parë dhe atë të Shënoni bashkësinë A x B në mënyrë tabelare. dytë në një çift të renditur. Se çka është katrori i Dekartit. Shënoni bashkësinë B2. Detyra1. Shkruaji çiftet e renditura te të cilat kompo- 4. Është dhënë bashkësia nenti i parë është nga bashkësia A = {2, 5}, Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. ndërsa komponenti i dytë nga bashkësia V = {a, b, c}. Cakto bashkësinë S. Cakto bashkësinë P. Cakto katrorin e Dekartit të bashkësisë S.2. Cili numër duhet të qëndroj në vend të ashtu që çiftet e renditura të jenë të barabartë a) (5, ) = (5, 2); b) ( , 6) = (8, 6); v) ( , 3) = (7, )? Çiftet e renditura do të më jenë3. A={Arlind, Njomza, Agon} fjali të thjeshta. Për shembull: B është bashkësi foljesh: Arlindi këndon. B= { këndon, flenë, mëson} Cakto prodhimin e Dekartit A x B.
  • 6 VARGU I NUMRAVE NATYROR 17 Numra natyror! Kujtohu! 1 2 3 4 5 ... Sa është numri i bankave te klasa jote? Cakto numrin e meshkujve në klasën tënde. A 1 Me shifra shkruaj numrat: Lexoji numrat: 23, 1005, 207, 987 000. Njëqind e pesëdhjetë e gjashtë; Me cilat shifra është shkruar numri: Nëntëqind e një; 813 265? Sa shifra shfrytëzohen për shkrimin e Një milion. numrave? Cilat janë ato? Për çdonjërin e atyre numrave themi se janë numra natyrorë. Numrat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... quhen numra natyrorë, kurse numrat e radhitur ashtu njëri pas tjetrit formojnë vargun e numrave natyrorë. Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Numrin 0 nuk e marrim si numër natyror. Prandaj 0 ∉ N. Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë dhe numrit 0 shënohet me N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}B 2 Në vizatim vëren rrugën dhe dy rreshta me shtëpi të shënuara me numra. Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga njëra anë e rrugës? Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga ana tjetër e rrugës? Numrat: 1, 3, 5, 7, ... janë numra tek. Kurse 2, 4, 6, 8, 10 ... janë numra çift.3 Cilët prej numrave 36, 13, 1 111, 100 000, 99 janë çift, kurse cilët janë tek? aC 4 Si do të përcaktosh drejtëzën numerike? O A a Punoni sipas kërkesave dhe përcille vizatimin: 0 1 Vizato drejtëz a. Në drejtëzën a shëno dy pika O dhe A. O A S a Pikës O shoqëroja numrin 0, kurse pikës A numrin 1. 0 1 2
  • 18 Segmentin OA e marrim për segment njësi, gjegjësisht OA = 1. Në gjysmë drejtëzën OA, nga pikës A, barte segmentin njësi OA. Pikën e skajshme shënoni me C dhe shoqëroja numrin 2. Si do ta caktosh pikën që i përgjigjet numrit 3? Vëre dhe mbaj mend! Në këtë mënyrë është përcaktuar drejtëza te e cila mund të paraqiten numrat natyrorë. Ajo quhet drejtëz numerike.5 Shihe vizatimin Cili numër është për 1 më i vogël se numri 6? 0 1 2 3 4 6 Cili numër është për 1 më i madh se numri 6?6 Numri 5 është paraardhës , kurse numri 7 është pasardhës i numrit 6. Cili është paraardhësi, kurse cili pasardhësi i numrit 100? Si fitohet paraardhësi, kurse si pasardhësi i një numri?7 Shkruaj një numër të madh natyror. Cilit do numër Shtoja numrin 1 numrit që e ke menduar. mund ti shtoj 1 dhe A ka numër më të madh se numrin që e fitove? do të fitoj numër më të madh. Çdo numër nga vargu i numrave natyrorë, përveç 1, fitohet kur paraardhësit të tij do t’i shtohet numri 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Secili numër natyror ka pasardhës. Numrat natyror janë të radhitura sipas madhësisë: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Nuk ekziston numri më i madh natyror. Ka pakufi shumë numra natyror. Bashkësia N e numrave natyrorë është bashkësi e pafundme. Vëre shembull tjetër për bashkësi të pafund. Bashkësia e numrave natyrorë shifre e njëshave te të cilat është 1, gjegjësisht {1, 11, 21, 31, ...}.8 Cila nga bashkësitë vijuese është e pafund? Bashkësia e numrave çift. Bashkësia e numrave tek. Numri i banorëve në R. e Maqedonisë. Numri i grimcave të rërës në një plazh.
  • 9 Shkruaj dhe radhiti numrat natyrorë të dhjetëshes së tretë të qindëshes së pestë. 19 Duhet të dish! UNË JAM UNË JAM Të dallosh ç’është shifër dhe ç’është numër; PARAARDHËS! PASARDHËS! Të caktosh pasardhës dhe paraardhës të një numri natyrorë; Të paraqesësh numra natyrorë në drejtëzën numerike. Të tregosh shembuj për bashkësi të pafund. Testohu! Janë dhënë shifrat 7, 4 dhe 0. Shënoni të gjithë numrat natyrorë treshifrorë duke i shfrytëzuar shifrat e dhëna. Radhiti të gjitha numrat që i fitove duke filluar prej numrit më të madh. Shënoni paraardhësin dhe pasardhësin të numrit më të madh prej tyre. Trego shembull për bashkësi të pafund. Detyra1. Në vizatim ka libra me faqe të grisura. 2. Cilat numra te drejtëza numerike duhet të shkruhen në vendet e zbrazëta? 0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160 Shënoje me fjalë numrin e shënuar me shig- jetë. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 3. Vizato drejtëzën numerike dhe në të paraqiti numrat çift prej 0 deri 20. Shënoni faqet e librit që janë të 4. Bashkësinë S = {x | x është numër natyror tek}, grisura. shkruaje në mënyrë tabelare. Me cilat shifra janë shkruar ato Cili element është më i vogël te bashkësia S? faqe? Shënoni bashkësinë A të numrave çift Bashkësia S a ka element më të madh? të faqeve që mungojnë në libër. Sa elemente ka bashkësia S?
  • 20 7 SISTEMI NUMERIK DEKADË 012 34 56 7 8 9 Kujtohu! Sa dhjetëshe ka numri 100? Sa mijëshe ka numri 3 865? Shkruaje bashkësinë C të të gjithë Sa njëshe ka numri 128 563? A 1 shifrave me të cilat shkruhen numrat Shënoni me shifra numrin e paraqitur në natyrorë. numëratoren pozicionuese. Cakto δS. Ka dhjetë shifra. Të gjithë numrat natyrorë i shkruajmë me dhjetë shifrat 0,1,…,9. QM DhM NjM Q Dh Nj Numrat i shkruajmë në sistemin numerik dekadë.2 Shihe tabelën ku është shkruar numri 7 143 528. Çdo shifër e numrit është shkruar në pozitën (vend) e caktuar. Secili grup prej tre shifrave, duke shkuar nga e djathta në të majtë, është shkruar në klasë të caktuar. Në cilën pozitë është shkruar KLASA KLASA KLASA shifra 2? MILION MIJËSHE NJËSHE Vlera pozicionale e shifrës 4 te numri QMi DhMi NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj 7 143 528 është dyzet mijë. Cila është vlera pozicionale e shifrës 3 dhe cila e 7 1 4 3 5 2 8 shifrës 8? Në klasën milion në pozitën e njësheve është U kujtova! shkruar shifra 7. Cila është vlera e saj pozicionale? 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000. Te shënimi i numrave, çdo shifër tregon numrin e njësheve ose numrin e dhjetësheve ose numrin e qindësheve, etj, përkatësisht të pozitës (vendit) ku është shkruar.
  • Shihe tabelën me të dhëna për numrin 34 509.3 21 34 509 Ne jemi të njëjtë Pozita në të cilën Vlera pozi- Shifra Klasa është shkruar cionale e 3 4 Mijëshe Mijëshe shifra DhM NjM shifrës 30 000 4 000 Unë vlej më shumë 2 5 0 9 Njëshe Njëshe Njëshe Q Dh Nj 500 0 9 20 Formo tabelë për numrin 2 628 dhe në të shënoji të dhënat për çdo shifër.4 Vëre! Për sa herë zmadhohet vlera e shifrës 3 duke filluar prej pozitës së njësheve? NjM Q Dh Nj Numrat 1, 10, 100, 1 000, etj., quhen njësi dekade. 3 3 3 3 Shënoi të gjitha njësitë dekade deri 10 000 000. ⋅100 ⋅10 ⋅1 000B 5 Shkruaje numrin i cili e përmban shifrën 1, e pas saj janë shënuar: a) 3 zero; b) 9 zero; c) 12 zero d) 18 zero. Si quhet numri i shkruar nën a), e si quhet numri i shkruar nën b)? Mbaje në mend! Numri i shënuar: Di për a) dhe b). Vallë si quhen numra të 1 000 000 000, quhet miliardë; tjerë?! 1 000 000 000 000, quhet bilion; 1 000 000 000 000 000 000, quhet trilion.6 Shkruaje me shifra numrin “pesëdhjetë miliard tetëqind milion dhe njëzetmijë”. Cila është vlera pozicionale e shifrave 5; 8; 2 në numrin 50 800 200 000?
  • 22 Duhet të dish! Të përcaktosh klasat e numrit shumë shifror; Ta përcaktosh vlerën pozicionale të secilës shifër në numrin e dhënë; Se shifrat janë shenja për të shkruar numrat. Testohu! Shihe vizatimin! Lexo numrin e paraqitur në numëratoren pozicionale dhe shkruaje me shifra. Cilën shifër e shkrove në pozitën e dhjetë mijësheve NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj dhe cila është vlera pozicionale e saj? Detyra 3. Shkruaje me shifra numrin “tetë bilion tre- qind e dy miliardë gjashtëdhjetë milion1. Është dhënë numri 5 203 478. Për secilën katërqind mijë dhe pesëqind”. shifër 5; 2; 7; 0 përcakto: a) Në cilën klasë gjendet; b) Cila është pozita e saj: 4. Cilin numër do të fitosh nëse në një trilion do të fshish secilin zero të dytë. c) Cila është vlera e saj pozicionale. 5. Si lexohet numri 5, e si shifra pesë?2. Përpilo tabelë të klasave dhe pozitave në të cilat do ti shkruash shifrat e numrit 7 405 906. 6. Si quhet numri që ka milion miliona? Problem Numri shtatë shifror fillon me shifrën 7. Si do që ti zhvendosësh shifrat e atij numri, numri nuk ndryshon. Cili është ai numër?
  • 8 LEXIMI DHE RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE NATYRORË 23 Kujtohu! Shkruaje me fjalë numrin A 1 a) 157; b) 216 c) 350 Shkruaje me fjalë numrin 16; 23; 45; 125; 50; 200. Krahasoje shënimin tënd me atë të dhënë. Në cilin prej numrave të shkruar e për- a) Njëqind e pesëdhjetë e shtatë. dorë lidhëzën “dhe”? b) Dyqind e gjashtëdhjetë; c) Treqind e pesëdhjetë. Vëre leximin e numrave dhe përdorimin e lidhëzës “dhe”. Lidhëza “e’ nuk shfrytëzohet nëse numri është 15 - pesëmbëdhjetë;prej një fjale (emri i klasës nuk llogaritet). 700 - shtatëqind; 50 000 - pesëdhjetë mijë. Në secilën klasë: njëshe, mijëshe, milion, …lid- 302 413 - treqind e dy mijë katërqind ehëza “e” shfrytëzohet mes dy fjalëve të fundit, trembëdhjetëgjegjësisht dy numrave (emri i klasës nuk lloga- 5 020 340 - pesë milion njëzet mijë e treqindritet). e dyzet Lidhëza ‘e” shfrytëzohet edhe mes klasave, nëse 300 200 - treqind mijë e dyqinddy fjalë të fundit (numra) i takojnë klasave të 8 302 100 - tetë milion treqind e dy mijë endryshme. njëqind.2 Shkruaji me fjalë numrat: 200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.B 3 Në një garë basketbolli reporteri ka thënë se garën e përcjellin rreth 2 000 shikues. Reporteri ka treguar numrin e Athua reporteri e ka treguar numrin e përafërt të shikuesve. saktë të shikuesve?4 Numrat 32, 35 dhe 37 janë paraqitur në drejtëzën 30 32 35 37 40 numerike. Cilat janë dhjetëshet fqinje të numrave të paraqitur? Cakto ndryshimin e secilit numër me dhjetëshet fqinje. Deri te cila dhjetëshe fqinje është më afër secili numër?
  • 24 Vëreji përgjigjet Për numrat e dhënë numri 30 është dhjetësha fqinje më e vogël, ndërsa 40 është dhjetësha fqinje më e madhe. 32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Numri 32 është më afër me 30. 37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Numri 37 është më afër me 40. 35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Themi se Numri 32 është përafërsisht i barabartë me numrin 30. Shkruajmë 32 ≈ 30. Numri 37 është përafërsisht i barabartë me numrin 40. Shkruajmë 37 ≈ 40. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Me marrëveshje shkruajmë 35 ≈ 40. Ky shënim quhet rrubmullakimi i numrit në dhjetëshe.5 Rrumbullako në dhjetëshe numrat: 148, 243, 2 671, 3 585 dhe 74 598.6 Numrat: 3 435 dhe 3 468 janë paraqitur në drejtëzën numerike. 3 400 3 500 3 435 3 468 Cakto ndryshimin e secilit prej numrave me qindëshet finje. Deri te cila qindëshe fqinje është më afër secili numër? Rrumbullako secilin numër në qindëshe. Ke vërejtur se 3 435 është më afër me 3 400, ndërsa 3 468 me 3 500. Numrat e rrumbullakuara në qindëshe janë: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Kur gjatë rrumbullakimit të një numri në qindëshe shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë, e kur zmadhohet për 1? Shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë nëse shifra në pozitën e dhjetësheve është numër më i vogël se 5, ndërsa zmadhohet për 1 nëse shifra në pozitën e dhjetë- sheve është 5 ose numër më i madh se 5.7 Rrumbullako në qindëshe numrat: 1 372, 2 145, 1 653 dhe 4 898.8 Rrumbullako në mijëshe numrat: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.
  • Vëre zgjidhjen nën a) 25 21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Ke vërejtur se gjatë rrumbullakimit të ndonjë numri deri te pozita e caktuar (dhjetëshe, qindëshe, mijëshe, …) vepron në mënyrë vijuese: Shifra e asaj pozite mbetet e njëjtë, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave: 0, 1, 2, 3, ose 4, ndërsa ajo zmadhohet për 1, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave 5, 6, 7, 8 ose 9. Të gjitha shifrat djathtas nga ajo pozitë zëvendësohen me zero.9 Rrumbullako numrin 35 738 në: a) Dhjetëshe; b) qindëshe; c) mijëshe; d) dhjetë mijëshe. Duhet të dish! Testohu! Drejtë ti lexosh numrat natyror, më të vegjël Lexo numrin: 5 200; 45 678 350. apo më të mëdhenj se një milion; Të rrumbullakosh numrat natyrorë në: Rrumbullako në dhjetëshe; qindëshe; mijëshe, dhjetëshe, qindëshe dhe mijëshe. numrin: a) 34 752; b) 224 750 Detyra1. Shkruaje me shkronja numrin: 2 345; 250; 6 7. A ekziston numri më i madh natyror? 400 310. Cili është numri më i vogël natyror?2. Shkruaje me shifra numrin: ‘Treqind milionë Shkruaje çmimin e veturës me fjalë dyqind e pesë mijë e tetëqind”.3. Cila prej shenjave <, = ose > duhet të qën- droj në rreth që të jetë e saktë? 12 245 12 250; 12 245 12 240; 12 245 12 200; 12 245 12 300. 1 216 358 den.4. Athua numri 24 635 është më afër Përpiqu të zgjidhësh! a) me 24 700 ose me 24 600; b) me 24 000 ose me 25 000? Nuk ka kuptim të thuash numrin e telefonit tënd5. Rrumbullako numrin 25 375 në: dhjetëshe; si numër i rrumbullakuar. qindëshe; mijëshe. Përpiqu të gjesh dy shembuj ku nuk ka kuptim6. Rrumbullako numrin 15 409 632 në të bësh rrumbullakimin e numrave. mijëshe.
  • R A P U N A 26 M E T Ë D D H Ë N A 9 INSTRUMENTE PËR MBLEDHJEN E TË DHËNAVE Mbledhja e të dhënave kryhet në disa mënyra: me anketim, vështrim, matje, numërim, nga literatura etj. Instrumente (mjete) për mbledhjen e të dhënave janë: pyetësori, fletanketë, revizione të publikuara dhe të dhënat e tjera statistike.1 Arta dhe Liriku hulumtojnë për aktivitetet e lira të nxënësve të paraleles së tyre. Ato i kanë pyetur nxënësit në cilin klub çdonjëri prej tyre është i anëtarësuar. Të dhënat së pari i kanë shënuar me viza, kurse pastaj i kanë rregulluar dhe kanë formuar tabelë. Klubi Klubi Në tabelë janë dhënë një numër i të Numër Numër (aktivitete) (aktivitete) dhënave. Ajo quhet tabela të efek- Shkëndija Shkëndija tiveve. 9 (basketboll) (basketboll) Liria Liria Sa nxënës gjithsej janë përgjigjur në 13 (tenis) (tenis) pyetjen e drejtuar? Flamurtari Flamurtari 15 Formo tabelë të re të efektiveve (gjimnastikë) (gjimnastikë) Spartaku Spartaku 3 ashtu që të dhënat ti radhisësh (karate) (karate) sipas madhësisë së numrit (duke fil- Tabela me viza Tabela me efektive luar prej më të madhit).2 Iliri ka bërë hulumtim për ngjyrën e biçikletave që më shpesh hasen në fshatin e tij. Ka mbledh të dhëna ashtu që i ka vërejt fëmijët me biçikleta në oborrin e shkollës dhe ka plotësuar listë me viza. Formo tabelë të efektiveve. Ngjyra Numrij Radhiti të dhënat duke filluar prej më të voglit. E kaltër Sa biçikleta gjithsej ka vërejt Iliri? E gjelbër Cila ngjyrë e biçikletave është më e shpeshtë? E verdh Të vërejturit e Ilirit është njëra nga mënyrat me të cilën mundet të mblid- E zezë hen të dhënat. Të dhënat mundet të mblidhen në mënyra të ndryshme E kuqe duke: pyetur me telefon, dërguar pyetësor nëpërmjet postës, shfrytëzuar libra, revista etj.3 Merita ka mbledhur të dhëna për stinën më të adhuruar në klasën e saj. Vëre listën: P - pranverë; V - verë; Vj - vjeshtë; D - dimër. P P V D D Vj P V Vj D D P V Vj D D P P V V V Vj D P Vj Vj D D P P P V Vj P P D V Vj Paraqiti të dhënat në tabelën e efektiveve dhe radhiti duke filluar prej stinës më të adhuruar.
  • 10 MBLEDHJA 27 Kujtohu! A 1 Mere dhe Mile jetojnë në Koçan. Në pushim kanë shkuar Njehso: në Strugë, por një ditë kanë 14 353 qëndruar në Dibër te gjyshja e + 35 + 168 tyre. 47 98 796 90 km Koçan + 803 + 14 534 Dibër 68 + 37 + 3 + 916 = Strugë 190 km Sa kilometra ka kaluar Merita dhe Lirini prej shtëpisë deri te gjyshja e tyre? Sa kilometra kanë kaluar prej Shkupit deri në Strugë? Cakto shumën e numrave 52 dhe 34.B 2 Përkujtohu dhe vëreji vetitë e mbledhjes në bashkësinë N0.Nëse i ndërroni vendet mbledhëse shuma mbetet epandryshuar. Ndërrimi i vendeve të mbledhëseve ose vetia e ndërrimit e mbledhjes. 52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86 a+b=b+a mbledhëse shuma mbledhëse shumaTë tre mbledhëset mundet të grupohen në dy mënyra. Shuma Grupimi i mbledhëseve ose vetia embetet e pandryshuar. shoqërimit e mbledhjes. (71 + 114) + 16 = ose 71 + (114 + 16) = a + (b + c) = (a + b) + c Prandaj, kllapat mund të largohen:: 185 + 16 = 201 71 + 130 = 201 a + b + c.Kur njëri prej mbledhëseve është zero, atëherë shuma është ebarabartë me mbledhësin tjetër. Zeroja gjatë mbledhjes. a+0=0+a=a 583 + 0 = 583 ose 0 + 583 = 5833 Njehso: Kur shfrytëzohen vetitë e mbledhjes është më lehtë! 17 + 36 + 13 + 44 = 12 + 81 + 9 + 38 + 27 = Shembul 161 + 234 + 439 = 27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
  • Grupoi mbledhësit në mënyrë tjetër dhe cakto shumën. 28 4 45 + (45 + 56) = ( 1 207 + 101) + 269 =C 5 Cakto shumën e numrave 74, 33, 26, 48, 57. Cakto shumën e numrave 140, 310, 750, 360, 170 dhe 290. Shumës të numrave 124 dhe 139 shtoja shumën e numrave 261, 55 dhe 276. Cakto paraardhësin e çdo numri 372, 126 dhe 319 dhe njehso shumën e paraardhësve.6 Bëje vlerësimin e shumës së numrave me rrumbullakim në qindëshe a) 2 738 dhe 2 465; b) 4 562 dhe 5 378. Për sa dallohet rezultati i përafërt nga shuma e saktë e numrave? Duhet të dish! Testohu! Paralelja Djem Vajza Të caktosh shumën e VIa 17 14 dy ose më shumë Te tabela janë dhënë të VIb 14 17 numrave; dhënat për numrin e VIc 9 22 Ti zbatosh vetitë e nxënësve në klasën VI të mbledhjes te shembu- një shkolle jt e thjeshtë; Cakto numrin e përgjithshëm të nxënësve në klasën e VI. Ta vlerësosh rezultatin Cakto numrin e nxënësve në VIa dhe VIb, e pastaj krahasoji. e mbledhjes. Detyra 44 + 27 + 51 + 33 + 19 = + 16 1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =1. Njehso. 171 4. Vlerëso shumën e numrave 7 328 dhe 6 + 72 + 93 + 39 435, duke i shfrytëzuar në: mijëshe, 27 39 qindëshe; dhjetëshe. Për sa dallohen rezul- tatet e përafërta me ato të sakta?2. Në një gazetë shkruan: „Në hapjen e një festivali marrin pjesë 1 300 shikues. Ditën e dytë shfaqjen e kanë shikuar 726 shikues”. Problem! Sa shikues kanë qenë për dy ditë në festival? Numri 2 është shkruar shtatë herë: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 23. Grupoji mbledhësit dhe cakto shumat: Cila është shuma më e vogël që mund të fito- 64 + 33 + 36 + 48 + 57 = het nga shtatë dyshe dhe dy shenja plus?
  • 11 ZBRITJA 29 Kujtohu!Njehso: 475 1 852 - 232 - 800 A 1 Lojërat Olimpike në vitin 2000 janë mbajtur në Sidnej- Australi. Komiteti Olimpik ka kërkuar që të rezervohen 4 2 685 9 840 830 bileta për hapjen solemne, por të lira kanë qenë 3 - 518 - 189 892 karrige.Cili numër duhet të qën-droj në katror që të jetë e Sa njerëz kanë ngelur pa bileta?saktë? 47 - = 19 4 830 - 3 892 = 28 + = 47 + 19 = 47 I zbritshmi zbritësi ndryshimi2 Shfrytëzoji të dhënat në tabelë që të përgjigjesh në pyetjet. Olimpiada 1992 Sa pikë më shumë ka ekipi i Polonisë prej ekipit të Ekipi Pikë Italisë? Italia 15 760 Cili është ndryshimi ndërmjet numrit më të madh dhe më të vogël të pikëve? Amerika 15 649 Polonia 16 018 Që të mund ta njehsojmë ndryshimin a - b të numrave a dhe b në bashkësinë N0 duhet a > b ose a = b.B 3 Në një furrë piqen 5 000 bukë çdo ditë. Në tabelë janë Dita Nr. i bukëve dhënë të dhënat për bukët e shitura për një javë. E hënë 1 260 E martë 4 205 E mërkurë 4 728 Sa bukë gjithsej ka prodhuar furra për një javë? E enjte 3 916 E premte 4 010 Sipas të dhënave në tabelë njehso sa bukë gjithsej kanë ngelur pa shitur? E shtunë 4 857 E diel 1 376
  • 30 4 Vlerëso ndryshimin e numrave 457 dhe 165 duke i rrumbullakuar në dhjetëshe; qindëshe. Krahaso vlerësimet me vlerën e saktë të ndryshimit. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh ndryshimin e dy numrave; Njehso: të njehsosh vlerën e shprehjes (26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ; numerike me operacionet mbledhje dhe zbritje me kllapa ose pa kllapa; (439 - 195) + (270 - 36) = . të vlerësosh ndryshimin gjatë zbritjes. Vlerëso ndryshimin e numrave 2 376 dhe 1 289 duke i rrumbullakuar në qindëshe. Detyra1. Numrit 836 shtoja ndryshimin e numrave 3. Vera ka 2 725 denarë. Merita ka 120 denarë 299 dhe l73. më shumë se Vera. Arta ka 385 denarë më Ndryshimin e numrit më të madh katër- pak se Vera dhe Merita së bashku. shifror dhe numrit më të vogël treshifror Sa denarë ka Merita? zmadhoje për 1216. Sa denarë ka Arta?2. Treni është nisur prej Manastiri për në Shkup 4. Arlindi ka 1 350 denarë. Që të blej atlete i me 489 udhëtarë. Në Prilep prej trenit kanë duhen 3 120 denarë. Arlindi i ka rrumbul- zbritur 120 udhëtarë, kurse kanë hipur 70 lakuar parat në qindëshe. udhëtarë. Në Veles kanë zbritur 42 udhëtarë, Ndihmoji Arlindit që të caktoj edhe sa kurse kanë hipur 98. Me sa udhëtarë ka ard- hur treni në Shkup? qindëshe i mungojnë. Njehso saktësisht sa para i mungojnë Arlindit. Përpiqu! Nëse i paramendon cilat do tre numra natyrorë, a do të ketë gjithmonë mes tyre dy shuma e të cilëve është numër çift?
  • 12 VARËSIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT NGA NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE 31 Kujtohu! A 1 Në mëngjes në :Ditën e drurit” janë sjel- lë 2 600 fidanë gjethembajtës dhe 3 Janë dhënë shuma 320 + 150 = 470 dhe 100 fidanë gjetherënës. ndryshimi 250 - 120 = 130. a) Sa fidanë të të dy llojeve janë sjellë Cili numër duhet të qëndroj në katror atë mëngjes? që të jetë e saktë. b) Mbas dite janë sjellë edhe 400 fidanë (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 - ; gjethembajtëse. Për sa do të rritet (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ? numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes? Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; në mëngjes janë sjellë 5 700 fidanë. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes është rritur për 400.2 Është e njohur se a + b = 200. Njëri prej mbledhësve le të rritet për 300. Njehso shumën a + (b + 300).3 Si do të ndryshoj shuma 340 + 620 = 960 a) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60; b) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60, ndërsa tjetri zmadhohet për 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = Shuma u zvogëlua për aq sa u zvogëlua = 900 = 960 - 60; njëri prej mbledhësve. Vërejte se: b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; shuma nuk u ndryshua. Vëre në përgjithësi për shumën a+b=c Nëse njëri mbledhës zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri (a + m) + b = c + mmbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zmadhohet për atë numër të njëjtë Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri (a - m) + b = c - mmbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zvogëlohet për atë numër të njëjtë Shuma nuk do të ndryshojë nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një (a - m) + (b + m) = cnumër të caktuar, ndërsa tjetri rritet po për atë numër.
  • 32 B 4 Është dhënë ndryshimi 750 - 430 = 320. Njehso dhe vëre si ndryshon ndryshi- mi nëse i zbritshmi a) Zmadhohet për 50; b) zvogëlohet për 50. Sigurisht vërejte: a) Ndryshimi u zmadhua për 50, gjegjë- a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = sisht aq sa u zmadhua i zbritshmi = 370 = 320 + 50. b) Ndryshimi do të zvogëlohet për 50.5 Është dhënë ndryshimi 2 480 - 560 = 1 920. Si do të ndryshoj ndryshimi, nëse zbritësin: a) E zvogëlon për 30; b) e zmadhon për 30. Ndryshimi: a) do të zmadhohet për 30; b) do të zvogëlohet për 30.6 Njehso ndryshimin 6 354 - 2 314. Si do të ndryshojë ndryshimi nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi a) Zmadhohen për 120; b) zvogëlohen për 120? Vëre se ndryshimi mbetet i njëjtë. Vëre në përgjithësi për ndryshimin a-b=c Nëse i zbritshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për një numër (a + m) - b = d + m të caktuar, ndërsa zbritësi mbetet i njëjtë, atëherë edhe ndryshimi (a - m) - b = d - mdo të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për atë numër të njëjtë. Nëse zbritësi zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet i njëjtë, atëherë ndryshimi do të zvogëlohet për atë numër. Nëse a - (b + m) = d - mzbritësi zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet i a - (b - m) = d + mnjëjtë, atëherë ndryshimi do të zmadhohet për atë numër të njëjtë. Ndryshimi nuk do të ndryshojë nëse i zbritshmi dhe zbritësi zmad- (a + m) - (b + m) = dhohen apo zvogëlohen për një numër të njëjtë. (a - m) - (b - m) = d7 Si do të ndryshojë ndryshimi, nëse i zbritshmi zmadhohet për 10, ndërsa zbritësi zvogëlohet për 10. Duhet të dish! Si ndryshon ndryshimi i dy numrave: Si ndryshon shuma e dy numrave, nëse njëri Nëse i zbritshmi zmadhohet, gjegjësisht mbledhës: zvogëlohet për një numër të caktuar; Nëse zbritësi zvogëlohet, gjegjësisht zmad- Zmadhohet për një numër të caktuar; hohet për një numër të caktuar; Zvogëlohet për një numër të caktuar; Nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi zmadho- Zmadhohet për një numër të caktuar, hen gjegjësisht zvogëlohen për një numër të ndërsa mbledhësi tjetër zvogëlohet për caktuar; atë numër të njëjtë?
  • Testohu! 33 Shuma e dy numrave është 3 540. Sa do të jetë shuma nëse njëri prej mbledhësve zvogëlohet për 140? Ndryshimi i dy numrave është 270. Sa do të jetë ndryshimi a) Nëse i zbritshmi zvogëlohet për 27? b) nëse zbritësi zmadhohet për 27? Njehso 460-120. Cakto x nga barazimi: (460 + x) - (120 + 58) = 340. Detyra1. Për sa do të ndryshojë shuma nëse njëri 5. Nëse a - b = 100, njehso: mbledhës zmadhohet për 234? a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30);2. Nëse 1 230 + 670 = 1 900, atëherë sa është c) (a - 10) - (b + 10); (1 230 - 350) + 670? d) (a + 5) - (b - 5);3. Është dhënë ndryshimi 6 543 - 2 732 = 3 811. Për cilën vlerë të x-it është e saktë barazia Një mëngjes Merita ka marrë një shumë të 6. caktuar të hollave nga babai i saj dhe një 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13. shumë të caktuar të hollave nga nëna e saj. Nga të hollat e nënës ajo ka shpenzuar4. Nëse zbritësi zmadhohet për 25, ç’duhet të 100 denarë. Në mbrëmje babai i ka dhënë bëhet me të zbritshmin ashtu që ndryshi- edhe 200 denarë dhe ajo ka konstatuar se mi të mos ndryshojë? ka 700 denarë . Sa denarë gjithsej në mëngjes i kanë dhënë nëna dhe babai i saj? Problem Mendo dhe përpiqu të njehsosh gojarisht. Sa është ndryshimi mes shumës së njëqind numrave të parë çift dhe shumës së njëqind numrave të parë tek?
  • 34 13 SHUMËZIMI Kujtohu!Njehso: A 1 Një automobil për 100 kilometra të kaluara 35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 = harxhon 7 litra benzinë. 1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 = 145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Sa litra benzinë do të harxhoji automobili nëse kalon 400 kilometra rrugë?2 Agoni ka udhëtuar 5 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 9 kilometra. Arlindi ka udhëtuar 6 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 8 kilometra. Sa kilometra më shumë ka kaluar Arlindi prej Agonit? Përkujtohu dhe vëre vetitë e shumëzimit në bashkësinë N0.Nëse ndërrohen vendet e shumëzuesve prodhimi nukndryshon. Vetia e ndërrimit e shumëzimit. 4 ⋅ 6 = 24 ose 6 ⋅ 4 = 24 a⋅b=b⋅a shumëzues prodhim shumëzues prodhimTë tre shumëzues mund të grupohen në 2 mënyra. Prodhiminuk ndryshon. Vetia e shoqërimit e shumëzimit. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ose 2 ⋅ (5 ⋅ 3) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Prandaj, kllapat mundet të shlyhen: 10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15 a⋅ b⋅ c. 30 = 30Nëse njëri prej shumëzuesve është një, atëherë prodhimi është ibarabartë me shumëzuesin tjetër. Shumëzimi me numrin 1 468 ⋅ 1 = 468 a⋅1= aNëse njëri prej shumëzuesve është zero, atëherë prodhimi ështëi barabartë me zero. Shumëzimi me 0 0 ⋅ 235 = 0 0⋅a= 0
  • Kur zbatohen vetitë, shumëzimi është më i3 Njehso: 35 lehtë! 2 ⋅ (50 ⋅ 9) = Shembul (500 ⋅ 7) ⋅ 2 = 50 ⋅ (4 ⋅ 8) = (7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 7004 Njehso: 40 + (130 ⋅ 10) = 96 − 2 ⋅ (30 − 18) = (280 + 32) ⋅ 8 = Pikat shkojnë Por, së pari në5 Njehso: kllapa para vizave 40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) = Si janë vlerat e shprehjeve numerike? Provo, a është e saktë? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Si formohen shprehjet që i krahason? Vëre se: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c. Me këto barazi është shprehur: vetia e shpërndarjes (distributive) e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. vetia e shpërndarjes e shumëzimit në lidhje me zbritjen.6 Njehso prodhimin 324 ⋅ 48, duke i rrumbullakuar shumëzuesit në dhjetëshe. Për sa dallohet vlera e përafërt e fituar nga ajo e saktë? 320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; prodhimi është për 448 më shumë se vlera e saktë.B 7 Arditi ka udhëtuar 4 javë, nga 4 ditë në javë, nga 4 kilometra në ditë. Sa kilometra ka kaluar Arditi? Vëre! Prodhimi 4 ⋅ 4 ⋅ 4 shkurtimisht shënohet 43, kurse lexohet 4 në të tretën. Shënimi 43 quhet fuqi me bazë 4 dhe tregues të fuqisë 3.
  • TREGUESI I Të mbaj mend: Prodhimi i 36 FUQISË shumëzuesve të barabartë shkur- timisht quhet fuqi FUQI 3 Shkurtimisht shkruaje shumëzimin dhe prodhimin. 4 BAZA Shumëzimi Shënimi i shkurtër Vlera Ç’tregon baza e fuqisë? 4⋅4⋅4 43 64 Ç’tregon treguesi i fuqisë?3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 Shkruaje 108 në formë të shumëzimit. 6⋅6 Cakto vlerën e 14. 8⋅8⋅8⋅8 Me marrëveshje: 51 = 5; a1 = a. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh prodhimin e dy ose më Iliri dhe Jetoni kanë blerë 8 pako, te të cilat ka shumë numrave; pasur nga 8 kuti me nga 8 sheqerka në çdo kuti. Ti zbatosh vetitë e shumëzimit; Sa kuti kanë blerë Iliri dhe Jetoni së bashku? Ta vlerësosh prodhimin e shumëzimit të Nga sa kuti ka pasur çdonjëri prej tyre? dy numrave Sa bonbone ka pasur Jetoni? të caktosh vlerën e fuqisë. Shkruaje numrin e bonboneve të Ilirit në formë të fuqisë. Detyra 3. Rrezja e Tokës është 6 370 kilometra. Njehso: Largesa e Tokës deri të Hëna është rreth 601. herë më e madhe se rrezja. Cakto 186 ⋅ 35 = largesën nga Toka deri të Hëna. (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 4. Vlerëso prodhimin 127×268 duke rrumbul- 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = lakuar në 73 = a)qindëshe; b) dhjetëshe Cakto ndryshimin e prodhimit të saktë dhe 42 + 4 + 34 - 25 = të vlerësuar.2. Në një shumë, numri 245 paraqitet si 5. Cilat shifra duhet ti shkru- 439 ⋅ ∗7 mbledhës 48 herë. Njehso atë shumë. ash në vend të *, që 3∗73 shumëzimi të jetë saktë- sisht i njehsuar? + ∗756 2∗633
  • 14 PJESËTIMI 37 Kujtohu! Njehso: Nxënësit kanë mbledh 1 300 14 : 7 = 22 : 2 = 396 : 3 = A 1 denarë që të blejnë topa. Çdo top kushton nga 325 denarë. 20 : 10 = 88 : 22 = 1 200 : 60 = Sa topa kanë blerë? Kryeje provën e rezultatit të fituar 1 300 : 325 =2 Gjithsej 84 nxënës janë paraqitur në turnirin e shkollës i pjesëtueshmi pjesëtuesi herësi në volejboll. Për trajner të ekipeve janë paraqitur 6 arsimtar. Nëse çdo ekip përbëhet prej 12 nxënësve, numri i arsimtarëve për trajner a është i mjaftueshëm? Përkujtohu dhe vëre vetitë e pjesëtimit në bashkësinë N0.Nëse pjesëtuesi është 1, atëherë herësi është i barabartë me të Pjesëtimi me numrin 1pjesëtueshmin. a:1=a 23 765 : 1 = 23 765Nëse i pjesëtueshmi është i barabartë me pjesëtuesin, atëherëherësi është 1 Pjesëtimi i numrit me vetveten. a : a = 1, a ≠ 0 762 : 762 = 1Nëse i pjesëtueshmi është 0, atëherë herësi është i barabartë me 0. Pjesëtimi i numrit 0. 0 : a = 0, a ≠ 0 0 : 16 = 0 Numri 0 nuk mundet të jetë pjesëtues. 2:0 nuk ka kuptim!3 Njehso: (28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 = (40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 = Çdo herë jam Pikat shkojnë 108 : 18 + 3 485 : 85 = unë i pari para vizave Njehso të pjesëtueshmin, nëse pjesëtuesi është 72, ndërsa herësi është 102. Me cilin numër duhet të pjesëtohet numri 18 712 që të fitohet numri 1? 76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 = a n
  • 38 B 4 Iliri, Blerta dhe Arta mbledhin pulla postale. Ato kanë 71 pulla dhe duan ti nda- jnë një lloj. Nga sa pulla ka marrë çdonjëri? Sa pulla ka ngelur që nuk janë ndarë? Vëre se 71 = 23 ⋅ 3 + 2. Nëse te pjesëtimi a : b, numri q është Te pjesëtimi 71 : 3 numri 23 është herës, kurse r r është mbetje, atëherë: herës, kurse numri 2 mbetje. a=q⋅b+r5 Nëse a = 77 dhe b = 5, cakto herësin a : b dhe mbetjen r. Shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q + r.6 Cakto herësin q dhe mbetjen r gjatë pjesëtimit a : b dhe shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q + r. 16 : 3; 50 : 15; 125 : 11. Mendohu dhe përgjigju! Te pjesëtimi te i cili pjesëtuesi është 8, mbetja mund të jetë: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pse mbetje nuk mund të jetë numri 8? Duhet të dish! Testohu! Të caktosh herës të dy numrave; Njehso herësin: 1 584 : 9 = 17 472 : 84 = Ta paraqesësh të pjesëtueshmin me Njehso: 1 510 : 125 = ndihmën e herësit, pjesëtuesit dhe Të pjesëtueshmin paraqite me ndihmën e herësit, mbetjes. pjesëtuesit dhe mbetjes. Detyra :3 :6 :7 :2 18 421. Pjesëto me numrin e parë, kurse pastaj rezultatin e fituar pjesëtoje me numrin e 54 84 dytë. 108 98
  • 2. Cili numër duhet të shkruhet te katrori që të 5. Një tufë dallëndyshe gjatë 39 jetë i saktë pjesëtimi? shpërnguljes kanë fluturuar rreth 10 000 kilometra. Shpejtësinë më të madhe që e ka arrit :9 : tufa ka qenë 40 kilometra në orë. 72 63 9 : Sa orë më së paku ka fluturuar tufa e dal- : 19 9 600 50 lëndysheve. : 19 : 4 169 13 Një kërmill me shpejtësinë e tij më të madhe ka kaluar 12 metro për 4 orë. Sa centimetra ka kaluar kërmilli për 1 min- Se se}avam: utë? :5 : 4 10 2 = 10 : 2 ⋅53. Shkruaj shprehje dhe njehso vlerën e saj. 6. Cilat shifra duhet ti shënosh në vend të *, që barazimi të jetë i njehsuar saktësisht. Njehso shumën e numrit 85 dhe prod- himin e numrave 4 dhe 15. 1∗55 : ∗5 = 3∗ Herësit të numrave 210 dhe 30 shtoja - 13∗ numrin 700. ∗∗∗ Cili numër është ndryshimi ndërmjet - ∗∗∗ prodhimit të numrave 120 dhe 6 dhe 0 herësit të tyre? 7. Dy nxënës kanë pjesëtuar numrin e njëjtë: i pari me 16, ndërsa i dyti me 19. I pari ka fitu- ar herësin 22 dhe mbetjen 9. Cilin herës ka4. Në katror cakto numër që barazimi të jetë i fituar nxënësi i dytë? saktë: a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + ; b) 2 100 = 261 ⋅ + 12. 8. Shuma e dy numrave është 660. Nëse numrit më të madh i fshihet një zero nga e djathta, atëherë ato janë të barabartë. Cilët janë ato numra?
  • 40 15 VARËSIA E PRODHIMIT DHE HERËSIT NGA NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE Kujtohu! Njehso prodhimin 15 • 6. Pastaj, A 1 zmadhoje shumëzuesin e parë: Sipas cilës veti është e saktë barazia: a) 2 herë b) 3 herë c) 7 herë dhe a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10; provo sa herë është zmadhuar prod- b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)? himi. Çfarë vëren? Është dhënë: 80 ⋅ 5 = 400. Shkruaj numër në katrorë ashtu që barazia të jetë e saktë. Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen në vijim. 15 ⋅ 6 = 90; a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ; a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2. c) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) = ; d) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 = . Prodhimi i dhënë është zmadhuar 2 herë. 96 : 24 = 4 I PJESËTUESHMI PJESËTUESI HERËSI KOMPONENTI Ke vërejtur se prodhimi i dhënë është zmad- huar Pjesëtimi a : b ka kuptim për b ≠ 0. b) 3 herë c) 7 herë.2 Le të jetë a ⋅ b = 50. Njehso: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).3 Njehso prodhimin 40 • 9. Pastaj, shumëzuesin e parë zvogëloje për: a) 2 herë; b) 4 herë c) 5 herë dhe krahaso prodhimin e fituar me atë të dhënë. %ka vëren? Njëri shumëzues është Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 40 ⋅ 9 = 360; zvogëluar 2 herë dhe prodhimi i dhënë është zvogëluar 2 herë. a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2. Prodhimi është zvogëluar: b) 4 herë c) 5 herë.4 Nëse a ⋅ b = 120, njehso sa është: a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).5 Është dhënë 15 • 16 = 240. Njehso prodhimet: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5), e pastaj krahasoje me prodhimin e dhënë. Vëre se njëri shumëzues është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht 5 herë, ndërsa shumëzuesi i dytë është zvogëluar 2 herë, gjegjësisht 5 herë. Prodhimi nuk ka ndryshuar.
  • Në përgjithësi për prodhimin a • b = p 41 Nëse njëri shumëzues zmadhohet numër të caktuar herë, ndërsa shumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të (a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ mzmadhohet aq herë. Nëse njëri shumëzues zvogëlohet numër të caktuar herë, ndërsashumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të zvogëlo- (a : m) ⋅ b = p : mhet aq herë. Prodhimi nuk ndryshon kur njëri shumëzues zvogëlohet numër tëcaktuar herë, ndërsa shumëzuesi i dytë zmadhohet për po aq herë. (a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p E ke të njohur se 72 : 12 = 6.B 6 Njehso: a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 ⋅ 3) = ; 72 : (12 : 3) = ; c) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) = . Vëre sa herë është zmadhuar, gjegjësisht zvogëluar: i pjesëtueshmi nën a); pjesëtuesi nën b)’ i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi nën c). Krahaso herësit e fituar me atë të dhënë. Çfarë vëren? I pjesëtueshmi është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht zvogëluar 2 herë Krahaso zgjidhjen tënde me atë vijuese. dhe herësi është zmadhuar 2 herë, a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2; gjegjësisht është zvogëluar 2 herë. (72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2. Vëre nën b) se pjesëtuesi është rritur (zvogëluar) 3 herë, ndërsa herësi është zvogëluar (zmadhuar) 3 herë. Herësi nën c) nuk u ndryshua.7 E ke të njohur se a a : b = 30. Njehso: a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3); c) (a : 5) : (b : 5). Në përgjithësi për herësin a:b=q Nëse i pjesëtueshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër të (a ⋅ m) : b = q ⋅ m caktuar herë, atëherë herësi do të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlo-het) po aq herë. (a : m) : b = q : m Nëse pjesëtuesi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër të caktu- a : (b ⋅ m) = q : mar herë, ndërsa i pjesëtueshmi mbetet i njëjtë, atëherë herësi do tëzvogëlohet (gjegjësisht zvogëlohet) po aq herë. a : (b : m) = q ⋅ m Herësi nuk ndryshon nëse edhe i pjesëtueshmi edhe pjesëtuesi (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q njëkohësisht zmadhohen (gjegjësisht zvogëlohen) numër të caktuarherë. (a : m) : (b : m) = q
  • 42 Duhet të dish! Testohu! Si ndryshon prodhimi i dy numrave në varësi Cakto të panjohurat p dhe m, nëse nga ndryshimi i shumëzuesve; a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9; b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6. Si ndryshon herësi i dy numrave në varësi nga Di se 600:30=20. Njehso: ndryshimi i të pjesëtueshmit gjegjësisht a) (600 • 7) : 30; b) 600 : (30 • 4); pjesëtuesit. c) 600 : (30 : 5); d) (600 : 10) : (30 : 10). Detyra1. Është dhënë prodhimi a ⋅ b = 60. 4. Në një fabrikë të çokollatës, dy ekipe kanë Njehso: paketuar çokollatat me nga 100 g në kuti të a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7); njëjta. Ekipi i dytë gjithsej ka paketuar 1 680 c) (a : 4) ⋅ b; d) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6). çokollata, e kjo është 3 herë më pak kutia se sa ekipi i parë. Sa çokollata ka paketuar ekipi2. Është dhënë herësi a : b = 90. i parë? Njehso: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6); c) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) d) (a : 12) : (b : 12). 5. Njehso herësin 7 680 : 240, por paraprakisht sille në pjesëtim me pjesëtues njëshifror,3. Është dhënë a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Njehso: duke e shfrytëzuar vetinë për mos a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); c) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8). ndryshimin e herësit. Problem interesant! Një grua ka sjellë në treg një shportë me vezë. Blerësit të parë ia ka shitur gjysmën e vezëve dhe gjysmë veze, të dytit gjys- mën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të tretit gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të katërtit gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze. Kur blerësi i pestë ka blerë gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmën e vezës, është kon- statuar se të gjithë blerësit kanë blerë vezë të plota dhe gruaja i ka shitur të gjithë vezët. Sa vezë ka sjellë gruaja në treg?
  • 16 SHPREHJA NUMERIKE. BARAZIMET 43 Kujtohu! Agoni kishte 120 denarë. Nëna i ka dhënë 300 A 1 denarë që ti ndajnë me motrën në mënyrë të Njehso: barabartë. Në librari ka blerë 4 fletore nga 35 a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3; denarë dhe kompas për 50 denarë. Sa denarë i kanë mbetur Agonit? b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23. Shuma e dy numrave është 200, Përpilo shprehje me të dhëna dhe operacione ndërsa njëri mbledhës është 120. përkatëse. Sa është mbledhësi i dytë? Njehso shprehjen e fituar. Prodhimi i dy numrave është 128, ndërsa njëri shumëzues është 64. Sa është shumëzuesi i dytë? Krahaso zgjidhjen +x ⋅ x tënde me atë të dhënë 120 200 64 128 120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 = x x = 270 - 190 = 80. − 120 : 64 120 + x = 200 64 ⋅ x = 128 Shprehjen të cilën e përpilove quhet shprehje numerike x = 200 - 120 x = 128 : 64 x = 80 x=2 Rezultati pas kryerjes së të gjitha operacioneve në të quhet vlera e shprehjes numerike. Vëre dhe mbaj në mend Shprehje janë shënimet vijuese: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25). Nuk janë shprehje: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).2 Cakto vlerën e shprehjes numerike: a) 85 + 15 -30; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; c) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7. Sipas cilës radhitje do ti kryesh operacionet? Së pari do ti kryej operacionet shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhjen dhe zbritjen; por para së gjithash kryen operacionet në kllapat. Mbledhja dhe zbritja quhen operacione të rendit të parë, ndërsa shumëzimi dhe pjesëtimi opera- cione të rendit të dytë.
  • 44 Në përgjithësi për kryerjen e operacioneve Operacionet e rendit të njëjtë kryhen sipas radhitjes siç janë shënuar në shprehjen numerike. Së pari kryhen operacionet e rendit të dytë, e pastaj operacionet e rendit të parë. Nëse në shprehjen numerike ka kllapa, atëherë përparësi ka kryerja e operacioneve në kllapa.3 Njehso vlerën e shprehjes numerike: a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; c) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.B 4 Beni ka menduar një numër natyror të tillë që me mbledhjen e numrit më të madh treshifror e jep numrin 1 234. Cili është ai numër? Vëreje ecurinë dhe vepro sipas kërkesave. Së pari, numrin e kërkuar shënoje me ndonjë shkronjë, për shem- bull me shkronjën x. x + 999 = 1 234 Numrit x shtoja numrin më të madh treshifror –ai është 999; kështu do ta fitosh shumën x + 999. Sipas kushteve të detyrës, shuma x + 999 është e barabartë me 1 234, prandaj x + 999 = 1 234. Si do ta përcaktosh mbledhësin e panjohur të kësaj barazie? Mbledhësin x do ta caktoj nëse nga shumë 1 234 e zbresim mbledhësin e dytë 999. D.m.th., x = 1 234 - 999; x = 235. Barazia x+999=1 234 me të cilën e përcaktove numrin e panjohur x quhet barazim. Numri i menduar x quhet e panjohur. Përcaktimi i numrin të panjohur quhet zgjidhja e barazimit5 Zgjidhe barazimin; a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.
