Matematika 6 alb

28,241 views
27,711 views

Published on

2 Comments
11 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
28,241
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
274
Comments
2
Likes
11
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematika 6 alb

  1. 1. Jovo Stefanovski Naum CellakoskiKLASA E GJASHTË ARSIMI FILLOR NËNTËVJEÇAR Shkup, 2011
  2. 2. Nxënës i dashur! Ti tani je në klasën e gjashtë dhe ke hyrë në sekretet e matematikës. Me matematikën shoqërohesh çdo ditë: në shkollë, në shtëpi, po edhe në lojërat tua. Me këtë libër do të mësosh përmbajtje të reja interesante për numra. Do të përvetësosh njohuri tëreja nga gjeometria. Te tema Matja do ti mësosh njësitë matëse për shumë madhësi dhe operacioneme to. Libri është ndarë në katër njësi tematike. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtjen e tyre, ndërsanjësitë mësimore në to janë të numëruara. Në njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpërmjet tyre janë shkruar porositë, aktivitete,obligime dhe sugjerime të tjera, dhe atë: Njësitë mësimore fillojnë me diçka që e ke të njohur. Duhet të kujtohesh dhe Kujtohu! t’i zgjidhësh kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbejë gjatë të mësuarit të mësimit të ri. A , B ... Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë të cilat i referohen nocioneve të reja. 1. Me këto shenja janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t’i zgjid- hësh në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë do 2. të mësosh mësimin e ri, prandaj duhet të kesh kujdes të jesh aktiv që më mirë 3. ... të mësosh dhe të kuptosh. Kryesorja është ngjyrosur me ngjyrë të verdh. Ajo që është më me rëndësi nga mësimi është ndarë në formë të pyet- Duhet të dish jeve, detyrave ose pohimeve. Atë duhet ta mbash mend dhe ta shfrytëzosh te detyrat dhe shembuj praktik. Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrollohesh Testohu! nëse pjesën më të madhe prej asaj që e ke mësuar e kupton që të mundesh ta zbatosh dhe ta shfrytëzosh në jetën e përditshme. Duhet rregullisht dhe në mënyrë të pavarur t’i zgjidhësh detyrat. Në Detyra këtë mënyrë më mirë do ta kuptosh atë që e ke mësuar, e ajo do të jetë e dobishme për ty. Përpiqu që t’i zgjidhësh detyrat dhe problemet në këtë pjesë. Me këtë do të Probleme dish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide. Nëqoftëse has në vështirësi në të mësuarit e matematikës mos u dorëzo, përpiqu përsëri, qëndrueshmëria do të sjell rezultat dhe kënaqësi. Do të na gëzon nëqoftëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe do të arrish sukses të shkëlqyeshëm. Nga autorët
  3. 3. 3 TEMA 1. NUMRAT NATYRORË1. Bashkësia. 15. Varësia e prodhimit dhe Mënyra e të shkruarit 4 herësit nga ndryshimi i2. Numri i bashkësisë. komponentëve 40 Bashkësi të fundshme 7 16. Shprehja numerike. Barazimet 433. Bashkësi ekuivalente. 17. Mesatarja aritmetike 47 Bashkësi të barabarta. 18. Plotë pjesëtueshmëria e numrave Nën bashkësi 9 natyror. Plotë pjesëtueshmëria e4. Prerja, unioni dhe ndryshimi shumës dhe ndryshimit 48 i bashkësive 12 19. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë5. Çifti i renditur. me 2 dhe me 5 51 Prodhimi i Dekartit 15 20. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë6. Vargu i numrave natyror 17 me 3 dhe me 9 537. Sistemi numerik dekadë 20 21. Indicet për plotë8. Leximi dhe rrumbullakimi pjesëtueshmërinë me 4 55 i numrave natyror 23 22. Numrat e përbërë dhe të thjeshtë.9. Instrumente për mbledhjen Paraqitja e numrave të përbërë si e të dhënave 26 prodhim i numrave të thjeshtë 5710. Mbledhja 27 23. Pjesëtuesi i përbashkët.11. Zbritja 29 Pjesëtuesi më i madh i përbashkët 6012. Varësia e shumës dhe 24. Shumëfishi i përbashkët. ndryshimit nga ndryshimi Shumëfishi më i vogël i përbashkët. 63 i komponentëve 31 25. Diagram me fotografi.13. Shumëzimi 34 Diagrami shtyllor 6614. Pjesëtimi 37 26. Mësove për numrat natyrorë. Kontrollo njohurinë tënde 68
  4. 4. 4 1 BASHKËSIA. MËNYRAT E DHËNIES TË BASHKËSISË Kujtohu! A V a g b v Në vizatim janë paraqitur bashkësia A dhe A 1 Me D le të jetë e shënuar bashkësia e bashkësia B me diagram të Venit ditëve të javës. Shkruaji të gjitha elementet e bashkësisë Elementet e bashkësisë A janë lule. D. Muaji prill a është element i bashkësisë Çfarë jenë elementet e bashkësisë B? D? Sa elemente ka bashkësia D?2 Trego gojarisht një bashkësi A dhe shkruaji elementet e saj. Trego dy objekte që nuk janë elemente të bashkësisë tënde A. Të mbaj mend! Një bashkësi është e përcaktuar nëse dihen të gjitha ele- mentet e saj.B 3 Në vizatim është paraqitur bashkësia C me diagram të Venit. Cilët numra janë elemente të bashkësisë C? 1 7 2 Bashkësia C mund të shënohet në mënyrë tabelare (duke i radhi- 6 S tur elementet), ashtu që elementet e saj shënohen ndërmjet klla- 3 pave, të ndara me presje, dmth 4 5 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.4 Elementet e një bashkësie P janë numra: 10, 6, 2, 8 dhe 4. Paraqite bashkësinë P me diagram të Venit Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të voglit. Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të mad- hit.
  5. 5. Gjatë shënimit të elementeve të bashkësisë në mënyrë tabelare, radhit- ja e elementeve nuk është e rëndësishme. 55 Shkruaj bashkësi S prej të gjitha zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe. Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A të shkronjave që përdoren te fjala mami. Të mbaj mend! Bashkësia A={m, a, m, i} shkruhet drejt {m, a, i}. elementet e njëjta të bashkësisë shkruhen vetëm një herë.6 Familjen Ahmeti e përbëjnë: Babai Ervini, Nënë Hajria, djali Bedi dhe vajza Eljesa. Me A le të shënojmë bashkësinë e të gjithë anëtarëve të familjes Ahmeti Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare. Nëse shkronja x përdoret si zëvendësim i emrave të anëtarëve të famil- jes Ahmeti, Bashkësia A mund të shkruhet: A={x | x është anëtar i familjes Ahmeti}. Bashkësia A e shkruar në këtë mënyrë themi se është paraqitur në mënyrë përshkruese.7 Bashkësinë S={x | x është shifër e numrit 2638} shkruaje: me diagram të Venit; në mënyrë tabelare.8 Në vizatim është dhënë bashkësia P me diagramin e Venit. Shkruaje bashkësinë P në mënyrë tabelare. Me cilën nga shënimet e mëposhtme bashkësia P është paraqitur në mënyrë përshkruese? a) {x | x >19}. 11 13 b) {x | x e është numër te i dhjetëshes së dytë}. R 15 c) {x | x është numër natyror i dhjetëshes së dytë}. 17 19 C 9 Vëre bashkësinë M të paraqitur me diagram të Venit. Elementet e bashkësisë M janë shkronja të fjalës sport. Themi: Shkruajmë: k l M “Shkronja k është element i bashkësisë M ose k k∈M a u p i takon M” “Shkronja t është element i bashkësisë M ose t i t∈M takon M” “Shkronja e nuk është element i bashkësisë M e∉M ose e nuk i takon M”
  6. 6. Duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉ shkruaj pohimet të sakta për shkronjat i, s, l, u, p dhe 6 bashkësinë M. a V10 Në vizatim është paraqitur një segment a dhe pikat: A, B, C, N, L, K dhe S K S. S Shkruaj pohime të sakta për pika të shënuara në vizatim dhe për N segmentin a duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉. L11 Vizato një drejtëz p dhe shëno pika R, P, S dhe L të atillë që: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p; A Duhet të dish Testohu! Të tregosh shembuj për bashkësi; Kur një bashkësi është e përcaktuar? Të paraqesësh bashkësi me dia- Shkruaje bashkësinë K elementet e së cilës janë: 1, 3, 5, 7 dhe 9: gram të Venit, në mënyrë për- shkruese dhe tabelare; me diagram të Venit; në mënyrë tabelëre; Ti zbatosh drejt shenjat në mënyrë përshkruese. ∈ dhe ∉. Cili numër i dhjetëshes së parë është element, kurse cili nuk është element i bashkësisë K? Shkruaje atë duke i shfry- tëzuar shenjat ∈ dhe ∉. Detyra 1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë A dhe B. Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare, ndërsa bashkësinë B në mënyrë përshkruese. A Me shfrytëzimin e shenjave ∈ dhe ∉ shkruaj V cila prej shkronjave: e, p, b, k është element i u bashkësisë B. e k b p 2. Vizato një segment dhe shënoje me a. a Shëno pika M, N, C, D dhe S ashtu që: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a. Cilat shkronja janë elemente të bashkë- sisë A? Me diagram të Venit shkruaj bashkësitë A 3 Prej shkronjave që janë elemente të dhe B ashtu që: bashkësisë B formo fjalë (emër të një 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, druri). 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.
