• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
 

Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet

on

  • 4,191 views

 

Statistics

Views

Total Views
4,191
Views on SlideShare
4,191
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
41
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet Presentation Transcript

    • Statistika për ekonomiks dhe biznes Ligjërata 10:Permutacionit, variacionet dhe kombinacionet
    • PERMBAJTJA Nocionet themelore të kombinatorikës  Hyrja në probabilitet  Nocionet themelore dhe llojet e kombinatorikës • Permutacionet • Variacionet • Kombinacionet
    • NOCIONET THEMELORE Kombinimi në mes të matematikës dhe statistikës vazhdon duke aplikuar metodat e probabilitetit Qëllimi i probabilitetit është që të hetoj dukuritë të cilat mund të parashihen si të mundshme apo jo të mundshme Përveq probabilitetit, në statistikë përdoret edhe Kombinatorika Kombinatorika bazohet në:  Permutacion  Variacion, dhe  Kombinacion
    • PERMUTACIONET: HYRJE Me permutacione nënkuptojmë mënyrat e rradhitjes së n elementeve (objekteve) të një bashkësieShembull: një top i kuq dhe një top i kaltër mund të rradhiten oseNumri i permutacioneve në këtë rast është _____
    • PERMUTACIONET: LLOJET Varësisht se a përsëritet apo jo ndonjë nga elementet (objektet) e bashkësisë, permutacionet mund të jenë  Me përseritje  P.sh.: 2 topa të kuq dhe 1 i kaltër  Pa përsëritje  P.sh.: 1 top i kuq dhe 1 i kaltër, ose 1 top i kuq, 1 top i kaltër, 1 top i zi
    • PERMUTACIONET PA PERSERITJE Permutacioni pa përsëritje i një bashkësie paraqet përcaktimin e të gjitha përmutacioneve të asaj bashkësie me n elemente Shënohet me n (numrin e elementeve të bashkësisë) Pn P.sh. Permutacionet e bashkësisë prej 3 topave (i kuq, i kaltër dhe i zi), do të shënoheshin P3
    • PERMUTACIONET PA PWRSERITJE (SHEMBULL 1) Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (1,2,3). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme. pasi: n = 3 atëherë: 2 1 3 Pn = n!= 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme dhe ato janë: Pn 1 2 3  1 2 3   1 2 3 P = 1 1 2 3  = 123  P = 1 1 3 2  = 132  P = 1  2 1 3  = 213         1 2 3 1 2 3  1 2 3 123 132 213 P =  2 3 1  = 231  P =  3 1 2  = 312  P =  3 2 1  = 321  1   1   1   321 231 312
    • PERMUTACIONET PA PWRSERITJE (SHEMBULL 1) Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (A,B,C). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme. pasi: n = 3 atëherë: Pn = n!= 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 Atëherë kemi 6 permutacione të mundshme dhe ato janë: ABC BAC CAB ACB BCA CBA Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (1,2,3,4). Llogarit numrin e permutacioneve të mundshme
    • PERMUTACIONET ME PERSERITJE Permutacionet me përsëritje të një bashkësie llogariten kur një ose disa elemente të bashkësisë përsëriten disa herë Numri i permutacioneve në rast të përsëritjes është ëm i vogël Mendo: nëse në vend të një topi të kuq dhe një të kaltër në shembullin e kaluar tani do të kishim 2 topa të kuq, pra topi i kuq përsëritet 2 here dhe janë e njejta gjë:Në vend të 2 mënyrave të rradhitjes, tani kemi vetem 1
    • PERMUTACIONET ME PERSERITJE (2) Në bashkësi me n elemente, nëse ato përsëriten k herë, atëherë numri i permutacioneve do të jetë për k! më i vogël Shënohen me Pkn ku n – numri i elementeve të bashkësëisë k – tregon sa herë përsëritet elementiP.sh. Nëse kemi 4 topa: 1 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi P34 Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën n! P = k n k! …llogarit numrin e permutacioneve
    • PERMUTACIONET ME PERSERITJE (3) Ose. nëse përsëriten dy elemente, do të shkruhej n ku n – numri i elementeve të bashkësëisëPk1 , k 2 k1– tregon sa herë përsëritet elementi i parë k2– tregon sa herë përsëritet elementi i dytë 5P.sh. Nëse kemi 5 topa: 2 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi P 2,3 Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën n! P n k1 , k 2 = k1!⋅k 2 ! …llogarit numrin e permutacioneve
    • PERMUTACIONET ME PWRSERITJE (SHEMBULL) Shembull. Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (SSTT). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme. pasi: n = 4 atëherë: 4! 24 P n k1 , k 2 =P = 4 2, 2 = =6 2!⋅2! 4 d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme dhe ato janë: SSTT TSTS TTSS STST TSST STTS