  • Është dhënë barazimi: a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6 45 Përgjigju pyetjeve dhe zgjidhe barazimin e dhënë. a) Ä Çfarë është numri i panjohur x, e çfarë janë numrat e njohur 1 270 dhe 2 380? Si përcaktohet i zbritshmi i panjohur nëse është dhënë zbritësi dhe ndryshimi? Të zbritshmin x do ta përcaktoj ashtu që ndryshimit 2 380 do ti shtoj zbritësin 1 270. b) Si do ta përcaktosh zbritësin e panjohur x në barazim nëse është dhënë i zbritshmi dhe ndryshimi? Zbritësin x do ta përcaktoj ashtu që nga i zbritshmi 8 226 do ta zbres ndryshimin 1 149.7 Zgjidhe barazimin: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37. Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet: mbledhësi, i zbritshmi ose zbritësi i panjohur Mbledhësi i panjohur, gjatë shumës dhe mbledhësit tjetër të njohur, x + b = c; x=c-bpërcaktohet ashtu që nga shuma zbritet mbledhësi i njohur. (b dhe c janë numra të njohur) I zbritshmi i panjohur, gjatë zbritësit dhe ndryshimit të njohur, fitohet x - b = d; x = d + b ashtu që ndryshimit do ti shtohet zbritësi. (b dhe d janë numra të njohur) Zbritësi i panjohur, gjatë të zbritshmit dhe ndryshimit të njohur, fito- a - x = d; x=a-dhet ashtu që nga i zbritshmi zbritet ndryshimi. (a dhe d janë numra të njohur)8 Në një bodrum vëre nëpër kuti duhet të paketohen 1 392 shishe, e në secilën kuti duhet të ketë nga 16 shishe. Sa kuti janë nevojitur? Nëse me k e shënon numrin e kutive të nevojshme, atëherë në to do të ketë 16 ⋅ k shishe, prandaj 16 ⋅ k = 1 392. Numri 1 392 është prodhim i shumëzuesve 16 dhe k. Si do ta përcaktosh shumëzuesin k? Shumëzuesin k do ta përcaktoj nëse prodhimin 1 392 do ta pjesëtoj me shumëzuesin 16. k = 1 392 : 16; k = 87. Shishet ishin të paketuar në 87 kutia.9 Zgjidhe barazimin: a) 17 ⋅ y = 595; b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.
  • 46 10 Si mund “ta lexosh” barazimin x : 25 = 47, gjegjësisht çfarë janë numra të njohur 25 dhe 47, e çfarë është e panjohura x? Pastaj sqaro përfundimin se x = 47 ⋅ 25. Cili numër është zgjidhje? Provo pohimin tënd.11 “Lexoje” barazimin 1 120 : x = 35 dhe sqaroje përfundimin x = 1 120 : 35.12 Zgjidhe barazimin a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; c) 1 080 : x = 24; d) 50 : (x + 2) = 10. Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet shumëzuesi, i pjesëtueshmi ose pjesëtuesi. Shumëzuesi i panjohur, gjatë prodhimit dhe shumëzuesit tjetër tënjohur, përcaktohet ashtu që prodhimi do të pjesëtohet me a ⋅ x = p; x = p : ashumëzuesin e njohur. (a dhe p janë të njohur) I pjesëtueshmi i panjohur, gjatë herësit dhe pjesëtuesit të njohur, x : b = q; x = q ⋅ bpërcaktohet ashtu që herësi do të shumëzohet me pjesëtuesin. (b dhe q janë të njohur) Pjesëtuesi i panjohur, gjatë herësit dhe të pjesëtueshmit të njohur, a : x = q; x = a : qpërcaktohet ashtu që i pjesëtueshmi shumëzohet me herësin. (a dhe q janë numra të njohur) Duhet të dish! Kontrollohu! Të përcaktosh vlerën e shprehjes së dhënë Përcakto vlerën e shprehjes numerike: numerike; 17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3). cilat operacione në shprehjen numerike kanë Zgjidhi barazimet: përparësi gjatë kryerjes së tyre; a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63; të zgjidhësh barazime sipas vetive të opera- c) x : 15 = 10; d) 645 : x = 15; cioneve aritmetikore. e) (x + 2) ⋅ 35 = 105. Detyra e tyre 3. Në një ndërmarrje kanë mbushur 1 360 arka me mollë, prej të cilave 420 të llojit delish-1. Përcakto vlerën e shprehjes numerike: ese, 635 ajdaret, ndërsa arka të tjera të llojit a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16); mollë tetove. Sa arkë ishin me mollë tetove? b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13). 4. Njomza ka 11 vjet. Para 3 viteve nëna e saj Zgjidhe barazimin: kishte 4 herë më shumë vite se Njomza. Sa2. a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120; vjet ka tani nëna e Njomzës? c) 17 ⋅ x = 289; d) x : 30 = 40; Eljesa dhe Beni kanë numër të njëjtë arrash. 5. e) 483 : x = 23; f ) 50 : (x + 2) = 10. Dihet se bashkërisht do të kishin 140 arrë nëse Eljesa do të kishte 2 herë më shumë, ndërsa Beni 5 herë më shumë. Nga sa arra kanë Eljesa dhe Beni?
  • R A P U N A 47 M E T Ë D D H Ë N A 17 MESI ARITMETIK1 Arlindi është pronar i video klubit dhe huazon videokaseta. Të dhënat për videokasetat e huazuara i ka shënuar në tabelë Dita Numri i kasetave Cilën ditë Arlindi ka huazuar më shumë? E hënë 12 Sa kaseta më tepër janë huazuar ditën e premte se sa ditën e martë? E martë 9 Sa kaseta gjithsej janë prodhuar? E mërkurë 15 Arlindit i ka interesuar sa kaseta ka huazuar E enjte 6 mesatarisht në ditë, e për atë është e nevo- E premte 23 jshme të njehsohet mesatarja aritmetike e numrave në tabelë. Vëre! 12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65 Gjithsej kaseta të Gjatë pesë ditë pune të javës huazuara Arlindi mesatarisht ka huazuar nga 65 : 5 = 13 Kaseta të huazuara mesatarisht 13 videokaseta në ditë. çdo ditë Numri i ditëve Numri 13 është mesatare aritmetike për numrat; 12, 9, 15, 6 dhe 23. Të mbaj mend! Mesataren aritmetike të dy apo më shumë numrave, e cila është e barabartë me herësi i shumës së atyre numrave dhe numrit të2 Njehso mesataren aritmetike të numrave: 24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.3 Në testet e matematikës Agoni i ka arritur këto rezultate: në testin 1 ka fituar 89 pikë, në testin 2 ka fituar 91 pikë, në testin 3 ka fituar 100 pikë dhe në testin 4 ka fituar 80 pikë. Paraqiti të dhënat në tabelë. Sa pikë mesatarisht ka arritur Agoni në testet e matematikës?
  • 48 18 PLOTË PJESËTUESHMËRIA E NUMRAVE NATYRORË. PLOTË PJESËTUESHMËRIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT Kujtohu! A 1 Tetëmbëdhjetë nxënës të klasës VI-të janë për- gatitë për festën e patronatin të shkollës. Ato Njehso: duhet të paraqiten ashtu që të radhiten në rreshta 24 : 6 = me numër të njëjtë të nxënësve. 139 : 2 = Në sa mënyra të ndryshme mundet të radhiten nxënësit? 265 : 5 = 2 785 : 8 = Plotësoje tabelën me të dhëna për radhitjen e nxënësve. Në cilin pjesëtim mbetja Në sa mënyra mundet të fitohet numri 18 si prodhim i dy është 0? numrave? Me cilat numra mundet të pjesëtohet numri 18 ashtu që gjatë pjesëtimit mbetja të jetë 0 (pa mbetje)? Numri i Numri i nxënësve Gjithsej Të mbaj mend: Numri 18 pjesëtohet rreshtave në çdo rresht nxënës me numrat 1, 2, 3, 6, 9 dhe 18 pa 1 18 1 ⋅ 18 mbetje. 2 9 2⋅9 3 3⋅6 Thuhet: Numri 18 plotpjesëtohet me numrat 1, 2, 3, 3 6, 9 dhe 18. Ato numra quhen pjesëtues të numri 18. 9 Shkruhet: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 1 ⋅ 182 Me pjesëtim provo: UNË JAM PJESËTUESI Numri 6 a është pjesëtues i numrit 24? Numri 31 a plotpjesëtohet me numrin 5? Numri 42 a plotpjesëtohet me numrin 6?3 Cakto bashkësinë D14 e të gjitha pjesëtuesve të numrit 14. Vëre se për ti caktuar të gjithë pjesëtuesit e numrit 14 duhet hap pas hapit të pjesëtosh me 1, 2, 3, …, 7.4 Numri 4 është pjesëtues i numrit 8 (4 ⋅ 2 = 8 ose 8 : 4 = 2 dhe mbetja 0). Shkruaj 5 numra që plotpjesëtohen me 4.
  • Të gjithë numrat që plotpjesëtohen me numrin 4 quhen shumëfisha të numrit 4. 49 Bashkësia e të gjithë shumëfishëve të numrit 4 e shënojmë me S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}. Numri natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, ose a është i plotpjesëtueshëm me b, nëse mbetja gjatë pjesëtimit të a me b është 0. 10 : 5 = 2 10 = 5 ⋅ 2 Pjesëtues të 10 Shkruajmë: 5 | 10. Lexojmë: 5 është pjesëtues i 10. Numri natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, nëse a = b ⋅ k për çdo numër natyror k. Shkruajmë: b | a. Lexojmë: b është pjesëtues i a. Numri natyror a është shumëfish i numrit natyror b, nëse b është pjesëtues i numrit a. 35 është shumëfish i 5, pasi 5 | 35 Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1 dhe me vetveten. 10 : 1 = 10 dhe 10 : 10 = 1 a : 1 = a dhe a : a = 1B 5 Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 7 numrat: 28, 42 dhe 28 + 42; 14, 18 dhe 14 + 18. Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 3 numrat: 9, 24 dhe 24 - 9; 15, 22 dhe 22 - 15. Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 4 numrat: 12, 15 dhe 12 ⋅ 15; 10, 15 dhe 15 ⋅ 10.Vëreva në detyrë! Shuma plotpjesëtohet me numrin 7 nëse të dy mbledhësit plotpjesëtohen me numrin 7. Ndryshimi plotpjesëtohet me numrin 3 nëse i zbritshmi dhe zbritësi plotpjesëtohen me numrin 3. Prodhimi plotpjesëtohet me numrin 4 nëse njëri prej shumëzuesve plotpjesëtohet me numrin 4. Në përgjithësi Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m dhe numri b plotpjesë- Plotë pjesëtueshmëria e shumëstohet me numrin m, atëherë shuma (a + b) plotpjesëtohet me numrin m. m | a dhe m | b 5 | 15 dhe 5 | 35 5 | (15 + 35) m | (a + b) Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m edhe numri b plotpjesëto- Plotë pjesëtueshmëria e ndryshimithet me numrin m, atëherë ndryshimi (a - b) plotpjesëtohet me numrin m. m | a dhe m | b 3 | 21 dhe 3 | 9 3 | (21 - 9) m | (a - b) Nëse numri m plotpjesëtohet të paktën me njërin prej numrave a Plotë pjesëtueshmëria e prodhimitose b, atëherë m plotpjesëtohet me numrin (a ⋅ b). m | a ili m | b 2 | 8 dhe 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15) m | (a ⋅ b)
  • Prej numrave 15, 18, 25 dhe 28 formo dy numra ashtu që: 50 6 shuma të jetë e plotpjesëtueshme me 5; ndryshim të jetë i plotpjesëtueshëm me 3; prodhim të jetë i plotpjesëtueshëm me 7, por të mos jetë i plotpjesëtueshëm me 5.7 Provo nëse shuma 12+8, gjegjësisht ndryshimi 24-9, janë të plotpjesëtueshëm me 5. Vëre se asnjëri nga mbledhësit, gjegjësisht edhe i zbritshmi edhe zbritësi nuk janë të plotp- jesëtueshëm me 5, ndërsa shuma, gjegjësisht ndryshimi janë të plotpjesëtueshëm me 5. Duhet të dish! Testohu! Kur një numër natyror plotpjesëtohet me Janë dhënë numrat: 5, 8, 30 dhe 56. Cili prej numër tjetër natyror; këtyre numrave plotpjesëtohet me 6? të caktosh pjesëtues dhe shumëfish të Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrit 30. numri të dhënë natyror; Shkruaj tre shumëfisha të numrit 5. me shembull ta tregosh plotë pjesëtuesh- Numri 5 a është pjesëtues i numrit 58? mërinë e shumës, ndryshimit dhe prodhim- Provo pa njehsuar a është e saktë: it të numrave natyrorë. 4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30); 5 | (30 - 5); 5 | (30 ⋅ 6). Detyra1. Cilët prej numrave 1, 2, 3, 5 ose 7 janë 3. Pa e njehsuar shumën, gjegjësisht pjesëtuesit e numrit 70? ndryshimin, cakto a është e plotp- jesëtueshme me 5. Cakto pjesëtuesit e numrit 64. a) 40 + 25; b) 27 + 20; Provo a vlen 4 | 12; 3 | 36; c) 50 - 15; d) 35 - 29. 10 | 1 000. Shkruaj 7 shumëfisha të numrit 3. Sa 4. Pa i njehsuar prodhimet, cakto cili prej tyre shumëfisha ka numri 3? është i plotpjesëtueshëm me 3, e cili me 7. a) 9 ⋅ 5; b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;2. Shkruaj nga një shembull që ta tregosh plotë c) 5 ⋅ 12; d) 8 ⋅ 21 ⋅ 5. pjesëtueshmërinë e: shumës së 4 numrave natyrorë me numër; ndryshimit të 2 numrave natyrorë me numër; 5. Le të jetë A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. prodhimit të 3 numrave natyrorë me Shkruaje bashkësinëB = {x | x ∈ A dhe 4 | x} numër; në mënyrë tabelare.
  • 19 INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 2 DHE ME 5 51 Kujtohu! Që të konstatosh se një numër plotp- A jesëtohet me numër tjetër, mjafton të Një numër natyror plotpjesëtohet me caktosh herësin e tyre. numër tjetër natyror nëse mbetja gjatë Plotë pjesëtueshmëria mundet të cak- pjesëtimit është 0. tohet edhe pa e kryer pjesëtimin. Atë e bëjmë me ndihmën e kritereve ose Cili prej numrave: 37, 64 dhe 310 plotpjesë- të ashtuquajturat indice të plotë tohet me 2. pjesëtueshmëri. Cili prej numrave: 65, 800 dhe 273 plotp- jesëtohet me 5? 1 Provo nëse numrat :10, 70 dhe 270 plotp- jesëtohen me 2. Mund të vërej! Numri që mbaron me zero, Vëre rregullën mundet të shkruhet si prodhim në të cilin njëri prej shumëzuesve 10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10. është 10. Ai prodhim plotpjesëto- het me 2. 70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70. Çdo numër te i cili shifra e një- 290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290. sheve është 0 plotpjesëtohet me 2. Vëre rregullën2 Cilët prej numrave: 132, 132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, pasi që 2 | 130 dhe 2 | 2. 254 dhe 365 plotpjesëto 254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, pasi që 2 | 250 dhe 2 | 4. hen me 2? 365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, pasi që 2 | 360 dhe 2 | 5. Mundem të vërej! Një numër a plotpjesëto- het me 2 ose jo, varet prej shifrës së një- sheve të atij numri. Mbaj mend! Një numër plotpjesëtohet me 2, nëse shifrat e njësheve të atij numri janë 0, 2, 4, 6 ose 8. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 2.3 Cili prej numrave: 530, 738 dhe 1 336, 1 112 dhe 2 243 plotpjesëtohet me 2?
  • 52 Vere rregullën B 4 Provo nëse num- rat: 10, 70 dhe 10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 pasi që 5 | 2 dhe 5 | 5. 360 plotpjesëto- hen me 5. 70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 7. 360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 36. Mundem të vërej! Numri shifra e njësheve të të cilit është zero mundet të shkruhet si prodhim te i cili njëri prej shumëzuesve është 10. Ai numër plotpjesëtohet me 5. Çdo numër natyror ku shifra e njëshes është 0 plotpjesëtohet me 5. Vere rregullën5 Cilët prej numrave: 65, 65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, pasi që 5 | 60 dhe 5 | 5. 105 dhe 263 plotpjesëto- 105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, pasi që 5 | 100 dhe 5 | 5. hen me 5? 263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, pasi që 5 | 260 dhe 5 | 3. Mundem të vërej! Numri shifra Mbaj mend! e njësheve të të cilit është 5 plotpjesëtohet me 5. Një numër plotpjesëtohet me 5, nëse shifra e njësheve të atij numri është 0 ose 5. Ku pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 5.6 Cili prej numrave: 180, 243, 525, 420 dhe 1 275 plotpjesëtohet me 5? Duhet të dish! Testohu! Të provosh nëse ndonjë numër natyror plotp- Cili prej numrave: 13, 24, 15, 57, 155, 850 jesëtohet me 2, gjegjësisht me 5, pa e kryer dhe 1 000 pjesëtimin; plotpjesëtohet me 2; plotpjesëtohet me 5; ta zbatosh indicin për plotë pjesëtueshmërinë plotpjesëtohet me 2 dhe 5? me numrin 2, gjegjësisht me 5, në detyra. 4. Njomza ka pasur më shumë se 60 bonbone, Detyra kurse më pak se 70 bonbone. Ajo u ka ndarë pesë shoqeve të saja numër të njëjtë të bon-1. Pa e krye pjesëtimin provo plotë pjesëtuesh- boneve. mërinë me 2 për numrat: 28, 70, 96, 797, 2 Sa bonbone ka pasur Njomza! 001 dhe 25000.2. Tregoje indicin për plotë pjesëtueshmërinë me 5.3. Cili prej numrave: 102, 275, 400, 876 dhe 995 plotpjesëtohen me 5?
  • 20 INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 3 DHE ME 9 53 Kujtohu! A 1 Cili prej numrave: 72, 84, 297 dhe Cakto cili prej numrave: 9, 66, 171 dhe 373 plotpjesëtohet me 3? 231 plotpjesëtohen me 3. Cakto shumën e shifrave të çdo numri. Cili prej numrave: 18, 999, 1 062 dhe 11 000 plotpjesëtohen me 9? Konstato te cili numër shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 3. Konstato cilët numra plotpjesëtohen me 3 dhe te cilët numra shuma e2 Shkruaj tre numra shuma e shifrave të të cilit shifrave plotpjesëtohet me 3. Çka është e plotpjesëtueshme me 3. përfundon? Provo nëse numrat që i shkruar janë të plotpjesëtueshëm me 3. Mund të vërej! Nëse një numër plotp- Mbaj mend! jesëtohet me 3 atëherë edhe shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 3. Një numër plotpjesëtohet me 3, nëse shuma e shifrave me të cilat ai është shënuar është numër i plotp- jesëtueshëm me 3. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 3.3 Cili prej numrave: 111, 292, 1 112 dhe 1 236 është i plotpjesëtueshëm me 3?B 4 Cili prej numrave: 78, 117, 348, 486 dhe 1 567 plotpjesëtohet me numrin 9? Cakto shumën e shifrave të çdonjërit prej numrave.? Konstato te cili numër shuma e shifrave plotpjesëtohet me 9? Mundem të vërej! Kur një numër Mbaj mend! plotpjesëtohet me 9 atëherë edhe shuma e shifrave të tij plotpjesëto- Një numër plotpjesëtohet me 9, het me 9. nëse shuma e shifrave me të cilët është shkruar ai numër plotpjesëto- het me 9. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 9.5 Pa pjesëtuar cakto cili prej numrave: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 dhe 7 235 plotpjesëtohet: me 3; me 9; me 3 dhe me 9.
  • Mundem të vërej! Numrat: 459, Mbaj mend! 54 774 dhe 6 327 plotpjesëtohen me 3 dhe me 9. Çdo numër që plotpjesëtohet me 9 plotpjesëtohet edhe me 3. Duhet të dish! Testohu! Cili numër natyror plotpjesëtohet me 3; Cili prej numrave: 75, 94, 258 dhe 347 plotpjesë- Të caktosh nëse numri i dhënë plotpjesëtohet tohet me 3? me 9; Cila shifër duhet të qëndroj në vend të shenjës * çdo numër natyror që plotpjesëtohet me 9 te 5 6*3 që të fitohet numër i plotpjesëtueshëm plotpjesëtohet edhe me 3. me 9? Shkruaj një numër që plotpjesëtohet me 3 dhe Detyra me 9.1. Cili prej numrave 348, 512, 1 245 dhe 6 123 4. Yllin zëvendësoje me shifër ashtu që numri i plotpjesëtohet me 3? fituar të plotpjesëtohet me 9. 3∗8; 6 ∗74; 1 8∗3; 35∗12.2. Cili prej numrave 4 279, 9 126 dhe 540 plotp- jesëtohet me 9? 5. Cila shifër duhet të qëndroj në vend të yllësit * te numri 27 55* që numri të plotpjesëtohet3. Cila shifër duhet të shkruhet në vend të me 2 dhe me 3? shenjës *, që numri i fituar të plotpjesëtohet me 3? 1 3∗7; 6 53∗; 3 ∗25; 24 ∗62. Nëse dëshiron të dish më shumë! Pse një numër plotpjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 9? Vëre në këtë shembull: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6); Shprehja 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 plotpjesëtohet me 9 sipas rregullës për plotë pjesëtueshmërinë e prodhimit dhe shumës. Nga vlera e shprehjes 4 + 8 + 6 varet nëse numri 486 plotpjesëtohet me 9. 4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, pasi 9 | 18. Në mënyrë të ngjashme trego plotë pjesëtueshmërinë e numrit 123 me 3. Përpiqu të përfundosh!Merita ka hyrë në shitore për të blerë një akullore dhe tre çokollata. Ajo ka ditur se akullorja kushton60 denarë. Shitësi i ka thënë se duhet të pagojë 220 denarë. Ajo ka thënë se llogaria nuk është e saktë.Shitësi përsëri ka njehsuar dhe ka kërkuar falje. Si ka ditur Merita se llogaria nuk është e saktë, e nuk eka ditur çmimin e çokollatës?
  • 21 INDICI PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 4 55 A 1 Provo nëse numrat: 100, 500 dhe 1 300 Kujtohu! plotpjesëtohen me 4. Cili prej numrave: 96, 300, 2 718 dhe 3 008 plotpjesëtohet me 4? Vëre ecurinë 100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, pasi që 4 | (25 ⋅ 4). 500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, pasi që 4 | (100 ⋅ 5). 1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, pasi që 4 | (100 ⋅ 13). Mundem të vërej Numri te i cili shifra e njësheve dhe dhjetësheve janë zero mundet të shkruhet si prodhim te i cli njëri prej shumëzuesve është 100. Ai prodhim plotpjesëtohet me 4. Çdo numër natyror te i cili shifra e njësheve është 0 dhe shifra e dhjetësheve është 0 plotpjesëtohet me 4. Vëre ecurinë2 Cili prej numrave: 132, 916 dhe 283 plotpjesëtohet me 132 : 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, pasi që 4 | 100 dhe 4 | 32. 4? 916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, pasi që 4 | 900 dhe 4 | 16. 283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, pasi që 4 | 200 dhe 4 | 83. Mundem të vërej! Ndonjë numër a plotpjesëtohet me 4 ose jo, varet prej numrit dyshifror të formuar prej shifrës të njësheve dhe shifrës së dhjetësheve të atij numri. Mbaj mend! Numri i dhënë plotpjesëtohet me 4, nëse mbaresa e tij dyshifrore plotpjesëtohet me 4. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmëri me 4.
  • 56 3 Konstato cili prej numrave: 48, 108, 135, 1 240, 7 732 dhe 9 006 plotpjesëtohet me 4. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh nëse ndonjë numër natyror Shkruaje numrin 9 996 si shumë prej ku do të plotpjesëtohet me 4 pa e kryer pjesëtimin. konstatosh nëse plotpjesëtohet me 4. Shkruaj dy numra që plotpjesëtohen me 4. Detyra1. Me shifrat 1, 2, 3 dhe 4, pa përsëritjen e tyre, 3. Shkruaj tre numra natyrorë që plotpjesëto- shkruaji të gjitha numrat katërshifror që hen me 4 dhe me 5. plotpjesëtohen me 4.2. Cila shifër duhet të qëndroj te vendi i 4. Shkruaje numrin e dhjetëshes së dytë të shënuar me * që numri të plotpjesëtohet qindëshes së katërtë që plotpjesëtohet me me 4? 2, 3 dhe 4. 362∗; 4 71∗; 5 4∗2; 52∗0. Edhe kjo është matematikë! Në tavolinë gjinden 50 fasule. Dy lojtarë me radhë marrin nga një, ose nga dy, ose nga tre fasule. Fiton ai lojtar i cili i fundit do të merr. Sa fasule duhet të marrë lojtari i cili fillon i pari që të fitojë me siguri? Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i pari. Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i dyti nëse në tavolinë ka 20 fasule. Bëj një strategji fitimtare nëse në tavolinë ka çfarëdo numër të fasuleve dhe lojtarët marrin me radhë nga 1 deri 4 ose nga 1 deri 5 etj. Nëse nuk mund ta zgjidhi detyrën e vështirë, do të provoj me detyrë të ngjashme por më të lehtë. Do të filloj me 10 fasule, pastaj me 20 fasule etj.
  • 22 NUMRA TË THJESHTË DHE TË PËRBËRË. PARAQITJA E NUMRIT TË PËRBËRË SI PRODHIM 57 TË NUMRAVE TË THJESHTË Kujtohu! Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1. A 1 Shkruaj tre numra që kanë vetëm dy pjesëtues. Çdo numër natyror plotpjesëtohet me vetveten. Shkruaj tre numra që kanë më Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrave: 3, shumë se tre pjesëtues. 17 dhe 53. Caktoji të gjithë pjesëtueset e numrave: 6, 12 dhe 15. 2 Shihe tabelën.Numër Pjesëtues të numrit Cili numër ka vetëm një pjesëtues? 1 1 Cilët prej numrave të tabelës kanë vetëm dy pjesëtues? 2 1, 2 Cilët prej numrave të tabelës kanë më shumë se dy pjesëtues? 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 Mbaj mend! Numrat që kanë vetëm 2 pjesëtues quhen numra të thjeshtë. Numrat që kanë më shumë se dy pjesëtues quhenUnë jam Unë jam i numra të përbërë. E unë!?i përbërë thjeshtë. Numri 1 nuk është as numër i përbërë as numër i 4 1 7 thjeshtë. Numrat në tabelë: 2, 3 dhe 5 janë të thjeshtë. Numrat në tabelë: 4 dhe 6 janë të përbërë.3 Shkruaji në mënyrë tabelare bashkësitë: A = {x | x ∈ N dhe x < 20}; B = {x | x ∈ A dhe x është numër i thjesht}; C = {x | x ∈ A dhe x është numër i përbërë}.B 4 Cakto prodhimin e numrave të thjeshtë: 2, 3 dhe 7; 2, 3 dhe 5; 2, 2, 3 dhe 3.
  • 58 5 Paraqite si prodhim çdonjërin prej numrave: 42, 50 dhe 75. Krahaso zgjidhjen tënde me atë të Mundem të vërej! dhënë. Numrin e përbërë mundem ta 42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2 paraqes si prodhim të numrave të 50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52 thjesht 75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52 Mbaj mend! Çdo numër i përbërë natyror mundet të shkruhet si prodhim i numrave të thjeshtë, dmth. të zbërthehet në shumëzues të thjeshtë.6 Shkruaje numrin 36 si prodhim të numrave të thjeshtë.7 Zbërtheje numrin 120 si shumëzues të thjeshtë. Vëreje rregullën për zbërthimin e numrit në shumëzues të thjeshtë. 120 2 Së pari tërheqim vizë vertikale afër numrit 120. Vizën vertikale e paramen- 60 2 dojmë si shenjë për pjesëtim, kurse herësit i shkruajmë nën të pjesëtuesh- 30 2 min. 15 3 Pjesëtimin e fillojmë me pjesëtuesin më të vogël të thjesht të numrit të 5 5 dhënë dhe vazhdojmë me atë pjesëtues deri sa është e mundur (në rastin 1 konkret me 2). Rregullën e vazhdojmë me çdonjërin prej herësve deri sa nuk fitojmë herës 1. 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 Duke e shfrytëzuar rregullën e njëjtë zbërtheji në shumëzues të thjeshtë këto numra: 36, 140, 600 dhe 10 000. Vëre zbërthimin e numrit 1 164. 1 164 2 Herësi i fundit 97 nuk është i plotpjesëtueshëm as me 3 e as me 5. 582 2 Provojmë dhe pohojmë se nuk është i plotpjesëtueshëm as me numrin 291 3 e thjeshtë vijues . 97 97 Nuk ka nevojë të provojmë për numrin vijues 11, pasi që 112 > 97. 1 D.m.th, 97 është numër i thjeshtë. 1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97
  • Duhet të dish! Testohu! 59 Cilët numra natyrorë janë të thjeshtë, e Cili prej numrave 91 dhe 97 është numër i për- cilët të përbërë; bërë? Sqaro! të zbërthesh numër të dhënë në Zbërtheje numrin 152 në shumëzues të thjeshtë. shumëzues të thjeshtë. Detyra1. Zbërtheji në shumëzues të thjeshtë 3. Një familje ka numër tek të fëmijëve, numër këto numra: 15, 42, 38, 75 dhe 11 115. të thjeshtë të adhuruesve shtëpiak, numër çift të automobilave dhe numër të përbërë të dhomave të fjetjes. Shuma e të gjithë këtyre2. Numri i viteve të Arlindit është nunër i për- numrave është 10. Cilët janë ato numra? bërë më i vogël se 30, kurse më i madh se 20 dhe mundet të paraqitet si prodhim i 4. Përpiqu të shkruash numra të thjeshtë shumëzuesve të thjeshtë. Sa vjet ka më të mëdhenj se 2 si shumë e dy num- Arlindi? rave të thjeshtë. Shembull: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11. Shkruaje si shumë e numrave të thjeshtë numrin:14; 52. Hulumto vet! Në një hotel kishte 100 llamba. Në një tabelë kishte ndërprerës për secilën llambë dhe ato ishin të shënuar me numra prej 1 deri 100. Nëse ndërprerësi shtypet një herë, llamba ndriçon, ndërsa nëse shtypet për së dyti ajo fiket. Të gjitha llambat ishin të fikura. Kujdestari i shtëpisë ditën e parë i ka shtypur të gjithë ndërprerësit, gjegjësisht të gjitha llambat i ka ndriçuar. Që të kursej energjinë elektrike, ai ditën e dytë ka shtypur çdo të dytin ndërprerës, ditën e tretë çdo të tretin dhe në këtë mënyrë ditën e njëqindtë ka shtypur vetëm ndërprerësin e njëqindtë. Cilat llamba, gjegjësisht llambat me cilin numër të shënuar do të ndriçojnë pas ditës së njëqindtë? Vet mund të hulumtoj dhe ta zgjidh problemin. Së pari do të mendoj për 10 llamba, pastaj për 20, pastaj për 30 dhe kështu do të përfundoj për 100 llamba.
  • 60 23 PJESËTUESI I PËRBASHKËT. PJESËTUESI MË I MADH I PËRBASHKËT Kujtohu! Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 18. Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me D18. Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 24. Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje në A 1 Njomza ka blerë sheqerka për 28 mënyrë tabelare dhe shënoje me D24. denarë, kurse Agoni ka blerë prej të njëj- Cakto pjesëtuesit e përbashkët të numrave tave sheqerka për 42 denarë. 18 dhe 24, dmth. cakto Cili mundet të jetë çmimi i she- D18 ∩ D24. qerkave? Sa mundet të jetë çmimi më i lartë i sheqerkave? Vëre rregullën dhe përfundo! Të gjithë pjesëtuesit e numrit 28. D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} Të gjithë pjesëtuesit e numrit 42. D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} Pjesëtuesit e përbashkët të numrave 28 dhe 42. D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14} Vërej se: Nëse D28 është bashkësia e pjesëtuesve të numrit 28, kurse D24, bashkësia e pjesëtuesve të numrit 24, atëherë D28 ∩ D24 është bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 28 dhe 24. Vëre se: Çmimi i sheqerkave mundet të jetë: 1 den., 2 den., 7 den. ose 14 den. Çmimi më i lartë mundet të jetë 14 den. Numri 14 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët për numrat 28 dhe 42. Mbaj mend! Më i madhi prej të gjithë pjesëtuesve të përbashkët të numrave m dhe n quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave m dhe n. Shënohet: PMP(m, n).2 Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 30 dhe 45. Cakto PMP(30, 45).
  • 3 Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët për 61 numrat: a) 24 dhe 30; b) 9 dhe 14. Vëre! Pjesëtues i përbashkët për numrat 9 dhe 14 është numri 1, dhe ai është pjesëtuesi më i madh i për- bashkët i tyre. PMP(9, 14) = 1 Mbaj mend! Nëse PMP (a, b) = 1, atëherë për numrat a dhe b themi se janë numra reciprokisht të thjeshtë.B 4 Cakto PMP(168, 180). 168 84 2 2 180 90 2 2 Vëre rregullën dhe vepro sipas 42 2 45 3 kërkesave. 21 3 15 3 Zbërtheji numrat 168 dhe 180 në shumëzues të 7 7 5 5 thjeshtë. 1 1 Paraqiti numrat 168 dhe 180 si prodhim të 168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 shumëzuesve të thjeshtë. 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 Vëre! Numri që është PMP(168, 180) është prodhim i pjesëtuesve të thjeshtë të tyre të përbashkët, dmth. PMP(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.5 Cakto PMP(120, 150). Dhe PMP(42, 63, 84). Vëreje ecurinë e shkurtuar për caktimin e PMP. 120, 150 2 Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy numrave. 60, 75 3 Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy herësve të 20, 25 5 4, 5 fituar. Rregullën e vazhdon deri sa herësit e fituar nuk janë numra reciprokisht të 42, 63, 84 3 thjeshtë. 14, 21, 28 7 Prodhimi i pjesëtuesve të thjeshtë të përbashkët është pjesëtuesi më madh i 2, 3, 4 përbashkët, dmth PMP(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 dhe PMP(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.6 Cakto a) PMP(72, 90); b) PMP (150, 180, 240)
  • 62 Duhet të dish! Testohu! Të caktosh pjesëtues të përbashkët të dy Zbërtheji numrat 36 dhe 60 në shumëzues të numrave; thjeshtë, kurse pastaj cakto PMP të tyre. cilët numra janë reciprokisht të thjeshtë; Janë dhënë dy tela me gjatësi 8 m dhe 12 m. Cila është gjatësia më e madhe me të cilën të dy telat të caktosh pjesëtues më të madh të për- mundet të ndahen në dy pjesë të barabarta? bashkët të dy ose më shumë numrave sipas ecurisë së shkurtuar. Detyra1. Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të për- Përpiqu të zgjidhësh! bashkët për numrat: 30 dhe 36. 6. Sa më së shumti kuti të barabarta mund të2. Cakto: bëhen prej 48 çokollatave, 72 karameleve a) PMP(12, 18); c) PMP(60, 90, 120); dhe 120 sheqerkave, ashtu që në çdo kuti të b) PMP(48, 72); d) PMP(240, 300, 600). ketë numër të njëjtë prej çdo prodhimi?3. Cakto: 7. Duke i shfrytëzuar rrjetat e mëposhtme, a) PMP (16, 25); b) PMP(36, 72). cakto dhe shkruaj në pikët përkatëse pjesëtuesit e numrave: a) 36 dhe 54; b) 28, 42 dhe 98.4. Sa më së shumti buqetë mund të bëhen prej Me ndihmën e rrjetave cakto: 48 tulipanëve të bardh dhe 72 tulipanëve të PMP(36, 54) dhe PMP(28, 42, 96) kuq, ashtu që në çdo buqetë të ketë numër të njëjtë të tulipanëve me ngjyrë të njëjtë? 28 42 98 36 P P PM PM 2 54 35. Janë dhënë dy tela. Njëri është i gjatë 96m, 2 7 ndërsa tjetri 180m. Sa metro është gjatësia më e madhe me të cilën mund të maten të 1 3 1 dy tela?
  • 24 SHUMËFISHI I PËRBASHKËT. SHUMËFISHI MË I VOGËL I PËRBASHKËT 63 Kujtohu! Dy shok janë takuar në bibliotekë. Njëri A 1 shkon në bibliotekë çdo të katërtën ditë, Bashkësinë e shumëfishave të numrit 3, kurse tjetri çdo të gjashtën ditë. Pas sa shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje ditëve ato do të takohen përsëri në bib- me Sh3. liotekë? Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4, shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me Sh4. Shkruaje bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 3 dhe 4, dmth. cakto Sh3 ∩ Sh4. Vëre rregullën dhe përfundo! Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4. S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...} Bashkësinë e shumëfishave të numrit 6. S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...} Bashkësinë e shumëfishave të përbashkët S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...} të numrave 28 dhe 42. Vëre! Të dy shokët do të takohen në bibliotekë pas 12 ditë, 24 ditë, 36 ditë etj. Herën e parë do të takohen pas 12 ditë. Numri 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët për numrat 4 dhe 6. Mbaj mend! Numri më i vogël natyror n që është shumëfish i përbashkët i numrave a dhe b quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a dhe b. Shënohet: SHVP(a, b) = n.2 Cakto bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 3 dhe 5. Cakto SHVP(3, 5).B 3 Cakto SHVP(12, 45). 12 2 45 3 6 2 15 3 Vëre rregullën për caktimin e SHVP. 3 3 5 5 Zbërtheji numrat 12 dhe 45 në shumëzues të thjeshtë. 1 1
  • Numri 12 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 22 ⋅ 3. 64 Numri 45 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 32 ⋅ 5. Të gjithë shumëzues të thjeshtë të numrave 12 ose 45 janë 2, 3 dhe 5. Ato me fuqi më të madhe paraqiten si: 22, 32 i 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët është prodhimi i tyre, përkatësisht SHVP(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.4 Cakto SHVP(m, n), nëse është e njohur se: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.5 Cakto SHVP(60, 72, 90). Vëre ecurinë e shkurtuar për caktimin e SHVP me ndihmën e vijës vertikale. Cakto pjesëtuesin e thjesht, duke filluar prej më të voglit, të një ose më tepër numrave të dhënë. 60, 72, 90 2 Rregullën vazhdoje për herësit e fituar dhe për numrat tjerë të përshkruar që 30, 36, 45 2 nuk e kanë pjesëtuesin e thjeshtë përkatës. 15, 18, 45 2 Prodhimi i pjesëtuesve të fituar të thjeshtë është shumëfishi më i vogël i për- 15, 9, 45 3 bashkët i numrave të dhënë, drnth. 5, 3, 15 3 SHVP(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360. 5, 1, 5 5 1, 1, 16 Cakto SHVP të numrave: a) 14 dhe 15; b) 20 dhe 40; c) 60, 90 dhe 120. Vëre! Nëse dy numra janë reciprokisht të thjeshtë, atëherë SHVP i atyre numrave është prodhimi i tyre, dmth SHVP(14, 15) = 14 15 = 210; Nëse prej dy numrave, njëri është shumëfish i tjetrit, atëherë SHVP i atyre numrave është më i madhi, dmth SHVP(20, 40) = 40. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh bashkësinë e Paraqite çdonjërin prej numrave 9 dhe 12 si prodhim të numrave shumëfishave të përbashkët të thjeshtë, pastaj cakto shumëfishin më të vogël të përbashkët. të dy numrave; të caktosh shumëfish më të Në patronatin e shkollës ndahen shpërblime në këtë mënyrë: vogël të përbashkët për dy ose më shumë numra, sipas medalje fiton çdo i 10-ti shikues; ecurisë së shkurtuar. lëng çdo i 15-ti shikues; kapelë çdo i 20-ti shikues; Kush është shikuesi i parë që i ka fituar të tre shpërblimet?
  • Detyra 651. Cakto bashkësinë e shumëfishave të num- 5. Artitoni ka pasur më pak se 30 kube. Nëse i rave: 10 dhe 15, e pastaj cakto SHVP(10, 15). radhit nga 3 në një rresht një i ngel. Nëse i radhit nga 4, gjithashtu, një i ngel, por nëse i radhit nga 5 nuk i ngel asnjë kub. Sa kube ka2. Cakto: pasur Mentori? a) SHVP(8, 10); c) SHVP(80, 120); b) SHVP(6, 12, 18); d) SHVP(120, 180, 240).3. Prej stacionit të njëjtë njëkohësisht janë nisur 6. Tre llamba me ngjyrë të ndryshme janë tre autobusë. I pari kthehet në stacion çdo 50 ndezur në njëkohësisht. Llamba e kuqe minuta, i dyti çdo 60 minuta, kurse i treti çdo shuhet pas çdo 5 sekonda, e kaltra shuhet pas 75 minuta. Pas sa më së paku minuta të tre çdo 4 sekonda, kurse e verdha shuhet pas çdo autobusët do të gjenden së bashku në sta- 6 sekonda. Në cilën sekondë njëherësh do të cionin fillestar? shuhen të tre llambat?4. Dy anije nisen njëkohësisht prej një limani të njëjtë. I pari kthehet në liman çdo 20 ditë, kurse i dyti çdo 24 ditë. Pas sa më së paku ditë anijet do të takohen së bashku në limanin e njëjtë? Hulumto vet!Me çfarë janë të ngjashme, e me çfarë dallohen numrat 12 dhe numri 16? Përpiqu të njehsosh!Shumëfishi më i vogël i përbashkët i ndonjë numri dhe numrit 12 është numri24. Cili është numri i panjohur? Problem interesant!Dy vëllezër kanë dashur të blejnë bileta për “Park zbavitës”. Janë llogaritur dhe njërit prej tyre i kanëmunguar 20 denarë për dy bileta, ndërsa tjetrit për dy bileta i ka munguar një denarë. Kanë konstatu-ar se edhe parat e tyre gjithsej kanë munguar për dy bileta. Sa para ka kushtuar një biletë për “Parkzbavitës” dhe nga sa para kishte secili prej tyre?
  • R A P U N A 66 M E T Ë D D H Ë N A 25 DIAGRAMI ME FOTOGRAFI. DIAGRAMI SHTYLLOR Diagrami me fotografi është mënyrë e Shitja e këmishave paraqitjes së të dhënave me shfrytëz- Java 1 imin e vizatimeve ose simboleve. Java 2 Java 31 Java 4 Në një shitore është regjistruar shitja e këmishëve në për 6 javë. Të dhënat janë paraqitur me diagram me Java 5 fotografi. Shqyrto diagramin. Java 6 Paraqiti të dhënat në tabelë. Shenja paraqet 10 këmisha Cilën javë është shitur numri më i madh i këmishëve. Ndërsa 5 këmisha Sa këmisha më shumë janë shitur në javën e 2 se javën 1. Gjithsej sa këmisha janë shitur për 6 javë?2 Nxënësit e klasës së VI kanë mbledhur të dhënat për atë se ku njerëzit më së shumti dëshirojnë të dëgjo një muzikë. Të dhënat janë paraqitur në tabelë. Gjatë Shëtitjes në shtëpi Mësimit Sportimit Në punë Tjetër numri 30 50 20 25 15 40 Paraqiti të dhënat në tabelë me përdorimin e simbolit simbol (dëgjuese). Një simbol simbol paraqet 10 përgjigje. Ku më shpesh njerëzit dëgjojnë muzikë? Sa gjithsej janë përgjigjur në pyetjen e parashtruar?3 Vëre tabelën për numrin e librave të huazuara nga bibliote- Dita Nr. i librave ka e qytetit. E hënë 350 Paraqiti të dhënat në diagram me fotografi nëse simboli E martë 400 paraqet 50 libra. E mër 150 Shkruaj tre pyetje në lidhje me të dhënat dhe përgjigju atyre E enjte 100 pyetjeve. E pre 50
  • 4 Rreth Diellit rrotullohen 9 planeta. Shtatë prej tyre kanë satelitët e vet (hënat). Në 67 tabelë janë parashtruar të dhënat për numrin e satelitëve të zbuluar deri më vitin 1992. Planeti Numri i hënave Toka 1 Marsi 2 Jupiteri 16 Saturni 18 Urani 15 Neptuni 8 Plutoni 1 Që të paraqiten të dhënat në diagram shtyllor është e nevojshme: Të vizatohet bosht horizontal dhe të shkruhen emrat që u korrespondojnë të dhënave. Të vizatohet bosht vertikal dhe të shkruhet lloji i njësisë matëse. Të vendoset për madhësinë e njësisë matëse të shkallës ashtu që të mundet të paraqiten të gjitha të dhënat dhe të formohet shkalla. Të vizatohen shtyllat. Të shkruhet titulli i diagramit shtyllor. Hënës e planeteve 18 Pse është më mirë të paraqiten të dhënat te diagrami 16Numri i hënave 14 shtyllor se sa në tabelë? 12 Paraqiti të dhënat në diagrantin shtyllor ashtu që shtyl- 10 lat të vizatohen horizontalisht. 8 6 4 2 0 Z M J S U N P Numri i hënave Numri i hënave 20 20 Planets 15 10 10 Vëre zgjedhjen e shkallës. Pse nuk është praktike të 5 shfrytëzohet shkalla me njësi matëse 5 ose 10 në këtë 0 0 shembull?
  • 68 26 MËSOVE PËR NUMRA NATYRORË. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE 1. Janë dhënë bashkësitë A = {x | x është 9. Një kal dhe një gomar janë ngarkuar. numër tek i dhjetëshes së dytë},B = {x | x është numër i thjeshtë i dhjetëshes së Nëse nga numri i kilogramëve që mban gomaridytë} dhe C = {x | x ∈ N dhe 15 < x ≤ 19}. zbresësh 9, do të fitosh 19 kilogram.a) Shkruaji bashkësitë A, B dhe C në mënyrë tabelore. Nëse tre herë e zvogëlosh numrin e kilogramëveb) Paraqiti B dhe C me diagram të Venit dhe shkru- që mban kali, do të fitosh 13 kg. Sa kilogram ngarkesë mbajnë kali dhe gomari sëaje B∩C në mënyrë tabelore. bashku?c) Cakto cilat prej bashkësive A, B, C, B∩C dheBC janë ekuivalente. 2. Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, c} dhe B = {1, 5}. Cakto prodhimin e DekartitA x B dhe katrorin e Dekartit B2. 3. Janë dhënë shifrat ; 9, 1 dhe 0. a) Formo të gjitha numrat treshifror me 10. Gjeje mesataren aritmetike të numrave:përdorimin e të gjitha shifrave të dhënë. 427, 586, 386 dhe 485.b) Radhiti sipas madhësisë numrat e fituar, dukefilluar nga më i vogli. 11. Cilat numra 105, 372, 801, 930 dhe 254c) Shkruaje paraardhësin dhe pasardhësin e num- plotpjesëtohen me:rit më të vogël të numrave të fituar. a) 2; b) 5; c) 3; d) 9 ? 12. Cilën shifër duhet ta shkruash në vend të * 4. Shkruaje numrin “njëzet miliardë treqind e që numri të jetë i plotpjesëtueshëm me 4: pesëdhjetë milionë pesë mijë e shtatëd- a) 573*; b)74*2?hjetë”. Në cilën klasë dhe në cilën pozitë të atij 13. Zbërtheje numrin 315 në shumëzues tënumri është shifra 3? Cila është vlera pozicionale e thjeshtë.shifrës 3? 14. Cakto bashkësinë D68, gjegjësisht bashkës- 5. Rrumbullako numrat 6485 dhe 2539 në inë e të gjithë pjesëtuesve të numrit 68. qindëshe dhe gjeje shumën e numrave tërrumbullakuar. Për sa dallohet ajo shumë ngashuma e saktë? 15. Cakto PMP dhe SHVP për numra 18 dhe 24. 6. Si do të ndryshoj ndryshimi 35 648-18 719 nëse zbritësi zvogëlohet për 300, ndërsa i 16. Sa ekipe më së shumti mund të formohenzbritshmi mbetet i njëjtë? prej gjithsej 12 vajzave dhe 20 djemve, në qoftë se secili ekip do të ketë numër të njëjtë të 7. Prej dy gypave rrjedh uji në pishinë, ku për vajzave dhe djemve. një sekondë prej një gypi derdhen 9l, ndër-sa prej tjetrit 6l. Sa litra ujë do të derdhen në pish-inë prej të dy gypave për 15 min? 17. Në një linje telefonike shtyllat janë vendo- sur në largësi prej 30 m. Shtyllat duhet të zhvendosen në largesë prej 50 m. Cilat shtylla të 8. Njomza dhe Almiri kanë pjesëtuar një linjës telefonike do të mbesin në vend të njëjtë. numër të njëjtë: Njomza me 14, ndërsaAlmiri me 18. Njomza ka fituar herës 23 dhe mbet-je 2. Cilin herës e ka fituar Almiri?