  7. 7. 2 NUMRI I BASHKËSISË. BASHKËSI TË FUNDME 7 Kujtohu! A 1 Shihi bashkësitë A, B dhe C dhe përgjigju në pyetjet. Bashkësia A është dhënë me diagram të Venit. A = {a, b, c}; A B = {x | x është ditë e javës}; a c C = {x | x është numër natyror më i vogël se 100}. d b Prej cilave elemente përbëhet çdonjëra prej bashkësive? Prej cilëve elemente përbëhet bashkësia Sa elemente ka çdonjëra prej bashkësive A? A, B dhe C? Numëroji elementet e bashkësisë A. Sa elemente ka bashkësia A? Vëreja! Bashkësia A ka tre elemente, bashkësia B ka 7 elemente dhe bashkësia C ka 99 elemente. Mbaj mend! Numri i elementeve të bashkësisë së dhënë A quhet numër i A dhe shënohet δA.2 Sa elemente ka bashkësia e vajzave në klasën tënde? Sa nxënës ka gjithsej bashkësia e meshkujve në klasën tënde? Sa është numri i të gjithë nxënësve në klasën tënde? Vëre dhe mbaj mend! Secilës bashkësi ia përcaktove numrin e elementeve të tij. Të gjitha këto bashkësi janë bashkësi të fundme.B 3 Mali më i lartë në Republikën e Maqedonisë është Korabi. Maja e Korabit është e lartë 2764 metra. Sa elemente ka bashkësia e maleve në Maqedoni që janë më të larta se 3000 metra?4 Cakto numrin ë bashkësive A, B dhe C. V A = {qershor, korrik, janar} Maj C = {x | x është muaji i vitit emri i të cilit fillon me shkro- njën l}.
  8. 8. Vëren se bashkësia e maleve nga detyra 3 dhe bashkësia C nga detyra 4 nuk kanë asnjë ele- 8 ment. Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët dhe shënohet me shenjën ∅. Edhe bashkësia e zbrazët numërohet si bashkësi e fundshme. M = {x | x është mal në R. e Maqedonisë më i lartë se 3000 metra} = ∅. δ∅ = 0.5 Trego një shembull për bashkësinë e zbrazët. Duhet të dish Testohu! Ç’është numër i bashkësisë; Shkruaj shembull për: Të tregosh shembuj për Bashkësi të fundme C ashtu që δS = 3; bashkësi të fundme dhe të Bashkësi S ashtu që δY = 0. zbrazët. Detyra1. Cakto numrin e elementeve të 2. Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësisë: bashkësi A dhe B të dhënë me diagram të Venit. L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x është nxënës i klasës së V më i lartë se 5 metra} A 2 5 V 1 3 K=∅ 4 6 7 Shokët e tu që ishin për pushim në planetin Mars. 3. Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësi A = {2, 3, 4, ..., 99} dhe B = {x | x është numër natyror dhe 8 ≤ x < 25}. Problem A është e fundme bashkësia e banorëve në Shkup; yjeve në qiell; kokrrave të grurit në thes; numrave që mund të shkruhen me shifrën 1?
  9. 9. 3 BASHKËSITË EKUIVALENTE. BASHKËSITË E BARABARTA. NËN BASHKËSITË 9 Kujtohu Cakto numrin e elementeve të bashkë- A 1 sisë T dhe S. Cakto numrin e elementeve të bashkësisë: Y A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} T C = {10, 20, 30, 40, 50}. Ç’vëren? Cila prej shenjave <, =, ose > duhet të shkruhet në rreth δT δY?2 Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A = {x | x është shkronjë e fjalës DIBËR} dhe bashkës- inë B = {x | x është numër tek i dhjetëshes së parë}. Cakto δA dhe δV, dhe pastaj krahasoi. Shkruaj bashkësi C që ka numër të elementeve të barabartë me δA, përkatësisht δV. Bashkësitë që kanë numër të barabartë të elementeve quhen bashkësi me numër të njëjtë të elementeve ose , PSE HABITESH V- bashkësi ekuivalente. BASHKË SITË JANË EKUI ALENTE ! Nëse bashkësitë A dhe B janë ekuivalente, atëherë shëno- jmë: A ~ V.3 Cakto numrin e çdo bashkësie: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} dhe G = {M, A, T, E, I, K}. Cilat bashkësi janë me numër të njëjtë? Shkruaj bashkësi që do të jetë ekuivalente me bashkësinë G.B 4 Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës azil dhe bashkësinë T elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës liza. Vëreni! Bashkësitë A dhe B kanë numër të njëjtë të elementeve: δA = δV. Gjithashtu, bashkësia A përbëhet prej elementeve të njëjtë sikurse bashkësia B.
  10. 10. Dy bashkësitë A dhe B janë të barabarta nëse përbëhen prej elementeve të njëjta. 10 Shkruajmë: A=B5 A janë të barabarta bashkësitë: A={1,3,5,7} dhe B={1,2,5,7}? Për dy bashkësi A dhe B që nuk janë të barabarta, shkruajmë: A ≠ V. por: {S, O, K}={K, O, S}6 Cila prej këtyre bashkësive janë të barabarta ndërmjet veti: A = {x | x > 5 dhe x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?C 7 Shihe vizatimin! Elementet e bashkësisë M janë tulipan, M kurse të bashkësisë S janë trëndafila të kuq. S Çdo element i bashkësisë S a është element i bashkë- sisë M? Për bashkësinë S themi se është nën bashkësi e bashkësisë M, nëse çdo element i bashkësisë S është element i bashkësisë M. Shkruajmë: S ⊆ M. Nëse bashkësia S është nën bashkësi e bashkësisë M dhe bashkësia M përmban elemente që nuk i takojnë bashkësisë S, atëherë S quhet nën bashkësisë e vërtet e bashkësisë M. Shënojmë: S ⊂ M.8 Bashkësia S është dhënë me diagram të Venit. Y Bashkësia P a është nën bashkësi e bashkësisë S? 1 3 Sqaro përgjigjen tënde! 2 5 K Bashkësia K a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro! R 4 6 7 Cila prej këtyre është e saktë: P ⊂ S; S ⊆ S dhe S ⊂ S? Vëre! Çdo bashkësi është nën bashkësisë e vetvetes. A ⊆ A. Shembull: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, pasi që çdo element e bashkësisë së parë është element i bashkë- sisë së dytë. Bashkësia e zbrazët është nën bashkësi e çdo bashkësie. ∅ ⊆ A.