    • VARIACIONET (1) Variacionet janë mënyrat e rradhitjes grupeve (klasave) të ndryshme të elementeve të nxjerra nga një bashkësi prej n elementeve P.sh., nëse janë 20 sportistë që do të garojnë në një garë për tri medale: të artë, të argjendtë dhe të bronztë.  Pra, bashkësia ka 20 elemente  Nga këto nxirren grupet e mundshme me nga 3 fitues  Secili grup prej 3 fitues ka pastaj permutacionet e veta: Mënyrat e rradhitjes: cili e merr medalen e artë, cili të argjendtën e cili të bronztën
    • VARIACIONET (2) Variacionet shënohen k V n Ku n = numri i elementeve të bashkësisë k = numri i elementeve në grupin e zgjedhurNë shembullin tonë: nga 20 studentë zgjedhen grupet nga 3 studentë 3 V20 Varësisht nga paraqitja e ndonjë elementi ne rend, edhe variacionet mund të jenë pa dhe me përsëritje
    • VARIACIONET PA PERSERITJE (1)  Vriacionet pa përsëritje llogariten: n! V = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1) = n k (n − k )! Shembull: Llogarit numrin e variacioneve të grupeve nga 4 elemente të nxjerra nga një tërësi e 9 elementeve (ku elementet jane numrat 1,2,3,…,9). n = 9 dhe k=4 fillojme nga : (n − k + 1) = (9 − 4 + 1) = 6 K = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 4 9 (d.m.th. janë 3024 variacione të mundshme)
    • VARIACIONET PA PERSERITJE (2) Shembull. Nga 20 studetë të viti të parë duhet të zgjidhen tre studentë të cilët do të kyçen në hulumtime të institutit ne pozitat: hulumtues, asistent-hulumtues dhe recepcionist. Duhet të përcaktohet (të llogaritet) mënyra dhe numri i zgjedhjes së tre studentëve. n = 20 dhe k =3 fillojmë nga : (n − k + 1) = (20 − 3 + 1) = 18 n! K = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1) = k n (n − k )! 20! 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17! K 20 = 3 = = 20 ⋅19 ⋅18 = 6840 (20 − 3)! 17! (d.m.th. janë 6840 variacione të 20 studentëve të klasit tre (nga tre studentë))
    • VARIACIONET ME PERSERITJE (1)  Variacionet me përsëritje llogariten V =n n k k Ku n = numri i elementeve të bashkësisë k = numri i elementeve në grupin e zgjedhur nga bashkësia
    • VARIACIONET ME PERSERITJE (2) Shembull: Nga bashkësia e 4 shkronjave (A, B, C, D), sa grupe me nga 2 shkronja me përsëritje mund të nxirren? V = 4 = 16 4 2 2 Variacionet do të ishin{A A}, {A B}, {A C}, {A D}{B,A},{B B}, {B C}, {B D},{C A},{C B}, {C C}, {C D},{D A},{D B}, {D C},{D D}
    • KOMBINACIONET (1) Kombinacionet janë kombinimet e ndryshme të grupeve (klasave) të k elementeve që mund të nxirren nga një bashkësi me n elemente  p.sh. Nëse nga 100 studentë në klasë dëshirojmë të zgjedhim 3 studentë për t’i shpallur studentë të dalluar, kombinacioni tregon sa kombimine të ndryshhme nga 3 studentë mund të zgjedhen. Shënohen k ku n – numri total i elementeve të bashkësisëC n k – numri i elementeve që përmban grupi (ose klasa) e nxjerrë nga bashkësia 3 Pra, në shembullin tonë C100
    • KOMBINACIONET (2) Për dallim prej permutacioneve tek kombinacionet nuk është me rëndësi renditja  d.m.th. (a,b,c) dhe (c,b,a) janë të njejta  Ose, në shembullin tonë, studenentët e zgjedhur mund të jenë: Edona, Zana dhe Arta OSE Zana, Edona, Arta Nuk është me rëndësi cila është e para: të gjitha do të jenë studente të dalluara. Edhe kombinacionet ndahen në ato pa dhe me përsëritje
    • KOMBINACIONET PA PERSERITJE Kombinacionet pa përsëritje llogariten me formulën k = numri i elementeve (klasave) ne grupin e zgjedhur n! Cn = k ku : n = numri total i elementeve te bashkesise k!(n − k )! k Ose si raport i variacioneve pa përsëritje dhe permutacioneve pa përsëritje Vnk n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1) Cn = k = ⋅ Pk k ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
    • KOMBINACIONET PA PERSERITJE: SHEMBUJShembull. Nga numri total, 40, i studentëve, sa është numri imundshëm i kombinacioneve për zgjedhjen e dy studentëvepër shperblim?pra : n = 40 40! 40 ⋅ 39 ⋅ 38! C = 2 40 = = 760 k =2 2!⋅(40 − 2)! 2!⋅38!Shembull. Sa është numri i kombinimeve të mundshme përtë fituar llotarine nëse nga 36 numra zgjidhen 6?pra : n = 36 k =6 36! 36 ⋅ 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31 ⋅ 30! C = 6 36 = = 1,947,792 6!⋅(36 − 6)! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 30!
    • KOMBINACIONET ME PERSERITJE Kombinacionet pa përsëritje llogariten me formulën (n + k − 1)! C =k n k!(n − 1)!Shembull. Emrat e 10 studentëve i shkruajme në copa letre dhe i fusim ne një kuti. Nga kutia njxerrim 4 emra një nga një: e nxjerrim një emer, e shënojmë, e kthejmë në kuti, pastaj vazhdojmë kështu me rradhë. Sa është numri i kombinimeve grupeve nga 4 studentë që mund të nxirren në këtë mënyrëtë? (10 + 4 − 1)! 13! 13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9!C = 4 10 = = = 715 4!(10 − 1)! 4!9! 4!9!
    • BASHKESITE (DUKURITE)