  • FIGURAT GJEOMETRIKE 69 TEMA 2. NË RRAFSH1. Pika dhe drejtëza. Vetitë themelore të 14. Këndi qendror. Konstruksioni i drejtëzës 70 këndit 1052. Pozita reciproke e dy drejtëzave 73 15. Mbledhja dhe zbritja grafike e3. Largesa ndërmjet dy pikave 75 këndeve 1084. Gjysmëdrejtëza. Segmenti. 16. Matja e këndeve. Këndmatësi 110 Gjatësia e segmentit 77 17. Operacionet aritmetike me kënde 1135. Bartja e segmenteve 80 18. Drejtëzat reciprokisht normale.6. Vija e thyer 83 Largesa e pikës deri te drejtëza 1167. Konceptet themelore dhe të nxjerra 87 19. Simetralja e segmentit.8. Rrethi dhe qarku 89 Përgjysmorja e këndit 1189. Pozita reciproke e rrethit dhe pikës. 20. Këndet komplementare dhe Pozita reciproke e rrethit dhe suplementare 120 drejtëzës 92 21. Shumëkëndëshi 12210. Pozita reciproke e dy rrathëve 94 22. Disa lloje të shumëkëndëshave 12511. Gjysmërrafshi. Këndi 97 23. Perimetri i shumëkëndëshit 12712. Krahasimi i këndeve. Llojet e 24. Mësove për figurat gjeometrike këndeve 100 në rrafsh.13. Këndet fqinje, të puqët dhe Provo njohurinë tënde. 130 kryqëzor 103
  • 70 1 PIKA DHE DREJTËZA. VETITË THEMELORE TË DREJTËZËS Kujtohu! G a B F D A H C A 1 Shihe vizatimin dhe mbaj mend atë Në vizatim është paraqitur drejtëza a dhe që është treguar. disa pika: Pikat A, D dhe F i takojnë drejtëzës a. p Pikat: B, C, H dhe G nuk i takojnë drejtëzës a. M N Te drejtëza a ka edhe shumë pika të tjera. Vizato një drejtëz b dhe në të shëno disa Mund të themi se drejtëza është bashkësi pika. Shëno edhe pika që nuk i takojnë pikash. drejtëzës b. Për pikën M themi se i takon drejtëzës p ose Si e paramendon drejtëzën? drejtëza p kalon nëpër pikën M; shkurtimisht shkruajmë M ∈ p. Pika N, nga ana tjetër nuk i takon, dmth. nuk shtrihet në drejtëzën p, por mund të thuhet edhe se N shtrihet jashtë drejtëzës p; shkurtimisht shkruajmë N ∉ p. Të mbaj mend! Pika shtrihet në drejtëz ose pika nuk shtrihet në drejtëz.2 Vizato një drejtëz dhe shënoje me m. Pastaj shënoji pikat A, B, C, M dhe N ashtu që: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m dhe N ∈ m. Shprehi me fjalë shënimet e shkurtra A ∈ m dhe B ∉ m.3 Në vizatim janë shënuar drejtëza d dhe pikat: A ∈ d, B ∉ d, Vëre! C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d dhe G ∉ d. A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që i takojnë Te drejtëza shtrihen shumë drejtëzës d? Sa? pika, por ka edhe pika që A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që nuk i takojnë nuk shtrihen në atë drejtëz. drejtëzës d? Sa? d C Këtë mbaje mend si veti të parë themelore të F drejtëzës. E D A B G
  • Vëre cilat nga pikat e shënuara në viza-4 Vëre dhe mbaj mend! 71 tim shtrihen në drejtëzën e njëjtë. B D a Për pikat që shtrihen në drejtëzën e njëjtë quhen pika kolineare. Në vizatim pikat A, C b C dhe D janë kolineare dhe pikat B, C dhe E A E janë kolineare. Pikat A, B dhe D nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë, pra ato nuk janë pika kolineare.5 Sipas vizatimit konstato a janë kolineare pikat: M B m S a) A, P dhe B; d) M, S dhe B; n b) M, S dhe N; e) A dhe B; P A N c) A, P dhe N; f ) N, P, S, M.6 Shkronjat A dhe B në vizatim paraqesin pikë Vëre dhe mbaj mend! të njëjtë. A p Kur themi: „shëno dy pika", ”janë dhënë dy B q drejtëza", do të nënkuptojmë se ato dy pika, Shkruajmë A≡B dhe themi: „Pikat A dhe B puthiten". përkatësisht ato dy drejtëza janë të ndryshme. Shkronjat p dhe q, pra, paraqesin drejtëz të Ato do ti shënojmë me shkronja të ndryshme. njëjtë. Shkruajmë p ≡ q dhe themi: „Drejtëzat p dhe q puthiten". Vëre dhe mbaj mend!B 7 Nëpër pikat M dhe N në vizatim kalon drejtëza p. A mundet të tërhiqet edhe ndonjë drejtëz tjetër Nëpër pikat M dhe N kalon vetëm një drejtës. që kalon nëpër pikat M dhe N? Këtë mbaje mend si vetia e dytë themelore e drejtëzës. p N Të mbaj mend! Prej vetisë së dytë themelore del se dy pika përcaktojnë M një drejtëz të vetme. Prandaj drejtëza mundet të shënohet edhe me dy pika të saja dhe mundet të thuhet: „Drejtëza MN, në vend se „drejtëza p”.8 Shëno dy pika A dhe B dhe tërhiq drejtëz p të përcaktuar me ato dy pika. Pastaj cakto pikën C që nuk i takon drejtëzës p. Sa drejtëza janë për caktuar me tre pika? Shkruaj ato drejtëza me ndihmën e pikave.
  • Shihi vizatimet, mendo dhe përfundo Vëre dhe mbaj mend! 72 9 sipas kërkesës. a A M N b cVëren se janë tërhequr tri drejtëza që kalojnë nëpër Nëpër një pikë kalojnë pafund shumëpikën M dhe pesë drejtëza që kalojnë nëpër piken N. drejtëza Për pikën e tillë A, si në vizatim, themi se A mundesh të tërheqësh edhe drejtëza tjera që është pikë e përbashkët e drejtëzave që kalojnë nëpër pikën M? Sa? Po nëpër pikën N? kalojnë nëpër atë pikë.10 Shëno pikë P. Vizato tri drejtëza a, b dhe c, ashtu që pika P të jetë pika e tyre e përbashkët. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh pozitën reciproke të pikës dhe Vizato drejtëz a dhe shëno pika A, B, M dhe P drejtëzës; që shtrihen në drejtëzën a, edhe pika C, D, F të shprehish dhe të sqarosh vetinë themelore dhe N që nuk shtrihen në drejtëzën a. të parë dhe të dytë të drejtëzës; Shëno tri pika kolineare A, B dhe C. të dallosh tre ose më shumë pika a janë kolin- Shëno pikë M dhe tërhiq drejtëza a, b, c dhe d eare ose janë jo kolineare. që kalojnë nëpër pikën M. Sa drejtëza mund të tërheqësh ashtu që të kalojnë nëpër pikën M? Detyra1. Vizato dy drejtëza a dhe b dhe në çdon- 4. Në drejtëzën p janë shënuar pikat M, N dhe jërën prej tyre shëno nga tri pika. P. Si mundet të emërtohet ndryshe drejtëza p?2. Shëno tre pika A, B dhe C dhe vizato tre drejtëza a, b dhe c ashtu që drejtëza a të kalon nëpër pikat A dhe B, b nëpër pikat B dhe C dhe c nëpër pikat A dhe C. Cila është 5. Pikat A, B, C dhe D janë radhitur ashtu që pika e përbashkët e drejtëzave a dhe c? ndërmjet tyre nuk ka tri pika që janë kolin- eare. Sa drejtëza përcaktojnë ato pika? Paraqite atë në vizatim. 3. Cilat pika janë: a) kolineare; b) jo kolineare? A E b a B D C
  • 2 POZITA RECIPROKE E DY DREJTËZAVE 73 Kujtohu! Dy drejtëza më së shumti mund të kenë A vetëm një pikë të përbashket. Për a drejtëzat që kanë vetëm një pikë të për- b bashkët thuhet se priten në atë pikë. P Pika e përbashkët quhet preja e atyre Drejtëzat a dhe b kanë pikë të për- drejtëzave. bashkët P. Në vizatim drejtëzat a dhe b priten dhe A mundet dy drejtëza të ndryshme të pika e tyre është P. kenë më shumë se një pikë të për- Kjo shkurtimisht shkruhet a ∩ b = {P} bashkët? Pse?1 Shkruaj shkurtimisht: 2 Sipas vizatimit cakto çka është e saktë. a) Drejtëzat a dhe b priten në pikën M. a) a ∩ b = {A}. c) b ∩ c = {B}. b) Prerja e drejtëzave c dhe d është pika L. b) a ∩ c = {B}. d) a ∩ c = {C}. c) Pika e përbashkët e drejtëzave m dhe n është pika S. c C a b A BB 3 Dy drejtëza mundet edhe të mos kenë pikë të përbashkët. Të atilla janë drejtëzat a dhe b në vizatim. a Dy drejtëza që nuk kanë pikë të për- b bashkët quhen drejtëza paralele. Drejtëzat a dhe b në vizatim janë para- Kjo praktikisht do të thotë: sado që ti „vazh- lele. dosh ", ato nuk priten. Atë shkurtimisht e shënojmë a || b.4 Pozita reciproke e drejtëzave a, b dhe c në c vizatim është si vijon: a dhe b janë paralele, dmth a || b. b a dhe c priten, dmth. a || c. b dhe c priten, dmth. b || c. a
  • 74 Vëre dhe mbaj mend!Dy drejtëza ose priten; ose janë paralele; a Për drejtëzat a dhe b te të cilat të gjitha pikat i kanë të për- b bashkëta themi se puthiten. Kur disa drejtëzat puthiten, ajo llogaritet si rast i veçantë i paralelizmit, prandaj mund të thuhet se çdo drejtëz është paralele me vetveten, dmth a || a. Duhet të dish! Testohu! Për cilat dy drejtëza themi se priten; Vizato drejtëz a dhe shëno pikë R ∉ a. Nëpër pikën P për cilat dy drejtëza themi se janë tërhiq drejtëz b që e pretë drejtëzën a. drejtëza paralele; Vizato tre drejtëza a, b dhe c ashtu që, dy nga dy, të se drejtëzat që puthiten llogariten mos kenë pika të përbashkëta. Shkruaji simbolikisht poz- për drejtëza paralele. itat reciproke të atyre drejtëzave. Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që a || b dhe b ∩ c = {M}. Detyra1. Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që të 4. Vizato një drejtëz a, pastaj vizato drejtëzën kenë një pikë të përbashkët. b, ashtu që a || b.2. Të tri drejtëzat AB, BC dhe BD a mundet të kenë pikë të përbashkët? Cila është ajo pikë? Paraqite atë me vizatim. 5. Vizato një drejtëz m. Pastaj vizato drejtëzat n dhe p ashtu që n || m dhe p || m. Çfarë pozite reciproke kanë drejtëzat3. Janë dhënë pikat A, B dhe C. Sa drejtëza për- n dhe p? caktojnë ato pika? Shqyrtoji të gjitha rastet e mundshme varësisht prej pozitës së pikave.
  • 3 LARGESA NDËRMJET DY PIKAVE 75 Kujtohu! Shihe vizatimin dhe vëre A konstatimet! Deri më tani shumë herë ke caktuar largesën D a prej një vendi deri në vendin tjetër, prej një C objekti deri te tjetri, prej një pike deri te tje- tra. Atë largesë e ke shprehur me një numër B të caktuar të centimetrave (cm), metrave (m), kilometrave (km) etj. A B A Largesa prej një pike A deri te pika tjetër B është numër më i madh se zero ose e barabartë me Për shembull, largesa ndërmjet pikave A zero, atë numër e shënojmë me AV,dmth, dhe B është 5 cm, që shkurtimisht shkruhet , AV ≥ 0. largesa prej Shkupi deri në Veles është 55 Numri AV është më i madh se zero kur pikat km etj janë të ndryshme dhe është i barabartë me zero Mate largesën ndërmjet pikave C dhe D në kur pikat puthiten. milimetra dhe shkruaje shkurtimisht. Sipas vizatimit: D AB = 4 cm; AB > 0; BD = 3 cm; BD > 0; C BC = 0 cm, pasi që pikat B dhe C puthiten. C d1 Në lidhje me vizatimin cakto largesat AB, BC dhe CD. A B D Vëre!2 Cakto largesat MN dhe NM, e pastaj kraha- soi. Shkruaje atë simbolikisht. Për çfarëdo dy pika A dhe B, largesa prej A deri te B është e barabartë me largesën prej B deri te A, dmth. AB = BA. M N3 Nëse largesa CD = 28 cm, atëherë sa është largesa DC? CB 4 Në vizatim janë dhënë pikat jo kolineare A, B dhe C. Mati largesat AB, AC dhe CB. Krahasoji: A B AB me AC + CB; BC me BA + AC; Përfundova se: AB < AC + CB; AC me AB + BC; BC < BA + AC dhe AC < AB + BC. Çka vëren?
  • 76 5 Pikat M, N dhe P në vizatim janë kolineare. M N P Mati largesat MP, MN, NP dhe MP krahasoje me MN + NP. Përfundova se: Çka përfundove? MP = MN + NP. Për çfarëdo tri pika A, B dhe C largesa prej A deri te C është më e vogël ose e barabartë me shumën e largesave prej A deri te B dhe prej B deri te C, dmth. AC ≤ AB + BC. Largesa ndërmjet dy pikave A dhe B është numër AV me veti vijuese: 1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) për cilën do pikë C vlen: AC ≤ AB + BC. Nëse për tri pika M, N dhe P, vlen barazia MP = MN + NP, atëherë ato tre pika shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Në atë rast thuhet se pika N shtrihet ndërmjet pikave M dhe P.6 Cakto pikat A, B dhe C a shtrihen në drejtëzën e njëjtë, nëse: AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm; AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm. Duhet të dish! Testohu! Largesa ndërmjet dy pikave është numër më i Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtë madh se zero nëse pikat janë të ndryshme, nëse; AC = 56 mm, AB = 3 cm dhe kurse është e barabartë me zero nëse pikat puthiten; BC = 26 mm ? Pse? për çfarëdo dy pika A dhe B, AB = BA; Pikat M, N dhe P nuk janë kolineare, ku për çfarëdo tre pika A, B dhe C, MN = 3 cm dhe NP = 5 cm. A mundet MP të jetë 95 mm? AC ≤ AB + BC. Detyra1. Pikat A, B dhe C janë kolineare ku pika B është 4. Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtë ndërmjet pikave A dhe C. Njehso largesën prej ku AB = 35 mm dhe BC = 48 mm. Sa është pikës A dhe B, nëse AC = 7 cm dhe AC? BC = 42 mm.2. A janë kolineare pikat K, L dhe M nëse 5. Në drejtëzën p pika P shtrihet ndërmjet KL = 3 cm, LM = 52 mm dhe KM = 82 mm? pikave M dhe S, MP është tre herë më e vogël se PS dhe MS = 12 cm. Njehso3. Vizato drejtëz m dhe në të shëno pika M, N, P dhe S, ashtu që N të shtrihet ndërmjet M dhe MP dhe PS. P dhe M të shtrihet ndërmjet N dhe S.
  • 4 GJYSMËDREJTËZA. SEGMENTI. GJATËSIA E SEGMENTIT 77 Kujtohu! Shihe vizatimi, vëre A dhe mbaj mend! a O Në vizatim është dhënë drejtëza a dhe V p O pika O që shtrihet në drejtëz. A Në sa pjesë drejtëza a është ndarë me pikën O? Drejtëza p me pikën O është ndarë në dy pjesë, ashtu që asnjëra prej atyre pjesëve nuk e përm- a A B O C D ban pikën O. Cilat prej pikave të shënuara shtrihen në Për pikën O thuhet se është pikë kufitare e të anën e njëjtë prej pikës O? dy pjesëve. Shëno dy pika në drejtëzën a, ndërmjet të Çdonjëra pjesë e drejtëzës, së bashku me pikën cilave shtrihet pika O. kufitare quhet gjysmëdrejtëz. Pika kufitare quhet pika e fillimit ose origjinë e gjysmëdrejtëzës. Në vizatim është vizatuar gjysmëdrejtëza. Nëse pika O është pika e fil- M N limit, kurse M është çfarëdo pikë e gjysmëdrejtëzës, atëherë shkur- O timisht shkruajmë: gjysmëdrejtëza OM.1 Vizato drejtëzën a dhe në të shëno dy pika A dhe B. Sa gjysmëdrejtëza janë shënuar në atë mënyrë? Shkruaji shkurtimisht ato gjysmëdrejtëza.2 Me ndihmën e pikave M dhe N në vizatim, shkruaji shkur- m M O N timisht të dy gjysmëdrejtëza me të cilat është ndarë drejtëza m me pikën O. Vëre! Gjysmëdrejtëzat OM dhe ON formojnë një drejtëz. Gjysmëdrejtëzat e tilla quhen gjysmëdrejtëza përbërëse.3 Shëno dy pika M dhe N. Vizato gjysmëdrejtëz ashtu që M të jetë pikë e saj e fillimit, kurse N pika që i takon gjysmëdrejtëzës.4 Sa gjysmëdrejtëza me pikën e fillimit O janë shënuar në vizatim? Cilët prej tyre janë gjysmë- drejtëza përbërëse? m A O B CB Drejtëza dhe gjysmëdrejtëza janë bashkësi pikash. Çdo bashkësi pikash quhet edhe figurë gjeometrike.
  • C B 78 5 Emërtoji figurat gjeometrike në vizatim. O a A D6 p M P N Në vizatim janë shënuar drejtëza p dhe Vëre dhe mbaj mend! pikat M, N dhe P. Ndërmjet cilave pika shtrihet pika P? A ka pika tjera në drejtëzën p që shtrihen M N ndërmjet pikave M dhe N? Figura gjeometrike që i përmban pikat M dhe N dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyre7 Emërtoji segmentet në vizatim a) dhe b). quhet segment. Pikat M dhe N quhen pika të skajshme (anë- V sore) të segmentit MN. a) Pika X te vizatimi nën b) dhe të gjitha pikat A S tjera që shtrihen ndërmjet pikave M dhe N quhen pika të brendshme të segmentit MN. b) M X N8 Mate largesën ndërmjet pikave A dhe B në Vëre dhe mbaj mend! vizatim dhe atë shkruaje simbolikisht. M m N A B Largesa ndërmjet pikave të skajshme M dhe N të segmentit MN quhet gjatësia e Të mbaj në mend! Një segment mundet të shënohet edhe me atij segmenti dhe shënohet me MN. shkronjë të vogël. Me shkronjën MN = 5 cm e njëjtë shënohet edhe gjatësia e atij segmenti. Në vizatim seg- menti MN është shënuar me m dhe m = 5 cm. Vëre dhe mbaj mend!9 Në vizatim është dhënë segmenti AB dhe në të pika D. Në vizatim AD = DB. Domethënë pika D është një lloj e larguar prej pikave A dhe B të Matë largesat ndërmjet pikave A dhe D dhe ndërmjet pikave D dhe B. Çka vëren? segmentit AB. Pika e atillë quhet pika e mesme ose mesi i atij segmenti. A D B10 Vizato segment PS dhe cakto mesin e tij O.
  • 11 Mati gjatësitë e segmenteve AB, CD, EF dhe 79 GH dhe krahasoji. Vëre dhe mbaj mend! Cilët prej segmenteve të dhënë kanë gjatësi të barabarta? Nga krahasimi i segmenteve, në vizatim mundemi të konstatojmë: A B AB = EF i CD = GH Për dy segmente që kanë gjatësi të barabarta C themi se janë të barabartë. Segmentet e D barabartë janë edhe segmente të puthitshme. F E 12 Vizato segment CD që është i barabartë me G H segmentin AB në vizatim. A B Duhet të dish! Testohu Të vizatosh dhe të shënosh gjysmë- drejtëz; Cilët prej pikave të shënuara në vizatim i takojnë segmentit AB? Ç’është gjysmëdrejtëz; të sqarosh ç’është segment; D ç’është gjatësia e segmentit; për cilët segmente themi se janë të A C F B G barabartë ose të puthitshëm. E Vizato segment AB, pastaj vizato segment CD që është i barabartë me segmentin AB. Detyra1. Ç’është gjysmëdrejtëz? 5. Cilët segmente janë segmente të puthit- shme?2. Shëno tri pika jo kolineare O, A dhe B, kurse pastaj vizato gjysmëdrejtëzat OA dhe OB. 6. Shëno tri pika jo kolineare A, B dhe C. Sa seg- Vizato gjysmëdrejtëzën OC, që është pjesë mente përcaktojnë ato pika? Emërtoji ato përbërëse e gjysmëdrejtëzës OB. segmente.3. Vizato drejtëzën p dhe në të shëno dy pika M 7. Shëno tri pika kolineare E, F dhe G. Sa seg- dhe N. Në drejtëzën p shëno pika P dhe S që i mente përcaktojnë ato pika? Emërtoji. takojnë segmentit MN dhe pika K dhe L që nuk i takojnë atij segmenti. 8. Segmentet AB dhe CD janë të puthitshme. Sa është gjatësia e segmentit CD, nëse4. Ç’është gjatësia e segmentit AB? AB = 4 cm?
  • 80 5 BARTJA E SEGMENTEVE Kujtohu! A 1 Vepro sipas kërkesës dhe shqyrtoje atë që është thënë. Vizato gjysmëdrejtëz OM dhe në të O A M cakto dy pika A dhe B, të tilla që Në vizatim është dhënë gjysmëdrejtëza OA = 1 cm dhe OB = 3 cm. OM dhe në të është shënuar pika A. A ka pikë tjetër A1, përveç A, ashtu që Mate largesën ndërmjet pikave O dhe A. OA1 = 1 cm? Nëse n është numër më i madh se zero, A mundesh në gjysmëdrejtëzën OM të atëherë në gjysmëdrejtëzën OM shtrihet caktosh edhe pikë tjetër që është e larguar vetëm një pikë A që është në largësi n prej prej pikës O aq sa edhe pika A? pikës O, dmth. OA = n. Vëreje këtë si një veti të pikave të gjysmë- drejtëzës. Vetia e pikave të gjysmëdrejtëzës mundet të shfrytëzohet për vizatimin e segmenteve të barabartë vetëm me ndihmën e vizorit dhe kompasit. Vizatimi i bërë vetëm me vizor dhe kompas quhet konstruksion.2 Konstrukto segment që është i barabartë Zgjidhje: me segmentin AB. A B O M S Shqyrtoje zgjidhjen e dhënë dhe puno sipas udhëzimeve dhe vizatimeve. Vizato gjysmëdrejtëzën OS (vizatimi a). Hape kompasin, ashtu që hapja e tij të jetë e barabartë me O Y gjatësinë e segmentit AB, dmth. "mere" segmenti AB (vizatimi a) b). Majën e kompasit vendose në pikën O dhe me hapje të njëjtë, shëno pikën M (vizatimi c). Segmentet AB dhe OM janë të barabartë. Kjo ecuri quhet edhe bartja grafike e segmentit në b) c) V M Y gjysmëdrejtëzën e dhënë. A O
  • Vizato segment MN dhe gjysmëdrejtëzën OP. Barte segmentin MN në gjysmëdrejtëzën3 81 OP. m n4 Segmentet m (dmth. KL) dhe n (dmth. MN) janë bartë në gjysmëdrejtëzën OT (në vizatim në anën K L M N e djathtë) ashtu që OP = KL dhe PS = MN. m n Sa është gjatësia e segmentit? O P S TB 5 Cakto në mënyrë grafike, shumën e segmenteve a b a dhe b nga vizatimi. A B C D Puno sipas udhëzimit dhe a) vizatimeve. O T Vizato gjysmëdrejtëzën OT (viz. a). a Barte segmentin a në gjysmëdrejtëzën b) OT (viz. b). O P T Barte segmentin b në gjysmëdrejtëzën OT, me a b pikën e fillimit P dhe pikën e skajshme S (viz. c). c) O P S T Segmenti OS paraqet shumën grafike të seg- a+b menteve a dhe b, që shënohet me a + b (viz. d). d) O S T6 Në vizatim janë dhënë segmentet KL dhe MN dhe gjysmëdrejtëza OT. Segmentet KL dhe MN m janë bartë në gjysmëdrejtëzën OT. K L n Në atë mënyrë në gjysmëdrejtëzën OT është fitu- ar segmenti OS. Sa është gjatësia e segmentit M N OS? m7 Cakto në mënyrë grafike ndryshimin e seg- O S P T menteve m = KL dhe n = MN. n Puno sipas ecurisë Vizato gjysmëdrejtëz OT. Në gjysmëdrejtëzën OT barte segmentin KL = m m ashtu që OP = n. Segmentin MN = n barte në gjysmëdrejtëzën OT me fillim në pikën P, kah pika O. Ashtu do ta fitosh segmentin PS, ku PS = n. Segmenti OS është ndryshimi i segmenteve KL dhe MN, dmth. OS = m – n.
  • 82 8 Vizato segment a = 62 mm dhe b = 3 cm, kurse pastaj konstrukto segmentet a + b dhe a - b. Duhet të dish! Testohu! Për çdo numër n më të madh se zero, te gjys- Vizato segment AB = 48 mm dhe gjysmë- mëdrejtëza OS shtrihet vetëm një pikë pika A drejtëz OS. Barte segmentin AB në gjysmë- që është në largësi n prej pikës O, dmth. drejtëzën OS. OA = n; Konstrukto segmentet OM = a + 2b dhe si bartet segmenti mbi gjysmëdrejtëz; ON = 2a – b, nëse a = 3 cm dhe b = 2 cm. si caktohet grafikisht shuma, përkatësisht ndryshimi i dy segmenteve. Detyra1. Vizato gjysmëdrejtëzën OS, dhe në të 4. Konstrukto segmentet: 2a + b dhe shënoi pikat A dhe B, ashtu që OA = 4 cm a + 2b, nëse a = 25 mm dhe b = 22 mm. dhe AB = 2 cm.2. Për cilin vizatim themi se është konstruk- 5. Konstrukto segmentet: a - b dhe sion? a - 2b, nëse a = 72 mm dhe b = 2 cm.3. Konstruktoi segmentet: OM = 2a dhe 6. Konstrukto segmentet: a + b - c, nëse a = 5 cm, b = 3 cm dhe c = 4 cm. ON = 3a, nëse a = 3 cm. Provo aftësinë tënde të hetimit. Provo me numërim.1. Sa katrorë ka në figurën e vizatimit a)?2. Sa drejtkëndësha ka në figurën e vizatimit b)?3. Sa trekëndësh barabrinjës ka në figurën e vizatimit c)? a) b) c)
  • 6 VIJA E THYER 83 Kujtohu! Për dy segmente që kanë vetëm pikën A e skajshme të përbashkët quhen seg- A B mente fqinje. Pikat A dhe B janë pikat e skajshme të P segmentit AB. M N Ç’kanë të përbashkët segmentet AB dhe BC në vizatim? Segmentet MN dhe NP në vizatim janë segmente Prej vizatimit vëren se A C fqinjë. segmentet AB dhe BC nuk Përgjigju kërkesave. shtrihen në drejtëzën e Në vizatimet a) – e) janë dhënë segmentet AB, njëjtë. B BC, CD dhe DE, që lidhen njëri me tjetrën në mënyrë të ndryshme. Te cili vizatim dy segmente fqinjë shtrihen në a) drejtëzën e njëjtë? A B C D E Te cili vizatim nuk ka segmente fqinje që shtrihen C në drejtëzën e njëjtë? b) B A B D Ec) C B D C E d) A e) A C B A D E Mbaj mend! D Nëse gjatë lidhjes të segmenteve, çfarëdo dy segmente fqinjë nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë, atëherë figura e fituar gjeometrike quhet vijë e thyer. Figurat gjeometrike b), d) dhe e) janë vija të thyera, kurse a) dhe c) nuk janë. Pse?1 Cilat figura nga vizatimi janë vija të thyera? M H G T N E A B C L F K I P R S a) b) c) d)
  • Në vizatim është dhënë një vijë e thyer. Segmentet AB, BC dhe D 84 CD quhen brinjët e vijës së thyer, kurse pikat e tyre të ska- jshme - kulme. Me cilin segment segmenti AB është fqinjë, kurse me cilin S segmenti BC është fqinjë? Segmente fqinjë të vijës së thyer quhen brinjë fqinjë. Për shem- A V bull, brinjë fqinjë të vijës së thyer në vizatim janë AB dhe BC, si dhe BC dhe CD. Cilët prej brinjëve të vijës së thyer në vizatim nuk janë fqinjë? D2 Në vizatim është dhënë një vijë e thyer. Cilët janë brinjë fqinjë të brinjës BC? S Cilët brinjë nuk janë fqinjë të brinjës CD? E A VB Shihe vizatimin dhe përcjelle atë që është treguar Vëre dhe mbaj mend! a) D b) D Për një vijë të thyer te e cila pikat e skajshme puthiten thuhet se është e mbyllur. E S S A V A≡E B Brinjët e Prej vizatimit mund të vëresh se pikat e ska- trekëndëshit S formojnë vijë jshme A dhe E të vijës së thyer ABCDE nuk puthiten. të thyer të A V mbyllur. Pikat e skajshme A dhe E të vijës së thyer puthiten te pika A.3 Cila prej vijave të thyera në vizatim nuk ka brinjë fqinjë që priten? Cila prej vijave të thyera është e mbyllur dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten? a) b) c) d) e) f)
  • Vëre! 85 Vijat e thyera a), b) dhe d) nuk kanë brinjë fqinjë që priten. Vija e atillë quhet vijë e thjeshtë e mbyllur. Vijat e thyera b) dhe f ) janë të thyera dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten. Mbaj mend! Brinjët e katërkëndëshit formojnë vijë poligonale. Vija e thyer e thjeshtë e mbyllur C quhet vijë poligonale. D A BC 4 Njehso shumën e gjatësive të Vëre dhe mbaj mend! brinjëve të vijës së thyer në viza- tim. Shuma e gjatësive të brinjëve të vijës së thyer quhet perimetër i vijës së thyer dhe shënohet D 45 m me P. m m 2c Perimetri i vijës së thyer në vizatim është: C E P = AB + BC + CD + DE cm 4 A 32 mm P = 32 + 40 + 45 + 20, përkatësisht, B P = 137 mm.5 Njehso perimetrin e vijës së thyer KLMNP, nëse: KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm dhe PK = 6 cm. Duhet të dish! Testohu! Të sqarosh ç’është vijë e thyer e Vizato vijën e thyer të mbyllur ABCDE. mbyllur; Njehso perimetrin e vijës së thyer të Çfarë është vijë e thyer e thjeshtë e mbyllur, mbyllur ABCDE, nëse përkatësisht vijë poligonale; AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, çfarë është perimetri i vijës së thyer DE = 4 cm dhe EA = 7 cm.
  • 86 Detyra1. Shëno katër pika A, B, C dhe D, ashtu që të 4. Ç’është perimetri i vijës së thyer të mbyllur? mos ketë tri pika që shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllur me kulme te pikat A, B, C dhe D. 5. Gardhi i oborrit ABCD e ka perimetrin P = 21 m. Njehso gjatësinë e brinjës AB, nëse BC = 5 m,CD = 720 cm, DA = 630 cm.2. Sa kulme dhe sa brinjë ka vija e thyer në viza- tim? Emërtoji kulmet dhe brinjët. 6. Njehso perimetrin e vijës së thyer të paraqi- D tur në vizatim. C E D 35 mm 28 mm E C A B 3 cm 25 mm3. Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllur me A 4 cm B shtatë kulme. Obidi se!1. Pa e quar majën e lapsit nga letra, vizato vijë të thyer, me të cilën figurën e dhënë a) do ta ndash në gjashtë trekëndësha kënddrejtë.2. Vizato figura (vija të thyer të mbyllura) viz.b) “me një lëvizje”, pa e larguar majën e lapsit nga letra dhe pa kalimin e sërishëm nëpër vijën e vizatuar. A është e mundur kjo të bëhet me figurën c)? a) b) c)
  • 7 KUPTIMET THEMELORE DHE TË NXJERRA 87 Kujtohu! A Mbaj në mend Duke e mësuar matematikën, deri tani mësove për: numrin, shumën e dy num- rave, segmentin, rrethin, syprinën e drejtkëndëshit etj. Numri, shuma e dy numrave, segmenti, rrethi, syprina e drejtkëndëshit, vija e thyer janë Përkujto edhe disa sende që i ke mësuar. kuptime matematike.1 Vëre dhe kujtohu për këto kuptime matematike që i ke mësuar: pika; largesa: gjysmëdrejtëza; mesi i segmentit; drejtëza; rrafshi segmenti vija e thyer. Kujtohu për disa prej këtyre kuptimevea) Figura gjeometrike që i përmban pikat A dhe B dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyre quhetsegment.b) Pika e segmentit që është një lloj e larguar prej skajeve të tij quhet mesi i segmentit.c) Figura gjeometrike e segmenteve të lidhur, të atillë që çfarëdo dy segment fqinjë nuk shtrihen nëdrejtëzën e njëjtë quhet vijë e thyer. Çfarë tregojnë fjalitë a) – c)? Me fjalinë nën a) përcaktohet se çfarë figure gjeometrike është segmenti, dmth jepet përgjigje në pyetjen „ç’quajmë segment?" Për fjalinë nën a) thuhet se është përkufizim i kuptimit segment. Fjalia nën b) është përkufizim i kuptimit pikë e mesme. Fjalia nën c) është përkufizim i kuptimit vijë e thyer.2 Si përkufizohet kuptimi për pikat kolineare? Vëre! Te përkufizimi për kuptimin vijë e thyer janë përdor kuptimet segmente fqinjë dhe drejtë. Për përkufizimin e kuptimit mesi i segmentit, përsëri përdoren kuptimet pikë dhe drejtëze.
  • Kuptimet pikë dhe drejtëz nuk i përkufizojmë me kuptime të tjera. Ato vetëm i sqaro- 88 jmë. Është pranuar që disa kuptime të merren si fillestare dhe ato quhen kuptime themelore ose parësore. Kuptimet parësore nuk përkufizohen. Mbaj në mend! Për kuptime parësore në gjeometri merren: pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa. Për të gjitha kuptimet e tjera jepet përkufizim përkatëse dhe ato quhen kuptime të nxjerra ose kuptime dytësore. Për shembull, prej kuptimeve gjeometrike që i ke mësuar, kuptime të nxjerra janë: segmenti, mesi i segmentit, vija e thyer, vija e thjesht e thyer, perimetri i vijës së thyer etj.3 Parashtroje përkufizimin për gjysmëdrejtëzën. Cilët kuptime parësore janë shfrytëzuar për përkufizimin e kuptimit gjysmëdrejtëz? Duhet të dish! Testohu Pika, drejtëza dhe rrafshi janë kuptime themelore në gjeometri; Cilët kuptime parësore dhe dytësore për kuptimet parësore nuk jepen përkufizime; përdoren gjatë përkufizimit të kuptimit vija e thyer e mbyllur? kuptimet dytësore përkufizohen; gjysmëdrejtëza, segmenti mesi i segmentit, vija e thyer janë kuptime të nxjerra. Detyra1. Numëroji kuptimet parësore në gjeometri. 3. Shprehe përkufizimin për: a. gjatësinë e segmentit; b. perimetrin e vijës së thyer.2. Cilët prej këtyre kuptimeve: pika, drejtëza, segmenti, gjysmëdrejtëza, figura gjeometrike, largesa janë kuptime dytësore? 4. Cilët kuptime përdoren gjatë përkufizimit të kuptimit figurë gjeometrike?
  • 8 RRETHI DHE QARKU 89 Kujtohu! A Shumë herë deri tani ke vizatuar rreth me kompas. Që të vizatosh rrethin, është e nevojshme të dish ku të ven- dosësh gjilpërën dhe sa ta 1 Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janë „hapsh " kompasin. shënuar pikat A, B, C, D, E dhe F. Shihe viza- timin dhe vepro sipas kërkesave. Edhe sa pika mundesh të E shënosh te rrethi? F D Vërejta! Rrethi është bashkësi pikash dhe të gjitha ato pikat Në çfarë largese janë pikat e C janë në largësi të barabartë prej O rrethit nga pika O? A pikës O. B Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që janë në largësi të barabartë prej një pike të zgjedhur në atë rrafsh quhet rreth. Pika e zgjedhur quhet qendër e rrethit dhe shpesh herë shënohet me O.2 Vizato rreth me qendër O dhe me hapje të kompasit 25 mm. Në rreth shëno pikat A, B e C dhe çdonjërën prej tyre lidhe me pikën O. C Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet: r B Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve OA, OB, dhe OC? O Si janë ato segmente sipas gjatësisë ndërmjet tyre? A Segmentet OA, OB dhe OC e lidhin qendrën e rrethit me pikat e rrethit dhe janë të barabarta ndërmjet tyre. Çdo segment që e lidh qendrën me çfarëdo pikë të rrethit quhet rreze e rrethit edhe gjatësia e saj quhet rreze e rrethit. Rrezja shpesh herë shënohet me shkronjën r. D C3 Në vizatim është dhënë rrethi k dhe segmentet OA, OB, OC dhe OD. A Cili prej këtyre segmenteve është rreze e rrethit? k O Pse segmenti OC nuk është rreze e rrethit? B
  • 90 4 Vizato rrethin me qendër O dhe rreze r = 2 cm. Sa rrathë mund të vizatosh me qendër në pikën O dhe rreze 2 cm? Me pikë të dhënë si qendër dhe rreze të dhënë mundet të vizatohet vetëm një rreth. Një rreth plotësisht është e përcaktuar nëse janë dhënë qendra O dhe rrezja r e tij. Rrethi k me qendër O dhe rreze r shënohet me k (O; r).5 Vizato rrethin k (O; 2 cm). D k B 6 Në vizatim është dhënë vija rrethore k (O; r) dhe pikat A, B, C dhe D. A O CShihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. B Në sa pjesë është ndarë rrafshi me rrethin k? Mund të themi se pikat B dhe D „janë jashtë" rrethit k. Cilës pjesë të rrafshit i takojnë pikat A dhe C? Rrethi k e ndan rrafshin në dy pjesë (zona)- e brendshme (zona e brendshme) dhe e jashtme (zona e jashtme). Figura gjeometrike që përbëhet prej një rrethi dhe prej pjesës së saj të brendshme quhet qark. Qendra dhe rrezja e rrethit k quhen qendër dhe rreze e qarkut. Qarkun me qendër O dhe rreze r e shënojmë me K(O; r).7 Vizato qark K(O; 22 mm). C 8 Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janë shënuar D pikat A, B, C dhe D dhe janë tërhequr segmentet AB dhe C CD. d Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet e parashtruara. A B Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve AB dhe CD? O k Cili prej këtyre segmenteve kalon nëpër pikën O?? Me sa rreze është i barabartë segmenti AB? Vëre dhe mbaj mend! Segmenti pikat e skajshme të të cilit i takojnë rrethit quhet kordë e rrethit. Segmenti AB është korda që kalon nëpër qendër. Korda që kalon nëpër qendër quhet diametër i rrethit ose qarkut. Diametri i rrethit shpeshherë shënohet me d dhe d= 2r.
  • 9 Vizato rrethin k (O; 25 cm). Njehso diametrin e rrethit. 9110 Vizato rrethin k (O; r) dhe në të shëno pikat A dhe B. A B Në sa pjesë është ndarë rrethi me pikat A dhe B? O k C Mbaj në mend! Me pikat A dhe B rrethi është ndarë në dy pjesë. Çdonjëra prej atyre pjesëve së bashku me pikat A dhe B quhet hark rrethor dhe shënohet me AV, nëse ai është më i vogli. Më i madhi, pra, shënohet me tri shkronja, dmth. ASV. Korda e rrethit le të jetë diametër. Secili nga harqet rrethore të fituara quhet gjysmërreth.11 Vizato rrethin k (O; r), kordën AB dhe diametrin CD. Cila prej pikave A, B, C dhe D përcaktojnë gjysmërreth? Duhet të dish! Testohu! Të sqarosh ç’është rrethi; çfarë është hark rrethor dhe si Cilat prej pikave në vizatim: shënohet; a) i takojnë rrethit k? çfarë është qendër dhe rreze e b) i takojnë qarkut K? rrethit; c) janë pikat e skajshme të qarkut? me çfarë është i përcaktuar një k E rreth; B A të sqarosh çfarë është kordë e Sa është rrezja e rrethit me rrethit dhe cila kordë quhet diametër d = 32 mm? D diametër; O cila figurë gjeometrike quhet qark. C Detyra 4. Vizato rrethin k(O; 25 mm) dhe në të shëno1. Vizato rrethin k (O; 2 cm). A është qen- hark rrethor AV, ashtu që korda përkatëse të dra O pikë e rrethit? jetë AB = 3 cm.2. Ç’është rrezja e rrethit? 5. Njehso diametrin e rrethit me rreze r = 28 mm.3. Vizato rrethin k me diametër 6. Njehso rrezen e rrethit me diametër d = 4 cm dhe në të kordën AB = 3 cm. d = 5 cm.
  • 92 9 POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE PIKËS. POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE DREJTËZËS C Kujtohu! A G B B k F r O A D A E O C D E a F H G 1 Në vizatim janë dhënë: rrethi k (O; r) dheNë rrethin k në vizatim janë shënuar disa pika, pikat A, B, C, D, E, F dhe G.por janë shënuar edhe pika që nuk i takojnë Me matje dhe krahasime konstato serrethit. pohimet e dhëna janë të sakta: Cilat prej këtyre pikave shtrihen në rrethin a) OA = r dhe OD = r; k? b) OB = r dhe OE = r; Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën e brendshme të rrethit k? c) OC = r dhe OF = r. Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën e Vëre! jashtme të rrethit k? Cilat pika janë të përbashkëta për rrethit Pikat A dhe D i takojnë rrethit. Largesa e tyre k dhe drejtëzën a? deri te qendra O është e barabartë me r. Pikat B dhe E shtrihen në pjesën e brendshme të rrethit k. Ato janë pika të brendshme. Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e vogël se r. Pikat C, F dhe G shtrihen në pjesën e jashtme të rrethit k. Ato janë pika të jashtme. Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e madhe se r.2 Cila prej pikave A, B, C, D dhe E shtrihet në rrethin k (O, 35 mm), në qoftë se AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?3 Cila prej pikave K, L, M, N dhe P është e jashtme dhe cila është pika e brendshme e rrethit k (O, 3 cm), nëse OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm? bB 4 Në vizatim janë dhënë rrethi k dhe drejtëzat a, b dhe c. S Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. k Sa pika të përbashkëta ka drejtëza a me rrethin k? Cila prej drejtëzave ka vetëm një pikë të përbashkët me O rrethin k? a V Cila prej drejtëzave nuk ka asnjë pikë të përbashkët me c A rrethin k?
  • Vëre dhe mbaj mend! 93 Drejtëza a dhe rrethi k kanë dy pika të përbashkëta. Themi se drejtëza a është prerëse e rrethit k. Drejtëza b dhe rrethi k kanë vetëm një pikë të përbashkët. Themi se drejtëza b është tangjente rrethit k. Drejtëza c nuk ka asnjë pikë të përbashkët me rrethin k.5 Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë P. Vizato drejtëzën t që e takon rrethin k në pikën P. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh pikë që shtrihet brenda rrethit, në rreth dhe jashtë tij; Çfarë pozite reciproke kanë pika A dhe rrethi k kur një drejtëz është prerëse e rrethit; (O, r), nëse OA = r? Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza m dhe vija kur një drejtëz është tangjentë e rrethit. rrethore k (O, r), nëse drejtëza m kalon nëpër qendrën e rrethit? Detyra 5. Çfarë pozite reciproke mundet të kenë1. Cila prej pikave A, B, C dhe D është pikë e drejtëza dhe rrethi? brendshme e rrethit k (O; 3 cm), nëse OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm dhe OD = 2 cm? 6. Cila prej drejtëzave në vizatim është tang- jentë e rrethit k? a2. Çfarë pozite reciproke mundet të kenë pika b dhe rrethi? c O3. Vizato rrethin k (O; 8 mm) dhe drejtëzën a që e pret rrethin. 7. Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë A. Vizato tangjentë t që rrethin e takon në4. Ç’është tangjentë e rrethit? pikën A.
  • 94 10 POZITA RECIPROKE E DY RRATHËVE Kujtohu! A 1 Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) C dhe k2(O2; r2). A D k1 Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyet- r r1 jen. k O O1 Rrathët k1 dhe k2 a kanë pika të për- bashkëta? BNë vizatim janë dhënë rrathët: k(O; r) dhe k1 r2 k2k1(O1; r1). r1 O2Pika O është qendra e rrethit k(O; r), kurse O1segmenti OD është rrezja e rrethit. Emërto qendrën dhe rrezen e rrethit k1. Vëre! Cilët nga pikat e shënuara i takojnë rrethi Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta.k dhe cilat rrethit k1? Njëri rreth është në zonën e jashtme të rrethit tjetër. Mbaj mend!Largesa O1O2 ndërmjet qendrave O1 dhe O2 të rrathëve k1 dhe k2 quhet largesa qendrore dhe mësë shpeshti shënohet me c; c = O1O2. k1 k22 Shihi rrathët k1 dhe k2 dhe përgjigju në pyetjet. r1 r2 Rrethi k1 dhe k2 a kanë pika të përbashkëta? O2 Në cilën zonë të rrethit k1 htrihet rrethi k2? O1 Vëre! Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta. Njëri rreth është në zonën e brendshme të rrethit tjetër. k1 k2 r13 Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O1; r2). r2 Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. O1 Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2 ? A kanë rrathët k1 dhe k2 pika të përbashkëta?
  • Vëre dhe mbaj mend! 95 Rrathët k1 dhe k2 kanë qendër të përbashkët dhe nuk kanë pika të përbashkëta. Për ato themi se janë rrathë bashkëqendror.4 Vizato dy rrathë bashkëqendror k1 dhe k2 me rreze r1= 3 cm dhe r2= 2 cm.B 5 Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2). r1 r2 Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen: O1 M O2 Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2? Vëre dhe mbaj mend! Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se vijat rrethore k1 dhe k2 takohen prej jashtë.6 Vizato rrathët k1(O1; 2 cm) dhe k2(O2; 3 cm) që të takohen nga jashtë. r17 Shihi vizatimet k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2) dhe përgjigju në k1 r2 pyetjen. c Ç’kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2? R O1 O2 k2 Vëre dhe mbaj mend! Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se rrathët k1 dhe k2 takohen nga brenda.C 8 Shihe vizatimin dhe puno sipas ecurisë. A Vizato segment O1O2 = 4 cm. Vizato rrathët k1(O1; 25 mm) dhe k2(O2; 22 mm). Shënoji pikat e përbashkëta të rrathëve k1 dhe k2 me A dhe B. O1 O2 Tërhiqi rrezet r1= O1A dhe r2= O2A. V
  • Vëre dhe mbaj mend! 96 Rrathët k1 dhe k2 kanë dy pika të përbashkëta A dhe B, përkatësisht rrathët priten.9 Vizato rrathët k1 dhe k2 që priten. Duhet të dish! Testohu! Çfarë pozite reciproke mundet të kenë dy A mundet dy rrathë të jenë koncetrike dhe të rrathë; priten? të dallosh prej vizatimit kur dy rrathë nuk kanë pika të përbashkëta; Dy rrathë me rreze r1 dhe r2 takohen nga kur dy rrathë takohen; jashtë. Në se është e barabartë largesa e tyre qendrore? kur dy rrathë priten. Detyra1. Vizato dy rrathë k1 (O1; 18 mm) dhe k2 Vizato dy rrathë bashkëqendrorë 4. (O2; 22 mm) që nuk kanë pika të për- k1 (O1; 2 cm) dhe k2 (O2; 15 mm). bashkëta. Sa mundësi ka?2. Vizato dy rrathë k1 (O1; r1) dhe 5. Vizato dy rrathë k1 (O1; 25 mm) dhe k2 (O2; r2) ashtu që të takohen nga jashtë. k2 (O2; 15 mm), që takohen nga brenda.3. Çfarë pozite reciproke kanë rrathët k1 (O1; Rrathët k1 (O1; 3 cm) dhe 6. 3 cm) dhe k2 (O2; 2 mm), nëse pikat O1 k2 (O2; 18 mm) takohen nga brenda. dhe O2 puthiten? Njehso largesën ndërmjet qendrave të tyre.
  • 11 GJYSMËRRAFSHI. KËNDI 97 Kujtohu! A 1 Në vizatim janë shënuar drejtëza p dhe pikat A, B, C, D, E dhe F që nuk Cilat prej pikave të shënuara në vizatim shtrihen në të. shtrihen në drejtëzën p, e cilat nuk shtrihen në të? M B F T A p p Q N E C D Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza p dhe segmenti MN? Segmenti AB a ka pikë të përbashkët me Ç’është pika Q për drejtëzën p dhe seg- drejtëzën p? mentin MN? Çfarë pozitë reciproke kanë drejtëza p dhe seg- menti EF? Vëre se segmenti AB nuk ka pika të përbashkëta me drejtëzën p, ndërsa segmenti EF e pretë drejtëzën p. Për pikat A dhe B themi se gjinden (shtrihen) në anën e njëjtë, ndërsa pikat E dhe F –në anët e ndryshme të drejtëzës p. Sqaro pse pikat C dhe D shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës p, ndërsa pikat B dhe D shtrihen në anët e ndryshme të saj. A ka pika tjera të cilat shtrihen në anën e njëjtë, gjegjësisht në anët e ndryshme të drejtëzës p? Mund të vërej se në anën e njëjtë të drejtëzës p ka pafund shumë pika. Mbaj mend Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës së dhënë p, së bashku me pikat e asaj drejtëze, quhet gjysmërrafsh. p Drejtëza p quhet teh ose kufi e gjysmërrafshit. Me drejtëzën p në vizatim janë formuar dy gjysmërrafshe, prej të cilëve njëri është i ngjyrosur. M S p2 Cilat pika në vizatim shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë me pikën S? K P T N L
  • Y 98 B 3 Vizato dy gjysmëdrejtëza OX dhe OY, si në vizatim. II I Ç’kanë të përbashkët gjysmëdrejtëzat OX dhe OY? Në sa pjesë është ndarë rrafshi me ato gjysmëdrejtëza? O X Dy gjysmëdrejtëza me fillim të përbashkët e ndajnë rrafshin në dy pjesë. Figura gjeometrike e formuar prej dy gjysmëdrejtëzave me pikë të fillimit të për- bashkët dhe njërës pjesë të rrafshit e kufizuar me ato quhet kënd. Y Y Në vizatim janë paraqitur dy kënde që formohen me gjysmë- drejtëzat OX dhe OY. Secili prej atyre këndeve është përbërë prej gjysmëdrejtëzave dhe pjesës së ngjyrosur të rrafshit. O X O X Gjysmëdrejtëzat OX dhe OY quhen krahët të këndit, kurse pika O quhet kulmi i këndit. Pjesa e rrafshit që i takon këndit, pa krahë, quhet zona e brendshme Y e (ose shkurtimisht zonë). a e hm zonends Zona e brendshme e këndit shënohet me hark rrethor. br në na Pikat që i takojnë zonës së brendshme quhen pikat e brendshme të Y X zo O këndit. X O natyrë Vëre se! Këndet mund të shënohen: B me shkronjë të madhe të latinishtes me të cilën është shënuar kulmi i kën- α dit dhe me simbol ∢ para saj; për shembull ∢O. O A me shkronjë të vogël të alfabetit grek, që shënohet në zonën e këndit; përpos α, përdoren edhe shkronjat: β (beta), γ (gama), δ (delta) etj.; Me tre shkronja të mëdha, ku shkronja e kulmit shënohet në ndërmjet; për shembull ∢AOB. D4 Në vizatim është paraqitur këndi α dhe janë shënuar pikat: O, E A, B, C, D, E. Cilat prej atyre pikave i takojnë këndit α? B C α Cilat prej atyre pikave janë pika të brendshme të këndit α? O A5 Vizato kënd me kulm S dhe krahë SP dhe SR dhe shënoje me hark rrethor. Si do ta shkruash me simbole këndin që e vizatove?