  11. 11. Duhet të dish Testohu! 11 Të tregosh shembuj për bashkësi të barabarta, Është dhënë bashkësia P={5, 10, 15, 20}. përkatësisht bashkësi ekuivalente; Shkruaj bashkësi K ekuivalente me Të dallosh bashkësitë ekuivalente prej bashkë- bashkësinë P sive të barabarta; Shkruaj bashkësi L të barabartë me Të dish çka është nën bashkësi; bashkësinë P. Të caktosh nën bashkësi prej bashkësisë së Shkruaj dy nën bashkësi të bashkësisë P. dhënë. Detyra1. Në vizatim i vëren bashkësitë D dhe N. 2. Le të jetë U bashkësia e nxënësve të shkollës tënde, P është bashkësia e nxënësve të klasës D 7 9 5 së gjashtë, K është bashkësi e nxënësve të 1 klasës tënde, kurse elementi y je ti, nxënës. 8 6 3 2 Me diagram të Venit paraqiti bashkësitë 4 10 N U, P, K dhe elementin y. Shkruaje bashkësinë D në mënyrë tabelare. 3. Nëse y ∈ K dhe K ⊆ R, atëherë y ∈ R. A është e saktë? Pse? Shkruaje bashkësinë N në mënyrë për- shkruese. Bashkësitë D dhe N a janë ekuivalente? 4. Shënoji të gjitha nën bashkësitë të bashkës- Pse? inë A = {a, b, c}. Çka është e saktë për D dhe N: D ⊆ N ose N ⊆ D? Pse? Provo mendjemprehtësinë tënde! DetyraNë një shitore me prodhime metalike, mes blerësit dhe shitësit është zhvilluarbiseda vijuese:“Sa para është një?, ka pyetur blerësi.“Dhjetë denarë”, është përgjigjur shitësi.“Për sa para mund ti blej dymbëdhjetë?”, ka pyetur blerësi.“Dhjet denarë”, është përgjigjur shitësi.“Mirë, atëherë mi jepni treqind e dymbëdhjetë”, ka thënë blerësi.“Kjo do të ju kushtoj, zotëri, tridhjetë denarë.”Çfarë ka blerë blerësi?
  12. 12. 12 4 PRERJA, UNIONI DHE NDRYSHIMI I BASHKËSIVE Kujtohu! A 1 Janë dhënë bashkësitë S A={1, 2, 3, 4, 5} dhe B={3, 4, 5, 6}. A V Paraqiti bashkësitë A dhe B me diagram të Venit. Elementet e përbashkëta të bashkësive A dhe B paraqiti me C. Bashkësinë C paraqite në mënyrë tabelare. Sipas vizatimit, bashkësia A është bashkësi e figurave të kuqe, B të Vëreni zgjidhjen. Bashkësia C është trekëndëshave, kurse C e C = {3, 4, 5}. prerje e bashkësisë trekëndëshave të kuq. A dhe B. C A B Pse është bashkësia C prerje e bashkë- 1 3 sive A dhe B? 6 4 2 5 Prerje e dy bashkësive A dhe B është bashkësia C e formuar prej elementeve të përbashkëta të A dhe B. Shënojmë: C = A ∩ V dhe lexojmë: “Çka është e barabartë me A prerje B” x ∈ A ∩ V, d.m.th: x ∈ A dhe x ∈ V.2 Le të jetë A= {1,2,3,4}, B={2,4,5,7} dhe C={1,4,5,} Caktoji bashkësitë: A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ A. Bashkësitë A ∩ B dhe B ∩ A a janë ekuivalente? A janë të ndryshme? Paraqiti bashkësitë A, B dhe C me diagram të Venit, ashtu që të caktohen prerjet e tyre. DB 3 Në vizatimin janë dhënë bashkësitë A, B dhe D. A V Shënoji bashkësitë A, B dhe D në mënyrë tabelare. 1 3 2 6 5 7 4 10 Bashkësia D është union i 9 8 bashkësive A dhe B.
  13. 13. Union i bashkësive A dhe B është bashkësia D e formuar prej të gjitha elementeve të atyre bashkësive. 13 Shënojmë: D = A ∪ V dhe lexojmë: “ D është e barabartë me A union B”. x ∈ A ∪ V, d.m.th: x ∈ A ose x ∈ V.4 Në vizatim me diagram të Venit janë dhënë V C bashkësitë A, B dhe C. A 1 2 Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: 12 13 A, V dhe C. 3 14 11 C ∪ B, C ∪ A dhe B ∪ A. 9 A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A dhe A ∩ C.C 5 Janë dhënë bashkësitë A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe V = {2, 4, 6, 8}. Caktoji bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A. Bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A a janë të ndryshme? Caktoji bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A. Bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A a janë të barabarta? Vëreni se: A ∩ V = V ∩ A dhe A ∪ B = B ∪ A Prerja e dy bashkësive ka vetinë e ndërrimit (komutative). Unioni e dy bashkësive ka vetinë ndërrimit.6 Trego se për prerjen, gjegjësisht unionin, e bashkësive B dhe C nga detyra 4 vlen vetia ndërrimit. Provo vetinë e ndërrimit për unionin e tyre.7 Le të jetë A = {3, 6, 9} , B = {2, 4, 6, 8} dhe C = {1, 3, 5, 9}. Vëreni! Cakto A ∪ B, pastaj (A ∪ B) ∪ C. Unioni i tre bashkësive e ka vetinë e Cakto B ∪ C, pastaj A ∪ (B ∪ C). shoqërimit (associative). A është (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Prerja e tre bashkësive e ka vetinë e Provo a vlen: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). shoqërimit. Problem Zgjidh tre bashkësi A, B dhe C dhe trego se (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Nëse dihet që x ∈ A ∪ B, a vlen x ∈ B?D 8 Shihe vizatimin ! Me diagram të Venit janë paraqitur A 1 6 7 8 B bashkësitë A dhe B. 5 2 9 3 Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë A dhe B. Shënoje në mënyrë tabelare bashkësinë C elementet e së cilës janë ato elemente të bashkësisë A por që nuk janë të bashkësinë B.
  14. 14. Bashkësia C = {1, 2, 5, 6} e fituar në këtë mënyrë është ndryshimi i bashkë- 14 sive A dhe B përkatësisht S = A V. Bashkësia C e elementeve që i takojnë bashkësisë A, por që nuk i takojnë bashkësisë B quhet ndryshimi i bashkësisë A me bashkësinë B. Shënojmë: S = A V dhe lexojmë: “ C është e barabartë A minus B”. x ∈ A B d.m.th: x ∈ A dhe x ∉ B.9 Le të jetë A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} dhe C = {3, 5, 7, 9, 11}. Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: A B, B A, B C dhe A (B C). A vlen A B = B A? TË E ÇFARË ËSH DAL- Provo a është e saktë: A (B C) = (A B) C? ABARTË ME BAR E? MES TYR LIMIN NË Ndryshimi i bashkësive nuk e ka as vetinë e ndërrimit as vetinë e shoqërimit.10 Le të jetë M = {x | x është numër natyror dhe x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} dhe P = {x | x është numër natyror i dhjetëshes së parë}. Cakto: M ∩ Y. Y ∪ R. P M. M ∪ (R Y). Duhet të dish! Testohu! Të caktosh prerjen e dy bashkësive. Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, f, g}, Të caktosh ndryshimin e dy bashkësive. B = {b, c, e, f, 1, 2} dhe C = {b, c, e, 1}. Të caktosh unionin e dy bashkësive. Shënoji bashkësitë: Se prerja dhe unioni kanë vetinë e ndërrimit A ∩ B. B C. A ∪ B ∪ C. dhe shoqërimit. Detyra Cakto δA i δM. Shëno në mënyrë tabelare A ∪ M,1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë me M ∩ A dhe M A. diagram të Venit nën a,b dhe c. Cakto: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) dhe δ(M A). Cilat operacione janë paraqitur me pjesët e ngjyrosura? 3. Le të jetë P bashkësi e numrave çift, kurse S është bashkësi e numrave tek të qindëshes së parë. Çka paraqet: a) b) c) a) Unioni i P dhe S; c) ndryshimi i P dhe S; b) Prerja e P dhe S; d) ndryshimi i S dhe P?2. Janë dhënë bashkësitë Sqaro përgjigjen tënde për çdo rast a, b, c dhe d. A = {m, n, p, k} dhe M = {s, p, t, k, r}
  15. 15. 5 ÇIFTI I RENDITUR. PRODHIMI I DEKARDIT. 15 Kujtohu! A 1 Ne vizatim është paraqitur salla e kinemasë. Karrigia e tretë te rreshti i dytë dhe karrigiaJanë dhënë bashkësitë {2, 3} dhe {3, 2}. Ato e dytë te rreshti i tretë janë të zbrazëta.janë bashkësi dy elementësh, gjegjësisht tëpërbëra prej çifteve të elementeve. Rreshti dhe karrigia paraqesin një çift. A vlen {2, 3} = {3, 2}? Pse? Numri i parë le tëPor në disa raste, radhitja e elementeve në paraqet rreshtin (2),çifte ka rëndësi të madhe: çifti i dorëzave,çifti i këpucëve, etj. kurse numri i dytë ta paraqet karrigen (3). Atë e shkruajmë me (2,3) dhe themi se është çift i renditur. Çiftet e renditura (2,3) dhe (3,2) a paraqesin vendin e njëjtë në sallë? Ato paraqesin vendet e Çifti (a, b) te i cili dihet saktë cili element është i ndryshme në sallë. pari, kurse cili element është i dyti quhet çift i rendi- tur. Në çifti i renditur (a, b), a është komponent i parë, kurse b është komponent i dytë.2 Le të jetë A = {s, p, q}, kurse bashkësia B = {1, 2}. Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku komponent i parë është element i A, kurse komponent i dytë është e B. Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku Ë mbaj mend! çifti i renditur komponent i parë është B, kurse kompo- (a, b) është i barabartë me çiftin e nent i dytë është e A. renditur (c, d) nëse a = c dhe b = d dhe shkruhet (a, b) = (c, d). Çifti i renditur (s, 1) a është i barabartë me (1, s)?B 3 Le të jetë A = {1, 2} dhe B = {a, b, c}. Formo bashkësinë elementet e së cilës janë të gjitha çiftet e renditura, te cila komponent i parë është elementi bashkësisë A, kurse komponent i dytë është i bashkësisë B. Bashkësia te e cila elemente janë të gjitha çiftet e renditura, ku komponent i parë është element i bashkësia A, kurse komponent i dytë është element i bashkësia B quhet prodhim i dekartit i bashkësive A dhe B. Shkruhet A x B. Lexohet A herë B. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.4 Është dhënë bashkësia S = {1, 2, 3} dhe prodhimi i Dekartit S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Shënoni bashkësinë P në mënyrë tabelare.
  16. 16. 16 5 Është dhënë bashkësia A = {a, b}. Cakto prodhimin e Dekartit A x A. Vëre dhe mbaj mend! A x A është prodhimi i Dekartit i bashkësisë A. Prodhimi i Dekartit A x A quhet katrori i Dekartit dhe shënohet me A2. Lexohet: “A në katror.”6 Cakto katrorin e Dekartit për bashkësinë M = {5, p}. Duhet të dish! Testohu! Të dallosh bashkësi dy elementësh prej çiftit Janë dhënë bashkësitë A = {a, b}, B = {5, 55} dhe C = {m, n}. të renditur; Të caktosh të gjitha çiftet e renditura për dy Shënoni të gjitha çiftet e renditura ku kompo- nenti i parë është element i bashkësisë A, kurse bashkësi të dhëna; Komponenta e dytë është element i bashkësisë Se çka është prodhimi i Dekartit; C. Të caktosh komponentin i parë dhe atë të Shënoni bashkësinë A x B në mënyrë tabelare. dytë në një çift të renditur. Se çka është katrori i Dekartit. Shënoni bashkësinë B2. Detyra1. Shkruaji çiftet e renditura te të cilat kompo- 4. Është dhënë bashkësia nenti i parë është nga bashkësia A = {2, 5}, Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. ndërsa komponenti i dytë nga bashkësia V = {a, b, c}. Cakto bashkësinë S. Cakto bashkësinë P. Cakto katrorin e Dekartit të bashkësisë S.2. Cili numër duhet të qëndroj në vend të ashtu që çiftet e renditura të jenë të barabartë a) (5, ) = (5, 2); b) ( , 6) = (8, 6); v) ( , 3) = (7, )? Çiftet e renditura do të më jenë3. A={Arlind, Njomza, Agon} fjali të thjeshta. Për shembull: B është bashkësi foljesh: Arlindi këndon. B= { këndon, flenë, mëson} Cakto prodhimin e Dekartit A x B.
  17. 17. 6 VARGU I NUMRAVE NATYROR 17 Numra natyror! Kujtohu! 1 2 3 4 5 ... Sa është numri i bankave te klasa jote? Cakto numrin e meshkujve në klasën tënde. A 1 Me shifra shkruaj numrat: Lexoji numrat: 23, 1005, 207, 987 000. Njëqind e pesëdhjetë e gjashtë; Me cilat shifra është shkruar numri: Nëntëqind e një; 813 265? Sa shifra shfrytëzohen për shkrimin e Një milion. numrave? Cilat janë ato? Për çdonjërin e atyre numrave themi se janë numra natyrorë. Numrat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... quhen numra natyrorë, kurse numrat e radhitur ashtu njëri pas tjetrit formojnë vargun e numrave natyrorë. Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Numrin 0 nuk e marrim si numër natyror. Prandaj 0 ∉ N. Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë dhe numrit 0 shënohet me N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}B 2 Në vizatim vëren rrugën dhe dy rreshta me shtëpi të shënuara me numra. Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga njëra anë e rrugës? Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga ana tjetër e rrugës? Numrat: 1, 3, 5, 7, ... janë numra tek. Kurse 2, 4, 6, 8, 10 ... janë numra çift.3 Cilët prej numrave 36, 13, 1 111, 100 000, 99 janë çift, kurse cilët janë tek? aC 4 Si do të përcaktosh drejtëzën numerike? O A a Punoni sipas kërkesave dhe përcille vizatimin: 0 1 Vizato drejtëz a. Në drejtëzën a shëno dy pika O dhe A. O A S a Pikës O shoqëroja numrin 0, kurse pikës A numrin 1. 0 1 2
  18. 18. 18 Segmentin OA e marrim për segment njësi, gjegjësisht OA = 1. Në gjysmë drejtëzën OA, nga pikës A, barte segmentin njësi OA. Pikën e skajshme shënoni me C dhe shoqëroja numrin 2. Si do ta caktosh pikën që i përgjigjet numrit 3? Vëre dhe mbaj mend! Në këtë mënyrë është përcaktuar drejtëza te e cila mund të paraqiten numrat natyrorë. Ajo quhet drejtëz numerike.5 Shihe vizatimin Cili numër është për 1 më i vogël se numri 6? 0 1 2 3 4 6 Cili numër është për 1 më i madh se numri 6?6 Numri 5 është paraardhës , kurse numri 7 është pasardhës i numrit 6. Cili është paraardhësi, kurse cili pasardhësi i numrit 100? Si fitohet paraardhësi, kurse si pasardhësi i një numri?7 Shkruaj një numër të madh natyror. Cilit do numër Shtoja numrin 1 numrit që e ke menduar. mund ti shtoj 1 dhe A ka numër më të madh se numrin që e fitove? do të fitoj numër më të madh. Çdo numër nga vargu i numrave natyrorë, përveç 1, fitohet kur paraardhësit të tij do t’i shtohet numri 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Secili numër natyror ka pasardhës. Numrat natyror janë të radhitura sipas madhësisë: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Nuk ekziston numri më i madh natyror. Ka pakufi shumë numra natyror. Bashkësia N e numrave natyrorë është bashkësi e pafundme. Vëre shembull tjetër për bashkësi të pafund. Bashkësia e numrave natyrorë shifre e njëshave te të cilat është 1, gjegjësisht {1, 11, 21, 31, ...}.8 Cila nga bashkësitë vijuese është e pafund? Bashkësia e numrave çift. Bashkësia e numrave tek. Numri i banorëve në R. e Maqedonisë. Numri i grimcave të rërës në një plazh.