  • S6 Emërto çdonjërin prej 99 këndeve në vizatim. β 2 M P RC 7 Në vizatim janë dhënë: ∢MON me pikat A, B, C, D N D T nga zona e tij dhe ∢SQT me pika E, F, G, H nga zona G F C e tij. A B Q Të gjitha pikat e segmentit AB shtrihen në zonën e ∢MON. S Ku shtrihen segmentet: BC, BD, AC? O M H E Segmenti EF ka pika që i takojnë zonës dhe pikat që nuk i takojnë zonës së ∢SQT. Kujt i takojnë pikat e segmenteve: EG, FH, HE? Vëre dhe mbaj mend! Për një kënd themi se është i mysët (konveks), nëse për cila do dy pika A dhe B nga zona e tij, të gjitha pikat e segmentit AB i takojnë asaj zone. Në vizatim këndi MON është i mysët, kurse këndi SQT nuk është i mysët ai është i lugët.8 Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd β që është i lugët. Duhet të dish! Testohu! Ç’është gjysmërrafshi; Cila prej figurave në vizatim është kënd? Ç’është këndi; Cila prej figurave në vizatim është kënd i mysët? Ç’është zonë e brendshme e këndit; V T K cili kënd është i mysët? M L Detyra S O A R R1. Cilat pika në vizatim shtrihen në të njëjtin 3. Vizato kënd me kulm M dhe krahë MP dhe gjysmërrafsh me pikën A? MN. Emërto atë kënd. 4. Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd β A C H që nuk të lugët. a E B G 5. Sa kënde janë formuar me gjysmë- D F drejtëzat: OA, OB dhe OC dhe harqet rrethore në vizatim?2. Emërto kulmin dhe krahët e C V këndit në vizatim. Cilat pika D Emërtoji ato kënde. të shënuara i takojnë këndit, E e cilat zonës? V O A S O A
  • 100 12 KRAHASIMI I KËNDEVE. LLOJET E KËNDEVE Këndet, ashtu si edhe segmentet mund Kujtohu! A të krahasohen. Në vizatim është dhënë një kënd. N 1 Puno sipas kërkesave, vëre mbaj mend dhe përgjigju. Në fletë të tejdukshme vizato dy kënde, α=∢AOB dhe β=∢CSD, si në vizatim, e pastaj prej. P M D Emërto atë kënd. B Emërtoji krahët dhe kulmin e këndit. α β O A S C Vendose njërin këndë të prerë mbi këndin tjetër, për shembull a mbi β, D B ashtu që kulmi O të puthitet me kulmin S, ndërsa krahu OA me krahun SC, si në vizatim. β Në cilën zonë gjendet krahu OB? α Krahu OB (i këndit) shtrihet në zonën e këndit β. O≡S A C Vëre! Ka tre mundësi për pozitën e krahut OB të këndit α=∢AOB në lidhje me këndin β=∢CSD, kur α dhe β janë të vendosur njëri mbi tjetrin.1) Krahu OB puthitet me krahun 2) Krahu OB gjendet në zonën e 3) Krahu OB gjendet në zonën eOD brendshme të këndit β -atëherë jashtme të këndit β -atëherë –atëherë themi se këndet α themi se α është më i vogël se themi se α është më i madh sedhe β janë të barabartë β. β.(puthitshëm). D D B B D B β α β α β α O≡S A C O≡S A C O≡S A CB 2 Shqyrtoje këndin AOB në vizatim, mendohu dhe përgjigju. A O B Çka formojnë krahët e këndit AOB?
  • Vëre dhe mbaj në mend! 101 Këndi krahët e të cilit formojnë një drejtëz quhet kënd i shtrirë. Çdo dy këndet të shtrirë janë të barabartë.3 Vizato këndin e shtrirë MON, shënoje me hark dhe shëno pikat A, B, C, D në zonën e tij. Cili prej segmenteve AB, AC, BC dhe BD tërësisht shtrihen në zonën e ∢MON? A është ∢MON i mysët apo i lugët? C4 Puno sipas kërkesave, vëre, mbaj mend dhe përgjigju. Në fletë të tejdukshme vizato këndin e shtrirë AOB. Paloje fletën në kulmin O, ashtu që krahët OA dhe OB të puthiten. Pastaj shpalose fletën. A O B Vëren se me vijën e palosjes këndi i shtrirë është ndarë në dy pjesë të puthitshme, gjegjësisht të barabarta. Secila prej atyre pjesëve është kënd i drejtë. Vëre dhe mbaj në mend! Këndi i cili është sa gjysma e këndit të shtrirë quhet kënd i drejtë. Këndi AOC në vizatim është kënd i drejtë. Shkruaje këndin tjetër të drejtë. Vëre këndet e drejta në vizorin tënd drejtkëndor.5 Shqyrto vizatimin dhe vepro sipas kërkesës. V Vizato gjysmëdrejtëzën OA. Kulmin e këndit të drejtë vendose te pikën O, ashtu që njëri prej krahëve të vizorit drejtkëndor të puthitet me gjysmëdrejtëzën OA. O A Nëpër krahun tjetër të trekëndëshit tënd tërhiq gjysmëdrejtëz OB. Në këtë mënyrë vizatove kënd të drejtë AOB. γ β6 Me këndin e drejtë të vizorit kënddrejtë mate cili prej këndeve në vizatim është kënd i drejtë. α7 Shihi vizatimet AOB dhe MPN në vizatim dhe krahasoji me këndin V e drejtë. Cili prej këndeve është më i vogël se këndi i drejtë, e cili është α më i madh se këndi i drejtë? O A
  • Vëre dhe mbaj mend! N102 Këndi që është më i vogël se këndi i drejtë quhet kënd i ngushtë. β Këndi që është më i madh se këndi i drejtë, kurse më i vogël se këndi i shtrirë quhet kënd i gjerë. R M8 Vlerëso cili prej këndeve në vizatim është kënd i ngushtë, e α β γ δ cili i gjerë, kurse pastaj provo me këndin e drejtë të vizorit tënd, a ke vlerësuar saktë. Do të pranojmë që gjysmëdrejtëzat e puthit- C 9 Çfarë është pozita reciproke e dy shme të përcaktojnë dy kënde. gjysmëdrejtëzave OA dhe OB, nëse pika B i takon gjysmëdrejtëzës OA, si Njëri kënd është i formuar nga gjysmë- në vizatim? drejtëzat (që puthiten) dhe pjesës tjetër të A rrafshit-ai kënd quhet kënd i plotë; O V Këndi tjetër është i formuar nga gjysmë- Ato dy gjysmëdrejtëza OA dhe OB a e ndajnë drejtëzat (që puthiten), ndërsa zona e tij rrafshin në dy pjesë? është bashkësi e zbrazët –ai kënd quhet zero kënd.10 Në vizatim është paraqitur këndi i plotë AOB dhe këndi A zero NPM. O V A është këndi i plotë e mysët? Sqaro përgjigjen tënde. P N M Duhet të dish! Testohu! Cili kënd quhet: Cilat lloje të këndeve mund ti njohësh B Kënd i shtrirë? kënd i drejtë? në vizatim? Emërtoji ato kënde. Radhiti këndet sipas madhësisë, duke fil- C kënd i ngushtë? kënd i gjerë? luar nga më i vogli: α, β, γ dhe δ, nëse kënd i plotë? kënd zero? α është kënd i shtrirë, β është kënd i O A drejtë, γ është kënd i ngushtë dhe δ është kënd i gjerë. Detyra1. Cili kënd quhet kënd i shtrirë? 3. Çfarë këndi formojnë akrepat e orës në: a) ora 14 ; b) ora 15 ;2. Çfarë këndi paraqet gjysma e këndit të c) ora 17 ; d) ora 18 ? shtrirë?
  • 4. Vizato kënd të ngushtë AOB dhe kënd të 6. Vizato këndin e gjerë MON dhe 103 gjerë MPN. kënd e ngushtë NOP, ashtu që5. Vizato tre gjysmëdrejtëza OA, OB, dhe OC, ∢MOP të jetë i shtrirë. ashtu që ∢AOB të jetë kënd i drejtë dhe ∢BOC kënd i ngushtë. I cilit lloj është këndi ∢AOC? 13 KËNDE PRANISHME, TË PUQËT DHE KRYQËZOR Kujtohu! Te vizatimi „kujtohu", këndet α dhe β e kanë kul- A min e përbashkët O dhe krahun e përbashkët C OB. B β Dy kënde me kulm të përbashkët dhe një krah të α përbashkët, por që nuk kanë pikat të brendshme O A të përbashkëta quhen kënde të pranishme.Në vizatim janë dhënë këndet α dhe β. 1 Cilët prej këndeve në vizatim janë kënde të pran- Emërtoji krahët dhe kulmet e këndeve α ishme? Sqaroje përgjigjen.dhe β. Ç’kanë të përbashkët këndet α dhe β? B H D S G N A O C F E M P a) b) v)B 2 Në drejtëzën p në vizatim është zgjedhur pika O dhe është tërhequr gjysmëdrejtëza OB. Ç’kanë të përbashkët ∢AOB dhe ∢BOC? V Si quhet çifti i këtillë i këndeve? Çfarë kënd formojnë krahët OA dhe OC? A O S Mundesh të vëresh se këndet e pranishme AOB dhe BOC formojnë kënd të shtrirë. Mbaj mend! Dy kënde të pranishme që formojnë kënd të shtrirë quhen kënde të puqtë.3 Vizato një kënd të ngushtë MPN, pastaj vizato kënd NPS i puqët me këndin MPN. I cilit lloj është këndi NPS?4 Vizato kënd të drejt α, pastaj vizato kënd β të puqët me α. I cilit lloj është këndi β?
  • C B104 C Drejtëzat AC dhe BD në vizatim priten te pika O. Ashtu formohen këndet α, β, γ dhe δ. Krahët OC β dhe OD të këndit γ janë vazhdimet e krahëve OA γ α dhe OB të këndit α. Për këndet e tillë themi se janë δ O A kënde të kryqëzuara. D Të kryqëzuara janë Dy kënde që kanë kulm të përbashkët, kurse krahët e edhe këndet β dhe njërit kënd janë vazhdimet e krahëve të këndit tjetër δ, në vizatim. nëpër kulm, quhen kënde kryqësore.5 Vizato kënd të ngushtë AOB, kurse pastaj vizato kënd MON, ashtu që ato dy kënde të jenë kryqë- zor. Vizato në letër ose në kartuç kënde kryqësore si në vizatim. CD Prej me kujdes këndet kryqësore dhe vendosi njërin mbi D tjetrin. Do të vëresh se këndet kryqësore gjatë vendosjes njërin mbi tjetrin puthiten. Prandaj mundet të thuhet se O këndet kryqëze janë të puthitshëm (barabartë). B A Në vizatim ∢AsOD = ∢BOC dhe ∢AOB = ∢COD.6 Vizato kënd të drejtë MPN, kurse pastaj vizato këndin e tij kryqëzor SPR. Të cilit lloj janë këndet MPS dhe NPS? Duhet të dish! Testohu! Të njohësh dhe të sqarosh cilët kënde janë kënde pranishme; A munden të jenë këndet të pranishme këndet AOB dhe BCD? të njohësh dhe të sqarosh cilët Këndet AOB dhe BOC janë kënde të puqtë. Nëse ∢AOB kënde quhen kënde të puqtë; është i drejtë, atëherë i cilit lloj është ∢BOC? të njohësh dhe të sqarosh cilët Këndi MPN është kënd i gjerë. I cilit lloj është këndi qen- kënde janë kënde kryqëzorë. dror ∢MPN? Detyra 3. Vizato një kënd të gjerë α, pastaj vizato1. Emërtoji këndet fqinje këndin e tij të puqët β. I cilit lloj është këndi C B në vizatim. β? Ke kujdes ka katër 4. Për cilët dy kënde themi se janë kënde të çifte të këndeve fqin- D O A kryqëzuara? jë! 1 5. Cakto çiftet e kën- 4 22. Cili prej këndeve në vizatim deve kryqëzorë në 3 është kënd i puqët i këndit β α γ δ vizatim. 5 α? Cilët këndet të tjera janë 8 6 të puqtë? 7
  • 14 KËNDI QENDROR. KONSTRUKSIONI I KËNDIT 105 Kujtohu! A 1 Në vizatim është dhënë rrethi k me qendër O dhe kënde α dhe β.Në vizatim është dhënë rrethi V k Ck, qendra O dhe në të janë Vshënuar pikat A dhe B. β Në sa pjesë është ndarë rrethi A D α O k me pikat A dhe B? k O A Si quhet secila pjesë prej tyre? Si shënohet harku më i vogël i dy harqeve Ku gjendet kulmi i këndit: α; β? rrethore? Këndi kulmi i të cilit gjindet në vijën rrethore të Si quhet segmenti AB? dhënë quhet kënd qendror.2 Cili prej këndeve α, β dhe 3 Krahët e këndit α (në vizatim) e presin rrethin k në pikat A γ në vizatim është kënd dhe B. qendror? Pse këndi γ nuk Shkruaje harkun rrethor të cilin e for- është qendror? V mojnë krahët e këndit α dhe shtrihet k në atë kënd. α β Shkruaje harkun rrethor të cilin e for- α O A mojnë krahët e këndit α dhe nuk C γ O shtrihet në atë kënd. Mbaj mend! Çdo kënd qendror në rreth të dhënë përcakton saktësisht një hark rrethor që shtrihet në atë kënd. Për këndin dhe harkun themi se përgjigjen ose janë përkatës njëri me tjetrin.4 Në vizatim është dhënë rrethi k dhe qendra O dhe dy kënde qendrore, që janë të puthitshme. Përfytyro se këndi α rrotullohet rreth pikës O në kahun e lëvizjes së akrepave të orës, deri sa saktësisht e mbulon këndin β. Ku do të kishte rënë pika A, e ku pika B? Vërej se harku AB do të puthitet me harkun CD. Me cilin hark do të puthitet harku AB?
  • Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me106 rreze të barabarta iu përgjigjen harqet rrethore të puthitshme. Në mënyrë të njëjtë mund të vëresh se vlen edhe e anasjelltë: Harqet rrethore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të barabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme.5 Këndet qendrore α dhe β në vizatim janë të puthitshme. Si jenë harqet përkatëse AB dhe CD? Kordës AB i takon këndit α, ndërsa korda CD këndit β. Si do të përfundosh se këto korda janë të puthitshme (barabarta)? Mund të paramendoj se këndi α, me rrotullim rreth pikës O, do të puthitet me këndin β. Kordat AB dhe CD do të puthiten, gjegjësisht ato janë të barabartë. Në përgjithësi vlen! Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të njëjtë iu përgjigjen kordat e puthitshme (përkatësisht të barabarta)6 Kordat AB dhe CD në rrethin k1 dhe k2, me rreze të barabartë, janë të barabarta. A është këndi qendror α i puthitshëm me këndin qen- dror b? Vëre se α është më i vogël se këndi I shtrirë, ndërsa β është më i madh se këndi I shtrirë. Vëre se Kordave të barabarta (puthitshme) në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të barabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme vetëm nëse kordat: ose të dyja i takojnë ose të dyja nuk i takojnë këndeve përkatëse. B L7 Në vizatim janë dhënë rrathët k1 dhe k2 k1 k2, me rreze të njëjtë. Te secili rreth janë A shënuar kordat: α δ AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm dhe C β M γ MN = 2 cm. Cilët kënde të shënuara janë mes D K vete të barabartë? Pse? N
  • Di se këndeve qendrore të barabartë te rrathëve me rreze të barabarta iu përgjigjenB harqet rrethore të barabarta (përkatësisht korda). Atë mund ta shfrytëzosh gjatë 107 konstruktimeve të këndeve të barabarta me këndin e dhënë dhe atë vetëm me ndihmën e vizorit dhe kompasit. Si bëhet ajo? Shihe detyrën vijuese.8 Është dhënë këndi a= ∢KOL (viz. a). L Konstrukto kënd të barabartë me këndin α. a) α Përcjelle ecurinë hap pas hapi. O K Vizato gjysmëdrejtëzën PT (viz. b). b) Me hapje të çfarëdoshme të kompasit, në këndin e dhënë a), vizato P T pjesë të rrethit me qendër në pikën O, e cila do ti pretë krahët e kën- L dit OK dhe OL. Kështu do ta fitosh kordën AB që i përgjigjen ∢AOB B (fig. c). c) Me hapjen e njëjtë të kompasit, si te fig. c, vizato pjesë të rrethit me α qendër te pika P (viz. d). O A K Hape kompasin dhe „mere" me të largesën AB nga fig. c. Vendose majën e kompasit te pika M dhe me krahun tjetër preje N harkun paraprakisht të vizatuar në fig. d; në atë mënyrë do ta fitosh pikën N. d) Vizato gjysmëdrejtëzën PS që kalon nëpër pikën N (fig. e); me atë do të fitosh këndin ∢TPS = α. P M T S N9 Vizato këndin e gjerë α, pastaj konstrukto kënd β të barabartë me këndin α. e) Duhet të dish! P M T Të sqarosh cili kënd quhet kënd qendror; Testohu! Si është raporti ndërmjet këndeve qendrore A N të barabartë dhe harqeve rrethore përkatëse; Te rrethi k në vizatim, Se këndeve qendrore të barabartë u përgjig- AB = MN dhe AB > CD. O jen korda të barabarta. Cilët prej këndeve të B M shënuar janë të barabartë C D ndërmjet tyre? Detyra1. Cili kënd quhet kënd qendror? 3. Vizato kënd të ngushtë α, pastaj vizato kënd β të barabartë me këndin α.2. Vizato rrethin k(O; 3 cm) dhe një kordë të saj AB = 35 mm. Vizato këndin qendror α 4. Vizato kënd të drejtë AOB, pastaj vizato kënd në të cilin shtrihet korda AB. MPN të barabartë me këndin AOB.
  • 108 15 MBLEDHJA DHE ZBRITJA GRAFIKE E KËNDEVE Kujtohu! A 1 Janë dhënë këndet α dhe β. Cakto grafikisht shumën e tyre. Si do të konstruktosh kënd β të barabartë me këndin α? Në vizatim është dhënë këndi α dhe gjys- mëdrejtëza OA. α β Shihe vizatimin dhe vepro sipas rreg- ullave. α C O A BKonstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α. β α O A Vizato dy kënde α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OA. Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harkun Prej aktiviteteve paraprake mund të vëresh se si rrethor të këndit α, të këndit β dhe gjysmë- mblidhen grafikisht (në mënyrë konstruktive) drejtëzës OA. këndet. Konstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α. Me mënyrën e përshkruar fituam kënd AOC, Konstrukto këndin BOC të barabartë me këndin β. që është i barabartë me shumën e këndeve α Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β? dhe β, dmth. ∢AOC = α + β. Kjo rregull quhet mbledhja grafike ose konstruksioni i Me çka është i barabartë këndi AOC? Shkruaje atë shumës së dy këndeve. simbolikisht.2 Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të drejtë β, e pastaj cakto grafikisht shumën e tyre.B 3 Janë dhënë këndet α dhe β. Cakto grafikisht ndryshimin e tyre. Shihe vizatimin dhe vepro sipas rregullave. R N α β O M Vizato kënd të gjerë α, kënd të ngushtë β dhe gjysmëdrejtëz OM. Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harqe rrethore të këndeve α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OM. Konstrukto kënd MON të barabartë në këndin α. Konstrukto kënd NOP të barabartë me këndin β ashtu që krahu OP të jetë në zonën e këndit MON.
  • Ashtu e fitove këndin MOP. Çka paraqet këndi MOP për këndet α dhe β? 109 Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β? Me rregullën e përshkruar e fituam këndin ∢MOR = α - β; me të është kryer zbritja grafike gjegjë- sisht konstruktive e këndeve α dhe β.4 Vizato kënd të drejtë α dhe kënd të ngushtë β, kurse pastaj cakto grafikisht ndryshimin e tyre. Duhet të dish! Testohu! C B Grafikisht të caktosh Në lidhje me vizatimin shkruaj Shumën e dy këndeve; simbolikisht: Ndryshimin e dy Çfarë paraqet këndi AOC për kën- O A këndeve. det AOB dhe BOC? Çfarë paraqet këndi AOC për këndet AOC dhe COB? Detyra1. Vizato dy kënde të ngushtë α dhe β dhe 4. Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd të ngushtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre. konstrukto shumën e tyre.2. Vizato kënd të ngushtë α dhe konstrukto 5. Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd të drejtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre. këndin 2α (2α = α + α). 6. Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të ngushtë3. Vizato tre kënde të ngushtë α, β dhe γ, pas- β, β është më i vogël se α, e pastaj konstruk- taj konstrukto këndin α + β + γ. to këndin 2α − β. Përpiqu! Sa kënde (të shënuara me hark) ka në vizatim? C Cilat çifte të këndeve janë pran- B ishme? D Pika O shtrihet në drejtëzën AE. Cilat çifte të këndeve janë të puqtë. A O E
  • 110 16 MATJA E KËNDEVE Edhe këndet mund të krahasohen dhe Kujtohu! A sipas saj edhe të maten. Me cilën vegël matet gjatësia e segmentit? 1 Në vizatim, harqet AB, A V BC dhe CD janë të puthitshme. Çfarë janë ndërmjet tyre këndet qendrore α, β Numëro (së paku tre) njësi matëse të gjatë- dhe γ? sisë. Këndi AOD është shumë e këndeve α, β dhe γ, Vizato kënd α dhe kënd β që është më i të cilat janë reciprokisht të puthitshme. Sa herë madh se α. këndi α përmbahet në këndin AOD? Çfarë janë ndërmjet vete këndet qendrore har- qet përkatëse të të cilëve janë të puthitshme? Thuhet edhe: numri matës i këndit AOD në raport me këndin α është 3.2 Harqet AB, BC, CD, DE dhe EF në viza- 3 Vëreje këndin e shtrirë AOB dhe harkun tim janë të puthitshme. Cili është numri përkatës të gjysmërrethit në vizatim. matës i këndit: a) AOF; b) AOC në lidhje me këndin α? Vëre se gjysmërrethi është ndarë në 180 pjesë. Cila pjesë e këndit të shtrirë është kënd qendror, të cilit i përgjigjet 180-tës pjesë e gjysmërrethit? Këndi i cili është 180-ta pjesë e këndit shtrirë merret për njësinë themelore për matjen e këndeve. Madhësia e tij quhet shkalla këndore ose shkurtimisht shkallë. Shënohet me: 1o; lexohet “një shkallë”. Kam vërejtur se: nëse këndi shtrirë Sa shkallë ka këndi shtrirë? 4 ndahet në 180 pjesë, fitohet kënd Sa shkallë kë këndi i drejtë? prej 1o.
  • Vegla për matjen e këndeve quhet këndmatës.B 111 Këndmatësi është paraqitur në vizatim. Këndmatësi mund të bëhet prej pllakës së hollë metalike ose prej plastike. Ai e ka formën e gjysmërrethit të ndarë në 180 pjesë të 0 barabarta dhe çdo pjesë paraqet një shkallë. Te shkalla janë paraqitur numra prej 0 deri më 180, kurse qendra e gjysmërrethit është shënuar me O. S5 Shihe vizatimin te i cili është paraqitur matja e këndit BAC dhe përgjigju: Ku është vendos pika O e këndmatësit? Ku shtrihet krahu AB i këndit BAC? A Lexo te këndmatësi, sa shkallë ka këndi ∢BAC? 0 V6 Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve në vizatim? S K V A M N 0 0 a) b)7 Me ndihmën e këndmatësit vizato ∢MPN = 105o. R M Vizato gjysmëdrejtëzën PM me pikën e fillimit P. Vendose këndmatësin ashtu që pika O të puthitet me pikën fillestare P të gjysmëdrejtëzës PM. N P M Shëno pikë N në vendin ku shkalla e 0 R M këndmatësit tregon 105o. Tërhiq gjysmëdrejtëz PN. Në atë mënyrë me ndihmën e këndmatësit, vizatove ∢MPN = 105o.
  • 112 8 Me ndihmën e këndmatësit vizato kënd prej: a) 48o; b) 115o; Njësitë më të vogla se shkalla për matjen e këndit janë minuta këndore ose shkurtimisht C minuta (shënohet 1) dhe sekonda këndore ose shkurtimisht sekonda (shënohet 1"). Një shkallë ka gjashtëdhjetë minuta, kurse një minutë ka gjashtëdhjetë sekonda. 1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’. Nëse këndi i dhënë α ka 25 shkallë, 38 minuta dhe 42 sekonda, ajo shkruhet kështu: α = 25o 28’ 42’’.9 Shndërroji në minuta: a) 5°; b) 12° 45; c) 45° 15. a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.10 Shndërroji në sekonda: a) 4°; b) 10° 15 ; c) 20° 20 20". Duhet të dish! Testohu! Cila është njësia themelore për matjen e madhësisë së një këndi; I cili lloj është këndi që ka 90o? Cilët janë njësi më të vogla se shkalla; I cilit lloj është këndi që ka 124o? Çfarë është shkalla këndore; Shndërro në minuta 35o 17’. Sa minuta ka 1o; Shndërro në sekonda 15o 2’ 13’’. Sa sekonda ka 1’; Detyra D C Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve: BOC, M1. COD, BOD dhe NOM në vizatim?2. Mati këndet α dhe β në vizatim. N B O α β3. Vizato kënd prej: a) 47°; b) 126°. 5. Radhiti këndet sipas madhësisë, duke filluar prej më të voglit: α = 71o 35’; Paraqiti në minuta këndet: β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’;4. a) 25o; b) 30o 15’. δ = 84o 35’ 40’’.
  • 17 OPERACIONE ARITMETIKE ME KËNDE 113 Kujtohu! A 1 Njehso shumën e këndeve Njësia themelore për matjen e këndit është α = 85o 36’ 25’’ dhe β = 32o 12’ 20’’. shkalla. Vëre rregullën gjatë zgjidhjes: Njësitë më të vogla se shkalla janë minuta dhe sekonda. 1. Mblidhi sekondat. 25’’ + 20’’ = 45’’ 1o= 60’; 1’ = 60’’; 1o = 3 600’’. 2. Mblidhi minutat. 36’ + 12’ = 48’ Shndërroji në shkallë: 3. Mblidhi shkallët. 85o + 32o = 117o a) 120; b) 180; Shndërroji në shkallë dhe minuta: 85o 36’ 25’’ a) 86; b) 145. + 32o 12’ 20’’ α + β = 117o 48’ 45’’. 117o 48’ 45’’2 Njehso shumën e këndeve α = 48o 32’ 15’’ dhe β = 60o 8’ 20’’.3 Njehso ndryshimin e këndeve α = 78o 38’ 42’’ dhe β = 26o 15’ 18’’. Vëre rregullën. 1. Zbriti sekondat. 42’’ - 18’’ = 24’’ 78o 38’ 42’’ 2. Zbriti minutat. 38’ - 15’ = 23’ - 26o 15’ 18’’ α - β = 52o 23’ 24’’. 3. Zbriti shkallët. 78o - 26o = 52o 52o 23’ 24’’4 Njehso ndryshimin e këndeve α = 108o 52’ 36’’ dhe β = 42o 24’ 15’’.5 Njehso shumën e këndeve α = 84o 36’ 30’’ dhe β = 35o 42’ 50’’. Vëre rregullën. 1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’ 84o 36’ 30’’ 2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’ + 35o 42’ 50’’ 3. 84o + 35o + 1o = 120o 120o 19’ 20’’ α + β = 120o 19’ 20’’.6 Njehso shumën e këndeve α = 68o 35’ 26’’ dhe β = 46o 42’ 52’’.
  • 114 Njehso ndryshimin e këndeve α = 90o 25’ 18’’ dhe β = 28o 36’ 35’’. B 7 Vëre rregullën. 1. 18’’ < 35’’. Od 25’ zbresim 1’; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’ 2. 24’ < 36’. Od 90o zbresim 1o; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’ 3. 89o - 28o = 61o 90o 25’ 18’’ - 28o 36’ 35’’ 61o 48’ 43’’ α - β = 61o 48’ 43’’.8 Njehso ndryshimin e këndeve α = 105o 25’ 20’’ dhe β = 68o 42’ 30’’.9 Njehso ndryshimin e këndeve α = 88o 24’ dhe β = 25o 38’ 40’’. Vëre rregullën 1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’ 88o 24’ 2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’ - 25o 38’ 40’’ 3. 87o - 25o = 62o 62o 45’ 20’’ α - β = 62o 45’ 20’’.10 Njehso ndryshimet: a) 90o - 35o 42’; b) 180o - 65o 25’ 35’’. PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DINË MË SHUMË1 Njehso 4α , nëse α = 28o 32’ 24’’. Vëre rregullën. 1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’ 4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 9’ 36’’ 2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’ 4α = 114o 9’ 36’’. 3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o2 Njehso 5α , nëse α = 20o 18’ 28’’.
  • 3 Njehso α : 6, nëse α = 76o 32’ 42’’. 115 Vëre rregullën. 76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’ - 72o 4o 32’ = 272’ 4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’ - 270’ 2’ 42’’ = 162’’ 2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’ - 162’’ 04 Cili kënd është 4 herë më i vogël se këndi α = 75o 34’ 20’’? Duhet te dish! Testohu! Këndet mblidhen ashtu që me radhë mblidhen sekondat, minutat dhe pastaj shkallët; Njehso α + β i α − β, nëse të mbledhësh kënde kur shuma e sekondave, përkatësisht e α = 68o 45’ 22’’ dhe minutave është më e madhe se 60; β = 30o 25’ 48’’. këndet zbriten ashtu që me radhë zbriten sekondat, minutat dhe pastaj shkallët; të zbresësh këndet kur numri i minutave ose i sekondave te i zbritshmi është më i vogël se numri i njëjtë te zbritësi. Zada~i 4. Njehso këndin β i cili me këndin α jep1. Njehso α + β i α - β, nëse shumën prej 180o, nëse α është: α = 88o 26’ 32’’ dhe β = 25o 10’ 20’’. a) α = 78o 30’; b) α = 65o 35’ 25’’.2. Njehso α + β i α - β, nëse Përpiqu! α = 76o 32’ 42’’ dhe β = 40o 38’ 50’’. Në vizatim është vizatuar këndi prej 19o. 19o3. Njehso këndin β i cili me këndin a jep shumën prej 90o, nëse α është: Si mundet pa këndmatës, e vetëm me kompas dhe vizore, të konstruktohet kënd prej 1o? a) α = 36o 40’; b) α = 42o 42’ 42’’.
  • 116 18 DREJTËZAT RECIPROKISHT NORMALE. LARGESA E PIKËS DERI TE DREJTËZA Kujtohu! A 1 Në vizatim janë dhënë drejtëzat m dhe n. Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet: a b n R Drejtëzat a dhe b në vizatim priten. β α m Ato kanë vetëm një pikë të përbashkët. Cila është ajo pikë? Çfarë pozite reciproke kanë drejtëzat m dhe n? Çfarë këndi formojnë këndet α dhe β? Mbaj në mend! Nëse α është kënd i drejtë, çfarë është këndi β?Për dy drejtëza që priten e formojnë kënde të drejtë Të mbaj mend! Drejtëzat mthemi se janë drejtëza reciprokisht normale (pin- dhe n priten dhe formojnëgule) ose themi se njëra drejtëz është normale me kënd të drejtë. Ato janëtjetrën. Atë simbolikisht e shënojmë: m ⊥ n. drejtëza reciprokisht normale.2 Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë A që nuk shtrihen në atë drejtëz. Vizato drejtëzën s që kalon nëpër pikën A dhe është normale me drejtëzën p. MB 3 Cakto largesën më të shkurtër prej pikës M deri te drejtëza p në vizatim. Shihe vizatimin dhe vepro sipas kërkesave. p Mati largesat e segmenteve MA, MB, MC, MD A B C D E dhe ME dhe krahasoji. Cila prej këtyre largesave është Të mbaj mend! Mund të përfundoj më e vogël? se largesa më e vogël është largesa Çfarë pozite reciproke kanë MC, e ajo është gjatësia e segmentit drejtëza p dhe drejtëza MC? që është normale në drejtëzën p. Mbaj mend! Me largesë e pikës M deri te drejtëza p nënkuptohet „largesa më e shkurtër ". Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e normales e tërhequr prej pikës M deri te drejtëza p. Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e segmentit MC, ku C është prerja e normales dhe drejtëzës p.
  • A4 Cakto largesën të pikës A deri te drejtëza a në vizatim. Shihe vizatimin 117 a) dhe vepro sipas ecurisë. Vizato drejtëzën b që kalon nëpër pikën A dhe është normale në a drejtëzën a (duke e shfrytëzuar këndin e drejtë të vizorit tënd A trekëndor). Shënoje pikë prerjen B të drejtëzave a dhe b. b Gjatësia e segmentit AB është largesa e pikës A deri te drejtëza a. a) Në këtë rast AB = 27 mm. a V R5 Cili prej segmenteve në vizatim është largesë e pikës P deri te drejtëza a? Mate largesën e pikës P deri te drejtëza a. a A B C D6 Vizato drejtëzën a dhe shëno pikë A që është 3 cm larg prej drejtëzës a. Duhet të dish! Testohu! Për cilat drejtëza themi se janë reciprokisht nor- Larg një fshati kalon një lum. Në lum duhet të ndërtohet urë ashtu që male? të jetë sa më afër fshatit. Të caktosh largesën e Sqaro, sipas asaj që mësove, si do ta caktosh vendin se ku duhet të pikës deri te drejtëza. vendoset ura në lum. Detyra1. Ç’është largesë e pikës deri te drejtëza? 4. Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë P që është në largesë 2cm prej drejtëzës p.2. Vizato drejtëzën m dhe shëno pikë M që nuk shtrihet në atë drejtëzën. Cakto largesën e pikës M deri te drejtëza m. 5. Vizato drejtëzën p dhe në të shëno pikë M. Nëpër pikën M tërhiqe drejtëzën q, normale me p.3. Cakto largesën e pikës A deri te drejtëza c në vizatim. A S c V D
  • 118 19 SIMETRALJA E SEGMENTIT. PËRGJYSMORJA E KËNDIT Kujtohu! A 1 Është dhënë segmenti AB. Nëpër pikën e mesme O të tërhiqe A M V drejtëzën s që është normale me Pika M është mesi i segmentit segmentin AB. AB = 3 cm. Cakto: AM dhe MB. s Drejtëzat a dhe b në vizatim a b A O V janë reciprokisht normale. α I cilit lloj është këndi α? izato segment AB. Cakto mesin O të segmentit AB. Nëpër pikën O tërhiq drejtëzën s normale me drejtëzën AB. Si janë pjesët që drejtëza s e ndan segmentin AB? Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza s dhe segmenti AB? Vëre dhe mbaj mend! Drejtëza s e cila përgjysmon segmentin AB dhe është normale me të quhet simetrale e segmentit AB. m n s2 Cila prej drejtëzave në vizatim është simetrale e segmentit MN? M R N3 Vizato segment CD dhe pastaj vizato simetralen e tij s. BB 4 Në vizatim është dhënë ∢AOB = 68o dhe në zonën e tij është tërhequr gjysmëdrejtëza OC ashtu që ∢AOC = 34o. C Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen. Sa shkallë ka ∢COB? O A Si janë pjesët që gjysmëdrejtëza OC e ndan këndin AOB? Përfundova! Gjysmëdrejtëza OC e ndan Mbaj mend! këndin AOB në dy pjesë të barabartë. Gjysmëdrejtëza që e ndan këndin në dy ∢AOB = 68o, kënde të barabartë quhet përgjysmore ose ∢AOC = 34o dhe ∢COB = 34o. simetrale e atij këndi.
  • Provo, cila prej gjysmëdrejtëzave: OM, ON dhe OP në B5 P 119 vizatim është përgjysmore e këndit AOB. N6 Vizato kënd prej 56° dhe me ndihmën e kënd- M matësit tërhiq përgjysmoren e tij. O A Duhet të dish! Testohu! Të sqarosh: Ç’është simetralja e segmentit dhe ç’është përgjysmorja e këndit. Vizato segmentin EF = 48 mm si në vizatim, Të vizatosh: simetrale të segmentit të dhënë pastaj vizato simetralen e tij. dhe përgjysmore të këndit të dhënë. Vizatoj ∢AOV = 100o dhe pastaj tërhiq përgjysmoren e tij. Pikërisht pas Sa simetrale mundet të tërhiqen: simetralja! për segmentin e dhënë; për këndin e dhënë? F E Detyra1. Simetralja s e pret segmentin 5. Gjysmëdrejtëza OP është përgjysmore e AB = 5 cm në pikën M. ∢MON = 84o. Njehso: AM. Sa shkallë ka ∢MON?2. Simetralja s e pret segmentin MN në pikën P, ashtu që MP = 35 mm. Njehso gjatësinë e 6. Gjysmëdrejtëza OC është përgjysmore e segmentit MN. ∢AOB. Njehso ∢AOB, nëse ∢AOC = 35o.3. Vizato segment: AB = 5 cm, pastaj vizato simetralen e tij. 7. Vizato kënd α = 76o dhe tërhiqe përgjys- Vizato vijë të thyer me dy segmenteve AB more e tij.4 dhe BC. Vizato simetralet e segmenteve AB dhe BC.
  • 120 20 KËNDET KOMPLEMENTARE DHE SUPLEMENTARE Kujtohu! A 1 Cili prej çifteve të këndeve kanë shumë 90o? Në vizatim është konstruktuar shuma e a) α = 35o dhe β = 55o; këndeve α = 40o dhe β = 50o. b) α = 26o dhe β = 46o; c) α = 48o dhe β = 52o. α = 40o β Mbaj mend! α Për dy kënde shuma e të cilëve është 90° thuhet se β= 50o janë kënde komplementare. Sa është shuma e këndeve α dhe β? 2 Këndet α dhe β a janë komplementar, nëse: Sa shkallë ka këndi i drejtë? a) α = 25o dhe β = 65o; Sa shkallë ka këndi α + β? b) α = 23o dhe β = 77o; c) α = 44o dhe β = 46o?3 Nëse α = 32o, atëherë sa është këndi i tij komplementar β?B 4 Mati këndet α dhe β dhe njehso shumën e tyre. α β Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. S Çfarë këndi është shuma e α dhe β? Sa shkallë ka këndi i shtrirë? β α Sa shkallë ka ∢AOB, që është shuma e këndeve A O V α dhe β? Kam vërejtur: Shuma e këndeve α dhe β është 180o, dmth. shuma e tyre është e njëjtë me këndin e shtrirë.
  • Mbaj mend! 121 Për dy kënde shuma e të cilëve është 180o thuhet se janë kënde suplementare.5 Cilët prej këndeve α dhe β janë suplementare: α = 65o dhe β = 115o; α = 108o dhe β = 72o; α = 125o dhe β = 65o?6 Nëse α = 75o, atëherë sa është këndi i tij suplementar β? Duhet të dish! Testohu! Për cilin çift të këndeve themi se janë kënde komplementare? Nëse ∢AOV = 62o. Cili prej këndeve: α = 38o; Për cilët çift të këndeve themi se janë β = 118o; γ = 28o është: kënde suplementare? komplementar me këndin AOB; suplementar në këndin AOB? Detyra1. Provo këndet α dhe β a janë komplementar, 4. A janë këndet α dhe β suplementare, nëse: nëse: a) α = 105o dhe β = 65o; a) α = 48o dhe β = 52o; b) α = 128o dhe β = 52o; b) α = 32o dhe β = 58o; c) α = 46o dhe β = 134o. c) α = 66o dhe β = 24o.2. Njehso këndin komplementar të këndit 5. Njehso këndin suplementar të këndit α = 76o. α = 39o.3. Vizato një kënd të ngushtë, pastaj konstrukto 6. Vizato një kënd të gjerë, pastaj konstrukto këndin e tij komplementar. këndin e tij suplementar.
  • 122 21 SHUMËKËNDËSHI Kujtohu! A 1 Në vizatim janë dhënë vijat e thyera të mbyllura KLMNP dhe ABCDE. Shqyrtoje Në vizatim janë dhënë tre vija të thyera. vizatimin dhe përgjigju në pyetje. P D M E a) b) c) CVija e thyer nën a) është e hapur, kurse nën K Lb) dhe c) është e mbyllur. A B Brinjët AB dhe BC të vijës së thyer ABCDE Njanë fqinje. Ato kanë kulm të përbashkët B. Cilat brinjë të vijës së thyer KLMNP e presin brin- jën KL? D Brinjët që e presin brinjën KL a janë brinjët fqinje E të saj? C A ka brinjë jo fqinje te vija e thyer ABCDE që priten? A B Cilët prej brinjëve të vijës së thyer ABCDE nuk janë fqinje me brinjën AB? Me të vërtetë te vija e thyer ABCDE nuk ka brinjë jo fqinje që priten. Vija e thyer e mbyllur ku nuk ka brinjë jo fqinje që nuk priten quhet vijë poligo- nale. 2 Vizato vijë poligonale DEFGH. D E B 3 Shihe vijën poligonale ABCDEF në vizatim. Në sa pjesë vija poligonale e ndan rrafshin? C F Pjesa e hijesuar quhet pjesa e brendshme ose zona e brendshme e vijës poligonale B A Vija poligonale dhe zona e saj e brend- shme formojnë një figurë gjeometrike.
  • Mbaj mend! 123Figura gjeometrike e formuar prej një vije poligonale dhe pjesës së saj të brendshmequhet shumëkëndësh.4 Cila prej figurave në vizatim është shumëkëndësh? a) b) c)5 Në vizatim është dhënë shumëkëndëshi ABCDE. D Pikat: A, B, C, D dhe E janë kulme të shumëkëndëshit. Kulmet A dhe B janë kulme fqinje - shtrihen në të njëjtë brinjë. Cilat kulme janë kulme fqinje me kulmin D? E C Cilat kulme nuk janë fqinje me kulmin C? Segmentet: AB, BC, CD, DE dhe EA quhen brinjë të shumëkëndëshit ABCDE. A B Për cilat brinjë të shumëkëndëshit ABCDE kulmi B është kulm i përbashkët? Për brinjët AB dhe BC pika B është kulm i përbashkët. Ato quhen brinjë fqinje. N6 Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP janë brinjë fqinjë të brinjës MN? P M7 Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP nuk janë brinjë fqinjë të brinjës KL? K L8 Shihe shumëkëndëshin KLMNP. Me cilat gjysmëdrejtëza është formuar këndi KLM? Sa kënde formojnë gjysmëdrejtëzat, në të cilat shtrihen brinjët e shumëkëndëshit KLMNP në zonën e tij të brendshme?
  • Vëre dhe mbaj mend!124 Këndet: KLM, LMN, MNP, NPK dhe PKL janë kënde të shumëkëndëshit.9 Vizato shumëkëndësh ABCD dhe shënoji këndet e tij me α, β, γ dhe δ. Duhet të dish! Testohu! Ç’është vija poligonale? Pse vija e thyer në vizatim E C Cila figurë gjeometrike quhet nuk është vijë poligonale? shumëkëndësh? Cilat brinjë të vijës së Ç’është kulmi, ç’është brinja dhe ç’është thyer ABCDE nuk janë këndi i shumëkëndëshit? brinjë fqinje me brinjën Cilat janë kulme fqinje dhe cilat janë CD? A B kulme jo fqinje të shumëkëndëshit? Cilat janë brinjë fqinje dhe cilat janë brinjë jo fqinje të shumëkëndëshit? D Detyra 4. Cilat kulme të D shumëkëndëshit Cilat prej vijave të thyera janë vija poligo- ABCDE nuk janë E C1. fqinje me kulmin D? nale? A B 5. Cilat brinjë të N shumëkëndëshit P KLMNP, në vizatim janë a) b) M fqinje me brinjën MN?2. Cila prej figurave gjeometrike në viza- K L tim është shumëkëndësh? Ndihmoji kopshtarit! a) b) c) Një kopshtar ka marrë për detyrë të mbjellë 12 fidan në 6 rreshta, nga 4 fidan në çdo rresht.3. Vizato shumëkëndëshin ABCD. A do të mundet kopshtari ta kryej detyrën.
  • 22 DISA LLOJE TË SHUMËKËNDËSHAVE 125 Kujtohu! A 1 Te vizatimet a) dhe b) janë dhënë dy shumëkëndësha dhe disa segmente Si quhet figura gjeometrike që është for- pikat e skajshme të të cilave u tako- muar prej një vije poligonale dhe zonës së jnë shumëkëndëshave. saj të brendshme? Shihi vizatimet dhe përgjigju në pyetjet. Pikat D, E dhe G shtrihen te shumëkëndëshi ABCD. Y S D M H R V H C G T E F X G O T U A B F a) b) Edhe cilat prej pikave të shënuara shtrihen te shumëkëndëshi ABCD? Ku shtrihen të gjitha pikat e segmenteve FG, HT Cilat prej pikave të shënuara nuk shtrihen dhe XY? te shumëkëndëshi ABCD? Vallë të gjitha pikat e segmenteve: OR, ST dhe UV shtrihen te shumëkëndëshi nën b)? Vëre! Te shumëkëndëshi nën a) të gjitha pikat e segmenteve ku pikat e skajshme shtrihen te shumëkëndëshi, janë pika të atij shumëkëndëshi. Për shumëkëndëshat e atillë thuhet se janë të mysët (konveks). Te shumëkëndëshi nën b) disa pika të segmenteve pikat e skajshme të të cilave shtrihen te shumëkëndëshi, nuk i takojnë shumëkëndëshit. Për atë shumëkëndësh thuhet se është të lugët.2 Cilët prej shumëkëndëshave c) a) d) në vizatim janë të mysët? b)3 Vizato një shumëkëndësh të mysët dhe një të lugët. Kujtohu! D Shihe shumëkëndëshin ABCDE në vizatim. Pikat: A, B,C, D dhe E janë kulme, segmentet AB, BC, CD, E C DE dhe E a janë brinjët e shumëkëndëshit. Këndet: ABC, BCD, CDE, DEA dhe EAB janë kënde të shumëkëndëshit. A B
  • N126 B 4 Shihi shumëkëndëshat në C G vizatim dhe përgjigju në pyetjet. H P M Sa kënde, kulme dhe brinjë ka çdonjëri prej shumëkëndëshave? F Si quhet shumëkëndëshi ABC? K L A B E Mbaj mend!Sipas numrit të këndeve (kulmeve ose brinjëve) Po, ai ka tre kënde dhe quhetshumëkëndëshi mund të jetë: trekëndësh. trekëndësh - shumëkëndësh me tre kënde (kulme dhe brinjë); katërkëndësh - shumëkëndësh me katër kënde (kulme dhe brinjë); pesëkëndësh - shumëkëndësh me pesë kënde (kulme dhe brinjë).5 Cili shumëkëndësh quhet gjashtëkëndësh? a) b)6 Vizato shumëkëndësh me shtatë brinjë. Si quhet shumëkëndëshi i tillë?7 Cakto llojin e çdo shumëkëndëshi në vizatim. c) Më tutje, me shumëkëndësh do të nënkuptojmë shumëkëndësh e mysët, nëse nuk është thënë ndryshe. Duhet të dish! D Testohu! Cili shumëkëndësh quhet i mysët? Cili shumëkëndësh quhet i lugët jo Pse shumëkëndëshi ABCD konveks? në vizatim është i lugët? Si ndahen shumëkëndëshat sipas num- Si quhet shumëkëndëshi që C rit të këndeve (kulmeve, brinjëve)? ka 8 brinjë? A B Detyra 2. Vizato pesëkëndësh ABCDE.1. Cili shumëkëndësh quhet shumëkëndësh i mysët? Cilët kulme janë fqinje me kulmin B? Cilët brinjë janë jo fqinje me brinjën BC?