  19. 19. 9 Shkruaj dhe radhiti numrat natyrorë të dhjetëshes së tretë të qindëshes së pestë. 19 Duhet të dish! UNË JAM UNË JAM Të dallosh ç’është shifër dhe ç’është numër; PARAARDHËS! PASARDHËS! Të caktosh pasardhës dhe paraardhës të një numri natyrorë; Të paraqesësh numra natyrorë në drejtëzën numerike. Të tregosh shembuj për bashkësi të pafund. Testohu! Janë dhënë shifrat 7, 4 dhe 0. Shënoni të gjithë numrat natyrorë treshifrorë duke i shfrytëzuar shifrat e dhëna. Radhiti të gjitha numrat që i fitove duke filluar prej numrit më të madh. Shënoni paraardhësin dhe pasardhësin të numrit më të madh prej tyre. Trego shembull për bashkësi të pafund. Detyra1. Në vizatim ka libra me faqe të grisura. 2. Cilat numra te drejtëza numerike duhet të shkruhen në vendet e zbrazëta? 0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160 Shënoje me fjalë numrin e shënuar me shig- jetë. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 3. Vizato drejtëzën numerike dhe në të paraqiti numrat çift prej 0 deri 20. Shënoni faqet e librit që janë të 4. Bashkësinë S = {x | x është numër natyror tek}, grisura. shkruaje në mënyrë tabelare. Me cilat shifra janë shkruar ato Cili element është më i vogël te bashkësia S? faqe? Shënoni bashkësinë A të numrave çift Bashkësia S a ka element më të madh? të faqeve që mungojnë në libër. Sa elemente ka bashkësia S?
  20. 20. 20 7 SISTEMI NUMERIK DEKADË 012 34 56 7 8 9 Kujtohu! Sa dhjetëshe ka numri 100? Sa mijëshe ka numri 3 865? Shkruaje bashkësinë C të të gjithë Sa njëshe ka numri 128 563? A 1 shifrave me të cilat shkruhen numrat Shënoni me shifra numrin e paraqitur në natyrorë. numëratoren pozicionuese. Cakto δS. Ka dhjetë shifra. Të gjithë numrat natyrorë i shkruajmë me dhjetë shifrat 0,1,…,9. QM DhM NjM Q Dh Nj Numrat i shkruajmë në sistemin numerik dekadë.2 Shihe tabelën ku është shkruar numri 7 143 528. Çdo shifër e numrit është shkruar në pozitën (vend) e caktuar. Secili grup prej tre shifrave, duke shkuar nga e djathta në të majtë, është shkruar në klasë të caktuar. Në cilën pozitë është shkruar KLASA KLASA KLASA shifra 2? MILION MIJËSHE NJËSHE Vlera pozicionale e shifrës 4 te numri QMi DhMi NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj 7 143 528 është dyzet mijë. Cila është vlera pozicionale e shifrës 3 dhe cila e 7 1 4 3 5 2 8 shifrës 8? Në klasën milion në pozitën e njësheve është U kujtova! shkruar shifra 7. Cila është vlera e saj pozicionale? 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000. Te shënimi i numrave, çdo shifër tregon numrin e njësheve ose numrin e dhjetësheve ose numrin e qindësheve, etj, përkatësisht të pozitës (vendit) ku është shkruar.
  21. 21. Shihe tabelën me të dhëna për numrin 34 509.3 21 34 509 Ne jemi të njëjtë Pozita në të cilën Vlera pozi- Shifra Klasa është shkruar cionale e 3 4 Mijëshe Mijëshe shifra DhM NjM shifrës 30 000 4 000 Unë vlej më shumë 2 5 0 9 Njëshe Njëshe Njëshe Q Dh Nj 500 0 9 20 Formo tabelë për numrin 2 628 dhe në të shënoji të dhënat për çdo shifër.4 Vëre! Për sa herë zmadhohet vlera e shifrës 3 duke filluar prej pozitës së njësheve? NjM Q Dh Nj Numrat 1, 10, 100, 1 000, etj., quhen njësi dekade. 3 3 3 3 Shënoi të gjitha njësitë dekade deri 10 000 000. ⋅100 ⋅10 ⋅1 000B 5 Shkruaje numrin i cili e përmban shifrën 1, e pas saj janë shënuar: a) 3 zero; b) 9 zero; c) 12 zero d) 18 zero. Si quhet numri i shkruar nën a), e si quhet numri i shkruar nën b)? Mbaje në mend! Numri i shënuar: Di për a) dhe b). Vallë si quhen numra të 1 000 000 000, quhet miliardë; tjerë?! 1 000 000 000 000, quhet bilion; 1 000 000 000 000 000 000, quhet trilion.6 Shkruaje me shifra numrin “pesëdhjetë miliard tetëqind milion dhe njëzetmijë”. Cila është vlera pozicionale e shifrave 5; 8; 2 në numrin 50 800 200 000?
  22. 22. 22 Duhet të dish! Të përcaktosh klasat e numrit shumë shifror; Ta përcaktosh vlerën pozicionale të secilës shifër në numrin e dhënë; Se shifrat janë shenja për të shkruar numrat. Testohu! Shihe vizatimin! Lexo numrin e paraqitur në numëratoren pozicionale dhe shkruaje me shifra. Cilën shifër e shkrove në pozitën e dhjetë mijësheve NjMi QM DhM NjM Q Dh Nj dhe cila është vlera pozicionale e saj? Detyra 3. Shkruaje me shifra numrin “tetë bilion tre- qind e dy miliardë gjashtëdhjetë milion1. Është dhënë numri 5 203 478. Për secilën katërqind mijë dhe pesëqind”. shifër 5; 2; 7; 0 përcakto: a) Në cilën klasë gjendet; b) Cila është pozita e saj: 4. Cilin numër do të fitosh nëse në një trilion do të fshish secilin zero të dytë. c) Cila është vlera e saj pozicionale. 5. Si lexohet numri 5, e si shifra pesë?2. Përpilo tabelë të klasave dhe pozitave në të cilat do ti shkruash shifrat e numrit 7 405 906. 6. Si quhet numri që ka milion miliona? Problem Numri shtatë shifror fillon me shifrën 7. Si do që ti zhvendosësh shifrat e atij numri, numri nuk ndryshon. Cili është ai numër?
  23. 23. 8 LEXIMI DHE RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE NATYRORË 23 Kujtohu! Shkruaje me fjalë numrin A 1 a) 157; b) 216 c) 350 Shkruaje me fjalë numrin 16; 23; 45; 125; 50; 200. Krahasoje shënimin tënd me atë të dhënë. Në cilin prej numrave të shkruar e për- a) Njëqind e pesëdhjetë e shtatë. dorë lidhëzën “dhe”? b) Dyqind e gjashtëdhjetë; c) Treqind e pesëdhjetë. Vëre leximin e numrave dhe përdorimin e lidhëzës “dhe”. Lidhëza “e’ nuk shfrytëzohet nëse numri është 15 - pesëmbëdhjetë;prej një fjale (emri i klasës nuk llogaritet). 700 - shtatëqind; 50 000 - pesëdhjetë mijë. Në secilën klasë: njëshe, mijëshe, milion, …lid- 302 413 - treqind e dy mijë katërqind ehëza “e” shfrytëzohet mes dy fjalëve të fundit, trembëdhjetëgjegjësisht dy numrave (emri i klasës nuk lloga- 5 020 340 - pesë milion njëzet mijë e treqindritet). e dyzet Lidhëza ‘e” shfrytëzohet edhe mes klasave, nëse 300 200 - treqind mijë e dyqinddy fjalë të fundit (numra) i takojnë klasave të 8 302 100 - tetë milion treqind e dy mijë endryshme. njëqind.2 Shkruaji me fjalë numrat: 200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.B 3 Në një garë basketbolli reporteri ka thënë se garën e përcjellin rreth 2 000 shikues. Reporteri ka treguar numrin e Athua reporteri e ka treguar numrin e përafërt të shikuesve. saktë të shikuesve?4 Numrat 32, 35 dhe 37 janë paraqitur në drejtëzën 30 32 35 37 40 numerike. Cilat janë dhjetëshet fqinje të numrave të paraqitur? Cakto ndryshimin e secilit numër me dhjetëshet fqinje. Deri te cila dhjetëshe fqinje është më afër secili numër?
  24. 24. 24 Vëreji përgjigjet Për numrat e dhënë numri 30 është dhjetësha fqinje më e vogël, ndërsa 40 është dhjetësha fqinje më e madhe. 32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Numri 32 është më afër me 30. 37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Numri 37 është më afër me 40. 35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Themi se Numri 32 është përafërsisht i barabartë me numrin 30. Shkruajmë 32 ≈ 30. Numri 37 është përafërsisht i barabartë me numrin 40. Shkruajmë 37 ≈ 40. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Me marrëveshje shkruajmë 35 ≈ 40. Ky shënim quhet rrubmullakimi i numrit në dhjetëshe.5 Rrumbullako në dhjetëshe numrat: 148, 243, 2 671, 3 585 dhe 74 598.6 Numrat: 3 435 dhe 3 468 janë paraqitur në drejtëzën numerike. 3 400 3 500 3 435 3 468 Cakto ndryshimin e secilit prej numrave me qindëshet finje. Deri te cila qindëshe fqinje është më afër secili numër? Rrumbullako secilin numër në qindëshe. Ke vërejtur se 3 435 është më afër me 3 400, ndërsa 3 468 me 3 500. Numrat e rrumbullakuara në qindëshe janë: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Kur gjatë rrumbullakimit të një numri në qindëshe shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë, e kur zmadhohet për 1? Shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë nëse shifra në pozitën e dhjetësheve është numër më i vogël se 5, ndërsa zmadhohet për 1 nëse shifra në pozitën e dhjetë- sheve është 5 ose numër më i madh se 5.7 Rrumbullako në qindëshe numrat: 1 372, 2 145, 1 653 dhe 4 898.8 Rrumbullako në mijëshe numrat: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.
  25. 25. Vëre zgjidhjen nën a) 25 21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Ke vërejtur se gjatë rrumbullakimit të ndonjë numri deri te pozita e caktuar (dhjetëshe, qindëshe, mijëshe, …) vepron në mënyrë vijuese: Shifra e asaj pozite mbetet e njëjtë, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave: 0, 1, 2, 3, ose 4, ndërsa ajo zmadhohet për 1, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave 5, 6, 7, 8 ose 9. Të gjitha shifrat djathtas nga ajo pozitë zëvendësohen me zero.9 Rrumbullako numrin 35 738 në: a) Dhjetëshe; b) qindëshe; c) mijëshe; d) dhjetë mijëshe. Duhet të dish! Testohu! Drejtë ti lexosh numrat natyror, më të vegjël Lexo numrin: 5 200; 45 678 350. apo më të mëdhenj se një milion; Të rrumbullakosh numrat natyrorë në: Rrumbullako në dhjetëshe; qindëshe; mijëshe, dhjetëshe, qindëshe dhe mijëshe. numrin: a) 34 752; b) 224 750 Detyra1. Shkruaje me shkronja numrin: 2 345; 250; 6 7. A ekziston numri më i madh natyror? 400 310. Cili është numri më i vogël natyror?2. Shkruaje me shifra numrin: ‘Treqind milionë Shkruaje çmimin e veturës me fjalë dyqind e pesë mijë e tetëqind”.3. Cila prej shenjave <, = ose > duhet të qën- droj në rreth që të jetë e saktë? 12 245 12 250; 12 245 12 240; 12 245 12 200; 12 245 12 300. 1 216 358 den.4. Athua numri 24 635 është më afër Përpiqu të zgjidhësh! a) me 24 700 ose me 24 600; b) me 24 000 ose me 25 000? Nuk ka kuptim të thuash numrin e telefonit tënd5. Rrumbullako numrin 25 375 në: dhjetëshe; si numër i rrumbullakuar. qindëshe; mijëshe. Përpiqu të gjesh dy shembuj ku nuk ka kuptim6. Rrumbullako numrin 15 409 632 në të bësh rrumbullakimin e numrave. mijëshe.
  26. 26. R A P U N A 26 M E T Ë D D H Ë N A 9 INSTRUMENTE PËR MBLEDHJEN E TË DHËNAVE Mbledhja e të dhënave kryhet në disa mënyra: me anketim, vështrim, matje, numërim, nga literatura etj. Instrumente (mjete) për mbledhjen e të dhënave janë: pyetësori, fletanketë, revizione të publikuara dhe të dhënat e tjera statistike.1 Arta dhe Liriku hulumtojnë për aktivitetet e lira të nxënësve të paraleles së tyre. Ato i kanë pyetur nxënësit në cilin klub çdonjëri prej tyre është i anëtarësuar. Të dhënat së pari i kanë shënuar me viza, kurse pastaj i kanë rregulluar dhe kanë formuar tabelë. Klubi Klubi Në tabelë janë dhënë një numër i të Numër Numër (aktivitete) (aktivitete) dhënave. Ajo quhet tabela të efek- Shkëndija Shkëndija tiveve. 9 (basketboll) (basketboll) Liria Liria Sa nxënës gjithsej janë përgjigjur në 13 (tenis) (tenis) pyetjen e drejtuar? Flamurtari Flamurtari 15 Formo tabelë të re të efektiveve (gjimnastikë) (gjimnastikë) Spartaku Spartaku 3 ashtu që të dhënat ti radhisësh (karate) (karate) sipas madhësisë së numrit (duke fil- Tabela me viza Tabela me efektive luar prej më të madhit).2 Iliri ka bërë hulumtim për ngjyrën e biçikletave që më shpesh hasen në fshatin e tij. Ka mbledh të dhëna ashtu që i ka vërejt fëmijët me biçikleta në oborrin e shkollës dhe ka plotësuar listë me viza. Formo tabelë të efektiveve. Ngjyra Numrij Radhiti të dhënat duke filluar prej më të voglit. E kaltër Sa biçikleta gjithsej ka vërejt Iliri? E gjelbër Cila ngjyrë e biçikletave është më e shpeshtë? E verdh Të vërejturit e Ilirit është njëra nga mënyrat me të cilën mundet të mblid- E zezë hen të dhënat. Të dhënat mundet të mblidhen në mënyra të ndryshme E kuqe duke: pyetur me telefon, dërguar pyetësor nëpërmjet postës, shfrytëzuar libra, revista etj.3 Merita ka mbledhur të dhëna për stinën më të adhuruar në klasën e saj. Vëre listën: P - pranverë; V - verë; Vj - vjeshtë; D - dimër. P P V D D Vj P V Vj D D P V Vj D D P P V V V Vj D P Vj Vj D D P P P V Vj P P D V Vj Paraqiti të dhënat në tabelën e efektiveve dhe radhiti duke filluar prej stinës më të adhuruar.
  27. 27. 10 MBLEDHJA 27 Kujtohu! A 1 Mere dhe Mile jetojnë në Koçan. Në pushim kanë shkuar Njehso: në Strugë, por një ditë kanë 14 353 qëndruar në Dibër te gjyshja e + 35 + 168 tyre. 47 98 796 90 km Koçan + 803 + 14 534 Dibër 68 + 37 + 3 + 916 = Strugë 190 km Sa kilometra ka kaluar Merita dhe Lirini prej shtëpisë deri te gjyshja e tyre? Sa kilometra kanë kaluar prej Shkupit deri në Strugë? Cakto shumën e numrave 52 dhe 34.B 2 Përkujtohu dhe vëreji vetitë e mbledhjes në bashkësinë N0.Nëse i ndërroni vendet mbledhëse shuma mbetet epandryshuar. Ndërrimi i vendeve të mbledhëseve ose vetia e ndërrimit e mbledhjes. 52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86 a+b=b+a mbledhëse shuma mbledhëse shumaTë tre mbledhëset mundet të grupohen në dy mënyra. Shuma Grupimi i mbledhëseve ose vetia embetet e pandryshuar. shoqërimit e mbledhjes. (71 + 114) + 16 = ose 71 + (114 + 16) = a + (b + c) = (a + b) + c Prandaj, kllapat mund të largohen:: 185 + 16 = 201 71 + 130 = 201 a + b + c.Kur njëri prej mbledhëseve është zero, atëherë shuma është ebarabartë me mbledhësin tjetër. Zeroja gjatë mbledhjes. a+0=0+a=a 583 + 0 = 583 ose 0 + 583 = 5833 Njehso: Kur shfrytëzohen vetitë e mbledhjes është më lehtë! 17 + 36 + 13 + 44 = 12 + 81 + 9 + 38 + 27 = Shembul 161 + 234 + 439 = 27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
  28. 28. Grupoi mbledhësit në mënyrë tjetër dhe cakto shumën. 28 4 45 + (45 + 56) = ( 1 207 + 101) + 269 =C 5 Cakto shumën e numrave 74, 33, 26, 48, 57. Cakto shumën e numrave 140, 310, 750, 360, 170 dhe 290. Shumës të numrave 124 dhe 139 shtoja shumën e numrave 261, 55 dhe 276. Cakto paraardhësin e çdo numri 372, 126 dhe 319 dhe njehso shumën e paraardhësve.6 Bëje vlerësimin e shumës së numrave me rrumbullakim në qindëshe a) 2 738 dhe 2 465; b) 4 562 dhe 5 378. Për sa dallohet rezultati i përafërt nga shuma e saktë e numrave? Duhet të dish! Testohu! Paralelja Djem Vajza Të caktosh shumën e VIa 17 14 dy ose më shumë Te tabela janë dhënë të VIb 14 17 numrave; dhënat për numrin e VIc 9 22 Ti zbatosh vetitë e nxënësve në klasën VI të mbledhjes te shembu- një shkolle jt e thjeshtë; Cakto numrin e përgjithshëm të nxënësve në klasën e VI. Ta vlerësosh rezultatin Cakto numrin e nxënësve në VIa dhe VIb, e pastaj krahasoji. e mbledhjes. Detyra 44 + 27 + 51 + 33 + 19 = + 16 1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =1. Njehso. 171 4. Vlerëso shumën e numrave 7 328 dhe 6 + 72 + 93 + 39 435, duke i shfrytëzuar në: mijëshe, 27 39 qindëshe; dhjetëshe. Për sa dallohen rezul- tatet e përafërta me ato të sakta?2. Në një gazetë shkruan: „Në hapjen e një festivali marrin pjesë 1 300 shikues. Ditën e dytë shfaqjen e kanë shikuar 726 shikues”. Problem! Sa shikues kanë qenë për dy ditë në festival? Numri 2 është shkruar shtatë herë: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 23. Grupoji mbledhësit dhe cakto shumat: Cila është shuma më e vogël që mund të fito- 64 + 33 + 36 + 48 + 57 = het nga shtatë dyshe dhe dy shenja plus?