  • 3. Cilët prej pikave të shënuara në 4. Shëno pesë pika A, B, C, D dhe E si në viza- 127 vizatim shtrihen te shumëkëndëshi tim, e pastaj vizato pesëkëndësh ABCDE që ABCD? është I lugët. D E D C C N E G H F A M B A B 23 PERIMETRI I TREKËNDËSHIT Kujtohu! C A 1 Shihe shumëkëndëshin ABCD në viza- tim. Në të janë dhënë gjatësitë e seg- menteve prej të cilëve përbëhet vija poligonale e shumëkëndëshit. A V C Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC. 4 cm D 3 cm Njehso perimetrin e katrorit me brinjë a = 5 cm. 2 cm A 4 cm B Njehso perimetrin e vijës poligonale ABCD. Perimetri i vijës poligonale që e formon shumëkëndëshin quhet perimetër i shumëkëndëshit dhe shënohet me P. Vëre!Perimetri i shumëkëndëshit ABCDE në vizatim është: P = AB + BC + CD + DA;P = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, dmth. P = 13 cm. S2 Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCDE, nëse: AB = 4 cm, BC = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm i EA = 3 cm. b a B 3 Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC në vizatim nëse: a = 28 mm, b = 32 mm dhe c = 40 mm. A c V
  • 128 Mbaj mend! P = AB + BC + CA, gjegjësisht P = a + b + c.4 Njehso brinjën a të trekëndëshit ABC, nëse janë dhënë: a) P = 22 cm, b = 9 cm dhe c = 6 cm; b) P = 30 cm, b = 12 cm dhe c = 8 cm; Përcjelle zgjidhjen: Kujtohu! a) P = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15, Cili trekëndësh quhet trekëndësh a = 22 - 15; a = 7 cm. barakrahës? Zgjidhe detyrën nën b).5 Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës ABC me bazë AB = a = 4 cm dhe krah AC = BC = b = 3 cm. Vëreje mënyrën! C P = AB + BC + AC, P = a + b + c; L = a + b + b, dmth. b a P = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, dmth. P = 10 cm.6 Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazë A c B a = 8 cm dhe krah b = 6 cm.7 Njehso bazën a të trekëndëshit barakrahës, nëse janë dhënë: a) perimetri P = 23 cm dhe krahu b = 7 cm; b) perimetri P = 30 cm dhe krahu b = 9 cm. Përcjelle zgjidhjen nën a)! Mbaj mend! P = a + b + b, P = a + 2 ⋅ b 23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm; F8 ΔAVS është trekëndësh barabrinjës me brinjë a = 5 cm. a a Njehso perimetrin e ΔAVS. D a E
  • Përcjelle zgjidhjen! 129 Mbaje mend! P = AB + BC + CA, P = a + a + a, P=3⋅a P = 3 ⋅ 5; P = 15 cm. Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 8 cm.9 Njehso brinjën e trekëndëshit Përcjelle zgjidhjen! barabrinjës me perimetër: a) P=18; b) P=36cm. P = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm. Duhet të dish! Testohu! Çka është perimetër i shumëkëndëshit; Njehso perimetrin e trekëndëshit të njehsosh perimetrin e shumëkëndëshit; barakrahës me bazë a = 4 cm dhe krah të njehsosh perimetrin e trekëndëshit; b = 5 cm. të njehsosh një brinjë të shumëkëndëshit, nëse Njehso brinjën a të trekëndëshit ΔAVS, është dhënë perimetri dhe brinjët tjera të tij; nëse P = 24 cm, b = 7 cm dhe c = 9 cm. Detyra Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCD,1. 6. Trekëndëshi barakrahës me bazë a = 12 cm e nëse: AB = 3 cm, BC = 34 mm, ka perimetrin P = 32 cm. Njehso krahun e atij CD = 46 mm dhe DA = 5 cm. trekëndëshi.2. Njehso perimetrin e ΔAVS, nëse: 7. Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjës a = 8 cm, b = 12 cm dhe c = 9 cm. me brinjë a = 18 cm.3. Njehso brinjën e ΔAVS, nëse: P = 42 cm, b = 12 cm dhe c = 15 cm. 8. Trekëndëshi barabrinjës e ka perimetrin P = 27 cm. Njehso brinjën e atij trekëndëshi.4. Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazë a = 8 cm dhe krah b = 11 cm. 9. Gjatësitë e katër brinjëve të një pesëkëndëshi janë: 32mm, 25mm, 28mm dhe 35mm, ndërsa5. Perimetri i një trekëndëshi barakrahës është perimetri i tij është P=150mm. njehso gjatës- 34 cm, njehso bazën a të atij trekëndëshi, inë e brinjës së pestë. nëse krahu është b = 12 cm.
  • 130 24 MËSOVE PËR FIGURA GJEOMETRIKE NË RRAFSH. KONTROLLOJE DIJENINË TËNDE 1. Vizato drejtëzat p e q, dhe shëno pikat A, 9. Në vizatim emërtoji të B dhe C që shtrihen në drejtëzën p dhe gjitha kënde tëpikat C, D dhe E që shtrihen në drejtëzën q. shënuara me hark. NdërmjetShkruaj me simbole ∈ dhe ∉ cilat prej atyre tyre cilat lloje të këndeve ipikave i takojnë, e cilat prej atyre pikave nuk i njohësh?takojnë drejtëzës p, përkatësisht drejtëzës q. 2. A janë kolineare pikat A, B dhe C, nëse AB = 4 cm, BC = 76 mm dhe 10. Vizato kënd α = ∢AOB, siCA = 36 mm? në vizatim. Pastaj, vizato kënd β që është i puqët me AOB. 3. Ç’është segmenti? 4. Vizato dy segmente, a dhe b, si në vizatim. 11. Vizato kënd të gjerë α, e pastaj konstrukto kënd β të barabartë me këndin α. a bPastaj konstrukto segmentin: 12. Vizato këndin e ngushtë α dhe këndin e a) a + b; b) a - b. drejtë β. Pastaj, konstruktoi këndet α + β dhe α - β. 5. Cakto cilat prej vijave të thyera në vizatim janë poligonale. Sqaro pse vijat tjera tëthyera nuk janë poligonale. 13. I cilit lloj është këndi që ka 90o 35? Shndërroji në minuta 90o 35. 14. Njehso këndin β i cili me këndin α = 45o 35 45’’ jep shumën 90o. 1 2 3 4 5 15. Vizato drejtëz p dhe shëno pikë M që është në largesë 3cm nga drejtëza p. 6. Vizato rrethin k(O; 27 mm) dhe në të shëno harkun rrethor AB, ashtu që kordapërkatëse të jetë AB = 35 mm. 16. Ç’është simetralja e segmentit?Sa është diametri i atij rrethi? 17. Provo nëse këndet α = 105o 45 dhe 7. Vizato rrethin k1(O1; 30 mm), e pastaj β = 75o 15 janë suplementare. rrethin k2(O2; r2) i cili do ta takojë k1 ngabrenda, ndërsa largesa qendrore të jetë 10 mm. 18. Perimetri i një katërkëndëshi është 64m, e tre brinjët e tij kanë gjatësi: 24m, 13m dhe 8. a) Ç’është këndi? 14m. Sa është gjatësia e brinjës së katërt? b) Ç’është zona e brendshme e këndit?
  • 131 TEMA 3. THYESA. NUMRAT DHJETOR1. Thyesa. Leximi dhe shënimi i 9. Llojet e diagramit. Zgjedhja e thyesës 132 diagramit 1572. Llojet e thyesave 135 10. Mbledhja e numrave dhjetorë 1603. Paraqitja e thyesave në boshtin 11. Zbritja e numrave dhjetorë 163 numerik. Barazia e thyesave 140 12. Shumëzimi i numrave dhjetorë 1664. Mbledhja dhe zbritja e thyesave 13. Pjesëtimi i numrave dhjetorë 170 me emërues të barabartë 143 14. Shndërrimi i thyesës në numër5. Thjeshtimi dhe zgjerimi i dhjetor 175 thyesave 146 15. Rrumbullakimi i numrit dhjetorë 1786. Thyesa dhjetore. Numri dhjetor 149 16. Zgjedhja e modelit 1807. Vetitë e numrave dhjetorë 153 17. Mësove për thyesa. Numrat8. Paraqitja e numrave dhjetor në dhjetorë. Kontrollo njohurinë drejtëzën numerik. Krahasimi i tënde 182 numrave dhjetor 155
  • 132 1 THYESA. LEXIMI DHE SHËNIMII THYESAVE Kujtohu! A 1 Në një shitore ka vetëm bukë tëNë vizatim figurat janë ndarë në pjesë me plota. Si do të vepron shitësi nësesyprina të barabarta. kërkon të blesh gjysmë buke? 2 Sa gjysma ka një e plotë? Sa të treta ka një e plotë? 3 Në një byrektore ka një pite të plotë të byrekut. Si do të vepron shitësi nëse kërkon të blesh të katërtën e byrekut? Në sa pjesë të barabarta është ndarë çdon- Piten e byrekut shitësi do ta ndan jëra prej figurave? në katër pjesë të barabarta. Emërto një pjesë të çdo figure. Shprehe dhe shkruaje pjesën e ngjyrosur Një e plotë është ndarë në katër pjesë të të çdo figure. barabarta, dmth. është caktuar sa është 1 : 4. Vëre! Herësit 1 : 4 nuk është numër natyror, pasi asnjë numër natyror i shumëzuar me 4 nuk jep 1. Megjithatë, është e kuptueshme të themi se ai herës është i barabartë me një të katërtën dhe të përvetësojmë se edhe një e katërta është numër. 1 1 Shkruajmë __ , t.e. 1 : 4 = __ . 4 44 Tre fëmijë si do ti ndajnë një lloj dy çokollata? Shihe vizatimin. Në sa pjesë është ndarë çdo çokollatë? Sa pjesë do të merr çdo fëmijë? Cilën pjesë të çokollatës do ta merr çdo fëmijë?
  • Vëre! 133 2 2 2 : 3 = __ ; __ lexohet: dy të treta ose 2 thye për 3. 3 3 2 Mundemi të themi se __ është numër, i shkruar në formë të thyesës, por nuk është 3 numër natyror.5 Shkruaj herësit 1:2; 4:5 dhe 11 : 15 në formë të thyesave dhe lexoni.6 Cili prej këtyre herësve nuk është numër natyror? a) 6 : 3; b) 1 : 3; c) 5 : 6; d) 8:4? Te cili herës i pjesëtueshmi është i plotpjesëtueshëm me pjesëtuesin? Vëre dhe mbaj mend! Herësit 1:3 dhe 5:6 nuk janë numra natyrorë Nëse n nuk është pjesëtues i m, atëherë m : n nuk është numër natyror, m Herësin m : n e shkruajmë __ . n Prandaj, përveç numrave natyrorë do të mësosh edhe numra të tjerë të cilat quhen thyesa. Thyesa është herës i dy numrave natyrorë.B 7 Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Në sa pjesë është ndarë e plota? Shkruani thyesë që tregon pjesën e ngjyrosur. Si quhen numrat me të cilat është shkruar thyesa? Çka tregojnë numrat me të cilat është shkruar thyesa? Në përgjithësi m Thyesa __ është herës i numrave natyrorë m dhe n. Lexohet: m të n-tat. n Numrat me të cilat është shkruar thyesa quhen: m - numërues dhe n - emërues. Ato janë ndarë me vizë e cila quhet vija thyesore. Ajo e zëvendëson shenjën e pjesëtimit. numërues m __ vija thyesore n emërues Emëruesi n tregon në sa pjesë të barabarta është ndarë e plota. Numëruesi m tregon numrin e atyre pjesëve që janë marrë prej të plotës.
  • 134 8 5 Ç’tregon numëruesi dhe emëruesi te thyesa __ ? 69 Shkruaje dhe lexoje thyesën e cila paraqet tetë të 15-tat pjesë të një vere të plotë. Duhet të dish! Testohu! Të shprehish ç’paraqet një thyesë; 5 Vizato katror dhe hijezo __ e katrorit. të lexosh dhe të shkruash thyesa; 8 të sqarosh ç’paraqet numëruesi dhe Çka tregon numëruesi, kurse çka emëruesi emëruesi i një thyese. 5 i thyesës __ ? 8 Cila pjesë e l cm është 1 m? Shkruaj si thyesë 7 dl të një 1 l. Detyra1. Shkruaj herësit në formë të thyesave dhe lex- 5. Shkruaj: oji. a) 3 cm në dm ; b) 28 cm në m; 7 : 9; 12 : 23; 4 : 121. c) 9 dl në l; d)15 g në kg. a2. Shkruaj dhe lexo tre thyesa __ , ku b 6. Shkruaj: a, b ∈ {7, 9, 28, 105}. 1 3 a) __ m në cm; b) __ m në dm; 4 5 2 8 c) __ l në dl; d) __ kg në g.3. Shpreh ç’tregon numëruesi dhe emëruesi i 5 25 thyesës: __ ; 12 ; 38 . 5 __ __ 8 19 125 7. Prej 36 nxënësve të një klasë 21 janë të 4 shkëlqyeshëm. Paraqite me thyesë pjesën e Vizato katror dhe vizo __ të saj. 9 nxënësve të shkëlqyeshëm të asaj klase. 8. Në 8 paketa të njëjta ka gjithsej 5 kg sheqer.4. Cila pjesë është: Sa kilogramë sheqer ka në çdo paketë? a) 1 dm në 1 m b) 1 cl në 1 l c) 1 g në 1 kg d) 1 dm2 në 1 m2
  • 2 LLOJETE THYESAVE 135 Kujtohu! A 1 Shkruaj një të plotë te: gjysma; e treta; e shtata. Vëre! 2 3 7 __ = 1, __ = 1, __ = 1. 2 3 7 Sa gjysma ka një e plotë? n Në përgjithësi, për një thyesë __ , me n Sa të treta ka një e plotë? numërues dhe emërues të barabartë, ku n është Sa gjysma ka në: dy të plota, pesë të plota? numër natyror kemi: n n __ = n : n = 1, konkretisht __ = 1. n n2 Shkruaje numrin 1 si thyesë: me emërues 8; me numërues 12.3 Njehso herësit: 2 : 1; 9 : 1 dhe n : 1 (n numër natyror) dhe paraqiti si thyesa. Barabartë 2 9 n __ = 2 : 1 = 2; __ = 9 : 1= 9; __ = n : 1 = n. Shkruan: 1 1 1 Çdo numër natyror n munde të paraqitet me thyesë me numërues n dhe emërues 1.4 Shkruaje numrin 8 si thyesë me numërues 8. Shkruaje numrin 15 si thyesë me emërues 1.5 Shkruaj dy të plota si thyesë me emërues tre. 3 3 6 6 Vëre: 2 = 1 + 1 = __ + __ = __ . Mund të themi se thyesa __ është e barabartë me numrin naty- 3 3 3 3 ror 2. Kjo mënyrë e shënimit të numrit natyror si thyesë me emërues të dhënë nuk është praktik për numrat më të mëdhenj. Vëre mënyrën tjetër më të shkurtër. Si mund të shënohet numrin 5 në formë të thyesës me emërues 4? Në 5 të plota ka 4 ⋅ 5 të katërtat, 4⋅5 20 Sa të katërta ka në 5 të plota? konkretisht; 5 = ____ = __. 4 4
  • Cilido numër natyror m mund të shkruhet në formë të thyesës me emërues numër 136 natyror n. m⋅n m = ____ n6 Paraqite numrin 8 në të pestat dhe numrin 12 në të shtatat. Te e cila thyesë vijuese emëruesi është pjesëtues i numëruesit? 3 4 3 15 18 5 21 Cila prej tyre është numër natyror: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ? 5 2 6 3 9 10 7 Mbaj mend! a Thyesa __ paraqet numër natyror nëse b është pjesëtues i a. b Thyesa me të cilën është paraqitur numri natyror quhet thyesë e dukshme.7 Cilët prej këtyre thyesave janë të dukshme: __; __ ; __; __; __ ; 14; 25 ; 22 ; 31 ? 1 4 5 6 3 __ __ __ __ 2 2 1 6 4 7 4 2 8 Secili numër natyror mund të llogaritet për thyes. Ka thyesa që nuk paraqesin numër natyror. Prandaj, bashkësia e numrave natyror është nënbashkësi e bashkësisë së thyesave. 1 Në vizatim janë formuar figura prej pjesëve të barabarta që paraqesin __ e një rrethi. B 8 4I a) b) c)II d) e) f) g) Sa të katërta ka çdo figurë nga rreshti i parë? Sa të katërta ka çdo figurë te rreshti i dytë? Cilat prej figurave paraqesin më pak se një të plotë dhe cila më shumë se një të plotë? Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të parë. Krahaso numëruesit me emëruesit e thyesës. Çfarë kon- staton?
  • Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të dytë. Krahasoji numëruesit me emëruesit e thye- 137 save. Çfarë konstaton? Vëre! 1 2 3 Figurat e rreshtit të parë paraqiten me thyesat: a) __ , b) __ dhe c) __ . 4 4 4 Numëruesi i çdonjërës prej atyre thyesave është më i vogël se emëruesi, që do të thotë se ato përm- bajnë më pak pjesë se që ka një e plotë. Ato thyesa janë më të vogla se 1. 2 7 9 28 Thyesa të atilla janë thyesat: __ , __ , __ , __ etj. Ato i quajmë thyesa të drejta. 5 9 11 31 Mbaj mend për thyesat e drejta: a __ a __ Te cilado thyesë (a, b ∈ N), nëse a < b, atëherë < 1. b b 5 6 7 9 Figurat e rreshtit të dytë paraqiten me thyesat: d) __ , e) __ , f ) __ , dhe g) __ 4 4 4 4 Te çdonjëra prej këtyre thyesave numëruesi është më i madh se emëruesi, që do të thotë se ato përm- bajnë shumë pjesë se sa ka një e plota. Ato thyesa janë më të mëdhenj se 1. 9 11 25 38 Thyesa te atilla janë: __ , __ , __ , __ etj. Ato i quajmë thyesa jo te drejta. 4 3 13 19 Mbaj mend për thyesat jo të drejta: a a Te cilado thyesë __ (a, b ∈ N), nëse a > b, atëherë __ > 1. b b Thyesat më të vogla se 1 quhen edhe thyesa të pastra, kurse thyesat më të mëdha se 1 quhen thye- sa jo të pastra. 1 5 5 7 5 149 Është dhënë bashkësia M = { __ , __ , __ , __ , __ , __ }. 2 3 8 7 11 9 Shkruaj në mënyrë tabelare bashkësitë A = {x | x ∈ M dhe x < 1} dhe B = {x | x ∈ M dhe x > 1}. 310 E cilit lloj është thyesa __ ? 2 3 __ si shumë të gjysmave me dy mbledhës. Shkruaje thyesën 2 3 __ si shumë të gjysmave me tre mbledhës. Shkruaje thyesën 2
  • Ndjeke zgjidhjen 138 3 Thyesa __ është më e madhe se 1 dhe mundet të paraqitet si shumë e gjysmave, 2 3 1 1 1 1 1 1 dmth. __ = __ + __ + __ = 1 + __. Shuma 1 + __ Shkurtimisht shkruhet 1 __ . 2 2 2 2 2 2 2 3 1 Mund të shkruajmë __ = 1 __ . Numri i përzier përm- 2 2 ban të plotë dhe thyesë. Lexojmë: tre të dytat është e barabartë me një të plotë e një të dytat. Thyesat më të mëdha se 1 të shkruara me të plota dhe thyesat quhen numra të përzier. C 11 Pse çdo thyesë më e madhe se 1 mundet të shkruhet si numër i përzier? 32 Thyesën __ ta shkruajmë si numër të përzier. 5 Përcille zgjidhjen Nëse e pjesëton numëruesin me emëruesin, atëherë herësi i fituar është pjesë e 32 : 5 = 6; plotë e numrit të përzier. Pse? -30 2 Mbetja e fituar është numëruesi i thyesës më të 32 = 32 : 5 = 6 + 2 = 6 2 ; 32 2 =6 vogël se 1, kurse emëruesi ngel i njëjtë. 5 5 5 5 5 6 8 15 48 80 13212 Shkruaje thyesën në numër të përzier: a) __ , b) __ , c) __ , d) __ , e) __ , f ) ___ . 5 3 4 11 13 17 Numrin e përzier mund ta shkruajmë si thyesë. 3 Numrin e përzier 2 __ ta shkruajmë si thyesë. 4 Vëre zgjidhjen! 3 Të caktojmë sa të katërta ka numri i përzier 2 __ . 4 Sa të katërta përmbajnë 2 të plota? 2 ⋅ 4 katërta Thyesa më e vogël se 1 përmban edhe 3 të katërta. 2 ⋅ 4 + 3 katërta 3 2⋅4+3 _______ = 11 __ 2 __ = 4 4 4
  • Numri i përzier paraqitet si thyesë ashtu që emëruesi shumëzohet me të plotën dhe ai numër i shtohet numëruesit. Atë e shkruaj për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë. 139 2 5 913 Numrat e përzier: 3 __ , 4 __ , 8 __ shkruaj në formë të thyesës. 5 7 11 Duhet të dish! Testohu! Të njohësh llojet e thyesave: thyesa më të vogla se 1 (thyesat e drejta), thyesa më të 2 3 6 9 Cila prej thyesave: __ , __ , __, __ , 3 2 3 8 mëdha se 1 (thyesat jo të drejta), thyesa të 9 9 __ , __ është më e vogël se 1, më e madhe se 1 dukshme dhe numra të përzier. 3 10 Të shkruash numër natyror në formë të ose thyesë e dukshme? thyesës me emërues të caktuar. 13 Sa të plota ka thyesa __ ? Shkruaje si numër të Të paraqesësh thyesë më të madhe se 1 në 3 përzier. numër të përzier dhe anasjelltas. 4 Sa të pesta ka në 3 __ ? Shkruaje numrin e përzier 5 në formë të thyesës. Detyra1. Numrat natyrorë: 2, 5, 7, 8 dhe 11 4. Shkruaj dy thyesa më të mëdha se 1 me shkruaj në formë të thyesës me numërues 12. emërues: a) 1; b) 3; c) 7. 5. Thyesat: shndërroji në numra të përzier.2. Sa thyesa më të vogla se 1 mundesh të 28 , 17 , 21 , 29 , 125 . __ __ __ __ __ shkruash me emërues 5 dhe numërues 3 4 8 5 9 numër natyror?3. Shkruaj dy thyesa më të vogla se 1 me 6. Numrat e përzier: shndërroi në thyesa. emërues 7. 1 8 3 3 __ , 1 __ , 15 __ . 8 __ , 3 4 9 10 4 Provo mendjemprehtësinë tënde! Një fushë po vërshohej me ujë. Çdo ditë vërshohet dyfish më shumë se ditën paraprake. Ditën e gjashtë u vërshua e gjithë fusha. Në fund të cilës ditë ishte vërshuar gjysma e fushës?
  • 140 3 PARAQITJA E THYESAVE NË DREJTËZËN NUMERIKE. BARAZIA E THYESAVE Kujtohu! A 1 Vizato drejtëz numerike me seg- Në vizatim është vizatuar drejtëza p dhe në ment njësi 2 cm. të dy pika A dhe B. Numrit 3 shoqëroja pikën C. A B p 0 1 Numrit 5 shoqëroja pikën D, ndërsa numrit 7 Cili numër i shoqërohet pikës A, e cili pikën E. pikës B? Cakto gjatësinë e segmentit CE. Në vizatim është përcaktuar drejtëza Sa herë duhet ta bartësh segmentin njësi që të numerike me segment njësi AB = 1. caktosh pikë për numrin 14? Çdo numër natyror mund të paraqitet në drejtëzën numerike.2 Vizato segment AB me gjatësi 6 cm. Te segmenti AB cakto pikë C ashtu që 2 AC = __ AB. Cakto gjatësinë e segmentit AC. 3 Shihe vizatimin! Segmentin AB është ndarë në 3 pjesë. Secila pjesë ka A C B gjatësi 2 cm, ndërsa segmenti AC ka dy pjesë të atilla. AC = 4 cm. 1 __ Si do ta caktosh pikën D, ashtu që AD = AB. Cakto gjatësinë e segmentit AD? 3 Thyesat, si edhe numrat natyrorë, mundet të paraqiten në drejtëzën numerike. 13 Paraqite thyesën __ në drejtëzën numerike. 4 p A B C 1 Vëre se thyesa __ është më e vogël se 1? 0 1 2 4 1 __ 1 Ku gjendet thyesa 4 në drejtëzën numerike? Thyesa __ gjendet në 4 Segmentin njësi AB prej 0 gjer te 1 duhet ta ndash në 4 segmentin AB. pjesë të barabarta. Në fund të pjesës së parë është pika M 1 p A M B C dhe asaj i është shoqëruar thyesa __ . 4 1 0 __ 1 2 1 3 Në drejtëzën numerike paraqiti thyesat __ dhe __. 4 2 4
  • 10 __ 4 Në drejtëzën numerike me segment njësi 3 cm paraqite thyesën 3 . 141 Në ecurinë përgjigju kërkesave. Vizato drejtëz numerike dhe në të shëno pika me numrat prej 0 gjer te 6. 10 10 Shkruaj thyesë __ si numër të përzier. Ndërmjet cilëve numra do të jetë thyesa __ ? 3 3 Ndërmjet cilave numra segmentin do ta ndash në tre pjesë? Sa pjesë do të ndash që të caktosh pikë 10 11 4për thyesën __ ? Në drejtëzën e njëjtë numerike paraqiti thyesat __ dhe __. 3 3 3 B 1 2 5 Mimoza ka blerë __ e pites byrek, ndërsa Afërdita __ e pites byrek me madhësi të njëjtë. 4 8 Cila prej tyre ka blerë pjesën më të madhe të pites byrek. Vepro sipas kërkesave. 1 __ 2 __ 4 8 Paraqiti dy pite byrek me dy rrathë me rreze të njëjtë (si në vizatim). Njërin rreth ndaje në 4 pjesë, ndërsa tjetrin në 8 pjesë. 1 2 Nga rrethi i parë ngjyros __, ndërsa nga i dyti __ . Mund të përfundoj! 4 8 1 2 __ = __ Krahaso pjesët e ngjyrosur. 4 8 6 Lindita ka ngjyrosur pjesë të tre shiritave të njëjtë, ndërsa Gazmendi pjesët e tre katrorëve të njëjtë. GazmendiLindita Në sa pjesë është ndarë çdonjëri prej shiritave? Sa pjesë është e ndarë në çdo kuti? Cila pjesë e çdo shiriti është ngjyrosur, gjegjësisht çdo katrori është ngjyrosur? Krahaso pjesët e ngjyrosura të shiritave, gjegjësisht katrorëve. 1 2 4 Pjesët e ngjyrosura të shiritave janë të barabarta dhe thyesat __, __ dhe __ janë të barabartë. 2 4 8 1 2 ; __ 1 4 ; __2 4 . Prandaj mundemi të shkruajmë: __ = __ = __ = __ 2 4 2 8 4 8
  • 142 Pjesët e ngjyrosura të katrorëve janë të barabartë. 2 4 6 Prandaj: __ = __ = __ . 3 6 9 Vëre rregullën që vlen te thyesat e barabarta. 1 2 __ = __ , va`i: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 Të mbaj mend! Te thyesat e barabarta vlen: 2 4 nëse shumëzon në mënyrë të kryqëzuar do 2 4 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4; të fitosh prodhime të barabarta. 4 8 2 4 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4; 4 6 __ = __ . Provo dhe shkruaj. 3 6 6 9 a c a cRregulla vlen për çfarëdo thyesa të barabarta __ dhe __ , dmth. __ = __ , nëse vlen a ⋅ d = b ⋅ c. b d b d 2 6 3 6 11 44 80 907 Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta: a) __ dhe __ ; b) __ dhe __ ; c) __ dhe __ ; d) __ dhe __ ? 5 15 7 14 10 40 81 91 Duhet të dish! Testohu! Të vizatosh drejtëz numerike me segmentin njësi të dhënë; Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C te drejtëza numerike? të paraqesësh thyesa në A B C drejtëzën numerike; me ndihmën e rregullës për 0 1 2 3 barazinë e thyesave të caktosh Vizato drejtëzën numerike me segment njësi 1 cm dhe në të nëse dy thyesa janë të barabar- 7 cakto pikën A, e cila i përgjigjet thyesës __. ta. 3 Cili numër duhet të shkruhet te katrori që të jenë të barabarta Detyra 2 6 thyesat __ = __ ? 31. Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C te 4. Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta: drejtëza numerike? 1 5 1 9 7 __ 9 __ dhe __ , __ dhe __, __ dhe 28; __ dhe 27 ? __ A B C 6 30 2 19 10 40 11 37 0 1 2 3 4 5. Duke e shfrytëzuar rregullën për barazinë e2. Vizato drejtëzën numerike me segment njësi thyesave cakto x ashtu që thyesat të jenë të 2 cm dhe në të cakto numrat a) 5; b) 7; barabartë. 3 1 2 x 7 35 2 x 10 100 c) 4 __ ; d) 6 __ . a) __ = __ ; b) __ = __ ; c) __ = __ ; d) __ = __ . 4 2 3 12 x 40 9 27 11 x3. Vizato drejtëzën numerike me segment njësi 6. Në drejtëzën numerike janë paraqitur num- 3 9 9 4 cm dhe në të cakto thyesat __ , __, __ , 3 rat __ dhe 1. Paraqiti numrat: 7 4 8 4 4 __ . 2 5 1 __ ; 3 __ dhe 17 . __ 3 __ 1 4 2 4 4
  • 4 MBLEDHJA DHE ZBRITJA E THYESAVE ME EMËRUESË TË BARABARTË 143 Kujtohu! A 1 3 4 Cakto shumën e thyesave __ dhe __ . 5 5 Eljesa dhe Bariu kanë ndarë një rreth në 4 pjesë të barabartë. Eljesa ka ngjyrosur Vëre se si do ta sqarojmë mbledhjen e thyesave 1 2 __ e rrethit, kurse Bariu __ e rrethit të njëjtë. me emërues të barabartë me ndihmën e vetisë të 4 4 shpërndarjes të pjesëtimit në lidhje me mbledhjen. Cilën pjesë të rrethit e kanë ngjyrosur Eljesa dhe Bariu së bashku? Puno sipas këtyre rregullave dhe krahasoji Vizato rreth dhe shkruaji zgjidhjet. pjesët e ngjyrosura. 1 2 Njehso __ + __ . Zbato vetinë distributive të 4 4 (3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5 shprehjes (3 + 4) : 5 = Njehso sa ka ngjyrosur Bariu më shumë, Ndryshoji anët e barazive 2 1 të fituara. 3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5 dmth. __ - __ . 4 4 Shkruaji herësit në formë të 3 4 3+4 __ + __ = _____ thyesave. 5 5 5 Zbato vetinë e shpërndarjes të pjesëtimit në lidhje me mbledhjen Njehso shumën dhe 3 __ + 4 3+4 __ = _____ = (12 + 9) : 3 = . paraqite si numër të përzi- 5 5 5 7 2 er. __ = 1__ . 5 5 3 42 Shihe vizatimin dhe sqaro si është paraqitur shuma __ + __ në drejtëzën numerike. 5 5 3 4 2 __ + __ = 1__ 5 5 5 0 3 1 4 2 __ __ 5 5Të mbaj mend: Thyesat me emërues të barabartë mblidhen kështu: a b a, + b __ + __ = _____ c c ca, b, c ∈ N, dmth. shuma e numëruesve shkruhet për numërues, kurse emëruesi ngel injëjtë. 3 13 Cakto shumën 2__ + __. 5 5
  • Vëre se shuma mundet të paraqitet në dy mënyra. 144 Mënyra I 3 Shndërroje numrin e përzier 2 __ si thyesë më e madhe se 1. 5 13 __ 1 Cakto shumën __ + . 5 5 14 Shkruaje shumën __ si numër të përzier. 5Mënyra II 3 Shkruaje numrin e përzier 2 __ si shumë të të plotave dhe thyesës më të vogël se 1. 5 3 1 __ + __ cakto shumën e thyesave më të vogla se 1. Te shprehja 2 + 5 5 4 Shkruaje shumën 2 + __ si numër të përzier. 5 2 44 Cakto shumën 3 __ + 1 __ në dy mënyra. 7 75 Cakto shumën e thyesave: 7 5 4 5 3 1 a) __+ __ ; b) __ + __ ; c) 2 __+ __ . 9 9 7 7 4 4 11 86 Një traktorist për një orë ka lëvruar __ e një are, kurse orën e dytë ka lëvruar __ e arës. 20 20 Cilën pjesë të arës e ka lëvruar traktoristi për dy orë? Cila pjesë e arës ka ngel e pa lëvruar? 7 5 B 7 Cila thyesë duhet të shkruhet në vend të x që të vlen: __ __ 9 = 9 + x? Vëre! 5 2 7Thyesës __ duhet ti shtohet thyesa __ që të fitohet thyesa __ . 9 9 9 2 7 5 7 5 7- 5 2Thyesa __ është ndryshimi i thyesave: __ dhe __ ; shkruajmë: __ - __ = ____ = __. 9 9 9 9 9 9 9 Të mbaj mend: Thyesa me emërues të barabartë zbriten kështu: a c a- c __ - __ = ____, a > c, b b b dmth. ndryshimi i numëruesve shkruhet për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë.
  • 11 7 16 11 5 3 Njehso ndryshimin: a) __ - __ ; b) __ - __ ; c) 3 __ - 1 __ .8 12 12 25 25 8 8 145 39 Gjatësia e njërës brinjë të një drejtkëndëshi është e 5 __ cm, kurse 5 2 gjatësia e brinjës fqinje është 1 __ cm më e vogël. 5 Cakto gjatësinë e brinjës fqinje. Cakto perimetrin e drejtkëndëshit. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh shumën e thyesave me emërues të njëjtë; Cakto shumën, pastaj shkruaje si numër të përzier. Të njehsosh ndryshimin e thyesave 3 7 __ + __. 3 1 2 __ + 1 __. me emërues të njëjtë. 8 8 4 4 4 2 __ Cili numër është për 2 __ më i vogël se numri 3 ? 9 9 Detyra1. Njehso: 4. Shumën e numrave 3 5 dhe 2 1 zvogëlo- 5 4 1 1 2 7 7 a) __ + __ + --. b) 1 __ + 2 __. 5 9 9 9 3 3 je për 5 . 7 7 11 4 2 7 c) 3 +4 d) +1 +3 12 12 15 15 15 5. Një nxënës ditën e parë ka lexuar 3 e një 10 libri, kurse ditën e dytë 5 e librit të njëjtë.2. Njehso: 10 7 3 17 15 3 1 a) - b) - c) 5 - 2 Cilën pjesë të librit e ka lexuar për dy ditë? 9 9 19 19 4 4 2 5 4 Cila pjesë e librit i ka ngelur e pa lexuar pas 3 d) 3 -1 e) 3 + -2 5 11 11 11 ditës së dytë?3. Një rezervuar mbushet prej tri gypave. Për 7 1 3 një orë gypi i parë mbush e rezervuar- 6. Arlindi ka 10 vjet, kurse Njomza ka 15 12 12 12 5 vjet. 4 it, i dyti dhe i treti , e rezervuarit. 12 12 5 Sa vjet do të ketë Arlindi pas 3 vjet? 12 Cilën pjesë të rezervuarit do ta mbushin Për sa vjet do të jetë më e vjetër Njomza të tre gypat për një orë? 5 Cila pjesë e rezervuarit do të ngel i nga Arlindi pas 3 vjet? 12 pambushur?
  • 146 5 ZGJERIMI DHE THJESHTIMI I THYESAVE Kujtohu! A 1 Vëre katrorët me brinjë të barabartë. Te njëri katror pjesa e ngjyrosur Cili numër duhet të shënohet në katror që të jetë e saktë barazia. është 3 , ndërsa te tjetri 6 . 4 8 12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅ ). Cila veti e pjesëtimit është zbatuar? Krahaso pjesët e Provo a janë të barabarta thyesat? ngjyrosura. 4 8 5 5.3 dhe ; dhe . ; 5 10 6 6 3 3 6 3 6 Hetove se pjesët e ngjyrosura janë të barabartë, gjegjësisht = . Po ashtu, = , 4 8 4 8 pasi që 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6. 6 3⋅2 3 6 3 3⋅2 Mund të vëresh se = . Nga kjo dhe nga = fitohet se = . 8 4⋅2 4 8 4 4⋅2Numëruesi dhe emëruesi i thyesës 3 janë shumëzuar me 2. Ndërsa vlera e saj nuk undryshua. 42 Numëruesin dhe emëruesin e thyesës 5 shumëzoji me: 2, 3 dhe 4. Provo nëse thyesat e fituara 6 5 janë të barabarta me thyesën . 6 5 5 ⋅ 2 10 Vëre se = = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10; 6 6 ⋅ 2 12 5 5 ⋅ 3 15 = = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15. 6 6 ⋅ 3 18 Vetinë e konstatuar mundesh ta sqarosh edhe prej vetisë së pjesëtimit a a⋅n a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). prandaj: = ; a, b, n ∈ N. b b⋅n Vlen në përgjithësi! Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me një numër të njëjtë, të ndryshueshëm prej zeros, fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë. Kjo rregull quhet zgjerimi i thyesave. 5 7 33 Zgjeroji thyesat: a) me 3; b) me 4; c) me 10. 6 8 10
  • B 4 4 Numëruesin dhe emëruesin e thyesës __ pjesëtoje me 2. 147 6 4 Provo nëse thyesa e fituar është e barabartë me thyesën __ . 6 4:2 2 4 2 Njehsove se = , gjegjësisht = . Kjo barazi vlen pasi që 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2. 6:2 3 6 3 4Numëruesi dhe emëruesi i thyesës janë pjesëtuar me numër të njëjtë, ndërsa vlera e 6saj nuk u ndryshua. 155 Numëruesin dhe emëruesin e thyesës __ pjesëtoji me pjesëtuesin e tyre të përbashkët. 20 Provo barazinë e thyesës së dhënë me thyesat e fituara. Vetinë e konstatuar të thyesave mundesh ta sqarosh prej vetisë së pjesëtimit për pandryshueshmërinë e herësit, gjegjësisht. a : b = (a : n) : (b : n) ku a, b, n janë numra natyrorë a a:n dhe n është pjesëtues i a dhe b. Prandaj: = . b b:n Në përgjithësi vlen! Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me pjesëtuesin e tyre të përbashkët (më të madh se 1), atëherë fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë. Kjo rregull quhet thjeshtimi i thyesave. 366 Thyesën __ thjeshtoje gradualisht me pjesëtuesit e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit. 60 Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 36 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3 = = = = . 60 60 : 2 30 : 2 15 : 3 5 Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin e thyesës 36 . 60 Thjeshto thyesën me PMP(36, 60). 36 36 : 12 3 Njehsove se PMP(36,60) = 12. = = . 60 60 : 12 5 3 Thyesa nuk mundet të thjeshtohet, pasi numëruesi dhe emëruesi janë numra reciprokisht të 5 thjesht. Thyesa e këtillë quhet thyesë e pa thjeshtuar. Vërejte se një thyesë mund ta thjeshtosh Të mbaj mend! Thjeshtimin e gradualisht me pjesëtuesit e përbashkët të thyesës ta kryej gjer te thyesa e numëruesit dhe emëruesit të saj ose më pa thjeshtuar. thjeshtë, numëruesin dhe emëruesin ti pjesëtosh me PMP e tyre
  • 12 ___ 25 ___ 72 ___ 27 ___148 7 Thjeshto thyesat: a) 16 ; b) 50 ; c) 90 ; d) 999 . Duhet të dish! Testohu! 1 4 Të zgjerosh thyesë; Shkruaji thyesat __ dhe __ në: 2 5 Të thjeshtosh thyesë; a) dhjetëshe; b) qindëshe Cila thyesë është e Cakto x në barazi me ndihmën e thjeshtimit të 12 x pathjeshtueshme? thyesave. __ = __ . 18 3 x Në shënimin __ cakto x që thyesa të jetë e pa 3 thjeshtuar dhe më e vogël se 1. Detyra1. Zgjeroje me 2 dhe me 5 thyesën: 7. Duke e shfrytëzuar vetinë për thjeshtimin dhe zgjerimin e thyesave, cakto x. 2 __ 3 __ 11 __ 15 __ a) ; b) ; c) ; d) . x 20 7 x 8 24 11 33 5 7 12 17 a) __ = __ ; b) __ = __; c) __ = __ ; d) __ = __ . x x 7 28 9 54 33 172. Shkruaj tre thyesa të barabartë me 3 5 6 8. Thyesat __ dhe __ zgjeroi ashtu që të kenë thyesën __ . 4 6 9 emërues të njëjtë.3. Sa qindëshe ka secila prej thyesave Problem! 3 __ __ 9 __ __ 17 24 __ 4 ; ; ; ; ? 5 10 20 25 50 Në një kovë kishte ujë, kurse në tjetrën venë. Është mbushur gota nga kova me venë dhe4. Cilat nga thyesat vijuese janë të pa është derdhur në kovën me ujë, e pastaj gota 3 2 17 21 29 111 thjeshtuar __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; ___ ? e njëjtë është mbushur nga kova në të cilën 6 5 25 27 36 999 është përzier uji dhe vena dhe është derdhur në kovën me venë. Çka ka më shumë, ujë në kovën me venë ose venë në kovën me ujë?5. Thjeshto thyesat: __ ; __ ; 36 ; ___ ; 100 . 5 8 __ 54 ___ Zana dhe Valoni gjithsej kishin 909 denarë. 3 15 12 54 144 120 Kur Zana ka shpenzuar __ e pareve të saja, e 4 4 Valoni ka shpenzuar __ e pareve të tij, 5 90 atëherë që të dyve i ka mbetur shuma e njëjtë6. Thjeshto thyesën ___ : të parave. Nga sa denarë kanë pasur në fillim? 126 a) Gradualisht; b) me PMP(90, 126).
  • 6 THYESA DHJETORE. NUMRI DHJETOR 149 Kujtohu! A 1 Shkruaj njësitë vijuese më të vogla si Si quhen numrat: 1, 10, 100, 1 000, …? pjesë e njësive më të mëdha matëse: 1 cm në dm; 5 dm në m; Me cilat njësi matëse masim gjatësinë, kurse me cilën masën? 8 g në dag; 1 cm në m; Shkruaj njësitë vijuese më të mëdha në ato më 7 cm në m; 1 g në kg; të vogla matëse: 1 dm në cm; 5 m në dm; 8 dag në g; 9 m në km. 1 m në cm; 7 m në cm; 1 kg në g; 9 km në m. Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: 1 __ 5 __ 8 __ 1 ___ 7 ___1 cm = dm; 5 dm = m; 8g= dag; 1 cm = m; 7 cm = m; 10 10 10 100 100 1 _____ 9 _____1g= kg; 9 m = km. 1 000 1 000 Vëre dhe mbaj mend! Numrat matës me të cilët janë shprehur njësitë matëse më të vogla në ato më të mëdha janë thyesat. Emëruesit e këtyre thyesave janë njësi dekade: 10, 100, 1 000,... 1 5 8 1 7 1 9 Thyesat: __ , __, __ , ___ , ___ , _____, _____, ... te të cilët emëruesit janë njësi dekade 10 10 10 100 100 1 000 1 000 quhen thyesa dhjetore. Thyesa dhjetore shkurtimisht mundet të shkruhet pa emërues në shënim të quajtur shënim dhjetor ose numër dhjetor. Shkruhet si numër Thyesa dhjetore Lexohet numri dhjetor Shqyrto dhjetor shembuj! 1 __ 0,1 Zero të plota dhe 1 të dhjetat 10 5 __ 0,5 Zero të plota dhe 5 të dhjetat 10 1 ___ 0,01 Zero të plota dhe 1 të qindtat 100 3 1 __ 1,3 Një e plotë dhe 3 të dhjetat 10
  • 150 Edhe disa shembuj: 35 ___ 30 + 5 30 ______ ___ ___ 5 3 5 __ ___ = = + = + 100 100 100 100 10 100 35Thyesa ___ përmban 3 dhjetëshe dhe 5 qindëshe, gjegjësisht 35 të qindtat. 100 35___ shkruhet 0,35 dhe lexohet zero të plotat dhe 35 të qindta.100 29 _____ 20 + 9 20 ______ _____ 9 _____ ___2 9 _____ = = + = + 1 000 1 000 1 000 1 000 100 1 000 29Thyesa _____ përmban 2 të qindtat dhe 9 mijëshe ose 29 mijëshe. 1 000 29_____ shkruhet 0,029 dhe lexohet: zero të plotat dhe 29 të mijtat.1 000 324 ____ 24 ____ =3 shkruhet 3,24 dhe lexohet 3 të plotat dhe 24 të qindtat. 100 100 7 2 ____ shkruhet 2,07 dhe lexohet 2 të plotat dhe 7 të qindtat. 100 Vëre dhe mbaj mend mënyrën e të shkruarit të thyesës dhjetore si numër dhjetor. 17 9 Thyesat dhjetore ____ dhe _____ ti shkruajmë si numër dhjetor. 100 1 000 17 9 _____ Ecuria Për: 2 ____ 3 100 1 000 Së pari shkruhen të plotat. 2 3 Shkruhet presja e cila quhet presja dhjetore. 2, 3, Shkruhet numëruesi i thyesës dhjetore, nëse ai ka aq shifra sa ka zero te emëruesi. 2,17 3,009 Në thyesën e dytë para numëruesit shkruajmë dy zero. Numëruesi duhet të ketë aq shifra sa ka zero të emëruesi. 17 9 2 ___ = 2,17; 3 _____ = 3,009. 100 1 000
  • Shkruaj si numra dhjetor thyesa dhjetore Të mbaj mend! Secilën2 në vijim: 151 thyes dhjetore mund ta 3 25 9 79 3 __ ; ___; ___ ; 3 _____; 15 _____ . shkruaj si numër dhjetor. 10 100 100 1 000 1 000 të dhjetat Presja dhjetore e ndan numrin dhjetor në dy të qindtat pjesë. Te pjesa para presjes janë të plotat. 3 , 14 të plota dhjetore Pjesa pas presjes dhjetore quhet pjesa dhjetore. Vendet e shifrave në pjesën decimale quhen vendet dhjetore, ndërsa shifrat quhen dhjetore. Numri dhjetor 3,14 ka 3 të plota dhe dy dhjetore. Të shkruarit e numrave dhjetor është paraqitur në tabelën vijuese, në shembullin 17 12 _____ = 12,017. 1 000 QINDËMIJËTAT DHJETËMIJTAT TË MILIONTAT KLASA E KLASA E TË QINDTAT TË DHJETAT TË MIJTAT MIJËSHEVE NJËSHEVE TË TË QM DhM NjM Q Dh Nj 1 2 , 0 1 7 PJESA E PLOTË PRESJA PJESA DHJETORE DHJETOREB 3 Lexoji këto numra dhjetor: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005. 0,5 : zero të plota dhe 5 të dhjetat; 3,14 : tre të plota dhe 14 të qindtat; 17,005 : shtatëmbëdhjetë të plota dhe 5 të mijtat.4 Shkruaje numrin dhjetor 3,25 si thyesë dhjetore. Vëreje ecurinë: Lexo dhe shkruaje me fjalë numrin 3,25.
  • Duhet të fitosh: Tre të plota dhe 25 Vëren se: Numri dhjetor shkruhet në152 të qindtat. formë të thyesës dhjetore në këtë Tekstin e fituar shkruaje si thyesë mënyrë: dhjetore. 25 ___ Duhet të fitosh: 3 . 100 Të plotat e numrit dhjetor shkruhen për të plota të thyesës. Pjesa dhjetore shkruhet për numërues te thyesa dhjetore. Për emërues shkruhet njësia dekade me aq zero sa ka dhjetore. Të mbaj mend: Numri dhjetor shkruhet si thyesë dhjetore sipas leximit të drejt. Shembuj të zgjidhur! 5 __ 32 ___ 17 ____0,5 = ; 1,32 = 1 ; 12,017 = 12 ; 10 100 1 000 Duhet të dish! Testohu! Numri dhjetor është shënim i veçantë i Shkruaj dhe lexo numër dhjetor që ka 23 të thyesës dhjetore; plota dhe 105 për pjesë dhjetore. Të shkruash thyesë dhjetore si numër dhjetor 3 Shkruaj 7 ___ si numër dhjetor dhe 0,012 si dhe anasjelltas; 100 Të lexosh drejt numra dhjetorë. thyesë dhjetore. Detyra1. Cilat prej këtyre thyesave janë thyesa 4. Shkruaj thyesat dhjetore si numra dhjetor: dhjetore: 3 __ 7 ___ 131 ___ 6 ____ 12 ____ 6 ___ 9 ___ 29 _____ 3 ____ a) ; b) ; c) ; d) ; e) ? a) ; b) 2 ; c) 11 ; d) 14 . 10 200 200 1 000 1 001 100 100 1 000 1 0002. Shkruaj tre thyesat dhjetore me numërues 5. Lexoji numrat dhjetor: 13, ndërsa me emërues të njëjtë; a) 2,03; b) 12,015; c) 0,0035.3. Sa të plota dhe sa dhjetore ka numri dhjetor: 6. Shkruaj si thyesa dhjetore këto numra dhjetor: a) 36,08; b) 3,0031; c)138,05? a) 0,2; b) 1,05; c) 4,003; 1,0017.
  • 7 VETITË E NUMRAVE DHJETORË 153 Kujtohu! 3 A 1 Thyesën __ 10 zgjeroje me 10, 100 2 __ dhe 1 000. Thyesën zgjeroje me 10, kurse pastaj 10 me 100. Duhet ta fitosh këtë zgjidhje: 30 Thyesën ___ thjeshtoje me 10. 100 3 3 ⋅ 10 __ ______ ___ 30 3 3 ⋅ 100 __ ______ _____300 = = ; = = ; 10 10 ⋅ 10 100 10 10 ⋅ 100 1 000 Shkruaji thyesat dhjetore si numra dhjetorë. Mundesh të shkruash: 3 30 300__ ___ _____ 3 000 ______ = = = , gjegjësisht 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000.10 100 1 000 10 000 Vëre! Numrat dhjetor janë të barabartë, kurse ndryshojnë sipas asaj nga ana e djathtë kanë nga një ose më shumë zero. Numri dhjetor nuk ndryshon nëse nga ana e djathtë i përshkruhen sa do qoftë zero.2 Numrat dhjetorë shkruaj ashtu që të kenë numër të njëjtë të dhjetoreve: a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028; b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.3 Numri 5 shkruaje në formë të thyesës me emërues 1. Atë thyesë zgjeroje me 10, 100 dhe 1 000. Thyesat e fituara shkruaj si numra dhjetor. Vëren se: 5 5 ⋅ 10 50 5 ⋅ 100 5 ⋅ 1 000 ______ = 500 = 5,00; ________ = _____ = 5,000. 5 000 5 = __ . _____ = ___ = 5,0; ___ 1 1 ⋅ 10 10 1 ⋅ 100 100 1 ⋅ 1 000 1 000 Atë që e ke vërejtur për numrin 5, vlen për çfarëdo numër natyror. Çdo numër natyror mundet të shkruhet si numër dhjetor në atë mënyrë që ndahet me presje dhe përshkruhen zerot si dhjetore.
  • Shkruaj numrat dhjetor 6, 12 dhe 135 si numra dhjetor154 4 a) me një dhjetore; b) me dy dhjetore. 80B 5 Thyesën dhjetore ___ thjeshtoje me 10. 100 Thyesën e dhënë dhe të thjeshtuar shkruaji si numra dhjetor. 3 200 E fitove zgjidhjen: Vëreje të njëjtën rregull për thyesën: _____ 1 000 80 80 : 10 8 ___ = _______ = ___; 0,80 = 0,8. 3 200 3 200 : 100 32 _____ = __________ = ___ ; 3,200 = 3,2. . . 100 100 : 10 10 1 000 1 000 : 100 10 Numri dhjetor që nga ana e djathtë ka zero, nuk ndryshon nëse ato shlyen.6 Shlyej zerot, ashtu që numrat dhjetor të mos të ndryshojnë vlerën: a) 2,90 ; b) 0,03500 ; c) 1,0030 ; d) 28,102000; e)7,0. Duhet të dish! Testohu! A do të ndryshoj numri dhjetor nëse nga ana e djathtë i përshkruajmë, gjegjësisht i Shkruaj numrat 1,2 ; 15 dhe 0,40 me tre dhjetore. shlyejmë, një ose më shumë zero; Shlyej zerot te numrat, kurse vlera e tyre të Të shkruash numër natyror si dhjetor. mos ndryshon. a) 3,0250; b) 12,00; c) 0,10200. Detyra1. Numrat: 1,300; 0,5; 23; 1 000 shkruaj me dy 4. Numrat; 8; 1,2; 3,25 shkruaj ashtu që të kenë dhjetore. nga tre dhjetore.2. A do të ndryshon vlera e numrit 1,05 nëse shlyhet zeroja dhe shkruhet 1,5? Problem! Vëllai dhe motra kanë numër të njëjtë të arrave. Vëllai i ka dhënë motrës katër arra. Sa3. Te numrat dhjetorë: 0,5000; 0,5020; 1,2020300 arra më shumë ka tani motra se i vëllai? shlyej zerot, kurse ato të mos e ndryshojnë vlerën.