  29. 29. 11 ZBRITJA 29 Kujtohu!Njehso: 475 1 852 - 232 - 800 A 1 Lojërat Olimpike në vitin 2000 janë mbajtur në Sidnej- Australi. Komiteti Olimpik ka kërkuar që të rezervohen 4 2 685 9 840 830 bileta për hapjen solemne, por të lira kanë qenë 3 - 518 - 189 892 karrige.Cili numër duhet të qën-droj në katror që të jetë e Sa njerëz kanë ngelur pa bileta?saktë? 47 - = 19 4 830 - 3 892 = 28 + = 47 + 19 = 47 I zbritshmi zbritësi ndryshimi2 Shfrytëzoji të dhënat në tabelë që të përgjigjesh në pyetjet. Olimpiada 1992 Sa pikë më shumë ka ekipi i Polonisë prej ekipit të Ekipi Pikë Italisë? Italia 15 760 Cili është ndryshimi ndërmjet numrit më të madh dhe më të vogël të pikëve? Amerika 15 649 Polonia 16 018 Që të mund ta njehsojmë ndryshimin a - b të numrave a dhe b në bashkësinë N0 duhet a > b ose a = b.B 3 Në një furrë piqen 5 000 bukë çdo ditë. Në tabelë janë Dita Nr. i bukëve dhënë të dhënat për bukët e shitura për një javë. E hënë 1 260 E martë 4 205 E mërkurë 4 728 Sa bukë gjithsej ka prodhuar furra për një javë? E enjte 3 916 E premte 4 010 Sipas të dhënave në tabelë njehso sa bukë gjithsej kanë ngelur pa shitur? E shtunë 4 857 E diel 1 376
  30. 30. 30 4 Vlerëso ndryshimin e numrave 457 dhe 165 duke i rrumbullakuar në dhjetëshe; qindëshe. Krahaso vlerësimet me vlerën e saktë të ndryshimit. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh ndryshimin e dy numrave; Njehso: të njehsosh vlerën e shprehjes (26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ; numerike me operacionet mbledhje dhe zbritje me kllapa ose pa kllapa; (439 - 195) + (270 - 36) = . të vlerësosh ndryshimin gjatë zbritjes. Vlerëso ndryshimin e numrave 2 376 dhe 1 289 duke i rrumbullakuar në qindëshe. Detyra1. Numrit 836 shtoja ndryshimin e numrave 3. Vera ka 2 725 denarë. Merita ka 120 denarë 299 dhe l73. më shumë se Vera. Arta ka 385 denarë më Ndryshimin e numrit më të madh katër- pak se Vera dhe Merita së bashku. shifror dhe numrit më të vogël treshifror Sa denarë ka Merita? zmadhoje për 1216. Sa denarë ka Arta?2. Treni është nisur prej Manastiri për në Shkup 4. Arlindi ka 1 350 denarë. Që të blej atlete i me 489 udhëtarë. Në Prilep prej trenit kanë duhen 3 120 denarë. Arlindi i ka rrumbul- zbritur 120 udhëtarë, kurse kanë hipur 70 lakuar parat në qindëshe. udhëtarë. Në Veles kanë zbritur 42 udhëtarë, Ndihmoji Arlindit që të caktoj edhe sa kurse kanë hipur 98. Me sa udhëtarë ka ard- hur treni në Shkup? qindëshe i mungojnë. Njehso saktësisht sa para i mungojnë Arlindit. Përpiqu! Nëse i paramendon cilat do tre numra natyrorë, a do të ketë gjithmonë mes tyre dy shuma e të cilëve është numër çift?
  31. 31. 12 VARËSIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT NGA NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE 31 Kujtohu! A 1 Në mëngjes në :Ditën e drurit” janë sjel- lë 2 600 fidanë gjethembajtës dhe 3 Janë dhënë shuma 320 + 150 = 470 dhe 100 fidanë gjetherënës. ndryshimi 250 - 120 = 130. a) Sa fidanë të të dy llojeve janë sjellë Cili numër duhet të qëndroj në katror atë mëngjes? që të jetë e saktë. b) Mbas dite janë sjellë edhe 400 fidanë (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 - ; gjethembajtëse. Për sa do të rritet (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ? numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes? Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; në mëngjes janë sjellë 5 700 fidanë. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes është rritur për 400.2 Është e njohur se a + b = 200. Njëri prej mbledhësve le të rritet për 300. Njehso shumën a + (b + 300).3 Si do të ndryshoj shuma 340 + 620 = 960 a) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60; b) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60, ndërsa tjetri zmadhohet për 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = Shuma u zvogëlua për aq sa u zvogëlua = 900 = 960 - 60; njëri prej mbledhësve. Vërejte se: b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; shuma nuk u ndryshua. Vëre në përgjithësi për shumën a+b=c Nëse njëri mbledhës zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri (a + m) + b = c + mmbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zmadhohet për atë numër të njëjtë Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri (a - m) + b = c - mmbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zvogëlohet për atë numër të njëjtë Shuma nuk do të ndryshojë nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një (a - m) + (b + m) = cnumër të caktuar, ndërsa tjetri rritet po për atë numër.