  • 8 PARAQITJA E NUMRAVE DHJETORË NË BOSHTIN NUMERIK. 155 KRAHASIMI I NUMRAVE DHJETORË Kujtohu! 8 4 A 1 Thyesat dhjetore: __ , 1___ 10 100 2 Paraqite në boshtin numerik thyesën 2 __ . 4 30 dhe 2 ___ paraqiti në boshtin numerik. Si krahasohen numrat natyrorë: 100 a) me numra të ndryshëm të shifrave; Shqyrtoje zgjidhjen! b) me numër të njëjtë të shifrave? 8 __ 4 __ 30 ___ 1 2 10 10 100 Vëre! 0 0,8 1 1,4 2 2,3 3 Numrat dhjetorë i paraqesim në boshtin numerik në të njëjtën mënyrë si thyesat. 8 Numrin dhjetor 0,8 e shkruajmë si thyesë dhjetore, dmth. 0,8 = __ . 10 Largesën prej 0 gjer te 1 e ndajmë në 10 pjesë të barabarta dhe numrin dhjetorë 0,8 ia shoqërojmë pikës që e shënon pjesën e tetë. 4 Cilën largesë e ndajmë në 10 pjesë të barabarta që ta paraqesim numrin dhjetorë 1 __ ? 10 Si do ta caktojmë pikën që i përgjigjet? 30 30 3 Thyesa ___ mundet të thjeshtohet me 10, dmth. ___ = __ . Si do ta caktojmë pikën në 100 30 100 10 boshtin numerik që i përgjigjet numrit 2 ___ ? 1002 Cakto pika në boshtin numerik (A, B dhe C) Mund të përfundoj! Çdo të cilave u janë shoqëruar numrat dhjetorë: numër dhjetor mundet të 0,2; 1,9 dhe 3,00. paraqitet në boshtin numerik.3 Në boshtin numerik janë dhënë pikat; A, B, C A B C D dhe D. Cakto numrin që mundet ti shoqërohet çdonjërës prej pikave. 0 1 2 3 4 1 1B 4 Thyesën dhjetore __ zgjeroje me 10. Pastaj, thyesën ___ 10 100 1 _____ zgjeroje me 10. zgjeroje me 10 dhe thyesën 1 000 Thyesat e fituara nga zgjerimi shkruaji si numra dhjetorë.
  • 156 Shqyrto zgjidhjen dhe vëre çka është përfunduar! 1 10 1 10 1 10__ ___ ___ _____ ____ ______ = ; = ; = , përkatësisht; 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010.10 100 100 1 000 1 000 10 000 Një e dhjeta ka 10 të qindtat; një e qindta ka 10 të mijtat etj. Në përgjithësi Vlera pozicionale e çdo shifre te pjesa dhjetore është 10 herë më e madhe se vlera pozicionale e shifrës pas saj. Atë që e përfundove, shfrytëzoje për krahasimin e numrave dhjetorë.5 Krahasoji numrat dhjetorë: a) 7,2 dhe 9,3; b) 12,8 dhe 12,4; c) 15,369 dhe 15,38. Gjatë krahasimit të dy numrave dhjetorë së pari krahasohen të plotat. Numrat 7,2 dhe 9,3 kanë të plota të ndryshme, dmth. 9 > 7, prandaj 9,3 > 7,2. Te numrat që kanë të plota të njëjta, krahasohet pjesa dhjetore. Numrat 12,8 dhe 12,4 kanë të plota të njëjta, por pjesët dhjetore të ndryshme, dmth. 8 > 4. Prandaj 12,8 > 12,4. Numri 15,38 ka pjesën dhjetore më të madhe se numri 15,369, pasi 38 të qindtat janë 380 të mijtat, kurse 380 > 369. Prandaj, 15,38 > 15,369.6 Krahasoji numrat dhjetor: a) 18,43 dhe 19,15; b) 35,6 dhe 35,49; c) 4,1001 dhe 4,101. Duhet të dish! Testohu! Të paraqesësh numra dhjetorë në boshtin numerik; Në boshtin numerik paraqiti prej numrave dhjetorë që kanë të plota të ndryshme, më i numrat dhjetorë 0,5 dhe 1,400 madh është ai që ka numër më të madh të të plotave; Krahasoji numrat dhjetorë:: nëse numrat dhjetorë që krahasohen kanë të plota të njëjta, a) 25,9 dhe 26,3; më i madh është ai që ka pjesën dhjetore më të madhe. b) 17,2002 dhe 17, 202; nëse dy numra kanë pjesën e plotë dhe pjesën dhjetore të c) 14,101 dhe 14,1010. barabartë, atëherë ato janë të barabartë. Detyra1. Paraqiti në boshtin numerik këto numra: 2. Krahasoji numrat: 2,01 dhe 1,86; 6,29 dhe 40 6,172; 9,121 dhe 9,101; 0,1031 dhe 0,1028. 0,6; 1,7; 3 ___ . 100
  • 3. Radhiti sipas madhësisë (duke 4. Në boshtin numerik, pikës A i është shoqëruar filluar prej më të voglit) numrat: numri 131,102, kurse pikës B numri 131,120. 157 Cila prej këtyre pikave është më afër pikës të 5 0,05; 0,050; 5; _____ . cilës i përgjigjet numrit 100? 1 000 Problem! Cila shenjë duhet të vendoset ndërmjet numrave 2 dhe 3 që të fitohet numri më i madh se 2, ndërsa më i vogël se 3. R A P U N A M E T Ë D D H Ë N A 9 LLOJET E DIAGRAMIT. ZGJEDHJA E DIAGRAMIT1 Merita dhe Afërdita kanë kopshte me perime me madhësi të njëjtë. Secila në kopshtin e vet ka mbjell domate, speca dhe lakra. Në tabelë janë paraqitur të dhënat për pjesën e kopshteve e mbjell me perime të ndryshme. Kopshte me perime E sata pjesë e kopshtit të Meritës ishte mbjellur Kopshti i Kopshti i me perime? Perime Meritës Afërditës E sata pjesë e kopshtit të Afërditës ishte mbjell 2 __ 1 __ me perime? Domate 5 6 E sata pjesë e që të dy kopshteve ka mbetur e 1 __ 1 __ Speca pa mbjell? 10 3 Te cili kopsht pjesa e pa mbjell është më e 1 __ 4 __ madhe? Lakra 5 12 Së pari paraqiti të dhënat në diagramin shtyllor. Shkallët e diagramit le të jenë: një e plotë e ndarë në 10 pjesë të barabartë dhe një e plotë e ndarë në 12 pjesë të barabartë; 2 4 Formo shtyllat por ki kujdes: __ = __ ... 5 102 Në tabelë janë paraqitur të dhënat për temperature për 5 ditë, të matur tre herë.
  • Cila është temperatura mesatare të Temperatura për 5 ditë158 hënën? Ditët Ora 7 Ora 12 Ora 19 Cilën ditë dhe në sa ora temperatura është më e lartë? E hënë 18 oS 24 oS 23 oS Sa është temperatura mesatare për pesë E martë 23 oS 29 oS 23 oS ditë pasdite? E enjte 15 oS 17 oS 22 oS Cila ditë ka ndryshim më të madh të E premte 17 oS 22 oS 20 oS temperaturës? E diel 22 oS 28 oS 25 oS3 Në klasën VI2 në një shkollë ka 32 nxënës. Përgjigjet në pyetjen për llojin e ushqimit të preferuar janë paraqitur tabelë. Ushqimi i preferuar Të gjithë nxënësit paraqesin një të plotë. (Paraqite me Lloji i Numri i Pjesa e të rreth, si në vizatim). ushqimit nxënësve plotës Ndaje rrethin në dy gjysma. 1 __ Njërën gjysmë ngjyrose me të gjelbër, ndërsa tjetrën Perime 16 2 ndaje në dy pjesë të barabartë ) çerekë. 1 __ Ngjyrosi çerekët. Pemë 8 4 Me cilën ngjyrë është ngjyrosur pjesa e nxënësve që 1 __ Mish 8 preferojnë perime? 4 1 __ 2 Diagrami i paraqitur në vizatim quhet diagram Perime sektorial. Diagrami sektorial tregon raportin ndërmjet pjesëve të një të plote. 1 __ 1 __ 4 4 Ushqimi i preferuar i Pemë Mish 32 nxënësve.4 Me ndihmën e diagramit sektorial paraqiti të dhënat: 1 Në një paralele ka 28 nxënës. Lëng prej Gjatë një shëtitjeje __ e nxënësve kanë luajtur 3 2 6 limoni preferojnë __ e nxënësve, ndërsa symbyllas, __ e nxënësve kanë luajtur futboll, 4 1 6 1 __ kanë vrapuar nëpër mal, ndërsa pjesa tjetër boronicë preferojnë __ e nxënësve. 6 4 kanë mbledhur fryte të maleve. Me diagram paraqiten të dhënat në mënyra të ndryshme. Diagramet janë të lehta për ti lexuar dhe për ti kuptuar. Ka Kjo është interesante! lloje të ndryshme të diagrameve: shtyllor, me fotografi, Nëse dëshiron të dish sektorial, dhe secili prej tyre ka përparësi dhe mangësi. më shumë.
  • Sporti i preferuar Diagrami shtyllor 159 35 ☺ Përparësitë:Numri i nxënësve 30 25 lehtë lexohen të dhënat; 20 15 lehtë krahasohen madhësitë 10 5 Mangësitë: 0 F B H Gj nëse shtyllat janë me madhësi të përafërt vështir Sport lexohen të dhëna: F-Futboll; B-Basketboll; varësisht prej shkallës mund të fitohet përshtypje e H-Hendboll, Gj-gjimnastikë gabuar e ndryshimeve të mëdha. Diagram me fotografi Sporti i preferuar ☺ Përparësitë: F lehtë lexohen të dhënat; B lehtë krahasohen. H Mangësitë: Gj Që të tregohet numër i saktë Një shenjë shënon dy studentëve patjetër duhet të shfrytëzohen pjesë të simboleve dhe shenjave; Diagrami sektorial që të konstatohet numri i saktë r patjetër duhet të njehsohet. te oj m pju Lex ☺ Përparësitë: Ko Film shumë mirë krahasohen e plota dhe pjesët e të plotës. Sportiv Muzikë Mangësitë: vështir është të shfrytëzohet kur pjesët e të plotës janë të vogla. 5 Në tabelë janë paraqitur të dhënat për atë se si Agoni e kalon kohën për një ditë (24 orë). Dita e Agonit Paraqiti të dhënat me diagram shtyllor. Ditët Koha në orë Paraqiti të dhënat me diagram fotografish Shkollë 6 ku shenja paraqet 2 orë. Mësim 3 Përpiqu të dhënat ti paraqesësh me Gjumë 9 diagram sektorial. Ngrënie 2 Lojë 4 6 Shkruaji përparësitë dhe mangësitë e çdo mënyre të paraqitjes së të dhënave se si Agoni e kalon kohën.
  • 160 10 MBLEDHJA E NUMRAVE DHJETOËE Kujtohu! A 1 Mimoza ka blerë 2,37 m shirit të kuq dhe 1,52 m shirit të kaltër për mbështjelljen e dhuratave të Paraqiti si numra dhjetorë thyesat: vitit të ri. Sa metër shirit ka blerë gjithsej Mimoza? ____ , 156 dhe 6 ___ 3 ___ 3 Duhet të njehsosh: 2,37 m 1 000 10 100 + 1,52 m Numrin 2047,0138 shkruaje në tabelë. Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre zgjidhjen. M Q Dh Nj , dh q m dhm Qm Paraqiti numrat matës si 237 152 ___ ___ thyesa dhjetore. 2,37 = ; 1,52 = . 100 100 Sa centimetra ka në 2m? Sa ka në 3m? E sa ka në: Cakto shumën e tyre. 237 152 389 ___ ___ ___ + = 100 100 100 a) 2,5 m? b) 2,6 m? c) 2,58 m? Shumën paraqite si 389 ___ = 3,89 numër dhjetor. 100 2,37 Vëren se: + 1,52 3,89Vëre mbledhjen e numrave dhjetorë në mënyrë tjetër. Shndërroji metrat në centimetra 2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm 237 cm Cakto shumën e gjatësive të shiritave + 152 cm (në centimetra) 389 cm Shndërroje shumën në metro 389 cm = 3,89 m Më praktik! Vëre dhe mbaj mend! ënNumrat dhjetorë mblidhen po at n dtat nën hjet in Nj , dh q Njëshe . Të d at. Të q t.ashtu si edhe numrat natyrorë. njëshe jet dta të dh n të qin nëPresjet dhjetore te mbledhësit 2 , 3 7dhe shuma të jenë në një vijë + 1 , 5 2vertikale. 3 , 8 9
  • Praktikisht 161 Që të njehsosh shumën e numrave dhjetorë duhet ti shkruash njërin nën tjetrin dhe atë: të plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nën dhjetëshe etj.); dhjetore nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, të qindtat nën të qindtat etj); presjet dhjetore të mbledhësve dhe të shumës të jenë në një vijë vertikale; shifrat e shumës caktoji në mënyrë të njëjtë si edhe gjatë mbledhjes të numrave natyrorë. Më praktikisht2 Vëre si është njehsuar shuma 1 Dh Nj , dh q m e numrave 42,6 dhe 5,931. 4 2 , 6 42,6 + 5,931 Në mënyrë praktike + 5 , 9 3 1 48,531 njehso: 1 15 3 1 134,62 + 0,691. 4 8 , 5 3 13 Autobusi orën e parë ka kaluar 62,3 km, orën e dytë ka kaluar 4,62 km më shumë se orën e parë. Sa ka kaluar autobusi për dy orë? Kujtohu! B 4 Provo a është e saktë: Provo a është e saktë: 0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54 362 + 8 = 8 + 362; Njehso shumat: 4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168; 0,54 3,2 174 + 0 = 0 + 174; + 3,2 dhe + 0,54 (72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44). Cilat veti të mbledhjes të numrave Shuma e dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nëse natyrorë i shfrytëzove? mbledhësit i ndërrojnë vendet. Paraqite si numër dhjetor numrin 15. Kjo është vetia e ndërrimit për mbledhjen e numrave dhjetorë.5 Shprehja (3,4 + 12,9) + 4,2 ka vlerë 16,3 + 4,2 = 20,5 Njehso vlerën e shprehjes 3,4 + (12,9 + 4,2). Vlerën e fituar krahasoje me vlerën 20,5 të shprehjes paraprake. Për mbledhjen e numrave dhjetorë vlen vetia e shoqërimit. Shprehe!
  • Numrin 5,6 zmadhoje për 2.162 6 Duhet ta njehsosh shumën e numrave 5,6 dhe 2. Paraqite numrin 2 si numër dhjetor. Shkruaj mbledhësit njërin nën tjetrin dhe njehso shumën. 7 - numër natyror Numri dhjetor mblidhet me numër natyror ashtu që 7,0 7,00 } numra dhjetorë numri natyror do të shndërrohet në numër dhjetor dhe pastaj të dy numrat do të mblidhen. Shuma e numrit7 Njehso: 15,6 + 0 0 + (2,6 + 4) dhjetor dhe zeros është e barabartë 24,8 me numrin dhjetor. + 0,0 24,8 Testohu! Duhet të dish! Të njehsosh shumë të numrave dhjetorë, të shkruar Njehso: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8; në rresht ose, njëri nën tjetrin. 9,24 + 12. Të shkruash numër natyror si numër dhjetor dhe të Provo a është: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7. njehsosh shumën e numrit natyror me numrin Shprehe vetinë e ndërrimit për mbledhjen dhjetor. e numrave dhjetor. Njehso 6,4 + (12,8 + 3,6) dhe Të shfrytëzosh vetinë e ndërrimit dhe e shoqërimit (6,4 + 12,8) + 3,6. Krahasoji rezultatet e për lehtësim gjatë mbledhjes së numrave dhjetor. fituara. Shprehe vetinë e shoqërimit të Se shuma e numrit dhjetor dhe 0 është e barabartë mbledhjes së numrave dhjetorë. me numrin dhjetor. Detyra 3. Zgjidhi barazimet:1. Numrin 100,075 zmadhoje për: a) 63,3; b) 5; x - 156,6 = 1,54; x - 4,0245 = 0,81. c) shumën e numrave 4,78 dhe 56,3; d) 0. 4. Parashutisti bien për 4 s me parashutë të mbyllur. Në sekondën e parë ka kaluar 4,9 m,2. Njehso: kurse në çdo sekondë pasardhëse nga 9,8 m më shumë. Sa metro ka kaluar për 4 s? 5,6 + 25,8 = 0,142 + 6,71 = 5. Shkruaj katër numra ku i pari është 3,69, 4 + 4,48 + 4,886 = kurse çdo pasardhës është për 3,69 më i 362,003 + 54 + 0,72 = madh se paraardhësi.
  • 11 ZBRITJA E NUMRAVE DHJETORË 163 Kujtohu! A 1 Njehso: 2,78 - 0,24 3 1 24 ___ + 6 ___ + ___ . Njehso: 100 100 100 Vepro sipas këtyre kërkesave! 7 70 __ = ___ Provo nëse: 10 100 Shndërroji numrat dhjetorë si thyesa dhjetore: 278 24 Njehso: 841 523 a) ___ - ___ ; 2,78 = ___ ; 0,24 = ___ . 100 100 100 100 612 ___ - 549 ___ b) 278 24 254 10 10 ; Cakto ndryshimin e tyre: ___ - ___ = ___ . 100 100 100 263 ___ - 0. c) 100 Shndërroje ndryshimin e fituar si numër dhjetor: 254 ___ = 2,54. 100 D.m.th: 2,78 Të mbaj mend: Gjatë të shkruarit njërin nën - 0,24 Numrat dhjetorë tjetrin duhet presjet e të 2,54 zbriten sikurse zbritshmit dhe zbritësit të zbriten numrat jenë vertikalisht në një vijë. natyrorë.2 Kompania “Kopshtari” në treg ka dërguar 2,745 t patate, kurse ka shitur 1,423 t. Sa tonelata patate kanë ngelur pa u shitur?Duhet të zbritet sasia e shitur e patateve prej sasisë së përgjithshme. 2,745 Cilët numra duhet të zbriten? 2,745 t - 1,423 t, t.e. - 1,423 Shndërroji tonelatat e patateve në kilogramë. 2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg. 2 745 Zbriti numrat matës që i tregojnë kilogramët. - 1 423 1 322 Shndërroje në tonelata ndryshimin e fituar. Mbetja është: 1322 kg = 1,322 t. 2,745 Shkruaj numrat dhjetor njëri nën tjetrin dhe - 1,423 njehso ndryshimin. 1,322
  • 164 Praktikisht: Që ta njehsosh zbritjen e dy numrave dhjetorë duhet ti shkruash njërin nën tjetrin, dhe atë: dhjetat, të qindtattë plotat nën të dhjetat nën të të plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nën nën të qindtat të plotat 27,48 dhjetëshe, etj.; - 0,36 dhjetore nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, të qindtat nën të qindta etj.); 27,12 presjet dhjetore, të të zbritshmit, zbritësit dhe ndryshimit të jenë në një vijë vertikale. kahja e Shifrat e ndryshimit caktoi në mënyrë të njëjtë si te zbritja e zbritjes numrave natyrorë. 3 Udhëtari duhet të kalon 12 km. Orën e parë ka kaluar 4,28 km. Edhe sa kilometra i kanë ngelur? Që të njehsosh sa kilometra duhet të kalon udhëtari, duhet rrugën e kaluar ta zbresësh prej gjatësisë së përgjithshme të rrugës. Bëje këtë: Të mbaj mend: Gjatë zbritjes të Të zbritshmin 12 shkruaje si numër dhjetor numrit natyror dhe numrit (me dy zero pas presjes dhjetore); dhjetor, numri natyror shkruhet shkruaji numrat dhjetorë njërin nën tjetrin si numër dhjetor me aq zero sa dhe bëje zbritjen. dhjetore ka numri dhjetor.4 Numrin 29,563 zvogëloje për 15. Prej numrit dhjetor duhet të zbresësh numër natyror. Vepro në këtë mënyrë: zbritësin 15 shkruaje si numër dhjetor me 3 zero si dhjetore; shkruaji të dy numrat dhjetor njërin nën tjetrin dhe bëje zbritjen.5 Njehso 6,84 - 0. Të mbaj mend! Gjatë zbritjes së 0 prej numrit dhjetor si ndryshim fitohet numri Vepro sipas këtyre kërkesave. dhjetor i njëjtë. Paraqite të zbritshmin si thyesë dhjetore dhe bëje zbritjen. Ndryshimin e fituar shndërroje si numër dhjetor. 5,2 - 0,0 5,2
  • Duhet të dish! 165 Testohu! Drejt ti shkruash të zbritshmin dhe zbritësin njërin nën tjetrin dhe ta kryesh zbritjen; Njehso: Kur i zbritshmi ose zbritësi është numër natyror, atë a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849. duhet ta paraqesësh si numër dhjetor me aq zero sa Numrin 7 zvogëloje për 0,7. dhjetore ka numri dhjetor; Numrin 6,5 zvogëloje për 5. Zbritjen ta bësh prej anës së djathtë nga ana e majtë. Shumën e numrave 8,8 zvogëloje për 0. Kur zbritësi është 0, ndryshimi është i barabartë me të zbritshmin. Detyra1. Njehso: 4. Numrin 64 zmadhoje për ndryshimin e 26,3 - 5,2 5,96 - 4,87 numrave 6,4 dhe 4,64; 1042,07 - 148,396 343 - 3,27 5,68 - 2 846,825 - 0 5. I zbritshmi është 24,6, kurse ndryshimi është 2,6. Cakto zbritësin.2. Për sa është: Zbritësi është 6,2, kurse ndryshimi është 56,62 më i madh se 46,31? 2,6. Cakto të zbritshmin. 100 më i vogël se 301,62? Ndryshimi është 64,3. Ai është për 3 më i 54 më i madh se 25,64? madh se zbritësi. Cakto të zbritshmin. 3,8 më i madh se 0?3. Gypi i ujit me gjatësi 6 m është ndarë në 3 6. Vaji dhe shishja së bashku kanë 1,23 kg. Shishja pjesë. Gjatësitë e të dy pjesëve janë nga: 3,2 e ka masën 462 g. Sa kilogramë është masa e m dhe 2,46 m. Sa metro është e gjatë pjesa e vajit? tretë? Problem! Shuma e një numri natyror dyshifror dhe një numri dhjetor është 26,3. Merita gjatë mbledhjes së atyre numrave presjen dhjetore te numri dhjetor gabimisht e ka vendosur për një vend në të majtë dhe ka fituar shumë 13,43. Cilat numra i ka mbledhur Merita?
  • 166 12 SHUMËZIMI I NUMRAVE DHJETORË Kujtohu! A 1 Këmbësori për 1 orë ka kaluar 3,635 Njehso: km. Sa kilometra do të kalon për 10 10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526. orë nëse ec pa u ndal dhe me Sqaro çka ndodh me numrin e zerove te shpejtësi të njëjtë? prodhimi i shumëzimeve paraprake. Duhet të njehsosh 3,635 km ⋅ 10. Vëre hapat e zgjidhjes. Zhvendosu për një vend! Shndërroji kilometrat në 3,635 km = 3635 m. metro. Njehso prodhimin me 10 3635 m ⋅ 10 = 36350 m. (në metro).Të mbaj mend: Numri Prodhimin shndërroje në 36350 m = 36,35 kmdhjetor shumëzohet me kilometra.10 ashtu që presjadhjetore e atij numri Vëren se te prodhimi izhvendoset për një numrave dhjetorë, presja 36,35 km ⋅ 10 = 363,5 kmvend në anën e djathtë. dhjetore është zhvendosur për një vend në të djathtë.2 Njehso prodhimin e numrit 1,438 me 10, 100 dhe 1000. Mundesh të përdorësh llogaritës (ku në vend të presjes ka pikë dhjetore, kurse në vend të shenjës “•” ka “x”). Me llogaritës fitohen: 1 0 x 1 . 4 3 8 = 14.38 1 0 0 x 1 . 4 3 8 = 143.8 1 0 0 0 x 1 . 4 3 8 = 1438. Voo~i! Gjatë shumëzimit të numrit dhjetor me 10, 100, 1000,... presja dhjetore e tij zhvendoset përkatësisht për një, dy, tre,... vende në të djathë sa zero ka njësia dekade.3 Njehso gojarisht: 1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.
  • Kujtohu! 167 B 4 Hapi i Bashkimit është 0,74 m. Sa metro ka kaluar Njehso: Bashkimi kur ka bërë 4 2,3 + 2,3 + 2,3. hapa? Shkurtimisht si mundesh ta shkruash këtë shumë? Duhet të njehsosh 4 ⋅ 0,74 m. Provo a është e saktë 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1? Mbaj mend! Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre! Numri dhjetor shumëzohet 0,74 m = 74 cm me numër natyror ashtu si Shndërroji metrat në centimetra. shumëzohen numrat Bëje shumëzimin me 4 (në cm). 4 ⋅ 74 cm = 296 cm natyrorë. Numri i dhjetoreve te prodhimi është i Prodhimin shndërroje në metro. 296 cm = 2,96 m barabartë me numrin e Vëre si është fituar prodhimi. 4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m dhjetoreve te numri dhjetor.5 Njehso prodhimin e numrit 9 me numrat 2400,8; 5612,9; 428,27; 20,3; 0,9.C 6 Njehso syprinën S të drejtkëndëshit me brinjë a = 4,6 cm dhe b = 3,2 cm. Sipas formulës për syprinën e drejtkëndëshit (S = a ⋅ b), duhet ta caktosh prodhimin e numrave matës 4,6 dhe 3,2 dhe ta shkruash në centimetër katror. Vërej kërkesat dhe mënyrën e zgjidhjes: 4,6 cm = 46 mm Shndërroji gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit në milimetra. 3,2 cm = 32 mm 46 ⋅ 32 = 1472 Njehso syprinën e drejtkëndëshit (në milimetër katror). R = 1472 mm2 Shndërroje syprinën në centimetër katror. R = 14,72cm2 Vëre prodhimin e panjësuar dhe të njehsuar të numrave matës dhe sqaro se si 4,6 ⋅ 3,2 = 14,72 shumëzohen numrat dhjetorë. Dy numra dhjetorë shumëzohen ashtu sikurse shumëzohen numrat natyrorë, kurse te prodhimi ndahen aq vende dhjetore sa ka dhjetore te të dy shumëzuesit së bashku.
  • Njehso: 0,04 ⋅ 0,23. Përcjelle zgjidhjen! 168 7 0,2 ⋅ 0,03 = 0,006 4,56 ⋅ 3,7 = 16,879 Numri i dhjetoreve te Pse ka dy zero para prodhimi është 3, 2 + 1 = 3 shifrës 6? kurse ka vetëm një shifër (shifrën 6). Prandaj, të dy vendet Numri i dhjetoreve Shuma e numrit të dhjetoreve te dhjetore plotësohen shumëzuesit me zero. te prodhimi Kujtohu! D 8 Njehso: 7,04 ⋅ 20,6; 20,6 ⋅ 7,04 Njehso: 0,6 . 6,1 = Vëre! 0,6 . 9,9 = Prodhimi i dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nëse 0,6 . (6,1 + 9,9) = shumëzuesit i ndërrojnë vendet e tyre, dmth. për çfarëdo dy Krahasoji rezultatet. numra dhjetor a dhe b vlen: a ⋅ b = b ⋅ a (vetia komutative).9 Njehso dhe krahasoji prodhimet: 2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) = ; (2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 = . Prodhimi i numrave dhjetorë nuk varet prej mënyrës së grupimit të shumëzuesve, dmth. për çfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (vetia asociative).10 Shprehe vetinë e shpërndarjes të shumëzimit të numrave natyrorë në lidhje me mbledhjen. Provo a vlen ajo veti edhe për numrat dhjetorë 3,48; 1,01 dhe 5,2. (3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2. Vëre! Për çfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (vetia e shpërndarjes).11 Njehso: a) 3,76 ⋅ 0; (5,2 + 8,03) ⋅ 0; 5,6 - 0 ⋅ 0,3; b) 9,8 ⋅ 1; (7 - 0,4) ⋅ 1 ; 2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)
  • Vëre! 169Për çfarëdo numër natyror vlen: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0; a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a. Duhet të dish! Testohu! Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor Njehso: me njësi dekade. a) 4,286 ⋅ 100 = ; 8000 ⋅ 0,03 = ; Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor b) 3,7 ⋅ 7 = ; 6 ⋅ 2,005 = ; me numër natyror. c) 9,6 ⋅ 3,01 = ; 0,004 ⋅ 6,03 = . Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor me numër dhjetor. Sqaro a është e saktë pa njehsuar: Ti zbatosh vetitë e shumëzimit. 6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34; (1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01); (4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04. Detyra1. Njehso: 5. Njehso vlerën e shprehjeve: 0,748 ⋅ 10 = ; 10 ⋅ 9,4 = ; 2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 = ; 3,6 ⋅ 100 = ; 100 ⋅ 10,006 = ; 0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 = . 0,2 ⋅ 1 000 = . 6. Njehso prodhimin e shumës dhe ndryshimit2. të numrave 16,009 dhe 9,0016. Zmadhoje 10 herë çdonjërin prej numrave: 1,8; 0,0072; 1 000,01. Zmadhoje 1 000 herë çdonjërin prej 7. Mimoza ka 6000 denarë. 0,65 të parave i ka numrave: 3,4; 0,007; 96,006. shpenzuar për ushqim, kurse 0,2 për fletore Cili numër është 2 000 herë më i madh se dhe mjete shkollore. Sa para i kanë ngelur ? numri 2 000,2?3. Njehso: 8. Krahaso shprehjet: 6,405 ⋅ 7 = ; 315,002 ⋅ 12 = ; 4,65 ⋅ 0,524 dhe 5,24 ⋅ 0,465. 0,0063 . 3 = .4. Njehso syprinën e dyshemesë së klasës që i 9. Shkruaj katër numra ku i pari është 1,6, kurse ka dimensionet 6,8 m dhe 9,4 m. çdo pasardhës është 1,5 më i madh se paraardhësi.
  • 170 13 PJESËTIMI I NUMRAVE DHJETORË Kujtohu! A 1 Cakto prodhimet:Njehso: 6,25 ⋅ 10 = ; 34,7 ⋅ 10 = ; 2,136 ⋅ 100 = ; 5,432 ⋅ 100 = ;Cakto herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit: 1,3458 ⋅ 1 000 = . 265 : 10 = ; 412 : 100 = ; Njehsove se Prej barazisë 148 ⋅ 23 = 3 404 cakto herësin: 6,25 ⋅ 10 = 62,5; 3 404 : 23 = . 5,432 ⋅ 100 = 543,2; 1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8. Vëre numrin e zerove te njësia dekade dhe zhvendosja e presjes dhjetore te prodhimi. Çka vëren? Prej barazive të fituara njehso: 62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = . Vëre! Kam vërejtur se: Numër : 10 dhjetor do të pjesëtoj62,5 : 10 = 6,25; me 10 ashtu që presjen 6,2 , 5543,2 : 100 = 5,432; dhjetore do ta1 345,8 : 1 000 = 1,3458. zhvendos për një vend Si është zhvendosur presja në secilin herës në të majtë. sipas të pjesëtueshmit dhe njësisë dekade? Mbaj mend! Herësi i numrit dhjetor dhe njësisë dekade (10, 100, 1 000,...) fitohet me zhvendosjen e presjes dhjetore te numri dhjetor në të majtë për aq vende sa ka zero njësia dekade .2 Njehso: 34,7 : 10 = ; 257,1 : 100 = ; 17 845,32 : 1 000 = .3 Njehso: 6,3 : 10 = dhe 3,2 : 100 = . Vëre dhe mbaj mend! Nëse gjatë zhvendosjes së presjes dhjetore në 0,63 ⋅ 10 = 6,3; 6,3 : 10 = 0,63 të majtë nuk ka vende të mjaftueshme, atëherë0,032 ⋅ 100 = 3,2; 3,2 : 100 = 0,032 shtohet numër i mjaftueshëm i zerove.
  • 4 Cakto herësit e numrave: 2 685,7; 3,78; 12 dhe 0,06 me: 10, 100 dhe 1 000. 171 Kujtohu! B 5 Shiritin me gjatësi 7,23 m ndaje në 3 pjesë të Cakto herësin dhe mbetjen gjatë barabarta. Cakto gjatësinë e çdo pjese. pjesëtimit të numrave: a) 3728 me 16; b) 6412 me 24. Duhet të njehsosh: 7,23 : 3 = . Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen. Gjatësinë e shiritit shndërroje në centimetra. 7,23 m = 723 cm 723 cm : 3 = 241 cm Njehso herësin në centimetra. 12 3 Shndërroje herësin e fituar në metra. 241 cm = 2,41 mVëren se: 7,23 : 3 = 2,41, pasi 2,41. 3 = 7,23. Si mundet të njehsohet 7,23 m : 3; pa u shndërruar metrat në centimetra?Vepro sipas këtyre kërkesave. 7,23 : 3 = 2,41 453,6 : 28 = 16, -6 - 28 Bëj pjesëtimin e 7,23 me 3 pa presjen 12 dhjetore. 173 - 12 - 168 herës vendosim 3 …, e pastaj në Pas mbarimi të pjesëtimit te herësi vendos 56 -3 presjen. presjen atje ku mbarove me të plotat. 0 Së pari lëshojmë dhjetoren e parë…; Mbaj mend! Gjatë pjesëtimit të numrit dhjetor me numër natyror vepro si të pjesëtosh numra natyrorë. Kur do ta lëshosh dhjetoren e të dhjetave, atëherë te herësi vendos presjen.6 Njehso 292 : 16 pa mbetje. 56,0 : 35 = 1,6 Veproni kështu: - 35 Paraqite të pjesëtueshmin si numër dhjetor. 210 Bëje pjesëtimin, por tani si pjesëtim të numrit dhjetor me numër - 210 natyror. 0
  • 172 7 Njehso: 2 728 : 4 = ; 272,8 : 4 = ; 27,28 : 4 = . . Shembull: Mbaj mend! Zero të plota 4,752 : 6 = 0,792 Nëse e plota është më e vogël se pjesëtuesi, - 0 atëherë te herësi shkruhet 0 të plota. 47 3,45 : 5 = - 42 Njehso: 558 10,626 : 23 = - 54 0,9768 : 37 = 12 0,06723 : 9 = - 12 0 Kujtohu! Njehso pa mbetje: 365,4 : 9; 27,0 : 4. Njehso herësin e numrave 78 dhe 12 pa mbetje. Po C 9 Syprina e një drejtkëndëshi është 1,38 dm2, kurse gjerësia e ashtu ka nevojë numrin 78 ta paraqesësh si numër tij është 0,6 dm2. Cakto dhjetor (78,0). gjatësinë e drejtkëndëshit. Çfarë do të ndodh nëse i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi shumëzohen me një numër të njëjtë? Duhet të njehsosh 1,38 : 0,6 = . Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen. Shndërro decimetër katror në centimetër katror, kurse 1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm decimetrat në centimetra. Cakto gjatësinë e drejtkëndëshit (në centimetra). 138 cm : 6 = 23 cm Shndërro gjatësinë e drejtkëndëshit në decimetra. 23 cm = 2,3 dm Vëre! 1,38 : 0.6 = 2,3.Caktuam se herësi i 1,38 dhe 0,6 është numri 2,3, dmth. 2,3 ⋅ 0,6 = 1,38.Numri 2,3 mundet të fitohet edhe pa i shndërruar decimetrat në centimetra. Puno sipas kërkesave! Shembull: 23,12 : 3,4 = Zmadhoi 10 herë të pjesëtueshmin dhe pjesëtuesin; 23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34; Pasi tani është numër natyror cakto herësin e numrit 231,2 : 34 = 6,8 dhjetor (13,8) dhe numrit natyror(6). 272 0
  • Të mbaj mend: Numri dhjetor pjesëtohet me numër dhjetor ashtu që: presjet dhjetore zhvendosen në anën e djathtë te i pjesëtueshmi dhe te 173 pjesëtuesi për aq vende sa që është e nevojshme pjesëtuesi të bëhet numër natyror. Pastaj pjesëtohen numrat e fituar (ashtu që pjesëtohet numri i dhënë me numrin natyror).10 Njehso: a) 3,4 : 0,017 = ; b) 0,64 : 0,0032 = . Kujdes! Numri i dhjetoreve te i pjesëtueshmi është më i vogël se numri i dhjetoreve te pjesëtuesi. Prandaj mendo dhe përgjigju: Sa zero duhet të përshkruhen te i pjesëtueshmi nga ana e djathtë që të mundet të zhvendosen presjet dhjetore? Duhet të dish! Testohu! Të njehsosh herës të numrit dhjetor dhe njësisë dekade. Njehso: 34,6 : 10 = ; Të njehsosh herës të numrit dhjetor 6,485 : 1000 = ; 62,17 : 100 = . dhe numrit natyror. Njehso 257,52 : 12 dhe bëje provën e zgjidhjes. Të njehsosh herës te i cili pjesëtuesi është numër dhjetor. Për sa duhet të zhvendoset presja dhjetore në anën e djathtë te i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi që të njehsohet: 12,031 : 1,6 = ; 3,101 : 0,08 = ; Detyra 0,345 : 0,025 = .1. Cili numër është më i vogël se 4,76: 4. Njehso: a) 10 herë; b) 100 herë; c) 1000 herë? 6 : 0,2 = ; 0,75 : 0,15 = ; 48 : 0,12 = ; 1,836 : 0,204 = ;2. Njehso: 3,417 : 0,85 = ; 0,044 : 0,25 = . 0,6 : 3 = ; 4:5= ; 735 : 35 = ; 1,95 : 15 = ; 5. Sa herë 0,14 është më e vogël se 0,7? 27 : 1 125 = ; 6. Njehso dhe bëje provën e zgjidhjes: 23,45 : 37 = në 4 dhjetore; 341,3 : 12 = në 2 dhjetore. 34 : 0,085 = ; 33 : 1,28 = ;3. Njehso në 6 dhjetore: 12,4 : 0,031 = ; 0,0108 : 1,6 = . 1:7= ; 4:7= ; 7. Zgjidhni barazimet: 2:7= ; 5:7= ; 100 ⋅ x = 2,416; 3:7= ; 6:7= ; 156,12 : x = 10; Çka përfundon për dhjetoret e herësit? 0,018 = 18 ⋅ x; 0,0625 ⋅ x = 3,1275.
  • 8. Një udhëtar ka kaluar 14,730 km për 10. Në klasën VI3 ka pasur 34 nxënës. Në174 5 orë. Sa kilometra, mesatarisht, ka fund të vitit shkollor suksesi nga lënda e kaluar për 1 orë? matematikës ka qenë kështu:: 15 nxënës me sukses të shkëlqyeshëm, 9 nxënës me sukses shumë të mirë, 7 me mirë dhe 3 me9. Cakto vlerën e shprehjeve: notë të mjaftueshme. Njehso notën (6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 = mesatare të paraleles nga lënda e matematikës në 2 dhjetore. 2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 = PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DIJNË MË SHUMË1. Provo a janë të saktë barazitë: (5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4) (2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.2. Cili numër mund të pjesëtohet me secilin numër dhjetor të ndryshueshëm nga zero pa mbetje?3. Si do të ndryshon: a) shuma e dy numrave nëse njërin mbledhës e zmadhojmë për 2,3, kurse tjetrin e zmadhojmë për 3,2; b) zbritësi nëse i zbritshmi zmadhohet për 5,8, kurse ndryshimi zvogëlohet për 5,8; c) prodhimi i dy numrave nëse njërin e shumëzojmë me 8,75, kurse tjetrin në 0,72;4. Prej l kg miell fitohet 1,252 kg bukë. Sa bukë fitohet prej 576 kg miell?5. Cilit numër duhet ti shtohet 2,2 që të fitohet numër që është 3,5 më i madh se 9,2?6. Për sa syprina e katrorit me brinjë 15,34 m është më e madhe se syprina e drejtkëndëshit me brinjë 16,12 m dhe 12,03 m?7. Zgjidhi barazimet: 5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21; x : 8,04 = 5,05; 3,48 : x = 1,45; (x - 2,5) : 5,1 = 0,8.
  • 14 SHNDËRRIMI I THYESËS NË NUMËR DHJETOR 175 Kujtohu! Shndërroje si numër dhjetor A 1 3 Cilin operacion e paraqet vija thyesore? thyesën __ . 4 3 Te thyesa __ zëvendësojeni vijën thyesore me Puno sipas kërkimeve: 4 atë shenjë dhe kryejeni operacionin. Zgjero thyesën me 25. 3 Lexoje thyesën ___ dhe shkruaje si numër Thyesën e fituar dhjetore shndërroje si 100 numër dhjetor. dhjetor. 3 Sigurisht e keni fituar __ = 0,75. Sqaro: si shndërrohet thyesa dhjetore si numër 4 Njehso 3 : 4. dhjetor? Krahasoni rezultatet e fituara.2 Me zgjerimi ose me thjeshtimin, këto thyesa shndërroji si thyesa dhjetore e pastaj në numra 1 3 5 132 164 dhjetor: __ , __ , __ , ___ dhe ___ . 2 5 8 300 400 5 Shembull: Thyesën __ zgjeroje me 125. 8 Thyesën dhjetore të fituar shndërroje si numër dhjetor. Njehso 5:8= . 3 1 5 __ __ __ 11 __3 Cila prej thyesave , , dhe nuk mundet të shndërrohet si thyesë dhjetore? 5 4 6 20 5 Sigurisht konstatuat se është thyesa __. 6 Mbaj mend! Vetëm thyesa e pa thjeshtuar emëruesi i së cilës zbërthehet në shumëzues 2 ose 5, mundet të paraqitet si thyesë dhjetore. Çdo thyesë e cila mundet të paraqitet si thyesë dhjetore paraqet numër të fundmë dhjetor. 23 7 54 Cila prej thyesave __ , __ ose __ paraqet numër të fundmë dhjetor? 40 15 12 Konstato cila prej thyesave mundet të zgjerohet deri në thyesë dhjetore me emërues 1000; ose pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato cili prej herësve të fituar është numër të fundmë dhjetor.
  • __ 15 1 __ 11 __ 176 B 5 Thyesat , 3 11 dhe 37 shndërroji si numra dhjetorë.Puno sipas kërkesave: Konstato emëruesit a zbërthehen si shumëzues 2 dhe 5, përkatësisht numrat dhjetor a do të jenë të fundmë apo jo. Pjesëto numëruesin e thyesës me emëruesin.Sigurisht fitove: 1 11 __ = 0,333...; 15 = 1,363636...; __ = 0,297297..... __ 3 11 13Numrat dhjetor të fituar kanë pafund shumë decimale.Numra të tillë quhen numra dhjetorë të pafundmë. Vëre! Te çdonjëri prej numrave, pas presjes dhjetore, një ose më shumë shifra përsëriten sipas radhës së njëjtë. Mbaj mend! Numrat dhjetorë të këtillë quhen numra dhjetor periodik të njëjtë. Numrin që e formojnë shifrat që përsëriten quhet periodë e numrit dhjetor.Te numri i parë perioda është 3, te i dyti 36, kurse te i treti 297.0,333.... = 0,(3). Lexohet: zero të plota dhe 3 si periodë;1,3636... = 1,(36). Lexohet: një e plotë dhe 36 si periodë.... 5 679 7 C 6 Thyesat __ , ___ dhe __ shndërroji si numra dhjetor. 18 495 12 Puno sipas këtyre kërkesave: shqyrtoi emëruesit e thyesave dhe konstato numri dhjetor a është i fundmë; pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato numri dhjetor a është periodik. Duke e përdor kalkulatorin fitohet; __ = 0,2777...; 679 = 1,3717171...; __ = 0,58333... 5 ___ 7 18 495 12 Vëre! Numrat e dhjetor të fituar janë periodik, por para periodës ka një ose dy shifra. Numrat e këtillë dhjetor quhen numra të përzier dhjetorë periodik.
  • Lexojmë: Mbaj mend! 0,2777... = 0,2(7) - zero të plota 2 të dhjetat 177 dhe 7 në periodë. Nëse nga ana e djathtë e numrit 1,37171... = 1,3(71) - një e plotë, 3 të dhjetat natyror ose zeros, shkruhet presja dhe 71 në periodë. dhjetore dhe pastaj përshkruhen 0,58333... = 0,58(3) - zero të plota, 58 të qindtat shifrat, fitohet shënimi i numrit që dhe 3 në periodë quhet numër dhjetor. Çdonjëri prej numrave 2, 3 dhe 58 te shembullit quhen para periodë. Duhet të dish! Testohu! Të vlerësosh, sipas emëruesit të thyesës, ajo a mundet të shndërrohet si numër dhjetor të Vlerëso, pa e pjesëtuar numëruesin me 2 fundmë ose në numër dhjetor të pa fundmë emëruesin, vallë thyesa __ paraqet numër 20 periodik. dhjetor të fundmë. Cili numër dhjetor është i fundmë? 3 Shndërroji si numra dhjetor këto thyesa __ , Të sqarosh çka është periodë, kurse çka para __ , 12 dhe __ . 7 __ 4 5 periodë. 8 7 9 Cakto periodën dhe para periodën te këto Ç’është numri dhjetor periodik i pastër. numra dhjetorë: Ç’është numër dhjetor i përzier periodikë. Se thyesa mund të shndërrohet: 2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ; - ose si numër dhjetor i fundmë; 126,120404... - ose si numër dhjetor i pafundmë periodik. Se ekzistojnë edhe numra dhjetor të pafundmë periodik të tjerë që nuk janë periodik. Për ato do të mësojmë në klasën VIII. Detyra 3. Cakto periodën dhe para periodën te numrat dhjetor:1. Zgjeroji dhe thjeshtoji thyesat ashtu që 0,378787... ; 6,543023023... . te emërtuesi të paraqitet 10, 100 ose 1000, kurse pastaj shndërroji si numra 4. Sipas shënimit për periodën e numrit dhjetor dhjetor: shkruaj numrat: __ , ___ , __ , __ , ___ , __ , __ , 83 . 3 18 24 37 229 23 11 __ 4,636363... ; 0,102102... ; 5 200 20 25 125 80 32 64 3,54034034... ; 4,27117117... .2. Shndërroji si numra dhjetorë këto thyesa: 5. Shkruaje si numra dhjetor të pamundshëm këto numra: __ , __ , __ , 19 , 24, __ , __ , __ , ___ . 2 9 3 __ __ 1 2 5 37 a) 3,6(54) ; c) 6,(53) ; 3 11 5 20 20 27 15 18 275 b) 0,77(2401) ; d) 0,06(5231).
  • 178 15 RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE DHJETORË Kujtohu! A 1 Një parcelë prej 123 m2 e rregullojnë nxënësit e klasës VIa. Numrin 3 128 i rrumbullakuar është 3 000, Në paralele ka 32 nxënës. Nga sa dmth. 3 128 ≈ 3 000. " ≈ ", lexohet: metra katror, mesatarisht, rregullon përafërsisht i barabartë. Rrumbullakoje secili nxënës? numrin 3 128 në qindëshe. Si është rregulla për rrumbullakimin e Duhet të njehsosh 123 : 32. numrave natyrorë? Cakto herësin; A duhet 135 ≈ 130 ose 135 ≈ 140? Cakto praktikisht rëndësinë e metrove katror Sqaro! për nxënës. Sigurisht fitove 123 : 32 = 3,84375, dmth. se çdo nxënës duhet të rregullon nga 3,84375 m2.Numri ka rëndësi praktike vetëm deri te dhjetorja e dytë (në dm2), dmth të bëhet rrumbullakimi inumrit dhjetor në dy dhjetore (në të qindta).Numrat dhjetorë me dy dhjetore që janë më afër numrit 3,84375 janë: 3,84 dhe 3,85, dmth. 3,84 < 3,84375 < 3,85Domethënë: 3,84 ≈ 3,84375 (lexojmë: 3,84 përafërsisht është i barabartë me 3,84375) dhe 3,84375 ≈ 3,85.2 Caktoji të dy numrat dhjetorë më afër numrit 1,37268 që kanë nga një dhjetore. Konstato sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit të numrit 1,37268 në një dhjetore. Sigurisht konstatove se numrat e kërkuar janë 1,3 dhe 1,4 dmth. 1,3 < 1,37268 dhe 1,37268 < 1,4. Sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit: 1,3 7268 ≈ 1,3 dhe 1,37268 ≈ 1,4, do të konstatosh nëse i krahason ndryshimet: 1,37268 - 1,3 = 0,07268 dhe 1,4 - 1,37268 = 0,02732 Deri te cila pikë për numrat 1,3 ose 1,4 pika është 0,07268 0,02732 më afër numrit 1,37268? 1,3 1,37268 1,4 Mbaj mend!Në të dy rastet gabimi i bërë është më i vogël se 0,1.Themi: Numrin 1,37268 e kemi rrumbullakuar me saktësi gjer më 0,1, përkatësisht me saktësi gjer nënjë dhjetore. Ndryshimi që tregon për sa numri i dhënë është më i madh ose më i vogël se vlera e tij e përafërt quhet gabim absolut. Gjatë rrumbullakimit përpiqu të bësh gabim absolut më të vogël.