  32. 32. 32 B 4 Është dhënë ndryshimi 750 - 430 = 320. Njehso dhe vëre si ndryshon ndryshi- mi nëse i zbritshmi a) Zmadhohet për 50; b) zvogëlohet për 50. Sigurisht vërejte: a) Ndryshimi u zmadhua për 50, gjegjë- a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = sisht aq sa u zmadhua i zbritshmi = 370 = 320 + 50. b) Ndryshimi do të zvogëlohet për 50.5 Është dhënë ndryshimi 2 480 - 560 = 1 920. Si do të ndryshoj ndryshimi, nëse zbritësin: a) E zvogëlon për 30; b) e zmadhon për 30. Ndryshimi: a) do të zmadhohet për 30; b) do të zvogëlohet për 30.6 Njehso ndryshimin 6 354 - 2 314. Si do të ndryshojë ndryshimi nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi a) Zmadhohen për 120; b) zvogëlohen për 120? Vëre se ndryshimi mbetet i njëjtë. Vëre në përgjithësi për ndryshimin a-b=c Nëse i zbritshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për një numër (a + m) - b = d + m të caktuar, ndërsa zbritësi mbetet i njëjtë, atëherë edhe ndryshimi (a - m) - b = d - mdo të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për atë numër të njëjtë. Nëse zbritësi zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet i njëjtë, atëherë ndryshimi do të zvogëlohet për atë numër. Nëse a - (b + m) = d - mzbritësi zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet i a - (b - m) = d + mnjëjtë, atëherë ndryshimi do të zmadhohet për atë numër të njëjtë. Ndryshimi nuk do të ndryshojë nëse i zbritshmi dhe zbritësi zmad- (a + m) - (b + m) = dhohen apo zvogëlohen për një numër të njëjtë. (a - m) - (b - m) = d7 Si do të ndryshojë ndryshimi, nëse i zbritshmi zmadhohet për 10, ndërsa zbritësi zvogëlohet për 10. Duhet të dish! Si ndryshon ndryshimi i dy numrave: Si ndryshon shuma e dy numrave, nëse njëri Nëse i zbritshmi zmadhohet, gjegjësisht mbledhës: zvogëlohet për një numër të caktuar; Nëse zbritësi zvogëlohet, gjegjësisht zmad- Zmadhohet për një numër të caktuar; hohet për një numër të caktuar; Zvogëlohet për një numër të caktuar; Nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi zmadho- Zmadhohet për një numër të caktuar, hen gjegjësisht zvogëlohen për një numër të ndërsa mbledhësi tjetër zvogëlohet për caktuar; atë numër të njëjtë?
  33. 33. Testohu! 33 Shuma e dy numrave është 3 540. Sa do të jetë shuma nëse njëri prej mbledhësve zvogëlohet për 140? Ndryshimi i dy numrave është 270. Sa do të jetë ndryshimi a) Nëse i zbritshmi zvogëlohet për 27? b) nëse zbritësi zmadhohet për 27? Njehso 460-120. Cakto x nga barazimi: (460 + x) - (120 + 58) = 340. Detyra1. Për sa do të ndryshojë shuma nëse njëri 5. Nëse a - b = 100, njehso: mbledhës zmadhohet për 234? a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30);2. Nëse 1 230 + 670 = 1 900, atëherë sa është c) (a - 10) - (b + 10); (1 230 - 350) + 670? d) (a + 5) - (b - 5);3. Është dhënë ndryshimi 6 543 - 2 732 = 3 811. Për cilën vlerë të x-it është e saktë barazia Një mëngjes Merita ka marrë një shumë të 6. caktuar të hollave nga babai i saj dhe një 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13. shumë të caktuar të hollave nga nëna e saj. Nga të hollat e nënës ajo ka shpenzuar4. Nëse zbritësi zmadhohet për 25, ç’duhet të 100 denarë. Në mbrëmje babai i ka dhënë bëhet me të zbritshmin ashtu që ndryshi- edhe 200 denarë dhe ajo ka konstatuar se mi të mos ndryshojë? ka 700 denarë . Sa denarë gjithsej në mëngjes i kanë dhënë nëna dhe babai i saj? Problem Mendo dhe përpiqu të njehsosh gojarisht. Sa është ndryshimi mes shumës së njëqind numrave të parë çift dhe shumës së njëqind numrave të parë tek?
  34. 34. 34 13 SHUMËZIMI Kujtohu!Njehso: A 1 Një automobil për 100 kilometra të kaluara 35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 = harxhon 7 litra benzinë. 1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 = 145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Sa litra benzinë do të harxhoji automobili nëse kalon 400 kilometra rrugë?2 Agoni ka udhëtuar 5 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 9 kilometra. Arlindi ka udhëtuar 6 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 8 kilometra. Sa kilometra më shumë ka kaluar Arlindi prej Agonit? Përkujtohu dhe vëre vetitë e shumëzimit në bashkësinë N0.Nëse ndërrohen vendet e shumëzuesve prodhimi nukndryshon. Vetia e ndërrimit e shumëzimit. 4 ⋅ 6 = 24 ose 6 ⋅ 4 = 24 a⋅b=b⋅a shumëzues prodhim shumëzues prodhimTë tre shumëzues mund të grupohen në 2 mënyra. Prodhiminuk ndryshon. Vetia e shoqërimit e shumëzimit. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ose 2 ⋅ (5 ⋅ 3) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Prandaj, kllapat mundet të shlyhen: 10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15 a⋅ b⋅ c. 30 = 30Nëse njëri prej shumëzuesve është një, atëherë prodhimi është ibarabartë me shumëzuesin tjetër. Shumëzimi me numrin 1 468 ⋅ 1 = 468 a⋅1= aNëse njëri prej shumëzuesve është zero, atëherë prodhimi ështëi barabartë me zero. Shumëzimi me 0 0 ⋅ 235 = 0 0⋅a= 0
  35. 35. Kur zbatohen vetitë, shumëzimi është më i3 Njehso: 35 lehtë! 2 ⋅ (50 ⋅ 9) = Shembul (500 ⋅ 7) ⋅ 2 = 50 ⋅ (4 ⋅ 8) = (7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 7004 Njehso: 40 + (130 ⋅ 10) = 96 − 2 ⋅ (30 − 18) = (280 + 32) ⋅ 8 = Pikat shkojnë Por, së pari në5 Njehso: kllapa para vizave 40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) = Si janë vlerat e shprehjeve numerike? Provo, a është e saktë? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Si formohen shprehjet që i krahason? Vëre se: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c. Me këto barazi është shprehur: vetia e shpërndarjes (distributive) e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. vetia e shpërndarjes e shumëzimit në lidhje me zbritjen.6 Njehso prodhimin 324 ⋅ 48, duke i rrumbullakuar shumëzuesit në dhjetëshe. Për sa dallohet vlera e përafërt e fituar nga ajo e saktë? 320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; prodhimi është për 448 më shumë se vlera e saktë.B 7 Arditi ka udhëtuar 4 javë, nga 4 ditë në javë, nga 4 kilometra në ditë. Sa kilometra ka kaluar Arditi? Vëre! Prodhimi 4 ⋅ 4 ⋅ 4 shkurtimisht shënohet 43, kurse lexohet 4 në të tretën. Shënimi 43 quhet fuqi me bazë 4 dhe tregues të fuqisë 3.
  36. 36. TREGUESI I Të mbaj mend: Prodhimi i 36 FUQISË shumëzuesve të barabartë shkur- timisht quhet fuqi FUQI 3 Shkurtimisht shkruaje shumëzimin dhe prodhimin. 4 BAZA Shumëzimi Shënimi i shkurtër Vlera Ç’tregon baza e fuqisë? 4⋅4⋅4 43 64 Ç’tregon treguesi i fuqisë?3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 Shkruaje 108 në formë të shumëzimit. 6⋅6 Cakto vlerën e 14. 8⋅8⋅8⋅8 Me marrëveshje: 51 = 5; a1 = a. Duhet të dish! Testohu! Të caktosh prodhimin e dy ose më Iliri dhe Jetoni kanë blerë 8 pako, te të cilat ka shumë numrave; pasur nga 8 kuti me nga 8 sheqerka në çdo kuti. Ti zbatosh vetitë e shumëzimit; Sa kuti kanë blerë Iliri dhe Jetoni së bashku? Ta vlerësosh prodhimin e shumëzimit të Nga sa kuti ka pasur çdonjëri prej tyre? dy numrave Sa bonbone ka pasur Jetoni? të caktosh vlerën e fuqisë. Shkruaje numrin e bonboneve të Ilirit në formë të fuqisë. Detyra 3. Rrezja e Tokës është 6 370 kilometra. Njehso: Largesa e Tokës deri të Hëna është rreth 601. herë më e madhe se rrezja. Cakto 186 ⋅ 35 = largesën nga Toka deri të Hëna. (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 4. Vlerëso prodhimin 127×268 duke rrumbul- 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = lakuar në 73 = a)qindëshe; b) dhjetëshe Cakto ndryshimin e prodhimit të saktë dhe 42 + 4 + 34 - 25 = të vlerësuar.2. Në një shumë, numri 245 paraqitet si 5. Cilat shifra duhet ti shkru- 439 ⋅ ∗7 mbledhës 48 herë. Njehso atë shumë. ash në vend të *, që 3∗73 shumëzimi të jetë saktë- sisht i njehsuar? + ∗756 2∗633

×