  • Vëren se rrumbullakimi (zëvendësimi) i numrit 1,37268 me numrin 1,4 është me gabimabsolute më i vogël se sa me numrin 1,3. 179Gjatë rrumbullakimit të numrit dhjetor respekto rregullën e rrumbullakimit: nëse shifra e parë e shlyer është më e vogël se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngel nuk ndryshon; nëse shifra e parë e shlyer është 5 ose më e madhe se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngelur zmadhohet për 1.3 Numrin 4,8162704 rrumbullakoje me saktësi: a) në një dhjetore, dmth deri 0,1; d) deri 0,0001; b) deri 0,01; e) deri 0,0001. c) deri 0,001; Duhet të dish! Testohu! Të. rrumbullakohet ndonjë numër me saktësi të dhënë domethënë ai numër të Numrin 0,315 rrumbullakoje në dy dhjetore. zëvendësohet me numër tjetër më të madh 7 ose më të vogël se ai, për nevoja të caktuara Thyesën __ shndërroje si numër dhjetor me praktike. 34 Të rrumbullakosh numër të dhënë me saktësi saktësi 0,001. 0,001. të caktuar sipas rregullës për shlyerjen e Cakto gabimin absolut nëse 1,47 ≈ 1,47328. shifrave të numrit. Të sqarosh se si caktohet rrumbullakimi i numrit dhjetor me saktësi të caktuar. Detyra1. Rrumbullako në tre dhjetore numrat: 4. Njehso: 2 2,7145; 3,03277; 0,01523. 4,26 + __ - 1,00312 me saktësi deri 0,01. 7 72. Thyesën __ shndërroje në numër 5. Bëj tabelë, rrumbullako numrat në të me 34 saktësinë e shënuar dhe cakto gabimin dhjetor te saktësi deri: 0,1; 0,01; absolut. 0,0001. rrumb. më Gabimi rrumb. më Gabimi Numër saktë deri 0,01 absolut saktë deri 0,01 absolut3. Shumën e numrave 4,7125 dhe 0,0374 3,3914 njehso me saktësi deri 0,001. 0,5386 426,4235 6,0141
  • R A P U N A M E T Ë D D H Ë N A180 16 CAKTIMI I ZGJEDHJES. ANALIZA DHE PËRFUNDIMI 1 Shfrytëzo tabelën që të përgjigjesh në disa pyetje.A Ndryshimin i shpejtësive më të shpejta dhe më të ngadalshme të garave me formula rrumbullakoje me saktësi deri 0,1. Sa më ngadalë ka shkuar fituesi në gara me formula në vitin 2 000 prej fituesit të garave në vitin 1 998 ? Cila do të jetë shpejtësia më e madhe mesatare e të dy garave më të shpejta së bashku? Viti Fitues Shpejtësia më e Cila është shpejtësia mesatare më e madhe gjatë pesë madhe (km/h) garave (mesatarja aritmetike)? Mihael Në një garë në vitin 1912 është arritur shpejtësia më e1996 310,36 Shumaher madhe e cila është 4 herë më e vogël se shpejtësia në vitin Mihael 2000. Sa është ajo shpejtësi?1997 344,44 Shumaher Aeroplani i udhëtarëve ka arritur 3 deri 3,5 herë shpejtësi më Dejvid1998 326,78 të madhe prej shpejtësisë më të radhë që është arritur në Kulthard vitin 1999. Në cilat kufij gjendet shpejtësia e aeroplanit me Mika1999 294,06 saktësi deri në një dhjetore ? Hakinen Analiza e të dhënave. Ndërmjet cilave dy vite ndryshimi i Mihael2000 Shumaher 312,56 shpejtësive është: a) më i vogël; b) më i madh; c) rreth 50 km në orë? Formo diagram shtyllor për shpejtësitë sipas të dhënave në tabelë;B 2 Në shkollën ku mëson Agimi ka 1 200 nxënës. Agimi dëshiron që shkolla e tij të ketë fushë të re sportive. Është përpjekur të zbulon sa nxënës janë të interesuar për fushë të re sportive. Në vend që të pyet çdo nxënës, Agimi ka vendosur që të komunikon vetëm me një pjesë të nxënësve, përkatësisht zgjedhë disa nxënës. Agimi ka vendos të komunikon me 100 nxënës nga të gjitha klasat, me të ka caktuar zgjedhjen (mostrën). Numri 100 paraqet madhësinë e zgjedhjes, efektivin e zgjedhjes. Pozitiv Negativ Nëse Agimi ka pyetur 1 ☺ Do të dijë sa nxënës Është e nevojshme më shumë kohë 200 nxënës: saktësisht duan fushë të re Nëse Agimi pyet 12 Për një kohë të shkurtër Fiton numër të vogël të përgjigjeve,që nuk nxënës: ☺ do ti merr përgjigjet është i mjaftueshëm për vlerësim të drejtë. ☺ Koha e shpenzuar ☺ është optimale Nëse Agimi pyet 100 nxënës: ☺ Fiton numër të mjaftueshëm të përgjigjeve për vlerësim të drejtë
  • Në caktimin e zgjedhje, përveç madhësisë, është e rëndësishme kush do ta përbën 181 ekzemplarin. Shkruaj mendimin tënd për atë që është pozitive, kurse ç’është negative te këto raste: Nëse Agimi pyet vetëm nxënës të klasës I deri IV; nëse Agimi pyet vetëm nxënës që janë të interesuar për sport; nëse Agimi pyet rastësisht disa nxënës nga të gjitha klasat e shkollës së tij.3 Përgjigjet e pyetjeve për fushën e re sportive Agimi i ka paraqit në tabelë. Fusha e re sportive. Zgjedhja Vëre! Mendimi Numër Raporti Agimi ka konstatuar se 0.6 nga zgjedhja duan fushë të re 60 ___ = 0,6 sportive. Po 60 Ai ka njehsuar: 100 O,6 prej 1 200 është 0,6 . 1 200= 720. Jo 23 Nuk di 17 Agimi ka supozuar: nëse i pyet 1 200 nxënës, përafërsisht 720 prej tyre do të përgjigjen se janë të interesuar për fushë të re sportive. Cakto raportin për dy përgjigjet tjera. Njehso sa nxënës do të përgjigjen se nuk duan fushë të re sportive, kurse sa nxënës të shkollës do të jenë të pavendosur.4 Pronari i një video klubi dëshiron të konstatoj cilat filma janë më të popullarizuar në qytet. Qyteti ka 20 000 banorë. Shitësi ka shënuar të dhëna për 400 anëtarë të video klubit. Videokasetat më të popullarizuara Cilat numra duhet të shkruhen te pjesa e tabelës meLloji i filmit numri raporti titull „Raporti"? Me ndihmën e raporteve të njehsuara cakto numrin e Për fëmijë 40 40:400=0,1 banorëve në qytet për të cilët mund të thuhet se do të Shkencor 36 jenë të interesuar për lloje të filmave të ndryshëm. Komedi 152 Për çfarë do të mund ti shërbejnë informatat e fituaraFilma të vjetër 100 pronarit të video klubit? Muzikor 72
  • 182 17 MËSOVE PËR THYESA. NUMRA DHJETORË. PROVO DIJENIN TËNDE 1. Vizato segment AB = 6 cm. 11. Nëse i zbritshmi 3,24 zmadhohet për 0,24, a) Cakto pikë C në segmentin AB ashtu që: ndërsa zbritësi 0,324 zvogëlohet për 0,24,AC = 2 __ AB. atëherë ndryshimi do të zmadhohet për 2 ⋅ 0,24. 3 Provo.b) Nëse AD = 2 cm, atëherë cili numër duhet tëqëndroj në vendin që të jetë AD = AB. 12. Me mbledhje provo nëse është kryer drejtë zbritja 2. Në tetë kuti të barabartë ka gjithsej 12 kg 59,216 - 11,11 = 48,106. bonbone. Sa kilogram bonbone ka në një kuti? 13. Provo nëse është kryer drejtë shumëzimi 12 346 • 24 = 296 304 . Pastaj, pa njehsuar, cakto prodhimin. 3. Numrin 5 paraqite si thyesë me numërues 5 Emërues 5. 1,2346 ⋅ 24. 12,346 ⋅ 2,4. 0,12346 ⋅ 0,24. 4. Shkruaj thyesë me numërues 2 që është më e madhe se 1. 14. Njehso herësin që është më e vogël se 1. 55,56 : 2,4. 0,84375 : 0,27. 5. Paraqite në boshtin numerik shumën 15. Njehso prodhimet 5,32 • 20 dhe 0,64 • 1,2, 3 2 1 4 e pastaj pa njehsuar cakto herësin __ + __ ; __ + __ . 8 8 5 5 106,4 : 5,32. 0,768 : 1,2. 6. 84 Thjeshto thyesën ____ deri te thyesa e pa 210 16. Zgjidhe barazimin thjeshtuar. 2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2. x : 0,5 = 13,5 : 0,25. 7. Thjeshto thyesën 56 ____ me 7. 45 ____ me PMP(45, 270). 17. Njehso vlerën numerike të shprehjes 126 270 (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5. 7 18. Shkruaje si numër dhjetor thyesën 8. Zgjero thyesën __ me 8. 8 126 ____ . 629 ____ . 9. Njehso shumën 15 495 26,4 + 2,64 + 0,0264. 19. Pas rrumbullakimit të numrit 2,861254 është fituar numri 2,8613. Me çfarë saktësi 10. Kryeje shumën dhe provo nëse është e është rrumbullakuar numri? saktë: 0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048 73 20. Thyesën ___ shndërroje në numër dhjetor Cakto ndryshimin e shumës së fituar. 8 dhe rrumbullakoje me saktësi deri 0,01.
  • 183 TEMA 4. MATJA1. Njësit për gjatësi, masë dhe 6. Operacione me numra të emëruar 196 lëngje 184 7. Njësit për syprinë 2012. Njësit për kohën dhe temperaturën 187 8. Njësit për Vëllimin 2033. Numër i emërtuar 189 9. Vëllimi i kuboidit dhe kubit 2064. Shndërrimi i numrit shumë emëror 10. Mësove për matje. Kontrollo në një emëror 192 diturinë tënde 2105. Shndërrimi i numrit një emëror në numër shumë emëror 194
  • 184 1 NJËSITË PËR GJATËSI, MASË DHE LËNGJE Kujtohu! A NJËSITË PËR GJATËSI Te vizorja trego gjatësi prej 1 dm, 3 cm, 8 mm dhe 4 cm 6 1 Vlerëso gjatësinë e segmenteve AB dhe CD dhe të vijës mm. së thyer PQRST, pastaj me matje provo saktësinë e Cila njësi shfrytëzohet për vlerësimit tënd. matjen e gjatësisë së rrugëve V Q S dhe largesave ndërmjet dy D vendeve? Sa dekagram ka në 1kg? C Cila njësi përdoret për matjen e masës së mineraleve të nxjerrë A R T P nga miniera. Sa dl ka në 1l? Cilat njësi matëse i përdore? Numëro edhe njësi të tjera për gjatësi. Njësia themelore matëse për gjatësi është metri (m). Njësitë matëse më të mëdha dhe më të vogla se metri janë të paraqitura në tabelën e më poshtme.Njësitë matëse më të Njësitë matëse më tëmëdha se metri janë: vogla se metri janë:dekametri (dam) 1 dam ⋅ 10 : 10 1 dm decimetri (dm)hektometri (hm) 1 hm ⋅ 100 1m : 100 1 cm centimetri (cm)kilometri (km) 1 km ⋅ 1000 : 1000 1 mm milimetri (mm) Shqyrto dhe vëre lidhjet mes njësive për gjatësi! 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m Të mbaj mend! Çdo njësi matëse 1 hm = 10 dam = 100 m për gjatësi është 10 herë më e 1 dam = 10 m vogël se njësia matëse që është 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm më e madhe pas saj. 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm2 Cila njësi duhet të qëndroj te “∗”. Për 1 orë, Petriti mund të ec rreth 4 ∗. Njomza në fletore ka vizatuar katror me gjatësi të brinjës 30 ∗.3 Sa dekametër ka në: 4 Në 1 dm ka 0,1 m. Sa metro ka në 1 cm? a) 90 m? b) 300 m? c) 1700 m?
  • B NJËSITE PËR MASËN 1855 Numëroji njësitë matëse për masën që i njeh. Cila është njësia matëse themelore për masën? Sa kilogramë ka 1 t? Ç’është më e madhe 8 dag ose 1 kg?6 Cila njësi për masën duhet të qëndrojë në vend të "*" te këto fjali: Me kamion është bartë 6 * qymyr. Pulën që e bleu Agoni ka masën 2 * Njësia matëse themelore për masën është kilogrami (kg). Njësia më e madhe se kilogrami : 10 1 hg Hektogrami (hg) është tonelata (t). : 100 1 dag Dekagrami (dag) 1 t = 1 000 kg : 1 000 1g Gram (g) Njësitë më të vogla se 1 kg : 10 000 1 dg Decigrami (dg) kilogrami janë dhënë në tabelën vijuese. : 100 000 1 cg Centigrami (cg) : 1 000 000 1 mg Miligrami (mg) Shqyrto, vëre dhe mbaj mend lidhjet mes njësive për masën! Të mbaj mend! 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg Çdo njësi 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dg = 10 cg = 100 mg matëse për 1 dag = 10 g 1 cg = 10 mg masën është 101 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg herë më e vogël se njësia matëse që është7 Që të masë një copë mish, mishtari në njërën enë të menjëherë më e peshores vendosi pesha prej 1 kg, 2 kg dhe 1 kg, kurse në madhe se ajo. enën tjetër peshën prej 50 g. Sa është masa e mishit? C NJËSI PËR LËNGJE8 Numëroji njësitë për lëngje që i njeh deri më tani. A njeh më herët njësi më të madh se 11? Sa dl ka 11? Njësia matëse themelore për lëngjet është litri (l). Njësi matëse më të mëdha dhe më të vogla se litri janë dhënë në tabelën e mëposhtme. Njësi matëse më të Njësi matëse më të mëdha se litri janë: vogla se litri janë:Dekalitri (dal) 1 dal ⋅ 10 : 10 1 dl Decilitri (dl)Hektolitri (hl) 1 hl ⋅ 100 1l : 100 1 cl Centilitri (cl)Kilolitri (kl) 1 kl ⋅ 1000 : 1000 1 ml Mililitri (ml)
  • Vëre dhe mbaj mend lidhjet ndërmjet njësive të lëngjeve!186 1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml Të mbaj mend! 1 hl = 10 dal = 100 l 1 dl = 10 cl = 100 ml Çdo njësi për lëng 1 dal = 10 l 1 cl = 10 ml është për 10 herë më e vogël se njësia që është më e madhe se9 1 l ujë mineral kushton 20 denarë. Sa denarë kushton 2 dl ajo. (një gotë) ujë mineral?10 Radhiti sipas madhësisë këto numra: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 1, 3 cl. Duhet të dish! Testohu! Cila është njësi themelore matëse? Për sa është: a)1m më i madh se 1cm? Gjatësi; Masë; Lëng b) 1 dm më i vogël se 1hm? Ti caktoni njësitë më të mëdha dhe më të vogla për: Për sa është: a) 1kg më i madh se 1g? b) 1 dag më i vogël se 1hg? Gjatësi; Masë; Lëng Ti shpjegoni marrëdhëniet mes njësive për: Për sa është: a) 1hl më i madh se 1dal? b) 1 ml më i vogël se 1dl? Gjatësi; Masë; Lëng Detyra1. Vizato segmente pa matje me gjatësi : 1 3. Radhiti segmentet me gjatësi 9 dm, 2 m, 48 cm, 1 dm, 25 cm i 75 cm. cm, 94 mm, 4 dm 7 cm, duke filluar nga më i shkurtri. Provo me matje dhe konstato për sa ke gabuar. 4. Radhiti sipas madhësisë: 5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag;2. Mate gjatësinë e hapit tënd në centimetra. 5. Radhiti sipas madhësisë: Me hapa mate largesën ndërmjet dy 5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l. objekteve. Cakto sa metra është ajo largesë. Provo, me matje, saktësinë e vlerësimit 6. Në një pemishte janë mbledhur 4,5t mollë tënd. dhe janë shitur nga 17 denarë për një kilogram. Sa denarë janë fituar?
  • 2 NJËSITE PËR KOHËN DHE TEMPERATURËN 187 Kujtohu! A NJËSITË PËR KOHËN Sa minuta ka 1 orë? Trego dy njësi për kohën, të cilat janë më të 1 Cilën kohë e tregon ora mëdha se 1 orë. në: orë, minuta dhe sekonda? Cila njësi matëse përdoret për matjen e temperaturës? Temperatura e të sëmurit a shprehet me njësi Tregoi njësitë për kohën që i ke mësuar. të njëjtë? Cila është njësia më e vogël për kohën që e ke mësuar? Mbaj mend! Njësia matëse themelore për kohën është sekonda (s). Njësi më të mëdha se sekonda janë: minuta (min), ora (h), dita (d), java, muaji, viti, dekada, shekulli dhe mileniumi. Ekzistojnë edhe njësi më të vogla se sekonda. Shqyrto, vëre dhe mbaj mend!1 min = 60 s; 1 h = 60 min = 3600 s; 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s;1 java = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s. 1 muaj. = 30 d; 1 vit = 365 d.2 Shndërro: 5 ditë në orë; 8 orë në minuta; 25 minuta në sekonda. Vëre!1 ditë ka 24 orë; 5 ditë kanë 5 ⋅ 24 orë= 120 orë. Sa minuta ka 1 orë? Sa sekonda ka 1 orë?3 Shndërroji 147 orë në ditë dhe orë. 147 orë: 24=6 ditë dhe mbetja 3 orë4 Shndërroji 5 vjet 8 muaj 13 ditë në ditë. B NJËSI PËR TEMPERATURË5 Lexo temperaturën që është treguar në termometër. Në cilën njësi matëse është ngritur temperatura?
  • Njësia themelore për temperaturën është kelvini (K).188 Por, në jetën e përditshme përdoret shkalla e celsiusit (°C). Fizicienti dhe astronomi suedez Anders Celzius (1701-1744) shpiku shkallën te e cila uji ngrihet në 0°C, ndërsa vlon ne 100°C. Pjesa e qindtë e shkallës quhet shkalla e celsiusit. Dallimi në temperaturë për një shkallë celsius është njëlloj si një Kelvin. Por, në shkallën termike në 0°C i përgjigjet 273,16 K Kështu që uji ngrihet ne 0°C gjegjësisht në 273,16 K, ndërsa vlon në 100°C, gjegjësisht në 373,16 K. Njoftohu më gjerësisht! Temperatura e shprehur në Kelvin quhet temperaturë absolute. Matja e temperaturës absolute fillon me zero apo -273,16 °C. Temperatura më e ulët e mundshme quhet zeroja absolute. Nëse temperatura e ndonjë trupi është shprehur në shkallë të celsiusit, atëherë temperatura e saj absolute, e shprehur me T, njehsohet me formulën: T(K) = t (oC) + 273,166 Bëni tabelë sikurse është dhënë dhe oS 4 12,84 36,5 plotësoje ( °C shkallë celsius, K - kelvin). K 277,16 320,16 290 340,4 Duhet të dish! Testohu! Cila është njësia themelore për kohën; Të caktosh njësitë më të mëdha se sekonda Për sa është 1s më e vogël se : a) 1 min; b) 1 h? dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre; Sa orë ka në 1d? Cila është njësia themelore për Sa K i takojnë 0°C në shkallën termike? temperaturën; Një trup ka temperaturë prej 20 °C. Sa është Cila është lidhja mes shkallës së kelvinit dhe temperature absolute e atij trupi? celsiusit. Detyra 3. Anija e peshkatarëve është nisur nga një port më 8 shtator në ora 6 h, ndërsa është1. Sipas orarit treni arrije në 13 h 55 min. Nëse kthyer në port më 17 shtator në ora 18h treni vonohet 1 h 32 min, atëherë në ora sa (vitin njëjtë). Shprehe kohën e lundrimit të do të arrijë? anijes nga nisja deri në kthim: a) ditë b) në orë2. Për një shfaqje ishte paraparë program me kohëzgjatje prej 1h 20 min. Shfaqja u c) në javë dhe ditë. realizua për 120 minuta. Sa minuta më shumë është vazhduar shfaqja prej asaj që 4. Paraqiti 15 vite 8 muaj dhe 9 d në ditë. ishte paraparë. 5. Sa është temperature absolute e trupit që ka: a) 37°C ; b) -50 °C?
  • 3 NUMRA TË EMËRTUAR 189 Kujtohu! A 1 Për dhjetë fotografitë të numëruar është parashtruar pyetje. Numëroji dhe shkruaji: Janë dhënë edhe përgjigjet e çdo - numrin e bankave në klasën tënde; pyetjeje. - numrin e karrigeve në klasën tënde. Formo tabelë dhe për çdo fotografi në të shkruaj Mate gjatësinë e lapsit tënd. Shkruaje numrin përkatës.? numrin e matur dhe njësinë matëse që Shkruaj në tabelë përgjigjet sipas pyetjeve në fotografi. janë rezultat i matjes tënde. Cilët janë njësitë matëse për: Sa shkallë ka 3 dele 1 6 këndi? a) gjatësi; b) masë? α=? α 6 libra Sa denarë? Sa centimetra ka Sa ujë 4 dardhë 2 segmenti? 7 përmban Vëre! A AB = ? V shishja? 46o Çdo përgjigje përmban edhe numrin matës Sa Sa dardhë 38,5o S 3 kilogramë 8 ka? dhe njësi matëse. Numrat matës me njësinë miell? 2 cm matëse i caktove duke numëruar ose duke matur. 4 Sa dele? Sa libra 9 ka? 1l (me numërim: 4 dardhë, 3 dele,...; me matje: 2 cm; 2 kg...) 2 kg Sa është Sa është Numër i emërtuar 5 ora? 10 temperatura? 2 ora 10 denarëNumër matës 3 cm Njësi matëse Mbaj mend! Numri i emërtuar përbëhet prej numrit të paemërtuar dhe njësisë matëse i shkruar pranë tij. Numri i emërtuar që është shkruar me një numër të pa emërtuar dhe një njësi matëse quhet edhe numër një emëror. 2 Shkruaj një numër një emëror që ka: numri i nxënësve në paralelen tënde; numri i viteve tua; sa është lartësia jote (në centimetra). 3 Janë dhënë numrat: a) 5 kg, 3 kg, 126 kg; b) 3 m, 5 kg, 7 l, 15 kuti. Çfarë kanë të përbashkët numrat nën a)? Si janë njësitë matëse të numrave nën b)?
  • 190 Mbaj mend! Numrat e emërtuar të cilët janë shkruar me të njëjtat njësi matëse quhen numra emëror të njëjtë. Numrat nën a) emëror të njëjtë. Numrat nën b) nuk janë numra emëror të njëjtë. Përveç emrit njësi matëse përdoren edhe emrat: njësia për matje ose shkurtimisht njësi.4 Cilët dy numra 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg janë numra emëror të njëjtë? Çka duhet të qëndrojë në vend të * te numrat 2*, 3* dhe 17*, që ato të jenë numra emëror të njëjtë?5 Janë dhënë numrat: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl. Çka matet me njësitë matëse të atyre numrave? Te njësitë e njëjtë a është shprehur edhe numri 6 dal? A është shprehur edhe 8 cm? Mbaj mend! Dy ose më shumë numra të emërtuar që shprehin madhësi të lloji të njëjtë quhen numra të emërtuar të llojit të njëjtë. Numrat 4 l, 6 ml, 9 hl dhe 116 cl janë numra të emërtuar të llojit të njëjtë.6 Shkruaj dy numra të emërtuar të llojit të njëjtë për matjen e: a) gjatësisë; b) masës. Numri që përmban dy ose më shumë numra një emëror të llojit të njëjtë quhet numër shumë emëror. Numrat një emëror quhen anëtarë të numrit shumë emëror. Numri 2 kg 3 cg 5 mg është shumë emëror; 2 kg; 3 cg dhe 5 mg janë anëtarët e tij. B 7 Gjatësia e një dhome është 3 m 6 dm, kurse gjerësia 4 m 2 dm 5 cm. Me çfarë numra janë shkruar përmasat e dhomës?8 Shkruaj nga një numër shumë emëror te njësitë për: a) gjatësi; b) masë; c) kohë. Mbaj mend! Të mbaj mend! Numri shumë emërorMundesh të shënosh: paraqet shumë të dy ose më shumë4 m + 5 cm = 4 m 5 cm numrave një emëror të llojit të njëjtë.3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g9 Numrin shumë emëror 6 m2 3 dm2 2 cm2 paraqite si shumë. Shumat: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl paraqiti si numra shumë emëror.
  • Duhet të dish! Testohu! 191 Të dallosh numër të emërtuar prej numrit të paemërtuar; 1 Cili prej numrave: 4 libra, 6 cm, 4 , 7 fëmijë ti njohësh numrat emëror të njëjtë; 2 dhe 8 është i emërtuar, kurse cili jo i emërtuar? cilët prej numrave të emërtuar janë të Cili prej numrave 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m dhe 4 dm llojit të njëjtë; janë: a) një lloj të emërtuar b) të llojit të njëjtë? të sqarosh cili numër është një emëror, kurse cili shumë emëror. Trego një shembull të numrit shumë emëror me 3 anëtarë të njësitë për lëngje. Detyra1. Shkruaj dy numra të emërtuar dhe dy të 8. Janë dhënë numrat: paemërtuar. 5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m; 29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l; 8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2.2. Bën tabelë dhe shkruaj numrat sipas kërkesave: Të paemërtuar Një emëror Numëroji librat në raft, shkruaje atë si numër të emërtuar. Shumë emëror Emëror të njëjtë3. Shkruaj dy numra shumë emëror: - njëri në njësitë për kohën; Edhe kjo është matematikë! - tjetri në njësitë për syprinën. Janë takuar dy shokë. Arditi dhe Petriti. Arditi e Shkruaje kohën (të shprehur pyeti Petriti: “Ku je o mik, nuk të shoh shpesh?”4. në orë, minuta dhe sekonda) Petriti u përgjigj: “Shpesh shkoj në qytete të që e tregon ora. ndryshme që të njoh bukuritë e Maqedonisë” Arditi pyeti: Cilat qytete i vizitove?” Petriti Çfarë numër shënove? menjëherë u përgjigj: “Të shtunën e parë të një muajit isha ne Berovë, ndërsa të shtunën e dytë5. të muajit të njëjtë pas të premtes së parë isha në 5 2 1 50 Strumicë. Të shtunën e parë të muajit të den. den. den. deni ardhshëm isha në Dibër, ndërsa të shtunën e Denarët dhe denët shkruaji si numra dytë të muajit të njëjtë pas të premtes së parë shumë emëror. isha në Ohër.” “Me cilën datë ishe në Ohër?”, pyeti6. Shkruaj dy numra një lloj të emërtuar. Arditi. Petriti e shikoi dhe u përgjigj: “Datën mundesh vet ta caktosh” Më cilën datë ishte Petriti në Ohër?7. Shkruaj tre numra shumë emëror që nuk janë të llojit të njëjtë.
  • 192 4 SHNDËRRIMI I NUMRIT SHUMËEMËROR NË NUMËR NJËEMËROR Kujtohu! A 1 Numrin shumë emëror 4 m 2 dm 7 cm shndërroje në numër një 1 m = 10 dm, gjegjësisht 1m është 10 herë më i emëror. madh se 1 dm. Puno sipas rregullës dhe krahasoje Për sa herë është më i madh: a) 1 m prej 1 cm?; zgjidhjen: b) 1 kg prej 1 g?; c) 1 h prej 1 min? Vëre njësinë më të vogël matëse te numri. Ai është centimetri (cm) Anëtarët me njësi më të madhe shndërroji në njësi 4 m = 400 cm më të vogël matëse. 2 dm = 20 cm Paraqite numrin shumë emëror si shumë e numrave 400 cm + 20 cm + 7 cm një emërorë (në cm). Kryeje shumën e kërkuar. 400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm Vëreni mënyrën e dytë të shndërrimit të numrit shumë emërorë në numër një emërorë duke shfrytëzuar 2 pohimet vijuese: Te njësitë për gjatësi, masë dhe lëng secila njësi matëse është 10 herë më e vogël se njësi matëse e ardhshme më e madhe. Në sistemin dhjetor të numrave pozita e secilës shifër është 10 herë më e madhe se pozita e shifrës paraprake. 4 m 2 dm 7 cm = 4 2 7 cm2 Sqaro pse 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g. Vëre dhe mbaj mend! Të mbaj mend! Këto numra shumë emëror shkruaj në numra një emëror. Nëse te numri shumë emëror mungon me radhë ndonjë njësi matëse, në vendin e saj I fshij njësitë matëse më të mëdha, shëno 0. dhe mbetet më e vogla. Duhet të kem kujdes a duhet të shënohet 0 dhe ku.3 Shndërroje si numër një emëror numrin 4 dm 5 mm, duke i zbatuar të dy rregullat e treguara.
  • Shndërroji në numrat një emërorë në njësinë më të vogël:4 193 a) 5 vjet 3 muaj 2 ditë; b) 4 muaj 2 javë 3 ditë 5 orë; c) 2 h 34 min 15 s. (1 vit = 365 ditë, 1 muaj = 30 ditë). Vëre se numrat shumë emëror në njësi të kohës nuk mund ti shndërrosh në një emëror sipas mënyrës së dytë të treguar. B 5 Shndërro numrin 5 m 3 dm 8 cm në: a) decimetra; b) metro. Vëre dhe mbaj mend rregullat!a) Në decimetra: b) Në metra: 5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm 3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m 8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm 8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m 5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm = 5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m = = 53,8 dm. = 5,38 m. Vëreni mënyrën ë dytë ( të shkurtuar) për shndërrimin e numrit shumë emërorë në një emërorë. 5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm. 5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m. Vërejtje! Mund t’i mos përfillni njësitë matëse, të vendosni presje pas numrit matës të njësisë matëse, te e cila kërkohet shndërrimi i numrit shumë emërorë dhe në fund ta shënoni atë njësi matëse. Nëse në radhitje mungon ndonjë njësi matëse, në vendin e saj shënohet zero.6 Shndërroje numrin 8l 7 dl 3 ml në decilitra. Të mbaj mend! Nëse numrin shumë emëror e shndërroj në numër një emëror me njësi matëse që nuk është më e vogël, atëherë numri matës është dhjetor.7 Shndërroje numrin 4 kg 6 dag 5 g në kilogram. Duhet të dish! Testohu! Të shndërrosh numër shumë emëror në një emëror, në cilëndo njësi matëse Shndërroji numrat një emëror në numra dhe të shfrytëzosh rregulla më praktike për shumë emërorë: shndërrim; a) 3 m 2 dm 5 mm (në mm); se gjatë shndërrimit të numrit shumë emëror b) 9 h 26 min. 54 s (në sekonda; në minuta). në një emëror, në njësinë më të vogël matëse Shndërroje numrin 6 kg 5g në numër një të numrit shumë emëror, numri matës është emëror në: numër natyror, kurse në rastet tjera është a) g; b) dag. dhjetor;
  • 194 Detyra 4. Shndërro: a) 8 m 3 dm 4 cm në dm;1. Shndërroji në numra një emëror, (në njësinë b) 8 km 9 dam 7 m në km; më të vogël të numrit) këto numra: c) 5 t 8 kg 7 hg 5 g në kg; a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml; d) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg në g; c) 4 t 6 kg 5 dag; d) 9 ditë 8 h 7 min. e) 8 l 5 dl 6 ml në dl.2. Korabi është i lartë 2 km 7hm 6 dam 4 m. Sa metra është i lartë Korabi? Pyetje interesante3. Koha ndërmjet dy hënave të plota është 29 Nëse në orën 24 bie shi, vallë mbas 48 orëve d 12 h 44 min 3 s. Sa sekonda ka në këtë koha a do të përmirësohet? numër? 5 SHNDËRIM I NUMRIT NJËEMËROR NË SHUMEMËROR Kujtohu! A 9 Numrin një emëror 364 cm shndërroje në numër shumë Numri 248 shënohet në formë të zbërthyer si në emëror. mënyrën e mëposhtme: Puno sipas rregullës dhe 428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8. krahasoje zgjidhjen. Shënoni numrat 764 dhe 8 053 në formë të zbërthyer. Numrin matës paraqite në formën e zbërthyer ashtu që numri i emërtuar të jetë shumë i numrave 364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm një lloj të emërtuar (në cm). Sipas formës së zbërthyer të numrit matës 3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm = shndërroi centimetrat në madhësi më të mëdha = 3 m 6 dm 4 cm matëse dhe atë shkruaje si numër shumë emëror. Vëre! Më praktik! 5 427 mm = 5 4 2 7364 cm = 3 m 6 dm 4 cm 5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm E gjithë ajo është e Vëre! saktë vetëm për Ndërmjet shifrave të numrit duhet të ketë vende të zbrazëta; numra të emërtuar pranë shifrës në pozitën e njësheve duhet të shkruhet njësia në njësitë për gjatësi, më e vogël (ajo është mm); masë dhe lëng. pranë shifrës së dhjetësheve duhet të shkruhet njësia 10 herë më e madhe (ajo është cm) etj.
  • Shndërro në numër shumë emërorë, numrin: a) 5034 g; b) 2014 dl; c) 60308 mm.2 1953 Shndërroje numrin 4837154 s në numër shumë emëror.Vëreni kërkesat dhe caktoni zgjidhjen: Nëse numrin e sekondave e pjesëton me 60, do 4837154 s : 60 = 80619 min dhe mbetja 14 s të fitoni minuta dhe mbetja në sekonda. Nëse numrin e minutave e pjesëtoni me 60. 80619 min : 60 = 1343 h dhe mbetja 39 min Do të fitoni orë dh mbetje në minuta. Nëse numrin e orëve e pjesëtoni me 24, atëherë çka është herësi e çka mbetja? 1343 h : 24 = 55 dena dhe mbetja 23 h Vëre! Kam vërejtur se: Anëtarët e numrit të kërkuar shumë emëror janë: Herësi i 4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s. fundit (55d) dhe tre mbetjet e tjera (23h, 39min dhe 14s)4 Shndërroji numrat një emërorë: 324 min, 4526 ditë, 6462 g; 541203 m2 dhe 4142 l në numra shumë emërorë. B 5 Shndërroje në metra numrin 8,2 cm. Vëreji rregullat dhe krahasoje zgjidhjen. Mënyra I 8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m. km hm dam m dm cm mm Mënyra II 0 0 0 0 0 8 2 Vendose numrin në tabelë me njësitë matëse. , , Presjen vendose pas njësisë matëse në të cilën shndërrojmë (m). Domethënë, 8,2 cm = 0,082 m.6 Shndërroje numrin 6,384 m në numër shumë emëror. Formo tabelë me njësi matëse dhe vendos në të numrin. km hm dam m dm cm mm Lexoje numrin. 0 0 0 6 3 8 4 , Prej tabelës lexohet: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.7 Numri që është në tabelë paraqiteni si : kg hg dag g dg cg mg a) Numër shumë emëror; b) Në dg; c) Në kg. 0 9 7 5 3 0 2
  • 196 Duhet të dish! Testohu! Të shndërrosh numër një emëror në shumë Shndërroje në numër shumë emëror numrin: emëror dhe të shfrytëzosh rregulla më a) 6 475 mm; b) 3 604 ml; c) 24 300 s. praktike për shndërrim. Detyra 1. Numrin një emëror shndërroje në numër 3. Shndërro numrin në shumë emëror pa shumë emëror: përdorur tabelë: a) 3 402 mm; d) 4 007 cm; a) 22.20 m; c) 5 302,67 g; b) 47 063 dg; e) 47 632 mg; b) 43, 15 l; d) 0, 237 kg. c) 1 035 ml; f ) 35 006 dl. 2. Numrin një emëror vendose në tabelë, 4. Hëna lëviz rreth Tokës për 2 551 443 s. pastaj shënoje si numër shumë emërorë: Shndërroje këtë numër në shumë emëror a) 387, 25 m; c) 30, 02 dam; (në ditë, orë, minuta dhe sekonda). b) 320, 05 g; d) 401, 53dl. 6 OPERACIONE ME NUMRA TË EMËRTUAR Kujtohu! A 1 Një dërrasë ka 2 m 7 dm 4 cm kurse tjetra 3 m 2 cm. Sa Numëroni njësitë për gjatësi, masë, lëng, kohë dhe është gjatësia e temperaturë. Cila është njësia themelore matëse përgjithshme e dërrasave? për secilën matje? Është e nevojshme të Shëno: caktohet shuma e gjatësive a) 8 m 4 dm 3 mm në milimetra; të dy dërrasave. b) 7 kg 5 dag 4 g në gram; Ajo mundet të bëhet në dy c) 7 dal 7 l 5 dl në decilitra; mënyra d) 3 d 2 h 8 min në minuta. Vëre rregullën dhe krahasoje zgjidhjen. Shënoni numrat si numër shumë emëror: a) 3 507 g; b) 7 402 dl; c) 4 005 m; d) 5 032 min.I. Shkruaji numrat shumë emërorë ashtu që anëtarët të jenë njëri pas 2 m 7 dm 4 cm tjetrit 3 m 0 dm 2 cm Njehso shumën e çdo çifti të anëtarëve emëror të njëjtë. 2 m 7 dm 4 cm + 3 m 0 dm 2 cm 5 m 7 dm 6 cm
  • Vëre! + 197 2 m 7 dm 4 cm + 3m 2 cm = 5 m 7 dm 6 cm + Shumën e numrave shumë emërorë e caktova ashtu që i mblodha centimetra me centimetra, decimetra me decimetra dhe metra me metra. Vëre shumën e 5 dm 9 cm Nëse një anëtar te shuma përmban njësi numrave 5 dm 9 cm + 3 dm 4 cm matëse më të madhe, atëherë ajo i dhe 3 dm 4 cm . 8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm shtohet anëtarit para tij.II. Puno sipas kërkesës dhe vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes: Shndërroji numrat shumë emërorë në numra një emëror në njësi 2 m 7 dm 4 cm = 274 cm më të vogël matëse ashtu që ato të jenë një lloj të emërtuar. 3 m 2 cm = 302 cm Cakto shumën e numrave një emëror të fituar. 274 cm +302 cm = 576 cm Numrin një emëror të fituar shndërroje në shumë emëror. 576 cm = 5 m 7 dm 6 cmVëre! 2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm2 Njehso: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm. Puno sipas këtyre udhëzimeve: Njehso shumën e numrave 4 m 5 dm 3 mnt dhe 7 m 9 cm 8 mm. Prej shumës së fituar zbrite 3 m 3 dm 2 mm. 6 dm Ke vërejtur se: 10 cm Vëre ndryshimin e 4 cm është më i vogël se 6 cm; 7 dm 4 cm numrave 7 dm 4 cm dhe prej 7 dm zbrite 1 dm; - 2 dm 6 cm 2 dm 6 cm. 4 dm 8 cm 1 dm = 10 cm; 10 cm + 4 cm = 14 cm; 14 cm - 6 cm = 8 cm; 6 dm - 2 dm = 4 dm. B 3 Njehso 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Mund të njehsohet në dy mënyra: I. Secilin anëtar të numrit shumë emëror shumëzoje me 3. Nëse gjatë shumëzimit fiton numër që përmban njësi më të madhe matëse, atë shtoja njësisë më të madhe përkatëse.
  • 198 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm Vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes.II. Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror (në mm); F numrin e fituar një emëror shumëzoje me 3; prodhimin e fituar shndërroje në numër shumë emëror. 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm.4 Njehso 12 km 9 dam 6 m :3. Mundet të njehsohet në dy mënyra: I. Çdo anëtarë të numrit shumë emëror pjesëtoje me 3; 12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 mKështu është më praktike:II. Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror; njehso herësin e numrin një emëror dhe numrit 3; herësin e fituar shndërroje në numër shumë emëror. 12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m.5 Njehso: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3. C 6 Njehso: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g. Shumën mundet ta njehsosh në dy mënyra. Vepro sipas kërkesave: MËNYRA I. MËNYRA II. Shkruaj numrat njërin nën tjetrin, ashtu që Shndërroji numrat shumë emërorë në numra numrat e njëjtë emëror të jenë në të njëjtën një emërorë në njësi matëse më të vogël (në vijë vertikale. gramë). Kryeje mbledhjen e numrave të njëjtë Kryeje mbledhjen. emërorë Shumën e fituar shndërroje në numër Nëse te shuma ka njësi matëse të madhe atë shtoja njësisë matëse më të madhe përkatëse. Shuma ose ndryshimi i numrave shumë emërorë të njësive për masë dhe të njësive për lëng caktohet në të njëjtën mënyrë sikurse caktohet edhe për numra shumë emërorë te njësive për gjatësi. Në mënyrë të njëjtë shumëzohet, gjegjësisht pjesëtohet, numri shumë emëror të atyre njësive me numër të emërtuar.
  • 7 Njehso: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl. 199 Krahaso zgjidhjen tënde me atë të dhënë: 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Vëre se, që të mbledhësh dy numra shumë emëror sipas mënyrës së dytë, është nevojshme të dy numra shumë emërorë ti shndërrosh në një emërorë me njësi të njëjtë matëse. 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.8 Cakto vlerën e shprehjes: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.9 Numrin 5 t 642 kg 8 dag zmadhoje për 4 herë. 5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4. Kryeje shumëzimin dhe numrin e fituar një emëror shkruaje në atë shumë emëror.10 Njehso: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35. D 11 Njomza ka lindur kur Agoni ka pasur 6 vjet 3 muaj 8 ditë. Tani Njomza ka 10 vjet 11 muaj 24 ditë. Sa vjet ka Agoni. Që të caktosh moshën e Agonit, duhet të veprosh në këtë mënyrë. 6 vjet 3 muaj 8 ditë Cakto shumën e numrave shumë emërorë. + 10 vjet 11 muaj 24 ditë Njësitë matëse më të mëdha mblidhi me njësitë matëse 16 vjet 14 muaj 32 ditë përkatëse më të mëdha. 1 vjet 2 muaj 1 muaj 2 ditë 17 vjet 3 muaj 2 ditë12 Njehso: 6 vjet 3 muaj 8 ditë – 3 vjet 5 muaj 6 ditë : 9. Vepro sipas kërkesave. Shndërroji numrat shumë emëror në numra 5 vjet 6 muaj 12 ditë = 2017 ditë një emëror (në ditë). 3 vjet 5 muaj 6 ditë = 1251 ditë Kryeji operacionet e shënuara me numrat e 2017 ditë 3 - 1251 ditë : 9 = fituar një emëror. = 6051 ditë - 139 ditë = 5912 ditë Rezultatin e fituar shndërroje në numër shumë 365 = 165 vjet dhe mbetja 72 ditë emëror 5912 ditë: 5912 ditë = 16 vjet 2 muaj 12 ditë13 Gazmendi qëndroi jashtë vendit gjithsej 8 vjet 7 muaj, kurse djali i tij Arbëri jeton 5 herë më pak kohë. Sa kohë Arbëri ka jetuar jashtë vendit?
  • Duhet të dish!200 Testohu! Të njehsosh shumën dhe ndryshimin e Njehso: numrave shumë emërorë të njësive për gjatësi, masë, lëngje dhe kohë; 7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm - - 6 dm 8 cm 7 mm; Shumën dhe ndryshimin e numrave shumë emëror ta kryesh në dy mënyra: mbledhja, 7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg; gjegjësisht zbritja, e anëtarëve një lloj të 7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl; emërtuar ose me shndërrimin e numrave 13 v. 6 muaj. 7 ditë. - 10 v. 8 muaj. 20 ditë shumë emërorë në një emërorë; Njehso: Të njehsosh prodhimin, gjegjësisht herësin e 5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3; numrit shumë emëror me numër të 2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2; paemëruar në dy mënyra: me shumëzim, gjegjësisht pjesëtim të anëtarëve të numrit 4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9; shumë emërorë me numrin e paemëruar, ose 6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9. me shndërrimin e numrave shumë emërorë në një emërorë. Detyra1. Njehso: 6. Në shitore është sjell 6 hl 3 dal 5 l lëng i cili a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm; do të shitet nga 45 denarë për 1l, dhe 154 kg mollë nga 30 denarë për 1 kg. Sa denar b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m; kushtojnë lëngu dhe molla së bashku? c) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.2. Njehso: a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm; 7. Njehso: b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm; 12 kg 42 g : 9; 5 l 7 dl 4 cl : 7; c) 9 m 7 cm 2 mm : 8; 12 t 632 kg : 8. d) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.3. Njehso: A + B – C, nëse 8. Amvisja ka shpenzuar 13 kg 4 hg 4 dag miell për 6 ditë. a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag; C = 205 kg 6 dag. Sa miell mesatarisht ka shpenzuar b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl; C = 1 l amvisja? 2 dl 3 ml. Sa miell ka shpenzuar 5 ditët e parë.4. Nëse M = 6 l 3 cl, sa është: a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9. 9. Treni sipas orarit mbërrin në ora 18,45 min.5. Firma ka fituar 8 arka me mall. Secila arkë ka Nëse vonohet 1 orë e 42 min, në ora sa do 1t 136 kg. Cakto masën e mallit të fituar. të mbërrij treni.
  • 7 NJËSITË PËR SYPRINË 201 Kujtohu! A 1 Cakto syprinën e figurës në vizatim. Cakto syprinën e drejtkëndëshit, Me cilën njësi matëse e njehsove syprinën sipas përmasave të dhëna. e figurës? 1 cm 2 cm 3 cm 2 cm 5 cm 1 cm 2 Syprina e Liqenit të Ohrit është 349 km2. Me cilën njësi matëse e shprehe syprinën e drejtkëndëshit? Me cilën njësi është shprehur syprina e Liqenit të Ohrit? Numëro edhe njësi tjera për matjen e syprinës. Mbaj mend! Njësia themelore matëse për syprinën është metër katrori (m2). 1 metër katror është syprina e katrorit me brinjë 1 m. Njësitë matëse më të mëdha dhe të më vogla se metri katrori janë dhënë në tabelën që vijon. Njësitë matëse më të Njësitë matëse më të mëdha se 1 metër vogla se 1 metër katror katror janë: janë: dekametër katror decimetër katror 1 dam2 ⋅100 :100 1 dm2 (dam2) (dm2) hektometër katror centimetër katror 1 hm2 ⋅10000 1 m2 :10000 1 cm2 (cm2) (hm2) kilometër katror milimetër katror 1 km2 ⋅1000000 :1000000 1 mm2 (km2) (mm2)Për njësitë dam2 dhe hm2 përdoren emrat hektar (ha) dhe ar (a), dmth. 1 ha = 1 hm2 dhe 1 a = 1 dam2. Vëre dhe mbaj në mend lidhjet ndërmjet metër katrorit dhe njësive tjera për syprinë.1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 a = 100 m2 1 cm2 = 100 mm2
  • Konstrukto 1 decimetër katror, ndaje në centimetër katror202 3 1 dhe ngjyrose si në vizatim. 2 Sa cm2 ka në 1 dm2? Cila syprinë është më e madhe: 1 m2 ose 100 dm2? 3 44 Cila njësi duhet të qëndroj te shenja * që të jetë e saktë: 1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2 5 1 m2 = ∗ cm2 1 dm2 = ∗ mm2 1m 2 = ∗ mm2 1 cm2 = ∗ mm2 6 Të mbaj mend! Çdo njësi për syprinë është 100 herë më e vogël 7 se njësia që është menjëherë më e madhe se ajo. 1 dm2 8 9 1 mm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 cm2 Duhet të dish! Testohu! Cila është njësia themelore matëse për Sa a) decimetra katror; b) centimetra katror ka syprinë; në 5 m2? Të numërosh njësitë më të mëdha dhe ato më Sa a) hektometra katrorë (hm2); b) dekametra të vogla se metër katror; katrorë (dam2); c) sa metra katror (m2) ka në Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matëse për 3km2? syprinë. Sa km2 ka në 200 ha? Detyra!1. Sa a) centimetra katror; b) milimetra 3. Shitet një livadh prej 2 ha. Pronari e ka katror ka në 7 dm2? shitur ashtu që për çdo m2 ka fituar nga 240 denarë. Sa denarë gjithsej ka fituar për livadhin.2. Oborri i shkollës në formë të drejtkëndëshit 4. Gjatësia një dhome në formë të ka gjatësi 65m dhe gjerësi 45m. drejtkëndëshit është 8 m, ndërsa gjerësia Sa a) metra katror; b) ari ka ai oborr? është 6 m. Dhoma duhet të shtrohet me pllaka katrore me nga 100 cm2. Sa pllaka të atilla janë të nevojshme për shtrimin e dhomës me pllakë.
  • 8 NJËSITË PËR VËLLIMIN 203 Kujtohu! A 1 Në vizatim është paraqitur kubi S dhe kuboidit T. Kuboidi T përbëhet Katrori K në vizatim përmbahet 8 herë te prej kubeve të barabartë me kubin S. drejtkëndëshi D.K D T Y Sa është numri matës i drejtkëndëshit D në Konstato me numërim, prej sa kubeve lidhje me katrorin K? të atillë përbëhet kuboidi T (gjegjësisht sa herë kubi S përmbahetKëtu katrori K është marrë për „njësi katror", në kuboidin T).dmth. si njësi për matjen e drejtkëndëshit D. Vëre! Çfarë paraqesin 8-katrorët K për drejtkëndëshin Kuboidi T përfshin saktësisht 6 kube, të D? barabartë me kubin S, prandaj themi se: numri Cilët njësi për syprinë i di? matës i kuboidit T në lidhje me kubin S është 6, ose: vëllimi i kuboidit T është 6 në lidhje me kubin S. Kubi S është marrë për „kub njësi", dmth. si njësi për krahasimin e vëllimit të kuboidit me vëllimin e kubit S. Të mbaj mend! Që të masim vëllimin e ndonjë kuboidi, duhet të numëroj sa kube njësi mundem të vendos te kuboidi. Mbaj mend! Kubin që e zgjodhëm për matjen e kuboidit quhet kub njësi. Numri matës i atij kuboidi në lidhje me kubin njësi quhet vëllim i kuboidit. Njësia themelore për matjen e vëllimit quhet metër kub. Shkruajntë: 1 m3, Lexojmë: një metër kub. Metër kub është vëllimin që e përfshin kubi me brinjë 1 m. Përdoren edhe njësi të njohura më të vogla se metër kub. Shihe tabelën. Njësi matëse më të vogla se metër kub: : 1 000 1 dm3 decimetër kub (dm3) 1 m3 : 1000000 1 cm3 centimetër kub (cm3) : 1000000000 1 mm3 milimetër kub (mm3)
  • Të mbaj mend! Një njësi për vëllim është 1 000 herë më i madh se njësia204 paraprake e saj. Te pasqyra e dhënë për lidhjen ndërmjet njësive matëse për vëllimin kemi: 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 mm3 = 1 000 000 000 mm3 1 cm3 = 1 000 mm32 Sqaro pse 1 dm3 ka 1 000 cm3. Vëre vizatimin (në faqen që vijon) dhe puno sipas rregullës. Sa kube me vëllim 1 cm3 mundesh të radhisësh njërën pranë tjetrës nëpër tehun e kubit me vëllim 1 dm3? Sa rreshta të atillë të nevojiten që të mbulosh bazën e kubit prej 1 dm3? Sa shtresa të atilla të nevojiten që ta plotësosh kubin prej 1 dm3? 10 9 8 7 6 5 10 4 9 8 7 3 6 5 4 2 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  • Vëre! 205 Nëpër teh mund të radhisësh 10 kube me vëllim 1 cm3; të duhen 10 rreshta nga 10 cm3; dmth. 100 cm3; të duhen 10 shtresa nga 100 cm3, dmth. 1000 cm3.3 Duke numëruar konstato prej sa kube me vëllim 1 cm3 përbëhet figura (kuboidi)? Prej 12 kubeve me vëllim 1 cm3 formo një kuboid. Atë mundesh ta bësh edhe në tre mënyra përveç kësaj që është treguar. Përpiqu! 1c m3 Duhet të dish! Testohu! Cila është njësia themelore matëse për Sa herë njësia matëse 1 m3 është më e madhe vëllim; se 1 cm3? Ti numërosh njësitë më të mëdha dhe ato Sa herë njësia matëse për vëllim është më e më të vogla për vëllim se një metër kub; madhe nga njësia paraprake matëse? Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matëse Sa a) dm3; b) cm3 ka në 5 m3? për vëllim. Detyra Problemet!1. Numëro njësitë matëse për vëllim që janë më të vegjël se m3. Ke dy enë prej 3 l dhe 5 l. Me ndihmën e këtyre enëve mati 4 l ujë.2. Sa dm3 ka në 4 m3?3. Sa m3 ka në: a) 7 000 dm3; c) 200 000 cm3? b) 500 dm3; 3l 5l4. 27 650 mm3 shkruaje në cm3.
  • 206 9 VËLLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT Kujtohu! A 1 Njehso vëllimin e kuboidit në Duke i numëruar kubet prej të cilëve vizatimi, nëse gjatësitë e teheve të tij përbëhet kuboidi, cakto vëllimin e tij. janë: 3 cm, 4 cm dhe 2 cm. 1 2 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm3 3 Vëre në pllakën e sipërme shirita të “gjelbër”, „të Kuboidi 1 përbëhet prej 12 kubeve me verdh" dhe „kaltër”. vëllim prej 1 cm3. Nga sa kube njësi, konkretisht nga sa Prandaj kuboidi 1 e ka vëllimin centimetër kub ka çdonjëri? V1 = 12 cm3. Ke vërejtur se edhe në pllakën e poshtme („të kuqe") ka aq kube njësi, dmth. po aq Cakto vëllimin e kuadrit 2 dhe kuadrit 3 . centimetër kub. Gjithsej sa kube njësi ka, dmth. centimetër kub ka kuboidi? Vëre dhe mbaj në mend! Në kuadër ka (3 ⋅ 4) ⋅ 2 kube njësi, gjegjësisht (3 ⋅ 4) ⋅ 2 centimetër kub. Vëllimi i kuadrit është 24 kube njësi, gjegjësisht 24 cm3. Shkruajmë: V = 24 cm3 ku V është shenja për vëllim, ndërsa24 është numri matës i vëllimit. Sigurisht vërejte se ai është i barabartë me prodhimin e numrave matës të tre teheve fqinje të këtij kuadri, ato quhen gjatësia, gjerësia dhe lartësia (ose shkurtimisht dimensionet) e kuadrit.2 Cakto vëllimin e kuboidit me përmasa: a) 5 cm, 6 cm dhe 10 cm; b) 16 cm, 2 dm dhe 5 dm; c) a cm, b cm dhe c cm.3 Klasa e ka formën e kuboidit me gjatësi 11 m, gjerësi 7 m dhe lartësi 3 m. Sa metër kub ka hapësira e klasës?
  • Mbaj mend! c b 207Vëllimi V i kuboidit me përmasa a, b dhe c njehsohet me formulën aV = a ⋅ b ⋅ c. Vrojtove se vëllimin e kuboidit do ta njehsosh, nëse i shumëzon përmasat e tij.4 Tehet e një kuboidi janë: a = 6 dm, b = 8 dm dhe c = 9 dm. Me ndihmën e formulës njehso vëllimin e kubit. Kujtohu! B 5 Njehso vëllimin e kubit me teh 5 cm. Figura në vizatim është formuar prej kubeve të barabartë me teh 1 cm. Si janë tehet e kubit ndërmjet veti? Konstatove se kubi është kuboid, i cili i ka tehet Vëre tehet e figurës. e barabartë; a = b = c. Si janë ndërmjet veti? Shfrytëzoje formulën për vëllimin e kuadrit dhe A mundet kjo figurë të emërtohet si kuboid me ndihmën e saj njehso vëllimin e kubit. me përmasa të barabarta? V = a ⋅ a ⋅ a ose V = a3 Si është emri i saktë i asaj figure? a3 lexohet “a në të tretën” ose “a në kub”. Duke numëruar konstato se prej sa kubeve përbëhet ajo figurë? Mbaj mend! Vëllimi V i kubit me gjatësi të tehut a njehsohet sipas formulës V = a3. a a a6 Njehso vëllimin e kubit me përmasa: a) 6 cm; b) 30 cm në dm3; v) 24 dm në m3. 1 dm3 Udhëzim: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3, përkatësisht V = 27 dm3.7 Cili ka vëllim më të madh – kubi me teh 14 cm apo kuadri me përmasa 12 cm, 14 cm dhe 15 cm?
  • 208 C 1l Kujtohu! 1 dm3 Si quhet njësia themelore për lëng? Kutia në formë të kubit me teh 1 dm a zë 1 l Mbaj mend! ujë mineral? Njësia themelore për lëng quhet litër, dmth. Provoje këtë në shtëpi sipas mundësive. litri është emër tjetër për decimetër kub8 a) Sa decimetër kub ka në 12 l? b) Sa ka në 60 dm3? Duhet të dish! Testohu! Si njehsohet vëllimi i kuboidit; të njehsosh vëllimin e kuboidit, nëse janë Sa është vëllimi i kuboidit me përmasa 2 m, 3 dhënë përmasat e tij; m dhe 10 m? se kubi është kuboidit tehet e të cilit janë të Sa është vëllimi i kubit me teh 7 cm? barabartë ndërmjet veti; Sa litra ujë zë ena në formë të kubit me tehun të njehsosh vëllimin e kubit nëse është dhënë 3 dm? një teh i tij; Detyra1. Njëri teh i kuboidit është 8 cm, kurse dy të 4. Një kub e ka syprinën 24 cm2. Sa është tjerë janë të barabartë dhe më të vegjël se i vëllimi i tij? pari për 3 cm. Sa është vëllimi i kuadrit? 5. Një tra prej pishës ka gjatësinë 7 m. Në skaje ka formën e katrorit me dimension 30 cm. Sa2. Gjej kuti për këpucë, mat çka është e metër kub ka trau? nevojshme dhe njehso vëllimin e saj 6. Një kub e ka vëllimin 8 dm3. Njehso syprinën e kubit.3. Vëllimi i një hapësire në formë të kuboidit është 108 m3. Gjatësia është 9 m, ndërsa 7. Akuariumi me gjatësi 70 cm, gjerësi 40 cm gjerësia 3m. Sa metra është e lartë dhe 108 m3. është mbushur me ujë deri në hapësira? 30m lartësi. Sa litra ujë ka akuariumi?
  • Hulumto vet! 2091 Një familje ka bërë kontroll për shpenzimet e ujit për 9 muajt e parë të vitit. Në tabelë janë dhënë shpenzimet e ujit për çdo muaj në m3. Muaji Janar Shkurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Shpenzimi i 29 24 23 25 27 28 31 27 27 ujit në m3Njehso! Sa metër kub ujë ka shpenzuar familja për 9 muaj? Cakto mesataren aritmetike të ujit të shpenzuar për nëntë muaj. Sa metër kub ujë, mesatarisht shpenzon familja çdo muaj? Bëj tabelë e të dhënave për paratë e shpenzuara të familjes për çdo muaj. Çmimi i ujit është 29,9 denarë për m3. Cakto mesataren aritmetike për paratë, që i shpenzon familja çdo muaj? Bëj diagram shtyllor për ujin e shpenzuar (në m3), gjatë nëntë muajve. Paraqite në të mesataren aritmetike. Cakto nga diagrami në cilin muaj shpenzimi i ujit ka qenë më i lartë se mesatarja aritmetike.2 Njehso mesataren aritmetike të suksesit nga lënda e matematikës në paralelen tënde. Njehso suksesin tënd mesatar në fund të vitit shkollor.
  • 210 17 MËSOVE PËR MATJE. KONTROLLO DIJENIN TËNDE. 1. Çka duhet të qëndroj në vend të *, që të 9. Shndërro: jetë e saktë? a) 1 m 5 dm 3cm në centimetra;a) 6 m = 60 *; b) * km = 1 200 cm; b) 3 l 3 cl në decilitra;c) * l = 3 000 ml; d) 2 dl = 200 *. c) 2 kg 3 hg 4 mg në dekagram; d) 6 h në ditë. 2. Shndërro 6 dal në dl. 10. Shndërro në numër shumë emëror në numrin: 3. Çka duhet të qëndroj në vend të **, që të a) 3 126 cm; b) 12 488 hg; c) 231 dal jetë e saktë?a) 4 kg = 400 *; b) * s = 6 min;c) 2 h = * min; d) 5 OC = ∗ K. 11. Kryeji operacionet: a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g; 4. Shndërro 2 m 5 cm në decimetra. b) 12 488 hg - 12 kg; c) 12 km - 6 dam 9 cm; 5. Shkruaj numër të emëruar që është i llojit d) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml. të njëjtë me numrin e dhënë, por të mos 12. Numrin:jetë një emëror me të: a) 4 kg; b) 7 km; c) 36 min. a) 6 t 228 kg zvogëloje 9 herë; b) 2 km 8 dm zmadhoje 5 herë. 6. Shndërro numrin shumë emëror në një emëror, në njësinë më të vogël matëse të 13. Shëno tre njësi për syprinë më të mëdhenjshkruar. se 1 cm2.a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm;c) 9 dal 8 l 5 dl; d) 2 h 17 min 14 s. 14. Sa herë 2 m2 është më e madhe se 4 cm2? Sqaro përgjigjen. 7. a) shndërro 6 h 12s në minuta 15. Shëno tre njësi për vëllim më të vegjël se b) Shndërro 7 dal 3 l 5 cl në decilitra. 1 m3. c) Shndërro 4 km 7 m 14 dm në dekametra. d) Shndërro 6 dag 12 g në gramë. 16. Një hapësirë ka dimensione 4 m; 5 m; 3,5 m. Cakto vëllimin e asaj hapsire. 8. Sa herë është më e madhe: a) 4 km nga 400 m; 17. Një kub ka vëllim 27 cm3. Cakto syprinën e b) 6 t nga 300 kg; njërës faqe të kubit. c) 2 l nga 200 ml?
  • PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE 211 TË detyrave TEMA 1. NUMRA NATYRORË 1 1. A: a, r; plepi;A={a,r}; B = {x | x është shkronjë e fjalës plepi}; 3. a) P ∪ S është bashkësia e të gjithë numrave të dhjetëshes së parë; b) P ∩ S është bashkësi e e, p ∈ B; b, k ∉ B. zbrazët; c) P S është bashkësia P; d) S P është bashkësia S. M a C D 52. N S 1. (2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).3. A B 2. a) 2; b) 8; c) 7 dhe 3. 1 3 2 4 7 3. A × B = {(Arlindi, këndon), (Arlindi, fle), (Arlindi, mëson), (Njomza, këndon), (Njomza, fle), Njomza, 5 6 8 mëson), Agoni, këndon), (Agoni fle), (Agoni 9 mëson)}.2 1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 4. S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (M - bashkësia e shokëve të që ishin për (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}. pushim në planetin Mars.).2. δA = 5; δB = 4. 3. δA = 98; δB = 17. 6 1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174; janë shkruar me shifratProblem: Bashkësia e tre pyetjeve të parë janë të 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dhe 0;fundme, kurse bashkësia e pyetjes së katërtë nuk është A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.e fundme. 2. 70, 80, 90, 110, 130, 150; me shigjetë është3 1. D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x është numër çift më i vogël se 11}; D dhe N janë ekuiva- treguar numri 35 (tridhjetë e pesë) dhe numri 59 (pesëdhjetë e nëntë). lente, pasi kanë numër të barabartë : 3. δD = 5 dhe δN = 5. 0 2 4 6 8 10 14 16 202. P 4. S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 është më i vogël te S; S nuk U ka element më të madh; S ka pafund shumë ele- K mente. y 7 1. a) 5 është në klasën e milionët, 2- në mijëshe, 7- në njëshe, 0- në mijëshe.3. Është e saktë se y ∈ P, pasi K është nën bashkësi b) 5 është në pozitën e njësheve milion (NjMi), 7 është e P, pra për çdo element K (ndërmjet tyre edhe y) i takojnë bashkësisë P. te dhjetëshet (Dh), 0 është në dhjetëshe mijësheve (DhM) c) 5 ka vlerë pozicionale 5 000 000, 2 ka 2004. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. 000, 7 ka 70, 0 ka 0×10 000=0.Problem. Blerësi ka blerë numrat 1, 2 dhe 3 për numrine shtëpisë 312. 2. klasa milion klasa mijëshe klasa njëshe4 1. a)Unioni b) ndryshimi. c) Prerje. QMi DhMi NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, 7 4 0 5 9 0 6 M ∩ A = { p, k}, M A = { s, t, r}; δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M A) = 3. 3. 8 302 060 400 500.
  • 212 4. 1 000 000 000, një miliardë. 14 1. :3 :6 :7 :2 18 6 1 42 6 3 5. Numri 5 lexohet: ”pesë’; shifra 5 lexo- het: “pesë”. 54 18 3 84 12 66. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000; 108 36 6 98 14 7 bilion.Problem. 7 777 777. 2. 8; 171; 76; 7; 12; 13. 3. 145; 707; 700. 8 1. Dy mijë treqind e dyzet e pesë; dyqind e 4. 20; 8. 5. Tufa e dallëndysheve ka fluturuar mëpesëdhjetë; gjashtë milion katërqind mijë treqind e së paku 250 orë. Kërmilli ka kaluar 5 cm për një minutë.dhjetë. Zgjidhje. Pasi kërmilli ka kaluar 12 m për 4 orë, ai ka kaluar nga 3 m në orë, dmth. 300 cm për 60 minuta,2. 300 205 800. 3. <; >; >; <. kurse kjo do të thotë 5 cm (= 300 : 60) për 1 minutë.4. Është më afër: a) me 24 600; b) me 25 000. 6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.5. 25 380; 25 400; 25 000. 6. 15 410 000.7. Nuk ekziston; (një milion e dyqind e gjashtëmbëd- hjetë mijë e treqind e pesëdhjetë e 8 denarë. 15 1. a) 180; b) 420; c) 15; g) 60. 2. a) 450; b) 15; c) 90; d) 90. 3. a) 16; b) 4; c) 16.Përpiqu të zgjedhësh. Për shembull: 4. 5 040. 5. 32. Zgjidhje. 7 680 : 240 =1) Numri i kanalit tënd të preferuar televiziv. 768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32.2) numri i pasaportës. Problem interesant! 31 vezë. Udhëzim. Blerësi i pestë10 1. 187; 99; 171. 2. 2 026. 3. 238; 174; ka blerë 1 vezë, i katërti ka blerë 2 • 1 + 1 = 3 vezë, i treti ka blerë 2 • 3 + 1 = 7 vezë etj.9 060. 4. 13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7; 16shuma e saktë është: 13 763.Problem. 22 + 22 + 222 = 266. 1. a) 48; b) 225. 2. a) x = 110; b) x = 200;11 1. 962; 11 115. 2. 495. 3. 2 845; 5 185. c) x = 17; d) x = 120; e) x = 21; f ) x = 3. 3. 305 arka. 4. 35 vjet. 4. Nga 20 arra.4. Përafërsisht: 16 qindëshe; saktësisht: 1 770 den.Përpiqu: Po. 18 1. 1, 2, 5 dhe 7. Të gjithë pjesëtuesit e numrit 6412 1. Shuma do të zmadhohet për 234. 2. 1 550. janë: 1, 2, 4, 8,16, 32 dhe 64. Është saktë 4 | 12, 3 | 36 dhe 10 | 1 000. Shumëfisha të numrit 3 janë, për shembull: 3,3. Za x = 13. 4. I zbritshmi duhet të zmadhohet 6, 9, 12, 15, 18, 21, kurse ka shumë të panumërta.për 25. 5. a) 100; b) 100; c) 80; d) 110. 2. Shembulli 1): 4 është pjesëtues i çdonjërit prej6. 600 denarë. Problem! 100. Zgjidhje. numrave 8, 20, 28 dhe 36; shuma e tyre është numri 92, kurse 92 : 4 = 23, dmth. edhe 92 plotpjesëtohet me 4.(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = Domethënë 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Shembulli 2): 8 | (48 -(2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100. 36), sepse 8 | 48 dhe 8 | 36. Shembulli 3): 7| 21 • 5 • 6,13 1. 6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800; sepse 7| 21. 3. a) dhe c) po; b) dhe d) jo. 4. a) c) dhe d) me 3; b)343; 69. 2. 11 760. 3. 382 200 km.4. a) 30 000; b) 35 100; saktë: 34 036; prodhimi i vlerë- dhe d) me 7 5. B = {16, 24, 32}. suar nën a) është më i vogël se i sakti për 4 036,, ndërsa nën b) është më i madh për 1064. 19 1. 28, 70, 96 dhe 25 000 plotpjesëtohen me 2, pasi mbarojnë me 0, 6 ose 85. Sipas radhës së paraqitjes së *: 4, 0, 1, 0; 3. 275, 400 dhe 995. 4. 65. 439 • 47 = 20 633.
  • 20 1. 348, 1 245 dhe 6 123. 2. 9 126 dhe 540. 7. 4 12 36 P 213 PM3. 1, 4 ose 7; 1, 4 ose 7; 2, 5 ose 8; 1, 4 ose 7. 2 54 4. 7; 1; 6; 7. 5. 2 ose 8. 6 18 28 42 98Përpiqu të përfundosh! Numri 60 është i plotp- 27 P 1 3 9 PMjesëtueshëm me 3 dhe vlera e tre çokollatave pavarësisht 21 49nga çmimi i tyre është e plotpjesëtueshme me tre. 4 6 14Prandaj, edhe shuma e përgjithshme duhet të plotpjesë- 3tohet me tre. Por, shuma e përgjithshme (220) nuk është 2 7e pjesëtueshme me tre.21 1 1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 dhe 4 312.Kujdes: me shifrat 1, 2, 3 dhe 4 mund të formosh 24 24 1. {30, 60, 90, ...}; PMP (10, 15) = 30.numra katërshifror; prej tyre vetëm 6 numrat e 2. a) 40. b) 36. c) 240. d) 720. 3. 300. 4. 120.mësipërm janë të plotpjesëtueshëm me 4. 5. Ndihmë. shkruaji shumëfishat (deri më 30) të çdon-2. 0, 4 ose 8; 2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 9; 0, 2, 4, 6 jërit prej numrave 3, 4, 5, kurse pastaj provo cili prejose 8. 3. Na pr.: 20; 160; 3 240. 4. 312. shumëfishave të 5 është më i madh për 1 edhe prejEdhe kjo është matematikë! Lojtari i cili merr i pari shumëfishave të 3 edhe prej shumëfishit të 4, njëkohësisht.duhet të merr 2 fasule dhe lojtarit që merr i dyti ti lë 48 6. 60 s.fasule, gjegjësisht numër të plotpjesëtueshëm me 4.Pastaj, sado që të merr lojtari i dytë, i pari i lë numër të Hulumto vet! Ngjashmëritë e numrave 12 dhe 16: që të dyplotpjesëtueshëm me 4, gjegjësisht lojtari i parë plotë- janë të përbërë; që të dy janë çift; që të dy janë të plotëson deri në 4 (i dyti 1, i pari 3; ose i dyti 2, i pari 2; ose i pjesëtueshëm me 4. Ndryshimet; numri 16 është katrori ipari 3, i dyti 1) etj. Numri 20 është i plotpjesëtueshëm numrit (16 = 42), ndërsa 12 nuk është. 12 ka numër çift tëme 4, prandaj gjithmonë fiton lojtari i cili merr i dyti. pjesëtuesve (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), ndërsa 16 ka numërNëse merren prej 1 deri 4 fasule, gjegjësisht prej 1 deri tek të të pjesëtuesve (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}).5 fasule, atëherë kujdesemi për për plotë pjesëtuesh-mërinë me 5 gjegjësisht plotë pjesëtueshmërinë me 6. Përpiqu të njehsosh! 8; 24=PMP(8, 12). Problem interesant! Një biletë ka kushtuar 10 denarë;22 1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19; njëri prej tyre nuk ka pasur pare (gjegjësisht “kishte 0 denarë”), ndërsa tjetri kishte 19 denarë.75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19. 2. 27.3. 1( fëmijë), 3 (adhurues), 2 (automobil) dhe 4(dhoma Test: 1. a) A = {11, 13, 15, 17, 19}; B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19},të fjetjes). 4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 = b) B C c) B ~ C,41 + 11 = 29 + 23. 11 17 16 B ∩ C ~ B C.Hulumto vet! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 18 13 19Udhëzim: Vëre së mbetën të ndriçojnë ato llamba,ndërprerësi i të cilave është shtypur numër tek herë, e B ∩ C = {17, 19}.ato janë llambat numri i të cilave ka numër tek tëpjesëtuesve. (Numra të atillë janë katrorët e numrave 2. A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1),natyrorë: 12, 22, 32, 42 etj.). (c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}. 3. a) 910, 901, 190, 109;23 1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. c) 30. d) 60. b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Më i vogli është 109; paraardhësi është 108, ndërsa pasardhësi është 110.3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= PMP (48, 72)] 5. 12 m. 4. 20 350 005 070; Shifra 3 është në klasën e mil-6. 24 [= PMP (48, 72, 120)]. ionët, në pozitën e qindësheve milionave dhe ka vlerë 300 000 000.
  • 5. Shuma e numrave të rrumbullakuar 12. 2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 9 214 është 9 000; ai është më i vogël se 13. 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 14. D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}. shuma e saktë për 24. 6. Ndryshimi do të zmadhohet për 300. 15. NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72. 7. 13 500 l. 8. 18; numrin që e kanë pjesëtuar 16. 4 ekipe nga 8 nxënës, prej të cilëve 3 vajza dhe 5është 324. 9. 67 kg. gomari mban 28kg, ndërsa djem; PMP(12, 20)=4. 17. SHVP(30, 50)=150, 150:30=5. Në vend të njëjtë dokali 39kg. 10. 471. 11. a) 372, 930 dhe 254; të mbesin shtyllat: e parë, e pestë, e dhjetë etj.b) 105 dhe 930; c) 105, 372, 801 dhe 930; d) 801. TEMA 2. FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH 1 1. a b 4. AV = 83 mm. 5. MR = 3 cm, RY = 9 cm. B C 4 A M N P2. A a B 1. Pjesë e drejtëzës e kufizuar me pikën e saj. Pikat A. c b A 2. 3. C p3. a) Pikat: A, B dhe C; D, B dhe E. C O B K M P S N L b) Pikat: A, B dhe E; A, D dhe B; D, B dhe C. 4. Gjatësia e segmentit AB është largesa ndërmjet4. Drejtëza MN, Drejtëza MP, Drejtëza NP. pikave të skajshme A dhe B.5. A 5. Dy segmente që kanë gjatësi të barabarta quhen B Pikat A, B, C dhe D për- segmente të puthitshëm. caktojnë 6 drejtëza. 6. A V Pikat A, B dhe C formojnë 3 D C segmente: AB, AC dhe BC. 2 E njëjtë, 2. 1. P 2. A Pika e për- S p Pikat E, F dhe G formo a C bashkët në 7. drejtëzat AB, E F G janë 3 segmente: EF, EG c B b D BC dhe BD dhe FG. 8. CD = 4 cm. është pika B. 53. A B C Rasti i I: një drejtëz. 1. A B O A B S Rasti i II: 2. Konstruksion quhet vizatim që bëhet me vizor dhe tre drejtëza. kompas. a C m4. 5. 3. OM = 6 cm; ON = 9 cm. b a || b. p a b n || p. n 4. 3 1. AV = 70 - 42 = 28 OA = 2a + b t.e. AV = 28 mm. O a a b A H2. Pikat K, L dhe M janë kolineare. MN = a + 2b (30 mm + 52 mm = 82 mm). a b b M N R3. m S M N P
  • a 2. Rrezja e rrethit është segment që e lidh5. b qendrën me çdo pikë të rrethit dhe 215 OA = a - b gjatësia e saj është rreze e rrethit. a-b bO A H 5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e. 6. r = 50 : 2 = 25, t.e. a - 2b PM = a - 2b d = 56 mm. r = 25 mm. b bR6. a M Y 9 1. Pikat e brendshme janë A dhe D. b c 2. Pika të shtrihet (ti takoj) në vijën rrethore dhe pika a+b-c OA = a + b - c të mos shtrihet (mos ti takoj) në vijën rrethore.O A k 4. Tangjente është drejtëza që kaProvo… 1. 14 katrorë; 3. O një pikë të përbashkët me2. 15 drejtkëndësha; 3. 20 trekëndësh rrethit. abarabrinjës. 5. Drejtëza e pret rrethin - kanë dy pika të përbashkë-6 C ta; drejtëza e takon rrethin- kanë vetëm një pikë të 1. D 2. Vija e thyer ka: 5 përbashkët; drejtëza dhe rrethi nuk kanë pika të kulme - A, B, C, D dhe përbashkëta. E. 5 brinjë - AB, BC, CD, DE dhe EA. k A B 6. Drejtëza a. 7. O F E 103. Perimetri i vijës së k1 D 4. I k2 thyer D është shuma 1. t AG O2 C e gjatësive të brin- jëve të saj. O1 A B 5. AB = 250 cm. II k26. L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158, k2 k1 t.e. L = 158 mm. 2. k1 O2 O1 O2 O1Përpiqu!1. Zgjidhja është dhënë në vizatim.2. Figura c) nuk mund të vizatohet” menjë lëvizje”. 3. k1 dhe k2 janë rrathë bashkëqendror - nuk kanë pika të përbashkëta. 7 1. Pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa. k1 k2 5. k1 k2 6. O1O2 = 12 mm. 4.2. Koncepte të nxjerra janë: segmenti, gjysmë- O 2 drejtëza dhe figura gjeometrike. O1 = O2 O13. a) Gjatësia e segmentit është largesa ndërmjet pikave të skajshme të segmentit. b) Perimetri i vijës së thyer është shuma e gjatësive të brinjëve 11 1. Në gjysmërrafshin e njëjtë me pikën A shtri- të tij. hen pikat: B, E, C dhe H.4. Bashkësi pikash. 2. Kulmi O dhe krahët OA dhe OB; A, O, B, D dhe E k janë pika nga zona. 8 1. Pika O nuk i takon rrethit. P Këndi NMP. 3. 4. O α β M N
  • 5. Gjysmëdrejtëzat OA, OB dhe OC formo- 216 jnë 3 kënde dhe atë: ∢AOB, ∢BOC dhe B α β γ ∢AOC. 3. ∢AOB = α + β + γ12 1. Këndet krahët e të cilit formojnë një drejtëz B O A quhet kënd shtrirë.2. Këndi që është sa gjysma e këndit të drejtë është kënd i ngushtë. 4. α β ∢AOB = α - β O A3. a) Kënd i ngushtë; V N 4. b) Kënd i drejtë; B c) Kënd i gjerë; O A P M d) Kënd shtrirë; 6. N 5. α β5. Kënd i gjerë O A ose kënd i ∢AOB = α - β ngushtë; R O M 6.13 1. ∢AOV dhe ∢VOS; ∢VOS dhe ∢COD; α β B ∢AOS dhe ∢SOD; ∢AOV dhe ∢BOD. ∢AOB = 2α - β O A2. Kënd i puqët i α është 3. këndi β. Të puqët janë β α Përpiqu! edhe këndet γ dhe δ. Ka 10 kënde ∢AOB, ∢AOC, ∢AOD, ∢AOE, ∢BOC, β është kënd i ngushtë ∢BOD, ∢BOE, ∢COD, ∢COE, ∢DOE. Ka 5 çifte kënde4. Kënde të kryqëzuar janë dy kënde që kanë kulm të fqinje: ∢AOB dhe ∢BOC; ∢AOB dhe ∢BOD; ∢AOB përbashkët dhe krahët e njërit janë vazhdimet e dhe ∢BOE; ∢BOC dhe ∢COD; ∢BOC dhe ∢COE; këndit tjetër nëpër kulm. ∢COD dhe ∢DOE. Ka tre çifte të këndeve të puqëta: ∢AOB dhe ∢BOE; ∢AOC dhe ∢COE; ∢AOD dhe5. Të kryqëzuar janë këndet: 1 dhe 3; 2 dhe 4; 5 dhe 7 ∢DOE. dhe 6 dhe 8. 16 1. ∢BOC = 60o, ∢BOD = 95o, ∢COD = 35o,14 1. Këndi kulmi i të cilit gjendet në qendrën e rrethit quhet kënd qëndror. ∢BOM = 124o dhe ∢MON = 56o. 2. α = 50o dhe β = 125o. 4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’; b) 30o 15’ = 1 815’. B 3. V N 3. 4.2. V 126o 5. β, α, δ, γ. 47o α O A O A P M α 17 O N N 1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’. A β 2. α + β = 117o 11’ 32’’; 3. a) 53o 20’; P M α - β = 35o 53’ 52’’. b) 47o 17’ 18’’. O M 4. a) β = 101o 30’; b) β = 114o 24’ 35’’.15 1. α β 2. B α Përpiqu! Vizato rrethin me qendër në kulmin e këndit ∢AOB = B 19o. Pasi që 19 ⋅ 19 = 361, e këndi i plotë është 360o, rrjedh se, nëse këndin prej 19o e bartësh 19 herë nëpër rrethi me kulm në pikën O, do të fitosh ndryshim pre O A O A 1o. ∢AOB = α + β ∢AOB = 2α
  • 18 1. Largesa e pikës M deri të drejtëza p është Ndihmoji kopshtarit! Kopshtari duhet ti mbjellë 217 gjatësia e segmentit MN, ku N është prerje edrejtëzës p dhe normales së p që kalon nëpër M. fidanët si në vizatim.2. M 4. P m N 22 1. Shumëkëndëshi te i cili të gjitha pikat e seg- mentit pikat e skajshme të të cilit shtrihen te MN = 10 mm m shumëkëndëshi, janë pika të shumëkëndëshit S quhet shumëkëndësh konveks. D3. AD = 16 mm PS = 2 cm 2. Kulme fqinje të B: A dhe C. E19 C Brinjët jo fqinje të BC: AE 1. AM = 25 mm. 2. MN = 7 cm. dhe ED. s3. A B 3. Te shumëkëndëshi ABCD shtrihen pikat: A, M, B, C,A M V D, F dhe G. s2 C 4. s1 7. B 23 C 5. ∢MOP = 42o 1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm. αA B 3. a = 15 cm. 4. L = 30 cm. 5. a = 10 cm. 6. ∢AOB = 70o O A 6. b = 10 cm. 7. L = 54 cm. 8. a = 9 cm.20 1. Kënde komplementare janë b) dhe nën c). 9. 30 mm.2. β = 90o - 39o = 51o. 4. Kënde suplementar janë nën b) dhe c). Test: 1. A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q;3. 5. β = 180o - 76o = 104o. β A, B ∉ q. 2. Po; BC = CA + AB. α 6. α α + β = 90o. β α + β = 180o. 5. Poligonale janë dhe . Nuk janë poligonale: dhe (nuk janë të mbyllura); (ka brinjë jo fqinje21 1. Vijë poligonale është vija e thyer nën b). që priten). 6. 54 mm. 9. ∢AOB- i ngushtë; ∢AOC- i gjerë; ∢AOD- i plotë.2. Shumëkëndësha janë vijat e thyera nën b) dhe 10. B 13. Këndi është i gjerë; nën c). 90o 35’ = 5 435’.3. C D 4. Nuk janë fqinje me kulmin D β α 14. β = 44o 24’ 15’’. kulmet A dhe B. C O A 17. Nuk janë suplementar. A B ∢AOC është 18. 13 m. kënd shtrirë;5. Brinjë fqinje të brinjës MN janë B brinjët ML dhe NP.
  • 218 TEMA 3. THYESA 1 5 7 1 7 __ __ __ 28 __ - shtatë të nëntat; 12 __ - 12 thye për 23; 4. dhe ; dhe __. 5. a) x = 8; b) x = 8; 1. 6 30 10 40 9 23 4 7 c) x = 6; d) x = 110; ___ - 4 të 121 2. Për shembull: __ - shtatë të 5 1 17 121 9 6. __ __ __ 3 105 7 4 2 4 nëntat; ___ - 105 thye për 28; __ - shtatë 28 7 3 __ 1 0 2 3 4 5 12 4 të shtatat. 3 Emëruesi i thyesës __ tregon se e 4 19 10 6 13 __ b) 4; c) 8 __ ; d) 4 __ . __4 plota është ndarë në 19 pjesë të barabarta, kurse 1. a) ; 2. a) ; 9 12 15 9 numëruesi- se janë marrë 12 prej atyre pjesëve. 2 2 2 3 10 b) __ ; c) 3 _ ; d)1 _ ; e)1 __ . 3. __ i mbushur, 19 4 5 11 12 1 1 1 __ b) ___ ; c) ____ ; 1 ___ 4. a) d) 2 __ i pambushur. 1 8 __ pjesë të 4. _ . ; . 10 100 1000 100 5. 12 7 10 2 8 15 lexuar; __ pjesë të palexuar. 6. 13 __ ; 3 __ 28 ___ 9 __ ____ 10 12 5. a) dm; b) m; c) l; c) kg. 4 10 100 10 1000 __ 5 . 12 21 . 5 __ 4 10 6 15 22 __ 6. a) 25 cm; b) 6 dm; c) 4 dl; d) 320 g. 7. __ __ __ __ __ 55 36 1. a) , ; b) , ; c) , ; 5 __ kg. 10 25 14 35 24 60 8. 30 75 8 __ __ __ 12 18 2 __ __ d) , . 2. Shembull , , . 34 85 3 18 27 2 1. a) 2 5 7 8 __ _ _ _ _ 11 ; ; ; ; 1 1 1 1 1 . b) 6 15 21 _ __ __ 3 ; 3 ; 3 ; 3. 80, 30, 85, 96, 18 qindëshet. 4. 2 17 29 __ __ __ , , . 5 25 36 __ ; 33 . c) 14 ; 35 ; 49 ; 56 ; 77 . 24 __ __ __ __ __ __ 1 2 2 __ __ __ __ __ 3 5 5 __ 7 7 7 2. 4. 5. ; , , , . 6. b) . 3 3 7 7 3 3 3 8 6 7 1 6 13 36 _ 3. Shembull: _ ; . 4. Shembull: __ ; __ . 7. a) x = 5; b) x = 42; c) x = 11; d) x = 51. 7 7 12 12 __ __ __ 10 3 9 5 __ 8. = ; = . 1 _ 1 5 4 8 33 35 13 63 4 12 6 12 _ _ _5. 9 ; 4 ; 2 ; 5 ; 13 _. 6. __ ; __ ; __ ; __ . 3 4 8 5 9 4 9 10 4 Problem! Barabartë. Udhëzim; Në gotën me Provo mendjemprehtësinë: Ditën e pestë. përzierje të venës dhe ujit që është derdhur te vena ka 3 1. a) 2 __ __ 3 ;1 2 3 ;3 1 __ 3 . 3 1 aq ujë sa ka mbetur vena në kovën me ujë. 4 __ 6 __ 4 2 Zana - 404 denarë; Valbeni - 505 denarë. 2. 1 0 1 4 5 7 Udhëzim: Pasi që __ e pareve të Zanës është e 1 4 3 9 9 7 barabartë me __ e pareve të Valbenit m mund të për- __ __ __ __ 5 3. fundojmë këtë: nëse një të plotë e ndajmë në 9 pjesë 4 8 4 2 4 5 dhe prej atyre pjesëve bëjmë dy të plotat __ dhe __ , 0 1 2 3 4 1 4 5 atëherë __ e njërës pjesë është e 4
  • 1 madhe se numri natyror, gjegjësisht numribarabartë me __ e pjesës tjetër. 5 natyror është 108 : 9 = 12. Vëre mënyrën e 219 1 dytë të zgjidhjes së detyrës me caktimin ePrandaj 909 : 9 = 101 është __ e pareve të Zanës, shifrës për shifër. 4gjegjësisht 1 __ e pareve të Valbenit. Zana kishte 4 ⋅ 5 12 1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.101 denarë, Valbeni kishte 5 ⋅ 101 denarë. 2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006; 4 000 400. 3. 44,835; 3780,024; 0,0189. 4. 63,92 m2.6 1. Nën a) dhe d) 2. Për she. : 13 ___ ______ __ , 13 , 13 . 10 100 10 000 5. 45 272; 66,1. 6. 175,25927844. 7. 900 den.3. a) 36 të plota dhe 2 dhjetore. b) 3 plota dhe 4 dhje- 8. Janë të barabartë me 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4. tore. c) 138 të plota 2 dhjetore.4. a) 0,06. b) 2,09. c) 11,029. d) 14,003. 13 1. a) 0,476. b) 0,0476. c) 0,00476.5. a) Dy të plota dhe tre të qindtat. b) Dymbëdhjetë të 2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44. plota dhe pesëmbëdhjetë të mijtat. c) Zero të plota 3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; dhe tridhjetë e pesë të mijtat. 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428; 2 5 3 17 5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Të gjithë6. a) __ ; b) 1__ ; c) 4 ____ ; d) 1 _____ . herësit janë të përbërë prej shifrave të njëjtë. 10 10 1 000 10 000 4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176. 5. 5. 7 1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00. 2. Po. 6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250. 7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04. 8. 2,946 km.Problem: 8 arra. 9. 18,375; 4,02. 10. 4,05. 8 1. 0 0,6 1 1,7 2 3 3,4 14 1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875; 0,34375; 1,296875.2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101; 2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...; 0,1031 > 0,1028. 0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... . 5 ____ = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5.3. 3. Para perioda është 3, perioda është 78; Para perioda 1 000 është 54, perioda është 302.4. Është më afër 131,102. Problem: presja. 4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711).10 1. a) 163,375. b) 105,075. c) 161,155. 5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...; d) 100,075. c) 0,06523152315... .2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723. 5. 3,69; 7,38; 11,07; 14,76. 15 1. 2,715; 3,033; 0,015. 2. 0,2; 0,21; 0,2059.3. 158,14; 4,8345. 4. 78,4 m. 3. 8,104. 4. 3,54.11 1. 21,1; 893,674; 3,68; 2. 10,31; 201,62; 5. 1,09; 339,73; 846,825. 28,36; 3,8; Me saktësi Gabimi Me saktësi Gabimi3. 0,34 m. 4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6. Numër deri 0,01 absolut deri 0,01 absolut6. 0,768 kg. Problem 12 dhe 14,3. Udhëzim: Nëse 0,0374 0,04 0,0026 0,037 0,0004shumën e gabuar 13,43 e shumëzojmë me 10, do të 0,5386 0,54 0,0014 0,539 0,0004fitojmë numër 134,3 i cili e përmban numrin e saktë 426,4235 426,42 0,0035 426,424 0,0005dhjetor dhe 10 herë më i madh se numri natyror.Ndryshimi 134,3 - 26,3 = 108 është nëntë herë më e 6,0141 6,01 0,0041 6,014 0,0001
  • Test: 1. a) 2 __ . 8 1 __ ; __ . 56 __ . 220 6. 5 7. 18 6 8. 64 A C B 9. 29,0664. 10. po; 0,006. 11. Ivërtetë 1 12 __ ; 25 . 5 2b) __. 2. __ kg. 3. __ 4. __ ; 3 8 1 5 1 12. po 13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304. 2__ . 5. 3 2 __ + __ 14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64. 16. 2,14; 27. 3 8 8 17. 21,85. 18. 8,4; 1,2(70). 19. 0,0001. 0 5 __ 1 20. 9,13. 1 4 __ + __ 8 5 5 0 1 TEMA 4. MATJA 1 3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m. 3. 2 551 443 s. 4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km; 4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg. 5. 8 ml, c) 5 008,705 kg; d) 9 075,008 mg; e) 85,06 dl.6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl. 6. 76 500 den. Pyetja interesante! Përgjigje: Nuk mundet dielli 2 1. 15 h 27 min. 2. 40 min. të nxeh. Do të jetë mesnatë. 3. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 java. 2,5 d. 5 1. a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm; 4. 5724 d. 5. a) 310,16 K; b) 223,16 K. c) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; d) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg; e) 1 l 3 cl 5 ml; f ) 3 kl 5 hl 7 dl. 3 2. 12 libra; 4. 1 h 50 min 45 s; numër shumë emëror. 2. a) km hm dam m dm cm mm 0 3 8 7 2 5 0 5. 18 denarë 50 deni; 6. Shembull: 6 kg, 138 kg. 3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm. 7. 3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm; b) km hm dam m dm cm mm 12m2 3 dm2 9 cm2. 8. 0 3 0 0 2 0 0 I paemërtuar 5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4 3 hm 2 dm. 7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl; c) kg hg dag g dg cg mg Një emëror 14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2Shumë emëror 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dm 0 3 2 0 0 5 0 7 m dhe 4 m; 8 hl dhe 9 hl; 4 kg dhe 3 hg 2 dag 5 cg.Një lloj emëror 3 kg; 14 l dhe 5 l; 8 m2 dhe 15 m2; d) kl hl dal l dl cl ml 4m 2dm dhe 6 m 5 dm 4 0 1 5 3 0 0Edhe kjo është matematikë! Përgjigja: 8 marsi. 4 kl 1 dal 5 l 3 dl. 4 1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml; 3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg;c) 400 605 dag; d) 13 447 min. 2. 2 764 m. c) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; d) 2 hg 3 dag 7 g.
  • 4. 29 den 12 h 44 min 3 s. 9 1. 200 cm3. 3. 4 m. 4. 8 cm3. 221 6 1. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm; 3 5. 0,63 m . 6. 24 dm . 2 7. 84 l.b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; c) 3 m 8 cm. Test: 1. a) dm; b) 0,012; c) 3; g) ml.2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm; 2. 600 dl. 3. a) dag; b) 360; c) 120;b) 4 dm 3 cm 2 mm; c) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm; d) 278,16. 4. 20,5 dm. 5. a) Shembull: 5t; b)d) 2 dm 8 cm. 3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag; Shembull: 2m; c) Shembull: 15s;b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml. 4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl; 6. a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; c) 985 dl;b) 6 l 2 cl 8 ml; c) 6 dl 7 cl. 5. 9 t 88 kg. d) 8 234 s. 7. a) 360,2 min; b) 730,5 dl;6. 33 195 den. 7. 1 kg 3 hg 3 dag 8 g; c) 400,84 dam; d) 72 g. 8. a) 10 herë; 1 t 579 kg; 8 dl 2 cl. 8. 2 kg 2 hg 4 dag; 11 kg 2 hg. 9. 20 h 27 min. b) 20 herë; c) 30 herë; 9. a) 153 cm; b) 30,3 dl; 7 1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2. c) 230,0004 dag; d) 0,25 dena. 10. a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a. 3. 4 800 000 den. c) 2 kl 3 hl 1 dal. 11. a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;4. 4 800 pllaka. b) 1 t 236 kg 8 hg; 8 1. 1 dm3, 1 cm3; 1 mm3. c) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm; d) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml. 12. a) 692 kg; b) 10 km 4 m.2. 4 000 dm3. 3. a) 7 m3; b) 0,5 m3; 14. 5 000 herë. Sqarim: 2 m2 = 20 000 cm2, ndërsac) 0,2 m3. 4. 27,65 cm3. 20 000 : 4 = 5 000. 16. 70 m3. 17. 9 cm2.Problem! Udhëzim; 3l 3 0 3 1 1 0 3 0 5l 0 3 3 5 0 1 1 4l PASQYRA E KONCEPTEVEB D - baza e, 36Barazimi, 44 Drejtëza dhe - treguesi i, 36Bashkësia - kufitare (tehu), 97 - numri i, 7 - reciprokisht normale, 116 G - e barabartë, 10 - kolineare, 71 gabimi absolut, 178 - ekuivalente, 9 – Diagram, - e fundme, 7 - figurash, 159, Gj - e zbrazët, prerja e , 12 - shtyllor, 158 Gjysmëdrejtëza dhe, 77 - ndryshimi i, 14 Drejtëza numerike, 18 - përbërëse, 77Baza e fuqisë, 36 Dh Gjysmërrethi, 91 Dhjetore, 151 Gjysmërrafshi, 97ÇÇifti i renditur, 15 F H Fuqia, 35 Hark rrethor, 91
  • 222I - dhjetor , 149 - Ndryshimi 81I pjesëtueshmi, 37 - periodik i përzier, 176 - Fqinje 83 - periodë e, 176 - Gjatësia e, 78K - para perioda e, 177 - Shuma e, 81 - i njëjtë periodik, 176 Sistemi numerik dekad, 20Koncepti,87 - një emëror, 191 - i nxjerrë, 88 - reciprokisht të thjeshtë, 61 Sh - matematik, 87 - i emërtuar, 191 Shumëfishi, 49 - themelor, 88 - një lloj i emërtuar, 192 - i përbashkët, 63Katrori i Dekartit, 16 - matës 191 - më i vogël i përbashkët, 63Korda, prerëse), 93 - i paemërtuar, 191 Shumëkëndëshi, 125Këndi, dhe 98 - tek, 17 - mysët, 125 - Komplementar, 120 - çift,17 - lugët, 107 - Mysët, 99 - shumë emëror, 192, - perimetri i, 127 - Krahët e, 98 - natyror, 17 - kulmi i, 123 - matja e, 110 - i thjeshtë, 57 - brinjët fqinje të, 123 - i kryqëzuari, 104 - i përbërë, 57 - kulme fqinje të, 123 - i puqët, 103 Nën bashkësi, 10 - brinjë e, 123 - i ngushtë, 102 - i plotë, 102 - Të shkruarit e bashkësisë, Nj - në mënyrë tabelore, 4 - i drejtë, 101 - fqinjë, 103 Njësia dhjetore, 21 - në mënyrë përshkruese,5 - suplementar, 121 Njësia matëse, 191 - i gjerë, 102 T - kulmi i 98 P Tangenta (takuesja), 93 - qendror, 105 Pika i, 54 - e brendshme, 92 ThL - kufitare, 77 Thyesa, 133Largesa, 76 - e jashtme, 92 - numëruesi i, 133 - qendrore, 94 - fillestare, 77 - dhjetore, 149Litri, 187 - e mesme (mesi), 78 - e pathjeshtueshme, 147 Presja decimale, 150 - jo e pastër (jo e rregullt) 137M Plotë pjesëtueshmëria, 49 - e dukshme, 136Mesi - e shumës, 49 - zgjerimi i, 146 - i segmentit, 78 - e prodhimit, 49 - thjeshtimi i, 147 - aritmetik, 47 - e ndryshimit, 49 - e pastër (e drejtë) 137Metri - indicet për, 51 - katror, 203 Pjesëtimi, U - kub, 205 - me mbetje, 38 Unioni i bashkësive, 13Masa, pjesëtuesi, dhe - për masën, 187 - i përbashkët, 60 V - për gjatësinë, 186 - më i madh i përbashkët, 60 Prodhimi i Dekartit, 15 Vetia. - për kohën, 189 - shoqërimit, 13 - për lëng, 187 S - shpërndarjes, 168 - për temperaturën, 189 - ndërrimit, 13 - për syprinën, 203 Simetralja Vija - për vëllimin, 205 - e këndit, 118 - e thyer 83Mesi aritmetikor, 47 - e segmentit, 118 - brinja e, 84Minuta, 189 Segment, dhe - e mbyllur, 84 - të barabartë (puthitshëm), 79 - poligonale 85N - Shuma, 81 - perimetri i, 85numër - Bartja 80
  • 223 - Rrethi - Rrethi, 133 Z - bashkëqendrorë, 95 - brinja e, 84 – Zona, - rrezja e, 89 - kulmi i, 84 - e brendshme, 90 - korda e, 90 - e mbyllur, 84 - jashtme, 90 - qendra e, 90 - e thjeshtë , 85 - diametri i 90 Vija e thyer, PËRMBAJTJATEMA 1. NUMRAT NATYRORË 3TEMA 2. FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH 69TEMA 3. THYESAT 131TEMA 4. MATJA 183PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE 211PASQYRË E KONCEPTEVE 221CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , СкопјеАВТОР: Стефановски, Јово - авторОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - авторНАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образованиеИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 смISBN: 978-608-226-273-4УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатенаИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011COBISS.MK-ID: 89052426
  • Botues:224 Ministria për arsim dhe shkencë e R. së Maqedonisë Matematika për klasën e VI Arsimi fillor nëntëvjeçar Autorë: Jovo Stefanovski dhe d-r Naum Cellakoski Recenzentë: d-r Jordanka Mitevska, profesor i rregullt në FShM, Shkup Zorica Nasevska, arsimtar në ShF „Koço Racin” - Shkup Dobre Trajkovski, arsimtar në ShF „H. T. Karposh” – Kumanovë Redaktor kryesor: Jovo Stefanovski Lektor: Suzana Stojkovska Përpunim kompjuterik: Dragan Shopkoski Përkthyes: Pranvera Xhaferi Redaktor: Prof. Dr. Ilir Spahiu Lektor: Murtez Sejdiu Shtypi: Graficki centar dooel, Shkup Tirazhi: 8.300 Me vendim për lejimin dhe përdorimin të librit mësimor në lëndën e Matematikës për kl. E 6- të në shkollimin fillor nëntëvjeçar me nr. 22-1110/1 nga data 22-1110/1 të sjellë nga Komisioni nacional për tekste mësimore